Modern algebrai módszerek fizikai alkalmazásai [PDF]

Zitiervorschau

Modern algebrai mo´dszerek fizikai alkalmaza´sai Makai Mih´aly Budapesti M˝ uszaki Egyetem Nukle´aris Technikai Int´ezet KFKI Atomenergiakutat´o Int´ezet 2007

Tartalomjegyz´ ek 1. Csoportelm´ elet a fizik´ aban 1.1. Jel¨ol´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 17

2. Csoportelm´ eleti ´ es geometriai alapok 2.1. Jel¨ol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Diszkr´et csoportok . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Szorzat´abr´azol´as . . . . . . . . . . . ´ azol´asok direkt szorzata, tenzorok 2.2.2. Abr´ egy¨ utthat´ok . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Folytonos csoportok . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Lie-csoportok . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Lie-B¨acklund csoport . . . . . . . . . 2.4. Cayley-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Forg´ascsoport, Lorentz-csoport . . . . . . . . 2.5.1. Forg´ascsoport . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Lorentz-csoport . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 21 34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . felbont´asa, Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Seg´ edeszk¨ oz¨ ok a csoportelm´ eleti sz´ am´ıt´ asokhoz 3.1. MAGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. MAPLE 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Seg´edeszk¨oz¨ok az interneten . . . . . . . . . . . . 4. A v´ altoz´ ok sz´ etv´ alaszt´ as´ anak m´ odszere 4.1. Jel¨ol´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. A v´altoz´ok szepar´al´as´anak felhaszn´al´asa . 4.3.1. Az S = M2 -hez tartoz´o p´alya . . . 4.3.2. Az S = P22 -hez tartoz´o p´alya . . . . 4.3.3. Az S = {M, P2 }-hez tartoz´o p´alya 1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

35 36 37 45 47 53 53 58 66

. . . .

67 69 74 79 80

. . . . . .

81 82 82 92 94 95 95

4.3.4. Az S = M2 + d2 P21 -hez tartoz´o p´alya . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Egyenletek szimmetri´ ainak meghat´ aroz´ asa 5.1. Egyenletek szimmetri´aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Differenci´alegyenletek szimmetri´aja . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Kvadrat´ ur´aval megoldhat´o differenci´alegyenletek . . . . . . . . 5.4. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. A Lie-szimmetri´akat meghat´aroz´o egyenlet kisz´am´ıt´asa 5.4.2. Az egyenlet kanonikus alakra hoz´asa . . . . . . . . . . 5.4.3. A Lie-csoport meghat´aroz´asa . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Szimbolikus algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Szimmetri´ak ´es megmarad´asi t´etelek . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Vari´aci´os feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Krist´ alyr´ acsok oszt´ alyoz´ asa 6.1. A krist´alyok szerkezete . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. A s´ık ´es a t´er szimmetri´ai . . . . . . . 6.2. V´eges csoportok oszt´alyoz´asa . . . . . . . . . 6.2.1. Pontcsoportok oszt´alyoz´asa . . . . . . ´ 6.2.2. Altal´ anos v´eges csoportok oszt´alyoz´asa 6.3. Bloch-f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

98

. . . . . . . . . .

100 101 105 115 118 119 120 120 120 123 123

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

128 129 130 139 139 147 150

7. Algebra ´ es geometria 7.1. Jel¨ol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Sk´al´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. K´aosz ´es szimmetri´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 7.5. Osszetett tartom´any . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Green-f¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Lorentz-transzform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Geometriai viszonyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. A geometriai viszonyok kiv´alaszt´asa . . . . . . . . . . 7.7. A fizikai probl´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. T´erid˝o transzform´aci´o, komponensek transzform´aci´oja 7.7.2. Sorozattranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

159 160 164 167 171 186 192 195 195 205 206 206 215

. . . .

222 230 235 240 242

8. A perem´ ert´ ek-feladat 8.1. A perem´ert´ek-feladat szimmetri´aja . . . 8.2. A fed˝ocsoport haszn´alata . . . . . . . . . 8.3. Irreducibilis komponensek el˝o´all´ıt´asa . . 8.4. A reszponz m´atrix n´eh´any tulajdons´aga .

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

8.5. Nem egyenletes anyageloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9. Numerikus m´ odszerek 9.1. Gyenge megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Az iter´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. A pr´obaf¨ uggv´enyek ´es a s´ ulyf¨ uggv´enyek kiv´alaszt´asa . . . . . . 9.3.1. V´egesdifferencia-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. V´egeselem-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Nod´alis m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Az egyenletrendszer megold´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. V´eges differencia m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2. V´egeselem-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. Nod´alis m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Diszkretiz´aci´o, invari´ans megold´as, a szimmetri´ak kihaszn´al´asa 9.5.1. Mimetikus diszkretiz´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. A div, grad ´es rot oper´atorok diszkretiz´alt alakja . . . 9.5.3. Diszkretiz´alt, invari´ans megold´as . . . . . . . . . . . . 9.5.4. Iter´aci´o ´es szimmetri´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

247 249 252 254 254 256 262 263 263 265 267 271 271 275 279 290

10.Speci´ alis fu enyek ¨ ggv´ 10.1. A v´altoz´ok sz´atv´alaszt´as´ahoz kapcsol´od´o f¨ uggv´enyek . 10.1.1. Legendre-polinomok . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Bessel-f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3. Mathieu-f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Parabolikus hengerf¨ uggv´enyek . . . . . . . . . 10.2. G¨ombf¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Elliptikus f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Hermite-polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

293 294 295 297 301 303 303 307 308

11.A Galois elm´ elet 11.1. Gy¨ok¨ok ´es egy¨ utthat´ok . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. A Galois-elm´elet . . . . . . . . . . . . 11.2. Differenci´al-egyenletek invarianci´aja . . . . . . 11.3. Differenci´alegyenletek Galois elm´elete . . . . . 11.3.1. Elj´ar´asok a megold´as meghat´aroz´as´ara 11.3.2. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . 11.4. G´epi elj´ar´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

309 313 314 317 321 325 329 333 334

3

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

12.Algebra ´ es val´ osz´ın˝ us´ eg 335 12.1. El´agaz´o folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12.2. Neutrondetektorok hat´ekonys´aga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 13.Appendix 347 13.1. Defin´ıci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 13.2. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Irodalom

355

4

El˝ osz´ o

5

Fizika el˝oad´asokon rendszeresen elhangzanak algebrai konstrukci´ok megnevez´esei: vektort´er, csoport, algebra. Ezek megismer´es´ere a di´akok els˝osorban matematikai kurzusokat hallgatnak, ahol a fenti fogalmak elm´elete ker¨ ul el˝ot´erbe. Jelen el˝oad´as c´elja fizikai alkalmaz´asok keret´eben bemutatni a modern algebrai fogalmak haszn´alat´at. Egy fizikus h´etk¨oznapjaiban l´epten-nyomon alkalmazni k´enyszer¨ ul algebrai eszk¨oz¨oket. Leggyakrabban tal´an a nem-line´aris egyenlet megold´asa, line´aris egyenletrendszerek megold´asa bukkan fel. Ezek trivi´alis p´eld´ak. De amikor egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet integr´al´as´ar´ol van sz´o, vagy egy bonyolult fizikai rendszerben megmarad´o mennyis´egeket kell megkeresni, kevesen gondolnak algebrai eszk¨oz¨ok alkalmaz´as´ara. Ennek egyik oka, hogy ezek az eszk¨oz¨ok kev´ess´e ismertek. A fizika egyes ter¨ uletein (ld. al´abb) elker¨ ulhetetlen modern algebrai eszk¨oz¨ok (els˝osorban csoportelm´elet) alkalmaz´asa. A legt¨obb fizikai probl´ema megold´as´at nem tudjuk megadni z´art alakban, gyakran k´enyszer¨ ul¨ unk k¨ozel´ıt˝o-, vagy numerikus megold´as haszn´alat´ara. Egy f´elvezet˝oben az elektronok Fermifel¨ ulet´enek meghat´aroz´asa, amire egy nanotechnol´ogiai eszk¨oz fejleszt´es´ehez sz¨ uks´eg van; egy kis¨ ul´esi cs˝oben az elektrons˝ ur˝ us´eg meghat´aroz´as´ahoz, egy plazma t¨olt´es- ´es s˝ ur˝ us´egeloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz, egy atomer˝om˝ u z´on´aj´aban a neutrong´az eloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz, egy gyorsan a´raml´o folyad´ek vagy g´az le´ır´as´ahoz ilyen k¨ozel´ıt˝o megold´asok ´allnak rendelkez´esre. A p´eld´akat lehet folytatni csillag´aszati, u ´rhaj´oz´asi, geofizikai, optikai probl´em´ak sor´aval. A modern algebra absztrakt fogalmait nem k¨onny˝ u megszokni ´es alkalmazni. Ez´ert a jegyzetben gyakran tal´al az olvas´o p´eld´akat (ezek a´ltal´aban nagyon egyszer˝ uek) azzal a c´ellal, hogy a jel¨ol´eseket, az u ´j fogalmakat legyen mihez kapcsolni. A numerikus m´odszerek egy analitikusan (differenci´al-, vagy integr´alegyenlet form´aj´aban) megfogalmazott feladatot leegyszer˝ us´ıtenek ´es a´talak´ıtanak v´egs˝o soron egy algebrai feladatt´a, t¨obbnyire line´aris egyenletrendszerr´e. Ezt az egyszer˝ ubb, algebrai feladatot kell megoldani. Ilyen eszk¨oz¨ok fejleszt´ese ´es haszn´alata sor´an az al´abbi szempontok j´atszanak d¨ont˝o szerepet: • Mi az a´ra a numerikus m´odszer haszn´alat´anak? Ne legyen az Olvas´onak ill´ uzi´oja, a 1 tetszet˝os, sz´ınes a´br´akat produk´al´o CFD k´od is jelent˝os egyszer˝ us´ıt´es´eket tartalmaz. Az a felhaszn´al´o, aki ennek nincs tudat´aban, alaposan p´orul j´arhat, esetleg olyan jelens´eg vizsg´alat´ara akarja a programot felhaszn´alni, amit az nem is tud modellezni. • Milyen kompromisszukat kellett k¨otni az egyszer˝ us´ıt´esek ´erdek´eben? K¨ ul¨on meg kell vizsg´alni, nem ´aldoztuk-e fel a v´egrehajthat´os´ag olt´ar´an a fizikai folyamat l´enyeges elemeit? A jelen jegyzetben le´ırt m´odszerek ismerete a szerz˝onek sokat seg´ıtett abban, hogy a 1

A CFD a computational fluid dynamics szavak r¨ovid´ıt´ese, a Navier-Stokes egyenletek megold´as´ara kidolgozott numerikus m´ odszer ´es program.

6

gyakorlatban is haszn´alhat´o, szil´ard elm´eleti alapokon a´ll´o algoritmusokat dolgozzon ki a geofizik´aban ´es a reaktorfizik´aban. Ismeretes, hogy a csoportelm´elet a fizika t¨obb ter¨ ulet´en is fontos szerepet j´atszik, mint pl. r´eszecskefizika, relativit´aselm´elet, atom- ´es magfizika, szil´ardtestfizika. A fizikus ´es tan´arszakos hallgat´ok k´epz´es´eben szerepel csoportelm´eleti el˝oad´as is, ez azonban sz¨ uks´egszer˝ uen elm´eleti jelleg˝ u. Jelen munka az ELTE TTK-n ´es a BME-n megtartott speci´alis koll´egium anyag´at tartalmazza ´es els˝osorban az alkalmaz´asokra koncentr´al. R¨ovid csoportelm´eleti bevezet´es ut´an a perem´ert´ek-feladatok szimmetri´ait t´argyalja, majd a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszer´et, egy adott egyenlet szimmetri´ainak rendszerezett megkeres´es´et vizsg´alja. A csoportelm´elet gyakran ¨osszefon´odik m´as algebrai strukt´ ur´ak (testek, vektorterek, algebr´ak) haszn´alat´aval. K¨ ul¨on kit´er¨ unk a geometria ´es a csoportelm´elet kapcsolat´anak n´eh´any k´erd´es´ere (gr´afok, fed˝ocsoportok), ezek ugyanis el˝ony¨osen haszn´alhat´oak p´eld´aul egy egyenlet Green-f¨ uggv´eny´enek megkonstru´al´as´ara. De, a geometria ´es a csoport kapcsolata el˝oker¨ ul a speci´alis relativit´aselm´eletben is. Wagner Istv´an azon felismer´ese, hogy a sebess´eg¨osszead´as relativit´aselm´eletben alkalmazand´o m´odja azt is jelenti, hogy a sebess´egeket m´as geometri´aban c´elszer˝ u t´argyalni, mint a t´avols´agokat lehet˝ov´e tette a Lorentz-transzform´aci´o egyes hi´anyoss´againak kik¨ usz¨ob¨ol´es´et. A bemutatand´o m´odszer k´et pill´ere az algebra ´es az anal´ızis. A szerz˝o megd¨obbenve tapasztalta, hogy egy sikeres, fiatal amerikai koll´ega, aki eredm´enyeket ´ert el a perem´ert´ekfeladatok ter´en, a kilencvenes ´evek k¨ozep´en elk´epzelhetetlennek tartotta algebrai m´odszerek alkalmaz´as´at. Szerinte az algebra ´es az anal´ızis k´et k¨ ul¨on vil´ag. Id˝ok¨ozben kider¨ ult, hogy a t´ema m˝ uvel˝oi–els˝osorban orosz ´es ukr´an kutat´ok–nem ´ıgy gondolkoztak. Ma m´ar elfogadott az algebra ´es az anal´ızis egy¨ uttes alkalmaz´asa az eg´esz vil´agon. Ugyanakkor a magyar kutat´ok figyelm´et ez a k´erd´esk¨or elker¨ ulte. Egy algebrai vagy differenci´alegyenlet szimmetriacsoportj´anak ismerete megk¨onny´ıti a megold´as megkeres´es´et. A v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszere, alkalmas sk´al´ak v´alaszt´asa, a geometria algebrai m´odszerekkel t¨ort´en˝o le´ır´asa– ezek a kiv´alasztott t´em´ak kaptak helyt jelen munk´aban. Mindezen eredm´enyek gyakorlati alkalmaz´asa nem lenne lehets´eges az algebra numerikus m´odszereinek l´atv´anyos fejl˝od´ese n´elk¨ ul. Az ut´obbi ´evtizedben ezek az eredm´enyek az interneten is el´erhet˝o programokban, ´es a benn¨ uk megtestes¨ ul˝o modern numerikus m´odszerekben is megtal´alhat´oak. R¨oviden kit´er¨ unk a (nem csoportelm´eleti) numerikus m´odszerekre is. A vizsg´alat c´elja, hogy a kezelhet˝onek ´ıt´elt esetek egy r´esz´enek t´argyal´as´ara is legyen m´od. A gyakorlatban el˝ofordul´o perem´ert´ek-feladatok (ilyenek a szil´ardtest fizik´aban ¨osszetett elemi cell´ak elektronn´ıv´oinak sz´am´ıt´asa, vagy a DNS szerkezet´ehez kapcsol´od´o vizsg´alatok) t¨obbnyire csak numerikus m´odszerekkel t´argyalhat´oak. Ha a probl´ema m´erete k´ets´egess´e teszi a szok´asos numerikus m´odszerek siker´et, akkor is lehet alkalom a megold´as egyes tulajdons´againak meghat´aroz´as´ara, vagy ´eppen a numerikus m´odszer olyan megfogalmaz´as´ara, ami m´ar sikerrel kecsegtet. V´eg¨ ul a csoportelm´elet k´et, a perem´ert´ekekhez nem kapcsol´od´o feladatban el´ert siker´et mutatom be. Az els˝o a polinomok gy¨okk´eplet´evel 7

kapcsolatos, a m´asodik pedig egy val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi feladat megold´asa. Terjedelmi okokb´ol a bizony´ıt´asokat mell˝oztem, azok megtal´alhat´oak egy csoportelm´eleti tank¨onyvben vagy el˝oad´asban, esetleg k´ezik¨onyvekben. Az alkalmazott ´ervel´es n´eha matematikai jelleg˝ u, de ha az bizonyul egyszer˝ ubbnek, a fizikai ´ervel´est k¨ovetem. Rem´elem, siker¨ ul eloszlatni azt az els˝osorban matematikus k¨or¨okben elterjedt n´ezetet, miszerint a csoportelm´elet egy absztrakt, de meglehet˝osen haszontalan tudom´any. A t´argyal´asm´od nem a csoportelm´eleti k¨onyvek t¨obbs´eg´eben megszokott szigor´ u rendet k¨oveti. Ennek egyik oka a terjedelem korl´atja. A 1.-11. fejezetek mindegyike megt¨oltene egy teljes k¨otetet, ha a prec´ız kifejt´est k¨ovetn´em. Rem´elhet˝oen az olvas´o k¨ovetni tudja a gondolatmenetet ´es megismeri az alkalmazott eszk¨oz¨oket. Ha pedig ´erdekl˝odik egy t´ema ir´ant, az irodalomjegyz´ekben tal´al monogr´afi´akat, amelyek r´eszletesen t´argyalj´ak az adott k´erd´esk¨ort. A vizsg´alatok sor´an gyakran esik sz´o matematikai objektumokr´ol (halmaz, sokas´ag, euklideszi t´er, Hilbert-t´er, csoport, Lie-algebra, stb.). Ezek le´ır´as´ara k´et m´od is k´ın´alkozott. Az els˝o le´ır´asi m´odot lok´alisnak lehet nevezni, mert benne a le´ırt objektumot koordin´at´akkal adjuk meg, a koordin´at´akhoz pedig ismert m´odon kapcsolhat´o t´avols´ag ´es topol´ogia. Erre a le´ır´asm´odra k¨ozismert p´elda egy ortonorm´alt b´azissal ell´atott Hilbertt´er. Seg´ıts´eg´evel a Hilbert-t´eren hat´o oper´atorokat v´egtelen m´atrixokkal lehet le´ırni. A m´asik le´ır´asi m´od arra helyezi a hangs´ ulyt, hogy sz´amos objektum kezelhet˝o azonos m´odon, ez´ert az objektumot glob´alis m´odon jellemezz¨ uk, p´eld´aul eltekint¨ unk a koordin´at´ak haszn´alat´at´ol. Ezt a t´argyal´asm´odot az teszi lehet˝ov´e, hogy egyes objektumok k¨oz¨ott k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u, invert´alhat´o, ”sima” lek´epez´es teremt kapcsolatot, ´es a le´ır´as egyar´ant vonatkozhat b´armelyik objektumra. Erre p´eld´anak felhozhat´o az n dimenzi´os Rn t´er k´et ny´ılt r´eszhalmaza, amelyeknek pontjai k¨olcs¨on¨osen megfeleltethet˝oek. Megeml´ıtem, hogy ennek a n´ez˝opontnak egyik ”term´eke” a topol´ogi´aban alkalmazott sokas´ag fogalma, ld. Alexandrov[1] munk´aj´at. Term´eszetesen c´elszer˝ u ´altal´anos megfogalmaz´ast haszn´alni, de alkalomadt´an el˝ony¨os a koordin´at´ak adta lehet˝os´egeket kihaszn´alni. Ez´ert a k´et n´ezet sz¨ uks´egszer˝ uen keveredik. Amikor lok´alis koordin´at´akr´ol besz´el¨ unk, arra k´ıv´anjuk felh´ıvni a figyelmet, hogy az adott objektum adott koordin´ata-rendszer´er˝ol van sz´o. A 11 fejezet a fizik´aban gyakran sz¨ uks´eges differenci´alegyenletek megold´as´aval foglalkozik. Meg´ert´ese komoly algebrai ismereteket t´etelez fel, ez´ert az Olvas´o ezt a r´eszt a´tugorhatja, a t¨obbi fejezet meg´ert´es´ehez nem sz¨ uks´egesek az itteni ismeretek.

8

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Az anyag gy˝ ujt´es´eben nagy szeret kapott az internet. Gyakran felhaszn´altam a GAP [10], a MATHEMATICA ´es a Maple programokban tal´alhat´o inform´aci´ot. Ezen fel¨ ul, az egyes r´eszek anyagai k¨ozismert k¨onyvekre ´ep¨ ulnek, ezek list´aj´at a jegyzet v´eg´en tal´alja az olvas´o. M´egis k¨ ul¨on k¨osz¨onet illeti az al´abbi m˝ uvek szerz˝oit: A 4. fejezet Willard Miller k¨onyv´enek[28] anyag´ara (azon bel¨ ul is els˝osorban annak 1. fejezetre) ´ep¨ ul. Az 5. fejezet nagyr´eszt Peter J. Olver [31] ´es N. H. Ibragimov [15] k¨onyv´enek anyag´ara ´ep¨ ul, de felhaszn´altam W. Hereman anyag´at is a CRC Handbook-b´ol [13]. A 6. fejezetben t¨obbek k¨oz¨ott Charles Kittel [21], a Landau-Lifsic V. k¨otete [25], S. L. Altman [2] k¨onyve szolg´alt kiindul´asul. A 5. fejezetben David Sattinger [37], A 7.5.1. fejezet teljes eg´esz´eben Wagner Istv´an munk´aj´ara ´ep¨ ul. K¨ ul¨on k¨osz¨onet az´ert, hogy a t¨obbnyire publik´alatlan eredm´enyeit Wagner Istv´an rendelkez´esemre bocs´atotta. A 9. fejezetben Richard S. Varga[48] k¨onyve volt seg´ıts´egemre, a 10. fejezetben Farkas Mikl´os [8] ´es [48], a 11. fejezetben Artin jegyzete[3], ´es egy sor internetr˝ol hozz´af´erhet˝o k´ezirat seg´ıtett. A 12. fejezet P´al L´en´ard [34],[33] k´ezirataira ´es Nifenecker [30] cikk´ere ´ep¨ ul.

9

Bevezet´ es

10

Aki fizikai feladatok megold´as´ara adja a fej´et, annak gyakran lesz sz¨ uks´ege matematikai eszk¨oz¨okre. Ha egy kifejez´esb˝ol ki kell fejezni egy abban szerepl˝o param´etert, egy (gyakran nemline´aris) egyenletet kell megoldani. Ha a fizikai folyamat le´ır´as´ara differenci´alegyenlet (vagy integr´alegyenlet) szolg´al, a megold´as ism´et matematikai eszk¨oz¨okkel t¨ort´enik. Egy fizikai feladat megold´as´aban gyakran nem elegend˝o kiv´alasztani egy matematikai m´odszert, figyelembe kell venni a fizikai feladat tulajdons´agait is. Ez´ert a fizika egyes a´gaiban haszn´alt matematikai m´odszerek egyediek is, ´altal´anosak is. Vegy¨ uk p´eldaul a differenci´alegyenletek megold´as´at. A k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek a´ltal´anos megold´as´aban az egyenlet ´altal´anos megold´as´aban a hat´arozatlan a´lland´ok sz´ama megegyezik a differenci´alegyenlet rendj´evel. Az egyenlet megold´asa ´ıgy k´et l´ep´esb˝ol ´all, az els˝oben meghat´arozzuk az a´ltal´anos megold´ast, a m´asodikban pedig r¨ogz´ıtj¨ uk az ´altal´anos megold´as szabad egy¨ utthat´oit. A parci´alis differenci´alegyenletekn´el m´ar m´as a helyzet. Az egyenletek megold´asa sokkal gazdagabb, minthogy n´eh´any konstanssal le lehetne ´ırni. A megold´asok halmaza sz˝ uk´ıthet˝o, egyes esetekben egy´ertelm˝ uv´e is tehet˝o, ha a megold´ast csak egy tartom´anyon vizsg´aljuk ´es a tartom´any hat´ar´an alkalmas felt´eteleket szabunk meg. Ismeretes, hogy a komplex s´ıkon ´ertelmezett s´ıma f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik a Laplace-egyenletet. Ha azonban a f¨ uggv´eny ´ert´ek´et r¨ogz´ıtj¨ uk egy z´art g¨orbe ment´en, a g¨orbe bels˝o pontjaiban a f¨ uggv´eny ´ert´eke egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. A parci´alis differenci´al-egyenletek elm´elete nem ad u ´tmutat´ast arra n´ezve, milyen peremf´elteleket lehet egy adott egyenlethez megszabni u ´gy, hogy a megold´as egy´ertelm˝ u legyen. A tank¨onyvek nagyr´eszt az elm´eleti fizika ´altal felvetett probl´em´akat t´argyalj´ak, teh´at az egyenletek is, a peremfelt´etelek is adottak. Azonban k¨onnyen bel´athat´o, hogy a fizika egyenleteihez nem felt´etlen¨ ul egy peremfelt´etel adhat´o meg. P´eld´anak felhozhat´o a rugalmas rezg´es, ami megoldhat´o ak´ar r¨ogz´ıtett peremmel (ez fizikailag u ´gy val´os´ıthat´o meg, hogy a peremet szil´ardan r¨ogz´ıtj¨ uk), ekkor a rezg´es amplitud´oja nulla a peremen. De megoldhat´o szabad v´egek mellett is, vagy ak´ar r´eszben r¨ogz´ıtett peremmel is, amikor a perem bizonyos megk¨ot´esekkel rezeghet. A fizikai probl´em´ak kapcs´an felvet˝odik a k´erd´es: Honnan tudjuk, hogy egy adott fizikai feladatnak egy vagy t¨obb megold´asa l´etezik? A fizikai feladatot kev´es kiv´etelt˝ol eltekintve akkor tekintj¨ uk korrekt kit˝ uz´es˝ unek, ha a megold´as l´etezik ´es egy´ertelm˝ u. M´eg ha igazolhat´o is, hogy egy adott fizikai jelens´egnek egyetlen megold´asa l´etezik, nem biztos, hogy a jelens´eg le´ır´as´ara alkalmazott matematikai modellnek is csak egy megold´asa l´etezik. Jelent˝os er˝ok dolgoznak azon, hogy sz´amos fizikai modellre igazolj´ak: a fizikai modellhez tartoz´o matematikai modellnek is csak egy megold´asa van. Ha t¨obb megold´as is l´etezik, akkor a lehets´eges megold´asok k¨oz¨ ul azt v´alasztjuk ki, amelyik ”fizikailag ´esszer˝ u”, azaz, kell˝oen sima, esetleg pozit´ıv stb. Ez m´ar biztos´ıtja a megold´as egy´ertelm˝ us´eg´et. Mindenesetre ´ebernek kell lenn¨ unk, nem szabad mag´at´ol ´ertet˝od˝onek venni, hogy egy adott feladathoz csak egy megold´as tartozik. Az el˝oad´as c´elja bemutatni a modern algebrai m´odszerek egyes fizikai alkalmaz´asait. Az algebra annyira h´etk¨oznapi eszk¨oz a fizik´aban, hogy gyakran nem is gondolunk r´a. Egy nemline´aris egyenlet, egy line´aris egyenletrendszer megold´asa a h´etk¨oznapi munka 11

r´esze. A fizika egyes ter¨ uletein (relativit´aselm´elet, kvantumelm´elet, szil´ardtestfizika) a csoportok alkalmaz´asa term´eszetesnek sz´am´ıt. A v´eletlen folyamatok tanulm´anyoz´as´aban egy speci´alis gr´af, a fa, mint algebrai strukt´ ura bizonyult hasznosnak. Az ut´obbi ´evtizedben jelent˝os lend¨ uletet kapott a Lie-csoportok (ill. Lie-B¨acklundcsoportok) alkalmaz´asa a differenci´alegyenletek vizsg´alat´aban. Ma m´ar programokat tal´alunk az interneten, amelyekkel differenci´al- ´es integro-differenci´alegyenletek szimmetria´it lehet vizsg´alni. Ezek haszn´alata els˝osorban a numerikus m´odszerek kidolgoz´as´aban ´es ellen˝orz´es´eben lehet el˝ony¨os, de egyes ter¨ uleteken, mint a turbulens a´raml´asok vizsg´alata, szerep¨ uk meghat´aroz´ov´a v´alt. A ”computational group theory” (csoportelm´eleti sz´am´ıt´og´epes programok) mellett ez is egy olyan gyakorlati alkalmaz´asa a csoportelm´eletnek, amely a nem csoportelm´eleti szakemberek sz´am´ara k¨ ul¨on¨osen hasznosnak bizonyulhat. Fizikai feladatok sz´eles k¨ore kapcsol´odik perem´ert´ek-feladatokhoz. Ezen a ter¨ uleten azonban a modern algebrai eszk¨oz¨os alkalmaz´asa m´eg t´avolr´ol sem a´ltal´anos. Be k´ıv´anjuk mutatni, hogy a modern algebrai m´odszerek (csoportok, fed˝ocsoport, gr´af) el˝ony¨osen alkalmazhat´ok a feladat megold´as´aban. R´eszletesen foglalkozunk azzal, hogyan lehet egy differenci´alegyenlet megold´as´at megadni csoportelm´eleti m´odszerekkel. Els˝ok´ent a Fourier-m´odszert, azaz, a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at vizsg´aljuk, de sz´o lesz a differenci´alegyenlet rendj´enek cs¨okkent´es´er˝ol ´es az integr´al´o t´enyez˝o meghat´aroz´as´ar´ol is. Ezek a technik´ak sz´eles k¨orben haszn´alhat´oak a fizik´aban. A krist´alyok szerkezet´enek t´argyal´asa kapcs´an o¨sszefoglaljuk a v´eges csoportok tulajdons´agait, megadjuk a leggyakoribb pontcsoportok karaktert´abl´ait is. A speci´alis relativit´aselm´elet kapcs´an pedig ´erintj¨ uk az algebra ´es a geometria kapcsolat´at. Nem t´er ki az el˝oad´as p´eld´aul a sz´ınk´epvonalak finomszerkezet´enek k´erd´eseire, noha az is algebrai eszk¨oz¨okkel t´argyalhat´o. Ennek egyik oka, hogy a k´erd´esk¨or t´argyal´asa magyar nyelven hozz´af´erhet˝o (ld. Wigner k¨onyv´et az irodalomjegyz´ekben). A t´argyal´as egyhang´ us´ag´at p´eld´ak teszik v´altozatosabb´a. Ezzel az volt a c´elom, hogy bemutassan a bevezetett fogalmak, eszk¨oz¨ok alkalmaz´as´at. A jegyzet v´eg´en p´eld´ak tal´alhat´oak ¨on´all´o megold´asra, ezek seg´ıts´eg´evel az olvas´o ellen˝orizheti tud´as´at. Tekintettel arra, hogy azok a transzform´aci´ok, amelyekkel szemben egy egyenlet invari´ans egy algebrai strukt´ ur´at (csoportot) alkotnak, az algebrai m´odszerek alkalmaz´asa indokolt. Hasonl´ok´eppen, ha a vizsg´alt t´err´esz egyforma elemekb˝ol ´ep¨ ul fel (pl. elemi cell´akb´ol), akkor a geometria le´ır´as´ara egy m´asik algebrai strukt´ ur´at, gr´afot lehet alkalmazni. Meg kell jegyezni, hogy napjainkban a csoport elvesz´ıtette titokzatoss´ag´at, m´ıtosz´at, egyszer˝ u h´etk¨oznapi eszk¨oz lett bel˝ole, mint mondjuk a sz¨ogf¨ uggv´enyekb˝ol. Ha valaki a Rubik kocka le´ır´as´ara k´ıv´ancsi, tal´al olyan k¨onyvt´arakat, ahonnan let¨olthet˝o egy programcsomag, ami percek alatt el˝o´all´ıtja a Rubik-kocka szimmetriacsoportj´at, elk´esz´ıti a kocka k´et a´llapot´at ¨osszek¨ot˝o forgat´as-sorozatot. Mindez a ”computational group theory”, azaz a csoportelm´eleti sz´am´ıt´asok gyors fejl˝od´es´enek k¨ovetkezm´enye. Ugyanakkor ezen eszk¨oz¨ok felhaszn´al´asa m´eg v´arat mag´ara. Felt´eteleztem, hogy az olvas´o m´ar hallgatott csoportelm´eletet. A felhaszn´alt fogal12

makat a 13. fejezet foglalja ¨ossze, itt felfriss´ıtheti az olvas´o defin´ıci´okat. Az 1. fejezet egy r¨ovid ´attekint´est ad az algebrai m´odszerek k¨oz¨ ul a csoportelm´elet fizikai alkalmaz´asair´ol, ´es megadja a felhaszn´alt jel¨ol´eseket. A 2. fejezetben ¨osszefoglaljuk a felhaszn´alni k´ıv´ant algebrai ´es geometriai fogalmakat. A 3. fejezetben olyan eszk¨oz¨okr˝ol (sz´am´ıt´og´epi programokr´ol) van sz´o, amelyek j´ol haszn´alhat´oak csoport- vagy gr´afelm´eleti k´erd´esek vizsg´alat´aban. A 4. fejezetben megvizsg´aljuk, milyen koordin´at´ak haszn´alata el˝ony¨os adott szimmetri´ak eset´eben, amely v´alaszt´as mellett a megold´as a v´altoz´okban szepar´alhat´o. Az 5. fejezetben megvizsg´aljuk, hogyan lehet meghat´arozni egy adott egyenlet szimmetri´ait. A 6. fejezetben r¨oviden a´ttekintj¨ uk a krist´alyr´acsok oszt´alyoz´as´at, a 7. fejezetben az algebra ´es geometria kapcsolat´at vizsg´aljuk n´eh´any speci´alis t´ema (sk´al´ak kiv´alaszt´asa, turbulencia vizsg´alta, a k´aoszhoz kapcsol´od´o n´eh´any jelens´eg, a diszkretiz´alt t´erfogatok ´es a Lorentz-transzform´aci´o) megvizsg´aljuk a perem´ert´ek-feladat szimmetri´ait, bemutatjuk a fed˝ocsoport kihaszn´al´as´anak egyik m´odj´at. A 8. fejezetben bemutatjuk algebrai m´odszerek alkalmaz´as´at perem´ert´ek-feladatokban. A 9. fejezetben a perem´ert´ek-feladatokban alkalmazott numerikus m´odszerekben haszn´alhat´o algebrai m´odszereket t´argyaljuk. A 10. fejezetben a fizik´aban legfontosabb speci´alis f¨ uggv´enyeket ismertetj¨ uk. A 11. fejezetben egy egyv´altoz´os egyenlet szimmetri´ait vizsg´aljuk, az eredm´enyek alkalmaz´asak´ent bemutatjuk egy klasszikus probl´ema (a polinomok gy¨okk´eplet´enek) csoportelm´eleti megold´as´at. A gy¨ok¨ok keres´es´ere kidolgozott m´odszer a´tvihet˝o a differenci´alegyenletek t´argyal´as´ara is. Ezt a k´erd´esk¨ort is t´argyaljuk. A 12. fejezetben bemutatunk egy p´eld´at, ahol a csoportelm´elet j´ol alkalmazhat´o egy r´eszecskefizikai feladatban. A F¨ uggel´ekben a felhaszn´alt matematikai fogalmak defin´ıci´oit ´es ¨on´all´o megold´asra sz´ant p´eld´akat tal´al az olvas´o. Jelen jegyzetet haszonnal forgathatj´ak m´ern¨ok, fizikus ´es tan´arszakos hallgat´ok is. A jegyzetben ismertetett a´ltal´anos technik´ak (polinomok gy¨okk´eplete, egyenlet szimmetria´inak meghat´aroz´asa, differenci´alegyenletek integr´al´asa, v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa, azaz a Fourier-m´odszer, k¨ozel´ıt˝o m´odszerek, numerikus megold´as) j´ol haszn´alhat´o a gyakorlati munka sz´amos ter¨ ulet´en. Ez´ert lehet hasznos fizikusoknak, m´ern¨ok¨oknek, kutat´oknak ´es tan´aroknak. Egy jegyzet c´elja persze els˝osorban ¨otleteket adni, milyen eszk¨oz¨okkel ´erdemes alkalmazni egy feladat megold´asa sor´an. K¨ ul¨on kiemelem a numerikus m´odszerekbeli alkalmaz´asokat, amelyek a jegyzet ´ır´asa idej´en m´eg kev´ess´e voltak ismertek, noha m´ar akkor is l´eteztek k´odok, amelyekkel egy-egy adott feladat megold´as´at meg lehetett hat´arozni. Budapest, 2006 m´ajus.

13

1. fejezet Csoportelm´ elet a fizik´ aban

14

A fizika t´erben ´es id˝oben v´egbemen˝o folyamatokat vizsg´al, amely folyamatokban fizikai k¨olcs¨onhat´asok is szerepet j´atszanak. A t´erben ´es id˝oben egy koordin´ata-rendszer seg´ıts´eg´evel t´aj´ekoz´odunk, minden ponthoz koordin´at´akat rendel¨ unk, ezek seg´ıts´eg´evel ´ertelmezhet˝o a k¨ozel ´es a t´avol (metrika). A k¨olcs¨onhat´asokat matematikai egyenletek seg´ıts´eg´evel fogalmazzuk meg, pl. a kvantummechanika a k¨ovetkez˝o megfeleltet´est haszn´alja a fizikai mennyis´egek le´ır´as´ara, ld. 1.1. t´abl´azat. 1.1. t´abl´azat. Fizikai ´es matematikai v´altoz´ok megfeleltet´ese a kvantummechanik´aban Fizikai v´altoz´o Matematikai v´altoz´o a´llapotf¨ uggv´eny Pont az L2 f¨ uggv´enyt´erben ¨ Skal´ar fizikai mennyis´eg Onadjung´alt oper´ator Fizikai mennyis´eg Oper´ator V´altoz´o ´ert´eke Oper´ator saj´at´ert´eke ´ Atmeneti val´osz´ın˝ us´eg Skal´arszorzat abszol´ ut ´ert´eke Egyszerre m´erhet˝o mennyis´egek Kommut´al´o oper´atorok Az egyenleteknek meg kell felelni¨ uk a megfigyel´eseknek. A megfigyel´esek k¨ozvetlenek (amilyen pl. egy k¨olcs¨onhat´ast le´ır´o potenci´al alakja) vagy elviek lehetnek. Elvi megfigyel´es pl. az, hogy azonos fizikai rendszereket azonos matematikai strukt´ ur´akkal (pl. egyenlettel) kell le´ırni. Az elvi megfigyel´esek egy r´esze azt a k¨ovetelm´enyt t´amasztja a matematikai strukt´ ur´aval szemben, hogy annak v´altozatlannak (invari´ansnak) kell lennie olyan v´altoz´asokkal szemben, amelyek a fizikai jelens´eget nem ´erintik. Ilyen invariancia elvek: • Hasonl´os´agi elv: a fizikai k´ıs´erlet ar´anyosan zsugor´ıthat´o. Ez a k´ezenfekv˝o feltev´es Fourier-t˝ol sz´armazik, az atomok felfedez´ese o´ta a feltev´est elvetett´ek, noha a m´ern¨oki gyakorlatban egy meghat´arozott tartom´anyon bel¨ ul az elv alkalmazhat´o. • Egy jelens´eg le´ır´asa f¨ uggetlen a koordin´ata-rendszer kezd˝opontj´anak megv´alaszt´as´at´ol, valamint a t=0 pont megv´alaszt´as´at´ol. M´as sz´oval, minden k´ıs´erlet megism´etelhet˝o m´ashol ´es m´askor. • Ha egy fizikai rendszerben az azonos r´eszecsk´eket felcser´elj¨ uk, ugyanazt az a´llapotot kell kapnunk. Az invarianci´ahoz kapcsol´od´o matematikai konstrukci´o a (v´altoz´ok) transzform´aci´oja. Azok a transzform´aci´ok, amelyek egy egyenletet v´altozatlanul hagynak egy algebrai strukt´ ur´at (csoportot) alkotnak. A csoport strukt´ ur´aj´ab´ol hasznos k¨ovetkeztet´est lehet levonni az egyenlet megold´as´anak tulajdons´agait illet˝oen. Ezzel a megold´asokat csoportos´ıtani lehet, aminek sok praktikus k¨ovetkezm´enye van. A k¨ozel´ıt˝o m´odszerek meg´ıt´el´es´eben is fontos szempont, hogy a k¨ozel´ıt˝o m´odszer meg˝orzi-e az eredeti egyenlet 15

szimmetri´ait, vagy hoz-e be u ´jabbakat. Nehezen megoldhat´o feladatok est´en (ilyen p´eld´aul a t¨obbf´azis´ u a´raml´as) ennek alapj´an meg´ıt´elhet˝o egy k¨ozel´ıt˝o m´odszer pontoss´aga. A fizika ´es matematika n´eh´any ter¨ ulete, ahol a csoportelm´elet hasznosnak bizonyult: • Elemi r´eszek oszt´alyoz´asa. A Lie-csoportok reprezent´aci´oi alkalmas keretet biztos´ıtanak az elemi r´eszecsk´ek oszt´alyoz´as´ara. Egyes esetekben egyszer˝ u de l´atv´anyos szimmetriamegfontol´ason alapul´o ¨osszef¨ ugg´eseket (ilyen pl. a fermionokra kimondott bet¨olt´esi korl´at) lehet megfogalmazni. • Atomi sz´ınk´epek ´ertelmez´ese. Az atomi sz´ınk´epek az elektronh´ejban tal´alhat´o elektronok ´allapotai k¨oz¨otti energiak¨ ul¨onbs´eggel kapcsolatosak. Az energiaszinteket pedig saj´at´ert´ekfeladatok megold´as´aval lehet meghat´arozni. • Szil´ard testek szerkezet´enek oszt´alyoz´asa. Az eg´esz teret nem lehet tetsz˝oleges alak´ u egys´egek ism´etl´es´evel kit¨olteni. A lehets´eges egys´egek ´es a krist´aly megfigyelt tulajdons´agai k¨oz¨ott szoros kapcsolat van. Ezek a tulajdons´agok a szimmetri´akkal is kapcsolatba hozhat´oak. ´ • Altal´ anos- ´es speci´alis relativit´aselm´elet. A relativit´aselm´elet alapgondolata: a fizikai egyenletek szerkezet´enek azonosnak kell lennie minden inerciarendszerben. Ebb˝ol a megfogalmaz´asb´ol is kit˝ unik a szimmetri´ak fontoss´aga. • Gy¨okk´epletek magasabb fok´ u egyenletek megold´as´ara. Ha van gy¨okk´eplet, akkor az egyenlet foksz´ama minden gy¨ok meghat´aroz´asa ut´an cs¨okkenthet˝o eggyel. A k¨ ul¨onb¨oz˝o foksz´am´ u egyenletek szimmetri´aja k¨oz¨otti kapcsolat lehet˝os´eget ad a megoldhat´os´ag felt´eteleinek kimond´as´ara. • K¨orz˝ovel vonalz´oval elv´egezhet˝o szerkeszt´esek. A szerkeszthet˝o pontok halmaza megfeleltethet˝o egy algebrai egyenlet gy¨okeinek. Az el˝oz˝o pont eredm´enyeinek felhaszn´al´as´aval megadhat´o az elv´egezhet˝o szerkeszt´esek k¨ore. • Geometriai szerkezetek tanulm´anyoz´asa. Ahogyan egy v´eges krist´alyt fel´ep´ıthet¨ unk egy elemi cella ism´etl´es´evel, egy szab´alytalannak t˝ un˝o alakzatot gyakran felbonthatunk elemi cell´akra. A felbont´as k´ın´alja az algebrai m´odszerek el˝onyeit. • Perem´ert´ekfeladatok. Amennyiben vannak olyan transzform´aci´ok, amelyek a feladatot v´altozatlan form´aban hagyj´ak, az invarianci´at ki lehet haszn´alni. • Numerikus m´odszerek (speci´alis f¨ uggv´enyek, numerikus m´odszerek). A legt¨obb speci´alis f¨ uggv´eny egy egyenlethez ´es egy megfelel˝o geometri´ahoz tartozik. Ez´ert vizsg´alatukban a szimmetri´ak fontos szerepet kaphatnak. Egy egyenlet megold´as´at csak adott felt´etelek mellett lehet egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek szorzatak´ent fel´ırni. E felt´etelek megfogalmaz´as´aban is seg´ıt az algebra.

16

A csoportelm´elet haszn´at r¨oviden a k¨ovetkez˝oekben lehet ¨osszefoglalni. Ha a csoportot alkot´o transzform´aci´ok felcser´elhet˝oek egy oper´atorral, akkor l´etezik k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny rendszer. K¨ovetkez´esk´eppen, az oper´ator saj´atf¨ uggv´enyeit csoportos´ıtani lehet a transzform´aci´ok saj´atf¨ uggv´enyei seg´ıts´eg´evel. Ahhoz, hogy a saj´atf¨ uggv´enyeket csoportos´ıtani lehessen, meg kell ismerni a csoport szerkezet´et. Egy szimmetriacsoporthoz rendelhet˝o egy invari´ans mennyis´eg, ennek ismeret´eben hat´ekony m´odszereket lehet kidolgozni pl. az egyenlet megold´as´ara.

1.1.

Jel¨ ol´ esek

A jel¨ol´esekben igyekeztem a hagyom´anyokat k¨ovetni, ez azonban gyakran vezetett konfliktushoz. Ez´ert a jel¨ol´eseknek csak egy r´esze egys´eges, egy-egy adott probl´ema vizsg´alata sor´an igyekeztem az ott szok´asos jel¨ol´est k¨ovetni, ez´ert minden fejezet elej´en van jel¨ol´esjegyz´ek. ´ Altal´ aban az oper´atorokat ´es m´atrixokat k¨ ov´ er latin nagybet˝ ukkel jel¨olj¨ uk (A, B, C). Egy vektort´er, ponthalmaz, vagy f¨ uggv´enyt´er jel¨ol´es´ere a mathbb bet˝ ut´ıpust haszn´aljuk: X, Z, P, Q. A helyv´altoz´ora az x jel¨ol´est haszn´aljuk, ha a v´altoz´onak az a tulajdons´aga l´enyeges, hogy egy halmaz r´esze, m´ıg az x jel¨ol´es a helyv´altoz´o komponenseinek szerep´et k´ıv´anja hangs´ ulyozni (pl. a transzform´aci´os szab´alyok eset´eben). Halmazok S A T B–az A ´es B halmazok egyes´ıt´ese A B–az A ´es B halmazok k¨oz¨os r´esze A\B–az A ´es B halmazok k¨ ul¨onbs´ege B ⊂ A–a B halmaz az A halmaz r´esze A ∈ a–az a elem r´esze az A halmaznak a ∗ b–a halmaz k´et elem´enek szorzata (amennyiben a szorz´as m˝ uvelete defini´alt) a + b–a halmaz k´et elem´enek ¨osszege (amennyiben az ¨osszaad´as m˝ uvelete defini´alt) S = {x : F (x) = 0}–egy adott felt´etelnek (itt F (x) = 0 gy¨okei) eleget tev˝o halmaz M´atrixok, oper´atorok A–m´atrix vagy oper´ator A−1 –inverz m´atrix A+ –adjung´alt m´atrix ||A||- m´atrix(oper´ator) norma Em –m × m egys´egm´atrix (oper´ator) P–projektor oper´ator

17

F¨ uggv´enyek f (x)–az x v´altoz´o skal´ar f¨ uggv´enye f : A → B–f¨ uggv´eny, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi ´at 1 x = (x , . . . , xn )–n elem˝ u vektor f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x))–az x v´altoz´o vektorf¨ uggv´enye, n komponenssel ∂/∂x–x szerinti parci´alis deriv´alt ∂x1 –∂/∂x1 Fx –∂F/∂x Fxx –∂ 2 F/∂x2 Dx Φ–a Φ f¨ uggv´eny x szerinti teljes differenci´alja n pr -n-ik prolong´aci´o g ∗ F –a g csoportelem hat´asa az F f¨ uggv´enyre [A, B]–az A ´es B mennyis´egek kommut´atora (= AB − BA) {A, B}–az A ´es B mennyis´egek antikommut´atora (= AB + BA) GV (x, x0 )–a V alakzat Green-f¨ uggv´enye L –az L oper´ator k´epe a g csopoertelem alatt g

Csoportok ha1 , . . . , an ; −i n gener´ator a´ltal el˝oa´ll´ıtott szabad csoport ha1 , . . . , an ; r1 , . . . , rm i n gener´ator ´es m rel´aci´o ´altal el˝o´all´ıtott csoport |G|-a G csoport rendje e–a csoport egys´egeleme g1 g2 –csoportelemek szorzata g −1 –a g csoportelem inverze Gx–a G csoport hat´asa az x elemre gx–a g csoportelem hat´asa az x pontra (vektorra) gf (x)–a g csoportelem hat´asa az f (x) f¨ uggv´enyre G\N –az N r´eszcsoport G faktorcsoportja G\X–a G csoport orbitja az X halmazon [G : H]–a H r´eszcsoport indexe a G csoportban [s]–az s elemmel ekvivalens elemek oszt´alya Perem´ert´ek-feladat V –ponthalmaz, sokas´ag, t´erfogat, amelyen a megold´ast keress¨ uk ∂V – V hat´ara x–´altal´anos pont a V t´erfogatban x0 –r¨ogz´ıtett pont (pl. forr´as helye) a V t´erfogatban

18

2. fejezet Csoportelm´ eleti ´ es geometriai alapok

19

2.1.

Jel¨ ol´ es

Jelen fejezetben az al´abbi jel¨ol´est haszn´aljuk. A csoportot t¨obbf´ele matematikai strukt´ urak´ent is vizsg´aljuk. Egy vektort´er, ponthalmaz, vagy f¨ uggv´enyt´er jel¨ol´es´ere a mathbb bet˝ ut´ıpust haszn´aljuk: X, Z, P, Q. A csoportelemeket kisbet˝ ukkel (g, h, x) jel¨olj¨ uk, a csoportokat pedig nagybet˝ ukkel (G, H, X). A csoportok alkalmaz´asa sor´an halmazok (t¨obbnyire geometriai objektumok) elemein vizsg´aljuk a csoportelemek hat´as´at. Halmazok S A T B–az A ´es B halmazok egyes´ıt´ese A B–az A ´es B halmazok k¨oz¨os r´esze A\B–az A ´es B halmazok k¨ ul¨onbs´ege B ⊂ A–a B halmaz az A halmaz r´esze A ∈ a–az a elem r´esze az A halmaznak a ∗ b–a halmaz k´et elem´enek szorzata (amennyiben a szorz´as m˝ uvelete defini´alt) a + b–a halmaz k´et elem´enek ¨osszege (amennyiben az ¨osszead´as m˝ uvelete defini´alt) S = {x : F (x) = 0}–egy adott felt´etelnek (itt F (x) = 0 gy¨okei) eleget tev˝o halmaz M´atrixok, oper´atorok A–m´atrix vagy oper´ator A−1 –inverz m´atrix A+ –adjung´alt m´atrix ||A||- m´atrix(oper´ator) norma Em –m × m egys´egm´atrix (oper´ator) P–projektor oper´ator F¨ uggv´enyek f (x)–az x v´altoz´o skal´ar f¨ uggv´enye f : A → B–f¨ uggv´eny, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi ´at x = (x1 , . . . , xn )–n elem˝ u vektor 1 n f (x) = (f (x), . . . , f (x))–az x v´altoz´o vektorf¨ uggv´enye, n komponenssel ∂/∂x–x szerinti parci´alis deriv´alt ∂x1 –∂/∂x1 Fx –∂F/∂x Fxx –∂ 2 F/∂x2 Dx Φ–a Φ f¨ uggv´eny x szerinti teljes differenci´alja n pr -n-ik prolong´aci´o g ∗ F –a g csoportelem hat´asa az F f¨ uggv´enyre 20

[A, B]–az A ´es B mennyis´egek kommut´atora (= AB − BA) {A, B}–az A ´es B mennyis´egek antikommut´atora (= AB + BA) GV (x, x0 )–a V alakzat Green-f¨ uggv´enye g L –az L oper´ator k´epe a g csopoertelem alatt Csoportok ha1 , . . . , an ; −i n gener´ator a´ltal el˝oa´ll´ıtott szabad csoport ha1 , . . . , an ; r1 , . . . , rm i n gener´ator ´es m rel´aci´o ´altal el˝o´all´ıtott csoport |G|-a G csoport rendje e–a csoport egys´egeleme g1 g2 –csoportelemek szorzata C1 , C2 , . . . –konjug´alt oszt´alyok nc –a konjug´alt oszt´alyok sz´ama g −1 –a g csoportelem inverze Gx–a G csoport hat´asa az x elemre gx–a g csoportelem hat´asa az x pontra (vektorra) gf (x)–a g csoportelem hat´asa az f (x) f¨ uggv´enyre G\N –az N r´eszcsoport G faktorcsoportja G\X–a G csoport orbitja az X halmazon [G : H]–a H r´eszcsoport indexe a G csoportban [s]–az s elemmel ekvivalens elemek oszt´alya

2.2.

Diszkr´ et csoportok

Legyen adott az a1 , . . . , an elemek (m´asn´even bet˝ uk) v´eges halmaza, amelyek k¨oz¨ott elv´egezhet˝o a szorz´as m˝ uvelete, az i-ik ´es j-ik elemek szorzat´at ai aj -vel jel¨olj¨ uk. Legyen minden elemnek defini´alt az inverze, az ai elem inverz´et jel¨olje a−1 . Egy sz´ o bet˝ uk egy i v´eges sorozat´at jelenti: aτi11 aτi22 . . . aτikk (2.1) ahol a kitev˝ok csak a +1 vagy −1 ´ert´eket vehetik fel, az els˝o hatv´anyon pedig mag´at a bet˝ ut ´ertj¨ uk. K´et sz´o, s1 ´es s2 szorzat´an , amit s1 s2 -k´ent ´ırunk, a szavak egym´asut´an ´ır´as´aval kapott sz´ot ´ertj¨ uk, el˝osz¨or le´ırjuk s1 -et, azut´an pedig s2 -t. Ez nyilv´anval´oan asszociat´ıv m˝ uvelet. A hossz´ u szavakban el˝ofordulhat, hogy ugyanaz a bet˝ u t¨obbsz¨or szerepel egym´as ut´an. A szavak r¨ovid´ıt´ese c´elj´ab´ol bevezetj¨ uk az ani jel¨ol´est az ai ai . . . ai (n t´enyez˝ot tartalmaz´o) szorzatra. Az u ¨res sz´ora az 1 jel¨ol´est haszn´aljuk, ezzel nyilv´an s1=1s b´armely s sz´ora. Rel´aci´o alatt egy r = 1 alak´ u egyenletet ´ert¨ unk, ahol r egy sz´o (ebben a kontextusban rel´atornak szok´as nevezni). Az s1 ´es s2 szavakat ekvivalensnek nevezz¨ uk az rj = 1 rel´aci´o 21

szerint, ha s1 a´talak´ıthat´o s2 -v´e az al´abbi m˝ uveletek v´eges sz´am´ u alkalmaz´as´aval: 1. Az rj bet˝ usorozat besz´ ur´asa vagy t¨orl´ese. 2. Az ai−1 ai ill. ai a−1 bet˝ usorozatok besz´ ur´asa vagy t¨orl´ese. i Az s-sel (adott rel´aci´ok szerint) ekvivalens szavak oszt´aly´at (r¨oviden ekvivalenciaoszt´alyokat vagy oszt´alyokat) [s] -sel jel¨olj¨ uk. Az ekvivalenciaoszt´alyok k¨oz¨otti szorz´as az al´abbi defin´ıci´o szerint t¨ort´enik: [s1 ][s2 ] = [s1 s2 ]. Ez a kifejez´es j´ol defini´alt, hiszen ha 0s ekvivalens s-sel, akkor 0ss2 ekvivalens ss2 -vel, minthogy az a m˝ uvelet, ami s-t 0s-v´e alak´ıtja f¨ uggetlen s2 jelenl´et´et˝ol. s-et az [s] ekvivalenciaoszt´aly gener´al´o elem´enek nevezz¨ uk. ´Igy bel´athat´o, hogy a szorzat f¨ uggetlen az oszt´alyokat reprezent´al´o oszt´alyelemt˝ol. Az a strukt´ ura, ami az ai bet˝ ukb˝ol k´epzett v´eges szavak rj rel´aci´ok szerinti ekvivalenciaoszt´alyait jel¨oli, egy G csoport . A G csoportban l´ev˝o elemek sz´am´at G rendj´enek nevezz¨ uk ´es |G|-vel jel¨olj¨ uk. Ha |G| v´eges, G-t v´eges csoportnak nevezz¨ uk. Az elnevez´es jogoss´ag´ahoz azt kell megmutatni, hogy a n´egy csoportaxi´oma (ld. 13. fejezet) teljes¨ ul. Az elemek k¨oz¨ott l´etezik m˝ uvelet, ez a szavak egym´as ut´an ´ır´asa. Ez a m˝ uvelet asszociat´ıv , ami a szorz´ot´enyez˝ok egym´as ut´an ´ır´as´ab´ol, ´es a t´enyez˝ok asszociativit´as´ab´ol k¨ovetkezik. Van egys´egelem, az [1], tov´abb´a l´etezik inverz, hiszen [s][s−1 ] = [ss−1 ] = [1], amib˝ol [s]−1 = [s−1 ]. Rendszerint az ekvivalencia oszt´alyokb´ol a z´ar´ojelet elhagyjuk, ahogyan a t¨ortekn´el is 1/2-t ´ırunk, noha az val´oj´aban az 1/2, 2/4, 3/6 stb. halmaz minden elem´et jelenti. A csoportot megadhatjuk az elemek ´es rel´aci´ok felsorol´as´aval. Ezt a megad´asi m´odot u ´gy haszn´aljuk, hogy k¨oz¨ott felsoroljuk az elemeket, ezeket egy pontosvessz˝o z´arja, majd felsoroljuk a rel´aci´okat pl. ha1 , a2 , . . . ; r1 , r2 , . . . i. Mind az elemek, mind a rel´aci´ok lehetnek v´eges vagy v´egtelen sz´am´ uak. Az ha1 , a2 , . . . ; r1 , r2 , . . . i strukt´ ur´at a G csoport prezent´aci´oj´anak nevezz¨ uk. Egy csoportnak t¨obb prezent´aci´oja l´etezhet. A G csoport v´egesen prezent´alt, ha a prezent´aci´oban szerepl˝o bet˝ uk ´es a rel´aci´ok halmaza v´eges sok elemb˝ol a´ll. ´ Altal´aban a csoportelemek szorzata f¨ ugg a t´enyez˝ok sorrendj´et˝ol, vagyis, a1 a2 6= a2 a1 . Azokat a csoportokat, amelyek minden a1 , a2 elem´ere fenn´all a1 a2 = a2 a1 , Abelcsoportoknak nevezik1 . Legyen H egy (nem u ¨res) csoport, amelynek elemei megtal´alhat´oak a G csoportban. Ekkor H-t G r´eszcsoportj´anak nevezz¨ uk, jel¨ol´esben: H ⊂ G. Az al´abbi halmazokat G-nek H szerinti jobboldali mell´ekoszt´alyainak nevezz¨ uk: Hg = {hg : h ∈ H}

(2.2)

minden g ∈ G-re. Ezek a halmazok vagy diszjunktak, vagy azonosak. A mell´ekoszt´alyok G egy felbont´as´at alkotj´ak. A H ⊂ G r´eszcsoport mell´ekoszt´alyainak sz´ama (v´eges vagy v´egtelen) H indexe ´es ezt |G : H|-val jel¨olj¨ uk. Ha G v´eges csoport, akkor az elemek 1

Niels Henrik Abel (1802-1829) norv´eg matematikus tisztelet´ere.

22

sz´ama mindegyik H szerinti mell´ekoszt´alyban v´eges ´es egyenl˝o H rendj´evel. A baloldali mell´ekoszt´alyokat az al´abbi halmazok adj´ak meg: gH = {gh : h ∈ H} .

(2.3)

Amennyiben a baloldali ´es jobboldali mell´ekoszt´alyok megegyeznek, a H r´eszcsoportot a G csoport norm´aloszt´oj´anak vagy norm´alis r´eszcsoportj´anak nevezz¨ uk. A norm´aloszt´ora nyilv´anval´oan fenn´all H = gHg −1 . (2.4) Egy adott h elemhez tartoz´o, valamely g csoportelem seg´ıts´eg´evel (mik¨ozben g v´egigfut a csoport ¨osszes elem´en) a ghg −1 m˝ uvelettel, a konjug´al´assal el˝o´all´ıthat´o elemek h konjug´alt oszt´aly´at (vagy egyszer˝ uen oszt´aly´at) alkotj´ak. Az oszt´alyok a csoport szerkezet´ere jellemz˝oek. Az Abel-csoport minden eleme egy konjug´alt oszt´alyt alkot. Legyen N a G csoport egy norm´aloszt´oja. G-nek az N szerinti mell´ekoszt´alyai a szorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ezt a csoportot nevezik a G csoport N szerinti faktorcsoportj´anak, jel¨ol´ese G\N . Az egys´egelem ´es G trivi´alisan faktorcsoportok. Ha a G csoportnak csak az egys´egelem ´es maga G faktorcsoportja, akkor G-t egyszer˝ u csoportnak nevezz¨ uk. Azt a g → G\N homomorfizmust, amely minden g ∈ G elemet a gN mell´ekoszt´alyba visz, term´eszetes vagy kanonikus homomorfizmusnak nevezz¨ uk. A norm´aloszt´ok meghat´aroz´as´ahoz j´ol haszn´alhat´o az al´abbi megfigyel´es. Az N ⊂ G csoport akkor ´es csak akkor norm´alis r´eszcsoport, ha N -ben G elemei oszt´alyonk´ent fordulnak el˝o, azaz, amennyiben adott g ∈ G eleme N -nek, akkor minden hg 0 h−1 ∈ N , ahol a g ´es g 0 elemek G azonos konjug´alt oszt´aly´ahoz tartoz´o elemek. A G csoportot feloldhat´onak nevezz¨ uk, ha egym´asba ´agyazott norm´alis r´eszcsoportok sorozatak´ent (ezt szok´as norm´all´ancnak nevezni) adhatjuk meg, a k¨ovetkez˝o m´odon: G = G0 ⊂ G1 ⊂ · · · ⊂ Gs = e ´es a Gi−1 \Gi csoport minden tagja kommut´al. A G = ha1 , a2 , . . . ; r1 , r2 , . . . i csoport az F = ha1 , a2 , . . . ; −i 2 csoport ´es az N = hr1 , r2 , . . . i r´eszcsoport h´anyadosa. Egy G csoport G0 csoportba men˝o homomorfizmus´an egy olyan f : G → G0 lek´epez´est ´ert¨ unk, amelyre f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ). Egy X halmaz transzform´aci´oj´an egy olyan f : X → X lek´epez´est ´ert¨ unk, amely X-et k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uek k´epezi le o¨nmag´ara. Egy G csoport f homomorfizmusa egy X halmaz transzform´aci´ocsoportj´aba G-nek egy hat´as´at adja meg X-en. A csoporthat´as megad´as´an´al meg kell mondani, hogy adott g ∈ G-hez milyen X-nek milyen f (g) transzform´aci´oja tartozik3 , azaz, meg kell adnunk f (g)(x)-et minden x ∈ X-re. Egy x ∈ X elem orbitja a G transzform´aci´ocsoportra n´ezve az a Gx halmaz, amely a g(x) alak´ u elemekb˝ol ´all, itt g v´egigfut G elemein. Az x elem stabiliz´atora, Gx = {g : g(x) = x}, G-nek azon elemeib˝ol ´all, amelyek helyben hagyj´ak 2

A rel´ aci´ ot nem tartalmaz´ o, n gener´ ator ´altal gener´alt csoportot n elemmel genar´alt szabad csoportnak nevezik ´es Fn -nel jel¨ olik. 3 ez a jel¨ ol´es arra utal, hogy az f lek´epez´es minden csoportelem eset´en m´as ´es m´as lehet, f (g) a g csoportelemhet tartoz´ o lek´epez´es

23

x-et. Tekints¨ uk azt a rel´aci´ot az x, y ∈ X elemek k¨oz¨ott, amikor x-hez van olyan g ∈ G, amelyre g(x) = y. Ez egy ekvivalenciarel´aci´ot ad meg, azaz, reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az X halmaz orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o; az orbitok halmaza az orbitt´er, amit G\X-szel jel¨ol¨ unk. Ha csak egy orbit van, akkor azt mondjuk, hogy G tranzit´ıv. Legyen X topologikus t´er. X automorfizmusai k´epezhetnek folytonos vagy diszkr´et csoportot. X automorfizmusainak egy G csoportj´at diszkr´etnek (itt a diszkr´et a folytonos ellent´etek´ent ´ertend˝o) nevezz¨ uk, ha minden T K ⊂ X kompakt r´eszhalmazra csup´an v´eges sok olyan g ∈ G elem l´etezik, amelyre K gK nem u ¨res. Ha minden x ∈ X pont stabiliz´atora csak g egys´egelem´eb˝ol a´ll, akkor azt mondjuk a G csoport szabadon hat az X halmazon. G orbitjainak G\X halmaz´an a k¨ovetkez˝o m´odon defini´alhatunk topologi´at. Amennyiben G szabadon hat X-en, akkor minden x0 ∈ G\X pontnak van olyan k¨ornyezete, amelynek az f : X → G\X lek´epez´esn´el a teljes inverze az f a´ltal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese. Ez defin´ıci´o szerint azt jelenti, hogy X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek. Term´eszetesen a G csoport hat´asa G elemein is defini´alhat´o. A h´arom leggyakrabban alkalmazott defin´ıci´o: g · x = gx (itt x ∈ G, az egyenl˝os´eg baloldala a csoporthat´as defin´ıci´oja, jobboldala pedig G-beli szorz´as); g · x = xg −1 ; g · x = gxg −1 . A fenti m˝ uveleteket balregul´aris, jobbregul´aris, ill. adjung´alt csoporthat´asnak nevezz¨ uk. Adott G csoport hat´as´at egy X halmazon t¨obbf´elek´eppen is megadhatjuk. P´eld´aul legyen G egy csoport, amelynek minden g ∈ G elem´enek hat´asa, defini´alt, azaz gx ´ertelmezve van, az x ∈ X pontokra. Ekkor a g csoportelem hat´asak´ent tekinthetj¨ uk pl. a −1 gx vagy a gxg transzform´aci´ot is. Gyakran nem adhat´o meg trivi´alis csoporthat´as. Az el˝oz˝o p´eld´aban term´eszetesnek t˝ unhet a gx defin´ıci´o v´alaszt´asa, azonban ez nincs mindig ´ıgy. P´eld´aul legyen G az egys´egnyi determin´ans´ u 2 × 2-es m´atrixok csoportja, amit a z > 0 komplex f´els´ıkra alkalmazhatunk az al´abbi k´eplettel gz =

az + d . cz + d

Hozz´arendelhetj¨ uk a g csoportelemhez az al´abbi invert´alhat´o m´atrixot:   a b g= . c d

(2.5)

(2.6)

Itt teh´at k´et def´ın´ıci´o is k´ın´alkozik, egyiknek sincs kiemelt szerepe. 2.1. Feladat A (2.5) vagy (2.6) csoporthat´as az X = C komplex sz´amtest ill. az R2 (s´ık pontjai) halmazokon van ´ertelmezve. A tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz a polinomokb´ ol ´all´o testre, amit C(x)-szel jel¨ol¨ unk, ha a polinom v´altoz´oja x, egy¨ utthat´oi pedig komplex sz´amok. C(x)-en ´ertelmezett az o¨sszead´as (a polinomokban az azonos hatv´anyok egy¨ utthat´oit kell ¨osszeadni), ´es a szorz´as. Ha a legfeljebb n-edfok´ u polinomok k¨or´eben k´ıv´anunk maradni, akkor a szorz´ast modul´o (n + 1) ´ertj¨ uk, azaz, a szorzatnak csak a legfeljebb 24

n-ed fok´ u tagjait tekintj¨ uk. Ha az oszt´ast is megengedj¨ uk, akkor a K(x) testr˝ol besz´el¨ unk, amelynek elemei a0 + a1 x + · · · + an x n . (2.7) b0 + b1 x + · · · + bn x n Itt nem minden bi nulla, az egy¨ utthat´ok pedig a ai , bi ∈ K testb˝ol val´ok.  Egy G csoport hat´as´at az X halmazon primit´ıvnek nevezz¨ uk, ha a csoporthat´as tranzit´ıv, ´es nem engedi meg az X halmaz nemtrivi´alis blokkokra bont´as´at. Egy blokkrendszer ( imprimitivit´as rendszer) a G csoport egy X-en ´ertelmezett hat´asa, amely nem m´as, mint X egy part´ıci´oja, amely v´altozatlan marad G hat´asa alatt. R¨oviden megeml´ıtj¨ uk m´eg az X halmazban v´alasztand´o b´azis k´erd´es´ere. Amennyiben a csoporthat´ast szeretn´enk hangs´ ulyozni, megfelel˝o b´azis v´alaszt´as´ara van sz¨ uks´eg. Gondoljunk pl. arra, hogy a polinomok le´ır´as´ara a v´altoz´ok hatv´anyait szoktuk alkalmazni, ezek bizony a csoportelemek hat´asa alatt ¨osszekeverednek. Lehet˝os´eg van szimmetriz´alt b´azisok v´alaszt´as´ara, azaz, olyan polinomokat v´alaszthatunk, amelyek a csoportelemek hat´asa alatt egyszer˝ u m´odon transzform´al´odnak. Csoportelm´eleti munk´akban sz´o esik a Gr¨obner-b´azisr´ol is, ennek defin´ıci´oj´ara itt nem t´er¨ unk ki, mivel ´altalunk nem t´argyalt strukt´ ur´akat (ide´al, polinomgy˝ ur˝ u, monomi´alis rendez´es) haszn´al. Ez´ert az ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP le´ır´ast aj´anlom. A GAP-ben haszn´alhat´o a GroebnerBasis f¨ uggv´eny, amely el˝oa´ll´ıtja a k´ıv´ant b´azist. Gyakran sz¨ uks´eg¨ unk van a csoporthat´asra egy f¨ uggv´enyt´er elemein. Erre az al´abbi defin´ıci´ot szok´as haszn´alni. Legyen adott az f (r) f¨ uggv´eny, ´es a vizsg´alt csoport egy g → Mg a´br´azol´as u ´gy, hogy Mg (r) ´ertelmezve van. Ekkor a csoporthat´as defin´ıci´oja
g · f (x) = f M−1 (2.8) g x . Minden v´eges csoport reprezent´alhat´o permut´aci´okkal. Az 1, ..., n elemek permut´aci´oj´an az elemek al´abbi a´trendez´es´et ´ertj¨ uk:   1 2 3 ... n (2.9) i1 i2 i3 . . . in Nyilv´anval´o, hogy a permut´aci´ok egym´asut´ani alkalnaz´asa is permut´aci´o, azaz a permut´aci´ok z´artak az egym´asut´ani alkalmaz´as m˝ uvelet´ere n´ezve. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a csoportaxi´om´ak teljes¨ ulnek, a permut´aci´ok csoportot alkotnak. Minden v´eges csoport izomorf egy permut´aci´ocsoporttal vagy annak r´eszcsoportj´aval. A permut´aci´ok a´br´azol´asakor csak az als´o sort szok´as fel´ırni, azokat az elemeket, amelyek egym´as k¨oz¨ott permut´alunk egy z´ar´ojelbe. ´Igy pl.   1 2 3 4 5 6 = (124)(35)(6) (2.10) 2 4 5 1 3 6

25

mert az (124) elemek egy h´aromelem˝ u, (35) egy k´etelem˝ u, (6) pedig egy egyelem˝ u ciklust 4 alkot. Az egys´egelem n egyelem˝ u ciklusb´ol ´all, de ennek jel¨ol´es´ere az u ¨res z´ar´ojelet () szok´as haszn´alni. A ciklus invari´ans a ciklus elemeinek ciklikus permut´aci´oj´ara, pl. (124) = (241) = (412), de (124) 6= (142). A k¨oz¨os elemet nem tartalmaz´o ciklusok sorrendje felcser´elhet˝o, pl. (124)(35) = (35)(124). A ciklusban szerepl˝o elemek sz´ama a ciklus hossza ´es
(i1 i2 i3 . . . ik )k = (). (2.11) B´armely ciklus fel´ırhat´o transzpoz´ıci´ok szorzatak´ent: (ijk . . . l) = (ij)(jk)...(kl).

