Notes de Cours Hydrogeologie Automn 2014 ULAVAL PDF [PDF]

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HYDROGÉOLOGIE GGL 2600

Notes de cours Hiver 2010 René Therrien Département de géologie et de génie géologique

2

Table des mati` eres Avant-propos

i

1 Introduction

1

1.1

Hydrologie et hydrog´eologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Les r´eserves d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

L’utilisation de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Propri´et´es physiques et unit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Notions d’hydrologie 2.1

13

Le cycle de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1

Transformation d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

L’´equation du bilan de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Pr´ecipitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4

2.3.1

Mesure de la pr´ecipitation . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2

´ Evaluation de la lame d’eau pr´ecipit´ee . . . . . . . . . 25

2.3.3

Importance des pr´ecipitations en hydrog´eologie . . . . 26

´ Evaporation et transpiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1

´ Evapotranspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3

` TABLE DES MATIERES

4 2.5

2.6

Infiltration et ´ecoulement de surface . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.1

Capacit´e d’infiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2

D´ebit des cours d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

R´ealimentation des nappes phr´eatiques . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.1

Calcul du volume d’´ecoulement souterrain . . . . . . . 48

2.6.2

Calcul du bilan de l’eau souterraine . . . . . . . . . . . 49

3 Propri´ et´ es physiques 3.1

63

Propri´et´es de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1

Masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.2

Viscosit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.3

Tension superficielle et capillarit´e . . . . . . . . . . . . 67

3.1.4

Compressibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2

Propri´et´es de l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3

Propri´et´es des milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.1

Porosit´e des mat´eriaux g´eologiques . . . . . . . . . . . 71 3.3.1.1

Porosit´e des s´ediments . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.1.2

Porosit´e des roches s´edimentaires . . . . . . . 76

3.3.1.3

Porosit´e des roches plutoniques et m´etamorphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.1.4

Porosit´e des roches volcaniques . . . . . . . . 79

3.3.2

Volume ´el´ementaire repr´esentatif . . . . . . . . . . . . 80

3.3.3

Porosit´e de drainage et r´etention sp´ecifique . . . . . . . 81

3.3.4

La frange capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Principes d’´ ecoulement souterrain

89

` TABLE DES MATIERES 4.1

4.2

4.3

5

Potentiel et charge hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.1.1

´ Energie m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.2

Charge hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.3

Potentiel et charge hydraulique . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.4

Mesure de la charge hydraulique . . . . . . . . . . . . . 96

Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1

Exp´erience de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.2

La loi de Darcy en termes de la charge et du potentiel hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.3

Conditions de validit´e de la loi de Darcy . . . . . . . . 99

4.2.4

D´ebit sp´ecifique et vitesse d’´ecoulement . . . . . . . . . 101

Conductivit´e hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3.1

D´efinition de la conductivit´e hydraulique . . . . . . . . 103

4.3.2

Perm´eabilit´e des s´ediments . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.3

Perm´eabilit´e des roches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.4

Mesure par perm´eam`etres . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.5

D´etermination par m´ethodes empiriques . . . . . . . . 112

4.3.6

Essais en pi´ezom`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 Syst` emes aquif` eres

135

5.1

Description des aquif`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2

Homog´en´eit´e et isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3

Gradient hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4

Transmissivit´e et emmagasinement . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.4.1

Contrainte effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.4.2

Compressibilit´e du milieu poreux . . . . . . . . . . . . 149

` TABLE DES MATIERES

6 5.4.3

Emmagasinement sp´ecifique . . . . . . . . . . . . . . . 151

´ 6 Equations d’´ ecoulement souterrain 6.1

6.2

D´erivation de l’´equation en milieu satur´e . . . . . . . . . . . . 162 6.1.1

Taux d’accumulation de masse provenant de l’´ecoulement163

6.1.2

Variation de la masse emmagasin´ee . . . . . . . . . . . 164

6.1.3

´ Equation d’´ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

D´erivation de l’´equation pour une nappe libre . . . . . . . . . 168 6.2.1

6.3

D´erivation de l’´equation de Dupuit . . . . . . . . . . . 169

Solution de l’´ecoulement en r´egime permanent . . . . . . . . . 171 6.3.1

Solution graphique - R´eseaux d’´ecoulement . . . . . . . 172 6.3.1.1

6.3.2

6.3.3 6.4

161

R´efraction des lignes d’´ecoulement . . . . . . 174

Solutions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.3.2.1

´ Ecoulement dans une nappe captive . . . . . 175

6.3.2.2

´ Ecoulement dans une nappe libre . . . . . . . 176

6.3.2.3

´ Ecoulement dans une nappe libre avec recharge et ´evapotranspiration . . . . . . . . . . . . . . 178

Solution num´erique - Diff´erences finies . . . . . . . . . 180

´ Ecoulement r´egional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4.1

R´egime permanent en nappe libre . . . . . . . . . . . . 184

6.4.2

R´egime permanent en nappe captive . . . . . . . . . . 186

6.4.3

´ Ecoulement transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.4

Les sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.5

Interactions eau souterraine / lacs . . . . . . . . . . . . 189

7 Hydraulique des puits

199

` TABLE DES MATIERES

7

7.1

´ Ecoulement radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.2

´ Ecoulement radial en r´egime permanent

. . . . . . . . . . . . 201

7.2.1

Nappe captive - M´ethode de Thiem . . . . . . . . . . . 201

7.2.2

Nappe libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.2.3

Remarques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.3

Puits dans un champ d’´ecoulement uniforme . . . . . . . . . . 207

7.4

´ Ecoulement radial en r´egime transitoire . . . . . . . . . . . . . 210 7.4.1

7.5

Nappes captives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.4.1.1

M´ethode de Theis . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.4.1.2

M´ethode semi-logarithmique de Jacob . . . . 217

7.4.1.3

M´ethode rabattement-distance . . . . . . . . 220

7.4.2

Nappes semi captives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.4.3

Nappes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.4.3.1

Solution approximative . . . . . . . . . . . . . 229

7.4.3.2

Solution graphique de Neuman . . . . . . . . 230

Superposition et limites d’aquif`eres . . . . . . . . . . . . . . . 232

8

` TABLE DES MATIERES

Liste des figures 1.1

Pourcentage de la population des provinces et territoires canadiens qui utilise l’eau souterraine comme source d’eau potable.

5

1.2

Distribution de l’eau souterraine. . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1

Le cycle global de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Composantes du bilan de l’eau pour un bassin versant . . . . . 18

2.3

Repr´esentation sch´ematique du bilan de l’eau. . . . . . . . . . 20

2.4

Pluviom`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5

Image radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6

Donn´ees climatologiques pour la r´egion de Portneuf, Qu´ebec. . 24

2.7

M´ethodes de calcul de la lame d’eau pr´ecipit´ee . . . . . . . . . 27

2.8

Hydrogramme de puits (Cap-de-la-Madeleine). . . . . . . . . . 28

2.9

Relation entre l’intensit´e de pr´ecipitation, la r´etention, l’infiltration et le ruissellement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

´ 2.10 Ecoulement hypodermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ´ 2.11 Ecoulement de base et gradient hydraulique. . . . . . . . . . . 36 2.12 Variation de l’infiltration dans un sol en fonction de la pr´ecipitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.13 Variation temporelle de la redistribution de l’eau d’une averse d’intensit´e uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9

10

LISTE DES FIGURES 2.14 Hydrogramme de la rivi`ere Caraquet, NB . . . . . . . . . . . . 42 2.15 Hydrogramme de la rivi`ere Caraquet, NB, ´echelle semi-log . . 42 2.16 Contributions `a l’hydrogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.17 Formes des hydrogrammes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.18 M´ethodes de s´eparation graphique de l’hydrogramme. . . . . . 47 2.19 Bilan de l’eau utilis´e pour calculer la recharge des nappes. . . 49 2.20 Coupe verticale sch´ematique d’une halde de roches st´eriles. . . 55 2.21 Vue en coupe d’un aquif`ere de sable le long de la rivi`ere SaintMaurice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.22 Bassin versant du lac K´enogami . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1

Variation de la masse volumique et viscosit´e dynamique de l’eau en fonction de la temp´erature. . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2

Illustration de la viscosit´e des fluides Newtoniens `a partir du d´eplacement de deux plaques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3

Tube capillaire de diam`etre 2r dans lequel il y a une remont´ee hc de liquide par capillarit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4

Arrangements de sph`eres : a) cubique avec n = 47.65% et b) rhombo´edrique avec n = 25.95%. . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5

Exemples de six arrangements diff´erentes de : a) sph`eres et b) r´eseau de pores et porosit´e correspondants. . . . . . . . . . . . 74

3.6

Effets de la distribution granulom´etrique sur la porosit´e. . . . 75

3.7

Augmentation de la porosit´e d’une roche fractur´ee avec l’augmentation de la fracturation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.8

Variations de la propri´et´e P en fonction de l’´echelle de mesure. 81

3.9

Porosit´e de drainage des sols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1

Composantes de la charge hydraulique. . . . . . . . . . . . . . 94

4.2

Relations entre les composantes de la charge hydraulique. . . . 95

LISTE DES FIGURES

11

4.3

Mesure du niveau d’eau dans les pi´ezom`etres. . . . . . . . . . 97

4.4

Configuration de nids de pi´ezom`etres. . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5

Montage exp´erimental pour la loi de Darcy.

4.6

Trajectoires d’´ecoulement d’un fluide pour un ´ecoulement laminaire (A) et turbulent (B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.7

Perm´eabilit´e et conductivit´e hydraulique des roches et des d´epˆots meubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.8

Orientations de fractures.

4.9

Ouverture de fracture compar´ee `a l’´epaisseur ´equivalente d’un milieu poreux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

. . . . . . . . . . 98

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.10 Perm´eam`etre `a charge constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.11 Perm´eam`etre `a charge variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.12 D´etermination de la perm´eabilit´e selon la m´ethode de Masch et Denny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.13 D´efinition des param`etres pour les essais dans les pi´ezom`etres. 117 4.14 Analyse d’essais dans les pi´ezom`etres par la m´ethode de Hvorslev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ´ 4.15 Ecoulement horizontal dans un d´epˆot superficiel non satur´e. . 121 4.16 Vue en coupe de formations g´eologiques et niveaux pi´ezom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.17 Coupe verticale montrant un site d’enfouissement surmont´e d’une membrane d’argile et d’une couche de mat´eriaux granulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.18 Vue en coupe verticale d’un d´epˆot de sable silteux situ´e sur une couche de gravier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.19 Lagunes de Ville Mercier.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.20 Vue en coupe montrant les conditions pi´ezom´etriques au site de Grandes-Piles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.21 Courbe granulom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12

LISTE DES FIGURES 4.22 Conversion de l’´echelle φ `a une longueur en millim`etre. . . . . 130 4.23 Courbe de pr´ediction de la perm´eabilit´e par la m´ethode de Masch et Denny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1

D´efinitions de nappes libres et captives. . . . . . . . . . . . . . 137

5.2

Syst`emes aquif`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3

Exemples de syst`emes aquif`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4

Exemple d’h´et´erog´en´eit´e des aquif`eres. . . . . . . . . . . . . . 141

5.5

Anisotropie des aquif`eres fractur´es . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6

Couches de conductivit´es hydrauliques diff´erentes . . . . . . . 142

5.7

Gradient hydraulique.

5.8

Syst`emes aquif`eres : A) Emmagasinement des aquif`eres captifs et B) libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.9

Valeurs typiques de la compressibilit´e α des mat´eriaux g´eologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.10 Profil du tassement cr´e´e par la surpompage de l’eau souterraine dans la vall´ee de Las Vegas, Nevada. . . . . . . . . . . . 152 5.11 Diagramme de la variation de pression avec la profondeur pour une couche confinante en r´eponse au pompage dans un aquif`ere.152 5.12 Tassement et baisse du niveau de la nappe dans la vall´ee de San Joaquin, Californie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.13 Relation entre le tassement maximum et la baisse maximum du niveau de la nappe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.14 Vue en coupe verticale de 3 formations g´eologiques dans lesquelles il y a ´ecoulement souterrain du haut vers le bas. . . . . 155 5.15 Vue en coupe verticale de 4 formations g´eologiques dans lesquelles il y a ´ecoulement souterrain de la gauche vers la droite. 156 6.1

Volume de contrˆole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

LISTE DES FIGURES

13

6.2

Volume de contrˆole pour l’´ecoulement dans une nappe libre. . 169

6.3

R´eseaux d’´ecoulement pour A) un barrage et B) une palplanche.173

6.4

(A) Exemple de r´efraction des lignes de courant, (B) r´efraction pour K1 ¿ K2 , (C) r´efraction pour K1 À K2 . . . . . . . . . . 174

6.5

R´efraction des ´equipotentielles dans un r´eseau d’´ecoulement. . 175

6.6

´ Ecoulement permanent dans un aquif`ere confin´e d’´epaisseur uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.7

´ Ecoulement permanent dans une nappe libre.

6.8

´ Ecoulement en nappe libre avec recharge et ´evapotranspiration. 179

6.9

Notation des noeuds adjacents du maillage. . . . . . . . . . . . 181

. . . . . . . . . 177

6.10 Limite de flux nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.11 Coin imperm´eable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.12 Lignes ´equipotentielles dans une nappe libre. . . . . . . . . . . 185 6.13 R´eseau d’´ecoulement dans une nappe libre. . . . . . . . . . . . 186 ´ 6.14 Ecoulement r´egional dans des aquif`eres confin´es. . . . . . . . . 187 6.15 Types de sources. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.16 Interaction entre les lacs et l’eau souterraine. . . . . . . . . . . 190 ´ 6.17 Ecoulement r´egional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.18 R´eseau d’´ecoulement sous un barrage. . . . . . . . . . . . . . . 194 6.19 R´eseau d’´ecoulement sous un barrage. . . . . . . . . . . . . . . 194 6.20 G´eom´etrie et limites pour la construction de r´eseaux d’´ecoulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.1

Puits dans une nappe captive d’´epaisseur b. . . . . . . . . . . 202

7.2

Puits dans une nappe libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.3

Observation de la charge hydraulique dans 2 puits d’observation dans une nappe libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

14

LISTE DES FIGURES 7.4

Puits dans un champ d’´ecoulement uniforme, a) coupe verticale et b) vue en plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.5

Forme de la zone d’appel du puits de l’exemple num´erique. . . 211

7.6

Puits dans une nappe captive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.7

Valeur de la fonction W (u) selon u. . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.8

Courbe de Theis de W (u) en fonction de 1/u. . . . . . . . . . 215

7.9

Donn´ees de rabattement mesur´e en fonction du temps lors d’un essai de pompage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.10 Calcul de T et S par la m´ethode graphique de superposition bas´ee sur la solution de Theis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.11 Calcul de T et S par la m´ethode de Jacob. . . . . . . . . . . . 219 7.12 Calcul de T et S par la m´ethode de rabattement-distance. . . 221 7.13 Puits dans une nappe semi captive. . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.14 Graphique de W (u, r/B) en fonction de 1/u pour l’analyse d’essais de pompage en nappe semi captive. . . . . . . . . . . 226 7.15 Valeur de W (u, r/B) selon 1/u pour l’analyse d’essais de pompage en nappe semi captive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.16 Puits dans une nappe libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.17 Courbes types A et B pour la solution de Neuman pour pompage dans une nappe libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.18 A) valeurs des courbes A de W (uA , Γ) et B) valeurs des courbes B de W (uB , Γ) pour la solution de Neuman pour pompage dans une nappe libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.19 Syst`emes `a deux puits pour un aquif`ere (a) avec une limite imperm´eable et (b) avec une limite `a charge constante. . . . . 235 7.20 Effet d’une limite imperm´eable sur le rabattement dans un aquif`ere libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.21 R´eseau d’´ecoulement pour un puits image pompant pour remplacer une limite imperm´eable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

LISTE DES FIGURES

15

7.22 Effet d’une limite `a charge constante sur le rabattement dans un aquif`ere libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.23 R´eseau d’´ecoulement pour un puits image injectant pour remplacer une limite `a charge constante. . . . . . . . . . . . . . . 239 7.24 Effet d’une limite imperm´eable sur le rabattement observ´e dans un puits d’observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.25 Effet d’une limite `a charge constante sur le rabattement observ´e dans un puits d’observation sur graphique log-log. . . . . 240 7.26 Cas plus complexes de limites d’aquif`eres. . . . . . . . . . . . 241 7.27 Configuration de limites et puits. . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.28 Courbes de Theis et courbes pour un aquif`ere fuyant. . . . . . 249 7.29 Courbes pour un aquif`ere `a nappe libre. . . . . . . . . . . . . 250 7.30 Courbes pour un aquif`ere `a nappe libre. . . . . . . . . . . . . 251 7.31 Valeurs de la fonction W (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.32 Valeurs de la fonction W (u) (suite - 1). . . . . . . . . . . . . . 253 7.33 Valeurs de la fonction W (u, r/B). . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.34 Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 1). . . . . . . . . . . 255 7.35 Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 2). . . . . . . . . . . 256 7.36 Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 3). . . . . . . . . . . 257 7.37 Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 4). . . . . . . . . . . 258 7.38 Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 5). . . . . . . . . . . 259

16

LISTE DES FIGURES

Liste des tableaux 1.1

Bilan global de l’eau sur terre. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

D´efinition et unit´es des propri´et´es physiques de base. . . . . .

8

1.3

D´efinition et unit´es des propri´et´es hydrog´eologiques. . . . . . .

9

1.4

D´efinition et unit´es de d´ebit et de flux. . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Mesures de pr´ecipitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1

Pr´ecipitations moyennes pour quelques villes canadiennes. . . 25

2.2

Humidit´e de l’air `a saturation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Consommation de quelques plantes phr´eatophytes. . . . . . . . 31

2.4

Coefficient de correction F pour la formule de Thornthwaite. . 33

2.5

Valeurs typiques des coefficients Ct , Cs , Cc . . . . . . . . . . . . 52

2.6

Grille de calcul de ET R, RAS, et G selon la valeur de D. . . . 53

2.7

Donn´ees hydrom´et´eorologiques, ruisseau des eaux vol´ees, Forˆet Montmorency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.8

Donn´ees climatiques, Cap-de-la-Madeleine. . . . . . . . . . . . 61

3.1

Classification de l’eau selon la concentration en solides dissous. 63

3.2

Propri´et´es typiques de l’eau pure `a 15.5 o C. . . . . . . . . . . 64

3.3

Classification des s´ediments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 17

18

LISTE DES TABLEAUX 3.4

Porosit´e des s´ediments et propri´et´es connexes. . . . . . . . . . 77

3.5

Valeurs typiques de porosit´e pour les roches. . . . . . . . . . . 80

3.6

Porosit´e de drainage typique des mat´eriaux non consolid´es. . . 83

3.7

Hauteur typique de la frange capillaire. . . . . . . . . . . . . . 85

3.8

Mesures de la baisse du niveau de la nappe par secteur. . . . . 87

4.1

Facteurs de conversion de la perm´eabilit´e et de la conductivit´e hydraulique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2

Mesures prises dans 3 pi´ezom`etres. . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3

Mesures prises dans 3 pi´ezom`etres. . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4

Espacement et ouvertures de familles de fractures. . . . . . . . 128

4.5

Observations du niveau d’eau lors d’un essai de perm´eabilit´e. . 132

5.1

Description de forage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.1

Coordonn´ees de la zone d’appel d’un puits en pr´esence d’un ´ecoulement r´egional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.2

Observation dans des puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.3

Donn´ees - Essai de pompage.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.4

Donn´ees - Essai de pompage.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.5

Donn´ees - Essai de pompage.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.6

Donn´ees - Puits images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.7

Donn´ees - Puits de pompage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Avant-propos Vue de l’espace, la terre a une teinte bleut´ee `a cause des vastes ´etendues d’eau qui la couvrent. Ce sont ces vastes quantit´es d’eau qui distinguent la terre des autres plan`etes du syst`eme solaire. L’eau est l’´el´ement essentiel `a toute vie sur terre. Bien qu’un grand nombre de facteurs environnementaux d´eterminent la densit´e et la distribution de la v´eg´etation, le plus important est la quantit´e de pr´ecipitations. L’agriculture peut prosp´erer dans certains d´eserts mais seulement avec l’apport d’eau par pompage dans les nappes souterraines ou par importation d’autres r´egions. Bien des civilisations se sont ´epanouies `a partir du d´eveloppement des ressources en eau et souvent sont disparues quand l’eau a fait d´efaut. Les eaux souterraines repr´esentent le plus grand r´eservoir d’eau potable directement accessible `a l’homme. La croissance de la population et de l’industrialisation m`ene `a une exploitation de plus en plus grande des r´eserves mondiales d’eau souterraine et augmente aussi les risques de contamination de ces eaux. L’utilisation rationnelle et la protection des ressources en eau souterraine requi`erent une connaissance de ph´enom`enes physiques et chimiques qui affectent sa quantit´e et qualit´e. Ce cours pr´esente les principes de base de l’hydrog´eologie, qui est une science `a la fois descriptive et quantitative qui ´etudie les relations entre l’eau souterraine et les mat´eriaux et processus g´eologiques. Ces notes de cours sont une version modifi´ee des notes de cours d´evelopp´ees initialement par le professeur Pierre G´ elinas du d´epartement de g´eologie et de g´enie g´eologique de l’universit´e Laval. Le professeur G´elinas est d´ec´ed´e le 18 janvier 2009 et s’est m´erit´e `a titre posthume le Prix Farvolden pour sa tr`es grande contribution scientifique. L’annonce du prix et le texte pr´esent´e lors de la c´er´emonie de remise du prix sont reproduits dans les pages suivantes. i

ii

AVANT-PROPOS

La Société Canadienne de Geotechnique Division de l’hydrogeologie

Association Internationale des Hydrogéologues Section National Canadienne

2009 Prix Farvolden

Pierre Gélinas
    
        
           

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Bob Betcher, President, IAH-CNC

Dave Rudolph, University of Waterloo

Richard Jackson, Chair, CGS/HGD

Chris Neville, S.S. Papadopulos & Associates

Garth van der Kamp Environment Canada

iii

Robert N. Farvolden Award ` a Pierre J. G´ elinas C´ er´ emonie de remise des prix - GeoHalifax 2009 Texte de R. Lefebvre, R. Martel, R. Therrien, J. Locat, D. Isabel Le Dr. Pierre J. G´elinas est d´ec´ed´e le 18 janvier 2009 entour´e par sa famille `a l’ˆage de 66 ans. Pierre ´etait un ing´enieur g´eologue sp´ecialis´e en hydrog´eologie, en g´enie de l’environnement et en g´eotechnique. Il a obtenu un baccalaur´eat en g´enie g´eologique de l’Universit´e Laval en 1968 et un doctorat en hydrog´eologie et g´eotechnique de l’Universit´e Western Ontario en 1974. Pendant la plus grande partie de sa carri`ere, Pierre a occup´e des postes de professeur, chercheur et administrateur dans le milieu acad´emique, d’abord `a l’Universit´e d’Ottawa (1972-1976), puis pendant pr`es de 30 ann´ees `a l’Universit´e Laval (1976-2004). Durant sont s´ejour `a l’Universit´e Laval, Pierre a ´et´e directeur de 1981 `a 1987 et il est directement responsable de la modernisation des divers programmes d’enseignement et de recherche du d´epartement de G´eologie et de G´enie g´eologique. Apr`es sa retraite du milieu acad´emique, de 2006 `a 2009, Pierre a occup´e le poste de directeur scientifique au sein du groupe sp´ecialis´e en environnement minier chez SNC-Lavalin. This award to Dr. Pierre G´elinas is very well deserved for this ”son of Robert N. Farvolden”. Pierre was a student of Dr. Quigley at Western Ontario University where he benefited from the teaching of Dr. Farvolden who made a strong and lasting impression on Pierre. Even though the naming of the Award after Dr. Farvolden was unanimously favoured, it is little known that Pierre was the first to suggest this naming of the award in a strongly supportive letter. Pierre is considered by many as the ”Father of hydrogeology in Quebec” due both to his broad research interests and the focus he always had on training the next generation of hydrogeologists on a wide variety of topics and using an astonishing range of techniques. Pierre’s expertise spanned both resource hydrogeology and contaminant hydrogeology. As such, he has carried out regional aquifer studies in Canada (Forˆet Montmorency, TroisRivi`eres and Ville Mercier) and internationally (Senegal, Benin and Saudi Arabia), and he studied the processes of infiltration in frozen soils, surface water and groundwater interactions and resources exploitation. Pierre was also a pioneer of contaminant hydrogeology and tackled problems related to road salts, landfill leachate and landfill gas, acid mine drainage in waste rock and especially the behavior and remediation of organic contaminants.

iv

AVANT-PROPOS

Dans le milieu acad´emique, Pierre a contribu´e `a la formation d’une dizaine d’´etudiants au doctorat et de plus d’une cinquantaine d’´etudiants `a la maˆı´ trise en hydrog´eologie et g´enie de l’environnement. Erudit, patient et toujours `a l’´ecoute, Pierre donnait un enseignement rigoureux qui mettait l’emphase sur le d´eveloppement des capacit´es pratiques souvent ax´ees sur une int´egration tant des aspects terrain, analytiques que de mod´elisation des divers ph´enom`enes hydrog´eologiques associ´es. Pierre a toujours eue une approche int´egr´ee dans l’analyse et la r´esolution de divers probl`emes de g´enie. Il a enseign´e plusieurs cours, entre autres Hydrog´eologie, Conception, Gestion et restauration des nappes et Hydrog´eologie des contaminants, un sujet alors en ´emergence qu’il a enseign´e d`es le milieu des ann´ees 1980. En tant que superviseur d’´etudiants de 2e et 3e cycles, Pierre orientait bien les travaux, ´etablissait des conditions facilitant la r´eussite, et surtout, il se montrait tr`es g´en´ereux en laissant tout le champ libre `a l’´etudiant. Pierre a ainsi contribu´e `a la formation d’un tr`es grand nombre d’hydrog´eologues au Qu´ebec. Ces hydrog´eologues travaillent maintenant dans le secteur priv´e, gouvernemental ou acad´emique. Certains d’entre eux ont mˆeme fond´e leur propre firme en hydrog´eologie ou sont devenus professeurs d’hydrog´eologie ou chercheurs `a leur tour. Pendant plus de 20 ans, Pierre a d´evelopp´e des m´ethodes d’investigation de terrains contamin´es par des substances organiques et inorganiques et il a particip´e au d´eveloppement de m´ethodes de traitement des sols contamin´es en utilisant des solutions tensioactives. Il a travaill´e sur plusieurs projets d’envergure en environnement minier, en particulier dans la recherche et le d´eveloppement de m´ethodes de contrˆole des effluents miniers acides. Pierre a aussi fait des travaux de recherche pionniers sur des sujets tr`es vari´es, souvent tr`es longtemps avant que ces sujets soient d’int´erˆet g´en´eral, avec une emphase sur la caract´erisation des conditions sur le terrain. Par exemple, il a caract´eris´e des panaches de lixiviats ´emis par des sites d’enfouissement sanitaire, il a ´evalu´e l’impact des sels d´egla¸cants sur la qualit´e de l’eau souterraine, il a contribu´e `a la g´eothermie des nappes et au transfert de chaleur en relation avec l’´ecoulement des eaux souterraines, il a d´efini les conditions menant `a la production de drainage minier acide dans les haldes `a st´eriles, il a contribu´e au d´eveloppement des concepts de la migration des liquides immiscibles denses dans les aquif`eres, il a contribu´e `a la r´ehabilitation des aquif`eres contamin´es par des produits organiques avec des solutions tensioactives, et il a permis de mieux comprendre la production et la migration des biogaz dans les sites

v d’enfouissement sanitaire. Ainsi, il a non seulement contribu´e `a l’´emergence de l’hydrog´eologie des contaminants, mais aussi `a la compr´ehension de plusieurs approvisionnements en eau souterraine et `a la cartographie r´egionale des aquif`eres. Pierre ne mettait cependant pas beaucoup d’emphase sur la publication de ses r´esultats de recherche qui sont malheureusement trop peu connus. As a hydrogeology and environment specialist, Pierre has also acted as a consultant for governmental agencies (Ministries of Environment, Natural Resources, Transportation, Agriculture, Hydro-Qu´ebec) as well as municipalities and engineering firms. He has often acted as an expert witness in court cases and for public hearings. Pierre was also an involved citizen, notably on the board of the Chaudi`ere River basin council responsible for water management. Pierre was also long involved as a committee member of the Ordre des Ing´enieurs du Qu´ebec. He also served as a member of the NSERC Earth Science committee. Internationally, Pierre had collaborations with 6 countries (Germany, Saudi Arabia, Benin, France, Niger and Senegal). In summary, Pierre has had a major impact on the development of hydrogeology in Quebec and Canada and he has transmitted his knowledge and passion to a large number of the present generation of hydrogeologists. Even after Pierre’s retirement from academia and too early departure, the impact of his career is still strongly felt today and it will be felt by future generations of grandsons of Dr. Farvolden. Pierre G´elinas can thus be considered an important pioneer of hydrogeology in Canada and thus well deserves to be recognized as such through the Robert N. Farvolden Award.

vi

AVANT-PROPOS

Chapitre 1 Introduction 1.1

Hydrologie et hydrog´ eologie

L’hydrologie est l’´etude de l’eau et s’int´eresse `a l’occurrence, `a la distribution, au mouvement et `a la chimie de toutes les eaux terrestres. L’hydrog´eologie est une science `a la fois descriptive et quantitative qui ´etudie les relations entre l’eau souterraine et les mat´eriaux et processus g´eologiques 1 . Dans bien des r´egions du monde, l’eau souterraine est soit la source principale d’eau potable pour les populations, ou mˆeme la seule source d’eau. Elle est aussi en quantit´e limit´ee et elle court de nos jours de graves dangers de contamination par les activit´es humaines. Le d´eveloppement et la gestion des ressources en eau sont des aspects importants de l’hydrog´eologie. L’utilisation du terme hydrologie fait g´en´eralement r´ef´erence `a l’´etude des eaux de surface tandis que le terme hydrog´eologie est presque toujours r´eserv´e `a l’´etude des eaux souterraines. Historiquement, l’hydrologie et l’hydrog´eologie ont ´et´e enseign´ees et pratiqu´ees de fa¸con ind´ependantes, mais ces deux disciplines sont intimement li´ees car les eaux de surface et les eaux souterraines ne sont que deux composantes du cycle global de l’eau sur terre.

1. Le terme g´eohydrologie a d´ej`a ´et´e utilis´e dans le mˆeme sens qu’hydrog´eologie mais n’est plus en usage.

1

2

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

1.1.1

Les r´ eserves d’eau

Le tableau 1.1 dresse le bilan des r´eserves d’eau de la plan`ete et r´ev`ele que l’eau des oc´eans repr´esente 97.2% du total. Les terres ´emerg´ees contiennent 2.8% du total, les inlandsis et les glaciers en retiennent 2.14%, et l’eau souterraine jusqu’`a une profondeur de 4000 m repr´esente 0.61% du total. Les autres r´eservoirs sont l’humidit´e des sols (0.005%), les lacs d’eau douce (0.009%), les rivi`eres (0.0001%) et les lacs d’eau sal´ee (0.008%). Le bilan du tableau 1.1 indique que 99% de toute l’eau sur les terres est emmagasin´ee dans les glaciers ou est sal´ee et n’est donc pas directement utilisable pour la consommation. Seulement un petit pourcentage de la ressource en eau totale du globe est donc utilisable par les humains comme eau douce. Plus de 93% de l’eau douce disponible l’est sous forme d’eau souterraine, ce qui exc`ede de beaucoup le volume de l’eau de surface. En tout temps, seulement 0.001% de toute l’eau est dans l’atmosph`ere. Toutefois, l’eau atmosph´erique circule tr`es rapidement de sorte que chaque ann´ee l’Am´erique du Nord re¸coit une lame d’eau d’environ 75 cm. De cette quantit´e, 55 cm retournent `a l’atmosph`ere par des processus d’´evaporation et de transpiration par les plantes et les autres 20 cm retournent aux oc´eans par les rivi`eres et par ´ecoulement souterrain.

1.2

L’utilisation de l’eau

Un ˆetre humain requiert environ 3 litres d’eau potable par jour pour maintenir les fluides essentiels du corps. Les peuples nomades des r´egions arides survivent avec cette quantit´e comme consommation totale. Le Programme des Nations-Unies pour le D´eveloppement (PNUD) 2 a pour objectif de fournir 20 L/jour d’eau potable par habitant d’une majorit´e de pays en d´eveloppement. Par contraste, le nord-am´ericain typique utilise de 200 `a 300 L/jour pour ses besoins domestiques. Quelques exemples de la consommation d’eau selon l’utilisation domestique sont : • Chasse d’eau : 15-19 L • Douche (5 minutes) : 100 L 2. http ://www.undp.org/french/

1.2. L’UTILISATION DE L’EAU

3

TAB. 1.1 – Bilan global de l’eau sur terre. La hauteur ´equivalente est calcul´ee en supposant une distribution uniforme sur toute la surface de la terre. Un temps de r´esidence repr´esentatif pour chaque composante est indiqu´e, mais les temps de r´esidence peuvent ˆetre tr`es variables.

Origine

Superficie 106 km2

Volume 106 km3

Volume (% total)

361.0 1.55 I, V < D (figure 2.17c) • Seuls le ruissellement et l’´ecoulement hypodermique contribuent `a l’´ecoulement total et il n’y a pas de recharge des nappes souterraines ; 4. P > I, V > D (figure 2.17d) • Apr`es de fortes averses ou `a la fonte de la neige, il y a recharge importante des nappes ; le ruissellement et l’´ecoulement souterrain sont accrus ; une nouvelle courbe de r´ecession se dessine. Plusieurs techniques approximatives permettent de distinguer l’´ecoulement souterrain des autres composantes de l’hydrogramme. On pr´esente ici quelques techniques diff´erentes qui sont illustr´ees `a la figure 2.18. On identifie d’abord un point A qui marque la fin de la r´ecession pr´ec´edant l’averse et un point B correspondant au d´ebut de la nouvelle r´ecession. Le point B est peut ˆetre localis´e en calculant le temps T ∗ avec l’´equation 2.7 ou encore plac´e visuellement. Un troisi`eme point C est d´efini sur un verticale passant par le sommet de la crue. La localisation exacte du point C sur cette ligne verticale d´epend de certains facteurs selon les conditions suivantes : 1. Si le bassin est accident´e, la nappe est pr`es de la surface et les cours d’eau sont effluents, on d´etermine le point C en extrapolant vers l’arri`ere la courbe de r´ecession d’apr`es l’averse jusque sous le pic de crue (figure 2.18a). On rejoint les points A, C et B pour d´efinir la ligne de s´eparation eau souterraine/ruissellement. 2. Pour des cours d’eau influents, une topographie plate et des nappes profondes, on proc`ede comme en (1) mais en extrapolant `a partir du point A (figure 2.18b). 3. Une autre approximation (non montr´ee sur la figure 2.18) consiste `a rejoindre simplement A et B par une droite.

46

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

FIG. 2.17 – Formes des hydrogrammes selon la contribution relative de l’intensit´e de pr´ecipitation, du taux d’infiltration, du volume d’eau infiltr´ee et du d´eficit en humidit´e des sols. (Sur la figure, le taux d’infiltration est donn´e par Fi et le volume d’eau infiltr´e est donn´e par ∆)

´ ´ 2.6. REALIMENTATION DES NAPPES PHREATIQUES

47

Dans l’analyse d’un hydrogramme annuel, la courbe de r´ecession moyenne est souvent choisie comme la droite tangente aux d´ebits d’´etiage lorsque le bassin n’a pas re¸cu de pr´ecipitations importantes pour plusieurs jours ou semaines.

FIG. 2.18 – M´ethodes de s´eparation graphique de l’hydrogramme.

2.6

R´ ealimentation des nappes phr´ eatiques

Quand le front humide atteint la frange capillaire, il d´eplace l’air dans l’espace poreux et fait remonter le niveau de la nappe. Le temps requis pour r´ealimenter les nappes phr´eatiques par infiltration d´epend des propri´et´es du milieu non satur´e et de l’´epaisseur de la zone non satur´ee. La pr´esence de couches plus fines comme des silts et des argiles peut retarder consid´erablement l’infiltration mˆeme si elles sont minces. Le temps requis pour l’infiltration peut n’ˆetre que de quelques heures dans les r´egions humides pour des mat´eriaux grossiers et une surface libre `a faible profondeur. Dans les climats arides o` u les nappes sont profondes, il peut se passer plusieurs ann´ees avant que l’eau n’atteigne la nappe. Le processus d’infiltration par vagues successives ressemble `a un bouchon de trafic qui s’´ecoule lentement. La recharge des nappes peut n’ˆetre que de quelques millim`etres par ann´ee dans les r´egions arides (2.5 mm dans le nord de l’Arizona, quelques dizaines de mm dans plusieurs pays du Sahel) et atteindre 500 `a 600 mm en r´egions humides comme l’est de l’Am´erique du Nord. La r´ealimentation, ou recharge, des nappes phr´eatiques est un ´el´ement important dans le bilan des eaux souterraines. Lorsqu’il y a captage d’eau sou-

48

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

terraine dans un aquif`ere, on doit id´ealement v´erifier si le captage ´epuisera les ressources en eau souterraine. Cette v´erification n´ecessite une connaissance du taux de r´ealimentation des nappes. Malheureusement, il n’existe pas de m´ethode directe de calcul de la r´ealimentation des nappes et il faut utiliser des estimations qui peuvent ˆetre plus ou moins pr´ecises. Dans cette section, deux m´ethodes d’estimation de la r´ealimentation des nappes parmi celles qui existent sont pr´esent´ees. La premi`ere utilise l’hydrogramme d’un cours d’eau pour d´eterminer la composante souterraine d’´ecoulement et la deuxi`eme est bas´e sur l’´equation du bilan de l’eau.

2.6.1

Calcul du volume d’´ ecoulement souterrain

L’´equation de r´ecession de l’´ecoulement souterrain (´equation 2.6) indique que la composante souterraine d’´ecoulement d’un cours d’eau, donn´ee par le d´ebit Q(t), varie de fa¸con exponentielle avec le temps. Un graphique de l’hydrogramme avec le temps t en abscisse (´echelle arithm´etique) et le d´ebit Q en ordonn´ee (´echelle logarithmique) montre que la courbe de r´ecession est une droite (voir l’exemple `a la figure 2.15). En utilisant l’´equation de r´ecession, on peut calculer le volume potentiel total d’eau souterraine Vtp qui serait produit par une r´ecession compl`ete. La valeur de Vtp peut se calculer par la relation suivante : Vtp = Q0

t1 Q0 = 2.3 a

(2.8)

o` u Q0 est l’´ecoulement de base au d´ebut de la r´ecession, t1 est le temps n´ecessaire pour que l’´ecoulement de base passe de Q0 `a 0.1Q0 , a est la constante de r´ecession du bassin qui est calcul´ee avec a = 2.3/t1 ou encore avec la pente de la droite de r´ecession : ln (Q1 /Q2 ) (2.9) a= t2 − t1 En d´eterminant le volume potentiel d’´ecoulement souterrain `a la fin de la r´ecession et ensuite le volume potentiel au d´ebut de la r´ecession suivante, la diff´erence entre ces deux valeurs repr´esente la recharge volum´etrique des eaux souterraines entre les deux r´ecessions, qui est la r´ealimentation de la e d’´ ecoulement souterrain potentiel Qt restant `a un nappe. La quantit´

´ ´ 2.6. REALIMENTATION DES NAPPES PHREATIQUES

49

temps t apr`es le d´ebut de la r´ecession est donn´ee par la relation : Qt =

2.6.2

Vtp Q0 = 10t/t1 a10t/t1

(2.10)

Calcul du bilan de l’eau souterraine

On peut utiliser le bilan hydrologique pour calculer la recharge des nappes. Le calcul de la recharge pr´esent´e ici est bas´e sur la figure 2.19, qui est une version simplifi´ee du bilan montr´e pr´ec´edemment `a la figure 2.3. Le calcul de la recharge consiste donc `a ´evaluer comment est redistribu´ee l’eau des pr´ecipitations, qui constituent la source d’eau pour r´ealimenter les nappes. La proc´edure montr´ee ici est pour un calcul mensuel de la recharge des nappes, mais elle peut ˆetre appliqu´ee pour un intervalle de temps diff´erent. La figure 2.19 montre qu’une partie des pr´ecipitations (P ) formera de l’eau de ruissellement (R) et une autre partie s’infiltrera dans les sols (I). L’eau d’infiltration atteint ensuite le r´eservoir d’eau des sols, o` u on introduit le concept d’eau disponible dans le sol pour les plantes Ss , aussi appel´ee RAS (Readily Available Supply). Selon les conditions de saturation des sols, l’eau d’infiltration pourra soit combler les besoins en humidit´e des sols, soit ˆetre perdue par ´evapotranspiration (ET R) ou soit r´ealimenter la nappe (G).

FIG. 2.19 – Simplification du bilan de l’eau utilis´e pour calculer la recharge des nappes.

50

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

La proc´edure de calcul consiste premi`erement `a ´evaluer quelle partie des pr´ecipitations P s’´ecoule `a la surface sous forme de ruissellement R. Mˆeme si la proportion des pr´ecipitations qui ruisselle varie selon l’intensit´e des pr´ecipitations, on peut supposer que le coefficient de ruissellement C, o` u C = R/P , demeure `a peu pr`es constant pour un bassin hydrologique donn´e. L’infiltration I d’eau dans le sol est donc ´egale `a la diff´erence entre les pr´ecipitations et le ruissellement selon I = P − R = P − CP

(2.11)

L’eau qui s’infiltre dans le sol peut ˆetre utilis´ee de trois fa¸cons : 1) elle peut ˆetre utilis´ee par les plantes et ˆetre ainsi perdue `a l’´evapotranspiration, 2) elle peut servir `a combler un d´eficit dans l’eau emmagasin´ee dans le sol utilisable par les plantes, ou 3) elle peut se rendre jusqu’`a la nappe et augmenter la quantit´e d’eau emmagasin´ee dans l’aquif`ere une fois que les besoins 1 et 2 sont combl´es. La quantit´e d’´evapotranspiration potentielle ET P pour un mois donn´e peut ˆetre calcul´ee par une m´ethode empirique comme celle de Thorntwaite. Il faut noter que l’´evapotranspiration potentielle repr´esente la valeur maximale d’´evapotranspiration pour le mois donn´e et on doit tout de mˆeme calculer l’´evapotranspiration r´eelle ET R dans le sol. La valeur de ET R ne peut d´epasser la somme de l’eau d´ej`a disponible dans le sol (RAS du mois pr´ec´edent = RASi ) et de l’infiltration I (en d’autres mots, il ne peut pas y avoir plus d’´evapotranspiration que d’eau disponible dans le sol), de sorte qu’on ´ecrit ET R = min [ET P, I + RASi ] (2.12) La quantit´e maximale d’eau disponible dans le sol RASmax d´epend de l’´epaisseur de la zone racinaire d et de la diff´erence entre la capacit´e de r´etention du sol CR et le point de fl´etrissement θw RASmax = d (CR − θw )

(2.13)

On utilise souvent une valeur de RASmax de l’ordre de 100 mm lorsque les propri´et´es moyennes des sols dans le bassin ´etudi´e ne sont pas connues assez pr´ecis´ement pour estimer ce param`etre. Un changement dans la quantit´e d’eau emmagasin´ee dans le sol ∆RAS peut r´esulter de l’´evapotranspiration r´eelle jusqu’`a concurrence de la quantit´e d’eau maximale disponible ∆RAS = min [I − ET R, RASmax − RASi ]

(2.14)

´ ´ 2.6. REALIMENTATION DES NAPPES PHREATIQUES

51

L’eau disponible dans le sol RAS `a la fin du mois consid´er´e sera ´egale `a la somme de la quantit´e disponible le mois pr´ec´edent et des changements d’emmagasinement ∆RAS RAS = RASi + ∆RAS

(2.15)

Finalement, une fois que les valeurs de I, ET R et ∆RAS sont d´etermin´ees, on peut calculer la valeur de la recharge des nappes avec l’´equation G = I − ET R − ∆RAS

(2.16)

L’utilisation de l’infiltration d´epend de l’eau disponible dans le sol. Les pr´ecipitations (surtout sous forme de neige) en d´ebut d’ann´ee constituent un surplus qui sert `a alimenter les nappes souterraines puisque le sol contient d´ej`a toute l’eau qu’il peut emmagasiner. En fait, la recharge des nappes se produit au printemps lorsque l’eau accumul´ee sous forme de neige fond. Aussi, durant les mois o` u la temp´erature est au-dessous du point de cong´elation, il n’y a pas de pertes par ´evapotranspiration. Lorsque la temp´erature s’´el`eve au-dessus du point de cong´elation, une partie ou mˆeme toute l’infiltration est utilis´ee par l’´evapotranspiration et il n’y a alors aucune recharge des nappes. Durant cette p´eriode, il y a mˆeme un d´eficit en eau alors que l’infiltration ne suffit pas `a combler la quantit´e d’eau ´evapotranspir´ee. L’eau emmagasin´ee dans le sol est alors utilis´ee pour combler ce d´eficit. Lorsque toute l’eau emmagasin´ee dans le sol a ´et´e utilis´ee, l’´evapotranspiration r´eelle est limit´ee `a la quantit´e d’eau qui s’infiltre mˆeme si l’´evapotranspiration potentielle pourrait ˆetre beaucoup plus ´elev´ee. Lors des mois d’automne, lorsque l’´evapotranspiration diminue, l’infiltration recharge d’abord le d´eficit en eau du sol pour ensuite ˆetre disponible pour la recharge des aquif`eres.

