Mma12 Fichas 3 [PDF]

Zitiervorschau

Ficha de revisão 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

�x � f ( x ) = 3 - 6 cos � � �3 �. 1. Considere a função f , de domínio �, definida por 1.1.

Prove que a função f é periódica e indique o período positivo mínimo.

1.2.

Determine o contradomínio da função f .

1.3.

Determine uma expressão geral dos zeros da função f .

1.4.

Mostre que a função f é par.

2. Seja g a função de domínio � definida por

g ( x) = 1-

sin ( 2 x ) 2 .

2.1.

Determine o contradomínio da função g .

2.2.

Prove que o período positivo mínimo da função g é π .

2.3.

� π� -π , � � Determine os minimizantes da função g pertencentes ao intervalo � 2 �.

�x π � h ( x ) = 3 tan � + �- 3 �2 4 � 3. Considere a função h , real de variável real, definida por . 3.1.

Determine o domínio de h .

3.2.

� π 11π � - , � � Determine o(s) zero(s) de h pertencentes ao intervalo � 6 6 �.

3.3.

Prove que a função h tem período mínimo positivo igual a 2π .

Ficha de revisão 3 – Domínio 3 – Página 7

j ( x) = 4. Considere a função j , real de variável real, definida por 4.1.

Determine o domínio da função j e em seguida prove que:

"x �D j , j ( x ) =

4.2.

1 - 2 cosπ( - - x ) �π � 1 - cos � + x � 2 � �.

1 + 2 cos ( x ) 1 + sin ( x )

Determine uma expressão geral dos zeros da função j .

Ficha de revisão 3

5.

Resolva, em �, as equações seguintes.

�x � 2sin � �+ 1 = 0 �2 � 5.1.

2 - 2sinπ( + x ) =0

5.2.

5.3.

2 cos ( x ) + 2 = 0

5.4.

cos 2 ( x ) - cos ( x ) = 0

5.5.

2 cos x - sin x cos x = 0

5.6.

3 = 4sin 2 ( 2x )

5.7.

sin x = cos ( 2 x )

5.9.

tan

2

cosπ( - + x ) =sin -

5.8.

x

�π � tan ( 2 x ) = tan � - 3 x � �4 � 5.10.

( 2x) = 3

2 5.11. 2 cos x - 3 + 5cos x = 0

2 5.12. -2sin x = 1 - 3sin x

2 2 5.13. sin x + 2 cos x - 2 = 0

5.14. 2 tan x cos x = 1

6.

�π - ,π � 2 � Resolva, em

7.

Mostre que:

� � 2 � , a equação 2sin x + cos x = 1 .

4 2 4 2 7.1. "x ��, sin x - sin x = cos x - cos x

�π � 1 - ( sin x + cos x ) "x ��\π, 1 2sin = � + k k, 1��� + 2 cos x � 7.2. 2

8.

x

Na figura estão representados, num plano munido de um referencial ortonormado xOy , a circunferência trigonométrica e o triângulo

[ OPC ] .

Sabe-se que: ▪ O é a origem do referencial; ▪

A ( 1 , 0 ) B ( 0 , 1) ,

e

C ( 0 , - 1)

;

▪ o ponto P desloca-se ao longo do arco AB , nunca coincidindo com o ponto B . Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude do ângulo AOP e seja

f ( x)

a função que representa a área do triângulo

f ( x) = 8.1. Prove que

cosπx 2

� � 0, �x �� � �

[ OPC ] , em função de

x.

� � � � 2� �. Ficha de revisão 3. – Domínio 3 – Página 1

�π � 3 � π� a �� 0, � cos � + a �= � 2 �, tal que �2 � 5 . Determine o valor de f ( a ) . 8.2. Seja Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Miniteste 3.1. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

Determine o valor exato de

tan ( a + b )

- 20

sabendo que:

1π � � sin a = �a �� ,π � 3 �2 � ▪ cos b = ▪

2π � �b �� - , 5 �2

� 0� �

Apresente o valor pedido na forma de fração irredutível com denominador racional.

2.

Calcule o valor exato de

�π � �π � cos � �- sin � � 12 � � 12 �. �

Miniteste 3.1. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.1. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção

Relativamente a um ângulo x sabe-se que Qual é o valor exato de

tan x =

a sin ( 2 x ) + b cos ( 2 x )

a b , com a, b ��\ { 0} .

?

(A) a (B) b (C) ab b (D) a

Item de construção Determine o valor exato de cos x sabendo que:

�π x � 2 � 3π � sinπ�, + �= - �x �� � �2 2 � 3 � 2�

Questão-aula 3.1. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.2. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20

Matemática A | 12.º ano

N.º

Professor

1.

-

- 20

Resolva, em �, cada uma das equações. 1.1.

1.2. 1.3.

2.

Data

2 sin x - 2 cos x = 3

sin x + cos x = -

6 2

cos ( 2 x ) = -2 + 3cos x

Mostre que

"x ��, cos ( 2 x ) + cos ( 4 x ) + 1 = 2 cos 2 x + 2 cos 2 ( 2 x ) - 1

.

Miniteste 3.2. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.2. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Professor

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção 2 tan a 24 = 2 Relativamente a um ângulo a sabe-se que 1 + tan a 25 .

Qual é o valor de

cos 2 ( 2a )

?

24 (A) 25

1 (B) 625 49 (C) 625

576 (D) 625

Item de construção

�π � �π � 1 sin ( 2 x ) cos � �+ cos ( 2 x ) sin � �= ] - π , π[ a equação �5 � �5 � 2 . Resolva em

Questãu-aula 3.2. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.3. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

2.

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Mostre que, em �, se tem: 1.1.

sin ( a + b ) - sin ( a - b ) = 2sin ( b ) cos ( a )

1.2.

4 ( cos 2 a - cos 4 a ) = sin 2 ( 2a )

Calcule cada um dos seguintes limites.

2.1.

�π � cos � + x � �2 � lim+ x �0 1 - cos x 2 + 2 tan ( x ) π cos ( 2 x ) x �lim

2.2.

4

Miniteste 3.3. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.3. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

Item de seleção 1 De entre as opções seguintes, qual é o limite que não é igual a 4 ?

sin ( x - 2 ) 2 (A) x �2 x - 4 lim

sin ( 4 x ) x �0 tan ( 2 x )

lim

(B)

2

(C)

1 - sin x � � lim � 2 � π x � �cos x � 2

sin x x �0 8 x - 2 tan ( 2 x )

lim (D)

Item de construção

�π - , � g 2 � Considere a função , de domínio

π� 2� �, definida por:

g ( x) =

cos ( x ) - 2 cos ( x )

Estude a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. Na sua resposta, apresente uma equação para cada assíntota ao gráfico de g .

