Mecanique Des Structures 1 [PDF]

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MECANIQUE DES STRUCTURES PREMIERE PARTIE J-M Franssen Notes en collaboration avec Prof. R. Maquoi & J-P Jaspart

1

1. INTRODUCTION Définition: Mécanique des structures => méthodes d’analyse globale des structures. (barres prismatiques à axe rectiligne). x

 Efforts intérieurs: My, Mz, N, Vy, Vz, T  Déplacements: u,v,w,…

2

1. INTRODUCTION

Structure isostatique: l’analyse globale peut être menée par les équations de la statique élémentaire (équilibre). Structure hyperstatique: ajouter le concept de compatibilité des déplacements.

3

1. INTRODUCTION

= Mode d’action des forces sur la configuration non déformée.

Mode d’action des forces sur la configuration déformée.

=> Analyse globale au premier ordre

4

1. INTRODUCTION

≠ Mode d’action des forces sur la configuration non déformée.

Mode d’action des forces sur la configuration déformée.

=> Analyse globale au second ordre (itérative) 5

1. INTRODUCTION



≠ OK



OK 

Analyse globale élastique



Analyse globale plastique

6

2. THEOREMES FONDAMENTAUX Plan de l’exposé. Théorème des travaux virtuels: W = 0 corps indéformables corps déformables Th. des dépl. virtuels: W = U W = P d

Th. des forces virtuelles: W* = U*

Théorème de maxwell

=

W* = P d

Structures formées de barres U = N d(u)

U* = N du

Matériau linéaire élastique = Th. du dépl. unité: P = …

Th. de la force unité: d = … 7

2. THEOREMES FONDAMENTAUX Définition: grandeur virtuelle = grandeur arbitraire (imaginaire), très petite mais non nulle. Exemple 1: déplacement virtuel (cinématiquement admissible = continu et respectant les liaisons du corps avec le monde extérieur). A quoi ça sert? La boule est-elle en position stable dans les 2 exemples ci-dessous? Un déplacement virtuel (cinématiquement admissible) donne immédiatement la réponse.

8

2. THEOREMES FONDAMENTAUX

Théorème des travaux virtuels (corps indéformables) Pour tout corps indéformable, en équilibre sous des actions extérieures, le travail virtuel des forces extérieures W est nul pour tout déplacement virtuel C.A.

9

P

a

d A

L

B

10

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des déplacements virtuels

Théorème des déplacements virtuels (corps déformables)

Pour tout corps déformable, en équilibre sous des actions extérieures, le travail virtuel des forces extérieures W est égal au travail virtuel intérieur de déformation de ce corps U, pour tout déplacement virtuel C.A.

Principe d’équilibre => équations d’équilibre. 11

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des déplacements virtuels

Expression du travail virtuel extérieur dans une structure soumise à des charges concentrées vraies P et Mext, à des charges réparties vraies p, à des réactions d’appui vraies R, avec un champ de déplacements virtuels C.A. déplaçant P et p de δd déplaçant M de δ déplaçant R de δr.

12

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des déplacements virtuels

Cas particulier du travail virtuel intérieur de déformation dans une structure formée de barres soumises à des sollicitations vraies M, N, V à gauche, à des sollicitations vraies M+dM, N+dN, V+dV à droite, à des déplacements différentiels vrais dΦ, du, dv, avec un champ de déplacements virtuels C.A. δΦ, δu, δv.

13

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des déplacements virtuels Si structure formée de barres et matériau élastique:

14

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des déplacements virtuels Si structure formée de barres et matériau élastique: Forme cinématique du théorème des déplacements virtuels

Forme mécanique du théorème des déplacements virtuels

15

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des déplacements virtuels Théorème du déplacement unité (= cas particulier du théorème des déplacements virtuels) Soit une structure déformée (u, Φ, v) par l’action de forces appliquées. On peut trouver la force P appliquée en un point de la structure qui assure son équilibre par un champ de déplacement virtuel C.A. dont les déplacements sont: unitaire en P et dans la direction de P, nuls pour les autres forces appliquées.