(2.12)

Ez a felbont´as nem egy´ertelm˝ u. V´eg¨ ul k´et hasznos azonoss´ag: (ik . . . lmi) = (k . . . lm) (ik . . . lm)(mn . . . p) = (ik . . . lmn . . . p).

(2.13) (2.14)

A fenti ¨osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel bel´athat´o, hogy tetsz˝oleges permut´aci´o el˝oa´ll´ıthat´o k´etelem˝ u ciklusokb´ol, amelyeket transzpoz´ıci´onak neveznek. Azokat a permut´aci´okat, amelyeket p´aros transzpoz´ıci´oval ´all´ıthatunk el˝o, p´aros permut´aci´onak nevezik. A p´aros permut´aci´ok alcsoportot alkotnak, az altern´al´o csoportot. Az altern´al´o csoport indexe 2, mivel a p´aros ´es p´aratlan permut´aci´ok k¨oz¨ott egy-egy´ertelm˝ u megfeleltet´es l´etes´ıthet˝o. 2.2. Feladat (A szab´ alyos hatsz¨ og szimmetriacsoportja C6v ) A csoport permut´ aci´okkal az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o. Sz´amozzuk meg a hatsz¨og cs´ ucsait az ´oramutat´ o j´ar´as´aval megegyez˝o ir´anyban. A csoport gener´atorak´ent egy forgat´ast ´es egy t¨ ukr¨oz´est lehet v´alasztani. Legyen α = (123456), ami egy π/3 sz¨og˝ u forgat´as, ´es β = (26)(35), ami az 1, 4 cs´ ucsokon ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´est jelenti. Az olvas´o k¨onnyen ellen˝orizheti, hogy β 2 = (), α6 = (), ´es a k´et gener´ator seg´ıts´eg´evel a C6v csoport minden eleme el˝o´all´ıthat´o. A csoport elemei hat konjug´alt oszt´alyt alkotnak. Az els˝oben az egys´egelem van: (); a m´asodikban h´arom elem van, h´arom t¨ ukr¨oz´es a hatsz¨og cs´ ucsain ´atmen˝o s´ıkokra, ezek egyike (26)(35); a harmadikban h´arom elem tal´alhat´o, a h´arom lapk¨oz´epen ´atmen˝ o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es, az egyik elem (12)(36)(45); a negyedikben k´et, 2π/3 sz¨og˝ u forgat´as tal´alhat´o, az egyik (135)(246); az ¨ot¨odikben k´et darab π/3 sz¨og˝ u forgat´as van, egyik k¨oz¨ ul¨ uk (123456); a hatodikban csak az inverzi´o (14)(25)(36) van. A C6v csoport karaktert´abl´aja a 6.9. t´abl´azatban, a 6. fejezetben tal´alhat´o.  Egy G csoport felbonthat´o a csoportelemek konjug´altoszt´alyainak halmaz´ara. Vegy¨ unk egy h1 ∈ G elemet ´es k´epezz¨ uk az ¨osszes h1 -gyel konjug´alt elem halmaz´at, amit gh1 g −1 elemek ¨osszess´ege ad meg, itt g v´egigfut G minden elem´en. Jel¨olje ezt a halmazt C1 . Ezut´an vegy¨ unk egy h2 elemet G − C1 -b˝ol, ´es k´epezz¨ uk a h2 -h¨oz konjug´alt elemek halmaz´at: 4

Az egyelem˝ u ciklust csak akkor ´erdemes ki´ırni, ha jelezni k´ıv´anjuk a permut´aci´o hossz´at.

26

C2 = {gh2 g −1 , g ∈ G}. Az elj´ar´ast folytatva, a kapott C1 , C2 , . . . elemoszt´alyok lefedik a G csoportot. Egy v´eges G csoportot alkot´o konjug´alt elemoszt´alyok sz´ama v´eges. A C1 , C2 , . . . elemoszt´alyokat konjug´alt elemoszt´alyoknak is nevezik. A konjug´alt elemoszt´alyok sz´am´at nc -vel fogjuk jel¨olni. Egy G csoport ´abr´azol´asa (´abr´azol´asa) alatt G egy homomorfizmus´at ´ertj¨ uk, egy L vektort´er automorfizmus csoportj´aba. A leggyakoribb m´atrix´abr´azol´as eset´en L automorfizmusai m´atrixok, G homomorfizmusa alatt pedig a g csoportelemhez egy olyan g → Dg m´atrix hozz´arendel´est ´ert¨ unk, amire teljes¨ ul, hogy De az egys´egm´atrix, amennyiben e az egys´egelem G-ben, tov´abb´a g1 g2 → Dg1 g2 = Dg1 Dg2 . Ha g → Dg egy ´abr´azol´as, akkor g → CDg C−1 is az (itt C nemszingul´aris m´atrix). A hasonl´os´agi transzform´aci´oban elt´er˝o a´br´azol´asokat ekvivalensnek nevezz¨ uk. A nem ekvivalens ´abr´azol´asok jellemz´es´ere a m´atrix spurj´at haszn´aljuk, amit az ´abr´azol´as karakter´enek nevez¨ unk. Ismeretes az algebr´ab´ol, hogy ekvivalens m´atrixok spurja azonos. Amennyiben egy ´abr´azol´as minden m´atrixa egyidej˝ uleg az al´abbi alakra hozhat´o:   M1 M2 (2.15) 0 M3 az a´br´azol´ast reducibilisnek, egy´ebk´ent irreducibilisnek nevezz¨ uk. A nem ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik a konjug´alt elemoszt´alyok nc sz´am´aval. Az a´br´azol´ast h˝ unek nevezz¨ uk, amennyiben elt´er˝o csoportelemekhez elt´er˝o m´atrixok tartoznak. Legyen s egy homomorf lek´epez´ese a G csoportnak az F sz´amtestbe. A homorfizmus azt jelenti, hogy s(g1 ∗ g2 ) = s(g1 ) ∗ s(g2 ), b´armely k´et g1 , g2 ∈ G-re. s-t a G csoport karakter´enek nevezz¨ uk. Amennyiben G-t m´atrixokkal reprezent´aljuk, a m´atrix spurja egy alkalmas karakter. Egy v´eges G csoport χ karakter´et monomi´alisnak nevezz¨ uk, ha χ el˝oa´ll´ıthat´o G egy r´eszcsoportj´anak line´aris karakter´eb˝ol. A v´eges G csoportot monomi´alisnak, vagy M csoportnak nevezz¨ uk, ha minden k¨oz¨ons´eges irreducibilis karaktere monomi´alis. Az irredicibilis ´abr´azol´asok karaktereit egy karaktert´abla tartalmazza. A karakterek egy elemoszt´alyon bel¨ ul egyenl˝oek, az elt´er˝o karakterek sz´ama teh´at nem haladhatja meg az elemoszt´alyok sz´am´at. A karaktert´abl´aban a nem ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok karakterei vannak felsorolva. Az irreducibilis ´abr´azol´as m´atrix´anak rendj´et az a´br´azol´as dimenzi´oj´anak nevezz¨ uk. A v´eges csoportok irreducibilis ´abr´azol´asai 1, 2 vagy 3 dimenzi´osak. A karaktert´abl´aban azt is megadj´ak, hogyan transzform´al´odik az adott irreducibilis komponens (irrep). Erre utal az irrep jel¨ol´ese is, de fel szokt´ak t¨ untetni az adott irrep szerint transzform´al´od´o egyszer˝ u komponenseket is. Ez lehet egy vektor valamely komponense (pl. x, y vagy z), vagy egy R axi´alvektor x, y vagy z komponense. Az egydimenzi´os, szimmetrikus irreducibilis alt´er jel¨ol´ese A, amennyiben t¨obb ilyen is van, akkor azokat egy indexszel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. Az egydimenzi´os, aszimmetrikus a´br´azol´asok szok´asos jele B, a k´etdimenzi´os a´br´azol´as jele E, a h´aromdiemnzi´os´e pedig F . Az irrepek alkotj´ak a karaktert´abla sorait. Az els˝o irrep maxim´alis szimmetri´aval 27

rendelkezik, azaz a karaktert´abla els˝o sor´aban csupa egyes ´all. A karaktert´abla oszlopait a csoportot alkot´o elemek alkotj´ak. Mivel az egy konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek karaktere azonos, az oszlopok konjug´alt elemoszt´alyokat tartalmaznak. Szok´as szerint az els˝o oszlop tartozik az egys´egelemhez, ebb˝ol teh´at leolvashat´o az adott irrep dimenzi´oja. A karaktert´abla seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges reducibilis ´abr´azol´ast felbonthatunk irreducibilis ´abr´azol´asok ¨osszeg´ere. Az ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. A karaktert´abla rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: 1. A t´abl´azat n´egyzet alak´ u, minden sora megfelel egy nemekvivalens irreducibilis a´br´azol´asnak. 2. A t´abl´azat els˝o oszlopa az ´abr´azol´as dimenzi´oj´at adja meg. Ez oszt´oja a csoport rendj´enek. Az els˝o oszlop az egys´egelem konjug´alt elemoszt´aly´ahoz tartozik. 3. Az els˝o oszlopban ´all´o sz´amok n´egyzeteinek ¨osszege megegyezik a csoport rendj´evel. 4. Az els˝o sorban minden oszlopban 1 a´ll. 5. A sorok ortogon´alisak, ha az adott oszlopban a´ll´o sz´amot megszorozzuk az adott konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek sz´am´aval. 6. Az oszlopok ortogon´alisak. 7. Amennyiben az a´br´azol´as |G| rend˝ u m´atrixokkal t¨ort´enik, az i-ik irreducibilis ´abr´azol´ashoz annyi ekvivalens a´br´azol´as tartozik, amennyi az ´abr´azol´as dimenzi´oja. 8. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges f¨ uggv´eny felbonthat´o irreducibilis komponensekre. 9. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges ´abr´azol´as felbonthat´o irreducibilis ´abr´azol´asok ¨osszeg´ere. Az irreducibilis a´br´azol´asok a k¨ovetkez˝ot jelentik. Amennyiben a csoportot N -rend˝ u m´atrixok egy halmaz´aval a´br´azoljuk, akkor elk´epzelhet˝o, hogy van olyan hasonl´os´agi transzform´aci´o, ami a csoportelemekhez rendelt m´atrixok mindegyik´et diagonaliz´alja. Ennek felt´etele, hogy G Abel-csoport legyen. A diagon´alishoz legk¨ozelebb ´all´o alakot a karaktert´abla megadja, u.i. a m´atrixok egyidej˝ uleg blokkdiagon´alis alakra hozhat´oak, a blokkok m´erete az irreducibilis ´abr´azol´asok dimenzi´oival egyeznek meg, a blokkok sz´ama pedig egyenl˝o az irreducibilis ´abr´azol´asok sz´am´aval. A diagon´alisban a´ll´o m´atrixokat spurjuk (karakter¨ uk) szerint lehet oszt´alyozni, a diagon´alisban legfeljebb nc elt´er˝o blokk fog ´allni, mindegyik blokk megfelel egy irreducibilis ´abr´azol´asnak. A diagon´alisban a´ll´o m´atrix rendje megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. Azonos a´br´azol´ashoz tartoz´onak

28

2.1. t´abl´azat. A GL(2, 2) ´es C3v csoport karaktert´abl´aja C3v E 2t 3s A 1 1 1 B 1 1 -1 E 2 -1 0 tekintj¨ uk azokat a m´atrixokat, amelyeknek rendje (sorainak sz´ama) ´es spurja megegyezik. Az irreducibilis ´abr´azol´asnak van egy m´asik jelent´ese is. A csoport ´abr´azol´as´ahoz tartozik egy L vektort´er, a vektort´er b´azisa meghat´arozza a csoport egy m´atrix´abr´azol´as´at. Az irreducibilis ´abr´azol´as azt jelenti, hogy van olyan b´azis L-ben, amelyen a csoportot reprezent´al´o m´atrixok egyidej˝ uleg diagon´alishoz k¨ozel´all´o alakra hozhat´oak (v.¨o. (2.15)) Ez annyit jelent, van olyan alt´er L-ben, amelyet a csoportot ´abr´azol´o m´atrixok v´altozatlanul hagynak. Az ´abr´azol´as dimenzi´oja megadja ezen irreducibilis alt´er dimenzi´oj´at. Enn´el sz˝ ukebb alt´er viszont nincs L-ben, amelyet a csoportot a´br´azol´o m´atrixok v´altozatlanul hagyn´anak. 2.1. T´ etel (Schur-lemma.) Alkoss´ak a Dg m´atrixok a G csoport egy v´egesdimenzi´os ´ ´abr´azol´as´at. Alljon fenn valamely M m´atrixra Dg M = MDg . Ha a Dg , g ∈ G ´abr´azol´as irreducibilis, akkor M az egys´egm´atrix skal´arszorosa. Ha viszont minden M m´atrix, amely minden Dg m´atrixszal kommut´al, az egys´egm´atrix konstans szorosa, akkor a Dg , g ∈ G ´abr´azol´as a G csoport irreducibilis ´abr´azol´asa. 2.2. T´ etel Legyen Dg , g ∈ G egy v´egesdimenzi´os ´abr´azol´asa a G csoportnak. Legyen α D , α = 1, nc a G csoport irreducibilis ´abr´azol´asa. Ekkor egy tetsz˝oleges D ´abr´azol´as el˝o´all´ıthat´o az irreducibilis ´abr´azol´as m´atrixainak direkt ¨osszegek´ent: D=

nc X

aα Dα ,

(2.16)

α=1

ahol aα =

1 X χ(g)χα∗ (g), |G| g∈G

(2.17)

ahol χ a D ´abr´azol´ashoz tartoz´o, χα (g) pedig a Dα irreducibilis alt´erhez tartoz´o karakter.5 2.3. T´ etel (Irreducibilis ´ abr´ azol´ asok teljess´ ege) Legyen Dn ´es Do a v´eges G csoport unit´er, irreducibilis m´atrix´abr´azol´asa. Ekkor fenn´all az al´abbi ortogonalit´as: p 1 Xp `n Dn (g)ij `o Do (g)km = δik δjm δno . (2.18) |G| g∈G 5

Ez a t´etel a 2.3 fejezetben bevezetett kompakt csoportokra is ´erv´enyes.

29

Itt `n , `o a Dn ´es Do ´abr´azol´asok dimenzi´osz´ama. A t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy a csoport ´abr´azol´as´at ad´o Do (g) m´atrixokb´ol fel´ep´ıthet˝o |G| darab ortogon´alis v vektor a D(g)ij m´atrixelemekb˝ol, ezek a vektorok b´azisk´ent alkalmazhat´oak a |G| dimenzi´os R|G| t´eren. Amennyiben G kompakt csoport, a Dij (g) elemek teljess´eg´et kimond´o t´etelt Peter-Weyl–t´etelnek nevezik. V´egezet¨ ul h´arom t´etel 6 a tenzor´abr´azol´asokkal kapcsolatban. Legyen V egy vektort´er, V∗ pedig annak du´alisa. Legyen mindk´et t´er v´eges (n) dimenzi´oj´ u, b´azisk´ent ∗ ∗ haszn´aljuk a ϕ1 , . . . , ϕn ´es ϕ1 , . . . , ϕn f¨ uggv´enyeket. Legyenek a b´azisban szerepl˝o f¨ uggv´enyek ortogon´alisak az al´abbi ´ertelemben (ϕi , ϕ∗j ) = δij . Egy (m, n) indexp´arral jellemzett tenzor, amely V felett van defini´alva, egy m + n v´altoz´os line´aris funkcion´al u tenzor F (u1 , . . . , um , v1∗ , . . . , vn∗ ), ahol ui ∈ V, vj ∈ V∗ . P´eld´anak ok´a´ert egy (2, 0) t´ıpus´ nem m´as, mint egy biline´aris funkcion´al B(u1 , u2 ). Tenzorok szorzat´at a 2.2.2 fejezetben haszn´alt tenzorszorzatra alapozva, az al´abbi m´odon defini´alhatjuk. Legyen a V t´eren defini´alt line´aris funkcion´alok vektorter´eben egy b´azis (v1 , . . . , vn ), a V∗ t´eren defini´ P alt line´aris funkcion´alok vektorter´eben egy b´azis (w1 , . . .∗, wn ). ∗Ekkor a szorzatt´er ırhat´o, ahol v ⊗ w = F (u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn ). Az ´ıgy defini´alt i,j αij vi ⊗ wj alakba ´ u ´j m˝ uvelet rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: a(v ⊗ w) = (av) ⊗ w = v ⊗ (aw) (u + v) ⊗ w = u ⊗ w + v ⊗ w v ⊗ (u + w) = v ⊗ u + v ⊗ w.

(2.19) (2.20) (2.21)

2.3. Feladat Legyen adott φ∗ , ϕ∗ ∈ V∗ , k´et (0, 1) t´ıpus´ u funkcion´al, ezek tenzorszorzata ∗ ∗ ∗ ∗ (φ ⊗ϕ ) = φ (u)ϕ (v), ez nyilv´an (0, 2) t´ıpus´ u tenzor. Egy A : V → V line´aris lek´epez´est term´eszetes m´odon kapcsolhatjuk ¨ossze a B(u, v) = (Au, v) biline´aris funkcion´al r´ev´en. Ez a kapcsolat meg is ford´ıthat´o, a v∗ → B(u, v∗ ) lek´epez´essel, amelyet r¨ogz´ıtett u mellett tekint¨ unk. Ezzel defini´alhat´o az A oper´ator hat´asa, mint skal´arszorzat. (Riesz Frigyes t´etele)  Amennyiben a line´aris funkcion´alban k darab vektor szerepel, tekints¨ uk az al´abbi k + 1line´aris f¨ uggv´enyt: F (u1 , . . . , uk , v∗ ) = (B(u1 , . . . , uk ), v∗ ) (2.22) Tegy¨ uk fel, hogy a V t´eren defini´alt hat´assal rendelkez˝o GV csoportnak egy v´eges dimenzi´os ´abr´azol´asa Dg , g ∈ GV . A k-line´aris B lek´epez´es invari´ans7 , ha fenn´all Tg B(u1 , . . . , uk ) = B(Tg u1 , . . . , Tg uk ). Amint a 7.3 fejezetben l´atni fogjuk, a tenzor´abr´azol´ast j´ol felhaszn´alhatjuk a k´aosz le´ır´asa sor´an. 6 7

A k¨ ozismert Riesz-t´etelt a 2.3.. p´eld´ aban tal´alja az olvas´o Egyes szerz˝ ok, pl. Sattinger, haszn´ alj´ ak a kovari´ans elnevez´est is.

30

2.4. T´ etel (Csoport´ abr´ azol´ as tenzorszorzatokkal) Legyen D a G csoport egy ´abr´azol´asa a V vektort´er felett. Ekkor a D ´abr´azol´as invari´ansainak sz´ama (azon v ∈ V vektorok sz´ama, amelyek v´altozatlanul maradnak minden Dg , minden g ∈ G alatt) egyenl˝o a1 =

1 X χ(g), |G| g∈G

(2.23)

ahol χg a D ´abr´azol´ashoz tartoz´o karakter. A 7.3 fejezetben bemutatunk olyan alkalmaz´ast, amelyben egy B() k-line´aris oper´ator argumentumai azonosak. Az ilyen k-line´aris kifejez´eseket szimmetrikusnak nevezik. 2.5. T´ etel (Szimmetrikus k-line´ aris lek´ epez´ esek sz´ ama) Legyen D a G csoport egy ´abr´azol´asa a V vektort´er felett ´es jel¨olje ck (D, G) azon szimmetrikus k-line´aris lek´epez´esek sz´am´at, amelyek kovari´ansak a D ´abr´azol´as alatt. A ck -t megkapjuk z = 1 helyettes´ıt´es mellett az al´abbi gener´atorf¨ uggv´enyb˝ol: ∞ X

ck (D, G)z k =

k=0

1 X det (I − zDg )−1 χ∗ (g), |G| g∈G

(2.24)

vagy ck (D, G) =

1 X χ(k) (g)χ∗ (g), |G| g∈G

ahol X

χ(k) (g) = Pk

`=1

`i` =k

χχi1 (g) . . . χik (gk ) . 1i1 i1 !2i2 i2 ! . . . k ik ik !

(2.25)

(2.26)

2.4. Feladat [A C3v csoport egy m´atrix ´abr´azol´asa] A GL(2, 2) csoportban8 6 elem tal´alhat´o, a csoport izomorf a C3v csoporttal, karaktert´abl´aj´at a 2.1. t´abl´azat adja meg, ezt a csoportot k´es˝obb r´eszletesebben is megvizsg´aljuk9 . Az egydimenzi´os, szimmetrikus irreducibilis alt´er jel¨ol´ese A, amennyiben t¨obb ilyen is van, akkor azokat egy indexszel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. Az egydimenzi´os, aszimmetrikus ´abr´azol´asok szok´asos jele B, a k´etdimenzi´os ´abr´azol´as´e E, a h´aromdiemnzi´os´e pedig F . A karaktert´abla oszlopiban konjug´alt ´ elemoszt´alyok ´allnak. Az els˝o konjug´alt elemoszt´aly szok´as szerint az egys´egelem. Altal´aban a t´abl´azat fejl´ec´eben felt¨ untetik a konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o elemek sz´am´at ´es legal´abb t´ıpus´at. A m´asodik konjug´alt elemoszt´alyban k´et elem tal´alhat´o (t ´es t2 ), a harmadik konjug´alt elemoszt´alyban pedig h´arom (s, st ´es st2 ). A jel¨ol´es magyar´azat´at ld. 8

A GL(2,2) csoport invert´ alhat´ o 2 × 2-es m´atrixokb´ol ´all, amelyeknek elemeit modulo2 kell venni, a m˝ uveleteket (pl. matrix ¨ osszead´ as, m´ atrixszorz´as) is ´ıgy kell ´erteni. 9 A v´eges csoportok karaktert´ abl´ ait a 6. fejezetben tal´alja az olvas´o.

31

az (2.102) egyenlet ut´an. Az 2.2. t´abl´azatban k´et egydimenzi´os ´es egy k´etdimenzi´os irreducibilis ´abr´azol´as tal´alhat´o. (Amint kor´abban l´attuk, az elemoszt´alyok sz´ama nc = 3.) ´ azoljuk a csoport elemeit 6 × 6-os m´atrixokkal. Ekkor a csoport mind a hat m´atrixa Abr´ transzform´alhat´o az al´abbi alakra:   a 0 0 0 0 0  0 b 0 0 0 0     0 0 x x 0 0    (2.27)  0 0 x x 0 0     0 0 0 0 y y  0 0 0 0 y y A csoportot alkot´o m´atrixokban csak a bet˝ ukkel jel¨olt poz´ıci´okban fordulhat el˝o nemnulla elem. A k´et egydimenzi´os ´abr´azol´asnak megfelel˝oen k´et darab 1 × 1-es, a k´et dimenzi´os ´abr´azol´asnak megfelel˝oen k´et, 2 × 2-es m´atrix tal´alhat´o, ezek ekvivalensek, ez´ert spurjuk megegyezik. A C3v csoport (2.27) m´atrixokkal t¨ort´en˝o ´abr´azol´asa irreducibilis. A 4. t´etel ´es a 2.1. karaktert´abla alapj´an a1 = 1, vagyis egyetlen olyan vektor van az R6 vektort´erben, amelyet a C3v csoport minden (2.27) alak´ u m´atrixa v´altozatlanul hagy.  Az irreducibilis a´br´azol´asok meghat´aroz´asa az al´abbi projektorral t¨ort´enik: ψα =

`α X α ∗ χ (g) g ∗ ψ |G| g∈G

(2.28)

Itt ψ egy tetsz˝oleges n elem˝ u vektor, amin a G csoport m´atrix´abr´azol´as´anak hat´asa defini´alt. Az irreducibilis komponenst az α index jellemzi, χα (g) pedig a karaktert´abla α-ik sor´aban a g elemet tartalmaz´o oszt´alyn´al a´ll´o elem, `α pedig az α alt´er dimenzio´ja. Amennyiben t¨obbdimenzi´os alt´err˝ol van sz´o, t¨obb line´arisan f¨ uggetlen vektort is ki lehet vet´ıteni, nyilv´an line´arisan f¨ uggetlen ψ vektorokb´ol kiindulva, g · ψ pedig a ψ f¨ uggv´eny transzform´altja a g csoportelem hat´as´ara10 . Amennyiben minden α-hoz ismert `α sz´am´ u f¨ uggetlen ψ α , akkor a csoport g elem´et alkalmazva ψα -ra megkapjuk a g-hez tartoz´o irreducibilis m´atrixot. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a karaktert´abla ilyenform´an t¨ort´en˝o meghat´aroz´asa a csoport rendj´enek n¨ovekedt´evel egyre nehezebb. Ugyanakkor a karaktert´abla ´altal´anos megfontol´asok alapj´an is meghat´arozhat´o, ahogyan azt a 10. fejezetben bemutatjuk. A ψ α , α = 1, . . . , nc b´azison a csoportot alkot´o m´atrixok diagon´alis blokkokb´ol ´allnak:   D(1) . . . 0  0 D(2) 0  (2.29)   .. . 0 0 Az `α rend˝ u m´atrixokb´ol `α szerepel. Ezen alak speci´alis eset´et l´attuk a ( 2.27) k´epletben. 10

Az olvas´ o r´eszletes p´eld´ at tal´ al a perem´ert´ekfeladatokkal foglalkoz´o r´eszben.

32

V´eges csoportok karaktert´abl´ait megtal´aljuk a GAP -programban (ld. a 3. fejezetet) vagy egy´eb k´ezik¨onyvekben (pl. Landau-Lifsic V. k¨otet, Kaplan k¨onyve, Biedenharn kiadv´anya, a h´ıres, de nehezen hozz´af´erhet˝o ATLAS (Conway ´es munkat´arsai)). A fenti projekci´o alkalmazhat´o b´armilyen halmazon, ahol a csoporthat´ast defini´altuk, a leggyakrabban egy f¨ uggv´enyt´eren szoktuk alkalmazni a csoporthat´as (2.8) szerinti defin´ıci´oj´aval. Az irreducibilis ´abr´azol´asokat u ´gy is meg lehet adni, hogy megadjuk a csoportelemek a´br´azol´asait. Ekkor az egydimenzi´os ´abr´azol´asok minden csoportelemhez egy sz´amot, a k´etdimenzi´os ´abr´azol´asok egy 2 × 2-es m´atrixot rendelnek. E m´atrixok azonos elemeit v´eve (pl. az 1,1 index˝ u elemeket v´eve) megkapjuk az a´br´azol´asnak megfelel˝o alt´er b´azisvektorait. Egy regul´aris csoport´abr´azol´asban a vet´ıt´es (vagyis a ψ f¨ uggv´eny irreducibilis komponenseinek meghat´aroz´asa) az al´abbi m´odon t¨ort´enik: α ψik =

`α X α D (g)g ∗ ψ. |G| g∈G ik

(2.30)

Az a´br´azol´asok sz´ama megegyezik a csoportelemek sz´am´aval, azaz,a csoport rendj´evel. Az (2.30) vet´ıt´es j´ol t¨ ukr¨ozi, hogy az irreducibilis a´br´azol´as egy p´alya elemeinek linea´rkombin´aci´oja. A p´alya minden olyan halmazon, t´eren, stb. megadhat´o, amelyen a csoportelemek hat´asa defini´alt. 2.5. Feladat (A C4v csoport egy ´ abr´ azol´ asa) Tekints¨ uk a C4v csoport elemeinek al´ abbi ´abr´azol´as´at: α = 1: De = 1, Dax = 1, Day = 1, Dd1 = 1, Dd2 = 1, Db = 1, Dc1 = 1, Dc2 = 1, α = 2: De = 1, Dax = 1, Day = 1, Dd1 = −1, Dd2 = −1, Db = 1, Dc1 = −1, Dc2 = −1, α = 3: α = 3: De = 1, Dax = 1, Day = 1, Dd1 = −1, Dd2 = −1, Db = 1, Dc1 = −1, Dc2 = −1, = −1,  α = 4: De = 1, D ax = −1,  Day = −1,  Dd1 = 1,Dd2 = 1, Db = 1, Dc1= −1, Dc2  1 0 0 1 1 0 −1 0 α = 5: De = , Dax = , Day = , Dd1 = , 0 1 0 1 0 −1        1 0 0 −1 −1 0 0 −1 0 1 Dd2 = , Db = , Dc1 = , Dc2 = , −1 0 0 −1 1 0 −1 0 Itt a csoportelemeket az els˝o k´et ´abr´azol´asban egyetlen sz´am ´abr´azolja, ez´ert k´et egydimenzi´os alt´err˝ol van sz´o, a harmadik ´abr´azol´asban 2 × 2-es m´atrixokkal ´abr´azoljuk a csoportelemeket, ez az ´abr´azol´as teh´at k´etdimenzi´os. A csoport megadott ´abr´azol´as´ahoz

33

tartoz´o b´azisvektorok: ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 ψ6 ψ7 ψ8

= = = = = = = =

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (1, −1, −1, −1, −1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, −1, −1, 1, −1, −1) (1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1) (1, −1, 1, 0, 0, −1, 0, 0) (0, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1) (0, 0, 0, 1, −1, 0, 1, −1) (1, 1, −1, 0, 0, −1, 0, 0)

(2.31) (2.32) (2.33) (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38)

A csoport karaktert´abl´aj´at11 a 2.2. t´abl´azat tartalmazza, amelyb˝ol spurok alapj´an meg´allap´ıthat´o, hogy az ´abr´azol´asok irreducibilisek. 

2.2.1.

Szorzat´ abr´ azol´ as

A fentiekb˝ol kit˝ unik, hogy tetsz˝oleges f¨ uggv´enyt fel lehet bontani egy csoport irreducibilis a´br´azol´asai szerint transzform´al´od´o f¨ uggv´enyek ¨osszeg´ere, felt´eve, hogy a csoportelemek hat´asa a sz´oban forg´o f¨ uggv´enyre defini´alt. Nyilv´an k´et ilyen f¨ uggv´eny szorzata is f¨ uggv´eny, ezek felbont´asa azt a k´erd´est veti fel, hogyan lehet az irreducibilis a´br´azol´asok szerint transzform´al´od´o f¨ uggv´enyek szorzat´anak felbont´as´at elv´egezni. Ennek vizsg´alat´ahoz transzform´aljuk k´et irreducibilis f¨ uggv´eny szorzat´at: X β β gψiα ψjβ = Dliα (g)Dmj (g)ψlα ψm , (2.39) l,m

k¨ozvetlen¨ ul l´atjuk, hogy a karakterek szorz´odnak: X β χα×β (g) = Diiα (g)Dkk (g) = χα (g)χβ (g)

(2.40)

i,k

Az (2.39)-ben szerepl˝o m´atrixot Dα×β -val jel¨olj¨ uk ´es az α, β a´br´azol´asok direkt szorzat´anak nevezz¨ uk. 11

A v´eges csoportok karaktert´ abl´ ait s 6. fejezetben tal´alja az olvas´o.

34

2.2.2.

´ azol´ Abr´ asok direkt szorzata, tenzorok felbont´ asa, ClebschGordan egyu ok ¨ tthat´

K´et m´atrix direkt szorzat´an az al´abbiakat ´ertj¨ uk. Legyen A ´es B m´asodrend˝ u, n´egyzetes m´atrixok. Direktszorzatuk:   a11 b11 a11 b12 a12 b11 a12 b12  a11 b21 a11 b22 a12 b21 a12 b22   A×B = (2.41)  a21 b11 a21 b12 a22 b11 a22 b12  . a21 b21 a21 b22 a22 b21 a22 b22 ´ Altal´ aban a direktszorzat oszlopainak (sorainak) sz´ama a komponensek oszlopainak (sorainak) sz´am´anak ¨osszege. A direktszorzat m´atrix a m´asodik m´atrixnak megfelel˝o blokkokb´ol ´all, a blokkok az els˝o m´atrix elemeinek felelnek meg. Minden blokkot u ´gy kapunk meg, hogy az els˝o m´atrix megfelel˝o elem´et szorozzuk a m´asodik m´atrixszal. Legyen adott az n kompunens˝ u u vektor. Az u komponenseib˝ol k´epzett ui uj mennyi´ s´egek m´asodrend˝ u tenzort alkotnak. Altal´ aban az nN komponensb˝ol a´ll´o tenzort N edrend˝ unek nevezz¨ uk. Az N -edrend˝ u tenzor egy N dimenzi´os line´aris teret k´epez le egy N dimenzi´os line´aris t´erre. Egy line´aris t´er irreducibilis alter´et m´ar defini´altuk a 2.2 fejezetben. A skal´aroper´ator f¨ uggetlen a koordin´at´ak v´alaszt´as´at´ol, az els˝orend˝ u oper´ator u ´gy transzform´al´odik u ´j kooordin´at´ak bevezet´esekor, mint egy vektor s.i.t. A tenzor irreducibilis komponenseit a forgat´asokkal szembeni viselked´es alapj´an defini´alj´ak. Az ω fok´ u irreducibilis tenzornak 2ω +1 komponense van (ezeket Ti jel¨oli), ´es azok az al´abbi m´odon transzform´al´odnak: ω X O−1 Ti O = Dij Tj , (2.42) j=−ω

ahol a Dij m´atrix a tengelyek forgat´as´at ´ırja le. Legyen a T tenzor irreducibilis felbont´asa X T= Tαt . (2.43) t,α

Ekkor a T tenzor irreducibilis komponensei is az `α dimenzi´os α alt´er koordin´at´aihoz hasonl´oan transzform´al´odnak, azaz, g·

Tαk

=

`α X

Dkt (g)Tαt .

(2.44)

t=1

2.6. T´ etel (Wigner-Eckart t´ etel.) Az hαi |Tτt |βki m´atrix elem nulla minden olyan esetben, amikor a Γτ × Γβ direktszorzat m´atrixelemeinek irrepekre val´o felbont´asa nem tartalmazza a Γα irrepet. 35

A Wigner-Eckart-t´etel seg´ıts´eg´evel integr´alok kisz´am´ıt´asa v´alik k¨onnyebb´e (eml´ekezz¨ unk, a legt¨obb esetben a skal´arszorzat ¨osszegz´est vagy integr´al´ast jelent, a vizsg´alt oper´ator term´eszet´et˝ol f¨ ugg˝oen). 2.7. T´ etel Amennyiben a T0 oper´ator a G csoporttal szemben invari´ans, a T0 oper´ator k¨ ul¨onb¨oz˝o irreducibilis ´abr´azol´asokhoz tartoz´o f¨ uggv´enyekkel k´epzett m´atrixelemeib˝ol k´epzett m´atrix diagon´alis az irrepkre vonatkoz´oan, ´es az irrep b´azisaira vonatkoz´oan, tov´abb´ a m´atrixelem nem f¨ ugg a b´azisf¨ uggv´eny sorsz´am´at´ol, vagyis α 



(2.45) aαi|T0 |a0 α0 i0 = δαα0 δii0 a|T0 |a0 . A fenti kifejez´esben az α irreducibilis alt´er ekvivalens b´azisait az a index k¨ ul¨onb¨ozteti meg.

2.3.

Folytonos csoportok

Legyen X topologikus t´er. Az ¨osszef¨ ugg˝os´eg tanulm´anyoz´as´ahoz n´eh´any topol´ogiai alapfogalomra van sz¨ uks´eg¨ unk. Azt mondjuk, hogy X tartalmaz egy F p´aly´at, ha l´etezik olyan f (t) folytonos f¨ uggv´eny, amely a t val´os param´eter minden egyes 0 ≤ t ≤ 1 ´ert´ek´enek megfelelteti X egy j´ol meghat´arozott pontj´at. Ekkor az F p´alya ¨osszek¨oti az X t´er f (0)-hoz ´es f (1)-hez rendelt pontjait. F -et nullap´aly´anak nevezz¨ uk, ha az f f¨ uggv´eny a´lland´o. Az f (0) ´es f (1) pontokat ¨osszek¨ot˝o p´aly´akat homotopnak nevezz¨ uk, ha l´etezik olyan folytonos transzform´aci´o, amely az egyik p´aly´at a m´asikba folytonosan transzform´alja. Az X fundament´alis csoportj´anak elemei az egym´asba folytonos deform´aci´oval a´tvihet˝o z´art g¨orb´ek oszt´alyai. Egy x ∈ X ´es y ∈ X v´egpont´ u g¨orbe alatt az I = [0, t] intervallum olyan f : I → X folytonos lek´epez´es´et ´ertj¨ uk, amelyre f (0) = x ´es f (1) = y. A g¨orbe z´art, ha x = y. Az f : I → X lek´epez´es kezd˝opontja legyen x, v´egpontja y, a g : I → X g¨orbe kezd˝opontja legyen y, v´egpontja pedig z. Az f, g g¨orb´ek kompoz´ıci´oja az az f g : I → X lek´epez´es, amelyre  f (2t) ha 0 ≤ t ≤ 1/2 f g(t) = (2.46) g(2t − 1) ha 1/2 ≤ t ≤ 1. K´et I → X g¨orbe, f ´es g, amelyek mindegyik´enek kezd˝opontja x ´es v´egpontja y, homot´op, ha l´etezik a J = [0 ≤ t, u ≤ 1] n´egyzetnek olyan ϕ : J → X folytonos lek´epez´ese, amelyre ϕ(t, 0) = f (t); ϕ(t, 1) = g(t); ϕ(0, u) = x; ϕ(1, u) = y

(2.47)

Azoknak a z´art g¨orb´eknek a homot´opia oszt´alyai, amelyeknek kezd˝o- ´es v´egpontjai egyar´ant x0 , csoportot alkotnak a g¨orb´ek kompoz´ıci´oj´ara, mint m˝ uveletre n´ezve. Ez a csoport X fundament´alis csoportja, jele π(X). Az X t´er egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o, ha π(X) = e (egys´egelem). 36

A fundament´alis csoport fogalma szorosan kapcsol´odik a diszkr´et transzform´aci´ocsoportokhoz. Ha X olyan t´er, amelyben b´armely k´et pont g¨orb´evel ¨osszek¨othet˝o, akkor ˆ t´er ´es egy azon hat´o, π(X)-szel l´etezik olyan ¨osszef¨ ugg˝o ´es egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o X ˆ ˆ teret X izomorf G csoport u ´gy, hogy X = G\X (a jel¨ol´est ld. az orbitokn´al). Az X ˆ t´er olyan D ⊂ X univerz´alis fed´es´enek nevezz¨ uk. 12 Fundament´alis tartom´anyon az X r´eszhalmaz´at ´ertj¨ uk, amely minden orbitot metsz, ´es amelynek minden x ∈ D bels˝o pontj´ara teljes¨ ul, hogy x orbitj´anak ´es D-nek metszete pontosan x. Ekkor D lez´artj´anak D-nak k´et pontja csak akkor tartozhat azonos orbithoz, ha a pontok D hat´ar´an vannak. ˆ teret u ´Igy a G\X ´gy k´epzelhetj¨ uk el, hogy D-t ¨osszeragasztjuk, azonos´ıtva egym´assal hat´ar´anak azonos orbithoz tartoz´o pontjait. P´eld´aul az egyenes eltol´asainak csoportj´anak a [0, 1] intervallum fundament´alis tartom´anya. Ennek k´et v´egpontj´at azonos´ıtva egy k˝ort kapunk.

2.3.1.

Lie-csoportok

Egy tartom´any vizsg´alata sor´an gyakran folyamodunk lek´epez´esek haszn´alat´ahoz. Legyen M, N ⊂ Rn k´et ny´ılt halmaz, legyen tov´abb´a adott az f : M → N f¨ uggv´eny, amely az M halmazt az N halmazba k´epezi le. Az f lek´epez´est diffeomorfizmusnak nevezz¨ uk, −1 ha f tetsz˝olegesen sokszor differenci´alhat´o, inverzf¨ uggv´enye f l´etezik ´es tetsz˝olegesen sokszor diferenci´alhat´o. Az f : M → N f¨ uggv´eny • sz¨ urjekt´ıv, amennyiben a teljes M halmaz k´epe a teljes N halmaz; • injekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨ uk, ha ha M k¨ ul¨onb¨oz˝o elemeit N k¨ ul¨onb¨oz˝o elemeibe k´epezi le; • bijekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨ uk, ha a lek´epez´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u. Tov´abbi oszt´alyoz´as lehets´eges, ha az M, N halmazok pontjai k¨oz¨ott rel´aci´ok is fel´all´ıthat´oak. A lek´epez´esek vizsg´alat´anak fontos eleme annak eld¨ont´ese, hogy az N halmaz tartalmazzae ugyanazt az inform´aci´ot, mint az M halmaz. Figyelembe kell azt is venni, hogy a k´et halmaz dimenzi´oja elt´er˝o is lehet. Erre a c´elra haszn´aljuk egy adott f : M → N lek´epez´es rangj´at. Legyen f : M → N egy sima lek´epez´es az m dimenzi´os M t´erb˝ol az n dimenzi´os N t´erbe. f rangj´an egy adott x ∈ M pontban az n × m-es ∂f i /∂xj Jacobi-m´atrix rangj´at ´ertj¨ uk. (A koordin´at´akat ki´ırva x = (x1 , . . . , xm ) ∈ M → y = (y 1 , . . . , y n ), azaz, i i 1 y = f (x , . . . , xm ), i = 1, . . . , n). Az f lek´epez´est maxim´alis rang´ unak nevezz¨ uk, ha a Jacobi-m´atrix rangja maxim´alis, azaz egyenl˝o min(m, n)-nel. A csoportok k¨oz¨ott fontos helyet foglalnak el azok a csoportok, amelyeknek elemei folytonos f¨ uggv´enyei egy vagy t¨obb param´eternek. Ilyen csoportot alkotnak pl. a s´ıkbeli 12

Tov´ abbi r´eszleteket ld. Safarevics k¨ onyv´enek 131.-ik oldal´an.

37

forgat´asok m´atrixai, aminek a´ltal´anos elem´et   cosθ −sinϑ Aϑ = sinϑ cosθ

(2.48)

alakba ´ırhatjuk. Az Aϑ m´atrixok a m´atrixszorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ugyanakkor a csoport minden eleme differenci´alhat´o f¨ uggv´enye ϑ-nak. A csoportm˝ uvelet ”´ath´ar´ıthat´o” a ϑ v´altoz´ora, hiszen   cos(ϑ1 + ϑ2 ) −sin(ϑ1 + ϑ2 ) Aϑ 1 Aϑ 2 = (2.49) sin(ϑ1 + ϑ2 ) cos(ϑ1 + ϑ2 ) Ezzel az ¨osszef¨ ugg´essel lek´epezt¨ uk a forg´ast le´ır´o m´atrixokat a val´os sz´amokra (azaz, a m´atrixelemekben szerepl˝o θ argumentumra), a lek´epez´es izomorfia, a csoportm˝ uvelet a m´atrixok k¨ozt a m´atrixszorz´as, a val´os sz´amok (azaz, a m´atrix argumentumok) k¨oz¨ott pedig az ¨osszead´as. A param´eterekt˝ol folytonosan f¨ ugg˝o csoportokkal foglalkozunk a tov´abbiakban. A csoportelemek ´altal´aban t¨obb param´etert˝ol is f¨ uggenek, ez´ert a param´etert R helyett Rn ben (n ≥ 1) vizsg´aljuk. Mivel a fizik´aban alkalmazott Lie-csoportok t¨obbnyire m´atrix csoportok, az al´abbiakban csak a lok´alisan line´aris Lie-csoportokkal foglalkozunk. Legyen W egy egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o ny´ılt halmaz, amely tartalmazza az Rn t´er o = (0, . . . , 0) pontj´at, tov´abb´a, amely a val´os elem˝ u p = (p1 , . . . , pn ) sz´am n-esekb˝ol a´ll. Tekints¨ uk az invert´alhat´o A(p) = A(p1 , . . . , pm ) m-edrend˝ u m´atrixokat, amelyek defini´alva vannak minden p ∈ W-re, ´es fenn´all tov´abb´a: • A(0, . . . , 0) = Em egys´egm´atrix; • A(p) analitikus f¨ uggv´enye p minden komponens´enek; • A ∂A/∂pj , j = 1, . . . , m m´atrixok line´arisan f¨ uggetlenek minden p-re. • L´etezik az o = (0, . . . , 0) elemnek olyan W0 ∈ W k¨ornyezete , hogy b´armely p, q ∈ W-p´arhoz tal´alhat´o olyan r ∈ W, amelyre teljes¨ ul A(p)A(q) = A(r). Itt a baloldalon ´all´o szorz´as egyszer˝ u m´atrixszorz´ast jelent. A fent defini´alt A(p) m´atrixok a m´atrixszorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve egy GL csoportot alkotnak. Ezt a csoportot n-dimenzi´os, val´os, lok´alis Lie-csoportnak nevezik13 . A p param´etert a GL csoport lok´alis koordin´at´aj´anak nevezz¨ uk. Mivel tetsz˝oleges A(p), A(q) ∈ GL -re fenn´all A(r) = A(p)A(q) ∈ GL , ez´ert r = f (p, q). 13

Sophus Lie (1842-1899) sv´ed matematikus tisztelet´ere.

38

(2.50)

Itt az f f¨ uggv´enynek n komponense van. Bel´athat´o, hogy a p koordin´at´ak helyett b´armely 0 m´asik p = F(p) koordin´ata egy u ´j csoportot eredm´enyez, az A(p) → A(p0 ) lek´epez´essel. A m´atrixok szorz´asa teh´at le´ırhat´o a m´atrixok param´eterei k¨oz¨otti f f¨ uggv´ennyel is. Az asszociativit´as miatt teljes¨ ulnie kell tetsz˝oleges p, q ´es r argumentumok eset´en az f (r, f (p, q)) = f (f (r, p), q)

(2.51)

ugg´esnek. Az egys´egelem nyilv´anval´oan l´etezik a m´atrixok k¨oz¨ott, ez´ert l´eteznie ¨osszef¨ kell egy o vektornak, amelyre fenn´all: f (p, o) = f (o, p) = p.

(2.52)

Mivel feltett¨ uk, hogy a sz´obanforg´o m´atrixok invert´alhat´oak, adott m´atrixnak l´etezik az inverze is, ez´ert minden p param´eterhez l´etezik olyan p param´eter, amelyre f (p, p) = f (p, p) = o.

(2.53)

Legyen p(t) egy vektor-skal´ar f¨ uggv´eny, amely R → Rn ´es analitikus t < 1-re. A GL csoport G Lie-algebr´aj´at a d A = A(p(t)) (2.54) dt t=0 m-edrend˝ u m´atrixok halmaza alkotja, ahol p(t) v´egigfut minden olyan g¨orb´en Rn -ben, amely ´atmegy az o ∈ Rn ponton. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden A ∈ G fel´ırhat´o az al´abbi n, line´arisan f¨ uggetlen B1 , . . . , Bn m´atrix line´aris kombin´aci´ojak´ent: ∂A(p) , i = 1, . . . , n. (2.55) Bj = ∂pj Val´oban, ha A = d/dtA(p(t)) ∈ G, akkor n n X X ∂pj (t) ∂A(p) A= = αj Bj . ∂t ∂p j t=0 p=o i=1 j=1

(2.56)

Eszerint G rendelkezik egy n-dimenzi´os vektort´er strukt´ ur´aj´aval, e vektort´eren defini´alva van az ¨osszead´as ´es a skal´arral val´o szorz´as. Ebben a vektort´erben a Bj , j = 1, . . . , n m´atrixok b´azist alkotnak. A m˝ uveletek sz´am´at b˝ov´ıteni lehet. Vizsg´aljuk meg az A, B ∈ G m´atrixok kommut´ator´at! Minthogy [A, B] = AB − BA, tov´abb´a a m´atrixszorz´as a´tvihet˝o a param´eterek transzform´aci´oj´ara (2.50) szerint, tov´abb´a, minden G-beli m´atrix kifejthet˝o a Bj m´atrixok szerint, az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: [Bm Bn ] =

n X

(mn)

ci

Bi , 1 ≤ m, n ≤ n.

i=1

39

(2.57)

Tov´abb´a, (mn)

ci

= ci,mn − ci,nm

(2.58)

ahol ci,mn = ∂p2i pj fi (p, q)|p,q=o . Ezzel a G vektort´eren ´ertelmezt¨ uk a kommut´atort is, G-hez teh´at egy Lie-algebra is rendelhet˝o az al´abbiak szerint. Egy L halmazt, amelyen k´et m˝ uvelet van ´ertelmezve, egy a+b ¨osszead´as ´es egy [a, b] = ab−ba kommut´al´as Lie-gy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk, ha kiel´eg´ıti az ¨osszes gy˝ ur˝ uaxi´om´at, kiv´eve a szorz´as asszociativit´as´at, aminek hely´ebe az [a, a] = 0 ´es [[a, b], c]+[[b, c], a]+[[c, a], b] = 0 azonoss´agok l´epnek minden a, b, c ∈ L-re. Ha L m´eg vektort´er is valamilyen K test felett, akkor L-et egy K-feletti Lie-algebr´anak nevezz¨ uk. 2.1. Feladat . Legyen D ∈ L az els˝orend˝ u differenci´al´as oper´atora: X ∂f . D(f ) = pi ∂x i i

(2.59)

Ekkor D(f1 + f2 ) = D(f1 ) + D(f2 ) ´es D(f1 f2 ) = fP abb´a ha D(f ) = 1 D(f2 ) + f2 D(f1 ) tov´ P ∂f ∂f 0 ha f a konstans f¨ uggv´eny. Legyen D1 (f ) = i qi ∂xi . Ekkor i pi ∂xi , D2 (f ) = P P ∂qi ∂pi [D1 , D2 ] = i Ri ∂x∂ i ahol Ri = k pk ∂x − qk ∂x . Teh´at [D1 , D2 ] is els˝orend˝ u differenk k ci´aloper´ator. Tov´abb´a [D, D] = 0 ´es [[D1 , D2 ], D3 ] + [[D2 , D3 ], D1 ] + [[D3 , D1 ], D2 ] = 0, teh´at az els˝orend˝ u deriv´altak Lie-algebr´at alkotnak. Most megmutatjuk, hogy a GL Lie-csoport elemeit param´eterezhetj¨ uk a Lie-algebra b´azisaival. V´alasszuk Pn az A ∈ GL csoportelem k¨ovetkez˝o a´br´azol´as´at: amennyiben A = exp A, ahol A = i=1 αi Bi , akkor A = exp

n X

αi Bj .

(2.60)

i=1

Az (α1 , . . . , αn ) egy¨ utthat´okat az A ∈ GL m´atrix kanonikus koordin´at´ainak nevezik. Az A = exp A lek´epez´es megval´os´ıthat´o, hiszen amennyiben kAk < ε, akkor exp(A) ∈ GL . Tov´abb´a, ha kA − Em k < δ, akkor fel´ırhat´o A = exp A, A ∈ G alakban, egyetlen A ∈ G, kAk < ε seg´ıts´eg´evel. A Lie-csoportok m´asik fontos ´abr´azol´as´at alkotj´ak a lek´epez´esek. Tekints¨ unk egy L sokas´agot, amelyen ´ertelmezve vannak L → L transzform´aci´ok. Ilyen p´eld´aul az s´ıkot ¨onmag´ara lek´epez˝o, forgat´asokat le´ır´o SO(2) csoport, vagy az Rn teret ¨onmag´ara lek´e´ pez˝o, invert´alhat´o, line´aris transzform´aci´ok GL(n) csoportja. Altal´ aban egy Lie-csoport megval´os´ıthat´o egy M sokas´ag automorfizmusainak seg´ıts´eg´evel. A transzform´aci´ok abban az ´ertelemben lok´alisak, hogy egyes transzform´aci´ok esetleg nem defini´altak M egyes pontjaiban, vagy hat´asuk nem defini´alt egyes transzform´aci´okra. A vizsg´alt lek´epez´esek a´ltal´aban nemline´arisak, ez´ert m´atrixokkal nem le´ırhat´oak. Egy adott transzform´aci´o le´ır´as´at u ´gy adjuk meg, hogy megadjuk az x ∈ M pont x0 ∈ M k´ep´et, ´es megadjuk, melyik transzform´aci´or´ol van sz´o, ez ut´obbit a lek´epez´esben egy 40

param´eterrel, g-vel fogjuk jel¨olni. Legyen egy lek´epez´es adott a Ψ(g, x) g v´altoz´oj´aban mindenhol differenci´alhat´o f¨ uggv´ennyel, ahol x ∈ M ´es g ∈ GL . K´et lek´epez´es szorzat´at egym´as ut´ani alkalmaz´asuk jelenti. Legyen az els˝o lek´epez´es param´etere h, a m´asodik´e g, akkor Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g · h, x), (2.61) ami azt fejezi ki, hogy k´et lek´epez´es szorzata is lek´epez´es, gh param´eterrel. Azt a lek´epez´est, amely minden x ∈ M pontot v´altozatlanul hagy, az e param´eterrel azonos´ıtjuk. Nyilv´an Ψ(g −1 , Ψ(g, x)) = Ψ(e, x) = x. Megmutathat´o, hogy a Ψ(g, x) lek´epez´esek csoportot alkotnak. A komponenseket is ki´ırva: x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ´es a lek´epez´es eredm´enye legyen x0 = Ψ(g, x). Kiz´ar´olag g szerint deriv´alhat´o lek´epez´esekkel foglalkozunk, ez´ert az x0 vektor i-ik komponens´enek g szerinti deriv´altj´at ´ırhatjuk dx0i = ξi (x) dg

(2.62)

alakba. Adott Ψ lek´epez´es egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a ξi (x) f¨ uggv´enyeket. Mivel 0 0 g = e eset´en x = x, ez´ert teljes¨ ulnie kell az x (e) = x felt´etelnek is. Alkalmazzuk a fenti gondolatmenetet a x0 = Ψ(h, x) pontra. Ekkor legyen a k´eppont x” = Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g, x0 ). Nyilv´an fenn´all dx”i /dg = ξi (x0 ) minden 1 ≤ i ≤ n indexre, ´es x”(e) = x0 . Vizsg´aljuk most az y = Ψ(g · h, x) lek´epez´est. Nyilv´an dyi /dg = ξi (x) ´es y(e · h) = x0 . Kaptunk k´et, els˝o deriv´altakat tartalmaz´o kezdeti´ert´ek feladatot, amelynek csak egy megold´asa l´etezik, ez´ert Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g · h, x), teh´at a lek´epez´esek t´enyleg csoportot alkotnak. Minthogy a transzform´aci´o g = e eset´en helyben hagyja az x pontot, feltehetj¨ uk, hogy a g-hez tartoz´o transzform´aci´o folytonosan v´altozik g-vel ´es elegend˝o a g-hez tartoz´o transzform´aci´ot els˝o rendben tekinteni, ´es minden g csoportelemhez t´ars´ıthat´o egy ε 0, √ a´tsk´al´azzuk az id˝ot az al´abbi m´odon: t → τ = t/ k ´es bevezetj¨ uk tanα = kv-t, amivel a (2.152) m´atrix egy α sz¨og˝ u forgat´ast ´ır le a t, x s´ıkban. A (2.151)-nek megfelel˝o sebess´eg¨osszead´as k¨oz¨ons´eges ¨osszead´ass´a v´alik. Amennyiben k-t sebess´egk´ent ´ertelmezz¨ uk, ebb˝ol konfliktusok sz´armaznak. A t´erid˝o automorfizmusainak ´ıgy kapott csoportja SO(4) lesz. • Amennyiben k = 0, az A m´atrixnak a Galilei-transzform´aci´ok csoportja felel meg. A sebess´eg¨osszead´as vektor¨osszead´ass´a egyszer˝ us¨odik. √ • Amennyiben c = k < 0, 1/ −k a sebbes´egek fels˝o hat´ar´anak ad´odik. p Bevezetj¨ uk az al´abbi jel¨ol´eseket: τ = ct, v/c = β, β = tanh ρ ´es γ = 1/ 1 − β 2 . Ekkor (2.152) az al´abbi alakot ¨olti:  0        τ γ −βγ τ cosh ρ − sinh ρ τ = = . x0 −βγ γ x − sinh ρ cosh ρ x (2.153) A ρ = tanh−1 (v/c) = tanh−1 (β) kifejez´es a koordin´ata-rendszerek relat´ıv sebess´ege. (Vess¨ uk ¨ossze a fenti k´epletet a (2.135)-(2.136) k´epletekkel). Ezzel megmutattuk, hogy a t´erid˝o automorfizmuscsoportj´at Galilei-transzform´aci´ok ´es Lorentz-transzform´aci´ok alkothatj´ak. A transzform´aci´ot reprezent´al´o m´atrixok szerkezet´et pedig megszabja a tett h´arom plauzibilis feltev´es. A tov´abbiakban a Lorentz-csoporttal foglalkozunk. A t´erid˝ot n´egydimenzi´os val´os vektort´erk´ent ´abr´azoljuk, a k¨ovetkez˝o metrik´aval : gij = diag(1, −1, −1, −1).

(2.154)

Jel¨olje Lai a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at. A Lorentz-csoporthoz tartoz´o m´atrixok defin´ıci´o szerint kiel´eg´ıtik az 4 X gij Lik Ljl = gkl . (2.155) i,j=1

ugg´est. ´Irjuk a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at ¨osszef¨   − γ → aT L= → − b M

(2.156)

alakba. A (2.155) defin´ıci´o szerint fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: → − → − → − → − − a 2 = γ 2 − 1, γ b = M · → a , M · MT = E3 + b ⊗ b T → −2 → − − − − b = γ 2 − 1, γ → a = MT b , MT M = E3 + → a ⊗→ a T . (2.157)

63

Minden L m´atrix felbonthat´o egy forgat´ast le´ır´o m´atrix ´es egy sebess´egtranszform´aci´o szorzatak´ent: L = B · R, (2.158) ahol B=

! → −T γ b − → − → → − ⊗bT b E3 + b 1+γ

(2.159)

R=

! → −T 1 0 − → − . → − ⊗→ aT 0 M − b 1+γ

(2.160)

´es

− → − →T

⊗a A bizony´ıt´asb´ol csak azt a r´eszt id´ezz¨ uk, amelyb˝ol bel´athat´o, hogy D = M − b 1+γ t´enyleg egy t´erbeli forgat´ast ´ır le. El˝osz¨or is (2.157) alapj´an DDT = E3 . Tov´abb´a, det(D) = 1, mert det(L) = 1 ´es det(B) = 1. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a D m´atrix forgat´ast ´ır le. Vizsg´aljuk meg, milyen param´eterekkel ´ırhat´o le a B sebess´egtranszform´aci´o! Legyen → − → − − v = b /γ ´es v = k→ v k. Ezzel

√ → − − − − v ,→ a = γDT → γ = 1/ 1 − v 2 , b = γ → v,

(2.161)

− vagyis, a B m´atrixot egy´ertelm˝ uen param´eterezi → v. − Az utols´o l´ep´es a sebess´eg¨osszetev´es vizsg´alata. Hajtsuk v´egre el˝osz¨or a → v 1 vektorral, → − majd a v 2 vektorral jellemzett sebess´egtranszform´aci´ot! A k´et m´atrix szorzat´at (2.158) − szerint felbonthatjuk egy M forgat´as ´es egy → v 3 sebess´eggel jellemzett sebess´egtranszform´aci´o szorzatak´ent. Megmutathat´o, hogy − − − − − L(→ v 1 , D1 )L(→ v 2 , D2 ) = L(→ v 1 ? D1 · v2 , T[→ v 1 , D1 · → v 2 ] · D1 D2 ).

(2.162)

Itt D1 ´es D2 jelenti a v1 ´es v2 sebess´egekhez tartoz´o m´atrix (2.158)-szerinti felbont´as´aban szerepl˝o forgat´asok m´atrix´at. A sebess´egek kompoz´ıci´oj´at megad´o szab´aly: → − − − v1+→ v 2k + γ1−1 → v 2⊥ → − − . v1?→ v2= → − → − 1+ v1v2

(2.163)

− − A sebess´egkompoz´ıci´ok nem alkotnak csoportot, mert a → v 1 ?→ v 2 m˝ uvelet nem asszociat´ıv. → − → − → − → − − − − − L´etezik viszont egys´egelem: v ? 0 = 0 ? v , l´etezik inverz, hiszen → v (−→ v ) = (−→ v )→ v = → − 0 . Igaz tov´abb´a az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es is: → − − − − − − − − v 1 ? (→ v2?→ v 3 ) = (→ v1?→ v 2 ) ? (T[→ v 1, → v 2] · → v 3 ).

(2.164)

− − − Megmutathat´o, hogy a → v1?→ v2 = → v 3 egyenlet egy´ertelm˝ uen megoldhat´o a harmadik → − sebess´egre, ha v 3 ´es egy m´asik sebess´eg adott. 64

A sebess´egek ¨osszead´asa kapcsolatban a´ll a hiperbolikus geometri´aval (Borel, 1913). Bevezetve a sebess´egt´erben a radi´alis koordin´at´at, a metrika ´ıgy ´ırhat´o fel: dv 2 v2 + (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) (1 − v 2 )2 1 − v 2 dR2 = + R2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) 1 + R2 4r2  2 2 2 2 2 dr + r (dθ + sin θdϕ ) = 1 − r2 = d%2 + sinh2 %(dθ2 + sin2 θdϕ2 ),

s2 =

(2.165)

s2

(2.166)

s2 s2

(2.167) (2.168)

ahol v 1 − v2 v √ r = 1 + 1 − v2 % = tanh−1 v,

R = √

(2.169) (2.170) (2.171)

´es R ∈ [0, ∞], r ∈ [0, 1], % ∈ [0, ∞]. ¨ 2.2. Feladat (A Lorentz-transzform´ aci´ o m´ atrixa) Osszehasonl´ ıt´ask´eppen k¨oz¨olj¨ uk Novob´atzky K´aroly k¨onyv´eb˝ol a p Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at. Az alkalmazott jel¨ol´es: uk teh´at a K ´es v 2 = v1 2 + v2 2 + v3 2 , κ = 1/ 1 − v 2 /c2 , c a f´enysebess´eg. Tekints¨ 0 K inerciarendszereket, amelyek tengelyei nem esnek ¨ossze ´es nem esnek a (v1 , v2 , v3 ) komponensekkel jellemzett k¨olcs¨on¨os mozg´as ir´any´aba. A K ´es K0 rendszerekben m´ert id˝ot t ill. t0 adja meg. Feltessz¨ uk, hogy a t = t0 = 0 id˝oben a K ´es K0 rendszerek orig´oja egybeesik. Ekkor az    0  x x  y   y0   0  = L  (2.172)  z   z  t0 t transzform´aci´ot le´ır´o Lorentz-m´atrix:  2 (κ−1)v1 v2 (κ−1)v1 v3 1 iκ vc1 1 + (κ−1)v v2 v2 v2 2  (κ−1)v2 v1 (κ−1)v2 v3 2  1 + (κ−1)v iκ vc2 v2 v2 v2 L =  (κ−1)v 2 (κ−1)v3 v2 3 v1 3  1 + (κ−1)v iκ vc3 v2 v2 v2 −iκ vc1 −iκ vc2 −iκ vc3 κ

   . 

(2.173)

Az L m´atrix egy line´aris transzform´aci´ot ´ır le, ez´ert a koordin´atadifferenci´alokra ugyanez a m´atrix alkalmazhat´o.  65

2.5.3.

Irodalom

Magyar nyelv˝ u csoportelm´elet Safarevics, Kuros ´es Wigner k¨onyve. Ezek k¨oz¨ ul csak Kuros k¨onyve nevezhet˝o bevezet˝o jelleg˝ unek. A gazdag angol nyelv˝ u irodalomb´ol Falicov, Hammermesh ´es Sternberg k¨onyve aj´anlhat´o. Wigner, Olver ´es Landau-Lifsic ink´abb a halad´o olvas´oknak aj´anlhat´o. Safarevics k¨onyve j´o ¨osszefoglal´o, de nem bevezet˝o jelleg˝ u munka. Az algebra ´es geometria k¨oz¨otti kapcsolat bevezet˝o le´ır´as´at adja (piros ´es s´arga).

66

3. fejezet Seg´ edeszk¨ oz¨ ok a csoportelm´ eleti sz´ am´ıt´ asokhoz

67

Egy sz´am´ıt´og´epen nem csak sz´amokkal lehet m˝ uveleteket v´egezni. A nagy sz´am´ıt´asig´eny˝ u munk´ak (pl. r´eszecskefizikai k´ıs´erletek ki´ert´ekel´ese) ig´enyelt´ek sz´am´ıt´og´epek alkalmaz´as´at. Ez is ¨oszt¨on¨ozte a szimbolikus vagy formulamanipul´aci´os nyelvek kidolgoz´as´at, amelyek seg´ıt´es´eg´evel be lehet helyettes´ıteni formul´akban szerepl˝o r´eszek hely´ere bonyolult kifejez´eseket, el lehetett v´egezni egy kifejez´es egyszer˝ us´ıt´es´et vagy deriv´al´as´at. A formulamanipul´aci´os nyelvekben tetsz˝olegesen pontos aritmetik´at is megval´os´ıtottak, az eg´esz sz´amokat tetsz˝olegesen sok sz´amjeggyel lehet jellemezni, a racion´alis sz´amokat k´e√ t eg´esz h´anyadosak´ent, az irracion´alis sz´amokat pedig egy formul´aval lehet le´ırni. ´Igy a 2 a´br´azol´as´ahoz ”egy sz´am, amelynek saj´atmag´aval vett szorzata kett˝ot ad” defin´ıci´ot lehet felhaszn´alni. Az els˝o formulamanipul´aci´os nyelveket (Schoonship, T. Veltman programja) ´es a REDUCE (Hearst programja) r´eszecskefizik´aban gyakran sz¨ uks´eges sz´am´ıt´asok elv´egz´esre k´esz´ıtett´ek. Ez a munka a nyolcvanas ´evekben jelent˝os lend¨ uletet kapott, egym´as ut´an jelent meg a MAXIMA, SMP, MAPLE, SCRATCHPAD, AXIOM, majd nyolcvanas ´evek v´ege fel´e a MATHEMATICA. Ezek ´altal´anos c´el´ u programok, amelyekhez egy-egy speci´alis feladat megold´as´ara csomagokat lehetett ´ırni, ilyen csomagok a CALI (konstrukt´ıv algebrai feladatok megold´as´ara szolg´al´o csomag), IDEALS (nem-konstrukt´ıv geometriai feladatok), PDEtools, StandardForm (parci´alis differenci´alegyenletek), a REDUCEhoz, a CASA csomag (konstrukt´ıv algebrai feladatok megold´as´ara) a MAPLE-hoz. A szimbolikus nyelvek is szaporodtak, megjelent a MAXIMA nyelv, amelyen elk´esz¨ ult a SYMMGRP,MAX, SYMDE. A REDUCE tov´abb b˝ov¨ ult a CRACK ´es a ODESOLVE csomagokkal. A MACSIMA szimbolummmanipul´aci´os programot (amely k´es˝obb eg´esz csal´add´a alakult, amelynek tagjai a LISP nyelven meg´ırt ALJBR, MACSYMA, PARAMAX, PUNIMAX, VAXIMA programok) kieg´esz´ıtett´ek a PDELIE csomaggal. Az extra nagy matematikai objektumok kezel´es´ere l´etrej¨ott a FORM nyelv, majd megjelentek a MAGMA, GAP, SENAC numerikus ´es algebrai manipul´aci´ok v´egz´es´ere ´ır´odott programok. Ahogyan n˝ott a szimbolummanipul´aci´os programok sz´ama, nagyobb lett az ig´eny a csomagok k¨oz¨otti kapcsolat kialak´ıt´as´ara, l´etrej¨ott a MathLink a Mathematica-hoz, a MathEdge a Maple-hoz. Id˝ok¨ozben megjelent az OpenMath mozgalom, amely protokollt biztos´ıtott a csomagok k¨oz¨otti kommunik´aci´ohoz. A speci´alis szimbolikus nyelvek a matematika egy-egy ´ag´ara ¨osszpontos´ıtottak, ezen a ter¨ uleten jobb lehet˝os´egeket biztos´ıtva, mint az a´ltal´anos programok. Ezzel szemben kev´esb´e kellemes k¨ornyezetet (input, output, megjelen´ıt´es) biztos´ıtanak a felhaszn´al´onak. Az algebrai c´el´ u speci´alis szimbolikus programok k¨oz¨ott megeml´ıtj¨ uk a GAP (ld, fennt), ELIAS, GRAPE, ANU, CHEVIE, Schur ´es GUAVA k´odokat. A sz´amelm´eletben pedig a PARI, KANT, Galois, MALM, SIMATH k´odokat. Algebrai ´es geometriai feladatokra k´esz¨ ultek az Albert, Bergman, CoCoA, FELIX, GANITH, GB, GRB, KAN, Maculay, SACLIB, GROEBNER, Singular k´odok. Differenci´alegyenletekkel kapcsolatos k´odok: DESIR, DIMSYM, SPDE. Tenzorkalkulusban haszn´alatos k´odok: SHEEP, STENSOR.

68

A fenti k´odokb´ol, csomagokb´ol benn¨ unket az elgebrai feladatokban haszn´alatos k´odok ´erdekelnek. Az interneten t¨obb program is tal´alhat´o, amelyekkel algebrai feladatokat lehet megoldani. Ilyenek p´eld´aul a GAP ´es a MAGMA. Algebrai csomagok tartoznak a MATHEMATICA, vagy a MATLAB szimbolikus nyelvekhez is. A jelen fejezetben ismertetett nyelveket az t¨ unteti ki, hogy az algebra leggyakoribb fizikai alkalmaz´asaihoz (v´eges csoportok, Lie-csoportok, vektorterek, testek, lek´epez´esek stb.) sz¨ uks´eges ismeretek k¨onnyen megtal´alhat´o benn¨ uk. A MAGMA-t ld. www.maths.usyd.edu.au/magma, ahol a felhaszn´al´as felt´eteleit is meg lehet ismerni. A MAGMA el˝ofizet´es mellett haszn´alhat´o, a felt´eteleket a www.maths.usyd.edu.au/magma weboldalon tal´alja az Olvas´o.

3.1.