Questão-aula 3.3. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.4. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Calcule, nos pontos em que existe, uma expressão da derivada da função definida por: 1.1.

f ( x ) = 5sin x cos ( 2 x )

1.2.

f ( x ) = ( 1 + tan x )

1.3.

2.

- 20

f ( x) =

2

-2sin x 1 + cos x

Determine, utilizando a definição, a derivada da função g , de domínio �, definida por:

g ( x ) = cos ( 2 x ) no ponto de abcissa x = π .

Miniteste 3.4. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.4. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

Item de seleção Seja f a função, de domínio �, definida por:

f ( x ) = 4sin 2 ( x ) � Qual das expressões seguintes define a função f � , segunda derivada de f ?

(A)

8sin ( 2 x ) cos x

(B)

8sin ( x ) cos ( 2 x )

(C)

8cos ( 2x )

(D)

8sin ( 2x )

Item de construção

� 3π � 0, � � Considere a função g , de domínio � 2 �, definida por: g ( x ) = cos 2 x - sin 2 x + 2 1.

O gráfico da função g interseta a reta de equação y = 1 num só ponto. Determine, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, as coordenadas desse ponto.

2.

Estude a função g quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. Na sua resposta, apresente: •

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente decrescente; Questão-aula 3.4. – Domínio 3 – Página 1

•

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente crescente;

•

o(s) extremo(s) relativo(s) da função g .

Miniteste 3.5. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

- 20

Considere a função f , de domínio � , definida por: �x + sin x se x > 0 � � x f ( x) = � 2 �x - 1 se x �0 �x - 1 1.1. Estude a função f quanto à continuidade no ponto de abcissa x = 0 . 1.2. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais ao seu gráfico, escrevendo as suas equações, caso existam. 1.3. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x=

2.

3π 2 .

] 0 ,π [ , sabe-se que a sua derivada h�está definida igualmente De uma função h , de domínio no intervalo

] 0 ,π [

e é dada por: h� ( x) =

1 - sin x sin x

Estude a função h quanto às concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: • o(s) intervalo(s) em que o gráfico de h tem concavidade voltada para baixo; • o(s) intervalo(s) em que o gráfico de h tem concavidade voltada para cima; • a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de h .

Miniteste 3.5. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.5. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção Na figura está representado o triângulo isósceles

[ ABC ] .

Sabe-se que: ▪

AC = BC = 3 e AB = 2

▪ a designa a amplitude do ângulo BAC . uuur uuu r CB , em função de a ? Qual dos seguintes pode ser o valor de AC � (A)

9 cos ( 2a )

(B)

9 - 18sin 2 ( a )

(C)

9 cos 2 ( 2a )

(D)

9 cos ( a )

Item de construção Considere a função g , de domínio

] 0 ,π [ \

�π � �� �2 , definida por: g ( x) =

1 tan x

Estude a função g quanto à: 1.

existência de assíntotas verticais ao seu gráfico;

2.

à monotonia do seu gráfico. Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia.

Questão-aula 3.5. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.6. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

- 20

Num dia de vento são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa construída sobre um vale. Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto. Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale é dada, em metros, por: h ( t ) = 20 +

1 cos ( 2πt ) + t sin ( 2π t ) 2π

t é medido em minutos e pertence a [ 0 , 1] . Recorrendo à calculadora, resolva a inequação

h ( t ) < 19,5

.

Na sua resposta, apresente: ▪ num referencial, o gráfico da função ou gráficos da função que tiver necessidade de visualizar na sua calculadora, devidamente identificados; ▪ as coordenadas dos pontos relevantes com arredondamento às milésimas; ▪ as soluções usando a notação de intervalo de números reais, com os extremos do(s) intervalo(s), arredondadas às centésimas.

2.

[ 0 ,π [ , definida por: Considere a função f , de domínio f ( x ) = cos ( x ) + x -

sin ( 2 x ) 2

Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o respetivo contradomínio.

Miniteste 3.6. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.6. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

-

- 20

Item de seleção -π , π] De uma função f , de domínio [ , sabe-se que a sua derivada f �está definida igualmente

no intervalo

[ -π , π]

e é dada por: f� ( x ) = x + 2 cos ( x ) - sin ( x )

Qual é o valor de

lim x �0

f ( x) - f ( 0) x ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

Item de construção

[ ABCD] , assim como as suas diagonais [ AC ]

Na figura está representado o losango se intersetam no ponto O .

e

[ BD ] , que

Sabe-se que a medida do comprimento de cada lado do losango é igual a 1 e que b é a amplitude do ângulo BAO . 1.

Mostre que a área do losango

[ ABCD ]

é dada, em função de b , por:

� π� A ( b ) = sin ( 2b ) , b �� 0, � 2� � � π� �π � 3 q �� 0, � sin � + q �= � 2 �, tal que �2 � 4. 2. Seja Determine o valor exato de 3.

A( q )

.

ABCD ] Determine b para o qual a medida da área do losango [ é máxima.

Questão-aula 3.6. – Domínio 3 – Página 1

Miniteste 3.7. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

- 20

Um ponto P move-se no eixo das abcissas, onde a unidade é o metro, de forma que a sua abcissa no instante t (em segundos) é dada por:

�1 � x ( t ) = 6 cosπ� πt + � �2 � 1.1. Indique a amplitude, o período, a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase. 1.2. Determine uma expressão analítica da velocidade do ponto P . 1.3. Determine o módulo da velocidade máxima e o módulo da aceleração máxima do ponto P .

2.

Num certo dia de verão, a temperatura, em graus Celsius, dentro de uma determinada habitação, é dada por:

3π � �π f ( t ) = a cos � t + �+ d , a ��+ 12 4 � � e d �� onde t designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia. Sabe-se que nessa habitação e nesse dia a temperatura máxima ocorrida foi de 23 ºC e a temperatura mínima ocorrida foi de 18 ºC. 2.1. Prove que a = 2,5 e d = 20,5 . 2.2. Determine o instante, desse dia, em que a temperatura, em ºC, dentro dessa habitação, foi máxima, recorrendo a processos exclusivamente analíticos.

Miniteste 3.7. – Domínio 3 – Página 1

Questão-aula 3.7. Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data -

- 20

Item de seleção Na figura está representada uma representação gráfica de um oscilador harmónico f no intervalo

[ 0 , 6] .

Qual das seguintes pode ser uma expressão analítica

f ( t)

da função representada?

3π � � 4 cosπ� t + � �2 � (A)

π 3π � � 4 cos � t + � 2� �2 (B)

π � � 2 cosπ� t + � �2 � (C)

π π� � 2 cos � t + � 2� �2 (D)

Item de construção Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t (em segundos) é dada por:

�π � �π � x ( t ) = sin � t �- cos � t � �2 � �2 � 1.

