Memo : Matematika : Pregled gradiva matematike za osnovne i srednje škole 9789532021059 [PDF]

Zitiervorschau

--

- - - - - ME MO ------·-----

--~---·---·-··

-~~~~~-:

Pregled gradiva metematike za osnovne i srednje škole ISBN : 978-953-202- 105-9

Tehni č k i

Uredio : I. Horvat

Sastavili: grupa autora

urednik: Z. Novak

9 789532 0 2 1059

„

1.1. Uvod Skup prirodnih brojeva označavamo slovom 'a zapisujemo: (l.2.S.4.5.f. 10. o+I. Brojevi 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... su parni prirodni brojevi. Brojevi l, 3, 5, 7, 9, 11, ... su neparni prirodni brojevi. Prirodnih brojeva ima beskonačno ( bezbroj ). Svaki prirodni broj, osim broja l, ima svoga prethodnika. Primjer: Broj 4 je prethodnik broja 5. Svaki prirodni broj ima svoga sljedbenika. Primjer: Broj 11 je sljedbenik broja l O. Skup prirodnih brojeva i nule označavamo No, a zapisujemo: {O; 1,2. 3,4, 5, "', n. a+l .... }. j Broj O nije prirodan broj. Prirodne brojeve često označavamo malim pisanim slovima a, b, c, d, ••. , m, n, x,y. Ako je n prirodni broj onda je n-1 njegov prethodnik, n+ 1 njegov sljedbenik, 2·n oznaka za parne prirodne brojeve, a 2·n-1 oznaka za neparne prirodne brojeve. Za dva prirodna broja a i b vrijedi jedna od ovih triju mogućnosti :

1.e. '·

I

u,_.

„.}J

lNo-

f ( icit

2. H

1.

Prirodne brojeve možemo pridruživati

o l !,', ,', , , ,_

Točka O

a>lp I

točkama

A

B

c

D

F

2

3

4

5

6

Primjer: pravca.

8=8

10 >7

p

7

zove se početna točka ili ishodište i pridružen joj je broj O. Točka E zove se jedinična točka i pridružen

jedinična

joj je broj l. Dužina OE je du:.;:brajanje prirodnih brojeva Brojevi a i b su pr'brojnici ( sumandi ), a broj c zbroj (suma).

Za zbrajanje prirodnih brojeva vrijede sljedeća svojstva: nula je neutralni element u odnosu na zbrajanje

I', ,':,_

4.~.~.°---~~~-·j·~-~.e.. ':1~iJ.e.~..~.r.«>.t~.~-~...~~--~«>.:„ .. „.. „.„ ............

„

Broj a je djeljenik (dividend), broj bje djelitelj (divizor), a broj c je količnik (kvocijent). Dijeljenjem dvaju brojeva iz skupa No neće se uvijek dobiti broj iz skupa No. Primjeri: 24 : 4 = 6 35 : 8 = 4 ~nepotpuni količnik Količnik 35:8 nije iz skupa N0• 3 ~ostatak Za dijeljenje prirodnih brojeva vrijede sljedeća svojstva: Primjeri: broj podijeljen s 1jednak je samome sebi 5: I = 5 8: 1 = 8 prirodni broj podijeljen sa samim sobom jednak je I 2:2 = 1 5:5 =I nula podijeljena prirodnim brojem jednaka je O 0:2 = O 0:7 = O :O (a 11): (b ·ci)• c proširivanje količnika I 16:8 = 2 ( 16-3) : (8·3) = 48:24 = 2 l!lflt' =t (a:d): (b: ci)• c skraćivanje količnika . 16:8 = 2 (16:4) : (8:4) = 4:2 = 2

d:af:O Dijeliti s nulom nema smisla!!! Primjer: 8:0 =? , jer ne postoji prirodni broj koji pomnožen s nulom daje 8. 1.6. Redoslijed računskih radnji Zbrajanje i oduzimanje su računske radnje (operacije) prvoga stupnja, a množenje i dijeljenje drugoga stupnja. Ako u zadatku imamo računske radnje istoga stupnja računamo ih po redu kako su naznačene. Primjeri: 16-9 +3 = 7+3 =10 48:8:2 = 6:2 =3 Ako u zadatku imamo računske radnje različitog stupnja najprije se množi i dijeli, a zatim zbraja i oduzima. Ako u zadatku imamo zagrade najprije se izračunava ono što je u njima naznačeno. Primjeri: 27:(9:3) = 27:3 = 9 30-(5+2) = 30 -7 = 23 U matematici koristimo 3 vrste zagrada. To su: ( ) okrugla ili mala zagrada , [ ] uglata ili srednja zagrada i { } vitičasta ili velika zagrada Ukoliko u zadatku imamo naznačene različite zagrade najprije računamo ono unutar okruglih, zatim uglatih i na kraju vitičastih zagrada. 1.7. Rješavanje jednadžbi na osnovu definicija računskih radnji

