Nieuwe Delta-T 4C leerplan A-B Handleiding 9789030135258 [PDF]
134 68 84MB
Dutch Pages 232 Year 2013
Papiere empfehlen
![Nieuwe Delta-T 4C leerplan A-B Handleiding
9789030135258 [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/nieuwe-delta-t-4c-leerplan-a-b-handleiding-9789030135258.jpg)
- Author / Uploaded
- J. Casteels
- D. De Vos
- G. Heynickx
- F. Smessaert
- K. Van Eekert
- C. Van Hove
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
NIEUWE
4C LEERPLAN A-B 4/5 uur HANDLEIDING
J. Casteels D. De Vos G. Heynickx F. Smessaert K. Van Eekert C. Van Hove
ISBN 978-90-301-3525-8 www.knooppunt.net Zie Nieuwe Delta-T 4A Leerplan AB – ISBN 978-90-301-3513-5
9 789030 135258
NIDT4CAH 1-5.indd 1
8/01/13 14:59
De site www.Knooppunt.net geeft je toegang tot het digitale lesmateriaal bij dit boek. Activeer jouw licentie aan de hand van de code op de cover. Tijdens de activatie accepteer je de gebruiksvoorwaarden. Zo krijg je voor de duur van de licentie toegang tot het digitale lesmateriaal. www.knooppunt.net
Opmaak cover: Zet Opmaak binnenwerk: Composition Omslagillustratie: Corbis Illustraties: Vera Smeulders, Stefaan Provijn Illustratievermelding: Imageselect, iStockphoto, stock.xchng Met dank aan: PYLA bvba Auteurs DELTA-T en NIEUWE DELTA-T Gerda Barberien, Jos Casteels, Peter Crokaerts, Danielle De Vos, Luc Goris, Geert Heynickx, André Huysmans, Els Jacobs, Roland Rottiers, Jos Salaets, Frederik Smessaert, Conny Van den Brande, Luc Van den Broeck, Annick Van den put, Katrijn Van Eekert, Carl Van Hove Redactie: Jos Casteels, Geert Heynickx, Frederik Smessaert Plantyn Motstraat 32, 2800 Mechelen T 015 36 36 36 F 015 36 36 37 [email protected] www.plantyn.com
Dit boek werd gedrukt op papier van verantwoorde herkomst.
ISBN 978-90-301-3525-8
NIDT4CAH 1-5.indd 2
NUR 128
© Plantyn nv, Mechelen, België Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intellectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn. Zij zal uw legitieme aanspraken honoreren tegen de gangbare markttarieven.
19209/0
D2013/0032/001
8/01/13 14:59
Inhoud
LEERMAP 4A
1 Tweedegraadsfuncties
1.1 Grafieken van tweedegraadsfuncties 1.2 Nulwaarden en tweedegraadsvergelijkingen 1.3 Verloop en tekenonderzoek
2
De cirkel
2.1 Lijnen en afstanden in cirkels 2.2 Hoeken in cirkels 2.3 Regelmatige veelhoeken en cirkels
LEERMAP 4B
3 Goniometrie
3.1 Goniometrische getallen 3.2 Verwante hoeken 3.3 Driehoeksmeting
4 Sinusfuncties
4.1 Grafieken van sinusfuncties 4.2 Goniometrische vergelijkingen
5 Statistiek 5.1 5.2 5.3 5.4
Statistische verwerking van data Frequenties en diagrammen Midden en spreiding van data Gegroepeerde data
LEERMAP 4D
LEERMAP 4C
6 Functies 6 6.1 Drie standaardfuncties 6.2 Transformaties van grafieken van functies
7
8
8 32
Delingen met veeltermen 62
7.1 Veeltermen delen 64 7.2 Delen door x - a 86
Complexe getallen 118
8.1 Complexe getallen in de vorm a + bi 120 8.2 Complexe getallen in goniometrische vorm 149
9 Ruimtemeetkunde
9.1 Rechten en vlakken in de ruimte 9.2 Evenwijdigheid en loodrechte stand 9.3 Soorten projecties en doorsneden van ruimtefiguren
3
NIDT4CAH 1-5.indd 3
7/01/13 17:54
Inleiding
De leermap NIEUWE DELTA-T 4C / LEERPLAN A-B is bestemd voor alle leerlingen uit het vierde jaar van de TSO-studierichtingen en de KSO-studierichtingen die leerplan a of b volgen voor vier of vijf wekelijkse lestijden.
Opbouw van de leermappen Nieuwe Delta-T Elk hoofdstuk is onderverdeeld in genummerde paragrafen en elke paragraaf bestaat uit een aantal leeritems. Elk leeritem wordt ingeleid met een passende instapopdracht. hoofdstuk paragraaf leeritem instapopdracht
leerinhoud
Elk hoofdstuk begint met een inhoudstafel die aanwijst op welke pagina elk leeritem staat. In elk leeritem wordt de theorie compact uitgelegd en toegepast op concrete voorbeelden. De soort leerinhoud is herkenbaar aan de achtergrondkleur. Kennis en rekenregels om de opdrachten te kunnen uitvoeren. Doelgericht gebruik van de grafische rekenmachines TEXAS INSTRUMENTS en CASIO. Vaardigheden om vlot te kunnen meten, schetsen en tekenen. Extra leerinhouden om uitbreidingsdoelstellingen te realiseren.
4
NIDT4CAH 1-5.indd 4
7/01/13 17:54
Inleiding
Didactisch gerangschikte opdrachten zorgen voor een systematische verwerking van de leerinhouden. Instap
Leeritems worden ingeleid met probleemstellingen uit de praktijk.
De moeilijkheidsgraad van de opdrachten is aangegeven met gekleurde vierkantjes. De letters A en B verwijzen naar de leerplannen. A
B
Eenvoudige opdrachten
A
B
Opdrachten met een bijkomende moeilijkheidsgraad
A
B
Opdrachten met een hogere moeilijkheidsgraad
Oefenopdrachten op de uitbreidingsleerstof worden aangegeven met een schaduwvlakje. Instap
A
B
A
B
A
B
Elke paragraaf wordt afgesloten met Uitdagingen en Vraag & antwoord. De Uitdagingen laten voldoende ruimte voor begeleid zelfstandig leren of zelfstandig leren en helpen de verschillen in studietempo opvangen.
In Vraag & antwoord wordt een terugblik op de leerinhouden aangeboden.
Het trefwoordenregister geeft aan op welke pagina we de nodige informatie kunnen terugvinden.
5
NIDT4CAH 1-5.indd 5
7/01/13 17:54
y
6
1
1
Functies 1
6
NIDT4CAH 6-61.indd 6
2/12/12 12:52
Hoofdstuk
6
6.1 Drie standaardfuncties Domein en bereik 8 3 Functie f (x) = x 15 Functie f (x) = x 18 1 Functie f (x) = 22 x Uitdagingen 28 30 Vraag & antwoord 6.2 Transformaties van grafieken van functies Functies g (x) = f (x) + k 32 Functies g (x) = f (x - k) 38 Functies g (x) = k ? f (x) 46 Uitdagingen 59 Vraag & antwoord 61
x y
1 0
1
x
7
NIDT4CAH 6-61.indd 7
2/12/12 12:52
Hoofdstuk
6
6.1
Functies
Drie standaardfuncties
XX Domein en bereik 1
Instap
Een zwembad van 110 cm hoog ligt 60 cm ingegraven en wordt gevuld tot op 10 cm van de rand. Tijdens het vullen stijgt het water elk uur met 5 cm. Het waterpeil kunnen we berekenen met de functie: p = 5t - 60 p: waterpeil ten opzichte van de grond in cm t: tijd in uur f (t ) = 5t - 60
Na 20 uur. 1 Na hoeveel tijd is het zwembad gevuld tot op de gewenste hoogte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Vul de tabel in en teken de grafiek. tijd t (h) waterpeil p (cm)
0
4
8
- 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–20
12 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
waterpeil p (cm) 40 30 20 10 0 –10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 tijd t (h) –20 –30 –40 –50 –60
[0, 20] 3 In welk tijdsinterval staat de kraan open? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Duid dit interval in het groen aan op de horizontale as. 8
NIDT4CAH 6-61.indd 8
26/12/12 16:25
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
[–60, 40] 5 Tot welk interval behoren de waterstanden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Duid dit interval in het blauw aan op de verticale as.
Domein en bereik van een functie bepalen Het domein van een functie f is de verzameling van alle reële getallen waarvoor we de functiewaarde kunnen berekenen. We noteren: dom f Het bereik van een functie f is de verzameling van alle functiewaarden. We noteren: ber f Voorbeeld We bepalen het domein en het bereik van de tweedegraadsfunctie f (x) = x 2 - 3. De grafiek is een dalparabool met top T (0, -3). We kunnen de functiewaarde in elk reëel getal berekenen: dom f = R. Elke functiewaarde is groter dan of gelijk aan -3: ber f = [-3, +•[. y 1 dom f 1
x
ber f
–3 T
Het domein van de functie f lezen we af op de x-as en het bereik op de y-as. Werkdomein van een functie Bij praktische problemen werken we binnen een vooraf bepaald domein. Dit noemen we het werkdomein. Voorbeeld We vriezen een product in. De begintemperatuur is 18°C en elk uur daalt de temperatuur met 6°C. Na 7 uur is de temperatuur -24°C en is het invriezingsproces ten einde. De temperatuurdaling kunnen we beschrijven met de functie: T = - 6t + 18 T: temperatuur in °C t: tijd in uur f (t) = - 6t + 18
9
NIDT4CAH 6-61.indd 9
2/12/12 12:52
Hoofdstuk
6
Functies
We bepalen het werkdomein en het bereik van de functie f. temperatuur T (°C) 18
3 0
dom f = [0, 7]
dom f 7
0 1
ber f
tijd t (h)
ber f = [-24, 18]
–24
2
A
B
Bepaal het werkdomein en het bereik van de functie. 1 Pieter leent van zijn ouders 160 euro die hij tekort heeft om een nieuwe laptop te kopen. Elke maand betaalt hij 20 euro terug. De resterende schuld beschrijven we met de functie: S = 160 - 20t S: schuld in euro t: tijd in maanden f (t ) = 160 - 20t . . . . . . . . . . .8] . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f = .[0, . . . . . . . . . . .160] ................. dom f = .[0,
2 Een kaars is 25 cm lang en brandt volledig op in 10 uur. De hoogte van de brandende kaars beschrijven we met de functie: h = -2,5t + 25 h: hoogte in cm t: tijd in uur f (t ) = -2,5t + 25 . . . . . . . . . . .10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f = .[0, . . . . . . . . . . .25] ................. dom f = [0,
10
NIDT4CAH 6-61.indd 10
2/12/12 12:52
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
3 Een pakje ingevroren spinazie van 450 g wordt opgewarmd in een microgolfoven met een vermogen van 750 W. Het opwarmingsproces is ten einde na 10 minuten. De temperatuur van de spinazie beschrijven we met de functie: T = 6t - 24 T: temperatuur in °C t: tijd in minuten f (t ) = 6t - 24 . . . . . . . . . . 10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f = .[–24, . . . . . . . . . . . . . . . . .36] ........... dom f = .[0,
3
A
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie f. y
1
y
2
y
3
20
30 50
5 0
5
20
0
x
10 1
0
x
2
x
–20
[0, 20] dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–20, 20]
ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
4
[50, +∞[
ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
5
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {30}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
6
6,4 1
100 0
1
0
x
2 1
0
x
4
16 x
–3
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
[–3, +∞[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[0, 16] dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
[0 ; 6,4]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
NIDT4CAH 6-61.indd 11
7/01/13 15:23
Hoofdstuk
6
Functies y
7
y
8
1 0
4
A
1
1 1
x
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
1
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
0
x
–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
x
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Bepaal het domein en het bereik van de tweedegraadsfunctie. 1 2 f (x) = - (x + 2) 2 - 5 1 f (x) = 2(x - 3) 2 + 5 3
3 f (x) = -3(x - 5) 2 + 4
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[5, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
]–∞, –5] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
]–∞, 4] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) = (x + 1) 2 - 3
5
y
9
5 f (x) = (x - 1) 2 - 2
6 f (x) = -2(x + 3) 2
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–3, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–2, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
B
Bepaal het domein en het bereik van de sinusfunctie. 1 f (x) = sin x
2 f (x) = 3 sin x
3 f (x) = sin 3x
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–1, 1] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–3, 3] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–1, 1] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) = sin(x - 2)
5 f (x) = sin x + 2
6 f (x) = 5 sin[2(x + 3)] + 1
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–1, 1] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[1, 3] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–4, 6] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
NIDT4CAH 6-61.indd 12
7/01/13 15:23
6.1 - Drie standaardfuncties
6
A
Hoofdstuk
6
B
Teken de grafiek van de functie en bepaal het bereik. 2 f (x) = x 2 - 3 met dom f = ]-2, 2[
1 f (x) = x - 1 met dom f = [-2, 3] x
–2
3
......................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 .............................. f (x) . –3
–2 –1 0 1 2
x
......................................................................................
f (x)
......................................................................................
1 –2 –3 –2 1
y
y
2 1 0
–2
1 1
3x
–2
–1
0
1
2
x
–2 –3
–3
[–3, 2] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–3, 1[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 3 f (x) = (x + 1) 2 met dom f = ]-3, 1] 2
4 f (x) = |x + 1| - 2 met dom f = [-2, 2[
–3 –2 –1 0 1
x
......................................................................................
1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ........................... f (x) . . . . . . . . . 2 2 2
f (x)
......................................................................................
x
......................................................................................
–2 –1 0 1 2
–1 –2 –1 0 1
y
y
2 1 0,5
–3
–2
–1
0
1 1
x
–2
–1
0
1
2
x
–1 –2
[0, 2] ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–2, 1[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
NIDT4CAH 6-61.indd 13
26/12/12 16:41
Hoofdstuk
7
A
6
Functies
B
Van een functie f zijn het domein en het bereik gegeven. Teken de grafiek van f als we weten dat deze grafiek een deel van een stijgende rechte is. 1
2
y
y 3
2 1 –1 0
1 1
3
x
0
–3
–2
–2
dom f = [-1, 3]
dom f = ]-3, 2[
ber f = [-2, 2]
ber f = ]-2, 3[
3
x
1 2
4
y
y 4
3 1 0
–2
1 1
x
–3
0 –1
1
3
x
–2
dom f = ]-2, 1]
dom f = [-3, 3[
ber f = ]-2, 3]
ber f = [-1, 4[
14
NIDT4CAH 6-61.indd 14
26/12/12 16:41
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
XX Functie f (x) = x3 8
Instap
Het volume van een kubus berekenen we met de functie: V = r 3 V: volume kubus in dm3 r: ribbe kubus in dm f (r) = r 3 met dom f = ]0, 2]
1 Vul de tabel in. Rond af op 2 decimalen. ribbe r (dm) volume V (dm3)
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
0,02
..................
0,13
..................
0,42
..................
1
..................
1,95
..................
3,38
..................
..................
5,36
2 8
..................
2 Teken de grafiek. volume V (dm3) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75 2 ribbe r (dm)
]0, 8] 3 Bepaal het bereik van de functie f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stijgend. 4 Is de functie f stijgend, dalend of constant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
NIDT4CAH 6-61.indd 15
7/01/13 15:23
Hoofdstuk
6
Functies
Onderzoek van de standaardfunctie f (x) = x 3 We stellen een tabel op en tekenen de grafiek van f (x) = x 3. x f (x)
-2
-1,5
-1
-0,5
-8 -3,375 -1 -0,125
y
0
0,5
1
1,5
2
0
0,125
1
3,375
8
Domein en bereik
We kunnen de derdemacht van elk reëel getal berekenen:
1
dom f = R
0
1
x
Het bereik van f bevat alle reële getallen: ber f = R Tekentabel
We stellen vast: • de nulwaarde van f is 0; • de derdemacht van een negatief getal is negatief; • de derdemacht van een positief getal is positief. Het teken van f stellen we voor met de tekentabel. x f (x)
0 -
0
+
Verloopschema
Als we de tabel en de grafiek van links naar rechts doorlopen, dan zal bij een toename van x de functiewaarde f (x) ook toenemen. Bijgevolg is f een stijgende functie. Het verloop van f stellen we voor met het verloopschema. x f (x) Symmetrie
De grafiek is een puntsymmetrische kromme.
y
Het symmetriemiddelpunt is de oorsprong.
1 0
1
x
16
NIDT4CAH 6-61.indd 16
2/12/12 12:53
6.1 - Drie standaardfuncties
9
A
Hoofdstuk
6
B
Evi heeft knikkers met een diameter van 1 cm en kubusvormige doosjes met een ribbe van 1 cm, 2 cm, 3 cm … Het grootste aantal knikkers die een kubus kan bevatten, beschrijven we met de functie: n = r 3 n: aantal knikkers r: ribbe van de kubus in cm f (r) = r 3
1 Vul de tabel in. ribbe r (cm) aantal knikkers n
1
2
3
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4
5
27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Hoe verandert het aantal knikkers in een kubus als we de ribbe verdubbelen? Dan wordt het aantal knikkers met 8 vermenigvuldigd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Hoe verandert het aantal knikkers in een kubus als we de ribbe vertienvoudigen? Dan wordt het aantal knikkers met 1000 vermenigvuldigd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
A
B
Van de grafiek van de functie f (x) = x 3 is het deel boven de x-as getekend. Vervolledig de grafiek door gebruik te maken van de puntsymmetrie. y 1
0
1
x
17
NIDT4CAH 6-61.indd 17
7/01/13 15:25
Hoofdstuk
6
Functies
x
XX Functie f (x) = 11
Instap
De zijde van een vierkant berekenen we met de functie: z = A z: zijde vierkant in m A: oppervlakte vierkant in m2 f (A) = A met dom f = ]0, 9]
1 Vul de tabel in. Rond af op 2 decimalen. oppervlakte A (m2)
0,25
0,5
1
3
5
7
9
0,5 0,71 1 1,73 2,24 2,65 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zijde z (m) 2 Teken de grafiek.
zijde z (m) 3 2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8 9 oppervlakte A (m2)
]0, 3] 3 Bepaal het bereik van de functie f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stijgend. 4 Is de functie f stijgend, dalend of constant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
NIDT4CAH 6-61.indd 18
7/01/13 15:25
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
Onderzoek van de standaardfunctie f (x) = x We stellen een tabel op en tekenen de grafiek van f (x) = x . x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f (x)
0
1
1,41
1,73
2
2,24
2,45
2,65
2,83
3
Domein en bereik
Vierkantswortels van negatieve getallen kunnen we niet berekenen. Dit betekent dat we de functiewaarden van f (x) = x alleen kunnen berekenen voor elk positief reëel getal: dom f = R+ Het bereik van f bevat alle positieve reële getallen:
y
1 0
1
x
ber f = R+ Tekentabel
We stellen vast: • de nulwaarde van f is 0; • de vierkantswortel van een negatief getal bestaat niet; x is altijd positief.
•
Het teken van f stellen we voor met de tekentabel. x
0
f (x)
0
+
Door te arceren geven we aan dat f (x) niet bestaat voor x < 0. Verloopschema
Zowel uit de tabel als op de grafiek kunnen we afleiden dat de functie f stijgend is in haar domein R+. De kleinste functiewaarde wordt bereikt voor x = 0: f (0) = 0 is het minimum van de functie f. Het verloop van f stellen we voor met het verloopschema. x
0
f (x)
0 minimum
19
NIDT4CAH 6-61.indd 19
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
12
6
A
Functies
B
Esra wil in haar slaapkamer parket leggen met vierkante tegels. De zijde van een tegel beschrijven we met de formule: z = A z: zijde tegel in dm A: oppervlakte tegel in dm2 f (A) = A
1 Vul de tabel in. oppervlakte A (dm2)
1
4
9
16
25
36
1 2 3 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zijde z (dm)
2 Hoe verandert de zijde van een tegel als we de oppervlakte verviervoudigen? Dan wordt de zijde verdubbeld.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Hoe verandert de zijde van een tegel als we de oppervlakte met 100 vermenigvuldigen? Dan wordt de zijde met 10 vermenigvuldigd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
A
B
We tonen aan dat de grafiek van de functie g (x) = x een halve parabool is. 1 Vul de tabellen van de functies f (x) = x 2 en g (x) = x in. Rond af op 2 decimalen. x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) x
0
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . g (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,41 1,73 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,24 2,45 2,65 2,83 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
20
NIDT4CAH 6-61.indd 20
2/12/12 12:53
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
2 Teken de grafieken van de functies f en g . y
f
y
9
=
x
8 7 6 5 4 g
3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
3 De grafiek van g verkrijgen we door de grafiek van f (= halve parabool) te spiegelen om een rechte. Teken deze rechte. 4 Geef een vergelijking van deze rechte. y = x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
NIDT4CAH 6-61.indd 21
26/12/12 17:35
Hoofdstuk
6
Functies
1 XX Functie f (x) = x 14
Instap
Als we een taart verdelen onder acht personen, dan krijgt ieder een achtste van de taart. Verdelen we de taart onder n personen, dan kunnen we ieders deel bepalen met de functie: 1 d = d: deel van de taart n: aantal personen n f (n) =
1 met dom f = {1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8} n
1 Vul de tabel in. Rond af op 2 decimalen. aantal personen n
1
deel van de taart d
1 . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
5
6
7
8
0,5 . . . . . . . . . . . . . . . 0,33 0,25 0,2 0,17 0,14 0,13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
2 Teken de grafiek. deel van de taart d 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
0
1
2
3
4
5
6
7 8 aantal personen n
Dalend. 3 Is de functie f stijgend, dalend of constant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
NIDT4CAH 6-61.indd 22
26/12/12 17:35
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
Onderzoek van de standaardfunctie f (x) = 1 x 1 We stellen een tabel op en tekenen de grafiek van f (x) = . Deze grafiek, die uit twee takken x bestaat, noemen we een hyperbool. x
- 3
- 2
- 1
- 0,5
0
0,5
1
2
3
f (x)
- 0,33…
- 0,5
- 1
- 2
|
2
1
0,5
0,33…
Met het verticale streepje onder het getal nul duiden we aan dat nul geen functiewaarde heeft. Domein en bereik
We kunnen niet delen door nul. Dit betekent dat 1 we de functiewaarden van f (x) = voor elk reëel x getal verschillend van nul kunnen berekenen:
y
dom f = R0
1
Het bereik van f bevat alle reële getallen uitgezonderd nul: ber f = R0
0
x
1
Tekentabel
We stellen vast: • f heeft geen nulwaarden; • het teken van f is negatief als x < 0; • het teken van f is positief als x > 0. Het teken van f stellen we voor met de tekentabel. x f (x)
0 -
|
+
Verloopschema
Zowel uit de tabel als op de grafiek kunnen we afleiden dat de functie f dalend is in haar domein R0. Het verloop van f stellen we voor met het verloopschema. x
0
f (x)
|
Symmetrie
y 1 0
1
x
De grafiek is een puntsymmetrische kromme. Het symmetriemiddelpunt is de oorsprong.
23
NIDT4CAH 6-61.indd 23
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
6
Functies
Verticale asymptoot
1 vertoont een onderbreking voor x = 0 omdat nul niet tot het x domein van de functie behoort. Om het gedrag van de functie f te kennen rond het getal nul, kiezen we originelen die tot nul naderen en berekenen we de bijbehorende functiewaarden.
De grafiek van de functie f (x) =
y
x
0,1
0,01
0,001
...
0
f (x)
10
100
1000
...
+ •
1 0
x
- 0,1
- 0,01 - 0,001
...
0
f (x)
- 10
- 100 - 1000
...
- •
1
x
VA
1 in x absolute waarde steeds groter. De grafiek nadert de y-as maar snijdt deze niet. We noemen de y-as Als de x-waarden dichter en dichter tot nul naderen, dan wordt de functiewaarde f (x) =
1 de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f (x) = . x Horizontale asymptoot
We berekenen de functiewaarden van f (x) =
1 voor zeer grote en zeer kleine originelen. x y
x
10
100
1000
...
+ •
f (x)
0,1
0,01
0,001
...
0
1 HA 0
x
- 10
- 100 - 1000
...
- •
f (x)
- 0,1
- 0,01 - 0,001
...
0
1
x
1 tot nul. De x grafiek nadert de x-as maar snijdt deze niet. We noemen de x-as de horizontale asymptoot (HA) Als x in absolute waarde steeds groter wordt, dan nadert de functiewaarde f (x) =
1 van de grafiek van f (x) = . x
24
NIDT4CAH 6-61.indd 24
2/12/12 12:53
6.1 - Drie standaardfuncties
15
A
Hoofdstuk
6
B
Een erfenis van 120 000 euro wordt verdeeld onder n personen. Als elke erfgenaam evenveel ontvangt, dan kunnen we ieders deel beschrijven met de functie: 120 000 d: erfdeel in euro n: aantal personen d= n f (n) =
120 000 n
1 Vul de tabel in. aantal personen n erfdeel d (euro)
1
2
120 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60 000
3
4
5
40 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 000
2 Hoe verandert het erfdeel als we het aantal erfgenamen verdubbelen? Dan wordt het erfdeel gehalveerd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Hoe verandert het erfdeel als we het aantal erfgenamen verzesvoudigen? Dan wordt het erfdeel zesmaal kleiner.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
A
B
1 is het deel boven de x-as getekend. Vervolledig de grafiek x door gebruik te maken van de puntsymmetrie. Van de grafiek van de functie f (x) =
y
1 0
1
x
25
NIDT4CAH 6-61.indd 25
7/01/13 15:25
Hoofdstuk
17
A
6
Functies
B
Verbind elke grafiek met het passende functievoorschrift. y
y
y
1
1
1
0
x
1
0
•
x
1
0
•
•
•
•
•
•
•
f (x) = x
f (x) = x 2
f (x) = - x 2
f (x) = x 3
f (x) = x
•
•
•
•
•
•
• f (x) =
•
•
y
y
1
1
1
1
x
0
1 x
•
y
0
x
1
1
x
0
1
x
26
NIDT4CAH 6-61.indd 26
2/12/12 12:53
6.1 - Drie standaardfuncties
18
A
Hoofdstuk
6
B
Verbind elk functievoorschrift met de bijbehorende tekentabel en het bijbehorende verloopschema. x
0 +
f (x)
0
+
•
•
f (x) =
1 x
•
•
x
0
f (x)
0 minimum
x
0 +
f (x)
0
-
•
•
•
f (x) = x 2
•
x
0
f (x)
0 minimum
x
0 -
f (x)
|
x
0 -
f (x)
0
x
0
f (x)
0
19
+
A
+
•
•
f (x) = x
•
•
•
•
f (x) = - x
•
•
•
•
f (x) = x 3
•
x
0
f (x)
|
x f (x)
x
•
f (x)
+
B
1 We hebben de grafieken van de functies f (x) = x, g (x) = x 2, h (x) = x 3, i (x) = en j (x) = x in één x assenstelsel getekend. Onderstaande vergroting verkrijgen we door in te zoomen op het punt P (1, 1). Noteer bij elke grafiek de naam van de bijbehorende functie. i
..............
h
..............
g
..............
f
..............
j
..............
27
NIDT4CAH 6-61.indd 27
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
6
Functies
Uitdagingen 1 Bepaal het bereik van de functie. 1 f (x) = x - 3
met dom f = [-3, 5]
1 3 f (x) = (x - 1)2 3
2 f (x) = x2 - 5
met dom f = [-2, 2]
4 f (x) = |x + 1| - 3 met dom f = [-4, 4[
met dom f = ]-1, 3[
zie pagina 193
2 Teken de grafiek van een dalende eerstegraadsfunctie f met dom f = [-2, 3] en ber f = [-3, 3].
zie pagina 193
3 Gegeven zijn het domein en het bereik van een tweedegraadsfunctie f . 1 Schets een grafiek van f als we weten dat de grafiek een bergparabool is met dom f = [-2, 3] en ber f = [-3, 3]. 2 Schets een grafiek van f als we weten dat de grafiek een dalparabool is met dom f = [-2, 6] en ber f = [-2, 6].
zie pagina 193
4 Gegeven zijn de grafieken van de functies f , g , h en i met f (x) = 1 en dom f = ]0, 5]. x Bepaal het voorschrift, het domein en het bereik van de functies g , h en i . y i
f
1 0
–5
h
1
5
x
g zie pagina 194
28
NIDT4CAH 6-61.indd 28
26/12/12 17:42
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
5 Gegeven is een functie met meervoudig functievoorschrift. ⎧⎪-( x + 3)2 + 4 als x £ 0 f (x ) = ⎨ 2 ⎩⎪-( x - 3) + 4 als x > 0 1 Teken de grafiek van de functie f . 2 Bepaal f (0), f (1), f (-4) en f (6). 3 Wat is het maximum van deze functie? 4 Voor welke originelen wordt het maximum bereikt? zie pagina 195
6 Gegeven is de functie f (x) = x3. 1 Teken de grafiek van de functie. 2 Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek van de functie g (x) = 3 x . 3 Bepaal de snijpunten van de twee grafieken. 4 De grafiek van g verkrijgen we door de grafiek van f te spiegelen om een rechte. Teken deze rechte. 5 Geef een vergelijking van deze rechte.
zie pagina 196
29
NIDT4CAH 6-61.indd 29
26/12/12 17:43
Hoofdstuk
6
Functies
Vraag & antwoord 1 Wat is het domein van een functie? De verzameling van alle reële getallen waarvoor we de functiewaarde kunnen berekenen. 2 Wat is het bereik van een functie? De verzameling van alle functiewaarden. 3 Geef het domein en het bereik van de functie f (x) = x3. dom f = R ber f = R 4 Geef de tekentabel van de functie f (x) = x3. x f (x)
0 –
0
+
5 Geef het verloopschema van de functie f (x) = x3. x f (x) 6 Geef het domein en het bereik van de functie f (x) = x . dom f = R+ ber f = R+ 7 Geef de tekentabel van de functie f (x) = x . x
0
f (x)
0
+
8 Geef het verloopschema van de functie f (x) = x . x
0
f (x)
0 minimum
30
NIDT4CAH 6-61.indd 30
2/12/12 12:53
6.1 - Drie standaardfuncties
Hoofdstuk
6
9 Geef het domein en het bereik van de functie f (x) = 1 . x dom f = R0 ber f = R0 10 Geef de tekentabel van de functie f (x) = x f (x)
1 . x
0 –
|
+
11 Geef het verloopschema van de functie f (x) = x
0
f (x)
|
1 . x
12 Welke rechte is de verticale asymptoot van de grafiek van de functie f (x) = De y-as.
1 ? x
13 Welke rechte is de horizontale asymptoot van de grafiek van de functie f (x) = De x-as.
1 ? x
31
NIDT4CAH 6-61.indd 31
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
6
Functies
6.2
Transformaties van grafieken van functies
XX Functies g (x) = f (x) + k 1
Instap
De grafieken van g en h zijn ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie f te transformeren. g (x) = x + 2
f (x) = x
f (x) =
1 x
y
g (x) =
1 +2 x
g (x) = x3 + 2
f (x) = x3
y
y
1
1
HA
1 0
f (x) = x
1
x
h (x) = x - 1
0
f (x) =
1 x
h (x) =
0
x
1
1 -1 x
y
y
1
1
1
1
x
0
1
x HA
x
h (x) = x3 - 1
f (x) = x3
y
0
1
0
1
x
1 Hoe ontstaat de grafiek van de functie g uit de grafiek van de functie f ? Door de grafiek van f met 2 naar boven te verschuiven.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Hoe ontstaat de grafiek van de functie h uit de grafiek van de functie f ? Door de grafiek van f met 1 naar onder te verschuiven.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
NIDT4CAH 6-61.indd 32
2/12/12 12:53
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
Hoofdstuk
6
Grafieken verticaal verschuiven De grafiek van de functie g (x) = f (x) + k ontstaat door de grafiek van de functie f verticaal te verschuiven over een afstand |k|. • Voor k > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven. • Voor k < 0 wordt de grafiek van f naar onder verschoven. Voorbeeld
1 - 2. x 1 We verkrijgen de grafiek van g door de grafiek van de standaardfunctie f (x) = met 2 naar onder te x verschuiven. k = –2 1 1 g (x) = - 2 f (x) = x x We onderzoeken de grafiek van de functie g (x) =
y
y
1
1
0
0
x
1
1
x
–2
–2 h
dom f = R0
dom g = R0
ber f = R0 y-as
ber f = R \ {-2} 1 nulwaarde: 2 verticale asymptoot: y ´ x = 0
x-as
horizontale asymptoot: h ´ y = -2
nulwaarde: geen verticale asymptoot: y ´ x = 0 horizontale asymptoot: x ´ y = 0
y-as
33
NIDT4CAH 6-61.indd 33
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
2
A
6
Functies
B
Over welke afstand moeten we de grafiek van de functie f naar boven (B) of naar onder (O) verschuiven om de grafiek van de functie g te verkrijgen? functies
afstand
B of O
1
f (x) = x3 en g (x) = x3 + 2
2
B
2
f (x) = x2 en g (x) = x2 - 3
3
O
3
f (x) = x en g (x) = x - 1
1
O
4
f (x) = x en g (x) = x + 5
5
B
5
1 1 f (x) = en g (x) = + 4 x x
4
B
6
f (x) = x2 + x en g (x) = x2 + x - 3
3
O
7
f (x) = x3 + 3 en g (x) = x3 + 1
2
O
8
f (x) = x - 5 en g (x) = x + 2
7
B
9
f (x) =
5
O
8
O
f (x) = x2 + 3x + 5 en g (x) = x2 + 3x - 3
10
3
A
1 1 + 5 en g (x) = x x
B
De grafiek is ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie verticaal te verschuiven. Schrijf het functievoorschrift en bepaal het domein en het bereik. 1
2
y
3
y
y
2 1
1 0
1
0
x
1 1
x
0
1
x
–2
f (x) =
1 + 1 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
\ {1}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
x – 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
[–2, +∞[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
x3 + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
NIDT4CAH 6-61.indd 34
26/12/12 17:43
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
4
5
y
2
1 0
6
y
x
0
1
x + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + ber f =
4
[2, +∞[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
f (x) =
x3 – 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
y
0
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
x
–2
–3
f (x) =
6
1
1 1
Hoofdstuk
f (x) =
1 – 2 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ber f =
\ {–2}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) = x
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) = x + 3
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[3, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) = x - 5
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–5, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranderen het domein en het bereik van de standaardfunctie f (x) = x als we de grafiek Het domein blijft onveranderd, het bereik verandert. verticaal verschuiven? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
A
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) =
1 x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
1 -7 x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ {–7} ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
1 1 + x 3
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ 1 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 als we de grafiek verticaal x Het domein blijft onveranderd, het bereik verandert. verschuiven? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranderen het domein en het bereik van de standaardfunctie f (x) =
35
NIDT4CAH 6-61.indd 35
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
6
6
A
Functies
B
Bereken de nulwaarde van de functie. 1 1 x 5 1 1 = 0 . . . . . . .– x . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 f (x) =
1 = 1 x 5
2 f (x) =
1 -7 x
3 f (x) =
1 x - 7 = 0
...............................................................
1 = 7 x
...............................................................
...............................................................
x = 5
...............................................................
...............................................................
x = 1 7
Verandert de nulwaarde van de standaardfunctie f (x) = Ja.
1 +3 x
1 + 3 = 0 x
...............................................................
1 = –3 x
...............................................................
1 x = – 3
...............................................................
1 als we de grafiek verticaal verschuiven? x
........................................................................................................................................................................................................................................
7
A
B
Bereken de nulwaarde van de functie. 1 f (x) = x - 3 x –
3 = 0
x =
3
...............................................................
2 f (x) = x - 4
3 f (x) = x + 1
x – 4 = 0
...............................................................
x = 4
...............................................................
x + 1 = 0 x = –1
...............................................................
...............................................................
...............................................................
x = 3
...............................................................
x = 16
...............................................................
...............................................................
geen nulwaarde
Verandert de nulwaarde van de standaardfunctie f (x) = x als we de grafiek verticaal Ja. verschuiven? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
A
B
Bepaal een vergelijking van de verticale en de horizontale asymptoot van de functie. 1 f (x) = 2 f (x) = 3 f (x) = 4 f (x) = 5 f (x) =
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = –3 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+2
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 2 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 4
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 1 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
- 10
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = -10 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
36
NIDT4CAH 6-61.indd 36
2/12/12 12:53
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
Hoofdstuk
6
1 Hoe veranderen de asymptoten van de standaardfunctie f (x) = als we de grafiek verticaal x verschuiven? De verticale asymptoot blijft onveranderd, de horizontale asymptoot verschuift
........................................................................................................................................................................................................................................
mee.
........................................................................................................................................................................................................................................
