Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej [10 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Opiniodawca dr Ireneusz Pawłowicz

.
a sec ^ — .

t

\

ROZDZIAŁ

I

WSTĘP DO ANALIZY § 1. Wielkości zmienne i funkcje. Oznaczenia Zbiory liczb

spełniających jedną z poniższych nierówności:

1) 2) a 0) jest określona na całej osi liczbowej; funkcja logarytmiczna y = loga x(a > 0) jest określona w przedziale 0
w przedziale [—5, 5] X 1 3) y = 7*2-100 | / I + * V w przedziale \x\ < 7 4) ^ = x2—4 11 + 1 , w przedziale [—6, 5] 5) y =

— 1, między punktami przecięcia z osią Ox

R o z w i ą z a n i e : 1)Z warunku zadania wynika, że zmienna niezależna x może przyjmować wartości z przedziału [—2, 4]. Biorąc to pod uwagę, układamy tabelkę, przy czym dla uproszczenia bierzemy tylko całkowite 'wartości x i dla nich obliczamy odpowiadające im wartości y. Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych, jak na rys. 4, o jednakowych jednostkach skali zaznaczonych podziałką liczbową na osiach współrzędnych. y»

-2

y' 1

-1

2

X

!=x2-2X-VA

2

\\ / \0

ł

/ 1 2

3 x

0

-1

1

-2

2

-1

3

2

4

7

Rys. 4

Zaznaczmy na płaszczyźnie rysunku punkty o odciętych x i odpowiadających im rzędnych y, zgodnie z tabelką. Łącząc otrzymane punkty gładką krzywą, otrzymamy wykres danej funkcji. Krzywa ta nazywa się parabolą. Ogólnie, wykresem każdej funkcji kwadratowej y = ax2+bx+c jest parabola, o osi symetrii równoległej do osi Oy. 4x 2. Funkcja y = -2—j jest nieparzysta, ponieważ y(—x) •= —y(x). x *f 1 18

Dla wartości argumentu różniących się tylko znakiem, ale równych co do wartości bezwzględnych, wartości funkcji nieparzystej też różnią się tylko znakiem. Dlatego w tym przypadku przy układaniu tabelki wystarczy obliczyć na podstawie danego wyrażenia wartości funkcji jedynie dla dodatnich wartości argumentu. Dla ujemnych wartości argumentu wartości funkcji otrzymamy, zmieniając.na przeciwne znaki wartości funkcji obliczonych poprzednio. Obieramy układ współrzędnych o jednakowych skalach na obu osiach współrzędnych (rys. 5). Zaznaczamy odpowiednie punkty dla każX V dej pary wartości x9 y zawartych w tabelce. Łącząc te punkty gładką krzywą, otrzymamy 0 0 wykres funkcji symetryczny względem począt±1 ku układu. 8 ±2

y ±3

6 t

u-

i* *

T 16

±4

T

17

±5

t

7

-1 i

i i -4 -3 -2

1 - /

0

1 1 1 1 1 2 3 4

X

10 Rys. 5

3) Funkcja y = lx1—100 \/l+xz jest parzysta, ponieważ przy zmianie znaku dowolnej wartości argumentu na przeciwny jej wartość nie ulega zmianie, czyli y(—x) = y(x). Dlatego w tym przypadku przy sporządzaniu tabelki wystarczy obliczyć wartości funkcji jedynie dla dodatnich wartości argumentu; wartości funkcji dla odpowiednich ujemnych wartości argumentu będą takie same. Po ułożeniu tabelki widzimy, że wartości argumentu są liczbami pierwszego rzędu, a wartości funkcji są liczbami rzędu trzeciego1*. Dlatego w celu zaznaczenia odpowiednich punktów przyjmujemy układ współrzędnych o różnych skalach na osiach odciętych i rzędnych; są one uwidocznione za pomocą podziałki liczbowej na osiach współrzędnych (rys. 6). 0 Rzędem liczby N > 1 nazywamy liczbę cyfr przed przecinkiem, natomiast rzędem liczby 0 < N < 1 nazywamy liczbę zer po przecinku do pierwszej cyfry znaczącej, wziętą ze znakiem minus.

2*

19

Wykres danej funkcji jest symetryczny względem osi rzędnych. 4) Układamy tabelkę wartości funkcji y = xz—4\x—l | + 1 dla wartości argumentu x z przedziału [—6, 5]. Następnie zaznaczamy punkty w obranym y

X

0 ±1

y=7x2-100Vl+x2'

Rys. 6

-100 7-100/2

X -134

±2

2 8 - 1 0 0 / T « -195

±3

63-100/10 « -253

±4

112-100/17*: -300

±5

175 —100/26 # —335

±6

252-100/37 * -356

±7

343-100/50 « -364

układzie współrzędnych i łącząc je linią ciągłą, otrzymujemy poszukiwany wykres funkcji (rys. 7). Rozpatrywana funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Dlatego jej wykres nie jest symetryczny ani względem osi Oy, ani względem początku układu współrzędnych. y=x2-4\x-l\

Rys. 7

20

y

X

+1

-6

9

-5

2

-4

-3

-3

-6

-2

7

-1

-6

0

-3

1

2

2

1

3

2

4

5

5

10

5) Odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji z osią Ox znajdujemy z danego równania, pamiętając, że w punktach tych rzędna y = 0. Dla y = 0 mamy 16—X2 = 0, skąd x = ± 4 . Następnie układamy tabelkę wartości danej parzystej funkcji w przedziale [—4,4] oraz kreślimy jej przebieg (rys. 8).

X

y

±0,5

63

±1

15

±2

3

±4

0

0\ 1 Rys. 8

Gdy x dąży do zera z lewej lub prawej strony, wartości funkcji, a tym samym i rzędne jej wykresu rosną nieograniczenie. Dla x = 0 funkcja nie przybiera żadnej określonej wartości. Wykres jej składa się z dwóch nieskończonych gałęzi. 15. Sporządzić na jednym rysunku wykresy funkcji yx = 1 + -i- x oraz y2 = sinx, a następnie dodając rzędne otrzymanych krzywych narysować wykres funkcji y — 1 + y x+ sin x. R o z w i ą z a n i e . Wykres każdej funkcji liniowej jest linią prostą. Dlatego, aby narysować wykres pierwszej funkcji, będącej funkcją liniową, wystarczy znaleźć dwie pary odpowiadających sobie wartości zmiennych; innymi słowy wystarczy znaleźć dwa punkty tej prostej. Aby narysować wykres drugiej funkcji, wartości x bierzemy w radianach, a odpowiadające im wartości y2 odczytujemy z tablic trygonometrycznych. Bierzemy także pod uwagę okresowość tej funkcji; sporządzamy wykres na długości jednego okresu [0,2 n], a następnie powtarzamy go. Dodając algebraicznie rzędne punktów linii yx oraz y2, mających te same odcięte otrzymamy poszukiwany wykres funkcji y = yi+y2 (rys. 9). 21

Rys. 9

16. Obliczyć przybliżone wartości pierwiastków funkcji y = 0,8x3—2x?— —0,2x+0,5, sporządzając najpierw jej wykres w przedziale [—1, 3]. R o z w i ą z a n i e . Pierwiastki funkcji, czyli wartości argumentu, dla których wartość funkcji jest równa zeru, znajdujemy jako odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji z osią odciętych, ponieważ w punktach tych y = 0. Po ułożeniu tabelki wartości liczbowych zmiennych x i j , sporządzamy wykres danej funkcji (rys. 10). Z rysunku odczytujemy poszukiwane przybliżone wartości pierwiastków funkcji: xx x —0,4; x 2 ~ 0 , 5 ; x3 ~ 2,6.

X

y

-1

-2,1

0

0,5

1

-0,9

2

-1,5

3

3,5

Rys. 10

17. Sporządzić punkt po punkcie dla przedziału [—3, 3] wykresy następujących funkcji: x 3 —12* 2) y = l —2X 3) y= l - | x 2 - l l)y = 4) y = \ 22

l

~

x

) -

, gdy * < 0 gdy * > 0

18. Wyznaczyć obszary określoności (dziedziny) podanych funkcji oraz sporządzić ich wykresy: 1) y = 2[/x + }/6-x 2) y = x i / 8 - x 2 2 3)* = i / j c ^ T — | / 16—jc 4)* >> = 4 j / | * j 19. Sporządzić wykresy funkcji między punktami ich przecięcia z osią 0 x : 1) j; = 6 x - x 2

(x3 — 12x 2 +36x)

2) y = 4)

=

* y =

\x-2\-3

20. Sporządzić wykresy funkcji między punktami ich przecięcia z osiami Oy i > = | x 2 - 6 x | X

nr

(

gdy x < 5 \l4x—x 2 —40,

gdy x > 5

§ 4. Sporządzanie wykresu funkcji przez przesuwanie i odkształcanie znanego wykresu innej funkcji Znajomość wykresu pewnej funkcji umożliwia wykreślenie przebiegu wielu innych, bardziej złożonych funkcji, na podstawie czysto geometrycznych rozważań bez układania tabelki liczbowych wartości zmiennych. Tak więc, jeśli znany jest wykres funkcji y = /(x), to przez jego przesunięcie i odkształcenie można sporządzić wykresy funkcji o postaci: y =f(x-a), y=f(kx),

y =f(x)+b9 y =

y = Af(x) Af[k(x-a)]+b

Wykres funkcji y = f(x—a) otrzymujemy przez przesunięcie wyjściowego wykresu funkcji/(x) wzdłuż osi odciętych o a jednostek skali tej osi w prawo, gdy a > 0, lub w lewo, gdy a < 0 (rys. 11). Wykres funkcji y = f{x)+b otrzymujemy przesuwając wykres wyjściowy wzdłuż osi rzędnych o b jednostek skali tej osi w górę, gdy b > 0, lub w dół, gdy b 1 rzędne wszystkich punktów wykresu wyjściowego powiększą się co do wartości bezwzględnych \A\ razy, natomiast gdy \A\ 1, to odcięte wszystkich punktów wykresu wyjściowego zmniejszą się co do wartości bezwzględnej razy, natomiast gdy \k \ < 1, to odcięte I co do wartości bezwzględnej powiększą się y-rr razy; ponadto, gdy k < 0, I to zmienia się także znak. Wykres funkcji y = f{kx) dla k < 0 jest symetrycz-

Przez wyżej omówione kolejne przesunięcia i odkształcenia wykresu funkcji y = f(x) można także sporządzać wykresy bardziej złożonych funkcji, o postaci y = Af[k{x-a)]+b (1) 24

21. Narysować punkt po punkcie wykres funkcji y = j/x w przedziale [0,9], a następnie kolejno go odkształcając i przesuwając, sporządzić wykres funkcji y = 2 \ / — 3 ( x + l , 5 ) - l , 2 . R o z w i ą z a n i e . Układamy tabelkę odpowiednich wartości zmiennych x i ^ dla funkcji j = ]/x i sporządzamy jej wykres (rys. 14). X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

0

1,0

1,4

1,7

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3

Funkcję ]/u oznaczamy przez /(w). Wtedy daną funkcję można zapisać jako y — 2/[—3(x+l,5)] —1,2 Porównując to wyrażenie z wyrażeniem (1) znajdujemy wartości parametrów A = 2, k = —3, a = - 1 , 5 , 6 = -1,2 Z kolei, na podstawie omówionych wyżej ogólnych zasad, sporządzamy poszukiwany wykres w następujący sposób: 1) powiększając dwukrotnie rzędne punktów wykresu funkcji y = j/rx, a odcięte pozostawiając bez zmian, rysujemy wykres funkcji y = 2j/x; 2) zmniejszając trzykrotnie odcięte punktów wykresu funkcji y = 2 ]/x i pozostawiając bez zmian rzędne, rysujemy wykres funkcji y = 2 \/3x; 25

3) zmieniając na przeciwne znaki odciętych punktów wykresu funkcji y = 2 |/3JC i zachowując bez zmian ich rzędne, rysujemy wykres funkcji y — 2]/—3x (wykresy funkcji y = 2\/3x i y = 2}/—3* są^ wzajemnie symetryczne względem osi rzędnych; 4) przesuwając punkty wykresu funkcji y = 2 ]/—3x w kierunku osi odciętych o 1,5 jednostek skali tej osi w lewo, rysujemy wykres funkcji y = 2}/-3(*+l,5); 5) przesuwając punkty wykresu funkcji y = 2 }/—3(*+l,5) w kierunku osi rzędnych o 1,2 jednostek skali tej osi w dół, rysujemy poszukiwany wykres funkcji y = 2]/—3(*+l,5)—1,2. 22. Biorąc za punkt wyjścia wykres funkcji y = sin* za pomocą odpowiednich odkształceń i przesunięć, sporządzić wykres funkcji y = — 3 sin (2*+8). R o z w i ą z a n i e . Zastępując w wyrażeniu (1) symbol dowolnej funkcji /symbolem funkcji trygonometrycznej sin, otrzymamy y = A sin k (*— a)Ą-b

(2)

Przekształcając daną funkcję y = - 3 sin(2*+8) = - 3 s i n 2 ( * + 4 ) i porównując ją z wyrażeniem (2), otrzymamy następujące wartości parametrów A = -3,

k = 2,

a=-4,

b= 0

Poszukiwany wykres sporządzamy na podstawie podanych wyżej ogólnych zasad: 1) powiększając trzykrotnie co do wartości bezwzględnej rzędne punktów wykresu funkcji y = sin*, a następnie zmieniając ich znak na przeciwny, nie zmieniając przy tym odciętych, otrzymujemy wykres funkcji y — —3 sin* (rys. 15); 2) zmniejszając dwukrotnie ocfcięte punktów wykresu funkcji y = = — 3 sin* i zachowując ich rzędne, otrzymujemy wykres funkcji y = —3sin 2*; 3) przesuwając punkty wykresu funkcji y = — 3 sin 2* wzdłuż osi odciętych o cztery jednostki jej skali w lewo, otrzymujemy poszukiwany wykres funkcji y = —3sin2(*+4). Następnie korzystając z okresowości danej funkcji można przedłużyć jej wykfes w obie strony. 26

y =~3 sin 2x

y=-3 sin2(x+4)

Rys. 15

23*. Wychodząc z wykresu funkcji y = arc cos x za pomocą odpowiednich odkształceń i przesunięć, sporządzić wykres funkcji 1

12

x\

3

' = Tarccos(y-T ) - T Rozwiązanie. arc cos, otrzymamy

Zastępując w wyrażeniu (1) symbol / symbolem y = A arc cos k(x — a)+b

Przekształcając daną funkcję 1

y = — arc cos x

= 1 arccros I I

(t~T)~T T (2

x\

3

(3)

[~ T(*~~T)_| T 4 \~1

3

i porównując ją z wyrażeniem (3), otrzymujemy następujące wartości parametrów „

1

;

1

4

A

3

Szukany wykres otrzymamy za pomocą następujących odkształceń i przesunięć wyjściowego wykresu funkcji y = arccos* (rys. 16): 1) zmniejszając trzykrotnie rzędne punktów wykresu funkcji y = = arccosjt i zachowując ich odcięte, rysujemy wykres funkcji 1

yi = — arc cos x 2) zwiększając dwukrotnie co do wartości bezwzględnej odcięte punktów wykresu funkcji yi oraz zmieniając ich znak na przeciwny i pozostawiając 27

bez zmian rzędne, rysujemy wykres funkcji = y

arccos|-y*j

3) przesuwając punkty wykresu funkcji y2 w kierunku osi odciętych 4 o y jednostek jej skali w prawo, rysujemy wykres funkcji j3 =

T

arc c o s

£~ T(x~~ T ) ]

4) przesuwając punkty wykresu funkcji y 3 w kierunku osi rzędnych 3

o y jednostek jej skali w dół, kreślimy poszukiwany wykres funkcji 7 = y arc cos 4")] \ 24. Sporządzić punkt po punkcie wykres funkcji y = w przedziale [—4, 4], a następnie odpowiednio odkształcając i przesuwając go narysować (na oddzielnych rysunkach) wykresy funkcji: 1 )y = 2x>-5

2) y = 3 - ę

3) y

=±(x-2)2-l

25. Wychodząc z wykresu funkcji y = j/x (rys. 14) za pomocą odpowiednich odkształceń i przesunięć sporządzić (na oddzielnych rysunkach) wykresy następujących funkcji:

28

l)y=l+]/2x

2)y =

3) y = 2—3 j / x + 5

4)* y =

3\/^2x-2 -L}/2^6-5

26. Wychodząc z wykresu funkcji y = sin* (rys. 9) za pomocą odpowiednich odkształceń i przesunięć sporządzić (na oddzielnych rysunkach) wykresy następujących funkcji 1) y = 2 sin (x+l) 2) y = 1 + 3 sin 2* 3)

v

- - 2 sin 3 ( x - l )

4)* y = 2 - sin

27. Wychodząc z wykresu funkcji j = cosxl) za pomocą odpowiednich odkształceń i przesunięć sporządzać (na oddzielnych rysunkach) wykresy następujących funkcji: \)y=l—^~ 3)

y

cos x

= —4 cos (2x+3)

2) y = 2,3 f 4 cos (1,4—x) 4)* j = 4 , 2 - 3 cos

2?7

~*

«

§ 5. Zmienna jako uporządkowany zbiór liczbowy. Granica zmiennej. Wielkości nieskończenie małe i nieskończenie wielkie. Granica funkcji Wielkość zmienną charakteryzuje nie tylko zbiór przyjmowanych przez nią wartości liczbowych, ale także porządek, w jakim te wartości liczbowe występują. Dlatego w analizie matematycznej wielkość zmienna traktowana jest jako zbiór liczb ułożonych w określonej kolejności, czyli jako uporządkowany zbiór liczbowy. Jednym z najprostszych przypadków zmiennej będzie taka wielkość v9 której kolejne wartości liczbowe można ponumerować: vi,v2,v3, Taki uporządkowany zbiór liczbowy najprostszego typu nazywa się ciągiem liczbowym. I. Liczbę a nazywamy granicą zmiennej x, jeżeli dla każdej, z góry danej, dodatniej liczby s (a tym samym i dla s dowolnie małych) istnieje taka wartość xo zmiennej x, poczynając od której dla wszystkich następnych wartości zmiennej bezwzględna wartość różnicy \a—x\ jest mniejsza od e. II. Zmienną a nazywamy wielkością nieskończenie małą, jeżełi dla każdej, z góry danej, dodatniej liczby e (a tym samym i dla s dowolnie małych) istnieje taka wartość ao zmiennej cc, poczynając od której wszystkie następne wartości zmiennej są co do wartości bezwzględnej mniejsze od e. III. Zmienną z nazywamy wielkością nieskończenie wielką, jeżeli dla każdej, z góry danej, dodatniej liczby i V ( a w tym samym i dla N dowolnie dużych) 0 Wykres ten można znaleźć w każdym podręczniku trygonometrii.

29

istnieje taka wartość z0 zmiennej z, poczynając od której wszystkie następne wartości zmiennej są co do wartości bezwzględnej większe od N. Jeżeli a jest granicą zmiennej to mówimy, że * dąży do a i piszemy: lim x = a lub x a. Wielkość nieskończenie wielka z nie ma granicy, jednakże dla skrócenia sformułowań i zapisu mówimy umownie, że z dąży do nieskończoności lub że granica z jest równa nieskończoności, i piszemy z oo lub lim z == oo. Mówimy i piszemy też, że: z + oo, lim z = + oo lub z — oo, lim z = — oo, jeżeli wszystkie wartości wielkości nieskończenie wielkiej z, poczynając od pewnej wartości zo, zachowują bądź dodatni, bądź ujemny znak. Z definicji granicy wielkości zmiennej oraz z definicji wielkości nieskoń- » czenie małych i nieskończenie wielkich wynika, że: 1) granicą nieskończenie małej wielkości jest zero (a więc jeśli a jest wielkością nieskończenie małą, to lim a = 9 lub a 0); 2) różnica zmiennej i jej granicy jest wielkością nieskończenie małą (a więc jeżeli lim x = a, to x—a = a); 3) odwrotność wielkości nieskończenie wielkiej jest wielkością nieskończenie małą (a więc jeśli z

00, to ~

0);

4) odwrotność wielkości nieskończenie małej jest wielkością nieskończenie wielką (a więc jeżeli a

0, to

00).

Jeżeli f(x) -> b, gdy x a (nie przybierając wartości a), to liczbę b nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie a. Granicę funkcji można określić również bez odwoływania się do pojęcia granicy zmiennej: liczba b nazywa się granicą funkcji f(x) dla x a (w punkcie a), jeżeli do każdej liczby e > 0 można dobrać taką liczbę d > 0, że \f(x)—b\ będzie mniejsze od e, gdy \x—a\ dla x # a będzie mniejsze od S. Jeżeli liczba b jest granicą funkcji f(x) dla x dążących do a, to piszemy: lim f(x) = b, gdy x dąży do a w dowolny sposób; lim f(x) = b, gdy X dąży do A z lewej strony, czyli tak, że JC jest stale x->a- 0 mniejsze od a\ lim f(x) — b, gdy x dąży do a z prawej strony, czyli tak, że x jest stale większe od al).

-

.0 Jeżeli a = 0, to zamiast 0 + 0 (lub 0—0) piszemy po prostu f 0 lub —0.

