Notion D Escompte A Interets Composes PDF [PDF]

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NOTION D’ESCOMPTE A INTERÊTS COMPOSES TSECO I. 1) 2) 3)

II. 1) 2) 3) 4)

Détermination de l’escompte à intérêts composés Notion d’escomptes à intérêts composés : exemple introductif Formule fondamentale Applications : Autour de l’escompte à intérêts composés Application 1 : Détermination de l’escompte composé. Application 2 : Détermination de la valeur nominale. Application 3 : Détermination du taux d’escompte à intérêts composés. Etablissement de l’équivalence d’effets à intérêts composés Equivalence de deux effets ou capitaux Equivalence d’un capital à un groupe de capitaux Equivalence de deux groupes de capitaux Applications économiques : achats ou ventes à crédit

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I.

Détermination de l’escompte à intérêts composés

1. Exercice introductif : a) Calcule à intérêts simples la valeur actuelle de 200 000francs CFA payable dans 20 ans au taux de 5% . b) Que constates-tu ? Solution : a) La valeur actuelle : VtN 200 000∗5∗20 a = V − e; e = 100 = = 200 000F . 100 a = 200 000 − 200 000 = 0F b) Je constate que sa valeur actuelle est nulle. Remarque : le calcul de la valeur actuelle à intérêts simples pose des problèmes quand la durée est longue. Ainsi, pour des dettes dont l’échéance est éloignée, on utilise l’escompte à intérêts composés. 2. Formule de l’escompte à intérêts composés : La valeur actuelle d’un effet de valeur nominale V échéant dans n années au le taux d’escompte i est : V0 ou Va ou a = V ∗ (1 + i)−n De ce fait, l’escompte à intérêts composés est donné par la relation : E = V − a = V[1 − (1 + i)−n ] 3. Applications : Autour de l’escompte à intérêts composés Application 01 : Calcul de l’escompte à intérêts composés. Un effet de valeur nominale 12 350 f échéant dans 15 mois est escompté à 7,5% . Quel est le montant de l’escompte à intérêts composés? Réponse : E=1 167,48 F. Application 02 : Calcul de la durée de l’escompte à intérêts composés. Un effet de valeur nominale 5 271,78 F est escompté à 5 000 F. Quelle est sa date d’échéance si le taux d’escompte est 9,50% l’an ? Intérêts composés.Réponse: n = 7 mois Application 3 : Calcul du taux d’escompte à intérêts composés. Un effet de valeur nominale 12 001,43 F est escompté à 11 256,37 F .Quel serait son taux d’escompte, à intérêts composés, si son échéance arrivait dans 10 mois ? Réponse : i = 0,08 Application 4 : Calcul de la valeur nominale à intérêts composés. Un effet a été escompté au taux de 8% l’an. L’escompte supporté est 4 597 311,155 f. Calculer la valeur nominale si l’échéance est dans 8 ans. Réponse : V=10 000 000F

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Application 5: Deux effets dont les valeurs nominales sont dans le rapport 3/7 ; échéant respectivement dans 5 ans et 7 ans ; sont escomptés au taux de 10% l’an. Les deux escomptes diffèrent de 20 435 913 F. Calculer les deux valeurs nominales. Solution : Appelons V1 et V2 les deux valeurs nominales respectives : V1 3 V1 V2 = ⇛ = 7 = k alors V1 = 3 ∗ k ; V2 = 7 ∗ k V 7 3 2

L’escompte du 1er effet est : E1 = V1 [1 − (1 + i)−n1 ] = 3 ∗ k[1 − 1,10−5 ] = 1,137236031 ∗ k L’escompte du 2eme effet est : E2 = V2 [1 − (1 + i)−n2 ] = 7 ∗ k[1 − 1,10−7 ] = 3,407893172 ∗ k Comme leur différence est 20 435 913 alors on aura : E2 − E1 = 20 435 913 . On tire : k = 9 000 000. D’où V1 = 27 000 000 f et V2 = 63 000 000 f

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II.