R´ esum´ e du calcul de la recharge Tous les termes sont donn´es en hauteur d’eau ´equivalente, le plus souvent exprim´ee en mm. Le calcul est fait pour chaque mois de l’ann´ee, o` u le mois est indiqu´e par l’indice i. 1. Calcul du ruissellement Ri avec Ri = C · P i

(2.17)

52

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE o` u Pi est la pr´ecipitation pour le mois donn´e et C est le coefficient de ruissellement (0 ≤ C ≤ 1). • On suppose que le coefficient de ruissellement est constant pour le syst`eme ´etudi´e et on calcule C avec l’´equation C = 1 − (Ct + Cs + Cc ) et en utilisant les valeurs typiques des coefficients Ct , Cs , Cc donn´ees dans le tableau 2.5. TAB. 2.5 – Valeurs typiques des coefficients Ct , Cs , Cc .

Coefficient Valeur Type de terrain Ct 0.1 Collines, pente de 30 `a 45 m/km 0.2 Pente moyenne, 3 `a 30 m/km 0.3 Terrain `a pente douce Cs 0.1 Terrain argileux 0.2 Terrain argile et gravier (till) 0.4 Terrain sable et gravier Cc 0.1 Terre agricole, culture 0.2 Forˆet 2. Calcul de l’infiltration Ii dans les sols avec Ii = Pi − Ri

(2.18)

3. Calcul de l’´evapotranspiration potentielle ET Pi `a partir de la formule de Thornthwaite 4. Calcul du d´eficit en humidit´e des sols (Di ) avec Di = RASi−1 + Ii − ET Pi

(2.19)

o` u RAS est la r´eserve en eau facilement accessible dans le sol. • Si on d´ebute le calcul en janvier (pour i = 1), alors on suppose une valeur initiale RASo = RASmax en l’absence de valeur de RAS pour le mois pr´ec´edent. • On d´efinit RASmax comme la r´eserve maximale en eau des sols. En absence de donn´ees, on estime que RASmax correspond `a 10% d’humidit´e dans le premier m`etre de sol (en hiver) et donc RASmax = 100 mm.

´ ´ 2.6. REALIMENTATION DES NAPPES PHREATIQUES

53

TAB. 2.6 – Grille de calcul de ET R, RAS, et G selon la valeur de D.

Valeur de Di Di < 0 Di = 0 0 < Di < RASmax Di > RASmax

Valeurs correspondantes de ET Ri RASi Gi RASi−1 + Ii 0 0 ET Pi 0 0 ET Pi Di 0 ET Pi RASmax Di − RASmax

5. Calcul des valeurs de ET Ri et RASi en fonction de la valeur de Di , selon les indications du tableau 2.6. On calcule finalement la recharge de la nappe Gi pour le mois donn´e aussi selon la valeur de Di , (tableau 2.6).

54

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

Probl` emes 2.1

L’exploitation mini`ere `a ciel ouvert requiert le stockage des roches st´eriles encaissant le minerai. Ces roches st´eriles sont souvent empil´ees `a la surface du sol et ces piles forment des haldes de roches st´eriles. La figure 2.20 illustre sch´ematiquement une vue en coupe d’une halde de st´eriles ayant ´et´e bˆatie sur le sol naturel. L’eau de pluie peut s’infiltrer dans la halde et entrer en contact et r´eagir avec les diff´erents min´eraux pr´esents dans les roches. L’eau qui s’infiltre jusqu’`a la base de la halde peut donc devenir contamin´ee et on l’appelle alors eau de lixiviation, ou lixiviat. Lorsque les roches st´eriles contiennent de la pyrite, son oxydation produit un lixiviat acide selon la r´eaction exothermique suivante : 7 + FeS2 + O2 + H2 O → Fe2+ + 2SO2− 4 + 2H 2 Supposons que, pour une halde de st´eriles comme celle la figure 2.20, on ait mesur´e les param`etres suivants : • Surface au sommet de la halde : 100 000 m2 • Pr´ecipitations annuelles : 0.8 m • Temp´erature moyenne des pr´ecipitations : 5◦ C. • Concentration en sulfate [SO2− a la base de la 4 ] du lixiviat ` halde : 100 000 mg/l. • Temp´erature du lixiviat `a la base de la halde : 15◦ C. ´ `a la surface de la halde : 20% des pr´ecipitations. • Evaporation On fait de plus les hypoth`eses suivantes : • Le ruissellement `a la surface de la halde est n´egligeable. • Aucune plante ne pousse sur la halde et la transpiration est nulle. • La capacit´e de stockage de l’eau dans la halde est atteinte et ne change plus • La halde repose sur un sol naturel qui est `a toutes fins pratiques imperm´eable et l’eau qui s’infiltre dans la halde ressort `a sa base (et ne s’infiltre pas dans le sol naturel).

` PROBLEMES

55

Si on suppose que la capacit´e thermique de l’eau est constante et ´egale `a 4 184 J kg−1 ◦ C−1 , et que sa masse volumique est 1000 kg m−3 , calculez : (a) Le flux volumique (qv ) et massique (qm ) d’eau annuel `a travers la halde. [qv = 0.64 m an−1 , qm = 640 kg m−2 an−1 ] (b) Le flux massique de sulfate. [qSO4 = 64.0 kg m−2 an−1 ] (c) Le flux de chaleur entraˆın´e par l’eau qui sort de la halde. [qchaleur = 26 777 600 J m−2 an−1 ]

FIG. 2.20 – Coupe verticale sch´ematique d’une halde de roches st´eriles.

2.2

2.3

Un petit bassin versant d’une superficie de 5 km2 re¸coit une pr´ecipitation totale de 950 mm/an. L’´evapotranspiration sur tout le bassin est ´evalu´ee `a 525 mm/an. Le bassin poss`ede plusieurs petits lacs dont la superficie totale est de 1.2 km2 . Au cours de la derni`ere ann´ee, les lacs ont vu leur niveau d’eau diminuer de 20 cm par rapport `a l’ann´ee pr´ec´edente. (a) Calculez le changement d’emmagasinement dans les lacs au cours de l’ann´ee. [240 000 m3 ] (b) Calculez le d´ebit moyen du cours d’eau `a la sortie du bassin. Supposez qu’il n’y a pas d’´ecoulement souterrain `a travers les limites du bassin. Supposez aussi que la baisse du niveau d’eau dans les lacs est attribu´ee `a une ´evaporation plus ´elev´ee que la moyenne pour l’ann´ee en question et que l’eau ´evapor´ee ne s’est donc pas rendue `a l’embouchure du cours d’eau. [4.04 m3 min−1 ] Un aquif`ere de sable pr`es de Trois-Rivi`eres affleure le long de la rivi`ere Saint-Maurice sur une distance de 2 km (Figure 2.21). Dans cette zone, l’eau souterraine s’´ecoule vers des sources ou r´esurgences qui sont visibles en bordure de la rivi`ere. Le d´ebit total de toutes les

56

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE r´esurgences sur la distance de 2 km le long de la rivi`ere est de 45 litres/seconde. La pr´ecipitation annuelle dans cette r´egion est de 1000 mm alors que l’´evapotranspiration correspond `a 550 mm/an. (a) Quelle est la superficie minimum que doit avoir l’aquif`ere pour maintenir le d´ebit des sources par infiltration seulement en supposant que le ruissellement en surface est n´egligeable ? [3.15 km2 ] (b) Quel est le flux q d’eau souterraine dans la zone des sources si l’´epaisseur satur´ee de l’aquif`ere est de 10 m en moyenne ? On n´eglige ici l’´ecoulement de l’eau souterraine dans la zone non satur´ee du sable, au-dessus de la nappe. [70.96 m an−1 ]

FIG. 2.21 – Vue en coupe d’un aquif`ere de sable le long de la rivi`ere SaintMaurice. L’aquif`ere repose sur une formation argileuse de faible perm´eabilit´e. La ligne pointill´ee indique la position de la nappe dans l’aquif`ere et la fl`eche indique la direction de l’´ecoulement de l’eau souterraine (Figure modifi´ee de Nastev, M., R. Lefebvre, R. Therrien, P. Gelinas, 2003. Numerical Modeling of Lateral Landfill Gas Migration. Journal of Solid Waste Technology and Management, Vol.29, No.4, pp. 265-276).

2.4

Le bassin du lac K´enogami situ´e au Saguenay a une superficie de 3400 km2 alors que le lac lui-mˆeme, situ´e dans la portion nord du bassin, occupe une superficie de 100 km2 environ (Figure 2.22). Des barrages et des digues sont situ´ees en aval du lac afin de contrˆoler le niveau

` PROBLEMES

57

d’eau. Du 19 au 21 juillet 1996, il est tomb´e 250 mm de pluie dans la r´egion du Saguenay. On estime que les sols dans le bassin du lac K´enogami n’ont pas pu absorber plus que 25 mm de pluie durant cette p´eriode et que tout le reste a ruissel´e vers le lac. On estime aussi que l’´evapotranspiration durant cette p´eriode a ´et´e n´egligeable. (a) Calculez le volume d’eau qui a ´et´e d´evers´e dans le lac par ruissellement `a la suite des pluies du 19 au 21 juillet 1996. [7.4 ×108 m3 ] (b) Si toute l’eau de ruissellement est emmagasin´ee dans le lac, de quelle hauteur va remonter le niveau moyen de l’eau dans le lac ? Tenez aussi compte de la pluie qui est tomb´e directement sur le lac. [7.65 m] (c) En supposant que toute l’eau emmagasin´ee en surplus dans le lac suite aux pluies s’est ´ecoul´ee vers les barrages et digues pendant une p´eriode de 7 jours, calculez le d´ebit moyen d’eau sortant du bassin durant cette p´eriode de 7 jours. [1264 m3 s−1 ] 2.5

Le bassin exp´erimental du Ruisseau des Eaux-Vol´ees dans la Forˆet Montmorency a une superficie de 9.17 km2 et est partiellement bois´e. Le roc affleure en plusieurs endroits et les s´ediments d’origine glaciaire forment une mince couche de 2 `a 3 m`etres d’´epaisseur `a la surface du roc, sauf pr`es des vall´ees o` u ils peuvent atteindre 20 m. Le tableau 2.7 donne, pour la p´eriode du 23 aoˆ ut au 13 octobre 1969, le d´ebit 3 moyen journalier (en m /h) du cours d’eau, mesur´e `a son exutoire, ainsi que la pr´ecipitation en millim`etres pour la superficie totale du bassin exp´erimental. (a) Pour la p´eriode du 5 septembre au 2 octobre, calculez le coefficient d’´ecoulement dans le cours d’eau (Q/P ) en pourcentage de la pr´ecipitation totale re¸cue par le bassin. [P = 151 mm, Q/P = 58%] (b) Construisez l’hydrogramme du cours d’eau sur papier semi-log et s´eparez l’hydrogramme pour mettre en ´evidence la contribu´ tion de l’´ecoulement souterrain de base. Evaluez en pourcentage la contribution de l’´ecoulement souterrain `a l’´ecoulement total mesur´e dans le cours d’eau, pour la p´eriode du 5 septembre au 2 octobre. [Qsouterrain = 495491 m3 , Qsouterrain /Qtotal = 62%]

58

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

FIG. 2.22 – Bassin versant du lac K´enogami. Source de l’image : site web de la cartoth`eque de l’UQAC.

` PROBLEMES

59

(c) Calculez la constante de r´ecession a de la courbe d’´ecoulement ` l’aide de la constante d´etermin´ee ci-dessus, calculez souterrain. A la p´eriode de temps t1 requise pour que l’´ecoulement souterrain diminue par un facteur 10 ? [a = 0.0169 jour−1 ; t = 136 jours] (d) Au 9 septembre, quel est le volume potentiel total Vtp d’´ecoulement souterrain que peut fournir le bassin ? En soustrayant l’´ecoulement souterrain r´esiduel de la r´ecession pr´ec´edente, ´evaluez la hauteur de la lame d’eau qui s’est infiltr´ee dans le bassin au cours de la p´eriode du 5 au 9 septembre 1969. [Vtp = 1320710 m3 ; lame d’eau = 62 mm] (e) Plus tard en septembre, est-ce que les pr´ecipitations ont une influence sur l’´ecoulement souterrain ? Expliquez votre r´eponse. [Pas d’infiltration vers la nappe] 2.6

Les donn´ees climatiques (temp´erature T et pr´ecipitation P ) pour la ville de Cap-de-la-Madeleine sont pr´esent´ees dans le tableau 2.8. La ville est `a la Latitude 47◦ Nord. (a) Calculez l’´evapotranspiration potentielle ET P pour chaque mois et pour toute l’ann´ee (en mm) en utilisant la m´ethode de Thornthwaite. [I = 22.824, a = 0.8688. Exemple pour avril : T = 0.9C, F (λ) = 1.14, i = 0.07, ET P = 8.13 mm] (b) Faites un bilan hydrologique `a partir des donn´ees de pr´ecipitation et des calculs de ET P . Supposez un coefficient de ruissellement C de 0.3 et un emmagasinement maximal d’eau dans le sol (RASmax ) de 75 mm. Calculez le ruissellement (R), l’infiltration (I), l’´evapotranspiration r´eelle (ET R), le changement de l’emmagasinement d’eau dans le sol (∆RAS), l’eau emmagasin´ee dans le sol (RAS) et la recharge de la nappe d’eau souterraine (G) pour chaque mois. Calculez aussi la somme annuelle pour P , R, I, ET P , ET R et G. [Exemple pour avril : I = 37.8 mm, D = 104.67 mm, ET R = 8.13 mm, RAS = 75 mm, G = 29.67 mm] (c) Construisez un graphique o` u seront indiqu´ees en ordonn´ee les valeurs de I, ET P et ET R en fonction du temps en abscisse. Sur le graphique, indiquez les zones qui indiquent un surplus d’eau de pr´ecipitation atteignant la nappe, les zones qui indiquent un d´eficit dans les sols, et les zones qui indiquent l’utilisation d’eau pour l’´evapotranspiration.

60

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

TAB. 2.7 – Donn´ees hydrom´et´eorologiques, ruisseau des eaux vol´ees, Forˆet Montmorency

Jour du mois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

D´ebit (m3 /h)

Pr´ecipitations (mm)

Aoˆ ut Sept. Oct. Aoˆ ut Sept 590 764 0 613 685 0 573 918 0 549 763 0 528 669 29 2400 630 18 2160 588 19 2410 678 13 2540 602 4 1720 563 1 1240 534 2 1420 527 15 1610 601 0 1040 0 935 5 1380 17 2040 0 1150 0 931 0 859 0 806 0 756 0 921 719 1 0 846 765 1 4 796 782 0 0 729 712 2 2 678 670 0 7 630 1000 0 6 610 992 0 0 600 803 0 3 580 2

Oct. 0 6 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0

` PROBLEMES

61

(d) Combien d’eau est disponible pour la recharge des nappes souterraines et `a quelle p´eriode de l’ann´ee la recharge se fait-elle ? [220.92 mm] TAB. 2.8 – Donn´ees climatiques, Cap-de-la-Madeleine.

Mois T (o C) P (mm) Janvier -9.8 76 F´evrier -9.2 76 Mars -4.8 68 Avril 0.9 54 Mai 6.6 62 Juin 12.7 80 Juillet 16.4 87 Aoˆ ut 16.3 74 Septembre 11.9 72 Octobre 6.2 74 Novembre -0.2 62 D´ecembre -6.9 75

62

CHAPITRE 2. NOTIONS D’HYDROLOGIE

Chapitre 3 Propri´ et´ es physiques 3.1

Propri´ et´ es de l’eau

L’eau souterraine est compos´ee en majorit´e d’eau pure (H2 O) avec des traces de substances dissoutes qui sont principalement des ions provenant de la dissolution des min´eraux formant les milieux poreux. On utilise souvent une classification comme celle du tableau 3.1 pour d´esigner le type d’eau. Bien que l’on puisse retrouver dans la nature de l’eau souterraine ayant la composition de l’un ou l’autre des types d’eau du tableau 3.1, nous allons ici consid´erer `a moins d’indication contraire les propri´et´es de l’eau pure comme repr´esentatives de l’eau souterraine. Les propri´et´es sont montr´ees au tableau 3.2 et sont pr´esent´ees avec plus de d´etails dans ce qui suit.

Type d’eau

Solides dissous totaux (mg L−1 ou g m−3 ) Eau douce 0 − 1000 Eau saumˆatre 1000 − 10000 Eau sal´ee 10000 − 100000 Saumure > 100000 TAB. 3.1 – Classification de l’eau selon la concentration en solides dissous.

63

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

64 Propri´et´e Densit´e

Symbole ρw

Dimensions M L−3

Poids volumique Compressibilit´e Viscosit´e dynamique

γw = ρ w g β µ

M L−2 T−2 L T2 M−1 M L−1 T−1

Tension superficielle

τ

M T−2

Valeur 1000 kg m−3 (1.00 g cm−3 ) 9810 N m−3 4.4 × 10−10 m−2 N 1.124 × 10−3 N s m−2 (1.124 cP) 74 × 10−3 N·m−1

TAB. 3.2 – Propri´et´es typiques de l’eau pure `a 15.5 o C.

3.1.1

Masse volumique

Pour ´etudier les propri´et´es de l’eau souterraine, nous utilisons souvent les concepts de masse volumique et de poids volumique. La masse volumique d’un fluide, ρ [M L−3 ], est sa masse (m) par unit´e de volume (V ) : ρ=

m V

(3.1)

La masse volumique est souvent exprim´ee en unit´es de g cm−3 ou en kg m−3 . La figure 3.1 illustre la variation de la masse volumique de l’eau selon la temp´erature. Le poids volumique (poids unitaire, poids sp´ecifique), γ, est le poids w (o` u w = mg) par unit´e de volume (V ). γ=

w V

(3.2)

On exprime le poids volumique en N m−3 . Il peut varier selon la position sur la terre parce que g n’est pas constant.

3.1.2

Viscosit´ e

Quand l’eau souterraine se d´eplace dans un milieu poreux, il y a des forces qui r´esistent au mouvement de l’eau. Il y a des contraintes de cisaillement qui agissent tangentiellement `a la surface des solides et des contraintes

´ ES ´ DE L’EAU 3.1. PROPRIET

65

FIG. 3.1 – Variation de la masse volumique et viscosit´e dynamique de l’eau en fonction de la temp´erature.

normales qui agissent perpendiculairement `a la surface. Collectivement, ces forces repr´esentent la friction. L’attraction mol´eculaire `a l’int´erieur mˆeme du fluide r´esiste au mouvement des mol´ecules du fluide les unes par rapport aux autres. Cette r´esistance au cisaillement est la viscosit´ e du fluide. La figure 3.2 montre le comportement d’un fluide newtonien lorsqu’il est mis en mouvement. Le fluide se trouve entre deux plaques, distanc´ees d’une valeur Y , qui peuvent ˆetre d´eplac´ees l’une par rapport `a l’autre (Figure 3.2a). Originalement (t < 0) , lorsque les deux plaques sont au repos, le fluide a une vitesse nulle partout entre les deux plaques (Figure 3.2b). Au temps initial (t = 0), la plaque inf´erieure est mise en mouvement `a une vitesse V alors que la plaque sup´erieure demeure stationnaire (Figure 3.2c). Le fluide est alors mis en mouvement et, durant une courte p´eriode transitoire, seul le fluide pr`es de la plaque inf´erieure se d´eplace (Figure 3.2d). Durant cette p´eriode, la vitesse du fluide d´epend de la position horizontale x et augmente dans le temps t (vx = f (x, t)). La mouvement du fluide dans la partie inf´erieure entraˆıne le fluide adjacent au repos grˆace aux forces de viscosit´e jusqu’`a ce qu’un r´egime permanent soit ´etabli (Figure 3.2e) o` u la vitesse varie lin´eairement en fonction de l’´el´evation y entre les plaques (vx = f (y)). La vitesse du fluide

66

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

varie donc alors de V au contact avec la plaque inf´erieure (y = yo =0) `a z´ero au contact avec la plaque sup´erieure (y = Y ).

FIG. 3.2 – Illustration de la viscosit´e des fluides Newtoniens `a partir du d´eplacement de deux plaques.

Une force constante F (N ou kg·m·s−2 ) est requise pour maintenir le mouvement de la plaque inf´erieure. Cette force est proportionnelle `a la diff´erence de vitesse entre les plaques V [L T−1 ] et `a la distance entre les deux plaques Y [L], tel que F ∆V V = −µ = −µ (3.3) A ∆Y Y o` u A est l’aire des plaques [L2 ]. La constante de proportionnalit´e est la viscosit´e µ (Pa·s ou N·s·m−2 ou kg·m−1 ·s−1 ). La viscosit´e de l’eau varie avec la temp´erature (figure 3.1) et on utilise souvent en hydrog´eologie la valeur pour l’eau pure `a 15.5 o C, qui est 1.124 centipoises (tableau 3.2). e qui est applicable aux Cette relation est la loi de Newton de la viscosit´

´ ES ´ DE L’EAU 3.1. PROPRIET

67

gaz et aux fluides simples (dits newtoniens). On peut exprimer cette loi en termes diff´erentiels plus g´en´eraux : τx = −µ

dvx dy

(3.4)

o` u τx est la contrainte de cisaillement (Pa) exerc´ee dans la direction x, sur une surface de fluide d’´el´evation y constante, par le fluide de la r´egion inf´erieure `a y, vx [L T−1 ] est la composante en x de la vitesse du fluide, et dvx /dy [T−1 ] est le gradient de la vitesse du fluide selon y. La contrainte de cisaillement τx peut aussi ˆetre interpr´et´ee comme le flux visqueux de vitesse de d´eplacement (ou moment) dans la direction y caus´e par la transmission dans le fluide du mouvement des particules inf´erieures. Ce flux est dans la direction de vitesse d´ecroissante d’o` u le signe n´egatif pour un d´eplacement positif vers le haut (y croissant). La viscosit´e µ d´efinie en 3.4 est plus pr´ecis´ement nomm´ee la viscosit´ e dynamique. La viscosit´ e cin´ ematique υ [L2 T−1 ] tient aussi compte de la masse volumique du fluide (ρ) et est d´efinie comme suit : υ=

3.1.3

µ ρ

(3.5)

Tension superficielle et capillarit´ e

Si les pressions de fluide sont mesur´ees au-dessus de la surface libre, elles seront n´egatives par rapport `a la pression atmosph´erique locale. Le fluide est alors en tension. L’air peut aussi ˆetre pr´esent dans les vides au-dessus de la surface libre. La pression d’air est ´egale `a la pression atmosph´erique au-dessus de la surface libre. De la vapeur d’eau est aussi pr´esente dans les vides de la zone non satur´ee. Les mol´ecules d’eau `a la surface libre sont sujets `a une attraction vers le haut caus´ee par la tension superficielle de l’interface eau-air et l’attraction mol´eculaire des phases liquides et solides. C’est le ph´enom`ene de capillarit´ e (figure 3.3). Dans un tube de petit diam`etre, la surface du liquide prend la forme d’une surface d’aire minimum. L’attraction du solide sur le liquide tirera le liquide

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

68

FIG. 3.3 – Tube capillaire de diam`etre 2r dans lequel il y a une remont´ee hc de liquide par capillarit´e.

vers le haut du tube. La force d’ascension sera ´eventuellement contrebalanc´ee par le poids de la colonne d’eau. L’eau est alors en tension et ainsi `a une pression inf´erieure `a la pression atmosph´erique. Pour l’eau pure `a 20o C remontant dans un tube en verre propre, cet ´equilibre est donn´e par la relation suivante : 2πrτ cos α = πr2 hc ρg

(3.6)

o` u hc est la hauteur de la remont´ee capillaire au dessus de la surface libre en cm, r est le rayon du tube capillaire (cm), α est l’angle de contact entre le liquide et le solide (on suppose ici que α = 0o entre l’eau et le verre), et τ est la tension superficielle de l’eau (74 × 10−3 N·m−1 ou 74 dyne/cm). Le cˆot´e gauche de l’´equation repr´esente les forces d’ascension du fluide provenant de la tension superficielle et le cˆot´e droit est la poids du liquide. De cette ´equation, on tire : 0.153 hc = (3.7) r

3.1.4

Compressibilit´ e

Une contrainte est appliqu´ee `a un fluide par la pression du fluide p, qui est une force appliqu´ee sur une surface. Une augmentation de pression dp conduit `a une diminution de volume dVw d’une masse d’eau donn´ee. La compressi-

´ ES ´ DE L’EAU 3.1. PROPRIET

69

bilit´ e de l’eau β est d´efinie comme suit : β=−

dVw /Vw dp

(3.8)

o` u le signe n´egatif est ajout´e pour obtenir des valeurs positives de β puisque dVw est n´egatif pour une augmentation de la pression dp. Cette expression indique une relation lin´eaire entre la d´eformation et la contrainte. Cette relation est suppos´ee constante pour les valeurs de pression g´en´eralement consid´er´ees en hydrog´eologie. Puisque l’influence de la temp´erature est n´egligeable, la valeur de β pour l’eau est suppos´ee constante `a 4.4 × 10−10 Pa−1 . Pour une masse donn´ee d’eau, β peut ˆetre exprim´ee en fonction de la masse volumique du fluide plutˆot que de son volume. La masse volumique de l’eau (ρw ) est : Mw ρw = (3.9) Vw Si la masse d’eau consid´er´ee est constante, le changement de masse et de volume s’exprime comme suit : ρw Vw = M = constante

donc

d(ρw Vw ) = 0

(3.10)

et par d´erivation en chaˆıne, on ´ecrit Vw dρw + ρw dVw = 0

(3.11)

La relation entre le changement de volume et le changement de masse volumique est donc : dρw dVw = −Vw (3.12) ρw dVw dρw =− (3.13) Vw ρw La compressibilit´e de l’eau peut alors s’exprimer en fonction de la masse volumique de l’eau : dρw /ρw (3.14) β= dp L’expression pr´ec´edente peut ˆetre utilis´ee pour d´eriver la fonction d’´ etat de l’eau qui relie la masse volumique de l’eau ρw et sa pression p, connaissant

70

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

sa masse volumique initiale ρwo , `a la pression atmosph´erique po . On peut transformer la relation pr´ec´edente pour s´eparer les variables : βdp =

dρw ρw

(3.15)

On int`egre l’expression de la pression et masse volumique initiales `a la pression et masse volumique recherch´ees : Z p po

βdp =

Z ρw dρw ρwo

(3.16)

ρw

La r´esolution de l’int´egration suit : Ã

β(p − po ) = ln ρw − ln ρwo

ρw = ln ρwo

!

(3.17)

ρw = ρwo eβ(p−po )

(3.18)

ρw (p) = ρwo eβp

(3.19)

et donc o` u p est la pression mesur´ee par rapport `a la pression atmosph´erique.

3.2

Propri´ et´ es de l’air

Dans la zone non satur´ee, les pores sont remplis d’eau et d’air. En hydrog´eologie, on suppose souvent que l’air n’offre aucune r´esistance `a l’´ecoulement de l’eau souterraine et que son influence est donc n´egligeable. Cependant, certaines applications en hydrog´eologie n´ecessitent une connaissance des propri´et´es physiques et chimiques de l’air. Nous allons donc en mentionner quelques unes. La pression atmosph´erique `a la surface de la terre, au contact avec les eaux souterraines, varie selon la temp´erature et l’´el´evation. Pr`es du niveau de la mer, la pression atmosph´erique diminue de 15% par kilom`etre d’augmentation de l’altitude. La pression atmosph´erique moyenne au niveau de la mer est 1.013 × 105 N m−2 , ou encore 101.3 kPa. Exprim´ee avec d’autres unit´es, cette pression moyenne est 1 atm (atmosph`ere), 1.1013 bar ou 760 mm Hg (mercure).

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

71

La pression de l’eau souterraine est souvent exprim´ee non pas comme une pression absolue mais plutˆot comme une pression manom´etrique (gauge pressure) qui est la diff´erence de pression entre l’eau et la pression atmosph´erique telle que mesur´ee par un manom`etre. Si par exemple la pression atmosph´erique est 1.01 × 105 N m−2 et que l’on mesure une pression manom´etrique d’eau de 35 000 N m−2 , la pression absolue de l’eau sera donc 1.36 × 105 N m−2 .

3.3 3.3.1

Propri´ et´ es des milieux poreux Porosit´ e des mat´ eriaux g´ eologiques

Au moment o` u elles se forment, certaines roches contiennent des espaces vides alors que d’autres sont solides. Les roches qu’on retrouve pr`es de la surface de la terre ne sont pas totalement solides. Les processus physiques et chimiques d’alt´eration les d´esint`egrent et d´ecomposent continuellement pour cr´eer des vides. Les petits mouvements des masses de roches pr`es de la surface sont ´egalement responsables de fractures et fissures qui aussi forment des vides. Les s´ediments sont des assemblages de grains individuels d´epos´es par l’eau, l’air, la glace ou la gravit´e. On nomme pores les espaces vides entre les grains des s´ediments. Le terme milieu poreux est couramment utilis´e pour d´esigner les roches et s´ediments avec porosit´e d’interstices. Les roches qui n’ont pas de porosit´e d’interstices forment les milieux fractur´ es alors que les roches solubles comme les calcaires, marbres ou gypses sont des milieux `a porosit´e de conduits ou porosit´e en grand. La r´epartition des vides dans les roches et s´ediments, la taille des vides, et leur proportion dans un volume donn´e contrˆolent directement la distribution et le mouvement de l’eau dans les mat´eriaux g´eologiques. La porosit´ e totale n des mat´eriaux est d´efinie comme le rapport du volume des vides ou pores au volume total de l’´echantillon. On la d´efinit selon la relation suivante : Vv (3.20) n= V o` u n est la porosit´e (on multiplie par 100 pour l’exprimer en %), Vv est le

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

72

volume des vides dans un volume unitaire de mat´eriau et V est le volume unitaire du mat´eriau qui comprend les solides et les vides. La porosit´e est d´etermin´ee en laboratoire en prenant un ´echantillon de volume V connu. L’´echantillon est s´ech´e `a l’´etuve `a 105o C jusqu’`a un poids constant. Cette proc´edure fait disparaˆıtre l’humidit´e qui colle aux parois des particules mais pas l’eau d’hydratation qui fait partie de certains min´eraux (gypse par exemple). L’´echantillon s´ech´e est ensuite submerg´e dans un volume d’eau connu et laiss´e dans un contenant ferm´e jusqu’`a ce qu’il soit satur´e. Le volume des vides Vv est ´egal au volume original d’eau moins le volume d’eau du contenant apr`es qu’on a enlev´e l’´echantillon satur´e. Cette m´ethode exclut les pores qui ne sont pas assez grands pour contenir des mol´ecules d’eau et ceux qui ne sont pas interconnect´es. Pour les mat´eriaux tr`es fins comme les silts et les argiles, on utilise aussi l’indice des vides, qui tient compte des variations du volume total avec la teneur en eau. Les mat´eriaux fins sont souvent tr`es compressibles et on pr´ef`ere parfois rapporter le volume des vides `a un volume de solides, Vs , constant. L’indice des vides, e, est d´efini comme suit : e=

Vv Vs

(3.21)

Puisque V = Vv + Vs , on peut facilement d´emontrer que : n=

e e+1

(3.22)

e=

n 1−n

(3.23)

et

Bien qu’utilis´e principalement pour les mat´eriaux fins, l’indice des vides s’utilise aussi pour les mat´eriaux plus grossiers. Notons qu’on peut aussi d´efinir une porosit´ e cin´ ematique, nc , aussi appel´ee porosit´ e efficace, ne , qui est utile dans la d´etermination de la vitesse r´eelle d’´ecoulement en milieu poreux. La porosit´e cin´ematique est d´efinie comme : nc =

Volume d’eau capable de circuler Volume total de la roche

(3.24)

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

73

La porosit´e cin´ematique de mat´eriaux grossiers (sable, gravier) est semblable `a la porosit´e totale alors qu’elle peut ˆetre plus petite que la porosit´e totale pour les mat´eriaux plus fins (silt, argile). Cependant, il est difficile en pratique d’´evaluer la porosit´e cin´ematique et on utilise la plupart du temps la porosit´e totale. 3.3.1.1

Porosit´ e des s´ ediments

La porosit´e des s´ediments s’explique par les espaces vides entre les particules de solides. Si les fragments ´etaient des sph`eres d’´egal diam`etre (figure 3.4a), on pourrait les disposer r´eguli`erement sur les arˆetes d’un cube pour obtenir la porosit´e maximum de 47.65%. Si les sph`eres sont arrang´ees de mani`ere plus compacte (arrangement rhombo´edrique, comme `a la figure 3.4b), la porosit´e devient 25.95%.

FIG. 3.4 – Arrangements de sph`eres : a) cubique avec n = 47.65% et b) rhombo´edrique avec n = 25.95%.

Ces deux arrangements repr´esentent les extrˆemes de porosit´e pour des configurations r´eguli`eres de sph`eres identiques qui touchent `a tous leurs voisins imm´ediats. Le diam`etre des sph`eres n’influence pas la porosit´e totale mais seulement la dimension ou le volume de chaque pore. Ainsi, la porosit´e de s´ediments bien tri´es compos´es de fragments arrondis de diam`etre semblable ne d´epend pas de la taille des particules et tombe dans l’intervalle de 26 `a 48% selon l’arrangement des particules (figure 3.5). La masse volumique d’un s´ediment est un indice de sa porosit´e. Comme la masse volumique d´epend du mode de mise en place, la porosit´e varie entre des s´ediments de plage, ´eoliens, glaciaires, ou fluviaux.

74

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

FIG. 3.5 – Exemples de six arrangements diff´erentes de : a) sph`eres et b) r´eseau de pores et porosit´e correspondants.

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

75

Si le s´ediment est compos´e de plusieurs tailles de particules, sa porosit´e diminue (figure 3.6). Les particules plus fines ont tendance `a migrer dans les espaces entre les particules plus grosses. Plus la granulom´etrie des s´ediments est ´etal´ee, moins la porosit´e sera grande. Les agents g´eologiques peuvent trier les s´ediments de sorte que leurs dimensions soient semblables : le vent, l’eau courante, l’action des vagues sont des exemples. D’autres processus comme l’action des glaciers ou les glissements de terrain donnent des mat´eriaux avec une grande vari´et´e de tailles de particules de faible porosit´e.

FIG. 3.6 – Effets de la distribution granulom´etrique sur la porosit´e. Le s´ediment en A) est bien tri´e et sa porosit´e est plus ´elev´ee que celle du s´ediment en B), qui est une combinaison de grains de tailles diff´erentes.

En plus du tri, la porosit´e des s´ediments est affect´ee par la forme des grains. Les grains arrondis se rapprochent d’une sph`ere mais beaucoup de grains ont des formes irr´eguli`eres. Les particules arrondies forment des assemblages plus compacts et ont une porosit´e plus faible que les fragments anguleux et irr´eguliers. La fabrique et l’orientation des particules affectent aussi la porosit´e. On classe les s´ediments en fonction de la taille (diam`etre) des grains individuels. Plusieurs classifications sont en usage selon les disciplines d’´etude (g´eologie, g´eotechnique, p´edologie). L’´echelle de Wentworth utilis´ee en s´edimentologie est bas´ee sur une progression g´eom´etrique `a base 2 ou 1/2 et utilise l’´echelle φ. La variable φ est d´efinie par φ = −log2 d, o` u d est le diam`etre des grains exprim´e en mm. L’´echelle M.I.T. est plus utilis´ee en g´eotechnique. Les limites de classes dans les deux cas sont indiqu´ees au tableau 3.3. Les argiles, les sols riches en argile ou en mati`ere organique peuvent avoir des porosit´es tr`es ´elev´ees. Les sols organiques se compactent mal `a cause de la

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

76 Classe

Dimensions

Gravier et blocs > 2 mm Sable 0.6 `a 2 mm Silt 2 `a 62 µm Argile < 2 µm TAB. 3.3 – Classification des s´ediments.

forme irr´eguli`ere des d´ebris. Les argiles se pr´esentent souvent en plaquettes qui peuvent se repousser les unes les autres pour atteindre une porosit´e ´elev´ee. Le tableau 3.4 donne les valeurs repr´esentatives des propri´et´es reli´ees `a la porosit´e de diff´erents types de s´ediments. Notons que la masse volumique globale, ρb , est donn´ee par : ρb = nρw + (1 − n)ρs

(3.25)

o` u ρw et ρs sont la masse volumique de l’eau et des solides, respectivement. Pour un mat´eriel compl`etement satur´e en eau, la teneur en eau, w, est donn´ee par : Mw nρw w= = (3.26) Ms (1 − n)ρs o` u Mw et Ms sont la masse d’eau et de solide, respectivement. 3.3.1.2

Porosit´ e des roches s´ edimentaires

Les roches s´edimentaires sont form´ees `a partir de s´ediments par des processus de diag´en`ese. Lors de leur enfouissement, les s´ediments sont soumis `a des pressions caus´ees par le poids des mat´eriaux sus-jacents et se transforment sous l’effet des r´eactions physico-chimiques avec les fluides contenus dans les pores. Les processus de compaction, d’´erosion, de pr´ecipitation chimique, et de transformations min´eralogiques affectent les propri´et´es des roches. La compaction r´eduit le volume des pores par r´earrangement des grains et en modifiant leur forme. Le d´epˆot de ciments comme la calcite, la dolomite et la silice dans l’espace poreux r´eduit la porosit´e des roches alors que la dissolution des carbonates et autres min´eraux solubles peut entraˆıner une augmentation de porosit´e.

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

Description

Sable uniforme lˆache Sable uniforme dense Sable non uniforme lˆache Sable non uniforme dense Till tr`es h´et´erog`ene Argile glaciaire molle Argile glaciaire raide Argile molle peu organique Argile molle tr`es organique Bentonite

77

Porosit´e n (%)

Indice des vides e

Teneur en eau satur´ee w (%)

Masse volumique globale ρb (g/cm3 )

46 34 40 30 20 55 37 66 75 84

0.85 0.51 0.67 0.43 0.25 1.20 0.60 1.90 3.00 5.20

32 19 25 16 9 45 22 70 110 194

1.89 2.09 1.99 2.16 2.32 1.77 2.07 1.58 1.43 1.27

TAB. 3.4 – Porosit´e des s´ediments et propri´et´es connexes.

Les structures primaires h´erit´ees de la s´edimentation sont souvent pr´eserv´es dans la roche. La porosit´e d’un gr`es par exemple est affect´ee par la granulom´etrie, le classement des particules, la forme des grains et la texture du s´ediment initial. En r`egle g´en´erale, la diag´en`ese diminue la porosit´e des s´ediments initiaux lors de la formation des roches ; cela est surtout ´evident pour les roches clastiques de texture fine (silts et argiles). Les roches observ´ees pr`es de la surface sont habituellement fractur´ees `a des degr´es divers. La fracturation peut ˆetre limit´ee `a des diaclases tr`es espac´ees ou `a l’extrˆeme la roche peut ˆetre compl`etement broy´ee comme dans les br`eches de failles. La fracturation cause la porosit´ e secondaire (Figure 3.7). L’eau se distribue dans ces deux domaines de porosit´e et l’´ecoulement souterrain dans ces mat´eriaux peut ˆetre assez complexe `a d´efinir `a cause de la nature des ouvertures par lesquelles les fluides circulent. Le passage de l’eau peut aussi amener un ´elargissement des fractures surtout si la roche est soluble. Dans les s´ediments fins, la fracturation peut r´esulter de fissures de retrait lors de la dessication des s´ediments. Les causes principales de fracturation demeurent les d´eformations, failles, plis, glissements et mouvements tectoniques qui affectent les roches non plastiques. La fracturation pour les roches s´edimentaires `a granulom´etrie fine est la source de porosit´e secondaire significative.

78

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

Les calcaires et dolomies sont des exemples courants de roches s´edimentaires d’origine chimique ou biochimique. Le gypse, la halite et autres ´evaporites sont d’autres exemples communs de pr´ecipit´es chimiques. Le processus de pr´ecipitation ´etant r´eversible, la roche peut se dissoudre en un point et repr´ecipiter ailleurs si les conditions sont favorables. Pr`es de la surface, les eaux d’infiltration sont souvent l´eg`erement acides (pH de 5 `a 6) de sorte que la dissolution ´elargit les diaclases, joints et plans de stratification des roches solubles pour cr´eer une porosit´e de chenaux qui peut atteindre des dimensions gigantesques (cavernes et grottes). Dans les karsts, on observe aussi des d´epˆots de repr´ecipitation lorsque la solution devient satur´ee ou que le pH est suffisamment ´elev´e (formation de stalactites par exemple). La porosit´e des roches s´edimentaires est tr`es variable : pour la plupart des roches clastiques, elle varie entre 3% et 30%. Pour les calcaires et dolomies, la porosit´e varie entre 1% et 30% mais les valeurs les plus habituelles se situent souvent en dessous de 10%.

3.3.1.3

Porosit´ e des roches plutoniques et m´ etamorphiques

Les roches plutoniques (form´ees `a partir d’intrusions magmatiques) et les roches m´etamorphiques ont une porosit´e faible. Il n’y a pratiquement pas d’espace vide entre les cristaux et en l’absence de fracturation ou d’alt´eration, la porosit´e est nulle `a toutes fins pratiques. Les roches tr`es m´etamorphis´ees ont aussi un porosit´e tr`es faible. Les processus de fracturation apportent une porosit´e secondaire de faible amplitude mais qui peut ˆetre tr`es significative dans le contrˆole du mouvement de l’eau souterraine (Figure 3.7). L’ouverture des fractures et leur espacement sont les deux facteurs critiques. La fracturation provient de l’´erosion en surface (lib´eration des contraintes) et de forces tectoniques (failles, plissements, compression et d´ecompression). Pr`es des zones de cisaillement, la fracturation peut ˆetre assez intense pour broyer la roche. Dans les roches dures et comp´etentes, on observe souvent trois familles de fractures qui sont mutuellement perpendiculaires. La fracturation peut augmenter la porosit´e de 2 `a 5% pour les roches cristallines. L’alt´eration des roches se produit en surface surtout mais peut se d´evelopper dans les zones de faiblesse de la roche (cisaillement, failles, plis) en acc´el´e-

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

79

FIG. 3.7 – Augmentation de la porosit´e d’une roche fractur´ee avec l’augmentation de la fracturation.

rant la circulation d’eau. L’alt´eration intense des roches ign´ees et m´etamorphiques peut amener des porosit´es de 30 `a 60% . Les zones min´eralis´ees des roches ign´ees ont souvent une porosit´e plus grande qui peut s’expliquer par la circulation de fluides min´eralisateurs ou par l’alt´eration pr´ef´erentielle des min´eraux m´etalliques.

