Nieuwe Delta-T 4B leerplan A-B Handleiding 9789030135197 [PDF]

Zitiervorschau

HANDLEIDING

J. Casteels D. De Vos G. Heynickx F. Smessaert K. Van Eekert C. Van Hove ISBN 978-90-301-3519-7

9 789030 135197

De site www.Knooppunt.net geeft je toegang tot het digitale lesmateriaal bij dit boek. Activeer jouw licentie aan de hand van de code op de cover. Tijdens de activatie accepteer je de gebruiksvoorwaarden. Zo krijg je voor de duur van de licentie toegang tot het digitale lesmateriaal. www.knooppunt.net

Opmaak cover: Zet Opmaak binnenwerk: Composition Omslagillustratie: Corbis Illustraties: Vera Smeulders, Stefaan Provijn Illustratievermelding: © diego cervo - Fotolia.com, © edobric - Fotolia.com, © Eric Gevaert - Fotolia.com, © Lotfi Mattou - Fotolia.com, © mehmetgeren - Fotolia.com, © sumnersgraphicsinc - Fotolia.com, Flickr/dclement007, Flickr/Haags Uitburo, Flickr/Jaap van den Broek, Fotopedia/Tom Redford – © www.atomium.be - SABAM Belgium 2012, Image Globe, iStockphoto, Stock XCHNG, Wikipedia Met dank aan: PYLA bvba Auteurs DELTA-T en NIEUWE DELTA-T Gerda Barberien, Jos Casteels, Peter Crokaerts, Danielle De Vos, Luc Goris, Geert Heynickx, André Huysmans, Els Jacobs, Roland Rottiers, Jos Salaets, Frederik Smessaert, Conny Van den Brande, Luc Van den Broeck, Annick Van den put, Katrijn Van Eekert, Carl Van Hove Redactie: Jos Casteels, Geert Heynickx, Frederik Smessaert NUR 128 Plantyn Motstraat 32, 2800 Mechelen T 015 36 36 36 F 015 36 36 37 [email protected] www.plantyn.com

Dit boek werd gedrukt op papier van verantwoorde herkomst.

© Plantyn nv, Mechelen, België Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intellectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn. Zij zal uw legitieme aanspraken honoreren tegen de gangbare markttarieven. ISBN 978-90-301-3519-7

19203/0

D2012/0032/674

Inhoud

LEERMAP 4A

1

1.1 1.2 1.3

2

4

6

3.1 3.2 3.3

8 36 70

LEERMAP 4C LEERMAP 4D

104 160

180 182 205 267 317

Drie standaardfuncties Transformaties van grafieken van functies

Delingen met veeltermen Veeltermen delen Delen door x - a

Complexe getallen 8.1 8.2

9

Statistische verwerking van data Frequenties en diagrammen Midden en spreiding van data Gegroepeerde data

102

Functies

7.1 7.2

8

Grafieken van sinusfuncties Goniometrische vergelijkingen

Statistiek

6.1 6.2

7

Goniometrische getallen Verwante hoeken Driehoeksmeting

Sinusfuncties

5.1 5.2 5.3 5.4

6

Lijnen en afstanden in cirkels Hoeken in cirkels Regelmatige veelhoeken en cirkels

Goniometrie

4.1 4.2

5

Grafieken van tweedegraadsfuncties Nulwaarden en tweedegraadsvergelijkingen Verloop en tekenonderzoek

De cirkel 2.1 2.2 2.3

3

LEERMAP 4B

Tweedegraadsfuncties

Complexe getallen in de vorm a + bi Complexe getallen in goniometrische vorm

Ruimtemeetkunde 9.1 9.2 9.3

Rechten en vlakken in de ruimte Evenwijdigheid en loodrechte stand Soorten projecties en doorsneden van ruimtefiguren

3

Inleiding

De leermap NIEUWE DELTA-T 4B / LEERPLAN A-B is bestemd voor alle leerlingen uit het vierde jaar van de TSO-studierichtingen en de KSO-studierichtingen die leerplan a of b volgen voor vier of vijf wekelijkse lestijden.

Opbouw van de leermappen Nieuwe Delta-T Elk hoofdstuk is onderverdeeld in genummerde paragrafen en elke paragraaf bestaat uit een aantal leeritems. Elk leeritem wordt ingeleid met een passende instapopdracht. hoofdstuk paragraaf

leeritem instapopdracht

leerinhoud

Elk hoofdstuk begint met een inhoudstafel die aanwijst op welke pagina elk leeritem staat. In elk leeritem wordt de theorie compact uitgelegd en toegepast op concrete voorbeelden. De soort leerinhoud is herkenbaar aan de achtergrondkleur. Kennis en rekenregels om de opdrachten te kunnen uitvoeren.

Doelgericht gebruik van de grafische rekenmachines TEXAS INSTRUMENTS en CASIO.

Vaardigheden om vlot te kunnen meten, schetsen en tekenen.

Extra leerinhouden om uitbreidingsdoelstellingen te realiseren.

4

Inleiding

Didactisch gerangschikte opdrachten zorgen voor een systematische verwerking van de leerinhouden. Instap

Leeritems worden ingeleid met probleemstellingen uit de praktijk.

De moeilijkheidsgraad van de opdrachten is aangegeven met gekleurde vierkantjes. De letters A en B verwijzen naar de leerplannen. A

B

Eenvoudige opdrachten

A

B

Opdrachten met een bijkomende moeilijkheidsgraad

A

B

Opdrachten met een hogere moeilijkheidsgraad

Oefenopdrachten op de uitbreidingsleerstof worden aangegeven met een schaduwvlakje. Instap

A

B

A

B

A

B

Elke paragraaf wordt afgesloten met Uitdagingen en Vraag & antwoord. De Uitdagingen laten voldoende ruimte voor begeleid zelfstandig leren of zelfstandig leren en helpen de verschillen in studietempo opvangen.

In Vraag & antwoord wordt een terugblik op de leerinhouden aangeboden.

Het trefwoordenregister geeft aan op welke pagina we de nodige informatie kunnen terugvinden.

5

3 Goniometrie

Leerplan B: voor de leerlingen met 5 wekelijkse lestijden behoort de leerinhoud ‘Som- en verschilformules’ tot de basisleerstof, voor de leerlingen met 4 wekelijkse lestijden tot de uitbreidingsleerstof.

6

Hoofdstuk

3.1

Goniometrische getallen Georiënteerde hoek Goniometrische cirkel Goniometrische getallen Goniometrische formules Uitdagingen Vraag & antwoord

3.2

8 13 16 25 31 34

Verwante hoeken Tegengestelde hoeken Supplementaire hoeken Antisupplementaire hoeken Complementaire hoeken Som-en verschilformules Uitdagingen Vraag & antwoord

3.3

3

36 41 46 52 56 65 67

Driehoeksmeting Sinusregel Cosinusregel Willekeurige driehoeken oplossen Uitdagingen Vraag & antwoord

70 76 82 96 101

A

O

M

B

7

Hoofdstuk

3

Goniometrie

3.1

Goniometrische getallen

 Georiënteerde hoek 1

Instap

Twee tandwielen hebben 60 en 30 tanden. We laten het kleine tandwiel over een hoek van 120° draaien in wijzerzin.

120°

60°

1 Over hoeveel tanden is het kleine tandwiel gedraaid? En het grote tandwiel? Beide tandwielen draaien over tien tanden.

30 

120°

= 10

.................................................................................................................................................................................................................................

360°

2 In welke zin draait het grote tandwiel?

In tegenwijzerzin.

...................................................................................................................................

3 Over welke hoek is het grote tandwiel gedraaid?

Over 60°.

360° 

10 60

4 Teken het eindbeen van deze hoek.

Positieve en negatieve hoeken Hoeken waaraan een draaizin is toegevoegd, noemen we georiënteerde hoeken. De draaizin duiden we aan met een gebogen pijl van het beginbeen naar het eindbeen. • Bij een draaiing in tegenwijzerzin is de hoek positief.

80°

^

De hoek A is een positieve hoek van 80°.

^

A = 80°

A

• Bij een draaiing in wijzerzin is de hoek negatief.

–160° ^

B = -160°

^

De hoek B is een negatieve hoek van -160°.

8

= 60°

.............................................................................................................

B

3.1 - Goniometrische getallen

2

A

Hoofdstuk

3

B

Bepaal de georiënteerde hoek. 1

2

3

4

180°

.....................

-90°

.....................

360°

.....................

-270°

.....................

3

A

B

Vul in. 1

2

3

4 -90°

280°

130°

.....................

.....................

.....................

50°

-310°

.....................

4

A

–80°

270°

–230°

B

Is de hoek positief of negatief ? Vink aan. 1 De hoek die de grote wijzer van een klok beschrijft in een half uur.

positief

2 De hoek die een spaak van een wiel beschrijft als de fiets vooruit rijdt.

positief

✔

negatief

3 De hoek die de wijzer van een kilometerteller beschrijft als een auto afremt.

positief

✔

negatief

negatief

✔

9

Hoofdstuk

5

A

3

Goniometrie

B

Drie tandwielen A, B en C hebben 60, 40 en 30 tanden. We laten tandwiel A draaien over 20 tanden in tegenwijzerzin. 1 Bereken de georiënteerde hoek waarover tandwiel A gedraaid is. 120°

360° 

20

= 120°

...........................................................................................................................

60

2 Bereken de georiënteerde hoek waarover tandwiel B gedraaid is. -180°

20

-360° 

C

A

= -180°

B

...........................................................................................................................

40

3 Bereken de georiënteerde hoek waarover tandwiel C gedraaid is. 240°

360° 

20

= 240°

...........................................................................................................................

30

Hoekgrootten van een georiënteerde hoek Om een hoekgrootte van een georiënteerde hoek te kennen, bepalen we de hoek waarover het beginbeen moet draaien om samen te vallen met het eindbeen. C

60° A

B

–300°

• Draaien we [AB over 60° of –300°, dan valt [AB samen met [AC. ^

We schrijven: A = 60°

^

of A = -300°

We stellen vast dat de hoekgrootten 360° van elkaar verschillen. 60°– (–300°) = 60° + 300° = 360° • Draaien we [AB nog één of meer omwentelingen verder, dan valt [AB ook samen met [AC. ^

^

We schrijven: A = 60° + 360° = 420° of A = -300° - 360° = -660° ^

A = 60° + 2  360° = 780°

^

of A = -300° - 2  360° = -1020°

^

Hoekgrootten van A zijn: 60°, 420°, 780°… en -300°, -660°, -1020°… We schrijven:

^

A = 60° + k  360°

kŒZ

Merk op Bij het noteren van georiënteerde hoeken gebruiken we meestal de kleinste positieve of de grootste negatieve hoekgrootte.

10

3.1 - Goniometrische getallen

6

A

Hoofdstuk

3

B

Gegeven zijn een reeks hoeken. -540° -450° -360° -270° -180° -90° 0° 90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° 720° 810° 900° 1 Omcirkel de hoekgrootten van een nulhoek in het blauw. 2 Geef een omschrijving van alle hoekgrootten van een nulhoek.

0° + k  360°

...........................................................................

3 Omcirkel de hoekgrootten van een gestrekte hoek in het groen. 4 Geef een omschrijving van alle hoekgrootten van een gestrekte hoek.

7

A

180° + k  360°

............................................................

B ^

Een georiënteerde hoek A heeft oneindig veel hoekgrootten. a Geef een omschrijving van alle hoekgrootten en vul de tabel in. ^

b Bepaal de grootste negatieve en de kleinste positieve hoekgrootte van A. ^

1 A = 50° ^

a A=

50° + k  360°

....................................................................................................

k ^

A

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1030°

.......................

-670°

.......................

-310°

.......................

50°

.......................

410°

.......................

770°

.......................

.......................

b De grootste negatieve hoekgrootte is De kleinste positieve hoekgrootte is

1130°

-310°.

...................

50°

......................

.

^

2 A = -100° ^

a A=

-100° + k  360°

....................................................................................................

k ^

A

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1180°

.......................

-820°

.......................

-460°

.......................

-100°

.......................

260°

.......................

620°

.......................

.......................

b De grootste negatieve hoekgrootte is De kleinste positieve hoekgrootte is

980°

-100°.

...................

260° .

......................

^

3 A = 240° ^

a A=

240° + k  360°

....................................................................................................

k ^

A

-3

-2

-1

0

1

2

3

-840°

.......................

-480°

.......................

-120°

.......................

240°

.......................

600°

.......................

960°

.......................

.......................

b De grootste negatieve hoekgrootte is De kleinste positieve hoekgrootte is

1320°

-120°.

...................

240° .

......................

11

Hoofdstuk

8

A

3

Goniometrie

B ^

Bepaal de kleinste positieve hoekgrootte van de georiënteerde hoek A. ^

1 A = 520° ^

2 A = -550° ^

3 A = 1015° ^

4 A = -1350° ^

5 A = 1550°

9

A

160°

Kleinste positieve hoekgrootte:

............................

Kleinste positieve hoekgrootte:

............................

Kleinste positieve hoekgrootte:

............................

Kleinste positieve hoekgrootte:

............................

Kleinste positieve hoekgrootte:

............................

170° 295° 90°

110°

B ^

Bepaal de grootste negatieve hoekgrootte van de georiënteerde hoek A. ^

1 A = 430° ^

2 A = -540° ^

3 A = 715° ^

4 A = -820° ^

5 A = 1020°

10

A

-290°

Grootste negatieve hoekgrootte:

.........................

Grootste negatieve hoekgrootte:

.........................

Grootste negatieve hoekgrootte:

.........................

Grootste negatieve hoekgrootte:

.........................

Grootste negatieve hoekgrootte:

.........................

-180° -5°

-100° -60°

B

Schrijf alle hoekgrootten van een georiënteerde hoek waarvan de benen 1 in elkaars verlengde liggen. 2 samenvallen.

0° + k  360° = k  360°

...............................................................................................................................................................................................

3 een rechte hoek vormen.

11

A

180° + k  360°

..............................................................................................................................................................

90° + k  360°

of

-90° + k  360°

....................................................................................................................................................................

B

Welke hoekgrootten behoren bij welke georiënteerde hoek? Omcirkel ze in dezelfde kleur. ^

A = -125° + k  360° -315°

12

-235°

-125°

^

^

B = -45° + k  360° -45°

315°

^

C = 45° + k  360° 405°

485°

595°

D = 125° + k  360° 675°

765°

845°

955°

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

 Goniometrische cirkel 12

Instap

Gegeven is een orthonormaal assenstelsel. 1 Teken een cirkel met middelpunt O en straal 1. y 1 P

O 0

1

x

2 Teken een positieve hoek van 40° met hoekpunt O en waarvan het beginbeen samenvalt met de positieve x-as. 3 Duid het snijpunt P van het eindbeen met de cirkel aan. 4 Van een georiënteerde hoek met hoekpunt O en beginbeen de positieve x-as, snijdt het eindbeen de cirkel in het punt (0, 1). Bepaal de kleinste positieve hoekgrootte.

90°

.......................................

5 Van een georiënteerde hoek met hoekpunt O en beginbeen de positieve x-as, snijdt het eindbeen de cirkel in het punt (0, -1). Bepaal de grootste negatieve hoekgrootte.

-90°

.................................

Georiënteerde hoeken voorstellen op de goniometrische cirkel Om een georiënteerde hoek voor te stellen in een orthonormaal assenstelsel tekenen we een cirkel met de oorsprong O als middelpunt en straal 1. De cirkel c (O, 1) noemen we de goniometrische cirkel. De vier deelvlakken waarin het assenstelsel het vlak verdeelt, noemen we kwadranten. De x-as en de y-as behoren tot geen enkel kwadrant. y

y

1 2e kwadrant

1e kwadrant P 1 O 0

a

3e kwadrant

1

x

O 0

a 1

x

4e kwadrant

13

Hoofdstuk

3

Goniometrie

Op de goniometrische cirkel stellen we een georiënteerde hoek a voor als volgt: • we laten het beginbeen van a samenvallen met de positieve x-as; • we bepalen het snijpunt P van het eindbeen met de goniometrische cirkel. Het punt P noemen we het beeldpunt van de georiënteerde hoek met hoekgrootten

a + k  360°.

kŒZ

Ligt het beeldpunt P van a in het eerste kwadrant, dan noemen we a een georiënteerde hoek in het eerste kwadrant. y 1

Voorbeeld

120°

120° is een georiënteerde hoek in het tweede kwadrant. -160° is een georiënteerde hoek in het derde kwadrant.

13

A

0

1 x –160°

B

Stel de georiënteerde hoeken voor op de goniometrische cirkel. y 1 A = D

C

georiënteerde hoek beeldpunt

45°

-90°

135°

-315°

180°

A

B

C

D

E

E

0

1

x

G 1

x

B

y 1I

georiënteerde hoek beeldpunt

-60° F

360° G

225° H

-270°

-135°

I

0

J J = H

14

A

F

B ^

^

Het punt P is het beeldpunt van een georiënteerde hoek A. Schrijf alle hoekgrootten van A.

14

 = 90° + k  360°

3 P (1, 0)

...........................................................................

 = -90° + k  360°

4 P (-1, 0)

...........................................................................

1 P (0, 1)

...........................................................................

2 P (0, -1)

...........................................................................

 = k  360°

 = 180° + k  360°

3.1 - Goniometrische getallen

15

A

Hoofdstuk

3

B

Vink het kwadrant aan waarin de georiënteerde hoek ligt. kwadrant

200°

60°

-100°

320°

-280°

-1°

170°

✔ ✔

2 ✔

3

✔

✔ ✔

4

A

180°

✔

1

16

-210°

✔

B

Het punt P (a, b) is het beeldpunt van een georiënteerde hoek a. Tot welk kwadrant behoort a als: tweede kwadrant

1 a < 0 en b > 0?

....................................................................................................................................................................................

2 a < 0 en b < 0?

....................................................................................................................................................................................

derde kwadrant

eerste of tweede kwadrant

3 b > 0?

.................................................................................................................................................................................................................

4 a > 0?

................................................................................................................................................................................................................

17

A

eerste of vierde kwadrant

B

Het punt P (a, b) is het beeldpunt van een georiënteerde hoek a op de goniometrische cirkel. De punten A, B, C … zijn beeldpunten van georiënteerde hoeken. punt

A

B

C

D

E

F

G

H

I

hoek

-a

b

g

-b

-g

2g

a+g

b+g

g-a

1 Duid de punten A, B, C … aan op de goniometrische cirkel.

y 1 D=H P(a, b)

2 Bepaal de coördinaten van deze punten. A (. . . .a. . . . . . . . . , . . .–. . .b .......)

F (. . . . 1 . . . . . . . . . , . . . . .0 ........)

B (. . . .0. . . . . . . . . , . . . –1 ..........)

G (. .–. . .a. . . . . . . . , . . .–. . .b .......)

a

g

C=E

I

F 1 x

0 . . . . . . . . . . . , . . . . .0 ........) C (. . –1

H (. . . 0 . . . . . . . . . . , . . . .1 .........)

D (. . . 0 . . . . . . . . . . , . . . .1 .........)

I (. . . .–. . .a. . . . . . , . . . . . . b .......)

. . . . . . . . . . , . . . . .0 ........) E (. . .–1

b

A

B

G

15

Hoofdstuk

3

Goniometrie

 Goniometrische getallen 18

Instap

De hoek a ligt in het eerste kwadrant met het punt P (xP , yP ) als beeldpunt. y 1

P(xP , yP )

a O 0

1 x

A

1 Teken de loodlijn uit het punt P op de x-as. Noem A het snijpunt met de x-as. 2 Vul de lengte van de zijden van driehoek OAP aan. 1

|OP| =

...................................................

|OA| =

xP

...................................................

|AP| =

yP

...................................................

3 Bepaal de goniometrische getallen van hoek a in de rechthoekige driehoek OAP. sin a =

|AP|

=

yP

= yP

.................................................

|OP|

1

cos a =

|OA|

xP

=

= xP tan a =

................................................

|OP|

1

|AP|

yP

=

................................................

|OA|

xP

Goniometrische getallen van een hoek We definiëren de goniometrische getallen van een willekeurige hoek a in de goniometrische cirkel. Cosinus en sinus De cosinus van een hoek a is de x-coördinaat en de sinus van een hoek a is de y-coördinaat van het beeldpunt P van de hoek a op de goniometrische cirkel. P(cos a , sin a) Het teken van de goniometrische getallen cos a en sin a is afhankelijk van het kwadrant waarin de hoek a gelegen is. y

y

y

y

1

1

1

1

sin a

P

a 0 cos a 1

P

a

sin a

cos a 0

1

a

x P

16

cos a

cos a

x

0 sin a

1

x

0 sin a

1

a P

x

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

We stellen vast dat de goniometrische getallen cos a en sin a nooit kleiner zijn dan -1 en nooit groter zijn dan 1. –1 £ cos a £ 1 en –1 £ sin a £ 1 Tangens De tangens van een hoek a is het quotiënt van de sinus en de cosinus van a. tan a =

sin a cos a

cos a π 0

Hoeken met hetzelfde beeldpunt Hoeken met hetzelfde beeldpunt hebben gelijke goniometrische getallen. Voorbeelden

sin 120° = sin(-240°)

–240° + 360° = 120°

cos 60° = cos(-300°)

–300° + 360° = 60°

tan 160° = tan(-200°)

–200° + 360° = 160°

19

A

B

In de goniometrische cirkel zijn hoeken van 127°, 240° en 310° getekend. y 1

127°

0 240°

1

x

310°

17

Hoofdstuk

3

Goniometrie

1 Bepaal door het tellen van vakjes de sinus en de cosinus van de getekende hoeken. sin 127° =

..........................................

cos 127° =

.........................................

0,8

sin 240° =

..........................................

– 0,86

sin 310° =

..........................................

– 0,6

cos 240° =

.........................................

– 0,5

cos 310° =

.........................................

– 0,76 0,64

2 Bereken met de sinus en de cosinus de tangens van de getekende hoeken. tan 127° =

0, 8

= -1,33... tan 240° =

-0,86

.........................................

-0, 6

= 1,72

.........................................

-0,5

tan 310° =

-0,76

= 1,1875

.........................................

0,64

3 Controleer de resultaten met ICT.

20

A

B

Bereken met ICT. Rond af op 5 decimalen. 0,34202

1 sin 20° =

2 cos 105° =

.......................................................

6 sin 119° =

........................................................

3,27085

7 tan 155° =

.......................................................

0,75471

8 cos 248° =

.......................................................

– 0,25882

.......................................................

3 tan 73° =

..........................................................

4 cos 41° =

..........................................................

21

A

– 4,70463

5 tan 282° =

...........................................................

0,87462

– 0,46631 – 0,37461

B

De helft van de vierkantswortel uit de eerste vijf natuurlijke getallen zijn de sinus van 0°, 30°, 45°, 60° en 90°. Deze getallen gerangschikt van groot naar klein, zijn de cosinus van deze hoeken. Vul de tabel in.

0

a

0°

sin a

0

cos a

1

tan a

0 1

= 0,

=

1

,

30°

45°

60°

1

2

3

2

2

3

2

2 1

2

2

2

1

3

3 3 2

,

3

,

4

=

90° 1 0 |

2

= 1 2 2 3 1 1 1 3 3 . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ...................................................................................................................... 2 2 2 3 3 3 3  3 2 2 . . . . . . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .1 ................................................................................................................................................................................................... 2 2 ........................................................................................................................................................................................................................................

2 1

3

:

1

2

=

3

2 2

2

 2 =

3

2

........................................................................................................................................................................................................................................

2 18

2

2

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

Hoe stellen we de tangens van een hoek voor? We bepalen een punt met als y-coördinaat de tangens van een hoek a. 1

t

2 t

T(1, tan a) 7

20 30

5

P

170

10

6

y 1 6

7

y 1

170

160

15

4

40

0

20

4

150

30

3

70

110

80

100

90

4

0

160

150

130

6

0

5

15

140

120

90

4

0 14

5

0

6

0 16

7

13

10 0 11

170

10

10

x

40

35

3 3

50

0 12

20

1

30

25

2

2

60 30

130

0 10 15

70

0 11 40

50

40

2

80 0

20

1

10

1

5

0

10

20

30

x

1

1 5

15

25

35 40

80

1

60

70

2

110

a

140

60

0 90

O 0

120

50

0

10

160

5

14

0

3

13

12 100

90

O 0

20

30

40

50

60

70

80

17 0

7

1 We tekenen in het punt (1, 0) de raaklijn t aan de goniometrische cirkel. 2 We tekenen de hoek a in het assenstelsel. Het eindbeen snijdt de goniometrische cirkel in het beeldpunt P en de raaklijn t in het punt T. De x-coördinaat van het punt T is 1 en de y-coördinaat is gelijk aan de tangens van hoek a. Uit de constructie volgt dat de tangens van een hoek a gelijk kan zijn aan elk reëel getal: - • < tan a < + • Als OP loodrecht staat op de x-as, is het eindbeen evenwijdig met de raaklijn t. Zo stellen we meetkundig vast dat tan(90° + k  180°) voor k Œ Z niet bestaat. Verklaring van de constructie ^

^

A = P’ = 90° en a = a fl D OAT ~ D OP’P

t T (1, yT )

y 1

O 0

P

a P’

gelijkvormigheidskenmerk HH

A 1 x

fl |AT | |OA| = |P ’ P | |OP’| fl yT 1 = sin a cos a fl sin a yT = cos a fl yT = tan a

evenredige overeenkomstige zijden

beide leden vermenigvuldigen met sin a

tan a =

sin a cos a

19

Hoofdstuk

22

3

A

Goniometrie

B

Duid het punt T (1, tan a) aan. 1 a = 30°

2 a = 120° y 1

3 a = -45° y 1

T

y 1 120°

30° 1 x

0

0

1 x

-45° 1 x

0

T T

23

A

B

In de goniometrische cirkel is een hoek van 143° getekend. y

1 Bepaal door het tellen van vakjes sin 143° en cos 143°.

1

sin 143° = cos 143° =

0,6

........................................................

-0,8

........................................................

143°

2 Bereken met de sinus en de cosinus de tangens van 143°. tan 143° =

0, 6

1

0

= -0,75

........................................................

-0,8

T

3 Duid het punt T (1, tan 143°) aan.

24

A

B

Het teken van een goniometrisch getal van een hoek is afhankelijk van het kwadrant waarin de hoek gelegen is. Vul het teken van de goniometrische getallen in. teken van

1e kwadrant

2e kwadrant

3e kwadrant

4e kwadrant

sin a

+ + +

+ -

+

+ -

cos a tan a

20

x

3.1 - Goniometrische getallen

25

A

Hoofdstuk

3

B

De snijpunten van de goniometrische cirkel met de assen zijn beeldpunten van bijzondere hoeken. 1 Bepaal de coördinaten van elk snijpunt. y . . . . . . . . , . . . . .1 . . . . . . . .) 1 (. . . . . 0

(. . . . .1 ........ , ....0 . . . . . . . . .) 1

0

(. . . .-1 . . . . . . . . . , . . . . .0 . . . . . . . .)

x

(. . . . .0 . . . . . . . . , . . .-1 . . . . . . . . . .)

2 Vul de tabel in.

26

A

a

0°

90°

180°

270°

360°

sin a

0

1

0

-1

0

cos a

1

0

-1

0

1

tan a

0

|

0

|

0

B

Schrijf in de vakjes de rangnummers van de kwadranten waarin de hoek a kan liggen. 1 sin a < 0 en cos a > 0

4

4 sin a > 0 en cos a > 0

1

2 sin a > 0 en cos a < 0

2

5 sin a < 0 en cos a < 0

3

3 sin a  cos a > 0

1

6 sin a  cos a < 0

2

27

A

3

4

B

Vink elke juiste uitspraak aan. 1

y 1

a 0

b

tan b is positief

✔

sin g is positief

sin b > sin g

✔

cos b is positief

cos a < cos g

✔

a is een positieve hoek

g

1 x

✔

tan g is negatief

✔

cos g is negatief

b is een negatieve hoek

✔

tan a is positief

21

Hoofdstuk

3

Goniometrie

2

g

y 1

g is een negatieve hoek

b

sin b is positief

✔

sin g is negatief

sin a = sin g

✔

cos b is positief

a

0

1 x

tan b is positief

cos a is negatief

a is een negatieve hoek 3

✔

tan a is positief

tan d is positief

sin a > sin d

✔

b

cos a < cos b

cos a = sin b

✔

cos g > cos d

cos b > sin g

g is een positieve hoek

cos g is positief

0

d

1 x

tan b is negatief

28

cos a = cos g

y 1

a g

✔

tan g > tan a

Instap

Gegeven is de goniometrische cirkel in het eerste kwadrant van een assenstelsel. y 1

T

O 0

35° 1

x

1 Teken een hoek van 35° in de goniometrische cirkel. 2 Duid het punt T (1, tan 35°) aan. Bepaal door het tellen van vakjes tan 35°. tan 35° =

0,7

.............................

3 Schrijf de richtingscoëfficiënt van de rechte OT in functie van de hellingshoek van 35°. rico OT = . . . .tan . . . . . . . . . . . 35° ..............

22

✔

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

Hellingshoek van een rechte De scherpe hoek die een rechte maakt met de positieve x-as is de hellingshoek van de rechte. De hellingshoek van een stijgende rechte r is positief. y 1

0

rico r = 1 = tan 45°

45° 1 x

r´

y=

x

+1

De hellingshoek van een dalende rechte r is negatief. r´

y 1

y= –x +1 0

–45°

1 x

rico r = –1 = tan(–45°)

–1

Met de tangens kunnen we het verband uitdrukken tussen de hellingshoek van een rechte en de richtingscoëfficiënt van de rechte. De richtingscoëfficiënt van een rechte r is gelijk aan de tangens van de hellingshoek a van de rechte. rico r = tan a Merk op Evenwijdige rechten hebben dezelfde hellingshoek.

29

A

B

Bereken de hellingshoek a van de rechte r op 1° nauwkeurig. 1 r ´ y = 2x tan a = 2 ➜ a = 63°

......................................................................................................

2 r ´ y = 1,5x + 3 tan a = 1,5 ➜ a = 56°

......................................................................................................

3 r ´ y = 3x - 3 tan a = 3 ➜ a = 72°

......................................................................................................

4 r ´ y = -2x tan a = -2 ➜ a = -63°

......................................................................................................

5 r ´ y = -0,5x tan a = -0,5 ➜ a = -27°

......................................................................................................

6 r ´ y = -4x + 7 tan a = -4 ➜ a = -76°

......................................................................................................

23

Hoofdstuk

30

A

3

Goniometrie

B

Stel een vergelijking y = ax + b op van de rechte met hellingshoek a en snijpunt (0, b) met de y-as. Rond de richtingscoëfficiënt af op 2 decimalen. 1 a = 30° en b = -1 tan 30° = 0,58 ➜ y = 0,58x - 1

.................................................................................................................................................................................................................................

2 a = -60° en b = 3 tan (-60°) = -1,73 ➜ y = -1,73x + 3

.................................................................................................................................................................................................................................

3 a = 20° en b = 3 tan 20° = 0,36 ➜ y = 0,36x + 3

.................................................................................................................................................................................................................................

4 a = 80° en b = 1 tan 80° = 5,67 ➜ y = 5,67x + 1

.................................................................................................................................................................................................................................

5 a = -75° en b = -2 tan (-75°) = -3,73 ➜ y = -3,73x - 2

.................................................................................................................................................................................................................................

6 a = -10° en b = -2 tan (-10°) = -0,18 ➜ y = -0,18x - 2

.................................................................................................................................................................................................................................

31

A

B

Gegeven zijn twee rechten r ´ y = 0,5x en s ´ y = -1,5x. 1 Bereken de hellingshoek a van de rechte r.

y

tan a = rico r = 0,5 ➜ a = 26,565...°

...............................................................................................................................................

r

2 Bereken de hellingshoek b van de rechte s. 1

tan b = rico s = -1,5 ➜ b = -56,309...°

a

...............................................................................................................................................

3 Bereken de scherpe hoek g gevormd door de rechten r en s. Rond af op 1°.

0

x

1

g

b

g = a - b = 26,565...° - (-56,309...°)

...............................................................................................................................................

s

= 26,565...° + 56,309...°

...............................................................................................................................................

= 82,874...° ➜ g = 83°

...............................................................................................................................................

24

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

 Goniometrische formules 32

Instap

Het punt P is het beeldpunt van een hoek a in de goniometrische cirkel. y 1

P

sin a 1

a 1 x

cos a 0 O

1 Vul de coördinaten in:

P(. . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . , . . . . .sin . . . . . . . . . .a .....)

O(. . . .0 . . . . . . . , . . . .0 .......)

2 Bereken de straal |OP| met de afstandsformule. 2 2 . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . .. . . . . .0) . . . . . . . . . . .+ . . . . . .(sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .0) ................. |OP| = . . . .(cos

1=

(cos a ) 2 + (sin a )2

...............................................................................................

|AB| = ( x B – x A )2 + ( yB – y A )2 |OP| is de straal van de goniometrische cirkel

3 Kwadrateer beide leden van de gelijkheid. 1 = .(cos . . . . . . . . . . . . .a . . . .)² . . . . . . . .+ . . . . . . (sin ............a . . . . )² ...............................................

Hoofdformule van de goniometrie De formule die het verband uitdrukt tussen de sinus en de cosinus van een hoek a , noemen we de hoofdformule van de goniometrie. (sin a)2 + (cos a)2 = 1 Zonder haakjes schrijven we:

sin2a + cos2a = 1

Voorbeeld Met ICT controleren we de hoofdformule voor hoeken van 150° en -70°. sin2150° + cos2150° = 1

0,75 + 0,25 = 1

sin2(-70°) + cos2(-70°) = 1

0,116... + 0,883... = 1

Afgeleide formules Uit de hoofdformule kunnen we de volgende formules afleiden: sin2a = 1 – cos2a

cos2a = 1 – sin2a

25

Hoofdstuk

3

Goniometrie

Verband tussen tangens en cosinus Uit de hoofdformule kunnen we een verband afleiden tussen tangens en cosinus: sin2a + cos2a = 1 1 1  (sin 2a + cos 2a ) = 1 2 cos a cos 2a

beiden leden vermenigvuldigen met

1 sin 2a cos 2a + = 2 2 cos a cos a cos 2a

distributieve eigenschap

⎛ sin a ⎞ 1 ⎜ ⎟ +1= ⎝ cos a⎠ cos 2a

macht van een quotiënt

1 cos 2a

2

Formule:

tan 2a + 1 =

1 cos 2a

1 + tan2a =

1 cos 2a

tan a =

sin a cos a

Voorbeeld Met de hoofdformule en afgeleide formules kunnen we een goniometrische gelijkheid aantonen. We herleiden één of beide leden tot het linkerlid gelijk is aan het rechterlid. sin 2a 1 = −1 2 1 − sin a cos 2a sin 2a 1 = −1 2 cos a cos 2a

cos2a = 1 – sin2a

sin 2a = 1 + tan 2a − 1 cos 2 a

1 + tan2a =

⎛ sin a⎞ ⎜ ⎟ ⎝ cos a⎠

macht van een quotiënt

2

= tan 2a

tan2a = tan2a

26

1 cos 2a

tan a =

sin a cos a

1 = a2soc + a2nis a nis = a nat a soc 1 = a2nat + 1 2 a soc

3.1 - Goniometrische getallen

33

A

Hoofdstuk

3

B

Vereenvoudig. 1 cos a tan a = cos 2a = 2 1 − sin 2a

sin a

cos a 

cos2a

cos a

= 1

...................................................................................................................................................................................................

cos2 a

3 cos2a (tan2a + 1) - sin2a =

tan a = 1 + tan 2a

cos2 a 

1

- sin2a = 1 - sin2a = cos2a

................................................................................................................................................................

2

cos a

sin2 a  (1 + tan2a) = sin2a 

4 sin2a + sin2a tan2a = 5

= sin a

...............................................................................................................................................................................................

1

=

sin2a

= tan2a

.............................................................................................................................................................................

tan a

=

sin a

2

cos a



2

cos a

2

cos a

= sin a  cos a

..................................................................................................................................................................................................

1

cos a

1

cos2 a sin2a 2 2 2 2 . . . . . . . . . . .. . . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . .). . . . . . . . tan . . . . . . . . . . .a . . . . . . .= . . . . . .-cos . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . -sin .............a ............................................... 6 (sin a - 1) tan a = . . . . .-(1 2 cos a 2

34

2

A

B

Bereken zonder ICT. 1 1 sin a als cos a = - met a een hoek in het derde kwadrant. 3 2

⎛ 1⎞ 1 8 2 2 . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . . . .⎜ .. . . . . . . . .⎟ . . . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .= ........................................................................................................ ⎝ 3⎠ 9 9 sin a = -

8

= -

2 2

sinus is negatief in derde kwadrant

.................................................................................................................................................................................................................................

9

2 sin a als cos a =

3

1 met a een hoek in het vierde kwadrant. 2 2

⎛ 1⎞ 1 3 . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ⎜ ⎟ . . . . . .1. . . . . .-. . . . . . . . . . . . . . . .=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎝ 2⎠ 4 4 2

sin a = -

2

3

=-

3

sinus is negatief in vierde kwadrant

.................................................................................................................................................................................................................................

4

3 cos a als sin a =

2

1 met a een hoek in het tweede kwadrant. 4 2

⎛1⎞ 15 1 . . . . cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . .= .....1 ....... . . . . . sin . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . ........⎜ . . . . . . . .⎟ . . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ........................................................................................................ ⎝4⎠ 16 16 2

cos a = -

2

15

= -

15

cosinus is negatief in tweede kwadrant

.................................................................................................................................................................................................................................

16

4

27

Hoofdstuk

3

Goniometrie

1 4 cos a als sin a = - met a een hoek in het vierde kwadrant. 5 2

⎛ 1⎞ 1 24 . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . .a . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .. . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ................................................................................................... ⎜ . . . . . . . . .⎟. . . . . . . . .=. . . . . 1 25 25 ⎝ 5⎠ 2

2

24

cos a =

=

24

=

2 6

cosinus is positief in vierde kwadrant

.................................................................................................................................................................................................................................

35

A

25

5

5

B

Toon aan. 2 2 2 1 (1 - cos a)(1 - sin a ) = (sin a cos a )

sin2 a  cos2 a = (sin a  cos a)2

.................................................................................................................................................................................................................................

(sin a  cos a)2 = (sin a  cos a)2

.................................................................................................................................................................................................................................

2

tan a = 1 + tan 2a sin a cos a sin a

1



=

1

.................................................................................................................................................................................................................................

cos a 1

sin a cos a =

cos2a

1

.................................................................................................................................................................................................................................

cos2 a

cos2 a

⎛ sin a ⎞ ⎟ 3 (1 - sin a )(1 + sin a ) = ⎜ ⎝ tan a⎠ 1 - sin2 a = sin2 a 

2

1

.................................................................................................................................................................................................................................

cos2 a = sin2 a 

tan2 a

cos2 a

.................................................................................................................................................................................................................................

sin2 a

cos2 a = cos2 a

.................................................................................................................................................................................................................................

sin 2a 1 -1 = 4 2 1 - sin a cos 2a sin2 a

= 1 + tan2 a - 1

.................................................................................................................................................................................................................................

2

cos a

2

⎛ sin a ⎞ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . .a ............................................................................................................................................................................... ⎟ . . . . . . .tan ⎜ ⎝ cos a ⎠ tan2 a = tan2 a

.................................................................................................................................................................................................................................

28

3.1 - Goniometrische getallen

2 2 5 cos a + 2sin a =

Hoofdstuk

3

1 - sin 4 a cos 2a

cos2a + sin2a + sin2a =

(1 - sin2a )(1 + sin2a )

.................................................................................................................................................................................................................................

1 + sin2a =

cos2a

cos2a  (1 + sin2a )

.................................................................................................................................................................................................................................

cos2a

1 + sin2a = 1 + sin2a

.................................................................................................................................................................................................................................

2 2 6 (cos a + 2sin a ) + (sin a - 2cos a ) = 5

cos2a + 4cos a sin a + 4sin2a + sin2a - 4sin a cos a + 4cos2 a = 5

.................................................................................................................................................................................................................................

5cos2a + 5sin2a = 5

.................................................................................................................................................................................................................................

5(cos2a + sin2a) = 5

.................................................................................................................................................................................................................................

5  1 = 5

.................................................................................................................................................................................................................................

5 = 5

.................................................................................................................................................................................................................................

36

A

B

Bereken zonder ICT. 1 2sin2a + 3cos2a als sin a = -

1 3

2sin2a + 3  (1 - sin2a)

.................................................................................................................................................................................................................................

= 2sin2a + 3 - 3sin2a

.................................................................................................................................................................................................................................

= -sin2a + 3

.................................................................................................................................................................................................................................

2

⎛ 1⎞ . . . . .= . . . . . .....⎜ . .. . . . . . . . .⎟ . . . . . . .+ . . . . . .3 .......................................................................................................................................................................................... ⎝ 3⎠ = -

1

+ 3

.................................................................................................................................................................................................................................

=

9

26

.................................................................................................................................................................................................................................

9

29

Hoofdstuk

3

Goniometrie

2 3sin2a - 2cos2a als

tan a = 3

3  (1 - cos2a) - 2cos2a

.................................................................................................................................................................................................................................

= 3 - 3cos2a - 2cos2a

.................................................................................................................................................................................................................................

= 3 - 5cos2a

.................................................................................................................................................................................................................................

= 3 - 5 

1

1 + tan2a =

1

.................................................................................................................................................................................................................................

= 3 – 5 

2

1 + tan a

cos2a

1

.................................................................................................................................................................................................................................

= 3 - 5 

1 + 32 1

.................................................................................................................................................................................................................................

= 3 -

10

1

.................................................................................................................................................................................................................................

=

2

5

.................................................................................................................................................................................................................................

30

2

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

Uitdagingen 1

Vier tandwielen A, B, C en D hebben 80, 60, 30 en 20 tanden.

A

D

C

B

We laten tandwiel A driekwart toer draaien in wijzerzin. 1 In welke zin draait tandwiel D? 2 Over welke hoekgrootte is tandwiel D gedraaid? Als we tandwiel A draaien, dan zullen de merktekens op de tandwielen B, C en D in wijzerzin of tegenwijzerzin meedraaien. 3 Na hoeveel toeren van tandwiel A komen alle merktekens terug in hun beginstand? 4 Over welke hoekgrootte is tandwiel A dan gedraaid? 5 Bepaal alle hoekgrootten van tandwiel A waarvoor alle merktekens in hun beginstand komen te staan. zie pagina 353

2

De omgeschreven cirkel van de regelmatige vijfhoek ABCDE met hoekpunt A op de positieve x-as, is de goniometrische cirkel. Bepaal de coördinaten van de hoekpunten op 2 decimalen nauwkeurig.

zie pagina 354

3

Bepaal zonder ICT het teken van de sommen en verschillen. 1 cos 110° + sin 110°

6 cos 200° - sin 200°

y 1

2 sin 340° - cos 340°

7 cos 120° - sin 120°

135°

3 sin 230° + cos 230°

8 sin 220° - cos 220°

45° 225°

4 cos 70° - sin 70° 5 cos 290° - sin 290°

9 sin 310° + cos 310°

1 x

0 315°

10 sin 100° - cos 100° zie pagina 354

31

Hoofdstuk

4

3

Goniometrie

Twee rechten a en b vormen een hoek van 60°. De rechte a is evenwijdig met de bissectrice van het eerste kwadrant van een orthonormaal assenstelsel. Bepaal de richtingscoëfficiënt van b op 2 decimalen nauwkeurig. zie pagina 354

5

Het omgekeerde van de sinus en de cosinus van een hoek a noemen we cosecans en secans van de hoek a. 1 In formulevorm schrijven we: csc a = met sin a π 0 sin a 1 met cos a π 0 sec a = cos a Welke waarden zijn voor cosecans en secans van een hoek a mogelijk? Toon aan. zie pagina 355

6

Vereenvoudig. 1

cos a sec a csc a

2 tan2a - sec2a 3 sec2a - sec2a csc2a + csc2a zie pagina 355

7

Bepaal met de tabel de coördinaten van de hoekpunten van de regelmatige veelhoeken.

a

0°

30°

45°

60°

90°

sin a

0

1 2

2 2

3 2

1

cos a

1

3 2

2 2

1 2

0

tan a

0

3 3

1

3

|

1

2

y 1 A

B

1 x

0 B

3

y 1 A

C D

A

C

1 x

0

C

y B 1

0

1 x F

D E

zie pagina 356

32

3.1 - Goniometrische getallen

8

Hoofdstuk

3

Toon aan. 1

tan a = sin a cos a 1 + tan 2a

4 4 2 2 cos a - sin a + 1 = 2cos a

1 - tan 2a = 1 - 2sin 2a 3 2 1 + tan a sin a - cos a sin a + cos a 2 + = 4 sin a + cos a sin a - cos a 1 - 2cos 2a 2 2 2 2 2 5 (sin a - cos a) + 4sin a cos a = 1

zie pagina 357

9

Beschouw de punten A (-1, 0) en B (1, 0) en een derde punt C op de cirkel met ^ middelpunt O (0, 0) en straal 1, zodat CAB = 30°. Wat is het eerste coördinaatgetal van C ? (A) 0

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

(E)

3 2

Vlaamse Wiskunde Olympiade zie pagina 358

33

Hoofdstuk

3

Goniometrie

Vraag & antwoord 1

Hoe noemen we een hoek waaraan een draaizin is toegevoegd? Een georiënteerde hoek.

2

Welke draaizin hoort bij een positieve hoek? De tegenwijzerzin.

3

Schrijf alle hoekgrootten van een georiënteerde hoek a .

a + k  360° met k Œ Z 4

Welke hoekgrootte gebruiken we meestal om een georiënteerde hoek te noteren? De kleinste positieve of de grootste negatieve hoekgrootte.

5

Wat is een goniometrische cirkel in een orthonormaal assenstelsel? Een cirkel met de oorsprong als middelpunt en straal 1. Teken een goniometrische cirkel. y 1 O 0

6

1

x

Hoe noemen we de vier deelvlakken waarin een assenstelsel het vlak verdeelt? Kwadranten.

7

Het beginbeen van een hoek a valt samen met de positieve x-as. Hoe noemen we het snijpunt van het eindbeen en de goniometrische cirkel? Het beeldpunt van a .

8

Formuleer de definitie van de cosinus en de sinus van een hoek a. De cosinus van een hoek a is de x-coördinaat en de sinus van een hoek a is de y-coördinaat van het beeldpunt P van a op de goniometrische cirkel.

34

3.1 - Goniometrische getallen

Hoofdstuk

3

Duid voor een hoek a in het eerste kwadrant de sinus en de cosinus aan. y 1 sin a 0

9

P

a cos a 1

x

Welke waarden zijn voor de goniometrische getallen sinus en cosinus van een hoek mogelijk? Alle waarden vanaf –1 tot en met 1.

10

Geef met symbolen de definitie van de tangens van een hoek a . tan a =

11

sin a cos a

cos a ≠ 0

Waarom bestaat tan 90° niet? cos 90° = 0 en delen door nul is onmogelijk.

12

Welke waarden zijn voor de tangens van een hoek mogelijk? Alle reële waarden.

13

Geef de formule die het verband uitdrukt tussen de richtingscoëfficiënt van een rechte r en de hellingshoek a van de rechte. rico r = tan a

14

Geef de hoofdformule van de goniometrie. sin2a + cos2a = 1

15

Welke afgeleide formule van de hoofdformule gebruiken we om sin a te berekenen als cos a gegeven is ? sin2a = 1 – cos2a

16

Geef de formule die een verband uitdrukt tussen de tangens en de cosinus van een hoek a. 1 1 + tan2a = cos 2a

35

Hoofdstuk

3

Goniometrie

3.2

Verwante hoeken

 Tegengestelde hoeken 1

Instap

Gegeven zijn de hoeken a en b met sin a = -sin b en cos a = cos b en tan a = -tan b 1 Vink de goniometrische cirkel aan waarin deze hoeken a en b getekend zijn. y 1

y 1

y 1

P

Q

P

P

b a b

0

1 x

0

a

a b

Q

1 x

0

Q

✔ 2 Vink het verband tussen de hoeken a en b aan.

b = -a

b = 180° - a

b = 180° + a

✔ 3 Vink de juiste uitspraak aan. De beeldpunten P en Q van de hoeken a en b liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong

de x-as

de y-as

✔

Goniometrische getallen van tegengestelde hoeken Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan een nulhoek, noemen we tegengestelde hoeken. De hoeken a en - a zijn tegengesteld. Voorbeelden

36

-50° en 50°

–50° + 50° = 0°

30° en 330°

30° + 330° = 360° = 0° + 360°

a

-a

a + (- a) = 0°

1 x

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

Verband tussen de goniometrische getallen van tegengestelde hoeken Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus, maar tegengestelde sinus en tangens. De beeldpunten P en Q van de tegengestelde hoeken a en - a liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as. y

1

P

a 0

-a

1 x

Q

De x-coördinaten van P en Q zijn gelijk, maar de y-coördinaten tegengesteld. cos(- a) = cos a en sin(- a) = - sin a Met de tekenregel van de deling berekenen we: tan( - a ) =

sin( - a ) -sin a = = - tan a cos( - a ) cos a

Formules:

sin(– a) = – sin a

cos(– a) = cos a

tan(– a) = – tan a

Zo is:

sin(- 50°) = - sin 50°

cos(- 50°) = cos 50°

tan(- 50°) = - tan 50°

Hoeken berekenen als de cosinus gegeven is Bij het opzoeken van hoeken waarvan de cosinus gegeven is, verschijnt op het rekenscherm alleen een positieve hoek. Ook de tegengestelde hoek heeft dezelfde cosinus. Voorbeeld We bepalen alle hoeken waarvoor cos a = - 0,5. cos a = - 0,5 cos a = cos 120°

ICT: cos–1(–0,5) = 120°

a = 120° + k  360° of a = - 120° + k  360°

cosinus van tegengestelde hoeken

37

Hoofdstuk

2

A

3

Goniometrie

B

Vink de tegengestelde hoeken aan. 1 -30° en 30°

✔

4 100° en 80°

7 90° en -810°

✔

2 60° en 300°

✔

5 200° en 20°

8 -260° en -100°

✔

3 45° en 45°

3

A

✔

6 700° en 20°

9 45° en 135°

B

Vul aan met de tegengestelde hoek uit het interval ]-180°, 180°]. -50°

5

410° en

..................................

10°

6

540° en

..................................

-130°

7 -700° en

..................................

90°

8 1000° en

..................................

50° en

..................................

2 -10° en

..................................

3 130° en

..................................

4 -90° en

..................................

1

4

A

-50° 180° -20° 80°

B

Het punt P is het beeldpunt van een hoek a. y 1

y 1

y 1 Q

P

a Q = P 0

1 x

0

a

a

1 x

0

1 x

P

Q

1 Teken op elke goniometrische cirkel het beeldpunt Q van de tegengestelde hoek van a . 2 Bij welke formules ontbreekt een minteken? Vul aan. . . . . . . . . . sin a sin(- a) = . . . . .-

5

A

cos(- a) = . . . . . . . . . . . . . . cos a

tan(- a) = . . . . .. . . . . . . . . tan a

B

Schrijf het goniometrisch getal met een positieve hoekgrootte kleiner dan 180°.

38

. . . . . . . . . . .100° ....................................................... 1 cos(-100°) = . . . . .cos

. . . . . . . . . . . .160° ....................................................... 5 tan(-200°) = . . . . tan

. . . . . . . . . . . . . 20° ......................................................... 2 sin(-20°) = . . . . .-sin

. . . . . . . . . .150° ......................................................... 6 sin(-210°) = . . . . .sin

. . . . . . . . . . . .160° ....................................................... 3 cos(-160°) = . . . . cos

. . . . . . . . . . . 40° ....................................................... 7 tan(-320°) = . . . . .tan

. . . . . . . . . . . . . . .80° ...................................................... 4 tan(-80°) = . . . . .-tan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . -sin . . . . . . . . . . . . . .40° ................... 8 sin(-400°) = . . . . .sin(-40°)

3.2 - Verwante hoeken

6

A

Hoofdstuk

3

B

Bepaal alle hoekgrootten van a op 1° nauwkeurig. 1 cos a = 0,5 cos a = cos 60°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 60° + k  360°

of

a = -60° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

2 cos a = -0,8 cos a = cos 143°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 143° + k  360°

of

a = -143° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

3 cos a = 0,94 cos a = cos 20°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 20° + k  360°

of

a = -20° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

4 cos a = -1 cos a = cos 180°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 180° + k  360°

a = -180° + k  360° = 180° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

5 cos a = 0,82 cos a = cos 35°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 35° + k  360°

of

a = -35° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

6 cos a = -0,67 cos a = cos 132°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 132° + k  360°

of

a = -132° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

39

Hoofdstuk

7

A

3

Goniometrie

B

Welke hoeken hebben dezelfde cosinus? Omcirkel ze in dezelfde kleur.

cos(-10°) = cos 10°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos 370° = cos (370°- 360°) = cos 10°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos (-240°) = cos (360°- 240°) = cos 120°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos (-310°) = cos (360°- 310°) = cos 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos (-50°) = cos 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos 410° = cos (410°- 360°) = cos 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos 450° = cos (450°- 360°) = cos 90°

........................................................................................................................................................................................................................................

cos (-450°) = cos 450° = cos 90°

........................................................................................................................................................................................................................................

40

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

 Supplementaire hoeken 8

Instap

Gegeven zijn de hoeken a en b met sin a = sin b

en cos a = - cos b en tan a = -tan b

1 Vink de goniometrische cirkel aan waarin deze hoeken a en b getekend zijn. y 1

y 1

y 1

P

Q

P

P

b a b

0

1 x

0

a

a b

Q

1 x

0

1 x

Q

✔ 2 Vink het verband tussen de hoeken a en b aan.

b = -a

b = 180° - a

b = 180° + a

✔ 3 Vink de juiste uitspraak aan. De beeldpunten P en Q van de hoeken a en b liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong

de x-as

de y-as ✔

Goniometrische getallen van supplementaire hoeken Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan een gestrekte hoek, noemen we supplementaire hoeken. De hoeken a en 180° - a zijn supplementair. Voorbeelden 40° en 140°

40° + 140° = 180°

120° en 780°

120° + 780° = 900° = 180° + 2  360°

180° - a

a

41

Hoofdstuk

3

Goniometrie

Verband tussen de goniometrische getallen van supplementaire hoeken Supplementaire hoeken hebben gelijke sinus, maar tegengestelde cosinus en tangens. De beeldpunten P en Q van de supplementaire hoeken a en 180° - a liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as. y 1 P

Q 180° – a

a 0

1 x

De y-coördinaten van P en Q zijn gelijk, maar de x-coördinaten tegengesteld. sin(180° - a) = sin a en cos(180° - a) = - cos a Met de tekenregel van de deling berekenen we: tan(180° - a ) =

sin(180° - a ) sin a = = - tan a cos(180° - a ) -cos a

Formules:

sin(180° – a) = sin a

cos(180° – a) = – cos a

tan(180° – a) = – tan a

Zo is:

sin 140° = sin 40°

cos 140° = - cos 40°

tan 140° = - tan 40° 140° + 40° = 180°

Hoeken berekenen als de sinus gegeven is Bij het opzoeken van hoeken waarvan de sinus gegeven is, verschijnt op het rekenscherm alleen een hoek uit het eerste of het vierde kwadrant. Ook de supplementaire hoek heeft dezelfde sinus. Voorbeeld We bepalen alle hoeken a waarvoor sin a = - 0,5. sin a = - 0,5 sin a = sin (- 30°)

ICT: sin–1(–0,5) = –30°

a = - 30° + k  360° of a = 180° - (- 30°) + k  360°

sinus van supplementaire hoeken

a = 210° + k  360°

42

3.2 - Verwante hoeken

9

A

Hoofdstuk

3

B

Vink de supplementaire hoeken aan. 1 60° en 120°

✔

4 200° en 20°

2 60° en 480°

✔

5 200° en 700°

3 60° en 300°

10

A

✔

7 30° en -210° ✔

8 -260° en -100° ✔

9 80° en -260°

6 30° en 210°

B

Vul aan met de supplementaire hoek uit het interval ]-180°, 180°]. 110°

5

250° en

..................................

30°

6 1000° en

..................................

-160°

7 -400° en

..................................

-90°

8

810° en

..................................

70° en

..................................

2 150° en

..................................

3 -20° en

..................................

4 -90° en

..................................

1

11

A

-70°

-100° -140° 90°

B

Het punt P is het beeldpunt van een hoek a. y 1

y 1

y 1 P= Q

Q

P

a 0

a 1 x

0

a

1 x

0

1 x

P

Q

1 Teken op elke goniometrische cirkel het beeldpunt Q van de supplementaire hoek van a . 2 Bij welke formules ontbreekt een minteken? Vul aan. sin(180° - a) = . . . . . . . . . . . . . . sin a

12

A

cos(180° - a) = . . . . .. . . . . . . . . cos a

tan(180° - a) = . . . . .. . . . . . . . . tan a

B

Schrijf het goniometrisch getal met een positieve hoekgrootte kleiner dan 90°. . . . . . . . . . . . . . . .30° ............................................................. 1 cos 150° = .-cos

. . . . . . . . . . . . . . . 100° . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . tan . . . . . . . . . . . .80° ..................... 5 tan(-100°) = -tan

. . . . . . . . . . . . . 40° .............................................................. 2 sin(-40°) = -sin

. . . . . . . . . . 10° .................................................................... 6 sin 170° = sin

. . . . . . . . . . . .150° . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .-tan . . . . . . . . . . . . . . .30° ..................... 3 tan(-210°) = tan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .cos . . . . . . . . . . . 130° . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . -cos ... 50° 7 cos 230° = .cos(-130°)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .60° ............................. 4 cos 300° = cos(-60°)

. . . . . . . . . . . . . . . 50° ........................................................... 8 tan(-50°) = -tan

43

Hoofdstuk

13

A

3

Goniometrie

B

Bepaal alle hoekgrootten van a op 1° nauwkeurig. 1 sin a = 0,5 sin a = sin 30°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 30° + k  360°

of

a = 180° - 30° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 150° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

2 sin a = -0,9 sin a = sin(-64°)

.................................................................................................................................................................................................................................

a = -64° + k  360°

of

a = 180° - (-64°) + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 244° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

3 sin a = 0,31 sin a = sin 18°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 18° + k  360°

of

a = 180° - 18° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 162° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

4 sin a = 0,82 sin a = sin 55°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 55° + k  360°

of

a = 180° - 55° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 125° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

5 sin a = -0,26 sin a = sin (-15°)

.................................................................................................................................................................................................................................

a = -15° + k  360°

of

a = 180° - (-15°) + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 195° + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

44

3.2 - Verwante hoeken

14

A

Hoofdstuk

3

B

Welke hoeken hebben dezelfde sinus? Omcirkel ze in dezelfde kleur.

sin 110° = sin(180° - 110°) = sin 70°

........................................................................................................................................................................................................................................

sin(-290°) = sin(360° - 290°) = sin 70°

........................................................................................................................................................................................................................................

sin(-100°) = sin(360° - 100°) = sin 260° = sin(-80°)

........................................................................................................................................................................................................................................

sin 260° = sin(180° - 260°) = sin(-80°)

........................................................................................................................................................................................................................................

sin 130° = sin(180° - 130°) = sin 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

sin(-310°) = sin(360° - 310°) = sin 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

45

Hoofdstuk

3

Goniometrie

 Antisupplementaire hoeken 15

Instap

Gegeven zijn de hoeken a en b met sin a = - sin b en cos a = - cos b

en tan a = tan b

1 Vink de goniometrische cirkel aan waarin deze hoeken a en b getekend zijn. y 1

y 1

y 1

P

Q

P

P

b a b

0

1 x

0

a

a b

Q

1 x

0

1 x

Q

✔ 2 Vink het verband tussen de hoeken a en b aan.

b = -a

b = 180° - a

b = 180° + a ✔

3 Vink de juiste uitspraak aan. De beeldpunten P en Q van de hoeken a en b liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong

de x-as

de y-as

✔

Goniometrische getallen van antisupplementaire hoeken Twee hoeken waarvan het verschil gelijk is aan een gestrekte hoek, noemen we antisupplementaire hoeken. De hoeken a en 180° + a zijn antisupplementair. Voorbeelden

46

225° en 45°

225° – 45° = 180°

860° en -40°

860° – (–40°) = 900° = 180° + 2  360°

a + 180° a

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

Verband tussen de goniometrische getallen van antisupplementaire hoeken Antisupplementaire hoeken hebben gelijke tangens, maar tegengestelde sinus en cosinus. De beeldpunten P en Q van de antisupplementaire hoeken a en 180° + a liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. y 1 P

180° + a

a 0

1 x

Q

De x-coördinaten en de y-coördinaten van P en Q zijn tegengesteld. cos(180° + a) = - cos a en sin(180° + a) = - sin a Met de tekenregel van de deling berekenen we: tan(180° + a ) =

sin(180° + a ) -sin a = = tan a cos(180° + a ) -cos a

Formules:

sin(180° + a) = – sin a

cos(180° + a) = – cos a

tan(180° – a) = tan a

Zo is:

sin 225° = - sin 45°

cos 225° = - cos 45°

tan 225° = tan 45° 225° – 45° = 180°

Hoeken berekenen als de tangens gegeven is Bij het opzoeken van hoeken waarvan de tangens gegeven is, verschijnt op het rekenscherm alleen een hoek uit het eerste of het vierde kwadrant. Ook de antisupplementaire hoek heeft dezelfde tangens. Voorbeeld We bepalen alle hoeken a waarvoor tan a = 1. tan a = 1 tan a = tan 45°

ICT: tan–1(1) = 45°

a = 45° + k  360° of a = 180° + 45° + k  360°

tangens van antisupplementaire hoeken

a = 225° + k  360° 45°

225°

405°

585°

765°

945° 1125° 1305° 1485° 1665° 1845° 2025°

We stellen vast dat a = 45° + k  180° alle oplossingen van tan a = 1 beschrijft.

47

Hoofdstuk

16

A

3

Goniometrie

B

Vink de antisupplementaire hoeken aan. 1 180° en 0°

✔

4 400° en 40°

2 500° en -40°

✔

5 200° en 20°

3 130° en 50°

17

A

✔

7 100° en 280° ✔

8 -100° en 280°

6 300° en 30°

✔

9 820° en 280°

B

Vul aan met de antisupplementaire hoek uit het interval ]-180°, 180°]. -140°

5

330° en

..................................

10°

6

600° en

..................................

100°

7

870° en

..................................

0°

8 -250° en

..................................

1

40° en

..................................

2

190° en

..................................

3

-80° en

..................................

4 -180° en

..................................

18

A

150° 60°

-30° -70°

B

Het punt P is het beeldpunt van een hoek a. y 1

y 1

y 1

P

Q

a 0

1 x

P 1 x

0

a 0

Q 1 x

a P Q

1 Teken op elke goniometrische cirkel het beeldpunt Q van de antisupplementaire hoek van a . 2 Bij welke formules ontbreekt een minteken? Vul aan. . . . . . . . . . sin a sin(180° + a) = . . . . .-

19

A

cos(180° + a) = . . . . . . . . . . . . . . cos a

tan(180° + a) = . . . . . . . . . . . . . . tan a

B

Schrijf het goniometrisch getal met een positieve hoekgrootte kleiner dan 90°.

48

. . . . . . . . . . . . . 20° ............................................................ 1 sin 200° = . . . . .-sin

. . . . . . . . . .80° ................................................................ 5 sin 100° = . . . .sin

. . . . . . . . . . . . . . .70° ..................................................... 2 tan(-70°) = . . . . . .-tan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .60° ......................... 6 cos 300° = . . . . cos(-60°)

. . . . . . . . . . . .130° . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . -cos . . . . . . . . . . . . . . . 50° .................. 3 cos(-230°) = . . . . cos

. . . . . . . . . . . . . . . 40° ......................................................... 7 tan 140° = . . . . .-tan

. . . . . . . . . . . 70° ............................................................. 4 tan 250° = . . . . .tan

. . . . . . . . . . . . . .60° ..................................................... 8 sin(-120°) = . . . . .-sin

3.2 - Verwante hoeken

20

A

Hoofdstuk

3

B

Bepaal alle hoekgrootten van a op 1° nauwkeurig. 1 tan a = 2

3 tan a = 19 tan a = tan 87°

tan a = tan 63°

......................................................................................................

a = 63° + k  180°

......................................................................................................

......................................................................................................

a = 87° + k  180°

......................................................................................................

2 tan a = -0,5

4 tan a = -5,8

tan a = tan(-27°)

......................................................................................................

a = -27° + k  180°

......................................................................................................

21

A

tan a = tan(-80°)

......................................................................................................

a = -80° + k  180°

......................................................................................................

B

Welke hoeken hebben dezelfde tangens? Omcirkel ze in dezelfde kleur.

tan 400° = tan(400° - 360°) = tan 40°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan 220° = tan(180° + 40°) = tan 40°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan(-140°) = tan(360° - 140°) = tan 220° = tan 40°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan(-260°) = tan(360° - 260°) = tan 100°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan(-80°) = tan(180° + (-80°)) = tan 100°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan 640° = tan(640° - 2  360°) = tan(-80°) = tan 100°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan 240° = tan(180° + 60°) = tan 60°

........................................................................................................................................................................................................................................

tan(-300°) = tan(360° - 300°) = tan 60°

........................................................................................................................................................................................................................................

49

Hoofdstuk

22

A

3

Goniometrie

B

Duid op de goniometrische cirkel de beeldpunten P en Q van de hoeken a aan waarvan het goniometrisch getal gegeven is. 1 cos a = 0,2

2 sin a = -0,3 y 1

3 tan a = -0,5 y 1

P

y 1 P

0 0,2

1 x P

0

1 x

-0,3

Q

0

1 x Q

-0,5

Q

4 cos a = -0,4 P

5 sin a = 0,4

y 1

y 1

Q -0,4

0

0,4

1 x

A

0

1,5 y 1

P

P 0

1 x

1 x

Q

Q

23

6 tan a = 1,5

B

Bepaal alle hoekgrootten van a uit het interval ]-180°, 180°]. Rond af op 1°. 1 cos a = 0,7 cos a = cos 46°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 46°

of

a = -46°

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

2 sin a = 0,2 sin a = sin 12°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 12°

of

a = 180° - 12°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 168°

.................................................................................................................................................................................................................................

50

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

3 tan a = - 2 tan a = tan(-63°)

.................................................................................................................................................................................................................................

a = -63°

of

a = -63° + 180°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 117°

.................................................................................................................................................................................................................................

4 cos a = - 0,1 cos a = cos 96°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 96°

of

a = -96°

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

5 sin a = - 0,6 sin a = sin(-37°)

.................................................................................................................................................................................................................................

a = -37°

of

a = 180° - (-37°) - 360°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = -143°

.................................................................................................................................................................................................................................

6 tan a = - 2,5 tan a = tan(-68°)

.................................................................................................................................................................................................................................

a = -68°

of

a = -68° + 180°

.................................................................................................................................................................................................................................

a = 112°

.................................................................................................................................................................................................................................

51

Hoofdstuk

3

Goniometrie

 Complementaire hoeken 24

Instap

Gegeven zijn de hoeken a en b met sin a = cos b en cos a = sin b 1 Vink de goniometrische cirkels aan waarin deze hoeken a en b getekend zijn. y

y

1

1

a = 30° en b = 60° b

a 0

✔

1

x

0

y

y

1

1

1

x

a = 20° en b = 55° b

a 0

1

x

0

y

y

1

1

1

x

a = 45° en b = 45° a 0

b 1

x

0

1

x

2 Vink het verband tussen de hoeken a en b aan.

b = a - 90°

b = 90° - a ✔

52

b=a

✔

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

Goniometrische getallen van complementaire hoeken Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan een positieve rechte hoek, noemen we complementaire hoeken. De hoeken a en 90° - a zijn complementair. Voorbeelden 30° en 60°

30° + 60° = 90°

760° en 50°

760° + 50° = 810° = 90° + 2  360°

90° - a

a

Verband tussen de goniometrische getallen van complementaire hoeken Bij complementaire hoeken is de sinus van de ene hoek gelijk aan de cosinus van de andere hoek en omgekeerd. De beeldpunten P en Q van de complementaire hoeken a en 90° - a liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant. y 1

Q

sin(90° – a)

90° – a

sin a

P

a

0

cos(90° – a) cos a 1

x

De x-coördinaat van P is gelijk aan de y-coördinaat van Q en omgekeerd. cos a = sin (90° - a) en sina = cos(90° - a) Bij complementaire hoeken is de tangens van de ene hoek gelijk aan het omgekeerde van de tangens van de andere hoek. Met de tekenregel van de deling berekenen we: tan(90° - a ) =

1 sin(90° - a ) cos a 1 = = = sin a tan a sin a cos(90° - a ) cos a

Formules:

sin(90° – a) = cos a

cos(90° – a) = sin a

tan(90° – a) =

Zo is:

sin 60° = cos 30°

cos 60° = sin 30°

tan 60° =

1 tan a

1 tan 30° 60° + 30° = 90°

53

Hoofdstuk

25

A

3

Goniometrie

B

Vink de complementaire hoeken aan. ✔

1 50° en 40° 2 100° en 80°

✔

3 45° en 45°

26

A

✔

7 135° en -45°

4 135° en 45° 5 20° en 70°

✔

8 20° en -110°

6 120° en -30°

✔

9 400° en 410°

✔

B

Het punt P is het beeldpunt van een hoek a. y 1

y 1

P

y 1

Q

P =Q Q

a

P

a

a 1 x

0

0

1 x

0

1 Teken op elke goniometrische cirkel het beeldpunt Q van de complementaire hoek van a . 2 Vul de formules aan. sin(90° - a) = . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a ....................

27

A

cos(90° - a) = . . . . .sin . . . . . . . . . .a ......................

B

Vink elke juiste uitspraak aan. Gebruik, indien nodig, de goniometrische cirkels. 1 sin a = -sin(180° - a)

7 tan a = -tan(180° - a)

2 cos a = -cos(a + 180°)

✔

8 cos a = -cos(-a)

3 sin a = -sin(-a)

✔

9 sin a = -cos(90° - a)

4 tan a = tan(a + 180°)

✔

10 tan a = tan(90° - a)

5 cos a = sin(90° - a)

✔

11 cos a = cos(180° - a)

6 sin a = -sin(a + 180°)

✔

12 tan a = -tan(-a)

y 1

✔

✔ y 1

P

P

a 0

54

a 1 x

0

1 x

1 x

3.2 - Verwante hoeken

28

A

Hoofdstuk

3

B

Schrijf elke sinus (cosinus) als een cosinus (sinus) van een hoek uit het eerste kwadrant. 1 sin 35° =

cos 55°

..........................................................................................................................................................................................................

-sin 65° = -cos 25°

2 sin(-65°) =

....................................................................................................................................................................................................

3 cos(-40°) =

...................................................................................................................................................................................................

4 sin 200° =

sin(180° + 20°) = -sin 20° = -cos 70°

cos 40° = sin 50°

........................................................................................................................................................................................................

cos 215° = cos(180° + 35°) = -cos 35° = -sin 55°

5 cos(-215°) =

.................................................................................................................................................................................................

sin(180° - 60°) = sin 60° = cos 30°

6 sin 120° =

........................................................................................................................................................................................................

7 cos 150° =

.......................................................................................................................................................................................................

8 cos (-310°) =

cos(180° - 30°) = -cos 30° = -sin 60°

cos(360° - 310°) = cos 50° = sin 40°

................................................................................................................................................................................................

55

Hoofdstuk

3

Goniometrie

 Som- en verschilformules 29

Instap

We controleren met een berekening hoe haakjes in goniometrische getallen niet mogen uitgewerkt worden. 1 Toon aan dat sin(a + b) π sin a + sin b. Stel a = 50° en b = 30°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .30°) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . sin . . . . . . . . . . 80° . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 0,98480... ................................................................................................................. sin(a + b) = . . . . .sin(50°

sin a + sin b =

sin 50° + sin 30° = 0,76604... + 0,5 = 1,26604...

..............................................................................................................................................................................................

2 Toon aan dat sin(a - b) π sin a - sin b. Stel a = 50° en b = 30°. sin(a - b) = . . . . .sin(50° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .30°) . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . sin . . . . . . . . . . 20° . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 0,34202... ................................................................................................................. sin a - sin b =

sin 50° - sin 30° = 0,76604... - 0,5 = 0,26604...

..............................................................................................................................................................................................