MAGMA

A V2.9 MAGMA verzi´o tartalomjegyz´eke az al´abbi elemekb˝ol ´all: • Bevezet´es – A Magma filoz´ofi´aja – A jelen dokumentum o¨sszefoglal´asa • A Magma nyelv ´es rendszer – A Magma felhaszn´al´oi nyelve – A Magma k¨ornyezet • Csoportok – Permutaci´ocsoportok – M´atrixcsoportok – V´egesen present´alt csoportok – Abel-csoportok – V´egesen present´alt Abel-csoportok – Policiklikus csoportok – V´eges feloldhat´o csoportok – V´eges p-csoportok – Csoportok, amelyeket u ´jra´ır´assal defini´alunk – Automatikus csoportok – Csoportok, amelyek elemeit programok gener´alj´ak – Braid csoportok 69

– A PSL(2, R) csoport r´eszcsoportjai • F´elcsoportok ´es monoidok – v´egesen prezent´alt f´elcsoportok – Monoidok, amelyeket u ´jra´ır´assal defini´alunk • Lie elm´elet – A Lie elm´elet gy¨okerei – Coxeter csoportok – Lie-t´ıpus´ u v´eges csoportok – Komplex t¨ ukr¨oz´esek csoportjai • Gy˝ ur˝ uk ´es testek – A racion´alis test, az eg´eszek gy˝ ur˝ uje – Egyv´altoz´os polinomok gy˝ ur˝ uje – Egyv´altoz´os polinomgy˝ ur˝ uk marad´ekoszt´alyai – V´eges testek – Galois gy˝ ur˝ uk – Sz´amtestek ´es rendj¨ uk ´ – Altal´ anos algebrai f¨ uggv´enyek teste – Diszkr´et ´ert´ek˝ u gy˝ ur˝ uk – Val´os ´es komplex testek – Newton soksz¨ogek – Lok´alis gy˝ ur˝ uk ´es testek – Hatv´any, Laurent and Puiseux sorok gy˝ ur˝ ui – Lazy hatv´anysorok gy˝ ur˝ ui – Algebrailag z´art testek • Kommutativ algebra – T¨obbv´altoz´os polinomok gy˝ ur˝ ui – Affin algebr´ak – Affin algebr´ak feletti modulusok

70

• Linearis algebra ´es modullus elm´elet – Matrixok – Vektorterek – Szabad modulusok – Dedekind dom´enek feletti Modulusok • R´acsok ´es kvadratikus form´ak – R´acsok – Binaris kvadratikus form´ak • Algebr´ak – V´egesen present´alt asszociat´ıv algebr´ak ´ – Altal´ anos v´eges-dimenzi´os algebr´ak – V´eges dimenzi´os asszociat´ıv algebr´ak – Quaternion algebr´ak – Csoport algebr´ak – M´atrix algebr´ak – V´eges simenzi´os Lie algebr´ak • Representaci´o elm´elet – Algebra feletti modulusok – Karakterek elm´elete – V´eges csoportok invari´ansai • Homologikus algebra – Alapvet˝o algebr´ak – L´anc komplexek • Algebrai geometria – S´em´ak ´ – Altal´ anos algebrai g¨orb´ek – Racion´alis g¨orb´ek ´es k´ upok – Elliptikus g¨orb´ek 71

– Hiperelliptikus g¨orb´ek – Modularis form´ak – K3 fel¨ ulet adatb´azisa – Gr´afok ´es Splice diagrammok • V´eges incidencia szerkezetek – Enumerative Combinatorics – Gr´afok – Incidence Structures and Designs – V´eges s´ıkok – Incidence Geometry • Hibajav´ıt´o k´odok – Line´aris k´odok v´eges testek felett – Line´aris k´odok Z4 felett • Titkos´ıt´as, pseudo v´eletlen sz´amsorozatok • Matematikai adatb´azisok • Dokument´aci´o • Irodalom A fenti tartalomjegyz´ekb˝ol kivonatosan id´ezz¨ uk a MAGMA filoz´ofi´aj´anak ismertet´es´et. A MAGMA egy sz´am´ıt´og´epeken m˝ uk¨od˝o algebrai rendszer, amelyet arra terveztek, hogy algebrai, sz´amelm´eleti, geometriai ´es kombinatorikai feladatokat oldjon meg. Ezek a feladatok gyakran k¨orm¨onfont matematikai h´att´erre ´ep¨ ulnek ´es megold´asuk m´eg sz´am´ıt´og´eppel is k¨or¨ ulm´enyes. A megold´ashoz MAGMA biztos´ıt egy matematikai szigor´ us´ag´ u k¨ornyezetet, amely hangs´ ulyozza a strukt´ ur´alt sz´am´ıt´ast. Kulcsszeret kapott a program azon k´epess´ege, hogy fel tudja ´ep´ıteni a matematikai strukt´ ur´ak kanonikus reprezent´acio´j´anak szerkezet´et. Ez´altal tesz lehet˝ov´e olyan m˝ uveleteket, mint egy elem (halmazhoz) tartoz´as´anak vizsg´alata, egy strukt´ ura tulajdons´againak le´ır´asa, izomorfi´ak vizsg´alata strukt´ ur´ak k¨oz¨ott. A MAGMA program sok oszt´aly strukt´ ur´aj´anak reprezent´aci´oj´at tartalmazza az algebra ¨ot alapvet˝o ´ag´ab´ol: • csoportelm´elet • gy˝ ur˝ uelm´elet 72

• testelm´elet • modulelm´elet • algebr´ak elm´elete. Ezen fel¨ ul, az elgebrai geometria ´es a gr´afelm´elet t¨obb strukt´ uracsal´adja megtal´alhat´o a MAGMA programban. A MAGMA rendszer f˝obb jellemz˝oi k¨oz¨ ul kiemelj¨ uk: • A tervez´es filoz´ofi´aj´at: a tervez´esi elvek, amelyek a felhaszn´al´oi nyelv ´es a rendszer architekt´ ur´aj´anak alapjait k´epezik, az ´altal´anos algebra ´es kateg´oriaelm´elet fogalmaira ´ep¨ ulnek. • Univerzalit´as: az algebra eml´ıtett ¨ot a´g´at m´elys´eg´eben lefedi a MAGMA nyelv. • Integr´aci´o: Az egyes ter¨ uletek seg´edeszk¨ozeit ´altal´anos elemekb˝ol ´ep´ıtett´ek fel, ez´ert a k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uleteket is a´tfog´o sz´am´ıt´asok programoz´asa egyszer˝ us¨od¨ott. A szerz˝ok szerint a MAGMA felhaszn´al´oi nyelv f˝obb tulajdons´agai: • utas´ıt´asokb´ol ´es proced´ ur´akb´ol ´all´o szabv´anyos nyelv; • funkcion´alis, hierarchikus fel´ep´ıt´es, amely lehet˝ov´e teszi kifejez´esek, f¨ uggv´enyek r´eszbeni ki´ert´ekel´es´et; • aggreg´alt, algebrai fogalmakra (halmaz, sorozat, lek´epez´es) ´ep¨ ul˝o adatt´ıpusok haszn´alata; • univerz´alis konstruktorok, amelyek ´altal´anos´ıthat´ov´a teszik a lek´epez´esek konstrukci´oj´at; • egyszer˝ u ´es hat´ekony jel¨ol´esrendszer, amely k¨ozel a´ll a matematikai jel¨ol´eshez; • egyszer˝ u m˝ uveletek halmazok vagy sorozatok k¨oz¨ott; • hat´ekony m˝ uveletek; • csomagok haszn´alata, amely megk¨onny´ıti a modul´aris alkalmaz´asokat.

73

3.2.

GAP

Az al´abbiakban r´eszletesen a GAP programcsomagr´ol sz´olunk. A programcsomag neve egy r¨ovid´ıt´es, ami a Groups, Algorithms and Programming szavak kezd˝obet˝ uib˝ol ´all ul¨on¨os tekintet¨ossze. A programcsomag diszkr´et algebrai feladatok megold´as´at seg´ıti, k¨ tel a csoportokra. A GAP csomagot az Aacheni Egyetemen (Lehrstuhl D f¨ ur Mathematik) fejlesztett´ek ki. A fejleszt´esben r´esztvev˝ok n´evsora: Alice Niemeyer, Werner Nickel, Martin Sch¨onert, Johannes Meier, Alex Wegner, Thomas Bischops, Frank Celler, J¨ urgen Mnich, Udo Polis, Thomas Breuer, G¨otz Pfeiffer, Hans U. Besche, Volkmar Felsch, Heiko Theissen, ´ Alexander Hulpke, Ansgar Kaup, Seress Akos, Horv´ath Erzs´ebet, Bettina Eick. A fejleszt´esbe bekapcsol´odott a sk´ociai St. Andrew Egyetem is. Ma m´ar a GAP egy szerte´agaz´o programcsomagg´a v´alt, aminek f˝obb r´eszei 1. Kernel, ami a mem´oria szervez´es´et v´egzi, de egy PASCAL szer˝ u programoz´asi nyelvet (amit szint´en GAP-nak h´ıvnak) is mag´aban foglal. A programoz´asi nyelv t´amogat egy sor adatt´ıpust, amelyek a testek, csoportok stb. le´ır´as´ahoz j´ol haszn´alhat´oak. A kernel harmadik r´esze egy interakt´ıv futtat´o k¨ornyezet, amiben a felhaszn´al´o beavatkozhat a sz´am´ıt´asba, s˝ot, bel¨ov´est is v´egezhet. 2. F¨ uggv´enyk¨onyvt´ar. Hat´ekony csoportelm´eleti f¨ uggv´enyek (pl. Elements, Centralizer, Normalizer, Size), lek´epez´esek ´es homomorfizmusok, karaktert´abla kezel˝o szubrutinok a´llnak a felhaszn´al´o rendelkez´es´ere. 3. Dokument´aci´o. Az on-line help funkci´o mellett minden fogalom ´es eszk¨oz r´eszletes le´ır´asa megtal´alhat´o, sz¨ovegk´ent ´es TEX f´ajl form´aban is. A le´ır´asok angol nyelven k´esz¨ ultek.

A GAP program az internetr˝ol ingyen let¨olthet˝o, a felhaszn´al´ok egy levelez´esi list´an cser´elhetik ki n´ezeteiket, tapasztalataikat, a lista egy´ uttal tan´acsad´asra-k´er´esre is j´ol haszn´alhat´o. Nem haszn´alhat´o viszont szabadon a GAP p´enz´ert ´arult term´ekek k´esz´ıt´es´ehez. Mire alkalmas GAP? A GAP egy szimbolikus nyelv, legink´abb a MATHEMATICA programcsomagra hasonl´ıt. Tal´alhat´o benne tetsz˝olegesen pontos aritmetika, m˝ uveletek v´egezhet˝oek egy csoport elemeivel, de halmazokkal, list´akkal ´es m´as a GAP-ban defini´alt strukt´ ur´akkal is. Az eredm´enyeket f´ajlba lehet ´ırni, van lehet˝os´eg az utas´ıt´asok f´ajlba ´ır´as´ara is, amivel bonyolult programokat lehet ´ırni. Az alapcsomagot sz´amos, speci´alis feladatokra kidolgozott programcsomag eg´esz´ıti ki. Hogyan t¨olthetj¨ uk le GAP-ot? A GAP-ot el´erhetj¨ uk a http://www.math.rwth-aachen.de/LDFM/GA direktorib´ol. T¨obb mirror-site is l´etezik, ezekben minden ´ejszaka a´tt¨oltik a leg´ ujabb v´altoztat´asokat. Mi tal´alhat´o a le´ır´asban? A 3.3.4 -es verzi´o le´ır´as´aban 85 fejezet tal´alhat´o, ezek k¨oz¨ ul n´eh´any: 74

• domains: itt adott szerkezet˝ u adathalmazt jelent. • fields testek (mint algebrai strukt´ ur´ak) • groups: csoportok • rings: gy˝ ur˝ uk (mint algebrai strukt´ ur´ak) • vector spaces: vektorterek, ahogyan megszoktuk • integers: az eg´esz sz´amokat itt is eg´esz sz´amok jel¨olik, de pl. ciklusban van lehet˝os´eg szimbolikus v´altoz´o haszn´alat´ara • number theory: sz´amelm´eleti f¨ uggv´enyek ´es mennyis´egek • rationals: a racion´alis sz´amok halmaza • lists: itt adott szerkezet˝ u adathalmazt jelent, pl. a m´atrix is egy lista • sets: halmazok ´es halmazf¨ uggv´enyek • permutations: permut´aci´ok • matrices: m´atrixok ´es m´atrix f¨ uggv´enyek • vectors: vektorok • algebras: algebr´ak (mint algebrai strukt´ ur´ak) • modules: modulusok (mint algebrai strukt´ ur´ak) • mappings: lek´epez´esek · homorphisms: homorfizmusok • combinatorics: kombinatorikai f¨ uggv´enyek • charater tables • Az ismertebb csoportok karaktert´abl´ait tartalmazza • Share csomagok: – · CARAT: krist´alycsoportok, Bravais csoportok – CrystCat: 2-,3-, ´es 4-dimenzi´os krist´alycsoportok katal´ogusa – CrystGap: affin krist´alycsoportok – EDIM: eg´eszelem˝ u m´atrixok oszt´oinak meghat´aroz´asa – FPLSA: v´egesen prezent´alt Lie-algebr´ak 75

– GRAPE: gr´afok vizsg´alata – GUAVA: k´odelm´elet – LAG: Lie-algebr´ak f¨ uggv´enyei – MeatAxe: v´eges testek feletti m´atrixok – MPQS: eg´esz sz´am t´enyez˝okre bont´asa (40 jegy˝ u sz´amot kb. 90 s alatt bont fel) – egy sor egy´eb, els˝osorban csoportelm´eleti k´erd´est vizsg´al´o csomag. A GAP seg´ıts´eg´evel gener´alhatunk olyan gy˝ ur˝ ut, testet, csoportot, vektorteret vagy m´as algebrai konstrukci´ot, amiben megadott elemek megtal´alhat´oak. Ehhez adott tipus´ u v´altoz´okkal v´egzett m˝ uveletekkel jutunk el. Az elemek egy¨ uttart´as´anak, egy¨ uttes kezel´es´enek legfontosabb eszk¨oze a lista, ami elemek gy¨ ujtem´enye. List´at alkotnak pl. egy vektor vagy m´atrix elemei. A rekord form´aban t´arolt elemeket domain-nek nevezik. A domainek kateg´ori´akba vannak rendezve (pl. csoport, gy˝ ur˝ u, test, vektort´er). Egy lista pl. a´talak´ıthat´o domain-n´e. A fentieken k´ıv¨ ul term´eszetesen a GAP programoz´as alapjait, a program haszn´alat´at ismertet˝o fejezetek is l´eteznek. Az al´abbi lev´el n´emi ´ızel´ıt˝ot ad a f´orum m˝ uk¨od´es´er˝ol, egy´ uttal a GAP programoz´as term´eszet´er˝ol is. A levelet Joachim Neubueser k¨ uldte a GAP f´orumnak, teh´at a k´erd´esre adott v´alaszt (´es persze a k´erd´est mag´at is) a GAP lista minden tagja megkapja. > Dear GAP Forum, > > Nicola Sottocornola asked: > > > this is my question. I’ve defined a group G by generators and relations. > > 1) How can I obtain all the elements g in G s.t. g\^2=u? >\\ > First of all it should be understood that in general the word problem > for a finitely presented group is algorithmically unsolvable, that is, > it is not possible to answer a question like this for an arbitrary > finitely presented group. If however the finitely presented group is > in fact finite there are trial and error methods, in particular the > so-called Todd-Coxeter method, to find a faithful permutation > representation of the finitely presented group and using this (behind > the back of the user) GAP can deal with a question like this (of course > only if the group is not only finite but small enough). >\\ > Here is an example how this can be done (the presentation used is a > presentation for the generalised quaternion group of order 16) and as 76

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

you see GAP does in fact show you only words in the generators of the finitely presented group and not what is happening behind the scene. gap> F := FreeGroup( "a", "b" );

gap> a := F.1;; b := F.2;; gap> G := F / [ a\^8, b\^4, a\^4*b\^-2, b\^-1*a*b*a ];

gap> a := G.1;; b := G.2;; gap> Size( G ); 16 gap> elts := AsSortedList( G ); [ , a, b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^4, a\^3, a\^2*b, a\^5, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b, a\^7 ] gap> u := b\^2; b\^2 gap> result := Filtered( elts, g -> g\^2 = u ); [ b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^2*b, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b ] Hope this answers the question, Joachim Neubueser

Tisztelt GAP F´ orum! Nikola Sottocornola k´ erd´ ese: ´ Ime a k´ erd´ esem: Defini´ altam egy G csoportot gener´ atorok e ´s rel´ aci´ ok segyts´ eg´ evel. Hogyan ´ all´ ıthatom elo G azon g elemeit, amelyekre teljes¨ ul g^2=u? Elosz¨ or is, meg kell ´ erteni, hogy az u ´n. sz´ o-feladat ´ altal´ aban nem oldhat´ o meg algoritmikusan v´ egesen prezent´ alt csoportokra, azaz, a feltett k´ erd´ est nem lehet a ´ltal´ aban megv´ alaszolni. Ha azonban a v´ egesen prezent´ alt csoport v´ eges csoport, akkor l´ eteznek pr´ ob´ alkoz´ ason alapul´ o m´ odszerek, p´ eld´ aul itt a Todd-Coxeter-m´ odszer, amelynek seg´ ıts´ eg´ evel a v´ egesen prezent´ alt csoporthoz hu permut´ aci´ oreprezent´ aci´ ot lehet tal´ alni. A felhaszn´ al´ o megker¨ ul´ es´ evel a GAP megbirk´ ozik ilyen feladatokkal, amennyiben a csoport nem csak 77

v´ eges, de kev´ es eleme is van. Itt egy p´ elda, hogyan lehets´ eges a megold´ as. (A csoport altal´ anos´ ıtott kvaterni´ o csoport egy prezent´ aci´ oja a 16 rendu ´ prezent´ aci´ oja). Ahogyan l´ athat´ o, GAP csak a k´ ert szavak gener´ atorokkal fel´ ırt alakj´ at adja meg, a megold´ as m´ odj´ ar´ ol nem k¨ oz¨ ol semmit. > > > > > > > > > > > > > > > > >

gap> F := FreeGroup( "a", "b" );

gap> a := F.1;; b := F.2;; gap> G := F / [ a\^8, b\^4, a\^4*b\^-2, b\^-1*a*b*a ];

gap> a := G.1;; b := G.2;; gap> Size( G ); 16 gap> elts := AsSortedList( G ); [ , a, b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^4, a\^3, a\^2*b, a\^5, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b, a\^7 ] gap> u := b\^2; b\^2 gap> result := Filtered( elts, g -> g\^2 = u ); [ b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^2*b, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b ]

Rem´ elem, a v´ alasz kiel´ eg´ ıto. Joachim Neubueser V´eg¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy a GAP jelent˝os r´esze megtal´alhat´o a SAGE programcsomagban, amelyet sz´amelm´eleti, algebrai ´es geometriai szimbolikus sz´am´ıt´asok elv´egz´esre hoztak l´etre. A SAGE-ban megtal´alhat´o a MAXIMA jelent˝os r´esze is. A SAGE alkot´oi: William Stein ´es David Joyner ( [email protected] honlapja: http://www.safemath.org, de el´erhet˝o a http://sage.scipy.org/ oldalr´ol ´es a http://sage.math.washington.edu/sage oldalakr´ol is.

78

3.3.

MAPLE 7

A MAPLE 7 egy ´atfog´o szimbolikus manipul´aci´ot v´egz˝o program, amelyet kimondottan bonyolult matematikai m˝ uveletek elv´egz´es´ere dolgoztak ki. A felhaszn´al´o seg´ıts´eget kap az algebra, anal´ızis, diszkr´et matematika, grafika, numerikus sz´am´ıt´asok ´es a matematika t¨obb egy´eb ter¨ ulet´en is. A MAPLE 7 kiterjedt programk¨onyvt´arral (csomaggal) rendelkezik, amelyben be´ep´ıtett f¨ uggv´enyek, ´es m˝ uveletek tal´alhat´oak. A k¨onyvt´arak kellemes k¨ornyezetet biztos´ıtanak bonyolult matematikai c´el´ u programok fejleszt´es´ehez. A MAPLE 7 programot a Waterloo Maple Inc. k´esz´ıtette, a BME rendelkezik a MAPLE 7 telephelyi licenc´evel. N´eh´any fejezet a MAPLE 7 ny´ ujtotta szolg´altat´asokb´ol (az el˝oz˝o k´et csomagban tal´alhat´o a´ltal´anos eszk¨oz¨oket, mint helyettes´ıt´es, egyszer˝ us´ıt´es, egyenlet megold´asa, rajzol´as nem eml´ıtem): • algebra: m´atrixokkal, vektorokkal, t¨omb¨okkel ´es tenzorokkal v´egezhet¨ unk algebrai m˝ uveleteket (¨osszead´as, kivon´as, hatv´anyoz´as, skal´arral val´o szorz´as). A line´aris algebra csomag kiterjedt a´br´azol´asi lehet˝os´eget k´ın´al a fenti objektumokkal v´egzett munk´ahoz. Tenzorm˝ uveletekre k´et csomag van(Christoffell-n´even), a koordin´atatranszform´aci´okhoz Jacobi-tenzort lehet k¨ozvetlen¨ ul sz´am´ıtani. Tov´abbi lehet˝os´egek: Killing-egyenletek, Levi-Civita tenzor, Lie-deriv´alt, Newmann-Penrose spin egy¨ utthat´ok, Petrov-oszt´alyoz´as Weil-tenzorokhoz, kovari´ans Ricci-tenzor sz´am´ıt´asa, Riemann-f´ele g¨orb¨ uleti tenzor sz´am´ıt´asa, g¨orb¨ uleti tenzor sz´am´ıt´asa az ´altal´anos relativit´aselm´elethez. • sz´amelm´elet: nevezetes sz´amok ´es polinomok, l´anct¨ortekre bont´as, sz´amalm´eteti f¨ uggv´enyek. • numerikus sz´am´ıt´asok: k¨ozel´ıt´esek, interpol´aci´o, g¨orbeilleszt´es. Lehet˝os´eg van a MATLAB egyes algoritmusainak (pl. Cholesky-faktoriz´aci´o) haszn´alat´ara is. • statisztika: 13 eloszl´asf¨ uggv´eny, illeszt´esi elj´ar´asok, sz´or´aselemz´es, adatsorok elemz´ese, line´aris regresszi´o, v´eletlensz´am gener´atorok, adatmegjelen´ıt´es ´es manipul´aci´o. • egys´egkonverzi´o: a forgalomban l´ev˝o m´ert´ekegys´egek k¨oz¨otti a´tv´alt´ast adja meg, bele´ertve a n´alunk kev´ess´e haszn´alatos angolsz´asz egys´egeket is. • programoz´as: sz´amos csomag seg´ıti a matematika egyes ter¨ ulet´en v´egzend˝o munk´at. • anal´ızis: differenci´al´as, integr´al´as, integr´al-transzform´aci´ok, hat´ar´ert´ekek. • differenci´alegyenletek:k¨ ul¨on csomagot tartalmaz a k¨oz¨ons´eges- ´es a parci´alis differenci´alegyenletek vizsg´alat´ahoz. Itt kiemelj¨ uk a 11. fejezetben haszn´alhat´o DEtools csomagot, amelyben tal´alhat´o: 79

– Differential Operators: oper´atorokkal v´egezhet˝o m˝ uveletek, bele´ertve a faktoriz´aci´ot is. – Lie Symmetry Method: k¨oz¨ons´eges DE megold´asi m´odszerei a Lie-csoportok seg´ıts´eg´evel. – Solving Methods: exponenci´alis alak´ u megold´as, speci´alis DE-k megold´asa (Bernoulli-, Abel-differenci´alegyenletek, Kovacic-megold´as, Lie-m´odszer, racion´alis polinom alak´ u megold´as). – Rajzol´as: az egyenlet megold´as´anak grafikus ´abr´azol´asa. – odeadvisor: a k¨oz¨ons´eges DE jellemz˝oit megadja ´es tan´acsot ad az alkalmazhat´o m´odszerekkel kapcsolatban is. • diszkr´et matematika: kombinatorika, gr´afelm´elet. • geometria: 2D, 3D geometria, euklideszi geometria ¨osszef¨ ugg´esei. • csoportelm´elet: konjug´al´as, mell´ekoszt´alyok, centrum, permut´aci´ok, norm´alis ´es Sylow-r´eszcsoportok, orbit. • line´aris algebra: a Linear Algebra szubrutincsomag elj´ar´asait is tartalmazza. • speci´alis f¨ uggv´enyek: polinomok (Hermit-, Laguerre-, Csebisev- stb.) Hankel-, Bessel-, Kelvin- stb. speci´alis f¨ uggv´enyek.

3.4.

Seg´ edeszko ¨zo ¨k az interneten

Ma m´ar b´armilyen eszk¨ozre is van sz¨ uks´eg, a keres´et ´erdemes az interneten kezdeni. A Google, Google Scholar weboldalak szem´elyek, int´ezm´enyek honlapj´at gyorsan megadja. Ha k¨onyvre van sz¨ uks´eg, az Amazon kiad´ot, magyar kiadv´anyok eset´eben a Prospero-t ´erdemes felkeresni. Egyes kiadv´anyok, amilyen pl. a CRC Handbook 3. k¨otete, jelent˝os forr´asokat ad meg. Ez´ert ha ismer¨ unk egy nevet, egy programot, gyorsan eljutunk a forr´ashoz. Az internet kincsesb´any´ai a levelez˝o list´ak. Ezeken t´arolj´ak a teljes lev´elforgalmat, ezeket a´tn´ezve is fontos inform´aci´ohoz juthatunk. Sajnos az internet tulajdons´aga a gyors v´altoz´as. Az emberek j¨onnek-mennek, e-mail c´ım¨ uk megv´altozik, ha egy weboldalt nem gondoznak, az gyorsan haszn´alhatatlann´a v´alik. Az internet z´aszl´oshaj´oi az egyetemek. Az ritk´an fordul el˝o, hogy egy eg´esz tansz´ek elt˝ unik (ha m´egis, akkor ahhoz hossz´ u id˝o kell), ez´ert ´erdemes a keres´est az egyetemi weboldalakkal kezdeni.

80

4. fejezet A v´ altoz´ ok sz´ etv´ alaszt´ as´ anak m´ odszere

81

4.1.

Jel¨ ol´ esek

Q -A Helmholtz-egyenlet oper´atora r = (x, y) -f¨ uggetlen helyv´altoz´o ´es mer˝oleges koordin´at´ai r -a pol´arkoordin´at´ak radi´alis r´esze L -line´aris differenci´aloperator Lg -az L oper´ator k´epe a g csoportelem alatt [L, Q] -az L ´es Q oper´atorok kommut´atora ∂x , ∂y -differenci´al´as x ill. y szerint R2 -k´etdimenzi´os, val´os elem˝ u vektort´er D -tartom´any L2 -n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere 2 L (S1 )- az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere Xxx , Xxy , Xyy - az X f¨ uggv´eny m´asodik deriv´altjai E(2) -az euklideszi s´ık szimmetri´ainak Lie-algebr´aja E(2) -az euklideszi s´ık szimmetri´ainak Lie-csoportja E -algebra E -vektort´er f -az f f¨ uggv´eny Fourier-transzform´altja f -az f komplex sz´am konjug´altja S1 -az egys´egnyi sugar´ u k¨or pontjainak halmaza.

4.2.

A m´ odszer

Az elm´eleti fizika egyenleteinek gyakran megadhat´o analitikus megold´asa, amennyiben a megold´ast egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek szorzatak´ent kereshetj¨ uk. Ilyen megold´as ad´odik p´eld´aul, ha az egyenlet forgat´asokkal szemben invari´ans. Ebben az esetben c´elszer˝ u olyan koordin´ata-rendszert v´alasztani, ami megfelel az egyenlet szimmetri´aj´anak. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a pol´arkoordin´at´akban keresett egyenlet j´oval egyszer˝ ubb, mint m´as, kev´esb´e alkalmas koordin´at´akban fel´ırt t´arsa. Ennek kapcs´an felmer¨ ul a k´erd´es: Egy adott egyenlethez h´any olyan speci´alis koordin´ata-rendszer tal´alhat´o, amelyben a megold´as a v´altoz´ok szepar´al´as´aval megoldhat´o? Hogyan lehet ezeket a koordin´ata-rendszereket megtal´alni? A v´alaszt ism´et az egyenlet szimmetri´ainak seg´ıts´eg´evel adhatjuk meg. A vizsg´alt egyenlet szimmetri´ait a helyv´altoz´ok szerinti differenci´al´asb´ol ´es f¨ uggv´enyegy¨ utthat´okb´ol fel´ırt L line´aris oper´atorok form´aj´aban keress¨ uk. Ezek a kifejez´esek algebrai strukt´ ur´akat alkotnak (vektorteret ´es Lie-csoportot, Lie-algebr´at). A vektort´ernek van dimenzi´oja ´es b´armely elem kifejthet˝o a b´azis szerint. Megmutatjuk, hogy a szepar´alhat´o megold´as a Lie-csoport g eleme alatt kialakul´o p´aly´akhoz, teh´at az algebrai strukt´ ura szerekezet´ehez kapcsolhat´o. A megold´as Fourier-transzform´altja lehet˝ov´e teszi, 82

hogy az egyenlet megold´asait megfeleltess¨ uk az S1 egys´egk¨or¨on ´ertelmezett f¨ uggv´enyek halmaz´anak. Ez lehet˝ov´e teszi a szepar´alt megold´as explicit megad´as´at is. A m´odszer az algebra ´es az anal´ızis eszk¨ozeit haszn´alja, gyakran kell differenci´alegyenletek megold´asait meghat´arozni. Ezek a megold´asok ´altal´aban speci´alis f¨ uggv´enyek, amelyekkel r´eszletesen a 10. fejezet foglalkozik. Ebben a fejezetben a k´etdimenzi´os Helmholtz-egyenletet vizsg´aljuk, a k¨ovetkez˝o form´aj´aban: QΦ ≡ ∆Φ + ω 2 Φ = 0 (4.1) ahol ω val´os a´lland´o. A f¨ uggetlen v´altoz´okat r = (x, y) jel¨oli, az x v´altoz´o szerinti differenci´al´asra pedig a ∂x jel¨ol´est alkalmazzuk. A Q oper´ator hat´as´at olyan Φ(r) f¨ ugg2 v´enyeken vizsg´aljuk, amelyek adottak egy D ⊂ R ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyon, ´es analitikus f¨ uggv´enyei az x, y v´altoz´oknak. K¨onnyen bel´athat´o, hogy ezen f¨ uggv´enyek vektorteret alkotnak, minthogy az ¨osszead´as ´es a sz´ammal val´o szorz´as m˝ uvelete defini´alt ezen f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott. Az L = X(r)∂x + Y (r)∂y + Z(r) line´aris differenci´aloperatort a (4.1) egyenlet szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk, ha [L, Q] = R(x)Q (4.2) ahol [L, Q] = LQ − QL ´es az R analitikus f¨ uggv´eny f¨ ugghet L-t˝ol. Jel¨olje G a Helmholtz-egyenlet szimmetri´ainak oper´atorait. A G halmaz komplex Lie-algebr´at alkot. Legyen ugyanis adott L1 , L2 ∈ G, ekkor a1 L1 + a2 L2 ∈ G, minthogy ez a kifejez´es is kiel´eg´ıti (4.2)-t. Az (2.59) kapcs´an elmondottak szerint [L1 , L2 ] els˝orend˝ u differenci´al´assal fejezhet˝o ki, teh´at a Lie-algebra axi´om´ai teljes¨ ulnek. Megmutatjuk, hogy a G-hez tartoz´o Lie-algebra dimenzi´oja 4. Helyettes´ıts¨ uk L-et ´es Q-t (4.2)-be, sz´am´ıtsuk ki a kommut´atort. ´Igy a k¨ovetkez˝o egyenletre jutunk: 2Xx ∂xx + 2(Xy + Yx )∂xy + 2Yx ∂yy + (Xxx + Yyy + 2Zx )∂x + (Yxx + Yyy ) + 2Zy )∂y + (Zxx + Zyy ) = −R(∂xx + ∂ ∗ yy + ω 2 ). (4.3) A deriv´altak egy¨ utthat´oinak a k´et oldalon meg kell egyezni¨ uk, amib˝ol az al´abbi egyenleteket kapjuk: 2Xx Xxx + Yyy + 2Zx Zxx + Zyy Xy + Yx Yxx + Yyy + 2Zy

= = = = =

−R = 2Yy 0 −Rω 2 0 0.

(4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)

(4.4)-b´ol k¨ovetkezik, hogy Xx = Yy , (4.7)-b˝ol, hogy Xy = −Yx . Ez´ert Xxx + Xyy = Yxy − Yxy = 0. Ezt ¨osszevetve (4.8)-vel bel´atjuk, hogy Z a´lland´o, (4.6)-b˝ol pedig R = 0 83

htb 4.1. t´abl´azat. B´azisok a (4.1) egyenlet szimmetri´ainak halmaz´aban b´azis konstansok megv´alaszt´asa P1 = ∂x α = 1, β = γ = δ = 0 P2 = ∂y β = 1, α = γ = δ = 0 M = y∂x − x∂y γ = 1, α = β = δ = 0 E=1 δ = 1, α = β = γ = 0 ad´odik. (4.4) szerint X = X(y) ´es Y = Y (x). (4.7) miatt X 0 (y) = −Y 0 (x) = γ, ´alland´o. Ezzel a (4.4-4.8) egyenletek ´altal´anos megold´asa: X = α + γy; Y = β − γx; Z = δ; R = 0

(4.9)

A (4.1) egyenlet szimmetri´ai teh´at, ahogyan ´all´ıtottuk, Lie-algebr´at alkotnak, amit Gvel jel¨ol¨ unk1 , a b´azist a 4.1. t´abl´azatban adott m´odon v´alasztjuk. A b´aziselemek nemtrivi´alis kommut´atorai: [P1 , P2 ] = 0; [M, P1 ] = P2 ; [M, P2 ] = −P1 .

(4.10)

Az egys´egelem, mint szimmetriaoper´aci´o sz´amunkra ´erdektelen, ez´ert a tov´abbiakban a {P1 , P2 , M} b´azis a´ltal kifesz´ıtett algebr´at vizsg´aljuk. Ez viszont izomorf a k´etdimenzi´os t´er Euklideszi csoportj´ahoz tartoz´o E(2) Lie-algebr´aval. A k´etdimenzi´os t´er Euklideszi csoportj´at forgat´asok ´es eltol´asok alkotj´ak, e csoportot E(2)-vel jel¨olj¨ uk. Az E(2) csoport a´ltal´anos eleme   cosθ −sinθ 0 g(θ, a, b) = sinθ cosθ 0 (4.11) a b 1 ahol a ´es b val´os sz´amok. A csoportszorz´as az al´abbi szab´alyok szerint t¨ort´enik: g(θ, a, b)g(θ0 , a0 , b0 ) = g(θ + θ0 , acosθ0 + bsinθ0 + a0 , −asinθ0 + bcosθ0 + b0 )

(4.12)

Az egys´egelem g(0, 0, 0). Az E(2) csoport elemei folytonos f¨ uggv´enyei a θ, a, b param´etereknek, a Lie-algebra b´azis´at (2.55) szerint a m´atrixok param´eterek szerinti deriv´altjai szolg´altatj´ak. A csoportelemek exponenci´alis ´abr´azol´as´aval (v.¨o. (2.60)) azonnal meg´allap´ıthat´o, hogy P1 az x tengely menti eltol´as, P2 az y-tengely menti eltol´as, M pedig az orig´o k¨or¨ uli forgat´as oper´atora, ez´ert a megfelel˝o b´azis el˝oa´ll´ıthat´o (4.11)-b´ol, rendre θ, a, b szerinti differenci´al´assal:       0 −1 0 0 0 0 0 0 0 M = 1 0 0 , P1 = 0 0 0 , P2 = 0 0 0 . (4.13) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1

Ugyanezek a m˝ uveletek egy csoportot is alkotnak, amit G-vel jel¨ol¨ unk.

84

A Lie-algebr´aban a (2.65) exponenci´alis ´abr´azol´as seg´ıts´eg´evel az E(2) csoport a´ltal´anos elem´ere g(θ, a, b) = exp(θM)exp(aP1 + bP2 ) (4.14) ad´odik. A 2.3.1 fejezetben a Lie-algebra kapcs´an elmondottak szerint az E(2) csoport T(g) (lok´alis) ´abr´azol´as´at az al´abbi form´aban ´ırhatjuk: T(g(0, a, 0))Φ(x) = exp(aP1 )Φ(x) = Φ(x + a, y)

(4.15)

T(g(0, 0, b))Φ(x) = exp(P2 )Φ(x) = Φ(x, y + b)

(4.16)

T(g(θ, 0, 0))Φ(x) = exp(θM)Φ(x) = Φ(xcosθ + ysinθ, −xsinθ + ycosθ) T(g(θ, a, b))Φ(x) = exp(θM)exp(aP1 )exp(bP2 )Φ(x) = Φ(xg).

(4.17) (4.18)

Tekintettel arra, hogy az E(2) csoport elemeinek fenti ´abr´azol´asai a Helmholtz-egyenlet egyik megold´as´at egy m´asik megold´asba transzform´alj´ak, az E(2) csoportot a Helmholtzegyenlet szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk. K¨ozbevet˝oleg megjegyezz¨ uk, hogy az E(2) csoport a s´ık automorfizmusainak csoportj´aval izomorf. Ezt a tulajdons´agot ki fogjuk haszn´alni a 6. fejezetben, a szil´ardtestek szimmetri´ainak le´ır´as´an´al. Ott ugyan a t´er (h´aromdimenzi´os) szimmetri´air´ol van sz´o, de a kiterjeszt´es mag´at´ol ´ertet˝odik. Az els˝orend˝ u szimmetri´ak meghat´aroz´as´aval anal´og m´odon hat´arozhatjuk meg a m´asodrend˝ u szimmetri´akat. A m´asodrend˝ u oper´ator alakja: S = A11 ∂xx + A12 ∂xy + A22 ∂yy + B1 ∂x + B2 ∂y + c.

(4.19)

S-t akkor nevezz¨ uk a Helmholtz-egyenlet szimmetri´aj´anak, ha [S, Q] =U(r)Q, U =H1 (r)∂x + H2 (r)∂y + J(r)

(4.20) (4.21)

Itt U(r) f¨ ugghet S-t˝ol. Jel¨olje S az S oper´atorok vektorter´et, hiszen az oper´atorok k¨oz¨ott defini´alt az ¨oszead´as ´es a sz´ammal val´o szorz´as. A legfeljebb m´asodrend˝ u szimmetri´ak is vektorteret alkotnak, de nem alkotnak Lie-algebr´at, mert k´et m´asodrend˝ u oper´ator szorzata vagy kommut´atora lehet harmadrend˝ u oper´ator is, ami m´ar nem eleme a vektort´ernek. S-ben 0 megtal´alhat´oak az S = SQ t´ıpus´ u oper´atorok is, hiszen (4.20)-b´ol ebben az esetben [RQ, Q] = [R, Q]Q

(4.22)

ad´odik. Legyen F a Q oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´aban defini´alt val´os, analitikus f¨ uggv´enyek vektortere. Legyen a (4.22) kifejez´esben R ∈ F 2 , hiszen egy´ebk´ent a kommut´ator ´ertelmetlen. Amennyiben QΨ = 0, akkor RQΨ = 0 ´es mivel (RQ)Ψ = R(QΨ) = 2

Pontosabban, az R oper´ ator egy F beli f¨ uggv´enyt F beli f¨ uggv´enyre k´epez le.

85

4.2. t´abl´azat. Az E(2) csoportelemek hat´asa az E(2) Lie algebr´an Pg12 = P1 Pg22 = P2 Mg1 = M − aP2 Pg12 = P1 Pg22 = P2 Mg2 = M + bP1 Pg13 = cosαP1 + sinαP2 Pg23 = −sinαP1 + cosαP2 Mg3 n = M + bP1 0, ez´ert az RQ oper´ator megold´ast megold´asba transzform´al, ´ıgy joggal tekinthetj¨ uk RQt a (4.1) egyenlet trivi´alis szimmetri´aj´anak. Az RQ alak´ u trivi´alia azimmetri´ak alteret alkotnak S-ben, az alt´er ¨osszes oper´atora nulla oper´atork´ent3 hat F elemein. Ezen megfigyel´es alapj´an ekvivalenciaoszt´alyokat hozhatunk l´etre, S ´es S0 azonos oszt´alybe tartozik, ha S0 = S + RQ Amennyiben S-et (4.19) adja meg, akkor S ´es S − A22 Q ekvivalensek, k¨ovetkez´esk´eppen S0 -ben az A22 f¨ uggv´enyegy¨ utthat´o nulla. A (4.1) egyenlet nemtrivi´alis szimmetri´ait az al´abbi m´odon lehet meghat´arozni. Helyettes´ıts¨ uk az (4.19) kifejez´est A22 = 0 mellett valamint (4.21)-t (4.20)-ba, tegy¨ uk egyenl˝ov´e az egyenlet bal- ´es jobboldal´an a parci´alis deriv´altak egy¨ utthat´oit. Most egy (4.3)-hoz ´es (4.4)-(4.8)-hez hasonl´o, de bonyolultabb egyenleteket kapunk. V´egeredm´enyk´ent azt tal´aljuk, hogy a nemtrivi´alis, legfeljebb m´asodrend˝ u szimmetri´ak egy kilencdimenzi´os vektorteret alkotnak, amiben b´azisk´ent v´alaszthat´oak az al´abbi elemek: P1 , P2 , M, E: a n´egy line´aris oper´ator ´es P21 , P1 P2 , M2 , {M, P1 }, {M, P2 }: az ¨ot m´asodrend˝ u oper´ator. Megjegyezz¨ uk, hogy minden g ∈ E(2)-re a T(g)Ψk f¨ uggv´eny, ahol T(g)-t a (4.15)-(4.17)-¨osszef¨ ugg´esek adj´ak meg, a (4.1) egyenlet megold´asa, ´es amennyiben Ψk kiel´eg´ıtette az LΨk = ikΨk

(4.23)

Lg (T(g)Ψk ) = ikT(g)Ψk ,

(4.24)

egyenletet, akkor ahol Lg = T(g)LT(g −1 ). Az E(2) csoport elemeinek hat´as´at a P1 , P2 , M b´azison az al´abbiakkal adhatjuk meg. El˝osz¨or is, ha L = A(x)∂x + B(x)∂y

(4.25)

Lg = A(x0 )∂x0 + B(x0 )∂y0 .

(4.26)

akkor Tov´abb´a, legyen g1 = exp(aP1 ), g2 = exp(bP2 ) ´es g3 = exp(aM). Ekkor fenn´allnak az 4.2 t´abl´azatban adott ¨osszef¨ ugg´esek a transzform´alt oper´atorokra. g Vegy¨ uk ´eszre, hogy L a g csoportelem egy hat´as´at (azaz, a csoportelem alkalmaz´as´anak egy defin´ıci´oj´at) adja meg. Amennyiben g v´egigfut a csoportelemeken, Lg befut egy p´aly´at. A p´aly´at alkot´o elemeket megkapjuk, ha g v´egigfut a csoport gener´atorain, hiszen b´armely csoportelem el˝oa´ll´ıthat´o a gener´atorokkal. A gener´atorok most a Lie-algebra b´azisai, hiszen vel¨ uk b´armely elem kifejezhet˝o. A b´azis most g1 , g2 ´es g3 . A p´aly´akat k´et 3

A nulla oper´ ator minden f¨ uggv´enyt az azonosan nulla f¨ uggv´enybe transzform´al.

86

oszt´alyba lehet sorolni: az els˝oben szerepel M is (ld. utols´o oszlop), a m´asodikban nem szerepel M de szerepel P2 vagy P1 (ld. els˝o k´et oszlop). A fenti adjung´alt csoporthat´ashoz teh´at k´etf´ele p´alya tartozik, ha L = c1 P1 + c2 P2 + c3 M, akkor a k´et p´aly´at c3 = 0 ill. c3 6= 0 k¨ ul¨onb¨ozteti meg. Ennek megfelel˝oen k´et koordin´ata-rendszer l´etezik, amiben a Helmholtz-egyenlet megold´asa a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval adhat´o meg: a der´eksz¨og˝ u ´es a pol´arkoordin´ata-rendszer. Az els˝o az eltol´asok alcsoportj´anak, ´es a c3 = 0 esetnek; a m´asodik a c3 6= 0 esetnek felel meg, ´es a forgat´asok alcsoportj´anak diagon´alis ´abr´azol´asait adja meg. Al´abb a m´asodfok´ u differenci´al´ast tartalmaz´o szimmetri´akat vizsg´aljuk meg. Legyen adott egy tetsz˝oleges L ∈ E(2) oper´ator. Lehets´eges-e tal´alni olyan {u, v} koordin´ata-rendszert, amelyben a Helmholtz-egyenlet megold´asa el˝o´all´ıthat´o a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval ´es a kapott f¨ uggv´enyek saj´atf¨ uggv´enyei L-nek? Az al´abbiakban meghat´arozzuk azokat a koordin´at´akat, az u ´gynevezett r´eszcsoport koordin´at´akat, amelyek lehet˝ov´e teszik a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at. Amint l´atni fogjuk, t¨obb ilyen koordin´ata is l´etezik. Legyen {u, v} egy olyan koordin´ata-rendszer, amelyben a v´altoz´ok lehet˝ov´e teszik a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at. Ekkor x = x(u, v), y = y(u, v), valamint u = u(x, y), v = v(x, y). A Jacobi determin´ans J = vx uy −ux vy null´at´ol k¨ ul¨onb¨ozik. A Helmholtz-egyenlet az u ´j koordin´at´akban az al´abbi alakot ¨olti: 


 u2x + u2y ∂uu + (uxx + u ∗ yy) ∂u Ψ 
 + 2 (ux vx + uy vy ) ∂uv + vx2 + vy2 ∂vv + (vxx + vyy ) ∂v + ω 2 Ψ = 0 (4.27)

Ebben az egyenletben kell a v´altoz´okat sz´etv´alasztani. K´et esetet k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg att´ol f¨ ugg˝oen, hogy szerepel-e ∂uv vagy sem. 1. I. eset: ux vx +uy vy = 0. Ekkor, mivel a transzform´aci´o Jacobi-determin´ansa J 6= 0, l´etezik olyan R nem azonosan nulla f¨ uggv´eny, amellyel teljes¨ ul vy = Rux ´es vx = 2 −Ruy . Minthogy (4.27)-ben szerepel ω , a v´altoz´okat akkor lehet sz´etv´alasztani, ha teljes¨ ulnek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: u2x + u2y =

V (v) U (u) ; vx2 + vy2 = U1 (u) + V1 (v) U1 (u) + V1 (v)

(4.28)

Itt U, V, U1 , V1 nem azonosan nulla f¨ uggv´enyek. Mivel a (4.28) egyenletek jobbolda2 2 2 2 lai k¨oz¨ott fenn´all a vx + vy = R (ux + u2y ) ¨osszef¨ ugg´es, ez´ert R2 = V /U . Vezess¨ unk −1/2 be u ´j {˜ u, v˜} koordin´at´akat a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esekkel: d˜ u/du = U , d˜ v /dv = V −1/2 . Ekkor a (4.28) felt´etelek teljes¨ ulnek az u ´j f¨ uggv´enyekre, ´es a sz´aml´al´okban 1 fog ´allni. Ez´ert az ´altal´anoss´ag megtart´asa mellett a tilde elhagyhat´o, ´es feltehetj¨ uk, hogy u ´es v kiel´eg´ıti a (4.24) felt´eteleket. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen feltehetj¨ uk, hogy R ≡ 1, amikor is ux = vy , uy = −vx . Ekkor u ´es v kiel´eg´ıti a Cauchy-Riemann egyenleteket, azaz, fenn´all ux = vy ´es uy = −vx , ez´ert u ´es v analitikus komplex 87

f¨ uggv´eny. Ha bevezetj¨ uk az z = x + iy ´es w = u + iv komplex v´altoz´okat, akkor w analitikus f¨ uggv´enye z-nek. A (4.28) felt´etel pedig a (dz/dw)2 = U1 (u) + V1 (v) alakot ¨olti. Tov´abb´a, ∂uv (| dz/dw |2 ) = 0 . Az ut´obbi egyenletben az u, v v´altoz´ok helyett ´att´er¨ unk a w ´es w¯ v´altoz´okra. Haszn´aljuk a ∂uv = i∂ww − i∂ww es ¯ ´ 2 | dz/dw | = (dz/dw)(dz/dw) ¯ a´talak´ıt´asokat, ´es vegy¨ uk ´eszre hogy az ut´obbi k´epletben az els˝o t´enyez˝o csak w-t˝ol, a m´asodik pedig csak w-t´ ¯ ol f¨ ugg, ez´ert l´etezik egy λ a´lland´o, amellyel:     dz dz d2 d¯ z d¯ z d2 = λ ´es 2 =λ . (4.29) 2 dw dw dw dw¯ dw¯ dw¯ K´et ¨osszef¨ ugg´est kaptunk, egyet a val´os, egyet a k´epzetes r´eszre. A kapott harmadrend˝ u differenci´alegyenletekb˝ol meghat´arozhat´o w ´es konjug´altja, azaz, u ´es v, vagyis azok a koordin´ata-rendszerek, amelyekben a Helmholtz-egyenlet megoldhat´o a v´altoz´ok szepar´al´as´aval. Az egyenlet vizsg´alat´ara k´es˝obb t´er¨ unk vissza. 2. II. eset: ux vx + uy vy 6= 0. Ebben az esetben meg kell k¨oveteln¨ unk, hogy a parci´alis differenci´alh´anyadosok egy¨ utthat´oi (4.27)-ben csak v-t˝ol f¨ uggjenek. Ekkor a k¨ovetkez˝o helyettes´ıt´essel ´erhet˝o el a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa: Ψ(u, v) = exp(iku)Φ(v). Az u-t´ol f¨ ugg˝o tagokat kiemelhetj¨ uk (4.27)-ben a z´ar´ojelek el´e, a z´ar´ojelekben egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet marad F (v)-re, az egyenlet egy¨ utthat´oiban el˝ofordul k is. A ∂u oper´ator szimmetri´aja (4.23)-nek, hiszen Ψ(u, v)-t ikΨ(u, v)-be transzform´alja, ami szint´en megold´as. Ezzel megkaptuk a v´altoz´okat szepar´alva tartalmaz´o megold´ast. Amint kor´abban l´attuk, v´alaszthatjuk ∂u = P2 vagy ∂u = M-t, ahol M-et ´es P2 -t (4.13) adja meg. Az els˝o esetben ∂y = uy ∂u + vy ∂v = ∂u . Ebb˝ol uy = 1, vy = 0 azonnal ad´odik, v(x, y) = v(x), ez´ert feltehetj¨ uk, hogy v = x. Az u ´es v parci´alis deriv´altjainak integr´al´asa ut´an megkapjuk a transzform´aci´o explicit alakj´at: u = y + h(x); v = x. Ezekben a koordin´at´akban a (4.28)) egyenlet megold´asa k´et, egyv´altoz´os f¨ uggv´eny szorzat´ara esik sz´et. A II. eset felt´etel´et akkor teljes´ıtj¨ uk, ha kik¨otj¨ uk a h0 (x) = 0 felt´etelt. Az u = a ´ll ´es v = a ´ll g¨orb´ek nem ortogon´alisak az euklideszi ´ertelemben. A m´asodik esetben ∂u = M, szepar´alhat´o koordin´at´akat kapunk az al´abbi v´altoz´okkal: u = θ + h(r); v = r, ahol θ, r pol´arkoordin´at´ak. Ezek a koordin´at´ak nem ortogon´alisak ´es kev´ess´e t´ernek el a pol´arkoordin´at´akban fel´ırt szepar´alhat´o megold´ast´ol.

88

Megjegyezz¨ uk, hogy a II. esetben v´egtelen sok koordin´ata-rendszer l´etezik, amely lehet˝ov´e teszi a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at, a´m Miller szerint ezek l´enyeg´eben azonosak. T´erj¨ unk most vissza a (4.29) egyenlet vizsg´alat´ahoz a λ = 0 speci´alis esetben. Els˝o l´ep´esben megkapjuk a dz = β + γw (4.30) dw megold´ast. Amennyiben γ = 0, β = c + id, ebb˝ol z = βw + α, avagy, x = a + cu − dv; y = b + du + cv, α = a + ib.

(4.31)

Itt a, b, c ´es d val´os sz´amok. Amennyiben viszont γ 6= 0 (4.30)-ben, z m´ask´eppen adhat´o meg: z = (γ/2)w2 + βw + α. Itt α, β, γ complex sz´amok. Alkalmas transzform´aci´ok ut´an el´erhet˝o γ = 1 ´es α = β = 0, a megfelel˝o euklideszi koordin´at´ak pedig: 1 x = (u2 − v 2 ); y = uv. 2 Az (u, v) koordin´at´akat parabolikus koordin´at´aknak nevezik, mivel az q q u = (x2 + y 2 )1/2 + x = const.; v = (x2 + y 2 )1/2 − x = const.

(4.32)

(4.33)

g¨orb´ek k´et ortogon´alis parabolasokas´agot hat´aroznak meg. Amennyiben behelyettes´ıtj¨ uk a (4.32) koordin´at´akat a (4.27)-be, az egyenlet u ´j alakja ∂uu Ψ + ∂vv Ψ + (u2 + v 2 )ω 2 Ψ = 0

(4.34)

lesz, a Ψ megold´ast pedig ´ırhatjuk Ψ = U (u)V (v) alakban ´es a k´et u ´j bevezetett f¨ uggv´enyre szepar´alt egyenleteket kapunk: U ” + (ω 2 u2 − k 2 )U = = 0 V ” + (ω 2 v 2 + k 2 )V = 0.

(4.35) (4.36)

Itt k 2 a szeparal´asn´al haszn´alt a´lland´o. A szepar´alt megold´ashoz tartoz´o oper´ator meghat´aroz´as´ara szorozzuk meg (4.35)-at v 2 V -vel, (4.36)-et pedig u2 U -val, ´es vonjuk ki egym´asb´ol a kapott egyenleteket:
(u2 + v 2 )−1 v 2 ∂uu − u2 ∂vv Ψk = k 2 Ψk , (4.37) vagyis, az egyenlet baloldal´an a´ll´o oper´atornak a most megtal´alt, v´altoz´oiban szepar´alt megold´as saj´atf¨ uggv´enye. K¨ozvetlen sz´am´ıt´assal bel´athat´o, hogy ez az oper´ator {M, P2 }. 89

T´erj¨ unk most vissza a (4.29) egyenlet vizsg´alat´ahoz a λ 6= 0 speci´alis esetben. Ebben az esetben λ val´os, vehetj¨ uk a λ = 1 esetet. A (4.29) egyenlet megold´asa: dz = αew − βe−w dw

(4.38)

amib˝ol z = αew + βe−w + γ. A koordin´at´ak forgat´as´aval ´es eltol´as´aval vehetj¨ uk γ = 0 ´es α ≥ 0-t. Amennyiben β = 0, α > 0, feltehetj¨ uk, hogy r = αeu ´es θ = v, v´eg¨ ul pedig a k¨ozismert pol´arkoordin´at´akat kapjuk: x = r cos θ; y = r sin θ. Mivel a megold´as m´ar az (u, v) koordin´at´akban is szepar´alhat´o volt, az (r, θ) v´altoz´okban is szepar´alhat´o marad. Ha αβ 6= 0, az x, y s´ık forgat´as´aval el´erhet˝o αβ > 0. Ez´ert a´t´ırjuk az α, β v´altoz´okat: 2α = exp(a − b + iϕ); 2β = exp(a + b − iϕ). Legyen d = ea , ξ = u − b, ´es η = v + ϕ, amivel a (ξ, η) elliptikus koordin´at´akat kapjuk: x = d cosh ξ cos η, y = d sinh ξ sin η. Aξ=a ´lland´ o ´es η = a ´lland´ o vonalak egyenlete: y2 x2 + = 1 d2 sinh2 ξ d2 sinh2 ξ x2 y2 + = 1. d2 cos2 η d2 sin2 ξ

(4.39) (4.40)

Az els˝o g¨orbesereg ellipszisekb˝ol, a m´asodik hiperbol´akb´ol a´ll. A (ξ, η) v´altoz´okban fel´ırt Helmhotz-egyenlet alakja: ∂ξξ Ψ + ∂ηη Ψ + d2 ω 2 (cosh2 ξ − cos2 η)Ψ = 0.

(4.41)

Ez az egyenlet a Ψ = U (ξ)V (η) helyettes´ıt´es ut´an az al´abbi k´et egyenletre esik sz´et: U ” + (d2 w2 cosh2 ξ + k 2 )U = 0; V ” − (d2 w2 cos2 η + k 2 )V = 0.

(4.42)

Itt k 2 a szepar´aci´os ´alland´o. A fenti egyenletek a Mathieu-egyenletek vari´ansai, ld. 10. fejezet. Legyen S (2) a Helmholtz-egyenlet nemtrivi´alis, tiszt´an m´asodrend˝ u szimmetri´ainak 2 2 tere, azaz, a P1 , P1 P2 , M , MP1 + P1 M, MP2 + P2 M b´azis ´altal kifesz´ıtett ¨otdimenzi´os t´er. Ezt a teret az E(2) csoport felbontja egydimenzi´os alterekre. Megmutathat´o, hogy 90

4.3. t´abl´azat. Szimmetria oper´ator ´es koordin´ata-rendszer a Helmholtz-egyenlethez S oper´ator koordin´ataA megold´as rendszer P22 Der´eksz¨og˝ u Exponenci´alis f¨ uggv´enyek szorzata 2 M Pol´arkoordin´at´ak Bessel-f¨ uggv´enyek ´es x = rcosθ; y = exponenci´alisok szorrsinθ zata {M, P2 } Parabolikus x = Parabolikus f¨ uggv´e(ξ 2 − η 2 )/2; y = nyek szorzata, ld. ξη 10.1.4 fejezet 2 2 M + d P1 Elliptikus x = Mathieu-f¨ uggv´enyek chαcosβ; y = szorzata, ld. 10.1.3. shαsinβ fejezet b´armely S ∈ S (2) , azaz, a Helmholtz-egyenlet b´armely m´asodrend˝ u szimmetri´aja fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: S = (a − c)P21 + bP1 P2 + dM2 + e{M, P1 } + f {M, P2 }.

(4.43)

Tegy¨ uk fel, hogy d 6= 0. Ekkor a 4.2. t´abl´azat felhaszn´al´as´aval S a´ttranszform´alhat´o olyan alakra, ahol az {M, P1 } ´es {M, P2 } egy¨ utthat´oja elt˝ unik. Az u ´j alak: a0 P21 + b0 P1 P2 + c0 P22 + dM2 .

(4.44)

Megfelel˝o forgat´assal (ld. 4.2. t´abl´azat 2 oszlop´anak 3. elem´et) ez a kifejez´es a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o: (a” − c”)P21 + dM2 . Itt k´et eset lehets´eges. Amennyiben a” = c”, akkor S ugyanazon az orbiton tal´alhat´o, mint M2 . Ellenkez˝o esetben pedig S ugyanazon az orbiton tal´alhat´o, mint M2 + r2 P21 , r2 > 0. Tegy¨ uk fel, hogy d 6= 0 ´es e2 + f 2 > 0. Ekkor forgat´assal el´erhet˝o, hogy e = 0 ´es f 6= 0 legyen. Ezut´an a 4.2. t´abl´azat els˝o k´et sor´anak alkalmaz´as´aval el´erhet˝o, hogy csak {M, P2 } egy¨ utthat´oja nem t˝ unik el. Ekkor S azonos orbiton van {M, P2 } -vel. V´eg¨ ul, tegy¨ uk fel, hogy d = e = f = 0, a2 + b2 > 0. Ekkor egy megfelel˝o forgat´assal az aP21 + bP1 P2 kvadratikus alak diagonaliz´alhat´o, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy S a P21 -tel azonos orbiton tal´alhat´o. Az orbitok n´egy csoportba sorolhat´ok, az al´abbi jellemz˝o elemekkel: M2 , M2 + r2 P21 , {M, P2 }, P22 . K¨ovetkez´esk´eppen, az ortogon´alis koordin´ata-rendszerek k¨oz¨ott, amelyek megengedik a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval t¨ort´en˝o megold´ast ´es az S 2 -beli orbitok k¨oz¨ott k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es ´all fenn, ld. 4.3 t´abl´azat.

91

4.3.

A v´ altoz´ ok szepar´ al´ as´ anak felhaszn´ al´ asa

Ebben a r´eszben bemutatjuk, hogyan lehet az el˝oz˝o r´eszben megismert szepar´aci´ot felhaszn´alni a Helmhotz-egyenlet megold´asa sor´an. Vizsg´alataink sor´an a megold´as Fouriertranszform´altj´at tekintj¨ uk, megvizsg´aljuk a megold´ast tartalmaz´o Hilbert-t´er strukt´ ur´a´ j´at. Legyen teh´at Ψ(x, y) a (4.1) egyenlet megold´asa. All´ıtsuk el˝o a keresett megold´ast az al´abbi integr´allal: Z +∞ Z +∞ exp [ω1 x + ω2 y)] e h(ω1 , ω2 )dω1 dω2 , (4.45) Ψ(x, y) = −∞

−∞

ahol e h jel¨oli a Ψ f¨ uggv´eny Fourier-transzform´altj´at. Alkalmazzuk (4.45) mindk´et oldal´ara a ∆ − ω 2 oper´atort: Z +∞ Z +∞ 2 (ω 2 − ω12 − ω22 ) exp [i(ω1 x + ω2 y)] e h(ω1 , ω2 )dω1 dω2 = 0. (∆ − ω )Ψ(x, y) = −∞

−∞

(4.46) Legyen δ(ω − s)h(ϕ) e h(ω1 , ω2 ) = , (4.47) ω ahol δ() a Dirac-delta f¨ uggv´eny. Vezess¨ uk be az (s, ϕ) a pol´arkoordin´at´akat az (ω1 , ω2 ) s´ıkban: ω1 = s cos ϕ, ω2 = s sin ϕ, dω1 dω2 = sdsdϕ. Az s szerinti integr´al´as ut´an el˝oa´ll´ıtottuk a keresett megold´ast a h f¨ uggv´eny transzform´altjak´ent. Vizsg´aljuk meg, hogyan hat a kapott kifejez´esen az E(2) csoport g(θ, a, b) eleme! s-szerinti integr´al´as ut´an: Z +π exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]h(ϕ)dϕ (4.48) Ψ(x, y) = −π

A csoportelem hat´as´at egy f¨ uggv´enyre (4.18) seg´ıts´eg´evel az argumentum transzform´acio´jak´ent ´ırtuk le, az argumentum transzform´aci´oj´ahoz pedig a csoportelem T(g) m´atrixa´br´azol´as´at haszn´altuk: Z +π exp[iω(x cos(ϕ + θ) + y sin(ϕ + θ))]h(ϕ)dϕ. (4.49) T(g)Ψ(x, y) = −π

A fenti integr´al´asban a pol´arsz¨og transzform´aci´oja ´atvihet˝o a h f¨ uggv´eny argumentum´ara: Z +π T(g)Ψ(x, y) = exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]T(g)h(ϕ)dϕ, (4.50) −π

ahol a g csoportelem hat´as´at a 2π szerint periodikus h() f¨ uggv´enyre az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es adja meg: T(g)h(ϕ) = exp[iω(a cos(ϕ − θ) + b sin(ϕ − θ))]h(ϕ − θ). (4.51) 92

K¨ozvetlen¨ ul igazolhat´o, hogy a (4.51) a´ltal defini´alt oper´atorra fenn´all T(g1 g2 ) = T(g1 )T(g2 ). Tekints¨ uk most a h f¨ uggv´enyt az L2 (S) = L2 (ω12 + ω22 = 1) Hilbert-t´er elem´enek. E t´er elemeit k´epez˝o f¨ uggv´enyek n´egyzet´enek integr´alja v´eges. A Hilbert-t´eren bevezethet˝o az al´abbi skal´arszorzat: Z +π (h1 , h2 ) = h1 (ϕ)h2 (ϕ)dϕ. (4.52) −π

K¨onnyen bel´athat´o, hogy ezen a t´eren a T(g) oper´ator unit´er: (T(g)h1 , T(g)h2 ) = (h1 , h2 ).

(4.53)

Ezzel l´etrehoztuk az E(2) csoport egy unit´er a´br´azol´as´at. Megmutathat´o (ld. Mackay k¨onyv´et), hogy az ´ıgy bevezetett ´abr´azol´as irreducibilis. Az el˝oz˝o r´eszben le´ırtakkal anal´og m´odon parci´alis integr´al´assal meg lehet hat´arozni a P1 , P2 ´es M oper´atorok a´ltal induk´alt Lie-algebra oper´atorait. Eredm´eny¨ ul az al´abbiakat kapjuk: P1 = iω cos ϕ; P2 = iω sin ϕ; M = −d/dϕ. (4.54) A fenti oper´atorok ugyanazokat a kommut´atorokat adj´ak, mint az el˝oz˝o fejezetben defini´alt P1 , P2 ´es M oper´atorok, ez´ert b´azisk´ent v´alaszthat´oak az E(2) algebr´aban. Szint´en az el˝oz˝o r´esszel anal´og m´odon a fenti oper´atorokkal k´epzett Lie-algebra seg´ıts´eg´evel kifejezhet˝o T(g): T(g) = exp(θM) exp(aP1 + bP2 ). (4.55) Mivel a T(g) oper´atorok ferd´en hermetikusak, azaz, hLh1 , h2 i = − hh1 , Lh2 i , hj ∈ L2 (S1 )

(4.56)

minden L = c1 P1 + c2 P2 + c3 M oper´atorra (itt az egy¨ utthat´ok val´os sz´amok). Nem t´er¨ unk ki a r´eszletekre, de L ´ertelmez´esi tartom´any´at gondosan kell defini´alni. Mi arra az esetre szor´ıtkozunk, amikor azon f¨ uggv´enyek, amelyekre L-et alkalmazzuk, kell˝oen sim´ak. Ahogyan az el˝oz˝o r´eszben is, a Helmholtz-egyenlet szepar´alt megold´as´at most is egy ortogon´alis, szepar´alhat´o koordin´ata-rendszer (u, v) v´altoz´oiban ´ırjuk fel, a megold´ast ilyen f¨ uggv´enyek szerint fejtj¨ uk ki. Ezeket a f¨ uggv´enyeket egy S szimmetrikus oper´ator saj´atf¨ uggv´enyeik´ent ´all´ıtjuk el˝o, az S oper´ator pedig szimmetrikus, m´asodfok´ u polinomja az E(2)- beli oper´atoroknak. R¨oviden: az S oper´ator szimmetrikus, amennyiben (SΨ1 , Ψ2 ) = (Ψ1 , SΨ2 )

(4.57)

valamely D ⊂ DS halmazban l´ev˝o Ψ1 , Ψ2 f¨ uggv´enyekkel. (Itt a DS f¨ uggv´enyt´eren defini´alt az S oper´ator hat´asa.) Egy szimmetrikus oper´ator elt´er˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyei ortogon´alisak, saj´at´ert´ekei pedig val´osak. Feltessz¨ uk, hogy a saj´atf¨ uggv´enyek rendszere teljes, a sz´oban forg´o f¨ uggv´enyek kifejthet˝oek a saj´atf¨ uggv´enyek szerint. A v´altoz´ok szepar´al´as´aval el˝oa´ll´ıthat´o megold´ashoz teh´at az 1. t´abl´azatban szerepl˝o oper´atorok saj´atff¨ uggv´enyeit (az oper´atorok spektr´alis felbont´as´at) kell megadni. El˝ore vessz¨ uk az S = M2 oper´atort. 93

4.3.1.

Az S = M2 -hez tartoz´ o p´ alya

√ Ebben a r´eszben i = −1 a komplex egys´eget jel¨oli. Nyilv´an elegend˝o M2 helyett iM saj´atf¨ uggv´enyeit vizsg´alni, hiszen ha MΨ = λΨ, akkor f (M)Ψ = f (λ)Ψ. A saj´atf¨ uggv´enyt megad´o egyenletet ´ıgy ´ırjuk: dfλ (ϕ) −i = λfλ (ϕ). (4.58) dφ A megold´ast az egys´egk¨or¨on ´ertelemezett, folytonos els˝o deriv´alttal rendelkez˝o f¨ uggv´enyek k¨or´eben keress¨ uk. K¨onnyen bel´athat´o, hogy az einϕ fn (ϕ) = √ 2π

(4.59)

f¨ uggv´enyhez az iM oper´ator n saj´at´ert´eke tartozik. A saj´atf¨ uggv´enyek ortonorm´altak az egys´egk¨or¨on ´es teljes rendszert k´epeznek, szerint¨ uk tetsz˝oleges periodikus f¨ uggv´eny 4 kifejthet˝o. A forgat´as oper´ator´at kor´abban m´ar fel´ırtuk els˝orend˝ u deriv´altakkal: iM0 = i(y∂x − x∂y ). Ez az oper´ator egy m´asik t´eren van ´ertelmezve, mint a φ szerinti deriv´al´as, de fenn´all az al´abbi kapcsolat: M0 = IMI−1 , ahol I az inverz Fouriertranszform´aci´o (4.45) oper´atora. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen iM0 unit´er, ekvivalens M-mel, ez´ert spektrumuk is azonos. Vagyis, a (4.59) saj´atf¨ uggv´enyekre alkalmazva a (4.45) inverz 0 Fourier-transzform´aci´ot, megkapjuk az M oper´ator x, y v´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o saj´atf¨ uggv´enyeit. C´elszer˝ u ´att´erni az (x, y) v´altoz´okr´ol (r, θ) pol´arkoordin´at´akra. Jel¨olje a saj´atf¨ uggv´enyeket Ψn (r, θ), amit a fentiek szerint a Z +π √ 1 inϕ exp[iωr cos(ϕ − θ)]exp[inϕ]dϕ (4.60) Ψn (r, θ) = I(e / 2π) = √ 2π −π kifejez´es ad meg. A fenti kifejez´est egy´ uttal az I integr´aloper´ator defin´ıci´ojak´ent is hasz´ erve az α = ϕ − θ v´altoz´ora: n´aljuk. Att´ Ψn (r, θ) = exp[inθ]Rn (r), ahol 1 Rn (r) = √ 2π

Z

(4.61)

+π

exp[iωr cos α] exp[inα]dα.

(4.62)

−π

Megmutatjuk, hogy Ψ(r, θ) az al´abbi alakba ´ırhat´o: in Ψn (r, θ) = √ Jn (ωr) exp[inθ], 2π 4

(4.63)

Megjegyezz¨ uk, hogy az iM oper´ ator nem ¨onadjung´alt az egys´egk¨or¨on, de kiterjeszthet˝o egy nagyobb t´erre, ahol m´ ar ¨ onadjung´ alt. A kiterjeszt´es nem vezet sem u ´j saj´at´ert´ekek, sem u ´j saj´atvektorok megjelen´es´ehez.

94

ahol Jn (x) az n-ik Bessel-f¨ uggv´eny, ld. 10.1.2 fejezet. Vizsg´aljuk meg (4.60) r-t˝ol f¨ ugg˝o r´esz´et. Mivel a vizsg´alt f¨ uggv´eny saj´atf¨ uggv´enye az iM0 oper´atornak n saj´at´ert´ekkel, egy r-t˝ol ´es egy θ-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny szorzatak´ent ´ırhat´o. Jel¨olje az r-t˝ol f¨ ugg˝o r´eszt Rn (r). Ez a f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti a (10.24) Bessel-f´ele differenci´alegyenletet, teh´at a megold´as egy Bessel-f¨ uggv´ennyel ar´anyos. Az ar´anyoss´agi t´enyez˝o meghat´aroz´as´ahoz a Bessel-f¨ uggv´eny (10.28) sorfejt´es´et haszn´aljuk fel. A Ψ(r, θ)ban szerepl˝o exp[iωr cos α]-t Taylor-sorba fejtve azt tal´aljuk, hogy rn egy¨ utthat´oja √   Z n +π 2π iω (iω)n n √ cos α exp(inα)dα = . (4.64) n! 2 n! 2π −π Ezzel a megold´ast egy r-t˝ol ´es egy θ-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny szorzat´ara bontottuk.