30

Przy tym jeśli istnieje granica funkcji, gdy x a w dowolny sposób, to również istnieją i mają taką samą wartość granice jednostronne tej funkcji, gdy x a tylko z lewej lub tylko z prawej strony, a więc jeżeli lim f(x) = b,

to

lim f(x) — lim f(x) = b

Natomiast jeżeli granice jednostronne są różne lub gdy chociażby jedna z nich nie istnieje, to granica funkcji dla x a w sposób dowolny nie istnieje, czyli jeżeli lim f(x) ^ lim f(x), to lim f(x) nie istnieje x->a—0 *-»a+0 x-+a 28. Biorąca = 0, 1, 2, 3,

ułożyć tabelkę wartości zmiennych:

y = — 0,l" n ,

x = 1+0,1",

z = (—0,1)",

w = (—l) n +0,l B

oraz określić zachowanie się tych zmiennych przy n rosnącym nieograniczenie, czyli dla n -> oo. R o z w i ą z a n i e . Obliczając wartości zmiennych dla danych wartości n, otrzymamy następującą tabelkę: 2;

n

0;

i;

X

2;

i , i ; 1,01

y

-i;

3; 1,001;

4; 1,0001;

5;

n

-» +oo

—oo

1,00001;

1+0

—10; - 1 0 0 ; -1000;

-10000;

-100000;

y

z-> 0

z

i;

- 0 , 1 ; 0,01;

-0,001;

0,0001;

-0,00001;

u

2;

- 0 , 9 ; 1,01;

-0,999;

1,0001;

-0,99999;

Z tabelki tej wynika, że: 1) Wraz ze wzrostem n kolejne wartości zmiennej x dążą do jedności, zatem dla dostatecznie dużyćh n wartość bezwzględna różnicy j x— 11 będzie mniejsza od dowolnie małej z góry przyjętej liczby dodatniej e. Udowodnimy to. Niech dana będzie liczba e > 0. Biorąc \ x—l | = 0,1" < e i logarytmując obie strony tej nierówności znajdujemy n > l g y , co ozngcza, że \x— 11 będzie mniejsze od e, gdy tylko n będzie większe od lg

. Wobec tego,

zgodnie z określeniem I, zmienna x ma granicę równą jedności: lim x = 1, n - * - f oo

do której zmienna ta dąży ze strony prawej stale pozostając od niej większą, czyli zmienna monotonicznie maleje. • 31

2) Kolejne wartości zmiennej y wraz ze wzrostem n maleją nieograniezenie, zatem dla dostatecznie dużych n wartości tej zmiennej będą co do wartości bezwzględnej większe od dowolnie dużej z góry przyjętej liczby N. Udowodnimy to. Niech daną będzie liczba N > 0. Biorąc | y | = 0,1-" > N i logarytmując obie strony tej nierówności znajdujemy n > lg N, a więc \y\ będzie większa od N, skoro tylko n będzie większe od lg N. Zatem zgodnie z określeniem III zmienna y jest wielkością nieskończenie wielką: lim y = — oo. n >oo 3) Wraz ze wzrostem n kolejne wartości zmiennej z dążą do zera, zatem dla dostatecznie dużych n wartości te będą co do wartości bezwzględnej mniejsze od dowolnie małej z góry danej dodatniej liczby e. Udowodnimy to. Niech dana będzie liczba e > 0. Biorąc \z \ = 0,1" < e i logarytmując * obie strony tej nierówności, znajdujemy n > lg-^-, a więc \z\ będzie mniejsze od e, skoro tylko n będzie większe od lg

Zatem zgodnie z określeniem

II zmienna z jest wielkością nieskończenie małą: lim z «= 0. .

n~>4- oo

Zmienna ta dąży do granicy równej zeru, przy czym jej wartości oscylują wokół zera. Zdążanie do granicy nie przebiega więc w sposób monotoniczny. 4) Kolejne wartości zmiennej u wraz ze wzrostem n nie dążą do żadnej określonej wartości, dlatego zmienna z nie ma granicy. Nie jest też ona wielkością nieskończenie wielką, ponieważ wartości jej nie rosną wraz z n. Jest to wielkość ograniczona. 29. Wykazać, że ,0, gdy 0 < a < 1 lim «->+« l + oo, gdy a> 1 R o z w i ą z a n i e . 1) 'Niech stała a będzie d )datnim ułankiem właściwym 0 < a < 1. Wtedy ze wzrostem n zmienna f(ń) = an będzie monofonicznie maleć, tzn. każda z kolejnych wartości tej zmiennej będzie mniejsza od wartości poprzedniej. Wykażemy, że poczynając od określonej wartości n = n0 dla wszystkich następnych wartości n > n0, wartości funkcji an będą mniejsze od dowolnej z góry danej dodatniej liczby e. Biorąc an° < s znajdujemy szukaną wartość nQ. Logarytmując obie strony lft g nierówności otrzymamy n0 log a < lg e, skąd znajdujemy n0 >

(zwrot

nierówności uległ zmianie na przeciwny, ponieważ dla 0 < a < 1,1 ga < 0). 32

Wobec tego wartość funkcji an dla n = n0 oraz wszystkie dalsze jej wartości dla n > nQ będą mniejsze od dowolnie małej liczby e.; udowodniliśmy tym samym, że dla 0 < a < 1 oraz dla n +00 funkcja an jest n wielkością nieskończenie małą, tzn. lim a = 0. 00

2) Niech będzie a > 1. Wtedy ze wzrostem n zmienna an będzie monotonicznie rosnąć. Wykażemy, że poczynając od określonej wartości n = n0 dla wszystkich następnych wartości n > nQ wartości funkcji an będą większe od dowolnej z góry danej dodatniej liczby N. Ig Biorąc an° > N, znajdujemy n0 > - j ^ - . A zatem dla wszystkich wartości n^n0 wartości funkcji an będą większe od N. Udowodniliśmy tym samym, że gdy a > 1 i « -» + 00, to funkcja an jest nieskończenie wielką wielkością dodatnią, tj. że lim an = + co. n->+ao 30. Wykazać, 2x+3 1) l i m — — = x->oo

że: 2 — , 2) lim ( 2 x + l ) = 7. J x->3

R o z w i ą z a n i e : 1) Utwórzmy różnicę

— y = ~ • Gdy *'-> 00

różnica ta jest wielkością nieskończenie małą (jako odwrotność wielkości 2x4-3

nieskończenie wielkiej). Jak wiemy, jeżeli zmienna

różni się od stałej

y2 o wielkość nieskończenie małą, to stała ta jest granicą zmiennej. Tak .

2x+3

2

t więc lim =D jc-^-OO D* 2) Bierzemy x = 3 + a i tworzymy różnicę: (2jc+1)—7 = [2(3+a)+l]— — 7 = 2a. Gdy x -> 3 zmienna, a 0; różnica funkcji 2x+\ oraz stałej 7, czyli 2a, będzie więc wielkością nieskończenie małą. Wynika stąd, że l i m ( 2 x + l ) = 7. 3

3h Wyznaczyć granice funkcji y = — g d y :

1) x - > 2—0,

2) x ->2+0. Zilustrować rozwiązania tabelkami. R o z w i ą z a n i e : 1) Jeżeli x dąży do 2 z lewej strony, czyli x jest zawsze mniejsze od 2, to 2—x będzie nieskończenie małą wielkością dodatnią, zaś

będzie nieskończenie wielką wielkością dodatnią. A więc

jeżeli x -» 2—0, to (2—x) -> + 0 , a ^ — • + 00, czyli lim 3

Metody rozwiązywania zadań

= + 00. 33

Omówiony przebieg zmiennych

X

2 - x

5

ilustruje tabelka:

1,9;

1,99;

1,999;

1 ;9999,

1,99999;

1,999999;

1; OJ;

0,01;

0,001;

0,0001;

0,00001;

0,000001;

5; 50;

500;

5 000;

1;

2) Jeżeli x =

2—x i

50 000;

500 000;

2+0, to (2—x) -> —0, a ^

5 000 000;

• — oo czyli lim

...

=•

— 00. Przebieg zmiennych

2—x i ^ ^ w tym przypadku przedstawia nastę-

pująca tabelka: *

2—x 5

3;

2,01;

2,001;

2,00001;

2,000001;

1; - 0 , 1 ; -0,01; -0,001;

-0,0001; -0,00001;

-0,000001;

5; - 5 0 ;

- 5 0 000; - 5 0 0 000;

- 5 000 000;

2,1

-500;

Wykres funkcji y =

2,0001;

-5000;

pokazano na rys. 17. y

i/ X

0 1 / [ y

=

i

5

Rys. 17

32. Wyznaczyć granice funkcji >> = 2*, gdy * dąży do zera: 1) z lewej strony, 2) z prawej strony, 3) w dowolny sposób. 34

R o z w i ą z a n i e : 1) Jeżeli zmienna x będzie zmierzać do zera z lewej strony poprzez ujemne wartości, tzn. gdy x będzie nieskończenie małą wielkością ujemną, to -- będzie nieskończenie wielką wielkością ujemną i lim 2X = lim | y j

x

=

+

=

00

z

rozwiązania zad. 29 (1).

2) Jeżeli * -> + 0 , to -- -> -f oo i lim 2X = 2+°° = + oo. 3) Jeżeli x będzie dążyć do zera w dowolny sposób, nie tylko z jednej strony zera (np. tak jak z w zad. 28), to

dążyć będzie do nieskończoności,

przyjmując przy tym wartości o różnych znakach. Wobec tego funkcja 2* nie ma granicy, gdy ^ 0, i nie jest także wielkością nieskończenie wielką: lim 2* = 200 — nie istnieje. * >o Wykres funkcji y = 2X pokazano na rys. 18.

33. Wyznaczyć granice funkcji y = arc t g ~ ; gdy: 1) x 3) * -> 0. Rozwiązanie 1) Jeżeli ^

1

1

71

—0, to — -> — oo i arc t g y -> — y t

a więc lim arc tg— = arc tg (— oo) = — l x—>—0 * 1 + oo i arc tg—1 ->71y , 2) Jeżeli x -> + 0 , to — 1 71 a więc lim arc tg — = arc tg ( + oo) = 1 . *->+o *

—0,2) x

+0,

3) Jeżeli x

O, to — x

oo i arc tg — nie dąży do żadnej określonej x

wartości, czyli lim arc t g | = arc tg oo nie istnieje. *->o

*

Wykres tej funkcji podano na rys. 19.

TT 2

1

°

X

TC 2

Rys. 19 34. Wyznaczyć granice funkcji j = 3 t g x ; gdy: 1) x

y —0,2) x

y+0,

3) Rozwiązanie 1) Gdy x

71

y —0 (w pierwszej ćwiartce), to tg x

+ oo, a więc funkcja

3 t g *-» + oo, co oznacza, że jest ona wielkością nieskończenie wielką: lim 3tgx == 3+00 = + oo. n

2) Gdy 3 tg *

+ 0 (w drugiej ćwiartce), to tg x -> — oo, a więc funkcja

O, czyli jest wielkością nieskończenie małą: lim 3 tg * = 3~°° = O Ti

3) Gdy x -» y w dowolny sposób, to tg x

oo, przyjmując wartości

zarówno dodatnie jak i ujemne. Dlatego, gdy jc

y , funkcja 3 tg * nie ma

granicy i nie jest też wielkością nieskończenie wielką. Zatem lim 3 ts * = 3°° TC

nie istnieje. Wykres tej funkcji został przedstawiony na rys. 20. 35. Biorąc n = 1, 2, 3, ...ułożyć tabelkę odpowiednich wartości zmiennych: oci = 2", OLi = -2", a 3 = ( - 2 ) " , a4 = 2"w, a5 = -2~\ a6 = ( - 2 ) ~ " oraz scharakteryzować zachowanie się tych zmiennych, gdy n -> + oo. 36

36. Biorąc n = 1, 2, 3, ... napisać ciągi wartości zmiennych: x =

»+r

które z tych zmiennych mają granicę, gdy n -> + oo, oraz podać jej wartość. y* y=3t3*

i

J i y i

7t_

0

TC

X

2

Rys. 20

37. Wykazać, że: 1) lim (3x - 2 ) = 1

2) lim (x 2 +3) = 7

.. 3x—2 3 4) lim ^ = -=2x ^

.... 2*2+l 5) hm - - — r A:->oo J

3) lim ( x 2 - 3 x ) = 0 -2

38. Wyznaczyć granice: 1) lim ~ ;t-*3—O X — 3 1 4) lim 3*+1 1 —0

1 2) ^->34-0 lim x—3 ^ 1 5) lim 3* +I *->-l + 0

1 3) lim *->3 X — 3 6) lim 3 x+l 1

Zilustrować rozwiązania tabelkami.

Rys. 21 39. Odcinek AB o długości / podzielono na n równych części (rys. 21) i na każdej z nich (wyłączywszy skrajne) zbudowano trójkąty równoboczne. Jak będzie zmieniać się pole Sn i obwód Pn otrzymanej zębatej figury, gdy n + oo. 37

§ 6. Twierdzenia o nieskończenie małych i o granicach

I. Suma skończonej ilości wielkości nieskończenie małych jest także wielkością nieskończenie małą. II. Iloczyn wielkości nieskończenie małej i wielkości ograniczonej jest także wielkością nieskończenie małą. III. Granica stałej jest równa wartości tej stałej. IV. Granica sumy skończonej liczby składników jest równa sumie ich granic lim (u-\-v — w) = lim w+lim^—lim w V. Granica iloczynu skończonej liczby czynników jest równa iloczynowi ich granic lim (iww) = lim u • lim v • lim w VI. Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic dzielnej i dzielnika, jeśli granica dzielnika jest różna od zera u lim w lim— = , v lim v

lim v ^ 0

40. Znaleźć granice następujących funkcji: l)f(x)=2x-3-j^,

gdy x

xl — ?>xljr2x—5 Vy =

l

A

.8dy*--l

3) y — x s i n - ~ > S^y

0

4) y = — p , gdy: a) x —0, b) x -» + 0 , c) x -» 0 1+2* R o z w i ą z a n i e . Korzystając z przytoczonych wyżej twierdzeń znajdujemy kolejno: 1) l i m ( 2 x - 3 - — \ = I i m 2 - l i m * - l i m 3 - | ^ = 2 - 1 - 3 — J - = x J limx 1 x-*\ \ }

il-1

x>-3x2+2x-5 ?+2

-

(lim*) 3 —3(limx) 2 -|-2 limx—3 (lim xf+2

_ C—l)3—3C— l) 2 +2(—1) —5 _ - 1 - 3 - 2 - 5 _ _ U _ _ (—1) 2 +2 3 3 38

-2 _

3) Gdy x -»O, argument—

oo, a czynnik sin —będzie przyjmował

wartości od —1 do + 1 , nie dążąc do żadnej określonej granicy. Innymi słowy czynnik ten nie ma granicy, ale jest wielkością ograniczoną, bo s i n y < 1. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem II, dana funkcja, jako iloczyn wielkości nieskończenie małej x i ograniczonej wielkości sin—, będzie wielkością nieskończenie małą i jej granica będzie równa zeru :\imx sin— x = 0. *-»o 4a) lim -

±

i+o 1 -f-lim 2 1 +2* i ponieważ lim 2X = 2" 00 = 0 (por. zad. 32). jc->—0

4b) lim -

1

1+2

1 J

= 0

l+lim2*

ponieważ lim 2X = 2+00 = + oo. x->+0 1 -XL 4c) lim r nie istnieje, dlatego że nie istnieje lim 2 . x->0

l+2x Wykres tej funkcji przedstawiono na rys. 22. y t

1+2*^

0

1

X

Rys. 22

41. Znaleźć granice następujących funkcji, gdy n -> + oo:

39

R o z w i ą z a n i e . Każda z danych funkcji jest sumą n— 1 wyrazów postępu arytmetycznego. Różnice tych postępów wynoszą odpowiednio: 1 1 1 Sumując i przechodząc do granicy znajdujemy: 1) Sx =

/i-i

/ 1 ,

n-l =

1)

lim S { = — (limw — 1) = + oo

w->+co

2\

lim n)

lim S 3 = — 2 |^lim«

2

^ = 0 (lim n y \

TT

W zadaniu tym funkcje Su S2, S3 są dla n -> + oo sumami nieskończenie małych wielkości, których liczba nieograniczenie rośnie wraz z n. Otrzymane wyniki wskazują, że Sx jest wielkością nieskończenie wielką, S2 — wielkością dążącą do y , a S3

wielkością nieskończenie małą.

Z rozwiązania tego zadania wynika, że jeżeli liczba nieskończenie małych składników sumy rośnie nieograniczenie, to sama suma może być dowolną wielkością. 42. Wykazać, że dla dowolnej wartości

xn

wartość lim — = 0lj. łl «->-f oo

-

R o z w i ą z a n i e . Dla dowolnej liczby x, zawsze można znaleźć takie dwie kolejne liczby naturalne k i k+1, między którymi zawiera się | x [, tj. takie, żc k < \x \ < k+1. Wychodząc z powyższego, otrzymamy następującą oczywistą nierówność

~n\

x ki

k+l

x 1+2

x k+3

n-k


> x2+y2+tgly

47. 1) lim

46. lim 5 sin x—>n

3x

X TC

8

3) lim

ol-2ctg*

8

^ o 1 — 2ctg*

48. Jak zmienia się kąt wewnętrzny a„ i wysokość hn poprowadzona ze środka wielokąta foremnego, gdy ilość boków n wielokąta rośnie nieograniczenie? § 7. Obliczanie granic Granica funkcji w danym punkcie nie zależy od tego, czy funkcja jest określona w tym punkcie czy też nie. Jednak w praktyce, gdy obliczamy granice funkcji elementarnych, fakt ten można w istotny sposób wykorzystać. a. Jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartoś< graniczna argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczenie granic? sprowadza się po prostu do podstawienia wartości granicznej argumentu ponieważ granica funkcji elementarnej f(x), gdy x dąży do wartości a na leżącej do obszaru określoności funkcji, jest równa wartości szczególnej jaką funkcja ta przybiera dla x = a, to znaczy lim/(;c) = / ( a ) 41

49. Znaleźć granice funkcji: 1) f(x) = x3—5x?-\-2x-\-4,

gdy x->

-3

2

2) Q X .

(l-?)(l+f+*2)

2) lim jc-»0 1

=

2

*v*2 cos x

nx 0 0 8

T 3) lim —j 1—*

4) lim

*2-4 2 arc tg (x+2)

R o z w i ą z a n i e . Stwierdzamy najpierw, że dana funkcja jest nieokreślona w punkcie granicznym oraz że dla danego przebiegu argumentu jest ona ilorazem dwóch wielkości nieskończenie małych ^przypadek y j . Następnie przekształcamy funkcję tak, aby móc skorzystać z jednej z podstawowych granic, mianowicie: lim

sina

= 1 (a — kąt w radianach).

a

a->0

sin3x 3 sin3x sin3x 1) lim = lim — = 3 lim —-— = 3 - 1 = 3 jc-J-0 x JX 2) Korzystamy ze wzoru trygonometrycznego

1—cos* = 2 sin2

wtedy

„ ^ . ^1-cos*

46

i

i 2 s i n 2

|

;

I

.

,

siax

,

,

3) Aby posłużyć się przytoczoną wyżej podstawową granicą, podstawiamy 1 —x = t. Wtedy dla * -» 1 będzie t 0; zatem 7lX

I

cos-2( lim—; = lim x->\ 1—* o

=

c o s71

71 2 '

71 \

T_T

s .m 71 f

T

= lim

t

.

= — lim 2

t

COS

(tgv-4)tgv = v

V

58. lim

_Q xŁ-6x+9 59. lim 2=—-— x->3 x —9

60. lim,

61. lim

62. lim

1—32a 63. lim —a„—— a->0 3 —1

2

=

t1

otrzymamy x+2 = tga, przy czym

x2-4 (tgv — 2)2—4 v lim —• e , = lim— = lim 2) o-o 2 arc tg

2y3jrly2-\-(yy

T

Tl ~Y

4) Podstawiając arctg(x+2) = gdy x -> —2, to ® -> 0; zatem

Wyznaczyć granice: 1 —x3 57. l i m x->l l - x

71 f

a3+x3 3t2-t-2 2t2+5t-l C0S

sin (p — cos -oo yp}-\-1

1

.

= —- = —1

—"l/H- —

Z kolei podstawiając n =

mamy a

~~

— 0, gdy «

— oo, zatem

lim , n = lim — . a = Hm . = —1 n->—oo ]/n2+l «->-•o - i / - J _ - ] / l + a 2 Minus wystąpił tu na skutek wprowadzenia pod znak pierwiastka kwadratowego (w pierwszym rozwiązaniu) oraz na skutek wyłączenia przed pierwiastek (w drugim rozwiązaniu) ujemnego czynnika, ponieważ dla a < 0, mamy a]/b = —}/arb

i

\/a2b = —a]/b

Z rozwiązania tego zadania wynika, że dla n +oo granica danej funkcji jest równa jedności, zaś dla n oo granica tej funkcji nie istnieje. 3) Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez l~ n otrzymujemy 1+7 B + 2 Juj^ 3-7"

=

lim

7-n+72 _ 0+49 _ 3 • l~ n —l "" " O ^ T ~ ~ 4 9

uwzględniliśmy tu, że lim 7 - n = 7 ~ c o = 0 . 7I-»+00 4) Licznik jest tu sumą n wyrazów postępu arytmetycznego, a mianownik sumą n + 1 wyrazów innego postępu arytmetycznego. Sumując oba wyrażenia, wg znanego wzoru na sumę postępu arytmetycznego, otrzymamy lim

2+4+6+...+2« 1+3+5+...+(2«+l)

=

2+2«

= lim

f

2 ,0 , ,

n = l i m — — = lim

1

-- = 1

5) Przekształcamy ułamek tożsamościowo tak, aby można go było skrócić przez czynnik dążący do zera; otrzymamy 4

Metody rozwiązywania zadań

49

tg 2*

lim — ^ — j t ~ \

=

ctglx—^\

= lim

r

sin2*sinx--J 7

J

sin2jc ...w sin \lx— 4 / -. r lim cos2 cos —51 * (-.-t)

2 sm = — - lim r 1 sin = lim

^T

cos lx cos lx

2*j

— = lim 2 sin

, —= 2 cos ( M

— * jcos

— *j

—~ 2

6)* Przekształcamy mianownik korzystając z następującego wzoru na sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych l 2 + 2 2 + 3 2 + ... + „ 2 =

"

( w + i

y* 6

+ 1 )

wtedy tP_ r lim ,, , , , —^ = rlim „_+Q0 l 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + « 2

6a3 — n(n+l)(2n+l)

= lim—t

7-7—7

r-r- = 3

Wyznaczyć granice: - A v 6* 2 +5x—1 74. lim-x-^2 r-r 3* * 1

, 1— *2 75. lim *3+3

76. lim

77. lim

x—>•+ 00

*

1

78. lim B+1 +5 B ^ +00 10

x~>~

oo

^

^

*

79. lim „ ^ + 0 0 1 + 2 + 3 + ... +H

III. Przypadek, gdy dla x -» a lub x -> oo funkcja f ( x ) staje się iloczynem wielkości nieskończenie malej i wielkości nieskończenie wielkiej (przypadek O-oo). 50

Ten przypadek wyznaczania granicy, dzięki odpowiednim przekształceniom funkcji, można sprowadzić do jednego z przypadków, już rozpatrzonych, czyli do przypadku ^ albo ^ . 80. Wyznaczyć granice: 1) lim (1 — x) t g ^

2) lim

-

cosec

j

4

3) lim x arc ctg x

4) lim x

-f- arc tg x\

R o z w i ą z a n i e . Po stwierdzeniu, że przy podanym przebiegu argumentu badana funkcja jest iloczynem wielkości nieskończenie małej i nieskończenie wielkiej (przypadek O • oo), przekształcamy ją na ułamek, w którym licznik i mianownik dążą jednocześnie bądź do zera, bądź do nieskończoności. (1—x)sin^

1) lim ( l - x ) t g V

,1

t

.

.

n

/

x

1

= lim sin — l i m 2

2

.

T

= —lim n

= lim

—

71X cos ~ y

x

,

^

„

= 1 • lim

nx cos - y

=

l—x

(

71

sin

,

2

71X

2

= — • 1= — n

Siny(l-JC)

n

Można też postąpić inaczej, odpowiednio obierając nową zmienną. Podstawiając mianowicie 1—x = a, otrzymamy lim (1 - * ) tg ^

2*

= lim tg oc->0

- ^)

\ £

=

I

Ttcc

•.

= lim a ctg° — = lim O 2

710L 2

OL COS —

.nu.TTlV sin - y

noc

= lim cos — • lim O 2

"

.na sm ~ y

na 2

= 11 • — hrm 71

4*

2

sin ^

2

= — 71

51

2) Podstawiając ^ — x = t, otrzymamy lim

4

— * ) cosec / \

4

n-{-x\ = lim t cosec (n—t) = lim / == 1 / /-o sin t

4

3) Podstawiając arcctg* = a mamy * = ctga, przy czym gdy* -> +co 5 a więc lim * arc ctg * = lim a ctg a = lim *-+«> a->+o

acosa

sina

a + 0 ,

= ii m Cos a • lim - A - = 1 sięia

4) Przyjmujemy arctg* = z;wtedy* = tgzorazz -> — y , g d y * -> — oo, skąd lim *

+ arc tg

= liin

+ z j tg z =

( y + z ) sI isin r z y +z = lim — = lim sin z - - lim cos z cos z = - 1 . lim—4 r = —1 - 1 = —1 sin | y + z j Wyznaczyć granice:

81. lim * ctg 2x

82. lim sin 2x ctg *

n 83. lim n sin —

84. limoo 2"tg2- n

IV. Przypadek, gdy dla x -> a lub x -> oo funkcja f ( x ) staje się różnicą dwóch nieskończenie wielkich wielkości dodatnich (przypadek co —coj. Ten przypadek wyznaczania granicy można sprowadzić do przypadku ~ lub

przez odpowiednie przekształcenie funkcji, sprowadzające ją do

postaci ułamka. 85. Wyznaczyć granice: 1) l i m f - i - - - ^ ) x-*2 \ X — l

52

X —4/

2) lim

x->.+ oo

(x-\/x2+5x)

3)

(|/tg2a+seca—tga)

lim

4) lim (2 cosec 2x—ctg x)

a - > y - 0A

R o z w i ą z a n i e . Analizując warunki zadania, stwierdzamy, że przy podanym przebiegu argumentu, dana funkcja staje się różnicą dwóch nieskończenie wielkich wielkości dodatnich (przypadek oo—oo;. Następnie sprowadzamy daną funkcję do postaci ułamka, którego licznik i mianownik dążą równocześnie albo do zera, albo do nieskończoności. Tym samym przypadek znajdowania granicy funkcji oo—oo sprowadzamy do przypadku 0 ! u 00 ~7T lub —. O

oo

1) Odejmujemy ułamki i otrzymany ułamek skracamy przez jc—2; wtedy = lim

^=2 ~

^

= lim

=

T

2) Rozpatrując daną funkcję jako ułamek o mianowniku równym jedności, pozbywamy się niewymierności w liczniku, a następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x; mamy lim *-*+«> = lim x +

= lim -5x , yx2

r

= lim + 5 x

tiZ+^+J^+M x-{-y x2-\-5x -5 . l+]/l + f

=

5 5 = —-—;—— = — — 1+

1

2

3) Podobnie jak w poprzednim przykładzie przenosimy niewymierność do mianownika, a następnie mnożymy licznik i mianownik przez cos a; znajdujemy lim , z-,— s , . sec a ( 1 / t r a + s e c a - t g a ) = lim 2 2 j/tg a+seca+tga

0 a_>JL_o

=

lim

1

1

|/sin2a+cosa+sija

1+ 1

=

1

2

4) Przekształcamy tożsamościowo funkcję, doprowadzając ją do postaci ułamka, a następnie ułamek ten skracamy przez sin x; mamy lim (2 cosec lx—ctg x) -- lim ( . 2 — C Q S X | = x->o \sin2* smx/ 2 2 2—2 cos x „ sin * v = lim— = lim — = hm tg * = O 2 sm x cos x sm A; cos x 53

Wyznaczyć granice: 86. lim (}/2x2+l

-]/*»+!)

87. lim ( / j ? + 2 x - ] / 3 ? + * ) JC->+00

88. lim | -r^—, -\

^ i

89. lim (tg * — sec x) 2

V. Przypadek, grfy dla x a lub x oo funkcja f ( x ) staje się potęgą, której podstawa dąży do jedności, a wykładnik do nieskończoności (przypadek 1°°;. W tym przypadku w celu znalezienia granicy korzystamy z następującej granicy podstawowej l i m ( l + —) = lim ( l + a ) a = • n—>oo \

H /

a-*0

Liczba e jest liczbą niewymierną; e = 2,7182818... Logarytm o podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczany przez ln. Logarytmy naturalne i-dziesiętne są związane wzorami \gx = Mlnx, przy czym M = Ige = 0,43429...,

lnx =

M

lgx

= ln 10 = 2,30258...

90. Wyznaczyć granice: 1) l i m ( l + ~~) oo \

+1 f t — 3 \ 2 tt+1

3) lim [( —yr-1

2) lim \ r \ ^ 2 x x->0

/

4) lim (tg *) tg 2x

oo \

R o z w i ą z a n i e . Stwierdziwszy najpierw, że przy podanym przebiegu argumentu rozważana funkcja rzeczywiście staje się potęgą o podstawie zmierzającej do jedności i wykładniku dążącym do nieskończoności (przypadek l 00 ), sprowadzamy funkcję do takiej postaci, aby można było skorzystać z wyżej przytoczonej granicy podstawowej. 1) Podstawiając n = ax, mamy x oo, gdy n oo, oraz

. S( , + t)" -

- l i "[( 1 +ł)7 -

-[•4+7)7-54

Przykład ten można też rozwiązać bez stosowania zamiany zmiennej n

n_

a

>00 v

' -1

2) Podstawiając — 2x = cc, mamy a -> 0, gdy x

0, oraz = e~2

lim (1 - 2x)* = lim (1 + a ) ~ " = [lim (1 + 0, gdy

=

oo, oraz

22\7+2)

= l i m | l — 7+^2]

=£2(1+')

'

=

= [ l i m ( l + x ) x ] - 1 0 • l i m ( l + * ) - 3 = e- 1 0 • 1 = < r 1 0 7t

4) Podstawiając tgx = 1 + a , mamy cc

0, gdy x ->

oraz tg2x =

a więc 2(0 x czyli jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż 57

\

3) lim

= liml/ — -

X

\

X

+00

a więc \ 3x jest nieskończenie małą rzędu niższego niż tg y

sin y

4) lim

sin y

= lim X

= lim

lim x

X COS y

1

Sin r

T

—= COS

1

1

,

y

1

czyli t g y jest nieskończenie małą tego samego rzędu, co x. 5) i i m i i l L t * ) = lim lg (1 +xf x->0

= lg e

X

a więc lg(l+jc) jest wielkością nieskończenie małą tego samego rzędu, co 116. Wykazać, że gdy x 0, to: 1) sina* » ax, 2) igax « ax, 4) arc tg a* ^ ax,

3) arc sin dr* « ax, 1

5) j / l - f x — 1 » —

R o z w i ą z a n i e . Aby wykazać równoważność dwóch wielkości nieskończenie małych należy znaleźć granicę ich stosunku. Jeżeli okaże się, że granicą tą jest jedność, to nieskończenie małe są równoważne. sin A* t . s'max 1) lim = hm = 1 _ tgax sin ax sin ax 1 1 1 1 t. t. 2) lim — = lim = lim • lim = l •l = l ax ax cos ax ax^o ax cos ax _ arc sin ax a 1 3) lim = lim —— = 1 ax a-*o sina Podstawiamy tu arc sin ax = a, skąd wynika, że ax = sina i a -> 0, gdy * -> 0. arc tg z 5 ax 4) lim — = lim = 1 ax x^o z_>o tg z Podstawiamy tu arc tg x->0. 58

— z, skąd wynika, że ax = tg z oraz z

0, gdy

5) lim 1 / 1 + X *->o JL

1

l+x-l , .- =_ = 2 lim x(]/l+x+l) Vl+x+l

= 2 lim

=

1

117. Wykazać, że jeżeli łuk AB okręgu (rys. 24) dąży do zera (przy stałym promieniu), to cięciwa AB jest nieskończenie małą równoważną AB, zaś „strzałka" CD jest rzędu wyższego niż AB. R o z w i ą z a n i e : 1) Niech x będzie miarą łukową kąta AOB, wtedy AB = Rx i AB = 2R sin y , oraz .

2i£ sin y lim S

= lim

ifct

JC

siny

= lim

X

= 1

T Nieskończenie mały łuk okręgu i cięciwa spinająca ten łuk są więc równoważne: AB « AB. 2) Z rysunku 24 znajdujemy: CD = OD = OC = JR—JR COS ^ , czyli

rlim

CD

AB

^(l-cos^-)

= ylim *-o

i?* .

1

=

T

Sm

x "4

lim——

2 sin2 4" 4 = lim-

lim sin

= -i- • 1 - 0 = 0

Zatem „strzałka" CD jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż D

118. Korzystając z tego, że przy znajdowaniu granicy stosunku dwóch nieskończenie małych można zastępować je nieskończenie małymi równoważnymi (własność II), wyznaczyć granice: sin4x tg2 2x 1) lim . 2) lim sin 3x x->0 sin* 59

,3 1 n

3

tg3—-arctg—

. ^ 3) lim ? ——• 4)* lim ^ o (arc tg 5xf ' X Sin 2x

_

sin

2_

«3

1

6

y/n

arc sin

£ n

R o z w i ą z a n i e . Korzystając z tego, że gdy a 0, to sin a a tga « « arcsina » arctga » a, co wynika z rozwiązania zad. 116, oraz biorąc pod uwagę przytoczoną własność nieskończenie małych równoważnych, otrzymamy sin 4* .. 4x 4 1) lim . — lim — = — sin 3x Ł 3x 3 .. tg 2 2* 2) lim— =

(2x)2

_ = 36

2

~°sin y

(łf

3) lim X S ' n — lim X *->o (arc tg 5;e)2 5x

^+co

=

s

j

_

2 25

t g 3 - • arc tg — = . nV " ^ . tg—U- • arc sin—

4)* lim x

5x

n

l i m - P l ^ - = l i m ^ £ = 0 , 3 "

3

n

|/«

119. Wykazać, że gdy x 1) \/6x+l

—1 x 3x

0, to: 2) s i n x + t g * « 2x

3)y vf ^ ^ + 8 - 2 ^ 4 -

4)

12

'

1 - c o s - ^ Ą2

m

Im

120. Korzystając z własności nieskończenie małych równoważnych wyznaczyć następujące granice: _ 1) lim

s

x-+ox-\-x

i 2

_ arc sin 3x 2) lim p— jc->o arc tg 6* 60

n

\

/

l x — x 2) lim - — - r ^ tg}/*

2

.. sin (x—1) 4) lim — : , J 1

_ tg 2w arc sin 3w 5) h m - ^ - 3f ę ^ O sm

Xq

Na to, aby funkcja f(x) była ciągła w punkcie xQ, potrzeba i wystarcza, aby spełnione były następujące warunki: 1) funkcja powinna być określona w pewnym przedziale zawierającym punkt XQ (tzn. funkcja powinna być określona w samym punkcie xo oraz w otoczeniu tego punktu); 2) funkcja powinna mieć równe co do wartości granice lewo- i prawostronne: lim f(x) = lim f(x); 3) granice te powinny być równe f(x0). Mówimy, że funkcja f ( x ) jest nieciągła w punkcie XO, jeśli jest określona dla punktów dowolnie bliskich punktu xo, ale w samym punkcie xo nie spełnia któregokolwiek z warunków ciągłości. Nieciągłość funkcji f(x) w punkcie xo będziemy nazywać nieciągłością skończoną lub nieciągłością pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją skończone granice lewo- i prawostronne lim f(x) i lim /(*). Wszystkim pozosX—>xq—0

*->* XQ od wewnątrz obszaru określoności jest równa, czy nie jest równa f(xo); 2) jeżeli punkt graniczny *o nie należy do obszaru określoności funkcji, to jest on punktem jej nieciągłości. Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w całym obszarze określoności, czyli obszar ciągłości funkcji elementarnej pokrywa się z jej dziedziną. Przy poszukiwaniu punktów nieciągłości funkcji można korzystać z następujących wskazówek: 1. Funkcja elementarna może mieć nieciągłości tylko w punktach odosobnionych, a nie może być nieciągłą we wszystkich punktach jakiegokolwiek przedziału. 2. Funkcja elementarna może mieć nieciągłość tylko w punkcie, w którym nie jest określona, pod warunkiem, że będzie ona określona chociażby z jednej strony punktu nieciągłości, w punktach leżących dowolnie blisko tego punktu. 3. Funkcja nieelementarna może mieć nieciągłości zarówno w punktach, w których jest określona, jak i w punktach, gdzie nie jest określona; w szczególności, jeżeli funkcja dana jest kilku różnymi wyrażeniami (wzorami) analitycznymi dla różnych obszarów przebiegu argumentu, to może ona mieć nieciągłości w tych punktach, w których zmienia się jej wyrażenie analityczne 121. Wykazać, że funkcje elementarne: 1) y = 2jc2—1, 2) v = cosec* są ciągłe we wszystkich punktach swego obszaru określoności. R o z w i ą z a n i e . Znajdujemy obszar określoności funkcji, a następnie, wychodząc z definicji ciągłości, badamy, czy funkcja jest w tym obszarze ciągła. 1) Dziedziną funkcji y jest cała oś liczbowa. Weźmy więc dowolny przyrost Ax argumentu * i podstawiając do danego wyrażenia funkcji *) Struktura funkcji nieelementarnych może być bardzo skomplikowana. Mogą one być określone, a jednocześnie nieciągłe w każdym punkcie osi liczbowej.

62

zamiast * wartość x+Ax} wyznaczmy odpowiednią wartość funkcji y+Ay

=

2(x+Ax)2-l

Odejmując od tej wartości funkcji jej pierwotną wartość, znajdujemy przyrost funkcji Ay = 2(x+Ax)2-\—(2x2-l) Niech teraz Ax

=

4xAx+2Ax2

0. Wtedy dla każdej wartości x mamy lim Ay = 0.

Zatem zgodnie z definicją ciągłości funkcji, funkcja y będzie ciągła dla dowolnej wartości *, a więc w całym obszarze określoności. 2) Funkcja trygonometryczna cosec* jest określona na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktów * = kn\ k = 0, ± 1 , ± 2 , ... Postępując tak, jak w poprzednim przykładzie, znajdujemy przyrost funkcji Av i jego granicę, gdy Ax -> 0 Av = cosec (*-fzl*) — cosec * = •/ t A\ _ sin * —sin(*+zl*) _ sin ( x + A x ) sin *

. * •N sm(*-fzl*)

^— = sin*

2 c o s / * +2 s i n / — \ / \ sin (*+zl*) sin *

2cos(x+ę) hm Av = lim —i—z—, A , . • lim sin sm(*+zj*)sin* \

2

/

2 c 0 s x

—| = — ^ z 2 J sin *

0= 0

co zachodzi dla wszystkich *, oprócz * = kn\ k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . Zatem obszar ciągłości i obszar określoności funkcji elementarnej cosec* w zupełności pokrywają się. 122, Znaleźć punkty nieciągłości (jeśli istnieją) oraz skok funkcji w każdym punkcie nieciągłości:

3) f3(x) = arc ctg i -

4) fA(x) =

5) fs(x) = lg (* 2 +3x) R o z w i ą z a n i e . 1) Funkcja /i(JC) jest określona dla wszystkich wartości x oprócz x = ± 2 . Jest to funkcja elementarna, a więc jest ciągła w całym obszarze określoności: —co —2—0 wyrażenie x2—4 jest nieskończenie małą wielkością dodatnią znaku, a jego odwrotność

J . jest wielkością dodatnią

nieskończenie wielką; lim

}

JC—>—2-F-O X

A 4

= —oo

ponieważ dla x -> —2+0 wyrażenie x2—4 jest nieskończenie małą wielkością ujemną, a jego odwrotność jest wielkością ujemną nieskończenie wielką. Zatem w punkcie * = —2 skok funkcji jest nieskończony, b) x - + 2 : 1 lim ——7 = — oo 2 - o *

- 4

ponieważ dla * -> 2—0 wyrażenie x2—4 jest nieskończenie małą wielkością ujemną, a jego odwrotność

jest wielkością ujemną nieskończenie

wielką; lim

* . = +oo

ponieważ dla x -> 2 + 0 wyrażenie x2—4 jest nieskończenie małą wielkością dodatnią, a jego odwrotność jest wielkością dodatnią nieskończenie wielką. W punkcie x = 2 skok funkcji jest nieskończony (rys. 25). 2) Funkcja elementarna f2(x) jest określona na całej osi liczbowej (wprawdzie jest to funkcja wymierna, ale pierwiastki mianownika są zespolone), a więc jest też ciągła na całej osi liczbowej, tzn. nie ma punktów nieciągłości. 3) Funkcja elementarna f$(x) jest określona, a więc i ciągła na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu * = 0. W punkcie * = 0 funkcja jest 64.

nieciągła, ponieważ jest określona w dowolnym otoczeniu tego punktu, ale nie jest określona w samym punkcie. Wyznaczmy jednostronne granice funkcji w tym punkcie lim arc ctg — = arc ctg ( — 0 0 ) x

=

n

lim arc ctg — = arc ctg ( + 0 0 )

=

0

x->-0

JC-J.+O

x

Zatem nieciągłość funkcji jest skończona i w punkcie x = 0 funkcja ma skończony skok lim / 3 (*)— lim f3(x) = O—n = —n Wykres tej funkcji podano na rys. 26. y\

Y

JX

s

2 - 2 1

0

m

x

Rys. 26

Rys. 25

4) Funkcja MX) jest określona i ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu x = 3. Zatem w punkcie x = 3 funkcja jest nieciągła. Badamy ten punkt nieciągłości K m l * = | U - l *->3-0 X — 3

ponieważ dla wszystkich x < 3 funkcja jest równa — 1; I jc—31 = 1 lim x->3+0 X — ó ponieważ dla wszystkich x > 3 funkcja ta jest równa + 1 . Zatem w punkcie x = 3 funkcja ma skończoną nieciągłość; skok funkcji w punkcie nieciągłości jest skończony i wynosi lim f4(x)5

Metody rozwiązywania zadaó

lim f4(x) = l - ( - l ) = 2 65

1

Wykres funkcji przedstawiono na rys. 27. 5) Funkcja logarytmiczna y = \gu jest określona tylko dla dodatnich wartości argumentu u. Dlatego funkcja elementarna fs(x) = lg(* 2 +3*) będzie określona i ciągła dla * spełniających nierówność x2+3x > 0. Rozwiązując tę nierówność, znajdziemy obszar określoności, a tym samym obszar ciągłości funkcji; składa się on z dwóch odcinków osi liczbowej —oo < x < —3

i

0 < x < +oo

We wszystkich punktach odcinka — 3 < x < 0 rozważana funkcja jest nieokreślona, jednak punktami nieciągłości są tylko punkty graniczne x = — 3 i x = 0, bowiem tylko w punktach leżących dowolnie blisko na lewo od punktu x = — 3 oraz na prawo od punktu x = 0 funkcja jest określona. Wszystkie wewnętrzne punkty odcinka [—3,0], w których funkcja, tak samo jak w punktach x = — 3 i x = 0, jest nieokreślona, nie są punktami nieciągłości, ponieważ funkcja jest nieokreślona w pobliżu tych punktów;

Rys. 27

Rys. 28

punkt, w którym funkcja jest nieokreślona jest punktem nieciągłości funkcji tylko wtedy, gdy funkcja jest określona w pobliżu tego punktu przynajmniej z jednej strony. Wyznaczamy jednostronne granice funkcji dla x dążących do punktów nieciągłości od wewnątrz obszaru określoności funkcji. Mamy lim

lg(x2+3x)

= lg 0 = - o o

lim lg (x 2 +3x) = lg 0 = —oo *->+o skąd wynika, że rozważana funkcja ma w punktach x = — 3 i x = 0 nieciągłości nieskończone (rys. 28). 66.

123. Dla każdej z poniższych funkcji wyznaczyć punkty nieciągłości (jeśli istnieją), znaleźć skok funkcji w punktach nieciągłości i narysować wykres funkcji: gdy

x 2

gdy

0

gdy

1 < x < 2,5

2x-7,

gdy

2,5 < x < +oo

2x+5, 1

gdy

— 00 < X < — 1

gdy

—1

2

2j/x,

2) cp(x) = 4—2x,

3) F(x) =

< 1

< +00

R o z w i ą z a n i e . 1) Funkcja f(x) jest określona na całej osi liczbowej. Nie wynika stąd jednak, że jest funkcją ciągłą na całej osi liczbowej, ponieważ nie jest ona funkcją elementarną; jest zadana za pomocą dwóch różnych wzorów dla różnych przedziałów argumentu x i może być nieciągłą w punkcie x = 2, w którym zmienia się jej wyrażenie analityczne. Znajdujemy granice jednostronne funkcji w punkcie x = 2, gdy argument dąży do tego punktu z lewej oraz z prawej strony. Ponieważ na lewo od punktu x — 2 funkcja f(x) = —

* 2 , więc

lim f(x) = lim( jc->2—0 \

2

Na prawo od punktu * = 2 funkcja f(x) =

I

= —2

zatem

lim / ( * ) = l i m * = 2 jc->2+0 Granice lewo- i prawostronne są skończone, ale ich wartości są różne. Dlatego, z uwagi na niespełnienie drugiego warunku ciągłości, w punkcie x = 2 funkcja jest nieciągła (nieciągłość skończona). Skok funkcji w tym punkcie jest skończony i wynosi lim / ( * ) - lim / ( * ) = 2 - ( - 2 ) = 4 *->2+0 x~>2—0 67.

We wszystkich pozostałych punktach osi liczbowej funkcja f(x) jest ciągła, ponieważ obydwa wyrażenia, za pomocą których zadana jest funkcja, określają elementarne funkcje ciągłe. Wykres funkcji pokazano na rys. 29.

Rys. 29

2) Nieelementarna funkcja (p{x) jest określona dla wszystkich x > 0. Nieciągłości mogą wystąpić w punktach x= 1 i x = 2,5, w których zmienia się wyrażenie analityczne funkcji. We wszystkich pozostałych punktach swej dziedziny funkcja cp(x) jest ciągła, ponieważ każdy z definiujących ją wzorów określa funkcję elementarną, ciągłą w odpowiednim przedziale zmian argumentu x. Zbadamy zachowanie się funkcji w punktach x = 1 oraz x ~ 2,5. a) * -> 1: lim (p (JC) = lim 2 ]/x = 2 o lim (p{x) = lim (4—2x) = 2 *->i+o Zgodnie z warunkiem zadania wartość funkcji 4-0

x

*

Zatem w punkcie x = 0 funkcja F(x) ma nieciągłość nieskończoną. Z kolei badamy zachowanie się funkcji w punkcie x = — 1, bowiem funkcja F(x) jako funkcja nieelementarna może być także nieciągłą w punkcie, w którym zmienia się jej analityczne wyrażenie. Ponieważ na lewo od punktu * = — 1 funkcja F(x) = 2x+5, więc lim JP(*) = lim(2;c+5) = 3 i—o 69.

natomiast na prawo od punktu * = — 1 funkcja F(x) = y , więc lim F(x) = lim — = — 1 x->—l -f 0 x Znalezione granice jednostronne są skończone, ale różne. Dlatego w punkcie x = — 1 funkcja ma skończoną nieciągłość. Skok funkcji w tym punkcie jest skończony i wynosi lim F(x) lim F(x) = - 4 1+0 jc->—1—0 We wszystkich pozostałych punktach osi liczbowej funkcja jest ciągła; wykres funkcji podano na rys. 31. 124. Sprawdzić, że dla funkcji elementarnych: l) y = x3—2x

2)z = \/x

1

3) u =

4)v = co$2x

obszar ciągłości funkcji pokrywa się z obszarem określoności. 125. Znaleźć punkty nieciągłości, jeśli istnieją, oraz skok podanych niżej funkcji w każdym punkcie nieciągłości: 3) ? = l g ( 2 x + l ) 1 4) y = arc sin • x

« 1 5) y = ' ' ]/*2-l

6)y =

COS X

126. Dla każdej z poniższych funkcji: 1 )y ..

=

-2*+l 2 | x—l

2) y = x-

xĄ-2 |*+2|

3) .y = -h

4)^ = ^ 2 - 1

—x, gdy x < — 1 5) y = 2 , gdy x > —1 x—1

6)* y =

l-x\ 4—x,

gdy *< 0 gdy • 0 < x < 2 gdy x >2

wyznaczyć punkty nieciągłości, skok funkcji w każdym punkcie nieciągłości i sporządzić wykres.

70.

ROZDZIAŁ

II

POCHODNA I RÓŻNICZKA FUNKCJI v § 1. Pochodna funkcji i jej sens geometryczny Różniczkowalność funkcji. Bezpośrednie wyznaczanie pochodnej Pochodną funkcji y = f(x) nazywamy granicę ilorazu przyrostu Ay funkcji i odpowiedniego przyrostu Ax zmiennej niezależnej, gdy Ax —> 0 lim

Ax

= lim

f(x+Ax)-f(x)

Ax-*Q

A X

(a)

Pochodną oznaczamy symbolami / l u b f ' ( x ) , albo Proces wyznaczania pochodnej nazywamy różniczkowaniem. y\

Rys. 32 Pochodną yf funkcji y = f(x) interpretuje się geometrycznie jako współczynnik kątowy stycznej do wykresu tej funkcji (rys. 32) Ax = tg /?,

/ = Hm

= lim tg /? = tg a

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, jeżeli ma ona w tym punkcie określoną pochodną, co oznacza, że w punkcie tym istnieje granica (a) o jednej i tej samej wartości dla Ax 0 w dowolny sposób. Funkcja będzie też wtedy ciągła w tym punkcie. 71.

Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym (ale nie wystarczającym) różniczkowalności funkcji. Funkcja ciągła w pewnym punkcie może być nieróżniczkowalna w tym punkcie. Prostsze przypadki nieróżniczkowalności funkcji ciągłej y = f(x) przedstawiono na rys. 33. Tak np. w punkcie a i l o r a z ^ nie ma granicy, gdy

Ax -> 0; istnieją jednak w tym punkcie granice jednostronne dla Ax —0 i Ax -> + 0 , przy czym noszą one nazwę pochodnych jednostronnych (lewej i prawej) u.