3.3.1.4

Porosit´ e des roches volcaniques

Les roches volcaniques ont des compositions semblables aux roches ign´ees mais se sont form´ees en surface en subissant un refroidissement rapide. La porosit´e varie beaucoup selon qu’il s’agit de sills, de dikes, de laves et de d´ebris non consolid´es (cendres volcaniques, par exemple). Le refroidissement rapide des laves permet de pr´eserver la pr´esence de v´esicules ou petites bulles au sommet des coul´ees de laves. Ces cavit´es ne sont souvent pas tr`es significatives pour l’´ecoulement parce qu’elles ne sont pas en interconnexion. Les coul´ees de laves forment habituellement une croˆ ute qui se brise ensuite en blocs pour donner une porosit´e qui localement est semblable `a celle des s´ediments. Les tunnels de lave peuvent ˆetre pr´eserv´es et former de v´eritables cours d’eau souterrain. Les coul´ees qui empruntent des vall´ees recouvrent des d´epˆots d’alluvions ce qui donne localement des porosit´es tr`es ´elev´ees. Les roches volcaniques de type basaltique ont des porosit´es typiques

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

80 Type de roche

S´edimentaires Calcaires, dolomies primaires Dolomies secondaires Shales Craies Gr`es Plutoniques et m´etamorphiques Granite ou gneiss non alt´er´es Quartzites Ardoises, schistes Volcaniques Tuff volcanique

Porosit´e (%) 0.5 `a 12.5 10.0 `a 30.0 0.5 `a 7.5 8.0 `a 37.0 3.5 `a 38.0 0.02 `a 1.8 0.8 0.5 `a 7.5 30.0 `a 40.0

TAB. 3.5 – Valeurs typiques de porosit´e pour les roches.

de 1 `a 12% (surtout des valeurs faibles) alors que la pumice (´ecume de lave solidifi´ee) peut avoir une porosit´e de 87%. Les joints verticaux prismatiques observ´es dans les basaltes peuvent leur donner une excellente perm´eabilit´e verticale mˆeme si leur porosit´e n’est que de quelques pourcents. Les d´epˆots pyroclastiques r´ecents ont des porosit´es de 14 `a 40%. Les roches volcaniques anciennes ont souvent les mˆeme caract´eristiques en porosit´e que les roches plutoniques et m´etamorphiques. Le tableau 3.5 pr´esente des valeurs typiques de porosit´e pour diff´erents types de roches.

3.3.2

Volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif

Comparativement `a des ´echantillons au laboratoire, d´efinir la porosit´e pour des applications de terrain est souvent plus complexe parce qu’il faut d´eterminer un volume de r´ef´erence o` u se mesure ce param`etre. Par exemple, un volume d’un m`etre cube est amplement suffisant pour d´efinir la porosit´e des s´ediments comme les graviers, sables, argiles et silts. Pour des roches solubles comme les calcaires, le mˆeme volume pris au centre d’une caverne ou dans les roches encaissantes ne donnera pas le mˆeme r´esultat. De mˆeme, la

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

81

distribution des fractures et autres discontinuit´es dans les roches cristallines contrˆolent la porosit´e totale. Un volume repr´esentatif dans ces cas peut ˆetre de plusieurs milliers de m`etres cubes.

FIG. 3.8 – Variations de la propri´et´e P en fonction de l’´echelle de mesure.

Le volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif (VER), dont la dimension est illustr´ee `a la figure 3.8, est : – suffisamment grand pour contenir un grand nombre de pores ou fractures de sorte qu’on puisse d´efinir un propri´et´e globale moyenne tout en assurant que l’effet des fluctuations d’un pore `a l’autre demeure n´egligeable. – suffisamment petit pour que les variations du param`etre d’un domaine au suivant peut ˆetre approxim´e par des fonctions continues. Cette notion s’applique aussi bien `a la porosit´e qu’`a la perm´eabilit´e ou la dispersivit´e d’un milieu.

3.3.3

Porosit´ e de drainage et r´ etention sp´ ecifique

Dans les conditions de terrain, une partie de l’eau des pores est fortement retenue `a la surface des grains par des forces de tension superficielle. Cette eau ne se d´eplace pas dans l’´echantillon par des forces de gravit´e. La porosit´ e de drainage nd (specific yield ) est le rapport de l’espace des vides `a travers lequel l’eau peut circuler et le volume total. Pour un volume donn´e de sol VT OT , la porosit´e de drainage est d´efinie par : nd =

Volume eau drain´ee VT OT

(3.27)

82

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

On l’obtient en prenant un ´echantillon satur´e et en le laissant se drainer par gravit´e. L’´echantillon est pes´e avant et apr`es la saturation. Le drainage par gravit´e est un processus lent et il peut prendre jusqu’`a un an selon la taille de l’´echantillon. Il faut garder l’´echantillon `a une humidit´e relative de 100% durant l’essai pour pr´evenir l’´evaporation. La porosit´e de drainage est calcul´ee de la fa¸con suivante : µ

Ws − Wf nd = 100 Ws − Wo

¶µ

Vv V

¶

(3.28)

o` u Wo est le poids de l’´echantillon sec, Ws le poids de l’´echantillon satur´e et Wf le poids apr`es drainage par gravit´e. Il existe aussi des techniques qui permettent de d´eterminer la porosit´e de drainage en utilisant une centrifugeuse. Cette notion est particuli`erement importante pour comprendre les ph´enom`enes de circulation de l’eau au sommet de la zone satur´ee, dans la zone non satur´ee et dans la zone des fluctuations de la nappe. Lors du drainage, l’eau qui reste dans le milieu poreux adh`ere aux surfaces par des forces de tension superficielle. Si la gravit´e exerce une contrainte sur un film d’eau entourant les grains de min´eraux, une partie du film est entraˆın´ee et s’´egoutte vers le bas. Ce qui reste de ce film deviendra plus mince avec une tension superficielle encore plus grande de sorte que la contrainte exerc´ee par la gravit´e deviendra la mˆeme que celle de la tension superficielle. L’eau hygroscopique est cette eau qui adh`ere aux particules min´erales par des forces de tension superficielle. A cette teneur en eau, le drainage par gravit´e cesse. Si deux ´echantillons ont une mˆeme porosit´e mais que la dimension des grains de l’un soit beaucoup plus petite que celle de l’autre, la surface sp´ecifique du plus fin sera plus grande. Comme r´esultat, plus d’eau sera retenue sous forme d’eau hygroscopique par les particules fines. La r´ etention sp´ ecifique, capacit´ e au champ d’un sol ou d’une roche est le rapport du volume d’eau que la roche peut retenir contre la gravit´e au volume total de la roche. Ces termes sont synonymes de la capacit´ e de r´ etention (Cr ) vue pr´ec´edemment. Il est ´evident que la somme de la porosit´e de drainage et celle de la capacit´e de r´etention est ´egale `a la porosit´e totale et donc (3.29) n = nd + Cr

´ ES ´ DES MILIEUX POREUX 3.3. PROPRIET

83

Mat´eriau

Porosit´e de drainage (%) Maximale Minimale Moyenne Argile 5 0 2 Argile sableuse 12 3 7 Silt 19 3 18 Sable fin 28 10 21 Sable moyen 32 15 26 Sable grossier 35 20 27 Sable et gravier 35 20 25 Gravier fin 35 20 25 Gravier moyen 26 13 23 Gravier grossier 26 12 22 TAB. 3.6 – Porosit´e de drainage typique des mat´eriaux non consolid´es.

La capacit´e de r´etention croˆıt avec une diminution de la taille des particules de sorte qu’une argile peut avoir une porosit´e de 50% et une capacit´e de r´etention de 48%. Le tableau 3.4 donne des valeurs typiques de la porosit´e de drainage pour plusieurs textures de sols. Les valeurs les plus ´elev´ees pour les s´ediments se trouvent dans les sables moyens `a grossiers (0.5 `a 1.0 mm). La plupart des sols sont des m´elanges de sable, silt et argile `a cause de leur mode de d´epˆot ou des processus d’alt´eration. La figure 3.9 est un triangle de classification des sols dans lequel sont indiqu´ees des isovaleurs de la porosit´e de drainage. Nous verrons plus loin qu’il est possible d’utiliser des donn´ees d’essais de pompage pour ´evaluer dans des nappes libres la porosit´e de drainage sur de grands volumes. Il s’agit alors de calculer le rapport entre l’eau pomp´ee et le volume de la zone o` u il y a eu baisse du niveau d’eau.

3.3.4

La frange capillaire

Dans les sols et s´ediments fins ou dans les roches avec de tr`es petits pores ou fissures, les ouvertures ont un diam`etre ´equivalent suffisamment petit pour agir comme des tubes capillaires. Dans les sols de granulom´etrie fine `a moyenne, il se forme une frange capillaire au-dessus de la surface libre

84

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

FIG. 3.9 – Porosit´e de drainage des sols.

` PROBLEMES Mat´eriau Argile Silt Sable fin Sable grossier Gravier grossier

85 Rayon typique des pores (mm) 0.0005 0.001 0.02 0.05 0.4

Hauteur capillaire th´eorique (cm) 300 150 7.7 3.0 0.38

Hauteur capillaire mesur´ee en labo (cm) 225-250 175-200 90-110 12-15 -

TAB. 3.7 – Hauteur typique de la frange capillaire.

(tableau 3.7). La partie inf´erieure de cette frange capillaire peut ˆetre compl`etement satur´ee bien que l’eau soit sous tension (pression n´egative). La formule de capillarit´e permet d’´evaluer la hauteur de la frange capillaire. A cause de l’irr´egularit´e dans la dimension des ouvertures, l’eau capillaire ne s’´el`eve pas `a des hauteurs constantes au dessus de la surface libre. Au dessus de la frange capillaire, il y a un mince film d’eau sur les surfaces solides et les fragments de roche. Cette eau peut se d´eplacer dans n’importe quelle direction `a cause de la tension superficielle. Quand le film devient trop ´epais pour ˆetre retenu par tension superficielle, une gouttelette se forme qui peut s’´ecouler par gravit´e. Le fluide peut aussi s’´evaporer et se d´eplacer `a travers l’air dans les pores sous forme de vapeur d’eau. La quantit´e d’eau en mouvement sous forme de vapeur dans la zone non satur´ee est beaucoup moins importante que le transport sous forme liquide. Toutefois, cela peut ne pas ˆetre vrai si la teneur en eau du sol est tr`es faible ou s’il y a un fort gradient de temp´erature. Le mouvement de vapeur dans la zone non satur´ee est une fonction de la temp´erature, des gradients d’humidit´e dans le sol et des coefficients de diffusion de la vapeur d’eau dans le sol.

Probl` emes 3.1

Un r´eservoir cylindrique de 4 pieds de diam`etre et 6 pieds de hauteur est rempli d’eau. Calculez la masse et le poids de l’eau dans le r´eservoir en supposant que ce soit de l’eau pure. Donnez vos r´esultants en kilogramme et en Newton. [Masse = 2135 kg ; poids = 2.09 × 104 N]

86

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

3.2

Des essais de perm´eabilit´e en laboratoire ont ´et´e effectu´es sur des blocs de st´eriles de la Mine Doyon. Pour ces essais on utilise des tubes de Plexiglas de 25 cm de diam`etre et de 90 cm de longueur. Le tube vide a une masse de 8 kg et lorsqu’il est rempli de fragments de roc bien compact´es, sa masse est de 88.2 kg. La masse volumique des roches est de ρs = 2750 kg/m3 . Au d´ebut de l’essai, on sature compl`etement l’´echantillon avec de l’eau distill´ee (ρw = 1000 kg/m3 ) ; on laisse ensuite l’eau se drainer par gravit´e `a la base du tube et on r´ecup`ere 11.5 L d’eau et la masse totale du tube est `a ce moment de 91.7 kg. A l’aide de ces donn´ees, calculez la porosit´e totale n, la porosit´e de drainage nD et le degr´e de saturation de l’´echantillon. [n = 0.34; nD = 0.26 ; saturation = 23.3%]

3.3

Durant un essai en laboratoire, on a construit un bac de sable de la forme d’un cube de 20 cm de cˆot´e. Au d´ebut de l’essai, l’´echantillon est compl`etement satur´e en eau. Par un orifice am´enag´e `a la base du bac, on draine une partie de l’eau dont la masse est de 2.40 kg. On fait ensuite s´echer compl`etement le bac de sable et on note les mesures suivantes : masse du sable mouill´e : 13.62 kg, masse du sable sec : 12.82 kg. La masse volumique du sable seulement est de 2.67 kg/dm3 . (a) A l’aide de ces donn´ees, d´eterminez la porosit´e n, la porosit´e de drainage nd et la capacit´e de r´etention CR . [n = 0.4; nd = 0.3; CR = 0.1] (b) Quel pourcentage (degr´e de saturation) de l’espace poreux est occup´e par de l’eau apr`es le drainage par gravit´e ? [25%]

3.4

Un aquif`ere `a nappe libre a une porosit´e de drainage de 0.19. Pendant une s´echeresse, on a mesur´e sur plusieurs secteurs de l’aquif`ere les diminutions du niveau de la nappe montr´ees au tableau 3.8. Quel est le volume d’eau total drain´e pour l’ensemble des secteurs pendant la s´echeresse ? [3.06 × 107 m3 ]

3.5

Un sol constitu´e de sable et gravier a une porosit´e totale de 0.35, une porosit´e de drainage de 0.30 et un point de fl´etrissement de 2%. (Le point de fl´etrissement est d´efini comme le degr´e de dessiccation d’un sol pour lequel son pouvoir de r´etention est sup´erieur au pouvoir d’absorption de la plante, et l’alimentation en eau de cette derni`ere ne peut se faire. Le point de fl´etrissement correspond donc `a la teneur en eau volumique du sol au-dessous de laquelle les plantes se fl´etrissent ).

` PROBLEMES

87

Secteur Superficie (km2 ) Baisse du niveau de la nappe (m) A 15.0 2.34 B 7.5 1.22 C 18.3 0.76 D 22.5 3.44 E 9.5 1.89 F 22.7 0.35 TAB. 3.8 – Mesures de la baisse du niveau de la nappe par secteur.

La surface libre est `a 1 m de profondeur et la frange capillaire est n´egligeable. Apr`es une longue s´echeresse, o` u la teneur en eau du sol a atteint le point de fl´etrissement, une forte pluie provoque une infiltration de 50 mm. De combien s’´el`evera le niveau de la nappe suite `a cette pluie ? [6.7 cm] 3.6

Lors de l’´etude d’un aquif`ere `a nappe libre compos´e de sable que l’on suppose non satur´e, on a recueilli un ´echantillon de sable `a environ 50 cm au-dessus du niveau de la nappe. L’´echantillon a ´et´e recueilli dans un cylindre de 10.186 cm de hauteur et de 5 cm de diam`etre int´erieur. La masse du sable dans l’´echantillon est 419 g et elle diminue `a 371 g apr`es s´echage complet de l’´echantillon. La masse volumique des solides formant le sable est 2.65 g cm−3 . Calculez les quantit´es suivantes pour l’´echantillon : la teneur en eau massique w (masse d’eau divis´ee par la masse totale des solides), la teneur en eau volum´etrique θ (volume d’eau divis´e par le volume total), la porosit´e, l’indice des vides, le degr´e de saturation (S), et la masse volumique globale. [w = 0.1294; n = 0.3; θ = 0.24; S = 80%; e = 0.428; ρb = 2.095 g cm−3 ]

3.7

Une analyse granulom´etrique du mat´eriel formant un aquif`ere montre que celui-ci contient 55% de sable, 35% de silt et 10% d’argile. (a) Quel serait le volume d’eau que l’on pourrait r´ecup´erer en drainant 1 m3 de mat´eriel satur´e de cet aquif`ere ? [0.2 m3 ] (b) Si sa capacit´e de r´etention est de 5%, calculez sa porosit´e totale. [0.25]

3.8

Calculez la masse volumique d’une saumure dont la concentration en solides dissous est 100 000 mg L−1 . [1100 kg m−3 ]

88

´ ES ´ PHYSIQUES CHAPITRE 3. PROPRIET

Chapitre 4 Principes d’´ ecoulement souterrain L’eau souterraine poss`ede de l’´energie sous plusieurs formes : m´ecanique, thermique et chimique. Parce que les quantit´es d’´energie varient dans l’espace, l’eau souterraine se d´eplace d’une r´egion `a une autre pour ´eliminer les diff´erences d’´energie dans le syst`eme. Comme d’autres ph´enom`enes naturels, l’´ecoulement de l’eau souterraine est r´egi par les lois de la physique et de la thermodynamique. Pour examiner de fa¸con particuli`ere l’´energie m´ecanique contenue dans l’eau, nous allons supposer que la temp´erature de l’eau est `a peu pr`es constante et donc n´egliger l’´energie thermique. Toutefois, on doit consid´erer l’´energie thermique dans des applications comme les syst`emes g´eothermaux, le gel des sols ou l’enfouissement de d´echets nucl´eaires. L’´ energie est la capacit´e d’un syst`eme `a effectuer un travail, ce qui implique que le syst`eme doit vaincre une certaine r´esistance au changement. Le travail s’effectue quand une force s’exerce sur un fluide en mouvement. Le travail W est d´efini comme le produit de la force (F ) exerc´ee (F = ma) et de la distance (d) de d´eplacement dans le sens de l’´ecoulement : W =F ·d

4.1

(4.1)

Potentiel et charge hydraulique

L’´ecoulement dans les milieux poreux se fait des r´egions de potentiel hydraulique ´elev´e (haute ´energie) vers les r´egions de plus faible potentiel (faible 89

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

90

´energie). Pour d´efinir ce potentiel, on doit d’abord examiner sous quelles formes se retrouve l’´energie dans les milieux poreux. Seule l’´energie m´ecanique sera consid´er´ee puisque la contribution de l’´energie thermique ou chimique `a l’´ecoulement est g´en´eralement n´egligeable.

4.1.1

´ Energie m´ ecanique

Il existe plusieurs types d’´energie m´ecanique en physique. Nous allons consid´erer ici l’´energie cin´etique, l’´energie potentielle et l’´energie de pression. ´ Energie cin´ etique En physique classique, un corps ou un fluide qui se d´eplace tend `a demeurer en mouvement. Parce qu’il est en mouvement, le fluide poss`ede de l’´energie cin´etique (Ec ). Cette ´energie est ´egale `a la moiti´e du produit de la masse m [M] et du carr´e de la vitesse v [L T−1 ] du fluide et s’exprime par Ec =

mv 2 2

(4.2)

o` u les unit´es de Ec sont [M L2 T−2 ]. Si la masse est en kilogrammes (kg) et la vitesse en m s−1 , alors Ec a les unit´es de kg m2 s−2 ou newtonm`etre (N m). L’unit´e d’´energie est le joule qui est un newton-m`etre par d´efinition. Puisque le joule est aussi une unit´e de travail, l’´energie cin´etique repr´esente une forme de travail effectu´e par l’eau. ´ Energie potentielle gravitaire Si une masse d’eau m [M] est soulev´ee verticalement sur une hauteur z [L] `a partir d’un plan de r´ef´erence, un travail W est accompli et est donn´e par : W = F d = mgz

(4.3)

o` u g [L T−2 ] est l’acc´el´eration de la gravit´e. Le travail W a des unit´es [M L2 T−2 ] ou encore de newton-m`etres si on exprime la masse en kilogrammes, la longueur z en m`etres et l’acc´el´eration g en m s−2 . Par cette op´eration, la masse d’eau a acquis une quantit´e d’´energie potentielle gravitaire, Eg , ´egale au travail accompli pour la soulever, donc : Eg = W = mgz (4.4)

4.1. POTENTIEL ET CHARGE HYDRAULIQUE

91

´ Energie de pression Une masse de fluide poss`ede aussi une composante d’´energie caus´ee par la pression que le fluide environnant exerce sur elle. La pression P est donn´ee par la force F agissant sur un corps par unit´e de surface A : F P = (4.5) A Les unit´es de pression sont g´en´eralement des pascals (Pa) ou des newtons par aire unitaire (N m−2 ). Un N m−2 est ´egal `a un (N m) m−3 ou encore ´egal `a un joule m−3 . La pression est donc ´equivalente `a une ´energie potentielle par unit´e de volume. Pour combiner les diff´erents termes d’´energie ci-dessus, il faut exprimer l’´energie de pression et l’´energie potentielle pour un volume unitaire de fluide V , comme c’est fait pour l’´energie de pression. On peut donc d´efinir l’´energie totale ET V d’un volume unitaire de fluide comme la somme des trois composantes de l’´energie m´ecanique : l’´energie cin´etique, l’´energie potentielle et l’´energie de pression : Ec Eg ET V = + +P (4.6) V V ou encore mv 2 mgz ET V = + +P (4.7) 2V V La masse m d’un fluide divis´ee par son volume V est ´egale `a la masse volumique, ρ. On peut donc utiliser la d´efinition de la masse volumique pour simplifier l’´equation pour ET V : ET V =

ρv 2 + ρgz + P 2

(4.8)

Si on suppose maintenant que la masse volumique du fluide est constante, on divise l’´equation 4.8 par ρ et on obtient l’´energie totale par unit´e de masse, ET M : P v2 + gz + (4.9) ET M = 2 ρ o` u chaque terme a les unit´es [L2 /T2 ]. L’´equation 4.9 est connue comme l’´equation de Bernoulli, qui est souvent utilis´ee en hydraulique et en m´ecanique des fluides. Pour l’´ecoulement en r´egime permanent d’un fluide sans friction et

92

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

incompressible le long d’une ligne de courant uniforme, la somme des trois composantes de l’´equation 4.9 est une constante, donc : v2 P + gz + = constante 2 ρ

(4.10)

L’´ecoulement en r´egime permanent signifie que les conditions ne changent pas avec le temps. La masse volumique d’un liquide incompressible ne changerait pas avec des changements de pression. Un liquide sans friction ne requerrait pas d’´energie pour vaincre la r´esistance `a l’´ecoulement. Seul un liquide id´eal poss`ede ces propri´et´es ; les liquides r´eels sont compressibles et subissent des pertes d’´energie caus´ees par la friction. Donc l’´equation 4.10 n’est utile que pour comparer les composantes de l’´energie m´ecanique. Si on divise chaque terme de l’´equation 4.10 par g, on trouve l’´energie totale par poids unitaire ET P : ET P =

v2 P +z+ 2g ρg

(4.11)

Dans cette expression, on peut v´erifier que chaque terme a des unit´es de longueur, comme par exemple le terme d’´energie cin´etique v 2 /2g. Les unit´es r´esultantes d’´energie par poids unitaire sont donc des joules/newton, ou des m`etres. Ainsi, l’´equation a l’avantage d’exprimer toutes les unit´es dans les dimensions d’une longueur.

4.1.2

Charge hydraulique

Pour mesurer l’´energie totale d’un fluide en mouvement, on utilise un pi´ ezom` etre. Il existe plusieurs types de pi´ezom`etres et le plus simple est un tube ouvert uniquement `a ses deux extr´emit´es et qui va de la surface du terrain jusqu’`a un point en profondeur dans la nappe. La hauteur de l’eau dans le pi´ezom`etre est directement proportionnelle `a l’´energie totale du fluide au point de mesure, qui est situ´e `a la base du puits. A ce point, qui est `a une ´el´evation z au-dessus d’un plan de r´ef´erence, il y a une pression de fluide P et le liquide se d´eplace `a une vitesse v. La composante de l’´energie totale repr´esent´ee par l’´energie cin´etique est tr`es faible et n´egligeable dans la majorit´e

4.1. POTENTIEL ET CHARGE HYDRAULIQUE

93

des probl`emes d’´ecoulement souterrain. En effet, l’´el´evation z est souvent mesur´ee en m`etres au-dessus du niveau de la mer et la pression correspond `a la hauteur de la colonne d’eau dans un pi´ezom`etre (encore souvent en m`etres). L’´energie cin´etique exprim´ee dans les mˆemes unit´es se mesure habituellement en microm`etres. En n´egligeant le terme d’´energie cin´etique, l’´equation 4.11 donne la d´efinition de la charge hydraulique h et s’´ecrit : h=z+

P ρg

(4.12)

La charge hydraulique est donc l’´ energie totale par unit´ e de poids de l’eau. Il faut noter que la d´efinition de la charge hydraulique `a l’´equation 4.12 est bas´ee sur l’hypoth`ese que la masse volumique du fluide de r´ef´erence est constante pour le syst`eme ´etudi´e. On suppose souvent que le fluide de r´ ef´ erence est de l’eau douce, avec une masse volumique de 1000 kg m−3 , c’est-`a-dire que la masse volumique ρ utilis´ee dans l’´equation 4.12 est celle de l’eau douce. Cette distinction est importante lorsque la masse volumique de l’eau souterraine est variable pour le syst`eme ´etudi´e, par exemple en r´egion cˆoti`ere o` u la salinit´e de l’eau de mer influence la masse volumique de l’eau souterraine. Il faut dans ce cas bien sp´ecifier le fluide de r´ef´erence et exprimer toutes les valeurs de charge hydraulique `a partir de la masse volumique du fluide de r´ef´erence. La figure 4.1 montre les composantes de la charge hydraulique. Pour un fluide au repos, la pression par unit´e de surface en un point est ´egale au poids de la colonne d’eau sus-jacente : P = ρghp

(4.13)

o` u hp est la hauteur de la colonne d’eau. En simplifiant encore, on obtient une derni`ere expression pour la charge hydraulique : h = z + hp

(4.14)

On d´esigne souvent z comme la charge d’´ el´ evation ou charge altim´ etrique et hp comme la charge de pression. comme mentionn´e ci-dessus, la charge hydraulique est d´efinie pour un fluide de r´ef´erence dont la masse volumique est ρref . Pour calculer la charge de

94

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

pression pour un fluide dont la pression est Pf et dont la masse volumique ρf est diff´erente de celle du fluide de r´ef´erence, on doit utiliser l’´equation suivante : Pf hp = (4.15) ρref g

FIG. 4.1 – Composantes de la charge hydraulique.

4.1.3

Potentiel et charge hydraulique

Nous avons montr´e que l’´energie totale par unit´e de masse est ´egale `a la somme de l’´energie d’´el´evation et de pression (et qu’on peut n´egliger l’´energie cin´etique). Cette ´energie totale est le potentiel hydraulique que l’on d´esigne par le symbole Φ, donn´e par : Φ = gz +

P ρghp = gz + = g(z + hp ) ρ ρ

(4.16)

Puisque la charge hydraulique h est ´egale `a z + hp , on obtient la relation : Φ = gh

(4.17)

Le potentiel hydraulique est la force motrice qui contrˆole l’´ecoulement de l’eau souterraine et est ´egal au produit de la charge hydraulique et de l’acc´el´eration de la gravit´e. La charge hydraulique est l’´ energie par unit´ e de poids energie par unit´ e de masse. et le potentiel hydraulique est l’´

4.1. POTENTIEL ET CHARGE HYDRAULIQUE

95

La figure 4.2 montre un cylindre rempli de sable dans lequel l’eau circule de gauche `a droite. Le cylindre peut ˆetre tourn´e `a n’importe quelle inclinaison tout en maintenant le d´ebit constant. Dans le diagramme A, l’eau s’´ecoule du point 1 (d’´el´evation z1 ) au point 2 (d’´el´evation z2 ), z2 ´etant plus grand que z1 . Dans la partie B, la pente est invers´ee et l’´ecoulement se fait vers le bas. Toutefois, la charge de pression au point 2 (hP2 ) est plus grande qu’au point 1 (hP1 ). Le fluide s’´ ecoule alors d’un point o` u la pression est plus basse vers un point o` u la pression est plus ´ elev´ ee. Clairement, ni la charge d’´ el´ evation seule, ni la charge de pression seule n’est responsable de l’´ ecoulement souterrain. Le diagramme C montre l’´ecoulement `a charge d’´el´evation ´egale et `a charge de pression diminuant dans le sens de l’´ecoulement alors qu’en D, la pression est ´egale mais l’´el´evation diminue selon le sens de l’´ecoulement.

FIG. 4.2 – Relations entre les composantes de la charge hydraulique.

Dans toutes les situations, la diminution de charge hydraulique totale est demeur´ee la mˆeme dans la direction de l’´ecoulement peu importe l’inclinaison du cylindre. Donc, la proportion relative de chaque composante n’a pas d’im-

96

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

portance sur la direction et la vitesse d’´ecoulement. La r´esistance au potentiel de force qui fait d´eplacer l’eau provient des forces de friction interne de l’eau (sa viscosit´e) et la friction entre l’eau et le solide. Cette perte d’´energie entre deux points du syst`eme est compens´ee par une augmentation de l’´energie thermique du syst`eme (une forme d´egrad´ee de l’´energie). Dans la majorit´e des cas, cette augmentation de temp´erature n’est pas mesurable.

4.1.4

Mesure de la charge hydraulique

Comme mentionn´e, la charge hydraulique est mesur´ee `a l’aide d’un pi´ ezom` etre, dans lequel on mesure le niveau de l’eau souterraine. Pour le cas o` u le pi´ezom`etre est simplement un tube ouvert `a ses deux extr´emit´es, le point de mesure de la charge hydraulique est donc `a la base du pi´ezom`etre. La charge hydraulique est mesur´ee de fa¸con relative par rapport `a un niveau de r´ef´erence arbitraire (souvent le niveau de la mer). Pour calculer la charge hydraulique `a un pi´ezom`etre donn´e, on doit connaˆıtre l’´el´evation du niveau de r´ef´erence et du sol, l’´el´evation de l’extr´emit´e sup´erieure du pi´ezom`etre et la profondeur du niveau d’eau par rapport `a cette extr´emit´e. Cette derni`ere mesure est g´en´eralement faite en descendant un fil gradu´e qui d´etecte le niveau d’eau par conductivit´e (figure 4.3). Deux types courants d’installations de pi´ezom`etres multiples (nid de pi´ezom`etres) sont pr´esent´es `a la figure 4.4.

4.2 4.2.1

Loi de Darcy Exp´ erience de Darcy

Au milieu du XIXe si`ecle, l’ing´enieur fran¸cais Henry Darcy a fait la premi`ere ´etude syst´ematique du mouvement de l’eau `a travers des milieux poreux. Il se servait de lits de sable pour filtrer l’eau qui devait alimenter les ”fontaines” de la ville de Dijon. Darcy a ´etabli que le d´ebit d’eau Q (volume par unit´e de temps) `a travers un lit de sable d’une composition donn´ee ´etait proportionnel `a la diff´erence entre la hauteur (hA − hB ) de l’eau entre les deux extr´emit´es du lit de sable et inversement proportionnel `a la longueur de l’´ecoulement L (ou l’´epaisseur des lits). Il a aussi d´etermin´e que le d´ebit ´etait proportionnel `a un coefficient K qui d´epend de la nature du milieu poreux.

4.2. LOI DE DARCY

FIG. 4.3 – Mesure du niveau d’eau dans les pi´ezom`etres.

FIG. 4.4 – Configuration de nids de pi´ezom`etres.

97

98

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

La figure 4.5 illustre un tube horizontal rempli de sable. L’eau entre sous pression `a l’extr´emit´e A, `a gauche. La pression peut ˆetre mesur´ee `a l’aide d’un tube vertical de petit diam`etre se terminant dans le sable au point A. L’eau s’´ecoule dans le sable et sort au point B, `a droite, o` u on mesure la pression de la mˆeme fa¸con. Darcy a d´emontr´e exp´erimentalement que le d´ebit, Q, est proportionnel `a la diff´erence de hauteur de l’eau, hA − hB , entre les extr´emit´es et inversement proportionnel `a la longueur de la trajectoire d’´ecoulement L, donc Q ∝ (hA − hB ) et Q ∝

1 L

(4.18)

FIG. 4.5 – Montage exp´erimental pour la loi de Darcy.

De toute ´evidence, la quantit´e d’´ecoulement est aussi fonction du diam`etre du tube et de la surface repr´esent´ee par une coupe perpendiculaire `a l’axe du tube. Cette surface a la dimension A. En combinant tous les termes et en introduisant le coefficient de proportionalit´e K, on obtient une expression de la loi de Darcy : hA − hB (4.19) Q = KA L Cette expression peut s’exprimer en termes plus g´en´eraux comme : Q = −KA

dh dl

(4.20)

4.2. LOI DE DARCY

99

o` u dh/dl est d´esign´e comme le gradient hydraulique. La quantit´e dh repr´esente la diff´ erence de charge hydraulique entre deux points tr`es pr`es l’un de l’autre et dl est la petite distance qui les s´epare. Le gradient repr´esente la perte de charge instantan´ee lorsque dl tend vers z´ero. Par convention, le signe n´ egatif indique que l’´ecoulement se fait dans la direction des charges hydrauliques d´ecroissantes. L’utilisation du signe n´egatif n´ecessite de d´eterminer avec soin le signe du gradient. Si la valeur de h2 au point X2 est plus grande que h1 au point X1 , alors l’´ecoulement se fait du point 2 au point 1. Si h1 > h2 , alors l’´ecoulement est de 1 vers 2.

4.2.2

La loi de Darcy en termes de la charge et du potentiel hydraulique

Nous avons vu plus haut que l’´ecoulement dans un tube rempli de mat´eriaux poreux est proportionnel `a la diminution de la charge hydraulique divis´ee par la longueur du tube. Ce rapport est le gradient hydraulique. L’expression g´en´erale de la loi de Darcy pour l’´ecoulement en une dimension en termes de la charge hydraulique est donn´ee par l’´equation 4.20. Puisque le potentiel hydraulique du fluide Φ est ´egal `a gh, la loi de Darcy peut aussi s’exprimer en fonction du potentiel hydraulique : Q=−

KA dΦ g dl

(4.21)

Plus loin nous allons d´eriver des expressions plus g´en´erales pour l’´ecoulement en deux ou trois dimensions.

4.2.3

Conditions de validit´ e de la loi de Darcy

Quand un fluide au repos se met en mouvement, il doit vaincre la r´esistance `a l’´ecoulement `a cause de sa viscosit´e. Les liquides se d´epla¸cant lentement sont domin´es par les forces visqueuses. L’´ecoulement dans ces conditions de faible niveau d’´energie est un ´ecoulement laminaire. Dans cette forme d’´ecoulement, les mol´ecules d’eau suivent des trajectoires parall`eles entre elles ; ces ecoulement. trajectoires sont des lignes d’´

100

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Si la vitesse d’´ecoulement augmente, le fluide augmente son ´energie cin´etique et ´eventuellement, les forces d’inertie dues au mouvement deviennent plus importantes que les forces de r´esistance `a la viscosit´e. Les particules du fluide commencent alors `a se d´eplacer les unes par rapport aux autres de fa¸con d´esordonn´ee. Cette forme de mouvement est l’´ecoulement turbulent. Les mol´ecules d’eau ne suivent plus des trajectoires avec des lignes d’´ecoulement parall`eles.

FIG. 4.6 – Trajectoires d’´ecoulement d’un fluide pour un ´ecoulement laminaire (A) et turbulent (B).

Le nombre de Reynolds Re, est un indice reliant entre eux les quatre facteurs qui d´eterminent les conditions d’´ecoulement : Re =

ρvd µ

(4.22)

o` u v est la vitesse du fluide, d est le diam`etre des pores par o` u l’eau s’´ecoule, et µ est la viscosit´e du fluide. Pour l’´ecoulement dans des cours d’eau ou dans des tuyaux, d est simplement la largeur du chenal ou le diam`etre du tube. Dans ces cas, la transition entre l’´ecoulement laminaire et turbulent se produit quand la vitesse est telle que Re devient plus grand que 2000. Dans un milieu poreux par contre, il n’est pas facile de d´eterminer la valeur de d. Plutˆot que de prendre un diam`etre caract´eristique ou moyen des pores, on utilise souvent le diam`etre moyen des grains d50 . Il est difficile de d´etecter la turbulence dans l’´ecoulement de l’eau souterraine. L’amorce de l’´ecoulement turbulent a ´et´e plac´ee `a des valeurs de Re allant de

4.2. LOI DE DARCY

101

60 `a 600 par diff´erents auteurs. Toutefois, l’exp´erimentation a d´emontr´e que la loi de Darcy n’est valide que pour des conditions o` u les forces de r´esistance `a la viscosit´e pr´edominent. Ces conditions pr´evalent quand les valeurs de Re sont entre 1 et 10. Une zone de transition existe entre l’´ecoulement laminaire et turbulent. La loi de Darcy ne s’applique donc que pour les ´ecoulements tr`es lents. Dans la majorit´e des cas d’´ecoulement naturel, ces conditions sont satisfaites. Les exceptions se rencontrent pour l’´ecoulement dans des fractures tr`es ouvertes ou des chenaux de dissolution dans les karsts. De mˆeme, `a proximit´e d’un puits o` u il y a pompage, les gradients peuvent ˆetre suffisamment grands pour cr´eer des ´ecoulements turbulents `a l’´echelle locale. La conception des puits d’exploitation doit tenir compte de la turbulence qui se manifeste par des pertes de charge suppl´ementaires pouvant atteindre plusieurs m`etres. La loi g´en´erale d’´ecoulement pour l’´ecoulement en r´egime non laminaire a la forme suivante ou i repr´esente le gradient hydraulique (dh/dl) : Q = −KAi1/n

(4.23)

o` u n est un indice qui varie de 1 (´ecoulement laminaire) `a 2 (´ecoulement turbulent). La turbulence a donc tendance `a r´eduire l’importance de l’´ecoulement en cr´eant des pertes de charge suppl´ementaires.

4.2.4

D´ ebit sp´ ecifique et vitesse d’´ ecoulement

Quand l’eau s’´ecoule dans un tube ouvert ou une conduite, le d´ebit, Q, est ´egal au produit de la vitesse de l’eau, ve , et de la section normale `a l’´ecoulement, A: Q = ve A (4.24) En r´earrangeant l’´equation 4.24, on obtient ainsi une expression pour la vitesse de l’´ecoulement dans un tube ouvert : Q (4.25) ve = A Si on applique la loi de Darcy, on obtient pour l’´ecoulement en milieu poreux : q=

dh Q = −K A dl

(4.26)

102

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

o` u la quantit´e q est le d´ebit sp´ecifique, qui a des unit´es de vitesse [L T−1 ]. Cependant, en y r´efl´echissant un peu, on comprend que le d´ebit sp´ecifique ne repr´esente pas la mˆeme chose que la vitesse dans un tube ouvert. Le d´ebit est mesur´e comme ce qui sort de tout le tube. Dans ce cas la section normale `a l’´ecoulement dans le tube correspond `a la section du tube `a son extr´emit´e. Mais si le tube est rempli de sable, la section normale `a l’´ecoulement est beaucoup plus faible que la section du tube. Pour ´eviter la confusion, on d´esigne cette ”vitesse” comme le d´ ebit sp´ ecifique (qui est en fait un flux tel que d´efini plus tˆot dans les notes). C’est une vitesse apparente qui repr´esenterait la vitesse `a laquelle se d´eplacerait l’eau dans l’aquif`ere s’il n’y avait pas de particules solides. La section ouverte `a l’´ecoulement dans un milieu poreux est en r´ealit´e beaucoup plus faible que les dimensions de l’aquif`ere. Elle est ´egale `a la porosit´e cin´ematique nc du mat´eriel pour une unit´e d’aire de l’aquif`ere. L’eau ne se d´eplace que dans les pores. De plus, une partie des pores peut ˆetre occup´ee par de l’eau qui ne participe pas `a l’´ecoulement (eau adsorb´ee ou dans des pores ou fissures non communiquantes). Pour trouver la vitesse r´eelle moyenne, v, de l’eau dans les pores on doit diviser le d´ebit sp´ecifique (ou vitesse apparente) par la porosit´e cin´ematique :

v=

Q q = nc A nc

(4.27)

La vitesse r´eelle moyenne est donc toujours plus grande que le d´ebit sp´ecifique. Pour ˆetre rigoureusement exact, il faudrait tenir compte de la tortuosit´ e ou sinuosit´ e des chemins d’´ecoulement. En effet, la trajectoire des mol´ecules d’eau n’est pas rectiligne mais doit contourner les grains et donc parcourir une distance plus grande. En pratique cette valeur n’est pas connue et on suppose qu’elle est ´egale `a l’unit´e. La vitesse v est une moyenne des vitesses qui entraˆınent chaque particule et cette valeur n’a de signification que comme propri´et´e de tout le milieu poreux `a un endroit donn´e. Pour un mˆeme d´ebit sp´ecifique, v sera beaucoup plus grande pour des mat´eriaux `a faible porosit´e cin´ematique. En particulier, dans les roches tr`es fractur´ees, la vitesse d’´ecoulement peut ˆetre de deux `a trois ordres de grandeur plus grande que dans les sables ayant la mˆeme conductivit´e hydraulique.

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

4.3

103

Conductivit´ e hydraulique

Les vides ou pores qui se trouvent dans les mat´eriaux terrestres sont interconnect´es jusqu’`a un certain point. L’eau contenue dans ces pores peut se d´eplacer d’un espace `a un autre pour ainsi circuler dans les sols, les s´ediments et les roches. Cette propri´et´e des roches de laisser passer l’eau de mˆeme que celle de retenir l’eau sont les propri´et´es hydrog´eologiques les plus significatives. Certaines roches ont une porosit´e importante mais sans qu’il y ait interconnexion entre les vides (comme les v´esicules dans un basalte ou pumice). D’autres roches sont poreuses mais les pores ´etant tr`es petits, l’eau parvient `a peine `a circuler. C’est le cas des argiles ou des shales.

4.3.1

D´ efinition de la conductivit´ e hydraulique

On a d´eja pr´esent´e la loi de Darcy qui r´egit l’´ecoulement des fluides dans les milieux poreux : dh Q = −KA (4.28) dl o` u Q est le d´ebit, A est l’aire de la section d’´ecoulement et dh/dl est le gradient hydraulique. Le coefficient K est d´efini comme la conductivit´ e hydraulique. Dans les ouvrages plus anciens et dans certains domaines d’applications, en g´eotechnique par exemple, on utilise encore le terme coefficient de perm´eabilit´e. L’´equation 4.28 est r´earrang´ee pour isoler la conductivit´e hydraulique et pour d´eterminer ses unit´es : K=−

Q A(dh/dl)

(4.29)

Le d´ebit Q a les dimensions de volume de fluide par unit´e de temps [L3 /T], l’aire A a les dimensions [L2 ] et le gradient dh/dl a les dimensions [L/L]. Les dimensions de la conductivit´e hydraulique sont donc [L/T], ce qui est semblable aux dimensions d’une vitesse. Les exp´eriences de Darcy ´etaient limit´ees `a l’eau et ce n’est que plus tard qu’on a reconnu que K est fonction `a la fois des propri´et´es du milieu poreux et du fluide qui y circule. Intuitivement, on sait qu’un liquide plus visqueux, comme le p´etrole, circulera plus lentement que l’eau. Les deux propri´et´es des ecifique γ fluides qui affectent la conductivit´e hydraulique sont le poids sp´

104

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

(o` u γ = ρg, ρ ´etant la masse volumique du fluide), et la viscosit´ e dynamique µ. Le poids sp´ecifique est la force exerc´ee par la gravit´e sur un volume unitaire de fluide et repr´esente la force motrice du fluide. La conductivit´e hydraulique est directement proportionnelle au poids sp´ecifique. La viscosit´e dynamique est une mesure de la r´esistance d’un fluide au cisaillement n´ecessaire pour l’´ecoulement du fluide. La conductivit´e hydraulique est inversement proportionnelle `a µ. On peut donc d´efinir la conductivit´e hydraulique par : γ ρg K=κ =κ (4.30) µ µ La nouvelle constante, κ, est une propri´et´e repr´esentative du milieu poreux seulement. On l’appelle perm´ eabilit´ e intrins` eque. Elle est essentiellement fonction de la taille des ouvertures `a travers lesquelles le fluide se d´eplace. Plus le carr´e du diam` etre des pores moyens, d, est ´elev´e, plus la r´esistance `a l’´ecoulement est faible. La section d’un pore est aussi fonction de la forme de l’ouverture. On peut utiliser une constante pour d´ecrire l’effet global de la formes des pores. Si on choisit une constante sans dimension appel´ee le facteur de forme, C, la perm´eabilit´e intrins`eque a les unit´es d’une surface [L2 ] et est donn´ee par l’expression suivante : κ = Cd2

(4.31)

Dans l’industrie p´etroli`ere, on utilise davantage la perm´eabilit´e intrins`eque `a cause des grandes variations dans les propri´et´es des fluides d’int´erˆet p´etrolier (p´etrole, gaz naturel, eau saumˆatre). L’unit´e de terrain de κ est le darcy, qui est d´efini comme suit : 1 darcy =

(1 centipoise × cm3 /s) /1 cm2 1 atmosph`ere/1 cm

(4.32)

Puisque 1 centipoise (1 cp) est ´egal `a 10−3 Pa·s et 1 atmosph`ere (1 atm) est ´egal `a 1.013 × 105 Pa, on peut transformer les unit´es de darcy en unit´es SI de m2 . Pour de l’eau `a 20o C, les facteurs de conversion entre les unit´es de la perm´eabilit´e intrins`eque et de la conductivit´e hydraulique sont pr´esent´es au tableau 4.1. Dans le tableau, les gallons sont indiqu´es par gal et les pieds sont indiqu´es par pi. Par exemple, pour obtenir la valeur de perm´eabilit´e en pieds carr´es (pi2 ), il faut multiplier la valeur de perm´eabilit´e en cm2 par 1.08 ×10−3 .

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE Perm´eabilit´e, k 2

cm pi2 darcy m s−1 pi s−1 gal j−1 pi−2

cm2 1 9.29 ×102 9.87 ×10−9 1.02 ×10−3 3.11 ×10−4 5.42 ×10−10

pi2 1.08 ×10−3 1 1.06 ×10−11 1.10 ×10−6 3.35 ×10−7 5.83 ×10−13

105 Conductivit´e hydraulique, K

darcy 1.01 ×108 9.42 ×1010 1 1.04 ×105 3.15 ×104 5.49 ×10−2

m s−1 9.80 ×102 9.11 ×105 9.66 ×10−6 1 3.05 ×10−1 4.72 ×10−7

pi s−1 3.22 ×103 2.99 ×106 3.17 ×10−5 3.28 1 1.74 ×10−6

gal j−1 pi−2 1.85 ×109 1.71 ×1012 1.82 ×101 2.12 ×106 5.74 ×105 1

TAB. 4.1 – Facteurs de conversion de la perm´eabilit´e et de la conductivit´e hydraulique.

Parce qu’elle d´epend de la masse volumique et viscosit´e de l’eau, la conductivit´e hydraulique varie selon la temp´erature. La conductivit´e hydraulique des roches et des s´ediments varie aussi selon le fluide qui y circule. Par exemple, les huiles organiques lourdes qui contaminent l’aquif`ere de Mercier ont une masse volumique de 1.045 g/cm3 et une viscosit´e de 60 cp `a 7o C ; dans ce cas, la conductivit´e hydraulique des huiles est environ 40 fois plus faible que celle de l’eau `a la mˆeme temp´erature. La salinit´e de l’eau (par exemple, l’eau de mer) exerce aussi une influence non n´egligeable dans certains probl`emes.

4.3.2

Perm´ eabilit´ e des s´ ediments

Les s´ediments grossiers non consolid´es, comme les sables et graviers, sont parmi les meilleurs aquif`eres. D’autre part, les argiles sont souvent utilis´ees en ing´enierie pour servir de membrane ´etanche `a cause de leur tr`es faible perm´eabilit´e intrins`eque. Il existe une tr`es grande diversit´e de valeurs de perm´eabilit´e pour les mat´eriaux meubles ; l’´ecart entre les valeurs extrˆemes peut couvrir 10 ordres de grandeur (Figure 4.7). La perm´eabilit´e intrins`eque est fonction de la dimension des pores. Plus les s´ediments sont fins, plus la surface de contact entre l’eau et les s´ediments sera grande. Cela augmente la force de friction entre l’eau et les solides et r´eduit l’´ecoulement. Pour des alluvions de la taille des sables, plusieurs relations entre la perm´eabilit´e intrins`eque et la taille des particules ont ´et´e not´ees. Ces observations, qui seraient valides pour tous les d´epˆots s´edimentaires ind´ependamment de l’origine du d´epˆot, sont :

106

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

• La perm´eabilit´e augmente avec la m´ediane de la taille des particules puisque la taille des pores augmente. • La perm´eabilit´e diminue pour un diam`etre m´edian donn´e quand l’´ecarttype des diam`etres augmente. L’augmentation de l’´ecart-type rend un ´echantillon moins uniforme de sorte que les mat´eriaux fins peuvent combler les vides entre les fragments plus grossiers. • Les ´echantillons plus grossiers montrent une plus grande diminution de perm´eabilit´e avec une augmentation de l’´ecart-type que les ´echantillons plus fins. • Les ´echantillons avec une distribution unimodale (un seul maximum sur la courbe de distribution) ont une plus grande perm´eabilit´e que les ´echantillons avec distribution bimodale. La distribution avec deux ou plusieurs modes donne des mat´eriaux moins uniformes, plus denses et moins perm´eables. La figure 4.7 permet de convertir les unit´es de perm´eabilit´e et de conductivit´e hydraulique en plus de montrer les valeurs probables pour divers types de milieux poreux g´eologiques comprenant les roches et les d´epˆots meubles.

4.3.3

Perm´ eabilit´ e des roches

La perm´eabilit´e intrins`eque des roches provient principalement des vides primaires form´es en mˆeme temps que la roche et des ouvertures secondaires cr´e´ees apr`es la formation de la roche. La taille des ouvertures, le degr´e d’interconnexion et le volume des vides contrˆolent la perm´eabilit´e des roches. Les roches s´edimentaires clastiques ont une perm´eabilit´e primaire de caract`ere semblable `a celle des s´ediments non consolid´es. Toutefois la diag´en`ese peut r´eduire la taille des conduits qui relient les pores adjacents `a cause de la cimentation et de la compaction. Cela peut r´eduire consid´erablement la perm´eabilit´e sans affecter beaucoup la porosit´e primaire totale. La perm´eabilit´e primaire peut aussi ˆetre caus´ee par des structures s´edimentaires comme les plans de stratification ou le granoclassement. Les roches cristallines, qu’elles soient ign´ees, m´etamorphiques ou chimiques, ont typiquement des perm´eabilit´es primaires tr`es faibles en plus d’avoir une porosit´e primaire tr`es faible. L’inter-croissance des cristaux laisse peu d’espace pour les vides, ce qui rend plus difficile l’´ecoulement de fluides. Seules certaines roches volcaniques peuvent avoir une porosit´e primaire ´elev´ee et la

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

107

FIG. 4.7 – Perm´eabilit´e et conductivit´e hydraulique des roches et des d´epˆ ots meubles.

108

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

perm´eabilit´e peut ˆetre tr`es ´elev´ee si les pores sont grands et bien connect´es. La perm´eabilit´e secondaire se d´eveloppe par la fracturation de la roche. L’augmentation de perm´eabilit´e r´esulte initialement du nombre et de la dimension des discontinuit´es. Au passage de l’eau dans les discontinuit´es, certains min´eraux peuvent passer en solution et entraˆıner un ´elargissement des fractures, ce qui augmente la perm´eabilit´e. Les pr´ecipit´es chimiques (calcaires, dolomies, gypse et halite) sont tr`es susceptibles de se karstifier et jusqu’`a un certain point d’autres roches aussi. L’alt´eration des roches par les agents physiques et chimiques entraˆıne g´en´eralement une augmentation importante de la perm´eabilit´e parce que la roche d´ecompos´ee ou d´esint´egr´ee contient plus de vides, de fissures et de discontinuit´es. Plusieurs chercheurs ont tent´e de relier la porosit´e des fractures, nf , et leur perm´eabilit´e. Selon Snow (1968), pour un r´eseau de diaclases parall`eles et planes dont l’ouverture est b et la densit´e N (nombre de fractures par unit´e de longueur perpendiculaire `a la face), on obtient les relations suivantes : nf = N b et κ =

N b3 12

(4.33)

On d´esigne souvent cette derni`ere relation comme la ”loi cubique” de perm´eabilit´e. Si on ne consid`ere qu’une seule fracture de porosit´e unitaire (nf = 1), on utilise l’´equation 4.33 et on obtient N = 1/b. Utilisant ce r´esultat, la perm´eabilit´e d’une seule fracture est donn´ee par κf =

b2 12

(4.34)

et la conductivit´e hydraulique d’une seule fracture Kf est : ρgκf ρgb2 Kf = = µ 12µ

(4.35)

Les figures 4.8 et 4.9 illustrent quelques notions reli´ees aux milieux fractur´es.

4.3.4

Mesure par perm´ eam` etres

La valeur de la conductivit´e hydraulique des mat´eriaux g´eologiques peut eam` etres. Les perm´eam`etres ˆetre d´etermin´ee en laboratoire avec des perm´

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

FIG. 4.8 – Orientations de fractures.

109

110

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

FIG. 4.9 – Ouverture de fracture compar´ee `a l’´epaisseur ´equivalente d’un milieu poreux.

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

111

comprennent tous un r´ecipient pour retenir un ´echantillon de s´ediments ou de roche. Les perm´eam`etres pour les roches sont con¸cus pour traiter des carottes de roche solide, habituellement cylindriques. Pour les s´ediments et mat´eriaux meubles, les essais sont faits souvent `a l’´etat remani´e. Il est possible de traiter des ´echantillons de sols non remani´es, surtout les mat´eriaux coh´esifs comme les argiles pr´elev´ees dans des tubes Shelby. Si les s´ediments sont remani´es lors de leur mise en place dans le perm´eam`etre, la valeur de conductivit´e hydraulique par rapport aux mat´eriaux intacts ne sera qu’approximative. Les valeurs d´etermin´ees sur le terrain sont plus fiables parce qu’elles sont d´etermin´ees sur des volumes plus repr´esentatifs. Deux types de perm´eam`etres sont souvent utilis´es : le perm´ eam` etre ` a charge constante (figure 4.10) et le perm´ eam` etre ` a charge variable (figure 4.11). Le premier est utilis´e surtout pour les mat´eriaux granulaires comme les sables alors que le second est plus utilis´e pour les mat´eriaux fins (silt, argile, till). Il est `a noter qu’il existe des normes ASTM (American Society for Testing and Materials) d´ecrivant en d´etail la proc´edure `a suivre pour effectuer des essais de perm´eabilit´e `a l’aide de deux types de perm´eam`etres. Dans le perm´eam`etre `a charge constante on maintient une diff´erence de charge constante entre l’entr´ee et la sortie (voir figure 4.10). Il s’agit de mesurer le volume d’eau qui s’´ecoule dans un intervalle de temps `a travers l’´echantillon. La conductivit´e est d´etermin´ee par la loi de Darcy : dh (4.36) dl `a partir de laquelle on ´ecrit une expression pour la conductivit´e hydraulique Q = KA

K=

VL At∆h

(4.37)

Si on exprime le d´ebit Q comme ´etant le volume d’eau V qui s’´ecoule dans le syst`eme dans un temps t, si la perte de charge `a travers un ´echantillon de longueur L est ´egale `a ∆h, et si A est l’aire d’une section normale `a l’´ecoulement, alors la conductivit´e hydraulique peut ˆetre directement d´eduite de l’´equation 4.37 et est Qdl (4.38) K= Adh Pour l’essai en perm´eam`etre, il est important que le gradient hydraulique soit aussi pr`es que possible des valeurs de terrain. La diff´erence de charge

112

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

∆h ne devrait pas exc´eder la demie de la longueur de l’´echantillon. Avec des gradients plus ´elev´es, l’essai est plus court mais il peut y avoir ´ecoulement turbulent et la loi de Darcy n’est plus valide. L’alimentation du syst`eme par le bas est recommendable pour chasser du syst`eme des bulles d’air qui auraient pu ˆetre entraˆın´ees par l’´ecoulement. Un gradient trop fort vers le haut peut aussi cr´eer des situations de boulance (sables mouvants) qui ne sont plus repr´esentatives des conditions de terrain. Pour les mat´eriaux coh´esifs de plus faible conductivit´e hydraulique, un perm´eam`etre `a charge variable est utilis´e (fig. 4.11). A cause des faibles d´ebits et la dur´ee tr`es longue des essais, on essaie de d´eterminer avec pr´ecision les changements de volumes et de niveau en fonction du temps dans un tube plus petit qui alimente le perm´eam`etre. On note au d´ebut de l’essai la charge hydraulique initiale ho . Apr`es un intervalle de temps donn´e (qui peut ˆetre de plusieurs heures), on mesure encore le niveau d’eau h. Il faut mesurer le diam`etre int´erieur, dt , du tube d’alimentation, le diam`etre dc de l’´echantillon et la longueur L de l’´echantillon. On calcule la conductivit´e hydraulique `a l’aide de la formule suivante : K=

dt 2 L ho ln h dc 2 t

(4.39)

Dans les essais au perm´eam`etre, il est important que l’´echantillon soit compl`etement satur´e. La pr´esence de bulles d’air pi´eg´ees dans le milieu poreux r´eduit la conductivit´e hydraulique. L’´echantillon doit aussi ˆetre en contact ´etroit avec les parois pour ne pas laisser un chemin pr´ef´erentiel qui augmentera artificiellement la valeur de K.

4.3.5

D´ etermination par m´ ethodes empiriques

Il existe une relation entre la granulom´etrie des sols et leur conductivit´e hydraulique. Toutefois, si on ne tient pas compte de la structure du sol, de l’arrondi des particules ou de la masse volumique globale, les corr´elations sont plutˆot floues et peuvent entraˆıner des erreurs significatives. Par contre, en l’absence de toute autre donn´ee que des analyses granulom´etriques, il est possible d’estimer la valeur de conductivit´e hydraulique par des formules empiriques, surtout pour des mat´eriaux granulaires comme les sables et graviers.

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

FIG. 4.10 – Perm´eam`etre `a charge constante.

FIG. 4.11 – Perm´eam`etre `a charge variable.

113

114

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

La formule de Hazen est peut-ˆetre la mieux connue. Il s’agit d’estimer la valeur de K en utilisant le diam` etre effectif d10 correspondant au diam`etre de la fraction granulom´etrique pour laquelle 10% des particules sont plus fines. Cette formule est donn´ee par : K = Ad10 2

(4.40)

o` u A est un param`etre d’ajustement. Pour une conductivit´e hydraulique mesur´ee en cm/s et un diam`etre d10 mesur´e en mm, la valeur de A est de 1.0. Une autre m´ethode est celle de Masch et Denny (1966) utilise des param`etres tir´es de la courbe granulom´etrique d´efinie avec l’´echelle φ. Pour d´efinir cette ´echelle, on associe une valeur de φ `a un diam`etre dmm exprim´e en millim`etre avec la relation φ = − log2 dmm

(4.41)

Cette relation peut ˆetre transform´ee de la fa¸con suivante φ = − log2 dmm =

− log10 dmm − log10 dmm = = −3.32 log10 dmm log2 2 0.30103

(4.42)

Pour le calcul de la conductivit´e hydraulique, il faut d’abord d´efinir l’´ecarttype inclusif σI : φ16 − φ84 φ5 − φ95 σI = + (4.43) 4 6.6 o` u les valeurs de φi sont les diam`etres exprim´es dans l’´echelle φ. Ensuite, on d´etermine graphiquement K en utilisant le d50 de la courbe granulom´etrique et la valeur de σI (figure 4.12) : Une troisi`eme m´ethode empirique pour d´eterminer la conductivit´e hydraulique `a partir de la granulom´etrie utilise la relation de Kozeny-Carmen, qui est à !à ! !à ρw g n3 (d50 )2 K= (4.44) µw 180 (1 − n)2 o` u ρw et µw sont respectivement la masse volumique et la viscosit´e de l’eau, n est la porosit´e du milieu poreux et d50 est le diam`etre moyen des grains. Tous les termes du cˆot´e droit de l’´equation 4.44 doivent ˆetre exprim´es avec les mˆemes unit´es pour la masse, le temps et la longueur, et la valeur de K calcul´ee sera exprim´ee selon les unit´es de temps et longueur choisies.

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

115

FIG. 4.12 – D´etermination de la perm´eabilit´e selon la m´ethode de Masch et Denny ; (a) calcul de d50 = 2.0 et σI = 0.8 `a partir de la courbe granulom´etrique dans l’´echelle φ, (b) d´etermination de la conductivit´e hydraulique (K ≈ 0.8 cm min−1 ) en rapportant les valeurs de d50 et σI trouv´ees en (a) sur un abaque.

4.3.6

Essais en pi´ ezom` etres

Il est possible de d´eterminer la conductivit´e hydraulique in situ en r´ealisant des essais dans un seul pi´ezom`etre ou puits d’observation. Plusieurs variantes de ces essais ont ´et´e propos´es au cours des derni`eres ann´ees pour des conditions de perm´eabilit´e tr`es variables. Par exemple, dans les ´etudes pour l’enfouissement des d´echets radioactifs, les essais sont davantage des essais d’´etanch´eit´e parce qu’on recherche des formations qui retiendront les d´echets pendant de milliers d’ann´ees. On les utilise aussi beaucoup pour l’exploration pr´eliminaire dans les chantiers de construction de barrages et digues (par exemple, les am´enagements de la Baie James). R´ecemment, leur application en hydrog´eologie des contaminants a pris beaucoup d’ampleur. Les essais pi´ezom´etriques ont une port´ee locale qui se limite `a quelques centim`etres ou quelques m`etres autour d’un forage, comparativement aux essais de pompage dont l’influence peut atteindre plusieurs centaines de m`etres. Leur int´erˆet est imm´ediat pour la caract´erisation des formations peu perm´eables comme les silts, argiles, tills, shales, etc. On les utilise beaucoup aussi pour ´etudier les propri´et´es des roches fractur´ees mais peu perm´eables. Les erreurs

116

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

lorsqu’on extrapole ces r´esultats `a grande ´echelle peuvent ˆetre consid´erables, surtout pour les roches fractur´ees. On distingue deux grandes cat´egories d’essais 1. les essais d’injection ou essais Lefranc (ou slug tests) qui peuvent se faire `a charge variable ou `a charge constante ; 2. les essais sous pression ou essais Lugeon (ou packer tests) qui se font essentiellement dans les roches fractur´ees. Dans le cas des essais Lugeon, qui ne sera pas discut´e ici, on injecte `a haute pression de l’eau entre deux obturateurs qui interceptent une certaine longueur de forage et on mesure les d´ebits sous la charge sp´ecifi´ee. Les essais Lugeon se font souvent en r´egime turbulent et l’´ecoulement ne correspond pas toujours `a ce que pr´evoit la loi de Darcy. L’essai Lefranc est r´ealis´e la plupart du temps en cours de forage en cr´eant artificiellement une lanterne de mat´eriel granulaire tr`es perm´eable `a la base du forage en remontant les tubes qui retiennent les parois du forage. Ces essais ont ´et´e normalis´es de sorte que la forme de la lanterne, sa longueur par rapport `a son diam`etre, de mˆeme que la nature des mat´eriaux utilis´es sont souvent impos´ees dans un projet donn´e. On le r´ealise soit par injection (slug tests), soit par pompage d’eau (bail tests). On peut r´ealiser les essais par des proc´edures de charge variable (mat´eriaux peu perm´eables) ou de charge constante (mat´eriaux perm´eables). Le principe de ces essais est de cr´eer une variation de niveau instantan´ee et de laisser l’eau revenir `a son ´etat initial avec le temps. On proc`ede par addition ou pompage d’une quantit´e connue d’eau ou encore en introduisant ou en retirant du forage un cylindre de volume connu. Diverses m´ethodes existent pour interpr´eter les variations de niveau d’eau en fonction du temps. La m´ethode la plus utilis´ee est celle de Hvorslev (1951). Dans cette interpr´etation, on suppose au d´epart que le milieu est homog`ene, isotrope et infini. Hvorslev consid`ere aussi que l’eau et le sol sont incompressibles. Le taux d’´ecoulement q `a la pointe du pi´ezom`etre `a un temps t est proportionnel `a la conductivit´e hydraulique K du sol et `a la diff´erence de charge H − h qui reste `a dissiper (figure 4.13). L’´ecoulement dans le pi´ezom`etre est donn´e par la relation suivante : q(t) = πr2

dh = F K(H − h) dt

(4.45)

´ HYDRAULIQUE 4.3. CONDUCTIVITE

117

FIG. 4.13 – D´efinition des param`etres pour les essais dans les pi´ezom`etres.

118

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

o` u F est un facteur de forme qui d´epend de la g´eom´etrie et des dimensions de la zone d’entr´ee du pi´ezom`etre. Si q(t = 0) = Q0 au temps t = 0, il est clair que q(t) doit d´ecroˆıtre asymptotiquement avec le temps. Hvorslev a d´efini un temps de r´ eaction de base (”basic time lag”) T0 πr2 T0 = (4.46) FK Quand on substitue ce param`etre dans l’´equation pr´ec´edente, la solution de l’´equation diff´erentielle qui en r´esulte avec comme conditions initiales H = H0 `a t = 0 est H −h = e−t/T0 (4.47) H − H0 Un graphique des donn´ees de remont´ee du niveau d’eau H − h en fonction du temps t doit en principe montrer une diminution exponentielle du taux de remont´ee avec le temps. Si on normalise le taux de remont´ee par rapport `a H − H0 et qu’on reporte les donn´ees sur un diagramme semi-logarithmique, on obtient une droite (figure 4.14). On peut noter que pour : H −h = 0.37 H − H0 on a

Ã

H −h ln H − H0

(4.48)

!

= −1

(4.49)

et ainsi T0 = t, ce qui permet de d´efinir graphiquement le temps de r´eaction de base T0 . D’une autre fa¸con, on peut interpr´eter T0 comme le temps requis pour ´equilibrer les charges si le taux d’injection ou de pompage original ´etait maintenu. Ainsi, en multipliant le num´erateur et le d´enominateur de l’´equation 4.46 par H − H0 , on obtient : Ã

T0 =

πr2 FK

!µ

H − H0 H − H0

¶

πr2 (H − H0 ) V = = F K (H − H0 ) q0

(4.50)

o` u V est le volume initial d’eau enlev´e ou ajout´e et q0 , obtenu `a partir de la loi de Darcy, est le d´ebit initial `a travers la lanterne de gravier filtrant imm´ediatement apr`es l’enl`evement du volume V . Pour interpr´eter une s´erie de donn´ees d’essai, les donn´ees de terrain sont plac´ees en graphique comme dans la figure pr´ec´edente. La valeur de T0 est

` PROBLEMES

119

FIG. 4.14 – Analyse d’essais dans les pi´ezom`etres par la m´ethode de Hvorslev.

mesur´ee graphiquement et on d´etermine K `a partir de la d´efinition de T0 . Le facteur de forme F est caract´eristique pour chaque configuration du pi´ezom`etre, en particulier le rapport L/R de la longueur sur le rayon du pi´ezom`etre. Pour un rapport L/R > 8, Hvorslev a ´evalu´e le facteur de forme et propos´e l’´equation suivante : K=

r2 ln(L/R) 2LT0

(4.51)

o` u r est le rayon du tube conduisant au pi´ezom`etre, R est le rayon du pi´ezom`etre, L la longueur de la lanterne en contact avec la formation. Il existe plusieurs autres cas particuliers de ces formules pour des configurations diff´erentes.

Probl` emes 4.1

Un fluide soumis `a une pression de 1500 Pa se d´eplace dans un milieu poreux `a une vitesse de 10−6 m/s. La masse volumique du fluide est

120

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN de 1 020 kg/m3 et son ´el´evation par rapport au niveau de r´ef´erence est de 0.75 m. (a) Calculez l’´energie m´ecanique totale du fluide par unit´e de poids ainsi que ses composantes de pression, de gravit´e et cin´etique. [Cin´etique = 5.09 × 10−14 m ; Potentielle = 0.75 m ; Pression = 0.15 m] (b) Est-ce que le mouvement du fluide contribue significativement `a son ´energie m´ecanique totale et est-ce que cette contribution serait mesurable en pratique ? [Non]

4.2

Les notes de terrain du tableau 4.2 ont ´et´e prises `a un nid de 3 pi´ezom`etres install´es cˆote-`a-cˆote. L’´el´evation du sommet de chaque pi´ezom`etre a ´et´e obtenue par rapport au niveau moyen de la mer et cette ´el´evation correspond `a l’´el´evation de la surface du sol `a l’endroit o` u est install´e le pi´ezom`etre. On suppose que le pi´ezom`etre est un tubage solide qui n’est ouvert qu’`a son extr´emit´e inf´erieure. La profondeur indiqu´ee correspond `a la localisation de cette ouverture, qui est le point de mesure de la charge hydraulique dans la formation g´eologique. La profondeur du niveau d’eau est mesur´ee `a partir du sommet du pi´ezom`etre. Calculez la charge hydraulique, la charge de pression et la charge d’´el´evation en A, B et C. [A : h = 423 m, z = 300 m, hp = 123 m ; B : h = 403 m, z = 350 m, hp = 53 m ; C : h = 414 m, z = 400 m, hp = 14 m] TAB. 4.2 – Mesures prises dans 3 pi´ezom`etres.

Pi´ezom`etre

A B C 4.3

´ evation El´ Profondeur Profondeur du du sommet du pi´ezom`etre niveau d’eau (m) du pi´ezom`etre (m) (m) (`a partir du sommet) 450 150 27 450 100 47 450 50 36

Trois pi´ezom`etres install´es dans un aquif`ere horizontal sont situ´es `a 1000 m l’un de l’autre. Le pi´ezom`etre A est franc sud du pi´ezom`etre B et le pi´ezom`etre C est `a l’est du centre de la ligne AB. Les mesures indiqu´ees au tableau 4.3 sont faites `a ces pi´ezom`etres

` PROBLEMES

121 TAB. 4.3 – Mesures prises dans 3 pi´ezom`etres.

Pi´ezom`etre

A B C

´ evation El´ Profondeur du du sommet niveau d’eau (m) du pi´ezom`etre (m) (`a partir du sommet) 95 5 110 30 135 35

(a) D´eterminez la direction d’´ecoulement de l’eau souterraine dans le triangle ABC. [Azimuth 300o ] (b) Calculez le gradient hydraulique. [0.02] 4.4

Un d´epˆot superficiel a une ´epaisseur satur´ee d’´epaisseur variable comme illustr´e `a la figure 4.15, o` u le sommet de l’´epaisseur satur´ee correspond `a la position de la surface libre. La base du d´epˆot est utilis´ee comme niveau de r´ef´erence. Quelles seront les charges de pression et d’´el´evation aux points A, B, C et D si on suppose qu’il n’y a pas de composante verticale d’´ecoulement sur la section montr´ee sur la figure (´ecoulement horizontal seulement) ? [A : hp = 0 m, z = 52 m ; B : hp = 52 m, z = 0 m ; C : hp = 0 m, z = 50 m ; D : hp = 50 m, z = 0 m] surface A C

52 m Direction d’écoulement

B

50 m

D

z=0

´ FIG. 4.15 – Ecoulement horizontal dans un d´epˆ ot superficiel non satur´e.

4.5

Deux pi´ezom`etres situ´es `a une mˆeme ´el´evation ont tous deux une profondeur de 20 m et contiennent respectivement de l’eau pure et de l’eau sal´ee dont la masse volumique est de 1030 kg/m3 . Le niveau d’eau dans chacun des pi´ezom`etres est `a 5 m sous la surface. En utilisant

122

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN l’eau pure comme fluide de r´ef´erence, calculez la diff´erence de charge hydraulique entre les deux pi´ezom`etres et indiquez vers lequel se ferait l’´ecoulement. [∆h = 0.45 m ; ´ecoulement zone eau sal´ee vers zone eau douce]

4.6

La figure 4.16 montre deux formations perm´eables (unit´e 1 et unit´e 3) s´epar´ees par une formation (unit´e 2) dont la perm´eabilit´e est 1000 fois plus petite. Des pi´ezom`etres install´es dans les unit´es 1 et 3 montrent de niveau d’eau de h1 et h2 , respectivement (niveaux mesur´es `a partir de la base de l’unit´e 3 qui repose sur une formation imperm´eable). Supposez un ´ecoulement vertical `a travers les trois unit´es, sans composante horizontale d’´ecoulement. Sur la partie droite de la figure, faites un diagramme illustrant la r´epartition verticale de la charge hydraulique, charge de pression et charge d’´el´evation `a partir de la base de l’unit´e 1 jusqu’au sommet de l’unit´e 3. Suppposez qu’il n’y a pas de perte de charge hydraulique le long de la verticale dans les formations perm´eables (gradient vertical nul dans ces formations) et que la perte de charge hydraulique est uniquement dans la zone imperm´eable, avec un gradient hydraulique vertical constant. [Base : h = h1 ; Sommet : h = h2 ]

FIG. 4.16 – Vue en coupe de formations g´eologiques et niveaux pi´ezom´etriques.

` PROBLEMES

123

4.7

Une lentille semi-perm´eable (K = 0.01 m/j) de 0.5 m d’´epaisseur est situ´ee dans la zone non satur´ee d’un aquif`ere `a nappe libre dont la conductivit´e hydraulique est 100 m/j. La lentille supporte une nappe libre perch´ee de 1 m de hauteur dans la zone non satur´ee. Le d´ebit sp´ecifique `a travers cette lentille est de 0.038 m/j et l’´ecoulement est vertical vers le bas. Quelle est la charge de pression (en m) `a la base de la lentille semi-perm´eable ? On suppose qu’il n’y a pas de perte de charge dans la nappe libre au-dessus de la lentille. [hp = -0.4 m ]

4.8

Une membrane d’argile de 0.5 m d’´epaisseur recouvre un site d’enfouissement de 5000 m2 form´e de mat´eriel non satur´e (figure 4.17). La membrane d’argile est elle-mˆeme recouverte de mat´eriaux granulaires pour la prot´eger du gel. La conductivit´e hydraulique verticale de la couche d’argile est de 10−7 cm/s et on suppose qu’elle est compl`etement satur´ee en eau. Calculez le flux et le d´ebit `a travers la couche d’argile pour deux cas : (a) La couche de mat´eriaux granulaires au-dessus de l’argile est mal drain´ee et 1 m d’eau s’accumule `a la surface de l’argile (situation montr´ee `a la figure 4.17). [Q = 1.5 × 10−5 m3 s−1 ; q = 3 × 10−9 m s−1 ] (b) La couche de mat´eriaux granulaires au-dessus de l’argile est bien drain´ee et seulement 0.1 m eau s’accumule `a la surface de l’argile. [Q = 6 × 10−6 m3 s−1 ; q = 1.2 × 10−9 m s−1 ]

4.9

4.10

Un d´epˆot de sable silteux (K = 0.5 m/j) est situ´e sur une couche de gravier tr`es perm´eable (figure 4.18). L’´ecoulement dans les 2 couches est vertical et vers le haut et le d´epˆot de sable silteux n’est pas compl`etement satur´e en eau. Le sable silteux contient respectivement 35% d’eau par volume dans sa partie satur´ee et 25% dans sa partie non satur´ee. Deux pi´ezom`etres indiquent le niveau de la charge hydraulique ` quelle hauteur au-dessus de la couche de gravier aux points A et B. A se trouve la surface libre et `a quelle vitesse se fait la remont´ee de la surface libre ? [Hauteur = 4.67 m, vitesse = 2.5 m jour−1 ] ` Ville-Mercier, au sud de Montr´eal, le Minist`ere de l’Environnement A proc`ede depuis 1984 au pompage de l’eau souterraine pour contrˆoler l’expansion d’une zone de contamination provenant des lagunes o` u ´etaient entrepos´es plusieurs milliers de m3 de r´esidus p´etroliers conte` mi-chemin entre les lagunes et les nant des solvants organiques. A

124

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

FIG. 4.17 – Coupe verticale montrant un site d’enfouissement surmont´e d’une membrane d’argile et d’une couche de mat´eriaux granulaires.

FIG. 4.18 – Vue en coupe verticale d’un d´epˆ ot de sable silteux situ´e sur une couche de gravier. Les triangles invers´es montrent les niveaux d’eau observ´es aux points A et B `a partir de pi´ezom`etres.

` PROBLEMES

125

puits, deux pi´ezom`etres surveillent les conditions de la nappe de surface (sable et gravier) et de la nappe profonde (gr`es fractur´e), comme montr´e dans la partie sup´erieure de la figure 4.19. Les deux nappes sont s´epar´ees par une couche de till de 2 m d’´epaisseur et dont la conductivit´e hydraulique K = 0.1 m/j. La coupe vertical montr´ee dans la partie inf´erieure de la figure 4.19 indique les conditions et niveaux pi´ezom´etriques observ´es en 1984 avant le pompage, et la situation en 1997 apr`es plusieurs ann´ees de pompage.

FIG. 4.19 – Lagunes de Ville Mercier. La figure du dessus est une vue en plan des lagunes et des puits et pi´ezom`etres. La figure du dessous est une vue en coupe de la pi´ezom´etrie.

126

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN ´ (a) Evaluez la charge hydraulique totale dans chaque nappe avant et apr`es le pompage. [avant (1984) : hA = 28 m et hB = 27 m ; apr`es (1997) : hA = 22 m et hB = 25 m] (b) S’il y a ´ecoulement `a travers le till, indiquez dans quelle direction pour les deux cas et calculez le flux q (m/j). [avant (1984) : q = 0.05 m jour−1 (bas) ; apr`es (1997) : q = 0.15 m jour−1 (haut)] (c) La zone contamin´ee occupe une superficie de 100 m × 200 m. Quel est le d´ebit Q (m3 /j) entre les deux nappes pour les deux conditions ci-dessus. [avant (1984) : Q = 1000 m3 jour−1 ; apr`es (1997) : Q = 3000 m3 jour−1 ]

4.11

` Grandes-Piles, pr`es de Grand-M`ere, la firme Horizon EnvironneA ment a fait excaver des cellules `a s´ecurit´e maximale dans de l’argile pour l’entreposage `a long terme de sols contamin´es par des hydrocarbures et des m´etaux lourds. Les fuites ´eventuelles de lixiviat `a partir des cellules vers les nappes profondes sont un enjeu important pour ce projet. La figure 4.20 indique les conditions pi´ezom´etriques avant l’excavation des cellules (`a gauche, pi´ezom`etres A et B) et apr`es (`a droite, pi´ezom`etres C). Notez que le point de mesure des pi´ezom`etres A, B et C est `a leur base et que les niveaux d’eau mesur´es en A et B sont rest´es inchang´es apr`es l’excavation des cellules. La conception des cellules assure qu’en tout temps le niveau de l’eau est maintenu en dessous de la base des cellules `a l’aide de drains. (a) Calculez quelle ´etait la charge hydraulique dans les pi´ezom`etres A et B avant la construction. Y avait-il ´ecoulement entre la surface et la nappe du roc fractur´e ? Si oui, calculez le flux (m/an). [hA = 14 m , hB = 13 m, q = 0.0025 m an−1 vers le bas] (b) Apr`es l’excavation, la charge hydraulique dans le roc est demeur´ee semblable `a la charge hydraulique avant l’excavation. Calculez la pression de fluide qui serait enregistr´ee par une jauge install´ee au sommet du pi´ezom`etre C. [49 kPa] (c) Calculez le flux dans l’argile au fond de l’excavation en indiquant aussi la direction d’´ecoulement. [0.02 m an−1 vers le haut] (d) Quelle est la vitesse de l’eau souterraine dans l’argile au fond de l’excavation et combien faut-il de temps pour que l’eau passe `a travers de la couche d’argile ? [0.033 m an−1 vers le haut]

` PROBLEMES

127

FIG. 4.20 – Vue en coupe montrant les conditions pi´ezom´etriques au site de Grandes-Piles.

(e) Le site a une superficie totale de 12 ha (1 ha = 10 000 m2 ). Quel est le volume annuel d’eau qui est ´echang´e entre la cellule et l’aquif`ere sous-jacent (en m3 /an) ? [2400 m3 an−1 ] 4.12

Une formation g´eologique a une conductivit´e hydraulique de 10−6 m/s. (a) Quelle est la conductivit´e hydraulique en pied s−1 ? [3.28 × 10−6 ] (b) Quelle est la conductivit´e hydraulique en gal jour−1 pi−2 ? [2.12] (c) Quelle est la perm´eabilit´e en cm2 ? [1.02 × 10−9 ] (d) Quelle est la perm´eabilit´e en darcy ? [0.104]

4.13

Utilisez la courbe granulom´etrique de la figure 4.21 pour estimer la conductivit´e hydraulique du mat´eriel avec la formule de Hazen et la m´ethode de Masch et Denny. [Hazen : 7.2 × 10−3 cm s−1 < K < 9.0 × 10−3 cm s−1 ; Masch et Denny : 9.44 × 10−3 cm s−1 ]

4.14

Un perm´eam`etre `a charge constante contient un ´echantillon de sable moyen de 15 cm de longueur et de 25 cm2 de section. En appliquant une charge de 5 cm, 100 ml d’eau s’´ecoulent en 12 minutes. Quelle est la conductivit´e hydraulique de l’´echantillon ? [1.67 × 10−4 m s−1 ]

128

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN Courbe granulométrique 100

% passant

80 60

40 20

0 .01

.1

1

10

diamètre (mm)

FIG. 4.21 – Courbe granulom´etrique.

4.15

Un perm´eam`etre `a charge variable contient un sable fin silteux. Le tube de charge variable a 2 cm de diam`etre, le diam`etre de l’´echantillon est de 10 cm et la longueur d’´ecoulement est de 15 cm. La charge initiale est de 5 cm et elle diminue `a 0.5 cm durant 528 minutes. Quelle est la conductivit´e hydraulique de l’´echantillon ? [4.36 × 10−7 m s−1 ]

4.16

Un aquif`ere de roc fractur´e s’´etend de la surface jusqu’`a une profondeur de 100 m. Une ´etude des discontinuit´es indique qu’il y a trois familles de fractures mutuellement perpendiculaires dont l’espacement est indiqu´e au tableau 4.4. Orientation Espacement (cm) Ouverture (mm) Horizontales 15 0.5 Verticales N-S 60 1.0 Verticales E-O 80 1.0 TAB. 4.4 – Espacement et ouvertures de familles de fractures.

(a) Calculez la porosit´e de fractures. [0.62%] ´ (b) Evaluez le volume d’eau total contenu dans cet aquif`ere par kilom`etre carr´e. [620 000 m3 ]

` PROBLEMES

129

(c) Cet aquif`ere doit alimenter une petite ville et la consommation moyenne par habitant est de 320 l/jour. Sur une base annuelle, combien de personnes pourrait alimenter cet aquif`ere (en supposant que la nappe est r´ealiment´ee au mˆeme taux) ? [5308] (d) Calculez la perm´eabilit´e k de chaque syst`eme de fractures et leur conductivit´e hydraulique K `a une temp´erature de 10o C. [κHOR = 6.95 × 10−11 m2 ; κN S = 1.39 × 10−10 m2 ; κEO = 1.04 × 10−10 m2 ; KHOR = 5.2 × 10−4 m s −1 ; KN S = 1.0 × 10−3 m s −1 ; KEO = 7.8 × 10−4 m s −1 ] 4.17

4.18

4.19

4.20

A la Mine Doyon, on a effectu´e des essais de perm´eabilit´e `a l’air dans des st´eriles miniers tr`es grossiers mais non satur´es. A l’´etat naturel, la perm´eabilit´e intrins`eque κ est de 10−6 cm2 . Apr`es compaction m´ecanique des mat´eriaux, la perm´eabilit´e a ´et´e r´eduite `a 5 × 10−8 cm2 . La masse volumique de l’eau est 1000 kg/m3 et sa viscosit´e est 1 × 10−3 Pa·s et la masse volumique et la viscosit´e de l’air sont 1.22 kg/m3 et 1.8 × 10−5 Pa·s, respectivement. A partir de ces donn´ees, quelle serait la conductivit´e hydraulique K (en m/s) des d´echets miniers s’ils ´etaient compl`etement satur´es en eau. De combien la conductivit´e hydraulique a-t-elle diminu´ee apr`es la compaction ? [avant : K = 9.8 × 10−4 m s−1 ; apr`es : K = 4.9 × 10−5 m s−1 ] En laboratoire, on effectue une essai de perm´eabilit´e `a charge variable sur un ´echantillon de sable silteux. Le perm´eam`etre a un rayon de 5 cm et l’´echantillon a une longueur de 20 cm. La charge hydraulique est appliqu´ee par un petit tube de 0.5 cm de rayon et les charges hydrauliques `a l’entr´ee et `a la sortie du syst`eme sont respectivement de 100 cm et de 20 cm. Apr`es 20 minutes, le niveau d’eau dans le tube d’entr´ee a baiss´e de 20 cm. A partir de ces donn´ees, calculez la conductivit´e hydraulique du sable silteux. [4.8 × 10−7 m s−1 ] La masse volumique de l’eau au sommet d’un lac est 1.002 g cm−3 . Calculez la masse volumique de l’eau `a la base du lac, si celui-ci a une profondeur de 130 m et si on suppose que la temp´erature et la concentration en solides dissous sont constants dans le lac. (Note : vous pouvez utiliser l’´equation 3.19). [1.00256 g cm−3 ] On a install´e un pi´ezom`etre de 4 pouces de diam`etre dans un forage d’un diam`etre de 7 pouces situ´e dans une formation de sable. La partie cr´epin´ee du pi´ezom`etre est situ´ee `a sa base et a une longueur de

130

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

FIG. 4.22 – Conversion de l’´echelle φ ` a une longueur en millim`etre.

` PROBLEMES

131

FIG. 4.23 – Courbe de pr´ediction de la perm´eabilit´e par la m´ethode de Masch et Denny.

132

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN 5 pieds. Lors de l’installation, on a plac´e une lanterne de sable entre la cr´epine et les parois du forage. On a ensuite ciment´e l’espace entre les parois du forage et la cr´epine jusqu’`a la surface. Un essai de perm´eabilit´e a ´et´e fait en rabaissant rapidement le niveau d’eau dans le pi´ezom`etre et en mesurant la remont´ee vers le niveau initial qui ´etait ` partir des donn´ees de profondeur du `a 7 pieds sous la surface du sol. A niveau d’eau en fonction du temps montr´ees au tableau 4.5, calculez la conductivit´e hydraulique de l’aquif`ere avec la m´ethode de Hvorslev. [T0 ≈ 6.6 min, K ≈ 6 × 10−6 m s−1 ]. Temps (min) Profondeur du niveau d’eau (pieds) 0 48.33 2 32.19 5 25.60 6 23.56 7 21.64 8 19.90 9 18.14 10 16.61 12 13.96 14 13.26 16 12.28 19 10.97 25 9.05 32 8.14 39 7.56 46 7.16

TAB. 4.5 – Observations du niveau d’eau lors d’un essai de perm´eabilit´e.