4.3.2.

Az S = P22 -hez tartoz´ o p´ alya

Az el˝oz˝o r´eszhez hasonl´oan elegend˝o a szimmetrikus iP2 oper´ator spektr´alis felbont´as´at meghat´arozni. Mivel iP2 = −ωsinϕ ´es az iP2 oper´ator defini´alt az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek Hilbert-ter´en, nincs sz¨ uks´eg az oper´ator kiterjeszt´es´ere, azonban saj´atf¨ uggv´enyei nem f¨ uggv´enyek, hanem funkcion´alok: fα (ϕ) = δ(ϕ − α), −π ≤ α ≤ +π. Az el˝oz˝o r´eszhez hasonl´oan az inverz Fourier-transzform´aci´ot h´ıvjuk seg´ıts´eg¨ ul. Az iP2 oper´atort az x, y v´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´enyekre iP2 = i∂y adja meg, ´es a megfelel˝o saj´atf¨ uggv´enyek Z +π Ψα (x, y) = I(δ(ϕ−α) = exp[iω(x cos ϕ+y sin ϕ)]δ(ϕ−α)dϕ = exp[iω(x cos ϕ+y sin ϕ)]. −π

(4.65) Tetsz˝oleges Ψ(x, y) f¨ uggv´eny pedig kifejthet˝o a Ψα (x, y) saj´atf¨ uggv´enyek szerint: Z +π Ψ(x, y) = cα exp[iω(x cos α + y sin α)]dα. (4.66) −π

Itt −π ≤ α ≤ π ´es Z

+π

Z Z h(ϕ)δ(α − ϕ)dϕ =

cα =

Ψ(x, y)Ψα (x, y)dxdy.

(4.67)

−π

A (4.66) egyenlet egy b´azis (nevezetesen az exp[iω(x cos α + y sin α)] f¨ uggv´enyek b´azisa) szerinti kifejt´est tartalmaz. A b´azis minden eleme egy x-t˝ol ´es egy y-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny szorzata. Ezzel egy x-t˝ol ´es egy y-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´enyre szepar´altuk a megold´ast.

4.3.3.

Az S = {M, P2 }-hez tartoz´ o p´ alya

A sz´obanforg´o operator azonnal fel´ırhat´o: {M, P2 } = −iω(sin ϕd/dϕ + cos ϕ), 95

(4.68)

ez az oper´ator szimmetrikus (de nem ¨onadjung´alt)az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek L2 (S) ter´eben. (Az L2 (S)-beli f¨ uggv´enyeket sin2 ϕ+cos2 ϕ = 1 jellemzi.) Lehet tal´alni olyan kiterjeszt´est, amelyen az oper´ator m´ar ¨onadjung´alt. A 2.5.1 fejezetben l´attuk, hogy a forgat´asok le´ır´as´ahoz j´ol haszn´alhat´oak a k´etelem˝ u vektorok ´es a rajtuk hat´o m´atrixok. Az L2 (S) kiterjeszt´es´et ilyen vektorokkal fogjuk megadni. Legyen f ∈ L2 (S). Bevezetj¨ uk az U : L2 (S) → L2 (R2 ) oper´atort, U teh´at egy k´etdimenzi´os, val´os ´ert´ek˝ u vektort rendel L2 (S) minden elem´ehez, a vektor elemei a val´os tengely felett n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek, a komponenseket a + ´es − als´o indexekkel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. Az U oper´ator teh´at az egys´egk¨or (cos ϕ, ∈ ϕ) pontj´ahoz hozz´arendel egy val´os ν sz´amot, a k´etelem˝ u vektor komponensei pedig ν val´os f¨ uggv´enyei. Legyen   F+ (ν) . F (ν) = F− (ν) Az U oper´atort az al´abbi m´odon defini´aljuk:     f+ (cos ϕ) f+ (cos ϕ) 1/2 Uf (ν) = F (ν) = = [sin ϕ] , f− (cos ϕ) f− (cos ϕ)

(4.69)

ahol cos ϕ = tanh ν. A most bevezetett + ´es − indexekkel jel¨olt komponensek egyazon f¨ uggv´eny k´et intervallumon felvett ´ert´ekeib˝ol a´llnak: f− (cos ϕ) = f (ϕ), −π ≤ ϕ < 0 f+ (cos ϕ) = f (ϕ), 0 < ϕ ≤ π.

(4.70) (4.71)

Ezen k´etelem˝ u vektorokat al´ah´ uz´assal fogjuk jel¨olni pl. F (ν). Nyilv´an Fourier-transzform´altjuk is k´etelem˝ u vektor lesz. A Fourier transzform´altra skal´ar f v´altoz´o eset´en az f, vektor F v´altoz´o est´en a F jel¨ol´est fogjuk haszn´alni.: Z +∞ 1 F(λ) = √ F (ν)eiνλ dν, (4.72) 2π −∞ a megfelel˝o inverz Fourier-transzform´aci´o pedig Z +∞ 1 F(λ)e−iνλ dλ. F (ν) = √ 2π −∞

(4.73)

Arra kell m´eg u unk, hogy a skal´arszorzatn´al a komponensek integr´al´as´an5 k´ıv¨ ul a ¨gyeln¨ komponensek szorz´as´at is el kell v´egezni, ´es mivel a Fourier-transzform´aci´oban komplex mennyis´egek szerepelnek, de alakj´aban el˝ofordul komplex konjug´alt is, ezt fel¨ ulh´ uz´assal jel¨olj¨ uk: Z +∞
F+ (ν)G+ (ν) + F− (ν)G− (ν) dν (4.74) (F(ν), G(ν)) = −∞ 5

A val´ os f¨ uggv´enyt´eren ez az ´ altal´ anosan haszn´alt skal´arszorzat.

96

Ebben a r´eszben az S = {M, P2 }; SF (ν) = 2iωd/dνF (ν) oper´atorral foglalkozunk. Az oper´ator hat´as´at az L2 (S) f¨ uggv´enyt´eren (4.68) adja meg, az L2 (R2 ) t´eren viszont −1 USU . Fourier-transzform´aci´o ut´an az S = {M, P2 } = F (ν) = 2iωd/dνF (ν) oper´ator saj´at´ert´ekeit meghat´aroz´o egyenlet: SF (λ) = 2λωF (λ).

(4.75)

Arra a k¨ovetkeztet´esre jutottunk, hogy az S = {M, P2 } oper´atort ki lehet terjeszteni egy egy´ertelm˝ u unit´er oper´atorra, amelynek spektruma folytonos (v.¨o. (4.75)), minden saj´at´ert´ek k´etszeres, a saj´atf¨ uggv´enyek pedig ism´et funkcion´alok:   δ(λ − µ) + Fµ (λ) = (4.76) 0   0 − (4.77) Fµ (λ) = δ(λ − µ). Ezeket a f¨ uggv´enyeket visszatranszform´alva a ϕ v´altoz´ora, megkapjuk a kifejt´esben haszn´aland´o a´ltal´anos´ıtott saj´atf¨ uggv´enyeket:  1 √ (1 + cos ϕ)−iµ/2−1/4 (1 − cos ϕ)iµ/2−1/4 0 < ϕ ≤ π 2π (4.78) fµ+ (ϕ) = 0, −π ≤ ϕ < 0 Fenn´all tov´abb´a a fµ− (ϕ) = fµ+ (−ϕ) ¨osszef¨ ugg´es, ´es {M, P2 }fµ± = 2µωfµ± . A Helmholtzegyenlet fµ+ f¨ uggv´enynek megfelel˝o megold´asa: Z ∞ Ψµ+ (x, y) = I(fµ+ ) = exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]fµ+ (ϕ)dϕ (4.79) 0

Bevezetve a cos ϕ = (t−1 − t)/(t−1 + t) helyettes´ıt´est, az integr´al az al´abbi alakot veszi fel:      Z ∞ iµ−1/2 t 1 − t2 2yt 1 √ Ψµ+ (x, y) = √ exp iω x + dt. (4.80) 1 + t2 1 + t2 π 0 1 + t2 A 2.1 r´eszben elmondottakb´ol k¨ovetkezik, hogy az {M, P2 } oper´ator saj´atf¨ uggv´enyei szepar´alhat´oak parabolikus koordin´at´ak haszn´alata eset´en. Vezess¨ uk be a 1 x = (ξ 2 − η 2 ), y = ξη 2

(4.81)

v´altoz´okat. Mivel Ψµ+ (ξ, η) saj´atf¨ uggv´enye a (4.1) egyenletnek, tov´abb´a a (4.27) helyettes´ıt´essel a (4.27) egyenlet al´abbi speci´alis esetet´et kapjuk meg: ∂ξξ Ψ + ∂ηη Ψ + (ξ 2 + η 2 )ω 2 Ψ = 0, amelynek megold´as´at kereshetj¨ uk Ψ(ξ, η) = U (ξ)V (η) alakban. Ekkor U ´es V a (4.35) ´es (4.36) egyenletek megold´asa, ahol k 2 = 2µω. Minthogy ezen egyenleteknek k´et line´arisan 97

f¨ uggetlen megold´asa l´etezik (ld. 10.1.4 fejezet), a szepar´alt f¨ uggv´enyben ¨osszesen n´egy szabad ´alland´o tal´alhat´o. Az u ´j v´altoz´okkal fel´ırt egyenlet legfeljebb n´egy, szorzat alakban szepar´alt tagra esik sz´et. Itt nem r´eszletezett sz´am´ıt´asok eredm´enyek´ent azt kapjuk, hogy a saj´atf¨ uggv´eny i−1  h√  2 cos(iµπ) Diµ−1/2 (σξ)D−iµ−1/2 (ση) + Diµ−1/2 (−σξ)D−iµ−1/2 (−ση) . Ψµ+ (ξ, η) = (4.82) √ Itt σ = 2ω exp(iπ/4) ´es Dν (x) a parabolikus hengerf¨ uggv´enyt jel¨oli, ld. 10.1.4. fejezet. A megold´as m´asik komponens´et a fenti kifejez´esb˝ol kapjuk: Ψµ− (ξ, η) = Ψµ+ (ξ, −η).

4.3.4.

(4.83)

o p´ alya Az S = M2 + d2 P21 -hez tartoz´

Most teh´at (4.54) felhaszn´al´as´aval az 2

2

S = M + d P1

2

d2 = − d2 ω 2 cos2 ϕ, 2 dϕ

(4.84)

oper´atort vizsg´aljuk. A most bevezetett S oper´ator D ´ertelmez´esi tartom´anya az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere. Az S oper´ator saj´at´ert´ek-feladata az al´abbi egyenlet megold´as´at ig´enyli: d2 f d2 ω 2 + (a − 2q cos 2ϕ)f = 0, a = −λ − dϕ2 2

(4.85)

´es q = d2 ω 2 /4. A saj´atf¨ uggv´enyek teh´at Mathieu-f¨ uggv´enyek, ld. 10-1-3. fejezet. Az S oper´atornak nincs saj´atf¨ uggv´enye a D tartom´anyban, de S egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o egy olyan szimmetrikus oper´atorr´a, amely a k¨or¨on k´etszer folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´enyeken hat. Ebben az esetben a (4.85) egyenletnek megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok megold´asa l´etezik, mindegyik saj´at´ert´eke egyszeres. A norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek (v.¨o. 10.1.3. fejezet) pedig: cen (ϕ, q) √ π sen (ϕ, q) √ fns (ϕ) = , n = 1, 2, . . . . π fnc (ϕ) =

(4.86) (4.87)

A Helmholtz-egyenlet (x, y) v´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o megold´as´at fnc (ϕ)-b˝ol Fourier-transzform´aci´oval kapjuk: Z +π 1 Ψ(x, y) = √ exp [iω(x cos ϕ + y sin ϕ)] cen (ϕ, q)dϕ. (4.88) π −π 98

Bevezetj¨ uk az elliptikus koordin´at´akat: x = d cosh α cos β, y = d sinh α sin β.

(4.89)

Az u ´j koordin´at´akban fel´ırva a Helmhotz-egyenlet megold´as´at az al´abbi, szepar´alt alakot kapjuk: Ψnc (α, β) = U (α)cen (β, q), (4.90) ahol U (α) kiel´eg´ıti a m´odos´ıtott Mathieu-egyenletet: d2 U + (−a + 2q cosh(2α))U = 0. dα2

(4.91)

Tekintettel arra, hogy a (4.88) egyenlet p´aros α-ban, ´ıgy Ψ(α, β)-ra az al´abbi k´et alakot kapjuk: Cn Cen (α, q)cen (β, q), Sn Sen (β, q). Ezzel a szepar´alhat´o megold´asok vizsg´alat´at befejezt¨ uk. V´egezet¨ ul megeml´ıt¨ unk egy gyakorlati k´erd´est. A Helmholtz-egyenlet megold´as´at gyakran arra haszn´aljuk, hogy egy f¨ uggv´enyt kifejts¨ unk a megold´asok szerint, vagyis, a szepar´alt form´aban fel´ırt f¨ uggv´enyeket b´azisk´ent haszn´aljuk. Ilyen sz´am´ıt´asok sor´an gyakran van sz¨ uks´eg¨ unk (T(g)Ψn , Ψm ) (4.92) t´ıpus´ u m´atrixelemek kisz´am´ıt´as´ara. Ebben a Wigner-Eckart-t´etelen k´ıv¨ ul seg´ıts´eg¨ unkre lehet annak felismer´ese, hogy a Fourier-transzform´aci´o felhaszn´al´as´aval a skal´arszorzatokat ki lehet ´ert´ekelni az egys´egk¨or¨on, ami j´oval kevesebb sz´am´ıt´ast ig´enyel.

99

5. fejezet Egyenletek szimmetri´ ainak meghat´ aroz´ asa

100

A Lie-csoportok alkalmaz´as´anak fontos ter¨ ulete az egyenletek vizsg´alata. A szimmetria a f¨ uggetlen ´es f¨ ugg˝o v´altoz´ok egy¨ uttes transzform´aci´oja olym´odon, hogy a transzform´aci´o egy megold´ast m´asik megold´asba vigyen. A szimmetri´ak ismeret´eben invari´ansokat lehet meghat´arozni, amivel az egyenlet megold´asa egyszer˝ us´ıthet˝o. Els˝o l´ep´esk´ent a deriv´altakat nem tartalmaz´o egyenleteket vizsg´aljuk. Az egyenlet teh´at az ismeretlenek deriv´altjait nem tartalmazz´ak, feltessz¨ uk tov´abb´a, hogy a vizsg´aland´o egyenletek kell˝oen sim´ak, azaz, legal´abb k´etszer deriv´alhat´oak. Az egyenlet szimmetri´ai Lie-csoport alakj´aban keress¨ uk, a csoportot gener´atorai r´ev´en hat´arozzuk meg. A t´argyal´as v´egs˝o c´elja egy praktikus, alkalmazhat´o m´odszert adni a differenci´alegyenletek vizsg´alat´ahoz. Itt sz¨ uks´eg¨ unk lesz a 2.3.1 fejezetben t´argyalt funkcion´alisan f¨ uggetlen f¨ uggv´enyekre. Az M halmazon ´ertelmezett val´os fi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m f¨ uggv´enyek rendszer´et f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, amennyiben nem l´etezik olyan m v´altoz´os F (y1 , . . . , ym ) f¨ uggv´eny, amely M b´armely ny´ılt r´eszhalmaz´an teljes´ıten´e az F (f 1 (x), . . . , f n (x)) = 0 felt´etelt. Itt x = (x1 , . . . , xn ). 5.1. Feladat Legyen y1 = f1 (x1 , x2 ) = x1 ´es  x1 ha x2 > 0 1 2 y2 = f2 (x , x ) = 2 1 x + e−x ; ha x2 > 0 Az ´ıgy defini´alt f 1 ´es f 2 f¨ uggv´enyek f¨ uggetlenek az x2 > 0 f´els´ıkon, de funkcion´alisan f¨ ugg˝oek az als´o f´els´ıkon.  Sophus Lie eredetileg a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek szimmetri´aj´at vizsg´alta, ´es megmutatta, hogy egy egyparam´eteres szimmetriacsoport birtok´aban az egyenlet rendje eggyel cs¨okkenthet˝o. Parci´alis differenci´alegyenletek eset´eben a technika bonyolultabb. A m´asodik r´eszben a differenci´alegyenletek invarianci´aj´at vizsg´aljuk. Itt az alkalmazott technika a prolong´aci´okra, azaz, a szimmetriacsoport hat´as´anak az egyenletekre t¨ort´en˝o alkalmas ´atvitel´ere ´ep¨ ul.

5.1.

Egyenletek szimmetri´ aja

Tekints¨ uk az al´abbi algebrai egyenletrendszert: Fi (x) = 0, i = 1, . . . , `.

(5.1)

Feltessz¨ uk, hogy az Fi val´os f¨ uggv´enyek minden x ∈ M ´ert´ekre sima f¨ uggv´enyek. A fenti egyenletek megold´asa egy (vagy t¨obb) x ∈ M pont, amelyben minden Fi (x) f¨ uggv´eny nulla ´ert´eket vesz fel. Az (5.1) rendszer szimmetria csoportja M-en hat´o lok´alis transzform´aci´ok olyan G csoportja, amely az (5.1) egyenlet megold´as´at m´asik megold´asba transzform´alja. Vagyis, 101

amennyiben y(x) megold´as, ´es g ∈ G, akkor amennyiben gy defini´alva van, akkor megk¨ovetelj¨ uk, hogy gy is megold´as legyen. Az al´abbiakban annak felt´eteleit keress¨ uk, hogy egy adott transzform´aci´ocsoport a vizsg´alt egyenletek szimmetri´aja legyen. Els˝o l´ep´esk´ent eml´ekeztet¨ unk az invari´ans alt´er defin´ıci´oj´ara (2. fejezet). Ennek anal´ogi´aj´ara defini´aljuk az invari´ans r´eszhalmaz fogalm´at: az S ⊂ M halmazt G invari´ansnak nevezz¨ uk, ha minden x ∈ S-re, ´es g ∈ G-re gx ∈ S, felt´eve, hogy gx defini´alva van. Defini´alhatjuk egy adott F (x) f¨ uggv´eny invarianci´aj´at is. Legyen G egy lok´alis transzform´aci´ocsoport, amely az M halmazon hat. Egy F : M → N (itt N egy m´asik sokas´ag) f¨ uggv´enyt G invari´ansnak nevez¨ unk, ha minden x ∈ M-re, ´es minden g ∈ G-re, amelyre gx defini´alva van, F (gx) = F (x). F : M → R` akkor ´es csak akkor G invari´ans, ha F = (F1 , . . . , F` ) minden komponense G invari´ans. Most m´ar meg tudjuk fogalmazni a bevezet´esben megfogalmazott ´all´ıt´asokat. ´ ıt´ 5.1. All´ as Legyen G egy ¨osszef¨ ugg˝o lok´alis Lie-transzform´aci´ocsoport az m dimenzi´os M sokas´agon. Egy val´os ´ert´ek˝ u ζ : M → R f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor G invari´ans, ha v(ζ) = 0

(5.2)

minden x ∈ M-re, ´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara. Legyen G az infinitezim´alis gener´atorok Lie-algebr´aja, ´es legyen ebben az algebr´aban v1 , . . . , vr egy b´azis. Ekkor a 5.1. a´ll´ıt´asnak megfelel˝oen, a ζ(x) f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor Lie-algebra invari´ans, ha vk (ζ) = 0, k = 1, . . . , r. A vk gener´atort Lok´alis koordin´at´akkal kifejezve ∞ X ∂ (5.3) vk = ξki (x) i . ∂x i=1 Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a fenti tulajdons´ag´ u ζ f¨ uggv´eny az al´abbi differenci´alegyenlet megold´asa: ∞ X ∂ζ vk (ζ) = ξki (x) i = 0, k = 1, . . . , r. (5.4) ∂x i=1 5.2. T´ etel Legyen g egy ¨oszef¨ ugg˝o Lie-transzform´aci´ocsoport, amely az m dimenzi´os M sokas´agon hat. Hat´arozz´ak meg az F : M → R` , ` ≤ m, f¨ uggv´enyek az (5.1) egyenletrendszert ´es tegy¨ uk fel, hogy az egyenlet rangja maxim´alis, azaz, a ∂Fi /∂xk m´atrix rangja `, az egyenlet minden x megold´as´ara. Ekkor a G csoport akkor ´es csak akkor szimmetriacsoportja az (5.1) egyenletrendszernek, ha v (Fi (x)) = 0, i = 1, . . . , `,

(5.5)

valah´anyszor F (x) = 0, ´es a fenti o ugg´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara ¨sszef¨ fenn´all. 102

´ ıt´ 5.3. All´ as Legyen az F : M → R` f¨ uggv´eny maxim´alis rang´ u az SF = {x : F (x) = 0} r´esz-sokas´agon. Az f : M → R val´os f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor t˝ unik el SF -en, ha l´eteznek olyan sima Q1 (x), . . . , Q` (x) f¨ uggv´enyek, hogy f (x) =

` X

Qj Fj (x),

(5.6)

j=1

minden x ∈ M -re. A 5.3. a´ll´ıt´asban a maxim´alis rang l´enyeges felt´etel. P´eld´aul tekints¨ uk az F (x, y) = y − 2y + 1 f¨ uggv´enyt ´es legyen f (x) = y − 1, amely elt˝ unik minden olyan pontban, ahol F (x, y) = 0, ez a halmaz az SF = {y = 1} pontb´ol a´ll. Ugyanakkor nem l´etezik olyan sima Q(x, y) f¨ uggv´eny, amelyre fenn´allna f (x, y) = Q(x, y)F (x, y). 2

´ ıt´ u az SF = {x : F (x) = 0} halmazon. Te5.4. All´ as Legyen M → R` maxim´alis rang´ gy¨ uk fel, hogy az R1 (x), . . . , R` (x) f¨ uggv´enyekre fenn´all ` X

Rj (x)Fj (x) = 0

(5.7)

j=1

minden x ∈ M-re. Ekkor Rj (x) = 0 minden x ∈ SF -re. Ezzel ekvivalens, hogy l´eteznek olyan Sjm (x) f¨ uggv´enyek, amelyre fenn´all Rj (x) =

` X

Sjm (x)Fm (x).

(5.8)

m=1 j uggv´enyeket lehet u ´gy v´alasztani, hogy Sjm (x) = −Sm (x), ebben az Tov´abb´a, az Sjm (x) f¨ esetben (5.8) fenn´all´asa sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges ahhoz, hogy (5.7) minden x-re teljes¨ ulj¨on. Gyakran sz¨ uks´eg van annak megv´alaszol´as´ara, hogy egy adott transzform´aci´ocsoportnak h´any invari´ansa van. Nyilv´anval´o, hogy amennyiben ζ 1 (x), . . . , ζ k (x) invari´ans egy transzform´aci´ocsoporttal szemben, ´es F (z 1 , . . . , z k ) tetsz˝oleges, sima f¨ uggv´eny, akkor F (ζ 1 (x), . . . , ζ k (x)) szint´en invari´ans, ´am ez semmif´ele u ´j inform´aci´ot nem hordoz, az el˝obbi invari´anst´ol ”funkcion´alisan f¨ ugg˝o”-nek nevezz¨ uk (ld. jelen fejezet bevezet˝o r´esz´et).

5.5. T´ etel Legyen ζ = (ζ 1 , . . . , ζ k ) egy sima lek´epez´es M-b˝ol Rk -ba. Ekkor ζ 1 (x), . . . , ζ k (x) akkor ´es csak akkor funkcion´alisan ¨osszef¨ ugg˝oek, ha dζ|x (azaz, a ζ f¨ uggv´eny differenci´alja az x pontban) rangja szigor´ uan kisebb, mint k minden x ∈ M-re. A k¨ovetkez˝o t´etel egy transzform´aci´ocsoport invari´ansainak sz´am´at adja meg.

103

5.6. T´ etel Hasson a G csoport szemiregul´arisan az m-dimenzi´os M sokas´agon, ´es legyenek orbitjai s dimenzi´osak. Ha x0 ∈ M, akkor pontosan m − s funkcion´alisan f¨ uggetlen lok´alis invari´ans ζ 1 , . . . , ζ m−s l´etezik x0 egy k¨ornyezet´eben. Tov´abb´a, a csoporthat´as b´armely egy´eb, x0 k¨ornyezet´eben defini´alt invari´ansa az al´abbi form´aba ´ırhat´o: ζ(x) = F (ζ 1 (x), . . . , ζ m−s (x)), valamely alkalmas, sima F f¨ uggv´enyre. Amennyiben a G csoport hat´asa regul´aris, a csoport invari´ansai glob´alis invari´ansokk´a tehet˝oek x0 egy k¨ornyezet´eben. Most m´ar csak az invari´ansok megkonstru´al´asa van h´atra. Legyen G egyparam´eteres csoport, amelynek infinitezim´alis gener´atora v = ξ 1 (x)

∂ ∂ + · · · + ξ m (x) m 1 ∂x ∂x

(5.9)

valamely alkalmas lok´alis koordin´at´aban kifejezve. Egy lok´alis, G-vel szemben invari´ans mennyis´eg, ζ(x) az al´abbi egyenlet megold´asa lesz: v(ζ) = ξ 1 (x)

∂ζ ∂ζ + · · · + ξ m (x) m = 0. 1 ∂x ∂x

(5.10)

5.1. Feladat (Karakterisztikus egyenlet) A (5.10) egyenlet megold´asa a megfelel˝ o karakterisztik´akb´ol ad´od´o egyenletek megold´as´ara ´ep¨ ul. Ez r¨oviden a k¨ovetkez˝ot jelenti k´et v´altoz´o eset´en. Legyen ζ = ζ(x1 , x2 ), (5.11) p = ∂x1 ζ ´es q = ∂x2 ζ, a megoldand´o egyenlet pedig legyen F (x1 , x2 , ζ, p, q) = 0

(5.12)

alak´ u. Legyen a t´er egy pontja legyen P (x1 = x, x2 = y, ζ = z). A (5.12) egyenlet ´erint˝oje a P pontban ζ − z = p(x1 − x) + q(x2 − y). (5.13) (5.12)-ben ´es (5.13)-ben p ´es q param´eterek, r´aad´asul nem f¨ uggetlenek. (5.12)-b˝ol ´es (5.13)-b˝ol ∂p F dp + ∂q F dq = 0 (x − x)dp + (y − x2 )dq = 0. 1

(5.14) (5.15)

Itt dp = dq = 0 nem ´allhat fenn, ez´ert a determin´ans elt˝ unik, ez´ert ∂p F (x2 −y)+∂q F (x1 − x) = 0. Ebb˝ol az egyenletb˝ol, (5.13)-b˝ol ´es (5.12)-b˝ol a p, q koordin´at´akat elimin´alhatjuk: dz = pdx + qdy ´es Fp dy = Fq dx. Ezt ´atalak´ıtva dy dx = . Fp Fq 104

(5.16)

Ezt ´altal´anos´ıtva:

dx1 dx2 dxm = = · · · = . ξ 1 (x) ξ 2 (x) ξ m (x)

(5.17)

Ezen egyenletrendszer megold´asai: ζ 1 (x1 , . . . , xm ) = c1 , . . . , ζ m−1 (x1 , . . . , xm ) = cm−1 .

(5.18)

Az ´ıgy kapott ζ 1 , . . . , ζ m−1 pontosan a (5.10) egyenlet keresett line´arisan f¨ uggetlen megold´asai. 

5.2.

Differenci´ alegyenletek szimmetri´ aja

Tekints¨ uk az X halmazt, amelynek pontjait x = (x1 , . . . , xp ) koordin´at´akkal jellemezz¨ uk. Tekints¨ uk az X → U lek´epez´est, ahol az U halmaz pontjait u = (u1 , . . . , up ) ´ırja le. A lek´epez´es miatt ui = ui (x). El´eg´ıts´ek ki az ui (x) f¨ uggv´enyek az al´abbi egyenletrendszert: ∆ν (x, u( n)) = 0,

ν = 1, . . . , `.

(5.19)

Itt u( n) az u(x) f¨ uggv´eny legfeljebb n-ik deriv´altj´at jel¨oli. A ∆ = (∆1 (x, u(n) ), . . . , ∆` (x, u(n) )) f¨ uggv´enyekr˝ol, amelyek a (5.19) egyenletben szerepl˝o m˝ uveleteket jel¨olik, feltessz¨ uk, hogy (n) argumentumaiknak sima f¨ uggv´enyei, ´ıgy a ∆ lek´epez´es sima, az X × U t´er pontjait ` az R t´er pontjaiba k´epezi le. Itt U(n) az U t´er elemeinek legfeljebb n-ik deriv´altj´at tartalmaz´o t´er. 5.1. Feladat Legyen p = 2, a k´et koordin´ata legyen x1 = x, x2 = y. Legyen q = 1, a f¨ ugg˝o v´altoz´o legyen az u skal´ar f¨ uggv´eny. Az U1 t´er az (u, ux , uy ) f¨ uggv´enyh´armasokb´ ol 2 ´all. Az U t´er pedig az (u, ux , uy , ux x, uxy , uyy ) hatelem˝ u vektorokb´ol ´all.  A (5.19) differenci´alegyenlet-rendszert az X × U(n) → R` lek´epez´esnek tekintj¨ uk. Az egyenlet megold´as´at r¨oviden az u = f (x) alakba ´ırhatjuk. Az egyenlet szimmetri´aja egy Lie-csoport lesz, amelynek elemei az X × U (n) t´er pontjait k´epezik le ugyanezen t´er esetleg m´as pontjaira. A megold´ast a´br´azol´o pontokat a´ltal´aban egy m´asik megold´as pontjaiba viszik ´at. 5.2. Feladat Legyen p = 1, q = 1, az egyenlet megold´asa pedig legyen u = f (x). Vizsg´aljuk meg a G = SO2 csoport (ld. 2.5.1 fejezet) egy elem´enek hat´as´at! Mint l´attuk (x0 , u0 ) ≡ g(x, u) = (x cos ϑ − u sin ϑ, x sin ϑ + u cos ϑ).

105

Legyen u = f (x) = ax + b, egy egyenes. Legyen ϑ kis ´ert´ek, ekkor a transzform´aci´ o eredm´enye: x0 = x(cos ϑ − a sin ϑ) − b sin ϑ ´es

sin ϑ + a cos ϑ 0 b x + . cos ϑ − a sin ϑ cos ϑ − a sin ϑ Azt katuk, hogy az egyenes elforgatottja egy m´asik egyenes, ahogyan lennie kell.  u0 =

Legyen az x pont az M sokas´ag egy ´altal´anos pontja, koordin´at´ai pedig legyenek x = (x1 , . . . , xp ), ahol a vizsg´alt egyenletben p sz´am´ u f¨ uggetlen v´altoz´o szerepel. Legyen ´ adva egy C ⊂ M g¨orbe. Irjuk le a g¨orb´et a φ : I → M param´eterez´essel, ahol I egy val´os intervallum. A C g¨orb´et megadhatjuk az m sz´am´ u koordin´at´aval, amelyeket egyetlen vektorban foglalunk ¨ossze:
φ(ε) = φ1 (ε), . . . , φp (ε) (5.20) ˙ A C g¨orbe egy ´altal´anos pontja φ(ε). A g¨orbe rendelkezik ´erint˝ovel, amelyet φ(ε) ad meg:   ˙ (5.21) φ(ε) = φ˙ 1 (ε), . . . , φ˙ p (ε) . C´elszer˝ u k¨ ul¨onbs´eget tenni az ´erint˝ovektor ´es a lok´alis koordin´ata szerinti deriv´alt k¨oz¨ott. Ez´ert az x = φ(ε) pontban az ´erint˝ovektorra az al´abbi jel¨ol´est szok´as haszn´alni: ∂ ∂ ˙ v|x = φ(ε) = φ˙ 1 1 + · · · + φ˙ p p ∂x ∂x

(5.22)

Els˝o l´at´asra ez a jel¨ol´es meglep˝o lehet, de gondoljunk arra, hogy az x pont megv´altoz´as´anak i-ik koordin´at´aja x + εei alakba ´ırhat´o a lok´alis koordint´at´aban (itt ei az i-edik egys´egvektor Rp -ben). 5.3. Feladat Adott az al´abbi, h´aromdimenzi´os csavarvonal: φ(ε) = (cosε, sinε, ε). A csavarvonal pontjait az x = sin ε, y = cos ε ´es z = ε koordin´at´akkal jel¨olj¨ uk. A csavarvonal ´erint˝oje ˙ φ(ε) = (−sinε, cosε, 1) . (5.23) ˙ Ugyenezt a kifejez´est koordin´at´akkal megadva: φ(ε) = (−y, x, 1). Az ´erint˝ovektor pedig: ∂ ∂ ∂ ˙ v = φ(ε) = φ˙1 (ε) + φ˙2 (ε) + φ˙3 (ε) = −y∂x + x∂y + ∂z . ∂x ∂y ∂z

(5.24)

Az M sokas´agon defini´alt (5.22) vektormez˝o a sokas´ag minden pontj´ahoz egy vektort rendel. Ez a vektor lehet a ponton a´thalad´o C g¨orbe ´erint˝oje. Lok´alis koordin´at´akkal kifejezve az ´erint˝o az al´abbi alakot ¨olti: v|x = ξ 1 (x)∂x1 + ξ 2 (x)∂x2 + · · · + ξ p (x)∂xp 106

(5.25)

Egy v vektormez˝oh¨oz rendelhet¨ unk egy sima g¨orb´et, x = φ(ε)-t, azzal a kik¨ot´essel, hogy a g¨orbe ´erint˝oje minden x pontban egyezzen meg v-vel. Ezt a g¨orb´et a v vektormez˝o integr´alg¨orb´ej´enek nevezz¨ uk. Az integr´alg¨orbe az al´abbi autonom differenci´alegyenletrendszer megold´asa: dxi = ξ i (x). (5.26) dε A vektormez˝oh¨oz rendelt integr´alg¨orbe ´atmegy az x ponton, ezt, mint kezd˝ofelt´etelt kik¨othetj¨ uk az auton´om differenci´alegyenletekhez. Jel¨olje az integr´alg¨orbe egy pontj´at Ψ(ε, x). Ekkor a most bevezetett Ψ lek´epez´es rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: Ψ(δ, Ψ(ε, x)) =Ψ(δ + ε, x) Ψ(0, x) = x

(5.27) (5.28)

d Ψ(ε, x) = v|Ψ(ε,x) , (5.29) dε minden ´ertelmes ε-ra. A fenti tulajdons´agok ´eppen megegyeznek a Lie-csoport lok´alis hat´as´aval (v.¨o. 2.3.1. fejezet). Az integr´alg¨orb´ek teh´at egy egyparam´eteres transzform´aci´ocsoportot gener´alnak az M sokas´agon. Tekintettel arra, hogy kis ε eset´en Ψ(ε, x) = x + εξ(x) + O(ε2 ),

(5.30)

a v vektormez˝ot tekinthetj¨ uk a transzform´aci´o gener´ator´anak. Az ´all´ıt´ast meg lehet ford´ıtani: amennyiben Ψ(ε, x) egy egyparam´eteres transzform´aci´ocsoport, amelynek hat´asa ismert az M sokas´agon, akkor a csoport infinitezim´alis gener´ator´at megadja d Ψ(ε, x). (5.31) v|x = dε ε=0

Az autonom egyenlet megold´as´anak (megfelel˝o kezd˝o´ert´ek mellett) egy´ertelm˝ us´eg´eb˝ol k¨ovetkezik a Lie-csoport lok´alis hat´as´anak egy´ertelm˝ us´ege az M sokas´agon. A v vektor a´ltal fentebb gener´alt transzform´aci´ora az al´abbi jel¨ol´est szok´as haszn´alni: exp (εv) = Ψ(ε, x).

(5.32)

5.4. Feladat Az al´abbiakban k´et speci´alis esetet t´argyalunk a jel¨ol´es jobb meg´ert´ese c´elj´ab´ol. Legyen M a val´os sz´amok halmaza, ´es legyen v = ∂x . Az exponenci´alis sorfejt´es´et felhaszn´alva kapjuk: [exp(ε∂x )]x = x + ε. A m´asodik p´eld´aban a s´ıkbeli forgat´asokat tekintj¨ uk: Ψ(ε, (x, y)) = (xcosε − ysinε, xsinε + ycosε). Ezen transzform´aci´ok infinitezim´alis gener´atora v = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y , az egy¨ utthat´okra pedig (5.31) alapj´an ezt kapjuk: d ξ(x, y) = (xcosε − ysinε) = −y (5.33) dε ε=0 d η(x, y) = (xsinε + ycosε) = x. (5.34) dε ε=0 Teh´at v = −y∂x + x∂y a transzform´aci´o gener´atora, ami j´ol ismert eredm´eny.  107

A fentiek alapj´an megvizsg´aljuk, hogyan v´altozik a Ψ(ε, x) transzform´aci´o hat´as´ara egy M-en ´ertelmezett F (x1 , . . . , xm ) f¨ uggv´eny. A transzform´aci´o az x pontot az x0 = Ψ(ε, x) pontba viszi, vagyis a transzform´alt koordin´at´ak f¨ uggeni fognak a transzform´aci´ot ´ jellemz˝o ε mennyis´egt˝ol. Irjuk a vizsg´aland´o f¨ uggv´enyt F (x1 (ε), . . . , xm (ε)) alakban. El˝osz¨or vizsg´aljuk meg a dF/dε deriv´altat. Nyilv´an m

X dxi dF = ∂xi F ≡ (BF ). dε dε i=1

(5.35)

P i = ξ(x) oper´ator seg´ıts´eg´evel egyszer˝ us´ıtetAz ´ıgy bevezetett B = i ∂xi ξi (x), ahol a dx dε t¨ uk a jel¨ol´est. A (5.35) egyenlet form´alis megold´asa mostm´ar azonnal fel´ırhat´o: F (ε, x1 , . . . , xm ) = exp(εB)F (x1 , . . . , xm ).

(5.36)

A B deriv´altm´atrixot a ξi (x) egy¨ utthat´of¨ uggv´enyek egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak. Auto1 m 1 m matikusan ad´odik az F (ε = 0, x , . . . , x ) = F (x , . . . , x ) ¨osszef¨ ugg´es is. A B oper´atort nevezik a Ψ(ε, x) transzform´aci´ocsoport infinitezim´alis gener´ator´anak is. A 2.3.1. fejezetben bevezetett infinitezim´alis gener´atorok a csoportelemek param´eter szerinti deriv´altjai voltak, ´ıgy a csoportelemekre jellemz˝oek, az itt bevezetett infinitezim´alis gener´atorok f¨ uggv´enyekre hatnak, azt ´ırj´ak le, mennyire v´altozik a transzform´alt f¨ uggv´eny a transzform´aci´o param´eter´enek v´altoz´as´aval. A fenti bevezet´es ut´an megfogalmazzuk a megvizsg´aland´o feladatot. Vizsg´aljuk meg azt az esetet, amikor az x1 , . . . , xp f¨ uggetlen v´altoz´ok sz´ama p. Ezen v´altoz´ok kifesz´ıtenek egy X teret. A differenci´alegyenlet megold´asa sor´an keress¨ uk az u1 , . . . , uq f¨ uggv´enyeket, amelyek kiel´eg´ıtenek ` differenci´alegyenletet, amelyek legfeljebb n-ik deriv´al´ast tartalmaznak. Ezek a f¨ uggv´enyek kifesz´ıtenek egy U teret. El˝o k´ıv´anunk ´all´ıtani egy G csoportot, amely ezeket az egyenleteket v´altozatlanul hagyja. A vizsg´alt egyenleteket egy kib˝ov´ıtett t´eren fogjuk vizsg´alni, amit a f¨ uggetlen v´altoz´ok, az u1 , . . . , uq f¨ ugg˝o v´altoz´ok fognak alkotni, ´es azok deriv´altjai az egyenletben szerepl˝o rendig bez´ar´olag. Keress¨ uk azt a Lie-csoportot, ami a megold´ast jelent˝o halmazt (azaz, a megoldand´o egyenleteket) invari´ansan hagyja. A Lie-csoportot gener´atorai seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o. El˝osz¨or bevezet¨ unk n´eh´any, els˝osorban a parci´alis deriv´altak ´ır´as´at egyszer˝ us´ıt˝o je1 p l¨ol´est ´es defin´ıci´ot. Tekints¨ uk az uggv´enyt, aminek k-adrend˝ u
f (x) = f (x , . . . , x ) f¨ p+k−1 deriv´altjainak sz´ama pk = . A J-edrend˝ u parci´alis deriv´altakra bevezetj¨ uk a k ∂J f (x) =

∂ k f (x) ∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjk

(5.37)

jel¨ol´est, ahol J = (j1 , . . . , jp ) egy rendezetlen sz´am p-s, elemei eg´eszek ´es 1 ≤ ji ≤ p. A J index rendje k, ami a deriv´al´as foksz´am´at jelenti ´es megegyezik a J sz´am p-s 1 elemeinek sz´am´aval. A differenci´alegyenlet-rendszerekben, ami vizsg´alatunk t´argya, t¨obb f¨ uggv´enyt kell vizsg´alni egyszerre. Legyen
u = f 1 (x), . . . , f q (x) (5.38) 108

teh´at az u megold´as mostant´ol q elem˝ u vektor, ´es bevezetj¨ uk az u(x) = f (x) f¨ uggv´eny (n) n-edrend˝ u prolong´aci´oj´at, pr f (x)-et. Az u vektor α komponens´enek magasabb rend˝ u parci´alis deriv´altjaira az al´abbi jel¨ol´est fogjuk haszn´alni: uαJ = ∂J f α (x),

(5.39)

ezek seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´ot az al´abbi egyenlettel defini´aljuk: u(n) ≡ pr(n) f (x),

(5.40)

ahol pr(n) f (x) egy f¨ uggv´eny amely az X t´er pontjait az U(n) t´
er pontjaiba k´epezi le. (n) pr f (x) egy vektor, amelynek qp(n) eleme van. Itt p(n) = p+n , az u f¨ uggv´enyek legn felejebb n-ik deriv´altjainak sz´ama, a deriv´altakat(5.39) szerint kell meghat´arozni. A prolong´aci´oban teh´at legfeljebb n-ik deriv´altak szerepelnek, minden lehets´eges kombin´aci´oban. ´ pl. n = 2 eset´en, ha u = f (x, y) akkor 5.5. Feladat Igy u(2) = pr(2) f (x, y) = (u; ux , uy ; uxx , uxy , uyy ) = (f ; ∂x f, ∂y f ; ∂xx f, ∂xy f, ∂yy f ).

(5.41) (5.42)

U(2) teh´at egy hatdimenzi´os t´er, ami annyit jelent, hogy az ux , uy stb. deriv´altakat is f¨ uggetlennek tekintj¨ uk. T´erj¨ unk vissza a (5.25) ´altal megadott ´erint˝ovektorhoz, amely egy´ uttal egy differenci´aloper´ator is. Ez az oper´ator az x vektorra u ´gy hat, hogy x i-ik koordin´at´aj´at kicser´eli ξi (x)-re, ez´ert vx = (ξ1 (x), . . . , ξm (x)). Ez nem m´as, mint egy koordin´atatranszform´aci´o. Kor´abban m´ar l´attuk, hogy a v oper´ator ´altal gener´alt transzform´aci´okat ´ıgy lehet le´ırni: x0 = Ψ(ε, x) = exp(εv)x. Legyen y = Ψ(x), ekkor a v oper´atort ki lehet fejezni az u ´j koordin´at´akkal: m X m X ∂ ∂Ψj −1 (5.43) (Ψ (y)) . v= ξi (Ψ−1 (y)) ∂x ∂ i y j j=1 i=1 A v oper´atort alkalmazni lehet egy kell˝oen sima f (x) f¨ uggv´enyre is az al´abbi szab´aly alapj´an: m X ∂f v(f )(x) = ξi (x) (x), (5.44) ∂xi i=1 vagyis, v(f )(x) az f f¨ uggv´eny infinitezim´alis v´altoz´as´at adja meg. Minthogy v line´aris oper´ator, ez´ert v(f + g) = v(f ) + v(g) (5.45) ´es v(f · g) = v(f ) · g + f · v(g). 109

(5.46)

Egy f (x) f¨ uggv´eny hat´as´at a transzform´alt argumentumra a k¨ovetkez˝o kifejez´es adja meg: ∞ X εk k v (f )(x). (5.47) f (exp(εvx)x = k! k=0 Hasonl´oan j´arunk el az F : R → Rn t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´eny eset´en is., csak ott v(F ) = 1 n (v(F ), . . . , v(F )). Ennyi el˝ok´esz´ıt´es ut´an r´at´erhet¨ unk a tulajdonk´eppeni egyenletek fel´ır´as´ara. A vizsg´alt probl´ema t¨obb egyenletb˝ol a´llhat, mindegyik egyenlet meg´allap´ıt egy ¨osszef¨ ugg´est a f¨ uggetlen v´altoz´ok, a f¨ ugg˝o v´altoz´ok ´es a f¨ ugg˝o v´altoz´ok deriv´altjai k¨oz¨ott. A megoldand´o egyenletek az X × U halmazon vannak ´ertelmezve. A megoldand´o egyenleteket v´altozatlanul hagy´o Lie-csoportot a csoport gener´atorai r´ev´en fogjuk meghat´arozni. 5.7. T´ etel Legyen ∆ν (x, u(n) ) = 0, ν = 1, . . . , `

(5.48)

egy maxim´alis rang´ u differenci´alegyenlet-rendszer 1 az M ⊂ X × U halmazon. Ha G egy lok´alis transzform´aci´ocsoport, amely M-en hat ´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara teljes¨ ul   pr(n) v ∆ν (x, u(n) = 0, ν = 1, . . . , ` (5.49) valah´anyszor a (5.49) egyenlet teljes¨ ul, akkor a G csoport a (5.49) differenci´alegyenletrendszer szimmetri´aja. A t´etel bizony´ıt´asa Olver k¨onyv´eben tal´alhat´o. A t´etel alkalmaz´as´ahoz a prolong´aci´o kisz´am´ıt´as´ara van sz¨ uks´eg, az ezzel kapcsolatos tudnival´okat foglalja ¨ossze az al´abbi t´etel. 5.8. T´ etel Legyen v=

p X

i

ξ (x, u)∂xi +

q X

φα (x, u)∂uα

(5.50)

α=1

i=1

egy vektormez˝o az M ⊂ X × U ny´ılt halmazon. Ezen vektormez˝o n-edik prolong´aci´oj´at (n)

pr

v=v+

q X X α=1

φJα (x, u(n) ∂uαJ

(5.51)

J

adja meg. 1

Maxim´ alis rang´ u a (5.48) differenci´ alegyenlet-rendszer, ha Jacobi-m´atrix´anak rangja megegyezik az egyenletek sz´ am´ aval. A Jacobi-m´ atrix:   ∂∆ν ∂∆ν J∆ (x, u(n) ) = , ∂xj , ∂uα i

110

A fenti kifejez´esben a m´asodik ¨osszegz´es azokra a multiindexekre t¨ort´enik, amelyekben minden index valamelyik f¨ uggetlen v´altoz´ora utal (azaz, ´ert´eke legfeljebb p lehet), egy index t¨obbsz¨or is el˝ofordulhat, de a J-ben szerepl˝o egyesek sz´ama legfeljebb n lehet. Az ¨osszegz´esben szerepl˝o f¨ uggv´enyek kisz´am´ıt´asa az al´abbi formul´aval t¨ort´enik: ! p p X X i α J (n) ξ i uαJ,i (5.52) ξ ui + φα (x, u ) = DJ φα − i=1

i=1

Az ut´obbi k´epletben pedig az al´abbi jel¨ol´est alkalmaztuk: uαi = ∂xi uα ;

uαJ,i = ∂xi uαJ .

(5.53)

A DJ teljes deriv´alt ´ertelmez´ese pedig az al´abbi: DJ = Dj1 Dj2 . . . Djk ,

(5.54)

amennyiben a J multiindex hossza k ´es v´eg¨ ul az egyes teljes deriv´altak jelent´ese: Di P = ∂xi P +

q X X α=1

uαJ,i ∂uαJ P.

(5.55)

J

A t´etel bizony´ıt´asa a k¨ovetkez˝o megfontol´asokra ´ep¨ ul. Az M halmazon egy csoportelem hat´as´ara a f¨ uggetlen v´altoz´ok is, a f¨ ugg˝o v´altoz´ok is transzform´al´odnak. A csoportelem hat´as´at mindk´et esetben egy lok´alis transzform´aci´o ´ırja le. A f¨ uggetlen v´altoz´ok eset´eben ez trivi´alis, a keresett f¨ uggv´enyek eset´eben pedig gondoljunk arra, hogy a line´aris transzform´aci´o hat´as´at egy f¨ uggv´enyre u ´gy ´ırjuk le, hogy argumentum´at transzform´aljuk. 5.6. Feladat Legyen adott az al´abbi vektormez˝o: v = −u∂x + x∂u . Hat´arozzuk meg (5.51) alapj´an az els˝o prolong´aci´ot! Mivel q = 1,p = 1, (5.52)-ben J=1. φα = φ = x, mert (5.50)-ben a p´elda szerint ∂u egy¨ utthat´oja u. ξ i = ξ = −u, mert (5.50)-ben a p´elda szerint ∂u egy¨ utthat´oja −u. Tov´abb´a u1 = ux ´es u1,x = uxx , mert (5.53)-ben csak x szerint kell deriv´alni. (5.51)-ban n = 1 ´es J = 1 eset´en pr(1) v = ξ(x, u)∂x + φ1 (x, u)∂u. Itt φ1 (x, u) = D(φ − ξux ) + ξuxx . Ide behelyettes´ıtve φ = x-et ´es ξ = −u-t, a v prolong´aci´oj´aban szerepl˝o kifejez´esben φ1 = Dx (x + uux ) = 1 + ux 2 . Ezzel az els˝o prolong´aci´o: pr(1) v = −u∂x + x∂u + (1 + u2x )∂ux . Jegyezz¨ uk meg, hogy az els˝o k´et tag megegyezik v-vel. 

111

(5.56)

5.7. Feladat Tekints¨ unk egyetlen k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyt, a f¨ uggetlen v´altoz´ok legyenek ´ x, t, a f¨ uggv´eny pedig u = f (x, t). Irjuk f¨ol a f¨ uggv´eny els˝o k´et prolong´aci´oj´at! A megadott f¨ uggv´eny eset´eben az ´erint˝ovektort gener´al´o vektormez˝o: v = ξ(x, t, u)∂x + τ (x, t, u)∂t + φ(x, t, u)∂u .

(5.57)

Az els˝o prolong´aci´o (5.51) szerint: pr(1) v = v + φx ∂ux + φt ∂ut ,

(5.58)

ahol felhaszn´alva (5.52)-et, az egy¨ utthat´okat az al´abbi m´odon lehet megkapni: φx = Dx (φ − ξux − τ ut ) + ξuxx + τ uxt = Dx φ − ux Dx ξ − ut Dx τ = φx + (φu − ξx )ux − τx ut − ξu u2x − τu ux ut .

(5.59)

φt = Dt (φ − ξux − τ ut ) + ξuxt + τ utt = Dt φ − ux Dt ξ − ut Dt τ = φt − ξt ux + (φu − τt )ut − ξu ux ut − τu u2t .

(5.60)

Hasonl´o m´odon nyerj¨ uk a m´asodik prolong´aci´ot,amelynek alakja2 pr(2) v = pr(1) v + φxx ∂uxx + φ(xt) ∂uxt + φ(tt) ∂utt .

(5.61)

Itt m´ar csak egy egy¨ utthat´of¨ uggv´enyt ´ırunk ki, mert a tov´abbiakban sz¨ uks´eg lesz r´a. φxx =φxx + (2φxu − ξxx )ux − τxx ut + (φuu − 2ξxu )u2x − 2τxu ux ut − ξuu u3x − τuu u2x ut + (φu − 2ξx )uxx − 2τx uxt − 3ξu ux uxx − 2τu ux uxt .

(5.62)

 5.8. Feladat Tekints¨ uk a h˝ovezet´es egyenlet´et egydimenzi´os r´ udban ´es keress¨ uk meg a h˝ovezet´es egyenlet´enek szimmetriacsoportj´at! A megoldand´o egyenlet: ut = uxx ,

(5.63)

ennek megfelel˝oen a f¨ uggetlen v´altoz´ok sz´ama p = 2, a keresett f¨ uggv´enyek sz´ama q = 1, az egyenletben el˝ofordul´o deriv´al´as legmagasabb foksz´ama n = 2. A csoport infinitezim´alis gener´ator´at az al´abbi alakban keress¨ uk: v = ξ(x, t, u)∂x + τ (x, t, u)∂t + φ(x, t, u)∂u . 2

Itt felhaszn´ altuk, hogy pr(2) − pr(1) kiz´ar´olag a m´asodik deriv´altakat tartalmazza.

112

(5.64)

5.1. t´abl´azat. A h˝ovezet´es egyenlet´enek szimmetri´aihoz ¨ Deriv´alt Egy¨ utthat´o Osszef¨ ugg´es ux , uxt 0 = −2τu (1) uxt 0 = −2τx (2) u2xx −τu = −τu (3) 2 ux uxx 0 = −τuu (4) ux uxx −ξu = −2τxu − 3ξu (5) uxx φu − τt = −τxx + φu − 2ξx (6) u3x 0 = −ξuu (7) 2 ux 0 = φuu − 2ξxu (8) ux −ξt = 2φxu − ξxx (9) 1 φt = φxx (10) A c´el teh´at a gener´atorban tal´alhat´o egy¨ utthat´o f¨ uggv´enyek meghat´aroz´asa. A 5.7.. t´etel szerint ehhez a m´asodrend˝ u prolong´aci´ot kell meghat´arozni, amit az al´abbi alakban ´ırunk: pr(2) v = v + φx ∂ux + φt ∂ut + φxx ∂uxx + φxt ∂uxt + φtt ∂utt .

(5.65)

Ezt kell a megoldand´o egyenletre alkalmazni ´es u ¨gyelni kell arra, hogy a (5.49) felt´etel teljes¨ ulj¨on. Ebb˝ol egyenleteket kapunk a gener´atorban szerepl˝o f¨ uggv´enyekre. Eset¨ unkben: φt = φxx .

(5.66)

A k¨ovetkez˝o l´ep´esben a (5.62)-ban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket ki kell fejezni a gener´atorokban szerepl˝o f¨ uggv´enyekkel, ´es azok deriv´altjaival. Ebben a 5.8.. t´etel van seg´ıts´eg¨ unkre: seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´oban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket el˝o tudjuk ´all´ıtani a gener´atorban szerepl˝o f¨ uggv´enyekb˝ol. A 5.7.. p´elda ´es a 5.8.. p´elda sor´an kapott eredm´enyek alapj´an φt -t (5.60), φxx -et pedig (5.62) adja meg, ezeket behelyettes´ıtve (5.66)-be, az egy¨ utthat´okat a k´et oldalon egyenl˝ov´e t´eve, az 5.1. t´abl´azatban szerepl˝o egyenleteket kapjuk. A 5.1. t´abl´azat(1) ´es (2) k´eplete szerint τ = τ (t), (5) szerint ξ f¨ uggetlen u-t´ol, (6)-b´ol pedig τt = 2ξx , vagyis ξ(x, t) = 1/2τt x + σ(t), ahol σ csak az id˝ot˝ol f¨ ugg. (8) alapj´an φ line´aris u-ban, ez´ert φ(x, t, u) = β(x, t)u + α(x, t), ahol α ´es β szabadon v´alaszthat´o f¨ uggv´enyek. Ugyanakkor (9) szerint ξt = −2βx , vagyis, β legfeljebb m´asodfok´ u x-ben. Ennek megfelel˝oen vegy¨ uk 2 fel β-t az al´abbi alakban: β = −1/(8τu )x − 1/2σt x + ρ(t). V´egezet¨ ul (10) megk¨oveteli, hogy α ´es β kiel´eg´ıtse a megoldand´o egyenletet. Mindezt ¨osszefoglalva, a (5.63) egyenlet leg´altal´anosabb szimmetri´aj´at az al´abbi alakba ´ırhatjuk: ξ = c1 + c4 x + 2c5 t + 4c6 xt τ = c2 + 2c4 t + 4c6 t2 φc = c3 − c5 x − 2c6 t − c6 x 113

(5.67) 2




u + α(x, t).

5.2. t´abl´azat. A (5.31) egyenlet szimmetriacsoportj´anak infinitezim´alis gener´atorainak kommut´at´arai v1 v2 v3 v4 v5 v6 v v1 0 0 0 v1 −v3 2v5 vαx v2 0 0 0 2v2 2v1 4v4 − 2v3 vαt v3 0 0 0 0 0 0 −vα v4 −v1 −2v2 0 0 v5 2v6 vα1 v5 v3 −2v1 0 −v5 0 0 vα2 v6 −2v5 2v3 − 4v4 0 −2v6 0 0 vα3 vα −vα −vα vα −vα1 −vα2 −vα3 0 Itt c1 , . . . , c6 tetsz˝oleges ´alland´o ´es α(x, t) az (5.63) egyenlet tetsz˝oleges megold´asa. Az 5.1. t´abl´azat egyenleteiben meghat´arozott egy¨ utthat´of¨ uggv´enyeket behelyettes´ıtve az infinitezim´alis gener´atorok (5.50) kifejez´es´ebe, azt tal´aljuk, hogy a gener´atorok Lie-algebr´aj´at a k¨ovetkez˝o vektorok fesz´ıtik ki: v1 v2 v3 v4 v5

= ∂x = ∂t = u∂u = x∂x + 2t∂u = 2t∂x − xu∂u

(5.68)


v6 = 4tx∂x + 4t2 ∂t − x2 + 2t u∂u . A fentieken k´ıv¨ ul tal´alhat´o m´eg a gener´atorok k¨oz¨ott egy v´egtelen dimenzi´os szubalgebra, amelynek elemeit a vα = α(x, t)∂u (5.69) hat´arozza meg. Itt α(x, t) a (5.63) egyenlet tetsz˝oleges megold´asa. A gener´atorok kommut´atorait a 5.2. t´abl´azat mutatja. A t´abl´azatban az al´abbi jel¨ol´est haszn´altuk: α1 = xαx + 2tαt ; α2 = 2tαx + xα; α3 = 4txαx + 4t2 αt + (x2 + 2t)α. Minthogy az infinitezim´alis gener´atorok Lie-algebr´at alkotnak, az α(x, t) megold´asb´ol k´epzett αi (x, t), i = 1, 2, 3 valamint az αx , αt f¨ uggv´enyek is megold´asok. Minden infinitezim´alis vektor gener´al egy egyparam´eteres csoportot. A csoport hat´as´at a 2.3.1. fejezet szerint le´ırj´ak az exp(εvi )(x, t, u) k´eppontok. Ezzel a v´altoz´ok transzform´aci´oja r´ev´en u ´j megold´asokhoz jutunk. A 5.3 t´abl´azat ezeket a transzform´aci´okat ¨osszes´ıti. Amennyiben teh´at f (x, t) kiel´eg´ıti (5.31)-et, akkor a t´abl´azat els˝o sora szerint f (x + ε, t) is megold´as. Hasonl´o m´odon ´ertelmezhet˝o a t¨obbi csoport hat´asa is. V´eg¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy a bemutatott technika nemline´aris egyenletekre is alkalmazhat´o, ´ıgy p´eld´aul a ut = uxx + u2x (5.70) 114

5.3. t´abl´azat. A (5.31) egyenlet infinitezim´alis szimmetri´ai a´ltal gener´alt csoportok csoport transzform´aci´o G1 (x + ε, t, u) G2 (x, t + ε, u) G3 (x, t, eε u) G4 (eε x, e2ε t, u) G5 (x + 2εt, t, uexp(−εx − ε2 t))  √ x t −εx2 G6 ( 1−4εt , 1−4εt , u 1 − 4εtexp 1−4εt ) Gα

(x, t, u + εα(x, t))

egyenlet is vizsg´alhat´o.

5.3.

Kvadrat´ ur´ aval megoldhat´ o differenci´ alegyenletek

A Lie-csoport alkalmaz´as´anak egyik legl´atv´anyosabb ter¨ ulete a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek integr´alhat´os´ag´anak vizsg´alata. Mivel a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletekben csak egy f¨ uggetlen v´altoz´o van, a tov´abbiakban az xi jel¨ol´est az x v´altoz´o szerinti i-ik deriv´al´as sz´am´ara tartjuk fenn. Sophus Lie megfigyelte, hogy amennyiben ismerj¨ uk egy differenci´alegyenlet szimmetriacsoportj´at, az lehet˝ov´e teszi a differenci´alegyenlet integr´al´as´at. Tekints¨ uk az al´abbi egyv´altoz´os, els˝orend˝ u differenci´alegyenletet: du = F (x, u). dx

(5.71)

Megmutatjuk, hogy amennyiben az egyenlet invari´ans egy egyparam´eteres transzform´aci´ocsoporttal szemben, akkor az egyenlet integr´alhat´o. Legyen a csoport gener´atora v = ξ(x, u)∂x + φ(x, u)∂u . v els˝o prolong´aci´oja: pr(1) v = ξ∂x + φ∂u + φx ∂ux .

(5.72)

φx = Dx φ − ux Dx ξ = φx + (φu − ξx )ux − ξu u2x .

(5.73)

Amint (5.52)-b˝ol tudjuk,

A 5.7.. t´etel szerint a (5.63) a´ltal gener´alt csoport akkor lehet a (5.71) egyenlet szimmetri´aja, ha fenn´all ∂x φ + (∂u φ − ∂x ξ) F − ∂u ξF 2 = ξ∂x F + φ∂u F, 115

(5.74)

´es a (5.71) egyenletnek b´armely ξ(x, u), φ(x, u) megold´asa gener´alja a (5.71) egyenlet egy egyparam´eteres csoportj´at. Sajnos semmi sem garant´alja, hogy a (5.74) egyenletet k¨onnyebb lenne megoldani, mint az eredeti (5.51) egyenletet. Ha azonban sikerrel j´artunk, az eredeti egyenletet integr´alni tudjuk az al´abbiak szerint. Vezess¨ uk be az y = η(x, u), w = ξ(x, u)

(5.75)

v´altoz´okat. K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy az u ´j koordin´at´akkal v = ∂w tov´abb´a pr(1) v = v. Az u ´j v´altoz´okkal fel´ırt egyenlet akkor lesz invari´ans a v a´ltal gener´alt csoporttal szemben, ha a transzform´alt egyenlet nem f¨ ugg w-t˝ol. Ezt kihaszn´alva, az egyenlet alakja az u ´j v´altoz´okban dw = H(y), (5.76) dy amit lehet (szerencs´es esetben z´art alakban) integr´alni. Ide behelyettes´ıtve az eredeti v´altoz´okat, kapunk egy implicit egyenletet a megold´asra. A (5.75)-ben bevezetett transzform´aci´o megkonstru´al´as´aban felhaszn´alhat´oak az invari´ansok megkeres´es´ere szolg´al´o m´odszerek, ezek r´eszleteit az 5.5 fejezetben t´argyaljuk. Ehhez vizsg´aljuk meg, a koordin´atatranszform´aci´o hat´as´at a (5.25) prolong´aci´ora. Legyen y = ψ(x), ekkor a k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alyai szerint (itt x, y ism´et p komponens˝ u vektor): v=

p p X X

ξ i (ψ −1 (y))∂xi ψ j (ψ −1 (y))∂yj .

j=1 i=1

Mivel most az (x, u) v´altoz´ok helyett t´er¨ unk a´t a (ξ, η) v´altoz´okra, bel´athat´o, hogy a transzform´alt v´altoz´ok akkor veszik fel a k´ıv´ant alakot, ha v(η) = ξ∂x η + φ∂u η = 0 v(ζ) = ξ∂x ζ + φ∂u ζ = 1.

(5.77) (5.78)

Az els˝o egyenlet pontosan azt a felt´etelt fejezi ki, hogy η(x, u) legyen invari´ansa a v a´ltal gener´alt csoportnak. Ebb˝ol az al´abbi egyenletet kapjuk du dx = . ξ(x, u) φ(x, u)

(5.79)

Nehezebb viszont a (5.78) egyenletet megoldani. Nem bonyol´odunk tov´abbi r´eszletekbe, legyen annyi elegend˝o, hogy szerencs´es k´ezzel kell a transzform´aci´ot megv´alasztani (ebben legink´abb a tapasztalatot lehet seg´ıts´eg¨ ul h´ıvni) ahhoz, hogy a transzform´alt feladat megold´asa t´enylegesen k¨onnyebb legyen. A megold´as m´asik m´odja egy integr´al´o oszt´o keres´ese. Ebben seg´ıt az al´abbi t´etel. 116

5.9. T´ etel 8.3. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy a P dx + Qdu = 0 egyenletnek van egy egyparam´eteres szimmetriacsoportja, amelynek gener´atora v = ξ∂x + φ∂u . Ekkor az R(x, u) =

1 ξ(x, u)P (x, u) + φ(x, u)Q(x, u)

(5.80)

kifejez´es integr´al´o t´enyez˝o. Ugyanakkor jegyezz¨ uk meg, hogy amennyiben ξP + φu ≡ 0, minden (x, u)-ra, akkor nem l´etezik integr´al´o t´enyez˝o. Sajnos, integr´al´o t´enyez˝o csak els˝orend˝ u feladatokhoz l´etezik. 5.1. Feladat Megmutathat´o, hogy integr´al´o oszt´o minden els˝orend˝ u egyenlethez l´etezik. Legyen R(x, u) integr´al´o t´enyez˝o. Ekkor P dx + Qdu = 0 ´es a baloldal teljes differenci´all´ a alak´ıthat´o u ´gy, hogy R-rel szorzunk: RP dx + RQdu = 0

(5.81)

´es ∂(RP )/∂y = ∂(RQ)/∂x, amib˝ol ∂R ∂P ∂Q ∂R P +R =R +Q ∂y ∂u ∂x ∂x

(5.82)

´es

∂ ln R ∂Q ∂P ∂ ln R −Q = − . (5.83) ∂u ∂x ∂x ∂u Ez egy parci´alis differenci´alegyenlet az R integr´al´o t´enyez˝ore. Ezen egyenletnek v´egtelen sok megold´asa van, integr´al´o t´enyez˝o teh´at mindig l´etezik. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden P

Q(x, u)

du = −P (x, u) dx

(5.84)

egyenlethez tal´alhat´o egyparam´eteres szimmetriacsoport. Ezt a csoportot a (5.49) egyenlet seg´ıts´eg´evel hat´arozhatjuk meg. Vegy¨ uk azonban ´eszre, hogy nem l´ept¨ unk el˝ore, hiszen egy els˝orend˝ u differenci´alegyenlet megold´as´at visszavezett¨ uk egy m´asik els˝orend˝ u differenci´alegyenlet megold´as´ara. 5.2. Feladat Vizsg´aljuk meg u ´jra a P dx + Qdu = 0 egyenletet. K´epezz¨ uk az M (x, u) = P (x, u)x + Q(x, u)u ´es N (x, u) = P (x, u)x − Q(x, u)u f¨ uggv´enyeket. Ha M (x, u) ≡ 0, akkor 1/N (x, u) integr´al´o oszt´o, ha viszont N (x, u) ≡ 0, akkor 1/M (x, u) integr´al´o oszt´o. Amennyiben az egyenlet homog´en, 1/M (x, u) integr´al´o oszt´o, ha m´eg M = 0 is fenn´all, akkor az egyenlet szepar´alhat´o is ´es y = Cx. Ha viszont N = 0, akkor xy = C.  Magasabb rend˝ u egyenletek eset´eben viszont ha ismerj¨ uk az egyenlet egyparam´eteres szimmetriacsoportj´at, cs¨okenteni lehet az egyenlet foksz´am´at eggyel. Vizsg´aljuk az ∆(x, u, u1 , . . . , un ) = 0 117

(5.85)

i

uk fel tov´abb´a, hogy n-edfok´ u k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletet, ahol ui ≡ ddxui . Tegy¨ (5.85) invari´ans egy adott G csoporttal szemben. Vezess¨ uk be az al´abbi u ´j, transzform´alt koordin´at´akat y = η(x, u), w = ζ(x, u), oly m´odon, hogy G transzform´al´odjon egy olyan transzl´aci´ocsoportba, amelynek infinitezim´alis gener´atora v = ∂/∂w. A l´ancszab´aly alkalmaz´as´aval u-nak x-szerinti deriv´altjait helyettes´ıthetj¨ uk u-nak w-szerinti deriv´altjaival, ´es w y-szerinti deriv´altj´aval:   dk dk dw ,..., k (5.86) = dk y, w, dxk dy dy valamilyen dk f¨ uggv´enyre. Ezen kifejez´essel pedig az eredeti (5.85) egyenlet az al´abbi alakot o¨lti: e ∆(x, u, u1 , . . . , un ) = 0. (5.87) Az u ´j egyenlet szint´en invari´ans lesz a G csoporttal szemben, ´es az (y, w) v´altoz´ok szerinti ∂ lesz. Az egyenlet G-vel szembeni invarianci´aj´ab´ol k¨ovetkezik, prolong´aci´o pr(n) v = ∂w hogy a transzform´alt egyenlet w szerinti parci´alis deriv´altja elt˝ unik (v.¨o. (5.76) egyenlet). Ez viszont azt jelenti, hogy l´etezik olyan egyenlet, amely f¨ uggetlen w-t˝ol (de nem f¨ uggetlen w deriv´altjait´ol). Ezzel az egyenlet foksz´am´at cs¨okkentett¨ uk eggyel.

5.4.

Algoritmusok

A Lie-csoportok alkalmaz´asa jelent˝os lend¨ uletet kapott a kilencvenes ´evekben, miut´an Ovscsinnikov ´es Ibragimov munk´ait kiadt´ak angol nyelven is. Az angol nyelv˝ u irodalomban els˝osorban Olver munk´ai ir´any´ıtott´ak r´a a figyelmet erre a ter¨ uletre. A meg´ ujult figyelem egyik k¨ovetkezm´enye egy sor algoritmus, amellyel a vizsg´alat automatikusan elv´egezhet˝o. Arr´ol van ugyanis sz´o, hogy a szimmetriaanal´ızis ugyan fogalmilag neh´ez, a´m az elv´egzend˝o sz´am´ıt´asok meglehet˝osen egyszer˝ uek. R¨oviden ismertej¨ uk az alkalmazott m´odszereket (W. Hereman munk´aja alapj´an). Ahogyan kor´abban megfogalmaztuk, itt egy egyenlet (algebrai vagy differenci´alegyenlet) szimmetri´aj´an egy egyszer˝ u ponttranszform´aci´ot ´ert¨ unk, amely az X × U t´er diffeomorfizmus´at jelenti. Ezt az´ert fontos hangs´ ulyozni, mert m´as ´ertelemben is szok´as egy (differenci´al) egyenlet szimmetri´aj´at eml´ıteni. ´Igy nemlok´alis szimmetr´ar´ol, dinamikus szimmetri´ar´ol, a´ltal´anos´ıtott (Lie-B¨acklund) szimmetri´ar´ol is szok´as besz´elni. Ezekr˝ol a CRC Handbbok of Lie Group Analysis-ben tal´al inform´aci´ot az olvas´o. A Lieszimmetri´ak meghat´aroz´asa differenci´alalgebrai m´odszerekkel t¨ort´enik. Az els˝o l´ep´es a Lie-szimmetri´akat meghat´aroz´o egyenlet kisz´am´ıt´asa. Ebben k´et f˝o m´odszert alkalmaznak, vektorterek prolong´aci´oj´at vagy differenci´alis form´akat. A harmadik m´odszer, a form´alis szimmetri´ak, k´et f¨ uggetlen v´altoz´ora korl´atoz´odik, itt nem foglalkozunk vele r´eszletesebben (Ld. Mihailov, Sabat ´es Szokolov k¨onyv´et).