Somformule voor sinus ^

In driehoek ABC verdeelt de hoogtelijn [AD] de hoek A in twee hoeken a en b . We berekenen de oppervlakte van driehoek ABC op twee manieren en stellen de resultaten aan elkaar gelijk. A

a b

B

C

D

1 De oppervlakte van driehoek ABC met basis |AC| en hoogte |BE| is: A

a+b E

B

56

D

C

3.2 - Verwante hoeken

AD ABC = =

Hoofdstuk

3

1  |AC |  |BE | 2 1  |AC |  |AB|  sin(a + b) 2

in D ABE: sin(a + b) =

| BE | fi |BE| = |AB|  sin(a + b) | AB|

2 De oppervlakte van driehoek ABC is ook gelijk aan de som van de oppervlakten van de driehoeken ABD en ADC. A

a b

B

D

C

De oppervlakte van driehoek ABD met basis |BD| en hoogte |AD| is: AD ABD = =

1  |BD|  |AD| 2 1  |AB|  sin a  |AC |  cos b 2

| BD | fi |BD| = |AB|  sin a | AB| | AD | in D ACD: cos b = fi |AD| = |AC|  cos b | AC | in D ABD: sin a =

De oppervlakte van driehoek ACD met basis |CD| en hoogte |AD| is: AD ACD = =

1  |CD|  |AD| 2 1  |AC |  sin b  |AB|  cos a 2

| CD | fi |CD| = |AC|  sin b | AC| | AD | in D ABD: cos a = fi |AD| = |AB|  cos a | AB| in D ACD: sin b =

De som van de oppervlakten van de driehoeken ABD en ACD is: 1 1  |AB|  sin a  |AC |  cos b +  |AC |  sin b  |AB|  cos a 2 2 1 =  |AB|  |AC |  (sin a  cos b + sin b  cos a ) 2

AD ABC =

3 We stellen beide oppervlakteberekeningen gelijk aan elkaar. 1 1  |AC |  |AB|  sin(a + b) =  |AB|  |AC |  (sin a  cos b + sin b  cos a ) 2 2 sin(a + b) = sin a  cos b + sin b  cos a Somformule voor sinus:

beide leden vermenigvuldigen met

2 | AC |·| AB|

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

57

Hoofdstuk

30

A

3

Goniometrie

B

Controleer de somformule voor sinus met de hoeken 45° en 30°. sin(45° + 30°) =

sin 75° = 0,96592...

..................................................................................................................................................................................................

sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° =

31

A

0,96592...

........................................................................................................................................................

B

Controleer de somformule voor sinus met de hoeken: 1 80° en 200°

sin(80° + 200°) = sin 280° = -0,98480...

...............................................................................................................................................................................................

sin 80° cos 200° + cos 80° sin 200° = -0,98480...

...............................................................................................................................................................................................

2 90° en 45°

sin(90° + 45°) = sin 135° = 0,70710...

...............................................................................................................................................................................................

sin 90° cos 45° + cos 90° sin 45° = 0,70710...

...............................................................................................................................................................................................

3 70° en -30°

sin(70° + (-30°)) = sin 40° = 0,64278...

...............................................................................................................................................................................................

sin 70° cos(-30°) + cos 70° sin(-30°) = 0,64278...

...............................................................................................................................................................................................

32

A

B

Controleer zonder ICT de somformule voor sinus met de hoeken: 1 180° en 0°

sin(180° + 0°) = sin 180° = 0

...............................................................................................................................................................................................

sin 180° cos 0° + cos 180° sin 0° = 0  1 + (-1)  0 = 0

...............................................................................................................................................................................................

2 90° en -90°

sin(90° + (-90°)) = sin 0° = 0

...............................................................................................................................................................................................

sin 90° cos (-90°) + cos 90° sin (-90°) = 1  0 + 0  (-1) = 0

...............................................................................................................................................................................................

3 270° en -180°

sin(270° + (-180°)) = sin 90° = 1

...............................................................................................................................................................................................

sin 270° cos(-180°) + cos 270° sin(-180°) = -1  (-1) + 0  0 = 1

...............................................................................................................................................................................................

58

3.2 - Verwante hoeken

33

A

Hoofdstuk

3

B

De twee groene rechthoeken hebben samen dezelfde oppervlakte als het blauwe parallellogram. Bereken de oppervlakten en leid uit hun gelijkheid de somformule voor sinus af. cos a

cos a

a 1

sin a

1

1

sin a

a+b 1

2

sin b

sin b

a h

1

b

b

cos b

cos b

Figuur rechts: oppervlakte parallelogram = 1  h

........................................................................................................................................................................................................................................

= 1  sin(a + b)

sin(a + b) =

h

........................................................................................................................................................................................................................................

1

Figuur links: oppervlakte rechthoek 1 = sin a cos b

........................................................................................................................................................................................................................................

oppervlakte rechthoek 2 = cos a sin b

........................................................................................................................................................................................................................................

totale oppervlakte = sin a cos b + cos a sin b

........................................................................................................................................................................................................................................

Oppervlakten gelijkstellen: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

........................................................................................................................................................................................................................................

34

A

B

Als de sinus en de cosinus van een hoek gegeven zijn, kunnen we de sinus van de dubbele hoek berekenen met de verdubbelingsformule: sin 2a = 2sin a cos a. 1 Stel sin a = 0,8 en cos a = 0,6. Bereken zonder ICT sin 2a. sin 2a = 2  0.8  0,6

.................................................................................................................................................................................................................................

= 0,96

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Toon de verdubbelingsformule voor sinus aan met de somformule voor sinus. sin 2a = sin(a + a)

.................................................................................................................................................................................................................................

= sin a cos a + cos a sin a

somformule voor sinus

.................................................................................................................................................................................................................................

= 2 sin a cos a

.................................................................................................................................................................................................................................

59

Hoofdstuk

3

Goniometrie

Som- en verschilformules De formules voor de goniometrische getallen sinus, cosinus en tangens van de som en het verschil van twee hoeken, noemen we de som- en verschilformules. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b tan(a + b) =

tan a + tan b 1 – tan a tan b

tan(a – b) =

tan a – tan b 1 + tan a tan b

Som- en verschilformules afleiden Uit de somformule voor sinus kunnen we de andere som- en verschilformules afleiden. Voorbeelden We leiden de verschilformule voor sinus en de somformule voor cosinus af. sin(a - b) = sin(a + (-b)) = sin a cos (-b) + cos a sin (-b)

somformule voor sinus

= sin a cos b - cos a sin b

cosinus en sinus van tegengestelde hoeken

cos(a + b) = sin(90° - (a + b))

cosinus en sinus van complementaire hoeken

= sin((90° - a) - b)

35

A

= sin(90° - a) cos b - cos(90° - a) sin b

verschilformule voor sinus

= cos a cos b - sin a sin b

sinus en cosinus van complementaire hoeken

B

Controleer de verschilformule voor sinus met de hoeken 50° en 30°. sin(50° - 30°) = sin 20° = 0,34202...

........................................................................................................................................................................................................................................

sin 50° cos 30° - cos 50° sin 30° = 0,34202...

........................................................................................................................................................................................................................................

60

3.2 - Verwante hoeken

36

A

Hoofdstuk

3

B

Controleer de somformule voor cosinus met de hoeken 50° en 30°. cos(50° + 30°) = cos 80° = 0,17364...

........................................................................................................................................................................................................................................

cos 50° cos 30° - sin 50° sin 30° = 0,17364...

........................................................................................................................................................................................................................................

37

A

B

Controleer de verschilformule voor tangens met de hoeken 50° en 30°. tan(50° - 30°) = tan 20° = 0,36397...

........................................................................................................................................................................................................................................

tan 50° - tan 30°

= 0,36397...

........................................................................................................................................................................................................................................

1 + tan 50° tan 30°

38

A

B

Pas de som- en verschilformules voor sinus en cosinus toe en werk uit. 1 sin(a + b) + sin(a - b) = .(sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b .....+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) . . . . .+ . . . . . .(sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b .....– . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) ........... = . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b . . . . .+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . . . . .+ . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .cos . . . . . . . . . . .b . . . . . .– . . . . . cos ...........a . . . . . . .sin . . . . . . . . . .b .................... . . . . . .2 . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b ................................................................................................................................... =

2 sin(a + b) - sin(a - b) = .(sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b .....+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) . . . . .– . . . . .(sin . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b .....– . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a . . . . . . sin . . . . . . . . . .b . . .) ............ = . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b . . . . .+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . . . . .– . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .cos . . . . . . . . . . .b . . . . . .+ . . . . . . cos ...........a . . . . . . .sin . . . . . . . . . .b .................... . . . . . .2 . . . . . .cos ...........a . . . . . . .sin . . . . . . . . . .b ................................................................................................................................... =

3 cos(a + b) + cos(a - b) = . .(cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b . . . . . .– . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) . . . . .+ . . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b . . . . . .+ . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) ........ = cos a cos b – sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b

.........................................................................................................................................................................

= 2 cos a cos b

.........................................................................................................................................................................

4 cos(a + b) - cos(a - b) = . .(cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b . . . . . .– . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) . . . . .– . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .b . . . . . .+ . . . . . .sin . . . . . . . . . .a . . . . . .sin . . . . . . . . . .b . . .) ......... = cos a cos b – sin a sin b – cos a cos b – sin a sin b

.........................................................................................................................................................................

= -2 sin a sin b

.........................................................................................................................................................................

61

Hoofdstuk

39

A

3

Goniometrie

B

Herleid tot één goniometrisch getal.

a) 1 sin(30° + a) + sin(30° - a) = (sin . . . . . . . . . . . . 30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .30°sin ....................a . . . .) . . . . .+ . . . . . .(sin . . . . . . . . . . . .30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . . cos . . . . . . . . . . . .30°sin ...... a = . . . . . .sin . . . . . . . . . .30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .30°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . .+ . . . . . .sin . . . . . . . . . .30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .cos . . . . . . . . . . . 30°sin ............. = . . . . . .2 . . . . . .sin . . . . . . . . . .30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a ....................................................................................................................... = . . . . . .2 . . . . . . . . . . 0,5 . . . . . . . . . . . . .. . . . cos ...........a ....................................................................................................................... = . . . . . .cos . . . . . . . . . . .a ..................................................................................................................................................

a) 2 sin(60° + a) - sin(60° - a) = (sin . . . . . . . . . . . . 60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .60°sin ....................a . . . .) . . . . .. . . . . .(sin . . . . . . . . . . . .60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . . cos . . . . . . . . . . . .60°sin ...... a = . . . . . .sin . . . . . . . . . .60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . . cos . . . . . . . . . . . .60°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . .60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .+ . . . . . .cos . . . . . . . . . . . 60°sin ............. = . . . . . .2 . . . . . .cos . . . . . . . . . . . 60°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a ....................................................................................................................... = . . . . . .2 . . . . . . . . . . 0,5 . . . . . . . . . . . . .. . . . sin . . . . . . . . . .a ........................................................................................................................ = . . . . . .sin . . . . . . . . . .a ...................................................................................................................................................

a) 3 cos(60° + a) + cos(60° - a) = (cos . . . . . . . . . . . . . .60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . .60°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . .) . . . . .+ . . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . . 60°cos ......................a . . . . . . .+ . . . . . .sin . . . . . . . . . .60°sin .... a = . . . . . .cos . . . . . . . . . . . 60°cos ......................a . . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . .60°sin ....................a . . . . . . .+ . . . . . .cos . . . . . . . . . . .60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . .+ . . . . . . sin . . . . . . . . . . 60°sin ............ = . . . . . .2 . . . . . . cos . . . . . . . . . . . 60°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a ................................................................................................................... = . . . . . .2 . . . . . . . . . . .0,5 . . . . . . . . . . . .. . . . cos . . . . . . . . . . . .a .................................................................................................................... . . . . . .cos ...........a ................................................................................................................................................ =

a) 4 cos(30° + a) - cos(30° - a) = (cos . . . . . . . . . . . . . 30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . .30°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . .) . . . . .. . . . . .(cos . . . . . . . . . . . . . 30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a ......+ . . . . . . sin . . . . . . . . . . 30°sin ..... a =. . . . . .cos . . . . . . . . . . . 30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a ....... . . . . . sin . . . . . . . . . . 30°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . . cos . . . . . . . . . . . .30°cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . . .. . . . . . sin . . . . . . . . . . 30°sin ........... =. . . . . .-. . . . . .2 . . . . . .sin . . . . . . . . . .30°sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a ................................................................................................................ =. . . . . .-. . . . . .2 . . . . . . . . . . 0,5 . . . . . . . . . . . . .. . . .sin . . . . . . . . . .a ................................................................................................................ =. . . . . .-. . . . . .sin . . . . . . . . . .a ...........................................................................................................................................

62

3.2 - Verwante hoeken

40

A

Hoofdstuk

3

B

Toon de verschilformule voor cosinus aan.

a

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a – b) = cos(a + (-b))

........................................................................................................................................................................................................................................

= cos a cos (-b) – sin a sin (-b)

somformule voor cosinus

= cos a cos b + sin a sin b

cosinus en sinus van tegengestelde hoeken

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

41

A

B

Als de sinus en de cosinus van een hoek gegeven zijn, kunnen we de cosinus van de dubbele hoek berekenen met de verdubbelingsformule: cos 2a = cos2a - sin2a.

a

1 Stel sin a = 0,8 en cos a = 0,6. Bereken zonder ICT cos 2a. cos2a = 0,62 - 0,82

.................................................................................................................................................................................................................................

= 0,36 – 0,64

.................................................................................................................................................................................................................................

= -0,28

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Toon de verdubbelingsformule voor cosinus aan met de somformule voor cosinus. cos2a = cos(a + a)

.................................................................................................................................................................................................................................

a

= cos a cos a – sin a sin a

somformule voor cosinus

.................................................................................................................................................................................................................................

= cos2a - sin2a

.................................................................................................................................................................................................................................

42

A

B

Toon aan met de som- en verschilformules voor sinus en cosinus. 1 sin(180° - a) = sin a sin(180° - a) = sin 180° cos a - cos 180° sin a

verschilformule voor sinus

.................................................................................................................................................................................................................................

= 0  cos a - (-1)  sin a

.................................................................................................................................................................................................................................

a = sin a

.................................................................................................................................................................................................................................

2 cos(180°+ a) = -cos a cos(180° + a) = cos 180° cos a - sin 180° sin a

somformule voor cosinus

.................................................................................................................................................................................................................................

= -1  cos a - 0  sin a

.................................................................................................................................................................................................................................

= - cos a

.................................................................................................................................................................................................................................

63

Hoofdstuk

43

A

3

Goniometrie

B

Toon de somformule voor tangens aan. tan(a + b) =

tan a + tan b 1 - tan a tan b

tan(a + b) =

sin(a + b)

definitie tangens

........................................................................................................................................................................................................................................

=

cos(a + b) sin a cos b + cos a sin b

somformule voor sinus en cosinus

........................................................................................................................................................................................................................................

cos a cos b - sin a sin b sin a cos b + cos a sin b cos a cos b

=

teller en noemer vermenigvuldigen

........................................................................................................................................................................................................................................

cos a cos b - sin a sin b cos a cos b sin a sin b + cos a cos b

=

met

1 cos a cos b

........................................................................................................................................................................................................................................

1=

sin a sin b cos a cos b

tan a + tan b

definitie tangens

........................................................................................................................................................................................................................................

44

A

1 - tan a tan b

B

Toon aan met de somformule voor tangens. tan(a - b) =

tan a - tan b 1 + tan a tan b

tan (a - b) = tan (a + (-b))

........................................................................................................................................................................................................................................

=

tan a + tan (-b)

somformule voor tangens

........................................................................................................................................................................................................................................

=

1 - tan a tan (-b) tan a - tan b

tangens van tegengestelde hoeken

........................................................................................................................................................................................................................................

64

1 + tan a tan b

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

Uitdagingen 1

In driehoek ABC gelden de volgende gelijkheden. Toon aan. ^

^

^

^

1 sin A = sin(B + C) ^

^

^

^

3 tan A = - tan(A + 2 B + 2 C)

^

^

⎛ 3 ^ 1 ^ 1 ^⎞ ^ 4 cos A = - sin⎜ A + B + C ⎟ ⎝2 2 2 ⎠

^

2 cos A = - cos(2 A + B + C)

zie pagina 359

2

In een ruit ABCD gelden de volgende gelijkheden. Toon aan. ^

^

^

^

^

^

1 sin A + sin B + sin C + sin D = 4sin A

^

^

^

2 cos A + cos B + cos C + cos D = 0 zie pagina 359

3

sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 355° + sin2 357° + sin2 359° = (A) 44,5

(B)

45

(C)

89

(D)

90

(E) geen van de vorige

Vlaamse Wiskunde Olympiade zie pagina 360

4

Het omgekeerde van de tangens van een hoek a noemen we de cotangens van de hoek a. 1 met tan a π 0 In formulevorm schrijven we: cot a = tan a Toon aan dat de tangens van een hoek gelijk is aan de cotangens van zijn complement. zie pagina 361

5

Herleid de goniometrische uitdrukking tot één goniometrisch getal. 1 sin 2a cos 3a + cos 2a sin 3a 2 cos 4a cos 2a - sin 4a sin 2a 3 sin(30° + a) cos 30° - cos(30° + a) sin 30° 4 cos 40° cos(a - 50°) + sin 40° sin(a - 50°) 5 sin(30° - a) cos 60° + cos(30° - a) sin 60° 6 tan(45° + a) tan(45° - a) tan a zie pagina 361

6

Stel een formule op voor: 1 sin(a + b + g)

2 cos(a - b - g) zie pagina 362

65

Hoofdstuk

7

3

Goniometrie

Toon aan dat in een driehoek met hoeken a , b en g geldt: tan a + tan b tan g = tan a tan b - 1 zie pagina 363

8

Toon aan dat in elke niet-rechthoekige driehoek met hoeken a , b en g geldt: tan a + tan b + tan g = tan a tan b tan g zie pagina 363

9

Toon aan. 1 cos 3a = 4cos3a - 3cos a

2 sin 3a = 3sin a - 4sin3a zie pagina 363

10

In een vierkant verbindt men een hoekpunt met de middens van de twee niet aanliggende zijden. Wat is de sinus van de hoek tussen deze twee rechten? ?

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 5

(D)

3 2

(E)

4 5

Vlaamse Wiskunde Olympiade zie pagina 364

66

3.2 - Verwante hoeken

Hoofdstuk

3

Vraag & antwoord 1

Wat zijn tegengestelde hoeken? Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan een nulhoek.

2

Teken twee tegengestelde hoeken in de goniometrische cirkel. Schrijf het verband tussen de goniometrische getallen van deze hoeken.

y 1

P

a 0

1 x

-a

Q

sin(– a) = – sin a 3

cos(– a) = cos a

tan(– a) = – tan a

Wat zijn supplementaire hoeken? Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan een gestrekte hoek.

4

Teken twee supplementaire hoeken in de goniometrische cirkel. Schrijf het verband tussen de goniometrische getallen van deze hoeken. y 1 P

Q 180° – a

a

0

sin(180° – a) = sin a

cos(180° – a) = – cos a

1 x

tan(180° – a) = – tan a

67

Hoofdstuk

5

3

Goniometrie

Wat zijn antisupplementaire hoeken? Twee hoeken waarvan het verschil gelijk is aan een gestrekte hoek.

6

Teken twee antisupplementaire hoeken in de goniometrische cirkel. Schrijf het verband tussen de goniometrische getallen van deze hoeken. y 1 P

180° + a

a 1 x

0

Q

sin(180° + a) = – sin a 7

cos(180° + a) = – cos a

tan(180° + a) = tan a

Wat zijn complementaire hoeken? Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan een positieve rechte hoek.

8

Teken twee complementaire hoeken in het eerste kwadrant van de goniometrische cirkel. Schrijf het verband tussen de sinus en de cosinus van deze hoeken. y 1

Q

sin(90° – a)

sin a

90° – a

P

a

0

cos(90° – a) cos a 1

sin(90° – a) = cos a 9

en

cos(90° – a) = sin a

Schrijf de som- en verschilformule voor sinus. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b

68

x

3.2 - Verwante hoeken

10

Hoofdstuk

3

Schrijf de som- en verschilformule voor cosinus. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b

11

Schrijf de som- en verschilformule voor tangens. tan(a + b) =

tan a + tan b 1 – tan a tan b

tan(a – b) =

tan a – tan b 1 + tan a tan b

69

Hoofdstuk

3

Goniometrie

3.3

Driehoeksmeting

 Sinusregel 1

Instap

Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC met zijden a, b, c en hoeken a, b en g . C

g

a

b

a A

b c

B

1 Bepaal het quotiënt van een zijde en de sinus van de overstaande hoek. a = sin a

.............................................................................................................................................................................................................

b = sin b

..............................................................................................................................................................................................................

a

sin 90°

a

=

= a

1

b a = b  = a b b a

c a = c  = a c c a 2 Welke formule kunnen we hieruit afleiden voor rechthoekige driehoeken? c = sin g

..............................................................................................................................................................................................................

a

b

...............

sin . . . a .......

c

...............

=

sin . . . .b. . . . . .

...............

=

sin . . . .g. . . . . .

Sinusregel voor willekeurige driehoeken In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinus van de overstaande hoeken. C

g b

b

a A

70

a b c = = sin a sin b sin g

a

c

B

3.3 - Driehoeksmeting

Hoofdstuk

3

Voorbeeld Van driehoek ABC zijn de zijden a en c en de hoek a gegeven. We berekenen de hoek b. Met de sinusregel kunnen we de hoek g berekenen. C

a b c = = sin a sin b sin g

g

60 43 b = = sin 40° sin b sin g 43 60 = sin 40° sin g

a = 40°

60  sin 40° sin g = 43

g1 = 63,7552...°

a = 43

b

b=? c = 60

A

of

g2 = 180° - 63,7552...°

B

sinus van supplementaire hoeken

= 116,2447...°

Met de hoekensom berekenen we de hoek b.

b1 = 180° - a - g1

b2 = 180° - a - g2

= 180° - 40° - 63,7552...°

= 180° - 40° - 116,2447...°

= 76,2447...°

= 23,7552...°

= 76°

= 24°

afronden op 1°

Er bestaan twee driehoeken die voldoen aan de gegevens. C1

43

76°

40°

60

A

B

C2 43 40° A

24° 60

B

71

Hoofdstuk

2

A

3

Goniometrie

B

Bereken de zijde b. Rond af op 2 decimalen. 1 a = 20° 15

b = 60°

a = 15

b

=

......................................................................................................

sin 20° sin 60° 15  sin 60° . . . . .b . . . . . .= ........................................................................................... sin 20° b = 37,98

a

......................................................................................................

2 a = 50° 42

b = 70°

a = 42

3 a = 130°

b = 10°

a = 27

b

=

......................................................................................................

......................................................................................................

sin 50° sin 70° 42  sin 70° . . . . .b . . . . . .= ........................................................................................... sin 50°

sin 130° sin 10° 27  sin 10° . . . . .b . . . . . .= ........................................................................................... sin 130°

b = 51,52

......................................................................................................

3

b

27

b

=

a

b=?

A

b = 6,12

......................................................................................................

B

Bereken de hoek b op 1° nauwkeurig. 1 a = 27 27

a = 30°

b = 44 =

44

......................................................................................................

sin 30° sin b =

sin b 44  sin 30°

a

b

......................................................................................................

27

b1 = 55°

......................................................................................................

a

b=?

b2 = 180° - 55° = 125°

......................................................................................................

2 a = 25 25

a = 40°

b = 21 =

21

......................................................................................................

sin 40° sin b =

sin b 21  sin 40°

......................................................................................................

25

b1 = 33°

......................................................................................................

b2 = 180° - 33° = 147° ➜ geen oplossing

......................................................................................................

147° + 40° > 180°

72

3 a = 16 16

b = 39 =

a = 10°

39

......................................................................................................

sin 10° sin b =

sin b 39  sin 10°

......................................................................................................

16

b1 = 25°

......................................................................................................

b2 = 180° - 25° = 155°

......................................................................................................

3.3 - Driehoeksmeting

4

A

Hoofdstuk

3

B

Bereken de zijde c. Rond af op 2 decimalen. 1 a = 20°

b = 120°

a = 32

g = 180° - 20° - 120° = 40°

......................................................................................................

32

a

c

= sin 20° sin 40° 32  sin 40° . . . . .c . . . . . .= ........................................................................................... sin 20° ......................................................................................................

a

b c=?

c = 60,14

......................................................................................................

2 a = 30°

b = 80°

a = 24

g = 180° - 30° - 80° = 70°

......................................................................................................

24

a = 41

g = 180° - 150° - 20° = 10°

......................................................................................................

41

c

=

b = 20°

=

c

......................................................................................................

......................................................................................................

sin 30° sin 70° 24  sin 70° . . . . .c . . . . . .= ........................................................................................... sin 30°

sin 150° sin 10° 41  sin 10° . . . . .c . . . . .= ............................................................................................ sin 150°

c = 45,11

......................................................................................................

5

3 a = 150°

A

c = 14,24

......................................................................................................

B

Punt A beschrijft een cirkelvormige baan met straal 5 cm. Punt B is een vast punt op de cirkel. Bereken de lengte van de koorde [AB]. Rond af op 2 decimalen. ^

A

1 A = 81° ^ = 180° - 2  81° = 18° O

......................................................................................................

5

=

|AB|

......................................................................................................

sin 81° |AB| =

O

sin 18° 5  sin 18°

5 cm

B

......................................................................................................

sin 81°

|AB| = 1,564... ➜ |AB| = 1,56 cm

......................................................................................................

^

^

2 A = 52°

3 A = 17°

^ = 180° - 2  52° = 76° O

......................................................................................................

5

=

|AB|

......................................................................................................

sin 52° |AB| =

sin 76° 5  sin 76°

......................................................................................................

sin 52°

|AB| = 6,156... ➜ |AB| = 6,16 cm

......................................................................................................

^ = 180° - 2  17° = 146° O

......................................................................................................

5

=

|AB|

......................................................................................................

sin 17° |AB| =

sin 146° 5  sin 146°

......................................................................................................

sin 17°

|AB| = 9,563... ➜ |AB| = 9,56 cm

......................................................................................................

73

Hoofdstuk

6

A

3

Goniometrie

B

Bereken de middelpuntshoek a in de halve cirkel met straal 6 cm op 1° nauwkeurig.

b 6 50°

g

a

3

6

=

3

........................................................................................................................................................................................................................................

sin 50° sin b =

sin b 3  sin 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

6

b = 22,521...°

........................................................................................................................................................................................................................................

g = 180° - 50° - 22,521...° = 107,478...°

hoekensom in driehoek

a = 180° - 107,478...° = 72,521...°

nevenhoeken

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

a = 73°

........................................................................................................................................................................................................................................

Bewijs van de sinusregel C

Te bewijzen

g b

a

b

a A

a b c = = sin a sin g sin b B

c

Bewijs De hoogtelijn [CD] verdeelt driehoek ABC in twee rechthoekige driehoeken ACD en BCD. C

b

a

b

a A

74

D

B

3.3 - Driehoeksmeting

Hoofdstuk

3

In driehoek ACD en BCD passen we de formule voor de sinus van een hoek toe: sin a =

|CD| b

en sin b =

|CD| a

sinus van een hoek

|CD| = b  sin a en |CD| = a  sin b b  sin a = a  sin b a b = sin a sin b

rechterleden gelijkstellen

(1)

basiseigenschap van evenredigheden

We herhalen deze werkwijze voor de hoogtelijn [AE]. C

g b

E

b A

c

B

Zo verkrijgen we een tweede evenredigheid: b c = sin b sin g

(2)

Met de evenredigheden 1 en 2 kunnen we een aaneengeschakelde evenredigheid vormen: a b c = = sin a sin b sin g

a b c = = sin a sin b sin g

75

Hoofdstuk

3

Goniometrie

 Cosinusregel 7

Instap

Gegeven zijn driehoeken met zijden a, b, c en hoek a. Vergelijk de uitdrukking b2 + c2 - 2bc  cos a met b2 + c2 voor verschillende waarden van a. Vul in met < , = of >. 0° < a < 90° b

a

cos a . . . . . .>. . . . . . . . 0 b2 + c2 - 2bc  cos a


180°

Met de hoekensom berekenen we de hoek b.

b = 180° - 50° - 29,411...° = 100,558...°

Voorbeeld 2 Gegeven zijn de hoeken b en g en de zijde a. We lossen de driehoek op. Met de hoekensom berekenen we de hoek a.

a = 180° - b - g

b=?

a = 180° - 30° - 20°

g = 20°

a=?

c=?

b = 30°

a = 10

a = 130° Met de sinusregel berekenen we de zijden b en c. a b c = = sin a sin b sin g 10 b c = = sin 130° sin 30° sin 20° 10 b = sin 130° sin 30° b =

15

10  sin 30° = 6 , 527... sin 130°

A

10 c = sin 130° sin 20° c =

10  sin 20° = 4 , 464... sin 130°

B

Los de willekeurige driehoek op. Bereken de zijden op 1 decimaal en de hoeken op 1° nauwkeurig.

g b

a

b

a c

83

Hoofdstuk

3

Goniometrie

1 a = 73°

b = 45°

b = 80

b = 70

cos a =

c = 50

702 + 502 - 402

. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .73° . . . . . . . . . . . . .. . . . . .45° ................................................. g. . . . .=. . . . . .180°

......................................................................................................

........................................................................................... g. . . . .=. . . . . .62°

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

a

=

80

......................................................................................................

sin 73°

sin 45°

80  sin 73° a. . . . . .=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 45° a. . . . . .=. . . . . .108,193... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .a . . . . .= . . . . . . 108,2 ..................................... c

=

80

......................................................................................................

sin 62°

sin 45°

2  70  50

a = 34,047...° ➜ a = 34°

cos b =

402 + 502 - 702

......................................................................................................

2  40  50

b = 101,536...° ➜ b = 102°

......................................................................................................

......................................................................................................

cos g =

402 + 702 - 502

......................................................................................................

2  40  70

80  sin 62° c. . . . . = ................................................................................................. sin 45°

......................................................................................................

. . . . . . .99,894... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .c . . . . .= . . . . . . 99,9 ......................................... c. . . . . =

......................................................................................................

3 g = 132°

a = 10

b = 30

2 2 c. . .2. . . . .=. . . . . 10 . . . . . . . . . . .+ . . . . . 30 . . . . . . . . . . .. . . . . .2 . . . . . . . . .10 . . . . . . . . .. . . 30 . . . . . . . . . . . . . cos . . . . . . . . . . 132° ............

= 1401,478...

......................................................................................................

c. . . . . = . . . . . . .37,436... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .c . . . . .= . . . . . . 37,4 ......................................... 10

=

37,436...

g = 44,415...° ➜ g = 44°

4 b = 24° 50

a = 50 =

b = 70

70

......................................................................................................

sin a

sin a =

sin 24°

50  sin 24°

......................................................................................................

70

a = 16,889...° ➜ a = 17°

......................................................................................................

g = 180° - 24° - 16,889...°

......................................................................................................

......................................................................................................

10  sin 132° sin . . . . . . . . . .a . . . . . .= ...................................................................................... 37,436...

......................................................................................................

sin a

sin 132°

a . . . . . .= . . . . . . 11,449...° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .a . . . . . .= . . . . . . 11° ....................................

84

2 a = 40

g = 139,110...° ➜ g = 139°

......................................................................................................

3.3 - Driehoeksmeting

b = 180° - 132° - 11,449...°

......................................................................................................

b = 36,550...° ➜ b = 37°

......................................................................................................

......................................................................................................

5 a = 123°

g = 15°

b = 20

c

=

Hoofdstuk

70

......................................................................................................

sin 139,110...° c =

sin 24°

70  sin 139,110...°

......................................................................................................

sin 24°

c = 112,657... ➜ c = 112,7

......................................................................................................

6 a = 60 cos a =

b = 30

c = 50

302 + 502 - 602

. . . . . .= . . . . . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 123° . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15° .............................................. b

......................................................................................................

. . . . . .= . . . . . . 42° .......................................................................................... b

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

a

=

20

......................................................................................................

sin 123° a =

sin 42°

20  sin 123°

......................................................................................................

sin 42°

a . . . . . .= . . . . . . 25,067... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . .a .....= . . . . . . 25,1 ......................................... c

20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ............................................................................... sin 15° sin 42° c =

20  sin 15°

......................................................................................................

sin 42°

. . . . . .= . . . . . .7,735... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .➜ . . . . . . .c . . . . .= . . . . . . 7,7 ............................................. c

3

2  30  50

a = 93,8225...° ➜ a = 94°

cos b =

602 + 502 - 302

......................................................................................................

2  60  50

b = 29,926...° ➜ b = 30°

......................................................................................................

......................................................................................................

cos g =

602 + 302 - 502

......................................................................................................

2  60  30

g = 56,251...° ➜ g = 56°

......................................................................................................

......................................................................................................

85

Hoofdstuk

16

3

A

Goniometrie

B

Oliver zit op 75 m en 105 m van twee hoogspanningsmasten. Tussen de twee masten meet hij een hoek van 65°. Hoe ver staan de masten uit elkaar?

x2 = 752 + 1052 - 2  75  105  cos 65°

..................................................................................................................................

x

= 9993,760...

..................................................................................................................................

75 m

x = 99,968...

..................................................................................................................................

5m

65°

10

De masten staan 100 m uit elkaar.

..................................................................................................................................

17

A

B

De kapitein van een schip ziet aan het begin van een vaargeul een vuurtoren. Op dat ogenblik maakt de vaarrichting van het schip een hoek van 30° met de verbindingslijn van het schip en de vuurtoren. Na 7 zeemijlen is deze hoek gelijk aan 50°. Hoe ver is het schip dan van de vuurtoren verwijderd?

a = 180° - 50° = 130°

nevenhoeken

...................................................................................................................

b = 180° - 130° - 30° = 20°

hoekensom

...................................................................................................................

7

=

x

...................................................................................................................

sin 20°

x =

sin 30°

7  sin 30°

...................................................................................................................

sin 20°

b x 50°

= 10,23331...

a 30° 7 zeemijlen

...................................................................................................................

Het schip is ongeveer 10,2 zeemijlen van de vuurtoren verwijderd.

........................................................................................................................................................................................................................................

86

3.3 - Driehoeksmeting

18

A

Hoofdstuk

3

B

Nic en Lore kamperen aan de overkant van een beek en staan 75 m van elkaar. Tussen de tent en Lore meet Nic een hoek van 55°. De gezichtshoek van Lore tussen de tent en Nic is 65°. Hoe ver zijn Nic en Lore van de tent verwijderd?

a = 180° - 55° - 65° = 60° hoekensom

...................................................................................................................

75

=

x

=

y

...................................................................................................................

sin 60° x =

sin 55°

sin 65°

75  sin 55°

...................................................................................................................

sin 60° a

= 70,940...

...................................................................................................................

x

y

y =

75  sin 65°

...................................................................................................................

sin 60°

= 78,4885...

55°

65°

...................................................................................................................

75 m

Lore is 71 m en Nic is 78,5 m van de tent verwijderd.

........................................................................................................................................................................................................................................

19

A

B

Een kapitein kan met behulp van een zeekaart en een radarscherm de juiste positie van zijn schip bepalen. De onderlinge afstand tussen de cirkelbogen is 3 km. Bereken de afstand tussen de ijsberg en de zandbank. x2 = 92 + 152 - 2  9  15  cos 60°

...................................................................................................................

= 171

...................................................................................................................

x x = 13,076...

...................................................................................................................

9 km

60°

15 km

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

De afstand tussen de ijsberg en de zandbank is 13 km.

........................................................................................................................................................................................................................................

87

Hoofdstuk

20

3

A

Goniometrie

B

De Londense Big Ben is één van de beroemdste klokken van de wereld. De wijzers van het uurwerk zijn 2,7 m en 4,25 m lang. Bereken de afstand tussen de wijzerpunten als de klok precies 10 uur aanduidt.

a =

1

 360° = 60°

x

...................................................................................................................

6

4,25 m

a

x2 = 2,72 + 4,252 - 2  2,7  4,25  cos 60°

...................................................................................................................

2,7 m

= 13,8775

...................................................................................................................

x = 3,725...

...................................................................................................................

De afstand tussen de wijzerpunten

...................................................................................................................

is 3,73 m.

...................................................................................................................

21

A

B

Twee waarnemingsposten liggen 15 km van elkaar. Vanuit deze posten zien we een vliegtuig respectievelijk onder een hoek van 26° en van 43° boven de horizon. Hoe ver is het vliegtuig van elke waarnemingspost verwijderd?

a = 180° - 26° - 43° = 111°

...................................................................................................................

15

=

x

=

y

...................................................................................................................

sin 111° x =

sin 26°

sin 43°

15  sin 26° sin 111°

= 7,043...

x

y

...................................................................................................................

a 26°

15 km

43°

...................................................................................................................

y =

15  sin 43°

...................................................................................................................

sin 111°

= 10,957...

...................................................................................................................

Het vliegtuig is ongeveer 11 km en 7 km van de waarnemingsposten verwijderd.

........................................................................................................................................................................................................................................

88

3.3 - Driehoeksmeting

22

A

Hoofdstuk

3

B

Tijdens een storm knakt een boom van 17 m op 3 m boven de grond. De knik heeft een hoek van 120°. Op welke afstand ligt de top op de grond? |AC| = 17 - |AB| = 17 – 3 = 14

...................................................................................................................

|BC|2 = 142 + 32 - 2  14  3  cos 120°

...................................................................................................................

A

= 247

...................................................................................................................

3 m

|BC| = 15,716...

14 m

120°

...................................................................................................................

De top ligt op 15,7 m.

...................................................................................................................

23

A

B

C

B

Drie cirkels met stralen 2 cm, 3 cm en 4 cm raken elkaar uitwendig. Bereken de hoeken van de driehoek gevormd door de middelpunten van de cirkels.

|AB| = 4 + 2 = 6

...................................................................................................................

A

|BC| = 2 + 3 = 5

...................................................................................................................

|AC| = 4 + 3 = 7

...................................................................................................................

C

6

g b 5

cos a =

7 2 + 62 - 52

a

7

B

➜ a = 44°24’55’’

........................................................................................................................................................................................................................................

cos b =

2 7 6

52 + 62 - 7 2

➜ b = 78°27’47’’

........................................................................................................................................................................................................................................

cos g =

2 56

7 2 + 52 - 62

➜ g = 57°7’18’’

........................................................................................................................................................................................................................................

2 75

89

Hoofdstuk

24

A

3

Goniometrie

B

De delen van een dubbele ladder zijn in het midden verbonden met een touw. Bij een hoek van 55° breekt het 1,8 m lange touw. Bereken de lengte van de ladder 1 met de formules voor willekeurige driehoeken. 2 met de formules voor rechthoekige driehoeken.

A

A

55° x

x

x

2

2

2

C

1,8 m

B

C

1 27,5°

0,9 m

x 2

B

55°

^ = 180° - 55° = 62,5° C 2 x 1, 8 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= ................................................................... sin 55° sin 62, 5° 1

..........................................................................................................

x

=

= 1,9491...

x = 3,8982...

55° 2

= 27,5° 1, 8

sin 27,5° = x

2 x

=

0,9

2

.........................................................................................................

sin 55°

..........................................................................................................

Â1 =

.........................................................................................................

1,8  sin 62, 5°

..........................................................................................................

2

2

.........................................................................................................

2

sin 27, 5°

= 1,9491...

.........................................................................................................

x = 3,8982...

..........................................................................................................

.........................................................................................................

..........................................................................................................

.........................................................................................................

De lengte van de ladder is ongeveer 3,9 m.

........................................................................................................................................................................................................................................

90

3.3 - Driehoeksmeting

25

A

Hoofdstuk

3

B

Van een balk met afmetingen 10  20  30 cm wordt een hoek afgezaagd. Bepaal de hoeken van het driehoekig snijvlak op 1° nauwkeurig. a = 102 + 302 =

1000

202 + 302 =

1300

...............................................................................................................................................

b =

a

...............................................................................................................................................

b

g 2

2

c = 10 + 20 =

20 cm

500

c

...............................................................................................................................................

b

cos a =

1300 + 500 - 1000

a

➜ a = 60°

10 cm

...............................................................................................................................................

cos b =

2 1300 500 1000 + 500 - 1300

30 cm

➜ b = 82°

...............................................................................................................................................

cos g =

2 1000 500 1000 + 1300 - 500

➜ g = 38°

...............................................................................................................................................

2 1000 1300

26

A

B

Jo en An bivakkeren op 120 m van de voet van een rotswand. Jo beklimt de wand en op de top meet hij tussen de voet van de wand en de tent een hoek van 20°. Vanuit de tent ziet An de rotswand onder een hoek van 40°. Bereken de hoogte van de rotswand.

a = 180° - 20° - 40° = 120°

...................................................................................................................

120

=

x

...................................................................................................................

sin 20° x =

sin 120°

120  sin 120°

20°

...................................................................................................................

sin 20°

h

x

= 303,850...

...................................................................................................................

a

sin 40° =

h

...................................................................................................................

x

40° 120 m

h = x  sin 40° = 195,3114...

...................................................................................................................

De rotswand is ongeveer 195 m hoog.

........................................................................................................................................................................................................................................

91

Hoofdstuk

27

A

3

Goniometrie

B

Rob en Sofie sluipen naar de 10 m hoge toren van een kasteel. Op een bepaald ogenblik zien ze de toren respectievelijk onder een hoek van 40° en 50°. Vanaf de voet van de toren is de hoek tussen Rob en Sofie gelijk aan 70°. Hoe ver is Rob van Sofie verwijderd?

10 m

50° 70°

y

x 40° z

tan 40° =

10

........................................................................................................................................................................................................................................

x =

x

10

= 11,917...

........................................................................................................................................................................................................................................

tan 40°

tan 50° =

10

........................................................................................................................................................................................................................................

y =

10

y = 8,390...

........................................................................................................................................................................................................................................

tan 50°

z2 = x2 + y2 - 2xy  cos 70°

........................................................................................................................................................................................................................................

= 144,032...

........................................................................................................................................................................................................................................

z = 12,001...

........................................................................................................................................................................................................................................

Rob is 12 m van Sofie verwijderd.

........................................................................................................................................................................................................................................

92

3.3 - Driehoeksmeting

28

A

Hoofdstuk

3

B

Hans opent een tuinparasol. Door aan het touw te trekken, schuift de manchet M over de staander naar boven en wordt de hoek in het scharnierpunt S kleiner. De afstanden |ST| en |SM| zijn 70 cm en 75 cm. ^

1 Wat is de afstand van de manchet tot de top als de hoek S = 90°? ^

2 Wat is de afstand van de manchet tot de top als S = 50°? ^

3 De parasol is volledig open als T = 78°. Wat is dan de afstand van de manchet tot de top? T 70 cm S

75 cm M

1

|TM| =

702 + 75

........................................................................................................................................................................................................................................

|TM| = 102,591... ➜ |TM| = 103 cm

........................................................................................................................................................................................................................................

2

|TM|2 = 702 + 752 - 2  70  75  cos 50°

........................................................................................................................................................................................................................................

|TM| = 61,446... ➜ |TM| = 61 cm

........................................................................................................................................................................................................................................

3

75

=

70 ^ sin M

75

=

|TM| ^ sin S

........................................................................................................................................................................................................................................

sin 78°

sin 78°

75  sin 36,085...°

^ = 70  sin 78° sin M 75

|TM| =

^ = 65,914...° M

|TM| = 45,161... ➜ |TM| = 45 cm

........................................................................................................................................................................................................................................

sin 78°

........................................................................................................................................................................................................................................

^ = 180° - 78° - M ^ = 36,085...° S

........................................................................................................................................................................................................................................

93

Hoofdstuk

29

3

A

Goniometrie

B

Een ruïne ligt op 7 km van een windmolen en op 9 km van een kapel. Vanaf de ruïne is de hoek tussen de kapel en een boerderij gelijk aan de hoek tussen de boerderij en de windmolen. Vanaf de kapel zien we de windmolen in het verlengde liggen van de boerderij en is de hoek tussen de ruïne en de boerderij gelijk aan 42°. Vanaf de windmolen is de hoek tussen de kapel en de ruïne een scherpe hoek. Hoe ver ligt de boerderij van de ruïne?

Maak een schets.

W

b

B 7 km

g x

a 42°

a

K

9

=

R

9 km

7

g = 180° - 42° - a

........................................................................................................................................................................................................................................

sin b

sin b =

sin 42° 9  sin 42°

= 98,675...°

........................................................................................................................................................................................................................................

7

b = 59,351...°

b < 90°

x

=

9

........................................................................................................................................................................................................................................

a =

180°- 42°- b

sin 42° x =

sin g

9  sin 42°

........................................................................................................................................................................................................................................

2

= 39,324...°

sin g

= 6,091...

........................................................................................................................................................................................................................................

De boerderij ligt op 6,1 km van de ruïne.

........................................................................................................................................................................................................................................

94

3.3 - Driehoeksmeting

30

A

Hoofdstuk

3

B

In een open veld staan vier vrienden. Amber staat 10 m van Bert. Tussen Bert en Carl meet Amber een hoek van 40° en tussen Bert en Diana een hoek van 120°. De gezichtshoek van Bert tussen Amber en Diana is 30° en tussen Amber en Carl 100°. 1 Vul de situatieschets aan. Carl C

Diana D

80° 120° A Amber

100°

40°

30° 10 m

B Bert

2 Hoe ver staan Carl en Diana van elkaar? In D ABD : ^ D = 180° - 30° - 120° = 30°

.................................................................................................................................................................................................................................

|AD| = |AB| = 10

gelijkbenige driehoek (basishoeken gelijk)

.................................................................................................................................................................................................................................

In D ABC : ^ C = 180° - 40° - 100° = 40°

.................................................................................................................................................................................................................................

10

=

|AC|

.................................................................................................................................................................................................................................

sin 40° |AC| =

sin 100°

10  sin 100°

= 15,320...

.................................................................................................................................................................................................................................

sin 40°

In D ACD : |CD|2 = |AC|2 + |AD|2 - 2  |AC|  |AD|  cos 80°

.................................................................................................................................................................................................................................

120° - 40° = 80°

= 281,520...

.................................................................................................................................................................................................................................

|CD| = 16,778...

.................................................................................................................................................................................................................................

Carl en Diana staan ongeveer 16,8 m van elkaar.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

95

Hoofdstuk

3

Goniometrie

Uitdagingen 1

Welke driehoek is stomphoekig? (A)

5

5

(B)

3

7

4

(C)

8

5

9

(D)

6

12

7

(E)

7 10

9

Vlaamse Wiskunde Olympiade

2

7

zie pagina 366

Twee cirkels met stralen 4 cm en 5 cm snijden elkaar. De middelpunten liggen op 7 cm van elkaar. ^

^

1 Bereken de middelpuntshoeken O en M. 2 Bereken de lengte van de gemeenschappelijke koorde [AB].

A

O

M

B zie pagina 366

3

Bereken de afstand x tussen de aangeduide hoekpunten van de twee tekendriehoeken. x

60°

45°

21 cm

21 cm zie pagina 367

4

In een driehoek met zijden a, b en c geldt (a + b + c)(a + b - c) = ab. Bepaal de overstaande hoek van de zijde c. (A)

30°

(B)

60°

(C)

90°

(D)

120°

(E)

150°

Vlaamse Wiskunde Olympiade zie pagina 368

96

3.3 - Driehoeksmeting

5

Hoofdstuk

3

Twee krachten F1 en F2 hebben eenzelfde aangrijpingspunt en maken een hoek a.

F

F1

a F2

1 Toon aan dat F 2 = F12 + F22 + 2 F1 F2  cos a met F als resultante. 2 Bereken F met F1 = 25 N, F2 = 40 N en a = 50°. 3 Bereken de hoek a met F1 = 10 N, F2 = 18 N en F = 24 N. zie pagina 368

6

Een last met een massa van 8500 N hangt aan een stalen kabel. Bereken de grootte van de krachten F1 en F2 die op de kabel inwerken. 30°

45° F2 F1

8500 N

7

zie pagina 369

sin a  sin b Toon aan dat de hoogte van de vuurtoren met de formule h = a  kan sin(b - a ) berekend worden.

h

b

a a

8

zie pagina 369

Stel een formule op voor |BD| in functie van a en |AB| . C

3a

a A

B

D

zie pagina 370

97

Hoofdstuk

9

3

Goniometrie

Bereken x.

2 x

135°

4

(A)

10

(B)

(C)

11

12

(D)

(E)

13

Vlaamse Wiskunde Olympiade

10

14 zie pagina 371

De diagonalen van een regelmatige vijfhoek vormen een pentagram.

r

1 Stel een formule op om de zijde z van het pentagram te berekenen in functie van de straal r van de omgeschreven cirkel. 2 Bereken de zijde van het pentagram als de straal van de omgeschreven cirkel gelijk is aan 5 cm. 3 Bereken de straal van de omgeschreven cirkel als de zijde van het ingeschreven pentagram gelijk is aan 5 cm. zie pagina 371

11

Een duikboot ligt aan de oppervlakte te wachten op bevoorrading. Een verkenningsvliegtuig vliegt op 3 km hoogte en ziet het bevoorradingsschip onder een hoek van 21° en de duikboot onder een hoek van 37°. De hoek duikboot-vliegtuigbevoorradingsschip meet dan 110°. Hoe groot is de afstand tussen het bevoorradingsschip en de duikboot? V 37°

110°

21°

P

D

B zie pagina 372

98

3.3 - Driehoeksmeting

12

Hoofdstuk

3

Een boom staat op een helling van 20°. Als de zon het hoogst staat, is de schaduw van de boom 41 m en komt deze tot aan de rand van het steile gedeelte van de berghelling. De zon staat dan onder een hoek van 50°. Bereken de hoogte van de boom.

41 m 50°

20°

zie pagina 373

13

Een regelmatige n-hoek A1 A2 ... An heeft zijden met lengte 3. Het snijpunt van de rechten A1 A2 en A3 A4 noemen we B (zie figuur). De afstand van B tot de dichtstbijzijnde hoekpunten van de n-hoek is 3 . Dan is n gelijk aan B 3 A2

3 A3

3

A1

(A)

6

(B)

A4

8

(C) 9

(D) 12

(E) 24

Vlaamse Wiskunde Olympiade

14

zie pagina 374 ^

De ruimtediagonalen van een kubus snijden elkaar in een punt M. Dan is tan DMB gelijk aan D’

C’

A’

B’ M D

?

B

A

(A)

-2 2

(B) - 3

Vlaamse Wiskunde Olympiade

C

(C) -

1 3

(D)

2

(E)

2 2 zie pagina 374

99

Hoofdstuk

15

3

Goniometrie

Sven ziet de wand van een ronde toren onder een hoek van 76°. Liesbet staat 25 m verder van de toren en ziet de wand onder een hoek van 22°. Bereken de diameter van de toren.

76°

22°

zie pagina 376

16

Vanuit een vast punt kan een landmeter met behulp van een theodoliet de hoeken tussen de hoekpunten van een bouwgrond meten en de afstand tot deze hoekpunten bepalen. Bereken de omtrek en de oppervlakte van de bouwgrond. B 150 m A

30° 50°

90 m

210 m C

D

17

zie pagina 377

Schrijf een programma waarmee we de derde zijde van een driehoek kunnen berekenen, als de twee andere zijden en hun ingesloten hoek gegeven zijn. zie pagina 378

18

Schrijf een programma voor het oplossen van een willekeurige driehoek als: 1 een zijde en twee aanliggende hoeken gegeven zijn. 2 twee zijden en een niet-ingesloten hoek gegeven zijn. zie pagina 378

100

3.3 - Driehoeksmeting

Hoofdstuk

3

Vraag & antwoord 1

Formuleer met woorden en met symbolen de sinusregel voor willekeurige driehoeken. In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken. a b c = = Formule: sin a sin b sin g

2

Formuleer met woorden en met symbolen de cosinusregel voor willekeurige driehoeken. In elke driehoek is het kwadraat van een zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden, verminderd met het dubbelproduct van die twee zijden met de cosinus van de ingesloten hoek. Formules:

a2 = b2 + c2 – 2bc  cos a b2 = a2 + c2 – 2ac  cos b c2 = a2 + b2 – 2ab  cos g

3

Wat betekent een willekeurige driehoek oplossen? Met de gegeven hoeken en zijden de onbekende hoeken en zijden berekenen.

4

Welke formules gebruiken we om een willekeurige driehoek op te lossen? De sinusregel, de cosinusregel en de hoekensom.

5

Welke formule gebruiken we om een willekeurige driehoek op te lossen als de drie zijden gegeven zijn? De cosinusregel.

6

Welke formule gebruiken we om een willekeurige driehoek op te lossen als twee zijden en een niet-ingesloten hoek gegeven zijn? De sinusregel.

101

4 Sinusfuncties

Leerplan B: voor de leerlingen met 5 wekelijkse lestijden behoren de leerinhouden in dit hoofdstuk tot de basisleerstof, voor de leerlingen met 4 wekelijkse lestijden tot de uitbreidingsleerstof.

102

Hoofdstuk 4

4.1

Grafieken van sinusfuncties Hoekmaten Periodieke functies Functie f (x) = sin x Functies f (x) = a  sin[b(x - c)] + d Functievoorschriften opstellen Uitdagingen Vraag & antwoord

4.2

104 112 118 128 148 157 162

Goniometrische vergelijkingen Nulwaarden Basisvergelijking sin x = a Uitdagingen Vraag & antwoord

164 168 177 179

1

0 2p

103

Hoofdstuk 4

4.1

Sinusfuncties

Grafieken van sinusfuncties

 Hoekmaten 1

Instap

Andreas heeft drie buizen van 1 m. De buis [AB] is buigzaam, de twee andere buizen niet. B

A

M

1 Hij legt met deze buizen een driehoek. Hoe groot is elke hoek?

60°

............................................................................

2 Hoeveel van deze driehoeken kunnen we hoogstens tekenen in een cirkel met straal 1 m als de driehoeken elkaar niet overlappen?

6 driehoeken

...........................................................................................................................................

3 Teken de driehoeken in de cirkel. B

A

M

4 We buigen de buis [AB] tot ze een boog is van de cirkel. Vink de juiste uitspraak aan. ^

M wordt kleiner

✔

^

^

M verandert niet

M wordt groter

5 De driehoek MAB is veranderd in een taartpunt. Hoeveel keer past deze taartpunt in de cirkel? Vink de juiste uitspraak aan. B

M

minder dan 6 keer

104

juist 6 keer

A

meer dan 6 keer

✔

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

Hoekmaten De meest gebruikte hoekmaat is de zestigdelige graad. Deze eenheid steunt op de verdeling van een cirkel in 360 gelijke boogjes. De hoekgrootte van de middelpuntshoek op één boogje is gelijk aan één graad. Onderverdelingen van de graad zijn de minuut en de seconde. 1° = 60’

1’ = 60”

1° M

De radiaal De hoekgrootte van een middelpuntshoek waarvan de bijbehorende boog precies even lang is als de straal van de cirkel, is gelijk aan één radiaal en noteren we als 1 rad. De benaming radiaal is afkomstig van het Latijnse woord radius wat straal betekent. De omtrek van de cirkel (M, r) is gelijk aan 2p  r. Dit betekent dat de cirkel 2p of 6,283… bogen bevat met lengte r. r r r 1 rad M

0,283... r

r r r

Voorbeeld We drukken een volle hoek , een gestrekte hoek en een rechte hoek uit in radialen. = 2p rad = 6,283... rad

= p rad = 3,141... rad

=

p rad = 1,570... rad 2

Hoekmaten omrekenen De hoekgrootte van een gestrekte hoek kunnen we uitdrukken in zestigdelige graden en in radialen. Met dit verband stellen we omrekenformules op: 180° = p rad 1° =

p rad 180

p rad = 180° 180° 1 rad = p

105

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

Voorbeeld Een fietswiel heeft een straal van 34 cm. Als we de fiets 85 cm verplaatsen dan is het wiel gedraaid over een hoek. We berekenen de hoek in radialen en in zestigdelige graden. Bij een verplaatsing van 34 cm (= straal) is het wiel gedraaid over een hoek van 1 rad. We stellen dat het wiel bij een verplaatsing van 85 cm draait over een hoek van x rad. We stellen een tabel op. verplaatsing (cm)

34

85

hoek (rad)

1

x

?

85 cm

De verplaatsing van het wiel en de bijbehorende hoek zijn recht evenredige grootheden. We stellen een vergelijking op en berekenen x. 34 85 = 1 x

kenmerk van recht evenredige grootheden

34  x = 1  85

basiseigenschap van evenredigheden

x=

1  85 34

= 2,5 We rekenen 2,5 rad om naar zestigdelige graden: 2,5 rad = 2,5 

180° p

1 rad = 180° p

= 143,239...° Bij een verplaatsing van 85 cm is het fietswiel gedraaid over een hoek van 2,5 rad of 143°.

2

A

B

Reken zonder ICT om in radialen. 1 180° = 2 90° =

p rad

...................................................................................

p

rad

.....................................................................................

2 3 270° = . . . . 3p . . . . . . . . . .rad .................................................................... 2 4 360° = 5 45° =

2p rad

..................................................................................

p 4

106

rad

.....................................................................................

6 135° =

3p 4

7 36° =

rad

..................................................................................

p

rad 5 8 225° = . . . . .5p . . . . . . . . . rad ...................................................................... 4 9 30° = . . . . . p. . . . . .rad .......................................................................... 6 10 330° = . . . . 11p . . . . . . . . . . . . . rad ................................................................. 6 .....................................................................................

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

3

A

Hoofdstuk 4

B

Reken zonder ICT om in zestigdelige graden. p rad = . . . . .60° 1 .......................................................................... 3 2p rad = . . . . 120° 2 ........................................................................ 3 5p rad = . . . . .150° 3 ........................................................................ 6 p rad = . . . . .90° 4 .......................................................................... 2 p rad = . . . . .10° 5 ......................................................................... 18

7p rad = 4 5p rad = 7 12 7p rad = 8 6 6

9 3p rad = 10

p rad = 15

315°

.............................................................................

75°

.............................................................................

210°

.............................................................................

540°

.............................................................................

12°

..............................................................................

Hoekmaten omzetten We zetten een hoek van 30°40’50” om naar radialen en een hoek van 1,5 rad naar zestigdelige graden. TEXAS INSTRUMENTS

Met de toets MODE wijzigen we de eenheid voor hoekmaten. ■

[ MODE ] [ ▼: 2 maal ] [ ENTER ] [ 2ND ] [ QUIT ] 30 [ 2ND ] [ ANGLE ] [ 1: ° ] 40 [ 2ND ] [ ANGLE ] [ 2: ’ ] 50 [ ALPHA ] [ “ ] [ 2ND ] [ ANGLE ] [ 1: ° ]

[ ENTER ]

30°40’50” = 0,535477 rad

[ MODE ] [ ▼: 2 maal ] [ ] [ ENTER ] [ 2ND ] [ QUIT ] ▼

1,5 [ 2ND ] [ ANGLE ] [ 3: r ] [ ENTER ] [ 2ND ] [ ANGLE ] [ 4: DMS ] ▼

■

afronden op 6 decimalen

[ ENTER ]

1,5 rad = 85°56’37”

afronden op 1”

107

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

CASIO

Met de toets SETUP wijzigen we de eenheid voor hoekmaten. ■

[ MENU ] [ 1: RUNMAT ] [ SHIFT ] [ SETUP ] [ ▼: tot Angle ] [ F2: Rad ] [ EXIT ] 30 [ OPTN ] [ F6: ] [ F5: ANGL ] [ F4: ° ’ ” ] 40 [ F4: ° ’ ” ] 50 [ F4: ° ’ ” ] [ F1: ° ] [ EXE ]

30°40’50” = 0,535477 rad ■

afronden op 6 decimalen

[ SHIFT ] [ SETUP ] [ ▼: tot Angle ] [ F1: Deg ] [ EXIT ] 1,5 [ OPTN ] [ F6: ] [ F5: ANGL ] [ F2: r ] [ EXE ]

[ F5: ° ' ” ]

1,5 rad = 85°56’37”

4

A

afronden op 1”

B

Reken met ICT om in radialen. Rond af op 4 decimalen. 1 50° =

.....................................................................................

0,8727 rad

5 64,5° =

2 93° =

.....................................................................................

1,6232 rad

6 1’ =

3 142° =

..................................................................................

4 205° =

..................................................................................

5

A

1,1257 rad

.................................................................................

0,0003 rad

........................................................................................

2,4784 rad

7 247°19’ =

3,5779 rad

8 77°38’ =

4,3165 rad

...........................................................................

1,3550 rad

..............................................................................

B

Reken met ICT om in zestigdelige graden. Rond af op 1”. 1 1 rad =

108

57°17’45’’

................................................................................

2 0,3 rad =

............................................................................

3 5,7 rad =

............................................................................

4 2,5 rad =

............................................................................

17°11’19’’

326°35’9’’

143°14’22’’

p rad = . . . . .36° .......................................................................... 5 p rad = . . . . 22°30’ 6 ........................................................................... 8 p rad = . . . . .25°42’51’’ 7 .......................................................................... 7 p rad = . . . . .0°10’48’’ 8 ................................................................... 1000 5

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

6

A

B

Een fietswiel met een straal van 34 cm draait over een hoek van 5 rad. Over welke afstand is de fiets verplaatst? hoek (rad)

...........................

1

...........................

verplaatsing (cm)

...........................

34

...........................

............................................................................

............................................................................

1

=

5

5 x

➜ x = 34  5 = 170 ➜ 170 cm

........................................................................................................................................................................................................................................

34

x

De fiets is verplaatst over een afstand van 1,7 m.

........................................................................................................................................................................................................................................

7

A

B

Een waterkanon wordt gebruikt voor het beregenen van gewassen. Het waterkanon zit aan een lange slang, die over een haspel loopt. De haspel heeft een diameter van 180 cm.

1 Hoeveel meter waterslang wordt er opgerold als de haspel twee omwentelingen maakt? hoek (rad)

............................................................................

verplaatsing (m)

............................................................................

1

=

2  2p

2  2p

1

...........................

...........................

0,9

x

...........................

...........................

r =

d

=

180 cm

2 2 = 90 cm = 0,9 m

➜ x = 4p  0,9 = 11,309... ➜ 11,31 m

.................................................................................................................................................................................................................................

0, 9

x

Er . . . . . . .wordt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11,31 ...................m . . . . . . . .waterslang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .opgerold. ............................................................................................................................................. 2 Hoeveel omwentelingen maakt de haspel om de waterslang 45 m op te rollen? verplaatsing (m)

...........................

0,9

...........................

hoek (rad)

...........................

1

...........................

............................................................................

............................................................................

0, 9

=

45

➜ x =

45

= 50

45 x

50

= 7,957...

.................................................................................................................................................................................................................................

1

x

0, 9

2p

De . . . . . . . .haspel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .maakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 . . . . . . omwentelingen. ............................................................................................................................................................................

109

Hoofdstuk 4

8

A

Sinusfuncties

B

De wielen van deze ouderwetse fiets hebben stralen van 60 cm en 18 cm.

1 Als we de fiets 1,5 m verplaatsen, dan is elk wiel gedraaid over een bepaalde hoek. Bereken de draaihoeken in radialen en in zestigdelige graden. VOORWIEL

ACHTERWIEL verplaatsing (cm)

.................

18

.................

hoek (rad)

.................

1

.................

verplaatsing (cm)

.................

60

.................

150

...................................................

hoek (rad)

.................

1

.................

x

...................................................

...................................................

...................................................

60

=

150

18

..........................................................................................................

1 x =

x

150

= 2,5 ➜ 2,5 rad

60

2,5 rad = 143°14’22’’

..........................................................................................................

y

150

..........................................................................................................

1

..........................................................................................................

=

150

y =

y

150

= 8,33... ➜ 8,3 rad

..........................................................................................................

18

8,3 rad = 477°27’53’’

..........................................................................................................

2 Het voorwiel van deze fiets draait over een hoek van 3,8 rad. Bereken de draaihoek van het achterwiel in radialen en in zestigdelige graden. VOORWIEL

ACHTERWIEL .................

18

.................

hoek (rad)

.................

1

.................

.................

60

.................

x

...................................................

hoek (rad)

.................

1

.................

3,8

...................................................

...................................................

60

=

x

..........................................................................................................

1

3,8

x = 60  3,8 = 228 ➜ 228 cm

..........................................................................................................

..........................................................................................................

110

verplaatsing (cm)

verplaatsing (cm)

...................................................

18

=

x y

x

..........................................................................................................

1

y =

x

y

=

228

= 12,66... ➜ 12,7 rad

..........................................................................................................

18

18

12,66 rad... = 725°44’48’’

..........................................................................................................

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

9

A

Hoofdstuk 4

B

In de landmeetkunde, bijvoorbeeld de wegenbouw, wordt ook gerekend met de honderddelige graad of gon. Deze hoekeenheid steunt op de verdeling van een cirkel in 400 gelijke bogen. Een middelpuntshoek waarvan de bijbehorende boog gelijk is aan het 400e deel van de cirkel heeft een hoekgrootte gelijk aan de honderddelige graad of 1g.

60

100

12 0

13

0

60

14

13

0 15

0

50

0

40

0

0 15

16

10

10

0

= 60°

170 180

190 200

0

20

180

160

0

30

17

20

110

0

30

70

80

90

90

100 110 120

14

40

50

80

70

Reken om in honderddelige graden. 1 360° = 2 90° =

400g

..............................

100g

.................................

6 18° =

.................................

20g

7 225° =

300g

8 54° =

..............................

4 270° =

..............................

A

.................................

200g

3 180° =

10

50g

5 45° =

250g

..............................

60g

.................................

9 162° = 10 1° =

180g

..............................

1,11...g

...................................

44,44...g

11 40° =

.................................

12 73° =

.................................

81,11...g

B

Ontdek het verband tussen het honderddelig en het zestigdelig gradenstelsel. Vul in. . . . . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 100 g = . . . . . . . . . . . .90

10 g = . . . . . . . . . . . . . .9. . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 1g = . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . .54

..............." 0,1g = . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . .24

.................." 0,01g = . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . .32,4

.................." 0,001g = . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . .3,24

...................." 0,0001g = . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . 0,324

111

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

 Periodieke functies 11

Instap

Windturbines worden meer en meer gebruikt voor de productie van elektriciteit. We markeren het uiteinde van een draaiend rotorblad met het punt P. De hoogte in meter van dit punt is een functie van de tijd in seconden. We tekenen de grafiek van deze functie. hoogte (m) 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

P

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

tijd (s)

1 Lees op de grafiek de hoogte van de mast af.

54 m

.......................................................................................................................

2 Bepaal de lengte van een rotorblad. . . . . .78 . . . . . . . . .– . . . . . 54 . . . . . . . . . .= . . . . . .24 . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . 24 . . . . . . . . . .m .............................................................................. 3 Kleur een deel van de grafiek dat één volledige omwenteling van het punt P beschrijft. 4 Hoe lang duurt één omwenteling? . . . . 2 . . . . . . seconden .....................................................................................................................................

112

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Periodieke functie De grafiek van een periodieke functie vertoont een patroon dat zich regelmatig herhaalt. De lengte van een interval waarin het patroon zich eenmaal voordoet, noemen we de periode.

periode

Voorbeeld Een vissersboot vaart uit bij harde wind. Onder invloed van de golven ondergaat het schip een open neergaande beweging. De grafiek geeft de deining van het schip weer. We bepalen de periode van de functie. hoogte (m) 2 1 0

0

6

12

18 tijd (s)

–1 –2 periode

We stellen vast dat de op- en neergaande beweging van het schip zich na 6 seconden herhaalt volgens hetzelfde patroon. De functie heeft een periode van 6 seconden.

12

A

B

Het vooraanzicht van dakbedekkings- of wandplaten is de grafiek van een periodieke functie. 1 Duid de periode aan. a

periode b

periode

113

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

2 Lees de periode af. De afmetingen zijn gegeven in mm. a

b

37

63

150

26

287,5 18

45 900

periode =

1150

150 mm

periode =

..........................................................................

c

287,5 mm

..........................................................................

d

42

58 205

186,7

1025

periode =

1120

205 mm

periode =

..........................................................................

186,7 mm

..........................................................................

3 Bereken de periode. De afmetingen zijn gegeven in mm. a

b

25

48

65

25

20

20 1100

990

periode =

114

990 : 10 = 99 ➜ 99 mm

..........................................................................

periode =

1100 : 8 = 137,5 ➜ 137,5 mm

..........................................................................

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

13

A

Hoofdstuk 4

B

Op de hartbewakingseenheid van een ziekenhuis wordt de gezondheidstoestand van een patiënt ononderbroken opgevolgd via een monitor. De bewegingen van het hart worden opgetekend in een cardiogram. 1s

1 Bepaal de periode van de hartslag. De periode is ongeveer 0,6 seconden.

3

= 0,6

.................................................................................................................................................................................................................................

5

2 Hoeveel hartslagen heeft deze patiënt per minuut? De patiënt heeft 100 hartslagen per minuut.

60

= 100

.................................................................................................................................................................................................................................

14

A

0, 6

B

Het voorwiel van de fiets van Loes is voorzien van een reflecterend ventiel. In het donker zien we het ventiel bewegen zoals afgebeeld in het assenstelsel.

hoogte (m) 1

0 1

afstand (m)

1 Bepaal de binnendiameter van het wiel. De binnendiameter is 80 cm.

0,8 m = 80 cm

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Bepaal de periode van de ventielkromme. De periode is 2,5 m.

p  d = p  0,8 = 2,513…

.................................................................................................................................................................................................................................

115

Hoofdstuk 4

15

A

Sinusfuncties

B

In een muur zijn drie stenen gemetst die de vorm hebben van een gelijkzijdige driehoek, een vierkant en een regelmatige vijfhoek. De stenen hebben zijden van 20 cm. Vier mieren lopen met constante snelheid over de zijden, zoals afgebeeld op de figuur.

Alb ert

hoogte (cm)

Albert

Ba

rni

e

80

Barnie 50 Donald

Don

Ch uck

ald

Chuck

10

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 tijd (s)

Albert, Barnie en Chuck lopen aan dezelfde snelheid. Donald loopt dubbel zo snel als zijn vrienden. 1 Op de grafiek lezen we op elk tijdstip de hoogte van Albert af. Bepaal de periode van deze periodieke functie. De periode is 30 seconden.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Vervolledig in het assenstelsel de grafiek van de functie die de hoogte van Barnie beschrijft. 3 Bepaal de periode van deze periodieke functie. De periode is 40 seconden.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Vervolledig in een verschillende kleur de grafieken van de functies die de hoogten van Chuck en Donald beschrijven. 5 Bepaal de periode van beide periodieke functies. Chuck: de periode is 50 seconden.

Donald: de periode is 25 seconden.

.................................................................................................................................................................................................................................

6 Wanneer zal Donald zijn vriend Chuck voor de eerste keer inhalen? Na 30 seconden.

.................................................................................................................................................................................................................................

116

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

16

A

B

Op een achtbaan wordt een wagentje eerst naar zijn hoogste punt getrokken. Vandaar gaat het via loopings, kurkentrekkers en golvende gedeelten naar beneden. Voor drie verschillende delen van de achtbaan lezen we het verband tussen de horizontale verplaatsing en de hoogte van een wagentje af in de tabellen. horizontale verplaatsing (m) hoogte (m)

horizontale verplaatsing (m) hoogte (m)

horizontale verplaatsing (m) hoogte (m)

2

3

4

5

6

7

8

0,5

1,125

2

3,125

4,5

6,125

8

1

3

5

7

9

11

13

0,6

1,1

0,6

0,1

0,6

1,1

0,6

2

4

6

8

10

12

14

1,4

2,8

4,2

5,6

7

8,4

9,8

K

P

L

1 In elke tabel herkennen we een lineair (L), een kwadratisch (K) of een periodiek verband (P). Zet bij elke tabel de overeenkomstige letter. 2 Bepaal de periode voor het baangedeelte waarop een periodiek verband bestaat tussen de horizontale verplaatsing en de hoogte van het wagentje. Wat is de hoogste en de laagste stand van het wagentje op dit baangedeelte? periode:

8 m

.............................................

hoogste stand:

1,1 m

..............................

laagste stand:

0,1 m

................................

117

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

 Functie f(x) = sin x 17

Instap

Een windturbine heeft drie rotorbladen met eindpunten P, Q en R. We stellen dat de draai-as zich op hoogte 0 bevindt en dat de rotorbladen lengte 1 hebben.

1

–1

P

1

0

R Q –1

1

1 Wat is de maximale hoogte van het eindpunt van een rotorblad?

......................................................................

2 Wat is de minimale hoogte van het eindpunt van een rotorblad?

.......................................................................