I. 5+4=9 ~ 5=9- 4 edan pnbroJnik zbroj - drugi pn'brojnik 3. 9·4=36 ~ 36:9 = 4 'cdan fakto o7.ak. dru . fakto 4=9-5 36:4=9 J r-wnn · gi r 2. 9-4=5~9 = 5+4 umanJentk razlika+ umanjitelj 4. 36:9 = 4 ~ 36 = 4·9 djeljenik= količnik ·djelitelj 4 = 9- 5 umanjitelj- umanjenik- razlika 9 = 36 :4 djelitelj= djeljenik : količnik Primjeri: I. 5+x=I4 x= 14-5 x=9 (5+9 = 14) ...•.•. „„„ .•. „ ................. „

2.

x-4=8 x= 8+4 x= 12 (12-4 = 8)

20-x = 9 X= 20-9 X= 1J (20 -11=9)

3. 8· X= 40 X=40:8 x=5 (8 ·5 = 40)

4.

......... .................• ....... ... .... .... ... .. ... .

X: 6 = 9 X= 9·6 x= 54 (54:6 = 9)

30:x = 5 X= 30:5 x=6 (30:6 = 5)

......................

2. DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA 2.1. Djeljivost i višekratnici Prirodni broj a djeljiv je s prirodnim brojem b ako postoji broj n tako da je a = n · b. Broj aje višekratnik broja b, a broj bje djelitelj (divizor) broja a. Zapisujemo a! b i čitamo a je djeljivo s b, odnosno b Ia i čitamo bje djelitelj od a. Primjer: Broj 15 djeljiv je s brojem 5,jer je 15 = 3·5. Pišemo 15!5 ili 5 115. Svaki prirodni broj djeljiv je s 1 i sa samim sobom. Nula je djeljiva sa svakim prirodnim brojem. S nulom nema smisla dijeliti. 2.2. Djeljivost s 10, 5, 2, 3 i 9 Brojevi 10, 100, 1000, 10000, ••• zovu se dekadske jedinice.

Djeljivost brojeva utvrđuje se dijeljenjem.

„

Primjeri: Broj 91 djeljiv je s 13,jer je 91:13 = 7 Broj I 03 nije djeljiv sa 7, jer pri dijeljenju I 03 i 7 postoji ostatak. 103: 7 = 14 i ostatak 5

2.3. Djeljivost zbroja, razlike i umnoška Ako je svaki pribrojnik određenog zbroja djeljiv sa zadanim brojem tada je i zbroj djeljiv s tim brojem. Primjer: Zbroj 8+4+28 djeljiv je s 4, jer su pribrojnici 8, 4 i 28 djeljivi s 4. Ako su umanjenik i umanjitelj djeljivi sa zadanim brojem tadaje i razlika djeljiva s tim brojem. Primjer: Razlika 40-25 djeljiva je s 5, jer su umanjenik (40) i umanjitelj (25) djeljivi s 5. Ako je bar jedan faktor umnoška djeljiv sa zadanim brojem tada je i umnožak djeljiv s tim brojem. Primjer: Umnožak 5 ·7 · 9 djeljiv je s 3, jer je faktor 9 djeljiv s 3. 2.4. Prosti i složeni brojevi Prosti brojevi (prim brojevi) su oni prirodni brojevi koji imaju samo dva djelitelja. Oni su djeljivi samo sa 1 i sa samim sobom. Prostih brojeva ima beskonačno. Prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, li, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ... . Složeni brojevi su oni prirodni brojevi koji imaju više od dva djelitelja. Oni su osim sa 1 i sa samim sobom djeljivi i još i sa bar jednim prirodnim brojem. Složenih brojeva ima beskonačno . Složeni brojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, ... Broj 1 nije ni prost ni složen broj.

I i i

2.5. Rastavljanje složenih brojeva na proste faktore Rastaviti složeni broj na proste faktore znači taj broj napisati kao umnožak prostih brojeva. Svaki složeni broj može ' se rastaviti na proste faktore. Primjeri: 4 = 2 ·2 6 = 2·3 8=2·2·2 9=3·3 Pri rastavljanju složenog broja na proste faktore koristimo pravila o djeljivosti brojeva s 2, 3 i 5. Primjer: 120 = 2 · 6,!l_ 120 2 = 2 . 2 . 3,Q, 60 2 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 2 · 2 · 2 · lJ_ ili 30 2 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 15 3 5 5 2.6. Zajednički djelitelji i najveći zajednički djelitelj Djelitelj (divizor, mjera) broja aje svaki broj s kojim je djeljiv broj a. Primjer: Djelitelj i broja 20 su brojevi 1, 2, 4, 5, 1Oi 20. Kraće pišemo: d (20) = I, 2, 4, 5, IOi 20 Zajednički djelitelji dvaju ili više brojeva su brojevi s kojima su djeljivi svi zadani brojevi. Primjer: d (12) =I, 2, 3, 4, 6 i 12 d (18) =I, 2, 3, 6, 9 i 18 Zajednički djelitelj i brojeva 12 i 18 su brojevi I, 2, 3 i 6. Kraće pišemo: z d ( 12, 18) = I, 2, 3 i 6 Najveći zajednički djelitelj dvaju ili više brojeva je najveći broj s kojim su djeljivi svi zadani brojevi. Primjer: Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 18 je broj 6. Kraće pišemo: O ( 12, 18) = 6 Ako je najveći zajednički djelitelj dvaju ili više brojeva 1 tada se za zadane brojeve kaže da su relativno prosti brojevi. Primjer: Brojevi 8 i 15 su relativno prosti brojevi, jer je O (8, 15) = I. Najveći zajednički djelitelj dvaju ili više brojeva izračuna se tako da se zadani brojevi rastave na proste faktore, a zatim pomnože samo njihovi zajednički faktori. Ako zadani brojevi imaju više jednakih faktora tada se uzimaju samo faktori od onoga broja gdje ih je najmanje. Primjer: O (12, 18, 30) 12 18 30 12 12=2 · 2 · 3 6 9 15 3 0(12,18,30)=2 · 3=6 18 = 2 . 3 . 3 ili 2 3 5 30 = 2 . 3 . 5 ~ ~ ~ Brojevi 2, 3 i 5 su relativno prosti brojevi. 2.7. Zajednički višekratnici i najmanji zajednički višekratnik Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem. Prirodni broj ima beskonačno višekratnika. Primjeri: Višekratnici broja 5 su brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... Višekratnici brojan su brojevi I·n, 2·n, 3·n, 4·n, 5·n, ... Zajednički višekratnici dvaju ili više brojeva su brojevi koji su djeljivi sa svim zadanim brojevima Primjer: Višekratnici broja 4 su brojevi 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... Višekratnici broja 6 su brojevi 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ... Zajednički višekratnici brojeva 4 i 6 su brojevi 12, 24, 36,... Zadani brojevi imaju beskonačno zajedničkih višekratnika. Najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima. Primjer: Najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 je broj 12. Kraće pišemo: V (4, 6) = 12 Najmanji zajednički višekratnik dvaju relativno prostih brojeva jednak je njihovu umnošku. Primjer: V (7, 8) = 7 · 8 =56 Najmanji zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva izračuna se tako da se zadani brojevi rastave na proste faktore, a zatim se pomnože zajednički faktori i oni koji nisu zajednički. Ako zadani brojevi imaju više jednakih faktora tada se uzimaju faktori od onoga broja koji ih ima najviše.

„

Primjer: V (8, 10, 12) 8=2·2·2 ili JO= 2 · 5 12 = 2. 2. 3

8 4

2 I I I

lO 5 5 5 5 I

12 6 3 3 I I

2 2 2 3 5

V (8, JO, 12) = 2 ·2 · 2 · 3 · 5 = 120

Ako su dva broja međusobno djeljiva onda je manji od njih njihov najveći zajednički djelitelj, a veći od njih njihov najmanji zajednički višekratnik. Primjer: D (JO, 50) =JO V (JO, 50) = 50

... „.~:~~::::::::::::::: :::::::::::::::: : ::: : : : : : : ::: : : :::: : .: ::: : : ···:::·:::::::.:::::::::.:::·::...... 3.1. Uvod osnovni element u geometriji. Točke najčešće prikazujemo kružićem (o) i križićem {x), a označavamo velikim tiskanim slovima abecede. Primjer: A o B x C• Točka je

Dužina, pravac, polupravac, kružnica, krug, trokut, pravokutnik, ... su skupovi točaka u ravnini. • Ravninu zamišljamo kao ravnu neomeđenu plohu, a predočavamo je paralelogramom.

I Ravnina u kojoj crtamo je list papira, stranica bilježnice ili ploha školske ploče. Ako ravninu pravcem podijelimo na dva dijela nastaju dvije poluravnine. Pravac je rubni pravac polu ravnine.

I

I

p

Poluravnina P s rubnim pravcem p.

p p

p

3.2. Pravac, polupravac i dužina • Pravac zamišljamo kao ravnu neomeđenu crtu. Pravac je određen s dvjema točkama, odnosno kroz dvije točke može se nacrtati samo jedan pravac. ~~-~~A:---------EB~~P pravac AB ili pravac p Ako pravac podijelimo točkom na dva dijela nastaju dva polupravca. Ta točka je rubna točka polupravca. a

b

T

polupravci a i b s rubnom točkom T

• Dužina je dio pravca omeđen dvjema točkama. Te dvije točke su krajnje ili rubne točke dužine. Svaka dužina ima svoju duljinu ili veličinu koju izražavamo u jediničnim dužinama (mm, cm, dm, „.). A

Dužinu s rubnim točkama A i 8 zapisujemo AB . Njenu duljinu (veličinu) označavamo IABI ili d (A,B).

B

IAB1=3 cm

d (A,B) = 3 cm

3.3. Međusobni odnos dvaju pravaca u ravnini • Pravac je dio ili podskup ravnine. Dva pravca koji pripadaju istoj ravnini mogu imati samo jednu zajedničku točku, sve zajedničke točke i nijednu zajedničku točku. ~ a S

Pravci a i b sijeku se u točki S. Točka S je sjecište ili presjek pravaca a i b. Pravci p i r imaju sve zajedničke točke, tj. oni su identični. Zapisujemo p r . Znak čitamo identična ili poklapa se.

=

c

d

--------

=

Pravci c i d nemaju zajedničkih točaka. Kažemo da su oni međusobno usporedni (paralelni). Zapisujemo c 11 d. Znak 11 čitamo usporedno sa (paralelno sa).

Poseban slučaj dvaju pravaca koji se sijeku su okomiti pravci. Okomiti pravci dijele ravninu na četiri jednaka dijela.

„

sf

p

Pravci p i r imaju jednu zajedn ičku točku (S) i međusobno su okomiti. Zapisujerno p .l r Znak .l čitamo okomito na. Okomitost dvaju pravaca na slici označavamo malim kvadratićem.

3.4. Kružnica, krug i dijelovi kruga """--....,,...... je skup točaka ravnine koje su jednako udaljene od jedne zadane točke ravnine. Ta zadana točka je središte ) kružnice i omačava se, najčešće, slovom S. jer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. ljinu polumjera označavamo slovom r. Kružnica je određena središtem i polumjerom . oja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva. Najveća tetiva prolazi središtem kružnice i zove se promjer etar). Duljinu promjera označavamo slovom d. Dio kružnice omeđen dvjema točkama je kružni luk. C k (S, r) ... kružnica Krug je skup točaka ravanine dužina AS je polumjer kružnice k omeđen kružnicom IASI = r je duljina polumjera (zajedno s kružnicom). dužina AB je tetiva kružnice Krug K određen je dužina CD je promjer kružnice središtem S i polumjerom. d=2r Pišemo: K (S, r). AB je kružni luk D Kružni isječak je dio kruga omeđen s dva polumjera i pripadnim kružnim lukom

Kružni odsječak je dio kruga omeđen tetivom i pripadnim kružnim lukom.

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen s dvije koncentrične kružnice (kružnice zajedničkog središta različitih polumjera.) 3.5. Paralelogram s ·ih točaka ravnine između dva međusobno usporedna pravca zajedno s tim pravcima je pruga. Ti pravci bai pravci pruge. Međusobna udaljenost tih dvaju pravaca je širina pruge. Pruga nastaje kao presjek ::l,;" -O, x - 3 < 4, 2x + 3 ~ 3, ... su nejednadžbe. Pri rješavanju linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom koristimo znanje o rješavanju jednadžbi i svojstva racionalnih brojeva:

2. akojeaO,oadajea ·c -~

„

x + .!_ ~ ~ 4 2

I· 4

4x+I ~ 6 4x ~6-1 4x~5 1:4

2 3 4 p broj 3 nije rješenje nejednadžbe.

5

x~-

2 Znak • označava da je i broj nejednadžbe.

4

1·6

-5x > -10 l=(-5) X< 2

2.

o

-1

o

2

3

4

p

t rješenje

11. KOORDINATNI SUSTAV NA PRAVCU

11.1. Koordinatni sustav na pravcu T o E •Ako na pravcu p odaberemo ishodište O i jediničnu 3 2 točku E, kažemo da smo uveli (organizirali) koordinatni 1 -I o I 2 sustav na pravcu p (brojevni pravac). Dužina OE je 2 Broj xje koordina:ta točke T. jedinična dužina. 11.2. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini . • Par u kojemu je određen re\foslijed članova zove se uređeni par. Ako su a i b racionalni brojevi, onda se (a, b) zove : uređeni par racionalnih brojeva. Broj a zove se prvi član (koordinata), a broj b drugi član (koordinata) uređenog para · (a,b). I (a,b)=(c,d) akojea=c i b=d (a,b)*(b,a) I • Položaj točaka u ravnini određujemo pomoću uređenih parova brojeva. To postižemo uvođenjem pravokutnog · koordinatnog sustava u ravnini. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva međusobno okomita brojevna q pravca p i q sa zajedničkim ishodištem. Pravci p i q su koordinatne osi, a njihovo sjecište O je ishodište (pravokutnog) 3 koordinatnog sustava. 2 Uređenom paru racionalnih brojeva xi y pripada točka T. Kažemo da točki T pripadaju koordinate xi y, odnosno da joj je pridružen uređeni par (x, y). To zapisujemo T (x, y). O E -+____,,____-+----+---• Prvi član x uređenog para (x, y) zove se apscisa točke T, a drugi član y zove -3 -2 -I O 2 3 Pse ordinata točke T. Zbog toga se pravac p zove apscisna os, a pravac q ordinatna -I os. Umjesto p i q ~o~r~ina~e osi obi.čno l ltvadrlnt Y. I. kvldrant označavamo sa x 1y 1govonmo x-os 1y-os. (-, +) (+, +) -2 Koordinatne osi dijele ravninu na četiri 3. ltvadrlnt ~ 4. kvadrant x -3 kvadranta. (-, - ) (+, - )

lllDllAUIOSi I OBRNUTA PROPORCIONALNOST •.„ •..•. „ ..••..... „ .....•...... „

••• .... ... ... .. .. •• „.„ •• „.„ •.•......•.. 12:1~· ·r·r< x=2 x=-3 x • Jednadžba x =O je pravac koji je identičan sa osi ordinata (osi y). -2 - I O 21 17.2. Jednadžba pravca kroz dvije točke • Ako su zadane dvije točke pravca možemo ga nacrtati i možemo odrediti njegovu jednadžbu. Primjer: Nacrtaj pravac koji prolazi točkama A (1, 2) i B (4, 3), pa odredi njegovu eksplicitnu jednadžbu. Y P x=l y=2 x=4 y=3 3 - - - -~~-Eksplicitna jednadžba pravca je y = ax +b. Uvrstimo u nju najprije 2 x = 1 i y = 2, a zatim x = 4 i y = 3. Dobivamo jednadžbe 2 = a·l + b 1_......-~f v 1 i 3 = a·4 + b koje zajedno čine sustav dviju linearnih jednadžbi s 1 1 ~ 1 dvije nepoznanice. I I I I I I -I O I 2 3 4 x Riješimo ovaj sustav: a+b=2 Dakle, jednadžba pravca je y = x + ~ l+b=2 3 I . . I 5 b=2 - Što Č esto zap1suJemo p =y = 3 x + 3 5 3 b=Primjer: A (1, 2) i B (4, 3). 3 XJ =I, y1 =2 i X2 =4, y2 =3

t

:

j

I+

~~~~~~~~~~--.

ravca kroz dvije točke možemo odrediti i pomoću formule gdje su X1 i Y• koordinate prve točke, a xz i yz oordmate druge to ke. Ovu formulu koristimo samo uz uvjet x1 :;; Xz . (s nulom se ne dijeli!). Ako je X1 = Xz onda je pravac paralelan sa osi ordinata. • Jednadžbu pravca kroz jednu određujemo po formuli

točku

kada mu je poznat koeficijent smjera , gdje su x1 i y1 koordinate te točke .

Primjer: T (3, S) i a= - 2. y - 5 = -2 (x - 3) 2x + y - 5 -6 = O y- 5 =-2x + 6 2x + y- 11 =O ~

IEll

opća jednadžba pravca

3-2 y-2=-(x-1) 4-1 I

y-2=-(x-1) 3

1

I

3

3

y-2=-x-1 3

1 3

y=-x--+2

„ •. .

- - - --·---·······································································"······„-·„.„ .. „ .. „„ .. „ .. „ ...... „.„ ........ „ ................ „„„ ... „ .. „„ .................... „.„ .. „„ ................. „ .................................... .

17.3. Usporedni pravci i okomiti pravci redni ili paralelni pravci imaju jednake koeficijente smjera, odnosno imaju isti smjer. Dakle, pravci zadani jednadžbama pt =y = at x + bt i p2 = y = al x + b2 međusobno su paralelni samo onda ako je = · Vrijedi i obrnuto, tj. ako je at = az pravci pt i p2 su međusobno paralelni. Primjer: Pravci p1 =y = 2x i p2 ~ y = 2x + 3 međusobno su paralelni jer su im koeficijenti smjera a1= ai =2 _ • ;) a pravca su međusobno okomiti ako su im· koeficijenti smjera suprotni i recipročni brojevi. 17.4. Sjecište dvaju pravaca i grafičko rješavanje sustava (Xo, Yo) y • oordinate sjecišta (S) dvaju pravaca možemo odrediti grafičkom metodom tanjem) i računskom metodom (rješavanjem sustava). Ako je rješenje sustava ~~ x ++ 81 cC'2 == 00 x =xo i y =yo , onda je S(xo,yo) sjecište zadanih pravaca. ruX 8 2y l nost rezultata dobivenih grafičkom metodom ovisi o preciznosti i urednosti crtanja. Dakle, ako je At x + Bt y + Ct =O, pr-Az x + B2 y + C2 =O i ako X se pravci sijeku njihovo sjecište S dobije se crtanjem tih pravaca u· oordinatnom sustavu i određivanjem koordinata sjecišta. Y Primjer: Odredi grafički sjecište pravaca zadanih jednadžbama P• y = x + 2 y = -3x + 6. I s 3) I

ls

I

Y:

P•=

=

Pz=

o.

X

• Grafička metoda za određivanje koordinata sjecišta dvaju pravaca zadanih svojim jednadžbama omogućuje nam da grafički rješavamo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Grafički riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama znači nacrtati u pravokutnom koordinatnom sustavu pravce čije su to jednadžbe. Ako se pravci sijeku sustav ima samo jedno rješenje, ako su međusobno paralelni sustav je nemoguć (nema rješenja), a ako se dobije samo jedan pravac sustav je neodređen (ima beskonačno mnogo rješenja). Točnost rješenja sustava grafičkom metodom ovisi o preciznosti i urednosti crtanja!

IKRUG

.................

................................................................... .

18.1. Osnovno o kružnici i krugu • Kružnica je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od neke zadane točke S te ravnine. Točka S zove se središte (centar) kružnice. Dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice zove se polumjer. Svi polumjeri kružnice imaju duljinu jednaku radijusu r. Kružnica k je zadana središtem S i radijusom r. To zapisujemo k (S, r).

k(i) , A ,",

„„ ...

S --r

„

.• B

---

--c·

Točka A je unutar kružnice, točka B pripada kružnici, a točka C je izvan kružnice.

k~

• Dužina AB koja spaja dvije točke kružnice zove se s tetiva kružnice. Dio kružnice 9-.,međen točkama A i B zove se kružni luk i označava AB. Tetiva koja prolazi središtem kružnice zove se promjer kružnice. Duljina promjera označava se di zove se dijametar kružnice. Vrijedi: Id =2r l. Pravac s je simetrala Simetrala svake tetive kružnice prolazi središtem tetive AB. te kružnice.

~

• Kružnica je određena sa tri točke koje ne pripadaju istom pravcu, odnosno sa tri nekolinearne točke. • Sve točke kružnice zajedno s točkama unutar nje čine podskup točaka ravnine koji se zove krug. Krug K zadan središtem S i radijusom r zapisujemo K (S, r). 18.2. Pravac i kružnica • Pravac i kružnica mogu imati sljedeće međusobne položaje: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1. Pravac p siječe kružnicu k u dvije točke. Takav se pravac zove sekanta kružnice. Udaljenost sekante od središta kružnice manja je od radijusa.

A

Točke A i B su za· edničke točke pravca p i ~ kružni k ce ·

2. Pravac dira kružnicu u jednoj točki. Takav se pravac zove tangenta (dirka) kružnice. Zajednička točka pravca i kružnice je diralište. Tangenta je oko!11i~ na polumjer kružnice povučen u d1~ahštu. U~al1.enost t~ngen~~ od središta kružnice Jednaka Je radijusu. Točka D je diralište.

IEll

3. Pravac je izvan kružnice, odnosno nema zajedničkih točaka s kružnicom. Njegova udaljenost od središta kružnice je veća od radijusa. 18.3. • Kružnice koje imaju zajedničko središte, a različite radijuse zovu se koncentrične kružnice.

@ki Međusobni

ki

s

O.J ~~/l

T

I1ST1>r I

položaj dviju kružnica • Kružnice koje imaju različita središta zovu se ekscentrične kružnice.

/

ekscentrične kružnice sljedeće međusobne položaje:

Dvije

r1

mogu imati

1. Kružnica lu unutar kružnice lu (nemaju zajedničkih

2. Kružnica lu dodiruje iznutra kružnicu lu (imaju jednu

točaka).

zajedničku točku).

D

3. Kružnica k1 siječe kružnicu lu u dvije točke (imaju dvije zajedničke točke). B

ki

4. Kružnica k1 dodiruje izvana kružnicu kJ (imaju jednu zajedničku točku).

I1s1S2I = n-n I

5. Kružnica k1 je izvan kružnice lu (nemaju zajedničkih točaka) .

"·'•'"'

. Aw;LJ~-

18.4. Središnji i obodni kut • Kut kojemu je vrh u središtu kružnice zove se središnji kut. Kut kojemu je vrh na kružnici, a krakovi mu sijeku tu kružnicu zove.se obodni kut. Za obodni i središnji kut koji su nad istim kružnim lukom kažemo da su odgovarajući. • Svakom središnjem kutu pripada bezbroj obodnih U ,a jkut kutova koji su jednake veličine.

~omdi!nj;

Vrijedi:

F• 2fS

k~ ~jeobodni kut

J• f

i

Veličina središnjeg kuta dva puta je veća od veličine odgovarajućeg obodnog kuta. Vrijedi i obrnuto: Veličina obodnog kuta dva puta je manja od veličine odgovarajućeg središnjeg kuta. Iz ovog pravila slijedi: Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut. To je tzv. Talesov poučak (teorem).

Talesov poučak koristi se pri rješavanju različitih zadataka u geometrlji. Na temelju njega, među ostalim, možemo vrlo brzo konstruirati pravokutni trokut ako mu je poznata hipotenuza. 18.5. Opseg kruga i duljina kružnog luka • Opseg kruga je duljina kružnice koja omeđuje zadani krug. Opseg kruga izračunava se po formuli Io =2r7t I, gdje je r radijus kruga, a 1t (grčko slovo pi) beskonačan broj koji iznosi 3.14159... Za nas je dovoljno uzeti 1t= 3.14! Primjer: Izračunaj opseg kruga čiji je radijus 3 cm. o =2rn = 2·3·3.14 = 18.84 (cm) ili o=6x cm

@

~

• Kružni luk je dio kružnice omeđen dvjema točkama. Duljina kružnog luka(/) izračunava se po formuli ,gdje je r radijus kružnice, a a središnji kut koji pripada zadanom luku (uvijek u kutnim stupnjevima!). 18.6. Površina kruga i dijelova kruga • Površina kruga izračunava se po formuli r2a I. Ir2 = r · r I •Dio ra~ine. omeđen d.vjema • Dio kruga omeđen s dva polumjera i pripar I koncentnčmm ~ruž~.1cama dnim kružnim lukom zove se kružni isječak. zove se kružnt v11enac. Sr

s~)

®

IP•

s IEll

r

IPv• RZ.• - r2·• ·(R2-

r>-• I

•..•••••.•........„ .•. „ .................................................................................................... „

--------~~··

•• „ •• „ ................•..••.......

......................................

19.1. Kvadriranje d.rirati broj znači pomnožiti ga sa samim sobom. la2•a·a lzapis a2 čitamo »a na kvadrat« ili a »na drugu«. 1 " raci ; · Ino„ l · Ja razlici tog od nule je pozitivan racionalan broj. Kvadrat nule je nula. 52 =5·5=25 142 =14·14=196 (-10)2=(-10)·(-10)=100 0.3 2 =0.J0.3=0.09 02 =O·O=O 2 •r K c1drati suprotnih brojeva su jednaki. Primjeri: (-2)2 = (-2)-(-2) =4 22 = 4 (-8) 2 = (-8)·(-8) = 64 8 2 = 64 Poior! l(-a) 2 :t -a2 Primjer: (-3) 2 = (-3)·(-3) = 9 -3 2 = -(3·3)=-9 • Ako u zadatku, uz osnovne računske operacije, imamo i kvadriranje tada najprije treba kvadrirati, a zatim nastaviti računanje po praviUma koja već znamo. Primjeri: 1. 2 + 3·5 2 -22:2-(-1)2 = 2 + 3·25-4:2-1=2+75-2-1=74 2. (5-2·4) 2 + (-4)2:(-2) = (5 - 8)2 + 16:(-2) = (-3) 2 - 8 = 9- 8 = I • Za izračunavanje kvadrata racionalnih brojeva koristimo tablice i elektronska računala, a možemo ih odrediti i množenjem sa samim sobom. • 1 m r; 1onal1 ( m broju x: možemo pridružiti njegov kvadrat. To i i rmr -> · T f( ) x ili y x1 1 zovemo kvadratna funkcija. \ ys Kvadratnu funkciju y = x2 možemo grafički prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu. Točke kojima su pridruženi uređeni parovi iz tabUce x o I -1 2 -2 3 -3 ... . su samo dio od beskonačno mnogo točaka koje y=x2 0 1 1 4 499 ... : 2 pripadaju određenoj krivuljL T krivulja Je graf funkcije ! ! rw llJa li 1 1 /( 'C p< rabota. Točka O zove se tjeme parabole. -2 -I o 1 i 3 X 19.2. Svojstva funkcije kvadriranja

lRosfoRu·

o/ o~ il'C·~~o~oc

................................................ A

······························li!"······························································································································································· ,

:; 1 ·s: 1

:i I '

-t.#

J_________/

E

)?i------ ---- c B

. ..................................................... „„ ...

„. ···!

23.1. Prostor

/

A

B

U matematici prostor shvaćamo kao skup točaka. Prostor ima tri dimenzije: duljinu, širinu i visinu. -Dio matematike koji se bavi proučavanjem prostora zove se geometrija prostora. Podskupovi prostora su pravci, ravnine, geometrijska tijela, .. . Da bismo proučili odnose pravaca i ravnina u prostoru poslužit ćemo se kvadrom prikazanim u kosoj projekciji. Točke A, B, C, D, E, F, G i H su vrhovi kvadra, dužine AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH i HE su bridovi kvadra, a pravokutnici ABCD, ABFE, ADHE, BCGF, CGHD i EFGH su strane kvadra. Kvadar ima osam vrhova, dvanaest bridova i šest strana.

• Znamo da je pravac jednoznačno određen svojim dvjema točkama. . Ravnina je jednoznačno određena trima svojim točkama koje ne pripadaju istom pravcu (trima nekolinearnim točkama). Ravninaje, također, određena sa: 1. dva paralelna pravca 2. dva pravca koji se sijeku 3. pravcem i točkom izvan njega. • Kad budemo govorili o pravcima promatrat ćemo pravce koji sadrže bridove kvadta , a kad budemo govorili o ravninama promatrat ćemo ravnine koje sadrže strane kvadra! 23.2. Međusobni položaj pravca i ravnine Pravac i ravnina mogu imati sljedeće međusobne '1oložaje: 1. Pravac leži u ravnini Pravac p leži u ravnini R ako je njen podskup, odnosno ako svaka točka pravca p pripada ravnini R. _ Primjer: Pravac AB, koji prolazi bridom kvadra AB, leži u ravnini koju određuje strana kvadra ABCD. 2. Pravac probada ravninu Pravac probada ravninu ako s njom ima samo jednu zajedničku točku. Ta točka zove se probodište pravca i ravnine. p p Primjer: Pravac HB, koji sadrži dijagonalu kvadra HB, probada ravninu R.{ABCJ u točki : R B. Točka Bje probodište. 3. Pravac je paralelan s ravninom Pravac je paralelan s ravninom ako s njom, nema nijednu zajedničku točku.

------p

Primjer: Pravac EF, koji prolazi bridom kvadra EF, paralelan je s ravninom R.{ABCJ.

11111

23.3. Međusobni položaj dviju ravnina Dvije ravnine u prostoru mogu imati sljedeće međusobne položaje: 1. Ravnine su paralelne Dvije ravnine su međusobno paralelne, ako nemaju nijednu zajedničku točku. Primjer: Ravnine R

> b

a

Ako je uključena granica, interval zovemo zatvoreni intervali pišemo a :5: x :5: b ili [a, b].

uključena

a< x < b, zovemo ga otvo-

( ;'//;';'/// )

a

b

>>

(

poluotvoren s desna odnosno poluzatvoren s lijeva

)

b

a

b

////////

]

)

poluzatvoren s desna odnosno • poluotvoren s lijeva

li. 'EARNE NEJEDNADŽBE Rješenja nejednadžbe tražimo

a·b>O{

ili

a·b b

a> O, b >O a< O, b O, b O, b O

Svojstva apsolutne vrijednosti:

APSOLUTNA VRIJEDNOST REALNOG BROJA (MODUL) x e R

X

a>O,b>O b :# 0 a a

lxl