118

5.4.1.

A Lie-szimmetri´ akat meghat´ aroz´ o egyenlet kisz´ am´ıt´ asa

A megoldand´o egyenletekb˝ol kell el˝oa´ll´ıtani azt az egyenletet, amelynek a vizsg´alt egyenlet szimmetri´ai eleget tesznek. Ahogyan az 5. fejezetben l´attuk, a Lie-csoport gener´ator´at egy r´eszhalmazon elt˝ un˝o f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel lehet megadni. Az egyenletnek polinom foksz´am´ unak kell lennie minden v´altoz´oban. Vektorterek prolong´ aci´ oja Ezt az elj´ar´ast r´eszleteiben ismertett¨ uk az 5. fejezetben. Az algoritmus ¨ot l´ep´esb˝ol a´ll. 1. K´epezz¨ uk a (5.48) megoldand´o egyenletrendszer v oper´atorait (5.50) szerint. Itt az x vektor komponenseinek sz´ama p, a keresett u f¨ uggv´enyek sz´ama pedig q. A prolong´aci´ot (5.49) szerint kell meghat´arozni. 2. Alkalmazzuk a prolong´aci´ot a megoldand´o egyenletekre, ´ıgy jutunk a (5.54) egyenletekhez. Ez az egyenletrendszer biztos´ıtja, hogy minden v gener´atora lesz a megoldand´o egyenlet szimmetriacsoportj´anak, mivel v megold´ast megold´asba fog transzform´alni. 3. V´alasszuk ki az u(n) vektor ` komponens´et, legyenek a kiv´alasztott komponensek v (1) , . . . , v (`) . A kiv´alaszt´as az al´abbiak szerint t¨ort´enik: • Minden v i legyen egyenl˝o valamely uα deriv´altj´aval. A deriv´alt legyen legal´abb els˝orend˝ u valamely xk v´altoz´oban. • Egyik v (i) se legyen egyenl˝o valamely v (j) (j 6= i) deriv´altj´aval. • A fenti v´alaszt´as mellett a (5.48) egyenlet megoldhat´o a v (i) -kre a marad´ek uβ -k (ezeket w-vel jel¨olj¨ uk) seg´ıts´eg´evel. ´Igy v (i) = S (i) (x, w). • Ekkor a v (i) f¨ uggv´enyek DJ deriv´altjait (v.¨o. (5.54)) ki lehet fejezni w-vel ´es deriv´altjaival. Megjegyezz¨ uk, hogy ez megszor´ıt´asokat r´o a megoldand´o egyenletekre. Ugyanakkor a 3. pontban eml´ıtett v i v´altoz´ok kiv´alaszt´asa gyakran trivi´alis. Vegy¨ uk p´eldak´ent az al´abbi egyenletet: ∂uα (x1 , . . . , xp−1 , t) = F α (x1 , . . . , xp−1 , t, u(n) ). ∂t

(5.88)

ahol α = 1, . . . , ` ´es uα -b´ol hi´anyzik a t v´altoz´o szerinti deriv´alt. Ekkor trivi´alis α v´alaszt´as a v α = ∂u . ∂t 4. A v α = S α (x, w) egyenlet seg´ıts´eg´evel elimin´aljuk v α -t ´es deriv´altjait (5.54)-b˝ol. A kapott kifejez´es polinomja lesz au ukJ -knek. 5. A (5.48)-ban szerepl˝o egy¨ utthat´of¨ uggv´enyek meghat´aroz´asa u ´gy t¨ort´enik, hogy a deriv´altak egy¨ utthat´oit null´aval tessz¨ uk egyenl˝ov´e (5.54)-ben. 119

Az algoritmusban az xi , uα ´es uαJ v´altoz´okat f¨ uggetlennek tekintj¨ uk. V´egeredm´enyk´ent (5.54)-b˝ol egy line´aris, homog´en PDE-rendszert kapunk a v oper´atorban szerepl˝o ξi ´es φi f¨ uggv´enyekre. Ezt az egyenletet defin´ıci´os egyenletnek nevezz¨ uk, minthogy meghat´arozza a (5.48) egyenletrendszer szimmetri´ait, ez´altal nyer konkr´et ´ertelmet a prolong´aci´o. Differenci´ al form´ ak Infinitezim´alis szimmetri´ak el˝o´all´ıthat´oak a Cartan a´ltal kidolgozott differenci´alkalkulus seg´ıts´eg´evel. A k´erd´es r´eszletei ir´ant ´erdekl˝od˝o olvas´onak Harrison ´es Estabrook cikk´et aj´anlom.

5.4.2.

Az egyenlet kanonikus alakra hoz´ asa

A Lie-csoport meghat´aroz´as´ahoz a csoportot meghat´aroz´o differenci´alegyenletet meg kell oldani, azaz, integr´alni kell. Ehhez el˝osz¨or az egyenleteket egyszer˝ u alakra (a kanonikus alakra) kell hozni. Itt norm´al, orton´om, invol´ ut´ıv ´es passz´ıv form´akr´ol valamint Gr¨obnerb´azisr´ol lehet besz´elni.

5.4.3.

A Lie-csoport meghat´ aroz´ asa

A Lie-csoportot meghat´aroz´o egyenlet megold´as´ara egy line´aris, homog´en parci´alis differenci´alegyenletrendszert kell megoldani.

5.4.4.

Szimbolikus algoritmusok

Sz´amos algoritmus el´erhet˝o az interneten. Ezek t¨obbs´ege ismert szimbolikus nyelvekhez (MATHEMATICA, MAPLE, REDUCE) kapcsol´odik. AZ al´abbi t´abl´azatban k¨oz¨olj¨ uk n´eh´any program el´erhet˝os´eg´et. Kb. 16-20 algoritmus le´ır´asa tal´alhat´o W. Hereman munk´aj´aban. 5.1. Feladat A SYMMGRP.MAX csomag seg´ıts´eg´evel Nucci meghat´arozta a magnetohidrodinamikai egyenletek szimmetricsoportj´at. Az al´abbiakban a sz´am´ıt´as eredm´eny´et k¨oz¨olj¨ uk. A vizsg´alt egyenletek: ∂v + (v∇)ρ + ρ∇v = 0 (5.89) ∂t   1 ∂v + (v∇)v + ∇(p + H2 ) − (H∇)H = 0 (5.90) ρ ∂t 2 ∂H + (v∇)H − (H∇)v = 0 (5.91) ∂t ∇H = 0 (5.92)     ∂ p p + (v∇) = 0 (5.93) κ ∂t ρ ρκ 120

5.4. t´abl´azat. Programok egyenletek szimmetri´aj´anak meghat´aroz´as´ara Program Nyelv Szerz˝ o e-mail DIFFGROB2 MAPLE E. Mansfield [email protected] LIE REDUCE V. Eliseev CPC Program Library n´ev: AABS Lie MATHEMATICA G. Baumann WOLFRAM MATHSOURCE MathSym MATHEMATICA S. Herod sherod@newton. colorado.edu NUSY REDUCE M. C. Nucci [email protected]. unipg.it symmgroup.c MATHEMATICA D. B´erub´e & Mon- berube@genesis. ulatigny val.ca SYMMGRP.MAX MACSYMA W. Hereman [email protected]. colorado.edu SPDE REDUCE F. Schwartz [email protected] Liesymm MAPLE J. Carminati et al. wmsi@daisy. uwaterloo.ca ahol p a nyom´as, ρ a s˝ ur˝ us´eg, κ a viszkozit´as, v a k¨ozeg sebess´ege, H a m´agneses t´erer˝o. Az els˝o egyenlet seg´ıts´eg´evel az utols´o egyenletb˝ol kik¨ usz¨ob¨olhet˝o a s˝ ur˝ us´eg: ∂p + κp(∇v) + (v∇)p = 0. ∂t

(5.94)

Amennyiben a vektorok komponenseit is figyelembe vessz¨ uk, kilenc egyenletr˝ol van sz´o. A f¨ uggetlen v´altoz´ok az id˝o ´es a h´arom helykoordin´ata: x, y ´es z. A f¨ ugg˝o v´altoz´ok a sebess´eg h´arom komponense vx , vy ´es vz , a t´erer˝o h´arom komponense Hx , Hy ´es Hz , a s˝ ur˝ us´eg ρ ´es a nyom´as p. Tekints¨ uk a κ 6= 0 esetet. A gener´atorokban 222 egyenlet hat´arozza meg a gener´atorokban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket. A gener´ator alakja: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ηy + ηz + η t + ϕρ + ϕp ∂x ∂y ∂z ∂t ∂ρ ∂p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +ϕvx + ϕvy ϕvz + ϕHx + ϕHy + ϕHz ∂vx ∂vy ∂vz ∂Hx ∂Hy ∂Hz α = ηx

(5.95) (5.96)

A meghat´aroz´o egyenletek integr´al´asa ut´an az egy¨ utthat´o f¨ uggv´enyekre az al´abbiakat kap-

121

juk: ηx ηy ηz ηt ϕρ ϕp ϕvx ϕvy ϕvz ϕHx ϕHy ϕHz

= = = = = = = = = = = =

k2 + k3 t − k8 y − k9 z + k1 1x k3 + k6 t + k8 x − k10z + k11 y k4 + k7 t + k9 x − k10 z + k11 z k1 + k12 t − 2(k11 − k12 − k13 )ρ 2k13 p k5 − k8 vy − k9 vz + (k11 − k12 )vx k6 + k8 vx − k10 vz + (k11 − k12 )vy k7 + k9 vx + k10 vy + (k11 − k12 vz k13 Hx − k8 Hy − k9 Hz k13 Hy + k8 Hx − k10 Hz k13 Hz + k9 Hx + k10 Hy .

(5.97) (5.98) (5.99) (5.100) (5.101) (5.102) (5.103) (5.104) (5.105) (5.106) (5.107) (5.108)

Mivel a fenti f¨ uggv´enyekben 13 ´alland´o szerepel, a gener´atorok egy 1 dimenzi´os Liealgebr´at fesz´ıtenek ki. Minden egyes dimenzi´ohoz rendelhet˝o egy csoport, az al´abbiak szerint: G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 G13

= = = = = = = = = = = = =

∂t ∂x ∂y ∂z t∂x + ∂vx t∂y + ∂vy t∂z + ∂vz x∂y − y∂x + vx ∂vy − vy ∂vx + Hx ∂Hy − Hy ∂Hx y∂z − z∂y + vy ∂vx − vz ∂vy + Hy ∂Hz − Hx ∂Hy z∂x − x∂z + vz ∂vz − vx ∂vz + Hz ∂Hz − Hx ∂Hz x∂x + y∂y + z∂z − 2ρ∂ρ + vx ∂vx + vy ∂vy + vz ∂vz t∂t + 2ρ∂ρ − (vx ∂vx + vy ∂vy + vz ∂vz ) 2ρ∂ρ + 2ρ∂p + Hx ∂Hx + Hy ∂Hy + Hz ∂Hz

(5.109) (5.110) (5.111) (5.112) (5.113) (5.114) (5.115) (5.116) (5.117) (5.118) (5.119) (5.120) (5.121)

G2 -G4 transzl´aci´ot ´ırnak le, G5 -G7 a Gallilei-transzform´aci´ot ´ırja le, G8 -G10 forgat´asokat jelent, G11 -G13 dilat´aci´okat ´ır le. 

122

5.5.

Szimmetri´ ak ´ es megmarad´ asi t´ etelek

A fizik´aban a´ltal´anos ´erv´eny˝ u megmarad´asi elvek ´erv´enyesek, ilyen pl. az energiamegmarad´as elve. A mozg´asegyenletek megold´asa sor´an ezeket a megmarad´o mennyis´egeket fel lehet haszn´alni, pl. a vizsg´alt test p´aly´aj´at a test megmarad´o mennyis´egei alapj´an adott oszt´alyba lehet sorolni. Emmy Noether a XX. sz´azad elej´en megmutatta, hogy a megmarad´asi t¨orv´enyek kapcsolatban a´llnak a mozg´asegyenletekkel. A mozg´asegyenleteknek az id˝obeli eltol´asok csoportj´aval szembeni invarianci´aja vezet az energiamegmarad´ashoz. Ezzel siker¨ ult kapcsolatot teremteni a vizsg´alt egyenlet szimmetriacsoportja ´es a megmarad´o mennyis´egek k¨oz¨ott. A Noether-t´etel alkalmazhat´os´ag´ahoz egy vari´aci´os form´at kell a vizsg´alt probl´em´ahoz tal´alni u ´gy, hogy a vari´aci´os probl´ema Euler–Lagrange-egyenlete pontosan a vizsg´alt egyenlet legyen. Sajnos a vizsg´alt egyenlet nem minden szimmetriacsoportja vezet egy megmarad´asi t´etelhez. Csak azok a csoportokhoz tartozik megmarad´o mennyis´eg, amelyek kiel´eg´ıtenek egy tov´abbi ”vari´aci´os” felt´etelt. Az al´abbiakban el˝osz¨or megfogalmazzuk a vari´aci´os feladatot, azut´an megadjuk, mit nevez¨ unk megmarad´asi t´etelnek.

5.5.1.

Vari´ aci´ os feladat

Keress¨ uk az u = f (x) f¨ uggv´enyt (u ∈ Rq , v ∈ Rp ), amely mellett az Z L[u] = L(x, u(n) )dx

(5.122)

Ω

funkcion´al sz´els˝o´ert´eket (minimumot vagy maximumot) vesz fel. Itt Ω ∈ Rp tartom´any, amelynek hat´ara megfelel˝oen sima. Az integr´al alatt ´all´o kifejez´est az L funkcion´al Lagrange-f¨ uggv´eny´enek nevezik. L sima f¨ uggv´enye x-nek ´es u deriv´altjainak. Az L funkcion´al vari´aci´os deriv´altj´anak nevezz¨ uk az al´abbi, egy´ertelm˝ uen meghat´arozott q elem˝ u vektort: δL[u] = (δ1 L[u], . . . , δq L[u]) (5.123) amely rendelkezik az Z d L[f + εη] = δL[f (x)]η(x)dx dε ε=0 Ω

(5.124)

tulajdons´aggal minden u = f (x) sima, Ω-n ´ertelmezett f¨ uggv´eny eset´en. η(x) = (η 1 (x), . . . , η q (x)) egy Ω-n ´ertelmezett sima f¨ uggv´eny, tov´abb´a f + εη kiel´eg´ıti a peremfelt´etelt, amely a sz´oba j¨ov˝o f¨ uggv´enyt´er elemeire ki van r´ova. ´Igy ε f¨ uggv´enyek´ent L[f + εη]-nak sz´els˝o´ert´eke kell hogy legyen ε = 0-n´al.

123

Az Eα Euler-oper´atorok 1 ≤ α ≤ q-ra: X ∂ Eα = (−D)J α . ∂uJ J

(5.125)

Az u = f (x) f¨ uggv´eny, amelyre teljes¨ ul δL[u] = 0

(5.126)

Eν (L) = 0, ν = 1, . . . , q

(5.127)

∆(x, u(n) ) = 0

(5.128)

kiel´eg´ıti az Euler-Lagrange egyenleteket. Tekints¨ uk egy alak´ u differenci´alegyenlet-rendszert. Megmarad´asi t¨orv´enynek nevezz¨ uk a DivP = 0

(5.129)

kifejez´est, amely a differenci´alegyenlet-rendszer minden u = f (x) megold´as´ara elt˝ unik. (n) (n) Itt P = (P1 (x, u ), . . . , Pp (x, u )) egy p elem˝ u vektor, amelynek elemei sima f¨ uggv´enyei x-nek,u-nak ´es u deriv´altjainak. Tov´abb´a, DivP = D1 P1 + · · · + Dp Pp .

(5.130)

Ez a megmarad´asi t¨orv´eny a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek egy tulajdons´ag´anak k´ezenfekv˝o ´altal´anos´ıt´asa a parci´alis differenci´alegyenlet-rendszerekre. A fizik´aban gyakori dinamikai feladatokban az egyik v´altoz´o az id˝o, a t¨obbi v´altoz´o a helyv´altoz´ok ¨osszess´ege x = (x1 , . . . , xp ). A megmarad´asi t¨orv´eny alakja ebben az esetben Dt T + DivX = 0.

(5.131)

Itt T megmarad´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, X = (X1 , . . . , Xp ) pedig ´aram, melynek komponensei f¨ uggv´enyei x, t ´es u-nak, valamint u deriv´altjainak. Legyen Ω ⊂ Rp egy t´erbeli tartom´any, u = f (x, t) egy megold´asa a (5.128) egyenletnek, amely defini´alt minden x ∈ Ω ´es t ∈ [a, b]-re. Tekints¨ uk az Z FΩ [f ](t) = T (x, t, pr(n) f (x, t))dx (5.132) Ω

funkcion´alt, amely adott f ´es Ω eset´en csak t-t˝ol f¨ ugg. Tegy¨ uk fel, hogy T megmarad´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, X a megfelel˝o a´ram, amely a (5.128) rendszer megold´as´ab´ol sz´armaztathat´o. Ekkor b´armely korl´atos Ω ⊂ Rp tartom´anyra, amelynek ∂Ω hat´ara sima, ´es b´armely u = f (x) megold´asra teljes¨ ul Z tZ FΩ [f ](t) − FΩ [f ](a) = − X(x, τ, pr(n) f (x, τ ))dsdτ (5.133) a

∂Ω

124

Ford´ıtva, amennyiben (5.133) teljes¨ ul minden fenti tartom´anyra ´es u = f (x) megold´asra, akkor T ´es X meghat´aroz egy megmarad´asi t¨orv´enyt. 5.1. Feladat Legyen a Lagrange-f¨ uggv´eny L(x, u), vagyis p = q = 1, a f¨ uggetlen v´altoz´ o x, a f¨ ugg˝o v´altoz´o u. Mivel (5.125)-ben csak α = 1 fordul el˝o, az indexet nem ´ırjuk ki: E=

∞ X

∂ ∂ ∂2 ∂ = − Dx + Dx2 − .... ∂uj ∂u ∂ux ∂uxx

(−Dx )j

j=0

(5.134)

Itt Dx = d/dx, uj = dj /dxj . Az Euler-Lagrange egyenlet: ∂L ∂L ∂L − Dx + Dx2 − ... ∂u ∂ux ∂uxx

E(L) =

(5.135)

 A Qα (x, u) = φα −

p X

ξ i uαi ,

(5.136)

i=1

kifejez´esb˝ol fel´ep´ıtett Q = (Q1 , . . . , Qq ) vektort a v vektormez˝o (oper´ator) karakterisztik´aj´anak nevezz¨ uk. A karakterisztika seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´oban (v.¨o. (5.51)) szerepl˝o uggv´eny, ´es vele a prolong´aci´o ´ıgy ´ırhat´o: φJα f¨ φJα

= DJ Qα +

p X

ξ i uαJ,i

(5.137)

i=1

pr(n) v =

q X X α=1

J

# " q q X X X ∂ ∂ ∂ DJ Qα α + uαJ,i α . ξi ∂uj ∂x ∂uJ i α=1 J i=1

5.10. T´ etel (Noether t´ etele) Legyen adott az Z L[u] = L(x, u(n) dx

(5.138)

(5.139)

vari´aci´os feladat. Legyen a G egyparam´eteres csoport infinitezim´alis gener´atora v=

p X i=1

q

X ∂ ∂ φα (x, u) α , ξ (x, u) i + ∂x ∂u α=1 i

(5.140)

´es legyen G a (5.139) feladat szimmetriacsoportja. Legyen tov´abb´a a v-nek megfelel˝ o α α i karakterisztika (5.136), ahol ui = ∂u /∂x . Ekkor Q = (Q1 , . . . , Qq ) az Euler–Lagrangeegyenlet karakterisztik´aja is, vagyis, l´etezik olyan P (x, um ) = (P1 , . . . , Pp ) vektor, amelyre X DivP = QE(L) = Qν Eν (L) (5.141) ν=1

egy megmarad´asi egyenlet karakterisztika form´aban, ´espedig az E(L) = 0 Euler–Lagrangeegyenlete. 125

A fentiek alapj´an megfogalmazhat´o, mit nevez¨ unk egy vari´aci´os feladat szimmetriacsoportj´anak. Legyen ´ertelmezve a G lok´alis transzform´aci´ocsoport hat´asa az M ⊂ Ω0 ×U sokas´agon. G-t az Z L[u] = L(x, u(n) )dx (5.142) Ω0

funkcion´al vari´aci´os szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk, amelyben az Ω tartom´any lez´ar´asa, Ω ⊂ Ω0 , tov´abb´a u = f (x) sima f¨ uggv´eny, amely ´ertelmezve van Ω-ban, g¨orb´eje pedig M-ben helyezkedik el. Tov´abb´a, g ∈ G olyan, hogy u e = fe(e x) = gf (e x) egy´ert´ek˝ u e f¨ uggv´eny, amely defini´alva van Ω-ban, akkor Z Z (n) e L(x, pr(n) f (x))dx. (5.143) x))de x= L(e x, pr f (e Ω

e Ω

Egy megmarad´asi egyenlet karakterisztik´aj´at a k¨ovetkez˝o m´odon vezetj¨ uk be. Tekints¨ uk a ∆(x, u(n) ) = 0 (5.144) nem degener´alt differenci´alegyenlet-rendszert. Ezen egyenletrendszer minden u = (u1 , . . . , uq ) megold´as´ab´ol k´epzett P = (P1 , . . . , Pp ) f¨ uggv´eny, amely f¨ uggv´enye x = (x1 , . . . , xp )-nek, 1 q u = (u , . . . , u )-nak ´es u deriv´altjainak, akkor ´es csak akkor t˝ unik el, ha l´eteznek olyan (m) J uggv´enyek, amelyekkel fenn´all Qν (x, u ) f¨ X DivP = QJν DJ ∆ν (5.145) ν,J

minden (x, u)-ra. Parci´alis integr´al´as ut´an a fenti kifejez´es a´talak´ıthat´o egy u ´j R(x, u) f¨ uggv´enyre ´es egy marad´ekra, azaz, DivP = DivR +

` X

Qν ∆ν ≡ DivR + Q∆.

(5.146)

ν=1

A marad´ekban szerepl˝o ` elem˝ u vektor komponensei: X Qν = (−D)J QJν

(5.147)

J

´es R = (R1 , . . . , Rp ). Mivel DivP = 0 minden megold´asra, azt l´atjuk, hogy R line´aris f¨ uggv´enye a (5.144) differenci´alegyenlet-rendszert alkot´o egyenleteknek. L´atjuk teh´at, hogy DivP = 0 ´es Div(P − R) = Q∆. (5.148) A (5.148) egyenletet nevezz¨ uk a (5.145) megmarad´asi t¨orv´eny karakterisztik´aj´anak.

126

Amennyiben ` = 1, a Q karakterisztika egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. 1 < ` ≤ q eset´en a Q karakterisztika m´ar nem egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. Legyen p´eld´aul Div(P − R) = Q∆

(5.149)

e Div(P − R) = Q∆.

(5.150)

´es e Ekkor Q∆ = Q∆, de mivel a ∆ differenci´alegyenlet-rendszer nem degener´alt, ez´ert e Q − Q = 0 minden u megold´asra. (Eml´ekezz¨ unk, P f¨ ugg x-t˝ol ´es u-t´ol, tov´abb´a u deriv´altjait´ol is.) ´Igy val´oj´aban nem egyetlen megmarad´asi egyenletr˝ol, hanem egy ekvivalenciaoszt´alyr´ol van sz´o.

127

6. fejezet Krist´ alyr´ acsok oszt´ alyoz´ asa

128

A f´emes krist´alyok le´ır´as´ara sikerrel alkalmazz´ak az u ´.n. szabadelektron modellt. Ennek l´enyege, hogy az elektromosan semleges krist´aly periodikus szerkezet´eben az atommaghoz tartoz´o elektronok k´et csoportra oszthat´oak. Egy r´esz¨ uk a maghoz k¨ot˝odik, ezen elektronok k¨ot¨ott a´llapotban tal´alhat´oak a krist´aly valamely poz´ıci´oj´aban tal´alhat´o atommag k¨or¨ ul. A k¨ot¨ott energi´aj´ u a´llapotokat a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekeinek seg´ıts´eg´evel lehet azonos´ıtani. A k¨ot¨ott elektron a´llapot´at nagyr´eszt1 a lok´alis viszonyok (mag-elektron k¨olcs¨onhat´as) hat´arozz´ak meg. Az elektronok egy r´esze viszont nincs k¨ot¨ott a´llapotban, ezek az elektronok a r´acs eg´esz´eben tal´alhat´oak elosztva. Tekintettel arra, hogy a r´acshelyeken visszamarad´o pozit´ıv t¨olt´esek ¨osszege megegyezik a szabad elektronok negat´ıv t¨olt´es´enek ¨osszeg´evel, j´o k¨ozel´ıt´es a krist´aly viselked´es´et u ´gy le´ırni, mintha egyetlen elektron mozogna szabadon. Az elektron energiaszintjeinek meghat´aroz´as´ahoz a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekeit kell meghat´arozni:   ~ p2 (6.1) + V (r) Ψ(r) = EΨ(r). HΨ(r) = − i 2me Amennyiben a r´acs peri´odikus, c´elszer˝ u peremfelt´etelk´ent a r´acs periodikusan ism´etl˝od˝o egys´eg´enek (az elemi cell´anak) fel¨ ulet´en a periodicit´ast megk¨ovetelni. Ezzel a f´emek t´argyal´as´at egy perem´ert´ek-probl´ema megold´as´ara vezett¨ uk vissza. Az egyes r´acsok elektonszerkezete elt´er˝o, ennek meg´ert´es´ehez az adott r´acshoz tartoz´o szabad elektron energi´aj´at (Fermi-energi´at) kell meghat´arozni. Az egyes r´acsok tulajdons´agait a r´acsot alkot´o atomok vagy molekul´ak t´erbeli szerkezete illetve a r´acs geometri´aja szabja meg. Nem meglep˝o h´at, hogy a le´ır´asban nagy szerepet kap a r´acsok geometriai szimmetri´aja.

6.1.

A krist´ alyok szerkezete

A szil´ardtest fizika kit¨ untetett t´argya egy v´egtelen, szab´alyos szerkezet. Ezt a szerkezetet krist´alynak nevezik. Nem minden szil´ard anyag periodikus, a nem periodikus szil´ard anyagokat amorf anyagnak nevezik ´es k´ıv¨ ul esnek a szil´ardtest fizika t´argyk¨or´en. A szil´ardtest fizika teh´at szab´alyos szerkezet˝ u krist´alyokat vizsg´al. A 2 fejezetben megmutattuk, hogy egy V t´erfogat szimmetri´ai v´altozatlanul hagyj´ak a V t´erfogat egy pontj´at. Ezek a szimmetri´ak egy csoportot alkotnak, a csoportot pontcsoportnak nevezik. Mag´anak a V t´erfogatnak a jellemz´es´ere j´ol felhaszn´alhat´o V szimmetriacsoportja. A krist´alyok oszt´alyoz´as´anak alapja szint´en a v´egtelen r´acsot ¨onmag´aba transzform´al´o csoport. Tekints¨ uk azt a csoportot, amely v´altozatlanul hagyja a r´acs egy adott P pontj´at. Ez a csoport az al´abbi transzform´aci´okat tartalmazhatja: • diszkr´et sz¨og˝ u forgat´asok P -n a´tmen˝o tengely k¨or¨ ul; 1

Az elektron´ allapotok pontos energi´ aj´ at term´eszetesen egy sokr´eszecske feladat megold´asa adja.

129

• egy P -n a´tmen˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´esek. A krist´aly a fentieken k´ıv¨ ul tartalmazza ez eltol´ast, mint szimmetri´at. Ez azt jelenti, hogy a krist´alyt azonos elemek ism´etl˝od´es´eb˝ol fel´ep¨ ul˝o strukt´ ur´anak tekintj¨ uk, nincsenek benne egyedi helyek. Emiatt a hib´akat is tartalmaz´o krist´aly vizsg´alat´aval nem foglalkozunk.

6.1.1.

A s´ık ´ es a t´ er szimmetri´ ai

Az ir´any´ıt´astart´o transzform´aci´okat forgat´asoknak nevezz¨ uk. Az al´abbiakban a s´ık k´et, v´eges automorfizmus csoportj´aval foglalkozunk. 6.1. T´ etel A s´ık v´eges forg´ascsoportjai ciklikusak. Egy n-edrend˝ u csoport egy adott pont k¨or¨ uli diszkr´et, k2π/n sz¨og˝ u forgat´asokb´ol ´all, ahol k = 0, . . . , n − 1. A s´ık forg´ascsoportjait Cn -nel jel¨olj¨ uk, ez a szab´alyos n-sz¨og szimmetriacsoportja. Amennyiben a Cn csoportot kieg´esz´ıtj¨ uk a szab´alyos n-sz¨og szimmetriatengelyeire vett t¨ ukr¨oz´esekkel, a 2n elem˝ u Dn diadikus csoportot kapjuk. A k´et elem˝ u D1 csoportot egyetlen t¨ ukr¨oz´es gener´alja, a n´egy elem˝ u D2 csoportot pedig az x ´es y tengelyre val´o t¨ ukr¨oz´esek gener´alj´ak. A h´aromdimenzi´os t´erben a v´eges forg´ascsoportok a szab´alyos poli´ederekhez k¨ot˝odnek. Legyen P egy korl´atos, konvex poli´eder a h´aromdimenzi´os t´erben. P z´aszl´oj´anak h´ıvjuk az F = {P0 , , P1 , P2 } halmazt, ha Pi P -nek i dimenzi´os lapja. (P0 –a poli´eder cs´ ucsainak halmaza, P1 –az ´elek halmaza, P2 –a lapok halmaza.) A P poli´eder szab´alyos, ha a P -t v´altozatlanul hagy´o forgat´asok GP csoportja tranzit´ıv P ¨osszes z´aszl´oinak halmaz´an. Ekkor GP rendje P cs´ ucsainak sz´ama szorozva az egy cs´ ucsban ¨osszefut´o ´elek sz´am´aval. A szab´alyos poli´edereket plat´oni testeknek nevezik, ezek: tetra´eder (forg´ascsoportja T ), kocka, okta´eder (forg´ascsoportja N ), dodeka´eder ´es ikoza´eder (forg´ascsoportja Y ). Minden szab´alyos poli´ederhez hozz´atartozik a du´alisa, a du´alis cs´ ucsai a poli´eder lapk¨oz´eppontjai. A poli´eder ´es du´alis´anak azonos a forg´ascsoportja. Az okta´eder du´alisa a kocka, a tetra´eder du´alisa saj´at maga, az ikoza´eder du´alisa a dodeka´eder. A fentiek alapj´an meghat´arozhat´o az eml´ıtett csoportok rendje: |T | = 12, |O| = 24, |Y | = 60. 6.2. T´ etel A h´arom-dimenzi´os t´er forg´ascsoportj´anak v´eges r´eszcsoportjai a k¨ovetkez˝ok: a ciklikus ´es a di´edercsoportok, valamint a tetra´eder, az okta´eder ´es az ikoza´eder forg´ascsoportja. Ha teh´at G a h´arom-dimenzi´os t´er forg´ascsoportj´anak egy r´eszcsoportja, akkor G vagy ciklikus, vagy l´etezik olyan P poli´eder, amelyre G = GP . Mivel azokat a poli´edereket tekintj¨ uk azonos t´ıpus´ uaknak, amelyek nagy´ıt´asokkal, forgat´asokkal egym´asba vihet˝oek, ez´ert az ilyen poli´edereknek megfelel˝o r´eszcsoportok konjug´alt r´eszcsoportjai a t´er forg´ascsoportj´anak. 130

A t´er szimmetri´ainak vizsg´alat´aban haszn´alni fogjuk a Z k´etelem˝ u inverzi´os csoportot, amelynek elemei az egys´egtranszform´aci´o ´es egy adott k¨oz´eppontra (ez a´ltal´aban egy tetsz˝olegesen kiv´alasztott r´acspont) vett t¨ ukr¨oz´es. 6.3. T´ etel A h´arom-dimenzi´os t´er ortogon´alis transzform´aci´oinak nem csak forgat´asokb´ol ´all´o v´eges r´eszcsoportjai a k¨ovetkez˝ok: Cn × Z, Dn × Z, T × Z, O × Z, Y × Z, C2n , Cn , D2n , Dn , Cn , OT . 6.4. T´ etel Rn minden diszkr´et r´eszcsoportja izomorf Zn -nel. Minden ilyen r´eszcsoport n darab line´arisan f¨ uggetlen vektor, a1 , . . . , an ¨osszes eg´eszPegy¨ utthat´os line´aris kombin´aci´oib´ol ´all. Az ilyen csoportokat r´acsoknak nevezz¨ uk. A i pi ai tartom´any 0 ≤ pi ≤ 1 eset´en a r´acsnak fundament´alis tartom´anya. Ez a tartom´any az ai vektorok ´altal kifesz´ıtett paralellepipedon. Az n = 2 esetben az R2 s´ık egy C komplex s´ıknak tekinthet˝o, amelynek z pontj´at az (x, y) koordin´at´akb´ol z = x+iy rel´aci´oval kapjuk. Ha G egy C-beli r´acs, akkor a G\C faktort´er rendelkezik C strukt´ ur´aj´aval. A faktort´eren ´ertelmezett meromorf komplex f¨ uggv´enyek invari´ansak a z 7→ z + g, g ∈ G eltol´asokkal szemben. Ezek elliptikus f¨ uggv´enyek, ld. 10.3. fejezet. 6.5. T´ etel Legyen G egy krist´alycsoport, azaz, a krist´alyr´acs automorfizmusainak egy csoportja. G-ben az eltol´asok T -vel jel¨olt r´eszcsoportja v´eges index˝ u norm´aloszt´o,melyre T \Rn (itt n = 2, 3) kompakt. Ezzel a krist´alyokat oszt´alyoztuk tiszt´an matematikai szempontok alapj´an. A fenti t´etel szerint minden krist´alyban l´etezik egy elemi cella, amelynek pontjai ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyt alkotnak. Az elemei cella p´aly´aja a r´acs szimmetri´ai alatt lefedi az eg´esz kist´alyt. Az ai r´acsvektorok seg´ıts´eg´evel defini´aljuk a reciprokr´acsot, a k¨ovetkez˝o m´odon. Fesz´ıts´ek ki a recirpokr´acsot a bi vektorok, amelyekre teljes¨ ulj¨on:  2π ha i = j ai bj = (6.2) 0 egy´ebk´ent P A b = i pi bi (pi eg´esz) vektorok egy r´acsot fesz´ıtenek ki, a reciprokr´acsot. A br = a´lland´o egyenlet (itt b a´lland´o P vektor) a b vektorra mer˝oleges s´ıkot ´ır le, a s´ık t´avols´aga az orig´ot´ol ´alland´o|b|.P Azon r = i ni ai pontok halmaza, amelyek rajta vannak az eml´ıtett s´ıkon, kiel´eg´ıtik a i ni pi = ´alland´o egyenletet. A fentiek szerint minden recipror´acsvektornak megfelel a krist´aly p´arhuzamos s´ıkjainak egy halmaza. A fenti egyenletben pi -k v´alaszthat´oak relat´ıv pr´ımeknek. A pi -ket az adott s´ık Miller-index´enek nevezz¨ uk. 131

Az eltol´asokkal szembeni invariancia miatt a v´egtelen r´acs el˝oa´ll´ıthat´o egyetlen egys´egb˝ol eltol´asokkal. A r´acs invari´ans minden X t= ni ai (6.3) i

transzl´aci´oval szemben, ahol ai a legr¨ovidebb, nem z´erus transzl´aci´o, amellyel szemben a r´acs invari´ans. A r´acs invari´ans tov´abb´a bizonyos forgat´asokkal ´es t¨ ukr¨oz´esekkel szemben. A forgat´asok ´es t¨ ukr¨oz´esek le´ır´as´ara a 2.2. fejezetben l´attunk p´eld´at, az eltol´asok ´es forgat´asok egy¨ uttes alkalmaz´as´ara pedig a 4.1. fejezetben. Az al´abbiakban a krist´alyr´acsokat fizikai szempontok alapj´an oszt´alyozzuk. V´alasszunk ki egy r´acspontot, ebb˝ol kiindulva m´erj¨ uk fel az ai vektorokat. Az ´ıgy kapott paralellepipedont elemi cell´anak nevezz¨ uk. Az egym´asba p´arhuzamos eltol´assal ´atvihet˝o r´acspontok ¨osszess´ege alkotja a Bravais-r´acsot. T´erben 14 Bravais-r´acs lehets´eges, ezeket ´ a 6.1.1 a´bra mutatja. Altal´ aban a Bravais-r´acs nem tartalmazza a r´acs minden pontj´at. ´ Altal´aban egy krist´alyr´acs t¨obb, egym´asba tolt Bravais-r´acsb´ol ´ep¨ ul fel. Megfigyel´esek szerint a krist´aly egy sor jelens´egben homog´en, folytonos testk´ent viselkedik. A krist´aly makroszkopikus tulajdons´agai (szil´ards´ag, t¨or´esmutat´o) csak az ir´anyt´ol f¨ uggenek. A szimmetria miatt a krist´alyban l´etezhetnek ekvivalens ir´anyok. Az ekvivalens ir´anyok ment´en a krist´aly makroszkopikus tulajdons´agai azonosak. Mivel az eltol´as nem hoz l´etre ekvivalens ir´anyokat, az ir´anyok szimmetri´aj´at a krist´alyban a szimmetriatengelyek ´es s´ıkok hat´arozz´ak meg u ´gy, hogy a csavartengelyeket ´es cs´ usz´os´ıkokat egyszer˝ u tengelyeknek ´es s´ıkoknak tekintj¨ uk. Ezen szimmetriaelemek o¨sszess´eg´et krist´alyoszt´alynak nevezz¨ uk. Megmutatjuk, hogy az eltol´assal szembeni invariancia csak meghat´arozott forgat´asokat enged meg, mint szimmetri´at. Tekints¨ uk a krist´aly egym´ast´ol a r´acst´avols´agnyira l´ev˝o A ´es B pontjait. Ha A-n ´atmegy egy n-fog´as´ u tengely, akkor az a eltol´assal szembeni invariancia miatt, a B ponton is ´atmegy egy n-fog´as´ u tengely. Legyen B elforgatott k´epe 0 0 B , A elforgatott k´epe pedig A . Szint´en az eltol´assal szembeni invariancia miatt, az A0 B 0 t´avols´ag a eg´eszsz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose lesz, legyen A0 B 0 = pa, ahol p eg´esz. Ezzel a + 2asin(φ − π/2) = a − 2acosφ = ap,

(6.4)

. Ebb˝ol ad´odik: p = 1, 2, 3. Mivel a krist´aly h´ezagmentesen kit¨olti a amib˝ol cosφ = 1−p 2 teret, φ = 2π/n, ahol n eg´esz sz´am. Ebb˝ol k¨ozvetlen¨ ul kapjuk a lehets´eges forgat´asok ´ert´ek´et: n = 2, 3, 4, 6 (ld. 6.1.1 ´abra). Pontcsoportnak nevezz¨ uk a r´acs szimmetri´ainak olyan csoportj´at, amelyek a r´acs egy adott P pontj´at v´altozatlanul hagyj´ak. Itt megjegyezz¨ uk, hogy a krist´alyszerkezet szimmetri´aja k´et l´ep´esben a´llap´ıthat´o meg. El˝osz¨or is a periodikus r´acs (ezt nevezik t´err´acsnak) szimmetri´aj´at kell meghat´arozni, azut´an pedig a r´acs egy adott pontj´aban tal´alhat´o atomcsoport szimmetri´aj´at. A fentiek alapj´an felsorolhatjuk a k´etdimenzi´os krist´alyok pontcsoportjait: 132

• 1: csak az egys´egelemb˝ol ´all a szimmetriacsoport, a r´acs szab´alytalan; • 2: a r´acs minden pontja egy k´etfog´as´ u tengely; • 1m: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy szimmetrias´ık; • 2mm: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy k´etfog´as´ u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık; • 4: a r´acs minden pontja egy n´egyfog´as´ u tengely; • 4mm: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy n´egyfog´as´ u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık; • 3: a r´acs minden pontja egy h´aromfog´as´ u tengely; • 3m: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy h´aromfog´as´ u tengely ´es egy szimmetrias´ık; • 6: a r´acs minden pontja egy hatfog´as´ u tengely; • 6mm: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy hatfog´as´ u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık. A pontcsoportokat k´et oszt´alyba sorolj´ak: • szimmorf csoportok, ezek szimmetri´ai t|p alak´ uak, ahol t r´acsvektor, p pedig a Bravais-r´acs pontcsoportj´anak eleme. Szimmorf szimmetriacsoporttal rendelkez˝o krist´alyban nincs csavartengely vagy cs´ usz´os´ık. • nemszimmorf csoportok, amelyek v|p alak´ uak, itt v = t/p, p eg´esz sz´am. Nem szimmorf szimmetriacsoporttal csak olyan krist´aly rendelkezhet, amelyet legal´abb k´et, egym´asba tolt Bravais-r´acs alkot. Vizsg´aljuk meg, hogyan el´eg´ıthet˝o ki a t¨ ukr¨oz´esi szimmetria egy adott s´ıkban. Legyen a k´et koordin´ata tengely ir´any´ u egys´egvektor i ´es j. B´armely k´et r´acspontot ¨osszek¨ot˝o vektort r´acsvektornak nevez¨ unk. Legyen a = ax i + ay j, ´es b = bx i + by j. A t¨ ukr¨oz¨ott 0 0 0 0 vektorok a = ax i − ay j, ´es b = bx i + −by j. a ´es b akkor lesz r´acsvektor, ha a = |a|i ´es b = |b|j, vagyis, a k´et vektor a koordin´ata tengelyek ir´any´aba mutat. Van azonban egy m´asik lehet˝os´eg is: b0 = a − b, azaz, b0x = ax − bx = bx ´es b0y = ay − by = −by . Ez ut´obbi k´et egyenletb˝ol ay = 0, ax = 2bx , azaz, a primit´ıv transzl´aci´os vektorok m´asik lehets´eges v´alaszt´asa: a = |a|i, b = 12 |a|i + by j. Ez a v´alaszt´as centr´alt r´acsot szolg´altat, az els˝o v´alaszt´as eset´en a r´acs olyan cella ism´et´el´esvel ´ep´ıthet˝o fel, amelyben csak a cs´ ucspontokban tal´alhat´o a r´acsot alkot´o atomcsoport. Ez ut´obbit primit´ıv cell´anak nevezz¨ uk.

133

Az al´abbiakban sorravessz¨ uk azokat a szimmetriatranszform´aci´okat, amelyekb˝ol egy krist´alyr´acs szimmetriacsoportja fel´ep´ıthet˝o. M´ar l´attuk, hogy a szimmetricsoport faktorcsoportja az eltol´asok csoportja, ennek indexe minden esetben v´eges. A faktorcsoport lev´alaszt´asa ut´an kapott szimmetri´ak pontcsoportot alkotnak. A pontcsoportok oszt´alyoz´as´aban fontos szerepet kapnak ezek a szimmetri´ak. Figyelemre m´elt´o, hogy hasonl´o m´odon vizsg´alhat´o egy sok atomos molekula szimmetri´aja is, amely fontos szerepet j´atszik a gerjeszt´esi energi´ak ´es a sz´ınk´ep le´ır´as´aban. Egy krist´alyr´acs pontcsoportja az al´abbi alkot´oelemekb˝ol ´allhat: • forg´astengely: Ha a r´acs ¨onmag´ara lek´epezhet˝o valamilyen tengely k¨or¨ uli 360o /n sz¨og˝ u forgat´assal, akkor ezt a tengelyt n-edrend˝ u szimmetriatengelynek nevezz¨ uk. ´ Altal´aban n tetsz˝oleges eg´esz ´ert´eket felvehet, ´am egy r´acs eset´eben csak n = 1, 2, 3, 4 ´es 6 megengedett. Ezeket a tengelyeket digir, trigir, tetragir ´es hexagirnek szokt´ak nevezni. A tengely szok´asos jel¨ol´ese Cn . A forgat´asok egy ciklikus csoportot alkotnak. Ha adott k´et tengely, amelyek egy pontban metszik egym´ast, a k´et tengely k¨or¨ uli forgat´as szorzata egy harmadik, ugyanazon a ponton a´tmen˝o tengely k¨or¨ uli forgat´as. • t¨ uk¨ors´ık: Amennyiben a krist´alyt ¨onmag´ara k´epezi le egy r´acsponton ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es, akkor azt mondjuk, a krist´aly rendelkezik t¨ uk¨ors´ıkkal vagy szimmetrias´ıkkal. A s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´est σ-val szok´as jel¨olni. Amennyiben t¨obb szimmetrias´ık is van, azokat egy alkalmas indexszel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. A v index egy adott tengelyen a´tmen˝o (f¨ ugg˝oleges) s´ıkra, a h index pedig egy, a tengelyre mer˝oleges (v´ızszintes) s´ıkra utal. A t¨ ukr¨oz´es ism´etelt alkalmaz´asa az egys´egtranszform´aci´ot adja, ez´ert minden t¨ ukr¨oz´es gener´al egy k´etelem˝ u csoportot. K´et, egym´ast metsz˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es szorzata egy forgat´assal egyenl˝o. A forgat´as tengelye a k´et s´ık k¨oz¨os metsz´esvonala, a forgat´as sz¨oge pedig a s´ıkok a´ltal bez´art sz¨og k´etszerese. • szimmetria-k¨oz´eppont: Egy 180o -os elforgat´as ´es a forg´astengelyre mer˝oleges s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´est (inverzi´ot) alkot. A k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es m˝ uvelet´et I-vel jel¨olj¨ uk. Jel¨olje σh az inverzi´oban szerepl˝o t¨ ukr¨oz´est, ekkor I = C2 σh , ´es mivel C2 I = σh ´es Iσh = C2 , a m´asodrend˝ u tengely, a r´a mer˝oleges tengely ´es ezek metsz´espontj´aban a´ll´o szimmetriak¨oz´eppont nem f¨ uggetlenek, ha k¨oz¨ ul¨ uk kett˝o l´etezik, a harmadik l´ete m´ar k¨ovetkezik. • inverzi´os forg´astengely: Ha a krist´aly lek´epezhet˝o ¨onmag´ara egyidej˝ u 3600 /n sz¨og˝ u forgat´assal ´es inverzi´oval, akkor l´etezik inverzi´os forg´astengely. Egy-, k´et-, h´arom-, n´egy- ´es hatfog´as´ u inverzi´os forg´astengely l´etezik. • forg´astengely, r´a mer˝oleges t¨ uk¨ors´ıkkal: Ekkor a krist´aly lek´epezhet˝o o¨nmag´ara 0 egyidej˝ u 360 /n sz¨og˝ u forgat´assal ´es a forg´astengelyre mer˝oleges σh t¨ ukr¨oz´esel. E szimmetria jele Sn , n ´ert´eke csak 2, 3, 4 ´es 6 lehet. Nyilv´an Sn = σh Cn = Cn σh . 134

2 2 2m 2m Megjegyezz¨ uk, hogy S2m+1 = C2m+1 , azaz tiszta forgat´as, ´altal´aban S2m+1 = C2m+1 2m+1 ´es S2m+1 = σh . Amennyiben Sn -ben szerepl˝o n p´aros, egyidej˝ uleg l´etezik Cn/2 szimmetria (forg´astengely) is. Tov´abb´a, S2 = I.

A felsorolt egyszer˝ u szimmetri´akb´ol o¨sszetett szimmetri´akat hozhatunk l´etre. Az o¨sszetett szimmetri´ak eltol´asok, forgat´asok ´es t¨ ukr¨oz´esek kombin´aci´oi. • forg´astengely, r´a mer˝oleges (egy vagy t¨obb) k´etfog´as´ u tengellyel: ha egy n-edrend˝ u tengelyhez hozz´avesz¨ unk egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengelyt, ez tov´abbi n − 1 m´asodrend˝ u tengely megjelen´es´et eredm´enyezi, o¨sszesen teh´at az n-edrend˝ u tengelyre mer˝olegesen n m´asodrend˝ u tengely jelenik meg. Az ´ıgy megjelen˝o m´asodrend˝ u tengelyeket jel¨ol´esben is megk¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk az U2 jel¨ol´essel. • csavartengely: egy forgat´as ´es a forg´astengely ment´en t¨ort´en˝o eltol´as. A r´acsnak akkor van n-edrend˝ u csavartengelye, ha egy adott tengely k¨or¨ uli 360o /n sz¨og˝ u forgat´assal ´es ugyanazon tengely ment´en valamely d eltol´assal ¨onmag´aba vihet˝o a´t. Ha van n-edrend˝ u csavartengely, a forgat´as ´es az eltol´as n-szeri ism´etl´es´evel a r´acs ¨onmag´ara lek´epezhet˝o, ez´ert d = p/na, ahol p eg´esz, a pedig a r´acs legkisebb peri´odusa a csavartengely ment´en. • cs´ usz´os´ık vagy t¨ uk¨ors´ık: ha a t¨ ukr¨oz´est kombin´aljuk egy, a t¨ ukr¨oz´es s´ıkj´aba es˝o d eltol´assal, u ´j szimmetriaelemet, cs´ usz´os´ıkot vagy t¨ uk¨ors´ıkot kapunk. Nyilv´an d = a/2. Egy r´acs szimmetriacsoportja a Bravais-r´acsok szimmetri´aj´anak r´eszcsoportja, ugyanis a r´acs szimmetri´ai a Bravais-r´acsot is ´es a r´acsot alkot´o atomcsoportot is ¨onmag´ara k´epezi le. Amennyiben a r´acs szimmetri´aja megegyezik a Bravais-r´acs szimmetri´aj´aval, akkor a r´acsot holo´ederesnek nevezik. A Bravais-r´acsokat forgat´asokra ´es t¨ ukr¨oz´esekre vonatkoz´o szimmetri´ai alapj´an krist´alyrendszerekbe sorolj´ak. H´arom dimenzi´oban h´et krist´alyrendszer van. Ha a p´arhuzamos eltol´asokon k´ıv¨ ul a szimmetriak¨oz´eppont a Bravais-r´acs egyetlen szimmetri´aja, akkor a krist´alyrendszerek: 1. triklin. A legalacsonyabb szimmetri´aval rendelkezik, szimmetriacsoportjai C1 , Ci . A triklin rendszernek megfelel˝o Bravais-r´acs elemi cll´aja olyan paralellepipedon, amelyben az ´elek hossz´ us´aga elt´er˝o, a k¨oz¨ott¨ uk l´ev˝o sz¨ogek is k¨ ul¨onb¨oz˝oek. A krist´alyrendszer neve abb´ol sz´armazik, hogy a h´arom krist´alytengely m´as-m´as sz¨oget z´ar be (h´aromhajl´as´ u). 2. monoklin. Szimmetriacsoportjai a Cs , C2 , C2h . A Bravai-r´acs elemi cell´aja egy tetsz˝oleges alap´ u egyenes has´ab. A Bravai-r´acsnak k´et v´altozata is l´etezik, az egyszer˝ u Bravai-r´acsban a r´acspontok a has´ab cs´ ucsaiban helyezkednek el. A m´asodik v´altozat az alaplap-centr´alt r´acs, amelyben a cs´ ucsokon k´ıv¨ ul az oldallapok k¨oz´eppontjaiban is vannak r´acspontok. 135

3. rombos vagy ortogon´alis. A C2v , D2 , D2h pontcsoportoknak felel meg. A Bravaisr´acs elemi cell´aja egy tetsz˝oleges ´elhossz´ us´ag´ u der´eksz¨og˝ u has´ab. A rombos krist´alyrendszerhez n´egy Bravais-r´acs tartozik. Az egyszer˝ u r´acsban a r´acspontok a has´ab cs´ ucsaiban helyezkednek el, az alaplap-centr´alt r´acsban a has´ab k´et szemk¨ozti oldal´anak k¨oz´eppontj´aban, a t´ercentr´alt r´acsban a cs´ ucsokban ´es a has´ab k¨oz´eppontj´aban is vannak r´acspontok; a lapcentr´alt r´acsban pedig minden lap k¨oz´eppontja is r´acspont. 4. tetragon´alis vagy n´egyzetes. A S4 , D2d , C4 , C4h , C4v , D4 , D4h pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy der´eksz¨og˝ u n´egyzetes has´ab. K´et v´altozata l´etezik, az egyszer˝ u ´es a t´ercentr´alt cella. 5. rombo´ederes vagy trigon´alis. A C3 , S6 , C3v , D3 , D3d pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy egyenl˝o oldal´ u rombo´eder. Csak egy v´altozata l´etezik, az egyszer˝ u cella. 6. hexagon´alis. A C3h , D3h , C6 , C6h , C6v , D6 , D6h pontcsoportoknak felel meg. A Bravaisr´acs elemi cell´aja egy hatsz¨og alap´ u egyenes has´ab. Csak egy v´altozata l´etezik, a r´acspontok a has´ab cs´ ucsaiban ´es a hatsz¨og˝ u alaplapok k¨oz´eppontjaiban helyezkednek el. 7. k¨ob¨os. A T, Th , Td , O, Oh pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy kocka. H´arom Bravai-r´acs tartozik hozz´a, az egyszer˝ u, a lapcentr´alt ´es a t´ercentr´alt r´acs. A 6.1.1 a´br´an bemutatunk egy t´ercsoportot k´et dimenzi´oban. A r´acspontokat fekete k¨or¨ok, a k´etfog´as´ u tengelyeket fekete ellipszisek jel¨olik. A r´acs elemi cell´aj´at az a, b ´ vektorok fesz´ıtik ki. A cella belsej´eben k´et r´acspont tal´alhat´o. Altal´ aban egy r´acsban 0 0 t¨obb elemi cell´at is kijel¨olhet¨ unk. A rajzon felt¨ untett¨ uk az a , b vektorok ´altal kifesz´ıtett elemi cell´at is. Ebben a cell´aban egy r´acspont tal´alhat´o a cella belsej´eben, k´et r´acspont a cella hat´ar´an. Az v = a/2 vektor a bels˝o poz´ıci´ora mutat´o vektor. Az u ¨res ellipszisek az al´abbi szimmetri´at jel¨olik: k´etfog´as´ u tengely + eltol´as v-vel. A C2 jel¨ol´es k´etfog´as´ u tengelyt jelent, a σy , σ1 , σ2 , σ3 ´es σ4 szimmetrias´ıkokat jel¨olnek. A sz´ammal jel¨olt poz´ıci´okon k¨ovethet˝o a szimmetria hat´asa, pl. σ2 v´altozatlanul hagyja a 4-es pontot, ´es egym´asba transzform´alja a 2 ´es 6 pontokat. A rajzon csavartengelyek is tal´alhat´oak, ezeket g1 , g2 , g3 , g4 ´es g5 jel¨oli, pl. g5 kicser´eli a 4 ´es 7 pontokat. Bel´athat´o, hogy g2 = vC2 . Az olvas´ora b´ızzuk annak bel´at´as´at, hogy a r´acs minden szimmetri´aja el˝o´all´ıthat´o az E, C20 , vσx0 , σy0 szimmetri´ak alkalmas szorzatak´ent. A 2. fejezetben l´attuk, hogy egy csoport jellemz´es´eben fontos eszk¨oz a karaktert´abla. Azonban olyan csoportok vizsg´alat´an´al, amelyeknek rendje nagy, az irreducibilis ´abr´azol´asok, a csoportkarakterek meghat´aroz´asa k¨or¨ ulm´enyes. A krist´alyok vizsg´alat´an´al tal´alkozunk a transzl´aci´ocsoporttal, amelynek v´egtelen sok eleme van. C´elszer˝ u olyan m´odszert keresni, amely ak´ar v´egtelen rend˝ u csoportokban is alkalmazhat´o. Els˝o l´ep´esk´ent 136

vizsg´aljuk meg egyetlen a elem a´ltal gener´alt G csoport karaktert´abl´aj´at! Amennyiben a csoport rendje v´eges, van olyan n, amelyre an = e. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy amennyiben λ az a csoportelem karaktere, akkor λn = 1, vagyis, a csoportelemek karakterei egys´eg´ gy¨ok¨ok. A sz´oban forg´o csoport Abel-csoport, ez´ert minden elem egy oszt´alyt k´epvisel. 2πi/n Legyen ε = e , akkor a karaktert´abla j-ik sor´aban εr , r = 1, 2, . . . , a´ll. Ha n p´aros, az m = n/2 ´es az m = −n/2 sorok azonosak, a karaktert´abl´anak m + 1 k¨ ul¨onb¨oz˝o sora van. Ha pedig n = 2m + 1, akkor G karaktert´abl´aj´anak n k¨ ul¨onb¨oz˝o sora van. Ezzel a gondolatmenettel meghat´aroztuk a ciklikus csoportok karaktert´abl´aj´anak szerkezet´et. Tegy¨ uk fel, hogy az n-edrend˝ u a elemen k´ıv¨ ul G-nek van egy p-edrend˝ u b eleme is, ´es ab = ba. Ekkor l´etezik k¨oz¨os b´azis, b hatv´anyainak p k¨ ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´eke van. Az irreducibilis a´br´azol´asokat a ´es b saj´at´ert´ekei szerint csoportos´ıthatjuk, ´ıgy np irreducibilis ´abr´azol´as lehets´eges, m´as sz´oval, G karaktert´abl´aj´anak np sora van. Ezzel ism´et megkaptuk G karaktert´abl´aj´at. Tegy¨ uk fel, hogy az n-edrend˝ u a elemen k´ıv¨ ul G-nek van egy p-edrend˝ u b eleme is, ´es ab 6= ba. Ekkor n´emi sz´amol´as ut´an, bel´athat´o a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as. 6.6. T´ etel Tegy¨ uk fel, hogy a G csoportnak csak n-edrend˝ u ciklikus r´eszcsoportja van, amelyet az a elem gener´al. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik G-ben egy b elem, amely nem kommut´al a-val. Ekkor ha v az a elemet ´abr´azol´o A m´atrix saj´atvektora λ saj´at´ert´ekkel, akkor A-nak a Bv vektor is saj´atvektora λ−1 saj´at´ert´ekkel. λ 6= ±1 eset´en a v ´es Bv vektorok a csoport egy k´etdimenzi´os ´abr´azol´as´at fesz´ıtik ki. Amint a . fejezetben l´attuk, a s´ık automorfizmusainak csoportja egy eltol´asokat ´es forgat´asokat tartalmaz´o Lie-csoport. A krist´alyr´acsok egy-egy elemi t´erfogat (az elemi cella) ism´etl´es´evel t¨oltik ki a v´egtelen s´ıkot (k´et dimenzi´oban), illetve a teret. A krist´alyr´acs teh´at v´egtelen, automorfizmusai att´ol f¨ uggenek, milyen alak´ u az elemi cella. A krist´alyr´acsok oszt´alyoz´asa az automorfizmus csoportok alapj´an lehets´eges. Az automorfizmus csoport elemeit a 7. fejezetben m´ar t´argyaltuk, a h´aromdimenzi´os r´acsok t´argyal´asa ennek analogonja. Az r vektor transzform´aci´oj´at egy p forgat´as ´es egy t r´acsvektorral val´o eltol´as ´ırja le, ezt (p|t)-vel fogjuk jel¨olni. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a transzform´aci´ok szorz´asi szab´alya: (p0 |t0 )(p|t) = (p0 p|p0 t + t0 ). Az inverz elem: (p|t)−1 = (p−1 | − p−1 t). A tiszta eltol´asnak az (E|t) elem felel meg, itt E a pontcsoport egys´egeleme, t pedig r´acsvektor. Szimmorf csoportokban a tiszta forgat´asoknak (p|0) elemek felelnek meg, nemszimmorf csoportokban viszont (p|τ ), ahol τ a r´acsvektornak az a r´esze, amely a csavartengely, vagy a cs´ usz´os´ık eltol´as´anak felel meg. Az egy ponthoz tartoz´o forgat´asok ´es t¨ ukr¨oz´esek r´eszcsoportot alkotnak, ez a r´eszcsoport hat´arozza meg a krist´aly szimmetri´aj´at. Soroljuk a t´ercsoport elemeit mell´ekoszt´alyokba, u ´gy, hogy egy mell´ekoszt´alyba egy forgat´as ´es az ¨osszes lehets´eges eltol´as szorzatai ker¨ ulnek. Ezen elemek a´ltal´anos alakja (p|τ + t), ahol p ´es τ adottak. Ezek az elemek csoportot alkotnak az ism´etelt alkalmaz´as m˝ uvelet´ere (teh´at a t´ercsoport m˝ uvelet´ere) n´ezve, az ´ıgy kapott halmaz teh´at a t´ercsoport faktorcsoportja. 137

1. A s´ık v´eges forgat´ascsoportjai ciklikusak; minden ilyen n-edrend˝ u csoport egy adott pont k¨or¨ ul 2kπ/n sz¨og˝ u forgat´asokb´ol ´all, ahol k = 0, 1, . . . , n − 1. A fenti csoportokat Cn -nel jel¨olj¨ uk, ami ´eppen az ir´any´ıtott oldal´ u szab´alyos n-sz¨og szimmetriacsoportja. 2. A s´ık ortogon´alis transzform´aci´oinak t¨ ukr¨oz´eseket is tartalmaz´o v´eges csoportjai a szab´alyos n-sz¨ogek szimmetriacsoportja; egy ilyen csoportot Dn -nel jel¨ol¨ unk, elemsz´ama 2n, az elemek a Cn elemei ´es a szab´alyos n-sz¨og n darab szimmetriatengely´ere vett t¨ ukr¨oz´esek. N´emik´epp kiv´etelt jelentenek az n=1 ´es n=2 esetek, a k´etelem˝ u D1 csoportot egyetlen t¨ ukr¨oz´es gener´alja, a n´egyelem˝ u D2 csoportot pedig az x- ´es y-tengelyekre val´o t¨ ukr¨oz´es. 3. A val´os sz´amok R test´enek diszkr´et megfelel˝oje az eg´esz sz´amok Z gy˝ ur˝ uje, az n n 2 R vektort´ernek a Z modulus , a GL(n, R)-nek pedig GL(n,Z)felel meg. A krit´alyok szimmetri´ai teh´at ezen csoportok v´eges r´eszcsoportjai. Tekints¨ uk Zn -et az n-dimenzi´os Rn t´er bizonyos vektoraib´ol a´ll´o csoportnak. Az ilyen csoportot r´acsnak nevezz¨ uk. GL(n, Z) sz´amunkra ´erdekes r´eszcsoportjai a r´acsot megtart´o line´aris transzform´aci´ok G csoportja. Minden G-hez l´etezik egy metrika, azaz egy olyan pozit´ıv definit kvadratikus alak Rn -en, hogy f (gx) = f (x) minden g ∈ G-re. A kvadratikus alak Rn -et euklideszi t´err´e teszi, a feladat teh´at, az euklideszi t´er r´acsait ¨onmag´aba lek´epez˝o v´eges ortogon´alis transzform´aci´ok meghat´aroz´asa. A nemtrivi´alis szimmetri´aval b´ır´o r´acsokat Bravais-r´acsoknak nevezz¨ uk, szimmetriatranszform´aci´ob´ol a´ll´oakat pedig Bravais-csoportoknak. 4. Vizsg´aljuk meg el˝osz¨or a s´ıkbeli r´acsokat, els˝o l´ep´esk´ent hat´arozzuk meg azokat az ortogon´alis transzform´aci´okb´ol a´ll´o v´eges csoportokat, amelyek megtartanak egy r´acsot. Ezeket a csoportokat krist´alyoszt´alyoknak nevezz¨ uk. Ehhez csak a 2.-ben felsorolt csoportokb´ol kell kiv´alasztani azokat, amelyek kompatibilisek az eltol´asokkal is. Elemi sz´am´ıt´assal megmutathat´o, hogy egy s´ıkbeli r´acsot csak akkor vihet uli elforgat´as, ha az elforgat´as sz¨oge 0, π, 2π/3, π/2 vagy ¨onmag´aba egyik pontja k¨or¨ π/3. Ennek megfelel˝oen, k´etdimenzi´os krist´alyoszt´alyb´ol 10 van: C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D1 , D2 , D3 , D4 ´es D6 . A megfelel˝o elemi cell´ak: az a´ltal´anos parallelogramma (jel¨ol´ese: a´lt, a´ltal´anos t´eglalap, jel¨ol´ese: t´egl, ´altal´anos rombusz, jel¨ol´ese: romb, n´egyzet jel¨ol´ese: n´egy, ´es (k´et szab´alyos h´aromsz¨ogre) osztott parallelogramma, jel¨ol´ese: hat. 5. A 4. pontbeli oszt´alyoz´as m´eg nem teljes. Azt is meg kell mutatni, hogy egym´assal nem ekvivalens szimmetriacsoportok tartoznak-e azonos krist´alyoszt´alyhoz. M´as 2

A modulus egy algebrai strukt´ ura, ami annyiban t´er el a vektort´ert˝ol, hogy elemeit egy gy˝ ur˝ ub˝ ol vett elemekkel lehet szorozni (szemben a vektort´errel, amelynek elemeit egy testb˝ol vett elemmel lehet szorozni).

138

6.1. t´abl´azat. H´aromdimenzi´ok krist´alyoszt´alyok A krist´aly rendszer Krist´alyoszt´aly Triklin C1 × Z Monoklin C2 × Z, C2 , C2 C1 Ortorombikus D2 × Z, D2 , D2 C2 Trigon´alis D3 × Z, D3 , D3 C3 , C3 × Z, C3 Tetragon´alis D4 × Z, D4 C4 , D4 D2 , C4 × Z, C4 C2 , C4 Hexagon´alis D6 × Z, D6 , D6 , C6 , D6 C3 , C6 Z, C6 , C6 C3 Kocka O × Z, O, T, OT, T × Z sz´oval, l´etezhetnek olyan r´eszcsoportok GL(2, Z)-ben, amelyek konjug´altak az ortogon´alis transzform´aci´ok csoportj´aban, de nem konjug´altak GL(2, Z)-ben. Ilyen pl. az al´abbi k´et, egy-egy m´atrix a´ltal gener´alt csoport:     1 0 0 1 G1 = , G2 = . (6.5) 0 −1 1 0 A s´ıkbeli r´acsok 13 ekvivalenciaoszt´alyba tartoznak: C1 (Γalt ), C2 (Γalt ), C4 (Γnegy ), ´ hat , C3 (Γhat ), C6 (Γhat ), D1 (Γromb ), D1 (Γtegl ), D2 (Γtegl ), D2 (Γromb ), D4 (Γnegy ), D3 Γ ¨ D3 (Γhat ), D6 (Γhat ). A z´ar´ojelben annak a r´acsnak a t´ıpus´at t¨ untett¨ uk fel, amelynek az illet˝o csoport szimmetriacsoportja. 6. H´aromdimenzi´os krist´alyoszt´alyb´ol 32 van, ld. a 6.1 t´abl´azatot. A 6.1 t´abl´azatban × direkt szorzatot jel¨ol3 , Z = {e, e0 } k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es, T -tetra´edercsoport (pl. ilyen szimmetri´aval rendelkezik a met´an: CH4 ), O-okta´edercsoport (pl. ilyen szimmetri´aval rendelkezik az ur´anium-hexafluorid: U F6 ).

6.2.

V´ eges csoportok oszt´ alyoz´ asa

6.2.1.

Pontcsoportok oszt´ alyoz´ asa

A lehets´eges pontcsoportok sz´ama 14, ezeket r¨oviden ismertetj¨ uk az al´abbiakban. Pontosabban csoportok csal´adjair´ol van sz´o, hiszen a csoport jel¨ol´es´eben gyakran szerepel egy n index, amely t¨obb ´ert´eket is felvehet. 1. A Cn csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely, minden elem egy oszt´alyt alkot, a C1 csoport a szimmetria teljes hi´any´anak felel meg. 2. Az S2n csoport. Egy p´aros rend˝ u t¨ ukr¨oz´eses forg´astengely k¨or¨ uli forgat´asok ciklikus csoportja. A csoport indexe n mindig p´aros. 3

A G1 ´es G2 csoportok direkt szorzat´ anak elemei (g1 , g2 ) alak´ uak, ahol g1 ∈ G1 ´es g2 ∈ G2 .

139

3. Cnh csoport. A csoportot egy n-edrend˝ u szimmetriatengely ´es egy r´a mer˝oleges szimmetrias´ık gener´alja. Elemeinek sz´ama 2n, a csoport elemei felcser´elhet˝oek. A C1h csoportra haszn´alj´ak a Cs jel¨ol´est is. 4. Cnv csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely ´es egy rajta a´thalad´o szimmetrias´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es. Automatikusan megjelenik tov´abbi n − 1, o a tengelyben egym´ast 180 /n sz¨ogben metsz˝o szimmetrias´ık. Elemeinek sz´ama 2n. 5. A Dn csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely ´es egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengely. Elemeinek sz´ama 2n. A D2 csoportra a V jel¨ol´est is szokt´ak haszn´alni. 6. A Dnh csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely, egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengely ´es a m´asodrend˝ u tengelyeken ´atfektetett szimmetrias´ık. Elemeinek sz´ama 4n. 7. A Dnd csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely, egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengely, kieg´esz´ıtve az n-edrend˝ u tengelyen a´t fektetett f¨ ugg˝oleges szimmetrias´ıkok, amelyek a m´asodrend˝ u tengelyek sz¨ogfelez˝oin haladnak a´t. A csoport elemeinek sz´ama 4n. 8. A tetra´edercsoport (T ). A tetra´edercsoportot a V csoportb´ol, n´egy harmadrend˝ u tengely hozz´aad´as´aval kapjuk. (ld. 6.4. a´bra). A csoport elemeinek sz´ama 12, ezek n´egy oszt´alyba sorolhat´ok. 9. A Td csoport. A T csoportb´ol sz´armaztathat´o, azon szimmetrias´ıkok hozz´aad´as´aval, amelyek ´atmennek a tetra´eder k´et harmadrend˝ u ´es egy m´asodrend˝ u szimmetriatengely´en. A csoportnak 24 eleme van, ezek 5 oszt´alyba sorolhat´ok. 10. A Th csoport. Ez a csoport a T -b˝ol sz´armaztathat´o, szimmetriak¨oz´eppont hozz´aad´asval. A csoportnak 24 eleme van, ezek 8 oszt´alyba sorolhat´ok. 11. Okta´edercsoport (O). A csoport gener´atorai egy kocka szimmetriatengelyei: a szemk¨ozti lapok k¨oz´eppontj´an a´tmen˝o negyedrend˝ u tengelyek, amelyekb˝ol h´arom van, az ellent´etes cs´ ucsokon a´tmen˝o harmadrend˝ u tengelyek, ezek sz´ama n´egy; ´es a szemben fekv˝o ´elek felez˝opontj´an a´tmen˝o hat darab m´asodrend˝ u tengely. A csoport elemeinek sz´ama 24, ezek 5 oszt´alyba sorolhat´oak. 12. Az Oh csoport. O-b´ol szimmetriak¨oz´eppont hozz´aad´as´aval nyerj¨ uk. A csoportnak 48 eleme van, ezek 10 oszt´alyba sorolhat´ok. 13. Az ikoza´edercsoport (Y ). Az ikoza´eder szimmetriatengelyei k¨or¨ uli 60 forgat´asb´ol a´ll, ezek k¨oz¨ ul 6 ¨ot¨odrend˝ u, 10 harmadrend˝ u, 15 m´asodrend˝ u tengely.