16

p

A

L

Quelle est la valeur de RC ? B

L

C

Champ de déplacements réels (il faut le connaître) x

1 pL  L  x  v"  28 EI Champ de déplacements virtuels (on peut le choisir) 1

x²  v1  L²

17

A

B

x

1 pL  L  x  v"  28 EI

C

1

x²  v1  L²

18

1 pL  L  x  v"  28 EI

x²  v1  L²

19

Exercice résolu: prendre comme déformée virtuelle la fonction xn/Ln 1 pL  L  x  v"  28 EI

x n2  v1 "  n  n  1 n L

20

Exercice non résolu: Prendre comme déformée virtuelle une fonction sinusoïdale. v" 

1 pL  L  x  28 EI

 v1 "  ggg

21

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.1 Théorème des forces virtuelles

On reprend tout depuis le début. Théorème des travaux virtuels (corps indéformables)

Théorème des déplacements virtuels (corps déformables)

Théorème des forces virtuelles (corps déformables)

Exemple 2: forces virtuelles (statiquement admissible = respectant les équations fondamentales d’équilibre). 22

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.2 Théorème des forces virtuelles

Théorème des forces virtuelles (corps déformables) Pour tout corps déformable, soumis à des forces extérieures, le travail virtuel complémentaire des forces extérieures W*, est égal au travail virtuel complémentaire de déformation dU* pour tout système de forces virtuelles S.A.

Principe de compatibilité => équations de compatibilité. 23

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.2 Théorème des forces virtuelles

Expression du travail virtuel extérieur complémentaire dans une structure soumise à un champ de forces virtuelles δP, δMext, δp et δR, liés à des déplacements vrais d, Φ et r,

24

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.2 Théorème des forces virtuelles

Cas particulier du travail virtuel intérieur complémentaire de déformation dans une structure formée de barres soumises à des déplacements différentiels vrais dΦ, du, dv, avec des forces virtuelles δM, δN, δV.

25

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.2 Théorème des forces virtuelles Si structure formée de barres et matériau élastique (idem que dans le § 2.1):

26

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.2 Théorème des forces virtuelles Si structure formée de barres et matériau élastique:

27

2. THEOREMES FONDAMENTAUX 2.2 Théorème des forces virtuelles Théorème de la force unité (= cas particulier du théorème des forces virtuelles) Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous l’action de forces appliquées. On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie par un champ de forces virtuelles: unitaire en d et dans la direction d, nulles ailleurs.

28

Quelle est la valeur de la flèche en B ? P A

L

B

C

a

D

Distribution de M et V réelle (il faut la connaître). M = -pa P M(x) = Pa/2 (1-3x/L) M = pa/2

V=P

P

V = -3Pa/2L 29

Quelle est la valeur de la flèche en B ? P A

L

B

C

a

D

Distribution de M et V virtuelle S.A. (on peut la choisir). M1 = -L/2 1 M1(x) = x-L/2 V1 = 1

1 x 30

31

Exercice non résolu: prendre comme structure S0 une poutre simplement appuyée en A et en C.

32

Quelle est l’angle de rotation en C ? P A

L

B

C

a

D

Distribution de M et V réelle (il faut la connaître). M = -pa P M(x) = Pa/2 (1-3x/L) M = pa/2

V=P

P

V = -3Pa/2L 33

Quelle est l’angle de rotation en C ? P A

L

B

C

a

D

Distribution de M et V virtuelle S.A. (on peut la choisir). 1

M1 = -1 V1 = 0

1

x 34

35

Exercice non résolu: prendre comme structure S0 une poutre simplement appuyée en A et en C.