Prove que se trata de um oscilador harmónico.

2.

Indique a amplitude, o período, a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase.

Questão-aula 3.7. – Domínio 3 – Página 1

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20

Matemática A | 12.º ano

N.º

Data

Professor

1.

1.3.

� π� f ( x ) = 1 - sin �2 x + � � 4 �em [ - π , π[ h ( x ) = tan ( 3x ) + 3

em

sin ( 2q )

Determine o valor exato de

[

.

.

sabendo que:

sin b = ▪

12π 3π � � �b �� , � 13 �2 2 �

Resolva, em �, as equações seguintes.

4.1.

5.

�π π 5π � �, , � �6 2 6

cos ( a - b )

� 3π � tan a = 2π�,a �� � 2� � ▪

4.

[ 0 ,π [ \

� π� g ( x ) = 2 cos �x + �+ 1 � 3 � em [ 0 , 2π ] 1.2.

4 cosπ( q, )0 = - �q �] 5 Relativamente a um ângulo q sabe-se que

Calcule o valor exato de

3.

- 20

Determine o período positivo mínimo, o contradomínio e os zeros de cada uma das funções.

1.1.

2.

-

cosπ( x ) - 3 sin π( x ) =1

4.2.

cos 2 ( x ) - sin 2 x = -

3 2

Considere a função f , de domínio � e com k ��, definida por:

�2 cos ( x ) π se x � � π 2 � xf ( x) = � 2 � π �1 k se x = � 2 Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 1

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

5.1. Determine o valor de k de modo que f seja contínua em

5.2. Prove que a reta de equação

6.

y=

x=

π 2.

8 12 x2 π π é tangente ao gráfico de f em x = π .

Determine, utilizando a definição, a derivada da função f , de domínio �, definida por f ( x ) = sin ( x ) cos ( 2 x )

, em x = 0 .

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 2

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

7.

� π 3π � x - , � g ( x ) = + cos ( x ) � g 2 2 �, definida por 2 Considere a função , de domínio � . 7.1. Estude a função g quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. Na sua resposta, apresente: ▪

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente decrescente;

▪

o(s) intervalo(s) onde a função g é estritamente crescente;

▪

o(s) extremo(s) relativo(s) da função g .

� π 3π � - , � � 2 2 �, tais que: � x 7.2. Determine os valores de , pertencentes ao intervalo f ( x) =

8.

x + sin ( 2 x ) 2

h x = 2 x + cos ( x ) Considere a função h , de domínio �, definida por ( ) .

h ( x ) + 2π + 1 x+π 8.1. Determine o valor de x �- π . lim

8.2. Estude o gráfico de h quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão no intervalo

9.

[ -π , π] .

�\ { 0} Considere a função j , de domínio , definida por

j ( x) =

sin ( -3x ) x .

9.1. Estude a função j quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico.

1� � $c �� -1 , - �: j ( c ) = -1 2� � 9.2. Prove que .

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 3

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

9.3. Prove que

"x ��\ { 0} , j � ( x) =

-3 x cos ( -3 x ) - sin ( -3 x ) x2 .

9.4. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de j no ponto de abcissa x=

π 6.

10. Seja f a função, de domínio �, definida por: f ( x ) = 0,5sin ( 2πx ) + 0, 25sin ( 4πx )

Prove que

"x ��, f ( x ) = sin ( 2πx ) �cos 2 ( πx )

.

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 4

Teste de avaliação 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

- 20 N.º

Matemática A | 12.º ano Data

Professor

1.

-

Relativamente a dois ângulos a e b sabe-se que tan b = 2 tan a . Qual é o valor de

tan ( a + b )

? tan 3 a 2 (B) 1 - 2 tan a

3 tan a 2 (A) 1 - tan a 3sin a cos a 2 2 (C) cos a - 2sin a

2.

(D)

3sin a cos a cos ( 2a )

2ax sin x � �-1 lim � x sin ( 4 x ) + = 0, a ��\ { 0} � x �0 1 cos x � � Sabe-se que . Qual é o valor real de a ? (B) 0,5

(A) -1

3.

(C) 1

(D) 4

�π kπ � �\ � + , k ��� �6 3 Considere a função f , de domínio , definida por: f ( x) =

2 tan ( 3 x )

A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa

(A) (C) 4.

5.

- 20

y = -8 x + y = 8x +

8π + 2 3 9

(B)

8+6 3 3

(D)

y = 8x +

x=

π 9 é:

8+6 3 9

y = -8 x +

8π + 6 3 9

Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica de uma função de domínio �? 1 2 (A) cos x

x 2 (B) 1 + tan x

�1 � sin � � �x � (C)

(D)

cos ( 2 x ) + 1

� g x = -g� ( x ) , para qualquer número x . Uma função real de variável real g é tal que ( ) Indique qual das seguintes expressões pode definir a função g .

(A)

sin 2 ( x )

(B) x

2

(C)

cos ( x )

1 2 (D) x Teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 1

Teste de avaliação 3

Teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 2

Teste de avaliação 3

6.

0 , 2π ] Considere a função g de domínio [ definida por:

1 + sin x se 0π�x � � g ( x) = � 1 - sin x se π < x �2π � 6.1. Mostre que a função g é contínua no seu domínio. 6.2. Averigue se existe

7.

g� ( π)

e em caso afirmativo indique o seu valor.

-π , π] f x = 2 cos ( x ) - cos ( 2 x ) Considere a função f de domínio [ definida por ( ) .

Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o contradomínio.

8.

Na figura estão representados, num referencial ortonormado xOy : 0 , 4π ] ▪ o gráfico da função f , de domínio [ , definida por f ( x ) = 2sin ( x )

;

0 , 4π ] ▪ o gráfico da função g , de domínio [ , definida

�x � g ( x ) = 2sin � � �2 �; por ▪ o ponto A pertencente ao gráfico de f e ao gráfico de g ; ▪ o ponto B do eixo das abcissas; ▪ a reta t tangente ao gráfico de f no ponto A e que passa por B . Determine a abcissa do ponto B . 9.

Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t (em segundos) é dada por: x ( t ) = a sin ( kt ) + b cos ( kt )

k ��\ { 0} , onde a, b e

Mostre que a aceleração do movimento desse ponto é diretamente proporcional a

x( t)

e

indique a constante de proporcionalidade.

Teste de avaliação 3 – Domínio 3 – Página 3

Proposta de resoluções

Ficha de revisão 3

Págs. 8 e 9

Como

x �D f

, então

x + P �D f

, porque

Df = � .

"x ��, f ( x + P ) = f ( x ) �

sin ( 2 x )

1 �" γx-� D-g � , 2

�" γx- �� Dg ,

sin ( x ) 3 1 2 2

�x + P � �x � � "x ��, cos � �= cos � �� �3 � �3 �

�" γ� x Dg ,

3 2

�x P � �x � � "x ��, cos � + �= cos � � �3 3 � �3 �

1 3� � Dg�= � , � 2 2 �. � Portanto,

�" γx- � D-f � , 6

�x � 6cos � � 6 �3 �

�x � �" γx- � D-f � , 9 3 6cos � � 3 �3 � �" γ� x -D f , 9

Portanto,

f ( x)

D� f = [ -3, 9 ]

3

sin ( 2 x ) 1 1 �1 �1 - � 2 2 2 1 2

1 2

g ( x)

2.2. Seja P o período positivo mínimo da função g . Se

x �Dg

x + P �Dg

, então

porque

Dg = � .

"x ��, g ( x + P ) = g ( x )

� "x ��, 1 -

� "x ��, -

sin ( 2 ( x + P ) ) 2

sin ( 2 x + 2 P ) 2

=1-

=-

sin ( 2 x ) 2

sin ( 2 x ) 2

�

�

� "x ��, sin ( 2 x + 2 P ) = sin ( 2 x )

Como 2p é o período positivo mínimo da função seno e P é o menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira, 2 P = 2 p , isto é, P = p . Logo, a função g tem período positivo mínimo p .

.

�x � �x � 1 f ( x ) = 0 � 3 - 6cos � �= 0 � cos � �= � �3 � �3 � 2 �

, podemos

1 2

2

�x + P � �x � � "x ��, - 6cos � �= -6cos � �� �3 � �3 �

�x � "x �D f , - 1 �cos � ��1 � �3 �

f ( -x) = f ( x)

"x �Dg , - 1 �sin ( 2 x ) �1 �

� "x �Dg , 1 +

Portanto, a função f é periódica de período positivo P = 6p mínimo 0 .

1.3.

2.1.

�x + P � �x � � "x ��, 3 - 6cos � �= 3 - 6cos � �� 3 � � �3 �

Como 2p é o período positivo mínimo da função cosseno e P é o menor valor positivo para o qual a proposição é P = 2p verdadeira, 3 , pelo que P = 6p .

1.2.

e

concluir que a função f é par.

1.1. Seja P o período positivo mínimo da função f . Se

"x �D f , - x �D f

x p x p = + k 2p, k ��� = - + k 2p, k ��� 3 3 3 3

1 2.3. O mínimo de g é 2 , pelo que os minimizantes são as 1 g ( x) = 2 . Assim: soluções da equação

g ( x) =

sin ( 2 x ) 1 sin ( 2 x ) 1 1 � 1= �= -1 � 2 2 2 2 2

� x = p + k 6p, k ���x = -p + k 6p, k ��

1.4.

�- x � �x � f ( - x ) = 3 - 6cos � �= 3 - 6cos � �= f ( x ) 3 � � �3 �

�

sin ( 2 x )

�x=

2

=

1 p � sin ( 2 x ) = 1 � 2 x = + k 2p, k �� 2 2

p + k p, k �� 4

Resoluções – Domínio 3 – Página 4

Proposta de resoluções � p� x �� -p, � � 2 �: Como -p
0, w > 0 e g �[ 0, 2p[ , podemos afirmar, então, que é um oscilador harmónico.

�p � �p � �p � � x ( t ) = sin � t �- tan � � �cos � t �� �2 � �4 � �2 �

�p � � x ( t ) = sin � t ��2 �

�p � sin � � �4 ��cos �p t �� � � �p � �2 � cos � � �4 �

2 �p � 2 �p � � x ( t ) = sin � t ��cos � t �� �2 � 2 �2 � 2

2.

Amplitude = A = 2 ; período 2p 2 =T = = 2p � = 4 p p 2 = f =

Frequência

1 1 5p = = T 4 ; ângulo da fase 4

2 �p � 2 �p � sin � t �cos � t � 2 2 � 2 � �2 �� � x( t) = 2 2

Resoluções – Domínio 1 – Página 23

Proposta de resoluções Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 Págs. 24 e 25

� p� � "x �[ 0, 2 p] , - 2 �2cos �x + ��2 � � 3�

2p =p f 1.1. ▪ Período mínimo da função : 2

� p� � "x �[ 0, 2p ] , - 1 �2cos �x + ��3 � 3�

p� � "x �[ -p, p[ , - 1 �sin � 2 x + ��1 � 4� � ▪ p� � � "x �[ -p, p[ , 1 �- sin � 2 x + ��-1 � 4� �

Portanto, ▪

▪

D� f = [ 0, 2]

g ( x ) = 0 �x �[ 0, 2 p] �

� p� 1 � cos �x + �= - �x �[ 0, 2p] � � 3� 2

.

f ( x ) = 0 �x �[ -p, p[ �

p 4p � p 2p � � �x + = + k 2p, k ���x + = + k 2p, k ��� 3 3 � 3 3 �

p� � � 1 - sin � 2 x + �= 0 �x �[ -p, p[ � 4� � p� � � sin � 2 x + �= 1 �x �[ -p, p[ � 4� � � 2x +

p p = + k 2p, k ���x �[ -p, p[ � 4 2

� 2x =

p + k 2p, k ���x �[ -p, p[ � 4

�x=

�x �[ 0, 2p] �

� p � � �x = + k 2p, k ���x = p + k 2p, k ���� � 3 � �x �[ 0, 2p] �

� x=

p + k p, k ���x �[ -p, p[ � 8

� x=-

7p p �x = 8 8

Os zeros de f são

.

� p� � 2cos �x + �+ 1 = 0 �x �[ 0, 2 p] � � 3�

p� � � "x �[ -p, p[ , 2 �1 - sin � 2 x + ��0 4� � Portanto,

D� g = [ -1, 3]

p �x = p 3

p ep g Os zeros de são 3 . p h 1.3. ▪ Período positivo mínimo da função : 3

-

7p p e 8 8.

1.2. ▪ Período positivo mínimo da função g : 2p = 2p 1 � p� "x �[ 0, 2p] , - 1 �cos �x + ��1 � � 3� ▪

▪

D� h =�

�p p 5p � h ( x ) = 0 �x �[ 0, p[ \ � , , �� �6 2 6 ▪

�p p 5p � � tan ( 3x ) + 3 = 0 �x �[ 0, p[ \ � , , �� �6 2 6 Resoluções – Domínio 1 – Página 24

Proposta de resoluções

�p p 5p � � tan ( 3x ) = - 3 �x �[ 0, p[ \ � , , �� �6 2 6

p �p p 5p � � 3x = - + k p, k ���x �[ 0, p[ \ � , , �� 3 �6 2 6

p kp �p p 5p � � x=- + , k ���x �[ 0, p[ \ � , , �� 9 3 �6 2 6 2p 5p 8p � x= �x = �x = 9 9 9 2 p 5 p 8p , e h 9 9 . Os zeros de são 9

2.

sin ( 2q ) = 2sin q cos

Determinemos o valor de sin q . 2 2 Pela fórmula fundamental, sin q + cos q = 1 , ou seja,

2

16 9 � 4� sin q + � - �= 1 � sin 2 q = 1 � sin 2 q = � 25 25 �5� 2

� sin q =

3 3 �sin q = 5 5

Por outro lado: 4 p� � cos q = - < 0 �q �] -p, 0[ � q �� -p, - � 5 2 �. �

3.

Tem-se que

cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b

.

Determinemos o valor de cos a . 1 + tan 2 a =

Recorrendo à fórmula

1 cos 2 a :

1 1 5 5 � cos 2 a = � cos a = �cos a = cos 2 a 5 5 5

1 + 22 =

� 3p � a �� p, � � 2 �, cos a < 0 , pelo que Como 5 cos a = 5 . sin a cos a , isto é: Assim, � 5� 2 5 sin a = tan a cos a = 2 � �- 5 � �= - 5 � � tan a =

Determinemos o valor de cos b . Pela fórmula fundamental da trigonometria: 2

� 12 � cos2 b + �- �= 1 cos 2 b + sin 2 b = 1 , isto é, � 13 � � cos 2 b = 1 -

� cos b =

144 25 � cos 2 b = � 169 169

5 5 �cos b = 13 13

Como 12 �p 3p � � 3p � �b �� , � b �� p, � � 13 �2 2 � � 2 �, pelo 5 cos b = 13 . Assim: que cos b < 0 , logo sin b = -

p� � q �� -p, - � 2 �, então, sin q < 0 , pelo � Como 3 sin q = 5. que � 3� � 4 � 24 sin ( 2q ) = 2 � - � �- �= 5 � � � 5 � 25 . Assim,

cos ( a - b ) = -

=

5 � 5 � �-2 5 � � 12 � - �+ � - �= � � � � 5 � 13 � � 5 � 13 � � �

5 5 24 5 29 5 + =65 65 65 Resoluções – Domínio 1 – Página 25

Proposta de resoluções

4.1.

cos ( px ) - 3 sin ( px ) = 1 �

lim x�

�

1 3 1 cos ( px ) sin ( px ) = � 2 2 2

cos x 2 lim = 1 - k � 2lim p y �0 p x� 2 x2

�p � �p � � cos � + px �= cos � �� 3 � � �3 �

p p p p � + px = + k 2p, k ��� + px = - + k 2p, k ��� 3 3 3 3 2p � px = k 2p, x ���px = + k 2p, k ��� 3

2 � x = 2k , k ���x = - + 2k , k �� 3

3 3 � cos ( 2 x ) = � 2 2

�5p � � cos ( 2 x ) = cos � �� �6 �

� 2x =

� x=

5p 5p + k 2p, k ���2 x = + k 2p, k ��� 6 6

5p 5p + k p, k ���x = + k p, k �� 12 12

5.1. A função f é contínua em apenas quando

x=

p p p x= y+ x� 2 , 2 e se 2 ,

Fazendo então y � 0 , pelo que:

�p � 1 � cos � + px �= � �3 � 2

4.2.

2cos x cos x = 1 - k � 2 lim = 1- k p p p x� x2 x2 2 y=x-

1 �p � �p � � cos � � cos ( px ) - sin � � sin ( px ) = � 2 �3 � �3 �

cos 2 x - sin 2 x = -

p 2

p 2 quando e

�p � lim f ( x ) = f � � p x� �2 � 2 . Assim, tem-se:

� 2lim

y �0

- sin ( y ) y

� p� cos �y + � � 2 �= 1 - k � y

= 1 - k � -2lim

y �0

sin ( y ) y

= 1- k �

� -2 �1 = 1 - k � -2 = 1 - k � k = 3 Logo, k = 3 . 5.2. O declive da reta tangente ao gráfico de f em ( p) . x = p é igual a f � Determinemos uma expressão da derivada da π x� f 2. função para

� � p� � p� � � 2cos x ) � �x - �- ( 2cos x ) �x - � �2cos x � ( 2� � � 2 �= f� ( x ) = � p �= 2 p � � � � �x - � �x - � � 2 � � 2�

� p� -2sin x �x - �- 2cos x � 2� = 2 � p� �x - � � 2� Assim: � p� -2sin ( p ) � p - �- 2cos ( p ) � 2� f� = ( p) = 2 � p� p � � � 2� Resoluções – Domínio 1 – Página 26

Proposta de resoluções p -2 �0 � - 2 �( -1) 0+2 4 8 2 = = 2 = 2� 2 = 2 2 p p p �p � �� 4 �2 �

f ( p) =

� sin x =

y - f ( p) = f � ( p) ( x - p)

Uma equação da reta é: . Como

1 � p 3p � - sin ( x ) = 0 �x �� - , �� 2 �2 2 � 1 � p 3p � �x �� - , �� 2 �2 2 �

5p � p � � �x = + k 2p, k ���x = + k 2p, k ���� 6 � 6 �

2cos ( p ) 2 �( -1) 2 4 = = -2 � = p p p p p2 2 :

� p 3p � �x �� - , �� �2 2 � �x=

4 8 8 � 4� 8 y -� - �= 2 ( x - p ) � y + = 2 x - � p p p � p� p

p 5p �x = 6 6

Recorrendo a uma tabela, vem:

8 12 � y= 2 xp p

8 12 x2 p p é uma equação da reta Portanto, tangente ao gráfico de f em x = p .

x

y=

6.

f� ( 0 ) = lim

f ( x ) - f ( 0) x-0

x �0

= lim

= lim

x

x �0

= lim x �0

f� ( 0) = 1

=

sin x cos ( 2 x ) x

5p 6

+

0

–

0

+

+

↗

Máx.

↘

Mín.

↗

Máx.

Tem máximos relativos iguais a �p � �3π � g � �e g � � �6 � �2 �e dois mínimos relativos iguais � p � �5p � g� - �e g � � a � 2 � �6 �.

.

� �x � � x � �1 g� ( x) = � � + cos x �= � �+ ( cos x ) = - sin ( x ) 2 �2 � �2 �

3p 2

p 5p � � , � 6 6� �. decrescente em �

=

� p 3p � x �� - , � � 2 2 �: 7.1. Para

� Zeros de g :

+

p 6

A função g é estritamente crescente em 5p 3p � �p p� � - , � � �6 , 2 � 2 6 � �e em � �e é estritamente

sin x = lim �lim cos ( 2 x ) = 1 �cos ( 2 �0 ) = 1 �1 = 1 x �0 x �0 x

Portanto,

p 2

Variação de g Mín.

x sin x cos ( 2 x ) - 0

� Sinal de g

=

sin x cos ( 2 x ) - sin ( 0 ) cos ( 2 �0 )

x �0

-

7.2.

f ( x) =

�

x � p 3p � + sin ( 2 x ) �x �� - , �� 2 �2 2 �

x x � p 3p � + cos ( x ) = + sin ( 2 x ) �x �� - , �� 2 2 �2 2 �

� p 3p � � cos ( x ) = sin ( 2 x ) �x �� - , �� �2 2 � Resoluções – Domínio 1 – Página 27

Proposta de resoluções � p 3p � � cos ( x ) = 2sin ( x ) cos x �x �� - , �� �2 2 �

� h� ( x ) = ( 2 - sin ( x ) ) �= ( 2 ) �- ( sin ( x ) ) �= = 0 - cos ( x ) = - cos ( x )

� p 3p � � 2sin ( x ) cos ( x ) - cos ( x ) = 0 �x �� - , �� �2 2 � � p 3p � � cos ( x ) � 2sin ( x ) - 1� - , � ��x �� �� �2 2 �

� : Zeros de h� - cos ( x ) = 0 � cos ( x ) = 0 � x =

Como � p 3p � � ( cos ( x ) = 0 �2sin ( x ) - 1 = 0 ) �x �� - , �� �2 2 � p � p � �x = + k p, k ���x = + k 2p, k ��� 6 � 2

�x =

5p � � p 3p � + k 2p, k ����x �� - , �� 6 � �2 2 �

� x=

lim

8.1.

p 3p p p 5p �x = �x = - p �x = �x = 2 2 2 6 6

h ( x ) + 2p + 1 x+p

x �-p

= lim

= lim

h ( x ) - ( -2p - 1) x - ( -p )

x �-p

x - ( -p )

=

, pois

h ( -p ) = 2 ( -p ) + cos ( -p ) = -2p - 1

Por outro lado, tem-se: h� ( x ) = ( 2 x + cos ( x ) ) �= ( 2 x ) �+ ( cos ( x ) ) �= 2 - sin ( x ) Assim,

h� ( -p ) = 2 - sin ( -p ) = 2 - 0 = 2

lim

Logo,

x �-p

h ( x ) + 2p + 1 x+p

x �[ -p, p]

, tem-se que p p � h� ( x ) = 0 � x = - �x = 2 2.

Recorrendo a uma tabela:

x

-p

� Sinal de h�

+

Sentido da concavidade h ( -p ) do gráfico de

-

p 2

p 2

p

+

0

–

0

+

+

�

P.I.

�

P.I.

�

h ( p)

h

h ( x ) - h ( -p )

x � -p

p + k p, k �� 2

.

=2 .

x �[ -p, p] h� ( x ) = 2 - sin ( x ) 8.2. Para , tem-se que e, consequentemente:

O gráfico de h tem concavidade voltada para p� � �p � -p, - � � � , p� 2 � � cima em e em �2 �e tem � p p� - , � � concavidade voltada para baixo em � 2 2 �. Tem dois pontos de inflexão cujas abcissas são p p 2 e 2. �\ { 0} 9.1. A função j é contínua em pois é definida pelo quociente entre duas funções contínuas: uma é a composta de uma função trigonométrica com uma função afim ( y = sin ( -3x ) ) e a outra é uma função afim ( y = x) .

Assim, apenas a reta de equação x = 0 pode ser assíntota vertical do gráfico de j . Resoluções – Domínio 1 – Página 28

Proposta de resoluções lim j ( x ) = lim-

x �0-

sin ( -3x ) x

x �0

= lim-

sin ( -3x ) -3x

x �0

�( -3)

+ Fazendo y = -3x , se x � 0 , então y � 0 . Portanto:

lim-

x �0

sin ( -3 x ) -3 x

�( -3) = -3 lim+

sin ( y )

y �0

De modo análogo,

y

lim j ( x ) = -3

y �0+

� ( sin ( -3 x ) ) � x - sin ( -3 x ) ( x ) � �sin ( -3x ) � j� = ( x) = � �= x2 � x � � ( -3x ) �cos ( -3x ) � � �x - sin ( -3 x ) � � = = x2

= -3 �1 = -3 =

. =

Como nenhum dos limites é infinito, podemos concluir que a reta de equação x = 0 não é assíntota vertical do gráfico de j . O gráfico de j não tem assíntotas verticais. �\ { 0} 9.2. A função j é contínua em .

1� � -1, - ���\ { 0} � 2� Como � , em particular, a 1� � -1, - � � j 2 �. função é contínua no intervalo � Por outro lado: j ( -1) =

sin ( -3 �( -1) )

�1� j� - �= � 2�

-1

=

sin ( 3) -1

�-0,141

� �1� � �3 � sin � -3 �� - � � sin � � � � 2� �= �2 ��-1,995 1 1 2 2

1� � -1, - � � j 2 �e Como a função é contínua em � �1� j� - �< -1 < j ( -1) � 2� , pelo Teorema de Bolzano 1� � $c �� -1, - � : j ( c ) = -1 2� � podemos garantir que . 9.3. Para

x ��\ { 0}

, tem-se:

( -3cos ( -3x ) ) x - sin ( -3 x ) x2

=

-3 x cos ( -3 x ) - sin ( -3 x ) x2

9.4. O declive da reta tangente ao gráfico de j no �p � p j� x= �� 6 é igual a �6 �. ponto de abcissa

�p � j� � �= �6 �

�p � � p � � p� -3 � � cos � -3 � �- sin � -3 � � �6 � � 6 � � 6 �= 2 �p � �� �6 �

p � p� �p� - cos � - �- sin � - � 2 2� � � 2 �= = p2 36

p - �0 - ( -1) 1 36 = 2 2 = 2 = 2 p p p 36 36 Por outro lado:

�p � j � �= �6 �

� 3p � � p� sin � - � sin �- � � 6 �= � 2 �= -1 = - 6 p p p p 6 6 6

Uma equação da reta em causa é: �p � �p � � p � y - j � �= j� � ���x - �� �6 � �6 � � 6 � � 6 � 36 � p � � y -� - �= 2 �x - �� � p� p � 6� Resoluções – Domínio 1 – Página 29

Proposta de resoluções � y+

y=

Portanto, reta pedida. 10.

sin a 3� cos a � � tan ( a + b ) = sin 2 a 1- 2� 2 cos a

6 36 6 36 12 = x- � y = 2 xp p2 p p p 36 12 xp2 p é a equação reduzida da

3sin a cos a � tan ( a + b ) = � cos 2 a - 2sin 2 a cos 2 a

"x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2px ) + 0, 25sin ( 4 px ) �

� "x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2px ) + 0, 25sin ( 2 �2px ) �

� "x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2 px ) + 0, 25 �2sin ( 2 px ) cos ( 2 px )

� tan ( a + b ) =

3sin a cos 2 a � 2 � cos a cos a - 2sin 2 a

� tan ( a + b ) =

3sin a cos a cos 2 a - 2sin 2 a

Resposta: (C) � "x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2px ) + 0,5sin ( 2px ) cos ( 2px ) �

2.