9
A
B
Gegeven is de grafiek van de functie f . Stel de tekentabel en het verloopschema op. 1
2 y
y
y
1
1
1
0
1
Tekentabel x
–1 0
x
1
Tekentabel 1
f (x) - 0 + Verloopschema
x
-1 0
f (x) + 0 - | +
x
0
x
1
x
Tekentabel
Verloopschema
x f (x)
3
0
x
f (x) 1 + Verloopschema
0
f (x) |
x
0
f (x) 1 minimum
37
NIDT4CAH 6-61.indd 37
7/01/13 15:29
Hoofdstuk
6
Functies
XX Functies g (x) = f (x – k) 10
Instap
De grafieken van g en h zijn ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie f te transformeren. f (x) = x
g (x) = x + 2
f (x) =
1 x
y
g (x) =
1 x+2
g (x) = (x + 2)3
f (x) = x3
y
y
1
1
VA
1 0
f (x) = x
1
x
h (x) = x - 1
0
f (x) =
1 x
x
1
h(x) =
0
1 x -1
y
y
1
1
1
1
x
0
1
x
x
h (x) = (x - 1)3
f (x) = x3
y
0
1
0
1
x
VA
1 Hoe ontstaat de grafiek van de functie g uit de grafiek van de functie f ? Door de grafiek van f met 2 naar links te verschuiven.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Hoe ontstaat de grafiek van de functie h uit de grafiek van de functie f ? Door de grafiek van f met 1 naar rechts te verschuiven.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 De grafiek van i ontstaat door de grafiek van f met 2 naar rechts te verschuiven. Vul het voorschrift aan. 1 x
f (x) = x
f (x) =
x - 2 i (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 i (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x - 2
f (x) = x3 (x - 2)3 i (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
NIDT4CAH 6-61.indd 38
2/12/12 12:53
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
Hoofdstuk
6
Grafieken horizontaal verschuiven De grafiek van de functie g (x) = f (x – k) ontstaat door de grafiek van de functie f horizontaal te verschuiven over een afstand |k|. • Voor k > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven. • Voor k < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven. Voorbeeld We onderzoeken de grafiek van de functie g (x) = (x + 4)3. We verkrijgen de grafiek van g door de grafiek van de standaardfunctie f (x) = x 3 met 4 naar links te verschuiven. k = –4 f (x) = x 3
g (x) = (x + 4)3
y
y
–4 1 0
1 1
x
0
1
x
–4
dom f = R
dom g = R
ber f = R
ber f = R
nulwaarde: 0
nulwaarde: - 4
39
NIDT4CAH 6-61.indd 39
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
11
A
6
Functies
B
Over welke afstand moeten we de grafiek van de functie f naar rechts (R) of naar links (L) verschuiven om de grafiek van de functie g te verkrijgen? functies
afstand
R of L
1
f (x) = x3 en g (x) = (x - 4)3
4
R
2
f (x) = x2 en g (x) = (x + 3)2
3
L
3
f (x) = x en g (x) = x - 5
5
R
4
f (x) = x en g (x) = x + 7
7
L
5
1 1 f (x) = en g (x) = x x -6
6
R
6
f (x) = (x - 3)2 en g (x) = x2
3
L
7
f (x) = (x + 2)3 en g (x) = (x - 2)3
4
R
1
R
f (x) = x - 3 en g (x) = x + 2
5
L
1 1 en g (x) = x + 0,5 x + 1, 5
1
L
8
f (x) =
9 10
f (x) =
12
A
1 1 en g (x) = x+5 x+4
B
De grafiek is ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie horizontaal te verschuiven. Schrijf het functievoorschrift en bepaal het domein en het bereik. 1
2
y
f (x) =
1 2
1 x-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
–1 0
x
\ {2} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
y
1
1 0
3
y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
1 1
x
x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[–1, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
-3
f (x) =
1
x
(x + 3)3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
NIDT4CAH 6-61.indd 40
26/12/12 17:47
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
4
5
y
1 0
1 2
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[2, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
13
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
0
f (x) =
1
1
x
(x - 1)3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
6
y
1
x - 2
f (x) =
6
y
Hoofdstuk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
-3
f (x) =
1
x
1 x + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ {-3} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) = x
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) = x + 3
[-3, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) = x - 5
[5, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranderen het domein en het bereik van de standaardfunctie f (x) = x als we de grafiek Het domein verandert, het bereik blijft onveranderd. horizontaal verschuiven? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
A
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) =
1 x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
1 x-2
\ {2} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
1 x+3
\ {-3} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 als we de grafiek x Het domein verandert, het bereik blijft onveranderd. horizontaal verschuiven? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranderen het domein en het bereik van de standaardfunctie f (x) =
41
NIDT4CAH 6-61.indd 41
2/12/12 12:53
Hoofdstuk
15
6
A
Functies
B
Bepaal de nulwaarde van de functie. 1 f (x) = (x - 3) 3
3 Nulwaarde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) = (x + 5) 3
-5 Nulwaarde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) = x - 1
1 Nulwaarde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) = x + 4
-4 Nulwaarde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 f (x) =
1 x-3
geen Nulwaarde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 f (x) =
1 x+2
geen Nulwaarde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
A
B
Bepaal een vergelijking van de verticale en de horizontale asymptoot van de functie. 1 f (x) =
1 x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
1 x+2
x = -2 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
1 x-3
x = 3 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) =
1 x + 0, 9
x = -0,9 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 f (x) =
1 x -1
x = 1 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hoe veranderen de asymptoten van de standaardfunctie f (x) = verschuiven?
1 als we de grafiek horizontaal x
De verticale asymptoot verschuift mee, de horizontale asymptoot blijft
........................................................................................................................................................................................................................................
onveranderd.
........................................................................................................................................................................................................................................
42
NIDT4CAH 6-61.indd 42
2/12/12 12:53
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
17
A
Hoofdstuk
6
B
Gegeven is de grafiek van de functie f. Stel de tekentabel en het verloopschema op. 1
2
y
3
y
1
1 0
x
1 2
Tekentabel
-3
1
0
1
x
Tekentabel 2
x
x
f (x) - | + Verloopschema
x
1
x
Tekentabel -3
-1
x
f (x) - 0 +
Verloopschema
f (x) |
-1 0
f (x) 0 +
2
x
y
Verloopschema
-3
x
f (x) 0
f (x)
minimum
18
A
B
Over welke afstand moeten we de grafiek van de functie f naar boven (B) of naar onder (O) en naar rechts (R) of naar links (L) verschuiven om de grafiek van de functie g te verkrijgen? functies
afstand
B of O
afstand
R of L
1
f (x) = x 2 en g (x) = (x - 3)2 + 5
5
B
3
R
2
1 1 +3 f (x) = en g (x) = x+2 x
3
B
2
L
3
f (x) = x en g (x) = x - 1 - 1
1
O
1
R
4
f (x) = x 3 en g (x) = (x + 5)3 - 6
6
O
5
L
5
f (x) = x en g (x) = x + 5 + 4
4
B
5
L
1
B
3
L
1
B
4
L
6 7
f (x) =
1 1 en g (x) = +1 x-2 x +1
f (x) = x + 3 en g (x) = x + 4 + 4
43
NIDT4CAH 6-61.indd 43
7/01/13 16:51
Hoofdstuk
6
Functies
functies f (x) = (x + 5)3 en g (x) = (x - 1)3 - 2
8
f (x) =
9
f (x) = (x - 2)3 - 4 en g (x) = (x - 3)3 - 5
10
19
1 1 + 3 en g (x) = +4 x +5 x+6
A
afstand
B of O
afstand
R of L
2
O
6
R
1
B
1
L
1
O
1
R
B
De grafiek is ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie horizontaal en verticaal te verschuiven. Schrijf het functievoorschrift en bepaal het domein en het bereik. 1
2
y
y
1
1 -1 0
3
y
1
0
x
1 1 2
x
0
1
3
x
-3
f (x) =
1 + 1 x+ 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ {-1} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ {1}
ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
f (x) =
x - 2 - 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[2, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
[-3, +∞[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
y
-3
0
ber f =
x
-1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y 2 1
1 1
(x - 3)3 + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
y
1
f (x) =
1
x
0
1
3
x
-2 -3
f (x) =
x + 3 - 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-3, +∞[ ber f =
[-2, +∞[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
(x + 1)3 - 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
1 + 2 x - 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ {3} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
\ {2}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
NIDT4CAH 6-61.indd 44
2/12/12 12:54
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
20
A
Hoofdstuk
6
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) = x - 3
[3, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) = x - 5
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[-5, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) = x + 2 + 3
[-2, +∞[ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[3, +∞[ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) =
1 +2 x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ {2} ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 f (x) =
1 x -1
\ {1} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 f (x) =
1 -6 x +5
\ {-5} dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\ {-6} ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
A
B
Bepaal een vergelijking van de verticale en de horizontale asymptoot van de functie. 1 f (x) =
1 +2 x-3
x = 3 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 2 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
1 -3 x +5
x = -5 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = -3 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
1 +1 x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 1 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) =
1 x +7
x = -7 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 f (x) =
1 -4 x+2
x = -2 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = -4 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 f (x) =
1 +7 x -1
x = 1 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 7 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
NIDT4CAH 6-61.indd 45
2/12/12 12:54
Hoofdstuk
6
Functies
XX Functies g (x) = k ? f (x) 22
Instap
De grafieken van g en h zijn ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie f te transformeren. g (x) = 2 x
f (x) = x
f (x) =
1 x
g (x) =
y
y
1
1
0
f (x) = x
h (x) =
0
x
1
1 x 2
f (x) =
1 x
2 x
f (x) = x3
g (x) = 2x3 y
1 x
1
h (x) =
0
1 2x
h (x) =
f (x) = x3
y
y
y
1
1
1
0
1
x
0
1
0
x
x
1
1 3 x 2
1
x
1 Met welke factor worden de functiewaarden f (x) vermenigvuldigd om de functiewaarden g (x) Met factor 2. te verkrijgen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Hoe ontstaat de grafiek van de functie g uit de grafiek van de functie f ? Vink aan. De grafiek van f wordt samengedrukt met factor 2. De grafiek van f wordt uitgerekt met factor 2.
✔
De grafiek van f wordt samengedrukt met factor 0,5. De grafiek van f wordt uitgerekt met factor 0,5. 3 Hoe ontstaat de grafiek van de functie h uit de grafiek van de functie f ? Door de grafiek van f samen te drukken met factor 0,5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
NIDT4CAH 6-61.indd 46
26/12/12 17:52
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
Hoofdstuk
6
Grafieken verticaal uitrekken of samendrukken De grafiek van de functie g (x) = k ? f (x) ontstaat door de grafiek van de functie f verticaal te vermenigvuldigen met de factor k. k>0 • Voor k > 1 wordt de grafiek van f uitgerekt. • Voor k < 1 wordt de grafiek van f samengedrukt. Voorbeeld We onderzoeken de grafiek van de functie g (x) = 3 x . We verkrijgen de grafiek van g door de grafiek van de standaardfunctie f (x) = x verticaal uit te rekken met factor 3. k=3 f (x) = x
g (x) = 3 x
y
y
1
1
0
x
1
0
dom f = R+
dom g = R+
ber f = R+
ber g = R+
nulwaarde: 0
nulwaarde: 0
1
x
Grafieken spiegelen om de x-as De grafiek van de functie g is ontstaan door de grafiek van de functie f te spiegelen om de x-as. y g (x) x
f
1 0
x
1 f (x)
g
We stellen vast dat de functiewaarden van f en g tegengesteld zijn in elk origineel x. We schrijven: g (x) = -f (x)
47
NIDT4CAH 6-61.indd 47
2/12/12 12:54
Hoofdstuk
6
Functies
Voorbeeld We onderzoeken de grafiek van de functie h (x) = -3 x . Als we de grafiek van de standaardfunctie f (x) = x spiegelen om de x-as, dan ontstaat de grafiek van de functie g (x) = - x . Door de grafiek van g verticaal te vermenigvuldigen met factor 3, verkrijgen we de grafiek van de functie h (x) = -3 x . f (x) = x
g (x) = - x
h (x) = -3 x
y
y
y
1
1
1
0
1
x
0
1
0
x
dom f = R+
dom g = R+
dom h = R+
ber f = R+
ber g = R–
ber h = R–
nulwaarde: 0
nulwaarde: 0
nulwaarde: 0
23
A
x
1
B
Met welke factor moeten we de grafiek van de functie f uitrekken (U) of samendrukken (S) om de grafiek van g te verkrijgen? functies
factor
U of S
1
f (x) = x 3 en g (x) = 3x 3
3
U
2
1 f (x) = x 2 en g (x) = x 2 2
1 2
S
3
f (x) = x en g (x) = 5 x
5
U
1 1 f (x) = en g (x) = 3x x
1 3
S
5
f (x) = x 3 en g (x) = 2x 3
2
U
6
f (x) = x 2 + 3 en g (x) = 4(x 2 + 3)
4
U
4
8
f (x) = 2 x en g (x) = 3 x
1 2 3 2
9
f (x) = 7x 3 en g (x) = 21x 3
3
U
1 4
S
7
10
2 1 f (x) = en g (x) = x x
f (x) = 4x 2 + 8 en g (x) = x 2 + 2
S U
48
NIDT4CAH 6-61.indd 48
2/12/12 12:54
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
24
A
Hoofdstuk
6
B
De grafiek is ontstaan door de grafiek van een standaardfunctie verticaal te vermenigvuldigen. Schrijf het functievoorschrift en bepaal het domein en het bereik. 1
2 y 4
y
1
1 0,5 0
0
f (x) =
1
x
4 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
f (x) =
1 2
1
x
x
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 1 0
1
x
2 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
f (x) =
1
x
3x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
y
1 0,25 0
1 0,5 0
1
x
1 x3 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
0
6
y
f (x) =
y 3
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) =
1
x
1 2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ber f =
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
NIDT4CAH 6-61.indd 49
26/12/12 18:01
Hoofdstuk
25
6
A
Functies
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) = 3 x
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
4 x 5
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
x 2
+ dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
A
B
Bepaal het domein en het bereik van de functie. 1 f (x) =
1 4x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
5 x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
2 3x
0 dom f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ber f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
A
B
Bepaal een vergelijking van de verticale en de horizontale asymptoot van de functie. 1 f (x) =
1 x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 f (x) =
3 x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 f (x) =
1 2x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 f (x) =
3 5x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 f (x) =
0 ,1 x
x = 0 VA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = 0 HA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
NIDT4CAH 6-61.indd 50
2/12/12 12:54
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
28
A
Hoofdstuk
6
B
In het assenstelsel is de grafiek van een standaardfunctie getekend. Teken de grafiek van de functie g (x) = -f (x). 2 f (x) = x
1 f (x) = x3
3 f (x) =
1 x
y
y
y
1
1
1
0
1
0
x
1
0
x
1
x
Hoe ontstaat de grafiek van de functie g uit de grafiek van de functie f ? Door de grafiek van de functie f te spiegelen om de x-as.
........................................................................................................................................................................................................................................
29
A
B
Zet een vinkje bij de functies f en g als hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de x-as. 1 f (x) = x 3
1 g(x) = - x
✔
3 f (x) = x 2 - 1
g (x) = 1 - x 2
✔
4 f (x) = x
g (x) = - x
✔
5 f (x) = x
g (x) = -x
6 f (x) = x 2 + 3
g (x) = -x 2 + 3
7 f (x) = x 2 + 3
g (x) = -x 2 - 3
✔
8 f (x) = x 3
g (x) = (-x) 3
✔
2 f (x) =
1 x
g (x) = -2x 3
51
NIDT4CAH 6-61.indd 51
2/12/12 12:54
Hoofdstuk
30
A
6
Functies
B
In het assenstelsel is de grafiek van de functie f (x) = x 2 met dom f = [0, 2] getekend. y
i
4
f
j
2 1
-4
-2
O 0
1
2
4
x
-2
k
g
h
-4
Pas de spiegelingen toe op de grafiek en bepaal het bijbehorend functievoorschrift met het domein. 1 Puntspiegeling met centrum O : -x2 g (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[-2, 0] met dom g = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Spiegeling om de x-as: -x2 h (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[0, 2] met dom h = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Spiegeling om de y-as: x2 i (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[-2, 0] met dom i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Spiegeling om de bissectrice van het eerste kwadrant: j (x) =
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[0, 4] met dom j = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Spiegeling om de bissectrice van het tweede kwadrant: - -x k (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[-4, 0] met dom k = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
NIDT4CAH 6-61.indd 52
26/12/12 18:11
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
31
A
Hoofdstuk
6
B
Gegeven is de functie f (x) = x 3. Schrijf het voorschrift van de functie g. 1 g (x) = 3 ? f (x) =
3x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x3 - 2
2 g (x) = f (x) - 2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 g (x) = f (x - 2) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x - 2)3
2 (x - 3)3
4 g (x) = 2 ? f (x - 3) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 g (x) = -f (x) + 7 =
-x3 + 7
32
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Gegeven is de functie f (x) = x . Schrijf het voorschrift van de functie g. -2
1 g (x) = -2 ? f (x) =
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x + 5
2 g (x) = f (x) + 5 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 g (x) = f (x - 1) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x - 1 3
4 g (x) = 3 ? f (x + 2) =
5 g (x) = -5 ? f (x) + 1 =
33
A
x + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-5
x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
1 Gegeven is de functie f (x) = . Schrijf het voorschrift van de functie g. x 1 g (x) = 5 ? f (x) =
5 · 1 = 5 x x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 g (x) = f (x) + 10 = 3 g (x) = f (x - 5) =
1 + 10 x
.......................................................................................................................................................................................
1 x- 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 g (x) = -2 ? f (x - 3) = 5 g (x) =
1 ? f (x) + 2 = 3
-2 ·
1 = - 2 x - 3 x - 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 · x + 2 = 1 + 2 3 3x
..................................................................................................................................................................................
53
NIDT4CAH 6-61.indd 53
26/12/12 18:11
Hoofdstuk
34
6
Functies
A
B
Gegeven is de grafiek van de functie f . Stel de tekentabel en het verloopschema op. 1
2
3
y
y
1
1
0
1 2
-3
x
Tekentabel
y
1
0
x
1
Tekentabel 2
x
-3
Verloopschema
-3
x
f (x)
f (x) - | +
Verloopschema
x
-1
x
f (x) 0
x
-1
x
f (x) 0 -
Verloopschema
1
Tekentabel
x
f (x) + 0 -
-1 0
f (x) |
maximum
4
5 y
y
y
1
1
1
0
-4
6
1
x
0
1
2
x
0 0,5 1
x
-2
Tekentabel x -4 0 f (x) -2 - 0 + Verloopschema x
Tekentabel
Tekentabel
-4
f (x) -2
x
2
f (x) - 0 + Verloopschema
f (x) + 0 - | + Verloopschema
x f (x)
x 0,5 1
x
1
f (x) |
minimum
54
NIDT4CAH 6-61.indd 54
7/01/13 16:57
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
7
8
Hoofdstuk
6
9
y
y
y
3 1
1
1
-1 0
1
x
Tekentabel
0
1 2 3
x
Tekentabel -1
x
x
Verloopschema
2 3
f (x) 3 + 0 Verloopschema
2
x
-3
x
f (x) |
f (x)
x
1
x -3 -2
Verloopschema
x
0
Tekentabel
f (x) + | - 0 +
f (x) + 0 -
-3 -2
f (x) 3 maximum
10
11
12
y
y
y
1
1
1
0
1
x
0
-4
1
x
0
1
2
x
-2
Tekentabel
Tekentabel
x 0 1 f (x) + 0 - | + Verloopschema x
x
Tekentabel -4
f (x) -2 Verloopschema
1
f (x) |
x
-4
f (x) -2
x
2
f (x) - 0 + Verloopschema x f (x)
maximum
55
NIDT4CAH 6-61.indd 55
7/01/13 16:58
Hoofdstuk
35
A
6
Functies
B
Schrijf bij elke grafiek de letter van het bijbehorende functievoorschrift. f (x) = -x 3
g (x) = (x + 2)3 - 2
h (x) = (x + 2)3
i (x) = (2 - x)3
j (x) = 2x 3
k (x) = 2(x - 1)3
l (x) = -x 3 - 1
m (x) = (x + 2)3 + 2
n (x) = -x 3 + 1
1
i
h
2
y
3
y
1
y
1
0
1
4
k
x
0
5
1 1
x
m
0
1
6
g
y
y
y
1
1
1
0
1
7
j
x
0
1
8
l
x
0
1
9
n
y
y
y
1
1
1
0
1
x
0
f
1
x
0
1
x
x
x
56
NIDT4CAH 6-61.indd 56
2/12/12 12:54
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
36
A
Hoofdstuk
6
B
Schrijf bij elke grafiek de letter van het bijbehorende functievoorschrift. f (x) = 3 x
g (x) = 2 x - 1
h (x) = - x + 1
i (x) = 2 - x
j (x) = x + 2
k (x) = x + 2 - 2
l (x) = - x - 1
m (x) = x + 2 + 2
n (x) = - x
1
n
2
f
3
y
y
y
1
1
1
0
1
4
j
x
0
5
1
x
m
0
1
6
g
y
y
y
1
1
1
0
1
7
l
x
0
1
8
k
x
0
1
9
h
y
y
y
1
1
1
0
1
x
0
1
x
i
0
1
x
x
x
57
NIDT4CAH 6-61.indd 57
2/12/12 12:54
Hoofdstuk
37
A
6
Functies
B
Schrijf bij elke grafiek de letter van het bijbehorende functievoorschrift. f (x) =
1 x+2 2 j (x) = - x 1 -2 m (x) = x+2
2 x
1 x 1 l (x) = 2-x i (x) = -
1
1 +2 x+2 1 k (x) = - - 1 x 2 n (x) = x -1
g (x) =
h
h (x) =
g
2
y
y
y
1
1
1
0
1
4
n
x
0
1
5
f
x
0
y
y
1
1
1
1
7
k
x
0
1
8
i
y
0
x
1
9
j
1
0
x
y
1
1
x
x
m
0
y
1
1
6
y
0
l
3
1
x
0
1
x
58
NIDT4CAH 6-61.indd 58
2/12/12 12:55
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
Hoofdstuk
6
Uitdagingen 1 De groene kromme is de grafiek van een functie f . De blauwe kromme is dan de grafiek van de functie g met y
2 1
f x
0
–4
g
(A) g (x) = - f (x)
(B) g (x) = f (-x)
(D) g (x) = - f (x) - 1
(E) g (x) = - f (x) - 2
(C) g (x) = f (x) - 6
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 197
2 De grafiek van een willekeurige functie f in een orthonormaal assenstelsel, wordt evenwijdig met de eerste bissectrice verschoven over een afstand 2 (zodanig dat de x- en de y-waarden van elk punt groter worden). Het voorschrift van de nieuwe functie g is (A) g (x) = f (x + 1) + 1
(
)
(B) g (x) = f (x - 1) + 1
(
)
(C) g (x) = f (x) + 2
(D) g (x) = f x + 2 + 2 (E) g (x) = f x - 2 + 2
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 197
3 Gegeven zijn de functies f (x) = 1 , g (x) = a ? f (x) en h (x) = f (b ? x). x De grafieken van de functies g en h vallen samen. Welk verband bestaat er tussen a en b?
zie pagina 198
4 Bepaal een voorschrift van de functie f die als grafiek een hyperbool heeft met horizontale asymptoot y = 2 en verticale asymptoot x = 3. De nulwaarde van f is 2. zie pagina 198
5 In een restaurant wordt een bord hete dagsoep opgediend. De temperatuur van de soep kunnen we beschrijven met de functie: 360 + 19 t +5 T: temperatuur in °C t: tijd in minuten na het opdienen 360 f (t ) = + 19 t +5
T=
59
NIDT4CAH 6-61.indd 59
26/12/12 18:39
Hoofdstuk
6
Functies
1 Wat is het werkdomein van de functie? 2 Wat is de temperatuur van de soep bij het opdienen? 3 Wat is de temperatuur van de soep twee minuten na het opdienen? 4 Na hoeveel minuten is de temperatuur van de soep gedaald tot 55 °C? 5 Wat is de kamertemperatuur? 6 Bepaal een vergelijking van de horizontale asymptoot. 7 Wat is de praktische betekenis van de horizontale asymptoot? zie pagina 199
60
NIDT4CAH 6-61.indd 60
26/12/12 18:39
6.2 - Transformaties van grafieken van functies
Hoofdstuk
6
Vraag & antwoord 1 De grafiek van g (x) = f (x) + k verkrijgen we door de grafiek van f verticaal te verschuiven. Hoe bepaalt het teken van k de verschuiving? • Voor k > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven. • Voor k < 0 wordt de grafiek van f naar onder verschoven. 2 De grafiek van g (x) = f (x - k) verkrijgen we door de grafiek van f horizontaal te verschuiven. Hoe bepaalt het teken van k de verschuiving? • Voor k > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven. • Voor k < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven. 3 De grafiek van g (x) = k ? f (x) met k > 0 verkrijgen we door de grafiek van f verticaal te vermenigvuldigen. Hoe bepaalt de factor k de verticale vermenigvuldiging? • Voor k > 1 wordt de grafiek van f uitgerekt. • Voor k < 1 wordt de grafiek van f samengedrukt. 4 De grafiek van de functie g ontstaat door de grafiek van de functie f te spiegelen om de x-as. Schrijf een verband tussen de functiewaarden van f en g . g(x) = –f(x)
61
NIDT4CAH 6-61.indd 61
2/12/12 12:55
2x - 10x
2
-2x + 6x
2
3
3
7x -
- 4x +7 7x 2
+ 4x Delingen met- 12x veeltermen 5x 2
- 5x + 62
NIDT4CAH 62-117.indd 62
9/12/12 11:58
x- 7
Hoofdstuk
x-3
7
7.1 Veeltermen delen
Veeltermfuncties en nulwaarden 64 Euclidische deling 70 Deelbaarheid 79 Uitdagingen 82 Vraag & antwoord 85
7.2 Delen door x – a
x-
Regel van Horner 86 Reststelling 93 Deelbaarheid door x - a 97 Uitdagingen 115 Vraag & antwoord 117
x
2x 3 - 10x 2 + 17x - 7 -2x 3 + 6x 2
x- 7
x-3 2x 2 - 4x + 5
- 4x 2 + 17x - 7 + 4x 2 - 12x 5x - 7
x + 15 8 NIDT4CAH 62-117.indd 63
- 5x + 15 8
63
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
7.1
Delingen met veeltermen
Veeltermen delen
XX Veeltermfuncties en nulwaarden 1
Instap
De hoogte van de tweevoudige sprong van een dolfijn kunnen we berekenen met de functie: h = -0,1x 4 + 1,5x 3 - 7,1x 2 + 10,5x f (x) = -0,1x 4 + 1,5x 3 - 7,1x 2 + 10,5x
h: hoogte in m x: horizontale afstand in m
1 Wat is de hoogste exponent van x? . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 De grafiek van f is getekend. hoogte h (m) 5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6 7 horizontale afstand x (m)
–1
Over welke horizontale afstand zwemt de dolfijn onder water? . . .2 . . . . . .meter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 . . . . . . . . .3 . . . . = . . . . .2 . . . . 64
NIDT4CAH 62-117.indd 64
26/12/12 18:40
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
Graad van een veelterm Het voorschrift f (x) = x 4 + x 3 - 3x 2 + 2x - 1 is opgebouwd uit de veelterm x 4 + x 3 - 3x 2 + 2x - 1 waarin de hoogste exponent van x gelijk is aan 4. De functie f noemen we een veeltermfunctie van de vierde graad. We zeggen ook dat de graad van de veelterm f (x) gelijk is aan 4. We noteren: gr( f (x)) = 4
2
A
B
Zet een vinkje bij elke veelterm. 1 -7
6 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + x - 1 ✔
✔
2 x + 3 ✔
2
3 x 17
✔
4 2 x +3 5
✔
8 x2 + x - 1
✔
9 4x 6 + 3x 2 + 2x + 1
✔
1 10 x 2 - x + x + 4 2
1 x
3
7 0,5x 3 + 3x 2 + 0,2x + 2
A
B
Bepaal de graad van de veelterm. 6 2x 4 - 4x 2 + 5x - 1 graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7 x + x 2 + 0,2x 3
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
8 x 2 - 5 - 4x
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
9 x 2 + 3x 6 - x 5 - 4x
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
10 -3x + 5 - x 3 + 2x 2
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 5x + 2
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 2
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 -2x 2
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 x + x4 - x2
graad:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
A
4
3
1 5x 3 - 2x
3 2 6 3
B
Werk uit, rangschik volgens dalende machten van x en bepaal de graad van de veelterm. 1 2x - (x 3 - x 2 - x - 1)
2 7(1 - x - x 2 - x 4) = 7 - 7x - 7x2 - 7x4
3 2 = . . . . . . .2x . . . . . . . . .. . . . . .x . . . . . . . .+ . . . . . .x . . . . . . . .+ . . . . . .x . . . . . .+ . . . . . .1 ......................................
....................................................................................................
= -x3 + x2 + 3x + 1
....................................................................................................
graad: . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
graad:
....................................................................................................
= -7x4 - 7x2 - 7x + 7 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
NIDT4CAH 62-117.indd 65
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
3 (3x + 1)(5x 2 + 2)
= -12x6 - 8x2 - 4x - x2 + x
= 15x3 - 6x + 5x2 + 2
....................................................................................................
= 15x3 + 5x2 - 6x + 2
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
graad:
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5x 3 - 5x(x 2 - x - 1)
= -12x6 - 9x2 - 3x
graad:
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 x(4x - 3)2
= 5x3 - 5x3 + 5x2 + 5x
....................................................................................................
= 5x2 + 5x
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
graad:
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 (3x 3 - x + 2)(x - 5)
= x (16x2 - 24x + 9) = 16x3 - 24x2 + 9x
graad:
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2x(2x 4 - 4x + 1) - 2x
= 3x4 - 15x3 - x2 + 5x + 2x - 10
....................................................................................................
= 3x4 - 15x3 - x2 + 7x - 10
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
graad:
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 x 3 - (x 2 + 1)(x + 4)
= 4x5 - 8x2 + 2x - 2x = 4x5 - 8x2
graad:
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 (-x 3 + 2)2 - (x - 1)2
= x3 - (x3 + 4x2 + x + 4)
....................................................................................................
= x3 - x3 - 4x2 - x - 4
....................................................................................................
= -4x2 - x - 4
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
graad:
5
4 4x(-3x 5 - 2x - 1) - x(x - 1)
A
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= x6 - 4x3 + 4 - (x2 - 2x + 1) = x6 - 4x3 + 4 - x2 + 2x - 1
= x6 - 4x3 - x2 + 2x + 3
graad:
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Gegeven zijn de veeltermen x 3 + 2 en x 2 - x + 3. 1 Bereken het product. 3 (x + 2) (x2 - x + 3) = x5 - x4 + 3x3 + 2x2 - 2x + 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vul de eigenschap aan. graad van het product van twee veeltermen is gelijk aan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de som van hun graden. De . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
NIDT4CAH 62-117.indd 66
26/12/12 18:41
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
3 Bepaal de graad van de veelterm. a (x 3 + x 2 + 1)(x 4 + 3x + 2)
d (x 3 + 5)(x 2 + 1)(x + 2)
graad: . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
graad: . . . .6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b (8x + 10)(10x 3 + 20)
e (4x 2 + 5)3
graad: . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
graad: . . . .6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c (5x - 3)2
f x(8x 3 + 9)2
graad: . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
A
graad: . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
De graad van de veelterm komt overeen met een cijfer van de code. Kraak de code. a -(x 3 + x 2 + 1) - (x 4 + 3x + 2)
d (2x 5 + x 3 + 8)(2x 4 + 5x 2 + 1)
b x 2 + 1 - x 6 + 3x + 2
e (x 3 + 1)(x 2 + 1)(x 2 - 2)(3x + 2)
c (x 3 + x 2 + 1) 2 - (3x + 2)3
f (x + 1)4 - x(8x + 9)(2x 3 + 10)
a
b
c
d
e
f
4 6 6 9 8 5
Nulwaarden van een veeltermfunctie Op de grafiek en in de tabel lezen we de nulwaarden van de veeltermfunctie f (x) = x 3 - 3x 2 + 2x af. y
nulwaarden 1 0
1
2
x
x f (x) … … –0,5 –1,88 0 0 0,5 0,38 1 0 1,5 –0,38 2 0 2,5 1,88 3 6 … …
De nulwaarden van de functie f zijn 0, 1 en 2.
67
NIDT4CAH 62-117.indd 67
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Om de nulwaarden van f (x) = x 3 - 3x 2 + 2x te berekenen, stellen we de functiewaarde f (x) gelijk aan 0 en lossen we de verkregen vergelijking op. f (x) = 0 x 3 - 3x 2 + 2x = 0
f (x) vervangen door x3 – 3x2 + 2x
De vergelijking x 3 - 3x 2 + 2x = 0 waarin de hoogste exponent van de onbekende gelijk is aan 3, noemen we een derdegraadsvergelijking. Vergelijkingen waarin de hoogste exponent van de onbekende x hoger is dan 2, noemen we hogeregraadsvergelijkingen. Om hogeregraadsvergelijkingen op te lossen, zijn rekentechnieken nodig die we bestuderen in de volgende paragraaf.
7
A
B
Bepaal de nulwaarden van de veeltermfunctie. 1
2
3
y
y
y
1
1
1 0
0
1
x
0
1
x
1
x
Nulwaarden:
Nulwaarden:
Nulwaarden:
.....................................................................
-2, -1 en 3
.....................................................................
.....................................................................
4
5
6
-2, 0 en 2
-2, 0 en 2
y
y
y
1
1
1
0
1
x
0
1
x
Nulwaarden:
Nulwaarden:
-3 en 3
.....................................................................
.....................................................................
geen
0
1
x
Nulwaarden: -4, -2, 1 en 4
.....................................................................
68
NIDT4CAH 62-117.indd 68
9/12/12 11:58
7.1 - Veeltermen delen
8
A
Hoofdstuk
7
B
Schrijf alle nulwaarden die we kunnen aflezen in de tabel. x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f (x)
-432
-120
0
18
0
-12
0
30
48
0
-192
1
. . . . . . . . . . . .-1, . . . . . . . . . . . .1 . . . . . .en . . . . . . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nulwaarden: . .-3,
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f (x)
-128
-63
-24
-5
0
-3
-8
-9
0
25
72
2
. . . . . . . . . en . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nulwaarden: . .-1
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f (x)
936
425
160
45
8
1
0
5
40
153
416
3
Nulwaarden: . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
A
B
Onderzoek of het getal a een nulwaarde is van de veeltermfunctie f . Vink de nulwaarde aan. 1 a=2
f (x) = x 3 - 3x 2 - 10x + 24
✔
f(2) = 8 - 12 - 20 + 24 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
2 a = -1
f (x) = x 4 - 7x 2 - 6x + 1
f(-1) = 1 - 7 + 6 + 1 = 1
.................................................................................................................................................................................................................................
3 a=5
f (x) = x 4 - 4x 3 - 4x 2 - 4x - 5
✔
f(5) = 625 - 500 - 100 - 20 - 5 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
4 a=0
f (x) = x 3 - x 2 + x - 1
f(0) = 0 - 0 + 0 - 1 = -1
.................................................................................................................................................................................................................................
69
NIDT4CAH 62-117.indd 69
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
XX Euclidische deling 10
Instap
Een klas telt 23 leerlingen. Voor een groepswerk wiskunde verdeelt de leraar de leerlingen in groepjes van vier.
1 a Voer de deling uit. deeltal
23
......................................................
- 20
..................
rest
......................................................
deler
4
......................................................
5
quotiënt
..................
......................................................
3
..................
b Hoeveel groepjes tellen juist vier leerlingen? . . . .5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Hoeveel leerlingen blijven er over na de verdeling? . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d Vul de praktische schikking aan met: deeltal, deler, quotiënt en rest. 2 Schrijf met de gevonden getallen: 23 = 4 · 5 + 3
deeltal = deler ? quotiënt + rest
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Een pientere leerling merkt op dat de formule onvolledig is. Hij noteert 23 = 4 ? 2 + 15. Dit zou betekenen dat de deling van 23 door 4 als quotiënt 2 heeft en als rest 15. Welke bijkomende voorwaarde ontbreekt in de formule? Vink de juiste uitspraak aan. De rest is groter dan de deler. De rest is kleiner dan de deler. De rest is gelijk aan de deler.
✔
23
4
-8
2
15
70
NIDT4CAH 62-117.indd 70
9/12/12 11:58
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
Euclidische deling Bij de Euclidische deling van twee natuurlijke getallen D en d, is het quotiënt q en de rest r als de getallen D, d, q en r voldoen aan de voorwaarden D = d ? q + r en r < d
D
D, d, q en r Œ N d ≠ 0
r
d q
Euclidische deling van veeltermen Bij de Euclidische deling van twee veeltermen D (x) en d (x), is het quotiënt q (x) en de rest r (x) als de veeltermen D (x), d (x), q (x) en r (x) voldoen aan de voorwaarden D(x) = d(x) ? q(x) + r(x) en gr(r(x)) < gr(d(x)) of r(x) = 0
D(x)
d(x) ≠ 0
r(x)
d(x) q(x)
Dit verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest noemen we de formule van de Euclidische deling. De rest r(x) is gelijk aan nul bij een opgaande deling en verschillend van nul bij een niet-opgaande deling. Voorbeeld Bij de Euclidische deling van D (x) = x 3 + 2x 2 - 2x - 7 door d (x) = x 2 - 3 is het quotiënt q (x) = x + 2 en de rest r (x) = x - 1. We kunnen narekenen: x 3 + 2x 2 - 2x - 7 = (x 2 - 3)(x + 2) + (x - 1)
(x2 – 3)(x + 2) + (x – 1) = x3 + 2x2 – 3x – 6 + x – 1 = x3 + 2x2 – 2x – 7
We stellen vast: de graad van de rest r (x) = x - 1 is kleiner dan de graad van de deler d (x) = x 2 - 3. gr(x – 1) = 1 en gr(x2 – 3) = 2
71
NIDT4CAH 62-117.indd 71
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
11
A
7
Delingen met veeltermen
B
Het IBAN-nummer (International Bank Account Number) van een bankrekening bestaat uit een landcode van twee letters, een controlenummer van twee cijfers gevolgd door het nationaal rekeningnummer van 12 cijfers. De eerste drie cijfers van dit nummer duiden de bank aan, de volgende groep van zeven cijfers is het persoonlijk nummer van de klant en de laatste twee cijfers vormen het controlegetal. controlegetal
BE 58 0010 5748 2579 landcode controlenummer
persoonlijk nummer bank
Het controlegetal is de rest van een deling. Het deeltal bestaat uit de eerste 10 cijfers van het nationaal rekeningnummer en de deler is altijd 97. We controleren de juistheid van het rekeningnummer 001057482579: 10574825 = 97 ? 109018 + 79
10574825
97
–97
109018
874 –873 182 –97 855 –776 79 1 Vul het IBAN-nummer aan met het controlegetal van het rekeningnummer. ........ a BE75 0010 1234 56 . 5
1 0 1 2 3 4 5 6 - 9 7 4 2 3 - 3 8 8
1
.........
