Nincs királyi út! 9632817044 [PDF]

Zitiervorschau

SAIN MÁRTON

Nincs királyi út! Matematikatörténet

•

GONDOLAT . BUDAPEST, 1986

Szakmailag ellenőrizte VEKERDI LÁSZLÓ ANDRÉKA HAJNAL SAIN ILDIKÓ

ISBN 963 281 7044 © Sain Márton, 1986

TARTALOM

Előmagyarázkodás

11

AZ ÓKOR A számirás előtt

13 15

Mezopotámia A 60-as számrendszer A mezopotámiai számolástechnika A babiloni aritmetika A babiloni algebra A babiloni geometria

.

17 17 21 24 27 32

Egyiptom Ó-Egyiptom történetének áttekintése A matematikai tartalmú egyiptomi papiruszok Az óegyiptomi számírás Az óegyiptomi számolás Az óegyiptomi geometria Az óegyiptomi algebra

35 35 36 40 44 56 59

Görögország A krétai és a mükénéi kultúra Az ógörög számírás és számolás

62 62 69

A görög matematika alapjainak lerakása Thalész Püthagorasz és a püthagoreusok A püthagoreusok zeneelmélete A püthagoreusok számelmélete A püthagoreusok geometriája

74 74 78 81 85 94

A kockakettőzés, körnégyszögesítés és szögharmadolás . . . A híres ókori görög feladatok Hippokratész Hippiasz Deinosztratosz és Menaikhmosz Arkhütasz Arkhimédész, Eratoszthenész és Apollóniosz megoldásai A bizánci Philón Nikomédész Dioklész

101 101 101 106 107 114 119 123 124 127

5 •

Muhjiaddín al-Magribi (1260 körül) kockakettőzése és Bolyai János (1802-1860) szögharmadolása Az euklideszi szerkesztéssel való megoldhatóság A nagy görög matematikusok A knidoszi Eudoxosz Az alexandriai Eukleidész Egy kis nem felesleges filozófiai kitérő A filozófia és a matematika A szürakuszai Arkhimédész A pergéi Apollóniosz Miért állt meg az ógörög matematika fejlődése ?

134 134 144 167 172 178 215 236

A görög csillagászok „trigonometriája" A görög csillagászat kezdetei A szamoszi Arisztarkhosz Az ógörög trigonometria A kürénéi Eratoszthenész Poszeidóniosz Hipparkhosz Az alexandriai Menelaosz Ptolemaiosz Klaudiosz

241 241 243 244 251 253 254 256 263

A görög matematika hanyatló kora A görög hétköznapok matematikája Az alexandriai Hérón Az alexandriai Diophantosz Az alexandriai Papposz Az antik görög geometria színpadán legördül a függöny ,

268 268 269 273 279

A KELETI KÖZÉPKOR Kína Történelmi vázlat matematikai vonatkozásokkal A kínai számírás A Szuan csing Vang Hsziao-tung Csin Csiu-sao Szun-ce Csang Csiu-csien Csen Luan LiJe CsuSi-csie Jang Huj A kínai mértékegységek A kínai matematika korszakai India India ősi kultúrája Az indoárja kultúra A hindu számírás Az indiai számírás elterjedése. A magyar számírás . . . . A hindu matematika Árjabhatta

6

128 130

287 293 295 295 305 310 337 338 340 340 342 342 343 344 344 346 348 348 351 355 359 362 364

Brahmagupta Ácsárja Bhászkara Srínivásza Aijangár Ramanudzsan Az arabok A kultúramentő arabok Rövid történelmi vázlat Az arab matematika korszakai Az arab matematikusok Al-Hvárizmi Ibn Türk al-Kutalli Abu Kamii Szabit ibn Kurra Al-Battáni Abul-Vafa Al-Karadzsi Al-Bírúni Al-Haiszam Ibn Júnisz Al-Bagdádi Omar Hajjám Násziraddín at-Túszi AI-Kási .A maják A maja számirás

366 369 376 380 380 381 387 387 387 395 395 395 397 399 400 400 402 405 405 405 409 414 420 420