A:c->-0 AX

r

lim J*->+0 AX

=

W punkcie A wykresu funkcji nie istnieje styczna określona jednoznacznie, . istnieją natomiast dwie różne styczne jednostronne o współczynnikach kątowych i

k2 = y [ + )

(A punkt kątowy). W punktach b i bx iloraz-^- dla Ax

0 jest wielkością nieskończenie

wielką o stałym znaku Ay lim —— = — oo (albo +oo) Ax W tym przypadku mówimy, że funkcja ma pochodną nieskończoną. W odpowiednich punktach {B i Bt) styczne do wykresu funkcji są pionowe (są to punkty przegięcia o pionowej stycznej). W punkcie c pochodne jednostronne są wielkościami nieskończenie wielkimi o różnych znakach. W punkcie C wykresu funkcji istnieją dwie 72.

pokrywające się styczne pionowe (jest to ostrze o stycznej pionowej, będące przypadkiem szczególnym punktu kątowego). W punktach a, b, bx i c funkcja y = f(x) jest ciągła, ale nieróżniczkowalna. W celu bezpośredniego wyznaczenia pochodnej y' funkcji y = f(x), na podstawie definicji pochodnej, postępujemy następująco: I. Nadajemy argumentowi x dowolny przyrost Ax i podstawiając w danym wyrażeniu funkcji zamiast x wartość x+Ax wyznaczamy wartość funkcji y+Ay =f(x+Ax) II. Odejmując od tego wyrażenia pierwotną wartość funkcji wyznaczamy przyrost funkcji Ay =f(x+Ax)-f(x) III. Dzielimy przyrost funkcji przez przyrost argumentu, czyli piszemy iloraz Ay = f(x+Ax)-f(x) Ax Ax IV. Szukamy granicy tego ilorazu dla Ax -> 0. Granica ta jest poszukiwaną pochodną yr funkcji y = f(x). Ay

127. Za pomocą obliczenia granicy lim -Twyznaczyć pochodne A x Ax-> 0

następujących funkcji: 1) y = 3x2—4x

2) y =

3) y = }/x

4) y = cos 3x

R o z w i ą z a n i e . Korzystając z podanego wyżej sposobu bezpośredniego wyznaczenia pochodnej otrzymujemy kolejno: 1) Dla funkcji y = 3x2—4x: I. y+Ay = 3(x+Ax)2-4(x+Ax) = 3x2+6xAx+3Ax2-4x-4Ax 2 2 2 II. Ay = (3x +6xAx+3Ax -4x-4Ax)-(3x -4x) = = 6xAx+3Ax2—4Ax Tj-r Ay 6xAx+3Ax2-4Ax x A III. = ^ = c 6x+3Ax—4 Ax IV. lim ^ Zatem

Ax =lim(6*+3zl*-4) =

6x-4

dy d(3x2-4x) , , -f-= , - = 6^—4 dx dx 73.

2) Dla funkcji y = 1

I. y+Ay

=

II. Ay =

1 x-\~Ax

1 x

Ax x(x+Ax)

1

III. ĄL = zl* IV. lim ^

X

x(x+Ax) — lim£

J

A więc

(*) ~ 3) Dla funkcji y = ]/x: I.

=

II. HI IV.

\/x+Ax

== i / j + d * - j/x Ay

< = Vx+Ax~ Ax Ax

j^o Ax

=

V*

Ax

.. = lim

x+Ax—x \/x)

2]/x

(licznik i mianownik pomnożyliśmy przez ] / x + A x + \/x). Zatem

2]/x 4) Dla funkcji y = cos 3* I. y+Ay = cos3(x+zl*) II. Ay = cos 3 (x+Ax)—cos

3x = —2 s i n | 3 * + s i n - ^ - Z l *

próżnicę cosinusów przekształciliśmy na iloczyn, korzystając z wzoru trygonometrycznego cosa—cos/? = 74.

—2sinsin

Ąy III. ~ = Ax

2sin

y ^ j siny/J*

-

A I 3 \ IV. lim - J - = —2lim s i n | 3 x + — • j^o Ax \ 2 )

sinyZl* limAx

Ax

i s = — 2 sin 3* • lim—^— = —2 sin 3* • — = —3 sin 3* Ax 2 (przy obliczaniu granicy ilorazu dwóch nieskończenie małych wielkości jedną z nich zastąpiliśmy wielkością nieskończenie małą równoważną 3

3

s i n y Ax « y

patrz własności nieskończenie małych równoważnych,

rozdz. I, § 9). Zatem (cos 3x)' = — 3 sin 3* r 128. Na podstawie następujących funkcji:definicji pochodnej y = lim

1) y = x2+5x-l l)y x*Jr5x-l

2

4) y = }/4x+1

5) > = sin 3*

=

wyznaczyć pochodne =

6)*

= tg 2x

§ 2. Pochodne prostszych funkcji algebraicznych i trygonometrycznych Pojęcie pochodnej ma szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu rozmaitych zadań. Nie ma jednak potrzeby obliczenia pochodnej w każdym przypadku za pomocą przejścia granicznego, czyli za pomocą tych czterech operacji, które podaliśmy w ogólnym sposobie różniczkowania funkcji. W praktyce pochodne funkcji elementarnych znajdujemy z podstawowych wzorów na pochodne jak to wyjaśnimy na przykładach. Podstawowe wzory rachunku różniczkowego: 1) (c)' = 0

2) (u+v-w)r

3) (uv)' = u'v+v'u

3a) (cu)' = cu' 4 a )

(v)' =

=

u'+v'-w'

T 75.

UV = _ 4b) |~rl == —

5)

6) (sin*)' = c o s *

7) (cos*)' = — sin*

8) (tg*)' = sec 2 * = —K— N cos 2 *

9) (ctg*)' = —cosec2* =

=

r-t— sin 2 *

We "wzorach tych, jak również w dalszym ciągu, przyjmujemy następujące oznaczenia: c — stała, * — zmienna niezależna, w, v9 w — funkcje *. 129. Korzystając z wzorów na różniczkowanie, wyznaczyć pochodne następuj ących funkcji: 1) y = * 2 - 5 * + 4

2) y =

3) z = * 5 ( 2 - y + 3 * 2 )

4) / ( * ) =

^

/N

10 asint—bcost

r>/

+

+

cos a ctg a l+2tgc

X

R o z w i ą z a n i e : 1) Na podstawie wzoru 2, mamy / = (X 2 -5X+4)' = (X2)' — (5jc)'+(4)' i na podstawie wzorów 5, 3a i 1 y' — 2*—5 • l + 0 = 2 * - 5 2) Wprowadzając wykładniki ujemne i ułamkowe, daną funkcję możemy zapisać następująco i

y=

2 X

_2

1

+ 5x

Stosując teraz wzory 2, 5 i 3a, otrzymujemy

1

5

.

2

1

2\/~x 3 fi? ' 3) P i e r w s z y s p o s ó b . Korzystając z wzoru 3, otrzymamy z' = (*5)'

+3*2j +x5 | 2 - y + 3 * j ' =

= 5 * 4 | 2 - y + 3 x 2 j + x 5 | - y + 6 ; t J = 10x 4 -2x 5 +21x 6 76.

D r u g i s p o s ó b . Najpierw wykonujemy mnożenie (pozbywamy się nawiasów), a później różniczkujemy otrzymaną sumę z = 2 * 5 - y * 6 +3* 7 ,

I0x4-2x5+llx6

z' =

Jest to sposób dogodniejszy, gdyż szybciej prowadzi do wyniku. Należy pamiętać, że na ogół nie trzeba od razu różniczkować danej postaci funkcji. Niekiedy lepiej jest przekształcić uprzednio funkcję tożsamościowo (naturalnie, jeśli jest to celowe, tzn. jeśli przez to upraszcza się różniczkowanie). 4) Korzystając z wzoru 4, otrzymamy rt* - i * Y J w - ^ + i ] -

(JC 2 )'(jc 2 +1)-(X 2 +1)V ( ^ y + D - C tf+iy • x2

2x(x?+l)-2x (x2+l)2 I 10 V _ _ \a sin t—b cos t) ~

' ^ ^

2x tf+l)2

10 (a sin t-b cos t)' (asint—bcost)2

_

_

10 (a cos t-\-b sin i) (a sin t- b cos t)2 W przykładzie tym zastosowaliśmy wzór 4b (stały licznik), a nie wzór 4 6) Korzystając z wzoru 4a (stały mianownik), otrzymamy dR _ (cos a ctg a)' _ — sin « ctg «+cos a ( — cosec2 a) _ da ~ 1 + 2 tg c ~ l+2tg c ~~ __ ~~

cosa(l+cosec 2 a) l+2tg c

130. Wyznaczyć pochodną danej funkcji, a następnie obliczyć jej wartość szczególną dla podanej wartości argumentu: X

a+b

— ; * = U,U1

Z) Z = —

cos t

71

, 5x4—1

R o z w i ą z a n i e : 1) Najpierw przekształcamy daną funkcję F(x) = l~2Vx+x x

= ix

^ yx

+1

=x-1_2x-i+l

77.

a następnie różniczkujemy

Podstawiając x = 0,01, otrzymamy ^(0,01) = - ^

+

= -100^+103 = - 9 0 0 0 -

2) Na podstawie wzoru 4, znajdujemy Z

' _ ~

(cos

cos

^(1—sinp f _ (1-sinr) ~~ 2

__ —sin ~

sin t)—cos t(— cos Q __ (1—sin tf "

__ — sin f + s i n 2 f + c o s 2 f __ 1 ~~ (1 — sin 0 2 1— sin* Podstawiając t =

otrzymamy

3) Stosując wzory 4b i 4a, otrzymamy y

~

(a+b)(3-2xy (3-2x)2

+

(5x4-l)' a-b

2 (a+b) ~ (3- 2xf

+

20x2 a-b

Dla x — 0 będziemy mieli

Korzystając z wzorów na różniczkowanie wyznaczyć pochodne następujących funkcji: 131. y = x+3x2133.

y

132. y = * - 2 ] / j c

= (}/x-\/af

134. j = Ą - + ~ i l

135. z = 3 YX-2 78

j/j?+4

136. « =

138. y = x2 sin A: 139. r ==

1+C

°Sy sin 0; wtedy y = (2 sin x + s i n xy

= 3 cos x

oraz ,[

7l\

'(T)

TC

3

= 3COS

T= T

b) W przedziałach, w których sin* < 0; wtedy yf = (2 sin x—sin x)' = cos x oraz ' ( - t M - T K 89.

c) W punktach, w których sin* = O, tj. dla *„ = nn (n = O, ± 1 , ±2,...). W punktach tych dana funkcja jest nieróżniczkowalna, ponieważ ma ona w tych punktach różne pochodne jednostronne: — 1 i j/. (+) = 3 dla n parzystych, oraz y [ = —3 i y{+) = — 1 dla n nieparzystych. Punkty * == są punktami kątowymi wykresu funkcji, gdyż w każdym z tych punktów istnieją po dwie styczne jednostronne o współczynnikach kątowych 'ki = X-) i k2 = y ( + ) (rys. 36).

o\ Rys. 35

Rys. 36

Wyznaczyć pochodne następujących funkcji: 1 8 5 . ; ; = (1 + j/*) 3 188. * = ]/ cos 4a 189. s = sin4 ć+cos 4 1

190. r = (p sec2 aę?

191. * = 2ef sin/cos 2 /

192.

193. tt = ^ . l n t g y

194. y =

= * 4 (8 ln 2 *—4 l n * + 1 ) ln(x+]/x2+a)

t

197. * = t (cos ln t—sin ln i)

198. y =

199. y = arc sin |/sin *

200. r = arc

201.7 = arc cos (cos *) 202. y ~ \ 90.

arc tg*—ln j / j g ;

obliczyć/j-yj

203. u = * |/4—X 2 + 4 arc sin Ą-; obliczyć w'(2)+w'(0) 204*. y — ae"~sln*+sin.x;—1; wykazać, żey'+ycosx

= -^-sin2;c

205*. y = 21 cos x | + c o s x; obliczyć y'

i wyznaczyć punk-

, y'^-j

ty kątowe wykresu funkcji. 206*. y = \x\ex; obliczyć / ( — 1), / ( 1 ) oraz pochodne jednostronne w punkcie kątowym wykresu funkcji. § 7. Pochodna logarytmiczna Różniczkowanie wielu funkcji znacznie upraszcza się, jeśli się je uprzednio zlogarytmuje. Gdy więc mamy obliczyć y' z równania y = f(x), to można: a) zjogarytmować obie strony równania (przy podstawie e) ln^ = lnf(x)

= '")' = J>(4) = f(4)(x) pochodna w-tego rzędu (y*"-1))' = y(n) = f(n)(x)

= =

dAy

^

Celem znalezienia pochodnej jakiegokolwiek wyższego rzędu danej funkcji należy wyznaczyć kolejno wszystkie pochodne niższych rzędów. Pochodną w-tego rzędu iloczynu dwóch funkcji wyznaczamy posługując się wzorem

Leibniza yu • ©) = u{n)v+nu(rt-1)v'+

... + n(n-l)..

i(24) 6) y = xm; wyznaczyć j (fc) R o z w i ą z a n i e : 1) Różniczkując funkcję y, otrzymamy (y)'

= /

=

5x4-2lx2

93.

Różniczkując pochodną / , mamy = 20* 3 —42*

(/)' =

Różniczkując drugą pochodną / ' , znajdujemy (y"y = y'" = 60*2-42 2) Pierwsza pochodna / = (lnx)' = — = x~1 x Aby ułatwić wyznaczenie następnych pochodnych wprowadziliśmy ujemny wykładnik potęgi; mamy = -jc-2.

/"

= 2x->;

/4> = - 6 * " 4 ;

j/5> = 24*~5 =

94

3) Wyznaczamy kolejno odpowiednie pochodne 5

'

=

„

( a r c t g 2 x ) , =

i

W

2(1+4*2)' ^ _ (1+4* 2 ) 2 "

=

S

=

i

W

16* (1+4* 2 ) 2

Dla * = — 1 znajdujemy s"(— 1) ;= 4) Znajdujemy y' i y" y = ( e -+y sin ę+er*(sin

= ( l + x ) m ; wyznaczyć " ^ r -

224.

=

wyznaczyc

225*. y = xn~llnx;

10

obliczyć / n >(l) § 9. Pochodne funkcji uwikłanej

Jeżeli y jest funkcją uwikłaną x, tzn. jeżeli zależność od x jest dana równaniem f(x, = 0 nie rozwiązanym względem y, to w celu znalezienia pochodnej ^

należy zróżniczkować względem ^ obie strony równania,

pamiętając, że y jest funkcją a następnie rozwiązać otrzymane równanie względem poszukiwanej pochodnej. Będzie ona na ogół zależeć od x i y; % = >;=6 = ~ -3-,

gdy y = 8

W układzie współrzędnych prostokątnych równanie wyjściowe przedstawia okręg, którego dwa punkty mają odciętą x = 6; są to punkty 7

Metody rozwiązywania jęadań

97

(6, 2) i (6, 8). Obliczone wartości szczególne pochodnych są więc współczynnikami kątowymi stycznych do okręgu w tych punktach (rys. 37). 5) P i e r w s z y s p o s ó b . Różniczkując względem t, znajdujemy s' 1-y-

= 0;

l+s2

y =

Ostatnią równość różniczkujemy ponownie względem / i wyznaczamy s" y = -2*-v = Zastępując teraz s' przez

, ostatecznie otrzymujemy s

Drugi krotnie

sposób.

4-

=

2(?+l)

Różniczkujemy daną równość względem / dwus' = 0 1+s2

(a)

s"(l+s2)-2ss's' = 0 (1+* 2 ) 2

(b)

1 —s'

Wyznaczając s' z równania (a) i podstawiając do równania (b), otrzymamy związek między t, s, s"\ z którego z kolei wyznaczamy s" jako funkcję t i s. Otrzymany wynik będzie taki sam, jak przy rozwiązaniu pierwszym sposobem. 6a) Różniczkując względem x9 wyznaczamy y' y = 98.

y-1

Ostatnią równość znów różniczkujemy względem x i wyznaczamy y" " YV

=

/ ( y - » - y2 ' y O - I )

_

=

/ O — I )

2

Podstawiając zamiast y' znalezione wyżej wyrażenie, otrzymujemy v" y

=

Ł O'-!)3 6b) Daną równość różniczkujemy względem y i obliczamy x'

y

y

Otrzymaną równość różniczkujemy ponownie względem y; znajdujemy x

=

1 • J—l(y—1)

1

Wyznaczyć pochodne funkcji uwikłanych: 227. 5x2+3xy—2y2-j-2 = 0; wyznaczyć / _2

2_

2_

228. x3+y3 = a3; obliczyć/ dla x = a y x 229. e sinx = e~ cosy; wyznaczyć x' 230. }/y =j/x; wyznaczyć yf 3 3 231. x +y —3axy = 0; wyznaczyć y" 232. y = tg(x+y); wyznaczyć y" 233*. ex—ey = y—x; wyznaczyć y" 234. x+y — ex~y; wyznaczyć / ' 235. y+c^ny = wykazać, że yy"—(y')2+(yr)3

= 0

§ 10. Różniczkowanie funkcji danej równaniami parametrycznymi Jeżeli funkcja y zmiennej niezależnej x jest dana równaniami parametrycznymi za pomocą zmiennej pomocniczej (parametru) t, czyli x=f(t),

y = v(t)

to pochodne y względem x określone są wzorami

y

_dy

_

dy_ dt * dt

7*

d/_ _ dy' _ dt dt

y

dy" ,„ _ dy" _ _dt_ CU'"' dt

(A)

99

Każdy z tych wzorów powstaje na podstawie jednej i tej samej reguły ogólnej: pochodna względem x wielkości z, danej równaniami parametrycznymi, równa się stosunkowi pochodnych z i x wziętych względem parametru t. 236. Wyznaczyć pochodne wskazanego rzędu dla następujących funkcji określonych parametrycznie: =

ksint+sinkt

•• k cos f + c o s kt;

obliczyć y' dla t = 0

Jaki jest sens geometryczny wyniku? 2)

lx = a>+2« \y = ln ( a + 1 ) ;

wyznaczyć y"

\y = a;

wyznaczyć y'"

R o z w i ą z a n i e : 1) Wyznaczamy pochodne * i y względem parametru t dx —- = k cos t-\-k cos kt, dt

dy j — — &sin t—k sin kt dt

Szukana pochodna y względem * jest ilorazem pochodnych y i x względem t dy_ dt

dy dx

fc(sin/+sinfc/) k (cos t+cos kt)

dt

-

- . tĄ-kt i—kt 2 s m — cos— t-kt t+kt 2cos—y-cos—

k + l tg

2

f

Dla t = 0 , - ^ = 0. Zgodnie z geometryczną interpretacją pochodnej (§ 1), styczna do wykresu danej funkcji w punkcie (0, fc+l), gdzie t = 0, jest równoległa do osi Ox. 2) Wyznaczamy pochodne x i y względem parametru a

^ = 2a+2, da 100.

1

da

a+1

oraz szukaną pochodną y względem x "

dx

da' doc

2(oc+l) 2

2

;

^

Z kolei znajdujemy pochodną / względem a, a potem drugą pochodną funkcji y względem x, będącą stosunkiem pochodnych y' i x względem a %

^

-- 2 — większe od jedności. Wobec tego: 1) gdy — 2 < x < 2, rzędna zmienia się wolniej niż odcięta, 2) gdy * = ± 2 , prędkość zmienności odciętej i rzędnej jest taka sama, 3) gdy * < —2 oraz x > 2, rzędna zmienia się szybciej niż odcięta. 268. Półkulisty zbiornik, o promieniu wewnętrznym R metrów, napełniany jest wodą z prędkością Q litrów na sekundę. Obliczyć prędkość podnoszenia się poziomu wody w zbiorniku w chwili, gdy poziom wody osiągnie 0,5 R. R o z w i ą z a n i e . Oznaczamy przez h poziom wody, liczony w metrach, a przez v jej objętość (w m3). Związek między h i v znajdziemy korzystając ze wzoru na objętość czaszy kulistej

Różniczkując tę równość względem czasu t, otrzymamy związek między prędkościami zmian h iv dv dt

dv dh dh ' dt

Podstawiając w myśl warunku

otrzymamy

111.

u a więc dla h =

mamy dh _

0,0046

dt ""

\sek/

269. Prędkość ruchu prostoliniowego ciała jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z przebytej drogi (jak np. przy swobodnym spadaniu). Dowieść, że ruch odbywa się pod działaniem stałej siły. R o z w i ą z a n i e . Według prawa Newtona siła F, powodująca ruch, jest wprost proporcjonalna do przyśpieszenia r.

2

, ds

dt2 W zadaniu założyliśmy, że ^ = X \/s, skąd różniczkując znajdujemy d2s = X ds = X ' dt2 ~ 2]/s ' dt ~ 2]/s

X2 ~~ 2

r = VS

Zatem działająca siła jest rzeczywiście stała i równa F =

fcl 2 -y.

270. Prostoliniowy ruch drgający punktu podlega prawu: * = ,4sinco/. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie punktu w chwili t =

Dowieść, że

przyśpieszenie ruchu jest wprost proporcjonalne do wychylenia R o z w i ą z a n i e . Wyznaczamy prędkość v i przyśpieszenie w ruchu w dowolnej chwili t dx v =——= Aa> cos co t, dt '

d2x w =-To-= dt2

— Aco2 sin cot

2JZ

Dla t = — , mamy v = A co, w = 0. Porównując wyrażenia dla przyśpieszenia iv i wychylenia x, widzimy, że różnią się one jedynie o stały czynnik, gdyż w = —co2x. 271. Podczas reakcji chemicznej tworzy się pewna substancja, której ilość Q zmienia się wraz z czasem następująco: Q = a(l+be~mt). Obliczyć szybkość reakcji. 272. Punkt porusza się po paraboli y = 5—x2 w taki sposób, że jego odcięta x zmienia się z czasem wg prawa: * = at2. Jaka jest prędkość zmian rzędnej punktu? 112.

273. Promień kuli r (cm) rośnie jednostajnie z prędkością 2 cin/sek. Z jaką prędkością rosną pole powierzchni i objętość kuli? Jaką wartość przybiorą te prędkości w chwili, gdy r osiągnie wartość 10 cm? 274. Ruch punktu po osi Ox określa wzór x = (t—2)2 e~\ Obliczyć prędkość i przyśpieszenie ruchu oraz moment czasu, w których kierunek ruchu zmienia się na przeciwny. 275. Punkt materialny o masie m wykonuje ruch drgający wzdłuż osi Ox, przy czym w chwili t jego wychylenie od położenia równowagi wynosi x = Ae~at cos(atf+6)- Obliczyć prędkość punktu oraz siłę działającą na ten punkt. § 13. Różniczka funkcji Z definicji pochodnej yf = lim wynika, że

=

i z definicji granicy wielkości zmiennej

lub Ay = yfAx+eAx,

przy czym e - > 0 dlaZlx->0;

zatem przyrost funkcji składa się z dwóch części. • Główna część przyrostu funkcji y=f(x), liniowa względem przyrostu zmiennej niezależnej, nosi nazwę różniczki funkcji i jest oznaczana symbolem dy dy = y'Ax Różniczka zmiennej niezależnej * równa się jej przyrostowi: dx — Ax. Wobec tego dy == y'dx

(a)

czyli różniczka funkcji równa się iloczynowi pochodnej funkcji przez różniczkę zmiennej niezależnej. Pochodna y' dowolnej funkcji jest funkcją tylko zmiennej x, natomiast różniczka dy jest funkcją dwóch wzajemnie nie związanych zmiennych x i Ax. Wyznaczanie różniczki funkcji nazywa się różniczkowaniem, tak samo jak i wyznaczanie pochodnej, co tłumaczy się tym, że aby znaleźć różniczkę jakiejkolwiek funkcji, musimy zgodnie z wzorem (a) najpierw obliczyć pochodną tej funkcji, a następnie pomnożyć ją przez różniczkę zmiennej niezależnej. Wzór (a) zachowuje swą ważność także i wtedy, gdy y jest funkcją złożoną, np. gdy * jest funkcją zmiennej t. 8

Metody rozwiązywania zadań

113

Jeżeli wartości \ dx\ będą dostatecznie małe, to z dowolnie małym błędem względnym przyrost funkcji może być zastąpiony przez jej różniczkę^ Ay £ dy Ta przybliżona równość znajduje zastosowanie w obliczeniach przybliżonych; obliczanie różniczki jest bowiem częstokroć znacznie prostsze niż bezpośrednie obliczenie przyrostu funkcji. 276. Wyznaczyć różniczki funkcji: 1)

=

y

3 X

-3X

2) F(i(t), z = q>i(t).

118.

Stąd znajdujemy cosinus kierunkowy kąta, jaki styczna tworzy z osią Oz; mamy z cos y — —; 2 2 }/x +y +

z2

b , _ }/a2 sin2 t0+a2 cos2 t0+b2

= —.

=

b . )/a2+b2

ynik ten wskazuje, że wszystkie styczne do linii śrubowej są nachylone do osi Oz pod tym samym kątem. W zad. 293—295 napisać równania prostej stycznej i płaszczyzny normalnej do krzywych: 293. x = 2t, y = lnf, z = t2 w punkcie, w którym t = 1. 294. x = cos2 y , y = sinf, z = sin y w punkcie, w którym t = TZ. 295. y = z = x 2 —j 2 w początku układu współrzędnych. 296*. Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora stycznego do krzywej y2 = 2x, .z2 = 8x w punktach, w których x = 2. § 15. Prędkość i przyśpieszenie ruchu krzywoliniowego Jeżeli w dowolnej chwili czasu- t położenie poruszającego się punktu M jest określone wektorem wodzącym tego punktu OM = r(t), to r jest wektorem prędkości punktu M, r jest wektorem przyśpieszenia, a hodograf wektora r jest torem ruchu punktu M. Wektor prędkości r ma kierunek stycznej do toru, a jego moduł jest równy wartości bezwzględnej pochodnej drogi względem czasu, czyli \r\ = -jt (s = AM współrzędna łukowa punktu M, tj. wielkość algebraiczna długości toru, liczona od pewnego punktu początkowego A. toru). 297. Dane są równania ruchu punktu; określić, jaką linię przedstawia tor punktu (podać nazwę linii) oraz znaleźć prędkość i przyśpieszenie tego punktu: 1) Y = (3t—2)i—Ątj 2) r = 2cosć• i+sinf • k 3) f = (2ż2—3) / — 3 t2j+(4ż2—5) A: 4) r = a sin ojt • i+a cos cot • j+btk R o z w i ą z a n i e : 1) Torem punktu jest hodograf promienia wodzącego r(3/—2, —4/) tego punktu, czyli linia określona równaniami parametrycznymi * = 3t—2, y = —At. Rugując z tych równań parametr (czas) t, otrzymamy prostą 4x+3j>+8 = 0, leżącą na płaszczyźnie xOy. 119.

Prędkość v i przyśpieszenie w punktu znajdziemy, obliczając pierwszą i drugą pochodną r względem /; mamy v = r = 3i-4j,

w= r = 0

Zatem punkt porusza się po linii prostej ze stałą prędkością, której moduł wynosi = |/3 2 +(—4) 2 = 5. 2) W tym przypadku torem punktu jest elipsa, określona równaniami parametrycznymi \X = 2cos/, z = sin/ lub też równaniem

X2

—+22=1.

Elipsa ta leży na płaszczyźnie xOz, Punkt ma prędkość v = y = — 2sin/* #+cos/* k i przyśpieszenie w = = r = —2cos/' i—sin/*k. 3) Równania parametryczne toru punktu x = 2/2—3, y = — 3/2, z = = 4/2—5 po wprowadzeniu nowego parametru — t2 przyjmą postać x= = 2^—3, y = —3t u z = 4^—5 lub, po wyrugowaniu parametru, =

=

skąd wynika, że torem punktu jest linia prosta.

Punkt porusza się z prędkością v = r = 4ti—6tj+&tk; przyśpieszenie ruchu w = r = 4i—6j+Sk jest stale (nie zależy od czasu /). Mamy więc tu do czynienia z ruchem prostoliniowym jednostajnie przyśpieszonym. 4) Torem punktu jest tu linia śrubowa x = asmcot, y = acosoyt, z = bt nawinięta na walec kołowy. Prędkość punktu v = r = acocoscot' i— — a(osmcot'j+bk, a przyśpieszenie H> = ? = — aco2sinco/# i—aco2cosa)t'j. Ruch punktu jest jednostajny, ponieważ moduł prędkości | u | = = ] V f i j 2 + i 2 ma wartość stałą. 298. Znając równanie ruchu punktu r = cos3/ • /+sin 3 / wykreślić tor punktu oraz wektory prędkości i przyśpieszenia w chwili / = tc/6 i / = rc/4. Torem punktu, czyli hodografem wektora r jest asteroida * = cos3/, 7 == sin3/. W dowolnej chwili / punkt ma prędkość t; = r = —3cos 2 /sin/ • / + + 3 sin2 / cos / • y i przyśpieszenie w = r = 3 cos / (3 sin2 / — 1) i + 2 + 3 sin/(3 cos /— l)y. Dla / = rc/6, otrzymujemy 9 . , 3j/3 .

120.

3]/3

15 .

a dla t =

mamy 3 r = —(.i-i), 2 j/2

w=

3 —(i+y) 2 j/2

Tor punktu oraz wektory prędkości z przyśpieszenia punktu w chwili t = ST/6 i t = n/4 zostały pokazane na rys. 48. w /w2

>/

- /

/

-

Rys. 48

W zad. 299—301 mając dane równania wektorowe ruchu punktu wykreślić tor punktu oraz wektory prędkości i przyśpieszenia w chwili t = 0 i / = 1. 299. r = flcosż • i+asinż 300.r = 3tj+(4t-t2)k 301. r = 3(f—sinf)/+3(l—cos/);

R O Z D Z I A Ł III

BADANIE FUNKCYJ ORAZ SPORZĄDZANIE ICH WYKRESÓW § 1. Twierdzenie (wzór) Taylora Liczne zastosowania rachunku różniczkowego w naukach przyrodniczych i w technice są oparte na twierdzeniach Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego i Taylora. W każdym z tych twierdzeń mówi się o istnieniu pewnej średniej wartości argumentu x = c, w związku z czym nazywamy je twierdzeniami o wartości średniej. TWIERDZENIE TAYLORA. Funkcja f ( x ) różniczkowalna n+1 razy w pewnym przedziale zawierającym punkt a daje się przedstawić jako suma wielomianu stopnia n oraz reszty Rn f(x) =/(«)+ + ...

( x - a ) + ^

+

f ^ M

{ x

^

a

y

+ R n

(x-ay+ .

Rn =

Z ^ )

> (T)

przy czym c jest tu pewną wartością średnią zawartą między a i x c=

a

+ 0(x-a),

0 2 /, , « sin 4y ~ ___ 45 _

2

4$2

6

. 453 j ~

„

ss 0,707 106 8(1+0,069 813 1 - 0 , 0 0 2 436 9 - 0 , 0 0 0 056 7) » » 0,754 709 (wartości w, | 2 i wszystkie wyniki działań pośrednich pisane są z nadmiarem jednego miejsca dziesiętnego, tj. z siedmioma miejscami dziesiętnymi). Wartość sin49° można też obliczyć na podstawie wzoru Maclaurina dla funkcji sin.r, ale wtedy, aby osiągnąć żądaną dokładność trzeba uwzględnić znacznie więcej wyrazów tego wzoru. 3) Dany pierwiastek zapiszemy w postaci I 4 ) 83 == / 8 1 + 2 = 3 | l +

132.

2 g r J'

i zastosujemy uogólniony wzór dwumianowy Newtona (4), otrzymany przy rozwiązywaniu zad. 303. 2 . i Podstawiając t = gj- i m = otrzymamy

4

3

^ =

( 1 + 162 - 1 6 2 1 M + 162 • 108 • 486 162 • 108 • 486 • 54 +

..-+R.)

Szacując wielkości kolejnych wartości 3.7?„j, znajdujemy 3

I^'


O a r c sin 5x

b. Przypadki wyznaczania granicy: 3) 0 • oo — kiedy funkcja rozważana jest iloczynem wielkości nieskończenie małej przez wielkość nieskończenie wielką; 4) oo — oo kiedy funkcja jest różnicą dwóch dodatnich wielkości nieskończenie wielkich. Przez przekształcenie funkcji w postać ułamka te przypadki poszukiwania granicy funkcji sprowadza się do przypadku -jj- lub 320. Wyznaczyć granice: 1) lim x ctg lx jc-*0 4) l i m f - ^ \ ln x

2) lim ] / x l n * *-*+0

x—\ I

3) lim (tg

0 \ sin t

1 v\ t J

t—sin ^ 1—cos / = lim — ; = lim = t sin t sin t-\-1 cos t sin t

— rlim ^ :— = d0 2 cos t — t sin t Również i tutaj zastosowaliśmy regułę de 1'Hospitala dwukrotnie. Wyznaczyć granice:

(

x

ctg ~ — c o s e c 3

323. lim x2e}/T

x 3

-

324. lim ctg x ln (x + ex)

JC -o 325. lim [

7

- --1

326. lim sin (2.v— 1) tg nx 2

327. lim [ctg (p ę>->o \

+c0\xlnx

l) = 0 I

skąd wynika, że poszukiwana granica a = e° = 1. 3) Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek 0°, wyznaczamy granicę 6

a = lim x 1 + 2 1 n *

ln a = lim

6 ln *

*->+Q 1 + 2 l n

*

139.

Otrzymaliśmy przypadek ~ . Stosujemy regułę de 1'Hospitala Inaa == 6 l i m ( — : - 2 - \ = 6 • -£- = 3 x x I 2 a więc poszukiwana granica wynosi a — e3. 4) Po ustaleniu, że chodzi o przypadek l 00 , wyznaczamy granicę , min* r ln a = hm 2 * -l

r

a = lim *

Otrzymaliśmy przypadek -jj-. Stosujemy regułę de 1'Hospitala ln a = m lim X->1

2

m

zatem a — e = ]/e . Wyznaczyć granice: i 330. lim (1+e*)* *->+00 m / V 332. lim cos—r X x—>00 \ I 1 2 334. lim (cos ku)" cc->0

331. lim ( x - l ) ł a 2 ( J t - 1 ) > 1 -f 0 333. lim (ctg2*)ln * nx 335. lim ( 2 - * ) *

336*. lim Hm 1 / -0y — arc t g * 337. Wykazać, że gdy * 2x

x

1) e —e

0, to: *3

« *

2) * —arc tg * ^ — *3

3) arc sin*—* « — 6

4) 4*—ln(4*-f 1) # 8*2

5) yr+x-l

6) e4x—4*— 1 « 8*2

« —

§ 3. Przedziały monotoniczności funkcji Badając jak zachowuje się funkcja w zależności od zmian zmiennej niezależnej, zwykle zakładamy, że w całym obszarze określoności-funkcji zmienna niezależna monofonicznie rośnie, co oznacza, że każda z następnych wartości zmiennej niezależnej jest większa od poprzedniej. 140.

Jeśli okaże się przy tym, że kolejne wartości funkcji także rosną, to funkcję nazywamy rosnącą, jeśli natomiast kolejne wartościfunkcji maleją, nazywamy ją malejącą, Niektóre funkcje w całej swej dziedzinie zmieniają się monotonicznie — to jest bądź stale rosną, bądź stale maleją (np. 2X, arcctg*). Jednak wiele funkcji nie ma monotonicznego przebiegu w całej dziedzinie i w pewnych przedziałach zmian zmiennej niezależnej funkcja rośnie, a w innych maleje (np. sin*, cos*). Przedziały monotoniczności funkcji y = /(*) są scharakteryzowane przez znak pochodnej y' tej funkcji: jeżeli w pewnym przedziale yf > 0, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, gdy zaś y' < 0, to w przedziale tym funkcja jest malejąca. 338. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: 1) p = ln(l—* 2 )

2) z =

3) u= l - 2 4 * + 1 5 * 2 - 2 * 3

4)* y = l n | * |

x(l+2j/*)

2x R o z w i ą z a n i e : 1) Pochodna p — — — r o z p a t r y w a n e j

funkcji

jest dodatnia, gdy — 1 < * < 0 lub gdy * > 1, a ujemna, gdy 0 < * < 1 lub gdy * < — 1. Biorąc pod uwagę, że dziedziną funkcji p jest przedział — 1 < * < 1, stwierdzamy, że w przedziale (—1,0) funkcja ^ rośnie, a w przedziale (0,1) — maleje. 2) Funkcja z jest określona w półotwartym przedziale 0 < * < + o o ; jej pochodna z' = 1 + 3 ]/x i w całym tym przedziale z' > 0. Zatem funkcja *jest monotoniczna i w całym obszarze, gdzie jest określona, rośnie. 3) Funkcja u, jak wszystkie wielomiany, jest określona na całej osi liczbowej. Pochodna u' = —24+30*—6*2 ma dwa pierwiastki rzeczywiste: 1 i 4. Zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności drugiego stopnia mamy u' > 0, gdy 1 < * < 4, i u' 4. Zatem funkcja u rośnie w przedziale (1, 4), a w przedziałach (— oo, 1) i (4, + oó) — maleje. 4)* Funkcja y jest określona na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu * == 0. Jej pochodna / = (ln| * |)' =

Ix i

= ± -r-y = — jest dodatnia, gdy iX j *

* > 0, a ujemna, gdy * < 0. Wynika stąd, że funkcja y w przedziale (— oo, 0) jest malejąca, a w przedziale (0, + oo) — rqsnąca.r/Funkcja jest parzysta; jej wykres podano na rys. 49. 141.

339. Znaleźć przedziały monotoniczności następujących funkcji: 1)

y

= x3+3;c2+3;c

4)y = j/(x2—9)3

2)

y = x*-3x + 5

5)y = cosx—x

3) y = eł,kx 6)*y = x\x\

yi

Rys. 49

§ 4. Maksimum i minimum, czyli ekstrema funkcji Wartość funkcji f ( x ) w punkcie XO nazywamy maksimum (minimum), jeśli jest ona największą (najmniejszą) wartością w porównaniu z wartościami tej funkcji we wszystkich dostatecznie bliskich punktach na lewo i na prawo od x0. Funkcja może osiągać ekstremum (maksimum lub minimum) tylko w punktach należących do dziedziny funkcji, w których pochodna funkcji albo jest równa zeru, albo nie istnieje1). Punkty takie noszą nazwę punktów krytycznych. W odpowiednich punktach wykresu funkcji styczna jest równoległa do osi odciętych (ył = 0) lub do osi rzędnych (y' = oo), bądź też nie ma określonej stycznej (np. w punkcie kątowym). Z wykresu funkcji na rys. 50 widać wyraźnie, że punktami ekstremalnymi są wszystkie punkty, w których funkcja zmienia swój przebieg i jest ciągła.

0\

XF X2X3

X5

X6 X7

X

Rys. 50 0 Są to warunki konieczne istnienia ekstremum (ale nie dostateczne, gdyż mogą być one spełnione także w punktach, w których nie ma ekstremum, np. w punktach x 2 , x 5 , x7 na rys. 50).

142.

Punkty xx i xAi w których przy przejściu przez nie argumentu * funkcja z rosnącej staje się malejącą, są punktami maksimum, a punkty x3 i x6i w których przy przejściu przez nie argumentu * funkcja z malejącej staje się rosnącą, są punktami minimum funkcji. Ponieważ jednak przebieg funkcji (wzrost lub malenie) jest scharakteryzowany znakiem pochodnej, funkcja będzie miała ekstrema w takich punktach, w których pochodna zmienia znak na przeciwny, przy czym sama funkcja jest w nich ciągła1*. Wynika stąd następująca reguła poszukiwania ekstremum funkcji. Aby znaleźć punkty ekstremalne funkcji y = /(*), w których funkcja jest ciągła, należy: I. Wyznaczyć pochodną y' i leżące wewnątrz obszaru określoności funkcji, punkty krytyczne, w których pochodna jest równa zeru bądź nie istnieje, a sama funkcja jest ciągła v , . • Ha. Określić, jaki znak ma y' na prawo i na lewo od każdego punktu krytycznego, przy -czym, jeśli przy przejściu argumentu x przez punkt krytyczny x0: 1) yf zmienia znak z + . n a —, to x0 jest punktem maksimum; 2) y' zmienia znak z — na + , to x0 jest punktem minimum; 3) y' nie zmienia znaku, to w punkcie x0 n i e m a ekstremum. Punkty krytyczne, w których y' = 0, niekiedy prościej jest badać rozpatrując w tych punktach znak drugiej pochodnej. Wtedy zamiast reguły Ha korzystamy z następującej reguły : Ilb. Wyznaczamy drugą pochodną y" i określamy jej znak w każdym punkcie krytycznym, przy czym, jeśli okaże się, że w punkcie krytycznym XQ9 gdzie / = 0: 1) y" > 0, to xo jest punktem minimum; 2) y" < 0, to xo jest punktem maksimum; 3) y" = o, to pytanie, czy w punkcie tym istnieje ekstremum, jest nie rozstrzygnięte. Taki punkt krytyczny, jak i każdy inny, można badać wg reguły Ha. Po zbadaniu istnienia ekstremów funkcji należy je wyznaczyć, czyli obliczyć wartości funkcji w tych punktach. Przy poszukiwaniu ekstremów pewnych typów funkcji możliwe są istotne uproszczenia. Zachodzi to na przykład, gdy funkcja ma postać *) Są to warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji (gdy są one spełnione w którymkolwiek punkcie, to punkt ten jest na pewno punktem ekstremalnym).

143.

ułamka o liczniku stałym lub gdy jest pierwiastkiem o wykładniku naturalnym. Charakter tych uproszczeń, z którymi spotykamy się przy poszukiwaniu ekstremów wymienionych funkcji, będzie wyjaśniony przy rozwiązywaniu zad. 341*. 340. Znaleźć maksima i minima funkcji: 1) y = ( \ - x y 2) u = x i/l^j? 3) v — 2 Y~X* — 5 1 4) p = x3-12x 5) q = x2-\- }'x? 6) r = sin 2 * 7)* j = 1 + | arc tg (*— 1) | R o z w i ą z a n i e . Postępujemy zgodnie z regułą poszukiwania ekstremum funkcji: 1) I. Wyznaczamy pochodną / = 3(l—x2)2(—2x) = —6x(l—x2)2 oraz punkty krytyczne. Dla / = 0, otrzymamy xx = 0, x2 = 1, *3 = — 1. Funkcja y jest określona i ciągła na całej osi liczbowej, zatem punkty xu x2 i *3 są rzeczywiście punktami krytycznymi. Leżą one wewnątrz obszaru określoności funkcji, a funkcja w punktach tych jest ciągła. Innych punktów krytycznych nie ma, gdyż pochodna / wszędzie istnieje. II. Badamy punkty krytyczne określając znak pochodnej na lewo i na prawo od każdego z tych punktów (wg reguły Ha). Dla przejrzystości i skrócenia rachunków dogodnie jest zapisać to badanie w postaci tabelki: X

-2

-1

1 ~ 2

0

1 T

y'

+

0

+

0

-

roś.

nie ma ekstr.

y

roś.

max

mai.

1 0 nie ma ekstr.

2 -

mai.

W pierwszym wierszu zapisujemy punkty krytyczne, w tej kolejności, w jakiej leżą one na osi liczbowej, i między nimi wstawiamy punkty pośrednie, leżące na prawo i na lewo od punktów krytycznych. W drugim wierszu piszemy znaki pochodnej we wskazanych punktach pośrednich, czyli znaki y'(—2), y' | — , / | y j i / ( 2 ) , w trzecim zaś wierszu wnioski dotyczące zachowania się funkcji. Badana funkcja ma jeden punkt ekstremalny — punkt maksimum * = 0, w którym ymax = ^(0) = 1. Do tego punktu w przedziale (— oo, 0) 144.

funkcja stałe rośnie, a następnie w przedziale (0, + 00) — stale maleje (rys. 51). I 2x2 2) I. Szukamy punktów krytycznych. Pochodna u = y = = - j e s t równa zeru dla x1>2 = a nie istnieje (jest nieciągła) dla x3t4 = ± 1 . Jednak punktami krytycznymi są tylko punkty Xi i x2 ; leżą one wewnątrz obszaru określoności funkcji (przedział [—1, 1]) i w punktach tych funkcja jest ciągła. Punkty x$ i XĄ nie są krytycznymi, bowiem nie leżą wewnątrz dziedziny funkcji w, ale na jej brzegach. II. Badamy punkty krytyczne wyznaczając znak pochodnej w punktach sąsiadujących z nimi. Układamy następującą tabelkę: X

1

-0,9 ~

u' u

-

mai.

1

0

0,9

V 2

A 0

+

0

min

roś.

max

'

-

mai.

Z tabelki tej widać, że funkcja u ma dwa punkty ekstremalne: punkt minimum x = —

w

którym umin = u

simum * == ~=r, w którym umax =

= — y , i punkt mak= y (rys. 52).

Z

-/

H

/ X

Rys. 52

^ 2 3) I. Znajdujemy pochodną v' = 2- ó x3 —5 • Ó x

3

|Q = — Ó.

^

^

zy

x

oraz

punkty krytyczne. Mamy v' = 0, gdy * = 1, oraz v' nie istnieje (równa się oo), gdy * = 0. Funkcja v jest określona i ciągła na całej osi liczbowej, zatem oba znalezione punkty są punktami krytycznymi. 10 Metody rozwiązywania zadań

145

II. Badamy punkty krytyczne określając znak pochodnej v' w punktach sąsiadujących z nimi. Układamy tabelkę: X

-1

0

1 2

v'

+

00

-

V

roś.

max

mai.

1

2

0

4-

—-

min

roś.

Z tabelki wynika, że funkcja v ma dwa punkty ekstremalne: punkt maksimum x = 0, gdzie vmax = v(0) = 1, i punkt minimum jc = 1, gdzie ®(1)= - 2 (rys. 53). 4) I. Szukamy punktów krytycznych. Pochodna p' = —12 jest równa zeru w punktach * = ± 2 ; są to punkty krytyczne, ponieważ funkcja p jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Pochodnap' istnieje wszędzie, więc funkcja p nie ma innych punktów krytycznych. II. Badamy punkty krytyczne wyznaczając znak drugiej pochodnej p" w tych punktach (w myśl reguły Ilb): p" = 6x, p"{—2) = —12 0, czyli punkt krytyczny x = —2 jest punktem maksimum, w którym pmax = = p(—2) = 16. Z kolei dla p"(2) = 12 > 0 w punkcie krytycznym x = 2 występuje rfiinimum funkcji, równe pmin = p(2) = —16 (rys. 54). Pł

Rys. 53

Rys. 54

5) I. Wyznaczamy pochodną q' = y * 3 / 2 + 2 * oraz punkty krytyczne. Pochodna q' jest równa zeru w punkcie * = 0. Funkcja q jest w tym punkcie ciągła, punkt ten jednak nie leży wewnątrz obszaru określoności funkcji, którym jest przedział 0 < x < +oo. Dlatego punkt * = 0 nie jest punktem krytycznym. W żadnym innym punkcie pochodna nie równa się zeru i istnieje w całym obszarze określoności funkcji, zatem funkcja q, 146.

nie mając ani jednego punktu krytycznego, nie ma ekstremum. W całym obszarze określoności funkcja ta stale (monotonicznie) rośnie, ponieważ > 0 w całym tym obszarze (rys. 55). Gdybyśmy nie wzięli pod uwagę, że punkt * = 0 nie leży wewnątrz obszaru określoności funkcji q, to stosując regułę Ilb mielibyśmy q" = =

q"(0) = 2 > 0, czyli doszlibyśmy do błędnego wniosku, że

w punkcie tym funkcja q ma minimum. 6) I. Znajdujemy punkty krytyczne: rf — 2sin*cos* = sin2x, r' = 0 dla*fc = - j - ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . Wszystkie punkty xk są punktami krytycznymi, ponieważ funkcja r jest określona i ciągła na całej osi liczbowej; r' istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych. II. Zbadajmy punkty krytyczne określając znak drugiej pochodnej w tych punktach: r" = 2cos2x; r"(xk) = 2cosfcrc. Dla parzystych k mamy r"(Xk) = 2 > 0 i odpowiednie punkty xk będą punktami minimum, w których rmin = 0; dla nieparzystych k jest r"(xk) = —2 < 0, a więc odpowiednie punkty są punktami maksimum, w których rmax = 1 (rys. 56). *

f 0

•J. . /

X

Rys. 55

r

=sin2x

n

0

X

Rys. 56

Okazało się tu, że maksima i minima funkcji r następują kolejno po sobie. To samo zachodzi dla każdej funkcji ciągłej mającej kilka punktów ekstremalnych. 7)* I. Szukamy punktów krytycznych: sf = ±

; znak

plus

odpowiada przedziałowi 1 < * < +oo, a minus — przedziałowi — oo< < * < 1. Pochodna s' nigdzie nie znika i istnieje wszędzie, z wyjątkiem punktu x= l. Jest to punkt krytyczny, bowiem funkcja s jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. 10*

147

II. Badamy punkt krytyczny, rozpatrując znak pochodnej s' na lewo i na prawo od tego punktu. Po ułożeniu tabelki: X

0

nie istnieje

s '

-

s

2

1

mai.