4.21

La pointe d’un pi´ezom`etre se situe `a une profondeur de 5.00 m par rapport `a la surface du sol. Le niveau de l’eau dans le sol `a cet endroit se maintient en moyenne `a 0.4 m sous la surface. En hiver, on veut continuer `a observer les fluctuations des niveaux de la nappe et pour ´eviter que l’eau ne g`ele dans le pi´ezom`etre, on introduit dans le pi´ezom`etre un volume d’huile isolante ´equivalent `a une hauteur de 2.5 m et on laisse le pi´ezom`etre se remettre `a l’´equilibre. On suppose que la charge hydraulique `a la pointe du pi´ezom`etre demeure constante

` PROBLEMES

133

durant cette op´eration, c’est-`a-dire qu’elle est la mˆeme avant et apr`es l’ajout d’huile. On suppose aussi que l’huile et l’eau ne se m´elangent pas dans le pi´ezom`etre. La masse volumique de l’huile est 870 kg m−3 et que celle de l’eau est de 1000 kg m−3 . Apr`es avoir ajout´e l’huile, calculez (a) La hauteur de la colonne d’eau dans le pi´ezom`etre sous l’huile. [2.425 m] (b) La profondeur (`a partir de la surface du sol) o` u se trouve le sommet de la colonne d’huile. [0.075 m] (c) La profondeur o` u se trouve l’interface eau-huile ? [2.575 m] 4.22

Dans une gare de triage, des fuites importantes de diesel dans un aquif`ere sous-jacent ont ´et´e not´ees. Des forages ont montr´e qu’une couche de 3 m de diesel s’´etait accumul´ee au-dessus de l’aquif`ere dont la base est `a 20 m sous la surface du sol. On a observ´e dans un pi´ezom`etre que le niveau de diesel est `a 5 m de profondeur `a partir de la surface. (a) Sachant que la masse volumique du diesel est 830 kg m−3 , calculez la charge hydraulique totale dans le pi´ezom`etre, sachant que celui-ci se termine `a la base de la formation aquif`ere. (Prenez la base de l’aquif`ere comme ´el´evation de r´ef´erence) [14.49 m] (b) Pour r´ehabiliter le site, des pompes ont ´et´e install´ees et ont r´eussi `a r´ecup´erer du diesel jusqu’`a ce que son ´epaisseur ne soit plus que 1 m. En supposant que les conditions soient revenues `a l’´equilibre (c’est-`a-dire que la charge hydraulique apr`es enl`evement de diesel soit ´egale `a la charge hydraulique avant), `a quelle profondeur se trouve alors l’interface eau/diesel ? [6.34 m]

134

´ CHAPITRE 4. PRINCIPES D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Chapitre 5 Syst` emes aquif` eres 5.1

Description des aquif` eres

Les mat´eriaux terrestres naturels ont des conductivit´es hydrauliques tr`es vari´ees. Pr`es de la surface, tr`es peu de mat´eriaux sont r´eellement imperm´eables. L’alt´eration, la fracturation et la dissolution affectent toutes les roches jusqu’`a un certain degr´e. Toutefois, la vitesse de circulation de l’eau souterraine peut ˆetre tr`es lente dans des unit´es de faible conductivit´e hydraulique. Un aquif` ere est un massif de mat´eriaux g´eologiques perm´eables comportant une zone satur´ee qui conduit suffisamment d’eau souterraine pour permettre l’´ecoulement significatif d’une nappe souterraine et le captage de quantit´es d’eau appr´eciables. Un aquif`ere peut comporter aussi une zone non satur´ee. La perm´eabilit´e intrins`eque des aquif`eres se situerait dans un intervalle de 0.01 darcy et plus, ce qui donne des conductivit´es hydrauliques sup´erieures `a 10−7 m/s (approximativement > 0.01 m/j). Les sables et graviers non consolid´es, les gr`es, les calcaires et les dolomies, les coul´ees de basaltes r´ecents et les roches fractur´ees (ign´ees ou m´etamorphiques) entrent dans cette d´efinition d’aquif`eres. Puisque la valeur de l’eau augmente avec sa raret´e, une mˆeme unit´e pourrait ˆetre consid´er´ee comme un aquif`ere m´ediocre en r´egions humides et un bon aquif`ere en r´egions arides. La d´efinition est donc un peu subjective. Une couche de confinement est une unit´e g´eologique qui a une perm´eabilit´e 135

136

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

intrins`eque faible ou tr`es faible (moins de 0.01 darcy) ou une conductivit´e hydraulique inf´erieure `a 10−7 m/s. Cette limite est arbitraire et d´epend des conditions locales. Dans une r´egion o` u dominent les argiles (K = 10−9 m/s), des silts avec une conductivit´e hydraulique de 10−7 m/s peuvent ˆetre utilis´es pour alimenter de petites installations de captage. D’autre part, les mˆemes silts sont consid´er´es comme une couche de confinement en contact avec un aquif`ere de sable dont la conductivit´e hydraulique est de 10−3 m/s. L’eau souterraine peut circuler dans la plupart des couches de confinement bien que le mouvement y soit tr`es lent. On subdivise souvent les couches de confinement en aquifuges, aquitards et aquicludes. Un aquifuge est une unit´e absolument imperm´eable qui ne contient ni ne laisse passer d’eau. Un aquitard est une couche de faible perm´eabilit´e qui peut emmagasiner de l’eau souterraine et la transf´erer lentement d’un aquif`ere `a un autre. On utilise aussi le terme couche semi-perm´ eable (leaky confining layers) pour d´esigner ces unit´es. Un aquiclude est aussi une unit´e de faible perm´eabilit´e mais qui est localis´ee de sorte qu’elle forme une limite sup´erieure ou inf´erieure `a un syst`eme d’´ecoulement de l’eau souterraine. Les couches peu perm´eables peuvent ˆetre des ´el´ements tr`es significatifs dans l’´etude de l’´ecoulement souterrain `a l’´echelle r´egionale. Beaucoup d’aquif`eres sont r´ealiment´es `a travers des couches de faible perm´eabilit´e. S’il existe un gradient hydraulique `a travers ces couches et que leur ´etendue est grande, il est possible de maintenir le d´ebit de puits dans des aquif`eres situ´es en dessous. Le pompage intense dans une formation aquif`ere est souvent suffisant pour cr´eer un gradient hydraulique qui stimule la percolation `a travers des couches semi-perm´eables. Une bonne partie des nappes captives sont r´ealiment´ees de la sorte. Les aquif`eres peuvent ˆetre situ´es pr`es de la surface du sol avec des couches continues de mat´eriaux de perm´eabilit´e ´elev´ee s’´etendant jusqu’`a la base de l’aquif`ere. On nomme ces aquif`eres nappes libres ou nappes phr´ eatiques (figure 5.1). L’alimentation de ces nappes se fait directement par infiltration dans la zone non satur´ee, par transport lat´eral d’eau souterraine et ´eventuellement par remont´ee d’eau de nappes plus profondes. L’´epaisseur satur´ee des nappes libres peut varier avec les saisons. Le sommet d’une nappe libre est d´efini par une surface libre. Certains aquif`eres appel´es nappes captives ou nappes art´ esiennes sont

` 5.1. DESCRIPTION DES AQUIFERES

137

recouverts d’une couche de confinement. Leur alimentation provient surtout lat´eralement `a partir d’une aire d’alimentation o` u l’unit´e affleure en surface ou par lente infiltration `a travers des couches semi perm´eables qui constitutent ses limites sup´erieures ou inf´erieures. Si un pi´ ezom` etre ou puits d’observation est perc´e `a travers la couche de confinement, l’eau de la nappe captive s’´el`evera au-dessus du toit de l’aquif`ere. Ceci indique que l’eau de l’aquif`ere est sous pression. La surface pi´ ezom´ etrique (ou surface potentiom´etrique) d’une nappe captive est le lieu de tous les points o` u s’´el`everait le niveau d’eau dans des pi´ezom`etres se terminant partout dans la nappe.

FIG. 5.1 – D´efinitions de nappes libres et captives.

Si la surface pi´ezom´etrique d’un aquif`ere se situe au-dessus de la surface naturelle du terrain, un puits art´ esien jaillissant peut ˆetre am´enag´e. Dans de tels puits, l’eau s’´ecoule en surface sans qu’on ait besoin de pomper ; on peut bien sˆ ur y mettre une pompe pour augmenter les d´ebits mais avec le risque qu’`a long terme le niveau pi´ezom´etrique descende sous la surface du terrain. Dans certains cas, une couche de faible perm´eabilit´e peut former une lentille dans une unit´e plus perm´eable. L’eau qui s’infiltre dans la zone non satur´ee sera intercept´ee par cette couche et il y aura accumulation d’eau `a son som-

138

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

met. Une couche de sol satur´e peut ainsi se former au-dessus de la surface libre ; c’est ce qu’on appelle des nappes perch´ ees. Le mouvement de l’eau dans ces nappes se fait lat´eralement jusqu’`a leurs extr´emit´es pour ensuite continuer `a percoler jusqu’`a la nappe libre principale. Ces nappes sont assez fr´equentes dans des s´equences de d´epˆots glaciaires o` u des lentilles d’argile et de silt se sont form´ees dans de petits lacs ou kettles. La figure 5.2 montre les relations entre les divers types d’aquif`eres et la figure 5.3 montre quelques configurations typiques de syst`emes aquif`eres qui peuvent comprendre plusieurs nappes s´epar´ees par des couches moins perm´eables.

FIG. 5.2 – Syst`emes aquif`eres.

5.2

Homog´ en´ eit´ e et isotropie

Les hydrog´eologues s’int´eressent `a deux propri´et´es cl´es des formations g´eologiques : leur conductivit´e hydraulique et leur coefficient d’emmagasinement ou porosit´e de drainage. Une troisi`eme propri´et´e, l’´epaisseur verticale, est aussi importante parce que la r´eponse hydrog´eologique totale d’une unit´e est fonction du produit des param`etres de base (conductivit´e hydraulique

´ EIT ´ E ´ ET ISOTROPIE 5.2. HOMOGEN

FIG. 5.3 – Exemples de syst`emes aquif`eres.

139

140

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

et/ou coefficient d’emmagasinement sp´ecifique, qui sont d´efinis plus loin) et de l’´epaisseur satur´ee. Une unit´e homog` ene a les mˆemes propri´et´es en tout point. Pour un gr`es, cela voudrait dire que la distribution granulom´etrique, la porosit´e, le degr´e de cimentation et l’´epaisseur ne varieraient qu’`a l’int´erieur de limites tr`es petites. Pour les roches cristallines, la fracturation devrait ˆetre de mˆeme intensit´e partout, y compris la direction et le pendage des familles de fractures. Dans les formations h´ et´ erog` enes, les propri´et´es hydrauliques changent d’un point `a un autre (figure 5.4). Un exemple serait le changement d’´epaisseur d’une formation aquif`ere mˆeme si les autres propri´et´es demeuraient identiques. L’h´et´erog´en´eit´e provient souvent des processus s´edimentaires qui modifient la composition d’une couche par rapport `a l’autre ou engendrent des variations lat´erales dans une mˆeme unit´e. Pour les roches solubles comme les calcaires, l’h´et´erog´en´eit´e provient de la distribution in´egale des chenaux et conduits qui sont contrˆol´es par des plans de stratification et des diaclases. La plupart des formations g´eologiques sont h´et´erog`enes, du moins `a grande ´echelle. L’influence de l’h´et´erog´en´eit´e sur les propri´et´es hydrauliques peut ˆetre tenue en compte dans des mod`eles d’´ecoulement. Toutefois pour le transport de masse ou la migration de contaminants, l’h´et´erog´en´eit´e est le facteur le plus important dans la pr´ediction des distances de transport et des concentrations. Dans un milieu poreux constitu´e de sph`eres d’´egal diam`etre et empil´ees de fa¸con r´eguli`ere, la g´eom´etrie des pores est la mˆeme dans toutes les directions. La perm´eabilit´e de l’unit´e sera donc la mˆeme dans toutes les directions et l’unit´e est consid´er´ee comme isotrope. D’autre part, si la g´eom´etrie des pores n’est pas uniforme, il peut y avoir une direction selon laquelle la perm´eabilit´e est plus grande. Le milieu est alors anisotrope. Dans les s´ediments granulaires, il est fr´equent que la perm´eabilit´e parall`ele aux lits soit plus grande que celle perpendiculaire `a ceux-ci. Dans les roches fractur´ees, la direction de l’´ecoulement souterrain est compl`etement contrˆol´ee par la direction des fractures (figure 5.5). Ainsi, la perm´eabilit´e dans des directions qui ne sont pas parall`eles `a des familles de discontinuit´es peut ˆetre nulle. Dans des formations s´edimentaires form´ees d’une succession de couches dont chacune est homog`ene, il est possible de calculer des valeurs ´equivalentes

´ EIT ´ E ´ ET ISOTROPIE 5.2. HOMOGEN

141

FIG. 5.4 – Exemple d’h´et´erog´en´eit´e des aquif`eres.

s

ture

frac

y x z

Kfractures

FIG. 5.5 – Anisotropie des aquif`eres fractur´es. La conductivit´e hydraulique Kf rac est orient´ee dans la direction de fracturation.

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

142

de conductivit´e hydraulique verticale (Kv ) et horizontale (Kh ). En prenant comme exemple la figure 5.6, les valeurs de Kh et Kv sont d´eriv´ees des conductivit´es K1 , K2 , . . . , Kn et des ´epaisseurs relatives b1 , b2 , . . . , bn de chaque couche.

x y

K1

b1

KK22

b2

K3

b3

b

FIG. 5.6 – Couches de conductivit´es hydrauliques diff´erentes, o` u l’axe des x est horizontal et l’axe des y est vertical.

Pour d´eriver la valeur de Kh , on consid`ere que l’´ecoulement est parall`ele aux couches (de gauche `a droite pour la figure 5.6) et on obtient Kh =

n X Ki bi i=1

b

(5.1)

tandis que pour d´eriver la valeur de Kv , on consid`ere que l’´ecoulement est perpendiculaire aux couches (du haut vers le bas pour la figure 5.6) et on obtient b Kv = Pn (5.2) i=1 (bi /Ki ) On peut d´efinir un rapport d’anisotropie r comme suit : r=

Kh Kv

(5.3)

Pour des formations granulaires, l’anisotropie est g´en´eralement inf´erieure `a 5. Pour des mat´eriaux comme les argiles varv´ees compos´ees de fines bandes de silt et d’argile, l’anisotropie peut atteindre des valeurs de plusieurs dizaines.

5.3. GRADIENT HYDRAULIQUE

5.3

143

Gradient hydraulique

Si la valeur de la charge hydraulique est variable dans un aquif`ere, on peut tracer une carte o` u des lignes de contour d’´egales valeurs de charge hydraulique sont indiqu´ees. On appelle ces courbes des lignes ´equipotentielles. En trois dimensions, on peut d´efinir de la mˆeme fa¸con des surfaces ´equipotentielles. Dans la figure 5.7, chaque ligne h1 , h2 , . . . est une ´equipotentielle de valeur diff´erente. Un vecteur (grad h) est aussi illustr´e qui repr´esente le gradient de charge hydraulique. Puisque le gradient d’un scalaire est un vecteur, il a une magnitude et une direction. On d´efinit grad h de la fa¸con suivante : dh ds o` u s est mesur´e dans le sens de l’´ecoulement. grad h =

(5.4)

FIG. 5.7 – Gradient hydraulique. La perte de charge entre deux ´equipotentielles successives est constante.

Le gradient hydraulique est perpendiculaire aux lignes ´equipotentielles dans un milieu isotrope. Dans ces conditions, l’´ecoulement du fluide est parall`ele au

144

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

gradient de charge. L’ensemble des vecteurs grad h d´efinissent une famille de courbes appel´ees lignes de courant. Dans des mat´eriaux anisotropes, c’est-`a-dire dans les milieux o` u la valeur de K change avec la direction, les lignes de courant ne sont pas perpendiculaires aux lignes ´equipotentielles mais obliques. Si la charge hydraulique est la mˆeme partout dans une nappe, il n’y a pas de gradient de charge et par cons´equent, il n’y a pas d’´ecoulement.

5.4

Transmissivit´ e et emmagasinement

Nous avons consid´er´e jusqu’`a maintenant la perm´eabilit´e des mat´eriaux terrestres et leur conductivit´e hydraulique pour transporter de l’eau. Un autre concept utile dans les ´etudes de syst`emes aquif`eres est celui de transmissivit´ e des formations perm´eables. C’est la mesure de la quantit´e d’eau qui peut ˆetre transmise horizontalement par toute l’´epaisseur satur´ee de l’aquif`ere sous un gradient hydraulique unitaire. La transmissivit´e, T , est le produit de la conductivit´e hydraulique et l’´epaisseur satur´ee de l’aquif`ere, b : T = Kb

(5.5)

Pour les aquif`eres `a couches multiples, si l’´ecoulement de l’eau souterraine est le long des couches, la transmissivit´e totale est la somme de la transmissivit´e de chacune des n couches : n T =

X

Ti

(5.6)

i=1

Les dimensions de la transmissivit´e sont [L2 /T]. Les unit´es habituelles sont des m`etres carr´es par jour ou par seconde. La transmissivit´e d’un aquif`ere est un concept qui suppose que l’´ecoulement dans l’aquif`ere est horizontal. Quand la charge hydraulique dans une nappe satur´ee ou une couche de confinement change, l’eau est emmagasin´ee ou lib´er´ee. Le coefficient d’emmagasinement S est le volume d’eau qu’une unit´e perm´eable peut absorber ou lib´erer de son emmagasinement par unit´e de surface pour un changement unitaire de la charge hydraulique. C’est un rapport qui n’a pas d’unit´es (ou encore des unit´es de volume/volume). Le coefficient d’emmagasinement S peut ˆetre d´efini par ∆Volume eau (5.7) S= Aire · ∆h

´ ET EMMAGASINEMENT 5.4. TRANSMISSIVITE

145

Dans la zone satur´ee, la charge cr´ee des pressions qui affectent l’arrangement des particules min´erales de mˆeme que la masse volumique de l’eau contenue dans les vides. Si la pression d’eau augmente, le squelette du sol prend de l’expansion ; si elle diminue, le squelette du sol se contracte. Ce ph´enom`ene est ´elastique et on peut le d´ecrire en termes des contraintes totales et des contraintes effectives qui existent dans les sols (principe des contraintes effectives de Terzaghi) : σT = σe + p (5.8) o` u σT est la contrainte totale, σe est la contrainte effective ou contrainte intergranulaire et p la pression d’eau. La contrainte totale en un point correspond au point du mat´eriel (solides et fluide) situ´e au-dessus de ce point. Si la masse volumique globale des solides et fluides au-dessus d’un point est ρb et si leur ´epaisseur est ∆z, la contrainte totale est donn´ee par σT = ρb g∆z

(5.9)

Si la contrainte totale demeure constante, un changement de pression p entraˆıne un changement ´egal mais de signe inverse dans la contrainte effective. Puisque la d´eformation du sol d´epend uniquement de la contrainte effective, on voit facilement comment l’aquif`ere peut se d´eformer si la pression d’eau ou encore la charge hydraulique est modifi´ee. La d´eformation du squelette de l’aquif`ere sera aussi proportionnelle `a α, la compressibilit´e de l’aquif`ere. L’eau contenue dans l’aquif`ere se contracte si la pression augmente et prend de l’expansion si la pression diminue. La d´eformation du volume d’eau est proportionnelle `a la diff´erence de pression et d´epend de la compressibilit´e de l’eau β. Ces changements affectent aussi la porosit´e de la formation. L’emmagasinement sp´ ecifique, Ss , est la quantit´e d’eau par unit´e de volume d’une formation satur´ee qui est emmagasin´ee ou lib´er´ee pour une variation de charge hydraulique unitaire `a cause de la compressibilit´e du squelette de l’aquif`ere et de l’eau des pores. L’emmagasinement sp´ecifique peut ˆetre d´efini par ∆Volume eau (5.10) Ss = Volume total · ∆h Le concept d’emmagasinement sp´ecifique peut s’appliquer aussi bien `a des aquif`eres qu’`a des couches de confinement. L’emmagasinement sp´ecifique a

146

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

les unit´es de [L−1 ] et est donn´e par : Ss = ρw g(α + nβ)

(5.11)

La valeur de Ss est tr`es petite, g´en´eralement 0.0001 m−1 ou moins.

FIG. 5.8 – Syst`emes aquif`eres : A) Emmagasinement des aquif`eres captifs et B) libres.

Dans une nappe captive, la charge peut diminuer en mˆeme temps que la surface pi´ezom´etrique demeure au-dessus du toit de la nappe. Mˆeme si de l’eau est lib´er´ee par la diminution de pression, la nappe continue d’ˆetre satur´ee. Le coefficient d’emmagasinement S pour une nappe captive est le produit du coefficient d’emmagasinement sp´ecifique, Ss , et de la hauteur satur´ee, b, de l’aquif`ere : S = Ss b (5.12) Toute l’eau qui est lib´er´ee peut s’expliquer par la compressibilit´e du squelette de l’aquif`ere et de l’eau des pores. L’eau provient de toute l’´epaisseur de l’aquif`ere. La valeur du coefficient d’emmagasinement des nappes captives est de l’ordre de 0.005 ou moins. Dans les nappes libres, le niveau de saturation peut monter et descendre en r´eponse aux changements dans la quantit´e d’eau emmagasin´ee de sorte que l’´epaisseur satur´ee de la formation change aussi (ou encore b n’est pas constant). Quand le niveau d’eau diminue, l’eau se draine des pores. Le voe de drainage de la formation. Il y a lume d’eau lib´er´e d´epend de la porosit´

´ ET EMMAGASINEMENT 5.4. TRANSMISSIVITE

147

aussi une petite quantit´e d’eau qui peut ˆetre emmagasin´ee ou lib´er´ee lors des changements de pression. Ainsi, le coefficient d’emmagasinement r´esultant pour une nappe libre est : S = nd + Ss bsat

(5.13)

o` u bsat est l’´epaisseur de la zone satur´ee dans une nappe libre. Puisque dans les nappes libres la porosit´e de drainage est de plusieurs ordres de grandeur plus grande que le produit Ss bsat , on consid`ere souvent que S ≈ nd . Pour les aquif`eres compos´es de mat´eriaux tr`es fins, le coefficient d’emmagasinement peut ˆetre tr`es faible et du mˆeme ordre de grandeur que Ss bsat . Le coefficient d’emmagasinement des nappes libres varie g´en´eralement entre 0.02 et 0.30. Le volume d’eau Vw qu’on peut tirer de l’emmagasinement d’un aquif`ere de superficie A, pour une diff´erence de charge ∆h est : Vw = SA∆h

(5.14)

Puisque les propri´et´es d’emmagasinement des aquif`eres d´eterminent leur comportement transitoire, ces propri´et´es demandent `a ˆetre comprises en d´etail. Comme mentionn´e `a la relation (5.11), l’emmagasinement dans les aquif`eres d´epend de la compressibilit´e de l’eau et de l’aquif`ere. Nous allons donc ´elaborer sur ces notions. La compressibilit´ e est la propri´et´e d’un mat´eriel qui d´ecrit le changement de volume (ou d´eformation) induite dans un mat´eriel soumis `a une contrainte. Cette propri´et´e est en grande partie responsable de la capacit´e des aquif`eres `a emmagasiner de l’eau. Dans le cas de l’´ecoulement de l’eau dans les aquif`eres, on doit tenir compte de deux termes de compressibilit´e : celui de l’eau et celui du milieu poreux. La compressibilit´e de l’eau et du milieux poreux sont li´es `a l’´etat des contraintes dans l’aquif`ere.

5.4.1

Contrainte effective

Avant de consid´erer la compressibilit´e des milieux poreux, on doit d´efinir l’´etat des contraintes dans ce milieu. Si une contrainte est appliqu´ee `a une unit´e de masse de sable satur´e, trois m´ecanismes contribuent `a r´eduire son volume

148

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

1 La compression de l’eau dans les pores (β). 2 La compression des grains de sable eux-mˆemes. 3 Le r´earrangement des grains de sable d’une mani`ere plus compacte. La compression des grains est consid´er´ee n´egligeable dans les aquif`eres de sorte que le r´earrangement des grains est le seul m´ecanisme responsable de la compressibilit´e du milieu poreux. Pour d´eterminer la compressibilit´e du milieu poreux, on doit d´efinir l’´etat des contraintes dans l’aquif`ere. On consid`ere l’´equilibre des contraintes sur un plan arbitraire dans une formation satur´ee en profondeur. La contrainte est caus´ee par le poids des formations sus-jacentes et de l’eau. La contrainte est support´ee en partie par le squelette granulaire du milieu poreux et en partie par la pression p de l’eau contenue dans les pores. La portion de la contrainte totale (σT ) qui n’est pas support´ee par le fluide est appel´ee contrainte effective (σe ), qui est la contrainte qui est appliqu´ee aux grains du milieu poreux et provoque leur r´earrangement. La contrainte totale est donn´ees par σT = σe + p

(5.15)

dσT = dσe + dp

(5.16)

ou en terme de changements :

Dans la plupart des probl`emes consid´er´es en hydrog´eologie, le poids de la roche et de l’eau sus-jacents `a l’aquif`ere ´etudi´e demeure constant et la contrainte totale est constante (dσT = 0). Dans ces circonstances, si la pression du fluide diminue, la contrainte effective augmente d’une mˆeme quantit´e : dσe = −dp

(5.17)

La pression du fluide contrˆole donc la contrainte effective lorsque la contrainte totale demeure constante. La pression du fluide P est li´ee `a la charge de pression hp : P = ρghp (5.18) et hp est donn´e par la diff´erence entre la charge hydraulique h et la charge d’´el´evation z : (5.19) hp = h − z

´ ET EMMAGASINEMENT 5.4. TRANSMISSIVITE

149

Puisque l’´el´evation z est constante pour un point donn´e (dz = 0), la variation de charge de pression dhp est ´egale `a la variation de charge hydraulique (dhp = dh). Les changements de contrainte effective sont donc contrˆol´es par les changements de charge hydraulique : dσe = −dP = −ρgdh

5.4.2

(5.20)

Compressibilit´ e du milieu poreux

La compressibilit´ e d’un milieu poreux α est d´efinie comme suit : α=−

dV /V dσe

(5.21)

o` u V est le volume total du milieu poreux, dV est la variation du volume total et dσe est la variation de la contrainte effective agissant sur le milieu poreux. Le tableau de la figure 5.9 montre des valeurs repr´esentatives de compressibilit´e pour plusieurs types de mat´eriaux.

=Pa

-1

FIG. 5.9 – Valeurs typiques de la compressibilit´e α des mat´eriaux g´eologiques.

Une augmentation dσe de la contrainte effective entraˆıne une diminution de volume dV du volume total V de la masse de sol. Cette diminution se produit presque uniquement suite au r´earrangement des particules dans les milieux granulaires. La compressibilit´e des particules elles-mˆemes est donc n´eglig´ee.

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

150

Le volume total V est ´egal `a la somme des volumes des solides Vs et des vides Vv : V = Vs + Vv (5.22) Mais puisque le volume de solides est suppos´e constant (dVs = 0), le changement du volume total ne d´epend donc que du changement du volume des vides : dV = dVs + dVv = dVv (5.23) La porosit´e n ´etant d´efinie par n=

Vv V

(5.24)

le changement du volume des vides est donc responsable d’une modification de la porosit´e dn, selon la relation µ

Vv dn = d V

¶

(5.25)

La diff´erence de porosit´e dn est obtenue en faisant la diff´erentiation d’un quotient : V dVv − Vv dV dn = (5.26) V2 et en regroupant les termes, on obtient : µ

Vv dVv dn = − V V

¶Ã

dV V

!

(5.27)

puis en substituant n pour Vv /V (par d´efinition) et dV pour dVv (qui sont ´egaux puisque le volume de solides est constant et que dVs = 0) : dn = (1 − n)

dV V

(5.28)

La variation du volume total dV par rapport au volume total V est donc li´ee `a la porosit´e par la relation suivante : dn dV = V 1−n

(5.29)

´ ET EMMAGASINEMENT 5.4. TRANSMISSIVITE

151

En substituant l’´equation 5.21 dans l’´equation 5.29, on obtient la realtion suivante entre la compressibilit´e du milieu poreux α et la porosit´e : α=−

dn/(1 − n) dσe

(5.30)

Si la d´eformation du sol n’est que verticale (milieu confin´e horizontalement), l’´epaisseur b de la formation diminuera suite `a l’augmentation de contrainte effective : db/b α=− (5.31) dσe Dans un aquif`ere confin´e, on pourra ainsi obtenir le changement d’´epaisseur de l’aquif`ere db r´esultant d’une augmentation de contrainte effective dσe caus´ee par la diminution de la charge hydraulique -dh : db = −αbdσe

(5.32)

dσe = −ρgdh

(5.33)

db = αbρgdh

(5.34)

et puisque on a Les figures 5.10 `a 5.13 montrent des exemples de tassements caus´es par des diminutions de pressions dans les milieux poreux, principalement `a la suite du captage de l’eau souterraine avec des puits.

5.4.3

Emmagasinement sp´ ecifique

L’emmagasinement sp´ecifique Ss d’un aquif`ere satur´e est d´efini comme le volume d’eau par unit´e de volume d’aquif`ere qui est relˆach´e suite `a une diminution unitaire de la charge hydraulique. La diminution de la charge entraˆıne une diminution de pression de fluide p et une augmentation de contrainte effective σe . L’eau est relˆach´ee de l’emmagasinement par : 1 La compaction de l’aquif`ere (suite `a l’augmentation de σe ) 2 L’expansion de l’eau (caus´ee par la diminution de pression)

152

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

FIG. 5.10 – Profil du tassement cr´e´e par la surpompage de l’eau souterraine dans la vall´ee de Las Vegas, Nevada.

FIG. 5.11 – Diagramme de la variation de pression avec la profondeur pour une couche confinante en r´eponse au pompage dans un aquif`ere.

´ ET EMMAGASINEMENT 5.4. TRANSMISSIVITE

153

FIG. 5.12 – Tassement et baisse du niveau de la nappe dans la vall´ee de San Joaquin, Californie.

FIG. 5.13 – Relation entre le tassement maximum et la baisse maximum du niveau de la nappe.

154

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

Le volume d’eau produite par la compaction de l’aquif`ere, dVwc , est ´egal au changement de volume total dVt puisque le volume de solide demeure inchang´e. Le volume dVwc est aussi fonction de la compressibilit´e de l’aquif`ere α et du changement de contrainte effective dσe : dVwc = −dVt = αVt dσe

(5.35)

On a d´ej`a d´emontr´e que le changement de contrainte effective dσe est d´ependant de la variation de la charge hydraulique dh : dσe = −ρgh

(5.36)

Donc, pour un volume unitaire (Vt = 1) et une diminution unitaire de charge hydraulique (dh=-1), le volume d’eau produite par la compaction de l’aquif`ere est donn´e par : dVwc = αρg (5.37) L’eau produite par expansion de l’eau dVwe est fonction de la compressibilit´e de l’eau β et du changement de pression du fluide dp : dVwe = −βVw dp

(5.38)

Le volume d’eau est ´egal au produit de la porosit´e et du volume total : Vw = nVt

(5.39)

et pour un volume total unitaire : Vw = n

(5.40)

Le changement de pression du fluide dp est reli´e `a la variation de la charge de pression dhp et de la charge hydraulique dh : dp = ρgdhp = ρgd(h − z)

(5.41)

et, puisque z est constant, nous avons dz=0 et : dp = ρgdh

(5.42)

` PROBLEMES

155

Pour une diminution unitaire de la charge hydraulique (dh = −1), le volume d’eau produite par l’expansion de l’eau est donn´e par : dVwe = βnρg

(5.43)

L’emmagasinement sp´ecifique Ss [L−1 ] est la somme des deux composantes contribuant `a la production d’eau : Ss = dVwc + dVwe = ρg (α + nβ)

(5.44)

Probl` emes 5.1

Trois formations, de 25 m d’´epaisseur chacune, sont superpos´ees (Figure 5.14). Un champ d’´ecoulement de vitesse constante est impos´e `a travers l’ensemble des formations, du haut vers le bas. Il n’y a pas de composante horizontale d’´ecoulement dans les formations. La charge hydraulique est de 120 m `a la limite sup´erieure et de 100 m `a la base. La conductivit´e hydraulique de la formation sup´erieure est de 0.0001 m/s, celle de la formation du centre est de 0.0005 m/s et la formation `a la base a une conductivit´e hydraulique de 0.001 m/s. Calculez la charge hydraulique aux deux interfaces de la formation du centre. [Sup´erieur = 104.6 m ; Inf´erieur = 101.5 m.]

FIG. 5.14 – Vue en coupe verticale de 3 formations g´eologiques dans lesquelles il y a ´ecoulement souterrain du haut vers le bas.

5.2

La figure 5.15 montre un agencement de 4 unit´es g´eologiques ayant des conductivit´es hydrauliques diff´erentes, et dans lesquelles il y a

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

156

´ecoulement d’eau souterraine de la gauche vers la droite, sans composante verticale d’´ecoulement. On montre aussi sur la figure la position des ´equipotentielles, ou contours de charge hydraulique constante, qui correspondent aux limites entre les unit´es. La perte de charge entre 2 ´equipotentielles voisines est constante (h5 − h4 = h4 − h3 = h3 − h2 = h2 − h1 ). Si la conductivit´e hydraulique dans l’unit´e A (figure 5.15) est de 10−6 m/s, quelle est-elle dans les autres unit´es ? Supposez que chaque unit´e est isotrope et homog`ene et qu’il n’y a pas d’´ecoulement ajout´e ou perdu dans le syst`eme (le d´ebit `a l’entr´ee `a gauche est ´egal `a celui `a la sortie `a droite). Supposez aussi que la figure a ´et´e trac´ee `a l’´echelle. [KB = 10−6 m s−1 ; KC = 2 × 10−6 m s−1 ; KB = 5 × 10−7 m s−1 ]

B

A

h 5

h

4

C

h

3

D

h

2

h

1

FIG. 5.15 – Vue en coupe verticale de 4 formations g´eologiques dans lesquelles il y a ´ecoulement souterrain de la gauche vers la droite.

5.3

Quatre formations g´eologiques horizontales et homog`enes de 5 m d’´epaisseur chacune sont superpos´ees. Calculez les composantes horizontale et verticale de la conductivit´e hydraulique pour des formations ´equivalentes homog`enes mais anisotropes pour les trois cas suivants o` u les conductivit´es hydrauliques des couches sont (a) 10−4 , 10−6 , 10−4 et 10−6 m/s. [Kh = 5.05 × 10−5 m s−1 ; Kv = 1.98 × 10−6 m s−1 ] (b) 10−4 , 10−8 , 10−4 et 10−8 m/s. [Kh = 5.0 × 10−5 m s−1 ; Kv = 2.0 × 10−8 m s−1 ] (c) 10−4 , 10−10 , 10−4 et 10−10 m/s. [Kh = 5.0 × 10−5 m s−1 ; Kv = 2.0 × 10−10 m s−1 ] (d) Quelle est la relation entre l’ordre de grandeur de l’h´et´erog´en´eit´e des couches et l’anisotropie ´equivalente qui en r´esulte ?

` PROBLEMES 5.4

157

Un aquif`ere libre a un coefficient d’emmagasinement de 0.13 et une superficie de 123 km2 . Le niveau de la nappe baisse de 0.23 m durant une s´echeresse. (a) Quelle est la quantit´e d’eau emmagasin´ee qui a ´et´e perdue ? [3.68 × 106 m3 ] (b) Si le mˆeme aquif`ere ´etait confin´e avec un coefficient d’emmagasinement de 0.0005, combien d’eau emmagasin´ee serait perdue suite `a une baisse de 0.23 m de la surface potentiom´etrique ? [1.41 × 104 m3 ]

5.5

Un aquif`ere horizontal est sous-jacent `a de l’argile satur´ee d’une ´epaisseur de 20 m. La masse volumique globale s`eche de l’argile est de 1 920 kg/m3 , la masse volumique des solides dans l’argile est de 2 680 kg/m3 et la masse volumique de l’eau est de 1 000 kg/m3 . (a) Calculez la contrainte totale `a la limite sup´erieure de l’aquif`ere. [433.2 kPa] (b) Si la charge de pression dans l’aquif`ere est de 30 m, calculez la contrainte effective dans l’aquif`ere. [139.2 kPa] (c) S’il y a pompage dans l’aquif`ere et que la charge hydraulique en un point est r´eduite de 3 m, quels seront les changements en ce point de la charge de pression, de la pression du fluide, de la contrainte effective et de la contrainte totale ? [∆P = −29.4 kPa, ∆σe = 29.4 kPa, ∆σT = 0 kPa] (d) Si la compressibilit´e de l’aquif`ere est de 10−8 Pa−1 et son ´epaisseur est de 10 m, combien de compaction subira l’aquif`ere suite `a la r´eduction de charge hydraulique de 3 m ? [≈ 3 mm] (e) La porosit´e de l’aquif`ere est 0.30 et sa conductivit´e hydraulique 5×10−6 m/s. Calculez la transmissivit´e et le coefficient d’emmagasinement de l’aquif`ere sachant que la compressibilit´e de l’eau est 4.4 × 10−10 Pa−1 . [T = 5.0 × 10−5 m2 s−1 , S ≈ 0.001]

5.6

Une nappe captive compos´ee de sable moyen contient une lentille d’argile de 3 m`etres d’´epaisseur qui occupe une superficie de 500 × 600 m. La porosit´e et la compressibilit´e de l’argile sont 50% et 7×10−7 m2 /N, respectivement. Durant la premi`ere ann´ee d’exploitation de l’aquif`ere de sable, on a abaiss´e la charge dans la nappe de 10 m.

158

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES (a) Combien d’eau ( en m3 ) peut-on avoir r´ecup´er´e de cette couche d’argile en un an `a cause de la compression de l’argile ? [61740 m3 ]

5.7

(b) Si des instruments permettaient de mesurer l’affaissement du terrain `a cet endroit, quelle serait la valeur mesur´ee ? [0.206 m] ` l’est d’Ottawa, durant la construction d’un collecteur d’´egout r´egioA nal, il a fallu abaisser le niveau de l’eau souterraine par pompage dans ` cet endroit, une s´erie de maisons sont construites un aquif`ere de roc. A sur une couche de sable de 2 m d’´epaisseur reposant sur une lentille d’argile marine de 5 m d’´epaisseur au dessus du roc. Avant les travaux, la surface libre se trouvait `a l’interface entre l’argile et le sable. Le pompage a fait baisser le niveau pi´ezom´etrique dans l’argile de 4 m. La compressibilit´e de l’argile α est de 10−6 m2 /N. (a) Calculez le volume d’eau (en m3 ) qui s’est ´ecoul´e vers l’aquif`ere inf´erieur `a cause de la compression de cette couche d’argile sachant que l’argile a une superficie de 30 hectares. [58800 m3 ] (b) Si des instruments permettaient de mesurer l’affaissement du terrain `a cet endroit, quelle serait la valeur mesur´ee ? [0.196 m]

5.8

Un d´epˆot horizontal de sables varv´es est compos´e d’une s´equence de couches de sable de 10 cm d’´epais s´epar´es par des lits de silts de 1 cm. Si la conductivit´e hydraulique du sable est 10−4 m/s et celle du silt est de 10−5 m/s. (a) Calculez la conductivit´e hydraulique ´equivalente (Kh et Kv ) de l’ensemble du d´epˆot. [Kh = 9.2 × 10−5 m s−1 ; Kv = 5.5 × 10−5 m s−1 ] (b) Calculez le coefficient d’anisotropie du d´epˆot. [1.67]

5.9

Le tableau 5.1 repr´esente les donn´ees recueillies au cours d’un forage. Toutes les ´el´evations sont donn´ees par rapport au niveau de la mer. Deux pi´ezom`etres sont install´es comme suit : Pi´ezo A dans l’aquif`ere A, il a une profondeur de 10 m et le niveau de l’eau est `a 3 m sous la surface du terrain ; Pi´ezo B dans l’aquif`ere B, il a une profondeur de 23 m et un niveau d’eau `a 17 m sous la surface du terrain. (a) D´eterminez si les aquif`eres A et B sont des nappes libres ou des nappes captives et expliquez bri`evement votre r´eponse. [A captif, B libre]

` PROBLEMES

159

(b) Un forage de grand[A captif, B libre] diam`etre permet `a l’eau de circuler entre les aquif`eres A et B. Apr`es un certain temps, le niveau du Pi´ezo A a baiss´e de 5 m alors que celui du Pi´ezo B a remont´e de 7 m. Est-ce que le type de nappes a chang´e ? Si oui indiquez comment. [A libre, B captif] (c) Pour les conditions de la question b, y a-t-il encore mouvement d’eau entre les deux aquif`eres ? Si oui, dans quel sens se fait l’´ecoulement. [A → B] TAB. 5.1 – Description de forage.

´ evation (m) El´ 34.4 - 40.0 27.7 - 34.4 24.3 - 27.7 17.6 - 24.3 16.0 - 17.6 0.0 - 16.0 5.10

Description des mat´eriaux Argile tr`es peu perm´eable Sable et gravier (Aquif`ere A) Argile et silt compact (peu perm´eable) Sable moyen (Aquif`ere B) Roc fractur´e (Aquif`ere B) Roc sain (imperm´eable)

En utilisant les donn´ees du forage de la question pr´ec´edente, ´evaluez le coefficient d’emmagasinement pour chaque nappe selon les conditions initiales observ´ees sur le terrain (donc en utilisant votre r´eponse pour la question a du probl`eme pr´ec´edent). La porosit´e de l’aquif`ere A est de 0.30 et celle de l’aquif`ere B est de 0.40 ; dans les deux nappes la capacit´e de r´etention est de 0.10 ; la compressibilit´e des 2 aquif`eres est de 10−9 Pa−1 et celle de l’eau est de 4 × 10−10 Pa−1 . [SA = 7.4 × 10−5 ; SB = 0.3]

160

` ` CHAPITRE 5. SYSTEMES AQUIFERES

Chapitre 6 ´ Equations d’´ ecoulement souterrain Nous avons vu aux chapitres pr´ec´edents la loi de Darcy, qui relie le gradient hydraulique au flux (ou d´ebit sp´ecifique). La loi de Darcy est une loi de comportement mais elle ne peut pas servir `a d´ecrire compl`etement l’´ecoulement de l’eau souterraine. Cette description est obtenue en appliquant le principe de conservation de la masse `a l’´ecoulement de l’eau souterraine et en utilisant la loi de comportement. L’´ecoulement de fluides `a travers des milieux poreux est gouvern´e par les lois de la physique. Ainsi on peut le d´ecrire `a l’aide d’´equations diff´erentielles. Puisque l’´ecoulement est fonction de plusieurs variables, il est d´ecrit par les ´equations aux d´eriv´ees partielles dans lesquelles les coordonn´ees spatiales x, y, z et le temps t sont les variables ind´ependantes. En d´erivant ces ´equations, les lois de conservation de la masse et de l’´energie doivent ˆetre satisfaites. La loi de conservation de la masse ou principe de continuit´ e ´etablit que tout changement dans la masse qui s’´ecoule dans un petit ´el´ement de volume de l’aquif`ere doit ˆetre compens´e par un changement correspondant dans l’´ecoulement de masse en dehors du volume, ou un changement dans la masse contenue dans le volume, ou les deux `a la fois. La loi de conservation de l’´ energie est aussi connue comme la premi` ere loi de la thermodynamique. Elle ´etablit que dans un syst`eme clos, il y a une quantit´e constante d’´energie qui ne peut peut ˆetre perdue ou augment´ee. 161

162

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

L’´energie peut toutefois changer de forme. La seconde loi de la thermodynamique implique que quand l’´energie change de forme, elle tend `a passer d’une forme plus utile, comme l’´energie m´ecanique, vers une forme d´egrad´ee, comme la chaleur. C’est sur cette base physique et sur la loi de Darcy que les ´equations g´en´erales de l’´ecoulement souterrain ont ´et´e d´efinies.