AZ EURÓPAI MATEMATIKA KÖZÉPKORA 433 A középkori Európa 435 Valóban olyan sötét ? 435 Az V-IX. század kiemelkedő matematikusai: Boethius, Beda Venerabilis, Alcuinus, Gerbert 436 Európa megérett a tudományok befogadására (Adelard, Gherardo, Róbert of Chester, Leonardo Pisano, Jordanus Nemorarius, Bradwardine, d'Oresme) 445 A matematika reneszánsza A reneszánsz kori matematikusok: Regiomontanus, Chuquet, Widmann, Luca Pacioli, Cardano, Oronce Fine, Gemma Frisius, del Ferro, Fontana, Bombelli, von Lauchen (Rháticus), Stevin, Stifel, Bürgi, Napier, Briggs, Vlacq, Mercator, Viéte, Girard, Harriot, Pitiscus, Galilei, Kepler Európa új matematikát teremt A barokk kor kultúrtörténeti áttekintése Tárgyalásmódot változtatunk

468

468 527 527 537

A MATEMATIKA FŐBB ÁGAINAK FEJLŐDÉSE 539 A geometria 541 A projektív (szintetikus) geometria (Desargues, Pascal, Monge, Carnot, Brianchon, Poncelet, Feuerbach, Gergonne, Steiner, Chasles, Staudt, Cayley) 541

7

Az analitikus geometria fejlődése (Descartes, Beeckman, Fermat, Wallis, Witt, Lahire, Stirling, Clairaut)

560

A differenciálgeometria (Minding, Beltrami, Lamé, SaintVenant, Bonnet, Frenet, Serret, Weingarten, Peterszon)

580

A szintetikus és az analitikus geometria házassága (Möbius, Plücker)

596

Az analitikus geometria és a vektorok (Hamilton, Grassmann)

601

A geometria axiomatikus megalapozásának története . . . . Az V. posztulátum Bolyai Farkas Az V. posztulátum bizonyítási kísérletei A nemeuklideszi geometria felfedezése Bolyai János Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij A Scientia Spatii A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria hatása (Klein, Riemann, Pasch, Peano, Hilbert)

605 605 606 608 614 616 621 623 630

A topológia fejlődése (Poinsot, Listing, Peano, Poincaré, Brouwer, Weyl) 646 A diszkrét geometria 662 A matematikai analízis története (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow) 663 Newton és Leibniz 676 Newton után Angliában (Berkeley, Maclaurin, Taylor) . . 687 Leibniz után a Kontinensen (A Bernoulli család, a Bernoulli testvérek, Euler) 688

8

A függvényfogalom fejlődése (Descartes, Leibniz, Euler, Fourier, Dirichlet, Bolzano, Fréchet, Riesz, Hilbert)

697

A sorelmélet fejlődése (Mercator, Lagrange, Cauchy, Fourier, Fejér, Weierstrass)

702

A differenciálhányados fogalmának fejlődése Euler után (d'Alembert, L'Huillier, Lacroix, Cauchy, Weierstrass) . .

706

Az integrál fogalmának fejlődése Leibniz és Newton után (Euler, Laplace, Clairaut, Lagrange, Riemann, Lebesgue, Stieltjes, Riesz)

711

A differenciálegyenletek (Johann Bernoulli, Riccati, Lagrange, Dániel Bernoulli, d'Alembert, Taylor, Lipschitz, Euler, Laplace, Poisson, Gauss, Green, Osztrogradszkij, Ljapunov, Cauchy, Lie, Poincaré, Birkhoff, Petzval, Beké, Kármán)

715

A variációszámítás kialakulása (Euler, a Bernoulli testvérek, Lagrange, Haar)