+

-

min

roś.

wnioskujemy, że * = 1 jest punktem minimum, w którym smin = s(l) = 1. Na wykresie funkcji (rys. 57) będzie to punkt kątowy o dwóch różnych stycznych jednostronnych. Współczynniki kątowe tych stycznych są równe odpowiednio —1 i + 1 .

\arc fg (x-

1 / X / 0 1

\

*

Rys. 57 341*. Znaleźć ekstrema funkcji: ł)

* = 12—36x 2 +20x 3 —3x 4 = R o z w i ą z a n i e : 1) Ułamek o stałym i dodatnim liczniku ma ekstrema w tych samych punktach co mianownik, ałe sens tych ekstremów jest przeciwny: tam gdzie mianownik ma maksimum ułamek ma minimum, i odwrotnie. (Z tej ogólnej zasady wyłącza się przypadek, kiedy ekstremum mianownika jest równe zeru). Wykorzystując tę własność, znajdziemy punkty ekstremalne mianownika, tj. ekstrema funkcji pomocniczej yx = 12—36* 2 +20* 3 —3X 4 . I. Znajdujemy punkty krytyczne: y[ = — 72*+60* 2 —12* 3 ; y[ = 0 dla * = 0, * = 2 i * = 3. Są to punkty krytyczne, ponieważ funkcja yi jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Pochodna y[ istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych. II. Badamy punkty krytyczne rozpatrując w nich znak drugiej pochodnej / / = —72+120*—36* 2 (wg reguły Ilb). Mamy: //(O) = - 7 2 < 0, czyli punkt krytyczny * = 0 jest punktem maksimum, y['(2) > 0, czyli 148.

punkt x = 2 jest punktem minimum, oraz / / (3) < 0, a więc x = 3 jest punktem maksimum funkcji yx. Znalezione punkty ekstremalne funkcji dla funkcji wyjściowej y będą miały sens przeciwny. Dla funkcji y punkt x = 0 będzie punktem minimum, przy czym ymin = j>(0) = 2,5, punkt x = 2 będzie punktem maksimum, ymax = y(2) = —1,5, wreszcie x = 3 będzie punktem minimum, w którym ymin = J(3) = - 2 . 2) Punkty ekstremum funkcji złożonej y = gJzze « y&yf //czZ?^ naturalną, pokrywają się z punktami ekstremum funkcji podpierwiastkowej (p(x), leżącymi wewnątrz obszaru określoności funkcji y. Posłużymy się tą własnością i znajdziemy punkty krytyczne funkcji podpierwiastkowej ux = ex2— 1. I. Szukamy punktów krytycznych: u\ — 2xex*; u[ = 0 w punkcie x = 0. Jest to punkt krytyczny, bo funkcja ut jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Pochodna u[ istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych funkcji ux. II. Badamy punkt krytyczny rozpatrując w nim znak drugiej pochodnej. Mamy u" = 2ex\l+2x2) i i//(°) = 2 > 0. Zatem punkt * = 0 jest punktem minimum funkcji uY. W myśl podanej wyżej własności punkt x = 0, leżący wewnątrz obszaru określoności funkcji w, będzie także punktem minimum funkcji u; dla x = 0, "min = 0. Bez wykorzystania tej własności rozwiązanie danego zadania nastręczałoby pewne trudności. (Znaleziony punkt jest punktem kątowym wykresu funkcji u, w którym u' nie istnieje). Znaleźć ekstrema następujących funkcji: 342. y = x1(x-6)

343. y = 3-2JC 2 -* 4

344.y = x3-3x2+3x

345. y =

346. y = ^

347. y = 3 - 2 j / ^

348

*'

1}

y =

+ ^ 4x3_9^2+6x

349

*' 2 )

y =

4x

8

/2* 3 +3X 2 -36X

0 Patrz rozwiązanie zad. 341(1). ) Patrz rozwiązanie zad.-341(2).

2

149.

350.y=e~ x +e''

351. y = 3 x + t g *

352. y = x2e~x 354. y = sin * + c o s * § 5. Największa i najmniejsza wartość funkcji 355*. y = największą |*3 —3*2 ze wszystkich Przez największą wartość funkcji rozumiemy jej wartości, a przez najmniejszą — najmniejszą ze wszystkich jej wartości. Funkcja może mieć tylko jedną wartość największą i tylko jedną wartość najmniejszą lub może nie mieć ich w ogóle. Na przykład w całym swym obszarze określoności funkcja sin* ma wartość największą równą jedności i wartość najmniejszą równą minus jedności; funkcje tg* i * 3 nie mają ani największej, ani najmniejszej wartości; funkcja — x2 ma wartość największą, równą zero, ale nie ma wartości najmniejszej; funkcja l + j / | * | ma wartość najmniejszą, równą jedności, nie ma jednak wartości największej (rys. 58).

Rys. 58

Przy poszukiwaniu największej i najmniejszej wartości funkcji ciągłych opieramy się na następujących własnościach tych funkcji: 1) Jeśli w pewnym (skończonym lub nieskończonym) przedziale funkcja f ( x ) jest ciągła i ma tylko jedno ekstremum, i jeśli jest to maksimum (minimumi), to jest ono największą (najmniejszą) wartością funkcji w tym przedziale. 2) Funkcja f ( x ) ciągła w pewnym przedziale [a,b], musi przybierać w tym przedziale największą i najmiejszą wartość. Wartości te funkcja osiąga bądź w punktach ekstremum, leżących wewnątrz odcinka, bądź też na krańcach przedziału. Wynika stąd praktyczny sposób szukania największej lub najmniejszej wartości funkcji f(x) w przedziale [a, b], gdzie funkcja jest ciągła: 150.

I. Znajdujemy punkty krytyczne, leżące wewnątrz przedziału [a, b] i obliczamy, jakie wartości przybiera funkcja w tych punktach (nie badając, czy są to ekstrema i jakiego są one typu). II. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału, czyli f(a) i f(b). III. Porównujemy otrzymane wartości funkcji; największa z nicji jest największą wartością funkcji w całym rozważanym przedziale, a najmniejsza — najmniejszą wartością funkcji w tymże przedziale. 356. Znaleźć największą i najmniejszą wartość poniższych funkcji: 1) u = x3—3x2—9x+35 w przedziale [—4, 4] 2) p = x2lnx w przedziale [1, e] 3) r = 2sinx+sin2x w przedziale 4) y = arc tg x2 R o z w i ą z a n i e . Postępujemy w myśl podanej wyżej reguły. 1) I. Znajdujemy punkty krytyczne funkcji u leżące wewnątrz przedziału [—4, 4] i obliczamy jej wartości w tych punktach. Mamy u' = 3x2—6x—9 oraz u' = 0 w punktach x = — lix = 3. Punkty te leżą wewnątrz przedziału [—4, 4] i są punktami krytycznymi danej funkcji, jest ona bowiem określona i ciągła na całej osi liczbowej. Innych punktów krytycznych nie ma, bo* pochodna u' istnieje wszędzie. Funkcja przybiera w punktach krytycznych wartości: u(— 1) = 40, u(3) = 8. II. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału [—4, 4]; u(—4) = = - 4 1 , «(4) = 15. III. Porównując obliczone wartości funkcji w punktach krytycznych i na końcach przedziału, wnioskujemy, że największa wartość funkcji w przedziale [—4, 4] wynosi 40 i znajduje się w wewnętrznym punkcie krytycznym x = —1, a najmniejsza jej wartość wynosi —41 i znajduje się na lewym krańcu przedziału x = —4 (rys. 59). 2) I. Szukamy punktów krytycznych: p' = x(l+21nx); p = 0, gdy xx = 0 i gdy x2 = e~1/2. Punkt x\ leży poza obszarem określoności badanej funkcji, tj. poza przedziałem 0 < x < +oo, a punkt x2 leży poza rozważanym przedziałem [1, e]. Pochodna p' istnieje w całym przedziale określoności funkcji, zatem wewnątrz rozpatrywanego przedziału nie ma w pgóle punktów krytycznych. II. Obliczamy wartości funkcji p na końcach przedziału: /?(1) = 0, p(e) = e2. III. Ponieważ wewnątrz przedziału [1, e] nie ma punktów krytycznych, więc funkcja zmienia się w nim monotonicznie, a największą i najmniejszą 151.

wartość osiąga na końcach tego przedziału: pnm = /?(1) = 0, pnw = p(e) = = e2 (rys. 60). 3) I. Znajdujemy punkty krytyczne: 3

1

3 x

r' = 2 cos x+2 cos 2x = 2'2 c o s y * cos y x; r' — 0, gdy cos y = 0 i gdy cos y = 0. Pierwsze równanie a drugie xk = ut(2k+l)9

ma pierwiastki xfc = y (2&+1).

przy czym k = 0, ± 1 , ±2, ...

Są one wszystkie punktami krytycznymi, ponieważ funkcja r jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Spośród tych punktów wewnątrz rozwa-

żanego

przedziału

^O, y rcj znajdują się punkty krytyczne Xj = y

i xu = 7t. Pochodna r' istnieje wszędzie, dlatego funkcja r nie ma innych punktów krytycznych. Funkcja w znalezionych punktach krytycznych x

i i xn przybiera wartości: r |yj =

, r (n) = 0.

II. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału: r(0) = 0, r =

=

-2.

III. Z porównania wartości funkcji obliczonych w wewnętrznych punktach krytycznych i na końcach przedziału widać, że największą wartością 152.

/ 71 \

3 1/3

funkcji w tym przedziale jest rnw = r r y l = —

, a najmniejszą rnm =

4) W tym przykładzie zmienność argumentu nie jest ograniczona żadnym przedziałem, a funkcja jest określona na całej osi liczbowej. Dlatego należy rozpatrzyć wszystkie wartości funkcji, jakie przybiera ona, kiedy x zmienia się od —oo do +oo. 2x

I. Znajdujemy punkty krytyczne: / = y-j-^ ; / = O w punkcie x = 0. Jest to punkt krytyczny, ponieważ funkcja jest wszędzie określona i ciągła. Innych punktów krytycznych nie ma, bo pochodna y' wszędzie istnieje. II. Badamy punkt krytyczny określając znak pierwszej pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu. Punkt x = 0 jest punktem minimum, przy czym.ymirt = 0.

Rys. 61

III. Korzystając z przytoczonej wyżej własności 1 funkcji ciągłej, wnioskujemy, że funkcja y, mająca jedyne ekstremum — minimum i nie mająca punktów nieciągłości, przybiera wartość najmniejszą w punkcie minimum: ynm = ymin = 0, ale nie ma wartości największej, mimo iż nie rośnie nieograniczenie. Gdy x -> ±oo funkcja dąży asymptotycznie do wartości TT/2 (rys. 61). Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji: 357. y = xz—9x2+2Ax—10

w przedziale [0, 3]

358. u ••= x—2\nx w przedziale [1, e] 359. v = 2sinx+cos2x w przedziale |o, y j 360. y =

361. y = j / G ? - 1 153.

§ 6. Zadania na poszukiwanie największej i najmniejszej wartości funkcji W wielu zagadnieniach geometrycznych, fizycznych czy technicznych trzeba znaleźć największą lub najmniejszą wartość pewnej wielkości, związanej zależnością funkcyjną z inną wielkością. Szerokie rozpowszechnienie i ważność tych zadań były jednym z głównych powodów rozwoju analizy matematycznej. Przy rozwiązywaniu tego typu zadań należy na podstawie warunków zadania obrać zmienną niezależną oraz wyrazić wielkość badaną jako funkcję tej zmiennej, a następnie znaleźć szukaną największą lub najmniejszą wartość otrzymanej funkcji. Przy tym przedział zmienności zmiennej niezależnej, który może być skończony lub nie, także określa się z warunków zadania. 362. Jak z trzech jednakowych desek zrobić rynnę o największym przekroju poprzecznym? R o z w i ą z a n i e . Przekrój poprzeczny rynny będzie trapezem równoramiennym (rys. 62), którego pole S będzie zależeć od nachylenia ścian

a Rys. 62

bocznych. Obierzmy za zmienną niezależną kąt a między ścianą boczną a wysokością trapezu i wyraźmy badane pole w funkcji tej zmiennej

dujemy punkty krytyczne funkcji, leżące wewnątrz tego przedziału S' = a2[cos2a—(1 | sin a) sina] = a 2 (l — sin a —2 sin2a) 154.

Przyrównując pochodną do zera, otrzymamy równanie kwadratowe względem sin a 2 sin 2 a+sina—1 = 0 które ma rozwiązania 1 i. sin . a = —1 sin a = — Ze wszystkich punktów a, określanych przez pierwiastki obu tych równań, wewnątrz przedziału To, y j

znajduje się tylko jeden punkt a = y .

Jest to punkt krytyczny, gdyż są w nim spełnione wszystkie niezbędne do tego warunki. Pochodna S' istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych. Obliczmy wartości funkcji S w znalezionym wewnętrznym punkcie krytycznym i na końcach przedziału =

y j 5(0) = a 2 ,

s(f-)=0

Porównując te wartości widzimy, że największą wartość w przedziale 0, y j osiąga funkcja S w punkcie wewnętrznym a = j^-j . Wobec tego rynna zrobiona z trzech jednakowych desek będzie miała największy przekrój poprzeczny wtedy, gdy przekrój ten będzie trapezem równoramiennym, w którym górna podstawa jest dwukrotnie większa od dolnej. 363. Znaleźć wymiary zamkniętej cylindrycznej cysterny o zadanej objętości Vi o najmniejszej powierzchni całkowitej. R o z w i ą z a n i e . Oznaczając promień i wysokość cysterny przez /• i h, a powierzchnię całkowitą przez S, otrzymamy S = 2n rh+2nr2 Zmienne r i h nie są tu niezależne, lecz są związane między sobą równością V = 7ir2h, bowiem w myśl warunków zadania walec powinien mieć daną objętość V. Wyznaczając z równości tej h i podstawiając do wyrażenia na powierzchnię całkowitą, otrzymamy

przy czym r zmienia się w przedziale 0 < r < —co. 155.

Wyraziwszy w ten sposób rozważaną powierzchnię całkowitą walca S.za pomocą jednej zmiennej r, znajdziemy teraz najmniejszą z jej wartości, gdy r zmienia się w przedziale (0, +00). 1 , V\ 2 7irl — V Znajdujemy punkty krytyczne: S = 2 ^2nr— - T j = 2—-^—-; 5 = 0 3

f 'v

tylko w jednym punkcie r = y który należy do rozważanego przedziału. Jest to punkt krytyczny, gdyż są w nim spełnione wszystkie niezbędne do tego warunki. Innych punktów krytycznych w przedziale (0, +co) nie ma, ponieważ pochodna S' w całym tym przedziale istnieje. Zbadajmy, jaki znak ma druga pochodna w znalezionym punkcie krytycznym 5 " = 4 ( „ + -£-); 5 " ( j / i i ) = 12* > 0 3 r y skąd wynika, że punkt krytyczny r = J r. jest punktem minimum funkcji S. Funkcja S(r) jest ciągła w przedziale (0, -i-00), zatem zgodnie z własnością 1 funkcji ciągłych jedyne minimum funkcji S w przedziale (0, +00) pokrywa się z najmniejszą z wartości funkcji w tym przedziale. 3

Gdy r = 1 / \

3 r~v v r~v otrzymamy h = —, = 2 1 / — = 2r 2n nr- \ 2n

Zatem cylindryczna, zamknięta cysterna, mająca zadaną objętość, będzie miała najmniejszą powierzchnię całkowitą wtedy, gdy jej przekrój osiowy będzie kwadratem. 364. Z kawałka blachy, której kształt i wymiary (w dcm) podane są na rys. 63, wyciąć prostokąt o największym polu powierzchni. Rozwiązanie. Oznaczmy boki wycinanego prostokąta przez x i y. Wtedy jego pole S = xy. Biorąc pod uwagę podobieństwo trójkątów BDC i AEC, wyrazimy y za pomocą * BD = 1 1 - * ,

DC = y-6,

Podstawiając te wartości do proporcji ~

AE = 8, = ~

EC = 4

, otrzymamy ^

* = 2,

23—X

skąd y = — .

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość y do wyrażenia

na pole prostokąta, mamy 5 =

156.

-L(23X-X2)

przy czym w myśl warunków zadania x zmienia się w przedziale [3,11].

Z kolei szukamy największej wartości funkcji S(x) w przytoczonym 1

23

przedziale: S' = y (23—2x); S' = 0 w punkcie * = y . Punkt ten leży jednak poza rozważanym odcinkiem, a ponieważ S" istnieje wszędzie, dlatego w przedziale [3, 11] nie ma ani jednego punktu krytycznego. Gdy * przebiega wartości od 3 do 11 pochodna S' > 0, a funkcja S stale rośnie i największą ze swych wartości osiąga na prawym końcu przedziału w punkcie* = 11. Zatem prostokąt wycięty z danego kawałka blachy będzie miał największe pole wtedy, gdy punkt B pokryje się z punktem C; Snw = £(11) = 66 dcm2. 365. Wybrać takie miejsce na budowę mostu przez rzekę, aby długość drogi łączącej dwa obiekty leżące po różnych stronach rzeki była jak najmniejsza. R o z w i ą z a n i e . Sporządzamy schematyczny rysunek położenia obiektów A,B, o których mówi się w warunkach zadania (rys. 64). Odległości a,b,cihw myśl warunków zadania są stałe. Jeżeli most będzie zbudowany w miejscu zaznaczonym na rysunku, to długość drogi łączącej obiekty A i B wyniesie ł=

AC+h+DB

Obierając za zmienną niezależną x odległość AXC otrzymamy i

AC = }/'a2+x2, / = ]V+x2+/z+

DB =

\/b2+(c-x)2 /b2+(x-c)2

przy czym oczywiście x zmienia się w przedziale [0, c]. 157.

Znajdźmy pochodną /' i punkty krytyczne, leżące wewnątrz przedziału [0, c] y_ X x —c yp+(x-c)2 ~ _ x\/b2+(x-c)2+(x-c) V(a2+x2)

\/a2+x2 [b2+(x-c)2]

V = 0, gdy * \/b2+(x-c)2+(x-c)

|/a2+x2

= 0

Rys. 64

Rozwiązując to równanie otrzymamy x2[b2+(x-c)2]

= (x-c)2(a2+x2); __ ac i — ~—r a—b

x

.

1

bV =

a2(x-c)2

_ ab 2 — ~~rr a-f-b

X

Punkt Xi leży poza przedziałem 0 < * < c; jeśli a > b, to xt > c, a jeśli a < b, to xx < 0. Punkt x2 znajduje się wewnątrz przedziału przy dowolnych dodatnich wartościach a, b i c, ponieważ wtedy x2 > 0 i


— 1, y" > 0. Dlatego w przedziale (—oo, — 1) krzywa jest wypukła, a w przedziale (— 1, +oo) — wklęsła. 5)* I. Szukamy drugiej pochodnej / = ±5x 4 , / ' = ±20* 3 przy czym znak plus odpowiada wartościom x z przedziału (—oo, 1), w którym x?—l < 0, a znak minus odpowiada wartościom x z przedziału (1,+oo), w którym x 1 > 0 . Druga pochodna równa się zeru, gdy x = 0, a nie istnieje, gdy x = 1. Mogą to być odcięte punktów przegięcia danej krzywej, ponieważ krzywa ta jest określona i ciągła na całej osi odciętych. II. Określając znak y" na lewo i na prawo od punktów x = 0 i x = 1, dochodzimy do wniosku, że x = 0 i x = 1 są odciętymi punktów przegięcia. Na lewo od punktu x = 0 krzywa jest wypukła, pomiędzy punktami x = 0 y

X

-10 -

y u*

wyp.

- _

y

0

1 2

1

0

+

nie istn.

pkt przeg.

wki.

pkt przeg.

10 -

wyp.

163

i x = 1 jest ona wklęsła, a na prawo od punktu x = 1 znowu jest wypukła (rys. 68). Rzędne punktów przegięcia obliczamy z równania krzywej, podstawiając odpowiednie odcięte: >>(0) = 1, y{ 1) = 2. Punkt przegięcia

(1,2) pokrywa się z punktem krzywej, w której rzędna ma maksymalną wartość. Znaleźć punkty przegięcia i przedziały wklęsłości i wypukłości krzywych: 378. y = x?-3x*-9x+9 380. y = 1 - l n ( x 2 - 4 )

379.' y = x+36x?-2x3-x4 381. y = x+2 -

382. y = arc tg

383. y =

384*. j = arc sin

385*.^= 1 - \ x ? - 2 \

-JL^

§ 8. Asymptoty Asymptotą krzywej nazywamy prostą, do której zbliża się nieograniczenie punkt krzywej oddalający się nieograniczenie od początku układu współrzędnych. Krzywa może zbliżać się do swej asymptoty w taki sam sposób, jak zmienna zbliża się do swej granicy; może więc ona, tak jak w zad. 386 (!), pozostawać po jednej stronie asymptoty, bądź też może znajdować się po różnych jej stronach, przecinając ją nieskończoną ilość razy i przechodząc z jednej strony na drugą, jak np. w zad. 386 (3). Przy wyznaczaniu asymptot korzysta się z następujących twierdzeń. a) jeżeli krzywa y = f(x) ma nieciągłość nieskończoną w punkcie x = a, czyli gdy y ±oo dla * -> a—0 lub dla * -> a+0, to prosta * = a jest asymptotą pionową tej krzywej; 164.

b) asymptoty nie pionowe (ukośne lub poziome), jeśli istnieją, mają równania o postaci y = kxĄ-b, przy czym parametry k i b są określone wzorami k=

lim x-+±co

ffl-,

b=

lim

X

[f(x)-kx]

X->±co

gdzie A: W obu wzorach zachowuje się tak samo, tj. w obu wzorach x lub x —00. 386. Wyznaczyć asymptoty krzywych: x2—6x+3 n 1) y = - ^ — 3 —

2) y =

3)

4) y = * arc ctg *

5) .y = ln (4—X2)

6)* >> =

R o z w i ą z a n i e : 1)

+00

sin A: —

=

Yx*—6x?

= — -— —6^x + 3

a) Krzywa ma nieciągłość nieskończoną dla x = 3. Dlatego prosta x = 3 jest dla niej asymptotą pionową. b) Z kolei szukamy asymptot nie pionowych: 1 .. X2—6.y-l-3 = lim — - j — = lim

, f(x) k = rhm x->-f ao X

* '

X —JX

= 1

J A:

b = lim l / f r ) - * * ] = lim /• x 2 ~ 6 x + 3 _ x \ = x—• -j- 00 \ x —3 I = rlim

3

~ 3 x— = rlim * x—3 j

3_

= —o3

x

Podstawiając znalezione wartości k i b do równania y = kx+b mamy równanie asymptoty ukośnej y =

otrzy-

3

Innych asymptot ukośnych krzywa nie ma, ponieważ dla x -> — 00 wartości k i b są takie same. Wykres krzywej przedstawiono na rys. 69. 2) y = xex a) Krzywa jest wszędzie ciągła, nie ma więc asymptot pionowych. b) Mamy k =

lim

y- = lim ex

=

+

00

jc-> f 00 X

165.

co oznacza, że gdy * +00 współczynnik kątowy asymptoty nie istnieje, a więc krzywa nie ma asymptoty dla x +00. Z kolei k = lim — = lim ex = 0 00 X b=

X

1

lim (y—kz) = limxe x = l i m — r = lim — z ^ r = O —oo e —e

(stosowaliśmy tu regułę de 1'Hospitala). Zatem krzywa ma asymptotę poziomą, gdy x — 00, mianowicie y = O (oś O*). , sin* 3) y = *+ — a) Dana krzywa nie ma nieciągłości nieskończonych, a więc nie ma asymptot pionowych b) Mamy lim Z JC-J-+00 *

=

iim(1+!!l£) \

*

=

i

/

ponieważ |sin*| < 1, oraz b=

lim (y—kx) = lim JC->-f 00

Sm X

*

=O

Te same wartości parametrów asymptoty otrzymamy dla x — 0 0 Zatem dla * +oo oraz dla * -> —co krzywa ma asymptotę y —

.

