Monografía Cinemática en Dos Dimensiones [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHILECITO INGENIERÍA EN SISTEMAS

FÍSICA I CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES ALUMNO: ENZO MATÍAS DE LA FUENTE

EQUIPO DE CÁTEDRA: TITULAR: MGTR. ING. PABLO CHADE VERGARA JEFE DE TRABAJOS PRÁCTICOS: PROF. ING. RUY BARROS CHILECITO – LA RIOJA

2016

Índice: Desplazamiento. Velocidad Media e Instantánea. Aceleración Media e Instantánea. Movimiento Bidimensional con Aceleración Constante. Movimiento de Proyectiles. Alcance Horizontal y Altura Máxima. Movimiento Circular Uniforme. Movimiento Circular No Uniforme

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

3

Desplazamiento. Si una partícula se mueve desde un punto P hasta un punto Q, el desplazamiento en dos dimensiones se define como el cambio de posición del vector r en el plano. Como se muestra en el siguiente gráfico, el vector r0 parte del origen y se corresponde con el punto P que indica la posición de la partícula en un tiempo determinado t0, posteriormente la posición de esta cambia hacia el punto Q y por consiguiente se produce el desplazamiento del vector r0 a rf que se corresponde con el punto Q en el tiempo tf. Este intervalo de tiempo se define por ∆t = t f − t 0 .

Por lo tanto, esta relación de vectores define el desplazamiento ∆r⃗ de una partícula como la diferencia entre la posición del vector final e inicial:

∆𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑓 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0

Velocidad media. La velocidad media o promedio v̅ de una partícula se define como el desplazamiento o espacio recorrido ∆r⃗ de la partícula dividido el intervalo de tiempo ∆t durante el que ocurre dicho desplazamiento: 𝑣̅ =

∆𝑟⃗ ∆𝑡

La velocidad media entre los puntos es independiente de la trayectoria; porque esta primera es proporcional al desplazamiento, que sólo depende de los vectores de posición inicial y final y no de la trayectoria seguida. Al igual que el movimiento unidimensional, si una partícula comienza su movimiento en algún punto y regresa a dicho punto a través

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

4

de cualquier trayectoria, su velocidad promedio es cero porque su desplazamiento es cero. Cabe mencionar que el desplazamiento, al ser una magnitud vectorial y el intervalo de tiempo una magnitud escalar, se concluye que la velocidad media es una magnitud vectorial dirigida a lo largo del desplazamiento ∆r⃗.

Velocidad instantánea. Se define la velocidad instantánea v, como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se aproxima a cero: ∆𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗ = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 lim

Esto es, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición ∆r⃗ respecto del tiempo ∆t. La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto de la trayectoria de una partícula viene determinado por la línea tangente a la trayectoria en ese punto.

Aceleración media. La aceleración media o promedio de una partícula que se mueve de un punto P a un punto Q en cierta trayectoria, es la razón entre el cambio del vector velocidad instantánea ∆v y el tiempo ∆t transcurrido de dicho cambio, entonces: 𝑎̅ =

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

𝑣𝑓 − 𝑣0 Δ𝑣 = 𝑡𝑓 − 𝑡0 Δ𝑡

5

esto es, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad ∆v respecto del tiempo ∆t.

Aceleración instantánea. La aceleración instantánea a es el valor límite de la razón

Δv Δt

cuando Δt tiende a cero:

∆𝑣 𝑑𝑣 = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 lim

Esto es, la derivada del vector velocidad v respecto al tiempo t. Cuando una partícula acelera ocurren varios cambios. En primer lugar, la magnitud del vector velocidad v (la rapidez) cambia con el tiempo como en movimiento en línea recta. Luego, la dirección del vector velocidad v cambia también con el tiempo incluso si su magnitud permanece constante como en movimiento bidimensional a lo largo de una trayectoria curva. Por último, tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad v cambian en simultáneo.