723

A számelmélet fejlődése 727 A számfogalom kialakulása (Argand, Gauss, Hamilton, Peirce, Frobenius, Cartan, Grassmann, Clifford, Fermat, Dirichlet, Kummer, Cantor, Liouville, Kürschák, Méray) 727 A számelmélet néhány problémája (Fermat, Waring, Sierpinski, Euler, Gauss, Csebisev, Minkowski, Hajós, Erdős, Goldbach, Vinogradov) 734 Az algebra fejlődése (Diophantosz, Al-Hvárizmi, Fibonacci, Chuquet, Pacioli, Widmann, Cardano, Viéte, Descartes, New­ ton, Euler, d'Alembert, Gauss, Lagrange, Ruffini, Ábel, Galois, Cauchy, Kronecker, Jordán, Klein, Lie, Boole, Huntington, Dedekind, Steinitz, Noether, van der Waerden, Birkhoff, Neumann János, MacLane, matematikai logika, automatael­ mélet, Rados, Kürschák, Haar, Szele, Kalmár) 744 A halmazelmélet kialakulása (Dedekind, Bolzano, Cantor, Zermelo, Frege, Burali-Forti, Russell, Richárd, Brouwer, Fraenkel, Neumann János, Gödel, Cohen, Kőnig, Haar, Kalmár) 768 A valószínűségszámítás fejlődése (Pacioli, Cardano, Dániel Bernoulli. Pascal, Fermat, Jacob Bernoulli, Moivre, Laplace, Buffon, Bayes; Poisson, Bunyakovszkij, Csebisev, Markov; Ljapunov, Morgan, Czuber, Boole, Mises, Bernstein, Hincsin, Borel, Kolmogorov, Rényi, Jordán Károly, Wiener, Neumann János) 783 A számítógép-tudomány fejlődése (Lullus, Schickard, Pascal, Leibniz, Odhner, Prony, Babbage, Jacquard, Hollerith, Zuse, Aiken, Wiener, Neumann János, Lebegyev, Colmerauer, Turing, Church, Kalmár, McCarthy) Utószó Felhasznált és ajánlott irodalom Névmutató

795 809 811 819

ELŐMAGYARÁZKOD.ÁS

Szeretném mindjárt az első pillanatban kiábrándítani vagy megvi­ gasztalni a kedves olvasót - kit hogyan. Aki ettől a könyvtől kor­ szakalkotóan új tudománytörténeti felfedezéseket vár, az csalódni fog. Aki azt hiszi, hogy ez a könyv egy nagy matematikus munkája érthetetlen szak-tolvaj-nyelven, és a szerző magához méltónak sem tartja az elemi ismeretekkel való foglalkozást, az szintén csalatkoz­ ni fog. A könyv összeállításánál legfőbb célul azt tűztem ki, hogy a matematikatörténet felfedezéseit, tehát magát a matematikát - amennyire ez lehetséges - közel hozzam az olvasóhoz. Tegyem pedig mindezt történelmi keretben egyrészt azért, hogy szembeszö­ kő legyen a matematikai gondolkozásnak és eredményeknek a ma eléggé meg nem becsült kulturális értéke, másrészt azért, mert sze­ retném az érdeklődést felébreszteni egy nagyon szellemes tudomány és annak története iránt. Sok igen értékes tudománytörténeti mű éppen mert rendszerint azokat az illető tudomány tudósai írták, csak a kiválasztottak számára élvezhető. Ezt a könyvet azonban elsősorban nem a matematikát művelő tudósoknak szántam, ha­ nem a matematika iránt érdeklődő és ezen a területen legalább kö­ zépiskolás műveltséggel rendelkező olvasóknak. Az viszont termé­ szetes, hogy külön öröm számomra, ha az előzetes figyelmeztetés ellenére tudós matematikusok is kézbe veszik. Az előzőekből talán kiviláglik, hogy a szíves olvasó ismeretter­ jesztő matematikatörténeti áttekintést tart a kezében, amely kez­ detben részletes, és mindinkább csak átfogó jellegű, amint a jelen­ kori felsőbb matematikai ismeretek megszületéséhez közeledünk. Amint a megfelelő helyeken erre a figyelmet külön is felhívom, a könnyebb érthetőség kedvéért bátorkodtam a komoly tudomány számára megengedhetetlen eszközökkel is élni. Ez azonban - vé­ leményem szerint - nem égbekiáltó bűn. Nem jelent többet annál, mint hogy a középiskolában szokásos jelöléseket használom, hogy néhány tételnek csak az egyszerűbb esetére tértem ki, vagy hogy segítségül hívtam például a koordinátageometriát, illetve más kö­ zépiskolai ismeretet stb. Úgy vélem azonban, hogy ez sohasem megy az eredeti gondolatmenet szépségének a rovására, hanem inkább annak a könnyebb meglátását segíti elő. Néhol alkalmam

11

nyílt néhány önálló gondolat kifejtésére és alkalmazására; az olva­ só elnézését kérem, ha ilyenkor nem tudtam a kísértésnek ellen­ állni. Az eddigiekből sejthető', hogy ez nem matematika-tankönyv, ha­ nem csak a történelem folyamán született legfontosabb és legérde­ kesebb matematikai gondolatmenetek vázlatos ismertetése. A könyvben szereplő tételek szabatos bizonyításai tankönyvekben és más kézikönyvekben keresendők. Abban a reményben, hogy a népszerűsítés érdekében követett módszerbeli eljárásom megértésre talál, ajánlom munkámat min­ den olyan kedves olvasónak, aki középiskolás tanulmányai során megszerette a matematikát, vagy legalábbis nem okoztak számára a matematikaórák elviselhetetlen gyötrelmeket. Végül kedves kötelességemnek teszek eleget, amikor köszönetet mondok azért a sok önzetlen segítségért, amely nélkül ez a könyv meg sem születhetett volna. Elsőként Gerner Józsefnek, a könyv szerkesztőjének köszönöm lelkes támogatását és gondos javító szer­ kesztő munkáját. Köszönöm a lektoroknak a kötelességszerű bírá­ latot messze túlhaladó segítségét. Nemcsak kritizáltak, hanem megmutatták a hibák javításának módját is. Hálával tartozom nem hivatalos lektoraimnak is, Németi Istvánnak, Weszely Tibor­ nak és magukat megnevezni nem akaró segítőimnek, akik egy-egy rész elolvasásával, értékes megjegyzéseikkel baráti módon támo­ gattak. Nagyon igazságtalan lennék, ha nem mondanék hálás kö­ szönetet feleségemnek is, aki gondoskodásával és türelmével biz­ tosította a munkához szükséges nyugalmat, sőt gépelési munkájá­ val számomra időt és fáradságot takarított meg. Budapest, 1985

12

Sain Márton

AZ ÓKOR

A SZÁMÍRÁS ELŐTT

Sok-sok százezer éven át küzdött az ember a vadállatokkal, az éh­ séggel, a betegségekkel, a zord időjárással és saját fajtájával, csupán azért, hogy puszta létét fenntarthassa. A nagyon nehezen élő, ám nagyon élni akaró ősember idejének nagy részét élelmiszerszerzéssel töltötte, és nem is törődhetett mással, mint a minden pillanatban létét fenyegető veszélyek elhárításával és a szinte állandósult éhsé­ gének kielégítésével. Számolásra nem volt szüksége. Számfogalma kimerült a kevés és a sok megállapításával. Ez az állapot csak ott szűnhetett meg, ahol könnyen és nagy mennyiségben jutott táplá­ lékhoz. Az ilyen helyek közül a legfontosabbaknak bizonyultak azok, amelyeken vadon is megteremtek az állandó táplálékot bizto­ sító növények, főleg a gabonafélék. Az első gabonatermő vidéke­ ken, rendszerint valamelyik nagy folyó mentén, állandósulhatott az emberi élet. A két nagy folyam közötti Mezopotámia rozsa és árpá­ ja, Szíria tönkölye (laza kalászú gabonaféle), a Nílus-völgy búzája, Kínában a Jangce-kiang és a Hoang-ho menti rizs és köles, Mexikó­ ban az évente sokszor kétszer is termő kukorica nagy vonzóerőt je­ lentett a mindig éhes embernek. Tudomásunk szerint a felsorolt területeken tértek át az emberek először a földművelő életmódra a gyűjtögetés, a vadászat és a halászat helyett. A fejlődésnek ez a sza­ kasza szinte az egész Földön a csiszolt kőkorszakra esik, mintegy i. e. 10 000-től i. e. 3000-ig. Ekkor alakult át az ember passzívan el­ fogadó magatartása a természettel szembeni aktív tevékenység­ gé. A földműveléssel együtt jelentek meg a háziállatok, a szerszá­ mok, a cserépedények. Létrejöttek az első települések. Lassan elkü­ lönültek az emberi termelőmunkák. A földművesek mellett megje­ lentek a sokféle mesterséget gyakorló kézművesek. E településeken kialakult egy központi hatalom, amely irányította, összehangolta a termelési ágazatokat, és gondoskodott a település, majd később az állam védelméről. Ebben a korban már nélkülözhetetlenné lettek a számok és az írás. A földművelés, a sokféle ipari tevékenység, a kereskedelem már nem lehetett meg a mérés, a hosszúság, a terület, a térfogat és a tömeg mértékegységei nélkül. A földművelés, a hadviselés és ké­ sőbb az utazás szükségessé tette a térbeli és az időbeni tájékozó-