-1

3 Als het punt P de maximale hoogte bereikt, hoe hoog bevinden zich dan de punten Q en R? Vink de juiste uitspraken aan. Q en R hebben dezelfde hoogte

tussen 0 en 1 tussen -1 en 0

✔

✔

Q en R hebben verschillende hoogte

4 Als het punt P de minimale hoogte bereikt, hoe hoog bevinden zich dan de punten Q en R? Vink de juiste uitspraken aan. tussen 0 en 1

✔

tussen -1 en 0

Q en R hebben dezelfde hoogte

✔

Q en R hebben verschillende hoogte

5 Als het punt P de hoogte 0 bereikt, hoe hoog bevinden zich dan de punten Q en R? Vink de juiste uitspraken aan. Q en R hebben dezelfde hoogte

tussen 0 en 1 tussen -1 en 1

118

✔

Q en R hebben verschillende hoogte

✔

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Sinusfunctie f (x) = sin x De functie die aan elk reëel getal x het goniometrisch getal sin x toevoegt, noemen we de sinusfunctie. De variabele x stelt een hoek in radialen voor. Het is gebruikelijk om de hoekeenheid rad niet te schrijven. We schrijven:

f (x) = sin x of y = sin x

sin x = sin (x rad)

We stellen een tabel op. x

...

f (x)

...

−

p 4

- 0,71

0

p 4

p 2

3p 4

p

0

0,71

1

0,71

0

5p 4

3p 2

7p 4

- 0,71 -1 - 0,71

2p

9p 4

...

0

0,71

...

We tekenen de grafiek. y 1 0 p 4

−p 4

p 2

3p 4

p

5p 4

3p 2

7p 4

2p

9p 4

x

–1

De grafiek is een golvende lijn die we sinuslijn of sinusoïde noemen. We beschouwen de grafiek van f (x) = sin x als de standaardsinuslijn. Periode van de sinusfunctie De sinusfunctie f (x) = sin x is een periodieke functie met periode 2p. periode

y

periode

1 0,8 –2p

0,93 – 2p

0 0,93

p

2p 0,93 + 2p

p

x

–1 periode

Alle reële getallen die een geheel veelvoud van de periode 2p van elkaar verschillen, hebben dezelfde functiewaarde: sin (0,93 - 2p) = sin (0,93 - 1  2p) = 0,801... We schrijven:

sin 0,93 = sin (0,93 + 0  2p) = 0,801...

sin x = sin (x + k  2p p)

sin (0,93 + 2p) = sin (0,93 + 1  2p) = 0,801... kŒZ

Om de grafiek van f (x) = sin x te tekenen, is het voldoende de grafiek te tekenen in het periodeinterval [0, 2p] en deze kromme een aantal maal links en rechts te kopiëren.

119

Hoofdstuk 4

18

A

Sinusfuncties

B

Vul de tabel in. Teken de grafiek van f (x) = sin x in het periode-interval. 1 [0, 2p] x

0

f (x)

...............

0

x

9p 8

p 8

p 4

3p 8

p 2

5p 8

3p 4

7p 8

...............

0,38

...............

0,71

...............

0,92

...............

1

...............

0,92

...............

0,71

...............

5p 4

11p 8

3p 2

13p 8

7p 4

15p 8

2p

-0,38 -0,71 -0,92 ............... ............... ...............

f (x)

-1

...............

-0,92 -0,71 -0,38 ............... ............... ...............

0,38

p 0

...............

0

...............

y 1

0

p 8

p 4

3p 8

p 2

5p 8

3p 4

7p 8

9p 8

p

5p 4

11p 8

3p 2

13p 8

7p 4

15p 8

2p

x

–1

2 [-p, p] -

7p 8

-

3p 4

-

5p 8

-

p 2

-

3p 8

-

p 4

-

p 8

x

-p

f (x)

...............

x

p 8

p 4

3p 8

p 2

5p 8

3p 4

7p 8

p

f (x)

...............

0,38

...............

0,71

...............

0,92

...............

1

...............

0,92

...............

0,71

...............

0,38

...............

0

-0,38 -0,71 -0,92 ............... ............... ...............

-1

-0,92 -0,71 -0,38 ............... ............... ...............

...............

0 0

...............

0

y 1

–p

− 7p − 3p − 5p − p − 3p − p 8 4 8 2 8 4

−p 8

0

–1

120

p 8

p 4

3p 8

p 2

5p 8

3p 4

7p 8

p

x

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

19

A

Hoofdstuk 4

B

De grafiek van f (x) = sin x kunnen we ook tekenen zonder functiewaarden te berekenen. • We verdelen de goniometrische cirkel in bijvoorbeeld twaalf gelijke bogen. Elke boog staat op p een middelpuntshoek van rad. 6 • Door elk deelpunt tekenen we een evenwijdige met de x-as en in elk overeenkomstig deelpunt een loodlijn op de x-as. • De kromme door de snijpunten is de sinusgrafiek in het periode-interval [0, 2p]. 2p 3

y p 2

y p 3

5p 6

1 p 6

p

0 2p x

7p 6

0

p 6

p 3

p 2

2p 5p 3 6

p

7p 4p 3p 5p 11p 2p x 6 3 2 3 6

11p 6 4p 3

3p 2

–1

5p 3

⎡ 3p p ⎤ 1 Teken de sinuslijn in het periode-interval ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ 2p 3

y p 2

y p 3

5p 6

1 p 6

p

0 2p x

7p 6

− 3p 2

-p

−p 2

0

p x 2

11p 6 4p 3

3p 2

–1

5p 3

⎡ p 3p ⎤ 2 Teken de sinuslijn in het periode-interval ⎢− , . ⎣ 2 2 ⎥⎦ 2p 3

y p 2

y p 3

5p 6

1 p 6

p

0 2p x

7p 6

−p 2

0

p 2

p

3p x 2

11p 6 4p 3

3p 2

5p 3

–1

121

Hoofdstuk 4

20

A

Sinusfuncties

B

Geef voor elk getal drie andere getallen die dezelfde functiewaarde f (x) = sin x hebben. 3p, 5p, -p

1 p

........................................................................................

p 2

........................................................................................

2

21

5 p 9p 3p , , 2 2 2

A

p 3 9p 4 4 3 −

7p 5 p 11p , , 3 3 3 7p 17 p p . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . ., . . . . ........................................................... 4 4 4 ........................................................................................

B

In welke volgorde moeten we de puzzelstukken naast elkaar leggen om de standaardsinuslijn te verkrijgen in het interval. ⎡ 3 p 7p ⎤ 1 ⎢ , ⎥ ⎣2 2⎦

...........................................................................

⎡ 5 p 9p ⎤ 2 ⎢ , ⎣ 2 2 ⎥⎦

...........................................................................

3 [-3p, -p]

...........................................................................

⎡ 15 p 11p ⎤ ,− 4 ⎢− 2 ⎥⎦ ⎣ 2

...........................................................................

4 – 1 – 2 – 3

2 – 3 – 4 – 1

1

2

3

4

3 – 4 – 1 – 2

2 – 3 – 4 – 1

Periodiciteit van de sinusfunctie herkennen We tonen aan dat de sinusfunctie een periodieke functie is met periode 2p. TEXAS INSTRUMENTS

We stellen de hoekmodus in voor het rekenen met radialen. Met de toets ZOOM tonen we de grafiek van de sinusfunctie in een goniometrisch kijkvenster. p De schaalverdeling op de x-as is gelijk aan . 2 ■ [ MODE ] [ ▼: 2 maal ] [ ENTER ] [ 2ND ] [ QUIT ] [ Y= ] [ SIN ] [ X,T,q,n ] [ ) ]

[ ZOOM ] [ 7: ZTrig ]

122

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

We kunnen aantonen dat de sinusfunctie een periodieke functie is met periode 2p. Met de toets TRACE stellen we vast dat originelen die 2p van elkaar verschillen gelijke functiewaarden hebben. ■

[ TRACE ] 0,93 [ ENTER ] 0,93 – 2p [ ENTER ]

CASIO

We stellen de hoekmodus in voor het rekenen met radialen. Met de toets V-Window tonen we de grafiek van de sinusfunctie in een goniometrisch kijkvenster. p De schaalverdeling op de x-as is gelijk aan . 2 ■ [ MENU ] [ 3: GRAPH ] [ SHIFT ] [ SET UP ] [ ▼: tot Angle ] [ F2: Rad ] [ EXIT ] [ sin ] [ X, ,T ] [ EXE ]

[ SHIFT ] [ F3: VWIN ] [ F2: TRIG ] [ EXIT ] [ F6: DRAW ]

We kunnen aantonen dat de sinusfunctie een periodieke functie is met periode 2p. Met de toets TRACE stellen we vast dat originelen die 2p van elkaar verschillen gelijke functiewaarden hebben. ■

22

[ SHIFT ] [ F1: TRCE ] 0,93 [ EXE ] 0,93 + 2p [ EXE ] 0,93 – 2p [ EXE ]

A

B

Stel het kijkvenster van de grafische rekenmachine in als volgt: xmin = -30

xmax= 30

ymin = -2

ymax = 2

1 Teken de grafiek van f (x) = sin x. ⎛p ⎞ 2 Toon aan dat sin ⎜ + k  2p ⎟ = 0,5 door k te vervangen door gehele getallen. ⎝6 ⎠ k = 0

k = 1

k = 2

123

Hoofdstuk 4

23

Sinusfuncties

Instap

Een rotorblad met eindpunt P is in beweging. We stellen dat de draai-as zich op hoogte 0 bevindt en dat de rotorbladen lengte 1 hebben. We zien de rotorbladen draaien in tegenwijzerzin. 1 B

C –1

P

A 1

0

–1 D

In B.

1 In welk punt bereikt P een maximale hoogte?

...................................................................................................................

2 In welk punt bereikt P een minimale hoogte?

....................................................................................................................

In D.

3 In welke punten bevindt P zich even hoog als de draai-as?

In A en C.

......................................................................................

Tussen B en D.

4 Tussen welke punten daalt P?

........................................................................................................................................................

5 Tussen welke punten stijgt P?

........................................................................................................................................................

Tussen D en B.

6 Duid het stijgen en dalen aan met de pijltjes positie P

A

hoogte P

0

en

.

B .......................

1 maximum

C .......................

0

D .......................

-1 minimum

Verloop Als we de grafiek van f (x) = sin x van links naar rechts doorlopen, dan zal bij een toename van het origineel x, de functiewaarde f (x) afwisselend toenemen en afnemen of omgekeerd. De maximale uitwijking van de grafiek ten opzichte van de x-as is gelijk aan 1. Deze uitwijking noemen we de amplitude.

124

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

y 1 amplitude −p 2

3p 2

0

x

5p 2

p 2

amplitude –1

p + k  2p. kŒZ 2 3p De functie f (x) = sin x heeft -1 als minimum voor x = + k  2p. kŒZ 2 Het verloop van de sinusfunctie in het periode-interval [0, 2p] stellen we voor met een verloopschema. De functie f (x) = sin x heeft 1 als maximum voor x =

24

x

0

p 2

3p 2

2p

f (x)

0

1

-1

0

maximum

minimum

A

B

Stel in het periode-interval het verloopschema op van f (x) = sin x. y 1 –2p

2p

0

4p

x

–1

–p

-

p

p

........................................................................................................................................................

f (x)

........................................................................................................................................................

x

........................................................................................................................................................

f (x)

........................................................................................................................................................

x

........................................................................................................................................................

1 [-p, p] 0

-4p

2 [-4p, -2p] 0 p ⎡ p 5p ⎤ 3 ⎢ , ⎥ ⎣2 2 ⎦

p

x

f (x)

2

2

2

-1

1

minimum

maximum

-

7p 2

-

5p 2

1

-1

maximum

minimum

3p

5p

2

0

-2p 0

2

1

-1

1

maximum

minimum

maximum

........................................................................................................................................................

125

Hoofdstuk 4

25

Sinusfuncties

Instap

Gegeven is een grafiek van het getij in Schiermonnikoog gedurende een tijdspanne van 24 uur. waterstand (cm) 200 100 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

–100

22

24 tijd (uur)

–200

1 Op welke tijdstippen staat het water 0 cm hoog? Om 1 uur, 6 uur, 14 uur en 19 uur.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Tussen welke tijdstippen staat het water hoger dan 0 cm? Tussen 0 en 1 uur, tussen 6 en 14 uur en tussen 19 en 24 uur.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Tussen welke tijdstippen staat het water lager dan 0 cm? Tussen 1 en 6 uur en tussen 14 en 19 uur.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Het getij in Schiermonnikoog kunnen we schematisch weergeven. Vul de nulwaarden in en duid de positieve en de negatieve hoogten aan met + en -. tijd (uur) hoogte (cm)

1

0

6

.................

+

.................

-

0

14

.................

0

.................

19

.................

+

.................

0

24

.................

-

.................

0

+

.................

Tekenonderzoek De grafiek van f (x) = sin x snijdt de x-as in oneindig veel punten waarvan de x-coördinaten p van elkaar verschillen. y 1 –2p

0

–p

p

2p

–1

De gehele veelvouden van p zijn de nulwaarden van de sinusfunctie. We stellen ze voor door k  p. kŒZ

126

3p

4p

x

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Het teken van de sinusfunctie in het periode-interval [0, 2p] stellen we voor met een tekentabel. x

0

f (x)

0

p +

2p -

0

0

Het plusteken duidt aan dat de sinusfunctie positief is als x Π]0, p[ . Met het minteken geven we aan dat de sinusfunctie negatief is als x Π]p, 2p[.

26

A

B

Stel in het periode-interval een tekentabel op van f (x) = sin x. y 1 0

–2p

2p

4p

x

–1

3p

4p

5p

x

........................................................................................................................................................

f (x)

........................................................................................................................................................

x

........................................................................................................................................................

f (x)

........................................................................................................................................................

x

........................................................................................................................................................

f (x)

........................................................................................................................................................

1 [3p, 5p]

⎡ p 3p ⎤ 2 ⎢− , ⎣ 2 2 ⎥⎦

⎡ 7p 3p ⎤ 3 ⎢− , − ⎥ 2⎦ ⎣ 2

27

A

0

-

-

p

-

0

7p

+

0

0

3p

p

+

-3p

2

+

+

0

2

-

-

0

0

2

-

-

-

-2p

-

0

+

3p 2

+

B

De grafiek van f (x) = sin x heeft oneindig veel verticale symmetrieassen. 1 Door welke punten van de grafiek gaan deze symmetrieassen? Door de minima en de maxima.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Geef vergelijkingen van drie opeenvolgende symmetrieassen. s1 ´ x = -

p

...................................................................

2

s2 ´ x =

p

...................................................................

2

s3 ´ x =

3p

...................................................................

2

127

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

 Functies f (x) = a  sin [b (x – c)] + d 28

Instap

De draai-as van de windturbine duiden we aan met het punt O en bevindt zich op hoogte 0. Op één rotorblad duiden we drie punten P, Q en R aan zodat |OP| = 1, |OQ| = 3 en |OR| = 0,5. De hoogten van de ronddraaiende punten zijn functies van de draaihoek x en kunnen we beschrijven met sinusfuncties.

Q

R

P

x

O

hoogte van P

f (x) = sin x

hoogte van Q

g (x) = 3 sin x

hoogte van R

h (x) = 0,5 sin x

1 Wat is de minimale en maximale hoogte van elk punt? Vul de tabel in. minimale hoogte

maximale hoogte

P

.........................................

-1

.........................................

Q

.........................................

-3

.........................................

R

.........................................

-0,5

.........................................

1 3

0,5

2 Vink de juiste uitspraak aan. Het aantal omwentelingen per minuut is voor Q groter dan voor P.

is voor Q groter dan voor R.

is voor R groter dan voor P.

is voor alle punten gelijk.

✔

3 Een punt S ligt op hetzelfde rotorblad als P, Q en R met |OS| = 2. Beschrijf de hoogte van het ronddraaiende punt S met een sinusfunctie.

128

f(x) = 2 sin x

.....................................................

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

Functies f (x) = a  sin x We onderzoeken de grafieken met voorschrift f (x) = a  sin x voor verschillende waarden van a. We tekenen de grafieken van de functies f (x) = sin x, g (x) = 2 sin x en h (x) = 0,5 sin x. y 2

1

2

0,5

1 0,5 0

p

2p

x

h f

g

We stellen vast: • de grafieken van g en h zijn sinuslijnen; • de grafieken van g en h zijn ontstaan door de standaardsinuslijn verticaal uit te rekken met factor 2 of samen te drukken met factor 0,5 ; • de functie g (x) = 2 sin x heeft 2 als amplitude en de functie h (x) = 0,5 sin x heeft 0,5 als amplitude. Amplitude van f (x) = a  sin x De amplitude van een sinusfunctie f (x) = a  sin x is a.

a>0

• Als a > 1, dan wordt de standaardsinuslijn verticaal uitgerekt. • Als a < 1, dan wordt de standaardsinuslijn verticaal samengedrukt.

129

Hoofdstuk 4

29

A

Sinusfuncties

B

De grafieken stellen sinusfuncties voor met voorschrift f (x) = a  sin x. y f 2 g 1 h 0

x

2p

–1 –2

Bepaal voor elke functie de amplitude, het maximum, het minimum en het functievoorschrift. Vul de tabel in. amplitude

maximum

minimum

functievoorschrift

f

.........................

2,5

.........................

2,5

.........................

-2,5

.......................................................................................................

g

.........................

1,5

.........................

1,5

.........................

-1,5

.......................................................................................................

h

.........................

0,5

.........................

0,5

.........................

-0,5

.......................................................................................................

30

A

f(x) = 2,5 sin x

g(x) = 1,5 sin x

h(x) = 0,5 sin x

B

De standaardsinuslijn is getekend in het periode-interval [0, 2p]. Teken de grafiek van de sinusfunctie in het interval [0, 2p]. 1 f (x) = 2 sin x

2 g (x) = 0,5 sin x y 2 1 0 –1 –2

130

g 2p f

x

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

31

Hoofdstuk 4

Instap

We stellen dat de draai-as van elke windturbine zich op hoogte 0 bevindt en dat de rotorbladen lengte 1 hebben. De windturbines draaien met verschillende snelheden. Het punt Q draait tweemaal sneller dan het punt P. Het punt R draait half zo snel als het punt P. De hoogten van de ronddraaiende punten zijn een functie van de draaihoek x van het punt P en kunnen we beschrijven met sinusfuncties. Q P R

2x x

0,5x

f (x) = sin x

Q tweemaal sneller dan P

R half zo snel als P

g (x) = sin 2x

h (x) = sin 0,5x

1 Beïnvloedt de omloopsnelheid van de rotorbladen de minimale en maximale hoogte van de ronddraaiende punten?

Neen.

......................................................................................................................................................................

2 Het punt P maakt een volledige omwenteling of draait over een hoek van 2p. 4p

Over welke hoek draait het punt Q in dezelfde tijd?

......................................................................................................

Over welke hoek draait het punt R in dezelfde tijd?

.......................................................................................................

p

3 Het punt P maakt elke 2 seconden een volledige omwenteling of draait over een hoek van 2p. 1 seconde

Hoeveel tijd heeft punt Q nodig om over een hoek van 2p te draaien?

.............................................................

Hoeveel tijd heeft punt R nodig om over een hoek van 2p te draaien?

.............................................................

4 seconden

4 Vink de juiste uitspraken aan. Als de snelheid verdubbelt, dan halveert de hoek waarover gedraaid wordt. Als de snelheid verdubbelt, dan verdubbelt de hoek waarover gedraaid wordt.

✔

Als de snelheid halveert, dan halveert de hoek waarover gedraaid wordt.

✔

Als de snelheid halveert, dan verdubbelt de hoek waarover gedraaid wordt. 5 Een punt D draait 1,5 keer zo snel als het punt P. Beschrijf de hoogte van punt D met een sinusfunctie.

f(x) = sin 1,5 x

.................................................................................................

131

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

Functies f (x) = sin bx We onderzoeken de grafieken met voorschrift f (x) = sin bx voor verschillende waarden van b. We tekenen de grafieken van de functies f (x) = sin x, g (x) = sin 2x en h (x) = sin 0,5x. y g

1

f

0

h

p

2p

x

p 2p 4p

We stellen vast: • de grafieken van g en h zijn sinuslijnen; • de grafieken van g en h zijn ontstaan door de standaardsinuslijn horizontaal samen te drukken met factor 0,5 of uit te rekken met factor 2; 2p • de periode van de functie g (x) = sin 2x is of p, de periode van de functie h (x) = sin 0,5x is 2 2p of 4p. 0,5 Periode van f (x) = sin bx 2p . b>0 b • Als b > 1, dan wordt de standaardsinuslijn horizontaal samengedrukt. De periode van een sinusfunctie f (x) = sin bx is

• Als b < 1, dan wordt de standaardsinuslijn horizontaal uitgerekt. Het aantal periodes in het interval [0, 2p] noemen we de frequentie van een sinusfunctie.

132

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

32

A

B

De grafieken stellen sinusfuncties voor met voorschrift f (x) = sin bx. y 1 f 0

x g

2p

–1

h

Bepaal voor elke functie de amplitude, de periode en het functievoorschrift. Vul de tabel in. amplitude

2p

1

.........................

1

.........................

1

.........................

f

.........................

g

.........................

h

.........................

33

A

periode

3 4p

4p 3

functievoorschrift f(x) = sin 3x

.......................................................................................................

g(x) = sin

1

x

.......................................................................................................

h(x) = sin

2

3

x

.......................................................................................................

2

B

De standaardsinuslijn is getekend in het periode-interval [0, 2p]. Teken de grafiek van de sinusfunctie in het interval [0, 2p]. 1 f (x) = sin 2x

2 g (x) = sin 0,5x y 1

g 0

2p

x

f –1

133

Hoofdstuk 4

34

Sinusfuncties

Instap

We stellen dat de draai-as van een windturbine zich op hoogte 0 bevindt en dat de rotorbladen lengte 1 hebben. De hoogten van de ronddraaiende punten P, Q en R zijn functies van de draaihoek x van het punt P en kunnen we beschrijven met sinusfuncties. P

R x

hoogte van P

f (x) = sin x

hoogte van Q

⎛ 2p ⎞ g (x) = sin ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝

hoogte van R

⎛ 2p ⎞ h (x) = sin ⎜ x + ⎟ 3⎠ ⎝

Q

1 Welke hoek legt punt P af bij een volledige omwenteling? 2 Hoe groot is de hoek tussen de rotorbladen in radialen?

2p

........................................................................................

2p ...........................................................................................

3

Functies f (x) = sin (x – c) We onderzoeken de grafieken met voorschrift f (x) = sin (x - c) voor verschillende waarden van c. ⎛ ⎛ p⎞ p⎞ We tekenen de grafieken van de functies f (x) = sin x, g (x) = sin ⎜ x + ⎟ en h (x) = sin ⎜ x − ⎟ . 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ y g

1

−p 3

0

f

h

p 6

p

2p

x

We stellen vast: • de grafieken van g en h zijn sinuslijnen; • de grafieken van de functies g en h zijn ontstaan door de standaardsinuslijn horizontaal te p p naar links of naar rechts. 3 6 De afstand waarover we de standaardsinuslijn horizontaal verschuiven, noemen we de faseverschuiving of het faseverschil van een sinusfunctie. verschuiven over een afstand

134

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

Faseverschil van f (x) = sin (x – c) Het faseverschil van een sinusfunctie f (x) = sin (x – c) ten opzichte van de standaardsinuslijn is |c|. • Als c > 0, dan wordt de standaardsinuslijn naar rechts verschoven. • Als c < 0, dan wordt de standaardsinuslijn naar links verschoven. Merk op

⎛ p⎞ De functie g (x) = sin ⎜ x + ⎟ bereikt een maximum voor de functie f (x) = sin x. 3⎠ ⎝ ⎛ p⎞ De functie g (x) = sin ⎜ x + ⎟ is voorijlend ten opzichte van de functie f (x) = sin x. 3⎠ ⎝ ⎛ p⎞ De functie h (x) = sin ⎜ x − ⎟ bereikt een maximum na de functie f (x) = sin x. 6⎠ ⎝ ⎛ p⎞ De functie h (x) = sin ⎜ x − ⎟ is naijlend ten opzichte van de functie f (x) = sin x. 6⎠ ⎝

35

A

B

De grafieken stellen sinusfuncties voor met voorschrift f (x) = sin (x - c). y 1

f g 0

x

1

h –1

Bepaal voor elke functie de amplitude, de periode, het faseverschil ten opzichte van f (x) = sin x en het functievoorschrift. Vul de tabel in. amplitude

periode

faseverschil

functievoorschrift

f

.........................

1

.........................

2p

.........................

2

.......................................................................................................

f(x) = sin (x + 2)

g

.........................

1

.........................

2p

.........................

0,5

.......................................................................................................

h

.........................

1

.........................

2p

.........................

1,5

.......................................................................................................

g(x) = sin (x - 0,5)

h(x) = sin (x - 1,5)

135

Hoofdstuk 4

36

A

Sinusfuncties

B

De standaardsinuslijn is getekend in het periode-interval [0, 2p]. Teken de grafiek van de sinusfunctie in het interval [0, 2p]. ⎛ 3p ⎞ 1 f (x) = sin ⎜ x + ⎟ 8 ⎠ ⎝

⎛ p⎞ 2 g (x) = sin ⎜ x − ⎟ 2⎠ ⎝

y f

1

0

2p

x

–1 g

37

A

B

De afgebeelde draaitrap heeft 30 treden en een trapleuning waarvan de stijlen 100 cm hoog zijn. p x beschrijft de sinuslijn die de uiteinden van de treden verbindt De functie f (x) = 70 sin 270 1 Hoe hoog is de trap? periode =

2p

= 540 ➜ 540 cm

.........................................................................................................................................

p 270

2 Hoe groot is de afstand tussen twee opeenvolgende treden? 540

= 18 ➜ 18 cm 30 3 Wat is de breedte van een trede?

.........................................................................................................................................

amplitude = 70 ➜ 70 cm

.........................................................................................................................................

4 Met welke sinusfunctie kunnen we de trapleuning beschrijven? faseverschil = 100

.........................................................................................................................................

verschuiving naar rechts

.........................................................................................................................................

⎛ p ⎞ f(x) = 70 sin ⎜ x - 100 ⎟ ⎝ 270 ⎠

.........................................................................................................................................

136

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

38

Instap

Drie windturbines staan op een verschillende hoogte in het landschap en draaien aan dezelfde snelheid. We stellen dat de rotorbladen lengte 1 hebben en dat de draai-as van het ronddraaiende punt P zich op de hoogte 0 bevindt. De hoogten van de ronddraaiende punten P, Q en R ten opzichte van de draai-as van P zijn functies van de draaihoek x en kunnen we beschrijven met sinusfuncties.

g (x) = sin x – 0,5

f (x) = sin x 2

h (x) = sin x + 1 R x

1

P Q

x

0

x

–1

0,5

1 Wat is het hoogteverschil tussen P en Q?

...............................................................................................................................

2 Wat is het hoogteverschil tussen P en R?

...............................................................................................................................

1

3 Een punt S is het eindpunt van een rotorblad van een identieke windturbine waarvan de draai-as 5 eenheden hoger ligt dan de draai-as van P. Beschrijf de hoogte van punt S met een sinusfunctie.

f(x) = sin x + 5

..................................................................................................

Functies f (x) = sin x + d We onderzoeken de grafieken met voorschrift f (x) = sin x + d voor verschillende waarden van d. We tekenen de grafieken van de functies f (x) = sin x, g (x) = sin x - 0,5 en h (x) = sin x + 1. y h

2

y=1

f

1

g

0 –0,5

2p

p

y=0 x y = –0,5

137

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

We stellen vast: • de grafieken van g en h zijn sinuslijnen; • de grafieken van g en h zijn ontstaan door de standaardsinuslijn verticaal te verschuiven over een afstand 1 naar boven of 0,5 naar onder. De horizontale rechten met vergelijkingen y = 0, y = 1 en y = - 0,5 noemen we de evenwichtslijnen van de functies f (x) = sin x, g (x) = sin x + 1 en h (x) = sin x - 0,5. Evenwichtslijn van f (x) = sin x + d De evenwichtslijn van een sinusfunctie f (x) = sin x + d is de horizontale rechte met vergelijking y = d. • Als d > 0, dan wordt de standaardsinuslijn naar boven verschoven. • Als d < 0, dan wordt de standaardsinuslijn naar onder verschoven.

39

A

B

De grafieken stellen sinusfuncties voor met voorschrift f (x) = sin x + d. y 2

f g

1 0

2p

x h

–1 –2

Bepaal voor elke functie een vergelijking van de evenwichtslijn, het maximum, het minimum en het functievoorschrift. Vul de tabel in. evenwichtslijn

138

maximum

minimum

functievoorschrift

y = 1

.........................

2

.........................

0

.................................................................................................

................................

y = 0,5

.........................

1,5

.........................

-0,5

.................................................................................................

y = -1,5

.........................

-0,5

.........................

-2,5

.................................................................................................

f

................................

g h

................................

f(x) = sin x + 1

g(x) = sin x + 0,5 h(x) = sin x – 1,5

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

40

A

Hoofdstuk 4

B

De standaardsinuslijn is getekend in het periode-interval [0, 2p]. Teken de grafiek van de sinusfunctie in het interval [0, 2p]. 1 f (x) = sin x + 1,5

2 g (x) = sin x - 0,75

y 2

f

1 0 g

2p

x

–1 –2

41

Instap

Vertrekkend van de standaardsinuslijn tekenen we stap voor stap de grafiek van de functie f (x) = 1,5 sin[2 (x - 1)] + 0,5 in een periode-interval. Vink het kenmerk aan dat bij elke stap wijzigt. y 2 1,5 1

A

amplitude

y = sin x 2p x y = 1,5 sin x

0 –1 –2

✔

evenwichtslijn faseverschil periode

y 2 1,5 1

amplitude

y = 1,5 sin 2x

B

0 –1 –2

p

y = 1,5 sin x

evenwichtslijn

2p x

faseverschil periode

✔

139

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

y 2 1,5 1

amplitude evenwichtslijn

y = 1,5 sin 2x

C

0

p

1

–1

p +1

2p x

y = 1,5 sin [2(x – 1)]

–2

faseverschil

✔

periode

y 2 1,5 1 0,5

D

y = 1,5 sin [2(x – 1)] + 0,5 y = 0,5 0

p +1

1

–1

amplitude evenwichtslijn

✔

2p x

y = 1,5 sin [2(x – 1)]

–2

faseverschil periode

Grafieken van functies f (x) = a  sin [b(x – c)] + d tekenen Om de grafiek van een sinusfunctie met voorschrift f (x) = a  sin [b (x - c)] + d te tekenen in een periode-interval, tekenen we eerst een hulprechthoek. De hulprechthoek tekenen we als volgt: • het punt (c, d ) is het midden van een verticale zijde van de rechthoek; • de hoogte is het dubbele van de amplitude a; • de breedte is gelijk aan de periode y

2p b

a: amplitude 2p : periode b c: horizontale verschuiving

a d a

(c, d)

1 0

2p . b

d: verticale verschuiving 1

c

x

Als we deze rechthoek verdelen in 8 congruente rechthoekjes kunnen we de grafiek van f (x) = a  sin [b (x - c)] + d in een periode-interval tekenen.

140

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Voorbeeld

⎡ ⎛ p ⎞⎤ We tekenen de grafiek van de functie f (x) = 1,5 sin ⎢2 x + ⎥ + 3 in een periode-interval. ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ y

⎛ p ⎞ • beginpunt: ⎜− , 3 ⎟ ⎝ 2 ⎠

(c, d) = ⎛– p ,3 ⎞ ⎝ 2 ⎠

• hoogte: 3

hoogte: 2  a = 2  1,5 = 3

• breedte: p

2p = 2p = p b 2

3

1 0

−p 2

–p

p 2

x

p

Merk op Door de formules voor de sinus van verwante hoeken toe te passen, kunnen we altijd zorgen dat de coëfficiënten a en b in het functievoorschrift f (x) = a  sin [b (x - c)] + d positief zijn. b = –2 f (x) = sin (-2x) b positief maken: sinus van tegenstelde hoeken a = –1 = -sin 2x a positief maken: sinus van antisupplementaire hoeken = sin (2x + p) ⎡ ⎛ p ⎞⎤ = sin ⎢2 x + a=1 b=2 c=–p d=0 ⎥ 2 afzonderen ⎝ ⎠ 2 2 ⎣ ⎦

42

A

B

Teken de sinusfunctie in een periode-interval. Maak gebruik van een hulprechthoek. ⎡p ⎤ 1 f (x) = sin ⎢ (x − 2)⎥ + 1 ⎣3 ⎦

2 f (x) =

y

y 2

2 1 0

5 ⎡p ⎤ 1 sin ⎢ (x + 1)⎥ 2 ⎣4 ⎦ 2

1 1 2

8

x

-1

0

7

1

x

-3

(c, d) = (2, 1)

......................................................................................................

hoogte = 2  a = 2  1 = 2

......................................................................................................

breedte =

2p

=

2p

= 6

......................................................................................................

b

p 3

⎛ 1⎞ (c, d) = ⎜-1, - ⎟ ⎝ 2⎠

......................................................................................................

hoogte = 2  a = 2 

5

= 5

......................................................................................................

breedte =

2p

=

2p

2

= 8

......................................................................................................

b

p 4

141

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

p⎞ ⎛ 3 f (x) = 2 sin ⎝ x − ⎠ - 1 4

4 f (x) =

y

3 sin 2x + 1 2 y

2,5 1

1

0 p -1 4

2p p 9p 4

x

p

-0,5 0

x

2p

-3

⎛p ⎞ (c, d) = ⎜ , -1⎟ ⎝4 ⎠

......................................................................................................

hoogte = 2  a = 2  2 = 4

......................................................................................................

breedte =

2p

=

2p

= 2 p

......................................................................................................

5 f (x) =

b

1

(c, d) = (0, 1)

......................................................................................................

3

hoogte = 2  a = 2 

= 3

......................................................................................................

breedte =

2p

=

2p

2

= p

......................................................................................................

b

2

7 ⎛p x − p ⎞ sin ⎝6 4⎠ 2 y

3,5

1 1,5 0

13,5 x

1

-3,5

f(x) =

⎡p ⎛ 3 ⎞⎤ sin ⎢ ⎜ x - ⎟⎥ 2 ⎠⎦ 2 ⎣6 ⎝

7

⎛3 ⎞ (c, d) = ⎜ , 0 ⎟ ⎝2 ⎠

.................................................................................................................................................................................................................................

hoogte = 2  a = 2 

7

= 7

.................................................................................................................................................................................................................................

breedte =

2p

=

2p

2

= 12

.................................................................................................................................................................................................................................

142

b

p 6

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

43

A

Hoofdstuk 4

B

De gemiddelde dagtemperatuur in Tokio kunnen we beschrijven met de formule: ⎡ 2p ⎤ (n − 120)⎥ + 14 T = 11 sin ⎢ ⎣ 365 ⎦

T: temperatuur in °C

n: dagnummer

1 Teken de grafiek van de sinusfunctie in een periode-interval. temperatuur T (°C)

(c, d) = (120, 14)

.....................................................................

25

hoogte = 2  a

.....................................................................

= 2  11 = 22

.....................................................................

breedte =

14 10

2p

.....................................................................

=

b 2p

3

= 365

.....................................................................

2p

0 0

120

365

365

485 dagnummer n

2 Met behulp van de tabel kunnen we voor elk dagnummer de bijbehorende datum bepalen. januari februari maart

1 - 31 april 32 - 59 mei 60 - 90 juni

91 - 120 juli 182 - 212 oktober 274 - 304 121 - 151 augustus 213 - 243 november 305 - 334 152 - 181 september 244 - 273 december 335 - 365

Op welke dag is de temperatuur het hoogst? Het laagst? Maximum: 120 +

1

 365 = 211,25

.................................................................................................................................................................................................................................

4

Datum: 211 ➜ 30 juli

.................................................................................................................................................................................................................................

Minimum: 120 +

3

 365 = 393,75

.................................................................................................................................................................................................................................

4

Datum: 393 ➜ 393 – 365 = 28 ➜ 28 januari

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Wat is de temperatuur in Tokio op kerstdag? Kerstmis valt op 25 december en heeft dagnummer 359.

.................................................................................................................................................................................................................................

Voor n = 359, is T = 4,91... ➜ De temperatuur is 4,9°C.

.................................................................................................................................................................................................................................

143

Hoofdstuk 4

44

A

Sinusfuncties

B

Bob kan het volume lucht in zijn longen berekenen met de formule: 2p V = 0,6 sin t + 3,7 V: volume lucht in liter t : tijd in s 5 1 Teken de grafiek van de sinusfunctie in een periode-interval. volume V (l)

(c, d) = (0 ; 3,7)

.....................................................................

4,3

hoogte = 2  a

.....................................................................

3,7

= 2  0,6 = 1,2 3,1 3

.....................................................................

breedte =

2p

.....................................................................

b 2

0 1 5 = 2p = 5 2p tijd t (s) 5 2 Hoeveel liter lucht bevatten de longen van Bob respectievelijk na het in- en uitademen? .....................................................................

Maximum:

1

 5 = 1,25

.................................................................................................................................................................................................................................

4

Voor t = 1,25 is V = 4,3 ➜ inademen: 4,3 liter

.................................................................................................................................................................................................................................

Minimum:

3

 5 = 3,75

.................................................................................................................................................................................................................................

4

Voor t = 3,75 is V = 3,1 ➜ uitademen: 3,1 liter

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoeveel liter lucht bevatten de longen van Bob gemiddeld? 4, 3 + 3,1

= 3,7 ➜ 3,7 liter 2 4 Hoeveel keer per minuut ademt Bob gemiddeld in en uit? Gemiddelde:

.................................................................................................................................................................................................................................

60

= 12 ➜ 12 keer per minuut 5 5 Bob loopt tijdens een atletiekwedstrijd de 400 m in een persoonlijk record. Hoe wijzigt tijdens deze zware inspanning de periode van het ademhalen? En de amplitude?

.................................................................................................................................................................................................................................

Na een zware inspanning ademt Bob sneller en daardoor minder diep. Het

.................................................................................................................................................................................................................................

aantal ademhalingen per minuut neemt toe, de periode verkleint.

.................................................................................................................................................................................................................................

De hoeveelheid lucht per ademhaling vermindert, de amplitude verkleint.

.................................................................................................................................................................................................................................

144

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

45

A

Hoofdstuk 4

B

Pas de formules voor de sinus van verwante hoeken toe zodat de coëfficiënten a en b in het voorschrift f (x) = a  sin [b (x - c)] + d positief zijn. 1 f (x) = sin (-x)

= - 2 sin 3x

= - sin x

......................................................................................................

= sin (x + p)

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

3 f (x) = sin (-2x + p) = - sin (-2x)

......................................................................................................

= sin 2x

......................................................................................................

......................................................................................................

46

2 f (x) = 2sin (-3x)

A

= 2 sin (3x + p)

⎡ ⎛ p ⎞⎤ = 2 sin ⎢3 ⎜ x + ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠⎥⎦ ⎛ x ⎞ 4 f (x) = sin ⎜− − p ⎟ + 1 ⎝ 2 ⎠ ⎛ x⎞ ...........= . . . . . . .. . . . . .sin . . . . . . . . . .⎜ . .− . . . . . . . . .⎟ .....+ . . . . . . .1 ............................................. ⎝ 2⎠ ......................................................................................................

= sin

x

+ 1

......................................................................................................

2

......................................................................................................

B

p Verklaar waarom de sinusfuncties dezelfde grafiek hebben als f (x) = 2 sin ⎡ (x − 1)⎤ - 1. ⎢⎣ 3 ⎥⎦ p g (x) = 2 sin ⎡ (x + 5)⎤ - 1 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎡p 5p ⎤ = 2 sin ⎢ x + ⎥ – 1 3⎦ ⎣3

..........................................................................................

p h (x) = 2 sin ⎡− (x − 4)⎤ - 1 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 4p ⎤ ⎡ p . . . . . . . . . .= . . . . .2 . . . . .sin ................................... ⎢. . . . . . . . .x. . . . .+. . . . . . . . . . . . .⎥. . . .–. . . . 1 3⎦ ⎣ 3

5p ⎡p ⎤ - 2p⎥ – 1 = 2 sin ⎢ x + 3 ⎣3 ⎦

..........................................................................................

p⎤ ⎡p = 2 sin ⎢ x - ⎥ – 1 3⎦ ⎣3

..........................................................................................

⎡p ⎤ = 2 sin ⎢ (x - 1)⎥ – 1 ⎣3 ⎦

..........................................................................................

..........................................................................................

= f(x)

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

p ⎡ p + p⎤ - 1 = 2 sin ⎢- x + ⎥ 3 ⎦ ⎣ 3

p⎤ ⎡ p = - 2 sin ⎢- x + ⎥ – 1 3⎦ ⎣ 3 p⎤ ⎡p = 2 sin ⎢ x - ⎥ – 1 3⎦ ⎣3

⎡p ⎤ = 2 sin ⎢ ( x - 1)⎥ – 1 ⎣3 ⎦ = f(x)

145

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

Grafieken van sinusfuncties tekenen in een periode-interval We tekenen de grafiek van f (x) = 1,5 sin[2(x – 1)] + 0,5 in een periode-interval. We bepalen een passend kijkvenster. horizontale verschuiving: c = 1

xmin = c = 1

2p 2p = =p 2 b verticale verschuiving: d = 0,5

ymin = -a + d = -1,5 + 0,5 = -1

amplitude: a = 1,5

ymax = a + d = 1,5 + 0,5 = 2

periode:

xmax = xmin + periode = 1 + p

TEXAS INSTRUMENTS

We tekenen de grafiek in het passend kijkvenster. ■

[ Y= ] 1,5 sin[ 2(x – 1) ] + 0,5 [ ENTER ] [ WINDOW ] 1 [ ENTER ] 1 + p [ ENTER ] 1 [ ENTER ] –1 [ ENTER ] 2 [ ENTER ] 1 [ GRAPH ]

CASIO

We tekenen de grafiek in het passend kijkvenster. ■

47

[ MENU ] [ 3: GRAPH ] 1,5 sin[ 2(x – 1) ] + 0,5 [ EXE ] [ SHIFT ] [ F3: VWIN ] 1 [ EXE ] 1 + p [ EXE ] 1 [ EXE ] [ ▼ ] –1 [ EXE ] 2 [ EXE ] 1 [ EXE ] [ EXIT ] [ F6: DRAW ]

A

B

Bepaal het kijkvenster zodat de grafiek van de sinusfunctie in een periode-interval de onderkant en de bovenkant van het kijkvenster raakt. ⎡1 ⎤ 1 f (x) = 2 sin ⎢ (x − 1)⎥ + 2 ⎣2 ⎦ 2p 2p c = 1 x . . . . . . . . .=. . . . . .x. . .min ....x . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . .+ . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .+ . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .1 . . . . . .+ . . . . . .4p ....................... min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .max 1 b 2 ....y . . . . . . . . . . . .= . . . . . .-a . . . . . . . . .+ . . . . . .d . . . . . .= . . . . . .-2 . . . . . . . . . .+ . . . . . .2 . . . . . .= . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y ............= ......a . . . . . .+ . . . . . .d . . . . . .= . . . . . .2 . . . . . .+ ......2 ......= . . . . . . .4 ................................................ min max Kijkvenster: xmin = . . . . . . . . .1 ............ 146

xmax = .1 . . . . . .+ . . . . . . 4p ........

ymin = . . . . . . . . 0 .............

ymax = . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . .

Hoofdstuk 4

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

2 f (x) =

3 p⎞ ⎛ -1 sin x + ⎝ 2 2⎠

xmin = c = -

p

xmax = xmin +

2p

= -

p

+

2p

=

3p

.................................................................................................................................................................................................................................

2

ymin = -a + d = -

3

- 1 = -

5

b

ymax = a + d =

3

2

1

2

1

- 1 =

.................................................................................................................................................................................................................................

2 p

Kijkvenster: xmin = . . . .................. 2 3 f (x) =

2

3p

xmax = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5

2

2

1 ymax = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ymin = . . . .................. 2

1 ⎡3 ⎤ 1 sin ⎢ (x − 2)⎥ 2 ⎣2 ⎦ 2

xmin = c = 2

xmax = xmin +

2p

= 2 +

2p

= 2 +

4p

.................................................................................................................................................................................................................................

3 3 2 1 1 1 1 -a + d = - = -1 y . . . . . . . . .=. . . . . .a. . . . . + . . . . .y . . . . . . . . . . .= ......d ......= . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .= . . . . . .0 ................................................ min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .max 2 2 2 2 4p Kijkvenster: xmin = . . . .2 ................. xmax = . . . .2 . . . . . .+ ........... ymin = . . . -1 .................. ymax = . . . 0 .................. 3 b

4 f (x) = sin [p (x - 1)] + 3 2p

= 1 +

2p

xmin = c = 1

xmax = xmin +

ymin = -a + d = -1 + 3 = 2

ymax = a + d = 1 + 3 = 4

= 1 + 2 = 3

.................................................................................................................................................................................................................................

b

p

.................................................................................................................................................................................................................................

Kijkvenster: xmin = . . . .1 .................

5 f (x) =

xmax = . . . .3 .................

ymin = . . . 2 ..................

ymax = . . . 4 ..................

⎡ ⎛ p ⎞⎤ 2 sin ⎢2 ⎝ x + ⎠⎥ 5 ⎦ 3 ⎣

xmin = c = -

p

xmax = xmin +

2p

= -

p

+

2p

=

4p

.................................................................................................................................................................................................................................

5

ymin = -a + d = -

2

+ 0 = -

2

b

ymax = a + d =

2

5

+ 0 =

2

5

2

.................................................................................................................................................................................................................................

3 p Kijkvenster: xmin = . . . .................. 5

48

A

3

4p

xmax = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2

3

ymin = . . . .................. 3

3

2 ymax = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

B

Controleer de grafieken van opdracht 42 met ICT.

147

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

 Functievoorschriften opstellen 49

Instap

Het voorschrift van de sinusfunctie voorgesteld in het periode-interval [1, 5] is van de vorm f (x) = a  sin [b (x - c)] + d. Met de gegevens op de grafiek kunnen we het functievoorschrift opstellen. y 5

4

3

A

2

1

0

1

2

3

4

5

x

–1

1 Bepaal de amplitude a. 2 Bepaal de periode.

3

........................................................................................................................................................................

4

..................................................................................................................................................................................

3 Bepaal b uit de formule: periode =

2p . b

4 Bepaal c en d met de coördinaten van A.

4 =

2p

➜ b =

2p

=

p

..................................................................................................................................

b

4

2

c = 1 en d = 2

...............................................................................................................................

⎡p ⎤ 5 Wat is het functievoorschrift? . . . . .f(x) . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .3 . . . . . .sin . . . . . . . . . . . . . . . . . .(x . . . . . .1) . . . . . . . . . . . .+ .......................................................................... ⎢ . . . . . . . .⎥ .....2 ⎣2 ⎦ 6 Controleer met ICT.

148

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

Voorschrift van een sinusfunctie opstellen De grafiek van de sinusfunctie is voorgesteld in het periode-interval [xA, xB]. Het voorschrift van deze functie is van de vorm f (x) = a  sin [b (x - c)] + d. Met de gegevens op de grafiek kunnen we de coëfficiënten a, b, c en d bepalen. y ymax

y max − y min 2 2p b= xB − xA a=

maximum

A

yA = yB 0

B

xA

ymin

x

xB

amplitude periode = 2 p fi b = 2 p b periode

c = xA

horizontale verschuiving

d = yA

verticale verschuiving

minimum

Voorbeeld We bepalen een voorschrift van de sinusfunctie waarvan de grafiek getekend is in het periodeinterval [-2, 6]. y 3

–2

1 0

A

–3

3 − ( − 9) 12 = =6 2 2 2p p 2p b= = = 8 4 6 − ( − 2) a=

6 x

1

a=

ymax – ymin 2

b=

2p periode

B

c = -2

c = xA

d = -3

d = yA

–9

De grafiek heeft als functievoorschrift: ⎡p ⎤ f (x) = 6 sin ⎢ ( x + 2 )⎥ - 3 ⎣4 ⎦

f (x) = a  sin [b (x – c)] + d

149

Hoofdstuk 4

50

A

Sinusfuncties

B

De grafiek stelt een sinusfunctie voor in een periode-interval. Stel het voorschrift op. 1

y

a =

4 - (-2)

= 3

............................................................................................................................

4

b =

2 2p

=

p

............................................................................................................................

0

–4

4 x

–2

4 - (-4)

c = -4

4

d = 1

............................................................................................................................

⎡p ⎤ f(x) = 3 sin ⎢ (x + 4)⎥ + 1 ⎣4 ⎦

............................................................................................................................

2

y

a =

3 - (-3)

= 3

............................................................................................................................

3

2 2

b =

=

4

............................................................................................................................

−p 2

0

p

x

–3

3

p 3 p - ⎛- ⎞ ⎝ 2⎠ p ....c . . . . . .= . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d . . . . . .= . . . . . .0 ................................................................ 2 ⎡4 ⎛ p ⎞⎤ . . . . f(x) . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .3 . . . . . .sin . . . . . . . . . .⎢ . . . . . . . .⎜ . . .x . . . . . .+ . . . . . . . . . . . .⎟ . .⎥ ..................................................... 2 ⎠⎦ ⎣3 ⎝

y

a =

4 - 0

= 2

............................................................................................................................

2

4

b =

2p

= 2

............................................................................................................................

0 p 4

5p x 4

c =

p 5p 4 4 p

d = 2

............................................................................................................................

4

⎡ ⎛ p ⎞⎤ f(x) = 2 sin ⎢2 ⎜ x ⎟⎥ + 2 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝

............................................................................................................................

4

y

a =

-1 - (-3)

= 1

............................................................................................................................

1 0 –1 –3

2

6 x

b =

2p

=

2p

............................................................................................................................

6 - 1

c = 1

5 d = -2

............................................................................................................................

⎡ 2p ⎤ f(x) = sin ⎢ (x - 1)⎥ - 2 ⎣5 ⎦

............................................................................................................................

150

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

5

y 3,5

a =

3, 5 - (-1,5)

=

Hoofdstuk 4

5

......................................................................................................

b =

2 2p

=

2

p

......................................................................................................

10 x

0

–4

10 - (-4)

c = -4

–1,5

7

d = 1

......................................................................................................

f(x) =

⎡p ⎤ sin ⎢ (x + 4)⎥ + 1 2 ⎣7 ⎦

5

......................................................................................................

6

y 1

a =

1 - (-5)

= 3

......................................................................................................

2

3p

–p

x

0

b =

2p

=

1

......................................................................................................

3p - (-p)

c = -p

2

d = -2

......................................................................................................

–5

⎡1 ⎤ f(x) = 3 sin ⎢ (x + p)⎥ - 2 ⎣2 ⎦

......................................................................................................

51

A

B

De kleine en grote wijzer van een antieke staanklok zijn 10 cm en 20 cm lang. De as van de wijzers bevindt zich op een hoogte van 1,8 m. De hoogten van de wijzeruiteinden zijn een functie van de tijd en kunnen we beschrijven met sinusfuncties. De grafieken zijn voorstellingen van deze sinusfuncties in een interval met een lengte gelijk aan 12 uur. Stel voor elke functie het voorschrift op. hoogte h (cm) 200

190

180

170

160 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 tijd t (uur)

151

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

KLEINE WIJZER a =

190 - 170

GROTE WIJZER 200 - 160

a =

= 10

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

b =

2 2p 12

=

p

2

b =

6

2p 1

= 20

= 2p

3

c = 9

.............................................................................................................

d = 180

.............................................................................................................

⎡p ⎤ h = 10 sin ⎢ (t - 9)⎥ + 180 ⎣6 ⎦

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

52

A

c =

4

d = 180

⎡ ⎛ 3 ⎞⎤ h = 20 sin ⎢2p ⎜ t ⎟⎥ + 180 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝

B

Een vissersboot vaart uit en gaat voor anker in één van de vele visgronden van de Noordzee. De hoogte van het schip ten opzichte van de zeebodem is weergegeven met de grafiek. hoogte h (cm) 25

24,25 24

23

22 21,75

21

20

19,25 19

152

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 tijd t (s)

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

1 Stel voor de grafiek het functievoorschrift op. a =

23 - 20,5

= 1,25

c = 0

.................................................................................................................................................................................................................................

b =

2 2p

=

p

d = 21,75

.................................................................................................................................................................................................................................

10

5

h = 1,25 sin

p

t + 21,75 5 2 Hoe diep is de zee waar de boot voor anker ligt?

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Wat is de hoogte van de golven?

21,75 m

.............................................................................................................

1,25 m

...................................................................................................................................................

4 Hoeveel op- en neergaande bewegingen maakt het schip per minuut?

6

..........................................................

5 Na enige tijd wakkert de wind aan. De golven zijn nu tweemaal zo hoog en het schip gaat 10 keer op en neer per minuut. Teken met ICT de grafiek die de deining van het schip weergeeft en stel het functievoorschrift op. a = 2,5

c = 0

.................................................................................................................................................................................................................................

b =

2p

=

p

d = 21,75

.................................................................................................................................................................................................................................

6

3

h = 2,5 sin

p

t + 21,75

.................................................................................................................................................................................................................................

3

Harmonische trilling De naald van een naaimachine gaat snel op en neer. De uitwijking u van de naald ten opzichte van haar startpositie is een functie van de tijd t. We tekenen de grafiek van de functie. uitwijking u (cm)

3 1 A 00

B 0,1

0,2 tijd t (s)

Een trilling waarbij de uitwijking een sinusfunctie is van de tijd noemen we een harmonische trilling. Om het functievoorschrift u = a  sin[b (t - c)] + d op te stellen, bepalen we de coëfficiënten a, b, c en d.

153

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

• a=3 2p = 20 p 0 ,1 • c=0 • b=

• d=0

a=

umax – umin 2

b=

2p periode

c = tA c = tB

De harmonische trilling van de naald kunnen we beschrijven met de functie u = 3 sin 20p t. Merk op Omdat de periode van de trilling gelijk is aan 0,1 seconde, doet de naald 10 trillingen per seconde. We zeggen dat de frequentie van deze harmonische trilling gelijk is aan 10 hertz (Hz).

53

A

B

Een hommel brengt een bromtoon voort met een frequentie van 50 Hz. Een mug zoemt met een frequentie van 500 Hz en het gesjirp van een krekel haalt zelfs een frequentie van 5000 Hz. Welk insect brengt een toon voort met een periode van 0,2 milliseconden? frequentie = 50 Hz

...........................................................................................................................

periode =

1

...........................................................................................................................

=

frequentie 1

= 0,02 ➜ 20 milliseconden

...........................................................................................................................

50

frequentie = 500 Hz

...........................................................................................................................

periode =

1

...........................................................................................................................

=

frequentie 1

= 0,002 ➜ 2 milliseconden

...........................................................................................................................

500

frequentie = 5000 Hz

...........................................................................................................................

periode =

1

...........................................................................................................................

=

frequentie 1

= 0,0002 ➜ 0,2 milliseconden

...........................................................................................................................

5000

De krekel brengt een toon voort met een periode van 0,2 milliseconden.

........................................................................................................................................................................................................................................

154

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

54

A

Hoofdstuk 4

B

De hoogte van de punt van de naald van een naaimachine ten opzichte van de stof kunnen we beschrijven met de formule: h = 1,5 sin 10pt + 0,5

h: hoogte in cm

t: tijd in s

1 Hoe hoog ten opzichte van de stof bevindt de punt van de naald zich in zijn startpositie? d = 0,5 ➜ 0,5 cm

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Hoe hoog ten opzichte van de stof bevindt de punt van de naald zich maximaal? afstand tot de stof = 0,5 + a = 0,5 + 1,5 = 2 ➜ 2 cm

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoe diep steekt de punt van de naald maximaal door de stof ? afstand onder de stof = 0,5 – a = 0,5 – 1,5 = -1 ➜ 1 cm

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Hoeveel keer prikt de punt van de naald door de stof in één seconde? In één minuut? periode =

2p

=

1

➜

1

seconde

.................................................................................................................................................................................................................................

10 p

5

5

1 = 5 ➜ 5 steken per seconde 1 5 . . . . . per . . . . . . . . . . . .minuut: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 . . . . . . . . . .. . . . 5 . . . . . .= . . . . . . 300 .............➜ . . . . . . . . 300 . . . . . . . . . . . . . steken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . per . . . . . . . . . . . .minuut ............................................................................................ frequentie =

.................................................................................................................................................................................................................................

5 De naaimachine wordt bijgeregeld en heeft nu een frequentie van 6 steken per seconde. Beschrijf de harmonische trilling van de naald met een sinusfunctie. 2p = 12p 1 6 . . . . .h . . . . . .= . . . . . . 1,5 . . . . . . . . . . . . sin . . . . . . . . . . 12p . . . . . . . .p . . . .t .....+ . . . . . . .0,5 .................................................................................................................................................................. b =

.................................................................................................................................................................................................................................

155

Hoofdstuk 4

55

A

Sinusfuncties

B

Amber krijgt tijdens een gehoortest vijf tonen te horen. Op een oscilloscoop worden deze tonen voorgesteld met sinuslijnen. De amplitude en de periode bepalen de sterkte en de frequentie van de tonen. Verbind elke grafiek van een toon met de overeenkomstige sinusfunctie. spanning (V)

1 0

0

0,001

tijd t (s)

•

•

f (t) = 2 sin 500pt

•

•

f (t) = 2 sin 400pt

•

•

f (t) = 4 sin 500pt

•

•

f (t) = 5 sin 600pt

•

•

f (t) = 4 sin 600pt

spanning (V)

1 0

0

0,001

tijd t (s)

spanning (V)

1 0

0

0,001

tijd t (s)

spanning (V)

1 0

0

0,001

tijd t (s)

spanning (V)

1 0

156

0

0,001

tijd t (s)

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

Hoofdstuk 4

Uitdagingen 1

1 Hoeveel tijd hebben de grote en de kleine wijzer van een uurwerk nodig om een hoek van één graad te doorlopen? 2 Hoeveel tijd hebben de grote en de kleine wijzer van een uurwerk nodig om een hoek van één radiaal te doorlopen? zie pagina 380

2

Een reuzenrad heeft een diameter van 14 m. Het rad maakt één omwenteling in twee minuten en de as bevindt zich op een hoogte van 8 m. 1 Wat is de hoogte van het laagste punt en van het hoogste punt van het rad? 2 Welke grafiek beschrijft de hoogte van een gondel van dit reuzenrad? A hoogte (m)

B hoogte (m) 15

14

2 0

0

1 0

4

0

tijd (min)

C hoogte (m)

tijd (min)

D hoogte (m) 15

14

0

5

0

7,5 tijd (min)

0 –1 0

6 tijd (min)

3 De drie overblijvende grafieken beschrijven elk de hoogte van een gondel van een ander reuzenrad. Bepaal voor elk bijbehorend rad de diameter, de hoogte van de as en de duur van één omwenteling. zie pagina 380

3

Teken de sinusfunctie in een periode-interval. 3 p⎞ 1 ⎡1 ⎤ 1 ⎛x + 1 f (x) = sin 2 f (x) = 2 sin ⎢ (2 x − 1)⎥ + ⎝2 2 2⎠ 2 ⎣3 ⎦ 2 zie pagina 382

157

Hoofdstuk 4

4

Sinusfuncties

Bepaal van de sinusfunctie de amplitude, de periode, het faseverschil ten opzichte van f (x) = sin x en een vergelijking van de evenwichtslijn. 1⎞ ⎛ 1 f (x) = 2 sin x − ⎝ 2⎠

6 f (x) = 5 sin 3x - 2

2 f (x) = 1,5 sin [2(x + 1)] - 3

7 f (x) =

⎡1 ⎤ 1 3 f (x) = sin ⎢ (x − p)⎥ + ⎣3 ⎦ 4

1 p⎞ 1 ⎛ 8 f (x) = sin x + + ⎝ 5 4⎠ 2

4 f (x) = 3 sin [5(x - 0,2)]

9 f (x) = sin

5 f (x) =

⎡2 ⎛ p ⎞⎤ 1 1 sin ⎢ x + ⎥8 ⎠⎦ 4 2 ⎣3 ⎝

3 sin(2x - 1) 4

x 1 2 2

⎛ p⎞ 10 f (x) = 3 sin ⎜ 4 x − ⎟ + 1 ⎝ 2⎠ zie pagina 383

5

De hoogte van een uitgeschoven brandweerladder is afhankelijk van de hoek waaronder de ladder staat en de lengte van de ladder. Op het controlebord van een brandweerwagen zien we dat de ladder een hoek van 30° maakt en uitgeschoven is tot een lengte van 22 m.

1 Een brandweerladder is 12 m lang. De draaihoek van de ladder kan variëren van -15 ° tot 75°. De hoogte h van de ladder is een functie van de draaihoek x. Beschrijf de hoogte van de ladder met een sinusfunctie. 2 Stel een tabel op voor de hoogte van de ladder, als we de draaihoek telkens met 5° laten toenemen. Teken de grafiek. zie pagina 384

6

Pas de formules voor de sinus van verwante hoeken toe zodat de coëfficiënten a en b in het functievoorschrift f (x) = a  sin [b (x - c)] + d positief zijn. 1 f (x) = - sin

p⎞ ⎛x − ⎝3 4⎠

2 f (x) =

4 p⎞ 1 ⎛ x sin − − ⎝ 3 3 2⎠ 2 zie pagina 386

158

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

7

Hoofdstuk 4

Onze tegenvoeters wonen in een plaats op aarde die het verst van ons verwijderd is. Elk paar punten van onze aardbol dat aan deze voorwaarde voldoet, noemen we antipodische punten. Deze punten kunnen we bepalen met een Mercatorkaart en een bijbehorende sinuslijn. Werkwijze • Gebruik het blad met de sinuslijn dat achteraan in het werkboek staat. • Leg de grafiek op de kaart zodat de evenwichtslijn van de sinusfunctie samenvalt met de evenaar en het punt A op de sinuslijn ligt • Het punt A’ ligt een halve periode verder: we noemen A en A’ antipodische punten. 1 Bepaal de antipode van New York (B), Rio de Janeiro (C) en Tokyo (D). Duid deze punten aan op de kaart met respectievelijk B’, C’ en D’. 2 Lokaliseer twee plaatsen op het vasteland die op de evenaar liggen en elkaars antipode zijn.

zie pagina 386

8

De grafiek stelt een sinusfunctie voor in een interval met lengte 2p. Stel het voorschrift op. 1

2

y 2 1 0 –1 –2

y 2 1 0,5

131p 8

147 p 8

x

0 –1

69 p 4

77 p 4

x

–2

159

Hoofdstuk 4

3

Sinusfuncties

4

y 2 1,5 1

1

0 –1

54p

52p

0 –1

x

–2

5

y 2

28p

30p

x

105p

107p

x

–2

6

y 2 1

y 2 1

74p

76p

0 –1

x

–2

0 –1 –2

zie pagina 387

9

Een volwassen persoon ademt gemiddeld 12 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid wordt bij het inademen positief en bij het uitademen negatief gerekend. De luchtstroomsnelheid kan beschreven worden met de volgende sinuslijn. luchtstroomsnelheid v (liter/s) 0,5

0

0

1

tijd t (s)

–0,5

Bij hardlopen wordt de periode van de ademhalingscyclus gedeeld door drie en de luchtstroomsnelheid wordt vier keer zo groot. Welke formule is de beste benadering van de sinuslijn bij hardlopen? (A) v = 0,125 sin

(B) 2 pt 15

v = 2 sin

2 pt 15

(C) v = 0,125 sin 1,2 pt

(D) v = 2 sin 1,2 pt

v: luchtstroomsnelheid in liter/s t: tijd in s zie pagina 389

160

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

10

Hoofdstuk 4

Het hart pompt bloed in de grote bloedsomloop. Bij een volwassen persoon kan de bloedstroomsnelheid beschreven worden met het volgende positieve deel van een sinuslijn. bloedstroomsnelheid v (ml/s)

200 100 0 0

0,5

1

1,5

tijd t (s)

Bij een inspanning verdubbelt de frequentie van de cyclus en wordt de bloedstroomsnelheid vier keer zo groot. Welke formule heeft een grafische voorstelling waarvan het positieve deel de beste benadering is van de bloedstroomsnelheid bij inspanning? (A)

(B)

(C)

(D)

v = 1000 sin 2pt

v = 1000 sin 4pt

v = 1000 sin 8pt

v = 2000 sin pt

v: bloedstroomsnelheid in ml/s t: tijd in s

zie pagina 389

161

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

Vraag & antwoord 1

Wat is één radiaal? De hoekgrootte van een middelpuntshoek waarvan de bijbehorende boog precies even lang is als de straal van de cirkel.

2

Hoeveel radialen is een volle hoek? 2p rad Hoeveel radialen is een gestrekte hoek? p rad Hoeveel radialen is een rechte hoek? p rad 2

3

Hoeveel radialen is een hoek van 1°? 1° =

rad

4

Hoeveel graden is een hoek van 1 radiaal? 180° 1 rad = p

5

Wat is de periode van een periodieke functie? De lengte van een interval waarin het patroon zich eenmaal voordoet.

6

Hoe noemen we de grafiek van een sinusfunctie? Sinuslijn of sinusoïde.

7

Geef de periode van de sinusfunctie f (x) = sin x. 2p

8

Hoe noemen we de maximale uitwijking van de grafiek van f (x) = sin x ten opzichte van de x-as? De amplitude.

162

4.1 - Grafieken van sinusfuncties

9

10

11

Hoofdstuk 4

Stel de tekentabel op van de sinusfunctie f (x) = sin x in het periode-interval [0, 2p]. x

0

f (x)

0

p

+

2p

–

0

0

Stel het verloopschema op van de sinusfunctie f (x) = sin x in het periode-interval [0, 2p]. x

0

p 2

3p 2

2p

f (x)

0

1

–1

0

maximum

minimum

Bepaal de amplitude van de sinusfunctie met voorschrift f (x) = a  sin x met a > 0. De amplitude is a.

12

Wat is de frequentie van een sinusfunctie? Het aantal periodes in het interval [0, 2p].

13

Bepaal de periode van de sinusfunctie met voorschrift f (x) = sin bx met b > 0. 2p De periode is . b

14

Wat is de faseverschuiving of het faseverschil van een sinusfunctie? De afstand waarover de standaardsinuslijn horizontaal verschuift.

15

Bepaal het faseverschil van de sinusfunctie f (x) = sin (x - c). Het faseverschil is | c |.

16

Bepaal een vergelijking van de evenwichtslijn van de sinusfunctie f (x) = sin x + d. y=d

163

Hoofdstuk 4

4.2

Sinusfuncties

Goniometrische vergelijkingen

 Nulwaarden 1

Instap

evenwichtspositie

De slinger van een hangklok maakt elke seconde een heen- en weergaande beweging. Voor de uitwijking van de slinger ten opzichte van zijn evenwichtspositie geldt de formule:

u = 3 sin 2pt u: uitwijking in cm t: tijd in s u = -3

u=3

1 Schrijf deze sinusfunctie met de haakjesnotatie.

f(t) = 3 sin 2p pt

.............................................................................................................

2 Vul de tabel in. t

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

f (t)

.................

0

.................

3

.................

0

.................

-3

.................

0

.................

3

.................

0

.................

-3

.................

0

3 Teken de grafiek. uitwijking u (cm) 3 2 1 0 0 –1 –2 –3

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

4 Om de hoeveel tijd passeert de slinger de evenwichtspositie?

164

2

tijd t (s)

Elke halve seconde.

...............................................................................

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

Hoofdstuk 4

Nulwaarden en goniometrische vergelijkingen Voor de functie f (x) = sin 5x stellen we een tabel op en tekenen we de grafiek waarin we de nulwaarden kunnen aflezen. x

...

f (x)

...

−

2p 5 0

−

3p 10

−

1

p 5

p 10

0

p 10

p 5

3p 10

2p 5

...

-1

0

1

0

-1

0

...

−

0

y 1

− 3p 5

− 2p 5

0

−p 5

p 5

2p 5

x

3p 5

–1

3 p 2 p p p 2p 3p , − , − , 0, , , … zijn nulwaarden van de functie f. 5 5 5 5 5 5 p Alle nulwaarden stellen we voor door k  . kŒZ 5

De getallen … −

Om de nulwaarden van f (x) = sin 5x te berekenen, stellen we de functiewaarde f (x) gelijk aan 0 en lossen we de verkregen vergelijking op. f (x) = 0

nulwaarde van een functie

sin 5x = 0

f (x) vervangen door sin 5x

De vergelijking sin 5x = 0 waarin een goniometrisch getal van de onbekende voorkomt, noemen we een goniometrische vergelijking.

2

A

B

Bepaal de nulwaarden van de sinusfunctie. 1

2

y 0 6

x = k  3

x

.........................................................................................

y

0 1

13

x

x = 1 + k  6

.........................................................................................

165

Hoofdstuk 4

3

Sinusfuncties

4

y

0

2

10

x

0

x = 2 + k  4

x = k 

.........................................................................................

5

0

2

x

14

x = 2 + k  3

0

2,5

12,5

x

x = 2,5 + k  10

.........................................................................................

3

A

5 8

0,5

5

x

x = 0,5 + k  1,5

.........................................................................................

8

y

x

y

0

.........................................................................................

7

5

.........................................................................................

6

y

y

y

0

0,5

5

x

x = 0,5 + k  1,5

.........................................................................................

B

Op de grafiek kunnen we de heen- en weergaande beweging van de slingers van twee hangklokken met elkaar vergelijken. uitwijking u (cm)

A

10 0

0

1

tijd t (s)

B

166

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

Hoofdstuk 4

1 Wat is de maximale uitwijking van elke slinger ten opzichte van zijn evenwichtspositie? Slinger A: amplitude = 15 ➜ 15 cm

.................................................................................................................................................................................................................................

Slinger B: amplitude = 30 ➜ 30 cm

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Wat is de periode van elke slingerbeweging? Slinger A: periode = 2,4 ➜ 2,4 s

.................................................................................................................................................................................................................................

Slinger B: periode = 1,6 ➜ 1,6 s

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoeveel heen- en weergaande bewegingen maakt elke slinger in één minuut? Slinger A:

60

= 25

.................................................................................................................................................................................................................................

2, 4 60

= 37,5 1, 6 4 Om de hoeveel seconden passeert elke slinger zijn evenwichtspositie? Slinger B:

.................................................................................................................................................................................................................................

Slinger A: f(t) = 0 voor t = k  1,2 ➜ om de 1,2 s

.................................................................................................................................................................................................................................

Slinger B: f(t) = 0 voor t = k  0,8 ➜ om de 0,8 s

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Om de hoeveel seconden passeren beide slingers gelijktijdig hun evenwichtspositie? Om de 2,4 seconden passeren beide slingers gelijktijdig hun evenwichtspositie

.................................................................................................................................................................................................................................

(zie figuur).

.................................................................................................................................................................................................................................

167

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

 Basisvergelijking sin x = a 4

Instap

Om de goniometrische vergelijking sin x = 0,7 op te lossen, bepalen we alle hoeken waarvoor sin x = 0,7. 1 Bepaal alle hoekgrootten van

in zestigdelige graden.

sin x = sin 44°25’37’’

.................................................................................................................................................................................................................................

x = 44°25’37’’ + k  360° of x = 180° - 44°25’37’’ + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

x = 135°34’23’’ + k  360°

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Bepaal alle hoekgrootten van

in radialen.

sin x = sin 0,775…

.................................................................................................................................................................................................................................

x = 0,775... + k  2p of x = p - 0,775... + k  2p

.................................................................................................................................................................................................................................

x = 2,3661... + k  2p

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Duid de beeldpunten van de oplossingen aan op de goniometrische cirkel. y 1 2,37 + k  2p

0,7

0

0,78 + k  2p

1 x

De basisvergelijking sin x = a oplossen Als x = een oplossing is van sin x = a, dan zijn alle oplossingen: x = + k  2p

of

x = (p - ) + k  2p

kŒZ y 1

p-

a 0

168

1 x

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

Hoofdstuk 4

Merk op Omdat -1 £ sin x £ 1 is de vergelijking sin x = a oplosbaar als -1 £ a £ 1. Voorbeelden We lossen de goniometrische vergelijking op en stellen de oplossingen voor met beeldpunten op de goniometrische cirkel. • 3 sin x = 2 2 sin x = 3 sin x = sin 0,729... x = 0,729... + k  2p

y 1 2,41

of

0,73

2 3

1 x

0

x = 2,4118... + k  2p sinus van supplementaire hoeken

p⎞ ⎛ =0 • sin 3x + ⎝ 3⎠

we stellen: 3x + p = y 3

sin y = 0 y=kp p 3x + = k  p 3 p 3x = − + k  p 3 p p x=− +k 3 9

5

A

nulwaarden van de sinusfunctie

5p y 9 1 2p 9

8p 9

y vervangen door 3x + p 3

1 x −p 9

0 11p 9

14p 9

B

Los de vergelijking op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel. 1 sin x = sin p 3 x =

p

+ k  2p

2p

of

x = p -

p

y 1

3

p 3

+ k  2p

...................................................................................................................................................