Krzywa ta przecina swą asymptotę nieskończenie wiele razy, przechodząc z jednej jej strony na drugą (rys. 70). 166.

Sposób, w jaki krzywa zbliża się do swej asymptoty, można określić przez badanie znaku różnicy rzędnych krzywej i asymptoty. W danym przypadku różnica ta wynosi ykrz—yas =

S1

"* i zmienia znak nieskończe-

nie wiele razy w punktach, dla których x = kn\ k = ± 1 , * ± 2 , . . . 4) y = x arc ctg x a) Krzywa jest wszędzie ciągła, nie ma więc asymptot pionowych. b) Mamy k—

lim — = lim arc ctg x = arcctg(+oo) = 0 * - > + oo X

oraz

x

b~

lim ( y — k x ) = lim x arc ctg x = lim

a r c ct

&

x

Stosując dwukrotnie regułę de 1'Hospitala, otrzymamy

b = hm .*-*+«>

arc ctg x

: ±

= lim

k =

2 r

x

2

2x

=— = hm ——= 2 = lim -— = 1 _JL 1+* 2x X2

X

A więc, gdy x

~ i + x

+oo, krzywa ma asymptotę y = 1. Z kolei lim — = lim arc ctg x =' arc ctg (— oo) = n

x->— 00 X

oraz b=

lim (y—kx) = lim (x arc ctg x—nx) = lim x(arc ctg x—n) = — oo

* = lim

arc ctg x — T i

= _L X

T.

= hm

1_ \-\-x

2

X2

f

= hm t - — 5Ł = 1 l+x

X2

Zatem dla x — co krzywa ma asymptotęy = nx Jr\ (rys. 71). 2 5) y = ln(4—i* ) a) Krzywa ma dwie asymptoty pionowe x = — 2 i * = 2, bowiem dla x = ± 2 ma ona nieciągłości nieskończone." b) Krzywa nie ma innych asymptot niż pionowe, ponieważ jest ona określona w przedziale —2 < x < 2, więc x nie może dążyć do nieskończoności (rys. 72). 167.

6)* y = $fx3-6x2 a) Asymptot pionowych dana krzywa nie ma. b) Mamy **= lim ^ = ;t->+oo X

=

X

F

X

= 1

y< y=/n(4

/ i /.-/

o

i

\

/

\

a

Rys. 73

Rys. 72 '

oraz b — iim (y—kx) = lim

x* — 6xL — x).

x->-\-oo

Podstawiając — zamiast

a następnie stosując regułę de 1'Hospitala,

otrzymamy "l b = lim [ l / - V3 a-^+oW a 1 = lim168

6 l\ t .lim l- / Y - 6 a - l ——)1 =— lim a2 a/

(1 — 6a) 1

3

(-6) =

- 2

=

Te same wartości dla parametrów asymptoty otrzymamy, gdy x —oo. Zatem dla x +00 oraz x — 00 dana krzywa ma asymptotę y = x — 2. 2 Krzywa jest ciągła i przecina swą asymptotę w punkcie o odciętej x = y , przybliżając się do niej od góry, gdy x (rys. 73).

— 00, a od dołu, gdy x -> +00

Znaleźć asymptoty następujących krzywych : 2x2

tc5

9

389. j =

390. ^ = x arc tg x

391* y = 2jc— ^ ^ x

392* >> =

x

—

§ 9. Schemat ogólny badania funkcyj i sporządzania ich wykresów Ogólne badanie własności funkcyj i sporządzanie ich wykresów wygodnie jest przeprowadzać wg następującego schematu: I. Wyznaczamy obszar określoności, czyli dziedzinę funkcji. II. Wyznaczamy punkty nieciągłości funkcji oraz granice jednostronne w tych punktach. III. Badamy, czy funkcja nie jest .parzysta lub nieparzysta, lub też okresowa. IV. Znajdujemy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych oraz przedziały, w których funkcja ma stały znak1*. V. Znajdujemy asymptoty wykresu funkcji: a) pionowe, b) pozostałe. VI. Znajdujemy punkty ekstremalne funkcji oraz przedziały monotoniczności. . VII. Znajdujemy punkty przegięcia funkcji i przedziały, w których funkcja jest wypukła" albo wklęsła. VIII. Sporządzamy wykres funkcji, wykorzystując wyniki przeprowadzonych badań. Jeśli okaże się, że informacji tych jest za mało, należy znaleźć jeszcze kilka punktów wykresu funkcji wychodząc z wyrażenia, za pomocą którego funkcja jest zadana. Dobrze jest sporządzać wykres funkcji w tej samej kolejności w jakiej następują poszczególne punkty badania funkcji. O Wymaga to rozwiązania równania /(.v) = 0. Przy rozwiązywaniu zadań tego paragrafu punkt ten można pominąć, jeżeli rozwiązania nie można otrzymać w sposób elementarny. Ogólna metoda rozwiązywania równań będzie podana w § 10.

169.

393. Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy: 4x3—x4 . l—x3 1

5

—

=

3) y = V(x+\f-V(x-1)2

4) y = sin 4 *-l-cos 4 *

5) j =

6) j; = x + 2 a r c ctg *

j/T

7)*j> = | e * - l | R o z w i ą z a n i e . Kierując się podanym ogólnym schematem, znajdujemy kolejno: 1) I. Dana funkcja, jak wszystkie wielomiany, jest określona na całej osi liczbowej. II. Funkcja nie ma punktów nieciągłości i jak każda funkcja elementarna jest ciągła wszędzie tam, gdzie jest określona. III. Funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta, ani też okresowa. IV. Dla x = 0 z danego równania znajdujemy y = 0. Z kolei dla y = 0, otrzymamy x = 0 lub x = 4, co oznacza, że wykres funkcji przecina osie współrzędnych w punktach (0,0) i (4,0). Przedziały, w których funkcja zachowuje stały znak, wyznaczamy z warunku. że ich krańcami mogą być wyłącznie albo punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią Ox, albo punkty nieciągłości, albo też wreszcie brzegi obszaru określoności funkcji. Dla badanej funkcji takimi punktami są x = 0 i x — 4. Określając znak funkcji dla dowolnej wartości * z przedziału (— 00,0), np. dla x = — 1, znajdujemy, że y(— 1) < 0, a tym samym stwierdzamy, że w całym tym przedziale funkcja przybiera wartości ujemne. Analogicznie stwierdzamy, że w całym przedziale (0,4) funkcja ma wartości dodatnie, bo y( 1) > 0, oraz że jej wartości w przedziale (4, +00) są ujemne, mamy bowiem y( 10) < 0. V. a) Funkcja jest wszędzie ciągła, wobec czego jej wykres nie ma asymptot pionowych. b) Znajdujemy k = lim — = -^-lim x2(4—x) = —00 Nie istnieje też współczynnik kątowy k asymptoty, kiedy x Zatem wykres funkcji nie ma asymptot nie pionowych. 170.

—co.

VI. Pochodna funkcji / = -^-(I2x1-4x3)

=

xz(3-x)

i równa się zeru w punktach x = 0 i x = 3. Są to punkty krytyczne; wszystkie niezbędne do tego warunki są w nich spełnione. Innych punktów krytycznych nie ma, gdyż pochodna y' wszędzie istnieje. Badamy punkty krytyczne wyznaczając znak y' w ich otoczeniu: X

-i

0

1

/

+

0

+

y

roś.

nie ma ekstr.

3

10

0

-

. ^ roś.

max

mai.

Punkt x = 3 jest więc punktem maksimum funkcji: ymax = y(3) — -y- = = 5,4. Przedziały monotoniczności funkcji, w których funkcja wzrasta bądź maleje, znajdujemy na mocy warunku, że granicami tych przedziałów mogą być wyłącznie punkty ekstremum, punkty nieciągłości i punkty ograniczające obszar stanowiący dziedzinę funkcji. Funkcja badana jest wszędzie ciągła i ma tylko jeden punkt maksimum x = 3. Wobec tego w przedziale (— oo, 3) funkcja rośnie, a w przedziale ( 3 , + o o ) maleje. 12

VII. Druga pochodna y" = -^-x(2—x)

istnieje wszędzie i jest równa

zeru dla x = 0 i x = 2. Te wartości x mogą więc być odciętymi punktów przegięcia. Badamy je określając z n a k j " w ich otoczeniu: X

-i

0

1

2

10

r

-

0

+

0

-

y

wyp.

pkt przeg.

wkl.

pkt przeg.

wyp.

Wykres funkcji ma zatem dwa punkty przegięcia (0; 0) i (2; 3,2) (rzędne tych punktów zostały obliczone przez podstawienie odciętych do wyrażenia na funkcję). 171.

Przedziały wypukłości i wklęsłości krzywej określamy z warunku, że granicami tych przedziałów mogą być jedynie odcięte punktów przegięcia, punkty nieciągłości i granice obszaru określoności funkcji. Ponieważ badana funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, to zgodnie z powyższą tabelką jej wykres jest wypukły w przedziałach (—co, 0) i (2, +00), a wklęsły w przedziale (0, 2). VIII. Biorąc pod uwagę wyniki przeprowadzonych badań sporządzamy

1—Jt3 2) I. Funkcja y —

x2

jest określona na całej osi liczbowej, z wyjątkiem

punktu x = 0. II. W punkcie x — 0 funkcja ma nieciągłość nieskończoną; dla x —0 oraz dla x + 0 , lim y = +00. W pozostałych punktach osi liczbowej funkcja jest ciągła. III. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani też okresowa. IV. Wykres funkcji przecina oś Ox w punkcie (1,0), ale nie przecina osi Oy. Na lewo od punktu nieciągłości, gdy —00 < * < 0, y >0; między punktem nieciągłości a punktem przecięcia się z osią Ox, gdy 0 < x < 1, y > 0; na prawo od punktu przecięcia się z osią Ox, gdy 1 < x < +00, y < 0. V. a) Prosta x = 0 (oś rzędnych) jest asymptotą pionową wykresu funkcji, ponieważ dla * = 0 funkcja ma nieciągłość nieskończoną. b) Z kolei znajdujemy k = lim — = lim * 3* = — 1 oo x x .

(

1— —-2

172.

XR

\ 1 \-x\ = l i m — = 0 I

X2

czyli asymptotą różną od pionowej jest prosta y — —x. Te same wartości dla parametrów k i b otrzymujemy, gdy x -> —oo, nie ma więc innych asymptot. VI. Znajdujemy / = —

skąd y = 0 w punkcie x = — j/2.

Jest to punkt krytyczny. Ponadto y nie istnieje w punkcie x = 0, ale punkt ten, będący punktem nieciągłości funkcji, nie może być punktem krytycznym. Badamy punkt krytyczny określając znak y" / ' = -Jr,

/ ' ( - ! 2) > 0

a więc x = — j / 2 jest punktem minimum, przy czym ymin = y(—]/ 2) = 3_

Na lewo od punktu minimum, gdy — oo < x < — 2, y' < 0 —funkcja maleje; między punktem minimum i punktem nieciągłości, gdy — | / 2 < * < 0 , y' > 0 — funkcja rośnie; na prawo od punktu nieciągłości, gdy 0 < x < + o o , / < 0 — funkcja maleje. u. 1

V

/

1-X3

\

/

/

\0

~

\

\ \ *

Rys. 75

VII. Druga pochodna y" = ^ , czyli ^ 0. W punkcie x = 0 pochodna y" nie istnieje, jednak punkt ten jako punkt nieciągłości nie może być odciętą punktu przegięcia. Zatem wykres funkcji nie ma punktów przegięcia. 173.

W całym obszarze określoności funkcji y" > 0, wobec czego jej wykres jest wszędzie wklęsły. VIII. Wykorzystując uzyskane wyniki sporządzamy wykres funkcji (rys. 75). ^ g 3) I, II. Funkcja y = — I) 2 jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. III. Jest ona funkcją nieparzystą, gdyż zachodzi y(—x) = — y(x); jej wykres będzie symetryczny względem początku układu współrzędnych. IV. Wykres funkcji przecina się z osiami układu współrzędnych tylko w początku układu. Gdy * < 0, mamy y < 0, a gdy x > 0, to y > 0. V. a) Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych. b) Mamy

oo X

X

oraz b =

= lim \Y(*+l)2-\f{x-l)2]

lim (y-kx) X->+

Qc+l)2-(;c-l) =

lim

-

lim

=

OO

4

2

mx-1)2+V(x-ir

V(x+1) +V(x+ = = = = =

X

±

=

,

=

0

(Po sprowadzeniu niewymierności do mianownika dzielimy licznik i mia4_

nownik przez x3). Podstawiając znalezione wartości k = b = 0 do równania asymptoty y = kx+b otrzymamy równanie asymptoty poziomej y = 0. Taki sam wynik dostajemy także dla x — oo. VI. Pochodna funkcji y 174.

3 ^"hu

3 i*

1)

3

y-^—i

i nigdzie nie równa się zeru, nie istnieje natomiast w punktach x = ± 1 . Są to jednocześnie punkty krytyczne. Badając znak pochodnej / w ich otoczeniu X

-5

-1

0

1

5

/

-

00

+

00

-

min

roś.

max

y

mai.

stwierdzamy, że w punkcie x =

mai.

funkcja ma minimum równe ymin =

= y(— 1) = —f/4, a w punkcie x = l — maksimum równe ymax = y( 1) = =f/4: Na lewo od punktu minimum, w przedziale (— oo, —1), i na prawo od punktu maksimum, w przedziale (1,+oo), gdzie y' < 0, funkcja jest malejąca, a między punktami minimum i maksimum, w przedziale (—1, 1), gdzie yr > 0, funkcja rośnie. VII. Obliczamy drugą pochodną y

9

9

9

f/(jc2_i)4

Pochodna ta jest równa zeru, gdy x = 0, i nie istnieje w punktach x = ± 1 . Punkty te mogą być odciętymi punktów przegięcia. Badając znak / ' w ich otoczeniu

X

-5

1

-1 „

-

y

wyp.

— oo nie ma przeg.

0

1 2

0

+

+ 00

+

pkt przeg.

wkl.

nie ma przeg.

wkl.

2~ -

wyp.

1

5

stwierdzamy, że x = 0 jest odciętą punktu przegięcia; odpowiednia wartość rzędnej wynosi j>(0) = 0. Na lewo od punktu przegięcia, w przedziale (—oo, 0), w którym y" < 0, wykres funkcji jest wypukły, a na prawo od tego punktu, w przedziale (0, +oo), w k t ó r y m / ' > 0, wykres funkcji jest wklęsły. 175.

VIII. Na podstawie otrzymanych wyników badania funkcji sporządzamy jej wykFes (rys. 76).

1

0

X

1

9

fy=(x+0 -(x-ir Rys. 76

4) I, II. Funkcja y = sin4* +. cos4* jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. III. Jest to funkcja parzysta, ponieważ zachodzi y(—x) = y(x)f a prócz tego okresowa, gdyż y(x) = y

Okres jej wynosi n/2. Wystarczy

więc zbadać zachowanie się funkcji oraz sporządzić jej wykres w przedziale [0, -^-j; w pozostałych punktach osi liczbowej i przebieg funkcji, i jej wykres będą się powtarzały. IV. Gdy x = 0, y = 1, czyli y ^ 0. Wykres przecina oś Oy w punkcie (0,1) i nie przecina osi Ox. Funkcja ma wartość dodatnią dla każdej wartości *. V. a) Ponieważ funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej wykres jej nie ma asymptot pionowych. b) Mamy k =

v .. sin 4 *+cos 4 * hm — = lim =0 . * JC—>-f- 00

oraz b = lim (y—kx) = lim (sin 4 *+cos 4 *) *->+00 czyli b nie istnieje. To samo zachodzi, gdy * -> — co. Zatem wykres funkcji nie ma w ogóle asymptot. VI. Pochodna funkcji yf = 4sin 3 *cos*—4cos 3 *sin* = 4sin*cos*(sin 2 *—cos 2 *) = = —2sin2*cos2* = —sin4* 176.

i w przedziale jo, -^-j jest równa • zeru w punktach * = O, x = njA. Są to punkty krytyczne. Ponieważ y' wszędzie istnieje, innych punktów krytycznych w przedziale tym nie ma. Badamy punkty krytyczne, wyznaczając w nich znak y" (wg reguły Ilb). Mamy y" = —4cos4x, skąd /'(O) = — 4 < 0, czyli x = 0 jest punktem maksimum, przy czym ymax = 7t\ 7t

(

-j I = 4 > 0, a więc x = -j jest punktem minimum, przy czym ymin = yW przedziale ^0, y j pochodna y' < 0 — funkcja maleje, a w przedziale

(

7t

OZ i

y , y I pochodna / > 0 — funkcja rośnie. VII. Druga pochodna y" = —4 cós 4* istnieje wszędzie i w przedziale

[o, f ) jest równa zeru d l a * = f

i x=

Punkty te mogą więc być

odciętymi punktów przegięcia. Badając znak y" w ich otoczeniu stwier-

X

71

71

0

T

*8~

3tz

71

8

2~ -

y"

0

+

0

y

pkt przeg.

wkl.

pkt przeg.

wyp-

dzamy, że w przedziale |o, y j wykres funkcji ma dwa punkty przegięcia _3\ . (3tz_ 3\ \8 ' 4/ 1 \ 8 ' 4/' Rzędne tych punktów zostały obliczone ze wzoru na y. W przedziałach |o, y j

i

y j , w których y" < 0, wykres funkcji

jest wypukły, a w przedziale ( y , - ^ j , w którym y" > 0, wykres ten jest wklęsły. 12 Metody rozwiązywania zadań

yyj

VIII. Sporządzamy wykres funkcji w przedziale |0, y j , zgodnie z wynikami otrzymąnymi przy badaniu funkcji, a następnie przedłużamy wykres okresowo na lewo i prawo od tego przedziału (rys. 77). y

y=sin 4x + cos

1

0

i

i

TT

TT

A

2

X

Rys. 77

-L 5) I. Funkcja y = će * jest określona na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu x = 0. II. Funkcja jest nieciągła w punkcie x = 0; jest ona określona w pobliżu tego punktu, ale nie jest określona w samym tym punkcie. Znajdujemy granice jednostronne i określamy charakter nieciągłości. Mamy lim y = 0, ponieważ lim e x = = 0. Gdy JC-> + 0 zachodzi przypadek 0 • oo. o Nadając funkcji postać ułamka oraz stosując dwukrotnie regułę de 1'Hospitala, otrzymamy -iex lim y = lim—r— = lim

x-++o

J_ X2

JL ex « — = lim-^— =

_ _

A

Xi

1

= lim

i Jr

—2e ~

i

^— —

X

JL

ex

=

***

Zatem w punkcie x = 0 funkcja ma nieciągłość nieskończoną. W pozostałych punktach osi liczbowej funkcja jest ciągła. III. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani też okresowa. IV. Wykres funkcji nie przecina się z osiami układu; jak stwierdziliśmy w p. II początek układu jest punktem granicznym lewej gałęzi wykresu. Znajdując znak funkcji w dowolnym punkcie na lewo od punktu nieciągłości, np. y(—2) > 0, i na prawo od punktu nieciągłości, np. >>(2) > 0, 178.

stwierdzamy, że funkcja w całym obszarze określoności przybiera dodatnie wartości. V. a) Ponieważ funkcja ma nieciągłość nieskończoną w punkcie x = 0 wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu * = 0. b) Znajdujemy, że k =

_L J_ lim — = l i m x e x = + 0 0 , ponieważ lim ex = 1 X

X-*>+GO

X-*+

OO

Nie istnieje też współczynnik kątowy asymptoty nie pionowej, gdy x -> —00. Wykres funkcji nie ma więc asymptot tego rodzaju. VI. Pochodna y' = ex (2*—1) jest równa zeru w punkcie x = y> będącym wobec tego punktem krytycznym, i nie istnieje w punkcie x = 0, który jednak, będąc punktem nieciągłości, nie jest punktem krytycznym. Badając, jaki znak ma druga pochodna w punkcie krytycznym y

„

2x2-2*-t-l

= —

?

, , / M

— / ' ( T )

>

/\0

stwierdzamy, że punkt x = y jest punktem minimum, przy czym ymin =

• Określając znak pochodnej y' w przedziałach wyznaczonych przez punkty nieciągłości i punkty ekstremum widzimy, że wprzedziałach (— 00,0) i ^0, y j pochodna y' < 0, zatem funkcja w przedziałach tych maleje, a w przedziale ^ y , + o o j pochodna / > 0 i funkcja rośnie. VII. Druga pochodna y" = r

2x2—2x4-1 x — e nigdzie nie równa się zeru

i istnieje w całym obszarze określoności funkcji, a więc wykres funkcji nie ma punktów przegięcia. Określając znak drugiej pochodnej y" w dowolnym punkcie na lewo i na prawo od punktu nieciągłości, np. y"(—2) > 0 i y"{3) > 0, stwierdzamy, że wykres funkcji wszędzie jest wklęsły. VIII. Z uwagi na niewystarczalność uzyskanych danych dla scharakteryzowania przebiegu wykresu funkcji znajdujemy jeszcze dodatkowo kilka punktów wykresu, biorąc kilka wartości x i obliczając odpowiadające im 12*

179

wartości y ze wzoru na funkcję badaną, np.

$

1,

, (1, e).

Teraz sporządzamy wykres funkcji (rys. 78).

6) I, II. Frnkcja y = * + 2 a r c ctg * jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. III. Nie jest to funkcja parzysta ani nieparzysta, ani też okresowa. V. a) Asymptot pionowych brak. b) Mamy k

=

lim 2 U i i ą ( i + x-*±co

X

\

2arcctg X

*) = l I

oraz — lim (y—kx) = lim 2arc ctg* = 2arc ctg(+oo) = 0 b2 = lim (y—kx) = lim 2arc ctg* == 2arc ctg(—oo) = 2;% x—> — co

A więc wykres funkcji ma dwie asymptoty ukośne: y = x i y = 2

VI. Pochodna y' = 1 — '1+x2

xz—l

= xi+i

x+2n.

istnieje wszędzie i jest równa

zeru, gdy * = ± 1; są to punkty krytyczne Badamy je, określając w nich 4x

znak drugiej pochodnej: / ' = / ' ( — 1 )

< 0 i / ' ( l ) > 0. Zatem

* = — 1 jest punktem maksimum, a * = 1 — p u n k t e m minimum, przy czym ymax = y(—l) = -y- —1 orazy m i n = y( 1) = y + 1 . W przedziałach (—oo, — 1) i (1, +co)9 gdzie y' > 0, funkcja rośnie, a w przedziale (— 1,1), gdzie y' < 0, funkcja maleje. 180.