97 104 365
b BE91 0010 9876 54 7 . . . . . . . . . . .6 ....... 1 0 9 8 7 6 5 4 - 9 7 1 2 8 - 9 7
3 5 4 - 2 9 1
3 1 7 - 2 9 1
6 3 5 - 5 8 2
2 6 6 - 1 9 4
5 3 6 - 4 8 5
7 2 5 - 6 7 9
5 1
4 6 4 - 3 8 8
97 113 274
7 6
72
NIDT4CAH 62-117.indd 72
26/12/12 18:44
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
2 Reken het controlegetal van je eigen rekeningnummer na. Als de rest 0 is, wordt 97 als controlegetal gebruikt.
12
A
B
Bij de Euclidische deling van twee veeltermen D (x) en d (x) is het quotiënt gelijk aan q (x) en de rest gelijk aan r (x). 1 Aan welke voorwaarden voldoen de veeltermen D (x), d (x), q (x) en r (x)? d(x) · q(x) + r(x) • D (x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • gr(. . . . . . . . . .r(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) < gr (. . . . . . . .d(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) of r (x) = . . . . . . . . . . . . 0 ................. 2 Vervang in de bovenstaande voorwaarden elke veelterm door zijn benaming. deeltal = deler · quotiënt + rest • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gr(rest) < gr(deler) of rest = 0 • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
A
B
Zet een vinkje als q (x) en r (x) het quotiënt en de rest zijn van de Euclidische deling van de veelterm D (x) door d (x). Controleer de voorwaarden waaraan D (x), d (x), q (x) en r (x) moeten voldoen. 1 D (x) = x 2 - 10
d (x) = x - 3
q (x) = x + 3
r (x) = -1
✔
d(x) · q(x) + r(x) = (x - 3) (x + 3) -1
.................................................................................................................................................................................................................................
= x2 - 9 - 1
= x2 - 10 = D(x)
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
gr(r(x)) < gr(d(x)) omdat 0 < 1
.................................................................................................................................................................................................................................
2 D (x) = x 3 + x 2 + 2x - 4
d (x) = x - 2
q (x) = x 2 + 3x + 5
r (x) = 3x + 6
d(x) · q(x) + r(x) = (x - 2) (x2 + 3x + 5) + 3x + 6
.................................................................................................................................................................................................................................
= x3 + 3x2 + 5x - 2x2 - 6x - 10 + 3x + 6
= x3 + x2 + 2x - 4 = D(x)
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
gr(r(x)) = gr(d(x)) omdat 1 = 1
.................................................................................................................................................................................................................................
3 D (x) =x 3 + x 2 + 2x - 5
d (x) = x 2 + 3x + 5
q (x) = x - 2
r (x) = 3x + 6
d(x) · q(x) + r(x) = (x2 + 3x + 5) (x - 2) + 3x + 6
.................................................................................................................................................................................................................................
= x3 - 2x2 + 3x2 - 6x + 5x - 10 + 3x + 6
= x3 + x2 + 2x - 4 ≠ D(x)
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
73
NIDT4CAH 62-117.indd 73
26/12/12 18:44
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Algoritme voor het delen van veeltermen Om de veelterm 3x 3 - 5x + 8 te delen door de veelterm x - 1 gebruiken we de praktische schikking van de deling. 3x 3 + 0x 2 - 5x + 8
x-1
We rangschikken het deeltal 3x 3 - 5x + 8 naar dalende machten van x. De ontbrekende machten van x geven we de coëfficiënt 0.
3x 3 + 0x 2 - 5x + 8
x-1
De eerste term 3x 2 van het quotiënt vinden we door de eerste term 3x 3 van het deeltal te delen door de eerste term x van de deler. Daarna vermenigvuldigen we 3x 2 met de deler x - 1. Het verkregen product 3x 3 - 3x 2 trekken we af van het deeltal.
-3x 3 + 3x 2
3x 2
3x 2 - 5x + 8
We merken op: -(3x 3 - 3x 2) = -3x 3 + 3x 2 3x 3 + 0x 2 - 5x + 8 -3x 3 + 3x 2
x-1 3x 2 + 3x
3x 2 - 5x + 8 -3x 2 + 3x
De tweede term 3x van het quotiënt vinden we door de eerste term van de veelterm 3x 2 - 5x + 8 te delen door de eerste term x van de deler. Daarna vermenigvuldigen we 3x met de deler x - 1. Het verkregen product 3x 2 - 3x trekken we af van de veelterm 3x 2 - 5x + 8. We merken op: -(3x 2 - 3x ) = -3x 2 + 3x
- 2x + 8
3x 3 + 0x 2 - 5x + 8 -3x 3 + 3x 2
x-1 3x 2 + 3x – 2
We herhalen deze werkwijze tot de rest nul is of een veelterm is waarvan de graad kleiner is dan de graad van de deler.
3x 2 - 5x + 8 -3x 2 + 3x –2x + 8 +2x - 2 6 We kunnen narekenen dat 3x 3 - 5x + 8 = (x - 1)(3x 2 + 3x - 2) + 6. We stellen vast dat de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler x - 1.
74
NIDT4CAH 62-117.indd 74
9/12/12 11:58
7.1 - Veeltermen delen
14
A
Hoofdstuk
7
B
Bepaal het quotiënt en de rest van de deling. Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. Vink elke opgaande deling aan. 1 (x 3 + 3x 2 + 5x + 1) : (x 2 + 4x + 2)
x3 + 3x2 + 5x + 1
x2 + 4x + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
-x3 - 4x2 - 2x
..........................................................................................................................
x - 1
-x2 + 3x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
x2 + 4x + 2
..........................................................................................................................
7x + 3
..........................................................................................................................
(x2 + 4x + 2) (x - 1) + 7x + 3 x 3 + 3x 2 + 5x + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 (2x 4 - x 3 - 12x 2 + 46x - 35) : (x 2 - 3x + 5) 2x4 -
✔
x3 - 12x2 + 46x - 35
x2 - 3x + 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
-2x4 + 6x3 - 10x2
..........................................................................................................................
2x2 + 5x - 7
5x3 - 22x2 + 46x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
-5x3 + 15x2 - 25x
..........................................................................................................................
-7x2 + 21x - 35
..........................................................................................................................
7x2 - 21x + 35
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
(x2 - 3x + 5) (2x2 + 5x - 7) 2x 4 - x 3 - 12x 2 + 46x - 35 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (x 5 - 2x 4 -14x 3 - 3x + 5) : (x 3 - 5x 2 + 6x - 1) x5 - 2x4 - 14x3 +
0x2 -
3x + 5
..........................................................................................................................
-x5 + 5x4 -
6x3 +
x3 - 5x2 + 6x - 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2
..........................................................................................................................
3x4 - 20x3 +
x2 -
3x
- 3x4 + 15x3 - 18x2 +
3x
..........................................................................................................................
x2 + 3x - 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
- 5x3 - 17x2
+ 5
..........................................................................................................................
5x3 - 25x2 + 30x - 5
..........................................................................................................................
- 42x2 + 30x
..........................................................................................................................
(x3 - 5x2 + 6x - 1) (x2 + 3x - 5) - 42x2 + 30x x 5 - 2x 4 -14x 3 - 3x + 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
NIDT4CAH 62-117.indd 75
26/12/12 18:54
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
4 (x 3 + 125) : (x 2 - 5x + 25) x3 + 0x2 +
✔
0x + 125
2 - 5x + 25 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
3 2 -x . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .5x . . . . . . . . . . .. . . . . . 25x .......................................................................................
x + 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5x2 - 25x + 125
..........................................................................................................................
- 5x2 + 25x - 125
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
(x2 - 5x + 25) (x + 5) x 3 + 125 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (10x 4 + 27x 3 + 34x 2 + 31x) : (2x 2 + 3x + 2)
10x4 + 27x3 + 34x2 + 31x + 0
2 + 3x + 2 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
4 3 2 -10x . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .15x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .10x ............................................................................ 2 + 6x + 3 5x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12x3 + 24x2 + 31x
..........................................................................................................................
- 12x3 - 18x2 - 12x
..........................................................................................................................
6x2 + 19x + 0
..........................................................................................................................
- 6x2 -
9x - 6
..........................................................................................................................
10x - 6
..........................................................................................................................
2 + 3x + 2) (5x2 + 6x + 3) + 10x - 6 10x 4 + 27x 3 + 34x 2 + 31x = (2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 (3x 5 + 2x 4 + 13x 3 + 10x 2 + 4x + 8) : (x 2 + 4)
✔
3x5 + 2x4 + 13x3 + 10x2 + 4x + 8
..........................................................................................................................
2 + 4 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 3 -3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .12x ...................................................................................
2x4 +
x3 + 10x2
..........................................................................................................................
- 2x4
-
3 + 2x2 + x + 2 3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8x2
..........................................................................................................................
x3 +
2x2 + 4x
..........................................................................................................................
- x3
- 4x
..........................................................................................................................
2x2
+ 8
- 2x2
- 8
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
(x2 + 4) (3x3 + 2x2 + x + 2) 3x 5 + 2x 4 + 13x 3 + 10x 2 + 4x + 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
NIDT4CAH 62-117.indd 76
26/12/12 18:54
7.1 - Veeltermen delen
7 (2x 4 + 7x 3 + 6x + 17) : (2x + 7)
Hoofdstuk
7
2x4 + 7x3 + 0x2 + 6x + 17
2x + 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
-2x4 - 7x3
..........................................................................................................................
3 + 3 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0x3 + 0x2 + 6x + 17
..........................................................................................................................
- 6x - 21
..........................................................................................................................
- 4
..........................................................................................................................
+ 7) (x3 + 3) - 4 2x 4 + 7x 3 + 6x + 17 = (2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 (2x 5 - 9x 4 + 19x 3 + x 2 - 28x + 11) : (-2x + 3) 2x5 - 9x4 + 19x3 +
x2 - 28x + 11
..........................................................................................................................
-2x + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-2x5 + 3x4
..........................................................................................................................
- 6x4 + 19x3
..........................................................................................................................
6x4 -
4 + 3x3 - 5x2 - 8x + 2 -x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9x3
..........................................................................................................................
10x3 +
x2
..........................................................................................................................
- 10x3 + 15x2
..........................................................................................................................
16x2 - 28x
..........................................................................................................................
- 16x2 + 24x
..........................................................................................................................
- 4x + 11
..........................................................................................................................
4x -
6
..........................................................................................................................
5
..........................................................................................................................
(-2x + 3) (-x4 + 3x3 - 5x2 - 8x + 2) + 5 2x 5 - 9x 4 + 19x 3 + x 2 - 28x + 11 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
A
B
Met ICT kunnen we nagaan of een deling met veeltermen juist is uitgevoerd. Van de formule van de Euclidische deling voeren we het linker- en het rechterlid in als functies en controleren of de bijbehorende grafieken samenvallen. Controleer de rekenresultaten van opdracht 14.
77
NIDT4CAH 62-117.indd 77
26/12/12 18:54
Hoofdstuk
16
7
A
Delingen met veeltermen
B
Bepaal p zodat de deling opgaat. 1 (2x 4 + 7x 3 + 4x 2 + px) : (2x 2 + x + 1)
2x4 + 7x3 + 4x2 + px
2x2 + x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
-2x4 -
x3 -
x2
..........................................................................................................................
x2 + 3x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6x3 + 3x2 + px
..........................................................................................................................
- 6x3 - 3x2 - 3x
..........................................................................................................................
(p - 3)x
..........................................................................................................................
(p - 3)x = 0
als
p = 3
.................................................................................................................................................................................................................................
2 (6x 2 + px - 15) : (2x + 3) 6x2
+ px
-6x2
- 9x
- 15
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
2x + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3x +
p -9 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(p - 9)x - 15
..........................................................................................................................
p -9 - (p - 9)x - 3 · 2
..........................................................................................................................
p -9 - 15 - 3 · 2
..........................................................................................................................
-15 - 3 ·
p -9 = 0 2
.................................................................................................................................................................................................................................
-3 ·
p-9 = 15 2
.................................................................................................................................................................................................................................
p-9 = -5 2
.................................................................................................................................................................................................................................
p - 9 = -10
.................................................................................................................................................................................................................................
p = -1
.................................................................................................................................................................................................................................
78
NIDT4CAH 62-117.indd 78
26/12/12 18:54
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
XX Deelbaarheid 17
Instap
Gegeven zijn de veeltermen D (x) = 7x 3 - 21x 2 + 2x - 6 en d (x) = x - 3. 1 Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d (x). 7x3 - 21x2 + 2x - 6
x - 3
.....................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 2 -7x . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 21x ................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7x2 + 2
2x - 6
2 q (x) = .7x ...........+ ......2 .................
-2x + 6
r (x) = . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opgaand. 2 Is de deling opgaand of niet-opgaand? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. (x - 3) (7x2 + 2) 7x 3 - 21x 2 + 2x - 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deelbaarheid van veeltermen Als bij deling van een veelterm D (x) door een veelterm d (x) de rest nul is, dan zeggen we: D (x) is deelbaar door d (x) of d (x) is een deler van D (x) Met de formule van de Euclidische deling kunnen we de veelterm D (x) schrijven als een product van twee veeltermen: D (x) = d (x) ? q (x) r(x) = 0 Voorbeeld We tonen aan dat x 3 - 8 deelbaar is door x 2 + 2x + 4 en we schrijven x 3 - 8 als een product van twee veeltermen. • Met de praktische schikking voor de deling berekenen we het quotiënt en controleren we of de rest gelijk is aan nul: x 3 + 0x 2 + 0x - 8 -x 3 - 2x 2 - 4x
x 2 + 2x + 4 x-2
- 2x 2 - 4x - 8 + 2x 2 + 4x + 8 0
79
NIDT4CAH 62-117.indd 79
26/12/12 18:54
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
• Met de formule van de Euclidische deling schrijven we x 3 - 8 als een product van twee veeltermen: x 3 - 8 = (x 2 + 2x + 4)(x - 2)
18
A
B
Toon aan dat de veelterm D (x) deelbaar is door de veelterm d (x) en schrijf D (x) als een product van twee veeltermen. 1 D (x) = 2x 3 + 5x 2 + 9x + 9
d (x) = x 2 + x + 3
x2 + x + 3
2x3 + 5x2 + 9x + 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
-2x3 - 2x2 - 6x
..........................................................................................................................
2x + 3
3x2 + 3x + 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
- 3x2 - 3x - 9
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
(x2 + x + 3) (2x + 3) 2x 3 + 5x 2 + 9x + 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 D (x) = x 4 + x 3 + 5x 2 + 4x + 4
d (x) = x 2 + x + 1
x2 + x + 1
x4 + x3 + 5x2 + 4x + 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
4 3 2 -x . . . . . . . . . . . .. . . . . .x . . . . . . . .. . . . . . . . . .x ......................................................................................
x2 + 4
4x2 + 4x + 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
- 4x2 - 4x - 4
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
(x2 + x + 1) (x2 + 4) x 4 + x 3 + 5x 2 + 4x + 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 D (x) = 3x 3 - 5x 2 - 9x + 15
d (x) = x 2 - 3
3x3 - 5x2 - 9x + 15
..........................................................................................................................
-3x3
+ 9x
x2 - 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
- 5x2
+ 15
5x2
- 15
..........................................................................................................................
3x - 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
3x 3 - 5x 2 - 9x + 15 =
(x2 - 3) (3x - 5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
NIDT4CAH 62-117.indd 80
26/12/12 18:54
7.1 - Veeltermen delen
4 D (x) = -x 4 + x 3 + 4x 2 + 11x + 3 -x4 +
d (x) = x 2 - 3x - 1
7
x2 - 3x - 1
x3 + 4x2 + 11x + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
x4 - 3x3 -
Hoofdstuk
x2
..........................................................................................................................
-x2 - 2x - 3
- 2x3 + 3x2 + 11x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
2x3 - 6x2 -
2x
..........................................................................................................................
- 3x2 +
9x + 3
3x2 -
9x - 3
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
2 2 -x 4 + x 3 + 4x 2 + 11x + 3 = . . .(x . . . . . . . . . . . . . . . .3x . . . . . . . . . . . . . . . 1) . . . . . . . . .(-x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x . . . . . . . . . . . . . . . .3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 D (x) = x 4 + 2x 3 + 2x 2 - 2x - 3
d (x) = x 2 - 1
x4 + 2x3 + 2x2 - 2x - 3
..........................................................................................................................
-x4
+
x2
x2 - 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................................
2x3 + 3x2 - 2x
..........................................................................................................................
- 2x3
x2 + 2x + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 2x
..........................................................................................................................
3x2
- 3
- 3x2
+ 3
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
0
..........................................................................................................................
x 4 + 2x 3 + 2x 2 - 2x - 3 =
(x2 - 1) (x2 + 2x + 3)
.......................................................................................................................................................................
81
NIDT4CAH 62-117.indd 81
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Uitdagingen 1 We knippen aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 30 cm bij 50 cm vier gelijke vierkanten met zijde x cm weg. Het overblijvende deel vouwen we tot een doos zonder deksel. 50 cm
x
x
x
x
30 cm
b x
x x
x l
1 De lengte l, breedte b en hoogte h van de doos zijn functies van x. Noteer deze functies met de formulenotatie. 2 Schrijf het volume van de doos als een functie van x. Noem de functie f en vul het functievoorschrift aan met het werkdomein. 3 Waarom is het getal 15 geen nulwaarde van f ? zie pagina 201
2 Bepaal a, b, c en d zodat de veeltermen gelijk zijn. 1 2x 3 - ax 2 + 3x - b en cx 3 + 3x 2 + 3dx + 4 2 4x 3 - 2ax 2 + 3bx + 8 en -4cx 3 + 8x 2 - 18x - d 3 (a + 2)x 2 + (b + 3)x - 5a en 8x 2 + 6x - 2c 4 (4 - ax) ? (4 - bx) en 6x 2 - 20x + c zie pagina 201
3 Bepaal het quotiënt en de rest van de deling. Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. 1 (2x 3 + x 2 + 1) : (4x 2 + 5)
8 3 x 4 + 3 x 2 + : (3x 2 + 1) 9
2 (x 2 + x + 1) : (3x - 2)
4 (2x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x + 7) : (2x 2 + 3x - 5) zie pagina 202
82
NIDT4CAH 62-117.indd 82
26/12/12 18:55
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
3 2 4 Gegeven is de functie f (x) = x + x - 9 x + 1 . Het voorschrift is opgebouwd uit een breuk x2 +1 waarvan teller en noemer veeltermen zijn. De functie f noemen we een rationale functie.
1 Voer de Euclidische deling van x 3 + x 2 - 9x + 1 door x 2 + 1 uit en bepaal het quotiënt q (x) en de rest r (x). 2 In het assenstelsel zijn de grafiek van de functie f en de rechte y = q (x) getekend. y q (x) f (x)
1 0
x
1
x
Hoe verandert het verschil q (x) - f (x) als x groter wordt? Vul de tabel in. x
100
1000
10 000
f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q (x) - f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Stel dat een punt zich onbepaald ver op de kromme verwijdert. Hoe verandert de afstand van dit punt tot de rechte met vergelijking y = q (x)? De rechte y = q (x) noemen we een schuine asymptoot van de grafiek van de functie f . 4 Bepaal een vergelijking van de schuine asymptoot van de grafiek van de functies f , g en h. f (x ) =
3x 4 - 2x 2 + 1 x 3 - 3x + 2
g (x ) =
2x 4 - x 3 - 2x 2 + 1 x3 - x + 1
h( x ) =
5x 3 - 2x 2 + 3 x 2 - 6x - 1
zie pagina 204
83
NIDT4CAH 62-117.indd 83
26/12/12 18:55
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
5 We ontbinden de veelterm x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 in twee factoren. Als de ene factor x 2 + x + 1 is, dan is de tweede factor (A) x 6 + 1
(B) x 6 + x 3 + 1
(D) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
(C) x 6 + x 4 + x 2 + 1
(E) x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 206
6 Als x 2 - x - 1 een deler is van ax 3 + bx 2 + 1, dan is b gelijk aan (A) -2
(B) -1
Vlaamse Wiskunde Olympiade
(C) 0
(D) 1
(E) 2 zie pagina 206
84
NIDT4CAH 62-117.indd 84
26/12/12 18:55
7.1 - Veeltermen delen
Hoofdstuk
7
Vraag & antwoord 1 Wat is de graad van een veelterm f (x)? De hoogste exponent van x. 2 Waarom noemen we 5x 3 - 3x 2 + 2x - 1 een veelterm van de derde graad? Omdat de hoogste exponent van x gelijk is aan 3. 3 Noteer met symbolen dat de graad van een veelterm f (x) gelijk is aan 5. gr(f(x)) = 5 4 Bij de Euclidische deling van twee veeltermen D (x) en d (x) is het quotiënt q (x) en de rest r (x). Aan welke voorwaarden moeten de veeltermen D (x), d (x), q (x) en r (x) voldoen? • D(x) = d(x) ? q(x) + r(x) • gr(r(x)) < gr(d(x)) of r(x) = 0 5 Wanneer is een veelterm D (x) deelbaar door een veelterm d (x)? Als de rest van de deling van D (x) door d (x) nul is.
85
NIDT4CAH 62-117.indd 85
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
7.2
Delingen met veeltermen
Delen door x – a
XX Regel van Horner 1
Instap
We delen de veelterm 3x 3 + 4x 2 + 5x - 5 door x + 2. Met de formule van de Euclidische deling schrijven we: 3x 3 + 4x 2 + 5x - 5 = (x + 2) ? q (x) + r (x) gr(r(x)) < gr(x + 2) of r(x) = 0 3x2 1 Wat is de hoogstegraadsterm van het quotiënt q (x)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 Wat is de graad van de rest r (x)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bepaal het quotiënt q (x) en de rest r (x). 3x 3 + 4x 2 + 5x - 5
x+2 3x2 - 2x + 9
-3x 3 - 6x 2
2 q (x) = . . 3x . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2x . . . . . . . . . .+ . . . . . .9 ...................
.......................................................
- 2x 2 + 5x - 5 + 2x 2 + 4x 9x - 5 -9x - 18 -23
r (x) = . . . -23 ....................................................
....................
4x 2 + 7x + 3
x–5
q(x) = ? r(x) = ?
86
NIDT4CAH 62-117.indd 86
26/12/12 18:55
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
Quotiënt en rest bepalen bij deling door x – a In de praktische schikking voor het delen van de veelterm 2x 3 - 10x 2 + 17x - 7 door x - 3 zoeken we de berekeningen die nodig zijn om de coëfficiënten van het quotiënt en de rest te bepalen. We vatten deze berekeningen samen in een schema. In de bovenste rij van het schema staan de coëfficiënten van het deeltal. In de onderste rij staan de coëfficiënten van het quotiënt en de rest. coëfficiënten van het deeltal
2x 3 - 10x 2 + 17x - 7 -2x 3 + 6x 2
x-3 2x 2 - 4x + 5
- 4x 2 + 17x - 7
-10
2 ?3
a=3 2
6 -4
-7
17 ?3
-12
?3
15 8
5
+ 4x 2 - 12x 5x - 7
coëfficiënten van het quotiënt
rest
- 5x + 15 8
We gaan stapsgewijs na hoe we de coëfficiënten van het quotiënt en de rest berekenen. 1 De eerste coëfficiënt van het deeltal (2) is de eerste coëfficiënt van het quotiënt (2). 2 We vermenigvuldigen de eerste coëfficiënt van het quotiënt (2) met a = 3 en tellen dit product op bij de tweede coëfficiënt van het deeltal. Deze som (-10 + 2 ? 3) is de tweede coëfficiënt van het quotiënt (-4). 3 We vermenigvuldigen de tweede coëfficiënt van het quotiënt (-4) met a = 3 en tellen dit product op bij de derde coëfficiënt van het deeltal. Deze som (17 + (-4) ? 3) is de derde coëfficiënt van het quotiënt (5). 4 We herhalen deze werkwijze tot de laatste coëfficiënt van het deeltal. Deze som (-7 + 5 ? 3) is de rest van de deling (8). In de onderste rij van het schema lezen we de coëfficiënten van het quotiënt af. Omdat de graad van het quotiënt één lager is dan de graad van het deeltal, schrijven we: q (x) = 2x 2 - 4x + 5
87
NIDT4CAH 62-117.indd 87
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Het laatste getal uit de onderste rij is gelijk aan de rest. We stellen de rest voor met de letter r omdat de rest een reëel getal is. r = 8
graad rest < graad deler
Het algoritme om op een snelle wijze het quotiënt en de rest van een deling door x - a te berekenen, noemen we de regel van Horner naar William George Horner (1786-1837). Merk op We schrijven 0 als coëfficiënt in het schema van Horner als in het deeltal een macht van x ontbreekt. Voorbeeld We berekenen het quotiënt en de rest van de deling van 2x 4 + 3x 3 - 2x + 5 door x + 4. 2 a = - 4 2
3
0
-2
5
-8
20
-80
328
-5
20
-82
333
q (x) = 2x 3 - 5x 2 + 20x - 82
2x4 + 3x3 + 0x2 – 2x +5
gr(q(x)) = 4 – 1 = 3
r = 333
2
A
B
Bepaal het quotiënt en de rest van de deling met de regel van Horner. Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. 1 (2x 3 + 3x 2 - 4x + 7) : (x - 1) 2 3 -4 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 a = . . . . . . . . . . . . . . .
2 5 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 5 1 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x2 + 5x + 1 8 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x - 1) (2x2 + 5x + 1) + 8 2x 3 + 3x 2 - 4x + 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
NIDT4CAH 62-117.indd 88
26/12/12 19:18
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
2 (-x 4 + 5x 3 - 7x 2 - 2x + 10) : (x - 3) -1 5 -7 -2 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a= 3 . . . . . . . . . . . . . . .
-3 6 -3 -15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1 2 -1 -5 -5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-5 -x3 + 2x2 - x - 5 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x - 3) (-x3 + 2x2 - x - 5) - 5 -x 4 + 5x 3 - 7x 2 - 2x + 10 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (3x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 3x + 1) : (x + 1) 3 3 5 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = -1 . . . . . . . . . . . . . . .
-3 0 -5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 -2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3x3 + 5x - 2 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x + 1) (3x3 + 5x - 2) + 3 3x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 3x + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 (-x 4 - 6x 3 - 4x 2 + 3x - 9) : (x + 5) -1 -6 -4 3 -9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = -5 . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 -5 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1 -1 1 -2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-x3 - x2 + x - 2 1 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x + 5) (-x3 - x2 + x - 2) + 1 -x 4 - 6x 3 - 4x 2 + 3x - 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (2x 4 + 4x 3 - 3x 2 - 7x - 5) : (x + 2) 2 4 -3 -7 -5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2 a = . . . . . . . . . . . . . . .
-4 0 6 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 -3 -1 -3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q (x) =
2x3 - 3x - 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x 4 + 4x 3 - 3x 2 - 7x - 5 =
-3 r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x + 2) (2x3 - 3x - 1) - 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
NIDT4CAH 62-117.indd 89
26/12/12 19:18
Hoofdstuk
3
A
7
Delingen met veeltermen
B
Bepaal het quotiënt en de rest van de deling met de regel van Horner. Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. 1 (2x 5 - 5x 4 - 3x 3 - 2x 2 + 7x) : (x - 3) 2 -5 -3 -2 7 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 0 -6 3 2 1 0 -2 1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x4 + x3 - 2x + 1 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x - 3) (2x4 + x3 - 2x + 1) + 3 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 - 2x 2 + 7x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 (5x 5 + 8x 4 + 7x 2 + 4) : (x - 2) 5 8 0 7 0 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 36 72 158 316 5 18 36 79 158 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5x4 + 18x3 + 36x2 + 79x + 158 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x - 2) (5x4 + 18x3 + 36x2 + 79x + 158) + 320 5x 5 + 8x 4 + 7x 2 + 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (x 4 + 2x - 5) : (x + 4) 1 0 0 2 -5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4 -4 16 -64 248 1 -4 16 -62 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 -4x2 + 16x - 62 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x + 4) (x3 - 4x2 + 16x - 62) + 243 x 4 + 2x - 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
NIDT4CAH 62-117.indd 90
7/01/13 17:00
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
4 (5x 4 - 9x 3 + 1) : (x - 2) 5 -9 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10 2 4 8 a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 2 4 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5x3 + x2 + 2x + 4 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5x 4 - 9x 3 + 1 =
(x - 2) (5x3 + x2 + 2x + 4) + 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 (-x 5 + 18x 3 - 10x 2 + 32) : (x - 4) -1 0 18 -10 0 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a=
4
. . . . . . . . . . . . . . .
-4 -16 8 -8 -32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1 -4 2 -2 -8 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-x4 - 4x3 + 2x2 - 2x - 8 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -x 5 + 18x 3 - 10x 2 + 32 =
4
A
(x - 4) (-x4 - 4x3 + 2x2 - 2x - 8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Bepaal het quotiënt en de rest van de deling. Gebruik de regel van Horner indien mogelijk. Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. 1 (3x 3 - x + 3) : (x 2 + 2)
3x3 + 0x2 -3x3
x + 3
- 6x - 7x + 3
x2 + 2 3x
q (x) = . .3x ...................................................... r (x) = . .-7x . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .3 ....... (x2 + 2) 3x - 7x + 3 3x 3 - x + 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
NIDT4CAH 62-117.indd 91
7/01/13 17:00
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
2 (3x 3 - x + 3) : (x + 2)
3
0
-1
3
-6 12 -22
a = -2
3 -6
11 -19
2 q (x) = .3x . . . . . . . . . . .. . . . . . 6x . . . . . . . . . .+ . . . . . .11 ......................
r (x) = . . .-19 ......................... (x + 2) (3x2 - 6x + 11) - 19 3x 3 - x + 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 x 3 : (x - 4)
1 0 0 0 4 16 64
a = 4
1 4 16 64 q (x) = . . .x. . . 2. . . . .+ . . . . . .4x . . . . . . . . . .+ . . . . . .16 ....................... r (x) = . . .64 ......................... (x - 4) (x2 + 4x + 16) + 64 x 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 x 4 : (x 3 - 1)
x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 -x4
+
x x
x3 - 1 x
q (x) = . .x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r (x) = . .x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x3 - 1) x + x x 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
NIDT4CAH 62-117.indd 92
7/01/13 17:00
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
XX Reststelling 5
Instap
1 Bepaal het quotiënt en de rest van de delingen met de regel van Horner. 1 3 -1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x 2 + 3x - 1) : (x - 2) x + 5 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r=
a = 2
.......................
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 5 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x 2 + 5x + 17) : (x + 3) x + 2 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r=
a = -3
.......................
11
2 4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2x 2 + 4x + 1) : (x - 3)
r=
a = 3
.......................
31
3 3 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3x 2 + 3x + 5) : (x + 1)
r=
6 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3x q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3 -6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x + 10 q (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a = -1
.......................
5
-3 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bereken de getalwaarden en vul de tabel in. deeltal D (x)
deler x - a
x 2 + 3x - 1
x-2
D(2) = 4 + 6 - 1 = 9
x 2 + 5x + 17
x+3
D(-3) = 9 - 15 + 17 = 11
2x 2 + 4x + 1
x-3
D(3) = 18 + 12 + 1 = 31
3x 2 + 3x + 5
x+1
D(-1) = 3 - 3 + 5 = 5
getalwaarde D (a)
3 Vergelijk de getalwaarde D (a) met de rest r van de deling van D (x) door x - a. Wat stellen we vast? De getalwaarde D(a) is gelijk aan de rest r.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
NIDT4CAH 62-117.indd 93
7/01/13 17:00
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Reststelling De rest van de deling van een veelterm D(x) door x – a is gelijk aan de getalwaarde D(a). Met deze stelling kunnen we de rest van een deling door x - a bepalen zonder de deling uit te voeren. Voorbeeld We bepalen de rest van de deling van de veelterm D (x) = x 3 - 2x + 5 door x + 2 zonder de deling uit te voeren. Volgens de reststelling is de rest r gelijk aan D (-2). D (-2) = (-2)3 - 2 ? (-2) + 5 = -8 + 4 + 5 =1 Bijgevolg: r = 1 Reststelling bewijzen We kunnen de reststelling aantonen met de formule van de Euclidische deling. D (x) = d (x) ? q (x) + r (x)
gr(r(x)) < gr(d(x))
D (x) = (x - a) ? q (x) + r
d(x) = x – a en r(x) = r
D (a) = (a - a) ? q (a) + r
getalwaarde van D(x) voor x = a
D (a) = 0 ? q (a) + r D (a) = r
6
A
B
Bepaal de rest van de deling van D (x) door d (x). Vink elke opgaande deling aan. 1 D (x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3
d (x) = x - 1
r = . . . D(1) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .2 . . . . . . + . . . . . . 3 . . . . . . + . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . .= . . . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 D (x) = 5x 2 + 3x - 2
d (x) = x + 1
✔
r = . . . D(-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . .2 . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 D (x) = x 3 - 2x + 2
d (x) = x - 2
r = . . . D(2) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .8 . . . . . . . . . . . .4 . . . . . . + . . . . . . 2 . . . . . . = . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 D (x) = 3x 4 + 6x 3 + 2x 2 + 5x - 1
d (x) = x + 2
r = . . . D(-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . .+ . . . . . .8 . . . . . . . . . . . .10 . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . .= . . . . . .-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
NIDT4CAH 62-117.indd 94
9/12/12 11:58
7.2 - Delen door x – a
5 D (x) = 2x 3 - 7x 2 + 3
Hoofdstuk
7
d (x) = x - 4
r = . . . D(4) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . .3 . . . . . .= . . . . . .19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 D (x) = x 4 + x 3 - x 2 - x + 1
d (x) = x - 1
r = . . . D(1) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . . + . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . .+ . . . . . .1 . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 D (x) = x 8 - 27x
d (x) = x + 2
r = . . . D(-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .256 . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .54 . . . . . . . . . = . . . . . . .310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 D (x) = 2x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 8x
d (x) = x - 2
✔
r = . . . D(2) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .32 . . . . . . . . . . . . . . . .40 . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . + . . . . . . .16 . . . . . . . . . = . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
A
B
Bepaal p zodat de deling de gegeven rest heeft. 1 (2x 3 + px 2 - x - 7) : (x - 2)
r=3
D(2) = 16 + 4p - 2 - 7 = 4p + 7
.................................................................................................................................................................................................................................
4p + 7 = 3
.................................................................................................................................................................................................................................
4p = -4
.................................................................................................................................................................................................................................
p = -1
.................................................................................................................................................................................................................................
2 (5x 4 + 18x 3 + px 2 - x + 15) : (x + 3)
r=0
D(-3) = 405 - 486 + 9p + 3 + 15 = 9p - 63
.................................................................................................................................................................................................................................
9p - 63 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
9p = 63
.................................................................................................................................................................................................................................
p = 7
.................................................................................................................................................................................................................................
3 (x 4 - px 3 + 3) : (x - 3)
r=5
D(3) = 81 - 27p + 3 = -27p + 84
.................................................................................................................................................................................................................................
-27p + 84 = 5
.................................................................................................................................................................................................................................
-27p = -79
.................................................................................................................................................................................................................................
p = 79 27
.................................................................................................................................................................................................................................
95
NIDT4CAH 62-117.indd 95
26/12/12 19:20
Hoofdstuk
8
A
7
Delingen met veeltermen
B
Bepaal p zodat de deling de gegeven rest heeft. 1 (4x 2 - 4px + p 2) : (x + 1)
r=0
D(-1) = 4 + 4p + p2
.................................................................................................................................................................................................................................
p2 + 4p + 4 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
(p + 2)2 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
p + 2 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
p = -2
.................................................................................................................................................................................................................................
2 (p 2x 2 - 3px + 5) : (x - 3)
r=3
D(3) = 9p2 - 9p + 5
.................................................................................................................................................................................................................................
9p2 - 9p + 5 = 3
.................................................................................................................................................................................................................................
9p2 - 9p + 2 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
p =
2 3
of
p =
1 3
D = 81 - 72 = 9
.................................................................................................................................................................................................................................
p =
9 + 3 12 2 = = 18 18 3
p =
9-3 6 1 = = 18 18 3
................................................................................................................................................................................................................................. 1
................................................................................................................................................................................................................................. 2
96
NIDT4CAH 62-117.indd 96
26/12/12 19:20
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
XX Deelbaarheid door x – a 9
Instap
Onderzoek met de reststelling of de veeltermen deelbaar zijn door x - a. Vink in het schema de delers aan.
veelterm
deler x - a x-1
x+1
x-2
x+2
x 2 + 5x + 4
✔
x 3 + x 2 - 4x - 4
✔
✔
✔
✔
✔
✔
-x 4 + 5x 2 - 4
✔
x-3
x+3
x-4
x+4 ✔
x 2 - 16
✔
✔
Deelbaarheid door x – a Een veelterm D (x) is deelbaar door x - a als de rest van de deling nul is. Volgens de reststelling is de rest gelijk aan de getalwaarde D (a). Kenmerk van deelbaarheid door x – a Een veelterm D(x) is deelbaar door x – a als en slechts als de getalwaarde D(a) gelijk is aan nul. Voorbeeld We onderzoeken of de veelterm D (x) = 2x 3 + 3x 2 - 5x - 6 deelbaar is door x + 2. We berekenen: D (-2) = 2 ? (-2)3 + 3 ? (-2)2 - 5 ? (-2) - 6 = -16 + 12 + 10 - 6 =0 De veelterm D (x) is deelbaar door x + 2. Eigenschap Als een veelterm D(x) met gehele coëfficiënten deelbaar is door x – a, met a een geheel getal, dan is a een deler van de constante term van D(x). Bijgevolg kunnen alleen delers a van de constante term van D (x), delers van de vorm x - a opleveren.
97
NIDT4CAH 62-117.indd 97
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Voorbeeld We zoeken alle delers x - a met a een geheel getal van de veelterm 2x 3 + 3x 2 - 5x - 6. Delers van de constante term - 6 zijn 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 en - 6. a
1
-1
2
-2
3
-3
6
- 6
D (a)
- 6
0
12
0
60
-18
504
-300
Delers van de veelterm 2x 3 + 3x 2 - 5x - 6 zijn x + 1 en x + 2.
10
A
B
Zet een vinkje als de veelterm D (x) deelbaar is door d (x). 1 D (x) = 3x 3 - 2x + 4
d (x) = x + 2
D(-2) = -24 + 4 + 4 = -16 ≠ 0
.................................................................................................................................................................................................................................
2 D (x) = 3x 5 - 7x 4 + 2x 2 - 4x + 6
d (x) = x - 1
✔
D(1) = 3 - 7 + 2 - 4 + 6 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
3 D (x) = x 3 + 2x 2 - 2x + 3
d (x) = x + 3
✔
D(-3) = -27 + 18 + 6 + 3 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
4 D (x) = x 4 - 2x 3+ 5x - 7
d (x) = x - 2
D(2) = 16 - 16 + 10 - 7 = 3 ≠ 0
.................................................................................................................................................................................................................................
5 D (x) = x 3 + 8x 2+ 8x - 35
d (x) = x + 5
✔
D(-5) = -125 + 200 - 40 - 35 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
6 D (x) = x 5 - 4x 4 + 2x 2 - 8x - 5
d (x) = x - 4
D(4) = 1024 - 1024 + 32 - 32 - 5 = -5 ≠ 0
.................................................................................................................................................................................................................................
7 D (x) = x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 7x + 3
d (x) = x - 3
✔
D(3) = 81 - 81 + 18 - 21 + 3 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
8 D (x) = x 4 - x 3 - x 2 + 2x - 1
d (x) = x + 1
D(-1) = 1 + 1 - 1 - 2 - 1 = -2 ≠ 0
.................................................................................................................................................................................................................................
98
NIDT4CAH 62-117.indd 98
9/12/12 11:58
7.2 - Delen door x – a
11
A
Hoofdstuk
7
B
De veelterm heeft -12 als constante term. Zet een vinkje bij elke deler a van -12 waarvoor x - a een deler is van de veelterm. Maak gebruik van ICT. veelterm
delers van -12 1
-1
2 ✔
1
x 4 - 6x 3 + 9x 2 + 4x - 12
✔
2
x 3 - 13x - 12
✔
3
x 4 + 8x 3 + 11x 2 - 8x - 12
4
x 3 + 3x 2 - 4x - 12
5
x 4 + 9x 3 - 33x 2 + 35x - 12
12
A
✔
✔
-2
3
-3
4
✔
✔
✔
6
- 6
12 -12
✔
✔ ✔
-4
✔
✔ ✔ ✔
B
Bepaal p met het kenmerk van deelbaarheid door x - a zodat de veelterm D (x) deelbaar is door de deler d (x). 1 D (x) = 2x 3 + 3x 2 + px + 5
d (x) = x + 2
D(-2) = -16 + 12 - 2p + 5 = -2p + 1
.................................................................................................................................................................................................................................
-2p + 1 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
-2p = -1
.................................................................................................................................................................................................................................
p =
1 2
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
2 D (x) = x 3 + px + 12
d (x) = x - 3
D(3) = 27 + 3p + 12 = 3p + 39
.................................................................................................................................................................................................................................
3p + 39 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
3p = -39
.................................................................................................................................................................................................................................
p = -13
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
99
NIDT4CAH 62-117.indd 99
26/12/12 19:23
Hoofdstuk
13
A
7
Delingen met veeltermen
B
We onderzoeken het kenmerk van deelbaarheid door (x - a) (x - b). Gegeven is de veelterm D (x) = x 7 - x 5 + 7x 2 - 7. 1 Toon aan dat D (x) deelbaar is door x - 1 en door x + 1. D(1) = 1 - 1 + 7 - 7 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D(-1) = -1 + 1 + 7 - 7 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Toon aan dat D (x) deelbaar is door het product (x - 1) (x + 1). x7 + 0x6 - x5 + 0x4 + 0x3 + 7x2 + 0x - 7
.....................................................................................................................................................................
-x7
+ x5
x2 - 1
................................................................................
.....................................................................................................................................................................
7x2
- 7
- 7x2
+ 7
.....................................................................................................................................................................
x5 + 7
................................................................................
.....................................................................................................................................................................
0
.....................................................................................................................................................................
3 Vervolledig het kenmerk van deelbaarheid door (x - a) (x - b). Een veelterm D(x) is deelbaar door (x – a) (x – b) met a π b als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(x) deelbaar is door x - a en door x - b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Toon aan dat D (x) = x 5 + x 4 - 6x 3 + 3x 2 + 3x - 18 deelbaar is door (x - 2)(x + 3) zonder de deling uit te voeren. D(2) = 32 + 16 - 48 + 12 + 6 - 18 = 0 ➜ D(x) is deelbaar door x - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(-3) = -243 + 81 + 162 + 27 - 9 - 18 = 0 ➜ D(x) is deelbaar door x + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omdat 2 ≠ -3 is D(x) deelbaar door (x - 2) (x + 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Instap
1 Toon met de reststelling aan dat de tweeterm D (x) = x 3 - 8 deelbaar is door x - 2. D(2) = 23 - 8 = 8 - 8 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bepaal het quotiënt van de deling van x 3 - 8 door x - 2. 1 0 0 -8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 2
.........................
2 4 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2 + 2x + 4 q (x) = . . . . . . . . 100
NIDT4CAH 62-117.indd 100
8/01/13 15:00
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
3 Ontbind x 3 - 8 in factoren. x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ontbinding van x3 – a3 en x3 + a3 We kunnen het verschil en de som van twee derdemachten ontbinden in factoren. Ontbinding van x3 – a3 Met de reststelling tonen we aan dat de tweeterm f (x) = x 3 - a 3 deelbaar is door x - a: f (a) = a 3 - a 3 = 0 We berekenen het quotiënt q (x) van x 3 - a 3 door x - a met de regel van Horner. 1 a 1
0
0
-a 3
a
a2
a3
x–a
a
a2
0
q(x) = x2 + ax + a2
f(x) = x3 + 0x2 + 0x – a3
Met de formule van de Euclidische deling kunnen we x 3 - a 3 ontbinden in factoren. Formule: x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2) Voorbeeld We ontbinden x 3 - 8 in factoren. x3 - 8 = x3 - 23 = (x - 2)(x 2 + 2x + 4) Ontbinding van x3 + a3 Met de reststelling tonen we aan dat de tweeterm f (x) = x3 + a3 deelbaar is door x + a: f (-a) = (-a)3 + a 3 = -a 3 + a 3 = 0 We berekenen het quotiënt q (x) met de regel van Horner. 1 -a 1
0
0
a3
-a
a2
-a 3
-a
a2
0
f(x) = x3 + 0x2 + 0x + a3 x + a = x – (–a) q(x) = x2 – ax + a2
Met de formule van de Euclidische deling kunnen we x 3 + a 3 ontbinden in factoren. Formule: x3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2) Voorbeeld We ontbinden x 3 + 8 in factoren. x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x 2 - 2x + 4)
101
NIDT4CAH 62-117.indd 101
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
15
A
7
Delingen met veeltermen
B
Ontbind in factoren. 2 2 ........+ . . . . . . .y) . . . . . . . (x . . . . . . . . . . .. . . . . .xy . . . . . . . . .+ . . . . . .y . . . . .) .......................................................................................................................................... 1 x 3 + y 3 = . . (x
(s - t) (s2 + st + t2) 2 s 3 - t 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . .+ . . . . . .1) . . . . . . . . (x . . . . . . . . . .. . . . . .x . . . . . .+ . . . . . . 1) ................................................................................................................................................... 3 x 3 + 1 = . . . .(x 2 . . . . . . . .. . . . . .3) . . . . . . . . (x . . . . . . . . . .+ . . . . . . 3x . . . . . . . . . .+ . . . . . .9) ............................................................................................................................................. 4 x 3 - 27 = . . .(x
5 a3 - 8 =
(a - 2) (a2 + 2a + 4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 27s 3 + 8t 3 =
(3s)3 + (2t)3 = (3s + 2t) (9s2 - 6st + 4t2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 125a 3 - 64b 3 =
(5a)3 - (4b)3 = (5a - 4b) (25a2 + 20ab + 16b2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(10x)3 - 13 = (10x - 1) (100x2 + 10x + 1) 8 1000x 3 - 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (xy)3 + z3 = (xy + z) (x2y2 - xyz + z2) 9 x 3 y 3 + z 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4ab)3 - c3 = (4ab - c) (16a2b2 + 4abc + c2) 10 64a 3b 3 - c 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
A
B
Ontbind in factoren. -(x3 - a3) = -(x - a) (x2 + ax + a2) 1 -x 3 + a 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -(s3 + t3) = -(s + t) (s2 - st + t2) 2 -s 3 - t 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 . . . . . . .) . . . . . . .+ . . . . . . (y . . . . . . . .). . . . . . = . . . . . . (x ..........+ . . . . . . .y . . . . .) . . . . (x . . . . . . . . . . .. . . . . .x . . . . .y . . . . . . . .+ . . . . . .y . . . . .) ........................................................................................ 3 x 6 + y 6 = . . . .(x
4 x9 + 1 =
(x3)3 + 13 = (x3 + 1) (x6 - x3 + 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3x)3 + 13 = (3x + 1) (9x2 - 3x + 1) 5 27x 3 + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5x2)3 + 13 = (5x2 + 1) (25x4 - 5x2 + 1) 6 125x 6 + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x4)3 - (y5)3 = (x4 - y5) (x8 + x4y5 + y10) 7 x 12 - y 15 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 . . . . . .2 . . . .) . . . . . . .= . . . . . .(x . . . . . . . .. . . . . . . . . .2 . . . .). . . . (x . . . . . . . . . .+ . . . . . . . . . .2 . . . .x . . . . . .+ . . . . . .2) ............................................................................................... 8 x 3 - 8 = . . .x. . .3. . . . .-. . . . . .(
102
NIDT4CAH 62-117.indd 102
26/12/12 19:25
7.2 - Delen door x – a
17
A
Hoofdstuk
7
B
Ontbind in factoren. x (x3 - 1) = x (x - 1) (x2 + x + 1) 1 x 4 - x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 (a3 + 8) = 2 (a + 2) (a2 - 2a + 4) 2 2a 3 + 16 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ab (b3 - a3) = ab (b - a) (b2 + ab + a2) 3 ab 4 - a 4b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2a4)3 + (5b)3 = (2a4 + 5b) (4a8 - 10a4b + 25b2) 4 8a 12 + 125b 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
A
B
Ontbind x 6 - y 6 in factoren als een verschil van twee kwadraten en als een verschil van twee derdemachten. 3 3 2 2 1 x 6 - y 6 = (. . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . .) - (. . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . .)
= (x3 - y3) (x3 + y3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= (x - y) (x2 + xy + y2) (x + y) (x2 - xy + y2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 3 3 2 x 6 - y 6 = (. . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . .) - (. . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . .)
= (x2 - y2) (x4 + x2y2 + y4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= (x - y) (x + y) (x4 + x2y2 + y4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de eerste werkwijze. Volgens welke werkwijze verkrijgen we de meeste factoren? Volgens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leid uit deze twee ontbindingen van x 6 - y 6 een ontbinding af van de veelterm x 4 + x 2y 2 + y 4. 2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 4 + x 2y 2 + y 4 = (x
19
A
B
Ontbind in zoveel mogelijk factoren. 2 3 3 2 4 2 1 x 6 + 1 = . . (x . . . . . . . .) . . . . . . .+ . . . . . .1 . . . . . . . .= . . . . . .(x . . . . . . . . . .+ . . . . . . 1) . . . . . . . . (x ........... . . . . . .x . . . . . . . .+ . . . . . .1) ................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x3)2 - 82 = (x3 - 8) (x3 + 8) 2 x 6 - 64 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x - 2) (x2 + 2x + 4) (x + 2) (x2 - 2x + 4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2 ((x3)2 - 1) = x2 (x3 + 1) (x3 - 1) 3 x 2 (x 6 - 1) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = x2 (x + 1) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + x + 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
NIDT4CAH 62-117.indd 103
26/12/12 19:25
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Veeltermen met onbepaalde coëfficiënten Om onbepaalde coëfficiënten te berekenen van een veelterm die aan één of meerdere voorwaarden moet voldoen, kunnen we de formule van de Euclidische deling, de reststelling of het kenmerk van deelbaarheid door x - a toepassen. Voorbeeld We bepalen de rest van de deling van D (x) door (x - 2)(x - 3) als gegeven is dat de veelterm D (x) bij deling door x - 2 rest 28 heeft en bij deling door x - 3 rest 80. De deling van D (x) door (x - 2)(x - 3) schrijven we met de formule van de Euclidische deling: D(x) = (x - 2)(x - 3) ? q (x) + r (x) en gr(r (x)) < gr((x - 2)(x - 3)) of r (x) = 0 Omdat de deler (x - 2)(x - 3) van de tweede graad is, kan de rest hoogstens van de eerste graad zijn. De rest r (x) schrijven we met de onbepaalde coëfficiënten a en b: r (x) = ax + b Bijgevolg kunnen we de veelterm D (x) schrijven als: D(x) = (x - 2)(x - 3) ? q (x) + ax + b Uit het gegeven en de reststelling volgt: D (2) = 28 (2 - 2)(2 - 3) ? q (2) + a ? 2 + b = 28 2a + b = 28 D (3) = 80 (3 - 2)(3 - 3) ? q (3) + a ? 3 + b = 80 3a + b = 80 Om de onbepaalde coëfficiënten a en b te bepalen, lossen we het stelsel op: 2 a + b = 28 3 a + b = 80 2a + b = 28 -3a - b = -80 -a
= -52
?1
?3
?(-1)
?(-2) 6a + 3b =
84
-6a - 2b = -160 b = -76
a = 52 De rest van de deling van D (x) door (x - 2)(x - 3) is gelijk aan de veelterm 52x - 76.
104
NIDT4CAH 62-117.indd 104
9/12/12 11:58
7.2 - Delen door x – a
20
A
Hoofdstuk
7
B
Bepaal de rest van de deling van D (x) door (x - 2)(x + 5) als gegeven is dat de veelterm D (x) bij deling door x - 2 rest 31 heeft en bij de deling door x + 5 rest 122. D(x) . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .(x . . . . . . . .. . . . . .2) . . . . . . . . (x . . . . . . . .+ . . . . . . 5) . . . . . . . . .· . . . . . .q(x) . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .r(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . . . . . . .gr . . . . . .( . .r(x) . . . . . . . . . .) . . . . .< . . . . . .gr . . . . . .( . .(x . . . . . . . .. . . . . . 2) . . . . . . . . (x ........+ . . . . . . 5) . . . . . .) . . . . .of . . . . . . . . r(x) . . . . . . . . . . . . .= ..... 0 r(x) . . . . . . . . . . . .is . . . . . . .hoogstens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .eerste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .graad . . . . . . . . . . . . . . . . . .omdat . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x . . . . . . . .. . . . . . 2) . . . . . . . . (x . . . . . . . .+ . . . . . .5) . . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .tweede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .graad . . . . . . . . . . . . . . . . . is. ..... Bijgevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is . . . . . . . D(x) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .(x . . . . . . . .. . . . . .2) . . . . . . . . (x . . . . . . . .+ . . . . . . 5) . . . . . . . . .· . . . . . .q(x) . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .(ax . . . . . . . . . . .+ . . . . . . b) ........................................................................................... Uit . . . . . . . . . . .het . . . . . . . . . . . gegeven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . .de . . . . . . . . .reststelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .volgt: ..................................................................................................................................... D(2) . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D(-5) . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 122 ......................................................................................... (2 . . . . . . .. . . . . .2) . . . . . . . .(2 . . . . . . . .+ . . . . . 5) . . . . . . . .· . . . . . .q(2) . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .(a . . . . . . .· . . . . . .2 . . . . . .+ . . . . . b) . . . . . . . .= . . . . . .31 . . . . . . . . . . . . . .(-5 . . . . . . . . . . .. . . . . .2) . . . . . . . .(-5 . . . . . . . . . . .+ . . . . . .5) . . . . . . . .· . . . . . q(-5) . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . .( . . a·(-5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .b . . .) . . . . .= 122 2a + b = 31 -5a + b = 122 ........................................................................................................................................................................................................................................ We . . . . . . . . . . . lossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . het . . . . . . . . . . . . stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .op: ......................................................................................................................................................................... 2a + b = 31
· 1
· 5
· (-1)
· 2
........................................................................................................................................................................................................................................
-5a + b = 122
........................................................................................................................................................................................................................................
2a . . . . . . . . .+ . . . . . .b . . . . . .= . . . . . . . . . . . . .31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10a . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .5b .........= . . . . . . .155 ......................................................................................................... 5a . . . . . . . . .. . . . . .b . . . . . .= . . . . . .-122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-10a . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .2b .........= . . . . . . .244 ......................................................................................................... 7a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .. . . . . . .91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7b .........= . . . . . . .399 ......................................................................................................... a = - 13
b =
57
........................................................................................................................................................................................................................................
De . . . . . . . . . rest . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . deling . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . D(x) . . . . . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . . . . . .(x . . . . . . . .. . . . . .2) . . . . . . . .(x . . . . . . . .+ . . . . . . 5) . . . . . . . . is . . . . . . . gelijk . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . . veelterm ...................................... -13x . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .57. ..................................................................................................................................................................................................................
21
A
B
Bepaal de rest van de deling van D (x) door (x - 4)(x + 2) als gegeven is dat de veelterm D (x) bij deling door x - 4 rest -14 heeft en bij deling door x + 2 rest 28. D(x) = (x - 4) (x + 2) · q(x) + r(x)
en
gr(r(x)) < gr((x - 4) (x + 2)) of r(x) = 0
........................................................................................................................................................................................................................................
r(x) is hoogstens van de eerste graad omdat (x - 4) (x + 2) van de tweede graad is.
........................................................................................................................................................................................................................................
Bijgevolg is D(x) = (x - 4) (x + 2) · q(x) + (ax + b)
........................................................................................................................................................................................................................................
Uit het gegeven en de reststelling volgt:
........................................................................................................................................................................................................................................
D(4) = -14
D(-2) = 28
........................................................................................................................................................................................................................................
105
NIDT4CAH 62-117.indd 105
7/01/13 17:04
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
(4 . . . . . . . .. . . . .4) . . . . . . .(4 . . . . . . .+ . . . . . .2) . . . . . . .· . . . . . q(4) . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .(a ......· . . . . . .4 . . . . .+ . . . . . b) .......= . . . . . .-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(-2 . . . . . . . . . . .. . . . .4) . . . . . . .(-2 . . . . . . . . . . .+ . . . . .2) . . . . . . .· . . . . . q(-2) . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . .( . .a . . . . .· . . . . . .(-2) . . . . . . . . . . . .+ .....b . . . .) . . . .= . . 28 4a . . . . . . . . . .+ . . . . . .b . . . . . .= . . . . . .-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-2a . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .b . . . . . .= . . . . . .28 ................................................................................. We . . . . . . . . . . . .lossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . het . . . . . . . . . . . .stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .op: ........................................................................................................................................................................ 4a + b = -14
· 1
· 1
· (-1)
· 2
........................................................................................................................................................................................................................................
-2a + b =
28
........................................................................................................................................................................................................................................
4a . . . . . . . . . .+ . . . . . .b . . . . . .= . . . . . .-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4a . . . . . . . . .+ . . . . . . . . . .b . . . . . .= . . . . . .-14 ............................................................................................................ 2a . . . . . . . . . .. . . . . .b . . . . . .= . . . . . .-28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4a . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 2b . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . 56 ......................................................................................................... 6a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .-42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3b . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . 42 ......................................................................................................... a = - 7
b =
14
........................................................................................................................................................................................................................................
De . . . . . . . . . . rest . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . . deling . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . D(x) . . . . . . . . . . . . . . .door . . . . . . . . . . . . . . (x . . . . . . . . .. . . . . .4) . . . . . . . .(x . . . . . . . .+ . . . . . .5) . . . . . . . . is . . . . . . . gelijk . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .veelterm ..................................... -7x . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 14. .....................................................................................................................................................................................................................
22
Instap
Een vlucht met een luchtballon duurt drie uur. De hoogte van de ballon kunnen we beschrijven met de formule: h = -100t ? (t - 1)2 ? (t - 3) h: hoogte in meter t: tijd in uur
Op welke tijdstippen staat de ballon aan de grond? 2 -100t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .· . . . . . .(t . . . . . . .. . . . . 1) . . . . . . . . . .· . . . . . .(t . . . . . . .. . . . . .3) . . . . . . . .= .....0 ......................................................................................................................................................... 2 -100t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (t . . . . . . .. . . . . .1) . . . . . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .t . . . . .. . . . . .3 . . . . . .= . . . . . .0 .............................................................
t. . . . . = . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .t . . . . .= . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .t . . . . .= .....3 ......................................................................... De . . . . . . . . . .ballon . . . . . . . . . . . . . . . . . staat . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . grond . . . . . . . . . . . . . . . . . bij . . . . . . . . . .het . . . . . . . . . . .begin . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .vlucht, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .na . . . . . . . .1 . . . . . .uur . . . . . . . . . . .en . . . . . . . .op . . . . . . . . het . . . . . . . . . . . .einde .................... van . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .vlucht. .................................................................................................................................................................................................................... 106
NIDT4CAH 62-117.indd 106
7/01/13 17:04
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
Hogeregraadsvergelijkingen a ? b = 0 oplossen Om een hogeregraadsvergelijking van de vorm a ? b = 0 op te lossen: • stellen we elke factor gelijk aan nul; • lossen we de verkregen vergelijkingen op. Voorbeelden (x - 1)(x 2 - 4) = 0 x - 1 = 0
x 2 - 4 = 0
elke factor gelijkstellen aan nul
x = 1
x 2 = 4
vergelijkingen oplossen
x = 2 of x = -2
of
75t 2 - 5t 3 = 0 5t 2 (15 - t) = 0
gemeenschappelijke factor 5t2 afzonderen
5t 2 = 0
15 - t = 0
elke factor gelijkstellen aan nul
t = 15
vergelijkingen oplossen
of
t = 0
23
A
B
Los de vergelijking op. 1 (x + 1)(x 2 - 9) = 0 x + 1 = 0
of
2 (x + 4)(x 2 + 4) = 0
......................................................................................................
x2 - 9 = 0
......................................................................................................
......................................................................................................
x = -1
x2 = 9
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 3
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
x = -3
3 7x 2(3x + 5) = 0 7x2 = 0
of
x + 4 = 0
of
x2 + 4 = 0
x = -4
x2 = -4
geen oplossingen
4 (3x + 1)(2x - 5)2 = 0
......................................................................................................
3x + 5 = 0
......................................................................................................
x2 = 0
3x = -5
......................................................................................................
x = 0
x = - 5 3
......................................................................................................
3x + 1 = 0
of
(2x - 5)2 = 0
3x = -1
2x - 5 = 0
x = - 1 3
2x = 5
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 5 2
107
NIDT4CAH 62-117.indd 107
7/01/13 17:04
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
5 x(x 3 + 8) = 0 x = 0
6 (x - 5)(x 2 - 5) = 0
of
x - 5 = 0
x3 + 8 = 0
of
x2 - 5 = 0
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
x3 = -8
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
24
x2 = 5
x = -2
A
x =
5
of
x = - 5
B
Los de vergelijking op. 1 (x 2 + 4x - 5)(x 2 - 5x - 14) = 0 x2 + 4x - 5 = 0
of
x2 - 5x - 14 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 1
of
x = 7
x = - 5
of
x = -2
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
2 (2x 2 + 3x + 1)(2x 2 + 5x + 1) = 0 2x2 + 3x + 1 = 0
of
2x2 + 5x + 1 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = - 1 2
of
x = 1 x = -5 + 17 4
of
x = -5 - 17 4
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
x = -0,219…
x = -2,280…
.................................................................................................................................................................................................................................
3 x 2(x 2 - 3x - 4) = 0 x2 = 0
of
x2 - 3x - 4 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 0
x = 4
of
x = -1
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
4 (x 2 + 4x - 3)(5x 2 - 3x - 4) = 0 x2 + 4x - 3 = 0
of
5x2 - 3x - 4 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = -4 + 28 2
of
x = -4 - 28 2
x = 3 + 89 10
x = -4,645…
x = 1,243…
of
x = 3 - 89 10
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 0,645…
x = -0,643…
.................................................................................................................................................................................................................................
108
NIDT4CAH 62-117.indd 108
26/12/12 19:40
7.2 - Delen door x – a
25
A
Hoofdstuk
7
B
Los de vergelijking op. 1 x 3 - 4x = 0 x (x2 - 4) = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 0
of
x2 - 4 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 2
of
x = -2
.................................................................................................................................................................................................................................
2 x 3 + x 2 - 2x = 0 x (x2 + x - 2) = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 0
of
x2 + x - 2 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 1
of
x = -2
.................................................................................................................................................................................................................................
3 2x 4 + 2x = 0 2x (x3 + 1) = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
2x = 0
of
x3 + 1 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 0
x = -1
.................................................................................................................................................................................................................................
Derdegraadsvergelijkingen oplossen met deling door x – a Als a een oplossing van een derdegraadsvergelijking D (x) = 0 voorstelt, dan is de getalwaarde D (a) gelijk aan nul. Bijgevolg is de veelterm D (x) deelbaar door x - a en kunnen we de vergelijking D (x) = 0 oplossen. D (x) = 0 (x - a) ? q (x) = 0
q(x) is het quotiënt van D(x) door x – a
x - a = 0 of q (x) = 0
elke factor gelijkstellen aan nul
De vergelijking x - a = 0 heeft a als oplossing. De vergelijking q (x) = 0 is een tweedegraadsvergelijking die we kunnen oplossen. Voorbeeld We lossen de vergelijking 6x 3 - 13x 2 + x + 2 = 0 op. We zoeken een deler x - a met a een geheel getal van de veelterm 6x 3 - 13x 2 + x + 2.
109
NIDT4CAH 62-117.indd 109
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
Delers van de constante term 2 zijn 1, -1, 2 en -2. a
1
-1
2
-2
D (a)
-4
-18
0
-100
Een deler van de veelterm 6x 3 - 13x 2 + x + 2 is x - 2. We lossen de vergelijking op: 6x 3 - 13x 2 + x + 2 = 0
6x3 – 13x2 + x + 2 delen door x – 2 6 a=2
(x - 2)(6x 2 - x - 1) = 0
6
–13
1
2
12
–2
–2
–1
–1
0
q(x) = 6x2 – x – 1
x - 2 = 0
6x 2 - x - 1 = 0
of
x = 2
x=
1 2
of
elke factor gelijkstellen aan nul
1 x = - 3
D = (–1)2 – 4 ? 6 ? (–1) = 25 > 0 –(–1)+ 25 1 = 2 2 6 1 1–5 = –– x2 = 12 3 x1 =
Merk op
Een derdegraadsvergelijking heeft hoogstens drie oplossingen.
26
A
B
Los de derdegraadsvergelijking op. 1 x 3 - 7x + 6 = 0 1
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
Een deler van de veelterm x3 - 7x + 6 is x - 1.
.................................................................................................................................................................................................................................
We lossen de vergelijking op:
.................................................................................................................................................................................................................................
x3 - 7x + 6 = 0
a = 1
(x - 1) (x2 + x - 6) = 0
1 0 -7
6
.................................................................................................................................................................................................................................
1
1
-6
.................................................................................................................................................................................................................................
1 1 -6
0
.................................................................................................................................................................................................................................
x - 1 = 0
of
x2 + x - 6 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = 1
x = 2
of
x = -3
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
110
NIDT4CAH 62-117.indd 110
7/01/13 17:07
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
2 2x 3 + 3x 2 - 12x - 20 = 0 1 -1 2 -2
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-27 -7 -16 0
3 2 Een . . . . . . . . . . . .deler . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x . . . . . . . . . . .+ . . . . . .3x . . . . . . . . . . .. . . . . .12x . . . . . . . . . . . .. . . . . . 20 . . . . . . . . . is . . . . . . .x . . . . . .+ . . . . . 2. .........................................................................
We . . . . . . . . . . . lossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .op: .......................................................................................................................................................... 3 2 2x . . . . . . . . . . .+ . . . . . .3x . . . . . . . . . . .. . . . . .12x . . . . . . . . . . . .. . . . . .20 . . . . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . .3 -12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-20 ...................................
............................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . .= . . . .-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . 20 ................................. 2 (x . . . . . . . .+ . . . . . 2) . . . . . . . . (2x . . . . . . . . . . . . .. . . . . .x . . . . . .. . . . . .10) . . . . . . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . -1 -10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 .............................. 2 x. . . . . .+2 . . . . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .of . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x . . . . . . . . . . . .. . . . .x . . . . . .. . . . . .10 . . . . . . . . .= . . . . . .0 .........................................................................................................................
x. . . . . .=. . . . . -2 .................................................x . . . . . .= . . . . . .-2 . . . . . . . . . . . . . .of . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . 2,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vkv . . . . . . . .oplossen ........................................... .................................................................................................................................................................................................................................
3 6x 3 - 17x 2 - 31x + 12 = 0 1 -1 2 -2 3 -3 4
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-30 20 -70 -42 -72 -210 0
3 2 Een . . . . . . . . . . . .deler . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6x . . . . . . . . . . .. . . . . .17x ............... . . . . . 31x . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .12 . . . . . . . . .is . . . . . .x . . . . . .. . . . . .4. .....................................................................
We . . . . . . . . . . . lossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .op: .......................................................................................................................................................... 3 2 6x . . . . . . . . . . .. . . . . .17x . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .31x ............+ . . . . . . 12 .........= . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . .-17 -31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 .................................
............................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . .= . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . .28 . . . . . . . . . . . . . .-12 ................................... 2 (x . . . . . . . .. . . . . 4) . . . . . . . . (6x . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 7x . . . . . . . . .. . . . . .3) . . . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . . . . . . .7 -3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 .............................. 2 x. . . . . .-. . . . . 4 . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .of . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6x . . . . . . . . . . . .+ . . . . . 7x . . . . . . . . .. . . . . .3 . . . . . .= . . . . . .0 .........................................................................................................................
1 3 x. . . . . .=. . . . . 4 .................................................x . . . . . .= . . . . . .- . . . . . . . . . . . . . . . of . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vkv . . . . . . . .oplossen ........................................... 3 2 .................................................................................................................................................................................................................................
111
NIDT4CAH 62-117.indd 111
7/01/13 17:07
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
4 x 3 + x 2 - 10x - 12 = 0 1 -1 2 -2 3 -3
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-20 -2 -20 4 -6 0
Een deler van de veelterm x3 + x2 - 10x - 12 is x + 3.
.................................................................................................................................................................................................................................
We lossen de vergelijking op:
.................................................................................................................................................................................................................................
x3 + x2 - 10x - 12 = 0
a = -3
(x + 3) (x2 - 2x - 4) = 0
1
1 -10 -12
.................................................................................................................................................................................................................................
-3
6
12
.................................................................................................................................................................................................................................
1 -2 -4
0
.................................................................................................................................................................................................................................
x + 3 = 0
of
x2 - 2x - 4 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = -3
x = 1 +
x = 3,236…
5
of
x = 1 -
5
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
x = -1,236…
.................................................................................................................................................................................................................................
5 x 3 + 5x 2 + 7x + 12 = 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 9 54 10 105 9 184 0
Een deler van de veelterm x3 + 5x2 + 7x + 12 is x + 4.
.................................................................................................................................................................................................................................
We lossen de vergelijking op:
.................................................................................................................................................................................................................................
x3 + 5x2 + 7x + 12 = 0
a = -4
(x + 4) (x2 + x + 3) = 0
1 5 7 12
.................................................................................................................................................................................................................................
-4
-4
-12
.................................................................................................................................................................................................................................
1 1 3 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x + 4 = 0
of
x2 + x + 3 = 0
.................................................................................................................................................................................................................................
x = -4
D < 0
geen oplossingen
vkv oplossen
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
112
NIDT4CAH 62-117.indd 112
7/01/13 17:07
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
Derdegraadsvergelijkingen oplossen We berekenen de oplossingen van de derdegraadsvergelijking 6x 3 – 13x 2 + x + 2 = 0. TEXAS INSTRUMENTS
Met de toepassingstoets APPS kunnen we de toepassing PlySmlt2 oproepen. In het MAIN MENU kiezen we de optie POLY ROOT FINDER. ■
[ APPS ] P [ ▼: tot PlySmlt2 ] [ ENTER ] [ ENTER ] [ 1: POLY ROOT FINDER ]
We voeren de graad 3 van de vergelijking in en kiezen voor een decimale notatie van de oplossingen. We drukken de toets F5 (NEXT) en voeren de coëfficiënten in. ■
[ F5: NEXT ] 6 [ ENTER ] –13 [ ENTER ] 1 [ ENTER ] 2
We drukken de toets F5 (SOLVE) om de vergelijking op te lossen. ■
[ F5: SOLVE ]
De oplossingen van de vergelijking zijn 2 ; 0,5 en -0,33... . CASIO
In het menu EQUA kiezen we voor het submenu Polynomial. ■
[ MENU ] [ 8: EQUA ] [ F2: POLY ]
113
NIDT4CAH 62-117.indd 113
9/12/12 11:58
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
We voeren de graad 3 van de vergelijking in. Daarna voeren we de coëfficiënten in. ■
[ F2 : 3 ] 6 [ EXE ] –13 [ EXE ] –1 [ EXE ] 2 [ EXE ]
We drukken de toets F1 (SOLV) om de vergelijking op te lossen. ■
[ F1: SOLV ]
De oplossingen van de vergelijking zijn 2 ; 0,5 en -0,33... .
27
A
B
Los op met ICT. Rond af op 2 decimalen. 1 x 3 - 3x 2 - 2x + 4 = 0 x = 3,24
x = 1
x = -1,24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 x 3 - 3x - 2 = 0 x = 2
x = -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 x 3 + 2x 2 + 4x + 3 = 0 x = -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 x 3 - 4x 2 + 8 = 0 x = 3,24
x = 2
x = -1,24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
A
B
Controleer met ICT de rekenresultaten van opdracht 26.
114
NIDT4CAH 62-117.indd 114
9/12/12 11:58
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
Uitdagingen 1 Bepaal p zodat de delingen (x 3 - 2x 2 - 2px + 3) : (x - 2) en (x 3 + 3x 2 - px + 5) : (x + 2) dezelfde rest hebben.
zie pagina 207
2 Bepaal p en q zodat de veelterm D (x) = x 4 + px 2 + qx + p deelbaar is door x – 3 en door x + 2.
zie pagina 207
3 Bepaal p zodat de deling (x 2 - 4px + 2p 2) : (x - 2) een rest gelijk aan p heeft. zie pagina 207
4 Toon aan dat de veelterm D (x) = 3x 3 - 8x 2 - x + 10 deelbaar is door x 2 - x - 2 zonder de deling uit te voeren.
zie pagina 208
5 Een veelterm D (x) heeft bij deling door x - 1 rest 3 en bij deling door x + 1 rest -1. Bepaal de rest van de deling van D (x) door x 2 - 1.
zie pagina 208
6 Een veelterm D (x) heeft bij deling door x - a rest c en bij deling door x - b rest d met a π b. Bepaal de rest van de deling van D (x) door (x - a) (x - b). zie pagina 209
7 Gegeven zijn de veeltermen x 2 + 1, x 3 + 1, x 4 + 1, x 5 + 1, x 6 + 1. Hoeveel van deze veeltermen kunnen ontbonden worden als een product van veeltermen met een lagere graad en met reële coëfficiënten? (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 209
8 Los op. 1 x3 - x2 - x + 1 = 0
4 x 2(x - 1) - (x - 1) = 0
2 x 3 + 5x 2 - x - 5 = 0
5 (x + 3)(x - 4)2 - (x + 3) = 0
3 x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 6x = 0
6 (x - 2)(x 2 - 4)2 - (x - 2) = 0 zie pagina 210
9 Welke veelterm is geen deler van (x - 1)2(x 3 + x)?
(A) x 3 - x 2 + x - 1
(B) x 2 - 2x + 1
(D) x 3 - x
(E) x 4 - 2x 2(x - 1) - 2x + 1
Vlaamse Wiskunde Olympiade
(C) x 2 - x
zie pagina 211
115
NIDT4CAH 62-117.indd 115
27/12/12 08:37
Hoofdstuk
7
Delingen met veeltermen
10 Ontbind in factoren. 1 2x 3 - x 2 - 8x + 4
5 8x 3 - (x - 3)3
2 3x 3 - 8x 2 - 5x + 6
6 (3x - 2)3 + (2x + 1)3
3 5x 3 + 4x 2 - 31x + 6
7 (3x + 2)3 + 1 000 000
4 x 4 + 3x 3 - 3x 2 + 3x - 4
8 64x 3 - (x - 3)3 zie pagina 212
11 Voor welke waarden van de variabele p heeft de functie f (x) = x 3 + 4px drie nulwaarden? (A) p < -1
(B) p < 0
(C) p < 1
(D) p £ -1
(E) p £ 0
(F) p £ 1 zie pagina 214
12 Bij deling van de veelterm x 3 + x 5 + x 7 + x 11 + x 13 + x 17 + x 19 + x 23 + x 29 door de veelterm x 2 - 1 is er een rest. De getalwaarde van die rest voor x = 2 is (A) -2
(B) 3
Vlaamse Wiskunde Olympiade
(C) 9
(D) 18
(E) 27 zie pagina 215
116
NIDT4CAH 62-117.indd 116
27/12/12 08:37
7.2 - Delen door x – a
Hoofdstuk
7
Vraag & antwoord 1 Hoe noemen we het algoritme om op een snelle wijze het quotiënt en de rest van een deling door x - a te berekenen? De regel van Horner. 2 Formuleer de reststelling. De rest van de deling van een veelterm D(x) door x – a is gelijk aan de getalwaarde D(a). 3 Onder welke voorwaarde is volgens de reststelling een veelterm D (x) deelbaar door x - a? Als de getalwaarde D(a) gelijk is aan nul. 4 Ontbind x 3 - a 3 in factoren. x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2) 5 Ontbind x 3 + a 3 in factoren. x3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2)
117
NIDT4CAH 62-117.indd 117
9/12/12 11:59
y (1 + i)3 (1 + i)
4
(1 + i)2 1 0
(1 + i)1
8
(1 + i)5
Complexe getallen (1 + i)6
LEERPLAN B: voor de leerlingen met 5 wekelijkse lestijden behoren de leerinhouden in dit hoofdstuk tot de basisleerstof, voor de leerlingen met 4 wekelijkse lestijden tot de uitbreidingsleerstof.