140

6.2. t´abl´azat. A Ci , C2 ´es Cs csoportok karakterei Ci E I C2 E C2 Cs E σ Ag A;z A’;x,y 1 1 Au B; x;y A”, z 1 -1 6.3. t´abl´azat. A C3 csoport karaktert´abl´aja C3 E C3 C32 A; z 1 1 1 E; x ± iy { 1 ε ε2 1 ε2 ε 14. Az Yh csoport. A csoport az ikoza´edercsoportb´ol, szimmetriak¨oz´eppont hozz´aad´as´aval ´all el˝o. A 6.4-6.17 t´abl´azatokban k¨oz¨olj¨ uk n´eh´any pontcsoport karaktert´abl´ait. Egy t´abl´azatban t¨ untett¨ uk f¨ol az izomorf csoportokat. Az izomorf csoportokban a konjug´alt elemoszt´alyok sz´ama megegyezik, noha maguk az oszt´alyok az egyes csoportok eset´eben elt´er˝o elemekb˝ol a´llnak. Ezeket az oszt´alyokat a t´abl´azatok els˝o sor´aban felt¨ untett¨ uk. A t´abl´azatban szerepl˝o karakterek k¨oz¨ott szerepel a harmadik komplex egys´eggy¨ok ε = exp 2πi/3, ill. ennek hatv´anyai, valamint a hatodik egys´eggy¨ok ω = exp 2πi/6. K¨onnyen ellen˝orizhet˝oek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: ε + ε2 = −1 ´es ω 2 − ω = −1. A t´abl´azatban az egyes irrepek transzform´aci´os tulajdons´ag´at is felt¨ untett¨ uk. A t¨ ukr¨oz´essel szemben p´aros irre0 00 pet aposztr´of ( ), a p´aratlant k´et aposztr´of ( ) jel¨oli. A pontt¨ ukr¨oz´essel szemben p´aros irrepet g a p´aratlant u index jel¨oli. Az irrepekn´el alkalmazott egy´eb jel¨ol´es a 2. fejezetben, a karaktert´abl´an´al elmondottaknak felel meg. Amint a 2. fejezetben l´attuk, gyakran el˝ony¨os a csoportelemek irreducibilis ´abr´azol´as´anak ismerete. Mivel az egydimenzi´os a´br´azol´asok a karaktert´abl´ab´ol kiolvashat´oak, csak a t¨obbdimenzi´os a´br´azol´asokra van sz¨ uks´eg, azt is elegend˝o megadni az izomorf csoportok egyik´ere. 6.4. t´abl´azat. A C2h , C2v ´es D2 csoportok karaktert´abl´aja C2h E C2 σ h I C2v E C2 σv σv0 D2 E C2z C2y C2x Ag A1 ;z A 1 1 1 1 Bg B2 ;y B3 ;x 1 -1 -1 1 Au ; z A2 B1 ;z 1 1 -1 -1 Bu ;x;y B1 ;x B2 ;y 1 -1 1 -1 141

6.5. t´abl´azat. A C3v ´es D3 csoport karaktert´abl´aja C3v E 2C3 3σv D3 E 2C3 3U2 A1 ; z A1 1 1 1 A2 A2 ; z 1 1 -1 E;x,y E;x,y 2 -1 0

6.6. t´abl´azat. A C4 ´es S4 csoportok karaktert´abl´aja C4 E C4 C2 C43 S4 E S4 C2 S43 A;z A 1 1 1 1 B B;z 1 -1 1 -1 E;x ± iy E;x ± iy { 1 i -1 -i 1 -i -1 i

6.7. t´abl´azat. A C6 E A;z 1 B 1 E1 { 1 1 E2 ; x ± iy { 1 1

C6 csoport C6 C3 1 1 -1 1 2 ω −ω −ω ω 2 ω ω2 -ω 2 -ω

6.8. t´abl´azat. A C4v , D4 ´es C4v D4 D2d A1 ;z A1 A1 A2 A2 ;z A2 B1 B1 B1 B2 B2 B2 ;z E;x,y E;x,y E;x,y

D2d E E E 1 1 1 1 2

142

karaktert´abl´aja C2 C32 C65 1 1 1 -1 1 -1 2 1 ω −ω 1 −ω ω 2 -1 −ω −ω 2 -1 ω 2 ω

csoportok C2 2C4 C2 2C4 C2 2C4 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -2 0

karaktert´abl´aja 2σv 2σv0 2U2 2U20 2U2 2U20 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 0 0

6.9. t´abl´azat. A D6 , C6v ´es D3h csoportok karaktert´abl´aja D6 E C2 2C3 2C6 3U2 3U20 C6v E C2 2C3 2C6 3σv 3σv0 D3h E σh 2C3 2S3 2U2 3σv A1 A1 ;z A01 1 1 1 1 1 1 0 A2 ;z A2 A2 1 1 1 1 -1 -1 B1 B2 A”1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 B1 A”2 ;z 1 -1 1 -1 -1 1 E2 E2 E’;x,y 2 2 -1 -1 0 0 E1 ;x,y E1 ;x,y E” 2 -2 -1 1 0 0

6.10. t´abl´azat. A tetra´edercsoport karaktert´abl´aja T E 3C2 4C3 4C32 A 1 1 1 1 E 1 1 ε ε2 E 1 1 ε2 ε F;x,y,z 3 -1 0 0

6.11. t´abl´azat. Az O ´es Td O E Td E A1 A1 1 A2 A2 1 E E 2 F2 F2 ;x,y,z 3 F1 ;x,y,z F1 3

csoportok karaktert´abl´aja 8C3 3C2 6C2 6C4 8C3 3C2 6σd 6S4 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 2 0 0 0 -1 1 -1 0 -1 -1 1

143

6.12. t´abl´azat. A D3 csoport elemeinek irreducibilis a´br´azol´asai az E irrep eset´en csoportelem m´atrix 1 0 E 0 1√   −1/2 − 3/2 √ C3 3/2 −1/2 √   −1/2 3/2 2 √ C3 − 3/2 −1/2  1 0 (1) U2 0 −1√   −1/2 − 3/2 (2) √ U2 − 3/2 √1/2   −1/2 − 3/2 (3) √ U2 3/2 1/2

6.13. t´abl´azat. A D4 csoport elemeinek irreducibilis a´br´azol´asai az E irrep eset´en csoportelem m´atrix 1 0 E  0 1  0 1 C4  −1 0  −1 0 C2  0 −1 0 −1 C43  1 0  0 −1 (1) U2 −1 0 0 1 (2) U2  1 0  (1) 1 0 U2  0 −1  (2) −1 0 U2 0 1

144

6.14. t´abl´azat. A D6 csoport elemeinek irreducibilis a´br´azol´asai az E1 ´es E2 irrepek eset´en csoportelem  E1   E2  1 0 1 0 E 0 1√ 0 1√     −1/2 −1/2 − 3/2 3/2 √ √ C3 −1/2 3/2 −1/2 − 3/2 √ √     −1/2 − 3/2 −1/2 3/2 2 √ √ C3 − 3/2 −1/2 3/2 −1/2   −1 0 1 0 C2 0 −1 0 1√ √     1/2 −1/2 3/2 3/2 √ √ C6 − 3/2 √1/2 − 3/2 √ −1/2     1/2 − 3/2 −1/2 − 3/2 5 √ √ C6 3/2 1/2 3/2 −1/2     −1 0 1 0 (1) U2 0 1√ 0 −1√     1/2 − 3/2 −1/2 − 3/2 (2) √ √ U2 − 3/2 √−1/2 − 3/2 √1/2     1/2 3/2 −1/2 3/2 (3) √ √ U2 3/2 −1/2 3/2 √1/2 √     (1) −1/2 − 3/2 −1/2 3/2 √ √ U2 − 3/2 1/2  3/2 1/2  (2) 1 0 1 0 U2 0 −1 0 −1√ √     (3) −1/2 3/2 −1/2 − 3/2 √ √ U2 3/2 1/2 − 3/2 1/2

145

6.15. t´abl´azat. A T csoport elemeinek ´abr´azol´asa az F irrep eset´en csoportelem a´br´azol´as 1 0 0  0 1 0  E  0 0 1  −1 0 0 z  0 −1 0  C2 0 1   0 −1 0 0  0 1 0  C2y  0 0 −1  1 0 0 x  0 −1 0  C2  0 0 −1  0 1 0 a  0 0 −1  C3  −1 0 0  0 0 −1 a 2  1 0 0  (C3 )  0 −1 0  0 −1 0 b  0 0 1  C3  −1 0 0  0 0 −1
b 2  −1 0 0  C3 0 1 0 0 1 0 c  0 0 1  (C3 )  1 0 0  0 0 1  1 0 0  (C3c )2  0 1 0  0 −1 0
 0 0 −1  C3d 0   1 0 0 0 1
2  −1 0 0  C3d 0 −1 0

146

6.2.2.

´ Altal´ anos v´ eges csoportok oszt´ alyoz´ asa

Csoportelm´elettel foglalkoz´o matematikusok ´evtizedekkel ezel˝ott azt a c´elt t˝ uzt´ek maguk el´e, hogy bebizony´ıtanak egy a´rtatlannak t˝ un˝o t´etelt, amely a v´eges, egyszer˝ u csoportok oszt´alyoz´as´ar´ol sz´ol. N´ezz¨ uk el˝osz¨or a t´etelt. 6.7. T´ etel (Oszt´ alyoz´ as t´ etel) Minden egyszer˝ u v´eges csoport vagy pr´ım rend˝ u ciklikus csoport, altern´al´o csoport, Lie-t´ıpus´ u v´eges csoport, vagy egyike a 26 szporadikus egyszer˝ u csoportnak. A t´etellel kapcsolatos cikkek sz´am´at kb. ¨otsz´azra teszik, az ¨osszes ´ır´as terjedelme 10 000 ´es 15 000 oldal k¨oz¨ott lehet. A munka az ¨otvenes ´evekben kezd˝od¨ott ´es napjainkban is tart. A GAP f´orumain sz´o esik egy kezdem´enyez´esr˝ol, amelyben egy jelenleg tizenk´et k¨otetesre tervezett munk´aban adn´ak k¨ozre a t´etel bizony´ıt´as´at. Jelenleg ¨ot monogr´afi´an dolgoznak, a k¨otetek tervezett c´ıme: • I. El˝ozm´enyek • II. T´etelek az egy´ertelm˝ us´egr˝ol • III. Generikus egyszer˝ u csoportok • IV. Speci´alis p´aratlan egyszer˝ u csoportok • V. Speci´alis p´aros egyszer˝ u csoportok. A tervek szerint a k¨otetek tov´abbi fejezetekre oszlanak, a munka terjedelme jelenleg nem becs¨ ulhet˝o meg. Nemr´egiben John Davies angol matematikus k´ets´egeit fogalmazta meg, hogy a munka valaha befejez˝odik-e, ´es megk´erd˝ojelezte az ilyen, gener´aci´okon a´t´ıvel˝o, t¨obbezer oldalas bizony´ıt´asok l´etjogosults´ag´at. Figyelemre m´elt´o, hogy az egyszer˝ u, v´eges csoportok milyen v´altozatosak lehetnek. A ciklikus csoportr´ol ´es az altern´al´o csoportot m´ar ismeri az Olvas´o. A folytonos Liecsoportr´ol is besz´elt¨ unk, ezeknek l´etezik v´eges anal´ogja is. Az ´altal´anos line´aris csoport GLn (q) n×n-es, nemszingul´aris m´atrixokb´ol a´ll, a m´atrix elemei egy q elem˝ u v´eges testb˝ol val´oak. E csoportban egy alcsoportot k´epeznek az egys´egnyi determin´ans´ u m´atrixok, az alcsoport neve SLn (q). Ebben egy alcsoport a P SLn (q) csoport. Az ut´obbi csoport csak bizonyos n ´es q eset´en (pl. n = q = 2) egyszer˝ u. Ezek a csoportok p´eld´ak a v´eges ¨ Lie-csoportokra. Osszesen 16 csal´adja ismert a v´eges Lie-csoportoknak. A szporadikus csoportok k¨ ul¨onf´ele csoportelm´eleti kontextusban bukkantak fel, erre utal a nev¨ uk is. Az els˝o ¨ot¨ot Mathieu fedezte fel az 1860-as ´evekben a tranzit´ıv permut´aci´o csoportok egy saj´ats´agos v´alfajak´ent. H´arom a 24 dimenzi´os u ´.n. Leech-r´acs automorfizmusaihoz kapcsol´odik, nev¨ uk felfedez˝oj¨ uk ut´an Conway-csoportok. 147

6.16. t´abl´azat. Az O csoport elemeinek reprezent´aci´oja az E, F1 ´es F2 irrepekben csoportelem E  F1  F2     1 0 0 1 0 0 1 0  0 1 0   0 1 0  E 0 1  0 0 1   0 0 1    1 0 0 1 0 0 1 0  0 −1 0   0 −1 0  C2x 0 1  0 0 −1   0 0 −1    −1 0 0 −1 0 0 1 0  0 1 0   0 1 0  C2y 0 1  0 0 −1   0 0 −1    −1 0 0 −1 0 0 1 0  0 −1 0   0 −1 0  C2z 0 1 0 1 0 1   0  0   1 0 0 −1 0 0 −1 0  0 0 −1   0 0 1  C4x 0 1  0 1 0   0 −1 0  √   0 0 1 0 0 −1 1/2 3/2 y    √ 0 1 0 0 −1 0  C4 3/2 −1/2 0   −1 0 0   1 0   0 −1 0 0 1 0 0 0  1 0 0   −1 0 0  C4z 0 0  0 0 1   0 0 −1    1 0 0 −1 0 0 −1 0 x 3    0 0 1 0 0 −1  (C4 ) 0 1  0 −1 0   0 1 0  √   0 0 −1 0 0 1 1/2 3/2 y 3    √ 0 1 0 0 −1 0  (C4 ) 3/2 −1/2  1 0 0   −1 0 0  √   0 1 0 0 −1 0 1/2 − 3/2 z 3    √ −1 0 0 1 0 0  (C4 ) − 3/2 −1/2 0 0 1   0 0 −1 √   0 −1 0 0 1 0 1/2 − 3/2 (1)    √ −1 0 0 1 0 0  C2 − 3/2 −1/2 0 −1 0  0 0 1  √   0 1 0 0 −1 0 1/2 − 3/2 (2)    √ 1 0 0 −1 0 0  C2 − 3/2 −1/2 0 1  0 0 −1  0 √   0 0 −1 0 0 1 1/2 3/2 (3)    √ 0 −1 0 0 1 0  C2 3/2 −1/2 0 −1 0  1 0 0  √   0 0 −1 1480 0 1 1/2 3/2 (4)    √ 0 −1 0 0 1 0  C2 3/2 −1/2  1 0 0  −1 0 0   −1 0 0 1 0 0 −1 0 (5)  0  0 0 1  0 −1  C2 0 1 0 −1 0 0 1 0

csoportelem (6)

C2

(a)

C3

(b)

C3

(c)

C3

(d)

C3 

(a)

C3

2

 2 (b) C3 



(c)

2

(d)

2

C3

C3

6.17. t´abl´azat. — Folytat´as F1     −1 0 0 −1 0  0 0 1  0 1  0 1 0  √   0 0 −1 3/2 −1/2  1 0 √ 0  − 3/2 −1/2  0 −1 0  √   0 −1 0 −162 − 3/2  0 0 −1  √ 3/2 0 − 1/2 0 1 0 √   0 0 1 −1/2 − 3/2  1 0 0  √ − 3/2 −1/2  0 1 0  √   0 −1 0 −1/2 − 3/2  0 √ 0 1  3/2 −1/2  −1 0 0  √   0 1 0 −1/2 − 3/2  0 0 −1  √ 3/2 −1/2 −1 0 0 √   0 1 0 −1/2 3/2  0 0 1  √ − 3/2 −1/2  1 0 0  √   0 1 0 −1/2 − 3/2  0 0 1  √ 3/2 −1/2  1 0 0  √   0 0 −1 −1/2 3/2  −1 0 0  √ − 3/2 −1/2 0 1 0 E

149

F2  1 0 0  0 0 −1   0 −1 0  0 0 −1  1 0 0   0 −1 0  0 −1 0  0 0 −1  0 1 0 0 0 1  1 0 0   0 1 0  0 −1 0  0 0 1   −1 0 0  0 1 0  0 0 −1  −1 0 0 0 1 0  0 0 1   1 0 0  0 1 0  0 0 1   1 0 0  0 0 −1  −1 0 0  0 1 0 

Az oszt´alyoz´as egyik c´elja olyan ism´erveket megadni, amelyek alapj´an a csoportok azonos´ıthat´oak. (Ne feledj¨ uk, a csoportok k¨ozti izomorfizmus miatt el´eg neh´ez felismerni, u ´j csoportr´ol van-e sz´o.) Az egyszer˝ u csoportok azonos´ıt´as´anak h´arom m´odja van: • prezent´aci´o alapj´an (gener´atorok ´es rel´aci´ok seg´ıts´eg´evel); • a csoport hat´asa r´ev´en egy adott geometri´aban; • Permut´aci´os reprezent´aci´o alapj´an. A r´eszletek ir´ant ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP levelez´esi list´ait aj´anlom.

6.3.

Bloch-fu enyek ¨ ggv´

Amennyiben a krist´alyok jellemz´ese megoldott, k´erd´es, hogyan kapcsolhat´o ¨ossze az elektronszerkezet le´ır´asa a krist´aly szerkezet´evel. A csoportelm´elet egyik alkalmaz´asa azt sugallja, meg kell vizsg´alni a lehets´eges megold´asokat ´es fel kell bontani azokat az egyenlet szimmetriacsoportja ´altal megadott irreducibilis komponensekre. Ezzel a k´erd´essel foglalkozik a jelenlegi alfejezet. Miel˝ott a Schr¨odinger-egyenlet megold´asainak vizsg´alat´ara t´ern´enk, vegy¨ uk szemu ¨gyre a s´ıkhull´amok le´ır´as´at egy periodikus r´acson. Legyen teh´at Φk (r) = eikr

(6.6)

a vizsg´alt s´ıkhull´am, ahol k = 2π/λu a hull´amvektor, itt u a hull´am terjed´esi ir´any´aba mutat´o egys´egvektor. A s´ıkhull´am ´altal´anos (id˝ot˝ol- ´es helyt˝ol f¨ ugg˝o) alakja pedig Φk (r, t) = ei(kr+ωt) ,

(6.7)

ahol ω a k¨orfrekvencia: ω = 2π/T , ahol T a s´ıkhull´am peri´odusideje. Legyen a terjed´esi ir´anyra mer˝oleges k´et s´ıknak a terjed´esi ir´anyra vett vet¨ ulete r1 ´es r2 , tov´abb´a legyen |r1 − r2 | = λ. A k´et s´ıkon a s´ıkhull´am f´azisa megegyezik, hiszen eikr1 = ei(kr2 +λ) = eikr2 +i2π = eikr2 .

(6.8)

A s´ıkhull´am terjed´esi sebess´eg´et k´et mennyis´eggel szokt´ak jellemezni. Az els˝o a f´azissebess´eg, vf = ω/|k|. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a s´ıkhull´am az impuzusoper´ator saj´atf¨ uggv´enye, ennek megfelel˝oen pl. adott impulzus´ u szabadelektron ´allapotot ´ır le. A fizikai r´eszecsk´ek ´allapot´at hull´amcsomag ´ırja le, azaz, a fenti monokromatikus s´ıkhull´amot ki kell eg´esz´ıteni egym´ast´ol kiss´e elt´er˝o k hull´amvektor´ u s´ıkhull´amokkal. Legyen a hull´amcsomagban l´ev˝o hull´amvektorok hull´amsz´ama a −∆k ≤ δk ≤ +∆k intervallumban,

150

ahol δk infinitezim´alis mennyis´eg, ∆k viszont egy v´eges sz´eless´eg˝ u intervallum. Ekkor a hull´amcsomagot egy ¨osszeggel ´ırhatjuk le: X Ψ(r, t) = ei(k0 +δk)r+(ω0 +δω)t (6.9) δk∈∆k

= ei(kr0 −ω0 t)

X

ei(δkr−δωt)

(6.10)

δk∈∆k

Ebb˝ol a kifejez´esb˝ol l´athat´o, hogy a hull´amcsomag amplit´ ud´oja (ez a m´asodik egyenl˝oikr s´egjel ut´ani ¨osszeg) modul´alt, az e s´ıkhull´amra ”r´au ¨l” egy j´oval lassabb modul´aci´o. A hull´am ´altal le´ırt elektron sebess´eg´et nem a hull´amsz´amhoz, hanem a modul´alt amplitud´ohoz kapcsoljuk, mivel ez ut´obbi ´ırja le a lokaliz´alt perturb´aci´o terjed´esi sebess´eg´et. Ezt a sebess´eget csoportsebess´egnek nevezik, ´es vcs -vel fogjuk jel¨olni: vcs =

∂ω ∂E δω = = ~−1 . δk ∂k ∂k

(6.11)

Itt E a Schr¨odinger-oper´ator saj´at´ert´eke, az elektron energi´aja. V´egezet¨ ul megadunk k´et, a s´ıkhull´amra vonatkoz´o, hasznos ¨osszef¨ ugg´est: X X X X eipt = v 0 δ(p − k), (6.12) δ(r − t); eikr = v k

t

t

k

ahol k reciprokr´acsvektor, t r´acsvektor, v a cellat´erfogat. Egy N cell´ab´ol a´ll´o v´eges r´acson X eikr = N v, (6.13) k

amennyiben r r´acsvektor, nulla egy´ebk´ent. Azok a k vektorok, amelyek egy reciprok r´acsvektorban t´ernek el, ekvivalensek abban az ´ertelemben, hogy a (6.12) s´ıkhull´amok azonosak. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a nem ekvivalens s´ıkhull´amok a reciprok r´acs egy elemi cell´aj´an bel¨ ul helyezkednek el. Ezt a cell´at nevezik Brillouin-z´on´anak. Az eml´ıtett k vektorok k´epezik a r´acsvektorokhoz tartoz´o eltol´asok irreducibilis ´abr´azol´asait. Egy Brillouin-z´on´aban a lehets´eges hull´amvektorok egy v´eges r´acsot alkotnak–amennyiben a krist´aly v´eges sok cell´ab´ol a´ll. Legyen az a r´acsvektor x ir´any´ u, ´es legyen az x tengely ment´en a v´eges r´acsban Nx cella. A v´eges r´acs p´eld´anyait egym´ashoz ragasztva fel´ep´ıthet¨ unk egy v´egtelen r´acsot, ebben pedig a v´eges r´acs egyes p´eld´anyainak azonosnak kell lenni¨ uk, ez´ert az Nx a-val eltol´asnak az egys´egoper´atort kell visszaadnia. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a Brillouin-z´on´aban a lehets´eges a´llapotok sz´ama (az x tengely ment´en) Nx , ami annak felel meg, hogy a lehets´eges a´llapotok diszkr´etek, egy a´llapothoz tartoz´o cella m´erete 2π/a/Nx .

151

6.1. Feladat Tekints¨ unk egy egydimenzi´os r´acsot, az elemi cella hossza legyen a, a r´acs ´alljon N atomb´ol. Vizsg´aljuk meg a Brillouin-z´ona szerkezet´et! Legyen N p´aros, a reciprok r´acs a∗ = 2π/a, a nem-ekvivalens hull´amvektorok a −a∗ /2 < k ≤ a∗ /2 intervallumba esnek. A lehets´eges hull´amvektorok ia/N alak´ uak, ahol −N/2 ≤ i ≤ +N/2. P´aratlan N eset´en pedig −(N − 1)/2 ≤ i ≤ +(N − 1)/2. Ez ut´obbi esetben a Brillouin-z´ona sz´ele (a ±N/2 pont) nem megengedett–mivel nem eg´esz sz´am.  Feltev´es¨ unk szerint a Schr¨odinger-oper´ator felcser´elhet˝o a r´acs szimmetri´aival. Ezt u ´gy fogjuk kihaszn´alni, hogy megkeress¨ uk a szimmetriacsoport irreducibilis ´abr´azol´asait kifesz´ıt˝o f¨ uggv´enyeket, ´es azok szerint a f¨ uggv´enyek szerint fogjuk kifejteni a Schr¨ondigeregyenlet megold´as´at. El˝osz¨or teh´at a szimmetriacsoport ´abr´azol´asait kell megkeresni. Kezdj¨ uk a transzl´aci´ok r´eszcsoportj´aval. Keress¨ uk teh´at a T(t)Φ(r) = λΦ(r)

(6.14)

saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at. Bel´athat´o, hogy a (6.6) saj´atf¨ uggv´eny, a saj´at´ert´ek pedig ikt e . A transzl´aci´ok saj´atf¨ uggv´eny´et a´ltal´anosan az al´abbi form´aban ´ırhatjuk: Φ(r) = eikr uk (r),

(6.15)

ahol uk (r + t) = uk (r), b´armely t r´acsvektorra. A (6.15) alak´ u f¨ uggv´enyeket Blochf¨ uggv´enyeknek nevezik. A krist´aly t´ercsoportj´anak irreducibilis ´abr´azol´asait (ezt a tov´abbiakban irrepnek fogjuk r¨ovid´ıteni, ak´arcsak a 2. fejezetben tett¨ uk) Bloch-f¨ uggv´enyekkel ´all´ıtjuk el˝o. Kor´abban m´ar bel´attuk, hogy k´et Bloch-f¨ uggv´eny, amelyek hull´amvektor´anak k¨ ul¨onbs´ege reciprok r´acs-vektor, ekvivalens egym´assal. Viszont ezeket a Bloch-f¨ uggv´enyeket is meg kell k¨ ul¨onb¨oztetni az irrepek kidolgoz´asa sor´an, ez´ert az al´abbi jel¨ol´est fogjuk ´atvenni: a Bloch-f¨ uggv´enyt Ψkj (r) = eikr ukj (r) (6.16) alakba ´ırjuk ´es a bevezetett j index az ekvivalens hull´amvektor´ u Bloch-f¨ uggv´enyekhez tartoz´o f¨ uggv´enyeket indexeli. Ha a Bloch-f¨ uggv´enyekben szerepl˝o k hull´amvektorokat a reciprok r´acsban helyezz¨ uk el, akkor a periodikus reciprok r´acs egy elemi cell´aj´aban az ¨osszes, nem-ekvivalens hull´amvektor megtal´alhat´o. A k¨ovetkez˝o k´erd´es: hogyan transzform´al´odik a (6.16) f¨ uggv´eny egy t´ercsoporthoz tartoz´o transzform´aci´o alatt? A (p|v) csoportelem hat´as´ara Ψkj (r) transzform´altja X (p|v)Ψkj = Ψk0 j 0 , (6.17) j0

lesz, ahol k0 = pk. Azoknak a nem-ekvivalens k vektoroknak a halmaz´at, amelyeket a csoport ¨osszes forgat´asi elem´enek alkalmaz´as´aval nyer¨ unk k-b´ol, a k hull´amvekor csillag´anak nevezz¨ uk. Egy pontcsoport irreducibilis a´br´azol´as´anak meghat´aroz´as´ara haszn´alhatjuk 152

az (2.28) k´epletet. Eredm´eny¨ ul s´ıkhull´amok line´aris kombin´aci´oj´at kapjuk, amelyben a k vektor csillag´anak minden eleme (ezeket sug´arnak nevezz¨ uk) szerepel. Ezen line´aris kombin´aci´oban szerepl˝o elemek sz´am´at eltol´asok alkalmaz´as´aval sem lehet cs¨okkenteni, mert az egyes tagok az eltol´as sor´an m´as-m´as egy¨ utthat´oval szorz´odnak. 6.2. Feladat Tekints¨ unk egy k´etdimenzi´os, a oldal´ u, n´egyzet alak´ u elemi cell´ab´ol ´all´ o r´acsot. Induljunk ki egy k vektorb´ol ´es k´esz´ıts¨ uk el a k vektor csillag´at! (ld. 6.2.. ´abra.) A krist´alyr´acsot egym´asra mer˝oleges tengelyek ment´en k´et eltol´as, (a ´es b, ´ırja le, de az eltol´asok nagys´aga azonos. Az elemi cella szimmetrias´ıkjait mutatja az a ´abra, a Brillouin-z´on´at a b ´abra. A cella pontcsoportja a C4v csoporttal izomorf. A szok´asos jel¨ol´est k¨ovetve, a k vektort az ´abr´an G1 jel¨oli. A pontcsoport elemei ¨osszesen 8 vektorb´ ol ´all´o csillagot hoznak l´etre G1 -b˝ol. Amennyiben a k vektort megny´ ujtjuk annyira, hogy pontosan a Brillouin-z´ona hat´ar´aig ´erjen (c ´abra), a helyzet megv´altozik, mert bizonyos vektorok egym´assal ekvivalensek lesznek, minthogy egy reciprokr´acs-vektorban k¨ ul¨onb¨oznek (pl. Z2 ´es Z5 , Z4 ´es Z7 ), ezt mutatja a d ´abra sz¨ urke vonala. Ennek megfelel˝oen az irreducibilis ´abr´azol´ashoz elegend˝o a c ´abr´an vastaggal jel¨olt Z1 , Z2 , Z3 , Z4 vektorok haszn´alata. Adott k eset´en azonban az irrepekben szerepl˝o tagok sz´ama kisebb is lehet, mint a pontcsoport rendje (legyen ez n). Azokat a csoporthoz tartoz´o transzform´aci´okat, amelyek egy adott k vektort v´altozatlanul hagynak, az adott k vektor szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk. Ha a k vektor szimmetriacsoportja egyn´el t¨obb elemb˝ol a´ll, az irrepben szerepl˝o tagok sz´ama kisebb lesz, mint n. 6.3. Feladat Az el˝oz˝o, 6.5 ´abr´an azonos´ıthatjuk az egyes k vektorok csoportj´at is. Z1 eset´en csak az egys´egoper´ator ´es σv2 transzform´alja Z1 -et ¨onmag´aba ill. vele ekvivalens vektorba. A 2b ´abr´ar´ol leolvashat´o, hogy kit¨ untetett szerepet kapnak azok a vektorok, amelyek valamely szimmetrias´ıkban helyezkednek el, a megfelel˝o csoport legfeljebb 4, de legal´abb 2 elemb˝ol ´all.  Szimmorf csoportok Amennyiben a r´acsban nincsenek csavartengelyek ´es cs´ usz´os´ıkok, az irrepek az al´abbi alak´ u f¨ uggv´enyekb˝ol ´allnak: ψkj = Ψk uj , (6.18) ahol Ψk ekvivalens hull´amvektor´ u ei kr s´ıkhull´amok line´aris kombin´aci´oi, az uj cellaf¨ uggv´eny pedig invari´ans b´armely r´acsvektorral val´o eltol´assal szemben (azaz, periodikus f¨ uggv´eny). A (6.18) f¨ uggv´eny k csillag´anak minden elem´et tartalmazza. Ha (6.18)-re alkalmazzuk a k hull´amvektor csoportj´ahoz tartoz´o forgat´asokat ´es t¨ ukr¨oz´eseket, azt l´atjuk, hogy Ψk nem v´altozik, a benne szerepl˝o s´ıkhull´amok ugyanis egym´asba transzform´al´odnak, az uj cellaf¨ uggv´enyek szint´en egym´asba transzform´al´odnak, el˝oa´ll´ıtj´ak a k 153

hull´amvektor csoportj´anak irrepj´et. (Az uj cellaf¨ uggv´enyekb˝ol kapott irrepeket kis ´abr´azol´asoknak nevezik.) Azok a forgat´asok viszont, amelyeket a k hull´amvektor csoportja nem tartalmaz, a nem ekvivalens k-j´ u (6.18) f¨ uggv´enyeket transzform´alj´ak egym´asba. Az ´ıgy el˝oa´ll´ıthat´o t´ercsoport´abr´azol´as dimenzi´oja a k vektor csillag´aban l´ev˝o sugarak sz´am´anak ´es a kis ´abr´azol´asok dimenzi´oj´anak szorzat´aval lesz egyenl˝o. A szimmorf t´ercsoportok irrepjeinek meghat´aroz´asa teh´at visszavezethet˝o a k hull´amvektorok szimmetria szerinti oszt´alyoz´as´ara, ´es v´eges pontcsoportok irrepjeinek meghat´aroz´as´ara. Nemszimmorf csoportok Ebben az esetben a csavartengelyek ´es a cs´ usz´os´ıkok jelentenek neh´ezs´eget. Ha azonban a k vektor nem v´altozik csoportj´anak egyik transzform´aci´oja sor´an sem, akkor a csavartengely ´es a cs´ usz´os´ık megjelen´ese l´enyegtelen marad. M´arpedig ez a helyzet, ha k = 0 vagy k a´ltal´anos helyzet˝ u, hiszen ebben az esetben csoportja csak az egys´egelemb˝ol a´ll. Ekkor az irrepek (6.18) seg´ıts´eg´evel a´ll´ıthat´ok el˝o, az egyetlen k¨ ul¨onbs´eg az, hogy az eikr f¨ uggv´enyek a forgat´asok sor´an eikv -vel szorz´odnak. Ha viszont (6.18)-ban Ψk t¨obb ekvivalens k vektort is tartalmaz, ezek a vektorok a transzform´aci´o sor´an eibv -vel szorz´odnak, ´es mivel bv (itt b reciprokr´acs-vektor) 2π-nek nem eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose, a line´aris kombin´aci´ok nem transzform´al´odnak egym´asba. Ez azzal j´ar, hogy az eltol´asokat ´es a forgat´asokat nem lehet elk¨ ul¨on´ıteni. Tekintettel arra, hogy v racion´alis r´esze (ez 1/2, 1/3, vagy 2/3) a r´acsvektornak, elegend˝o v´eges sok eltol´ast vizsg´alni. Amennyiben a r´acs v´eges, vagy a szennyez´esek hat´as´ara vagyunk k´ıv´ancsiak, nem elegend˝o a v´egtelen r´acsot vizsg´alni. Ebben az esetben a Schr¨odinger-egyenlet megold´asait nem lehet periodikus Bloch-f¨ uggv´enyekb˝ol fel´ep´ıteni. An´elk¨ ul, hogy a r´eszletekbe bocs´atkozn´ank, az al´abbi egyszer˝ u megfontol´asok k´ın´alkoznak. Lemondunk arr´ol, hogy a v´eges krist´aly invari´ans az eltol´asokkal szemben. T¨oltse ki az egyik ir´anyban v´eges r´acs az x > 0 f´elteret. Ebben az esetben a +x tengely ir´any´aba mutat´o eltol´asokkal szemben megk¨ovetelhetj¨ uk az invarianci´at, de a −x ir´any´ u eltol´asokkal szemben m´ar nem. Ennek megfelel˝oen a Bloch-f¨ uggv´enyt u ´gy a´ltal´anos´ıthatjuk, ikr Re(kr) −Im(k)r hogy a k vektor k´epzetes, k´epzetes r´esze pozit´ıv, ´ıgy az e → e e l´ep a Blochf¨ uggv´eny hely´ere. Tov´abbi r´eszletek szil´ardtestfizika k¨onyvekben (pl. Altman, [2], 14. fejezet) tal´alhat´oak.

154

6.1. a´bra. A 14 Bravais-r´acs 155

6.2. a´bra. Lehets´eges r´acspontok

6.3. a´bra. Szimmetri´ak a r´acspontokban

156

157

6.5. a´bra. A k vektor csillaga n´egyzetr´acsban

158

7. fejezet Algebra ´ es geometria

159

7.1.

Jel¨ ol´ es

E {x} -az x mennyis´eg v´arhat´o ´ert´eke E -egys´egm´atrix δi k -Dirac-f´ele deltaf¨ uggv´eny v = (v1 , v2 , v3 ) -sebess´egvektor ´es komponensei r = (x, y, z) -a helyvektor ´es komponensei r = |r| n -ir´any norm´alisvektora G(x, u) -evol´ uci´os egyenletben szerepl˝o oper´ator vagy f¨ uggv´eny T -oper´ator v, ψ az u megold´as komponensei F(λ, v) -a bifurk´aci´os egyenletben szerepl˝o oper´ator A, B2 , B3 -F line´aris, kvadratikus ´es k¨ob¨os komponenei, mint oper´atorok E, F, N -f¨ uggv´enyt´er T -´abr´azol´as, amelynek a´ltal´anos eleme Tg χ(g) -a g csoportelem karaktere ∆ -a Laplace-oper´ator d -eltol´asvektor k -hull´amvektor G\X -orbithalmaz (G csoport, X f¨ uggv´enyt´er) G -Green-f¨ uggv´eny fx , fy -parci´alis deriv´altak π1 (t) -a t sokas´ag fundament´alis csoportja K -inerciarendszer A, B, C -sebess´egabszol´ ut´ert´ekek (matematikai szeml´elet) Egy fizikai elm´elet kidolgoz´asa az al´abbi l´ep´esekb˝ol a´ll. El˝osz¨or tiszt´azni kell, milyen fizikai mennyis´egek j´atszanak szerepet az adott elm´eletben, azaz, a vizsg´alt fizikai rendszer le´ır´as´aban. Ezut´an a sz´oban forg´o fizikai rendszert le´ır´o mennyis´egek mindegyik´enek m´er´es´ere egy sk´al´at kell megadni, ezen a sk´al´an helyezz¨ uk el a fizikai mennyis´eget, ´ertelmezz¨ uk a kisebb, nagyobb ´es egyenl˝o rel´aci´okat. A sk´al´an ´ertelmezni kell az ¨osszead´as ´es a szorz´as m˝ uvelet´et, a vizsg´alt fizikai mennyis´eg minden sz´oba j¨ov˝o ´ert´ek´ere. Egy fizikai mennyis´eg m´ert´ek´eu ¨l szolg´al´o ´ert´ekek teh´at egy algebrai konstrukci´ot, testet k´epeznek. Felmer¨ ul a k´erd´es, van-e l´enyeges k¨ ul¨onbs´eg a lehets´eges sk´al´ak k¨oz¨ott. Egy sk´ala meghat´aroz´as´aban els˝o l´ep´es a nullpont ´es az egys´eg kijel¨ol´ese. Azon sk´al´akat, amelyek csak a nullpontban ´es az egys´eg megv´alaszt´as´aban t´ernek el, egy line´aris transzform´aci´o k¨oti ¨ossze. Amennyiben a transzform´aci´o invert´alhat´o, a line´aris transzform´aci´ok a´ltal ugg´eseket egy hasonl´os´agi transzform´aci´o ¨osszek¨ot¨ott sk´al´ak haszn´alata a fizikai ¨osszef¨ erej´eig v´altoztatja meg.

160

7.1. Feladat (H˝ om´ ers´ ekleti sk´ al´ ak.) A legismertebb fizikai mennyis´eg, amelynek m´er´es´ere t¨obbf´ele sk´ala is haszn´alatos, a h˝om´ers´eklet. Az Eur´op´aban haszn´alatos Celsiussk´al´at 1742-ben vezett´ek be, a sk´ala a v´ız fagy´aspontja ´es forr´aspontja k¨oz¨otti h˝om´ers´eklettartom´anyt 100 egyenl˝o r´eszre osztja. Els˝osorban az angolsz´asz orsz´agokban haszn´alatos a Fehrenheit-sk´ala (1714), amelynek ´ert´ekeit a Celsius-sk´al´ab´ol a F = 5/9(C − 32) k´eplettel kapjuk meg. A R´eaumur-f´ele sk´al´at (1730) pedig R = 1/0.8 ∗ C ill.

1 (9F/5 + 32) 0.8 transzform´aci´oval kapjuk meg. A fizikusok arra t¨orekedtek, hogy egy, a h˝om´er˝oben felhaszn´alt anyag min˝os´eg´et˝ol f¨ uggetlen, egyszer˝ u alak´ u t¨orv´enyeket eredm´enyez˝o sk´al´at tal´aljanak. Erre az egyes´ıtett g´azt¨orv´eny megismer´es´eig kellett v´arni. Ekkor kider¨ ult, hogy l´etezik egy legalacsonyabb h˝om´ers´eklet, az abszol´ ut nulla pont, ez kb. −273, 16C o . Lord Kelvin (sz¨ uletett W. Thomson, 1824-1907) javaslat´ara bevezett´ek az abszol´ ut h˝om´ers´ekleti sk´al´at (T), amely a Celsius-sk´al´aval (C) az al´abbi kapcsolatban ´all: R = R(F ) =

T = 273.16 + C . Az abszol´ ut sk´al´at kieg´esz´ıtett´ek bizonyos m´er´estechnikai el˝o´ır´asokkal, ezt 1927-ben vezett´ek be a nemzetk¨ozi h˝om´ers´ekleti sk´ala n´even.  7.2. Feladat (Elektromos t¨ olt´ es) Az elektromos t¨olt´es dimenzi´oj´at az elektromos t¨ olt´esek k¨oz¨ott hat´o er˝ob˝ol sz´armaztathatjuk. Az er˝ohat´ast F = cq1 q2 /r2

(7.1)

´ırja le, az F er˝o dimenzi´oja ´es a t´avols´ag dimenzi´oja a m´ert´ekrendszer meghat´aroz´asa ut´an adott, ebb˝ol m´ar ad´odik a t¨olt´es dimenzi´oja. Mivel a q1 ´es q2 t¨olt´esek dimenzi´oja azonos, az egyenl˝os´egb˝ol k¨ovetkez˝oen a t¨olt´es dimenzi´oja t¨ortkitev˝oket tartalmaz. A t¨olt´es egys´ege 1cm3/2 g 1/2 s−1 , amennyiben a t´avols´agot centim´eterben, a t¨omeget grammban, az id˝ot m´asodpercekben m´erj¨ uk. Ezt Benjamin Franklin (1706-1790) ut´an franklinnak (Fr) nevezik. K´es˝obb bevezett´ek ennek egy gyakorlati egys´eg´et, Charles Augustine de Coulomb ´ (1736-1806) tisztelet´ere a coulombot (C): 1C = 3109 F r. Erdekess´ eg, hogy a F r ´es C k¨oz¨otti ´atv´alt´as pontos ´ert´eke egy m´asik ´alland´ot´ol, a f´enysebess´egt˝ol f¨ ugg. Nem ker¨ ulhetj¨ uk meg a (7.1) er˝ot¨orv´enyt a t¨olt´es m´er´esi utas´ıt´as´anak megfogalmaz´asakor. Meghat´arozhatjuk a q1 , q2 , . . . , t¨olt´esek k¨oz¨ott hat´o er˝oket, p´eld´aul h´arom-h´arom t¨olt´es, qk , ql , qm ,, qk0 , ql0 , qm0 eset´en, adott r t´avols´ag mellett ´ıgy hat´arozhatjuk meg qk -t: r r Fkl Fkm Fk0 l0 Fk0 m0 =r . (7.2) qk = r Flm Fl0 m0 161

Nyilv´an megk¨ovetelj¨ uk, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o k, l, m index h´armashoz tartoz´o qk ´ert´ekek azonosak legyenek. A (7.2) k´eplet teh´at nem kiz´ar´olag a t¨olt´es meghat´aroz´as´ara, de a (7.1) formula ellen˝orz´es´ere is szolg´al.  7.3. Feladat (M´ ert´ ekrendszerek) Gauss ´es Weber 1836 ´evi kezdem´enyez´es´ere fizikai m´ert´ekrendszereket alak´ıtottak ki. A mechanika mennyis´egeinek egys´egeit h´arom mennyis´eg egys´eg´enek megv´alaszt´asa meghat´arozza, ez a h´arom mennyis´eg a t´avols´ag, a t¨omeg ´es az id˝o. Ezen sk´al´ak eset´eben a nullapont kiv´alaszt´asa automatikusan ad´odik, csak az egys´eg megv´alaszt´asa tetsz˝oleges. Ezen mennyis´egekre egys´eges sk´al´akat dolgoztak ki. Ezek a sk´al´ak alkotj´ak a CGS m´ert´ekrendszert, amelyben a hossz´ us´ag egys´ege a centim´eter, a t¨omeg egys´ege a gramm, az id˝o egys´ege a m´asodperc. Egy m´asik m´ert´ekrendszer az MKS rendszer, ebben az egys´egek m´eter, kilogramm ´es szekundum. Az elektrom´agneses jelens´egek felfedez´ese ut´an c´elszer˝ unek bizonyult egy negyedik egys´eg hozz´aad´asa a m´ert´ekrendszerekhez, ´ıgy alakult ki az MKSA rendszer, amely negyedik mennyis´egk´ent az ´aramer˝oss´eg egys´eg´et az ampert (Andr´e Marie Amp´ere (1775-1836) ut´an) v´alasztotta. A CGS rendszerben az ´aramer˝oss´eg egys´ege a franklin/m´asodperc, jel¨ol´ese F r/s, amelynek alapmennyis´egekkel kifejezett dimenzi´oja cm−1/2 g 1/2 s−2 .  Ezut´an m´er´esek vagy elm´eleti megfontol´asok alapj´an ¨osszef¨ ugg´eseket a´ll´ıtunk fel a fizikai rendszer le´ır´as´ara. Az ¨osszef¨ ugg´esekben a rendszer le´ır´as´ara haszn´alt fizikai mennyis´egek k¨oz¨ott f¨ uggv´enykapcsolatokat a´llap´ıtunk meg. Egy adott f¨ uggv´enykapcsolatban legal´abb k´et fizikai mennyis´eg szerepel. A fizikai rendszer a´llapot´at egy t¨obbdimenzi´os f´azist´erben is a´br´azolhatjuk. A fizikai rendszer egy adott ´allapot´at a f´azist´er egy pontja adja meg. A rendszer a´llapot´at le´ır´o f¨ uggv´eny az f´azist´er egy pontj´ahoz rendel egy (´altal´aban val´os) sz´amot. 7.4. Feladat (Egyes´ıtett g´ azt¨ orv´ eny) Az ide´alis g´az p nyom´asa, T h˝om´ers´eklete ´es V t´erfogata k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat pV = RT , ahol R ´alland´o. A (p, V, T ) f´azist´erben az ide´alis g´az ´allapot´at egy pont adja meg, ez a pont rajta van a pV − RT = 0 g¨orb´en.  A fizikai mennyis´egeknek a sz´am´ert´eken k´ıv¨ ul dimenzi´ojuk is van, ez´ert a fizikai a´llapotot le´ır´o f¨ uggv´eny l´enyegesen k¨ ul¨onb¨ozik a matematikai f¨ uggv´enyt˝ol. A fizikai rendszer ´allapot´at le´ır´o egyenletben minden tagnak azonos dimenzi´oj´ unak kell lennie, hiszen u mennyis´egeket lehet. Ezt az elvet a dimenzi´o ¨osszeadni, kivonni csak azonos dimenzi´oj´ homogenit´as´anak nevezik. Az a´llapotegyenletben szerepl˝o tagokban szerepelhet szorz´as ´es oszt´as, a szorz´as eredm´enyek´eppen ad´od´o mennyis´eg dimenzi´oja a k´et szorz´ot´enyez˝o dimenzi´oj´anak szorzata. Amennyiben az a´llapotegyenletben egy´eb matematikai f¨ uggv´enyek szerepelnek, (ilyenek 162

pl. a sz¨ogf¨ uggv´enyek, az exponenci´alis, a logaritmus), e f¨ uggv´enyek argumentum´aban el˝ofordul´o fizikai mennyis´egeknek csak olyan kombin´aci´oja fordulhat el˝o, amelyek dimenzi´otlanok. 7.5. Feladat (H˝ om´ ers´ ekleti sug´ arz´ as) A h˝om´ers´ekleti sug´arz´as vizsg´alata sor´an Planck arra a k¨ovetkeztet´esre jutott, hogy egy T h˝om´ers´eklet˝ u fekete test elektrom´agneses sug´arz´as´anak spektruma hν 8πV 2 ν dν. (7.3) dE(ν, T ) = hν/kT e − 1 c3 Itt V a fekete test t´erfogata, c a f´enysebess´eg, h a Planck-´alland´o, ν a frekvencia. A k´epletben szerepl˝o exponenci´alis sz¨ uks´egszer˝ uen dimenzi´otlan, ez´ert a k Boltzmann-´alland´ o ´es a h Planck-´alland´o dimenzi´oja olyan, hogy kT dimenzi´oja energia, tov´abb´a hν dimenzi´oja is energia. A k´epletben egyetlen tag szerepel, de az t¨obb t´enyez˝o szorzata, mindk´et oldal dimenzi´oja energia. 7.6. Feladat (H˝ oterjed´ es ¨ osszenyomhatatlan folyad´ ekban) A nem egyenletesen meleg´ıtett folyad´ekban a s˝ ur˝ us´eg a h˝om´ers´eklettel v´altozik. A s˝ ur˝ us´eget ´alland´onak tekinthetj¨ uk, ha a folyad´ek sebess´ege kicsi a hangsebess´eghez k´epest. Kis h˝om´ers´eklet-k¨ ul¨onbs´egek eset´en a h˝oterjed´est le´ır´o egyenlet:  2 ∂vk ν ∂vi ∂T + , (7.4) + v∇T = χ∆T + ∂t 2cp ∂xk ∂xi ahol χ = %cκp a h˝ovezet˝ok´epess´eg, ν = η/% a kinematikai viszkozit´as, T a folyad´ek h˝om´ers´eklete, v a folyad´ek sebess´ege, cp az ´alland´o nyom´ason vett fajh˝o. Az egyenletben szerepl˝o tagok dimenzi´oja [f oks−1 ]. Az els˝o tag eset´eben ez nyilv´anval´o, a m´asodik tagban a sebess´eg szorozva a h˝om´ers´eklet gradiens´evel r´esz dimenzi´oja [s−1 ]. A jobboldal els˝ o 2 −1 tagj´aban a h˝ovezet˝ok´epess´eg dimenzi´oja [χ] = cm s , ez´ert az els˝o tag dimenzi´oja szint´en [f oks−1 ]. A jobboldal m´asodik tagj´anak els˝o t´enyez˝oje [f oks] dimenzi´oj´ u, a m´asodik −2 tag pedig s dimenzi´oj´ u, ´ıgy szorzatuk dimenzi´oja fok/s.  Amennyiben adott egy x fizikai mennyis´eg valamilyen sk´al´an, akkor f (x) szint´en alkalmas sk´ala, ha f monoton, egy´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny. Ezt a t´enyt ki lehet haszn´alni a fizikai a´llapot le´ır´asa sor´an. Erre mutatunk be p´eld´at a k¨ovetkez˝o r´eszben a turbulens a´raml´as vizsg´alata kapcs´an. A 7.3 r´eszben pedig azt vizsg´aljuk meg, milyen kapcsolatban a´ll a kaotikus ´allapot a szimmetri´akkal. A 7.4 r´eszben egy geometriai konstrukci´o, az ¨osszetett tartom´any, algebrai le´ır´as´at adjuk meg. A 7.5 r´eszben azt vizsg´aljuk a relativit´aselm´elet kapcs´an, milyen k¨ovetkezm´enyekkel j´ar, hogy a t´avols´ag m´er´es´en´el (ha u ´gy tetszik a metrika ´es a geometria kiv´alaszt´as´aban) is t¨obbf´ele sk´ala k¨oz¨ott v´alaszthatunk.

163

7.2.

Sk´ al´ ak

A 4. fejezetben l´attunk p´eld´at arra, hogy a t´erbeli v´altoz´ok koordin´ata-rendszer´et alkalmasan megv´alasztva olyan egyenletet kapunk, amelynek megold´asa leegyszer˝ us¨odik. Az 5. fejezetben pedig arra l´attunk p´eld´at, hogy adott egyenlet invari´ans lehet a v´altoz´ok adott sk´al´aj´ara n´ezve. Most azt fogjuk megvizsg´alni, milyen megszor´ıt´asokat eredm´enyez, ha a fizikai a´llapot le´ır´as´ara szolg´al´o egyenletben a sk´ala egys´eg´et adott m´odon vessz¨ uk fel. Legyen a fizikai ´allapotot le´ır´o egyenlet alakja f (x1 , . . . , xn ) = 0

(7.5)

ahol a fizikai a´llapot le´ır´as´aban az xi , i = 1, . . . , n mennyis´egek j´atszanak szerepet. Vizsg´aljuk meg, hogy az xi mennyis´egekb˝ol h´any f¨ uggetlen dimenzi´otlan mennyis´eget tudunk el˝oa´ll´ıtani. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert jel¨olje az xi mennyis´eg dimenzi´oj´at [xi ]. Amint kor´abban l´attuk, ezen dimenzi´o kifejezhet˝o a m´ert´ekrendszer alapmennyis´egeihez tartoz´o dimenzi´ok szorzat´aval, teh´at [xi ] = mαi kg βi sγi Aδi . (7.6) Egy dimenzi´o teh´at egy´ertelm˝ uen jellemezhet˝o az mi = (αi , βi , γi , δi ) n´egyesvektorral. Az (7.5) egyenletben szerepl˝o fizikai mennyis´egek dimenzi´oi k¨oz¨ott legfeljebb n´egy lehet f¨ uggetlen, hiszen az mi vektorok dimenzi´oja legyen p, ez nem haladhatja meg a n´egyet. Ebben az esetben az (7.5) egyenletben szerepl˝o fizikai mennyis´egek k¨oz¨ ul n − p olyan kombin´aci´o k´epezhet˝o, amelynek dimenzi´oja egys´egnyi. Itt kombin´aci´o alatt az xi mennyis´egek pozit´ıv ´es negat´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyainak szorzatait ´ertj¨ uk. Legyenek ezen mennyis´egek Q1 , . . . , Qn−p . Ekkor (7.5)-et ´ıgy ´ırhatjuk: φ (Q1 , . . . , Qn−p ) = 0.

(7.7)

Azon esetekben, amelyekben a Qk mennyis´egek dimenzi´oi azonosak, az ´allapotegyenletek egy hasonl´os´agi, m´asn´even sk´alatranszform´aci´oval, ´all´ıthat´ok el˝o egym´asb´ol. 7.1. Feladat (Folyad´ ekba meru o test ellen´ all´ asa) Vizsg´aljuk meg egy ´araml´o fo¨ l˝ lyad´ekba mer¨ ul˝o testre hat´o er˝ot. Az er˝o f¨ uggeni fog a folyad´ek tulajdons´agait´ol (ρ s˝ ur˝ us´eg ´es µ viszkozit´as), az ´araml´as v sebess´eg´et˝ol, a test line´aris m´eret´et˝ol, d-t˝ol, teh´at a testre hat´o F er˝ot kifejezhetj¨ uk F (ρ, µ, d, v) alakban, vagy f (F, ρ, µ, d, v) = 0 implicit f¨ uggv´enyk´ent. A felsorolt mennyis´egek mechanikai mennyis´egek, ez´ert csak h´arom f¨ uggetlen k¨oz¨ ul¨ uk, legyen az ρ, d, v. Dimenzi´otlan mennyis´egk´ent v´alaszthatjuk Q1 = F/(ρv 2 d2 )-et, ´es Q2 = µ/(ρvd)-t. A keresett ¨osszef¨ ugg´es alakja:   µ F , = 0, φ1 ρv 2 d2 ρvd

164

vagyis, az eredeti ¨ot mennyis´eg helyett k´et mennyis´eg maradt. Term´eszetesen m´as v´alaszt´assal is ´elhet¨ unk. Legyen pl. Q1 = F ρ/µ2 , Q2 = ρvd/µ, ekkor   Fρ ρvd . = φ2 µ2 µ  7.2. Feladat (Bolyg´ omozg´ as) A fizikai folyamatokban mindig tal´alkozunk energiacser´ev´el. Amennyiben az energia mozg´assal kapcsolatos, a jelens´eg le´ır´as´ara j´ol haszn´alhat´ o a Lagrange f¨ uggv´eny. Amennyiben a vizsg´alt testek k¨oz¨ott nincs k¨olcs¨onhat´as, az egyes testek Lagrange-f¨ uggv´enyei ¨osszead´odnak. Egy szabad t¨omegpont Lagrange-f¨ uggv´enye L=

mv 2 , 2

(7.8)

ahol m a t¨ omegpont t¨omege, v pedig sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´eke. Amennyiben a vizsg´alt rendszer t¨ obb t¨omegpontb´ol ´all, amelyek kiz´ar´olag egym´assal ´allnak k¨olcs¨onhat´asban, a Lagrange-f¨ uggv´enyt1 u ´gy kapjuk meg, hogy els˝o l´ep´esben a t¨omegpontokat k¨olcs¨onhat´asban nem ´all´oknak tekintj¨ uk, majd az ´ıgy kapott Lagrange-f¨ uggv´enyhez hozz´aadjuk a vizsg´alt testek koordin´at´ainak egy f¨ uggv´eny´et: L=

X mi v 2 i

i

2

− V (r1 , r2 , . . . ).

(7.9)

A V f¨ uggv´eny megadja a t¨omegpontok potenci´alis energi´aj´at. Amennyiben a potenci´alis energia a koordin´at´ak homog´en f¨ uggv´enye, azaz fenn´all a V (α1 r1 , α2 r2 , . . . ) = αk V (r1 , r2 , . . . ), ahol α tetsz˝oleges ´alland´o, k 6= 0-t a homogenit´as fok´anak nevezz¨ uk, a pontrendszer mozg´as´ar´ol az al´abbiakat lehet kijelenteni. Hajtsuk v´egre egyidej˝ uleg a t → βt ´es az ri → αri helyettes´ıt´eseket minden i-re! Ekkor a sebess´egek α/β-szorosra v´altoznak, a mozg´asi energi´ak pedig (α/β)2 -szorosra. A mozg´as t¨obbi mennyis´ege (impulzus, impulzusmomentum) is egy szorz´oval v´altozik. Amennyiben u ´gy v´alasztjuk β ´ert´ek´et, hogy fenn´alljon β = α1−k/2 , akkor a mozg´asegyenletek nem v´altoznak. Ez teh´at azt jelenti, hogy geometriailag hasonl´o p´aly´akhoz tartoz´o mozg´asid˝ok (tov´abb´a energi´ak, impulzusmomentumok stb.) ´ert´eke meghat´arozhat´o. Jel¨olje aposztr´of az u ´j p´alya adatait. Homog´en er˝ot´erben k = 1, ekkor r l0 t0 = , (7.10) t l ebb˝ol ad´odik, hogy neh´ezs´egi er˝ot´erben es˝o testek eset´en az es´esi id˝ok n´egyzetei u ´gy ar´anylanak egym´ashoz, mint a kezdeti magass´agok. 1

Az itt k¨oz¨ olt t´ argyal´ as csak nemrelativisztikus esetre vonatkozik.

165

Gravit´aci´os er˝ot´erben k = −1, ekkor t0 = t

 0 3/2 l , l

(7.11)

azaz, a p´aly´akon val´o kering´es idej´enek n´egyzete a p´aly´ak m´eret´enek (pl. ellipszis p´alya eset´en a nagytengely) k¨ob´evel ar´anyos. Ez a harmadik Kepler-t¨orv´eny. 7.3. Feladat (Folyad´ ekok ´ araml´ asa.) A sk´alat¨orv´eny j´ol haszn´alhat´o stacion´arius folyad´ekmozg´asok le´ır´asa sor´an. Tekints¨ unk egy adott geometri´aban (cs˝o, adott excentricit´as´ u ellipszis stb.) kialakul´o stacion´arius ´araml´ast. A geometri´at jellemezz¨ uk valamely hossz´ us´aggal (pl. cs˝o´atm´er˝o), ezt l-el jel¨olj¨ uk. A hidrodinamikai egyenletekben, amilyen a (7.17) Navier–Stokes-egyenlet, csak a kinematikai viszkozit´as (ν = η/ρ) szerepel, az egyenletekb˝ol meghat´arozand´o a nyom´as ´es a s˝ ur˝ us´eg h´anyadosa (p/ρ). Ezen fel¨ ul a peremfelt´eteleken kereszt¨ ul a bej¨ov˝o ´araml´as sebess´eg´enek abszol´ ut ´ert´eke (u) is befoly´asolja a fenti mennyis´egeket, ´ıgy a folyad´ek mozg´as´at h´arom param´eter hat´arozza meg: ν, l, u. Ezek dimenzi´oja: [ν] = cm2 s−1 , [l] = cm, [u] = cms−1 . E mennyis´egekb˝ol egyetlen dimenzi´o n´elk¨ uli mennyis´eg ´all´ıthat´o el˝o, az R=

%ul , η

(7.12)

Reynolds-sz´am, minden m´as, dimenzi´otlan kifejez´es megadhat´o R f¨ uggv´enyek´ent. A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy a folyad´ek sebess´egeloszl´as´at v = uf (r/l, R)

(7.13)

f¨ uggv´ennyel lehet le´ırni. Tov´abbi dimenzi´otlan mennyis´egek a Froude-sz´am Fr =

u2 , gl

(7.14)

´es a

uτ (7.15) l Strouhal-sz´am. (Itt τ a mozg´asra jellemz˝o id˝o´alland´o.) A nyom´aseloszl´as le´ır´as´ahoz k´esz´ıts¨ unk ν, l, u-b´ol nyom´as/s˝ ur˝ us´eg dimenzi´oj´ u mennyis´eget: p = %u2 f (r/l, R) . (7.16) S=

Az eml´ıtettek szerint azonos t´ıpus´ u ´es Reynolds-sz´am´ u ´araml´asok teh´at hasonl´oak. 

166

7.3.

Turbulencia

A sk´al´aval kapcsolatos megfontol´asok az ¨orv´enyes a´raml´asok tanulm´anyoz´as´aban megk¨ ul¨onb¨oztetett szerepet j´atszanak, ez´ert indokolt r´eszletesen foglalkozni a k´erd´essel. A k´erd´esk¨or kiemelten fontos, hiszen a folyami g´atak m´eretez´es´et˝ol az u ˝rsikl´o tervez´es´eig, a mer¨ ul˝oforral´ot´ol az er˝om˝ uvek kaz´anj´aig egy sor berendez´es le´ır´as´aban j´atszik meghat´aroz´o szerepet. A t´argyal´ast a s´ url´od´o folyad´ekok a´raml´as´aval kezdj¨ uk. A folyad´ekok ´araml´as´at a Navier-Stokes egyenletek ´ırj´ak le, ezeket az elm´eleti fizika kurzusokon a hallgat´ok megismerik. Tegy¨ uk fel, hogy a folyad´ek o¨sszenyomhatatlan, ekkor a folyad´ek mozg´asegyenlete, a Navier-Stokes egyenlet, az al´abbi alakot ¨olti:   ∂v + (v∇)v = −∇p + η∆v. (7.17) % ∂t Itt %- a folyad´ek s˝ ur˝ us´ege, η-bels˝o surl´od´asi egy¨ utthat´o, p a nyom´as, v a folyad´ek sebess´ege. Az anyagi jellemz˝ok (ρ, η) ismeret´eben v-t kell a (7.17) egyenletb˝ol meghat´arozni. A (7.17) egyenletek megold´asa sok konkr´et esetben ismert. Azonban a megold´asnak stabilnak is kell lennie, azaz, a kis perturb´aci´oknak id˝oben le kell csengeni. A perturb´aci´o id˝of¨ ugg´ese egy e−iωt taggal ´ırhat´o le, a stabilit´as felt´etele, hogy ω k´epzetes r´esze negat´ıv legyen. A stabilit´asvizsg´alat els˝osorban k´ıs´erleti eredm´enyekre ´ep¨ ul. Kis Reynolds-sz´amok eset´en a megold´as bizonyosan stabil, azonban van egy kritikus Reynolds-sz´am, ahol a megold´as instabill´a v´alik az infinitezim´alis perturb´aci´okkal szemben. A stabilit´asvizsg´alat eredm´enye szerint a Reynolds-sz´am n¨ovekedt´evel u ´jabb ´es u ´jabb frekvenci´ak jelennek meg, a v(x, y, z, t) f¨ uggv´enyben. A megjelen˝o u ´jabb mozg´asok amplit´ ud´oja egyre kisebb, a frekvenci´ak k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´egek is egyre cs¨okkennek. A sebess´eg alakja az al´abbi lesz: X Pn Ap1 ,...,pn e−i j=1 pj φj , (7.18) v(x, y, z, t) = p1 ,p2 ,...,pn

√

ahol i = −1, p1 , . . . , pn eg´esz sz´amok, φj a pj -vel jellemzett Fourier-komponens f´azisa, A pedig (vektor)amplit´ ud´oja. Egy adott t pillanatban a f´azis φj = ωj t+βj alak´ u, nyilv´an t = 0-kor φj = βj . Ismert, hogy kezdeti ´ert´ekekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul, elegend˝oen nagy id˝ointervallum eltelt´evel a folyad´ek a´llapota egy el˝ore megadott ´allapothoz tetsz˝olegesen k¨ozel ker¨ ul. Ez´ert ha a turbulens mozg´ast hossz´ u ideig k¨ovetj¨ uk, a kezdeti ´ert´ekek elvesztik jelent˝os´eg¨ uket. Ezt mutatja, hogy a turbulens mozg´as elm´elete statisztikus elm´elet. A (7.18)-ben fel´ırt mozg´asnak n szabads´agi foka van, a szabads´agi fokok sz´ama a Reynolds-sz´ammal n˝o. A kifejl˝od¨ott turbulenci´aban a szabads´agi fokok sz´ama v´egtelen, a φj f´azisokt´ol f¨ ugg, milyen eredm´enyt kapunk, ha (7.18)-t ´atlagoljuk egy adott id˝ointervallumban a t´er egy adott pontj´aban. Ez´ert a sebess´eget tekinthetj¨ uk egy ”´atlag” ´es egy fluktu´al´o r´esz ¨osszeg´enek. Nagy Reynolds-sz´amokn´al azt tal´aljuk, hogy a fluktua´ci´ok k¨ ul¨onb¨oz˝o l´ept´ek˝ uek, a legnagyobb szerepet a nagyl´ept´ek˝ u ingadoz´asok j´atssz´ak, ezen ingadoz´asok karakterisztikus hossz´anak nagys´agrendj´et az ´araml´as eg´esz kiterjed´ese hat´arozza meg (azaz, a vizsg´alt t´err´esz eg´esze). Jel¨olje l a turbulens a´raml´as fenti 167

nagys´agrendj´et. Az ´araml´as e komponens´et jellemz˝o sebess´eg´enek nagys´agrendje ¨osszem´erhet˝o az a´tlagsebess´eg l t´avols´agon val´o v´altoz´as´aval, legyen ez ∆u. A komponenshez tartoz´o frekvenci´at az u a´tlagsebess´eg ´es az l t´avols´ag h´anyados´aval becs¨ ulhetj¨ uk. A nagy frekvenci´aknak megfelel˝o kis l´ept´ek˝ u ingadoz´asok amplit´ ud´oja a turbulens a´raml´asban j´oval kisebb. Ezek adj´ak a nagy l´ept´ek˝ u alapmozg´asra szuperpon´al´od´o finomszerkezetet. Ha a t´er egy adott pontj´aban a sebess´eg id˝oben val´o v´altoz´as´at vizsg´aljuk, a T ∼ 1/u karakterisztikus id˝okh¨oz k´epest kis id˝otartamok alatt a sebess´eg v´altoz´asa jelent´ektelen, ha viszont az id˝otartam nagy, a sebess´eg ∆u nagys´agrend˝ u v´altoz´asokat szenved. Amint l´attuk, a folyad´ek eg´esz´enek a´raml´as´at meghat´aroz´o R Reynolds-sz´amban az l t´avols´ag szerepel. A k¨ ul¨onb¨oz˝o fluktu´aci´okhoz tartoz´o Rλ Reynolds-sz´amot R anal´ogi´aj´ara defini´alhatjuk Rλ ∼ vλ λ/ν-k´ent, ahol λ az adott fluktu´aci´o l´ept´eke (t´avols´ag), vλ pedig a jellemz˝o sebess´eg. A folyad´ek viszkozit´asa csak a legkisebb l´ept´ek˝ u ingadoz´asok eset´en v´alik l´enyegess´e, amikor a megfelel˝o Reynolds-sz´am egys´egnyi nagys´agrend˝ u. Jel¨olje ezen mozg´asok l´ept´ek´et λ0 . Turbulens mozg´asban a legnagyobb l´ept´ek˝ u fluktu´aci´okb´ol a kisebbek fel´e foly´o energia´aramot figyelhet¨ unk meg, azaz, az energia a kis frekvenci´akb´ol a´ramlik a nagyokba, a legkisebb l´ept´ek˝ u, azaz legnagyobb frekvenci´aj´ u fluktu´aci´okban pedig h˝ov´e alakul. A fentiek szerint λ >> λ0 eset´en a fluktu´aci´ot le´ır´o mennyis´egek nem f¨ ugghetnek a viszkozit´ast´ol. Ez emeli ki a hasonl´os´agi megfontol´asok jelent˝os´eg´et a turbulencia tanulm´anyoz´as´aban. A fentiek alapj´an becs¨ ulj¨ uk meg a turbulens a´raml´asban bek¨ovetkez˝o mechanikai energiavesztes´eg nagys´agrendj´et. Legyen ε az id˝oegys´eg alatt a folyad´ek t¨omegegys´eg´eben disszip´alt energia ´atlaga. Az el˝oz˝o bekezd´esben eml´ıtett energia´araml´as sor´an az energiadisszip´aci´o v´eg¨ ul a λ0 l´ept´ek˝ u fluktu´aci´okban disszip´al´odik. ε nagys´agrendj´et a nagy l´ept´ek˝ u mozg´asok jellemz˝o mennyis´egei, nevezetesen a % s˝ ur˝ us´eg, az l m´eret ´es a ∆u sebess´eg meghat´arozz´ak. Minthogy ε dimenzi´oja erg/g/s, ilyen dimenzi´oj´ u mennyis´eget kell k´epezni a fenti h´arom mennyis´egb˝ol. Egyetlen ilyen mennyis´eg van: ε∼

(∆u)3 . l

(7.19)

A fenti h´arom mennyis´eg megszabja tov´abb´a a νturb ”turbulens viszkozit´ast” is. Egyetlen kinematikai viszkozit´as jelleg˝ u mennyis´eg k´epezhet˝o: νturb ∼ l∆u.

