Modèle Cinématique Direct [PDF]

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Chapitre 4 : Modèle cinématique direct

MODELE CINEMATIQUE DIRECT MODELE DIFFERENTIEL DIRECT

4.1 Introduction Les modèles géométriques ne permettent que la commande des configurations géométriques telles que les positions et les orientations de l’élément terminal du robot industriel en question. Cependant, le contrôle ou la commande des vitesses linéaires et de rotation de l’effecteur sont généralement importantes. Considérons l’exemple simple du robot plan à 2 degrés de liberté (θ , h) (structure de la figure (2.1b)) qui est utilisé pratiquement pour réaliser la coupe des tôles suivant une ligne spécifiée. Par exemple, il est très bien connu que la vitesse de coupe joue un rôle très important dans un processus de coupe. Ou encore la variation de vitesse d’une électrode de soudure à l’arc peut provoquer des inhomogénéité du cordon de soudure (surépaisseur ou manque de métal d’apport). Le modèle cinématique direct est l’ensemble des équations permettant de prédire les vitesses de l’effecteur en fonction des vitesses des variables articulaires. Le modèle inverse est l’ensemble des équations permettant de calculer ces variables articulaires en fonction du vecteur vitesses opérationnel spécifié. Comme pour le MGD, pour déterminer les équations du modèle cinématique direct (MCD) on dispose de méthodes systématiques permettant de générer automatiquement ce modèle. Deux méthodes considérées comme principales seront utilisées pour établir le MCD : • Méthode utilisant la notion de torseur • Méthode utilisant le MGD

Vitesses des axes articulaires

Modèle cinématique direct

Vitesses linéaires et de rotation de l’effecteur dans l’espace opérationnel

Fig 4.1

Le modèle différentiel direct (MDD), (appelé aussi le modèle des petits déplacements), est l’ensemble des équations permettant de relier la différentielle de la configuration géométrique en fonction de la différentielle du vecteur des coordonnées généralisées. Il est obtenu à partir du MCD en considérant un incrément de temps égal à l’unité. De même le modèle différentiel inverse est l’ensemble des équations qui lient la différentielle des coordonnées articulaires à la différentielle imposée de la situation de l’organe terminal du système mécanique articulé. Le MDD permet aussi de déterminer les équations du MCD.

Précisons que pour la suite, il s’agit de calculer la vitesse linéaire du point central C de r l’élément terminal, notée V par rapport au repère de référence R0 et le vecteur vitesse de r rotation de l’effecteur, noté Ω , en fonction des vitesses des variables articulaires q& i (i = 1, n) . Bien entendu que le robot est supposé sériel et de degré de liberté égal au nombre n en considérant toujours le cas habituel ou les liaisons entre solides sont de type pivot ou prismatique.

1

Chapitre 4 : Modèle cinématique direct

4.2 Méthode utilisant la notion des torseur cinématique Nous rappelons que les corps solides sont toujours considérés indéformables. Soit r r r Ri (Oi , xi , y i , z i ) le repère lié au corps solide S i et permettant ainsi de décrire le r mouvement de ce dernier. Soit u i le vecteur unitaire de l’axe de la liaison entre les solides S i −1 et S i .

v zi

Si S i −1 R0

Fig. 4.2

v Avec la convention de Denavit-Hartenberg, ce vecteur est toujours représenté par l’axe z i et la variable généralisée temporelle q i (t ) de l’articulation n°i par :

q i (t ) = σ i q i + σ i q i La ième vitesse généralisée généralisée correspondante :

(avec σ i + σ i = 1 )

(4.1)

q& i (t ) est obtenue par simple dérivation de la coordonnée q& i (t ) = σ i q& i + σ i q& i

(4.2)

v r r r r Soit VOi / i −1 la vitesse de l’origine du repère Ri (Oi , xi , y i , z i ) relativement à Ri −1 et ω i / i −1 le vecteur rotation du corps S i (c’est aussi le vecteur rotation du repère Ri par rapport à Ri −1 ). * si la liaison est rotoïde : * si la liaison prismatique :

r

r

r

r

σ i = 0 , ω i / i −1 = q& i z i et VO / i −1 = 0 , r

σ i = 0 , ω i / i −1

i r r r = 0 et VOi / i −1 = q& i z i .

(4.3) (4.4)

Rappelons la formule de transport des vitesses. C étant le point central de l’élément terminal, on a la relation vectorielle suivante : r r r r VC∈Si / i −1 = VOi ∈Si / i −1 + ω i / i −1 ∧ Oi C (4.5)

En utilisant les remarques (4.3) et (4.4), on a : r r r r VC∈Si / i −1 = σ i q& i z i + σ i q& i .COi ∧ z i

(4.6)

Fig. 4.3

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Chapitre 4 : Modèle cinématique direct

Le torseur cinématique du mouvement de S i / S i −1 , exprimé en

{vi / i−1 }C

, s’écrit :

r r r VC∈S / i −1 = σ i q& i z i + σ i q& i .COi ∧ z i  =r i  r ω i / i −1 = σ i q& i z i  C

(4.7)

Le théorème de composition de mouvement, appliqué au système mécanique articulé, commençant de l’effecteur (de repère Rn supposé attaché à l’élément terminal) et terminant par le socle du bras manipulateur (attaché au repère R0 ):

{vn / 0 }C = {vn / n−1 }C + .....{v2 / 1 }C + {v1 / 0 }C (4.8)

i =n

= ∑ {vi / i −1 }C i =1

D’où, la description du mouvement du corps constituant l’élément terminal, supposé être r r T repéré par le repère Rn , et noté par le vecteur VC Ω C est donné par l’expression vectorielle suivante :

[

]

r r n r r & & q z q C O + . σ σ i i i ∧ zi  ∑ i i i VC   i =1   r  = {v n / 0 }C =  n  Ω  C  σ q& zr  i i i ∑  C i =1 Mouvement de l’effecteur par rapport au repère R0 en fonction

(4.9)

Fonction des vitesses articulaires et de la configuration du manipulateur

des variables opérationnelles.

Ces égalités constituent le modèle cinématique direct (MCD) sous forme vectorielle. En identifiant terme à terme, l’égalité précédente fourni un ensemble d’équations linéaires (elles sont au maximum en nombre de 6). Forme algébrique (ou matricielle) La relation vectorielle précédente (4.9) peut être projetée dans n’importe quelle base r orthonormée bk . Naturellement, on choisira la plus simple. Notons par ( x ) k les coordonnées r du vecteur x dans la base choisie bk . La relation précédente prend la forme algébrique suivante : r r q&1  n r rk r r k σ i q& i z i + σ i q& i .COi ∧ z i  r ∑  VC  ....  q& 2 (σ i z i + σ i .COi ∧ z ) ... (4.10)  i =1  r k =  n    = r k ... σ i ( zi )  .....  ...  Ω  C ∑ σ q& zr i i i  i =1  C q& n  On pose : 3

Chapitre 4 : Modèle cinématique direct

r r r (σ i z i + σ i .COi ∧ z ) k r σ i ( zi ) k

.... IΡ k =  .....

(4.11)

 , 

... ...

appelé matrice jacobienne projetée dans la base bk .

[

En résumé, si on note : X& k = v1k , v 2k ,..., v6k

]

T

= (VCk , Ω k ) T , on peut écrire :

X& k = IP k .q&

(4.12)

Ces relations constituent le modèle cinématique direct sous forme algébrique (ou matricielle).

Exemple simple : Modèle cinématique direct d’un porteur cylindrique En utilisant la convention de D-H, les différents repères utilisés sont représentés sur la figure r r 4.4. Soit V et Ω les vecteur vitesses linéaire et de rotation de l’effecteur (du TPC, le point C ) par rapport au repère de référence R0 . Les grandeurs cinématiques opérationnelles concernent le corps n°3. 1

2

3

σ α b

θ r

Le vecteur des vitesses généralisées est q& = (q&1 , q& 2 , q& 3 ) T . Tandis que les vitesses opérationnelles sont regroupées dans le vecteur X& k = ( x&, y& , z&, ω x , ω y , ω z ) T . Choisissons b0 comme base d’évaluation de ces composantes. La forme algébrique du MCD s’écrit :

r r VC0  σ 1 zr1 + σ 1 .(CO1 ∧ zr1 ) 0 σ 2 zr2 + σ 2 .(CO2 ∧ zr2 ) 0  0 =  r r σ 1 z1 σ 2 z2 Ω  

r

r

r

q&1 

σ 3 z 3 + σ 3 .(CO3 ∧ z 3 ) 0     q& 2  (4.13) r σ 3 z3  q& 3 

D’après l’architecture mécanique du SMA, on peut simplifier cette matrice et elle ne contient que les termes suivants :

r VC0  (CO1 ∧ zr1 ) 0  0 =  r 0 Ω   ( z1 )

r (z2 )0 r (0) 0

Essayons de calculer terme par terme : 4

q&1  r ( z3 ) 0    r  q& 2 (0) 0    q& 3 

(4.14)

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r r r On a : z1 = (0,0,1) dans R1 , z 2 = (0,0,1) dans R2 et z 3 = (0,0,1) dans R3 Dans le cas général, il faut évaluer les matrices de transformation homogènes correspondantes aux conventions de D-H pour déterminer les composantes des différents vecteurs (comme les r r r z i ) dans la base de projection. Pour ce cas simple, il est aisé de calculer les vecteurs z1 , z 2 et r z 3 dans la base bk choisie. Ici, on a choisi b0 : •

r r r ( z1 ) 0 = (0,0,1) , ( z 2 ) 0 = (0,0,1) et ( z 3 ) 0 = (cos q1 , sin q1 ,0) T .

•

sin q1  r r r r r r r CO1 ∧ z1 = −(O1C ∧ z1 ) = −(q 2 z 2 + q 3 z 3 ) ∧ z1 = − q 3 .cos q1  0 

0

(relativement à la base b0

du repère R0 ) La matrice jacobienne projetée dans la base b0 , IP 0 s’écrit :

 − q 3 sin q1 − q cos q 1  3  0 IP 0 =  0   0  1 

0 cos q1  0 sin q1  1 0   0 0  0 0   0 0 

(4.15)

Le modèle cinématique direct, X& k = IP k .q& , s’écrit :

 x& = q& 3 cos q1 − q&1 q 3 sin q1  y& = q& sin q − q& q cos q 3 1 1 3 1   z& = q& 2  ω x = 0 ω y = 0  ω z = q&1

(4.16)

Déterminer le modèle différentiel direct du porteur cylindrique ?

4.3 Méthode utilisant le modèle géométrique direct La méthode utilisée précédemment pour déterminer la matrice jacobienne IP k MCD peut être qualifiée de directe. Une deuxième méthode, qui semble moins difficile, est celle qui permet de calculer cette matrice jacobienne indirectement en utilisant les équations du MGD. Cette méthode fera l’objet du présent paragraphe. Rappelons que les équations algébriques du MGD sont écrites sous la forme générale suivante : (4.17) X = f (q )

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Chapitre 4 : Modèle cinématique direct

où, X = ( x1 , x 2 , x 3 ,..., x m −1 , x m ) T ( m composantes opérationnelles inférieur ou égal à 6) et q = (q1 , q 2 , q 3 ,..., q n −1 , q n ) T (robot ayant n degrés de liberté). Nous disposons de m équations algébriques. Afin d’obtenir le modèle cinématique direct (MCD), on dérive par rapport au temps ces équations algébriques, on trouve les relations cinématiques suivantes :

dX d ( f (q (t )) = dt dt

(4.18)

De manière explicite, si les équations du MGD sont écrites comme suit ::

 x1 = f 1 (q1 , q 2 ,...., q n −1 , q n )  x = f (q , q ,...., q , q ) 2 1 2 n −1 n  2 .............................  .............................  x m −1 = f m−1 (q1 , q 2 ,...., q n −1 , q n )   x m = f m (q1 , q 2 ,...., q n −1 , q n )

(4.19)

les équations du MCD seront, sous forme algébrique, comme suit : ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n ) ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n )  dx1 ∂f 1 (q1 , q 2 ,...., q n −1 , q n ) q&1 + 1 1 2 q& 2 + ... + 1 1 2 q& n  dt = ∂q1 ∂q 2 ∂q n   dx 2 ∂f 2 (q1 , q 2 ,...., q n −1 , q n ) ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n ) ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n ) = q&1 + 2 1 2 q& 2 + ... + 2 1 2 q& n  ∂q1 ∂q 2 ∂q n  dt .............................  .............................  dx m −1 ∂f m −1 (q1 , q 2 ,...., q n −1 , q n ) ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n ) ∂f ( q , q ,...., q n −1 , q n ) = q&1 + m −1 1 2 q& 2 + ... + m −1 1 2 q& n  ∂q1 ∂q 2 ∂q n  dt  dx ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n ) ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n ) ∂f (q , q ,...., q n −1 , q n )  m = m 1 2 q&1 + m 1 2 q& 2 + ... + m 1 2 q& n  dt ∂q1 ∂q 2 ∂q n

(4.20)

ou sous forme matricielle :  dx1   ∂f 1     dt   ∂q1  dx 2   ∂f 2     dt   ∂q1  .....  =  ..    ∂f m −1  dx m −1    dt   ∂q1  dx   ∂f m  m   ∂q  dt   1

∂f 1 ∂q 2 ∂f 2 ∂q 2 ... ∂f m −1 ∂q 2 ∂f m ∂q 2

∂f 1 ∂q n −1 ∂f 2 ....... ∂q n −1 ........ ..... ∂f m −1 ........ ∂q n −1 ∂f m ...... ∂q n ......

Ou encore :

6

∂f 1   q&1   ∂q n  & q   2 ∂f 2   q&   ∂q n  3  ....  ...  ∂f m −1  q&   n−2  ∂q n  q&  n −1 ∂f m   q& n    ∂q n 

(4.21)

Chapitre 4 : Modèle cinématique direct

X& = J (q )q& ,

(4.22)

avec : X& = ( x&1 , x& 2 , x& 3 ,..., x& m−1 , x& m ) T ( m composantes opérationnelles inférieur ou égal à 6), q& = (q&1 , q& 2 , q& 3 ,..., q& n −1 , q& n ) T et la matrice jacobienne de m lignes et n colonnes, J (q ) telle que :  ∂f 1   ∂q1  ∂f 2  ∂q  1 J (q ) =  ..  ∂f m −1  ∂q  1  ∂f m  ∂q  1

∂f 1 ∂q 2 ∂f 2 ∂q 2 ... ∂f m −1 ∂q 2 ∂f m ∂q 2

∂f 1 ∂q n −1 ∂f 2 ....... ∂q n −1 ........ ..... ∂f m −1 ........ ∂q n −1 ∂f m ...... ∂q n ......

∂f 1   ∂q n  ∂f 2  ∂q n  ....  ∂f m −1  ∂q n   ∂f m  ∂q n 

(4.23)

Robot plan ayant deux axes Considérons le robot plan dont l’architecture mécanique est représentée sur la figure (4.6), similaire au robot de la figure (2.1b) ayant 2 degrés de liberté ( θ et h ) utilisé pour la coupe des tôles.

h d

Fig.4.6 Robot plan avec deux degrés de liberté

Soit R (C , x3 , y3 , z 3 ) un repère orthonormé permettant de décrire géométriquement la configuration de l’effecteur. 1. Etablir le modèle géométrique direct. 2. Déterminer le MCD. 3. En déduire le MDD. T 4. Pour la configuration q = (30° , 4) , quelle est la variation des coordonnées opérationnelles correspondant à une variation élémentaire des variables articulaires ∆q = (5° ,1) T .

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