118
NIDT4CAH 118-187.indd 118
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
8
8.1 Complexe getallen in de vorm a + bi Complex getal 120 Rekenen met complexe getallen 127 Tweedegraadsvergelijkingen 141 Uitdagingen 147 Vraag & antwoord 148
8.2 Complexe getallen in de goniometrische vorm Goniometrische vorm 149 Rekenen met complexe getallen 158 Binomiaalvergelijkingen 180 Uitdagingen 183 Vraag & antwoord 186
(1 + i)8
x
y (1 + i)3 (1 + i)4
(1 + i)2 1
(1 + i)1
0
1 (1 + i)
0
(1 + i)8
x
(1 + i)5
(1 + i)6
(1 + i)7
(1 + i)7
119
NIDT4CAH 118-187.indd 119
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
8
8.1
Complexe getallen
Complexe getallen in de vorm a + bi
XX Complex getal 1
Instap
Los de vergelijkingen op. a x+1=7
d x+4=3
x = 6
......................................................................................................
e x 2 = 16
b 2x = 5 x = 5 2
......................................................................................................
c x2 = 3 x =
x = -1
......................................................................................................
x = 4
of
x = -4
......................................................................................................
f x 2 = -1 3
of
x = - 3
......................................................................................................
geen oplossingen
......................................................................................................
en e 1 Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing? a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en e 2 Welke vergelijkingen hebben een geheel getal als oplossing dat geen natuurlijk getal is? d . . . . . . . . . . . . . . . . . . b 3 Welke vergelijking heeft een rationaal getal als oplossing dat geen geheel getal is? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 4 Welke vergelijking heeft een reëel getal als oplossing dat geen rationaal getal is? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f 5 Welke vergelijking heeft geen reëel getal als oplossing? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Het getal i Tweedegraadsvergelijkingen hebben niet altijd reële getallen als oplossing, bijvoorbeeld: x 2 = -1. We kunnen geen reëel getal ontdekken waarvan het kwadraat gelijk is aan -1. Om de vergelijking x 2 = -1 te kunnen oplossen, breiden we de reële getallen uit met een nieuw soort getallen. Daarvoor voeren we een ‘denkbeeldig getal i ’ in waarvan het kwadraat gelijk is aan -1. Het getal i met kenmerk i 2 = -1 noemen we de imaginaire eenheid. Het getal i en zijn tegengestelde –i zijn oplossingen van de vergelijking x 2 = -1 omdat i 2 = -1 en (-i) 2 = i 2 = -1.
120
NIDT4CAH 118-187.indd 120
10/12/12 17:35
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
Merk op Het getal i stelt een vierkantswortel van -1 voor. De notatie -1 mogen we niet gebruiken. Het rekenen met -1 leidt tot tegenstrijdigheden als de rekenregels voor vierkantswortels verkeerd worden toegepast: FOUT
1 = 1 = (-1) (-1) = -1 -1 = i ? i = i 2 = -1
Om dergelijke rekenfouten te vermijden, is de notatie -1 vervangen door het symbool i. In de elektriciteitsleer duiden we de imaginaire eenheid aan met de letter j omdat de letter i kan leiden tot verwarring met het symbool voor stroomsterkte. Voorbeelden Tweedegraadsvergelijkingen die geen reële oplossingen hebben, kunnen we nu oplossen. x 2 = -4 x 2 = 4 ? (-1) x 2 = 4i 2
i 2 = –1
x = 2i of x = -2i
(2i)2 = 4 i 2 (–2i)2 = 4i 2
x 2 = -5 x 2 = 5 ? (-1)
2
x 2 = 5i 2
i 2 = –1
x = 5i of x = - 5i
( 5i ) = 5 i (– 5i ) = 5i
x = 2,24i
afronden op 2 decimalen
A
x = -2,24i
2
2
2
2
B
Zet een vinkje achter elke juiste uitspraak. 1 i 2 = -1
✔
4 i is de imaginaire eenheid
2 i = −1
5 i is een reëel getal
3 i2 = 1
6 i stelt een vierkantswortel van -1 voor
✔
✔ 121
NIDT4CAH 118-187.indd 121
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
3
A
8
Complexe getallen
B
Los op. Rond af op 2 decimalen. 1 x 2 = -16
2 x 2 = -3 x2 = 3 · (-1)
......................................................................................................
x2 = 16 · (-1)
......................................................................................................
......................................................................................................
x2 = 16i2
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 4i
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
x = -4i
3 2x 2 = 14
x2 = 3i2
x =
3i
of
x = - 3i
x = 1,73i
x = -1,73i
4 (x + 3)(x - 3) = 11
x2 = 7
x2 - 9 = 11
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
x =
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 2,65
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
7
x = - 7
x = -2,65
5 x 2 + 25 = 0
x2 = 20 x =
of
20
x = - 20
x = 4,47
x = -4,47
6 (x + 4)2 = 8x + 12
......................................................................................................
x2 = - 25
......................................................................................................
......................................................................................................
x2 = 25 · (-1)
......................................................................................................
......................................................................................................
x2 = 25i2
......................................................................................................
......................................................................................................
x = 5i
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
of
x = -5i
x2 + 8x + 16 = 8x + 12 x2 = -4
x2 = 4 · (-1) x2 = 4i2
x = 2i
of
x = -2i
Complex getal Veelvouden van de imaginaire eenheid i noemen we imaginaire getallen, bijvoorbeeld 2i en 5i. Als we aan het imaginair getal 2i het reëel getal 3 toevoegen, dan verkrijgen we het samengestelde getal 3 + 2i. Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en i 2 = -1 , noemen we een complex getal. Het reëel getal a noemen we het reëel deel en het reëel getal b het imaginair deel van het complex getal a + bi. De verzameling van de complexe getallen duiden we aan met het symbool C. We schrijven:
3 + 2i ΠC
3 + 2i is een complex getal
-6 ΠC
–6 = –6 + 0i is een complex getal
5i ΠC
5i = 0 + 5i is een complex getal
122
NIDT4CAH 118-187.indd 122
27/12/12 08:39
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
De verzameling C is een uitbreiding van de verzameling R omdat elk reëel getal een complex getal is waarvan het imaginair deel nul is. Gelijke complexe getallen Complexe getallen zijn gelijk als de reële delen en de imaginaire delen gelijk zijn: a + bi = c + di ¤ a = c en b = d
4
A
a, b, c, d ΠR
B
Bepaal het reële deel en het imaginaire deel van elk complex getal. Vul de tabel in.
complex getal
1
2
3
4
5
6
3 + 4i
2i
-7 + 2i
-4
-3 - 3i
3 -i 2
3 3 . . . . . . . . .0 .......... . . . . . . .-7 -4 -3 ............ ................... ................... ................... 2
reëel deel
...................
imaginair deel
...................
5
A
4 2 2 0 ................... ................... ................... . . . . . . -3 ............. . . . . . .-1 .............
B
Bepaal de reële getallen a en b. 1 3 - 2i = a - bi 3 = a
en
2 b = 3 + ai -2 = -b
......................................................................................................
b = 2
......................................................................................................
......................................................................................................
a = 3
......................................................................................................
3 a + 3i = 2 - bi a = 2
en
3 = -b
b = -3
......................................................................................................
5 2a - bi = 4 + 3i 2a = 4
en
-b = 3
b = -3
......................................................................................................
7 3a - 2i = 5 + 2bi 3a = 5
en
5 3
b = 3
0 = a
en
2 = -b
......................................................................................................
a = 0
b = -2
......................................................................................................
a + 3 = 4
en
b - 2 = -3
......................................................................................................
a = 1
b = -1
......................................................................................................
8 a = bi -2 = 2b
......................................................................................................
a =
a = 0
0 = a
6 (a + 3) + (b - 2)i = 4 - 3i
......................................................................................................
a = 2
en
4 2i = a - bi
......................................................................................................
a = 2
b = 3
b = -1
......................................................................................................
a = 0
en
0 = b
......................................................................................................
a = 0
b = 0
......................................................................................................
123
NIDT4CAH 118-187.indd 123
27/12/12 08:39
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
9 -a - i = 2b - i -a = 2b
en
10 -i = a - bi
......................................................................................................
-1 = -1
0 ......= ......a . . . . . . . . . . . en . . . . . . . . . . . . . . -1 . . . . . . . . . .= . . . . . .-b .................................................
a = -2b
b ∈ —
a . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b . . . . . .= . . . . . .1 ................................................
......................................................................................................
11 a + bi = a - bi a = a
en
12 a + bi = -a - bi b = -b
a . . . . . .= . . . . . . -a . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . . . . . .b . . . . . .= . . . . . . -b ..................................................
b = 0
a . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b . . . . . .= . . . . . .0 .................................................
......................................................................................................
a ∈ —
......................................................................................................
6
A
B
Vul in met het meest passende symbool N, Z, T, R of C. ............... 1 1,33... Œ . . .–
............... 6 1 + 2i Œ . . .¬
............... 2 8 Œ . . .Ù
7
................ 3 4i Œ . . ¬
................ 8 1,010010001... Œ . .—
............... 13 p Œ . . .—
............... 4 -5 Œ . . .Ÿ
9 - 9 Π..٠................
............... 14 3,14 Œ . . .–
5
2 Œ . . .— ...............
................ 11 i Œ . . ¬
4 Π. .Р................ 3
12
............... 10 -1 - i Œ . . .¬
6 Œ . . .Ù ............... 3
............... 15 -6i Œ . . . ¬
Complexe getallen voorstellen in het complexe vlak Een complex getal a + bi wordt volledig bepaald door de reële getallen a en b. Met elk complex getal a + bi komt een punt P(a, b) van het vlak overeen en omgekeerd: y b
imaginaire as a + bi P(a, b)
1 0
1 a
x reële as
Het vlak waarin we de complexe getallen voorstellen met punten, noemen we het complexe vlak of het vlak van Gauss. De x-as noemen we de reële as en de y-as de imaginaire as.
124
NIDT4CAH 118-187.indd 124
27/12/12 08:39
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
Voorbeeld We stellen de complexe getallen van de tabel voor in het complexe vlak. complexe getallen
punten in het complexe vlak
3 + 4i
(3, 4)
-6 + 5i
(-6, 5)
-4 - 2i
(-4, -2)
4 - 7i
(4, -7)
6
(6, 0)
i
(0, 1)
y -6 + 5i
3 + 4i
1 0
i
6
x
1
-4 - 2i
6=6+0?i i=0+1?i
4 - 7i
Op de x-as vinden we alle reële getallen terug omdat een punt (a, 0) het reëel getal a voorstelt. Alle imaginaire getallen liggen op de y-as omdat een punt (0, b) het imaginair getal bi voorstelt.
7
A
B
Vul de tabel in en stel de getallen voor in het complexe vlak. complexe getallen
punten complexe vlak
1
2 - 3i
A(. . . . . .2. . . . . . . . . , . . . .-3 . . . . . . . . . . .)
2
-2 + 3i
B(. . . .-2 . . . . . . . . . . . , . . . . . .3 . . . . . . . . .)
3
0
C(. . . . . .0. . . . . . . . . , . . . . . .0. . . . . . . . .)
4
-4i
D(. . . . . 0 . . . . . . . . . . , . . . .-4 . . . . . . . . . . .)
5
5
y I B
G
E(. . . . . .5. . . . . . . . . , . . . . . .0 . . . . . . . . .)
6
4-i
F(. . . . . .4. . . . . . . . . , . . . . -1 . . . . . . . . . . .)
7
-3
G(. . . .-3 . . . . . . . . . . . , . . . . . .0 . . . . . . . . .)
8
i
H(. . . . . 0 . . . . . . . . . . , . . . . . .1 . . . . . . . . .)
9
5i + 1
I(. . . . . . 1 . . . . . . . . . , . . . . . . .5 . . . . . . . .)
10
-5 - 5i
J(. . . . .-5 . . . . . . . . . . , . . . . .-5 . . . . . . . . . .)
1 H C 0 1
D
E F
x
A
J
125
NIDT4CAH 118-187.indd 125
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Waar vinden we de reële getallen terug in het complexe vlak? Op de x-as of de reële as.
........................................................................................................................................................................................................................................
Waar vinden we de imaginaire getallen terug in het complexe vlak? Op de y-as of de imaginaire as.
........................................................................................................................................................................................................................................
8
A
B
Bepaal de complexe getallen die door de punten worden voorgesteld.
y F
B
I
A
1
H
0
D
1 C
E
G
x
J
punten in complexe vlak
complexe getallen
A(. . . . . .3. . . . . . . . . , . . . . . .2. . . . . . . . .)
............................................................
B(. . . . . .0. . . . . . . . . , . . . . . .5 . . . . . . . . .)
............................................................
C(. . . . . .2. . . . . . . . . , . . . .-2 . . . . . . . . . . .)
............................................................
D(. . . . . 4 . . . . . . . . . . , . . . . . .0 . . . . . . . . .)
............................................................
E(. . . .-5 . . . . . . . . . . . , . . . . -4 . . . . . . . . . . .)
............................................................
F(. . . .-3 . . . . . . . . . . . , . . . . . .5 . . . . . . . . .)
............................................................
G(. . . . . 0 . . . . . . . . . . , . . . .-5 . . . . . . . . . . .)
............................................................
H(. . . .-6 . . . . . . . . . . . , . . . . . .0 . . . . . . . . .)
............................................................
I(. . . . .-4 . . . . . . . . . . , . . . . . . .2 . . . . . . . .)
............................................................
J(. . . . . . 5 . . . . . . . . . , . . . . .-3 . . . . . . . . . .)
............................................................
3 + 2i 5i
2 - 2i 4
-5 - 4i -3 + 5i -5i -6
-4 + 2i 5 - 3i
126
NIDT4CAH 118-187.indd 126
10/12/12 17:35
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
XX Rekenen met complexe getallen 9
Instap
Bewerkingen met complexe getallen voeren we uit zoals bewerkingen met tweetermen waarbij we i 2 vervangen door -1. Bereken. 1 + 2i - 3 + 4i = -2 + 6i 1 (1 + 2i) + (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 2i + 3 - 4i = 4 - 2i 2 (1 + 2i) - (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 + 6i 3 3(1 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3i + 4i2 = -3i + 4 · (-1) = -3i - 4 = -4 - 3i 4 i (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3 + 4i - 6i + 8i2 = -3 + 4i - 6i - 8 = -11 - 2i 5 (1 + 2i) ? (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 4i + 4i2 = 1 + 4i + 4 · (-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i 6 (1 + 2i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complexe getallen optellen Om de som van twee complexe getallen te berekenen, tellen we de reële delen en de imaginaire delen op: (7 - 2i) + (2 + 3i) = (7 + 2) + (-2 + 3)i =9+i De voorstellingen van de getallen en hun som in het complexe vlak zijn drie hoekpunten van een parallellogram met de oorsprong als vierde hoekpunt. y
2 + 3i 9+i
1 0
x
1 7 - 2i
127
NIDT4CAH 118-187.indd 127
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
10
A
8
Complexe getallen
B
Bereken. 6 1 (2 - 3i) + (4 + 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 - i 6 (3 - 2i) + (4 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 - 5i 2 (-2 - i) + (3 - 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 + 4i 7 5i + (2 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-7 - 7i 3 (-2 - 5i) + (-5 - 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 3 + (3 - i) =
-1 - i 4 -3 + (2 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 2i + 5i =
1 + 2i 5 (1 + i) + i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
A
6 - i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 10 (2 - i) + (-2 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Teken de sommen in het complexe vlak en verbind de opeenvolgende punten. y
1 (2 + i) + (1 + 2i)
2
2 (1 + 2i) + (-1 + 2i)
3
1 -1 + 2i
3 (-1 + 2i) + (-2 + i) -2 + i
4 (-2 + i) + (-2 - i)
2+i
1
4
8 0
5 (-2 - i) + (-1 - 2i)
x
1
-2 - i
6 (-1 - 2i) + (1 - 2i) 7 (1 - 2i) + (2 - i)
1 + 2i
2-i
-1 - 2i
1 - 2i 7
5
8 (2 - i) + (2 + i)
6
Complexe getallen aftrekken Twee complexe getallen waarvan de som gelijk is aan nul, noemen we tegengestelde complexe getallen: (a + bi) + (-a - bi) = 0 We noteren: -(a + bi) = -a - bi We lezen:
het tegengestelde van a + bi is -a - bi
128
NIDT4CAH 118-187.indd 128
27/12/12 08:41
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
De voorstellingen van a + bi en -a - bi liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. y a + bi
b 1 -a 0
1
x
a
-b
-a - bi
Verschil van twee complexe getallen Om het verschil van twee complexe getallen te berekenen, tellen we het eerste complex getal en het tegengestelde van het tweede complex getal op: (8 + 5i) - (4 - 7i) = (8 + 5i) + (- 4 + 7i)
tegengestelde van 4 – 7i
= 4 + 12i
12
A
complexe getallen optellen
B
Bepaal voor het complex getal zijn tegengestelde en stel beide getallen voor in het complexe vlak. complex getal
tegengestelde complex getal
1
5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
2
-5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
3
5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
4
-5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
5
3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
6
-5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
-5 - 3i
y
-5 + 3i
5 - 3i
-5 + 3i
3i
5 + 3i
1 -5
0
1
5
x
5 + 3i -3i
-5 - 3i
-3i
5 - 3i
5
129
NIDT4CAH 118-187.indd 129
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
13
A
8
Complexe getallen
B
Bereken. 5 + 3i - 7 - 2i = -2 + i 1 (5 + 3i) - (7 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 + 3i - 5 - 3i = 0 2 (5 + 3i) - (5 + 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 3i - 4 - 3i = -2 - 6i 3 (2 - 3i) - (4 + 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2 - 5i + 5 + 2i = 3 - 3i 4 (-2 - 5i) - (-5 - 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + i - 6 + i = 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (6 + i) - (6 - i) = 6 1 + i - i = 1 6 (1 + i) - i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3 - 2 + i = -5 + i 7 -3 - (2 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5i - 2 + i = -2 + 6i 8 5i - (2 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3i 9 2i - 5i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1 - 4i + 2 + 4i = 1 10 (-1 - 4i) - (-2 - 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
A
B
Teken de verschillen in het complexe vlak en verbind de opeenvolgende punten. 1 (2 + i) - (1 + 2i)
-1 + 2i
y
4
1 + 2i
2 (1 + 2i) - (-1 + 2i) 3 (-1 + 2i) - (-2 + i) 4 (-2 + i) - (-2 - i)
-2 + i
5
6 0
-2 - i
2+i
2
5 (-2 - i) - (-1 - 2i) 6 (-1 - 2i) - (1 - 2i)
3
1
x
1
1
7
2-i
7 (1 - 2i) - (2 - i) 8 (2 - i) - (2 + i)
-1 - 2i
8
1 - 2i
130
NIDT4CAH 118-187.indd 130
27/12/12 08:42
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
Complexe getallen vermenigvuldigen Het product van twee complexe getallen kunnen we berekenen zoals het product van twee tweetermen waarbij we i 2 vervangen door -1: (1 + 2i) ? (3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i 2 = 3 + 4i + 6i - 8 = -5 + 10i
Machten van complexe getallen Machten van complexe getallen met een natuurlijke exponent kunnen we berekenen zoals machten van tweetermen. Voorbeelden (1 + 2i)2 = 1 + 4i + 4i 2 = 1 + 4i - 4
kwadraat van een tweeterm i 2 = –1
= -3 + 4i (1 + 2i)3 = (1 + 2i)2(1 + 2i)
product van machten
= (-3 + 4i)(1 + 2i)
zie vorig voorbeeld: (1 + 2i)2 = –3 + 4i
= -3 - 6i + 4i + 8i 2
distributieve eigenschap
= -3 - 6i + 4i - 8
i2 = –1
= -11 - 2i i 4 = i 2 ? i 2 = (-1) ? (-1)
product van machten i2 = –1
=1
15
A
B
Bereken. 6 + 2i - 12i - 4i2 = 6 + 2i - 12i + 4 = 10 - 10i 1 (2 - 4i) (3 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 6i + 5i - 6i2 = 5 - 6i + 5i + 6 = 11 - i 2 (1 + i) (5 - 6i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 + 21i + 2i + 6i2 = 7 + 21i + 2i - 6 = 1 + 23i 3 (-7 - 2i) (-1 - 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + 4i - 10i - 2i2 = 20 + 4i - 10i + 2 = 22 - 6i 4 (-4 + 2i) (-5 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
NIDT4CAH 118-187.indd 131
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
2 . . . . . . . .+ . . . . . .4i . . . . . . . . .= . . . . . . 8i . . . . . . . .. . . . . .4 . . . . . .= . . . . . . -4 . . . . . . . . . .+ . . . . . .8i ................................................................................................................... 5 2i ? (4 + 2i) = . . .8i
28 - 28i 6 (4 - 4i) ? 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (-5 - 6i) ? 2i =
-10i - 12i2 = -10i + 12 = 12 - 10i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8i 8 -4i ? (-2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -16i2 = 16 9 8i ? (-2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9i + 9i2 = 9i - 9 = -9 + 9i 10 (-3 - 3i) ? (-3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
A
B
Bereken. 9 - 4i2 = 9 + 4 = 13 1 (3 - 2i)(3 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 + 6i + i2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i 2 (3 + i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (3 - 7i)(-3 - 7i) =
49i2 - 9 = -49 - 9 = -58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 - 12i + 9i2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i 4 (2 - 3i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - 49i2 = 4 + 49 = 53 5 (2 – 7i)(2 + 7i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
(
2 -i
)(
)
2 +i =
2 - i2 = 2 + 1 = 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i 7 (1 + i)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + i)2 (1 + i) = (1 + 2i + i2) (1 + i) = (1 + 2i -1) (1 + i) 8 (1 + i)3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2i(1 + i) = 2i + 2i2 = 2i - 2 = -2 + 2i
.............................................................................................................................................................................................................................
(2 - 4i)2 (2 - 4i) = (4 - 16i + 16i2) (2 - 4i) 9 (2 – 4i)3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (4 - 16i - 16) (2 - 4i) = (-12 - 16i) (2 - 4i) = -24 + 48i - 32i + 64i2
.............................................................................................................................................................................................................................
= . . . . . . .-24 . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .48i . . . . . . . . . . .. . . . . . 32i . . . . . . . . . . .. . . . . . 64 . . . . . . . . . .= . . . . . . -88 . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 16i .............................................................................................................................. (2 - i)2 (2 - i)2 = (4 - 4i + i2) (4 - 4i + i2) 10 (2 – i)4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (4 - 4i -1) (4 - 4i - 1) = (3 - 4i) (3 - 4i) = 9 - 12i - 12i + 16i2
.............................................................................................................................................................................................................................
= 9 - 24i - 16 = -7 - 24i
.............................................................................................................................................................................................................................
132
NIDT4CAH 118-187.indd 132
7/01/13 17:08
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
17
A
Hoofdstuk
8
B
Bereken de machten van de imaginaire eenheid. i 1 i 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i4 · i2 = 1 · (-1) = -1 6 i 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1 2 i 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i4 · i3 = 1 · (-i) = -i 7 i 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i2 · i = (-1) · i = -i 3 i 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i2)6 = (-1)6 = 1 8 i 12 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i2 · i2 = (-1) · (-1) = 1 4 i 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i24 · i = (i2)12 · i = (-1)12 · i = i 9 i 25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i4 · i = 1 · i = i 5 i 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i2)111 = (-1)111 = -1 10 i 222 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toegevoegde complexe getallen Twee complexe getallen met gelijke reële delen en tegengestelde imaginaire delen, noemen we toegevoegde complexe getallen. We noteren: a + bi = a - bi We lezen:
het toegevoegde complex getal van a + bi is a - bi
De voorstellingen van a + bi en a - bi liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as. y a + bi
b 1 0
a
1
-b
x
a - bi
Voorbeelden 5 + 2i = 5 - 2i i = -i
i=0+1?i
3 = 3
3=3+0?i
Product van toegevoegde complexe getallen Het product van twee toegevoegde complexe getallen is een reëel getal: (5 + 2i) ? (5 - 2i) = 25 - 4i 2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
= 25 + 4 = 29
133
NIDT4CAH 118-187.indd 133
10/12/12 17:35
Hoofdstuk
18
A
8
Complexe getallen
B
Bepaal voor het complex getal zijn toegevoegde en stel beide getallen voor in het complexe vlak. complex getal
toegevoegde complex getal
1
5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
2
-5 + 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
3
5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
4
-5 - 3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
5
3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
6
-5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
19
A
5 - 3i
y
-5 + 3i
-5 - 3i
3i
5 + 3i
1
5 + 3i
-5
0
1
5
x
-5 + 3i -3i
-5 - 3i
-3i
5 - 3i
-5
B
Bereken het product van de toegevoegde complexe getallen. (1 + 2i) (1 - 2i) = 1 - 4i2 = 1 + 4 = 5 1 (1 + 2i) (1 + 2i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 - 7i) (5 + 7i) = 25 - 49i2 = 25 + 49 = 74 2 (5 - 7i) (5 - 7i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (-3 + 4i) (-3 - 4i) = 9 - 16i2 = 9 + 16 = 25 3 (-3 + 4i) (-3 + 4i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (-4 - 6i) (-4 + 6i) = 16 - 36i2 = 16 + 36 = 52 4 (- 4 - 6i) (- 4 - 6i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5i · (-5i) = -25i2 = 25 5 5i ? 5i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + i) (1 - i) = 1 - i2 = 1 + 1 = 2 6 (1 + i) (1 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 · 3 = 9 7 3 ? 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i · (-i) = -i2 = -(-1) = 1 8 i ? i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
A
B
Toon aan dat de som en het product van twee toegevoegde complexe getallen reële getallen zijn. (a + bi) + (a - bi) = a + bi + a - bi = 2a ∈ — (a + bi) + (a + bi) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a + bi) (a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 ∈ — (a + bi)(a + bi) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
NIDT4CAH 118-187.indd 134
27/12/12 08:53
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
Complexe getallen delen Om het quotiënt van twee complexe getallen te berekenen, vermenigvuldigen we deeltal en deler met het toegevoegde complex getal van de deler. Zo verkrijgen we een reëel getal als deler. - 5 + 5 i (- 5 + 5i )(1 - 2i ) = 1 + 2i (1 + 2i )(1 - 2i )
toegevoegde complex getal van 1 + 2i is 1 – 2i
=
- 5 + 10i + 5i - 10i 2 1 - 4i 2
distributieve eigenschap product van toegevoegde tweetermen
=
- 5 + 10i + 5i + 10 1+ 4
i 2 = –1
=
5 + 15i 5
= 1 + 3i
Merk op Het omgekeerde complex getal van a + bi noteren we als (a + bi)-1 : (a + bi)-1 =
21
A
1 a + bi
B
Bereken. 1
1 1 · (-i) -i = -i = -i2 = = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 i · (-i) -i i
2
2 (-3 - 2i) (-5i) −3 - 2i = 15i - 10 = - 10 + 15 i = - 2 + 3 i = 15i + 10i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 25 5 25 25 5 5i · (-5i) 5i -25i
3
(4 - 7i) (-6i) 4 - 7i -24i + 42i2 -24i - 42 = - 42 - 24 i = - 7 - 2 i = .........................................= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ........................................................................................................................ 36 6i · (-6i) 36 36 6 3 6i -36i2
4
1 · (1 - i) 1 1 - i 1 - i = 1 - i2 = = = 1 - 1 i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 1 2 (1 + i) (1 - i) 1 - i 2 1+i 2
5
i · (3 + 2i) i 2 . . . . . . . .3 + 3i . . . . . .- + 2i2 . . . . . . 3i - 2 . . . . . .-2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=. . . . . .3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . i ................................. 2 13 (3 - 2i) (3 + 2i) 13 13 9 + 4 3 - 2i 9 - 4i
6
(8 + i) (4 - i) 8+i - i2 = 32 - 8i + 4i + 1 = 33 - 4i = 32 - 8i + 4i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 16 + 1 (4 + i) (4 - i) 17 4+i 16 - i = 33 - 4 i 17 17
.............................................................................................................................................................................................................................
135
NIDT4CAH 118-187.indd 135
27/12/12 08:53
Hoofdstuk
7
8
Complexe getallen
2 -2 + 3i (-2 + 3i) (1 + 2i) -2 - 4i + 3i - 6 = -2 - 4i + 3i2 + 6i = = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 4 (1 - 2i) (1 + 2i) 1 - 2i 1 - 4i
= -8 - i = - 8 - 1 i 5 5 5
.............................................................................................................................................................................................................................
8
2 (1 + i) (3 + i) 1+i = 3 + i + 3i2 + i = 3 + i + 3i - 1 = 2 + 4i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 - i) (3 + i) 9 + 1 10 3-i 9 - i
= 2 + 4 i = 1 + 2 i 5 5 10 10
.............................................................................................................................................................................................................................
9
2 5-i (5 - i) (1 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 5 - 5i - 2i + i = 5 - 5i - i - 1 = 4 - 6i = 2 - 3i 1 + 1 (1 + i) (1 - i) 2 1+i 1 - i .............................................................................................................................................................................................................................
10
2 1 - 2i (1 - 2i) (2 - 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2 - 3i - 4i2+ 6i = 2 - 3i - 4i - 6 = -4 - 7i 13 4 + 9 (2 + 3i) (2 - 3i) 2 + 3i 4 - 9i
= - 4 - 7 i 13 13
.............................................................................................................................................................................................................................
22
A
B
Bereken. 1
53(2 + i) (7 - 2i )(7 + 2i ) + 4 106 + 53i 53 - 4i2 . . . . . .49 = . . . . .49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ...................................................... 2 - i 2 - i (2 - i) (2 + i) 2-i 4 - i2 2 - i + 53i 106 + 53 i 106 + 53i . . . . . . 106 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ..................................................................................................................................................... 5 5 4+ 1 5
2
(-3 - i )2 9 + 6i + i2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i = (8 + 6i) (-3 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3 + i -3 + i (-3 + i) (-3 - i) -3 + i -3 + i 2
- 26i - 8i - 18i + 6 . . . . . . -18 -24 - 8i - 18i - 6i . . . . . .-24 9 . . . . . .13 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .- . . . . . . . . . . .. . . . . . . i ............................. 2 10 9 + 1 5 5 9 - i 3
5(-1 + 2i) (1 + 2i )(3 + 4 i ) 3 + 4i + 6i + 8i2 = 3 + 4i + 6i - 8 = -5 + 10i = = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 + 10i 5(1 + 2i) 8 + 4i + 6i - 3 8 + 4i + 6i + 3i ( 4 + 3i )(2 + i ) =
(-1 + 2i) (1 - 2i) -1 + 2i + 2i - 4i2 -1 + 2i + 2i + 4 = = = 3 + 4i = 3 + 4 i 5 1 + 4 (1 + 2i) (1 - 2i) 5 5 1 - 4i2
.............................................................................................................................................................................................................................
4
(1 + 2i)2 (1 - 2i)2 (1 - 2i)2 + (1 + 2i)2 1 - 2i 1 + 2i = + = + (1 + 2i) (1 - 2i) (1 - 2i) (1 + 2i) (1 - 2i) (1 + 2i) 1 + 2i 1 - 2i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
1 - 4i + 4i + 1 + 4i + 4i 1 - 4i - 4 + 1 + 4i - 4 . . . . . . -6 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . .= . . . . . .- ........................................... 2 5 1 + 4 5 1 - 4i 136
NIDT4CAH 118-187.indd 136
27/12/12 08:53
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
1 1 1 1 1 1 = = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 1 - 2i - 1 1 + 2i - 1 1 - 2i + i 1 + 2i + i (1 - i ) (1 + i )
5
-1 · (-i) -2 = -1 = = i2 = i = i = 1 - 1 = - 1 - 1 = i · (-i) 2i -2i 2i 2i 2i i 1 -i
.............................................................................................................................................................................................................................
23
A
B
Gegeven zijn de complexe getallen: c1 = -2 + 3i
c2 = 1 + i
c3 = -2i
c4 = -1
Bereken. 2 (-2 + 3i) (1 - i) - 3i = -2 + 2i + 3i (-2 + 3i) (1 + i)-1 = -2 + 3i = 1 c1 ? c2-1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + i) (1 - i) 1 + i 1 - i2
= -2 + 2i + 3i + 3 = 1 + 5i = 1 + 5 i 1 + 1 2 2 2
.................................................................................................................................................................................................................................
(-2i)2 - (-2 + 3i) (-1) + (1 + i)2 = 4i2 - 2 + 3i + 1 + 2i + i2 2 c32 - c1 ? c4 + c22 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = -4 - 2 + 3i + 1 + 2i - 1 = -6 + 5i
.................................................................................................................................................................................................................................
(-2 + 3i + 1 + i - 2i - 1)2 = (-2 + 2i)2 = 4 - 8i + 4i2 3 (c1 + c2 + c3 + c4)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 4 - 8i - 4 = -8i
.................................................................................................................................................................................................................................
(-2 + 3i - 2i) ((1 + i) (-2i)) = (-2 + i) (-2i - 2i2)-1 4 (c1 + c3) ? (c2 ? c3)–1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
2 (-2 + i) (2 + 2i) = -4 - 4i + 2i2 + 2i = (-2 + i) (-2i + 2)-1 = -2 + i = 2 - 2i (2 - 2i) (2 + 2i) 4 - 4i
.................................................................................................................................................................................................................................
=
-4 - 4i + 2i - 2 -6 - 2i = = - 6 - 2 i = - 3 - 1 i 8 4+ 4 4 8 4 8
.................................................................................................................................................................................................................................
-2 + 3i - 2 (-2 + 3i) (1 + i) - 2i 5 c1 - 2c1 ? c2 + c3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = -2 + 3i - 2 (-2 - 2i + 3i + 3i2) - 2i = -2 + 3i - 2 (-5 + i) - 2i
.................................................................................................................................................................................................................................
= -2 + 3i - 2 (-5 -i) - 2i = -2 + 3i + 10 + 2i - 2i = 8 + 3i
.................................................................................................................................................................................................................................
137
NIDT4CAH 118-187.indd 137
27/12/12 08:53
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Vierkantswortels van een negatief reëel getal We weten dat een reëel getal kleiner dan nul geen reële vierkantswortel heeft: x 2 = - 49 fi x œ R We zeggen dat –49 geen vierkantswortels in R heeft. Rekenen we met complexe getallen, dan kunnen we - 49 schrijven als: - 49 = 49 ? (-1) = 49i 2 Er zijn twee complexe getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan - 49: (7i)2 = 49i 2 = - 49 en (-7i)2 = 49i 2 = - 49 De tegengestelde getallen 7i en -7i noemen we de vierkantswortels in C van - 49. Merk op Het wortelteken gebruiken we uitsluitend voor de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal. Er bestaat geen symbool voor een vierkantswortel van een negatief reëel getal.
49 = 7 –49 = 7i
24
A
B
Bepaal de vierkantswortels in R en in C van het reëel getal.
reëel getal
1
2
3
4
25
-25
0
-1
vierkantswortels in R
..............................
5 en -5
..............................
/
..............................
0
..............................
vierkantswortels in C
..............................
5 en -5
..............................
5i en -5i
..............................
0
..............................
25
A
/
i en -i
B
Vink elke juiste notatie aan. 1
64 = 8
2
-64 = 8i
3 - 64 = -8
✔
✔
4
3
-64 = - 4
5
-1 = i
6
1=1
✔
✔
138
NIDT4CAH 118-187.indd 138
10/12/12 17:36
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
Rekenen met complexe getallen We berekenen een vierkantswortel van –49, i 2 en
–5+5i . 1+2i
TEXAS INSTRUMENTS
We zetten de rekenmachine in de mode a+bi.
[ MODE ] [ ▼: 6-maal = REAL ] [ = a+bi ] [ ENTER ] ▼
■
Met de toets kunnen we een vierkantswortel in C berekenen van - 49. De machinenotatie - 49 gebruiken we niet in de wiskunde. Om complexe getallen in te voeren, gebruiken we de toets i.
[ 2ND ] [ ] –49 [ ENTER ] ■ [ 2ND ] i [ x2 ] [ ENTER ] ■ [ ( ] –5 + 5i [ ) ] [ ] [ ( ] 1 + 2i [ ) ] [ENTER ] ■
CASIO
We zetten de rekenmachine in de mode a+bi. ■
[ MENU ] [ 1: RUN ] [ SHIFT ] [ SET UP ] [ ▼: 7-maal = Real ] [ F2 = a+bi ] [ EXIT ]
Met de toets kunnen we een vierkantswortel in C berekenen van - 49. De machinenotatie - 49 gebruiken we niet in de wiskunde. Om complexe getallen in te voeren, gebruiken we de toets i.
[ SHIFT ] [ ] –49 [ EXE ] ■ [ SHIFT ] i [ x2 ] [ EXE ] ■ [ ( ] –5 + 5i [ ) ] [ ] [ ( ] 1 + 2i [ ) ] [ EXE ] ■
139
NIDT4CAH 118-187.indd 139
10/12/12 17:36
Hoofdstuk
26
A
8
Complexe getallen
B
Bereken met ICT de vierkantswortels in C. Rond het reële deel en het imaginaire deel af op 3 decimalen. 2,449i
en
-2,449i
1,732i
en
-1,732i
3,162
en
-3,162
0,632i
en
-0,632i
1,581i
en
1 Vierkantswortels van -6:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vierkantswortels van -3:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vierkantswortels van 10:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Vierkantswortels van -0,4:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Vierkantswortels van -2,5:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
A
-1,581i
B
Bereken met ICT. Rond het reële deel en het imaginaire deel af op 3 decimalen. 1
(6 - i )(6 + i ) 18,5 + 18,5i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-i
4
(2 + 3i )( 4 + 5i ) 0,816 + 0,578i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 + 4 i )(3 + 2i )
2
(−4 - i )2 -3,059 - 2,765i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4 + i
5
1 - 3i 1 + 3i + -1,6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 3i 1 - 3i
1,9 - 1,3i 3 (7 - 2i)(3 + i)-1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1 1 0,008i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 (8 - i ) (8 + i )2
28
A
B
Controleer met ICT de rekenresultaten van opdracht 23. Rond het reële deel en het imaginaire deel af op 3 decimalen.
29
A
B
Nisse en Fiene rekenen uit dat
2 + 3i 3 1 = - i. Ze controleren hun berekeningen met een 4i 4 2
TI-rekenmachine. Het rekenscherm ziet er als volgt uit:
Waar zit de fout?
De noemer 4i moet tussen haakjes staan:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2 + 3i) / (4i) = 0,75 - 0,5i
........................................................................................................................................................................................................................................
140
NIDT4CAH 118-187.indd 140
27/12/12 08:54
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
XX Tweedegraadsvergelijkingen 30
Instap
Gegeven is de tweedegraadsvergelijking x 2 - 6x + 10 = 0. D = (-6)2 - 4 · 1 · 10 = 36 - 40 = -4 1 Bereken de discriminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geen. 2 Hoeveel reële oplossingen heeft de tweedegraadsvergelijking? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Toon aan met een berekening dat 3 + i en 3 - i oplossingen in C zijn van de tweedegraadsvergelijking. (3 + i)2 - 6(3 + i) + 10 = 9 + 6i + i2 - 18 - 6i + 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 9 + 6i - 1 - 18 - 6i + 10 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3 - i)2 - 6(3 - i) + 10 = 9 - 6i + i2 - 18 + 6i + 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 9 - 6i - 1 - 18 + 6i + 10 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten Een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 met reële coëfficiënten heeft slechts reële oplossingen als D = b 2 - 4ac ≥ 0. Als we rekenen met complexe getallen, dan is de vierkantsworteltrekking van een negatief reëel getal mogelijk en heeft een tweedegraadsvergelijking altijd oplossingen: ax 2 + bx + c = 0
a, b, c Œ R en a ≠ 0
ax 2 + bx = -c
beide leden vermeerderen met –c
4a 2x 2 + 4abx = - 4ac
beide leden vermenigvuldigen met 4a
4a 2x 2 + 4abx + b 2 = - 4ac + b 2
beide leden vermeerderen met b2
(2ax + b)2 = D
volkomen kwadraat ontbinden b2 – 4ac = D
2ax + b = w
of 2ax + b = -w
2ax = - b + w
2ax = - b - w
x=
-b + w 2a
x =
-b - w 2a
w en –w zijn vierkantswortels in C van D beide leden vermeerderen met –b beide leden vermenigvuldigen met 1 2a
141
NIDT4CAH 118-187.indd 141
27/12/12 08:54
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Wortelformule in C De wortels van een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 met reële coëfficiënten berekenen we in C met de formules: x1 =
–b + w –b – w x2 = 2a 2a
w en –w zijn vierkantswortels in C van D = b2 – 4ac
Als D > 0, dan is w = D en zijn er twee verschillende reële wortels x1 en x2. b Als D = 0, dan is er één reële wortel x = - . 2a Als D < 0, dan zijn er twee verschillende complexe wortels x1 en x2. Voorbeelden Als we tweedegraadsvergelijkingen oplossen met de wortelformule, berekenen we eerst de discriminant. x 2 - 6x + 10 = 0
a = 1 b = –6 c = 10
D = (- 6) 2 - 4 ? 1 ? 10 = 36 - 40 = - 4 < 0 w = 2i -(-6) + 2i 6 + 2i = 2 1 2 -(-6) + 2i 6 + 2i == =3+i 2 1 2 6 - 2i =3-i x2 = 2 x1 =
x 2 - 3x + 6 = 0
D = b2 – 4ac < 0 w is een vierkantswortel van –4 x1 =
–b + w 2a
x2 =
–b – w 2a
a = 1 b = –3 c = 6
D = (-3) 2 - 4 ? 1 ? 6 = 9 - 24 = -15 < 0 w = 15i -(-3) + 15i 3 + 15i = = 1, 5 + 1,94i 2 1 2 -(-3) + 15i 3 + 15i = = 1, 5 + 1,94i 2 1 2 3 - 15i x2 = = 1, 5 - 1,94i 2 x1 =
D = b2 – 4ac < 0 w is een vierkantswortel van –15 x1 =
–b + w 2a
afronden op 2 decimalen x2 =
–b – w 2a
Merk op Als D < 0, dan zijn de twee wortels toegevoegde complexe getallen.
142
NIDT4CAH 118-187.indd 142
10/12/12 17:36
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
31
A
Hoofdstuk
8
B
Los op in C met de wortelformule. 1 x 2 - 4x + 5 = 0
2 x 2 - 4x + 13 = 0
16 - 20 = -4 D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
2i w = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
x1 =
4 + 2i = 2 + i 2
D = 16 - 52 = -36 w = 6i
x1 = 4 + 6i = 2 + 3i 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
2 - i x2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................................
3 x 2 - 36x + 324 = 0 D = (-36)2 - 4 · 1 · 324 = 0
x2 = 2 - 3i
4 17x 2 - 2x + 1 = 0 D = 4 - 68 = -64
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
x = - -36 = 18 2
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
5 -2x 2 + 2x - 1 = 0
w = 8i
x1 = 2 + 8i = 1 + 4 i 34 17 17
x2 = 1 - 4 i 17 17
6 2x 2 + 5x + 2 = 0
....................................................................................................
D = 4 - 8 = -4
....................................................................................................
....................................................................................................
w = 2i
....................................................................................................
....................................................................................................
x1 = -2 + 2i = 1 - 1 i -4 2 2
....................................................................................................
x2 = 1 + 1 i 2 2
....................................................................................................
....................................................................................................
7 2x 2 + 5x + 6 = 0 D = 25 - 48 = -23
....................................................................................................
w =
23i
....................................................................................................
x1 = -5 + 23i = -1,25 + 1,20i 4
....................................................................................................
x2 = -1,25 - 1,20i
....................................................................................................
D = 25 - 16 = 9 w = 3
x1 = -5 + 3 = -2 = - 1 4 4 2 x2 = -5 - 3 = -8 = -2 4 4
8 x2 - x + 1 = 0 D = 1 - 4 = -3
....................................................................................................
w =
3i
....................................................................................................
x1 = 1 + 3i = 0,5 + 0,87i 2
....................................................................................................
x2 = 0,5 - 0,87i
....................................................................................................
143
NIDT4CAH 118-187.indd 143
27/12/12 08:58
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
9 4x 2 - 3x + 3 = 0
10 x 2 + 7x + 12,5 = 0
D = 9 - 48 = -39
....................................................................................................
39i
D . . . . . . .= . . . . . . 49 . . . . . . . . . .. . . . . .50 . . . . . . . . . .= . . . . . .-1 .......................................................
....................................................................................................
w . . . . . . .= . . . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 + 39i = 0,38 + 0,78i x . . . . . . . . .= 1 ........................................................................................... 8
-7 + i = - 7 + 1 i x . . . . . . . . .= 1 ........................................................................................... 2 2 2
w =
0,38 - 0,78i x . . . . . . . . .= 2 ...........................................................................................
32
A
x2 = - 7 - 1 i 2 2
....................................................................................................
B
Los op in C met de meest geschikte methode. 1 1 x 2 + 18 = 0 2 x2 + 36 = 0
·2
2 3x 2 + 7 = 0 3x2 = -7
....................................................................................................
....................................................................................................
2 .x . . . . . . . .= . . . . . .-36 .....................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
x = 6i
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
of
x = -6i
3 x(x - 3) = x(3x - 2)
7 x2 = - 3 x =
7 i 3
of
x = 1,53i
x = - 7 i 3
x = -1,53i
4 (x - 1)(x - 2) = -5
....................................................................................................
x2 - 3x = 3x2 - 2x
....................................................................................................
2 -2x . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .x . . . . . .= . . . . . .0 ..................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
2x2 + x = 0
....................................................................................................
x(2x . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .1) . . . . . . . .= . . . . . .0 ................................................................
....................................................................................................
x ......= . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . of . . . . . . . . . . . . . . . . .2x . . . . . . . . .+ . . . . . .1 . . . . . .= . . . . . .0 ..............................
....................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2x . . . . . . . . .= . . . . . . -1 ..........................................
....................................................................................................
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. . . . . .=. . . . . .- ............................................. 2
x2 - 2x - x + 2 = -5 x2 - 3x + 7 = 0
D = 9 - 28 = -19 w =
19 i
x1 = 3 +
2
19i = 1,5 + 2,18i
x2 = 1,5 - 2,18i
....................................................................................................
144
NIDT4CAH 118-187.indd 144
27/12/12 08:58
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
2 1 4 5 - x2 - x - = 0 3 2 3 2 .4x . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 3x . . . . . . . . . .+ . . . . . .8 . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·(-6) .......................
Hoofdstuk
6 (x - 3) (x + 3) - 5(x - 2)2 = 0 x2 - 9 - 5(x2 - 4x + 4) = 0
....................................................................................................
x2 - 9 - 5x2 + 20x - 20 = 0
D . . . . . . .= . . . . . .9 . . . . . .......4 ......· . . . . . . .4 . . . . . .· . . . . . .8 . . . . . .= . . . . . .-119 ......................................
....................................................................................................
w . . . . . . .= . . . . . . . . . .119 i ...................................................................................
....................................................................................................
x1 =
8
-3 + 119i 8
....................................................................................................
= -0,38 + 1,36i
....................................................................................................
x2 = -0,38 - 1,36i
-4x2 + 20x - 29 = 0
4x2 - 20x + 29 = 0
....................................................................................................
D = (-20)2 - 4 · 4 · 29 = -64
....................................................................................................
w = 8i
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
x1 = 20 + 8i = 5 + i 2 8 x2 = 5 - i 2
Tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C We berekenen de oplossingen in C van de tweedegraadsvergelijking x2 – 6x + 10 = 0. TEXAS INSTRUMENTS
Met de toepassingentoets APPS kunnen we de toepassing PolySmlt 2 oproepen. In het MAIN MENU kiezen we de optie POLY ROOT FINDER. ■
[ APPS ] P [ ▼: tot PlySmlt2 ] [ ENTER ] [ ENTER ] [ 1: POLY ROOT FINDER ]
We voeren de graad 2 van de vergelijking in en kiezen voor het oplossen van de vergelijking in C (a+bi). We drukken de toets F5 (NEXT) en voeren de coëfficiënten in. ■
[ F5: NEXT ] 1 [ ENTER ] –6 [ ENTER ] 10
145
NIDT4CAH 118-187.indd 145
10/12/12 17:36
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
We drukken de toets F5 (SOLVE) om de vergelijking op te lossen. ■
[ F5: SOLVE ]
De oplossingen in C van de vergelijking zijn 3 + i en 3 - i. CASIO
In het menu EQUA kiezen we voor het submenu Polynomial. ■
[ MENU ] [ A: EQUA ] [ F2: POLY ]
We voeren de graad 2 van de vergelijking in. Daarna voeren we de coëfficiënten in. We kiezen voor het oplossen van de vergelijking in C (Complex Mode: a+bi). ■
[ F1: 2 ] 1 [ EXE ] –6 [ EXE ] 10 [ EXE ] [ SHIFT ] [ SET UP ] [▼: 4-maal ] [ F2: a+bi ] [ EXIT ]
We drukken de toets F1 (SOLV) om de vergelijking op te lossen. ■
[ F1: SOLV ]
De oplossingen in C van de vergelijking zijn 3 + i en 3 - i.
33
A
B
Controleer met ICT de rekenresultaten van opdracht 31.
146
NIDT4CAH 118-187.indd 146
10/12/12 17:36
8.1 - Complexe getallen in de vorm a + bi
Hoofdstuk
8
Uitdagingen 1 Op de planeet Quaternion rekent men met onze reële getallen en de gewone vermenigvuldiging, maar ook nog met drie symbolen i, j en k die op de volgende manier worden vermenigvuldigd: i ? i = -1
j ? j = -1
k ? k = -1
i?j=k
j?k=i
k?i=j
Als je bovendien weet dat de vermenigvuldiging op Quaternion associatief maar niet commutatief is, wat is dan k ? j ? i ? (A) 1
(B) -1
(C) i
(D) j
(E) k
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 216
2 Gegeven is de voorstelling van een complex getal c in het complexe vlak. Bepaal via meetkundige weg de voorstelling van: 1 c + i
4 -c + 2i
3 c + 2 - i
2 2c
zie pagina 216
3 Bewijs de eigenschappen voor toegevoegde complexe getallen. 1 c1 + c2 = c1 + c2
2 c1 ? c2 = c1 ? c2
Aanwijzing: stel c1 = a1 + b1i en c2 = a2 + b2i met a1, b1, a2, b2 ΠR zie pagina 217
4 Toon aan: ( a + bi )−1 =
a b - 2 i 2 a +b a + b2 2
zie pagina 217
5 Als i 2 = -1, dan is (i - i -1)-1 gelijk aan (A) 0
(B) -2i
(C) 2i
(D) -
i 2
Vlaamse Wiskunde Olympiade
(E)
i 2
zie pagina 217
3 3 6 Bereken: (1 + i ) - (1 - i ) (1 - i )3 (1 + i )3
zie pagina 218
7 Los de hogeregraadsvergelijking op in C. 1 (2x - 3)(x 2 + 1) = 0
3 x 3 + 2x 2 + 3x - 6 = 0
2 x 3 - 8 = 0
4 x 4 - x 2 - 20 = 0 zie pagina 218
147
NIDT4CAH 118-187.indd 147
27/12/12 08:58
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Vraag & antwoord 1 Wat is de imaginaire eenheid? Het getal i met kenmerk i2 = –1. 2 Wat zijn de oplossingen in C van de vergelijking x 2 = -1? i en –i. 3 Wat is een complex getal? Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en i2 = –1. 4 Geef het reële deel en het imaginaire deel van het complex getal 3 + 4i. Het reële deel is 3 en het imaginaire deel is 4. 5 Onder welke voorwaarden zijn a + bi en c + di gelijke complexe getallen? Als a = c en b = d. 6 Hoe noemen we het vlak waarin we de complexe getallen voorstellen? Het complexe vlak of het vlak van Gauss. 7 Geef het tegengestelde complex getal van 3 + 4i. –3 – 4i 8 Geef het toegevoegde complex getal van 3 + 4i. 3 – 4i 9 Wat zijn de vierkantswortels in C van - 4? 2i en –2i.
148
NIDT4CAH 118-187.indd 148
10/12/12 17:36
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
8.2
Hoofdstuk
8
Complexe getallen in de goniometrische vorm
XX Goniometrische vorm 1
Instap
Het punt P is de voorstelling van het complex getal 1 + 3i in het complexe vlak. y
Q P
3 1 O 0
R
r
a x
1
S T
1 Bereken de afstand r van het punt P tot de oorsprong O. r =
12 + ( 3 )2 =
1 + 3 =
4 = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bereken de georiënteerde hoek a tussen de positieve x-as en de halve rechte [OP. 3 = 3 ➜ a = 60° 1 3 Duid in het complexe vlak het punt Q aan dat op een afstand 3 van de oorsprong ligt zodat de hoek tussen de positieve x-as en de halve rechte [OQ gelijk is aan 90°. tan a =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Bepaal het complex getal dat voorgesteld wordt door het punt Q.
3i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Duid in het complexe vlak het punt R aan dat op een afstand 2 van de oorsprong ligt zodat de hoek tussen de positieve x-as en de halve rechte [OR gelijk is aan 180°. 6 Bepaal het complex getal dat voorgesteld wordt door het punt R.
-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Duid in het complexe vlak het punt S aan dat de voorstelling is van 3 - 2i. In welk kwadrant ligt S ?
In het vierde kwadrant.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Duid in het complexe vlak het punt T aan dat de voorstelling is van -1 - 3i. . . . . . . . . .het . . . . . . . . . . . .derde . . . . . . . . . . . . . . . . . . kwadrant. ............................................................................................................................ In welk kwadrant ligt T ? . .In
149
NIDT4CAH 118-187.indd 149
27/12/12 08:59
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Een complex getal in de goniometrische vorm schrijven Het punt P (a, b) is de voorstelling van het complex getal a + bi in het complexe vlak. De afstand van het punt P tot de oorsprong O stellen we voor met de letter r. De georiënteerde hoek tussen de positieve x-as en de halve rechte [OP duiden we aan met a. y P
b 1
r
a
O 0
1
a
P’
x
In de rechthoekige driehoek OPP’ kunnen we de cosinus en de sinus van de hoek a als volgt omvormen: |OP ’| |OP | a cos a = r cos a =
a = r cos a
|PP ’| |OP| b sin a = r
en sin a =
b = r sin a
cosinus en sinus van een hoek zie figuur beide leden vermenigvuldigen met r
We kunnen het complex getal a + bi schrijven als: a + bi = r cos a + (r sin a)i
a = r cos a b = r sin a
a + bi = r (cos a + i sin a)
r afzonderen
De uitdrukking r (cos a + i sin a) noemen we de goniometrische vorm van het complex getal a + bi. • De afstand r noemen we de modulus of de absolute waarde van het complex getal a + bi. We noteren: r = |a + bi| We lezen:
r is de modulus van a + bi
• De georiënteerde hoek a noemen we het argument van het complex getal a + bi. We noteren: a = arg(a + bi) We lezen:
a is het argument van a + bi
Modulus en argument van een complex getal berekenen Het punt P (a, b) is de voorstelling van het complex getal a + bi in het complexe vlak. Om het complex getal a + bi in de goniometrische vorm te schrijven, berekenen we eerst zijn modulus r en zijn argument a :
150
NIDT4CAH 118-187.indd 150
10/12/12 17:36
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
|OP| = (a - 0)2 + (b - 0)2
afstandsformule
r = a 2 + b2
zie figuur
|PP ’| |OP ’| b tan a = met a ≠ 0 a tan a =
Hoofdstuk
8
tangens van een hoek zie figuur
Omdat antisupplementaire hoeken dezelfde tangens hebben, vinden we met de laatste formule twee hoeken. Door de ligging van het punt P in het assenstelsel na te gaan, kunnen we de juiste keuze maken voor het argument a.
Voorbeelden We schrijven het complex getal 1 + i in de goniometrische vorm. Modulus: r = 12 + 12 = 2 1 Argument: tan a = = 1 1 tan a = tan 45° a = 45° + k ? 180°
y
r = a2 + b2 a = 1 b = 1 b tan a = a
1+i
1 r
a 0
tangens van antisupplementaire hoeken
1
x
1
x
a in het eerste kwadrant a = 45° Complex getal: 1 + i = 2(cos 45° + i sin 45°) r(cos a + i sina)
We schrijven het complex getal -1 + i in de goniometrische vorm. Modulus: r = (−1)2 + 12 = 2 1 Argument: tan a = = -1 −1 tan a = tan (-45°) a = -45° + k ? 180°
a = -45° + 180° = 135°
r = a2 + b2 a = –1 b = 1 b tan a = a
tangens van antisupplementaire hoeken
y –1 + i
1
a
r 0
a in het tweede kwadrant
Complex getal: -1 + i = 2(cos 135° + i sin 135°) r(cos a + i sina)
151
NIDT4CAH 118-187.indd 151
10/12/12 17:36
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
De modulus en het argument van reële getallen en imaginaire getallen zijn af te lezen in het complexe vlak. Voorbeelden We schrijven het reële getal -3 en het imaginaire getal 4i in de goniometrische vorm. Modulus: r = 3
–3 ligt op de x-as
Argument: a = 180°
zie figuur
y
Complex getal: -3 = 3(cos 180° + i sin 180°) r(cos a + i sina) –3
Modulus: r = 4
4i ligt op de y-as
Argument: a = 90°
Complex getal: 4i = 4(cos 90° + i sin 90°)
2
A
180°
90°
4 1 0
3
4i
x
1
zie figuur r(cos a + i sina)
B
Bepaal van het complex getal de modulus en het argument. Schrijf het complex getal in de goniometrische vorm. 2(cos 90° + i sin 90°) 1 2i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5(cos 180° + i sin 180°) 2 -5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270° + i sin 270°) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 -3i = 3(cos
4 7=
3
A
7(cos 0° + i sin 0°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Bepaal van het complex getal de modulus en het argument. Schrijf het complex getal in de goniometrische vorm. 1 3 + 4i 2 2 r. . . . . = . . . . . . . . . .3 ........+ ......4 . . . . . . . . .= . . . . . . . . . .25 . . . . . . . . .= . . . . . .5 .......................................
4 tan ...........a . . . . . . .= .................................................................................... 3
2 -1 - 2i r =
(-1)2 + (-2)2 =
5
......................................................................................................
tan a = -2 = 2 -1
......................................................................................................
tan ...........a . . . . . . .= . . . . . .tan . . . . . . . . . . . (53,130...°) ...................................................................
......................................................................................................
a . . . . . .= . . . . . . 53,130...° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . .· . . . . . .180° ......................................
......................................................................................................
a . . . . . .= . . . . . . 53,130...° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . .∈ . . . . .I
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
5(cos 53,1° + i sin 53,1°) 3 + 4i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5(cos 243,4° + i sin 243,4°) -1 - 2i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tan a = tan (63,434...°)
a = 63,434...° + k · 180°
a = 63,434...° + 1 · 180°
a ∈ III
= 243,434...°
152
NIDT4CAH 118-187.indd 152
27/12/12 10:57
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
3 -2 + 3i
r =
52 + (-1)2 =
26
......................................................................................................
3 3 tan . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .................................................................. -2 2
tan a = -1 = - 1 5 5
......................................................................................................
tan . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .tan . . . . . . . . . . . (-56,309...°) .....................................................................
......................................................................................................
a. . . . = . . . . . . -56,309...° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k .....· . . . . . . .180° ....................................
......................................................................................................
a. . . . = . . . . . . -56,309...° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .1 . . . . . .· . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . .∈ ..
tan a = tan (-11,309...°)
a = -11,309...° + k · 180°
a = -11,309...° + 2 · 180°
II
a ∈ IV
......................................................................................................
= 123,690...°
= 348,69...°
......................................................................................................
......................................................................................................
13(cos 123,7° + i sin 123,7°) -2 + 3i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26(cos 348,7° + i sin 348,7°) 5 - i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
8
4 5-i
2 2 r. . . = . . . . . . . . . .(-2) . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .3 . . . . . . . . .= . . . . . . . . . 13 .................................................
4
Hoofdstuk
B
Schrijf het reëel getal of het imaginair getal in de goniometrische vorm en stel het voor in het complexe vlak. 4(cos 0° + i sin 0°) 1 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2(cos 270° + i sin 270°) 4 -2i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3(cos 90° + i sin 90°) 2 3i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1(cos 0° + i sin 0°) = cos 0° + i sin 0° 5 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2,5(cos 180° + i sin 180°) 3 -2,5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90° + i sin 90°) = cos 90° + i sin 90° 6 i = 1(cos
y
3i
1 i -2,5
0
1
4
x
-2i
153
NIDT4CAH 118-187.indd 153
7/01/13 17:11
Hoofdstuk
5
A
8
Complexe getallen
B
Bepaal van het complex getal de modulus en het argument. Schrijf het complex getal in de goniometrische vorm en stel het voor in het complexe vlak. 1
2 - 2 + 2i
3+i r =
( 3 )2 + 12 =
3 + 1 = 2
r =
(- 2 )2 + ( 2 )2 =
2 + 2 = 2
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
tan a = 1 3
......................................................................................................
......................................................................................................
tan a = tan 30°
......................................................................................................
......................................................................................................
a = 30° + k · 180°
......................................................................................................
......................................................................................................
a = 30°
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
a ∈ I
2(cos 30° + i sin 30°) 3 + i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 - 2i (2 3 )2 + ( -2)2 =
tan a =
2 = -1 - 2
tan a = tan (-45°)
a = -45° + k · 180°
a = -45° + 1 · 180°
a ∈ II
= 135°
2(cos 135° + i sin 135°) - 2 + 2i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 -4 - 4i
tan a = -2 = - 1 2 3 3
2 2 r. . . . = . . . . . . . . . .(-4) . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . (-4) . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . .16 .........+ . . . . . . 16 . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . .32 ..... = 4 2 -4 1 tan . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . .= ...................................................................... -4
......................................................................................................
tan a = tan (-30°)
tan . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .tan . . . . . . . . . . . 45° ....................................................................
......................................................................................................
a = -30° + k · 180°
a. . . . . = . . . . . . 45° .............+ ......k . . . . . .· . . . . . . 180° ............................................................
a = -30° + 2 · 180°
a ∈ IV
a. . . . . = . . . . . . 45° .............+ ......1 . . . . . . .· . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . .∈ . . . . .III ..........
......................................................................................................
......................................................................................................
4(cos 330° + i sin 330°) 2 3 - 2i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2(cos 225° + i sin 225°) -4 - 4i = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r =
12 + 4 = 4
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
= 330°
= 225°
154
NIDT4CAH 118-187.indd 154
7/01/13 17:11
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
y
- 2 +
2i
2
1 135° 2 30° 225° 0 1 330°
4 2 = 5,7
3 +i
x 4 2 3 - 2i
-4 - 4i
6
A
B
Schrijf het complex getal
1+i in de goniometrische vorm. 1-i
(1 + i) (1 + i) (1 + i)2 1 + 2i + i2 1 + 2i - 1 2i 1 + i = = = = = i = 2 2 (1 - i) (1 + i) 1 + 1 2 1 - i 1 - i
........................................................................................................................................................................................................................................
i = 1(cos 90° + i sin 90°)
........................................................................................................................................................................................................................................
1+i = 1-i
cos 90° + i sin 90°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulus en argument van een complex getal berekenen We berekenen de modulus en het argument van –1 + i. TEXAS INSTRUMENTS
We stellen de rekenmachine in voor het rekenen met zestigdelige graden. Met de opties abs en angle uit het rekenmenu CPX voor complexe getallen berekenen we de modulus en het argument. ▼
▼
[ MATH ] [ : 2-maal ] [ 5: abs( ] –1 + i [ ENTER ] [ MATH ] [ : 2-maal ] [ 4: angle( ] –1 + i [ ) ] [ ENTER ]
■
155
NIDT4CAH 118-187.indd 155
10/12/12 17:36
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
De modulus is 1,414… en het argument is 135°. CASIO
We stellen de rekenmachine in voor het rekenen met zestigdelige graden. Met de opties Abs en Arg uit het rekenmenu CPLX voor complexe getallen berekenen we de modulus en het argument.
[ MENU ] [ 1: RUN ] [ OPTN ] [ F3: CPLX ] [ F2: Abs ] –1 + i [ EXE ] [ F3: Arg ] [ ( ] –1 + i [ ) ] [ EXE ]
■
De modulus is 2 en het argument is 135°.
7
A
B
Bereken met ICT de modulus. Rond af op 2 decimalen. 5 1 |4 + 3i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7,07 5 |-7 + i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 2 |8 - 6i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3,61 6 |2 - 3i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2,24 3 |1 - 2i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5,10 7 |-1 + 5i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1,41 4 |1 - i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12,73 8 |-9 - 9i| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
A
B
Bereken met ICT het argument. Rond af op 2 decimalen. -45° (of 315°) 1 arg (1 - i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 arg
(
)
-30° (of 330°) 3 - i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170,54° 5 arg (-6 + i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123,69° 6 arg (-2 + 3i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51,34° 3 arg (4 + 5i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-119,74° (of 240,26°) 7 arg (-4 - 7i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48,37° 4 arg (8 + 9i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-129,23° (of 230,77°) 8 arg - 2 - 3i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
)
156
NIDT4CAH 118-187.indd 156
10/12/12 17:36
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
9
A
Hoofdstuk
8
B
Bereken met ICT de modulus en het argument. Rond af op 2 decimalen. Schrijf het complex getal in de goniometrische vorm. 5(cos 306,87° + i sin 306,87°) 1 3 - 4i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,81(cos 309,81° + i sin 309,81°) 2 5 - 6i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 + 24i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25(cos 73,74° + i sin 73,74°) 4 -2 + 3i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,61(cos 123,69° + i sin 123,69°) 5 -128 + 128 3 i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256(cos 120° + i sin 120°) 6
3 1 + i = . . . . . 0,5(cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30° . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . .30°) .......................................................................................................................................... 4 4
10
A
B
Schrijf met ICT het complex getal in de vorm a + bi. Rond a en b af op 2 decimalen. 1 + 1,73i 1 2(cos 60° + i sin 60°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4,33 - 2,5i 2 5(cos 330° + i sin 330°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4(cos 180° + i sin 180°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4 4 cos 1,5p + i sin 1,5p = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -i 5 9(cos 0 + i sin 0) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5p 5p 6 3 cos 1,5 - 2,60i + i sin = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
11
A
B
Controleer met ICT het rekenresultaat van opdracht 6.
157
NIDT4CAH 118-187.indd 157
10/12/12 17:36
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
XX Rekenen met complexe getallen 12
Instap
Herken de goniometrische formules voor sinus en cosinus en herleid de goniometrische uitdrukkingen tot één goniometrisch getal. cos (a + b) 1 cos a cos b - sin a sin b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin (a + b) 2 sin a cos b + cos a sin b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos (a - b) 3 cos a cos b + sin a sin b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin (a - b) 4 sin a cos b - cos a sin b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 2a 5 cos 2a - sin 2a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 2a 6 2sin a cos a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complexe getallen vermenigvuldigen Het product van twee complexe getallen r1(cos a1 + i sin a1) en r2(cos a2 + i sin a2) kunnen we berekenen als volgt: r1(cos a1 + i sin a1) ? r2 (cos a2 + i sin a2) = r1r2(cos a1 + i sin a1)(cos a2 + i sin a2)
commutatieve eigenschap
= r1r2(cos a1 cos a2 + i cos a1 sin a2 + i sin a1 cos a2 + i 2 sin a1 sin a2) distributieve eigenschap = r1r2(cos a1 cos a2 + i cos a1 sin a2 + i sin a1 cos a2 - sin a1 sin a2)
i² = –1
= r1r2[(cos a1 cos a2 - sin a1 sin a2) + i (sin a1 cos a2 + cos a1 sin a2)] complexe getallen optellen = r1r2[cos(a1 + a2) + i sin (a1 + a2)]
somformules voor sinus en cosinus
We stellen vast: • de modulus van het product van twee complexe getallen is het product van hun moduli; • het argument van het product van twee complexe getallen is de som van hun argumenten. Formule: r1(cos a1 + i sin a1) ? r2(cos a2 + i sin a2) = r1r2[cos(a1 + a2) + i sin(a1 + a2)] Voorbeeld 3(cos 20° + i sin 20°) ? 2(cos 30° + i sin 30°) = 3 ? 2 [cos(20° + 30°) + i sin(20° + 30°)]
complexe getallen vermenigvuldigen
= 6 (cos 50° + i sin 50°)
158
NIDT4CAH 118-187.indd 158
10/12/12 17:36
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
13
A
Hoofdstuk
8
B
Bereken het product. 1 2(cos 75° + i sin 75°) ? 3 (cos 150° + i sin 150°) = 2 (cos 45° + i sin 45°) ? (cos 225° + i sin 225°) =
cos 270° + i sin 270° = -i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4(cos 30° + i sin 30°) ? 8 (cos 150° + i sin 150°) = 4
6(cos 225° + i sin 225°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32(cos 180° + i sin 180°) = -32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 (cos 45° + i sin 45°) ? 3 (cos 45° + i sin 45°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3(cos 90° + i sin 90°) = 3i
14
A
B
Vermenigvuldig het complex getal met de imaginaire eenheid. Stel het complex getal en het product met de imaginaire eenheid voor in het complexe vlak. c1 = -2
c2 = -3i
.................................................................................... c1 ? i = .-2i
2 . . . . . . . . . .· . . . . . .i. . . .= . . . . .-3i . . . . . . . . . . . .= . . . . . .3 ........................................ c2 ? i = . .-3i
c3 = 2(cos 45° + i sin 45°)
c4 = cos 135° + i sin 135°
. . . . . . . . . . . . .45° . . . . . . . . .+ . . . . .i. . .sin . . . . . . .45°) . . . . . . . . . . .· ....i ............................ c 3 ? i = . . . . .2(cos
c4 ? i = . . . .(cos . . . . . . . . . .135° . . . . . . . . . . . .+ . . . . .i. . .sin . . . . . . .135°) . . . . . . . . . . . . . .· . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 2(cos 45° + i sin 45°) (cos 90° + i sin 90°)
...................................................................................................
= 2(cos 135° + i sin 135°)
...................................................................................................
= (cos 135° + i sin 135°) (cos 90° + i sin 90°)
...................................................................................................
= cos 225° + i sin 225°
...................................................................................................
y
90° c3 · i
c3
c4 1
c2 · i
c1 90°
0
x
1
c4 · i 90°
c1 · i
90°
c2
159
NIDT4CAH 118-187.indd 159
7/01/13 17:12
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Wat is de meetkundige betekenis van het vermenigvuldigen van een complex getal met de imaginaire eenheid? Een complex getal vermenigvuldigen met de imaginaire eenheid betekent
........................................................................................................................................................................................................................................
meetkundig dat we de voorstelling van het complex getal draaien om de oorsprong
........................................................................................................................................................................................................................................
O over een positieve rechte hoek.
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
15
A
B
Bereken het product en stel het voor in het complexe vlak. Over welke hoek is de voorstelling van 2 + 3i gedraaid? . . . . . . . . .+ . . . . . .3i) . . . . . . . . . (-1) . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . -2 . . . . . . . . . .. . . . . .3i ........................................................................................................................................ 1 (2 + 3i)i 2 = . . (2
Gedraaid over een hoek van . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 2 . . . . . . . . .+ . . . . . .3i) .........· ......i . . . . . . .· . . . . . .i. . . .= . . . . . .(2 . . . . . . . .+ . . . . . . 3i) . . . . . . . . . .(-i) . . . . . . . . . . . .= . . . . . .-2i . . . . . . . . . . .. . . . . . 3i . . . . . . . . . .= . . . . . .3 . . . . . .. . . . . . 2i ........................................................ 2 (2 + 3i)i 3 = . . (2
Gedraaid over een hoek van . .270° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 2 . . . . . . . . .+ . . . . . .3i) .........· ......i . . . . . . .· . . . . . .i. . . . . .= . . . . . .(2 . . . . . . . .+ . . . . . . 3i) . . . . . . . . . .· . . . . . . (-1) . . . . . . . . . . . . . .· . . . . . . (-1) . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .2 . . . . . .+ . . . . . . 3i ........................................................... 3 (2 + 3i)i 4 = . . (2
Gedraaid over een hoek van . .0° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. y
2 + 3i (2 + 3i) i4
180° 1 0
x
1
(2 + 3i) i3 270° 2
(2 + 3i) i
160
NIDT4CAH 118-187.indd 160
27/12/12 11:06
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
Complexe getallen delen Om het quotiënt te bepalen van twee complexe getallen c1 = r1 (cos a1 + i sin a1) en c2 = r2 (cos a2 + i sin a2) moeten we een complex getal c = r (cos a + i sin a) zoeken dat voldoet aan: c=
c1 c2
c ? c2 = c1
beide leden vermenigvuldigen met c2
r (cos a + i sin a) ? r2 (cos a2 + i sin a2) = r1 (cos a1 + i sin a1) r ? r2 [(cos (a + a2) + i sin (a + a2)] = r1 (cos a1 + i sin a1) r ? r2 = r1
en a + a2 = a1 + k ? 360°
r r = 1 r2
en a = a1 - a2 + k ? 360°
complexe getallen vermenigvuldigen gelijke complexe getallen hebben gelijke moduli en gelijke argumenten
We stellen vast: • de modulus van het quotiënt van twee complexe getallen is het quotiënt van hun moduli; • het argument van het quotiënt van twee complexe getallen is het verschil van hun argumenten. Formule:
r1 (cos a1 + i sin a1 ) r = 1 [ cos (a1 – a 2 )+ i sin(a1 – a 2 )] r2 r2 (cos a 2 + i sin a 2 )
Voorbeelden 6(cos 49° + i sin 49°) 3(cos14° + i sin 14°) 6 = [cos (49° - 14°) + i sin (49° - 14°)] 3 = 2(cos 35° + i sin 35°)
complexe getallen delen
Ook het omgekeerde van een complex getal kunnen we berekenen met de formule voor het quotiënt van complexe getallen. 1 2(cos 60° + i sin 60°) =
1(cos 0° + i sin 0°) 2(cos 60° + i sin 60°)
goniometrische vorm van het reëel getal 1
=
1 [cos (-60°) + i sin (-60°)] 2
complexe getallen delen
=
1 (cos 300° + i sin 300°) 2
161
NIDT4CAH 118-187.indd 161
10/12/12 17:36
Hoofdstuk
16
8
A
Complexe getallen
B
Bereken het quotiënt. 1
4 (cos 315° + i sin 315°) 2(cos 15° + i sin 15°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2(cos 300° + i sin 300°)
2
5(cos 90° + i sin 90°) = 2(cos 45° + i sin 45°)
3
9(cos 60° + i sin 60°) 3[cos (-60°) + i sin (-60°)] = 3(cos 300° + i sin 300°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3(cos120° + i sin 120°)
4
1 = 8(cos 0° + i sin 0°)
5
2 (cos10° + i sin 10°) = 2(cos100° + i sin 100°) = -
5 (cos 45° + i sin 45°) 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 (cos 270° + i sin 270°) [cos (-90°) + i sin (-90°)] = 2 2
........................................................................................................................................................................
2 i 2
.................................................................................................................................................................................................................................
6
1(cos 0° + i sin 0°) 1 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=. . . . . . . . . . . [. . cos . . . . . . . . . . . .(-300°) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ ......i . . . . .sin . . . . . . . . . .(-300°)] ....................... 7(cos 300° + i sin 300°) 7(cos 300° + i sin 300°) 7 = 1 (cos 60° + i sin 60°) 7
.................................................................................................................................................................................................................................
7
cos15° + i sin 15° 1 [cos (-180°) + i sin (-180°)] = 1 (cos 180° + i sin 180°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2(cos195° + i sin 195°) = - 1 2
.................................................................................................................................................................................................................................
8
1 = cos 5° + i sin 5°
1(cos 0° + i sin 0°) = cos (-5°) + i sin (-5°) cos 5° + i sin 5°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= cos 355° + i sin 355°
.................................................................................................................................................................................................................................
17
A
B
Deel het complex getal door de imaginaire eenheid. Stel het complex getal en het quotiënt met de imaginaire eenheid voor in het complexe vlak. c1 = -2
c2 = -3i
c1 2i -2 -2 · (-i) 2i = . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . .= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 i · (-i) i -i
c2 -3i = . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . -3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i
. . . . . .= . . . . . 2i ........................................................................................
...................................................................................................
162
NIDT4CAH 118-187.indd 162
27/12/12 11:08
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
c3 = 2 + 3i
Hoofdstuk
c4 = -1 - 4i
c3 2 + 3i (2 + 3i) (-i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i · (-i) i
c4 -1 - 4i (-1 - 4i) (-i) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i · (-i) i
2 -2i + 3 = -2i -2 3i = = 3 - 2i 1 -i
2 i - 4 = -4 + i = = i + 4i 2 1 -i
...................................................................................................
...................................................................................................
c5 = 2(cos 45° + i sin 45°)
c6 = cos 135° + i sin 135°
c5 2(cos 45° + i sin 45°) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i
c6 cos 135° + i sin 135° = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i
=
8
2(cos 45° + i sin 45°) 1(cos 90° + i sin 90°)
=
cos 135° + i sin 135° 1(cos 90° + i sin 90°)
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
= 2[cos (-45°) + i sin (-45°)]
...................................................................................................
= 2(cos 315° + i sin 315°)
...................................................................................................
= cos 45° + i sin 45°
...................................................................................................
y
c3 -90°
c4 i c2 i
c6
-90° 1
c1
c1 i c6 i
0
-90° x
1 c5 i
-90° -90°
-90°
c5
c2
c3 i
c4
Wat is de meetkundige betekenis van het delen van een complex getal door de imaginaire eenheid? Een complex getal delen door de imaginaire eenheid betekent meetkundig dat
........................................................................................................................................................................................................................................
we de voorstelling van het complex getal draaien om de oorsprong O over een
........................................................................................................................................................................................................................................
negatieve rechte hoek.
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
163
NIDT4CAH 118-187.indd 163
27/12/12 11:08
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Complexe getallen tot een macht verheffen De n-de macht van een complex getal r (cos a + i sin a) kunnen we berekenen als volgt: [r (cos a + i sin a)]n
nŒN
= r (cos a + i sin a) ? r (cos a + i sin a) ? … ? r (cos a + i sin a)
macht met natuurlijke exponent
n factoren = r ? r … ? r [cos(a + a + … + a) + i sin(a + a + … + a)]
complexe getallen vermenigvuldigen
= r n (cos na + i sin na) We stellen vast: • de modulus van de n-de macht van een complex getal is de n-de macht van de modulus van dit getal; • het argument van de n-de macht van een complex getal is gelijk aan n keer het argument van dit getal. Formule: [r (cos a + i sin a)]n = r n (cos na + i sin na)
nŒN
Voorbeeld [2(cos 25° + i sin 25°)]3 = 2 3 [cos(3 ? 25°) + i sin(3 ? 25°)]
macht van een complex getal
= 8 (cos 75° + i sin 75°) Formule van De Moivre Als we in de formule [r (cos a + i sin a)]n = r n (cos na + i sin na) de modulus r gelijk stellen aan 1, dan verkrijgen we de formule van De Moivre : (cos a + i sin a)n = cos na + i sin na Voorbeeld Met de formule van De Moivre kunnen we sin 2a en cos 2a uitdrukken in functie van sin a en cosa. cos 2a + i sin 2a = (cos a + i sin a)2
formule van De Moivre
= cos2 a + 2 i cos a sin a + i 2 sin2 a
kwadraat van een tweeterm
= cos2 a + 2 i cos a sin a - sin2 a
i2 = –1
= (cos2 a - sin2 a) + i (2 cos a sin a)
complexe getallen optellen
Omdat gelijke complexe getallen gelijke reële delen en gelijke imaginaire delen hebben, mogen we schrijven: cos 2a = cos2 a - sin2 a en sin 2a = 2 sin a cos a Deze formules voor de cosinus en de sinus van een dubbele hoek staan bekend als de verdubbelingsformules voor cosinus en sinus.
164
NIDT4CAH 118-187.indd 164
10/12/12 17:37
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
18
A
Hoofdstuk
8
B
Bereken de macht. 1 [2(cos 30° + i sin 30°)]4 = 2
16(cos 120° + i sin 120°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3(cos 200° + i sin 200°)
[ 3(cos 100° + i sin 100°)]2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27(cos 420° + i sin 420°) = 27(cos 60° + i sin 60°)
3 [3(cos 140° + i sin 140°)]3 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 [5(cos 180° + i sin 180°)]0 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5 [cos (-20°) + i sin (-20°)]5 = 6 [cos 300° + i sin 300°]3 =
19
A
cos (-100°) + i sin (-100°) = cos 260° + i sin 260°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cos 900° + i sin 900° = cos 180° + i sin 180° = -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Bereken de eerste negen machten van 1 + i. Stel deze getallen voor in het complexe vlak. Verbind de punten met een vloeiende lijn. r =
12 + 12 =
2
........................................................................................................................................................................................................................................
tan a = 1 = 1 ➜ a = 45° 1
........................................................................................................................................................................................................................................
1 + i =
2 (cos 45° + i sin 45°)
........................................................................................................................................................................................................................................
n
(1 + i) = [ 2 (cos 45° + i sin 45°)]
n
........................................................................................................................................................................................................................................
n
= ( 2 ) [cos (n · 45°) + i sin (n · 45°)]
n
........................................................................................................................................................................................................................................
1
(1 + i)0 =
..................................................................................................................................................................................................................
(1 + i)1 =
..................................................................................................................................................................................................................
(1 + i)2 =
..................................................................................................................................................................................................................
(1 + i)3 =
..................................................................................................................................................................................................................
(1 + i)4 =
..................................................................................................................................................................................................................
(1 + i)5 =
..................................................................................................................................................................................................................
(1 + i)6 =
..................................................................................................................................................................................................................
1 + i
2
( 2 ) (cos 90° + i sin 90°) = 2i 3
( 2 ) (cos 135° + i sin 135°) = -2 + 2i 4
( 2 ) (cos 180° + i sin 180°) = -4 5
( 2 ) (cos 225° + i sin 225°) = -4 - 4i 6
( 2 ) (cos 270° + i sin 270°) = -8i
165
NIDT4CAH 118-187.indd 165
7/01/13 17:16
Hoofdstuk
8
Complexe getallen 7
(1 + i)7 = . . (. . . . . .2 . . . .) . . . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . . 315° . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i. . . . sin . . . . . . . . . . 315°) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .8 . . . . . .. . . . . . 8i ........................................................................................................ 8
(1 + i)8 = . . (. . . . . .2 . . . .) . . . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . . 360° . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i. . . . sin . . . . . . . . . . 360°) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 16 .................................................................................................................... y
(1 + i)3 (1 + i)4
(1 + i)2 1
(1 + i)1
0
1 (1 + i)0
8
(1 + i)
x
(1 + i)5
(1 + i)7
(1 + i)6
20
A
B
3 1 + i . Stel deze getallen voor in het complexe vlak. Verbind Bereken de eerste vijf machten van 4 4 de punten. 2
2
1 3 1 1 4 . . . . . . . . . .1 r. . . . . .=. . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . .= ............................................................................................................ 4 + 4 16 16 2 4 16 1 1 4 4 1 tan . . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . .· ................= . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . . 30° ................................................................................................................................ 4 3 3 3 1 41 3 . . . . . . . . . . .+ . . . . . . . . . . i . . . . .= . . . . . . . . . . . . (cos . . . . . . . . . . . . . .30° . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin . . . . . . . . . . 30°) ................................................................................................................................................... 4 2 4 n
n
3 1 1 . . . . . . . . . . . . .30° . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . . . . . i ..........= . . . . . . . . . . . . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin . . . . . . . . . . 30°) ........................................................................................................................................ 4 4 2 n
1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[cos . . . . . . . . . . . . . (n . . . . . . . .· . . . . . .30°) . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin . . . . . . . . . . (n . . . . . . . .· . . . . . . 30°)] ..................................................................................................... 2 ........................................................................................................................................................................................................................................
0
3 1 1 4 + 4 i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 1 + i = 4 4 2
3 1 + i = 4 4
3 1 + i = 0,43 + 0,25i 4 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1 (cos 60° + i sin 60°) = 0,13 + 0,22i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
166
NIDT4CAH 118-187.indd 166
7/01/13 17:16
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
3
3 3 1 1 (cos 90° + i sin 90°) = 1 i = 0,13i 4 + 4 i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4
4 3 1 1 (cos 120° + i sin 120°) = -0,03 + 0,05i 4 + 4 i = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
y
0,1 0
21
A
0,5
1
x
B
Stel n = 3 in de formule van De Moivre. Leid hieruit formules af voor sin 3a en cos 3a in functie van sin a en cos a. 3 (cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . .a . . . .) ......= . . . . . . .cos . . . . . . . . . . .3 ...a . . . . . . .+ . . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . .3 ...a .................................................................................................................................... 2 =. . . . . (cos . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .i. . . . sin . . . . . . . . . .a . . . .) . . . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin ..........a . . . .) ..................................................................................................................................... 2 2 2 =. . . . . (cos . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .2i . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . . .+ . . . . . .i. . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a . . . .). . . . (cos . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .i. . . . sin . . . . . . . . . .a . . . .) ................................................................................. 2 2 =. . . . . (cos . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .2i . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a . . .) . . . . .(cos .............a . . . . . . .+ . . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . .a . . . .). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2 2 2 2 3 =. . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .i. . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . . 2i . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .2i . . . . . . . . . cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .sin ...........a . . . . . . cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . .. . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . . .a .... 3 2 2 2 3 =. . . . . cos . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .3i . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . .......2 . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . . sin ............a . . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .i . . . . sin . . . . . . . . . . . . .a ............................................. 3 2 2 3 =. . . . . cos . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .3i . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . .a ............3 . . . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . .......i . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a ........................................................................................ 3 2 2 3 =. . . . . (cos . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .3 . . . . . . sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a ...) . . . . .+ . . . . . . i(3 . . . . . . . . . .cos .............a . . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a . . . .) ................................................................................. 3 2 2 3 ⇒ . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . .3 . . . .a . . . . . .= . . . . . .cos .............a . . . . . . .. . . . . .3 . . . . . .sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sin . . . . . . . . . .3 . . .a . . . . . .= ......3 . . . . . . cos . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . . sin ............a .......... 3 2 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .3(1 . . . . . . . . . . .. . . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a ...) . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . 3(1 . . . . . . . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . . .a . . . .) . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .sin ...........a . 3 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .3 . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ .....3 . . . . . . cos . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .3 . . . . . .sin .........a ....... . . . . .3 . . . . . . sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . . .a ...
cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a
sin 3a = 3 sin a - 4 sin3 a
........................................................................................................................................................................................................................................
167
NIDT4CAH 118-187.indd 167
7/01/13 17:16
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Vierkantswortels van een complex getal Om een vierkantswortel te bepalen van een complex getal c = r (cos a + i sin a) zoeken we een complex getal c’ = r’ (cos a ’ + i sin a ’) dat voldoet aan: c’ 2 = c [r’ (cos a ’ + i sin a ’)]2 = r (cos a + i sin a) r’ 2 (cos 2a ’ + i sin 2a ’) = r (cos a + i sin a) r’ 2 = r
en 2a ’ = a + k ? 360°
r’ = r
en a ’ =
macht van een complex getal gelijke complexe getallen hebben gelijke moduli en gelijke argumenten
a + k ? 180° 2
vergelijkingen oplossen r’ ≥ 0 r ≥ 0
De vierkantswortels van r (cos a + i sin a) zijn: a a r cos + k 180° + i sin + k 180° k Œ Z 2 2 Door k gelijk te stellen aan 0 en 1, verkrijgen we twee tegengestelde vierkantswortels: • k = 0:
a a r cos + i sin 2 2
• k = 1:
a a r cos + 180° + i sin + 180° 2 2
a a = r - cos - i sin 2 2
cosinus en sinus van antisupplementaire hoeken
a a = - r cos + i sin 2 2
–1 afzonderen
Stellen we k gelijk aan een ander geheel getal, dan verkrijgen we telkens één van deze vierkantswortels. Formules voor de twee tegengestelde vierkantswortels van r (cos a + i sin a) :
a a a a w0 = r cos + i sin en w1 = – r cos + i sin 2 2 2 2 Voorbeeld We berekenen de vierkantswortels van 1 + 3i. We schrijven het complex getal eerst in de goniometrische vorm en passen de voorgaande formules toe. Daarna schrijven we elke vierkantswortel opnieuw in de vorm a + bi. Goniometrische vorm van 1 + 3i : 2(cos 60° + i sin 60°)
r = 2 en a = 60°
168
NIDT4CAH 118-187.indd 168
10/12/12 17:37
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
Vierkantswortels van 1 + 3i : 60° 60° + i sin w0 = 2 cos 2 2
a a r c os + i sin 2 2
= 2 ( cos 30° + i sin 30° ) = 1,22 + 0,71i
afronden op 2 decimalen
w1 = -1,22 - 0,71i
22
A
tegengestelde vierkantswortel
B
Bereken de vierkantswortels van het complex getal. Schrijf de vierkantwortels in de goniometrische vorm. 1 4(cos 60° + i sin 60°) w0 =
60° 60° = 2(cos 30° + i sin 30°) + i sin 4 cos 2 2
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = -2(cos 30° + i sin 30°) = 2(cos 210° + i sin 210°)
.................................................................................................................................................................................................................................
2 2(cos 90° + i sin 90°) w0 =
90° 90° = + i sin 2 cos 2 2
2 (cos 45° + i sin 45°)
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = - 2 (cos 45° + i sin 45°) =
2 (cos 225° + i sin 225°)
.................................................................................................................................................................................................................................
3 cos 70° + i sin 70° w0 =
70° 70° = cos 35° + i sin 35° + i sin 1 cos 2 2
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = -cos 35° - i sin 35° = cos 215° + i sin 215°
.................................................................................................................................................................................................................................
4 3(cos 300° + i sin 300°) w0 =
300° 300° + i sin = 3 cos 2 2
3 (cos 150° + i sin 150°)
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = - 3 (cos 150° + i sin 150°) =
3 (cos 330° + i sin 330°)
.................................................................................................................................................................................................................................
5 100(cos 100° + i sin 100°) w0 =
100° 100° 100 cos + i sin = 10(cos 50° + i sin 50°) 2 2
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = -10(cos 50° + i sin 50°) = 10(cos 230° + i sin 230°)
.................................................................................................................................................................................................................................
169
NIDT4CAH 118-187.indd 169
27/12/12 11:28
Hoofdstuk
23
8
A
Complexe getallen
B
Bereken de vierkantswortels van het complex getal. Schrijf de vierkantwortels in de vorm a + bi. Rond a en b af op 2 decimalen. 1 3 - 4i r =
32 + (-4)2 =
9 + 16 =
25 = 5
.................................................................................................................................................................................................................................
tan a = -4 ➜ a = -53,130...° + 360° = 306,869...° 3
a ∈ IV
.................................................................................................................................................................................................................................
3 - 4i = 5(cos 306,869...° + i sin 306,869...°)
.................................................................................................................................................................................................................................
w0 =
5 (cos 153,434...° + i sin 153,434...°) = 2 - i
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = -2 + i
.................................................................................................................................................................................................................................
2 5 - 6i r =
52 + (-6)2 =
25 + 36 =
61
.................................................................................................................................................................................................................................
-6 ➜ a = -50,194...° + 360° = 309,805...° 5
tan a =
a ∈ IV
.................................................................................................................................................................................................................................
5 - 6i =
61 (cos 309,805...° + i sin 309,805...°)
.................................................................................................................................................................................................................................
w0 =
61 (cos 154,902...° + i sin 154,902...°) = -2,53 + 1,19i
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = 2,53 - 1,19i
.................................................................................................................................................................................................................................
3 7 + 24i r =
72 + 242 =
49 + 576 =
625 = 25
.................................................................................................................................................................................................................................
tan a = 24 ➜ a = 73,739...° 7
a ∈ I
.................................................................................................................................................................................................................................
7 + 24i = 25(cos 73,739...° + i sin 73,739...°)
.................................................................................................................................................................................................................................
w0 = 5(cos 36,869...° + i sin 36,869...°) = 4 + 3i
.................................................................................................................................................................................................................................
w1 = -4 - 3i
.................................................................................................................................................................................................................................
170
NIDT4CAH 118-187.indd 170
27/12/12 11:28
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
Derdemachtswortels van een complex getal Om een derdemachtswortel te bepalen van een complex getal c = r (cos a + i sin a) zoeken we een complex getal c’ = r’ (cos a ’ + i sin a ’) dat voldoet aan: c’ 3 = c [r’ (cos a ’ + i sin a ’)]3 = r (cos a + i sin a) r’ 3 (cos 3a ’ + i sin 3a ’) = r (cos a + i sin a) r’ 3 = r
macht van een complex getal
en 3a ’ = a + k ? 360°
gelijke complexe getallen hebben gelijke moduli en gelijke argumenten
r’ = 3 r
vergelijkingen oplossen
a + k ? 120° 3 De derdemachtswortels van r (cos a + i sin a) zijn: en a ’ =
3
a a r cos + k 120° + i sin + k 120° 3 3
kŒZ
Door k gelijk te stellen aan 0, 1 en 2, verkrijgen we drie verschillende derdemachtswortels: • k = 0:
3
• k = 1:
3
• k = 2:
3
a a r cos + i sin 3 3 a a r cos + 120° + i sin + 120° 3 3 a a r cos + 240° + i sin + 240° 3 3
Stellen we k gelijk aan een ander geheel getal, dan verkrijgen we telkens één van deze derdemachtswortels. Formules voor de drie derdemachtswortels van r (cos a + i sin a) :
a a w0 = 3 r cos + i sin 3 3 a a 3 w1 = r cos +120° + i sin +120° 3 3 a a 3 w2 = r cos +240° + i sin +240° 3 3 Voorbeeld We berekenen de derdemachtswortels in C van -1. Goniometrische vorm van -1: 1(cos 180° + i sin 180°)
r = 1 en a = 180°
171
NIDT4CAH 118-187.indd 171
10/12/12 17:37
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Derdemachtswortels van -1: 180° 180° + i sin w0 = 3 1 cos 3 3
3
a a r cos + i sin 3 3
= cos 60° + i sin 60° = 0,5 + 0,87 i
afronden op 2 decimalen
180° 180° + 120° + isin + 120° w1 = 3 1 cos 3 3 = cos 180° + i sin 180°
a
a
3 r cos +120° + i sin +120° 3 3
= -1
180° 180° + 240° + i sin + 240° w2 = 3 1 cos 3 3 = cos 300° + i sin 300°
3
= 0,5 - 0,87 i
a a r cos +240° + i sin +240° 3 3
afronden op 2 decimalen
De voorstellingen van de derdemachtswortels van het getal -1 zijn de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek ingeschreven in de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 1. y 1
w1
w0
1
0
x
w2
24
A
B
Vink het complex getal aan dat een derdemachtswortel van 8i is. 2
-2
2i
-2i
3
172
NIDT4CAH 118-187.indd 172
10/12/12 17:37
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
25
A
Hoofdstuk
8
B
Bereken de derdemachtswortels van het complex getal. Schrijf de derdemachtswortels in de vorm a + bi en stel ze voor in het complexe vlak. 1 8(cos 75° + i sin 75°)
y
w0 = 2(cos 25° + i sin 25°)
.................................................................................................................................
= 1,81 + 0,85i
.................................................................................................................................
w1
w1 = 2(cos 145° + i sin 145°)
0
.................................................................................................................................
w0
1
x
1
= -1,64 + 1,15i
.................................................................................................................................
w2
w2 = 2(cos 265° + i sin 265°)
.................................................................................................................................
= -0,17 - 1,99i
.................................................................................................................................
2 1 y
1 = 1(cos 0° + i sin 0°)
.................................................................................................................................
w0 = 1(cos 0° + i sin 0°)
w1
1
.................................................................................................................................
= 1
w0
.................................................................................................................................
0
w1 = 1(cos 120° + i sin 120°)
1
x
.................................................................................................................................
= -0,5 + 0,87i
.................................................................................................................................
w2
w2 = 1(cos 240° + i sin 240°)
.................................................................................................................................
= -0,5 - 0,87i
.................................................................................................................................
173
NIDT4CAH 118-187.indd 173
7/01/13 17:32
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
3 8i 8i = 8(cos 90° + i sin 90°)
.................................................................................................................................
y
w0 = 2(cos 30° + i sin 30°)
.................................................................................................................................
= 1,73 + i
.................................................................................................................................
w1
w1 = 2(cos 150° + i sin 150°)
.................................................................................................................................
w0
1 0
1
x
= -1,73 + i
.................................................................................................................................
w2
w2 = 2(cos 270° + i sin 270°)
.................................................................................................................................
= -2i
.................................................................................................................................
4 -27 -27 = 27(cos 180° + i sin 180°)
y
.................................................................................................................................
w0 = 3(cos 60° + i sin 60°)
w0
.................................................................................................................................
= 1,5 + 2,60i
1
.................................................................................................................................
w1 = 3(cos 180° + i sin 180°)
w1
0
x
1
.................................................................................................................................
= -3
w2
.................................................................................................................................
w2 = 3(cos 300° + i sin 300°)
.................................................................................................................................
= 1,5 - 2,60i
.................................................................................................................................
174
NIDT4CAH 118-187.indd 174
27/12/12 11:35
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
5 -2 + 2i 2 2 r. . . . . .=. . . . . . . . . .(-2) . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .2 . . . . . . . .= . . . . . . . . . .8 .........................................................................
2 tan . . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .-1 . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .a ......= . . . . . . .-45° . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 135° .............. -2
y
-2 + 2i =
1
a ∈ II
8 (cos 135° + i sin 135°)
.................................................................................................................................
3
w 8 (cos 45° + i sin 45°) . . . . . . . = 0 ..........................................................................................................................
w1
. . . . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .+ . . . . . .i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
w1 =
3
w0
0
1
x
8 (cos 165° + i sin 165°)
.................................................................................................................................
= -1,37 + 0,37i
.................................................................................................................................
w2 =
3
w2
8 (cos 285° + i sin 285°)
.................................................................................................................................
= 0,37 - 1,37i
.................................................................................................................................
n-de machtswortels van een complex getal We weten reeds dat elk complex getal verschillend van nul, twee tegengestelde vierkantswortels en drie verschillende derdemachtswortels heeft. We onderzoeken nu hoe we in het algemeen n-de machtswortels van een complex getal kunnen bepalen voor n Œ N en n ≥ 2. Er bestaan vier complexe getallen waarvan de vierdemacht gelijk is aan 81: • 3 4 = 81 • (-3)4 = 81 2
• (3i)4 = 81i 4 = 81(i 2) = 81 ? (-1) 2 = 81 • (-3i)4 = 81i 4 = 81 De getallen 3, -3, 3i en -3i noemen we de vierdemachtswortels in C van 81. De tegengestelde reële getallen 3 en -3 noemen we de positieve vierdemachtswortel en de negatieve vierdemachtswortel van het positieve getal 81. We noteren:
4
81 = 3 - 4 81 = -3
Een n-de machtswortel van een complex getal is elk getal waarvan de n-de macht gelijk is aan dat complex getal.
175
NIDT4CAH 118-187.indd 175
27/12/12 11:35
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
n-de machtswortels van een complex getal berekenen Om een n-de machtswortel te bepalen van een complex getal c = r (cos a + i sin a) zoeken we een complex getal c’ = r’ (cos a ’ + i sin a ’) dat voldoet aan: c’ n = c [r’ (cos a ’ + i sin a ’)]n = r (cos a + i sin a) r’ n (cos na ’ + i sin na ’) = r (cos a + i sin a) r’ n = r
en na ’ = a + k ? 360°
r’ = n r
en a ’ =
macht van een complex getal gelijke complexe getallen hebben gelijke moduli en gelijke argumenten
a + k 360° n
vergelijkingen oplossen
De n-de machtswortels van r (cos a + i sin a) zijn:
n
a + k 360° a + k 360° r cos + i sin n n
kŒZ
Door k achtereenvolgens gelijk te stellen aan 0, 1, 2, ... , n - 1 verkrijgen we n verschillende n-de machtswortels. Stellen we k gelijk aan een ander geheel getal, dan verkrijgen we telkens één van de reeds gevonden n-de machtswortels. Formule voor de n verschillende n-de machtswortels van een complex getal r (cos a + i sin a):
a + k · 360° a + k · 360° wk = n r cos + i sin n n
k = 0, 1, 2, ... , n - 1
Voorbeeld We berekenen de achtstemachtswortels in C van -128 + 128 3i. Goniometrische vorm van -128 + 128 3i : 256(cos 120° + i sin 120°)
r = 256 en a = 120°
Achtstemachtswortels van -128 + 128 3i : 8
120° + k 360° 120° + k 360° 256 cos + i sin 8 8
n
= 2[cos(15° + k ? 45°) + i sin(15° + k ? 45°)] • • • • • • • •
k = 0: k = 1: k = 2: k = 3: k = 4: k = 5: k = 6: k = 7:
w0 = 2(cos 15° + i sin 15°) = 1,93 + 0,52i w1 = 2(cos 60° + i sin 60°) = 1 + 1,73i w2 = 2(cos 105° + i sin 105°) = -0,52 + 1,93i w3 = 2(cos 150° + i sin 150°) = -1,73 + i w4 = 2(cos 195° + i sin 195°) = -1,93 - 0,52i w5 = 2(cos 240° + i sin 240°) = -1 - 1,73i w6 = 2(cos 285° + i sin 285°) = 0,52 - 1,93i w7 = 2(cos 330° + i sin 330°) = 1,73 - i
a + k · 360° a + k · 360° r cos + i sin n n
k = 0, 1, 2, ... , 7 afronden op 2 decimalen
176
NIDT4CAH 118-187.indd 176
10/12/12 17:37
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
De voorstellingen van de achtstemachtswortels van het getal -128 + 128 3i zijn de hoekpunten van een regelmatige achthoek ingeschreven in de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 2. y w2 w3
1
x
1 w7
w5
A
w0
0
w4
26
w1
w6
B
Bereken de n-de machtswortels van het complex getal. Schrijf de n-de machtswortels in de vorm a + bi en stel ze voor in het complexe vlak. 1 De vierdemachtswortels van -1. -1. . . . . .=. . . . . .1(cos . . . . . . . . . . . . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . .180°) ............................................................... y
Vierdemachtswortels: ................................................................................................................................. 4
+ k · 360° 180° + k · 360° . . . . . . . . . . .180° . . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i. . . .sin ................................................... 1 4 4
w1
w0 45°
= . . cos . . . . . . . . . . . .(45° . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . .· . . . . . .90°) . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin . . . . . . . . . . (45° . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . .· . . . . . . 90°) .............. • k cos 45° + i sin 45° = 0,71 + 0,71i . . . . . . .= . . . . . .0: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 0 ....................................................................................................
1
0 w2
1
x
w3
• k cos 135° + i sin 135° = -0,71 + 0,71i . . . . . . .= . . . . . .1: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 1 .................................................................................................... • k cos 225° + i sin 225° = -0,71 - 0,71i . . . . . . .= . . . . . .2: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 2 .................................................................................................... • k cos 315° + i sin 315° = 0,71 - 0,71i . . . . . . .= . . . . . .3: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 3 ....................................................................................................
177
NIDT4CAH 118-187.indd 177
27/12/12 11:48
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
2 De vijfdemachtswortels van 32i. 32i. . . . .=. . . . . .32(cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90° .............+ . . . . . . .i. . . .sin . . . . . . . . . .90°) ................................................................ Vijfdemachtswortels: ................................................................................................................................. 5
y
+ k · 360° 90° + k · 360° . . . . . . . . . . .90° 32 . . . . . . . . . cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin ..................................................... 5 5
= 2[cos . . . . . . . . . . . . . . . . .(18° . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . .· . . . . . .72°) . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i. . . . sin . . . . . . . . . . (18° ...............+ ......k . . . . . .· . . . . . . 72°)] ...........
w1
1
w2
18° 1
0
• k. . . .= 2(cos 18° + i sin 18°) = 1,90 + 0,62i . . . . . .0: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 0 ....................................................................................................... • k. . . .=. . . . . .1: 2(cos 90° + i sin 90°) = 2i .......w . . . . . . . .= 1 ........................................................................................................
w3
w0 x
w4
• k. . . .= 2(cos 162° + i sin 162°) = -1,90 + 0,62i . . . . . .2: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 2 ....................................................................................................... • k. . . .= 2(cos 234° + i sin 234°) = -1,18 - 1,62i . . . . . .3: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 3 ....................................................................................................... • k. . . .= 2(cos 306° + i sin 306°) = 1,18 - 1,62i . . . . . .4: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 4 ....................................................................................................... 3 De zesdemachtswortels van cos 150° + i sin 150°. 150° + k · 360° 150° + k · 360° cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+. . . . . .i. . . .sin ................................................................. 6 6 = cos . . . . . . . . . . .(25° . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . .· . . . . . .60°) . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . . sin . . . . . . . . . . (25° . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k .....· . . . . . . 60°) ................. y
• k. . . .= cos 25° + i sin 25° = 0,91 + 0,42i . . . . . .0: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 0 ....................................................................................................... • k. . . .=. . . . . .1: cos 85° + i sin 85° = 0,09 + 1,00i .......w . . . . . . . .= 1 ........................................................................................................
1 w2
• k. . . .= cos 265° + i sin 265° = -0,09 - 1,00i . . . . . .4: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 4 .......................................................................................................
w0 25°
• k. . . .= cos 145° + i sin 145° = -0,82 + 0,57i . . . . . .2: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 2 ....................................................................................................... • k. . . .= cos 205° + i sin 205° = -0,91 - 0,42i . . . . . .3: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 3 .......................................................................................................
w1
0 w3
1
x
w5 w4
• k. . . .= cos 325° + i sin 325° = 0,82 - 0,57i . . . . . .5: . . . . . . . .w . . . . . . . .= 5 ....................................................................................................... .................................................................................................................................
.................................................................................................................................
178
NIDT4CAH 118-187.indd 178
27/12/12 11:48
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
4 De zevendemachtswortels van 128. 128 = 128(cos 0° + i sin 0°)
.................................................................................................................................................................................................................................
Zevendemachtswortels:
.................................................................................................................................................................................................................................
0° + k · 360° 0° + k · 360° + i sin 128 cos 7 7 · 360° + i sin k · 360° .= . . . . . .2 . . . . . cos . . . . . . . . . . . . . .k ....................................................................................................................................................................................................... 7 7 7
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 0: w0 = 2(cos 0° + i sin 0°) = 2
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 1: w1 = 2(cos 51,428...° + i sin 51,428...°) = 1,25 + 1,56i
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 2: w2 = 2(cos 102,857...° + i sin 102,857...°) = -0,45 + 1,95i
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 3: w3 = 2(cos 154,285...° + i sin 154,285...°) = -1,80 + 0,87i
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 4: w4 = 2(cos 205,714...° + i sin 205,714...°) = -1,80 - 0,87i
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 5: w5 = 2(cos 257,142...° + i sin 257,142...°) = -0,45 - 1,95i
.................................................................................................................................................................................................................................
• k = 6: w6 = 2(cos 308,571...° + i sin 308,571...°) = 1,25 - 1,56i
.................................................................................................................................................................................................................................
w2 w3
y w1 1 51° 0
w0
1
x
w4 w5
w6
179
NIDT4CAH 118-187.indd 179
27/12/12 11:48
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
XX Binomiaalvergelijkingen 27
Instap
Gegeven is de vierdegraadsvergelijking x 4 - 16 = 0. 2 en -2 1 Bepaal de reële oplossingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Toon aan dat de imaginaire getallen 2i en -2i ook oplossingen zijn. (2i)4 - 16 = 16i4 - 16 = 16 · (i2)2 - 16 = 16 · (-1)2 - 16 = 16 - 16 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(-2i)4 - 16 = 16i4 - 16 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 3 Hoeveel oplossingen in C heeft deze vierdegraadsvergelijking? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomiaalvergelijkingen oplossen in C Een binomiaalvergelijking van de n-de graad in x is een vergelijking van de vorm: axn + b = 0
a, b ŒC0 n ŒN0
Het linkerlid noemen we een tweeterm of een binomium in x. Om een binomiaalvergelijking op te lossen, kunnen we als volgt te werk gaan: axn + b = 0 axn = -b
beide leden vermeerderen met –b
b xn = - a
beide leden vermenigvuldigen met a1
xn = r (cos a + i sin a)
–b a in de goniometrische vorm schrijven
a + k 360° a + k 360° + i sin x = n r cos n n
k = 0, 1, 2, … , n – 1
n-de machtswortels van een complex getal
We stellen vast dat het oplossen van een binomiaalvergelijking axn + b = 0 neerkomt op het bepalen b van de n-de machtswortels van - . a Een binomiaalvergelijking van de n-de graad heeft bijgevolg n oplossingen in C. Voorbeeld We lossen de binomiaalvergelijking 16x 4 + 1 = 0 op. 16x 4 + 1 = 0 16x 4 = -1 1 x 4 = - 16 1 x 4 = (cos 180° + i sin 180°) 16
beide leden vermeerderen met –1 1 beide leden vermenigvuldigen met 16 goniometrische vorm van het reëel getal – 1 16
180
NIDT4CAH 118-187.indd 180
10/12/12 17:37
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
x= 4
1 180° + k 360° 180° + k 360° + i sin cos 16 4 4
k = 0: k = 1: k = 2: k = 3:
8
n-de machtswortels van een complex getal
1 = [cos(45° + k ? 90°) + i sin(45° + k ? 90°)] 2 • • • •
Hoofdstuk
k = 0, 1, 2, 3
x0 = 0,5(cos 45° + i sin 45°) = 0,35 + 0,35i x1 = 0,5(cos 135° + i sin 135°) = - 0,35 + 0,35i x2 = 0,5(cos 225° + i sin 225°) = - 0,35 - 0,35i x3 = 0,5(cos 315° + i sin 315°) = 0,35 - 0,35i
afronden op 2 decimalen
De voorstellingen van de oplossingen zijn de hoekpunten van een vierkant ingeschreven in de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 0,5. y 1 x1
x0 1 x
0 x2
28
A
x3
B
Los de binomiaalvergelijking op in C. 1 x 3 + 1 = 0 x3 = -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x3 = 1(cos 180° + i sin 180°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• x0 = cos 60° + i sin 60° = 0,5 + 0,87i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• x1 = cos 180° + i sin 180° = -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• x2 = cos 300° + i sin 300° = 0,5 - 0,87i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
NIDT4CAH 118-187.indd 181
10/12/12 17:37
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
2 16x 4 - 1 = 0 16x4 = 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x4 = 1 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x4 = 1 (cos 0° + i sin 0°) 16 0° + k · 360° 0° + k · 360° 1 . .x . . . . . = . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . .cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .i . . . .sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=
1 [cos (k · 90°) + i sin (k · 90°)] 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• k = 0: x0 =
1 (cos 0° + i sin 0°) = 0,5 2
• k = 1: x1 =
1 (cos 90° + i sin 90°) = 0,5i 2
• k = 2: x2 =
1 (cos 180° + i sin 180°) = -0,5 2
• k = 3: x3 =
1 (cos 270° + i sin 270°) = -0,5i 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 x 5 - i = 0 x5 = i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x5 = 1 (cos 90° + i sin 90°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x =
5
90° + k · 360° 90° + k · 360° + i sin 1 cos 5 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= cos (18° + k · 72°) + i sin (18° + k · 72°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• k = 0: x0 = cos 18° + i sin 18° = 0,95 + 0,31i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• k = 1: x1 = cos 90° + i sin 90° = i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• k = 2: x2 = cos 162° + i sin 162° = -0,95 + 0,31i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• k = 3: x3 = cos 234° + i sin 234° = -0,59 - 0,81i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• k = 4: x4 = cos 306° + i sin 306° = 0,59 - 0,81i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
NIDT4CAH 118-187.indd 182
27/12/12 11:50
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
Uitdagingen 1 Het complex getal c voldoet aan c + |c| = 2 + 8i. Wat is dan |c|2? (A) 68
(B) 100
(C) 169
(D) 208
(E) 289
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 220
2 Stel de complexe getallen die aan de voorwaarde voldoen, grafisch voor in het complexe vlak. 2 c+c=0
1 |c| = 3
3 arg(c) =
p 4
4 c ? c = 25 zie pagina 220
3 Gegeven is een complex getal c met |2c - 1| = |c - 2|.
Welke uitspraken zijn waar? Verklaar. 1 c is een reëel getal 2 c = cos a + i sin a 3 arg(c) = 0 4 |c| = 1 5 c stelt in het complexe vlak een punt van een rechte voor. 6 c stelt in het complexe vlak een punt van een cirkel voor. zie pagina 222
4 1 Stel een formule op voor het product van drie complexe getallen in de goniometrische vorm. 2 Noteer een formule voor het product van n complexe getallen in de goniometrische vorm.
zie pagina 223
5 Bewijs dat: c1 = c1 met c , c ΠC. 1 2 c c 2 2
Aanwijzing: stel c1 = r1 (cos a1 + i sin a1) en c2 = r2 (cos a2 + i sin a2)
(1 + i 3 ) ( 3 - i)
zie pagina 224
13
6 Schrijf
8
in de vorm a + bi . zie pagina 224
183
NIDT4CAH 118-187.indd 183
27/12/12 11:50
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
()
7 Bewijs dat: c n = c n met c ΠC. Aanwijzing: stel c = r (cos a + i sin a) zie pagina 225
8 Bereken de eerste negen machten van 1 - i. Stel deze getallen voor in het complexe vlak. Verbind de punten met een vloeiende lijn. zie pagina 225
9 1 Schrijf een programma om de n-de machtswortels van een complex getal te berekenen waarin het reële deel en het imaginaire deel worden afgerond op 2 decimalen. 2 Controleer het ingevoerde programma met de berekening van de achtstemachtswortels van −128 + 128 3i .