(7.20)

Hat´arozzuk meg, a turbulens a´raml´as sebess´eg´enek v´altoz´as´at λ t´avols´agon, azaz, vλ -t. Mivel ez csak %, ε, λ-t´ol f¨ ugghet, ezekb˝ol egyetlen sebess´eg dimenzi´oj´ u kifejez´es alkothat´o, ez´ert vλ ∼ (ελ)1/3 . (7.21) Vagyis, a kis t´avols´agokon bek¨ovetkez˝o sebess´egv´altoz´as ar´anyos a t´avols´ag k¨obgy¨ok´evel (Kolmogorov–Obuhow-t¨orv´eny). 168

A. N. Kolmogorov (1903-1987) vezette be a korrel´aci´os f¨ uggv´enyek haszn´alat´at ´es fedezett fel egyszer˝ u felt´etelek mellett, egy univerz´alis sk´alat¨orv´enyt. Ezt r¨oviden ¨osszefoglaljuk. Vizsg´aljuk a folyad´ek v(r, t) sebess´eg´enek i-ik komponens´et, vi (r, t)-t, i = 1, 2, . . . 3. A helykoordin´at´akat jel¨olje r = (x1 , x2 , x3 ). Legyen a f´azist´er egy P pontja P = (x1 , x2 , x3 , t). Korl´atozzuk vizsg´alatainkat a V tartom´any r ∈ V pontjaira. Mivel a turbulens mozg´as le´ır´as´aban szerepl˝o φi f´azisokat nem ismerj¨ uk, ezeket v´eletlen mennyi´ s´egeknek tekintj¨ uk. Igy v´eg¨ ul is vi (r, t) is v´eletlen n mennyis´ oeg. Jel¨olje az A mennyis´eg dvi 2 2 v´arhat´o ´ert´ek´et E {A}. Feltessz¨ uk, hogy E {vi } ´es E ( dxj ) v´eges mennyis´eg V minden pontj´aban. Bevezetj¨ uk az y koordin´at´akat a f´azist´erben az al´abbi defin´ıci´oval. Legyen (0)

yi = xi − xi − vi (P0 )(t − t0 ); s = t − t0 , (0)

(0)

(0)

(0)

(0)

(7.22)

(0)

ahol P0 = (x1 , x2 , x3 , t) ´es r0 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ V . Nyilv´an yi is v´eletlen mennyis´eg, hiszen vi (P0 )-t´ol f¨ ugg. Az u ´j koordin´at´akban kifejezett sebess´eg komponensei wi (P ) = vi (P ) − vi (P0 ). A f´azist´er a´ltalunk vizsg´alt r´esz´et G-vel jel¨olj¨ uk: G = (y, s), y ∈ (k) V ; s ∈ T , ahol T egy id˝ointervallum. Ezzel defini´altuk a wi = wi (Pk ), i = 1, 2, 3; k = (0) 1, . . . , n eloszl´asf¨ uggv´enyeket. Legyen wi = wi (P0 ). Az eml´ıtett eloszl´asf¨ uggv´enyek (0) (0) (0) (k) (k) uggv´enyei lesznek. Legyen egy ilyen eloszl´asf¨ uggv´eny Fn = xi , t , vi , yi ´es s f¨ (0) (k) Fn (x1 , . . . , s ). Ezen f¨ uggv´enyek vizsg´alat´ara Kolmogorov bevezette az al´abbi defin´ıci´okat. 7.1. Defin´ıci´ o (Lok´ alisan homog´ en turbulencia) Legyen a turbulencia lok´alisan ho(0) (0) mog´en a G tartom´anyban, ha minden n-re az Fn eloszl´asf¨ uggv´eny f¨ uggetlen az xi , t(0) , vi koordin´at´akt´ol. 7.2. Defin´ıci´ o (Lok´ alisan izotr´ op turbulencia) Nevezz¨ uk a turbulenci´at lok´alisan izotropnak a G tartom´anyban, ha az homog´en ´es emellett Fn minden n-re invari´ans a forgat´asokkal ´es t¨ ukr¨oz´esekkel szemben (az eredeti x1 , x2 , x3 koordin´atatengelyekre n´ezve). A fenti defin´ıci´ok alapj´an vizsg´aljuk meg lok´alisan izotrop turbulencia eset´en az al´abbi sebess´egekt˝ol f¨ ugg˝o korrel´aci´os f¨ uggv´enyeket: Eik = E {(v2i − v1i )(v2k − v1k )} , i, k = 1, 2, 3,

(7.23)

ahol v1 ´es v2 az a´raml´as k´et k¨ozeli pontj´aban m´ert sebess´eg, az ´atlagol´as pedig id˝obeli a´tlagol´ast jelent. Tartozzon a v1 sebess´eg az r1 , a v2 pedig az r2 ponthoz. Legyen r = r2 − r1 , ´es legyen r = |r| < l. Feltessz¨ uk, hogy a turbulencia lok´alisan izotrop, ez´ert az Eik tenzor nem f¨ ugghet a t´er egyetlen kit¨ untetett ir´any´at´ol sem, Eik -ban csak r ill. az r ir´any´ u egys´egvektor, n szerepelhet. Egy ilyen tenzor leg´altal´anosabb alakja Eik = A(r)δik + B(r)ni nk . 169

(7.24)

A koordin´atatengelyeket u ´gy v´alasztjuk, hogy az n ir´any´ u komponens indexe r (radi´alis), a r´a mer˝oleges t (tangenci´alis) legyen. Nyilv´an n = (nr , nt ) = (1, 0). (7.24)-b´ol k¨ovetkez˝oen Err = A + B; Ett = A; Ert = 0. A v´azolt k¨ozel´ıt´esben ¨osszef¨ ugg´est a´llap´ıthatunk meg Err ´es Ett k¨oz¨ott. Mivel a v´arhat´o ´ert´ek line´aris: Eik = E {v1i v1k } + E {v2i v2k } − E {v1i v2k } − E {v1k v2i } .

(7.25)

Az izotropia miatt E {v1i v1k } = E {v2i v2k } ´es E {v1i v2k } = E {v1k v2i }, ez´ert Eik = 2E {v1i v1k } − E {v1i v2k } . Ezt differenci´aljuk az r2 koordin´at´ai szerint:   ∂v2k ∂Eik = −2E v1i . (7.26) ∂x2k ∂x2k Minthogy a turbulencia vizsg´alata sor´an csak a sebess´egnek az a´tlagsebess´egre rak´od´o, ingadoz´o r´esz´et vizsg´aljuk, a kontinuit´asi egyenlet miatt ∂Eik = 0. ∂x2k

(7.27)

Tov´abb´a, Eik = Eik (x1 , x2 , x3 ), ahol xi = x2i − x1i , ez´ert az x2k szerinti deriv´al´as megegyezik az xk szerinti deriv´al´assal. Bevezetve a geometri´ahoz illeszked˝o hengeres koordin´at´akat, (7.27) ´ıgy ´ırhat´o: 2B = 0. (7.28) A0 + B 0 + r Itt az r szerinti deriv´al´ast vessz˝ovel jel¨olt¨ uk. Az A ´es B f¨ uggv´enyek kifejezhet˝ok a nem elt˝ un˝o komponensekkel: 2 0 Err + (Err − Ett ) = 0, (7.29) r ezt a´talak´ıtva: 1 d 2
Ett = r Err . (7.30) 2r dr r >> l0 t´avols´agokon a sebess´egk¨ ul¨onbs´egek (7.21) szerint ar´anyosak r1/3 -nal. Mivel Eik ban k´et ilyen sebess´eg szorzata szerepel, ez´ert Eik ∼ r2/3 . Ezt behelyettes´ıtve (7.30)-be: 4 Ett = Err 3

(7.31)

ad´odik. Ha viszont r t1 ponttal, akkor a p´alya u(t), t1 ≤ t ≤ t2 pontjai egy z´art ciklust alkotnak. Minden egy´eb esetben az auton´om rendszer p´aly´aja nem haladhat ´at k´etszer ugyanazon a ponton. 173

1. Stacion´arius pont. Ha a f´azist´ernek l´etezik olyan pontja, amelyben ∂u/∂t = 0, ´es a rendszer fejl˝od´ese eljut e pontba, akkor azt nem is hagyja el. (Ezt a pontot nyel˝onek is nevezik.) 2. Hat´arciklus. Az u(t) p´alya t → ∞ eset´en tart egy z´art ciklushoz. 3. Ciklus. Az u(t) p´alya egy z´art g¨orb´eben folytat´odik, itt t v´eges. 4. K¨ ul¨on¨os attraktor. Egy disszipat´ıv rendszer p´aly´aja egyre kisebb t´err´eszben helyezkedik el. Egyes esetekben ez a p´alya nem egy z´art ciklus, a p´alya nem t¨olti ki a sz´oban forg´o t´err´eszt, de a p´alya dimenzi´oja a p´alyag¨orbe dimenzi´oja (ez term´eszetesen 1) ´es a t´err´esz dimenzi´oja (ez u komponenseinek sz´ama) k¨oz´e es˝o, a´ltal´aban t¨ort sz´am. 5. Bifurk´aci´o, k´aosz. Bizonyos felt´etelek mellett (ezeket al´abb r´eszleteiben t´argyalj´ak) a rendszer p´aly´aja k´et (esetleg t¨obb) ´agra bomlik. Ezt nevezik bifurk´aci´onak. Egyes rendszerek bifurk´aci´ok sorozat´an mennek a´t, am´ıg v´eg¨ ul a lehets´eges p´aly´ak sokas´aga jelenik meg. Ezt nevezik kifejlett k´aosznak. Tekintettel arra, hogy az auton´om rendszer p´aly´aja a f´azist´er ¨onmag´ara t¨ort´en˝o lek´epez´esnek tekinthet˝o, a kialakul´o p´aly´ak tanulm´anyoz´asa a lek´epez´esek tanulm´anyoz´as´at jelenti. A 11.11. ´abr´an egy nyel˝o l´athat´o az orig´oban, a 7.2 a´bra orig´oj´aban csak negat´ıv val´osr´esz˝ u saj´at´ert´ekek eset´en van nyel˝o. A k¨ovetkez˝o l´ep´esben vizsg´aljuk az elliptikus oper´atorok saj´at´ert´ekeit. Noha a´ltl´anoss´agban nem sokat tudunk az elliptikus opert´atorok saj´at´ert´ekeir˝ol, az oper´atorok egy sz´eles oszt´aly´ara fenn´all a m´atrixokra vonatkoz´o Perron-Frobenius-t´etel a´ltal´anos´ıt´asa. 7.6. T´ etel (Perron-Frobenius-t´ etel) Legyen az A n´egyzetes, irreducibilis m´atrix minden eleme nemnegat´ıv. Ekkor van A-nak egy λ(A) nemnegat´ıv saj´at´ert´eke, ehhez a saj´at´ert´ekhez pozit´ıv elem˝ u saj´atvektor tartozik. A (kE − A)−1 m´atrix akkor pozit´ıv elem˝ u, ha k > λ(A). A Perron-Frobenius-t´etel ´altal´anos´ıt´asa pedig a Krein-Rutman t´etel. Legyen X egy Banach-t´er. Egy KTk´ up egy komplex halmaz X-ben, amelyre minden λ > 0-ra teljes¨ ul λK ⊂ K ´es K (−K) = ∅. Egy X-ben tal´alhat´o K-k´ up egy r´eszleges rendez´est induk´al. Jel¨olje ezt ”≤”. X-ben u ≤ v, akkor ´es csak akkor, ha u − v ∈ K. Feltessz¨ uk, hogy {u − v, u, v ∈ K} s˝ ur˝ u X-ben. A t´etelnek t¨obb a´ltal´anos´ıt´asa is l´etezik nemline´aris oper´atorokra, itt a line´aris esetre k¨oz¨olj¨ uk a t´etelt. 7.7. T´ etel (Krein-Rutman-t´ etel) Legyen X egy Banach-t´er, K ⊂ X egy k´ up ´es T : X → X egy T kompakt line´aris oper´ator, amely pozit´ıv, azaz, T(K) ⊂ K. A T oper´ator spektr´alis sugara legyen ρ(T) > 0. Ekkor ρ(T) > 0 egy saj´at´ert´eke T-nek, ´es a hozz´ a ∗ tartoz´o u saj´atf¨ uggv´enyre teljes¨ ul Tu = ρ(T)u, u ∈ K, tov´abb´a T spektr´alis sugara megegyezik T spektr´alis sugar´aval: ρ(T∗ ) = ρ(T). 174

A domin´ans saj´at´ert´ek aszimptotikusan nagy id˝ok eset´en meghat´arozza a megold´as viselked´es´et, hiszen a t¨obbi saj´at´ert´ekhez tartoz´o tag amplit´ ud´oja j´oval kisebb, mint a domin´ans saj´at´ert´ekhez tartoz´o tag´e. Sajnos enn´el t¨obb a´ltal´anoss´agban nem mondhat´o. Az id˝of¨ ugg˝o egyenletek megold´as´at csak a spektrum ismeret´eben lehet vizsg´alni. A fizik´aban el˝ofordul´o oper´atorok egy r´esz´enek (ide tartozik a Botzmann-f´ele transzportegyenlet oper´atora ´es sz´amos bel˝ole sz´armaztatott oper´ator is) ma sem ismert a spektruma, ez els˝osorban a stabilit´asvizsg´alatot nehez´ıti meg. A saj´at´ert´ekek ismeret´eben vizsg´alhat´o ugyanis a megold´as stabilit´asa. A megold´as, vagy a vizsg´alt egyenletek stabilit´as´an a k¨ovetkez˝ot ´ertik. Amennyiben a (7.34) egyenlet u(λ, t) megold´asa egy t = 0 id˝opontban megadott kezd˝ofelt´etel eset´en ismert, megvizsg´aljuk, az egyenletben szerepl˝o λ param´eter kis megv´altoz´asa (azaz, λ + δ, δ T eset´en u(λ, t) − u(λ + δ, t) 0. 7.8. T´ etel (Bifurk´ aci´ o t´ etel) A fenti felt´etelek mellett l´etezik (7.34)-nek egy sima, nemtrivi´alis λ(ε), u(ε) megold´asa, amely a (λ0 , u0 ) pontban bifurk´al az u(λ) megold´ast´ol. Legyen u ∈ E ´es legyen a G oper´ator egy lek´epez´es az L × E t´erb˝ol az F t´erbe, ´es λ ∈ L. Jel¨olje L0 = Gu (λ0 , u0 )-t. Legyen N az L0 oper´ator nulltere, azaz, ϕ0 ∈ N ha L0 ϕ = 0. Az L0 oper´ator R ´ert´ekk´eszlete azon f f¨ uggv´enyekb˝ol a´ll, amelyekre L0 u = f . A Fredholm-alternat´ıva t´etel alapj´an ennek felt´etele (f, ϕ0 ∗ ) = 0, a jobboldal ´es ϕ∗ 0 ortogonalit´asa. Az invariancia vizsg´alat´ahoz egy nemline´aris f¨ uggv´eny transzform´aci´o alatti viselked´es´et kell le´ırni a 2. fejezetben ismertett m´odon. Ennek haszna abban jelentkezik, hogy a (7.36) saj´atf¨ uggv´enyek legal´abb line´arisan f¨ uggetlenek vagy ortogon´alisak. A saj´atf¨ uggv´enyeket invarianci´ajuk alapj´an is lehet oszt´alyozni, a k´et feloszt´as ¨osszevet´es´eb˝ol kit˝ unik, hogy a magasabb saj´at´ert´ekhez ”kev´esb´e szimmetrikus” megold´as tartozik. ´Irja le a transzform´aci´ot a T oper´ator. A T oper´atort a (7.34) egyenlet szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk, ha fenn´all TG(λ, u) = G(λ, Tu). (7.41) Az (7.34) egyenlet szimmetri´ait jel¨olje G, a csoport egy reprezent´aci´oja, amely az E t´eren hat, e reprezent´aci´o a´lljon a Tg , g ∈ G oper´atorokb´ol. Bontsuk fel a stacion´arius G(λ, u) = 0 176

(7.42)

egyenletet egy N-be es˝o v = Pu komponensre, ´es egy N-re mer˝oleges ψ komponensre (ezt vet´ıtse ki a Q = 1 − P projektor). Ezzel (7.42) k´et egyenletre esik sz´et: QG(λ, v + ψ) = 0 PG(λ, v + ψ) = 0.

(7.43) (7.44)

Az els˝o egyenletb˝ol meghat´arozhatjuk ψ = ψ(λ, v)-t. Ezt behelyettes´ıtj¨ uk a m´asodik egyenletbe: F (λ, v) ≡ PG(λ, v + ψ(λ, v)) = 0. (7.45) A kapott egyenletet bifurk´aci´oegyenletnek nevezik, mert megadja (7.42)-nek egy (λ0 , u0 ) pontban bifurk´al´o megold´as´at. Legyen N az L0 = Gu (λ0 , u0 ) oper´ator nulltere, amelynek dimenzi´oja legyen N . Legyen az N-re vet´ıt˝o P oper´ator egy´ uttal E lek´epez´ese E-re ´es F lek´epez´ese F-re. Mivel (7.45)-ben m´ar csak v-t kell meghat´arozni, az pedig az N dimenzi´os N-t´er eleme, az eredetileg v´egtelen dimenzi´os egyenletet v´eges dimenzi´oss´a reduk´altuk. Ezt az elj´ar´ast Ljapunov-Schmidt elj´ar´asnak nevezik. Az al´abbi t´etel azt mutatja be, hogyan haszn´alhatjuk ki azt a t´enyt, hogy az N nullt´er szimmetri´aja az E(2) euklideszi csoport. 7.9. T´ etel Legyen adott egy G csoport, annak egy T ´abr´azol´asa, az ´abr´azol´as ´altal´anos ´ eleme legyen Tg , amelynek hat´asa defini´alt E-n. Alljon fenn a (7.41) ¨oszef¨ ugg´es a T ´abr´azol´as minden elem´ere. Ekkor az L0 = Gu (λ0 , u0 ) oper´ator kommut´al Tg -vel ´es a (7.45) bifurk´aci´oegyenlet kovari´ans a Tg ´abr´azol´as N -re korl´atozott v´egesdimenzi´os ´abr´azol´as´aval, vagyis, a T ´abr´azol´as minden Tg elem´ere fenn´all Tg F (λ, v) = F (λ, Tg v). A bifurk´aci´oegyenlet szimmetri´aja felhaszn´alhat´o mag´anak a bifurk´aci´oegyenletnek a megkonstru´al´as´ara, amennyiben az N nullt´er GN szimmetriacsoportj´anak T reprezent´aci´oja ismert. GN szimmetriacsoportj´at tekinthetj¨ uk az E(2) euklideszi-csoportnak (ld. 4.1. fejezet), amennyiben feltessz¨ uk, hogy a (7.34) egyenlet valamilyen v´eges eltol´assal szemben invarianci´at mutat. E felismer´es el˝onye, hogy a 4.1. fejezetben ismertetett vizsg´alatokat, ´ıgy az E(2) csoport (4.12) ´abr´azol´as´at is, alkalmazhatjuk. Ez a k¨or¨ ulm´eny a bifurk´aci´oegyenlet jelent˝os egyszer˝ us´ıt´es´ere vezet, els˝osorban a t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ekek eset´eben. Lehet˝ov´e teszi a bifurk´aci´o probl´em´aj´anak geometria szerinti oszt´alyoz´as´at valamint egy olyan elm´elet kidolgoz´as´at, amely f¨ uggetlen a vizsg´alt probl´ema fizikai vo´ n´asait´ol. Erdemes felfigyelni arra, hogy a reprezent´aci´oelm´elet line´aris, m´ıg a bifurk´aci´o alapvet˝oen nemline´aris jelens´eg. A reprezent´aci´oelm´elet alapjait a 2. ´es 4. fejezetekben t´argyaltuk, itt most a bifurk´aci´oegyenlet tenzor jelleg´et vizsg´aljuk meg. Most a (7.45) bifurk´aci´oegyenletben szerepl˝o F nemline´aris f¨ uggv´enyt itt oper´atornak tekintj¨ uk ´es felbontjuk foksz´am szerinti tagokra, a kapott tagokat k¨ ul¨on-k¨ ul¨on vizsg´aljuk. Fejts¨ uk ki a (7.45) bifurk´aci´oegyenletletben szerepl˝o m˝ uveleteket az al´abbi m´odon: F(λ, v) = A(λ)v + B2 (λ, v, v) + B3 (λ, v, v, v) + . . . 177

(7.46)

Itt A(λ) egy line´aris lek´epez´es: A(λ) : N → QF, ahol N az F(λ, v) oper´ator nulltere, F pedig a G oper´ator ´ert´ekk´eszlete. A (7.46)-ban szerepl˝o Bk (λ, v, . . . , v) oper´ator egy k-line´aris oper´ator: Bk : N × N × . . . N → QF. A jelen paragrafus k´epleteiben a ”. . . ” jelent´ese: a sz´oban forg´o mennyis´egek k-szor ism´etl˝odnek. Legyen a (7.57) egyenlet λ0 param´eterhez tartoz´o megold´asa u0 . Ha u0 6= 0, akkor helyettes´ıthetj¨ uk az eredeti G(λ, u) egyenletet a G(λ, u + u0 ) − G(λ, u)-val. Az u ´j egyenletnek nyilv´an megold´asa lesz az azonosan nulla f¨ uggv´eny. Ez´ert tekinthetj¨ uk a fenti ´ertelemben m´odos´ıtott egyenlet egy megold´as´anak az u ≡ 0 f¨ uggv´enyt ´es a bifurk´aci´ot ett˝ol val´o elt´er´esk´ent vizsg´alhatjuk. El˝osz¨or is, vegy¨ uk ´eszre, hogy v ≡ 0 mindig megold´as, ¨osszhangban azzal a feltev´es¨ unkkel, hogy az azonosan nulla f¨ uggv´eny megold´asa a (7.34) egyenletnek. Vizsg´aljuk meg a B2 (λ, v, v) biline´aris oper´atort. Nyilv´an fenn´all B2 (τ v, τ v) = τ 2 B2 (v, v). Nyilv´an B2 (λ, v, v) kvadratikus v-ben, ez m´odot ad a kavadratikus K(u, v) oper´atorok ´es biline´aris oper´atorok k¨oz¨otti kapcsolat meg´allap´ıt´as´ara: B2 (λ, u, v) = ∂2 K(su, tv)|s=0,t=0 . Ezt a meg´allap´ıt´ast felhaszn´aljuk a bifurk´aci´oegyenlet vizsg´ala∂s∂t t´an´al. 7.10. Defin´ıci´ o (Kovariancia) Legyen F (λ, u) tetsz˝oleges f¨ uggv´eny vagy oper´ator. Legyen u ∈ N, legyen D : g → Dg az N t´eren ´ertelmezett G csoport v´egesdimenzi´os ´abr´azol´asa. Az F (λ, u) f¨ uggv´enyt kovari´ansnak nevezz¨ uk a D ´abr´azol´as alatt, amennyiben minden g ∈ G eset´en fenn´all Dg F (λ, u) = F (λ, Dg u). Legyen a (7.34) egyenlet kovari´ans egy G csoport D reprezent´aci´oja alatt. Deriv´aljuk a (7.34) egyenletet u szerint: Dg Gu (λ, u) = Gu (λ, Dg u)Dg .

(7.47)

Azt kaptuk, hogy a Gu oper´ator a fenti ´ertelemben kommut´al a G csoport D a´br´azol´as´aval. Mivel a bifurk´aci´os pont v = 0, ez´ert a (7.45) ´es (7.46) egyenletek azt ´ırj´ak le, hogy a saj´at´ert´eket ´es a sebess´egt´er perturb´aci´oit hogyan hat´arozz´ak meg a fizikai folyamatok. Term´eszetesen nem ismerj¨ uk az infinitezim´alis perturb´aci´ok tulajdons´agait, de az N-t´erben ´ertelmezett GN automorfizmuscsoport alkalmat ad arra, hogy a perturb´aci´okat, ´es ´ıgy a perturb´aci´ot le´ır´o egyenletben szerepl˝o tagokat felbontsuk irreducibilis komponensekre. A tov´abbi er˝ofesz´ıt´esek c´elja egyszer˝ us´ıtett le´ır´ast tal´alni a (7.46) egyenlet irreducibilis komponenseire. Tegy¨ uk fel, hogy egy G csoport hat´as´at egy N dimenzi´os vektort´er elemeire egy v´egesdimenzi´os Dg , g ∈ G m´atrix reprezent´aci´oval adjuk meg. Egy Bk lek´epez´es, amely k-line´aris, akkor kovari´ans, ha Dg B(u1 , . . . , uk ) = B(Dg u1 , . . . , Dg uk ).

(7.48)

Mivel a 7.9.. t´etel szerint (7.45) kovari´ans, a (7.46)-ban szerepl˝o minden tag kovari´ans lesz, tov´abb´a, minden tag szimmetrikus v´altoz´oiban, ez´ert csak az al´abbi kifjez´eseket 178

vizsg´aljuk: Bk (λ, v, . . . , v), vagyis, ahol az argumentumban szerepl˝o v f¨ uggv´enyek azonosak. Ez a k¨or¨ ulm´eny jelent˝osen leegyszer˝ us´ıti a tenzorok vizsg´alat´at, mert egy V vektort´er felett ´ertelmezett szimmetrikus tenzorok algebr´at alkotnak, ez az algebra izomorf a z1 , . . . , zn n = dim(V) v´altoz´ok polinomjainak algebr´aj´aval. P´eld´anak ok´a´ert vizsg´aljuk a k-line´aris tenzorszorzatot: ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik -t. Ennek a tenzornak a szimmetrikus r´esz´ere van sz¨ uks´eg¨ unk, ezt k elem π permut´aci´oinak Sk halmaza seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o. A π permut´aci´onak teh´at k eleme van, az i-ik elem legyen π(i). 1 X ϕi (1) ⊗ · · · ⊗ ϕπ(k) k! π∈S π

(7.49)

k

A (7.49) szimmetriz´alt tenzorszorzatot egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak az nj sz´amok, ahol nj megadja ϕj el˝ofordul´as´anak sz´am´at a ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik szorzatban. ´Igy v´eg¨ ulis a (7.49) n1 nk vektort cimk´ezhetj¨ uk a z1 . . . zk k v´altoz´os polinommal. Egy tetsz˝oleges k-adrend˝ u szimmetrikus tenzort pedig cimk´ezhet¨ unk az al´abbi k-adfok´ u homog´en polinommal: X Aα z1 α1 . . . zn αn , |α| = α1 + · · · + αn . (7.50) |α|=k

A V vektorteret azonos´ıtjuk a z1 , . . . , zn -ben line´aris polinomokkal. A V elemeib˝ol k´epzett k-t´enyez˝os szimmetrikus szorzatot (7.50)-tal azonos´ıtjuk. Mivel a sz´obanforg´o V vektort´er f¨ uggv´enyt´er, ez´ert feltessz¨ uk, hogy a polinomban szerepl˝o zi v´altoz´ok komplex sz´amok. Ekkor a B(v, . . . , v) homog´en, k-adfok´ u tenzor egy n dimenzi´os t´erben   b1 (z1 , . . . , zn )   .. (7.51)  , . bn (z1 , . . . , zn ) alak´ u. Itt minden bj homog´en, k-adfok´ u polinom. A bifurk´aci´oegyenlet megkonstru´al´as´ahoz a szimmetriacsoport hat´as´at kell megvizsg´alni a z1 , . . . , zn v´altoz´ok polinomjain. A csoport hat´as´at a zi -kre (teh´at a teret alkot´o f¨ uggv´enyekre) ismerj¨ uk. Ilyen m´odon a (7.46)-ben szerepl˝o tagokat Fj (z1 , . . . , zn ) alakba ´ırhatjuk, mindegyik egy k¨ ul¨on egyenletnek tekinthet˝o. 7.11. T´ etel Legyenek a bifurk´aci´ot le´ır´o Fj (z1 , . . . , zn ) egyenletek kovari´ansak egy adott D reprezent´aci´oval szemben. Amennyiben D irreducibilis, a line´aris tagok Fj = λzj alak´ uak, m´ıg ha D reducibilis, akkor a line´aris tag minden irreducibilis blokkon egy skal´arszorosa az egys´egm´atrixnak, a szorz´ot´enyez˝o minden irreducibilis alt´erben m´as. Tegy¨ uk fel, hogy a perturb´aci´ok szab´alyos h´aromsz¨ogr´acsot mutatnak. A k¨ovetkez˝o p´eld´aban meghat´arozzuk a kvadratikus irreducibilis kifejez´esek sz´am´at, a r´ak¨ovetkez˝o p´eld´aban pedig meg is hat´arozzuk a megfelel˝o f¨ uggv´enyeket. 179

7.4. Feladat (A szimmetrikus lek´ epez´ esek sz´ ama C3v szimmetria eset´ en) Amennyiben a bifurk´aci´ot le´ır´o (7.45) egyenlet invari´ans a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´aival szemben, a m´asodfok´ u szimmetrikus lek´epez´esek sz´am´at az al´abbiak szerint hat´arozhatjuk meg. A csoport karaktert´abl´aj´at a 2.1. t´abl´azat tartalmazza. A (2.25) k´eplet adja meg k = 2 eset´en az invari´ans m´asodfok´ u lek´epez´esek sz´am´at, abban szerepel a (2.26) kifejez´es. Ezt ´ert´ekelj¨ uk ki el˝osz¨or: χ(2) (g) =

χ2 (g) χ(g 2 ) χi1 (g)χi2 (g 2 ) = + . i1 i !2i2 i ! 1 2! 2 1 2 =2

X i1 +2i2

(7.52)

Mivel egy konjug´alt elemoszt´alyon bel¨ ul a karakterek azonosak, (7.52)-et csak a h´arom elemoszt´aly egy-egy elem´ere kell kisz´amolni. A konjug´alt elemoszt´alyokat a 2.6. t´abl´azat tartalmazza. A sz´am´ıt´ashoz le kell r¨ogz´ıteni a csoport reprezent´aci´oj´at is, v´alasszuk a k´et egydimenzi´os ´es egy k´etdimenzi´os irreducibilis alt´erb˝ol ´all´o reprezent´aci´ot, ´ıgy a csoportelemeket 4 × 4-es m´atrixok ´ırj´ak le, a karakterek a m´atrixok sp´ urjai. Ez´ert χ(e) = 4, 2 2 χ(t) = χ(t ) = 1, ´es χ(s) = χ(st) = χ(st ) = 0. Ebb˝ol azonnal kapjuk: χ(2) (e) = 10, χ(2) (t) = χ(2) (t2 ) = 1, ´es χ(2) (s) = χ(2) (st) = χ(2) (st2 ) = 2. Az invari´ans m´asodfok´ u lek´epez´esek sz´am´at (2.25)-b˝ol kapjuk: 1/6(40 + 2 + 0) = 7. Most el˝oa´ll´ıtjuk az el˝oz˝o p´eld´aban meghat´arozott sz´am´ u invari´ans f¨ uggv´enyt. 7.5. Feladat (Az 7.4. p´ elda irreducibilis fu enyeinek el˝ o´ all´ıt´ asa) Bevezetj¨ uk az ¨ ggv´ x, y, z, z v´altoz´okat, a V vektorteret pedig ezen n´egy v´altoz´o line´aris polinomjaib´ol ´all´onak tekintj¨ uk. Defini´alni kell a csoport k´et gener´ator´anak hat´as´at a fenti v´altoz´okra, ezt az al´abbiakban megadjuk: (az al´abbiakban teh´at t ´es s a C3v csoport gener´atorait jel¨oli, v.¨o. 2.4.. p´elda a 2. fejezetben): tx = sx = x, ty = y,sy = −y, tz = e2π/3 z, tz = e2π/3 z, sz = z, sz = z. x teh´at a h´aromsz¨ogre mer˝oleges tengely,az y tengely mer˝oleges a h´aromsz¨og magass´agvonal´ara (amely az s t¨ ukr¨oz´es s´ıkja), a forgat´as le´ır´as´ara pedig a z, z v´altoz´okat fogjuk haszn´alni. Ezekb˝ol az al´abbi invari´ans kifejez´esek k´epezhet˝oek: x, |z|2 , y 2 , z 3 ´es z 3 . Tekints¨ unk egy ´altal´anos F lek´epez´est, azaz, F (x, y, z, z) f¨ uggv´enyt. Amennyiben megmaradunk az 7.4.. p´eld´aban t´argyalt reprezent´aci´o mellett, F -et felbonthatjuk k´et egydimenzi´os, ´es egy k´etdimenzi´os irreducibilis komponensre. Jel¨olj¨ uk F komponenseit Fi (x, y, z, z)-vel, ahol i = 1, . . . , 4. A tov´abbiakban ezeket a komponenseket hat´arozzuk meg. Az els˝o komponens, F1 , az egys´egreprezent´aci´ohoz tartozik, vagyis invari´ans minden csoportelemmel szemben, ez´ert csak az invari´ans kifejez´esek f¨ uggv´enye lehet, ez´ert 2 2 3 3 F1 = F1 (x, |z| , y , z , z ). Az F2 komponens u ´gy transzform´al´odik a csoportelemek alatt mint y, ez´ert F2 = yF1 (x, |z|2 , y 2 , z 3 , z 3 ). F3 ´es F4 , a k´etdimenzi´os ´abr´azol´as k´et b´azisa, amelyet az ´abr´azol´as elemei (forgat´asok, eltol´asok) egym´asba transzform´alnak. A

180

legfeljebb kvadratikus tagokig bez´ar´olag: F1 F2 F3 F4

= = = =

λ1 x + ax2 + by 2 + c|z|2 + . . . y(λ2 + dx) + . . . λ3 z + exz + f yz + gz 2 + . . . λ4 z + exz − f yz + gz 2 + . . . .

(7.53) (7.54) (7.55) (7.56)

A fenti kifejez´esekben h´et lehets´eges, f¨ uggetlen m´asodfok´ u tag van, ezek egy¨ utthat´oit a, . . . , g jel¨oli. Ezek a tagok adj´ak ki a 7.4.. feladatban meghat´arozott h´et kvadratikus szimmetrikus komponenst. Megjegyezz¨ uk, hogy egy adott probl´ema vizsg´alata sor´an az egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa hosszadalmas numerikus sz´am´ıt´asokat ig´enyel. A bifurk´aci´os egyenletek megkonstru´al´asa term´eszetesen f¨ ugg az E(2) csoportban jelenl´ev˝o transzl´aci´ot´ol, vagyis a r´acst´ol. Ez ut´obbi viszont az infinitezim´alis perturb´aci´okt´ol f¨ ugg. V´eg¨ ul, az a´ltal´anos esetben a k¨ovetkez˝o meg´allap´ıt´ast tehetj¨ uk. A saj´atf¨ uggv´enyek ortogonalit´asa miatt a magasabb saj´ar´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek t¨obbsz¨or is el˝ojelet v´altanak, ennek megfelel˝oen szimmetri´ajuk is ´altal´aban alacsonyabb rend˝ u, mint ´ az els˝o n´eh´any m´odus´e. Altal´ aban azok a m´odusok gerjeszt˝odnek k¨onnyen amelyeket a legkisebb energi´aval lehet gerjeszteni. A gerjeszt´es energi´aj´at pedig a saj´at´ert´ekkel lehet kapcsolatba hozni. 7.6. Feladat (Az eltol´ asi invariancia s´ eru ese) Az al´abbiakban megmutatjuk, hogy ¨ l´ a konvekci´o modellez´es´ere haszn´alatos Boussinesq-egyenletek eltol´asi invarianci´aja hogyan s´er¨ ul, azaz, szimmetri´aja hogyan cs¨okken bifurk´aci´o sor´an. A Boussinesq-egyenletben uggv´eny van, a sebess´egvektor h´arom komponense v1 , v2 , v3 , a p nyom´as ¨ot ismeretlen f¨ ´es a θ h˝om´ers´eklet. A f¨ uggetlen v´altoz´ok a hely (x1 , x2 , x3 ) ´es az id˝o (t). A vizsg´alt egyenletben teh´at u ≡ (v1 , v2 , v3 , θ, p) a keresett f¨ uggv´eny. Ennek megfelel˝oen G(λ, u) is ¨ot egyenletb˝ol ´all: 3

∆vk + δk3 θ −

1 X ∂vk ∂vk ∂p = vj + ∂xk ν/κ j=1 ∂xj ∂t

∆θ + Rv3 =

3 X j=1

3 X ∂vj ∂xj j=1

= 0.

vj

∂θ ∂θ + ∂xj ∂t

(7.57)

(7.58)

(7.59)

Az els˝o egyenletben k = 1, 2, 3. Az egyenletben szerepl˝o param´eterek a ν/κ Prandtlsz´am, R a Rayleigh-´alland´o, δ nem param´eter, a Kronecker-f´ele deltaf¨ uggv´enyt jel¨oli, ∆ a Laplace-oper´ator. A fizikai folyamat a k¨ovetkez˝o. Adott k´et v´ızszintes s´ık (ezeket 181

x3 = ´alland´oval adjuk meg), amelyek h˝om´ers´eklete k¨ ul¨on-k¨ ul¨on ´alland´o. A k´et s´ık k¨oz¨ ott homog´en k¨ozeg helyezkedik el. A k¨ ozeg ¨osszenyomhatatlan folyad´ek. A h˝om´ers´ekletk¨ ul¨onbs´eg hat´as´ara kialakul´o konvekci´o el fogja rontani a k¨ ul¨onben fenn´all´o (x, y) s´ıkbeli eltol´asokkal szembeni invarianci´at. A jelens´eget a h˝om´ers´eklet perturb´aci´oj´aval (θ) ´es a sebess´egt´er (v1 , v2 , v3 ) seg´ıts´eg´evel ´ırjuk le. Teh´at a vizsg´alt feladatban u szerep´et egy u vektor veszi ´at, amelynek komponensei (v1 , v2 , v3 , θ, p). A λ param´etervektor a ¨otelem˝ (7.57) egyenletekben szerepl˝o ´alland´ok ν/κ, R, teh´at a param´eterek sz´ama kett˝o. Els˝o l´ep´esben az eltol´asokkal szembeni invarianci´at fogalmazzuk meg. Ehhez a 4. fejezetben bemutatott (4.14) reprezent´aci´ot haszn´aljuk fel. A (7.57) egyenletek invari´ansak az euklideszi s´ık forgat´asaib´ol ´es eltol´asaib´ol ´all´o E(2) csoporttal szemben. Az E(2) csoport egy reprezent´aci´oj´at megadja (4.14), amennyiben a csoport elemeit skal´ar f¨ uggv´enyre ´ aban alkalmazzuk. Itt az E(2) csoportot ¨otelem˝ u vektorf¨ uggv´enyre kell alkalmazni. Altal´ a g csoportelem Tg reprezent´aci´oja egy n > 1 komponensb˝ol ´all´o f¨ uggv´eny eset´en ´ıgy adhat´o meg: (Tg u) (x) = (Sg (u)) (g −1 x), (7.60) ahol Sg egy n × n-es m´atrix, az E(2) csoport g elem´enek reprezent´aci´oja a vizsg´alt egyenletet jel¨ol˝o G oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´an. Megmutathat´o, hogy a (7.57) egyenletek invarinci´at mutatnak a (7.60) transzform´aci´oval szemben, ahol Sg elemei skal´arok. Ez annyit jelent, hogy fenn´all a 3. defin´ıci´oban megadott kovariancia: Tg G(λ, u) = G(λ, Tg u). (7.61) ´ Irjuk a lineariz´alt egyenletet L(λ) = Gu (λ, 0) alakba. Az L oper´ator nyilv´an rendelkezik a (7.61) tulajdons´aggal, amennyiben g ∈ E(2). Amiatt kommut´al az eltol´asokkal is. Deriv´aljuk ugyanis (7.61)-at u szerint, helyettes´ıtj¨ uk G-t L-el: Tg L(λ, u) = L(λ, Tg u)Tg . Ez´ert azon f¨ uggv´enyek altere, amelyet L invari´ansan hagy, (4.24) szerint ψk = veikx alak´ uak. A megold´as stabilit´asa Ljapunov-szerint az L(λ) oper´ator saj´at´ert´ekeit˝ol f¨ ugg. Legyen a saj´at´ert´ek σ(λ, k). Egy tipikus bifurk´aci´os pontot mutat a 4.1. ´abra. A kritikus pont (kc , λc ), itt t¨ort´enik a bifurk´aci´o. Ebben a pontban kc infinitezim´alis megv´altoz´as´ara a λ ´ert´eke instabill´a v´alik.

Mivel L(λc ) invari´ans a forgat´asokkal szemben, nulltere is invari´ans a forgat´asokkal szemben, ez´ert a nullt´eren b´azisk´ent haszn´alhatjuk az Sr vei(kx)

(7.62)

alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol az E(2) csoport azon r index˝ u elemei szerepelnek, amelyek forgat´asokat ´ırnak le. Ez az alt´er v´egtelen dimenzi´os (mivel v´egtelen sok k vektorral jellemezhet˝o), de v´eges dimenzi´oss´a tehet˝o, ha bevezetj¨ uk a 6. fejezetben ismertetett (6.2)-vel defini´alt reciprokr´acsot. Ekkor a nullt´er olyan hull´amvektorokkal jellemezhet˝o, amelyben 182

7.3. a´bra. Bifurk´aci´os pont szerepl˝o k vektorok recirokr´acs-vektorban t´ernek el. K´erd´es, milyen eltol´asok szerepeljenek a reciprokr´acsban, hiszen a vizsg´alt probl´ema tetsz˝oleges eltol´assal szemben invari´ans lehet. Ezt nem tudjuk, ez´ert c´elszer˝ u ez elemi eltol´asok ´ert´ek´et v´altoz´ok´ent meghagyni ´es minden sz´obaj¨ov˝o r´acsot megvizsg´alni. Ez viszont el´eg terjedelmes lenne, ez´ert egyetlen r´acsot fogunk vizsg´alni, ez a hatsz¨oges r´acs, amelyr˝ol feltessz¨ uk, hogy invari´ans a d eltol´assal szemben. Al´abb megmutatjuk, hogy egy hatsz¨oges r´acson az L(λ) oper´ator nullter´ebe tartoz´o f¨ uggv´enyek kifejthet˝oek a (7.62) f¨ uggv´enyek szerint hat ki ir´any seg´ıts´eg´evel. Nyilv´an az N alt´er f¨ ugg a d veltort´ol, ez´ert indokolt a nullteret N(d)-vel jel¨olni. Ezeket a f¨ uggv´enyeket az E(2) csoport elemei egym´asba transzform´alj´ak, ez´ert az L0 oper´ator N(d) nullter´enek ´altal´anos elem´et w(x) =

6 X

zj ψj (x)

(7.63)

j=1

alakba ´ırhatjuk, ahol ψj a kj hull´amvektorhoz tartoz´o f¨ uggv´eny (7.62)-ban. Amennyiben val´os f¨ uggv´enyeket vizsg´alunk, a z egy¨ utthat´ok k¨oz¨ott ¨osszef¨ ugg´esek ´allnak fel, hiszen alkalmas j, k indexek eset´en (itt a fel¨ ulvon´as komplex konjug´al´ast jelent): ψj (x) = ψk (x). Legyen a ki hull´amvektorok sz´amoz´asa olyan, hogy z1 = z 4 , z2 = z 5 ´es z3 = z 6 . Mivel (7.62)-ban hat f¨ uggv´eny szerepel, ez´ert az N(d) nullteret hatdimenzi´osnak tekintj¨ uk. A ... t´etel (?) szerint az N(d) vektort´eren vizsg´aljuk annak automorfizmuscsoportj´anak hat´as´at. El˝osz¨or azonos´ıtjuk N(d)-t a hatv´altoz´os (legyenek a v´altoz´ok z1 , . . . , z6 komplex mennyis´egek), lin´aris polinomok ter´evel. Ezut´an megvizsg´aljuk a hatsz¨oges r´acs automorfizmusainak hat´as´at ezen a t´eren. A hatsz¨oges r´acs diszkr´et csoportja izomorf a D6 csoporttal, ennek k´et gener´atora van s ´es t(v.¨o. 15. p´elda a 2.4. fejezetben). Ezeket permut´aci´okkal reprezent´aljuk a z1 , . . . , z6 v´altoz´okon: s(z1 , . . . , z6 ) = (z2 , . . . , z1 ) ´es t(z1 , . . . , z6 ) = (z1 , z6 ,
z5 , z4 , z3 , z2 ). A d-vel val´o eltol´assal szembeni invariancia: Td = eik1 d z1 , . . . , eik6 d z6 . Sz¨ uks´eg lesz m´eg a komplex konjug´al´as oper´ator´anak hat´as´ara, amely a k¨ovetkez˝o: J(z1 , . . . , z6 ) = (z 1 , . . . , z 6 ). A bifurk´aci´oegyenletben szerepl˝ o 183

F lek´epez´est most f¨ uggv´enynek tekintj¨ uk, amelynek hat irreducibilis komponense van, legyenek ezek F = (F1 , . . . , F6 ). Mivel a lek´epez´es kovari´ans, fenn´all tF = F t, ez´ert Fj (z1 , . . . , z6 ) = Fi (z1 , . . . , z6 ),

(7.64)

ahol j = 1 + mod(i, 6). (7.64)-szerint ha F1 ismert, a t¨obbi komponens meghat´arozhat´ o az argumentumok ciklikus permut´aci´oj´aval. Hasonl´oan, sF = F s-b˝ol: Fj (z1 , . . . , z6 ) = Fi (z1 , z6 , z5 , z4 , z3 , z2 ),

(7.65)

ahol az j index az s permut´aci´o i-ik poz´ıci´oj´aban ´all´o index. A perturb´aci´oegyenlet invari´ans a konjug´al´asra is: JF = F J, ebb˝ol ad´odik az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: F i (z1 , . . . , z6 ) = Fi (z 1 , . . . , z 6 ).

(7.66)

Az egyenlet eltol´assal szembeni invarianci´aj´ab´ol ad´od´oan: eik1 d Fi (z1 , . . . , z6 ) = Fi (eik1 d z1 , . . . , eik6 d z6 ), i = 1, . . . , 6.

(7.67)

A (7.64)-(7.67) o¨sszef¨ ugg´esekb˝ol meghat´arozhatjuk az ´altal´anos kovari´ans F lek´epez´es alakj´at. Felbontjuk az Fi komponenseket lin´aris, kvadratikus, k¨ob¨os s.´ı.t. tagokra. Itt csak a line´aris taggal foglalkozunk. (7.67)-b´ol k¨ovetkezik, hogy Fi = azi ,

, i = 1, . . . , 6.

(7.68)

A 17. t´etelb˝ol j´ol l´athat´o, hogy a bifurk´aci´o stabilit´asa f¨ ugg a r´acst´ol. Ennek itt nem r´eszletezhet˝o vizsg´alata sor´an hasznos az al´abbi egyszer˝ us´ıt´es. Mivel a zi egy¨ utthat´ok k¨oz¨ott ¨osszef¨ ugg´est teremt a ki hull´amvektorral jellemzett s´ıkhull´amok k¨oz¨otti kapcsolat, c´elszer˝ u bevezetni a zj = xj eiθj ,

zj+3 = xj e−iθj ,

j = 1, 2, 3;

(7.69)

v´altoz´okat. Ezekre a v´altoz´okra az s, t gener´atorok ´es a d eltol´as hat´asa: s(x1 , x2 , x3 , θ1 , θ2 , θ3 ) = (x1 , x2 , x3 , θ2 , θ3 , −θ1 ) (7.70) t(x1 , x2 , x3 , θ1 , θ2 , θ3 ) = (x1 , x3 , x2 , θ1 , −θ3 , −θ2 ) (7.71) Td (x1 , x2 , x3 , θ1 , θ2 , θ3 ) = (x1 , x2 , x3 , θ1 + (k1 d), θ2 + (k2 d), θ3 + (k3 d)). (7.72) A fenti v´altoz´ok bevezet´es´evel a v´altoz´ok sz´ama fel´ere cs¨okken. A reduk´alt bifurk´aci´os egyenletek r´acsperiodikus perturb´aci´ok eset´ere vonatkoz´o, az E(2) csoporttal szemben invari´ans (kovari´ans) bifurk´al´o megold´asok: • N´egyzetr´acs vagy t´eglalapr´acs eset´en: x1 (τ + cx21 + dx2 2 ) = 0 x2 (τ + cx2 2 + dx1 2 ) = 0. 184

(7.73) (7.74)

• Hatsz¨oges r´acs (k=2) eset´en: τ x1 − x2 x3 = 0 τ x2 − x3 x1 = 0 τ x3 − x1 x2 = 0

(7.75) (7.76) (7.77)

x1 (τ + cx1 2 d(x2 2 + x3 2 )) = 0 x2 (τ + cx2 2 + d(x3 2 + x1 2 )) = 0 x3 (τ + cx3 2 + d(x1 2 + x2 2 )) = 0.

(7.78) (7.79) (7.80)

• Hatsz¨oges r´acs (k=3) eset´en:

Itt az xi -kt˝ol f¨ uggetlen tagokat egyetlen τ -val jel¨olt tagba vontuk o¨ssze. A (7.73) megold´as az al´abbi esetekben stabil: d < c < 0 ´es c + d < 0, c − d < 0. A (7.75) egyenlet minden esetben instabil. A (7.78) megold´as az al´abbi esetekben stabil: d < c < 0 ´es c < d, c + 2d < 0. Az al´abbi t´etel ¨osszekapcsolja a reduk´alt (7.45) bifurk´aci´oegyenlet (7.73)-(7.78) megold´asaiban szerepl˝o c ´es d ´alland´okat a vizsg´alt egyenletben szerepl˝o λ param´eterekkel. Term´eszetesen a probl´ema term´eszete miatt a kapcsolat implicit jelleg˝ u. 7.12. T´ etel L´etezik egy q(θ) f¨ uggv´eny az al´abbi tulajdons´agokkal: q(θ) =

∞ X

A2i cos(2iθ)

(7.81)

i=0

amelyb˝ol megkaphat´o a (7.73) k´epletekben szerepl˝o c ´es d ´alland´o ´ert´eke: c = 3q(0);

d = 6q(α),

(7.82)

ahol α a r´acs k´et b´azisvektora k¨ozti hegyessz¨og. Az A2i egy¨ utthat´ok f¨ uggenek a megoldand´ o probl´em´aban szerepl˝o fizikai ´alland´okt´ol. Ezut´an m´ar alkalmazhat´o a stabilit´asra kor´abban kapott eredm´eny: a kialakul´o a´raml´as stabilit´asa a nullt´er elemeiben szerepl˝o c, d a´lland´ok f¨ uggv´enye, v¨o. (7.73)-(7.78). E k´et a´lland´ot viszont az infinitezim´alis perturb´aci´ok hat´arozz´ak meg. V´egeredm´enyben a fenti, kvalitat´ıv vizsg´alat azt mutatja, hogy a kezdetben eltol´as invari´ans megold´as helyett egy v´eges eltol´asokkal szemben invarianci´at mutat´o ´araml´asi szerkezet fog kialakulni. Az eltol´as nagys´aga a feladat fizikai param´etereit˝ol f¨ ugg, a kialakul´o r´acs t´ıpusa pedig a q(θ) f¨ uggv´enyt˝ol.

185

7.5.

¨ Osszetett tartom´ any

A jelen fejezet az algebra ´es a geometria kapcsolat´anak egyes k´erd´eseivel foglalkozik. A 2. fejezetben m´ar l´attunk p´eld´at a geometria ´es az algebra egyfajta kapcsolat´ara, amikor bemutattuk, hogy minden v´eges csoport a´br´azolhat´o egy Cayley-diagrammal, ami nem m´as mint egy geometriai strukt´ ura, egy gr´af. A Lorentz-transzform´aci´o vizsg´alata sor´an l´attuk, hogy a t´erid˝o strukt´ ur´aj´at vizsg´alhatjuk algebrai m´odszerekkel is. L´etezik a geometri´anak egy a´ga, az algebrai geometria, amelynek t´argya alakzatok viselked´es´enek tanulm´anyoz´asa folytonos ´es diszkr´et transzform´aci´ok alatt. Kor´abban is vizsg´altuk, milyen transzform´aci´ok viszik ´at pl. a n´egyzetet ¨onmag´aban, ezek a transzform´aci´ok azonban merev ´es diszkr´et mozg´asok voltak. Amennyiben egy geometriai a´br´at, amilyen a n´egyzet, vagy a k¨or, pontok tetsz˝oleges halmaz´anak tekint¨ unk, a k´erd´es t´ ul a´ltal´anos. Ez´ert csak a v´egesen le´ırhat´o geometriai a´br´akkal foglalkozunk. Azokat az ´abr´akat, amelyeket egy folytonos transzform´aci´o egym´asba visz a´t, homeomorfnak nevezz¨ uk. P´eld´aul a t´eglalap ´es a t´orusz homeomorf ´abr´ak, mert ha a t´eglalapot ”¨osszesodorjuk” u ´gy, hogy k´et szemben l´ev˝o oldal´at o¨sszeragasztjuk, megkapjuk a t´oruszt. Az elj´ar´as sor´an eml´ıtett transzform´aci´ok folytonosak. A t´orusz ´es a t´eglalap lek´epez´ese k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u. L´eteznek azonban egy-t¨obb´ert´ek˝ u lek´epez´esek is. Tekints¨ uk az egys´egsugar´ u k¨or´ıvet (S 1 ) 1 1 1 ´es a val´os sz´amegyenest (R ). Az f : R → S lek´epez´est megval´os´ıtja az f (x) = x mod 2π f¨ uggv´eny, hiszen 0 ≤ y = f (x) < 2π, ´es x = y + 2nπ valamely n eg´eszre. Ezt a fajta lek´epez´est fed´esnek nevezz¨ uk. K´et geometriai ´abra (eset¨ unkben a k¨orvonal ´es a sz´amegyenes) k¨oz¨ott hoztunk l´etre lek´epez´est. Mivel az eg´esz sz´amok csoportot alkotnak az ¨osszead´as m˝ uvelet´ere n´ezve, ez´ert azt is mondhatjuk, a sz´amegyenest el˝o´all´ıtottuk az egys´egk¨orb˝ol arra alkalmazva egy csoport (eset¨ unkben az eg´esz sz´amok csopotj´anak) elemeit. Legyen ´ertelmezve a G csoport hat´asa az X halmazon. Ekkor minden x ∈ X ponthoz ´es g ∈ G csoportelemhez hozz´arendelhet˝o egy g(x) pont, ami az x pont k´epe a g csoportelem hat´asa alatt. Ha a G csoport X automorfizmusaib´ol a´ll, akkor x, g(x) ∈ X, minden g ∈ G-re. Tekints¨ uk az y = g(x) rel´aci´ot, ami szimmetrikus, tranzit´ıv ´es reflex´ıv, teh´at ekvivalenciarel´aci´ok´ent haszn´alhat´o. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen X orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o, egy orbithoz a g(x) pontok tartoznak, r¨ogz´ıtett x-szel. Ekkor l´etezik olyan X0 ⊂ X tartom´any, amely minden orbitot metsz. X0 -t az X halmaz fundament´alis tartom´any´anak nevezz¨ uk.

7.1. Feladat (Szab´ alyos sokszo alis tartom´ anya) A n´egyzet fundamen¨g fundament´ t´alis tartom´anya egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og, amelynek k¨oz´epponti sz¨oge π/4. Szab´alyos n-sz¨og fundement´alis tartom´anya egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og, amelynek k¨oz´epponti sz¨oge 186

7.4. a´bra. N´egyzet fundament´alis tartom´anya π/n, ld. 7.4. ´abra t tartom´anya. Az ´abra α ´es γ oldalaira t¨ort´en˝o t¨ ukr¨oz´esekkel el˝o´all az eg´esz n´egyzet, ugyanakkor a γ oldal v´egig ”k¨ uls˝o” oldal marad. A soksz¨og szimmetri´ai a fundament´alis tartom´anyt m´as h´aromsz¨ogekbe viszik ´at, ezek ¨osszess´ege ´eppen kiadja a sz´obanforg´o soksz¨oget.  Az X0 fundament´alis tartom´any p´aly´aja a G automorfizmuscsoport alatt ´eppen X. Az x0 ∈ X0 pontok p´aly´aja a G csoport alatt lefedi X-et, amennyiben x v´egig fut X0 pontjain. Amennyiben X-en t´avols´ag van defini´alva, X-et topologikus t´ernek nevezz¨ uk. 7.2. Feladat (A g¨ ombfelu er) A g¨ombfel¨ ulet param´eterezhet˝o k´et pa¨ let topologikus t´ ram´eterrel: 0 ≤ ϑ ≤ π ´es 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Az egys´egsugar´ u g¨ombfele¨ ulet egy pontj´anak koordin´at´ait megadja x = sin ϑ cos ϕ, y = sin ϑ sin ϕ, z = cos ϑ. A ds t´avols´agot defini´alhatjuk ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 alapj´an: ds2 = sin2 ϕdϕ2 + dϑ2 .  Vizsg´aljuk meg egy V tartom´anyt az ¨osszef¨ ugg˝os´eg szepontj´ab´ol. Azt mondjuk, hogy V tartalmazza az F p´aly´at, ha l´etezik olyan f : t ∈ [0, 1] → P ∈ V f¨ uggv´eny, amelynek minden pontja V -be esik. Ekkor az F p´alya ¨osszek¨oti az f (0) ´es az f (1) pontokat. Amennyiben f (t) a´lland´o f¨ uggv´eny, akkor a hozz´a tartoz´o F p´aly´at nullap´aly´anak nevezz¨ uk. K´et V -ben halad´o p´aly´at homotopnak nevez¨ unk, ha l´etezik olyan folytonos transzform´aci´o, amely az egyik p´aly´at, f1 (t)-t, folytonosan a´ttranszform´alja a m´asik p´aly´aba, f2 (t)-be. Ez a transzform´aci´o le´ırhat´o egy k´etv´altoz´os φ(t, s) f¨ uggv´ennyel, ahol 0 ≤ s ≤ 1 tov´abb´a φ(t, 0) = f1 (t) ´es φ(t, 1) = f2 (t). Az F p´aly´aval homotop p´aly´ak halmaz´at [F ]-el jel¨olj¨ uk. A p´aly´ak k¨oz¨ott defini´alunk egy m˝ uveletet, a kompoz´ıci´ot, az al´abbi m´odon. Ha egy F p´alya v´egpontja egybe esik egy m´asik G p´alya kezd˝opontj´aval, akkor a k´et p´alya kompoz´ıci´oj´an a h(t) f¨ uggv´enyt ´ertj¨ uk, amelynek argumentuma 0 ≤ t ≤ 2 ´es h(t) = f1 (2t), ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es h(t) = f2 (2t), ha 1/2 ≤ t ≤ 1. Defini´alhatjuk az inverz p´aly´at is: tartozzon az F −1 p´aly´ahoz az f (1 − t) f¨ uggv´eny, amennyiben F -hez az f (t) tartozik. Egy p´aly´anak ´es inverz´enek szorzata ugyanazzal a ponttal kezd˝odik ´es 187

v´egz˝odik, a hozz´a tartoz´o f¨ uggv´eny n(t) = f (2t), ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es n(t) = f (2 − 2t), ha 1/2 ≤ t ≤ 1. Mivel a φ(t, s) = f (2st) ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es φ(t, s) = f (2s − 2st) ha 1/2 ≤ t ≤ 1 s = 0 eset´en a´tmegy a nullap´aly´aba, s = 1 eset´en pedig n(t)-be, ez´ert n(t) homotop a nullap´aly´aval. Defini´aljuk az [F ] ´es [G] halmazok szorzat´at az al´abbi m´odon: [F ][G] = [F G]. Ekkor nyilv´an [F ][F −1 ] = [1], ahol a nullap´aly´at [1] jel¨oli. Az ´ıgy bevezetett szorzatr´ol bel´athat´o, hogy asszociat´ıv, teh´at az egy adott P ∈ V pontban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´aly´ak a fenti szorz´asra n´ezve csoportot alkotnak. Ezt a csoportot V fundament´alis csoportj´anak nevezz¨ uk ´es π(V )-vel jel¨olj¨ uk. Egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝onek nevezz¨ uk az olyan halmazt, amelynek fundament´alis csoportja egyetlen elemb˝ol [1]-b˝ol a´ll. 7.3. Feladat (A fundament´ alis csoport nem fu ol.) Legyen ugyanis ¨ gg a P ∈ V pontt´ Q ∈ V , ´es k¨osse ¨ossze a Q ´es P pontokat egy H p´alya. A P -ben kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o F p´aly´anak egy´ertelm˝ uen megfeletethet˝o egy Q-ban kezd˝od˝o, ´es ott v´egz˝od˝o p´alya: (H −1 F )H. A P -ben kezd˝od˝o ´es ott v´egz˝od˝o F G p´aly´anak megfeleltethet˝o a (H −1 F G)H p´alya, ´es mivel (H −1 F G)H = (H −1 F HH −1 G)H, ez k´et, Q-ban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´alya szorzata.  7.4. Feladat (A g¨ ombfelsz´ın egyszeresen ¨ osszefu o) A g¨ombfelsz´ın egy r¨ogz´ıtett ¨ gg˝ pontj´aban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´alya folytonosan ´attraszform´alhat´o egy m´asik, ugyanabban a pontban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´aly´aba. Ez´ert fundament´alis csoportj´anak egyetlen eleme [1]. Ez´ert a g¨omb egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o. 

7.5. a´bra. A t´orusz mint ”¨osszesodort” henger

188

7.5. Feladat (A t´ orusz nem egyszeresen ¨ osszefu o) Illessz¨ uk ¨ossze egy 2r sugar´ u, ¨ gg˝ ´ 2πR magass´ag´ u hengert k´et v´eg´en. Igy kapunk egy t´oruszt, amelynek egy k¨or alak´ u metszete van, ennek sugara r. Kaphatunk egy k¨orgy˝ ur˝ u alak´ u metszetet is, amelynek k¨ uls˝ o sugara R, bels˝o sugara R − 2r. A t´orusz fel¨ ulet´ere rajzolhat´o legal´abb k´et olyan k¨or (pl. r sug´arral ´es R sug´arral, ld. ´abra), amelyek folytonosan nem deform´alhat´oak egym´asba. Hasonl´o a helyzet, ha a s´ıkb´ol kiv´agunk egyetlen pontot, mert a pont k¨or´e rajzolt k¨or nem zsugor´ıthat´o a megmarad´o ponthalmaz egyik pontj´ara sem. Ez´ert sem a t´orusz, sem a kiv´agott s´ık nem egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝oek.  Jel¨olje G orbitjainak halmaz´at G\X. Ha minden x ∈ G\X pontnak van olyan k¨ornyezete, amelynek az f : X → G\X lek´epez´esn´el a teljes inverze az f f¨ uggv´eny a´ltal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt, ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese, akkor X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek. Kor´abban l´attuk, hogy amennyiben egy f¨ uggv´eny viselked´es´et vizsg´aljuk egy tartom´anyon, el˝ony¨os ismerni a tartom´any automorfizmusait. Gyakran azt tal´aljuk, hogy az automorfizmusok csoportja csak az egys´egelemb˝ol a´ll. Amennyiben egy teljesen asszimetrikus t´erfogatot vizsg´alunk, azt hihetn´enk, rem´enytelen az automorfizmus csoportb´ol ad´od´o egyszer˝ us´ıt´esekre sz´am´ıtani, ez azonban nincs mindig ´ıgy, a fenti gondolatmenet gyakran alkalmazhat´o. Tekints¨ unk egy olyan V t´erfogatot, amely egybev´ag´o t t´egl´ak egym´ashoz illeszt´es´evel j¨on l´etre. Amennyiben t-nek a V -t alkot´o p´eld´anyai eltol´assal fed´esbe hozhat´oak, m´aris el˝oa´ll´ıthajuk V -t mint t k´ep´et transzform´aci´ok egy sorozata alatt. Ebben az esetben V -t lefedt¨ uk t p´eld´anyaival. A legegyszer˝ ubb p´elda s´ık lefed´ese t´eglalapokkal. Legyen t = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} a lefed´eshez haszn´alt t´egla. Az eltol´ast jel¨olje T(i, j) = i ∗ x + j ∗ y, ahol 0 ≤ x ≤ a ´es 0 ≤ y ≤ b, tov´abb´a i, j eg´esz sz´amok. Mivel az eltol´asok csoportot alkotnak, ez a transzl´aci´ocsoport, a s´ıkot lefedt¨ uk a t t´eglalap orbitj´aval a transzl´aci´ocsoport alatt. A s´ıkon ´ertelmezett f¨ uggv´enyeket fel lehet bontani a csoport irreducibilis a´br´azol´asai szerint. K´erd´es, lehets´eges-e a fenti m´odszert a´ltal´anos´ıtani v´eges t´erfogatokra. A v´alasz pozit´ıv. El˝osz¨or vegy¨ uk ´eszre, hogy a T(i, j) oper´atorok egy r´eszcsoportj´at alkotj´ak az (i(modN ), j(modM )) transzl´aci´ok, ez a r´eszcsoport biztos´ıtja a 0 ≤ x ≤ N ∗ a, 0 ≤ y ≤ M ∗ b lefed´es´et. A fed˝ocsoport egy r´eszcsoportja teh´at biztos´ıtja a s´ık egy r´esz´enek lefed´es´et. Amennyiben a vizsg´alt V t´erfogat szab´alytalan, m´as technik´at kell alkalmaznunk. Tegy¨ uk fel, hogy V el˝oa´ll´ıthat´o egybev´ag´o t t´egl´akb´ol u ´gy, hogy a t t´egl´ak p´eld´anyai mindig ´erintkeznek, mindig van t p´eld´anyainak legal´abb egy olyan ´ele, amely k´et p´eld´any k¨oz¨os ´ele. Legyenek a t t´egla ´elei a, b, c, . . . . Sz´amozzuk meg a V -t alkot´o t´egl´akat 1t˝ol N -ig. Ezt a geometriai konstrukci´ot szeretn´enk le´ırni algebrai eszk¨oz¨okkel. Buser ´ ıts´ak el˝o a GV csoportot az α, β, γ, . . . javaslata nyom´an az al´abbi m´odon j´arhatunk el. All´ gener´atorok. Amennyiben V -ben t ia , ja , ka , la , . . . sorsz´am´ u p´eld´anyait a t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen α = (ia , ja )(ka , la ) . . . . (7.83) 189

Amennyiben V -ben t ib , jb , kb , lb , . . . sorsz´am´ u p´eld´anyait b t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen β = (ib , jb )(kb , lb ) . . . . (7.84) Amennyiben V -ben t ic , jc , kc , lc , . . . sorsz´am´ u p´eld´anyait c t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen γ = (ic , jc )(kc , lc ) . . . . (7.85) Ezek a gener´atorok el˝oa´ll´ıtanak egy v´egesen prezent´alt GV csoportot, amely benne foglaltatik (vagy egyenl˝o vele) az SN csoportban. Ez a csoport rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal. 1. Induljunk ki t-nek az 1-gyel jel¨olt p´eld´any´ab´ol. Annak legal´abb egy bels˝o ´ele van, legyen az a t´ıpus´ u, az ´el melletti t p´eld´any sorsz´ama pedig legyen i1 . Ha N > 2, akkor vagy i1 -nek, vagy 1-nek van bels˝o ´ele. Legyen ez b t´ıpus´ u, az ´el melletti ´ t p´eld´any sorsz´ama legyen i2 . Igy V -t alkot´o b´armely t p´eld´anyb´ol a, b vagy c ¨osszek¨ot˝o oldalakon a´t eljuthatunk b´armely m´as p´eld´anyhoz. Amennyiben i-b˝ol az a, b, a, c hat´arokon a´t jutunk el a j p´eld´anyig, akkor GV hat´as´at az al´abbi m´od´on αβαγ adjuk meg: i −→ j. α

2. Defin´ıci´o szerint ha i-nek k¨ uls˝o oldala a, akkor i → i. Ezzel a GV csoport elemei a V alakzatot ¨onmag´ara k´epezik le, mivel minden elem el˝oa´ll´ıthat´o a csoport gener´atoraib´ol. N´emi sz´eps´eghiba ugyan, hogy ´altal´aban t¨obb csoportelem van, mint ah´any t´egla V -ben, emiatt t¨obbsz¨or¨os fed´es is el˝oa´llhat. Ezt c´elszer˝ u kik¨ usz¨ob¨olni. Egy lehets´eges megold´as a fed˝ocsoport felbont´asa egy alcsoport szerint mell´ekoszt´alyokra. Ez az al´abbi m´odon t¨ort´enhet. GV -nek teh´at annyi si gener´atora van, ah´any oldala van t-nek. Legyen G1 ⊂ GV egy r´eszcsoport GV -ben, GV felbont´asa G1 szerinti mell´ekoszt´alyokra pedig legyen H1 , . . . , Hm , ahol m G1 rendje GV -ben. Minden Hi mell´ekoszt´alyhoz rendelhet¨ unk egy ai ∈ G elemet, amellyel minden hi ∈ Hi elem fel´ırhat´o hi = ai g1 alakban, ahol g1 ∈ G1 . V´alasszuk G1 -et u ´gy, hogy m legyen egyenl˝o a V -t 2 alkot´o t´egl´ak sz´am´aval. Ekkor elk´esz´ıthet˝o az al´abbi t´abl´azat. Az si aj ∈ Hk eset´en t j-ik k´ep´et ´es t k-ik k´ep´et az si ´el k¨oti ¨ossze. Meg´allapodunk abban, hogy amennyiben j = k, akkor az si ´es t j-ik k´ep´eben k¨ uls˝o ´el. Tekintettel arra, hogy a v´eges csoportok t¨obbs´eg´et k´et gener´ator elemmel el˝o lehet a´ll´ıtani, ez a m´odszer mindig m˝ uk¨odik. Az ´ıgy kapott alakzat a G csoport Cayley-gr´afja (v.¨o. 2.4. fejezet).

7.6. Feladat Amennyiben t-nek p´aros sz´am´ u, p´aronk´ent p´arhuzamos ´ele van, elegend˝ o a p´arhuzamos ´elp´arokhoz egy elemet rendelni (Robert Brooks, 1988). Legyen t egy h´aromsz¨og, V pedig a 7.6 ´abr´an l´athat´o alakzat. Sz´amozzuk meg a h´aromsz¨ogeket 1-t˝ ol 2

Ilyen r´eszcsoport GV -ben valamely kiv´alasztott p´eld´any stabiliz´atora.

190

7.6. a´bra. Szab´alytalan alakzat h´aromsz¨ogekre bont´asa 7-ig, a h´aromsz¨og ´elei legyenek a, b ´es c, ´es vizsg´aljuk meg az ´elekre vett t¨ ukr¨oz´es hat´as´at! Amennyiben egy ´el, mondjuk a,k¨ uls˝o ´el, azaz, nincs mellette szomsz´edos h´aromsz¨og, u ´gy ´ tekintj¨ uk, hogy a h´aromsz¨oget az a ´el ment´en ¨onmag´ara k´epezz¨ uk le. Igy a bels˝o ´elek k´et-k´et h´aromsz¨oget egym´asba visznek, a t¨obbi h´aromsz¨oget pedig ¨onmag´aba. Az ´el menti t¨ ukr¨oz´est a h´aromsz¨ogek sorsz´amainak transzform´aci´oj´aval, azaz, egy permut´aci´oval lehet jellemezni: a = (73)(62) b = (53)(42) c = (65)(21).