3

x =

2p

3

+ k  2p

0

1 x

...................................................................................................................................................

3

...................................................................................................................................................

169

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

2 sin x = sin ⎛− p ⎞ ⎝ 2⎠ x = -

p

y 1

+ k  2p

...................................................................................................................................................

2

1 x

0 ...................................................................................................................................................

-p 2

...................................................................................................................................................

3 sin x = 1

y p 1 2

sin x = 1

...................................................................................................................................................

sin x = sin

p

1 x

0

...................................................................................................................................................

x =

p

2

+ k  2p

...................................................................................................................................................

2

4 sin x = - 0,7

y 1

sin x = sin (-0,775…)

...................................................................................................................................................

x = -0,775… + k  2p

1 x

0

x = p - (-0,775…) + k  2p

of

...................................................................................................................................................

-0,7

x = 3,916… + k  2p

3,92

-0,78

...................................................................................................................................................

5 sin x = 0,5

y 1

sin x = sin

p

...................................................................................................................................................

x =

p

6

+ k  2p

of

p

x = p -

5p 6

p 6

0,5

1 x

0

+ k  2p

...................................................................................................................................................

6

x =

5p

6

+ k  2p

...................................................................................................................................................

6 sin x = −

6

3 2

y 1

⎛ p⎞ sin x = sin ⎜- ⎟ ⎝ 3⎠

...................................................................................................................................................

x = -

p

+ k  2p

of

⎛ p⎞ x = p – ⎜- ⎟ + k  2p ⎝ 3⎠

3

x =

4p

+ k  2p

...................................................................................................................................................

170

3

1 x

0

...................................................................................................................................................

4p 3

3 2

-p 3

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

7 sin x + 1 = 0,4

Hoofdstuk 4

y 1

sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .-0,6 ............................................................................................................................ sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .sin . . . . . . . . . .(-0,643…) .................................................................................................................. 3,79

0

1 x

-0,6

-0,64

x ......= . . . . . . .-0,643… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . . . . . . 2p . . . .p . . . . . . . . .of . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . .p . . . . . .– . . . . .(-0,643…) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . . 2p x = 3,785… + k  2p

...................................................................................................................................................

8 sin x - 1,5 = -1,2

y 1

sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .0,3 ............................................................................................................................

2,84

0,30 0,3 0

sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .sin . . . . . . . . . .0,304… ..................................................................................................................

1 x

x ......= . . . . . . .0,304… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k ..... . . . . .2p . . . . . . . . . . . . . . of . . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . .p .....– . . . . . .0,304… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k ..... . . . . .2p ..... x = 2,836… + k  2p

...................................................................................................................................................

9 5 sin x = 2

y 1

sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .0,4 ............................................................................................................................

2,73

0,4 0

sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .sin . . . . . . . . . .0,4115… ..................................................................................................................

0,41 1 x

x ......= . . . . . . .0,4115… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . . . . . . 2p . . . . . . . . . . . . . . .of . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . .p . . . . . .– . . . . . 0,4115… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k ..... . . . 2p x = 2,730… + k  2p

...................................................................................................................................................

10 - 4 sin x = 1

y 1

sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .-0,25 ............................................................................................................................ sin . . . . . . . . . . .x .....= . . . . . . .sin . . . . . . . . . .(-0,252…) ..................................................................................................................

3,39

0 -0,25

1 x -0,25

x ......= . . . . . . .-0,252… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . . . . . . . . 2p . . . . . . . . . . . . . . .of . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . .p . . . . . .– . . . . . (-0,252…) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . . .k . . . .  2p x = 3,394… + k  2p

...................................................................................................................................................

171

Hoofdstuk 4

6

A

Sinusfuncties

B

Stel de oplossingen van de bijzondere standaardvergelijking voor op de goniometrische cirkel. Schrijf de oplossingen met één uitdrukking. sin x = 0

1

sin x = 1

2

y 1

sin x = -1

3

y p 1 2

0 1 x

p 0

0

y 1

1 x

1 x

0

-p 2

x = k  p

...............................................................

7

A

x =

p

+ k  2p

...............................................................

2

x = -

p

+ k  2p

...............................................................

2

B

Los de vergelijking op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel. 1 sin 5x = 0

3p 5

sin y = 0

...................................................................................................................................................

y 1

2p 5 p 5

4p 5

0 1 x

p 0

y = k  p

...................................................................................................................................................

6p 5

5x = k  p

7p 5

...................................................................................................................................................

x = k 

9p 5 8p 5

p

...................................................................................................................................................

5

2 sin 3x = 1

y 1

sin y = 1

...................................................................................................................................................

y =

p

+ k  2p

p 6

5p 6

1 x

0

...................................................................................................................................................

2

3x =

p

+ k  2p

...................................................................................................................................................

x =

p

2

+ k 

2p

...................................................................................................................................................

172

6

3

3p 2

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

3 sin 2x = -1

y 1

3p 4

sin y = -1

Hoofdstuk 4

...................................................................................................................................................

y = -

p

1 x

0

+ k  2p

...................................................................................................................................................

2

p

2x = -

-p 4

p 3p p 4p 4p + = + = = 2 6 6 6 6 6 p

p + k  2p

...................................................................................................................................................

x = -

2

p

+ k  p

...................................................................................................................................................

8

A

4

B

Los de vergelijking op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel. 1 sin 3x = -1

y p 1 2

sin y = -1

...................................................................................................................................................

y = -

p

1 x

0

+ k  2p

...................................................................................................................................................

2

p

3x = -

-p 6

7p 6

+ k  2p

...................................................................................................................................................

x = -

2

p

+ k 

2p

...................................................................................................................................................

6

3

...................................................................................................................................................

1 2

2 sin 2x = −

7p 12

sin y = -

y 1

1

...................................................................................................................................................

2

⎛ p⎞ sin y = sin ⎜- ⎟ ⎝ 6⎠

11p 12 1 x - p 12

0

...................................................................................................................................................

y = -

p

+ k  2p

of

⎛ p⎞ y = p - ⎜- ⎟ + k  2p ⎝ 6⎠

...................................................................................................................................................

6

2x = -

p

+ k  2p

2x =

+ k  p

x =

7p

19 p 12

+ k  2p

...................................................................................................................................................

x = -

6

p

6

7p

+ k  p

...................................................................................................................................................

12

12

173

Hoofdstuk 4

Sinusfuncties

p⎞ ⎛ =1 3 sin 3x − ⎝ 6⎠

y 1

sin y = 1

...................................................................................................................................................

y =

p

2p 9

8p 9

1 x

0

+ k  2p

...................................................................................................................................................

2

3x -

p

=

p

+ k  2p

...................................................................................................................................................

3x =

6

2p

2

+ k  2p

p

+

p

=

3p

+

p

=

4p

=

14 p 9

2p

...................................................................................................................................................

x =

3

2p

+ k 

2

6

6

6

6

3

2p

...................................................................................................................................................

9

3

Goniometrische vergelijkingen grafisch voorstellen en oplossen We lossen de goniometrische vergelijking sin (2x + 1) = 0,5 op. We voeren de sinusfunctie f (x) = sin (2x + 1) en de constante functie g (x) = 0,5 in en tekenen de grafieken.

TEXAS INSTRUMENTS

Met de toets CALC berekenen we de coördinaten van de snijpunten van de getekende sinuslijn en de horizontale rechte. ■

[ Y= ] sin (2x+1) [ ENTER ] 0,5 [ ZOOM ] [ 7: ZTrig ]

We bepalen de coördinaten van het snijpunt met de kleinste positieve x-coördinaat.

174

[ 2ND ] [ CALC ] [ 5: intersect ] [ : tot in de omgeving van het snijpunt met de kleinste positieve x-coördinaat ] [ ENTER ] [ ENTER ] [ ENTER ] ▼

■

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

Hoofdstuk 4

We bepalen de coördinaten van het volgende snijpunt.

[ 2ND ] [ CALC ] [ 5: intersect ] [ : tot in de omgeving van het volgende snijpunt ] [ ENTER ] [ ENTER ] ▼

■

De periode van de sinusfunctie is p.

2p 2p = =p b 2

De oplossingen van de vergelijking zijn x = 0,808... + k  p of x = 2,903... + k  p.

CASIO

Met de toets GSOLV berekenen we de coördinaten van de snijpunten van de getekende sinuslijn en de horizontale rechte. ■

[ MENU ] [ 3: GRAPH ] sin (2x + 1) [ EXE ] 0,5 [ EXE ] [ SHIFT ] [ F3: VWIN ] [ F2: TRIG ] [ EXIT ] [ F6: DRAW ]

We bepalen de coördinaten van het snijpunt met de kleinste positieve x-coördinaat.

[ SHIFT ] [ F5: GSLV ] [ F5: ISCT ] [ : tot voorbij de verticale as ] ▼

■

We bepalen de coördinaten van het volgende snijpunt.

[ ] ▼

■

De periode van de sinusfunctie is p.

2p 2p = =p b 2

De oplossingen van de vergelijking zijn x = 0,808... + k  p of x = 2,903... + k  p.

175

Hoofdstuk 4

9

A

Sinusfuncties

B

Los de goniometrische vergelijking grafisch op. 1 sin

x = - 0,7 3

x = -2,326… + k  6p

x = 11,750… + k  6p

of

x = 0,837… + k 

p⎞ ⎛ 2 sin 3x + =0 ⎝ 5⎠

..........................................................................................................................................................................

3 sin (4x - 3) = - 0,5

..........................................................................................................................................................................

4 sin

2 p⎞ ⎛1 x − = ⎝2 ⎠ 3 2

10

A

x = -0,209… + k  x = 0,095… + k 

2p 3

p 2

x = 3,665… + k  4p

of

of

x = 0,619… + k 

2p 3

p 2

x = 6,806… + k  4p

..........................................................................................................................................................................

B

Controleer met ICT de oplossingen van opdracht 8.

176

of

..........................................................................................................................................................................

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

Hoofdstuk 4

Uitdagingen 1

1 Los de goniometrische vergelijking op. 3 p⎞ ⎛x ⎛2 ⎞ + b sin x − 1 = -1 = ⎝2 ⎝3 ⎠ 3⎠ 2 2 Waarom kunnen we de oplossingen niet voorstellen op de goniometrische cirkel? a sin

3 Stel de oplossingen voor op een getallenlijn. zie pagina 391

2

Rijden we achter een fietser, dan zien we de pedalen schijnbaar op en neer gaan. De hoogte van het rechterpedaal ten opzichte van het wegdek kunnen we berekenen met de formule:

h = 26 - 15 sin 2pt h: hoogte in cm t: tijd in s

1 Stel een formule op om de hoogte van het linkerpedaal ten opzichte van het wegdek te berekenen. 2 Op welke hoogte bevindt de as van de pedalen zich? Wat is de afstand tussen de pedalen? 3 Om de hoeveel seconden hebben beide pedalen dezelfde hoogte? 4 Hoe snel rijdt de fietser als hij bij elke omwenteling van de pedalen 5 m vooruit gaat? zie pagina 392

3

Met een kanon wordt een kogel afgevuurd. De beginsnelheid van de kogel is 500 m/s. Onder invloed van de valversnelling g = 10 m/s2 komt de kogel op de grond terecht. De afstand die de kogel aflegt, kunnen we berekenen met de formule: s=

v 02  sin 2x g

s: afstand in m v0: beginsnelheid in m/s

x: hellingshoek kanonloop g: valversnelling in m/s2

1 Hoe ver vliegt de kogel als de loop onder een hoek van 45° is opgesteld? En onder een hoek van 50°? 2 Onder welke hoek moet de loop opgesteld worden om een doel op 19 km te raken? zie pagina 393

177

Hoofdstuk 4

4

Sinusfuncties

In het waterpretpark Aquadeltabi wordt elk uur gedurende acht minuten het wateroppervlak van het zwembad in beweging gebracht. Als de golven opkomen, houdt Lotte zich vast aan de rand van het zwembad. De hoogte van de golftoppen op de plaats waar Lotte zich bevindt, kunnen we aflezen op de grafiek. hoogte h (m) 1,8 1,5

1

0,5

0

0

3

6

9 tijd t (s)

1 Bepaal het functievoorschrift van de sinuslijn. 2 Hoe hoog zijn de golven op de plaats van Lotte na 10 seconden? En na 1 minuut? 3 Hoeveel maal bereiken de golven er hun maximale hoogte? 4 Op welke tijdstippen bereikt het water er het laagste niveau? zie pagina 394

5

De inwoners van de gemeente Delta hebben regelmatig last van ratten. Het aantal gevangen ratten in een bepaalde week van het jaar kunnen we beschrijven met de formule: ⎡p ⎤ r = 190 sin ⎢ (w − 9)⎥ + 90 ⎣13 ⎦ r: aantal ratten w: weeknummer 1 Teken met ICT het positieve deel van de grafiek van deze sinusfunctie. 2 In welke weken van het jaar worden de meeste ratten gevangen? 3 In welke perioden van het jaar worden geen ratten gevangen? zie pagina 395

178

4.2 - Goniometrische vergelijkingen

Hoofdstuk 4

Vraag & antwoord 1

Wat is een goniometrische vergelijking? Een vergelijking waarin een goniometrisch getal van de onbekende voorkomt.

2

Hoe berekenen we de nulwaarden van de sinusfunctie f (x) = a  sin [b(x - c)] + d ? Door de goniometrische vergelijking a  sin [b(x – c)] + d = 0 op te lossen.

3

Schrijf alle oplossingen van sin x = a als x = x=

4

+ k  2p

of

een oplossing is.

x = (p – ) + k  2p

kŒZ

Onder welke voorwaarde is de vergelijking sin x = a oplosbaar? –1 £ a £ 1

179

5 Statistiek

180

Hoofdstuk 5

5.1

Statistische verwerking van data Populatie en steekproef Kenmerken en data Uitdagingen Vraag & antwoord

5.2

182 194 200 203

Frequenties en diagrammen Absolute frequentie Relatieve frequentie Cumulatieve frequentie Misleidende grafieken Uitdagingen Vraag & antwoord

5.3

205 226 239 252 258 266

Midden en spreiding van data Centrummaten Spreidingsmaten Centrummaten en spreidingsmaten vergelijken Uitdagingen Vraag & antwoord

5.4

267 283 306 309 315

Gegroepeerde data Histogram Frequentiepolygoon Centrummaten Uitdagingen Vraag & antwoord

0

1

2

3

317 326 332 339 345

4

5

6

7

8

9

10

181

Hoofdstuk 5

5.1

Statistiek

Statistische verwerking van data

 Populatie en steekproef 1

Instap

In juni 2010 organiseerde het weekblad Humo een enquête over het studiegedrag van jongeren tijdens de examenperiode. Er werd onder andere aandacht besteed aan studieduur, studiemethode, stress, eetgewoonten en medicatiegebruik. Ze spraken daarvoor duizend studenten aan tussen vijftien en vijfentwintig, gelijkmatig verdeeld over de geslachten en onderwijstypes.

1 Waarover wil de opdrachtgever van deze enquête informatie inwinnen? Over het studiegedrag van jongeren tijdens de examenperiode.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Hoeveel studenten werden ondervraagd?

1000 studenten.

.............................................................................................................................

3 Hoe werd deze enquête uitgevoerd? Vink aan. telefonisch

mondeling

✔

schriftelijk

via mail

4 Welke kenmerken worden in het statistisch onderzoek onderzocht? Studieduur, studiemethode, stress, eetgewoonten en medicatiegebruik.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Uit welke bewoording kunnen we besluiten dat de groep ondervraagde jongeren een goede afspiegeling is van alle Belgische jongeren? De 1000 studenten zijn ‘gelijkmatig verdeeld over de geslachten en

.................................................................................................................................................................................................................................

onderwijstypes’.

.................................................................................................................................................................................................................................

182

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

6 Hieronder werden enkele resultaten gepubliceerd. Formuleer een mogelijke enquêtevraag die gesteld werd om tot deze resultaten te komen. a

b Aantal uren studie per dag tijdens de examenperiode 5,6 5,4 5,2 5,0 4,8

Spiekgedrag ik spiek nooit

ik spiek vaak

ik spiek af en toe

21% 2% 77% jongens

meisjes

totaal

Hoeveel uren studeer je per dag

.............................................................................................................

tijdens de examenperiode?

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

Spiek je af en toe, vaak of nooit tijdens de examens?

Statistiek De wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen verzamelen, verwerken en analyseren noemen we statistiek. Het verzamelen en verwerken van gegevens behoort tot de beschrijvende statistiek, het analyseren en het formuleren van conclusies tot de verklarende statistiek. Populatie en steekproef Een statistisch onderzoek voeren we uit om kenmerken van een verzameling mensen, dieren, voorwerpen te onderzoeken. Omdat het meestal onmogelijk is om alle elementen te onderzoeken, beperken we ons tot een deel ervan. • De verzameling elementen waarop een statistisch onderzoek betrekking heeft, noemen we de populatie. • Het deel van de populatie waarop het onderzoek wordt uitgevoerd, noemen we de steekproef. • Het aantal elementen van de steekproef noemen we de omvang van de steekproef. De besluiten die we trekken uit een steekproef, gelden voor de totale populatie. Voorbeelden Een telefonische enquête uitgevoerd door een krant over het kiesgedrag van de West-Vlaming. Onderzocht kenmerk: kiesgedrag van de West-Vlaming Populatie: alle kiesgerechtigde West-Vlamingen Steekproef: alle West-Vlamingen die deelnemen aan de enquête In een melkfabriek controleert men regelmatig het volume melk in de flessen. Onderzocht kenmerk: volume melk in een fles Populatie: alle geproduceerde flessen melk Steekproef: alle gecontroleerde flessen melk

183

Hoofdstuk 5

2

A

Statistiek

B

Formuleer twee vragen die we kunnen stellen op een enquêteformulier in verband met het statistisch onderzoek. 1 Studiegewoonten van leerlingen. Hoeveel tijd besteed je gemiddeld per dag aan studeren?

.................................................................................................................................................................................................................................

Hoe laat begin je ’s avonds te werken voor school?

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Koopgedrag van jongeren. Welk bedrag besteed je maandelijks aan kleding?

.................................................................................................................................................................................................................................

Waaraan besteed je het meeste geld?

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Vrijetijdsbesteding van scholieren. Hoeveel uren doe je wekelijks aan sport?

.................................................................................................................................................................................................................................

Hoeveel avonden ga je per week weg met vrienden?

.................................................................................................................................................................................................................................

3

A

B

Zet de verschillende stadia van een statistisch onderzoek in de juiste volgorde. Duid de rangorde aan met een cijfer in het bijbehorende vakje. Het verzamelen van enquêteformulieren.

2

Het analyseren van de ingezamelde gegevens.

4

De besluitvorming uit de gemaakte analyse.

5

Het opstellen van een vragenlijst.

1

Het verwerken van de gegevens in een tabel of in een diagram.

3

4

A

B

Een farmaceutisch bedrijf wil de doeltreffendheid van een medicijn testen. 1 Zet de verschillende stadia van dit statistisch onderzoek in de juiste volgorde. Duid de rangorde aan met een cijfer in het witte vakje. De proefpersonen vullen een vragenlijst in.

2

B

Het bedrijf beslist het medicijn niet op de markt te brengen.

5

V

Het bedrijf kiest 500 proefpersonen.

1

B

Het bedrijf maakt berekeningen om de resultaten samen te vatten.

4

B

Het bedrijf verzamelt de resultaten in tabellen.

3

B

2 Tot welk deel van de statistiek behoren de voorgaande stadia? Zet in het blauwe vakje B voor beschrijvende statistiek en V voor verklarende statistiek. 184

5.1 - Statistische verwerking van data

5

A

Hoofdstuk 5

B

In de publicatie over DELTA-producten zoeken we de verschillende stadia van een statistisch onderzoek. Deze maand hebben we een vergelijkende test uitgevoerd tussen twee DELTA-producten en gelijksoortige producten van andere grote merken. • Door wie?

Marketing Research

• Waar?

Brussel

• Hoe?

Een vergelijkende 'blindtest' door proefpersonen die willekeurig worden uitgekozen.

VEELZEGGENDE RESULTATEN DELTA-merk

Andere merken

DELTA-Ice Tea

62 %*

Ice Tea

38 %*

DELTA-Roomrijst

71 %*

Roomrijst

29 %*

* Voorkeurspercentage

1 Wie is de opdrachtgever van dit statistisch onderzoek? De firma Delta.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Door wie wordt de informatie verzameld? Door Marketing Research.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Waarover wil men informatie inwinnen? Men wil weten hoeveel mensen ‘Ice Tea’ en 'Roomrijst’ van het Delta-merk

.................................................................................................................................................................................................................................

verkiezen boven gelijksoortige producten van andere merken.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Hoe wordt de informatie verzameld? Met een vergelijkende ‘blindtest’ door proefpersonen die willekeurig worden

.................................................................................................................................................................................................................................

uitgekozen.

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Hoe worden de verwerkte gegevens hier weergegeven? Met voorkeurspercentages voor ieder product.

.................................................................................................................................................................................................................................

6 Welke woorden verwijzen naar het analyseren van de gegevens? ‘Veelzeggende resultaten’

.................................................................................................................................................................................................................................

185

Hoofdstuk 5

6

A

Statistiek

B

De resultaten van een statistisch onderzoek zijn verwerkt tot een grafische voorstelling. Geef een zo nauwkeurig mogelijke omschrijving van de populatie waarop het onderzoek betrekking heeft. 1 Huisartsen in België 2010 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000 0

9744 4934

mannen

vrouwen

Alle huisartsen in België in 2010.

........................................................................................................................................................................................................................................

2 Welke zijn uw keuzecriteria wanneer u een verkooppunt kiest om te gaan winkelen? Aanwezigheid van een label, certificaat Informatie op de verpakking Sfeer in het verkooppunt Beschikbaarheid van het product Productveiligheid (gezond) Het visuele aspect De smaak Het personeel (onthaal, vriendelijkheid…) Verscheidenheid van het aanbod Versheid De parking Kwaliteit van de aangeboden producten Toegepaste prijzen Nabijheid (bij woon- of werkplek) Andere

Alle mensen die inkopen doen.

1 1 1 1 1

% % % % % 3 % 3 % 3 % 4 % 5 % 5 % 11 % 21 % 35 % 5%

........................................................................................................................................................................................................................................

186

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

3 Gsm-gebruik bij jongeren van 10 tot 17 jaar Hoe vaak heb je deze week een sms verstuurd en hoe vaak heb je gebeld? 160 138 140 120 102

97 100

98

88

80 60 35 40 21 20

18

18

10

7

11

10

4

10

9 frequentie bellen frequentie sms sturen

0 10 j

11 j

12 j

13 j

14 j

15 j

16 j

17 j

Alle jongeren tussen 10 en 17 jaar.

........................................................................................................................................................................................................................................

4 Belgen en wetenschap Zijn de Belgen geïnteresseerd in wetenschap en technologie? De enquête formuleerde een aantal stellingen, waarbij de ondervraagden zichzelf konden situeren op een schaal van ‘akkoord’ of ‘niet akkoord’. Ik ben erg geïnteresseerd in wetenschap en technologie. 31,7 %

35,7 %

32,6 %

Ik kijk vaak naar televisieprogramma's over wetenschap en/of technologie. 35,2 %

37,4 %

27,4 %

Ik lees de artikelen in de krant die over wetenschap en/of technologie gaan. 26,7 %

34,7 %

38,6 %

Ik lees vaak tijdschriften met wetenschappelijke en/of technologische onderwerpen. 15,7 %

31,7 % akkoord

52,6 % neutraal

niet akkoord

Alle Belgen.

........................................................................................................................................................................................................................................

187

Hoofdstuk 5

7

A

Statistiek

B

Bepaal het onderzocht kenmerk, de populatie en de steekproef van het statistisch onderzoek. 1 Een telefonische enquête onder de loontrekkende Vlamingen naar de bereidheid om wekelijks langer te werken voor hetzelfde loon. Onderzocht kenmerk: Bereidheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . om . . . . . . . . . . .wekelijks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . langer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .te . . . . . . . . werken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voor . . . . . . . . . . . . . . hetzelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .loon. ...... Populatie:

Alle loontrekkende Vlamingen.

......................................................................................................................................................................................................

Steekproef: . . . Alle . . . . . . . . . . . . . loontrekkende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vlamingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . die . . . . . . . . . . . deelnamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . .telefonische ............................................. enquête.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Een schoolarts meet de longinhoud van de eerstejaarsleerlingen die in Hoboken wonen tijdens het jaarlijks medisch toezicht. Onderzocht kenmerk: Populatie:

Longinhoud.

..........................................................................................................................................................................

Alle eerstejaarsleerlingen uit Hoboken.

......................................................................................................................................................................................................

Steekproef: . . . Alle . . . . . . . . . . . . . eerstejaarsleerlingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit . . . . . . . . . .Hoboken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .waarvan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .longinhoud ................................................ gemeten wordt tijdens het jaarlijks medisch toezicht.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Op de markt informeert een enquêteur of de voorbijgangers kip, rundvlees, varkensvlees of schapenvlees gekocht hebben. Onderzocht kenmerk: Populatie:

Soort gekocht vlees.

..........................................................................................................................................................................

Alle marktbezoekers.

......................................................................................................................................................................................................

Steekproef: . . . Alle . . . . . . . . . . . . . ondervraagde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voorbijgangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . op . . . . . . . . .de . . . . . . . . . markt. ............................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................

4 In een houtzagerij controleert de voorraadadministratie het volume van alle aangekochte bomen. Onderzocht kenmerk: Populatie:

Volume van alle aangekochte bomen.

..........................................................................................................................................................................

Alle aangekochte bomen.

......................................................................................................................................................................................................

Steekproef: . . . Alle . . . . . . . . . . . . . aangekochte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bomen. ............................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................

5 De politieke keuze van de inwoners van een Europees land zonder stemplicht. Onderzocht kenmerk: Populatie:

De politieke keuze.

..........................................................................................................................................................................

Alle kiesgerechtigde inwoners van dat land.

......................................................................................................................................................................................................

Steekproef: . . . Alle . . . . . . . . . . . . . inwoners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . dat . . . . . . . . . . . .land . . . . . . . . . . . . . .die . . . . . . . . . . .hun . . . . . . . . . . . .stem . . . . . . . . . . . . . . . uitbrengen. .............................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................

188

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

6 De lezers van ‘De Standaard’ werden geënquêteerd naar het formaat van de krant. Onderzocht kenmerk: . . .De . . . . . . . . . .mening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . .lezers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .over . . . . . . . . . . . . . . het . . . . . . . . . . . . formaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van ............................................. ‘De Standaard’.

.................................................................................................................................................................................................................................

Populatie:

Alle lezers van ‘De Standaard’.

......................................................................................................................................................................................................

Steekproef: . . . Alle . . . . . . . . . . . . . lezers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . 'De . . . . . . . . . . . . .Standaard' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .die . . . . . . . . . . .deelnemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . . enquête. ....................................... .................................................................................................................................................................................................................................

8

A

B

Bepaal het onderzocht kenmerk, de populatie, de steekproef en de omvang van de steekproef van het statistisch onderzoek.

In negen op tien auto’s rijdt bestuurder alleen Brussel/Hasselt – In amper één op tien auto’s rijdt behalve de bestuurder nog een passagier mee. Dat leert een telling van ‘Turfsmurf ’ in opdracht van Radio 1programma ‘Peeters en Pichal’. Volgens de makers toont dit aan dat het effect van carpoolen op de lengte van de files uiterst minimaal is. Turfsmurf Pieter-Jan Symons trok woensdag de wacht op bij twee autosnelwegen. Gedurende een uur noteerde hij in hoeveel auto’s meer dan één mens zat. “Op de E40 in Bertem reed 94 procent van de bestuurders alleen. Aan de Kennedytunnel in Antwerpen was dit 88 procent”, telde hij. In totaal telde hij 10 000 wagens.

2000 automobilisten geflitst in acht uur Bij de wegcontroles van de wegpolitie zaterdag op de autosnelwegen in heel België hebben de mobiele radars 40 494 voertuigen gecontroleerd. Liefst 2106 automobilisten reden te snel. De federale wegpolitie hield zaterdag verhoogde snelheidscontroles op de autosnelwegen in het hele land. De controles pasten in de maandelijkse NAWAY-controles (National Action on Highway) van de wegpolitie, met deze maand als thema de strijd tegen overdreven snelheid. In totaal werden 2106 automobilisten betrapt op overdreven snelheid. De hoogst vastgestelde snelheid was 213 km per uur. De controles vonden plaats op 22 plaatsen op de autosnelwegen en de politie zette 198 personeelsleden in. (BELGA)

Onderzocht kenmerk: Het percentage auto's op de autosnelweg

...........................................................................................................................

waarin meer dan één persoon zat.

...........................................................................................................................

Populatie: De auto’s op alle Belgische snelwegen.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Steekproef: De auto's die op de E40 in Bertem en aan

...........................................................................................................................

de Kennedytunnel op één uur passeerden.

...........................................................................................................................

Omvang van de steekproef: 10 000 auto’s.

...........................................................................................................................

Onderzocht kenmerk: De snelheid van auto’s op de Belgische

...........................................................................................................................

autosnelwegen.

...........................................................................................................................

Populatie: De voertuigen op de Belgische

...........................................................................................................................

autosnelwegen op zaterdag.

...........................................................................................................................

Steekproef: De 40 494 gecontroleerde voertuigen op

...........................................................................................................................

de autosnelwegen op zaterdag.

...........................................................................................................................

Omvang van de steekproef: 40 494 voertuigen.

...........................................................................................................................

189

Hoofdstuk 5

9

A

Statistiek

B

Lees het artikel en los de vragen op.

Vrouwen parkeren beter dan mannen Een Britse studie weerlegt één van de grootste stereotypes sinds de uitvinding van de auto: niet de man, maar de vrouw is beter in het correct parkeren van een vierwieler. Het Britse NCP, de grootste eigenaar van parkeergarages in Groot-Brittannië, heeft 2500 chauffeurs onderworpen aan een grondige parkeertest. Daaruit blijkt dat vrouwelijke bestuurders een gemiddelde score van 13,4 op 20 behaalden. Bij mannen lag het gemiddelde op 12,3. De studie toont nog aan dat vrouwen gemiddeld 21 seconden nodig hebben om hun auto te parkeren. Mannen zijn doorgaans 5 seconden sneller. Ondanks dat voordeel moeten ze langer zoeken voordat ze een parkeerplaats vinden. Ook manoeuvreren laten ze beter aan een vrouw over. Slechts 29 procent van de mannelijke respondenten wil zich achteruit in een plaats parkeren tegenover 40 procent van de vrouwen.

Mannen gaan bovendien slordig te werk. Minder dan 30 procent blijft in de auto zitten tot deze perfect staat, terwijl 56 procent van de dames alle tijd neemt om de auto netjes binnen de lijnen te plaatsen. Ondanks het feit dat veel mannen niet zo’n vlotte parkeerders zijn, willen ze hun wagen toch in het kleinste plekje rijden om indruk te maken op een vrouw. Ja, ook al zijn er ruimere plaatsen beschikbaar. Uit: De Standaard

1 Welke kenmerken worden onderzocht? Hoe goed mannen en vrouwen kunnen parkeren.

.................................................................................................................................................................................................................................

Hoeveel seconden mannen en vrouwen nodig hebben om te parkeren.

.................................................................................................................................................................................................................................

Of mannen en vrouwen achteruit willen parkeren.

.................................................................................................................................................................................................................................

Of mannen en vrouwen de tijd nemen om netjes binnen de lijnen te parkeren.

.................................................................................................................................................................................................................................

Welk plekje mannen kiezen om te parkeren.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Wat is de populatie? Alle autobestuurders.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Wat is de steekproef ? Alle autobestuurders die de parkeertest ondergingen.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Wat is de omvang van de steekproef ? 2500 autobestuurders.

.................................................................................................................................................................................................................................

190

5.1 - Statistische verwerking van data

10

Hoofdstuk 5

Instap

Het jongerentijdschrift MAKS! peilde door klasgesprekken bij leerlingen van het derde tot het zevende jaar uit één secundaire school naar hun toekomstvisie op leraren. Hieronder vinden we een grafische voorstelling van de resultaten. Wat verwachten we van de leraar van de toekomst?

3e 4e 5e 6e 7e 9/1

0

De leraar toont interesse in je leefwereld: 47 %

De leraar is iemand die je enkel op school ziet: 34 %

De leraar is een vriend die je kan bellen: 14 % De leraar houdt afstand, het gaat enkel over de lessen: 5 %

0

10

20

30

40

50

1 Wat is de populatie van dit onderzoek? Alle leerlingen van het derde tot het zevende jaar.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Wat is de steekproef van dit onderzoek? De leerlingen van het derde tot het zevende jaar uit één school.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Onderaan het artikel vermeldt MAKS! dat het niet gaat om een wetenschappelijk onderzoek. Waarom geeft de steekproef geen juist beeld over de toekomstvisie op leraren? Vink elk juist antwoord aan. De resultaten zijn afkomstig van klasgesprekken.

✔

De leraren werden niet bevraagd. Er werd maar één school bevraagd.

✔

191

Hoofdstuk 5

Statistiek

Representatieve steekproeven Een steekproef is representatief als ze voldoet aan twee basisvoorwaarden: • de omvang van de steekproef moet voldoende groot zijn; • de steekproef moet een getrouwe weergave zijn van de populatie. Voorbeeld Elke week publiceert het magazine ‘Vacature’ de resultaten van een poll bij haar lezers.

POLL

De steekproef is niet representatief voor alle werkende Vlamingen, omdat enkel lezers van het weekblad deelnamen aan de enquête.

Neen, helemaal niet tevreden

Deze week vroegen we of u tevreden bent over uw baas. Ja, heel tevreden

18%

32% Meestal niet tevreden

Meestal tevreden

12%

11

A

38%

B

Lees het artikel en beantwoord de vragen.

Ziekenhuizen wapenen zich tegen gewelddadige patiënten Brussel – Een securityteam, personeel achter kogelvrij glas en een veiligheidssas op de spoedgevallen: ziekenhuizen wapenen zich tegen het toenemende geweld door patiënten. Volgens de minister van Welzijn wordt een ziekenhuis gemiddeld eenmaal per week geconfronteerd met fysiek geweld. De Vlaamse minister van Welzijn steunt op de tweejaarlijkse ‘Monitor Ziekenhuiscriminaliteit’, een enquête waaraan Vlaamse ziekenhuizen op vrijwillige basis kunnen deelnemen. Slechts 35 % van de ziekenhuizen nam deel. Volgens die cijfers krijgt een ziekenhuis per jaar gemiddeld te maken met 40 gevallen van verbale agressie en 48 gevallen van fysieke agressie. Dat is een stijging ten opzichte van vorige jaren. … Uit: De Morgen

1 Wat is de populatie van het onderzoek naar ziekenhuiscriminaliteit? Alle Vlaamse ziekenhuizen.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Wat is de steekproef van dit onderzoek? De ziekenhuizen die deelnemen aan de enquête.

.................................................................................................................................................................................................................................

192

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

3 Kunnen we de steekproef representatief noemen? Verklaar. Ziekenhuizen kunnen deelnemen op vrijwillige basis. De kans bestaat dat

.................................................................................................................................................................................................................................

enkel ziekenhuizen die te maken krijgen met agressie, deelnemen aan de

.................................................................................................................................................................................................................................

enquête. De steekproef is dus niet representatief.

.................................................................................................................................................................................................................................

12

A

B

Welke enquête zal geen betrouwbare gegevens opleveren? Verklaar. 1 Het stadsbestuur wil de mening kennen van de Brusselaar over de metro. Men voert tijdens de werkuren een enquête uit waarbij 500 metroreizigers worden ondervraagd. Niet representatief. De meeste metrogebruikers zijn pendelaars die voor en

.................................................................................................................................................................................................................................

na de werkuren de metro gebruiken.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Test-Aankoop wil het koopgedrag van winkelende mannen onderzoeken. Men ondervraagt een groot aantal mannen aan de ingang van enkele buurtwinkels. Niet representatief. Niet alle winkelende mannen doen hun aankopen in

.................................................................................................................................................................................................................................

buurtwinkels.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Op de markt informeert een enquêteur of de voorbijgangers voedingswaren of nonfoodproducten kochten. Representatief als het koopgedrag op de markt onderzocht wordt.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Brouwerij Delta laat de smaak van zijn bieren testen door een aantal willekeurig gekozen werknemers. Niet representatief. Heel wat werknemers zullen vooringenomen zijn en de

.................................................................................................................................................................................................................................

smaak goed vinden.

.................................................................................................................................................................................................................................

5 De directies van alle Antwerpse middelbare scholen willen een betere kijk hebben op het uitgaansleven van hun leerlingen. Elke leerling tussen 12 en 20 jaar vult een enquête in. Representatief.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

6 De vereniging ter bevordering van het Vlaamse boekwezen laat in een aantal Vlaamse bibliotheken een onderzoek over het leesgedrag van de Vlaming uitvoeren. Niet representatief. Vlamingen die zelden of nooit een boek lezen en niet

.................................................................................................................................................................................................................................

naar de bibliotheek gaan, komen niet aan bod in het onderzoek.

.................................................................................................................................................................................................................................

193

Hoofdstuk 5

Statistiek

 Kenmerken en data 13

Instap

Een statistisch onderzoek leidde tot de volgende beschrijving van de gemiddelde Belg.

Vink elk onderzocht kenmerk aan dat we kunnen meten of tellen. familienaam

194

aantal kinderen

✔

eetgedrag

inkomen

✔

televisiekijkduur

✔

drinkgedrag

✔

spaargeld

✔

radio beluisteren

✔

gewicht

✔

lengte

✔

leeftijd

✔

automerk

vakantielocatie

woning

rookgedrag

✔

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

Kwantitatieve en kwalitatieve kenmerken Een statistisch onderzoek heeft steeds betrekking op één of meer kenmerken van de elementen van een populatie. De gegevens afkomstig van een onderzocht kenmerk, noemen we ook data. Kwantitatieve kenmerken Kenmerken die zich laten uitdrukken in getallen, noemen we kwantitatieve kenmerken. Een kwantitatief kenmerk is continu als de gegevens reële waarden kunnen aannemen. De gegevens verkrijgen we meestal door meting en de nauwkeurigheidsgraad hangt af van de gekozen meetmethode en de gewenste precisie. • De levensduur van een lamp is 10 000 uren. • De snelheid van een auto is 82 km/h. • De snelste tijd op de 100 meter is 9,58 seconden. Een kwantitatief kenmerk is discontinu als de gegevens enkel vaste numerieke waarden kunnen aannemen. De uitkomst van de waarneming moet niet noodzakelijk een geheel getal zijn. • Het aantal regendagen in de maand juli is 5. • De prijs van de Deltacomputer is 459,50 euro. • Igor heeft schoenmaat 44. Kwalitatieve kenmerken Kenmerken die een indeling of een beoordeling uitdrukken, noemen we kwalitatieve kenmerken en kunnen we niet meten of tellen. Een kwalitatief kenmerk is nominaal als het een indeling uitdrukt. • Het geslacht van een leerling is mannelijk of vrouwelijk. • Tegen een snelheidsbeperking op autosnelwegen kan men voor of tegen zijn. • In de klas zitten leerlingen met blauwe, bruine of groene ogen. Een kwalitatief kenmerk is ordinaal als het een beoordeling uitdrukt. • Het studieresultaat voor Frans van een leerling is uitstekend, goed, voldoende, matig of zwak. • Over de kwaliteit van een shampoo is men tevreden, ontevreden of heeft men geen mening. • De kwaliteit van een hotel wordt beoordeeld met een aantal sterren van 1 tot 5.

Merk op Nominale en ordinale kenmerken kunnen we ook uitdrukken met codecijfers: • mannelijk = 1

vrouwelijk = 0

• uitstekend = 5

goed = 4

indeling

voldoende = 3

matig = 2

zwak = 1

beoordeling

Het rekenen met deze codecijfers is zinloos.

195

Hoofdstuk 5

14

A

Statistiek

B

De resultaten van een statistisch onderzoek zijn verwerkt tot een grafische voorstelling. Geef een zo nauwkeurig mogelijke omschrijving van het onderzochte kenmerk. Is het onderzochte kenmerk kwalitatief of kwantitatief ? 1

2

Belg piekert vooral over

Lievelingskleur van mannen en vrouwen 2% 1% 5%

3%

2%

9% 7% 14%

1%

3% 3% 5%

1%

6%

57%

Politiek 15% Prijsstijgingen 14% Immigratie 12% Werkloosheid 9% Pensioen 9% Criminaliteit 6% Econ. stabiliteit Gezondheid 3% Huis/huur 2% Opleiding 1% 0 10 20

35%

9% 14% 23%

57%

30

40

50

60

Lievelingskleur van mannen en

.................................................................................................................

vrouwen.

.................................................................................................................

.................................................................................................................

Kwalitatief.

.................................................................................................................

3

4

.................................................................................................................

.................................................................................................................

Over welke onderwerpen de Belg vooral piekert. Kwalitatief.

Aantal rampen 500 400 300 200 100 0 1980

Gemiddeld waterverbruik in liter per Belg per dag 3 liter koken 8 liter onderhoud 8 liter vaat 17 liter was

1985

1990

30 liter toilet

1995

2000

2005

2010

44 liter bad en douche

geofysische incidenten (aardbeving, vulkaanuitbarsting…) droogte overstromingen

vervangbaar door regenwater leidingwater ten sterkste aangeraden

stormen

Vlaamse Milieumaatschappij

andere weersgebonden rampen (hittegolf, bosbrand…)

Aantal rampen in de wereld.

.................................................................................................................

.................................................................................................................

Kwantitatief.

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

196

Gemiddeld dagelijks waterverbruik per Belg.

Kwantitatief.

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

5 De ecologische voetafdruk wordt uitgedrukt in hectare. Zij geeft weer hoeveel aardoppervlakte we nodig hebben om onze levenswijze mogelijk te maken. De gemiddelde ecologische voetafdruk per persoon en per jaar is 2,2 hectare. Koeweit Ver. Arab. Emiraten Verenigde Staten Australië Ierland Israël Zwitserland

Top-10 grootste energieverbruikers per persoon

Griekenland Frankrijk Groot-Brittannië 20e plaats België 0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 voetafdruk (ha)

De ecologische voetafdruk per persoon per jaar.

........................................................................................................................................................................................................................................

Kwantitatief.

........................................................................................................................................................................................................................................

6 Levensverwachting bij geboorte 1900 - 2050 mannen

vrouwen

90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050

Levensverwachting bij de geboorte.

........................................................................................................................................................................................................................................

Kwantitatief.

........................................................................................................................................................................................................................................

197

Hoofdstuk 5

15

A

Statistiek

B

De organisatie Fuifpunt! voert een onderzoek naar het actueel fuifklimaat in Vlaanderen. Met een enquête peilen ze naar de fuifbeleving bij fuifbezoekers tussen 14 en 30 jaar.

1 Wat is je huidige leeftijd? 2 Ben je een jongen of een meisje? jongen

meisje

3 Wat doe je momenteel? ik zit in het secundair onderwijs ik ben student hoger/universitair onderwijs ik ben werkzoekend 4 Hoe vaak ga je ... bijna nooit 1 keer per 2 tot 5 keer 2 keer per maand per maand week op café? naar een dancing of discotheek? naar een fuif? naar een optreden, concert of festival? naar de film? naar een privé-feestje (bij vrienden thuis …) 5 Wanneer kom je meestal aan op een fuif en tot wanneer blijf je meestal? aankomstuur: vertrekuur: 6 Hoeveel geld kost een fuif jou gemiddeld? (Vul telkens in hoeveel euro’s je uitgeeft)

inkom: drinken: vestiaire: toilet: andere zaken:

198

meer dan 2 keer per week

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

7 Wat vind je in het algemeen van de prijzen op fuiven? goedkoop

betaalbaar

duur

8 Drink jij meestal alcohol als je op een fuif bent? nee

ja

ja, tenzij ik BOB ben

9 Als je alcohol drinkt op een fuif, over hoeveel glazen gaat het dan gemiddeld? (1 glas is bijvoorbeeld 1 glas gewoon bier, 1 breezer …)

Bepaal de soorten kenmerken die via deze vragenlijst onderzocht worden. Schrijf de letter C (continu), D (discontinu), N (nominaal) of O (ordinaal) in de vakjes. leeftijd

D

geslacht

N

beroepssituatie

N

aantal keer uitgaan

O

aankomst- en vertrekuur

D

uitgaven

D

mening over de prijzen

O

alcoholverbruik

N

aantal glazen alcohol

D

16

A

B

Welke van de onderzochte kenmerken noemen we continu, discreet, nominaal of ordinaal? Schrijf de letter C (continu), D (discreet), N (nominaal) of O (ordinaal) in de vakjes. 1 Op de markt informeert een enquêteur of de voorbijgangers vlees, vis of geen van beiden kochten.

N

2 De vereniging van het Vlaamse boekwezen laat een onderzoek uitvoeren naar het aantal uitleningen in Vlaamse bibliotheken.

D

3 In de houtzagerij noteert de voorraadadministratie de lengte en het gewicht van de aangekochte bomen.

C

4 De automobielinspectie controleert het CO-gehalte van wagens met een benzinemotor.

C

5 Het instituut voor Hygiëne en Epidemiologie meldt dat de bacteriologische kwaliteit van het zeewater langs de Belgische stranden meestal uitstekend is.

O

6 Volgens de politie stijgt het aantal fietsers.

D

199

Hoofdstuk 5

Statistiek

Uitdagingen 1

Welke onderwerpen behoren tot de beschrijvende statistiek? 1 Uit het diagram volgt dat de meest voorkomende massa van een tennisbal 57,13 g bedraagt. 2 In statistische onderzoeken stellen geneesheren vast dat er een verband bestaat tussen het vatbaar zijn voor een bepaalde ziekte en de eetgewoonte van personen. 3 De tabellen bestemd voor het jaarverslag van een bank, geven een zeer verzorgde indruk. 4 Op het beursdiagram kunnen we in één oogopslag de grootste en de kleinste waarde van een aandeel aflezen. 5 Het invullen van de vragenlijst over het leesgedrag van jongeren neemt veel tijd in beslag. zie pagina 397

Omcirkel het nummer van elk statistisch onderzoek waarbij steekproef en populatie gelijk zijn. 2

Bevolkingsgroei per werelddeel miljard 6 Azië

4 Afrika

2 Latijns-Amerika

Europa

Noord-Amerika Oceanië

0 2050

4

Welk genre leest de Vlaming het liefst?

Strips

2%

1400

2%

1200

Reisgidsen

2%

1000

Biografieën

3%

800

Kookboeken

3%

600

5%

1729

865

525

400

6%

263

200

30

40

9

9

00

99

-2 00

90

-1 20

20

19

70 10

19

0

9

0

31 %

Thrillers

98

30 %

Romans

-1

Sciencefiction

600 800 1000 in miljoenen mensen

Aantal overstromingen in de wereld

Jeugdboeken

Psychologieboeken

400

1600

1%

Kunstboeken

200

1800

15 %

Andere

0

2100

9

3

2000

80

1950

322 266 189 182 170 170 125 98

97

1

962

Chinees Engels Spaans Bengali Hindi Portugees Russisch Japans Duits

5

3

Wat is de meest gesproken taal ter wereld?

19

1

-1

2

zie pagina 397

200

5.1 - Statistische verwerking van data

3

Hoofdstuk 5

Een slechte of suggestieve vraagstelling kan ervoor zorgen dat een steekproef niet representatief is. Vragen mogen geen bepaald antwoord uitlokken. Bovendien mogen ze niet naar twee of meer dingen tegelijk informeren. Verbeter de vragen. 1 Is Samsung het beste merk van gsm’s? 2 Vind je ook dat de treinen tijdens het spitsuur te vaak vertraging hebben? 3 Ben je voor of tegen een snelheidsbeperking van 30 km/h in de bebouwde kom en een verhoging van de politiecontrole? 4 Ben je van oordeel dat merkproducten lekkerder en gezonder zijn dan nietmerkproducten? zie pagina 398

4

Een wandelclub telt 430 leden. Tijdens een vergadering wil de voorzitter de mening kennen van de 85 aanwezige leden door handopsteking. De secretaris wil echter lukraak 25 leden een vragenlijstje toesturen en de antwoorden naamloos laten terugsturen.

1 Welke enquête is het meest representatief ? 2 Verklaar je antwoord. 5

zie pagina 398

Bepaal het soort kenmerk (continu, discreet, nominaal of ordinaal) dat onderzocht moet worden om elke vraag zinvol te kunnen beantwoorden. 1 Drinkt een doorsnee student veel, weinig of nooit melk? 2 Hoeveel bedraagt de gemiddelde huurprijs van een flat in die straat? 3 Wat is het gewicht van een klein rozijnenbrood? 4 Welk intelligentiequotiënt heeft die student? 5 Is 13 een ongeluksgetal? 6 Hoeveel beaufort bedraagt de windsnelheid van de storm die morgen over ons land zal razen? zie pagina 399

201

Hoofdstuk 5

6

Statistiek

Geef een zo nauwkeurig mogelijke omschrijving van het onderzochte kenmerk. Is het kenmerk nominaal, ordinaal, continu of discontinu? 1

6000

2

18

5

PALEONTOLOGIE • Een gemiddelde dinosaurus weegt tussen de 6000 en 8000 kilo, zo staat in PloS ONE. Dat is een derde zwaarder dan gedacht. Dankzij een nieuwe berekeningsmethode, waarbij vijf dinosaurusskeletten werden ingescand, kan het gewicht correcter worden gemeten met 3D-modellen. Voorheen werden altijd schaalmodellen gebruikt om de massa te berekenen. (KS)

4

PSYCHOLOGIE • Je vroegste herinneringen veranderen per jaar. Sommige jongeren kunnen zich gebeurtenissen in de achttiende levensmaand nog herinneren, zegt onderzoeker Carole Peterson. Haar Canadese team vroeg 100 kinderen van 4 tot 13 jaar over hun drie vroegste herinneringen. Een jaar later herinnerde 80 procent zich de verhalen niet meer en noemde andere herinneringen.

8

3

52

6

BIOLOGIE • Paarden vergeten mensen die hen goed behandelen niet snel. Dat blijkt uit onderzoek van de universiteit van Rennes bij twintig Anglo-Arabieren en drie Franse dravers. Zelfs na een scheiding van acht maanden herkenden de positief beloonde paarden een bepaalde trainer. "Sociale relaties houden lang stand", vertelt Carol Sankey, leider van het onderzoek. "Soms levenslang."

LINGUISTIEK • Het woordgebruik verraadt de psychopaat. De Cornell University ondervroeg 52 moordenaars in een Canadese gevangenis en ontdekte dat de psychopaten meer spreken over fysieke behoeften als voedsel of seks wanneer ze hun moord omschrijven, terwijl anderen eerder spreken over sociale behoeften of religie. Psychopaten gebruiken vaker 'omdat' of 'zodat', omdat de moord in hun ogen noodzakelijk was en pauzeren meer omdat ze een goede indruk willen maken. (EDS)

15

BACTERIOLOGIE • 15 procent van de gsm's bevat sporen van Escherichia colibacteriën, vaak verantwoordelijk voor buikloop, ontdekte de University of London. Volgens de geleerden is de aanwezigheid van de bacteriën een aanwijzing dat de handen te weinig gewassen worden na een toiletbezoek. Of dat er gebeld wordt op het toilet. Ook toonde een op de zes handen die toestellen vasthielden faecale sporen.

-63

ASTRONOMIE • Op Mars is het gemiddeld 63 graden onder nul. Maar vier miljard jaar geleden was het er een aangename 18 graden Celsius. Dat blijkt uit de analyse van een meteoriet die van Mars afkomstig is. "Dit is het bewijs dat in ieder geval één plek op de planeet in staat was om minstens enkele uren tot enkele dagen een aardachtig klimaat te hebben", meent geochemicus John Eiler, wiens onderzoek in vakblad PNAS verschijnt. (KS)

zie pagina 399

202

5.1 - Statistische verwerking van data

Hoofdstuk 5

Vraag & antwoord 1

Wat is statistiek? De wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen verzamelen, verwerken en analyseren.

2

Hoe noemen we de verzameling elementen waarop een statistisch onderzoek betrekking heeft? De populatie.

3

Wat is een steekproef ? Een deel van de populatie waarop het onderzoek wordt uitgevoerd.

4

Wat is de omvang van een steekproef ? Het aantal elementen in de steekproef.

5

Aan welke twee voorwaarden moet een representatieve steekproef voldoen? • De omvang van de steekproef moet voldoende groot zijn. • De steekproef moet een getrouwe weergave zijn van de populatie.

6

Wat is het verschil tussen kwantitatieve en kwalitatieve kenmerken? Kwantitatieve kenmerken laten zich uitdrukken in getallen. Kenmerken die een indeling of een beoordeling uitdrukken, noemen we kwalitatieve kenmerken en kunnen we niet meten of tellen.

7

Welke twee soorten kwantitatieve kenmerken onderscheiden we? Continue en discontinue kenmerken.

8

Onder welke voorwaarde is een kwantitatief kenmerk continu? Als de gegevens reële waarden kunnen aannemen.

9

Onder welke voorwaarde is een kwantitatief kenmerk discontinu? Als de gegevens enkel vaste numerieke waarden kunnen aannemen.

10

Welke twee soorten kwalitatieve kenmerken onderscheiden we? Nominale en ordinale kenmerken.

203

Hoofdstuk 5

11

Statistiek

Onder welke voorwaarde is een kwalitatief kenmerk nominaal? Als het kenmerk een indeling uitdrukt.

12

Onder welke voorwaarde is een kwalitatief kenmerk ordinaal? Als het kenmerk een beoordeling uitdrukt.

204

5.2 - Frequenties en diagrammen

5.2

Hoofdstuk 5

Frequenties en diagrammen

 Absolute frequentie 1

Instap

Op de handbaltraining oefent trainer Alex zijn spelers in het nemen van een penalty. De spelers mogen elk vijf penalty’s geven. Alex noteert het aantal doelpunten dat elke speler maakt. Björn

Tim

Octavio

Wannes

Mo

Wim

Willy

Michael

Boris

Gunter

Kurt

Marijn

Bavo

Brent

Peter

Wesley

Yani

Maarten

2 spelers

1 Hoeveel spelers scoren vijf keer?

..................................................................................................................................................

2 Vul de tabel in. aantal goals

aantal spelers

0

...................................

1

...................................

2

...................................

3

...................................

4

...................................

5

...................................

totaal

...................................

1 2 3 6 4 2

18

3 Hoeveel spelers telt de ploeg?

18 spelers

........................................................................................................................................................

4 Hoeveel spelers scoren 3, 4 of 5 keer? 12 spelers

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Hoeveel percent van de spelers scoort minder dan 3 penalty’s? 1+ 2 + 3

=

6

= 0,33... = 33,3 %

.................................................................................................................................................................................................................................

18

18

205

Hoofdstuk 5

Statistiek

Data voorstellen met een frequentietabel Een griepvirus heeft heel wat slachtoffers gemaakt onder de 25 leerlingen van een klas. Het leerlingensecretariaat heeft van elke leerling het aantal ziektedagen genoteerd in een tabel. aantal ziektedagen 0

3

5

1

5

7

5

0

2

5

0

3

5

4

1

2

6

4

0

2

0

3

5

5

3

De verschillende aantallen ziektedagen die in het onderzoek voorkomen, noemen we de waarnemingsgetallen. Het aantal keer dat een waarnemingsgetal voorkomt, noemen we de frequentie of de absolute frequentie van dat waarnemingsgetal. De absolute frequentie korten we af met af. We stellen de volgende tabel op: aantal ziektedagen aantal leerlingen (af ) 0

5

1

2

2

3

3

4

4

2

5

7

6

1

7

1

totaal

25

Een tabel met frequenties noemen we een frequentietabel. In de frequentietabel kunnen we bijvoorbeeld aflezen dat 7 leerlingen gedurende 5 dagen ziek waren. We zeggen: de absolute frequentie van 5 is gelijk aan 7 Merk op De som van de frequenties is gelijk aan de omvang van de steekproef.

206

5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 7 + 1 + 1 = 25

5.2 - Frequenties en diagrammen

2

A

Hoofdstuk 5

B

Om na te gaan of het cultureel centrum van de gemeente goed gelegen is, geeft de burgemeester opdracht om een kleine enquête te houden. De telling gebeurt met turven. Dit is het zetten van verticale streepjes en per vier streepjes het vijfde streepje er dwars overheen. Het resultaat van de enquête geven we weer in de tabel. zeer gunstig gunstig matig ongunstig zeer ongunstig 1 Hoeveel mensen werd een mening gevraagd?

200

....................................................................................................................

2 Hoeveel ondervraagden vinden de ligging van het cultureel centrum maar matig? 3 Hoeveel ondervraagden vinden de ligging gunstig of zeer gunstig?

81

..............................

34 + 48 = 82

...................................................................

4 Hoeveel percent van de geënquêteerden vindt de ligging ongunstig? Zeer ongunstig? 28

14

= 14 % 100 9 4, 5 . . . . Zeer . . . . . . . . . . . . . . . . ongunstig: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .4,5 . . . . . . . . . .% ............................................................................................................................ 200 100 Ongunstig:

=

.................................................................................................................................................................................................................................

3

A

200

B

Gewone tuinbonen hebben gemiddeld zes bonen per peul. Op een proefveld van een tuinbouwschool wordt een nieuwe soort geteeld. Het succes hangt af van het aantal bonen per peul. In de tabel lezen we de aantallen van een steekproef af. aantal bonen per peul

3

4

5

6

7

8

9

aantal peulen

6

14 19 30 22

7

2

1 Hoeveel peulen werden onderzocht? 6 + 14 + 19 + 30 + 22 + 7 + 2 = 100

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Hoeveel bonen werden geteld? 3  6 + 4  14 + 5  19 + 6  30 + 7  22 + 8  7 + 9  2 = 577

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Heeft de nieuwe soort tuinbonen gemiddeld meer of minder bonen dan de gewone soort? Nieuwe soort:

577

= 5,77 ➜ 5,77 bonen per peul

.................................................................................................................................................................................................................................

100

De nieuwe soort telt minder bonen.

.................................................................................................................................................................................................................................

207

Hoofdstuk 5

4

A

Statistiek

B

We kiezen een bak met appelsienen en meten de omtrek van elke appelsien. De gegevens staan in de tabel. omtrek (cm) 24

30

27

29

28

29

28

31

28

30

29

31

30

29

26

30

27

30

28

30

28

30

29

30

29

1 Welk kenmerk wordt onderzocht?

De omtrek van appelsienen.

.............................................................................................................................................

2 Welke waarnemingsgetallen komen voor in de reeks data? 24, 26, 27, 28, 29, 30 en 31

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Stel een frequentietabel op. omtrek (cm)

aantal appelsienen

.........................................

24

.........................................

.........................................

26

.........................................

.........................................

27

.........................................

.........................................

28

.........................................

.........................................

29

.........................................

.........................................

30

.........................................

.........................................

31

.........................................

.........................................

.........................................

1 1 2 5 6 8 2

4 Hoeveel appelsienen hebben een omtrek van 26 cm, van 28 cm en van 30 cm? Aantal appelsienen met een omtrek van 26 cm: 1

.................................................................................................................................................................................................................................

Aantal appelsienen met een omtrek van 28 cm: 5

.................................................................................................................................................................................................................................

Aantal appelsienen met een omtrek van 30 cm: 8

.................................................................................................................................................................................................................................

208

5.2 - Frequenties en diagrammen

5

A

Hoofdstuk 5

B

Meer dan 2000 jaar voor Christus kenden de Egyptenaren een vrij nauwkeurige berekening voor de oppervlakte van een cirkel. Een berekening met het getal p vinden we terug op de papyrus van Rhind die stamt uit 1700 voor Christus. Het getal p is een irrationaal getal en heeft bijgevolg geen periode. p = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ….. 1 Dit getal bevat oneindig veel decimalen en elk cijfer komt een aantal keer voor. Stel een frequentietabel op van de eerste honderd decimalen die we op deze benadering van p kunnen aflezen. cijfer

af

0

..................

1

..................

2

..................

3

..................

4

..................

5

..................

6

..................

7

..................

8

..................

9

..................

8 8

12 11 10 8 9 8

12 14

2 Vul in. a De frequentie van 7 is gelijk aan . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . b De frequentie van . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . is gelijk aan 10. c De frequentie van 2 is gelijk aan . . . . . . . .12 .............. . d De frequentie van . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . is gelijk aan 14.

209

Hoofdstuk 5

6

A

Statistiek

B

In een woonwijk vragen we naar het geslacht van de kinderen in elk gezin. De resultaten van deze enquête zijn samengevat in de tabel.

aantal meisjes

aantal gezinnen

aantal jongens 0

1

2

3

4

0

9

7

4

1

1

1

6

15

7

3

0

2

6

8

3

2

1

3

2

2

1

2

1

4

0

1

1

0

0

1 gezin met 2 meisjes en 4 jongens

1 Hoeveel gezinnen telt de wijk? .9 . . . . . .+ . . . . . .7 . . . . . .+ . . . . . .4 ......+ ......1 . . . . . . .+ . . . . . .... . . . . . . . . . .+ . . . . . .1 . . . . . .+ . . . . . .0 . . . . . .+ . . . . . .0 . . . . . .= . . . . . . 83 . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .83 . . . . . . . . . gezinnen ..................... 2 Hoeveel gezinnen hebben meer jongens dan meisjes? (7 + 4 + 1 + 1) + (7 + 3 + 0) + (2 + 1) + 1 = 27 ➜ 27 gezinnen

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoeveel gezinnen hebben tenminste drie meisjes? (2 + 2 + 1 + 2 + 1) + (0 + 1 + 1 + 0 + 0) = 10 ➜ 10 gezinnen

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Hoeveel gezinnen hebben twee kinderen? . . . . 6 . . . . . . .+ . . . . . .15 . . . . . . . . .+ . . . . . .4 . . . . . .= . . . . . . 25 . . . . . . . . . .➜ . . . . . . . .25 . . . . . . . . . .gezinnen ..................................................... 5 Stel de frequentietabellen op. aantal kinderen

aantal gezinnen

aantal jongens

aantal gezinnen

aantal meisjes

aantal gezinnen

......................

0

......................

9

......................

0

......................

23

......................

0

......................

......................

1

......................

13

......................

1

......................

33

......................

1

......................

......................

2

......................

25

......................

2

......................

16

......................

2

......................

......................

3

......................

18

......................

3

......................

8

......................

3

......................

......................

4

......................

9

......................

4

......................

3

......................

4

......................

......................

5

......................

4

......................

......................

......................

......................

......................

6

......................

4

......................

......................

......................

......................

......................

7

......................

1

......................

......................

......................

......................

totaal

......................

83

totaal

......................

83

totaal

......................

22 31 20 8 2

83

6 Hoeveel kinderen telt de wijk? 0  9 + 1  13 + 2  25 + 3  18 + 4  9 + 5  4 + 6  4 + 7  1 = 204 ➜ 204 kinderen

.................................................................................................................................................................................................................................

210

5.2 - Frequenties en diagrammen

7

Hoofdstuk 5

Instap

Het Oktoberfest is een jaarlijks volksfeest in München. Het begint halverwege september en eindigt op de eerste zondag van oktober. Het geldt als het grootste bierfestival ter wereld en wordt jaarlijks door meer dan zes miljoen mensen bezocht. Het feest ontstond op 12 oktober 1810 bij het huwelijk van de Beierse kroonprins Ludwig met Therese van Saksen-Hildburghausen. In het staafdiagram is de evolutie van het bezoekersaantal voorgesteld van 2005 tot 2010. aantal bezoekers ( 1 000 000) 8 7

6,5 6,1

6,2

6

6,4 6

5,7

5 4 3 2 1 0

2005

2006

2007

2008

2009

2010

1 Vul de frequentietabel in. jaar

aantal bezoekers  1 000 000

2005

........................................

2006

........................................

2007

........................................

2008

........................................

2009

........................................

2010

........................................

6,1 6,5 6,2 6

5,7 6,4

2006

2 Welk jaar haalde het grootst aantal bezoekers?

................................................................................................................

3 Welk jaar haalde het kleinst aantal bezoekers?

.................................................................................................................

2009

211

Hoofdstuk 5

Statistiek

4 De organisatoren houden ook het jaarlijks bierverbruik bij. In 2005 werd er 6,1 miljoen liter bier gedronken, in 2010 een recordhoeveelheid van 7 miljoen liter. Vervolledig het staafdiagram. bierverbruik in miljoen liter 8 7,0 7

6,6 6,1

6

5,4

5 4,0 4 2,8

3 2

3,8

1,6

1 0 1950

1960

1970

1980

1990

2000

2005

2010

Staafdiagram en lijndiagram We hernemen de tabel die het aantal ziektedagen en hun frequentie voorstelt. aantal ziektedagen

aantal leerlingen (af )

0

5

1

2

2

3

3

4

4

2

5

7

6

1

7

1

totaal

25

De frequentietabel kunnen we grafisch voorstellen met een staafdiagram of met een lijndiagram. Op de horizontale as noteren we het aantal ziektedagen en op de verticale as het aantal leerlingen.

212

5.2 - Frequenties en diagrammen

aantal leerlingen (af ) 8 5

6 4

2

2

aantal leerlingen (af ) 8

7

6

4

3

Hoofdstuk 5

4

2

1

1

2

0

0 0

1

2

3

4

5 6 7 aantal ziektedagen

0

1

2

3

4

5 6 7 aantal ziektedagen

In het staafdiagram zijn de staven even breed. Bij het lijndiagram worden de uitgezette punten onderling verbonden met lijnstukken. De lijnstukken geven enkel de schommelingen weer in het verloop en hebben verder geen betekenis. Ter verduidelijking kunnen we de frequenties boven de staven of bij de stippen noteren. Op het staafdiagram en op het lijndiagram kunnen we bijvoorbeeld aflezen dat 7 leerlingen 5 dagen afwezig waren.

8

A

B

De grafiek stelt het aantal diefstallen zonder en met geweld in Alfastad voor, van 2007 tot 2012. aantal diefstallen 16 15 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2007 2008

17

18

18

20

➜ totaal aantal diefstallen

diefstal zonder geweld diefstal met geweld

2009

2010

2011

2012

Het totaal aantal diefstallen per jaar is in deze periode (A) ongeveer hetzelfde gebleven

(B)

licht gedaald

(D) bijna gehalveerd

(E)

in het begin gedaald en dan opnieuw gestegen

(C)

licht gestegen

Vlaamse Wiskunde Olympiade

9

A

B

In een kraamkliniek wordt de lengte van elke pasgeborene gemeten. In de tabel lezen we de lengte in cm af van de kinderen geboren in de maand maart. Maandelijks worden de tabellen en grafieken aangevuld met nieuwe gegevens. Veerle Peter Louise Lars Tim

52 49 46 51 51

Merel Ward Lotte Jonas Bart

47 51 54 49 46

Charlotte Jens Sofie Ahmed Alice

50 53 49 48 45

Emma Marie Lucas Leon Joke

54 49 50 48 53

Saïda Mathis Wim Thomas Laura

50 47 49 51 52 213

Hoofdstuk 5

Statistiek

1 Gegeven is het staafdiagram met de lengten in januari en februari. Verleng de staven overeenkomstig de nieuwe gegevens van maart. aantal baby’s 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 lengte (cm)

2 Stel een frequentietabel op voor het eerste trimester van het jaar. lengte (cm)

aantal baby’s

.....................................

43

................................................

.....................................

45

................................................

.....................................

46

................................................

.....................................

47

................................................

.....................................

48

................................................

.....................................

49

................................................

.....................................

50

................................................

.....................................

51

................................................

.....................................

52

................................................

.....................................

53

................................................

.....................................

54

................................................

.....................................

55

................................................

.....................................

................................................

1 2 4 6 5

16 10 10 6 7 5 1

3 Hoeveel kans heeft een pasgeboren baby om een lengte te hebben die de hoogste frequentie heeft? 16 . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .0,219... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .22 .......% .................................................................................................................................................................... 73 214

5.2 - Frequenties en diagrammen

10

A

Hoofdstuk 5

B

De energie-uitgaven van een gemiddeld gezin zijn de afgelopen jaren fel gestegen. In de grafiek vinden we de evolutie van de kostprijs van de belangrijkste energiebronnen. gemiddelde uitgaven per huishouden (euro) 1300 1200 brandstof auto

1100 1000 900 800

elektriciteit

700

gas

600

stookolie

500 400 300

2000

2009

2010

2011

1 Welke energiekost is het grootst bij een gemiddeld huishouden?

Brandstof auto.

.......................................................................

Stookolie.

2 Welke kost is het sterkst gestegen sinds 2000? 3 Welke kost is het minst gestegen sinds 2000?

2012

...................................................................................................................

Elektriciteit.

.....................................................................................................................

4 Waarom zijn de lijnstukken tussen 2000 en 2009 in stippellijn getekend? Omdat de jaartallen daar een sprong maken van 9 jaar terwijl de andere

.................................................................................................................................................................................................................................

jaartallen slechts 1 jaar verschillen.

.................................................................................................................................................................................................................................

Energiefactuur 30 procent hoger in drie jaar tijd De energie-uitgaven van een gemiddeld gezin komen volgend jaar 1000 euro hoger uit dan in 2009. De oplopende prijs van ruwe olie op de brandstoffenmarkt creëert een dominoeffect. De consument betaalt de rekening. Een gemiddeld Belgisch gezin gaf in 2009 welgeteld 2912 euro uit aan energie, met brandstof voor de wagen en elektriciteit als de belangrijkste uitgavenposten. De totaalfactuur is inmiddels opgelopen tot 3783 euro en klimt volgend jaar verder tot 3919 euro, zo berekende hoofdeconoom Bart Van Craeynest van beurshuis Petercam. Dat is bijna dubbel zoveel als in 2000.

215

Hoofdstuk 5

Statistiek

5 In de tabel vinden we een overzicht van de evolutie van de totale energiefactuur. Maak een lijndiagram. jaar

totale energiefactuur (euro)

2000

2264

3800

2001

2260

3600

2002

2219

2003

2096

2004

2247

2005

2493

3000

2006

2702

2800

2007

2586

2008

2743

2009

2912

2010

3209

2011

3783

2012

3919

totale energiefactuur (euro) 4000

3400 3200

2600 2400 2200 2000 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

6 Tussen welke jaartallen daalde de totale energiefactuur? Tussen 2000 en 2003

en

tussen 2006 en 2007.

.................................................................................................................................................................................................................................

7 Met hoeveel euro steeg de totale energiefactuur sinds 2007? 3919 – 2586 = 1333 ➜ 1333 euro

.................................................................................................................................................................................................................................

8 De krant kopt: ‘Energiefactuur 30 procent hoger in drie jaar tijd’. Controleer deze uitspraak met de gegevens van 2009. 0,30  2912 = 873,60

.................................................................................................................................................................................................................................

2912 + 873,60 = 3785,60 < 3919

.................................................................................................................................................................................................................................

De energiefactuur is met meer dan 30 % gestegen.

.................................................................................................................................................................................................................................

11

A

B

Het Laatste Nieuws voerde een onderzoek uit naar de werkingsduur van batterijen. De onderzoekers timeden hoe lang een speelgoedtreintje kon blijven rijden op elk soort batterijen. Hier volgen de resultaten.

216

5.2 - Frequenties en diagrammen

MERK

2 Welke batterijen zijn het duurst?

WERKDUUR PRIJS/ST.

Aldi top Craft

3u10

0,31 €

Lidl Aerocell

4u35

0,31 €

Hema XL

2u05

0,87 €

Colruyt Flits

5u12

0,99 €

Energizer Ultra

6u10

1,22 €

Varta High Energy

6u38

1,25 €

Carrefour LR6

6u22

1,47 €

Duracell Plus

6u15

1,60 €

1 Welke batterijen zijn het goedkoopst?

Hoofdstuk 5

Aldi en Lidl.

.....................................................................................................................................

Duracell.

.................................................................................................................................................

3 Volgens het artikel is Varta de beste koop. Verklaar. De batterijen van Varta hebben de langste werkduur en zijn niet de

.................................................................................................................................................................................................................................

duurste.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Om de beste koop te vinden, moeten we de werkduur in verhouding tot de prijs vergelijken. Bereken de werkduur en de prijs per uur op 2 decimalen. Vul de tabel in en vervolledig het staafdiagram. werkduur prijs per uur (uur) (euro)

2,08

.........................