3 Controleer de rekenresultaten van opdracht 26.
zie pagina 226
10 Bereken de tiendemachtswortels van 1010 en stel ze voor in het complexe vlak. zie pagina 227
11 Los op in C: x 3 = a + bi met a, b ΠR. ai - b
zie pagina 228
12 Wanneer de zes oplossingen van de vergelijking x 6 = -64 geschreven worden in de vorm a + bi (waarin a en b reëel zijn), dan wordt het product van die oplossingen waarin a > 0 gegeven door (A) -2
(B) 0
(C) 2i
(D) 4
(E) 16
Vlaamse Wiskunde Olympiade
zie pagina 228
13 Los de binomiaalvergelijking op in C. 1 ix 3 + 27 = 0
2 (1 - i)x 2 - 2 - 3i = 0
3 x 6 + 64i = 0 zie pagina 229
184
NIDT4CAH 118-187.indd 184
27/12/12 11:50
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
14 Welk punt van de aangeduide punten van deze hartenaas of ruitenaas stelt geen oplossing voor van één van deze binomiaalvergelijkingen? 1 x 2 = -9
2 x 3 - 216i = 0
4 x 6 = 15 625
5 x 2 = 4
3 x 4 + 256 = 0
y
1 0
1
x
zie pagina 230
185
NIDT4CAH 118-187.indd 185
27/12/12 11:50
Hoofdstuk
8
Complexe getallen
Vraag & antwoord 1 Het punt P is de voorstelling van een complex getal in het complexe vlak. Hoe noemen we de afstand van het punt P tot de oorsprong O? De modulus van het complex getal. 2 Het punt P is de voorstelling van een complex getal in het complexe vlak. Hoe noemen we de georiënteerde hoek tussen de positieve x-as en de halve rechte [OP ? Het argument van het complex getal. 3 Schrijf de goniometrische vorm van een complex getal met modulus r en argument a. r (cos a + i sin a) 4 Schrijf de formules om de modulus en het argument van een complex getal a + bi te berekenen. b tan a = met a ≠ 0 r = a 2 + b2 a 5 Hoe berekenen we de modulus en het argument van een product van twee complexe getallen in hun goniometrische vorm? De modulus van het product van twee complexe getallen is het product van hun moduli en het argument is de som van hun argumenten. 6 Schrijf de formule voor het product van twee complexe getallen in hun goniometrische vorm. r1 (cos a1 + i sin a1) ? r2 (cos a2 + i sin a2) = r1 r2 [cos (a1 + a2) + i sin (a1 + a2)] 7 Hoe berekenen we de modulus en het argument van een quotiënt van twee complexe getallen in hun goniometrische vorm? De modulus van het quotiënt van twee complexe getallen is het quotiënt van hun moduli en het argument is het verschil van hun argumenten. 8 Schrijf de formule voor het quotiënt van twee complexe getallen in hun goniometrische vorm. r1 (cos a1 + i sin a1 ) r = 1 [ cos (a1 – a 2 )+ i sin(a1 – a 2 )] r2 r2 (cos a 2 + i sin a 2 )
186
NIDT4CAH 118-187.indd 186
10/12/12 17:38
8.2 - Complexe getallen in de goniometrische vorm
Hoofdstuk
8
9 Hoe berekenen we de modulus en het argument van de n-de macht van een complex getal? De modulus van de n-de macht van een complex getal is de n-de macht van de modulus van dit getal en het argument is gelijk aan n keer het argument van dit getal. 10 Schrijf de formule voor de n-de macht van een complex getal in de goniometrische vorm. [r (cos a + i sin a)]n = rn (cos na + i sin na)
nŒN
11 Schrijf de formule van De Moivre. (cos a + i sin a)n = cos na + i sin na
nŒN
12 Schrijf de formules voor de vierkantswortels van r (cos a + i sina). a a a a w0 = r cos + i sin en w1 = – r cos + i sin 2 2 2 2 13 Schrijf de formules voor de derdemachtswortels van r (cos a + i sina). a a w0 = 3 r cos + i sin 3 3 a a 3 w1 = r cos +120° + i sin +120° 3 3 a a 3 w2 = r cos +240° + i sin +240° 3 3
187
NIDT4CAH 118-187.indd 187
10/12/12 17:38
Trefwoorden
Trefwoordenregister A Algoritme voor het delen van veeltermen 74 Argument 150 Asymptoot – horizontale 24 – verticale 24 B Bereik 9 Binomiaalvergelijking 180 Binomiaalvergelijkingen oplossen in C 180 Binomium 180 C Complex getal 122 – argument 150 – goniometrische vorm 150 – modulus 150 – tegengestelde 128 – toegevoegde 133 Complexe getallen – aftrekken 128 – delen 135 - 161 – derdemachtswortels 171 – n-de machtswortels 175 – optellen 127 – tot een macht verheffen 131 - 164 – vermenigvuldigen 131 - 158 – vierkantswortels 138 - 168 Complexe vlak 124 D Deelbaarheid door x - a 97 Deelbaarheid van veeltermen 79 Delen door x - a 86 Derdegraadsvergelijking 68 Derdegraadsvergelijkingen oplossen met deling door x - a 109 Derdemachtswortels van een complex getal 171 Domein 9 E Euclidische deling – van natuurlijke getallen 71 – van veeltermen 71 F Formule – van de Euclidische deling 71 – van De Moivre 164
188
NIDT4CAH 188-196.indd 188
10/12/12 17:40
Trefwoorden
– voor de derdemachtswortels van een complex getal 171 – voor de n-de macht van een complex getal 164 – voor de n-de machtswortels van een complex getal 176 – voor de vierkantswortels van een complex getal 168 – voor het product van complexe getallen 158 – voor het quotiënt van complexe getallen 161 Functie – f (x) = x 3 15 – f (x) = x 18 1 – f (x) = 22 x – g (x) = f (x) + k 32 – g (x) = f (x - k) 38 – g (x) = k ? f (x) 46 G
Gelijke complexe getallen 123 Getal i 120 Goniometrische vorm van een complex getal 150 Graad van een veelterm 65 Grafieken – horizontaal verschuiven 39 – spiegelen om de x-as 47 – verticaal vermenigvuldigen 47 – verticaal verschuiven 33 H
Hogeregraadsvergelijking a ? b = 0 oplossen 107 Hogeregraadsvergelijkingen 68 Horizontale asymptoot 24 Hyperbool 23
I
Imaginair deel 122 Imaginair getal 122 Imaginaire as 124 Imaginaire eenheid 120
K
Kenmerk van deelbaarheid door x - a 97
M
Machinerekenen – tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C 145 – derdegraadsvergelijkingen oplossen 113 – modulus en argument van een complex getal berekenen 155 – rekenen met complexe getallen 139 Modulus 150
189
NIDT4CAH 188-196.indd 189
10/12/12 17:40
Trefwoorden
N
n-de macht van een complex getal 164 n-de machtswortels van een complex getal 175 Niet-opgaande deling 71 Nulwaarden van een veeltermfunctie 67
O
Ontbinding in factoren – x 3 - a 3 101 – x 3 + a 3 101 Opgaande deling 71
P
Puntsymmetrische kromme 16 - 23
R
Reëel deel 122 Reële as 124 Regel van Horner 87 Reststelling 94 – bewijs 94
S
Standaardfuncties – f (x) = x 3 15 – f (x) = x 18 1 – f (x) = 22 x
T
Tegengestelde complexe getallen 128 Toegevoegde complexe getallen 133 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C 141
V
Veeltermen met onbepaalde coëfficiënten 104 Veeltermfunctie 65 Verticale asymptoot 24 Verzameling C 123 Vierkantswortels van een complex getal 168 Vierkantswortels van een negatief reëel getal 138 Vlak van Gauss 124
W
Werkdomein 9 Wortelformule in C 142
190
NIDT4CAH 188-196.indd 190
10/12/12 17:40
Notities
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
191
NIDT4CAH 188-196.indd 191
10/12/12 17:40
Notities
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................
192
NIDT4CAH 188-196.indd 192
10/12/12 17:40
Oplossingen
Hoofdstuk 6
Uitdagingen van pagina 28 en 29 1 Bepaal het bereik van de functie. 1 f (x) = x - 3
1 3 f (x) = (x - 1)2 met dom f = ]-1, 3[ 3 4 ber f = 0, 3
met dom f = [-3, 5]
ber f = [–6, 2] 2 f (x) = x2 - 5
met dom f = [-2, 2]
4 f (x) = |x + 1| - 3 met dom f = [-4, 4[
ber f = [–5, –1]
ber f = [–3, 2[ terug naar pagina 28
2 Teken de grafiek van een dalende eerstegraadsfunctie f met dom f = [-2, 3] en ber f = [-3, 3]. y 3
1 0
–2
1
3
x
–3
terug naar pagina 28
3 Gegeven zijn het domein en het bereik van een tweedegraadsfunctie f . 1 Schets een grafiek van f als we weten dat de grafiek een bergparabool is met dom f = [-2, 3] en ber f = [-3, 3]. y 3 1 –2
0
1
3
x
–3
193
NIDT4CAH 193-232.indd 193
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 6
Uidagingen
2 Schets een grafiek van f als we weten dat de grafiek een dalparabool is met dom f = [-2, 6] en ber f = [-2, 6]. y 6
1 –2
0
1
6
x
–2 terug naar pagina 28
4 Gegeven zijn de grafieken van de functies f , g , h en i met f (x) = 1 en dom f = ]0, 5]. x Bepaal het voorschrift, het domein en het bereik van de functies g , h en i . y i
f
1 0
–5
h
5
1
x
g
g(x) = – 1 x
dom g = ]0, 5]
ber g = 0–
h(x) = 1 x
dom h = [-5, 0[
ber h = 0–
i(x) = – 1 x
dom i = [–5, 0[
ber i = +0 terug naar pagina 28
194
NIDT4CAH 193-232.indd 194
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 6
Oplossingen
5 Gegeven is een functie met meervoudig functievoorschrift. ⎧⎪-( x + 3)2 + 4 als x £ 0 f (x ) = ⎨ 2 ⎩⎪-( x - 3) + 4 als x > 0 1 Teken de grafiek van de functie f . y 4 3
1 –4
0
–3
1
3
6
x
–5
2 Bepaal f (0), f (1), f (-4) en f (6). f(0) = –5
f(1) = 0
f(–4) = 3
f(6) = –5
3 Wat is het maximum van deze functie? Het maximum is 4. 4 Voor welke originelen wordt het maximum bereikt? Het maximum wordt bereikt in de originelen –3 en 3. terug naar pagina 29
195
NIDT4CAH 193-232.indd 195
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 6
Uidagingen
6 Gegeven is de functie f (x) = x3.
f
y
=
y
x
1 Teken de grafiek van de functie.
g 1 0
x
1
2 Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek van de functie g (x) = 3 x . 3 Bepaal de snijpunten van de twee grafieken. De snijpunten zijn (–1, –1), (0, 0) en (1, 1). 4 De grafiek van g verkrijgen we door de grafiek van f te spiegelen om een rechte. Teken deze rechte. 5 Geef een vergelijking van deze rechte. y = x
terug naar pagina 29
196
NIDT4CAH 193-232.indd 196
27/12/12 17:34
Oplossingen
Hoofdstuk 6
Uitdagingen van pagina 59 en 60 1 De groene kromme is de grafiek van een functie f . De blauwe kromme is dan de grafiek van de functie g met y
2
f
1
x
0
g –4
(A) g (x) = - f (x)
(B) g (x) = f (-x)
(D) g (x) = - f (x) - 1
(E) g (x) = - f (x) - 2
(C) g (x) = f (x) - 6
Vlaamse Wiskunde Olympiade
We spiegelen eerst de grafiek van f om de x-as, daarna verschuiven we de verkregen grafiek 2 naar onder. Zo verkrijgen we de grafiek van g met voorschrift g(x) = -f(x) - 2. terug naar pagina 59
2 De grafiek van een willekeurige functie f in een orthonormaal assenstelsel, wordt evenwijdig met de eerste bissectrice verschoven over een afstand 2 (zodanig dat de x- en de y-waarden van elk punt groter worden). Het voorschrift van de nieuwe functie g is (A) g (x) = f (x + 1) + 1
(
)
(B) g (x) = f (x - 1) + 1
(
)
(C) g (x) = f (x) + 2
(D) g (x) = f x + 2 + 2 (E) g (x) = f x - 2 + 2
Vlaamse Wiskunde Olympiade
De grafiek wordt 1 naar rechts en 1 naar boven verschoven. Na de eerste verschuiving heeft de functie als voorschrift y = f(x - 1) en na de tweede verschuiving wordt het voorschrift y = f(x - 1) + 1. Dus het voorschrift van de nieuwe functie g is g(x) = f(x - 1) + 1. terug naar pagina 59
197
NIDT4CAH 193-232.indd 197
7/01/13 17:35
Hoofdstuk 6
Uidagingen
3 Gegeven zijn de functies f (x) = 1 , g (x) = a ? f (x) en h (x) = f (b ? x). x De grafieken van de functies g en h vallen samen. Welk verband bestaat er tussen a en b? f(x) = 1 x g(x) = a · f(x) = a x h(x) = f(b·x) = 1 bx De grafieken van de functies g en h vallen samen als: g(x) = h(x) a 1 x = bx a = x bx a = 1 b a en b zijn elkaars omgekeerde. terug naar pagina 59
4 Bepaal een voorschrift van de functie f die als grafiek een hyperbool heeft met horizontale asymptoot y = 2 en verticale asymptoot x = 3. De nulwaarde van f is 2. f(x) =
a + 2 x- 3
VA: x = 3
HA: y = 2
De nulwaarde van f is 2: f(2) = 0 a + 2 = 0 2 - 3 a = -2 -1 a = 2 Het voorschrift van de functie f is f(x) =
2 + 2. x - 3 terug naar pagina 59
198
NIDT4CAH 193-232.indd 198
27/12/12 17:34
Oplossingen
Hoofdstuk 6
5 In een restaurant wordt een bord hete dagsoep opgediend. De temperatuur van de soep kunnen we beschrijven met de functie: 360 + 19 t +5 T: temperatuur in °C t: tijd in minuten na het opdienen 360 f (t ) = + 19 t +5
T=
1 Wat is het werkdomein van de functie? dom f = +0 2 Wat is de temperatuur van de soep bij het opdienen? f(0) = 360 + 19 = 91 ➜ 91 °C 0+ 5 3 Wat is de temperatuur van de soep twee minuten na het opdienen? f(2) = 360 + 19 = 70,428… ➜ 70 °C 2+ 5 4 Na hoeveel minuten is de temperatuur van de soep gedaald tot 55 °C?
360 + 19 = 55 t+5 360 = 36 t+5 36 (t + 5) = 360 t + 5 = 10 t = 5 Na 5 minuten is de temperatuur van de soep gedaald tot 55 °C.
199
NIDT4CAH 193-232.indd 199
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 6
Uidagingen
5 Wat is de kamertemperatuur? De kamertemperatuur is 19 °C. 6 Bepaal een vergelijking van de horizontale asymptoot. HA: y = 19 7 Wat is de praktische betekenis van de horizontale asymptoot? De temperatuur van de soep zal altijd boven 19 °C blijven. terug naar pagina 60
200
NIDT4CAH 193-232.indd 200
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 7
Oplossingen
Uitdagingen van pagina 82 tot 84 1 We knippen aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 30 cm bij 50 cm vier gelijke vierkanten met zijde x cm weg. Het overblijvende deel vouwen we tot een doos zonder deksel. 50 cm
x
x
x
x
30 cm
b x
x x
x l
1 De lengte l, breedte b en hoogte h van de doos zijn functies van x. Noteer deze functies met de formulenotatie. l = 50 - 2x b = 30 - 2x h = x
l: lengte in cm b: breedte in cm
h: hoogte in cm
2 Schrijf het volume van de doos als een functie van x. Noem de functie f en vul het functievoorschrift aan met het werkdomein. f(x) = (50 - 2x) (30 - 2x) x
met
dom f = ]0, 15[
3 Waarom is het getal 15 geen nulwaarde van f ? 15 ∉ dom f
terug naar pagina 82
2 Bepaal a, b, c en d zodat de veeltermen gelijk zijn. 1 2x 3 - ax 2 + 3x - b en cx 3 + 3x 2 + 3dx + 4 2x3 - ax2 + 3x - b = cx3 + 3x2 + 3dx + 4 a = -3
b = -4
c = 2
d = 1
2 4x 3 - 2ax 2 + 3bx + 8 en -4cx 3 + 8x 2 - 18x - d 4x3 - 2ax2 + 3bx + 8 = -4cx3 + 8x2 - 18x - d a = -4
b = -6
c = -1
d = -8
201
NIDT4CAH 193-232.indd 201
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 7
Uidagingen
3 (a + 2)x 2 + (b + 3)x - 5a en 8x 2 + 6x - 2c (a + 2)x2 + (b + 3)x - 5a = 8x2 + 6x - 2c a = 6
b = 3
c = 15
4 (4 - ax) (4 - bx) en 6x 2 - 20x + c (4 - ax) (4 - bx) = 6x2 - 20x + c 16 - 4bx - 4ax + abx2 = 6x2 - 20x + c abx2 + (-4b - 4a)x + 16 = 6x2 - 20x + c ➜ c = 16 ab = 6 ab = 6 ➜ ➜ -4b - 4a = -20 b + a = 5 V2 in V1:
(5 - b) · b = 6
5b - b2 = 6
- b2 + 5b - 6 = 0
ab = 6
(V1)
a = 5 - b
(V2)
b2 -5b + 6 = 0
b = 2
of
b = 3
b = 2 in V2: a = 5 - 2 = 3
vkv oplossen
of
Oplossing: a = 3 b = 2 c = 1
b = 3 in V2: a = 5 - 3 = 2 of
a = 2 b = 3 c = 1 terug naar pagina 82
3 Bepaal het quotiënt en de rest van de deling. Schrijf het verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest. 1 (2x 3 + x 2 + 1) : (4x 2 + 5) 2x3 + x2 + 0x + 1 -2x3 - 5x 2 x2 - 5 x + 1 2 - x2
4x2 + 5 1 x + 1 4 2
- 5 4 - 5x - 1 4 2
2x3 + x2 + 1 = (4x2 + 5) 1 x + 1 - 5 x - 1 2 2 4 4
202
NIDT4CAH 193-232.indd 202
8/01/13 15:01
Oplossingen
Hoofdstuk 7
2 (x 2 + x + 1) : (3x - 2) x2 +
x + 1
3x - 2
-x2 + 2 x 3
1 x + 5 3 9
5 x + 1 3 10 - 5 x + 9 3 19 9
19 5 x2 + x + 1 = (3x - 2) 1 x + + 9 3 9 8 3 x 4 + 3 x 2 + : (3x 2 + 1) 9
8 x4 + 0x3 + 3 x2 + 0x + 9 -x4 - 1 x2 3 8 x2 3
+
8 9
- 8 x2 3
-
8 9
3x2 + 1 1 x2 + 8 3 9
0 x4 + 3x2 +
8 8 = (3x2 + 1) 1 x2 + 3 9 9
4 (2x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x + 7) : (2x 2 + 3x - 5) 2x4 + 4x3 + -2x4 - 3x3 +
5x2 + 2 x + 7 5x2
x + 10x + 2 x 5 3 2 -x3 x + x 2 2 3
2
2x2 + 3x - 5 x2 + 1 x + 17 2 4
17 2 9 x + x + 7 2 2 -
85 17 2 51 x - x + 4 2 4 - 33x + 113 4 4
2x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 7 = (2x2 + 3x - 5) x2 + 1 x + 17 - 33x + 113 4 4 2 4 terug naar pagina 82
203
NIDT4CAH 193-232.indd 203
7/01/13 17:36
Hoofdstuk 7
Uidagingen
3 2 4 Gegeven is de functie f (x) = x + x - 9 x + 1 . Het voorschrift is opgebouwd uit een breuk x2 +1 waarvan teller en noemer veeltermen zijn. De functie f noemen we een rationale functie.
1 Voer de Euclidische deling van x 3 + x 2 - 9x + 1 door x 2 + 1 uit en bepaal het quotiënt q (x) en de rest r (x). x3 + x2 - 9x + 1 -x3 x 2 x - 10x + 1 - x2 - 1 - 10x
x2 + 1 x + 1
q(x) = x + 1
r(x) = -10x
2 In het assenstelsel zijn de grafiek van de functie f en de rechte y = q (x) getekend. y q (x) f (x)
1 0
x
1
x
Hoe verandert het verschil q (x) - f (x) als x groter wordt? Vul de tabel in. x
100
f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q (x) - f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1000
100,9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0,1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 000
1000,99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 000,999
1001
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0,01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 001 0,001
Het verschil wordt kleiner en nadert tot nul.
204
NIDT4CAH 193-232.indd 204
27/12/12 17:34
Oplossingen
Hoofdstuk 7
3 Stel dat een punt zich onbepaald ver op de kromme verwijdert. Hoe verandert de afstand van dit punt tot de rechte met vergelijking y = q (x)? De rechte y = q (x) noemen we een schuine asymptoot van de grafiek van de functie f . De afstand tussen het punt en de rechte nadert tot nul. 4 Bepaal een vergelijking van de schuine asymptoot van de grafiek van de functies f , g en h. f (x ) =
3x 4 - 2x 2 + 1 x 3 - 3x + 2
g (x ) =
3x4 + 0x3 - 2x2 + 0x + 1 -3x4
+ 9x2 - 6x 7x2 - 6x + 1
2x 4 - x 3 - 2x 2 + 1 x3 - x + 1
-2x4
+ 2x2 - 2x - x3 x3
- 2x + 1 -
5x 3 - 2x 2 + 3 x 2 - 6x - 1
x3 - 3x + 2 3x
Schuine asymptoot van de functie f:
2x4 - x3 - 2x2 + 0x + 1
h( x ) =
y = 3x
x3 - x + 1 2x - 1
x + 1
- 3x + 2 Schuine asymptoot van de functie g:
5x3 -
2x2 +
-5x3 + 30x2 + 28x2 +
0x +
3
x2 - 6x - 1
3
5x + 28
5x 5x +
y = 2x - 1
- 28x2 + 168x + 28 173x + 31 Schuine asymptoot van de functie h:
y = 5x + 28 terug naar pagina 83
205
NIDT4CAH 193-232.indd 205
7/01/13 17:37
Hoofdstuk 7
Uidagingen
5 We ontbinden de veelterm x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 in twee factoren. Als de ene factor x 2 + x + 1 is, dan is de tweede factor (A) x 6 + 1
(B) x 6 + x 3 + 1
(D) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
(C) x 6 + x 4 + x 2 + 1
(E) x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3
Vlaamse Wiskunde Olympiade
x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 -x8 - x7 - x6 x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
x2 + x + 1 x6 + x3 + 1
- x5 - x4 - x3 x2 + x + 1 - x2 - x - 1 0 terug naar pagina 84
6 Als x 2 - x - 1 een deler is van ax 3 + bx 2 + 1, dan is b gelijk aan (A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Vlaamse Wiskunde Olympiade
ax3 + bx2 +
0x
+ 1
-ax3 + ax2 +
ax
(a + b)x2 +
ax
+ 1
x2 - x - 1 ax + (a + b)
- (a + b)x2 + (a + b)x + a + b (2a + b)x + a + b + 1 2a + b = 0 b = -2a ➜ a + b + 1 = 0 a + b + 1 = 0 V1 in V2:
a - 2a + 1 = 0
-a = -1
a = 1
a = 1 in V1:
(V1) (V2)
b = -2 · 1 = -2 terug naar pagina 84
206
NIDT4CAH 193-232.indd 206
27/12/12 17:34
Oplossingen
Hoofdstuk 7
Uitdagingen van pagina 115 en 116 1 Bepaal p zodat de delingen (x 3 - 2x 2 - 2px + 3) : (x - 2) en (x 3 + 3x 2 - px + 5) : (x + 2) dezelfde rest hebben. D(2) = 8 - 8 - 4p + 3 = -4p + 3 D(-2) = -8 + 12 + 2p + 5 = 2p + 9 D(2) = D(-2) -4p + 3 = 2p + 9 -6p = 6 p = -1
terug naar pagina 115
2 Bepaal p en q zodat de veelterm D (x) = x 4 + px 2 + qx + p deelbaar is door x – 3 en door x + 2. D(3) = 81 + 9p + 3q + p = 10p + 3q + 81 = 0 D(-2) = 16 + 4p - 2q + p = 5p - 2q + 16 = 0 10p + 3q = -81
· 2
· 1
5p - 2q = -16
· 3
· (-2)
20p + 6q = -162 15p - 6q = - 48 35p
10p + 3q = -81 -10p + 4q =
= -210 p = -6
32
7q = -49 q = -7 terug naar pagina 115
3 Bepaal p zodat de deling (x 2 - 4px + 2p 2) : (x - 2) een rest gelijk aan p heeft. D(2) = 4 - 8p + 2p2 = 2p2 - 8p + 4 2p2 - 8p + 4 = p 2p2 - 9p + 4 = 0 p = 4
of
p = 1 2
vkv oplossen
terug naar pagina 115
207
NIDT4CAH 193-232.indd 207
27/12/12 17:34
Hoofdstuk 7
Uidagingen
4 Toon aan dat de veelterm D (x) = 3x 3 - 8x 2 - x + 10 deelbaar is door x 2 - x - 2 zonder de deling uit te voeren. x2 - x - 2 = (x - 2) (x + 1)
drieterm van de tweede graad ontbinden
D(2) = 24 - 32 - 2 + 10 = 0 ➜ D(x) is deelbaar door x - 2 D(-1) = -3 - 8 + 1 + 10 = 0 ➜ D(x) is deelbaar door x + 1 Omdat 2 ≠ -1 is D(x) deelbaar door (x - 2) (x + 1) = x2 - x - 2. terug naar pagina 115
5 Een veelterm D (x) heeft bij deling door x - 1 rest 3 en bij deling door x + 1 rest -1. Bepaal de rest van de deling van D (x) door x 2 - 1. D(x) = (x - 1) (x + 1) · q(x) + r(x) en
gr(r(x)) < gr ((x - 1) (x + 1))
of
r(x) = 0
r(x) is hoogstens van de eerste graad omdat (x - 1) (x + 1) van de tweede graad is. Bijgevolg is D(x) = (x - 1) (x + 1) · q(x) + (ax + b). Uit het gegeven en de reststelling volgt: D(1) = 3 (1 - 1) (1 + 1) · q(1) + a · 1 + b = 3 a + b = 3 D(-1) = -1 (-1 - 1) (-1 + 1) · q(-1) + a · (-1) + b = -1 -a + b = -1 We lossen het stelsel op: a + b = 3
· 1
· 1
-a + b = -1
· 1
· (-1)
3
a + b = 3
-a + b = -1
a - b = 1
a + b = 2b =
2
b = 1
2a
= 4 a = 2
De rest is r(x) = 2x + 1. terug naar pagina 115
208
NIDT4CAH 193-232.indd 208
7/01/13 17:38
Oplossingen
Hoofdstuk 7
6 Een veelterm D (x) heeft bij deling door x - a rest c en bij deling door x - b rest d met a π b. Bepaal de rest van de deling van D (x) door (x - a) (x - b). D(x) = (x - a) (x - b) · q(x) + r(x) en
gr(r(x)) < gr ((x - a) (x - b))
of
r(x) = 0
r(x) is hoogstens van de eerste graad omdat (x - a) (x - b) van de tweede graad is. Bijgevolg is D(x) = (x - a) (x - b) · q(x) + (mx + p). Uit het gegeven en de reststelling volgt: D(a) = c
D(b) = d
(a - a) (a - b) q(a) + ma + p = c
(b - a) (b - b) q(b) + mb + p = d
am + p = c
bm + p = d
We lossen het stelsel op: am + p = c
· b
· 1
bm + p = d
· (-a)
· (-1)
abm + bp =
bc
am + p =
-abm - ap = -ad (b - a)p = p = p =
bc bc b ad a
-
c
-bm - p = -d ad ad a bc b
(a - b)m
= c - d c -d m = a -b
terug naar pagina 115
7 Gegeven zijn de veeltermen x 2 + 1, x 3 + 1, x 4 + 1, x 5 + 1, x 6 + 1. Hoeveel van deze veeltermen kunnen ontbonden worden als een product van veeltermen met een lagere graad en met reële coëfficiënten? (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Vlaamse Wiskunde Olympiade
• x2 + 1 k an niet ontbonden worden als een product van veeltermen met een lagere graad en met reële coëfficiënten. • x3 + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1)
209
NIDT4CAH 193-232.indd 209
8/01/13 15:02
Hoofdstuk 7
Uidagingen
• x4 + 1 = (x2 + 1)2 - 2x2 = (x2 + 1)2 - ( 2 x)2 = (x2 + 1 = (x2 -
2 x) (x2 + 1 +
2 x + 1) (x2 +
2 x)
2 x + 1)
• x5 + 1 = (x + 1) (x4 - x3 + x2 - x + 1)
omdat
(-1)5 + 1 = 0
• x6 + 1 = (x2)3 + 13 = (x2 + 1) (x4 - x2 + 1) terug naar pagina 115
8 Los op. 1 x3 - x2 - x + 1 = 0 x2 (x - 1) - (x - 1) = 0 (x - 1) (x2 - 1) = 0 x - 1 = 0
of
x2 - 1 = 0
x = 1
x2 = 1
x = 1
of
x = -1
2 x 3 + 5x 2 - x - 5 = 0 x2 (x + 5) - (x + 5) = 0 (x + 5) (x2 - 1) = 0 x + 5 = 0 x = -5
of
x2 - 1 = 0 x2 = 1
x = 1
of
x = -1
3 x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 6x = 0 x(x3 - 3x2 + 2x - 6) = 0 x(x2(x - 3) + 2(x - 3)) = 0 x(x - 3) (x2 + 2) = 0 x = 0
of
x - 3 = 0
of
x = 3
x2 + 2 = 0 geen oplossingen
4 x 2(x - 1) - (x - 1) = 0 (x - 1) (x2 - 1) = 0 x - 1 = 0
of
x2 - 1 = 0
x = 1
x2 = 1
x = 1
of
x = -1
210
NIDT4CAH 193-232.indd 210
27/12/12 17:35
Oplossingen
Hoofdstuk 7
5 (x + 3)(x - 4)2 - (x + 3) = 0
(x + 3) ((x - 4)2 - 1) = 0 x + 3 = 0
of
(x - 4)2 - 1 = 0
x = -3
(x - 4)2 = 1
x - 4 = 1
x = 5
of
x - 4 = -1 x = 3
6 (x - 2)(x 2 - 4)2 - (x - 2) = 0
(x - 2) ((x2 - 4)2 - 1) = 0 (x - 2) (x2 - 4 - 1) (x2 - 4 + 1) = 0
(x - 2) (x2 - 5) (x2 - 3) = 0 x - 2 = 0
of
x2 - 5 = 0
x = 2
x2 = 5
x =
5
of
x2 - 3 = 0 x2 = 3
of
x = - 5
x =
3
of
x = - 3
terug naar pagina 115
9 Welke veelterm is geen deler van (x - 1)2(x 3 + x)?
(A) x 3 - x 2 + x - 1
(B) x 2 - 2x + 1
(D) x 3 - x
(E) x 4 - 2x 2(x - 1) - 2x + 1
(C) x 2 - x
Vlaamse Wiskunde Olympiade
(x - 1)2 (x3 + x) = (x - 1)2 · x(x2 + 1) = x(x - 1)2 (x2 + 1) • x3 - x2 + x - 1 = x2(x - 1) + x - 1
= (x - 1) (x2 + 1) is een deler van (x - 1)2 (x3 + x)
• x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 is een deler • x2 - x = x(x - 1) is een deler • x3 - x = x(x2 - 1) = x(x + 1) (x - 1) is geen deler • x4 - 2x2(x - 1) - 2x + 1 = x4 -2x3 + 2x2 - 2x + 1 D(1) = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0
1 -2 2 -2 1
a = 1
1 -1
1 -1
1 -1 1 -1 0
a = 1 1 0 1
1 0 1 0
x4 - 2x2(x - 1) - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1) is een deler terug naar pagina 115
211
NIDT4CAH 193-232.indd 211
27/12/12 17:35
Hoofdstuk 7
Uidagingen
10 Ontbind in factoren. 1 2x 3 - x 2 - 8x + 4 = x2(2x - 1) - 4(2x - 1) = (2x - 1) (x2 - 4) = (2x - 1) (x + 2) (x - 2) 2 3x 3 - 8x 2 - 5x + 6 D(-1) = -3 - 8 + 5 + 6 = 0
3 -8 -5 6
a = -1
-3
11
-6
3 -11 6 0
3x3 - 8x2 - 5x + 6 = (x + 1) (3x2 - 11x + 6) = (x + 1) (x - 3) (3x - 2)
3x2 - 11x + 6 = 0
D = 49
11 + 7 18 = 3 = 6 6 2 4 11 - 7 x2 = = = 3 6 6
x1 =
3x2 - 11x + 6 = 3(x - 3) x - 2 3 = (x - 3) (3x - 2)
3 5x 3 + 4x 2 - 31x + 6 D(2) = 40 + 16 - 62 + 6 = 0
5 4 -31 6
a = 2
10
28
-6
5 14 -3 0
5x3 + 4x2 - 31x + 6 = (x - 2) (5x2 + 14x - 3) = (x - 2) (x + 3) (5x - 1)
5x2 + 14x - 3 = 0
D = 256
-14 + 16 1 2 = = 10 5 10 -14 - 16 -30 = -3 x2 = = 10 10
x1 =
5x2 + 14x - 3 = 5(x + 3) x - 1 5 = (x + 3) (5x - 1)
212
NIDT4CAH 193-232.indd 212
27/12/12 17:35
Hoofdstuk 7
Oplossingen
4 x 4 + 3x 3 - 3x 2 + 3x - 4 D(1) = 1 + 3 - 3 + 3 - 4 = 0
1 3 -3 3 -4
a = 1
4
1
4
1 4 1 4 0
a = -4
1 -4
0
-4
1 0 1 0
x4 + 3x3 - 3x2 + 3x - 4 = (x -1) (x + 4) (x2 + 1) 5 8x 3 - (x - 3)3 = (2x)3 - (x - 3)3 = (2x - (x - 3)) (4x2 + 2x(x - 3) + (x - 3)2) = (x + 3) (4x2 + 2x2 - 6x + x2 - 6x + 9) = (x + 3) (7x2 - 12x + 9)
D = 144 - 4 · 7 · 9