(7.86) (7.87) (7.88)

Mivel a fenti elemek ism´etelt alkalmaz´asa az eredeti ´allapotot ´all´ıtja vissza, amely a (), azaz egys´egpermut´aci´onak felel meg, ez´ert a ∗ a = (), b ∗ b = () ´es c ∗ c = (). Ha a permut´aci´ot u ´gy ´ertelmezz¨ uk, hogy az o¨sszek¨ot¨ott t´erfogatokon hat, akkor az ´ıgy gener´alt G csoportban tudunk N -edrend˝ u alcsoportot tal´alni: b´armely elem stabiliz´ator´anak (Si = Stabilizer(i)) rendje pontosan N . Ezek az alcsoportok j´ol haszn´alhat´oak a V t´erfogat automorfizmusainak mell´ekoszt´alyokkal t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´asa sor´an. Csoportelm´eleti terminol´ogi´aval a k¨ovetkez˝o a´ll´ıt´as fogalmazhat´o meg. Legyen G egy adott csoport, amelyben adott a G1 ⊂ G r´eszcsoport. A G1 r´eszcsoport jobboldali mell´ekoszt´alyait a G1 g, g ∈ G elemek alkotj´ak. K´esz´ıts¨ unk egy gr´afot u ´gy, hogy a gr´af 0 n´odusai a jobboldali mell´ekoszt´alyok legyenek, a G1 g ´es G1 g mell´ekoszt´alyokat egy si t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, amennyiben g 0 = g1 gsi , ahol g1 ∈ G1 ´es si a G csoport gener´atora. Ezt a gr´aft´ıpust P. Berard vezette be 1991-ben diszkretiz´alt tartom´anyok csoportelm´eleti t´argyal´asa c´elj´ab´ol. 7.7. Feladat Az el˝oz˝o p´eld´aban gener´alt G csoportot a k¨ovetkez´o m´odon haszn´aljuk fel. Nyilv´an Si ⊂ G. Legyen H = G/Si , G el˝o´all´ıthat´o az xH t´ıpus´ u diszjunkt halmazok (a 191

H szerinti mell´ekoszt´alyok) uni´ojak´ent. Itt x legfeljebb |G|/|H| k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel, legyenek ezek r1 , . . . , rm , m = |G|/|H|. A g ∈ G csoportelem hat´asa legyen a balr´ ol t¨ort´en˝o szorz´as. A g ∗ x ∗ H szorzatot pedig cimk´ezhetj¨ uk azzal az rj -vel, amelyre teljes¨ ul g ∗ x ∗ H ∈ rj ∗ H. Ilym´odon a G csoport mell´ekoszt´alyokkal t¨ort´en˝o reprezent´aci´oj´at kapjuk, amelyben a G csoport minden gener´ator´ahoz a 1 ≤ j ≤ m = |G|/|H| indexszet rendelt¨ unk.

¨ 7.7. a´bra. Osszef¨ ugg´esek a tartom´anyok megfelel˝o pontjaiban

´ 7.8. Feladat Alljon a vizsg´alt V r´egi´o n´egy egybev´ag´o tartom´anyb´ol a 7.7. ´abr´anak megfelel˝oen. Ekkor V el˝o´all´ıthat´o az al´abbi csoport seg´ıts´eg´evel. Vizsg´aljuk meg V -n a Laplace egyenlet saj´atf¨ uggv´eny´et: ∆Φ(x, y) = λΦ(x, y), (x, y) ∈ V.

(7.89)

Jel¨olje a megold´as ´ert´ek´et a n´egy tartom´anyon φi , i = 1, . . . , 4. Ekkor vagy fenn´all 4 X

Φ(xi , yi ) = 0

i=1

, itt az (xi , yi ) pontokat a V -t el˝o´all´ıt´o csoport elemei egym´asba viszik ´at, vagy b´armely tartom´anyra fenn´all ∆Φ(x, y) = λΦ(x, y), (x, y) ∈ Vi , vagyis, a Laplace-oper´ator saj´at´ert´eke azonos V -n ´es mind a n´egy Vi -n. (Hersch, 1965).

7.5.1.

Green-fu eny el˝ o´ all´ıt´ asa ¨ ggv´

Amennyiben is mert egy V t´erfogat Green-f¨ uggv´enye, ´es a V t´erfogat el˝oa´ll´ıthat´o egy t t´egla p´aly´ajak´ent, u ´gy hogy V = G\t, ´es a G csoport elemei felcser´elhet˝oek a vizsg´alt egyenletben szerepl˝o m˝ uveletekkel, akkor o¨sszef¨ ugg´es a´ll fenn V ´es t tartom´anyok Green-f¨ uggv´enyei k¨oz¨ott. Ennek alapj´an V (a ”nagyobbik” tartom´any) Green-f¨ uggv´enye ismeret´eben meghat´arozhat´o t (a kisebbik tartom´any) Green-f¨ uggv´enye. Tekintettel arra, 192

hogy a legt¨obb egyenlet Green-f¨ uggv´enye ismert a s´ık, vagy a v´egtelen h´aromdimenzi´os t´er eset´eben, a fenti ¨osszef¨ ugg´essel meghat´arozhatjuk v´eges alakzatok Green-f¨ uggv´enyeit. Egy tartom´any lek´epez´ese egy m´asik tartom´anyra folytonos f¨ uggv´enyekkel t¨ort´enik, hiszen a szomsz´edos pontokat szomsz´edos pontokba k´ıv´anjuk lek´epezni. Ezek a lek´epez´esek Lie-csoportot alkotnak, v¨o. 2.3. fejezet. Ha az x0 = φ(x, y), y 0 = ψ(x, y) transzform´aci´ot alkalmazzuk az (x, y) koordin´at´aj´ u pontra, akkor dx0 = φ(x, y)x dx + φ(x, y)y dy dy 0 = ψ(x, y)x dx + ψ(x, y)y dy.

(7.90) (7.91)

A fenti lek´epez´est izometrikusnak nevezz¨ uk, ha dx02 + dy 02 = dx2 + dy 2 . A csoportelemek akkor hatnak izometrikusan egy X halmazon, ha a halmaz minden pontj´an a csoportelemhez tartoz´o lek´epez´es izometrikus, azaz, fenn´all a (7.90)-(7.91) ¨osszef¨ ugg´es. K´et halmaz Green-f¨ uggv´enye k¨oz¨ott a´llap´ıt meg ¨osszef¨ ugg´est a k¨ovetkez˝o t´etel. 7.13. T´ etel (Sunada-t´ etele) Tegy¨ uk fel, hogy az A oper´ator kommut´al a G csoporttal ´es a G csoport szabadon hat a V tartom´anyon. Ekkor az AG(x − x0 ) = δ(x − x0 ) egyenlet V -re ´es t-re vonatkoz´ o Gt (x, y) ´es GV (x, y) Green-f¨ uggv´enyei k¨oz¨ott fenn´all az P al´abbi kapcsolat: Gt (x, y) = g∈G GV (x, gy), ahol G = π1 (t)/π1 (V ), amennyiben a G csoport izometrikusan hat V -n. C´elszer˝ u bevezetni k´et koordin´at´at, egy lok´alisat t-ben ´es egy glob´alisat V -ben. El˝obbit jel¨olje ξ, ut´obbit x. Egy pont egy´ertelm˝ u megad´as´ahoz elegend˝o megadni x-t, vagy, ξ-t ´es g-t, amennyiben x ∈ Vg = gt. A fed˝ocsoport seg´ıts´eg´evel t a fed˝ocsoport elemei alatt transzform´alt p´eld´anyai seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o V -t. A tov´abbiakban csak ¨osszef¨ ugg˝o V t´erfogatokat vizsg´alunk. Ezekben t-nek minden g ∈ G-vel kapott gt k´ep´ehez tartozik legal´abb egy olyan szomsz´ed, amelyik szint´en el˝o´all´ıthat´o t-b˝ol egy h ∈ G csoportelemmel. V teh´at hasonl´ıt egy t´erk´ephez, annyi elt´er´essel, hogy itt a t´erk´epen szerepl˝o orsz´agok egybev´ag´oak, de ugyan˝ ugy kisz´ınezhet˝ok u ´gy, hogy k´et szomsz´edos orsz´ag mindig elt´er˝o sz´ın˝ u legyen. A sz´ınez´eshez sz¨ uks´eges minim´alis sz´ınek sz´am´at V sz´ınsz´am´anak nevezik. Minden t´erk´ep kisz´ınezhet˝o legfeljebb n´egy sz´ınnel. A sz´ınsz´am seg´ıts´eg´evel az al´abbi hasznos a´ll´ıt´ast kapjuk. Amennyiben egy alakzat sz´ınsz´ama kett˝o, az alakzat alkot´or´eszeit k´et diszjunkt halmazra lehet bontani, legyen a k´et halmaz sz´ıne a feh´er ´es a fekete. 7.14. T´ etel (R´ eszhalmaz Green-fu enye) Legyen V = G\t, legyen minden g ∈ ¨ ggv´ G-re Vg = gt. Legyen V sz´ınsz´ama kett˝o. Amennyiben a V t´erfogat GV (x) Greenf¨ uggv´enye ismert, ´es a G fed˝ocsoport felcser´elhet˝o a vizsg´alt egyenletben l´ev˝o m˝ uveletekkel, akkor a t t´egla Green-f¨ uggv´enye az al´abbi m´odon hat´arozhat´o meg: X Gt (ξ) = GV (gξ)(−1)f (g) , (7.92) g∈G

ahol gξ ∈ Vg a ξ ∈ t pont k´epe g ∈ G alatt, f (g) pedig +1 vagy −1 att´ol f¨ ugg˝oen, hogy Vg a feh´er vagy a fekete halmazba esik. 193

Tekintettel arra, hogy az elm´eleti fizika legfontosabb egyenleteihez k´ezik¨onyvekben megadott csoportok tartoznak, amelyek kommut´alnak az egyenlet m˝ uveleteivel, a fenti t´etel sz´elesk¨or˝ uen alkalmazhat´o. A 6. fejezetben ismertetett m´odszerekkel pedig minden egyenlethez megtal´alhat´o az alkalmas G csoport. Fed˝ocsoportot pedig a s´ıkhoz, a k¨orh¨oz lehet tal´alni, amelyek Green-f¨ uggv´enyei k´ezik¨onyvekben (pl. Korn ´es Korn) megtal´alhat´oak. 7.9. Feladat (60o -os k¨ orcikk Green-fu enye) Tekints¨ uk egy K k¨orlap 60o -os szek¨ ggv´ torait. Egy kiv´alasztott t szektorra alkalmazva 60o -os forgat´asokat, amelyek a C6 csoport elemei. Nyilv´an K = C6 /t. Legyen G(x, x0 ) a k¨orlap Green-f¨ uggv´enye, legyen a Green f¨ uggv´eny t hat p´eld´any´an ϕi (x), x ∈ (R60 )i ∗ t, i = 1, . . . , 6. A t szektor Green-f¨ uggv´eny´et megadja 6 X Ψ(x) = (−1)i ϕi (x). (7.93) i=1

El˝osz¨or, (7.93) szingularit´ast mutat az x0 pontban, kiel´eg´ıti a vizsg´alt egyenletet minden x 6= x0 pontban. Tov´abb´a, elt˝ unik a szektor perem´en, teh´at a Green-f¨ uggv´eny minden tulajdons´ag´aval rendelkezik.  ´ 7.10. Feladat (A Helmholtz-egyenlet Green-fu enye n´ egyzeten) Irjuk a vizs¨ ggv´ g´aland´o egyenletet 4u + k 2 u = 0 (7.94) alakba. Az egyenlet Green-f¨ uggv´enye a s´ıkon ismert: G(r, r0 ) = K0 (r − r0 ). Ebb˝ ol meghat´arozzuk a [(0, 1), (0, 1)] n´egyzet Green-f¨ uggv´eny´et. Jel¨olje a n´egyzeten bel¨ uli koordin´at´akat (ξ, η), 0 ≤ ξ ≤ 1 ´es 0 ≤ η ≤ 1. Az (i, j) koordin´at´akkal jellemzett n´egyzetben nyilv´an fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es az (x, y) glob´alis ´es a (ξ, η) lok´alis koordin´at´ak k¨ oz¨ott: x = i + ξ, y = j + η. Alkalmazzuk (7.92)-et: X p (7.95) G4 (ξ, η) = K0 ( (i + ξ − x0 )2 + (j + η − y0 )2 ). i,j

Mivel a K0 Bessel-f¨ uggv´eny (v.¨o. 10.1.2. fejezet) argumentum´anak gyorsan cs¨okken˝ o f¨ uggv´enye, a (7.95) sor gyorsan konverg´al. 

194

7.6.

Lorentz-transzform´ aci´ o

Ebben a r´eszben fizikai mennyis´egek (t´avols´agok ´es sebess´egek) seg´ıts´eg´evel hozunk l´etre matematikai, els˝osorban geometriai konstrukci´okat. Ennek megfelel˝oen k´et jel¨ol´es lesz jelen p´arhuzamosan az elm´eletben. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert elker¨ ulj¨ uk a geometria a´ltal´anos t´argyal´as´at, de nem tudjuk elker¨ ulni a geometria leegyszer˝ us´ıtett t´argyal´as´at. A felhaszn´alt geometria egy h´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek k¨oz¨otti kapcsolat le´ır´as´at jelenti. A matematikai viszonyokat h´arom oldal (ezekre az A, B ´es C jel¨ol´est alkalmazzuk), valamint h´arom sz¨og (α az A oldallal szemben, β a B oldallal szemben, γ a C oldallal szemben) kimer´ıt˝oen megadja. Amennyiben a h´aromsz¨og egy konkr´et geometri´aban jelenik meg, az oldalak jel¨ol´ese marad (hiszen a geometria megv´altoztat´asa csak annyit jelent, hogy m´as szerkezet˝ u t´erben helyezz¨ uk el az oldalakat jelent˝o szakaszokat), a sz¨ogek viszont felvesznek egy indexet, amely utal a t´erszerkezetre, azaz, a geometri´ara. ´ n munk´aja. Noha a Wagner IstAz al´abb ismertetend˝o t´argyal´as Wagner Istva ´ n a´ltal kidolgozott elm´elet j´oval a´ltal´anosabb, mint ahogyan itt bemutatjuk, itt csak az va algebrai ´es geometriai vonatkoz´asokat hangs´ ulyozzuk. Arra az esetre szor´ıtkozunk, amikor A, B, C < 1 pl. u ´gy, hogy a h´aromsz¨oget elhelyezt¨ uk egy egys´egnyi sugar´ u g¨ombben. Amennyiben A, B, C fizikai jelent´ese sebess´eg, akkor ezeket f´enysebess´eg egys´egekben m´erj¨ uk. Sz¨ uks´eg lesz tetsz˝oleges hossz´ us´ag´ u szakaszokra is, ekkor a 0 ≤ a, b, c < ∞ jel¨ol´est haszn´aljuk. A t´argyal´as c´elja tetsz˝oleges ir´anyban mozg´o koordin´atarendszerekre t¨ort´en˝o ´att´er´esek sorozat´ar´ol, az azt le´ır´o transzform´aci´or´ol megmutatni, hogy azok csoportot alkotnak. Az itt k¨oz¨olt anyag azt hivatott al´at´amasztani, hogy a csoportelm´elet alkalmazhat´o az egyik inerciarendszerr˝ol a m´asik inerciarendszerre val´o a´tt´er´es formalizmus´aban. Megjegyezz¨ uk, hogy Wagner Istv´an alkalmazza az itt k¨oz¨olt technik´at a fentieken t´ ul is. Az itt k¨oz¨olt gondolatmenet a Lorentz-transzform´aci´o 7.7.1. r´esz m´asodik alr´esz´eben ismertetett t´argyal´as´anak egy alternat´ıv´aj´at k´ın´alja. Amint a 7.7.1. r´eszben l´attuk, Lorentz-transzform´aci´ok egym´asut´anja is Lorentz-transzform´aci´o, v.¨o. (2.162), azaz, a Lorentz-transzform´aci´ok az egym´as ut´ani alkalmaz´as m˝ uvelet´ere z´artak. Az ered˝o se´ n t´argyal´asa viszont r´amutat egy ´erdekes bess´eget (2.163) adja meg. Wagner Istva k´erd´esre: a sebess´egtranszform´aci´o nem csak t¨obb alternat´ıv geometri´aban t´argyalhat´o, de az egyik k¨oz¨ ul¨ uk, a g¨ombi geometria, k´etdimenzi´os! A Wagner-elm´elet r´eszleteibe nem tudunk belemenni. A nem k¨oz¨olt sz´am´ıt´asok gyakran hosszadalmasak, de egyszer˝ uek. M´askor kimondottan nehezek. Ezt a sz¨ovegben jel¨olj¨ uk. Az olvas´ot p´eld´ak seg´ıts´eg´evel pr´ob´aljuk eligaz´ıtani. Az utols´o fejezetbeli feladatok k¨oz¨ott is tal´alhat´o p´ar hasznos ´all´ıt´as.

7.6.1.

Geometriai viszonyok

Lehetne ugyan a geometri´at a´ltal´anosan (pl. Riemann-geometri´at vizsg´alva) t´argyalni, ez azonban nehezen lenne k¨ovethet˝o. Az itt ismertetett gondolatmenet a j´oval egyszer˝ ubb 195

trigonometri´ara ´ep´ıt. Amennyiben a geometria k´erd´ese egy h´aromsz¨og le´ır´as´ara szor´ıtkozik, elegend˝o az oldalak ´es sz¨ogek k¨oz¨otti viszonyokat vizsg´alni. Ezt az adott geometri´aban megfogalmazott koszinuszt´etel ´es szinuszt´etel biztos´ıtja. El˝osz¨or teh´at megpr´ob´aljuk tiszt´azni, hogyan lehet diszkr´et helyeken elv´egzett m´er´esekb˝ol (pl. egyszer˝ u t´avols´agm´er´esekb˝ol) meg´allap´ıtani, milyen egy h´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek viszonya. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert csak az al´abbi geometri´akat vizsg´alunk meg: az euklideszit (jele E), a Bolyai-Lobacsevszkij (jele B)3 ´es a g¨ombi (jele G) geometri´at. Ez ut´obbi az´ert ´erdekes, mert egy k´etdimenzi´os felsz´ınen l´ev˝o pontokat ´ır le, ´ıgy alapvet˝oen k¨ ul¨onb¨ozik az els˝o kett˝ot˝ol, amely k´et-, ill. a bel˝ole l´etrehozott tetra´eder eset´eben h´aromdimenzi´os t´er geometri´aja. Az al´abbi, 7.6.1. t´abl´azatban ¨osszefoglaljuk a h´aromsz¨ogre vonatkoz´o koszinusz ´es szinusz t´etelt a h´arom vizsg´alt geometri´aban. A fentieken k´ıv¨ ul t´argyaljuk 7.1. t´abl´azat. Koszinusz- ´es szinuszt´etel h´arom geometri´aban geometria szinusz-t´etel koszinusz-t´etel euklied´eszi (E) A/ sin α = B/ sin β = C 2 = A2 + B 2 − 2AB cos γ C/ sin γ sin A B C g¨ombi (G) cos A = cos B cos C + = sin = sin sin α sin β sin γ sin B sin C cos α ill. cos α = − cos β cos γ + sin √ β sin γ cos A Bolyai-Lobacsevszkij (B)

sin α/ sin β = sinh a/ sinh b

(1−tanh2 (C))(1−tanh2 (B))

√

1−tanh2 (A)

=

1 − tanh(B) tanh(C) m´eg az u ´.n. sebess´eggeometri´at is, ezt al´abb r´eszletesen vizsg´aljuk. Ha egy inerciarendszeren bel¨ uli t´avols´agokat kell ¨osszeadni, azokb´ol h´aromsz¨oget alkotni, az euklideszi geometria van o¨sszhangban a tapasztalattal. Ha azonos inerciarendszerbeli sebess´egeket kell ¨osszeadni, mint vektorokat, ism´et az euklideszi geometria ´ırja le a megfigyel´eseket. Ha azonban k´et elt´er˝o inerciarendszerben m´ert sebess´eget kell ¨osszeadni, a (2.151) k´epletet kell alkalmazni, ami ellent mond az euklideszi geometri´anak. Wagner javaslat´ara bevezet¨ unk egy u ´j geometri´at, amelyet sebess´eggeometri´anak (S-geometri´anak) h´ıvunk. Az u ´j geometri´aval szemben azzal az ig´ennyel l´ep¨ unk fel, hogy helyesen ´ırja le az elt´er˝o inerciarendszerekben m´ert sebess´egek ¨osszead´as´at. Ezt a geometri´at v´egtelen sokf´ele m´odon lehet r¨ogz´ıteni, egy lehets´eges v´alaszt´ast ad meg Wagner els˝o t´etele. 7.15. T´ etel (Wagner 1. t´ etele) Legyen adott 0 < B < 1 ´es 0 < C < 1, valamint 3

Az itt el˝ ofordul´ o geometri´ aban a h´ aromsz¨og sz¨og¨osszege mindig kisebb, mint 180 fok, ennek ellen´ere megtartjuk a nemzetk¨ ozileg elfogadott Bolyai-Lobacsevszkij-geometria elnevez´est.

196

legyen adott |ρ| ≤ 1. Ekkor C 2 + B 2 − 2BCρ A = < 1, 1 + B 2 C 2 − 2BCρ 2

(7.96)

tov´abb´a l´eteznek olyan |ω| ≤ 1 ´es |τ | ≤ 1 sz´amok, amelyekkel fenn´all A2 + C 2 − 2ACω 1 + A2 C 2 − 2ACω A2 + B 2 − 2ABτ = . 1 + A2 B 2 − 2ABτ

B2 = C2

(7.97) (7.98)

Mivel |ρ| ≤ 1, van olyan α sz¨og, amelyre cos α = ρ, tov´abb´a olyan β ´es γ sz¨og, amelyre cos β = ω, cos γ = τ . Vagyis, k´et oldal ´es a k¨ozbez´art sz¨og seg´ıts´eg´evel konstru´alhat´o egy h´aromsz¨og. Azt fogjuk mondani, hogy az ´ıgy konstru´alt a h´aromsz¨og S-geometri´at k¨ovet. An´elk¨ ul, hogy r´eszletekbe bocs´atkozn´ank, megjegyezz¨ uk, hogy oldalak hossza ´es sz¨ogf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel l´etrehozhat´o h´aromsz¨og a B-geometri´aban ´es a G-geometri´aban is. 7.16. T´ etel (Wagner 2. t´ etele) Az a, b, c oldalak k¨oz¨ ul b´armelyik kett˝o ¨osszege naa gyobb a harmadikn´al, azaz, alkosson a, b, c euklideszi h´aromsz¨oget. Legyen A = √1+a 2, b c √ √ B = 1+b2 ´es C = 1+c2 . Ekkor A, B, C h´aromsz¨oget alkot S-geometri´aban tetsz˝oleges A C √ B a, b, c eset´en. Az √1−A , √1−C aromsz¨og euklideszi h´aromsz¨ og 2, 2 oldalakkal rajzolt h´ 1−B 2 (E-geometria). Az A = tanh A, B = tanh B, C = tanh C defin´ıci´oval bevezetett A, B, C t´avols´agok Bolyai-Lobacsevszkij h´aromsz¨oget alkotnak (B-geometria). Az A = sin A∗ , B = sin B ∗ , C = sin C ∗ defin´ıci´oval bevezetett A∗ , B ∗ , C ∗ t´avols´agok olyan g¨ombi h´aromsz¨oget alkotnak, amelynek minden sz¨ oge hegyessz¨og (G-geometria), ez´ert az {A, B, C} h´aromsz¨og egyar´ant ´ertelmezhet˝o sebess´egt´erbeli, euklideszi, Bolyai-Lobacsevszkij ´es g¨ombi h´aromsz¨ogk´ent is, amennyiben a t´avols´ag m´ert´ek´et megfelel˝oen v´alasztjuk. 7.1. Feladat (A geometri´ ak kapcsolata) A k¨ovetkez˝okben gyakran esik sz´o a fent eml´ıtett n´egy geometri´ar´ol, ez´ert ´erdemes r´eszletesebben szem¨ ugyre venni kapcsolatukat. A 7.16. t´etelben a kisbet˝ us ´es nagybet˝ us oldalak kapcsolata invert´alhat´o, ez´ert ha a √ A , akkor a = . Ez teh´ a t az S-geometria ´es az E-geometria k¨oz¨otti kapA = √1+a 2 1−A2 4 5 csolat alapja . Bel´athat´o , hogy B−C B+C 1 − BC ≤ A ≤ 1 + BC , x A tov´ abbiakban gyakran szerepl˝ o Θ(x) ≡ √1+x f¨ uggv´enyt fogjuk haszn´alni. 2 5 Az S-geometria koszinuszt´etel´eben cos αS = −1 ill. cos αS = +1 helyettes´ıt´essel. V.¨o. 26. t´etel al´ abb. 4

197

ami felt´etele annak, hogy A, B, C h´aromsz¨oget alkosson S-geometri´aban. Az A = tanh A, B = tanh B, C = tanh C defin´ıci´oval bevezetett A, B, C szakaszokhoz l´etezik olyan αB sz¨og, amellyel fenn´all p p p 1 − tanh B 1 − tanh C 1 − tanh2 A = . (7.99) 1 − tanh B tanh C cos αB Ebb˝ol azonos ´atalak´ıt´assal cosh A = cosh B cosh C − sinh B sinh C cos αB , ami a Bolyai-Lobacsevszkij-geometria koszinuszt´etele.  Amennyiben a geometri´at m´eg nem v´alasztottuk ki, nem lehet vektorokr´ol, azok kom´ kell a geometri´at ki´ep´ıteni, hogy csak ´altal´anos fogalmakat, az ponenseir˝ol besz´elni. Ugy anal´ızis ´es az algebra fogalmait haszn´aljuk a geometria kidolgoz´asa sor´an. Az anal´ızisb˝ol a´tvessz¨ uk az al´abbi, v´egtelen sorok a´ltal defini´alt f¨ uggv´enyeket: exp(x) =

∞ X xi i=0

∞ X

cos(x) = sin(x) =

(−1)i

i=0

x2i 2i!

(7.101)

x2i+1 . (2i + 1)!

(7.102)

(−1)i

i=0 ∞ X

(7.100)

i!

Ezen f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel lehet dolgozni az S, G ´es B geometri´akban is. E f¨ uggv´enyek inverzei seg´ıts´eg´evel defini´alhatjuk a sz¨oget is, pl. az α sz¨oget egyszer˝ uen a tg −1 x ´ert´ekkel defini´aljuk, ahol x val´os sz´am. Amennyiben azonban vektorokr´ol, komponensekr˝ol, ortogonalit´asr´ol k´ıv´anunk besz´elni, sz¨ uks´eg van az euklideszi geometri´ara. Megeml´ıtj¨ uk, hogy egyes geometriai t´etelek puszt´an algebrai eszk¨oz¨okkel is megfogalmazhat´oak. Ennek illusztr´al´as´ara k¨oz¨olj¨ uk az al´abbi t´etelt, amelyb˝ol kit˝ unik, hogy az euklideszi geometria koszinuszt´etel´enek elfogad´asa maga ut´an vonja az euklideszi geometria eg´esz´et (noha itt csak azt mutatjuk meg, hogy a szinuszt´etel is k¨ovetkezik a koszinuszt´etelb˝ol). 7.17. T´ etel (Algebrai szinuszt´ etel) Legyen a, b, c > 0, h´arom val´os sz´am. L´etezzenek p, q, r val´os sz´amok u ´gy, hogy a2 = b2 + c2 − 2bcp; b2 = c2 + a2 − 2acq; c2 = a2 + b2 − 2bar.

(7.103)

´ ez esetben algebrai t´eny, hogy Am b2 c2 a2 = = , 1 − p2 1 − q2 1 − r2 igaz. 198

(7.104)

Tegy¨ uk most fel, hogy |p| ≤ 1, u ´gy |q| ≤ 1 ´es |r| ≤ 1 is kiad´odik, vagyis p = cosα; ´ akkor a/(sinα) = b/(sinβ) = c/(sinγ) ad´odik, q = cosβ; r = cos γ v´alaszthat´o. Am vagyis az euklideszi koszinuszt´etel tiszt´an algebrai u ´ton maga ut´an vonja a szinuszt´etelt is, vagyis az euklideszi koszinuszt´etel haszn´al´oja automatikusan euklideszi geometri´at t´etelez fel. Sebess´ eggeometria A feladat olyan konstrukci´o fel´ep´ıt´ese, amelyben a (2.151) sebess´eg¨osszead´as rekonstrua´lhat´o. A feladatot Wagner egy megfelel˝o sk´ala kiv´alaszt´as´aval oldotta meg. El˝osz¨or, Szegedi Gyula t´etel´et id´ezz¨ uk. 7.18. T´ etel (Az ¨ osszead´ as ´ es a szorz´ as ´ altal´ anos´ıt´ asa) Az aritmetika fel´ep´ıt´ese nem egy´ertelm˝ u. A val´os sz´amok ¨osszead´asa ´es szorz´asa helyett bevezethet˝o v´egtelen sok ekvivalens m˝ uvelet az al´abbi defin´ıci´okkal. Legyen az ´altal´anos o¨sszead´as ⊕ m˝ uvelete A ⊕ B = ϕ(ϕ−1 (A) + ϕ−1 (B)),

(7.105)

az ´altal´anos szorz´as ⊗ m˝ uvelete pedig A ⊗ B = ϕ(ϕ−1 (A)ϕ−1 (B)).

(7.106)

Itt ϕ tetsz˝oleges invert´alhat´o f¨ uggv´eny. Az ´ıgy bevezetett m˝ uveletek tetsz˝oleges val´os A, B eset´en elv´egezhet˝oek, ´es rendelkeznek az al´abbi tulajdons´agokkal: 1. az ¨osszead´as szimmetrikus: A ⊕ B = B ⊕ A; 2. az ¨osszead´as kommutat´ıv ´es asszociat´ıv: (A⊕B)⊕C = A⊕(B⊕C) = (A⊕C)⊕B = (B ⊕ C) ⊕ A = A ⊕ B ⊕ C; 3. a szorz´as szimmetrikus: A ⊗ B = B ⊗ A; 4. a szorz´as kommutat´ıv ´es asszociat´ıv: (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ C) ⊗ B = (B ⊗ C) ⊗ A = A ⊗ B ⊗ C; 5. disztributivit´as: (A ⊕ B) ⊗ C = A ⊗ C ⊕ B ⊗ C; 6. Bevezethet˝o mindk´et m˝ uvelet inverze, amelyek korl´atlanul elv´egezhet˝ok, csak a null´aval val´o oszt´as tiltott; 7. Bevezethet˝o a sz´ammal t¨ort´en˝o szorz´as m˝ uvelete is, u ´gy, hogy kA = A⊕A⊕A · · ·⊕ A, (a kifejez´esben k darab ⊕ jel szerepel).

199

Szegedi t´etel´et alkalmazzuk a ϕ(A) = tanh(A) f¨ uggv´enyre, ´es haszn´aljuk fel az al´abbi −1 −1 −1 ugg´est: Legyen at A, B, C < ¨osszef¨

teh´ L tanh A+tanh B = tanh ((A + B)/(1 + AB)).A+B A+B = 1+AB 1, ekkor A B = tanh(tanh−1 A + tanh−1 B) = tanh tanh−1 1+AB , teh´at ez a v´alaszt´as pontosan ´ırja le a sebess´eggeometri´at. Az is bel´athat´o, hogy A, B < 1 eset´en A ⊕ B < 1 teljes¨ ul, vagyis, a f´enysebess´eget a most bevezetett m˝ uvelettel nem lehet a´tl´epni. Szegedi t´etele teh´at alkalmas keret sebess´egek abszol´ ut´ert´ek´enek ¨osszead´as´ara. 7.19. T´ etel (Az S-geometria koszinuszt´ etele) B´armely 0 < B, C < 1 sz´amp´arhoz ´es αS sz¨ogh¨oz l´etezik olyan A > 0 szakasz ´es βS , γS sz¨ogek, amelyekkel fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: B 2 − 2BC cos αS + C 2 , (7.107) A2 = 1 − 2BC cos αS + BC B2 =

A2 − 2AC cos βS + C 2 , 1 − 2AC cos βS + AC

(7.108)

C2 =

B 2 − 2AB cos γS + A2 . 1 − 2BA cos αS + BA

(7.109)

7.20. T´ etel (Az S-geometria szinuszt´ etele) Az (A, B, C) oldalakkal felrajzolt h´aromsz¨og sz¨ogeit S-geometri´aban jel¨olje αS , βS ´es γS . Ekkor fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: B C A = = . (7.110) 2 2 (1 − A ) sin αS (1 − B ) sin βS (1 − C 2 ) sin γS Azt mondjuk, hogy az (A, B, C) hossz´ us´ag´ u szakaszokkal, mint oldalakkal meghat´arozott h´aromsz¨og az S geometri´aban term´eszetes h´aromsz¨og, ha fenn´all cos αS − BC √ (7.111) 1 − B 2 √1 − C 2 < 1. Megmutathat´o, hogy ekkor a (7.111) ¨osszef¨ ugg´es m´asik k´et sz¨oggel fel´ırt v´altozata is fenn´all, azaz, cos βS − AC √ (7.112) 1 − A2 √1 − C 2 < 1. cos γS − AB √ (7.113) 1 − B 2 √1 − A2 < 1. Legyen (A, B, C) term´eszetes h´aromsz¨og. Legyen tov´abb´a cos αS − BC √ 1 − B2 1 − C 2

(7.114)

cos βS − AC √ 1 − A2 1 − C 2

(7.115)

cos αE = √ cos βE = √

200

cos γS − AB √ . (7.116) cos γE = √ 1 − A2 1 − B 2 7.21. T´ etel (S-geometria term´ eszetes h´ aromsz¨ ogeinek euklideszi o ˝se) Legyen (A, B, C) term´eszetes h´aromsz¨og S-geometri´aban. Ekkor fenn´all A2 B2 BC cos αE C2 √ √ = − 2 + (7.117) 1 − A2 1 − B2 1 − B2 1 − C 2 1 − C 2 C A C A √ B √ B , √1−C aromsz¨oget alkotnak. Az √1−A , √1−C azaz, az √1−A 2, 2 oldalak euklideszi h´ 2, 2 1−B 2 1−B 2 oldalakkal ´es αE sz¨oggel megszerkesztett h´aromsz¨oget nevezz¨ uk az (A, B, C) S-geometriabeli h´aromsz¨og euklideszi ˝os´enek. Szegedi t´etele seg´ıts´eg´evel a (2.151) ¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝o (azaz, a megfigyel´eseknek megfelel˝oen ¨osszeadott sebess´egekb˝ol) sebess´egekb˝ol is alkothatunk h´aromsz¨oget. Ne feledj¨ uk azonban, hogy (2.151)-ben egyir´any´ u sebess´egekr˝ol, azaz, elfajul´o h´aromsz¨ogekr˝ol van sz´o. ´ 7.22. Lemma (H´ aromszo as S-geometri´ aban) Alljon fenn a 0 < A, B, C < ¨galkot´ 1 sz´amok k¨oz¨ott a A+B (7.118) C= 1 + AB ugg´es. Ekkor az A, B ´es C oldalakkal elfajul´o h´aromsz¨og alkothat´o S geometri´aban. ¨osszef¨ Bolyai-Lobacsevszkij-geometria A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria szinusz- ´es koszinuszt´etel´et a 7.1. t´abl´azat tartalmazza. Rendelj¨ uk a C hossz´ us´aghoz az sinh C C=q = tanh(C) (7.119) 1 + sinh2 (C) norm´alt m´ert´eket. ´Igy az (A, B, C) h´aromsz¨og (A, B, C) oldalai h´aromsz¨oget alkotnak a Bolyai-Lobacsevszkij-geometri´aban. 7.23. T´ etel (Bolyai-Lobacsevszkij geometria koszinuszt´ etele) Legyen cos αB = cos αS − sin αS tg(π − (α + β + γ )/4) sin α . Jelent˝ o s er˝ o fesz´ ı t´ e sek ´ar´an bel´athat´o, ez ut´obbi S S S S √ 1− 1−2BC cos αS 2 alakba ´ırhat´o. Ezzel [1 − BC cos αB ] = 1 − 2BC cos αS + B 2 C 2 . kifejez´es BC Tov´abb alak´ıtva: [1 − BC cos αS ]2 = 1 − 2BC cos αS + C 2 B 2 , amit behelyettes´ıtve (7.96)be, ´atrendez´es ´es gy¨okvon´as ut´an √ √ √ 1 − B2 1 − C 2 2 1−A = . (7.120) 1 − BC cos αB Itt alkalmazva az A = tanh x, B = tanh y, C = tanhz helyettes´ıt´est, cosh(x) = cosh(y) cosh(z) − sinh(y) sinh(z) cos αB

(7.121)

ad´odik, ami a Bolyai-Lobacsevszkij geometria oldalakra vonatkoz´o koszinuszt´etele. 201

G¨ ombi geometria A g¨ombi geometria szinusz- ´es koszinuszt´etel´et a 7.1. t´abl´azat tartalmazza. 7.24. T´ etel (A g¨ ombi-geometria koszinuszt´ etele) Legyen √ cos αG = 1 − A2 cos αB . Ezzel

(7.122)

√

√ √ 1 − a2 = 1 − b2 1 − c2 + bc cos αG (7.123) √ √ √ ad´odik. Itt bevezetve a cos x = 1 − a2 , cos y = 1 − b2 , cos z = 1 − c2 jel¨ol´est, cos x = cos y cos z + sin y sin z cos αg

(7.124)

-t kapjuk, ami az x, y, z oldalak ´altal meghat´arozott g¨ombh´aromsz¨og oldalakra vonatkoz´ o koszinuszt´etele. Euklideszi geometria Az al´abbi t´etel megmutatja, hogyan kaphatunk az S-geometria VP , VP0 , V0P szakaszaib´ol E-geometri´aban h´aromsz¨oget. A most m´eg tal´anyos V0P jel¨ol´es magyar´azat´at k´es˝obb, a 7.28.. t´etelben adjuk meg. ´ 7.25. T´ etel (Euklideszi h´ aromsz¨ og sebess´ egh´ aromsz¨ ogb˝ ol) Alljon fenn a VP V0 V0P q P =p −p , 1 − VP 2 1 − V0P 2 1 − VP0 2

(7.125)

q p 2 0 ∆t 1 − VP = ∆t 1 − VP0 2 .

(7.126)

vektoregyenlet, ´es Ekkor a fenti ¨osszef¨ ugg´esek egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak a 1. a VP0 , VP ´es V0P term´eszetes sebess´egh´aromsz¨oget; 2. a {∆s, ∆t}-t a {∆s0 , ∆t0 }-vel ¨osszek¨ot˝o t´erid˝o transzform´aci´ot; 3. a VP0 , VP ´es V0P vektorok k¨ozti Lorentz-transzform´aci´ot. 7.2. Feladat (Az (a, b, c), (A, B, C) ´ es az S ´ es E geometria kapcsolat´ ahoz) A fentiek alapj´an az olvas´o l´atja, hogyan sz´armaztathat´o tetsz˝oleges (a, b, c) h´aromsz¨ogb˝ ol (A, B, C) h´aromsz¨og, ahol A, B, C < 1. Az A, B, C oldalakkal k¨ ul¨onf´ele h´aromsz¨ogeket lehet l´etrehozni: 202

• a speci´alis S h´aromsz¨og αS sz¨ og´et, amellyel fenn´all az cos αS − BC √ 1 − B 2 √1 − C 2 < 1

(7.127)

ugg´es; ¨osszef¨ • egy speci´alis euklideszi h´aromsz¨oget, melynek oldalai k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi egyenl˝otlens´eg: B−C B+C (7.128) 1 − BC < A < 1 + BC • egy speci´alis Bolyai-Lobacsevszkij h´aromsz¨oget, amelyre fenn´all cos αB − BC/2(1 + cos2 αB ) 0 id˝opontban meghat´arozhat´o. Amennyiben a vizsg´alt t´erfogatban n r´eszecske van, annak val´osz´ınus´ege, hogy ∆t id˝o alatt k¨olcs¨onhat´as k¨ovetkezik be nQ∆t, annak pedig hogy nem k¨ovetkezik be k¨olcs¨onhat´as 1−nQ∆t. Ha t-kor n r´eszecske volt, akkor t+∆t-kor csak u ´gy lehet n r´eszecske, ha ∆t alatt nem t¨ort´ent k¨olcs¨onhat´as. A k¨olcs¨onhat´ast k´et l´ep´esben ´ırjuk le: el˝osz¨or a r´eszecske elnyel˝odik, majd fk val´osz´ın˝ us´eggel megjelenik k r´eszecske. E folyamat eredm´enyek´ent akkor lesz pontosan n r´eszecske, ha a k¨olcs¨onhat´ast megel˝oz˝oen n − k + 1 r´eszecske volt. Ennek alapj´an fel´ırhat´o a pn (t) val´osz´ın˝ us´egre az al´abbi differencia egyenlet: pn (t + ∆t) = pn (t)(1 − nQ∆t) + Q∆t

n X

(n − k + 1)fk pn−k+1 (t).

(12.20)

k=0

Ebb˝ol a´trendez´es ´es a ∆t → 0 hat´ar´atmenet ut´an az al´abbi defferenci´alegyenletet kapjuk: ∞ X dpn (t) = −Qnpn (t) + Q (n − k + 1)fk pn−k+1 (t). dt k=0

(12.21)

Az egyenlethez kezdeti felt´etelk´ent a pn (0) = δn1 kezd˝ofelt´etelt ´ırjuk el˝o. (12.21) az u ´n. el˝orehalad´o Kolmogorov-egyenlet. Olyan folyamatok vizsg´alat´aban, ahol a r´eszecskesz´am v´altozik (pl. kvantummechanika) gyakran el˝ofordul. Amennyiben a (12.21) egyenletet megszorozzuk z n -nel ´es ¨osszegz¨ unk n-re, megkapjuk a gener´atorf¨ uggv´enyre vonatkoz´o egyenletet: ∂g(t, z) ∂g(t, z) = Q(g(z) − z) (12.22) ∂t ∂z P∞ ahol g(t, z) = n=0 pn (t)z n . A fenti bevezet˝o ut´an megvizsg´aljuk az el´agaz´o folyamatot le´ır´o fa ´el˝o n´odusainak val´osz´ın˝ us´egeloszl´as´at. Legyen az ´el˝o n´odusok sz´ama µe , amely egy v´eletlen v´altoz´o. Legyen P {µe = n|1} = pe (t, n) (12.23) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t id˝opillanatban pontosan n ´el˝o (azaz akt´ıv) n´odus van a f´an, felt´eve, hogy T = 0-kor 1 r´eszecske volt a fa kiindul´asi pontj´aban (root). A fentiek alapj´an k¨ozvetlen¨ ul fel´ırhat´o az al´abbi integr´alegyenlet: " # Z t ∞ k X X Y 0 pe (t, z) = e−Qt δn1 + Q e−Q(t−t ) f0 δn0 + fk pe (t0 , nj ) dt0 . (12.24) 0

k=1

340

n1 +···+nk =n j=1

Itt az els˝o tag a k¨olcs¨onhat´asmentes eset, amely csak az n = 1-hez ad j´arul´ekot, a t0 -kor bek¨ovetkez˝o k¨olcs¨onhat´as eredm´enyek´ent k ut´od j¨ohet l´etre, azok lesz´armazottai pedig ¨osszesen n r´eszecsk´et hoznak l´etre, ezt ´ırja le az integr´al. Bevezetve a ge (t, z) =

∞ X

pe (t, n)z n

(12.25)

n=0

gener´atorf¨ uggv´enyt, az al´abbi integr´alegyenletet kapjuk az ´el˝o n´odusok gener´atorf¨ uggv´eny´ere: Z t

0

e−Q(t−t ) q(ge (t0 , z))dt0

ge (t, z) = e−Qt z + Q

(12.26)

0

ezt pedig deriv´al´as ut´an differenci´alegyenlett´e alak´ıthatjuk: ∂ge (t, z) = −Qge (t, z) + Qq(ge (t, z)). ∂t

(12.27)

A megfelel˝o kezd˝o´ert´ek ge (0, z) = z. A gener´atorf¨ uggv´eny ismeret´eben meghat´arozhat´o a v´arhat´o ´ert´ek Eµe (t) = m1e (t): Z t 0 −Qt m1e (t) = e + Qq1 e−Q(t−t ) m1e (t0 )dt0 , (12.28) 0

a (12.28) egyenlet megold´asa pedig m1e (t) = e−(1−q1 )Qt .

(12.29)

Ennek megfelel˝oen a k¨olcs¨onhat´ast le´ır´o q1 , azaz, a k¨olcs¨onhat´asb´ol kiker¨ ul˝o ut´odok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke, d¨onti el, hogy az ´el˝o n´odusok sz´ama n˝o, stagn´al, vagy cs¨okken az id˝ovel. A f´at szubkritikusnak nevezz¨ uk, ha q1 < 1, szuperkritikusnak ha q1 > 1 ´es kritikusnak ha q1 = 1. Anal´og gondolatmenettel kapjuk meg az inakt´ıv n´odusok sz´am´anak eloszl´as´at. Legyen az inakt´ıv (halott) n´odusok sz´ama µh (t) ´es P {µh (t) = n|1} = ph (t, n). Az anal´og integr´al- ´es differenci´alegyenlet: Z t 0 −Qt gh (t, z) = e z + Q e−Q(t−t ) q(gh (t0 , z))dt0

(12.30)

(12.31)

0

∂gh (t, z) = −Qgh (t, z) + Qq(gh (t, z)). ∂t

341

(12.32)

P∞ n Itt gh (t, z) = atorf¨ uggv´eny ismeret´eben meghat´arozhat´o az n=0 ph (t, n)z . A gener´ Eµe (t) = m1h (t)v´arhat´o ´ert´ek : Z t 0 Qt m1h (t) = 1 − e + q1 Q e−Q(t−t ) m1h (t0 )dt0 , (12.33) 0

amelynek megold´asa:  m1h (t) =

1 (1 1−q1

− e−(1−q1 )Qt ) q1 6= 1 Qt q1 = 1

(12.34)

Azt tal´aljuk, hogy az inakt´ıv n´odusok sz´ama 1/(1 − q1 )-hez tart szubkritikus fa eset´en ´es v´egtelenhez kritikus ´es szuperkritikus fa eset´en. Tov´abbi r´eszletek tal´alhat´oak P´al L´en´ard k´ezirat´aban.

12.2.

Neutrondetektorok hat´ ekonys´ aga

A csoportelm´elet alkalmaz´asaiban nem csak az irreducibilis a´br´azol´asoknak, vagy az ortogonalit´asi rel´aci´oknak van szerepe. Gyakran j´ol kihaszn´alhat´o az a t´eny, hogy bizonyos m˝ uveletek csoportot alkotnak, vagy izomorfak egy csoporttal. Ebben az esetben az invert´al´as, vagy ¨osszef¨ ugg´esek meg´allap´ıt´asa jelent˝osen k¨onnyebb´e v´alik. Erre j´o p´elda a neutrondetektor hat´ekonys´aga (H. Nifenecker cikke nyom´an). Ha egy neutron maggal u ¨tk¨ozik, az u ¨tk¨oz´es k¨ovetkezt´eben t¨obb neutron is keletkezhet, pl. hasad´as vagy (n, 2n), (n, 3n) reakci´o eredm´enyek´eppen. Ezek a folyamatok v´eletlenszer˝ uek, a keletkezett neutronok sz´am´at v´eletlen v´altoz´onak lehet tekinteni. A folyamat hat´askeresztmetszet´enek meghat´aroz´asa c´elj´ab´ol detektorokkal m´erik a keletkezett neutronok sz´am´at. A detektor hat´ekonys´aga v´eges, mindig van valamekkora h´att´ersug´arz´as, ez´ert nem minden, ´es nem csak a vizsg´alt folyamatb´ol sz´armaz´o neutront siker¨ ul detekt´alni, aminek eredm´enyek´eppen a m´ert neutronsz´am nem lesz azonos a val´odi neutronsz´ammal. Sz¨ uks´eg van egy m´odszerre, amivel a m´ert neutroneloszl´asb´ol megkaphat´o a val´odi neutroneloszl´as. Erre alkalmas Diven m´odszere, amit r¨oviden ismertet¨ unk. Legyen ε a detektor hat´ekonys´aga (azaz ´erz´ekenys´ege), P (p) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a reakci´oban p neutron keletkezett, legyen Q(n) annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy n neutront detekt´alunk. K¨onnyen bel´athat´o, hogy P ´es Q k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat: Q(ν) =

∞ X

Cpν εν (1 − ε)(p−ν) P (p).

(12.35)

p=ν

Ez egy line´aris kapcsolat Q ´es P k¨oz¨ott, amennyiben Q = (Q(1), Q(2), . . . ) ´es P = (P (1), P (2), . . . ), azaz az egyes esem´enyeket egy-egy vektorban foglaljuk o¨ssze, a k¨ovetkez˝ot kapjuk: Q = τ (ε)P. (12.36) 342

Ha a neutronforr´as ´es a detektor k¨oz´e egy f´oli´at helyez¨ unk, aminek transzmisszi´os egy¨ utt0 hat´oja ε , a kapott rendszer ekvivalens a k¨ovetkez˝o rendszerek valamelyik´evel: 1. egy megv´altozott, ε0 er˝oss´eg˝ u forr´as, ´es egy ε hat´ekonys´ag´ u detektor; 2. egy v´altozatlan, ε er˝oss´eg˝ u forr´as, ´es egy ε0 ε hat´ekonys´ag´ u detektor. Mivel ez a k´et rendszer ekvivalens, azt kaptuk, hogy τ (εε0 )P = τ (ε)[τ (ε0 )P]

(12.37)

¨ Osszeolvasva P egy¨ utthat´oit, azt l´atjuk, hogy a detektor´erz´ekenys´egek u ´gy viselkednek, 0 0 mint egy csoport elemei, hiszen τ (εε ) = τ (ε)τ (ε ). Ezen ¨osszef¨ ugg´es birtok´aban k¨onnyen megkapjuk τ (ε) inverz´et, hiszen τ (1) = 1 = τ (εε−1 ) = τ (ε) ∗ τ (ε−1 ), azaz, τ −1 (ε) = τ (ε−1 ). Ezzel a megfigyel´essel a (12.35) k¨onnyed´en invert´alhat´o: P(ν) =

∞ X

Cpν ε−ν (1 − ε−1 )p−ν Q(p).

(12.38)

p=ν

Az eloszl´asokb´ol a momentumok hordozz´ak a legl´enyegesebb inform´aci´ot, ezek meghat´aroz´as´ara pedig az el˝oz˝o r´eszben ismertetett karakterisztikus f¨ uggv´eny szolg´al. P´eld´aul P karakterisztikus f¨ uggv´enye (ld. P´al L´en´ard k¨onyv´et): ΦP (z) =

∞ X

z ν P (ν).

(12.39)

ν=0

A (12.35) k´epletb˝ol meghat´arozhat´o P ´es Q karakterisztikus f¨ uggv´enyei k¨ozti kapcsolat: ΦQ (z) = ΦP (1 − ε − εz).

(12.40)

Ez a kapcsolat azt mutatja, hogy Q karakterisztikus f¨ uggv´eny´et megkapjuk P karakterisztikus f¨ uggv´eny´eb˝ol, csak az argumentum´at kell megv´altoztatni. Legyen θε (z) = 1 − ε + εz,

(12.41)

az argumentumon hat´o oper´ator, amivel ΦQ (z) = Tε ΦP = ΦP (θε (z)) .

(12.42)

A θε transzform´aci´ok u ´jra egy csoportot alkotnak, mivel θε1 θε2 = 1 − ε1 + ε1 (1 − ε2 + ε2 z) = θε1 ε2 .

343

(12.43)

Megmutathat´o, hogy k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es ´all fenn θε ´es τ (ε) k¨oz¨ott. Ezek ut´an a karakterisztikus f¨ uggv´enyek k¨oz¨otti kapcsolat invert´al´asa m´ar egyszer˝ u, az eredm´eny: ΦP = ΦQ (1 − ε−1 + ε−1 z). (12.44) Ez az ¨osszef¨ ugg´es P momentumait Q momentumai f¨ uggv´eny´eben ´all´ıtja el˝o. Az elj´ar´as kiterjeszthet˝o a k¨ovetkez˝o esetre is. Legyen P (n1 , n2 ) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a vizsg´alt mag boml´asa sor´an keletkez˝o egyik term´ek n1 , a m´asik term´ek pedig n2 neutront bocs´at ki. A keletkez˝o neutronokat k´et detektorral (ezeket α ´es β indexszel jel¨olj¨ uk) m´erj¨ uk, legyen Q(pα , pβ ) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy az α detektor nα neutront, a β detektor pedig nβ neutront detekt´al. A detektor´erz´ekenys´eget most egy m´atrix adja meg:   ε1α ε1β E= . (12.45) ε2α ε2β Itt ε1α annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az 1-es term´ek a´ltal kibocs´atott neutront az α detektor detekt´alja. Erre az esetre a fenti sz´am´ıt´as megism´etl´ese j´oval hosszabb lesz ugyan-de v´egigvihet˝o. Feltessz¨ uk, hogy egyetlen neutront sem detekt´alhatja mindk´et detektor. Az els˝o hasad´asi t¨ored´ek a´ltal kibocs´atott ν1 neutronb´ol r-et detekt´alhst az α detektor, r0 -t pedig a β detektor, ´es ν1 − r1 − r0 neutron detekt´alatlan marad. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a ν1 neutron ´ıgy oszlik meg 0

0

Cνr1 rν1 −r Cνr1 (1 − 1α − 1β )ν1 −r−r ,

r + r0 ≤ ν1 .

(12.46)

Itt C tov´abbra is a binomi´alis egy¨ utthat´o. A kettes sz´am´ u hasad´asi t¨ored´ek eset´eben annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy u neutront detekt´al az α detektor ´es u0 neutront a β detektor: 0

0

0

Cνu2 u2α Cνu2 −u u0 2β (1 − 1α − 1β )ν2 −u−u

u + u0 ≤ ν2 .

(12.47)

Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy az α detektor pontosan r + u = pα neutront detekt´al ´es a β detektor pontosan r0 + u0 = pβ nem m´as, mint X 0 0 0 0 0 0 Cνr1 r1α Cνr1 −r r1β (1 − 1α − 1β )ν1 −r−r .Cνu2 u2α Cνu2 −u u2β (1 − 1α − 1β )ν2 −u−u . A= r,r0 u,u0 r+u=pα r0 +u0 =pβ

(12.48) Ezt az ¨osszef¨ ugg´est a´talak´ıtjuk: X 0 0 0 0 p −r0 p −r0 r r A= Cν1 1α Cνr1 −r r1β (1−1α −1β )ν1 −r−r Cνp2α −r p2αα −r Cν2β−pα r 2ββ (1−2β −2α )ν2 −pα −pβ +r+r . rr0

(12.49)

344

Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen XX XX 0 0 Q(pα , pβ ) = P (ν1 , ν2 ) Cνr1 r1α Cνr1 −r r1β ν1

ν2

r

(1 − 1α − 1β )ν1

−r−r0

r0 p −r0

p −r0

Cνp2α −r p2αα −r Cν2β−pα +r 2ββ

0

(1 − 2β − 2α )ν2 −pα −pβ +r+r , (12.50)

ahol a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egeknek kell teljes¨ ulni¨ uk: r +r0 ≤ ν1 , pα +pβ −(r +r0 ) ≤ ν2 , pα ≤ r, pβ ≤ r0 . Q karakterisztikus f¨ uggv´eny´et ´ıgy defini´aljuk: XX (12.51) ΦQ (X, Y ) = X pα Y pβ Q(pα , pβ ). pα

pβ

A kor´abban bevezetett u ´es u0 v´altoz´okkal a karakterisztikus f¨ uggv´eny ´ıgy ´ırhat´o: XX XX XXXX Φ(X, Y ) = X pα Y pβ P (ν1 , ν2 ) A (12.52) pα

pβ

ν1

ν2

r

r0

u

u0

Itt az r, r0 , u, u0 -re men˝o n´egyes ¨osszegz´esn´el figyelembe kell venni az al´abbi megszor´ıt´asokat: r + u = pα , r + r0 ≤ ν1 , r0 + u0 = pβ , u + u0 ≤ ν2 . Behelyettes´ıtve A hely´ere a (12.49) kifejez´est ´es ´atrendezve az ¨osszegz´est, ezt kapjuk: " ΦQ (X, Y ) =

XX ν1

P (ν1 , ν2 )

ν1 νX 2 −r X

# r0

Cνr1 (r1ααX Cν1 −r (1β Y )(1 − 1α − 1β )ν1

−r−r0

r=0 r0 =0

ν2

" ν ν −u 2 X 2 X u=0

# u0

u0

Cνu2 (2α X)u Cν2 −u (2β Y ) (1 − 2α − 2β )ν2

−u−u0

(12.53)

u0 =0

amib˝ol ΦQ (X, Y ) =

XX ν1

P (ν1 , ν2 )(1−1α −1β +1α X +1β Y )ν1 (1−2α −2β +2αX +2β Y )ν2

ν2

= ΦP (1 − 1α − 1β + 1α X + 1β Y, 1 − 2α − 2β + 2α X + 2β Y ). (12.54) A formul´ak egyszer˝ ubb kezelhet˝os´eg´e´ert bevezetj¨ uk az al´abbi ¨osszevon´asokat:       X 1 − 1α − 1β + 1α X + 1β Y 1 U= ,V = ,I = . Y 1 − 2α − 2β + 2α X + 2β Y 1

(12.55)

A bevezetett jel¨ol´esek k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: V = I − EI + EU = Θ(E)U 345

(12.56)

Ez a jel¨ol´es nyilv´anval´ov´a teszi a k´etdimenzi´os eset ´es a kor´abban vizsg´alt egydimenzi´os esett k¨oz¨otti anal´ogi´at: most Θ egy csoport transzform´aci´o, ez´ert fenn´all (Θ(E))−1 = Θ(E−1 ).

(12.57)

defini´aljuk a τ mennyis´eget az al´abbi m´odon: Q = τ (E)P.

(12.58)

Ekkor (τ (E))−1 = τ (E−1 ), ´es bevezetve az E m´atrix inverz´ere az al´abbi jel¨ol´est:   a1α a1β A= = E−1 (12.59) a2α a2β Az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est kapjuk P ´es Q k¨oz¨ott: XX XX 0 0 P (pα , pβ ) = Q(ν1 , ν2 ) Cνr1 ar1α Cνr1 −r ar1β (1 − a1α − a1β )ν1 −r−r ν1

ν2

r

(12.60)

r0

p −r0 pα −r pβ −r0 Cνp1α −r a2α Cν2 −pα +r a2ββ (1

ν2 −pα −pβ +r+r0

− a2α − a2β )

,

ahol teljes¨ ulnie kell az al´abbiaknak: r + r0 ≤ ν1 , pα + pβ − (r + r0 ) ≤ ν2 , pα > r, pβ > r0 . A karakterisztikus f¨ uggv´eny invert´al´as´ara az al´abbi formula szolg´al: ΦP (X, Y ) = ΦQ (X, Y )/(1−α1α −α1β +α1α X +α1β Y, 1+α2α (X −1)−α2β (Y −1)). (12.61) Ennek megfelel˝oen k´epleteket kapunk P centr´alis momentumaira, amelyek kisz´am´ıt´asa a  i  j ∂ ∂ + Y ΦP (X, Y ) (12.62) mPij = X ∂X ∂Y X=Y =1

k´eplettel t¨ort´enik. Az els˝o momentumok Q ν 1 = mP10 = a1α ν Q 1 + a2α ν 2

(12.63)

Q ν 2 = a1β ν Q 1 + a2β ν 2

(12.64)

valamint Q ahol ν 1 = mQ 10 , ν 2 = m01 . Ez az egyszer˝ u p´elda azt mutatja be, milyen seg´ıts´eget adhatnak elemi csoportelm´eleti megfontol´asok egy feladat leegyszer˝ us´ıt´es´eben.

346

13. fejezet Appendix 13.1.

Defin´ıci´ ok

347

Vektort´er. Az X halmazt testnek nevezz¨ uk, ha rajta k´et m˝ uvelet van megadva, mindk´et m˝ uvelet X-beli elemp´arokat visz a´t egy X-beli elembe. A k´et m˝ uveletet ¨osszead´asnak ´es szorz´asnak fogjuk nevezni, a + b ill. a ∗ b-vel fogjuk jel¨olni. Az ¨osszead´as kommutat´ıv, asszociat´ıv, l´etezik nullelem, minden elemhez l´etezik ellentett. A szorz´as kommutat´ıv, asszociat´ıv ´es l´etezik egy egys´egelem, a nullelem kiv´etel´evel minden elemhez l´etezik inverz. A nullelem ´es az egys´egelem nem azonos, ´es ´erv´enyes a z´ar´ojel felbont´as´anak szab´alya: a(b + c) = ab + ac. B´armilyen m˝ uvelet, ami a fenti felt´eteleknek eleget tesz, alkalmas a test defin´ıci´ohoz. P´elda testet alkot´o halmazokra: Q, R, C. Ha az X halmazon a fenti axi´om´ak egy kiv´etel´evel teljes¨ ulnek, azaz, nincs minden a 6= 0 elemhez inverz, akkor X-et gy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk. Az al´abbiakban az olvas´o egy ¨osszefoglal´ast tal´al, amiben a leggyakrabban haszn´alt halmazelm´eleti, absztrakt terekkel ´es csoportokkal kapcsolatos fogalmakat gy˝ ujt¨ottem o¨ssze. Olyan fogalmak is szerepelnek, amelyeket esetleg nem haszn´altam az el˝oad´asok sor´an, de ismertetj¨ uk hasznos az ´erintett ter¨ uleten megjelen˝o munk´ak meg´ert´es´ehez. Tekintettel arra, hogy a csoportokat ill. azok r´eszeit id˝onk´ent halmaznak, m´askor pedig egy metrikus t´er elemeinek tekintj¨ uk, m´ar a sz˝ ukebb csoportelm´elet t´argyal´asakor is keveredik a csoportelm´elet halmazelm´eleti ´es a metrikus terek le´ır´as´ara haszn´alatos fogalmakkal. Erre j´o p´elda a kompakt topologikus csoport elnevez´es, amit olyan csoportra alkalmazunk, aminek elemei kompakt halmazt alkotnak ´es topologikus t´ernek tekinthet˝oek. Topologikus t´ernek nevezz¨ unk egy X halmazt ´es egy adott tulajdons´ag´ u halmazoszt´alyt, amelyet X r´eszhalmazaib´ol a´ll´ıtunk el˝o. A sz´oban forg´o halmazoszt´aly rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: • tartalmazza a 0 u ¨res halmazt ´es X-et; • z´art a v´eges k¨oz¨osr´esz (metszet) k´epz´es m˝ uvelet´ere n´ezve; • z´art tetsz˝oleges egyes´ıt´esre n´ezve. Az oszt´aly elemeit ny´ılt halmazoknak nevezz¨ uk. Az X topologikus t´er diszkr´et, ha X minden r´eszhalmaza ny´ılt. Az E halmaz z´art, ha X − E ny´ılt. A z´art halmazok oszt´alya tartalmazza az u ¨res halmazt ´es X-et ´es z´art a v´eges egyes´ıt´es ´es a tetsz˝oleges metszet m˝ uveletekre n´ezve. Az X t´er E r´eszhalmaz´anak E0 belseje az a legb˝ovebb ny´ılt halmaz, amelyet E tartalmaz. Az E halmaz lez´ar´asa az a legsz˝ ukebb z´art halmaz, amely tar¯ Egy halmaz lehet talmazza E-t. Ha E ny´ılt, akkor E = E0 , ha z´art, akkor E = E. ¯ egyszerre nyitott ´es z´art is. Az E halmaz s˝ ur˝ u az X t´erben, ha E = X. Az Y r´eszhalmazt topologikus t´err´e, X alter´ev´e tehetj¨ uk, amennyiben az Y t´ernek azokat a r´eszhalmazait nevezz¨ uk ny´ıltnak, amelyek X egy ny´ılt halmaz´anak ´es Y-nak k¨oz¨os r´eszek´ent ´allnak el˝o. Az x ∈ X pont k¨ornyezete x-et tartalmaz´o ny´ılt halmaz. Az E ny´ılt halmaz E0 k¨ornyezete E-t tartalmaz´o ny´ılt halmaz. X b´azisa ny´ılt halmazok olyan B oszt´alya, amelyre teljes¨ ul, hogy minden x ∈ X ponthoz ´es x minden U k¨ornyezet´ehez l´etezik olyan B ⊂ B halmaz, amelyre x ⊂ B ⊂ U. Az X t´er szepar´abilis, ha van megsz´aml´alhat´o b´azisa. 348

Szepar´abilis t´er altere is szepar´abilis. Az X topologikus t´er E halmaz´anak ny´ılt fed´ese S a ny´ılt halmazok olyan K oszt´alya, amelyre E ⊂ K) teljes¨ ul. Egy E ⊂ X halmaz kompakt, ha E minden K ny´ılt lefed´es´enek van olyan {K1 , . . . , Kn } v´eges r´eszoszt´alya, amely E ny´ılt lefed´ese. Egy topologikus t´er Hausdorff-t´er, ha tetsz˝oleges k´et (k¨ ul¨onb¨oz˝o) pontnak van egym´ast´ol diszjunkt k¨ornyezete. Metrikus t´eren egy X halmazt ´es egy X0 t´eren ´ertelmezett d val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyt (ezt metrik´anak nevezz¨ uk) ´ert¨ unk, amelyre teljes¨ ulnek az al´abbiak: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 akkor ´es csak akkor, ha x = y, tov´abb´a, d(x, y) = d(y, x) ´es d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Egy f f¨ uggv´enyre, ami az A halmazt B-be k´epezi le az al´abbi jel¨ol´eseket alkalmazzuk f : A → B, ill. b = f (a), ahol b ∈ B, a ∈ A. Az f f¨ uggv´enyt injekci´onak nevezz¨ uk, amennyiben f (a1 ) = f (a2 ) -b˝ol k¨ovetkezik a1 = a2 . Az f f¨ uggv´enyt sz¨ urjekci´onak nevezz¨ uk, amennyiben minden b ∈ B-hez l´etezik olyan a ∈ A, amelyre b = f (a). A bijekci´o k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u f¨ uggv´enykapcsolatot jel¨ol, egy bijekci´o teh´at egyszerre injekci´o ´es sz¨ urjekci´o is. Az A halmazon ´ertelmezett rel´aci´ot ekvivalencia rel´aci´onak (r¨oviden ekvivalenci´anak) nevezz¨ uk, amennyiben a rel´aci´o reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az A halmaz (egy adott ≡ rel´aci´o szerinti) ekvivelencia oszt´aly´aba A azon a, a0 elemei tartoznak, amelyekre fenn´all a ≡ a. Csoporton olyan nem u unk, amelyben ´ertelmezve van egy asszocia¨res X halmazt ´ert¨ t´ıv, szorz´asnak nevezett m˝ uvelet, tov´abb´a tetsz˝oleges a, b ∈ X eset´en az ax = b ´es ya = b egyenleteknek van X-beli megold´asa. X-ben van egys´egelem, amit e-vel jel¨ol¨ unk, amire minden X-beli x-re teljes¨ ul ex = xe = x. X egy nem¨ ures Y r´eszhalmaza r´eszcsoport, ha tetsz˝oleges x, y ∈ Y elemre x−1 y ∈ Y teljes¨ ul. Ha E az X csoportnak egy r´eszhalmaza, −1 −1 akkor E az ¨osszes x alak´ u elemek halmaz´at jel¨oli, ahol x ∈ E. Ha E ´es F k´et r´eszhalmaza az X csoportnak, akkor EF az ¨osszes xy alak´ u elem halmaz´at jel¨oli, ahol x ∈ E ´es y ∈ F. Az X egy nem u ¨res E r´eszhalmaza akkor ´es csak akkor r´eszcsoport, ha E−1 E ∈ E. Az x elemek halmaz´at szok´as kapcsos z´ar´ojelbe tenni: {x}, azonban {x}E ´es E{x} helyett rendre az xE ill. Ex jel¨ol´est szok´as haszn´alni. Ezek neve rendre E baloldali ill. jobboldali eltoltja. Ha Y az X csoportnak egy r´eszcsoportja, akkor az xY ill. Yx halmazokat Y bal-, ill. jobboldali mell´ekoszt´aly´anak´anak nevezz¨ uk. Az Y r´eszcsoport norm´alis (vagy invari´ans), ha minden x ∈ X elemre xY = Yx teljes¨ ul. Ha az Y invari´ans r´eszcsoport k´et mell´ekoszt´aly´anak Y1 -nek ´es Y2 -nek szorzat´at Y1 Y2 szorzatk´ent defini´aljuk, akkor erre a szorzatra n´ezve a mell´ekoszt´alyok H halmaza csoport, amelyet az X csoportnak az Y r´eszcsoportra vonatkoz´o faktorcsoportj´anak nevez¨ unk, ´es az Y\X szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Az X csoportnak az Y csoportba val´o T : X → Y lek´epez´es´et homorfizmusnaknak nevezz¨ uk, ha tetsz˝oleges x1 , x2 ∈ X eset´en teljes¨ ul T (x1 x2 ) = T (x1 )T (x2 ). Topologikus csoporton egy olyan csoportot ´ert¨ unk, amely egyben olyan Hausdorff-t´er, amelyen az X0 X szorzaton ´ertelmezett (x, y) p´art az x−1 y elembe viv˝o lek´epez´es folytonos.

349

13.2.

P´ eld´ ak

350

Az al´abbi egyszer˝ u p´eld´ak megold´as´aval az olvas´o ellen˝orizheti tud´as´at. 1. Mutassuk meg, hogy az al´abbi 6 m´atrix csoportot alkot a m´atrixszorz´asra n´ezve (ω 3 = 1):        2      ω 0 0 1 ω 0 0 ω2 0 ω 1 0 , , , , , , . (13.1) 0 1 0 ω2 1 0 0 ω ω 0 ω2 0 Mutassa meg, hogy a csoport izomorf a C3v csoporttal! 2. Mutassa meg, hogy amennyiben egy a´br´azol´asban a csoport minden elem´et blokkdiagon´alis m´atrixok alkotj´ak, akkor a diagon´alisban ´all´o m´atrixok mindegyike a csoport egy ´abr´azol´as´at adja meg! 3. Tegy¨ uk fel, hogy egy vizsg´alt G csoporthoz 2 × 2-es m´atrixreprezent´aci´ot tal´altunk. Mutassa meg, hogy egy adott m´atrix saj´at´ert´ekeit a D determin´ans ´es az S spur seg´ıts´eg´evel az al´abbi m´odon adhatjuk meg: √ S ± S 2 − 4D . λi = 2 Hogyan v´altoznak a saj´at´ert´ekek, ha egy ekvivalens reprezent´aci´ora t´er¨ unk ´at? 4. Az amm´onia (N H3 ) molekula szimmetriacsoportja a C3v csoport. Legyen a hidrog´enek poz´ıci´oja ei , i = 1, . . . , 3. Vet´ıtse ki az ei vektorok irreducibilis komponenseit! Mi a fizikai jelent´ese az irreducibilis komponenseknek? 5. Mutassa meg, hogy az 

 1 a b  0 1 c  0 0 1

(13.2)

alak´ u m´atrixok Lie-csoportot alkotnak! Hat´arozza meg a csoport infinitezim´alis gener´atorait! 6. Mutassa meg, hogy az al´abbi GAP program el˝oa´ll´ıtja a G csoport szorz´asi t´abl´azat´at! Cayley:=function(G) local s,i,l,m,j,k,max; l:=Elements(G); max:=1; for i in [1..Length(l)] do for j in [1..Length(l)] do m:=l[i]*l[j]; 351

s:=String(m); if max