� "x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2px ) � 1 + cos ( 2px ) � �� �

2ax sin x � �-1 lim � x sin ( 4 x ) + =0� x �0 1 - cos x � � � � sin ( 4 x ) 2ax sin x ( 1 + cos x ) � � lim � + �= 0 � x �0 ( 1 - cos x ) ( 1 + cos x ) � � x

� "x ��, f ( x ) = 0, 5sin ( 2px ) � 1 + cos 2 ( px ) - sin 2 ( px ) � � ��

� "x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2px ) � 1 + cos2 ( px ) - ( 1 - cos2 ( px ) ) � � ��

� "x ��, f ( x ) = 0,5sin ( 2px ) � 2cos 2 ( px ) � � �� � "x ��, f ( x ) = sin ( 2px ) cos 2 ( px )

Teste de avaliação 3 Pág. 26 e 27

1.

tan a + tan b 1 - tan a tan b , como tan b = 2 tan a : tan ( a + b ) =

tan ( a + b ) =

tan a + 2 tan a � 1 - tan a ( 2 tan a )

� tan ( a + b ) =

3tan a � 1 - 2 tan 2 a

� sin ( 4 x ) ۴+=lim �� 4 x �0 4x �

2ax sin x ( 1 + cos x ) � �0 1 - cos 2 x �

� sin ( 4 x ) ۴+=lim �� 4 x �0 4x �

2ax sin x ( 1 + cos x ) � �0 sin 2 x �

� sin ( 4 x ) ۴+=lim �� 4 x �0 4x �

2ax ( 1 + cos x ) � �0 sin x �

� sin ( 4 x ) � �x � � 4lim � �lim ( 1 + cos x ) �2a = 0 � �+ lim � � x �0 x �0 sin x 4 x � � x �0 � �

� 4 lim

4 x �0

sin ( 4 x ) 4x

+

1 �lim ( 1 + cos x ) �2 a = 0 � sin x x �0 lim x �0 x

1 ۴+ �� 4 1 =�+= 2 �2=a 0 1

4 4a

0

a

1

Resoluções – Domínio 1 – Página 30

Proposta de resoluções Resposta: (A)

3.

� y = -8 x +

�p � f� �� O declive desta reta é igual a �9 �. Determinemos uma expressão da função derivada de f .

� 2 f� ( x) = � �tan ( 3 x ) �

� ( 2) � tan ( 3 x ) - 2 ( tan ( 3x ) ) � � = = � 2 � ( tan ( 3 x ) ) �

� 3 0 - 2� �cos 2 ( 3 x ) � = tan 2 ( 3 x )

� -6 � � cos 2 ( 3 x ) -6 �= = sin 2 ( 3 x ) sin 2 ( 3 x ) cos 2 ( 3 x )

8p + 6 3 9

Resposta: (D) 4.

(A)

D = { x ι �: cos 2 x

p � = ι� +p x �� =+p : x� 2 ��

0} = { x ι �: cos x

� �p �� �\ � 2

k ,k

0} =

k ,k

� ��

(B) 0

x

p 2

k ,k

1 x

p 2

k ,k

� ��

p 2

k ,k

� D =� ‫ٹ‬ p+ � +� : 1= tan 2 x �x� � � = ι� +x‫�ٹ‬ pι � = : tan 2 x �

� ��

Logo: �p � f� � �= �9 �

=

-6 -6 -6 = = = 2 2 2� p� � p � � � 3 sin � 3� � � sin � � � 9� � 3� � � � �2 � -6 4 = -6 � = -8 3 3 4

� x

� = ι� +p x �� =: x �

p 2

k ,k

� ��

� ��

�p � = �\ � + k p, k ��� 2 �

Uma equação da reta tangente ao gráfico de f p x= 9 é: no ponto de abcissa

(C) (D)

�p � �p � � p� y - f � �= f � �� �x - � 9 9 �� �� � 9�

D = { x ι �: x

0} = �\ { 0}

D =� { x+��=:γ-cos ( 2 x ) 1 0}

{x

�: cos ( 2 x )

= { x ��: x ��}

2 2 2 2 3 �p � f � �= = = = p p 9 3 � � � � 3 � � tan 3 � � � tan � � 9 3 � � �� , portanto:

y-

� =� ‫ٹ‬ p+ �: =x �x�� �

Repare que: "x ι �, cos ( 2 x )

-1

(condição universal em

�) =�

2 3 8p 2 3 � p� = -8 �x - �� y = -8 x + + � 3 9 9 3 � �

Resposta: (D) 5.

Tem-se que: Resoluções – Domínio 1 – Página 31

1}

Proposta de resoluções

( y = 1) e uma contínuas (uma função constante ( y = sin x ) ). função trigonométrica

( sin x ) �= 2sin x ( sin x ) �= 2sin x ( cos x ) = 2

▪

= 2sin x cos x = sin ( 2 x )

Vejamos se g é contínua em x = p .

( sin ( 2 x ) ) �= ( 2 x ) �cos ( 2 x ) = 2cos ( 2 x )

lim g ( x ) = lim- ( 1 + sin x ) = 1 + sin p = 1 + 0 = 1

▪

x �p -

▪

x �p +

-2cos ( 2 x ) �sin x

x �p

2

( x ) �= 2 x 2

▪

▪

( 2 x ) �= 2

g ( p ) = 1 + sin p = 1 + 0 = 1

[ 0, 2p] . Logo, g é contínua em

( cos ( x ) ) �= - sin x ( - sin x ) �= - cos x

▪

x �p

lim g ( x ) = lim+ g ( x ) = g ( p ) x �p Como x �p, podemos concluir que a função g é contínua em x = p .