VII. Druga pochodna y" = ji^iy

istnieje wszędzie i równa się zeru

w punkcie * = 0. Określając znak y" na prawo i lewo od tego punktu, np. / ' ( — 1) < 0 oraz y"(\) > 0, stwierdzamy, że dla * = 0 wykres funkcji ma punkt przegięcia. Na lewo od tego punktu, w przedziale (— oo, 0), w którym y" < 0, wykres funkcji jest wypukły, a na prawo, w przedziale (0, +oo), gdzie y" > 0, wykres jest wklęsły. Rzędna punktu przegięcia y(0) =

•

VIII. Zgodnie z wynikami badania sporządzamy wykres funkcji (rys. 79).

2n

/

/

/

y=x + 2 TT/ /

0A

/ i

^ /y-x

+ 2arcctg x Rys. 79

7)* I, II. Funkcja y = \ex—\\ jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. III. Nie jest to funkcja parzysta ani nieparzysta, ani też okresowa. IV. Funkcja jest wszędzie nieujemna; wykres jej przechodzi przez początek układu współrzędnych. V. a) Wykręs funkcji nie ma asymptot pionowych. b) Rozpatrujemy oddzielnie przypadek, gdy x +oo i gdy x — oo; mamy ex -> +oo dla x -> +oo oraz ex -> 0 dla x -> —oo. Gdy x ^ 0, y = ex — 1? skąd ' y cx—1 k — lim — = lim x->Ą-oo

X

cx — lim — = + o o X

I

co oznacza, że w tym przypadku wykres funkcji nie ma asymptoty. Z kolei, gdy x ~ oo X

X

oraz b =

lim (y—kx) = lim(l —ex) = 1 00

181.

co oznacza, że gdy * - > — oo wykres funkcji ma asymptotę ukośną o równaniu y = l. VI. Pochodna y9 — ±ex, przy czym znak plus odpowiada wartościom x z przedziału (0,+00), gdzie ex— 1 > 0, a znak minus wartościom x z przedziału (—00, 0), w którym ex—1 < 0. Pochodna funkcji nigdzie nie równa się zeru i istnieje wszędzie, z wyjątkiem punktu x = 0, który wobec tego jest punktem krytycznym. Na lewo od punktu krytycznego y9 — —ex 0 — funkcja rośnie. Oznacza to, że * = 0 jest punktem minimum; ymln = j>(0) = 0. VII. Druga pochodna y9/ = ±ex, przy czym, podobnie jak dla pierwszej pochodnej, znak plus bierzemy, gdy x > 0, a znak minus, gdy x < 0. Pochodna ta nigdzie nie równa się zeru i istnieje wszędzie, z wyjątkiem punktu x = 0. Na lewo od tego punktu y,ł = —ex < 0 — wykres funkcji jest wypukły, a na prawo y" = ex > 0 — wykres funkcji jest wklęsły. Zatem x = 0 jest odciętą punktu przegięcia; odpowiadająca jej wartość rzędnej j>(0) = 0. , Punkt przegięcia pokrywa się tu z punktem wykresu, gdzie rzędna przybiera wartość minimalną, a w którym istnieją dwie różne styczne jednostronne y = —x oraz y = x. VIII. Aby sporządzić wykres funkcji znajdujemy jeszcze kilka dodatkowych punktów wykresu, np.: (I; e—l), (—1; l—e'1), (-2; 1—e~2), oraz określamy współczynniki kątowe (czyli lewo- i prawostronną pochodną) w punkcie kątowym (0,0) = X->(0) = — 1, k2 = y[+)(0) = 1 Zgodnie z wynikami badania sporządzamy wykres funkcji (rys X0).

0

1 x

Rys. 80

Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy: 394. y = x3+3x2 395. y = \6x(x-1)3 396. y = - A r * x2—9 182.

397.y = '

( +

* x—2

m

y

'= -

^

m

t

y

=

^

~ *3~

400. j; = ( * - 3 ) j / x "

401. y = 2 ( j c + l ) - 3 j / ( j t + 1 ) 2

402. j; = x e 2 404. y = x — 2 arc t g * 406*. y = arc sin |JC|

403. y = sin x—cos X 405*. j = |sinx|

§ 10. Przybliżone rozwiązywanie równań 1) Sposób graficzny rozwiązywania równań. Oddzielanie pierwiastków. Pierwiastki rzeczywiste równania f(x) = 0 są odciętymi punktów przecięcia się krzywej y = f(x) z osią Ox. Jeśli więc równaniu nadać postać q>i(x) = = ę>2(*), to pierwiastkami rzeczywistymi będą odcięte punktów przecięcia się krzywych y = (fi(x) i y = (pi(x). Korzystając z tego, jak pokazaliśmy przy rozwiązywaniu zad. 16, można znajdować przybliżone wartości pierwiastków rzeczywistych dla równań algebraicznych i przestępnych przez sporządzenie wykresów odpowiednich krzywych. Sposób ten prowadzi jednak do bardzo ogólnego oszacowania przybliżonych wartości pierwiastków równania i nie nadaje się do dokładnych obliczeń. Dlatego sposób graficzny znajdowania pierwiastków jest stosowany zwykle jako narzędzie pomocnicze dla określenia ilości pierwiastków rzeczywistych i ich oddzielenia, przez, co rozumiemy znalezienie takich przedziałów na osi OJt, aby w każdym z nich zawierał się tylko jeden pierwiastek: Po oddzieleniu pierwiastków można je obliczać z dowolną, wymaganą dokładnością za pomocą metod analitycznych, z których kilka tu przedstawimy. 2) Uściślanie wartości pierwiastka metodą siecznych i stycznych, Jeżeli v/ przedziale [a, b] funkcja f(x) jest ciągła, pochodna f'(x) tej funkcji ma stały znak oraz f(a) f(b) < 0, to wewnątrz tego przedziału znajduje się tylko jeden pierwiastek rzeczywisty funkcji f(x), czyli równania f(x) = 0. Jeżeli oprócz tego w przedziale tym także druga pochodna zachowuje swój znak, to można znaleźć nowy, węższy przedział, który zawiera pierwiastek, a którego końce ai i bi wyznaczamy ze wzorów ai

~a~ m - m '

bi=

P~fW)

( )

183.

gdzie /? oznacza ten koniec przedziału [a, b], w którym f(x) i f"(x) mają jednakowe znaki. Geometrycznie (rys. 81), końcami i bx nowego przedziału są odcięte punktów przecięcia się siecznej AB i stycznej Bbx z osią Ox, które to punkty leżą bliżej szukanego pierwiastka x0 niż granice przedziału [a, b].

Z kolei biorąc za punkt wyjścia ten węższy przedział, można za pomocą tych samych wzorów (*) znaleźć jeszcze węższy przedział, wewnątrz którego zawiera się pierwiastek xQ. Ten proces stopniowego zawężania przedziału, w którym zawiera się pierwiastek x0, sprowadzający się do wielokrotnego stosowania wzorów (*) kontynuujemy dopóty, dopóki długość przedziału ah bŁ będzie nie większa od podwojonej wartości przyjętego dopuszczalnego błędu 0, / " ( * ) = 20*3 > o dla wszystkich wartości * z przedziału [1; 1,1]. Ponieważ /(*) i / " ( * ) mają jednakowe znaki, gdy * = 1,1, więc oznaczając końce przedziału przez a = 1, b = 1,1 = /? i stosując wzory (*), otrzymamy = 1 186.

= 1,1-

/(1,1) = 1.1 /'(1,1)

0,310 51 = 1,051 0,320 5

Do otrzymanych nowych granic ax i bx węższego przedziału zawierającego szukany pierwiastek stosujemy ponownie wzory (*); mamy a2 — ar

h

= 1,039-

m - f ( f l d

62 =

h

6 l

f ^ ~ 7 W

=

1 n to i F(x)+C, gdzie C jest dowolną stałą — jest też funkcją pierwotną funkcji /(*), ponieważ [i r (*)+C] / = F'(x) = f(x). Ogólne wyrażenie F(x) + C zbioru wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywa się całką nieoznaczoną tej funkcji i oznaczane jest symbolem / Jf(x)dx

= F(x)+ C,

jeżeli

d[F(x)+ C] =

f(x)dx

Rys. 92

Geometrycznie, w układzie współrzędnych xOy wykresy funkcji pierwotnych dla danej funkcji f(x) tworzą rodzinę krzywych, zależną od jednego parametru C. Krzywe te powstają z jednej z nich przez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Oy (rys. 92). 13 •

195

Własności całki nieoznaczonej: L

^

U

=

Iub

/(*)

d

ff^

d x

n . / f ( j c ) & = F ( * ) + C lub JdF(x) = III.

J af(x)dx = ajf(x)dx;

= f^

d x

F(x)+C

czynnik stały wolno wyłączyć przed znak

całki

IV./[f l (x)+f 2 (x)-f 3 (x)]dx = ffx(x)dx+f/2(x)dx-ff3(x)dx; ka sumy jest równa sumie całek poszczególnych składników. Podstawowe wzory rachunku całkowego: u° + l

c

3. faudu

feudu

= j^-+C;

4. J sin udu = —cos uĄ-C 5. J cos udu = sin w + C 6. J sec2 wrfw = tg

C

7. J cosec2H Jw = —ctg w + C o f

du

1

«

du

1 ,

f

r 11. , 196

rfw du

A

u , _

w—a m+0 u .• w *

+ C

si

=

eu+C

cał-

We wzorach tych a jest dowolną stałą, a w — zmienną niezależną lub dowolną (różniczkowalną) funkcją zmiennej niezależnej. Na przykład: Całka Ii = f j/x dx = j x*dx jest przypadkiem szczególnym wzoru 1, 1 2 — 2 / dla u = x, a = y . Zgodnie z tym wzorem Ix = -y* 2 + C = — yx3 + C . Całka / 2 = J

jest przypadkiem wzoru 3, dla w = x, a = 3. Zgodnie

z tym wzorem / 2 =

3* tt + C. lni

d* /

-p-py jest przypadkiem wzoru 8, dla u=t, a = j/3 . Stosując ten wzór mamy J3 = —~=r arc tg +C. Całka / 4 = J f . ^2 jest przypadkiem wzoru 11, dla m = I/95 —5 Zatem / 4 = ln|fe~~*dx

5) Jsin(ax+6)rfx

R ozwiąza: 3

^

r

dx

6) I 1

5*+4 f

dx

-4-

1

3 i ,

3

+ C =

* 2 + C; korzystaliśmy z własności III i ze wzoru 1, w

którym podstawiamy u ~ x, adt= 2) f ^ 2= ± f

J |/3—4f

2J

i -

—^. i . — arc sin

t l / i

1 21 = — a r c s i n — k o r z y s t a l i ś m y z własności III i ze wzoru 10, w któ2 y3 , • rym podstawiamy u= t, a — l/3 -^y-. 199.

3) Mnożymy i dzielimy całkę przez 3, czynnik 3 wprowadzamy pod znak całki (własność III), a następnie pod znak różniczki; mamy J*cos3+5f

1

_L f t f | 5 ) - W I 5 ) 2 J

=

1

_l

2

-

2(jc2+5)

W trzeciej całce dokonujemy zamiany zmiennej, podstawiając x =j/S tgz. Wtedy dx = j/5 sec2 z dz, a więc r dx _ r j/5 sec 2 zdz __ 1 r cos2 zdz = = J J 25 sec4z - 7 7 T J ' = — - 7 = f ( l + c o s 2 z ) d z = —Kr=(z+ 10j/5 J 10|/5 \

2

~sm2z\ )

1 / , * , x \/5 7= arc tg + 10/5 \ j/5 + 5 Ostatecznie otrzymamy =

' - i ^ + W + s r

T o 7 f (

-

m i 7 r

a r c

8

'

a r c , e

, ' T 7 r

+

^ )

+ c

=

+ c

Obliczyć całki: x rr 3adx J X —*2

Sil.

528.

f xdx J x3-l

'

.

c r_! J

dx

r (x2+l)dx 3 J x —3* 2 +3*—1

529.

533.

/

535*. |f

^

z2dz

•

/'

T

'

/

( * + 0 < f r T-

5536*. 36*

XVJC

-2jc 2 +1 .4

r1 -i - *

§ 8. Całkowanie niektórych funkcji niewymiernych Całki funkcyj niewymiernych (a także przestępnych) wyrażają się przez funkcje elementarne tylko w pewnych określonych przypadkach. Do najczęściej spotykanych typów całek funkcyj niewymiernych, wyrażających się przez funkcje elementarne należą następujące całki. 15 Metody rozwiązywania zadań

225

I. Całkę f R(x, xa, xp, ...)dx, gdzie R — funkcja wymierna, a — = i /? = — liczby wymierne, można sprowadzić do całki funkcji wymiernej, a tym samym wyrazić przez funkcje elementarne za pomocą podstawienia x = /*, gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem wszystkich wykładników ułamkowych x występujących pod całką. Całki bardziej ogólnej postaci jR[x, zna

' (^-Id ) '

(ax+b)*,

(ax+b)p, ...]dx

lub

jdujemy (sprowadzamy do całek

funkcyj wymiernych) za pomocą analogicznych podstawień: ax+b = cx+d II. Trzy podane niżej typy całek sprowadzamy do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, za pomocą wskazanych obok podstawień: J R(x, \/a2—x?' )dx — przez podstawienie x = a sin t j R(x, i/a2+x2)

dx — przez podstawienie * = a tgt — przez podstawienie x = a sec/

III. Całka / ?ćn(a+bxn)pdx z różniczki dwumiennej xm (a+bxn)pdx sprowadza się do całki funkcji wymiernej w trzech przypadkach: 1) gdy p jest liczbą całkowitą — przez rozłożenie na sumę za pomocą dwumianu Newtona. jest liczbą całkowitą — przez podstawienie a-\-bxn = zr,

2) gdy 3) gdy

+ p jest liczbą całkowitą—przez podstawienie

aĄ-bxn=xnzr,

gdzie r jest mianownikiem ułamka p. P (x\dx IV. Całkę f " ( g d z i e Pn(x) — wielomian stopnia n, a v = ax2-\J yv -\-bx+ć) można obliczyć ze wzoru J

y=R-DX

=

( Ą X ^ + A

2

X -

2

+

...

+A.)rv

+

B

J - F -

w którym Au A2, B — stałe, które wyznacza się przez zróżniczkowanie obu stron tego wzoru, pomnożenie przez \/v i porównanie współczynników przy jednakowych potęgach x. 226.

W podobny sposób można też obliczyć całkę fpn(x)Vvdx

= f

^

d

x

=

= (Axxn^+A2xn+ V. Całkę f — (A^-\-B)dx J (x— = — 2 — liczba cał-

kowita. Dlatego, w myśl reguły III, podstawiamy l + x 3 = x3z3. Wtedy 3

1

X —

—,

1+*

3

Z3

x

— przy'

oraz

~~

1

i ' ( Z 3_l)3

, _

ax — —

Z2 dz

4 (Z3_1>:

5 (z3-l)3 J

J

'-2

l+2z3

-2

2Z2

2+3x3

_

2x/(l+x3)2

5) Zgodnie z regułą IV, stosujemy następujący schemat obliczenia całki 2x2—X—5 ,

.,

, ^

—— , „ r

dx

Aby wyznaczyć stałe A, B, D różniczkujemy obie strony równości, a następnie mnożymy wynik przez j/* 2 —2x ; otrzymamy 2x1-x-5

= A

y

x 2

_

2 x + ( A x + b )

.

x l

~

\/x1—2x

l/'x*—2x

2x?—x—5 = A(x?-2x)+(Ax+B)(x-\)+D =

228.

2Ax?-\-(B-3A)x+(D-B)

D

•

y'xr—2x~ =

Porównanie współczynnikówprzy jednakowych potęgach x po obu stronach ostatniej równości prowadzi do układu równań 2 A = 2,

B—3A = -1,

D-B

= —5

Rozwiązujemy ten układ: A = 1, B = 2, D = — 3 i wartości A, B, Z) podstawiamy do schematu całkowania; mamy 1= (x+2)]/x2-2x-3 f , J j/jc2—2x Ostatnią całkę sprowadzamy do wzoru 11 J

1/x2_2jc

J !/(jc—l)2—1

1

'

1

i po podstawieniu do poprzedniej równości, otrzymamy ostatecznie 1 = (x+2)]/x2=2x-31n|x--l + |/x2-2x| + C 6) W myśl reguły V podstawiamy x—\ = y , skąd dx = — o r a z dt dx /— f — f /2 _ ~ J (*_l)|/l=3?" J 1 _ / 1+2/ ~ — __ f Mdt _ r ~ J r j/—1—2/ ~~ J

dt |/—i—2f

uwzględniliśmy tu, że }/ż2 = oraz że funkcja podcałkowa jest określona w przedziale — 1 < x < 1, wobec czego 1 < 0 i / < 0, a więc = —t. Następnie sprowadzamy Całkę do wzoru 1 1= f ( — 1 — 2 / ) " dt= —Y J ( — 1 — 2 * ) " d(—\—2t)

=

Obliczyć całki: dx

22.9

542.

f

dx

fx2]/4-x2dx

543.

544*. , f * J xi/x x\/x2—9 -9 dt 546*. f ~ /35 = j/l-i J tVi-t

545*.

f 6 ^ ^ J X f x?dx 547. Jf i }/xz+2x+3

548.

c ^ * fr 549*. J

f dx J j/jc 2 +2JC+2

x2dx .2

§ 9. Całkowanie niektórych funkcji przestępnych (niealgebraicznych) Do całek funkcji wymiernych sprowadzają się następujące całki (R — funkcja wymierna):

=

I. /i?(sinx, cosx)dx — przez podstawienie z — tg ~ ; wtedy sin* = 2z 1-z2 . 2dz t~— , COSJC = z—j oraz — ax — = 1+Z2 2 i+z2 — 1+Z2» — -

' II. fR(tgx)dx

— przez

podstawienie

tg* = z;

wtedy

x = arctgz,

i dz dx = 1——Y + z2

III. fR(e*)dx — przez podstawienie ex = z; wtedy x = ln z, dx = 550. Obliczyć całki: 1) f * J 2 sin*—-cos*

2) f J 5 + 4 cos ax f e>xdx J e2x+l

r Jgxdx_ J 1-ctg2*

JJ

J

Rozwiązanie:

1) Podstawmy tg y = z i wyraźmy sin x, cos *

i dx za pomocą z, korzystając z podanych'wzorów, odpowiadających przyjętemu podstawieniu; otrzymamy

f

dx

r

J 2sin*—COSJC

= -^L-ln V5

230.

J

2 dz

z 2^+4z—1 z - l

=

r rf(z+2) 22

J

(z+2) ( z + 2 )—: -5

2—i/r+tg-fI ± ł z j £ | + C = * ln +C z+2+v5 | j/5 . 2 + ] / 5 + t g JC

1 —z2 2) Podstawiając, zgodnie z regułą I, tg - y = z mamy cos ax = -y =

/t

,

oraz

f dx _ 2_ r dz - ^ J 5 + 4 c o s a x ~~ a J

2 z , ^ = _arctgT+C =

3) W myśl reguły II, podstawiamy tgx = z i otrzymujemy tgjc^jc _ f z3 [

^

m

-

ł

=

=

4+4e-4==4e

/ < 3 < + 4 ) - W ) =

J-[(3 V2.

Rys. 108

Rys. 109

3) Objętość bryły, utworzonej przez obrót wokół osi Óx figury O AB ograniczonej danymi liniami (rys. 111), będzie różnicą objętości brył, powstałych przez obrót wokół osi Ox trapezów AIABBI i AXAOBBX.

w

W Bi Rys. 110

Rys. 111

Objętość VI bryły utworzonej przez obrót trapezu AIABBI można obliczyć ze wzoru (A) *2 i 2 V,= jy dx=n j (1,5-x)2dx = -3

= jz | (x—l,5)2d(x—l,5)

=

3—-

91

n

-3

253.

lub wprost ze wzoru na objętość stożka ściętego, znanego z geometrii elementarnej. Objętość bryły utworzonej przez obrót trapezu krzywoliniowego A1AOBB1 obliczamy ze wzoru (A) 71 71 n C 4J r ^ T /i , y* = T jf = T [ T J_, = w ( 1 + 2

Poszukiwana objętość wynosi V = V1 — V2=

rc

4 3

—

61 >=ir = 18 ^jy n.

4) Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi Ox asteroidy (rys. 112) obliczamy ze wzoru (A)

Xi

a

a

z

V = 71 j y dx = 7t f f d x = 2a xi -a 0

Jy2dx

Biorąc za podstawę dane równania parametryczne asteroidy x = a cos3/, y = ańu?t wprowadzamy w ostatniej całce zmienną t. Mamy y2 = a2sin6/, dx = —3acos2ts'mtdt, oraz t— n\2, gdy x = 0 i t = 0, gdy x = a. Wobec tego a o V = 2JJI f y2dx = —6a l n f sin 6 / cos 2 t sin tdt 0 7Z_ 2

W dalszym ciągu przekształcamy tożsamościowo wyrażenie podcałkowe i stosujemy wzór na całkowanie potęgi. Otrzymujemy 254.

¥=60*71 J (1— cos 2 /) 3 cos 2 /( — sint)dt =

= 6az7i J ( c o s 2 f — 3 c o s 4 / + 3 cos6/— cos 8 /) = 4—X2 i osią OJC (rys. 113), dookoła prostej * = 3 ma tę własność, że każdy z jej przekrojów prostopadłych do osi obrotu jest pierścieniem kołowym, ograniczonym dwoma współśrodkowymi okręgami.

hfe^Snni

„

] Rys. 113

Pole takiego przekroju odległego o y od początku układu wynosi S =

=7zR2—7ir2 = 7c[(3+x)2—(3—x)2] = l27zx= lln^Ą—y,

gdyż

x jest

odciętą

punktu leżącego na danej paraboli, czyli x = j/4— y. Przy zmianie y o dy różniczka objętości bryły wyniesie dV = S(y)dy = = 12^{/4—y dy. Szukaną objętość wyczerpiemy, gdy y będzie zmieniać się od 0 do 4. Dlatego całkując dV w tych granicach otrzymamy 4 4 i

V = 12rcJ

dy = -12n J (Ą-yf d(4-y)

=

= 8:7r£(4—j>)2 J ° = 64TZ Obliczyć objętość bryły liniami:

powstałej przez obrót figury ograniczonej 255.

X2 / 633. - y — = h y = O, y = b wokół osi Oy er b* 634. y = sin* (jedną falą), >> = 0 wokół osi Ox 635. y2+x—4 = 0, * = 0 wokół osi 636. xy = 4, j = 0, x = 1, x = 4 wokół osi 637. / = (x+4) 3 , x = 0 wokół osi Oy 638*. y = x2, y = 4 dookoła prostej X = —2 639. j / * = x = 0, = 0 wokół osi Oy 640*. Obliczyć objętość torusa, powstałego na skutek obrotu koła x2+(y—b)2 < a2 (a < b) wokół osi Ox. 641. Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox figury ograniczonej jednym łukiem cykloidy x = a(t—sinf), >> = 0(1—cos/) i osią Ox. § 6. Długość łuku krzywej płaskiej Jeżeli krzywa płaska, rozpatrywana w układzie współrzędnych prostokątnych, jest dana równaniem y — f(x) lub x = F(y), albo w postaci parametrycznej x = cp(t), y = tp(t), to różniczka dl długości jej łuku (rys. 114) wyraża się wzorem ]/\

+ (y'fdx

= ]/l + (x')2dy =

r

At~dl=Vdx2+cty2 '

x

dx

x

o

yx2+y2dt

Rys. 114

a długość łuku AB określona jest wzorem X

(B)

Lab=

f (A)

dl=

y

B

B

2

f / l + (y') dx = f ]/l + (xf)2dy = xA

(1)

Jeżeli krzywa płaska jest rozpatrywana w układzie współrzędnych biegunowych i jest dana równaniem q = f ( y ) (rys. 115), to dl = \ q2+{Q')2d(p oraz (B)

Lab=

j

?B

I

dl =

W

i/Q 2 +(Q') 2 dcp

(2)

0PA«PB])

wA

642. Obliczyć długość łuku: 1) paraboli półsześciehnej y2 = (*— l) 3 od punktu A(2,-1) do B(5,-8), 2) pełnego łuku cykloidy * = = a(t—sin OJ y =

cosO,

3) krzywej g =

ACOS 3

Rys. 115

R o z w i ą z a n i e : 1) Dane równanie rozwiązujemy względem y i znajdujemy Mamy y = ± ( x - l f ,

y' = ± ± (

X

- l f

(znaki ± w wyrażeniu na y wskazują na to, że krzywa ta jest symetryczna względem osi Ox; punkty A i B, o ujemnych rzędnych, leżą na gałęzi krzywej znajdującej się poniżej osi Ox). Podstawiając do wzoru (1) wyznaczoną pochodną / , otrzymamy *B LAB=

/

5

l/f+U?dx=

xA

f

5 1 /

2

=

[

=

2

= -^-(|/405-|/l35)s;7,63 n

Metody rozwiązywania zadań

257

2) Różniczkujemy równania parametryczne cykloidy względem t dx . . dy x = —r- = a(l—cos 0, y = —f- = flsmf a/ ar .i i znajdujemy różniczkę jej łuku dl = j / F + j F A = j/o^l—cos/) 2 +^ 2 sin 2 / A = = a | / 2 ( l - c o s 0 dt = a | / 4 s i n 2 y dt == 2 a s i n y Pełny łuk cykloidy (rys. 89) powstaje przy zmianie parametru od 0 do wobec czego 2n 2n L = 2af siny o

dt= 4a j siny o

d y = —4a\ c°Sy L

= 8a J°

3) Z danego równania krzywej Q = cos3 - y obliczamy pochodną Q' = =

= — flcos2~-sin-^- i różniczkę jej łuku dq> 3 3 dl = |/e2 + (^)2 d