Notes de Cours.structure Avril 2013 [PDF]

Zitiervorschau

Université du Québec

École de technologie supérieure Département de génie de la construction 1100 rue Notre-Dame Ouest, Montréal, Québec, H3C 1K3

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

Professeurs : Omar Chaallal Marie-José Nollet Amar Khaled

Rédigé: 1992-08 Révisé : 2013-04

AVANT PROPOS

Ces notes de cours sont destinées aux étudiants du premier cycle du département de génie de la Construction de l’École de Technologie Supérieure, Université du Québec, Montréal. Elles sont sujettes à ajustements périodiques. De par leur nature, ces notes ne peuvent constituer un travail tout à fait original. Elles sont plutôt un travail de sélection et de présentation. Les auteurs sont pleinement conscients de cet état de fait. Aussi, ils expriment leur reconnaissance aux auteurs de différentes sources citées qui ont été consultées pour l’élaboration de ces notes de cours. Les auteurs tiennent à remercier les différents chargés de cours ayant utilisé ces notes de cours et qui par leurs commentaires toujours pertinents ont contribué à en améliorer la qualité. Des remerciements tout particuliers sont adressés à Mme Karine Lefebvre, M. Bertrand Galy et M. Sylvain Martin.

Omar Chaallal Marie-José Nollet Amar Khaled Auteurs

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

TABLE DES MATIÈRES

AVANT PROPOS TABLE DES MATIERES

i

CHAPITRE 1 INTRODUCTION A L’ANALYSE DES STRUCTURES 1.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 1-1

1.2

TYPES DE STRUCTURES ......................................................................................... 1-3

1.3

1.4

1.5

1.6

1.2.1

Éléments structuraux de base ................................................................... 1-5

1.2.2

Unités structurales de base ....................................................................... 1-9

MATERIAUX UTILISES EN CONSTRUCTION ET LEURS CARACTERISTIQUES ............ 1-11 1.3.1

L'acier de construction ........................................................................... 1-11

1.3.2

Le béton armé ........................................................................................ 1-12

1.3.3

Le bois de construction .......................................................................... 1-15

1.3.4

Formes, épaisseurs et portées des éléments structuraux ........................ 1-15

ASPECTS DE L’ANALYSE ET DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES ..................... 1-17 1.4.1

Reprise des charges verticales et horizontales ....................................... 1-18

1.4.2

Stabilité des structures ........................................................................... 1-25

1.4.3

Stabilité statique – Structures isostatiques et hyperstatiques ................ 1-26

1.4.4

Formes d’hyperstaticité statique et degrés d’hyperstaticité ................... 1-26

1.4.5

Rappel sur les efforts internes ................................................................ 1-32

CRITERES D’ANALYSE ET DE VERIFICATION DES STRUCTURES ............................ 1-34 1.5.1

Résistance .............................................................................................. 1-34

1.5.2

Déformations.......................................................................................... 1-35

1.5.3

Stabilité structurale ................................................................................ 1-37

MODELISATION D’UNE STRUCTURE ..................................................................... 1-39 1.6.1

Modélisation des appuis (dans le plan) .................................................. 1-40

1.6.2

Modélisation des liaisons (joints) .......................................................... 1-42 i

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

1.7

1.6.3

Modélisation des éléments structuraux .................................................. 1-43

1.6.4

Modélisation des structures.................................................................... 1-45

NORMES DE CALCUL…………………………………………………………....1-49

CHAPITRE 2 CHARGES 2.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 2-1

2.2

LE DEVELOPPEMENT HISTORIQUE DES PROCEDURES DE CONCEPTION ................... 2-1 2.2.1

Les règles du pouce et les premières réglementations ............................. 2-1

2.2.2

Évaluation des charges et prototypes ....................................................... 2-2

2.3

LES TYPES DE CHARGES DU CNB .......................................................................... 2-3

2.4

COMBINAISONS DE CHARGES ................................................................................ 2-5 2.4.1

États limites de service............................................................................. 2-6

2.4.2

États limites ultimes ................................................................................. 2-7

2.5

CHARGE PERMANENTE D (4.1.4 DU CNB) ............................................................ 2-8

2.6

LES SURCHARGES DUES A L’USAGE (4.1.5 DU CNB) ............................................. 2-9 2.6.1

Nature des surcharges L ........................................................................... 2-9

2.6.2

Réduction de la surcharge répartie uniformément ................................. 2-11

2.7

SURCHARGE DUE A LA NEIGE, A LA GLACE ET A LA PLUIE (4.1.6 DU CNB) ......... 2-14

2.8

SURCHARGES DUES AU VENT (W) (CNB 4.1.7) ................................................... 2-24

2.9

2.8.1

Introduction ............................................................................................ 2-24

2.8.2

Méthode simplifiée du CNB .................................................................. 2-26

2.8.3

Applications ........................................................................................... 2-29

SURCHARGE DUE AUX SEISMES (E) (4.1.8 DU CNB) ........................................... 2-34 2.9.1

Introduction ............................................................................................ 2-34

2.9.2

Force sismique totale ............................................................................. 2-35

2.9.3

Distribution des forces latérales (CNB 4.1.8.11 (6)) ............................. 2-40

ii

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

CHAPITRE 3 STRUCTURES ISOSTATIQUES PLANES 3.1

INTRODUCTION ............................................................................................... 3-1

3.2

STRUCTURES FORMÉES DE POUTRES (RAPPEL) ...................................... 3-2

3.3

3.4

3.5

3.2.1

Réactions d'appui ..................................................................................... 3-2

3.2.2

Efforts internes - Diagrammes des efforts internes.................................. 3-4

3.2.3

Les portiques .......................................................................................... 3-11

3.2.4

Cas particulier des membrures inclinées................................................ 3-13

TREILLIS PLANS (RAPPEL) .......................................................................... 3-21 3.3.1

Méthode des noeuds ............................................................................... 3-21

3.3.2

Méthode des sections ............................................................................. 3-25

ARCHES ET PORTIQUES À TROIS ARTICULATIONS .............................. 3-29 3.4.1

Calcul des réactions d'appui ................................................................... 3-31

3.4.2

Efforts internes et Diagrammes DEN, DET, DMF ................................ 3-32

3.4.3

Arche travaillant en compression pure .................................................. 3-33

3.4.4

Applications ........................................................................................... 3-35

CÂBLES ............................................................................................................ 3-47 3.5.1

Analyse des câbles sous charges concentrées ........................................ 3-47

3.5.2

Analogie poutre-câble ............................................................................ 3-55

3.5.3

Câbles sous charge uniformément répartie ............................................ 3-61

CHAPITRE 4 CALCUL DES DÉPLACEMENTS ET ROTATIONS 4.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 4-1

4.2

PRINCIPE DE CONSERVATION D’ENERGIE POUR LES CORPS DEFORMABLES ............ 4-3 4.2.1

Travail des forces externes....................................................................... 4-3

4.2.2

Travail des forces internes (énergie de déformations internes) ............... 4-4

4.2.3

Principe de la conservation d'énergie ....................................................... 4-6

4.2.4

Application ............................................................................................... 4-7

iii

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

CHAPITRE 4 (SUITE) CALCUL DES DÉPLACEMENTS ET ROTATIONS 4.3

4.4

4.5

METHODE DE LA CHARGE VIRTUELLE ................................................................... 4-9 4.3.1

Définitions................................................................................................ 4-9

4.3.2

Exposé de la méthode ............................................................................ 4-11

4.3.3

Méthode de la charge unité .................................................................... 4-12

4.3.4

Intégrales de Mohr ................................................................................. 4-11

APPLICATIONS AUX POUTRES, CADRES ET STRUCTURES MIXTES ......................... 4-11 4.4.1

Poutres et cadres .................................................................................... 4-15

4.4.2

Structures avec éléments en flexion et efforts axiaux ............................ 4-15

CAS DES STRUCTURES EN TREILLIS ..................................................................... 4-31

CHAPITRE 5 LIGNES D’INFLUENCE 5.1

GÉNÉRALITÉS ET DÉFINITION ..................................................................... 5-3

5.2

LDI DES RÉACTIONS D’APPUI, EFFORTS TRANCHANTS ET MOMENT FLÉCHISSANTS DE SYSTÈMES ISOSTATIQUES SIMPLES ....................... 5-3 5.2.1

LdI des réactions d'appui ......................................................................... 5-3

5.2.2

LdI de l'effort tranchant ........................................................................... 5-3

5.2.3

LdI d'un moment fléchissant MC ............................................................. 5-5

5.3

LDI DES FORCES DANS LES BARRES D’UN TREILLIS ............................ 5-11

5.4

LIGNES D’INFLUENCE PAR LE PRINCIPE DE MÜLLER-BRESLAU ...... 5-17 5.4.1 Principe des travaux virtuels .................................................................. 5-17

5.5

5.4.2

Réaction d'une poutre simple ................................................................. 5-17

5.4.3

Effort tranchant en un point C d'une poutre simple ............................... 5-19

5.4.4

Moment fléchissant en un point C d'une poutre simple ......................... 5-21

5.4.5

Poutre sur trois appuis, LdI de la réaction intermédiaire ....................... 5-23

EXPLOITATION DES LDI............................................................................... 5-26 5.5.1

Valeur d'un effet élastique ..................................................................... 5-30

5.5.2

Maximum absolu ................................................................................... 5-35

iv

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

CHAPITRE 6 MÉTHODE DE SUPERPOSITION HYPERSTATIQUES

POUR

L’ANALYSE

DES

SYSTÈMES

6.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 6-1

6.2

PRINCIPE DE SUPERPOSITION ................................................................................. 6-1

6.3

METHODE DE SUPERPOSITION (OU DE DEPLACEMENTS CONSISTANTS) .................. 6-4

6.4

6.3.1

Introduction .............................................................................................. 6-4

6.3.2

Application à une poutre hyperstatique d’ordre 1.................................... 6-6

6.3.4

Application aux cadres hyperstatiques................................................... 6-22

6.3.4

Application générale (d supérieur ou égal à 1) ...................................... 6-26

APPLICATION AUX TREILLIS ................................................................................ 6-36 6.4.1

Treillis hyperstatiques extérieurement (Fig.6.11) .................................. 6-37

6.4.2

Treillis hyperstatiques intérieurement (Fig.6.13)................................... 6-41

6.4.3

Treillis hyperstatiques intérieurement et extérieurement (Fig.6.16) ...... 6-53

CHAPITRE 7 MÉTHODE DES ROTATIONS 7.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 7-1

7.2

CALCUL DES ROTATIONS D’UN ELEMENT DE POUTRE CONTINUE ........................... 7-4

7.2.1

EFFET DES CHARGES VERTICALES ......................................................................... 7-7 7.2.2

Effet du moment de continuité MAB....................................................... 7-8

7.2.3

Effet du moment de continuité MBA....................................................... 7-8

7.3

DEPLACEMENT RELATIF DES APPUIS ................................................................... 7-10

7.4

MOMENTS D’ENCASTREMENT ............................................................................. 7-11

7.5

ÉQUATIONS FINALES DE LA METHODE DES ROTATIONS ....................................... 7-12

7.6

POUTRE ARTICULEE A UNE EXTREMITE ............................................................... 7-13

7.7

ÉTAPES D’ANALYSE ............................................................................................ 7-14

7.8

EXEMPLES D’APPLICATION .................................................................................. 7-15

v

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

CHAPITRE 8 ANALYSE MATRICIELLE DES STRUCTURES 8.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 8-1 8.1.1

Considérations générales ......................................................................... 8-1

8.1.2

Méthodes matricielles pour l'analyse des structures ................................ 8-1

8.2

EXPOSE DE LA METHODE DE RIGIDITE ................................................................... 8-3

8.3

METHODE MATRICIELLE DE RIGIDITE POUR ELEMENT POUTRE AVEC ROTATIONS INCONNUES SEULEMENT ........................................................................................ 8-5

8.3.1

Matrice élémentaire pour élément poutre avec rotations inconnues seulement ................................................................................................. 8-5

8.3.2

Assemblage d’éléments poutres avec rotations inconnues seulement ..... 8-6

8.3.3

Étapes de calcul pour poutre ou portique avec rotations comme inconnues ................................................................................................. 8-9

8.3.4 8.4

8.5

Exemples d’applications avec rotations inconnues seulement .............. 8-10

ANALYSE MATRICIELLE D’UN TREILLIS ............................................................... 8-19 8.4.1

Élément barre de treillis ......................................................................... 8-19

8.4.2

Transformation d’un élément barre de treillis ....................................... 8-20

8.4.3

Étapes de la méthode matricielle de rigidité pour les treillis ................. 8-25

8.4.4

Analyse d’un treillis ............................................................................... 8-27

MATRICE DE RIGIDITE ELEMENTAIRE GENERALE................................................. 8-33 8.5.1

Dérivation des coefficients de rigidité ................................................... 8-33

8.5.2

Matrice élémentaire d’un élément poutre avec tous les déplacements aux noeuds ............................................................................................. 8-37

8.6

TRANSFORMATIONS ............................................................................................ 8-38

8.7

ASSEMBLAGE DE LA MATRICE DE RIGIDITE GLOBALE [K] ................................... 8-42

8.8

ÉTAPES DE LA METHODE MATRICIELLE DE RIGIDITE ............................................ 8-45

8.9

APPLICATIONS .................................................................................................... 8-47 8.9.1

Poutre ou portique avec translations et rotations comme inconnues ..... 8-47

8.9.2

Analyse d’un portique ............................................................................ 8-52

8.10

METHODE DE RESOLUTION DE {F} = [K] {D} .................................................... 8-55

8.11

PROGRAMMATION ............................................................................................... 8-56 vi

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

CHAPITRE 9 MÉTHODE DE DISTRIBUTION DES MOMENTS 9.1

INTRODUCTION ..................................................................................................... 9-1

9.2

EXPOSE DE LA METHODE ....................................................................................... 9-3

9.3

9.2.1

Moment d'encastrement ........................................................................... 9-5

9.2.2

Raideur d'une barre .................................................................................. 9-5

9.2.3

Coefficient de transmission Cij ................................................................ 9-9

9.2.4

Coefficient de distribution dij ................................................................ 9-11

APPLICATION AUX STRUCTURES HYPERSTATIQUES SANS TRANSLATION HORIZONTALE DES NŒUDS (SWAY) ..................................................................... 9-17

9.4

9.3.1

Procédure générale ................................................................................. 9-17

9.3.2

Structures à console ou porte-à-faux...................................................... 9-25

9.3.3

Structures symétriques ........................................................................... 9-27

APPLICATION AUX STRUCTURES HYPERSTATIQUES AVEC TRANSLATION HORIZONTALE DES NŒUDS (SWAY) ..................................................................... 9-35

9.4.1

Principe de la méthode ........................................................................... 9-35

9.4.2

Procédure pratique ................................................................................. 9-37

9.4.3

Introduction aux cadres multi-étagés (multiple sway) ........................... 9-44

CHAPITRE 10 MÉTHODES APPROXIMATIVES 10.1

INTRODUCTION ................................................................................................... 10-1

10.2

METHODE DE PORTIQUE (« PORTAL »)................................................................ 10-1

10.3

METHODE DE LA CONSOLE (« CONSOLE ») ......................................................... 10-7

vii

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

ANNEXE A

EXEMPLES DE DET, DEN ET DMF

ANNEXE B

FIGURES EXTRAITES DU CNBC 2005 POUR LE CALCUL DES CHARGEs

ANNEXE C

INTEGRALES DE MOHR

ANNEXE D

MOMENTS D'ENCASTREMENT ET REACTIONS

ANNEXE E

EXERCICES ADDITIONNELS

ANNEXE F

SERIES D'EXERCICES

viii

CHAPITRE 1

INTRODUCTION À L’ANALYSE DES STRUCTURES

Dans ce chapitre, nous introduirons tous les aspects que touche l’analyse des structures. Nous définirons les différentes structures utilisées en construction et leurs composantes en mettant l’emphase sur leur mode de travail. Nous aborderons les notions d’efforts internes et de stabilité structurale. Finalement, nous passerons en revue les différents critères et étapes du dimensionnement et de l’analyse structurale.

CTN-408

1.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

INTRODUCTION

Les structures peuvent être construites pour différents usages. Les structures les plus communes sont celles des bâtiments et des ponts. Les constructions telles les barrages, réservoirs, conduits, tunnels, etc. en sont d’autres exemples. La structure d’une construction est une entité physique constituée d’un assemblage d’éléments structuraux. Ces derniers ont pour fonction de transmettre les charges résultant de l’utilisation et/ou de la présence de l’édifice sur le sol tout en maintenant la forme et la stabilité de la construction. La conception d’une structure doit répondre à plusieurs critères. Nous pouvons citer : • • • • • •

Stabilité Résistance et rigidité Économie Esthétique Protection de l’environnement Matériaux et main-d’œuvre disponibles

1-1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 1.1 – Différents types de structures

1-2

Chapitre 1

CTN-408

1.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

TYPES DE STRUCTURES

Une structure est généralement un assemblage d’unités structurales de base, lesquelles sont composées d’éléments de base. Les éléments structuraux de base les plus utilisés en construction sont les poutres, les poteaux (ou colonnes), les cadres, les treillis, les arches, les câbles, les dalles et les coques. Ces éléments structuraux peuvent être utilisés dans les bâtiments (Fig.1.1a), les ponts (Fig.1.1b), ou les constructions spéciales telles les structures suspendues (Fig.1.1c), les coques (Fig.1.1d) et les membranes (Fig.1.1e). Une façon de classifier les types de structures est donc de caractériser les éléments de base la constituant en fonction de leur géométrie et leur rigidité. Les éléments représentés à Figure 1.1 peuvent être identifiés comme éléments linéaires (colonne, poutre, câble) ou comme éléments surfaciques (plaque, membrane, coque). Dans chacune des catégories, on distingue les éléments droits et des éléments courbes. Une deuxième classification fondamentale est basée sur la rigidité, ou raideur, caractérisant l’élément structural. Un élément est soit rigide ou flexible. Les éléments rigides, comme une poutre, sont ceux ne subissant pas de déformations importantes sous l’effet d’un chargement ou d’une modification du chargement. Ces éléments fléchissent ou plient légèrement sous l’action des charges (Fig. 1.2a).

a) Structure rigide (ex. poutre). La configuration de la poutre change peu lorsque le chargement est modifié.

b) Structure flexible (ex. câble). La configuration du câble change lorsque le chargement est modifié.

Fig. 1.2 - Structures rigides et flexibles (Schodek, 1998)

Par opposition, des éléments flexibles, comme un câble, sont ceux dont la configuration change de façon drastique lorsque la nature des charges est modifiée (Fig. 1.2b). Les structures flexibles conservent cependant leur intégrité physique.

1-3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Systèmes dans une ou deux directions - On peut aussi distinguer les types de structures en fonction du système de support utilisé et la relation entre la structure et les points d’appui disponibles. Les deux classifications possibles sont : les systèmes portant dans une direction et les systèmes portant dans deux directions. Dans les systèmes à une direction, les charges sont transférées vers le sol dans une seule direction. Une poutre supportée sur deux appuis est un exemple de système à une direction (Fig. 1.3). Dans un système à deux directions, le mécanisme de transfert des charges est plus complexe, mais implique toujours deux directions. La Figure 1.3 illustre deux exemples de systèmes à deux directions; soit deux éléments croisés portant chacun sur deux appuis différents ou une plaque rigide carrée reposant sur des appuis continus sur les quatre côtés.

Système portant dans une direction

Poutre

Système portant dans deux directions

Plaque

Poutres

Fig. 1.3 - Types d’éléments structuraux (Source : Schodek, 1998)

1-4

Plaque

CTN-408

1.2.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Éléments structuraux de base

a) Poutres et colonnes Les structures poutres-colonnes sont formées d’éléments rigides horizontaux (poutres) reposant sur des éléments verticaux (colonnes). Les poutres « reprennent » les charges appliquées transversalement à leur longueur et les transfèrent vers les poteaux. Les poutres supportent les charges en développant des moments fléchissants et des efforts de cisaillement à différentes sections. Le transfert des charges aux appuis de la poutre se fait dans une seule direction appelée sens de portée (Fig.1.4). Les poutres peuvent être simples ou continues (Fig.1.5). Les poutres continues sont généralement plus économiques, mais sont plus sensibles aux tassements différentiels d'appuis. Les colonnes supportent des charges axiales en développant des efforts de compression pour transférer les charges vers le sol.

Fig. 1.4 - Sens de portée des poutres

1-5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

(a) Types de poutres

(b) Schématisation poutres simples

(c) Schématisation poutre continue

Fig. 1.5 - Classification des poutres selon leurs appuis b) Treillis Les structures en treillis sont composées de barres droites formant des triangles. Les treillis supportent les charges appliquées en développant des forces axiales dans les barres. Elles sont généralement plus économiques que les poutres pour des portées moyennes. c) Cadres Les cadres (Fig.1.6a) sont des structures formées de poutres et de colonnes et sont utilisés dans les constructions multi-étages. Les cadres dont les joints entre les poutres et les colonnes sont rigides sont identifiés comme cadres rigides. Les poutres et les colonnes d’un cadre supportent les charges en développant des moments fléchissants, des efforts

1-6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

de cisaillement et des efforts axiaux à différentes sections. Dans le cas des édifices multiétages, ces structures ne sont pas très résistantes aux forces latérales (exemple : vent, tremblement de terre) et de ce fait sont souvent associées à des contreventements divers (Fig.1.6b) et à des murs de refend (Fig.1.6c).

(a)

(b) Fig. 1.6 - Cadres

(c)

d) Arches Les arches sont des structures utilisées pour relier les versants d'ouvertures profondes (Fig.1.7) (exemple : gorges). Les arches à courbure prononcée supportent les charges appliquées en développant principalement des contraintes de compression et de ce fait elles peuvent être construites avec des matériaux dont la résistance est élevée en compression, mais faible en traction (exemple : maçonnerie).

Fig. 1.7 - Arche 1-7

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

e) Câbles Les câbles sont des éléments flexibles. La configuration qu’ils adoptent sous l’effet d’un chargement dépend de la nature et de la grandeur de ce chargement. Les câbles sont utilisés dans des structures à grande portée tels les ponts ou toits suspendus (Fig.1.8). Les câbles supportent les charges en développant des forces axiales de traction.

Fig. 1.8 - Toit suspendu f) Dalles Les dalles sont utilisées pour couvrir un plancher et reposent soit sur des poutres (Fig.1.9a), soit directement sur des colonnes (Fig.1.9b). Les dalles supportent les charges en développant non seulement des moments fléchissants, mais aussi des forces axiales et de cisaillement.

Fig. 1.9 - Dalle

1-8

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

g) Coques Les coques sont des structures ayant une surface courbée. Elles peuvent être de différentes formes (Fig.1.10). Elles sont généralement utilisées pour reprendre les charges de surface telles les pressions de liquide et de gaz. Leur analyse est complexe et leur érection demande des moyens spécialisés.

Fig. 1.10 - Différentes formes de coques

h) Membranes Les membranes sont des structures flexibles, légères et de formes variées. Elles supportent les charges appliquées en développant des forces de traction multiaxiales. 1.2.2

Unités structurales de base

Alors que plusieurs des éléments de base présentés à la section précédente peuvent être utilisés comme structures, il est évident que certains d’entre eux doivent être combinés à d’autres pour créer des structures comprenant ou formant un volume. C’est pour cette raison que les structures utilisées dans les édifices sont souvent distinctes des structures utilisées à d’autres fins. Les édifices sont typiquement des structures volumétriques. Les ponts, par exemple, sont typiquement des structures utilisées pour former ou supporter des surfaces linéaires.

1-9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Pour former des structures volumétriques, on a recours à des unités structurales de base (Fig.1.1). Par exemple, quatre colonnes supportant une surface rigide plane à ses quatre coins forment une unité de base. Ces unités peuvent ensuite être superposées pour former des unités volumétriques.

1-10

CTN-408

1.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

MATÉRIAUX UTILISÉS EN CONSTRUCTION ET LEURS CARACTÉRISTIQUES

Plusieurs types de matériaux sont présentement utilisés dans la construction des structures. Toutefois, les matériaux de base les plus répandus restent l'acier de construction, le béton armé et le bois. 1.3.1

L'acier de construction

Les descriptions des caractéristiques chimiques et mécaniques des aciers de construction sont présentées dans la norme ACNOR G.40.21-04 intitulée Acier de construction.. Les propriétés physiques mécaniques des aciers de construction sont comme suit : Contrainte élastique

fy = 230 à 700 MPa

Contrainte ultime

fu = 400 à 800 MPa

Module d'élasticité en traction

E = 200 GPa

Module de cisaillement

G = 77 GPa

Coefficient de poisson

υ = 0,30

Coefficient de dilatation

α = 11,7 ×10-6/°C

Masse volumique

ρ = 7850 kg/m3

B

B

B

B

P

P

P

P

L'acier de construction le plus utilisé est celui dessiné par G40.21.M.350W. Il possède une contrainte élastique fy = 350 MPa et contrainte ultime fu = 450 à 600 MPa. La courbe typique contrainte-déformation de l'acier est présentée à la Fig.1.11a. B

B

B

B

L'acier présente des avantages reliés à sa rigidité (E) et sa résistance (fy) élevées et sa grande ductilité caractérisée par une grande déformation sans perte de résistance (voir Fig.1.11a). Il présente également des inconvénients reliés à sa masse volumique (ρ) élevée ainsi qu'à sa mauvaise résistance à la chaleur et contre la corrosion. B

1-11

B

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Fig. 1.11 - Courbes contraintes – déformations typiques 1.3.2

Le béton armé

Les descriptions des propriétés mécaniques du béton et de l'acier des barres d'armature sont données dans la norme ACNOR A23.3-04 intitulée Calcul des ouvrages en béton. Les propriétés physiques et mécaniques essentielles du béton sont : Résistance à la compression

f'c = 20 à 50 MPa(a)

Résistance à la traction

ft = 0,4

B

B

B

P

f c' (MPa)

B

Module d'élasticité (pour béton de densité E = 4500 c normale soit 2300 kg/m3) B

f c' (MPa)

B

Coefficient de Poisson

υ ≃ 0,25

Coefficient de dilatation

α ≃ 10 × 10-6/°C ρ = 2300 kg/m3 P

Masse volumique

P

P

P

P

P

(a) des bétons à haute résistance ayant f'c ≃ 150 MPa sont produits, mais ne sont pas encore normalisés. P

B

B

Le béton commercial le plus utilisé est celui ayant les caractéristiques suivantes : f'c = 35 MPa B

B

Ec = 26600 MPa B

ft = 2,37 MPa B

B

B

La courbe typique contrainte-déformation du béton est présentée à la Fig.1.11b.

1-12

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Les avantages du béton sont liés à son prix assez bas, sa disponibilité, sa souplesse d'utilisation, sa résistance au feu et son entretien facile. Ses inconvénients sont liés à son poids relativement élevé, sa faible résistance à la traction et sa fragilité (ou manque de ductilité). Il faut remarquer que l'association béton/armature permet de pallier à certains de ces inconvénients. Les barres d'armature les plus courantes sont crénelées et ont une contrainte élastique fy ≃ 400 à 450 MPa et un module d'élasticité E ≃ 200 GPa. Elles sont normalisées et leurs diamètres varient entre 11,3 mm (barre 10 M) à 56,4 mm (barre 55 M). B

B

1.3.3

Le bois de construction

Les propriétés physiques et mécaniques du bois de construction dépendent de l'essence du bois. Pour les bois de construction habituels (solives et madriers), les valeurs moyennes utilisées pour le calcul des structures en bois sont :

Contrainte limite ultime en traction

ftu = 52,4 MPa

Contrainte élastique en compression

fcy = 21,4 MPa

Contrainte limite ultime en compression

fcu = 36,9 MPa

Module d'élasticité en traction

Et = 8480 MPa

Module d'élasticité en compression

Ec = 7300 MPa

Masse volumique

ρ = 350 à 750 kg/m3

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

P

P

Des courbes typiques contrainte-déformation en traction et en compression sur échantillons de bois de construction (pin blanc) sont présentées à la Fig.1.12 (a). Le degré d'humidité du bois influence fortement les caractéristiques mécaniques du bois comme illustré à la Fig.1.12(b). Le bois présente plusieurs avantages en tant que matériau de construction, il n'est pas corrosif, il est léger, facile à assembler (clouage, collage, boulonnage, etc.) et peu coûteux. Il présente également des inconvénients liés à la disparité de ses propriétés mécaniques (anisotropie) et à la limitation de son utilisation aux structures ne supportant pas des charges importantes.

1-13

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Fig. 1.12 - Courbes contrainte-déformation typiques du bois (Source : Keenan, 1985)

1-14

CTN-408

1.3.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Formes, épaisseurs et portées des éléments structuraux

La forme des éléments structuraux dépend à la fois du matériau de construction (bois, acier, béton), et des efforts agissant sur les éléments. Par exemple, une poutre résistant à des efforts de flexion pourra avoir une section en I si elle est en acier, rectangulaire si elle est en béton armé coulé en place ou en bois et en T si elle est en béton préfabriqué comme illustré à la figure suivante.

La section des éléments structuraux est également choisie en fonction des charges et des portées en jeu. Pour une section donnée, l'épaisseur de l'élément structural dépend essentiellement de la portée L.

1-15

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Forces de vent ou de séisme

Renversement

Glissement

Chapitre 1

Charges de gravité

Mouvement latéral

Torsion

Rupture des membrures

TYPES D’EFFONDREMENT

Fondations épaisses

Prévention du renversement ou du glissement

Diagonales

Joints rigides (Cadre)

Murs de refend

Prévention des mouvements latéraux et de la torsion

Grossir membrures

Prévention de la rupture des membrures

MODES DE PRÉVENTION

Fig. 1.13 - Ruptures reliées à la stabilité d’ensemble et modes de prévention (Source : Schodek, 1998)

1-16

CTN-408

1.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

ASPECTS DE L’ANALYSE ET DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES

Dans un projet de construction, l'ingénieur en structure sera, en général, appelé à : (1) choisir le type de matériau de la structure; (2) déterminer les charges appliquées sur la structure; (3) concevoir les dimensions des éléments structuraux. Avant de pouvoir compléter l’ensemble de ces étapes il est nécessaire de connaître la géométrie de la structure. Pour les bâtiments cette géométrie est fournie par les plans d’architecture (hauteur des étages, longueur des baies, ouvertures, etc.), alors pour que pour les ponts le plan de localisation et d’arpentage donnent les informations principales. Le choix sera fonction de l’efficacité structurale (résistance et sécurité), de l’économie et de l’esthétique. Le schéma suivant illustre le processus de conception, d’analyse et de dimensionnement.

L’analyse vise entre autres à vérifier la stabilité, la résistance et les déformations de la structure. Les charges appliquées sur les structures peuvent causer le glissement ou le renversement de la structure dans son ensemble, ou l’effondrement interne des éléments. Un nombre limité d’éléments peut aussi se casser ou se déformer de façon excessive. Les forces engendrant le renversement ou l’effondrement d’une structure sont le vent, les tremblements de terre, l’occupation ou le poids propre de la structure. Les charges appliquées engendrent des efforts internes dans la structure résultant en contraintes dans le matériau utilisé lesquelles peuvent entraîner sa rupture ou sa déformation. Les modes de rupture les plus fréquents sont reliés à : La stabilité d’ensemble - La rupture d’une structure peut survenir par renversement, glissement ou torsion par rapport à la base lorsqu’elle est soumise à des charges de vent ou de séisme. (Fig. 1.13)

1-17

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

La stabilité interne ou interélément – Si des éléments de la structure ne sont pas positionnés correctement dans l’espace ou ne sont par reliés de façon appropriée, une partie entière de la structure peut s’effondrer. Ces types d’effondrement impliquent généralement des déplacements relatifs importants entre les éléments. Résistance et rigidité des éléments de base – Ces ruptures, pouvant résulter ou non en l’effondrement total de la structure, peuvent être causées par les efforts excessifs de tension, compression, flexions, cisaillement, torsion, écrasement ou des déformations excessives. 1.4.1

Reprise des charges verticales et horizontales

Lors de l’analyse et du dimensionnement d’une construction il est essentiel de reconnaître le mode de transmission des charges à travers les éléments de la structure, de leur point d’application jusqu’à la fondation. L’ingénieur s’assurera que chacun des éléments structuraux constituant la structure ne reprend que les sollicitations qu’il est apte à supporter. 1.4.1.1 Concept général Les unités structurales constituant une structure sont fabriquées en combinant les éléments structuraux de base (Fig. 1.4a). À l’intérieur de l’unité structurale, on distingue le système de support horizontal, le système de support vertical, et le système de support latéral (Fig.1.14b). Système de support horizontal – Les éléments formant un système de support horizontal respectent souvent une hiérarchie. Par exemple, les éléments formant une surface de plancher sont supportés en plusieurs points par des poutres secondaires relativement rapprochées, lesquelles peuvent être aussi supportées par d’autres poutres (Fig.1.14a). Les charges agissant sur la surface, comme la neige, sont en premier lieu reprises par le plancher et ensuite transférées aux poutres secondaires. Les poutres secondaires transfèrent les charges vers les éléments de support vertical. Système de support vertical – Les systèmes de support vertical sont généralement composés de murs porteurs ou de poteaux lesquels sont sollicités par des efforts axiaux centrés (Fig.1.14b).

1-18

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Un niveau

Deux niveaux

Chapitre 1

Deux niveaux

Murs porteurs

Trois niveaux

Colonnes

(a) Systèmes de support horizontal utilisés avec des systèmes de support vertical

Système de support horizontal

Système de support vertical

Système de support latéral

(b) Assemblage typique des éléments Fig. 1.14 - Unités structurales typiques et systèmes de support 1-19

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Système de support latéral – La stabilité horizontale ainsi que la reprise des charges horizontales (ex. : vent, séisme) sont assurées quant à elles par l'action combinée des dalles et des murs verticaux. Les dalles, comme diaphragmes infiniment rigides, assurent la transmission des charges horizontales, lesquelles seront reprises par les murs porteurs. Les murs sont naturellement très résistants aux forces latérales et sont souvent utilisés comme contreventement dans les assemblages poutres-colonnes (Fig. 1.14b). Il faut remarquer ici qu'il existe des cas où la stabilité horizontale du bâtiment est assurée par effet de cadre entre les colonnes et les planchers, comme pour les édifices de faible hauteur composés de cadres rigides. Dans ce cas, il devient indispensable de dimensionner les colonnes en flexion composée (effort normal + moment de flexion) (Fig.1.15).

Fig. 1.15 - Cadre contreventant (Source : Frey, 1990)

1-20

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

1.4.1.2 Descente des charges La descente des charges consiste à calculer successivement les charges verticales sollicitant les éléments porteurs verticaux (murs et colonnes) et les fondations. La descente de charge d’un système typique est illustrée à la Fig. 1.16. Le platelage transfère les charges du toit aux poutres secondaires. Les poutres transfèrent les charges aux fermes, lesquelles en retour les transfèrent aux colonnes. Les colonnes transfèrent aux semelles de fondation. Les forces transférées sont en fait les réactions qui se développent entre les éléments. Typiquement, ces forces deviennent de plus en plus importantes aux niveaux inférieurs. Charges sur le toit Le platelage supporte les charges par flexions Les réactions du platelage deviennent les forces sur les poutres travaillant en flexion Les réactions des poutres deviennent les charges sur la ferme Les réactions des fermes engendrent des forces de compression dans les colonnes Colonnes en compression

Les réactions sous les colonnes deviennent les forces agissant sur les fondations (lesquelles distribuent les forces vers le sol)

Fig. 1.16 - Unités structurales typiques et systèmes de support

1-21

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(a) Surfaces tributaires des différents éléments porteurs verticaux

(b) Descente de charge pour la colonne j Fig. 1.17 - Processus de descente de charge (Source : Frey, 1990)

1-22

Chapitre 1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Le processus de descente des charges commence depuis le haut du bâtiment et se termine au niveau des fondations. La descente des charges comprend les étapes suivantes : a) b) c)

délimitation des zones d'influence relatives à chaque porteur vertical (Fig.1.7a), calcul des charges verticales transmises aux colonnes à chaque niveau (Fig.1.17b), détermination des charges transmises aux fondations, et permet de procéder, par la suite, au dimensionnement des colonnes et fondations.

1-23

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 1.2 Cadre Considérons le cadre formé d'un plancher, de poutres et de poteaux (Fig.1.18a). En disloquant la structure et en considérant le diagramme de corps libre (DCL) de chaque élément (Fig.1.18b), on peut alors déterminer les efforts sollicitant chacun des éléments structuraux importants notamment les poutres, les poteaux et les fondations.

Fig. 1.18 - Exemple 1.1

1-24

Chapitre 1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Exemple 1.2 Pont suspendu Considérons le pont suspendu illustré à la Fig.1.19a. Là également, en éclatant la structure en DCL (Fig.1.19b) on met en évidence les forces agissant sur chaque élément structural (câbles, tour, tablier).

Fig. 1.19 - Exemple 1.2 1.4.2

Stabilité des structures

Une des responsabilités de l’ingénieur lorsqu’il dimensionne une structure est de maintenir la forme et la stabilité de la construction sous toutes les conditions de chargement possibles. Toutes les structures subissent des changements de configuration lorsqu’elles sont soumises à des charges. Dans une structure stable, les déformations sont petites, et les efforts internes induits dans les éléments sous l’action des charges tendent à restaurer la forme initiale de la structure lorsque les charges sont enlevées. Dans une structure instable, les déformations résultant de l’action des charges sont importantes et souvent tendent à augmenter tant et aussi longtemps que les charges sont appliquées. Contrairement aux structures stables, les structures instables ne génèrent pas d’efforts internes contribuant à redonner à la structure sa forme initiale. Les structures instables s’effondrent généralement complètement et instantanément lorsqu’elles sont chargées. Pour remplir sa fonction, une structure doit être stable à trois niveaux : a) b) c)

Stabilité statique : la structure doit posséder un nombre suffisant d'appuis; Stabilité géométrique : la structure doit assurer une continuité de ses éléments; Stabilité structurale : les éléments de la structure doivent être stables vis-àvis le flambement; la structure doit être stable face aux charges latérales.

1-25

CTN-408

1.4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Stabilité statique – Structures isostatiques et hyperstatiques

1.4.3.1 Structures isostatiques L’étude de la statique a montré qu’une structure était isostatique lorsque le nombre de réactions aux appuis indépendantes (inconnues) est égal au nombre d’équations d’équilibre. En deux dimensions, on écrit :

∑F

X

=0 ;

∑F

Y

=0 ;

∑M

Z

=0

Parfois, le nombre de réactions aux appuis r peut être plus grand que le nombre d’équations d’équilibre (k=3 pour un système plan). Cependant, si on connaît les efforts internes dans certaines membrures, comme un moment nul à une articulation il est possible de déterminer les réactions. La structure est dite statiquement déterminée ou isostatique si r=k+n, où n est le nombre d’efforts internes connus. Une structure isostatique a donc juste assez de réactions aux appuis, de membrures et de conditions internes permettant de connaître certains efforts pour être en équilibre. L’amplitude des réactions aux appuis et des efforts internes dépend uniquement de la géométrie de la structure. Il est donc possible de faire le dimensionnement direct d’une structure isostatique. 1.4.3.2 Structures hyperstatiques Dans le cas où le nombre de réactions indépendantes r dépasse le nombre d’équations d’équilibre k et le nombre d’efforts internes connus n, la structure est dite hyperstatique (r > k + n). On a donc besoin d’équations additionnelles provenant des déformations de la structure chargée pour trouver les réactions. La disparition des conditions de stabilité surabondantes, comme une réaction ou une membrure, laisse la structure stable. L’amplitude des réactions aux appuis et des efforts internes dépend de la géométrie de la structure et des valeurs relatives des rigidités des sections (EA, EI et GJ). Le dimensionnement se fait donc de manière itérative.

1.4.4

Formes d’hyperstaticité statique et degrés d’hyperstaticité

Les structures hyperstatiques sont des structures dont : • •

le nombre de réactions est supérieur à celui des équations d'équilibre (hyperstaticité extérieure), et/ou; le nombre d'efforts internes indépendants inconnus dépasse le nombre d'équations d'équilibre des corps libres isostatiques possibles (hyperstaticité intérieure).

1-26

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Par conséquent, si on identifie le degré d’hyperstaticité « d » d’une structure comme la différence entre le nombre d’inconnus (efforts et réactions) et le nombre d’équations d’équilibre alors : •

la structure est isostatique si

d=0

•

la structure est hyperstatique si

d>0

•

la structure est instable

d0

Hyperstaticité intérieure

d = dext >0

Hyperstaticité extérieure

d = dint + dext >0

Hypersaticité intérieure et extérieure

(a) Intérieure

les réactions d'appui peuvent être déterminées, mais pas les efforts internes (Fig.1.20a) les réactions d'appui ne peuvent être déterminées (Fig.1.20b) les réactions d'appui et les efforts internes ne peuvent être déterminées (Fig.1.20c)

Indétermination ou hyperstaticité (b) Extérieure

(c) Intérieure et extérieure

Fig. 1.20 - Structures indéterminées ou hyperstatiques

1-27

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

1.4.4.1 Poutres et cadres Le degré d’hyperstaticité d’un système ouvert, c’est-à-dire ne comportant pas de géométrie fermée est donné par : d = r − ( k + n) où r : nombre de réactions aux appuis k : nombre d’équation d’équilibre (3 dans un système plan) n: nombre d’efforts internes connus (excluant les appuis). Ex. M=0 à une rotule. Pour une structure comportant des géométries fermées, le degré d’hyperstaticité est augmenté de trois pour chaque contour fermé, parce que le contour fermé donne lieu à trois efforts internes surabondants. Le degré d’hyperstaticité est donné alors par, d = ( r + 3c f ) − ( k + n )

où cf est le nombre de contours fermés. B

B

On devra porter attention au fait que certaines structures peuvent être instables même si le calcul du degré d’hyperstaticité est supérieur à 0. C’est le cas d’une poutre sur trois rouleaux où les 3 réactions sont parallèles ne permettant pas d’assurer l’équilibre rotationnel. C’est également le cas de trois réactions concourantes. Ces réactions sont théoriquement en équilibre entre elles, mais l’ajout d’une force extérieure vient briser cet équilibre et la structure est alors instable.

Exemple 1.3 : Considérons le cadre de la Fig.1.21a, l’élément ne contient ni rotule permettant de connaître un effort interne (n=0), ni géométrie fermée (cf=0). On peut donc le remplacer par le système de la Fig. 1.21b qui met en évidence les réactions inconnues qui sont au nombre de six (AX,AY, MA, BX,BY et MB), soit r=6. Le nombre d’équations d’équilibre est trois (k=3). Le système est hyperstatique de degré d=(6+0)(3+0)=3. B

B

B

B

B

1-28

B

B

B

B

B

B

B

B

B

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(a)

Exemple 1.4:

Chapitre 1

(b) Fig. 1.21 - Exemple 1.3

(c)

La structure illustrée à la Fig.1.22a est isostatique extérieurement (r=3) mais hyperstatique intérieurement. Elle a une géométrie fermée; il va falloir la rendre ouverte en s’assurant que les nouveaux éléments résultants de cette coupure sont stables (Fig. 1.22b). Cette coupure met en évidence trois inconnues indépendantes, soit 3 inconnues pour un contour fermé (cf=1). Le nombre total d’inconnues est de six en tenant compte des réactions d’appui (r+3 cf =3+3=6). Ayant une structure plane, on a donc trois équations d’équilibre, k=3 et le degré d’hyperstaticité est d=6-3=3. B

B

(a)

B

B

(b) Fig. 1.22 - Exemple 1.4

1-29

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Exemple 1.5 : Le cadre étagé de la Fig.1.23 est, quant à lui, hyperstatique intérieurement et extérieurement. Le nombre de réactions aux appuis est de 9 (r=9) et la structure a quatre contours fermés, soit 12 efforts internes inconnus (3×4, cf=4), pour un total de 21 inconnues. Puisqu’il n’y a pas de condition interne permettant de connaître certains de ces efforts (n=0) et que les équations d’équilibre sont au nombre de trois (k=3), le degré d’hyperstaticité est donc d=21-3=18. B

B

J

K

L

G

H

I

D

E

F

A

B

C

Fig. 1.23 - Exemple 1.5

1-30

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

1.4.4.2 Treillis Nous avons déjà vu dans le cours de résistance des matériaux que si dans un treillis m désignait le nombre de barres, j le nombre de noeuds incluant les appuis et r le nombre de réactions, alors d'une manière générale, le treillis est : •

instable, si

d = (m + r) - 2j < 0

ou

m + r < 2j;

•

isostatique, si

d = (m + r) - 2j = 0

ou

m + r = 2j;

•

hyperstatique, si

d = (m + r) - 2j > 0

ou

m + r > 2j.

Il y a, toutefois, des exceptions à cette règle. Ces exceptions sont illustrées par les exemples de la Fig.1.24.

Fig. 1.24 - Exemples de treillis satisfaisant m+r=2j, mais instables

1-31

CTN-408

1.4.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Rappel sur les efforts internes

Lorsqu’une structure est soumise à des forces externes, les membrures ou éléments développent des efforts internes. On distingue les efforts de traction, de compression, les moments fléchissants, les efforts de cisaillements, de torsion et les efforts d’écrasement. À chacun de ces efforts est associé un état de contrainte et de déformation. (Fig. 1.25) Les efforts de traction tirent sur l’élément de part et d’autre. La contrainte en résultant est une contrainte de tension constante sur la section et inversement proportionnelle à l’aire de la membrure. Les efforts de compression tendent à écraser ou à faire flamber l’élément. La rupture des membrures courtes survient principalement par écrasement alors que les membrures longues peuvent flamber avant de s’écraser. Pour éviter le flambement, l’effort de compression appliquée sur l’élément doit être inférieur à sa charge critique. Plus une membrure est longue plus sa charge critique est petite. Les moments fléchissants, ou efforts de flexion, sont associés au fléchissement de l’élément sous l’effet de charges transversales (poutre). La flexion cause le l’allongement des fibres sur une face de l’élément, donc des contraintes de tension, et le raccourcissement des fibres sur l’autre face, donc des contraintes de compression. La résistance d’une membrure en flexion dépend surtout de la distribution de matériau sur sa section, ou du moment d’inertie. Les efforts de cisaillement sont associés à l’action de deux forces opposées tendant à causer une partie de la structure à glisser par rapport à la partie adjacente. Des contraintes tangentielles ou de cisaillement se développent sur la surface de glissement. Dans un élément soumis à la torsion, les surfaces tendent à glisser l’une par rapport à l’autre en créant un changement d’angle. À ce glissement sont associées des contraintes tangentielles ou de cisaillement. Les contraintes d’écrasement surviennent à l’interface de deux membrures lorsque les efforts sont transmis de l’une à l’autre. Les déformations associées aux différents états de contraintes résultent en déflexions. Ces déflexions doivent être limitées pour des raisons de stabilité, de confort, et d’intégrité structurale.

1-32

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Membrure en tension (rupture par arrachement)

Colonne élancée en compression (rupture par flambement)

Chargement transversal

Chapitre 1

Contraintes de flexion

Rupture en flexion Colonne courte en compression (rupture par écrasement)

Rupture par cisaillement vertical Rupture par cisaillement horizontal Rupture par écrasement des appuis Torsion Déflexions (déformations excessives)

Chargement axial

Fig. 1.25 - Compression, tension, flexion, cisaillement, écrasement, torsion, et déflexions

1-33

CTN-408

1.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

CRITÈRES D’ANALYSE ET DE VÉRIFICATION DES STRUCTURES

En pratique, l'ingénieur sera confronté à deux aspects différents lors du calcul d'une structure : le dimensionnement et la vérification des éléments structuraux composant la structure. Dans l'un ou l'autre aspect, l'ingénieur doit traiter les trois critères suivants : Résistance :

Tous les éléments structuraux doivent résister adéquatement aux charges qu'ils supportent; Déformations : La structure, comme les éléments structuraux, ne doit pas subir des déflexions et déformations excessives; Stabilité structurale : La structure, comme les éléments structuraux, doit avoir une sécurité suffisante vis-à-vis le flambage et les charges latérales (voir section 1.5.3). D’autres critères doivent également être pris en compte lors du dimensionnement d’une structure. Ces critères sont l’efficacité, ou la quantité de matériau requis pour supporter une charge donnée, la construction (facilité, vitesse d’érection, équipement requis, etc.), le coût, l’esthétique et autres. 1.5.1

Résistance

Dans cette phase d'analyse, l'ingénieur s'assurera que : a)

b)

les contraintes (normales, de cisaillement, etc.) en tout point de la structure dues aux charges appliquées ne dépassent pas les contraintes admissibles du matériau. Pour y arriver, l’ingénieur peut modifier la forme, la grosseur ou le matériau utilisé. Les efforts internes (N, V, M, T), en tout point de la structure, dus aux charges appliquées restent inférieurs aux résistances des sections (NR, VR, MR, TR). Ce dernier point trouvera son application dans le calcul des charpentes métalliques, des structures en béton armé et des charpentes de bois. B

B

B

B

B

B

B

B

L’analyse de la résistance comprend donc : •

L’évaluation des charges appliquées (Chapitre 2).

•

Le calcul des efforts internes (N, V, M, T, s'il y a lieu) et le tracé de leurs diagrammes (DEN, DET, DMF, DMT) si nécessaire. Le calcul des contraintes maximales à partir des efforts internes maximaux et vérification que ces contraintes sont inférieures à celles admissibles (cours de Résistance des matériaux), ou Le calcul des résistances (NR, VR, MR, TR) et vérification que les efforts internes (N, V, M, T) leur sont inférieurs.

• •

B

B

B

B

1-34

B

B

B

B

CTN-408

1.5.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Déformations

Dans certains types de construction (ex. : poutres et dalles de grande portée), le critère de limitation des déformations peut être prédominant par rapport à celui de la résistance. Les déformations peuvent simplement être indésirables pour leur aspect visuel. Des déformations excessives peuvent aussi être associées à une structure avec un degré de sécurité insuffisant, mais pas nécessairement néfaste (exemple : un tremplin). Les déformations sont contrôlées par la rigidité de la structure. La majorité des codes et notamment le code canadien limitent les déformations ou déflexions maximales. Cette limitation peut prendre deux formes : a)

en fonction de la portée et du type de structure (Tableau 1.1)

b)

en spécifiant une rigidité minimale (donnée par l'épaisseur h de la membrure) généralement en fonction de la portée L (Ex: Tableau 1.2).

La vérification des critères de déformations comprend : •

L’évaluation des charges appliquées;

•

Le calcul des efforts internes;

•

le calcul des déflexions (voir Ch. 2) et la vérification que ces déflexions restent inférieures à celles admissibles (Tableau 1.1).

Quoiqu’associé aux déformations, le mouvement des structures est un phénomène différent. Il est relié aux vitesses et accélérations subies par une structure sous l’effet de charges de vent ou de séismes. Pour contrôler ces mouvements, on modifie les caractéristiques de rigidité et d’amortissement de la structure afin de rencontrer les limites appliquées aux vitesses et accélérations.

1-35

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Tableau 1.1 - Flèches maximales (CNBC, 2005) Éléments structuraux

Flèche maximale autorisée exprimée en fonction de la portée libre L L/180

Type de plafond Pas de plafond

Chevrons, solives, poutres et platelage de toit pour des constructions en poutres et madriers

Autre qu’enduit ou plaques de plâtre

L/240

L/360

Solives de plafond

Enduit ou plaques de plâtre Autre qu’enduit ou plaques de plâtre

L/240

Enduit ou plaques de plâtre Pas de plafond

L/360 L/360

Autre qu’enduit ou plaques de plâtre

L/360

Enduit ou plaques de plâtre Pas de plafond

L/360 L/240

Autre qu’enduit ou plaques de plâtre

L/240

Enduit ou plaques de plâtre

L/360

Poutres et solives de plancher et platelage de plancher des constructions en poutres et madriers pour des planchers autres que ceux des chambres d’un logement Poutres et solives de plancher et platelage de plancher des constructions en poutres et madriers pour les planchers des chambres d’un logement

Tableau 1.2 - Extrait du CSA A23.3-M94 (Table 9.1) Épaisseur minimale sous laquelle les flèches doivent être calculées pour les poutres non précontraintes et les dalles portant en une direction ne supportant pas ou n’étant pas attachées à des partitions ou tout autre élément de construction pouvant être endommagés par des flèches excessives (voir articles 9.8.2.1 et 9.8.5.) Épaisseur minimale, h Simplement supportée

Continue à une Continue aux extrémité deux extrémités

Porte-à-faux

Dalle pleine portant en une direction

ln/20

ln/24

ln/28

ln/10

Poutres ou dalle évidée portant en une direction

ln/16

ln/18.5

ln/21

ln/8

Note :

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Ces valeurs s’appliquent telles quelles pour les éléments en béton de densité normale (c > 2150 kg/m3, et armature de grade 400. Pour toute autre condition, ces valeurs doivent être modifiées comme suit : (a) pour du béton structural de faible densité ou de densité moyenne (semi-low-density), ces valeurs doivent être multipliées par (1.65-0.003 γc), sans être inférieur à 1.00, où γc est la densité en kg/m3; et (b) pour fy différent de 400 MPa, ces valeurs doivent être multipliées par (0.4+fy /670). B

B

B

B

B

B

P

P

P

B

1-36

B

B

P

CTN-408

1.5.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Stabilité structurale

Stabilité structurale vis-à-vis le flambement L'ingénieur doit s'assurer que la structure globale comme toutes les membrures qui la composent sont stables vis-à-vis le flambage. L'instabilité d'une membrure peut être globale comme dans le cas d'une membrure en compression (Fig.1.26a) ou local comme dans le cas d'un déversement d'une poutre (Fig.1.26b) ou le voilement d'une aile ou d'une âme de profilé (Fig.1.268c).

Fig. 1.26 - Exemples d’instabilité Stabilité face aux charges latérales La Fig. 1.27 illustre quelques exemples de structures instables sous l’effet de charges latérales et les méthodes de base pour restaurer la stabilité latérale de ces structures. Lorsque l’assemblage non rigide poutre-poteaux de la Fig. 1.27b est soumis à une charge latérale le changement d’angles entre les membrures est significatif. Ces grands changements d’angles sont représentatifs de structures instables prêtes à s’effondrer.

1-37

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Pour stabiliser cet assemblage, on peut ajouter une membrure diagonale permettant à la structure de se déformer en forme de parallélogramme sans allongement significatif de la diagonale. On peut aussi ajouter un mur de cisaillement résistant aux changements de géométrie. Les changements d’angles peuvent aussi être empêchés en transformant les joints en joints rigides (Fig. 1.27d)

(a) Assemblage poutre-colonne

(b) Instabilité sous charges latérales

(c) Instabilité d’un assemblage mur-plaque

(d) Méthodes typiques de stabilisation latérale : contreventement diagonal, mur de cisaillement, et joints rigides.

(e) Toute méthode de stabilisation latérale doit être symétrique pour éviter les effets de torsion indésirables. Fig. 1.27 - Stabilité face aux charges latérales (Réf. Schodek 1998)

1-38

CTN-408

1.6

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

MODÉLISATION D’UNE STRUCTURE

Dans la pratique, l'ingénieur responsable de l'analyse d'une structure cherchera en premier lieu à transformer (ou modéliser) la structure réelle en un modèle de calcul reproduisant le mieux le comportement réel. Ce modèle de calcul appelé aussi schéma statique est la modélisation de la géométrie et l'extériorisation des forces sollicitant la structure par une représentation symbolique et simplifiée. La modélisation est donc l'ensemble des choix (choix des appuis, choix des connexions, etc.) requis pour transformer une structure réelle en un modèle de calcul. Elle constitue sans nul doute l'étape la plus cruciale de l'analyse d'une structure puisque c'est d'elle que dépend le succès du calcul. Un exemple de modélisation est illustré à la Fig.1.28a et Fig.1.28b.

Fig. 1.28 - Exemple de modélisation

En analyse des structures, l'ingénieur intervient généralement dans la modélisation des appuis, des organes de liaison, des éléments structuraux et des structures.

1-39

CTN-408

1.6.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Modélisation des appuis (dans le plan)

Les appuis peuvent être à rouleaux, articulés ou encastrés. Les appuis dits élastiques qui développent des forces et des moments proportionnels à une raideur k ne seront pas traités dans le cadre de ce cours. a) Appui à rouleau - L'appui à rouleau impose un seul blocage de translation. Il est identique à un contact lisse (sans frottement). La réaction d'appui a une composante perpendiculaire à la surface de roulement. Une poutre simplement appuyée (Fig.1.29a) et une poutre à appui guidé (Fig.1.29b) sont des exemples d'appui à rouleau.

(a)

(b) Fig. 1.29 - Appuis à rouleau

b) Appui articulé - L'appui articulé appelé aussi articulation ou rotule, s'oppose quant à lui à toute translation de l'appui, mais laisse libre la rotation autour du point d'appui. La réaction d'appui a donc deux composantes. Une poutre fixée par boulons (Fig.1.30a) ou légèrement soudée (Fig.1.30b) ou la base d'une colonne (Fig.1.30c et d) sont des exemples qui illustrent bien l'appui articulé.

(a)

(b)

(c)

Fig. 1.30 - Appuis articulés

1-40

(d)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

c) Encastrement - L'encastrement réalise le blocage de tous les degrés de liberté. Il donne naissance donc à trois réactions d'appui : les composantes selon x et y et le moment d'encastrement. La base de la colonne en acier (Fig.1.31) qui est ancrée dans un socle massif en béton est un exemple d'appui encastré.

Fig. 1.31 - Appui encastré

Le tableau suivant résume les appuis usuels (cas plan) ainsi que les grandeurs cinématiques et statiques qui en résultent. Tableau 1.3 - Appuis usuels et grandeurs cinématiques et statiques Rouleau

Articulation

Grandeur cinématique

u≠0

Grandeur statique

Ax = 0 Ay ≠ 0 M = 0 Ax ≠ 0 Ay ≠ 0 M = 0 Ax ≠ 0 Ay ≠ 0 M ≠ 0 B

B

v=0

B

B

θ≠0

u=0

B

B

1-41

v=0

B

B

θ≠0

Encastrement

u=0

B

B

v=0

B

B

θ=0

CTN-408

1.6.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Modélisation des liaisons (joints)

Les liaisons peuvent être articulées, rigides ou semi-rigides. a) Liaison articulée - La liaison articulée s'apparente à l'appui articulé dans le sens où elle s'oppose à toute translation, mais laisse libre la rotation (pas de moment dans une rotule). Les joints boulonnés de treillis (Fig.1.32a) et les assemblages (ou joints) souples de poutre ou de cadre (Fig.1.32b) sont des exemples de liaisons articulées.

(a)

(b) Fig. 1.32 - Liaison articulée

b) Liaisons rigides ou semi-rigides - La liaison rigide ou semi-rigide développe, en plus des réactions de translation, des moments qui sont proportionnels à la rigidité de l'assemblage et des éléments adjacents au joint. Les joints soudés (Fig.1.33a), les joints continus en béton armé (Fig.1.33b) et les joints fortement boulonnés (Fig.1.33c) sont des exemples de liaisons rigides.

(a)

(b) Fig. 1.33 - Liaison rigide

1-42

(c)

CTN-408

1.6.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Modélisation des éléments structuraux

Dans le processus de modélisation des différents éléments structuraux composant une structure, l'ingénieur recherchera la fonction structurale principale et la nature physique de la structure qu'il analyse avant de porter un choix sur l'élément structural idéalisé qui représente le plus fidèlement ladite structure. Parmi les éléments structuraux idéalisés, nous citons : -

les poutres les dalles les poteaux (colonnes) les murs porteurs

Poutres - Les éléments structuraux minces dont la fonction principale est de supporter des charges par flexion dans un seul sens (le sens de la portée de l'élément) peuvent être modélisés par une poutre. La dalle reposant sur deux murs de la structure représentée à la Fig.1.34 peut être modélisée par une poutre dont la portée est définie par le sens de portée. De même, dans la structure montrée à la Fig.1.34, les lattes du plancher ainsi que l'élément de rive sur lequel elles appuient peuvent être idéalisés par des poutres. Dalles - Les éléments structuraux minces dont la fonction principale est de supporter des charges par flexion dans deux sens (les deux sens de portée) peuvent être modélisés par une dalle. À titre d'exemple, l'élément mince horizontal supporté sur les quatre coins ou côtés présenté à la Fig.1.34 peut être idéalisé par une dalle. Poteaux - Le poteau (colonne) est un élément structural de section petite par rapport à sa hauteur et dont la fonction principale est de supporter des charges verticales et de les transmettre aux fondations (Fig.1.34). Ces charges verticales sont généralement centrées (pas de moment de flexion dans la colonne), mais peuvent être excentrées, ce qui génère des moments de flexion en plus des efforts axiaux. Dans ce dernier, on parle alors d'un élément poteau-poutre notamment lorsque le moment est important par rapport à l'effort axial. Murs porteurs - Les murs porteurs (Fig.1.34) sont des éléments verticaux dont l'épaisseur est petite par rapport aux deux autres dimensions du mur. La fonction principale des murs porteurs est de supporter non seulement les charges verticales, mais également les charges latérales comme dues au vent et au séisme. Elles peuvent donc transmettre de fortes charges biaxiales aux fondations. Les murs porteurs sont généralement utilisés comme contreventements pour les bâtiments multiétagés élevés.

1-43

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Systèmes de support vertical Plaque

Murs porteurs

Murs porteurs

Plaque

Poutres et colonnes Plaque

Colonnes

Poutres et colonnes

Poutres et colonnes

Éléments horizontaux portant dans une direction Éléments horizontaux portant dans deux directions

Plaque

Platelage et poutres

Platelage

Systèmes de support latéral

Diagonales Cadre rigide Mur de cisaillement

Fig. 1.34 - Modélisation des éléments structuraux principaux

1-44

CTN-408

1.6.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

Modélisation des structures

Lors de l'analyse globale d'une structure, qui est généralement en trois dimensions (3-D), l'ingénieur cherchera toujours à simplifier cette structure pour la rendre plus facile a analyser. Pour ce faire, il tiendra compte des points suivants : a) Réduction de la structure 3-D en une structure 2-D - Dans la plupart des structures de bâtiments (3-D), les refends (2-D) subissent les mêmes déformations et supportent des charges proportionnelles à leur rigidité si bien qu'ils ont le même comportement que la structure réelle. Par conséquent, l'ingénieur cherchera à analyser les refends (2-D) au lieu de la structure réelle (3-D) dont l'analyse est beaucoup plus laborieuse. Ainsi, la structure 3-D de la Fig.1.35a peut être idéalisée par le refend 2-D de la Fig.1.35b. Il est bien évident que si une modélisation plane ne reflète pas le comportement de la structure réelle, alors une analyse tridimensionnelle peut s'avérer nécessaire. b) Symétrie - Dans le cas où le refend 2-D est symétrique alors l'ingénieur pourra limiter l'analyse à la moitié du refend en tenant compte bien sûr des conditions aux frontières (Fig.1.35c).

Fig. 1.35 - Exemple de réduction d’une structure pour analyse

1-45

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

c) Extensions rigides - Plusieurs structures sont composées d'éléments flexibles (exemple : poutre et poteau) combinés à des éléments plus rigides (exemple : mur) (Fig.1.36). L'ingénieur, dans ce cas, choisira de modéliser la structure en idéalisant les murs par des colonnes larges. Les points d'intersection entre lignes des centres des colonnes et des poutres ont toujours été considérés comme les noeuds de la structure idéalisée (Fig.1.36a). Si ceci est vrai pour un portique classique, il en est autrement pour les structures contenant des murs de refend. En effet, la Fig.1.36b montre clairement que les poutres se composent de deux parties : • •

Une partie infiniment rigide idéalisant le mur; Une partie flexible idéalisant la poutre (linteaux, dalle, etc.)

C'est cette extension infiniment rigide qui gouverne la rotation subie par les extrémités des poutres.

1-46

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 1.36 - Extensions rigides

1-47

Chapitre 1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

d) Diaphragme rigide - Si une dalle, qui est infiniment rigide dans son plan, donc indéformable, relie deux parties d'une construction, elle peut assurer le transfert intégral des charges latérales d'une partie à une autre. De ce fait, elle peut être idéalisée par un élément infiniment rigide (Fig.1.37) appelé diaphragme rigide.

Diaphgramme Rigide (dalle)

Partie (1)

Partie (2) Liaison

Fig. 1.37 - Diaphragme rigide

1-48

CTN-408

1.7

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 1

NORMES DE CALCUL

Lors du calcul des structures, l'ingénieur utilise les normes de calcul en vigueur qui sont établies pour garantir la sécurité du public et pour standardiser les produits. Les normes nord-américaines les plus utilisées dans le domaine de calcul de structures sont : •

• • • • •

ACNOR :

Association Canadienne de Normalisation (en anglais CSA), en particulier : - CAN/CSA-S16-01 : Règles de calcul aux états limites des charpentes d’acier - CAN/CSA-S6-06 : Code canadien sur le calcul des ponts routiers - CAN/CSA-W59-03 : Construction soudée en acier (soudage à l’arc) - G40.20-04 : Exigences générales relatives à l’acier de construction laminé ou soudé - G40.21-04 : Acier de construction - A23-3-04 : Calcul des ouvrages en béton BOCA : Building Officials of America ASSHTO : American Society of State Highway and Transportation Officials (anciennement : ASSHO) ACI : American Concrete Institute CPCI : Canadian Prestressed Concrete Institute CNB : Code national du bâtiment

1-49

CHAPITRE 2

CHARGES

Dans ce chapitre nous verrons quelles sont les charges agissant sur une structure et comment les évaluer.

CTN-408

2.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

INTRODUCTION

Dans un projet de construction, l'ingénieur en structure sera, en général, appeler à : 1) 2) 3)

choisir le type de matériau de la structure déterminer les charges appliquées sur la structure concevoir les dimensions des éléments structuraux

Cette section traite de la nature et de l'évaluation des charges qui sollicitent les structures. Au Canada, l'outil principal dont dispose l'ingénieur pour calculer ces charges est le Code National du Bâtiment du Canada (CNB) et le Guide de l’utilisateur du Code National du Bâtiment du Canada –Commentaires sur le calcul des structures (Partie 4) (GCNB). Le CNB et le GCNB couvrent les aspects de calcul, conception et construction des bâtiments. Dans cette section nous nous référerons souvent aux parties suivantes du code qui font désormais partie intégrante de cette section : CNB Section 4.1 Charges et Méthodes de Calcul

GCNB Commentaires A, B, G, H, I et J Commentaires sur le calcul des structures (Partie 4)

2.2

LE DÉVELOPPEMENT HISTORIQUE DES PROCÉDURES DE CONCEPTION

2.2.1

Les règles du pouce et les premières réglementations

Les toutes premières constructions, des pyramides aux premiers ponts de fonte et d’acier en passant par les cathédrales, sont conçues et construites par la même personne. Il n’y a pas de codes ou normes pour guider les concepteurs. L’expérience et certaines « règles », dites règles du pouce, sont la « norme ». Les règles se bornent au respect de certaines proportions géométriques (ex. poutres l/h, mur H/t). On retrouve cependant certaines règles écrites de conception comme celles établies par les constructeurs des aqueducs et des voies romaines (Manuel de l’armée romaine). La plupart sont cependant établies sur un système de transmission verbale du savoir entre le maître et l’apprenti. Cette transmission du savoir et des connaissances est souvent gardée secrète et est protégée par la « Guilde ». On peut citer en exemple les Francs Maçons du moyen âge, grands constructeurs d’église, de châteaux et de cathédrales. À noter qu’aujourd’hui ce regroupement est plutôt d’ordre philosophique. Ces guildes regroupent

2-1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

des « SPÉCIALISTES » qui établissaient les dimensions et proportions des espaces et des éléments structuraux à respecter. L’établissement des règles se fait généralement par essai et erreur avec malheureusement beaucoup d’effondrement durant la construction. Le milieu militaire est également très favorable à la mise en place de règles de conception. Par exemple, on retrouve en 1721 les « Règles de construction des fortifications... » rédigées par l’ingénieur du Roy au Bas-Canada. 2.2.2

Évaluation des charges et prototypes

Les premières règles de conception basées sur l’évaluation des charges et les principes de résistance des matériaux remontent à la RÉVOLUTION INDUSTRIELLE. L’art de l’architecture se sépare de la science du génie. Avec la production industrielle de la fonte, on cherche à évaluer les charges que peuvent supporter les éléments. On évalue les efforts dans les éléments sous chargements à l’aide d’essais sur des prototypes qu’on amène à la rupture. Les essais sont réalisés sous des charges supérieures aux charges de service. C’est en fait ce qu’on appelle une mise à l’épreuve « proof testing ». La première définition de Facteur de sécurité est établie dans ce contexte. « La force obtenue à la rupture du prototype testé, divisée par la force sous les charges de service prévues » Un ouvrage célèbre conçus à partir d’essais sur modèles réduits est le Britannia Bridge sur le détroit de Menai par Robert Stephenson vers 1780. La naissance de la théorie de l’élasticité permet de calculer les contraintes en acceptant quelques hypothèses simplificatrices. On conçoit alors des éléments en comparant la contrainte due aux charges, charge , à la contrainte admissible, admissible. La contrainte admissible est la contrainte obtenue par les essais, test standard, divisée par un facteur de sécurité, F.S. Toutes les incertitudes sont incluses dans ce seul et unique facteur de sécurité. Il s’agit d’un facteur de sécurité global. σ charge  σ admissible σ admissible 

σ test standard F.S.



F.S. 

σ test standard σ admissible

Les codes de conception modernes utilisent généralement des facteurs de sécurité partiels considérant séparément les incertitudes reliées à la résistance des matériaux, aux charges et aux probabilités d’occurrence des chargements en simultanée. Ce calcul aux états limites est celui adopté par le Code National du Bâtiment 2010 et est présenté à la Section 2.4.2 du présent chapitre.

2-2

CTN-408

2.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

LES TYPES DE CHARGES DU CNB

L’analyse et le dimensionnement d’une structure nécessitent d’avoir une représentation claire de la nature et de l’intensité des charges appliquées à celle-ci, car elles sont la cause principale de déformation et de contrainte. On peut distinguer (sous-section 4.1.2 du CNB) : Tableau 2.1 – Définition des charges du CNB-2010 Désignation Charge permanente

Symbole D

Commentaires

Surcharge due à l'usage

L

Charge variable due à la neige

S

Charge due au vent

W

Poids propre du bâtiment Charge variable due à l’usage prévu, ponts roulants, pression hydrostatique Neige, glace et charge correspondante à la pluie Choisir l’orientation produisant l’effet le plus défavorable

Charge et effets dus aux séismes

E

Considérer à part des autres surcharges

Poussée latérale des terres

H

Précontrainte

P

Charge constante y compris la nappe souterraine Effets permanents causés par la précontrainte Température, retrait, tassement différentiel, etc.

Autres surcharges Ces charges peuvent se diviser en deux catégories : 

verticales (ou de gravité)



latérales (ou horizontales)

Les charges de chacune de ces catégories peuvent être : 

concentrées

(roue d'un véhicule, poids d'un équipement)



réparties sur une ligne

(poids d'une poutre, d'un mur)



réparties sur une surface

(neige, vent, poids propre d'une dalle, etc.)

On peut noter que les charges réparties sur une surface peuvent être converties en charges réparties sur une ligne en tenant compte de la surface tributaire. Nous aurons l'occasion de revenir sur cela plus loin dans ce chapitre. Les deux types de forces principales sont les forces statiques et les forces dynamiques. Les forces statiques sont appliquées lentement sur la structure et sont typiquement 2-3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

stables. Les forces dynamiques sont appliquées soudainement sur la structure et de plus, leur intensité et leur orientation peuvent fluctuer rapidement. Pour déterminer les charges spécifiées S, W ou E mentionnées aux Sections 2.7, 2.8 et 2.9, il faut associer chaque bâtiment à une catégorie de risque basée sur l’usage prévu tel que décrit au tableau suivant. Tableau 2.2 – Catégories de risque des bâtiments (source : T4.1.2.1 CNB 2010)

Usage Catégorie de risque Bâtiments à faible occupation humaine pour lesquels l’effondrement ne devrait entraîner aucun risque de blessure, Faible petits bâtiments de stockage Autres bâtiments Normal Bâtiments susceptibles d’être utilisés comme refuge de Élevé protection civile (écoles, centres communautaires) Bâtiments de protection civile (hôpitaux, casernes de pompiers, poste de police, centrales électriques, stations de Protection civile pompage, etc.) Selon la catégorie de risque les charges spécifiées de neige S, de vent W et de séisme E sont alors modifiées selon les coefficients de risque suivants : Tableau 2.3 - Coefficients de risques pour les charges de neige, de vent et de séisme Catégorie de risque

État limite ultime

État limite de tenue en service

IS

IW

IE

IS

IW

IE

Faible

0,8

0,8

0,8

0,9

0,75

(a)

Normal

1,0

1,0

1,0

0,9

0,75

(a)

Élevé

1,15

1,15

1,3

0,9

0,75

(a)

Priorité civile

1,25

1,25

1,5

0,9

0,75

(a)

(1) Comme les charges dues aux séismes sont considérées comme des évènements rares, il n’y a pas d’exigence générale pour le calcul aux états limites de tenue en service, et aucun coefficient de risque connexe n’est indiqué. Cependant, les limites de déplacements inter-étages permises varient selon les catégories de risque (Voir Article 4.1.8.13).

2-4

CTN-408

2.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

COMBINAISONS DE CHARGES

Plusieurs types de charges peuvent agir sur une structure. Une question importante lorsqu’on définit les charges de dimensionnement est de savoir si toutes ces charges agissent simultanément sur la structure. Par définition, la charge permanente est toujours présente. La variation vient de la charge vive ou d’utilisation. Est-il raisonnable, par exemple, de dimensionner une structure pour les charges maximales résultant d’un séisme et du vent, ainsi que des conditions d’utilisation maximales? La probabilité que toutes ces charges atteignent leur intensité maximale au même endroit et au même moment est très faible. Afin d’éviter le surdimensionnement des structures et les coûts inhérents, plusieurs codes et règlements permettent de réduire les charges de dimensionnement pour certaines combinaisons de charges. Dans le Code National du Bâtiment, les calculs de conception de bâtiment doivent être effectués en conformité avec la sous-section 4.1.3. Calcul aux états limites. Un état limite peut être défini comme étant un état dans lequel une structure cesse de remplir la fonction pour laquelle elle a été conçue. Dans le calcul aux états limites, on distingue les états limites ultimes, les états limites de tenue en service et les états limites de fatigue. Les états limites ultimes concernent la sécurité prévenant la mise hors service de la structure due au dépassement de la résistance à la rupture, au glissement, au renversement, etc. Les états limites de tenue en service concernent la mise hors d'usage qui pourrait résulter de flèches ou vibrations excessives ou autres phénomènes pouvant compromettre l'exploitation de l'ouvrage. Les états limites de fatigue concernent les charges cycliques et les effets de vibration. Ils ne sont pas traités ici. Le but, donc, du calcul aux états limites est d'empêcher une structure d'atteindre un ou des états limites. Dans le calcul aux états limites, il faut bien différencier les charges spécifiées et les charges pondérées. Les charges spécifiées sont les charges réelles qui sollicitent ou qui sont susceptibles de solliciter la structure. Elles comprennent les types de charges qui sont définis au Tableau 2.1 des notes de cours. Les charges pondérées sont obtenues en multipliant les charges spécifiées par des coefficients de pondération appropriés.

2-5

CTN-408

2.4.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

États limites de service

Les états limites de tenue en service (É.L.S.) sont vérifiés avec les charges spécifiées; les flèches et les déformations sont donc calculées avec les charges susceptibles de solliciter la structure. Les É.L.S. doivent être vérifiés pour les combinaisons des charges principales et des charges concomitantes, tel qu’exprimé par la relation suivante : 1, 0 D  1, 0 Si 

Où

 S k

k

ik

(2.1)

Si : action principale Sk : action concomitante

Les différentes combinaisons de charges pour les états limites de service sont données au Tableau 2.4. Tableau 2.4 - Combinaisons de charges pour les états limites de service (CNB-2010) Condition

Combinaison de charges Charges d’action Charges principales* concomitantes

1 1,0 D --2 1,0D + 1,0L 0,5S ou 0,4W 3 1,0D + 1,0S 0,5L ou 0,4W 4 1,0D + 1,0W 0,5L ou 0,5S *La charge de séisme n’est jamais prise en considération pour le calcul des états limites de service.

2-6

CTN-408

2.4.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

États limites ultimes

Les états limites ultimes (É.L.U.) sont vérifiés avec les charges pondérées. La résistance pondérée doit être plus grande ou égale à l'effort pondéré maximal produit par la combinaison de charges la plus critique (Art. 4.1.3.2). Ceci s’exprime par la relation suivante entre la résistance de l’élément R et les charges appliquées définies par D pour la charge permanente et par S pour les autres actions. R   D D   i Si    k S k i  k

Où

(2.2)

Si : action principale Sk : action concomitante

Les combinaisons de charges selon l’approche du CNB-2010 pour les états limites ultimes sont données au Tableau 2.5. Tableau 2.5 - Combinaisons de charges pour les états limites ultimes (CNB-2010) Condition

Résistance pondérée

Combinaison de charges Charges d’action Charges principales concomitantes

1,4D --1 R 2 (1,25D ou 0,9D*) + 1,5L 0,5S ou 0,4W R 3 (1,25D ou 0,9D*) + 1,5S 0,5L ou 0,4W R 4 (1,25D ou 0,9D*) + 1,4W 0,5L ou 0,5S R 1,0D + 1,0E 0,5L + 0,25S** 5 R *Les charges pondérées provoquent un renversement, glissement, soulèvement en opposition à la charge permanente D **Lorsque le séisme est considéré, la surcharge L s’applique uniquement pour les aires de stationnement ou autres cas spécifiques définis dans le CNB 2010

2-7

CTN-408

2.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

CHARGE PERMANENTE D (CNB 4.1.4)

Les charges permanentes sont des charges de gravité fixes. Les charges permanentes incluent le poids propre de la structure et des matériaux inclus dans la construction, le poids des équipements permanents et les charges verticales dues aux plantes, aux arbres et à la terre (4.1.4.1 (1)). Le poids des cloisons sera réparti sur la surface tributaire et ne doit pas être inférieur à 1 kPa (4.1.4.1 (3)). Les poids propres par unité de surface de quelques éléments souvent utilisés dans la construction sont donnés dans le tableau suivant : Tableau 2.6 – Poids propre par unité de surface pour différents éléments Élément

Poids propre par unité de surface (kPa)

Bloc de béton 100 mm (4'')

- normal - léger - normal - léger - normal - léger - normal - léger - normal - léger

Bloc de béton 150 mm (6'') Bloc de béton 200 mm (8'') Bloc de béton 250 mm (10'') Bloc de béton 300 mm (12'')

Brique 100 mm (4'') Dalle de béton 100 mm (4'') Tablier métallique 38 mm (1 1/2'') cal. 22 Isolant de toit 25 mm (1'') Charpente d'acier (poutrelle & poutre) (*) Mécanique (*) Électricité (*) Plafond (*) Dalle de béton 90 mm (3 1/2'') sur tablier met. 38 mm (1 1/2'') Dalle de béton 100 mm (4'') sur tablier met. 38 mm (1 1/2'') Dalle de béton 115 mm (4 1/2'') sur tablier met. 38 mm (1 1/2'') Dalle de béton 125 mm (5 1/2'') sur tablier met. 38 mm (1 1/2'') Toiture (membrane 5 plis & gravier) Contreplaqué 16 mm (5/8'') Gypse 16 mm (5/8'') * valeurs approximatives

2-8

1.37 1.08 1.67 1.28 2.11 1.62 2.50 1.91 2.94 2.26 1.86 2.40 0.10 0.07 ± 0.29 ± 0.10 ± 0.05 ± 0.15 1.63 1.92 2.20 2.49 0.32 0.09 0.12

CTN-408

2.6

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

LES SURCHARGES DUES À L’USAGE (CNB 4.1.5)

Les surcharges sont des forces non permanentes dont la présence varie dans le temps. Même si elles sont variables, elles sont quand même de nature statique. 2.6.1

Nature des surcharges L

La surcharge d’utilisation dépend de l’usage prévu de la construction. Elle inclut les personnes, l’ameublement, le matériel entreposé et autres items semblables. Elle ne doit pas être inférieure à celle donnée dans le tableau 4.1.5.3 et 4.1.5.10 du CNB. Sa valeur et sa répartition doivent être choisies de façon à produire l'effet le plus défavorable. On notera par exemple que la répartition montrée en Fig.2.1a produit les réactions maximales dans les colonnes, celle en Fig.2.1b les moments positifs maximaux, alors que la répartition illustrée en Fig.2.1c produit le moment négatif maximal.

Fig. 2.1 - Répartition des charges pour effet défavorable désiré Les valeurs des surcharges d’utilisation souvent utilisées en construction peuvent être trouvées dans les Tableaux 4.1.5.3 et 4.1.5.10 du CNB pour les charges uniformément réparties et concentrées, respectivement. Ces derniers sont reproduits en partie aux Tableaux 2.7 et 2.8.

2-9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Tableau 2.7 - Surcharges réparties uniformément (source : T4.1.5.3 CNB 2010) Utilisation

Charge minimale (kPa = kN/m2)

Aires de stockage et entrepôts Aires résidentielles Aires réservées à l’équipement et locaux techniques Balcons extérieurs Balcons intérieurs et mezzanines où peuvent se réunir des spectateurs Bibliothèques : - salles de lecture et étude - salles de rayonnage Corridors, halls et allées de plus de 1,2 m de largeur Cuisines (sauf habitations) Édifices à bureaux : - au rez-de-chaussée et au sous-sol - aux étages supérieurs Édifices commerciaux Édifices d'habitation (immeubles d'appartements, hôtels, motels...) Garages : - automobiles - camions légers et autobus non chargés - camions et autobus chargés Issues et escaliers de secours Lieux de réunion : - lieux de réunion avec sièges fixes ou non (gymnases, halls d'entrée, patinoires, pistes de danse, salles à manger, scènes, stades couverts, tribunes et gradins) - lieux de réunion dont au moins 80 % de la surface est occupée par des sièges fixes à dossier (églises, salles de spectacles) - salles de classe avec sièges fixes ou non Locaux de récréation ne servant pas à des réunions Salles d'opération et laboratoires Usines

4,8 1,9 3,6 4,8 4,8 2,9 7,2 4,8 4,8 4,8 2,4 4,8 1,9 2,4 6,0 12,0 4,8

4,8 2,4 2,4 3,6 3,6 6,0

Tableau 2.8 - Surcharges concentrées (source : T4.1.5.10 CNB 2010) Utilisation

Charge concentrée minimale (kN)

Surfaces de toit Planchers de salles de classe Planchers de bureaux, de bâtiments industriels, de salles d'hôpital, de scènes Planchers et surfaces supportant des automobiles Planchers et surfaces supportant des véhicules d'un poids brut inférieur à 3 600 kg Planchers et surfaces supportant des véhicules d'un poids brut supérieur à 3 600 kg mais inférieur à 9 000 kg Planchers et surfaces supportant des véhicules d'un poids brut supérieur à 9 000 kg Trottoirs et voies d’accès privées pour automobiles, au-dessus d’un sous-sol ou d’un espace à découvert

2-10

1,3 4,5 9 11 18 36 54 54

CTN-408

2.6.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Réduction de la surcharge répartie uniformément

Le CNB permet d'appliquer des facteurs de réduction à la surcharge (4.1.5.9) reconnaissant ainsi qu'il est très peu probable qu'un plancher de grande surface tributaire soit chargé dans sa totalité ou que tous les planchers d'un bâtiment multiétagé supportent simultanément la totalité de leur surcharge. Deux cas peuvent se présenter 1) si A > 80 m2

où A =

(Type A  4,8 kPa)

surface tributaire totale excluant la surface supportant la neige pour  établissement de réunion (4,8 kPa ou plus),  entreposage, fabrication, vente au détail,  stationnement de véhicule,  passerelle pour piéton.

Alors, la surcharge due à l'usage, sans tenir compte de la surcharge due à la neige, peut être multipliée par : 0,5 + 20/A 2) si B > 20 m2

où B =

(Type B < 4,8 kPa)

surface tributaire totale excluant la surface supportant la neige, pour  autres surcharges que celles indiquées en (1), c.-à-d. la majorité des cas

Alors, la surcharge due à l’usage, sans tenir compte de la surcharge due à la neige, peut être multipliée par :

0,3 + 9,8/B

2-11

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 2.1 La charpente de la Figure 2.2 consiste en des dalles plates supportées par des colonnes et deux murs (servant également de support latéral). Évaluer les efforts de gravité pondérés pour les états limites ultimes (Tableau 2.5) qui agissent sur la colonne D. On donne : Toiture : Charge permanente non pondérée de 3,0 kN/m2 Surcharge totale de neige selon CNBC : 1,84 kPa (Calculée à l’exemple 2.2) Planchers: Charge permanente non pondérée de 3,6 kN/m2 Surcharge d’utilisation de 2,4 kPa (Garage automobiles)

Fig. 2.2 - Exemple 2.1 Solution :

Trois types de charges agissent sur la colonne D : Charge permanente D (toiture et plancher), charge d’utilisation L (sur le plancher) et charge de neige S (sur la toiture). On aura donc à vérifier les combinaisons de charges suivantes, telles que définies dans le Tableau 2.5 : 1 1,4D --2 1,25D + 1,5L 0,5S 3 1,25D + 1,5S 0,5L À noter qu’ici toutes les charges sont des charges gravitaires, donc agissent dans le même sens. L’application du coefficient 0,9 à la charge D n’est donc pas pertinente.

On calcule d’abord les efforts non-pondérés agissant sur la colonne C et qui seront transférés à la colonne D.

2-12

Chapitre 2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(a) Effort de gravité pondéré Cf sur la colonne C Atributaire de colonne C = 10 m  7,5 m = 75 m2 Charge permanente D: wD = 3,0 kN/m2 Charge de neige S : wS = 1,84 kN/m2

Efforts non pondérés dus à wD et wS. CC (D) = 3,0 kN/m2  75 m2 = 225 kN CC (S ) = 1,84 kN/m2  75 m2= 138 kN Effort pondéré Cf sur la colonne C CfC = 1,25  225 kN+ 1,5  138 kN = 488,25 kN (a) Effort de gravité pondéré Cf sur la colonne D La colonne D reçoit la charge venant de la colonne C et la charge appliquée sur le plancher de l’étage (on néglige ici le poids propre de la colonne). Atributaire de colonne D = 10 m  7,5 m = 75 m2 Charge permanente D: wD = 3,6 kN/m2 Charge d’utilisation L : wL = 2,4 kN/m2

Efforts non pondérés dus à wD et wL. CC (D) = 3,6 kN/m2  75 m2 = 270 kN CC (L) = 2,4 kN/m2  75 m2= 180 kN Effort pondéré Cf sur la colonne D (1) 1,4D CfD = 1,4  (270kN + 225kN) = 693 kN (2) 1,25D + 1,5L + 0,5S CfD = 1,25  (270kN + 225kN) + 1,5  180kN + 0, 5  138kN = 957,75 kN (3) 1,25D + 1,5S + 0,5L CfD = 1,25  (270kN + 225kN) + 1,5  138kN + 0, 5  180kN = 846,75 kN La combinaison (2) est la plus critique et servira pour la conception de la colonne D.

2-13

Chapitre 2

CTN-408

2.7

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

SURCHARGE DUE À LA NEIGE, À LA GLACE ET À LA PLUIE (CNB 4.1.6)

La surcharge due à la neige sur les toits varie en fonction de l’élévation, la latitude, la fréquence des vents, la durée de la chute de neige, de l’exposition du site, de la grandeur, de la géométrie et de l’inclinaison du toit. Les charges de neige au sol et de pluie en kPa (kN/m2) sont données en fonction des régions dans l’annexe C du CNB. Cependant, ces charges doivent être modifiées pour tenir compte des facteurs mentionnés précédemment. La surcharge S résultante peut être calculée par : S  I S  S S  (Cb  CW  Cs  Ca )  S r 

(2.3)

IS

=

coefficient de risque de la charge due à la neige, selon la catégorie de risque décrite au Tableau 2.2. Les coefficients de risque sont donnés au Tableau 2.3.

SS et Sr

=

respectivement, charges de neige au sol et de pluie en kPa (kN/m2) données en fonction des régions à l’annexe C du CNB reproduite à l’Annexe B (pages B-8 à B-11) des notes de cours. En respectant` :

Sr  SS  (Cb  CW  Cs  Ca ) Cb

=

coefficient de surcharge de neige sur toit = 0,8.

Cw

=

coefficient d'exposition au vent; généralement égal à 1 mais peut être réduit à 0,75 ou à 0,5 selon art. 4.1.7.1 (3) Par conséquent, lorsque le toit est entièrement exposé au vent Cw doit être égal à 0,75 (ou 0,5 pour les endroits situés au nord de la limite des arbres).

Cs

=

coefficient de pente du toit. Il dépend de la pente du toit comme suit :

Angle  du toit

 ≤ 30

30 <  ≤ 70

 > 70

Cs

1,0

70 o   o 40 o

0

2-14

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Il faut noter cependant que pour les toits ayant une surface lisse (ex. : verre, métal) ne présentant pas d'obstacles au glissement de la neige et de la glace, Cs peut être réduit, selon les articles 4.1.7.1 (5) et (6) du CNB. Angle  du toit

 ≤ 15

15 <  ≤ 60

 > 60

Cs

1,0

60o   o 45o

0

Il est également important de signaler que la surcharge due à la neige peut être totale ou partielle de manière à produire les effets les plus défavorables sur l’élément structural à calculer. Détermination du coefficient d’accumulation Ca Le coefficient d'accumulation Ca tient compte des accumulations possibles de la neige et permet de définir ainsi la répartition de la charge de neige sur les toitures. La valeur de ce coefficient est calculée conformément à l’article (4.1.8.1 (8)). Le coefficient d'accumulation Ca doit être égal à 1,0; toutefois le coefficient d'accumulation Ca doit être modifié pour tenir compte des effets créant une surcharge non uniforme tel que : (a) la forme du toit (b) le balayage de la neige d’un niveau de toit adjacent plus élevé du même bâtiment ou d’un bâtiment situé à 5 m ou moins (c) la présence d’éléments en saillie sur le toit (acrotère) (d) le glissement de la neige ou l’écoulement de l’eau de fonte depuis les toits adjacents Les figures G-1 et G-5 à G-7 des commentaires du GCNB permettent de déterminer la répartition de la neige et les coefficients de surcharge due à la neige pour des toitures plates et inclinées. Ces figures sont présentées à l’Annexe B des notes de cours.

2-15

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 2.2 Pour la charpente de l’exemple 2.1 (Figure 2.2) évaluez la surcharge totale de neige prescrite par le CNBC agissant sur la toiture.  Il s’agit d’un garage situé à Pierrefonds.  Considérer que le bâtiment est exposé au vent. Note: Utiliser la Figure G-1 (SCNB); Poids volumique de la neige :  = 3 kN/m3. (La masse volumique de la neige varie de 100 à 500 kg/m3 et celle de la glace est 900 kg/m3)

Solution :

Selon l’équation 2.3, la surcharge due à la neige, la glace et la pluie, S, est calculée par : S  I S  S S  (Cb  CW  Cs  Ca )  S r  avec Sr  S S  (Cb  CW  Cs  Ca ) IS = 1,0 (garage entrant dans la catégorie de risque normal) Ss = 2,4 kPa et Sr = 0,4 kPa à Pierrefonds (Annexe p. B-8 à B-11) Cb = 0,8 Cw = 0,75 (toit exposé au vent) Cs = 1,0 (toit plat =0°) Calcul de Ca (Fig. G-1, GCNB Annexe p. B-1) : Puisque Cw = 0,75 et  = 0° alors : Cas I : Ca = 1,0 S S   2, 4(0,8  0, 75  1, 0  1, 0)   1, 44 kN/m 2 Sr = 0,4 kN/m2 ≤ 1,44 kN/m2 S  1, 0  (1, 44  0, 4)  1,84 kN/m 2

Cas II Ca = 0,5 S S   2, 4(0,8  0, 75  1, 0  0,5)   0, 72 kN/m 2 Sr = 0,4 kN/m2 ≤ 0,72 kN/m2 S  1, 0  (0, 72  0, 4)  1,12 kN/m 2

2-16

Chapitre 2

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 2.3 La Figure 2.3 suivante montre la charpente principale d'un atelier rectangulaire et d'un bâtiment administratif, de plus faibles dimensions, situés à Pierrefonds. La charpente consiste en une ossature métallique articulée stabilisée transversalement par des diaphragmes de toitures rigides et des diagonales de contreventement (non montrées) situées dans les parois verticales. Évaluer les efforts de gravité pondérés qui agissent sur le poteau A-B-C considérant une charge permanente non pondérée de 3,0 kN/m2 provenant de la toiture et la surcharge totale de neige prescrite par le Code national du bâtiment du Canada. Considérer que le bâtiment est exposé au vent.

Note : Utiliser la Figure G-5 (GCNB) voir Annexe B-3; Poids volumique de la neige = 3 kN/m3. Pour ce bâtiment le coefficient de risque IS = 1,0, car c’est un bâtiment appartenant à une catégorie de risque normal.

Fig. 2.3 - Exemple 2.3

2-17

Chapitre 2

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Solution :

ANALYSE DES STRUCTURES

Deux types de charges agissent sur le poteau A-B-C : Charge permanente D (toit supérieur et inférieur), surcharge due la neige, la glace et la pluie S. On aura donc à vérifier les combinaisons de charges suivantes, telles que définies dans le Tableau 2.5 : (1) 1,4D (2) 1,25D + 1,5S (a) Surcharge due à la neige, la glace et la pluie Sur le toit supérieur A S A  I S  S s (CbCW Cs Ca )  S r 

où

Ss = 2,4 kPa et Sr = 0,4 kPa à Pierrefonds (Annexe p. B-8 à B-11) IS = 1,0 (atelier) Cb = 0,8 Cw = 0,75 Cw = 0,75 (toit exposé au vent) Cs = 1,0 (toit plat =0°)

Calcul de Ca (Fig. G-1, GCNB Annexe p. B-1) : Puisque Cw = 0,75 et  = 0° alors : Cas I : Ca = 1,0 S S   2, 4(0,8  0, 75  1, 0  1, 0)   1, 44 kN/m 2 Sr = 0,4 kN/m2 ≤ 1,44 kN/m2 S  1, 0  (1, 44  0, 4)  1,84 kN/m 2

Cas II Ca = 0,5 S S   2, 4(0,8  0, 75  1, 0  0,5)   0, 72 kN/m 2 Sr = 0,4 kN/m2 ≤ 0,72 kN/m2 S  1, 0  (0, 72  0, 4)  1,12 kN/m 2

Le cas I est celui qui crée la charge la plus grande sur la colonne A-B-C, nous retiendrons donc : Charge de neige uniforme de S A  1,84 kN / m 2

2-18

Chapitre 2

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Sur le toit inférieur B S A  I S  S s (CbCW Cs Ca )  S r  où

Ss = 2,4 kPa et Sr = 0,4 kPa (Annexe B-8 à B-11)

à Pierrefonds

IS = 1,0 Cb = 0,8 Cw = 1,0 car protégé du vent par le toit supérieur Cs = 1,0 (toit plat =0°)

Calcul de Ca (Fig. G-5, GCNB Annexe p. B-3) : x

A

(0  x  4 m)

SB (x = 0) SB (x = xd)

h=2 m

SB (x = 10h’)

B xd x = 10h’

(i) Calcul de xd 5(h  Cb S s /  )  5(2  0,8  2, 4 / 3)  6,8 m xd = minimum de   (5S s /  )( F  Cb )  (5  2, 4 / 3)( F  0,8)

2-19

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

F est défini par la Fig. G-6 ou l’équation (4) voir commentaires du GCNB Annexe p. B-2

F  2,0  F  max  2 0,5  F  0,35   lc / Ss  6( hp / Ss )   Cb Avec :

lc  2 w  w 2 / l (dimensions du toit supérieur)

lc  2 w  w2 / l  2  9  92 /16  12,94 m

 hp

  F  2, 0 Ss   F max  0,5    lc 3  12,94 F  0,35 16, 2  6(0) 2   0,8  2, 21      16, 2  Ss 2, 4 0

F  2, 21

Donc

xd = 6,8 m  xd = min   xd = (5  2, 4 / 3)(2, 21  0,8)  5, 64 m

xd = 5, 6 m

et

Comme la largeur de la toiture inférieure (4 m) est plus petite que xd = 5,6 m, la répartition de la neige sera trapézoïdale. SB (x = 0) SB (x = 4m)

x=4m

2-20

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

(ii) Calcul de Ca à x=0 3 2  h  C S  0,8  2, 4  3,13  b s Ca  min  F 2, 21    2, 76  Cb 0,8

Ca

Donc

( x  0)

 2,76

(iii) Calcul de Ca à x=4 (0  x  4 m)

Ca ( x  0)  Ca ( xd )  4m  2, 76  1 4  1,5  2, 76  Ca ( x  4)  Ca ( x  0)   5, 6m 5, 6

Ca

Donc

( x  4)

 1,5

d’où

S B (0)  2, 4(0,8  1, 0  1, 0  2, 76)  0, 4  5, 7 kPa S B (4)  2, 4(0,8  1, 0  1, 0  1,5)  0, 4  3,3 kPa 1,84 kN/m2 C

5,7 kN/m2 3,3 kN/m2

B

A 9m

4m

2-21

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Chapitre 2

(b) Effort de gravité pondéré à l'extrémité C du poteau (1,25 D + 1,5 S) Atributaire = 4  4,5 = 18 m2 S= SA = 1,84 kN/m2 (voir p. 2-16) D = 3,0 kN/m2 (voir p. 2-15) CfC = (1,25  3,0 + 1,5  1,84) 18 = 117,2 kN C’est la charge de compression pondérée dans ABC, au point C. (c) Effort de gravité pondéré au point intermédiaire B

B

C

2

(i) Charge permanente D pondérée : A

Aire tributaire  4  2  8 m 2 CfBD = 1,25  3,0  8 = 30 kN

(ii) Surcharge de neige S pondérée : SB(0) = 5,7 kN/m2 SB(4) = 3,3 kN/m2 La surcharge de neige répartie linéairement sur la poutre qui repose sur le poteau ABC est donnée par une répartition trapézoïdale. 34,2 kN/m

wfS0 = 1,5 x 5,7 x 4 = 34,2 kN/m wfS4 = 1,5 x 3,3 x 4 = 19,8 kN/m

19,8 kN/m ABC

On calcule ici la réaction sur le poteau ABC de la charge de neige répartie.

1    34, 2  19, 8   4 2  C fS  19, 8  4        58, 8 2  2 3  = 58,8 kN

2-22

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(iii) Surcharge totale : CfB = CfBD + CfBS = 30 + 58,8 = 88,8 kN (d) Effort de gravité pondéré au point A ou Réaction en A CfA = RA = CfC + CfB = 117,2 + 88,8 = 206,0 kN

2-23

Chapitre 2

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ANALYSE DES STRUCTURES

2.8

SURCHARGES DUES AU VENT (W) (CNB 4.1.7)

2.8.1

Introduction

Chapitre 2

Les effets du vent agissant sur une structure peuvent être de nature statique ou dynamique. Il existe trois méthodes pour tenir compte de ces effets :

  

Expérimentale (ex. : soufflerie) Calcul dynamique Simplifiée

On ne traitera, dans le cadre du cours, que de la méthode simplifiée tenant compte des effets statiques du vent conformément à l’art.4.1.7 du CNB. Cette méthode s’applique pour les composants structuraux et les revêtements, ainsi que pour les bâtiments de faible hauteur (H  20 m) ou de hauteur moyenne. Pour tenir compte des effets dynamiques du vent, le code recommande d’utiliser soit une méthode empirique ou la méthode détaillée de calcul dynamique (4.1.7.2). Une structure se trouvant dans la trajectoire du vent le dévie ou peut même l’arrêter. Par conséquent, l’énergie cinétique du vent se transforme en énergie potentielle de pression ou succion. Cette pression s’exerce à l’extérieur du bâtiment comme à l’intérieur lorsqu’il y a des ouvertures. Lorsqu’un fluide comme l’air circule autour d’un objet, des courants complexes se forment autour de celui-ci. Ces courants, parfois turbulents, dépendent de la forme de l’objet et les forces résultantes sont soit des forces de pression ou des forces de succion. La Figure 2.4 illustre ces courants circulant autour de différentes formes.

Fig. 2.4 - Configuration des courants de vent autour de différentes formes

2-24

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

L’intensité de la pression ou de la succion du vent dépend :

       

De la vitesse du vent; De la densité de la masse d’air; De la géométrie et la forme de la structure; Des dimensions de la structure; De l’orientation de la structure; De la localisation exacte du point considéré sur la structure; Du type de surface sur laquelle le vent agit; De la rigidité globale de la structure;

La distribution typique des pressions s’exerçant sur un bâtiment est illustrée à la figure suivante.

Vent

Fig. 2.5 - Distribution des pressions extérieures

2-25

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2.8.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Méthode simplifiée du CNB

La méthode simplifiée du Code National du Bâtiment permet de calculer les pressions extérieures et intérieures à partir de la pression dynamique de référence obtenue en fonction de la région. Selon cette méthode, les pressions pour les bâtiments de faible hauteur (H  20 m) sont déterminées de la façon suivante en superposant les effets cumulatifs des pressions intérieures et extérieures par :

p  pext  pint À noter que si la pression intérieure diminue la pression extérieure, la pression intérieure est négligée. a) Pression extérieure p  IW  q  Ce  C g  C p 

(2.4)

où

p

=

IW

pression extérieure spécifiée, s’exerçant de façon statique et dans un direction normale aux parois du bâtiment, et positive (de l’extérieur vers l’intérieur ou négative (de l’intérieur vers l’extérieur).

=

coefficient de risque de la charge de vent, selon la catégorie décrit à la Section 2.3. Les coefficients de risque sont donnés au Tableau 2.3.

q

=

pression dynamique de référence donnée en Annexe C du CNB sur les données climatiques (présentée en annexe des notes de cours) et est basée sur une probabilité annuelle de dépassement de 1 :50 (1 fois en 50 ans).

Ce

=

Coefficient d'exposition (4.1.7.1 (5)), variant en fonction de la hauteur du bâtiment est égal à : 0,2

Terrain à découvert

 h  C e =    0,9  10 

(2.5a)

0,3

Terrain rugueux

 h C e = 0,7    0,7  12 

(2.5b)

où

h : Hauteur de référence moyenne du toit au-dessus du sol, ou 6 m si cette dernière valeur est plus élevée. La hauteur de l’avant-toit H (Fig. I-7) peut être substituée à la hauteur moyenne h si la pente du toit est inférieure à 7o.

2-26

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Terrain rugueux : Une banlieue, ou une zone urbaine ou un terrain boisé interrompu sur une distance d’au moins 1 km ou 10 fois la hauteur du bâtiment. Cg

=

Coefficient de rafale (4.1.7.1 (6)), est égal à :

a) 2,0 pour le bâtiment dans son ensemble et les principaux éléments structuraux b) 2,5 pour les revêtements extérieurs et petits éléments structuraux Cp

=

Coefficient de pression. (Fig. I-7 à I-15). Les valeurs de Cp sont déterminées à l’aide de figures du Commentaire I du GCNB. Pour les bâtiments de faible hauteur, la Fig. I-7 du GCNB donne directement les valeurs du produit Cp Cg. Cette figure est présentée en annexe B des notes de cours.

La Fig. I-7 du GCNB est basée sur une hauteur de référence, H de la surface au vent du bâtiment qui remplit les conditions suivantes :

H / Ds

 0,5

et

H

 20m

Où Ds est la largeur de la surface au vent du bâtiment. Note :

Les coefficients positifs correspondent à des forces qui agissent en direction de la surface.

b) Pression intérieure

Le calcul de la pression intérieure est semblable à celui de la pression extérieure avec les définitions des coefficients Ceint, Cgi et Cpi données plus bas. pi  IW  q  Ceint  C gi  C pi 

(2.6)

où Ceint =

Coefficient d'exposition (4.1.7.1 (5)), variant en fonction de la hauteur du bâtiment est donné par l’équation (2.5). À noter que pour le calcul de la pression intérieure, la hauteur de référence, h, est définie comme étant égale à la moitié de la hauteur du bâtiment, sauf lorsque le bâtiment comporte une grande ouverture, auquel cas h devrait être considérée comme étant égale à la hauteur de l’ouverture à partir du sol.

Cgi =

Coefficient de rafale = 2,0 ou une valeur établie à l’aide d’un calcul détaillé qui tient compte de la taille des ouvertures dans l’enveloppe du 2-27

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

bâtiment, de la souplesse et du volume intérieur de l’enveloppe du bâtiment. La valeur minimale possible est 1,0. Cpi =

Coefficient de pression interne. Ce coefficient est difficile à évaluer compte tenu de l’influence des ouvertures notamment. Néanmoins, malgré ces incertitudes, les coefficients au Commentaire I GCNB sont assez représentatifs des pressions intérieures dans les structures de faible et de grande hauteur. Ces coefficients sont résumés dans le tableau suivant : Coefficient de pression intérieure (source : CNB 2010)

Types d'ouvertures Petites ouvertures réparties uniformément et représentant moins de 0,1 % de la surface totale du bâtiment Grandes ouvertures pouvant être fermées pendant les tempêtes, mais dont les infiltrations ne sont pas nécessairement répartie uniformément Ouvertures importantes par lesquelles les rafales pénètrent à l’intérieur (hangars, bâtiments industriels…) Note :

Cpi

(1) (2)

-0,15 à 0 -0,45 à 0,3

-0,7 à 0,7

(1) Cpi = 0 si l'effet de la pression intérieure est de diminuer l'effet de la pression extérieure. (2) Les coefficients Cpi positifs correspondent à des forces qui agissent de l'intérieur vers l'extérieur.

Par exemple, pour un bâtiment ayant de grandes ouvertures on doit vérifier le cas où la pression intérieure agit de l’extérieur vers l’intérieur avec un coefficient de pression interne (Cpi = -0,45) ainsi que le cas où la pression intérieure agit de l’intérieur vers l’extérieur avec coefficient de pression interne (Cpi = +0,30). Cette pression interne est ensuite considérée comme agissant simultanément avec la pression extérieure et si l'effet de la pression intérieure est de diminuer l'effet de la pression extérieure, alors le coefficient de pression interne est pris égal à (Cpi = 0).

2-28

CTN-408

2.8.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Applications

Exemple 2.4 : Trouver les forces dues au vent qui s'exercent sur le bâtiment commercial situé à St-Jérôme en terrain découvert. C'est un bâtiment ayant des ouvertures importantes sur le mur 1 par lequel les rafales peuvent pénétrer. La structure du bâtiment est constituée de cadres rigides distants de 5 m. (Fig.2.6).

Fig. 2.6 - Exemple 2.4

2-29

Chapitre 2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

q1/50= 0,37 kPa (Annexe B-8 à B-11) α = pente = arc tg (3.5/6) = 30 h = hauteur moyenne (pression extérieure) = 6 + 3,5/2 = 7.75 m h = hauteur moyenne (pression intérieure) = 6 m (hauteur ouverture)

Solution

Extérieur  h     10 

Ce qCe

0,2

 7,75  =   10 

Intérieur

0,2

 h     10 

= 0,95

0,2

0,352 kPa

 6  =   10 

0,2

= 0,9

0,333 kPa

Z(Fig.I-7)

min. [(0,112),(0,47,75)] = 1,2 m

Y (Fig.I-7)

5m

Les cas A et B doivent être traités, soient le vent perpendiculaire au faîte et le vent parallèle au faîte. Ici le coefficient de risque n’est pas appliqué sur la pression calculée, mais sera appliqué sur les valeurs finales critiques retenues. a) CAS A : vent perpendiculaire au faîte (voir Fig.I-7 du GCNB) Ce cas correspond au vent soufflant dans le mur (1) (mur dans le vent) avec des rafales pouvant pénétrer à l’intérieur du bâtiment, ce qui correspond à un Cpi = +0.7 (forces qui agissent de l’intérieur vers l’extérieur). À noter, que pour les surfaces 1 et 1E on peut considérer les ouvertures ouvertes (aucune pression) ou les ouvertures fermées (pression externe seulement). a-1 Pression extérieure p = qC eC g C p Pour une pente de toit de 30, le produit Cp Cg pour les différentes surfaces est donné par Fig.I-7 du GCNB (Annexe B-6). Les pressions extérieures pour les différentes surfaces du bâtiment sont donc : Surface

1

1E

2

2E

3

3E

4

4E

CpCg

+1,05

+1,3

+0,4

0,5

-0,8

-1,0

-0,7

-0,9

qCe

0,352

0,352

0,352

0,352

0,352

0,352

0,352

0,352

+0,370

+0,458

+0,141

+0,176

-0,282

-0,352

-0,246

-0,317

p (kPa)

(+) de l’extérieur vers l’intérieur (voir Fig. I-7 du GCNB)

2-30

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

p =q

C e C g C pi a–2 Pression intérieure i Pour la pression intérieure le Cpi = 0,7 et le Cg = 1,0. Les pressions intérieures pour les différentes surfaces du bâtiment sont considérées positives de l’intérieur vers l’extérieur et sont donc : Surface

1*

1E*

2

2E

3

3E

4

4E

Cpi

+0

+0

+0,7

+0,7

+0,7

+0,7

+0,7

+0,7

Cg

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

qCe

0

0

0,333

0,333

0,333

0,333

0,333

0,333

pi (kPa)

0

0

0,233

0,233

0,233

0,233

0,233

0,233

(+) de l’intérieur vers l’extérieur *Lorsque les ouvertures sont ouvertes, aucune pression ne s’exerce sur les surfaces 1 et 1E.

a-3 Pression résultante pr et pression enveloppe penveloppe : Attention aux signes! La pression résultante pr est donnée par la différence entre la pression extérieure p et la pression intérieure pi soit : (pr = p - pi). La pression enveloppe correspond à la valeur maximale (positive ou négative) la plus grande entre la pression résultante pr et la pression extérieure p. Surface

1*

1E*

2

2E

3

3E

4

4E

pr (kPa)

0,370

0,458

-0,090

-0,057

-0,515

-0,585

-0,479

-0,550

Penveloppe

0,370

0,458

0,141

0,176

-0,515

-0,585

-0,479

-0,550

Penv.*IW

0,370

0,458

0,141

0,176

-0,515

-0,585

-0,479

-0,550

(+) de l’extérieur vers l’intérieur (voir Fig. I-7 du GCNB) *La pression externe contrôle pour les surfaces 1 et 1E lorsque les ouvertures sont fermées IW = 1,0 (catégorie de risque normal voir Section 2.3)

On répète le calcul pour le vent soufflant perpendiculairement au faîte mais dans le mur (4) (mur (1) sous le vent). Les coefficients CpCg pour la pression extérieure sont alors modifiés et les rafales pénétrant à l’intérieur du bâtiment créent une succion, ce qui correspond à un Cpi = -0.7 (forces qui agissent de l’extérieur vers l’intérieur). b) CAS B : vent parallèle au faîte (voir Fig.I-7 du GCNB) Ce cas correspond au vent soufflant parallèlement au mur (1) avec des rafales pouvant pénétrer à l’intérieur du bâtiment, ce qui correspond à un Cpi = +0.7 (forces qui agissent de l’intérieur vers l’extérieur). À noter, que pour les surfaces 1 et 1E on peut considérer les ouvertures ouvertes (aucune pression) ou les ouvertures fermées (pression externe seulement). On procède de la même manière que pour le cas A

2-31

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Exemple 2.5 Un entrepôt construit totalement en acier, à Chambly, est exposé au vent sur ses quatre faces (Fig.2.7a). Il comprend 4 grandes portes de dimension 4 m x 5 m sur sa face est et aucune ouverture sur les autres faces. Considérez que le bâtiment est situé à terrain découvert et que des rafales peuvent pénétrer à travers la porte. Déterminez, selon le Code national du bâtiment du Canada, les charges maximales non pondérées dues au vent (en kPa) sur les parties du toit et du mur ouest comprises entre les cadres 3 et 4.

4  5m

(2  0.7) Cgi Cpi

Fig. 2.7 - Exemple 2.5

2-32

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Note : On considère ici seulement le vent soufflant dans la direction E-O. Une évaluation complète demanderait aussi de considérer les directions OE et N-S. Solution :

Calcul des pressions

pint = qCeintCgiCpi

pext = qCeCgCp

q1/50 = 0,40 kPa (Annexe B-8 à B-11) h Ce =    10 

Où

0,2

 7,36  =   10 

0,2

= 0,94

 5 C =   10 

0,2

int e

 0,87 donc  0,9

1 7,5m tan 20o   7,36m pour le Ce  2 h = 5m (hauteur de l’ouverture) pour le Ceint h  6m 

Les produits CpCg sont déterminés à l'aide de la Fig.I-7 GCNB (Annexe B-7) pour les pressions extérieures et pour les pressions intérieures Cgi = 2.0 et le Cpi est donné par 0,7 puisque les rafales peuvent pénétrer à l’intérieur. Ils sont résumés dans la Fig.2.7(b). Les pressions résultantes sur le mur ouest et le toit sont donc Mur ouest : Toit ouest : Toit est :

p = 0,40 [(0,94  0,8) + (0,9  0,7  2)] p = 0,40 [(0,94  0,9) + (0,9  1,4)] p = 0,40 [(0,94  1,3) + (0,9  1,4)]

= 0,805 kPa = 0,842 kPa = 0,990 kPa

Puisqu’il s’agit d’un entrepôt, on peut identifier la catégorie de risque comme faible. Le coefficient de risque IW est donc égal à 0,8 (Tableau 2.3). Les pressions résultantes sont données par : Mur ouest: Toit ouest: Toit est:

p = 0,805 kPa  0,8 = 0,64 kPa p = 0,842 kPa  0,8 = 0,67 kPa p = 0,990 kPa  0,8 = 0,79 kPa

2-33

CTN-408

2.9

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

SURCHARGE DUE AUX SÉISMES (E) (CNB 4.1.8)

2.9.1

Introduction

Un tremblement de terre est un phénomène vibratoire associé à des chocs sur la croûte terrestre. Une des causes premières est le glissement de plaques tectoniques adjacentes. Le choc résultant de ce glissement se propage sous forme d’ondes causant la vibration de la surface terrestre et de tout bâtiment s’y trouvant. Sous l’effet des vibrations, la masse du bâtiment résiste au mouvement développant ainsi des forces dans la structure. Les forces développées lors d’un séisme sont donc des forces d’inertie. Les facteurs influençant l’amplitude de ces forces sont :

      

La masse du bâtiment La distribution de la masse La rigidité de la structure La rigidité du sol Le type de fondation La présence ou non d’un mécanisme d’amortissement dans le bâtiment La nature et l’amplitude des ondes vibratoires

La nature et l’amplitude des ondes vibratoires sont très difficiles à définir puisqu’un séisme est un phénomène aléatoire. Cependant avec les données recueillies durant les dernières décennies on a pu discerner certains patrons. Quoiqu’agissant dans les trois directions, les ondes les plus importantes pour le dimensionnement d’une structure sont les ondes horizontales. La réponse d’une structure à un séisme donné sera principalement déterminée par sa masse, sa rigidité et sa période. L’évaluation de la surcharge due aux séismes peut se faire soit par :

 

Une analyse dynamique La méthode des forces statiques équivalentes proposée par le Code National du Bâtiment

2-34

CTN-408

2.9.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Force sismique totale

Afin de bien comprendre les bases régissant la méthode des forces statiques équivalentes, considérons d’abord la réponse d’une structure rigide à un mouvement vibratoire. Lorsqu’une structure complètement rigide est soumise à une vibration à sa base, la structure se déplace en bloc avec la vibration forcée. La partie supérieure de la masse tend à rester en place alors que la base tend à se déplacer. Ces tendances opposées créent des forces internes dans la structure. Pour un bloc rigide de poids W soumis à un mouvement du sol d’accélération a, la force d’inertie développée est simplement Fi = (W/g)a, où g est l’accélération due à gravité. Pour qu’il y ait équilibre, une force de cisaillement (V) égale et opposée se développe à la base de la structure (Fig.2.8). Cette force correspond à la force à laquelle la structure doit résister. Corps rigide

W : Poids total

Force d’inertie : Fi= (W/g)a

Force de cisaillement à la base résistant à la force d’inertie : V=Fi Accélérations au sol Fig. 2.8 - Forces d’inertie d’un corps rigide Ce modèle extrêmement simple a servi de base pour le développement du dimensionnement sismique. Dans le cas de structures flexibles, comme la plupart des bâtiments, un modèle plus sophistiqué est nécessaire pour prédire les forces générées dans la structure lors d’un séisme. Lorsqu’on procède à une analyse dynamique détaillée, on considère entre autres les différents modes de vibration de la structure, les mécanismes d’amortissement permettant de dissiper l’énergie, la rigidité et la répartition de la masse. Pour les structures relativement uniformes (distribution uniforme de la masse et rigidité) et pour le dimensionnement préliminaire, une variation du modèle de base est utilisée. La force sismique totale à la base du bâtiment est calculée non pas uniquement avec la masse et l’accélération du séisme, mais aussi avec des facteurs considérant les conditions de fondation, la période naturelle de vibration de la structure et sa capacité à dissiper l’énergie.

2-35

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Selon le CNB, la force sismique Vbase totale à la base d’un bâtiment est donnée par : 2005 Vbase 

S Ta M v I E W R d R0

(2.7)

où, Ta

=

période du premier mode de vibration de la structure

S(Ta)

=

accélération spectrale correspondant à la période de la structure

Mv

=

facteur d’ajustement qui prend en compte l’effet des modes supérieurs de vibration

IE

=

coefficient de risque pour la charge de séisme (voir Section 2.3)

Rd

=

facteur de modification de force lié à la ductilité

R0

=

facteur de modification de force liée à la sur-résistance

W

=

poids sismique qui se compose de la charge permanente totale et les charges suivantes : 25 % de la surcharge de calcul attribuée à la neige, 60 % du poids stocké dans les locaux d’entreposage et 100 % du contenu des réservoirs.

Les différents facteurs de Vbase sont déterminés de la façon suivante : (a) Période du premier mode de vibration, Ta Type d’ossatures

Valeur de Ta

Ossatures résistantes aux moments non contreventées

En acier

0, 085( hn ) 3 / 4

En béton

0, 075( hn ) 3 / 4

Autres ossatures Ossatures contreventées

0,1 N 0, 025( hn )

Murs travaillant en cisaillement

0, 05( hn ) 3 / 4

N = nombre total d'étages

hn = hauteur du niveau n en m

2-36

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

(b) Accélération spectrale, S(Ta) Dans le CNB 2010 l’aléa est exprimé en termes de valeurs d’accélération spectrales Sa à 0,2s, 0,5s, 1,0s et à 2,0s pour chaque ville d’importance. Les mouvements au sol ont été choisis pour représenter un évènement relativement rare avec une probabilité de 2% en 50 ans soit une période de retour approximatif de 2500 ans. Afin d’obtenir l’accélération spectrale correspondant à la période du premier mode de la structure, S(Ta), on doit modifier l’accélération spectrale de la ville par un facteur d’amplification, Fa ou Fv, tenant compte du type de sol. Les relations suivantes sont utilisées pour déterminer S(Ta). S(T)

= = = = =

FaSa (0,2) si T  0,2 s FvSa (0,5) ou FaSa (0,2) soit la plus petite valeur si T = 0,5 s FvSa (1,0) si T = 1,0 s FvSa (2,0) si T = 2,0 s FvSa (2,0)/2 si T  1,0 s

Les coefficients Fa et Fv sont respectivement des coefficients d’accélération et de vitesse de l’emplacement. Leurs valeurs sont données dans les tableaux suivants. Pour les valeurs intermédiaires de la période T une interpolation est nécessaire. Tableau 2.9 - Valeurs de Fa en fonction de la catégorie d’emplacement et de la valeur de Sa(0,2) (source : T4.1.8.4BCNB 2010) Valeurs de Fa Catégorie Sa(0,2)  0,25 Sa(0,2) = 0,50 Sa(0,2) = 0,75 Sa(0,2) = 1,00 Sa(0,2) = 1,25 A 0,7 0,7 0,8 0,8 0,8 B 0,8 0,8 0,9 1,0 1,0 C 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 D 1,3 1,2 1,1 1,1 1,0 E 2,1 1,4 1,1 0,9 0,9 (1) (1) (1) (1) (1) F

Tableau 2.10 - Valeurs de Fv en fonction de la catégorie d’emplacement et de la valeur de Sa(1,0) (source : T4.1.8.4BCNB 2010) Catégorie A B C D E F

Sa(1,0)  0,1 0,5 0,6 1,0 1,4 2,1 (1)

Valeurs de Fv Sa(1,0) = 0,2 Sa(1,1) = 0,3 0,5 0,5 0,7 0,7 1,0 1,0 1,3 1,2 2,0 1,9 (1)

(1)

2-37

Sa(1,0) = 0,4 0,6 0,8 1,0 1,1 1,7 (1)

Sa(1,0) ≥ 0,5 0,6 0,8 1,0 1,1 1,7 (1)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Les catégories d’emplacement sont définies en fonction du type de sol et doivent être conformes aux valeurs du tableau suivant. Si la vitesse moyenne des ondes de cisaillement Vs est inconnue, il faut déterminer la catégorie de l’emplacement à l’aide de la résistance moyenne à la pénétration standard dont la valeur fait l’objet d’une correction énergétique, N 60 , ou de la résistance moyenne du sol non drainé au cisaillement, su. Tableau 2.11 - Catégories en fonction de la réponse sismique des emplacements (source : T4.1.8.4A CNB 2010) Vitesse moyenne des ondes de cisaillement

Résistance à la pénétration

Résistance du sol non drainé au cisaillement, su (kPa)

Catégorie d’emplacement

Profil du sol

A

Roche dure

Vs > 1 500

S/O

S/O

B

Roche

760 < Vs < 1 500

S/O

S/O

C

Sol très dense et roche tendre

360 < Vs < 760

D

Sol consistant

180 < Vs < 360

E

Sol meuble

Vs < 180

E

F

du sol, Vs (m/s)

standard,

N 60 15 

N 60

> 50

N 60  50

N 60 < 15

su > 100 50 < su  100 su  50

Tout profil de plus de 3 m d’épaisseur et dont le sol a les caractéristiques suivantes :  Indice de plasticité : PI  20;  Teneur en eau : w  40% : et  Résistance du sol non drainé au cisaillement : su < 25 kPa Autres : Une évaluation spécifique à l’emplacement est exigée

(c) Facteur de modification de force lié à la ductilité, Rd et facteur de modification de force lié à la sur-résistance, R0 (CNB 4.1.8.9(1)) Ces coefficients dépendent de la ductilité du système structural contreventant. Ils sont donnés dans le tableau 4.1.8.9. du CNB, et quelques valeurs sont reproduites au Tableau 2.12.

2-38

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Tableau 2.12 - Facteur de ductilité, Rd¸ et facteur de sur-résistance, R0 (source : CNB 2010)

Type de système résistant aux forces latérales Structures d'acier conformes à CAN/CSA-S16.1-M Ossature ductile résistant aux moments Ossature résistant aux moments à ductilité moyenne Ossature résistant aux moments à ductilité restreinte Ossature à contreventement concentrique de ductilité moyenne Ossature à contreventement concentrique de ductilité restreinte Ossature ductile à contreventement excentrique Mur en plaque d’acier ductile Mur en plaque d’acier de ductilité moyenne Mur en plaque d’acier, ossature contreventée ou ossature résistant aux moments de construction traditionnelle SFRS d’acier autre que ceux définis ci-dessus Structures en béton armé conformes à CAN3-A23.3 Ossature ductile résistant aux moments Ossature résistant aux moments de ductilité moyenne Mur ductile couplé Mur ductile partiellement couplé Mur travaillant en cisaillement ductile Mur travaillant en cisaillement à ductilité moyenne Construction traditionnelle SFRS de béton autre que ceux définis ci-dessus Structures en bois conformes à CAN/CSA3-086 Mur travaillant en cisaillement cloué : Panneaux dérivés du bois, Mur travaillant en cisaillement : Combinaison de panneaux dérivés du bois et de plaques de plâtre, Ossature contreventée ou résistant aux moments avec assemblages à ductilité moyenne Ossature contreventée ou résistant aux moments avec assemblages à ductilité restreinte SFRS en bois ou en plâtre autre que ceux définis ci-dessus Structures en maçonnerie conformes à CAN3-S304.1 Mur travaillant en cisaillement à ductilité moyenne Mur travaillant en cisaillement à ductilité restreinte Construction traditionnelle Maçonnerie non armée SFRS en maçonnerie autre que ceux définis ci-dessus Charpentes d’acier profilé à froid conformes à la norme CAN/CSA0-S136 Mur travaillant en cisaillement vissés – panneaux dérivés du bois Mur travaillant en cisaillement vissés – combinaison de panneaux dérivés du bois et de plaques de plâtre Murs à contreventement concentrique à écharpes en diagonale de ductilité limitée Murs à contreventement concentrique à écharpes en diagonale de construction traditionnelle Autres SFRS en acier profilé à froid non définis ci-dessus

2-39

Rd

R0

5,0 3,5 2,0 3,0 2,0 4,0 5,0 2,0 1,5

1,5 1,5 1,3 1,3 1,3 1,5 1,6 1,5 1,3

1,0

1,0

4,0 2,5 4,0 3,5 3,5 2,0 1,5 1,0

1,7 1,4 1,7 1,7 1.6 1,4 1,3 1,0

3,0 2,0

1,7 1,7

2,0

1,5

1,5

1,5

1,0

1,0

2,0 1,5 1,5 1,0 1,0

1,5 1,5 1,5 1,0 1,0

2,5 1,5

1,7 1,7

1,0 1,2

1,3 1,3

1,0

1,0

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

(d) Coefficient de mode supérieur Mv Le coefficient de mode supérieur est donné au tableau 4.1.8.11 du CNB 2010. (e) Coefficient de priorité, IE Ce coefficient dépend de l'importance de la structure après tremblement de terre et sa valeur est donnée au Tableau 2.3 de la Section 2.3. (f) Poids du bâtiment, W

W = charge permanente non pondérée  25 % surcharge de neige non pondérée  60 % du poids stocké (pour un entrepôt)  100 % du contenu des réservoirs n

  Wi

; n étant le nombre d'étages que compte le bâtiment

i 1

2.9.3

Distribution des forces latérales (CNB 4.1.8.11 (6))

La répartition des forces sismiques s'effectue comme suit : a) une partie de V, désignée par Ft est appliquée au sommet de la structure comme force concentrée pour simuler les modes supérieurs de vibration. Ft est égal à :

Ft = 0,07 TV Ft = 0

mais Ft  0,25V

si T > 0,7s si T  0,7s

(2.8)

b) la force restante (V - Ft) est distribuée sur la hauteur selon la formule de répartition suivante : (V  Ft )Wx hx Fx  (2.9) n Wi hi i a

où

Wx, Wi hx, hi n

= = =

partie du poids W correspondant au niveau x ou i hauteur, au dessus de la base, du niveau x ou i niveau maximal de la structure

La Fig. 2.9 montre une répartition typique des forces sismiques ainsi que des efforts tranchants aux différents étages.

2-40

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 2

Fig. 2.9 - Distribution typique des forces sismiques dans un bâtiment courant

2-41

CHAPITRE 3

STRUCTURES ISOSTATIQUES PLANES

Dans ce chapitre, on apprendra à analyser les structures isostatiques planes. En particulier, on traitera les structures formées de poutres, les treillis, les arches et portiques à trois articulations et enfin les structures à câbles.

CTN-408

3.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

INTRODUCTION

Ce chapitre traite des structures isostatiques planes. En particulier, il sera question de structures formées de poutres, de treillis, d'arches et de câbles. Rappelons que la théorie des poutres ainsi que l'analyse des treillis simples ont déjà été traitées dans le cours CTN 308, par conséquent, il ne sera donné ici qu'un résumé des points saillants concernant la théorie des poutres et l'analyse des treillis isostatiques. L'étudiant est encouragé à consulter le cours CTN 308 pour de plus amples détails. L'analyse des structures isostatiques consiste à déterminer, pour un chargement donné : -

les réactions d'appuis les efforts internes.

Ces efforts internes serviront à calculer les contraintes dans les membrures et permettront ainsi, soit de vérifier que les dimensions des sections existantes sont adéquates s'il s'agit d'un problème de vérification, soit de dimensionner ces sections s'il s'agit d'un problème de dimensionnement.

3-1

CTN-408

3.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

STRUCTURES FORMÉES DE POUTRES (RAPPEL)

Les structures formées de poutres sont les systèmes portants les plus couramment utilisés. Nous nous limiterons dans ce cours aux structures planes bien que certains développements puissent très bien s'appliquer aux structures dans l'espace.

3.2.1

Réactions d'appui

Deux cas peuvent se présenter : a)

Si la structure présente trois inconnues indépendantes aux appuis, alors les réactions peuvent être déterminées aisément en considérant le DCL en entier de la structure et en écrivant les équations d'équilibre selon la convention de signes habituelle (Fig. 3.1). Une charge répartie peut être remplacée par une résultante appliquée en son centre de gravité pour le calcul des réactions d'appui.

+

+

Fig. 3.1 - Convention de signes positifs

3-2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemples : Les structures montrées à la Fig.3.2 colonne a ont trois composantes de réactions indépendantes (voir DCL en entier, Fig.3.2 colonne b). Les équations d'équilibre permettent de déterminer les réactions d'appui (Fig.3.2 colonne c).

Fig. 3.2 - Exemples de structures à 3 inconnues indépendantes

3-3

CTN-408

b)

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Dans le cas où la structure a plus de trois inconnues indépendantes aux appuis, alors les réactions peuvent être déterminées en décomposant la structure en DCL élémentaires simples, en considérant l'équilibre de ces DCL et le principe de l'action et de la réaction. Exemples Les structures isostatiques montrées à la Fig.3.3 colonne a ont plus de trois inconnues indépendantes. En les éclatant en DCL élémentaires (Fig.3.3 colonne b) et en écrivant les équations d'équilibre de ces DCL tenant compte du principe de l'action et de la réaction, les réactions d'appui inconnues s'ensuivent (Fig.3.3 colonne c).

Cx

Fig. 3.3 - Exemples de structures isostatiques ayant plus de 3 inconnues indépendantes 3.2.2

Efforts internes - Diagrammes des efforts internes

Efforts internes Les efforts internes sont les efforts normaux (N), tranchants (V), les moments fléchissants (M) et, le cas échéant, le moment de torsion (T). Les efforts internes dans une section sont considérés agir au centre géométrique de cette section. Ils sont mis en évidence en coupant le DCL en entier ou le DCL élémentaire par une section droite et ils sont déterminés en considérant l'équilibre des DCL qui résultent de la coupe.

3-4

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Nous avons vu dans les cours précédents que le sens positif des efforts internes (N,V,M) dépend de la section de coupe (section à droite positive, section à gauche négative) et est tel qu'illustré à la Fig.3.4. En d'autres termes : -

L'effort normal N est positif en traction L'effort tranchant V positif est déduit de N positif par +90 (sens trigo) Le moment M est positif lorsqu'il met en traction la fibre extrême inférieure.

S

S+

S-

M+

V+

V+

M+

N+

N+ (b) Sens positif sur S+ (face coupée à droite)

(a) Sens positif sur S(face coupée à gauche)

Fig. 3.4 - Sens des efforts internes

Cisaillement positif

Flexion positive

Effort normal positif et négatif

3-5

Flexion négative

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 3.5 - Exemple 3.1

3-6

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 3.1 : Déterminer les efforts internes au point C de la structure illustrée à la Fig.3.5a. Solution :

Les équations d'équilibre du DCL en entier (Fig.3.5b) permettent de calculer les réactions d'appui inconnues. MA = 54 kN·m AY = 36 kN Effectuons une coupe par une section droite en C et considérons l'équilibre du DCL de la partie gauche (Fig.3.5c). Notons que les efforts internes ont été placés dans le sens positif et seront ajustés après calcul.

F

x

0

NC  0

F

y

0

36  (12  1,5)  VC  0 VC  18 kN

M

/C

donc 

0

M C  54  36  1,5  (12  1,5)  0, 75  0 M C  13,5 kN .m

3-7

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Diagrammes des efforts internes Rappelons que pour construire les diagrammes des moments fléchissants (DMF), efforts tranchants (DET) et efforts normaux (DEN) il faut respecter les règles provenant des relations analytiques entre la charge répartie p (x), l'effort tranchant V (x) et le moment fléchissant M (x). En effet se référant à la Fig.3.6, on peut écrire (voir cours CTN 308) :

dV dx dM V(x) = dx p(x) = -

x

ou V(x) = -  0 p(x) dx + V 0

(3.1)

x

ou M(x) = -  0 V(x) dx + M 0

(3.2) pdx A

résultante B

p A

B

p(x) M

x

V

V+dV

M+dM

dx dx

L

(a) Poutres sous charge répartie p(x)

(b) DCL de l’élément dx

Fig. 3.6 - Relation entre charge, effort tranchant et moment La méthode graphique pour construire les DEN, DET et DMF consiste à subdiviser la structure en tronçons caractéristiques, et pour tout tronçon de poutre droite avec charge répartie, on applique les règles suivantes : Pour construire le diagramme d’effort normal DEN :  L'effort normal est constant si la charge axiale est nulle, il est linéaire si la charge axiale est uniforme.

3-8

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Pour construire le diagramme d’effort tranchant DET, on tire de l’équation (3.1) :  La variation de l’effort tranchant est donnée par la surface sous la courbe de p(x).  La pente du DET étant égale à la charge transversale :  L'effort tranchant est constant si la charge transversale est nulle.  L’effort tranchant est linéaire si la charge transversale est uniforme. Pour construire le diagramme de moment fléchissant DMF, on tire de l’équation (3.2) :  La variation du moment fléchissant est donnée par la surface sous la courbe de V(x).  La pente du DMF étant égale à l’effort tranchant:  Le moment fléchissant est linéaire si la charge transversale est nulle.  Le moment fléchissant est parabolique si la charge transversale est uniforme.  Le moment fléchissant est extremum là où l’effort tranchant s’annule.

Convention pour tracer les diagrammes des efforts internes Il existe plusieurs conventions pour tracer les diagrammes des efforts internes, mais elle doit respectée les relations établies par les équations (3.1) et 3.2). Dans le cadre de ce cours, nous utilisons la convention suivante : Les axes des ordonnées des DET et DMF sont positifs vers le bas. Par conséquent,  Pour le DET, on suit le sens des réactions et des charges en partant de la gauche.  Pour le DMF, les moments sont tracés du côté de la fibre tendue de la poutre ou l’élément. Exemples : Les DET et DMF de diverses structures ont été tracés à la Fig.3.7 gardant à l'esprit les règles énumérées plus haut.

3-9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 3.7 - Exemples de diagrammes des efforts internes

Chapitre 3

CTN-408

3.2.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Les portiques

Un portique est composé d’éléments horizontaux ou inclinés pour reprendre les charges verticales (les poutres), et d’éléments verticaux pour reprendre les charges horizontales (les colonnes). On distingue deux types de portiques isostatiques, avec ou sans articulations. L’analyse d’un portique consiste d’abord à déterminer les réactions d’appuis et ensuite à évaluer les efforts internes agissant aux joints ou aux articulations. Une fois les réactions et ces efforts connus on peut aisément tracer les diagrammes d’efforts internes en considérant chaque membrure comme une poutre ou une colonne isolée. Note : Pour tracer les DET et DMF, on positionnera l’origine du graphique sur chaque membrure du portique selon le schéma suivant :

Pour un portique hyperstatique à plusieurs cadres, on utilisera la même convention pour chacun des cadres successivement.

3-11

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemple 3.2 : Tracer les DET et DMF de la structure montrée à la Fig.3.8a formée de trois tronçons caractéristiques AB, BC Allure de la et CD. déformée

Fig. 3.8 - Exemple 3.2 Solution

Les équations d'équilibre du DCL en entier (Fig.3.8b) permettent de déterminer les réactions d'appuis.

M

/A

0

M A   4 kN .m

 M A  1  (1  3)  0

F

x

0

Ax  1 kN 

Ax  1  0

Le DET (Fig. 3.8c) est tracé en observant que sur AB et CD il n'y a pas de charge transversale, donc V est constant sur ces deux membrures; il est nul sur BC. Le DMF (Fig.3.8d) est linéaire sur les tronçons où le DET est constant c'est-à-dire sur AB et CD et est constant là où V est nul, c'est-à-dire sur BC. 3-12

CTN-408

3.2.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Cas particulier des membrures inclinées

Des cas peuvent se présenter où la structure est formée de poutres inclinées (exemple : toiture inclinée) et que la charge reste quant à elle verticale (exemple : poids propre, neige, etc.). Deux possibilités de présentation des charges sont offertes à l'ingénieur : 1. Le chargement est donné par mètre de longueur horizontale (Fig.3.9a) 2. Le chargement est donné par mètre de longueur de membrure (Fig.3.10a) Dans l'un ou l'autre des cas, l'ingénieur sera amené à convertir ce chargement en charges perpendiculaires et parallèles à l'axe de la membrure avant de procéder à la construction des DET, DEN et DMF. Considérons un tronçon de 1 mètre de longueur soumis à un chargement ω par mètre de longueur horizontale (cas 1) et de longueur de membrure (cas 2) et déterminons les charges perpendiculaires ω┴ et parallèles ω║ pour les deux cas : CAS 1

CAS 2

1m

Q



 Q



Q

Q





Q

Q 

1m

1/cos 

Q = ω  1 m (horizontal)

Q = ω  1 m (oblique)

Q┴ = Q cos α

Q┴ = Q cos α

Q║ = Q sin α

Q║ = Q sin α

Q cos  =  cos 2 (1/ cos  ) Q sin  =  sin  cos   ‖= (1/ cos  )

=

3-13

=

Q cos  =  cos  1

 ‖=

Q sin  =  sin  1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

w = 5,76 kN/m

5,76 kN/m

Fig. 3.9 - Exemple 3.3

Fig. 3.10

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemple 3.3 : Considérer une même structure soumise une fois à un chargement du type cas 1 (Fig.3.9a) et une fois à un chargement du type cas 2 (Fig.3.10a) et construisons les DET, DMF, DEN propres à chaque cas. Solution : CAS 1 (Fig.3.9a) ω┴ = 12 cos2α = 4,32 kN/m ω║ =12 sinα cosα= 5,76 kN/m Les charges sont présentées à la Fig.3.9b

CAS 2 (Fig.3.10a) ω┴ = 12 cosα = 7,2 kN/m ω║ = 12 sinα = 9,6 kN/m Les charges sont présentées à la Fig.3.10b

Calcul des réactions d'appui

Ay = C y =

 L 12 x 15 2

=

2

ΣFx = 0

= 90 kN

donc Cx = 0

M

/C

0

(12  15)(10,5)  (12  6)(3)  15 Ay  0 

F

y

Ay  140, 4 kN

 0  C y  111, 6 kN

DET et DMF : Les DET et DMF sont construits exactement de la même manière pour les deux cas en tenant compte des charges et des réactions d'appuis de chacun des deux cas. Si l'on traite le cas 1 par exemple, alors en considérant le DCL de AB (Fig.3.9c), on peut déterminer les efforts internes en B, soit :  Fx  0 Soit N B  14, 4 kN N B  72  5, 76  15  0

F

y

0

Soit VB  10,8 kN

54  4,32  15  VB  0

M

/B

0

Soit M B  324 kN .m

(54  15)  (4,32  15  15 / 2)  M B  0

Les DCL de AB, BC et du noeud B sont montrés à la Fig.3.9c et les DET et DMF à la Fig.3.9d et e, respectivement. 3-15

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemple 3.4 : Déterminer les réactions aux appuis du portique suivant et tracer les diagrammes d’efforts internes (DEN, DET et DMF). (Tiré de A. Samikiam).

Fig. 3.11 - Exemple 3.4 Calcul des réactions 0

5  62 DV  12  20  3  0 2

DV  12,5 kN

F

0

5  6  DH  0

DH  30 kN

F

0

AV  DV  20  0

AV  7,5 kN

M

A

H

V

3-16

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Calcul des efforts aux joints Les efforts aux joints sont obtenus par l’équilibre des membrures individuelles. On doit cependant transformer les forces obtenues selon un système d’axe global (x et y) en efforts N et V selon le système d’axe local de chaque membrure. La transformation se fait selon la relation suivante :

V

Fy

N

Fx 

Fx N



Fy

V

N  Fx cos 

 Fy sin 

V   Fx sin 

 Fy cos 

Fig. 3.12 - Transformation des efforts aux joints des membrures inclinées Par conséquent les réactions, DV et DH, lorsque transposées selon l’axe parallèle et perpendiculaire à la membrure CD deviennent :  4,5   6  N D  (30kN )    (12,5kN )      28 kN  7,5   7,5   6   4,5  VD  (30kN )    (12,5kN )      16,5 kN  7,5   7,5 

3-17

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Par équilibre de chaque membrure, AB, BC et CD on détermine les efforts internes agissants aux joints, B et C en appliquant le principe d’action réaction. La Fig. 3.13 donne les efforts internes agissant à chacun des joints.

y x 20 kN

90 kN.m NBC = 30 kN

B

123,7 kN.m C

VBC = 7,5 kN

VCB = 12,5 kN

NBA = 7,5 kN VBA = 30 kN

NCB = 30 kN

90 kN.m

NCD = 28 kN 123,7 kN.m

B

y

C

x

VCD = 16,5 kN

x y

D A VDC = 16,5 kN

AV = NAB= 7,5 kN

NDC = 28 kN

(a) Équilibre des membrures

Fig. 3.13a - Solution de l’exemple 3.4

3-18

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

C. Détermination des diagrammes d’efforts internes Les diagrammes d’efforts internes (N, V et M) sont déterminés sur chaque membrure selon la méthode utilisée pour les poutres. 30 kN





 28 kN

7,5 kN

(b) DEN

7,5 kN

 + +

12,5 kN

30 kN



(c) DET

Fig. 3.13b et c - Solution de l’exemple 3.4 (suite)

3-19

16,5 kN

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

123,7 kN·m

67,5 kN·m 90 kN·m

Chapitre 3







(d) DMF

Fig. 3.13d - Solution de l’exemple 3.4 (suite et fin)

3-20

CTN-408

3.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

TREILLIS PLANS (RAPPEL)

Nous avons vu que les forces internes dans les barres d'un treillis peuvent être calculées à partir de deux méthodes différentes :  

La méthode des nœuds : utilisée généralement pour calculer les forces internes dans toutes les barres du treillis; La méthode des sections : utilisée quant à elle pour déterminer les forces internes dans quelques barres seulement.

Il est bien entendu qu'avant de procéder à l'une ou l'autre méthode, l'ingénieur s'assurera que le treillis est isostatique et calculera, s'il y a lieu, les réactions d'appui. 3.3.1

Méthode des nœuds

Le principe de la méthode des nœuds repose sur l’équilibre de chaque nœud où les deux conditions d’équilibre à respecter sont : ΣFx = 0; ΣFy = 0 Les étapes de la méthode des nœuds sont les suivantes : 1) Calculer les réactions aux appuis; 2) Déterminer, le cas échéant, les nœuds particuliers (voir Tableau 3.1); 3) Isoler un noeud où il n'y a que deux inconnues, puisqu'on ne dispose que de deux équations d'équilibre du noeud (ΣFx = 0; ΣFy = 0). Ainsi, l'équilibre des forces au noeud considéré permet de déterminer les forces dans les barres se joignant au nœud en question ; 4) Passer ensuite à un autre noeud n'ayant que deux inconnues au maximum et on applique la même procédure, tenant compte du principe de l'action et la réaction, et ainsi de suite jusqu'à l'avant-dernier nœud. Les équations d'équilibre de l'avantdernier noeud permettent d'obtenir les forces internes de toutes les barres se rencontrant au dernier nœud. 5) Faire l'équilibre du dernier nœud permet de vérifier si le calcul a été fait correctement.

3-21

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Du point de vue signe, il faut noter qu'une barre tendue tire sur les noeuds à ses extrémités et une barre comprimée pousse sur les noeuds à ses extrémités (Fig.3.14).

Fig. 3.14 - Actions sur un noeud des barres

Les noeuds particuliers (Tableau 3.1) permettent de déterminer les forces dans les barres par déduction. Tableau 3.1 - Nœuds particuliers P O C

3-22

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemple 3.5 Déterminer les efforts dans toutes les barres de la structure en treillis montrée à la Fig.3.15a.

Fig. 3.15a et b - Exemple 3.5 Solution :

Le système est isostatique puisque m + 3 = 2n. a) Réactions d'appui : le DCL global est présenté en Fig. 3.15b. On remarquera que le câble peut être remplacé par une force de traction T, inconnue, allant de D vers le point de fixation du câble. Les équations d'équilibre permettent de trouver les inconnues, en l'occurrence : T = 80 kN

Ex = 69,28 kN

et

Ey = 10,00 kN

b) Les DCL des différents nœuds sont présentés en Fig.3.15c à 3.15f 

Équilibre des forces du noeud A (Fig.3.15c)

F

y

0

AB sin 60  30  0

F

x

0

34, 6 cos 60  AC  0



AB  34, 6 kN

(T )

AC  17,3 kN

(C )

Équilibre des forces du noeud B (Fig.3.15d)

F

y

0

BC sin 60  34, 6sin 60  0

F

x

0

BD  2  34, 6 cos 60  0 3-23

BC  34, 6 kN

(C )

BD  34, 6 kN

(T )

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Fig. 3.15c, d, e et f - Exemple 3.5 (suite) 

Équilibre du noeud C (Fig.3.15f)

F

y

0

CD sin 60  34, 6sin 60  20  0

F

x

0

CE  17,32  34, 6sin 60  57, 7 cos 60  0



CD  57, 7 kN

(T )

CE  63, 5 kN

(C )

Équilibre du noeud E (Fig.3.15e)

F

y

0

 DE sin 60  10  0  Fx  0

63,51  69, 28  11,55cos 60  0

3-24

DE  11,55 kN

(C )

Vérification 

CTN-408

3.3.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Méthode des sections

Dans la méthode des sections, après avoir déterminé les réactions d'appui, s'il y a lieu, on coupe le treillis en deux parties distinctes par une ligne fictive qui passe à travers les barres dont on veut déterminer les forces internes. On considère ensuite le DCL de l'une ou l'autre partie en introduisant les forces internes inconnues dans les barres coupées. En écrivant les équations d'équilibre ΣFx = 0; ΣFy = 0 et ΣM = 0, on peut alors déterminer ces inconnues. Les étapes de la méthode des sections sont les suivantes : 1) Calculer les réactions aux appuis ; 2) Couper la structure en deux parties de façon à mettre en évidence les efforts recherchés (DCL partiels), pour un maximum de 3 membrures inconnues ; 3) Écrire les 3 équations d’équilibre d’une des parties de la structure (un DCL partiel) pour déterminer les efforts internes inconnus: La méthode veut qu’on écrive trois (3) équations d’équilibre indépendantes sous la forme de somme des moments ΣMz = 0, c’est-à-dire ayant 1 seule inconnue par équation. Cela signifie que la somme des moments : ΣMz = 0 doit se faire au point de jonction de 2 efforts inconnus. Ce point peut représenter un point géométrique sur la structure ou non. Cependant les trois équations d’équilibre habituels sont également applicables : ΣFx = 0; ΣFy = 0 et ΣMz = 0

Exemple 3.6 Considérer la poutre en treillis montrée à la Fig.3.16a. Déterminer les forces internes dans les barres CE, DE et DF.

3-25

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 3.16 - Exemple 3.6

3-26

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Solution :

Chapitre 3

On notera que la poutre est constituée de neuf barres (m = 9) et six noeuds (n = 6). Le système est donc isostatique, puisque m + 3 = 2n. a) Calcul des réactions d'appui : le DCL global (Fig.3. 16b) et les équations d'équilibre permettent de déterminer aisément les réactions d'appui. Ainsi, on trouve, tout calcul fait : Ax = 40 kN  Ay = 70 kN  By = 50 kN  b) On coupe la poutre en deux parties distinctes à travers les barres dont on veut calculer les efforts internes et on considère le DCL de la partie droite en introduisant les efforts internes inconnus (Fig.3. 16c). c) On écrit les équations d'équilibre et on calcule les efforts dans les barres ΣFy = 0 - 60 + 50 + 0,6 DE = 0 DE = 16,7

DE = 16,7 kN (C)

ΣM/E = 0 50 (6) - DF (4,5) = 0 DF = 66,7

DF = 66,7 kN (T)

ΣM/D = 0 - CE (4,5) - 60 (6) + 40 (4,5) + 50 (12) = 0 CE = 93,3

CE = 93,3 kN (C)

Vérification

Fx =0 et

93,3 + 0,8 (16,7) - 66,7 - 40  0 

Note : Ici, il n’est pas possible d’écrire trois (3) équations d’équilibre indépendantes uniquement sous la forme de somme des moments ΣMz = 0. Les points E et D sont les points de jonctions de 2 efforts inconnus permettant de calculer CE et DF, mais les efforts inconnus CE et DF étant parallèle, l’équation indépendante permettant de calculer DE est la ΣFy = 0.

3-27

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

3-28

Chapitre 3

CTN-408

3.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

ARCHES ET PORTIQUES À TROIS ARTICULATIONS

On appelle arche ou portique à trois articulations, une structure composée de deux poutres droites (Fig.3.17a), polygonales (Fig.3.17b) ou courbes (Fig.3.17c).

Fig. 3.17 - Arches et portiques à 3 articulations

La réaction horizontale qui résulte au niveau des appuis est souvent appelée poussée. Pour les arches soumises principalement à des charges verticales, il est possible de choisir une forme d'arche telle que les moments de flexion soient très faibles. Ceci est illustré à la Fig.3.18. On remarquera que contrairement à la poutre où le moment fléchissant est prédominant (M grand, N petit), dans une arche l'effort normal est prédominant (M petit, N grand). Cette propriété des arches a été avantageusement exploitée autrefois, lorsqu'on utilisait les matériaux comme la pierre, la fonte et le béton non armé qui avaient une bonne résistance à la compression, mais peu de résistance à la traction.

3-29

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Fig. 3.18 - Effet d’arche On peut mieux comprendre ce principe en assimilant le comportement d’une arche à celui d’un câble. Comme illustré à la figure suivante, un câble soumis à une charge uniformément répartie sur la projection horizontale est soumis à des forces de tension uniquement. Le câble se déforme alors selon une parabole (x2) Par similitude l'arche de forme parabolique (x2), supportant une charge uniformément répartie sur la projection horizontale, est soumise à des forces de compression uniquement.

3-30

CTN-408

3.4.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Calcul des réactions d'appui

Une arche à trois articulations (Fig.3.19a) peut paraître, à première vue, indéterminée compte tenu de ces quatre inconnues composantes de réactions d'appui (deux à chaque appui articulé, Fig.3.19b). Toutefois, on remarquera qu'en plus des trois équations d'équilibre usuelles, une quatrième équation est disponible à cause de la rotule au point C (ΣM/C = 0). Il est évident que, si la rotule au point C n'existait pas, l'arche serait bel et bien indéterminée (trois équations pour quatre inconnues).

C

C

A

B

B

A

Équilibre global de l’arche ABC :

F  0  F  0  M  0  x

fn( Ax

Bx )

y

fn( Ay

By )

A

fn( By )

Cy Cx

Équilibre partiel de AC :

M

C

0 

fn( Ax

Ay )

Fig. 3.19a et b - Analyse d’une arche à 3 articulations

3-31

CTN-408

3.4.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Efforts internes et Diagrammes DEN, DET, DMF

Les efforts internes dans les sections des arches peuvent être calculés de la même manière que dans celles des poutres. On effectue une coupe à travers la section où l'on veut déterminer les efforts internes. Cette coupe met en évidence les trois inconnues N, V, M qui peuvent, dès lors, être calculées en considérant l'équilibre de l'un des deux DCL résultant de la coupe. Il faut signaler que si les efforts internes sont déterminés suivant les axes globaux de la structure entière (Fig.3.19c), alors il faut ensuite les transformer en efforts normal et tranchant à la section droite considérée (Fig.3.19d). x’



M=0 si articulation

(c) Selon le système d’axe global

(d) Selon le système d’axe local

Fig. 3.19c et d- Analyse d’une arche à 3 articulations La Fig. 3.19e illustre le calcul des efforts internes selon le système d’axe local (N, V et M) à partir des projections des efforts Fx et Fy du système d’axe global. À noter qu’au sommet de l’arche N = Fx et V = Fy Fy M V y N  Fx

N  Fx cos 

 Fy sin 

V   Fx sin 

 Fy cos 

Ax = H

x Ay

Fig. 3.19e - Analyse d’une arche à 3 articulations 3-32

CTN-408

3.4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Arche travaillant en compression pure

Lorsqu’une arche travaille en compression pure les autres efforts internes, effort tranchant V et moment fléchissant M, sont nuls en tout point. Afin d’établir la forme géométrique d’une telle arche, considérons l’arche à articulation de la Fig. 3.20 soumise à une charge uniformément répartie w.

w

yc

HA

HB R

RB

(a) DCL global Fig. 3.20a - Arche en compression pure L’équilibre global de l’arche permet d’établir les relations suivantes entre le chargement et les réactions aux appuis. En l’absence de charge horizontale externe, la réaction horizontale H est égale et opposée aux deux appuis et est appelée force de butée.

F

x

 0  H A  HB  H

F

y

 0  RA  RB 

3-33

wL 2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

x Nx = ?

w

y

H

A

wL 2 (b) DCL partiel de A-x Fig. 3.20b - Arche en compression pure (suite) RA 

Pour que l’arche soit en compression pure, le moment fléchissant et l’effort tranchant doivent être nuls partout. L’équilibre d’une partie de l’arche de longueur x (Fig. 3.20b) permet d’écrire :

x  wL   M x    2  x  Hy  wx 2  0

 Hy 

wL x2 xw 0 2 2

Par conséquent, la relation entre l’ordonnée y est l’abscisse x définissant la forme de l’arche est donnée par l’équation suivante, laquelle correspond à une parabole.

y

wL w 2 x x 2H 2H

(3.3)

Au sommet de l’arche de hauteur yC, la valeur de x est donnée par L/2 et on écrit : wL wL2 yC   4H 8H

H 

wL2 8 yC

(3.4a)

Établissant ainsi que plus la portée de l’arche est grande, pour une même hauteur, plus la force de butée sera grande. Et inversement, pour une même portée, plus la hauteur de l’arche sera grande plus la force de butée sera faible. L’équation de l’arche en compression pure peut donc s’écrire :

y

8 yC 8y x  C2 x2 2L 2L

3-34

(3.4b)

CTN-408

3.4.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Applications

Exemple 3.7 Arche avec charge uniformément répartie Considérer l'arche parabolique à trois articulations sollicitée par une charge uniformément répartie de 30 kN/m (Fig.3.21a). Déterminer les réactions d'appui et les efforts internes.

Fig. 3.21a - Exemple 3.7

3-35

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 3.21b et c - Exemple 3.7 (suite)

3-36

Chapitre 3

CTN-408

Solution

ANALYSE DES STRUCTURES

a) Équation de la parabole représentant la géométrie de l'arche Si l'on prend l'origine des coordonnées confondue avec l'appui gauche, alors l'équation générale représentant la géométrie de l'arche est de la forme : y = a0 + a1x + a2x2 La parabole passe par les points de coordonnées (0,0); (50,20) et (100,0), donc : y = 0,8x - 0,008x2 b) Réactions d'appui Les réactions d'appui, mises en évidence par le DCL en entier (Fig.3.21b), sont calculées en considérant les trois équations d'équilibre du DCL en entier et une équation due à la rotule C (ΣM/C = 0) sur le DCL du segment AC ou du segment BC (Fig.3.21c), soit : 

sur DCL en entier (Fig.3.21b)

ΣMB = 0 -Ay  100 + 30  100  100/2 = 0

donc Ay = 1500 kN 

ΣFy = 0 Ay + By - 30  100 = 0

donc By = 1500 kN 

ΣFx = 0 Ax + Bx = 0 

sur DCL du segment AC (Fig.3.21c)

ΣM/C = 0 - Ay  50 + Ax  20 + 30  502/2 = 0

donc Ax = 1875 kN  et Bx = -1875 kN 

3-37

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(e) DEN

Fig. 3.21d et e - Exemple 3.7 (suite)

c) Efforts internes N, V, M 3-38

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Pour calculer les efforts internes dans une section quelconque de l'arche, on doit d'abord déterminer l'orientation de la section en question. Compte tenu de la symétrie, on ne considérera que la moitié de l'arche. La pente de l'arche est donnée par : tan  

dy d (0,8 x  0, 008 x 2 )   0,8  0, 016 x dx dx

avec cos  =

sin  =

1 1 + tg  2

tg 1 + tg  2

=

=

1 1,64 - 0,0256x + 0,000256 x 2 0,8 - 0,016x 1,64 - 0,0256x + 0,000256 x 2

On peut maintenant calculer les composantes Fx, Fy et M des efforts internes relatifs à une section se trouvant à x de l'appui A, en écrivant les équations d'équilibre du DCL (Fig.3.21d). Fx + 1875 = 0 Fy + 1500 - 30x = 0 M - 1500x + 30x2/2 + 1875y = 0

donc Fx = - 1875 donc Fy = - 1500 + 30x donc M = 1500x - 15x2 - 1875 (0,8x - 0,008x2) M = 1500x - 15x2 - 1500x + 15x2 = 0!

-1875

-1875

Fx -1500

Fy +1500

3-39

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Les forces normale (N) et tranchante (V) sont alors déterminées par projection de Fx et Fy comme suit : N = Fx cos φ + Fy sin φ V = - Fx sin φ + Fy cos φ soit, tout calcul fait :

M =0 N=

(1875)(1)  (1500  30 x)(0,8  0, 016 x) 1,64 - 0,0256x + 0,000256 x 2 V=



- 3075 + 48x - 0.48 x 2 1,64 - 0,0256x + 0,000256 x 2

(1875)(0,8  0, 016 x)  (1500  30 x)(1) 1,64 - 0,0256x + 0,000256 x 2

0

Ces résultats montrent que, pour une arche de forme parabolique soumise à un chargement uniforme sur toute la portée, l'effort tranchant et le moment fléchissant sont nuls le long de l'arche et que les charges sont supportées par des forces normales de compression. Le DEN est montré à la Fig.3.21e.

3-40

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 3.8 Arche avec charges concentrées Considérer l'arche parabolique à trois articulations sollicitée par un système de charges concentrées (Fig.3.22a). Déterminer les réactions d'appui et les diagrammes des Fx, Fy et M le long de l’axe horizontal.

Fig. 3.22a - Exemple 3.8

Solution : l'arche

a) Équation de la parabole représentant la géométrie de L'origine des coordonnées étant choisie en A, on peut donc définir l'équation de la parabole représentant la géométrie de l'arche comme étant : y = - 0,03x2 + 1,5x b) Calcul des réactions d'appui Afin de calculer les réactions d'appui, on peut éclater l'arche en deux tronçons AB et BC. Ceci permettrait d'avoir six équations d'équilibre pour six inconnues indépendantes. Les équations d'équilibre des deux DCL (Fig.3.22b) peuvent s'écrire : (DCL-AB) ΣM/A = 0 3-41

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

25 By + 18,75 Bx - 130  20 - 350  9 = 0 (DCL-BC) ΣM/C = 0 18 By - 9,72 Bx + 13  90 = 0 La résolution simultanée de ces deux équations donne : By = 58,5 kN Bx = 228,7 kN

Fig. 3.22b - Exemple 3.8 (suite) De même : (DCL-AB) ΣFx = 0 350 - 228,7 - Ax = 0

donc Ax = 121,3 kN 

ΣFy = 0 58,5 - 130 - Ay = 0

donc Ay = 71,5 kN 

(DCL-BC) ΣFx = 0 228,7 - Cx = 0

donc Cx = 228,7 kN 

ΣFy = 0 - 58,5 - 90 + Cy = 0

donc Cy = 148,5 kN 

3-42

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

c) Diagrammes DEN, DET et DMF Pour construire les diagrammes des efforts internes, on peut, soit utiliser les expressions analytiques comme dans l'exemple 3.7, soit calculer les efforts internes en des points caractéristiques. Dans ce cas (charges concentrées), la deuxième méthode citée s'avère être plus intéressante. Notons, avant de commencer le processus de calcul, que la pente de l'arche est donnée par : y' = - 0,06x + 1,5 = tgφ Efforts internes au point D (xD = 6,97 m; yD = 9,0 m) L'équilibre du DCL-AD (Fig.3.22c) permet de calculer les composantes FDx et FDy des efforts internes, soit : ΣM/D = 0 MD - 71,5xD - 121,3yD = 0

soit :

MD = 1590 kN·m

ΣFx = 0 FDX- 121,3 = 0 FDX - 121,3 + 350 = 0

FDX = 121,3 kN (à gauche de D) FDX = - 228,7 kN (à droite de D)

ΣFy = 0 FDY + 71,5 = 0

FDY = - 71,5 kN VD

FDY MD ND D

yD

121,3 kN

A

xD

71,5 kN

(c) DCL de AD Fig. 3.22c - Exemple 3.8 (suite)

3-43

FDX



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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

(a) Fx

FY

FX

(b) Fy

(c) DMF

Fig. 3.22d - Exemple 3.8 (suite et fin) 3-44

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Les efforts normal (N) et tranchant (V) sont donnés par : N = Fx cos φ + Fy sin φ V = -Fx sin φ + Fy cos φ Au point D, on a : tgφ = -0,06  6,97 + 1,5 = 1,08 donc : φ = 47,2

soit

sin φ = 0,734

et

cos φ = 0,679

À gauche de D, les efforts internes sont : ND = 121,3  0,679 - 71,5  0,734 = 29,9 kN  VD = -121,3  0,734 - 71,5  0,679 = - 137,6 kN  À droite de D, ils sont : ND = - 228,7  0,679 - 71,5  0,734 = - 207,7 kN  VD = 228,7  0,734 - 71,5  0,679 = 119,4 kN  On suivra la même procédure pour les autres points caractéristiques, par exemple : E, B, F. Les diagrammes Fx, Fy et DMF dans les axes globaux sont montrés à la Fig. 3.22d.

3-45

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Fig. 3.23 - L’effort de traction ou tension, seule force interne du câble

Fig. 3.24 - Changement de configuration du câble avec le chargement

3-46

CTN-408

3.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

CÂBLES

Le câble est un élément structural fort utilisé dans diverses structures notamment les ponts suspendus, haubans, suspentes, lignes de transmission, réseaux, etc. Le câble est très souple et flexible si bien qu'il ne résiste ni à la torsion, ni à la flexion, ni à l'effort tranchant, ni à la compression. Son seul mode de résistance est la traction, appelée tension dans le câble et dirigée suivant la tangente à l'axe du câble (Fig.3.23). Un câble non chargé n'a pas de forme définie et ne peut supporter aucune force. Ce sont les charges qui mettent le câble en tension et définissent ainsi sa configuration (Fig.3.24). Le calcul statique des structures en câbles est souvent difficile, bien qu'il soit facilité aujourd'hui grâce à l'outil informatique. Dans le cadre de ce cours on se contentera de l'étude du cas plan qui est le plus simple, mais aussi le plus courant. On analysera en particulier : 3.5.1

Les câbles sous forces concentrées Les câbles sous forces uniformément réparties

Analyse des câbles sous charges concentrées

Considérons le cas d'un câble supporté en A et en B et soumis à un système de charges concentrées P1, P2, ..., Pn (Fig.3.25a). Puisque toutes les charges sont verticales alors Ax et Bx sont égales et opposées. posons

Ax = -Bx = H

Ceci veut dire que la composante horizontale de la traction dans le câble est constante en tout point du câble et égale à H. L'analyse permet de déterminer -

les réactions d'appui la tension en tous points du câble les ordonnées des points d'application des charges P1, P2, ..., Pn.

3-47

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Elle suppose connus les éléments suivants : • • •

les positions des appuis A et B (exemple : L et tgφ); les abscisses x1, x2, ..., xn des points d'application des charges P1, P2, ..., Pn; l'ordonnée d'un point quelconque du câble (exemple : yP, Fig.3.25).

hp

hP : flèche du point P (distance p/r à la droite joignant les appuis) (hP  xtg )  yP / A

P =Ax

yP/A : ordonnée p/r à l’horizontale de référence, passant par A

(b)

Fig. 3.25a et b - Câbles sous forces concentrées

3-48

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Note : L’ordonnée d’un point quelconque du câble par rapport à l’un des appuis est dénotée « y ». La flèche d’un point quelconque du câble est la distance verticale entre le point sur le câble et la droite joignant les deux appuis. Elle est dénotée « h ». 3.5.1.1 Réactions d'appui a)

En considérant le DCL en entier

ΣFx

=0

Ax + Bx = 0

ΣFy

=0

Ay + By - ΣPi = 0

Ax = Bx = H

et ΣM/B = 0

( Ay )( L)  H ( L tan  ) mB 0

(3.5)

où ΣmB = somme des moments par rapport à B des forces P1, P2, ..., Pn

b)

En considérant le DCL de AP (Fig. 3.25b)

ΣM/P = 0

( Ay )( xP )  H (hP  xP tan  ) mP 0

(3.6)

où ΣmP = somme des moments par rapport à P des forces P1, P2, P3, agissant sur la partie AP du câble. La résolution des deux équations simultanées (éq.3.5 et 3.6) permet d'obtenir Ax et Ay et l’équilibre vertical sur le DCL entier permet de calculer By. 3.5.1.2 Ordonnées des points d'application des forces La détermination des ordonnées des points d'application des formes permet de définir la configuration du câble. L'ordonnée d'un point d'application Ci d'une charge Pi (exemple : C1 sur Fig.3.25a) peut être déterminée aisément en effectuant une coupe à travers ce point d'application et en considérant l'équation d'équilibre ( M / C i = 0) du DCL AC1 ou BC1. (Fig. 3.25c)

3-49

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

x1tg hC1

(c)

Fig. 3.25c - Câbles sous forces concentrées (suite) Ainsi, l'ordonnée y1 de C1 peut être calculée en considérant le DCL de AC1 (Fig.3.25c) et en écrivant : ΣM/C1 = 0 (H) (y1) - (Ay) (x1) = 0 d'où

y1 =

( A y ) ( x1 ) (H)

Flèche hC1 du point C1 : hC1  y1  x1tg On suit la même procédure pour calculer y2, y3, ...yn. 3.5.1.3 Tension dans le câble La tension dans le câble peut également être évaluée en considérant les équations d'équilibre ΣFx = 0 et/ou ΣFy = 0 du DCL du tronçon de câble où l'on veut déterminer la tension. La tension TAC1 dans le câble AC1 est donnée par les composantes horizontales et verticales de la réaction en A (Fig. 3.25d), soit :

TxAC1  Ax  H

et

TyAC1  Ay

et la tension TAC1 est donnée par : TAC1 = H 2 + A2y Cette tension est la même dans tout le tronçon AC1 jusqu’au point C1 avant la charge P1 (Fig. 3.25d). 3-50

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

TC1C2

(d) DCL partiel de AC1, avant la charge P1

(e) DCL partiel de AC1,, après la charge P1

Fig. 3.25d et e - Câbles sous forces concentrées (suite) Pour la tension T C1C2 dans le tronçon C1C2 du câble, on utilise le DCL partiel de AC1, incluant la charge P1 (Fig.3.25e). Les composantes de la tension TC1C2 sont obtenues par l’équilibre horizontal et vertical, alors on écrit : ΣFx = 0 CC - Ax = 0 Tx 1

2

ΣFy = 0 -TyC C + Ay - P1 = 0 1

2

2

ce qui permet d'obtenir TxC C et TyC C et TC1C2 = (TxC1C2 ) + (TyC1C2 ) 1

2

1

2

2

3.5.1.4 Tension maximale La tension T dans un câble est donnée par : T = T 2x + T 2y

(3.7)

On sait, que Tx = T cos θ = constante = H donc T est maximal lorsque Ty = T sinθ est maximal, c'est-à-dire lorsque θ est maximal. Conclusion • La composante horizontale H de la tension T dans le câble est constante en tout point du câble et est égale à la réaction horizontale aux appuis. • La tension maximale se retrouve dans le segment du câble avec la pente maximale. 3-51

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemple 3.9 Considérer le câble chargé montré à la Fig.3.26a. Déterminer les réactions d'appui, la configuration du câble et la tension dans les tronçons du câble.

yD/B hD

Fig. 3.26a et b - Exemple 3.9

3-52

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Solution

ANALYSE DES STRUCTURES

a)

Chapitre 3

Réactions d'appui :

L’équilibre global du câble tel qu’illustré sur le DCL entier de la Fig.3.26b permet d’écrire l'équation (3.5) de la façon suivante : ΣM/B = 0 -Ax(20) - Ay(60) + 10(40) + 10(20) = 0

[1]

= 6 kN

yD/B = 23,3 m

= 12 kN 10m

=30-23,3=6,7m

20m

20m

Fig. 3.26c et d - Exemple 3.9 (suite) L’équilibre du câble tel qu’illustré sur le DCL partiel de AC de la Fig.3.26c permet d’écrire l'équation (3.6) de la façon suivante (yC étant connu) : [2]

ΣM/C = 0 Ax(10) - Ay (20) = 0 La résolution de [1] et [2] donne :

H = Ax = 12 kN  Ay = 6 kN 

Revenons au DCL en entier (Fig.3.26b)

F

x

F

0

y

6  10  10  By  0

 Ax  Bx  0 H  Bx  12 kN

0

 3-53

By  14 kN



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ANALYSE DES STRUCTURES

b)

Chapitre 3

Configuration du câble

Il s'agit de calculer l’ordonnée yD puisque yC est connue; considérons le DCL de BD (Fig.3.26d) : ΣM/D = 0 By (20) - Bx (yD/B) = 0 yD =

14 (20) 12

yD = 23,3 m À partir des ordonnées il est possible de calculer la flèche. Par exemple, la flèche du point D et donnée par :

hD  yD  c)

20  20  23,3  6, 67  16, 63m 60

Tension dans les tronçons de câble AC, BD et CD

Les composantes de la tension TAC équilibrent Ax et Ay, donc TAC = (6 )2 + (12 )2 = 13,40 kN De même, les composantes de TBD sont égales et opposées à Bx et By, donc : TBD = (12 )2 + (14 )2 = 18,44 kN La tension TCD peut être calculée en considérant le DCL de ACgauche (Fig.3.26c) qui met en évidence l’effort TCD. ΣFx = TCD cos θ - 12 = 30 - 23,3 = tgθ = 20 TCD = =

0 0 0,34 d'où θ = 18,52 et

12 cos  12,66 kN

3-54

cosθ = 0,95

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3.5.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Analogie poutre-câble

L’analogie poutre-câble associe au câble une poutre analogue isostatique de même portée et supportant les mêmes charges verticales. L’analyse de l’équilibre global et partiel des deux structures permet d’établir une relation entre le moment de flexion de la poutre, la composante horizontale de la tension dans le câble et sa flèche. L’analogie poutre-câble s’énonce de la façon suivante : En tout point P du câble, le produit de la composante horizontale H de traction dans le câble par la distance verticale hP de ce point à la droite joignant les deux appuis du câble (flèche au point P), est égal au moment fléchissant MP, au même point, d’une poutre simplement appuyée, de même portée que le câble et qui supporte les mêmes charges. Ce qui s’écrit :

M P

Poutre analogue

 (H)( h P )    Câble

Les sections suivantes établissent la démonstration de l’analogie poutre-câble. a)

Équilibre global du câble et de la poutre analogue (Fig. 3.27a et Fig. 3.27b)

Considérons le câble de la Fig. 3.27a pour lequel l’équilibre global permet d’écrire :

( Ay )( L)  H ( L tan  ) mB 0

ΣM/B = 0 où

 m   P (L  x ) B

i

i

La réaction Ay du câble est donnée par l’équation 3.8a :

Ay 

m B  H ( L tan  ) L

(3.8a)

Considérons la poutre analogue de la Fig. 3.27b pour laquelle l’équilibre global permet d’écrire : ΣM/B = 0

( RA )( L) m B  0

La réaction RA de la poutre analogue est donnée par l’équation 3.8b :

RA 

m B L 3-55

(3.8b)

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ANALYSE DES STRUCTURES

B

Ax=H A

 C1

C3

C2

x2

C1

C2

P

Ay

P3

P1

xPtan

hp



H A

yp

P

Ay x1

H

By Ltan

hp

Chapitre 3

P1

P2

XP

P2

XP L (c) DCL partiel du câble

(a) DCL global du câble

P2

P1

P3

A C1

XP

P

MP C1

C3 RB

L

RA

(b) DCL global de la poutre analogue

VP

A

B C2

P2

P1

C2

P

XP

RA (d) DCL partiel de la poutre analogue

Fig. 3.27 - Analogie poutre-câble b)

Équilibre partiel du câble et de la poutre analogue (Fig. 3.27c et Fig. 3.27d)

Considérons le DCL partiel AP du câble de la Fig. 3.27c pour lequel l’équilibre permet d’écrire :

( Ay )( xP )  H (hP  xP tan  ) mP 0

ΣM/P = 0 où

 m   P (x P

i

P

 xi )

La réaction Ay du câble est donnée cette fois par l’équation (3.9a) : Ay 

 m P  H ( hP  xP tan  ) xP 3-56

(3.9a)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Considérons le DCL partiel AP de la poutre analogue de la Fig. 3.27c pour lequel l’équilibre permet d’écrire : ΣM/P = 0

M P  ( RA )( xP )  m P  0

La réaction RA de la poutre analogue est donnée par l’équation 3.9b : RA 

c)

m P  M P xP

(3.9b)

Relation définissant l’analogie poutre-câble (Fig. 3.27c et Fig. 3.27d)

La résolution des équations 3.8a et 3.9a décrivant l’équilibre global et partiel du câble donne l’équation 3.10a : x p m B (H)( h P )=  m P (3.10a) L La résolution des équations 3.8b et 3.9b décrivant l’équilibre global et partiel de la poutre analogue donne l’équation 3.10b :

M P=

x P m B m P L

(3.10b)

L’analogie entre ces deux équations représentant l’équilibre du câble (3.10a) et l’équilibre de la poutre analogue (3.10b) permet d’établir la relation définissant l’analogie poutre-câble.

M P

Poutre analogue

 (H)( h P )   

(3.11)

Câble

Ce qui se traduit par, En tout point P du câble, le produit de la composante horizontale H de traction dans le câble par la distance verticale hP de ce point à la droite joignant les deux appuis du câble (flèche au point P), est égal au moment fléchissant MP, au même point, d’une poutre simplement appuyée, de

même portée que le câble et qui supporte les mêmes charges. Attention : les réactions RA et RB calculées sur la poutre analogue ne sont pas égales aux réactions AX et AY des appuis du câble (sauf exception : lorsque les appuis du câble sont au même niveau). 3-57

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 3.10 Utilisation de l’analogie poutre-câble.

Pour appliquer l’analogie poutre-câble au câble de la Fig. 3.28a, on considère une poutre simplement appuyée de 60m de longueur et supportant les mêmes charges en C et D (Fig. 3.28b). 1) Calcul des réactions sur la poutre analogue (chargement et géométrie symétriques) : RA = RB = 10 kN 2) Calcul du mont au point C sur la poutre analogue:

MC  RA(20m)  (10kN)(20m)  200kNm . 3) Application de l’analogie poutre-câble (Eq. 3.11) :

M P

Poutre analogue

 (H)( h P )    Câble

Le moment est égal au produit de la composante horizontale H par la flèche verticale hC du point C à la droite joignant les appuis A et B du câble. Si

alors

hC  10 m  H 

20 m  16,67 m 3

200 kN .m  12 kN 16, 67 m

3-58

Chapitre 3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

H

By

hp (flèche)

Ax=H

Ay

10 kN

10 kN

A

B D

C RA = 10 kN

60 m

A 10 kN

C MC VC (b) Poutre analogue

Fig. 3.28 - Exemple 3.10

3-59

RB = 10 kN

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 3.29 - Câble sous charge uniformément répartie

3-60

Chapitre 3

CTN-408

3.5.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Câbles sous charge uniformément répartie

Quand les charges concentrées sont égales et proches l'une de l'autre, alors, on peut considérer que le câble est sous charge uniformément répartie. Ceci peut être illustré par le câble d'un pont suspendu (Fig.3.29a). On peut démontrer que la configuration du câble sous force uniformément répartie est de forme parabolique. La flèche maximale du câble et sa position (x et y sur Fig.3.29a) dépendent de la longueur du câble et de la distance relative entre les points d'appui A et B. En considérant que le point le plus bas du câble est un extrémum, il s'en suit que la force interne en ce point est horizontale (Fig.3.29b). Se référant à la Fig.3.29, pour déterminer x et H, on résout simultanément les deux équations d'équilibre suivantes : M / A = 0

(3.12) 

2

wx + Hy 1 = 0 2

M / B = 0

(3.13) 2

w(L - x ) - Hy 2 = 0 2

Noter que y1 et y2 peuvent être déterminées en considérant l'équation de la parabole et les conditions limites. Une fois x déterminé, il sera dès lors possible de calculer les composantes verticales Ay et By des réactions d'appui en considérant l'équilibre selon l'axe y (Fig.3.29b). Il s'en suit :

A y = wx

(3.14)

B y = w(L - x)

(3.15)

3-61

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

(100-x)/2

20(100-x)

Fig. 3.30 - Exemple 3.11

3-62

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 3

Exemple 3.11 Déterminer H, TA et TB dans le câble sous charge uniformément répartie montrée à la Fig.3.30a. Solution :

a) Calcul de H

Considérons les DCL 1 et 2 (Fig.3.30b); les éqs.3.12 et 3.13 s'écrivent :

M /

A

M /

0

B

20 (100  x)2 2 x2  H  5000 100 x  2

x  20 x    H (12)  0 2 12 H  10 x 2  0

 H (20) 

0 0 0

Leur résolution simultanée donne 2  x  12  5000 - 100x +  - 10 x 2  0 2   x 2  300 x  15000 0

 300  (3002  4 (1) (15000) x  2 soit x = 43,65 m (et x = -343,65 non acceptable) d'où

H =

5 2 x 6 = 5 (43,65 )2 6 = 1 588 kN

3-63

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

b)

Chapitre 3

TA et TB

Leurs composantes horizontales sont égales à H=1588 kN. Leurs composantes verticales sont calculées à partir des équations d'équilibre dans le sens des y (voir Éqs.3.13 et 3.14). VA  wx  20 (43, 65)  873 kN

d'où

TA  (873 )2 + (1588 )2  1812 kN

VB  w ( L  x)  20 (56,35)  1127 kN

d'où

TB  (1127 )2 + (1588 )2  1947 kN

3-64

CHAPITRE 4

CALCUL DES DÉPLACEMENTS ET ROTATIONS

Dans ce chapitre, on apprendra à calculer les déplacements et les rotations subis par les structures sous chargements divers par les méthodes des travaux virtuels. On apprendra notamment à utiliser les intégrales de Mohr.

CTN-408

4.1

Analyse des structures

Chapitre 4

INTRODUCTION

Nous avons vu dans le cours CTN 308 que tous les corps considérés dans le génie de la construction étaient déformables et que les déformations pouvaient être : -

axiales angulaires

(effort normal, moment) (effort tranchant, torsion)

Les déformations associées à différents efforts internes sont présentées au Tableau suivant : Efforts internes

Déformations NL AE

N (normal)

Allongement (ou rétrécissement)

L =

V (tranchant)

Déplacement angulaire

=

M (flexion)

Déplacement Rotation

   ML   = f     EI   

T (torsion)

Angle de torsion

=

kVL AG

TL GJ

Lorsqu'une structure composée de plusieurs éléments structuraux ou corps est soumise à un chargement, elle se déforme, si bien que tout point de la structure peut subir des déplacements et des rotations. Une des fonctions de l'ingénieur est de s'assurer que les rotations et les déplacements subis par la structure restent, à tout moment, inférieurs à des limites acceptables. À titre indicatif les limites imposées aux éléments fléchis (poutres, dalles) par le Code National du Bâtiment Canada (CNBC) sont présentées dans le Tableau 1.1 en fonction de la portée L de l'élément structural. Il existe plusieurs méthodes pour évaluer les déplacements et les rotations subis par une structure sous chargement. Nous pouvons citer : -

la méthode du moment des aires la méthode de la double intégration la méthode du travail virtuel la méthode de la charge unité

Les deux premières méthodes citées ont déjà été traitées dans le cours CTN308. Ce chapitre traitera donc les méthodes du travail virtuel et de la charge unité.

4-1

CTN-408

Analyse des structures



L

Chapitre 4

P

We

P

P

 We 



P 2

(a) Relation force-déplacement d’un corps soumis à une force P

M

We

M 



We 

M 2

(b) Relation force-déplacement d’un corps soumis à un moment M

Fig. 4.1 - Travail externe d’une force ou d’un moment appliqué

4-2

CTN-408

4.2

Analyse des structures

Chapitre 4

PRINCIPE DE CONSERVATION D'ÉNERGIE DANS LES CORPS DÉFORMABLES

Ce principe peut être énoncé comme suit : Lorsqu'un corps déformable qui est en équilibre se déforme sous l'effet de chargements, son travail total est nul. Ainsi si W est le travail total; We, le travail des forces externes et Wi celui des forces internes, alors : W = W e +W i = 0 (4.1) 4.2.1 Travail des forces externes Le travail des forces externes, We, peut être facilement déterminé à partir de l'aire sous la courbe force-déplacement ou moment-rotation (Fig.4.1) selon les cas. Se référant à la Fig.4.1a, on peut constater que le travail d'une force externe P appliquée graduellement sur un corps qui subit un déplacement Δ est égal à :

W e=

P 2

(4.2)

D'une manière similaire (Fig.4.1b), le travail externe d'un moment M appliqué graduellement sur un corps qui subit une rotation θ est égal à :

W e=

M 2

(4.3)

Le travail externe d'un corps soumis à plusieurs forces Pi et couples Mi est donné par :

Pi i + M j  j W e=   2 2 i=1 j=1 n

m

(4.4)

Il est opportun de noter que des relations similaires à (4.2) et (4.3) peuvent être dérivées lorsque le corps est soumis à une force externe de cisaillement ou un couple de torsion. Ainsi, on obtient respectivement :

W e=

V . V 2

et W e =

4-3

T . T 2

(4.5)

CTN-408

4.2.2

Analyse des structures

Chapitre 4

Travail des forces internes (énergie de déformations internes)

Les efforts internes qui peuvent exister à l'intérieur d'un corps sont l'effort normal, N, l'effort tranchant, V, le moment fléchissant, M, et le moment de torsion, T. L'énergie des déformations internes, dWi, est l'aire sous la courbe représentant l'effort interne en fonction du déplacement ou de la rotation d'un élément de corps dx. Les travaux des forces internes (N, V, M, T) sont dérivés au Tableau suivant :

N

N dx

N

M

M V dx

d N M

dWi

T

dx V

dWi

dN

T

V

dx T

dWi

dWi dT

dV

dM

dWi

N d N 2

M d M 2

V d V 2

T d T 2

Déformations

d N  x N = = dx E EA

d M M = dx EI

d V V =  xy = dx GA

d T T = dx GJ

dWi

N N dx . 2 EA

M M dx . 2 EI

V V dx . 2 GA

T T dx . 2 GJ

Wi

1 L N2 dx  2 0 EA

1 L M2 dx  2 0 EI

1 L V2 dx  2 0 GA

1 L T2 dx  2 0 GJ

Théoriquement, dans une poutre, l’énergie potentielle emmagasinée est fonction de toutes les sollicitations (N, M, V et T) L

Wi 

L

L

L

1 N2 1 M2 1 V2 1 T2 dx  dx  dx  dx 2 0 EA 2 0 EI 2 0 GA 2 0 GJ

4-4

CTN-408

Analyse des structures

Chapitre 4

Travail dans une poutre ou colonne : Dans une poutre ou colonne le travail de V et T est souvent négligeable et dans une poutre en particulier l’effort axial N est souvent nul. Par conséquent, l’énergie potentielle emmagasinée dans une poutre ou colonne peut se résumer par les deux expressions suivantes :

Effort axial non nul :

Effort axial nul :

L

Wi 

L

1 N2 1 M2 dx   dx  2 0 EA 2 0 EI

L

Wi 

1 M2 dx 2 0 EI

Travail dû à l’effort axial : Dans une poutre, colonne ou barre soumise à un effort normal N variable, le travail interne se définit par L

1 N2 Wi   dx 2 0 EA

Dans un treillis où les barres sont soumises à un effort de traction ou de compression N constant, le travail des efforts internes N se définit par :

Dans une seule barre :

Dans tout le treillis :

Wi 

Wi 

1 N 2L 2 ( EA) n

Ni2 Li

 2(EA) i 1

4-5

i

CTN-408

4.2.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Principe de la conservation d'énergie

Le principe de conservation d’énergie appliqué aux structures s’exprime globalement par : We = Wi Lorsque l’élément de structure est soumis à un effort axial et à un moment de flexion, le principe de la conservation de l’énergie s’écrit alors : 1 2



 Pi i +  M j 

Charge ponctuelle  Déplacement

j

Moment ponctuel  Rotation



2 1 N2 1 dx +  M dx  2 EA 2 EI

=

Efforts axiaux N  Déformations (allongements)

(4.6)

Moments internes M  Déformations (courbure)

Effort axial seulement Dans le cas d’une structure formée de barres de treillis, le principe de la conservation d’énergie s’écrit :



B

C

P

1 1 n N 2L P   i i 2 2 i  1 ( EA ) i D

A

Poutre en flexion Dans le cas d’un élément de structure soumis à un moment de flexion interne dû à une charge P externe ou un moment M externe, le principe de la conservation d’énergie s’écrit :

P



L

1 1 1 M2 M  ou P   dx 2 2 2 0 EI

4-6

M 

CTN-408

4.2.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Application

Le principe de la conservation d'énergie (Éq.4.6) permet de déterminer le déplacement où la rotation d'un point d'une poutre, mais pour un chargement à la fois seulement. D'où sa limitation dans le calcul des déformations des structures. Des exemples d'application du principe sont traités ci-dessous : Équation (4.6)

Déplacement ou Rotation

 L / 2 1  Px 2  P  2    dx  2  0 2 EI  2  

 = PL 48 EI

Application

P

 L/2

3

L/2

P



P  2

L

1 2 0 2 EI   PL  Px  dx

3

 = PL 3 EI

L

M

B

2

M B B 1  MBx     dx 2 2 EI L   0 L

L

4-7

B =

MBL 3 EI

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

4-8

Chapitre 4

CTN-408

4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

MÉTHODE DE LA CHARGE VIRTUELLE

La méthode de la charge virtuelle est basée sur le principe du travail virtuel qui s'applique à toutes les structures, isostatiques ou hyperstatiques. Il est valide pour tous les types d'actions externes et internes et leurs déplacements correspondant. Par conséquent, la méthode de la charge virtuelle, ou méthode de la charge unité, s’applique au calcul :  Des rotations dues à des moments internes et déformations de flexion  Des translations dues à :  des moments internes et déformations de flexion  des efforts normaux et élongations 4.3.1

Définitions

La méthode de la charge virtuelle, fait appel à la notion de charge virtuelle. On utilise les définitions suivantes : Système réel  P : chargement externe réel (inclut les charges ponctuelles en k, les réparties (en kN/m) et les moments ponctuels en kN·m)   ou d : déplacement réel ou rotation réelle de la structure en un point donné  M : moment interne réel de flexion dû au chargement réel. Système virtuel (pas réel, fictif soumis à une charge virtuelle et subissant un déplacement virtuel)  P : charge virtuelle  c ou (d) : déplacement virtuel ou rotation virtuelle dans le sens de la charge virtuelle  m : effort interne virtuel de flexion résultant Travail virtuel = VIRTUEL  RÉEL   We = charge virtuelle  déplacement réel   Wi = effort virtuel  déformation réelle

4-9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

« Réel

a)

« Virtuel »

b)

P B

C

A

Chapitre 4

P

A

B

C c

Accroissement de déplacement

M dx EI

d 

Accroissement de la déformation

M

M

(d)

m

m

dx

dx

c)

Surface équivalente à

d)

We

P+P P

(dWi)

M+m M

We

(dWi)

We dWi

c

 We   P C   We   P C

c

 P( C )

d

(d)

0

0

m (d ) 2 M   (dWi )  md  m   dx  EI 

 (dWi )  md 

2

L

M 

 (Wi )   m   dx  EI  0 Fig. 4.2 - Travaux externe et interne 4-10

CTN-408

4.3.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exposé de la méthode

Si l'on applique graduellement une charge P sur une poutre simple (Fig.4.2a), alors on peut écrire les énergies externe et interne au point C comme suit : W e=

P  c 2

et W i =

M d 1 M 2 = dx 2 2 EI

Considérons maintenant la poutre dans son état déformé et appliquons une petite charge virtuelle δP (Fig.4.2b). Cette charge entraîne, au point C, un accroissement de déplacement δΔc, un accroissement de rotation δ(dθ) et donc un travail δWe. Appliquons le principe de la conservation d'énergie. 

Travail des forces externes (Fig.4.2c)

W e =  P  c 

 P  ( c ) 2

d'où, en négligeant le terme de second ordre (δP.δΔc)/2

 W e =  P  c 

(4.7)

Énergie de déformations internes (voir Fig.4.2d)

 ( dW i ) =

1 m (d ) + m (d ) 2

1 m  (d  ) : 2 M dx  (d W i ) = m d  = m EI

d'où, en négligeant le terme de second ordre

et donc, 

 (W i ) = 

mM dx EI

(4.8)

Principe de la conservation d'énergie (δWe = δWi)

 P  c = 

mM dx EI

4-11

(4.9)

CTN-408

4.3.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Méthode de la charge unité

Calcul d’un déplacement Δc

Pour calculer le déplacement Δc on point C dû à un chargement réel P (charges concentrées, réparties ou moments concentrés), on applique une charge virtuelle δP = 1 (charge unité en kN) au point C dans le sens du déplacement recherché. L'équation 4.9 devient : (1)   c =

L

 0

mM dx EI

(4.10)

Calcul d’une rotation c

Pour calculer la rotation c on point C dû à un chargement réel P (charges concentrées, réparties ou moments concentrés), on applique un couple (moment) virtuel δM au point C dans le sens de la rotation recherchée. L'équation 4.9 devient :

 M  c =

L

 0

mM dx EI

Soit en supposant δM = 1 (charge unité en kN.m) : (1)  c =

L

 0

mM dx EI

(4.11)

Dans les équations 4.10 et 4.11 on définit : M= moment fléchissant le long de la poutre, dû au chargement réel appliqué m= moment fléchissant le long de la poutre, dû à la charge unité (ou moment unité) virtuelle appliquée au point où l'on désire obtenir le déplacement (ou rotation).

4-12

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

L’expression générale de la méthode de la charge unité pour le calcul d’un déplacement ou d’une rotation sur une poutre travaillant en flexion est donnée par l’expression suivante: (1). ou (1). =

1 L  m(x) M(x) dx EI 0

(4.12)

Bien que E et I soient souvent constants le long d'une poutre, il peut arriver qu'ils varient. Aussi, il convient de généraliser les équations 4.10 et 4.11 comme suit :

(1). ou (1). =

L

 0

m(x) M(x) dx E(x) I(x)

(4.13)

La relation 4.13 permet de calculer les déplacements et les rotations de flexion en n'importe quel point de la poutre. 4.3.4

Intégrales de Mohr

On constate que l'équation 4.12 implique l'évaluation des intégrales de la forme générale : L

H =  0 m(x) M(x) Où

(4.14)

m (x) est une fonction constante ou linéaire, et M (x) est une fonction qui peut être de n'importe quel degré (linéaire, parabolique, hyperbolique, etc.)

Ces intégrales, connues sous le nom d'intégrales de Mohr, sont calculées pour les cas pratiques les plus courants et sont présentées dans le Tableau 4.1et à l’annexe C.

4-13

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Tableau 4.1 - Intégrales de Mohr (Source : Kennedy and Madugula, 1990) L

 O m (x) M (x) dx Note :

Les mêmes intégrales peuvent être utilisées pour l'évaluation des intégrales  OL M 1 (x) m 2 (x) dx ou l'intégrale du produit de deux fonctions variant de la même manière que ceux du Tableau 4.1

m(x) M(x)

a

1 Lad 2

1 La (c  d ) 2

1 Lad (1   ) 6

1 La  (1   )c  (1   )d  6

Lac

L a

L

L

1 Lac 2

4-14

CTN-408

4.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

APPLICATIONS AUX POUTRES, CADRES ET STRUCTURES MIXTES

4.4.1

Poutres et cadres

Les structures poutres et cadres sont composées d’éléments pouvant travailler axialement, en flexion, en cisaillement et ou en torsion. L’application générale de la méthode de la charge unité s’exprime donc par la relation suivante : (1)  

ou

(1)     nd  N  md M  vd V  tdT

(4.15)

S

En général, les déformations résultant des efforts de cisaillement, V, et des efforts de torsion, T, sont négligeables et le calcul d’un déplacement de poutres et cadres par la méthode de la charge unité s’écrit dont : L

(1)  

ou

L

M   N  (1)     m   dx   n   dx EA   EI  0 0 

Pour les poutres l’équation (4.12) est utilisée : L M  (1)   ou (1)     m   dx  EI  0 Les exemples suivants illustrent l’application de la méthode de la charge unité.

4-15

(4.16a)

(4.12)

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exemple 4.1 Pour la poutre simple (Fig.4.3a) soumise à une charge uniformément répartie w = 20kN/m, déterminer le déplacement à mi-portée Δm.

P = 1

w A

wL/2

B

. C

m 0,5

wL/2

L

L

(b) Charge unité virtuelle

(a) Structure réelle

+

+

M

wLx wx 2  2 2

m  0,5 x (d) m(x)

(c) M(x)

Fig. 4.3 - Exemple 4.1 Solution

0,5

Pour calculer le déplacement vertical Δm à mi-portée (point C) on applique une charge unité verticale au point C. Le déplacement Δm est donné par l’équation 4.12 : L

M  (1)     m   dx  EI  0 a) Équations du moment fléchissant M(x) dû à la charge répartie w. Les réactions d'appui sont Ay = By = wL/2, donc l’équation du moment M(x) est une parabole (Fig.4.3c) et est donnée par : wLx wx 2 M  2 2

4-16

m  4  0,5 x

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

b) Équations du moment fléchissant m(x) dû à une charge unité appliquée en au centre de la poutre dans le sens du déplacement Δm (Fig.4.3b).

Les réactions d'appui dues à cette charge unité sont Ay = By = 0,5, donc l’équation du moment m(x) est (Fig.4.3c) donnée par :

m  0,5 x

pour 0  x  L/2 (symétrique)

c) Déplacement Δm : Le déplacement Δm est calculé en utilisant la symétrie, c’est-à-dire qu’on applique l’intégration sur la moitié de la poutre (de x=0 à x=L/2) en multipliant par un facteur 2 : L

M  1. m   m   dx  EI  0 2 m  EI

L/2

2 EI

L/2

m 

 mMdx 0

 0

 wLx wx 2  (0,5 x)   dx 2   2

ce qui donne, tout calcul fait : 2 m  EI m  Avec

L/2

 0

L/2

 wLx 2 wx3  2  wLx3 wx 4     dx  EI  12 4  16  0  4

2  5wL4  5wL4  EI  768  384 EI

w  20 kN / m L  8m EI  100 000 kN .m 2  m  1, 07  10 2 m  10, 7 mm

En complément : Calculer la rotation A à l’appui A en appliquant un moment unitaire en A et en utilisant l’équation 4.12 :

4-17

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 4.4 - Exemple 4.2

4-18

Chapitre 4

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exemple 4.2 Déterminer le déplacement au point C situé à 2 m de l'appui A de la poutre simple (Fig.4.4a) soumise à une charge P = 10 kN à mi-portée. On donne EI = 104 kN·m2. Solution

Pour calculer le déplacement vertical Δc au point C, on applique une charge unité verticale au point C. Le déplacement ΔC est donné par l’équation 4.12. a) Équations du moment fléchissant M(x) dû à la charge P = 10 kN. Les réactions d'appui sont Ay = By = 5 kN, donc les équations du moment (M(x)) sont :

0x 4 4 x 8

M=5 M = 5x - 10 (x - 4) = - 5x + 40

Le DMF est présenté en Fig.4.3.b. b) Équations du moment fléchissant m(x) dû à une charge unité appliquée en C dans le sens du déplacement Δc (Fig.4.4c).

Les réactions d'appui dues à cette charge unité sont : Ay = 3/4 By = 1/4 Les équations de m(x) sont : 0x 2 m(x) = 3/4 x 2x 8 m(x) = 3/4 x - (x - 2) = - x/4 + 2 c) Déplacement Δc : le déplacement Δc est donné par : L

c =  0

c =

2

4

8

mM mM mM mM dx   dx   dx   dx EI EI EI EI 0 2 4

1  23   EI  0  4

    4 x 8 x x   5x  dx +  2  - + 2   5x  dx +  4  - + 2   - 5x + 40  dx    4   4  

ce qui donne, tout calcul fait : Δc = 7,3  10-3 m = 7,3 mm Remarque

L

L'intégrale  0 mM dx pouvait également être calculée à l'aide des intégrales de Mohr (Tableau 4.1). L'étudiant est encouragé à refaire l'exercice en se servant du Tableau 4.1 des intégrales de Mohr.

4-19

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ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 4.5 - Exemple 4.3 4-20

Chapitre 4

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exemple 4.3 Considérer la poutre de la Fig.4.5a. Déterminer les déplacements aux points B et D et la rotation au point D dus à une charge concentrée P = 10 kN appliquée à miportée de AC. On donne EI = 104 kN·m2. Solution

Pour calculer les déplacements ΔB et ΔD, on applique successivement une charge unité verticale aux points B et D, respectivement. Le calcul de la rotation D se fait en appliquant un moment concentré unitaire au point D. L’équation 4.12 est utilisée pour les calculs respectifs des déplacements avec les moments fléchissant virtuels m(x) correspondant à chaque chargement unitaire virtuel. L M  (1)   ou (1)     m   dx  EI  0 a) Équations du moment fléchissant M(x) dû à P = 10 kN. Les réactions sont Ay = Cy = 5 kN, donc les équations de M(x) sont :

M (x) = 5x M (x) = 5x - 10 (x-3) = -5x + 30

0 x3 3 x6

Le DMF est présenté à la Fig.4.5b b) Équations de m1(x) dues à une charge unité en B (Fig.4.5c). Notez que la charge est placée dans le sens du déplacement ΔB (vers le bas). Les équations sont :

m1(x) = 1/2 x m1(x) = 1/2 x - (x - 3) = - x/2 + 3

0 x3 3 x6

Le diagramme représentant m1(x) est montré en Fig.4.5c. c) Équations de m2(x) dues à une charge unité en D (Fig.4.5d). Notez que la charge est placée vers le bas dans le sens contraire présumé du déplacement ΔD. Le résultat sera interprété en conséquence :

0 x6 6 x9

m2(x) = -1/2 x m2(x) = -(9 – x) Le diagramme représentant m2(x) est 4.5d. 4-21

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

d) Équations de m3(x) dues à un moment unitaire en D (Fig.4.5e). Notez que le moment unitaire est placé dans le sens présumé de la rotation θD (anti-horaire). Les équations sont :

0 x6 6 x9

m3(x) = x/6 m3(x) = 1 Le diagramme représentant m3(x) est montré à la Fig.4.5e. e) Calcul de ΔB, ΔD et θD par intégration

Ceux-ci sont donnés par : 9

  B = 0

1  3 1  x 6  m1 M dx =  0  x   5x  dx +  3  3 -   30 - 5x  EI EI  2   2

 dx  



ce qui donne, tout calcul fait :

B  4,5  103  4,5mm

(Réponse positive donc dans le sens de la charge unité, soit vers le bas). 9

  D = 0

1  3  1 m2 M dx =  EI EI  0  2

 6  1 x   5x  dx +  3    2

 x   30 - 5x 

ce qui donne, tout calcul fait : 3  D  6, 75  10 m = - 6,75 mm (Réponse négative donc dans le sens opposé de la charge unité, soit vers le haut!).

9

  D = 0

1  3 x 6  x m3 M dx =  0 5 x   dx +  3    30 - 5x  EI EI  6  6 



ce qui donne, tout calcul fait : 3  D  2, 25  10 rad

(Réponse positive donc dans le sens de la charge unité, soit anti-horaire).

4-22

 dx  



 dx  

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

f) calcul de ΔB, ΔD et θD en utilisant les intégrales de Mohr (voir Annexe C6, C3 et C3, respectivement) : 9

m1 ( x) M ( x) dx EI 0

B  

6    1     +    EI    15    45   4,5  103 m  EI

6

+ 1,5

 1     EI 15  1,5   

1  6 3

9

m2 ( x) M ( x) dx EI 0

D  

3    6 1       + EI    6    15 67,5    6, 75  103 m  EI

3

 1   1    EI 15  (3)  1  2     

6   0 6 

9

m3 ( x) M ( x) dx EI 0

D  

   6 1        + EI    15    22,5   2, 25  103 rad EI

3

6

+ 1

 1     EI  

  1  6 15  1 1  2   6    0    

Rotation anti-horaire Note : Lorsqu’on utilise les intégrales de Mohr, il est important de respecter le signe des diagrammes de moments fléchissant car ces signes dépendent du sens du chargement. Une réponse positive indique que le déplacement ou la rotation calculée est dans le sens de la charge unité, alors qu’une réponse négative indique qu’il est dans le sens contraire de la charge unité.

4-23

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Système virtuel

Système réel

1

Efforts axiaux nAB = -1 kN nBC=0

Efforts axiaux NAB = -100 kN NBC=0

x

x

x

x

(a) Portique reel avec DMF M(x)

(b) Portique virtuel avec DMF m(x)

Fig. 4.6 - Exemple 4.4

4-24

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exemple 4.4 Trouver le déplacement à l'extrémité C du portique de la Fig.4.6a. EI = constante = 100 kN·m2. Les déformations axiales sont négligeables (EA très grand).

Pour calculer les déplacements ΔC on applique une charge unité verticale au point C. L’équation 4.12 est utilisée pour le calcul de Δc : M  (1)  C   m   dx  EI  Portique À noter, qu’il faut tenir compte de toutes les déformations de flexion, c’est-à-dire sur la colonne AB et sur la poutre BC. (Ici, on ne considère pas la contribution des déformations axiales dans la colonne BC au déplacement vertical du point C). L’équation 4.12 devient :

Solution :

(1)   C



M 

 M 

 m  EI  dx   m  2 EI  dx

AB

BC

Le diagramme M(x) dû aux charges appliquées est présenté à la Fig.4.6a et celui m(x) dû à une charge unité agissant au point C à la Fig.4.6b.

C

Δc peut être obtenu en utilisant les intégrales de Mohr (Tableau 4.1) sur les portions AB et BC. Ainsi : (voir annexes C1 et C2). 3 3      5   250        1  1     _ _              EI          2 EI   5 5 250 5                POUTRE BC COLONNE AB

 

1 1 1   250    5  3   (250) (5) (5)   2 EI  4 EI  4531  0, 045m  45mm EI La résolution mathématique des intégrales donne : 3 5   4531 1  1  2   dx +  45mm ( 5) 250   C =       x   10 x  dx   EI  0 EI  2 EI  0 

4-25

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4.4.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Structures avec éléments en flexion et efforts axiaux

De façon stricte toutes les déformations de tous les éléments de la structure contribuent au déplacement/déformation d’un point quelconque de la structure. Dans les structures comportant éléments sollicités par des efforts axiaux non négligeables (ex. : câble, tirant, tige) les contributions des efforts axiaux N et déformations axiales doivent être considérées dans le calcul des déplacements à l’aide de l’équation 4.16 : L

(1).

ou (1). 

 0

M  m   dx   EI 

L

 N 

 n  EA  dx 0

Lorsque les efforts normaux sont constants; alors : L

(1). 



= m, n = M, N = Exemples :

M  ou (1).   m   dx   EI  0

n

n i 1

i

 NL     EA i

déplacement réel recherché efforts internes virtuels efforts réels dus au chargement • • •

poutre suspendue par câble/tige poutre appuyée sur tige cadre avec colonnes dont EA est faible

Reprenons l’exemple 4.4 en posant EA = 600 000 kN, la contribution de l’effort axial dans la colonne au déplacement vertical du point C peut être évaluée à :  C du à N AB =

n AB N AB LAB ( 1)( 100 kN )  3000 mm   0, 5mm ( EA) AB 600 000 kN

et le déplacement total serait alors de 45,5mm.

4-26

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exemple 4.5 Application poutre-câble

Déterminer le déplacement vertical de l’extrémité C de la poutre suspendue par un câble de la Fig.4.7a en utilisant la méthode de la charge unité. On donne :

E = 200  106 kN/m2 Acâble = 200 mm2 Ipoutre = 100  106 mm4

L = 4m

10 kN/m A

C B 3m

2m

Fig. 4.7 - Exemple 4.5 Solution :

En appliquant la méthode de la charge unité, on peut écrire : L

c 

 0

m( x ) M ( x ) dx EI

 NL   n   EA 

POUTRE

CÂBLE

Les rigidités respectives du câble et de la poutre sont :

EAcâble =40 000 kN EIpoutre =20 000 kN·m2 L’analyse des systèmes réel et virtuel donne :

4-27

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Système réel

Système virtuel TB = N

5/3 = n

10 kN/m

1 3m

3m

2m

2m 2/3

RA

∑MA = 0 = 0

∑Fy

TB  3 = 10  52/2 TB = 41,67 kN RA = 8,33 kN

n3 = 1  5 n = 5/3 RA = -2/3

∑MA = 0 ∑Fy

= 0

-20

-2

A B

M(x)

C

m(x)

A

B

C

0 x  3

0 x  3 x

x

10

m( x )   2 / 3 x 10 x 2 M ( x)  8,33x  2

2/3

8,33 0  x’  2

0  x’  2

M ( x)  

1

10

10 x '2 2

m( x ')   x ' x’

x’

4-28

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Solution L

c 

m( x) Mx nNL dx  EI EA  0   CÂBLE POUTRE



.

de A à B

M( x) = m( x )

.

de C à B

M ( x) =

POUTRE

m( x ' )  1 c  EI 1  EI

3

 0

3

 0

8,33x  10 x 2 / 2 2 / 3x -10 '2 x 2 x '

10 2  1  2   x   8,33 x  x  dx   2 EI  3   1  5,56 x 2  3,33 x 3  dx  EI 3

2

 10    x '  2 x ' 0

2

  dx 

2



5 x '3 dx

0

2

1  5,56 x 3 3,33 x 4  1  5 x '4         3 4  0 EI  4  0 EI  

CÂBLE

1 37, 4  0, 00187m  1,87 mm 17,39  20   20 000 EI

N = 41.67 n = 5/3 n N L n NL   5 / 3  41, 67  4m   c   i i    40 000 EA EA   c 

277,8 277,8   0, 00694 mm  6,95 mm 40 000 EA

TOTAL  c  1,87  6,95  8,82 mm  Pour utiliser les intégrales de Mohr, il faut revenir aux formes de base des DMF et appliquer le principe de superposition.

4-29

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ANALYSE DES STRUCTURES

4-30

Chapitre 4

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4.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

CAS DES STRUCTURES EN TREILLIS

Des équations similaires à l'équation 4.13 peuvent être développées pour le calcul des déplacements des structures en treillis où les seuls efforts dans les barres sont des forces axiales qui produisent soient des allongements soient des rétrécissements. Cas général des déformations dues à des efforts internes

Dans le cas de treillis, le principe de la charge unité s'écrit :

(1)   

m

 n  L  i 1

i

i

(4.17)

 NL  (1)     ni    EA i i 1 m

où

m = Li = Ni = ni =

nombre de barres composant le treillis, déformation des barres effort dans la barre i dû aux charges appliquées, effort dans la barre i dû à une charge unitaire appliquée au point où l'on désire calculer le déplacement, dans le sens du déplacement, Ai = aire de la section de la barre i.

Déformations dues à d’autres causes que les efforts internes

Lorsque la déformation des barres est due à une autre cause que les efforts internes (variation de température, barres trop longues ou trop courtes), on calcule le déplacement en considérant ces déformations d de la manière suivante : (1)   

Où

 NL   d  ni    EA i i 1 m

 NL  ni      EA i i 1 m

m

 n  d  i 1

i

i

(4.18)

di =  T L si la déformation est due à une variation de température (+) pour une augmentation (-) pour une diminution di = variation de longueur d’une barre trop longue (+) ou trop courte (-)

4-31

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4



Fig. 4.8 - Exemple 4.6

4-32

2

P

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 4

Exemple 4.6 Déterminer le déplacement horizontal du noeud C du treillis de la Fig.4.7a en utilisant la méthode de la charge unité. EA = constante pour toutes les barres. Solution :

En appliquant la méthode de la charge unité, on peut écrire : 5

ni N i Li EAi i=1 efforts dans les barres, dus à la charge appliquée (Fig.4.7b), déterminés par la méthode des noeuds par exemple. C =  H

où

Ni =

ni =

efforts dans les barres, dus à la charge unité horizontale appliquée en C (Fig.4.7c), déterminés par la méthode des noeuds.

Sous forme tabulaire, on a : ni N i Li

Barre

N

Li/AE

Ni Li/AE

ni

AB

P

L/AE

PL/AE

1

PL/AE

BC

P

L/AE

PL/AE

1

PL/AE

CD

O

L/AE

O

0

O

DA

P

L/AE

PL/AE

1

PL/AE

BD

-

2P

2 L/AE

-2PL/AE

-

AE

2



2 PL/AE

2

=

PL AE

(3 + 2 2 )

(  CH )

Application numérique : P = 10 kN A = 100 mm2 E = 200 GPa = 200 kN/mm2 L=4m 10  4000 32 2 100  200  11,66mm

 cH 





4-33

CHAPITRE 5

LIGNES D’INFLUENCE

Dans ce chapitre, on traitera les lignes d’influence des structures isostatiques, tels les poutres et les treillis. On donnera également un aperçu sur la méthode de MüllerBreslau.

5.1

GÉNÉRALITÉS ET DÉFINITIONS

Jusqu'à présent, nous avons appris à tracer les diagrammes des efforts tranchants (DET), normaux (DEN) et des moments fléchissants (DMF). Ceux-ci représentent les variations de ces efforts le long d'une poutre, par exemple, dues à un chargement fixe, c'est-à-dire, dont le point d'application est figé. Il arrive parfois, notamment dans les cas de ponts autoroutiers, ponts roulants, ponts ferroviaires, etc., que la charge soit mobile. Dans ce cas, les efforts et moments fléchissants en un point de la structure changent avec la position de la charge mobile. La courbe représentant la variation en un point de ces efforts, moments, ou tout effet élastique lorsqu'une force unitaire mobile traverse la structure, est appelée LIGNE D'INFLUENCE (LdI). On parlera alors de la LdI de la réaction d'appui RA, ou du moment au point C, MC ou du déplacement vertical en B, etc. Définition Pour une structure donnée, la LdI d'un effet élastique est une courbe (ou un graphique) dont l'ordonnée en un point représente la valeur de cet effet qui est produit par une charge unitaire en ce point. Dans ce chapitre, on définit effet élastique comme étant une réaction, un moment de flexion, un effort normal, un effort tranchant ou une déformation. NOTE: Les lignes d’influence sont représentées comme des graphiques dont l’ordonnée est positive vers le haut, et l’abscisse représente l’axe x local de la poutre.

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

RA

RB

VC

Fig. 5.1 - Ldl de réactions d’appui et d’effort tranchant

5-2

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5.2 5.2.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

LDI DES RÉACTIONS D’APPUI, EFFORTS TRANCHANTS ET MOMENTS FLÉCHISSANTS DE SYSTÈMES ISOSTATIQUES SIMPLES LdI des réactions d'appui

Considérons la poutre simple AB de la Fig.5.1a. Cette poutre est soumise à une charge unitaire mobile P = 1 agissant à une distance x de A. L’équilibre de la poutre donne : - RA L + 1  (L - x) = 0

ΣM/B = 0



ΣFy = 0



(1)(L - x) L (1)( x) RB = L RA =

Les LdI de RA et RB sont présentées en Fig.5.1b et c. Ces lignes d’influence donne le coefficient multipliant la charge appliquée en un point pour obtenir une des deux réactions. Par exemple, si une charge mobile unitaire (P=1kN) est :  à l’appui A, alors RA =1,0  1kN = 1,0 kN RB = 0  1kN = 0 kN  à mi-portée, alors RA = 0,5  1kN = 0,5 kN RB = 0,5  1kN = 0,5 kN  à l’appui B, alors RA = 0  1kN = 0 kN RB = 1,0  1kN = 1,0 kN 5.2.2

LdI de l'effort tranchant

Proposons-nous de déterminer la LdI de l'effort tranchant au point C de la même poutre (voir Fig.5.1a). Pour ce faire, on peut utiliser les LdI de RA et RB auxquelles nous affectons les signes correspondant à l'effort tranchant selon notre convention. 

Si P = 1 est à droite de C (Fig.5.1d), alors du DCL de CB on tire, x ΣFy = 0  VC  RB  1   1   RA L ou du DCL de AB on tire, (1)( L  x) VC   RA    ΣFy = 0 L



Si P = 1 est à gauche de C (Fig.5.1e), alors de façon similaire : ΣFy = 0



VC  RB 

La LdI de VC est présentée en Fig.5.1f. 5-3

(1)( x) L

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

MC

Fig. 5.1 - Ldl du moment en C

5-4

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5.2.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

LdI d'un moment fléchissant MC

Proposons-nous de déterminer la LdI du moment fléchissant au point C. Pour cela, il suffit de considérer l’équilibre de la poutre selon les deux situations suivantes :  



Si P = 1 se trouve à droite de C (Fig.5.1g), alors du DCL de AB on tire :

M

/C

 M C  RA  a  0

 L- x M C = RA  a   a  L  Si P = 1 se trouve à gauche de C (Fig.5.1h), alors du DCL de BC on tire :

M

/C

  M C  RB  ( L  a)  0

M C = RB  ( L  a ) 

x  L  a L

La LdI de MC est donnée en Fig.5.1i. Note : L’ordonnée de la ligne d’influence d’un moment fléchissant est positive vers le haut. Bien que ce graphique ressemble à celui d’un DMF il n’en est pas un et ne signifie pas la même chose.

5-5

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

1

x

C

(a)

A

B D 2m

2m

2m 4m

LdI de RA

x x

1

1

MB (b)

D VD

RA

R

4x 4

1,

LdI de RA

+

(c)

LdI de VD

x

1 D (d)

A RA

VD

x 4

1,0

+

(e) LdI de VD

Fig. 5.2 - Exemple 5.1

5-6

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 5.1 Soit à construire les lignes d'influence de la réaction en A, des efforts tranchants en D et en C et des moments en B et en C de la poutre montrée à la Fig.5.2a. Solution :



LdI de RA

Elle est obtenue en considérant P = 1 entre A et B (Fig.5.2b). Notez que lorsque P = 1 est à droite de D, alors RA = 0 M / D = 0



- RA (4) + (1) (4 - x) = 0

4-x 4 La LdI de RA est présentée Fig.5.2.c. RA =



LdI de VD

Si P = 1 entre A et D, alors en faisant : M / A = 0 VD =

x  4

Si P = 1 est à droite de D, alors VD=0 La LdI de VD est présentée en Fig.5.2e.

5-7

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

LdI de VC

x

Chapitre 5

1 (f)

A V RA

x

1

(g)

C

A

VC RA VC  VD 

x 4

0,5

LdI de VC

+ -

- 0,5

LdI de MC

x

4x 4

VC  RA 

1

(h)

D

MC

A

(i) C

RA

VC

VD

x

1

A RA M C  (VD )(2) 

x 2

M C  ( RA )(2) 

+

(j)

VD

M

C

4x 2

1

(k) LdI de MC

LdI de MB

x

1

MB

D

(l)

A R

RA

M B  (VD )(2)  

x 2

LdI de MB M B  (1)(6  x)  (6  x) -

Fig. 5.2 - Exemple 5.1 (suite) 5-8

(m)

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ANALYSE DES STRUCTURES



LdI de VC

Si P = 1 est à droite de C, (Fig.5.2f), alors : x-4 VC = - RA = 4 Si P = 1 est à gauche de C, (Fig. 5.2g), alors : x VC = - RA + 1 = 4 La LdI de VC est tracée en Fig.5.2h. 

LdI de MC

Le moment en C dépend de la position de la charge mobile par rapport à C. Si P = 1 à gauche de C, (Fig.5.2i), alors l’équilibre du segement CD donne (sachant que VD = VC) : x x M C = VD  2  VC  2   2  4 2 Si P = 1 à droite de C (Fig.5.2j), alors l’équilibre du segment AC donne : 4-x M C = RA  2 = 2 La LdI de MC est présentée en Fig.5.2k. 

LdI de MB

MB dépend aussi de la position de P = 1 par rapport à D. Si P = 1 à gauche de D (Fig.5.2l), alors :  x M B = - VD  2 =    (2)  4   x MB =  2 Si P = 1 est à droite de D M B = - 1 (6 - x)

M B = - (6 - x) La LdI de MB est présentée à la Fig.5.2m. 5-9

Chapitre 5

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ANALYSE DES STRUCTURES x D

Chapitre 5

E 

l B

A C

F

x

G

RA RB

4 a

(a)

1

RA

(b)

1 RB

(c) x FDE

D

FDF l

C a

RA

FCF

F

x

RB

(d)

FDE

  

2a l

RB

(e) O



2a

RA

l

-RA/sin

(f)

-RB/sin 

 

O

Fig. 5.3 - LDI relative à un treillis

5-10

FDF

CTN-408

5.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

LDI DES FORCES DANS LES BARRES D’UN TREILLIS

Les LdI dans des treillis sont construites d'une manière très semblable à celle d'une poutre. La LdI d'une membrure d'un treillis est une fonction qui indique comment la force dans la membrure est influencée par une charge unitaire qui traverse le treillis. Pour beaucoup de treillis simples, on peut indiquer la force dans la membrure comme une fonction de la coordonnée x qui décrit la position de la charge. Considérons l'exemple du treillis de la Fig.5.3a et proposons-nous de tracer les LdI des efforts dans les barres DE et DF. Les LdI des réactions d'appuis RA et RB sont les mêmes que pour une poutre normale (voir Fig.5.3b et c). Les LdI de FDE et FDF découlent du DCL montré à la Fig.5.3d.  -

LdI de FDE

Si P = 1 est situé à droite de F; en considérant la somme des moments de forces agissant à gauche de F par rapport à F, il s'en suit ΣM/F = 0



(FDE ) (l) + (RA) (2a) = 0

Donc : 

FDE = RA   

-

2a   l 

Si P = 1 est située à gauche de F; en considérant la somme des moments de forces agissant à droite de F, il s'en suit : ΣM/F = 0



(FDE) (l) + (RB) (2a) = 0

Donc : 

FDE = RB   

La LdI de FDE est présentée à la Fig.5.3e.

5-11

2a   l 

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES Sin  =

E

Chapitre 5

4 5



(a)

40 pi B

A

C

F

D

G

H

6 x 30 pi

1 FCE

(b)

+ 

E

x 40 pi FCD

RA

x

(c)

30 pi

5/8

5/6

5/24

FDE

(d)

+

FCD

(e)

 1

RA

RB

5/6

1/6

4/6

+

LdI RA

1 LdI RB

2/6

Figure 5.4 - Exemple 5.2

5-12

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES



Chapitre 5

LdI de FDF

Elle est déterminée en considérant l'équilibre des forces agissant à droite et à gauche de la coupure (voir Fig.5.3d). -

Si P = 1 est à gauche de C, en écrivant ΣFy = 0, il s'en suit : RB + FDF sin θ = 0 - RB F DF = sin 

-

Si P = 1 est à droite de F, en écrivant ΣFy = 0, il s'en suit : RA - FDF sin θ = 0 RA F DF = sin 

-

Si P = 1 est entre C et F, la LdI est obtenue en joignant les points 0 et 0' comme montré à la Fig.5.3f.

La LdI de FDF est présentée, en totalité, à la Fig.5.3f. Exemple 5.2 Déterminer les lignes d'influence des forces dans les barres CE, CD et DE du treillis de la Fig.5.4a. Solution :



LdI de FCE

On voit que FCE = 1 si P = 1 est en C; FCE = 0 si P = 1 est sur ou à droite de D. La LdI de FCE est donc présentée en Fig.5.4b. 

LdI de FCD

Celle-ci peut être déduite de la Fig.5.4c en écrivant (P = 1 à droite de C) ΣM/E = - RA (30) + FCD (40) = 0

5-13

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

5-14

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

d'où  30  FCD  RA     40 

5 2 1 1 1 , , , et quand P = 1 se trouve en C, 6 3 2 3 6 D, F, G et H respectivement, alors FCCD en C est égal à :

comme R A =

C FCD =

5 30 5  = 6 40 8

La LdI de FCD est tracée en Fig.5.4d.  -

LdI de FDE

Si P = 1 est entre D et B, alors (voir DCL Fig.5.4c) FDE = RA/sin θ

-

Si P = 1 est en C, alors F DE =

( R A - 1) sin 

avec sinθ = 4/5 et les valeurs de RA ci-dessus, la LdI est tracée à la Fig.5.4e.

5-15

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

1 A B

(a) RC

RA L

x

Déplacement virtuel = 1

A

B (b) RA

Note : Pour tracer LdI de RA, seul l’appui A se déplace

1 LdI de RA

(c)

x/L

Fig. 5.5 - LdI de la réaction en A selon le principe de Müller-Breslau

5-16

CTN-408

5.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

LIGNES D’INFLUENCE PAR LE PRINCIPE DE MÜLLER-BRESLAU

Dans le cas de poutres simples, les LdI s'obtiennent assez facilement. Dans des cas compliqués, on peut toujours déterminer la LdI en promenant une charge unitaire sur la structure. Il est cependant beaucoup plus simple d'utiliser le principe des travaux virtuels. 5.4.1

Principe des travaux virtuels

Pour un corps en équilibre, le travail des forces appliquées au cours d'un déplacement virtuel infinitésimal est égal à la variation de l'énergie interne durant le déplacement. L'application de ce principe à la détermination graphique des LdI de forces (réactions, efforts tranchants, moments) est appelée : Principe de Müller - Breslau. Ce dernier s'énonce comme suit : La LdI d’un effet quelconque (réaction, effort tranchant, moment) dans une structure est proportionnelle au diagramme des déplacements obtenus quand on permet un déplacement virtuel de l’effet (réaction, effort tranchant, moment) sous considération. Note : Les déplacements de la poutre respectent :  les conditions d’appuis : La LdI doit passer par les appuis (Le coefficient de la LdI vis-à-vis un appui est nul, sauf pour la LdI de la réaction à cet appui)  Les articulations (rotules): à la position d’une articulation, la LdI peut présenter un changement d’angle

Voici quelques exemples d'application de ce principe : 5.4.2

Réaction d'une poutre simple (Fig. 5.5)

Si on veut tracer le diagramme de la LdI de RA, on enlève le support en A et on le remplace par RA. On produit ensuite un déplacement virtuel δA (Fig.5.5.b). D'après le principe des déplacements virtuels : RA  A - 1   B  0

d'où

RA 

B A

donc, δB représente, à un facteur près, la réaction en A. En particulier si l'on prend δA = 1, on obtient la LdI de RA. Celle-ci est montrée en Fig.5.5c. x RA   B  L 5-17

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

1

D

A B

C

L b

a

Déplacement virtuel = 1

B

C

VC

C

Note : Pour tracer LdI de VC, seule la résistance au cisaillement est relâchée;  Les conditions d’appuis sont respectées;  Les segments parallèles restent parallèles

○ ○

○ ○

VC

OU

a L

LdI de VC

1

+ _

 a

b L

b

Fig. 5.6 - LdI de l’effort tranchant en C selon le principe de Müller-Breslau

5-18

CTN-408

5.4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

Effort tranchant en un point C d'une poutre simple (Fig.5.6a)

La procédure pour trouver la LdI de Vc est la suivante :



Couper la poutre en C



Déplacer les deux parties de la poutre suivant le sens de l'effort tranchant de manière à ce que le moment en C n'effectue aucun travail (Fig.5.6b). Cette dernière condition n'est satisfaite que si l'on garde les deux parties de la poutre parallèles (pas de rotation).



Appliquer le principe des déplacements virtuels : VC  C  1   B  0

donc

VC 

B C

Ainsi, si δC = 1, le diagramme des déplacements virtuels est la LdI de l'effort tranchant en C (Fig.5.6c). donc

VC   B

5-19

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

x

(a)

A B

C

RA

b

a

RB

L

MC

MC

(b)

Note : Pour tracer LdI de MC, seule la résistance à la rotation est relâchée;  Les conditions d’appuis sont respectées.

Rotation virtuelle = 1 MC

C = 1

i i

C

ab L a

1 j

B

j

(c)

b C = 1

b

a

Fig. 5.7 - LdI du moment fléchissant en C selon le principe de Müller-Breslau

5-20

CTN-408

5.4.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

v Moment fléchissant en un point C d'une poutre simple (Fig.5.7a)

La LdI du moment MC peut être tracée en suivant la procédure suivante :



introduire une rotule et le moment MC en C (Fig.5.7b)



déplacer ensuite le point C de manière à ce que le moment de MC effectue un travail virtuel positif; (Fig.5.7c)



appliquer le principe des déplacements virtuels.

1   B  M C  C  0 MC=

B C

Ainsi, si θC = 1, le diagramme des déplacements virtuels est la LdI du moment fléchissant en C (Fig.5.7c). donc

MC  B

5-21

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

x

A

C

A

B

RC

c = 1

x A

B

B

RC

Fig. 5.8 - LdI de la réaction en C d’une poutre hyperstatique

5-22

CTN-408

5.4.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Poutre sur trois appuis (Fig.5.8a), LdI de la réaction intermédiaire

La LdI de RC peut être obtenue en supprimant l'appui C et on le remplaçant par RC (Fig.5.8b). On applique ensuite le principe de Müller-Breslau. On peut écrire : - 1   x + RC  C = 0

x C RC =  x

d'où

RC =

si δC = 1 alors, La déformée est donc la LdI désirée (Fig.5.8c). Note : Le principe de Müller-Breslau permet de construire des LdI

-

Quantitativement pour les structures isostatiques (lignes droites). Qualitativement pour les structures hyperstatiques (lignes courbes).

5-23

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

Rotule A 

x

1

C

B 6m

4m



E

D 4m



4m



(a)



2 1 B

A

C

E

10

B A

RD

(b) LdI de RD

(c) LdI de MA

C

A = 1

10

D

E

MB= 1

1

B A

C D

1 -1

VB = 1

Fig. 5.9 - Exemple 5.3 5-24

E

(d) LdI de VB

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 5.3 Tracer les lignes d'influence de RD, MA et VB de la poutre montrée à la Fig.5.9a en appliquant le principe de MüllerBreslau. Solution :

(a)

LdI de RD

On remplace l'appui D par RD et un déplacement δD = 1. La déformée obtenue est la LdI de RD demandée (Fig.5.9b). 1. À l’appui D, le déplacement virtuel = + 1; 2. Rotation permise à la rotule C: « changement d’angle dans la LdI » en C; 3. La LdI est horizontale en A, puisque les conditions d’appuis ne changent pas.

(b)

LdI de MA

On enlève l'encastrement on le remplace par une rotule en A et une rotation θA = 1 (Fig.5.9c). La déformée obtenue est la LdI en question. Les ordonnées caractéristiques (ex. la valeur de 10 en C et en E) sont obtenues en considérant la géométrie de la déformée élastique. 1. À l’appui A : rotule virtuelle permettant une rotation virtuelle horaire = 1; 2. Rotation permise à la rotule C: « changement d’angle dans la LdI » en C; 3. La LdI repasse par l’appui D (LdI = 0) (en pivotant autour de l’appui) sans changement d’angle.

(c)

LdI de VB

On effectue une coupe dans la poutre, en B, et on déplace BC selon la convention de signe positif et tel que δβ=1 (Fig.5.9d). 1. À la section (B) : on insère un plan de roulement et on abaisse la portion droite p/r gauche; 2. AB doit demeurer horizontal car A est un encastrement (déplacement non permis); 3. BC doit être parallèle à AB, donc horizontal (pas de changement d’angle permis); 4. Rotation permise à la rotule C;; 5. La LdI repasse par l’appui D (LdI = 0) (en pivotant autour de l’appui) sans changement d’angle.

5-25

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

1

x

C

A

B D 2m

2m

2m

(a) Poutre

4m

1

+ A

B D RA

(b) LdI de RA 1,0

+

D

A

B

(c) LdI de VD VD = 1

0,5 A

+

C

B

-

- 0,5

D

(d) LdI de VC VC = 1

Fig. 5.10 - Exemple 5.4

5-26

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 5.4 Tracer les lignes d'influence de la poutre de l’Exemple 5.1 (représentée à la Fig. 5.10a) en appliquant le principe de Müeller-Breslau.

On demande les LdI pour : RA, VD, VC, MC et MB. Solution :

(a)

LdI de RA

On remplace l'appui A par RA et un déplacement δA = 1. La déformée obtenue est la LdI de RA demandée (Fig.5.10b). 1. 2.

3.

(b)

À l’appui A, le déplacement virtuel = + 1; Rotation permise à la rotule D: « changement d’angle dans la LdI » en D; La LdI est horizontale en B, puisque les conditions d’appuis ne changent pas; BD reste horizontal.

LdI de VD

On effectue une coupe dans la poutre, en D, et on déplace AD selon la convention de signe positif et tel que δD=1 (Fig.5.10c). 1. 2. 3. 4.

(c)

À la section (D) : on insère un plan de roulement et on monte la portion gauche p/r droite; DB doit demeurer horizontal car B est un encastrement (déplacement non permis); AD n’a pas à être parallèle à DB car le changement d’angle en D est permis à cause de la rotule; La LdI repasse par l’appui A (LdI = 0) (en pivotant autour de l’appui) avec changement d’angle.

LdI de VC

On effectue une coupe dans la poutre, en C, et on déplace AC et CD selon la convention de signe positif et tel que δC=1 (Fig.5.10d). 1. 2. 3. 4.

À la section (C) : on insère un plan de roulement et on monte la portion gauche p/r droite; DB doit demeurer horizontal car B est un encastrement (déplacement non permis); AC doit être parallèle à CD (pas de changement d’angle permis en C); La LdI repasse par l’appui A (LdI = 0) en pivotant autour de l’appui et par l’articulation D avec changement

d’angle (rotule en D).

5-27

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

x

Chapitre 5

1 C

A

B D 2m

2m

2m 4m MC= 1

(f) LdI de MC

C A

+

C = 1 1

B D

(g) LdI de MB C

D

A

-2

B = 1

B MB= 1

Fig. 5.10 - Exemple 5.4 (suite)

5-28

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ANALYSE DES STRUCTURES

(d)

LdI de MC

On introduit une rotule en C et une rotation θC = 1 (Fig.5.10f). La déformée obtenue est la LdI en question. Les ordonnées caractéristiques (ex. la valeur de +1 en C) sont obtenues en considérant la géométrie de la déformée élastique. 1. 2. 3. 4.

(e)

En C : rotule virtuelle permettant une rotation virtuelle horaire = 1; Rotation permise à la rotule D: « changement d’angle dans la LdI » en D; La partie BD reste horizontale. La LdI repasse par l’appui A (LdI = 0) (en pivotant autour de l’appui)

LdI de MB

On introduit une rotule en B et une rotation θB = 1 (Fig.5.10g). La déformée obtenue est la LdI en question. Les ordonnées caractéristiques (ex. la valeur de -2 en C) sont obtenues en considérant la géométrie de la déformée élastique. 1. 2. 3.

En B : rotule virtuelle permettant une rotation virtuelle horaire = 1; Rotation permise à la rotule D: « changement d’angle dans la LdI » en D; La LdI repasse par l’appui A (LdI = 0) (en pivotant autour de l’appui).

5-29

Chapitre 5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

5.5

EXPLOITATION DES LDI

5.5.1

Valeur d'un effet élastique

Chapitre 5

La LdI permet de calculer la valeur d'un effet élastique dans une section donnée, pour une position quelconque de la charge mobile. En d’autres mots, la LdI permet de calculer la valeur d’une réaction, d’un effort tranchant ou d’un moment fléchissant dû à une charge concentrée Pi. placée en un point xi . La valeur recherchée est alors tout simplement le produit de l'ordonnée en ce point yi(xi) de la LdI relative à cet effet élastique par l'intensité de la charge Pi. Effet  yi ( xi )  Pi

On doit se rappeler que la LdI donne des coefficients dont les unités sont :  Pour les LdI de réaction ou d’effort tranchant : kN/kN  Pour les LdI de moment fléchissant : kN.m/kN (ou kN.mm/kN selon les unités utilisées pour construire la La LdI nous permet également de déterminer la position critique qui donnerait l'effet élastique maximal et de déduire ensuite cette valeur maximale. Cependant, il faut noter que si nous ne connaissons la LdI que qualitativement (comme pour les poutres hyperstatiques), on ne peut alors évaluer la valeur maximale. Par contre, on peut déterminer la position critique. a) Effet résultant de plusieurs charges concentrées

Lorsque plusieurs charges concentrées sont appliquées sur une poutre, on peut calculer l’effet élastique résultant (ex. réaction, moment) à partir le la ligne d’influence, en faisant la sommation des effets de chacune des charges. On peut aussi utiliser la résultante et sa position comme illustré à l’exemple 5.5. n

Effet résultant   yi ( xi )  Pi i 1

Par exemple, la réaction en A de la poutre suivante supportant les trois charges concentrées P1, P2 et P3 peut être obtenue en utilisant la LdI de la réaction RA par : Réaction RA  ( y1  P1 )  ( y2  P2 )  ( y3  P3 )

5-30

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ANALYSE DES STRUCTURES P1

P2

Chapitre 5

P3

A

B

RA

RB L y1 y2

y3

LdI de RA

Exemple 5.5 Soit à déterminer la réaction d'appui RA de la poutre soumise au chargement de trois essieux appliqué tel que montré en Fig.5.11a.

En évaluant la résultante R du chargement (amplitude et position), on peut trouver l'ordonnée correspondante de la LdI (Fig.5.11b), soit  Lx  . On a donc,

Solution :

x RA  R   L R x P1

(a)

P2

P3

A

B

RA

RB L

(b) x L

Fig. 5.11 - Exemple 5.5

5-31

LdI de RA

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

Exemple 5.6 Déterminer le moment au point C dû au train de chargement (Fig.5.12a), dont la position est donnée en Fig.5.12b.

Le moment MC est calculé comme suit :

Solution :

M C  Pb 1 1  P2 b2

B

A C (a)

a

RA

RB

L

P1 b1 (b)

A

P2 b2

C Fig. 5.12 - Exemple 5.6

5-32

B

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

b) Effet résultant d’un chargement réparti Lorsqu’une poutre supporte une charge uniformément répartie, il suffit de calculer l’aire sous la ligne d’influence directement sous la charge et de la multiplier par la valeur w (en kN/m) pour obtenir la valeur de l’effet cherché (représenté par la ligne d’influence). Ceci est toujours vrai et s’applique à toutes les lignes d’influence. Soit une poutre dont le segment f-g est soumis à une charge répartie d’intensité w (Figure 5.13a). La résultante de la charge sur une longueur infinitésimale dx est donnée par : dQ  wdx

L’effet élastique de cette résultante infinitésimale est le produit de l'ordonnée en ce point y(x) de la LdI relative à cet effet élastique par l'intensité de la résultante dQ. L’effet résultant pour l’ensemble de la charge w entre les points f et g et donc obtenue par l’intégration de ce produit entre les points f et g, ou par le produit de l’intensité de la charge w par la surface sous la courbe de la ligne d’influence entre les points f et g. g

g

f

f

Effet   w(dx) y ( x)  w y ( x)dx Effet  w  Aire sous la ligne d'influence entre f et g

Figure 5.13 : Effet d’une charge répartie Source : Samikian 1993 5-33

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

Exemple 5.7 Pour la poutre de la Figure 5.14, déterminez le moment maximum au point C (positif et négatif) dû au train de chargement continu de 7 kN/m (longueur indéterminée) et à la charge concentrée de 60 kN. Solution :

La ligne d’influence du moment MC (Fig. 5.14b) indique que le moment maximum positif est obtenu en appliquant la charge concentrée au point C et en chargeant la poutre de la charge de 7 kN/m entre les points A et B. Le moment MC maximum négatif est obtenu en appliquant la charge concentrée au point D et en chargeant la poutre de la charge de 7 kN/m entre les points D et A.

1   M C (max)  (60  2,5)  7   10  2,5  237,5kN  m 2 

1   M C (max)  60(1,5)  7  (3)(1,5)   105, 75kN  m 2 

Figure 5.14 : Exemple 5.7 Source : Samikian 1993 5-34

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5.5.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

Maximum absolu

En conception, on a souvent besoin de la valeur maximale absolue d'un effet élastique (ex. : moment maximal absolu ou effort tranchant maximal absolu). Ceci n'est pas toujours évident surtout lorsque l'on a un train de chargement mobile. L'évaluation d'un effet maximal absolu est illustrée dans ce qui suit. Soit à déterminer le moment maximal absolu dû au passage d'un train de chargement comme indiqué à la Fig.5.15. Le problème revient à chercher la position d'une charge particulière W (ex. : en ③) qui produit le moment maximal. Si R est la résultante de toutes les forces et RL la résultante des forces se trouvant à gauche de W sur la poutre, on a: RA=

Rx L

Le moment sous W (choisi en ③) est donné par : M = R A (L - x - b) - R L  a =

Rx (L - x - b) - R L  a L

Le maximum absolu est obtenu en écrivant dM/dx = 0, soit : dM R = (L - 2x - b) = 0 dx L

d'où

L - x - b= x

Ce résultat montre que le moment maximal absolu sous un train de charges mobiles est obtenu en maintenant la distance de l'appui A au point d'application de W égale à celle de l'appui B à la résultante R, ou le centre de la poutre à équidistance (b/2) de W et R. R x W

RL a

A RA

1

2

L-x-b

b 4

3

5

6

C L POUTRE L

Fig. 5.15 - Effet maximum absolu 5-35

B RB

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 5

Exemple 5.8 Soit à déterminer le moment maximal absolu de la poutre chargée par un train de chargements (Fig.5.16a).

Supposons que W est appliqué en ②, le centre de la poutre L doit être équidistant à ②et R (voir Fig.5.16b). La distance de R à ②est égale à 10 + 10 - 15,6 = 4,4 m. Le moment maximal absolu sous ② est donc :

Solution :

max M (2)  RA (27,8)  12(8)  676,8 kN  m

Note : Le moment maximum est sous l’essieu le plus près de la résultante, ici l’essieu 2. 60 kN

15,6 m 12 kN 20 kN 2

1 8m

A (a)

B

60

C L R = 60

A

1

2

2,2 m

(b)

3

RA 

4

B

2,2 m x=27,8

27,8 m

RA

5,6 m

 60  27,8  27,8 kN 60

Fig. 5.16 - Exemple 5.8

5-36

RB

4

3 10 m 28 m

C

8 kN

20 kN

10 m

CHAPITRE 6

MÉTHODE DE SUPERPOSITION POUR L’ANALYSE DES SYSTÈMES HYPERSTATIQUES

Dans ce chapitre on apprendra à analyser les structures hyperstatiques en appliquant le principe de superposition. On abordera également le calcul des coefficients d'influence.

CTN-408

6.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

INTRODUCTION

Il existe plusieurs méthodes pour l'analyse des structures hyperstatiques. Parmi ces méthodes, on peut citer : -

les méthodes énergétiques les méthodes de forces les méthodes successives etc.

La méthode de superposition fait partie des méthodes de forces. C'est une méthode simple et générale qui peut être appliquée à tous les types de structures (poutres, treillis, cadres) et à toutes les catégories de chargement y compris les effets tels dus aux variations de température et aux tassements différentiels d'appuis. La méthode de superposition est fondée, tout naturellement, sur le principe de superposition, principe largement utilisé par l'ingénieur dans l'analyse de structures et la mécanique des solides. Dans ce chapitre, nous exposerons le principe de superposition avant de passer à la méthode de superposition. Nous aborderons également dans ce chapitre le calcul des coefficients d'influence qui seront utiles pour la suite du cours. Enfin, nous appliquerons la méthode au calcul des systèmes de poutres, cadres et treillis hyperstatiques. 6.2

PRINCIPE DE SUPERPOSITION

Le principe de superposition peut être énoncé comme suit : « Le déplacement dû à plusieurs forces appliquées simultanément est égal à la somme des déplacements dus à chacune des forces agissant séparément ». Ce principe, comme on peut se rendre compte, n'est valide que pour les structures dont le comportement est régi par la loi de Hooke, c'est-à-dire dont les déformations sont proportionnelles aux charges appliquées, ce qui est généralement vrai pour les structures en comportement élastique. Dans l'analyse des structures, il est pratique d'utiliser la notation dans laquelle une force Fj produit au point i un déplacement Dij. Ainsi, le premier indice d'un déplacement est associé à l'emplacement et la direction du déplacement, et le second indice au point d'application et à la direction de la force qui produit ce déplacement. 6-1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 6.1 - Principe de superposition

6-2

Chapitre 6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Se référant à la Fig. 6.1(a), si la relation entre la force appliquée et le déplacement résultant est linéaire, on peut alors écrire : (6.1) D i1 = f i1 F1 où fi1 = déplacement en i dû à une force unitaire ayant son point d'application et sa direction identiques à ceux de F1. C’est un coefficient de flexibilité. Si une deuxième force F2 est appliquée, elle produit un déplacement en i noté Di2 (Fig.6.1b) qui peut s'écrire : (6.2) D i 2 = fi 2 F2 où fi2 = déplacement en i dû à une force unitaire ayant son point d'application et sa direction identiques à ceux de F2. C’est un coefficient de flexibilité Si maintenant, plusieurs forces F1, F2, . . . , Fn sont appliquées simultanément (Fig.6.1c), alors en vertu du principe de superposition, le déplacement total Di s'écrit : D i = fi1 F 1 + fi 2 F 2 + . . . + fin Fn

(6.3)

Il est opportun de signaler que F et D qui sont utilisées pour désigner la force appliquée et le déplacement respectivement, peuvent également désigner un moment appliqué et une rotation, respectivement.

6-3

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6.3 6.3.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

MÉTHODE DE SUPERPOSITION (OU DE DÉPLACEMENTS CONSISTANTS) Introduction

Le principe de superposition peut être très utile pour analyser une structure hyperstatique. Considérons la structure hyperstatique d’ordre 1 de la Figure 6.2a. Les trois équations d’équilibre disponibles sont insuffisantes pour déterminer les quatre réactions inconnues (Ax, RA, MA et RB). On peut alors appliquer le principe de superposition pour déterminer une des réactions. Considérons ici la réaction surabondante RB. La structure hyperstatique est transformée en une structure isostatique de base qu’on soumet simultanément à la même charge que la structure hyperstatique, ici la charge répartie w (Fig. 6.2b), et à une force RB appliquée au point B dans le sens de la réaction surabondante (Fig. 6.2c). L’équation additionnelle est donnée par une équation de compatibilité des déplacements où, le déplacement de la structure hyperstatique à l’appui B est égal à la somme des déplacements correspondant à chacun des cas de chargement (Fig. 6.2b et 6.2c). On écrit alors : DB  DBw  DBRB  déplacement de l'appui B DB  DBw  f bb RB  0

RB  

DBw f BB

où RB

:

Réaction inconnue surabondante en B à calculer.

DB

:

Déplacement de l’appui B de la structure hyperstatique. Ici le déplacement est nul, donc 0.

DBw

:

Déplacement au point B dû à la charge appliquée w sur la structure isostatique de base (Fig. 6.2b).

DBRB

:

Déplacement au point B dû à la réaction surabondante RB sur la structure isostatique de base (Fig. 6.2c).

fBB

:

Déplacement au point i dû à une charge unité appliquée au point B sur la structure isostatique de base dans la même direction que RB (Fig. 6.2c).  Coefficient de flexibilité

6-4

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

M

A

w

A

(a) Structure hyperstatique

B

A

R

Chapitre 6

=

R

w B DBw

(b) Structure isostatique de base, charge w

+ DBRb = fbbRB (c) Structure isostatique de base, inconnue RB

B R

Fig. 6.2 - Méthode de superposition Exemple :

Pour la poutre de la Fig. 6.2 on appliqué le principe de superposition en utilisant les déplacements connus pour une poutre console et donnés à l’Annexe A (p. A.5). Donc: Pour une charge uniformément répartie w :

DBw  

wL4 8 EI

Ici, le déplacement dû à la charge est vers le bas donc négatif car dans le sens contraire du déplacement dû à la réaction RB inconnue.

Pour une charge concentrée P=1 à l’extrémité de la console w : L3 f BB  1. 3EI 4 3  wL   1L  On obtient : DB  DBw  f BB RB    RB   0   8 EI   3EI   wL  8 EI  3wL   1.L  3EI  8 4

RB

6-5

3

CTN-408

6.3.2 (A)

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Application à une poutre hyperstatique d’ordre 1 Procédure :

L'analyse d’une structure hyperstatique de degré 1 par la méthode de superposition nécessite les étapes suivantes : 1. Supprimer judicieusement l’appui ou éléments surabondant de façon à obtenir un système isostatique appelé structure de base. La structure de base est une structure isostatique dont la liaison surabondante a été remplacée par une force ou un moment de réaction inconnu, Ri, qui a le même effet que cette liaison; 2. Appliquer le principe de superposition en exprimant le déplacement au point d'application i de la force ou moment de réaction inconnu en fonction de cette force ou de ce moment. L’équation de compatibilité des déplacements est donnée par :

Di  DiP  fii Ri  0   x (mm)

ou

(6.4)

où Ri Di DiP ou Diw fii

x

: Réaction inconnue surabondante en i : Déplacement au point i de la structure hyperstatique (souvent nul ou valeur connue x) : Déplacement au point i dû aux charges appliquées (w ou P) sur la structure isostatique de base (Fig. 6.3b). : Coefficient de flexibilité ou Déplacement au point i dû à une charge unité appliquée au point i sur la structure isostatique de base dans la même direction que Ri (Fig. 6.3c). : Valeur numérique d’un déplacement imposé; positif si dans le même sens que la charge unité utilisée pour le calcul de DiP ou Diw ou fii.

3. Résoudre le système d'équations ainsi dérivé pour la force ou le moment de réaction inconnu. D Ri   iP fii 4. L’inconnue surabondante étant évaluée, il devient alors aisé de calculer tout effet désiré (exemple : efforts internes, contraintes, déformations) à l'aide des méthodes classiques développées pour les structures isostatiques. 6-6

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(B)

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Calcul des déplacements sur la structure isostatique de base :

L’application de la procédure de la méthode de superposition est illustrée à la Figure 6.3 pour une structure hyperstatique d’ordre 1. Elle consiste à résoudre l’équation de compatibilité des déplacements (éq. 6.4) et pour laquelle on doit déterminer le déplacement au point i dû aux charges appliquées (DiP ou Diw ) et le coefficient de flexibilité (fii ). Deux options sont possibles :  

Option 1 : Utiliser les expressions donnant les déplacements en fonction des charges et dimensions pour les cas simples (Annexe A) Option 2 : Calculer les déplacements à l’aide de la méthode de la charge unité.

Lorsque calculé par la méthode de la charge unité, le déplacement au point i dû à la charge appliquée (DiP ou Diw ) s’exprime par : L

DiP

ou

Diw 

 0

m( x ) M ( x ) dx EI

Lorsque calculé par la méthode de la charge unité, le coefficient de flexibilité fii s’exprime par : L

f ii 

m( x ) m( x ) dx EI 0



La Figure 6.3 illustre l’application de l’option 2 par la méthode de la charge unité. Il est alors nécessaire de définir le moment fléchissant dû aux charges appliquées M(x) et le moment fléchissant dû à une charge unité au point i où on cherche l’inconnue surabondante, soit m(x).

6-7

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Pour la poutre suivante l’équation de compatibilité des déplacements est donnée par : DB  DBw  f BB RB  0 w B

A

(a) Structure hyperstatique

= w

A

B l

DBw 

m( x ) M ( x ) dx EI

 0



wl 2

2

M

DBw

(b) Structure isostatique de base

-

 2 1  -wL /2  EI  L 

    

    

 2 wL4  1  L( wL 2)( L)     8 EI   EI  4    

-L

L

+

1

A

B

l

f BB 

-

m

f BB

et

m( x ) m( x ) dx EI 0



(c) Structure isostatique avec charge unité

1  l

 1   EI  

(vers le bas )

-L

L

    

    

 1  ( L)( L)( L)  L3  (vers le bas )    EI  3  3EI  

-L

L



4  wL DBw 8 EI RB    3 f BB L 3EI









3wL 8

(vers le haut)

Fig. 6.3 - Application à une poutre hyperstatique d’ordre 1 6-8

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 6.1 Poutre avec charge concentrée Considérer la poutre encastrée à l'extrémité A et simplement appuyée à l'extrémité B (Fig.6.4a). Déterminer les réactions d'appui et tracer les diagrammes DMF et DET. On donne EI = constante. Solution

a) Degré d'hyperstaticité : d=r-(k+n) = 4-(3+0) = 1 b) Choix du système isostatique de base : choix possibles : poutre-console (Fig.6.4c) ou poutre simple (Fig.6.4b). Choisissons la poutre-console. L'inconnue hyperstatique est donc RB.

(a) Poutre hyperstatique à analyser

(b) Structure de base possible (inconnue = MA)

(c) Structure de base choisie (inconnue = RB)

Fig. 6.4a, b et c - Exemple 6.1

Le principe de superposition est illustré à la page suivante.

6-9

Chapitre 6

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ANALYSE DES STRUCTURES

= DBP (d) Structure de base choisie avec la charge P = 10 kN

(e) M(x) dû à P = 10 kN

+ x RB (f) Structure de base choisie avec la charge unité en B

(g) m(x) dû à une charge unité en B

Fig. 6.4d à g - Exemple 6.1 (suite)

c) Équations de déplacement (voir éqs.6.4)

DB  DBP  DBRB soit DB  DBP  f BB RB  0 Calculons DBP et fBB : (i)

Calcul du déplacement DBP dû à la charge de 10 kN (voir Fig. 6.4d)

Le déplacement DBP est calculé par la méthode de la charge unité et est donné par : L

DBP 

 0

m( x ) M ( x ) dx EI 6-10

Chapitre 6

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Le diagramme M(x) et m(x) sont tracés dans les Fig.6.4e et 6.4g. En utilisant les intégrales de Mohr (voir Tableau 4.1 ou Annexe C), on obtient :

DBP

(ii)

    1      -60 -9     -3 EI      6   6  3 3 1  6(60) 1260 (vers le bas )   3  2(9)     EI  6 EI  Dans le sens de la charge unité Calcul du déplacement fBB dû à la charge unité

Le coefficient de flexibilité fBB est le déplacement en B dû à une charge unité appliquée en B dans la même direction que RB (Fig.6.4f). Calculé par la méthode de la charge unité il est donc égal à : L

f BB 

 0

m( x ) m( x ) dx EI

Le diagramme et m(x) sont tracé dans les Fig. 6.4g. En utilisant les intégrales de Mohr (voir Tableau 4.1 ou Annexe C), on obtient :

f BB

   -9 1  -9       EI  9 9      1  (9)(9)(9)  243    EI (vers 3 EI 

6-11

     le bas )

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

d) Calcul de la réaction surabondante RB : résolution de l'équation

D BP + f BB R B  0 RB = -

D BP =  1260 =  5,19 kN 243 f BB

(vers le haut )

Note : le signe négatif de la réponse indique que la réaction RB est dans le sens contraire de la charge unité, c’est-à-dire vers le haut. e) Autres réactions F y = 0 R A + R B - 10 = 0 R A = 10 - 5,19 = 4,81 kN

Où MA est supposé antihoraire (donc fibre supérieure tendue)

M / A = 0 M A  10  6  5,19  9 = 0 M A = 13,33 kNm f) Diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants

Les DET et DMF sont présentés à la Fig.6.4h. À noter que ceux-ci peuvent être obtenus en appliquant le principe de superposition, soit : DMF = DMF de P + DMF de la charge unité  RB. Ex. : À l’encastrement A. MA = -60 + (-9) (-5.19) = -13,3 kN·m

6-12

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Le signe négatif indique que la fibre supérieure est tendue, donc en A c’est un moment antihoraire.

13,33 kN.m

4,8 kN

5,2 kN

(h) DET et DMF de la structure hyperstatique

Fig. 6.4h - Exemple 6.1 (suite)

6-13

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

w = 15 kN/m A

C B RA

RC

RB 2,5

2,5 m

(a) Structure hyperstatique

= w = 15 kN/m

+

DBw 37,5 kN

37,5 kN



(b) Structure isostatique de base

wl 2  47 kN.m 8

M

(c) M(x)

+ 

fBB

0,5

PL 1 5   1,25 4 4

0,5

1

(d) Charge unité sur la structure de base

Fig. 6.5 - Exemple 6.2

6-14

(e) m(x)

m

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Exemple 6.2 Poutre avec charge répartie Considérer la poutre continue à 3 appuis de la Figure 6.5a. Déterminer les réactions d'appui et tracer les diagrammes DMF et DET. On donne E = 200GPa et I=30106 mm4. Solution

a) Degré d'hyperstaticité : d=r-(k+n) = 4-(3+0) = 1 b) Choix du système isostatique de base : poutre simple (Fig.6.5b). L'inconnue hyperstatique est donc RB. c) Équations de déplacement (voir éqs.6.4)

DB  DBw  f BB RB  0 Calculons DBw et fBB : (i) Calcul du déplacement DBw dû à la charge répartie (Fig. 6.5b et 6.5c) (Voir annexe C-6) Avec EI = 6 000 kN·m2 C

DBw 

DBw

m( x ) M ( x ) dx EI A



 1   EI  

5

+

+47

    

    

-1,25

5

    

1 122,14  2,5 2,5    3  47  (1, 25) 1  5  5  5   EI     122,14    0, 0204 m 6000   20, 4 mm (donc vers le bas ) 

1 EI

Note : le signe négatif indique un déplacement dans le sens contraire de la charge unité qui ici a été placée vers le haut.

6-15

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

(ii) Calcul du déplacement fBB dû à la charge unité (Fig. 6.5d et 6.5e) C

m( x )m( x)dx EI A

f BB   f BB

-1,25 -1,25     1      5 5     EI         1  (1, 25)(1, 25)(5)  2, 604     3 EI  EI  2, 604    0, 00043 m / kN 6000   0, 43mm / kN (dans le sens de la charge unité-vers le haut)

d) Calcul de la réaction surabondante RB : résolution de l'équation

D Bw + f BB R B  0 RB = -

D Bw =  20, 4 mm =  47 kN 0, 43 mm / kN f BB

(vers le haut )

Note : le signe positif de la réponse indique que la réaction RB est dans le sens de la charge unité, soit vers le haut. e) Autres réactions M / A = 0 (15  5  2,5)  (47  2,5)  RC  5 = 0 RC =

70 = 14 kN 5

F y  0 R A  47  14  15  5  0 R A  14 kN

Les diagrammes DET et DMF sont présentés dans les Fig.6.5f et 6.5g. À noter que ceux-ci peuvent être obtenus en appliquant le principe de superposition, soit : DMF = DMF de w + DMF de la charge unité  RB. À l’appui B. MB = +47 + (-1,25) (47) = -11,76 kN·m 6-16

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

w = 15 kN/m A

C B

14

14

47 2,5

2,5 m

Structure hyperstatique

V

-14

-23,5

-

+

+

+14

+23,5 [kN]

(f) DET

-11,8

M

+

+

+6,6

+6,6

Fig. 6.5 - Exemple 6.2 : DET et DMF

6-17

[kN·m]

(g) M(x)

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Exemple 6.3 Poutre avec déplacement d’appui a) L’appui B s’affaisse de 10 mm : considérer la poutre continue à 3 appuis de la Figure 6.5a, dont l’appui B subit un affaissement de 10 mm (Fig.6.6).

w = 15 kN/m C

A 10 mm

B (a) Poutre avec affaissement d’appui

Fig. 6.6 - Exemples 6.3a

Solution

La solution est la même que pour l’exemple 6.2 (Fig. 6.5), mais on doit maintenant considérer l’affaissement de l’appui dans l’équation de déplacement. DB  DBw  f BB RB  10 mm Note : Le signe négatif du déplacement indique qu’il est dans le sens contraire à la charge unité (Fig. 6.5d).

Donc avec : D Bw  20, 4 mm f BB  0, 43 mm / kN Alors,

RB =

D BP + f BB R B  10 10  D BP 10 mm  20, 4 mm = =  24, 2 kN 0, 43 mm / kN f BB 6-18

(vers le haut )

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ANALYSE DES STRUCTURES

Les autres réactions deviennent alors : RA  25, 4 kN RB  24, 2 kN RC  25, 4 kN L’affaissement d’appui diminue la réaction à l’appui B.

6-19

Chapitre 6

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Exemple 6.3 Poutre avec déplacement d’appui (suite) b) L’appui B est remplacé par un câble : la poutre continue est soutenue par un câble au point B (Fig.6.7). On donne E = 200 GPa et A=100 mm2. D

5m

w = 15 kN/m C

A BD

B

BD :Allongement du câble

Poutre hyperstatique retenue par un câble

w = 15 kN/m C

A DBw B

BD :Allongement du câble

fBB

A

B

Fig. 6.7 - Exemples 6.3b

6-20

C

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Solution

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

La solution est la même que pour l’exemple 6.2 (Fig. 6.5), mais l’inconnue surabondante est maintenant la tension dans le câble TBD. Par ailleurs, on doit maintenant considérer l’allongement du câble dans l’équation de déplacement. Considérant que l’allongement du câble est donné par la relation force-déplacement suivante :

 BD  

TBD LBD ( EA) BD

DB  DBw  f BBTBD   BD

DB  DBw  f BBTBD  

TBD LBD ( EA) BD

Note : Le signe négatif du changement de longueur du câble représente le fait qu’il s’agit en fait d’un coefficient de flexibilité, donc positif lorsqu’à gauche du signe d’égalité de l’équation et négatif lorsqu’à droite.

Donc avec : D Bw  20, 4 mm f BB  0, 43 mm / kN Alors, ( 20, 4 mm)  (0, 43 mm / kN ) TBD   T BD = =

TBD (5000 mm)  (0, 25 mm / kN )TBD 20000 kN

20, 4 mm =  30 kN 0, 68 mm / kN

Les autres réactions deviennent alors : RA  22,5 kN TBD  30, 0 kN RC  22,5 kN

6-21

(vers le haut donc tension)

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6.3.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Application aux cadres hyperstatiques

Exemple 6.4 Considérer le cadre hyperstatique ABCD montré à la Fig.6.8a. Déterminer les réactions d'appui et tracer les diagrammes DET et DMF. EI = constant. Ne pas tenir compte de l'effet des efforts normaux. Solution :

a)

Degré d'hyperstaticité

On a quatre réactions pour trois équations, donc le système est hyperstatique d'ordre 1. b)

Structure isostatique de base Supprimons la liaison horizontale remplaçons-la par HA (Fig.6.8b).

Fig. 6.8 - Exemple 6.4

6-22

en A et

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

c) Diagrammes des moments M et m Les diagrammes des moments M(x) dû à la charge appliquée P = 100 kN sur la structure de base et m1(x) dû à une force unitaire appliquée en A dans la direction de HA sont présentés dans les Fig.6.8c et d respectivement. 5

-

5

+

-

250

1

(d) m1(x)

(c) M(x)

Fig. 6.8 - Exemple 6.4 (suite)

d) Équation de déplacement (horizontal) H 0 DAH  f AA H A  DAP H DAP 

f AA 



B



D

A

A

D Mm Mm1 1 1 1 3125 1 dx   dx   0      5  (250) 1,5  10    B EI EI EI EI  6 EI 

m12 dx EI

f AA

B

m12 dx  EI







1 EI



125 EI

A



D

B

m12 dx EI

  (5)  ( 5)  

6-23

5  10      (5)  ( 5)    3  3 

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ANALYSE DES STRUCTURES

Nota : Si l'on tient compte des efforts normaux alors H et fAA seraient égales à : DAP

D AP

=

f

=

H

AA

D

A

Mm1 D Nn 1 dx +  A dx EI EA 2

2

D n m2 dx +  A 2 dx  EI EA D A

e) Calcul des réactions L'équation du déplacement s'écrit alors :

125 3125 .H A=0 EI EI

d'où H A =

3125 = 25 kN  125

Les autres réactions peuvent être calculées en utilisant les équations d'équilibre :

F

x

0

HA  HD  0 donc H D   H A   25kN  M / D = 0 - A y (10) + 25 (5) + 100 (5) = 0 A y = 62, 5 kN  F y = 0 A y + D y - 100 = 0 D y = 37 , 5 kN 

6-24

Chapitre 6

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

f) Diagrammes DET et DMF Maintenant que toutes les forces appliquées, y compris les réactions (Fig.6.8e), sont connues, il devient facile de tracer les DET et DMF. Ceux-ci sont présentés aux Fig.6.8f et g, respectivement. 62.5kN

125kN.m

125kN.m 25kN

25kN 62.5 kN

Fig. 6.8 - Exemple 6.4 (suite)

6-25

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6.3.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Application générale (d supérieur ou égal à 1)

(A) Procédure : L'analyse de structures hyperstatiques par la méthode de superposition nécessite les étapes suivantes :

(a)

déterminer le degré d'hyperstaticité de la structure; voir à cet effet la section 1.4.4 du présent cours;

(b)

supprimer judicieusement des appuis ou éléments surabondants de façon à obtenir un système isostatique appelé structure de base. La structure de base est une structure isostatique dont les liaisons surabondantes ont été remplacées par des forces ou moments de réaction inconnus qui ont le même effet que ces liaisons;

(c)

appliquer le principe de superposition (éq.6.3) en exprimant les déplacements aux points d'application des forces et couples inconnus en fonction de ces forces et couples (Équation de compatibilité des déformations) D i = f i1 R 1 + f i 2 R 2 + . . .+ fin Rn

ou sous forme matricielle :  D   f  R   DP  Les déplacements dus à des valeurs unitaires des forces et couples inconnus sont généralement connus, et se définissent comme des coefficients de flexibilité fii, ce qui permet de; (d)

résoudre le système d'équations ainsi dérivé pour les forces et couples inconnus; sous forme matricielle la solution s’exprime par :  R   f 

1

(e)

(B)

D  DP 

les inconnues hyperstatiques étant évaluées, il devient alors aisé de calculer tout effet désiré (exemple : efforts internes, contraintes, déformations) à l'aide des méthodes classiques développées pour les structures isostatiques. Illustration de la procédure :

Afin d'illustrer la procédure générale de la méthode, considérons l'exemple de la poutre hyperstatique sur six appuis de la Fig.6.9a et proposons-nous de déterminer les réactions d'appui : 6-26

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

1 2

4

3

5

6

Fig. 6.9 - Système isostatique de base (a)

degré d'hyperstaticité de la structure : la structure a huit inconnues pour trois équations d'équilibre, elle est donc hyperstatique d'ordre 5;

(b)

la structure isostatique de base peut être obtenue en remplaçant les cinq appuis à rouleau (2 à 6) par des forces inconnues soient R2, R3, R4, R5 et R6 (Fig.6.9b).

(c)

appliquons le principe de superposition aux Ainsi, D 2 = D 2P + D 2 R 2 + D 2 R 3 + D 2 R 4 D 3 = D 3P + D 3 R 2 + D 3 R 3 + D 3 R 4 D 4 = D 4P + D 4 R 2 + D 4 R 3 + D 4 R 4

déplacements D2, D3, D4, D5 et D6.

+ D2 R 5 + D2 R6 + D3R 5 + D3R6 + D4 R 5 + D4 R6 + D5 R 5 + D5 R6

D 5 = D 5P + D 5 R 2 + D 5 R 3 + D 5 R 4 D6 = D 6P + D 6 R 2 + D6 R 3 + D 6 R 4 + D6 R 5 + D6 R 6

6-27

      

(6.5)

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Dans les équations (6.5), les déplacements D2P, D3P, D4P, D5P et D6P représentent les déplacements du système isostatique de base dus aux charges appliquées P1, P2, P3, M4. Le déplacement (ou rotation) DiR représente le déplacement (ou la rotation) en i dû à Rj. Tous ces déplacements (ou rotations) peuvent être déterminés à l'aide d'une des méthodes exposées au chapitre IV, généralement la méthode de la charge unité. j

Par ailleurs, nous avons vu que le déplacement DiR peut s'écrire : D iR j = f ij R j j

(6.6)

ce qui permet d'écrire le système d'équations (6.5) comme suit : D 2 = D 2P D 3 = D 3P D 4 = D 4P D 5 = D 5P D 6 = D 6P

+ +

f 22 R 2 + f 32 R 2 +

f 23 R 3 + f 33 R 3 +

f 24 R 4 + f 34 R 4 +

f 25 R 5 + f 35 R 5 +

f 26 R 6

+

f 42 R 2 + f 52 R 2 + f 62 R 2 +

f 43 R 3 + f 53 R 3 + f 63 R 3 +

f 44 R 4 + f 54 R 4 + f 64 R 4 +

f 45 R 5 + f 55 R 5 + f 65 R 5 +

f 46 R 6 f 56 R 6

+ +

f 36 R 6

f 66 R 6

    (6.7)   

Dans les équations (6.7), le coefficient de flexibilité fij est le déplacement (ou rotation) en i dû à une charge unitaire (ou moment unitaire) appliquée en j dans la même direction que Rj. Par conséquent, il peut être déterminé aisément à l'aide de la méthode de la charge unité (Chap. IV) par exemple. Les déplacements D2, D3…, D6 sont, comme dans ce cas-ci, généralement égaux à zéro. Ainsi, les seules inconnues dans ce système à cinq équations sont les cinq réactions inconnues R2, R3…, R6.

6-28

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(d)

Chapitre 6

La résolution du système d'équations (6.7) qui peut s'écrire sous forme matricielle comme suit :  D 2   f 22     D 3   f 32  =     D6   f 62

f 23

...

f 33 -

...

f 63

...

-

f 26  f 36  -  f 66 

     

R 2   D 2P     R 3   D 3P  +    -  - R 6   D6P 

(6.8)

ou sous forme condensée comme suit :

D =  f  R + D P

(6.9)

permet d'obtenir les inconnues {R} :

R =  f   D 1

DP 

(6.10)

les équations (6.9) et (6.10) sont générales et peuvent être appliquées à tout système hyperstatique.

6-29

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

= 50 kN

50 kN

75 kN

Système isostatique de base : Effet des charges Pi D3P

D2P

+

f22

f32

1

Système isostatique de base : Effet d’une charge unitaire en 2

+

f23

f33

Système isostatique de base : Effet d’une charge unitaire en 3 1

(c) Principe de superposition

Fig. 6.10 - Exemple 6.5 6-30

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Exemple 6.5 Considérer la poutre continue montrée à la Fig.6.10a. La poutre est hyperstatique de degré deux :

d  r  ( k  n) d 53 2 Il s’agit d’une hyperstaticité extérieure. On demande de calculer les réactions R2 et R3 par la méthode de superposition. Solution :

Les réactions R2 et R3 sont considérées comme inconnues surabondantes. Les inconnues hyperstatiques étant connues et le système de base étant choisi (Fig.6.10b), alors l'équation des déplacements s'écrit :  D2     f 22  =     f 32  D3 

 R 2   D 2P f 23      +   f 33      R 3   D 3P

 0   =   0  

    

On voit que pour calculer les réactions R2 et R3, il faut déterminer D2P, D3P et les coefficients f22, f23, f32 et f33. Calcul de f22, f23, f32 et f33. Rappelons que fij est le déplacement au point i dû à une charge unité appliquée en j dans la même direction que Rj. En utilisant les intégrales de Mohr, on a :

f ij = 

mi m j dx EI (x)

f ii = 

;

mi mi dx EI (x)

;

f jj = 

mj mj dx EI (x)

Considérant que m2(x) et m3(x) sont symétriques alors : f 22 

m2 m2

 EI ( x) dx 

f33

et puisque la multiplication des fonctions m2(x) et m3(x) est communative, alors: f 23 

m2 m3

 EI ( x) dx 

f32 6-31

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ANALYSE DES STRUCTURES

4m

Chapitre 6

12 m

(d) m2(x)

12 m

(e) m3(x)

Fig. 6.10 - Exemple 6.5 (suite)

6-32

4m

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

On aura donc besoin de m2 et m3 qui sont les moments dus à une charge unité appliquée en 2 et 3 respectivement (Fig.6.10d et e). D'où : Calcul de f22 et f33 -3

-3



-1

4m

-1

4m

8m

4m

m2(x)

m2(x)

f 22   

4m

8m

m22  EI ( x) dx 



4

0

m22 dx  EI

1  4 1 3  3    EI  3  2 EI 30, 67  f33 EI



12

4

m22 dx  2 EI



16

12

m22 dx EI

1  4 8 2 2   3  3  3  1  1    EI 1  1  3 

Calcul de f23 et f32 -3

-3



-1

4m

-1

4m

8m

4m

m3(x)

m2(x)

f 23 

m2 m3

4m

8m

 EI ( x) dx  

4

0

m2 m3 dx  EI



12

4

m2 m3 dx  2 EI



16

12

m2 m3 dx EI

4 1 8    2  1  3  1  1   3  3   2  1  3  3  1    3  2 EI 6  1  4  3  1   EI  3 22, 67   f 32 EI



1 EI

6-33

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

2EI

EI

EI

96,9kN

96,9

78,1kN 2m

2m

-

21,9

4m

4m

2m

2m

28,1

+ 78,1

0

0

+

M

156

194 325

M/EI 119/EI 194/EI

106/EI 162,5/EI

238/EI

156/EI

212,5/EI

(f) Construction du diagramme de moment fléchissant

Fig. 6.10 - Exemple 6.5 (suite)

6-34

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ANALYSE DES STRUCTURES

Calcul de D2P, D3P. Le calcul des déplacements dus aux charges appliquées nécessite de tracer le diagramme des moments fléchissants de la poutre isostatique de base ainsi que le diagramme de M/EI afin d’appliquer la méthode de la charge unité. La Figure 6.10f illustre la construction du diagramme. Par la suite, le calcul de D2P, D3P se fera selon les relations suivantes : m2 M

 EI ( x) dx

D2 P



D2 P







 EI ( x) dx

4m M 8m M m2 M dx   2 dx   2 dx 0 2 4 2 EI EI EI 12 m M 14 m M 16 m M 2 2 2 dx   dx   dx   8 2 EI 12 14 EI EI 3441   EI 2

et D3 P

m3 M

4m M 8m M m3 M 3 dx  dx  0 EI 2 EI 4 23EI dx 12 m M 14 m M 16 m M 3 3 3   dx   dx   dx 8 2 EI 12 14 EI EI 3668   EI  D2  0  1 30, 67 22, 67   R2   3441 1         D3  0  EI  22, 67 30, 67   R3  3668 EI

D3 P



2

 0  3441 1 1 30, 67 22, 67   R2        0  3668 EI EI  22, 67 30, 67   R3   R2  52, 45    kN  R3  80,84  6-35

Chapitre 6

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6.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

APPLICATION AUX TREILLIS

Les barres de treillis ne sont soumises qu'à des forces axiales. De ce fait, les déplacements impliqués sont soit des allongements soit des rétrécissements et sont calculés de la même manière que celle exposée dans le Chapitre 4. Cas général des déformations dues à des efforts internes

Les déplacements et les coefficients de compatibilité utilisés dans l’équation de compatibilité se calculent par la méthode de la charge unité avec les équations suivantes : 

Les déplacements = allongements / rétrécissements (efforts axiaux) Di 



m

n

(i )

k

k 1

 NL     EA  k

Les coefficients de flexibilité fij 

m

n k 1

(i )

k

 L  nk ( j )    EA  k

où les indices i et j définissent le nœud ou la barre où la charge unité est appliquée. L’indice k est un compteur allant de 1 à m=nombre de membrures du treillis. Déformations dues à d’autres causes que les efforts internes

Si une ou des membrures subissent des déformations dues à une autre cause que les charges (température, retrait, fluage, erreur de fabrication) on en tient compte dans les déformations réelles. m  NL  Di   ni  i i  di  i 1  ( EA)i  ou m  NL  Di    ni i i  ni di  ( EA)i i 1   Où

di =  T L si la déformation est due à une variation de température (+) pour une augmentation (-) pour une diminution di = variation de longueur d’une barre trop longue (+) ou trop courte (-)

De plus, les treillis peuvent être hyperstatiques extérieurement et/ou intérieurement (voir Chapitre 1). 6-36

CTN-408

6.4.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Treillis hyperstatiques extérieurement (Fig.6.11)

Dans ce cas, l'analyse est identique à celle des poutres et cadres hyperstatiques. Elle implique le choix d'une structure de base et les inconnues hyperstatiques sont dans ces cas des réactions d'appui (Fig.6.11). Les mêmes équations de déplacement sont également utilisées.

Ou

Di  DiP  f ii Ri  0 Di  DiP  fii Ri  x (mm) avec déplacement d’appui imposé

i

Ri Fig. 6.11 - Treillis hyperstatique extérieurement

6-37

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

=

10 kN

10 kN

+

0,5

0,5

Fig. 6.12 - Exemple 6.6 6-38

Chapitre 6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 6.6 Treillis hyperstatique extérieurement Considérer le treillis symétrique hyperstatique extérieurement montré à la Fig.6.12a. Déterminer les réactions d'appui et les forces dans toutes les barres. On donne E = 100 GPa. Les aires des sections sont données en Fig.6.12a. Solution :

a) Le système est hyperstatique d'ordre 1. Soit RC l'inconnue hyperstatique. Le système isostatique de base est présenté à la Fig.6.12b.

L’équation de compatibilité de déformation s’écrit : DC  DCP  f CC RC  0 L’appui C étant fixe le déplacement DC est égal à 0.

b) Efforts dans les barres du système de base. Les efforts dans les barres du système isostatique de base dus aux charges appliquées (c.-à-d. : Ni) et ceux dus à une charge unitaire appliquée en C dans le même sens de RC (c.à-d. : ni) sont présentés dans les Fig.6.12c et d, respectivement.

6-39

Chapitre 6

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

c) Équation de déplacement

Dc  DcP  f cc Rc avec

13

DcP 



f cc 



i 1 13 i 1

Dc  0

ni N i Li Ei Ai ni2 Li Ei Ai

soit sous forme tabulaire : Tableau 6.1 2

Barre AB BC AF BF FC FG

Li (mm)

Ai (mm2)

ni

3 000 3 000 5 000 4 000 5 000 3 000

375 375 625 625 625 750

- 0,375 - 0,375 0,625 0 - 0,625 0,750

Ni (kN) 7,5 7,5 - 12,5 10,0 0 - 7,5



ni Li EAi

( 10-2 mm)

ni N i Li EAi

( 10-2 mm)

1,125 1,125 3,125 0 3,125 2,25

- 22,5 - 22,5 - 62,5 0 0 - 22,5

10,75 (fcc)

- 130 (DcP)

d) Calcul de la réaction surabondante RC et des autres efforts internes

f cc  0,1075 mm / kN    Dcp  1,3 mm Dcp



1,3 mm  12,1 kN 0,1075 mm / kN f cc Les efforts dans les barres du treillis sont donnés par la superposition des efforts dus aux charges à ceux dus à la charge unité multipliée par la valeur de RC (dernière colonne du tableau 6.1) : RC  

Fi 



Ni  ni RC  N i  ni (12,1 kN ) 6-40

Fi (kN) 2,97 2,97 - 4,94 10,0 - 7,56 1,57

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6.4.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Treillis hyperstatiques intérieurement (Fig.6.13)

Procédure générale Dans ce cas, les inconnues hyperstatiques sont les forces dans les barres surabondantes (Fig.6.13). La procédure implique donc le choix d'une structure isostatique de base obtenue en coupant les barres surabondantes et en les remplaçant par deux forces égales et opposées (Fig.6.13b), qui sont désormais les forces inconnues X1 et X2.

Fig. 6.13 - Treillis hyperstatique intérieurement

Les équations de déplacement restent les mêmes du point de vue formulation. Dans le cas de l'exemple de la Fig.6.13, alors :

D 1 = D 1P + f 11 X 1 + f 12 X 2 D 2 = D 2P + f 21 X 1 + f 22 X 2

(6.11)

Les déplacements D1 et D2, qui d'habitude sont les déplacements subis par les appuis (généralement soient nuls, soient égaux aux tassements d'appui), représentent cette fois-ci les déplacements (allongement ou rétrécissement) subis par les barres 1 et 2. Ainsi, D1 = -

X 1 L 1 et X 2 L2 D2 = A1 E 1 A2 E 2

(6.12)

Le signe négatif dans les expressions de Di provient du fait que le sens de la force dans une barre est opposé à son action sur les noeuds.

6-41

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

L'équation (6.11) peut donc s'écrire X 1L1 A1 E 1 X 2L2 D 2P + f 21 X 1 + f 22 X 2 = A2 E 2 D 1P + f 11 X 1 + f 12 X 2 = -

(6.13)

ou encore D 1P 

f * 11X 1



f 12 X 2 = 0



f 21 X 1



f * 22 X 2 = 0

D 2P

(6.14)

où f11  L1 A1E 1 L2 f * 22  f 22  A2 E 2

f * 11 

Du point de vue pratique, deux possibilités s'offrent à l'ingénieur : (a)

Utilisation de l'équation (6.13): Dans ce cas les coefficients fii ne tiennent pas compte des barres surabondantes qui se voient ainsi exclues du tableau regroupant les calculs

(b)

Utilisation de l'équation (6.14): Dans ce cas les coefficients fii tiennent compte des barres surabondantes qui seront désormais incluses dans le tableau regroupant les calculs.

On notera aussi, que dans l’équation 6.13 les termes (L1/A1E1) et (L2/A2E2) situés à droite du signe d’égalité sont en fait les coefficients de flexibilités des barres 1 et 2, respectivement. Les coefficients de flexibilité étant des termes toujours positifs, ils sont négatifs lorsque considérés à droite du signe d’égalité comme c’est le cas dans l’équation 6.13.

6-42

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Procédure pour une inconnue surabondante (une barre surabondante) La figure suivante illustre le cas d’un treillis avec une seule barre surabondante et l’application du principe de superposition pour calculer l’effort X1 dans cette barre.

P

P

x1

x1

L’équation de compatibilité (6.11) devient :

D1  D1P  f11 X 1  

X 1 L1 A1 E1

Où D1 est l’allongement ou le racourcissement de la barre 1 (négatif lorsque qu’à droite de l’équation car (L1/A1E1) est un coefficient de flexibilité). En considérant la barre 1 dans le calcul du coefficient de flexibilité f*11, l’équation 6.14 devient :

 L  D1  D1P   f11  1  X 1  0 A1 E1   D1  D1P 

f11*

6-43

 X1  0

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Exemple 6.7 Treillis hyperstatique intérieurement Déterminer les efforts dans les barres du système hyperstatique en treillis montré à la Fig.6.14a. Toutes les barres ont la même longueur L, la même section et EA = constante. a) Le système est hyperstatique intérieurement d'ordre 1. Soit l’effort dans la barre BC inconnue hyperstatique notée X1. Le système isostatique de base est présenté à la Fig.6.14b.

Solution :

A

L

B

L

B

A

= C

D

C

C

D

D 10 kN (b) Structure isostatique de base

Fig. 6.14a et b - Exemple 6.7 b) Efforts dans les barres Ni et ni

Ni = efforts dans les barres du système isostatique de base dus à la charge appliquée P=10 kN (Fig. 6.14c). ni = efforts dans les barres du système isostatique de base dus à une force unitaire dans la barre BC (Fig. 6.14d).

6-44

B

1  NBC

+

10 kN (a) Structure

A

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

10 kN 10 kN

A

0

1

A

B

 2

0 1

0

B

 2

10 2

1 1

10 kN D

C

-10

1

D

C

10 kN (d) ni

(c) Ni

Fig. 6.14c et d - Exemple 6.7(suite) c) Équations de déplacement :

Choisissons l’option 2 (voir éq. 6.14) dans laquelle on considère la barre surabondante BC dans le calcul des coefficients de flexibilité et on l’inclut dans le tableau 6.2. DBC  f * BC N BC  0

f BC  L1 A1E 1

où f * BC 

et calculons DBC et fBC. DBC 

m



N i Li   i 

  n ( EA) i 1



i

et f * BC 

m



ni Li   m= 6 incluant la barre BC (nBC =1) i 

  n ( EA) i 1



i

6-45

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Les calculs sont présentés sous forme tabulaire (Tableau 6.1). Tableau 6.2

Barre

EAi

Li

Ni

ni

 N i Li   ni   ( EA)i 

 ni 2 Li     ( EA)i 

Fi

AB BC CD DA AC BD

EA EA EA EA EA EA

1 1 1 1 2 2

0 0 -10 0 +102 0

1 1 1 1 -2 -2

0 0 -10/EA 0 - 202/EA 0

1/EA 1/EA 1/EA 1/EA 22/EA 22/EA

3,96 3,96 -6 3,96 8,54 -5,6

-(10+202 )/EA (DBC)

(4+42 )/EA



(fBC)

DBC  f BC N BC  0  10  20 2   4  4 2        N BC  0 EA EA     N BC  3,96kN Les efforts dans les barres du système hyperstatiques sont présentés à la dernière colonne du tableau 6.2 et sont données par F i = N i + n i N BC F i = N i + n i (3,96kN )

6-46

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Considérons maintenant le cas où la barre BC est trop longue de 5 mm.

L’équation de compatibilité s’écrit : DBC  f BC N BC  0

où DBC 

m

 N i Li

 n  ( EA) i 1

i



i

  di   

m

 N i Li   i i  

 n  ( EA) i 1

m

n d i 1

i

i

Puisque seule la barre BC subit une déformation de 0,005m due à une autre cause qu’un effort, on peut écrire : avec

EA=20 000kN nBC=+1 dBC=+0,005m

 10  20 2  DBC      nBC d BC EA    10  20 2       1  0, 005   0, 0031m  20000 

Le coefficient de flexibilité resete inchangé` : 4  4 2 4  4 2 3 f BC        0, 4828  10 m / kN  EA   20000  Donc DBC  f BC N BC  0 0, 0031  0, 4821  103 N BC  0

NBC = -6,4 kN (compression) et

6-47

F i = N i + n i N BC F i = N i + n i (6, 4kN )

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

On suppose que les forces inconnues (surabondantes) X1, X2 et X3 sont en compression (hypothèse)

X1

X2

X3

(d) Forces dues à X1 = -1 ; X2 = -1 ; X3 = -1

Fig. 6.15 - Exemple 6.8

6-48

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 6.8 Treillis hyperstatiques intérieurement Déterminer les efforts dans les barres du système hyperstatique en treillis montré à la Fig.6.15a. Toutes les barres ont la même section et EA = 1. Solution :

a) Le système est hyperstatique intérieurement d'ordre 3. Soient les efforts dans les barres 5, 10 et 15 les inconnues hyperstatiques notées x1, x2 et x3. Le système isostatique de base est présenté à la Fig.6.15b. b) Efforts dans les barres Ni et ni(1) , ni(2) et ni(3)

Ni = efforts dans les barres du système isostatique de base dus aux charges appliquées. Ceux-ci sont montrés à la Fig.6.15c. ni(1) , ni(2) et ni(3)

= efforts dans les barres du système isostatique de base dus à une force unitaire dans la barre 5, la barre 10 et la barre 15, respectivement.

c) Équations de déplacement :

D5 = D 10

* D 5P + f11 X 1 + f 12 X 2 + f 13 X 3 = 0 = D 10P + f 21 X 1 + f 22* X 2 + f 23 X 3 = 0

D 15 = D 15P + f 31 X 1 + f 32 X 2 + f33* X 3 = 0 X L f11*  f11  1 5 AE où

f 22*  f 22 

X 2 L10 AE

f 33*  f 33 

X 3 L15 AE

Les calculs sont présentés sous forme tabulaire (Tableau 6.2). Note : Dans cet exercice, les coefficients fii du tableau 6.3 de calcul tiennent compte des barres surabondantes 5, 10 et 15 (voir Tableau 6.3 et équation 6.14)

6-49

Chapitre 6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6 Tableau 6.3

barre

Ni

n(i,1)

n(i,2)

n(i,3)

n 

n 

n 

Li EA

N i ni Li

N i ni Li

N i ni Li

EA

EA

EA

EA

EA

EA

EA

EA

EA

(1)

(2)

(3)

(1) 2 i

Li

(2) 2 i

Li

(3) 2 i

Li

(1)

ni

(2)

ni Li

(2)

ni

(3)

ni Li

(1)

ni

(3)

ni Li

1

-40

0,707

0

0

10

- 282,8

0

0

5,0

0

0

0

0

0

2

- 40

0,707

0

0

10

- 282,8

0

0

5,0

0

0

0

0

0

3

0

0,707

0

0

10

0

0

0

5,0

0

0

0

0

0

4

56,6

- 1,00

0

0

14,1

- 798,1

0

0

14,1

0

0

0

0

0

5

0

- 1,00

0

0

14,1

0

0

0

14,1

0

0

0

0

0

6

10

0,707

0,707

0

10

70,7

70,7

0

5,0

5,0

0

5,0

0

0

7

- 30

0

0,707

0

10

0

- 212,1

0

0

5,0

0

0

0

0

8

40

0

0,707

0

10

0

282,8

0

0

5,0

0

0

0

0

9

- 14,1

0

- 1,00

0

14,1

0

198,8

0

0

14,1

0

0

0

0

10

0

0

- 1,00

0

14,1

0

0

0

0

14,1

0

0

0

0

11

30

0

0,707

0,707

10

0

212,1

212,1

0

5,0

5,0

0

5,0

0

12

0

0

0

0,707

10

0

0

0

0

0

5,0

0

0

0

13

30

0

0

0,707

10

0

0

212,1

0

0

5,0

0

0

0

14

- 42,4

0

0

- 1,00

14,1

0

0

597,8

0

0

14,1

0

0

0

15

0

0

0

- 1,00

14,1

0

0

0

0

0

14,1

0

0

0

16

0

0

0

0,707

10

0

0

0

0

0

5,0

0

0

0

- 1293,0 (D5P)

552,3 (D10P)

1022,0 (D15P)

48,2 (f11)

48,2 (f22)

48,2 (f33)

5,0 (f12)

5,0 (f23)

0,0 (f13)



6-50

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

D5 P





ni

(1)

N i Li



EA

Chapitre 6

1293, 0

f13  D10 P

D15 P





 

ni

(2)

N i Li



EA

ni

( 3)

ni(1) ni(3) Li  EA  f31  0

552, 3 2

N i Li



EA

(1)  ni  Li

f 22





f 23











EA

f12





ni

ni

( 2)

EA



0

ni

(2)

ni

( 3)

Li

EA

 f32



5, 0



48, 2

48, 2

 ni( 3)  Li 2

f33 (1 )

EA

1022, 0

2

f11

 ni( 2 )  Li

Li

f 21



5, 0

6-51





EA

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Ainsi, tout calcul fait, le système d'équations simultanées à résoudre se résume à :

 F R   D P  et

D    F R  0 P

Donc

48,2 5,0 0,0   5,0 48,2 5,0     0,0 5,0 48,2 

 X1   - 1293,0          = 552,3  X2             X 3   1022,0 

d'où

 X 1   + 28,09          = 12,31  X2    (kN)          X 3   - 19,94  d) Efforts dans les barres du système réel

Ceux-ci sont donnés par : (1)

F i = N i + ni

(2)

X 1 + ni

(3)

X 2 + ni X 3

(1) (2) (3) F i = N i + n i (28, 09kN ) + n i (12,31kN ) + n i (19,94kN )

soit, après calcul : barre 1

2

Effort Fi - 20,14 - 20,14 (kN)

3 19,86

4

5

6

28,47 - 28,09 21,16

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

- 38,7

31,30

- 1,83

12,31

7,20

- 14,10

15,90

- 22,48

19,94

- 14,10

6-52

CTN-408

6.4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Treillis hyperstatiques intérieurement et extérieurement (Fig.6.16)

Dans ce cas, une combinaison des deux approches I et II exposées ci-dessus s'impose. L'essentiel est de faire attention à l'évaluation de Di qui peut être un déplacement d'appui surabondant ou un allongement (rétrécissement) d'une barre surabondante.

Fig. 6.16 - Treillis hyperstatique intérieurement et extérieurement

6-53

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

X1 X1

Efforts dus à X1 = 1

Efforts dus aux charges

1 Efforts dus RC = 1

Fig. 6.17 - Exemple6.9. 6-54

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 6.9 Treillis hyperstatique intérieurement et extérieurement Déterminer les réactions d'appui et les efforts dans les barres du treillis hyperstatique montré à la Fig.6.17a. On donne EA = constante = 1. Solution

(a) Le système est hyperstatique intérieurement (une barre surabondante BE ou FC) et extérieurement (une composante d'appui surabondante RC ou RD). Choisissons l'effort X1 dans la barre BE et RC comme inconnues hyperstatiques. Le système isostatique de base est montré à la Fig.6.17b. (b) Efforts Ni, ni(1) et ni(2) dans les barres

Ni = Efforts dans les barres du système isostatique de base dus aux charges appliquées. Ces efforts sont montrés à la Fig.6.17c. ni(1) et ni(2) = Efforts dans les barres du système isostatique dus à une force unitaire appliquée dans la barre BE, dans la direction de X1, et une force unitaire appliquée en C, dans la direction de RC, respectivement. Ces efforts sont présentés à la Fig.6.17d et e, respectivement. (c) Équations de déplacements

Équation de compatibilité de déplacement de la barre BE : * f 11 

L   D1  D1P   f11  1  X 1  f12 RC  0 AE   Équation de compatibilité de déplacement de l’appui C: DC  DCP  f 21 X 1  f 22 RC  0 Le calcul du coefficient f*11 inclut donc la barre surabondante. Les calculs de D1P, DCP, f*11, f12 et f22 sont regroupés dans le Tableau 6.4. 6-55

Chapitre 6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Note: Dans cet exercice, les coefficients fii du tableau 6.4 de calcul tiennent compte de la barre surabondante BE (voir Tableau 6.4 et équation 6.14) et la sommation se faite pour les dix barres du treillis. Tableau 6.4 (1)

(2)

N i ni L N i ni Li EA EA

n 

(1) 2 i

n 

(2) 2 i

(1)

(2)

L (m)

Ni (kN)

ni(1)

AB

8

88,9

0

- 4/9

0

- 316,0

0

1,58

0

AF

10

- 111,1

0

5/9

0

- 617,3

0

3,09

0

BF

6

0

- 0,6

0

0

0

2,16

0

0

BE

10

0

1,0

0

0

0

10

0

0

BC

8

88,9

- 0,8

- 4/9

- 568,9

- 316,0

5,12

1,58

2,84

CF

10

27,8

1,0

- 5/9

277,8

- 154,3

10

3,09

- 5,56

CE

6

- 16,7

- 0,6

- 2/3

60,0

66,7

2,16

2,67

2,40

CD

8

111,1

0

- 8/9

0

- 790,1

0

6,32

0

DE

10

- 138,9

0

10/9

0

- 1555,6

0

12,35

0

EF

8

- 111,1

- 0,8

8/9

711,1

- 790,1

5,12

6,32

- 5,69

Σ

480,0 (D1P)

- 4460,5 (DCP)

34,56 (f11)

37,0 (f22)

- 6,0 (f12)

Barre

ni(2)

Ainsi, on a :

6-56

Li

EA

Li ni ni Li EA EA

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6 2

f

* 11

N i ni(1) Li 1 EA

10



 1

10

D1 P





ni ni(2) Li  EA 1 10

N i ni(2) Li 1 EA 4460, 5 10



34, 56

480, 0

f12 DCP

 ni(1)  Li  EA

2

f 22 

10

 1

6-57

 f 21

 ni(2)  Li  37, 0 EA



6, 0

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 6

Les équations de déplacement deviennent donc :

480 + 34,56 X 1  6 R C  0    4460,5  6 X 1 + 37 R C = 0  d'où, après résolution du système d'équations simultanées à deux inconnues X1 et RC, il s'en suit : X1



7, 25 kN (T )

RC



121, 7 kN   

(d) Efforts dans les barres Fi  N i  ni(1) X 1  ni( 2) RC

soit, sous forme tabulaire : Tableau 6.5 AB

AF

BF

BE

BC

CF

CE

CD

DE

EF

Ni

88,9

- 111,1

0

0

88,9

27,8

- 16,7

111,1

- 138,9

- 111,1

ni(1)

0

0

- 0,6

1,0

- 0,8

1,0

- 0,6

0

0

- 0,8

ni(1) X1

0

0

- 4,35

7,25

- 5,8

7,25

- 4,35

0

0

- 5,8

ni(2)

- 4/9

5/9

0

0

- 4/9

- 5/9

- 2/3

- 8/9

10/9

8/9

- 54,2

67,8

0

0

- 54,2

- 67,8

- 81,3

- 108,4

135,6

108,4

34,7

- 43,3

- 4,35

7,25

28,9

- 32,75

- 102,35 2,7

- 3,3

- 8,5

ni(2)

RC

Fi (kN)

Exercice supplémentaire Déterminer les réactions ainsi que les efforts dans toutes les barres de la structure hyperstatique suivante. Illustrer sur un croquis les efforts dans les barres

6-58

CHAPITRE 7

MÉTHODE DES ROTATIONS

Dans ce chapitre, on apprendra à analyser les structures hyperstatiques à noeuds rigides et semi-rigides, telles les poutres continues et les portiques, par la méthode des rotations appelée en anglais « slope-deflection ».

CTN-408

7.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

INTRODUCTION

Dans le Chapitre 6 nous avons résolu les structures hyperstatiques en calculant les forces inconnues surabondantes. L’expression générale reliant les déplacements D aux forces inconnues R est donnée par l’équation suivante :

D   f R où [f] est la matrice de flexibilité de la structure formée des coefficients de flexibilité fij qui sont les déplacements en i dû à une force unitaire en j. Dans ce chapitre, on utilise la méthode des rotations pour calculer des rotations inconnues qui nous permettront ensuite de calculer les efforts d’une poutre ou d’un portique hyperstatique. Les équations finales prendront la forme suivante :

M    K D où [K] est la matrice de rigidité de la structure formée des coefficients de rigidité kij qui sont les moments en i dû à une rotation unitaire en j.

7-1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

Principe générale de la méthode des rotations La méthode des rotations s’applique principalement aux poutres continues ou aux portiques dont les principales déformations sont des déformations de flexion. On calcule les rotations inconnues aux nœuds (joints). Considérons la figure suivante (Fig. 7.1) illustrant une poutre continue soumise à un chargement varié. Sous l’effet de ce chargement, la poutre se déforme en flexion et les nœuds (ou joints) vis-à-vis les appuis subissent des rotations θ, à l’exception de l’appui encastré où la rotation est nulle. La continuité de la poutre est assurée si la rotation est la même à gauche ou à droite d’un appui.

Équilibre de chaque élément de poutre et de chaque nœud

Fig. 7.1 - Déformation et équilibre d’une poutre continue À chaque rotation inconnue θi au nœud i correspond une équation d’équilibre entre les moments agissant sur ce nœud, de sorte que pour les quatre rotations inconnues de la figure on a :

 B  inconnue C  inconnue  D  inconnue  E  inconnue

M M M M

B

 0  M BA  M BC  0

C

 0  M CB  M CD  0

D

 0  M DC  M DE  0

E

 0  M ED  0

7-2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

La méthode des rotations permet d’exprimer les moments Mij et Mji agissant à l’extrémité de chaque élément d’une poutre en fonction des rotations θi et θj des nœuds i et j. Les sections suivantes établissent cette relation en partant du principe de superposition et en établissant d’abord la relation entre les rotations inconnues et les moments aux nœuds. On pose comme hypothèse que :  les déformations dues aux efforts axiaux et aux efforts tranchants sont négligeables et on ne considère que les déformations de flexion (M-θ).  La rigidité EI est constante sur chaque élément (tronçon) de poutre.  Les matériaux sont élastiques (loi de Hooke) et le principe de superposition s’applique.

7-3

CTN-408

7.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

CALCUL DES ROTATIONS D’UN ÉLÉMENT DE POUTRE CONTINUE

Considérons la poutre continue hyperstatique de la Figure 7.2a composée de cinq « tronçons ou éléments ». Chaque élément relie deux nœuds (deux appuis). Soit un élément quelconque de cette poutre (Fig. 7.2b). Posons que cet élément de poutre repose sur des appuis simples en A et en B simulant des déplacements en x et en y nuls. L’élément est sollicitée par les charges P1 à Pn et w et par les moments MAB et MBA qui sont les moments de continuité représentant l’effet des tronçons de poutre à gauche et à droite. Ils sont positifs antihoraires. Aux nœuds A et B de cet élément on note les rotations θA et θB.

P2 P1

P3

w

MAB

A

A

MBA

L

B

B

Fig. 7.2 - Élément d’une poutre continue

Afin d’obtenir la relation entre les moments aux extrémités de l’élément et les rotations, on considère on considère séparément l’effet des charges verticales et des moments de continuité MAB et MBA en se basant sur le principe de superposition.

7-4

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

P P

P1 MAB

MBA

A

A

B

L P

=

P

P

A

(a) Élément de poutre continue

B

(b) Charges verticales

B B =fn(charges)

A =fn(charges)

+

MAB

A =fn(MAB)

(c) MAB

B = fn(MAB)

A

B

+ A

A =fn(MAB)

MBA

B = fn(MAB)

(d) MBA

B

Fig. 7.3 - Principe de superposition appliqué à un élément de poutre continue La Figure 7.3 illustre le principe de superposition appliquée à l’élément AB d’une poutre continue. La rotation totale en A et la rotation totale en B sont données par :

 A   A (charges)   A ( M AB )   A ( M BA )  B   B (charges)   B ( M AB )   B ( M BA ) Par la méthode de la charge unité on calcule les rotations θA et θB aux extrémités du tronçon de poutre, pour chacun des trois chargements en utilisant les diagrammes de moments fléchissants dus à chacun des chargements, respectivement (Fig. 7.4). Les rotations sont positives antihoraires. 7-5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

P2 P3

P1

A

(a) Charges verticales

B

L d

c (b) M(x)

+ A : Aire du diagramme des moments 1 (c) Moment virtuel unité en A

B

A 

-1

-

x1 L (d) m1(x1)

x1

1 (e) Moment virtuel unité en B

A

B x2

x  2 L

+

+1

Fig. 7.4 - Calcul des rotations

7-6

(f) m2(x2)

CTN-408

7.2.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

Effet des charges verticales

La rotation θA due aux charges appliquées sur la poutre est déterminée en appliquant un moment unitaire en A (Fig. 7.4c). L m 1  x 1   M  x 1  dx 1 1   x1  =  A=     M  x 1  dx 1 EI EI 0  L  0 L

1 A   L  EI où

M(x1) m1(x1) x1 A x1

L

x

1

 M  x1  dx1  

0

1  A  x1  L.EI

= le moment réel dû aux charges verticales (Fig. 7.4b) = le moment virtuel dû au moment unité en A (Fig. 7.4d) = distance par rapport au point B = Aire du diagramme des moments dus aux charges verticales (Fig. 7.4b) = distance du centre de gravité de A par rapport au point B = c (Fig. 7.4b)

 A= 

A.c L  EI

(7.1a)

La rotation θB due aux charges appliquées sur la poutre est déterminée en appliquant un moment unitaire en B (Fig. 7.4e).

m ( x )  M( x 2 )dx 2 1  x 2  =  M( x 2 )dx 2  B=  2 2 EI EI 0  L  0 L

1 B = L  EI où

M(x2) m2(x2) x2 A x2

L

L

x

2

 M  x 2  dx 2 =

0



1 A x2 L  EI



= le moment réel dû aux charges verticales (Fig. 7.4b) = le moment virtuel dû au moment unité en B (Fig. 7.4f) = distance par rapport au point A = Aire du diagramme des moments dus aux charges verticales = distance du centre de gravité de A par rapport au point A = d (Fig. 7.4b)

 = B

A.d L  EI

7-7

(7.1b)

CTN-408

7.2.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

Effet du moment de continuité MAB

Toujours par la méthode de la charge unité, on détermine les rotations θA et θB causées par le moment MAB en appliquant successivement un moment unitaire en A et en B. m1M AB 1  A   dx  EI EI  0 L  1 L(1)(M AB ) M AB L A   EI 3 3EI

    

 L m2 M AB 1  + B   dx  EI EI  0 +1  M L 1 L(1)(M AB ) B    AB EI 6 6 EI

    

L

    

    

-MAB

L

(7.2a)

et L

7.2.3

 -MAB    

    

L

(7.2b)

Effet du moment de continuité MBA

D’une manière similaire, on détermine les rotations θA et θB causées par le moment MBA en appliquant successivement un moment unitaire en A et en B. m1M BA 1  A   dx  EI EI  0 L  M L 1 L(1)( M BA ) A    BA EI 6 6 EI

    

 L m2 M BA 1  + B   dx   EI EI 0  +1  1 L(1)( M BA ) M BA L B   EI 3 3EI

    

L

    

L

+ +MBA

    

(7.3a)

et L

7-8

    

L

+ +MBA

    

(7.3b)

(7.3b)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

La superposition des rotations causées par chacune des charges est obtenue en additionnant les équations (7.1), (7.2) et (7.3).

 Ac L L + M AB  M BA EI  L 3EI 6EI

A =  B=

Ad L L  M AB + M BA EI  L 6EI 3EI

(7.4a)

(7.4b)

La résolution des équations (7.4a) et (7.4b) donne les équations reliant les moments de continuité aux rotations et aux charges verticales.

M AB =

M BA =

2EI 2A (2 A + B ) + 2 (2c  d) L L

2EI 2A  A  2 B  + 2  c  2d  L L

7-9

(7.5a)

(7.5b)

CTN-408

7.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

DÉPLACEMENT RELATIF DES APPUIS

Le déplacement de l’un des appuis du tronçon de poutre d’une valeur Δ, entraîne une rotation additionnelle en A et en B d’une valeur de θAB = Δ/L (Fig. 7.5). Il faut inclure cette rotation positive antihoraire dans le calcul de θA et θB. (Voir Eqs. 7.5a et 7.5b).

 A=   B=

Ac M ABL M BAL   + + EI  L 3EI 6EI L

Ad M ABL M BAL   + + EI  L 6EI 3EI L

En remaniant les équations précédentes, on obtient les équations de la méthode des rotations, reliant les moments de continuité aux rotations et au déplacement relatif entre les points A et B, ainsi qu’aux charges verticales. M AB =

M BA =

3   2A   2 A + B   + (2c  d) L  L2 

 AB

  L

(7.6a)

2EI  3   2A  c  2d    A  2 B  + L  L  L2

B

 BA A

2EI L

A

()

L

(7.6b)

 AB  

 L

 BA

B L

Fig. 7.5 - Déplacement relatif des appuis A et B

7-10

 ( )

CTN-408

7.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

MOMENTS D’ENCASTREMENT

Les équations (7.6a) et (7.6b) donnent la relation entre les moments d’extrémité MAB et MBA dont élément d’une poutre continue et les déplacements (θ A , θB ,Δ ) et les charges. Considérons un élément de poutre dont les déplacements sont nuls (θ A = θB = Δ =0), ou pour lequel les appuis A et B sont des encastrements comme l’élément illustré à la Fig. 7.6a. Les équations (7.6a) et (7.6b) deviennent :

M AB  

2A E (2c  d )  M AB 2 L

M BA  

2A E (c  2d )  M BA 2 L

Ces expressions représentent les moments d’encastrement MEAB et MEBA, où les moments de réaction dus aux charges d’un élément encastré en A et en B. On peut les calculer en se référant à la définition donnée aux différents termes de ces expressions à la Section 7.2.1. P MBA

MAB

B

A (a) Charge concentrée

d=L/2

c=L/2

M(x)

PL   L  PL2    8  4  2 

A  

(b) DMF de la charge concentrée P

Fig. 7.6 - Moments d’encastrement

7-11

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

Pour la poutre de la Fig. 7.6a encastrée en A et en B et soumise à une charge verticale P ces définitions sont:

  

A représente l’aire du diagramme des moments fléchissants d’une poutre isostatique soumise au chargement vertical seulement (Fig. 7.6b); d est la position du centre de gravité de ce diagramme par rapport à l’appui A; c est la position du centre de gravité de ce diagramme par rapport à l’appui B;

On obtient :

=

2  PL 2   L L  PL = M EAB 2   =  2 8 L  8  2 2

M BA =

2  PL 2   L L PL = M EBA   2  =  2 8 2 2 8   L  

M AB

Les moments MAB et MBA résultants sont les moments d’encastrements identifiés par MEAB et MEBA, ils sont positifs antihoraires. 7.5

ÉQUATIONS FINALES DE LA MÉTHODE DES ROTATIONS

Les équations de la méthode des rotations (Eqs. 7.6) peuvent alors être réécrites en utilisant la notation pour les moments d’encastrements.

M AB =

2EI L

3   E  2 A +  B   + M AB L  

(7.7a)

M BA =

2EI  3  E   A  2 B   + M BA L  L 

(7.7b)

7-12

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7.6

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

POUTRE ARTICULÉE À UNE EXTRÉMITÉ

Soit la poutre de la Fig. 7.7, articulée en A et encastrée B, soumise à un moment concentré MAB en A. Le moment en B est inconnu et la rotation en B est nulle, θB = 0. L’équation (7.7a) de la méthode des rotations donne,

M AB =

2EI 4EI  A (2 A +0) = L L

où (4EI/L) représente la rigidité de la poutre, et

M BA =

2EI 2EI  A  0 =  A = M AB L L 2

Ainsi, lorsqu’on applique un moment concentré en A, le moment de réaction en B est la moitié du moment appliqué.

MBA= 2EI/L

MAB = 4EI/L

B

A L

Fig. 7.7 - Poutre articulée en A

7-13

CTN-408

7.7

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

ÉTAPES D’ANALYSE

L’analyse de systèmes hyperstatiques par la méthode des rotations se fait en suivant la procédure suivante : 1) Analyser le problème : l’analyse du problème consiste à :

   

Identifier les rotations inconnues Déterminer les rotations connues (nulle ou valeur imposée) Déterminer les déplacements relatifs connus entre deux joints, ainsi que leur signe S’il y a un porte-à-faux, déterminer le moment engendré au joint, par la charge appliquée sur le porte-à-faux

2) Déterminer les moments d'encastrements parfaits engendrés par les charges entre les joints (Annexe D). 3) Écrire les équations de la méthode des rotations (Équation 7.7). 4) Définir les conditions d'équilibre aux joints et résoudre pour les rotations inconnues en utilisant les équations de (3). 5) Calculer les moments de continuité aux joints : substituer les valeurs des rotations obtenues en (4) dans les équations de (3) pour déterminer les moments aux extrémités de chaque tronçon. 6) Déterminer les réactions d'appuis. 7) Tracer le DET et le DMF.

7-14

CTN-408

7.8

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

EXEMPLES D’APPLICATION

Exemple 7.1 Calculer les moments fléchissants sur appuis de la poutre continue suivante. Déterminer les réactions et tracer les diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants. On suppose que les appuis sont invariables (pas de déplacements relatifs). Prendre EI = constante. 60 kN

18 kN/m B

A

C 6m

8m

Fig. 7.8 - Exemple 7.1 Solution 1) Analyse du problème : Rotations inconnues : B Rotation connue : A = 0 et C= 0 Déplacements connus : A = B = C = 0 2) Moments d’encastrement : Portée AB : 18  82 E M AB   96 kN  m 12 18  82 E M BA   96 kN  m 12

Portée BC :

60  6  45 kN  m 8 60  6   45 kN  m 8

E M BC  E M CB

7-15

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

3) Équations de la méthode des rotations 3 AB  2 EI  E  B  96  2 A   B    M AB  8 L  

M AB 

2 EI L

M BA 

2 EI  3 BA  4 EI E  B  96   A  2 B    M BA  L  L  8

M BC 

2 EI L

3 BC  4 EI  E  B  45  2 B   C    M BC  L  6 

M CB 

2 EI L

3 CB  2 EI  E  B  45   B  2 C    M CB  L  6 

4) Conditions d’équilibre :

M

B

0

M BA  M BC  0

(1) 

4 EI 4 EI B   B  51  0 8 6  28 EI     B  51  24 

B 

Solution :

43, 71 EI

5) Calcul des moments de continuité aux joints :  2  43, 71  M AB     96  107 kN  m 8    4  43, 71  M BA     96  74 kN  m 8    4  43, 71  M BC     45  74 kN  m 6    2  43, 71  M CB     45  30, 5 kN  m 6  

7-16

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

6) Calcul des réactions

RA : Couper la poutre à la gauche de B

107

74

18 kN/m

A

B VBA

8m

RA

 M B  0  18  82  8 RA  107   74  0  2  R  76,1 kN  A VBA  18  8  76,1  67,9kN

RC : Couper la poutre à la droite de B 60 kN

 M B  0  6 RC  30,5  60  3  74  0   RC  22, 75 kN V  60  22, 75  37, 25kN  BC

30,5

74 B

VBC

C

6m

RC

RB : Faire l’équilibre vertical de la poutre ou l’équilibre du nœud B

107

60 kN

18 kN/m

30,5 C

B

A

6m

8m

76,1

22,75

RB

F

y

0

76,1  18  8  60  22, 75  RB  0 RB  105,15 kN

7-17

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

7) DET et DMF : À compléter en classe 60 kN 107

30,5

18 kN/m

A

B

C 6m

8m 76,1

105,15

DET

DMF

7-18

22,75

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

Exemple 7.2 Exemple à compléter en classe

Pour la poutre continue suivante, on demande : a) Calculer les rotations en B et C; b) Calculer les moments aux appuis; c) Tracer le DET et le DMF. EI = 1500 kN·m2

Prendre

50 kN

50 kN 30 kN/m

B

A

EI 2m

2m

C 2EI 6m

2m

Fig. 7.9 - Exemple 7.2 Solution 1) Analyse du problème :

Rotations inconnues : B et C Rotation connue : A = 0 Déplacements connus : A = B = C = 0 2) Moments d’encastrement :

Portée AB :

 50  42  2 50  22  4  E M AB     66, 7 kN  m 62 62   E M BA  66, 7 kN  m Portée BC :

30  62  90 kN  m 12  90 kN  m

E  M BC E M CB

7-19

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

3) Équations de la méthode des rotations 3 AB   E  2 A   B    M AB  L  

M AB 

2 EI L

M BA 

2 EI  3 BA  E   A  2 B    M BA  L  L 

M BC 

2 EI L

3 BC   E  2 B   C    M BC  L  

M CB 

2 EI L

3 CB   E   B  2 C    M CB  L  

4) Conditions d’équilibre et calcul des rotations :

M

B

0 

(1) 3000 B  1000C  66,7  90  0

M CB  0



(2) 1000 B  2000C  90  0

Solution :

(2)-2(1)  B 

De (1)

C 

M BA  M BC  0

M

C

0

 C 

5000 B  136, 67  0

23,33  3000 B  1000

5) Calcul des moments de continuité aux joints : M AB  500(

)  66, 7 

M BA  1000(

)  66, 7 

M BC  2000(

)  1000(

)  90 

M CB  1000(

)  2000(

)  90 

7-20

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

6) Calcul des réactions

RC : Couper la poutre à la droite de B

94

30 kN/m B

C

VBC

6m

RC

 M B  0  6RC  30(6)3  94  0  RC  V   BC

RA : Couper la poutre à la gauche de B 50

 M B  0  6RA  53  50(4)  50(2)  94  0  RA  V   BA

50

53

94 A

RA

B 2m

2m

2m

VBA

RB : Équilibre vertical de la poutre 53 50 kN

50 kN 30 kN/m

B

A

2m

2m

2m

C

RB

6m

F

y

0

RB  74,3  43, 2  50  50  30  6  0 RB 

7-21

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

7) DET et DMF

53

50 kN

50 kN 30 kN/m B

A

2m

2m

2m

DET

DMF

7-22

C

6m

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Chapitre 7

Exemple 7.3 Portique sans déplacement latéral

Pour le portique suivant, déterminer les réactions aux appuis et les efforts aux joints. Prendre EI = constante

10 B

C

5m

A

2m

2m

Fig. 7.10 - Exemple 7.3 Solution 1) Analyse du problème :

-

Rotations inconnues : B et C Rotation connue : A = 0 Déplacements connus :  = 0 Aucun déplacement relatif des appuis

2) Moments d’encastrement

MEAB = - MEBA = 0 PL 10  4  5 MEBC = - MECB = 8 8

7-23

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ANALYSE DES STRUCTURES

3) Équations de la méthode des rotations 2EI ⓐ MAB = (2A + B) + MEAB = L 2EI ⓑ MBA = (A + 2B) + MEBA = L 2EI ⓒ MBC = (2B + C) + MEBC = L 2EI ⓓ MCB = (B + 2C) + MECB = L

Chapitre 7

2 EI B 5 4 EI B 5 EI B + 0,5 EI C + 5 0,5 EI B + EI C - 5

4) Conditions d’équilibre et calcul de B et C

MBA + MBC = 1,8 EIB + 0,5EIC + 5 MCB = 0,5 EIB + EIC - 5 =0

① ② Solution :

=0

3,1EIB + 20 = 0

(2  ①) - ② C 

7, 42 EI

B 

4,84 EI

On calcule ensuite les moments de continuité à l’aide des équations ⓐ, ⓑ et ⓒ. L’équation ⓓ permet de vérifier que le moment en C est nul.

7-24

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 7.4

Chapitre 7

Portique avec déplacement latéral

Pour le portique suivant subissant un déplacement latéral, déterminer les réactions aux appuis et les efforts aux joints. Prendre EI = constante

10 kN

   AB

   AB C

B

5m

On pose ici rotation

 (+) causant

 AB

anti-horaire

A

2m

2m

Fig. 7.11 - Exemple 7.4 Solution 1) Analyse du problème :

-

Rotations inconnues : B et C Rotation connue : A = 0 Déplacements inconnus : AB Déplacements connus : BC = 0

2) Moments d’encastrement

MEAB = - MEAB = 0 PL 10  4  5 MEBC = - MECB = 8 8 7-25

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

3) Équations de la méthode des rotations 3( AB ) 2EI 2 EI (2A + B ) + MEAB = B ⓐ MAB = L 5 L 6( AB ) 25 2EI 3( AB ) 4 EI ⓑ MBA = (A + 2B ) + MEBA = B L L 5 6( AB ) 25 2EI ⓒ MBC = (2B + C) + MEBC = EI B + 0,5 EI C + 5 L 2EI ⓓ MCB = (B + 2C) + MECB = 0,5 EI B + EI C - 5 L 4) Conditions d’équilibre permettant de trouver B et C

(1) M BA  M BC  0



1,8EI B  0,5EI C 

(2) M CB  0



0,5EI B 

EI C

6( EI  AB ) 5  0 25 5  0

5) Condition d’équilibre additionnelle et calcul des rotations

Il manque une condition d’équilibre pour trouver les 3 inconnues (B, C et AB). Le déplacement AB en haut de la colonne AB doit être inclus comme une variable inconnue dans les équations de la méthode des rotations. La condition d’équilibre additionnelle est obtenue en vérifiant l’équilibre global du portique et de la colonne AB. Sur le DCL global (Fig. 7.11a) : FH = 0 (i)

HA  0

On doit relier HA aux moments d’extrémité en écrivant l’équation d’équilibre de la colonne AB. (Fig. 7.11b) (ii) (i)

M

B

0



M AB  M BA  H A  5m  0

et (ii) donne l’équation d’équilibre no. 3

7-26

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(3) M AB  M BA  0

1, 2EI B 



Chapitre 7

12EI  AB 0 25

10 B

C

MAB

B

Vc

Ha

A

MAB Va

HA MAB

(a) DCL global

(b) DCL de AB Fig. 7.12 - Exemple 7.4 (suite)

Solution :

C   B 

7,89 EI



8,95 EI

 AB  

19, 73 EI

donc dans le sens opposé à l'hypothèse

6) Calcul des moments de continuité aux joints :

MAB MBA MBC MCB

= + 1,58 kN·m = - 1, 58 kN·m = + 1, 58 kN·m =0

7-27

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 7

7) Réactions et efforts

La Fig. 7.13 donne les réactions et efforts à l’extrémité des membrures.

C

B 10

1,58 0

0 4,605

5,395

B

5,395 0 1,58

A

1,58 0 5,395

Fig. 7.13 - Exemple 7.4 (suite)

7-28

CHAPITRE 8

ANALYSE MATRICIELLE DES STRUCTURES

Dans ce chapitre, on introduira l'analyse matricielle de structures et en méthode dite de rigidité en vue de l'utilisation de l'outil informatique. notamment les matrices élémentaires, le processus d'assemblage de élémentaires, et la résolution du système résultant. Enfin, on donnera un programmation d'une telle approche.

particulier la On abordera ces matrices aperçu sur la

CTN-408

8.1 8.1.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

INTRODUCTION Considérations générales

Les méthodes classiques d'analyse de structures développées par Maxwell, Betti, Mohr, Müller - Breslau, etc., ont rendu d'énormes services à nos aînés de par leurs généralités et leurs élégances. Cependant, elles sont parfois « incapables » de résoudre des structures importantes qui demandaient un calcul inextricable « à la main ». Ceci a amené les ingénieurs à simplifier l'analyse et à recourir à des solutions approchées et à des modélisations s'adaptant le plus aux moyens de calcul dont ils disposaient. Cet état de choses a mobilisé les ingénieurs qui ont développé plusieurs techniques ayant de grandes valeurs pratiques, mais qui manquaient inévitablement de généralité. Avec l'avènement de l'outil informatique, et ces derniers temps « sa vulgarisation », l'analyse des problèmes de plus en plus complexes est devenue « un jeu d'enfant ». L'analyse moderne des structures passe par la résolution de systèmes d'équations linéaires difficiles, voire impossibles, à résoudre « à la main ». La notation matricielle d'une part et les méthodes numériques adaptées à l'ordinateur d'autre part ont fait de l'analyse des structures une science de plus en plus élégante, simple, générale, systématique permettant ainsi une meilleure utilisation des matériaux et une meilleure sécurité. Nous allons essayer dans ce qui suit d'introduire ces méthodes matricielles adaptées à l'ordinateur pour la résolution des structures. 8.1.2

Méthodes matricielles pour l'analyse des structures

Sachant qu'il existe une interdépendance entre les efforts et les déformations des structures hyperstatiques, deux possibilités d'aborder le problème de calcul peuvent être envisagées. À ces deux possibilités correspondent deux méthodes de calcul. 8.1.2.1 La méthode de flexibilité (ou des forces) On prend dans ce cas les forces de liaison surabondantes comme inconnues. En supprimant ces dernières et en les remplaçant par les forces inconnues, la structure hyperstatique est transformée en une structure isostatique. (Voir Chapitre 6) Dans cette méthode, le choix des inconnues hyperstatiques est laissé à l'ingénieur. Toutefois, ce choix doit être judicieux pour éviter des calculs fastidieux des coefficients d'influence de la matrice de flexibilité et pour éviter le mauvais conditionnement (illconditioning) de la matrice de flexibilité.

8-1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

La méthode de flexibilité s’exprime sous forme matricielle par :

{D} = [f] {R} {R} [f] {D}

= = =

(8.1)

vecteur des forces nodales inconnues matrice de flexibilité de la structure vecteur des déplacements nodaux (translations et rotations)

Le vecteur de forces inconnues {R} est obtenu en multipliant les deux membrures de la relation (8.1) par la matrice inverse de [f], ainsi :

{R} = [f ] -1 {D}

(8.2)

Il est clair que les coefficients d'influence fij ne sont pas connus à priori. Si leur détermination est aisée pour une structure isostatique, elle devient vite un travail demandant beaucoup d'effort dès qu'il s'agit d'une structure hyperstatique. De plus, la méthode exige le choix et la détermination des inconnues hyperstatiques. Ceci représente sans doute l'inconvénient majeur par rapport à la méthode de rigidité. 8.1.2.2 La méthode de rigidité (ou des déplacements) Dans cette méthode, on prend comme inconnues les déplacements subis par les nœuds de la structure pour déterminer ensuite les efforts internes. Nous avons vu que la méthode de flexibilité présentait un inconvénient majeur, celui du choix des inconnues hyperstatiques. Autrement dit, pour une même structure hyperstatique, plusieurs chemins vers la solution peuvent être proposés. Cet inconvénient a déclassé la méthode en faveur de la méthode des rigidités qui a pris de plus en plus d'ampleur durant les dernières décennies. En effet, la méthode de rigidité est préférée pour : -

sa généralité, sa formulation, sa systématisation, et par conséquent sa parfaite adaptation au calcul par ordinateur.

C'est donc cette méthode que nous allons utiliser dans le cadre de ce cours.

8-2

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8.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

EXPOSÉ DE LA MÉTHODE DE RIGIDITÉ

On peut démontrer que la relation entre les forces appliquées {F} (réactions d'appui incluses) et les déplacements {D} (déplacements d'appui inclus) est donnée sous forme matricielle par : {F} = [K] {D} (8.3) {F} [K] {D}

= = =

vecteur des forces nodales appliquées matrice de rigidité de la structure vecteur des déplacements nodaux (translations et rotations)

La formation de la matrice de rigidité [K] et la solution de l'équation 8.3 tenant compte des conditions d'appui constituent les objectifs de la méthode de rigidité. La matrice de rigidité [K] de la structure est obtenue par assemblage des matrices de chaque élément appartenant à la structure. Ceci se fait en tenant compte bien sûr de la connectivité de chaque élément. La procédure d'assemblage sera expliquée pour chaque exemple traité. Les conditions aux limites (appuis) spécifient la manière dont la structure est liée au milieu extérieur. Il est clair que, sans l'introduction de telles conditions, la matrice de rigidité [K] est singulière. Le vecteur déplacement {D} est obtenu en prémultipliant les deux côtés de la relation (8.3) par la matrice inverse de [K], ainsi : {D} = [K ] -1 {F} (8.4) Si l'inversion de la matrice [K] peut se faire assez aisément pour les systèmes simples, elle devient très laborieuse, voire impossible, manuellement et prend beaucoup de temps et d'espace mémoire par ordinateur. Pour ces raisons, dans la majorité des cas pratiques, on a recours aux méthodes numériques de résolution. Ces méthodes seront utilisées dans certains exemples traités dans ce texte.

8-3

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Procédure Le système d’équations matriciel de la méthode de rigidité prend la forme suivante :

F    K D  F E  où {FE} est le vecteur des forces d’encastrement qui permet de transposer les charges appliquées entre les nœuds en forces nodales. La solution du système d’équations matriciel est donné par :

D   K 

1

F  F  E

La matrice de rigidité [K] est la matrice globale de la structure et elle est obtenue en assemblant les matrices de rigidité élémentaires [Ke] de chaque élément constituant la structure. La matrice de rigidité élémentaire [Ke] d’un élément ij regroupe les coefficients de rigidité kij reliant les efforts nodaux {Fi} et {Fj} aux déplacements nodaux {Di} et {Dj}.

 Fi   Di   kii     Ke       Fj   D j   k ji

kij   Di    k jj   D j 

Élément ij et système d’axe local On définit d’abord les matrices élémentaires dans le système d’axe local de chaque élément (x’-y’) qu’on transforme ensuite dans le système d’axe global (X-Y) de la structure avant de procéder à l’assemblage. La définition des matrices élémentaire, la transformation et l’assemblage sont vus en détail dans les sections suivantes.

8-4

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8.3 8.3.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

MÉTHODE MATRICIELLE DE RIGIDITÉ POUR ÉLÉMENT POUTRE AVEC ROTATIONS INCONNUES SEULEMENT Matrice élémentaire pour élément poutre avec rotations inconnues seulement

Considérons un élément de poutre i-j dans son état de déformation relié aux rotations aux nœuds seulement (Fig.8.1). La convention définit les moments et les rotations positifs antihoraires. Le système d’appuis simples représenent des déplacements nuls en x et en y, et les moments Mij et Mji sont les moments de continuité représentant l’effet des éléments poutres à gauche du nœud i et à droite du nœud j. P2 P1

P3

w

Mij

i

i

Mji

L

j

j

Fig. 8.1 - Élément de poutre avec rotations inconnues seulement Les moments nodaux Mij et Mji relatifs respectivement à l'extrémité i et j de la poutre, sont reliés aux rotations θi et θj par des coefficients de rigidités kij comme exprimé par les équations 7.7 de la méthode des rotations du Chapitre 7. On considère qu’il n’y a pas de déplacement relatif des appuis, . 2EI 4 EI 2EI 2 i +  j  + M ijE   i  j + M ijE L L L 2EI 2 EI 4 EI =   i  2 j  + M Eji  i  j + M Eji L L L

M ij =

(7.7a)

M

(7.7b)

ji

où les moments MEij et MEji sont les moments d’encastrements dus à l’effet des charges entre les nœuds et sont positifs antihoraires Les équations 7.7 peuvent s’écrire sous forme matricielle  F    K  D   F E  par :  4 EI E M     ij   kii kij   i   M ij   L     E    M ji   kji kjj   j   M ji   2 EI  L 8-5

2 EI  E L  i    M ij      4 EI   j   M Eji  L 

(8.5)

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8.3.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Assemblage d’éléments poutres avec rotations inconnues seulement

Considérons une poutre continue à deux travées telle qu’illustrée à la Figure 8.2. Les nœuds 1, 2 et 3 peuvent avoir des conditions d’appui variées, mais aucun déplacement vertical y n’est permis dans ce cas particulier. Les relations entre le vecteur global de sollicitations {F} (composé des moments résultants agissant aux nœuds M1, M2 et M3) et le vecteur global de déplacements {D} (composé ici des rotations inconnues θ1, θ2 et θ3) s’exprime par une matrice de rigidité globale de la structure. L'assemblage est l'opération qui consiste à former le vecteur global des sollicitations {F} et la matrice de rigidité globale [K] de la structure poutre et à partir des matrices de rigidité des éléments qui la composent. La matrice de rigidité [K] est assemblée en tenant compte des connectivités des nœuds (les nœuds où deux éléments et plus sont connectés). La rigidité totale du nœud est donnée par la somme des rigidités des éléments de poutre connectée à ce même noeud. Les coefficients de [K] peuvent être assemblés comme suit :   

Le terme en position ii sur la diagonale est égal à la somme des coefficients de rigidité directs kii de tous les éléments se joignant au point i. Le terme en position ij est égal au coefficient de rigidité indirect se rapportant aux nœuds i et j. Le terme kij = 0 si aucun élément ne relie les nœuds i et j.

La matrice de rigidité globale ainsi obtenue présente les caractéristiques suivantes :    

Elle est carrée et de dimension (n × n), n étant le nombre de degrés de liberté de la structure, ou rotations inconnues. Elle est symétrique [K] = [K]T et kij = kji Tous les coefficients d'influence non nuls sont regroupés autour de la diagonale et forment ainsi une bande (on parle souvent de la matrice bandée). Elle est singulière avant l'introduction des conditions aux limites.

8-6

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Illustration Soit à analyser la poutre continue 1-2-3 montrée à la Fig.8.2 par la méthode de rigidité. M1

M2

M3 2

1 1

3

2 L2

L1

Fig. 8.2 - Illustration de la procédure d’assemblage Note : Ici le système d’axes local coïncide avec le système d’axes global. On notera que pour la poutre de la Fig.8.2 les moments d’encastrements sont nuls, où sont inclus dans les forces extérieures. Selon l’équation 8.5 On peut écrire pour la poutre 1-2 :

 M 12   k11    M 21   k21

 4 EI k12  1   L1  (1)   k22   2   2 EI  L  1

2 EI  L1  1    4 EI   2  L1 

(A.1)

 4 EI k23   2   L2     k33  3   2 EI  L  2

2 EI  L2   2    4 EI  3  L2 

(A.2)

de même pour la poutre 2-3

 M 23   k    M 32   k32

(2) 22

où les indices supérieurs (1) et (2) se réfèrent aux poutres 1-2 et 2-3, respectivement. Pour l'équilibre du système, les forces intérieures doivent équilibrer les forces extérieures, c'est-à-dire : M 1  k11 1  k12  2 F1  M 1  M 12    F2  M 2  M 21  M 23   M 2  k21 1   k22(1)  2  k22(2)  2   k23  3 (A.3)  F3  M 3  M 32 M 3  S32  2  S33 3  Les forces extérieures ici sont connues, il s’agit soient de moments externes directement appliqués aux nœuds ou de l’effet des charges entre les nœuds. 8-7

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Soit sous forme matricielle :

 M 1   k 11     M 2  =  k 21    M 3   0

0 k 12 (2)  k + k 22  k 23   k 32 k 33  (1) 22

 1    2     3

(A.4)

La solution de l'équation {F} = [K] {D} ci-dessus donne les rotations qui substituées dans le premier ensemble d'équations (A.1 et A.2) permet d'obtenir les efforts dans les différents éléments (poutres). À noter que la matrice de rigidité est singulière avant considération des conditions d'appui. Supposons à titre d'exemple que θ1 = 0 (soit un encastrement en 1), le moment en 1, M1, devient alors un moment de réaction inconnu. Pour ne conserver que les rotations inconnues, soient θ2 et θ3, le système d’équations à résoudre de l'équation (A.3) devient alors :

 F2  M 2  M 21  M 23    F3  M 3  M 32 

M2 

k

(1) 22

 2  k22(2)  2   k23 3

M 3  S32  2  S33 3

En d'autres termes, nous avons réduit la matrice en barrant la ligne et la colonne correspondant à θ1, soit :

 M 1   k 11     M 2  =  k 21    M 3   0

0 k 12 (2)  k + k 22  k 23   k 32 k 33  (1) 22

8-8

 1    2     3

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8.3.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Étapes de calcul pour poutre ou portique avec rotations comme inconnues

Le système d’équations matriciel {F} = [K] {D} c de la méthode de rigidité pour une structure poutre ou portique avec rotations inconnues seulement prend la forme suivante :

M    K D  M E  où {M} = {ME} = [K] = {D} =

vecteur des moments externes appliqués aux noeuds vecteur des moments d’encastrement dues aux charges appliquées entre les nœuds matrice de rigidité de la structure vecteur des rotations nodales

Les étapes de calcul sont : Étape A : Calcul des rotations inconnues{D} 1. Numéroter les nœuds et les éléments de la structure à analyser. 2. Analyser la structure : rotations inconnues, nombre de degrés de liberté n et les dimensions de la matrice de rigidité globale (n × n). Définir les termes du vecteur déplacement {D}. 3. Déterminer le vecteur moments externes {M} (moments appliqués aux nœuds) et le vecteur moments d’encastrement {ME}. 4. Construire de la matrice de rigidité élémentaire [Ke] pour chaque élément ij de la structure (équation 8.5). 5. Assembler et réduire la matrice globale [K] en considérant la continuité ou la connectivité des éléments (nœuds communs!). 6. Résoudre le système matriciel M    K  D  M E  pour obtenir les rotations inconnues. Étape B : Calcul des efforts internes ij 1. Calculer les moments d’extrémité agissant aux nœuds i et j de chaque élément à partir des matrices de rigidité élémentaires (équation 8.5). 2. Calculer les efforts tranchants agissant à l’extrémité de chaque élément en vérifiant les conditions d’équilibre de l’élément. 3. Tracer les diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants. 8-9

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8.3.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Exemples d’applications avec rotations inconnues seulement

Exemple 8.1 Poutre continue (rotations inconnues seulement) Soit la poutre continue de la Fig. 8.3 ne subissant aucun déplacement vertical ou horizontal des appuis. On demande de déterminer les rotations au niveau de chaque nœud et de tracer la déformée. Déterminer également les diagrammes des moments et des efforts tranchants.

j i 10 kN.m 1

i 0

j 3

j i 2

2

1

L

L

3

L

EI = constante Fig. 8.3 - Exemple 8.1 Solution :

On suivra les étapes établies précédemment. Rappelons que pour chaque élément on peut écrire selon l’équation 8.5 :  4 EI 2 EI   i   M ijE  M  ij   L L   E    M ji   2 EI 4 EI   j   M ji   L L 

Étape A : Calcul des déplacements {D}

1) Numérotation des nœuds et des éléments : La poutre est composée de 4 nœuds et 3 éléments. La numérotation est indiquée la Fig. 8.3. 2) Analyse de la structure Les rotations inconnues sont au nombre de 3 (1, 2 et 3), soient pour les nœuds 1,2 et 3, le nœud 0 étant un encastrement. Ceci correspond à 3 degrés de liberté. La matrice de rigidité globale réduite aura les dimensions (3×3) et reliera les moments aux nœuds 1, 2 et 3 aux rotations (1, 2 et 3). 8-10

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Chapitre 8

On peut d’ores et déjà écrire la forme que prendra cette matrice globale en ne conservant que les coefficients de rigidité reliés aux nœuds subissant une rotation (1, 2 et 3). On constate également que les éléments (1) et (2) connectés au nœud 1 contribuent à la rigidité du nœud. Par conséquent, le coefficient de rigidité associé à ce nœud, soit k11, sera composé des rigidités respectives des éléments qui sont connectés au nœud 1. Il en va de même pour le nœud 2. Soit : j i 10 kN.m 1

i 0

j 3

j i 2

2

1

3 L

L

L

k11  k11(1)  k11(2)

k22  k22(2)  k22(3)

La matrice globale prendra alors la forme suivante :

 K Globale

 ( k11(1)  k11(2) ) k12 0   (2) (3) ( k 22  k 22 ) k 23  k 21   0 k32 k33  

3) Vecteur forces et vecteur déplacements

Vecteur déplacement  0   0      D   1    1   2   2   3   3 

Vecteur forces nodales externes M 0   M 0   M   10  F    1     M 2   0   M 3   0 

Le moment M1 = 10 kN·m est un moment nodal externe horaire, donc négatif. Le moment M0 est en fait le moment de réaction à l’encastrement. Le vecteurs forces d’encastrement dues aux charges entre les nœuds : Aucune charge n’est appliquée entre les nœuds donc le vecteur {FE} est nul. 8-11

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4) Construction des matrices élémentaires Pour chaque élément, on peut écrire (dans le système d’axe local) la matrice élémentaire de rigidité.

Élément 1 (membrure 0-1) : k  EI  4 2  k  Ke  1   k00 k (1)01     L1  2 4   10 11  Élément 2 (membrure 1-2) :  k11(2) k12  EI  4 2   Ke  2     (2)   k21 k22  L2  2 4 Élément 3 (membrure 2-3) :  k (3) k  EI  4 2  Ke  3   22 (3)23      k32 k33  L3  2 4 5) Assemblage de la matrice globale (L1 = L2 = L3 = L)

 K Globale

 ( k11(1)  k11(2) ) k12 0 8 2 0    EI  (2) (3) k 21 ( k 22  k 22 ) k 23   2 8 2    L   0 2 4  0 k32 k33  

6) Résolution du système matriciel et calcul des déplacements inconnus Équation du système matriciel :  10   8 2 0  1    EI    2 8 2   2   0    0  L  0 2 4        3

Résolution du système matriciel   35   1 26 L    10 = .   2  EI  265    3   26

8-12

    

Chapitre 8

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Chapitre 8

Étape B : Calcul des efforts internes ij 1) Calcul des moments aux extrémités des éléments Mij Pour calculer les moments d’extrémités, c’est-à-dire les moments nodaux agissant sur chaque élément, on revient aux matrices élémentaires.

 M ij   kii    M ji   k ji

kij  i    k jj   j 

E  M ij   E  M ji 

Ici, étant donné qu’aucune charge n’est appliquée entre les nœuds les moments d’encastrement sont nuls. Les systèmes matriciels élémentaires s’écrivent donc : Élément 1 (membrure 0-1) :  M 01  EI  4 2   0  L  35 / 13        L  2 4  35 / 26  EI  70 / 13  M 10  Élément 2 (membrure 1-2) :  M 12  EI  4 2  35 / 26  L 60 / 13         L  2 4   10 / 26  EI  15 / 13  M 21  Élément 3 (membrure 2-3) :  M 23  EI  4 2  10 / 26  L 15 / 13        L  2 4  5 / 26  EI  0   M 32  2) Calculs des efforts tranchants La vérification de l’équilibre de chaque élément permet d’obtenir les efforts tranchants.

35/13 105/(13L)

0

1

1

70/13 105/(13L)

60/13

1

2

75/(13L)

2

15/13 75/(13L)

15/13

2

15/(13L)

La différence entre le moment à gauche et à droite du nœud 1 correspond au moment nodal externe de 10 kN·m.

8-13

3

3 15/(13L)

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Chapitre 8

3) DET et DMF Les DET et DMF sont tracés sur la Fig. 8.4.

35/(13L)

i

j i

0

1

10 kN.m

j

2

3

2

1

3 L

L

L 105/(13L)

j i

90/(13L)

30/(13L)

Fig. 8.4 - Exemples 8.1 et 8.4 – DET et DMF

8-14

15/(13L)

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Chapitre 8

Exemple 8.2 Poutre continue avec porte-à-faux Soit la poutre continue de la Fig. 8.5 ne subissant aucun déplacement vertical ou horizontal des appuis. On demande de déterminer les efforts internes agissant aux extrémités des éléments de la poutre en utilisant la méthode de rigidité (méthode matricielle) et en ne considérant que les déformations de flexion comme inconnues (rotations) et de calculer les réactions aux appuis.

EI = 200 kN·m2 20 kN 10 kN

4 kN/m

3 kN/m 2

4

3

5

1 2.5 m

6m

4m

5m

3m

Fig. 8.5 - Exemple 8.2 Solution :

On suivra les étapes établies précédemment.

Étape A : Calcul des déplacements {D}

1) Numérotation des nœuds et des éléments : La poutre est composée de 5 nœuds et 4 éléments. Cependant le porte-à-faux 4-5 n’est pas pris directement en considération dans l’analyse matricielle, seules les forces nodales qu’il transmet au nœud 4 seront considérées. Donc, la poutre à analysée comporte 4 nœuds et 3 éléments. La numérotation est indiquée la Fig. 8.5. Élément : 1-2 Élément : 2-3 Élément : 3-4 2) Analyse de la structure  Déplacements inconnus aux appuis : 2, 3, 4  Déplacements connus aux appuis : 1 = 0 0     Vecteur des déplacements :  D   2  rad 3   4  8-15

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Chapitre 8

3) Vecteur forces nodales et d’encastrement

Vecteur de forces nodales {F} (forces appliquées aux nœuds) : Le segment 4-5 est complètement défini (isostatique), alors on le remplace par le moment qu’il crée au nœud 4, soit 30 kN·m horaire. Donc :

 M 1   M1  M   0  F    2     kN·m M 3   0   M 4  30  Vecteur des forces d’encastrement {FE} : page D-1 :

 ME élément 1  2   12 E  M 21

  wl 2 /12   3  62 /12   9        kN·m 2 2  wl /12 3  6 /12 9

 ME élément 2  3   23 E  M 32

  Pb2 a / l 2   20  2,52 1,5/ 42  11,72      kN·m 2 2 2 2   Pba / l  20  2,5 1,5 / 4  7,03

 ME élément 3  4   34 E  M 43

  wl 2 /12   4  52 /12   8,33      kN·m 2 2  wl /12 4  5 /12 8,33

9  M1E     E    M 2   9  11, 72  2, 72  E F   M E   7, 03  8,33  1,3 kN·m  3    M 4E    8,33 4) Construction des matrices élémentaires

2 EI  4 2  200  4 2  3 K12    200      1 L  2 4 6  2 4  3

1  3 2  3

1 EI  4 2  200  4 2  K 23    200      1 L  2 4 4 2 4  2

1  2 1 

8-16

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

4 EI  4 2  200  4 2  5 K34    200      2 L  2 4 5 2 4  5

Chapitre 8

2  5 4  5

5) Assemblage de la matrice globale (considérer la connectivité des éléments). Le système matriciel global prend la forme suivante :

F   K D  F E 

D   K  F   F E  1



 1 2 0 0  3 3    0   5 1 1   0   2  3 3 2       200    1 9 2  3   0 2 5 5  4    2 4    0 0 5 5    

1

  M1   9         0    2,72     0   1,3               30 8,33   

6) Résolution du système matriciel et calcul des déplacements inconnus Réduction du système d’équation matriciel : On réduit le système en enlevant les lignes et colonnes correspondant au déplacement nul qui est 1  0 :  1 5 0  2 2    3       9 1 2 3    200   2 5 5     0 2  4  4    5 5     L

1

  0   2,72         0    1,3    30 8,33     

Résolution du système d’équation matriciel  2  0, 01887      Vecteur déplacement inconnu  3    0, 03569  rad    0,1533   4  

8-17

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Étape B : Calcul des efforts internes ij 1) Calcul des moments aux extrémités des éléments Mij Pour calculer les moments d’extrémités, c’est-à-dire les moments nodaux agissant sur chaque élément, on revient aux matrices élémentaires. 2  M12   3  200   1 M  21   3

1  3   0   9   7,74  kN·m       2  0,0188 9 11,5 3

1 M 23    200   1 M 32   2

1  2  0, 0188  11,7    11,5  kN·m       1   0, 0357   7  1, 75 

2  4 M 34  5 5   0,0357   8,3  1, 74 kN·m   200        2 4  0,1534 8,3  30  M 43  5  5

2) Calcul des efforts tranchants Les efforts tranchants sont obtenus par l’équilibre statique de chaque élément à partir des moments aux extrémités. 20 kN 1

10 kN

4 kN/m

3 kN/m 2

3

3) DET et DMF Une fois les efforts tranchants déterminés, on peut tracer les diagrammes d’efforts tranchants et de moments fléchissants. L’étudiant est invité à le faire. 8-18

4

CTN-408

8.4 8.4.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

ANALYSE MATRICIELLE D’UN TREILLIS Élément barre de treillis

Soit l’élément barre 1-2 soumis subséquemment à un déplacement horizontal unitaire x1 au nœud 1 et un déplacement horizontal unitaire x2 au nœud 2, tous les autres déplacements étant bloqués (Fig. 8.6). Les seuls efforts résultants d’un déplacement horizontal sont les efforts axiaux N1 et N2 donnés par le coefficient de rigidité axiale EA/L. EA L

1

2

EA L

x1 =1

(a) Déplacement horizontal unitaire en 1 EA L

1

2

EA L

x2 =1

(b) Déplacement horizontal unitaire en 2 Fig. 8.6 - Élément de poutre soumis à des déplacements horizontaux unitaires

Les relations entre les efforts axiaux aux nœuds, N1 et N2, et les déplacements x1 et x2 sont données par : N1 

EA EA x1  x2 L L

et

N2  

EA EA x1  x2 L L

Ou sous forme matricielle :

 N1   EA / L  EA / L   x1       N 2    EA / L EA / L   x2 

(8.6)

L’équation (8.6) est la matrice élémentaire d’une barre de treillis dans le système d’axe local.

8-19

CTN-408

8.4.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Transformation d’un élément barre de treillis

Jusqu'à présent, la matrice de rigidité a été donnée pour le cas où le système d'axes local (de l'élément) et celui global (de la structure complète) sont les mêmes. Il arrive souvent que ces systèmes d'axes soient différents, comme c’est le cas pour les treillis. La Figure 8.7 illustre un treillis dont le système d’axe global est défini par les axes X-Y. Pour chaque élément on peut écrire la relation entre les efforts axiaux et les déplacements aux nœuds selon un système d’axe local x-y comme exprimé par l’équation 8.6 et illustré pour la barre 1-2 à la Fig. 8.7.

Y

N1

y’

1 1

2 Système d’axe Global X-Y

N2

2

X

x’ Système d’axe Local x’-y’

Fig. 8.7 - Systèmes d’axe pour un treillis

Les efforts internes sont ainsi calculés à partir des déplacements des nœuds dans le système d’axe local. Cependant, lorsqu’on considère la structure de treillis dans son ensemble, on se doit de considérer les déplacements selon le système d’axe global. On calculera donc les déplacements des nœuds de la structure selon le système d’axe global. Il devient alors nécessaire de définir les transformations requises pour passer d’un système d’axe à l’autre. Considérons la membrure 1-2 de la Fig.8.8 dont le système d’axe local est identifié par x’- y’. La membrure fait un angle α avec l’axe X horizontal appartenant à un autre système d’axes dit global X-Y. Dans le système d’axe local x’-y’, on définit :  Les efforts internes aux nœuds 1 et 2 : N1 et N2  Les déplacements aux nœuds 1 et 2 selon l’axe x’ : x’1 et x’2  La relation entre ces efforts et les déplacements est donnée par l’équation 8.6.  N1   k '11        N  k '  2   21

k '12   x '1   EA    L     EA k '22   x '2     L

8-20



EA  L   EA  L 

 x '1      x '   2

(8.6)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Dans le système d’axe global X-Y, on

Chapitre 8

définit les vecteurs des efforts

F  et

des

déplacements  D aux nœuds 1 et 2 par :

 FX 1    FY 1 

F1  

 FX 2    FY 2 

F2   

 X1    Y1 

 D1  

et

X2    Y2 

D2   

(8.7)

La relation entre les efforts et les déplacements est donnée dans le système d’axes global par l’éq. (8.3) :

F    K D

Système d’axe global :

Y

FY2

(8.3)

x’

N2

2 FX2

y’ FY1



N1 1

FX1

X

Fig. 8.8 - Changement d’axes

Les efforts internes aux nœuds, N1 et N2, peuvent alors être exprimés par leurs composantes selon les axes globaux X et Y, soient : FX1, FY1 au nœud 1 et FX2, FY2 au nœud 2. Cette relation est donnée par : F  N1   c s   X 1  N1  FX 1 cos   FY 1sin    FY 1  (8.8a) Soit  ou N 2  FX 2 cos   FY 2 sin    FX 2  N 2  c s    FY 2  où c = cos α et s = sin α D’une manière plus générale, cette relation peut aussi s’exprimer sous forme matricielle par : {Ni } = [T] { F i }  (8.8b)  {N j } = [T] { F j }  8-21

CTN-408

où

ANALYSE DES STRUCTURES

T   c

s

Chapitre 8

(8.9)

est la matrice de transformation du système d’axes global (X-Y) vers le système d’axes local (x’-y’) pour les éléments barres. Ces transformations sont aussi valables pour les déplacements x’1 et x’2 exprimés en fonctions des déplacements selon X et Y.

{x 'i } = [T] { Di }   {x ' j } = [T] { D j } 

(8.10)

On peut également exprimer les forces FX1, FY1 et FX2, FY2 en fonction des efforts N1 et N2 par : FX 1  N1 cos    FX 1  c       N1  FY 1N1 sin    FY 1   s   ou (8.11a) Soit   FX 2  N 2 cos   FX 2   c        N 2  FY 2 N 2 sin    FY 2   s  D’une manière plus générale, on peut aussi écrire :

F1  T   N1  T   N1 1 T F2   T   N 2   T   N 2  1

T

(8.11b)

Ici l’inverse de la matrice de transformation géométrique [T] est égale à la transposée de cette matrice, ce qui donne : [T] 1 = [T ] T Tenant compte des relations entre les efforts (N1 et N2) et les déplacements (x’1 et x’2) de l’éqn. (8.6), on obtient pour les forces aux nœuds 1 et 2 dans le système d’axes global :

 FX 1  c  c   AE AE  x '1  x '2       N1     L  s  L  FY 1   s 

et

 FX 2  c  c   AE AE  x '1  x '2       N 2       L  s  L  FY 2   s 

En remplaçant les déplacements x’1 et x’2 par la relation (8.10), on écrit :

8-22

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

 FX 1  c   AE   X  c   AE  X  c s   1      c s   2            FY 1   s   L   Y1   s   L   Y2  (8.12)

 FX 2  c   AE   X 1  c   AE  X2  c s  c s                    FY 2   s   L   Y1   s   L   Y2 

D’une manière générale, l’équation 8.12 s’écrit :

K    {F}  [T] 1 [K ' ][T] {D}

(8.13)

Où [K] est la matrice dans le système d’axe global et [K’] est la matrice de rigidité dans le système d’axe local. Pour transformer la matrice élémentaire [K’] une barre de treillis faisant un angle α avec l’axe X, chaque coefficient de rigidité k’ij de la matrice élémentaire de l’équation 8.6 est multiplié par :

 S11    S 22  = =

AE  c 2 cs  L  cs s 2 

et

2  AE   c cs  S S =    12   21      L   cs s 2 

(8.14)

Où [S11], [S22], [S12], et [S21] sous les sous-matrices de la matrice de rigidité [K] dans le système d’axe global. Le Tableau 8.1 résume les matrices élémentaires à utiliser dans un système d’axe global pour les éléments barres de treillis et les éléments poutres avec rotations inconnues seulement.

8-23

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

TABLEAU 8.1 : MATRICE DE RIGIDITÉ ÉLÉMENTAIRE DANS UN SYSTÈME D’AXE GLOBAL

 ref S ii  K e  =   ref  S ji

1.

ref 

S ij S

BARRE DE TREILLIS

Dans le système local :

 k 'ii  K 'e  =   k ' ji 

ref ii

S =

AE L

c2 cs 



EA

k 'ij   L  k ' jj    EA 

cs  2 s



L

S =ref ij

EA 

 AE  1 1  EA  L  1 1  L  L

AE L

c2 cs 

cs  2 s

Global :  K e  = ref S ji = -

AE L

c2 cs 

cs  2 s

ref S jj =

AE L

c2 cs 

cs  2 s

où c = cos α et s = sin α 2.

POUTRE et PORTIQUE– Déformations de flexion seulement (rotations)

Dans le système local et global :

 Sii  K e  =   S ji

Sij   kii kij  EI  4 2    S jj   k ji k jj  L  2 4 

8-24



ref  jj 

CTN-408

8.4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Étapes de la méthode matricielle de rigidité pour les treillis

Le système d’équations matriciel de la méthode de rigidité pour les treillis prend la forme suivante dans le système d’axe global :

P   K D où

{P} = [K] = {D} =

vecteur des forces nodales appliquées aux noeuds matrice de rigidité de la structure dans le système d’axes global vecteur des déplacements nodaux (X,Y)

Les étapes de la méthode matricielle de rigidité sont les suivantes : Étape A : Calcul des déplacements {D}

1. Numéroter les nœuds et les éléments du treillis à analyser. 2. Analyser le treillis en définissant les déplacements inconnus, ou le nombre de degrés de liberté n et les dimensions de la matrice de rigidité globale (n × n). Définir la forme du système matriciel global du treillis avec les vecteurs forces Pi  , vecteurs déplacements Di  et sous-matrices Sii  , Sij  , et Sij  correspondant aux nœuds ayant un déplacement non nul (Xi ou Yi) 3. Déterminer le vecteur forces nodales {P} (forces appliquées aux nœuds). 4. Définir les informations requises pour construire la matrice de rigidité du treillis : a. Calculer les rigidités axiales de chaque barre du treillis (AE/L) b. Déterminer les angles et données trigonométriques requises pour définir les matrices de transformation de chaque barre permettant de passer du système d’axe local x’-y’ au système d’axe global X-Y (Voir Tableau 8.1) 5. Définir la matrice de rigidité globale du treillis : a. Définir les sous-matrices de rigidité élémentaires Sii, Sij et Sjj requises dans le système d’axe global, c’est-à-dire : AE  c 2 cs  AE  c 2 cs      S S     Sii    Sii        ij   ji  L  cs s 2  L  cs s 2  b. Assembler les sous-matrices élémentaires en respectant la connectivité des éléments (nœuds communs) pour construire la matrice de rigidité globale du treillis. 6. Résoudre le système matriciel

P   K D

inconnus dans le système d’axe global X-Y.

8-25

pour obtenir les déplacements

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Étape B : Calcul des efforts internes ij

1. Transformer les déplacements obtenus dans le système d’axes global X-Y au système d’axes local x’-y’ selon la forme.  X  x 'i =  c s   i   Yi 

et

 Xj  x ' j = c s     Yj 

2. Calculer les efforts internes agissant aux nœuds i et j de chaque élément à partir des matrices de rigidité élémentaires, selon la forme suivante :

 Ni   1  x 'i  1   EA         L N     1 1   x ' j   j

ou

AE AE AE x 'i  x 'j  ( x 'i  x ' j ) L L L AE AE AE Nj   x 'i  x'j  (  x 'i  x ' j ) L L L Ni 

8-26

CTN-408

8.4.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Analyse d’un treillis

Exemple 8.3 Trouver les efforts dans les barres du treillis hyperstatique montré à la Fig.8.9. On donne EA = constante.

X Y

4

1 kN Fig. 8.9 - Exemple 8.3 – Treillis Pour l’analyse d’un treillis par la méthode matricielle de rigidité on a recourt à la matrice élémentaire de rigidité de l’équation 8.6 et des relations de transformation de cette matrice du système d’axe local au système d’axe global données au Tableau 8.1. Ce qui donne pour chaque élément i-j :  N i   k 'ii        N  k '  j   ji

k 'ij   x '1   EA    L      EA k ' jj   x '2     L



EA  L   EA  L 

 x 'i      x '   j

 2 cs  où chaque coefficient de rigidité k’ij sera transformé par :  c 2  cs s 

8-27

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Solution :

Chapitre 8

Les étapes de solution sont celles décrite à la section précédente et, dans le système global, seuls les déplacements selon X et Y sont considérés et les forces FX et FY.

Étape A : Calcul des déplacements {D} 1) Numéroter les nœuds et les éléments : La numérotation est indiquée la Fig. 8.9. 2) Analyser la structure La matrice complète des équations d'équilibre s'écrit :

     

  S 111 + S 112   S 21 P2  =  0 P3      S 41 P4  P1

S

1 22

+S

3 22

S 12

0

4 22

S 23

+S

S 32

S

3 33

+S

S 42

5 33

S 43

S 14   D 1

   S 24  D 2    S 34   D 3  2 4 5    D4  S 44 + S 44 + S 44  

(A.1)

Conditions d'appuis : D1 = D3 = 0, ceci permet de réduire le système d'équations (A.1) à :

 P2   S  =   P4  

1 22

+S

3 22

+S

4 22 4

S 42

4 S 24   D 2   2 4 5  S 44 + S 44 + S 44   D 4 

Où

X  D2   2   Y2 

X  D4   4   Y4 

3) Vecteur forces nodales Sur un treillis les forces agissent directement sur les nœuds. Donc seul le vecteur forces nodales {F} est requis et selon l’équation A.2 il est défini par :

P2  P4 Avec selon le système d’axe global défini sur la Fig. 8.9 :

F  

F   0  P2   X 2      FY 2   0 

F   0  P4   X 4      FY 4   1 

8-28

(A.2)

CTN-408

4)

5) a)

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Information requise pour construire la matrice de rigidité globale [K] Pour compléter la transformation des matrices élémentaires de chacune des barres du treillis (telles que définies selon l’éq. 8.14), il est recommandé de compléter un tableau avec l’ensemble des informations requises (propriétés des barres, angles, etc.). Barre

EA/L

α (°) de X vers x’

sin

cos

sin2

cos2

cossin

1 : 1→2

EA/L

0

0

1

0

1

0

2 : 1→4

EA / 2L

45

0,707

0,707

0,5

0,5

0,5

3 : 2→3

EA / 2L

135

0,707

-0,707

0,5

0,5

-0,5

4 : 2→4

EA/L

90

1

0

1

0

0

5 : 3→4

EA/L

0

0

1

0

1

0

Matrice de rigidité globale [K] Sous-matrices élémentaires

Barre 1; α = 0

(Nœud 1 vers 2)

AE S 22 = L Barre 2; α = 45

c 2 cs  AE  1    2  cs s  L 0

(Nœud 1 vers 4)

AE  0,5  S 44 = 2 L  0,5 Barre 3; α = 135 (Nœud 2 vers 3)

Barre 4; α = 90

AE  0,5  S 22 = 2L  0,5 (Nœud 2 vers 4) S 22 = S 44 = S 24 = S 42 =

Barre 5; α = 0

0 0 



0,5  0,5

0,5  0,5

AE L

0 0 

AE L

0 0 

(Nœud 3 vers 4)

S 44 =

AE  1 L 0 8-29

0 0 

0 1 0 1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

b) Assemblage et réduction du système matriciel global Le système matriciel global réduit représenté par l'équation (A.2) devient, après assemblage : 1 1   0 0  1  2 2  2 2   1 1   1 0  1   AE 2 2 2 2    1 1  L  0 1  0 2 2 2 2    1 1   0 1 1   2 2 2 2 

0      0      0      1   

X2      Y2      X   4     Y4 

(A.3)

6) Résolution du système matriciel La solution est donnée par : X2  Y   2     X4  Y4 

0, 442    1, 693  L    0,533 AE  2,135 

Étape B : Calcul des efforts internes ij 1) Transformation des déplacements du système global au système local et 2) Calcul des efforts internes Nij aux extrémités des éléments

Les efforts dans les barres (dans le système local) sont calculés à partir des déplacements dans le système global en utilisant les équations 8.6 suit : À titre d'exemple, dans la Barre 1 (Nœuds 1-2), on obtient :

 N12'   EA    L    '    EA  N 21   L

EA  L   EA  L 



 x '1      x '   2

N12' 

ou

EA EA EA x '1  x '2  ( x '1  x '2 ) L L L

' N 21 

8-30

EA EA EA x '1  x '2  ( x '2  x '1 ) L L L

(A.4)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Puisque pour une barre x 'i 

c s 

 Xi Yj

Alors, l’effort interne dans la barre 1 au nœud 1 donne : N '12 

AE 1 L

 X 1  AE 0    1 L Y  1 

N '12 

AE 1 L

0  AE 0    1 L 0 

 X 2  0   Y2  0, 442  L 0   1, 693  AE

N '12   0, 442 kN

(Le signe négatif indique que l’effort est dans le sens contraire de l’axe x’ local (1 vers 2) à partir du nœud 1, donc N’12 est un effort de tension)

Aussi, l’effort interne dans la barre 1 au nœud 2 donne : N '21  

AE 1 L

 X 1  AE 0    1 Y1  L

N '21  

AE 1 L

0  AE 0    1 L 0 

 X 2  0   Y2  0, 442  L 0   1, 693  AE

N '21  0, 442 kN

(Le signe positif indique que l’effort est dans le sens de l’axe x’ local (1 vers 2) à partir du nœud 2, donc N’21 est un effort de tension)

Afin d’obtenir des efforts internes dont le signe correspond à la convention de signes habituelle, soit positifs pour la tension et négatifs pour la compression, il est suggéré de faire le calcul au nœud j des membrures. 8-31

Chapitre 8

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Dans la Barre 2 (Nœud 1→4), l’effort interne au nœud 4 est :

AE AE x '1  x '4 L L

N '41   

AE 2L



AE  2  2L  2

c

 X 1  s   Y1 

2  2 



AE c 2L

AE  2 0  L     2L  2 0  AE

 X 4  s   Y4 

2  2 

0,533 L   2,135  AE

N '41  0,80 kN (tension) (Le signe positif indique que l’effort est dans le sens de l’axe x’ local (1 vers 4) à partir du nœud 4, donc N’41 est un effort de tension).

Dans la Barre 4 (Nœud 2→4), l’effort interne au nœud 4 est : N '42  

AE AE x '2  x '4 L L



AE c L

 X 2  s   Y2 



AE 0 L

0, 442  L AE 1   0  L 1, 693  AE



AE c L

 X 4  s   Y4  0,533 L 1   2,135  AE

N '42  0, 442 kN (tension) (Le signe positif indique que l’effort est dans le sens de l’axe x’ local (2 vers 4) à partir du nœud 4, donc N’42 est un effort de tension). 8-32

CTN-408

8.5

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

MATRICE DE RIGIDITÉ ÉLÉMENTAIRE GÉNÉRALE

8.5.1

Dérivation des coefficients de rigidité

Considérons un élément de poutre dans son état de déformation générale (Fig.8.10). La convention définit les moments positifs antihoraires, les efforts tranchants positifs dans le sens de l’axe y (vers le haut), et les efforts axiaux positifs dans le sens de l’axe x (vers la droite). Les efforts nodaux N1, V1, M1 et N2, V2, M2 relatifs respectivement à l'extrémité 1 et 2 de la poutre, sont reliés aux déplacements x1, y1, θ1, et x2, y2, θ2 par des coefficients de rigidités kij. L’établissement de ces coefficients se fait en considérant l’effet d’un déplacement unique, les autres étant bloqués, sur les efforts nodaux.

x2 x1

2

1

M2

y1

M1 N1

  12

1

2 V1

y2

 ( y2  y1 )

N2 V2

Fig. 8.10 - Élément de poutre

Rappelons les équations de la méthode des rotations qui établissent la relation entre les moments agissant aux nœuds d’un élément et les rotations (θ1 , θ2 ,Δ/L ) :

4 EI 2 EI 6 EI 12 1 2 L L L2 6 EI 12 2 EI 4 EI = 1 2 L L L2

M 12 = M 21

Notons également que le déplacement relatif entre les deux nœuds, Δ12 , peut aussi être dénoté comme (y2-y1).

8-33

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Coefficients de rigidité pour les rotations seulement

Soit l’élément de poutre 1-2 soumis à une rotation unitaire θ1 au nœud 1, tous les autres déplacements étant bloqués (Fig. 8.11a). Les équations de la méthode des rotations permettent de déterminer les moments nodaux M1 et M2 résultant, soient : M1 

4 EI 1 L

M2 

et

2 EI 1 L

La même procédure est répétée au nœud 2, cette fois en appliquant une rotation unitaire θ2 au nœud 2, tous les autres déplacements étant bloqués (Fig. 8.11b). Les efforts tranchants nodaux V1 et V2 associés aux rotations θ1 et θ2 sont obtenus en faisant l’équilibre de l’élément de poutre. 6EI L2

6EI L2

2EI L

1 =1

4EI L

1

2

(a) Rotation unitaire en 1 6EI L2

6EI L2 2EI L

1

2 =1

4EI L 2

(b) Rotation unitaire en 2 Fig. 8.11 - Élément de poutre soumis à des rotations unitaires

Sous forme matricielle, les relations entre les moments nodaux M1 et M2 et les rotations θ1 et θ2 sont données par :

 M 1   4 EI / L 2 EI / L  1       M 2   2 EI / L 4 EI / L   2 

8-34

(8.15)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Coefficients de rigidité pour les déplacements verticaux seulement

Soit l’élément de poutre 1-2 soumis à un déplacement vertical unitaire y1 au nœud 1, tous les autres déplacements étant bloqués, donc y2=0 (Fig. 8.12a). Les équations de la méthode des rotations permettent de déterminer les moments nodaux M1 et M2 résultants, soient : 6 EI ( y2  y1 ) L2 6 EI M 1   2 y1 L M1  

Avec y2=0, alors

et et

6 EI ( y2  y1 ) L2 6 EI M 2   2 y1 L M2  

Le sens des moments indiqués sur la Figure 8.12 correspond au sens réel du moment pour un déplacement y1 ou y2 tel qu’indiqué. La même procédure est répétée au nœud 2, cette fois en appliquant un déplacement vertical unitaire y2 au nœud 2, tous les autres déplacements étant bloqués (Fig. 8.12b). Les efforts tranchants nodaux V1 et V2 associés aux rotations θ1 et θ2 sont obtenus en faisant l’équilibre de l’élément de poutre.

6EI L2

y1 =1

6EI L2

2

1

12EI L3

12EI L3

(a) Déplacement vertical unitaire en 1

6EI L2

y2 =1

6EI L2

1

2

12EI L3

12EI L3

(b) Déplacement vertical unitaire en 2 Fig. 8.12 - Élément de poutre soumis à des déplacements verticaux unitaires

8-35

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Coefficients de rigidité pour les déplacements horizontaux seulement

Comme décrit à la Section 8.4.1 les relations entre les efforts axiaux nodaux N1 et N2 et les déplacements x1 et x2 de la Figure 8.13 sont données sous forme matricielle par :

 N1   EA / L  EA / L   x1       N 2    EA / L EA / L   x2  EA L

1

2

(8.16)

EA L

x1 =1

(a) Déplacement horizontal unitaire en 1 EA L

1

2

EA L

x2 =1

(b) Déplacement horizontal unitaire en 2 Fig. 8.13 - Élément de poutre soumis à des déplacements horizontaux unitaires

8-36

CTN-408

8.5.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Matrice élémentaire d’un élément poutre avec tous les déplacements aux noeuds

Sous forme matricielle, les relations entre les efforts nodaux N1, V1, M1 et N2, V2, M2 relatifs respectivement à l'extrémité 1 et 2 de la poutre, et les déplacements x1, y1, θ1, et x2, y2, θ2 sont données par : Noeud 1    EA    N1  0 0      L     12 EI 6 EI     V 1 =  0  3 L L2      6 EI 4 EI      0  M 1   L2 L      N 2    EA 0 0      L     12 EI 6 EI    3  2   V 2 =  0 L L     6 EI 2 EI      0  M 2   L2 L   

x1 y1

1 x1 y1

1

Noeud 2    EA    0 0   x2       L      12 EI 6 EI    0 +  y     L3 L2   2    6 EI 2 EI       0 2     L L   2      EA 0 0   x2      L      0 12 EI  6 EI   y  +     L3 L2   2    6 EI 4 EI       0 2      2  L L  

{ F 1 } = [ S 11 ] { D 1 } + [ S 12 ] { D 2 } { F 2 } = [ S 21 ] { D 1 } + [ S 22 ] { D 2 }

Soit :

(8.17a)

(8.17b)

(8.18)

Où [S11], [S12], [S21] et [S22] sont les sous-matrices de rigidité élémentaires. Sous une forme différente, on peut écrire :

F    K D Soit pour un élément i-j : Nœud i

Nœud j

0 0 0 0  AE / L  Ni   AE / L   xi    V   12EI / L3 6EI / L2 0  12EI / L3 6EI / L2   yi   i   0 Mi   0 6EI / L2 4EI / L 0 2EI / L  i   6EI / L2     AE / L 0 0 0 0  N j   AE / L  x j  3 2 3 2  Vj   0 0 12EI / L  12EI / L  6EI / L  6EI / L   y j       6EI / L2 2EI / L 0 4EI / L   j   6EI / L2 M j   0 8-37

(8.19)

CTN-408

8.6

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

TRANSFORMATIONS

Jusqu'à présent, la matrice de rigidité a été donnée pour le cas où le système d'axes local (de l'élément). Lorsque le système d’axes local de l’élément est différent du système d’axe global de la structure, il est nécessaire de référer tous les calculs au système global X-Y. Ici on utilise le symbole prime (′) pour identifier le système local de l’élément. Y

FYj

Nj Mj

j

FXj Vj FYi



i

Ni

FXi Mi

X

Vi

Fig. 8.14 - Changement d’axes

Soit l’élément i-j de la Fig.8.14 faisant un angle α avec l’axe X horizontal. On définit le vecteur des efforts  F 'i  et les déplacements  D 'i  au nœud i selon les axes locaux x’-y’ par :  Ni  F 'i    Vi  M   i

et

 xi  D 'i    yi     i

et le vecteur des efforts  Fi  et des déplacements  Di  selon les axes globaux X-Y par :  FXi  Fi    FYi  M   i

et

Xi  Di    Yi     i

Rappelons aussi que l’équation matricielle d’un élément est donnée par l’éq. (8.3) : Système d’axe global :

F    K D

(8.3b)

Système d’axe local :

F '   K ' D '

(8.3b)

8-38

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

On peut relier les efforts selon les axes locaux  F 'i  aux efforts selon les axes globaux

Fi  par : N i  FXi cos   FYi sin    Vi   FXi sin   FYi cos    Mi  Mi 

(8.20a)

 N i   c s 0   FXi        Vi  =  -s c 0   FYi       M i   0 0 1  M i 

(8.20b)

ou

où c = cos α et s = sin α D'une manière générale

{Fi ' } = [T] { F i }   {Fj' } = [T] { F j } 

(8.21)

où [T] est la matrice de transformation du système d’axes global au système d’axes local pour les éléments poutres : c s 0  (8.22) T     s c 0  0 0 1  Pour les déplacements, et d'une manière similaire à l'éq.8.21.

  

{Di' } = [T] { D i } {D 'j } = [T] { D j } On peut également exprimer les efforts

Fi 

(8.23)

selon les axes globaux en fonction des

efforts  F 'i  selon les axes locaux par :

Soit

FXi  N i cos   Vi sin    FYi  N1 sin   Vi cos    Mi  Mi 

ou

 FXi   c  s 0   N i        FYi   s c 0   Vi       M i   0 0 1   M i 

(8.24a)

D’une manière plus générale, on peut aussi écrire :

F  T  F '  T  F ' 1

T

8-39

(8.24b)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Ici l’inverse de la matrice de transformation géométrique [T] est égale à la transposée de cette matrice, ce qui donne : [T] 1 = [T ] T Tenant compte des relations et (8.21), l’équation matricielle (8.24b) d’un élément dans le système d’axe global devient :

{F ' }  {F}  T  [K ' ] {D ' } T

En remplaçant le vecteur déplacement local

(8.25)

D ' par

la relation (8.23), on obtient

l’équation matricielle d’un élément dans le système d’axe global avec la relation de transformation pour la matrice de rigidité :

K    {F}  [T] 1 [K ' ][T] {D}

(8.26)

Ainsi, toute membrure d'une structure peut être définie par rapport aux axes de référence (X, Y). Les forces sont alors dans les mêmes directions, ce qui facilite l'écriture des équations d'équilibre de la structure entière (simple addition des FX et FY). Matrice de transformation pour un élément poutre :

Dans le cas d'une poutre faisant un angle α avec l'horizontale alors la sous-matrice S11 peut s'écrire : [S11] = [T]T [S’11] [T]   AE / L 0  12 EI  avec [S11' ] =  0 L3  6 EI   0 L2

d ou

[ S 11 ] =

                

c2

AE L

sc

    

 s2

EA L

-

 s

12EI L3 12EI L3

    

  6EI   L2 

    

 0   6 EI  ; L2   4 EI  L 



sc  AE L 

s 2 EA L



12EI  L3 

 c 2 12EI L3 c 8-40

  6EI   L2 

    

c s 0 [T] =  s c 0   0 0 1 

- s

6EI  L2 

c

6EI  L2 

 

 

4EI  L 

 

(8.27)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Les matrices élémentaires d’éléments de poutres inclinées sont résumées dans le Tableau 8.2 suivant :

TABLEAU 8.2 : MATRICE DE RIGIDITÉ ÉLÉMENTAIRE D’UN ÉLÉMENT POUTRE INCLINÉ D'UN ANGLE 

 ref S ii  K e  =   ref  S ji

3.

[S

ref 

S ij S



ref  jj 

POUTRE et PORTIQUE – Cas général  2 AE + s 2 12EI 3 c L L     - 12EI ] ii =  sc  EA 3  L L      - s  6EI 2   L 

2 AE  - s 2 12EI 3 - c L L     [S ] ji =  - sc  EA - 12EI 3   L L      - s  6EI 2  L  

sc  AEL s

2 EA L

+c

12EI  L

 

3

c

2 12EI L

- s

3

 c  6EI  L 

- s

2 EA L

-c

12EI  L

 

3

2 12EI L

3

 c  6EI  L  2

6EI L

2

4EI L

2

- sc  AEL -

6EI  2 L 

s -c

       

2 AE  - s 2 12EI 3 - c L L     [S ] ij =  - sc  EA - 12EI 3   L L      s  6EI 2   L 

6EI  2 L  6EI L

2

2EI L

       

[S

 2 AE + s 2 12EI 3 c L L     - 12EI ] jj =  sc  EA 3  L L      s  6EI 2  L  

où c = cos α et s = sin α

8-41

- sc -s

 AE  L 

2 EA L

-

12EI 

-c

2 12EI

L

 

3

L

3

- s

6EI  2 L 

c

6EI  2 L 



2EI  L 

 - c  6EI  L 



2

sc  AEL s

2 EA L

+c

12EI  L

 

3

2 12EI L

3

 - c  6EI  L  2

 

s - c

6EI  2 L 

 

6EI  2 L 



4EI  L 



CTN-408

8.7

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

ASSEMBLAGE DE LA MATRICE DE RIGIDITÉ GLOBALE [K]

L'assemblage est l'opération qui consiste à former la matrice de rigidité totale de la structure [K] et le vecteur global des sollicitations {F} à partir des matrices de rigidité des éléments qui la composent. Tout d'abord, la matrice de l'élément est transformée dans le système d'axe global soit [Ke] la nouvelle matrice en utilisant les relations des Tableaux 8.1 ou 8.2

[ K e ] = [T ] T  [K e' ]  [T]

(8.28)

Ensuite, tenant compte des connectivités des nœuds, la matrice de rigidité [K] est assemblée. Les coefficients de [K] peuvent être assemblés comme suit :   

Le terme en position ii sur la diagonale est égal à la somme des sousmatrices de rigidités directes de tous les éléments se joignant au point i. Le terme en position ij est égal à la sous-matrice de rigidité indirecte se rapportant aux nœuds i et j. Le terme Kij = 0 si aucun élément ne relie les nœuds i et j.

La matrice de rigidité globale ainsi obtenue présente les caractéristiques suivantes :    

Elle est carrée et de dimension (n × n), n étant le nombre de degrés de liberté de la structure. Elle est symétrique [K] = [K]T et Kij = Kji Tous les coefficients d'influence non nuls sont regroupés autour de la diagonale et forment ainsi une bande (on parle souvent de la matrice bandée). Elle est singulière avant l'introduction des conditions aux limites.

8-42

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Illustration Soit à analyser la poutre continue 1-2-3 montrée à la Fig.8.15 par la méthode de rigidité.

(2)

(1)

Fig. 8.15 - Illustration de la procédure d’assemblage Note : Ici le système d’axes local coïncide avec le système d’axes global. On peut écrire pour la poutre 1-2 :

{ F 1 } = [ S 11 ] { D1 } + [ S 12 ] { D 2 } (1) { F (1) 2 } = [ S 21 ] { D1 } + [ S 22 ] { D 2 }

de même pour la poutre 2-3 (2) { F (2) 2 } = [ S 22 ] { D 2 } + [ S 23 ] { D 3 }

{ F 3 } = [ S 32 ] { D 2 } + [ S 33 ] { D 3 } où les indices supérieurs (1) et (2) se réfèrent aux poutres 1-2 et 2-3, respectivement. Pour une question pratique, les matrices [Sij] et vecteurs {Di} seront désormais désignées par Sij et Di (sans crochets, ni accolades) dans la suite du cours. Pour l'équilibre du système, les forces intérieures doivent équilibrer les forces extérieures, c'est-à-dire : P1  S11 D1  S12 D12 F1  P1    F2  P2   P2  S 21 D1  S 22(1) D2  S 22(2) D2  S 23 D3 F3  P3  P3  S32 D2  S33 D3

8-43

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Soit sous forme matricielle : 0  P 1   S 11 S 12    (1) (2)  P 2  =  S 21 S 22 + S 22 S 23   S 32 S 33  P 3   0

   

 D1     D2     D3 

(A)

La solution de l'équation {P} = [K] {D} ci-dessus donne les déplacements qui substitués dans le premier ensemble d'équations permet d'obtenir les effets dans les différents éléments (poutres). À noter que la matrice de rigidité est singulière avant considération des conditions d'appui. Supposons à titre d'exemple que D1 = 0. L'équation (A) devient alors : (on n’a besoin que de deux équations!) (1) P2   S 22  S 22(2)  D2  S 23 D3

P3  S32 D2  S33 D3 En d'autres termes, nous avons réduit la matrice en barrant la ligne et la colonne correspondant à D1, soit : 0  P 1   S 11 S 12    (1) (2)  P 2  =  S 21 S 22 + S 22 S 23   S 32 S 33  P 3   0

8-44

   

 D1     D2     D3 

CTN-408

8.8

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

ÉTAPES DE LA MÉTHODE MATRICIELLE DE RIGIDITÉ

Le système d’équations matriciel de la méthode de rigidité prend la forme suivante :

F    K D  F E  où {F} = {FE} = [K] = {D} =

vecteur des forces nodales appliquées vecteur des forces d’encastrement dues aux charges appliquées entre les nœuds matrice de rigidité de la structure vecteur des déplacements nodaux (translations et rotations)

Les étapes de la méthode matricielle de rigidité sont les suivantes : Étape A : Calcul des déplacements {D}

1. Numéroter les nœuds et les éléments de la structure à analyser. 2. Analyser la structure en définissant les déplacements inconnus, ou le nombre de degrés de liberté n et les dimensions de la matrice de rigidité globale (n × n). 3. Déterminer le vecteur forces nodales {F} (forces appliquées aux nœuds) et le vecteur forces d’encastrement {FE}. 4. Construire de la matrice de rigidité élémentaire [K’e] pour chaque élément ij de la structure selon le système d’axe local de l’élément. 5. Transformer des matrices élémentaires [K’e] selon le système d’axe global de la structure [Ke] pour obtenir (Tableau 8.2)  Fi   Sii    F j   S ji

Sij   Di    S jj   D j 

6. Assembler et réduire la matrice globale [K] en considérant la continuité ou la connectivité des éléments (nœuds communs!). 7. Résoudre le système matriciel

F    K D  F E 

déplacements inconnus.

8-45

pour obtenir les

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Étape B : Calcul des efforts internes ij

3. Transformer les déplacements obtenus dans le système d’axe global X-Y au système d’axe local x’-y’ selon la forme.

{Di' } = [T] { Di } {D'j } = [T] { D j } 4. Calculer les efforts internes agissant aux nœuds i et j de chaque élément à partir des matrices de rigidité élémentaires, selon la forme suivante :  F 'i   S 'ii    F ' j   S ' ji

S 'ij   D 'i    S ' jj   D ' j 

 Fi E   E  Fi 

5. Dans le cas des poutres et portiques, tracer les diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants.

8-46

CTN-408

8.9 8.9.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

APPLICATIONS Poutre ou portique avec translations et rotations comme inconnues

L’analyse matricielle par la méthode de rigidité d’une structure poutre ou portique pour laquelle on considère l’ensemble des déplacements (x, y et ) comme inconnues fait appel à la matrice élémentaire définie par l’éq. (8.17 ou 8.19) et par l’application des étapes de la procédure générale (Section 8.8). Dans le cas d’un portique constitué de poutres et colonnes, dont d’éléments dont le système d’axe local diffère du système d’axe global, l’étape de transformation de la matrice de rigidité et des déplacements calculés sera requise. Pour une structure poutre, le système d’axe local des éléments correspond au système d’axe global et la transformation des matrices élémentaires n’est pas requise. Exemple 8.4 Analyse d’une poutre continue en considérant les rotations et les déplacements verticaux des appuis. Soit la poutre continue de la Fig. 8.16 (la même que pour l’exemple 8.1). L’utilisation de la matrice élémentaire (équation 8.17 ou 8.19) permettra de considérer les déplacements verticaux y et les rotations . On élimera cependant les lignes et colonnes relatives aux efforts normaux N et aux déplacements x pour obtenir la matrice élémentaire donnée plus bas.

j i 10 kN.m 1

i 0

j 3

j i 2

2

1 L

L

3 L

EI = constante Fig. 8.16 - Exemple 8.4

Pour chaque élément ij la matrice élémentaire aura la forme suivante :

 Vi   12EI / L3 6EI / L2 M   2 4EI / L  i   6EI / L     3 2 Vj  12EI / L 6EI / L 2 2EI / L Mj   6EI / L

E 12EI / L3 6EI / L2   yi  Vi     E  6EI / L2 2EI / L  i  Mi     E  12EI / L3 6EI / L2  yj  Vj   E 6EI / L2 4EI / L  j  Mj 

8-47

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

On peut également la noter sous la forme de sous-matrices :  Fi   Sii Sij   Di   FijE        E  Fj   S ji S jj   D j   Fji  Solution :

Les étapes de solution sont les mêmes que pour les poutres où seules les rotations sont considérées, mais la matrice élémentaire est différente. Ceci implique de considérer, outre déplacements verticaux y et les rotations , les forces verticales V (ou FY) et les moments M.

Étape A : Calcul des déplacements {D}

1) Numérotation des nœuds et des éléments : La numérotation est indiquée la Fig. 8.16. 2) Analyse de la structure En considérant toutes les déformations, on établit les vecteurs de déplacements :

 y0  0     0  0 

D0   

 y2   0     2   2 

D2   

 y1   0    1  1 

D1  

 y3   0    3  3 

D3  

Ce qui indique 3 degrés de liberté (1, 2 et 3). La matrice de rigidité globale une fois réduite aura les dimensions 3×3. 3) Vecteurs forces nodales externes et forces d’encastrement Les forces nodales externes sont généralement exprimées dans le système d’axe global. On fera donc référence ici aux forces FY et M agissant à chacun des nœuds considérés pour définir le vecteur forces nodales {F} :

P0    P F   1  P2  P 3  Où les sous vecteurs Pi sont donnés par : 8-48

Chapitre 8

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ANALYSE DES STRUCTURES

 F   R0  P0   Y 0     M 0   M 0 

F   R  P1   Y 1    1   M 1   10 

F   R  P2   Y 2    2  M 2   0 

F   R  P3   Y 3    3  M 3   0 

Vecteurs forces d’encastrement dues aux charges entre les nœuds : Aucune charge n’est appliquée entre les nœuds donc le vecteur {FE} est nul. 4) Matrices élémentaires et 5) Assemblage Avant de définir les sous matrices élémentaires il convient d’établir la forme générale de la matrice globale de rigidité de la poutre, une fois réduite, afin de déterminer quelles sont les sous-matrices requises et lesquelles seront assemblées. En ne considérant que les déplacements non nuls (soient aux nœuds 1, 2 et 3), la matrice globale prendra la forme suivante : 1 2 3

( S11(1)  S11(2) ) S12 0   D1   P1       (2) (3) S21 ( S22 ) S23   D 2   S22 P2      0 S32 S33   D 3  P3  À noter que les coefficients de rigidité des sous matrices s’additionnent aux nœuds où il y connectivité d’éléments. Pour l’élément 1, la sous matrice S(1)11 est donnée par :

12 EI / L3 S11( 1 )   2  6 EI / L

6 EI / L2   4 EI / L 

Pour l’élément 2, la sous matrice S(2)11 est donnée par :

12 EI / L3 6 EI / L2  S11( 2 )    2 4 EI / L   6 EI / L Par conséquent, la sous matrice S11 dans la matrice de rigidité assemblée est donnée par :  24 EI / L3 0 S11   0 8EI / 

  L 8-49

Chapitre 8

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Avec  R   R   R  P1 =  1  P2 =  2  P3 =  3   10   0   0  La matrice globale de rigidité de la poutre et le système matriciel devient :  R1       10       R2      0      R   3      0 



EI   24 L3   0    12 EI  L3  EI  6 2  L      

0

EI L3 EI 6 2 L EI 24 3 L

12

EI L EI 6 2 L EI 2 L 8

0 EI L3 EI 6 2 L

12

EI L2 EI 2 L

6

0 EI L EI 6 2 L EI 2 L 8

0

0

0

0

EI L3 EI 6 2 L EI 12 3 L EI 6 2 L

EI L2 EI 2 L EI 6 2 L EI 4 L

12

6

                

La matrice de rigidité est symétrique et sous forme de bande. 5) Assemblage et réduction L’assemblage ayant déjà été réalisé, le système matriciel de la poutre peut être réduit en considérant les conditions d'appui qui sont : y1 = 0 ; y2 = 0 ; et y3 = 0

Le système matriciel réduit s’écrit :  10   4 1 0   1  2EI      1 4 1    2   0=  L  0      0 1 2    3 

6) Résolution du système matriciel Ces équations ne sont plus singulières et peuvent être résolues donnant   35   1 26 L  10   .   2 = EI  265    3  - 26

     8-50

 y1      1       y2         2      y3       3 

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Étape B : Calcul des efforts internes ij 1) Calcul des efforts internes Vij et Mij aux extrémités des éléments Pour trouver les efforts internes (Vij) et (Mij), revenons aux équations initiales ou aux matrices élélmentaires : Élément 0-1 0 L  V 10  12a - 6b   (1)    S 10 D 0  S 11 D1  0       M 10   - 6b 4c   35 / 26  EI 0  L  V 01  -12a 6b      S 00 D 0  S 01D1  0       M 01  - 6b 2c   35 / 26  EI

Note:

a = EI/L3

b = EI/L2

 210 / 26 L      140 / 26   210 / 26 L      70 / 26 

c = EI/L

Élément 1-2 0  V 12  (2) (2)     S 11 D1  S 12 D 2  S 11   M 12   35 / 26 0  V 21  (2)    S 21D1  S 22 D 2  S 21   M 21  35 / 26

0   L   S 12     EI  10 / 26  0   L  S (2)   22   10 / 26   EI

Élément 2-3

V23  30 / 26 L  (3)    S22 D2  S23 D3    30 / 26   M 23  V32  30 / 26 L     S32 D2  S33 D3     0   M 32  2) DET et DMF À noter que les signes obtenus pour les efforts Vij indiquent leur direction par rapport au système d’axe global, donc positif vers le haut et négatif vers le bas (peu importe à quelle extrémité de l’élément l’effort est calculé). De la même manière, un moment positif indique un moment anti-horaire. La transposition sur les DET et DMF dépend de la convention utilisée pour représenter l’effet des efforts internes sur la structure. Les diagrammes DET et DMF sont tracés aux Fig.8.4. 8-51

L EI L EI

 150 / 26 L    120 / 26  150 / 26 L   30 / 26 

     

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8.9.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

Analyse d’un portique

Pour l’analyse d’un portique par la méthode matricielle de rigidité il est nécessaire de transformer la matrice de rigidité du système d’axe local de chaque élément au système d’axe global. On utilise alors la forme générale de la matrice élémentaire (Eq. 8.17 ou 8.19) Exemple 8.5 Trouver la relation {P} = [K] {D} de la structure montrée à la Fig.8.17 On donne EI = constante et EA = constante.

Fig. 8.17 - Exemple 8.5

8-52

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

La matrice réduite tenant compte des conditions aux appuis s'écrit :

Solution :

(3)  F 1   S (1) 11 + S 11  =  S 21  F2  

S 12   D1   (1) (2) (4)   S 22 + S 22 + S 22   D 2 

Avec les matrices élémentaires dans le système d’axe global (transformation faite selon les relations du Tableau 8.2) :

S11(1)

 AE  L    0    0 

S12

 AE  L    0    0 

S 22(1)

 AE  L    0    0 

S 22(4)

 12 EI  L3    0     6 EI  L2

0 12 EI L3 6 EI L2

 0   6 EI  L2   4 EI  L 

 0   6 EI  L2   2 EI  L 

0 12 EI L3 6 EI  2 L



0 12 EI L3 6 EI  2 L

0 AE L 0

   6 EI   2 L   4 EI  L 

S11(3)

12 EI  L3    0    6 EI 2  L

S 21

 AE  L    0    0 

S22(2)

 AE   0,75L    0    0 

0

6 EI  L2   0    4 EI  L 



8-53

6 EI  L2   0    4 EI  L 



0 AE L 0

0 

   6 EI   2 L  2 EI  L  0

12 EI L3 6 EI L2

0 12 EI (0,75L)3 6 EI (0,75L)2

   6 EI   (0,75L)2  4 EI   0,75L  0

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

par conséquent l’assemblage des sous-matrices donne :

S11(1)  S11(3)

S 22(1)  S 22(2)  S22(4)

AE 12 EI  L3  L    0   6 EI   L2

 AE   L       

12 EI AE  3 L L 6 EI L2

1  12 EI  1  0,75   L3   0 

6 EI  L2   6 EI  L2  8 EI  L 



0

6 EI L2

   AE 12 EI  1  6 EI  1   3 1   1  L L  0,753  L2  0,752  6 EI  1 8 EI 4 EI    1  L2  0,752 L 0,75L   

0

6 EI L2

Le système matriciel global représentant les équations d'équilibre s’écrit :  FX  AE 12 EI     3 L    L  FY   0       M   6 EI  1   2 L       F    AE  X   L       0  FY      0     M 2   1

1

AE L

12 EI



6 EI



0

2

L

2

L

L

8 EI

2

L

L

0

0

2

2

12 EI 3

L

6 EI 2

L





 0

L

L

0

3 L

2

2 EI





6 EI 2

L

3

L

6 EI 2

L

12 EI

0

3

L

AE L



91 12 EI 27

3

L

7 6 EI 2

9 L

Connaissant les caractéristiques physiques et géométriques E, I, A, L, etc., cette équation peut être résolue soit par inversion de la matrice de rigidité soit par une méthode de résolution numérique.

8-54

   6 EI  2 L  2 EI   L  6 EI   2  L  7 6 EI  2  9 L  40 EI  3 L  0

12 EI

0

7 AE

6 EI

0

L

6 EI

3

6 EI



AE



 X1      Y1      1      X   2     Y2       2 

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

8.10 MÉTHODE DE RÉSOLUTION DE {F} = [K] {D}

La résolution du système d'équations {F} = [K] {D} constitue une étape importante dans l'analyse matricielle des structures. Ce système d'équations est linéaire, car les éléments de la matrice de rigidité totale de la structure [K] ont des valeurs constantes. Le vecteur déplacement {D} peut être obtenu en multipliant les deux membrures de la relation {F} = [K] {D} par [K]-1. Ainsi,

{D} = [K ] -1 {F} Le vecteur {D} peut être déterminé en explicitant la matrice [K]-1, mais ceci peut être très laborieux, surtout lorsqu'il s'agit de structures complexes. Le plus souvent, cependant, l'ingénieur a recours aux méthodes numériques de résolution afin d'économiser et du temps de calcul et de la place mémoire d'ordinateur. Les méthodes numériques sont généralement classées en deux catégories : les méthodes directes et les méthodes itératives. Les méthodes directes conduisent à une solution du système en un nombre fini d'étapes et sans erreur d'arrondi. Parmi ces méthodes, citons l'élimination de Gauss et Cholevsky. Les méthodes itératives conduisent à la solution par une succession d'améliorations d'une solution approchée; le nombre d'itérations étant théoriquement infini, un test de convergence s'avère nécessaire. Parmi ces méthodes itératives, citons la méthode de Jacobi et celle de Gauss-Seidel.

8-55

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 8

8.11 PROGRAMMATION

L'organigramme suivant montre le processus du déroulement d'un programme de calcul de structures par la méthode de rigidité.

Entrée des données

Assemblage du système global 1. Détermination des matrices élémentaires 2. Assemblage de la matrice de rigidité totale de la structure 3. Formation du vecteur sollicitations extérieures

Introduction des conditions d’appuis

Résolution du système d’équations

Calcul des efforts internes

Sortie des résultats

8-56

CHAPITRE 9

MÉTHODE DE DISTRIBUTION DES MOMENTS

Dans ce chapitre, on apprendra à analyser les structures hyperstatiques à noeuds rigides et semi-rigides, telles les poutres continues et cadres, par la méthode itérative de distribution des moments appelée également méthode de Cross.

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9.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

INTRODUCTION

La méthode de distribution des moments fut introduite en 1932 par Hardy Cross*. Elle fut développée pour l'ingénieur praticien de l'époque, qui ne disposait pas des moyens informatiques d'aujourd'hui, pour l'analyse des structures hyperstatiques continues à joints rigides. On appelle joint rigide, un joint qui subit une rotation en bloc, c'est-à-dire dont les poutres s'y joignant subissent la même rotation (Fig.9.1).

Fig. 9.1 - Joint rigide

*

Hardy, Cross, "Analysis of continuous frames by distributing fixed-end moments", Trans. ASCE, Paper 1793, Vol. 96, 1932. 9-1

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ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.2 - Processus de la méthode de Cross 9-2

Chapitre 9

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

La méthode de distribution est basée sur la relation moment - rotation et néglige donc les effets dus aux efforts normaux et aux efforts tranchants. La méthode peut être utilisée aussi bien pour des structures planes que spatiales à poutres fléchies et s'applique aussi bien aux cadres et portiques qu'aux poutres continues. Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons au cas des structures planes, en particulier les poutres continues, les portiques et les cadres hyperstatiques. 9.2

EXPOSÉ DE LA MÉTHODE

La méthode de la distribution des moments est, comme son nom l'indique, basée sur la distribution des moments d'encastrements aux noeuds. Partant d'une structure hyperstatique telle que présentée à la Fig.9.2a, par exemple, la procédure consiste à : (a)

bloquer les noeuds (ou joints) Il s'agit de considérer les noeuds de la structure comme des encastrements parfaits (ex. : Fig.9.2b) et à calculer les moments d'encastrement (ME) aux extrémités de chaque barre composant la structure. On reviendra sur l'évaluation des moments d'encastrement à la suite de ce chapitre.

(b)

débloquer les noeuds (ou joints) En bloquant les extrémités des barres, on s'aperçoit que les noeuds de la structure ne sont pas en équilibre (ΣMB = 30 - 7,5 = 22,5 ≠ 0) dans l'exemple de la Fig.9.2). Il va donc falloir débloquer le noeud qui n'est pas en équilibre (B dans l'exemple de la Fig.9.2) en lui appliquant un moment de déblocage égal et opposé (MB = 22,5 dans le cas de l'exemple de la Fig.9.2).

(c)

Ce moment de déblocage est à distribuer sur les barres se joignant au noeud proportionnellement à la raideur des barres se joignant en ce noeud (voir illustration sur Fig.9.2c).

(d)

Les moments de distribution ainsi obtenus sont transmis aux autres extrémités des barres (voir illustration sur Fig.9.2c). On constate que la méthode est simple, mais nécessite au préalable l'évaluation de plusieurs paramètres dont : -

le moment d'encastrement la raideur d'une poutre le coefficient de distribution le coefficient de transmission

La suite de cette section sera dévouée justement à l'évaluation de ces paramètres.

9-3

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ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.3 - Types de poutres

9-4

Chapitre 9

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9.2.1

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Moment d'encastrement

Nous avons vu que la méthode de distribution implique le calcul des moments d'encastrement. Deux types de poutres peuvent se rencontrer en pratique : -

la poutre encastrée - encastrée (c'est-à-dire encastrée aux deux extrémités, Fig.9.3a); les poutres BC et CE sont des poutres de type encastrée - encastrée.

-

la poutre encastrée - articulée (c'est-à-dire encastrée à une extrémité et articulée à l'autre, Fig.9.3b). Les poutres AB et BD sont des poutres de type encastrée articulée.

Ces poutres peuvent être soumises à plusieurs types de charges et couples concentrés, répartis uniformes, triangulaires, paraboliques ou à des déplacements d'appui, etc. Les moments d'encastrement dus à ces charges appliquées peuvent être calculés de différentes manières (ex. : méthode de la superposition). Pour les cas les plus courants, ils sont résumés à l'annexe A. À noter que lorsqu'une extrémité A, d'une poutre AB, subit un tassement d'appui Δ, les moments d'encastrement M EAB et M EBA sont donnés par Encastrée - encastrée

Encastrée - articulée

L

A B

A

Δ

Δ

B

AB BA ME =ME =

9.2.2

L

6EI L

2

Δ

AB M E =-

3EI L

2

Δ ; M EBA = 0

Raideur d'une barre

La distribution des moments sur les barres se rencontrant à un noeud se fait proportionnellement à leur raideur ou coefficient de rigidité. La raideur d'une barre AB, notée rAB, est par définition la valeur du moment MAB appliqué en A, qui provoque une rotation unitaire en A (θA = 1). 9-5

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Donc

θB

et

M AB =

d ' ou

' rAB

=

=

−

Chapitre 9

θA 2

⎛ 3EI ⎞ ' ⎜ ⎟ θ A = rAB . θ A ⎝ L ⎠ M AB

θA

=

3EI L

Fig. 9.4 - Définition de la raideur d’une poutre

9-6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Deux cas peuvent se présenter: (a) Poutre encastrée en B (Fig. 9.4a) On peut démontrer aisément que, dans ces cas, les moments MAB et MBA sont reliés aux rotations θA et θB par les relations suivantes: M

AB

⎛ 4EI ⎞ =⎜ ⎟ .θ A ⎝ L ⎠ AB

(9.1)

soit, si θA = 1; rAB = MAB et ⎛ 4EI ⎞ r AB = ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ AB

(9.2a)

(b) Poutre articulée en B (Fig. 9.4b) Dans ce cas r AB = ( 4EI devient L ) AB ⎛ 3EI ⎞ r ' AB = ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ AB

(9.2b)

L'équation 9.2b peut être trouvée en considérant la Fig.9.4b et en rappelant que la raideur relie le moment à la rotation. On a en effet :

Donc

et

d’où

θB = −

θA 2

⎛ 3EI ⎞ M AB = ⎜ ⎟ θ A = r ' AB θ A ⎝ L ⎠ r ' AB =

M AB

θA

9-7

=

3EI L

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.5 - Définition d’un coefficient de transmission

9-8

Chapitre 9

CTN-408

9.2.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Coefficient de transmission Cij

Le coefficient de transmission d'un noeud A à un noeud B, noté CAB, d'une poutre soumise à un moment MAB, est un coefficient qui relie MAB à MBA. (a) Poutre encastrée en B (Fig. 9.5a) M BA = C AB M AB

C AB =

M BA M AB

(9.3)

⎛ 4EI ⎞ ⎛ 2EI ⎞ Si M AB = ⎜ ⎟ θ A , on a M BA = ⎜ ⎟θ A ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ 1 donc C AB = 2

(9.4a)

(b) Poutre articulée en B (Fig.9.5b) Dans le cas où l'extrémité B d'une barre AB est articulée, on connaît la valeur finale du moment en B (généralement égal à 0 sauf dans le cas d'un porte-à-faux chargé ou d'un couple appliqué en B). Il serait donc intéressant de maintenir cette valeur du moment initialement connu durant le processus d'itération et de s'affranchir ainsi de calculs inutiles. Ceci peut se faire en annulant le coefficient de transmission. Ainsi CAB=0,5 devient : ' CAB =0

(9.4b)

En résumé, selon le type de poutre, on a :

EI, L 1

EI, L 2

1

3 r12' = 3EI L = 4 r 12

r 12 = 4EI L C 12 = 0,5 ; C21 = 0

' C12' = 0 ; C21 0,5

9-9

2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.6 - Distribution d’un moment

9-10

Chapitre 9

CTN-408

9.2.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Coefficient de distribution dij

Si un moment M est appliqué au noeud B de la structure montrée à la Fig.9.6. Chaque membrure ayant comme extrémité le noeud B va reprendre un moment proportionnel à sa raideur. Soit dans le cas de la Fig.9.6, l'équilibre du noeud B exige que : MB =MBA + MBC + MBD = rBA θB + rBC θB + rBD θB = θB (rBA + rBC + rBD) = ΣrB . θB il vient donc

θ B= et par conséquent

MB ΣrB

M BA = rBA θ B M = rBA . B ΣrB

(9.5)

soit en posant :

r BA ΣrB

(9.6)

M BA = d BA . M B

(9.7)

d BA = il s'en suit :

D'une manière similaire : M BC = d BC . M B

et

M BD = d BD . M B

Nota : Pour l'équilibre du noeud B, on a ΣdBA = 1

9-11

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.7 - Déplacements des noeuds d’une structure

9-12

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Cas particulier d'un appui encastré en bout et d'un appui articulé en bout Un encastrement en bout peut être remplacé par une poutre de raideur infinie. Dans le cas d'un appui articulé en bout, le coefficient de distribution est égal à 1 comme illustrée ci-dessous. Appui encastré en bout (1)

Appui articulé en bout (3)

I=∞

1’

1

d 12 =

r 12 = r 12 = 0 ∞ + r 12 r 11' + r 12

2

1

2

d 32 =

3

r 32 = 1 r 32

Généralement, les noeuds d'une structure peuvent subir : -

soit des rotations seulement (Fig.9.7a) soit, cas rare, des translations seulement (Fig.9.7b) soit, cas fréquent, un déplacement combinant translations et rotations (Fig.9.7c)

La méthode de distribution des moments s'applique à tous les cas cités plus haut. Le premier cas sera traité à la section 9.3 et les deux derniers cas à la section 9.4 de ce chapitre.

9-13

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.8 - Exemple 9.1

9-14

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 9.1 Déterminer les moments d'encastrements, les raideurs, les coefficients de répartition et ceux de transmission de la poutre montrée à la Fig.9.8. EI est constant le long de la poutre Solution :

(a) Moments d'encastrement (voir Annexe A) M AB M BC

ω L2

5 × 82 = − M BA = = = 26, 67 kNm 12 12 3PL 120 × 6 = = = 45, 0kNm 16 16

(b) Raideurs des poutres

4 ⎛ 4 EI ⎞ rAB = ⎜ ⎟ = ( EI ) = rAB ⎝ L ⎠ AB 8 1 ⎛ 3EI ⎞ ' ' rBC = rCB =⎜ ⎟ = ( EI ) 2 ⎝ L ⎠ BC (c) Coefficients de distribution d BA = d BA = d BC

=

0 rBA ' rBA + rBC rBC ' rBA + rBC

; = =

d CB (4/8) (4/8) + (1/2)

(1/2) = 0,5 (4/8) + (1/2)

(d) Coefficients de transmission

C AB C BA C BC C CB

= 1 = 0,5

= 0 ( θ A = 0) = 0,5 =0 = 0,5

9-15

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

9-16

Chapitre 9

CTN-408

9.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

APPLICATION AUX STRUCTURES HYPERSTATIQUES SANS TRANSLATION HORIZONTALE DES NOEUDS

Une structure hyperstatique dont les joints ne subissent pas de translation horizontale est une structure dont le déversement latéral (sway) est empêché. La poutre continue et le cadre montrés à la Fig.9.7a en sont des exemples. 9.3.1

Procédure générale

Les différentes étapes de l'analyse de telles structures consistent à : (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

Calculer les raideurs rij des barres de la structure Calculer les coefficients de répartition dij Déterminer les coefficients de transmission Cij Bloquer tous les noeuds qui deviennent alors des encastrements parfaits et calculer les moments d'encastrement (ME) dans les poutres en se servant de l'annexe A. Débloquer les noeuds qui ne sont pas en équilibre, un à un, en appliquant un moment de déblocage au noeud considéré. Ce moment de déblocage est distribué à chaque membre issu du noeud proportionnellement à sa raideur. Transmettre les moments ainsi distribués aux autres extrémités des barres en tenant compte des coefficients de transmission. L'étape précédente (f) va alors déséquilibrer les noeuds qui étaient en équilibre. Il va falloir donc recommencer les étapes (e) et (f) jusqu'à ce que les moments à distribuer deviennent négligeables. Calculer les moments finaux d'extrémités en additionnant tous les moments y compris les ME, les moments distribués et ceux transmis. Déterminer les efforts internes tenant compte des moments finaux et des charges en travées.

Exemple 9.2 Trouver les moments aux noeuds A, B, et C de la poutre continue hyperstatique de la Fig.9.8 (voir l'exemple 9.1). On donne EI = constante le long de la poutre. Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants.

9-17

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.9 - Exemple 9.2

9-18

Chapitre 9

CTN-408

Solution :

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Les coefficients de distribution et de transmission ainsi que les moments d'encastrement ont déjà été calculés (voir ex. 1). (a)

Moments aux noeuds Le processus de distribution des moments peut être fait soit sur la Figure représentant la structure (Fig.9.9a) ou sous forme tabulaire comme suit : A Membrure

B

AB

BA

Coef. de distribution

0,0

0,5

C BC

CB 0,5

1,0

26,67

- 26,67

45,00

0,0

Distribution (D)

0,0

- 9,17

- 9,17

0,0

Transmission (T)

- 4,58

0,00

0,00

0,0

Moments finaux (kNm)

22,09

- 35,84

35,84

0,0

ME

(b)

DET et DMF Les efforts tranchants et les moments peuvent être facilement déterminés en considérant les DCL des poutres composant la structure (Fig.9.9b). Poutre AB : 5×8 ⎛ 22,1 - 35,8 ⎞ RA = + ⎜ ⎟ = 18,3kN 2 8 ⎝ ⎠ 5×8 ⎛ 22,1 - 35,8 ⎞ R (1) + ⎜ B = ⎟ = 21, 7kN 2 8 ⎝ ⎠ Poutre BC : 40 35,8 + = 25,95kN ↑ RB(2) = 2 6 40 35,8 RC = + = 14, 05kN ↑ 2 6 Les diagrammes DET et DMF peuvent alors être tracés aisément. Ceux-ci sont présentés à la Fig.9.9c.

9-19

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.10 - Exemple 9.3

9-20

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Exemple 9.3 Considérer la structure montrée à la Fig.9.10a. Trouver les moments aux noeuds A, B, C et D et tracer les diagrammes DET et DMF. On donne EI = constant. Solution :

(a)

(b)

Raideurs ' rAB =

3EI LAB

=

3 ( EI ) 6

rBC =

4 EI LBC

=

4 ( EI ) 6

' = rBD

3EI LBD

=

3 ( EI ) 4

∑

' ' rAB + rBC + rBD

rB

=

=

23 ( EI ) 12

Coefficients de distribution

Vérification ΣdB = 1 √ (c)

Coefficients de transmission ' ' = CBA C AB C BC = 0,5

(d)

= 0,0 ; C CB = 0,0 ; C DB = 0,5

Moments d'encastrement

3PL 3 × 10 × 6 = = − 11, 25kNm ; M EAB = 0 16 16 ωl 2 CB = −ME = = 30kNm 12 = 0 (pas de charge sur BD)

M EBA = M EBC M EBD

9-21

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.10 - Exemple 9.3 (suite)

9-22

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(e)

Moments aux noeuds par la méthode de Cross La procédure de distribution peut être faite sous la forme tabulaire ci-dessous ou sur la structure-même (Fig.9.10b).

Noeuds

A

Membrures

AB

BA

BD

dij

1,0

6/23

ME

0

B

0

D

BC

CB

DB

9/23

8/23

0

1,0

0

30

- 30

0

- 4,89

0

0

Mfinal (kNm) 0

- 16,14

(f)

C

- 11,25

D T

Chapitre 9

- 7,34

- 6,52

0

0

0

0

- 3.26

0

- 7,34

23,48

- 33.26

0

Calcul des réactions d'appui (Fig.9.10c) Poutre AB

RBA

=

RBA

=

Poutre BC

RBC

=

RCB

=

16,14 6 16,14 5− 6 5+

=

7, 69kN ↑

=

2,31kN ↑

10 × 6 33, 26 23, 48 − + 2 6 6 10 × 6 33, 26 23, 48 − + 2 6 6

=

28, 37 kN ↑

= 31, 63kN ↑

Poutre BD

RDB = − RBD (g)

=

7,34 4

= 1,84kN →

DET et DMF

Ayant calculé les réactions d'appui, le système devient donc entièrement défini. Les diagrammes DET et DMF peuvent dès lors être tracés aisément comme montrés à la Fig.9.10d.

9-23

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.11 - Exemple 9.4

9-24

Chapitre 9

CTN-408

9.3.2

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Structures à console ou porte-à-faux

Dans le cas où la structure présente un porte-à-faux chargé, on remarquera que le porte-àfaux en question est entièrement déterminé puisque les efforts tranchants et les moments dans cette partie sont indépendants des autres travées. Le porte-à-faux chargé donne naissance à un moment d'encastrement mais ne contribue pas à la rigidité du noeud (r = 0) et par conséquent il n'y a aucune distribution à l'extrémité libre du porte-à-faux (d = 0). Exemple 9.4 Déterminer les DET et DMF de la poutre hyperstatique de la Fig.9.11a; EI = constante le long de la poutre. Solution :

(a)

Raideurs ' ' rAB = rBC =

(b)

3EI 1 = (EI) L 2

Coefficients de distribution r' d AB = d BC = ' AB ' = 0,5 rAB + rBC

d AB = dCB = 1,0 (c)

; d AA ' = dCC ' = 0

Moments d'encastrement ω L2 = = = 54 kNm ; M AB = M CB = 0 M BC M BA 8

M AA ' = - 20 kNm (d)

M CC ' = + 60 kNm

Le diagramme de calcul peut dès lors être dressé comme suit :

Noeud

A

B

Membrure dij ME D T D T

AA' 0 - 20

AB 1.0 0 + 20 0 0 0

BA 0.5 - 54 0 + 10 + 10 0

Moments finaux (kNm)

- 20

20

- 34

9-25

C BC 0.5 54 0 - 30 + 10 0

CB 1.0 0 - 60 0 0 0

CC' 0 60

34

- 60

60

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

(e)

DET et DMF

Les DCL des poutres AB et BC sont présentés à la Fig.9.11b. Les réactions d'appuis sont calculées comme suit : •

DCL de AB

⎛ 12 × 6 ⎞ RA = ⎜ ⎟+ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 12 × 6 ⎞ RB(1) = ⎜ ⎟+ ⎝ 2 ⎠ •

⎛ 20 - 34 ⎞ ⎜ ⎟ + 10 = 43, 67 kN ↑ ⎝ 6 ⎠ ⎛ 20 - 34 ⎞ ⎜ ⎟ = 38,33kN ↑ ⎝ 6 ⎠

DCL de BC

⎛ 12 × 6 ⎞ ⎛ 34 - 60 ⎞ = 31, 67 kN ↑ RB(2) = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎛ 12 × 6 ⎞ ⎛ 34 - 60 ⎞ RC = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ + 10 = 50,33kN ↑ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠ Avec les réactions déterminées, on peut tracer les DET et DMF puisque les poutres sont entièrement déterminées. Ceux-ci sont présentés à la Fig.9.11c.

9-26

Chapitre 9

CTN-408

9.3.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Structures symétriques

9.3.3.1 Chargement symétrique Cas d'une poutre continue avec un nombre pair de travées Ce cas est illustré à la Fig.9.12a qui représente une poutre de quatre travées. L'axe de symétrie passe par l'appui central C. On remarquera que l'appui central ne subit aucune rotation. Les extrémités CB et CD peuvent donc être simulées par un encastrement. Le calcul peut dès lors se faire sur la moitié de la poutre continue avec encastrement en C comme montré à la Fig.9.12a sans transmission aux extrémités de l'autre moitié. Cas d'une poutre continue avec un nombre impair de travées Ce cas est illustré à la Fig.9.12b qui représente une poutre ayant cinq travées. On remarquera sur la déformée que là encore la rotation au centre de symétrie (point C' sur figure) est nulle. On peut donc simuler le point C' par un encastrement. Le calcul peut alors se faire sur la poutre simplifiée montrée à la Fig.9.12b. Il est important de signaler ici que LCC' = (LCD/2). De plus, on peut démontrer aisément que la raideur de CC' (i.e. : rCC') est désormais égale à

2 EI ( bel et bien LCD ! ) LCD Mise à part cette particularité, l'analyse se fait exactement de la même manière que celle exposée précédemment. rCC ' =

Fig. 9.12 - Structure symétrique – Charge symétrique

9-27

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

9-28

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

9.3.3.2 Chargement antisymétrique Cas d'une poutre continue avec un nombre pair de travées Le cas est illustré à la Fig.9.13a. L'appui central peut être considéré comme une articulation (voir déformée). La structure simplifiée à analyser est également montrée à la Fig.9.13a. Cas d'une poutre continue avec un nombre impair de travées Ce cas est illustré à la Fig.9.13b. Le centre de symétrie peut être considéré comme une articulation (voir déformée) et la structure simplifiée à analyser est présentée à la Fig.9.13b.

Fig. 9.13 - Structure symétrique – Charge antisymétrique

9-29

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.14 - Exemple 9.5

9-30

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Exemple 9.5 Trouver les moments aux noeuds de la poutre continue symétrique montrée à la Fig.9.14a. EI peut être considéré constant le long de la poutre. Solution :

Nous sommes en présence d'une structure symétrique dont le nombre de travées est égal à deux, donc pair. Le chargement est également symétrique et le centre de symétrie est l'appui central B. Nous pouvons donc effectuer l'analyse sur la moitié de la structure (Fig.9.14b) en considérant l'appui B comme encastré. Les raideurs, coefficients de distribution et moments d'encastrement sont: ' rAB

d AB

1 ⎛ 3EI ⎞ =⎜ ⎟ = ( EI ) ⎝ L ⎠ AB 2 = 1, 0 ; d BC = 0 (encastrement ) ; C AB = 0,5 ; CBA = 0

M BA =

ω L2 = − 54 kNm ; M AB = 0 8

Le diagramme de calcul peut donc être dressé comme suit : Noeud membrure

A

B

AA'

AB

BA

dij

0

1.0

0.0

ME

- 20

0

- 54

D

0

20

0

T

0

0

+ 10.0

D

0

0

0

- 20

20

- 44

Moments finaux (kNm)

9-31

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.15 - Exemple 9.6

9-32

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Exemple 9.6 Considérer la structure symétrique à trois travées de la Fig.9.15a. Trouver les moments aux noeuds. Utiliser la méthode rapide quant aux appuis articulés A et D. Les rigidités ( EIL ) sont données sur la Fig.9.15a. Solution :

La poutre est symétrique; le nombre de travées étant impair, le point central (B') peut être considéré comme un encastrement. Par ailleurs, on a : (a)

Raideurs

⎛ EI ⎞ ' ' rAB = rBA =3⎜ ⎟ =3 ⎝ L ⎠ AB ⎛ EI ⎞ ' rBB =2⎜ ⎟ =3 ⎝ L ⎠ BC (b)

Coefficients de distribution d AB = 1 (A articulé) ' rBA ' rBA + rBB '

d BA = (c)

= 0,5

d BB ' = = 0,5 Coefficients de transmission ' CBA = 0 ; CBB ' = 0

(d)

Moments d'encastrements (voir Annexe A) M AB = 0 (articulation en A)

M BA = −

3 PL = − 135 kNm 16

wL2 = + 360 kNm 12 Moments aux noeuds M BB ' = M BC =

(e)

Noeud

A

Membrures dij

AB 1

B BA BB' 0,5 0,5

ME D T

0 0 0

- 135 360 - 112,5 - 112,5 0,0 0,0

Moments finaux (kNm)

0

- 247,5 247,5

9-33

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Fig. 9.16 - Analyse d’une structure avec translation horizontale (sway)

9-34

CTN-408

9.4

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

APPLICATION AUX STRUCTURES HYPERSTATIQUES AVEC TRANSLATION HORIZONTALE DES NOEUDS (SWAY)

Très souvent les noeuds des structures à cadres subissent non seulement des rotations mais également des translations (Fig.9.16a). Cette section sera dévouée à l'analyse de telles structures par la méthode de Cross. 9.4.1

Principe de la méthode

Considérons la structure montrée à la Fig.9.16a. L'analyse d'une telle structure peut être effectué en superposant les effets des deux étapes a et b suivantes : (a)

Analyse de la structure sans déplacement horizontal des noeuds :

Le déplacement horizontal (sway) est empêché par un support fictif approprié qui est pourvu pour la circonstance (Fig.9.16b). L'analyse de la structure avec support revient à celle exposée à la section 9.3 de ce chapitre. Elle permet donc de déterminer les moments d'extrémités notés Mθ dûs aux différents chargements de la structure en supposant que les joints sont libres en rotation mais pas en translation. Elle permet ensuite d'évaluer la réaction fictive R0 due au support fictif. (b)

Analyse de la structure avec un déplacement horizontal arbitraire (Δa) :

On donne à la structure une translation arbitraire Δa et on analyse la structure par la méthode de Cross en supposant que les noeuds ne subissent aucune rotation (Fig.9.16c). Les moments d'encastrement dans une colonne qui a subi un déplacement Δ sont les mêmes que ceux dans les poutres ayant subi un tassement d'appui Δ (voir section 9.2). Ainsi les moments d'encastrements des colonnes de type encastrée - encastrée et encastrée - articulée sont donnés par : Δ

Δ ME

ME

L

L

M E=

6EI Δ L

2

ME

9-35

M E=

3EI Δ L

2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

La translation réelle, Δr, subie par la structure est égale en fait à Δr = x .Δa

(9.8)

si bien que les moments réels dus à Δr notés M(Δ ) peuvent être calculés en fonction des moments dus à Δa par : r

M ( Δr ) = x . M ( Δa )

(9.9)

Le facteur x peut être déterminé en considérant l'équilibre statique de la structure dans son état déformé (voir section 9.4.2: procédure pratique). (c)

Superposition des moments Mθ et M(Δ ). r

Les moments finaux sont obtenus en superposant Mθ et M(Δr) comme suit :

M final = M θ + M ( Δr )

9-36

(9.10)

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

9.4.2 Procédure pratique L'application pratique du principe de la méthode exposé en 9.4.1 est illustrée dans le tableau suivant : Étape

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Illustration

1

2 12

Me

Explications

Structure à analyser

(a) Interdire la translation par l'ajout d'un support fictif.

Déterminer la réaction (a) Déterminer les fictive R en moments considérant les d'encastrement dus à moments trouvés à une translation imaginaire Δa l'étape (1) et les (b) Faire l'analyse de la équations d'équilibre. ⎛ 6EI ⎞ structure sans M 12 = M 21 = ⎜ 2 ⎟ ( Δ a ) translation. ⎝ L ⎠ 12 (section 9.3 cours) ⎛ 6EI ⎞ M 34 = M 43 = ⎜ 2 ⎟ ( Δ a ) (c) Moments finaux ⎝ L ⎠ 34 = Mθ (b) Trouver la relation entre moments en écrivant

⎛ ML ⎞ = ⎛ ML ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ EI ⎠ ⎝ EI ⎠ d'où M 12 = k M 34 2

2

Δ =⎜ a

1- 2

3-4

(c) attribuer une valeur arbitraire à M12 (ex. : M12 = 100), déduire M34

9-37

(6)

M12

3

21 23 M21 0

32 34 0 M34

4

R1 = ( H 1 + H 4 )

Au niveau de chaque noeud, trouver le moment final en additionnant le moment Mθ évaluée à l'étape (1) et M(Δ ) évaluée à l'étape (5). r

(c) Pour l'équilibre on doit avoir

R 0 + xR1 = 0 (9.17)

et M ( Δ r ) = x . M ( Δ a )

)

43

(b) Trouver les réactions horizontales H1 et H4 puis :

x = - R0 R1

r

M43

(a) Faire analyser par Cross avec M12 et M34 comme ME

d'où

M final = M θ + M ( Δ

(9.18)

M final = M θ + M ( Δr

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Fig. 9.17 - Exemple 9.7

9-38

Chapitre 9

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Exemple 9.7 Considérer le portique hyperstatique montré à la Fig.9.17a. Déterminer les moments aux extrémités des membrures dus aux charges. On donne :

( EIL ) AB = 2 ; ( EIL ) BC = 4 ; ( EIL ) CD = 8 Solution :

Pour évaluer les moments aux extrémités les étapes suivantes sont requises: (a) •

Analyse de la structure dont la translation est empêché (Fig.9.17b) et calcul de R0 Coefficients de distribution

d AB =

d DC

=

0

d BA =

rBA rBA + rBC

=

2 2+4

=

=

4 6

=

=

4 4+8

=

8 12

d BC = dCB = dCD =

rBC 6 rCB rCB + rCD rCD 12

(encastrements )

2 3 1 = 3 =

•

Moments d'encastrement ω L 2 150 . 20 2 = = 5 000 kNm M BC = - M CB = 12 12

•

Calcul des moments (Mθ) dus aux charges

Noeuds A B Membrures AB BA BC dij 0 1/3 2/3 0 0 5000 ME D 0 - 1667 - 3333 T - 833 0 833 D 0 - 278 - 555 T - 139 0 278 D -T -Moments finaux * - 972 - 2058 + 2058 Mθ, kNm * Approximatifs (dépendent du nbre d’itérations) 9-39

1 3

2 3

C CB CD 1/3 2/3 - 5000 0 1667 + 3333 - 1667 0 556 1111 - 278 0 --- 4706 + 4706

D DC 0 0 0 1667 0 556 + 2352

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

•

Calcul de R0 (Fig.9.17c et d)

H AB =

2 058 + 972 = 202 kN 15 2 352 + 4 706 = - 235 kN 30 0 (sur DCL en entier, Fig. 7.17d)

H DC = ΣF x =

202 - 235 + 100 - R 0 d ′o`u (b) •

Chapitre 9

R0

= =

0 67 kN G

Analyse de la structure avec déplacement latéral (sway) fictif ΔA Moments d'encastrement AB

=

CD

= M DC E

ME ME

BA

ME

. Δ a = 4/5 Δ a ⎫⎪ ⎬ = 6 ⎛⎜ EI2 ⎞⎟ . Δ a = 8/5 Δ a ⎪ ⎝ L ⎠ CD ⎭ = 6

⎛ EI ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ L ⎠ AB

d'où la relation M EAB = f ( M ECD ) : AB CD M E = 0,5 M E

Attribuons une valeur arbitraire à M EAB , soit

M EAB = 1000 kNm = M EBA donc M ECD = M EDC = 2000 kNm

9-40

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

• Noeuds

Calcul du moment dû à Δa c'est-à-dire M(Δa)

A

Membrures AB dij ME D T D T D T D M(Δa)

•

Chapitre 9

0 1 000 0 - 167 0 + 55 0 -9 0 879

B

C

BA BC 1/3 2/3 1 000 - 333 0 + 111 0 - 18 0 +6 766

CB CD 1/3 2/3 0 - 667 - 333 + 111 111 - 37 - 18 +6 - 827

0 - 667 - 333 + 222 55 - 37 - 18 + 12 - 766

D

2 000 - 1333 0 + 222 0 - 74 0 + 12 827

Calcul de R1

D'une manière similaire au calcul de R0, on trouve (Fig.9.17e) 879 +766 = 109,67 kN ⎫ ⎪⎪ 15 ⎬ = 1 407 + 827 = 74,50 kN ⎪ ⎪⎭ 30

H AB = H DC

Soit, en considérant l'équilibre du DCL en entier, selon x (Fig.9.17f) ΣFx = 0 R1 − 109, 67 − 74,50 = 0

d ' ou

R1 = 184,17 kNm →

À noter que l'on ne considère pas les charges appliquées pour le calcul de R1 •

Calcul de x = -

R0 R1

- 67 x = - R0 = = + 0,36 184,17 R1

9-41

DC 0 2 000 0 - 667 0 + 111 0 - 37 0 1 407

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ANALYSE DES STRUCTURES

•

Chapitre 9

Calcul des moments dus à Δréel (i.e. : M(Δ )) r

M ( Δr ) = x M ( Δa ) soit sous forme tabulaire : M(Δa) M(Δr)=0,36 M(Δa)

AB + 879 + 316

(c)

BA BC 766 - 766 + 276 - 276

CB CD - 827 + 827 - 298 + 298

DC 1 407 + 507

Calcul des moments finaux par superposition

M final = M θ + M ( Δr ) soit sous forme tabulaire

Mθ M(Δr) Mfinal (kNm)

AB - 972 + 316

BA BC - 2 058 + 2 058 + 276 - 276

CB CD - 4 706 + 4 706 - 298 + 298

DC + 2 352 + 507

- 656

- 1 782 + 1 782

- 5 004 + 5 004

2 859

9-42

R0 = - 67 R1 = + 184,17

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ANALYSE DES STRUCTURES

Fig.9.18 - Cadres multi-étages (multiple sway)

9-43

Chapitre 9

CTN-408

9.4.3

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 9

Introduction aux cadres multi-étagés (multiple sway)

Les modes de déformation des portiques de 1, 2 et 3 étages en translation pure (pas de rotation des noeuds) sont illustrés à la Fig.9.18. On remarque que les cadres ont un nombre de degrés de liberté translationnels égal au nombre de niveaux (ou étages). Il y a par conséquent autant de facteurs de corrélation (xi) que de niveaux. Ces facteurs de corrections peuvent être déterminés par les équations d'équilibre suivantes qui sont la généralisation de l'éq.9.17 : 1 étage :

R 10 + x 1 R 11

⎧ 2 étages : ⎨ ⎩

= 0

R 10 + x 1 R 11 + x 2 R 12 = 0 R 20 + x 1 R 21 + x 2 R 22 = 0

⎧ R 10 + x 1 R 11 + x 2 R 12 + x 3 R 13 = 0 ⎪ 3 étages : ⎨ R 20 + x 1 R 21 + x 2 R 22 + x 3 R 23 = 0 ⎪ ⎩ R 30 + x 1 R 31 + x 2 R 32 + x 3 R 33 = 0 etc. Rio = Réaction au niveau i dû à Mθ (sans translation)

Rij = Réaction au niveau i dû à un déplacement fictif Δaj du niveau j. Ayant trouvé les facteurs de correction xj, on peut calculer M(Δ ) par : r

total

(1)

(2)

(n)

M ( Δ r ) i = x1 M ( Δ r ) i + x 2 M ( Δ r ) i + . . . x n M ( Δ r ) i total où M ( Δ r ) i = moment au noeud i dû au déplacement latéral de la structure entière. k M ( Δ r ) i = moment au noeud i dû au déplacement Δr du mode de déformation k.

On voit que le nombre d'équations linéaires simultanées à résoudre augmente avec le nombre d'étages, si bien que le problème devient inextricable à la main lorsque la structure présente plus de 3 à 4 étages. D'autres détails sur la méthode peuvent être lus dans la littérature, assez abondante sur le sujet.

9-44

CHAPITRE 10

MÉTHODES APPROXIMATIVES

Dans ce chapitre, on apprendra à analyser les structures les cadres simples hyperstatiques sollicités par des charges latérales au moyen de méthodes approximatives. Ces méthodes sont particulièrement utiles pour les calculs des dimensionnements préliminaires.

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 10

10.1 INTRODUCTION L’analyse de structures hyperstatiques complexes, comme les cadres rigides, nécessite la plupart du temps l’utilisation des méthodes matricielles pour lesquelles on doit connaître les dimensions approximatives des membrures. Il est cependant possible, lorsqu’on connaît bien le comportement de la structure de poser des hypothèses simplificatrices qui rendent la structure isostatique. On peut alors déterminer les efforts dans les membrures et procéder à un dimensionnement préliminaire. Les deux méthodes présentées ici s’appliquent à des cadres soumis à des charges latérales. 10.2 MÉTHODE DU PORTIQUE (« PORTAL ») La méthode du portique sert à calculer les efforts dans les cadres simples hyperstatiques chargés latéralement. Cette méthode suppose que le cadre analysé se déforme principalement en cisaillement. Le comportement de la structure sous des charges latérales est simplifié si on tient compte des hypothèses simplificatrices suivantes: 1)

Il y a un point d’inflexion (changement de courbure) à mi-hauteur de chaque colonne.

2)

Il y a un point d’inflexion à mi-portée de chaque poutre.

3)

Le cisaillement horizontal est repris de la manière suivante par les colonnes: une partie pour les colonnes extérieures et deux parties pour les colonnes intérieures. Cette hypothèse est reliée à la rigidité relative apportée par une ou deux poutres aux joints.

L’exemple 10.1 illustre l’utilisation de la méthode du Portique.

10-1

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES 40 kN

Chapitre 10

H

I

J

D

E

F

A

B

C

4m

80 kN

4m

10 m

8m

Fig. 10.1 - Cadre analysé par la méthode du portique

40 kN

H

J

I

H

H

2 H

(a) Équilibre de l’étage supérieur

80 kN

10 kN

20 kN

D

E

F

2H’

H’

H’

10 kN

(b) Équilibre de l’étage inférieur Fig. 10.2 - Distribution des efforts de cisaillement horizontaux

10-2

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 10.1 La structure de la Fig. 10.1 représente un cadre simple de deux étages soumis à un chargement latéral. La troisième hypothèse de la méthode du Portique nous permet de distribuer la charge latérale dans les colonnes de l’étage supérieur, une partie pour les colonnes extérieures (H) et deux parties pour la colonne intérieure (2H), (Fig. 10.2a). En faisant l’équilibre horizontal de l’étage, on obtient: Σ FH = 0

4H = 40 kN H = 10 kN

On répète la même opération pour l’étage inférieur (Fig. 10.2b) en considèrant les efforts de cisaillements provenant de l’étage supérieur. Σ FH = 0

4H’ = 120 kN H’ = 30 kN

10-3

Chapitre 10

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 10

4 kN 40 kN

H’’

H

30 kN

V’’

10 kN

H’’

I

V’’

20 kN

V’

V’

(a) Coin supérieur gauche

(b) Section centrale supérieure

Fig. 10.3 - Résolution des efforts aux points d’inflexion

40

30 4

10 5

4

5 10

20

10 1

4

5

10

20

10

80

60 16

20 20

16 60

30

20 30

5

20

25

60

30

Fig. 10.4 - Efforts tranchants et efforts axiaux

10-4

30

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Les deux premières hypothèses de la méthode du Portique nous permettent de considérer l’équilibre d’une section de la structure, comme le coin supérieur gauche (Fig. 10.3a) mettant en évidence trois efforts inconnus V’, V’’ et H’’ . Les trois équations d’équilibre de la statique nous permettent de déterminer ces efforts: Σ FH = 0

40kN + H’’ - 10kN = 0 H’’ = -30kN

Σ MG = 0

-10kN × 2m + V’’ × 5m = 0 V’’ = 4 kN

Σ FV = 0

V’ = -V’’ = -4kN

De la même manière, on détermine les efforts de la section centrale supérieure (Fig. 10.3b). Σ FH = 0

30kN - 20kN + H’’= 0 H’’ = -10kN

Σ MG = 0

4kN × 5m - 20kN × 2m + V’ × 4m =0 V’’ = 5 kN

Σ FV = 0

V’ = -V’’+ 4kN = -1kN

Les efforts tranchants et les efforts axiaux au point d’inflexion de toutes les poutres et les colonnes sont déterminés de la même manière en isolant une section isostatique du cadre (Fig. 10.4). Une fois ces efforts connus on peut alors tracer le diagramme des moments fléchissants pour la structure complète (Fig. 10.5).

10-5

Chapitre 10

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 10

20 20

20 40

20

2 0

20 80

80

60

60

20

40

80

60

120

20

80 120

60

Fig. 10.5 - Diagramme des moments fléchissants

10-6

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 10

10.3 MÉTHODE DE LA CONSOLE (« CONSOLE ») Dans la méthode de la console, le cadre soumis à des charges latérales est considéré comme une console verticale. Cette représentation implique que les colonnes du côté gauche de la structure sont soumises à des efforts de traction, et les colonnes du côté droit de la structure sont soumises à des efforts de compression. Le centre de gravité des aires des colonnes agit donc comme un axe neutre. Il en résulte l’hypothèse suivante: 1)

La contrainte axiale dans chaque colonne est proportionnelle à la distance au centre de gravité du groupe de colonnes au niveau considéré.

À cette hypothèse s’ajoute les deux premières hypothèses de la méthode du portique: 2)

Il y a un point d’inflexion (changement de courbure) à mi-hauteur de chaque colonne.

3)

Il y a un point d’inflexion à mi-portée de chaque poutre.

L’exemple 10.2 illustre l’utilisation de la méthode de la console.

10-7

CTN-408

ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 10

d 40 kN

4m

(0,6A)

(A)

(0,4A)

(A)

(0,4A)

80 kN

4m (0,6A)

10 m

8m

Fig. 10.6 - Cadre analysé par la méthode de la console

D=8,6m

1,4m

8m

40 kN

P1

P2

Colonnes en tension

P3

Colonnes en compression

Fig. 10.7 - Distribution des efforts axiaux à l’étage supérieur

10-8

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ANALYSE DES STRUCTURES

Exemple 10.2 Le même cadre de la Fig. 10.1 est maintenant analysé par la méthode de la Console. Selon la première hypothèse, les contraintes axiales dans les colonnes dépendent de leur position par rapport au centre de gravité de ces dernières. La structure ne possédant pas encore de dimensions, on utilise les aires relatives des colonnes, obtenues en considérant la charge verticale qu’aura à supporter chacune des colonnes. L’aire relative de la colonne gauche = 5m/9m = 0,56 disons environ 0,6A L’aire relative de la colonne centrale = (5+4)m/9m = 1A L’aire relative de la colonne droite = 4m/9m = 0,44 disons environ 0,4A Ces aires relatives sont reportées sur la structure (Fig.10.6) afin de déterminer la position d du centre de gravité des colonnes qui est le même pour les deux étages. Aire totale × d = ∑ Aires individuelles × distance de la colonne gauche (0,6A + A + 0,4A) × d = A × 10m + 0,4A × 18m

d = 8,6 m Une fois le centre de gravité des colonnes déterminé, la distribution des efforts axiaux se fait selon la première hypothèse (Fig. 10.7). L’effort axial dans chaque colonne est égal à l’aire de cette colonne par la contrainte axiale. Cette dernière est proportionnelle à la distance du centre de gravité. On peut alors écrire: P1 = σ1 × 0,6A = K × 8,6m × 0,6A = 5,16 KA où K est une constante de proportionnalité P2 = σ2 × A = K × 1,4m × A = 1,4 KA P3 = σ3 × 0,4A = K × 9,4m × 0,4A = 3,76 KA

10-9

Chapitre 10

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ANALYSE DES STRUCTURES

Chapitre 10

En faisant la somme des moments par rapport au point d’inflexion de la colonne de droite, Σ MO = 0

40kN × 2m - P1 × 18m + P2 × 8m =0

80kN -5,16 × 18m × KA + 1,4 × 8m × KA = 0 KA = 0,98 kN Donc, P1 = 5,16 × 0,98 = 5,05 kN P2 = 1,40 × 0,98 = 1,37 kN P3 = 3,76 × 0,98 = 3,68 kN

(Méthode du Portique = 4kN) (Méthode du Portique = 1kN) (Méthode du Portique = 5kN)

Les efforts axiaux dans les colonnes des autres niveaux sont déterminés de la même manière. Puis les efforts tranchants et les efforts axiaux au point d’inflexion de toutes les poutres et les colonnes sont déterminés en isolant une section isostatique du cadre comme pour la méthode du Portique. Une fois ces efforts connus on peut alors tracer le diagramme des moments fléchissants pour la structure complète.

On remarque que les efforts axiaux obtenus par la méthode de la Console et la méthode du Portique diffèrent. Les résultats de ces deux méthodes sont approximatifs puisqu’ils sont fondés sur des hypothèses simplificatrices. Plus les hypothèses se rapprochent du comportement réel de la structure plus les résultats seront près des valeurs réelles. On utilisera donc de préférence la méthode du Portique, basée sur un mode de déformation en cisaillement, pour les structures non élancées, et la méthode de la Console, basée sur un mode de déformation en flexion, pour les structures élancées.

10-10

ANNEXE A Exemples de DET, DEN et DMF

1. À une section x:

V ( x) = − P et

M ( x ) = − Px

2. À une section x:

V ( x ) = − wx et

M ( x) = −

wx 2 2

àx = 0

V ( x) = 0

àx = L

V ( x ) = − wL M ( x) = −

A-8

M ( x) = 0 = Réaction 2

wL = Réaction 2

3. Le DCL entier donne:

RA =

Pb L

RC =

Pa L

0≤ x≤a

(1)

V ( x) = − R A et

M ( x) = R A x a≤x≤ L

(2)

V ( x ) = P − R A = RC et

M ( x ) = RA x − P( x − a ) = RC ( L − x ) Le DMF est tracé du côté de la fibre tendue

4.

0≤ x≤a

(1)

V ( x) = − R A et

M ( x) = R A x a ≤ x ≤ a +b

(2)

V ( x ) = P1 − R A et

M ( x ) = R A x − P1 ( x − a )

a +b ≤ x ≤ L

(3)

V ( x ) = P1 + P2 − R A = R D et

M ( x ) = R A x − P1 ( x − a ) − P2 ( x − a − b) = RD ( L − x) Note: Il est plus simple de considérer le segment de poutre de droite en (3) avec un nouvel axe, tel que x’=(L-x). Danc ce cas: V ( x ) = RD et M ( x ) = RD x '

A-9

i.e. les mêmes résultats sont obtenus directement

5. À une section x:

V ( x ) = wx − R A et

M ( x) = R A x −

wx 2 2

àx=0

V ( x) = − R A

M ( x) = 0

à x = L/2

V ( x) = 0

M ( x) =

àx=L

V ( x ) = − RB

wL2 8 M ( x) = 0

Note: M(x) est maximum quand V(x) = 0 à x=L/2

6.

Le point de moment nul indique un changement de courbure dans la déformée de la poutre. C’est le point d’inflexion. Une rotule, ou articulation, introduite à cette position ne modifierait pas le comportement de la poutre pour ce chargement

A-10

7.

Sans égard à sa position, un moment concentré M produit deux réactions égales et opposées de valeur M/L.

8. 3 équations d’équilibre et 3 réactions inconnues. ⇒ Structure isostatique

∑F = 0 ∑M =0 x

A

∑ Fy = 0

HA =W

RE =

Pa − Wh L

VA + RE = P VA = P − RE =

Pb − Wh L

Note: Dans un cadre, le moment fléchissant de chaque côté d’une connection à deux membrures est le même, i.e., +Hah en B, et zéro en D. (Ceci ne s’applique pas aux efforts tranchants). Le moment fléchissant est tracé du côté de la fibre tendue. L’effort tranchant est tracé en suivant un sens de circulation.

A-11

Annexe B Figures extraites du CNB 2010 pour le calcul des charges

Toits à faibles pentes (  15O) [Art. 4.1.6.3 (2) du CNB]

  15O

 Pour le Cas I, Ca = C0  Pour le Cas II, Ca = C0 sur une partie du toit et Ca = C0/2 sur le restant du toit de manière à produire les effets les plus défavorables

 L/10

 C0 = 1

L

Ca = C0 Cas I

Cas II

Ca = C0/2

Ca = C0

Toits à pentes ( > 15O) [Art. 4.1.6.3 (2) du CNB]

B-1

B-2

B-3

B-4

B-5

B-6

B-7

Tableau des données climatiques pourla province de Québec Annexe C du Code National du bâtiment du Canada 2010

B-8

Tableau des données climatiques pourla province de Québec Annexe C du Code National du bâtiment du Canada 2010

B-9

Tableau des données climatiques pourla province de Québec Annexe C du Code National du bâtiment du Canada 2010

B-10

Tableau des données climatiques pourla province de Québec Annexe C du Code National du bâtiment du Canada 2010

B-11

Tableau des données climatiques pourla province de Québec Annexe C du Code National du bâtiment du Canada 2010

B-12

ANNEXE C Intégrale de Mohr

Tableau 4.1 - Intégrales de Mohr1 L

∫ O m (x) M (x) dx

m(x) M(x)

a

Lac

1 Lad 2

1 La (c + d ) 2

1 Lac 2

1 Lad (1 + α ) 6

1 La [ (1 + β )c + (1 + α )d ] 6

L a

αL

1

βL

Extraites de: Kennedy, J.B., et Madugula, M.K.S. Elastic Analysis of Structures - Classical and matrix Methods, Harper and Row, 1990, 800 p.

C-1

L

Calcul de l’intégrale ∫ O m (x) M (x) dx

m(x) M(x)

C-2

L

Calcul de l’intégrale ∫ O m (x) M (x) dx

m(x) M(x)

C-3

L

Calcul de l’intégrale ∫ O m (x) M (x) dx

m(x) M(x)

C-4

L

Calcul de l’intégrale ∫ O m (x) M (x) dx m(x) M(x)

M 'k M ''k

Lorsqu’on a deux trapèzes inversés l’intégrale de Mohr se calcule avec la même équation que pour deux trapèzes dans le même sens

C-5

L

Calcul de l’intégrale ∫ O m (x) M (x) dx

m(x) M(x)

C-6

ANNEXE D MOMENTS D'ENCASTREMENT ET RÉACTIONS

MOMENTS D'ENCASTREMENT ET RÉACTIONS POUR LES CHAPITRES 7, 8 ET 9 Poutre

Moments d'encastrement

PL 8

M A= - M B=

A

Réactions d'appui

RA= RB =

P 2

B

M A=

Pab 2 L

2

2

A

M B=-

B

Pa b 2 L

M A= - M B=

A

RA= P

⎛a ⎜L ⎝

+

RB = P

⎛b ⎜ ⎝L

-

ω L2

a 2b L3

a 2b L3

RA= RB =

12

-

ab 2 ⎞ ⎟ L3 ⎠

+

ab 2 ⎞ ⎟ L3 ⎠

ωL 2

B

MA =

MA

c 12 L

[12 a b + c

c 12 L

[12 ab

2

2

(L - 3a)

]

RA=

ω ca

+

(M

A

L

+ M B) L

MB

A

a

b

B

MB =-

M A=

2

2

+ c (L - 3b)

]

RB =

ω ca

+

(M

A

L

Mb ( b - 2a ) L2 RB = - R A=

A

B

M B= -

D-1

Ma ( 2b - a ) L2

+ M B) L

6Mab L

3

MOMENTS D'ENCASTREMENT ET RÉACTIONS POUR LE CHAPITRE 9 SEULEMENT

M A=

6EI Δ L

2

=MB

M A= 0

M B= -

M A= 0 3PL 16

Pb (a + 2L) 2L3

RB =

Pa (3 L 2 - a 2 ) 2L3

8

5P 16

RB =

11P 16

RA=

3ω L 8

RB =

5ω L 8

ω L2

M A= 0

M B= -

RA=

RA=

M A= 0

M B= -

12EI Δ = - RB L

2

Pab (a + L) 2L2

M B= -

RA=

RA=

3EI Δ L

RB = -

3EI Δ L

3EI Δ

D-2

L

2

ANNEXE E Exercices additionnels

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 1.A1 : Surfaces tributaires Définir la surface tributaire de la colonne B et des murs A et C.

E-1

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 1.A2 : Descente de charge Identifier les types de charges verticales qui sollicitent la structure ainsi que leur point ou surface d'application. Ces charges sont celles qui solliciteront les murs, poteaux et fondations. Aucune valeur numérique n'est requise pour ces exercices.

E-2

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 1.A2 : Descente de charge (suite)

E-3

Exercices additionnels

CTN408

E-4

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 2.A1 : Calcul des charges selon le CNBC 2005 Le cadre montré ci-dessous (Figure 1) constitue l’ossature de base d’une structure de bâtiment. Le cadre se répète à tous les 6 m (Figure 2). Le bâtiment est un garage situé à Percé en Gaspésie et est construit sur un terrain rugueux (très boisé). Le bâtiment a de grandes ouvertures réparties uniformément sur les quatre (4) faces, qui peuvent être ouvertes par grand vent. On suppose (pour simplifier) que le toit repose directement sur les poutres ABC et CD des cadres (charge uniforme). On donne les valeurs suivantes :  Poids du toit, électricité et mécanique : 2 kPa;  Poids des poutres :

ABC : CD :

72 kg/m; 46 kg/m.

Figure 1 : Élévation d’un cadre type (connections schématisées)

Figure 2 : Vue en 3 dimensions de la localisation des cadres E-5

Exercices additionnels

CTN408

On demande de procéder aux calculs suivants en vous référant au chapitre 2 et à l’Annexe B des notes de cours de CTN-408 : 1) Déterminez les charges permanentes non pondérées wD sur les poutres ABC et CD. 2) Déterminez les cas de chargement correspondant à la neige, wS, selon les prescriptions du CNBC 2005 (charges non pondérées) et agissant sur les poutres ABC et CD. 3) Déterminez la charge due au vent agissant sur les poutres ABC et CD, wW en considérant les pressions intérieures et extérieures selon les prescriptions du CNBC 2005. 4) En considérant les charges pondérées selon les combinaisons recommandées par le CNBC 2005 : a) Vérifiez s’il y a risque de soulèvement du toit dû aux charges pondérées pour la poutre CD. b) Calculez le moment pondéré maximum sur la poutre CD dû aux charges pondérées; c) Calculez le moment pondéré maximum au point B de la poutre ABC dû aux charges pondérées; d) Calculez le moment pondéré à x = 4 de l’extrémité A de la poutre ABC dû aux charges pondérées;

E-6

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A1 : Poutre isostatique avec articulations Pour la poutre suivante : (i) Calculez le degré d’hyperstaticité. (ii) Identifiez les points où M=0. (iii) Calculez les réactions et les efforts internes aux articulations B et D (procédez par DCL partiels). (iv) Tracez le DET et le DMF. (v) Donnez les efforts internes immédiatement avant et après l’appui C.

.

E-7

Exercices additionnels

CTN408

E-8

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A2 : Poutre Tracer de DET, DMF de la poutre suivante en utilisant la méthode graphique.

E-9

Exercices additionnels

CTN408

E-10

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A3 : Portique Tracer de DET, DMF du portique suivant en : (i) Calculant les efforts aux nœuds; (ii) Transformant les efforts selon les axes locaux;

E-11

Exercices additionnels

CTN408

E-12

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A4 : Treillis avec nœuds particuliers Pour les treillis suivants, déterminez tous les efforts par la méthode des nœuds. Considérez les nœuds particuliers

E-13

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A4 : Treillis avec nœuds particuliers (suite)

E-14

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A5 : Treillis avec méthode des sections Pour le treillis Pratt suivant calculer les efforts internes (tension ou compression) :   

Effort S1 dans la barre IJ Effort S2 dans la barre JK Effort S3 dans la barre KL.

Solution 1) DCL partiel de droite (coupant les trois barres). Il y a deux solutions possibles (ou deux séries de 3 équations d’équilibre qu’on peut écrire) : 1ère méthode de calcul :

2ème méthode de calcul :

E-15

Exercices additionnels

CTN408

E-16

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 3.A6 : Câble avec charges concentrées Pour le câble suivant, calculer les valeurs suivantes :  Composantes de la force transmise aux points A et E (VA  La tension maximale dans le câble  Les ordonnées des points B et D  La tension en tout point du câble

E-17

VE

H)

Exercices additionnels

CTN408

E-18

Exercices additionnels

CTN408

Exemple 3.A7- Câble avec charge répartie Pour le câble suivant, calculer les valeurs suivantes :  Composantes de la force transmise aux points A et B (AY  La tension maximale dans le câble  La force dans le tirant AC  Les réactions à la base du poteau E

E-19

BY

H)

Exercices additionnels

CTN408

E-20

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 4.A1 : Calcul du déplacement avec la méthode de la charge unité (charge virtuelle) sur une structure mixte (poutre-câble) Pour le système de la Figure 1, évaluez par la méthode du travail virtuel (charge unité) le déplacement vertical du point D sous l’effet de la charge concentrée de 1200 kg appliquée au point D. Propriétés des sections : Colonne ABC : A = 40  102 mm2 I = 13  106 mm4 Poutre BDE : A = 25  102 mm2 I = 5  106 mm4 Câble CE : A = 3  102 mm2 E = 200 kN/mm2

C 1,0 m B

E

D

3,5 m

Note : Considérez toutes les déformations axiales A 1,5

1,5

Figure 1

E-21

Exercices additionnels

CTN408

E-22

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 5.A1 : Lignes d’influence Pour la poutre suivante : a) Tracer 6 LdI : RA, RD, VC VX-X, MB MX-X b) Calculer RA, RD, sous les 2 charges w et P indiquées c) À quelles positions mettre la charge répartie de 5 kN/m et lacharge concentrée de 10 kN pour obtenir RA, RD, max. absolu ?

E-23

Exercices additionnels

CTN408

E-24

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 7.A1 : Poutre hyperstatique de degré 1

1 seule équation d’équilibre requise

2)

(voir annexe D, p. D-1)

3) Équations de la méthode des rotations (éq. 9.7)

(a)

(b)

E-25

Exercices additionnels

CTN408

4) Conditions d’équilibre et résolution de la rotation inconnue → L’équilibre du nœud est vérifié pour le nœud où θ = ?

Avec équation (b) de l’étape 3 on trouve θB :

5) Calcul des moments de continuité aux nœuds → Ici, le seul moment de continuité non nul est MAB , calculé avec l’équation (a) de l’étape 3 :

6) Autres réactions : équilibre de la structure globale ∑M/A=0 → By ∑Fy = 0 → Ay

7) DET et DMF

DET [kN]

DMF [kN·m]

E-26

Exercices additionnels

CTN408

Exemple 8.A1- Poutre à une travée : déformations de flexion seulement (rotations)

Y

Équation à résoudre :

X B  ?

F   K D  F E 

EI = constante

Étape A : calcul des déplacements {D} (étapes de la p. 8-19) 1.

Numéroter les nœuds et éléments  Nœuds A et B ; élément AB

2.

Analyse du problème :

3.

a.

Déplacement inconnu = rotation inconnue : matrice de rigidité globale K sera de 1 x 1

b.

Déplacement connu = rotation connue :

c.

Vecteur des déplacements =  D  

B  ?

 1 degré de liberté 

A  0

 A      B 

  rad 

Vecteur de forces nodales {F} (forces appliquées aux nœuds) et vecteur des forces d’encastrement {FE} : a.

Vecteur forces nodales {F}. Le moment de continuité en B est connu (MBA = 0) ;



le moment MAB est inconnu (MAB = ?), donc :  F  



b.

   

Vecteur forces d’encastrement : F

E

P. D-1 :

E-27



    

       kN·m 

  kN·m 

Exercices additionnels 4.

Matrice de rigidité de l’élément AB : [K’e] selon le système d’axe local. Cette matrice contient les coefficients de rigidité kij qui relient les forces nodales {F} aux déplacements des nœuds (ici les rotations) {D} :

i

K  

5.

CTN408

j

A  i   j

  



B A   B

  

kN·m

Assemblage  Le système matriciel à résoudre est celui de l’élément AB ; et est aussi celui de la structure complète !

F   K D  F E 



Réduction de la matrice globale : On réduit le système en enlevant les lignes et colonnes correspondant aux déplacements nuls (ici : ligne et colonne de obtient une seule équation à résoudre :

 A  0 ). On

_________________________________________________ 6.

Résolution de l’équation : déplacement(s) inconnu(s) 

B 

_________ rad

Étape B : calcul des efforts internes ij (étapes de la p. 8-20) 1.

Calculer les efforts internes aux nœuds i et j de chaque élément à partir des systèmes matriciels élémentaires :

M AB    M  BA  2.

  

  

    

   =   

Tracer le DET et le DMF / Calcul des autres réactions

E-28

  kN  m 

= vérification que MBA = 0

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 8.A2- Poutre à deux travées : déformations de flexion seulement (rotations) Reprise de l’exemple 7.1 des NdeC, par la méthode du chap. 8

Équation à résoudre :

F   K D  F E 

Étape A : calcul des déplacements {D} (étapes de la p. 8-19) 1.

Numéroter les nœuds et éléments  Nœuds 1, 2 et 3 ; éléments 1-2 et 2-3, connectés au nœud 2

2.

Analyse du problème :

3.

a.

Déplacements inconnus = 1 rotation inconnue : matrice de rigidité globale K sera de 1 x 1

b.

Déplacements connus = 2 rotations connues :

c.

1      Vecteur de déplacements =  D   2        3 

2  ?

 1 degré de liberté 

1  3  0    rad  

Vecteur de forces nodales {F} (forces appliquées aux nœuds) et vecteur des forces d’encastrement {FE} : a.

Vecteur forces nodales {F}. Le moment externe en 2 est connu (M2 = 0) ; les moments en 1 et 3 sont inconnus (M1 = ?, M3 = ?, ), donc :

 M1   F  M 2    M    3 

   kN·m  

E-29

Exercices additionnels

b.

4.

CTN408

 M1E  M12E    E  E E E  Vecteur forces d’encastrement :  F    M 2  M 21  M 23     ME ME   3 32   

   kN·m  

Matrices de rigidité des éléments 1-2 et 2-3 : [K’e] selon le système d’axe local. Cette matrice contient les coefficients de rigidité kij qui relient les forces nodales {F} aux déplacements des nœuds (ici les rotations) {D} : ÉLÉMENT 1-2

1

 K12  

2

 k11 k12  1 k   21 k22   2

1 

2  1   2

  

kN·m/rad

ÉLÉMENT 2-3

2

 K 23   5.

 k22 k  32

3 k23   2 k33  3

2 

3  2   3

  

kN·m/rad

Assemblage et réduction de la matrice globale

5-a : Assemblage des matrices des éléments 1-2 et 2-3 pour construire la matrice globale (considérer la connectivité des éléments). Le système global a une matrice 3x3 et prend la forme suivante :

F   K D  F E  `

Le système matriciel global de la structure rassemble toutes les déformations ( 1 , 2 et 3 ) et toutes les rigidités. On assemble les matrices élémentaires pour former la matrice globale 3x3 qui relie les moments aux nœuds (M1 , M2 et M3 ) aux rotations.

Les coefficients de rigidité kii ou kjj s’additionnent pour les nœuds où plus d’un élément est connecté. Ici, au nœud 2 on aura;

E-30

Exercices additionnels

CTN408

GLOBAL Gauche 1 2 k22  k22  k22Droite  k22  k2223

Note : Les coefficients kij ne s’additionnent jamais car ils « appartiennent » à l’élément de la poutre (moment requis en i pour obtenir une rotation unitaire en j).

1

K  

2

3

 k11 k12  GLOBAL  k21 k 22 0 k32 

0  k23   k33 

Le système global donne :

 1   2  3

   

F   K D  F E 

5.b- Réduction : On réduit le système en enlevant les lignes et colonnes correspondant aux déplacements nuls (ici : ligne et colonne de 1  0 et 3  0 ). Le système final aura les dimensions du nombre d’inconnues (1x1). On obtient une seule équation à résoudre :

_________________________________________________ 6.

Résolution : La résolution doit prendre la forme :

Ici on obtient : La rotation inconnue

2 

F  F    K D

_________ rad

E-31

E

Exercices additionnels

CTN408

Étape B : calcul des efforts internes ij (étapes de la p. 8-20) 1.

Lorsqu’on ne considère que les déformations de flexion, il n’est pas nécessaire de procéder à une transformation entre le système d’axe global et le système d’axe local.

2.

Option 1 : Calculer les efforts internes aux nœuds i et j de chaque élément à partir des systèmes matriciels élémentaires :

M12    M  21  M 23    M  32 

  

  

    

  =    

  kN  m 

  

  

    

   =   

  kN  m 

Option 2 :: Calculer les moments de réaction aux encastrements 1 et 3 en utilisant la matrice globale non réduite :

 M1     0    M 3  3.

   

     

        

     =     

   kN  m  

Tracer le DET et le DMF / Calcul des autres réactions – L’équilibre permet de calculer les efforts tranchants agissant à l’extrémité de chaque élément. Se reporter à la solution de l’exemple 7.1 dans les notes de cours.

E-32

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 8.A3- Portique : déformations de flexion seulement (rotations) Calculer les efforts internes du portique suivant en utilisant la méthode de rigidité matricielle.

1

P=10 kN

3EI, L

2 EI, L

2EI, L

4

E-33

3

Exercices additionnels

CTN408

E-34

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 8.A4- Portique : déformations de flexion seulement (rotations)

E-35

Exercices additionnels

CTN408

E-36

Exercices additionnels

CTN408

Exercice 8.A5- Treillis Calculer les efforts internes du treillis suivant en utilisant la méthode de rigidité matricielle.

E-37

ANNEXE F Séries d’exercices

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES EXERCICES : Série 1 DESCENTE DE CHARGES DEGRÉS D’HYPERSTATICITÉ Professeur: Marie-José Nollet

DESCENTE DE CHARGES Problème 1 Dans le système structural représenté ci-dessous, la dalle repose sur les poutrelles AB, CD et EF, lesquelles s’appuient sur les poutres AE et BF. Si la charge uniforme placée sur la dalle est de 100 lb/pi2, déterminez les forces agissant sur les poutres AE et BF. La figure 1b représente la charpente idéalisée en plan portant dans une direction.

Figure 1

mnollet/ctn408/serie1.doc

1-1

Problème 2 Dans le système structural dalles-poutres-colonnes en béton armé représenté ci-dessous le rapport (L2/L1) < 2 et la charge est supposée porter « en deux directions ». La figure 2b représente une façon de distribuer les charges sur les poutres et colonnes lorsque (L2/L1) =1 comme illustré en 2a. Définissez la répartition de la charge sur les poutres périphériques et calculez les forces agissant sur chaque colonne pour ce cas.

Figure 2 Dans la situation ou (L2/L1) =1,5, la méthode pour distribuer les charges sur les poutres est de tracer des lignes à 45o jusqu’à leur intersection tel qu’illustré à la figure 2c. Déterminez le chargement sur les poutres AB et BD si la dalle supporte une charge uniformément répartie de 100 lb/pi2.

Figure 2c

mnollet/ctn408/serie1.doc

1-2

DEGRÉS D’HYPERSTATICITÉ

Problème 3 Déterminez si les structures suivantes sont stables, instables ou indéterminées. Si elles sont indéterminéss calculez le degré d’hyperstaticité.

(a)

(b)

(d)

(e)

mnollet/ctn408/serie1.doc

(f)

1-3

Problème 4 Déterminez si les structures suivantes sont stables, instables ou indéterminées. Si elles sont indéterminées calculez le degré d’hyperstaticité.

mnollet/ctn408/serie1.doc

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1-4

Problème 5 Déterminez si les treillis suivants sont stables, instables ou indéterminés. S’ils sont indéterminés calculez le degré d’hyperstaticité.:

mnollet/ctn408/serie1.doc

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1-5

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES EXERCICES Série 2 CALCUL DES CHARGES Professeur: Marie-José Nollet Problème 1 Une charpente constituée de barres articulées (un treillis) doit résister à une charge permanente et à une charge de vent non pondérées de 20 et 160 kN respectivement, tel que montré sur la figure. Déterminer les efforts pondérés (selon la partie 4 du CNB 2005) de compression et de tension maximum dans les diagonales. 20 kN 160 kN

3000 mm

4000 mm

4000 mm

Figure 1 Rép. :

Charges non pondérées : Compression maximale = -116,7 kN ; Tension maximale = 83,3 kN Charges pondérée : Compression maximale = -160 ,9 kN ; Tension maximale = 125 kN

Problème 2 Le portique de la Figure 2 est soumis à une charge vive PL de 40 kN, une charge permanente wD de 20 kN/m, et une charge de vent wW de 10 kN/m soufflant de la gauche tel qu’indiqué sur la figure. a) Calculez les réactions aux appuis du portique pour chacune des charges indépendamment. b) Calculez le moment pondéré maximal et minimal aux points B et D en considérant l’effet de toutes les charges agissant sur le portique. Utilisez les combinaisons et les coefficients de charges recommandées par le CNB-2005. Note : Pour obtenir le moment pondéré maximal et minimal, plusieurs combinaisons de charges doivent être évaluées ce qui signifie que le moment aux points B et D doit d’abord être calculé individuellement pour chacune des charges.

mnollet/ctn408/Serie2.doc

2-1

wD PL 3m

C

D

B 4m

wW A

E 4m

4m

Figure 2 Rép. : MB (dû à PL) = -45,7 kN.m :. MB (dû à wD) = -91,4 kN.m ; MB (dû à wW) = +57,2 kN.m MD (dû à PL) = -45,7 kN.m :. MD (dû à wD) = -91,4 kN.m ; MD (dû à wW) = -22,9 kN.m ; MB max = -182,8 kN.m ; MB min - = -2,3 kN.m ; MD max = -192 kN.m ; MD min - = -128 kN.m ;

Problème 3 Un bâtiment de protection civile est stabilisé latéralement par des cadres rigides en acier dans l’une des deux directions principales. Calculez l’effort de cisaillement sismique à la base et distribuer le à chacun des étages. La période du mode fondamental de vibration (T) est égale à 0,5 seconde. Le bâtiment est situé à Montréal sur un sol granulaire de classe C. W5 = 990 kN 3,1 m

W4 = 1580 kN 3,1 m

W3 = 1580 kN 3,1 m

W2 = 1580 kN 3,1 m

W1 = 1580 kN 4,1 m

6m

Rép. :

4m

Q1 = 40,6 kN : Q2 = 71,3 kN ; Q3 = 102,0 kN : Q4 = 132,7 kN ; Q5 = 102,4 kN.

mnollet/ctn408/Serie2.doc

2-2

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

EXERCICES Série 3A STRUCTURES ISOSTATIQUES : Treillis, poutres et portiques Professeur: Marie-José Nollet Problèmes sur les treillis (Aram Samikiam, 3.2, 3.4 et 3.5) Problème 1 À l’aide de la méthode des noeuds, déterminer les efforts dans les barres du treillis suivant.

Rép. :

AB = BE = 102,53 kN ; EF = FH = 61 kN ; AC = -90,67 kN ; CD = -59,4 kN ; DG = -59,5 kN ; GH = -76,0 kN ; BC = 20 kN ; CE = -68,8 kN ; DE = 71,2 kN ; EG = -16,7 kN ; FG = 20 kN ; réactions Ax = 30 kN ←, Ay = 54,375 kN ↑ et Hy = 45,625 kN.

Problème 2 Déterminer les efforts dans les barres BD, CD et CE du treillis suivant par la méthode des sections.

Rép. :

BD = 100 kN, CD = 28,3 kN; CE = -126,5 kN ; réaction Ay = 100 kN

mnollet/ctn408/Serie3A.doc

3A-1

Problèmes sur les DET et DMF - Poutres (Aram Samikiam, 7.1, 7.2 et 7.3) Problème 3 Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour les poutres suivantes. Indiquer les valeurs des efforts maximums et leur position. a)

2 kN/m

20 kN.m A

D

B

C

Rép. :

6m

3m

5m

RA = -7,6 kN ; RB = 13,6 kN ; RD = 6 kN ; MA = 20 kN.m ; MB = -18 kN.m ; ME = 9 kN.m

b)

15 kN

B

A

8 kN E F

D

C

3 5 kN 3

G 2

6

2

2

[m]

Rép. : HA = -5 kN ; RA = 8.09 kN ; RD = 14,9 kN ; MC = 25,45 kN.m ; MD = -16 kN.m ; MBA = 24,3 kN.m ; MBC = 9,3 kN.m ; MBG = -15 kN.m; VBG = 5 kN

mnollet/ctn408/Serie3A.doc

3A-2

Problèmes sur les DET et DMF - Portiques (Aram Samikiam, 7.4, 7.5 et 7.6) Problème 4: Tracer le DET et le DMF du portique suivant. 20 kips 9

12

9

C

E

B

8 8 kips 4 A

D [pied]

Rép. :

HA = +5,3 kips ; RA = 7,1 kips ; RD = 12.9 kips; HD = 2,7 kips ; ME = 85 kips-pi ; MC = -31 kips.pi

Problème 5 : Tracez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants des portiques suivants a) 50 kN 1,5 m

40 kN

2m

1,5 m

15 kN/m C

B

4m 6m A

A, C, et D : Articulations D

Rép. : Sur AB (VA = +45 ; VB = +45 ; MB = -180) ; Sur BC (VB = -83 ; VC = +7 ; MB = -180 ; Mmax = 10,5) Sur CD (VC = -45 ; VD = +45 ; Mmax = +67,5) NOTE : Les réponses sont données pour une convention des efforts tranchants positifs vers le haut sur la face positive de l’élément, et un moment positif pour une fibre inférieure (ou intérieure) tendue. V

+M

+ V

C

+M

T

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3A-3

b) 15 kN 2m

2m

10 kN 2m

B

A

A, B et C : Articulations

6m

4 kN/m

45°

C

Rép. : Sur AB (VA = -13,3 ; VB = +11,7 ; MA = 0 ; Mmax = +26,7 ; MB = 0) ; Sur BC (VB = -4 ; VC = +8 ; Mmax = +9,4)

Problème 6: Tracez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants du portique suivant

C : Rouleau 300 lb/pi

C

500 lb/pi

3,5 pi 3,5 pi

30° B

7 pi

7 pi

A

A: Articulation

Rép. : Sur AB : VA = -2 217 lbs; VB = +1 283 lbs ; MB = + 6 538 lbs-pi ; Mmax = +15,519 lbs-pi Sur BC : VB= - 583 lbs ; VC= + 1 517 lbs ; MB = +6 538 lbs-pi; Mmax= + 10 621 lbs-pi)

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3A-4

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

EXERCICES Série 3B STRUCTURES ISOSTATIQUES : Arches et câbles Professeur: Marie-José Nollet Problème 1 Déterminer l’effort tranchant V, l’effort axial N et le moment fléchissant M à gauche du point B de l’arche montrée ci-dessous. Utiliser d’abord l’équation de la parabole pour obtenir la longueur et la hauteur de l’arche ainsi que l’ordonnée du point B.

Figure 1 Rép. : HA = -0 ; VA = 16,64 kN ; VD = 24,96 kN; HD = -27,74 kN ; VB = -14,28 kN; NB = -8,55 kN ; MB = 66,56 kN.m ; Problème 2 Pour l’arche à trois articulations de la Figure 2 déterminez : a) Les réactions d’appuis; b) Le diagramme des composantes Fx et Fy des efforts internes; c) Les efforts normaux, les efforts tranchants et les moments fléchissants agissant aux points D et E.

C

D

E

F

A B

Figure 2 Rép. : HA = HB = 88,3 kN; VA = 73 kN ; VB = 137 kN; ND = -88,3 kN ; VD = +7 kN; MD = 0 kN.m ; NE = -82,7 ou -104,3 kN ; VE= -31,8 ou+ 13,2 kN ; ME = 170 kN.m

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3B-1

Problème 3 L’arche à trois articulations de la Figure 3 est une parabole d’équation y = x2/80. a) Déterminer les réactions aux appuis; b) Déterminer l’Effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant au point c. c) Tracer les diagrammes des composantes selon x et y des efforts (Fx et Fy) d) Déterminer l’équation de moment fléchissant entre les points b et c.

Figure 3 Rép. : HA = 28 kN ; VA = 29 kN ; VG = 61 kN; HG = 28 kN ; VC = -4,47 kN; NC = -33,54 kN ; MC = 60 kN.m ; M(x) = 300-19x+0,35x2

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3B-2

Problèmes sur les câbles Problème 4 Trouver la tension maximale dans le câble suivant sous une charge uniforme de 40 kN/m et une portée de 60m. La flèche maximale du câble est égale à 5m.

Figure 3 Rép. : Tmax = 3795 kN Problème 5 Trouver la flèche aux différents points du câble suivant et la tension dans les différents segments. Indice: L’articulation à la base du pilier indique que la force horizontale nette est nulle en haut du pilier. Par conséquent, les composantes horizontales de la tension dans le câble de chaque côté de la tour sont égales.

4 3,5 m 1 2,5 m

3

2

10 m

10 kN 20 kN 5

6

10 m

10 m

10 m

7,5 m

Figure 4 Rép. :

h3 = 2,93m ; H = 45,45 kN ; T34 = 49,1 kN; T23 = -46,3kN ; T12 = 46,85 kN; T45 = 75,74 kN ;

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3B-3

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

EXERCICES Série 4 CALCUL DES DÉPLACEMENTS : Méthode de la charge virtuelle Professeur: Marie-José Nollet

40 kN

Problème 1 Pour la poutre suivante, trouver le déplacement en C et la rotation en A en utilisant la méthode de la charge unité.

2 kN/m

E

A I

E = 200x10 6 kN/m2 I = 20x106 mm4

B

3m

D

C 2I 2m

2m

I 3m

Rép. : ΔC = 167,9 mm et θA = 0,0574 rad. Figure 1 Problème 2 Pour les structures suivantes, déterminer les déplacements demandés à l’aide de la méthode de la charge unité. (E = 200 × 106 kN/m2) a) Trouver ΔB si et I = 100 × 106 mm4

b) Trouver ΔD si I = 20 × 106 mm4

20 kN

10 kN/m

A

40 kN

B

A

D

C B

4m

Rép. : ΔB = 3,73 cm

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3m

3m

3m

Rép. : ΔD = 6,75 cm vers le haut

4-1

c) Trouver ΔD horizontal si E = 200 × 106 kN/m2 et I = 200 × 106 mm4 20 kN/m 60 kN

C B 2m

4m D

A 4m

Rép. : ΔD = 0,267 cm vers la gauche d) Trouver ΔB et ΔC i E = 26 800 ksi 1000 lb/pi

B

A I = 1410 po4

C

I = 705 po4 10 pi

10 pi

Rép. : ΔB = 0,972 po. et ΔC = 0,324 po. P

Problème 3 Pour le treillis ci-contre, trouver le déplacement horizontal en F en utilisant la méthode de la charge unité. Prendre EA comme une constante et exprimer le déplacement en fonction de EA.

C

P

4m F

P = 20 kN

B D

P

Rép. : ΔHF = -360/EA vers la gauche 8m

E

A 6m

6m

Figure 3

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4-2

Problème 4 Calculez la composante verticale du déplacement du point E du treillis ci-dessous. Les aires respectives des membrures sont indiquées sur la figure. E = 30 000 ksi 10 kips

10 kips 1 po2

1 po2

C

A

E 1 po2

2 po2

8 pi

1 po2

1 po2 2 po2 D

B

12 pi

12 pi Figure 4

Rép. : ΔE = 0,914 po. vers le bas

Problème 5 Si la membrure BC du treillis suivant est soumise à une augmentation de température de 70°F , calculez le déplacement vertical résultant au point D à l’aide de la méthode de la charge unité. Le coefficient d’expansion thermique du matériau est α = 6,5 × 10-6 / °F.

B

C

A

E

20 pi

20 pi

Rép. : ΔD = 0,109 po. vers le bas

D 20 pi

Figure 5

Problème 6 Calculer le changement de longueur des membrures AE, BC et ED dans le treillis du problème 5 pour introduire un déplacement initial vers le haut au point D de 2 pouces. Les changements de longueur, soit le raccourcissement de la membrure BC et l’allongement de AE et ED, sont d’une même valeur « d ». Rép. : d = +/- 0,5 po.

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4-3

Problème 7 Calculez la composante verticale du déplacement du point B de la structures montrée ci-dessous. Les aires respectives des membrures sont indiquées sur la figure et la poutre ABCD a une inertie de I = 4000 po4. E = 30 000 ksi

5 pi

5 pi

5 pi C

B

A

D A = 50 po

2

100 kips

A = 10 po2

7,5 pi

A = 20 po

2

E Figure 7 Rép. : ΔB = 0,040 po. vers le bas Problème 8 Pour la structure tirants et poutre suivante déterminer le déplacement vertical au point E à l’aide de la méthode de la charge unité en tenant compte des efforts normaux dans les tirants et du moment fléchissant dans la poutre. Prendre E = 200 kN/mm2 pour les tirants et la poutre. Tirants Poutre

AAC = 500 mm2 ABC = ACD = 1000 mm2 Inertie IAB = 3,0 × 108 mm4

D

3m

C

Aire

3m B

E

Rép. : ΔE = 5,77 mm

A

150 kN 4m

Figure 8

mnollet/ctn408/Serie4.doc

4-4

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

EXERCICES Série 5 LIGNES D’INFLUENCE Professeur: Marie-José Nollet Problème 1: Poutre la poutre suivante: a) tracer les lignes d’influence des réactions RA et RC, des efforts tranchants VE et VF et du moment fléchissant ME. E A

F

B

4m

3m

D

C

3m

4m

2m

2m

2m

Figure 1a b) Calculer RA, RC, VF et ME en considérant la poutre chargée tel que montré ci-dessous. 5m

20 kN 10 kN/m

D

C A

B

3m

4m

3m

2m

4m

2m

2m

Figure 1b Rép. : RA = 0 ; RC = 84 kN ; VF = 0 ; ME = -112 kN.m Problème 2: Tracez la ligne d’influence de l’effort tranchant immédiatement à la droite de l’appui B et la ligne d’influence du moment fléchissant à mi-portée de BC. Pour le système de charges montré, déterminez les valeurs maximales de l’effort tranchant et du moment fléchissant aux points respectifs mentionnés. 160 kN 160 kN 40 kN A

B

C 4,5 m

24 m

6m

4,5 m

24 m

Figure 2

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5-1

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

EXERCICES : Série 6 MÉTHODE DE SUPERPOSITION Professeur: Marie-José Nollet Problème 1 Pour les poutres et portiques hyperstatiques suivants, utiliser la méthode de superposition (méthode des forces ou des déplacements consistants) pour évaluer les réactions aux appuis. 40 kN

Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouv rir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouv rez à nouv eau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, v ous dev rez peut-être supprimer l'image av ant de la réinsérer.

w

2m B

L

C

C

A

4m

B 4m

L/2

I = constante

A (a)

(b)

Rép. : RB = 11/16 wL ; MA =wL2/16

Rép. : HA = 6,67 kN

5 kips 10 kips-pi. A B

6 pi.

9 pi.

9 pi.

(c) Rép. : RA = 8,125 kips Figure 1

Mnollet/ctn408/Serie6.doc

6-1

Problème 2 10 kN

Pour la poutre hyperstatique suivante (exemple 6.1 des notes de cours) : a) Déterminer des réactions et tracer les DET et DMF en prenant le moment d’encastrement MA comme inconnue surabondante. b) Déterminer le déplacement vertical au point d’application de la charge de 10 kN.

B

C A

E = 200 kN/mm2 I = 1,0 x 108 mm4

3m

6m Figure 2

Rép. :

a) MA =-13,33 kN.m ; MC =+15,56 kN.m b) ΔC = 66,64/EI = 3,33 mm

Problème 3

2m

Pour le treillis ci-contre déterminer les forces dans les barres par la méthode de superposition. Indiquer si il s’agit d’une tension ou d’une compression.

B C

2

Les aires de sections sont: AB = 25 mm AC = 100 mm2 AD = 200 mm2

2m 60° A

Prendre AB comme barre surabondante. Le module d’élasticité E est le même pour toutes les barres

15 kN

45°

D Rép. : FAB =3,43 kN ; FAC =8,47 kN ; FDA = -10,37 kN Figure 3

Mnollet/ctn408/Serie6.doc

6-2

Problème 4 Pour les treillis suivants, déterminez les efforts dans toutes les membrures. Prendre E = 200 GPa. 10 kN Aire = 1000 mm2

10 kN

Aire = constante

50 kN D

B

C

5m 6m

C

A

D

A

B

12 m

5m

5m

(a)

(b)

Rép. : RB = 8,28 kN

Rép. : BD = +55,9 ; CD = -25 ; AC = -55,9 ; AD = -50 ; AB = +25 ; BC = +50

Figure 4

C

Problème 5

2m

Déterminer le moment en A et la force dans le câble de la structure hyperstatique montrée ci-contre. On donne

20 kN

20 kN

E = 200 GPa pour la poutre et le câble 6 4 A I = 50 x 10 mm pour la poutre 2 A = 65 mm pour le câble.

Rép. : MA = 25,8 kN.m ; TBC =+11,4 kN

B 1m

1m

1m

Figure 5

Mnollet/ctn408/Serie6.doc

6-3

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES

EXERCICES : Série 7 MÉTHODE DES ROTATIONS Professeur: Marie-José Nollet Problème 1 Utiliser la méthode des rotations pour tracer le diagramme des efforts tranchant et le diagramme des moments fléchissants du portique ci-contre.

D 2m 10 kN

Prendre EI comme une constante. 30 kN Rép. : MAB = -1,34 kN.m MBA = -33,95 kN.m MBD = -26,04 kN.m MBC = +60 kN.m MDB = 0

3m 5 kN/m B

A

C 5m

2m

Problème 2 Utiliser la méthode des rotations pour tracer le diagramme des efforts tranchant et le diagramme des moments fléchissants de la poutre continue ci-contre. EI=constante 40 kN 20 kN/m B

A

8m

2m

C

3m

Rép. : MAB = +122,2 kN.m ; MBA = -75,61 kN.m ; MBC = +75,61 kN.m ; MCB = 0 Problème 3 Utiliser la méthode des rotations pour tracer le diagramme des efforts tranchant et le diagramme des moments fléchissants de la poutre continue ci-contre. B

1 kN/m

C D

A EI 5m

2EI 6m

1,5EI 4m

Rép. : MAB =0 ; MBA = -3,18 kN.m ; MBC = +3,18 kN.m ; MCB= -2,48 kN.m ; MCD = +2,48 kN.m ; MDC =0

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7-1

Problème 4 (Avec déplacement latéral) Utiliser la méthode des rotations pour tracer le diagramme des efforts tranchant et le diagramme des moments fléchissants du portique ci-contre.

D 7,5 pi

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10 pi

B

EI = 20 k/po2 Rép. : MAB = -82,5 k-pi MBA = -56,5 k-pi MBC = +56,5 k-pi MCB = +50,4 k-pi MCD = -50,4 k-pi MDC = -32,4 k-pi

10k C

15 pi A 15 pi

7-2

CTN-408 ANALYSE DES STRUCTURES EXERCICES : Série 8 MÉTHODE D’ANALYSE MATRICIELLE Professeur: Marie-José Nollet Problème 1 Construire la matrice de rigidité globale, ainsi que le vecteur force pour la poutre continue suivante en ne considérant que les déformations de flexion. Calculez les rotations inconnues. Prendre EI = 5000 kN.m2. 30 kN 10 kN

4 kN

20 kN/m

2

4

3 1

EI

3EI

2EI 2m

1,5 m

6m

3m

3m

Figure 1 1 0 ⎤ ⎧θ 2 ⎫ ⎧ +49, 4 ⎫ ⎧0⎫ ⎡3,33 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Rép. : ⎪ 0 ⎪ = EI ⎢ 1 4, 67 1,33 ⎥⎥ ⎨θ3 ⎬ + ⎨ −57, 65⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ −4 ⎪ 1,33 2, 67 ⎦⎥ ⎪⎩θ 4 ⎪⎭ ⎪⎩ −11, 25 ⎪⎭ ⎩ ⎭ ⎣⎢ 0

1m

⎧θ 2 ⎫ ⎧−0, 00408⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨θ3 ⎬ = ⎨ 0, 00372 ⎬ rad ⎪θ ⎪ ⎪ −0, 00131⎪ ⎩ 4⎭ ⎩ ⎭

Problème 2 Construire la matrice de rigidité globale et le vecteur force pour la structure suivante, en ne considérant que les déformations de flexion. Calculez les rotations inconnues. Prendre EI = constante. 20 kN 15 kN.m

5 kN/m 3

2

2 EI

2 EI

4

3m 10 kN

1,5 EI

6m

3m 1 10 m

10 m

Figure 2 ⎧−15⎫ ⎡ 1,8 0, 4 0 ⎤ ⎧θ 2 ⎫ ⎧ +21,3 ⎫ Rép. :) ⎪ 0 ⎪ = EI ⎢0, 4 1, 6 0, 4 ⎥ ⎪θ ⎪ + ⎪+22,5⎪ ⎨ ⎬ ⎬ ⎢ ⎥⎨ 3⎬ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪θ ⎪ ⎪ −41, 7 ⎪ ⎢ ⎥ 0 0, 4 0,8 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ 4⎭ ⎩ ⎭

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⇒

⎧θ 2 ⎫ ⎧−14, 2 / EI ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨θ3 ⎬ = ⎨ −26,9 / EI ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩θ 4 ⎭ ⎩ 65, 6 / EI ⎭

8-1

Problème 3 Pour le cadre de la figure 3 a) utilisez la méthode de rigidité pour formuler les équations d’équilibre sous forme matricielle (ne considérez que les déformations de flexion) b) résoudre les équations de (a) par la méthode de votre choix (calculatrice, mathlab, etc...) et utilisez les résultats pour déterminer les moments aux extrémités des membrures 2-3 et 3-6. EI pour les membrures : 1-2 et 2-3 = 2000 kNm2 3-4 = 1000 kNm2 2-5 et 3-6 = 5000 kNm2 20 kN 5 kN.m

10 kN/m 4

3

1 2 2m

10 kN 5m

7m

2,5 m

6 5 4m

5m

3m

Figure 2

0 ⎤ ⎧θ 2 ⎫ ⎧−15,83⎫ ⎡6457 800 ⎧θ 2 ⎫ ⎧ −0.003 ⎫ Rép. : a) ⎪ 27, 08 ⎪ = ⎢ 800 6933 667 ⎥ ⎪θ ⎪ b) ⎪θ ⎪ = ⎪ 0, 0045 ⎪ rad ⎨ ⎬ ⎢ ⎨ 3⎬ ⎨ ⎬ ⎥⎨ 3⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎢ 0 ⎪θ ⎪ ⎪θ ⎪ ⎪ −0, 0023⎪ ⎥ 667 1333 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ 4⎭ ⎩ 4⎭ ⎩ ⎭

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M 23 c) M 32 M 63 M 36

= +19, 60 kN .m = −16, 08 kN .m = +15, 25 kN .m = +11, 75 kN .m

8-2

Problème 4 Construire la matrice de rigidité globale de la structure suivante en considérant les déformations verticales et les rotations. 1 kN/m 1

2 EI

2EI

4m

2m

3

Figure 4 ⎧ V1 ⎫ ⎡ 3 / 16 6 / 16 ⎪M ⎪ ⎢ 6 / 16 1 ⎪ 1⎪ ⎢ Rép. : ⎪⎪ V ⎪⎪ ⎢ −3 / 16 −6 / 16 2 ⎨ ⎬ = EI ⎢ M 1/ 2 ⎪ 2⎪ ⎢ 6 / 16 ⎪ V3 ⎪ ⎢ 0 0 ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎪⎩ M 3 ⎪⎭ ⎣ 0

−3 / 16 6 / 16 0 0 −6 / 16 1 / 2 51 / 16 42 / 16 −3 42 / 16 5 −3 −3 3

−3 2

0 ⎤ ⎧ y1 ⎫ 0 ⎥⎥ ⎪⎪θ1 ⎪⎪ 3 ⎥ ⎪⎪ y2 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ + 2 ⎥ ⎪θ 2 ⎪ 3 −3⎥ ⎪ y3 ⎪ ⎥⎪ ⎪ −3 4 ⎦ ⎪⎩θ3 ⎪⎭

⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ 1,33 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−1, 33⎭

Problème 5: Pour le treillis de la Figure 3 formuler les équations d’équilibre sous forme matricielle et caculez les efforts axiaux dans chaque barre. A = 500 mm2 E = 200 GPa 1

2 45°

25 kN

5m 3

4 5m Figure 5

⎧ 17, 68 ⎫ ⎡ 27070 7070 ⎤ ⎧ X 2 ⎫ ⎨ ⎬= ⎨ ⎬ Rép. : ⎩ −17, 68⎭ ⎢⎣ 7070 27070 ⎥⎦ ⎩ Y2 ⎭ ⎧ X 2 ⎫ ⎧ 0,884 ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ mm ⎩ Y2 ⎭ ⎩ −0,884 ⎭

mnollet/ctn408/Série8.doc

8-3