36

3. GENERALITES Analyse globale élastique au premier ordre. => Principe de superposition. M(P1,P2) = M(P1) + M(P2) N(P1,P2) = N(P1) + N(P2) V(P1,P2) = M(P1) + V(P2) u(P1,P2) = u(P1) + u(P2) v(P1,P2) = v(P1) + v(P2) (P1,P2) = (P1) + (P2)

37

3. GENERALITES Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.

38

3. GENERALITES Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.

39

3. GENERALITES Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres. On peut en ajouter.

40

3. GENERALITES

41

4. METHODE DES FORCES Si structure isostatique, équilibre d’ensemble => réactions d’appuis + charges extérieures => M,N,V. Si structure hyperstatique, N équations d’équilibre  N+h inconnues => h inconnues hyperstatiques

42

4. METHODE DES FORCES h inconnues hyperstatiques On pourrait rendre la structure isostatique en effectuant h coupures, chaque coupure libérant une inconnue.

43

4. METHODE DES FORCES h inconnues hyperstatiques On pourrait rendre la structure isostatique en effectuant h coupures, chaque coupure libérant une inconnue.

44

4. METHODE DES FORCES

On pourrait rendre la structure isostatique en effectuant h coupures, chaque coupure libérant une inconnue. mais on n’a plus le même comportement.

45

4. METHODE DES FORCES

On peut retrouver le même comportement en appliquant des efforts Xj qui referment la coupure. Mais on ne connaît pas la grandeur de Xj.

X Xjj X Xj j

46

4. METHODE DES FORCES Structure rendue isostatique = structure de référence, S 0 Il y a plusieurs manières possibles de couper.

Il faut que S0 soit un système stable !!! 47

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h On peut faire des coupures soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis). Appui à rouleau: 1 force inconnue ┴ à la fondation

xj

48

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h On peut faire des coupures soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis). Appui à rotule: 2 forces inconnues de direction quelconque.

xj

49

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h On peut faire des coupures soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis). Encastrement: 2 forces inconnues de direction quelconque + 1 moment = 3 inconnues.

xj

50

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h On peut faire des coupures soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis) soit à l’intérieur de la structure. Barre de treillis: 1 paire de forces inconnue.

Xj

51

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h On peut faire des coupures soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis) soit à l’intérieur de la structure. Barre de type poutre: 1 paire de forces inconnue si coupure sur une seule sollicitation. N M V 52

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h On peut faire des coupures soit aux liaisons avec le monde extérieur (appuis) soit à l’intérieur de la structure. Barre de type poutre: 3 paires d’inconnue si coupure totale. N, M, V

53

4. METHODE DES FORCES 4.1 Détermination du degré d’hyperstaticité h 3

3

3 3

3

3

3

3 3

3

3

3 3

3

h = 14 x 3 = 42

54

4. METHODE DES FORCES 4.2 Equation générale

55

F1P

F2P

1 1 F11 F21 F12

1 F22

56

F1P

F2P

1 1 F11 F21 F12

1 F22

u1 = F11 X1 + F12 X2 + F1P = 0 u2 = F21 X1 + F22 X2 + F2P = 0

 F   X    A 57

4. METHODE DES FORCES 4.3 Détermination des coefficients de flexibilité Fij et des Fip Fij et Fip = déplacements en un point => Théorème de la force unité. Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous l’action de forces appliquées. On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie par un champ de forces virtuelles: unitaire en d et dans la direction d, nulles ailleurs.

58

4. METHODE DES FORCES 4.3 Détermination des coefficients de flexibilité Fij et des Fip 1

1

F1P Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous l’action de forces appliquées. On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie par un champ de forces virtuelles: unitaire en d et dans la direction d, nulles ailleurs.

59

4. METHODE DES FORCES 4.3 Détermination des coefficients de flexibilité Fij et des Fip 1

1

F2 = 1

F12 Soit une structure avec une distribution d’efforts intérieurs (M, N, V) sous l’action de forces appliquées. On peut trouver le déplacement d sous l’état de sollicitation vraie par un champ de forces virtuelles: unitaire en d et dans la direction d, nulles ailleurs.

60

61

4. METHODE DES FORCES 4.4 Tables pour les coefficients de flexibilité Fij et des Fip 4.5 Distribution des efforts intérieurs u1 = F11 X1 + F12 X2 + F1P = 0 u2 = F12 X1 + F22 X2 + F2P = 0 M(x) = M1(x) X1 + M2(x) X2 + MP(x) N(x) = N1(x) X1 + N2(x) X2 + NP(x) V(x) = V1(x) X1 + V2(x) X2 + VP(x)

}

dans S0

62

4. METHODE DES FORCES 4.6 Choix des coupures

V=0

M,N = 0

63

4. METHODE DES FORCES 4.6 Choix des coupures

64

5. METHODE DES DEPLACEMENTS FN 5.0 Principe général

Fp

FN

Note: le principe général est d’abord expliqué dans le cadre restreint d’une structure: plane, formée de barres de type poutres (M,N,V), chargée dans son plan. On généralisera par la suite.

65

Méthode des forces FN Fp FN

Rendre le système isostatique FN

Fp

FN

Méthode des déplacements FN Fp FN

Bloquer les noeuds FN Fp FN

66

Forces FN Fp

FN

Rendre le système isostatique FN

Fp

FN

Déplacements FN Fp FN

Bloquer les noeuds FN Fp FN

67

Rendre le système isostatique FN

Fp

FN

Identifier puis trouver les h efforts hyperstatiques

Bloquer les noeuds FN Fp FN

Identifier puis trouver les m déplacements bloqués D1,D2,D3

D4,D5,D6

D7,D8 X1

68

Identifier puis trouver les h efforts hyperstatiques

Identifier puis trouver les m déplacements bloqués D1,D2,D3

D4,D5,D6

D7,D8 X1

Pour la structure: Fij = Déplacement en i créé par une force unitaire en j FiP = Déplacement en i créé par les forces P Coefficients de flexibilité

Pour chaque barre: Kij = Réaction en i créée par un déplacement unitaire en j KiP = Réaction en i créée par les forces P Coefficients de rigidité 69

D1,D2,D3

D4,D5,D6

D7,D8 X1

Pour la structure: Fij = Déplacement en i créé par une force unitaire en j FiP = Déplacement en i créé par les forces P Coefficients de flexibilité Les lèvres des coupures ne s'écartent pas. => Pour chaque coupure i

Pour chaque barre: Kij = Réaction en i créée par un déplacement unitaire en j KiP = Réaction en i créée par les forces P Coefficients de rigidité Il y a équilibre des efforts à chaque nœud. => Pour chaque déplacement i 70

Les lèvres des coupures ne se déplacent pas. => Pour chaque coupure i

Il y a équilibre des efforts à chaque nœud. => Pour chaque déplacement i

On détermine les Xj

On détermine les Dj

Dans la structure de référence S0 h

M( x )  M 0 ( x )   X i M i ( x ) i 1 h

Dans chaque barre m

Fi   k ij D j  k iP j 1

N( x )  N 0 ( x )   X i N i ( x ) i 1 h

V ( x )  V0 ( x )   X i Vi ( x ) i 1

71

Les lèvres des coupures ne se déplacent pas. => Pour chaque coupure i

Il y a équilibre des efforts à chaque nœud. => Pour chaque déplacement i

Comment déterminer les Fij ou les Kij ? Théorème de la force unité dans la structure S0 Théorème du déplacement unité dans chaque barre

72

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.

73

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres.

74

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Nœud: point de rencontre géométrique des axes des barres. On peut en ajouter.

75

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général On peut traiter les efforts intérieurs indépendamment si centre de gravité = centre de torsion Barre 3D: 2 axes de symétrie dans la section Barre 2D: 1 axe de symétrie dans le plan de l’étude

OK 3D et 2D

OK 2D

≠ OK 76

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.1 Systèmes d’axes et signes Système global: unique, arbitraire, dans lequel la structure est positionnée, cartésien dextrorsum. Z

y

z

x

Yy

Système local: un système pour chaque barre, en général, x suivant l'axe de la barre.

x

X

X

y

Y

x

77

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.1 Systèmes d’axes et signes

z w

Z

x X

z w

u

v y

x Y

u

y v

v y y y v

z

w

z

u x Y

w

u x x

x z

{uA,vA,wA, XA, YA, ZA, uB,vB,wB, XB, YB, ZB}

78

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure? Poutre continue 2D (sans charge axiale). 2 déplacements par noeud: w et z => 2 forces par noeuds. 2 efforts intérieurs: V et M Y X

79

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure? Treillis plan. 2 déplacements par noeud: u et v => 2 forces par noeuds. 1 effort intérieur: N Y A B

D

C

E

F

L H G

I

J

K

X

80

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure? Structure plane chargée dans son plan. 3 déplacements par noeud: u, v et z => 3 forces par noeuds. 3 efforts intérieurs: M, N, V Y

X

81

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure? Structure plane chargée perpendiculairement à son plan (pas de force dans le plan). 3 déplacements par noeud: w, x et y => 3 forces par noeuds. 3 efforts intérieurs: M, V, T Y Z X c) Structure plane chargée transversalement à son plan

82

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure? Treillis spatial. 3 déplacements par noeud: u, v et w => 3 forces par noeuds. 1 effort intérieur: N Y Z

X

83

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.0 Principe général Quels degrés de liberté sont actifs, suivant le type de structure? Structure spatiale. 6 déplacements par noeud: u, v, w, x, y et z => 6 forces par noeuds. 6 efforts intérieurs: N, Vy, Vz, T, My, Mz Z Y X 84

5. METHODE DES DEPLACEMENTS y 5.2 Matrice de rigidité Il faut l'établir pour chaque barre, d'abord en axes locaux.

D5

D11

D2

D1

D8

D7

x D3

D4

D6 z

D9

D10

D12

Cas le plus général: barre 3D : 2 x 6 = 12 DDL Pour chaque DDL j qui a un déplacement unitaire, il y a 12 réactions Kij. => 12 x 12 = 144 Maxwell: Kij = Kji

85

Théorème du déplacement unité (= cas particulier du théorème des déplacements virtuels) Soit une structure déformée (u, Φ, v) par l’action de forces appliquées. On peut trouver la force P appliquée en un point de la structure qui assure son équilibre par un champ de déplacement virtuel C.A. dont les déplacements sont: unitaire en P et dans la direction de P, nuls pour les autres forces appliquées.

86

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité y L L

k1,1

Calcul de Ki1

x z

D1 = 1

k7,1

Champ de déplacements vrai: u = 1-x/L ; v = 0 ; w = 0

87

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité y L L

k1,1

Calcul de Ki1

x k7,1

D1 = 1

z

Champ de déplacements vrai:

u = 1-x/L ; v = 0 ; w = 0 u' = -1/L ; v' = 0 ; w' = 0

K11 : champ virtuel = champ vrai L

EA  1 dx   L  L

K11   EA  0

2

88

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité y L L

k1,1

Calcul de Ki1

x z

D1 = 1

Champ de déplacements vrai:

k7,1

u = 1-x/L ; v = 0 ; w = 0 u' = -1/L ; v' = 0 ; w' = 0 K71 : champ virtuel u = x/L ; v = 0 ; w = 0 u' = 1/L ; v' = 0 ; w' = 0 L 1 1  EA K 71   EA dx  89 L L L 0

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité: K71 Champ vrai

Champ virtuel

u

v

w

L

1 1  EA K 71   EA dx  L L L 0 90

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité: K21 Champ vrai

Champ virtuel

u

v

w

K21 = 0 91

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité: K51 Champ vrai

Champ virtuel

u

v

w

K51 = 0 92

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité: K2i y

k6,2

k2,2 L

D2 = 1

k12,2 x k8,2 z

Champ de déplacement vrai v = 2(x/L)³ - 3(x/L)² + 1 v’’ = (6/L²)(2x/L-1) 93

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.2 Matrice de rigidité: K22 Champ de déplacement vrai v = 2(x/L)³ - 3(x/L)² + 1 v’’ = (6/L²)(2x/L-1) Champ de déplacement virtuel = champ de déplacement vrai

2

L

2

EI  6  2x  K 22    EI  1 dx  12 3 L  L ² 0 L 

94

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.3 Matrices de rigidité Kip y P L k6P x

k3P z

k2P

k5P a

b

Soit théorème du déplacement unité, soit RDM.

95

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure Principe: A chaque DDL de chaque noeud, les efforts qui viennent des barres équilibrent les efforts extérieurs nodaux. m

k j 1

b

ij , s

D j   kip , j  FN ,i j 1

 i  1,..., M 

 K   D   PN    k p  96

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure

A) Construction de la matrice de rigidité de la structure

Assemblage des matrices de rigidité de chaque élément

97

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure D1,D2,D3

D4,D5,D6

1 Barre 1

D7,D8

K

 10 10 10 0 0 0  1 1 1  0 0 0 0 0 0  10 10 10 0 0 0   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  0 0 0 0 0

0 0

0  0 0 0 0 0 0 

0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0

98

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure D1,D2,D3 1

2

Barre 1 Barre 2  1  2 1  12  1  2 1  12    1  2 1  12   2 20 K  K   2 2 0   2 0  2  0 0 0   0 0  0

D4,D5,D6

D7,D8 1  21 20 20 20 0 0 1  21 20 20 20 0 0 1  21 20 20 20 0 0  0 2 0 20 20 20 0 0 0 2 0 20 20 20 0 0  0 2 0 20 20 20 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0  0 0 0 00 0 0 0 0

99

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure D1,D2,D3 1

2

Barre 1 Barre 2 1  2 1  2 1  2 2 2 2 22 0 0 2 2 1  2 1  2 1  2 2 2 2 2 2 0 0    1  2 1  2 1  2 2 2 2 22 0 0 2   2 2 2 2  32 22 30 20  3 K   2 2 2 2  32 22 30 20  3   2 2 2  32 22 30 20  3  2  0 0 0 0 3 0 03 0 0 3   0 0 0 3 0 03 0 0 3  0

Barre 3 

D4,D5,D6 3 0 0 0 0 0 0  3 3 3 3  3 3 3 3  3 3

D7,D8

100

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure B) Rotation des matrices d'élément dans les axes globaux de la structure N.B.: Il faut effectuer cette opération avant celle du point A, c'est-à-dire avant l'assemblage.

101

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure x

y

Z

Matrice de rotation R de 3x3 z

Y

R(i,j) = projection de l'axe i sur l'axe J

X Ex:

R(1,1) = (XB-XA) / L R(1,2) = (YB-YA) / L 102

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure Transformer une matrice M de 3x3 d'un système local au système global: Mg = R T M L R

Transformer un vecteur V de 3x1 d'un système local au système global: Vg = RT VL 103

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure Dans une barre de l'espace, travailler par blocs de 3x3                        

  

  

    

             

  

  

    

             

                                            

                       

                                                      



                                            











104

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.5 Calcul d'une structure Dans une barre plane, travailler par blocs de2x2 ou vecteurs de 2x1

  

     

                         

 

     



                           







 



    

  105

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.4 Relations forces-déplacements d'une barre RDM: Dans une barre, à partir des charges appliquées sur la barre, des déplacements des extrémités, déterminer: les déplacements en toute abscisse x, les efforts intérieurs en toute abscisse x. Il faut obtenir les efforts aux extrémités de chaque barre.

106

5. METHODE DES DEPLACEMENTS 5.4 Relations forces-déplacements d'une barre Principe de superposition appliqué barre par barre m

Fi   kij D j  kip j 1

 Fb    Kb   Db    K p  Deux possibilités pour le système d'axes à utiliser: • D et K en globaux => F en globaux, à transformer en F locaux. • Transformer D en locaux => D et K locaux donnent F locaux.

107

6. METHODE DES ROTATIONS 6.1 Hypothèses de base Déformations sous N et V