Equivalence d’effets à intérêts composés

1) Equivalence de deux effets ou deux capitaux Deux capitaux V1 et V2 d’échéance respectivement n1 et n2 sont dits équivalents si et seulement si, à une date quelconque (date d’équivalence), les deux capitaux auront la même valeur actuelle. L’équation d’équivalence à l’époque 0 s’écrit : 𝐕𝟏 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟏 = 𝐕𝟐 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟐 Exemple 1 : Calcul d’une valeur nominale On désire remplacer un règlement C1 = 20 000 F payable dans 2 ans, par un autre C2 échéant dans 4 ans. Calcule le montant C2 compte tenu d’un taux annuel d’escompte de 8%. Intérêts composés. Réponse : C2 =23 328F Exemple 2 : Détermination d’une échéance On décide aujourd’hui de remplacer un règlement C1 = 10 000 F payable dans 3 ans par un autre règlement C2 de 11 500 F. Taux d’escompte à intérêts composés 6%. À quelle date doit avoir lieu le règlement de remplacement ? Réponse n= 5ans4mois. Exemple 3 : Détermination d’un taux d’escompte. ……………………………………………………………….. 2) Equivalence d’un capital à un groupe de capitaux a) Échéance commune : On a un problème d’échéance commune lorsqu’on remplace à une date dite date d’équivalence plusieurs règlements ou capitaux par un seul règlement ou un seul capital. L’équation d’équivalence à l’époque 0 s’écrit : V(1 + i)−n = V1 (1 + i)−n1 + V2 (1 + i)−n2 + ⋯ + Vk (1 + i)−nk NB : n est l’échéance du règlement unique ou encore l’échéance commune. Application 01 : Un débiteur a contracté 4 dettes auprès du même créancier : ❖ 8 200 F payable dans 1 an 3 mois ; ❖ 9 600 F payable dans 2 ans 6 mois ; ❖ 7 800 F payable dans 3 ans 9 mois ; ❖ 10 600 F payable dans 5 ans. Préférant se libérer en une seule fois, il obtient de son créancier la possibilité de s'acquitter par un paiement unique dans 3 ans. Taux d’escompte annuel à intérêts composés 8%. a) Calcule le montant de ce paiement unique de deux manières différentes (en prenant d’abord l’époque 0 puis l’époque 2 comme date d’équivalence). M.SAMAKE.I

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b) Que remarques-tu ? Réponse : V=35 809F. Le nominal de l’effet unique reste inchangé. Conclusion : Dans un système à intérêts composés, l’équivalence de deux capitaux à une date donnée se conserve dans le temps. Donc, pour le remplacement de capitaux par un capital unique, la date d’équivalence n’est plus une contrainte et peut être choisie de façon pratique. Application 02 : Un débiteur doit s'acquitter des dettes suivantes : ➢ 3 200 € payables dans 1 an. ➢ 2 400 € payables dans 1 an et 6 mois. ➢ 3 690 € payables dans 2 ans et 9 mois. ➢ 6 000 € payables dans 4 ans. Il obtient de son créancier de se libérer de sa dette par un paiement unique dans 5 ans au taux annuel de 6 % à intérêts composés. 1) Calcule la valeur acquise correspondante. Réponse : 𝐶𝑛 = 17 550€ 2) Calcule la valeur actuelle correspondant à un paiement unique au bout de 5 ans. Réponse :𝑎 = 13 114€

Application 03 : Détermine l'échéance d'une dette de 4 983,245F destinée à remplacer les 3 dettes suivantes : ➢ 1 000F payable dans 6 mois ➢ 1 800F payable dans 18 mois ➢ 2 000F payable dans 30 mois NB : Tu appliqueras une capitalisation semestrielle avec taux semestriel de 6 %. Réponse : n= 4 semestres b) Échéance moyenne : On appelle échéance moyenne de plusieurs effets de commerce, l’échéance commune de ces effets, dans le cas où la valeur nominale de l’effet unique est égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacés. L’équation d’équivalence à l’époque 0 s’écrit : V(1 + i)−n = V1 (1 + i)−n1 + V2 (1 + i)−n2 + ⋯ + Vk (1 + i)−nk Avec : V = V1 + V2 + ⋯ + Vk et n l’échéance moyenne. Application 1 : (la date d’équivalence n’est pas donnée pour la question n°1 ; ainsi puisque nous sommes à intérêts composés nous pouvons prendre n’importe quelle date comme date d’équivalence) Une entreprise décide de régler les trois dettes suivantes : ➢ 50 000 F au 31/12/2010 ➢ 100 000 F au 31/06/2012 ; ➢ 400 000 F au 31/03/2015 par un seul règlement au 31/12/2020. M.SAMAKE.I

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Les calculs sont faits à intérêts composés. 1. Détermine le montant de ce règlement unique au taux de 8,5%. 2. Détermine l’échéance moyenne des trois règlements. Réponses : V=952 518F ; n = 3,27 ans = 3ans 3mois 6 jours Soit : le 07/04/2014

Application 2 : Soit un capital unique qui viendrait en remplacement de ces capitaux respectifs 100 ;45 et 120 euros échéant respectivement dans 2 ; 1 et 3 ans. Taux annuel d’escompte à intérêts composés 10%. Détermine l’échéance moyenne de ces trois effets. 3) Equivalence de deux groupes d’effets ou de capitaux Deux goupes d’effets sont équivalents à une date donnée si escomptés au même taux et dans les mêmes conditions à cette date, la somme des valeurs actuelles commerciales des effets du premier groupe est égale à la somme des valeurs actuelles commerciales des effets du second groupe. Equation d’équivalence à la date 0 : Soit un premier groupe d’effets (E1 ; E2 et E3) et un second groupe (E4 ; E5; E6 et E7) . Nous dirons que (E1 ; E2 et E3) est équivalent à (E4 ; E5; E6 et E7) si et seulement si : a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 + a7 ou