15

dást. Megindult a csillagos ég tanulmányozása, elkészítették az első naptárakat. A szám, a mennyiség és a mérés lassan átszőtte az em­ berek egész életét, mindennapi tevékenységét csakúgy, mint a vallá­ sos szertartásokat. A termelés, á gazdálkodás, az ipar és a kereskedelem szükségessé tette a számszerű ellenőrzést, a megtermelt, a raktározott és az elfo­ gyasztott vagy eladott javak hosszabb ideig tartó nyilvántartását, feljegyzését. Az első írásokkal egy időben, i. e. 4000-3000 táján megszülettek a számok rövid leírására alkalmas jelek, majd később a számjegyek. A számoláshoz kezdetben segítségül hívták a kéz és a láb ujjait, esetleg más testrészeket és különböző segédeszközöket, olykor az idők folyamán kialakult mértékegységeket. Ezek nyo­ mán fejlődtek ki a különböző számrendszerek. A számírás legrégibb emlékei Mezopotámiából és Kínából származnak.

16

MEZOPOTÁMIA

A 60-AS SZÁMRENDSZER

A Tigris és az Eufrátesz folyók közrefogta, jó termő, halakban és vadakban gazdag területnek, de a két folyó közén kívüli termékeny vidéknek is a birtoklása vágya és törekvése volt a környező törzsek­ nek, népeknek. A Mezopotámiától délre eső sztyepp és sivatag la­ kói éppen úgy szerettek volna a két folyó termékeny tájain élni, mint az északi zord hegyek lakói. Nem csoda, hogy ez a terület az állandó harcok színhelye lett. Mai tudásunk szerint először a hegylakó sumerok vetették meg lábukat a két folyó közében, és annak déli részén elsőkként alkot­ tak államot az i. e. 4. évezred végén, i. e. 3200 táján. Virágzó, nagy városokat építettek: Uruk, Ur, Eridu, Suruppak, Lagas népessége a 25-30 000 főt is elérte. Az i. e. 3200-2800 körüli Urukból éksze­ rek, szobrocskák, fegyverek és mázas edények kerültek elő. Ezeken még erősen képszerű, de egyszerűsödő, a későbbi ékírássá fejlődő jelek, feliratok láthatók. Kezdetben a városok önálló kormányzat­ tal rendelkeztek, és csak i. e. 2300 körül kezdtek laza szervezetbe tömörülni. Az így lassan kialakuló állam egységét azonban a déli, sémi származású akkádok teremtették meg. Ez az arab törzs a su­ merokkal egy időben jelent meg Mezopotámiában és a sumer váro­ soknál nagyobb katonai erőt képviselc. A két nép azonban nem volt kimondottan ellenséges viszonyban. I. SARRUKÍN (Szárgon) akkád király i. e. 2300 táján erős, egységes államot hozott létre egész Me­ zopotámiában. Ezt alig másfél évszázados fennállása után a hegyi gutik támadása döntötte meg. Az új egység már a szintén sémi ere­ detű amoriták alatt jött létre, és HAMMURÁPI (i. e. 1728-1686) nevé­ hez fűződik. Ez a népének törvényt adó uralkodó az Eufrátesz-parti Babilont (bab=kapu, ilu—isten, Bab-ilu=isten kapuja; görögö­ sen : Babülón) a birodalom fővárosává építette ki. Ebben a kor­ szakban az írás - amelyet a hódító népek sorozatosan átvettek a meghódítottaktól - már ékírássá fejlődött. Az árucsere, a kereskedelem, az öntözéses földművelés szüksé­ gessé tette nemcsak a mértékegységek kialakulását, hanem a pénz szerepét játszó, az áruk értékét jelző ezüstrudak, -korongok hasz­ nálatát, és a maihoz nagyon hasonló naptár bevezetését. Naptáruk­ ban 1 év 354 napra, illetve 12 hónapra oszlott, és a hónapok válta-