-2 �x 2

▪

lim g ( x ) = lim+ ( 1 - sin x ) = 1 - sin p = 1 - 0 = 1

6.2. ▪

g� ( p- ) = limx �p

g ( x ) - g ( p) 1 + sin x - 1 = lim= x � p x-p x-p

sin x x-p

- ( - cos x ) = cos x, "x ��

= lim-

� ( 1) � x 2 - 1( x 2 ) � 0 - 2 x 2 �1 � = = =- 3 �2 � 4 2 2 x x �x � (x )

Fazendo y = x - p , tem-se x = y + p e se x � p- , então, y � 0 , pelo que:

x �p

� ( -2 ) � x 3 - ( -2 ) ( x 3 ) � 0 + 2 ( 3x 2 ) 6 x 2 6 � 2� - 3 �= = = 6 = 4 � 2 6 3 x x x �x � (x ) -

lim

x � p-

sin ( y + p ) sin x - sin y sin y = lim = lim = - lim = -1 y �0 y �0 x - p y �0 y y y

▪

g� ( p+ ) = lim+

6 1 � x4 x2

x �p

Resposta: (C)

[ 0, p[ , pois 6.1. A função g é contínua no intervalo trata-se da soma de duas funções contínuas (uma ( y = 1) e uma função função constante ( y = sin x ) ). trigonométrica ] -p,

A função g é contínua no intervalo pois trata-se da diferença de duas funções

2 p]

Fazendo y = x - p , tem-se x = y + p e, se x � p+ , então y � 0 , pelo que:

lim

x �p +

- sin ( y + p ) - ( - sin y ) - sin x = lim = lim = y �0 x - p y �0 y y

= lim ,

g ( x ) - g ( p) 1 - sin x - 1 - sin x = lim+ = lim+ x �p x �p x - p x-p x-p

y �0

sin y =1 y

Resoluções – Domínio 1 – Página 32

Proposta de resoluções g� ( p- ) �g �( p+ ) , não existe derivada de Como g no ponto de abcissa x = p , isto é, não existe g� ( p) . 7.

Para

x �[ -p, p]

Variação Mín. de f

�p - , � decrescente em � 3

f� ( x ) = ( 2cos x - cos ( 2 x ) ) �= = ( 2cos x ) � - ( cos ( 2 x ) ) �=

= 2 ( - sin x ) + 2sin ( 2 x ) = = -2sin x + 2sin ( 2 x )

� D 'f = � -3, �

� Zeros de f :

8.

-2sin x + 2sin ( 2 x ) = 0 � 2sin ( 2 x ) = 2sin x �

� 2 x = x + k 2p, k ���2 x = p - x + k 2 p, k ���

p k 2p + , k �� 3 3

:

f� ( x ) = 0 � x = -p �x = -

p � � 0� �, �e em �3 f ( -p ) = -3

p p �x = 0 �x = �x = p 3 3

Recorrendo a uma tabela, tem-se:

Sinal � 0 de f

-

+

p 3

0

↘

� p� �. Tem f ( 0) = 1 , e

3� 2� �.

� sin x = sin

x � 2

�x=

x x + k 2p, k ���x = p - + k 2p, k ��� 2 2

� x-

x x = k 2p, k ���x + = p + k 2p, k ��� 2 2

�

x 3x = k 2p, k ��� = p + k 2p, k ��� 2 2

� x = 4k p, k ���x =

-p

Máx

Coordenadas do ponto A :

� x = k 2p, k ���3 x = p + k 2p, k ���

x

↗

Mín.

x f ( x ) = g ( x ) � 2sin x = 2sin 2 �

� sin ( 2 x ) = sin x �

x �[ -p, p]

↘

três mínimos relativos: f ( p ) = -3 e dois máximos relativos: � p� 3 �p � 3 f� - �= f � �= 3 2 � � e �3 � 2 .

= 2 ( cos x ) � - ( -2sin ( 2 x ) ) =

Como

Máx.

A função f é estritamente crescente em p� � � p� -p, - � 0, � � 3 �e em � � � 3 �e é estritamente

:

� x = k 2p, k ���x =

↗

–

0

Como o ponto A tem abcissa positiva, menor 2p que p , esta será igual a 3 .

p 3

0

+

0

2p 4p +k , k �� 3 3

–

�2p � �2p � f � � g� � A sua ordenada será �3 �ou �3 �. Resoluções – Domínio 1 – Página 33

Mí n

Proposta de resoluções 0 = -x +

�2p � �2p � � p� � p� f � �= 2sin � �= 2sin �p - �= 2 � sin �= �3 � �3 � � 3� � 3�

2p + 3 B A abcissa de é 3 .

�3� = 2� �2 � �= 3 � �

�2p A� , Portanto, �3

� 3� �.

Uma equação da reta t é: �2p � �2p � � 2p � y - f � �= f � � � �x � �3 � �3 � � 3 �, ou seja, �2p � � 2p � y- 3= f� � � �x - � �3 � � 3 � �2p � f� � � Calculemos �3 �.

f� ( x ) = ( 2sin x ) �= 2 ( sin x ) �= 2cos x Portanto, �2p � �2p � � p� f� p - �= -1 � �= 2cos � �= 2cos � �3 � �3 � � 3�

9.

x� ( t ) = ( a sin ( kt ) + b cos ( kt ) ) �= = ( a sin ( kt ) ) � + ( b cos ( kt ) ) �= = ak cos ( kt ) - bk sin ( kt )

� x� ( t ) = ( ak cos ( kt ) - bk sin ( kt ) ) �= = ( ak cos ( kt ) ) � - ( bk sin ( kt ) ) �= = - ak 2 sin ( kt ) - bk 2 cos ( kt )

A aceleração do movimento do ponto é dada � x� ( t) . por � x� ( t) Vejamos o valor de � x� ( t)

=

x( t)

=

Logo: �2p � � 2p � y- 3 = f� � � �x - �� �3 � � 3 � � 2p � � y - 3 = - �x �� � 3 � � y = -x +

2p + 3 3

A ordenada do ponto B é nula.

2p 2p + 3�x= + 3 3 3

x( t)

.

-ak 2 sin ( kt ) - bk 2 cos ( kt ) a sin ( kt ) + b cos ( kt )

-k 2 ( a sin ( kt ) + b cos ( kt ) ) a sin ( kt ) + b cos ( kt )

=

=

= -k 2

"t ��, Como k ��\ { 0}

� x� ( t) x( t)

= -k 2 (constante, pois

), podemos de facto concluir que a aceleração do movimento deste ponto é x( t) diretamente proporcional a e a constante de 2 k proporcionalidade é igual a .

Assim:

Resoluções – Domínio 1 – Página 34

Proposta de resoluções

Resoluções – Domínio 1 – Página 35