Modelamiento Matematico Serpentin [PDF]

Zitiervorschau

MODELAMIENTO MATEMATICO

Según esta grafica un cambio de fase es a temperatura constante lo que da a entender que se aporta calor latente, y cuando hay una gradiente de temperatura se considera el aporte de calor sensible

ASUNCIONES: 

El calor aportado por el vapor al sistema es calor sensible ya que según los datos este entra a temperaturas debajo de 100 °C



La temperatura está distribuida uniformemente en todo el contenido del tanque.



El calor que sale del sistema es calor latente de condensación.

ENTRADAS: Las únicas entradas son el calor sensible aportado por el vapor y el transferido del serpentín al contenido del tanque 𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣(𝑇 − 𝑇𝑣) + 𝑈𝐴(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) ACUMULACION: 𝑑[𝑀𝐶𝑝(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓)] 𝑑𝑡 SALIDA: La salida de calor del sistema es el calor latente de vapor puesto que este cambia de estado una vez pasado por el serpentín en contacto con el contenido del tanque 𝑚𝑣𝜆

REALIZANDO EL BALANCE DE CALOR NO ESTACIONARIO 𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣(𝑇 − 𝑇𝑣) + 𝑈𝐴(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) =

𝑑[𝑀𝐶𝑝(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓)] + 𝑚𝑣𝜆 𝑑𝑡

ESTACIONARIO 𝑚𝑣 𝑒𝑒 𝐶𝑝𝑣(𝑇 𝑒𝑒 − 𝑇𝑣) + 𝑈𝐴(𝑇 𝑒𝑒 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) = 𝑚𝑣 𝑒𝑒 𝜆

RESTANDO NO ESTACIONARIO MENOS ESTACIONARIO [𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 𝑒𝑒 ]𝐶𝑝𝑣[(𝑇 − 𝑇 𝑒𝑒 ) − (𝑇𝑣 − 𝑇𝑣)] + 𝑈𝐴(𝑇 − 𝑇 𝑒𝑒 ) = 𝑀𝐶𝑝

𝑑𝑇 + [𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 𝑒𝑒 ]𝜆 𝑑𝑡

𝐶𝑝𝑣𝒎𝒗𝑻 − 𝐶𝑝𝑣𝑚𝑣 𝑒𝑒 𝑇 𝑒𝑒 + 𝑈𝐴(𝑇 − 𝑇 𝑒𝑒 ) = 𝑀𝐶𝑝

𝑑𝑇 + [𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 𝑒𝑒 ]𝜆 𝑑𝑡

Tenemos un término no lineal así que procedemos a linealizarlo por la serie de Taylor 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑓(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) +

𝑑𝑓 𝑑𝑓 (𝑥 − 𝑥𝑜) + (𝑦 − 𝑦𝑜) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝐶𝑝𝑣𝑚𝑣𝑇 𝐹 = 𝐶𝑝𝑣𝑚𝑣 𝑒𝑒 𝑇 𝑒𝑒 + 𝐶𝑝𝑣𝑇(𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 𝑒𝑒 ) + 𝐶𝑝𝑣𝑚𝑣(𝑇 − 𝑇 𝑒𝑒 ) Reemplazando en la diferencia de estadio no estacionario y estacionario 𝑪𝒑𝒗𝒎𝒗𝒆𝒆 𝑻𝒆𝒆 + 𝑪𝒑𝒗𝑻(𝒎𝒗 − 𝒎𝒗𝒆𝒆 ) + 𝑪𝒑𝒗𝒎𝒗(𝑻 − 𝑻𝒆𝒆 ) − 𝐶𝑝𝑣𝑚𝑣 𝑒𝑒 𝑇 𝑒𝑒 + 𝑈𝐴(𝑇 − 𝑇 𝑒𝑒 ) = 𝑀𝐶𝑝

𝑑𝑇 + [𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 𝑒𝑒 ]𝜆 𝑑𝑡

Determinando las variables de desviación ̂ + 𝒎𝒗 ̂ = 𝑴𝑪𝒑 ̂ 𝑪𝒑𝒗𝑻 + 𝑼𝑨𝑻 𝒎𝒗𝑪𝒑𝒗𝑻

̂ 𝒅𝑻 ̂𝝀 + 𝒎𝒗 𝒅𝒕

Factorizando términos semejantes: 𝑇̂(𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴) + 𝑚𝑣 ̂ (𝐶𝑝𝑣𝑇 − 𝜆) = 𝑀𝐶𝑝

𝑑𝑇̂ 𝑑𝑡

Dividimos todo entre (mvCpv + UA) 𝑇̂ +

(𝐶𝑝𝑣𝑇 − 𝜆) 𝑀𝐶𝑝 𝑑𝑇̂ 𝑚𝑣 ̂ = (𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴) (𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴) 𝑑𝑡

𝐾=

(𝐶𝑝𝑣𝑇 − 𝜆) ; (𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴)

𝜏=

𝑀𝐶𝑝 (𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴)

La ecuación con las variables de desviación se reduce a lo siguiente: ̂+𝝉 ̂ =𝑻 𝑲𝒎𝒗

̂ 𝒅𝑻 𝒅𝒕

Realizando la transformada de Laplace tenemos: 𝐾𝑚𝑣(𝑆) = 𝑇(𝑆) + 𝜏𝑆. 𝑇(𝑆)

𝐾𝑚𝑣(𝑆) = 𝑇(𝑆)(𝜏𝑆 + 1) La función de trasferencia es: 𝐺(𝑆) =

𝑌(𝑆) 𝑻(𝑺) 𝑲 = = 𝑈(𝑆) 𝒎𝒗(𝑺) 𝝉𝑺 + 𝟏

Donde la variable de entrada es el flujo de vapor que pasa por el serpentín y la variable de salida es la temperatura final del agua en el tanque. ANALISIS DIMENSIONAL Ganancia (K) 𝐽°𝐶 𝐽 (𝐶𝑝𝑣𝑇 − 𝜆) 𝐾𝑔°𝐶 − 𝐾𝑔 𝐾= = (𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴) 𝐾𝑔 . 𝐽 + 𝐽 . 𝑚2 𝑠 𝐾𝑔°𝐶 𝑠𝑚2 °𝐶 𝐽 𝐾𝑔 𝐾= 𝐽 𝑠°𝐶 𝑲=

𝒔°𝑪 𝑲𝒈

Constante de tiempo (tau) 𝐽 𝐾𝑔. 𝐾𝑔°𝐶 𝑀𝐶𝑝 𝜏= = (𝑚𝑣𝐶𝑝𝑣 + 𝑈𝐴) 𝐾𝑔 . 𝐽 + 𝐽 . 𝑚2 𝑠 𝐾𝑔°𝐶 𝑠𝑚2 °𝐶 𝐽 °𝐶 𝜏= 𝐽 𝑠°𝐶 . 𝝉=𝒔