Colruyt

.........................

5,20

.........................

Energizer

.........................

6,17

.........................

Varta

.........................

6,63

.........................

Carrefour

.........................

6,37

.........................

Duracell

.........................

6,25

.........................

0,42 0,19 0,20 0,19 0,23

a Ca rr ef ou r Du ra ce ll

.........................

Va rt

Hema

0,07

er

.........................

En er gi z

4,58

lru yt

.........................

a

Lidl

prijs per uur (euro) 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

Co

0,10

He m

.........................

dl

3,17

Li

.........................

Al di

Aldi

0,26

5 Welke batterij is de beste koop?

Lidl.

....................................................................................................................................................

6 Welke batterij scoort het slechtst in de test?

Hema.

.......................................................................................................................

217

Hoofdstuk 5

12

A

Statistiek

B

Het weekblad Vacature publiceerde een onderzoek naar het aantal minuten dat mannen en vrouwen dagelijks besteden aan niet-betaald werk. Dezelfde resultaten werden voorgesteld in twee verschillende diagrammen. vergelijkend staafdiagram

stapeldiagram tijd (min)

tijd (min) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

mannen

tu en in af on wa de ss rh en ou he d k ui e rs s te n h lui en en sd ki kn ier nd u ts en er elw e ki nd n: w er w k a er en sse ink n e :h en len ui p sw er lass ke en n sp el en

ko ke n

ko ke n

en tu in af on wa de ss rh en ou k d he ui en se rs hu n te li s en di er kn ki ut en nd se er lw en er ki : k nd wa wi er n s s k en en e :h en len ui pl sw as er k e sen n sp el en

120 100 80 60 40 20 0

vrouwen

mannen

vrouwen

stapeldiagram

vergelijkend staafdiagram

Beantwoord de vragen en vink telkens het diagram aan waarin je de informatie hebt afgelezen.

1 Wie besteedt de meeste tijd aan herstel- en knutselwerk? Mannen.

...............................................................................................................................................................................................

2 Aan welk niet-betaald werk besteden mannen en vrouwen nagenoeg evenveel tijd? Tuinonderhoud en huisdieren.

✔

✔

...............................................................................................................................................................................................

3 Aan welke huishoudelijke taak wordt dagelijks het meeste tijd besteed? ✔

Koken en afwassen.

...............................................................................................................................................................................................

4 Aan welke huishoudelijke taak besteden vrouwen dagelijks het meeste tijd? Koken en afwassen.

...............................................................................................................................................................................................

✔

5 Aan welke huishoudelijke taak besteden mannen dagelijks het minste tijd? Kinderen: huiswerk en spelen.

...............................................................................................................................................................................................

✔

6 Welke twee huishoudelijke taken nemen dagelijks het minste tijd in beslag? Herstel- en knutselwerk

en

kinderen: huiswerk en spelen.

...............................................................................................................................................................................................

218

✔

5.2 - Frequenties en diagrammen

13

A

Hoofdstuk 5

B

De jongens en meisjes van de jeugdbeweging doen een taartenslag. Ze krijgen elk een bestelboekje met 12 blaadjes. Het aantal taarten dat elke jongen of meisje verkocht heeft, lezen we af in de tabel. aantal taarten 8 9 10 11 12 totaal

aantal jongens 4 2 3 5 5 19

aantal meisjes 5 4 7 9 10 35

Stel deze frequentietabellen voor met een vergelijkend staafdiagram, een stapeldiagram en een vergelijkend lijndiagram. vergelijkend staafdiagram

stapeldiagram

aantal leden

aantal leden

10

16 14

8

12 10

6

8 4

6 4

2

2 0

0 8

9

10

jongens

11 12 aantal taarten

8

meisjes

9

10

jongens

11 12 aantal taarten meisjes

vergelijkend lijndiagram aantal leden 10 8 6 4 2 0 8

9

10

jongens

11 12 aantal taarten meisjes

219

Hoofdstuk 5

Statistiek

Data voorstellen met een frequentietabel We stellen voor de tabel met data een frequentietabel op.

0 7 0 2 0

aantal ziektedagen 3 5 1 5 0 2 3 5 4 6 4 0 3 5 5

5 5 1 2 3

We stellen de reeks data eerst voor met een staafdiagram. Met de toets TRACE en de pijltjestoetsen kunnen we op het staafdiagram de frequentie van elk waarnemingsgetal aflezen. TEXAS INSTRUMENTS

In het menu STAT voeren we in de lijst L1 de reeks data in. We verwerken de data tot een staafdiagram en tonen het diagram in het statistisch kijkvenster ZoomStat.

[ STAT ] [ 1: Edit ] 0 [ ENTER ] 3 [ ENTER ] 5 [ ENTER ] 1 [ ENTER ] … [ ENTER ] 3 [ ENTER ] [ 2ND ] [ STAT PLOT ] [ 1: Plot1 ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ : 2-maal ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ 2ND ] [ L1] [ ▼ ] [ ALPHA ] 1 [ ZOOM ] [ 9: ZoomStat ] ▼

■

We passen het kijkvenster aan: xmin = kleinste waarnemingsgetal = 0 xmax = grootste waarnemingsgetal + staafbreedte = 7 + 1 = 8 xscl = staafbreedte = 1 Met de volgcursor en de pijltjestoetsen lezen we de frequentie van elk waarnemingsgetal af.

[ WINDOW ] 0 [ ▼ ] 8 [ ▼ ] 1 [ GRAPH ] [ TRACE ] [ ] … ▼

■

Onderaan het staafdiagram duidt de notatie min het waarnemingsgetal aan en n de bijbehorende frequentie. Met de gegevens van het staafdiagram stellen we de frequentietabel op.

220

5.2 - Frequenties en diagrammen

aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

Hoofdstuk 5

aantal leerlingen (af ) 5 2 3 4 2 7 1 1 25

Merk op Om een lijst te wissen, gaan we met de cursor op de lijstnaam staan en drukken we de toets CLEAR.

CASIO

In het menu STAT voeren we in de lijst List1 de reeks data in. We verwerken de data tot een staafdiagram en tonen het diagram in het statistisch kijkvenster met een staafbreedte van 1. Met de volgcursor en de pijltjestoetsen lezen we de frequentie van elk waarnemingsgetal af. ■

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ SHIFT ] [ V  WIN ] [ F3: STD ] [ EXIT ] 0 [ EXE ] 3 [ EXE ] 5 [ EXE ] 1 [ EXE ] … [ EXE ] 3 [ EXE ] ▼

[ F1: GRPH ] [ F6: SET ] [ F1: GPH1 ] [ ▼ ] [ F6: ] [ F1: Hist ] [ ▼ ] [ F1: LIST ] 1 [ EXE ] [ ▼ ] [ F1: 1 ] [ EXIT ] [ F1: GPH1 ] [ ▼ ] 1 [ EXE ] [ EXE ] ▼

[ SHIFT ] [ F1: TRCE ] [ ] …

Onderaan het staafdiagram duidt de notatie x het waarnemingsgetal aan en f de bijbehorende frequentie. Aan de hand van het staafdiagram stellen we de frequentietabel op.

221

Hoofdstuk 5

Statistiek

aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen (af ) 5 2 3 4 2 7 1 1 25

▼

Merk op Om een lijst te wissen, gaan we met de cursor op de lijstnaam staan en drukken we de toets [F6: ] en vervolgens [F4: DEL  A].

14

A

B

Gedurende 20 opeenvolgende trekkingen noteert Steven de 6 lottogetallen. Hij is overtuigd te zullen winnen met de getallen die het meest voorkomen. 4 2 2 14 7 11 5 1 5 43

7 3 4 21 11 16 11 5 15 23

25 18 11 28 17 18 26 7 20 28

26 27 17 36 27 25 27 22 28 29

40 29 35 39 41 30 35 26 32 31

42 31 40 40 42 32 39 28 34 34

6 10 3 1 1 8 9 1 3 7

Welke getallen zal Steven op het lottoformulier aankruisen?

222

11 24 5 12 3 9 15 17 7 12

17 30 7 19 13 27 17 18 10 15

25 36 12 25 26 29 27 23 23 24

30 37 26 32 37 33 31 24 28 26

40 41 45 33 41 36 41 35 38 39

7, 11, 17, 26, 27 en 28.

........................................................................................

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

Frequentietabellen voorstellen met staafdiagrammen en lijndiagrammen We stellen de frequentietabel voor met een staafdiagram en met een lijndiagram. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen (af ) 5 2 3 4 2 7 1 1 25

TEXAS INSTRUMENTS

Met de toets STAT kunnen we een frequentietabel invoeren in twee lijsten. We geven elke lijst een naam. ▼

[ STAT ] [ 1: Edit ] [ ▲ ] [ : tot blancolijstnaam ] ZDAGN [ ENTER ] [ ] AF [ ENTER ] [ ] [ ▼ ] 0 [ ENTER ] 1 [ ENTER ] 2 [ ENTER ] … [ ENTER ] 7 [ ENTER ] ▼

■

▼

▼

[ ] 5 [ ENTER ] 2 [ ENTER ] 3 [ ENTER ] … [ ENTER ] 1 [ ENTER ]

We stellen de rekenmachine in voor het plotten van een staafdiagram. De lijsten ZDAGN en AF die we aangemaakt hebben, staan weggeschreven in het menu LIST NAMES.

[ 2ND ] [ STAT PLOT ] [ 1: Plot1 ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ : 2-maal ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot ZDAGN ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot AF ] [ ENTER ] [ ZOOM ] [ 9: ZoomStat ] [ WINDOW ] 0 [ ▼ ] 8 [ ▼ ] 1 [ TRACE ] [ ] … ▼

▼

■

223

Hoofdstuk 5

Statistiek

We stellen de rekenmachine in voor het plotten van een lijndiagram.

[ 2ND ] [ STAT PLOT ] [ 1: Plot1 ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot ZDAGN ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot AF ] [ ENTER ] ▼

■

[ ZOOM ] [ 9: ZoomStat ] [ WINDOW ] 0 [ ▼ ] 8 [ ▼ ] 1 [ GRAPH ]

CASIO

In het menu STAT kunnen we een frequentietabel invoeren in twee lijsten. We geven elke lijst een naam. ■

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ ▲ ] ZDAGN [ EXE ] 0 [ EXE ] 1 [ EXE ] 2 [ EXE ] … [ EXE ] 7 [ EXE ] ▼

[ ] [ ▲ ] AF [ EXE ] 5 [ EXE ] 2 [ EXE ] 3 [ EXE ] … [ EXE ] 1 [ EXE ]

We stellen de rekenmachine in voor het plotten van een staafdiagram.

[ F1: GRPH ] [ F6: SET ] [ F1: GPH1 ] [ ▼ ] [ F6: ] [ F1: Hist ] [ ▼ ] [ F1: LIST ] 1 [ EXE ] [▼ ] [ F2: LIST ] 2 [ EXE ] [ EXIT ] ▼

■

▼

[ F1: GPH1 ] [ ▼ ] 1 [ EXE ] [ EXE ] [ SHIFT ] [ F1: TRCE ] [ ] …

We stellen de rekenmachine in voor het plotten van een lijndiagram. ■

224

[ EXIT ] [ F6: SET ] [ F1: GPH1 ] [ ▼ ] [ F2: xy ] [ ▼ ] [ F1: LIST ] 1 [ EXE ] [ ▼ ] [ F1: LIST ] 2 [ EXE ] [ ▼ ] [ F1: 1 ] [ EXIT ] [ F1: GPH1 ]

5.2 - Frequenties en diagrammen

15

A

Hoofdstuk 5

B

Voer de frequentietabel in en teken met ICT een staafdiagram en een lijndiagram. 1

geboortemaand 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

af 19 25 21 26 24 24 29 20 16 18 24 17

2

schoenmaat 36 38 39 40 41 42 43 44 47 48

af 2 5 8 8 12 14 6 2 1 1

1 Texas Instruments

Casio

2 Texas Instruments

Casio

225

Hoofdstuk 5

Statistiek

 Relatieve frequentie 16

Instap

De krant ‘De Zondag’ hield bij 1400 Vlamingen een enquête over bankzaken. Eén van de vragen was: “Hoe vaak gaat u persoonlijk langs bij de bank?” De resultaten vinden we in de tabel. 1 Bereken de percentages en vul de tabel in. aantal percentage Vlamingen 15 %

minstens 1 keer per week

210

............................

1 à 2 keer per maand

336

............................

een paar keer per jaar

742

............................

nooit

112

............................

totaal

1400

24 % 53 %

8%

100 %

2 De antwoorden van opdracht 1 zijn voorgesteld met een cirkeldiagram en een strookdiagram. Schrijf de berekende percentages bij elk deel en vul de legende in. 8

..............

%

15 %

..............

15 ........ %

24 ........ %

53 ........ %

8%

........

53 %

..............

24 %

..............

nooit

.............................................................................................

1 à 2 keer per maand

.............................................................................................

.............................................................................................

.............................................................................................

minstens 1 keer per week een paar keer per jaar

3 De resultaten op de vraag “Vindt u dat u genoeg geld hebt?” zijn voorgesteld met een strookdiagram. 4%

37%

37%

ruimschoots nee, kom net rond

genoeg om comfortabel te leven nee, helemaal niet

16%

6%

genoeg om rond te komen

a Hoeveel ondervraagden vinden dat ze ruimschoots voldoende geld hebben? 0,04  1400 = 56 ➜ 56 ondervraagden

..........................................................................................................................................................................................................................

b Hoeveel ondervraagden zeggen niet genoeg geld te hebben? 0,16  1400 + 0,06  1400 = 308 ➜ 308 ondervraagden

..........................................................................................................................................................................................................................

226

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

Relatieve frequentie We breiden de tabel met de absolute frequenties van het aantal ziektedagen uit met een kolom. In deze kolom lezen we het percentage leerlingen af dat een bepaald aantal dagen afwezig was. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen af rf 5 20 % 2 3 4 2 7 1 1 25

5 = 0,2 = 20 % 25 2 = 0,08 = 8 % 25

8% 12 % 16 % 8% 28 % 4% 4% 100 %

...

Als we de absolute frequentie delen door het aantal gegevens, verkrijgen we de relatieve frequentie: relatieve frequentie =

absolute frequentie aantal gegevens

De relatieve frequentie korten we af met rf. We lezen af dat 28 % van de leerlingen 5 dagen afwezig was. We zeggen: de relatieve frequentie van 5 is gelijk aan 28 % Merk op De som van de relatieve frequenties van alle waarnemingsgetallen is gelijk aan 100 %. Als we de uitkomsten afronden, kan de som een benadering van 100 % zijn.

17

A

B

Mevrouw Taalmans houdt een enquête bij haar leerlingen van het vierde jaar. De antwoorden op de vraag “Hoeveel boeken heb je vorig jaar gelezen?” heeft ze verwerkt in de staafdiagrammen. jongens aantal jongens (af ) 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1

2

3

meisjes

4 5 aantal boeken

aantal meisjes (af ) 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

3

4

5 6 aantal boeken

227

Hoofdstuk 5

Statistiek

1 Verwerk de gegevens van de staafdiagrammen tot een tabel met absolute en relatieve frequenties. Rond af op 0,1 %. aantal jongens

aantal meisjes

aantal boeken af

rf

af

rf

0

.......................................

2

.......................................

12,5 %

.......................................

0

.......................................

1

.......................................

4

.......................................

25,0 %

.......................................

1

.......................................

2

.......................................

6

.......................................

37,5 %

.......................................

4

.......................................

3

.......................................

3

.......................................

18,8 %

.......................................

3

.......................................

4

.......................................

0

.......................................

0,0 %

.......................................

6

.......................................

5

.......................................

1

.......................................

6,3 %

.......................................

0

.......................................

6

.......................................

0

.......................................

0,0 %

.......................................

1

.......................................

totaal

.......................................

16

.......................................

100 %

.......................................

15

.......................................

2 Hoeveel percent van de jongens leest 2 boeken per jaar?

0,0 %

6,7 %

26,7 % 20,0 % 40,0 %

0,0 %

6,7 %

100 %

37,5 %

..........................................................................................

3 Hoeveel percent van de jongens leest meer dan 2 boeken? tabel: 18,8 % + 6,3 % = 25,1 %

berekening:

3+1

= 0,25 = 25 %

.................................................................................................................................................................................................................................

16

4 Hoeveel percent van de meisjes leest ten hoogste 3 boeken? tabel: 6,7 % + 26,7 % + 20,0 % = 53,4 %

berekening:

1+ 4 +3

= 0,533… = 53,3 % 15 5 Hoeveel percent van de jongens en de meisjes leest maar 1 boek per jaar? 4 +1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 0,1612… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 16,1 . . . . . . . . . . . . . .% .................................................................................................................................. 16 +15 31 .................................................................................................................................................................................................................................

228

5.2 - Frequenties en diagrammen

18

A

Hoofdstuk 5

B

Een buizenfabriek moet 80 buizen met een lengte van 50 cm leveren met een toegestane tolerantie van 3 mm. Na productie wordt de lengte van elke buis nagemeten. De meetresultaten lezen we af in de tabel. 1 Vul de tabel aan met de relatieve frequenties. Rond af op 0,1 %. aantal buizen

buislengte (cm)

af

rf

49,6

2

.........................

49,7

8

.........................

49,8

17

.........................

49,9

19

.........................

50,0

15

.........................

50,1

4

.........................

50,2

6

.........................

50,3

6

.........................

50,4

2

.........................

50,5

1

.........................

totaal

80

2,5 %

10,0 % 21,3 % 23,8 % 18,8 % 5,0 % 7,5 % 7,5 % 2,5 % 1,3 %

100 %

2 Hoeveel buizen worden er afgekeurd? 2 + 2 + 1 = 5 ➜ 5 buizen

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoeveel percent van de buizen voldoet aan een tolerantie van 1 mm? tabel: 23,8 % + 18,8 % + 5,0 % = 47,6 %

.................................................................................................................................................................................................................................

berekening:

19 +15 + 4

= 0,475 = 47,5 %

.................................................................................................................................................................................................................................

80

229

Hoofdstuk 5

19

A

Statistiek

B

Lees het onderstaand artikel. Plaats het nummer van elke onderzoeksvraag bij het passende cirkeldiagram.

Bijna helft Vlamingen steelt al eens iets Brussel • Iets minder dan de helft van de Vlamingen, 45 procent om precies te zijn, heeft ooit al eens iets gestolen. Dat blijkt althans uit een enquête van de CM, dat bij bijna 1400 Vlamingen peilde naar hun crimineel gedrag. De gestolen objecten variëren nogal. Zo bekende 14 procent dat ze ooit een fiets stalen. Andere populaire voorwerpen die zonder betalen werden meegenomen zijn Kindersurprises, kauwgom en haarspeldjes. Eén op zeven respondenten geeft ook toe al ooit iets gestolen te hebben uit de supermarkt. Veel hangt evenwel af van de interpretatie. Zo durven sommigen wel eens vals te spelen met de weegschaal voor groenten en fruit, of drinken ze tijdens het winkelen zonder af te rekenen, maar noemen ze dat niet stelen. Twee op drie vindt ook niet dat je iets moet zeggen als je te veel wisselgeld terugkrijgt of de kassier iets vergeet aan te rekenen.

Nog uit de enquête blijkt dat één op de vijf respondenten ooit al voor een rechter moest verschijnen. Toch zijn de meeste gepleegde feiten die in het onderzoek aan bod kwamen lichte overtredingen, die in bijna driekwart van de gevallen tot een boete hebben geleid. 46 procent reed bijvoorbeeld al eens met de bus, tram of trein zonder te betalen, en bijna tweederde heeft al eens muziek, software, films of tv-series illegaal gedownload.Op het werk heeft 7 procent al eens lange vingers gehad. 14,5 procent geeft toe dat ze ooit al eens sjoemelde met zijn of haar onkostennota of gepresteerde uren. Meer dan vier op de tien Vlamingen beweert dan weer dat ze zich aan alle milieuregels houden. Als meest populaire milieuovertreding in die categorie staat wildplassen (58 procent) met stip op één. Uit: De Morgen

(1) Heb je ooit al eens iets gestolen? (2) Heb je al eens iets gestolen uit de supermarkt? (3) Moet je iets zeggen als je teveel wisselgeld terugkrijgt of de kassier iets vergeet aan te rekenen? (4) Ben je al eens voor de rechter moeten verschijnen? (5) Heb je al eens muziek, software, films of tv-series illegaal gedownload? (6) Houd jij je aan alle milieuregels? 3

neen 67 %

ja 33 %

6

neen 60 %

230

ja 67 %

ja 14 %

ja 40 % neen 86 %

5 neen 33 %

2

1

neen 55 %

ja 45 %

4 ja 20 % neen 80 %

5.2 - Frequenties en diagrammen

20

A

Hoofdstuk 5

B

Met twee dobbelstenen kunnen we 36 verschillende combinaties werpen.

1 Hoeveel combinaties bestaan er om een bepaald aantal ogen te werpen? Stel een frequentietabel op voor elk aantal ogen dat we met twee dobbelstenen kunnen gooien. aantal ogen af

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

............

2

............

3

............

4

............

5

............

6

............

5

............

4

............

3

............

2

............

............

1

2 De kans dat we met twee dobbelstenen 7 gooien, is veel groter dan dat we 12 ogen gooien. Bereken de kans dat we met twee dobbelstenen 5 gooien. kans =

aantal gunstige combinaties = mbinaties totaal aantal com

4

=

1

➜ 1 kans op 9

........................................................................................................................................

36

9

3 Stel een tabel op waarbij de kans om een aantal ogen te werpen, uitgedrukt is in percenten. Rond af op 1 %. aantal ogen kans (%)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3

............

6

............

8

............

11

............

14

............

17

............

14

............

11

............

8

............

6

............

............

3

4 Aan welk soort frequenties zijn de kansen in de voorgaande tabel gelijk? Relatieve frequenties.

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Hoeveel percent kans hebben we om 'dubbel-zes' te gooien? 3%

.................................................................................................................................................................................................................................

6 Voor welk aantal ogen is de kans groter dan 15 %? 7 ogen

.................................................................................................................................................................................................................................

231

Hoofdstuk 5

Statistiek

7 Met een computer simuleren we 5 keer 100 worpen met twee dobbelstenen. In de tabel zien we hoe vaak een bepaald aantal ogen in elk experiment van 100 worpen voorkomt. Stel een frequentietabel op met percentages die aangeven hoe vaak elk aantal ogen is voorgekomen. Rond af op 1 %. aantal ogen

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

experiment 1

2

7

11

17

13

14

13

10

6

5

2

experiment 2

1

7

10

12

7

21

14

15

10

3

0

experiment 3

4

6

4

8

22

27

6

10

5

4

4

experiment 4

6

8

9

10

13

16

12

9

12

3

2

experiment 5

2

6

12

9

19

17

7

12

7

7

2

aantal ogen

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3%

............

7%

............

4%

............

rf

............

9 % 11 15 19 10 11 . . . . . . . .% .... . . . . . . . .% .... . . . . . . . .% .... . . . . . . . .% .... . . . . . . . .% .... . .8 . . . .% ......

............

2%

8 Welke aantallen ogen wijken meer dan 2 % af van de vooropgestelde kans? 8 ogen

.................................................................................................................................................................................................................................

Relatieve frequenties We breiden de frequentietabel van het aantal ziektedagen uit met relatieve frequenties. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen (af ) 5 2 3 4 2 7 1 1 25

TEXAS INSTRUMENTS

We hernemen de lijsten ZDAGN en AF en we breiden de frequentietabel uit met relatieve frequenties. De formule die we aan de lijstnaam koppelen, voeren we in tussen aanhalingstekens zodat de lijst automatisch aangepast wordt wanneer een gegeven verandert in de lijst waarnaar de formule verwijst.

[ STAT ] [ 1: Edit ] [ ▲ ] [ : tot blancolijstnaam ] RF [ ENTER ] [ ENTER ] [ ALPHA ] [ “ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot AF ] [ ENTER ] [ ÷ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ : MATH ] [ 5: sum ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot AF ] [ ENTER] [ ) ] [  ] 100 [ ALPHA ] [ “ ] [ ENTER ] ▼

■

▼

232

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

Merk op Lijsten en lijstnamen kunnen we wissen met de TI-toets MEM (Mem Mgmt/Del en optie List). Met de toets STAT (menu EDIT en optie SetUpEditor) zullen de verwijderde voorgeprogrammeerde lijstnamen L1 tot en met L6 opnieuw verschijnen in de kolommen 1 tot en met 6 van het scherm STATLIST. CASIO

We hernemen de lijsten ZDAGN en AF en we breiden de frequentietabel uit met relatieve frequenties. ▼

▼

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ ▲ ] [ : tot blancolijstnaam ] RF [ EXE ] [ ▲: 2-maal ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F6: ] [ F6: ] [ F4: % ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F1: List ] 2 [ EXE ] ▼

■

Merk op Lijsten en lijstnamen kunnen we wissen in het menu MEMORY (submenu Main Mem en optie LIST FILE).

233

Hoofdstuk 5

21

A

Statistiek

B

Vul de tabel in. Bereken met ICT en rond af op 0,1 %. 1

22

2

geboortemaand

af

rf

schoenmaat

af

rf

1

19

.............................

7,2 %

36

2

.............................

2

25

.............................

9,5 %

38

5

.............................

3

21

.............................

8,0 %

39

8

.............................

4

26

.............................

9,9 %

40

8

.............................

5

24

.............................

9,1 %

41

12

.............................

6

24

.............................

9,1 %

42

14

.............................

7

29

.............................

11,0 %

43

6

.............................

8

20

.............................

7,6 %

44

2

.............................

9

16

.............................

6,1 %

47

1

.............................

10

18

.............................

6,8 %

48

1

.............................

11

24

.............................

12

17

.............................

A

3,4 % 8,5 %

13,6 % 13,6 % 20,3 % 23,7 % 10,2 % 3,4 % 1,7 % 1,7 %

9,1 % 6,5 %

B

Vul de tabel in. Bereken met ICT en rond af op 0,1 %. af

rf

leeftijd

234

meisjes

jongens

meisjes

jongens

12

14

15

.........................................

10,0 %

.........................................

13

12

17

.........................................

8,6 %

.........................................

14

15

14

.........................................

10,7 %

.........................................

15

17

18

.........................................

12,1 %

.........................................

16

23

20

.........................................

16,4 %

.........................................

17

20

17

.........................................

14,3 %

.........................................

18

15

12

.........................................

10,7 %

.........................................

19

13

14

.........................................

9,3 %

.........................................

20

11

11

.........................................

7,9 %

.........................................

10,9 % 12,3 % 10,1 % 13,0 % 14,5 % 12,3 % 8,7 %

10,1 % 8,0 %

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

Cirkeldiagram en strookdiagram Om relatieve frequenties grafisch voor te stellen, kunnen we een cirkeldiagram of een strookdiagram gebruiken. Aan 613 Vlamingen ouder dan 18 jaar werd gevraagd welk vervoermiddel ze het veiligst vonden. De resultaten lezen we af in de tabel. aantal Vlamingen vervoermiddel af

rf

vliegtuig

276

45 %

trein

129

21 %

auto

116

19 %

geen enkel

92

15 %

totaal

613

100 %

We tekenen een cirkeldiagram en een strookdiagram. De cirkel verdelen we in vier cirkelsectoren en de rechthoek in vier stroken zodat hun oppervlakte recht evenredig is met de relatieve frequentie. 15 %

vliegtuig 45 %

19 %

trein

45 %

auto

21 %

19 %

15 %

geen enkel

21 %

De sector die overeenkomt met het antwoord ‘vliegtuig’ heeft een middelpuntshoek die gelijk is aan 45 % van 360° of 162°. 0,45  360 = 162 De deelstrook die overeenkomt met het antwoord ‘vliegtuig’ heeft een lengte die gelijk is aan 45 % van de totale strook van 8 cm of 3,6 cm. 0,45  8 = 3,6

23

A

B

Aan 750 Vlamingen werd gevraagd hoeveel boeken ze het afgelopen jaar gelezen hebben. 29 % van de Vlamingen antwoordde dat ze vorig jaar geen enkel boek lazen. Hoe lang is de strook van het strookdiagram van 17 cm dat daarmee overeenkomt? Bereken dit zonder te meten.

geen boeken 11 tot 20 boeken

1 tot 5 boeken 21 tot 30 boeken

6 tot 10 boeken meer dan 30 boeken

0,29  17 = 4,93 ➜ 4,9 cm

........................................................................................................................................................................................................................................

235

Hoofdstuk 5

24

A

Statistiek

B

In een brochure wil de minister van onderwijs illustreren hoe het onderwijsbudget wordt verdeeld. Het secundair onderwijs krijgt 40 % van het budget. Welke hoek van het cirkeldiagram komt daarmee overeen? andere uitgaven

basisonderwijs

hoger onderwijs

secundair onderwijs

(A) 40°

(B) 140°

(C) 144°

(D)

152°

(E) 160°

Vlaamse Wiskunde Olympiade

0,40  360 = 144 ➜ 144°

........................................................................................................................................................................................................................................

25

A

B

Het 3D-cirkeldiagram geeft weer wat er met gebruikte, niet-herlaadbare batterijen gebeurt in België. gesorteerd en weggebracht naar een BEBAT-inzamelpunt belandt bij huisvuil 18 % niet gesorteerd en blijft ergens in huis liggen

9%

55 %

18 %

thuis gesorteerd maar niet weggebracht

Bereken de middelpuntshoek voor elk percentage. Teken het cirkeldiagram. Wat gebeurt er met de batterijen?

236

middelpuntshoek 64,8°

belandt bij huisvuil

.........................................

gesorteerd en weggebracht naar een BEBAT-inzamelpunt

.........................................

thuis gesorteerd maar niet weggebracht

.........................................

niet gesorteerd en blijft ergens in huis liggen

.........................................

198°

64,8° 32,4°

5.2 - Frequenties en diagrammen

26

A

Hoofdstuk 5

B

Aan 120 voetballiefhebbers werd gevraagd of Anderlecht de thuiswedstrijd tegen Club Brugge zal winnen, verliezen of gelijkspelen. De antwoorden worden als volgt opgetekend: 1 = winst, 2 = verlies en  = gelijkspel. 

2 1 2 2 2 1 1 2   2 2    2 2 1 2 2  2 2

1 1 1 2 1 1

1 2  1  2 2 1 1 1 1 2

 

1 1  2 2  1 2   1 1 2 2 1   1 2 2 2  2 2 2 2   1 1 1   1 1 1 2 2 1 2

1 2  2 1 1  2   2 1 2 2   1 2  1 1 1 2 



2 1 1 2  2 2 2 2 1 2

1 Vul de tabel in. Rond af op 1 %. aantal voetballiefhebbers voetbaluitslag af

rf

1

................................

40

................................

33 %

2

................................

48

................................



................................

32

................................

totaal

120

100 %

40 % 27 %

2 Stel de frequentietabel voor met een cirkeldiagram. voetbaluitslag

middelpuntshoek

1

...................................................

2

...................................................



...................................................

totaal

360°

120°

1

144° 96°

2 

3 Stel de frequentietabel voor met een strookdiagram. voetbaluitslag

hoogte

1

...................................................

2

...................................................



...................................................

totaal

50 mm

17 mm

1

20 mm 13 mm

2 

237

Hoofdstuk 5

27

A

Statistiek

B

Aan de ingang van Cine-Deltapolis wordt aan elke bezoeker gevraagd hoeveel maal per maand hij of zij naar de bioscoop gaat. Het resultaat van de enquête lezen we af in de frequentietabel. aantal personen

aantal bioscoopbezoeken

af

rf

1

235

...................................

2

388

...................................

3

307

...................................

4

146

...................................

5 of meer

60

...................................

totaal

...................................

1136

...................................

21 % 34 % 27 % 13 % 5%

100 %

1 Hoeveel personen werden ondervraagd?

1136 personen

...............................................................................................................................

2 Hoeveel ondervraagden zien minstens twee films per maand? 1136 – 235 = 901 ➜ 901 ondervraagden

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Vul de frequentietabel aan met relatieve frequenties. Rond af op 1 %. 4 Hoeveel percent van de ondervraagden gaat meer dan 3 keer per maand naar de bioscoop? 13 % + 5 % = 18 %

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Stel het resultaat van de enquête voor met een cirkeldiagram. 1 .................. 2 .................. 3 .................. 4 .................. 5 . . . . . of . . . . . . . meer ...... 6 Stel het resultaat van de enquête voor met een strookdiagram van 12 cm en schrijf de relatieve frequenties in de deelstroken. 21%

1

..................

238

34%

2

..................

27%

3

..................

4

..................

13%

5%

5 of meer

..................

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

 Cumulatieve frequentie 28

Instap

Jasmijn doet in haar klas een bevraging naar het aantal schoenen van de leerlingen. De resultaten vat ze samen in de tabel. af

rf

aantal paar schoenen

jongens

meisjes

jongens

meisjes

4

3

1

....................

25 %

....................

5

2

1

....................

17 %

....................

6

4

3

....................

33 %

....................

7

0

2

....................

0%

....................

8

2

5

....................

17 %

....................

9

0

2

....................

0%

....................

10

1

1

....................

8%

....................

11

0

0

....................

0%

....................

12

0

1

....................

0%

....................

12

16

100 %

100 %

6%

6%

19 %

13 % 31 %

13 %

6% 0%

6%

1 Vul de tabel aan met relatieve frequenties. Rond af op 1 %. 2 Hoeveel meisjes hebben niet meer dan 8 paar schoenen? 1 + 1 + 3 + 2 + 5 = 12 ➜ 12 meisjes

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoeveel percent van de jongens heeft niet meer dan 4 paar schoenen?

25 %

.........................................................

4 Hoeveel percent van de jongens en hoeveel percent van de meisjes hebben 6 paar schoenen of minder? jongens:

25 % + 17 % + 33 % = 75 %

....................................................................................

meisjes:

6 % + 6 % + 19 % = 31 %

...........................................................................................

5 Hoeveel meisjes en hoeveel jongens hebben 10 paar schoenen of meer? jongens:

1

....................................................................................

meisjes:

1 + 1 = 2

...........................................................................................

6 Hoeveel leerlingen hebben minder dan 6 paar schoenen?

3 + 2 + 1 + 1 = 7

........................................................................................

7 Hoeveel percent van de leerlingen heeft 5 paar schoenen? 2+1

=

3

= 0,107… ➜ 11 %

.................................................................................................................................................................................................................................

12+16

28

239

Hoofdstuk 5

Statistiek

Cumulatieve frequentie We breiden de tabel met de absolute frequenties van het aantal ziektedagen uit met een kolom. In deze kolom lezen we het aantal leerlingen af dat niet meer dan een bepaald aantal dagen afwezig was. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen af caf 5 5 2 7 3 10 4 14 2 16 7 23 1 24 1 25 25

5 5+2=7 5 + 2 + 3 = 10 5 + 2 + 3 + 4 = 14 ...

Het getal dat aangeeft hoeveel data niet groter zijn dan een waarnemingsgetal, noemen we de cumulatieve absolute frequentie van dat waarnemingsgetal. De cumulatieve absolute frequentie korten we af met caf. We lezen af dat 16 leerlingen maximaal 4 dagen ziek waren. We zeggen: de cumulatieve absolute frequentie van 4 is gelijk aan 16 Merk op Geen enkele leerling is meer dan 7 dagen ziek. Daarom is de cumulatieve absolute frequentie van 7 gelijk aan het totaal aantal leerlingen van de klas, namelijk 25. Cumulatieve relatieve frequentie We breiden de tabel met de relatieve frequenties van het aantal ziektedagen uit met een kolom. In deze kolom lezen we het percentage leerlingen af dat niet meer dan een bepaald aantal dagen afwezig was. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

240

aantal leerlingen rf crf 20 % 20 % 8% 28 % 12 % 40 % 16 % 56 % 8% 64 % 28 % 92 % 4% 96 % 4% 100 % 100 %

20 20 + 8 = 28 20 + 8 + 12 = 40 20 + 8 + 12 + 16 = 56 ...

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

Het percentage dat aangeeft hoeveel data niet groter zijn dan een waarnemingsgetal, noemen we de cumulatieve relatieve frequentie van dat waarnemingsgetal. De cumulatieve relatieve frequentie korten we af met crf. We lezen af dat 64 % van de leerlingen maximaal 4 dagen afwezig was. We zeggen: de cumulatieve relatieve frequentie van 4 is gelijk aan 64 %

29

A

B

Otto is parkeerwachter in een ondergrondse garage waar automobilisten kunnen parkeren van 6 tot 20 uur. Aan de hand van de parkeerbonnen kan Otto nagaan hoe lang de auto’s geparkeerd werden. Hij maakt een dagoverzicht waarbij de parkeertijd van de auto’s naar uren is herleid. parkeertijd (uur)

aantal auto’s

maximum parkeertijd (uur)

aantal auto’s

1

720

1

.........................................

2

834

2

.........................................

3

541

3

.........................................

4

213

4

.........................................

5

180

5

.........................................

6

50

6

.........................................

7

34

7

.........................................

8

12

8

.........................................

9

4

9

.........................................

10

7

10

.........................................

11

2

11

.........................................

12

0

12

.........................................

13

0

13

.........................................

14

1

14

.........................................

totaal

2598

720

1554 2095 2308 2488 2538 2572 2584 2588 2595 2597 2597 2597 2598

1 Maak een tabel waarin we het aantal auto’s kunnen aflezen dat ten hoogste 1, 2, 3, 4 … uren geparkeerd stond. 2 Hoe noemen we de aantallen die we ingevuld hebben in de tabel? Cumulatieve absolute frequenties.

.................................................................................................................................................................................................................................

241

Hoofdstuk 5

30

A

Statistiek

B

Mijnheer Weetal geeft hetzelfde examen wiskunde in twee klassen. Om de punten op 10 van de leerlingen uit de klassen met elkaar te vergelijken, stelt hij frequentietabellen op. 4A

punten

af

rf

punten

af

rf

caf

crf

2

1

5%

1

5%

3

3

12 %

3

12 %

3

2

10 %

3

15 %

4

2

8%

5

20 %

4

2

10 %

5

25 %

5

9

36 %

14

56 %

5

3

15 %

8

40 %

6

6

24 %

20

80 %

6

6

30 %

14

70 %

7

3

12 %

23

92 %

7

3

15 %

17

85 %

8

1

4%

24

96 %

8

2

10 %

19

95 %

9

1

4%

25

100 %

9

1

5%

20

100 %

totaal

25

100 %

totaal

20

100 %

caf

crf

4B

1 Hoeveel leerlingen behalen het maximum van de punten? 4A:

geen

................................................................................................

geen

4B:

......................................................................................................

4B:

......................................................................................................

2 Wat is het laagste cijfer behaald in elke klas? 4A:

2 punten

................................................................................................

3 punten

3 Hoeveel leerlingen van elke klas krijgen een 5 voor hun examen? 4A:

3 leerlingen

................................................................................................

4B:

9 leerlingen

......................................................................................................

4 Zes leerlingen van 4A en van 4B behalen het cijfer 6. Hoeveel percent van de leerlingen is dat voor elke klas? 4A:

30 %

................................................................................................

4B:

24 %

......................................................................................................

5 Hoeveel leerlingen van elke klas hebben 4 of minder dan 4 punten? 4A:

5 leerlingen

................................................................................................

4B:

5 leerlingen

......................................................................................................

6 Hoeveel leerlingen van elke klas behalen meer dan 6 punten? 4A:

20 – 14 = 6 ➜ 6 leerlingen

................................................................................................

4B:

25 – 20 = 5 ➜ 5 leerlingen

......................................................................................................

7 Hoeveel percent van de leerlingen van elke klas behaalt minder dan 5 punten? 4A:

25 %

................................................................................................

4B:

20 %

......................................................................................................

8 Hoeveel percent van de leerlingen van elke klas behaalt meer dan 7 punten? 4A:

242

100 % – 85 % = 15 %

................................................................................................

4B:

100 % – 92 % = 8 %

......................................................................................................

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

Cumulatieve frequenties We breiden de frequentietabel van het aantal ziektedagen uit met cumulatieve frequenties. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen af rf 5 20 % 2 8% 3 12 % 4 16 % 2 8% 7 28 % 1 4% 1 4% 25 100 %

TEXAS INSTRUMENTS

We hernemen de lijsten ZDAGN, AF en RF en we breiden de frequentietabel uit met cumulatieve absolute frequenties en met cumulatieve relatieve frequenties.

[ STAT ] [ 1: Edit ] [ ▲ ] [ : tot blancolijstnaam ] CAF [ ENTER ] [ ENTER ] [ ALPHA ] [ “ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ : OPS ] [ 6: cumSum ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot AF ] [ ENTER] [ ) ] [ ALPHA ] [ “ ] [ ENTER ]

■

[ ▲ ] [ ] [ ENTER ] CRF [ ENTER ] [ ENTER ] [ ALPHA ] [ “ ] [ 2ND ] [ LIST ] [ : OPS ] [ 6: cumSum ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ▼: tot RF ] [ ENTER ] [ ) ] [ ALPHA ] [ “ ] [ ENTER ] ▼

▼

▼

▼

■

CASIO

We hernemen de lijsten ZDAGN, AF en RF en we breiden de frequentietabel uit met cumulatieve absolute frequenties en met cumulatieve relatieve frequenties.

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ ▲ ] [ : tot blancolijstnaam ] CAF [ EXE ] [ ▲: 2-maal ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F6: ] [ F6: ] [ F3: Cuml ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F1: List ] 2 [ EXE ]

■

[ ] [ ▲ ] CRF [ EXE ] [ ▲: 2-maal ] [ F3: Cuml ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F1: List ] 3 [ EXE ]

▼

▼

▼

▼

■

243

Hoofdstuk 5

31

A

Statistiek

B

Een labo controleert de massa van 250 ampullen die machinaal met penicilline gevuld werden. Alle ampullen met een massa van 121 mg tot en met 129 mg worden goedgekeurd. De laboratoriumresultaten staan in de tabel. massa (mg)

af

caf

crf

118

3

...................................

3

...................................

119

5

...................................

8

...................................

120

12

...................................

20

...................................

121

18

...................................

38

...................................

122

25

...................................

63

...................................

123

39

...................................

102

...................................

124

49

...................................

151

...................................

125

43

...................................

194

...................................

126

31

...................................

225

...................................

127

12

...................................

237

...................................

128

7

...................................

244

...................................

129

3

...................................

247

...................................

130

3

...................................

250

...................................

totaal

250

1% 3%

8%

15 % 25 % 41 % 61 % 78 % 90 % 95 % 98 % 99 %

100 %

1 Vul de tabel aan met cumulatieve frequenties. Rond crf af op 1 %. 2 Hoeveel ampullen hebben een te lage massa?

20 ampullen

...................................................................................................................

3 Hoeveel ampullen hebben een te hoge massa?

3 ampullen

.................................................................................................................

4 Hoeveel ampullen worden goedgekeurd? 250 – 20 – 3 = 227 ➜ 227 ampullen

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Als de norm 95 % goedgekeurde ampullen vereist, moet de vulmachine dan worden bijgeregeld? Percentage goedgekeurde ampullen: 99 % – 8 % = 91 %

.................................................................................................................................................................................................................................

De machine moet worden bijgeregeld.

.................................................................................................................................................................................................................................

244

5.2 - Frequenties en diagrammen

32

A

Hoofdstuk 5

B

Van de 28 gezinnen die in de Kerkstraat wonen, zijn er drie gezinnen die een poes hebben, vier die twee poezen hebben en twee die meer dan twee poezen hebben. 1 Hoeveel gezinnen van deze straat hebben geen poes? 28 – (3 + 4 + 2) = 19 ➜ 19 gezinnen

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Vul de tabel in. aantal gezinnen aantal poezen af

caf

0

...................................

19

...................................

19

1

...................................

3

...................................

2

...................................

4

...................................

3 of meer

...................................

2

...................................

totaal

...................................

22 26 28

28

3 Hoeveel gezinnen hebben ten hoogste één poes?

22 gezinnen

............................................................................................................

4 Hoeveel gezinnen hebben minder dan drie poezen?

26 gezinnen

.....................................................................................................

Ogief Een lijndiagram dat de grafische voorstelling is van een tabel met cumulatieve frequenties, noemen we een ogief. We hernemen de tabel met de cumulatieve absolute frequenties van het aantal ziektedagen en tekenen het ogief. aantal ziektedagen 0 1 2 3 4 5 6 7 totaal

aantal leerlingen af caf 5 5 2 7 3 10 4 14 2 16 7 23 1 24 1 25 25

aantal leerlingen (caf ) 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3

4 5 6 7 aantal ziektedagen

Merk op Een ogief is nooit dalend.

245

Hoofdstuk 5

33

A

Statistiek

B

Janne en Emma tellen het aantal personen dat in de voorbijrijdende auto’s zit. Janne verwerkt de resultaten met absolute frequenties en Emma met cumulatieve absolute frequenties. aantal voertuigen

aantal personen

af (Janne)

caf (Emma)

1

23

23

2

18

41

3

7

48

4

12

60

5

5

65

6

3

68

totaal

68

1 Stel de absolute frequenties en de cumulatieve absolute frequenties voor met een lijndiagram. Emma

Janne aantal auto’s (af )

aantal auto’s (caf ) 80

25 70 60

20

50 15 40 30

10

20 5 10 0

0 0

1

2

3

4

5 6 aantal personen

0

1

2

3

4

5 6 aantal personen

2 Hoe noemen we het lijndiagram dat een grafische voorstelling is van de tabel met cumulatieve absolute frequenties? Ogief.

.................................................................................................................................................................................................................................

246

5.2 - Frequenties en diagrammen

34

A

Hoofdstuk 5

B

In het labo van een suikerraffinaderij wordt het suikergehalte van 230 bieten bepaald. De resultaten zijn samengevat in de frequentietabel. aantal bieten

suikergehalte (%)

af

caf

13

6

...................................

14

17

...................................

15

54

...................................

16

72

...................................

17

57

...................................

18

16

...................................

19

8

...................................

totaal

230

6

23 77

149 206 222 230

1 Vul de tabel aan met cumulatieve absolute frequenties. 2 Stel de absolute frequenties en de cumulatieve absolute frequenties voor met lijndiagrammen. aantal bieten (af )

aantal bieten (caf )

80

300

70 250 60 200

50 40

150

30 100 20 50

10 0 13

14

15

16

17

18 19 suikergehalte (%)

0 13

14

15

16

17

18 19 suikergehalte (%)

3 We zeggen dat het suikergehalte van de suikerbieten ‘normaal verdeeld’ is als de lijngrafiek van de absolute frequenties op een klok lijkt. Is deze frequentieverdeling klokvormig?

Ja.

...............................................................................................................................

247

Hoofdstuk 5

35

A

Statistiek

B

Eén maand na hun geboorte weegt 50 % van de baby’s ongeveer 4 kg. De resultaten die vier verpleegsters hebben opgetekend, worden ingevoerd in een computer en omgezet tot ogieven. Anne

Bieke

aantal baby’s (caf )

aantal baby’s (caf )

26 25

24 21

20

17 15

14 11

10

4

4

1 0

1 0 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 massa (kg)

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 massa (kg)

Céline

Diane

aantal baby’s (caf ) 40 38

aantal baby’s (caf )

35

30

30 27

22

21

14 12 8 6 3 1 0

2 1 0 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 massa (kg)

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 massa (kg)

1 Hoeveel baby's werden er onderzocht? Anne: 26

Bieke: 24

Céline: 40

Diane: 30

.................................................................................................................................................................................................................................

Totaal: 120 baby’s

.................................................................................................................................................................................................................................

248

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

2 Welke betekenis heeft het ogief met een sterke stijging? Hoe groter de helling van het ogief tussen twee waarden, hoe groter het

.................................................................................................................................................................................................................................

aantal baby’s met een gewicht dat tussen deze twee waarden ligt.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Welke verpleegster woog vooral kinderen met een kleine massa? Hoe zien we dat op het ogief ? Anne. Het ogief van Anne vertoont onderaan de grootste helling.

.................................................................................................................................................................................................................................

Anne woog 10 baby’s die lichter zijn dan 3,8 kg.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Welke verpleegster had vooral zwaardere kinderen te wegen? Hoe zien we dat op het ogief ? Diane. Het ogief van Diane vertoont bovenaan de grootste helling.

.................................................................................................................................................................................................................................

Diane woog 16 baby’s die zwaarder zijn dan 4,1 kg.

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Verzamel alle meetresultaten en stel hiermee een frequentietabel op voor de absolute frequenties en de cumulatieve relatieve frequenties. Rond crf af op 1 %. massa (kg)

aantal baby’s af (Anne)

af (Bieke)

af (Céline)

af (Diane)

af (totaal)

crf

3,5

..........................

0

..........................

0

..........................

0

..........................

0

..........................

0

..........................

3,6

..........................

1

..........................

0

..........................

1

..........................

0

..........................

2

..........................

3,7

..........................

3

..........................

1

..........................

2

..........................

0

..........................

6

..........................

3,8

..........................

6

..........................

3

..........................

3

..........................

1

..........................

13

..........................

3,9

..........................

5

..........................

7

..........................

6

..........................

1

..........................

19

..........................

4,0

..........................

5

..........................

3

..........................

10

..........................

6

..........................

24

..........................

4,1

..........................

5

..........................

3

..........................

8

..........................

6

..........................

22

..........................

4,2

..........................

1

..........................

4

..........................

5

..........................

7

..........................

17

..........................

4,3

..........................

0

..........................

0

..........................

3

..........................

6

..........................

9

..........................

4,4

..........................

0

..........................

0

..........................

2

..........................

3

..........................

5

..........................

4,5

..........................

0

..........................

3

..........................

0

..........................

0

..........................

3

..........................

totaal

..........................

26

..........................

24

..........................

40

..........................

30

..........................

0% 2% 7%

18 % 33 % 53 % 72 % 86 % 93 % 98 %

100 %

120

249

Hoofdstuk 5

Statistiek

6 Teken het ogief. aantal baby’s (crf ) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 3,5

36

A

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5 massa (kg)

B

In het kader van een statistisch onderzoek naar het koopgedrag van de doorsnee-Belg wordt in een aantal steden aan 60 personen gevraagd hoe dikwijls zij de voorbije maand de openbare markt bezocht hebben. Dit levert twee reeksen data op. aantal marktbezoeken – stad A

250

aantal marktbezoeken – stad B

0

4

1

2

4

4

1

3

4

4

4

4

4

1

2

0

1

1

4

0

0

4

3

2

3

0

0

0

1

3

0

0

4

3

4

1

1

1

2

2

1

2

2

3

1

0

3

4

4

3

1

1

3

3

4

1

1

0

1

0

4

0

3

2

1

2

4

3

3

2

0

1

4

1

1

0

0

1

3

4

1

3

2

2

3

4

3

3

0

0

1

2

0

2

1

0

1

4

1

1

3

2

2

3

1

1

0

4

2

3

1

0

2

2

0

0

1

1

2

3

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

1 Vul de tabel in. aantal personen

aantal marktbezoeken

af (stad A)

af (stad B)

caf (stad A)

caf (stad B)

0

.......................................

10

.......................................

14

.......................................

10

.......................................

14

1

.......................................

9

.......................................

23

.......................................

19

.......................................

2

.......................................

12

.......................................

8

.......................................

31

.......................................

3

.......................................

17

.......................................

5

.......................................

48

.......................................

4

.......................................

12

.......................................

10

.......................................

60

.......................................

totaal

.......................................

60

.......................................

37 45 50 60

60

2 Stel de frequenties voor met lijndiagrammen zodat het grafisch vergelijken van het koopgedrag mogelijk wordt. aantal bezoekers (af )

aantal bezoekers (caf )

30

60

25

50

20

40

15

30

10

20

5

10

0

0 0

1

2 A

3 4 aantal marktbezoeken

0

B

1

2

3 4 aantal marktbezoeken

A

B

3 In welke stad is de marktdag waarschijnlijk op zaterdag? In stad A hebben de grootste aantallen marktbezoeken per maand

.................................................................................................................................................................................................................................

(2,3 en 4), de grootste frequenties. Aangezien de meeste mensen vrij

.................................................................................................................................................................................................................................

zijn op zaterdag, mogen we veronderstellen dat in stad A de marktdag op

.................................................................................................................................................................................................................................

zaterdag valt.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Hoeveel ondervraagde personen van stad A en van stad B kopen nooit op de markt? Stad A: 10

Stad B: 14

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Hoeveel ondervraagde personen van stad A en van stad B kopen ten hoogste tweemaal per maand op de markt? Stad A: 31

Stad B: 45

.................................................................................................................................................................................................................................

251

Hoofdstuk 5

Statistiek

 Misleidende grafieken 37

Instap

Drie broers Jan, Wim en Rob gaan bowlen. Wim stelt het gemiddelde eindresultaat van elke speler voor met een staafdiagram. aantal punten 126 124 122 120 118 116 114 112 110 Jan

Wim

Rob

1 Wie komt overduidelijk als winnaar uit de grafiek?

Wim.

.......................................................................................................

2 Vink elke juiste uitspraak aan. Wim heeft meer dan dubbel zoveel punten gehaald als Rob. Wim heeft het spel met grote overmacht gewonnen. Jan haalt gemiddeld 5 punten minder dan Wim.

✔

Wim heeft 15 punten meer gehaald dan Rob. 3 Herteken het staafdiagram in het assenstelsel. aantal punten 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Jan

Wim

Rob

4 Lijkt de overwinning van Wim in het hertekende staafdiagram nog steeds zo overtuigend? Neen.

.................................................................................................................................................................................................................................

Hoe kunnen we dat verklaren? In de oorspronkelijke grafiek is de verticale as ingekort, waardoor de

.................................................................................................................................................................................................................................

verschillen tussen de spelers groter lijken.

.................................................................................................................................................................................................................................

252

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

5 Rob telt het aantal keer dat elk van de broers een strike gooit en vat de gegevens samen in het volgende diagram.

Geeft de grafiek een correcte weergave? Leg uit. Neen, de oppervlakte van de gebruikte figuren geeft een vertekend beeld.

.................................................................................................................................................................................................................................

Het aantal strikes van Wim is tweemaal groter dan dat van Jan, maar de

.................................................................................................................................................................................................................................

oppervlakte van de getekende kegel is viermaal groter.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

Misbruiken met diagrammen Een gekend gezegde onder statistici is: “Met diagrammen kunnen we laten zien wat we graag willen laten zien.” De misbruiken liggen dan ook voor de hand. De schaalverdeling van de verticale as, een inkorting van de verticale as of de diagramkeuze geven soms een vertekend beeld van het onderzochte kenmerk. Voorbeeld De firma ‘Alfa’ geeft haar spectaculair overwicht op haar concurrenten weer met het staafdiagram A. Staafdiagram B stelt het staafdiagram A voor zonder dat de verticale as werd ingekort. Het spectaculair overwicht van de firma ‘Alfa’ is meteen verdwenen. B

A 100

100

80

90

60 80 40 70 60

20 Alfa

Beta

Gamma

0

Alfa

Beta

Gamma

253

Hoofdstuk 5

38

A

Statistiek

B

Om een grafiek niet te groot of niet te klein te laten worden, wordt soms een as van de grafiek ingekort of uitgerekt. Met de grafiek wordt informatie verdoezeld of wordt een bepaald effect ten onrechte beklemtoond. Geef voor het diagram de juiste grafische voorstelling. 1 7 6

4

7 6

4 0

1

2

3 0

0

1

2

3

2 6

6

3 3

2

2 0 1

3

7 0

3 A

0

1

3

7

B

B

20 A

9

15 B

20

6

15

5

10

10

A

5 1

2

3 0

254

0

1

2

3

5.2 - Frequenties en diagrammen

39

A

Hoofdstuk 5

B

Het staafdiagram is misleidend. Vervang het door een juist diagram. 1 700

600 500

500

0

A

B

C 0

A

B

C

A

B

C

A

B

C

2

100 100

0

A

B

C 0

3 110

100

105 100

0

A

B

C 0

255

Hoofdstuk 5

40

A

Statistiek

B

Na een kleine daling in 2011 is het koffieverbruik weer fors gestegen. Volgens de koffiebranders zal het verbruik ook de volgende jaren stijgen. Gemiddeld drinken we per persoon 1040 kopjes koffie per jaar. Dit komt overeen met 6,25 kg of 130 liter koffie per jaar. In 2012 is 60 % van alle koffie thuis gedronken en ongeveer 30 % op het werk. aantal koppen koffie per persoon

1200 1100

Aantal koppen koffie per persoon

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 ’99 ’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ’05 ’06 ’07 ’08 ’09 ’10 ’11 ’12

1 In welke jaar werd het meest koffie gedronken? . . . .In . . . . . . . . 2004. ................................................................................................... 2 In welke jaar werd het minst koffie gedronken?

In 2009.

...............................................................................................................

3 Teken een staafdiagram met de gegevens van het diagram. 4 Hoe verklaren we dat de grote schommelingen in het staafdiagram verdwenen zijn? Omdat in het staafdiagram de schaalverdeling op de verticale as bij 0

.................................................................................................................................................................................................................................

begint.

.................................................................................................................................................................................................................................

256

5.2 - Frequenties en diagrammen

41

A

Hoofdstuk 5

B

Pictogrammen of beelddiagrammen worden dikwijls gebruikt om de lezer te misleiden. Aantal vreemdelingen in België

1 Welke indruk wil men met dit beelddiagram wekken? Men wil een spectaculaire gelijkmatige toename suggereren van het aantal

.................................................................................................................................................................................................................................

vreemdelingen.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Teken een lijndiagram met de gegevens van het beelddiagram en ontdek de misbruiken. aantal vreemdelingen (af )

1 000 000

0

1947

1961

1970

1981

1992

2011

257

Hoofdstuk 5

Statistiek

Uitdagingen 1

Scrabble is een letterspel dat wordt verkocht in 121 landen en in 29 talen. Het is een bordspel voor twee tot vier spelers waarbij met een aantal letters woorden moeten worden gelegd op een speelbord. Elk letterblokje van het Scrabble-spel heeft een eigen letterwaarde. Elke speler tracht met zijn blokjes woorden te vormen die een maximaal aantal punten opleveren. De tabel toont de waarde van elke letter en hoeveel maal de letter voorkomt.

letter A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z letterwaarde 1 3 3 1 1 5 2 2 1 4 4 2 3 1 1 3 10 1 1 1 4 4 4 8 8 6 aantal blokjes 6 2 2 5 18 1 4 3 6 2 2 3 2 10 6 2 1 6 3 6 2 2 2 1 1 2

1 Welke letter komt het meest voor? 2 Hoeveel blokjes telt het Scrabble-spel? 3 Hoeveel klinkerblokjes (a, e, i, o, u) zijn er? 4 Stel een frequentietabel op waarop we de letterwaarden van de blokjes en het bijbehorende aantal blokjes kunnen aflezen. 5 Stel de frequentietabel grafisch voor met een staafdiagram. 6 Welke letterwaarden tussen 1 en 10 komen niet voor? 7 Bepaal de totale letterwaarde van alle Scrabble-blokjes. zie pagina 401

In de tweedimensionale frequentietabel worden de scores op 10 van wiskunde en natuurwetenschappen in een klas vergeleken. Een streepje betekent dat er geen leerling is met deze resultaten. natuurwetenschappen

2

258

4 5 6 7 8 9

3 1 -

4 1 -

wiskunde 5 6 1 2 2 1 2 -

7 4 3 1 -

8 1 2 2 -

9 1 1

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

1 Hoeveel leerlingen behaalden een 7 voor wiskunde en een 6 voor natuurwetenschappen? 2 Voor welk vak werd het laagste resultaat behaald? 3 Welke scores behaalde de beste leerling uit de klas? 4 Hoeveel leerlingen behaalden een onvoldoende voor minstens één van beide vakken? 5 Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? 6 Hoeveel leerlingen behaalden hogere punten voor wiskunde dan voor natuurwetenschappen? 7 Stel voor elk vak een frequentietabel op met de behaalde resultaten. 8 Maak een vergelijkend staafdiagram. zie pagina 402

3

In de krant verschijnt de volgende grafiek.

Meest gestolen auto’s

Totaal 16 944

Volkswagen

1981

Ford

1596

Mercedes

1296

Peugeot

1174

BMW

1144

Renault

1112

Aantal gestolen wagens per duizend ingeschreven exemplaren BMW

3,5

Ford

3,3

Volkswagen

3,1

Mercedes Peugeot Renault

3,03 2,2 2,15

1 Maak een frequentietabel van de meest gestolen auto’s. Vul de tabel aan met relatieve frequenties. Rond af op 1 %. 2 Hoeveel percent van de ingeschreven BMW’s wordt gestolen? zie pagina 404

259

Hoofdstuk 5

4

Statistiek

Een statistisch bureau onderzocht de tevredenheid van klanten van een supermarkt. Een onhandige bediende morste koffie over de tabel met frequenties en relatieve frequenties van de antwoorden. Welk percentage van de ondervraagden was ‘zeer tevreden’ over de supermarkt? af

rf

niet tevreden

13

5,2 %

matig tevreden

37

tevreden

155

zeer tevreden

(A) 9 %

(B) 18 %

(C)

27 %

(D) 36 %

45 %

(E)

Vlaamse Wiskunde Olympiade zie pagina 405

5

In het cirkeldiagram vinden we de spreiding van de wereldbevolking over de continenten. [5] [6]

[1]

[4] 16 % [3]

[1] Afrika [2] Azië [3] Latijns-Amerika en Caraïben [4] Europa [5] Noord-Amerika [6] Oceanië

15 %

9%

60 % [2]

1 De percentages van de geïndustrialiseerde continenten (Europa, Noord-Amerika en Oceanië) worden niet afzonderlijk vermeld op het cirkeldiagram, maar zijn samen goed voor 16 % van de wereldbevolking. Meet de middelpuntshoek en bereken de percentages van elk continent afzonderlijk. 2 In de tabel vinden we de vermoedelijke verdeling van de wereldbevolking in 2100. Maak een cirkeldiagram. continent Afrika Azië Latijns-Amerika en Caraïben Europa Noord-Amerika Oceanië

bevolking (rf ) 35 % 45 % 7% 6% 5% 2%

3 Bespreek de verschuivingen die plaats vinden in de verdeling van de wereldbevolking over de continenten tussen nu en 2100. zie pagina 405

260

5.2 - Frequenties en diagrammen

6

Hoofdstuk 5

Een kinderarts heeft de lengte van zijn eenjarige patiëntjes opgetekend en verwerkt in een frequentietabel. aantal eenjarige patiëntjes lengte (cm) af (meisjes)

af (jongens)

crf (meisjes)

crf (jongens)

67

0

1

...................................

...................................

68

1

0

...................................

...................................

69

0

0

...................................

...................................

70

2

0

...................................

...................................

71

2

1

...................................

...................................

72

3

1

...................................

...................................

73

3

2

...................................

...................................

74

4

4

...................................

...................................

75

5

8

...................................

...................................

76

3

6

...................................

...................................

77

3

4

...................................

...................................

78

2

3

...................................

...................................

79

0

3

...................................

...................................

80

1

1

...................................

...................................

81

1

0

...................................

...................................

82

0

1

...................................

...................................

totaal

30

35

1 Vul de frequentietabel aan met de cumulatieve relatieve frequenties. Rond af op 1 %.

261

Hoofdstuk 5

Statistiek

2 Stel de cumulatieve frequenties voor met een lijndiagram voor meisjes en voor jongens. aantal meisjes (crf)

aantal jongens (crf )

100

100

90

90

80

80

70

70

60

60

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0

0 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 lengte (cm)

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 lengte (cm)

Met behulp van de diagrammen kan de kinderarts zijn resultaten vergelijken met de gemiddelde lengten van meisjes en jongens tot een leeftijd van 18 maanden. Het diagram heeft 5 percentielkrommen. De kromme P3 geeft aan dat 3 % van de meisjes of van de jongens een lengte hebben die kleiner is dan of gelijk aan de af te lezen lengte op de grafiek. meisjes lengte (cm)

100

100

90

P97 P75 P50 P25 P3

80

80 70

60

60

50

50 3

6

9

12 15 18 leeftijd (maanden)

P97 P75 P50 P25 P3

90

70

0

262

jongens

lengte (cm)

0

3

6

9

12 15 18 leeftijd (maanden)

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

3 Lees op het diagram de lengte af van: •

meisje – 6 m – P25

• jongen – 12 m – P75

•

meisje – 15 m – P97

• jongen – 9 m – P50

4 Hoeveel percent van de drie maand oude meisjes is kleiner van 56 cm? 5 Hoeveel percent van de eenjarige jongens is kleiner dan 75 cm? 6 Komen de meetresultaten van de kinderarts overeen met de lijndiagrammen? zie pagina 407

Julie X

Herman Stef

Ann Bart

X Leo

X Karel

Amber Hugo Kristof

Paul

Stijn Anke X X Filip Tom

Koen

Vera Hilde Mark X Bob

X Fons Jo X

Sam Tina X Fred

Mia X

Frank Geert Rosa Lies X

Sofie X

An Leen

An is een achterkleinkind van Bart en Ann Fransen-Loos. An stelde een stamboom van haar familie op.

Maria X

7

1 Stel een frequentietabel op met alle soorten frequenties van de data afkomstig van het kenmerk ‘aantal kinderen per gezin’ in de stamboom. 2 Zijn er kinderloze gezinnen in de familie? 3 Hoeveel gezinnen met twee kinderen bevat deze stamboom? Hoe noemen we deze frequentie? 4 Hoeveel gezinnen staan er in de stamboom met ten hoogste twee kinderen? Hoe noemen we deze frequentie? 5 Hoeveel percent van de gezinnen heeft drie kinderen? Hoe noemen we deze frequentie? 6 Hoeveel percent van de gezinnen heeft minder dan vier kinderen? Hoe noemen we deze frequentie? zie pagina 409

8

De heren De Vos, De Uil en De Rat zijn respectievelijk 10, 5 en 2 jaar in dienst als vertegenwoordiger bij de firma DELSTAT. Toen De Uil in dienst trad, werd De Vos verplicht een deel van zijn klantenbestand over te maken. De Vos, leep en lui als hij was, hield de beste klanten voor zich en verzekerde zich in de toekomst van een hoog verkoopcijfer. De Uil werkte hard en wist de verwaarloosde klanten voor zich te winnen. Zijn verkoopcijfer steeg, maar lag steeds in de schaduw van het verkoopcijfer van De Vos. Twee jaar geleden breidde de firma DELSTAT haar actieradius uit en werd De Rat in dienst genomen. De Rat was jong en ambitieus. Hij klopte vele overuren en bereikte in korte tijd een niet onaardig verkoopcijfer.

263

Hoofdstuk 5

Statistiek

Op de komende vergadering met de directie moet elke verkoper zijn omzetcijfer voorleggen. De Vos wil de directie overtuigen met een diagram. Hij hoopt dat de directie in één oogopslag zal zien dat hij het leeuwenaandeel van de verkoop in 2011 en 2012 voor zijn rekening heeft genomen. VERKOOPRESULTATEN Periode 2011-2012 DE VOS

DE UIL

DE RAT

2011

2012

2011

2012

2011 2012 = 1 miljoen euro

1 Bepaal het verkoopresultaat van elke vertegenwoordiger in het jaar 2011 en in het jaar 2012. 2 Met welk bedrag is in 2012 het totale verkoopresultaat gestegen? De Uil wil de prestaties van zijn collega’s niet minimaliseren, maar hij vindt dat de waarheid moet gezegd worden. Hij stelt een tabel op waaruit de directie onmiddellijk kan aflezen hoeveel de totale verkoopresultaten zijn gestegen en hoe opvallend groot zijn persoonlijk aandeel daarvan is. VERKOOPRESULTATEN Periode 2011-2012 In miljoen euro

DE VOS DE UIL DE RAT totaal

2011 20 4,5 0,5 25

2012 22 13,5 4,5 40

toename 2 9 4 15

DE UIL

DE RAT

DE VOS

Om zijn succes kracht bij te zetten, voegt hij er een schijfdiagram met de toename van de verkoopresultaten bij. 3 Hoe probeert De Uil de directie te misleiden? 4 Stel met de gegevens, voor elk jaar, een cirkeldiagram op.

264

5.2 - Frequenties en diagrammen

Hoofdstuk 5

De Rat die weet dat zijn verkoopcijfers de laagste zijn, wil zijn inspanningen bekroond zien. Na veel denkwerk gaat hij met een tabel met indexcijfers naar de vergadering. VERKOOPRESULTATEN

900

Periode 2011-2012 2011 = 100 DE VOS DE UIL DE RAT

2011 100 100 100

2012 110 300 900

300 110 DE VOS

DE UIL

DE RAT 2011 = 100

Om zijn overwicht echt explosief te laten lijken, maakt hij met de gegevens uit de tabel een staafdiagram. 5 Hoe omzeilt De Rat het feit dat hij de laagste verkoopcijfers heeft? 6 Welke doelbewuste fout maakt De Rat met zijn staafdiagram? 7 Elke vertegenwoordiger slaagt er in om met dezelfde gegevens zichzelf in het beste daglicht te stellen.Welk algemeen besluit kunnen we uit deze statistische toverformules afleiden?

zie pagina 410

265

Hoofdstuk 5

Statistiek

Vraag & antwoord 1

Wat is de frequentie van een waarnemingsgetal? Het aantal keer dat een waarnemingsgetal voorkomt.

2

Waaraan is de som van de frequenties van alle waarnemingsgetallen gelijk? Aan de omvang van de steekproef.

3

Met welke formule berekenen we de relatieve frequentie van een waarnemingsgetal? relatieve frequentie =

4

absolute frequentie aantal gegevens

Waaraan is de som van de relatieve frequenties van alle waarnemingsgetallen gelijk? Aan 100 %.

5

Wat is de cumulatieve absolute frequentie van een waarnemingsgetal? Het getal dat aangeeft hoeveel data kleiner dan of gelijk zijn aan een waarnemingsgetal.

6

Wat is de cumulatieve relatieve frequentie van een waarnemingsgetal? Het percentage dat aangeeft hoeveel data kleiner dan of gelijk zijn aan een waarnemingsgetal.

7

Hoe noemen we een lijndiagram dat de grafische voorstelling is van een tabel met cumulatieve frequenties? Een ogief.

266

5.3 - Midden en spreiding van data

5.3

Hoofdstuk 5

Midden en spreiding van data

 Centrummaten 1

Instap

De droom van elke klimmer is om ooit “the Seven Summits” of de zeven toppen te beklimmen. Dit zijn de hoogste bergen van elk continent. Ze zijn aangeduid op de kaart.

Mount McKinley 6194 m

Elbrus 5642 m

Mt. Everest 8848 m

Kilimanjaro

Carstensz Pyramid

5895 m

4884 m

Aconcagua 6962 m Vinson Massif 4897 m

1 Wat is de gemiddelde hoogte van de zeven bergen? 6188,9 m

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Rangschik de hoogten van klein naar groot. 4884 m < . . . . .4897 . . . . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . < . . . . 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . < . . . . 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . . < . . . .6194 . . . . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . . < . . . .6962 . . . . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . . < . . . .8848 . . . . . . . . . . . . . . . . .m .......

............................

3 Welke berg is de middelste van de zeven gerangschikte bergen? De Kilimanjaro.

.................................................................................................................................................................................................................................

Centrummaten Het gemiddelde en de mediaan zijn getallen waarmee we het midden of het centrum van een reeks data kunnen beschrijven. Deze kenmerkende getallen noemen we centrummaten. Gemiddelde Het gemiddelde is de som van alle data gedeeld door het aantal data. Het gemiddelde stellen we voor met het symbool x en noteren we meestal met één decimaal meer dan de gegevens.

267

Hoofdstuk 5

Statistiek

Voorbeeld In de tabel staan de punten die 27 leerlingen van de klas van Bram behalen voor een toets wiskunde. punten op 10 5 4 6 9 5 8 7 8 8 8 7 5 9 7 8 6 5 7 6 9 3 8 9 9 3 8 7 We berekenen het gemiddelde van de behaalde punten: x=

5 + 4 + 6 + 9 + 5 + 8 + 7 + ... + 3 + 8 + 7 = 6,8 27

afronden op 1 decimaal

Mediaan De mediaan is het middelste gegeven of het gemiddelde van de middelste twee gegevens als alle data gerangschikt zijn naar grootte. De mediaan stellen we voor met de afkorting Me. Voorbeeld In de tabel staan de punten die de meisjes en de jongens in de klas van Bram behalen voor een toets wiskunde. punten op 10 5 4 6 9 5 8 7 8 8 8 7 5 9 7 8 6 5 7 6 9 3 8 9 9 3 8 7

O P

• We rangschikken de behaalde punten van de meisjes en bepalen de mediaan voor de meisjes: 3

4

5

6

7

7

7

8

8

8

9

Me = 7 • We rangschikken de behaalde punten van de jongens en berekenen de mediaan voor de jongens: 3 Me =

5

5

5

6

6

7

7

8

8

8

8

9

9

9

9

7+8 = 7,5 2

Merk op Het gemiddelde is de meest gebruikte centrummaat. Het gemiddelde wordt sterk beïnvloed door zeer afwijkende data. In dat geval is de mediaan een betere centrummaat.

268

5.3 - Midden en spreiding van data

2

A

Hoofdstuk 5

B

In de grafiek vinden we het gemiddeld aantal vakantiedagen per sector in België. 60

30 30 30 30

32 33

ho re ha ca n v o del ed in g bo uw te xt ie l ho u m t ed m ia et aa l tra ic ns t p te ort l e ge c zo to om nd eri he sm we ids e z so lzijn org ci sz oc o ul rg tu re e fa l rm ch a em ie fe nu de ts r lo ale ba re kal ove nk gi e o rh on v e al erh id eo e ve de rh n on ede de n rw ijs

27 28 25 25 25 26 26 26 26 24 23 23 23 23 21 22

1 Bereken het gemiddeld aantal vakantiedagen over alle sectoren. x = 27,7

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Bepaal de mediaan. Me = 26

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Heeft het toerisme meer of minder vakantiedagen dan het gemiddelde?

Minder.

.....................................................

4 Welke centrummaat geeft het beste beeld? Verklaar. De mediaan geeft het beste beeld omdat het gemiddelde sterk beïnvloed

.................................................................................................................................................................................................................................

wordt door het aantal vakantiedagen in het onderwijs.

.................................................................................................................................................................................................................................

3

A

B

Bepaal het gemiddelde van de reeks data. 1

5

2

8

3

7

4

2

1

5

2

7

6

5

3

9

7

3

5

3

9

2

3

4

1

6

8

0

6

4

6

7

6

8

4

6

3

3

7

8

5

2

2

7

3

4

1

3

0

5

5

x = . . . .4,4 .............

7

x = . . . .5,6 ............. x = . . . .4,3 ............. 7

x = . . . .5,9 ............. x = . . . .3,2 .............

269

Hoofdstuk 5

4

A

Statistiek

B

Bepaal de mediaan van de reeks data. 1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

4

3

7

5

3

2

9

5

7

1

3

1

2

3

3

3

4

5

5

7

7

9

2

6

4

3

7

2

8

9

1

5

4

5

6

8

1

2

2

3

4

4

5

5

6

6

7

8

8

9

8

0

3

2

5

0

6

2

4

7

8

5

0

0

2

2

3

4

5

5

6

7

8

8

5

1

1

3

2

3

4

7

2

3

5

7

1

1

1

1

2

2

3

3

3

4

5

5

7

7

A

B

0

Me =

.................

Me =

.................

Me =

.................

.....................................................................................................................................................................................

2

4

.....................................................................................................................................................................................

3

5

.....................................................................................................................................................................................

4

Me = . . . .4,5 .............

.....................................................................................................................................................................................

5

Me =

3

.................

.....................................................................................................................................................................................

5

Twee statistici zitten aan de rand van een vijver en vertellen elkaar sterke verhalen, zoals: ‘Schiet je één meter voor een wilde eend en daarna één meter erachter, dan is gemiddeld genomen de eend getroffen!’ ‘Hoe komt het dat een statisticus verdronk bij het doorwaden van een vijver die gemiddeld 15 cm diep is?’

Geef het antwoord op het raadsel. Gemiddeld 15 cm diep wil niet zeggen overal even diep.

........................................................................................................................................................................................................................................

270

5.3 - Midden en spreiding van data

6

A

Hoofdstuk 5

B

De leerlingen van het vierde jaar doen aan kogelstoten tijdens de lessen lichamelijke opvoeding. De vijf beste worpen van elke klas lezen we af in de tabel. klas 4A 4B 4C 4D 4E

9,15 8,91 9,17 9,14 9,04

9,06 8,83 9,12 9,09 8,91

afstand (m) 8,70 8,81 8,52 8,66 8,72

8,58 8,79 8,37 8,51 8,64

1 In welke klas heeft een leerling de kogel het verst geworpen?

8,43 8,72 8,34 8,13 8,38

4C

................................................................................

2 In welke klas is het verschil tussen de beste en de slechtste van de vijf worpen het kleinst? . .4B ........ 3 Welke klas heeft het hoogste gemiddelde van de vijf worpen? 4A: x = 8,784

4B: x = 8,812

4D: x = 8,706

4E: x = 8,738

4C: x = 8,704

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

Klas 4B behaalde het hoogste gemiddelde.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Welke klas heeft het hoogste gemiddelde van de drie beste worpen? 4A: x = 8,970

4B: x = 8,850

4D: x = 8,963

4E: x = 8,890

4C: x = 8,937

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

Klas 4A behaalde het hoogste gemiddelde van de drie beste worpen.

.................................................................................................................................................................................................................................

7

A

B

Bij het schoonspringen worden punten gegeven door elk jurylid. De score is het gemiddelde van alle toegekende puntenwaarden, waarbij de hoogste en de laagste puntenwaarde is weggelaten. 1 Verklaar waarom de berekening van de gemiddelde score zo gebeurt. Zeer hoge of zeer lage punten beïnvloeden het gemiddelde zeer sterk.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Het gemiddelde van de punten gegeven door tien juryleden is 7,2. Vink het tweetal punten aan dat werd weggelaten als de sprong een 7 als waarderingscijfer krijgt. 5 en 9

6 en 9

7 en 9

✔

8 en 9

7,2  10 – 7  8 = 16 = 7 + 9

.................................................................................................................................................................................................................................

271

Hoofdstuk 5

8

A

Statistiek

B

Vijf papegaaien zitten in een kooi. Gemiddeld hebben ze 50 euro gekost. Tijdens het voederen gaat één van de duurdere papegaaien vliegen. Nu zijn ze nog met vier en gemiddeld kosten die vier papegaaien 40 euro. Wat is de prijs van de weggevlogen papegaai? (A) 60 euro

(B) 70 euro

(C) 80 euro

(D)

90 euro

(E) 100 euro

Vlaamse Wiskunde Olympiade

prijs van de weggevlogen papegaai: x

........................................................................................................................................................................................................................................

40  4 + x

= 50

160 + x = 250

x = 90

........................................................................................................................................................................................................................................

5

9

A

B

Kim behaalde voor haar eerste drie wiskundetoetsen scores 87, 83 en 88. Als zij voor haar vierde toets een score van 90 behaalt, dan zal haar gemiddelde score (A) toenemen met 1 (D)

toenemen met 4

(B)

toenemen met 2

(C) toenemen met 3

(E) dezelfde blijven

Vlaamse Wiskunde Olympiade

Gemiddelde eerste drie wiskundetoetsen: x =

87 + 83 + 88

= 86

........................................................................................................................................................................................................................................

Gemiddelde vier wiskundetoetsen: x =

3 87 + 83 + 88 + 90

= 87

........................................................................................................................................................................................................................................

4

Gemiddelde en mediaan berekenen met een datatabel We berekenen het gemiddelde en de mediaan van de data. punten op 10 5 4 6 9 5 8 7 8 8 8 7 5 9 7 8 6 5 7 6 9 3 8 9 9 3 8 7 TEXAS INSTRUMENTS

In de lijst L1 slaan we de behaalde resultaten van de 27 leerlingen op. ■

272

[ STAT ] [ 1: Edit ] 5 [ ENTER ] 4 [ ENTER ] 6 [ ENTER ] 9 [ ENTER ] ... [ ENTER ] 7 [ ENTER ]

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Om het gemiddelde (mean) en de mediaan (median) van de resultaten te berekenen, drukken we de toets MATH in het menu LIST en kiezen we de opties mean en median.

[ 2ND ] [ QUIT ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ] [ 3: mean ] [ 2ND ] [ L1 ] [ ) ] [ ENTER ]

■

[ 2ND ] [ LIST ] [ ] [ 4: median ] [ 2ND ] [ L1 ] [ ) ] [ ENTER ]

▼

■

▼

Het gemiddelde is 6,8 en de mediaan is 7. CASIO

In het menu STAT slaan we de behaalde resultaten van de 27 leerlingen op. ■

[ MENU ] [ 2: STAT ] 5 [ EXE ] 4 [ EXE ] 6 [ EXE ] 9 [ EXE ] ... [ EXE ] 7 [ EXE ]

In het menu RUNMAT roepen we het optiemenu LIST op waarin we achtereenvolgens de opties Mean en Med kiezen om het gemiddelde en de mediaan van de resultaten te berekenen.

[ F6: ] [ F4: Med ] [ F6: ] [ F6: ] [ F1: List ] 1 [ ) ] [ EXE ] ▼

▼

▼

▼

■

▼

[ MENU ] [ 1: RUNMAT ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F6: ] [ F3: Mean ] [ F6: ] [ F6: ] [ F1: List ] 1 [ ) ] [ EXE ] ▼

■

Het gemiddelde is 6,8 en de mediaan is 7.

10

A

B

Zeven leerlingen willen hun gemiddelde massa berekenen. Ze gaan één voor één op de weegschaal staan. Sanne 49,4 kg

Elize 39,3 kg

Tine 35,2 kg

1 Wat is de gemiddelde massa?

Jitse 55,7 kg

x = 48

Nina 61,3 kg

Kato 42,6 kg

Lien 52,5 kg

48 kg

.........................................................................................................................................................

2 Twee van de zeven leerlingen zijn zusjes. Hun gemiddelde massa is 46 kg. Wie zijn ze? 46  2 = 92 = 49,4 + 42,6

Sanne en Kato zijn zusjes.

.................................................................................................................................................................................................................................

273

Hoofdstuk 5

11

A

Statistiek

B

Bepaal het gemiddelde en de mediaan van de data. 17

1

42

63

25

28

x = . . . . 35,6 .............................................. 3,2

2

5,1

8,5

0,13

0,42

6,5

0,71

1,4

17,03

15,41

15,08

0,53

A

2,7

0,27

21

7,7

1,9

0,39

0,21

35

38

4,6

0,18

0,44

0,63

Me = . . . . .0,405 ......................................... 16,25

x = . . . . 16,456 ..............................................

12

29

Me = . . . . .4,6 .........................................

x = . . . . 0,391 .............................................. 4

50

Me = . . . . .35 .........................................

x = . . . . 4,6 .............................................. 3

44

17,47

16,85

17,19

16,37

Me = . . . . .16,610 .........................................

B

Het energieverbruik in kWh van de familie Peeters in de jaren 2010, 2011 en 2012 lezen we af in de tabel. 2010 651 632 598 581 545 506 484 512 546 572 588 634

januari februari maart april mei juni juli augustus september oktober november december

2011 645 624 607 583 570 492 507 520 558 570 591 623

2012 631 602 613 592 574 477 482 491 513 548 577 584

1 Bepaal het gemiddeld maandverbruik voor elk jaar. 2010:

570,8 kWh

.....................................................

2011:

574,2 kWh

.....................................................

2012:

557,0 kWh

.....................................................

2 Bepaal het gemiddeld maandverbruik over de drie jaren. 2010 - 2011 - 2012:

567,3 kWh

...................................................................................................................................................................................

3 Bepaal de mediaan van het maandverbruik voor elk jaar. 2010: 274

576,5 kWh

.....................................................

2011:

576,5 kWh

.....................................................

2012:

575,5 kWh

.....................................................

5.3 - Midden en spreiding van data

13

A

Hoofdstuk 5

B

Bruno is 15 jaar en zit in het vierde jaar. De boekentassen van de leerlingen van Bruno’s klas worden gewogen. Bruno

8,96 kg

Hanne

6,10 kg

Lisa

9,13 kg

Rosa

9,43 kg

Ruben

6,83 kg

Anne

6,29 kg

Gabriella

9,34 kg

Marie

10,28 kg

Tinne

9,52 kg

Filip

7,25 kg

Stefan

10,98 kg

Olivier

6,55 kg

Ahmed

8,35 kg

Katleen

6,50 kg

Betty

8,99 kg

Lars

9,02 kg

Sarah

6,51 kg

Ben

7,57 kg

1 Lees op het diagram de gemiddelde massa van de boekentassen af van alle leerlingen van het secundair onderwijs. 8 kg

verhouding massa boekentas/eigen massa (in %)

.................................................................................................................................................................................................................................

x

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

werkelijke massa boekentas in kg

8 6,5

8

5,5

8 8

3

7

3,5

8

4

9

10

11

12

13

14

15

8

16

8

17

leeftijd (jaar)

2 Is de gemiddelde massa van de boekentassen van de leerlingen van Bruno’s klas groter of kleiner dan het gemiddelde berekend voor 15-jarigen? x = 8,20 ➜ 8,20 kg > 8 kg

.................................................................................................................................................................................................................................

De gemiddelde boekentas in Bruno’s klas weegt zwaarder dan de gemiddelde

.................................................................................................................................................................................................................................

boekentas van een 15-jarige.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Hoeveel percent van de meisjes heeft een boekentas die zwaarder weegt dan het klasgemiddelde? 6 van de 10 meisjes ➜ 60 %

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Hoeveel gram is de gemiddelde massa van de boekentassen van de meisjes groter of kleiner dan het gemiddelde berekend voor de jongensboekentassen? Meisjes: x = 8,209

Jongens: x = 8,189

.................................................................................................................................................................................................................................

De gemiddelde massa van de boekentassen van de meisjes is 20 gram groter.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

275

Hoofdstuk 5

Statistiek

Gemiddelde en mediaan berekenen met frequenties De punten voor wiskunde behaald in de klas van Bram zijn voorgesteld met een frequentietabel. punten op 10 3 4 5 6 7 8 9 totaal

aantal leerlingen af caf 2 2 1 3 4 7 3 10 5 15 7 22 5 27 27

Gemiddelde Om het gemiddelde te berekenen, vermenigvuldigen we de verschillende punten met de bijbehorende frequentie en tellen we de producten op. Deze som delen we door het aantal leerlingen. x=

32 + 41 + 54 + 63 + 75 + 87 + 9 5 = 6,8 27

afronden op 1 decimaal

Mediaan Om de mediaan te bepalen, gebruiken we de cumulatieve absolute frequenties. De omvang van de steekproef is 27. Bijgevolg is de mediaan de 14e waarde. In de tabel lezen we de mediaan af: Me = 7

14

A

27+1 = 14 2

B

Bepaal het gemiddelde en de mediaan van de resultaten in de frequentietabel. 1

prijs (euro) 5 6 7 10 12 15 x=

8,24

.............................................................................................

Me = 276

aantal boeken af caf 7 7 2 9 4 13 8 21 3 24 1 25

7

.........................................................................................

2

punten op 10 2 3 5 7 8 9 x=

aantal leerlingen af caf 4 4 3 7 9 16 5 21 8 29 3 32

5,9

.............................................................................................

Me =

6

.........................................................................................

5.3 - Midden en spreiding van data

15

A

Hoofdstuk 5

B

Leraar Piet Agoras heeft de resultaten van twee wiskundetoetsen voorgesteld met staafdiagrammen. Bepaal voor elke toets het gemiddelde en de mediaan van de behaalde punten. aantal leerlingen (af )

aantal leerlingen (af )

Toets 1

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

x=

1

2

139

3

4

5

6

7

0

8 9 10 punten op 10

x=

= 5,0

...........................................................................................

Me =

16

28 5

1

2

158

3

4

5

6

7

8 9 10 punten op 10

= 6,1

...........................................................................................

Me =

.......................................................................................

A

0

Toets 2

26

6,5

.......................................................................................

B

Juffrouw Taalmans heeft de resultaten van een dictee verwerkt in een tabel. aantal fouten

1

2

3

4

5

6

8

10

aantal leerlingen (af )

2

4

5

3

3

1

2

1

Ze is ontgoocheld omdat haar leerlingen gemiddeld 4 fouten hebben gemaakt. Anke troost haar en zegt dat meer dan de helft van de leerlingen niet meer dan 3 fouten maakten. Welke centrummaten hebben de juf en Anke gebruikt om hun visie te staven? De juf gebruikt het gemiddelde, Anke de mediaan.

........................................................................................................................................................................................................................................

17

A

B

Bepaal de mediaan en het gemiddelde van de data voorgesteld met het staafdiagram. 1 af 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

Me =

.....................................................

x=

3

.........................................................

9

277

Hoofdstuk 5

Statistiek

2 af 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

5

Me =

.....................................................

x=

4

.........................................................

9

3 af 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

5

Me =

.....................................................

x=

6

.........................................................

9

4 af 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

Me =

.....................................................

x=

5

.........................................................

9

Gemiddelde en mediaan berekenen met een frequentietabel We berekenen het gemiddelde en de mediaan van de punten in de frequentietabel. punten op 10 3 4 5 6 7 8 9 totaal

aantal leerlingen (af) 2 1 4 3 5 7 5 27

TEXAS INSTRUMENTS

In lijst L1 slaan we de waarnemingsgetallen op en in lijst L2 de bijbehorende frequenties. Het gemiddelde en de mediaan van de punten berekenen we met een combinatie van de lijsten L1 en L2.

■

[ 2ND ] [ LIST ] [ ] [ 4: median ] [ 2ND ] [ L1 ] [ , ] [ 2ND ] [ L2 ] [ ) ] [ ENTER ]

▼

[ 2ND ] [ QUIT ] [ 2ND ] [ LIST ] [ ] [ 3: mean ] [ 2ND ] [ L1 ] [ , ] [ 2ND ] [ L2 ] [ ) ] [ ENTER ] ▼

278

■

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Het gemiddelde is 6,8 en de mediaan is 7. CASIO

In lijst 1 slaan we de waarnemingsgetallen op en in lijst 2 de bijbehorende frequenties. Het gemiddelde en de mediaan van de punten berekenen we met een combinatie van de lijsten 1 en 2.

[ F6: ] [ F4: Med ] [ F6: ] [ F6: ] [ F1: List ] 1 [ , ] [ F1: List ] 2 [ ) ] [ EXE ] ▼

▼

▼

▼

■

▼

[ MENU ] [ 1: RUNMAT ] [ OPTN ] [ F1: LIST ] [ F6: ] [ F3: Mean ] [ F6: ] [ F6: ] [ F1: List ] 1 [ , ] [ F1: List ] 2 [ ) ] [ EXE ] ▼

■

Het gemiddelde is 6,8 en de mediaan is 7.

18

A

B

Bepaal het gemiddelde en de mediaan van de resultaten van het onderzoek. 1

punten

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

aantal leerlingen (af )

1

1

3

2

1

4

3

5

1

2

1

x=

2

5,3

..........................................

5,5

Me =

..........................................

leeftijd (jaar)

12

13

14

15

16

17

18

19

20

jongens (af )

15

17

14

18

20

17

12

14

11

meisjes (af )

14

12

15

17

23

20

15

13

11

15,8

Me =

..........................................

16,0

Me =

..........................................

jongens: x =

..........................................

x=

..........................................

meisjes:

16,0

16,0

279

Hoofdstuk 5

19

A

Statistiek

B

Toon en Nina zitten in hetzelfde leerjaar maar in verschillende klassen. Ze hebben dezelfde leraar wiskunde. Voor eenzelfde toets in beide klassen behalen de leerlingen de volgende punten. 4 6 3

2 8 7

klas Toon 6 6 3 7 4 2 7 9 5 8 7 3

5 8 4

9 3 6

6 4 6

3 6 5

klas Nina 6 4 7 5 7 6 6 4 5 3 8 6

8 5 4

6 7 6

1 Vul de frequentietabel in en teken een staafdiagram. klas Toon punten

aantal leerlingen (af )

.........................................

2

.........................................

.........................................

3

.........................................

.........................................

4

.........................................

.........................................

5

.........................................

.........................................

6

.........................................

.........................................

7

.........................................

.........................................

8

.........................................

.........................................

9

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

2 4 3 2 4 4 3 2

aantal leerlingen (af ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 punten

klas Nina

280

punten

aantal leerlingen (af )

.........................................

3

.........................................

.........................................

4

.........................................

.........................................

5

.........................................

.........................................

6

.........................................

.........................................

7

.........................................

.........................................

8

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

.........................................

2 4 4 9 3 2

aantal leerlingen (af ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 punten

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

2 Bepaal voor elke klas de mediaan en het gemiddelde van de behaalde punten. Klas Toon: Me = 6

Klas Nina: Me = 6

x = 5,5

x = 5,5

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Welk verschil bestaat er tussen de behaalde punten in beide klassen? Kunnen we dat afleiden uit de centrummaten? In de klas van Toon zijn de punten gelijkmatig verdeeld tussen 2 en 9.

.................................................................................................................................................................................................................................

In de klas van Nina heeft meer dan een derde van de leerlingen een 6.

.................................................................................................................................................................................................................................

We kunnen dit niet afleiden uit de centrummaten.

.................................................................................................................................................................................................................................

20

A

B

De schaakclub van een school telt 24 jongens en 8 meisjes. Hun leeftijd varieert tussen 11 jaar en 19 jaar. leeftijd (jaar)

11 12 13 14 15 16 17 18 19

jongens (af )

1

1

2

4

2

2

4

3

5

meisjes (af )

0

2

2

0

1

1

1

1

0

1 Bereken de gemiddelde leeftijd van alle schakers. x = 15,6 ➜ 15,6 jaar

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Bereken het verschil tussen de gemiddelde leeftijd van de jongens en van de meisjes. Jongens: x = 16

Meisjes: x = 14,5

.................................................................................................................................................................................................................................

Verschil: 16 – 14,5 = 1,5 ➜ 1,5 jaar

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Via een campagne worden er vier nieuwe schaaksters in de club opgenomen met een gemiddelde leeftijd van 16 jaar. Bereken de nieuwe gemiddelde leeftijd van de meisjes. x =

8 14,5 + 4  16

= 15 ➜ 15 jaar

.................................................................................................................................................................................................................................

8 + 4

281

Hoofdstuk 5

21

A

Statistiek

B

Om de kwaliteit van hun tuinbonen te bepalen, tellen Spiessens en Basiel het aantal bonen in respectievelijk 500 en 800 peulen. Het resultaat van hun telwerk lezen we af in de tabel. aantal peulen aantal bonen af (Spiessens)

rf (Spiessens)

rf (Basiel)

1,0 %

0

...........................

4,6 %

43

...........................

14,2 %

142

...........................

22,4 %

176

...........................

19,8 %

228

...........................

17,4 %

143

...........................

11,6 %

54

...........................

7,2 %

14

...........................

1,6 %

0

...........................

0,2 %

0

...........................

100 %

800

...........................

0

5

...........................

1

23

...........................

2

71

...........................

3

112

...........................

4

99

...........................

5

87

...........................

6

58

...........................

7

36

...........................

8

8

...........................

9

1

...........................

500

...........................

totaal

af (Basiel)

0,0 % 5,4 %

17,8 % 22,0 % 28,5 % 17,9 % 6,8 % 1,8 % 0,0 % 0,0 %

100 %

1 Vul elke tabel aan met relatieve frequenties. Rond af op 0,1 %. 2 Hoeveel percent van de peulen bevat 3, 4 of 5 bonen? • Spiessens: • Basiel:

22,4 % + 19,8 % + 17,4 % = 59,6 %

...............................................................................................................................................................................................

22,0 % + 28,5 % + 17,9 % = 68,4 %

........................................................................................................................................................................................................

3 Wie heeft de beste kwaliteit tuinbonen als we alleen rekening houden met het aantal bonen per peul? • Spiessens: • Basiel:

x = 4,0

...............................................................................................................................................................................................

x = 3,6

........................................................................................................................................................................................................

Spiessens heeft de beste kwaliteit tuinbonen.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Spiessens en Basiel peulen elk 300 tuinbonen. Hoeveel bonen zullen ze vermoedelijk tellen? • Spiessens: • Basiel:

282

300  4,0 = 1200 ➜ 1200 bonen

...............................................................................................................................................................................................

300  3,6 = 1080 ➜ 1080 bonen

........................................................................................................................................................................................................

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

 Spreidingsmaten 22

Instap

Drie machines verpakken boter in pakjes van 250 g. Dagelijks neemt een analist een steekproef en weegt 40 pakjes van elke machine. Zo kan hij nagaan of de machines voldoende nauwkeurig werken. De resultaten van zijn onderzoek geeft hij weer met staafdiagrammen. Machine A

Machine B

aantal pakjes(af ) 25

12 10

15

8

10

6 4

5

2 249

aantal pakjes(af ) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 247 248 249 250 251 252 253 248 249 250 251 252 253 254 255 massa (g) massa (g)

aantal pakjes(af ) 14

20

0

Machine C

250

251 massa (g)

0

1 Stel een frequentietabel op voor elke machine en bereken de mediaan en het gemiddelde van de pakjes boter. Machine B

Machine A massa (g)

aantal pakjes (af )

massa (g)

Machine C

aantal pakjes (af )

massa (g)

aantal pakjes (af )

.............................

249

.............................

10

.............................

247

.............................

2

.............................

248

.............................

.............................

250

.............................

20

.............................

248

.............................

4

.............................

249

.............................

.............................

251

.............................

10

.............................

249

.............................

8

.............................

250

.............................

.............................

.............................

.............................

250

.............................

12

.............................

251

.............................

.............................

.............................

.............................

251

.............................

8

.............................

252

.............................

.............................

.............................

.............................

252

.............................

4

.............................

255

.............................

.............................

.............................

.............................

253

.............................

2

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

Me =

250

..................

x=

250

......................

Me =

250

..................

x=

250

......................

2

10 16 6 4 2

Me = . . . .250 . . . . . . . . . . . . . . x = . . 250,3 ....................

2 Wat stellen we vast als we de mediaan en het gemiddelde van de drie machines met elkaar vergelijken? De centrummaten van de drie machines zijn nagenoeg gelijk.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Voor welke machines liggen de meetresultaten symmetrisch gespreid ten opzichte van de mediaan? Machine A en machine B.

.................................................................................................................................................................................................................................

283

Hoofdstuk 5

Statistiek

4 Welke machine werkt het nauwkeurigst?

Machine A.

..............................................................................................................................

5 Welke machine moet dringend bijgeregeld worden?

Machine C.

....................................................................................................

Spreidingsbreedte Centrummaten alleen geven vaak onvoldoende informatie over een reeks data. Om de spreiding van data uit te drukken, gebruiken we spreidingsmaten. We rangschikken de resultaten van een toets wiskunde in de klas van Bram van klein naar groot. xmin

Ø 3

xmax

3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9

Ø 9

xmax – xmin

• De score 3 is het kleinste waarnemingsgetal. Dit getal stellen we voor met xmin : • De score 9 is het grootste waarnemingsgetal. Dit getal stellen we voor met xmax :

xmin = 3 xmax = 9

• Het verschil xmax – xmin noemen we de spreidingsbreedte van de punten: xmax - xmin = 9 - 3 = 6 Spreidingsbreedte en mediaan voorstellen op een getallenas De spreidingsbreedte van de punten kunnen we voorstellen met een lijnstuk boven een getallenas. xmin

0

1

2

3

Me

4

5

6

7

xmax

8

9

10

De uiteinden van het lijnstuk duiden op de getallenas het kleinste waarnemingsgetal 3 en het grootste waarnemingsgetal 9 aan. De lengte van het lijnstuk komt overeen met de spreidingsbreedte 6. De mediaan verdeelt de punten in twee gelijke delen. Daarom kunnen we uit de ligging van de mediaan, de spreiding van de punten afleiden: • alle punten onder 7 liggen ver uit elkaar; • alle punten boven 7 liggen dicht bij elkaar. Merk op Een zeer groot of zeer klein waarnemingsgetal dat sterk afwijkt van de andere data, beïnvloedt sterk de spreidingsbreedte. Zo een getal noemen we een uitschieter.

284

5.3 - Midden en spreiding van data

23

A

Hoofdstuk 5

B

Bepaal het kleinste waarnemingsgetal, het grootste waarnemingsgetal en de spreidingsbreedte van de reeks data. 1

34

53

31

22

61

xmin = . . .22 .................................. 2

1235

8137

7,2

4,8

9205

2185

0,03

6,3

0,53

0,6

128,23

0,23

A

1327

5,2

xmax - xmin = 9205 . . . . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .1235 . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .7970 .......................

6,6

0,41

8,57

21,90

8,5 xmax - xmin = 8,5 ............– . . . . . 0,6 . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .7,9 ................................

0,45

0,61

xmax = . . .0,61 ..................................

xmin = . . .8,57 ..................................

24

4,4

0,27

61,35

4596

xmax - xmin = 67 . . . . . . . . . .– . . . . .22 . . . . . . . . . .= . . . . . .45 .....................................

xmax = . . .8,5 ..................................

.................................. xmin = . . .0,03

5

67

xmax = . . .9205 ..................................

.................................. xmin = . . .0,6

4

40

xmax = . . .67 ..................................

xmin = . . .1235 .................................. 3

56

xmax - xmin = 0,61 . . . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .0,03 . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .0,58 .........................

34,59

xmax = . . .128,23 ..................................

xmax - xmin = 128,23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .– . . . . . 8,57 . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .119,66 ..................

B

Stel de spreidingsbreedte van de data voor op het lijnstuk boven de getallenas. 1

5

2

8

3

7

4

2

1

xmin

0

2

7

2

5

3

3

4

9

5

7

6

7

3

5

8

xmin

0

3

9

1

2

2

3

3

4

9

10

xmax

4

1

5

6

6

7

8

8

0

6

xmin

0

7

xmax

1

6

5

9

10

xmax

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

285

Hoofdstuk 5

6

4

Statistiek

7

6

8

4

6

3

3

xmin

0

2

5

1

2

2

7

4

4

5

7

10

1

6

7

8

9

3

0

5

5

8

9

xmin

xmax

0

25

8

xmax

3

3

7

1

A

2

3

4

5

6

7

10

B

Bepaal de spreidingsbreedte en de mediaan van de reeks data en stel ze voor op het lijnstuk boven de getallenas. In welk interval onder of boven de mediaan liggen de data het verst uit elkaar? 1 Het aantal minuten dat de twaalf fietsers uit de klas van Sofie nodig hebben om naar de school te rijden: 5

1

8

xmax - xmin = Me =

7

9

6

5

7

7

5

8

9

9 – 1 = 8

..................................................................................

7

..................................................................................................

xmin

0

Me

1

2

3

4

5

Interval met grootste spreiding:

6

7

xmax

8

9

10

7

6

5

9

10

aantal minuten

[1,7]

..................................

2 Het aantal olijven op vijftien pizza’s: 5

7

8

xmax - xmin = Me =

0

6

5

6

8

6

6

8 – 5 = 3

..................................................................................

6

..................................................................................................

1

2

3

4

xmin

Me

5

6

Interval met grootste spreiding:

286

7

[6,8]

xmax

7

..................................

8

aantal olijven

8

7

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

3 De punten op 10 van de leerlingen van de klas van Wannes die ze voor een toets Nederlands behaalden: 4

0

7

xmax - xmin = Me =

3

5

7

4

3

4

7

10

6

4

3

7

6

10 – 0 = 10

..................................................................................

4,5

..................................................................................................

xmin

Me

0

1

2

3

4

xmax

5

Interval met grootste spreiding:

6

7

8

9

10

aantal punten

9

10

aantal medeklinkers

[4,5 ; 10]

..................................

4 Het aantal medeklinkers in elk woord van deze zin: 2

3

8

xmax - xmin = Me =

0

1

2

3

2

2

2

8 – 1 = 7

..................................................................................

2

..................................................................................................

xmin

Me

1

2

xmax

3

4

5

Interval met grootste spreiding:

6

7

8

[2, 8]

..................................

5 Het aantal gezinsleden van de huishoudens van de Delta-wijk: 6

1

2

6

xmax - xmin = Me =

5

4

3

2

2

4

5

1

1

4

6

1

2

2

4

3

1

3 2

6 – 1 = 5

..................................................................................

2,5

..................................................................................................

xmin

0

1

1

Me

2

xmax

3

4

5

Interval met grootste spreiding:

6

7

8

9

10

aantal gezinsleden

[2,5 ; 6]

..................................

287

Hoofdstuk 5

26

A

Statistiek

B

De jaarlijkse neerslag opgemeten in enkele Europese landen, kunnen we aflezen op het staafdiagram. De gegevens zijn afkomstig van twee waarnemingsstations met respectievelijk de hoogste en de laagste genoteerde hoeveelheid neerslag. jaarlijkse neerslag (mm) 1648 max

1587 1495 1332

1319 1234 1150 1069 959

905 832 730

632 530 min

549

502

518

557

435 368 185

GBR SPA DUI IER

227

197

ITA FRA BEL POR NED DEN LUX GRI

1 Welk land heeft een jaarlijkse neerslag met de grootste spreidingsbreedte? Spanje: xmax – xmin = 1587 – 185 = 1402

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Verklaar waarom de spreidingsbreedte voor Luxemburg nul is? Luxemburg is een klein land waardoor het mogelijk is dat er slechts één

.................................................................................................................................................................................................................................

waarnemingsstation is. Als er meerdere waarnemingsstations zijn, dan zal de

.................................................................................................................................................................................................................................

hoogst genoteerde neerslag gelijk zijn aan de laagst genoteerde.

.................................................................................................................................................................................................................................

Interkwartielafstand We rangschikken de resultaten van de toets van klein naar groot. De mediaan 7 verdeelt de reeks in twee helften. Als we de mediaan van de linkerhelft en de rechterhelft bepalen, dan verdelen de drie medianen de reeks punten in vier gelijke delen of kwarten. Q1

Me

Q3

Ø Ø Ø 3 3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 Q3 – Q1

288

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

De mediaan van de linkerhelft noemen we het eerste kwartiel. Dit getal stellen we voor met Q1: Q1 = 5 De mediaan van de rechterhelft noemen we het derde kwartiel. Dit getal stellen we voor met Q3: Q3 = 8 Het verschil Q3 – Q1 noemen we de interkwartielafstand van de punten: Q3 - Q1 = 8 - 5 = 3 Merk op De mediaan Me is gelijk aan het tweede kwartiel Q2.

27

A

B

Bepaal de mediaan, het eerste kwartiel, het derde kwartiel en de interkwartielafstand van de reeks data. 1 De tijdsduur in minuten van negen telefoongesprekken: 1

2

3

1

4

2

4

3

5

4

5 4

6 5

9 5

6

9

.................................................................................................................................................................................................................................

Me = . . . . . 4 .......................

Q1 = . . . . .2,5 .......................

Q3 = . . . . .5,5 .......................

3

Q3 - Q1 =

.....................................

2 De lengte in meter van de spelers van twee volleybalploegen: 1,78

1,80

1,82

1,82

1,85

1,88

1,90

1,91

1,91

1,92

1,95

1,97

1,78

1,80

1,82

1,82

1,85

1,88

1,90

1,91

1,91

1,92

1,95

1,97

.................................................................................................................................................................................................................................

Me = . . . . . 1,89 .......................

Q1 = . . . . .1,82 .......................

Q3 = . . . . .1,915 .......................

0,095

Q3 - Q1 =

.....................................

3 Het aantal pagina’s van twaalf detectiveromans: 212

195

217

191

193

211

192

227

201

199

216

203

191

192

193

195

199

201

203

211

212

216

217

227

.................................................................................................................................................................................................................................

Me = . . . . . 202 .......................

Q1 = . . . . .194 .......................

Q3 = . . . . .214 .......................

20

Q3 - Q1 =

.....................................

4 Het aantal personen die aan vijftien opeenvolgende bushalten opstappen: 1

5 1

4 1

4

2

3

10

6

2

9

4

5

3

4

4

4

5

5

7 5

3

5

6

7

1

3

9

10

.................................................................................................................................................................................................................................

Me = . . . . . 4 .......................

Q1 = . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q3 = . . . . .6 .......................

Q3 - Q1 =

3

.....................................

5 Twaalf trainingstijden in seconden van de 100 meter gelopen door Usain Bolt: 9,98 9,94

10,05

10,15

10,31

10,15

9,94

10,12

9,94

9,98

10,01

10,05

10,12 10,15

9,94

10,27

10,18

10,33

10,01

10,15

10,18 10,27

10,31

10,33

.................................................................................................................................................................................................................................

Me = . . . . . 10,135 .......................

Q1 = . . . . .9,995 .......................

Q3 = . . . . .10,225 .......................

Q3 - Q1 =

0,23

.....................................

289

Hoofdstuk 5

28

A

Statistiek

B

Bereken de mediaan, de kwartielen en de interkwartielafstand van de reeks data voorgesteld met een frequentietabel. 1 Het aantal inzittenden in 27 voorbijrijdende wagens. aantal inzittenden

3

4

5

6

7

8

9

aantal auto’s (af)

1

1

3

4

6

7

5

........................ Me = . . . .7

Q1 = . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q3 = . . . . 8 ........................

Q3 - Q1 =

2

.....................................

2 De inhoud in ml van 21 conservenblikjes. inhoud (ml)

497 498 499 500 501 502 503

aantal conservenblikjes (af) Me = . . . .500 ........................

29

A

1

2

Q1 = . . . .499,5 ........................

2

10

3

2

Q3 = . . . . 501 ........................

1 Q3 - Q1 =

1,5

.....................................

B

De leerlingen van de klas behaalden volgende punten voor een toets fysica op 20 punten. 10 Karel

12

15 Bea

13 Fred

2

20 Frank

11 Nadine

11 Tinne

4

18 Veerle

10 Wim

13 Bavo

14

Bernd

5 Koen

12 Elien

16 Felice

19

Linda

19 Annie

15 Hugo

14 Anja

17

Jurgen

6 Ines

7 Peter

Amber

10 Erwin

Gert

17 Achmed

Sofie Julie

9 Paul

5

1 Welke leerlingen behalen evenveel punten als de mediaan van deze reeks data? Me = 12

➜ Koen en Karel

.................................................................................................................................................................................................................................

Toets: Eenparige beweging Bart en Mark lopen langs evenwijdige banen. Hun positie op eenzelfde tijdstip wordt weergegeven met eenzelfde nummer. Het nummer 1 stelt het vertrek voor. Markeer elke juiste uitspraak. ❍ De beginsnelheid van Bart is groter dan die van Mark. ❍ Op tijdstip 5 is de snelheid van beide lopers gelijk. ❍ Bart vertrekt later dan Mark. ❍ De snelheden van Bart en Mark zijn nooit dezelfde.

290

Bart

1 2 3 4 5 6 7

➜ Mark

1

2

3

4

5

6

7

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

2 Stel een rangschikking op voor de punten behaald door de jongens en door de meisjes en bepaal de mediaan van elke puntenreeks. jongens

meisjes

Fred

2

.....................................................................

Peter

5

.....................................................................

Bernd

5

.....................................................................

Jurgen

6

.....................................................................

Erwin

9

.....................................................................

Paul

10

.....................................................................

Frank

11

.....................................................................

Karel

12

.....................................................................

Koen

12

.....................................................................

Wim

13

.....................................................................

Bavo

14

.....................................................................

Hugo

14

.....................................................................

Achmed

15

.....................................................................

.....................................................................

Gert

17

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

Me = . . . . . 11,5 ...................................................

Me = . . . . .15 ...................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

Tinne

4

Ines

7

Amber

10

Veerle

10

Nadine

11

Bea

13

Annie

15

Elien

16

Anja

17

Julie

18

Felice

19

Linda

19

Sofie

20

3 Welke jongen kan zeggen dat 25 % van de jongens minder punten heeft? Q1 = 6 ➜ Jurgen

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Welk meisje kan zeggen dat 75 % van de meisjes meer punten heeft? Q1 = 10 ➜ Amber en Veerle

.................................................................................................................................................................................................................................

5 Welke jongen kan zeggen dat 25 % van de jongens meer punten heeft? Q3 = 14 ➜ Bavo en Hugo

.................................................................................................................................................................................................................................

6 Welk meisje kan zeggen dat 75 % van de meisjes minder punten heeft? Q3 = 18,5 ➜ niemand

.................................................................................................................................................................................................................................

291

Hoofdstuk 5

30

A

Statistiek

B

Op een eierveiling worden de eieren niet alleen gecontroleerd op hun kwaliteit, maar ook op hun massa. Van drie soorten wordt een steekproef genomen. Van elke soort worden 40 eieren gewogen. De spreidingsbreedte en de mediaan van de meetresultaten lezen we af in de figuur. Bio-eieren Giga-eieren

xmin

Me xmin

xmax

Me xmin

Hoeve-eieren

40

xmax

50

Me

60

xmax

70 massa (g)

1 Tot welke soort behoort een ei met een massa van 45 g?

Bio-eieren.

.......................................................................................

2 Bij welke soort eieren stellen we de grootste spreidingsbreedte vast? 3 Wat is de mediaan bij de Bio-eieren?

Giga-eieren.

.........................................................

51

....................................................................................................................................

4 Hoeveel weegt het lichtste ei uit deze steekproef ?

42 g

.....................................................................................................

5 Wat is de spreidingsbreedte bij alle onderzochte eieren? 6 Hoeveel Giga-eieren wegen meer dan 51 g?

71 – 42 = 29

......................................................................................

20 eieren

.....................................................................................................................

7 Hoeveel percent van de Hoeve-eieren weegt meer dan de Bio-eieren?

8 Hoeveel percent van de Bio-eieren weegt minder dan de Hoeve-eieren? 9 Hoeveel eieren hebben een massa van meer dan 51 g? 10 Hoeveel eieren behoren tot de klasse 51 - 60 g?

50 %

........................................................

Minstens 50 %.

...................................................

20 + 20 + 40 = 80

...........................................................................................

Meer dan 40 maar minder dan 60.

.............................................................................................................

Boxplot We beschouwen de 5 kenmerkende maten van de gerangschikte punten. xmin

Q1

Me

Q3

xmax

Ø Ø Ø Ø Ø 3 3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 Deze kenmerkende getallen kunnen we voorstellen met een lijnstuk boven een getallenas. Als we tussen de kwartielen Q1 en Q3 een doos (box) tekenen (plot), dan verkrijgen we een boxplot.

292

5.3 - Midden en spreiding van data

0

1

2

xmin

Q1

Me

Q3

xmax

Ø

Ø

Ø

Ø

Ø

7

8

9

3

4

5

6

10

Hoofdstuk 5

punten op 10

• De lengte van de boxplot komt overeen met de spreidingsbreedte 6. xmax – xmin = 9 – 3 = 6 • De uiteinden van de box duiden op de getallenas respectievelijk het eerste kwartiel 5 en het derde kwartiel 8 aan.

Q1 = 5

• De lengte van de box komt overeen met de interkwartielafstand 3.

Q3 – Q1 = 8 – 5 = 3

en

Q3 = 8

De mediaan en de kwartielen verdelen de gerangschikte gegevens in 4 gelijke delen of kwarten die elk 25 % van de gegevens bevatten. 25 %

25 %

25 % 25 %

interkwartielafstand spreidingsbreedte

Voorbeeld In de boxplot is het zakgeld voorgesteld dat de leerlingen van de klas van Ruben maandelijks krijgen.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

zakgeld (euro)

We stellen vast: • het zakgeld van elke leerling ligt tussen 20 en 100 euro; • de helft van de leerlingen krijgt een bedrag tussen 40 en 70 euro; • ongeveer een vierde van de leerlingen krijgt een bedrag tussen 40 en 50 euro.

31

A

xmin = 20 en xmax = 100 Q1 = 40 en Q3 = 70 Q1 = 40 en Me = 50

B

Aan 100 mensen werd gevraagd hoeveel uren ze slapen per dag. De resultaten van het statistisch onderzoek lezen we af in de boxplot.

4

5

6

7

8

9

10

11

aantal uren slaap per dag

1 Hoeveel uren ligt de langste slaper langer in bed dan de snelste opstaander? xmax – xmin = 11 – 4,5 = 6,5 ➜ 6,5 uren

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Hoeveel percent van de ondervraagden slaapt minder dan 6 uren per dag? 3 Hoeveel percent van de ondervraagden slaapt langer dan 7,5 uren per dag?

25 %

...............................................

50 %

.............................................

4 Hoeveel percent van de ondervraagden slaapt tussen de 6 en 8 uren per dag? . . .50 . . . . . . .% ............................... 293

Hoofdstuk 5

32

A

Statistiek

B

Mevrouw Van Daele geeft eenzelfde dictee in de klas van Raf en van Amelie. Het aantal behaalde punten in beide klassen is weergegeven in de boxplots. klas van Raf klas van Amelie

0

1

2

3

4

5

6

7

1 In welke klas zit de leerling die de laagste score behaalde?

8

9

10

punten op 10

In de klas van Raf.

......................................................................................

2 Bepaal het percentage van de leerlingen in Amelie’s klas dat meer dan 5,5 behaalde.

25 %

.........................

3 Hoe verklaart Amelie dat het dictee in haar klas beter werd gemaakt? In de klas van Amelie behalen 50 % van de leerlingen 5 punten of meer en in

.................................................................................................................................................................................................................................

de klas van Raf slechts 25 %.

.................................................................................................................................................................................................................................

Boxplot tekenen We stellen de data voor met een boxplot. punten op 10 5

4

6

9

5

8

7

8

8

8

7

5

9

7

8

6

5

7

6

9

3

8

9

9

3

8

7

TEXAS INSTRUMENTS

De behaalde punten slaan we op in de lijst L1. We stellen de rekenmachine in voor het tekenen van een boxplot. Met de optie ZoomStat uit het menu ZOOM worden de venstervariabelen zo aangepast dat de volledige boxplot wordt getoond. Met de volgcursor kunnen we de boxplot doorlopen en onderaan lezen we het minimum, het eerste kwartiel, de mediaan, het derde kwartiel en het maximum af.

[ 2ND ] [ STAT PLOT ] [ 1: Plot1 ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ : 4-maal ] [ ENTER ] [ ▼ ] [ 2ND ] [ L1 ] [ ENTER ] [ ALPHA ] [ 1 ] ▼

■

▼

[ ZOOM ] [ 9: ZoomStat ] [ TRACE ] [ ]

294

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

CASIO

De behaalde punten slaan we op in lijst 1. We stellen de rekenmachine in voor het tekenen van een boxplot waarop de mediaan staat afgebeeld. De venstervariabelen worden automatisch ingesteld. Met de volgcursor kunnen we de boxplot doorlopen en onderaan lezen we het minimum, het eerste kwartiel, de mediaan, het derde kwartiel en het maximum af.

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ F1: GRPH ] [ F6: SET ] [ F1: GPH1 ] [ ▼ ] [ F6: ] [ F2: Box ] [ ▼ ] [ F1: LIST ] [ F1: List1 ] 1 [ EXE ] [ ▼ ] [F1: 1 ] [ ▼ ] [ F2: Off ] [ EXIT ] [ F1: GPH1 ] ▼

■

▼

[ SHIFT ] [ F1: TRCE ] [ ]

33

A

B

Teken een boxplot voor de reeks data. 1 De polsslag die gedurende een week tweemaal per dag werd genomen: 83

79

83

xmin = . . . . .77 ................

76

77

78

85

77

83

Q1 = . . . . .79 ................

79

80

81

80

79

Me = . . . . .79,5 ................

81

82

83

84

78

83

Q3 = . . . . .83 ................

85

86

79

79

77

xmax = . . . . .85 . . . . . . . . . . . . . . . ..

polsslag (aantal slagen per minuut)

2 Het aantal minuten dat de vader van Thomas in de file staat tijdens elf opeenvolgende werkdagen: 15

12

16

................ xmin = . . . . .10

6

8

10

31

15

11

Q1 = . . . . .11 ................

12

14

16

21

10

10

Me = . . . . .15 ................

18

20

22

24

18

27

Q3 = . . . . .21 ................

26

28

30

32

xmax = . . . . .31 . . . . . . . . . . . . . . . ..

34

tijd (minuten)

295

Hoofdstuk 5

Statistiek

3 Het aantal bezoekers per dag aan de film “Escape to Delta-planet” gedurende zestien dagen: 415

327

501

................ xmin = . . . . .288

270

290

310

435

402

400

Q1 = . . . . .329 ................

330

350

370

456

361

308

442

Me = . . . . .401 ................

390

410

430

450

450

331

383

Q3 = . . . . .446 ................

470

490

506

315

288

xmax = . . . . .506 . . . . . . . . . . . . . . . ..

510 aantal bezoekers

4 Gemiddelde dagtemperaturen in graden Celsius tijdens de paasvakantie: 17

21

20

................ xmin = . . . . .15

14

15

A

B

34

16

20

18

16

Q1 = . . . . .17 ................

17

18

19

21

22

20

19

Me = . . . . .19 ................

20

21

22

19

18

15

Q3 = . . . . .20 ................

23

17

xmax = . . . . .22 . . . . . . . . . . . . . . . ..

temperatuur (°C)

Tim en Tom spelen elk tienmaal een computerspelletje. De scores van de opeenvolgende spelletjes staan in de tabel. Tim

7

5

16

13

2

3

11

18

16

9

Tom

11

8

7

8

7

13

20

6

7

8

1 Waarom is de tweekamp onbeslist geëindigd? Zowel Tim als Tom wonnen elk 5 spelletjes.

.................................................................................................................................................................................................................................

296

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

2 Teken een boxplot voor elke reeks scores. Tim:

x

= 2

Q = 5

Me = 10

Q = 16

x

= 18

Tom:

xmin = 6

Q1 = 7

Me = 8

Q3 = 11

xmax = 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . max ..........................

.................................................................................................................................................................................................................................

Tim:

Tom:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

aantal punten

3 Welke kenmerkende maat uit de boxplotten gebruikt Tom om aan te tonen dat hij het spel gewonnen heeft? Hij behaalde de hoogste score.

.................................................................................................................................................................................................................................

Tom: xmax = 20

Tim: xmax = 18

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Hoe kan Tim aantonen dat hij de beste speler is? De mediaan van de scores van Tim is hoger.

.................................................................................................................................................................................................................................

Tim: Me = 10

Tom: Me = 8

.................................................................................................................................................................................................................................

35

A

B

De punten op 10 van een toets in de klassen 4A en 4B zijn weergegeven met staafdiagrammen. aantal leerlingen 4A (af )

aantal leerlingen 4B (af )

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 punten

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 punten

297

Hoofdstuk 5

Statistiek

1 Teken een boxplot voor elke klas. 4A Q1 = 4

4B Me = 5

Q3 = 6

Q1 = 2,5

..........................................................................................................

Me = 5

Q3 = 7,5

..........................................................................................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 punten

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 punten

2 Wat kunnen we uit deze boxplots afleiden in verband met de behaalde punten in de twee klassen? Beide klassen hebben dezelfde mediaan en dezelfde xmin en xmax.

.................................................................................................................................................................................................................................

In klas 4B hebben de punten een grotere spreiding. Deze klas is zeer

.................................................................................................................................................................................................................................

heterogeen.

.................................................................................................................................................................................................................................

Op enkele uitzonderingen na heeft de helft van de leerlingen van 4A een

.................................................................................................................................................................................................................................

4,5 of 6. Klas 4A is de meest homogene van de twee.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Kunnen we met de gegevens die we aflezen in deze boxplots de gegeven staafdiagrammen opstellen? Verklaar. Neen, in elke boxplot zijn de punten gegroepeerd in 4 intervallen.

.................................................................................................................................................................................................................................

De spreiding van de punten binnen elk interval kunnen we niet aflezen.

.................................................................................................................................................................................................................................

Standaardafwijking We bekijken opnieuw de punten op een toets wiskunde in de klas van Bram. punten op 10 8

3

6

9

5

8

7

8

8

8

7

5

9

7

8

6

5

7

6

9

3

8

9

9

5

4

7

Om een idee te krijgen hoe de data rond het gemiddelde 6,8 gespreid liggen, berekenen we de verschillen van alle behaalde punten en het gemiddelde. x = 6,8 0

1

2

3

4

5 –3,8

298

6

7

8 1,2

9

10

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Een leerling die 8 punten behaalde, heeft 1,2 punten meer dan het gemiddelde en een leerling die 3 punten behaalde, heeft 3,8 punten minder dan het gemiddelde. 8 - x = 8 - 6,8 = 1,2

3 - x = 3 - 6,8 = -3,8

...

Om de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde positief te maken, kwadrateren we elke afwijking. (8 - x)2 = (1,2)2 = 1,44

(3 - x)2 = (-3,8)2 = 14,44

...

Als we het gemiddelde van de kwadraten van alle verschillen berekenen, verkrijgen we de variantie van de puntenreeks. De variantie stellen we voor met het symbool s 2. s : sigma s2 =

(8 - x )2 + (3 - x )2 + (6 - x )2 + ... + ( 4 - x )2 + (7 - x )2 = 3,187... 27

De positieve vierkantwortel van de variantie noemen we de standaardafwijking of de standaarddeviatie. We stellen de standaardafwijking voor met s en noteren ze meestal met 1 of 2 decimalen meer dan de gegeven data. s = 3 ,187... = 1,79

afronden op 2 decimalen

De standaardafwijking is de gemiddelde afwijking van alle waarnemingsgetallen ten opzichte van het gemiddelde. Hoe groter de standaardafwijking, hoe groter de spreiding rondom het gemiddelde. De standaardafwijking van n gegevens x1 , x2 , x3 , ... , xn met gemiddelde x berekenen we met de formule: s=

36

A

( x1 – x )2 +( x 2 – x )2 +( x 3 – x )2 +...+( x n – x )2 n

B

Op vijf wiskundetoetsen behalen Mathilde, Pieter en Stefaan de volgende punten. punten op 10 Mathilde

7

8

2

6

7

Pieter

5

6

7

7

5

Stefaan

9

8

2

2

9

Bereken het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking van elke puntenreeks. Mathilde: x =

7 + 8 +2+ 6 + 7

= 6 5 (7 -6) 2 + (8-6) 2 + (2-6) 2 + (6-6) 2 + (6- 7) 2

...............................................................................................................................................................................................

s2 =

...............................................................................................................................................................................................

s=

...............................................................................................................................................................................................

5

= 4,4

4, 4 = 2,10

299

Hoofdstuk 5

Pieter:

Stefaan:

37

A

Statistiek

5+6+7 +7 +5

= 6

x=

...............................................................................................................................................................................................

s2 =

...............................................................................................................................................................................................

s=

...............................................................................................................................................................................................

x=

...............................................................................................................................................................................................

s2 =

...............................................................................................................................................................................................

s=

...............................................................................................................................................................................................

5

(5 -6) 2 + (6-6) 2 + (7 -6) 2 + (7 -6) 2 + (5 - 6) 2 5

= 0,8

0, 8 = 0,90

9 + 8 +2+2+ 9

= 6 5 (9-6) 2 + (8-6) 2 + (2-6) 2 + (2-6) 2 + (9- 6) 2 5

= 10,8

10, 8 = 3,29

B

De data van twee steekproeven A en B hebben dezelfde omvang en zijn voorgesteld met twee staafdiagrammen. Vergelijk de standaardafwijkingen sA en sB zonder een berekening uit te voeren en vul in: of = . 1 af

2 af

af A

B

4 3 2 1 0

4 3 2 1 0

4 af

af A

sA . . . . . . . . . . . > .............. s B

6 af

af

af A

B 4 3 2 1 0

4 3 2 1 0

sA . . . . . . . . . . . < .............. s B

B 4 3 2 1 0

sA . . . . . . . . . . . >. . . . . . . . . . . . . . sB 8 af

af A

300

4 3 2 1 0

sA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sB

3 af

4 3 2 1 0

B

4 3 2 1 0

sA . . . . . . . . . . . > .............. s B

5 af

af A

B 4 3 2 1 0

af A

4 3 2 1 0

sA . . . . . . . . . . . >. . . . . . . . . . . . . . sB

B 4 3 2 1 0

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Kenmerkende maten van een reeks data bepalen We berekenen de kenmerkende maten van de punten in de frequentietabel. punten op 10

aantal leerlingen (af )

3

2

4

1

5

4

6

3

7

5

8

7

9

5

totaal

27

TEXAS INSTRUMENTS

In de lijst L1 slaan we de puntenreeks op en in lijst L2 de bijbehorende frequenties. Met de toets STAT en optie 1-Var Stats uit het menu STAT CALC roepen we een overzicht op met kenmerkende maten, waaronder alle centrummaten en spreidingsmaten. De standaardafwijking wordt in de lijst met sx aangeduid.

[ STAT ] [ : CALC ] [ 1: 1-Var Stats ] [ 2ND ] [ L1 ] [ , ] [ 2ND ] [ L2 ] [ ENTER ] ▼

■

De standaardafwijking is 1,79. In het rekenscherm kunnen we met de toets VARS de meeste statistische variabelen oproepen en de berekende kenmerkende maten weergeven of er berekeningen mee uitvoeren. ■

[ CLEAR ] [ VARS ] [ 5: Statistics ] [ 4: sx ] [ x2 ] [ ENTER ]

301

Hoofdstuk 5

Statistiek

De variantie is 3,19. CASIO

In lijst 1 slaan we de puntenreeks op en in lijst 2 de bijbehorende frequenties. In het menu STAT roepen we via de submenu’s CALC en 1VAR een overzicht op met kenmerkende maten, waaronder alle centrummaten en spreidingsmaten. De standaardafwijking wordt in de lijst met sx aangeduid. ■

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ F2: CALC ] [ F6: SET ] [ F1: LIST ] 1 [ EXE ] [ ▼ ] [ F2: LIST ] 2 [ EXE ] [ EXIT ] [ F1: 1VAR ]

De standaardafwijking is 1,79. In het rekenscherm kunnen we met de toets VARS de meeste statistische variabelen oproepen en de berekende kenmerkende maten weergeven of er berekeningen mee uitvoeren. ■

[ MENU ] [ 1: RUNMAT ] [ VARS ] [ F3: STAT ] [ F1: X ] [ F5: sx ] [ x2 ] [ EXE ]

De variantie is 3,19.

38

A

B

Bepaal het gemiddelde, de standaardafwijking en de variantie van de data. 1 Het zakgeld in euro van tien leerlingen: 25

28

23

x = . . . . . .26,4 ....................................

302

30

32

25

28

s = . . . . 3,3 ......................................

26

27

20

s2 = . . . . 10,6 ......................................

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

2 De longinhoud in liter van acht duikers: 4,8

5,2

4,9

4,8

4,2

5,3

4,6

s2 = . . . . .0,10 .....................................

s = . . . . .0,32 .....................................

x = . . . . . .4,84 ....................................

4,9

3 De afstand in m van zes pogingen in het verspringen: 8,32

8,27

8,30

x = . . . . . .8,315 ....................................

8,21

8,35

8,44 s2 = . . . . .0,005 .....................................

s = . . . . .0,071 .....................................

4 De snelheid in km/h van twaalf geverbaliseerde automobilisten: 137

129

141

x = . . . . . .142,6 ....................................

39

A

158

143

132

152

149

135

130

165

140

s2 = . . . . .118,58 .....................................

s = . . . . .10,9 .....................................

B

Bepaal de standaardafwijking van de data voorgesteld met een frequentietabel. 1

massa (g)

aantal pakjes (af )

95

tijd (min)

aantal fietsers (af )

1

5

7

96

1

7

4

97

2

10

2

98

4

11

8

99

10

13

5

100

8

17

4

101

5

23

1

102

2

25

1

103

2

31

2

104

1

34

1

s = . . . . .7,6 ..................................

.................................. s = . . . . .1,9

40

A

2

B

Bij een wedstrijd kunstschaatsen geven tien juryleden punten voor een gereden proef:

5,3

5,3

5,3

4,7

5,4

5,2

5,4

5,3

5,2

5,3

Voor de berekening van de gemiddelde score worden de hoogste en de laagste punten weggelaten. 303

Hoofdstuk 5

Statistiek

1 Geef een verklaring waarom de berekening van de gemiddelde score zo gebeurt. Een uitschieter naar boven of naar onder kan het gemiddelde van de punten

.................................................................................................................................................................................................................................

sterk beïnvloeden.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Heeft deze regel ook invloed op de standaardafwijking? Ja, omdat de standaardafwijking berekend wordt met behulp van het

.................................................................................................................................................................................................................................

gemiddelde.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking: • met de punten toegekend door alle juryleden; • met de punten die in aanmerking komen voor de gemiddelde score. Alle juryleden:

x = 5,24

en

s = 0,19

Min 2 juryleden:

x = 5,29

en

s = 0,06

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

41

A

B

Luciferdoosjes zouden vijftig lucifers moeten bevatten. Uit een steekproef blijkt dat dit niet altijd het geval is. aantal lucifers

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

aantal doosjes (af )

2

8

11

18

28

34

26

16

13

7

1

1 Bepaal het gemiddelde aantal lucifers van deze doosjes. x = 49,9

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Hoeveel percent van de onderzochte doosjes heeft minder dan 50 lucifers? Meer dan 50 lucifers? 67 . . . . .Minder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dan . . . . . . . . . . . .50 . . . . . . . . . .lucifers: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 0,408… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 . . . . . . . .% ............................................................................................ 164 63 . . . . .Meer . . . . . . . . . . . . . . . . .dan . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . .lucifers: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . 0,384… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 . . . . . . . .% ................................................................................................. 164 3 Bepaal de standaardafwijking van deze reeks data. s = 2,1

.................................................................................................................................................................................................................................

304

5.3 - Midden en spreiding van data

42

A

Hoofdstuk 5

B

In een chocoladefabriek controleert men regelmatig het aantal hazelnoten dat in een reep chocolade zit. De frequentietabel geeft het resultaat van een steekproef weer. aantal hazelnoten

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

aantal repen (af )

8

16

25

28

28

30

38

32

25

14

6

De machine is goed afgesteld als het percentage noten zich tussen de volgende grenzen bevindt: 68 % tussen x - s en x + s

en

95 % tussen x - 2s en x + 2s

Moet deze machine worden bijgeregeld? x = 23

en

s = 2,5

........................................................................................................................................................................................................................................

[ x – s, x + s] = [20,5 ; 25,5]

........................................................................................................................................................................................................................................

De repen die aan deze voorwaarden voldoen, bevatten 21, 22, 23, 24 of 25

........................................................................................................................................................................................................................................

noten.

........................................................................................................................................................................................................................................

Percentage repen met 21, 22, 23, 24 of 25 noten:

........................................................................................................................................................................................................................................

28 + 28 + 30 + 38 + 32

= 0,624 = 62,4 %

........................................................................................................................................................................................................................................

250

........................................................................................................................................................................................................................................

Aan de eerste voorwaarde is niet voldaan. De machine moet dus worden

........................................................................................................................................................................................................................................

bijgeregeld.

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

305

Hoofdstuk 5

Statistiek

 Centrummaten en spreidingsmaten vergelijken 43

Instap

Andreas, Ben en Carl moeten elk acht cilinders draaien met een diameter van 25 mm. Alle cilinders worden door leraar Klusmans nauwkeurig gemeten. De meetresultaten lezen we af in de tabel. diameter (mm) Andreas

25,04

24,94

24,98

24,90

24,96

25,05

25,05

24,98

Ben

25,14

25,04

25,10

25,18

25,11

25,15

25,13

25,17

Carl

25,10

24,90

24,97

24,90

25,09

24,99

25,00

25,06

1 Welke reeks meetresultaten heeft de kleinste spreidingsbreedte? Vink aan. Andreas: ✔

xmax – xmin = 25,05 – 24,90 = 0,15

............................................................................................................................................................................................

xmax – xmin = 25,18 – 25,04 = 0,14

Ben:

.......................................................................................................................................................................................................

Carl:

......................................................................................................................................................................................................

xmax – xmin = 25,10 – 24,90 = 0,20

2 Welke reeks meetresultaten heeft een gemiddelde dat het dichtst bij 25 mm ligt? Vink aan. Andreas:

✔

x = 24,988

............................................................................................................................................................................................

x = 25,128

Ben:

.......................................................................................................................................................................................................

Carl:

......................................................................................................................................................................................................

x = 25,001

3 Welke reeks meetresultaten heeft de kleinste standaardafwijking? Vink aan. Andreas: ✔

s = 0,052

............................................................................................................................................................................................

s = 0,042

Ben:

.......................................................................................................................................................................................................

Carl:

......................................................................................................................................................................................................

s = 0,073

4 Bereken voor elke leerling het interval [x - s, x + s]. Wie krijgt van leraar Klusmans de meeste punten? Verklaar. Andreas:

[ x – s, x + s] = [24,936 ; 25,040]

.........................................................................................................................................................................................................

[ x – s, x + s] = [25,086 ; 25,170]

Ben:

....................................................................................................................................................................................................................

Carl:

...................................................................................................................................................................................................................

[ x – s, x + s] = [24,928 ; 25,074]

Andreas krijgt de meeste punten omdat zijn meetresultaten gemiddeld

.................................................................................................................................................................................................................................

0,052 mm afwijken van het gemiddelde en bovendien het best gespreid liggen

.................................................................................................................................................................................................................................

om de vooropgestelde 25 mm.

.................................................................................................................................................................................................................................

306

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Centrummaten en spreidingsmaten vergelijken Een koffiebranderij heeft twee machines aangekocht om gemalen koffie te verpakken in pakjes met een nettogewicht van 250 g. Van elke machine controleren we de inhoud van 100 pakjes. De meetresultaten lezen we af in de tabel.

massa (g)

aantal pakjes af (machine A)

af (machine B)

245

0

1

246

2

4

247

5

8

248

15

13

249

23

18

250

29

16

251

18

12

252

6

10

253

2

8

254

0

6

255

0

4

We berekenen de centrummaten en de spreidingsmaten voor beide machines. Machine A vult de pakjes gemiddeld 0,4 g te weinig en machine B gemiddeld 0,1 g te veel. • Gemiddelde machine A: x = 249,6 • Gemiddelde machine B: x = 250,1 Bij beide machines is de middelste massa van de gerangschikte massa’s gelijk aan 250 g. • Mediaan machine A: Me = 250 • Mediaan machine B: Me = 250 Machine A vult pakjes die maximaal 7 g van elkaar verschillen en bij machine B is het maximale verschil groter, namelijk 10 g. • Spreidingsbreedte machine A: xmax - xmin = 253 - 246 = 7 • Spreidingsbreedte machine B: xmax - xmin = 255 - 245 = 10 Bij machine A verschilt de helft van de pakjes maximaal 2 g en bij machine B is dit maximaal verschil het dubbele. • Interkwartielafstand machine A: Q3 - Q1 = 251 - 249 = 2 • Interkwartielafstand machine B: Q3 - Q1 = 252 - 248 = 4 De standaardafwijking van de reeks massa’s is kleiner bij machine A dan bij machine B. • Standaardafwijking machine A: s = 1,43 • Standaardafwijking machine B: s = 2,34 De centrummaten bij beide machines zijn nagenoeg gelijk, maar de spreidingsmaten zijn merkelijk kleiner bij machine A dan bij machine B. De koffiebranderij zal machine B bijregelen.

307

Hoofdstuk 5

44

A

Statistiek

B

Ons concentratievermogen is ‘s morgens groter dan ‘s avonds. Om dit te onderzoeken, testen we twee groepen van elk 30 jongens en meisjes die we respectievelijk ‘s morgens en ‘s avonds aan een reeks proeven onderwerpen. Het aantal minuten dat onze proefpersonen hun concentratie wisten te behouden, kunnen we aflezen in de tabel. aantal minuten

aantal proefpersonen af (ochtendgroep)

af (avondgroep)

15

2

2

20

2

7

25

6

10

30

8

6

35

5

2

40

4

2

45

3

1

1 Stel de reeks resultaten van elk onderzoek voor met een boxplot. Wat kunnen we hieruit afleiden? ochtendgroep

avondgroep

15

20

25

30

35

40

45 aantal minuten

De spreidingsbreedte en de interkwartielafstand is voor beide groepen

.................................................................................................................................................................................................................................

dezelfde. Van de ochtendgroep heeft 50 % een concentratievermogen van

.................................................................................................................................................................................................................................

meer dan 30 minuten. Bij de avondgroep is dit slechts 25 %.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Welke centrummaat of spreidingsmaat geeft het verschil tussen beide groepen proefpersonen het beste weer? Ochtendgroep:

x = 31

Me = 30

s = 8,1

Avondgroep:

x = 26,5

Me = 25

s = 7,1

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

De mediaan en het gemiddelde geven het verschil tussen beide groepen het

.................................................................................................................................................................................................................................

beste weer. De mediaan geeft bovendien ook informatie over de verdeling

.................................................................................................................................................................................................................................

van de gegevens. De standaardafwijking verschilt slechts 1 minuut wat geen

.................................................................................................................................................................................................................................

noemenswaardig verschil is.

.................................................................................................................................................................................................................................

308

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Uitdagingen 1

Een punaise valt op een tafel en ligt met de punt naar boven of met de punt naar beneden. We werpen 10 duimspijkers tegelijk en noteren telkens de stand van de spijkers. In de tabel staan de resultaten van 20 worpen. worp

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7

5

4

5

7

3

5

4

6

7

6

6

8

3

7

4

6

5

7

5

3

5

6

5

3

7

5

6

4

3

4

4

2

7

3

6

4

5

3

5

1 Stel de resultaten van de 20 worpen voor met twee staafdiagrammen. aantal 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 worp

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 worp

aantal 10

0

1

2 Teken in elk staafdiagram een horizontale rechte die het gemiddelde van alle worpen aanduidt. 3 Welk besluit kunnen we trekken als we de resultaten van dit experiment met elkaar vergelijken? zie pagina 413

2

Een bowlingwedstrijd in het stadje Bedrock bestaat uit n spelletjes. In het laatste spel behaalde Dhr. Flinstone een score van 184 punten en hij verhoogde hiermee zijn gemiddelde score van 176 naar 177. Het aantal gespeelde spelletjes n is dan gelijk aan: (A)

7

(B)

8

(C)

9

(D)

12

(E) 16

Vlaamse Wiskunde Olympiade zie pagina 414

309

Hoofdstuk 5

3

Statistiek

Een gemeente stelt een onderzoek in naar het gebruik van het openbaar zwembad. Aan elke jeugdorganisatie wordt gevraagd een enquête uit te voeren bij haar leden. De tabel bevat de gegevens ingestuurd door een jeugdbeweging die haar leden in drie leeftijdsgroepen heeft ingedeeld. leeftijdscategorie

aantal zwembeurten per maand

5 tot 12 jaar

0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 3 4 0 1 1 1 2 3 3 0 0 0

12 tot 18 jaar

2 3 4 4 5 2 2 2 3 2 2 3 4 2 2 3 2

18 jaar en ouder

0 3 6 4 5 3 2 2 1 3 3 6 0 0 4 4 3 5

1 Bepaal voor elke leeftijdscategorie het gemiddelde aantal zwembeurten per maand. 2 Het gemiddelde aantal zwembeurten van de drie leeftijdscategorieën is gelijk aan het gemiddelde van de gemiddelden van de drie categorieën. Is deze uitspraak juist? Toon aan. zie pagina 414

4

Bepaal voor het ogief het gemiddelde en de mediaan van de verwerkte data. 1 aantal leerlingen (caf )

2 aantal leerlingen (caf )

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 schouderbreedte (cm)

0 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 schoenmaat zie pagina 415

5

De resultaten van acht toetsen zijn voorgesteld met een staafdiagram. Zet een vinkje in het vakje bij elke toets waarvan het gemiddelde van de punten kleiner is dan de mediaan. 1 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

310

3

4

5

2 aantal leerlingen (af )

6

7

8

9 punten

4 3 2 1 0

3

4

5

6

7

8

9 punten

5.3 - Midden en spreiding van data

3 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

3

4

5

4 aantal leerlingen (af )

6

7

8

9 punten

5 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

3

4

5

6

3

4

5

4 3 2 1 0

3

5

6

7

8

9 punten

6

7

8

9 punten

4 3 2 1 0

3

4

5

6

7

8

9 punten

6

7

8

9 punten

8 aantal leerlingen (af )

6

7

8

9 punten

4 3 2 1 0

3

4

5

zie pagina 416

Een lijst van vijf strikt positieve gehele getallen heeft gemiddelde 12, spreidingsbreedte 18 en mediaan 8. Het getal met de hoogste frequentie is 8. Hoeveel verschillende waarden zijn mogelijk voor het tweede grootste getal uit deze lijst? (A)

12

(B) 10

(C)

8

(D)

Vlaamse Wiskunde Olympiade

7

4

6 aantal leerlingen (af )

7 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

Hoofdstuk 5

6

(E) 4 zie pagina 416

Drie verschillende getallen groter dan 6 vormen een reeks van zes data met een spreidingsbreedte van 6 en waarvan het gemiddelde en de mediaan gelijk zijn aan 10. Bepaal de ontbrekende getallen in deze gerangschikte reeks. 8

10 zie pagina 417

8

Gegeven zijn twee reeksen data. 17 30 32 28 27 31 32 28 31 30

en

24 32 22 30 23 31 21 24 26 28

1 Bepaal de spreidingsbreedte van elke reeks data. 2 Waarom is de spreidingsbreedte geen geschikte maat om deze twee reeksen met elkaar te vergelijken? 3 Stel elke reeks data voor met een lijnstuk en duid de uitschieters aan met een stip. zie pagina 417

311

Hoofdstuk 5

9

Statistiek

Welk staafdiagram behoort bij welke boxplot? 1 af 6 5 4 3 2 1 0

A

10

20

30

40

50

2 af 6 5 4 3 2 1 0

B

10

20

30

40

50

3 af 6 5 4 3 2 1 0

C

10

20

30

40

50

4 af 6 5 4 3 2 1 0

D

10

20

30

40

50

5 af 6 5 4 3 2 1 0

312

E

10

20

30

40

50

zie pagina 418

5.3 - Midden en spreiding van data

10

Hoofdstuk 5

De reeksen A, B, C, D, E en F met zeven data hebben hetzelfde gemiddelde en dezelfde spreidingsbreedte. 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C D E F x x-s

x+s

1 Rangschik de reeksen data volgens hun standaardafwijking zonder een berekening uit te voeren. 2 Bereken de standaardafwijking van elke reeks data. 3 Bepaal het aantal data van elke reeks dat tot het interval [ x - s, x + s] behoort. zie pagina 419

11

Toon aan dat de variantie van een reeks data ook berekend kan worden met de formule x 2 + x22 + ... + x n2 - x2 s2 = 1 n zie pagina 419

12

Een standaardserum heeft een cholesterolgehalte van 335 mg per 100 cm3 en een standaardafwijking van 10 mg per 100 cm3. Twee studenten krijgen tien controlestaaltjes en moeten met dezelfde analysemethode het gemiddelde cholesterolgehalte en de standaardafwijking bepalen. Hun meetresultaten lezen we af in de tabel. staal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

student 1 student 2 343,4 352,7 315,7 326,0 403,6 369,3 325,4 361,6 334,8 304,3 305,9 313,2 342,1 338,5 318,2 331,7 340,9 379,8 308,5 332,4

313

Hoofdstuk 5

Statistiek

1 Bepaal voor elke student het gemiddelde cholesterolgehalte en de standaardafwijking van de tien staaltjes. 2 Voor het toekennen van de punten laat de leerkracht het slechtste meetresultaat weg. Bepaal met de overblijvende meetresultaten het gemiddelde cholesterolgehalte en de standaardafwijking. 3 In hoeverre beïnvloeden deze extreme waarden het gemiddelde en de standaardafwijking? 4 Welke student heeft na weglating van de extreme waarden het nauwkeurigst gewerkt? Verklaar. 5 Als 85 % van de meetresultaten behoren tot het interval [315, 355] en 60 % van de meetresultaten tot het interval [325, 345], dan krijgt de student het maximum van de punten. Voldoet één van de analyses aan de gestelde voorwaarden? zie pagina 420

314

5.3 - Midden en spreiding van data

Hoofdstuk 5

Vraag & antwoord 1

Hoe berekenen we het gemiddelde van een reeks data? We berekenen de som van alle data en delen die door het aantal data.

2

Met welk symbool noteren we het gemiddelde? Met x.

3

Hoe berekenen we de mediaan van een reeks data? We rangschikken de data naar grootte en bepalen het middelste gegeven of het gemiddelde van de middelste twee gegevens.

4

Met welk symbool noteren we de mediaan? Met Me.

5

Hoe berekenen we het gemiddelde van een reeks data uit een frequentietabel? We vermenigvuldigen de waarnemingsgetallen met de bijbehorende frequenties en tellen de producten op. Deze som delen we door het aantal data.

6

Hoe bepalen we de mediaan van een reeks data uit een frequentietabel? Met de cumulatieve absolute frequenties bepalen we het middelste gegeven of het gemiddelde van de middelste twee gegevens.

7

Met welke symbolen noteren we het kleinste en het grootste waarnemingsgetal van een reeks data? Met xmin en xmax.

8

Hoe berekenen we de spreidingsbreedte van een reeks data? Als het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal: xmax – xmin.

9

Hoe noemen we de mediaan van de eerste helft van een reeks data die gerangschikt zijn van klein naar groot? Eerste kwartiel. Met welk symbool noteren we dit getal? Met Q1.

315

Hoofdstuk 5

10

Statistiek

Hoe noemen we de mediaan van de tweede helft van een reeks data die gerangschikt zijn van klein naar groot? Derde kwartiel. Met welk symbool noteren we dit getal? Met Q3.

11

Hoe berekenen we de interkwartielafstand? Als het verschil van het derde en het eerste kwartiel: Q3 – Q1.

12

Welke vijf kenmerkende maten van een reeks data kunnen we aflezen in een boxplot? Het kleinste waarnemingsgetal, het eerste kwartiel, de mediaan, het derde kwartiel en het grootste waarnemingsgetal.

13

Hoeveel percent van de gegevens ligt tussen het eerste en het derde kwartiel van een reeks data? 50 %

14

Hoeveel percent van de gegevens ligt tussen het eerste kwartiel en de mediaan van een reeks data? 25 %

15

Met welke symbolen noteren we de variantie en de standaardafwijking van een reeks data? Met s2 en s.

16

Met welke formule berekenen we de standaardafwijking van n gegevens x1, x2, x3, ... , xn met gemiddelde x ? s=

316

( x1 – x )2 +( x 2 – x )2 +( x 3 – x )2 + ... +( x n – x )2 n

5.4 - Gegroepeerde data

5.4

Hoofdstuk 5

Gegroepeerde data

 Histogram 1

Instap

In de krant De Standaard werd een grafiek gepubliceerd die het gemiddelde bruto maandloon weergeeft van de Belgen.

De Belg verdient gemiddeld 3027 euro

1750 - 2000

14 % 12 10

6 4 2

-1500 euro 1500 - 1750

8

2000 - 2250 2250 - 2500 2500 - 2750 2750 - 3000 3000 - 3250 3250 - 3500 3500 - 3750 3750 - 4000 4000 - 4250 4250 - 4500 4500 - 4750 4750 - 5000 5000 - 5250 5250 - 5500 5500 - 5750 5750 - 6000 + 6000

■ Gemiddeld bruto maandloon, in euro

2639 euro Gemiddeld bruto mediaanloon van een voltijdse loontrekkende 50 procent van de werknemers verdient minder dan 2639 euro 50 procent verdient meer Twintig procent verdient meer dan

3611 euro Tien procent verdient meer dan

4474 euro

1 Tussen welke grenzen ligt het brutomaandloon dat het vaakst voorkomt? Tussen 2250 en 2500 euro.

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Welke lonen komen voor in de eerste groep? De lonen lager dan 1500 euro.

.................................................................................................................................................................................................................................

En in de laatste groep? De lonen hoger dan 6000 euro.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 In het staafdiagram werden de overige lonen ook gegroepeerd. Wat is het verschil tussen het hoogste en het laagste loon in elk van deze groepen? 250 euro

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Waarom heeft men geen staafdiagram getekend van elk mogelijk loon? Omdat er zoveel verschillende brutomaandlonen zijn dat het staafdiagram

.................................................................................................................................................................................................................................

onoverzichtelijk zou zijn.

.................................................................................................................................................................................................................................

317

Hoofdstuk 5

Statistiek

Data groeperen in klassen Een basketbalclub onderzoekt de lichaamslengte van haar leden ouder dan 12 jaar. Het staafdiagram met de resultaten telt 33 staven. aantal leden (af ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 160 165

170

175

180

185

190

195 200 lichaamslengte (cm)

Het staafdiagram is vrij breed en onoverzichtelijk. Omdat het rekenen met een teveel aan frequenties tijdrovend is, korten we het staafdiagram in door de data te groeperen in een aantal opeenvolgende intervallen, bijvoorbeeld: [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ … [195, 200[ [200, 205[ Deze intervallen noemen we klassen. Het kleinste getal in de intervalnotatie noemen we de ondergrens en het grootste is de bovengrens. De haakjes duiden aan dat de ondergrens tot de klasse behoort en de bovengrens niet: dit getal is de ondergrens van de daaropvolgende klasse. ondergrens

bovengrens

klasse [160, 165[ Het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens noemen we de klassenbreedte. klassenbreedte: 165 - 160 = 5

De halve som van de ondergrens en de bovengrens is het klassenmidden. 160 + 165 klassenmidden: = 162,5 2 Frequenties van klassen voorstellen met een histogram De reeks lichaamslengten uit het staafdiagram hebben we gegroepeerd in klassen. Het aantal data binnen een klasse noemen we de frequentie van de klasse. We stellen een frequentietabel op en tekenen een staafdiagram. lichaamslengte (cm) [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ totaal 318

aantal leden (af ) 6 6 20 19 15 7 4 2 1 80

aantal leden (af ) 25 20 15 10 5 0

[160,165[[165,170[[170,175[[175,180[[180,185[[185,190[[190,195[[195,200[[200,205[

lichaamslengte (cm)

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

Een staafdiagram waarbij de hoogte van de staven overeenkomt met de frequenties van klassen, noemen we een histogram. In het histogram hebben de staven dezelfde breedte en zijn ze aaneensluitend getekend.

2

A

B

Geoogste appelen worden eerst gesorteerd naar grootte en dan naar de veiling vervoerd. Het staafdiagram toont de diameter van 100 appelen uit een lot Delta-Gold. aantal appelen (af ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 60 61 62 63 64 65 66

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

diameter (mm)

Vereenvoudig het staafdiagram door de data te groeperen. Stel een frequentieverdeling op met de klassen en teken het histogram. diameter (mm)

aantal appelen (af )

[60, 65[

.................................................

[65, 70[

.................................................

[70, 75[

.................................................

[75, 80[

.................................................

[80, 85[

.................................................

[85, 90[

.................................................

[90, 95[

.................................................

[95, 100[

.................................................

totaal

.................................................

3 6

28 26 10 11 13

aantal appelen (af ) 30 25 20 15 10 5 0 [60, 65[ [65, 70[ [70, 75[ [75, 80[ [80, 85[ [85, 90[ [90, 95[ [95, 100[

3

diameter (mm)

100

319

Hoofdstuk 5

3

A

Statistiek

B

In de periode van de nieuwe mosselen zien we heel wat restaurants met uithangborden waarop de prijs staat van een portie mosselen met friet. Het noteren van deze prijzen in een bepaalde regio leverde een ongeordende reeks data op. restaurantprijs van mosselen met friet (euro) 24,40

21,90

21,90

22,60

18,40

24,40

23,80

21,90

23,20

24,40

18,90

18,90

21,30

19,80

18,30

24,40

24,00

18,90

18,40

18,90

24,40

18,90

19,60

18,90

23,80

21,90

19,60

21,90

20,50

18,30

21,60

19,80

19,80

18,90

18,30

1 Wat is de laagste en de hoogste prijs? xmin = 18,30

en

xmax = 24,40

.................................................................................................................................................................................................................................

2 Hoeveel verschillende prijzen werden genoteerd? 14

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Stel een frequentieverdeling op met klassen waarvan de klassenbreedte gelijk is aan 1 euro.

320

prijs (euro)

aantal restaurants (af )

.....................................................

[18, 19[

.....................................................

.....................................................

[19, 20[

.....................................................

.....................................................

[20, 21[

.....................................................

.....................................................

[21, 22[

.....................................................

.....................................................

[22, 23[

.....................................................

.....................................................

[23, 24[

.....................................................

.....................................................

[24, 25[

.....................................................

totaal

.....................................................

12 5 1 7 1 3 6

35

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

4 Geef de frequentieverdeling weer met een histogram. aantal restaurants (af ) 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 [18, . . . . . . . . . . . . 19[ ........

[19, . . . . . . . . . . . . 20[ ........

[20, . . . . . . . . . . . . 21[ ........

[21, . . . . . . . . . . . . 22[ ........

[22,23[

[23, . . . . . . . . . . . . 24[ ........

....................

[24,25[

....................

prijs (euro)

5 Wat is de meest voorkomende prijsklasse?

4

A

[18, 19[

.........................................

B

Voor een statistisch onderzoek werd aan vijftig bezoekers van Technopolis te Mechelen de leeftijd gevraagd. De data lezen we af in de tabel. leeftijd (jaar) 43

67

69

23

28

49

14

15

45

55

21

32

33

49

50

9

15

16

40

44

34

7

83

24

36

11

11

37

41

44

12

34

23

18

19

81

8

15

12

10

17

11

65

69

26

8

29

31

28

27

Als we de data groeperen in klassen met klassenbreedte 10 jaar, dan kunnen we dat met een stengelbladdiagram: voor de verticale streep schrijven we de tientallen van de data (de stengel van het diagram) en achter de streep de eenheden (de bladeren van de stengel).

321

Hoofdstuk 5

Statistiek

Vul het stengelbladdiagram aan met de ontbrekende bladeren. 0

9

7

8

8

1

4

5

5

6

1

1

.........

2

.........

8

.........

2

.........

3

.........

8

.........

1

.........

4

.........

3

.........

6

.........

9

.........

8

.........

3

.........

2

.........

3

.........

4

.........

6

.........

7

.........

4

.........

4

.........

3

.........

9

.........

5

.........

9

.........

0

.........

4

.........

5

.........

5

.........

6

.........

7

.........

5

.........

3

.........

9

5

.........

2

.........

0

.........

7

.........

1

.........

7

1 1

4

.........

0 9

.........

9

7 8

.........

1

9 In een stengelbladdiagram blijven alle data van een klasse behouden. 7 jaar

1 Wat is de leeftijd van de jongste bezoeker?

..........................................................................................................................

2 Wat is de leeftijd van de oudste bezoeker?

...........................................................................................................................

83 jaar

3 Hoeveel bezoekers behoren tot de leeftijdsklasse [10, 20[?

14

.......................................................................................

4 Hoe noemen we het diagram dat we verkrijgen door het stengelbladdiagram te draaien in tegenwijzerzin over een hoek van 90°? Histogram.

.................................................................................................................................................................................................................................

5

A

B

Van alle vierdejaars die lid willen worden van de turnclub van de school, wordt de lengte gemeten. De meetresultaten staan in de tabel. lichaamslengte (cm)

322

161

158

169

158

166

156

177

170

183

191

183

191

182

172

168

184

170

182

159

175

173

174

192

157

195

192

156

173

162

156

162

160

165

170

178

159

184

162

183

167

184

187

179

161

166

156

170

168

183

159

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

1 Stel de meetresultaten voor in een stengelbladdiagram. 15

..........

8

..........

8

..........

6

..........

9

..........

7

..........

6

..........

6

..........

9

..........

6

..........

9

..........

..........

..........

..........

..........

16

..........

1

..........

9

..........

6

..........

8

..........

2

..........

2

..........

0

..........

5

..........

2

..........

7

..........

1

..........

6

..........

8

..........

..........

17

..........

7

..........

0

..........

2

..........

0

..........

5

..........

3

..........

4

..........

3

..........

0

..........

8

..........

9

..........

0

..........

..........

..........

18

..........

3

..........

3

..........

2

..........

4

..........

2

..........

4

..........

3

..........

4

..........

7

..........

3

..........

..........

..........

..........

..........

19

..........

1

..........

1

..........

2

..........

5

..........

2

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

2 Hoeveel leerlingen hebben een lengte van 170 cm?

4 leerlingen

.......................................................................................................

3 Hoeveel cm is de grootste leerling groter dan de kleinste? 4 Hoeveel leerlingen zijn kleiner dan 160 cm?

195 – 156 = 39 ➜ 39 cm

.......................................................................................

10 leerlingen

........................................................................................................................

5 Geef het stengelbladdiagram weer met twee histogrammen waarvan de klassenbreedte gelijk is aan 10 cm en aan 20 cm te beginnen vanaf 140 cm. Wat stellen we vast? aantal leerlingen (af )

aantal leerlingen (af )

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 [140, 150[

[150, . . . . . . . . . .160[ . . . . . . [160, . . . . . . . . . .170[ . . . . . . [170, . . . . . . . . . .180[ . . . . . . [180, . . . . . . . . . .190[ . . . . . . [190, . . . . . . . . . .200[ ......

[140, 160[

[160, . . . . . . . . . .180[ . . . . . . [180, . . . . . . . . . .200[ ......

lichaamslengte (cm)

lichaamslengte (cm)

Hoe breder de klassen, hoe meer informatie verloren gaat.

..........................................................................................................................................................................................................................

323

Hoofdstuk 5

Statistiek

Data groeperen in klassen Een basketbalclub onderzoekt de lichaamslengte van haar leden ouder dan 12 jaar. Het staafdiagram met de resultaten telt 33 staven.We hertekenen het staafdiagram door de data te groeperen. aantal leden (af ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 160

165

170

175

180

185

190

195 200 lichaamslengte (cm)

TEXAS INSTRUMENTS

We brengen de gegevens van het staafdiagram over in twee lijsten. Vervolgens tekenen we een histogram met staafbreedte 5. Met de toets TRACE en de pijltjestoetsen kunnen we de ondergrens min, de bovengrens max en de frequentie n aflezen van elke klasse.

CASIO

We brengen de gegevens van het staafdiagram over in twee lijsten. Vervolgens tekenen we een histogram met staafbreedte 5. Met de volgcursor en de pijltjestoetsen kunnen we de ondergrens x en de frequentie f aflezen van elke klasse.

324

5.4 - Gegroepeerde data

6

A

Hoofdstuk 5

B

Vereenvoudig met ICT het staafdiagram door de data te groeperen. Teken achtereenvolgens een histogram waarvan de klassenbreedte gelijk is aan 2 punten, 5 punten en 10 punten. aantal leerlingen (af ) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

punten

Texas Instruments

Casio

325

Hoofdstuk 5

Statistiek

 Frequentiepolygoon 7

Instap

Aan 100 leerlingen tussen 12 en 17 jaar werd gevraagd hoeveel zakgeld ze wekelijks krijgen. De resultaten lezen we af in de frequentietabel en op het histogram. zakgeld (euro)

aantal leerlingen af

caf

[0, 5[

32

...................

[5, 10[

24

...................

[10, 15[

13

...................

[15, 20[

9

...................

[20, 25[

7

...................

[25, 30[

4

[30, 35[

5

...................

aantal leerlingen (af ) 35 30

32

25

56 69

20

78

15

85

10

...................

89

5

94

0 [0, 5[

[35, 40[

6

[5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[

100

zakgeld (euro)

...................

1 Duid bovenaan op elke staaf van het histogram het midden aan. Verbind de aangeduide punten met elkaar. Welk soort grafiek hebben we getekend?

Een lijndiagram.

.................................................................................

2 Vul de frequentietabel aan met de cumulatieve absolute frequenties. 3 De resultaten zijn ook voorgesteld met een ogief. aantal leerlingen (caf ) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15

20

25

30 35 40 zakgeld (euro)

Vink de juiste uitspraak aan. De stippen van het ogief worden aangeduid boven elk(e) ondergrens

326

bovengrens

klassenmidden

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

Frequentiepolygoon De frequentietabel geeft een overzicht van de lichaamslengte van 80 leden van een basketbalclub. lichaamslengte (cm)

aantal leden (af )

[160, 165[

6

[165, 170[

6

[170, 175[

20

[175, 180[

19

[180, 185[

15

[185, 190[

7

[190, 195[

4

[195, 200[

2

[200, 205[

1

totaal

80

De frequentietabel met klassen kunnen we grafisch voorstellen met een histogram. aantal leden (af ) 25 20 15 10 5 0 [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[

lichaamslengte (cm)

Als we op de horizontale as de klassenmiddens uitzetten, bovenaan de staven de middens aanduiden met stippen en de opeenvolgende stippen verbinden met lijnstukken, dan ontstaat een lijndiagram dat we een frequentiepolygoon noemen. aantal leden (af ) 25 20 15 10 5 0 [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[

lichaamslengte (cm)

Merk op De lijnstukken van een frequentiepolygoon geven enkel het verloop weer van de frequentieverdeling en hebben verder geen betekenis.

327

Hoofdstuk 5

Statistiek

Cumulatieve frequenties van klassen voorstellen met een ogief Op het histogram en de frequentiepolygoon kunnen we niet aflezen hoeveel leden kleiner zijn dan 185 cm. Om dit te weten, vullen we de frequentietabel aan met cumulatieve absolute frequenties en tekenen we het ogief als volgt: • op de horizontale as duiden we de klassengrenzen aan; • we zetten boven de bovengrens van elke klasse de overeenkomstige cumulatieve frequentie uit met een stip; • we verbinden de ondergrens van de eerste klasse en de opeenvolgende stippen met lijnstukken. aantal leden

lichaamslengte (cm)

af

caf

[160, 165[

6

6

[165, 170[

6

12

[170, 175[

20

32

[175, 180[

19

51

[180, 185[

15

66

[185, 190[

7

73

[190, 195[

4

77

[195, 200[

2

79

[200, 205[

1

80

totaal

80

aantal leden (caf ) 90 80 70 66 60 50 40 30 20 10 0 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 lichaamslengte (cm)

Op het ogief kunnen we aflezen dat 66 leden kleiner zijn dan 185 cm.

8

A

B

In de onmiddellijke omgeving van een woonwijk ligt een autosnelweg. De bewoners klagen over lawaaioverlast. Tussen 6 uur ‘s morgens en 9 uur ‘s avonds meten ze elk kwartier de geluidsintensiteit. geluidsintensiteit (decibel)

328

82

88

91

109

115

118

117

114

120

118

109

111

107

103

105

106

103

103

105

102

98

96

99

102

97

95

90

94

93

92

95

96

100

103

105

104

108

108

106

109

108

111

119

121

116

118

113

112

107

104

99

101

97

94

96

92

89

86

83

85

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

1 Stel een frequentietabel op volgens de geluidsschaal aangeduid op de figuur. geluidsintensiteit (dB)

aantal metingen (af )

..............................................

[80, 90[

..............................................

..............................................

[90, 100[

..............................................

..............................................

[100, 110[

..............................................

..............................................

[110, 120[

..............................................

..............................................

[120, 130[

..............................................

totaal

..............................................

6

17

23 12 2

60

2 Welke geluidsintensiteit komt het meest voor? De geluidsintensiteit uit de klasse [100, 110[.

.................................................................................................................................................................................................................................

3 Een geluidsintensiteit hoger dan 110 decibel kan schadelijk zijn voor het gehoor. Bij hoeveel metingen komt een schadelijke geluidsintensiteit voor? Bij 14 metingen.

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Teken het histogram. aantal metingen (af ) 25 20 15 10 5 0 [80, 90[

.................................

[90, 100[

.................................

[100, 110[

.................................

[110, 120[

.................................

[120, 130[

.................................

geluidsintensiteit (dB)

329

Hoofdstuk 5

Statistiek

5 Teken de frequentiepolygoon. aantal metingen (af ) 25 20 15 10 5 0 85

95

.......................

.......................

105

115

.......................

.......................

125

.......................

geluidsintensiteit (dB)

9

A

B

Tijdens het medisch onderzoek van de leerlingen van het vierde jaar noteert en verwerkt een verpleegster het lichaamsgewicht van de leerlingen tot frequentietabellen. aantal leerlingen

massa (kg)

af (groep A)

caf (groep A)

af (groep B)

caf (groep B)

[45,5 ; 50,5[

5

5

2

2

[50,5 ; 55,5[

8

13

4

6

[55,5 ; 60,5[

10

23

8

14

[60,5 ; 65,5[

9

32

11

25

[65,5 ; 70,5[

7

39

9

34

[70,5 ; 75,5[

3

42

7

41

totaal

42

41

1 Teken voor elke groep de frequentiepolygoon. aantal leerlingen (af ) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A B

48

............

53

............

58

............

63

............

68

............

73

............

massa (kg)

330

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

2 Teken voor elke groep het ogief. aantal leerlingen (caf ) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 45,5

............

A B

50,5

............

55,5

............

60,5

............

65,5

............

70,5

............

75,5

............

massa (kg)

3 In één van beide groepen zitten meer meisjes dan jongens. In welke groep is dat? Verklaar. Uit statistisch onderzoek blijkt dat meisjes minder wegen dan jongens van

.................................................................................................................................................................................................................................

dezelfde leeftijd.

.................................................................................................................................................................................................................................

Op het ogief stellen we vast dat in groep A 23 leerlingen minder dan

.................................................................................................................................................................................................................................

60,5 kg wegen, voor groep B zijn dat er slechts 14. Beide groepen hebben

.................................................................................................................................................................................................................................

op één leerling na dezelfde omvang.

.................................................................................................................................................................................................................................

Als we te maken hebben met groepen van dezelfde leeftijd en waarin de

.................................................................................................................................................................................................................................

meisjes en de jongens geen extreem grote gewichtsafwijking vertonen, dan

.................................................................................................................................................................................................................................

mogen we aannemen dat in groep A meer meisjes aanwezig zijn dan in

.................................................................................................................................................................................................................................

groep B.

.................................................................................................................................................................................................................................

331

Hoofdstuk 5

Statistiek

 Centrummaten 10

Instap

Geert heeft op zijn dak zonnepanelen laten installeren. Tijdens de zomermaanden noteert hij elke dag de opbrengst in kWh op een kalender. ma

di

juli do

wo

vr

za

zo

ma

augustus wo do vr

di

1

1

26,44 2

3

22,06

29,40

9

10

20,47

15,75

16

30,13

18,37

23

24

13,69

22,50

30

5

6

7

8

26,78

23,33

17,20

18,62

11

12

13

14

15

23,42

10,49

18

19

10,60

12,44

25

26

17

9,05

12,81

4

12,15

13,76

11,52

8,76

20

8,52

21,18

21

14,63

27

28

14,20

14,37

27,98 6

9,14 13

25,07

10,65

7

8

19,62

13,36

14

15

16

15,37

15,31

10

11

23,78

19,59

17

18

16,42 12

9,55 19

18,89

21,24

22

23

24

25

26

26,00

15,92

32,51

12,74

15,89

33,45

27

28

29

30

31

18,28

15,98

16,04

11,36

16,21

12,21

5

18,89

14,39

9,02

9

zo 4

21

29

11,65

15,81

za 3

20

22

11,26

2

19,74

31

ustus totaal aug h W 550,41 k

i totaal jul h W k 522,53

16,98

1 Bereken de gemiddelde opbrengst per dag tijdens de maanden juli en augustus. x =

522, 53 + 550,41

= 17,3054… ➜ 17,305 kWh

.................................................................................................................................................................................................................................

62

2 Geert heeft de opgetekende waarden in klassen verdeeld. Vul de tabel aan met de klassenmiddens. aantal kWh

klassenmidden

aantal dagen

[8, 10[

.............................

9

6

[10, 12[

.............................

11

7

[12, 14[

.............................

13

8

[14, 16[

.............................

15

11

[16, 18[

.............................

17

5

[18, 20[

.............................

19

8

[20, 22[

.............................

21

3

[22, 24[

.............................

23

5

[24, 26[

.............................

25

1

[26, 28[

.............................

27

4

[28, 30[

.............................

29

1

[30, 32[

.............................

31

1

[32, 34[

.............................

33

2 62

332

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

3 Bereken met de klassenmiddens en de frequenties de gemiddelde opbrengst per dag. x = 17,3225… ➜ 17,323 kWh

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Vergelijk de gemiddelden uit opdracht 3 met het gemiddelde uit opdracht 1. Is er een groot verschil?

Neen, het verschil bedraagt ongeveer 0,018 kWh.

.........................................................................................................................................................................................................

Gemiddelde en mediaan van een reeks gegroepeerde data Bij data gegroepeerd in klassen, zijn de data verdwenen, maar kennen we enkel de frequentie van elke klasse die het aantal data binnen die klasse weergeeft. Als we stellen dat alle klassen dezelfde breedte hebben en de gegevens gelijkmatig verdeeld zijn binnen elke klasse, dan kunnen we met de klassenmiddens het gemiddelde en de mediaan verantwoord benaderen. Gemiddelde We hernemen de frequentietabel met de lichaamslengte van de leden van een basketbalclub. lichaamslengte (cm)

klassenmidden

[160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ totaal

162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 202,5

aantal leden af 6 6 20 19 15 7 4 2 1 80

caf 6 12 32 51 66 73 77 79 80

Om het gemiddelde te berekenen, vermenigvuldigen we de klassenmiddens met de bijbehorende frequenties en tellen de producten op. Deze som delen we door het aantal leden. 162 ,5  6 + 167 ,5  6 + 172 ,5  20 + ... + 197 ,5  2 + 202 ,5  1 = 177,75 80 De gemiddelde lichaamslengte is 177,8 cm. x=

Mediaan Om de mediaan te bepalen, gebruiken we de cumulatieve absolute frequenties. De omvang van de steekproef is 80. Bijgevolg is de mediaan het gemiddelde van de 40e en 41e waarde. Deze bevinden zich in de klasse [175, 180[. Het klassenmidden 177,5 is een verantwoorde benadering van de mediaan. Me = 177,5 De mediaan is 177,5 cm.

333

Hoofdstuk 5

Statistiek

Merk op Als we het gemiddelde en de mediaan van de lichaamslengten berekenen met de nietgegroepeerde gegevens, verkrijgen we voor het gemiddelde 176,9 cm en voor de mediaan 177 cm. We stellen vast dat deze rekenwijze met klassenmiddens een relatief goede benadering is. In beide gevallen bedraagt het verschil minder dan 1 cm.

11

A

B

Bereken het gemiddelde van de reeks gegroepeerde data. 1

x=

afstand (km)

aantal auto’s (af )

[4, 8[

2

lengte (cm)

aantal leerlingen (af )

2

[150, 160[

3

[8, 12[

6

[160, 170[

6

[12, 16[

11

[170, 180[

8

[16, 20[

8

[180, 190[

1

[20, 24[

4

[190, 200[

2

6  2 + 10  6 + 14 11 + 18  8 + 22  4 ...................................................................................................

31

= 14,8 ...................................................................................................

12

A

x=

155  3 + 165  6 + 175  8 + 185 1 + 195 2 ...................................................................................................

20

= .171,5 ..................................................................................................

B

Bepaal de mediaan van de reeks gegroepeerde data. 1 aantal leerlingen (caf )

2 aantal ouderen (caf )

60 56

35 32 30

50 40

25 20

30 28 + 29

16 + 17 15

20 10 10 0 30

5 40

50

60

70

80 punten

Me = . . . . . .55 .........................................................................................

334

0 55

60

65

70

75 80 leeftijd (jaar)

Me = . . . . .62,5 ..........................................................................................

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

Centrummaten en spreidingsmaten berekenen We berekenen de centrummaten en de spreidingsmaten van de lichaamslengten van 80 leden van een basketbalclub. lichaamslengte (cm) [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ totaal

klassenmidden 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 187,5 192,5 197,5 202,5

aantal leden (af ) 6 6 20 19 15 7 4 2 1 80

TEXAS INSTRUMENTS

We slaan de klassenmiddens op in lijst L1 en de bijbehorende frequenties in lijst L2. Met behulp van de twee ingevoerde lijsten kunnen we de centrummaten en de spreidingsmaten bepalen.

[ STAT ] [ : CALC ] [ 1: 1-Var Stats ] [ 2ND ] [ L1 ] [ , ] [ 2ND ] [ L2 ] [ ENTER ] ▼

■

CASIO

We slaan de klassenmiddens op in List 1 en de bijbehorende frequenties in List 2. Met behulp van de twee ingevoerde lijsten kunnen we de centrummaten en de spreidingsmaten bepalen. ■

[ MENU ] [ 2: STAT ] [ F2: CALC ] [ F6: SET ] [ F1: LIST ] 1 [ EXE ] [ ▼ ] [ F2: LIST ] 2 [ EXE ] [ EXIT ] [ F1: 1VAR ]

335

Hoofdstuk 5

13

A

Statistiek

B

Bepaal het gemiddelde, de mediaan en de standaardafwijking van de reeks gegroepeerde data. 1

prijs (euro)

klassenmidden aantal gsm's (af ) 75

27

125

16

x=

175

13

Me =

...............................................

225

37

s=

...................................................

105,1

275

37

325

40

375

20

425

19

x=

....................................................

[50, 100[

...................................

[100, 150[

...................................

[150, 200[

...................................

[200, 250[

...................................

[250, 300[

...................................

[300, 350[

...................................

[350, 400[

...................................

[400, 450[

...................................

totaal

2 benzine (liter)

[10, 15[ [15, 20[ [20, 25[

336

275

209

aantal klassenmidden automobilisten (af ) 12,5

...................................

17,5

...................................

22,5

...................................

8 32 141

27,5

207

32,5

254

37,5

112

42,5

35

47,5

4

[25, 30[

...................................

[30, 35[

...................................

[35, 40[

...................................

[40, 45[

...................................

[45, 50[

...................................

totaal

255,4

....................................................

793

29,8

32,5

Me =

...............................................

s=

6,3

...................................................

5.4 - Gegroepeerde data

14

A

Hoofdstuk 5

B

De leerlingen van het vierde leerjaar worden op hun intelligentie getest. In het stengelbladdiagram zijn de resultaten van de intelligentietest samengebracht. 7 5

2

4

0

0

9

8

8

6

7

5

6

5

5

2

7

1

6

3

8

7

4

3

4

3

7

1

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 Bereken het gemiddelde IQ van deze klas.

9

x = 115,6

............................................................................................................................

2 Hoeveel percent van de leerlingen hebben een IQ hoger dan het gemiddelde IQ? 13

= 0,433… = 43 % 30 3 Bepaal de spreidingsbreedte en de interkwartielafstand.

.................................................................................................................................................................................................................................

xmax – xmin = 157 – 85 = 72

Q3 – Q1 = 126 – 104 = 22

.................................................................................................................................................................................................................................

4 Bepaal de mediaan en de standaardafwijking. 5 Hoeveel IQ’s zijn lager dan de mediaan?

Me = 113 en s = 17,8

..................................................................................................................

15

................................................................................................................................

6 Hoeveel percent van alle IQ’s zijn hoger dan de mediaan?

50 %

........................................................................................

7 Hoeveel IQ’s liggen in het interval [ x - s, x + s]? [x – s, x + s] = [97,8 ; 133,4] ➜

19

= 0,633… = 63 % 30 We stellen de resultaten van het onderzoek voor met een histogram waarop we de oorspronkelijke data niet meer kunnen aflezen.

.................................................................................................................................................................................................................................

aantal leerlingen (af ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 [80, 90[

[90, 100[

[100, 110[

[110, 120[

[120, 130[

[130, 140[

[140, 150[

[150, 160[

IQ

337

Hoofdstuk 5

Statistiek

8 Bereken het gemiddelde IQ van deze klas met de gegevens van het histogram. 9 Bepaal de mediaan en de standaardafwijking.

Me = 115

en

x = 115,7

...................................

s = 17,3

..............................................................................................................

10 Is er een groot verschil tussen deze kenmerkende maten en de overeenkomstige maten berekend met de gegevens van het stengelbladdiagram? Neen.

.............................................................................................................................................................................................................................

338

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

Uitdagingen 1

Met een statistisch programma kunnen we het verband tussen roken en de levensverwachting van jongeren bestuderen. De gegevens die het simulatieprogramma gebruikt, zijn ontleend aan wetenschappelijk onderzoek naar de gevolgen van roken voor de volksgezondheid.

Het programma simuleert een groep van 100 jongens en een groep van 100 meisjes van 15 jaar die 10 sigaretten per dag roken. De stengelbladdiagrammen tonen de leeftijden waarop ze zullen overlijden. Groep 1 100 jongens 10 sigaretten per dag

Groep 2 100 meisjes 10 sigaretten per dag

1

1

2 6

2 47

3 379

3 778

4 134668899

4 0899

5 177777889

5 0001112677

6 0000111223444444566677889

6 011233356899

7 00012233334445557888999

7 01113334444445566677789999

8 11222444555566667888999

8 0002222334445555566777889

9 0112244

9 0 0 0 01 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 8

1 Verwerk de gegroepeerde gegevens tot een tabel met 9 klassen en noteer de bijbehorende relatieve frequenties en cumulatieve relatieve frequenties voor jongens en voor meisjes.

339

Hoofdstuk 5

Statistiek

2 Stel de relatieve frequenties voor met een frequentiepolygoon. aantal jongeren (rf ) 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ............

............

............

jongens

............

............

meisjes

............

............

............

............

leeftijd (jaren)

3 Hoeveel percent van de jongens zal sterven tussen hun 40e en 70e levensjaar? En hoeveel percent van de meisjes?

340

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

4 Stel de cumulatieve relatieve frequenties voor met een ogief. aantal jongeren (crf ) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 ............

............

............

............

jongens

............

............

............

............

............

............

leeftijd (jaren)

meisjes

5 Hoeveel percent van de jongens zal sterven voor hun 60e levensjaar? En hoeveel percent van de meisjes? zie pagina 412

2

Een leraar Nederlands wil weten hoeveel minuten 20 leerlingen nodig hadden om een gedicht van buiten te leren. Het resultaat staat in de tabel met cumulatieve relatieve frequenties. tijd (min)

aantal leerlingen crf

af

caf

[0, 5[

5%

......................................

......................................

[5, 10[

20 %

......................................

......................................

[10, 15[

40 %

......................................

......................................

[15, 20[

70 %

......................................

......................................

[20, 25[

95 %

......................................

......................................

[25, 30[

100 %

......................................

......................................

totaal

......................................

341

Hoofdstuk 5

Statistiek

Melopee Onder de maan schuift de lange rivier Over de lange rivier schuift moede de maan Onder de maan op de lange rivier schuift de kano naar zee Langs het hoogriet langs de laagwei schuift de kano naar zee schuift met de schuivende maan de kano naar zee Zo zijn ze gezellen naar zee de kano de maan en de man Waarom schuiven de maan en de man getweeën gedwee naar de zee Paul van Ostaijen 1 Hoeveel percent van de leerlingen heeft minder dan 10 minuten nodig om het gedicht van buiten te leren? 2 Hoeveel percent van de leerlingen had minstens een kwartier nodig om het gedicht van buiten te leren? 3 Vul de tabel aan met absolute frequenties en cumulatieve absolute frequenties. 4 Teken de frequentiepolygoon en het ogief. aantal leerlingen (af )

aantal leerlingen (caf )

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

25 20 15 10 5 0 ............ ............ ............ ............ ............ ............

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

tijd (min)

tijd (min)

5 Hoeveel leerlingen hebben tussen 20 en 25 minuten nodig gehad om het gedicht van buiten te leren? 6 Hoeveel leerlingen hebben minder dan 20 minuten nodig gehad? zie pagina 425

3

De melk van koeien wordt onderzocht op het percentage botervet. De frequentietabel met klassenmiddens geeft een overzicht van 120 genomen stalen. De klassenbreedte bedraagt 0,1 %. botervet (%)

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0

aantal koeien (af ) 1

342

2

5

4

13 18 15 16 12 10

6

4

6

3

4

1

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

1 Teken een frequentiepolygoon en duid er het gemiddelde percentage botervet op aan. aantal koeien (af ) 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,5 3,6 3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9 5,0 botervet (%)

2 Teken een ogief en duid er de mediaan op aan. aantal koeien (caf ) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 3,45 3,55 3,65 3,75 3,85 3,95 4,05 4,15 4,25 4,35 4,45 4,55 4,65 4,75 4,85 4,95 5,05 botervet (%) zie pagina 426

343

Hoofdstuk 5

4

Statistiek

Bepaal het gemiddelde, de mediaan en de standaardafwijking van de reeks gegroepeerde data voorgesteld met het histogram. 1

2

aantal wagens (af )

aantal leerlingen (af )

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

66 53

70 63 48

]0, 10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[

8

8

5 4 2

[12,5;13[ [13;13,5[ [13,5;14[ [14;14,5[ [14,5;15[

snelheid (km/h)

tijd (s) zie pagina 427

5

In de winkel DeltaMac betalen heel wat klanten met bancontact. De bedragen die met bancontact betaald worden, zijn verwerkt in een frequentietabel. bedrag (euro)

aantal betalingen (af )

]0, 25]

51

]25, 50]

94

]50, 75]

80

]75, 100]

30

]100, 125]

48

]125, 150]

54

]150, 175]

72

]175, 200]

13

totaal

442

1 Geef een benadering van de aankoopsom die met bancontact werd betaald. 2 Hoeveel percent van de betalingen bedragen meer dan 100 euro? 3 Wat is het gemiddelde bedrag dat werd betaald met bancontact? 4 Is het waar dat meer dan de helft van de betalingen minder bedraagt dan 62,5 euro? 5 Hoeveel percent van de betalingen ligt in het interval [ x - s, x + s]? zie pagina 428

344

5.4 - Gegroepeerde data

Hoofdstuk 5

Vraag & antwoord 1

We beschouwen de klasse [32, 36[. Wat is de ondergrens? 32 Wat is de bovengrens? 36 Wat is het klassenmidden? 34 Wat is de klassenbreedte? 4

2

Hoe noemen we een staafdiagram waarmee we absolute frequenties van klassen voorstellen? Een histogram.

3

Welke grafiek verkrijgen we als we bovenaan de staven van een histogram de middens aanduiden met stippen en de opeenvolgende stippen verbinden met lijnstukken? Een frequentiepolygoon.

4

Hoe berekenen we het gemiddelde van een reeks gegroepeerde data? We vermenigvuldigen de klassenmiddens met de bijbehorende frequenties en tellen de producten op. Deze som delen we door het aantal data.

5

Hoe bepalen we de mediaan van een reeks gegroepeerde data? Met de cumulatieve absolute frequenties bepalen we de klasse die het middelste waarnemingsgetal of de middelste twee waarnemingsgetallen bevat. Het klassenmidden van deze klasse is de mediaan.

345

Trefwoorden

Trefwoordenregister

346

A

Absolute frequentie 206 Amplitude 124 - 129 Antisupplementaire hoeken 46

B

Basisvergelijking sin x = a 168 Beeldpunt 14 Beschrijvende statistiek 183 Boxplot 292

C

Centrummaten 267 – en spreidingsmaten vergelijken 307 Cirkeldiagram 235 Complementaire hoeken 53 Constructie – hoe stellen we de tangens van een hoek voor? 19 Cosinusregel 76 – bewijs 81 Cumulatieve absolute frequentie 240 Cumulatieve relatieve frequentie 240

D

Data 195 – groeperen in klassen 318 Diagrammen – cirkeldiagram 235 – lijndiagram 212 – staafdiagram 212 – strookdiagram 235

E

Evenwichtslijn 138

F

Faseverschil 134 Faseverschuiving 134 Frequentie 132 - 154 Frequentiepolygoon 327 Frequentietabel 206

G

Gegroepeerde data 317 Gemiddelde 267 - 276 - 333 Georiënteerde hoek 8 Goniometrische cirkel 13 Goniometrische getallen 16 – van antisupplementaire hoeken 47 – van complementaire hoeken 53

Trefwoorden

– van supplementaire hoeken 42 – van tegengestelde hoeken 37 Goniometrische vergelijking 165 H

Harmonische trilling 153 Hellingshoek van een rechte 23 Histogram 319 Hoekgrootten van een georiënteerde hoek 10 Hoekmaten – radiaal 105 – zestigdelige graad 105 Hoekmaten omrekenen 105 Hoofdformule van de goniometrie 25

I

Interkwartielafstand 288

K

Kenmerken van de elementen van een populatie – continu 195 – discontinu 195 – kwalitatief 195 – kwantitatief 195 – nominaal 195 – ordinaal 195 Klassen 318 – bovengrens 318 – klassenbreedte 318 – klassenmidden 318 – ondergrens 318 Klassenbreedte 318 Klassenmidden 318 Kwadrant 13 Kwalitatieve kenmerken 195 Kwantitatieve kenmerken 195 Kwartielen 289

L

Lijndiagram 212

M

Machinerekenen – boxplot tekenen 294 – centrummaten en spreidingsmaten berekenen 335 – cumulatieve frequenties 243 – data groeperen in klassen 324 – data voorstellen met een frequentietabel 220 – frequentietabellen voorstellen met staafdiagrammen en lijndiagrammen 223 – gemiddelde en mediaan berekenen met een datatabel 272 – gemiddelde en mediaan berekenen met een frequentietabel 278 – goniometrische vergelijkingen grafisch voorstellen en oplossen 174

347

Trefwoorden

– grafieken van sinusfuncties tekenen in een periode-interval 146 – hoekmaten omzetten 107 – kenmerkende maten van een reeks data bepalen 301 – periodiciteit van de sinusfunctie herkennen 122 – relatieve frequenties 232 Mediaan 267 - 276 - 333 Misbruiken met diagrammen 253

348

N

Naijlen van een sinusfunctie 135 Nulwaarden van een sinusfunctie 165

O

Ogief 245 - 328 Omvang van een steekproef 183 Oplossen van willekeurige driehoeken 82

P

Periode 113 - 132 Periodieke functie 113 Populatie 183

R

Radiaal 105 Relatieve frequentie 227 Representatieve steekproef 192

S

Sinusfunctie – f(x) = sin x 119 – f(x) = a • sin x 129 – f(x) = sin bx 132 – f(x) = sin (x - c) 134 – f(x) = sin x + d 137 – f(x) = a • sin[b (x - c)] + d 140 – grafiek tekenen 140 – maximum en minimum 125 – voor- en naijlen 135 – voorschrift opstellen 149 Sinuslijn 119 – horizontaal samendrukken 132 – horizontaal uitrekken 132 – horizontaal verschuiven 135 – verticaal samendrukken 129 – verticaal uitrekken 129 – verticaal verschuiven 138 Sinusoïde 119 Sinusregel 70 – bewijs 74 Som- en verschilformules 60 Somformule voor sinus 56 Spreidingsbreedte 284

Trefwoorden

Spreidingsmaten 284 Spreidingsmaten en centrummaten vergelijken 307 Staafdiagram 212 Standaardafwijking 299 Standaarddeviatie 299 Standaardsinuslijn 119 Steekproef 183 Strookdiagram 235 Supplementaire hoeken 41 T

Tegengestelde hoeken 36 Tekenonderzoek van de sinusfunctie 126

U

Uitschieter 284

V

Variantie 299 Verband tussen sinus en cosinus 25 Verband tussen tangens en cosinus 26 Verklarende statistiek 183 Verloop van de sinusfunctie 124 Voorijlen van een sinusfunctie 135

W

Waarnemingsgetallen 206 Willekeurige driehoeken oplossen 82

Z

Zestigdelige graad 105

349

Oplossingen

Hoofdstuk

3

Uitdagingen van pagina 31 tot 33 1

Vier tandwielen A, B, C en D hebben 80, 60, 30 en 20 tanden.

A

D

C

B

We laten tandwiel A driekwart toer draaien in wijzerzin. 1 In welke zin draait tandwiel D? In tegenwijzerzin. 2 Over welke hoekgrootte is tandwiel D gedraaid? 3 Over 1080°. tandwiel A:  80 tanden = 60 tanden 4

aantal toeren tandwiel D:

60 20

= 3

hoekgrootte: 3  360° = 1080°

Als we tandwiel A draaien, dan zullen de merktekens op de tandwielen B, C en D in wijzerzin of tegenwijzerzin meedraaien. 3 Na hoeveel toeren van tandwiel A komen alle merktekens terug in hun beginstand? kgv (20, 30, 60, 80) = 240 ➜ 240 : 80 = 3 Na drie toeren. 4 Over welke hoekgrootte is tandwiel A dan gedraaid? Over 1080°. 3  360° = 1080° 5 Bepaal alle hoekgrootten van tandwiel A waarvoor alle merktekens in hun beginstand komen te staan. k  1080° k Œ Z terug naar pagina 31

353

Hoofdstuk

2

3

Uitdagingen

De omgeschreven cirkel van de regelmatige vijfhoek ABCDE met hoekpunt A op de positieve x-as, is de goniometrische cirkel. Bepaal de coördinaten van de hoekpunten op 2 decimalen nauwkeurig. y 1

A (1,0)

B

360°

B (cos 72°, sin 72°) C

5

B (0,31 ; 0,95)

= 72°

C (cos 144°, sin 144°)

72°

A 1 x

0

C (-0,81 ; 0,59) D (cos 216°, sin 216°) D (-0,81 ; -0,59)

D

E (cos 288°, sin 288°) E (0,31 ; -0,95)

E

terug naar pagina 31

3

Bepaal zonder ICT het teken van de sommen en verschillen. 1 cos 110° + sin 110°

+

6 cos 200° - sin 200°

-

y 1

2 sin 340° - cos 340°

-

7 cos 120° - sin 120°

-

135°

3 sin 230° + cos 230°

-

8 sin 220° - cos 220°

+

4 cos 70° - sin 70°

-

9 sin 310° + cos 310°

-

5 cos 290° - sin 290°

+

10 sin 100° - cos 100°

+

45° 225°

1 x

0 315°

terug naar pagina 31

4

Twee rechten a en b vormen een hoek van 60°. De rechte a is evenwijdig met de bissectrice van het eerste kwadrant van een orthonormaal assenstelsel. Bepaal de richtingscoëfficiënt van b op 2 decimalen nauwkeurig. rico a = 1 = tan a a = 45° rico b = tan b

a - b = 60° b = a - 60° = 45° - 60° = -15° rico b = tan (-15°) = -0,27

eerste bissectrice: y = x

of

b - a = 60° b = 60° + a = 60° + 45° = 105° rico b = tan 105° =-3,73 terug naar pagina 32

354

Oplossingen

5

Hoofdstuk

3

Het omgekeerde van de sinus en de cosinus van een hoek a noemen we cosecans en secans van de hoek a. 1 In formulevorm schrijven we: csc a = met sin a π 0 sin a 1 met cos a π 0 sec a = cos a Welke waarden zijn voor cosecans en secans van een hoek a mogelijk? Toon aan. -1 £ sin a £ 1 1 -1

≥

of

1

1

sin a

sin a

-1 ≥ csc a

≥

1 1

csc a ≥ 1

-1 £ cos a £ 1 1 -1

≥

of

1

1

cos a

cos a

-1 ≥ sec a

≥

1 1

sec a ≥ 1 terug naar pagina 32

6

Vereenvoudig. 1

cos a sec a csc a 1 cos a

cos a  =

= sin a

1 sin a 2 tan2a - sec2a 1

= tan2a -

2

cos a

= tan2a - (1 + tan2a ) = -1

3 sec2a - sec2a csc2a + csc2a = =

1 2

cos a

-

1 2

cos a



sin2a - 1 + cos2a 2

2

cos a sin a

1 2

sin a =

+

1 sin2a

(sin2a + cos2a ) - 1 2

2

cos a sin a

=

1- 1 cos2a sin2a

= 0

terug naar pagina 32

355

Hoofdstuk

7

3

Uitdagingen

Bepaal met de tabel de coördinaten van de hoekpunten van de regelmatige veelhoeken.

a

0°

30°

45°

60°

90°

sin a

0

1 2

2 2

3 2

1

cos a

1

3 2

2 2

1 2

0

tan a

0

3 3

1

3

|

1

2

y 1 A

3

y 1 B

D 210°

0 B

A

y B 1 A

C

135° 45°

30° -30°

1 x

30°

1 x

0

C C

D

0

1 x F

D E

A(0, 1)

A(cos 45°, sin 45°)

A(1, tan 30°)

B(-xD, -yD)

⎛ 2 , A⎜ ⎝ 2

⎛ A ⎜1, ⎝

B(-cos 30°, -sin 30°) ⎛ 3 1⎞ ,- ⎟ B ⎜2⎠ ⎝ 2 C(-xB, yB) ⎛ 3 1⎞ ,- ⎟ C⎜ 2⎠ ⎝ 2

2⎞ ⎟ 2 ⎠

B(-xA, yA) ⎛ 2 , B ⎜⎝ 2

3⎞ ⎟ 3 ⎠

B(0, 2yA) |OB| = |AF| = 2  yA 2⎞ ⎟ 2 ⎠

⎛ 3⎞ ⎟ B ⎜ 0, 2 3 ⎠ ⎝

C(xB, -yB)

C(-xA, yA)

⎛ 2 2⎞ ,⎟ C ⎜2 ⎠ ⎝ 2

⎛ C ⎜-1, ⎝

D(xA, -yA)

D(xC, -yC)

⎛ 2 2⎞ ,⎟ D⎜ 2 ⎠ ⎝ 2

⎛ 3⎞ ⎟ D ⎜-1, 3 ⎠ ⎝

3⎞ ⎟ 3 ⎠

E(0, -xB) ⎛ 3⎞ ⎟ E ⎜ 0, -2 3 ⎠ ⎝ F(xA, -yA) ⎛ 3⎞ ⎟ F ⎜1, 3 ⎠ ⎝ terug naar pagina 32

356

Oplossingen

8

Hoofdstuk

3

Toon aan. 1

tan a = sin a cos a 1 + tan 2a sin a cos a = sin a cos a 1 cos2a sin a

cos2a



cos a

1

= sin a cos a

sin a cos a = sin a cos a 4 4 2 2 cos a - sin a + 1 = 2cos a

(cos2a + sin2a) (cos2a - sin2a) + 1 = 2 cos2a 1  (cos2a - sin2a) + 1 = 2 cos2a cos2a - sin2a + 1 = 2 cos2a cos2a + (1 - sin2a) = 2 cos2a cos2a + cos2a = 2 cos2a 2 cos2a = 2 cos2a 1 - tan 2a = 1 - 2sin 2a 3 2 1 + tan a 1 -

sin2a cos2a

= 1 - 2 sin2a

1 cos2a

cos2a - sin2a 2

cos a



cos2a 1

= 1 - 2 sin2a

cos a - sin a = 1 - 2 sin2a 2

2

(1 - sin2a ) - sin2a = 1 - 2 sin2a 1 - 2 sin2a = 1 - 2 sin2a

357

Hoofdstuk

3

4

Uitdagingen

2 sin a - cos a sin a + cos a + = sin a + cos a sin a - cos a 1 - 2cos 2a (sin a - cos a) 2 + (sin a + cos a) 2 (sin a + cos a)(sin a - cos a)

=

2 1 - 2 cos2a

sin2a - 2 sin a cos a + cos2a + sin2a + 2 sin a cos a + cos2a sin2a - cos2a 2 sin2a + 2 cos2a

=

(1 - cos2a ) - cos2a 2(sin2a + cos2a ) 2

1 - 2 cos a 2 1 2

1 - 2 cos a 2 2

1 - 2 cos a

=

=

2 1 - 2 cos2a

2 1 - 2 cos2a 2

1 - 2 cos2a 2

=

1 - 2 cos2a 2

=

1 - 2 cos2a

2 2 2 2 2 5 (sin a - cos a) + 4sin a cos a = 1

sin4a - 2 sin2a cos2a + cos4a + 4 sin2a cos2a = 1 sin4a + 2 sin2a cos2a + cos4a = 1 (sin2a + cos2a)² = 1 12 = 1 1 = 1

9

terug naar pagina 33

Beschouw de punten A (-1, 0) en B (1, 0) en een derde punt C op de cirkel met ^ middelpunt O (0, 0) en straal 1, zodat CAB = 30°. Wat is het eerste coördinaatgetal van C ? (B)

(A) 0

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

(E)

3 2

Vlaamse Wiskunde Olympiade 1

A

C

60°

30°

0

^ = 2 CAB ^ COB B 1

60° = 2  30°

middelpuntshoek is dubbel van omtrekshoek op dezelfde boog

C(cos 60°, ...) ⎛1 ⎞ C ⎜ , ...⎟ ⎝2 ⎠ terug naar pagina 33

358

Oplossingen

Hoofdstuk

3

Uitdagingen van pagina 65 en 66 1

In driehoek ABC gelden de volgende gelijkheden. Toon aan. ^

^

^

1 sin A = sin(B + C) ^ = sin(180°- A) ^ sin A ^ = sin  sin A ^

^

^

^ + ^ ^ = 180° (hoekensom) A B +C sinus van supplementaire hoeken

^

2 cos A = - cos(2 A + B + C) ^ = -cos(A ^ + 180°) cos A

^ + ^ ^ = 180° (hoekensom) A B +C

^ = -(-cos A) ^ cos A ^ = cos A ^ cos A ^

^

^

cosinus van antisupplementaire hoeken

^

3 tan A = - tan(A + 2 B + 2 C) ^ = -tan(360°- A) ^ tan A

^ + ^ ^) = 2  180° (hoekensom) 2 (A B +C

^ = -tan (-A) ^ tan A ^ = -(-tan A) ^ tan A ^ = tan A ^ tan A

^ en -A ^ + 360° gelijke hoeken: -A tangens van tegengestelde hoeken

⎛ 3 ^ 1 ^ 1 ^⎞ ^ 4 cos A = - sin⎜ A + B + C ⎟ ⎝2 2 2 ⎠ 1 ^ ^ ^) = 1  180° (hoekensom) (A + B + C 2 2

^ = sin (A ^ + 90°) cos A ^ = sin (180°- (A ^ + 90°)) cos A ^ = sin (90°- A) ^ cos A ^ = cos A ^ cos A

sinus van supplementaire hoeken

goniometrische getallen van complementaire hoeken terug naar pagina 65

2

In een ruit ABCD gelden de volgende gelijkheden. Toon aan. ^

^

^

^

^

1 sin A + sin B + sin C + sin D = 4sin A

^ + sin ^ ^ + sin ^ sin A B + sin C D ^ + sin ^ ^ + sin ^ = sin A B + sin A B ^ + 2 sin ^ = 2 sin A B ^ + 2 sin(180°- A) ^ = 2 sin A ^ + 2 sin A ^ = 2 sin A

^ en B ^ =D ^ Â =C overstaande hoeken van een ruit

^ + ^ A B = 180° twee opeenvolgende hoeken van een ruit sinus van supplementaire hoeken

^ = 4 sin A

359

Hoofdstuk

3

Uitdagingen

^

^

^

^

2 cos A + cos B + cos C + cos D = 0 ^ + cos ^ ^ + cos ^ cos A B + cos C D ^ + cos ^ ^ + cos ^ = cos A B + cos A B ^ + 2 cos ^ = 2 cos A B ^ + 2 cos(180°- A) ^ = 2 cos A

^ = C^ en ^B = ^D A overstaande hoeken van een ruit ^ + ^ A B = 180° twee opeenvolgende hoeken van een ruit

^ + 2  (-cos A) ^ = 2 cos A ^ - 2 cos A ^ = 2 cos A

cosinus van supplementaire hoeken

= 0 3

terug naar pagina 65

sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 355° + sin2 357° + sin2 359° = (A) 44,5

(B)

45

(C)

89

(D) 90

(E) geen van de vorige

Vlaamse Wiskunde Olympiade

sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 355° + sin2 357° + sin2 359° = sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 (360°- 5°) + sin2(360°- 3°) + sin2(360°- 1°) = sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + (-sin 5°)2 + (- sin 3°)2 + (-sin 1°)2 sinus van tegengestelde hoeken

= sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 5° + sin2 3° + sin2 1° = 2 (sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 175° + sin2 177° + sin2 179°) = 2 (sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2(180°- 5°) + sin2(180°- 3°) + sin2 (180°- 1°)) = 2 (sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 5° + sin2 3° + sin2 1°) sinus van supplementaire hoeken

= 2  2 (sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 85° + sin2 87° + sin2 89) = 4 (sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2(90°- 5°) + sin2(90°- 3°) + sin2(90°- 1°)) = 4 (sin2 1° + sin2 3° + sin2 5° + ... + sin2 43° + sin2 45° + cos2 43° + ... + cos2 5° + cos2 3° + cos2 1°) goniometrische getallen van complementaire hoeken

= 4 (sin2 1° + cos2 1° + sin2 3° + cos2 3° + … + sin2 43° + cos2 43° + sin2 45°)

360

Oplossingen

= 4 (22 + sin2 45°)

sin2 a + cos2 a = 1,

2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 ⎟ ⎜ = 4 22 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝

sin 45° =

43 + 1 2

Hoofdstuk

3

= 22

2 2

⎛ ⎞ = 4 ⎜22 + 1 ⎟ ⎝ 2⎠ = 90 terug naar pagina 65

4 Het omgekeerde van de tangens van een hoek a noemen we de cotangens van de hoek a. 1 met tan a π 0 In formulevorm schrijven we: cot a = tan a Toon aan dat de tangens van een hoek gelijk is aan de cotangens van zijn complement. tan a = cot(90°- a) tan a =

tan a =

1 tan(90° - a ) 1

definitie cotangens

goniometrische getallen van complementaire hoeken

1 tan a

tan a = 1 

tan a 1

tan a = tan a terug naar pagina 65

5

Herleid de goniometrische uitdrukking tot één goniometrisch getal. 1 sin 2a cos 3a + cos 2a sin 3a = sin(2a + 3a) = sin 5a 2 cos 4a cos 2a - sin 4a sin 2a = cos(4a + 2a) = cos 6a

somformule voor sinus

somformule voor cosinus

3 sin(30° + a) cos 30° - cos(30° + a) sin 30° = sin(30°+ a - 30°) = sin a

verschilformule voor sinus

361

Hoofdstuk

3

Uitdagingen

4 cos 40° cos(a - 50°) + sin 40° sin(a - 50°) = cos(40°- (a - 50°))

verschilformule voor cosinus

= cos (40°- a + 50°) = cos (90°- a) = sin a

goniometrische getallen van complementaire hoeken

5 sin(30° - a) cos 60° + cos(30° - a) sin 60° = sin (30° - a + 60°)

somfomule voor sinus

= sin (90° - a) = cos a

goniometrische getallen van complementaire hoeken

6 tan(45° + a) tan(45° - a) tan a =

=

tan 45°+ tan a 1 - tan 45° tan a 1 + tan a 1 - tan a





tan 45°- tan a 1 + tan 45° tan a

1 - tan a 1 + tan a

 tan a

 tan a som- en verschilformule voor tangens tan 45° = 1

= tan a terug naar pagina 65

6

Stel een formule op voor: 1 sin(a + b + g) = sin [(a + b) + g] = sin (a + b)  cos g + cos (a + b)  sin g

somformule voor sinus

= (sin a cos b + cos a sin b) cos g + (cos a cos b - sin a sin b)  sin g

somformule voor sinus en cosinus

= sin a cos b cos g + cos a sin b cos g + cos a cos b sin g – sin a sin b sin g 2 cos(a - b - g) = cos [(a – b) – g] = cos (a - b)  cos g + sin (a - b)  sin g

verschilformule voor cosinus

= (cos a cos b + sin a sin b) cos g

verschilformule voor cosinus en sinus

+ (sin a cos b - cos a sin b)  sin g = cos a cos b cos g + sin a sin b cos g + sin a cos b sin g – cos a sin b sin g

terug naar pagina 65

362

Oplossingen

7

Hoofdstuk

3

Toon aan dat in een driehoek met hoeken a , b en g geldt: tan a + tan b tan g = tan a tan b - 1 tan g = tan (180°- (a + b)) = -tan (a + b) = =

tan a + tan b

a + b + g = 180° (hoekensom) tangens van supplementaire hoeken somformule voor tangens

1 - tan a tan b tan a + tan b

tan a tan b - 1 terug naar pagina 66

8

Toon aan dat in elke niet-rechthoekige driehoek met hoeken a , b en g geldt: tan a + tan b + tan g = tan a tan b tan g tan (a + b) =

tan a + tan b

1 - tan a tan b tan a + tan b tan (180°- g) = 1 - tan a tan b tan a + tan b - tan g = 1 - tan a tan b

somformule voor tangens

a + b + g = 180° (hoekensom)

tangens van supplementaire hoeken

- tan g (1 - tan a tan b) = tan a + tan b - tan g + tan g tan a tan b = tan a + tan b tan a tan b tan g = tan a + tan b + tan g terug naar pagina 66

9

Toon aan. 1 cos 3a = 4cos3a - 3cos a cos 3a = cos (2a + a) = cos 2a cos a – sin 2a sin a

somformule voor cosinus

= (cos2a - sin2a) cos a - 2sin a cos a sin a

verdubbelingsformules

= cos3a - sin2a cos a - 2sin2a cos a = cos3a - 3sin2a cos a = cos3a - 3(1 - cos2a) cos a

sin2a = 1 - cos2a

= cos3a - 3cos a + 3cos3a = 4cos3a - 3cos a

363

Hoofdstuk

3

Uitdagingen

2 sin 3a = 3sin a - 4sin3a sin 3a = sin (2a + a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a

somformule voor sinus

= 2 sin a cos a cos a + (cos2a - sin2a) sin a

verdubbelingsformules

= 2 sin a cos2a + cos2a sin a - sin3a = 3 sin a cos2a - sin3a = 3 sin a (1 - sin2a) - sin3a

cos2a = 1 - sin2a

= 3 sin a - 3 sin3a - sin3a = 3 sin a - 4 sin3a terug naar pagina 66

10

In een vierkant verbindt men een hoekpunt met de middens van de twee niet aanliggende zijden. Wat is de sinus van de hoek tussen deze twee rechten? A

b g

?

b 2

C

(A)

1 2

2 2

(B)

(C)

B

1

3 5

(D)

3 2

(E)

4 5

Vlaamse Wiskunde Olympiade

In D ABC met ^ B = 90°: •

|AC|2 = |AB|2 + |BC|2

stelling van Pythagoras

= 22 + 1 2

stel |AB| = 2 dan is |BC| = 1

= 5 |AC| =

•

sin b =

5 |BC| |AC|

=

1 5

sin g = sin (90°- 2b)

364

en

cos b =

|AB| |AC|

=

2 5

 = b + g + b ➜ g =  – 2b = 90°- 2b

= cos 2b

goniometrische getallen van complementaire hoeken

= cos2b - sin2b

verdubbelingsformule

Oplossingen

2

=

4 5 3

-

3

2

⎛ 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ =

Hoofdstuk

⎛ 1 ⎞ - ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ 1 5

5 terug naar pagina 66

365

Hoofdstuk

3

Uitdagingen

Uitdagingen van pagina 96 tot 100 1

Welke driehoek is stomphoekig? (A)

5

5

(B)

3

7

4

(C)

5

8

9

(D)

12

6

7 9

(E)

7

7 10

Vlaamse Wiskunde Olympiade

We berekenen de hoek tegenover de grootste zijde. cos a =

cos a =

cos a =

cos a =

cos a =

52 + 52 - 7 2 2 55 32 + 42 - 52 2 34 82 + 92 - 122 289 7 2 + 62 - 92 2 76

> 0

➜ a < 90°

= 0

➜ a = 90°

➜ a < 90°

> 0

7 2 + 7 2 - 102 2 77

➜ a < 90°

> 0

< 0

➜ a > 90° terug naar pagina 96

2

Twee cirkels met stralen 4 cm en 5 cm snijden elkaar. De middelpunten liggen op 7 cm van elkaar.

A 4 cm

5 cm 7 cm

O

M 4 cm B

366

Oplossingen

^

Hoofdstuk

3

^

1 Bereken de middelpuntshoeken O en M. In D AMO: cos ^ O 2

^ O 2

42 + 7 2 - 52

=

2 4 7

= 44,415...°

Ô = 88,830...° ➜ Ô = 89° In D AMO: cos ^ M 2

^ M 2

52 + 7 2 - 42

=

2 57

= 34,047...°

^ = 68,095...° ➜ M ^ = 68° M 2 Bereken de lengte van de gemeenschappelijke koorde [AB]. In D ABO: |AB|2 = 42 + 42 - 2  4  4  cos Ô = 31,346... |AB| = 5,598... ➜ |AB| = 5,6 cm terug naar pagina 96

3

Bereken de afstand x tussen de aangeduide hoekpunten van de twee tekendriehoeken. E x D

y z

75° 60°

45° C

A 21 cm

In D ABE: cos 60° = In D BCD: cos 45° =

21 y 21 z

➜ y = ➜ z =

B

21 cm

21 cos 60° 21 cos 45°

= 42 = 29,698...

In D BDE: ^ B = 180° - 60° - 45° = 75° x2 = y2 + z2 - 2 yz  cos 75° = 422 + 29,698...2 - 2  42  29,698...  cos 75° = 2000,331... x = 44,725... ➜ x = 44,7 cm

terug naar pagina 96

367

Hoofdstuk

4

3

Uitdagingen

In een driehoek met zijden a, b en c geldt (a + b + c)(a + b - c) = ab. Bepaal de overstaande hoek van de zijde c. (A) 30°

(B)

60°

(C)

90°

(D)

120°

(E)

150°

Vlaamse Wiskunde Olympiade

((a

+ b) + c) ((a + b) – c) = ab

(a + b)2 - c2 = ab

merkwaardig product

a2 + 2ab + b2 - c2 = ab

merkwaardig product

a2 + b2 + ab = c2 a2 + b2 + ab = a2 + b2 - 2ab  cos g

cosinusregel

ab = -2ab  cos g cos g =

ab

-2ab 1 cos g = 2 cos g = - cos 60°

cos 60° =

cos g = cos (180° - 60°)

cosinus van supplementaire hoeken

1 2

g = 120° terug naar pagina 96

5

Twee krachten F1 en F2 hebben eenzelfde aangrijpingspunt en maken een hoek a. B F

F1

a A

180°- a F2

C

1 Toon aan dat F 2 = F12 + F22 + 2 F1 F2  cos a met F als resultante. F2 = F12 + F22 - 2 F1F2  cos (180° - a) = F12 + F22 - 2 F1F2  (-cos a) = F12 + F22 + 2 F1F2  cos a 2 Bereken F met F1 = 25 N, F2 = 40 N en a = 50°. F2 = 252 + 402 + 2  25  40  cos 50° = 3510,575… F = 59,250… ➜ F = 59,3 N

368

cosinusregel in D ABC supplementaire hoeken

Oplossingen

Hoofdstuk

3

3 Bereken de hoek a met F1 = 10 N, F2 = 18 N en F = 24 N. cos a =

242 - 102 - 182 2  10  18

a = 65,025...° ➜ a = 65° terug naar pagina 97

6

Een last met een massa van 8500 N hangt aan een stalen kabel. Bereken de grootte van de krachten F1 en F2 die op de kabel inwerken. A 30°

45° B

1 1

F1

2

F2

C

8500 N

^ C1 = 90° - 30° = 60° en ^ C2 = 90° - 45° = 45° Â = ^ C = 45° 1

2

^ B = 180° - 60° - 45° = 75° F1 F2 8500 = = ^ ^ sin A sin C sin ^ B 1 1 F1 = F2 =

7

8500  sin 45° sin 75° 8500  sin 60° sin 75°

complementaire hoeken verwisselende binnenhoeken hoekensom driehoek sinusregel in D ABC

= 6222,431... ➜ F1 = 6222,4 N = 7620,891... ➜ F2 = 7620,9 N terug naar pagina 97

sin a  sin b Toon aan dat de hoogte van de vuurtoren met de formule h = a  kan b a sin( ) berekend worden. A

g b’ D

h

x

b

a a

C

h h In D ABC met ^ ➜ x = B = 90° : sin b = sin b x a x = In D ACD: (2) sinusregel sin a sin g

B

(1)

369

Hoofdstuk

3

Uitdagingen

h sin b

(1) in (2):

a

=

sin a

sin g

h sin b sin a h = h =

=

a sin g

a sin a sin b sin g a sin a sin b

g g g g

sin(b - a)

= = = =

180° - a - b ’ 180° - a - (180° - b) 180° - a - 180° + b b – a terug naar pagina 97

8

Stel een formule op voor |BD| in functie van a en |AB| . C 2a 3a

a A

In D ABC:

|BC| sin a

|AB|

sin( 90°- a ) cos a

buitenhoek: 3a = a + 2a

sin 2a

|BC| |BC|

(1)

sin 2a

D

|AB|  sin a

|BC| = In D BCD:

B

=

1

=

|BC| =

=

|BD| sin( 90°- 2a )

|BD|

goniometrische getallen van complementaire hoeken

cos 2a

|BD|  cos a cos 2a

^ C1 = 90° - 2a, ^ D = 90° - a

(2)

Uit (1) en (2) volgt: |BD|  cos a

=

|AB|  sin a

cos 2a sin 2a |AB|  sin a cos 2a |BD| = cos a sin 2a tan a |BD| = |AB|  tan 2a

370

definitie tangens terug naar pagina 97

Oplossingen

9

Hoofdstuk

3

Bereken x. B 2 x

A

C

135°

4 D

(A)

10

(B)

(C)

11

(D)

12

(E)

13

14

Vlaamse Wiskunde Olympiade ^ = 180° koordenvierhoek: Â + C

 = 180° - 135° = 45° In D ABD:

2

2 + 42 - 2 

x2 =

= 2 + 16 - 8 

2  4  cos 45° 2

2 

2

cos 45° =

2

2

= 18 - 8 = 10 x = 10

10

terug naar pagina 98

De diagonalen van een regelmatige vijfhoek vormen een pentagram.

C r

z a A

B r

r

1 Stel een formule op om de zijde z van het pentagram te berekenen in functie van de straal r van de omgeschreven cirkel. In D ABC: a =

2 5

 360° = 144°

z2 = r2 + r2 - 2  r  r  cos 144° = 2r2 - 2r2  cos 144° = 2r2 (1 - cos 144°) z = r 2(1 - cos 144°)

371

Hoofdstuk

3

Uitdagingen

2 Bereken de zijde van het pentagram als de straal van de omgeschreven cirkel gelijk is aan 5 cm. z = 5 2(1 - cos 144°) = 9,510... ➜ z = 9,5 cm 3 Bereken de straal van de omgeschreven cirkel als de zijde van het ingeschreven pentagram gelijk is aan 5 cm. 5 = r 2(1 - cos 144°) r =

5 2(1 - cos 144°)

= 2,628...➜ r = 2,6 cm terug naar pagina 98

11

Een duikboot ligt aan de oppervlakte te wachten op bevoorrading. Een verkenningsvliegtuig vliegt op 3 km hoogte en ziet het bevoorradingsschip onder een hoek van 21° en de duikboot onder een hoek van 37°. De hoek duikboot-vliegtuigbevoorradingsschip meet dan 110°. Hoe groot is de afstand tussen het bevoorradingsschip en de duikboot? V

A

37°

21°

110°

C P

D

In D ADV:

sin 37° = |DV| =

In D BCV:

|AD| |DV| 3

sin 37°

sin 21° = |BV| =

In D BDV:

B

|BC| |BV| 3

sin 21°

=

3 |DV|

= 4,,984...

=

3 |BV|

= 8,,371...

|BD|2 = |DV|2 + |BV|2 - 2|DV||BV|  cos 110° = 123, 472... |BD| = 11,1118...

De afstand tussen het bevoorradingsschip en de duikboot is ongeveer 11 km.

terug naar pagina 98

372

Oplossingen

12

Hoofdstuk

3

Een boom staat op een helling van 20°. Als de zon het hoogst staat, is de schaduw van de boom 41 m en komt deze tot aan de rand van het steile gedeelte van de berghelling. De zon staat dan onder een hoek van 50°. Bereken de hoogte van de boom.

B 1 2

2

A

41 m

C

1

20°

1

50°

D

Berekening hoeken ^ D1 = 180° - 50° = 130°

nevenhoeken

Â1 = 180° - 20° - 130° = 30°

hoekensom

Â2 = Â1 = 30° ^ B1 = ^ D = 50° ^ B2 = 90° - ^ B1 = 90° - 50° = 40°

overstaande hoeken verwisselende binnenhoeken

Berekening hoogte |BC| ^ sin A

=

2

|BC| sin 30° |BC| =

|AC| sin ^ B

sinusregel in D ABC

2

=

41 sin 40°

41  sin 30° sin 40°

= 31,892...

De boom is 31,9 m hoog. terug naar pagina 99

373

Hoofdstuk

13

3

Uitdagingen

Een regelmatige n-hoek A1 A2 ... An heeft zijden met lengte 3. Het snijpunt van de rechten A1 A2 en A3 A4 noemen we B (zie figuur). De afstand van B tot de dichtstbijzijnde hoekpunten van de n-hoek is 3 . Dan is n gelijk aan B 3

3

a A2

A3

3

A1

(A) 6

(B)

A4

8

(C) 9

(D)

12

(E)

24

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2

In D A2A3B: cos a =

3 + 32 2 

3

2

3

=

3 3

=

2 3

a = 30°

3 2

cos 30° =

Â2 = 180° - a

3 2

nevenhoeken

= 180° - 30° = 150° (1) Â2 =

n - 2 n

 180°

Uit (1) en (2) volgt:

(2)

hoek van een regelmatige n-hoek

n - 2 n

 180° = 150°

(n - 2)  180° = n  150° n  180° - 360° = n  150° n  30° = 360° n = 12 terug naar pagina 99

14

^

De ruimtediagonalen van een kubus snijden elkaar in een punt M. Dan is tan DMB gelijk aan D’

C’

A’

B’ M

1

D

? g

C 1

A

374

1

B

Oplossingen

(A)

-2 2

(C) -

(B) - 3

1 3

(D)

2

(E)

Hoofdstuk

3

2 2

Vlaamse Wiskunde Olympiade

In D ABD: |BD|2 = |AB|2 + |AD|2

stelling van Pythagoras

= 12 + 1 2 = 2

stel zijde kubus = 1

In D D’DB: |BD’|2 = |BD|2 +|DD’|2 2

2 + 12 = 3

= In

BB’D’D: |BM| = |DM| =

In D BDM: cos g =

4 2 

1 cos2 g

1 cos2 g 1

=

2

2

in een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden elkaar middendoor

2  |BM|  |DM|

=

tan2 g =

2

3

=

|BM|2 + |DM|2 - |BD|2 3

tan2 g + 1 =

|BD'|

3

+

- 2

4 3

2

2

= 

3

1 3

2 verband tussen tangens en cosinus

- 1 - 1

⎛ 1⎞ ⎜- ⎟ ⎝ 3⎠

= 9 - 1 = 8 tan g =

8 = 2 2 terug naar pagina 99

375

Hoofdstuk

15

3

Uitdagingen

Sven ziet de wand van een ronde toren onder een hoek van 76°. Liesbet staat 25 m verder van de toren en ziet de wand onder een hoek van 22°. Bereken de diameter van de toren.

76°

22°

A B r

r 11°

38° M

In D MBS: sin 38° = In D MAL: sin 11° =

x

r x

25

S

L

➜ r = x  sin 38° (1) r

x + 25

➜ r = (x + 25)  sin 11° (2)

Uit (1) en (2) volgt: x sin 38° = (x + 25)  sin 11° x sin 38° - x sin 11° = 25  sin 11° x (sin 38° - sin 11°) = 25  sin 11° x =

25  sin 11° sin 38°- sin 11°

= 11,227... (3)

(3) in (1): r = 11,227...  sin 38° = 6,912... d = 2  6,912... = 13,825... De diameter van de toren is 13,8 m. terug naar pagina 100

376

Oplossingen

16

Hoofdstuk

3

Vanuit een vast punt kan een landmeter met behulp van een theodoliet de hoeken tussen de hoekpunten van een bouwgrond meten en de afstand tot deze hoekpunten bepalen. Bereken de omtrek en de oppervlakte van de bouwgrond. B 150 m A1

30°

A

210 m

50°

A2

h2

90 m

h1 C

D

Omtrek In D ABC: |BC|2 = 1502 + 2102 - 2  150  210  cos 30° = 12 040,3995... |BC| = 109,728... In D ACD: |DC|2 = 902 + 2102 - 2  90  210  cos 50° = 27 902,628... |DC| = 167,040... p = 150 + |BC| + |DC| + 90 = 516,769... Oppervlakte A1 = = A2 = =

1 2 1 2 1 2 1 2

 |AC|  h1

en

h1 = |AB|  sin 30°

 210  150  sin 30° = 7875  |AC|  h2

en

h2 = |AD|  sin 50°

 210  90  sin 50° = 7239,119...

A = A1 + A2 = 15 114,119... De omtrek is 517 m en de oppervlakte is 15 114 m2. terug naar pagina 100

377

Hoofdstuk

17

3

Uitdagingen

Schrijf een programma waarmee we de derde zijde van een driehoek kunnen berekenen, als de twee andere zijden en hun ingesloten hoek gegeven zijn. TEXAS INSTRUMENTS

CASIO

terug naar pagina 100

18

Schrijf een programma voor het oplossen van een willekeurige driehoek als: 1 een zijde en twee aanliggende hoeken gegeven zijn. TEXAS INSTRUMENTS

378

CASIO

Oplossingen

Hoofdstuk

3

2 twee zijden en een niet-ingesloten hoek gegeven zijn. TEXAS INSTRUMENTS

CASIO

terug naar pagina 100

379

Hoofdstuk 4

Uitdagingen

Uitdagingen van pagina 157 tot 161 1

1 Hoeveel tijd hebben de grote en de kleine wijzer van een uurwerk nodig om een hoek van één graad te doorlopen? Grote wijzer:

tijd (s)

x

3600

hoek (°)

1

360

x 1 Kleine wijzer:

=

3600

fi x =

360

3600 360

= 10 ➜ 10 s

10 s  12 = 120 s = 2 min

2 Hoeveel tijd hebben de grote en de kleine wijzer van een uurwerk nodig om een hoek van één radiaal te doorlopen? Grote wijzer:

tijd (s)

x

3600

hoek (rad)

1

2p

x 1

=

3600 2p

fi x =

3600 2p

= 572,957... ➜ 572,957 s

572,957... s = 9 min 33 s Kleine wijzer:

9 min 33 s  12 = 1 h 54 min 35 s terug naar pagina 157

2

Een reuzenrad heeft een diameter van 14 m. Het rad maakt één omwenteling in twee minuten en de as bevindt zich op een hoogte van 8 m. 1 Wat is de hoogte van het laagste punt en van het hoogste punt van het rad? Hoogte laagste punt: 8 Hoogte hoogste punt: 8 +

380

14 2 14 2

= 1 ➜ 1 m = 15 ➜ 15 m

Oplossingen

Hoofdstuk 4

2 Welke grafiek beschrijft de hoogte van een gondel van dit reuzenrad? A hoogte (m)

B hoogte (m) 15

14

2 0

0

1 0

4

0

5

tijd (min)

C hoogte (m)

tijd (min)

D hoogte (m) 15

14

0

0

7,5 tijd (min)

0 –1 0

6 tijd (min)

3 De drie overblijvende grafieken beschrijven elk de hoogte van een gondel van een ander reuzenrad. Bepaal voor elk bijbehorend rad de diameter, de hoogte van de as en de duur van één omwenteling. rad

diameter (m)

rad A

14 – 2 = 12

rad C

14 – 0 = 14

rad D

15 – (-1) = 16

hoogte as (m) 12 2 14 2 16 2

+ 2 = 8

= 7

- 1 = 7

duur omwenteling (min) 4 2, 5 7, 5 2, 5 6 2, 5

= 1,6

= 3

= 2,4

terug naar pagina 157

381

Hoofdstuk 4

3

Uitdagingen

Teken de sinusfunctie in een periode-interval. 3 p⎞ 1 ⎛x + 1 f (x) = sin ⎝ 2 2 2⎠ 2 f(x) =

⎡1 ⎤ 1 sin ⎢ (x + p)⎥ 2 2 ⎣2 ⎦ 3

⎛ 1⎞ (c, d) = ⎜-p, - ⎟ 2⎠ ⎝ hoogte = 2  a = 2  breedte =

2p b

=

2p 1

3 2

= 3

= 4p

2 y

1

0 -0,5

-p

p

-2

⎡1 ⎤ 1 2 f (x) = 2 sin ⎢ (2 x − 1)⎥ + ⎣3 ⎦ 2 ⎡2 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 f(x) = 2 sin ⎢ ⎜ x - ⎟⎥ + 2 ⎠⎦ 2 ⎣3 ⎝ ⎛1 1⎞ (c, d) = ⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠ hoogte = 2  a = 2  2 = 4 breedte =

2p b

=

2p 2 3

382

= 3p

2p

3p x

Hoofdstuk 4

Oplossingen

y 2,5

1 0,5 0 0,5

2p

p

3p

x

3p p + 0,5

-1,5

terug naar pagina 157

4

Bepaal van de sinusfunctie de amplitude, de periode, het faseverschil ten opzichte van f (x) = sin x en een vergelijking van de evenwichtslijn. 1⎞ ⎛ 1 f (x) = 2 sin x − ⎝ 2⎠

6 f (x) = 5 sin 3x - 2

2 f (x) = 1,5 sin [2(x + 1)] - 3

7 f (x) =

⎡1 ⎤ 1 3 f (x) = sin ⎢ (x − p)⎥ + ⎣3 ⎦ 4

1 p⎞ 1 ⎛ 8 f (x) = sin x + + ⎝ 5 4⎠ 2

4 f (x) = 3 sin [5(x - 0,2)]

9 f (x) = sin

5 f (x) =

3 sin(2x - 1) 4

x 1 2 2

⎛ p⎞ 10 f (x) = 3 sin ⎜ 4 x − ⎟ + 1 ⎝ 2⎠

⎡2 ⎛ p ⎞⎤ 1 1 sin ⎢ x + ⎥8 ⎠⎦ 4 2 ⎣3 ⎝ amplitude

periode

1

2

2p

2

1,5

p

1

y = -3

3

1

6p

p

y =

4

3

5

1 2

2p 5 3p

faseverschil 1 2

0,2 p 8

evenwichtslijn y = 0

1 4

y = 0 y = -

1 4

383

Hoofdstuk 4

Uitdagingen

6

7

8

5 3 4 1 5

9

1

10

3

2p 3 p

2p

0 1 2 p 4

4p

0

p

p

2

8

y = -2

y = 0 y =

1 2

y = -

1 2

y = 1 terug naar pagina 158

5

De hoogte van een uitgeschoven brandweerladder is afhankelijk van de hoek waaronder de ladder staat en de lengte van de ladder. Op het controlebord van een brandweerwagen zien we dat de ladder een hoek van 30° maakt en uitgeschoven is tot een lengte van 22 m.

1 Een brandweerladder is 12 m lang. De draaihoek van de ladder kan variëren van -15 ° tot 75°. De hoogte h van de ladder is een functie van de draaihoek x. Beschrijf de hoogte van de ladder met een sinusfunctie. h = 12 sin x

384

Oplossingen

Hoofdstuk 4

2 Stel een tabel op voor de hoogte van de ladder, als we de draaihoek telkens met 5° laten toenemen. Teken de grafiek. draaihoek x (°)

-15 -10

-5

hoogte h (m)

-3,1 -2,1 -1,0

0

5

10

15

20

25

30

0

1,0

2,1

3,1

4,1

5,1

6,0

60

65

70

75

draaihoek x (°)

35

40

45

50

55

hoogte h (m)

6,9

7,7

8,5

9,2

9,8 10,4 10,9 11,3 11,6

30

40

hoogte h (m) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 -20

-10

0 -1

10

20

50

60

70 80 draaihoek x (°)

-2 -3 -4

terug naar pagina 158

385

Hoofdstuk 4

6

Uitdagingen

Pas de formules voor de sinus van verwante hoeken toe zodat de coëfficiënten a en b in het functievoorschrift f (x) = a  sin [b (x - c)] + d positief zijn. 1 f (x) = - sin

p⎞ ⎛x − ⎝3 4⎠

p ⎛x ⎞ = sin ⎜ + p⎟ 4 ⎝3 ⎠ 4p ⎞ p ⎛x = sin ⎜ + ⎟ 4 ⎠ 4 ⎝3 3p ⎞ ⎛x = sin ⎜ + ⎟ 4⎠ ⎝3 ⎡1 ⎛ 9p ⎞⎤ = sin ⎢ ⎜ x + ⎟⎥ 4 ⎠⎦ ⎣3 ⎝ 2 f (x) =

4 p⎞ 1 ⎛ x sin − − ⎝ 3 3 2⎠ 2

= -

7

p⎞ 1 ⎛x sin ⎜ + ⎟ 3 2⎠ 2 ⎝3 4

=

1 p ⎞ ⎛x - p⎟ sin ⎜ + 2 3 2 ⎠ ⎝3

=

1 p⎞ ⎛x sin ⎜ - ⎟ 3 2⎠ 2 ⎝3

=

⎡1 ⎛ 1 3p ⎞⎤ sin ⎢ ⎜ x ⎥ ⎟ 2 2 ⎠⎦ 3 ⎣3 ⎝

4

4

4

terug naar pagina 158

Onze tegenvoeters wonen in een plaats op aarde die het verst van ons verwijderd is. Elk paar punten van onze aardbol dat aan deze voorwaarde voldoet, noemen we antipodische punten. Deze punten kunnen we bepalen met een Mercatorkaart en een bijbehorende sinuslijn. Werkwijze • Gebruik het blad met de sinuslijn dat achteraan in het werkboek staat. • Leg de grafiek op de kaart zodat de evenwichtslijn van de sinusfunctie samenvalt met de evenaar en het punt A op de sinuslijn ligt • Het punt A’ ligt een halve periode verder: we noemen A en A’ antipodische punten. 1 Bepaal de antipode van New York (B), Rio de Janeiro (C) en Tokyo (D). Duid deze punten aan op de kaart met respectievelijk B’, C’ en D’. 2 Lokaliseer twee plaatsen op het vasteland die op de evenaar liggen en elkaars antipode zijn. E en E'

386

Oplossingen

Hoofdstuk 4

C' E

E'

D'

B'

terug naar pagina 159

8

De grafiek stelt een sinusfunctie voor in een interval met lengte 2p. Stel het voorschrift op. 1

2

y 2 1

y 2 1 0,5

0 –1

131p 8

147 p 8

x

0 –1

69 p 4

–2

–2

a = 1

a = 0,5

b =

2p 147p 8

c =

131p 8

-

131p

= 1

b =

8

- 8  2p =

periode = 2p

3p 8

c =

2p 1 ⎛ 77p 69p ⎞ ⎜⎝ ⎟ 2 4 4 ⎠ 69p 4

- 17  p =

77 p 4

x

= 2

p 4

periode = p

d = 0

d = 0

⎛ 3p ⎞ f(x) = sin ⎜ x ⎟ ⎝ 8⎠

⎡ ⎛ p ⎞⎤ f(x) = 0,5 sin ⎢2 ⎜ x ⎟⎥ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝

387

Hoofdstuk 4

3

Uitdagingen

4

y 2 1,5 1

y 2 1

0 –1

54p

52p

0 –1

x

28p

–2

–2

a = 1,5

a = 2

b =

2p 2(54p - 52p)

=

1

b =

2

2p 2 3

c = 52p - 13  4p = 0

30p

(30p - 28p)

d = 0 1 2

periode

2

= 0

3

x d = 0

6

y 2 1

3 2

x

y 2 1

74p

76p

0 –1

x

0 –1

105p

–2

–2

a = 1

a = 1,5

b =

3

3

4p

=

f(x) = 2 sin 5

4p

c = 28p - 21 

periode = 4p

f(x) = 1,5 sin

=

x

2p 76p - 74p

= 1

c = 74p - 37  2p = 0 periode = 2p

b =

2p 1 3

x

= 3

(107p - 105p)

c = 105p - 157 

d = -1 f(x) = sin x - 1

107p

periode

=

2p 3

=

p 3

2p 3

d = 0,5 ⎡ ⎛ p ⎞⎤ f(x) = 1,5 sin ⎢3 ⎜ x - ⎟⎥ + 0,5 3 ⎠⎦ ⎣ ⎝ terug naar pagina 159

388

Oplossingen

9

Hoofdstuk 4

Een volwassen persoon ademt gemiddeld 12 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid wordt bij het inademen positief en bij het uitademen negatief gerekend. De luchtstroomsnelheid kan beschreven worden met de volgende sinuslijn. luchtstroomsnelheid v (liter/s) 0,5

0

0

1

tijd t (s)

–0,5

Bij hardlopen wordt de periode van de ademhalingscyclus gedeeld door drie en de luchtstroomsnelheid wordt vier keer zo groot. Welke formule is de beste benadering van de sinuslijn bij hardlopen? (A)

(B)

v = 0,125 sin

2 pt 15

v = 2 sin

(C)

2 pt 15

v = 0,125 sin 1,2 pt

(D) v = 2 sin 1,2 pt

v: luchtstroomsnelheid in liter/s t: tijd in s Normale ademhaling: a = 0,5 periode = 5 s Ademhaling bij hardlopen: a = 2 periode =

5 3

4  0,5 = 2 5 5 : 3 = 3

s

v = 2 sin 1,2pt

10

2p = 1,2p 5 3 terug naar pagina 160

Het hart pompt bloed in de grote bloedsomloop. Bij een volwassen persoon kan de bloedstroomsnelheid beschreven worden met het volgende positieve deel van een sinuslijn. bloedstroomsnelheid v (ml/s)

200 100 0 0

0,5

1

1,5

tijd t (s)

389

Hoofdstuk 4

Uitdagingen

Bij een inspanning verdubbelt de frequentie van de cyclus en wordt de bloedstroomsnelheid vier keer zo groot. Welke formule heeft een grafische voorstelling waarvan het positieve deel de beste benadering is van de bloedstroomsnelheid bij inspanning? (A)

(B)

(C)

(D)

v = 1000 sin 2pt

v = 1000 sin 4pt

v = 1000 sin 8pt

v = 2000 sin pt

v: bloedstroomsnelheid in ml/s t: tijd in s Normale bloedstroomsnelheid: a = 250 periode = 1s 4  250 = 1000

Bloedstroomsnelheid bij inspanning: a = 1000 periode =

1 2

s

v = 1000 sin 4pt

1 : 2 = 2p 1

1 2

= 4p

2

terug naar pagina 161

390

Oplossingen

Hoofdstuk 4

Uitdagingen van pagina 177 en 178 1

1 Los de goniometrische vergelijking op. a sin

3 p⎞ ⎛x + = ⎝2 2 3⎠

sin y =

3 2

sin y = sin y = x

p 3

+

2 x

p 3

p 3

+ k  2p =

p 3

+ k  2p

x 2 2

x = k  4p

b sin

y = p -

x

= k  2p

2

of

+ =

x =

p 3 p 3 2p 3

p 3 =

+ k  2p 2p 3

+ k  2p

+ k  2p + k  4p

⎛2 ⎞ x − 1 = -1 ⎝3 ⎠

sin y = - 1 ⎛ p⎞ sin y = sin ⎜- ⎟ ⎝ 2⎠ y = 2 3 2 3

p 2

+ k  2p

x -1= -

p 2

+ k  2p

x = -0, 570… + k  2p

x = -0, 856… + k  3p 2 Waarom kunnen we de oplossingen niet voorstellen op de goniometrische cirkel? 2p Omdat de voorstelling van de oplossing (of – 0,856…) ook de 3 2p + k  2p (of – 0,856… + k  2p), bijvoorbeeld voorstelling is van 3 8p (of 8,568…) welke geen oplossing is van de gegeven vergelijking. van 3

391

Hoofdstuk 4

Uitdagingen

3 Stel de oplossingen voor op een getallenlijn. 0

a

b

-4p 10p 3

p 2p 3

4p 14p 3

8p 26p 3

0 1 -10,28

-0,86

8,57

17,99

terug naar pagina 177

2

Rijden we achter een fietser, dan zien we de pedalen schijnbaar op en neer gaan. De hoogte van het rechterpedaal ten opzichte van het wegdek kunnen we berekenen met de formule:

h = 26 - 15 sin 2pt h: hoogte in cm t: tijd in s

1 Stel een formule op om de hoogte van het linkerpedaal ten opzichte van het wegdek te berekenen. Rechterpedaal: periode =

2p 2p

= 1

Linkerpedaal: faseverschil ten opzichte van het rechterpedaal = ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ Formule: h = 26 – 15 sin ⎢2p ⎜ t - ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝

1 2

2 Op welke hoogte bevindt de as van de pedalen zich? Wat is de afstand tussen de pedalen? De hoogte van de as is 26 cm. De afstand tussen de pedalen is 30 cm.

392

2  15 = 30

Oplossingen

Hoofdstuk 4

3 Om de hoeveel seconden hebben beide pedalen dezelfde hoogte? 26 – 15 sin 2pt = 26 sin 2pt = 0 sin y = sin 0 y = k  p 2pt = k  p 1 t = k 2 Om de halve seconde hebben beide pedalen dezelfde hoogte. 4 Hoe snel rijdt de fietser als hij bij elke omwenteling van de pedalen 5 m vooruit gaat? 10 m/s = 10  3,6 km/h = 36 km/h terug naar pagina 177

3

Met een kanon wordt een kogel afgevuurd. De beginsnelheid van de kogel is 500 m/s. Onder invloed van de valversnelling g = 10 m/s2 komt de kogel op de grond terecht. De afstand die de kogel aflegt, kunnen we berekenen met de formule: v 02  sin 2x s= g

s: afstand in m v0: beginsnelheid in m/s

x: hellingshoek kanonloop g: valversnelling in m/s2

1 Hoe ver vliegt de kogel als de loop onder een hoek van 45° is opgesteld? En onder een hoek van 50°? s =

5002  sin(2  45°)

s =

10

s = 25 000 ➜ 25 000 m = 25 km

5002  sin(2  50°) 10

s = 24 620 ➜ 24 620 m = 24,62 km

2 Onder welke hoek moet de loop opgesteld worden om een doel op 19 km te raken? 25 000 sin 2x = 19 000 19 000 sin 2x = = 0,76 25 000 sin y = 0,76 sin y = sin 0,86331… y = 0,86331… + k  2p

of

y = p – 0,86331… + k  2p

2x = 0,86331… + k  2p

y = 2,2782… + k  2p

x = 0,4316… + k  p

2x = 2,2782… + k  2p x = 1,1391… + k  p

De loop moet opgesteld worden onder een hoek van 0,432 rad of 24,7° of van 1,139 rad of 65,3°. terug naar pagina 177

393

Hoofdstuk 4

4

Uitdagingen

In het waterpretpark Aquadeltabi wordt elk uur gedurende acht minuten het wateroppervlak van het zwembad in beweging gebracht. Als de golven opkomen, houdt Lotte zich vast aan de rand van het zwembad. De hoogte van de golftoppen op de plaats waar Lotte zich bevindt, kunnen we aflezen op de grafiek. hoogte h (m) 1,8 1,5

1

0,5

0

0

3

6

9 tijd t (s)

1 Bepaal het functievoorschrift van de sinuslijn. a = b =

1, 8 - 0,5 2p

2

= 0,65

3

c = 0 d =

1, 8 + 0,5 2

f(t) = 0,65 sin

= 1,15 2p 3

t + 1,15

2 Hoe hoog zijn de golven op de plaats van Lotte na 10 seconden? En na 1 minuut? f(10) = 0,65 sin f(60) = 0,65 sin

2p 3 2p 3

 10 + 1,15 = 1,7129… ➜ 1,71 m  60 + 1,15 = 1,15 ➜ 1,15 m

3 Hoeveel maal bereiken de golven er hun maximale hoogte? 60

= 20 ➜ 20 golven per minuut 3 aantal golven = 20  8 = 160 ➜ 160 golven frequentie =

394

Oplossingen

Hoofdstuk 4

4 Op welke tijdstippen bereikt het water er het laagste niveau? Met vergelijking 0,65  sin sin sin

2p 3 2p 3

t =

2p

t + 1,15 = 0,5 3 0, 5 - 1,15 0,65

t = -1

sin y = -1

Zonder vergelijking • periode = 3 • laagste niveau op periode:

3 4

3 4

van de

 3 = 2,25

. tijdstippen: 2,25 + k  3

⎛ p⎞ sin y = sin ⎜- ⎟ ⎝ 2⎠ p y = - + k  2p 2 2p p t = - + k  2p 3 2 3 ⎛ p ⎞  ⎜+ k  2p ⎟ t = ⎝ 2 ⎠ 2p t = -0,75 + k  3 Het laagste niveau wordt bereikt na 2,25 seconden en elke daaropvolgende 3 seconden. terug naar pagina 178

5

De inwoners van de gemeente Delta hebben regelmatig last van ratten. Het aantal gevangen ratten in een bepaalde week van het jaar kunnen we beschrijven met de formule: ⎡p ⎤ r = 190 sin ⎢ (w − 9)⎥ + 90 ⎣13 ⎦ r: aantal ratten w: weeknummer 1 Teken met ICT het positieve deel van de grafiek van deze sinusfunctie.

395

Hoofdstuk 4

Uitdagingen

2 In welke weken van het jaar worden de meeste ratten gevangen? maximum = 90 + 190 = 280 ⎡p ⎤ 190 sin ⎢ (w - 9)⎥ + 90 = 280 ⎣13 ⎦ ⎡p ⎤ 280 - 90 sin ⎢ (w - 9)⎥ = = 1 190 ⎣13 ⎦ sin y = 1 sin y = sin y = p 13

p 2

p 2

+ k  2p

(w - 9) =

p 2

+ k  2p

w – 9 = 6,5 + k  26 w = 15,5 + k  26 De meeste ratten worden gevangen in week 16 en week 42. 3 In welke perioden van het jaar worden geen ratten gevangen? ⎡p ⎤ 190 sin ⎢ (w - 9)⎥ + 90 = 0 ⎣13 ⎦ 90 ⎡p ⎤ sin ⎢ (w - 9)⎥ = = -0,473… 190 ⎣13 ⎦ sin y = -0,473… sin y = sin (-0,493…) y = - 0,493… + k  2p p 13

(w - 9) = - 0,493… + k  2p

w =

13 (-0,493… + k  2p) + 9 p

of

y = p – (-0,493…) + k  2p p 13

(w - 9) = 3,635… + k  2p

w =

13 (3,635… + k  2p) + 9 p

w = 7 + k  26

w = 24 + k  26

week 7 en week 33

week 24 en week 50

Er worden geen ratten gevangen tussen week 24 en week 33 en tussen week 50 en week 7 van het volgende jaar (zie grafiek). terug naar pagina 178

396

Oplossingen

Hoofdstuk 5

Uitdagingen van pagina 200 tot 202 1

Welke onderwerpen behoren tot de beschrijvende statistiek? 1 Uit het diagram volgt dat de meest voorkomende massa van een tennisbal 57,13 g bedraagt. 2 In statistische onderzoeken stellen geneesheren vast dat er een verband bestaat tussen het vatbaar zijn voor een bepaalde ziekte en de eetgewoonte van personen. 3 De tabellen bestemd voor het jaarverslag van een bank, geven een zeer verzorgde indruk. 4 Op het beursdiagram kunnen we in één oogopslag de grootste en de kleinste waarde van een aandeel aflezen. 5 Het invullen van de vragenlijst over het leesgedrag van jongeren neemt veel tijd in beslag. terug naar pagina 200

Omcirkel het nummer van elk statistisch onderzoek waarbij steekproef en populatie gelijk zijn. 2

Bevolkingsgroei per werelddeel miljard 6 Azië

4 Afrika

2 Latijns-Amerika

Europa

Noord-Amerika Oceanië

0 2050

4

Welk genre leest de Vlaming het liefst?

Strips

2%

1400

2%

1200

Reisgidsen

2%

1000

Biografieën

3%

800

Kookboeken

3%

600

5%

1729

865

525

400

6%

263

200

20

30

40

9

9

00

99

98

-2 00

90

97

-1 20

10

19

0

9

0

31 %

Thrillers

-1

30 %

Romans

9

Sciencefiction

600 800 1000 in miljoenen mensen

Aantal overstromingen in de wereld

Jeugdboeken

Psychologieboeken

400

1600

1%

Kunstboeken

200

1800

15 %

Andere

0

2100

70

3

2000

322 266 189 182 170 170 125 98

80

1950

-1

1

962

Chinees Engels Spaans Bengali Hindi Portugees Russisch Japans Duits

5

3

Wat is de meest gesproken taal ter wereld?

19

1

19

2

terug naar pagina 200

397

Hoofdstuk 5

3

Uitdagingen

Een slechte of suggestieve vraagstelling kan ervoor zorgen dat een steekproef niet representatief is. Vragen mogen geen bepaald antwoord uitlokken. Bovendien mogen ze niet naar twee of meer dingen tegelijk informeren. Verbeter de vragen. 1 Is Samsung het beste merk van gsm’s? Wat is volgens jou het beste merk van gsm’s? 2 Vind je ook dat de treinen tijdens het spitsuur te vaak vertraging hebben? Wat vind je van de stiptheid van de treinen tijdens het spitsuur? 3 Ben je voor of tegen een snelheidsbeperking van 30 km/h in de bebouwde kom en een verhoging van de politiecontrole? Ben je voor of tegen een snelheidsbeperking van 30 km/h in de bebouwde kom? Ben je voor of tegen een verhoging van de politiecontrole in de bebouwde kom? 4 Ben je van oordeel dat merkproducten lekkerder en gezonder zijn dan nietmerkproducten? Zijn merkproducten lekkerder dan niet-merkproducten? Zijn merkproducten gezonder dan niet-merkproducten? terug naar pagina 201

4

Een wandelclub telt 430 leden. Tijdens een vergadering wil de voorzitter de mening kennen van de 85 aanwezige leden door handopsteking. De secretaris wil echter lukraak 25 leden een vragenlijstje toesturen en de antwoorden naamloos laten terugsturen.

1 Welke enquête is het meest representatief ? De enquête van de secretaris. 2 Verklaar je antwoord. Bij handopsteking gaat de anonimiteit verloren en sommigen zullen zich laten beïnvloeden door het keuzegedrag van de anderen. De steekproef die de secretaris voorstelt, heeft een kleinere omvang, maar de steekproef is wel willekeurig gekozen. Omdat de vragenlijst naamloos is, zijn de resultaten meer betrouwbaar. terug naar pagina 201

398

Oplossingen

5

Hoofdstuk 5

Bepaal het soort kenmerk (continu, discreet, nominaal of ordinaal) dat onderzocht moet worden om elke vraag zinvol te kunnen beantwoorden. 1 Drinkt een doorsnee student veel, weinig of nooit melk? Ordinaal. 2 Hoeveel bedraagt de gemiddelde huurprijs van een flat in die straat? Discontinu. 3 Wat is het gewicht van een klein rozijnenbrood? Continu. 4 Welk intelligentiequotiënt heeft die student? Discontinu. 5 Is 13 een ongeluksgetal? Nominaal. 6 Hoeveel beaufort bedraagt de windsnelheid van de storm die morgen over ons land zal razen? Discontinu.

terug naar pagina 201

6

Geef een zo nauwkeurig mogelijke omschrijving van het onderzochte kenmerk. Is het kenmerk nominaal, ordinaal, continu of discontinu? 1

6000

PALEONTOLOGIE • Een gemiddelde dinosaurus weegt tussen de 6000 en 8000 kilo, zo staat in PloS ONE. Dat is een derde zwaarder dan gedacht. Dankzij een nieuwe berekeningsmethode, waarbij vijf dinosaurusskeletten werden ingescand, kan het gewicht correcter worden gemeten met 3D-modellen. Voorheen werden altijd schaalmodellen gebruikt om de massa te berekenen. (KS)

2

8

3

BIOLOGIE • Paarden vergeten mensen die hen goed behandelen niet snel. Dat blijkt uit onderzoek van de universiteit van Rennes bij twintig Anglo-Arabieren en drie Franse dravers. Zelfs na een scheiding van acht maanden herkenden de positief beloonde paarden een bepaalde trainer. "Sociale relaties houden lang stand", vertelt Carol Sankey, leider van het onderzoek. "Soms levenslang."

15

BACTERIOLOGIE • 15 procent van de gsm's bevat sporen van Escherichia colibacteriën, vaak verantwoordelijk voor buikloop, ontdekte de University of London. Volgens de geleerden is de aanwezigheid van de bacteriën een aanwijzing dat de handen te weinig gewassen worden na een toiletbezoek. Of dat er gebeld wordt op het toilet. Ook toonde een op de zes handen die toestellen vasthielden faecale sporen.

1 Gewicht van een gemiddelde dinosaurus. ➜ continu 2 Herkennen positief beloonde paarden hun leider? ➜ nominaal 3 Bevat een gsm sporen van Escherichia colibacteriën? ➜ nominaal

399

Hoofdstuk 5

4

Uitdagingen

18

PSYCHOLOGIE • Je vroegste herinneringen veranderen per jaar. Sommige jongeren kunnen zich gebeurtenissen in de achttiende levensmaand nog herinneren, zegt onderzoeker Carole Peterson. Haar Canadese team vroeg 100 kinderen van 4 tot 13 jaar over hun drie vroegste herinneringen. Een jaar later herinnerde 80 procent zich de verhalen niet meer en noemde andere herinneringen.

5

52

LINGUISTIEK • Het woordgebruik verraadt de psychopaat. De Cornell University ondervroeg 52 moordenaars in een Canadese gevangenis en ontdekte dat de psychopaten meer spreken over fysieke behoeften als voedsel of seks wanneer ze hun moord omschrijven, terwijl anderen eerder spreken over sociale behoeften of religie. Psychopaten gebruiken vaker 'omdat' of 'zodat', omdat de moord in hun ogen noodzakelijk was en pauzeren meer omdat ze een goede indruk willen maken. (EDS)

6

-63

ASTRONOMIE • Op Mars is het gemiddeld 63 graden onder nul. Maar vier miljard jaar geleden was het er een aangename 18 graden Celsius. Dat blijkt uit de analyse van een meteoriet die van Mars afkomstig is. "Dit is het bewijs dat in ieder geval één plek op de planeet in staat was om minstens enkele uren tot enkele dagen een aardachtig klimaat te hebben", meent geochemicus John Eiler, wiens onderzoek in vakblad PNAS verschijnt. (KS)

4 Leeftijd van de vroegste herinneringen. ➜ discontinu 5 Woordgebruik van psychopaten: spreken moordenaars meer over fysieke behoeftes of over sociale behoeftes bij het beschrijven van hun moord? ➜ ordinaal 6 Temperatuur op Mars. ➜ continu

terug naar pagina 202

400

Oplossingen

Hoofdstuk 5

Uitdagingen van pagina 258 tot 265 1

Scrabble is een letterspel dat wordt verkocht in 121 landen en in 29 talen. Het is een bordspel voor twee tot vier spelers waarbij met een aantal letters woorden moeten worden gelegd op een speelbord. Elk letterblokje van het Scrabble-spel heeft een eigen letterwaarde. Elke speler tracht met zijn blokjes woorden te vormen die een maximaal aantal punten opleveren. De tabel toont de waarde van elke letter en hoeveel maal de letter voorkomt.

letter A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z letterwaarde 1 3 3 1 1 5 2 2 1 4 4 2 3 1 1 3 10 1 1 1 4 4 4 8 8 6 aantal blokjes 6 2 2 5 18 1 4 3 6 2 2 3 2 10 6 2 1 6 3 6 2 2 2 1 1 2

1 Welke letter komt het meest voor? E 2 Hoeveel blokjes telt het Scrabble-spel? 100 3 Hoeveel klinkerblokjes (a, e, i, o, u) zijn er? 6 + 18 + 6 + 6 + 2 = 38 4 Stel een frequentietabel op waarop we de letterwaarden van de blokjes en het bijbehorende aantal blokjes kunnen aflezen. letterwaarde

aantal blokjes (af)

1

66

2

10

3

8

4

10

5

1

6

2

8

2

10

1

totaal

100

401

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

5 Stel de frequentietabel grafisch voor met een staafdiagram. aantal blokjes (af) 70 66 60 50 40 30 20

0

8

10

10 1

2

10

3

4

1

2

2

5

6

8 10 letterwaarde

1

6 Welke letterwaarden tussen 1 en 10 komen niet voor? 7 en 9 7 Bepaal de totale letterwaarde van alle Scrabble-blokjes. 1  66 + 2  10 + 3  8 + 4  10 + 5  1 + 6  2 + 8  2 + 10  1 = 193 terug naar pagina 258

In de tweedimensionale frequentietabel worden de scores op 10 van wiskunde en natuurwetenschappen in een klas vergeleken. Een streepje betekent dat er geen leerling is met deze resultaten. natuurwetenschappen

2

4 5 6 7 8 9

3 1 -

4 1 -

wiskunde 5 6 1 2 2 1 2 -

7 4 3 1 -

8 1 2 2 -

9 1 1

1 Hoeveel leerlingen behaalden een 7 voor wiskunde en een 6 voor natuurwetenschappen? 4 2 Voor welk vak werd het laagste resultaat behaald? Voor wiskunde: 3/10 3 Welke scores behaalde de beste leerling uit de klas? Een 9 voor wiskunde en een 9 voor natuurwetenschappen. 4 Hoeveel leerlingen behaalden een onvoldoende voor minstens één van beide vakken? 3 leerlingen.

402

Oplossingen

Hoofdstuk 5

5 Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? 1 + 1 + 1 + 2 +2 + 1 + 4 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 25 ➜ 25 leerlingen 6 Hoeveel leerlingen behaalden hogere punten voor wiskunde dan voor natuurwetenschappen? 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + 1 = 11 ➜ 11 leerlingen 7 Stel voor elk vak een frequentietabel op met de behaalde resultaten. natuurwetenschappen

wiskunde

punten op 10

aantal leerlingen (af)

punten op 10

aantal leerlingen (af)

4

2

3

1

5

3

4

1

6

8

5

2

7

8

6

6

8

3

7

8

9

1

8

5

totaal

25

9

2

totaal

25

8 Maak een vergelijkend staafdiagram. aantal leerlingen (af ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

3

4

5

natuurwetenschappen

6

7

8 9 punten op 10 wiskunde

terug naar pagina 258

403

Hoofdstuk 5

3

Uitdagingen

In de krant verschijnt de volgende grafiek.

Meest gestolen auto’s

Totaal 16 944

Volkswagen

1981

Ford

1596

Mercedes

1296

Peugeot

1174

BMW

1144

Renault

1112

Aantal gestolen wagens per duizend ingeschreven exemplaren BMW

3,5

Ford

3,3

Volkswagen

3,1

Mercedes Peugeot Renault

3,03 2,2 2,15

1 Maak een frequentietabel van de meest gestolen auto’s. Vul de tabel aan met relatieve frequenties. Rond af op 1 %. merk

af

rf

Volkswagen

1981

11,7 %

Ford

1596

9,4 %

Mercedes

1296

7,6 %

Peugeot

1174

6,9 %

BMW

1144

6,8 %

Renault

1112

6,6 %

andere

8641

51,0 %

totaal

16 944

100 %

2 Hoeveel percent van de ingeschreven BMW’s wordt gestolen? 3,5 per duizend ➜ 0,35 % terug naar pagina 259

404

Oplossingen

4

Hoofdstuk 5

Een statistisch bureau onderzocht de tevredenheid van klanten van een supermarkt. Een onhandige bediende morste koffie over de tabel met frequenties en relatieve frequenties van de antwoorden. Welk percentage van de ondervraagden was ‘zeer tevreden’ over de supermarkt? af

rf

niet tevreden

13

5,2 %

matig tevreden

37

tevreden

155

zeer tevreden

(A)

9%

(B) 18 %

(C)

27 %

(D)

36 %

(E) 45 %

Vlaamse Wiskunde Olympiade

13 totaal

= 0,052 ➜ totaal =

13 0,052

= 250

af ‘zeer tevreden’: 250 – 13 – 37 – 155 = 45 45 = 0,18 = 18 % rf ‘zeer tevreden’: 250 5

terug naar pagina 260

In het cirkeldiagram vinden we de spreiding van de wereldbevolking over de continenten. [5] [6]

[1]

[4] 16 % [3]

[1] Afrika [2] Azië [3] Latijns-Amerika en Caraïben [4] Europa [5] Noord-Amerika [6] Oceanië

15 %

9%

60 % [2]

1 De percentages van de geïndustrialiseerde continenten (Europa, Noord-Amerika en Oceanië) worden niet afzonderlijk vermeld op het cirkeldiagram, maar zijn samen goed voor 16 % van de wereldbevolking. Meet de middelpuntshoek en bereken de percentages van elk continent afzonderlijk. Middelpuntshoek Europa: 38° ➜

38 360

= 0,1055… = 10,6 %

Middelpuntshoek Noord-Amerika: 18° ➜ Middelpuntshoek Oceanië: 2° ➜

2 360

18 360

= 0,05 = 5 %

= 0,0055… = 0,6 %

405

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

2 In de tabel vinden we de vermoedelijke verdeling van de wereldbevolking in 2100. Maak een cirkeldiagram. continent Afrika Azië Latijns-Amerika en Caraïben Europa Noord-Amerika Oceanië continent

bevolking (rf ) 35 % 45 % 7% 6% 5% 2% middelpuntshoek

Afrika

126°

Azië

162°

Latijns-Amerika en Caraïben

25,2°

Europa

21,6°

Noord-Amerika

18°

Oceanië

7,2°

Afrika Azië Latijns-Amerika en Caraïben Europa Noord-Amerika Oceanië

3 Bespreek de verschuivingen die plaats vinden in de verdeling van de wereldbevolking over de continenten tussen nu en 2100. De bevolking in Afrika zal meer dan verdubbelen, terwijl de bevolking in Azië sterk zal afnemen. De totale bevolking in de geïndustrialiseerde landen zal afnemen, evenals de bevolking in Latijns-Amerika. terug naar pagina 260

406

Oplossingen

6

Hoofdstuk 5

Een kinderarts heeft de lengte van zijn eenjarige patiëntjes opgetekend en verwerkt in een frequentietabel. aantal eenjarige patiëntjes lengte (cm) af (meisjes)

af (jongens)

crf (meisjes)

67

0

1

...................................

68

1

0

...................................

69

0

0

70

2

0

71

2

1

72

3

1

73

3

2

74

4

4

75

5

8

76

3

6

77

3

4

78

2

3

79

0

3

80

1

1

...................................

81

1

0

...................................

82

0

1

...................................

totaal

30

35

crf (jongens)

0%

...................................

3%

3%

...................................

...................................

3%

...................................

...................................

10 %

...................................

...................................

17 %

...................................

...................................

27 %

...................................

...................................

37 %

...................................

...................................

50 %

...................................

...................................

67 %

...................................

...................................

77 %

...................................

...................................

87 %

...................................

...................................

94 %

...................................

...................................

94 %

...................................

97 %

...................................

100 %

...................................

100 %

...................................

3%

3% 3% 6% 9%

14 % 25 % 48 % 65 % 76 % 85 % 94 % 97 %

97 %

100 %

1 Vul de frequentietabel aan met de cumulatieve relatieve frequenties. Rond af op 1 %.

407

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

2 Stel de cumulatieve frequenties voor met een lijndiagram voor meisjes en voor jongens. aantal meisjes (crf)

aantal jongens (crf )

100

100

90

90

80

80

70

70

60

60

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0

0 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 lengte (cm)

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 lengte (cm)

Met behulp van de diagrammen kan de kinderarts zijn resultaten vergelijken met de gemiddelde lengten van meisjes en jongens tot een leeftijd van 18 maanden. Het diagram heeft 5 percentielkrommen. De kromme P3 geeft aan dat 3 % van de meisjes of van de jongens een lengte hebben die kleiner is dan of gelijk aan de af te lezen lengte op de grafiek. meisjes lengte (cm)

100

100

90

P97 P75 P50 P25 P3

80

80 70

60

60

50

50 3

6

9

12 15 18 leeftijd (maanden)

P97 P75 P50 P25 P3

90

70

0

408

jongens

lengte (cm)

0

3

6

9

12 15 18 leeftijd (maanden)

Oplossingen

Hoofdstuk 5

3 Lees op het diagram de lengte af van: •

• jongen – 12 m – P75

meisje – 6 m – P25 64 cm

•

77 cm

meisje – 15 m – P97

• jongen – 9 m – P50

83 cm

71 cm

4 Hoeveel percent van de drie maand oude meisjes is kleiner van 56 cm? 56 cm ➜ P3 ➜ 3 % 5 Hoeveel percent van de eenjarige jongens is kleiner dan 75 cm? 75 cm ➜ P50 ➜ 50 % 6 Komen de meetresultaten van de kinderarts overeen met de lijndiagrammen? Ja. terug naar pagina 261

Amber Hugo Kristof

Herman Stef

Julie X

X Karel

Paul

Koen

X Leo

Ann Bart

Mia X

X Fons Jo X

Vera Hilde Mark X Bob

Stijn Anke

Sam Tina X Fred

X X Filip Tom

Frank Geert Rosa Lies X

Sofie X

An Leen

An is een achterkleinkind van Bart en Ann Fransen-Loos. An stelde een stamboom van haar familie op.

Maria X

7

1 Stel een frequentietabel op met alle soorten frequenties van de data afkomstig van het kenmerk ‘aantal kinderen per gezin’ in de stamboom. aantal kinderen per gezin

af

rf

1

3

2

aantal gezinnen

caf

crf

21 %

3

21 %

6

43 %

9

64 %

3

3

21 %

12

86 %

4

2

14 %

14

100 %

totaal

14

100 %

2 Zijn er kinderloze gezinnen in de familie? Neen.

409

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

3 Hoeveel gezinnen met twee kinderen bevat deze stamboom? Hoe noemen we deze frequentie? 6 gezinnen Absolute frequentie. 4 Hoeveel gezinnen staan er in de stamboom met ten hoogste twee kinderen? Hoe noemen we deze frequentie? 9 gezinnen Cumulatieve absolute frequentie. 5 Hoeveel percent van de gezinnen heeft drie kinderen? Hoe noemen we deze frequentie? 21 % Relatieve frequentie. 6 Hoeveel percent van de gezinnen heeft minder dan vier kinderen? Hoe noemen we deze frequentie? 86 % Cumulatieve relatieve frequentie. terug naar pagina 263 8

De heren De Vos, De Uil en De Rat zijn respectievelijk 10, 5 en 2 jaar in dienst als vertegenwoordiger bij de firma DELSTAT. Toen De Uil in dienst trad, werd De Vos verplicht een deel van zijn klantenbestand over te maken. De Vos, leep en lui als hij was, hield de beste klanten voor zich en verzekerde zich in de toekomst van een hoog verkoopcijfer. De Uil werkte hard en wist de verwaarloosde klanten voor zich te winnen. Zijn verkoopcijfer steeg, maar lag steeds in de schaduw van het verkoopcijfer van De Vos. Twee jaar geleden breidde de firma DELSTAT haar actieradius uit en werd De Rat in dienst genomen. De Rat was jong en ambitieus. Hij klopte vele overuren en bereikte in korte tijd een niet onaardig verkoopcijfer. Op de komende vergadering met de directie moet elke verkoper zijn omzetcijfer voorleggen. De Vos wil de directie overtuigen met een diagram. Hij hoopt dat de directie in één oogopslag zal zien dat hij het leeuwenaandeel van de verkoop in 2011 en 2012 voor zijn rekening heeft genomen. VERKOOPRESULTATEN Periode 2011-2012 DE VOS

DE UIL

DE RAT

2011

410

2012

2011

2012

2011 2012 = 1 miljoen euro

Oplossingen

Hoofdstuk 5

1 Bepaal het verkoopresultaat van elke vertegenwoordiger in het jaar 2011 en in het jaar 2012. verkoopresultaten van 2011 verkoopresultaten van 2012 De Vos

20 000 000 euro

22 000 000 euro

4 500 000 euro

13 500 000 euro

500 000 euro

4 500 000 euro

De Uil De Rat

2 Met welk bedrag is in 2012 het totale verkoopresultaat gestegen? Totaal verkoopresultaat van 2011: 25 000 000 euro Totaal verkoopresultaat van 2012: 40 000 000 euro Toename: 15 000 000 euro De Uil wil de prestaties van zijn collega’s niet minimaliseren, maar hij vindt dat de waarheid moet gezegd worden. Hij stelt een tabel op waaruit de directie onmiddellijk kan aflezen hoeveel de totale verkoopresultaten zijn gestegen en hoe opvallend groot zijn persoonlijk aandeel daarvan is. VERKOOPRESULTATEN Periode 2011-2012 In miljoen euro

DE VOS DE UIL DE RAT totaal

2011 20 4,5 0,5 25

2012 22 13,5 4,5 40

toename 2 9 4 15

DE UIL

DE RAT

DE VOS

Om zijn succes kracht bij te zetten, voegt hij er een schijfdiagram met de toename van de verkoopresultaten bij. 3 Hoe probeert De Uil de directie te misleiden? De Uil leidt de aandacht van de directie af van de tabel met effectieve verkoopresultaten door er een schijfdiagram aan toe te voegen dat de toename van de verkoopresultaten weergeeft. Hij hoopt hiermee de indruk te wekken dat het schijfdiagram een grafische voorstelling is van de verkoopresultaten. 4 Stel met de gegevens, voor elk jaar, een cirkeldiagram op.

DE VOS

2011

DE UIL

2012

DE RAT

411

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

De Rat die weet dat zijn verkoopcijfers de laagste zijn, wil zijn inspanningen bekroond zien. Na veel denkwerk gaat hij met een tabel met indexcijfers naar de vergadering. VERKOOPRESULTATEN

900

Periode 2011-2012 2011 = 100 DE VOS DE UIL DE RAT

2011 100 100 100

2012 110 300 900

300 110 DE VOS

DE UIL

DE RAT 2011 = 100

Om zijn overwicht echt explosief te laten lijken, maakt hij met de gegevens uit de tabel een staafdiagram. 5 Hoe omzeilt De Rat het feit dat hij de laagste verkoopcijfers heeft? Met zijn voorstelling ontneemt De Rat de directie alle gegevens over de effectieve verkoopresultaten en de effectieve toename van de verkoopresultaten van de vertegenwoordigers. Door de tabel met indexcijfers te gebruiken, lijkt het wel dat hij negenmaal beter is dan De Vos en driemaal beter dan De Uil. 6 Welke doelbewuste fout maakt De Rat met zijn staafdiagram? Het staafdiagram van De Rat geeft ‘het verkoopresultaat’ van 2012 ten opzichte van 2011. De gegeven indexcijfers geven een vertekend beeld van de verkoopresultaten omdat de effectieve verkoopcijfers van de vertegenwoordiger voor de periode 2011 gelijkgesteld worden aan 100, ongeacht de hoge verschillen. 7 Elke vertegenwoordiger slaagt er in om met dezelfde gegevens zichzelf in het beste daglicht te stellen.Welk algemeen besluit kunnen we uit deze statistische toverformules afleiden? De Vos, De Uil en De Rat weten dat ze met tabellen en diagrammen kunnen laten zien wat ze graag willen laten zien. We moeten dus voorzichtig zijn met het interpreteren van tabellen en grafieken en we moeten op onze hoede zijn voor misbruiken met statistische gegevens. terug naar pagina 263

412

Oplossingen

Hoofdstuk 5

Uitdagingen van pagina 309 tot 314 1

Een punaise valt op een tafel en ligt met de punt naar boven of met de punt naar beneden. We werpen 10 duimspijkers tegelijk en noteren telkens de stand van de spijkers. In de tabel staan de resultaten van 20 worpen. worp

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7

5

4

5

7

3

5

4

6

7

6

6

8

3

7

4

6

5

7

5

3

5

6

5

3

7

5

6

4

3

4

4

2

7

3

6

4

5

3

5

1 Stel de resultaten van de 20 worpen voor met twee staafdiagrammen. aantal 10

x = 5,5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 worp

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 worp

aantal 10

x = 4,5

0

1

2 Teken in elk staafdiagram een horizontale rechte die het gemiddelde van alle worpen aanduidt. 3 Welk besluit kunnen we trekken als we de resultaten van dit experiment met elkaar vergelijken? We hebben 10 % meer kans dat een duimspijker met de punt naar boven valt. terug naar pagina 309

413

Hoofdstuk 5

2

Uitdagingen

Een bowlingwedstrijd in het stadje Bedrock bestaat uit n spelletjes. In het laatste spel behaalde Dhr. Flinstone een score van 184 punten en hij verhoogde hiermee zijn gemiddelde score van 176 naar 177. Het aantal gespeelde spelletjes n is dan gelijk aan: (A) 7

8

(B)

(C) 9

(D) 12

(E)

16

Vlaamse Wiskunde Olympiade

(n - 1)  176 + 184 n

= 177

(n – 1)  176 + 184 = 177n 176n – 176 + 184 = 177n 176n – 177n = 176 – 184 – n = – 8 n = 8 3

terug naar pagina 309

Een gemeente stelt een onderzoek in naar het gebruik van het openbaar zwembad. Aan elke jeugdorganisatie wordt gevraagd een enquête uit te voeren bij haar leden. De tabel bevat de gegevens ingestuurd door een jeugdbeweging die haar leden in drie leeftijdsgroepen heeft ingedeeld. leeftijdscategorie

aantal zwembeurten per maand

5 tot 12 jaar

0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 3 4 0 1 1 1 2 3 3 0 0 0

12 tot 18 jaar

2 3 4 4 5 2 2 2 3 2 2 3 4 2 2 3 2

18 jaar en ouder

0 3 6 4 5 3 2 2 1 3 3 6 0 0 4 4 3 5

1 Bepaal voor elke leeftijdscategorie het gemiddelde aantal zwembeurten per maand. 5 tot 12 jaar: x = 1,2 12 tot 18 jaar: x = 2,8 18 jaar en ouder: x = 3 2 Het gemiddelde aantal zwembeurten van de drie leeftijdscategorieën is gelijk aan het gemiddelde van de gemiddelden van de drie categorieën. Is deze uitspraak juist? Toon aan. gemiddeld aantal zwembeurten 3 categorieën: x = 2,2 gemiddelde van de gemiddelden van de 3 categorieën: x =

1, 227... + 2,764... + 3 3

= 2,330… ➜ x = 2,3

De uitspraak is fout. terug naar pagina 310

414

Oplossingen

4

Hoofdstuk 5

Bepaal voor het ogief het gemiddelde en de mediaan van de verwerkte data. 1 aantal leerlingen (caf )

2 aantal leerlingen (caf )

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 schouderbreedte (cm)

schouderbreedte aantal (cm) leerlingen (af)

0 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 schoenmaat

schoenmaat

aantal leerlingen (af)

35

2

36

1

36

2

37

0

37

3

38

2

38

6

39

6

39

6

40

8

40

10

41

8

41

5

42

9

42

4

43

4

43

3

44

2

44

1

45

2

x = 39,5

Me = 40

x = 41

Me = 41 terug naar pagina 310

415

Hoofdstuk 5

5

Uitdagingen

De resultaten van acht toetsen zijn voorgesteld met een staafdiagram. Zet een vinkje in het vakje bij elke toets waarvan het gemiddelde van de punten kleiner is dan de mediaan. 1 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

x = 6

3

4

5

Me = 6

6

7

8

9 punten

3 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

4

5

Me = 6

6

7

x = 5,7

3

4

5

8

9 punten

✔

5 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

Me = 6

6

4

5

3

4

5

Me = 6

6

7

7

4 3 2 1 0

x = 5,9

3

4

5

8

9 punten

4 3 2 1 0

4

5

Me = 6

6

7

8

9 punten

4 3 2 1 0

6

7

4

5

8

9 punten

✔ Me = 7

6

7

8

9 punten

✔

x = 6,4

3

9 punten

Me = 6

x = 6,5

3

8

✔

8 aantal leerlingen (af )

x = 6

3

x = 5,8

6 aantal leerlingen (af )

7 aantal leerlingen (af ) 4 3 2 1 0

4 3 2 1 0

4 aantal leerlingen (af )

x = 6,1

3

✔

2 aantal leerlingen (af )

Me = 7

6

7

8

9 punten

terug naar pagina 310

6

Een lijst van vijf strikt positieve gehele getallen heeft gemiddelde 12, spreidingsbreedte 18 en mediaan 8. Het getal met de hoogste frequentie is 8. Hoeveel verschillende waarden zijn mogelijk voor het tweede grootste getal uit deze lijst? (A) 12

(B)

10

Vlaamse Wiskunde Olympiade

416

(C) 8

(D) 6

(E)

4

Oplossingen

Hoofdstuk 5

Het gemiddelde van de vijf getallen is 12, dus de som van de vijf getallen is 5  12 = 60. Het middelste van de vijf gerangschikte getallen is 8 (mediaan) en 8 komt minstens 2 keer voor. We noteren alle mogelijkheden van de reeks van vijf getallen met spreidingsbreedte 18. 1

8

8



19

som van de getallen kan niet gelijk zijn aan 60

2

8

8



20

som van de getallen kan niet gelijk zijn aan 60

3

8

8

20

21

4

8

8

18

22

5

8

8

16

23

6

8

8

14

24

7

8

8

12

25

8

8

8

10

26

9



8



27

8 is geen mediaan terug naar pagina 311

7

Drie verschillende getallen groter dan 6 vormen een reeks van zes data met een spreidingsbreedte van 6 en waarvan het gemiddelde en de mediaan gelijk zijn aan 10. Bepaal de ontbrekende getallen in deze gerangschikte reeks. 8

8

10

10

14

10

terug naar pagina 311

8

Gegeven zijn twee reeksen data. 17 30 32 28 27 31 32 28 31 30

en

24 32 22 30 23 31 21 24 26 28

1 Bepaal de spreidingsbreedte van elke reeks data. Reeks 1: xmax – xmin = 32 – 17 = 15 Reeks 2: xmax – xmin = 32 – 21 = 11 2 Waarom is de spreidingsbreedte geen geschikte maat om deze twee reeksen met elkaar te vergelijken? In de eerste reeks wordt de spreidingsbreedte sterk beïnvloed door het getal 17, een uitschieter naar onder. 3 Stel elke reeks data voor met een lijnstuk en duid de uitschieters aan met een stip. Reeks 1:

Reeks 2:

17

21

27

32

32 terug naar pagina 311

417

Hoofdstuk 5

9

Uitdagingen

Welk staafdiagram behoort bij welke boxplot? 1 af 6 5 4 3 2 1 0

A

10

20

30

40

50

2 af 6 5 4 3 2 1 0

B

10

20

30

40

50

3 af 6 5 4 3 2 1 0

C

10

20

30

40

50

4 af 6 5 4 3 2 1 0

D

10

20

30

40

50

5 af 6 5 4 3 2 1 0

418

E

10

20

30

40

50

terug naar pagina 312

Oplossingen

10

Hoofdstuk 5

De reeksen A, B, C, D, E en F met zeven data hebben hetzelfde gemiddelde en dezelfde spreidingsbreedte. 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C D E F x x-s

x+s

1 Rangschik de reeksen data volgens hun standaardafwijking zonder een berekening uit te voeren. Hoe verder de gegevens van het gemiddelde liggen, hoe groter de standaardafwijking. Rangschikking van groot naar klein: D – A – E – B – C – F 2 Bereken de standaardafwijking van elke reeks data. sA = 36,1 sC = 29,3 sB = 30,0

sD = 41,8

sE = 31,6 sF = 27,4

3 Bepaal het aantal data van elke reeks dat tot het interval [ x - s, x + s] behoort. A: [ x – s, x + s] = [13,9 ; 86,1] ➜ 3 B: [ x – s, x + s] = [20, 80]

➜ 5

C: [ x – s, x + s] = [20,7 ; 79,3] ➜ 5 D: [ x – s, x + s] = [8,2 ; 91,8]

➜ 3

E: [ x – s, x + s] = [18,4 ; 81,6] ➜ 5 F: [ x – s, x + s] = [22,6 ; 77,4] ➜ 5 terug naar pagina 313

11

Toon aan dat de variantie van een reeks data ook berekend kan worden met de formule x 2 + x22 + ... + x n2 - x2 s2 = 1 n 2 (x x) + (x2 - x) 2 + ...+ (xn - x) 2 2 1 s = n 2 2 x1 -2x1 x + x + x22 -2x2 x + x2 +...+ x2n -2xn x + x2 = merkwaardig product n

419

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

= =

nx2 -2x(x1 + x2 +...+ xn ) + x12 + x22 +...+ x2n nx n

2

-2x 

n x1 + x2 +...+ xn n 2

2

= x2 -2x  x + 2

=

12

2

+

x12 + x22 +...+ x2n n

2

x1 + x2 +...+ xn

x =

x1 + x2 +...+ xn

n

n

2

x1 + x2 +...+ xn n

- x2 terug naar pagina 313

Een standaardserum heeft een cholesterolgehalte van 335 mg per 100 cm3 en een standaardafwijking van 10 mg per 100 cm3. Twee studenten krijgen tien controlestaaltjes en moeten met dezelfde analysemethode het gemiddelde cholesterolgehalte en de standaardafwijking bepalen. Hun meetresultaten lezen we af in de tabel. staal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

student 1 student 2 343,4 352,7 315,7 326,0 403,6 369,3 325,4 361,6 334,8 304,3 305,9 313,2 342,1 338,5 318,2 331,7 340,9 379,8 308,5 332,4

1 Bepaal voor elke student het gemiddelde cholesterolgehalte en de standaardafwijking van de tien staaltjes. Student 1: x = 333,85 en s = 26,73 Student 2: x = 340,95 en s = 23,19 2 Voor het toekennen van de punten laat de leerkracht het slechtste meetresultaat weg. Bepaal met de overblijvende meetresultaten het gemiddelde cholesterolgehalte en de standaardafwijking. Student 1: x = 326,10 en s = 13,90

(403,6 weggelaten)

Student 2: x = 336,63 en s = 20,28

(379,8 weggelaten)

3 In hoeverre beïnvloeden deze extreme waarden het gemiddelde en de standaardafwijking? Door het weglaten van de extreme waarden nemen het gemiddelde en de standaardafwijking af.

420

Oplossingen

Hoofdstuk 5

4 Welke student heeft na weglating van de extreme waarden het nauwkeurigst gewerkt? Verklaar. De standaardafwijking van de meetresultaten van student 1 is kleiner dan die van student 2. (13,90 < 20,28) De meetresultaten van student 1 liggen minder gespreid ten opzichte van de gemiddelde waarde. Student 1 heeft het nauwkeurigst gewerkt.

5 Als 85 % van de meetresultaten behoren tot het interval [315, 355] en 60 % van de meetresultaten tot het interval [325, 345], dan krijgt de student het maximum van de punten. Voldoet één van de analyses aan de gestelde voorwaarden? Student 1: 7 meetresultaten behoren tot het interval [315, 355]. Dit komt overeen met 70 % van alle meetresultaten. Student 2: 5 meetresultaten behoren tot het interval [315, 355]. Dit komt overeen met 50 % van alle meetresultaten. Geen enkele student krijgt het maximum van de punten. terug naar pagina 313

421

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

Uitdagingen van pagina 339 tot 344 1

Met een statistisch programma kunnen we het verband tussen roken en de levensverwachting van jongeren bestuderen. De gegevens die het simulatieprogramma gebruikt, zijn ontleend aan wetenschappelijk onderzoek naar de gevolgen van roken voor de volksgezondheid.

Het programma simuleert een groep van 100 jongens en een groep van 100 meisjes van 15 jaar die 10 sigaretten per dag roken. De stengelbladdiagrammen tonen de leeftijden waarop ze zullen overlijden. Groep 1 100 jongens 10 sigaretten per dag

Groep 2 100 meisjes 10 sigaretten per dag

1

1

2 6

2 47

3 379

3 778

4 134668899

4 0899

5 177777889

5 0001112677

6 0000111223444444566677889

6 011233356899

7 00012233334445557888999

7 01113334444445566677789999

8 11222444555566667888999

8 0002222334445555566777889

9 0112244

9 0 0 0 01 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 8

1 Verwerk de gegroepeerde gegevens tot een tabel met 9 klassen en noteer de bijbehorende relatieve frequenties en cumulatieve relatieve frequenties voor jongens en voor meisjes.

422

Oplossingen

leeftijd (jaren)

Hoofdstuk 5

aantal jongeren

rf (jongens) rf (meisjes) crf (jongens) crf (meisjes)

[10, 20[

0%

0%

0%

0%

[20, 30[

1%

2%

1%

2%

[30, 40[

3%

3%

4%

5%

[40, 50[

9%

4%

13 %

9%

[50, 60[

9%

10 %

22 %

19 %

[60, 70[

25 %

12 %

47 %

31 %

[70, 80[

23 %

26 %

70 %

57 %

[80, 90[

23 %

25 %

93 %

82 %

7%

18 %

100 %

100 %

100 %

100 %

[90, 100[ totaal

2 Stel de relatieve frequenties voor met een frequentiepolygoon. aantal jongeren (rf ) 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

15

............

25

............

35

............

jongens

45

............

55

............

meisjes

65

............

75

............

85

............

95

............

leeftijd (jaren)

423

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

3 Hoeveel percent van de jongens zal sterven tussen hun 40e en 70e levensjaar? En hoeveel percent van de meisjes? Jongens: 9 % + 9 % + 25 % = 43 % Meisjes: 4 % + 10 % + 12 % = 26 % 4 Stel de cumulatieve relatieve frequenties voor met een ogief. aantal jongeren (crf ) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10

............

20

............

30

............

jongens

40

............

50

............

60

............

70

............

80

............

90

............

100

............

leeftijd (jaren)

meisjes

5 Hoeveel percent van de jongens zal sterven voor hun 60e levensjaar? En hoeveel percent van de meisjes? Jongens: 22 % Meisjes: 19 % terug naar pagina 339

424

Oplossingen

2

Hoofdstuk 5

Een leraar Nederlands wil weten hoeveel minuten 20 leerlingen nodig hadden om een gedicht van buiten te leren. Het resultaat staat in de tabel met cumulatieve relatieve frequenties. tijd (min)

aantal leerlingen crf

af

caf

[0, 5[

5%

......................................

1

......................................

[5, 10[

20 %

......................................

3

......................................

[10, 15[

40 %

......................................

4

......................................

[15, 20[

70 %

......................................

6

......................................

[20, 25[

95 %

......................................

5

......................................

[25, 30[

100 %

......................................

1

......................................

totaal

1 4 8

14 19 20

20

......................................

Melopee Onder de maan schuift de lange rivier Over de lange rivier schuift moede de maan Onder de maan op de lange rivier schuift de kano naar zee Langs het hoogriet langs de laagwei schuift de kano naar zee schuift met de schuivende maan de kano naar zee Zo zijn ze gezellen naar zee de kano de maan en de man Waarom schuiven de maan en de man getweeën gedwee naar de zee Paul van Ostaijen 1 Hoeveel percent van de leerlingen heeft minder dan 10 minuten nodig om het gedicht van buiten te leren? 20 % 2 Hoeveel percent van de leerlingen had minstens een kwartier nodig om het gedicht van buiten te leren? 100 % – 40 % = 60 % 3 Vul de tabel aan met absolute frequenties en cumulatieve absolute frequenties.

425

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

4 Teken de frequentiepolygoon en het ogief. aantal leerlingen (af )

aantal leerlingen (caf )

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

25 20 15 10 5 0 2,5

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5

............ ............ ............ ............ ............ ............

0

5

10

15

20

25

30

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

tijd (min)

tijd (min)

5 Hoeveel leerlingen hebben tussen 20 en 25 minuten nodig gehad om het gedicht van buiten te leren? 5 leerlingen

3

6 Hoeveel leerlingen hebben minder dan 20 minuten nodig gehad? terug naar pagina 341 14 leerlingen De melk van koeien wordt onderzocht op het percentage botervet. De frequentietabel met klassenmiddens geeft een overzicht van 120 genomen stalen. De klassenbreedte bedraagt 0,1 %. botervet (%)

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0

aantal koeien (af ) 1

2

5

4

13 18 15 16 12 10

6

4

6

3

4

1

1 Teken een frequentiepolygoon en duid er het gemiddelde percentage botervet op aan. aantal koeien (af ) 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,5 3,6 3,7

426

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2 4,3 x = 4,2

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9 5,0 botervet (%)

Oplossingen

Hoofdstuk 5

2 Teken een ogief en duid er de mediaan op aan. aantal koeien (caf ) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 3,45 3,55 3,65 3,75 3,85 3,95 4,05 4,15 4,25 4,35 4,45 4,55 4,65 4,75 4,85 4,95 5,05 Me = 4,2 botervet (%) terug naar pagina 342

4

Bepaal het gemiddelde, de mediaan en de standaardafwijking van de reeks gegroepeerde data voorgesteld met het histogram. 1 aantal wagens (af ) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

66 53

70 63 48

x = 25,5 Me = 25 s = 14,2

]0, 10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ snelheid (km/h)

427

Hoofdstuk 5

Uitdagingen

2 aantal leerlingen (af ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8

8

x = 14,00

5

Me = 13,75

4

s = 0,63

2

[12,5;13[ [13;13,5[ [13,5;14[ [14;14,5[ [14,5;15[ tijd (s) terug naar pagina 344

5

In de winkel DeltaMac betalen heel wat klanten met bancontact. De bedragen die met bancontact betaald worden, zijn verwerkt in een frequentietabel. bedrag (euro)

aantal betalingen (af )

]0, 25]

51

]25, 50]

94

]50, 75]

80

]75, 100]

30

]100, 125]

48

]125, 150]

54

]150, 175]

72

]175, 200]

13

totaal

442

1 Geef een benadering van de aankoopsom die met bancontact werd betaald. 12,5  51 + 37,5  94 + 62,5  80 + … + 187,5  13 = 38 750 ➜ 38 750 euro 2 Hoeveel percent van de betalingen bedragen meer dan 100 euro? 48 + 54 + 72 + 13 442

= 0,423… ➜ 42 %

3 Wat is het gemiddelde bedrag dat werd betaald met bancontact? x = 87,7 ➜ 87,70 euro

428

Oplossingen

Hoofdstuk 5

4 Is het waar dat meer dan de helft van de betalingen minder bedraagt dan 62,5 euro? Neen. We gaan ervan uit dat de betalingen gelijkmatig verdeeld zijn over de klasse ]50 ; 75[. Klasse ]0, 25]: 51 betalingen Klasse ]25, 50]: 94 betalingen 80

Klasse ]50 ; 62,5]:

2

= 40 betalingen

Totaal: 185 betalingen