6.1

D´ erivation de l’´ equation en milieu satur´ e

Pour d´eriver l’´equation g´en´erale d’´ecoulement en milieu poreux satur´e, consid´erons un petit volume d’aquif`ere, que nous appelons volume de contrˆ ole (figure 6.1). On suppose que le milieu poreux contenu dans le volume de contrˆole est homog`ene et isotrope. Les trois cˆot´es ont les dimensions dx, dy, et dz respectivement. L’aire des surfaces normales `a l’axe des x est dydz, l’aire normale `a l’axe de y est dxdz et l’aire normale `a l’axe des z est dxdy. L’´equation d’´ecoulement est d´eriv´ee `a partir du principe de la conservation de la masse dans le volume de contrˆole. Ce principe ´etablit que, pour un intervalle de temps donn´e, la diff´erence entre la masse entrant dans le volume et la masse sortant du volume doit ˆetre ´egale `a l’accumulation de masse dans le volume. La d´etermination de la masse entrant et sortant du volume requiert la d´etermination du flux de masse de l’eau souterraine. Par d´efinition, le flux de masse J est la masse franchissant une aire unitaire du milieu poreux, par unit´e de temps. On d´efinit le flux de masse `a l’aide de quantit´es d´ej`a connues, soit la masse volumique du fluide ρ et le d´ebit sp´ecifique q : J = ρq

(6.1)

L’inspection des unit´es dans l’´equation 6.1 indique que J correspond bien `a la d´efinition d’un flux de masse, avec les unit´es [M L−2 T−1 ]. Le fluide se d´eplace uniquement dans une direction `a travers le volume de contrˆole. Toutefois on peut subdiviser les contributions `a l’´ecoulement sur la base des composantes d’´ecoulement parall`eles aux trois axes principaux. Si Q est l’´ecoulement total, ρw qx est la proportion de l’´ecoulement parall`ele `a l’axe des x, o` u ρw est la masse volumique du fluide.

´ ´ ´ 6.1. DERIVATION DE L’EQUATION EN MILIEU SATURE

163

dz Jx

Jx +dJx

dy dx FIG. 6.1 – Volume de contrˆ ole.

6.1.1

Taux d’accumulation de masse provenant de l’´ ecoulement

Le taux de masse [M T−1 ] qui entre dans le volume de contrˆole le long de l’axe des x est obtenu en multipliant le flux de masse ρw qx par l’aire d’´ecoulement dydz : Taux de masse entrant = ρw qx dydz

(6.2)

Si on suppose que le flux de masse sortant le long de l’axe des x est ´egal au flux de masse entrant ρw qx plus une variation ∆ρw qx , on peut ´ecrit le taux de masse sortant comme : Taux de masse sortant = (ρw qx + ∆ρw qx ) dydz

(6.3)

La diff´erence entre le taux de masse entrant et sortant est obtenue en soustrayant l’´equation 6.3 de l’´equation 6.2 : ρw qx dydz − (ρw qx + ∆ρw qx ) dydz = − (∆ρw qx ) dydz

(6.4)

En multipliant le num´erateur et d´enominateur par dx, et en utilisant la d´efinition de la d´eriv´ee, on peut r´e´ecrire ce r´esultat comme µ

− (∆ρw qx ) dydz = −

¶

∂ (ρw qx ) ∆ρw qx dxdydz ≈ − dxdydz dx ∂x

(6.5)

164

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Le taux d’accumulation net dans le volume de contrˆole caus´e par le mouvement dans la direction parall`ele `a x est donc donn´e par : −

∂ (ρw qx ) dxdydz ∂x

(6.6)

Puisqu’il y a ´ecoulement selon les trois axes dans le cas g´en´eral, on peut d´eriver des expressions semblables pour le taux d’accumulation net pour la direction y : ∂ (ρw qy ) − dxdydz (6.7) ∂y et pour la direction z : −

∂ (ρw qz ) dxdydz ∂z

(6.8)

En combinant ces valeurs, on obtient l’taux net d’accumulation de masse dans le volume de contrˆole : "

#

∂ (ρw qx ) ∂ (ρw qx ) ∂ (ρw qx ) dxdydz − + + ∂x ∂y ∂z

6.1.2

(6.9)

Variation de la masse emmagasin´ ee

Le volume d’eau contenu dans le volume de contrˆole est ´egal `a ndxdydz, o` u n est la porosit´e. La masse initiale de l’eau contenue dans le volume est donc ´egale `a ρw ndxdydz. Le volume des solides de l’aquif`ere est (1 − n)dxdydz. Tout changement dans la masse d’eau M par rapport au temps est donn´e par : dM d = (ρw ndxdydz) (6.10) dt dt Comme vu pr´ec´edemment, les m´ecanismes responsables de l’emmagasinement de l’eau souterraine sont : 1) La d´eformation, ou compressibilit´e, du fluide 2) La d´eformation, ou compressibilit´e, du milieu poreux 3) La d´eformation, ou compressibilit´e, des solides formant le milieu poreux

´ ´ ´ 6.1. DERIVATION DE L’EQUATION EN MILIEU SATURE

165

On suppose que le troisi`eme facteur, la d´eformation des solides ou grains formant le milieu poreux, est n´egligeable. La masse emmagasin´ee est donc une fonction de la compressibilit´e du fluide, β, et du milieu poreux, α. On veut donc exprimer la variation de masse emmagasin´ee (´equation 6.10) en fonction de param`etres mesurables β, α et h. Si l’aquif`ere augmente ou diminue de volume, la porosit´e changera aussi mais le volume des solides, Vs , demeurera essentiellement constant. On aura donc : dVs = d [(1 − n)dxdydz] = 0

(6.11)

On suppose que la seule d´eformation est dans la direction z et que les changements de dimensions d(dx) et d(dy) sont nuls. En diff´erenciant l’´equation 6.11, on obtient : dzdn = (1 − n)d(dz) (6.12) ou encore dn =

(1 − n)d(dz) dz

(6.13)

Consid´erons maintenant la pression p en un point de l’aquif`ere : p = po + ρw gh

(6.14)

o` u po est la pression atmosph´ erique et h est la hauteur de la colonne d’eau au-dessus du point. Comme la pression atmosph´erique est constante, nous pouvons ´ecrire dP = ρw gdh. On peut ainsi trouver des expressions pour dρw et d(dz) en utilisant les d´efinitions de la compressibilit´e de l’eau et du milieu poreux : dρw = ρw β (ρw gdh) (6.15) et d(dz) = dzα (ρw gdh)

(6.16)

` partir de l’´equation 6.13, on peut exprimer la variation de porosit´e dn en A fonction de dh dn = (1 − n)α (ρw gdh) (6.17) Si on consid`ere dx et dy comme constants, l’´ equation pour un changement de masse en fonction du temps dans le volume de contrˆole (´equation 6.10) peut s’exprimer ainsi : "

#

∂(dz) ∂n ∂ρw ∂M = ρw n + ρw dz + ndz dxdy ∂t ∂t ∂t ∂t

(6.18)

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

166

En utilisant les valeurs de d(dz), dn et dρw d´eriv´ees ci-dessus (´equations 6.15, 6.16, 6.17), on peut r´e´ecrire l’´equation 6.18 de la fa¸con suivante : ∂M ∂h = (αρw g + nβρw g) ρw dxdydz ∂t ∂t

6.1.3

(6.19)

´ Equation d’´ ecoulement

Pour obtenir le bilan de masse global pour le volume de contrˆole, on ´ecrit que le taux net d’accumulation de masse dans le volume provenant de l’´ecoulement (´equation 6.9) doit ˆetre ´egal `a la variation de masse dans le volume donn´ee par l’´equation 6.19. L’´equation repr´esentant ce bilan de masse est donc donn´ee par : "

#

∂qx ∂qy ∂qz ∂h − + + ρw dxdydz = (αρw g + nβρw g) ρw dxdydz ∂x ∂y ∂z ∂t

(6.20)

D’apr`es la loi de Darcy, nous avons : qx = −K

∂h ∂x

(6.21)

∂h ∂y ∂h qz = −K ∂z

qy = −K

(6.22) (6.23)

En substituant les ´equations 6.21 `a 6.23 dans 6.20 et en simplifiant, on obtient l’´equation suivante : "

#

∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h ∂h K + 2 + 2 = ρw g (α + nβ) 2 ∂x ∂y ∂z ∂t

(6.24)

Cette ´equation peut ˆetre simplifi´ee encore plus, en utilisant la d´efinition du coefficient d’emmagasinement sp´ecifique, pour obtenir "

#

∂h ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h K + 2 + 2 = Ss 2 ∂x ∂y ∂z ∂t

(6.25)

qui est la forme g´ en´ erale de l’´ equation d’´ ecoulement en trois dimensions dans un aquif`ere homog`ene et isotrope. Pour l’´ ecoulement en deux

´ ´ ´ 6.1. DERIVATION DE L’EQUATION EN MILIEU SATURE

167

dimensions sans composantes verticales, l’´equation 6.24 est int´egr´ee le long de la coordonn´ees verticale z, sur une ´epaisseur d’aquif`ere b et on obtient : ∂2h ∂2h S ∂h + 2 = (6.26) 2 ∂x ∂y T ∂t o` u S est le coefficient d’emmagasinement et T est la transmissivit´e de l’aquif`ere. Dans les ´ecoulements en r´ egime permanent, il n’y a pas de changement dans la charge hydraulique en fonction du temps, c’est-`a-dire que la position et la pente de la surface pi´ezom´etrique sont constantes. Dans de telles conditions, le temps n’est plus une variable ind´ependante et l’´ecoulement permanent peut ˆetre d´ecrit par l’´equation diff´erentielle connue sous le nom d’´ equation de Laplace, qui s’´ecrit en 2 dimensions : ∂ 2h ∂ 2h + =0 ∂x2 ∂y 2

(6.27)

Les ´equations pr´ec´edentes sont bas´ees sur l’hypoth`ese que tout l’´ecoulement provient de l’eau emmagasin´ee dans l’aquif`ere. Sur le terrain, il est plus courant d’observer qu’une partie significative de l’´ecoulement est g´en´er´ee par infiltration dans l’aquif`ere `a partir de couches moins perm´eables situ´ees audessus et en dessous. Ce ph´enom`ene d’´echange s’appelle la drainance. Cette hypoth`ese est justifi´ee par le fait que la conductivit´e hydraulique d’un aquif`ere est souvent plusieurs ordres de grandeur plus grande que dans les couches de confinement. Les lois de r´efraction que nous allons voir plus loin indiquent que pour ces conditions, l’´ecoulement dans les couches de confinement sera essentiellement vertical si l’´ecoulement dans l’aquif`ere est horizontal. Le taux de drainance, ou taux d’accumulation, est d´esign´e par Qd . L’´equation g´en´erale d’´ecoulement en deux dimensions (en supposant l’´ecoulement horizontal) est donn´ee par : S ∂h ∂ 2 h ∂ 2 h Qd + 2+ = 2 ∂x ∂y T T ∂t

(6.28)

Le taux de drainance est d´etermin´e `a partir de la loi de Darcy. Si la charge hydraulique au sommet de la couche semi-perm´eable est ho , la charge hydraulique dans l’aquif`ere imm´ediatement en dessous est h, et si la couche

168

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

semi-perm´eable a une ´epaisseur b0 et une conductivit´e verticale K 0 , alors : Qd = K 0

6.2

(ho − h) b0

(6.29)

D´ erivation de l’´ equation pour une nappe libre

Dans les nappes libres soumises `a un pompage, l’eau vient surtout de l’emmagasinement par drainage vertical de l’eau contenue dans les pores. Ce drainage m`ene `a une r´eduction du niveau de la nappe `a proximit´e d’un puits de pompage au fur et `a mesure que le temps progresse. Par contraste, dans les nappes captives, la hauteur satur´ee demeure constante mˆeme si la surface pi´ezom´etrique fluctue. Dans les nappes libres, la hauteur satur´ee change avec le temps. Dans ces conditions, la capacit´e des aquif`eres `a tranporter de l’eau, leur transmissivit´e, change puisqu’elle est le produit de la conductivit´e hydraulique et de l’´epaisseur satur´ee. L’´equation g´en´erale pour l’´ecoulement en deux dimensions dans des nappes libres est connue sous le nom d’´equation de Boussinesq : Ã

!

Ã

∂ ∂h ∂ ∂h h + h ∂x ∂x ∂y ∂y

!

=

nd ∂(h) K ∂t

(6.30)

o` u nd est la porosit´e de drainage. Cette ´equation diff´erentielle est non lin´eaire et ne peut ˆetre r´esolue directement sauf pour de rares exceptions. Des m´ethodes num´eriques peuvent donner des solutions avec une bonne approximation. Si le rabattement, ou abaissement de niveau, dans la nappe est tr`es petit par rapport `a l’´epaisseur satur´ee, la hauteur variable h peut ˆetre remplac´ee par une ´epaisseur moyenne b qu’on suppose constante sur toute la nappe. En utilisant cette simplification, l’´equation de Boussinesq peut ˆetre rendue lin´eaire sous la forme : nd ∂(h) ∂ 2h ∂ 2h + = ∂x2 ∂y 2 Kb ∂t

(6.31)

Cette ´equation a la mˆeme forme que l’´equation g´en´erale pour une nappe captive.

´ ´ 6.2. DERIVATION DE L’EQUATION POUR UNE NAPPE LIBRE

6.2.1

169

D´ erivation de l’´ equation de Dupuit

L’´equation de Dupuit est une simplification de l’´equation de Boussinesq pour un ´ecoulement en nappe libre pour laquelle l’´ecoulement est consid´er´e en r´egime permanent (le terme de droite dans l’´equation 6.31 est nul). Si nous consid´erons un petit prisme taill´e dans la nappe libre, il aura la forme illustr´ee `a la figure 6.2. D’un cˆot´e, il a h pour hauteur et a une pente dans la direction x. En utilisant les hypoth`eses de Dupuit, il n’y a pas d’´ecoulement dans la direction verticale. Le d´ebit unitaire dans la direction x est Qx . En utilisant la loi de Darcy, l’´ecoulement total dans la direction x `a travers la face gauche du prisme est : Ã ! Q ∂h Qx = dy = −K h dy (6.32) Y ∂x x o` u dy est la largeur de la face du prisme. Le d´ebit `a travers la face droite est : ! Ã Q ∂h Qx+dx = dy = −K h dy (6.33) Y ∂x x+dx

FIG. 6.2 – Volume de contrˆole pour l’´ecoulement dans une nappe libre.

Le terme h∂h/∂x a une valeur diff´erente pour chaque face. Le changement dans le d´ebit dans la direction x entre les deux faces est donn´e par : Ã

!

∂h ∂ h dxdy (Qx+dx − Qx ) dy = −K ∂x ∂x

(6.34)

170

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Par un processus similaire, on peut montrer que le changement de d´ebit dans la direction y est Ã

!

∂ ∂h (Qy+dy − Qy ) dx = −K h dxdy ∂y ∂y

(6.35)

Pour un ´ecoulement en r´egime permanent, tout changement dans l’´ecoulement `a travers le prisme doit ˆetre compens´e par un gain ou une perte d’eau `a travers la surface libre. Cela peut provenir de l’infiltration ou de l’´evapotranspiration. L’addition ou la perte nette se fait `a un taux w, et le changement de volume `a l’int´erieur du volume initial est de wdxdy o` u dxdy est l’aire de la surface. Si w repr´esente l’´evapotranspiration, son signe sera n´egatif. En r´egime permanent, le changement dans le d´ebit est ´egal `a l’addition nette et ainsi : Ã ! Ã ! ∂ ∂h ∂ ∂h −K h dxdy − K h dxdy = wdxdy (6.36) ∂x ∂x ∂y ∂y On peut simplifier cette ´equation en divisant par dxdy et en combinant les diff´erentielles : ∂ 2 h2 ∂ 2 h2 2w + = − ∂x2 ∂y 2 K

(6.37)

Si w = 0, on obtient alors une forme de l’´equation de Laplace : ∂ 2 h2 ∂ 2 h2 + =0 ∂x2 ∂y 2

(6.38)

Si l’´ecoulement est seulement dans une direction, on peut faire correspondre l’axe des x `a la direction d’´ecoulement et puisqu’il n’y a pas d’´ecoulement dans la direction y, l’´equation devient : 2w d2 h2 =− 2 dx K

(6.39)

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 171

6.3

Solution de l’´ ecoulement en r´ egime permanent

Les ´equations qui ont ´et´e ´etablies dans la section pr´ec´edente sont des mod`eles math´ematiques repr´esentant des ´equations diff´erentielles aux d´eriv´ees partielles dans lesquelles la charge hydraulique h est d´ecrite en fonction des variables x, y, z et t. La solution de ces ´equations est complexe mˆeme pour des cas o` u la g´eom´etrie est simple. On doit d´efinir d’abord les conditions aux limites du domaine pour lequel on veut obtenir une solution et ensuite pr´eciser quelles sont les valeurs initiales de la charge hydraulique dans l’aquif`ere. Les solutions aux ´equations d’´ecoulement sont de 3 types : 1. Solutions analytiques 2. Solutions num´eriques 3. Solutions graphiques Les solutions analytiques s’appliquent aux milieux homog`enes et pour des g´eom´etries simples ou r´eguli`eres. Ces solutions font appel `a des techniques math´ematiques souvent complexes (par exemple, les transform´ees de Laplace ou de Fourier) et elles sont consid´er´ees exactes pour l’´equation `a r´esoudre. Nous verrons plus loin des solutions analytiques appliqu´ees aux probl`emes de pompage dans les puits pour diff´erentes configurations d’aquif`eres (chapitre 7). Si le milieu n’est pas homog`ene, par exemple s’il est stratifi´e ou a une g´eom´etrie complexe, les solutions analytiques deviennent tr`es complexes sinon impossibles. Dans ces cas on utilise surtout des solutions num´eriques qui sont des approximations de la solution exacte. Le principe de ces m´ethodes est qu’on peut remplacer les ´equations diff´erentielles par des ´equations semblables qui peuvent ˆetre r´esolues par arithm´etique. Les conditions limites sont remplac´ees par des conditions num´eriques ´equivalentes et on attribue des valeurs de d´epart pour simuler les conditions initiales. La plupart des solutions num´eriques sont obtenues par des m´ethodes it´eratives en utilisant des ordinateurs. Deux techniques, les diff´erences finies et les ´el´ements finis, sont souvent utilis´ees dans la solution des probl`emes. Finalement, pour plusieurs probl`emes pratiques o` u une grande pr´ecision n’est pas n´ecessaire, on peut utiliser des m´ethodes graphiques. La plus commune eseaux d’´ ecoulement (flow nets). consiste `a construire des r´

172

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Les diff´erents types de solutions pour l’´ecoulement en r´egime permanent sont pr´esent´ees ci-dessous.

6.3.1

Solution graphique - R´ eseaux d’´ ecoulement

L’´equation de Laplace peut ˆetre r´esolue pour plusieurs types de probl`emes en utilisant une construction graphique appel´ee r´ eseau d’´ ecoulement qui illustre les lignes ´equipotentielles et les lignes de courant. Cette m´ethode sert surtout pour les probl`emes d’´ecoulement en deux dimensions en milieu isotrope ; les r´eseaux d’´ecoulement sont particuli`erement adaptables aux probl`emes o` u les limites de l’´ecoulement sont connues avant de tenter une solution. La figure 6.3 montre deux r´eseaux d’´ecoulement construits pour des ouvrages de g´enie, soit un barrage (A) et une palplanche (B). Cette m´ethode requiert presque toujours des travaux de terrain en hydrog´eologie avant de r´esoudre le probl`eme. Les r´eseaux d’´ecoulement sont limit´es par des lignes ´equipotentielles ou des lignes de courant. Un r´eseau se construit g´en´eralement par essais et erreurs. On trace d’abord `a l’´echelle les limites de la r´egion et on esquisse quelques lignes de courant espac´ees `a peu pr`es ´egalement sur le domaine d’´ecoulement. Dans la plupart des r´eseaux, deux de ces lignes correspondent `a des limites de l’´ecoulement. Les lignes de courant d´ebutent et se terminent sur des lignes ´equipotentielles qu’elles rencontrent `a angles droits. L’´etape finale consiste `a ajouter des lignes ´equipotentielles interm´ediaires. Les deux familles de courbes sont orthogonales et de ce fait elles d´efinissent de petits ´el´ements de forme carr´ee. Quelques points singuliers peuvent avoir trois ou cinq cˆot´es. Les premiers essais peuvent ˆetre assez longs mais on acquiert rapidement de la facilit´e `a dessiner de bons r´eseaux apr`es quelques essais. Une v´erification de la qualit´e du r´eseau final consiste `a tracer des diagonales dans les carr´es d´elimit´es ; ces diagonales doivent former des courbes lisses qui se recoupent aussi `a angles droits. En r´esum´e, on doit observer les r`egles suivantes lors de la construction d’un r´eseau d’´ecoulement 1. Les lignes d’´ecoulement sont perpendiculaires aux ´equipotentielles. 2. Les lignes d’´ecoulement sont parall`eles aux limites imperm´eables du syst`eme (par exemple, au contact entre un aquif`ere et une formation

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 173 imperm´eable) 3. Les ´equipotentielles sont parall`eles aux limites `a charge hydraulique constante. 4. Le d´ebit Q est le mˆeme pour chaque r´egion d´elimit´ee par 2 lignes de courant voisines. Ces r´egions forment des tubes d’´ecoulement. Le d´ebit total pour un r´eseau est la somme des d´ebits de tous les tubes d’´ecoulement. 5. Pour tout le r´eseau, la perte de charge hydraulique entre 2 ´equipotentielles voisines est une constante. Un r´eseau bien construit permet de calculer les quantit´es d’eau qui s’´ecoulent dans le domaine en utilisant la formule suivante : Q = K∆hLm

(6.40)

o` u Q est le volume total d’´ecoulement, K est la conductivit´e hydraulique, ∆h est la perte de charge entre 2 ´equipotentielles cons´ecutives, L est la longueur mesur´ee perpendiculairement au plan du r´eseau d’´ecoulement et m est le nombre de tubes d’´ecoulement limit´es par deux lignes de courant. La troisi`eme dimension d’un probl`eme d’´ecoulement peut ainsi ˆetre simul´ee pour les probl`emes axisym´etriques comme les barrages, digues, murs d’une excavation, pentes naturelles ou construites, etc. La longueur L est mesur´ee perpendiculairement au plan du r´eseau d’´ecoulement.

FIG. 6.3 – R´eseaux d’´ecoulement pour A) un barrage et B) une palplanche.

174

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

6.3.1.1

R´ efraction des lignes d’´ ecoulement

Quand les lignes de courant passent d’un milieu `a un autre de conductivit´e hydraulique diff´erente, la direction d’´ecoulement change. Le ph´enom`ene est semblable `a la r´efraction des ondes sismiques au passage de couches de densit´es diff´erentes ou aux rayons lumineux qui passent dans des mat´eriaux d’indices de r´efraction diff´erents. Selon le principe de continuit´e et la loi de Darcy, quand un fluide se d´eplace dans un milieu `a plus forte perm´eabilit´e, une superficie d’aquif`ere plus faible est requise pour transmettre le fluide. Par cons´equent les tubes d’´ecoulement seront plus rapproch´es. En passant d’un milieu `a perm´eabilit´e ´elev´ee `a un milieu de perm´eabilit´e plus faible, les tubes devront ˆetre plus larges pour accommoder le mˆeme volume d’´ecoulement. Par analogie avec les lois physiques qui r´egissent la r´efraction de la lumi`ere, nous pouvons ´etablir que le rapport des conductivit´es hydrauliques est ´egal au rapport de la tangente des angles faits par les lignes de courant avec une droite perpendiculaire `a la limite : K1 tan σ1 = K2 tan σ2

(6.41)

o` u σ1 est l’angle incident et σ2 est l’angle r´efract´e. Les deux angles sont mesur´es `a partir d’une perpendiculaire au plan de s´eparation des deux milieux. Comme le montre la figure 6.4, la direction de la r´efraction des lignes de courant change selon que la ligne vient d’un milieu plus perm´eable vers un milieu moins perm´eable et inversement.

FIG. 6.4 – (A) Exemple de r´efraction des lignes de courant, (B) r´efraction pour K1 ¿ K2 , (C) r´efraction pour K1 À K2 .

Puisque les lignes ´equipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de courant, elles sont elles aussi r´efract´ees. La figure 6.5 montre la r´efraction des

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 175 lignes ´equipotentielles dans un r´eseau d’´ecoulement o` u il y a deux milieux de conductivit´e hydraulique diff´erente.

FIG. 6.5 – R´efraction des ´equipotentielles dans un r´eseau d’´ecoulement.

6.3.2

Solutions analytiques

6.3.2.1

´ Ecoulement dans une nappe captive

S’il y a mouvement permanent de l’eau souterraine dans une nappe captive, il y aura un gradient ou pente de la surface pi´ezom´etrique de l’aquif`ere. Pour un ´ecoulement de ce type, on peut utiliser directement la loi de Darcy. La figure 6.6 montre une coupe d’aquif`ere d’´epaisseur uniforme b. La surface pi´ezom´etrique a un gradient lin´eaire, c’est-`a-dire que sa projection en deux dimensions est une droite. Deux puits d’observation permettent de mesurer la charge hydraulique. Le d´ebit Q par unit´e de largeur Y de l’aquif`ere peut ˆetre d´etermin´e ainsi : dh Q = −Kb Y dl

(6.42)

o` u dh/dl est donn´e par (h2 − h1 )/L et correspond `a la pente de la surface pi´ezom´etrique. Si on veut connaˆıtre la charge h `a une distance interm´ediaire

176

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

b

´ FIG. 6.6 – Ecoulement permanent dans un aquif`ere confin´e d’´epaisseur uniforme.

a, situ´ee entre h1 et h2 et mesur´ee `a partir de h1 , on int`egre l’´equation 6.42 et on obtient : ! Ã Q/Y h = h1 − a (6.43) Kb Le d´ebit total Q est obtenu en multipliant le d´ebit unitaire Q/Y par la largeur de l’aquif`ere Y .

6.3.2.2

´ Ecoulement dans une nappe libre

Dans une nappe libre, le fait que la surface libre soit aussi la limite sup´erieure de la r´egion d’´ecoulement complique la solution de l’´ecoulement. La figure 6.7 illustre le probl`eme. A gauche de la figure, la hauteur satur´ee de la nappe est h1 et elle est ´egale `a h2 `a droite, o` u l’´epaisseur de la zone satur´e est plus faible. S’il n’y a pas d’infiltration ni d’´evaporation comme l’´ecoulement traverse la r´egion, la quantit´e d’eau s’´ecoulant `a travers la partie gauche est ´egale `a celle de droite. D’apr`es la loi de Darcy, il est clair que puisque la section d’´ecoulement est plus faible `a droite, le gradient hydraulique doit

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 177 ˆetre plus grand. Ainsi, le gradient de la surface d’une nappe libre n’est pas constant, il augmente dans la direction de l’´ecoulement.

´ FIG. 6.7 – Ecoulement permanent dans une nappe libre.

Ce probl`eme a ´et´e r´esolu par Dupuit (1863) et les hypoth`eses qui sont `a la base de cette solution d´efinissent les conditions d’´ ecoulement de Dupuit. On suppose d’abord que : a) Le gradient hydraulique est ´egal `a la pente de la surface libre b) Pour de faibles gradients (pente de la nappe inf´erieure `a 10o ) les lignes de courant sont horizontales et les lignes ´equipotentielles sont verticales Les solutions bas´ees sur ces hypoth`eses se sont montr´ees tr`es utiles pour nombre de probl`emes pratiques. Toutefois, les hypoth`eses de Dupuit ne permettent pas l’existence d’une surface de suintement comme on en observe souvent le long des pentes ou pr`es des cours d’eau. A partir de la loi de Darcy, on peut ´ecrire la relation suivante pour le d´ebit par unit´e de largeur Q/Y : dh Q = −Kh Y dx

(6.44)

178

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

` x = 0 la hauteur satur´ee h est o` u h est la hauteur satur´ee de la nappe. A ´egale `a h1 et `a x = L la hauteur satur´ee est ´egale `a h2 . En posant l’int´egrale avec ces conditions limites pour les hauteurs satur´ees, on obtient : Z L Q

Y

0

dx = −K

Z h2 h1

hdh

(6.45)

et en int´egrant on a : h2 h2 Q L x |0 = −K | Y 2 h1

(6.46)

En substituant les conditions limites pour x et h et en r´earrangeant les termes, on obtient l’´ equation de Dupuit : Q (h2 − h21 ) = −K 2 Y 2L 6.3.2.3

(6.47)

´ Ecoulement dans une nappe libre avec recharge et ´ evapotranspiration

L’´equation 6.39 vue pr´ec´edemment d´ecrit l’´ecoulement dans une nappe libre pour laquelle il y a recharge et/ou ´evapotranspiration au taux w. Pour la recharge, le terme w sera positif et il sera n´egatif pour l’´evapotranspiration. Dans le cas o` u on consid`ere `a la fois la recharge et l’´evapotranspiration, w sera la somme des deux termes. En int´egrant l’´equation 6.39, on obtient : wx2 h =− + c1 x + c2 K 2

(6.48)

o` u c1 et c2 sont des constantes d’int´egration. En appliquant les conditions aux limites suivantes : pour x = 0, h = h1 et pour x = L, h = h2 (voir figure 6.8), on a : (h2 − h22 ) x w h2 = h21 − 1 + (L − x) x (6.49) L K L’´equation 6.49 peut ˆetre utilis´ee pour trouver l’´el´evation de la surface libre partout entre deux points situ´es `a une distance L l’un de l’autre si l’´epaisseur de la zone satur´ee est connue `a chaque extr´emit´e. Dans les cas o` u il n’y a

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 179

´ FIG. 6.8 – Ecoulement en nappe libre avec recharge et ´evapotranspiration.

pas de recharge ou d’´evapotranspiration, w = 0 et l’´equation pr´ec´edente se r´eduit `a : (h2 − h22 ) x h2 = h21 − 1 (6.50) L Sachant que Qx = −Kh(dh/dx), on peut d´emontrer que le d´ ebit par unit´ e de largeur Q/Y de la nappe dans toute coupe `a une distance x de l’origine est donn´e par : µ

Q L K (h21 − h22 ) = −w −x Y 2L 2

¶

(6.51)

S’il y a recharge de la nappe, il peut se former une ligne de partage des eaux avec un sommet dans la surface libre. Dans ce cas Qx sera nul `a ce point. Si d est la distance de l’origine jusqu’`a la ligne de partage, en substituant Qx = 0 et x = d dans l’´equation pr´ec´edente on obtient : d=

L K (h21 − h22 ) − 2 w 2L

(6.52)

Avec cette derni`ere ´equation, il est possible de trouver l’´el´evation de la surface libre `a la hauteur de la ligne de partage des eaux en substituant d pour x dans l’´equation de la surface libre.

180

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

6.3.3

Solution num´ erique - Diff´ erences finies

Les syst`emes g´eologiques ou les ouvrages de g´enie d’int´erˆet du point de vue de l’´ecoulement des eaux souterraines sont la plupart du temps de g´eom´etrie trop complexe pour esp´erer en obtenir une solution analytique. Des techniques graphiques sont souvent employ´ees pour tracer un r´eseau d’´ecoulement pour ces syst`emes. L’av`enement des ordinateurs a aussi rendu populaire la solution des probl`emes d’´ecoulement par des m´ethodes num´eriques. Les deux m´ethodes les plus populaires pour la solution num´erique de probl`emes de la physique sont les diff´erences finies et les ´el´ements finis. Ces deux m´ethodes permettent la transformation d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles en un syst`eme alg´ebrique en consid´erant la g´eom´etrie et les conditions aux limites du syst`eme. Mˆeme si les ´el´ements finis pr´esentent des avantages par rapport aux diff´erences finies, une pr´esentation valable de leurs principes ne peut ˆetre faite dans le cadre de ce cours. La m´ethode des diff´erences finies sera pr´esent´ee de fa¸con tr`es sommaire avec l’objectif de faire comprendre la d´emarche n´ecessaire `a la solution num´erique d’un probl`eme d’´ecoulement en r´egime permanent. Comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, l’´ecoulement permanent en deux dimensions peut ˆetre d´ecrit par l’´equation diff´erentielle connue sous le nom d’´ equation de Laplace : ∂ 2h ∂ 2h + =0 ∂x2 ∂y 2

(6.53)

La m´ethode des diff´erences finies consiste `a r´esoudre l’´equation 6.53 pour un nombre fini de points dans l’espace, en approximant les op´erateurs de d´eriv´ee dans l’´equation (d´eriv´ees premi`ere et seconde). Pour repr´esenter les op´erateurs de d´eriv´ee, on utilise les s´eries de Taylor qui permettent de repr´esenter toute fonction au point x si on connaˆıt la valeur de la fonction et ses d´eriv´ees au point a, situ´e dans le voisinage de x, `a une distance ∆x. df (a) (x − a)2 d2 f (a) (x − a)3 d3 f (a) + + + . . . (6.54) f (x) = f (a) + (x − a) dx 2! dx2 3! dx3 La m´ethode des diff´erences finies consiste `a substituer `a la d´eriv´ee une diff´erence dite finie : h(x + ∆x, y) − h(x − ∆x, y) ∂h(x, y) ≈ (6.55) ∂x 2∆x

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 181 En faisant tendre l’intervalle ∆x vers 0, on rejoint la d´efinition mˆeme de la d´eriv´ee. Ainsi, en th´eorie, plus l’intervalle ∆x sera petit, meilleure sera l’approximation. La discr´etisation du probl`eme consiste `a ´etablir un maillage r´egulier sur le domaine ´etudi´e et `a utiliser la forme approximative des d´eriv´ees repr´esentant l’´equation diff´erentielle `a r´esoudre pour chaque sous-domaine. Ainsi, la charge hydraulique sera calcul´e en chacun des points du maillage. La figure 6.9 montre la notation utilis´ee pour le maillage et les ´equations suivantes.

FIG. 6.9 – Notation des noeuds adjacents du maillage.

Pour approximer l’´equation de Laplace par diff´erences finies, on doit obtenir une expression pour la d´eriv´ee seconde de h par rapport `a x et `a y. Approximons d’abord la d´eriv´ee premi`ere : ∂hi+1/2,j hi+1,j − hi,j ≈ ∂x ∆x

(6.56)

La d´eriv´e seconde peut ˆetre exprim´ee comme suit : ∂ 2 hi,j ≈ ∂x2

hi+1,j −hi,j ∆x

i−1,j − hi,j −h ∆x ∆x

(6.57)

ou, en simplifiant ∂ 2 hi,j hi+1,j − 2hi,j + hi−1,j ≈ 2 ∂x ∆x2 Le mˆeme r´esultat est obtenu pour y : ∂ 2 hi,j hi,j+1 − 2hi,j + hi,j−1 ≈ 2 ∂y ∆y 2

(6.58)

(6.59)

182

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

On obtient donc la relation alg´ebrique recherch´ee : hi,j ≈

hi+1,j + hi−1,j + hi,j+1 + hi,j−1 4

(6.60)

La charge hydraulique en un point du maillage est donc la moyenne des charges hydrauliques des quatres points voisins. Pour solutionner le syst`eme d’´ecoulement, on doit aussi exprimer les conditions limites de fa¸con `a pouvoir modifier la relation 6.60 selon les conditions aux limites du syst`eme. Il existe deux types de limites d’int´erˆet : 1. Condition de charge constante (Dirichlet) : Cette condition impose la valeur de la charge hydraulique aux mailles o` u ce type de limite existe. 2. Condition de flux constant (Neumann) Dans les probl`emes d’´ecoulement, ce type de condition correspond g´en´eralement `a un flux nul (limite imperm´eable ou ligne de partage des eaux). La relation 6.60 doit ˆetre modifi´ee aux limites o` u une condition de flux constant existe. Lorsqu’une limite de flux nul est impos´ee, on a la relation suivante par rapport `a la normale n `a la limite ∂hi,j =0 ∂n

(6.61)

Par exemple, pour la limite de la figure 6.10, l’´equation 6.60 devient : ∂hi,j hi+1,j − hi−1,j = ∂x ∆x2

(6.62)

hi+1,j = hi−1,j

(6.63)

donc et hi,j =

hi,j+1 + 2hi+1,j + hi,j−1 4

(6.64)

De mˆeme, dans un coin imperm´eable o` u le flux est nul (figure 6.11), nous avons hi+1,j = hi−1,j et hi,j+1 = hi,j−1 et l’expression 6.60 devient : hi,j =

hi,j+1 + hi+1,j 2

(6.65)

´ ´ 6.3. SOLUTION DE L’ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT 183

FIG. 6.10 – Limite de flux nul.

FIG. 6.11 – Coin imperm´eable.

184

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Les relations 6.60, 6.64 et 6.65 permettent de construire un syst`eme de n ´equations et de n inconnues qui peut ˆetre solutionn´e num´eriquement par les m´ethodes usuelles d’alg`ebre lin´eaire. Dans le cas de l’analyse d’un milieu h´et´erog`ene, il suffit d’introduire les coefficients de la perm´eabilit´e horizontale et verticale (Kx et Ky ) lors du d´eveloppement en diff´erences finies des ´equations diff´erentielles.

6.4

´ Ecoulement r´ egional

Dans la zone active d’´ecoulement souterrain, l’eau souterraine se d´eplace dans les milieux poreux sous l’influence d’un potentiel de charge. Ce mouvement est un ph´enomene `a trois dimensions mais nous sommes habituellement forc´es de le repr´esenter comme un milieu en deux dimensions. Dans les coupes pr´esent´ees plus loin, il faut tenter d’imaginer la troisi`eme dimension. Nous verrons au d´epart les ´ecoulements permanents dans des milieux isotropes et homog`enes pour ensuite voir l’effet de l’anisotropie et de l’h´et´erog´en´eit´e. Des r´eseaux d’´ecoulement sont utilis´es pour illustrer les diff´erentes configurations des syst`emes d’´ecoulement r´egional. Ces r´eseaux repr´esentent en fait une solution de l’´equation de Laplace qui gouverne l’´ecoulement en r´egime permanent. Ces solutions montrent l’´ecoulement pour plusieurs conditions de conductivit´e hydraulique et de g´eom´etrie des formations aquif`eres.

6.4.1

R´ egime permanent en nappe libre

Dans les nappes libres, certaines caract´eristiques sont communes respectivement aux zones d’alimentation (recharge) et aux zones d’´ emergence (d´echarge). Les zones de recharge sont g´en´eralement localis´ees dans des hauts topographiques tandis que les zones de d´echarge occupent g´en´eralement les d´epressions. Il y a g´en´eralement une zone non satur´ee ´epaisse dans les zones de recharge mais la nappe est pr`es de la surface ou affleure mˆeme en surface dans les zones de d´echarge. Les lignes d’´ecoulement ont tendance `a diverger `a partir des zones de recharge et `a converger dans les zones de d´echarge (sauf si la zone est tr`es large comme par exemple dans une zone cˆoti`ere). Dans un champ de potentiel, les pi´ezom`etres permettent la mesure de la

´ ´ 6.4. ECOULEMENT REGIONAL

185

FIG. 6.12 – Lignes ´equipotentielles dans une nappe libre.

charge hydraulique au point situ´e `a leur extr´emit´e inf´erieure. Le niveau pi´ ezom´ etrique sera ´ egal au niveau de la surface libre uniquement lorsque la mesure est faite ` a un point o` u une ligne ´ equipotentielle intersecte la surface libre. Partout ailleurs, le niveau pi´ezom´etrique mesur´e sera au-dessous ou au-dessus de la surface libre. A la figure 6.12, les niveaux d’eau dans les pi´ezom`etres A et B sont ´egaux puisque leurs extr´emit´es sont situ´ees sur la mˆeme ´equipotentielle. Le pi´ezom`etre A est situ´e sur la surface libre tandis que le pi´ezom`etre B est localis´e `a un endroit o` u la surface libre est plus ´elev´ee et a donc un potentiel plus ´elev´e. Le niveau pi´ezom´etrique en B est inf´erieur `a la surface libre. Si un pi´ezom`etre peu profond ´etait install´e `a cˆot´e de B, le niveau serait plus ´elev´e dans le pi´ezom`etre peu profond. Donc, dans cette zone, la charge hydraulique diminue avec la profondeur, ce qui indique que l’´ ecoulement est vers le bas ; il s’agit donc d’une zone d’alimentation. Par contre, dans les pi´ezom`etres adjacents de profondeur diff´erente C et D, le niveau d’eau est plus ´elev´e au niveau inf´erieur. Donc, `a cet endroit, la charge hydraulique augmente avec la profondeur, ce qui indique un ´ ecoulement vers le haut ; il s’agit donc d’une zone d’´ emergence. Puisque les directions d’´ecoulement sont identifi´ees en certains points, les lignes de courant peuvent ˆetre trac´ees pour construire un r´eseau d’´ecoulement (figure 6.13). Dans un milieu isotrope et homog`ene, si le diagramme n’avait pas d’exag´eration verticale, les ´equipotentielles et les lignes de courant s’intersecteraient `a angle droit. La crˆete de la surface libre repr´esente

186

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

une ligne de partage des eaux d’o` u l’´ecoulement se fait dans des directions oppos´ees des deux cˆot´es. Le fond des vall´ees sont des zones de d´echarge de l’eau souterraine dans les cours d’eau o` u les lignes de courant convergent.

FIG. 6.13 – R´eseau d’´ecoulement dans une nappe libre.

6.4.2

R´ egime permanent en nappe captive

Les aquif`eres confin´es sont couverts par une couche de conductivit´e hydraulique significativement plus faible. Le gradient hydraulique est g´en´eralement plus grand dans la couche confinante que dans l’aquif`ere. Puisque la r´esistance `a la friction lors de l’´ecoulement est beaucoup plus grande dans la zone confinante, la majorit´e de l’´energie disponible dans le champ de potentiel y est dissip´ee. Les aquif`eres confin´es peuvent ˆetre inclin´es ou plats. Si l’aquif`ere ´emerge pr`es d’un haut topographique, une recharge substantielle s’y produit. Dans l’aquif`ere inclin´e de la figure 6.14A, la couche confinante est une barri`ere `a l’´ecoulement. Des puits for´es jusqu’`a l’aquif`ere confin´e donneront un ´ecoulement art´esien. Les lignes de courant sont r´efract´ees `a l’interface entre les couches de conductivit´e hydraulique diff´erente. La d´echarge du syst`eme d’´ecoulement r´egional est concentr´ee au fond de la vall´ee. L’aquif`ere confin´e plat de la figure 6.14B n’affleure pas en surface. La recharge de l’aquif`ere se fait par ´ecoulement vers le bas `a travers la couche

´ ´ 6.4. ECOULEMENT REGIONAL

187

´ FIG. 6.14 – Ecoulement r´egional dans des aquif`eres confin´es.

confinante. Presque toute l’´energie du champ de potentiel est consomm´ee par l’´ecoulement `a travers la couche confinante dans les zones de recharge et de d´echarge. Seulement une ligne ´equipotentielle traverse l’aquif`ere. Le volume d’eau s’´ecoulant `a travers l’aquif`ere confin´e est beaucoup plus faible que s’il affleurait `a la surface. Si un puits ´etait for´e dans la zone de d´echarge, des conditions art´esiennes se produiraient. ` moins que l’aquif`ere confin´e ne soit recouvert d’une couche compl`etement A imperm´eable, il y aura une certaine d´echarge de l’aquif`ere par ´ecoulement vers le haut dans les zones o` u le gradient hydraulique est positif vers le haut. Plusieurs aquif`eres confin´es ont des niveaux potentiom´etriques plus ´elev´es que la surface du sol lorsque les premiers puits y sont for´es. Par contre, l’exploitation de plusieurs aquif`eres r´egionaux a r´eduit leur niveau potentiom´etrique. Ceci a cependant pour effet d’augmenter l’´ecoulement lat´eral dans l’aquif`ere parce que le gradient hydraulique est alors augment´e entre la zone de recharge et la zone d’exploitation de l’aquif`ere.

188

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

6.4.3

´ Ecoulement transitoire

Les aquif`eres consid´er´es jusqu’`a maintenant ´etaient dans un ´etat d’´ equilibre dynamique. La quantit´e d’eau qui se d´echarge de l’aquif`ere est compens´ee par une recharge ´equivalente et le champ de potentiel est plus ou moins stable. Si un champ de puits est ´etabli dans le bassin d’eau souterraine, l’exploitation des puits augmente la d´echarge dans le syst`eme et d´erange l’´equilibre pr´esent. Un nouvel ´equilibre doit donc ˆetre ´etabli. ` Dans le cas d’une nappe libre, la surface libre sera abaiss´ee autour des puits. A mesure que la d´echarge exc`ede la recharge, la diff´erence doit ˆetre combl´ee en drainant par gravit´e l’eau souterraine emmagasin´ee dans l’aquif`ere. Le cˆone de d´epression autour des puits prendra de l’expansion jusqu’`a ce qu’un nouvel ´equilibre s’´etablisse. Cet ´equilibre sera atteint lorsque le cˆone de d´epression sera assez grand pour capter une recharge ´equivalente `a l’eau produite par les puits. Si le d´ebit des puits est tel que le cˆone de d´epression atteint les limites de l’aquif`ere avant d’intercepter assez de recharge, l’aquif`ere n’atteindra pas d’´equilibre et pourrait ˆetre drain´e. Pour les aquif`eres confin´es ou fuyant, le pompage r´eduira la charge pr`es des puits. La surface potentiom´etrique d´eclinera donc et le cˆone de d´epression prendra rapidement de l’expansion `a cause de la tr`es faible capacit´e d’emmagasinement des aquif`eres confin´es. Initialement, l’eau pomp´ee provient de l’emmagasinement dans l’aquif`ere. Le cˆone de d´epression dans un aquif`ere fuyant se stabilisera lorsque suffisamment de fuite est engendr´ee pour compenser le pompage. Dans un aquif`ere confin´e, le cˆone de d´epression s’agrandira jusqu’`a ce qu’il atteigne soit la zone de recharge ou de d´echarge de l’aquif`ere (ou les deux). Le changement r´esultant dans le champ de potentiel de l’aquif`ere engendrera une augmentation de la recharge ou une diminution de la d´echarge (ou les deux). Si ces changements sont insuffisants pour compenser le pompage, les niveaux potentiom´etriques continueront `a baisser.

6.4.4

Les sources

Les sources ont jou´es un rˆole dans l’´etablissement des populations dans plusieurs territoires o` u elles ont servit `a l’approvisionnement en eau. Les sources peuvent avoir un d´ebit relativement constant ou plutˆot variable. Elles peuvent ˆetre permanentes ou ´eph´em`eres. L’eau peut contenir des min´eraux dissous,

´ ´ 6.4. ECOULEMENT REGIONAL

189

des gaz ou du p´etrole. La temp´erature de l’eau peut ˆetre pr`es de la temp´erature moyenne annuelle de l’air ou bien plus basse ou plus haute - mˆeme bouillante. Le d´ebit peut varier de n´egligeable jusqu’`a 90 m3 /s ou plus. La figure 6.15 montre les diff´erents types de sources.

FIG. 6.15 – Types de sources.

6.4.5

Interactions eau souterraine / lacs

Un des aspects les plus importants de l’hydrologie des lacs est l’interaction entre les lacs et l’eau souterraine. Cette interaction joue un rˆole important dans le bilan d’un lac. Les lacs peuvent ˆetre classifi´es selon la dominance de l’eau de surface ou de l’eau souterraine dans leur bilan. Les lacs domin´es par les eaux de surface ont g´en´eralement des cours d’eau `a leur entr´ee et `a leur sortie. Les lacs r´esultant de l’infiltration ne sont pas reli´es `a des cours d’eau et sont domin´es par l’eau souterraine.

190

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

La figure 6.16 montre la nappe phr´eatique et deux lacs domin´es par l’eau souterraine. Les zones entre les lacs sont des aires de recharge. Le lac le plus ´elev´e re¸coit de l’eau seulement du syst`eme d’´ecoulement local tandis que le lac le plus bas re¸coit ´egalement une contribution du syst`eme r´egional d’´ecoulement. Au printemps, la surface libre est ´elev´ee et la plupart des lacs sont comme `a la figure 6.16A. Par contre, quand la surface libre baisse durant l’´et´e, la ligne de partage des eaux entre les lacs s’estompe entre certains lacs. L’eau souterraine s’´ecoule alors `a travers ces lacs en entrant d’un cˆot´e et sortant de l’autre (lac plus ´elev´e de la figure 6.16B). Les conditions d’´ecoulement en bordure des lacs peuvent ˆetre compliqu´ees par la croissance de plantes phr´ eatophytes (figure 6.16C). La surface libre est d´eprim´ee sous les plantes durant la saison de croissance ce qui peut entraˆıner un ´ecoulement vers l’ext´erieur du lac en bordure tandis que l’´ecoulement se fait vers l’int´erieur sous le lac.

FIG. 6.16 – Interaction entre les lacs et l’eau souterraine.

` PROBLEMES

191

Probl` emes 6.1

La carte sur la figure 6.17 illustre une r´egion de plaine cˆoti`ere typique de ce qu’on retrouve en bordure de l’Atlantique. Dans toute la r´egion, les d´epˆots sont form´es de sables recouverts en partie par des argiles. Les sables affleurent au nord de la ligne pointill´ee sur la carte ; au sud une couche d’argile forme le toit imperm´eable de la formation aquif`ere. Les points sur la carte indiquent la position de sondages o` u sont install´es des puits d’observation. Le nombre sup´erieur pr`es de chaque point repr´esente l’´el´evation en m`etres (par rapport au niveau moyen de la mer) de la base de la couche d’argile. Le nombre inf´erieur indique le niveau d’eau mesur´e en m`etres dans les puits d’observation. L’´echelle de la carte est de 1 :40 000 ou encore 1 km = 2.5 cm. (a) Tracez sur la carte des lignes d’isocontours montrant l’´el´evation de la base du d´epˆot d’argile. Utilisez des intervalles de 5 m`etres. (b) En employant une couleur diff´erente, tracez des isocontours montrant l’´el´evation du niveau d’eau souterraine. Cette carte de la surface libre et de la surface pi´ezom´etrique permet de d´eterminer le sens de l’´ecoulement souterrain. Indiquez `a l’aide de fl`eches la direction de l’´ecoulement en plusieurs points. Pouvez-vous `a partir de cette information indiquer dans quel sens s’´ecoule la rivi`ere au bas de la carte ? (c) Sur la coupe `a droite de la carte, le profil topographique selon la section A-B est illustr´e. Indiquez la position de la couche d’argile et la surface pi´ezom´etrique. (d) Distinguez sur la carte et sur la coupe la ligne de s´eparation entre la nappe captive et la nappe libre. Quelle serait la position de cette ligne si les niveaux d’eau diminuaient de 5 m`etres partout dans l’aquif`ere ? (e) Il existe dans la r´egion plusieurs puits art´esiens jaillissants (puits qui s’´ecoulent en surface sans qu’on ait `a pomper). Indiquez sur le profil A-B la zone o` u on pourrait en rencontrer. (f) En supposant que la conductivit´e hydraulique des sables est de 5×10−5 m/s, ´evaluez le d´ebit (en m3 /jour) `a travers une coupe

192

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN est-ouest (entre les points C et D), si on suppose que l’´epaisseur satur´ee moyenne de la nappe est de 10 m`etres . [≈ 1080 m3 /jour]

6.2

Faites un diagramme illustrant deux situations r´ealistes de terrain o` u le niveau pi´ezom´etrique mesur´e cˆote-`a-cˆote, en un mˆeme endroit mais `a des profondeurs diff´erentes, serait ´egal. Expliquez bri`evement les conditions hydrog´eologiques repr´esent´ees.

6.3

La figure 6.18 montre un r´eseau d’´ecoulement autour d’un barrage. (a) Indiquez quelles sont les lignes d’´ecoulement et quelles sont les lignes ´equipotentielles. (b) Classez les limites AB, BC, CD, DE et FG en limites soit `a charge constante ou soit `a flux nul. [Charges constantes : AB, DE ; flux nul : BC, CD, FG]

6.4

La figure 6.19 montre un barrage en terre de 13 m de largeur `a la base, de 7.5 m de hauteur et de 72 m de longueur `a travers un cours d’eau. L’eau du r´eservoir a une profondeur de 6.2 m tandis que l’eau en aval a 2.2 m de profondeur. La conductivit´e hydraulique du barrage est 6.1 × 10−4 cm/s. Quel est l’´ecoulement `a travers le barrage ? [43.4 m3 /jour]

6.5

Un aquif`ere confin´e a une ´epaisseur de 33 m et une largeur de 7 km. Deux puits d’observation sont situ´es `a 1.2 km de distance l’un de l’autre dans la direction d’´ecoulement. La charge hydraulique aux puits 1 et 2 est respectivement de 97.5 m et 89.0 m. La conductivit´e hydraulique de l’aquif`ere est de 1.2 m/jour. (a) Quel est l’´ecoulement total quotidien `a travers l’aquif`ere ? [1963 m3 /jour] (b) Quelle est l’´el´evation de la surface pi´ezom´etrique `a un point situ´e entre les deux puits d’observation, `a 0.3 km du puits 1 et 0.9 km du puits 2 ? [95.4 m]

6.6

Une nappe libre a une conductivit´e hydraulique de 0.002 cm/s et une porosit´e de 0.27. L’aquif`ere est constitu´e de sable d’une ´epaisseur uniforme de 31 m mesur´ee `a partir de la surface du sol. Au puits 1, la surface libre est `a 21 m sous la surface du sol tandis qu’au puits 2, situ´e `a 175 m de distance, la surface libre est `a 23.5 m de la surface du sol.

` PROBLEMES

m

193

C

D

km

´ FIG. 6.17 – Ecoulement r´egional.

194

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

FIG. 6.18 – R´eseau d’´ecoulement sous un barrage.

FIG. 6.19 – R´eseau d’´ecoulement sous un barrage.

` PROBLEMES

195

(a) Quel est l’´ecoulement par unit´e de largeur de l’aquif`ere ? [0.216 m3 /jour/m] (b) Quelle est la vitesse d’´ecoulement au puits 1 ? [0.08 m/jour] (c) Quel est le niveau de la surface libre `a mi-chemin entre les deux puits ? [8.83 m] 6.7

Un canal est construit parall`element `a une rivi`ere situ´ee `a une distance de 1.5 km. Le canal et la rivi`ere p´en`etrent compl`etement un aquif`ere de sable ayant une conductivit´e hydraulique de 1.2 m/jour. La r´egion re¸coit 1.8 m de pr´ecipitations par an et l’´evapotranspiration y est de 1.3 m par an. L’´el´evation de l’eau dans la rivi`ere est de 31 m et dans le canal elle est de 27 m. (a) D´eterminez la position de la ligne de partage des eaux. [682 m] (b) Quelle est l’´el´evation maximale de la surface libre ? [38.8 m] (c) Calculez l’´ecoulement quotidien par kilom`etre de longueur dans le canal. [1120 m3 /jour/km] (d) Calculez l’´ecoulement quotidien par kilom`etre de longueur dans la rivi`ere. [−935 m3 /jour/km]

6.8

Un site industriel est situ´e sur un aquif`ere `a nappe libre de 3 m d’´epaisseur et compos´e de sable de conductivit´e hydraulique ´egale `a 10−4 m/s et ayant une porosit´e de 0.3. Un foss´e de drainage mesurant 100 m de longueur, 2 m de largeur et 2 m de profondeur est creus´e sur le site afin de r´ecup´erer l’eau souterraine contamin´ee. Il est pr´evu que le niveau d’eau dans le foss´e soit maintenu `a 1.5 m au-dessus de la base de l’aquif`ere. Le niveau initial de la nappe sur le site, avant l’installation du foss´e, est ´egal `a 2.5 m. On suppose que l’influence du foss´e sur la position de la nappe sera n´egligeable pour des distances sup´erieures `a 100 m. Les eaux capt´ees par le foss´e sont ensuite achemin´ees vers un syst`eme de traitement, dont les coˆ uts d’op´eration d´ependent du volume d’eau `a traiter. Afin d’aider `a la conception du syst`eme, r´epondez aux questions suivantes. (a) Calculez le volume quotidien d’eau souterraine capt´e par le foss´e. [Q = 2 × 10−4 m3 /s] (b) L’infiltration nette sur le site est ´egale `a 20 cm/an. Refaites le calcul du volume quotidien demand´e en a), mais en incluant cette fois-ci l’infiltration. [Q = 2.317 × 10−4 m3 /s]

196

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN (c) Quelle est l’erreur commise, en pourcentage, lorsque l’infiltration n’est pas consid´er´ee dans le calcul du volume d’eau ? [≈14%]

6.9

Le milieu poreux consid´er´e dans les sections verticales de la figure 6.20 est satur´e, homog`ene et isotrope. La section verticale rectangulaire est deux fois plus longue que large. Tracez un r´eseau d’´ecoulement quantitativement exact pour les deux cas illustr´es. Utilisez soit la m´ethode manuelle ou la m´ethode par diff´erences finies. La valeur de la charge (h) est indiqu´ee pour les limites `a charge constante tandis que les limites `a flux nul sont bord´ees par des bandes hachur´ees.

` PROBLEMES

197

FIG. 6.20 – G´eom´etrie et limites pour la construction de r´eseaux d’´ecoulement.

198

´ ´ CHAPITRE 6. EQUATIONS D’ECOULEMENT SOUTERRAIN

Chapitre 7 Hydraulique des puits Les puits sont un ´el´ement important des ´etudes en hydrog´eologie appliqu´ee. Ils sont utilis´es dans le captage des eaux souterraines pour des besoins domestiques, municipaux, industriels et agricoles. On utilise aussi des puits pour contrˆoler l’invasion des eaux marines, abaisser le niveau d’eau pour des projets de construction, r´eduire la pression sous les barrages et contrˆoler la contamination des nappes. Les puits servent aussi pour injecter des liquides dans des formations g´eologiques soit pour maintenir les niveaux des nappes (recharge artificielle), pour contrˆoler la migration de l’eau ou encore se d´ebarrasser de contaminants. Mais surtout, les puits permettent d’effectuer des essais `a grande ´echelle pour d´eterminer les propri´et´es moyennes des aquif`eres.

7.1

´ Ecoulement radial

Pour les fins d’analyse, les aquif`eres que nous allons consid´erer sont suppos´es isotropes et homog`enes. On peut aussi consid´erer des cas o` u la conductivit´e hydraulique horizontale diff`ere de la conductivit´e verticale. Nous allons supposer de plus que les aquif`eres ont une sym´ etrie radiale, c’est-`a-dire que la conductivit´e hydraulique de l’aquif`ere ne d´epend pas de la direction de l’´ecoulement dans l’aquif`ere. Pour les solutions ´el´ementaires que nous allons d´eriver, les aquif`eres sont souvent consid´er´es comme des milieux semi 199

200

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

infinis, ce qui veut dire qu’ils ont une ´epaisseur finie `a peu pr`es constante mais que leur ´etendue lat´erale est tr`es grande par rapport `a leur ´epaisseur. Plus loin, nous verrons qu’il est possible de simuler des limites perm´eables ou imperm´eables en utilisant la th´eorie des puits images. L’´ecoulement vers un puits est appel´e ´ecoulement radial parce que toutes les lignes de courant sont dirig´ees vers le puits comme les rayons d’une roue. Pour faciliter les repr´esentations des ´equations, il est utile d’utiliser un syst`eme de coordonn´ ees polaires. Ainsi, la position d’un point dans l’aquif`ere sera sp´ecifi´ee par sa distance et sa direction par rapport `a un pˆole, le puits. La distance radiale, r, est mesur´ee directement entre le pˆole et le point alors que la direction est d´etermin´ee par l’angle, θ, entre la ligne qui rejoint le pˆole au point et une ligne de r´ef´erence, l’axe polaire. On peut donc sp´ecifier un point du plan par ses coordonn´ees (r,θ). Si l’aquif`ere est isotrope et horizontal, alors la charge `a une distance r du puits est ind´ependante de θ. Le passage des coordonn´ees rectangulaires aux coordonn´ees polaires se fait par la transformation : x = r cos θ y = r sin θ

(7.1)

En coordonn´ees polaires, l’´equation de Laplace s’´ecrit : ∂ 2 h 1 ∂h 1 ∂ 2 h + + =0 ∂r2 r ∂r r ∂θ2

(7.2)

Puisque, pour les conditions cit´ees ci-dessus, la charge hydraulique h ne varie pas avec θ, l’´ equation repr´ esentant l’´ ecoulement radial en r´ egime permanent se r´eduit `a : ∂ 2 h 1 ∂h + =0 (7.3) ∂r2 r ∂r L’´equation g´en´erale pour l’´ ecoulement en r´ egime transitoire ou r´ egime de non-´ equilibre devient : S ∂h ∂ 2 h 1 ∂h + = 2 ∂r r ∂r T ∂t

(7.4)

o` u S est le coefficient d’emmagasinement et T est la transmissivit´e de l’aquif`ere.

´ ´ 7.2. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME PERMANENT

201

La solution de l’´equation g´en´erale de l’´ecoulement pour une grande vari´et´e de conditions limites en ´ecoulement radial a donn´e plusieurs ´equations tr`es utiles. Les outils math´ematiques utilis´es pour la solution de ces ´equations font appel aux transform´ees de Laplace, les transform´ees de Fourier, les fonctions de Bessel et les fonctions d’erreur. Ces m´ethodes sont pr´esent´ees en d´etail dans des ouvrages plus avanc´es comme Hantush (1964) (Hydraulics of Wells, Advances in Hydrosciences, vol.1). Les solutions sont utilis´ees pour d´eterminer le rabattement s de la surface pi´ezom´etrique ou de la surface libre `a proximit´e d’un puits en fonction du temps si les caract´eristiques de l’aquif`ere sont connues. De la mˆeme fa¸con, un essai de pompage permet de d´eterminer les propri´et´es de l’aquif`ere (T, S) si le taux de pompage et les niveaux de la nappe en un temps donn´e sont connus. Ces ´equations sont donc `a la fois un outil pour d´eterminer les propri´et´es d’un aquif`ere et un mod`ele pour pr´edire le comportement d’une nappe en cours d’exploitation.

7.2

´ Ecoulement radial en r´ egime permanent

Des solutions de l’´ecoulement en r´egimes permanent peuvent ˆetre d´eriv´ees pour les nappes libres et pour les nappes captives. Ces solutions permettent la pr´ediction du d´ebit escompt´e par un puits exploitant un aquif`ere libre ou captif une fois que le comportement transitoire est termin´e.

7.2.1

Nappe captive - M´ ethode de Thiem

La figure 7.1 illustre la g´eom´etrie dans le cas de l’´ecoulement en r´egime permanent avec un puits produisant dans une nappe captive d’´epaisseur uniforme b. Dans ce cas, l’´ecoulement se fait toujours dans l’´ epaisseur totale de l’aquif` ere (b) `a travers des surfaces dont l’aire d’´ ecoulement (A) d´epend encore une fois de la distance radiale du puits (r) A = 2πrb

(7.5)

et la loi de Darcy s’´ecrit de la fa¸con suivante : Q=K

dh 2πrb dr

(7.6)

202

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

o` u Q est le d´ebit de pompage (valeur positive) ou d’injection (valeur n´egative). La solution est d´eriv´ee de fa¸con similaire au cas des nappes libres pour donner l’´ equation de Thiem qui d´efinit la relation entre d´ebit d’un puits produisant en r´ egime permanent dans une nappe captive : Q = 2πKb

h2 − h1 ln r2 /r1

(7.7)

En utilisant la d´efinition de la transmissivit´e (T = Kb), cette derni`ere ´equation s’´ecrit h2 − h1 Q = 2πT (7.8) ln r2 /r1 On peut aussi utiliser la solution de Thiem pour d´efinir la charge hydraulique Q R

surface piézométrique

H

h b

rw

hw r

FIG. 7.1 – Puits dans une nappe captive d’´epaisseur b.

h `a une distance radiale r par µ

h=H+

Q r ln 2πT R

¶

(7.9)

o` u H est la charge hydraulique initiale, avant pompage (voir figure 7.1) et R est le rayon d’influence du puits d´efini comme la distance `a partir de laquelle le puits ne cause plus de rabattement dans l’aquif`ere. S’il y a 2 puits d’observation dans l’aquif`ere (l’un de ces puits pouvant ˆetre le puits de pompage) situ´es `a des distances r1 et r2 et pour lesquelles la charge hydraulique est h1 et h2 , on peut ´ecrire la relation suivante : µ

Q r2 ln h2 = h1 + 2πT r1

¶

(7.10)

´ ´ 7.2. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME PERMANENT

203

L’´equation 7.10 est tr`es utile pour d´eterminer la transmissivit´e d’un aquif`ere `a partir de l’observation de la charge hydraulique en 2 endroits (par exemple, 2 puits). Elle permet aussi de calculer la rayon d’influence du puits avec ln R =

7.2.2

H − h1 H − h2 ln r2 − ln r1 h2 − h1 h2 − h1

(7.11)

Nappe libre

L’hypoth`ese de Dupuit pour l’´ecoulement radial dans une nappe libre est que la composante verticale de l’´ecoulement peut ˆetre n´eglig´ee et seulement la composante horizontale est consid´er´ee. La figure 7.2 pr´esente la g´eom´etrie du syst`eme `a solutionner. Q

surface libre

h

H

hw rw R r

FIG. 7.2 – Puits dans une nappe libre.

Pour arriver au puits, l’eau doit traverser une s´erie de surfaces cylindriques concentriques dont l’aire (A) d´epend de la distance radiale du puits (r) et du niveau de la surface libre (h) par rapport `a la base de l’aquif`ere `a cette distance : A = 2πrh (7.12) Selon la loi de Darcy, le d´ ebit Q `a travers cette aire d´epend de la conductivit´ e hydraulique K et du gradient hydraulique i : Q = KiA

(7.13)

204

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

Le gradient hydraulique est li´e `a l’angle α que fait la surface libre par rapport `a l’horizontale selon la relation i = sin α ou encore i= √

dh dh2 + dr2

(7.14)

Puisque le gradient hydraulique est g´en´eralement faible, les variations du niveau de la nappe (dh) sont faibles par rapport aux variations de la distance radiale (dr) et nous avons donc dh ¿ dr. Dans ce cas, nous avons sin α ≈ tan α et donc dh i= (7.15) dr Ainsi, en combinant les ´equations 7.13 et 7.15 le d´ebit Q donn´e `a l’´equation 7.13 s’exprime par l’´equation diff´erentielle suivante : Q=K

dh 2πrh dr

(7.16)

qui peut ˆetre solutionn´ee en s´eparant les variables Q

dr = 2πKhdh r

(7.17)

et ensuite en int´egrant pour obtenir Q ln r = 2πK

h2 +C 2

(7.18)

o` u C est une constante d’int´egration. La valeur de la constante d’int´egration C peut ˆetre d´efinie par la condition limite suivante h = hw

pour

r = rw

(7.19)

qui dit que l’´ el´ evation de la surface libre dans le puits (hw ) doit ˆetre atteinte lorsque la distance radiale r est ´egale au rayon du puits (rw ). La constante C est donc ´egale `a C = Q ln rw − 2πK

h2w 2

(7.20)

´ ´ 7.2. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME PERMANENT

205

et le d´ebit est d´efini par : Q ln

³ ´ r = πK h2 − h2w rw

(7.21)

Le d´ebit Q d’un puits pompant dans une nappe libre en r´egime stationnaire peut ˆetre calcul´e si on connaˆıt le rayon d’influence du puits (R sur la figure 7.2), pour lequel le niveau de la nappe ne varie pas et est ´egal au niveau initial de la nappe (H sur la figure 7.2). On aura donc Q=

πK (H 2 − h2w ) ln R/rw

(7.22)

L’´ equation de la surface libre peut ˆetre d´eriv´ee des ´equations 7.21 et 7.22 en ´eliminant Q : ³ ´ ³ ´ ln r/r w h2 − h2w = H 2 − h2w (7.23) ln R/rw De fa¸con g´en´erale, pour deux puits d’observation (figure 7.3), le d´ ebit du puits Q est li´e aux niveaux de la nappe (h1 et h2 ) mesur´es aux deux distances radiales des puits d’observation (r1 et r2 ) par rapport au puits produisant en r´egime permanent par l’´ equation de Dupuit suivante Q = πK

(h22 − h21 ) ln r2 /r1

(7.24)

Cette ´equation permet de calculer la conductivit´e hydraulique d’un aquif`ere grˆace `a l’observation du niveau de la surface libre `a deux puits d’observation situ´es `a une distance diff´erente d’un puits produisant en r´egime permanent (figure 7.3).

7.2.3

Remarques

Certaines remarques peuvent ˆetre faites sur les solutions de l’´ecoulement en r´egime permanent vues ci-dessus. Premi` erement, la conductivit´e hydraulique utilis´ee dans les solutions pour l’´ecoulement radial est la conductivit´e hydraulique horizontale. Deuxi` emement, le rayon d’influence utilis´e dans les relations est une valeur plus ou moins fictive qui n’a de sens physique r´eel que dans quelques rares

206

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

r1

h2

h1 r2

FIG. 7.3 – Observation de la charge hydraulique dans 2 puits d’observation dans une nappe libre. Le premier puits est situ´e `a une distance r1 du puits de pompage et on mesure une charge hydraulique h1 . Le deuxi`eme puits est `a une distance r2 et la charge hydraulique est h2 .

circonstances : telles un aquif`ere dans une ˆıle ou une recharge dans le rayon d’influence ´egale au d´ebit. Autrement, la position du rayon d’influence est difficile `a sp´ecifier sur le terrain. On utilise quand mˆeme le concept de rayon d’influence pour avoir une id´ee globale de l’influence d’un puits sur le terrain. En pratique, on choisit une valeur arbitraire de R (de l’ordre de 200-300 m) pour pouvoir utiliser les solutions en r´egime permanent. L’erreur induite mˆeme par une grande diff´erence de R n’est pas tr`es importante puisque les formules en r´egime permanent impliquent le logarithme naturel du rapport R/rw qui ne varie pas beaucoup par rapport `a R. Troisi` emement, pour l’´ecoulement en nappe libre, il peut exister une diff´erence entre la position r´eelle de la surface libre par rapport `a ce qui est pr´edit par la th´eorie. Les conditions de Dupuit utilis´ees pour d´eriver la solution de l’´ecoulement permanent dans les nappes libres impliquent une forme parabolique pour la surface libre. Cette supposition est valide si le rabattement caus´e par le pompage est faible par rapport `a la hauteur satur´ee initiale H de la nappe libre. Cette supposition est ´egalement valide lorsque le rayon d’influence est grand. Par contre, si ces conditions ne sont pas rencontr´ees, la position r´eelle de la surface libre sera plus ´elev´ee que la position pr´edite par la th´eorie et il y aura une surface de suintement de hauteur h0 au-dessus de la surface libre dans le puits. Un ph´enom`ene semblable est observ´e en bordure des rivi`eres, dans les carri`eres ou dans les barrages en terre. Si H est beaucoup plus petit que R (pour H < 0.1R), h0 sera relativement n´egligeable.

´ 7.3. PUITS DANS UN CHAMP D’ECOULEMENT UNIFORME

207

Sinon, il faudra calculer la valeur de h0 selon : h0 = 0.5

(H − hw )2 H

(7.25)

et utiliser la valeur de hw + h0 au puits plutˆot que hw dans les calculs de d´ebit ou de perm´eabilit´e.

7.3

Puits dans un champ d’´ ecoulement uniforme

Nous avons suppos´e dans les sections pr´ec´edentes que l’´ecoulement dans les aquif`eres soumis au pompage ´etait enti`erement caus´e par le puits de pompage, et on n´egligeait donc l’´ecoulement naturel dans l’aquif`ere sans pompage. Un cas fr´equent toutefois est celui d’une nappe, confin´ee ou libre, dans laquelle il existe un ´ecoulement naturel qui se superpose `a l’´ecoulement caus´e par le pompage. On pr´esente ici une solution pour le cas o` u la surface libre ou la surface pi´ezom´etrique montrent une pente uniforme, repr´esent´ee par un plan inclin´e, et qui repr´esente un gradient hydraulique naturel sans pompage. La figure 7.4 repr´esente une telle nappe en coupe et en plan. On voit bien que la zone d’influence circulaire associ´ee avec l’´ecoulement radial devient d´eform´ee. Toutefois, pour des nappes dont la pente naturelle est tr`es faible, les ´equations d´evelopp´ees pour les ´ecoulements en r´egime permanent `a la section 7.2 s’appliquent sans erreur appr´eciable. A partir d’´etudes de terrain sur des puits pompant dans des aquif`eres dont les gradients hydrauliques au repos sont inclin´es, Wenzel a d´emontr´e que la conductivit´e hydraulique pouvait ˆetre d´etermin´ee en faisant la moyenne des gradients hydrauliques de chaque cˆot´e du puits selon une ligne parall`ele `a une ligne de courant passant par le puits. L’expression suivante, appel´ee formule du gradient, est donn´ee pour une nappe libre en r´egime permanent : K=

2Q πr (hu + hd ) (iu + id )

(7.26)

Les valeurs de hu et hd repr´esentent la hauteur satur´ee de la nappe et iu et id repr´esentent la pente de la surface libre `a une distance r en amont (indice u pour upstream) et en aval (indice d pour downstream) du puits. Pour une

208

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.4 – Puits dans un champ d’´ecoulement uniforme, a) coupe verticale et b) vue en plan.

´ 7.3. PUITS DANS UN CHAMP D’ECOULEMENT UNIFORME

209

nappe captive, on remplace la somme (hu + hd ) par 2b, o` u b est l’´epaisseur satur´ee de la nappe. Sur la figure en plan (7.4b), une ligne de partage des eaux souterraines d´efinit la r´egion qui fournit de l’eau au puits : c’est la zone d’appel du puits. Pour un puits qui pompe pendant un temps infini, cette zone s’´etend jusqu’aux limites de l’aquif`ere. En utilisant les hypoth`eses de Dupuit pour une nappe captive, on peut ´ecrire l’´equation de la limite de la zone d’appel (Forchheimer, 1930) : Ã ! −y 2πKbi = tan y (7.27) x Q Les coordonn´ees rectangulaires utilis´ees ont leur origine au puits et i est le gradient naturel (avant pompage) de la nappe. Pour une valeur de x tr`es grande (x → ∞), la limite approche asymptotiquement la valeur de y y=±

Q 2Kbi

(7.28)

De mˆeme, en aval, on peut d´efinir un point de stagnation, au sommet de la parabole, avec comme coordonn´ee x x=−

Q 2πKbi

(7.29)

On peut aussi utiliser ces ´equations pour des nappes libres en rempla¸cant b dans les trois derni`eres ´equations par h0 , la hauteur satur´ee de la nappe libre, `a la condition que le rabattement soit petit par rapport `a l’´epaisseur satur´ee. En r´egime transitoire, les mˆemes formules s’appliquent mais la forme de la zone d’appel change avec le temps. Il faut donc sp´ecifier `a quel moment on calcule la position de la limite. Toutes les autres applications concernant les limites des nappes peuvent aussi s’adapter `a ce mod`ele en utilisant le principe d’additivit´e des rabattements. Un exemple num´erique permet de mieux d´emontrer l’utilisation des relations d´efinissant la zone d’appel d’un puits. On suppose un puits pompant `a 100 m3 /j dans une nappe captive de 10 m d’´epaisseur ayant une conductivit´e hydraulique de 100 m/j et un gradient hydraulique de 0.001. La largeur de la zone d’appel est de ± 50 m (donc 100 m au total) telle que d´etermin´ee par la relation 7.28. Le point de stagnation est situ´e `a -15.9 m du puits d’apr`es la relation 7.29. La forme de la zone d’appel est d´etermin´ee par la relation

210

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

TAB. 7.1 – Coordonn´ees de la zone d’appel d’un puits en pr´esence d’un ´ecoulement r´egional

y(m) 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0

−y/x x (m) -0.325 138.5 -0.727 55.1 -1.376 25.4 -3.078 9.7 – 0.0 3.078 -6.5 1.376 -10.9 0.726 -13.8 0.325 -15.4

7.27. La figure 7.5 montre la forme de la zone d’appel tandis que le tableau 7.1 r´esume les r´esultats num´eriques.

7.4 7.4.1

´ Ecoulement radial en r´ egime transitoire Nappes captives

Quand on pompe dans un puits situ´e dans une nappe compl`etement captive, l’eau provient de l’emmagasinement ´elastique de l’aquif`ere. Deux ph´enom`enes expliquent la contribution de l’emmagasinement : la d´ecompression de l’eau quand la charge hydraulique diminue dans la nappe et la compression du squelette de l’aquif`ere par augmentation des contraintes effectives. Le produit de l’emmagasinement sp´ ecifique Ss par l’´ epaisseur b de l’aquif`ere est ´egal au coefficient d’emmagasinement S, ou storativit´e. Pour une nappe captive la valeur de S est g´en´eralement plus faible que 0.001. La cons´equence de cette r´eaction de l’aquif`ere est que les effets du pompage seront ressentis tr`es loin du puits. Puisque, par hypoth`ese, il n’y a pas de r´ealimentation de la nappe, la zone influenc´ee s’accroˆıt ind´efiniment et aussi longtemps que le pompage se poursuit. C’est cette condition qui d´efinit le r´egime d’´ecoulement transitoire. On suppose ici que : • l’´ecoulement r´epond `a la loi de Darcy (laminaire),

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

211

Zone d'appel du puits 60 40

y (m)

20 Puits

0 -20 -40 -60 -20

0

20

40

60 80 x (m)

100

120

140

FIG. 7.5 – Forme de la zone d’appel du puits de l’exemple num´erique.

• • • •

l’eau est lib´er´ee instantan´ement de l’emmagasinement, l’aquif`ere est homog`ene, isotrope et d’´epaisseur constante, l’extension lat´erale de l’aquif`ere est tr`es grande, la nappe est initialement au repos (c’est-`a-dire que le gradient hydraulique est tr`es faible ou n´egligeable).

Nous supposons en outre que le puits et les pi´ezom`etres p´en`etrent toute la hauteur satur´ee de l’aquif`ere et que le diam`etre du puits est infinit´esimal. La figure 7.6 montre la g´eom´etrie du syst`eme `a r´esoudre.

7.4.1.1

M´ ethode de Theis

L’´equation g´en´erale d’´ecoulement en r´egime transitoire est soumise `a des conditions limites qui doivent ˆetre d´efinies : S ∂h ∂ 2 h 1 ∂h + = ∂r2 r ∂r T ∂t

(7.30)

212

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.6 – Puits dans une nappe captive.

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

213

La condition initiale est que la charge hydraulique constante initiale h0 est la mˆeme partout au temps z´ero : h(r, 0) = h0

pour toutes les valeurs de r

(7.31)

Les conditions limites sont 1. Il n’y a pas de rabattement de la charge hydraulique `a l’infini : h(∞, t) = h0

pour toutes les valeurs de t

(7.32)

2. Le taux de pompage dans le puits est constant : lim r

r→0

∂h Q = ∂r 2πT

pour tout t > 0

(7.33)

Cette derni`ere condition d´ecoule de la loi de Darcy appliqu´ee sur la face int´erieure du puits. La solution de ce probl`eme est une expression pour h(r, t) d´ecrivant la valeur de la charge hydraulique `a tout point situ´e `a une distance r du puits en tout temps t apr`es le d´ebut du pompage. Pour des raisons pratiques, les solutions sont plus souvent pr´esent´ees en termes d’un rabattement : s = h0 − h(r, t)

(7.34)

En 1935, C.V. Theis a r´esolu l’´equation g´en´erale pour les conditions limites cit´ees ci-dessus en utilisant une analogie tir´ee de la th´eorie de la conduction de la chaleur (pr´ediction des temp´eratures dans une plaque de m´etal travers´ee par une aiguille chauffante). Cette solution a marqu´e le d´ebut de l’hydrog´eologie moderne. La solution de Theis, qui donne le rabattement s dans un aquif`ere soumis `a un pompage en fonction de la distance radiale r `a partir du puits de pompage et au temps t apr`es le d´ebut du pompage, est donn´ee par : s(r, t) = h0 − h(r, t) =

Q Z ∞ e−u du 4πT u u

o` u

u=

r2 S 4T t

(7.35)

L’int´egrale dans cette ´equation est appel´ee l’exponentielle int´ egrale qui est une fonction math´ematique courante en physique math´ematique. Pour les valeurs particuli`eres donn´ees `a la variable u, l’int´egrale est connue sous le

214

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

nom de fonction caract´eristique des puits W (u). En utilisant cette notation, la solution de Theis devient : s=

Q W (u) 4πT

(7.36)

Le tableau montr´e `a la figure 7.7 donne les valeurs de la fonction W (u) en fonction de u. La valeur de la fonction W (u) peut ˆetre d´etermin´ee en d´eveloppant l’int´egrale en s´erie infinie de Taylor : "

#

u2 u3 u4 W (u) = −0.5772 . . . − ln u + u − + − + ... 2 · 2! 3 · 3! 4 · 4!

(7.37)

o` u 0,5772... est la constante de Euler (Γ). La figure 7.8 illustre la courbe de Theis [W (u) vs 1/u]. On l’appelle aussi courbe-type inverse ou courbetype de non-´ equilibre.

FIG. 7.7 – Valeur de la fonction W (u) selon u.

La m´ethode de solution, appel´ee m´ ethode de Theis, consiste `a d´eterminer les valeurs de T et S de l’aquif`ere `a partir de mesures sur le terrain de valeurs de rabattements s en fonction du temps t, `a une distance r du puits de pompage (typiquement dans un puits d’observation). Ces mesures sont prises dans des pi´ezom`etres ou puits d’observation durant un essai de pompage au cours duquel on pompe un d´ebit constant Q de la formation aquif`ere. Les donn´ees de terrain h0 − h ou s sont mises en graphique en fonction du

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

215

FIG. 7.8 – Courbe de Theis de W (u) en fonction de 1/u.

temps sur un diagramme log-log (figure 7.9). Si des donn´ees de plusieurs puits d’observation sont disponibles, on peut les regrouper sur le mˆeme diagramme en les positionnant par rapport `a la fonction t/r2 . La r´esolution graphique par la m´ethode de Theis comprend les ´etapes suivantes : 1. Faire un graphique de la courbe-type de Theis, qui est W (u) en fonction de 1/u (donn´ees de la figure 7.7) sur du papier log-log (voir par exemple la figure 7.8) ou utiliser un graphique d´ej`a cr´e´e. 2. D´efinir un point d’ajustement sur le graphique de W (u) en fonction de 1/u. Pour faciliter les calculs, on choisit souvent W (u) = 1 et 1/u = 1. 3. Sur un papier transparent, faire le graphique du rabattement s en fonction du temps t avec ´echelle log-log (par exemple comme `a la figure 7.9). Il faut que le papier graphique utilis´e pour la courbe-type soit le mˆeme que celui pour les donn´ees de rabattement. 4. Superposer le graphique du rabattement sur le graphique de W (u) vs. 1/u jusqu’`a ce que les deux courbes se superposent. Il faut garder les axes des 2 graphiques parall`eles. 5. Pour le point d’ajustement choisi, prendre note des valeurs du rabattement s et du temps t correspondant (N.B. ces valeurs ne seront pas

216

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.9 – Donn´ees de rabattement mesur´e en fonction du temps lors d’un essai de pompage.

n´ecessairement sur la courbe de rabattement). 6. Calculer T et S avec : T =

QW (u) 4πs

(7.38)

et

4uT t (7.39) r2 Dans la figure 7.10, si on prend le point W (u) = 1.0 et 1/u = 1.0 sur la courbe-type et les valeurs correspondantes de s = 0.14 m et t = 250 s, nous pouvons obtenir une solution. S=

Les ´equations 7.38 et 7.39 supposent que tous les termes sont d´efinis avec les mˆemes unit´es de temps [T] et longueur [L] avec le choix des unit´es laiss´e `a l’utilisateur. Les unit´es les plus souvent utilis´ees dans les essais de pompage sont les suivantes : • Q est le d´ebit constant du puits en m3 /s ou L/s, • W (u) et u n’ont pas d’unit´es, • s et (h0 − h) est le rabattement mesur´e en m`etres, • r est la distance mesur´ee entre le puits et le pi´ezom`etre en m`etres, • t est le temps mesur´e en secondes ou en minutes, • T est la transmissivit´e mesur´ee en m3 /s ou m2 /jour, • S est le coefficient d’emmagasinement sans unit´es (ou encore m3 /m3 ).

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

217

FIG. 7.10 – Calcul de T et S par la m´ethode graphique de superposition bas´ee sur la solution de Theis. Les donn´ees montr´ees `a la figure 7.9 sont superpos´ees `a la courbe type pour trouver le point d’ajustement qui est (W (u) = 1 → ho − h = 0.14 m) et (u = 1 → t = 250s).

La m´ethode de solution de Theis est tr`es utilis´ee et donne des r´esultats assez pr´ecis dans les conditions id´eales. Les erreurs sur les mesures du rabattement et du temps au d´ebut de l’essai sont les plus courantes et peuvent limiter ethode l’application de ce mod`ele. Une autre solution populaire est la m´ semi-logarithmique de Jacob. 7.4.1.2

M´ ethode semi-logarithmique de Jacob

Lorsque le pompage d’essai a fonctionn´e pendant un certain temps, C.E. Jacob a observ´e que la valeur des derniers termes de la s´erie infinie qui d´efinit W (u) devient n´egligeable et que l’´equation pour l’´ecoulement transitoire ou de non-´equilibre peut ˆetre effectivement remplac´ee par une ´equation semilogarithmique. Pour de petites valeurs de u (par exemple u < 0.01), les termes u, u2 et u3 dans l’´equation 7.37 deviennent de moins en moins importants de sorte que la s´erie infinie se rapproche de : W (u) ≈ −0.577 − ln u

(7.40)

Si on pose que 0.577 ≈ ln 1.78 et que [- ln u] = [ln 1/u], on peut ´ecrire que : µ ¶ 1 W (u) ≈ − ln 1.78 − ln u = − ln 1.78u = ln (7.41) 1.78u En rempla¸cant u par sa valeur (r2 S/4T t), on peut ´ecrire : µ

W (u) = ln

4T t 1.78r2 S

¶

µ

= ln

2.25T t r2 S

¶

(7.42)

218

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

L’´equation de Theis peut alors ˆetre simplifi´ee sous la forme suivante µ

Q 2.25T t s= ln 4πT r2 S

¶

(7.43)

et en transformant le logarithme naturel (ln) en logarithme en base 10 (log) on obtient : ¶ µ 2.3Q 2.25T t (7.44) s= log 4πT r2 S Cette ´equation peut se repr´esenter sous forme d’une droite sur un diagramme semi-log. Les seuls points qui ne satisfont pas cette condition sont ceux qui correspondent aux premiers instants de l’essai, pour u < 0.01. En utilisant la m´ ethode de Jacob, on trace une droite `a travers les points exp´erimentaux et on la prolonge jusque sur l’axe de rabattement nul au point o` u l’intercept est t0 (figure 7.11). Pour d´eterminer la pente de la droite, on mesure la diff´erence de rabattement ∆s sur un cycle de log. En utilisant des unit´es compatibles pour les variables, on peut trouver des ´equations pour les param`etres T et S : 2.3Q T = (7.45) 4π∆s La transmissivit´e est calcul´ee avec des valeurs de rabattement en fonction du temps. En posant s = 0, on obtient log(2.25T t/r2 S) = 0. En utilisant la valeur de T d´etermin´ee ci-dessus, on peut trouver la valeur du coefficient d’emmagasinement S : 2.25T t0 S= (7.46) r2 Les relations 7.45 et 7.46 sont d´eriv´ees comme suit. Le rabattement mesur´e dans un mˆeme puits `a deux temps diff´erents t1 et t2 tel que pr´edit par la relation de Jacob est donn´e par : µ

2.3Q 2.25T t1 s1 = log 4πT r2 S et

µ

¶

(7.47) ¶

2.3Q 2.25T t2 log (7.48) s2 = 4πT r2 S La pente de la droite sur le graphique semi-logarithmique (fig. 7.11) est donn´ee par : s2 − s1 s2 − s1 ∆s = = (7.49) ∆ log t log t2 − log t1 log t2 /t1

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

219

FIG. 7.11 – Calcul de T et S par la m´ethode de Jacob.

Si la diff´erence de rabattement ∆s est mesur´ee sur un cycle de log, le rapport t2 /t1 est ´egal `a 10 et le logarithme en base 10 de t2 /t1 est ´egal `a 1. La pente sur un cycle de log est donc ´egale `a ∆s qui est donn´e par : ·

∆s = s2 − s1 = ou

µ

¶

µ

2.25T t2 2.25T t1 2.3Q log − log 2 4πT r S r2 S ·

µ

2.3Q t2 ∆s = s2 − s1 = log 4πT t1

¶¸

=

2.3Q 4πT

¶¸

(7.50)

(7.51)

ce qui devient ´equivalent `a l’´equation 7.45. Le temps t0 pour lequel le rabattement est nul (s=0) est donn´e par la relation de Jacob 7.42 µ ¶ 2.25T t0 2.3Q s= log =0 (7.52) 4πT r2 S On a donc ¶ µ 2.25T t0 =0 (7.53) log r2 S et 2.25T t0 =1 (7.54) r2 S qui devient ´equivalent `a l’´equation 7.46.

220

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

En comparant la m´ethode de Theis `a la m´ethode de Jacob, on s’aper¸coit que les r´eponses sont tr`es semblables pour les formations aquif`eres id´eales que nous avons d´efinies au d´ebut du chapitre. Puisque ce sont des m´ethodes graphiques de solution, il faut s’attendre `a de petites variations dans les r´eponses selon la pr´ecision du graphique qui est construit et des jugements subjectifs qui sont port´es en comparant les donn´ees de terrain aux courbestypes. On peut r´ealiser un essai de pompage mˆeme s’il n’y a pas de puits d’observation ni de pi´ezom`etres. Dans ce cas, les rabattements doivent ˆetre mesur´es dans le puits mˆeme. Toutefois, il y a des pertes d’´energie non n´egligeables quand l’eau entre `a grande vitesse dans le puits de sorte que la charge dans l’aquif`ere est plus ´elev´ee que le niveau d’eau mesur´e dans le puits. On peut faire des corrections en effectuant des essais par paliers `a des taux de pompage diff´erents. Pour ces raisons, il n’est pas possible dans ce cas de d´eterminer le coefficient d’emmagasinement. Un graphique du rabattement en fonction du temps permet quand mˆeme de d´eterminer la transmissivit´e. Il est essentiel que le pompage se fasse `a d´ebit constant parce que de petites modifications se r´epercutent aussitˆot sur les niveaux. De plus, les donn´ees de rabattement mesur´ees dans le puits de pompage peuvent pr´esenter des erreurs au d´ebut de l’essai. C’est ce qu’on appelle l’effet de capacit´ e. Durant les premiers instants, c’est l’eau emmagasin´ee dans le puits mˆeme qui est pomp´ee sans que l’aquif`ere ne soit sollicit´e et un graphique du rabattement en fonction du temps sera une droite avec une pente de 1 :1. Cet effet est surtout important lorsque le diam`etre du puits est grand et/ou que le d´ebit est faible. Les donn´ees de rabattement doivent ˆetre corrig´ees pour tenir compte de cet effet. 7.4.1.3

M´ ethode rabattement-distance

Si des observations simultan´ees du rabattement sont faites dans plusieurs puits d’observation, une modification de l’´equation de Jacob peut ˆetre utilis´ee. En mesurant le rabattement en mˆeme temps dans plusieurs pi´ezom`etres, on voit qu’il varie avec la distance du puits en accord avec l’´equation de Theis. Un diagramme semi-logarithmique avec le rabattement sur l’´echelle arithm´etique et la distance sur l’´echelle logarithmique donne une ligne droite sauf pour les derniers points de la courbe (figure 7.12). L’intersection de cette

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

221

droite avec la ligne de rabattement nul est d´esign´ee comme r0 , le rayon d’influence fictif. En calculant le rabattement par cycle de log comme dans la m´ethode pr´ec´edente, on obtient une relation pour Tr , qui est la transmissivit´e calcul´ee avec les donn´ees de rabattement en fonction de la distance. Tr =

2.3Q 2π∆s

(7.55)

La seule diff´erence avec l’autre m´ethode est le facteur 2 au lieu de 4 qui apparaˆıt au d´enominateur. Lorsque le rabattement est nul, on peut calculer la valeur de S 2.25T t (7.56) S= r02

FIG. 7.12 – Calcul de T et S par la m´ethode de rabattement-distance.

En utilisant la relation 7.56, il est possible de calculer un rayon d’influence fictif r0 pour un taux de pompage Q donn´e et pour un temps t apr`es le d´ebut du pompage. En r´earrangeant l’´equation pr´ec´edente on obtient : r02 = ou encore

2.25T t S s

r0 = 1.5

Tt S

(7.57)

(7.58)

222

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

Cette expression, bien qu’approximative, est tr`es utile pour ´evaluer la zone d’influence d’un pompage, pour situer plusieurs puits dans une mˆeme nappe et pour ´evaluer les risques de contamination par rapport `a une source connue. Les relations 7.55 et 7.56 sont d´eriv´ees de fa¸con similaire aux relations pour la m´ethode semi-logarithmique de Jacob. Encore une fois, on mesure la diff´erence de rabattement, ∆s = s2 − s1 , en fonction de la distance r (fig. 7.12) sur un cycle de log : Ã

2.3Q r2 ∆s = s2 − s1 = log 22 4πT r1

!

(7.59)

Puisque le rapport des rayons est de 10, le rapport de leur carr´es sera de 100 et le logarithme en base 10 de 100 est 2. On a donc la relation : ∆s = s2 − s1 =

2.3Q ·2 4πT

(7.60)

ce qui est semblable `a l’´equation 7.55. Le rayon r0 pour lequel le rabattement est nul (s=0) est donn´e par la relation de Jacob 7.43. ! Ã 2.3Q 2.25T t s= log =0 (7.61) 4πT r02 S On a donc

et

7.4.2

Ã

2.25T t log r02 S

!

=0

2.25T t =1 r02 S

(7.62)

(7.63)

Nappes semi captives

La plupart des nappes captives ne sont pas compl`etement limit´ees par des couches imperm´eables de sorte qu’il peut y avoir infiltration selon la verticale ou encore ´echange avec des formations situ´ees en dessous de la nappe (figure 7.13). La direction du mouvement de l’eau dans ces couches semi perm´eables se fait dans le sens o` u le gradient hydraulique est le plus fort, la plupart du temps selon la verticale.

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

223

En tout point d’une nappe sollicit´ee par un puits, le gradient vertical dh/dz `a travers une couche semi perm´eable d’´epaisseur b0 est exprim´ee par la relation dh s = 0 (7.64) dz b o` u s est le rabattement en tout point de l’aquif`ere. Puisque le rabattement varie avec la distance, les apports d’eau dans l’aquif`ere `a travers les couches semi-perm´eables vont aussi varier avec la distance, ´etant les plus forts `a proximit´e du puits.

FIG. 7.13 – Puits dans une nappe semi captive.

En notant K 0 la conductivit´e hydraulique des couches semi-perm´eables, l’´ecoulement vertical dans ces couches devient : dh h0 − h 0s qz = K 0 = K0 = K (7.65) dz b0 b0 En se reportant `a l’´equation g´en´erale pour l’´ecoulement radial en r´egime transitoire ∂ 2 h 1 ∂h S ∂h + = (7.66) 2 ∂r r ∂r T ∂t on peut r´e´ecrire en ajoutant le terme pour qz "

#

∂h ∂ 2 h 1 ∂h 0s T + = S + K ∂r2 r ∂r ∂t b0

(7.67)

En divisant tous les termes par T , on obtient : S ∂h K 0 s ∂ 2 h 1 ∂h + = + ∂r2 r ∂r T ∂t T b0

(7.68)

224

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

On peut d´efinir un nouveau terme, le facteur de drainance B, qui tient compte des propri´et´es de la nappe et des couches semi perm´eables : s

B=

T b0 = K0

s

Kbb0 K0

(7.69)

En repla¸cant B dans l’´equation g´en´erale, on obtient : S ∂h s ∂ 2 h 1 ∂h + = + 2 2 ∂r r ∂r T ∂t B

(7.70)

La solution de cette ´equation repose sur les mˆemes hypoth`eses que celle de Theis avec les additions suivantes : la drainance dans les couches semiperm´eables est verticale et proportionnelle au rabattement, la charge hydraulique dans les d´epˆots sus-jacents qui fournissent l’eau est constante, et l’emmagasinement dans les couches semi-perm´eables est n´egligeable. La solution de Hantush-Jacob a une forme semblable `a la solution de Theis : s=

Q W (u, r/B) 4πT

(7.71)

o` u les valeurs de u et de B sont : u= et

r2 S 4T t

(7.72)

s

T b0 (7.73) K0 Les valeurs de la fonction W (u, r/B) sont pr´esent´ees au tableau de la figure 7.15 et sa repr´esentation graphique est montr´ee `a la figure 7.14. Cette ´equation est valide pour toutes les valeurs de rw (rayon du puits) pourvu que : Ã !" µ ¶ # 30rw2 S 10rw 2 1− t> (7.74) T b et que rw < 0.1 (7.75) B La quantit´e d’´ecoulement provenant de l’emmagasinement de l’aquif`ere principal, qs , est donn´ee par la relation suivante : B=

µ

qs = Q exp

−T t SB 2

¶

(7.76)

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

225

et la quantit´e d’eau qui provient de la drainance induite, qd , est la diff´erence : qd = Q − qs

(7.77)

Les essais de pompage analys´es avec l’´equation de Hantush-Jacob permettent en outre de d´eterminer les propri´et´es moyennes des formations semi-perm´eables, ce qui est d’un grand avantage car la mesure de terrain des conductivit´es hydrauliques dans ces formations est difficile et souvent peu repr´esentative. Les essais peuvent ˆetre r´esolus en utilisant une m´ethode graphique qui est semblable `a la m´ethode de solution par courbes-types de Theis et dont les ´etapes sont : : 1. Faire un graphique des courbes types de W (u, r/B) en fonction de 1/u (donn´ees de la figure 7.15) sur du papier log-log (voir par exemple la figure 7.14) ou utiliser un graphique d´ej`a cr´e´e. 2. D´efinir un point d’ajustement sur le graphique de W (u, r/B) en fonction de 1/u. Comme pour la m´ethode de Theis, on choisit souvent W (u, r/B) = 1 et 1/u = 1 pour faciliter les calculs. 3. Sur un papier transparent, faire le graphique du rabattement s en fonction du temps t avec ´echelle log-log. Il faut que le papier graphique utilis´e pour la courbe-type soit le mˆeme que celui pour les donn´ees de rabattement. 4. Superposer le graphique du rabattement sur le graphique de W (u, r/B) vs. 1/u jusqu’`a ce que la courbe de rabattement se superpose `a l’une des courbes-types. Il faut garder les axes des 2 graphiques parall`eles. Prendre en note la valeur de r/B pour la courbe-type. 5. Pour le point d’ajustement choisi, prendre note des valeurs du rabattement s et du temps t correspondant. 6. En utilisant les coordonn´ees du points d’ajustement sur la courbe-type (W (u, r/B) et 1/u) et sur les donn´ees de terrain (s et t), calculer T avec : QW (u, r/B) (7.78) T = 4πs et S avec S=

4uT t r2

(7.79)

226

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

7. En utilisant la valeur de r/B provenant de l’ajustement, et connaissant l’´epaisseur b0 de la couche confinante, calculer la conductivit´e hydraulique K 0 de celle-ci avec K0 =

T b0 (r/B)2 r2

(7.80)

On peut noter que, lorsque r/B = 0, c’est-`a-dire lorsque les couches de confinement sont imperm´eables (K 0 → 0), on retrouve la courbe de Theis.

FIG. 7.14 – Graphique de W (u, r/B) en fonction de 1/u pour l’analyse d’essais de pompage en nappe semi captive.

7.4.3

Nappes libres

Un puits qui pompe dans une nappe libre tire son eau de deux m´ecanismes (figure 7.16). Comme dans le cas des nappes captives, la diminution de pression dans l’aquif`ere lib`ere de l’eau de l’emmagasinement ´elastique ou de la storativit´e de l’aquif`ere, Ss . Le rabattement de la surface libre lib`ere aussi de l’eau qui se draine verticalement par gravit´e dans les s´ediments. Ce terme correspond `a la porosit´e de drainage, nd , mais dans ce cas on la d´enote Sy (”specific yield”) par analogie avec la storativit´e des nappes captives.

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

227

FIG. 7.15 – Valeur de W (u, r/B) selon 1/u pour l’analyse d’essais de pompage en nappe semi captive.

228

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

L’´equation g´en´erale d’´ecoulement a ´et´e r´esolue pour l’´ecoulement radial dans des nappes libres pour une vari´et´e de conditions limites en utilisant plusieurs formulations math´ematiques. Les principales solutions sont d´eriv´ees des travaux de N.S. Boulton dans les ann´ees 1950 et 1960, et de S.P. Neuman dans les ann´ees 1970. Le grand nombre de solutions disponibles am`ene cependant une certaine confusion dans la d´efinition de param`etres sp´ecifiques aux nappes libres.

FIG. 7.16 – Puits dans une nappe libre.

Il y a trois phases distinctes dans les relations de rabattement en fonction du temps pour les nappes libres. Examinons ce qui se passe dans une r´egion annulaire typique situ´ee `a une distance constante du puits de pompage. Peu apr`es le d´ebut du pompage, la pression dans la r´egion annulaire diminue et l’aquif`ere fournit une petite quantit´e d’eau par expansion de l’eau et compression de l’aquif`ere. Durant cette p´eriode, l’aquif`ere se comporte comme une nappe captive et les donn´ees de rabattement en fonction du temps suivent la courbe de Theis pour une valeur du coefficient d’emmagasinement ´egale `a S des nappes captives. L’´ecoulement est essentiellement horizontal durant cette phase puisque toute l’´epaisseur satur´ee de l’aquif`ere participe `a l’´ecoulement. Apr`es cette phase initiale, la surface libre commence `a d´ecliner et l’eau provient surtout du drainage par gravit´e de l’aquif`ere. Il existe alors des composantes horizontales (ou radiales) et verticales d’´ecoulement. La relation rabattement-temps d´epend du rapport Kr /Kz de la conductivit´e hydraulique radiale Kr `a la conductivit´e verticale Kz , de la distance au puits de pompage et de l’´epaisseur de l’aquif`ere.

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

229

Apr`es un temps encore plus long, la vitesse de rabattement diminue et la contribution de la r´egion annulaire au d´ebit diminue. L’´ecoulement redevient horizontal et les donn´ees de rabattement en fonction du temps suivent `a nouveau la courbe de Theis. Cette nouvelle courbe correspond `a un emmagasinement qui est ´egal `a la porosit´e de drainage Sy . L’importance de la composante verticale d’´ecoulement sur le rabattement moyen est directement reli´e `a la magnitude du rapport Sy /Ss . Quand la valeur de Ss approche de z´ero, la dur´ee du premier stade de rabattement approche aussi z´ero. De mˆeme, si Sy tend vers z´ero, la dur´ee du premier stade augmente et `a la limite on retrouve le comportement d’une nappe captive avec un emmagasinement Ss . 7.4.3.1

Solution approximative

Il existe un certain nombre de solutions `a pour l’´ecoulement radial en nappe libre. Une premi`ere approximation est d’utiliser les solutions vues pr´ec´edemment pour l’´ecoulement dans une nappe captive. Cette approche est g´en´eralement correcte si on veut estimer le rabattement en un pont situ´e assez loin du puits de pompage. Si on veut ˆetre un peu plus pr´ecis, on peut calculer un rabattement estim´e s0 avec une solution pour une nappe captive (comme la solution de Theis par exemple) et obtenir une valeur corrig´ee s pour une nappe libre avec l’´equation : √ s = b − b2 − 2s0 b (7.81) o` u b est l’´epaisseur satur´ee initiale (avant pompage) de la nappe libre. En utilisant la mˆeme approche, on peut transformer les donn´ees de rabattement s mesur´ees sur le terrain en rabattement s0 ´ equivalent pour un aquif`ere captif avec s2 s0 = s − (7.82) 2b et faire l’analyse de l’essai de pompage avec les valeurs de s0 pour trouver T et S avec les m´ethodes d´ecrites pr´ec´edemment. Ces valeurs ´equivalentes de rabattement ne seront cependant valides que pour un temps suffisamment grand apr`es le pompage, apr`es que l’effet de drainage de l’aquif`ere se soit dissip´e. Ce temps minimum tmin peut ˆetre estim´e par tmin

Sy =b Kz

s

pour r < 0.4b

Kr Kz

(7.83)

230

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

ou "

tmin

7.4.3.2

Sy r =b 0.5 + 1.25 Kz b

s

Kr Kz

s

#

pour r ≥ 0.4b

Kr Kz

(7.84)

Solution graphique de Neuman

La solution pr´esent´ee ci-dessous (d’apr`es Neuman, 1975) suppose que le puits o` u il y a pompage p´en`etre compl`etement la formation et que le d´ebit du puits est constant. Les rabattements sont aussi mesur´es dans des puits d’observation qui p´en`etrent compl`etement l’aquif`ere. La solution de ce probl`eme, par analogie avec la m´ethode de Theis, devient : s=

Q W (uA , uB , Γ) 4πT

(7.85)

o` u W (uA , uB , Γ) est la fonction des puits pour les nappes libres. Pour cette fonction, l’argument uA est d´etermin´e pour les donn´ees initiales de rabattement, pour les temps les plus faibles, et est donn´e par uA =

r2 S 4T t

(7.86)

L’argument uB est d´etermin´e pour les donn´ees de rabattement tardives, pour les temps les plus ´elev´es, et est donn´e par r 2 Sy uB = 4T t

(7.87)

et le dernier argument Γ (ou η sur la figure 7.17) est un param`etre sans dimensions donn´e par r2 Kz Γ= 2 (7.88) b Kr o` u s est le rabattement, Q est le taux de pompage, T est la transmissivit´e, r est la distance radiale au puits de pompage, t est le temps, b est l’´epaisseur satur´ee initiale de la nappe, S est le coefficient d’emmagasinement,Sy est la porosit´e de drainage (`a peu pr`es ´egale `a nd ), et Kr et Kz sont les conductivit´es horizontales (radiales) et verticales. Deux familles de courbes-types sont utilis´ees (figure 7.17). Les courbes de type A sont bonnes pour les donn´ees initiales de rabattement alors que la

´ ´ 7.4. ECOULEMENT RADIAL EN REGIME TRANSITOIRE

231

lib´eration d’eau de l’emmagasinement ´elastique se produit. Comme le temps passe, les effets du drainage par gravit´e et l’´ecoulement vertical causent des d´eviations de la courbe de Theis qui fait partie de la famille de courbe de type A. Les courbes de type B sont utilis´ees pour les donn´ees tardives alors que l’effet de drainage par gravit´e devient de plus en plus petit. Les courbes de type B se terminent elles aussi sur une courbe de Theis comme le montre la figure 7.17.

FIG. 7.17 – Courbes types A et B pour la solution de Neuman pour pompage dans une nappe libre.

Les valeurs des fonctions W (uA , Γ) et W (uB , Γ) sont donn´ees dans les tableaux aux figures 7.18a et 7.18b. Les courbes-types sont utilis´ees pour ´evaluer des donn´ees de rabattement et de temps obtenues au cours d’un pompage d’essai. On les rapporte sur papier logarithmique `a la mˆeme ´echelle que les courbes-types. La proc´edure de solution est la suivante : 1. On superpose les donn´ees tardives de l’essai sur les courbes de type B et on d´etermine un point commun avec les coordonn´ees t, s, W (uB , Γ) et

232

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS 1/uB . Les valeurs de Γ proviennent directement des courbes-types. Les valeurs de T et Sy sont ensuite calcul´ees en transformant les ´equations appropri´ees ci-dessous : T =

Q W (uB , Γ) 4πs

(7.89)

uB 4T t r2

(7.90)

Sy =

2. On proc`ede de la mˆeme fa¸con avec les donn´ees initiales mais en utilisant les courbes de type A. Les points sont plac´es sur la courbe correspondant `a la valeur de Γ d´etermin´ee dans la premi`ere partie. La valeur de T calcul´ee devrait ˆetre sensiblement la mˆeme que celle qui a ´et´e calcul´ee en 1. On ´evalue enfin la valeur du coefficient d’emmagasinement S : T =

Q W (uA , Γ) 4πs

(7.91)

uA 4T t r2

(7.92)

S=

3. La valeur de la conductivit´e hydraulique radiale est calcul´ee `a partir de la valeur de T et en prenant la valeur initiale de b : Kr =

T b

(7.93)

La conductivit´e hydraulique verticale est estim´ee `a partir des valeurs pr´ec´edentes en utilisant la d´efinition de Γ : Kz =

7.5

Γb2 Kr r2

(7.94)

Superposition et limites d’aquif` eres

Les solutions de l’´ecoulement dans des puits situ´es dans des aquif`eres libres ou captifs supposent que l’aquif`ere est de dimension infinie mˆeme si c’est tr`es rarement le cas dans la pratique. Souvent, des limites interrompent la continuit´e des aquif`eres dans une ou plusieurs directions. Lorsqu’un aquif`ere

` 7.5. SUPERPOSITION ET LIMITES D’AQUIFERES

233

FIG. 7.18 – A) valeurs des courbes A de W (uA , Γ) et B) valeurs des courbes B de W (uB , Γ) pour la solution de Neuman pour pompage dans une nappe libre.

234

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

est reconnu avoir des limites, l’analyse directe des donn´ees par les m´ethodes pr´ec´edentes n’est plus possible. La m´ ethode de superposition (ou m´ethode des images) permet la solution des probl`emes de limites et elle s’applique `a la fois aux solutions en r´egime permanent et en r´egime transitoire que nous avons vues dans les sections pr´ec´edentes. Cette m´ethode utilise des puits ou des cours d’eau imaginaires (appel´es images), qui sont utilis´es pour reproduire hydrauliquement l’effet des limites. La m´ethode des images substitue donc des analogues hydrauliques pour les entit´es physiques limitant l’aquif`ere. Le syst`eme d’´ecoulement limit´e est ainsi transform´e par substitution en un syst`eme analogue infini dans lequel les puits et les cours d’eau peuvent ˆetre ´etudi´es grˆace aux solutions analytiques d´eriv´ee pr´ec´edemment. Le probl`eme est ainsi simplifi´e et ne consiste plus qu’`a superposer (ou additionner) les effets des composantes r´eelles et imaginaires dans un syst`eme aquif`ere infini. Deux types de limites sont g´en´eralement consid´er´ees eable empˆeche l’´ecoulement. Le contact entre un 1. Une limite imperm´ aquif`ere et une formation g´eologique peu perm´eable (comme un roc sain) est un exemple d’une limite imperm´eable. 2. Les limites lin´eaires telles qu’un cours d’eau ou un lac qui contrˆolent le niveau d’eau dans l’aquif`ere sont appel´ees des limites ` a charge constante, ou encore des sources lin´ eaires ou pertes lin´ eaires selon le cas. La figure 7.19 permet d’expliquer le principe des puits images. ` la figure 7.19a, la formation A est bord´ee par la formation relativement imA perm´eable B. La limite entre les deux formations est `a une distance variable r d’un puits de pompage P. Puisque la formation B est relativement imperm´eable, il ne peut y avoir d’´ecoulement de B vers le puits et la limite entre les deux formations peut ˆetre consid´er´ee imperm´eable. L’effet d’une limite imperm´eable est d’augmenter le rabattement dans un puits. Le probl`eme consiste `a substituer une entit´e hydraulique qui puisse reproduire l’effet de la limite imperm´eable. L’effet de la limite est obtenu en supposant que la formation A est infinie mais qu’un puits imaginaire (point I sur la figure 7.19) est situ´e perpendiculairement de l’autre cˆot´e de la limite `a la mˆeme distance que le vrai puits de celle-ci. Si le puits imaginaire commence `a pomper en mˆeme temps que

` 7.5. SUPERPOSITION ET LIMITES D’AQUIFERES

235

FIG. 7.19 – Syst`emes `a deux puits pour un aquif`ere (a) avec une limite imperm´eable et (b) avec une limite `a charge constante.

le vrai puits, la limite imperm´eable devient une ligne de partage des eaux et aucun ´ecoulement de la traverse. La figure 7.20 montre l’effet du pompage pr`es d’une limite imperm´eable et l’analogie hydraulique du puits image. La figure 7.21 montre le r´eseau d’´ecoulement r´esultant de ce syst`eme. Si un aquif`ere est bord´e par un cours d’eau qui le recharge, l’effet sera de r´eduire le rabattement dans le puits. Une limite `a charge constante peut ´egalement ˆetre simul´ee par un puits image situ´e comme pr´ec´edemment (figure 7.19b). Par contre, dans ce cas, le puits imaginaire I injecte dans l’aquif`ere au mˆeme d´ebit que le vrai puits pompe. La figure 7.22 montre l’effet d’une limite `a charge constante sur un puits et son remplacement par un puits imaginaire. La figure 7.23 pr´esente le r´eseau d’´ecoulement r´esultant des deux puits. Le rabattement en tout point du v´eritable aquif`ere ou `a la limite du syst`eme simple de deux puits est la somme des effets des puits r´eel et imaginaire op´erant simultan´ement. Donc, `a partir du principe de superposition, on a : Q X Q [W (u)p ± W (u)i ] = W (u) (7.95) 4πT 4πT o` u s est le rabattement observ´e en tout point qui est la somme des effets du puits r´eel (sp ) et du puits imaginaire si . Les termes W (u)p et W (u)i sont s = sp ± si =

236

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

les fonctions de puits des puits r´eel et imaginaire, respectivement. Si le puits imaginaire recharge l’aquif`ere (limite `a charge constante), le signe n´ egatif est utilis´e.

FIG. 7.20 – Effet d’une limite imperm´eable sur le rabattement dans un aquif`ere libre.

En employant un raisonnement semblable, on a : up =

rp2 S 4T t

;

ui =

ri2 S 4T t

(7.96)

o` u rp est la distance entre le point d’observation et le puits pompant, tandis que ri est la distance du points d’observation au puits imaginaire. On peut

` 7.5. SUPERPOSITION ET LIMITES D’AQUIFERES

237

FIG. 7.21 – R´eseau d’´ecoulement pour un puits image pompant pour remplacer une limite imperm´eable.

donc d´eriver la relation suivante : Ã

ui =

ri rp

!2

up

(7.97)

C = ri /rp

(7.98)

ou ui = C 2 up

;

Pour tout point d’observation sur la limite, rp est ´egal `a ri et donc C=1, et up est ´egal `a ui . On a donc aussi que W (up ) est ´egal `a W (ui ) et le rabattement est soit nul (limite `a charge constante), soit le double de l’effet d’un seul puits pompant (limite imperm´eable). La position des limites par rapport au puits de pompage peut ˆetre d´etermin´ee grˆace `a l’analyse du rabattement mesur´e lors d’un essai de pompage. La figure 7.24 montre les r´esultats temps-rabattement dans un puits d’observation affect´e par un puits pompant dans un aquif`ere ayant une limite imperm´eable. La figure 7.25 montre d’autres r´esultats pour une limite `a charge constante, o` u le rabattement en fonction du temps est sur un graphique log-log. Pour d´eterminer la position de la limite, il faut trouver deux paires de points sur l’une ou l’autre figure. Ces paires de points sont (s1 ,t1 ) et (s2 ,t2 ), o` u s1 correspond `a une valeur arbitraire de rabattement r´eel observ´e, pour lequel on note le temps t1 . On trouve ensuite le temps t2 pour lequel il existe un ´ecart s2 (avec s2 ´egal `a la valeur de s1 choisi) entre le rabattement observ´e

238

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.22 – Effet d’une limite `a charge constante sur le rabattement dans un aquif`ere libre.

` 7.5. SUPERPOSITION ET LIMITES D’AQUIFERES

239

FIG. 7.23 – R´eseau d’´ecoulement pour un puits image injectant pour remplacer une limite `a charge constante.

FIG. 7.24 – Effet d’une limite imperm´eable sur le rabattement observ´e dans un puits d’observation. Le temps t0 correspond au temps de mise en marche de la pompe (pump on). Le rabattement s est sur une ´echelle logarithmique.

240

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.25 – Effet d’une limite `a charge constante sur le rabattement observ´e dans un puits d’observation sur un graphique log-log. Le rabattement observ´e sera plus petit que pr´edit par la courbe de Theis.

et le rabattement qui aurait ´et´e observ´e s’il n’y avait pas eu de limite (donn´e par la ligne pointill´ee sur la figure 7.24). Nous avons donc W (u1 ) = W (u2 ) et, en utilisant les temps correspondant t1 et t2 , on ´ecrit u1 =

r12 S 4T t1

;

o` u u1 = u2 . Donc

u2 =

s

r2 = r1

t2 t1

r22 S 4T t2

(7.99)

(7.100)

o` u r1 est la distance connue entre le puits d’observation et le puits pompant, et r2 est la distance cherch´ee du puits d’observation au puits imaginaire causant la d´eflexion dans le rabattement. Cependant r2 ne d´efinit qu’un rayon o` u la limite peut se trouver. Il faut donc plus d’un puits d’observation pour localiser pr´ecis´ement la position de la limite. Lorsque la g´eom´etrie des limites est plus complexe, leur repr´esentation peut demander plusieurs puits, ou mˆeme un nombre th´eoriquement infini de puits. La figure 7.26 montre trois cas plus complexes de limites imperm´eables et de limites `a charge constante.

` 7.5. SUPERPOSITION ET LIMITES D’AQUIFERES

FIG. 7.26 – Cas plus complexes de limites d’aquif`eres.

241

242

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

Probl` emes 7.1

7.2

7.3

On exploite une nappe captive au d´ebit constant de 30 litres par seconde `a l’aide d’un puits de 40 cm de diam`etre qui p´en`etre compl`etement la nappe. On mesure la r´eponse de l’aquif`ere dans deux puits d’observation situ´es `a 30 m et 120 m du puits de production. A l’´equilibre, on mesure dans ces puits des rabattements de 3.9 m et de 2.0 m respectivement. On suppose que la formation aquif`ere a une ´epaisseur et une conductivit´e hydraulique uniformes. (a) Tracez sur un diagramme semi-log la relation du rabattement en fonction de la distance du puits de production. (b) Quel sera le rabattement dans le puits de production ? [≈ 10.7 m] (c) Quelle est la transmissivit´e de l’aquif`ere en m`etres carr´es par jour ? [301] (d) Si l’´epaisseur de la formation est de 15 m, calculez la conductivit´e hydraulique en m/s. [2.3 × 10−4 ] (e) Quel est le rayon d’influence du puits en m`etres ? [≈ 510 m] Pour permettre la construction d’un aqueduc, on doit abaisser le niveau d’une nappe libre de 4 m. Initialement, la surface libre est au niveau du sol. On pompe au taux de 100 litres/minute dans un puits de 0.2 m de diam`etre avec un rabattement de 14 m. L’´epaisseur de la nappe est de 20 m et sa conductivit´e hydraulique est de 1.38 × 10−5 m/s. (a) A quelle distance du puits peut-on ass´echer l’excavation si on utilise un seul de ces puits ? [30.2 m] (b) Quelle distance maximale peut-on pr´evoir entre deux puits identiques situ´es dans l’axe du trac´e pour ass´echer l’excavation (en supposant que Q = 100 litres/minute) ? [353 m] On veut exploiter une nappe libre `a l’aide d’un puits de 0.2 m de rayon situ´e `a 50 m d’une rivi`ere. La hauteur satur´ee de la nappe avant pompage est de 15 m et sa conductivit´e hydraulique est de 0.006 m/min. (a) Si le rabattement dans le puits est limit´e `a 10 m, `a quel d´ebit pourra-t-on pomper si on ne tient pas compte de l’effet de la rivi`ere (supposez R = 200 m) ? [0.545 m3 /min]

` PROBLEMES

243

(b) Calculez l’influence de la rivi`ere sur le niveau d’eau dans le puits de production. [rabattement = -0.7 m au puits] 7.4

Une nappe libre a une conductivit´e hydraulique de 0.0001 m/s et une hauteur satur´ee de 25 m. Trois puits de 0.1 m de rayon exploitent cette nappe. Le puits 2 est `a 100 m `a l’ouest du puits 1 tandis que le puits 3 est `a 100 m au nord du puits 1. Lorsque chacun des puits fonctionne individuellement en r´egime permanent, on fait les observations montr´ees au tableau 7.2. TAB. 7.2 – Observation dans des puits

Puits D´ebit, Q (L/s) Charge hydraulique (m) 1 12.5 18 m 2 16.0 15 m 3 20.0 10 m Si les trois puits fonctionnent en mˆeme temps, calculez (a) le niveau de pompage dans chacun des puits [hw1 = 15.25 m, hw2 = 13.17 m, hw3 = 8.8 m] (b) la position de la zone influenc´ee par les puits (tracez la limite de cette zone sur un plan). 7.5

Une nappe captive dans des gr`es poreux fissur´es a une ´epaisseur de 100 m et elle est recouverte d’une couche imperm´eable de 50 m d’´epaisseur. Avant le pompage, le niveau pi´ezom´etrique se situait `a 5 m sous la surface du sol. Durant un essai de pompage en r´egime permanent, on a calcul´e que la conductivit´e hydraulique ´etait de K = 10−5 m/s. Pour un taux de pompage de 1.08 m3 /min on a observ´e un rabattement de 30 m dans un puits dont le diam`etre est 30 cm. A l’aide de ces donn´ees, calculez : (a) Le rabattement dans un puits qui serait situ´e `a 100 m du puits d’essai. [11.37 m] (b) Le rayon d’influence du puits. [5286 m]

7.6

Une nappe libre de 30 m d’´epaisseur couvre une ˆıle circulaire d’un diam`etre de 1 km situ´ee dans un lac. Le niveau pi´ezom´etrique est initialement au mˆeme niveau que le lac. Un puits avec un rayon de 0.1 m est situ´e en son centre. La conductivit´e hydraulique de l’aquif`ere est

244

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS de 4 m/jour et on projette de pomper ce puits avec un rabattement maximum de 20 m. (a) Quel sera le d´ebit de ce puits en r´egime permanent ? [1180 m3 /jour] (b) D´eterminez `a quelle distance du puits le rabattement ne sera que de 1 m`etre. [266.7 m] (c) Si la conductivit´e hydraulique de l’aquif`ere ´etait deux fois plus grande mais que le rabattement dans le puits demeurait le mˆeme, est-ce que la forme de la surface libre de la nappe changerait ? [Non]

7.7

On a proc´ed´e `a un essai de pompage dans une nappe captive de 20 m d’´epaisseur satur´ee. Le d´ebit du puits durant l’essai ´etait constant `a 5 m3 /min et les rabattements montr´es au tableau 7.3 furent observ´es dans un pi´ezom`etre situ´e `a 300 m du puits. TAB. 7.3 – Donn´ees - Essai de pompage.

t (min) s (m) t (min) s (m) 3 0.024 35 0.46 4 0.046 60 0.61 5 0.067 150 0.88 500 1.24 8 0.13 12 0.21 1500 1.55 20 0.32 5000 1.95 (a) Calculez T et S selon les m´ethodes de Theis et de Jacob. [Theis : T = 1.284 m2 /min, S = 0.00029 ; Jacob : T = 1.366 m2 /min, S = 0.00025] (b) Quel sera le rabattement `a 100 m apr`es 30 jours, et apr`es 10 ans ? [s(30 jours) = 3.32 m, s(10 ans) = 4.8 m] (c) Combien de temps faut-il pour que le rabattement atteigne 5 m `a une distance de 50 m ? [4.64 ans] (d) Si le puits a un diam`etre de 50 cm quel sera son rabattement apr`es un an ? [7.82 m] 7.8

Un essai de pompage dans un aquif`ere libre a ´et´e effectu´e en pompant un puits avec un d´ebit constant de 4.09 m3 /min. L’´epaisseur satur´ee

` PROBLEMES

245

de l’aquif`ere est de 25 m. Les rabattements du tableau 7.4 furent ` partir de ces observ´es dans un pi´ezom`etre situ´e `a 22.25 m du puits. A donn´ees, ´evaluer T , Sy , S, Kh et Kv . [T ≈ 2 m2 /min, S = 0.00263, Sy = nD = 0.206, Kh ≈ 0.075 m/min, Kv ≈ 0.006 m/min] TAB. 7.4 – Donn´ees - Essai de pompage.

t (min) s (m) 0.165 0.037 0.25 0.059 0.34 0.078 0.42 0.101 0.58 0.131 0.75 0.162 0.92 0.186 1.42 0.232 2.0 0.262 2.65 0.280 4.0 0.296 7.0 0.305 12 0.314 25 0.329 7.9

t (min) s (m) 35 0.351 50 0.363 70 0.381 120 0.415 200 0.463 300 0.503 400 0.533 600 0.594 800 0.637 1200 0.692 1500 0.716 2000 0.759 2500 0.789 3000 0.811

Un essai de pompage est effectu´e `a un d´ebit constant de 4 m3 /min dans un aquif`ere captif fuyant. L’aquif`ere a 20 m d’´epaisseur, repose sur une couche imperm´eable et est sous-jacent `a un aquitard de 30 m d’´epaisseur. Les rabattements montr´es au tableau 7.5 furent mesur´es dans un pi´ezom`etre situ´e `a 150 m du puits de pompage. (a) D´erivez les propri´et´es de l’aquif`ere (T , K et S) et de l’aquitard (K 0 ). [T = 0.8 m2 /min, K = 0.04 m/min, S = 0.0001, K 0 = 0.0001 m/min] (b) Quel est le temps requis pour atteindre des conditions d’´equilibre (r´egime permanent) ? [≈ 120 min] (c) Quelle proportion de l’´ecoulement provient de l’aquitard lorsque les conditions d’´equilibre sont atteintes ? [97.9%] (d) Si le puits ´etait exploit´e `a ce d´ebit, calculez le rayon `a l’int´erieur

246

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS duquel le rabattement en r´egime permanent serait inf´erieur `a 10 cm. [950 m] TAB. 7.5 – Donn´ees - Essai de pompage.

t (min) s (m) t (min) s (m) 0.2 0.003 20 0.869 0.5 0.043 50 1.001 1 0.137 100 1.067 2 0.283 200 1.070 5 0.536 500 1.073 10 0.713 1000 1.073 7.10

La carte montr´ee `a la figure 7.27a montre la situation lors d’un essai de pompage `a un d´ebit constant de 3.79 m3 /min dans un puits (PW1) situ´e `a environ 305 m `a l’ouest d’un rivi`ere. Le rabattement est observ´e dans trois puits d’observation OW1, OW2 et OW3. Le puits OW1 est `a 152.4 m au nord, OW2 est `a 152.4 m `a l’ouest et OW3 est `a 457.2 m au sud du puits PW1. L’´evaluation des donn´ees du puits OW2 montre que ce puits est situ´e `a 762 m d’un puits image repr´esentant une limite. Les donn´ees des puits OW1 et OW3 sont pr´esent´ees au tableau 7.6. (a) Utiliser les donn´ees de OW1 et OW3 et la m´ethode de Theis pour d´eterminer la transmissivit´e et le coefficient d’emmagasinement de l’aquif`ere. Les donn´ees sont-elles affect´ees par une limite et de quel type de limite s’agit-il ? [T = 0.862 m2 /min, S = 0.001. Limite `a charge constante] (b) Calculez l’´ecart du rabattement par rapport `a la courbe type caus´e par une limite et v´erifier s’il existe une autre limite influen¸cant le rabattement. Calculez la distance du puits d’observation par rapport au puits image repr´esentant la limite. [Il n’y a pas d’autre limite. Distance entre puits image et OW1 = 618 m, image-OW2 = 762 m, image-OW3 = 754 m] (c) Utilisez les distances calcul´ees des puits d’observations OW1, OW2 et OW3 par rapport au puits image repr´esentant la limite pour localiser ce puits image. Tracez la ligne repr´esentant la limite associ´ee au puits pompant et au puits image. Quelle est la

` PROBLEMES

247

relation entre la rivi`ere et la position de la limite ? Est-ce que la rivi`ere constitue la limite identifi´ee par l’essai de pompage ? [Puits image `a 610 m du puits r´eel. Rivi`ere est limite `a charge constante] Rivière

a)

b) Limite imperméable

OW1 PW3 OW2 PW1

PW2 OW1

PW1 OW3 m m 0

100

0

100

200

200

FIG. 7.27 – Configuration de limites et puits. Figure a) : puits de pompage et 3 puits d’observation pour une limite `a charge constante. Figure b) : 3 puits de pompage et 1 puits d’observation pour une limite imperm´eable.

7.11

Un aquif`ere captif poss`ede un coefficient d’emmagasinement de 0.0002 et une transmissivit´e de 10−3 m2 /s. On a proc´ed´e au pompage dans cet aquif`ere `a partir de trois puits de pompage (PW1, PW2, PW3) et un puits d’observation (OW1) suit l’´evolution du rabattement (voir figure 7.27b). Le d´ebit et la p´eriode de pompage des puits sont indiqu´es au tableau 7.7. On veut connaˆıtre le rabattement dans le puits d’observation `a la fin du pompage (apr`es 7 jours) dans les cas suivants (a) il n’y a pas de limite. [14.5 m] (b) la limite indiqu´ee est imperm´eable. [25.03 m] (c) la limite est `a charge constante. [3.97 m]

248

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS TAB. 7.6 – Donn´ees - Puits images.

Temps (min) s(m) OW1 4 0.027 5 0.046 6 0.064 7 0.082 10 0.137 13 0.189 16 0.235 20 0.293 22 25 0.344 30 35 0.436 40 45 50 0.543 60 70 0.619 80 90 0.683 100 110 0.719 120 150 0.780 200 0.820 300 0.902 500 0.908 700 0.936 900 0.945 1100 0.948 1400 0.957 1800 0.963 2200 0.969 2600 0.975 3000 0.975 3500 0.975 4000 0.978

´ ´ Ecart(m) s(m) OW3 Ecart(m)

0.002 0.005 0.007 0.010 0.018 0.026 0.035 0.042 0.054 0.072 0.105 0.133 0.154 0.186 0.213 0.256 0.290 0.308 0.317 0.323 0.329 0.335 0.338 0.344 0.344 0.347 0.344

` PROBLEMES

FIG. 7.28 – Courbes de Theis et courbes pour un aquif`ere fuyant.

249

250

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.29 – Courbes pour un aquif`ere `a nappe libre.

` PROBLEMES

251 TAB. 7.7 – Donn´ees - Puits de pompage.

Puits Q (m3 /s) PW1 1.0 × 10−2 PW2 1.5 × 10−2 PW3 8 × 10−3

Temps t au d´ebut du pompage Dur´ee du pompage (jours) t=0 7 t = 48 heures 5 t = 24 heures 6

FIG. 7.30 – Courbes pour un aquif`ere `a nappe libre.

252

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.31 – Valeurs de la fonction W (u).

` PROBLEMES

FIG. 7.32 – Valeurs de la fonction W (u) (suite - 1).

253

254

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.33 – Valeurs de la fonction W (u, r/B).

` PROBLEMES

FIG. 7.34 – Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 1).

255

256

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.35 – Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 2).

` PROBLEMES

FIG. 7.36 – Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 3).

257

258

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS

FIG. 7.37 – Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 4).

` PROBLEMES

FIG. 7.38 – Valeurs de la fonction W (u, r/B) (suite - 5).

259

260

CHAPITRE 7. HYDRAULIQUE DES PUITS