Model de Subiecte - Examen Partial II La Matematici Speciale, An II E, Transporturi [PDF]

Zitiervorschau

MODEL DE SUBIECTE - PARTIAL II la MATEMATICI SPECIALE, an II E, Transporturi I. PROGRAMA

 Transformarea Laplace.  Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al II-lea:  clasificarea;  reducerea la forma canonica;  determinarea solutiilor in cazul ecuatiilor de tip hiperbolic si parabolic;  problema Cauchy pentru ecuatia coardei vibrante;  problema Cauchy pentru ecuatia caldurii;  solutii cu simetrie radiala pentru ecuatii de tip eliptic II. STRUCTURA SUBIECTELOR Subiect 1: o ecuatie sau un sistem de ecuatii ce se rezolva aplicand transformarea Laplace Subiect 2: din capitolul Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al II-lea – un exercitiu referitor la clasificarea si aducerea la forma canonica (pentru toate tipurile de ecuatii) si, eventual, determinarea solutiilor (in cazul ecuatiilor de tip hiperbolic si parabolic) Subiect 3: din capitolul Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al II-lea – un exercitiu referitor la Problema Cauchy pentru ecuatia coardei vibrante SAU Problema Cauchy pentru ecuatia caldurii SAU Solutii cu simetrie radiala pentru ecuatii de tip eliptic. III. MODEL DE SUBIECTE 1. Folosind transformarea Laplace sa se rezolve problema Cauchy:  x ' (t )  2 x (t )  4t  2  x ( 0)  3 

2. Determinati ecuatia caracteristica asociata ecuatiei date. Precizati de ce tip este ecuatia data. Determinati forma canonica si solutia ecuatiei: 2 2 2 ∂u ∂u ∂ u +3 −4 =0 , u=u (x , y ). 2 2 ∂ x∂ y ∂x ∂y 3. Folosind forma laplaceianului in coordonate polare: ∂2 u 1 ∂ u 1 ∂ 2 u ∆ u= + + x=r cost , y =r sin t , r ≥ 0, t ∈ [ 0,2 π ) ,u=u(r , t) : ∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂t 2

,

sa se determine solutia cu simetrie radiala u=u (r ) a ecuatiei: ∆ u=r . SAU (VARIANTA PENTRU SUBIECT 3) Folosind formula lui Poisson

u ( t , x )=

1

∞

∫e

2 a √ πt −∞

solutia problemei Cauchy pentru ecuatia caldurii

2

−y 2 4a t

f ( x− y ) dy ,

sa se determine

{

∂ u ∂2 u − =0 ∂t ∂ x 2 u ( 0, x )=2 cos x

,

u=u (t , x) .