𝐕𝟏 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟏 + 𝐕𝟐 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟐 + 𝐕𝟑 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟑 = 𝐕𝟒 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟒 + 𝐕𝟓 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟓 + 𝐕𝟔 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟔 + 𝐕𝟕 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟕 Equation d’équivalence à une époque quelconque p : 𝐕𝟏 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟏 + 𝐕𝟐 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟐 + 𝐕𝟑 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟑 = 𝐕𝟒 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟒 + 𝐕𝟓 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟓 + 𝐕𝟔 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟔 + 𝐕𝟕 (𝟏 + 𝐢)𝐩−𝐧𝟕 Applications : Application 01: Soit un groupe de trois effets escomptés intérêts composés à 7,5% le même jour de valeurs nominales : ➢ V1 = 32 500F payable dans 5 ans ➢ V2 =41 449F payable dans 7 ans ➢ Et V3 = 56 000 F payable dans 9 ans Soit un second groupe de trois autres effets escomptés le même jour et dans les mêmes conditions de valeurs nominales : ➢ V4 = 35 800F payable dans 7 ans. ➢ V5 =51 500F payable dans 9 ans

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➢ Et V6 = 62 900F payable dans 11 ans. Travail à faire : 1) Calcule la valeur actuelle commerciale des effets du 1er groupe. Réponse :a=76 830F. 2) Calcule la valeur actuelle commerciale des effets du second groupe. Réponse :a=76 830F 3) Ces deux groupes sont-ils équivalents ? Application : Un débiteur et son créancier s’entendent pour liquider (régler définitivement) les dettes suivantes : 1.000 francs payable dans 2 ans ; 3.107 francs payable dans 3 ans ; 2.000 francs payable dans 4 ans ; 3.000 francs payable dans 6 ans . Il est convenu que le débiteur procédera à un premier paiement de 5.000 francs dans 3 ans et soldera définitivement cet encours par un second payement qui aura lieu 2 ans après le premier. Taux d’escompte à intérêts composés 6% l’an. T.A.F : Détermine le montant du second paiement. 4) Applications économiques : achats ou ventes à crédit Dans le commerce, lorsqu’un acheteur n’est pas en mesure de payer le prix d’une marchandise au comptant, le vendeur peut lui proposer de payer une partie au comptant et le reste sous forme de traites annuelles, mensuelles, etc. le jour de l’achat, l’équation d’équivalence peut s’écrire : 𝐏𝐂 = 𝐒𝐀 + 𝐬𝐨𝐦𝐦𝐞 𝐝𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫𝐬 𝐚𝐜𝐭𝐮𝐞𝐥𝐥𝐞𝐬. On peut retenir la formule suivante : 𝐏𝐂 = 𝐒𝐀 + 𝐕𝟏 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟏 + 𝐕𝟐 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝟐 + ⋯ + 𝐕𝐤 (𝟏 + 𝐢)−𝐧𝐤 PC : prix au comptant ; SA : somme avancée ; V1 ;V2 ; … … . ; Vk les valeurs nominales respectives des traites et n1 ; n2 ; … … . . ; nk leur échéances respectives. Application : L’acquisition d’un matériel de transport peut être possible selon les modalités qui suivent: Première modalité : paiement comptant de 7 000 000 francs. Deuxième modalité : paiement d’une somme S puis règlement du solde en trois traites de valeurs nominales respectives 2 435 000F dans 1an ; 2 500 000F dans 2ans ;2 600 000F dans 3ans.taux d’escompte :8,4% Troisième modalité : paiement d’une somme 2 039 779F puis règlement du solde en trois traites de valeurs nominales respectives 𝑉1 dans 1an et demi ; 3 250 000F dans 2ans et demi taux d’escompte :8,4% Quatrième modalité : paiement d’une somme 2.918.961F puis règlement du solde en deux traites de valeurs nominales respectives 3 625 000F dans 4ans ; 4 531 250F dans 8ans. NB : Les deuxième, troisième et quatrième modalité sont équivalentes à la première à intérêts composés. M.SAMAKE.I

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Travail à faire : 1) Détermine cette somme S de la deuxième modalité. Réponse : S= 584 932F 2) Détermine cette valeur nominale V1 de la troisième modalité. Réponse : V1 = 2 600 000F 3) Détermine le taux d’escompte de cette opération concernant la troisième modalité. Réponse i=0,1225.

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