Movimiento bidimensional con aceleración constante. Se considera ahora un movimiento de partícula en el plano, durante el cual la magnitud y la dirección de la aceleración permanecen constantes. Es decir, ax y ay no cambian con respecto al tiempo. Este movimiento puede determinarse por medio de su vector de posición r, y puede expresarse como: r̅ = rx . î + ry . ĵ

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

6

lo que significa que tanto x como y cambian con el movimiento de la partícula. Al conocer la posición del vector, la velocidad de la partícula se puede obtener de: v̅ =

dry dr drx = ∙ î + ∙ ĵ = vx . î + vy . ĵ dt dt dt

Debido a que la aceleración se supone constante, sus componentes 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦 también son constantes. Por consiguiente, es posible aplicar las ecuaciones de cinemática en una dimensión a las componentes x e y del vector velocidad v: ⃗⃗f = (vx0 + ax t)î + (vy0 + ay t)ĵ = (vx0 î + vy0 ĵ) + (ax î + ay ĵ) v Por lo tanto: ⃗V⃗f = v0 + at en donde el vector velocidad se encuentra en función del tiempo y es igual a la suma de su velocidad inicial más una cierta velocidad adquirida en un instante de tiempo. Sabemos que las coordenadas x y y de una partícula moviéndose con aceleración son: 1

xf = x0 + vx0 . t + . ax t 2 2

e

1

yf = y0 + vy0 . t + . ay t 2 2

⃗⃗ = 𝒓𝒙 . 𝒊̂ + Reemplazando estas expresiones en la ecuación del vector posición (𝒓 𝒓𝒚 . 𝒋̂), resulta lo siguiente: 1 1 r⃗f = (x0 + vx0 . t + . ax t 2 ) . î + (yi + vy0 . t + . ay t 2 ) . ĵ 2 2 Por lo tanto: 1

r⃗f = r⃗0 + v̂0 . t + 2. a. t 2 en donde el vector posición se encuentra en función del tiempo y es igual a la suma de un desplazamiento vx0 . t velocidad inicial en un instante de tiempo más 12. a. t 2 que resulta de la aceleración constante de la partícula. Queda demostrado entonces que el movimiento en dos dimensiones se puede representar como dos movimientos independientes en cada una de las dos direcciones perpendiculares asociadas con los ejes x e y y con aceleraciones constantes en ambos ejes. Es decir, cualquier influencia en la dirección y, no afecta el movimiento en la dirección x y viceversa.

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

7

Movimiento de Proyectiles. Cuando un objeto es arrojado con cierto ángulo respecto al suelo se observa que el objeto se mueve en una trayectoria curva. Esta trayectoria se presenta como una parábola, siempre y cuando se tenga en consideración que la gravedad es constante en cada punto de dicha trayectoria, y que la resistencia del aire es despreciable. Por lo tanto, un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la fuerza de gravedad en el eje vertical. El movimiento horizontal del proyectil es el resultado de la tendencia de cualquier objeto a permanecer en movimiento a velocidad. Si el vector v0 forma un ángulo 0 con el eje horizontal (como se muestra en la figura de abajo), en donde 0 es el ángulo con el cual el proyectil parte del origen, de las definiciones de las funciones seno y coseno se obtiene que: cos θ0 =

𝑣𝑥0

sen θ0 =

𝑣0

𝑣𝑦0 𝑣0

Por lo tanto, las componentes iniciales x e y de la velocidad son: 𝑣𝑥0 = 𝑣0 cos θ0

𝑣𝑦0 = 𝑣0 sen θ0

Al sustituir esas velocidades en las ecuaciones del cálculo de velocidad y posición: ⃗V⃗f = v0 + at

y

r⃗f = r⃗0 + v̂0 . t + 12. a. t 2

obtenemos lo siguiente: 𝑣xf = vx0 = v0 cos θ0 = constante

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

8

𝑣yf = vy0 − g. t = v0 sin θ0 − g. t xf = x0 + vx0 . t = (v0 cos θ0 ). t 𝑦f = y0 + vy0 . t −

1 1 . g. t 2 = (v0 cos θ0 ). t − . g. t 2 2 2

es decir, las componentes de velocidad y las coordenadas de posición para el proyectil en cualquier instante de tiempo. El vector posición r del proyectil en función del tiempo, se obtiene de la ecuación del movimiento bidimensional, con 𝑟0 = 0 y a = −g: 1

rf = r0 + v0 . t + 2. g. t 2 Debido a las deducciones matemáticas vistas anteriormente y a los conceptos que

involucran el movimiento en una dimensión, se concluye que el movimiento de un proyectil se debe representar como una superposición de movimientos independientes, por un lado, un movimiento horizontal rectilíneo y por el otro, un movimiento bajo aceleración constante vertical producto de la gravedad. Para ambas componentes se considera la misma variable de tiempo.

Alcance horizontal y altura máxima.

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES