Mécanique [3e édition ed.] [PDF]

Zitiervorschau

L.LANDAU ET E.LIFCHJTZ /

Be édi tion revue

1

EDITIONS MOSCOU

MIR 1969

une

531/534 (022)

=

40

Traduit du russe par CLAUDE LIGNY

.JI. ,n:. JIAH,n:AY

JI

E. M. JIH et t nous trouvons a) pour E>O,

M2 --->a 2m

b) pour E>O,

M2 2m


Â), nous obtenons finalement x = ae- Ât cos (ffit

+ a) +- b cos (yt + Ô).

(26,4)

OSCILLATIONS FORCÉES AVEC FROTTEMENT

109

Le premier terme décroît exponentiellement avec le temps, de sorte qu'au bout d'un intervalle de temps assez long, il ne reste que le second terme x

= b cos ("(t + Ô).

(26,5)

Bien que l'expression (26,3), qui donne l'amplitude b d'une oscillation forcée, croisse lorsque les fréquences "( et k

aXh

aXl '

Xj, X2, .••

ÉQUATIOKS CANONIQl:ES

188

est de nouveau un opérateur contenant seulement des dérivées premières. Ainsi, dans le premier membre de l'égalité (42,14), tous les termes à dérivées secondes de f s'annulent réciproquement, et puisqu'il en est évidemment de même pour les fonctions g et h, l'expression entière est identiquement nulle. Une propriété importante des crochets de Poisson consiste en ce que, si f et g sont deux intégrales premières, leurs crochets de Poisson sont aussi une intégrale première (42,15) {tg} = ete (théorème de Poisson). La démonstration de ce théorème est très simple si f et g ne dépendent pas explicitement du temps. En posant dans l'identité de Jacobi h = H, on a:

{H {fg}} + {f {gH}} -+. {g {Hf}} = O. D'où il est clair que si {Hg} = 0 et {Hf} = 0, alors {H {gf}} = 0, ce qu'il fallait démontrer. Si par contre les intégrales premières f et g dépendent explicitement du temps, nous écrirons en partant de (42,1):

a

d

dt {fg} = 7ft {tg} +- {Il {fg}}· En utilisant la formule (42,10) et eu remplaçant le crochet {H {fg}} par deux autres d'après l'identité de Jacobi, nous obtenons:

tt

{fg} = {

~;

g}

+ {f ~~ } -{f {g}/l}}-{g {Hf} = = { ~: + {Hf}, g} + {f, ~~ + {Hg}}

ou

d

dt{fg}=

{ddIf g } + { f aI dg}

'

(42,16)

et la démonstration du théorème de Poisson dans le cas général est alors évidente. Bien entendu, en appliquant le théorème de Poisson, nous n'obtiendrons pas toujours de nouvelles intégrales premières, puisque leur nombre est généralement limité (2s - 1, où s est le nombre de degrés de liberté). Dans certains cas, nous pouvons obtenir un résultat trivial: les crochets de Poisson se ramenant à une constante. Dans d'autres cas, la nouvelle intégrale obtenue peut être simplement une fonction des intégrales fondamentales f et g. Si aucun de ces cas ne se présente, les crochets de Poisson donneront une nouvelle intégrale première.

L'ACTION EN FOKCTION DES COORDONNÉES

189

Problèmes 1. Déterminer les crochets de Poisson formés des composantes cartésiennes -de l'impulsion p et du moment cinétique M = l' X P d'un point matériel. Solution. A l'aide de la formule (42,12) on trouve aM x à {Mxpy} = .

--.-:=-. - -

dy

ày

(YPz-ZPy)= -Pz

et de la même façon {MxPx} =0,

{MxPz}=py.

Les autres crochets s'obtiennent de là par permutation circulaire des indi-ces x, y, z. 2. Déterminer les crochets de Poisson formés des composantes de M. Solution. La formule (42,5) donne par un calcul immédiat {MxM y } = -M~l'

{Myill z } = -Mx,

{MzM x } = -My.

Puisque les impulsions et les coordonnées de différentes particules sont des variables indépendantes les unes des autres, il est facile de voir que les formules obtenues aux problèmes 1 et 2 sont également valables pour l'impulsion totale et le moment total d'un système de particules quelconque. 3. Montrer que {epJ-f z} = 0, 'Où ep est une fonction scalaire des coordonnées et de l'impulsion d'une particule. Solution. Une fonction scalaire ne peut dépendre des composantes des vecteurs l' et p que dans les combinaisons 1'2, p2, l'p. Par suite,

Bep

or

oep

a(1'2)

') _1'

+

oep 0 (pl')

P

et ùe même pour Dep/ap. La relation cherchée se vérifie immédiatement d'après la formule (42,5) compte tenu des règles de différentiation indiquées. 4. :\lontrer que {fMd =n X f, -où f est une fonction vectorielle des coordonnées et de l'impulsion d'une particule, et n le vectem unitaire de l'axe z. Solution. ToUL vecteur f (l', p) peut être écrit sous la forme f = rcp1 Pep2 (1' X p) ep3, où Cff, ([2. cp:! sont des fonctions scalaires. La relation eherchée se vérifie directement à l'aide des formules (42,9), (42,11), (12,12) et de la formule donnée au problème 3.

+

+

+

§ 43. L'action en fonction des coordonnées

En formulant le principe de moindre action, nous avons considéré l'intégrale

(43,1) prise le long de la trajectoire entre deux positions données q et q(2l occupées par le système à deux instants donnés t i et t 2 • Lors-

190

EQL"ATIUNS CANOXIQlES

qu'on faisait varier l'action, on comparaissait les valeurs de cette intégrale pour des trajectoires voisines ayant les mêmes limites q (ti) et q (t 2 ). Une seule de ces trajectoires correspond au mouvement réel: celle pour laquelle l'intégrale S est minimum. Envisageons maintenant la notion d'action sous un autre aspect. Précisément, nous allons considérer S comme une grandeur caractérisant le mouvement le long de trajectoires réelles, et nous comparerons les valeurs qu'elle prend pour des trajectoires ayant une origine commune q (ti) =--= q(l), mais passant à l'instant t 2 par des positions différentes. En d'autres termes, nous considérerons l'intégrale d'action pour des trajectoires réelles comme fonction des valeurs des coordonnées à la limite supérieure d'intégration. La variation de l'action lorsqu'on passe d'une trajectoire à une trajectoire voisine est donnée (pour un degré de liberté) par l'expression (2,5): f2

ôS

= [ D~ ôq ) ;2 -t- ~ ( ~~ Dq

1

fI

-:t

D~)

Ôq dt.

Dq

Puisque les trajectoires d'un mouvement réel satisfont aux équations de Lagrange, l'intégrale donnée ici s'annule. Dans le premier terme, posons à la limite inférieure ôq (ti):C.-: 0 et désignons simplement la valeur ôq (t 2) par ôq. En remplaçant également aL/aq par p, nous obtenons finalement ôS = pôq, soit pour un nombre quelconque de degrés de liberté (43,2) ôS = ~ PiÔqi.

.

i

Celle relation entraÎlle que les dérivées partielles de l'action par rapport aux coordonnées sont égales aux impulsions correspondantes (43,3) De façon analogue, on peut envisager l'action comme fonction explicite du temps; on considère dans ce cas des trajectoires partant à un instant donné t i d'une position donnée q pour aboutir à une position donnée q(2) à des instants différents t 2 = t. La dérivée aSlat ainsi comprise peut être trouvée au moyen d'une variation appropriée de l'intégrale. Le plus simple cependant est d'utiliser la fonction (43,3) en opérant de la façon suivante. Par définition, la dérivée totale de l'action par rapport au temps le long de la trajectoire est égale à

~=L. dt

(43,4)

L'ACTION EN FONCTION DES COORDO~~ÉES

191'

D'autre part, en considérant S comme une fonction des coordonnées et du temps dans le sens indiqué plus] haut et en utilisant la formule (43,3), on aura dS as as· as dt = 7ft + ~ dqt qt = 7ft T ~ 1

i

.,

•

Ptqt·

i

En comparant les deux expressions, on trouve

as 7ft = L-

L Ptqt. i

soi t finalemen t :

~k: = -II.

(43,5)

On peut réunir les formules (43,:3) et (43,5) en une expression

dB

=

~ Pi dqt-H dt

(43,6)

i

qui dOlllle la différentielle totale de l'action comme fonction des coordonnées et du temps à la limite supérieure de l'intégrale (43,1). Supposons maintenant que les coordonnées (et le temps) varient non seulement pour la fin, mais aussi pour le début du mouvement. Il est évident que la variation correspondante de S sera donnée par la différence des expressions (43,6) pour les deux extrémités, c'est-à-dire

(4:-3,7) Cette relation montre déjà par elle-même que quelle que soit l'action extérieure à laquelle est soumis le système pendant son mouvement, son état final ne peut être une fonction arbitraire de son état initial: seuls sont possibles les mouvements pour lesquels l'expression (43,7) est une différentielle totale exacte. Ainsi, par son existence même, et indépendamment de la forme concrète de la fonction de Lagrange, le principe de moindre action impose à l'ensemble des mouvements possibles des limites bien déterminées. Notamment, il est possible d'établir un ensemble de lois générales (indépendantes de la forme des champs extérieurs) pourdes faisceaux de particules se propageant à partir de points donnés. de l'espace. L'étude de ces lois fait l'objet de l'Optique géométrique 1. Il n'est pas sans intérêt de noter que les équations de Hamilton peuvent être déduites formellement de la condition de minimum 1

Voir Théorie du champ, §§ 53-57.

~QUATIONS CANONIQUES

192

de l'action, si on représente celle-ci, compte tenu de (43,6), par l'intégrale (43,8) i

€t si on considère les coordonnées et les impulsions comme des grandeurs que l'on fait varier indépendamment. En supposant de nouveau pour simplifier qu'on n'a qu'une coordonnée (et une impulsion), écrivons la variation de l'action

dS =

~ {Ôpdp+ pd ôq- ~: ôqdt- ~: ôpdt} .

La transformation du second membre (intégration par parties) donne: ÔS=

~ ôp

(dq-

~~

dt) +pôq

-~ ôq

(dp

+ ~~ dt).

Aux limites d'intégration, nous devons poser ôq = 0, de sorte que le terme tout intégré disparaît. L'expression qui reste ne peut être nulle pour des ôp et ôq indépendants et arbitraires que si les parenthèses sous chacun des signes somme sont nulles: aH

dq= ap dt,

dp= -

àH

aq dt,

c'est-à-dire qu'après division par dt, nous obtenons les équations de Hamilton. § 44. Principe de Maupertuis

Le mouvement d'un système mécanique est complètement déterminé par le principe de moindre action: en résolvant les équations du mouvement qui découlent de ce principe, on peut trouver aussi bien la forme de la trajectoire que la relation entre une position sur cette trajectoire et le temps correspondant. Si on s'en tient à la question plus restreinte de la détermination de la seule trajectoire (laissant de côté la partie temporelle du problème), il est possible alors de donner au principe de moindre action une forme simplifiée. Supposons que la fonction de Lagrange, et avec elle la fonction de Hamilton, ne contienne pas le temps explicitement, de sorte que l'énergie du système se conserve H (p, q) = E = Cte. D'après le principe de moindre action, la variation de l'action pour des valeurs initiales et finales des coordonnées et du temps (disons t o et t) données est nulle. Mais si l'on admet la variation

PRINCIPE DE MAUPERTUIS

193

de l'instant final t, les coordonnées initiales et finales étant toujours fixées, on a alors [cf. (43,7)]: ÔS = -Hôt. (44,1) Nous allons à présent comparer non pas tous les déplacements virtuels du système, mais seuls ceux vérifiant la loi de conservation de l'énergie. Pour de telles trajectoires, nous pouvons remplacer H dans (44,1) par la constante E, ce qui donne: ÔS Eôt = O. (44,2)

+

Ecrivant l'action sous la forme (43,8) et remplaçant de nouveau H par E, il vient S=

~ ~ PiÔqi - E (t-- t o).

(44,3)

i

Le premier terme dans cette expression, So =

~~

PiÔqt,

(44,4)

est parfois appelé action réduite. Substituant (44,3) dans (44,2), on trouve que ôS o = O. (44,5) De sorte que l'action réduite a un mInImum sur l'ensemble de toutes les trajectoires satisfaisant à la loi de conservation de l'énergie et passant par le point final à un instant arbitraire. Pour utiliser ce principe variationnel, il faut au préalable exprimer les impulsions, et avec elles toute l'expression sous le signe somme dans (44,2), en fonction des coordonnées q et de leurs différentielles dq. Il faut partir pour cela des égalités q

â d ) ' Pi = -.L ( q, dt

(44,6)

agi

qui définissent les impulsions, et de l'équation (44,7) qui exprime la loi de conservation de l'énergie. Tirant de cette dernière la différentielle dt en fonction des coordonnées q et de leurs différentielles dq d'après (44,7) et portant dans les formules (44,6), nous exprimons les impulsions en fonction de q et dq, et l'énergie E jouera alors le rôle d'un paramètre. Le principe variationnel ainsi obtenu détermine la trajectoire du système; on l'appelle habituellement principe de Maupertuis (bien que sa formulation exacte ait été donnée par Euler et Lagrange). 13-640

:ffiQUATIONS CANONIQCES

194

Explicitons les opérations sous la forme habituelle de la fonction de Lagrange (5,5) comme différence des énergies cinétique et potentielle: 1

• •

L=2 ~ aih(q)qiqk-U(q). i, k

Les impulsions sont alors aL

•

Pi = - . = ~ aih (q) qk, âqi k

et l'énergie

E=

1 2

• •

~ aih(q)qiqh+U(q). i, k

De la dernière égalité on tire

2j aih dqi dqh

dt = -. /

V

2(E-U)

(44,8)

et portant cette expression dans "" ~ i

"" aik ----crt d qh dqi. Pi dqi = .LJ i, k

nous obtenons l'action raccourcie sous la forme

80 =

~

V 2(E-U) ~ aih dqi dPh'

(44,9)

i, h

En particulier pour un point matériel l'énergie cinétique est T =!!!... (~) 2

dt

2

(où m est la masse de la particule et dl l'élément de longueur de la trajectoire), et le principe variationnel pour déterminer la forme de la trajectoire: ô ~ V2m (E-U) dl

= 0,

(44,10)

où l'intégrale est prise entre deux points donnés de l'espace (Jacobi). Pour le mouvement libre d'une particule U = 0, et (44,10) donne alors le résultat trivial:

c'est-à-dir8 que la particule suit le plus court chemin: une droite.

195

PRINCIPE DE MA1'PERTUIS

Revenons à l'expression (44,3) de l'action et donnons-lui cette fois une variation par rapport au paramètre E:

ôS = ~~? ôE- (t- t o) ôE- Eôt. Substituant dans (44,3), il vient:

as o = t- t o· {JE

(44,11)

Pour l'action réduite sous sa forme (44,9), cette égalité conduit à la relation

. / 2J2aih(E _dqiU)àqh Jr.V

__ -

t

_

44 12

t o,

(

,

)J

qui n'est autre que l'intégrale de l'équation (44,8). Avec l'équationw de la trajectoire elle détermine complètement le mouvement. Problème En partant du principe variationnel (44, 7) " trouver l'équation différentielle de la trajectoire. Solution. En effectuant la variation,' on a : ô

~ ~

VE-

U dt

Il1::O -

~

~

{

au dr

'2

ôr

V E-

dl U

VE -

U dr dôr} . dl

Dans le second terme on a tenu compte du fait que dl 2 = dr 2 et que par suite dl dôl = dr dôr; en intégrant par parties ce second terme et en égalant ensuite à zéro le coefficient de ôr dans l'expression sous le signe somme, nous obtenons l'équation différentielle de la trajectoire 2

VE-U~ dl

(V E-U~) = dl

_

au ar .

En effectuant la dérivation dans le premier membre de cette égalité et . d' au on peu t ecrue ' . cette equatlOn ,. mtro Ulsant 1a f oree F = -~ sous 1a f orme d2 r F-(Ft) t dl2 = '2 (E - U) ,

où t = dr/dl est le vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire. La différence F - (Ft)t est la composante F n normale à la trajectoire de la force. La dérivée d 2 r/dl 2 = dt/dl est égale, comme on le sait d'après la géométrie différentielle, à ni R, où R est le rayon de courbure de la trajectoire, et n le vecteur unitaire de la normale principale. Remplaçant également E - U par mv2/2, on obtient:

conformément à l'expression connue de l'accélération normale dans un mouvemellt le long d'une trajectoire courbe.

13*

~QUATIO~S CANO~IQUES

196

§ 45. Transformations canoniques Le choix des coordonnées généralisées q n'est limité par aucune condition: on peut prendre s grandeurs quelconques définissant de façon univoque la position du système dans l'espace. L'aspect formel des équations de Lagrange (2,6) ne dépend pas de ce choix, et dans ce sens on peut dire que les équations de Lagrange sont invariantes par rapport à la transformation qui fait passer des coordonnées qi, q2, . .. à d'autres grandeurs indépendantes Qi, Q2, ... Les nouvelles coordonnées Q sont fonctions des anciennes q; admettons alors que nous les ayons choisies de telle sor~e que cette relation contienne également le temps de façon explicite, c'est-à-dire qu'on aura des transformations du type

(45,1) {appelées quelquefois transformations ponctuelles). Outre les équations de Lagrange, la transformation (45,1) laisse ,évidemment invariante la forme (40,4) des équations de Hamilton. 'Ces dernières cependant admettent en réalité une classe beaucoup plus large de transformations. Cette circonstance découle naturellement du fait que dans la méthode de Hamilton, les impulsions p jouent le rôle de variables indépendantes au même titre que les coordonnées q. C'est pourquoi la notion de transformation peut être élargie de façon à englober la transformation des 2s variables indépendantes p et q en les nouvelles variables P et Q suivant les formules (45,2) Qi = Qi (p, q, t), Pi = Pi (p, q, t). Cet élargissement de la classe des transformations admissibles constitue un des avantages essentiels de la méthode de Hamilton en Mécanique. Il serait tout à fait faux cependant d'en déduire que les équations du mouvement conservent leur forme canonique pour toute transformation du type (45,2). Dégageons maintenant les conditions auxquelles doit obéir une transformation pour que les équations du mouvement dans les nouvelles variables P et Q aient la forme • Qi

=

aH' aPi'

.

Pi = -

aH' aQi

(45,3)

avec une nouvelle fonction de Hamilton H' (P, Q). De telles transformations sont dites canoniques. On peut aboutir aux formules de transformations canoniques de la manière suivante. A la fin du § 43, nous avons montré que les équations de Hamilton peuvent être obtenues à partir du prin-

TRANSFORMATIONS CANONIQ"cES

Cl pe

197

de moindre action mis sous la forme

ô ~ (~pi dqi-H dt) =0

(45,4)

i

(toutes les coordonnées et les impulsL:ms variant indépendamment). Pour que les nouvelles variables P et Q satisfassent aussi aux équations de Hamilton, elles doivent vérifier également le principe de moindre action:

ô~

(~Pi dQi-H' dt) =0.

(45,5)

i

Mais les deux principes (45,4) et (45,5) ne sont équivalents qu'à la condition que les expressions sous le signe somme diffèrent seulement par la différentielle totale d'une fonction arbitraire F des coordonnées, des impulsions et du temps; la différence entre les deux intégrales (différence des valeurs de F aux limites d'intégration) sera alors une constante dont la variation sera nulle. On doit par conséquent avoir:

Toute transformation canonique est caractérisée par sa fonction F qu'on appele fonction génératrice de la transformation. Ecrivant la relation obtenue sous la forme dF = ~ Pi dqi-~ Pi dQi

+ (11' -H) dt,

(45,6)

on voit que Pi =

ôF ôqi '

H' =11+ ôF

ôt '

(45,7)

la fonction génératrice étant supposée donnée comme fonction des anciennes et des nouvelles coordonnées (et du temps): F = = F (q, Q, t). Pour une fonction F donnée, les formules (45,7) établissent la relation entre les anciennes variables (p, q) et les nouvelles (P, Q), et expriment également la nouvelle fonction de Hamilton. Il peut être commode d'écrire la fonction génératrice non pas au moyen des variables q et Q, mais au moyen des anciennes coordonnées q et des nouvelles impulsions P. Pour établir dans ce cas les formules de changement de variables canoniques, il faut effectuer les transformations de Legendre correspondantes dans la relation (45,6). Plus précisément, écrivons celle-ci sous la forme

~QUATIONS

198

CANONIQUES

L'expression différentiée dans le premier membre, écrite avec les variables q, P, constitue la nouvelle fonction génératrice. Désignons-la