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Introduction

Les modèles de gestion de portefeuilles fondés sur le concept moyenne-variance comportent posent certaines difficultés à la fois théoriques et pratiques. Ceci a conduit les théoriciens à rechercher d’autres explications du prix des actifs. Parmi ces modèles, le plus célèbre est le MEDAF (modèle d’équilibre des actifs financiers) qui, à l’opposé d’autres modèles, a des implications pratiques fondamentales et semble bien expliquer les changements de cours constatés. En effet, le MEDAF présente aussi bien un cadre d’analyse pour la sélection de portefeuilles ainsi qu’une quantification des variables importantes de la décision d’investissement sur les marchés financiers. La sélection d’un portefeuille est généralement précédée par l’analyse finie d’un ensemble d’actions individuelles. Si l’objectif de l’investisseur est de maximiser ses gains futurs, son portefeuille ne sera constitué que d’une seule action qui assure le rendement maximum, or l’investisseur détient généralement un portefeuille diversifié. Si la rentabilité espérée est grande, le risque qu’elle ne soit pas réalisée est généralement élevé, de ce fait, il semble préférable à chacun de repartir les risques sur un ensemble de valeurs performantes. Tenant compte, dans son analyse, à la fois des gains espérés et des variations possibles de ces gains, Markowitz suggère une procédure pour la gestion de portefeuilles optimaux. La première partie reprendra la démarche de Markowitz, la deuxième partie sera consacrée à la présentation du MEDAF, le troisième point traitera des limites du MEDAF, le dernier point comportera des cas pratiques.

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1. Les portefeuilles efficients : Rentabilité et Risque 1.1. La rentabilité La rentabilité d’une action R se définit, comme la somme des plus-values en capital et des dividendes rapporté au cours de l’action au début de la période : Rt 

( Pt  Pt 1 )  Dt Pt 1

La rentabilité espérée d’un portefeuille est égale à la moyenne pondérée des rentabilités espérées sur les différents titres qui le composent, ainsi, et si l’on s’attend à ce que la distribution a priori des taux de rentabilité passés soit maintenus pour le futur, la valeur espérée peut être estimé à partir du taux de rentabilité moyen des périodes précédentes : R

1 n  Ri n i 1

Cependant le taux de rentabilité ne suffit pas pour caractériser une opportunité d’investissement, il faut aussi considérés des déviations possibles de taux de rentabilité par rapport à leur valeur espérée, ce qui nous ramène au concept d’incertitude ou de risque.

1.2. Le risque d’une action Le risque d’un investissement en actions provient du fait que les espérances de rentabilité ne sont pas toujours réalisées. La dispersion des rentabilités autour de la rentabilité moyenne « espérée » traduit donc l’incertitude « ou risque » du placement, l’écart type constitue une mesure de cette dispersion, ainsi, les investisseurs auront tendances à entreprendre dans des placements dont la variance est faible. Au niveau de la mesure, on peut utiliser une mesure de risque passé pour évaluer le risque d’un placement actuel, et ce est dû au fait que la volatilité des variations des cours d’actions et de portefeuilles et relativement stable.  La variance d’une action :  i2 

1 n  ( Rit  Ri ) n t 1

Avec Rit : La rentabilité de l’action i sur la période t.

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1.3. Le risque d’un portefeuille Le risque total d’un portefeuille peut être mesuré par la variance ou l’écart type de sa rentabilité, et il est inférieur à la somme des risques des titres qui le constituent, en effet; puisque les variations de cours des différentes actions qui composent un portefeuille sont en partie indépendante, elles vont avoir tendance à ce compenser, donc à réduire le risque total. Les figures suivantes représentent l’évolution du cours de deux actions composant un portefeuille. Cours

Cours Corrélation positive

Corrélation négative

Temps

Temps Dans ce cas, la variabilité du portefeuille sera la même que celle de chacune des actions prises individuellement. Ainsi combiner les deux dans un portefeuille n’apporte rien, car la dispersion reste la même que si l’on s’était concentré sur l’une d’elles.

Lorsque l’une monte, l’autre descend est vice versa. Lorsque l’on combine ces deux actions dans un portefeuille, la variance de ce dernier est totalement éliminée.

 Toutefois il s’avère impossible d’éliminer le risque du marché puisqu’une part importante des fluctuations de cours d’une société peu être expliquée part les fluctuations du marché et que tous les cours sont positivement corrélés. La covariance entre les taux de rentabilité permet de mesurer le degré de dépendance des fluctuations de cours de deux actions, elle s’exprime par la relation suivante :  ij 

1 n  ( Rit  Ri )( R jt  R j ) n t 1

Pour un portefeuille ayant une proportion x1 investie dans l’action i et x2 dans l’action j [(x1+ x2) = 1], la rentabilité espérée sera : E ( R p )  x1 E ( R1 )  x 2 E ( R2 ) Et le risque :  p2  x12 12  x 22 22  2 x1 x 2 12 Plus  1 et faible, plus le risque du portefeuille sera réduit.

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1.4. La sélection d’un portefeuille efficient Portefeuille efficient : qui, pour une rentabilité globale possible, présente le risque le plus faible et vice versa. En 1959, Markowitz a développé une méthode de solution générale du problème de la structure des portefeuilles qui incorpore le traitement quantifié du risque. Cette méthode utilise uniquement les concepts de moyennes pour la rentabilité espérée et de variance pour l’incertitude associée à cette rentabilité. Rentabilité espérée

Action individuelle

Rentabilité espérée Combinaison de deux actions

Rentabilité espérée

Frontière efficiente B

B

Risque total F1

A F2

Risque

Risque F3

Si on représente sur un graphique chaque action individuelle caractérisée par son risque et sa rentabilité espérée, on obtient F1 en combinant ces actions en des portefeuilles on arrivera à réduire le risque pour une même rentabilité. En les combinant en des proportions diverses, on obtient un ensemble de portefeuilles représentés par la courbe F2 qui joint les points représentatifs de deux actions A et B. En effectuant toutes les combinaisons possibles de portefeuilles, on obtient un ensemble de portefeuilles optimaux appelé « frontière efficiente » représentée sur F3 par la ligne AB. Ces portefeuilles optimaux sont tels que pour un niveau de risque donné ils maximisent la rentabilité ou, parallèlement, pour un niveau de rentabilité espérée ils minimisent le risque. Cette méthode détermine un ensemble de portefeuilles efficients qui, à chaque niveau de risque, maximise la rentabilité espérée. Toutefois, elle n’indique pas quel est le meilleur portefeuille pour chaque investisseur, en effet, et comme on le constate Os F3, celui qui désire une rentabilité plus élevée est obligé de courir un risque plus grand, il faut donc faire intervenir l’attitude de l’investisseur face au risque, ainsi, on peut proposer à chaque investisseur une série de portefeuilles efficients ayant des niveaux de risque différents et lui laisser choisir celui qu’il préfère en fonction de son attitude face au risque.

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1.5. Limites de la méthode de Markowitz Le modèle de markowitz n’est pas un modèle de gestion au jour le jour mais un modèle de structure à moyen terme. Les ajustements de portefeuilles qui reflètent les mouvements boursiers à court terme ne devraient être que marginaux. Ce modèle ne se substitue pas au gestionnaire qui doit toujours prendre la décision, ni à l’analyste qui doit apporter des informations, mais il permet de mesurer les prix et risques de la politique d’investissement du premier tout en vérifiant la cohérence des prévisions du second. La frontière efficiente présentée dans F3 est propre à un individu ou à une équipe d’analystes financiers, le MEDAF se propose de déterminer les prix des valeurs mobilières qui permettent à l’offre et à la demande pour chacun des titres de s’équilibrer et donc de dégager l’équilibre général du marché.

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2. Le modèle d’évaluation des actifs financier 2.1. Présentation et hypothèses du modèle Ce modèle permet de comparer la rentabilité du marché financier et la rentabilité de l’actif étudié. Autrement dit, il a pour objet de déterminer la rentabilité attendue d’un titre en fonction du risque qu’il présente. Développé pendant les années 1960 à partir des travaux de Harry Markowitz, William Sharp, John Lintner et Jack Treynor, le MEDAF ou CAPM (Capital Asset Princing Model) est actuellement universellement appliqué. Les hypothèses du modèle sont contraignantes, elles supposent que :  Les investisseurs ont une aversion pour le risque ;  Les investisseurs ont le même horizon et les mêmes prévisions concernant les actifs financiers ;  Les taux de prêt et d’emprunt sont les mêmes ;  Il n’existe ni impôt, ni coût de transaction ;  Les investisseurs sont tous rationnels et cherchent à détenir des portefeuilles efficaces. L’aspect contraignant de ces hypothèses s’estompe au vu du pouvoir explicatif et de l’efficacité du modèle.

Pour minimiser le risque total, chaque investisseur cherchera à réduire la composante qui peut être réduite c'est-à-dire le risque spécifique. Pour cela, l’investisseur diversifiera son portefeuille.

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En conséquence, à l’équilibre, l’investisseur ne sera rémunéré que pour la partie du risque qu’il ne peut pas éliminer, c'est-à-dire le risque de marché de son portefeuille, ou risque non diversifiable. En effet, dans un marché où des opérations d’arbitrage sont toujours potentiellement possibles, il ne pourra pas être durablement rémunéré pour un risque qu’il a la possibilité d’éliminer lui-même en diversifiant tout simplement son portefeuille. Ceci signifie que la rentabilité exigée par un investisseur est égale au taux de l’argent sans risque Rf

majoré d’une prime de risque uniquement liée au risque non

diversifiable, c'est-à-dire le risque du marché. Ce qui peut être traduit par la formule suivante : Taux de rentabilité exigée = taux de l’argent sans risque + β × prime du risque du marché Soit :

E ( Ri )  R f    E R M   R f



β : le coefficient de sensibilité du titre au risque de marché ; E(RM) : l’espérance de rentabilité du marché. Calcul du Bêta Le Bêta représente la pente de la droite de régression reliant la rentabilité d’un titre avec celle du marché.  

Cov R i , R M V R M 

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Lorsque le Bêta est supérieur à 1 cela signifie que le titre est plus volatile que le marché, son risque est donc élevé. Un projet présente un bêta faible s’il est faiblement risqué (risque total faible) ou si le coefficient de corrélation avec le portefeuille de marché est faible. Ainsi, un projet qui serait extrêmement risqué, mais dont la rentabilité espérée est faiblement corrélée avec celle du portefeuille de marché de référence aurait un bêta faible (inférieur à 1). Le coefficient β d’un titre est expliqué par un ensemble de facteurs tel la sensibilité du secteur de l’entreprise à la conjoncture économique, la structure des coûts d’exploitation (plus les coûts fixes sont importants, plus le β est élevé), la structure financière (plus l’entreprise est endettée, plus le β est élevé), la visibilité des performances de l’entreprise (plus la visibilité sur les résultats futurs est bonne, moins le β sera élevé) et du taux de croissance des résultats (plus le taux est fort, plus le β est élevé). 2.2. La droite de marché La droite de marché n’est que la représentation graphique du MEDAF. La droite de marché est très riche en information. En effet, elle permet bien évidemment de déterminer le taux de rentabilité à exiger d’un titre compte tenu du seul risque qui est rémunéré, c'est-à-dire le risque de marché.

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Les déplacements de la droite elle-même caractérisent la nature des évolutions du marché et en facilitent la compréhension :  Un déplacement parallèle, sans variation de la pente (prime de risque), traduit une évolution du marché en fonction des taux d’intérêt. Une baisse des taux doit entraîner le glissement de la droite vers le bas, donc une appréciation générale de toutes les actions ;  Un déplacement non parallèle (ou pivotement de la droite) traduit une variation de la prime de risque, donc de la rémunération du risque. Dans ce cas, les titres les plus risqués subissent les évolutions les plus sensibles, alors que les actions les moins risquées peuvent ne pas être significativement affectées.

Par ailleurs, un autre enseignement peut être tiré de la droite de marché en étudiant la position des points par rapport à la droite. Ainsi, un titre qui se trouve en dessus de la droite présente une rentabilité exigée trop élevée par rapport à son risque, il est donc sous-évalué ; les investisseurs vont acheter ce titre faisant ainsi remonter son cours et baisser son taux de rentabilité exigée jusqu’à ce que celui-ci se trouve sur la droite de marché. A l’inverse, un titre qui se trouve en dessous de la droite de marché est surévalué, sa rentabilité est trop faible par rapport à son risque ; constatant ce fait, les investisseurs vont se dessaisir du titre exerçant sur le prix une pression à la baisse ; le prix baissant la taux de rentabilité remontera ; le mécanisme se poursuivra jusqu’à ce que la valeur se retrouve sur la droite de marché.

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3. Les limites du MEDAF 3.1. les limites de la diversification Le MEDAF est un développement de la théorie du portefeuille et donc repose sur le fait que la diversification permet de réduire le risque en le limitant au risque systématique. Toutefois, certains chercheurs (Campbell, Lettau, et Malkiel) stipulent, sur la base d’études récentes, la diversification est de plus en plus complexe et que, si dans les années 70, un portefeuille de 20 titres permettait de réduire significativement le risque, il en faut maintenant 50 titres au minimum pour aboutir au même résultat. Les chercheurs expliquent ce phénomène par une plus grande volatilité individuelle des titres alors que les marchés ne sont pas plus volatils. L’arrivée sur le marché d’entreprises plus risquées opérant dans les nouvelles technologies de l’information, dans la biotechnologie ….etc est un des facteurs explicatifs de ce phénomène.

3.2. Les difficultés d’application pratique du MEDAF La première difficulté qui se présente lors de la mise en pratique du MEDAF est la détermination du taux sans risque, qui reste une notion théorique. Par « sans risque », il faut entendre sans risque de défaut et sans risque de réinvestissement des coupons. L’obligation d’Etat zéro coupon est sans doute l’actif répondant le mieux à cette condition. Toutefois, l’exemple de l’Argentine montre que même l’Etat n’est pas infaillible quoique ce soit très rare. Le MEDAF étant un modèle prévisionnel, il permet de calculer la rentabilité espérée d’un titre à partir de la rentabilité espérée d’un portefeuille de marché et du risque anticipé du titre (son β). Le modèle utilise des données historiques pour réaliser des prévisions ce qui revient donc à faire implicitement l’hypothèse d’anticipations rationnelles, c'est-à-dire que les réalisations correspondent exactement à ce qui a été prévu. Par ailleurs, dans certains cas il est difficile de disposer de données historiques et macroéconomiques nécessaires pour l’utilisation du modèle notamment dans les pays émergents.

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Une autre critique adressée au MEDAF stipule que ce modèle n’utilise qu’une approximation du portefeuille de marché. En effet, R. ROLL a fait remarqué dans une série d’article que la détermination du portefeuille de marché n’est pas si aisée qu’on voudrait le croire car celui-ci doit théoriquement inclure tous les actifs qui peuvent être acquis (actions, obligations, bons de trésor, or, immobiliers….) ce qui rend sa détermination très difficile. Les problèmes évoqués ci-dessus ont conduit à ne plus considérer le MEDAF comme l’unique théorie explicative du fonctionnement

des marchés financiers. D’autres

modèles se sont donc développés et sont censés pallier aux biais du MEDAF. Toutefois, la théorie du MEDAF reste toujours un modèle extensivement utilisé par les gérants de portefeuilles à travers le monde.

Cas d’application

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