18

MEZOPOTÁMIA

1. ábra

kozva 29 és 30 naposak voltak. Hogy az időbeli periódus összhang­ ba kerüljön a Nap mozgásával, 19 éves ciklusokat szabtak meg, és ezen ciklusokon belül minden 3., 6., 8., 11., 14., 16. és 19. év 13 hó­ napból, illetve 384 napból állott. Ezt a magas civilizációjú és fejlett kultúrájú birodalmat i. e. 1530-ban a hettiták kirabolták és lerombolták, de az ő uralmuk sem volt tartós. Tó'lük, több mint 5 évszázadra, magukhoz ragadták az uralmat az ugyancsak hegylakó kassúták. Alattuk a sumerok tel­ jesen asszimilálódtak és beolvadtak a többséget alkotó akkád nép­ be. Az i. e. XIII. században egész Babilont elfoglalták a nemsokára világhatalmat képviselő, harcias asszírok, akik az i. e. IX. század­ ban már egész Mezopotámia urai voltak. Uralmukat az i. e. VII. században a szintén sémi kaldeusok szüntették meg, akik helyreál­ lították Babilont. Legnagyobb királyuk, NABÚ-KUDURRI-USZUR (Nabukodonozor) eló'segítette a csillagászat, a matematika és a ter­ mészettudományok művelését. A kaldeusokat KÜROSZ, a perzsa hódító igázta le az i. e. VI. században. Mintegy 200 év múlva a

A 60-AS SZÁMRENDSZER

perzsákat legyőző NAGY SÁNDOR, majd a rómaiak, aztán a törökök vették biriokba Mezopotámiát. Közben Mezopotámia teljesen el­ vesztette sokáig kiváltságos és kiemelkedő kulturális szerepét, bár a tudományok és ismeretek közvetítését még sokáig vállalta. Mezopotámia régi nagyságáról a XIX. század második felében megindult és a ma is tartó régészeti ásatások tanúskodnak. A fel­ színre hozott leletek között van több tízezer ékírásos szöveget tar­ talmazó égetett agyagtábla. ANDRÉ PARROT francia régész 1933-ban megkezdett ásatásai során megtalálták az Eufrátesz partján a legen­ dás Mari város romjait. A várost annak idején HAMMURÁPI rombol­ ta le. Az Eufrátesz jobb partján épült város Abu-Kemáltól mintegy 10 km távol van. Mari királyi palotájának levéltárából kb. 20 000 babilon ékírásos szöveg került elő: levelezések, rendeletek, gazda­ sági feljegyzések. Ezek közül a legrégibbek az i. e. 2000. év tájéká­ ról származnak. 1974-ben a szintén Eufrátesz melletti Meszkenében, a régi Elmar kikötőváros romjaiból is előkerült néhány száz ékírásos agyagtábla. A nagy meglepetést azonban 1975-ben az olasz PAOLO MATTHIAE professzor kutatásai eredményezték, ő Aleppótól délre megtalálta az eltemetett Ebla városát, ahol a királyi palota két kis szobájában mintegy 15 000 agyagtábla rejtőzött az i. e. 2400-2300-as évekből. E táblák egy része a már megfejtett sumer nyelven íródott, de igen soknak a szövege egy még ma sem teljesen ismert, nyugati ósémi nyelven rögzít értékes adatokat a kor gazdasági és kulturális életé­ ről. E táblák között találtak rá az említett ókánaáni nyelvet és a sumer nyelvet összekapcsoló szótárra is. A táblák között még isko­ lai szövegek is vannak, amelyeken a tanulók hibái és ezek javításai látszanak. Az itt fellelt irodalmi vonatkozású emlékek egyike a Gilgames-eposz leírása.

MEZOPOTÁMIA

A Mezopotámiában és annak környékén talált nagyszámú ék­ írásos tábla között több száz kimondottan matematikai tartalmú. Ezek alapján hű képet adhatunk az i. e. 2000. év táján használt mezopotámiai számírásról és meglepően ügyes számolási techni­ káról. A számokat 1-től 60-ig különböző alakú és helyzetű ékjelekkel írták le. Ezeket a jeleket egy háromszög keresztmetszetű pálcikával nyomták a még puha agyaglapra. A teleírt táblát azután kiégették. 1-től 10-ig olyan ékekkel jelölték a számokat, amelyeknek a hom­ loka felül van: = 1,

TTT TTT

= 6,

•TT

TTT

TTT

ff f =7,

fff - 8 ,

f ff =9.

T

TT

TTT

A 10 jele egy kapocsszerű ékjei volt: ^ . A számok 10-től kezdve 59-ig: