Mecanica Fizica Si Acustica I - II v2 [PDF]

Zitiervorschau

Cristian Ciucu

Cristina Miron

Valentin Bana

Eta!

JI

U

ecirur

TIp . versi ta i din b uc ures tj® If

H 113 L 10 T E CA (IC

FIZICA Cota linventar

UNIVERSITATEA DIN BUCURETI FA C UL TA TEA DE FIZICA Cristian Ciucu

Valentin Barna

Cristina Miron

LUCRARI PRACTICE MECANICA FIZICA 51 ACUSTICA

Editia a IX-a

CENT UN/ BISLI EC

ucut

-dg editura universitãtii din bucuresti 2009

I

PREFATA

Referenti tiintifici: Prof. univ. dr. EMIL BARNA Prof. univ. dr. POPA NITA VLAD

In cadrul cursurilor generale de fizicä, Mecanica ocupa un bc firesc reflectat In cadrul planurilor de Invaçämânt, prin numärul de ore de curs laborator. Mecanica clasicä este un subject foarte vechi; principiile de bazã sunt cunoscute de pe vremea lui Newton, care le-a formulat In "Principia ", Imbogàirea ulterioarä a structurii matematice a temei find datoratá lui Lagrange i Hamilton. Este remarcabil faptul cã, In ultimele decenii, obiectul Mecanicii revine in actualitate printr-o serie de cercetäri i, editura universitãtii din bucuresti Sos. Panduri, 90-92, Bucureti —050663; Telefon/Fax: 021.410.23.84 E-mail: [email protected] Internet: www.editura.unibuc.ro

fundamentale. Uncle dintre cele mai moderne instrumente matematice au fost intrebuintate pentru rezolvarea probleme i ine1egeri i proprietäilor caracteristice ale dinamicii, in particular tranzitia intre regimurile normale,

Biblioteca de Fizica

1

1200 019 6776

turbulente i haotice. Prezenta lucrare este complementarã cursului de Mecanicä Fizicã, destinat studenilor din anul I ai Facultà4ii de Fizicä a Universitäii din

Tehnoredactare computerizatã: Victoria Jacob

Bucureti. Considerám ca aceastä disciplinä trebuie prezentatà atât din punct de vedere teoretic cat §i experimental, lucrãrile de laborator

Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a României CIUCU, CRISTIAN Lucräri practice de mecanicá fizicä i acusticä / Cristian Ciucu, Cristina Miron, Valentin Barna - Bucureti: Editura Universitãtii din Bucureti, 2009 vol. ISBN 978-973-737-732-6 Vol. 1 - 2009 - ISBN 978-973-737-733-3 I. Miron, Cristina, fizicà II. Barna, Valentin 531 534

reprezentând o parte importantä a procesului de Inväãmânt. Ajuns la a TX-a editie, manualul de laborator, revizuit i restructurat, a apärut din necesitatea obiectivã de adaptare a continutului la structura fizicã realä a lucräribor existente In laborator In prezent. Dacä In mod evident tematica lucrärilor de laborator flu a suferit modificäri radicale, aparatura laboratorului a fost schimbatä practic In totalitate In cadrul programelor de dotare a ciclului de licençä. Astfel, subiectele lucrärilor de laborator au fost alese tinând seama de considerente de ordin didactic, metodic cat §i de dotarea laboratorubui, in principiu având ca scop verificarea legibor cinematice i dinamice ale mecanicii. 3

Textul lucrärilor este redactat In conformitate cu prevederile Planului de Invãtãmânt, i a fost analizat §i aprobat de catre colectivul de catedrä.

NOTIUNI INTRODUCTIVE DESPRE CALCULUL

Respectând traditia, manualul a fost §i rämâne in continuare un produs al unui grup de Cadre didactice din Catedra de Mecanicä Fizicä, Fizicä

ERORILOR $1 PREZENTAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE

Molecularà, Fizica Polimerilor §i Fizica Globului Terestru. 0 meniune specialä i multumiri datorãm colegului nostru Conf. Dr. Ciucu Cristian care a coordonat prezenta editie.

1. Màsurarea mãrimilor fizice 1.1 Introducere $ef Catedrã. Fizica este o tiinta fenomenologicã. Teoriile care existä In cadrul acesteia trebuie

Prof. Univ. Dr. Emil Stefan Bama

sA se bazeze pe ipoteze i concluzii confirmabile experimental prin mäsurarea unor mãrimi fizice, cu ajutorul cärora opereazä teoria respectivä. In fizicã, notiunea de márime are sens de cantitate, deci ceva cc poate fi evaluat i exprimat numeric. Evaluarea se face prin calcule, In urma mäsurätorilor. A mãsura Inseamnä a compara cantitativ douä märimi de acelai fe! (una dintre ele admisã In mod conventional ca unitate de mAsurä). Rezultatul mãsurãtorii este valoarea numericä a märimii respective. Acest rezultat depinde de alegerea unitãtilor de mäsurä. Sistemul de unitäti de màsurã In fizicã este alcätuit din unitãtile märimilor fundamentale i toate celelalte unitäti de mäsurã ale märimilor derivate. Alegerea etaloanelor pentru unitatile de mäsurä fundamentale a fost supusã unor conventii internationale. Cel mai utilizat sistem de unitãti de mãsurä este Sistemul International (Si), cu apte unitãti fundamentale, bine definite, care au urmätoarele unitati de mãsurà: Metrul (lungime), Kiogramul (masã), Secunda (timp), Amperul (intensitatea curentu!ui electric), Kelvinul (temperatura termodinamicä), Molul (cantitatea de substanta) i Candela (intensitatea luminoasä). Pe lânga SI, se mai uti!izeazä §i sistemul CGS care, dupa cum se observã din abrevierea denumirii, lucreazä cu centimetrul (pentru lungime), gramul (pentru masã) i secunda (aceeai ca In SI, pentru timp). Acest sistem are pentru mãrimile fizice unitati de mãsurã cu denumiri speciale, cc prezintã avantajul unor evaluãri simplificate, in anumite situatii.

4

1.2 Ecuatia mãsurätorii

1.3 Etapele mäsurãtorii

Valoarea märimii mäsurate reprezintä de câte ori etalonul (unitatea de mäsurä) se

In timpul mAsurãrii mArimilor fizice Intâlnim, de obicei, trei operatii succesive:

cuprinde In mãrimea fizicä respectivä. Rezultatul mäsurãtorii se poate scrie sub forma: Mãrimea Fizicà = Valoarea Unitatea de mäsurã.

Reglarea (punerea la punct) aparatelor necesitä aezarea br corectã, In

Dacä schimbãm unitatea de mãsurã, se schimbã automat valoarea mäsuratä: IMF=\YUM1

=:V1 = V2

reglarea 'punerea la punct), observaçia i citirea.

conformitate cu normele standard de functionare ale acestora. Adesea, este necesar sa pozitionäm aparatul astfel InCât o directie sau un plan at lui sA fie perfect orizontal sau

UM2

UM1 MF = V2 UM In tabelele I §i 2 sunt prezentai multipiii, respectiv submultipIii untailor de mäsurä. Tabelul 1 Factorul de

Prefix

vertical (reglarea se face, In acest caz, cu dispozitive Cu bulä de aer). La punerea la punct a aparatelor trebuie sä determinàm i influena asupra functionarii br a diferitilor factori exteriori (temperaturã, presiune, umiditate), jar dacã

Simbol

aceasta este mare, ea trebuie lie eliminatã, fie IuatA In considerare la efectuarea calculebor

multiplicare .1018

exa

E

Observaria este prin caracterul ei foarte variatä. Uneori trebuie sä stabilim

.1015

peta

P

momentul In care apar sau dispar anumite efecte sau fenomene fizice, sa determinAm

.1012

tera

T

situatia in care un parametru experimental (temperatura, presiunea etc.) ajunge la o

- 109

giga

G

anumitA vaboare, sau sa suprapunem cat mai exact posibil douã puncte sau linii (la

.106

mega

M

mäsurãtori cu rigla, vernierul) etc.

-101

kilo

k

Imediat dupa aceste operatii urmeazä citirea, in general a unei lungimi, unghi etc.,

.102

hecto

h

cu ajutorul unei scale gradate, de cele mai multe ori liniare sau circulare. Pe baza

.101

deca

da

rezultatelor citirilor se determinã In final vaboarea numericä a märimii de mäsurat

i Ia determinarea erorilor.

(lungimea, unghiul etc.). Tabelul 2 Factorul de

1.4 Cifre semnificative Prefix

Simbol

deci

d

10-2

centi

c

Ultima cifrä semnificativã a unei mãsurätori este o cifrä estimatä. Toate cifrele

-10-1

miii

m

diferite de zero Intr-o mãsurãtoare sunt semnificative. Cifrele zero pot sau nu sä fie

.10 6

micro

It

semnificative.

i0

nano

n

Sä presupunem cã mäsuräm o tijä metalicä Cu ajutorul unei rigle jar lungimea

.10.12

Pico

p

aCesteia corespunde marcajului de pe rigid de 23,5cm. In acest caz putem adauga

.10-15

femto

f

estimativ ultima cifrä ca fund zero i notãm cA lungimea mAsuratA find 23,50cm. In acest

.10 1

atto

a

caz, cifra zero este semnificativã deoarece indicä o estimare.

muttiplicare

6

Cifrele citite direct pe scala unui aparat de mãsurä precum i cifrele estimate se numesc impreunä cifre semnificative ale mäsurãtorii.

7

Pe de altã parte, zerourile In numãrul 0,0097m

flu

sunt semnificative, ele având

Exemplu:

rolul de a preciza pozitia cifrelor semnificative (In acest caz, miime). Astfel, numãrul 0,0097m contine numai douã cifre semnificative.

4 5,06km x 10 (3 cifre semnificative) 4 5,060km x 10 (4 cifre semnificative) 4 5,0600km x 10 (5 cifre semnificative)

In cazul numäru!ui 0,009060m, acesta contine patru cifre semnificative, zeroul final fund o estimare i se spune cA eroarea In mãsurare flu depaete 0,00000! m.

1.4.2 Notaia tiinificã Nu existä nici o modalitate de a spune câte cifre zero sunt semnificative In

1.4.1 Reguli pentru cifre semnificative

numãrul 65870000. Cifra 7 poate fi estimatä §i deci zerourile

1. Cfrele de la 1 la 9 sunt toate semnfIcative. Exemplu:

sunt semnificative, sau,

toate cele patru zerouri pot fi semnificative. Pentru a Inlätura aceastä ambiguitate, se

453kg are trei cifre semnificative.

utilizeazä notatia §tflntificA. Valoarea mäsuratä este scrisä ca un produs de doi factori.

2. Zerourile Intre douà alte cifre semnificative sunt semnfIcatjve. Exemplu:

flu

Primul factor, are numai o cifrä diferitä de zero La stânga virgulei i contine toate cifrele

5057kg are patru cifre semnificative;

semnificative. Al doilea factor, contine zece la o putere. De exemplu dacä numãru!

20,05rn are patru cifre semnificative;

65870000 contine cinci cifre semnificative, va fi scris ca 6,5870 iø, jar dacä contine

1,0007kg are cinci cifre semnificative.

Notatia tiintifica este utilizatä pentru a

patru cifre semnificative va fi scris ca 6,587

3. In cazul unui numãr care are c(fra zero Inaintea virgulei i este urmat de zerouri aflate la stdnga unei prime cifre semnificative, zerourile

flu

sunt semnificative.

Aceste sunt folosite pentru a preciza poziia cifrelor semnificative. Astfel de

scrie atât numere foarte mari cat §i numere foarte mici. In tabelul de mai jos este prezentatä o Iistä de märimi mäsurate, numãrul de cifre semnificative In fiecare caz, precum i expresia corespunzãtoare In notatia tiintificã.

zerouri dispar dacà numãrul este scris cu ajutorul puterilor lui 10. Exemplu:

0,0007kg are o cifrã semnificativã (zerourile

flu

sunt semnificative)

i poate fi scris ca 0,7 1 0-'kg. 4. Un numár care are virgulá i la dreapta cifrelor semnificative zerouri, acestea din urmã sunt semnflcative. Exemplu:

0,0230m! are trei cifre semnificative; 1,0230m1 are cinci cifre semnificative; 0,20g are douä cifre semnificative; 0,007040kg are patru cifre semnificative.

5. Atunci cánd un numár se terminã In zerouri fi numãrul

flu

Tabelul I

confine virgula, atunci

Numäru! de Rezultatul

Cifra

mäsuràtorii

estimatà

38,7631m

1

6

3,87631x101 m

869000g

9

3

8,69x105g

0,00103m

3

3

1,03x10 3m

0,00018kg

8

2

1,8x10 4kg

600130m

3

5

6,0013x105m

0,00850m

5

2

8,5x10 3m

869000g

Ultimul zero

6

8,69000x105g

zerourile pot sau nu salle semnificative. Exemplu:

cifre

Notatia tiintificä

semnificative

190km poate avea 2 sau 3 cifre semnificative; 50,600km poate avea 3, 4 sau 5 cifre semnificative.

Pentru a evita ambiguitatea acestei reguli, se va utiliza notatia §tiintificd fo!osind puteri!e lui 10.

1.4.3 Rotunjirea cifrelor semnificative Cantitatile mäsurate §i rezultatele calculate pot Ii rotunjite la un numär dorit de cifre semnificative, renunând La una sau mai multe cifre aflate la dreapta virgulei.

8

9

I. Cifra rotunjitA este mãritA Exemplu:

Cu

1 dacã este urmatã de o cifrã mai mare ca 5.

2,36m este rotunjitã La douã cifre semnificative ca 2,4.

a.

Adunarea i scäderea

In cazul acestor operaii, fie toate valorile sunt rotunjite la cea mai puin preCisä valoare Inainte de a efectua operatiile, sau se efectueazä mai Intâi operaii1e i apoi

2. Cifra rotunjitã rämâne nesChimbatã dacä este urmatã de un numär mai mic Ca 5. Exemplu:

4,634m este rotunjit La trei Cifre semnificative ca 4,63.

3. Cifra rotunjitã urmatã de cifra 5 este: a.

crescutä CU I dacä este impara;

b.

rãmâne nesChimbatã daCä este parä.

Exemplu:

0,375m este rotunjit la douã Cifre semnificative Ca 0,38m, jar

rezultatul este rotunjit In Concordanta CU cea mai putin preCisä valoare. Exemplu: SA se scadä 8,5cm din 24,36cm. Se vor retine In rezultat numai cifrele semnificative. Lungimea de 8,5cm este màsuratä CU 0 preCizie de 1mm i in consecintä, diferenta celor douä lungimi poate avea o precizie de ace1ai ordin. Pentru a sCädea 8,5cm din 24,36cm, fie rotunjim 24,36cm la 24,4cm §i apoi scãdem 8,5cm rezultând 15,9cm, sau scãdem 8,5cm din 24,36cm obtinând 15,86cm i apoi rotunjim rezultatul la 15,9Cm.

0,365m Ca 0,36m.

b. 4. Cifreje nesemnificative

flu

mai sunt scrise In rezultat dacA sunt la dreapta virgulei

i sunt Inlocuite CU zerouri daCà sunt la stânga virguLei.

Inmultirea i Impärtirea

Operaiile de Inmultire §i Impãrire se efectueazä Inaintea rotunjirii. Rezultatul final, se rotunjete astfeL InCât sä avem aceIai numãr de cifre semnificative ca §i in factorul

Cu

cele mai puine cifre semnificative.

Aplicatii:

Exemplu: Sã se Inmulteascä 12 1,2cm

Sã se rotunjeasCà La trei cifre semnificative urmätoarele numere:

Lungimea de 11,3cm are ceLe mai puine cifre semnificative §i anume trei. In

1,386 II rotunjim la 1,39 Conform regulilor 1 i 4; 41,73 II rotunjim la 41,7 Conform regulilor 2 §i 4; 564,5 IL rotunjim la 564 Conform regulilor 3 §i 4;

rezultatul

final

se

vor

Cu

11,3cm.

numai

retine

trei

cifre

semnificative:

(i 21,2cm). (i 1,3cm) = 1369,56cm2 . Rezultatul final va fi dat sub forma 1370cm2 (zeroul nu este semnificativ).

83,55 Ii rotunjim Ia 83,6 Conform regulilor 3 i 4; 9876 II rotunjim la 9880 conform regulilor 3 i 4 (zero este nesemniflCativ); 581342 II rotunjim la 581000 Conform regulilor 3 i 4 (zerourile nu sunt semnificative); 0,08197 II rotunjim la 0,0820 conform regulilor 3 i 4 (zeroul din dreapta este pästrat, el find a treia Cifra semnificativä din numãr).

2. Erori de màsurã 2.1 Generalitäti Valorile numerice obtinute prin mAsurarea märimilor fizice contin In ele erori. Obtinerea In practiCä a valorii reale (exacte) a unei märimi fizice este imposibilä.

1.4.4 Operatil cu cifre semnificative

Valoarea realä poate fi doar aproximatä, acuratetea acestei aproximäri find data de

Cu ajutorul mãrimilor mäsurate se faC anumite calCuLe. De exemplu, vrem sA

sensibilitatea instrumentelor de mäsurä, a metodei i, nu in ultimul rand, de indemânarea

calculãm volumul unui paralelipiped folosind dimensiunile mAsurate ale aCestuia. Rezultatul unui calcul nu poate fi maiprecis decât preCizia cantitätilor implicate in calcul.

experimentatorului. Efectuând mai multe masuratori pentru aceeai märime fizicã, valorile obtinute vor fi diferite, chiar dacä mäsurätorile au fost efectuate de aceIai experimentator, In

De aceea, trebuie respectate anumite reguli.

10

11

aceleai conditii i cu aceleai aparate

(Cu

atât mai mult dacA metodele, aparatele i

Clopotul lui Gauss:

experimentatorii sunt diferiti). De aici rezultA Ca once mäsurãtoare este afectatA de erori. Cunoaterea cauzelor, calcularea i Inlãturarea erorilor este o problema de bazä In ? a erorii) iniflCil7)

tehnica mãsurätorilor de precizie. Clasificarea erorilor Fie A valoarea realä a unei märimi fizice pe care dorim sa o determinãm. Prin mäsurarea acestei märimi fizice presupunem cã am obtinut valoarea a. Diferenta öA =a — A U

se numete eroare de másurà.

5Á

(rnärirnea erorzi)

Fig 1 Reprezentarea graficil afrecvenei de apar4ie (1) a unei erori accidentale in

Existã trei mari tipuri de erori: erori accidentale (mntámplátoare), erori

func!ie de valoarea erorii (A)

sistematice yi erori grosiere. Erorile accidentale sunt erori a cãror valoare i semn sunt Intâmplatoare (nu

Forma acestei dependene ne conduce la concluzia cä, efectuând un numãr mare respectA o alta regula decât cea a legilor statisticii). EfectuAm n másurätori i obinem un ir a- (I = 1, 2, ... n) de valori mäsurate.

(n) de mäsurãtoni, i calculãnd media aritmeticã a acestor valori

Pentru fiecare mãsurAtoare, valoarea

(2)

S A, = a. - A vom obtine o valoare apropiatä de valoarea realä a respectivei märimi fizice, A. Putem

se numete eroare accidentald. Aceste erori se datoreazä unor cauze greu de sesizat i Inläturat. Fiecare din aceste

considera deci eroarea accidentalä (aparentá) a mediei aritmetice sub forma: (3)

cauze (imperfeciunea organelor de simt, deformarea sau deplasarea imperceptibilä a Statistic se poate calcula, pentru irul de valori gãsit, un interval minim In care pieselor aparatelor de mäsurä, fluctuatii accidentale ale conditii!or extenioare de lucru, ale putem situa cu maxima probabilitate valoarea realä a mãrimii mäsurate: atentiei observatoruluj etc.) are un efect slab. 161

Ele se supun legilor calculului probabilistic. Dacã numärul de mäsurätori este foarte mare, erorile pozitive apar la fel de des ca i eronile negative. In plus, eronile man au o probabilitate mica de aparitie fatä de eronile mici.

(4)

+a1

unde

I(sa,) (5)

Dacã se reprezintã grafic frecventa de apariie (j) a unei erori accidentale In functie de valoarea erorii (öA), obtinem curba din figura 1 (uzual numitã clopotul lul Gauss, dupa cel care a studiat-o pentru prima data i a parametnizat-o matematic).

12

(n - i) jar a se numete abatere (eroare) pätraticä medie (a mediei aritmetice). Pentru o bunä determinare, teoria statisticã impune un numär de determinãri n cat mai mare.

13

Erorile sistematice sunt erori care, spre deosebire de cele accidentale, apar In

Dacä, de exemplu, viteza Iuminii in vid este scrisã sub forma 300.000krn/s, flu

aceeai directie (au acelai semn) i au In fiecare caz o valoare bine determinatA,

rezultä clan dacä cele 5 zerouri sunt un indiciu al unei valori exacte sau dacä ele au doar

constantä sau variabilä.

rolul de a exprima ordinul numärului considerat. 0 valoare mai precisä este 299.800km.

DacA, spre exemplu, mäsuräm o lungime cu o rigla, ffirä sä ne dam seama cä din

Dacã numärul va fi exprimat ca o putere a lui 10 - adicã de forma 3,00.108 m/s - nu

acea rigla Iipsete primul centimetru, toate valorile lungimilor mäsurate vor Ii mai marl

existà confuzil asupra erorii de rotunjire. In acest caz numai pnimele douä zerouri sunt

cu un centimetru decât In real itate. Astfel de erori sunt erori sistematice constante.

semnificative. Se spune in acest caz, Ca viteza luminii este exprimatã cu trei cifre

Dacä intervalul dintre douã diviziuni succesive ale scalei unui aparat de mäsurä

semnificative. Intr-o expnimare cu 4 cifre semnificative valoarea acestei viteze este

este diferit de cel real (aparat greit etalonat), vor fi mai afectate de erori valorile man

2,998.108 m/s. In laboratorul de mecanicã valorile mãsurate au, In general 3 cifre

(acum In indicatie sunt cuprinse un numär mai mare de diviziuni), i mai puin afectate semnificative. In mod ocazional se poate Intâmpla sa tie posibilä obtinerea unor rezultate

valorile mid. Acestea sunt erorile sistematice variabile. Deci, cauzele erorilor sistematice

care se exprimã pnin numere cu douã sau cu patru cifre semnificative.

ar Ii:

Un caz interesant, destul de frecvent discutat, este acela al erorii determinate de

V defecte ale aparatelor de mãsurã (metru incorect divizat, balantä cu

utilizarea numärului irational it. Intr-o exprimare cu 10 cifre semnificative it =

brate inegale etc.);

3, 14 15926536.

V condiiile de mediu, In cazul când acestea sunt incompatibile cu

Cu 4 cifre semnificative el este 3,142, iar cu trei cifre semnificative - 3,14. In

functionarea aparatelor;

calcule vom Iua o valoare a lui it Cu Ufl numär suficient de cifre semnificative, astfel Incât

V experimentatorul, determinãrile depinzãnd de particularitatile

erorile datorate rotunjirii valorii lui it sa tie semniuicativ mai mici decât sunt erorile ce

acestuia, sau de poziia lui fatã de scala aparatului de mäsurä, In

Insotesc mãsurarea celorlalte mãrimi ce intervin In aceeai relatie de calcul. Este

momentul efectuArij citirii.

interesant de remarcat cã numärul it a fost recent determinat cu 100.000 de cifre

Din aceastã cauzä, la inceputul experimentulul Incercãm sä determinäm sursele de

semnificative, care, totui, nu pot satisface pe cel mai exigent expenimentator.

erori sistematice. In cazul In care acestea existA, ele se Inläturã tie prin inlocuirea metodei

Erorile grosiere apar atundi când efectuäm un numär mid de determinäni pentru

de mäsurã sau a aparatului, tie fficând corectiile necesare In rezultatele mãsurätorilor. 0

calcularea, pnin mediere, a mãrimii fizice. Dacä Intr-un astfel de sir, cu putine valori,

verificare atentà a aparatelor i a conditiilor In care efectuAm experimentul ne permite sä

existä una care este mult diferitã fata de celelalte, o eliminam i repetAm mäsurãtoarea.

eliminärn erorile sistematice sau sã le diminuäm foarte mult.

Aceastã valoare spunem Ca este afectatä de o eroare grosierä. Cauza apanitiei unei astfel

Erori de rotunjire

de erori este de obicei neatentia (momentanã) la citirea unei valori de pe scala aparatului

In once valoare màsuratA existä o eroare, determinatã de rotunjirea ultimei cifre

sau modificarea, pe timp scurt, a conditiilor in care se desfàoarä expenimentu!.

mentionate. Dacä o lungime este mentionata ca find 10,3cm, aceasta inseamnä cã

Pentru un numàr mare de mäsuràtoni, când se va calcula valoarea medie a

valoarea adevãratä se aflä undeva Intre 10,25 i 10,35cm. Eroarea de rotunjire este deci 0,05cm.

mänimii, este foarte probabil sä intâlnim o eroare (chiar §i grosiera), de semn opus, care sã anuleze eroarea in cauzà. De aceea, pentru un numär mare de mãsurãtori, erorile

Dacä lungimea mäsuratA ar fi fost exprimatã ca 10,30cm (adicã Intre 10,295 i

grosiere se incadreazä in clasa eronilor accidentale.

10,305), mentionarea celei de-a doua zecimale ne aratã Ca mäsurãtorile au fost efectuate

Cum numärul de mäsurätoni pe care 11 facem de obicei este mid (in special datonita

In conditiile in care eroarea flu este, In acest caz, mai mare de 0,005cm.

timpului), probabilitatea de a Intãlni o eroare grosierä de semn opus care sa o anuleze pe 14

1

15

prima este, de asemenea, mica. Astfel, dacä valoarea afectatä de eroarea grosierä

flu

Spre justificare, consideräm cä am mãsurat douä lungimi x i y, obtinând erorile

este

= 1mm i 5y = Im. Am fi tentati sä spunem cä mãsurätoarea cu eroarea cea mai mica

eliminatã din calculul mediei, aceasta din urmä va fi mult diferitã de valoarea realä.

este i cea mai precisä. Dar dacã valoarea mäsuratã a märimii x este de 1cm i a märimiiy

In concluzie, dacã erorile grosiere i sistematice, In cazul când sunt cunoscute, pot fi InlAturate, cele accidentale

flu

pot ft evitate. Contributia br poate fi mult diminuatã

(= i/i 0)(e (= 1/1000).

de 1km, realitatea este alta.

märind numãrul de mäsurãtorj.

Deci precizia mäsurätonii y (0,1%) este mult mai bunA decât a lui x (10%)!

Erorile de citire, o clasä speciala de erori, sunt erorile de mãsurare directä, unicä,

Eroarea relativä, fata de eroarea accidentalä, este adimensionalä, subunitarã i pozitivä.

a unei märimi fizice. In cazul in care se Iucreazä cu un aparat neperformant (de clasã de

a) Mãrimi direct mäsurabile

precizie scãzutä) se va efectua o singurã determinare.

Spunem cä mãsurãm direct o mãrime fizicã atunci când folosim un aparat etabonat

Once mäsurãtoare expenimentala are un grad de incertitudine. Atunci când facem

pentru märimea respectivä. Märimi fizice direct mäsurabile, spre exemplificare, sunt:

o mäsurätoare, citim spre exemplu gradatia de pe un instrument (rigle, termometre,

lungimea (fobosind rigla), timpul (cronometrul), masa (balanta), temperatura

voitmetre etc.) pânA la cea mai mica diviziune, jar apoi estimäm la o fractiune din cea mai mica diviziune.

(termometrul) etc. In acest caz, dacä metoda i aparatura permit acest lucru, este bine sa se efectueze un numãr cat mai mare de mãsurätori. Acum, se va calcula eroarea patratica medie jar

1

1

rezultatul mãsurátorii se va prezenta sub forma (vezi paragraful anterior, Erori accidentale):

1

'cm

Fig 2 Citirea unei másurãtori Cu rigla gradatã

AEt — C",

+

a]

In cazul unui numar mare de determinãri, eroarea relativã poate fi aproximatä Cu: Unele aparate au Inscnisä clasa de precizie C(%) sub care Iucreazä. Eroarea de citire pe un astfel de aparat este evaluatã prin relatia: a

- Valoarea scalel de masura 100

EAöZ

CA

(8)

Algoritmul prelucràrii datebor experimentale pentru märimile mäsurate direct:

6

1. Se efectueazä mäsurärile x, de n on.

Dacã o astfel de informatie Iipsete, eroarea de citire este evaluatà la o fractiune (cel mai adesea 1 sau 1/2) din cea mai mica subdiviziune a poriunii scalei pe care s-a

2. Se exciud eecuri1e.

efectuat citirea märimii respective. Evident, ea este Intotdeauna pozitivã. 3. Se calculeazã valoarea mediei aritmetice Y =

Pentru o mai bunä caracterizare a preciziei experimentului, se definete eroarea relativd: =

/=1

4. Se calculeazã erorile absolute Ax, = fr—x,I i pàtratele br. 5. Se calculeazä abaterea medie patratica o.

(7)

unde a este mArimea mäsuratä, iar 1641 - eroarea de mäsurä, consideratä In modul.

6 Se calculeazã abaterea standard a aparatului de masura

CA = -,

unde

Eroarea relativä, expnimatä in procente, se mai numete i precizie. AA =

r

este eroarea absobutä a aparatului, Amax este valoarea maximalä a mArimii 100 17c S

16

'ENTkAL4 FACUL TI1TIIDE

L

FiZC/ CUET

0

date ce poate fi mäsuratä Cu ajutorul aparatului dat, jar y este clasa de precizie a aparatului. 7. Se calculeazä abaterea medie pãtraticA rezultantã a: a) o = b) oC)

= 0-4 ,

dacã Cx dacã o-

a, = C. dacä

0-A

Conform teoriei propagãrii erorilor, se ia In considerare cazul cel mai 0-4;

defavorabil pentru a le estima, acestea neputându-se scádea (compensa) ci doar aduna, astfel:

-- (o se neglijeaza); (1-

(0-4

dM dA+dM dC dC—dD (11) +fl --y C—D C A+B M 3) Se trece de la diferentialä la eroare de mãsurã, Inlocuind In expresia (11) d—*ö.

SM SA+SM SC (5C +.5D C—D C A+B M

se neglijeaza).

(12)

Eroarea propagatä este: 8. Se calculeazä valoarea mediej aritmetjce a erorii absolute AY =

o- . M=

9. Se scrie rezultatul final: x = ± AIf.

SC SC+ SD1 c -d c

.5A +.5M (a+b )c a+b (c - d .[

(13)

M

10. Se calculeazã eroarea relativã: g = -.100%.

In aceste conditii, rezultatul mäsurAtorii se va prezenta astfel:

H. Se trag concluzii.

(14)

ME[m±SMI

b) Mârimi pe care flu le putem màsura direct

Calculul erorilor la o màsurare indirectd In unele cazuri, märimile fizice flu se mäsoarä direct, ci indirect, utilizând o

Aa cum vom vedea practic, de cele mai rnuitc ori flu mäsurãm direct mãrimea care ne intereseazä. Vom mäsura alte märimi, legate de aceasta prin relatii matematice (legi fizice).

anumitã lege a fizicii §i mäsurând celelalte mArimi fizice implicate. De exemplu, utilizând

Presupunem cä urmãrim sä determinAm märimea M care este data de urmätoarea

legea perioadei unui pendul gravitational: T = 2ram putea determina acceleratia \ig

relatie matematicä, In care apar numai märimi direct mãsurabile experimental (A, B, C, D):

gravitationalã dupä relatia: g = 47r2 _-. In acest caz, este suficientã mäsurarea Iungimii i perioadei pendulului, pentru a gãsi prin calcul valoarea acceleratiei gravitaionale.

M=tB) -CIO _ (C—Dr

(9)

Problema pe care ne-o punem este aceea a preciziei mäsurätorii. Mai exact, cunoscând

unde a, 13 i 'y sunt constante matematice.

preciziile cu care s-au determinat lungimea i perioada, sä estimAm precizia mäsurärii

Deoarece fiecare märime mäsuratà are propria ei eroare de mäsurä, aceste erori se propagä i In calculul mãrimii M.

indirecte a acceIeraiei gravitaionaIe.

Vom aräta mai jos, In acest caz general, un mod de calcul al propagãrii erorilor la nivelul formulelor matematice. Pornind de la relatia (9) se parcurg etapele urmätoare: 1) Logaritmând aceastä formula: In M = a In(A + B)+,6 - In C - y In(C - D) 2) In continuare diferentiem relatia (10):

18

Pentru a estima precizia unei màsurätori indirecte, vom presupune mai Intâi cã legea utilizatä este de forma: y=f(x1,x2. ....... ..) Diferentiala acestei funcii este:

(10)

af

dy=--dx1 + 3x1

t -d x2 +

19

In cazul unei mAsurAri destul de precise erorile de mAsurA absolute 6 sunt mici, i pot fi asimilate diferentialelor: 8y=La x1 +

Löx2 +

ax2

gy y

iL ox1 +

Ox2

astfel IncAt putem folosi formule pentru calcule aproximative.

a22

3.1 Calculul erorilor maxime ale functiilor simple

Putem pune In evidentA erorile relative la mAsurarea märimilor x 1, x2,... astfel:

a) Sumá. Fie suma algebricA: f=ax+by cuvaloareaexactA f0 =ax +bx0

f a., x

f

a 2

x

f a

f a.

parte erorile de mAsurare pot fi fcute atAt in exces, cAt i In lipsA. In cel mai defavorabil caz toti termenij acestei sume vor fi pozitivi.

- f = a(x0 - x)+ b(y0 - y) = ±a 8 ± b 8

(18)

Cazul cel mai nefavorabil are bc atunci când erorile absolute ale variabilelor x, y au aceIai semn cu coeficientii respectivi a, b de unde rezultA eroarea maximA:

Eroarea calculatA corespunde Intotdeauria celui mai defavorabil caz, astfel meat

ff fi

= 8(ax+ by) laiS +lbiSy; Ef

expresia finalA pe care o obtinem este: lxi af l Jf aj'

(17)

unde a, b sunt constante exacte. Eroarea absolutA este:

Termenii acestel sume pot lua atAt valori pozitive, cAt i valori negative. Pe de altA

S =I — ----i +

(15)

(16)

(lxi, & ((1,

Eroarea relativA la determinarea mArimiiy va fi: S = -

X —x sau 0 x l xi Vom presupune de asemenea cA erorile sunt suficient de mici adicA

In particular, dacA f = const. x, atunci Sf = cons!.! Sx

fj5 2

(19) (19')

öx2

RezultA CA: eroarea relativA la o mäsurare indirectA se poate calcula ca o

i cazul diferentei, pe care o vom trata i separat: f — x — y, Sf=8(x—y)=Sx+Sy

sumä ponderatA a erorilor relative de mAsurä ale mArimilor implicate. Factorii ponderatori pot fi calculati doar cunoscând forma explicita a legli utilizate.

(19")

Concluzia este, deci, cã atunci când se aduná douá numere, erorile absolute se adunà

3. Notiunj de calculul erorilor

Majoritatea mArimilor fizice se mAsoarA indirect, adicA se determinA prin calcul cu ajutorul unel formule In care intrA mArimi ce sunt mäsurate direct. Stiind erorile argumentelor trebuie sa calculAm eroarea care rezultA pentru functie, in special ne intereseazA eroarea maximA a func;iei, cunoscând erorile maxime ale argumentelor. Este comod sA notAm in cele ce urmeazA cu 4 modul erorii absolute i cu modulul erorii relative, adicA bx = I; - xj sau x0 - x = ±6x sau x0 = x ± Sx

b) Diferentà. AsemAnAtor sumei avem: f=x — y, f0 =x0 —y0 ,

f0_f=(x0_x)_ (YO _y)±8X±SY

Cazul cel mai favorabil are toe atunci când erorile absolute ale termenilor au semne opuse §i deci se adunA, de unde eroarea maximA: y) = Sx +,5y,

= Sx + S

(20)

ix — yi

Cazul diferenei este un caz particular al sumei algebrice de la punctul precedent (punânda= 1,b-l). DacA x i y sunt apropiati Intre ei, eroarea relativA maximA a dferen(ei va fi foarte mare (din cauza numitorului mic), chiar dacA erorile relative ale termenilor sunt mici.

20

21

Acest fapt trebuie totdeauna avut In vedere, evitc2nd determinarea unei mãrimi ca

Exemple:

dferentã a douã mãrimi apropiate.

1, 1) Modulul lui Young E se determinA pe baza a!ungirii Al a unui fir de lungime

Aadar i In cazul scdderii, erorile absolute se aduná.

i seciunea S0 supus fo4ei F:

c) Inmu4ire. Pentru un produs de doi factori avem: f=x. Y ffx 0y0_xy=x(y0_y)+y(x_x)+(xx) (yo ± Xy ± yx ± Sxy = ±xy ± yx

(24)

E=- S0 A1

)

de unde eroarea relativA maxima:

unde am neglijat ultimul termen, erorile find presupuse mici. Eroarea maxima (cazul cel mai nefavorabil) va fi: Sf s()XsY+Yjs,

E.

5(1-10 ).

CE —C +C10 +6 SO +Ci

= Sf = E +& Ixyi

(21)

= ll0

unde erorile fortei F (data de greutai marcate), a lungimii l

267

(24')

ll0

i a sectiunii date S0 pot Li

neglijate (6767).

Deci, In cazul Inmultirii a doud numere, eroarea relativd a sumei este egalà cu

2) Perioada pendulului simplu Teste data de formula:

suma erorior lermenilor din produs.

f=

f

(25)

T=2

d) Impàr(ire. Analog Inmultirii avem:

de unde eroarea relativä maxima:

y

fHOXYXO — xy0 y(x0 -x)-x(y0 -y) ±ySxxSy ±y8xxSy Y2 YO ± gy )

CT=C,r +

de

Jy5x+x8y

Sf

C,

2

= C + C,

1 2

1

Cg

2

(22)

actiunea greutäii mg, fie dinamic pe baza perioadei T oscilatiilor verticale ale greutaii: Mg

k=— sau k-4.ir x

Eroarea rezultantã este egala CU suma erorilor relative ale factorilor ImpAririi. e) Putere. Sã consideräm o functie putere f = x 2 , unde x este un numär real

2 M

k = m +C g +Cx Cx r

=X r (l±C)r

r

xr (1±rCx )_ xr =±rxrs

(26)

de unde eroarea relativä maxima:

exact. Atunci fo - f = x _r = (X ±Sx )r

(25')

El

unde erorile pentru it, g se pot neglija dacä !uãm un numär suficient de zecimale. 3) Constanta elasticà k a unui resort se determinA fie static pe baza alungirii x sub

unde eroarea maxima (cazul Cel mai nefavorabi!): Sf = (5

61+

sau ck =2e +Em +CT

T

(26')

unde se pot neglija erorile masei marcate m, a lui g §i it (luând un numãr suficient de zecimale).

de unde eroarea: Sf =

Sf = -5x' x' = Irlx'ex, Ci = x

In cazul unor func(ii oarecare, de exemplu, al funciilor trigonometrice, IrIE,(23)

deci eroarea relativä a unei puteri este egalä cu eroarea relativà a bazei Inmu4ità Cu

logaritmice, exponeniale etc., se aplicã calculul diferential, asimilând diferentialele cu erori (presupuse mici). Presupunem cä funcia este continua 1 Cu derivate pariale continue in domeniul

exponentul (In modul). Pentru functii!e simple de mai sus se calculeazã Intdi creterea absolutä i apoi CU ajutorul acesteia eroarea relativà. 22

Considerat.

23

He o functie de douä variabile f = fx,y), valoarea exacta find fo = f(x0 ,y0 ).

Aproape Intotdeauna aceste corectii sunt mici in comparaie cu märimea

Se dezvoltä functia In serie Taylor Injurul valorilor (x, y) pästrãnd doar termenii liniari:

mäsuratä. Dupã ce toate corectiile au fost introduse in datele pariale, se trece la calculul mãrimii necunoscute, pe baza formulelor fizice. Rezultatele se consemneazä In tabele.

ax

ay

f0_f±&

ax

± 1

a

i

Tabelele de date sunt necesare pentru prezentarea ordonatä i sugestivã a

Cazu! cel mai nefavorabil are bc atunci când erorile argumentelor au acelai semn

rezultatelor determinärilor experimentale. Existã reguli de intocmire a tabelelor de date

cu derivatele respective, de unde eroarea maxima: Sf=

care vor fi prezentate in cuprinsul acestui material. Inregistrarea datelor experimentale se face In tabele intocmite In prealabil. Once

ax

tabel trebuie sã cuprindä un cap de tabel. Capul de tabel:

Putem rationa i astfel. Anume, diferentiem functia:

V cuprinde In mod obligatoriu simbolul märimii fizice §i unitatea de mäsurä;

df=X+.Ldy+Ld,

ax

ax

ay

V este aezat in mod obinuit deasupra coloanelor rezervate datelor,

asimjlArn diferentjalele cu erori (considerate mici) d -* &.....i luani cazul ceb mai nefavorabil pentru a obtine eroarea maxima: 8f

=Z

sx

+l+

ay

iiI jazJ

dar poate fi plasat uneori i la stânga br; '7 poate cuprinde uneori formula de calcul utilizatà pentru obtinerea vaborilor din coloana respectivä.

(27)

Coloanele tabelului de date sunt rezervate fie märimilor considerate ca variabile

Putem obtine i pe aceastä cale formulele pentru functiile simple (19-23):

independente, fie datelor oblinute prin mãsurare, fie rezultatelor. Primele coloane din

a)f=ax+by, df__adx+bdy_f=JaI&+Ibl; b)f=x—y, df dy-8f&+8y;

stânga sunt rezervate pentru mãrimile independente, jar urmätoarele märimilor mäsurate.

c)f=xy, df=xdy+ydx8fjx+Jy1;

mäsurate. Tabelul de date poate avea un nume, care, de cele mai multe ori, descrie scopul

dy d)f=, df=if=W±lj8Y

pentru care sunt fcute mäsurätorile experimentale.

In fine, ultimele coloane cuprind rezultatele, de multe ori calculate in functie de märimile

Exemplu de Intocmire a unul tabel de date:

4. Prelucrarea i prezentarea rezultatelor màsuràtorior. Tabele V grafice 4.1 Prelucrarea datelor Dupa ce mãsurãtorile necesare lucrärii practice respective au fost efectuate,

Numir cureñt

Aparat I sau element utilizat

1 2 3

elem.I

Valoare constantà unitate de märA)

I

ccc\ II

Valoare Iinalà (untate de rnãsurä) 1 2

Mrirnê màsuratà (unitate de rnsurA)

Xx

13

I

urmeazà sã se determine mãrimea necunoscutã. Uneori, datoritä imperfectiunii metodei, Spatiu pentru rezultate

Spa;iu pentru date

trebuie sa se ia in considerare diferite corectii de lucru, care depind de conditiile de mediu: temperatura, umiditate, presiunea exterioarã, uneori de anumite erori sistematice

Cap de tabel plasat la stânga

In indicatia aparatului (corectia de zero) etc.

24

1

25

Cap de tabel plasat deasupra datelor

Valorile mãrimilor independente sunt trecute In tabel Inainte de efectuarea

V formatul hârtiei trebuie sä lie suficient de mare pentru ca aspectul curbei

experienei. Unitatile de mäsurã trebuie astfel alese Incât numerele care sunt trecute In

sä nu aibä de suferit (este recomandat formatul A5 sau A6);

tabel sä flu fie excesiv de marl sau de mici. Astfel, flu este indicat sã lie trecutä In tabel valoarea (t ) 0,0000043 (s), ci valoarea (t =) 4,3 (jis) sau valoarea (t ) 4,3 (lO s).

V intervalele de valori ale axelor trebuie astfel alese Incât curba obtinutã sä

Numàrul de zecimale cu care este trecutä in tabel o anumjtã mãrime trebuie sá

V aceasta Inseamnä i faptul cä valorile coordonatelor axelor nu trebuie sä

corespunda preciziei cu care ea a fost determinatä. Astfel, flu este indicat sã fie trecutä In tabel valoarea (v =) 23,4215867 (m/s), ci valoarea (v =) 23,4 (m/s) dacä precizia

Inceapã obligatoriu de la zero, find de preferat ca originea axei sà

lie repartizatä pe intreaga suprafaA a graficului;

corespundä celei mai mici valori reprezentate, jar extremitatea sa celei mai

mäsurätorii este de ordiriul a 1%. In fine, pentru facilitarea citirii datelor, pe aceeai

man;

coloanä, valorile prezentate vor avea acelai numAr de zecimale, iar virgulele care separã

V distanta dintre douä linii Ingroate pe hârtia milimetricä sau distanta dintre

zecimalele de Intregi vor fi plasate una sub alta.

douä linii aläturate ale caroiajului trebuie sä corespundä unui numär de

Reprezentárile grafice constituie de multe ori un ajutor important In efortul de a

unitati ale märimii reprezentate care sä permità reprezentarea Cu uurinã a

stabili corelatii matematice Intre datele experimentale. Curba obtinutä ca grafic poate

valorilor intermediare (de exemplu, In cazul hârtiei milimetrice, distanta

sugera adesea forma matematicã a legii pe care urmãm sä o stabilim in final.

dintre douä linii Ingroate poate corespunde la o unitate, la douä unitati, la

De asemenea, reprezentarea grafica a unor legi ale fizicii permite gäsirea cu

cinci unitati sau la zece unitãti, dar este nepractic ca ea sa corespundä la

uurintä a unor valori care ar fi identificate relativ dificil In tabele de date. Valoarea unei apte unitati); reprezentàri grafice std i in modul In care este fficutã. In continuare vor fi prezentate

V fiecare pereche de date se va reprezenta ca un punct pe suprafaa

explicaii care sã vä familiarizeze cu modul corect de realizare a unei reprezentãri grafice

graficului, jar acest punct va fi bine marcat (Insemnat, de exemplu, cu o

de calitate. Utilizând tehnica de calcul i programe adecvate (Excel, Mathcad, Origin

steluta);

etc.) se pot obtine reprezentäri grafice de foarte bunã calitate.

/ coordonatele punctelor experimentale nu se noteazá pe grafic (ele pot fi

In multe cazuri prezentarea sau chiar prelucrarea datelor experimentale este

deduse cu ajutorul marcajelor principale de pe axele de coordonate);

facilitatä de reprezentárile grafice. Avantajele acestora sunt:

curba experimentalä va fi trasatä printre puncte, läsând de o parte i de alta

permit observarea cu uurinta a variatiilor mãrimii studiate In raport cu cam acelai numàr de puncte;

variatia parametrului ales, evidentiind eventualele maxime sau minime;

v'

V este util ca trasarea curbei sä fie facutä cu un florar;

curba trasatä printre punctele experimentale este o reprezentare mai exactä

se va urmãri ca aspectul curbei

a legàturii dintre mãrimea studiatä §i parametru decât fiecare pereche de

de pantä sau de curburä;

date experimentale In parte;

V dacà un punct experimental este plasat mult In afara curbei, este

V sugereazä re!aia matematicä dintre märimea studiatä §i parametru.

recomandat ca mäsurätoarea respectivä sa lie refficutä;

Intocmirea unei reprezentàri grafice se supune unor reguli practice care vor fi

V dacä In acelai grafic se reprezintä mai multe curbe, ele vor fi trasate cu

prezentate in continuare:

v'

sa lie cat mai continuu, fàrä variatii brute

culori diferite, jar punctele experimentale corespunzätoare vor fi marcate

graficele se traseazä pe hârtie milimetricä sau pe caroiaje Intocmite

In mod diferit.

anterior;

IM

I

I

I

r

eENTAL4 $I1OTET' FACULTTjI DE FZIC

Având In vedere faptul cã, In foarte multe lucrãri care se efectueazä In laboratorul 12 1 14 1 16 1 18 1 20 1 22 124 26 2J f JY115129121 1 271281361351391710

de Mecanicä Fizicä, reprezentärile grafice sunt liniare, vom prezenta In continuare notiunea de panta dreptei.

- Valo rile nurner ice coresp unzätoare gradaçii.br axelor sunt prea dese ! (ar fi lost suficjent ca ele st lie marcate din cincj In cinci)

Panla unei drepte se poate defini ca find tangenta unghiului fàcut de dreaptä cu orizontala, mai exact cu once dreaptä paralela cu axa OX. Ea se calculeazä astfel: tga =

1

X1

- x2

ProprietAi: Douä drepte care au pantele egale, sunt ori paralele ori confundate. 14 4 5 6 7 8 9101 112131

Douä drepte care au produsul pantelor egal cu —1 sunt perpendiculare. '--- Curba este obnuta prin unitea punctelor experimentale

Metoda celor mai mici pãtrate sau metoda regresiei liniare este utilizatä pentru

Doziienjul de vaboi'j al fiecàrej axe este prea mare, astfel Incãt curba flu este distribuitä In Intreaga suprafaä a graficuluj! I I WJJ(

r;!1

trasarea graficelor. 0 curbä experimentala se traseazä printre punctele experimentale,

ttTi?-

Iãsând de o parte i de alta cam acelai numär de puncte. Metoda celor mai mici patrate permite gàsirea traseului cel mai puin departat de fiecare punct in parte, dar care este

Graficul X=f(Y)

totui o curbä continua, fàrã variatii prea brute.

50

Y(u.rn.)

Fitarea datelor experimentale este procedeul prin care dintr-un ir de date

Puncte experimentale

41

experimentale se pot trage concluzii cu privire la forma matematicã a unei anumite legi a

40

35

fizicii. In esentä, fitare (din englezä: to fit - a potrivi) Inseamnä sà cauti functia 30

matematicà care sä ofere cea mai bunã corelare Intre datele experimentale.

25

J'

20

12 14 16 18 20 15 29 21 27 28

Y X

Trebuie mentionat Ca funcia gäsitã prin fitare nu este

22 24 26 2J 36 38 39 5O1

i In mod necesar

adevärata lege dupã care decurge procesul respectiv! In functie de domeniul de valori al 10 \

15

20

25

Curbä trasatã printre puncte vi i

flTIFL

g

j' n *

30

parametrului experimental se pot gäsi formule aproximative, valabile doar In domeniul

X(u.i) n

considerat. Diferitele metode de fitare sunt integrate In programe de calcul cum an fi

rtiiij

Excel, Mathcad, Mathiab, Origin i altele.

28

1

29

5. Analiza dimensjonalà

Forma cantitativà a unei legi fizice poate fi exprimatä in douä moduri diferite:

5.1 Introducere

V

formula matematicä, adicä relatia matematicä dintre mArimile fizice: A0 =F(A,,A2 . ...... A)

Scopul fizicii este acela de a stabili legile In virtutea cärora se desffioarà procesele din naturã. Aceste legi pot fi exprimate atât sub formä calitativà cat i sub

V

formula fizicá, adicã relatia matematicã dintre valorile märimilor fizice:

formä cantitativã. Forma ca!itativä a unei legi fizice este de cele mai multe ori prea vagä pentru a avea ap1icaii practice. De aceea, este necesarã stabilirea unei forme cantitative pentru fiecare lege a fizicii.

a0 =f(a1 ,a2 ....... an) In general, determinarea unei legi a fizicii se face pe cale experimentalá, gasindu-se corelatiile Intre valorile märimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt

Forma cantitativä a unei legi a fizicii este o relatie matematicä Intre märimi fizice mäsurab lie.

stabilite utilizând unitäti de màsurä specifice fuecäreia dintre mãrimile fizice

Märimiie fizice mäsurabjje sunt, aa cum le spune i numele, acele mãrimi fizice care pot fi mäsurate. Iatã definitia mAsurãrii: mãsurarea unei märimi fizice inseamnä compararea ei cantitativä cu o märime fizicã de aceeai naturã, aieasã ca unitate de

moment dat se numete sistem de unitäti de mäsurã.

mãsurã.

implicate. Totalitatea unitätilor de mAsurä ataate märimilor fizice cunoscute la un Dacä unitãtile de mäsurä aparinând unui sistem de unitati de mäsurä sunt definite in mod arbitrar atunci sistemul de unitati de mäsurä se numete incoerent. Folosirea unui sistem de unitãti de màsurá incoerent genereazä neajunsuri In

Vom folosi In continuare urmätoarele notatii:

ceea cc privete relatia dintre formulele fizicä i matematicä ale unei legi a fizicii.

A = mãrimea fizicä mãsurabjlä

Eliminarea discrepantelor Intre formula fizicä §i cea matematicä este aceea care

= unitatea de mäsurä

impune reducerea la minimum posibil a märimilor fizice care au unitati de mäsurã alese

a = valoarea numericä rezu!tatä in urma mäsurãrjj.

arbitrar.

Intre aceste mãrimj existA urmAtoarea relatie:

Dacä Intr-un sistem de unitati de mäsurä numärul marimilor fizice fundamentale este cel mai mic posibil, sistemul de unitati de mãsurä se numete sistem coerent de

A

unitáti de mäsurä. Evident, aceeai märime fizicä poate Ii mAsuratä cu douä unitati de mäsurä diferite: A a,=—; a2 (A),

A

Dacä existä N märimi fizice distincte i n legi fizice independente, obtinem n relatii Intre unitàtile de mäsurä ale celor N märimi fizice, numärul märimilor fizice fundamentale devenind egal cu diferenta N– n. Notãnd märimile fizice fundamentale cu

(A)2 F,F2 ........... FN fl

Fãcánd raportul celor douä valori numerice, rezultã: a, - (A)2

i unitãile br de mäsurä (stabilite arbitrar) cu:

a2 (A)1

(F),(F2)............. Relatia (28) a primit denumirea de teorema fundamentalä a unitàtiior de mäsurã i se enuntä astfel : mãsurând o mãrime fizicã cu douä unitäti de màsurã diferite, raportul valorilor numerice obtinute este myers proportional cu raportul celor douä unitati

In istoria §tiintei i tehnicii s-au fobosit diverse sisteme coerente de unitati de màsurä. Utilizarea br simultanä putea duce la confuzii. De aceea prin hotärârea Conferintei Generale de Másuri i Greutáti (Paris, 1960) s-a adoptat un sistem de

de mãsurã, fund independent de mãrimea fizicã màsuratä. 30

31

U

Unitatea de cant itate de substanfã:

unitati de mãsurA unic pe plan international. Acesta poartA denumirea de Sistemul International de Unitati de Mils sau, prescurtat, SI.

Molul

este cant itatea de

substanfã a unui sistem care confine atátea entitáfi elementare cáfi atomi

Sistemul International este un sistem coerent care cuprinde apte mãrimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale acestui sistem de unitäti.

existã In 0,012 kilo grame de carbon 12 (12C). (De cáte ori sefolosete molul,

Tabelul urmätor cuprinde lista märimilor fizice fundamentale ale Sistemului

elect roni, alte particule sau grupuri specUlce de asemenea particule.) Candela este intensitatea > Unitatea de intensitate luminoasà:

entitáfile elementare trebuiesc specficate, ele putdndfl atomi, molecule, ioni,

International: Marimea fizica Lungime Tim MasA Temperatura Cantitate de substantä Intensitate curent electric Intensitate luminoasã

Simbolul dimensional L T M 0 v I I E

Unitate de masura metru secunda kilogram kelvin kilomol amper candela

luminoasá, Intr-o direcfie data, a unei surse care emite o radiafie monocromaticã cu frecvenfa de 540.1012 hertzi yi a càrei intensitate

Simbolul unitàtii de masura m s kg K kmol A cd

energeticä In aceastã direcfie este 1/683 dintr-un watt pe steradian. Toate celelalte unitãti de màsurä utilizate de Sistemul International sunt unitäti de mäsurä derivate (de exemplu, viteza se mäsoarA In metri pe secundä). Sistemul metric (folosit pentru prima oarã dupä Revolutia Francezä din 1789) a urmärit exprimarea simplä a multiplilor sau submultiplilor unitatilor de mäsurã fundamentale.

bate cele apte unitäti de mãsurä fundamentale sunt definite In mod arbitrar.

5.2 Omogenitatea dimensionalã a legilor fizicil, formula dimensionalã a unei märimi fizice

Definjtjj unitati S.I. fundamentale: > Unitatea de lungime.

Fie un sistem de unitati de mäsurä coerent i fie F 1 , F2 ........., Fm märimile fizice Metrul

este lungimea drue'nului

fundamentale ale acestuia. Fie de asemenea formula matematicä A0 = f (Al ,A2. ..... ,A)

parcurs de luminà In vid in timpul de 1/299 792458 dintr-o secundá. Unitatea de math:

i formula fizicã a0 = f (a l ,a2 . ......,a) ale unei legi a fizicii. Deoarece sistemul cie un1ta1

Kilogramul este masa egala cu masa

de mäsurä este coerent, forma matematicä a celor douä formule este identicä. In aceastã

prototipului international. > Unitatea de timp:

situatie, unitatea de mäsurã a mãrimii A0 se exprimä astfel:

Secunda este durata de timp a

— f (Al ,A2. ...... ,A) 1A°1 \ - f(a1 ,a ...........,a)

9192631 770 perioade ale radiafiei intre douã nivele de energie hiperfine ale stáriifundamentale ale atomuluj de cesiu 133 (1 33Ce). > Unitatea de curent electric:

Unitatea de mäsurä (AO ) flu poate depinde de valorile particulare a1, a2,..., a pe

Amperul este intensitatea unui curent

electric constant care, menfinut In douà conductoare paralele, rectilinii,

care le iau märimile fizice A1, A2.....

cu lungimea infinitdyi cu secfiunea circularà neglabila, aezate in vid la

. Rezultä Ca legea fizicä a0 = f (a l ,a2. ....... ,a)

trebuie sä fie o functie omogenä In raport cu unitätile de mäsurä ale märimilor fizice de

o distaná de un metru unul de altul, ar produce Intre aceste conductoare

care depinde:

ofortà de 2-10 dintr-un Newton peflecare metru de lungime.

f(AI,A2. ...... A)_—f(a1(A1 ),a2(A2 ) ...... a(A))=(Ai)a1 .(A2) ..... Af(a1 ,a2 . .....an)

> Unitatea de temperatura termodinamicã:

Kelvinul este fracfiunea 1/273,16 din temperatura termodinamicá a punctului triplu al apei.

Aceastã cerinta care trebuie satisfàcutã de legea fizicä se numete conditia de omogenitate. Dacä conditia de omogenitate este satisfficutä, rezultä:

32

1

33

(AO )=(AI ) c" .(A2) "2

.(A"

V=

M; [g [91s, = [vlsi = ; [h 1 = L; [rn]51

functie de unitatile fundamentale, conform relatillor: (Ak )

=( F

)(OIk (F2 )21(Fm )

Formulele dimensionale ale mãrimilor care intervin sunt:

•

Pe de altä parte, unitatile de mãsurA derivate (A0 ),(A1 ) ........ ( A), se exprimã In

f(h,m,g

k

Conform conditiei de omogenitate dimensionalä avem:

•

Formularea conditiei de omogenitate:

[v] =

Termenii unei expresii matematice, care corespunde unei legi a fizicii, trebuie sä

sau:

aibà acelai grad de omogenitate in raport cu flecare dintre unitàtile de mãsurA

[h]a, [m]a2 [g]a3

= La ML)a3

fundamentale. Conditia de omogenitate este independenta de unitätile de mäsurä ale

sau:

màrimilor fizice fundamentale ale sistemulul de unitati de mäsurä.

L1T1M° = Lct+a2T_2a3Ma2

Deoarece conditia de omogenitate depinde doar de alegerea märimilor fizice

Dimensiunile sistemului de unitàti de mãsurä sunt mãrimi independente,

fundamentale, putem introduce notiunea de dimensiune asociatá unei märimi fizice

ceea ce are drept urmare faptul cä exponentii br din membrul stâng

fundamentale Fi, notatã [Fi].

trebuie sa fie egali cu exponentii din membrul drept at expresiei:

5.3 Metoda Rayleigh

a1 +a3 —2a3 z—1

Sã presupunem Ca suntem In situatia in care trebuie sã determinãm expresia exacta

a2 = 0

a unei legi a fizicii, Inca necunoscutã, de forma: Solutiile acestui sistem de ecuatii sunt: A0 =f(A1 ,A2 ............. ,An )

a1 =1/2, a2 -0, a3 =1/2

Existä o infinitate de rela;ii matematice posibile Intre märimi!e fizice A0, A 1 ,.. •

Nu toate aceste relatii matematice au i sens fizic, ci doar expresiile care verificä

11/21

]a

101

11/2

' = 1hj mj gj [v]

conditia de omogenitate: [A0 ]ao = [A,

Rezultà cã relaia de omogenitate are forma:

sau:

[A2 ] ......[A ]a

Pentru a Inelege cum putem utiliza conditia de omogenitate dimensionalã, sã Se §tie cà legea vitezei cãderii libere a unui corp In câmpul gravitational

examinãm In continuare douã exemple:

terestru este:

Exemplul 1 •

Sä considerãm cä viteza v cu care atinge solul un corp läsat liber la o Inaltime h depinde i de masa sa m i de acceleratia gravitaionala g.

•

Frecãrile se pot neglija.

•

Cäutäm o lege a fizicii de forma:

Exemplul 2

34

Determinati formula dimensionalã a lucrului mecanic.

1

35

LUCRAREA I PENDULUL MATEMATIC

Rezolvare: •

Formula de definjtje a lucruluj mecanic este:

L = Fd•cosa •

Obiectivele experimentului:

Prin urmare, formula dimensionalä este:

determinarea perioadei de oscilatie a pendulului matematic In

[U = [F][d][cosa] •

Dimensiunea deplasarii d este lungimea L, iar functia cosinus este adimensionalã: [cos a] = 1. Pentru a gäsi dimensiunea fortei, vom utiliza

Teoria Iucrãrii

principiul fundamental a! dinamicii:

Pendulul matematic este un corp idealizat, format dintr-un punct material de

F=m•a •

functie de lungimea sa §i amplitudinea unghiularä.

[F]=[m][a]=M[a]

Folosind definitiile acceleratiei i vitezei, mai obtinem:

Av a= — => At

[Av] [Av] [At] T

v= — At

[A ]L

masã m suspendat de un fir uor extensibil de lungime 1. Deplasat din poziia de echilibru cu unghiul 0 i läsat liber, pendulul va oscila Intr-un plan vertical sub actiunea gravitaiei.

[At] = T

Rezultã: L [a]= --, [F]= ML In final: [U]=

- = L2 T 2 M1 . T2

r

Mg Fig. 1. Reprezentarea schematicä a micärii pendulului matematic

Din legea conservärii energiei, cu notatiile din figura 1, rezultä: 12[d0]

+ 2- g -1 (i - cosØ) = E0 = const.

(1)

Deoarece viteza unghiularã dispare la punctul de revenire, când 0 = a obtinem pentru E0 : 36 37

E0 =2.g.1(1—cosa).

Perioada este mäsuratä cu ajutorul unui numärätor

barierä de luminã.

Lungimea firului se mãsoarä CU ajutorul Unei rigle gradate.

Astfel, din (1) se obtine: T[T

CU

dØ

Cos s 4VggJ( 0_co )

Deoarece k

=

Modul de lucru Variatia perioadei cu lungimea

sin a/2, perioada obtinuta devine:

Se suspendä bila de fir i se ateaptä câteva minute deoareCe firul se

T=4/I.f _dØ \Ig

Il_k2 sin 2 Ø

=4i'K(k).

alungete uor. Se mäsoarä apoi lungimea pendulului. Se mäsoarã perioada de

\Ig

oscilatie a pendulului matematiC pentru diverse lungimi ale aCestUja (lungimea

Uncle K este integrala eliptica totalä de ordinul 1.

pendulului se poate modifica spre exemplu In pai de 1-2 cm) §i pentru unghiuri mii

Dezvoltând In serie vom obtine pentru K(k)

T=2ff

\!g

Il+Isjfl2+.. 4 2 J

de deviaçie (a !~ 40) Se calculeaza acceleratia gravitaionala loCalä

Pentru valori mici ale lui a (a < 40)

40

2!

(4)

g= T2 (3)

\ig

ajutorul

relatiei:

(2)

T=2c/_

CU

Se reprezintä grafic patratul perioadei In functie de lungimea pendulului,

T2 Dispozitivul experimental

= YI f(l), obtinându-se astfel o dreaptä. Din panta dreptei, tga X — x1 2 -

=

,

se

determinä valoarea acceleratiel gravitaionale CU formula:

Montajul experimental al lucrärii este prezentat In figura 2. 0 bilã de otel este suspendatã de un fir i prinsä la celälalt capät Intre douã cleme preväzute cu un urub.

ggrafic =

tgc%

Datele experimentale se tree Intr-un tabel de forma:

Nr. exp.

1 (m)

T(s)

m

g(--)

_m

g (-i-) S

ggrafic

m S

1. 2. 3. 4. 5.

Se vor calCula valorile erorilor absolute §i relative maxime pentru g,

Fig. 2. Dispozitivul experimental pentru determinarea

determinat cu relatia (4), pentru fieCare valoare aleasä a lungimii pendulului 1.

perioadei de oscilatie a pendulului matematic 38

1

39

Variatia perioadei cu amplitudinea unghiulara

LUCRAREA II

In aceastä parte a experimentuluj se va studia dependenta perioadei unui

CADEREA LIBERA

pendul simplu functie de amplitudinea unghiulara a (unghiul de lansare), mentinãnd lungimea pendulului fixA. Se noteazä Obiectivele experimentului: To = 2 1-r

(5)

C~ I -

mäsurarea timpului de cädere a unei bile metalice Intre magnetul care

Din relatia (2) se obtine:

tine bila §i placua de contact pentru reprezentarea graficä a Inältimii

T I 2a 9 . 4a — =i+ ---sin — +—s n —+.... 4

functie de timp - h =

(6)

2 64 2

> verificarea proporiona1ith4ii intre Inaltimea de cädere i patratul Mai Intâi se va determina perioada To pentru o amplitudine unghiulara de 4 0. In continuare se vor face mäsurãtorj ale perioadei pentru unghiuri de 40°, respectiv 500. Datele experimentale se vor trece In unnãto1 tabel:

100,

timpului de cãdere

200, 300,

-

h = f(t 2 );

determinarea acceleraçiei gravitaionale.

Teoria Iucrãrii a

T(a)

sin

2 a

Atunci când un corp cade In câmpul gravitational al Pämântului de la

°

2 inältime h, acesta are o acceleraie constantä g atâta timp cat distanta este mica §i sunt neglijate frecärile. Acest tip de micare se numete cädere liberã. Dacã corpul cade la momentul de timp t0

Cu datele din tabelul de mai sus se va reprezenta grafic perioada T In functie de sin2

=

0 cu viteza initiala v0

=

0, distanta parcursä In timpul

I

este

data de relatia: .

Aspectul graficului obtinut este o dreapta, ca In figura 3.

(1)

h =g t2

T (s

Astfel, cäderea liberã este un exemplu de micare uniform acceleratä. In acest experiment, o bilã de metal este suspendatä de un magnet. Datoritã fo4ei gravitaçionale (2)

F=m•g

(unde m este masa bilei), aceasta cade liber Intr-o micare uniform acceleratã din momentul in care electromagnetul este Intrerupt. In acest moment Incepe inregistrarea electronicä a timpului. Dupä ce a cäzut de la o inaltime h, bila lovete o placua de contact oprind srn -

-

mäsurarea timpului §i indicând timpul I de Were libera. Utilizând diferite valori

I

Inältime timp, se reprezintä grafic Inältimea de Were in functie de timp. Relaia (1) -

Fig. 3. Perioada pendu!ului matematic in functie de unghiul de deviatie

poate fi folositã pentru a determina acceleratia gravitaionalä g. 41 I

Modul de lucru Se pornete de la Inalimea h =I 00cm Intre marginea inferioarã a bilei i placua de contact. Se seteazä numärãtorul pe modul de operare tEF apãsând pe cheia MODE de câteva on. Se apasã cheia START astfel Incât ledul asociat sa lumineze. Se aduce placua de contact prin apäsare In poziia zero. Se apasä cheia electromagnetului rapid pentru a pomi cäderea liberA a bilei. Bila va lovi placua de contact i se va citi timpul de cãdere. Se va reduce Inältimea de cädere din 5 In 5cm prin coborârea magnetului, de fiecare data aducând placua de contact in pozi;ia zero i resetând numärätorul prin apäsarea tastei START. Dupa efectuarea mäsurätorii, se suspenda bila de electromagnet i se reia experimentul. Datele obtinute experimental se vor trece Intr-un tabel de forma: h (m)

Nr. det.

g=

t2 (s)

t (s)

(mis2)

(m/s2)

gg,afi, (mls7j

Fig. I. Montajul experimental pentru determinarea acceleratiei gravitaionale

Exemplu de mäsurãtoare In tabelul 1 este redat un exemplu de mäsurätori ai timpilor de Were t pentru

Dispozitivul experimental

diferite inältimi h.

Montajul experimental este reprezentat In figura 1. Acesta este format din:

Tabelul 1 un electromagnet preväzut cu un mecanism de Intrerupere; h (cm)

t (ms)

h (cm)

t (ms)

V bilä metalica;

100

458

50

328

" numärätor;

95

448

45

311

V bare de sustinere;

90

437

40

292

85

424

35

273

80

411

30

256

75

398

25

233

70

384

20

209

65

374

15

184

electromagnet folosind urubu1 aflat la capätul electromagnetului. Se va aeza p1acua

60

357

10

149

de contact in poziia zero (aezatä orizontal Intrerupatorul este inchis).

55

343

5

106

V placu;a de contact;

V cablurj conductoare. Pentru realizarea experimentului bila este suspendata de electromagnet i aliniatä astfel Incât aceasta In cädere sA loveascä exact suprafaa neagrã de impact de pe pläcua de contact. Se va avea In vedere ca bila astfel suspendata abia sä adere la

42

so

T

-

43

Rezultate

acceleratä. Prin urmare Inàl;imea h parcursä de bilä flu este o functie liniarä de timp t.

a) Iná4imea de cãdere h = I 0 cm, 4 0cm, 90cm.

Acest lucru este confirmat de parabola obtinutä pe baza datelor experimentale.

Cu valorile din Tabelul 1 se obtine: t(40cm) - 0,292s 1,96;:z:; 2 t(lOcm) - 0,149s t(90cm) 0,437s = 2 93 3 t(lOcm) 0,149s In cazul In care distantele de cãdere se gäsesc In raportul 9:4:1, raportul 05

timpilor de cãdere este 3:2:1. Aceasta Inseamnä cã Inaltimea de Were este proporiona1ä cu patratul timpului de Were. Se va calcula g pentru diferite Inaltimi, jar rezultatele vor fi reprezentate Intrun grafic de forma prezentatä In figura 2.

03

0,2

0.1

O4

0,5

Fig. 3. Reprezentarea grafica a Inã!imii functie de timp - h = f(t)

Reprezentând Inältimea de cädere In functie de pätratul timpului de cãdere h = ft2) se ob;ine o dreaptá, ca In figura 4.

ci

h(m) 1,0

045

ti O

14

n; n

h(m) 0.0 4g::z 0

-$ 0,1

0,2

Fig. 2. Valorile !ui g In functie de h

., t (s)

f(t 2 ) Fig. 4. Inältimea de cädere In functie de patratul timpului de cädere h =

b) Reprezentarea graft-ca In figura 2 este reprezentat graficul Inältime In functie de timp - h = f(t) pe

Din graficul figurii 4, se calculeazä panta dreptei rezultând:

baza datelor din Tabelul 1. Datoritä fo4ei gravitaçionale, bila are o micare uniform

44

(3)

g = 2tga

I

'a

45

Observatie In evaluarea de mai sus

LUCRAREA III flu

a fost luatã In considerare intârzierea de câteva

PENDULUL MACH

milisecunde dupa apäsarea tastei Start. De aceea bila trebuie abia sa fie reinutã de electromagnet.

Obiectivul experimentului:

Totodatä, pläcuta de contact oprete mãsurätoarea timpului dupa ce a fost

> mãsurarea perioadei de oscilatie a unui pendul In functie de unghiul de

lovitä de bilä cu o anumitä Intârziere. Dacä este luatä In considerare o Intârziere totalä

Inclinare a planului de oscilatie.

de 7,5 ms, valoarea mãsuratã a acceleratiei gravitaionale va corespunde Intr-o mai bunã mãsurä valorii sale reale.

Teoria lucrãrii Pendulul Mach este un pendul al cãrui plan de oscilatie poate fi Inclinat, astfel Incât oscilatiile se produc numai sub actiunea acelei componente G' a greutãii G, care este situatä In planul de oscilatie (figura 1). Intr-adevãr, In fiecare moment putem descompune greutatea G = m g In douä componente: G'= mg cos fi, continuta In planul de oscilatie §i G = mg sin ,8, perpendicularä pe planul de oscilatie. Ultima componentä este anulatä de reactiunea legaturilor rigide (a, b din figura 1), astfel Incât perioada oscila;iilor este determinatã de Gt= mg cos fi = mg: T =2

Fi.

T' 2

g

=2

fl 2 gcos/3

(1)

de unde (2)

= cos/3

unde T este perioada de oscilatie a pendulului in poziie normalã (neInclinat), iar T' este perioada de oscila;ie a pendulului Inclinat cu unghiul ,8 fata de orizontala locului. Astfel se poate verifica, In ace1ai bc pe suprafaça Pamãntului, legea dupä care perioada de qf cilatie a unui pendul este myers proporionalä cu rädäcina pätratA din acceleratia gravitaionala. Acesta este §i scopul lucrärii de fad.

Dispozitivul experimental Corpul G este suspendat prin douä tije rigide, a i b, astfel Incât este obligat sa oscileze In jurul axei AB, planul de oscilatie find planul mediator al segmentului AB (figura 1). Cadrul rigid ABCD poate fi Inclinat cu diferite unghiuri fi faä de orizontala locului. Componenta G'= mgcosfl din planul de oscilatie rämâne permanent paralela cu latura AD sau BC. Situându-se in planul de oscilatie, vom avea un pendul obinuit supus fo4ei gravitaionale G'= mg cos ,8. 46

1

47

A'

(perioadele T'). Se vor considera unghiuri de Inclinatie ce variazä din 50 in 50 pâna la 700. Raportul patratelor perioadelor trebuie sä fie egal

A

cu cosinusul unghiului de inclinatie 13 ales. In locul perioadelor se pot lua direct duratele unui numãr egal de oscilatii In cele douä pozitii. Rezultatele experimentale se vor trece in urmtoru1 tabel: -4

13(°)

cosf3 (din tabelul trigonometric)

T2/T2

T'(s)

T 2 /T 2 —cos/3 (eroarea absolutä)

0 5 10 Fig. I. Reprezentarea schematicã a pendulului Mach

15

a) Vedere laterala b) Vedere In planul de oscilatie

25 30

In figura 2 este reprezentat dispozitivul experimental utilizat In realizarea

35

acestei lucräri.

2. Cu ajutorul datelor din tabelul de mai sus se va reprezenta grafic perioada T' In funcie de unghiul P. Alura graficului obtinut este prezfntatä In figura 3.

T' (s)

18 17 16

Fig. 2. Pendulul Mach

1.5 1.4

Modul de lucru

1.3

1. Scopul lucrärii este verificarea relaIiei (2). Pentru a determina perioada

1.2

de osci1aie, se mäsoarä timpul unei serii de circa 10-20 oscilatii mici

11

(pentru a fi izocrone) §i se Imparte acest timp la numärul oscilatiilor

I .0 10

respective. Mãsurätoarea se realizeazä cu pendulul in pozitia normalä,

10

20

40

30

50

60

f

u

IJ

Fig. 3. Reprezentarea grafica a perioadei In functie de unghiul 0

neInclinat (perioada 1) i apoi cu pendulul Inclinat cu diferite unghiuri 48

0

11

49

3. Considerând g = 9,806ms 2, din perioada T a pendulului In pozi;ie normalä se va determina A. Se va compara A cu lungimea geometricä L

LUCRAREA IV PENDULUL FIZIC

a pendulului. Lungimea L se mäsoarã Intre axa de suspensie i centrul corpului suspendat de cele douã tije.

Obiectivele experimentului: 4,2

(3)

determinarea perioadei de oscilatie a pendulului fizic; > determinarea momentului de ine4ie a pendulului fizic;

L

T(s)

> verificarea teoremei lui Steiner. L(m)

(m)

Teoria Iucrãrii Se numete pendulfizic un corp montat In aa fel Incât sä poata oscila intr-un plan vertical, in jurul unei ax care nu trece prin centrul säu de masä. In figura I este

4. Cu valoarea A astfel determinatã se va trasa grafic, folosind relatia (1), curba teoreticã T = T(/3).

prezentat un astfel de pendul. Corpul C având o formä oareeare este suspendat In punctul 0 §i poate oscia cu frecäri neglijabile in jurul unei axe care trece prin acel punct. Fie OCG punctul care marcheazä centrul de greutate al corpului. In poziia de echilibru, centrul de greutate se gasete pe verticala ce trece prin punctului de sustinere (In figura 1 - dreapta 00'). Dacã punctul OCG se aflä pe verticalã sub punctul 0, atunci echilibrul este stabil. Actionând cu o fortà exterioarä putem scoate corpul din poziia de echilibru prin rotirea lui cu unghi 0 In plan vertical In jurul axului cc trece prin 0.

Fig. 1. Pendulul fizic 50

/

51

La Inlãturarea acestei forte corpul rämâne sub actiunea greutãii (G) §i a reactiunii N a axului de rotatie. Componenta Gi a fortei de greutate produce un

aditionale (discuri). Cadrul poate oscila pe un suport In jurul unei axe formate din

moment de rotatie at corpului, care urmärete sã-1 aducä In pozitia de echilibru. Acest

reglabila Intre ele. Axa de oscilatie coincide cu dreapta care unete vârfurile ascutite

moment de revenire este:

(figura 2). Aparatul este perfect simetric In raport cu axa de oscilatie. Pus pe suportul

M=—mgsinO

li

In care m este masa corpului, jar h este distanta de la centrul sau de greutate la axa de rotatie. In cazul deplasarilor mici sin 0 0 §i pendulul se aflä In aa numitul regim

douã tije cilindrice (aezate pe rulmenti) având douä vârfuri ascutite cu distanta

sau, cadrul este In echilibru indiferent. La aparat se pot ataa 8 mase cilindrice (discuri) identice, fiecare având m

=

100g.

Cu acest aparat vom verifica formula perioadei pendulului fizic, realizând 4 seturi de mäsurätori.

de amplitudini mici, când: M=mgh0

(2)

i pendulul oscileazä armonic, de o parte §i de alta a poziiei de echilibru. Perioada de oscilatie a pendulului se aflã din ecuatia diferentialã de micare: d 20 dO 2 In care I reprezinta momentul de inert ie at corpului fatä de axul ce trece prin 0. Din relatiile (2) i (3) rezultä:

dt 2

(4)

I

Coeficientul derivatei de ordinul zero a lui 0 se noteazä cu a

i reprezintä

patratul pulsaiei proprii a pendulului fizic; se vede Ca ecuatia (4) reprezintä, de fapt, ecuatia diferentialä a oscilatorului armonic: d 28

(5)

Solutia generala a ecuatiei diferentiale (5) poate fi scrisä sub forma realä astfel: 0 = 0 sin(w0t + q;)

Fig. 2. Dispozitivul experimental pentru studiul pendulului fizic (6)

in care constantele Om §i p reprezintä amplitudinea i, respectiv, faza initiala a micärii, ele putând fi determinate din conditiile initiate ale micärii. Având In vedere notatia facutä pentru pu1saie, putem determina perioada de

Modul de lucru 1. Determinarea momentului de inertie al cadrului Se va determina momentul de inertie, I, at cadrului cu ajutorul a 3 mäsurätori de piioade de oscilatie.

oscilatie a pendulului fizic §tiind cä w = 2r/T vom obtine: T

=

2r

v ~gh

a. Se introduc 2 mase (o pereche) aditionale pe latura mica a cadrului. Se pune pendulul In oscilatie §i se mãsoarã perioada, cronometrãnd timpul mai multor oscilatii (de exemplu 20-50 oscilatii) §i impãrim la numärul br.

Dispozitivul experimental Aparatul se compune dintr-un cadru dreptunghiular rigid §i uor, format din tuburi de duraluminiu. Laturile mici au prelungiri pentru introducerea unor mase 52

T = 21r

110 +2md2

(7)

\l 2mgd 53

unde m

lOOg este masa unei greutäi aditionale §i d

=

=

335mm

2. Verificarea teoremei Iui Steiner

este distanta de la

latura mica pâna la axa de rotatie.

a. Se introduc In orificiile laturii mici douä tije subtiri fiecare de masä

In relatia (7), sub radical la numitor, flu apare masa cadrului, deoarece

m'

centrul sau de masä este chiar pe axa de rotatie. Intr-adevär, MR0

m, R0,

=

=

+(2m)d = 2md, §i RoC0d,

mcad Rocad

=

=

50g i lungime / =,..5-1n. Pentru toate mäsurätorile care urmeazä

tijele flu se vor mai scoate.

/

b. Se mäsoarä perioada de oscilaie a sistemului:

0.

k

Din relatia (1) rezultä momentul de inertie al cadrului:

2md

(1T2 -

(13)

T = 27r /I+2i'

V

d

(8)

2m'gd

de unde rezultä momentul de ine4ie I' al unei tije fa;a de axa de oscilaie:

It)_Ii__T2mtd_I) 22 7T 2

Aici se poate face aproximaia numericã g

(14)

-

b. Se repetä experimentul adAugând Inca o pereche de mase aditionale alãturi

c. Pe de altã parte, conform teoremei lui Steiner, acest moment trebuie sä fie:

de prima pereche. Astfel,

T2

=

fIo+4md2

2;r

P=m'd 2

4mgd

12

Se va calcula acest rezultat teoretic (15) §i se va compara cu cel experimental

de unde

(14), evaluând procentual discrepana. 10

(numeric g

(15)

=

4md.(472 _dJ

Rezultatele se vor trece In tabelul urmätor:

(10)

r 2 ).

T(s)

c. Se repetä experimentul prin adaugarea unei a treia pereche de mase

P, (kg- M2) teoretic din relatia

I' (kg- m2) experimental din relatia I _ 1 I-1 _T2mTd_J ') 22,r2 )

I'=m'd 2

12

aditionale pe latura mica opusa a cadrului:

= 27r

r

3. Verificarea dependentei perioadei de momentul de inerie

6md 2mgd

Perioada pendulului este propo4ionalä cu rädäcina pätratä din momentul de

Aici douä perechi de mase aezate simetric pe laturile mici opuse, au CM pe

-

J7.

Trebuie realizatä condi;ia ca momentul greutäii pendulului faä de axa de

axa de oscilatie de aceea nu contribuie la numitorul formulei perioadei (11).

oscilatie (Mg]?o) sä fie ace1ai, adicã numitorul din formula perioadei sä fie acela.i,

Din relatia (5) rezultä din nou: '0

ine4ie al pendulului fata de axa de rotatie T

= 2md(iT2 _3dJ (g 3 4 )r '

schimbândt-se numai momentul de inertie. Astfel se obtine:

2)

(12) T1

d. Se va calcula media (aritmetjcä) a celor 3 rezultate obtinute pentru momentul de inerie Io al cadrului. Rezultatele se vor trece In tabelul urmãtor:

T2

F7 ~

T2

sau

T22

(16) 12

Aceastä conditie se poate realiza cu pendulul respectiv in douä variante:

A.1 Se adauga o pereche de mase aditionale pe latura cu tije: T1 (s) T2 (s)

T3 (s)

I

(kgm2)

j2)

(kg

j3) (kg

1 (kgm2) T

54

(17) 21' = 20 (2m'+2m)gd

55

• A.2 Se mai adauga câte o pereche de mase aditionale pe fiecare laturä

LUCRAREA V

mica. Prin aceasta momentul greutäii pendulului flu se schimbã, deoarece cele 2 + 2 mase adaugate simetric au CM pe axa de oscilatie: T2 - 2,r -

+6md2 F2+

(18)

2m)gd

PENDULUL MAXWELL

Obiectivul experimentului: determinarea experimentalä a momentului de ieii_ al discului

• A.3 Se face raportul pätratelor celor douA perioade: T22 - I + 21'+6mc12 T 2 10+21T+2md2

Maxwell §i compararea valorii obtinute Cu cea calculatä. (19)

Teoria Lucrãrii Se va calcula membrul stâng i cel drept din relatia (13) cu ajutorul rezultatelor experimentale obtinute Inainte pentru T1,

T2, 10,

I' i se vor compara Intre

ei cei doi membri astfel calculati. •

Corpul solid rigid este un sistem de puncte materiale aflate la distante reciproce fixe. Pentru a descrie micarea unui corp solid se folosesc douà sisteme de referinçä (SR): un SR fix, notat cu (xyz) i un SR mobil notat cu (x'y'z'), solidar cu

B.1 La pendulul cu tijele introduse se adauga câte o pereche de mase pe fiecare laturä mica. Prin aceasta momentul greutaii pendulului nu se schimbã, deoarece cele 2 + 2 mase adiçionale adäugate au CM pe

corpul i care efectueazä toate micãrile corpului. Originea SR mobil, care se mai numete i sistem de referintä propriu (SRP) se poate plasa, in principiu, in once punct al corpului, dar §i In centrul säu de masä (CM).

axa de oscilatie: 7'3

Pozitia corpului In raport cu SR fix este complet determinatä dacä se dä poziia

- 2° + 21'-i-4md 2 2m! gd

(20)

SR mobil i acest lucru se face prin vectorul de poziie CM al corpului, R, care are trei componente dupd directiile axelor. Orientarea axelor SR mobil este definita prin

•

B.2 Se mai adauga câte o pereche de mase pe fiecare laturä mica (iaräi flu se

schimbä momentul greutäii):

numite grade de libertate, necesare pentru descrierea pozitiei corpului In raport cu

2'° +2P+8md2 7=

(21)

2m gd

SR fix. Pentru a afla cele ase grade de libertate necesare, se aplicã teorema

• B.3 Se face raportul celor douä perioade: T42 - J

trei unghiuri independente, astfel Incât rezultä in total un numAr de §ase componente,

impulsului total §i teorema momentului cinetic total, aplicate SCM:

+ 21'+8md 2 (22)

T2 - I + 21'+4md2

(1) dt

Se va calcula membrul stâng §i membrul drept i se vor compara Intre ei. (2)

Rezultatele se vor trece in tabelul urmãtor:

T

I + 21'+6md2

T2

10 +2P+2md 2

di' I

I

T 2- I + 21'+8md 2 T 2 10 +21'+4md 2

unde F este forta rezultantä externà, M momentul rezultant al fortelor externe care 1

actioneazä asupra corpului, P este impulsul total jar L este momentul emetic total a! corpului. In dinamica solidului rigid se aratä Ca, directia momentului cinetic nu coincide cu directia axei de rotatie, relatia respectivä find de naturä tensorialä, ce contine trei momente de inertie axiale i ase momente de ine4ie centrifugale.

56

57

Dacä SRP devine un sistem principal de inertie (SPI), fatã de care momentele de inertie centrifugale se anuleazä, atunci In expresia momentului cinetic al corpului rãman doar trei momente de inertie, adicä cele axiale diagonale. In cazul particular In care rotatia se face In jurul unei axe principale de inertie, momentul cinetic total al corpului se exprima printr-o relatie de propo4ionalitate cu viteza unghiulara respectivä:

- -z'

Z- (3)

unde I este momentul de inertie al corpului fata de axa de rotatie. Fig. I. Montajul experimental pentru determinarea momentului de inertie al discului Maxwell

Micarea plan paralelä a unui corp solid rigid este micarea in care un plan al corpului rämâne pe toatä durata micärii continut Intr-un plan fix din spaiu. In cazul micärii plan - paralele axa de rotatie este perpendicularä pe planul micärii,

Conform notatiilor din figura 1, ecuatiile de micare se scriu:

iar parametrii ce urmeazã a fi determinati sunt reprezentati de coordonatele centrului

m)-2T=ma

(6)

de masä al corpului solid rigid faä de SR fix. In particular, dacã raza vectoare R are

2Tr = IE

(7)

modulul constant, corpul efectueazä rotatia in jurul axei fixe.

Intre acceleraia CM i acce1eraa unghiularã existä relatia: (8)

In acést caz, expresia momentului cinetic total al corpului se poate scrie sub

Rezolvând sistemul de ecuatii (6)-(7) se obtine urmätoarea expresie a

formã scalarä:

acceleratiei:

L = I.w

(4)

g

(9)

jar cea a momentului rezultant al fortelor externe care actioneaza asupra corpului, 1+mr --:

devine ecuatia fundamentalä a dinamicii solidului rigid: M =10)

unde I este momentul de inertie al discului fatä de axa zz', m - masa discului jar

(5)

r este

raza tijei.

Dispozitivul experimental

Modul de lucru

Pendulul Maxwell folosit In lucrarea de fatä are urmätoarele päri componente

1. Se verificä orizontalitatea tijei D cu ajutorul §uruburilor de reglaj. 2. Se fixeazä pendulul Maxwell la capätul de sus al suportului B §i se lasä

(figura 1): tija D cu discul C care se poate roti In jurui axei zz'. Tija D este fixatã de

liber. Se va avea in vedere ca la ridicarea discului firul sa se Infàoare spre interiorul

suportul B prin intermediul celor douä fire AA'.

tijei AA'.

Micarea discului poate fi descompusa Intr-o micare de translatie a CM In

pe 3. Se mãsoarä timpul I pânä la desfàurarea completä a firului AA',

care ar fi concentratä toatä masa corpului (i ar fi aplicate acolo toate fortele

toatä lungimea I a acestuia. Din legea micärii uniform accelerate se determinä

F = maM) §i o micare de rotatie Injurul unei axe trecând prin CM, M = I.

58

acceleraia a:

1

I

59

21

LUCRAREA VI

(10)

PENDULUL REVERSIBIL (KATER)

unde I este lungimea maxima a firului. 4. Cu ajutorul rela;iei (9) i cunoscând acceleratia a, se determinä momentul de inert ie, I,, al discului:

Obiectivele experimentului: Iexp=m2[_1)

(11)

2.1

unde r este raza tijei, 2r

determinarea acceleratiei gravitaiona1e g, cunoscând perioada de oscila1ie a unui pendul fizic, frã a cunoate insA masa sau momentul

6,00 mm.

5. Se va compara rezultatul obtinut cu valoarea teoreticä a momentului de

de iner1iea1e acestuia.

inertie pentru disc, I.

Teoria lucrärii i =!.m.(R+Rfl

(12)

Once solid rigid care este liber sä oscileze In jurul unei axe orizontale sub

unde m este masa pendulului jar R1 i R2 sunt razele interioare i respectiv exterioare

actiunea propriei sale greutäi se numete pendul fizic. Perioada micilor oscilaçii ale

ale pendulului (In cazul experimentuluj D1 = 97,30 mm, D2 = 128,30 mm).

pendulului fizic este data de relaia:

Se vor calcula valorile erorilor absolute i relative maxime pentru I determinate cu relatiile (11) respectiv (12).

> Ilk ' -~

7. Notând cu x coordonata axului discului, cu x(t

=

0) = 0 i v(t

=

T=20)

=

0,

rezultã:

(1)

mgi

unde I este momentul de ine4ie faã de axa de rotatie, jar I este distana dintre axa de rotatie i centrul de masa al solidului. Se definete lungimea redusã a pendulului fizic cu relatia:

g (13)

I 1+—

(2)

2r=L

mr 2

M1

respectiv

i reprezintä lungimea unui pendul simplu a cärui perioadã este egala cu perioada dx dt

v=—=

g (14)

I

1+mr 2

pendulului fizic: (3)

T=2.7rtJ

8. Se reprezinta grafic x = f(t2) iar din panta graficului se va determina momentul de inertie I al discului. Pentru aceasta se vor marca pe tija de sustinere a discului câteva poziii x §i se va cronometra timpul In care tija va trece prin aceste

Momentul de inertie I poate fi exprimat cu ajutorul teoremei lui Steiner astfel:

(4)

I=ICM+m1

Deci, perioada mai poate fi scnisa i sub forma:

poziiii.

T = 2.

Ii

iar lungimea redusä va fi egalA cu:

(6) m•l

60

61

unde am notat i

L L 2L

Punctul A' situat la distanta A , fatä de axa de rotatie A se

=

m•i

numete centrut de oscilatie. Dacã axa de rotatie este mutatã din A In A', perioada rämâne aceeai. Fata de axa care trece prin A', perioada va fi:

27r I1CM+m

T=2ir

263 Trebuie observat faptul cä perioada, exprimatä cu relatia (7), are o valoare minima pentru un anumit x. Anulând derivata

dx

=

0, se obtine: (12)

I CM

=2r F- =T

mgi1

1911

(11)

j

Sä consideräm o bard uniformä de lungime L ce oscileazä faä de o axã ce trece prin capatul superior A, ca In figura 2. Problema constä In a gäsi o a doua axa,

respectiV: (13)

Tm=2.lJIif';i

aflatä la capätul opus B i La distanta x fatä de CM, având aceeai perioada ca primul caz. Fata de prima axã, perioada T1 este data de relatia (1). Intorcând bara cu capatul de jos In sus fata de prima pozitie §i läsând-o sa oscileze In jurul unei axe B

Montajul experimental

aflate La distanta x fata de CM (figura 3) perioada este descrisä de relatia:

Montajul experimental este prezentat In figura 1.

T2=

+mx =2• 2F ~C •g•x

(7)

g

unde noua lungime redusA este:

ICM

m•x Dacä 7

=

+X

(8)

7; = T, rezultä ecuatia de gradul doi:

x+ ICU = o X 2 _ g L47T2

(9)

m

cu rädäcinile: 1 g•T 2 2 4ir 2

+

II. Tfl2 _4.IcM 2 1k 4,r2 ) m

(10)

Avand in vedere reLatia (5), rezultä in final x1 =1, respectiv x2

=

dacä consideräm I =

=

,

atunci x1

=

-

(neinteresant), iar x2

I, -

- .

m•i

(care reprezintä

cazul pendulului Kater). In acest al doilea caz distanta Intre cutite este: 62

In particular,

Fig. 1. Dispozitivul experimental Pendulul reversibil -

63

S

42

-

30

Fig. 2. Reprezentarea schematicã a pendulului reversibil

n' 50

O

CC CM

Fig. 3. Reprezentarea grafica a perioadei T2 In functie de poziia axelor de rotatie a pendulului fizic

Acesta constA dintr-o tijä metalicä (pendulul fizic), pe care gliseaza douä suporturi de masã neglijabila, preväzute cu §urub de fixare, suporturi pe care le vom

Din grafic se observã cä perioada tinde la infinit In apropierea centrului de

numi A i B. Suporturile se aeazà pe douä bolturi sub formä de cutit, aflate la aceeai

masä, jar pe de altä parte existä o axä de rotatie pentru care acesta atinge un minim

Inältime, astfel Incât tija scoasä din poziia de echilibru poate oscila liber. Cele douä suporturi asigurã pozitia centrului de rotatie i a centrului de oscilatie. Pentru mäsurarea perioadei se folosete un numãrätor cu barierã de luminä care va opera pe modul "period" mutând comutatorul In dreapta.

i A. a pentru care perioada de oscilatie T2

este egala cu T1. Pentru verificare se mäsoarã perioada T1( 2 a) considerând cazul

ob;ine valoarea lui g.

1. Relatia (7) mai poate fi scrisä §i sub forma x•T=

Se determinä grafic distantele 2

antisimetric (suportul A este axä de rotatie). Determinând valoarea 2a se va putea

Modul de lucru

2 4.2 7

(2.m).

CM

Observatie (14)

g(m

In graficul din figura 3 nu a fost luatä In considerare modificarea momentului de inerie precum nici schimbarea pozitiei centrului de masä datoritä dep1asrii

Reprezentând grafic produsul xT2 In functie de x2 va rezulta o dreaptä din panta

suporturilor (evident forma graficului va rãmâne aceeai).

càreia se poate afla valoarea lui g. 2. Initial cele douä suporturi se fixeazä la 7-10cm faça de capetele tijei. Pozitia suportului A nu va fi modificatä In cursul experimentului. Se determina perioada Ti folosind suportul A ca axä de rotatie. Acesta va fi poziionat la aproximativ 9,5cm fata de capatul superior al tijei. Apoi se determiná perioada I'2 (cu suportul B ca axä de rotatie) In functie de distanta 2 dintre cele douä suporturi (suportul A având o pozitie fixä). Se recomandã un interval de mäsurare A2 = 2cm. Se reprezintä grafic T2 In functie de 2, precum In figura 3. 64

65

I suport fix

LUCRAREA VII DETERMINAREA MOMENTUM DE INERTIE $I A CONSTANTEI DE TORSIUNE

Obiectivele experimentului: determinarea constantei de torsiune C a firului de suspensie; > determinarea momentului de inertie al unei sfere, respectiv al unui cilindru.

disc

Principiul lucrärii

Fig. 1. Pendulul de torsiune

Pendulul de torsiune este un dispozitiv experimental ce permite determinarea momentului de inertie al unui corp ce poate avea once formä geometricä. 1. Momentul de inertie I al unui corp fa;ä de o axä este definit prin formula:

Pentru unghiuri de räsucire mici, momentul fortelor elastice care se opun torsionärii firului, este proportional cu unghiul (exprimat In radiani):

I=: Irnk Rk sau I = JR 2dm = JR2/XIV,(dm = aJv)

(3)

M=–CO unde Mk sunt masele particulelor din care este compus corpul, jar Rk distantele br ptha la axä; p- densitatea, dV - elementul de volum de masä dm i R distanta sa pãna la axä. In Sistemul International de unitäti (SI) momentul de inertie se mäsoarã In kg m 2.

unde C este contanta de torsiune (numeric egala cu momentul cuplului de forte necesar pentru a rásuci firul cu un unghi de 1 rad. In Sistemul International de unitäti (SI), constanta de torsiune se mäsoarä in N mlrad, aa cum rezulta din relatia (3). Micarea de rotatie a unui corp rigid In jurul unei axe fixe este descrisä de ecuatia:

Pentru solidele omogene, de formã geometricä regulatä, determinarea momentului de inertie se poate face teoretic. De exemplu, pentru momentul de inertie

(4)

momentul de inertie al unde M este momentul fo4ei fata de axa de rotatie, jar I

al unei sfere omogene, fata de o axä care trece prin centrul sferei, calculul dã: 2 1 2 J= — lnbR - -- mbD, (D=2R) 10

d20 d M=I–=I—=IO dt2 dt

corpului façä de acea axä. (2)

unde Mb este masa sferei, jar R raza ei.

In cazul pendulului de torsiune (neglijäm fo4ele de frecare): (5)

16=M=–CO, ö+O=O

In cazul general al corpurilor de formä oarecare §i neomogene, determinarea momentului de inertie este posibilã numai pe cale experimentalä.

de unde, prin comparatie cu ecuatia oscilatorului armonic k + O0 2 X = 0, rezultä frecventa, respectiv perioada oscilatiilor de torsiune:

Pendulul de torsiune este alcätuit dintr-un corp rigid care poate oscila In jurul unei axe verticale, reprezentatä de cätre firul elastic de suspensie de care este fixat

(6)

O)1F, T=27t.f

corpul (figura 1). 66

67

de suspensie (oscilatii de torsiune), perioada oscilatiilor find data de

Teorema lui Steiner: Momentul de ine4ie I' al unui corp façä de o axä oarecare este egal cu momentul de inertie I faä de o axä paralelä trecând prin centrul

relatia (6).

de masa al corpului, plus masa corpului Inmultitã cu patratul distantei de la axa

2. Corpul studiat este pus sä oscileze In jurul unei axe constituite din firul sau

Pentru a elimina constanta de torsiune C, in general necunoscutã, se adauga

consideratä pânä La centrul de masã al corpului:

solidului dat, un altul de moment de inertie cunoscut (sau calculat) i se determinä, printr-o nouä experienta, perioada corespunzätoare T': T'=2

In cazul dispozitivului nostru, momentul de inertie lb al unei bile fatä de axa de suspensie este egal cu momentul de inertie mR 2 a! bilei faä de o axä paralelä

(7)

vc

(10)

P=I+mR

unde I' este momentul de inertie al sistemului astfel obinut. Ridicând La pätrat

trecând prin centrul de masä al bilei, plus produsul m0 R, unde

ecuatiile (6) i (7) i impäindu-le membru la membru obtinem:

R0 distana centrului bilei pânä La axa de suspensie (figura 3).

Mb

este masa bilei i

T!2

- It T2 I

(8)

Metoda constä In a determina experimental pe T §i T', a calcula pe I' In functie de I i a rezolva ecuaia (8) fata de o singurä necunoscutä I: momentul de inertie al corpului fatä de axa de suspensie. Dupa determinarea lui I, din formula (6) se poate calcula constanta de torsiune C a firului de suspensie: 4,r 21 T2

(9)

Fig. 3. Reprezentarea schematicã a dispozitivului experimental

Prin urmare, mäsuràtorile pentru perioadele T i T' ne permit sä calculäm, cu ajutorul formulelor (6) §i (7) cele douä märimi necunoscute I §i C.

(11)

'b = — mbR +mhRO

Momentul de inertie I' al sistemului disc (cu bard) + bile este egal cu suma dintre momentul de inertie I al discului (cu bard) i momentul de inertie 21b al celor

Descrierea dispozitivului experimental Solidul al cãrui moment de inertie I trebuie determinat este un disc de cupru D

douä bile:

pe care se aflä aezatä o bard subire de alamä L, având la capete douä läcauri, In care

2 2 I'=I+21b =I+2(mb3+mbRJ

se pot a.eza bile de otel b (figura 2). Vom considera momentul de inertie al discului, pe care vrem sä-1 determinãm, ca

(12)

Inlocuind pe I' din relatia (12) In relatia formula (8) , se determinä I:

aproximativ egal cu momentul sistemului disc + bard, adicã vom neglija momentul de inertie al barei subtiri. 1=2

FBI

=2 T '2

1

T2 '

) , (=2R)

(13)

-1

Inlocuind pe I din relatia (13) In relatia (9), obinem constanta de torsiune C:

Fig. 2. Dispozitivul experimental 68

ID2 Mb 10 +R0

mb [—+Ro j

1

69

( D2 Mb

C=8,r2

10

timp la numärul respectiv de oscilatii: T = - -. Deoarece in relatia (13) figureazä doar

+R 2 ) (14)

T'2 —T2

Pentru dispozitivul din laborator R0 = 53mm (figura 3).

raportul perioadelor, se pot Inlocui direct duratele unui numãr egal de oscilatii. 4. Momentul de ine4ie determinat experimental se va compara cu cel calculat teoretic. Cunoscând dimensiunile discului (raza R1 = 19,6mm, grosimea h = 15,5mm §i masa md = 163,6g), momentul de inertie al discului In cele

Modul de lucru

douä poziii a i b este dat de formulele:

1. Intr-o prima fazã se determinä perioada de oscilatie T a sistemului format din discul D §i bara L (farä bile).

I=—md Rl 2

2. Intr-un al doilea experiment se determinä perioada T' a sistemului modificat prin adaugarea bilelor b, In scopul de a elimina constanta C necunoscutã. 3. Se va calcula momentul de inertie I (exprimat In kg m2) al discului, cu

(15)

I__md (R i +_h) (b) 4 la care se va adãuga momentul de inertie al barei subtiri (lungimea 1 = 106mm, masa m = 5,3g):

ajutorul formulei (13) §i constanta de torsiune C a firului (exprimata In N m!rad) cu ajutorul formulei (14), pentru cele douä pozitii a i b ale discului din figura 4.

(a)

1 12

(16)

'barã = — mi2

Rezultatele se vor trece In urmãtorul tabel: Pozitia discului T (s) T' (s) C (Nmlrad)

l Texper'(kgm2)

It,.,' (kgm2 ) C (Nmlrad)

a b

5. Experimentul se va relua cu cea de-a doua pereche de bile pentru confirmarea rezultatelor (optional). 6. Repetând paii 1-3 se va determina momentul de inertie a unei sfere din bronz de razã R = 3,3cm. Fig. 4. Cele douä poziii ale discului a - disc In pozitie orizontalã; b - disc In pozitie verticalA

In cazul lucrärii de fatä, R0 = 53,0mm, 8I? = 0,05mm §i se folosesc lucreazä cu douä perechi de bile din otel, având urmätoarele caracteristici: Bile man: Mb = 14,33g, 6m = 0,1 g, D = 15,05mm, SD = 0,01mm. Bile mici: Mb = 8,35g, Sm = 0,1 g, D = 12,60mm, SD = 0,01mm. Perioadele de oscilatie se mäsoarä determinând timpul In care se executä un numär mare N de oscilatii complete (de exemplu, N = 30 oscilaf ii) j imparçind acest 70

71

LUCRAREA VIII

Dispozitivul experimental Montajul experimental este prezentat in figura I.

STUDIUL DINAMIC AL TORSIUNII

Acesta este format dintr-un suport, de care este prins un fir de otel. La capätul firului se aflä o bard cu douã mase identice

Obiectivele experimentului: >

aezate simetric.

determinarea constantei de torsiune a unui fir de otel;

> dependena perioadei de oscilatie In functie de distanta pânä la axa de oscilatie.

Modul de lucru 1. Calculi,l constatei de torsiune C

Teoria lucràrii

Acest punct va implica calculul momentului de inertie

Prin torsiunea unei bare (fir) sub actiunea unui cuplu, se obtine o deformare elasticä a metalului (atâta timp cat flu se depaete limita de elasticitate a materialului).

al barei lb §i al celor douä mase jo• Folosim urmãtoarele notatii: T0

Relatia dintre momentul aplicat i unghiul de räsucire al barei este: M=-CO

T1 (1)

Fig. 1. Dispozitivul experimental pentru studiul dinamic al torsiunii

perioada de oscilatie a barei ffirä masele adiçionale;

-

perioada de oscilatie a barei cu masele adiçionale aflate La distana d1 de

-

centrul de rotatie;

In care 0 este unghiul de räsucire, M este momentul aplicat, C constata de torsiune sau

T2

momentul director, numeric egala cu momentul cuplului de forte necesar pentru a

Din ecuaçia (5) pentru bard se obtine in general:

-

perioada de oscilatie a barei cu masele La distanta d2 de centrul de rotatie.

räsuci firul cu un unghi de un radian. In Sistemul International unitatea de mäsurã

(6)

pentru C este Nmlrad. Ecuatia micärii de rotatie a unui corp rigid In jurul unei axe fixe este:

Rapoartele: T2

T2

M=Ii = I d_- = Iö cit dt2

(7)

(2) ne vor da posibilitatea calculärii momentului de inertie al barei

Din ecuatiile (1) §i (2) obtinem:

'b §i

al maselor

aditionale Jo. Astfel Io=-CO

(3) _ 'b

sau

T2 9+0O I =

( 4)

Prin analogie cu un oscilator annonic pe baza ecuaçiei (4) se poate scrie

-

+2I +2md22

'b + 210

(8)

+ 2md1 2

deunde: + 21

-

2m(T12 d2 2 -T22d1 2 ) T2 2 -T2I

(9)

perioada de oscilatie: 2

T

=

obtinem:

Din raportul

r ~cl ~

2,r

(5)

72

T2

73

Conform teoremei lui Steiner, momentul de inertie al ansamblului format din

'b +2I +2md2 2 Ti_ T2 -

(10)

Ib

bard §i masele aditionale este:

de unde:

''b+2I I

_2 1b+ 2 I0+ 2mCd2 2 T2

(11)

b P 10

In final, din relatia (9), se determinã membrul stâng,

'b

+ 210, jar apoi, din

ecuatia (11), rezultä valoarea lui lb.

iar perioada: (15)

T 2 =(Ib +2Jo +2mC d 2 ) C Cu aceastä relaie vom verifica faptul cä T 2 este o functie linearä de d 2 .

Din relatia (6) se calculeazã valoarea constantei C. In cazul lucrArii de fata, diametrul firului de torsiune este de 0,70mm, mãsurat cu 0 eroare absolutä de 0,01mm; lungimea barei suspendate este de 358mm, mäsuratä Cu

(14)

+2md2

o eroare de 1mm; diametrul barei este de 7,8mm, eroarea find de 0,05mm; masa

barei este de 1 50g, mãsuratã cu 0 eroare absolutã de 0,5g. Bara este marcatä Cu câte

Pentru aceasta se vor deplasa succesiv masele aditionale La distantele: 4, 6, 8, 10, 12 i 14cm de axul de rotatie màsurându-se de fiecare data timpul a 5-10 oscilaii. Rezultatele se vor trece In tabelul urmätor: d (cm)

d2 (cm 2 )

4

16

6

36

8

64

10

100

12

144

14

196

T2 (s2 )

T (s)

14 linii de fiecare parte a ei, distanta dintre douä linii succesive find de 1cm. Fiecare cilindru care culiseazä pe bard are masa de 350g, mäsuratä cu o eroare de ig, lungimea de 35,0mm, diametrul exterior de 40,0mm i diametrul gäurii de 7,9mm, toate aceste dimensiuni find mãsurate cu 0 eroare absolutä de 0,05mm. Momentul de inertie al barei fata de axa de oscilatie se poate calcula cu formula: Mb 12

Ih

(12)

= 12

unde Mb i I au fost date numeric mai Inainte. Momentul de inertie al unui cilindru de masa m, razä exterioarä R, lungime I, plasat pe bard la distanta d faça de fir (de La fir pânä La jumätatea cilindrului) §i având o gaurä cilindricä coaxialä de razà r, este dat de formula: Jo

l2 Inc r 2 +R2 +---I +mC d 2 3J i[

Se va trasa graficul T2 = f(d2) i se va obtine o dependenä liniarä, ceea ce reprezintä verificarea relatiei (12). Din panta graJIcului se va determina constanta de torsiune C i se va compara cu valoarea determinatà la punctul 1.

(13)

Din intersectia dreptei

Cu

axa Oy (täietura

Cu ajutorul relatiilor (12), (13) i a valorilor märimilor care apar In aceste relatii date mai sus se va calcula momentul de inertie al barei, respectiv al cilindrului i se va compara cu rezuLtatele experimentale obtinute cu ajutorul relatiilor (9) i (11). 2. Varia (Ia perioadei In functie de distanta d la care se aflá masele ad4ionalefatá de axa de rota tie Momentul de inertie poate varia (conform relatiei de definitie), In functie de distanta la care se aflA masa consideratä fatä de axa de rotatie. 74

75

Cu

axa Oy) se va determina suma

LUCRAREA IX VERIFICAREA TEOREMEI LU! STEINER Obiectivele experiinentului:

Dupa cum s-a vãzut din descrierea aparatului, discurile pot Ii fficute sä se deplaseze In douä moduri: V sa se roteascã fatä de un ax (figura 2a) atunci când sunt imobilizate sau V sa se deplaseze astfel ca oricare dreapta ce unete douã puncte ale corpului sa rämânã paralela

> sa se facã distinctie Intre micarea de translatie i de rotaie a unui solid

CU

ea insäi In timpul micärii, adicä sä

aibä o micare de translatie, atunci când sunt läsate liber (figura 2b).

rigid; > sä se verifice teorema lui Steiner.

Figura 2 reprezintä trei faze diferite ale celor douä moduri de deplasare a discului puse In evidentä de dreapta ce unete douä puncte oarecare ale discului. Läsând discurile libere i producând mici oscilatii ale aparatului prin uoara

Teoria Iucrãrii

tensionare a firului de suspensie a acestuia, discurile vor cäpãta o micare de Teorema lui Steiner afirmã Ca: "Momentul de inerfie al unui corpfaça de o axã

translatie, dar centrul br de greutate se va roti in jurul axei 00'. Notând cu I'

oarecare de rotafie 00' este egal cu momentul de inerçie al corpuluifa;a de o axã paralelã

CU

aceasta care trece prin centrul de greutate al corpului 00' plus

momentul de iner fie fa(a de axa 01 0'! , consideránd toatä masa corpului concentratã In centrul sau de greutate." Astfel, momentul de inertie al corpului A din figura 1, de

momentul de ine4ie al sistemului fata de axa 01 0' ! , cu m masa unui disc i cu R distanta de la centrul discului la axa 01 0' ! , avem In acest caz: I'=2mR2

(2)

,dru

masä m, fa;ã de axa de rotatie 00' este egal cu I = I + mR unde 10 este momentul de ine4ie a! corpului A fata de axa 00' ce trece prin centrul säu de greutate i este paralela cu 01 011 .

b) Fig. 2. Reprezentarea schematicä a celor trei faze diferite ale celor douã moduri de deplasare a discului a. discul este imobilizat i se rotete fatã de un ax; b. discul este fiber i prezintä o micare de translatie In cazul când se bbocheazä discurile i se face ca sistemul sä oscileze, Fig. 1. Reprezentarea schematicä a teoremei lui Steiner

discurile se vor roti In jurul axei 00'. Momentul de ine4ie al sistemului fata de axa 01 0'!, care

In lucrarea de faça rolul corpului A este jucat de douà discuri. 76

flu

trece prin centrul de greutate al discului va fi dat, conform teoremei

lui Steiner de relatia: 77

I = I'+2 mr 2 = 2mR 2 + mr 2 + 2

(3)

1. Se mäsoarä cu ajutorul unui §ubler märimile R i r §i se calculeazä

unde r este raza unui disc. Datoritä variatiei momentului de inertie al sistemului, perioada de oscilatie In cele douA cazuri va fi diferitä i anume va fi data de relatiile: T'= 2rj77

i

Modul de lucru

T = 2iJi7

(4)

unde C este momentul director ce flu variazã In cele douã cazuri.

valoarea expresiei 2R2 (7) 2R2 + r 2 2. Se deblocheaz discurile §i rotind sârma de suspensie a aparatului cu cca. 200 se mãsoarä cu un cronometru timpul necesar efectuärii a 10-15 oscilaii complete.

Din relatia (4) se obtine:

Se repetä mäsurätorile de câteva ori §i se determinä perioada de oscilatie T'. 3. Se repetä operaiile de la punctul 2 cu discurile blocate §i se mãsoarä T. (5)

Inlocuind In relatia (5) pe I' i Idate de relatiile (2) i (3) rezultA: T' 2 2R 2 T 2 2R2 + r2

(6)

dacä neg1ijm 'cadru. Verificând experimental relatia (6), obtinuta ca o consecinta a teoremei Iui Steiner, se verified Insãi teorema.

T' 2 4. Se calculeazä raportul - care se comparä cu raportul calculat la punctul 1. T' 2 5. Se aflä eroarea relativã maxima i apoi cea absolutä asupra raportului -. T2 2R2 Se calculeazä eroarea absolutä asupra raportului 2R 2 + r2

Se verified dacä

concordanta valorilor celor douä rapoarte, cerutã la punctul 4, se aflä In limita erorilor experimentale.

Dispozitivul experimental Dispozitivul experimental, prezentat In figura 3, este alcätuit dintr-un cadru relativ uor AA, suspendat de un stativ astfel incât cadrul sä poatä efectua oscilatii de torsiune injurul axei verticale 00'. Pe cadru sunt fixate simetric, In planul orizontal,

Observatie: Pentru dispozitivul din laborator, valorile märimilor constructive sunt R = 44,0mm, cu 6R = 0,05mm §i r = 30,0mm, cu 8R = 0,05nmi.

douä discuri metalice masive BB care se pot roti in jurul axelor br de simetrie 00, sau pot fi imobilizate cu ajutorul unor §uruburi speciale dd.

Fig. 3. Dispozitivul experimental pentru verificarea teoremei lui Steiner

78

79

LUCRAREA x MOMENTUL DE INERTIE $I ACCELERATLA UNGHIULARA

Obiectivele experimentului: Folosind acceleratia unghiulara, determinati momentul de inertie In functie de masä i de distanta pâna la axul de rotatie: 1. al unui disc; 2. al unei bare; Fig. 1. Momentul fortei unei greutãi actionând asupra unui disc in rotatie

3. al unui punct material.

ITeoria lucrãrjj

Aceastä expresie a momentului fortei devine In cazul F J F (vezi figura 1):

Relatia dintre momentul cinetic,

L,

al unui solid rigid In sistemul de

coordonate stationar cu originea in centrul de masã al solidului, §i momentul de forte ce actioneaza asupra lui este dat de relatia:

dO)

(7)

De aici se poate obtine expresia momentului de inertie:

Momentul emetic este exprimat In functie de viteza unghiulara i de tensorul momentului de inertie:

Iz =

mgr

(8)

Momentul de inertie al unui solid având densitatea p(x,y,z) este: (2)

In cazul de fata, viteza unghiulara are directia axei de rotatie (axa ZZ'), astfel meat momentul emetic are o singura componentä: LZ =

Ecuatia micãrii va fi data de cãtre: Mgr =Iz _ j_Iz E

di'

I

(6)

Mz = r . m g

= $JJp(x,y,z)(x2+y2)dxdydz

= mr

(10)

Date find dimensiunile discului 2r = 0,350m §i m = 0.829kg se calculeazã: (11)

I =12.69•10 3 kg•m 2

unde Iz este componenta pe axa ZZ' a momentului de inertie.

(9)

a) Pentru un disc plat de razä r §i masä m, se obtine: Iz

(3)

CO

Iz

Valoarea medie a momentului de inertie mãsurat experimental este:

Astfel prima ecuatie devine:

kg. m 2 I =12.71•103

dw

(4)

b) Pentru o bard lungä având masa m §i lungimea I, avem: IZ =

Momentul fortei are expresia:

(12)

(13) 12

Date find dimensiunile barei m = 0,158kg §i I = 0,730m se obtine: (5)

80

(14)

I=7,017.10 3 kg.m2 81

Valoarea medie a momentului de ine4ie mäsurat experimental este: 1 =6,988•lO'3kg•m2

In figura 3 sunt prezentate principalele componente folosite In cazul 2.a., (15)

respectiv, 2.b.

c) Pentru un punct material de masA m aflat la distanta r de axa de rotatie, 10

se obtine: 7 7.2

(16)

-

Dispozitivul experimental Dispozitivul experimental este prezentat in figura 2.a, respectiv 2.b. El trebuie 7,5

adus la orizontalã, cu aerul pornit, folosind suportul reglabil al trepiedului. Mecanismul de blocare trebuie ajustat astfel incât, atunci când este apäsat butonul, sä

Fig. 3. Prezentarea componentelor necesare experimentului

intre In Contact cu placua de la capätul tijei metalice. Scripetele este prins astfel Incât firul sa rämânä orizontal deasupra planului de rotatie.

1.

Camera cu aer sub presiune care formeazä o pernä de aer pentru discul 6.1 sau tija 7.1;

2

Tub curbat ce face legatura prin intermediul unui furtun Intre suflanta;

3.

Tija filetatä, 1 = 15 cm, pentru a mentine axul 1 Impreunä cu discul 6.1 pe suport;

in

Disc preva.zut cu un canal circular prin care se trece un fir preväzut la celälalt capät cu o masä, folosit pentru a accelera rotorul (discul sau tija);

5.

Bolt pentru fixarea discului 6.1 sau a tijei 7.1;

6.1

Disc cu diviziuni de 15° prevazut §i cu o scald find având

Fig. 2.a. Dispozitivul experimental folosind ca rotor o tija

subdiviziuni de 1°; 6.2

Apertura pentru discul 6.1 având un unghi de 15° a sectorului circular

7.1

Tija cu diviziuni de 25mm;

7.2

Diafragma pentru tija 7.1 cu un unghi de 150 a sectorului circular;

7.3

Greutate necesarä tijei 7.1 pentru a compensa greutatea diafragmei;

7.4

Suporturi necesare variatiei masei sau a distributiei de masä a tijei; fiecare suport are 50g. Masa maxima pe fiecare suport este de 450g;

7. 5

Tija filetatã, 1 = 25 cm, pentru a men;ine perna de aer Cu tija 7.1 pe suport; Mecanism de blocare Impreunä cu cablul de deblocare.

Fig. 2.b. Dispozitivul experimental folosind ca rotor un disc 82

83

2. Determinarea acceleratiei unghiulare : .1'

b c1' .ç,.

Experimentul este repetat in aceleai conditii ca In cazul determinärii

vrtnr

vitezei unghiulare. Diferenta este data de fixarea porii de detectie pe modul

I f , dupä care urrneazä apäsarea butonului "Reset".

v" Timpul "t" indicat este eel folosit pentru determinarea acceleratiei,

folosind formula e = w/t.

Observatie: va s cu aer sub preiune a.

b. Fig. 4. a. Mecanismul de blocare; b. Perna de aer

Placuta suport oprete greutatea utilizatä pentru acceleratie In momentul In care ecranul inträ in calea fascicolului de luminã a numärãtorului.

Când este folositã bara metalicä, poarta de detectie trebuie pozitionata astfel

3. Dependenta momentului de

Incât sä fie In dreptul placuei de plastic, jar mecanismul de blocare sä intre In contact cu capätul opus al barei atunci cnd este actionat.

inertie de masä

(kg)

/ Odatä determinatä acceleratia

Când este folosit discul, inaintea mãsurätorii, acesta este fixat cu ajutorul

unghiularä din relatia (8) se poate

mecanismului de blocare prin intermediul unui orificiu la marginea acestuia. Poarta de

Fig. 5. Momentul de inertie al unei mase punctuale in functie de masä

studia dependena momentului de

detectie trebuie amplasata astfel incât ecranul conectat la disc sä treacä prin dreptul

inertie in functie de masä. Pentru aceasta suporturile de masä se vor fixa la

razei luminoase.

0,15m de axa de rotatie. De fiecare data când este actionat mecanismul de deblocare pentru Inceperea unei mäsurätori, raza de luminä a poii de detectie trebuie sa fie Intreruptä de ecranul

I (kgn

de plastic chiar In momentul deblocärii.

Modul de lucru 1. Determinarea vitezei unghiulare o: " Setai poarta de detectie pe modul -'

i apasai pe butonul "Reset".

V Läsai liber butonul mecanismului de blocare pentru a permite micarea. Poarta de detectie mäsoarä intr-o prima etapà timpul initial de intrerupere al fascicolului luminos, ce flu este important. V In timpul micärii, apasati din nou pe butonul "Reset", dar Inainte ca ecranul de plastic sa treacä prin poartã. Acum este mäsurat timpul At ce Fig. 6 Momentul de inertie al unui punct

va fi folosit In determinarea vitezei unghiulare w = A/& unde A9 este unghiul discului ce trece prin bariera de luminä.

84

material ca functie de patratul distantei pânä r2(m2)

85

la axul de rotatle

LUCRAREA XI

a r

2h t

GIROSCOPUL

(3)

unde a este acce1eraia liniarä, I timpul de cädere a masei m jar h Inãltimea de cãdere, se obtine:

Obiectivele experimentului: > determinarea momentului de inertie al giroscopului mäsurãnd

2_ 2

(4)

I +2mr h Mgr

acce!eraia unghiulara; -

> determinarea momentului de inertie al giroscopului mäsurând viteza unghiularä de precesie.

Studiul micárii de precesie Se considerã giroscopul simetric suspendat astfel incât sa se poatä roti In jurul celor trei axe j aflat In echilibru cu axa sa In poziie orizontalã, datoritä

Teoria Iucrãrii In prima parte a experimentului se va determina momentul de inertie al

contragreutä 411 C.

discului. Pentru aceasta, axa giroscopului este fixatä In poziie orizontalä, iar giroscopul este aezat In aa fel Incât firul Inffiurat In jurul tamburului discului i de X •—+

care se prind mase marcate, sa treacd peste marginea mesei (figura 1).

Fig. 2. Reprezentarea schematicã a giroscopului sub actiunea fortelor Dacä giroscopul este pus In rotatie In jurul axei x cu viteza unghiulara 00 (viteza unghiulara de rotatie), momentul cinetic (care este constant) este dat de cätre: (5)

= 16

M (g -a)

Pentru a determina sensul lui L §i 3 In lungul axei de rotatie se utilizeazA regula mâinii drepte: dacä degetele mâinii drepte "curg" In sensul de rotatie al

Fig. 1. Reprezentarea schematicã a dispozitivului experimental pentru

giroscopului degetul mare este In direc;ia lui L, respectiv 13.

determinarea momentului de inertie al discului giroscopului Dacã discul giroscopului este pus in micare de rotatie datoritä masei m, atunci

sensul momentului cinetic respectiv vitezei ungi

acceleratia unghiulara este data de urmãtoarea relatie: M (1)

6=_ii-

unde M = T -r reprezintA momentul fortei, cu r raza tamburului discului. Având In vedere relatiile: m•g–T=m.a

(2) 86

Fig. 3. Vectorul moment cinetic; momentul fortei 87

Momentul emetic Ii pästreazä directia orizontalä neschimbatä, jar axa de rotatie se confundä cu axul giroscopului. Adäugând o masã suplimentara m' la distana r' fatã de punctul de sprijin fix al giroscopului, rezultä un moment al fortei suplimentar, perpendicular pe axa sa de .. • ,••..••'V..

dL

rotatie, egal cu variatia In timp a momentului cinetic.

0

Fig. 6 Micarea de precesie a giroscopului fata de axa orizontalä

Din relatia (6) rezultã totodatä cã dL = Mdi', adicA variatia momentului cinetic este pe directia momentului fortei. Momentul fortei In raport cu punctul de sprijin este

In acest caz giroscopul

flu

cade, jar axul sãu se rotete in jurul unei axe

perpendicular pe momentul cinetic (sensul momentului forei se stabilete cu regula

verticale, micare numitä de precesie. Viteza unghiularä de precesie este data de

mâinii drepte). Acesta va produce o variatie a momentului cinetic dL care este

cätre relatia:

perpendiculara pe L (Se modificä directia lui L, dar

flu

CO

märimea acestuia).

dçoldL 1 dLm'gr' di'

L dt

(9)

IW R

1wJ? di'

27r -, jar w = -, relatia (8) devine: Având in vedere cä w = 27r T TR im'r' TR 4,2J

(10)

P

Din (9) rezultä o dependenä Iiniarä Ifltre inversul perioadei de rotatie §i perioada de precesie.

Dispozitivul experimental In figura 4 este prezentat giroscopul cu trei axe. Acesta este In echilibru datoritä unei contragreutäi aflate pe axul giroscopului. Pentru efectuarea

Fig. 5. Vedere de sus a giroscopului

mäsurätorilor se va utiliza un numärätor cu barierä de luminä, un cronometru de mnä Cum forta F este aplicata axei giroscopului la distanta r' de punctul de sprijin

i mase marcate ce pot fi aezate pe o tijä prevä.zutä cu un cârlig.

intr-un plan vertical, momentul fortei are märimea m'gr' §i directia Intr-un plan orizontal M =m •g.r =- dLdt

(7)

Datoritã acestui moment al fortei suplimentar, dupa un interval de timp, di', momentul cinetic se va roti cu un unghi dp In jurul celei de-a treia axä, fata de pozitia sa initialä: dL = L dp

(8) 88

Fig. 7. Giroscopul cu trei axe 89

Modul de lucru

2.a. Observarea calitativä a micärii de precesie a giroscopului

1. In prima parte a lucrärii se va realiza montajul conform figurii 1. Se

Se ajusteazã pozitia contragreutäii pana când giroscopul este in echilibru.

fixeazä giroscopul In pozitie orizontalã. Se Inth.oarã firul de ata in jurul tamburului, jar la capätul liber se agaã masa m = 60g. Se fac minim 5 mäsurätori, dând drumul masei m sa cadä de la diferite Inältimi h faä de podea §i mãsurnd timpul de cãdere I corespunzAtor, din momentul In care discul este lãsat liber §i pâna când masa m atinge

+x

podeaua. Reprezentând grafic ? In functie de h, din panta graficului, §i având In vedere relatia (4), se va determina valoarea momentului de inertie al discului. tF (S2 )

Având In vedere figura 9 se va completa tabelul urmätor.

30

20

10

0 30

io

50

60

70

80

90

100

h (cm)

Fig. 8. Determinarea momentului de inertie din panta dreptei t = f(h)

Valoarea obtinuta ar trebui sa fie de ordinul I = (8,83 ± 0,15). 10-' kg . m 2 . Pe de altä parte momentul de inertie al unui disc este dat de relatia:

1

M•R 2

Pentru aceastä lucrare densitatea discului este p = 0,9gIcm3 i mäsurând R (raza discului) i d (grosimea discului), se poate calcula I. 2. In partea a doua a Iucrärii se va studia atât calitativ cat §i cantitativ micarea de precesie. In acest sens, se va completa tabelul de mai Jos. 90

Sarcina (1-a) In timp ce aparatul este In A in jos (In repaus, ap1icai o fo4 directia —Y) capätului din stânga al axului giroscopului. (1-b) In timp ce aparatul este in repaus, ap1icai o foã In sus (In directia +Y) capätului din stânga al axului giroscopului.. (1-c) In timp ce aparatul este In repaus, ap1icai o forta In jos (in directia —Y) capatului din dreapta al axului giroscopului. (1-d) In timp cc aparatul este in repaus, ap1icai o forta In sus (in directia +Y) capätului din dreapta al axului giroscopului.

Intrebäri In raport cu punctul de sprijin, care este directia momentului fo4ei? In raport cu punctul de sprijin, care este directia momentului fo4ei? In raport cu punctul de sprijin, care este directia momentului fortei? In raport cu punctul de sprijin, care este directia momentului fortei?

directia este Care (2-a) Rotiti discul astfel incât momentului cinetic9 marginea discului se mica- In Care este directia vitezei directia axei +. unghiulare a discului? directia este Care (2-b) Rotiti discul astfel Incât momentului emetic? marginea discului se micä In Care este directia vitezei directia axei —. unghiulare a discului? (3-a) In timp ce discul se aflä In Descrieçi ce se Intâmplä rotatie corespunzAtor lui (2-a) cu micarea giroscoagäai o masä La capätul din pului In raport cu punctul de sprijin. stânga al axului giroscopului. 91

ObservaiiIExplicaii

(3-b) In timp cc discul se aflä In rotatie corespunzätor lui (2-b), agäai 0 masà la capätul din stãnga al axului giroscopului. (4-a) Repetai sarcina din (3-a) rotind discul mai Intâi rapid i apoi Incet. (4-b) Repetati sarcina din (3-b) rotind discul mai Intâi rapid i apoi Incet.

Descrieti cc se Intâmplä cu micarea giroscopului In raport CU punctul de sprijin. Cum afecteazä viteza unghiulara micarea giroscopului in jurul punctului de sprijin In (3-a)? Cum afecteazä viteza unghiulara micarea giroscopului in jurul ivotuIui In (3-b)?

LUCRAREA XII LEGEA LU! HOOKE (CU MONTAJ EXPERIMENTAL COBRA 3) Obiectivele experimentului: > demonstrarea validitAlii Iegii Iui Hooke folosind resorturi elicoidale cu diverse constante elastice; pentru comparatie se examineazA intinderea unei benzi de cauciuc pentru care nu existA propoionalitate intre fo4a aplicatA §i exteflsia rezultatA.

Pentru a räspunde la Intrebãrile de mai sus se va avea In vedere regula burghiului drept (sau a mâinii drepte) pentru produsul vectorial (figura 3).

Teoria Iucrärii

2.b. Micarea de precesie - tratare cantitativä

Cãnd asupra unui corp solid acioneazA fo4e, deformarea rezultatA (translatia

Din relaçia (10) se observä CA produsul:

TP

TR=const.=

i rotaia sunt neglijate in cele cc urmeazA) depinde in mare mäsurA de natura

4 2j (12)

lngr

materialului din care este confectionat corpul precum §i de mArimea §i direcia in Care actioneazA fo4ele externe. Când un corp solid Ii recapAtA forma initialA dupA

Se ajusteazA pozitia ContragreutAtii pânA când giroscopul este in echilibru. In timp cc giroscopul este tinut pe bc, se rotete discul cu viteza unghiularA w. Cu ajutorul numArAtorului cu barierA de luminA se determinA TR. AdAugand o masA suplimentara m'la distanta r'i lAsãnd liber giroscopul, acesta va efectua o micare de

Incetarea fo4ei exterioare, fortele elastice interioare din material pot aduce corpul inapoi la pozitia de echilibru, i corpul se numete elastic. Un resort elicoidal este un exemplu foarte simplu de corp elastic (vezi figuna 1).

precesie. Cu ajutorul unui cronometru se va determina perioada de precesie T. Se vor trece datele In unnAtorul tabel: m' (kg)

r' (m)

TR (s)

T (s)

Cu datele obtinute se va determina momentul de inertie I.

Fig. 1. Mäsurarea elongaiei unui resort In plus, deviatiile Al de la pozitia de echilibru lo

flu

elasticA FR este propo4ionalA Cu elongaia (sau compresia) Al. 92

93

sunt foarte man, forta

FR =—k-Al

(1)

Aceasta este legea Iui Hooke numitä i legea liniarä a fortelor. Constanta de

Cobrq

propoionalitate, k, care este o ma-rime generala de referinã, este numitä constanta

Ll

elasticã In cazul unui resort elicoidaL Dacä o fo4ä exterioarä actioneazã asupra resortului, precum o greutate, F = m g, a unei mase m (g = 9.81m1s2 - acceleratia gravitaionala teresträ), o nouä stare de echilibru stabil se atinge pentru lungimea lj a

I

©

resortului, pentru care masa in este egala cu forta elasticä a resortului.

hi©

FR = k• Al = m g = F

(2)

Elonga;ia unui resort este astfel propo4ionala cu forta F

(exercitatã de

greutate In acest exemplu): BNC1 (3) aa cum este demonstrat de curbele caracteristice ale douã resorturi (vezi figurile 8 §i 9).

Fig. 3. Conectarea senzorului de micare la unitatea Cobra 3

Dispozitivul experimental

Modul de lucru

Dispozitivul experimental pentru mäsurarea constantei elastice este prezentat

Porniti programul §i fixai parametrii pentru mäsurare In concordantä cu

In figura 2. Se suspendä unul din capetele resortului de cârligul senzorului Newton.

figurile 4 i 5.

Firul de nylon trebuie legat de celälalt capät §i fixat apoi de baza mobilã. Treceti firul prin canalul mai mic al senzorului de micare. Realizati conexiunile electrice Intre FP'H S:

M&

senzorul de micare i unitatea Cobra 3 conform figurii 3.

•

rr.ouI

TOA

________

Thmiri(nmtilr

CtnnI

j

J1Io

muwy

-.

-

Pcrnil Ma3umnent rail messumnent

Efld Ue5Urfl1fl

rSI1ir

on &cy

c on kr prno r

•

r ,t

r P C4b1d!cpaJI r o'idrc'

r DitI*cla

r

An(1Cgib1

r

i

r Drm

I

i. irv

sn1io _j Fig. 2. Dispozitivul experimental Cobra 3 pentru Legea lui Hooke 94

[

p

unol

Fig. 4. Parametrii mäsurätorii

95

F

k'

Angle ) Distance User input ) Force Flux density

b) For(a

Calibration

Plasati baza In poziia iniialä §i se1ectai ,,Calibration" (vezi figura 7).

Voltage /Current

A1egei ,,Modul Force F" §i calibrati. Parasiti meniul selectând ,,OK".

Preferences

y Range: Force F

J±4I

Force Angle I Distance

I

FlmdaneitV User input

I

Voltage !Current Calibration

i'rererences CalIDratlOfl- -------Modul:

calibsted

Force F

51: 52:

Calibrate Reset

Fig. 5. Setärile fortei no averaging Cancel

9K

1. Calibrarea

Fig. 7. Calibrarea fortei

a) Senzorul de micare Verificati Ca firul este Intins, dar resortul In poziie aproape relaxatä. Selectati ,,Options"

2. Mäsuràtoarea

din meniul pentru parametrii mäsurätorii i apoi selectati

Plasaçi baza In poziia initialã. Pentru a porni mäsurätoarea selectati

,,Angle/Distance" (vezi figura 6). A1egei o distantà arbitrarà §i Incepei calibrarea.

,,continue" In fereastra parametrilor mäsurätorii. Incet §i constant micati baza de-a

Acum, Incet §i constant, micati baza dc-a lungul scalei i Indepartai-o de senzorul de

lungul scalei §i Indepãrtai-o de senzorul de micare 20 pânä la 3 0cm. Inversati

micare pe distana aleasã. Incheiati calibrarea apäsând ,,Stop".

directia §i relaxati resortul pas cu pas. Rezultatul ar trebui sä fie asemänätor cu cel din figura 8. Repetai determinarea pentru diverse resorturi cat i pentru banda de cauciuc. Force Flux density J Angie /Di3tance userirut

flageICurrent callorauon

J

Preferences Distance Unit Distance

c rn

Calibration thstance

cm

it ceo

Caiibratoin the ;ebjp

Stait

no aerauing

Ii

I

Cancel

I Fig. 8. Curba caracteristicä de e1ongaie pentru un resort cu k = 20 N/rn

Fig. 6 Calibrarea distantei 96

1

97

Propo4ionalitatea se mentine doar pâna la o anumitä tensiune Iimitä

F N

caracteristicä. 0 diagramä schematicä tensiune - elongaie pentru un fir metalic este prezentatã In figura 10. Limita proporionalitätii (up) se aflä In general sub limita elasticä (ffE), dupä care forma corpului solid se schimbä definitiv, datoritä rearanjärii intermoleculare. La astfel de tensiurii, materialul este numit plastic. Dacä fortele de deformare depäesc limita de soliditate (aB), materialul solid incepe sä curgä i corpul se rupe (deformare plasticä).

EI Fig. 9. Curba caracteristicã de eIongaie pentru un resort cu k = 4 N/rn Panta curbelor caracteristice este reprezentatã de constanta elasticà k a resorturilor. Valorile mãsurätorilor din figura 8 contin o constantä elasticã k = 1 6,9N/m iar mäsurätorile din figura 9 indicä o constantã elasticä k = 3,6N/m. Astfel, fortele necesare pentru a produce o elongaie data a resortului cresc proportional cu valoarea constantei elastice. Folosind relatia (3), noua lungime de echilibru Ij este: 11 =10 +

Al

m•g

(4)

Fig. 10 Diagrama tensiune - elongafie

Propo4ionalitatea dintre fortele interne, atâta timp cat au valori mici, §i elongaia corpului este valabilä flu doar pentru resorturi, ci §i pentru alte materiale In stare de echilibru, energia potenialä a fortelor iritermoleculare este aproximativ parabolica In jurul unui punct de echilibru. Fortele interne obriute diferentiind

Un exemplu de material care nu respectä legea lui Hooke, chiar i supus unor forte mici, este banda de cauciuc. In figura 11 este reprezentatä curba caracteristicä a benzii de cauciuc, cu creterea continua a tensiunii dintre punctul de origine §i maximul elongatiei $i cu o eliberare graduala inversä.

poten;ialul sunt astfel proporiona1e cu deviatia de la poziia de echilibru initial. Exemplu: Considerãnd o tijä sau o sârmã de lungime data I §i sectiune A, la care se aplica o forta efectivä, legea lui Hooke se exprimä astfel: Al F 1

(5)

A

sau, (6) unde e = Al/i este elongatia relativä a tijei, factorul de proporionalitate a este constanta elasticä a materialului tijei, jar a = F/A este efortul unitar din tijà. Fig. 11. Curba caracteristicä a elongaiei unei benzi de cauciuc 98

99

Pe de o parte, relatia dintre forta efectivã, F, §i elongaia rezultatä, Al, flu mai este liniarã: elongaia este mai mare decât valoarea calculatä cu legea lui Hooke,

LUCRAREA XIII SUPRAFATA LIBERA A UNUI LICIIID IN ROTATIE

considerând valorile mäsurätorjjor pentru tensiunj mici. Pe de altä parte, gradul de elongaie depiflde de istoria precedenta a benzii de cauciuc. In Curba caracterjstjcä a benzii de cauciuc, partea ascendentã flu coincide cu cea descendenta, fapt contrar observatiilor de la resort, atâta timp cat se mentine In limitele de elasticitate. Acest fenomen se numete histeresjs elastic. Dacà aceeaj bandä de cauciuc este din nou tensionatä, elongaia Al va fi semnificativ mai mare

Obiectivul experimentUlUi determinarea acceleraiei gravitationale, g.

Descrierea aparatului

decât In cazul precedent.

Observatie Efectul de histeresjs al curbei caracteristjce are douã cauze: prima - doar o parte a deformãrii revine Inapoi la forma originala imediat, jar restul deformatiei dupä o perioada de câteva ore. Acest proces reversibil se numete post-eject elastic, materialul reactionand vâscoelastic. A doua cauzä, la depairea limitei elastice, rearanjärile interioare au bc In material §i constau In modificarea permanentA a formei. Acest proces este ireversibil, deoarece lucru! mecanic este convertit in cäldurã. Fig. 1. Montajul experimental In figura 1 este prezentat montajul experimental folosit pentru lucrarea de fad. El constä dintr-o celulä dreptunghiularä având latimea a = 6,92cm, partial umplutä

Cu

apã i care se poate roti Injurul axei sale verticale de simetrie cu o frecvenä variabilä. Perioada de rotatie T se determind cu ajutorul unui cronometru cu barierä de Iuminä (pentru aceasta, pe marginea celulei se va lipi o fâie de aezat pe poziia hârtie). Numärätorul pomete §i se oprete dupä o rotatie completä a celulei. Viteza 2ff unghiularä se va determina din re1atia w = — T Datoritä faptului cä celula este preväzutä la capatul superior cu o fantä ingustä, aceasta poate fi rotitä cu vitezä unghiularä mare.

Teoria Iucrãrii Sä consideräm un vas de formä paralelipipedicä ce se rotete in jurul unei axe verticale ce trece prin centrul celulei (figura 2). 100

101

Considerând douä puncte situate la (x,z) respectiv (xo,zo) se obtine: —a P0)12 2\ x0pg(Z--Z0) p—p0 =-X -)-

a

Cu

p0 = Patm'

pentru x0 = 0, i zr h, atunci relatia (8) devine:

PO)

p

atm

(8)

x2

—pg(z

= 2

(9)

— h)

Dar suprafaa liberä este o suprafaä de presiune constantä p = Patni' astfel Incât: z=h+

CO 2 x 2

(10)

2g

Suprafaa liberä este o parabola cu vârful In (0,h). In continuare se dorete ob;inerea legaturii Intre h §i H (inaltimea initialä a coloanei de lichid). Din

Fig. 2. Celula de mãsurä II

conservarea volumului de apä se obtine:

Aplicãnd ecuatia de echilibru: p—gradp—pä=o

(1)

T/, =2aH

(11)

Vrot =2Jzdx=2$f °' +hjdx

(12)

Se obtine astfel pe componente: Rezultä: 22 h = H_Wa 6g

(2)

ap —--pg=0 az

(3)

Dcci:

Cum p = p(x,z), atunci: z—H— dp=x+dz=pCo2x_gdz

(13)

w2 a 2 (1 x2 '\ I----1 2g 3 a2 )

(14)

(4) Jar pentru x = 0 ecuatia devine:

Suprafata liberã este o suprafaa de presiune constantä astfel Incât dp = 0. Rezujtä relatia:

z—H =

a2

(15)

6g

dz w 2 x dxg

Modul de lucru

sau prin integrare se obtine:

1. Cu fluidul din celulä aflat in repaus se determinä Inälimea initialä, H,

CO 2 x 2 z=+C 2g

(6)

mäsuratä cu ajutorul hrtiei milimetrice. 2. Se pune celula In micare de rotatie cu

Suprafata liberä are forma unei parabole. Din relatia (4) putem determina dependena presiunii de adâncime:

0

turaie initialä relativ mica i

se ateaptä pânä la stabilizarea suprafeei libere. Se determinä perioada de rota;ie a celulei precum §i adâncimea la care a coborât vrful

(7) 102

parabolei fata de nivelul initial.

103

3. Se reprezinta grafic dependenta C = f( w), figura 4, respectiv C =f(w), figura 3, pentru diferite valori ale frecventei de rotaçie. In

LUCRAREA XIV TEOREMA AXELOR PARALELE

cazul reprezentärjj C functie de w 2 din panta dreptei se va determina valoarea acceleratiej gravitationale, g.

Obiectivele experimentului

C (cm)

determinarea perioadei de oscilatie a unui disc circular In raport cu diferite axe paralele; determinarea momentului de ine4ie a discului In functie de distanta dintre axa de rot4ie §i axa paralelä ce trece prin centrul de greutate.

Teoria Iucrãrii 2

Teorema Steiner Relaia Intre momentul emetic L al unui solid rigid i momentul fo4ei exteme, in raport cu un sistem de coordonate având originea in centrul de masä al solidului rigid este data de relatia: 0

200

400

600 C(S)

Fig. 3. Dependena Iiniarà a minimu!ui parabolel C de ptratuI

(1) di' Legätura Intre viteza unghiularA o §i momentul emetic L este data de relatia:

vitezei unghiulare o2

(2)

L=I01 C(cni)

Unde I este tensorul moment de inertie. In cadrul acestei lucräri 6 are componentele (0,0, w), astfel Incât relatia (2) devine: (3)

L=I•o

Unde Iz este componenta z a momentelor principale ale tensorului de inertie. Având In vedere rela;iile de mai sus, relatia (1) devine:

.

F

M ZZ

dco di'

1 d2ço Z dt2

4

unde (p este unghiul de rotatie a! discului. Ecuatia de micare este: (5) 16

CO (S-1) 24

Perioada de oscilatie este data de relatia:

Fig. 4. Dependenta minimului parabolei C functie de viteza unghiulara w

(6)

T=2•• 104

105

Dacä Iz este momentul de inertie fatà de o axã cc trece prin centrul de masa,

ITZ I (Nm)

jar I este momentul de inertie faã de o axä paralela cu axa centralä, atunci conform teoremei lui Steiner: J=I+ma2

(7)

Astfel Incât perioada devine: T2

= 42 (' +m.a2)

(8)

C

Fig. 2. Momentul (torsiunea) unui resort 1 1

0

functie de unghiul de rotatie

Aparatura i montajul experimental Montajul experimental este prezentat In figura 1. Acesta constä dintr-un disc

JT

27r

3,t

ç ( rad)

Având In vedere cä, In limita legii lui Hooke, momentul fo4ei este

preväzut cu diferite orificii In lungul diametruluj sau, axa de rotatie, dinamometru i

proportional cu unghiul de räsucire a spiralei resort, se poate determina constanta de

numärätor cu barierä de luminä.

torsiune cu ajutorul relatiei. (9)

M=—C.co

Pentru aceasta, se va reprezenta grafic modulul momentului fo4ei In functie de unghiul de räsucire, vezi figura 2, jar din panta graficului se va afla constanta de torsiune C. Se obtine o valoare de C = 0,025 5 Nm/rad. 2. Cu ajutorul relatiei (8) reprezentând grafic pätratul perioadei de osci1aie In functie de pätratul distantei pânä la axa centralä, va rezulta 5)S 2 (vezi relatia 8). Cu o dreaptä y = a + b . x unde a = (6,86 ± 0,1 aceastã valoare rezultä pentru momentul de inertie al discului fatä de axa cc trece prin centrul de masä a! discului I = 4,52 10 kg m 2 i este perpendicular pe suprafaa discului. T2 (s2)

Fig. I. Montajul experimental al lucrärii

Modul de lucru Fig. 3. Perioada de vibratie a unui disc

1. In prima parte a lucrärii se determinä constanta de torsiune a

functie de distanta perpendicularã la axa

resortului. Pentru aceasta, se fixeazä discul in orificiul corespunzätor -

axei centrului de greutate. Cu ajutorul dinamometrului fixat Intr-unul din orificii, se determinä fo4a necesarä pentru a roti discul cu un

0

0,005

0,010

0,015

a2 (m2)

Observatie

anumit unghi q. In acest caz se va aciona cu o fortä perpendiculara pe

Inaintea Inceperii experimentului se va verifica orizontalitatea discului,

diametrul orificiilor.

folosind uruburile suportului. 106

de rotatie din centrul de greutate

1

107

CUPRINS

PREFATA NOTIUI INTRODUCTIVE DESPRE CALCULUL ERORILOR $I PREZENTAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE ...........................

fo

3 5

I. II. 111.1 IV. V.

PENDULUL MATEMATIC ............................................................................37 41 CADEREA LIBERAV 47 PENDULUL MACHV ....................................................................................... PENDULUL FIZIC ....................................................................................... - 51 ( .........................................................................57 PENDULUL MAXWELL

VI.

PENDULUL REVERSIBIL (KATER)

.......................................................

61

VII. DETERM[NAREA MOMENTULUI DE INERTIE $1 A CONSTANTEI DETORSIUI'JE ...............................................................................................66 VIII.STUDIUL DINAMIC AL TORSIUNII ..........................................................72 IX. VERIFICAREA TEOREMEL LUI STE[NER ..............................................76 X. MOMENTUL DE [NERTIE $1 ACCELEPATIA UNGHIULARA ..............80 XI. GIROSCOPUL ................................................................................................86 93 XII. LEGEA LUI HOOKE (CU MONTAJ EXPERIMENTAL COBRA 3) XIII. SUPRAFATA LIBERA A UNUI LICHID IN ROTATIE ..............................101 XIV. TEOREMA AXELOR PARALELE ...............................................................105 CUPRINS..................................................................................................................109

Tiparul s-a executat sub cda nr. 2509/2009, la Tipografia Edituri i Uni versitatij din Bucureti

EmI tefan Barna Crisfina Muon

Valentin Barna Catalin Berhc

Cristian Ciucu

A N

4 LUCRARI PRACTICE

MECANICA FIZICA !$I ACUSTICA (II) %no

EditiaaIX - a

I

ISBN: 978-973-737-733-3

•/9737 37()()

eclitura universitã ii din bucuresti@ Ar

p

Tp I

I

BIBLIOTECA de

FIZICA

i.2 Cota ............................. Invar..../

.....

Emil Stefan Barna

Cristian Ciucu

Valentin Barna CãtãlinBerlic

Cristina Miron

LUCRARI PRACTICE MECANICA FIZICA SI ACUSTICA (II) Editia a IX-a

U. Cuts C0007

editura universitãii din bucuresti 2010

II

Referenti: Prof. univ. dr. Valeriu Fiip Prof. univ. dr. Popa Nita Viad

CUPRINS

© edlitura universitãtii din bucuresti sos. Panduri 90-92, Bucureti —050663; Tel./Fax: 021.410.23.84 E-mail: [email protected] Internet: www.editura.unibuc.ro

11 1200 019 982X

~

Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a României CIUCU, CRISTIAN Mecanicã fizicä si acusticä: lucràri practice I. Cristian Ciucu, Cristina Miron, Valentin Bania. Ed. a 9-a. Bucureti: Editura Universitãtii din Bucureti, 2009 vol. ISBN 978-973-737-732-6 Vol. 2 / Emil Stefan Barna, Cristina Miron, Cristian Ciucu, 2010. Bibliogr. ISBN 978-973-737-896-5 -

5

I.

STUDIUL INCOVOIERII UNEI BARE ELASTICE...............................................

7

II.

DETERMINAREA MODULULUI DE FORFECARE PE BAZA TORSIUNII. STUDIUL TORSIUNII UNEI TIJE ELASTICE .....................................................

16

III. REZONATORI ACUSTICI .....................................................................................

21

IV. TUNELUL AERODINAMIC ...................................................................................

27

OSCILATII CUPLATE PE PERNA DE AER LINIARA .......................................

36

VI. STUDIUL OSCILATITLOR AMORTIZATE $I AL OSCILATTILOR FORTATE CU PENDULUL POHL-. ...........................................................................................

43

PERPENDICULARE ARMONICE OSCILATIILOR VII. COMPUNEREA . ............................................................ (FIGURILE LISSAJOUS)?(. ........................... ..

52

VIII. PENDULE CUPLATE- ...........................................................................................

60

IX. MSURAREA VITEZEI SUNETULUI IN AER CU TUBUL KONIG ...............

71

TUNELUL AERODINAMIC. FORTE DE REZISTENTA' ...................................

75

XI. VERIFICAREA LEGILOR LUI KEPLER ...............................................................

82

V.

Biblioteca de Fizica

II III OlI11111111111 11

PREFATA..........................................................................................................................

X.

-

...

-

I. Bama, Emil II. Miron, Cristina III. Ciucu, Cristian 531 534

Tehnoredactare computerizatà: Tania Titu

-

U

PREFATA

In cadrul cursurilor generale de fizica, Mecanica ocupä un bc firesc reflectat in cadrul planurilor de Invätamânt, prin numärul de ore de curs §i laborator. Prezenta lucrare finalizeazä tematica lucrãrilor de laborator de mecanicã, find o continuare fireascä a volumului I a lucrärilor de laborator publicat In cursul anului 2009. Lucrarea este complementara cursului de Mecanicã Fizicä §i Acusticã

§1

este destinat

studer4ilor din anul I al FacultAtii de Fizicã a Universitatii din Bucureti, având ca scop aprofundarea §i Intregirea cunotintelor dobândite la curs, Insuirea unor deprinderi practice i aprofundarea unor tehnici experimentale specifice acestui domeniu. Aceste douã volume au aparut din necesitatea obiectivã de acoperire a lucrãrilor existente in prezent la laboratorul de Mecanicä. Dacã In mod evident tematica lucrãribor de laborator nu a suferit modificäri radicale, aparatura laboratorului a fost schimbatä practic in totalitate in cadrul programelor de dotare a ciclului de licentã. Prezentarea lucrärii a fost astfel conceputã incât sa permitã accesul atât la cunotintele teoretice necesare In cadrul parii experimentale, cat i la tehnica i principiul de functionare a aparaturii folosite; in mod cert pentru studentii Facultatii de Fizicã, lucràrile de laborator reprezintä o parte importantà a procesului de invãtämânt. 0 atenie deosebitã este acordatã prelucrãrii §i prezentArii datebor experimentale. Textul lucrãrilor este redactat In conformitate cu prevederile Planului de Invãtamànt, find analizat §1 aprobat de cätre colectivul de catedrã. Sef Catedrã, Prof. univ. dr. Emil Stefan Barna

S

F

LIJCRARIA I

STUDIUL INCOVOIERII UNEI BARE ELASTICE

Obiectivul experimentului > determinarea modulului de elasticitate Young pentru o bard metalicä elasticä.

Teoria lucràrii incovoierea sau flexiunea este o deforinatie neomogenä care apare in corpuri elastice sub fonnã de bare, grinzi, tije, stâlpi, supuse actiunii unor forte exterioare. incovoierea apare in corpurile mentionate atunci când lungimea br este mult mai mare decât celelalte douä dimensiuni. Vom studia deformatia de Incovoiere a unei bare elastice in cazul deformatiilor mici, pentru a rämâne in domeniul elastic descns de legea lui Hooke. Presupunem de asemenea cã fortele exterioare actioneazã in planul vertical de simetne al barei. In acest caz, in once sectiune a barei, fortele interne se reduc la o fo4ä transversalã tãietoare i la un moment Incovoietor (cuplu). Deformalii fi tensiuni Consideräm o bard elasticã modelatä prin fibre (planuni, straturi, lame) bongitudinale, supusä unei deformatii de incovoiere, produsä de un sistem de forte extenioare. Fibrele de pe pantea convexã se Intind, jar cele de pe partea concavã se contractã. Existä un strat In care fibrele doar se curbeazä, ffirã sa-i schimbe lungimea. Acesta este stratul neutru, iar intersectia sa cu planul sectiunii transversale formeazã axa neutrã. Sectiunile transversale, plane i venticale inainte de defonmatie, se rotesc dupã defonmatie In junul unei axe neutre locale, rämânând perpendiculare pe stratul neutru. Donim sa calculãm deformatia unei fibre situatä la distanta y fata de stratul neutru. Iii figura 1 este redat un element diferential de volum, având raza de curburã R.

7

Momentele de inerie geometrice se calculeazä analog cu cele fizice (ine4iale), jar valorile br pentru anumite tipuri de sectiuni se pot lua din cursurile de mecanicä fizicä. De exemplu, momentul de ine4ie geometric pentru o seciune dreptunghiularã de lungime a lätime b este: I=--ab. 12 Ecualia liniei elastice Prin Incovoiere, axa barei ia forma unei curbe plane, numità linie elasticä. Pentru deformatii mici, raza de curburä a liniei elastice este data de rela;ia (4). Pe de altã parte, inversul razei de curburä (curbura) este data de formula matematicä: 1 - d2 y/dx2

(5)

[,+(dy Fig. 1 Secfiune transversald pentru o bard elasticd deformatd Pentru deformatii mici, unghiul de Incovoiere este mic, astfel Incât se poate accepta Folosind notatiile din figurä, putem scne relatiile pentru lungimea fibrei neutre: dx = Rda,

aproximaia: dy/dx = tga verificarea legii curgerii fluidelor considerate ideale. .(9)

Teoria lucrárli Fluidele sunt corpuri care nu au forrnã proprie, luând forma vasului in care se aflã. 0

Fixând reperele i mãsurând distantele (cotele) de la nivelul onficiului de ieire din tub

proprietate specified a fluidelor este curgerea, astfel incât s-ar putea spune cä fluidele sunt

i apoi cronometrând timpul de trecere prin dreptul reperelor, putem verifica relatia (9). Pästrând pozitia reperelor, se vor repeta experienele pentru alte 5 poziii ale inãltimii initiale h0 a nivelujuj lichiduluj. Se reprezinta grafic t = f(hh/ 2 ).

corpuri care curg. Din categoria fluidelor fac parte lichidele, gazele i vaporii. 0 altã proprietate specified a fluidelor este compresibilitatea, care diferã mult de la un Ril

fluid la altul. Astfel, gazele §i vaporii sunt mult mai uor compresibile decât lichidele, care pentru presiuni comparabile cu presiunea normalã, sunt practic incompresibile. In procesul curgerii, fluidele manifestã frecäri cu peretii vasului prin care curg, precum i frecãri interne, intre diferitele straturi de fluid. Toate aceste frecäri sunt denumite prin termenul de vâscozitate. Dupa valorile numerice ale coeficientului de vâscozitate, fluidele ,,acoperä" un interval larg, de la stärile sticloase aflate la limita dintre lichide §1 solide, pânä la stãnle de suprafluiditate care apar la temperaturi foarte joase ( z 4°K pentru He lichid). Pentru sistematizarea studiului teoretic i experimental al fluidelor, acestea se impart in douã categorii §i anume fluide ideale (perfecte) i fluide reale (naturale). Un fluid se considerä ideal dacã este incompresibil i ffirä vâscozitate. Fluidul ideal reprezintã o stare limitä i totodata aproximativã a realitatii. Gazele au o vâscozitate mica, dar sunt uor compresibile, in timp cc lichidele sunt practic incompresibile, dar au o vâscozitate mult mai mare decât gazele. Practic, un fluid poate fi considerat ideal, lapresiuni comparabile cu presiunea atmosfericä i la viteze mici de curgere prin tuburi.

me

'

jU%.Ila It

.

27

1 p+ —pv2 +pgh=const.

Legea continuitätii la fluide Procesul de curgere a unui fluid este modelat prin linii de curent care reprezintã traiectoriile particulelor de fluid i prin tubul de curent, care este un element spaia1 al fluidului a carui suprafaã lateralà este formatA din totalitatea liniilor de curent duse printr-un contur Inchis.

(4)

Presiunea p este presiunea staticä ce se exercitã perpendicular pe un element de suprafaä, indiferent de orientarea acestuia. 1 2 PresiuneaPd - PV se numete presiune dinamicá, ea se datoreazä energiei

Considerãm un fluid ideal care cuprinde un volum V, delimitat de o suprafatA inchisä S, care poate fi strAbätutA de fluid.

cinetice a fluidului, find egalä cu energia cineticä a unitAtii de volum; este o presiune

Cantitatea de fluid care traverseazä un element de suprafaä dS, Intr-un interval de timp dt, se poate scrie:

orientatA, astfel incât ea flu se transmite pe pereii tubului. Presiunea p g h este presiunea de ,,pozilie" (sau ,,potenialä") datoratä energiei poteniale, find egalä cu energia potenialä a unita;ii de volum; se exercitã vertical in jos.

din = p v dS dt Pentru un tub subfire, In care densitatea i viteza fluidului sunt constante prin cele douä sectiuni, obtinem: p1 v1 S1 =p2 v2 S1

IV

(1)

Màrimea fizicã: D m = pvS, reprezintã debitul masic al fluidului, astfel mncât legea continuitãpi (1) este o lege de conservare a debitului masic. in cazul unui fluid incompresibil p1 = p 2 i legea continuitatii devine: v1 S1 = v2 S2

(2)

Mãrimea fizicã D V = vS, reprezinta debitul volumic al fluidului, astfel Incât legea continuitatii (2) este o lege de conservare a debitului volumic i sub aceastã formã se aplicã experimental In lucrare. Legea lui Bernoulli \,

Legea lui Bernoulli stabi1ete relaçia dintre presiunile existente intr-un fluid ideal, aflat In curgere stationara printr-un tub. Legea lui Bernoulli flu este o lege independenta in dinamica fluidelor, ci se deduce din legea conservãrii energiei mecanice. Fie un fluid ideal care curge pnntr-un tub subtire, sub actiunea presiunilor p i p2. Cu notatiile prezentate in figura 1, putem scrie:

rX

VA

Fig. 1 Reprezentarea schematicä a unui tub de curent intre douà secfiuni dferite Si respectiv S2

Aceste presiuni se mãsoarã, in cazul curgerii unui lichid, conform reprezentãni

dW=dW, dW=d(E+E), dW=p1 dV1 —p2 dV2 ,

schematice din figura 2, in care dispozitivele de mãsurã se numesc: sondá de presiune, tub

dE =idm(v —v)+dmg(h2 —h1 )

Pitot §i tub Prandtl. in Datoritã incompresibilitaii fluidului: dV1 = dV2 = id din relatiile scrisc rczultâ P legea lui Bernoulli sub formele: PI + pv +pgh1 =p2 + pv 2+pgh2 2

HE

(1)

29

SONDADE PRESIUNE

TUBUL PITOT

Presiunea dinamicã se obtine din diferenta intre presiunea totalä i cea staticä, mãsuratA

TUBUL PRANDTL

anterior (fig. 3).

Pd

'.'

PS 11111

*111, iiI

,

Fig. 2 Reprezentarea schematicà a sondei de presiune, a tubului Pitot ,ci a tubului Prandtl

Dispozitivul experimental Tunelul aerodinamic este format din mai multe componente i anume: o suflanta dotatä cu un ventilator de mare putere, un tub Venturi, 3 colectoare de diametre diferite, un set de Corpuri de forme diferite, un manometru universal prevãzut

CU

un tub Pitot si un

dinamometru de torsiune cu douA scale de mãsurã.

putere i turatie variabile. Tensiunea de alimentare este 220 V c.a., jar turatia poate fi modificatã cu ajutorul unui reostat cu cursor, in intervalul 2000-4000 rot./min. Un tub metalic de 30 cm diametru asigurã o repartitie uniformä a curentului de aer. Tuburile colectoare de

18

i 10 cm diametru, pot fi montate direct pe suflantã, iar cel de 5 cm diametru se monteazã in prelungirea celui de 10 cm. Tubul Venturi este alcãtuit din douã trunchiun de con opuse simetric la vârf, sectiunea mare (la extremita;i) find de 4 oni mai mare decât sectiunea mica (la mijloc). Perpendicular pe axa tubului Venturi i pe aceeai axã sunt montate 9 mici tevi metalice, care comunicã in partea de Jos cu fluxul de aer. Capetele supenioare sunt astfel prelucrate incât sã poatä fi racordate printr-un furtun de cauciuc la manometrul universal, care mãsoarã astfel presiunea

de aer pâna la 40 m/s. Lichidul manometric este apa purã, care prezintä avantajul de a i se cunoate exact densitatea §1 poate fi completatã oncând este necesar. Tubul Pitot asociat manometrului universal este compus din do üä tevi metalice inoxidabile i concentnice. Capãtul Indoit In unghi drept trebuie sã fie orientat pe directia curentului de aer. Tubul Pitot se racordeazä la manometrul universal In 3 moduri diferite (fig. 4): V Numai teava exterioarà 1 este racordatã la intrarea de Jos a manometrului universal, care indicã in acest caz presiunea staticä. V Numai teava interioarã 2 este racordatã la intrarea de

Jos

a manometrUlui

universal, care indicã in acest caz presiunea totalä. V Teava extenioarä 1 este racordatã la orificiul de sus, jar cea interioarä 2 este racordatã la onficiul de Jos al manometrului, care indicã in acest caz presiunea

staticä in sectiunea respectivã. Cu

un oriiiciu

lateral, orientat pe axa tubului, in calea curentului de aer. Dupa introducerea sondci in oriiciu1 respectiv, se face legatura cu manometrul universal, care indicä acurn Plesitinea Ilahi, 30

Manometrul universal, impreunã cu tubul Pitot asociat, permit mäsurarea presiunu statice, dinamice i totale, pânä la valoarea de 200 mm coloanã de apa i a vitezei curentului

Suflanta este compusä dintr-o carcasã de lemn care mascheazä motorul electric de

Presiunea totalã se mäsoarã cu ajutorul unei sonde speciale, preVdZUti

Fig. 3 Reprezentarea schematicã a modului de màsurare a presiunii statice a presiunii totale cu tunelul aerodinamic

dinamicã a fluxului de aer. Cunoscând densitatea aerului, din valonile presiunii dinamice s-a dedus viteza curentului de aer, care se citete pe scala inferioarã a manometrului In unitãti SI. 31

Diametral colectorului (m) 5 10-2

V (m/s)

S (m)

v S (m3/s)

10-10 18 102

Legea continuitãii inseamnä, teoretic, v - S = const., ceea ce experimental se verificä numai aproximativ, din motivele care au fost arätate. In a doua variantä se folosete tubul Venturi, care se monteazã la tunel prin Pt

intermediul colectorului de 10 cm diametru. Pentru un regim de curgere constant (o poziie 2

fixä a cursorului reostatului, in a doua jumätate a cursei sale), se mäsoarã cu manometrul

Fig. 4 Reprezentarea schematicá a modului de racordare a tubului Pitot la manometrul universal

universal mai intâi presiunea staticã In cele 8 sectiuni diferite ale tubului. Acest lucru se face prin cuplarea, pe rand, la tuturile tubului, a furtunului conectat la terminatia inferioarã a

Dej scalele manometrujuj sunt in ansamblu neliniare, pentru citirile dintre douã indicatii succesive se acceptä efectuarea unor interpolári liniare.

manometrului, eel de sus rämânând liber (deschis). Pe scala manometrului se citete i se noteazäpresiunea staticd in cele 8 poziii. Dacã presiunea staticã devine mai mica decât cea atmosfericã, caz in care coloana de apä din manometru coboarã sub diviziunea zero, atunci se cupleazã furtunul de sus al

Modal de lucru

manometrului pe rand la tuuri1e tubului, eel inferior rãmânând liber (deschis). In acest fel se

A. Verficarea legii Continuitã/ii Trebuie spus de la Inceput cã atât legea corltinuitatij, cat i legea lui Bernoulli, se verificã doar aproximativ, datoritä Incãlcärii regimului laminar de curgere de cãtre fluxul de aer, existentei frecarilor interne i compresibilitãij aerului. Legea continuitatij se verificã in douã variante.

In prima variants se monteazã la tunel cele trei colectoare diferite i anume cele cu

mäsoarä, de fapt, cu cat presiunea staticã estethai mica decât cea atmosfericã, ceea ce este echivalent cu a considera indicatia respectivä negativã. Situatia mentionata se realizeazã, de regula, in seciunile mici: 4, 5 i 6. Pânã In acest moment al lucrärii se cunoate presiunea staticã in cele 5 sectiuni diferite ale tubului Venturi. Pentru verificarea legii continuitatii, trebuie cunoscutä i viteza In fiecare tubul Venturi. Trebuie mãsuratã presiunea

diametreje de: 5 cm, 10 cm i 18 cm, intro ordine oarecare. Cunoscându-se diametrele, se pot

sectiune, ceea ce nu se poate face direct

afla sectiunile transversa!e ale tuburilor respective

dinamicã nu se poate mãsura direct, ci se obtine prin diferena dintre presiunea totalã i cea

CU

formula elementarä: S=

Viteza

curentului de aer se mãsoarã pe scala dejos a manometrujui, conform schemei reprezentate in

dinamicä, din care, cu relatia cunoscutã, se obtine viteza curentului de aer. Dar nici presiunea

staticä. Presiunea totalã se mãsoarä cu ajutorul unor sonde de presiune tip Pitot, construite sub

figura 4, In dreapta. Astfe!, furtunul care preia presiunea staticA, I In figura, se conecteazã la partea superioara a manometruluj, jar eel care preia presiunea totalã, 2 in figurã, se conecteazã la partea inferioarã. Astfel, manometrul indicã direct presiunea dinamicã pe scala Superioarã i direct viteza pe scala inferioarã. Datele experimentale se tree Intr-un tabel de forma:

Cu

forma unor tevi subtiri de cupru, decupate In partea inferioarã, pentru a prelua i presiunea dinamicä. Pentru fiecare sectiune existA câte o sondä, având lungimea astfel Incât extremitatea i implicit orificiul sa se plaseze pe axa tubului Venturi. In acest sens, pe capatul vizibil al sondei existã un semn (o crestatura) care indicã orientarea el corectA i anume cãtre curentul de aer.

32

33

DupA introducerea corectã a sondei In locau1 sau, se face legatura cu manometrul prin intermediul furtunului inferior. In acest fel pe Scala manometrului se citete §i se noteazä

Verificarea legii lui Bernouffi Legea lui Bernoulli a fost prezentatä In cadrul teoriei lucrärii. Practic se lucreazä cu un tub orizontal (tubul Venturi), astfel meat legea se scrie:

presiunea totald.

1

Cunoscând presiunile staticä §1 totalä, viteza se obtine cu relatiile:

vI___,

Pd =

PS

v2t_PJ

P v2 = const.,

PS +Pd

= const., Pt = const.

(7)

(5)

deoarece pentru un tub orizontal, presiunea hidrostaticä este constantä, inclusiv zero, In toate

Observatie: In aceastã relatie trebuie sä se lucreze In sistemul SI, ceea ce inseamnä cã

seciuni1e. Presiunile staticä, totalà i dinamicä sunt cunoscute pentru tubul Venturi, de la

presiunile trebuie sã fie transforrnate din mm coloanä de apä, in N/rn2 conform relatiei (6). 1mm H 2 0 9,8 N/rn2

(6)

In acest moment al lucrãrii se pune problema inlocuirii valorii densitãf ii aerului in condi;iile reale de lucru, corespunzãtor presiunilor respective. Este rezonabil i acceptabil sä se ia pentru densitatea aerului valoarea corespunzãtoare conditiilor normale i anume: PN = 1,29kg/rn3 . Dei in acest fel se introduce o eroare sistematicá in valorile determinate,

mäsuratorile precedente, pentru verificarea legii continuitäii. i totui, In limitele timpului disponibil aceste mãsurätori pot fi completate cu mäsurãtorile pentru cele trei presiuni In cele trei colectoare de: 180, 100 i 50 mm, folosind tubul Pitot cu douä brate, prezentat in figura 4. Datele experirnentale obinute se trec intr-un tabel de forma:

(rn/s) I v S (m3/s) I

Ps (N /M)

Pd (N/rn2) Pt (N/rn

aceasta flu este prea mare, deoarece aerul este putin compresibil la vitezele relativ mici ale curentului de aer. Sectiunile tubului Venturi in punctele de mãsurare a presiunilor se obiin din valorile diarnetrelor corespunzãtoare ordinii de nurnerotare, care sunt: 95, 83, 70, 56, 42, 54, 71,92 [mm].

Datele experirnentale obtinute se trec intr-un tabel de forma: Nr. det.

Ps Pt (N/rn2) (N/rn2)

PdPtPs (N/rn2)

I2t_ P (rnls)

S (M)

Sv(rn 3/s)

Se va constata cã produsul din ultima coloanã nu este riguros constant, ci variazä intre limite rezonabile. Acest lucru certified existenta abaterilor fluidului de la idealitate, fund cauzat insã i de erori sisternatice.

34

35

sau m1 k1 +(k1 +k12 )x1 =k12x2

(5)

m2 5 2 +(k2 +k12 )x 2 =k12 x1

L IJCRARIA V

Constatam Ca cele douã ecuatii difereniale flu sunt indeperidente, ci cuplate, In sensul cä in ecuaia diferentialä a unui oscilator apare ca variabilã elongaia celuilalt oscilator. Pentru rezolvare cäutäm solutii de forma: x1 =A cos (cot+p)

OSCILATII CUPLATE PE PERNA DE AER LINIARA

(6)

x 2 = B cos (cot+ P)

Inlocuind relatiile (6) In rel4iile (5), se obtine un sistem algebric de ecuajii liniare omogene cu necunoscutele A i B:

Obiectivele experimentului

(k1 +k12 _mio2)A_ki2B = 0 k12 A + (k2 + k12 m2(0 2 ) B = 0

> determinarea constantelor elastice k i k12;

-

-

> determinarea perioadei modului fundamental Ti exp.;

Sistemul de ecua;ii (7) poate fi scris in functie de raportul amplitudinilor astfel:

> determinarea perioadei celui de-al doilea mod de oscilatie T2exp.; -

B

-

k1 +k12 —m1 oY

> realizarea fenomenului bätãilor §i deterrninarea perioadei bätäilor Tbexp.

k12

-

(8)

k 2 +k12 —m2o 2

k12

Pentru a obtine solutii diferite de zero, trebuie ca deterrninantul sistemului (7) sa fie

Teoria tucrärii

nul:

Sã analizäm ce se intâmplã cu caracteristicile micärii periodice a unui oscilator

k1 +k12 —m1 eY

annonic, dacä acesta se cupleazã cu un al doilea, care poate avea proprietai identice sau

(9)

=0

k 2 +k12 -m2 w 2 1

—k12

diferite.

—k12

Aceastã conditie conduce la ecua;ia bipatrata:

Notäm deplasãrile fatä de pozi;ia de echilibru cu x1 , respectiv x2 . Fo4ele elastice ce

_1k1 +k12 + k 2 +k12

apar In fiecare resort ca rezultat al deformärilor sunt: F, =—k1 x1

(1)

F2 =—k2 x 2

)

k1 k2 +k1 k12 +k2k12 m1m2

=

(10)

(2)

-

Co2

x 21 fapt ce va determina apariia unei forte de

1

ilk

k1 + k12 + k 2 + k12

2 m1

m2

) \

I2

~ k

m

k~ k2 +~ m2

)

m1m2

Din relatia (11) se observä cã expresia de sub radical este pozitivã, deci ambele valori

revenire suplimentara, la cele douA capete: (3)

ale lui o2 sunt reale. Prin rezolvarea ecuatiei se obtin urmätoarele patru solu;ii reale pentru C04

Aplicând principiul II al dinamicii pentru micarea celor douã corpuri, vorn obtine un

i anume: ± co t , ± (02. Valorile negative ale frecven;ei flu dau solutii diferite fata de cele

F;2 =—F 1

=k12 (x2 —x1 )

pozitive §i le vom neglija.

sistem de ecuaj'ii dferenfia1e:

Cea mai mica dintre frecventele proprii, o, se nume$efundainentalã, iar unnätoarea

m1 X1 =—k1x1 +k12 (X2 —x1 ) m2 5 2 =—k 2 x 2 —k12 (x 2 —x1 ) 36

+

care are rädãcinile:

Deoarece corpurile sunt legate Intre ele printr-un resort, acesta va cupla micäri1e. Deformarea resortului din mijioc va fi x 1

m2

m1

2

(4)

frecvenä, 2, se numete a douafrecvenlà naturalà.

1

37

T In eel de-al doilea mod normal, numit i antisimetric, oscilatorii sunt In antifazã,

Inlocuind valorile pãtratelor frecven;elor proprii in relatia (8), se obtine: 131 - k1 +k 12 — m 1o -12 k q1 -k12 k 2 +k12 —m2 B2 = k1 +k12 —m1co k12 q2 = k12 - k 2 +k12 —m2 w

amplitudinile sunt egale ca márime, dar opuse ca semn, astfel cä mi,ccarea este simetricà, (12)

dar In sensuri contrare: (21)

xl = —x2 =A2 COS (cJ)2t+p2) (12')

In aceste conditii, resortul de cuplaj central este deformat, deformarea sa find data de relatia (22):

Inlocuind in relatiile (6), se obtin modurile proprii sau fundamentale de vibraie ale

X1

sistemului:

(22)

—x 2 = 2A COS ((0 2 t+(p2 )

Primul mod propriu de vibralie: X,

= A1cos(ci1t+p1)

Dispozitivul experimental

(13)

Dispozitivul experimental folosit in aceastä lucrare este format din douä cärucioare x2 =B1 cos(w1 t+p1 )=q1 A1 cos(co l t+p1 )

(14)

identice de mase m1 = m2 = in = 269 g care sunt cuplate la capetele dispozitivului prin douã

Al doilea mod propriu de vibrafie:

resorturi identice de constante elastice k1 = k2 = k i intre ele printr-un resort diferit de

X 2 =A2 cos( 2 t+ 2 )

(15)

X 2 =B2 cos(0 2 t+p2 )=q 2 A2 cos(0)2 t+p2 )

(16)

Perna de aer liniarä este o incintã rigida care are suprafaa exterioarã cu o planeitate

Solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale liniare se obtine aplicând

foarte bunä i care prezintã foarte multe orificii mici distribuite uniform. Se comprimã aer in

principiul superpoziiei, ce constä in insumarea celor douã so1uii particulare, reprezentate de

incinta respectivã (cu ajutorul unei suflante) care va iei prin orificiile din suprafaa cutiei

modurile proprii de vibratie:

astfel meat jetul de aer format va determina ca -micarea celor douã cãrucioare sa se facä CU 0

A l cOs(w1 t+ (p1 )+ A2 coS()2t X2

)

=q1 A1 cos(w1t+co1 )+q2 A2 cos(w2t+ço2 )

celelalte, de constantä elasticä k1 2, ca In figura 1.

frecare neglij abilã.

(17)

m2 k2

(18)

Constantele de integrare se determinä din conditiile initiale referitoare la pozitie i vitezã. Gazul particular care sefolosete In aceastà lucrare: Se considerã m1 = m 2 = in i k1 = k 2 = k. Din relatia (11) se obtin relatiile (19): (0 1

in 2k+2k12

(19)

in i raportul amplitudinilor este egal cu ± 1. In modul fundamental de vibrajie, numit i simetric, corpurile oscileazà In fèizà, cu amplitudini egale, astfel cã resortul de cuplaj nu este niciun moment defi.ri,zat:

Fig. 1 Reprezentarea schematicà a dispozitiiiului experimental pentru studiul oscilafiilor cuplate pe perna de aer liniara

X, = x2 = A1 cos(o)t +

38

1

39

Datele obtinute se tree intr-un tabel de forma:

Modul de lucru Se vor determina pentru fiecare resort constantele elastice k1 = k2 =k i k12 prin metoda dinamicã. Pentru aceasta, se Scot resorturile din montaj i se fixeazä cu un capat pe un stativ. De capatul liber al fiecãrui resort se suspendä pe rand câte douä mase marcate in' i m"

§1

t' (s)

t'' (s)

T;exp

se pune sistemul in oscilatie. Se cronornetreazã timpul t', respectiv t" in care acesta

T1

=-

j-

=

Tiexp

=

T;exp + T;exp

Ticaic = 2it

F

(s)

(s)

(s)

(s)

2

efectueazã N oscilatii complete (minim 10 oscilatii complete) pentru masa rn', respectiv m". Se calculeazä perioada de oscilatie T i constanta elasticä k, cu relatiile (23): T=-tN

In cadrul acestei secvene a luerärii, se observã cã acceleratia centrului de masã este (23)

egala cu aceeleratia fiecãrui corp in parte, ceea ce Inseamnã cã fiecare corp oscileazä ca

T2

când celälalt ar fi absent.

Datele obtinute se tree intr-un tabel de forma:

Pentru determinarea perioadei celui de-al doilea mod de oscilatie sau antisimetric, T2exp,

Resortul

in (kg)

TT=

rn (kg)

i N

(s)

T"= (s)

N

k'=

2 47tm1

T2

(N/rn)

dupa crearea efectului de pernä de aer, cele douä cãrucioare se deplaseazä In sensuri

4i 2 m

k'+ V

opuse i cu aceeai distanlá pe perna de aer, astfel meat sa fie in opozitie de fazã i sa aibä

T'2

2

amplitudini egale. Deterrninarea perioadei T2exp. se face analog cazului precedent când s-a

(N/rn)

(N/rn)

k=

determinat Tiexp. i se comparã apoi valoarea obtinuta cu cea calculatA cu relatia (26).

1 T2ca1c. =22cI

2 1,2

in k +2k 12

(26)

Datele obtinute se tree intr-un tabel de forma: Pentru determinarea penoadei modului fundamental sau simetric, Ti,, p , dupã crearea ti

efectului de pernã de aer, cele douã cãrucioare se deplaseaza In acela.i sens cu aceeai distan/à pe perna de aer, dupä care se lasã sistemul sa oscileze liber. Pentru ca sistemul sã

t' (s)

t'' (s)

T;exp.

= --

T;exp =

(s)

oscileze cu frecventa fundamentalã, cele douA cãrucioare trebuie sa aibã aceeai amplitudine

-

T;exp. T2exp.

2 (s)

(s)

+ T;exp.

T2calc = 2

m F

2k 12

(s)

i sa fie in fazã la momentul initial, astfel incât In timpul oscilatiilor, resortul k12 sã nu se deformeze. Se va cronometra timpul t in care se efectueazä un nurnär N (minim 10) de oscilaii complete i se va determina perioada T1 exp. cu relatia (24):

In aceastä secventa a lucrãrii se observã cã acceleratia centrului de masã este zero,

t T,iexp

(24)

=N

conform teoremei micärii centrului de masã. Transmiterea periodicà a energiei Intre doi oscilatori cuplafi i efectul rezultant de

Se vor face 2 determinãri i valoarea medie obtinuta se va compara cu cea calculatä cu

modulare al amplitudinii de vibrafie ajIecãrui oscilator se numetefenomen de bãtai.

relatia (25):

Pentru realizarea fenomenului bãtãilor, un cãrucior este ;inut fix jar celãla!t se Ticaic. =

40

Fk

(25)

indepãrteazã sau se apropie de el

1

CU 0

anumitã distantã, dupã care se lasã sistemul sa oscileze 41

liber. Se observä transferul de energie mecanicä de la un cãrucior la altul i myers. Sistemul oscileazä astfel incât, atunci când amplitudinea unui oscilator este maxima, amplitudinea celuilalt oscilator este minimA i myers. Prin perioada bàtdilor

LIJCRAR.IA VI

se inelege timpul inregistrat Intre douä bAtAi consecutive, adicA

intre douA momente de amplitudine maximA sau timpul dupA care sistemul Ii reia o anumitA stare configurativa (cel mai uor de observat este starea de repaus, astfel incât perioada

STIJDIUL OSCILATIILOR AMORTIZATE $I AL OSCILATIILOR

bAtAilor poate fi mAsuratã prin timpul dupa care se reia starea de repaus a aceluiai cArucior).

FORTATE CU PENDULUL POHL

Perioada bAtAilor determinatA experimental, Tbexp, se va compara cu valoarea teoreticA, data de relatia (27) i de relatia (28): Tb caic

T2k ca - T21

T1 caic

= IT1

Obiectivele experimentului

(27)

Pendulul de torsiune Pohl este folosit pentru studiul oscilatiilor amortizate, respectiv Tbt

TlexpT2exp jT1

T2expl

forate. In aceastä lucrare se va studia:

(28)

A. In cazul micärii oscilatorii libere: > perioada i frecventa proprie a oscilatorului in regim neamortizat; > perioada §1 frecventa proprie a oscilatorului in prezena amortizärii; > coeficientul de amortizare; decrementul logaritmic. B. In cazul micãrii oscilatorii forate: > trasarea curbelor de rezonanA ale amplitudinii pentru diferite amortizAri; > coeficientul de amortizare.

Teoria lucrãrii A. Osdilatii amortizate In cazul unui pendul de torsiune, momentul de torsiune M1 este proportional cu unghiul de rAsucire: M1 =—Cp

(1)

unde C este constanta de torsiune. Momentul rezistiv (de frânare) este: M2=

—Fqi

(2)

unde F este un factor de amortizare. Amortizarea este controlatA de o frAnA electromagneticA, ce are la bazA curentii Foucault care apar ca urmare a micArii discului de cupru intr-un camp magnetic uniform. Aceti curenti genereazA un camp magnetic de polaritate opusA cflmpului magnetic aplicat. RezultA o forta de rezistenA proporionalã cu viteza de micare a discului. 42

1

43

Raportul elongaiilor la un interval de timp T este:

Se obtine urmätoarea ecuatie de micare: Iço+Fp+Cço=O

K= (p (t) =e ( (t + T)

(3)

unde I este momentul de inertie al pendulului fata de axa de rotatie. Imparind prin I rezultA FC co+—cp+-w=O (4)

t

Logaritmul natural al acestui raport se numete decrement logaritmic: 2nb Jb2

Se noteazä: CO

= s ' putem defini timpul de viatA

Având in vedere cä

(5)

2=-

(9)

t

= 1/b astfel Incât pentru

t = v amplitudinea scade de e = 2,718 ori. Atunci decrementul logaritmic semai scrie:

unde b este coeficientul de amortizare jar co este frecvena oscilatiilor proprii In absenta

(11)

D=bT=T

amortizArii. Rezultä ecuatia caracteristjcä: p2+2bp+a=O

(6)

i deci inversul decrementului logaritmic: (12)

Cazul I DT Dacã amortizarea este slabä b < co, rädäcinile

p12

sunt complexe, jar so1uia ecua;iei

reprezintä numarul de oscilatii pânã la care amplitudinea se reduce de e on.

(4) este: (p(t)= (p e unde @ =

COS (Cot +a)

(7)

Cazul II In cazul b > a

- b2 reprezintäpseudopulsc,fia, respectiv:

radäcinile ecuaiit caracteristice sunt reale i negative, jar soluia

ecuaiei (4) este:

2 i Jw_b 2

(8)

este pseudoperioada. Oscila;iile amortizate sunt de tip sinusoidal dar

Cu

(p(t)= e_bt(c1Coot +c2et)

(13).

Micarea se numete amortizatà aperiodicà ( fig. 2), iar pendulul se intoarce

amplitudinea

descrescätoare exponential (fig. 1).

asimptotic cätre poziia sa de echilibru.

çtt)

amortizare aperiodica .cc:T::?tI:eriodica

t *

Fig. 2 M4carea aperiodicá

Fig. 1 Dependena elongaiei unghiulare Infuncçie de timp in cazul oscila(iilor amortizate pseudoperiodice 44

Voscilatie amortizata pseudoperiodica

1

45

Cazul III

pentru F0 dat amplitudinea (Pa are un maxim pentru:

In cazul b = coo rädäcinile coincid i:

40)2

(p(t)=(c1 +c2t)e_bt

(20)

jar diferena de fazà Intre deplasare §i ford este ir / 2.

(14)

iar micarea este aperiodicà criticá (fig. 2) jar pendulul tinde spre poziia de echilibru in

> cu cat b este mai mare, cu atât amplitudinea oscilatiilor fortate este mai mica, jar

timpul cel mai scurt.

frecven;a de rezonan;a se deplaseazä spre frecvente mai mici.

B. Osdilaçii fortate Dacã asupra pendulului actioneazã un moment extern M

=

M0 cos Qt ecuatia (4)

devine: +2b unde F0

=

o

=

F cost

(15)

In rem permanent so1ua eduatiei (15) este: (p(t)=(P COS (Qt +cc)

02

Q

(16)

unde

re:

Fig. 3 Curbele de rezonanfà pentru dferite amortizàri (17)

Dispozitivul experimental Principalele componente ale pendulului Pohl sunt: tg a =

2bQ -______

(O

Q2

I. un disc de cupru ce se poate roti In jurul unui ax ce trece prin centru legat de un resort (18) sub formã de spiralä, ce tinde sã aducä discul in poziia de echilibru. Pe disc este fixat

Dependena coa = p. (i)) poarta numele de curba de rezonanla. Analizând re1aiile

un pointer ce permite mãsurarea amplitudinilor unghiulare pe o scald circularã aflatã in

(17) i (18) se constatã cä: > la frecvente mici

spatele discului; coo

2. un motor legat printr-o tijã de resort care permite obtinerea de oscila;ii fortate cu

0

frecventa reglabila;

(19)

3. o frâna electromagneticä care permite reglarea efectului de amortizare prin curenli

jar fora exterioarã §1 deplasarea sunt In fazã.

Foucault ca urmare a micãrii discului Intr-un camp magnetic uniform generat de un

> la frecvente man Q -~! o, amplitudinea scade rapid cu frecventa

electromagnet. ~ coo

(L'a (0)

jar deplasarea este in opoziie de fazä cu fora exterioarä. 46

1

47

-

PW

(-bt

Fig. 5 Dependent a amplitudinilor unghiulare succesive de timp Fig. 4 Montajul experimental pentru Pendulul Pohl Datele se tree in urmàtorul tabel:

Modul de lucru

Tabelul 1 -

amphtudinii

A. Osdilatii amortizate 1. Se detei-minã perioada proprie de oscilatie T0 (fàrã amortizare, 'B

=

OA). Pentru

~00

m

ts

Mwlitudinea oscilatiei

0

aceasta, pendulul este rotit pana la capãtul scArii gradate i lãsat liber. Se mãsoarã cu ~02

ajutorul unui cronometru intervalul de timp in care se efectueazä 10 oscilatii complete.

~03

Valoarea medie obtinuta in cadrul experimentului este: T0 = (1.817 ± 0.017)s, respectiv w0

=

(3.46 ± 0.03)s'.

2T 3T

i n figura 6 sunt prezentate graficele experirnentale

2. Se determinã pseudopulsaia i pseudoperioada pentru diferite grade de amortizare. Sursa de tensiune genereazã un curent prin bobina electromagnetului in functie de tensiunea fui-njzatã. Se vor folosj urmãtoarele intensitãi ale curentuluj prin bobinã: IB0,25A, U- =4V IBO,40A,

U=6V

IB0,S5A,

U..=8V

IB0,9A,

U=12V

(p

=

pentru diferite

p0 e

amortiZäfl. 0

20

1b = 16,7s Ib6,2 S lb= 3,2 s lb = 1.1 S

A A

3. Pentru o valoare data a curentului prin bobinä se va reprezenta grafic eIongaiia

A

10

A

unghiularã in functie de timp. Pentru aceasta, pendulul este rotit complet intr-o parte a pozitiei de echilibru, apoi Iãsat liber; se citesc cu ajutorul pointerului de pe disc amplitudinile unghiulare ale oscilatiilor complete succesive in timp de aceeai parte a

6

poziiei de echilibru (fig. 5). Pseudoperioada se determinã ca find intervalul de tulip intre amplitudinile unghiulare succesive de aceeai parte a poziiei de echilibru.

S

10

Fig. 6 Dependenta amplitudinii (p (t) = (p0 e

20

25

30

pentru constante de amortizare diferite 49

48

de 7. Se reprezintA grafic dependena amplitudinii oscilaiilor fortate in functie

4. Din graficele astfel obtinute se determinã timpul de viatã r corespunzãtor lui (PO le. RezultA b =

frecvena fortei exteme pentru diferite constante de atenuare.

rjadin relatia (11) se determinã decrementul logaritmic.

8. Se va completa urmAtorul tabel:

Rezultatele experimentale se trec In urmätorul tabel:

Tabelul 4

Tabelul 2 Date experimentale - oscilafli for! ate

Rezultate experimentale oscilajii amortizate 'B (A)

T (s)

2,T -i v=- (s ) T

K=

(t) p(t+T)

't

b=! (s')

(s)

D bT

_____ w =iJw _b 2 (s')

Nr. d et.

In Tabelul 3 sunt prezentate date experimentale obtinute:

10. Se va observa defazajul dintre e1ongaie i fortA la frecvente mici, respectiv

Valori caracteristice miccárii oscilatorii amortizate

0.25 0.40 0.55 0.90

1/b (s) 16.7 6.2 3.2 1.1 L

b (s') 0.06 0.16 0.31 0.91

w=

- b 2 (s') 3.46 3.45 3.44 3.34

Arnplitudinea oscilatiilor fortate (Pa

Pulsatia

9. Din frecventa de rezonantA se va determina coeficientul de amortizare b. Tabelul 3

1(A)

Perioada oscilatiilor fo4ate

Curent de amortizare 'B (A)

K

D

1.1 1.4 1.9 5.6

0.12 0.31 0.64 1.72

frecvente man In raport cu frecventa de rezonanA. In figura 7 sunt reprezentate curbele experimentale (Pa = f(Q), pentru diferite constante de amortizare.

q

(Lulitdti arbitrare)

B. Osci1aii fortate 1. Potentiometrele de reglaj grosier i fin ale motoraului sunt pozitionate initial

,oaA

10

la valoarea minima, respectiv medie. 2. Se ajusteazã puterea motoraului la maxim, fixând tensiunea sursei continue la

is

valoarea maxima. --

4,0

3. Se alege o valoare a curentului prin bobina electromagnetului (o anumitã '0

constantã de atenuare). Initial se alege I = OA (fàrã frâna electromagnetica). 4. Frecvena fortei exteme Q se determinä din numãrul de ture efectuate de discul motoraului (reperul considerat este sãgeata a!bã rnarcatã pe disc). Timpul se

S

mäsoarã folosind un cronometru electronic. 3 Q(s')

5. Se citete amplitudinea oscilatiilor fortate pentru o valoare datA a frecvcntei 30

3.

0

4A

5.0

fortei externe (dupA stabilizarea micArii). 6. Se modificA frecventa Q in pai mici folosind butoanele motorauIui.

50

Fig. 7 Curbele de rezonanfápentru diferite constante de amortizare

51

elipticä. Elipsa ob;inuta este Inscrisã Intr-un dreptunghi de laturi 2A i 2B numit dreptunghiul amplitudinilor, dar flu este raportatä la axele sale In sensul cA axele elipsei fac un unghi in general nenul Cu axele de coordonate (figura 1).

LIJCRARIiI VII

y COMPUNEREA OSCILATIILOR ARMONICE PERPENDICULARE (FIGURILE LISSAJOUS)

FRI

Obiectivele experimentului

CI

Fig. 1 Reprezentarea elipsei Inscrisã In dreptunghiul amplitudinilor

> studiul compunerii oscilatiilor armonice perpendiculare de aceeai frecventa §i de frecven;e diferite.

Caracterul micärii rezultante variazä in funcie de valoarea diferentei de fazA. Se considerä astfel câteva cazuri particulare.

Teoria Iucrãrli a) Dacä diferena de fazä este (p = 2km, (k = 0, 1, 2.......) oscilatiile sunt in fazä, iar

Traiectoriile descrise de un mobil in micarea rezultatä din compunerea a douã

relatiile (1) i (2) devin:

oscilatii arrrionice perpendiculare de frecvente diferite se' numesc figuirile (curbele) Iui Lissajous. 1. Compunerea osdilatillor armonice perpendiculare de aceeai frecventà

x=Asincot, y=Bsinu)t

(3)

yzzx

(4)

Consideräm un punct material M supus simultan la douä oscilatii armonice de aceeai Ecuatia obtinuta este ecuatia unei drepte care trece prin origine, cu panta B I A i

frecventa ce se produc pe directiile OX i respectiv OY ale unui sistem de referinta cartezian.

coincide cu prima diagonalä DD' a dreptunghiului amplitudinilor, astfel Incât in acest caz

Traiectoria mobilului este reprezentatä parametric prin rela;ia (I).

elipsa degenereaza In douä drepte confundate. In concluzie prin compunerea a douä micäri

x = Asino)t (1)

oscilatorii armonice de aceeai frecventa care se executä in concordantä de fazã pe directii

unde A reprezintã amplitudinea oscilatiei armonice pe directia OX, jar B reprezinta

perpendiculare se ob;ine o micare rezultantä oscilatorie armonicä de-a lungul primei

amplitudinea oscilatiei armonice pe direcia OY.

diagonale din dreptunghiul amplitudinilor. Se poate demonstra §i reciproca acestei afirmaii:

y= Bsin(o)t+(p)

once micare oscilatonie anmonicä liniarä se poate descompune In douã micäri oscilatorii

Elimjnând timpul din relatia (1), se obtine, cu ajutorul identitAtii trigonometrje

armonice in concordanta de fazä, pe directii perpendic.ulare.

sin wt + cos2 (Ot = I, ecuatia traiectoriei punctului material In coordonate carteziene. x2 y2 2xy T+T AB cos (Psin (

b) Dacã diferenta de fazä este (p = (2k + 1)7, (k = 0, l, 2.......) oscil4iile sunt in

(2)

opoziie de fazä, jar relatiile (1) i (2) devin:

Relatia (2) reprezinta ecuatia unei elipse a.a Incât rezultanta a douä mjcäri oscilatorii

x=Asineit, y=—Bsino)t

armonice de aceeai frecventã pe directii perpendiculare Intre ele este in general o oscilaie

52

I

(5)

53

2. Compunerea oscilaiior armonice perpendiculare de frecvene diferite

B Y=--ix

(6)

Considerând oscilatii perpendiculare

care reprezinta ecuatia unei drepte ce trece prin origine având panta - B I A i coincide cu cea

x = Asin(wt)

de a doua diagonala CC' a dreptunghiului amplitudinilor, astfel incât §1 in acest caz elipsa

y=Bsin(t+p)

()

degenereaza In douä drepte confundate. In concluzie, prin compunerea a douä micäri

traiectoriile micãrii rezultante au o formä mai complicatã. Dacä raportul frecvenelor este o

oscilatorii armonice de aceeai frecventä care se executa In opoziie de fazä pe directii

fractie rationala, ca in relatia (9)

perpendiculare, se obtine o micare oscilatorie armonicã de-a lungul celei de-a doua diagonala

(9)

a dreptunghiului amplitudinilor. Este valabilä §i reciproca acestei afirmatii. Prin urmare, once micare oscilatorie armonicã poate fi consideratA ca rezultanta a

adicä n i ni,, sunt numere intregi, aceste traiectorii sunt Inchise i se numescfiguri Lissajous.

douã micãri oscilatorii armonice, reciproc perpendiculare i cu aceeai frecventa executându-

Figura Lissajous taie de n, ori fiecare din cele douA laturi ale dreptunghiului in care

se In fazä sau in opoziie de fazä.

este Inscrisä, paralele cu axa OX i de n,, ori fiecare din celelalte douä latuni paralele cu axa

c) Dacä diferena de fazã este p = (2k + 1)?1, (0,1,2,...) oscila4iile se mai numesc i In

OY. Onientarea figunilor Lissajous depinde de diferenta de fazã a oscilatiilor componente. In figura 3 se prezintã o figurã Lissajous pentru un raport al frecventelor 1/2.

cuadraturã, jar relatia (2) devine x2

,2

(7)

A 2 B2

care reprezinta ecuatia unei elipse ale cärei axe coincid cu directiile de-a lungul cãrora se efectueazä oscilatiile componente (figura 2).

WA X Fig. 3 Figura Lissajous pentru care Fig. 2 Reprezentarea elipsei ale càrei axe coincid cu direcfiile de-a lungul cãrora se efectueaza oscilafiile componente In particular dacã oscilaiiIe componente au aceeai amplitudine, A=B, rezultã X2 +

y2

= A2 ;

elipsa devine un cerc. Once micare circularã se poate descompune in douã

oscilaii armonice liniare, perpendiculare, de amplitudini egale, având diferente de fazã

I vx vv 2

In figura 4 sunt reprezentate figunile Lissajous in cazul a douã micãni oscilatorii it it 3it perpendiculare cu aceeai amplitudine i cu diferenta de fazã de 0,— ,— ,— i it, pentru care 4 2 4 raportul frecventelor are valonile 1, 2, 3, 4 respectiv 10. In figura 5 sunt reprezentate figurile Lissajous pentru care raportul frecventelor este un numãr rational.

p=(2k + l)iit.

54

55

(0 r Dacà raportul pu1saii1or flu este o fracie rationala, adica: -# --, curbele flu se mai Inchid i figurile Lissajous nu se observä.

Diferenta de faza' (P

Fig. 5 Reprezentarea figurilor Lissajous pen tru care raportulfrecvenIelor este Un numãr rafional Fig. 4 Reprezentareafigurizor Lissajous

Dispozitivul experimental In aceastã lucrare se folosesc pentru compunere oscilatii perpendiculare de naturã electromagneticã, produse de douã generatoare electronice de semnal, In domeniul audio frecventelor. Comportarea efectivã a oscilatiilor are bc pe ecranul unui osciloscop unde se vizualizeazã i se prelucreazä figurile Lissajous obtinute. Osciboscopul catodic permite vizualizarea formei semnalelor In funcie de limp. Elementul principal al unui osciloscop este tubul catodic ce contine In interior douã percchi de 56

57

pläci (verticale §i orizontale) care datoritä diferentelor de potential aplicate, realizeazã

In cotinuare se variazä ftecventa v fie In sens crescätor, când v , )v x' fie In sens

deflexia (deviatia) electrostatica a spotului de electroni, emis de catod. Semnalul care unneazã

descrescätor, cnd v),(vX, pentru a obtine figurile Lissajous corespunzätoare rapoartelor

a fi vizualizat se aplica pe borna de intrare care poate fi, prin actionarea unui comutator, In c.a. sau c.c. Atenuatorul fin §1 In trepte oferä posibilitatea reglarii amplificärii cu ajutorul

--)1,respectiv

comutatorului. Semnalul este preluat de amplificatorul de deflexie pe verticalä i aplicat pläcilor orizontale.

-(1. fly

fly

Se urmäresc i In acest caz poziii1e pe care le ocupä figurile Lissajous in rotatie ca urmare a modificãrii diferentei de fazä in timp.

Pentru ca imaginea de pe ecranul tubului catodic sa fie stabilä trebuie ca ftecventa

Datele obtinute pentru 10 figuri Lissajous se tree In tabelul de mai Jos. Frecventele

:7

semnalului devizualizat sã fie egala (sau un multiplu Intreg) cu frecventa bazei de timp. din tabel sunt frecventele medii obinute in urma efectuArii a 5 mãsurätori

Stabilitatea raportului dintre cele douA frecvente este asiguratä de circuitele de sincronizare care injecteaza semnalul de vizualizat Intr-un punct al bazei de timp.

experimentale. In continuare se va verifica raportul

Cele douA generatoare electronice sunt prevãzute la ieire cu comenzi referitoare la

n --

vx fly

gama de frecvente, la reglarea continua a unui interval de frecvente i la amplificare. Pentru obtinerea unor figuri Lissajous prelucrabile, cele douä frecvente care se

4i

compun trebuie sã fie comparabile.

Figura Lissajous obtinutã

(II)

(II)

(Hz)

(Hz)

2.

Modul de lucru Se conecteazã generatoarele i osciloscopul, se alimenteazä de la reteaua de curent altemativ a laboratorului la 220 V i se regleaza luminozitatea i focalizarea osciloscopului. Se considerã conventional frecventa unui generator (exemplu eel din stânga conectat

10.

pe Ox) cunoscutã i se deterrninã ftecventa celuilalt generator (eel din dreapta conectat pe Oy) cu relatia (10). vy =

n fl y

(10)

Se modificã frecventa v panã când se obtine o elipsa i se observã pozitiile prin care trece in micarea de rotatie datoritã vanatiei defazajului In timp. Se urmãrete stabilizarea orientãrii elipsei pentru a se putea numãra tãieturile n> i n, pe directiile Ox respectiv Oy. In n acest caz, -- = 1 i v, = v, fl y

I1

59

Coordonatele sistemului sunt unghiurile (p1

i ç02 ale pendulelor faã de poziii1e

respective de echilibru.

LUCRIRIA VIII

Considerând ço2 > ço1 , alungirea resortului este I(p2 ço1) astfel incât mãrimea fortei -

elastice este I1 I = kl(ç02

(01).

-

Ecuaiile de micare ale celor douA pendule, considerând unghiurile ç91 i

PENDULE CUPLATE

2_

j

(1)

(2)

unde I este momentul de inertie fatä de punctul de sprijin. Introducând not4iile:

> determinarea frecventei modului simetric;

CO

2

02

= mgL

> determinarea frecventei modului antisimetric; > verificarea dependenei liniare Intre pãtratul frecvenei modului antisimetric i patratul

i+ kl 2

I2 =_mgL2+kl22_/J

Obiectivele experimentului douA pendule cuplate;

mici,

sunt:

;,= _mgL

> studiul modurilor normale de oscilatie i fenomenului bätäilor pentru un sistem de

(P2

k12 I

(3)

ecuatiile (1) i (2) se mai scriu:

distai4ei dintre punctul de sprijin al pendulelor i resortul de cuplaj;

=0

(4)

=0

(5)

> determinarea frecventelor caracteritjce fenomenului batailor; > determinarea factorului de cuplaj K.

Sä cãutam solutiile acestui sistem de ecuaii diferenia1e de ordinul 2 cuplate sub

Teoria tucrärii

forma unui mod de oscilatie, caz in care cele douä pendule oscileazä In fazä i cu aceeai

Sä consideram urmätorul sistem: douã pendule identice paralele, sub formã de tijä

frecventä:

rigidã subtire având lungimea L cu câte o greutate la capãt, cuplate printr-un resort onzontal de constantA elasticã k fixat la distanta 1 faa de punctul de suspensie al pendulelor (fig. 1).

Acos(ot+a)

(6)

(p 2 (t)= B cos (cot +cz)

(7)

1 (t)=

Se obtine sistemul liniar i omogen in A i B: (+Q2 _ w 2 )A_Q2 B=O Q2 A+( 2 +Q2 0)

(8)

w 2 )Q

(9)

Din cele douã ecuaii rezultä raportul:

Fig. I Pendule cuplate

60

A-

co+Q2—w2 _________

w + .~22

-

-

(10)

Q2

61

de unde se obtine o ecuae de gradul doi In (CO

2 +Q2 _

2 )2

C

(ecuajia caracteristicã): .1 0.

4

Cu solutiile: -0. 2

Cos =

2

w2

lflgL

(12)

-

T-

y

respectiv

0. (0a2 =W 0 2

+2Q2 =wo2(J+2) mgL

(13)

-V.

-

Frecven;a cos corespunde modului simetric (fig. 2).

Fig 3 Modul antisimetric de oscilafie co1 (t)= Acos(v5 t+a), ço 2 (t)=z Acos(cost+a),

ço1

=

ço2 = çø, Cele douA oscila;ii normale se realizeazä deviind initial pendulele cu ace1ai unghi, In ace1ai sens (o)s oscilaia simetricä), respectiv In sensuri opuse (Wa - oscilaia antisimetrica). In cazul general, solu%ia sistemului de ecuatii (1), (2) este o combinaie liniarã a celor douA moduri: 1

(t)= Acos(w5 t+a)+ BCOS(COa t +,6)

ç02 (t)

unde A, B respectiv a

(14-15)

Acos(o)st+a)Bcos(o)a t+13) §1

/3 se determinä din condiiile initiale.

-0. (p=q2

=cp

-

Fenomenul bAtäior

Fig. 2 Modul simetric de oscilafie

Dacä la momentul initial tinem primul pendul fix (la t=O, pendul deviat cu un unghi 2a0 (la c=0,

Frecventa co,, corespunde modului antisimetric (fig. 3). c01 (t)=B

62

cos (co t+ji)

2 2(t)=_B cos (W a t+ i6),

2

ç01 =

ço, = 0), jar al doilea

= 2a0 , (P 2 = 0) oscilatia rezultantã va contine

ambele moduri normale de oscilaii (fig. 4). çü,

=c'2

1

63

r.

FA Batal

Modul simetric

Modul antisimetric

Fig. 4 Fenomenul bátäilor

(PI(t) =

0)a —a)S C0 + a)S sin a = —COS at) = 2a0 sin 2 2 sin coa +a)

(cos

=Ad(t)

2

= Bd(t)Cos

(16)

Rezultä in acest caz douä frecvene. 0 fiecventä mica (perioadä mare) cu care variazã amplitudinea ( Aniod (t) respectiv

F

(p 2 (t)=ao (COS(os t+COS(Dt)=2a

Cos °)aWStCOS 2

0)a +0) St._

2

coI

(17)

0)S

2

(t)): =

°'S

= a

2

T1

'

= 2TSTa ja0)S T5 —I 47T

(18)

respectiv o frecvença mare (perioadä mica) de oscilatie a fiecärui pendul individual:

0)a +W Dacã 0)a w, p1 (t) i p2 (t) se vor comporta ca sin_ 2 amplitudinea

Fig. 5 Dependenfa elongafiilor celor douà pendule x1 respectiv x2 Infuncfie de timp; de observat cá la momentul la care amplitudinea unuia din pendule este maxima, celálalt pendul are amplitudinea minima

. i cos

2

t cu

=

4r

(0a +0)

=

(19)

Ts +Ta

2

(t) respectiv B.ad (t) variind uor (fig. 5).

2T5Ta

Se definete penoada bàtäilor: Se observã Ca Intre amplitudini existä un defazaj de

ceea cc Inseamnä cã atunci a T b TT

când amplitudinea unui oscilator este maxima, amplitudinea celuilalt este minima §1 myers. Aceastã variatie slaba a amplitudinii cu. frecventa

a 0)S

Ts

Ta

(20)

2

ca find intervalul de timp Intre douä opriri succesive ale unui pendul.

reprezintafenomenul bátáilor §1

In cazul unui cuplaj slab £2 determinarea vitezei de propagare a undelor sonore in aer.

> in calculul perioadelor se va considera un numär mare de oscilatii; > amplitudinea unghiularä va fi mica;

Teoria lucràrii

> se va cupla resortul astfel incât sa aibä lungimea cat mai apropiatã de lungimea naturalä.

Fenomenul fizic care std la baza teoriei acestei lucrãri este interferenta undelor elastice coerente. Prin fenomenul de interferentã se Ine1ege fenomenul de suprapunere a douã sau mai multe unde coerente. Douã unde sunt coerente, dacä vibreazä astfel incât diferenia de fazã dintre ele sa fie constantA In timp. Se considerä douA surse care oscileazã in fazà

§1

produc douä unde coerente plane,

care ajung la momentul t in punctele de coordonate x1, respectiv x2. Ecuatiile celor douä unde elastice, la momentul t, sunt date de relatia (1). y1(t,x1)z=Asin(wt_kx)

(1)

y2 (t,x 2 )= A2 sin (c)t—kx2 )

unde: A1 i A2 — amplitudinile celor douã unde; k - constanta elasticä a mediului prin care se propagä undele. Dacä cele douä unde ajung in ace1ai punct in spa;iu, parcurgând drumuri diferite, se compun dupä regula superpoziiei data de relatia (2) Y

y1 +

(2)

i formeazã o undä rezultantA de aceeai frecventa, dar de amplitudine i faza diferite, data de relatia (3). 70

1

71

y =A sin ((ot - k Ax)

Unda sonora rezultantã se transmite cätre urechile ascultätorului printr-o ramificatie cu

(3)

douã tuburi speciale din cauciuc, ca in figura 1.

InloCuind rela;iile (1) i (3) In relatia (2), se obtine expresia amplitudinii undei rezultante data de relatia (4). A= VA , +A+2A1 A2 COSk(x 2

i7)

C (4)

Amplitudinea rezultantä este maxima dacã se indep1inete urmätoarea conditie: cos k(x 2 - x1 )= 1, ceea ce Inseamnä cã diferenta de drum este un numãr par de 2, aa cum se observä din relatia (5). k(x 2 - x1 )= 2nit, 21

Ax=2n

n = 0,1,2,...,co Ax=2n

(5) 2

Amplitudinea rezultantã este minima daCã se Indeplinete urmätoarea conditie: Cosk(x2 - X,)=-1, ceea ce Inseamnã cã diferenta de drum este un numãr impar de X, aa Cum se observã din relatia (6). k(x2 —x1 )=(2n+1,

n=0,1,2,..., oo

2it Ax=(2n+l)n => Ax=(2n+1) 2

Fig. 1 Reprezentarea schematicã a tubului Känig

(6)

Relaia (6) intereseazã in mod special in aCeastã lucrare, deoarece din considerente

Modul de lucru

tehniCe, minimele de interferentã sunt mai uor de identificat prin perceperea direCtã CU

Se stabilete intervalul de frecvente ale sünetelor care vor fi folosite in lucrare, astfel

urechea umanã.

incât pe lungimea etalonatã a tubului, 1 = 40 cm, sã se cuprinda eel puin douà minime de interferentã. Intervalul de frecvente care Indeplinesc aceastä ëondiie este 1000 - 2500 Hz,

Primul minim se obtine pentru n = 0, când dferença de drum este: Ax -

interval in care se include i frecventa de sensibilitate maxima a urechii umane care este de Al doilea minim se obtine pentru n = 1, Când diferenta de drum este: Ax = 32

aproximativ 2400 Hz. Se alimenteazã generatorul de la reteaua electricã de 220 V c.a. i se fixeazä prima frecvenã de lucru, care se citete pe scala generatorului, astfel meat difuzorul emite un sunet

Dispozitivul experimental

uniform de aceastã frecvenã. Tubul König este compus din douã tuburi metalice in formã de U, unul de lungime

Deplasarea tubului metalic mobil trebuie sa se facã lent i continuu, pentru a putea fi

fixä iar altul de lungime variabilã (lungimea lui se poate modifica deplasându-1 pe verticalã in

detectatã corect pozitia minimelor de interferentã. In momentul perceperii prim u/ui minim, se

sus).

stopeazã deplasarea §1 se citete distanta respectivã pe tubul gradat. Dacã M este aceastä Undele sonore sunt emise de un difuzor amplasat intr-o incintä izolatã care este

distantã, atunci diferenta de drum respectivã este egalä cu dublul ei, deoarece sunetul se

alimentat de la un generator de audio - frecventã. Dupã ce sunetul produs se dedubleazã in

propagã dus - Intors. Tinand cont de aceastã precizare i de relatia (6), se obtine expresia

douã sunete (unde) coerente, care se propaga prin cele douã tuburi, la celãlalt capät al

vitezei de propagare a sunetului in aerul din tub, corespunzãtoare primului minim, data de

dispozitivului tubunle metalice se reunesc, iar cele douã unde sonore se suprapun i interferã.

72

relatia (7).

I

73

Ax = 2M, Ax =

4M, c = Xv = 4Mv

(7)

Pentru aceeai frecvenä, se continuA deplasarea tubului mobil panA când se percepe al doilea minim de interferenta. DacA M' este distanta respectiva cititA pe tubul gradat, se obtine

LIJCRARIA X

viteza de propagare a sunetului, corespunzAtoare celui de-al doilea minim, datA de relatia (8). Ax=2M' , Ax=3—, X=—M,C=Xv=—Mv 2 3

TUNELUL AERODINAMIC. FORTE DE REZISTENTA

(8)

Se vor face mAsurAtori pentru 5 frecvente diferite jar pentru flecare frecventA i pentru flecare minim, se vor face 2 determinAri.

Obiectivele experimentului

Datele obtinute se tree Intr-un tabel de forma:

determinarea fo4ei de rezistenA in functie de: p

[Nr. det.

1.

2.

v (Hz)

1000

Ax=2M

c=4Mv

(m)

(m/s)

Ax=2M' (m)

cM'v 3

V' aria sectiunii transversale; / viteza de curgere a aerului;

(m/s)

(m/s)

(

1100

/ forma corpului; ' determinarea coeficientului de rezistentA a unor corpuri aerodinamice de forme difente.

Teoria Iucrãrii Atunci cAnd un corp se micA intr-un fluid IntâmpinA o fortã de rezistentA ce depinde

3.

1200

de forma corpului, de dimensiunile acestuia, de natura fluidului i de vitezA. In cazul cel mai general, forta de rezistenã se scrie:

4.

5.

1300

1400

E = _(k1v+ k 2v2 )

(1)

unde constantele k1 i k2 depind de forma §1 dimensiunile corpului, dar §i de natura fluidului. Primul termen din relaia (1) este termenul de vâscozitate, jar al doilea de presiune. Cauzele acestei dependene se datoreazã caracterului curgerii fluidului in jurul corpului aflat in micare. In figura 1 sunt reprezentai doi cilindri care se micA Intr-un fluid

Valoarea medie a vitezei trebuie sa fie apropiata de valoarea acceptata de 340niIs,

(axa cilindrului este perpendicularA pe planul figurii).

corespunzAtoare temperaturii de 20°C, In limita erorilor experimentale accidentale.

Fig. l.a. Curgerea unui fluid In jurul unui cilindru la viteze mici 74

Fig. l.b. Formarea vârtejurilor In spatcic unui cilindru intr-o curgere la viteze man 75

In general forta de rezistentä se poate scrie sub forma:

La vitoze mici, fluidul se scurge lent in jurul cilindrului iar fo4á de rezistenä ce I.

trebuic Invinsä este forta de frecare vâscoasA.

(9)

F=C(Re)p--S

La viteze mari, in spatele cilindrului are bc o micare complicata a fluidului. Fluxul

I-I

unde C(Re) este o functie adimensionalä de numärul Reynolds, S este aria sectiunii transversale, p densitatea fluidului §i v viteza corpului. Astfel, pentru Re :!~ 1

de fluid se desprinde de pe suprafaa corpului apärând vârtejuri separate, care sunt antrenate de curent i se amortizeazä treptat.

1211 Re pry 12

Pentru cazul unei sfere de razä r constantele k1 §i k2 au urmätoarele expresii: k1 =c1 rrri=óitrri

(2) obtinându-se legea Stokes. Din relatia (9) obinem:

respectiv k 2 =CD T r2 P=C DSP unde

17

(10)

(3)

este vâscozitatea mediului, dependenta de temperaturä, p este densitatea fluidului, S

este aria sec;iunii transversale, iar CD este o constantA (c0

0,5).

Exista o vitezä numita viteza criticà pentru care cele douA forte sunt egale: k l vc =k2v; v

C

2F 2

(11) i

Dispozitivul experimental Principalele componente ale acestei lucräri sunt: tunelul aerodinamic, tubul Pitot,

k1 (4)

k2

El 1:1

manometru de precizie, dinamometru, profile aerodinamice (fig. 2).

In cazul in care viteza corpului v > vc vor predomina fortele de presiune propo4ionale I'

Cu pAtratul vitezei.

-

In cazul unei sfere, viteza criticã este data de relatia: VC

67trrl 12 fl CD 7tr p pr

(5)

astfel Incât dacä: l2i pry v1 12 Tj

(7)

predominä fortele de presiune. Introducãnd numärul Reynolds:

Modul de lucru Re=--

(8)

11

unde 1 reprezintã o lungime caracteristicã (pentru sferä /

=

r). Criteriul de mai sus ne aratã Ca

Montajul experimental este prezentat in figura 2. Pentru mäsurarea vitezei de curgere a aerului se utilizeazã tubul Pradtl (fig. 3).

pentru numere Reynolds mici (Re < 1) predominä fo4ele de vâscozitate, jar pentru numere Reynolds mart (Re> 3000) cele de presiune. 76

77

1. Se va studia dependenta forei de rezistenä dn relatia (9) In functie de aria suprafeei transversale. Pentru aceasta se vor considera corpuri având aceeai formä dar arii Punct de stagnare

fl rt r

11

transversale S diferite. Cu ajutorul dinamometrului se mäsoarä fora de rezistenta FR. Tub static

PS

Datele se trec in urmãtorul tabel:

Nive! 2

I

Nivel 1

lungul unui tub de curent, atunci:

Lvi

2 )FR(mN)

dreptunghi

Conform ecuatiei Bernoulli, considerând douä puncte aflate la aceeai Inältime In

unde p este presiunea staticä, jar

(C

cerc

Fig. 3 Reprezentarea schematicá a tubului Pradtl

=2+22

S

Forma corpului

p

Se reprezintä grafic F=f(S) pentru fiecare formã a corpului.

(12)

FR(mN)

este presiunea dinamicä (pentru aer p = 1,3--). In

cazul In care avem un punct de stagnare (v2 = 0) rezultã

'

p,

(13)

Cu ajutorul tubului Pradtl se mäsoarã diferenta Intre presiunea totalã (de stagnare) §i presiunea staticä. Acest lucru este posibil datoritã aranjamentului de douA tuburi concentrice

0.5

1,0

S(cm)

(fig. 4). Fig. 5 For(a de rezistenfã Infunctie de aria suprafefei transversale a unui corp

2. Se studiazä dependenla fortei FR functie de forrna corpului. Pentru aceasta se vor alege diferite profile dar având aceeai arie transversalä §i se mãsoarä fo4a de rezistefltä (viteza va

fi mentinuta constanta). Rezultatele se trec in 'urmãtorul tabel:

Profil aerothnamic

Fig. 4 Reprezentarea schematicã a tubului Pilot Obiect

Fiecare tub este conectat la câte un manometru. Dispozitivul functioneazä Cu tubul

=C)

rezistenti

interior deschis In directia de curgere a fluidului, astfel Incât acesta va mäsura presiunea totalä, jar cel exterior pe cea staticã. 78

7()

I Se modified viteza curentului de aer furnizat de suflantä cu ajutorul variatorului. Se

C

mãsoarä fo4a de rezistenta pentru un corp dat modificând viteza curentului de aer. Presiunea dinamicä este determinatä folosind tubul Pitot. Se reprezintã grafic dependena fo4ei de rezistenta In func;ie de presiunea dinamicä Nr. det.

Forma corpului

Pd (N/rn2)

FR (MN)

FR(mN)

3000

1

;tsi.I.

:S1ES

Re

Fig. 7 Dependent a coeficientului defrecare Infunctie de numárului lid Reynolds

5. Se vor determina experimental valorile constantei C pentru diferite corpun, dupa modelul urmätor: Contanta C pentru diferite profile

Pd ('N m) 0

03

0,6

Fig. 6 For; a de rezistenfà mnfunc;ie de presiunea dinamicã 7 0 Vâscozitatea aerului la temperatura de 20 C este: ij = 18JpP = 181 10 4. Optional se poate trasa i dependena coeficientului C in functie de numãrul lui Reynolds (fig. 6).

80

lbar =

M

N/rn 2

81

Demonstrarea matematicã a legilor lui Kepler se face considerând problema celor douä corpuri i presupunând ca potenialul de interactie dintre ele este de tip central:

LIJCRARIA XI

(1)

U=—.unde a este o constantä pozitivä:

(2)

a=ymM

VERIFICAREA LEGILOR LUI KEPLER

cu y constanta atractiei gravitaiona1e, m masa planetei §i M5 masa soarelui. Pentru sistemul aflat in discutie, deoarece energia poteniala depinde doar de distanta nu de onientare, sistemul posedä simetnie sfenicä, jar din conservarea momentului cinetic se

Obiectivul lucrãrii:

poate aräta Ca micarea este plana, ceea cc demonstreazã Legea I a lui Kepler. In aceste

> Verificarea legilor lui Kepler.

circumstante, In locul coordonatelor carteziene, este mai avantajos sa se foloseascã coordonatele polare (r, p).

Teoria lucrãrii:

Solutia analiticä exactã a problemei se poate obtine plecând de la relatia lui Binet

In jurul anului 1605, matematicianul i astronomul german Johannes Kepler (1571-

obtinându-se ecuatia unei conice In coordonate polare:

1630), analizând in detaliu observatiile astronomice ale lui Tycho Brahe (1546- 1601), a r=

formulat in mod empiric legile micãrii planetelor in jurul soarelui. Dupã aproape un secol, legile lui Kepler au fost demonstrate teoretic de cätre Isaac Newton, pe baza legii atractiei gravitaiona1e.

(3) 1+ ecosq

unde:

Legile lui Kepler afirmã:

este parametrul conicei

(4)

P2EL2 .. este excentncitatea conicei e = jl + 2

(5)

p=

1. Legea I:Planetele se micã in jurul soarelui pe orbite eliptice având soarele in unul din focare. 2. Legea II: Raza vectoare cc unete soarele cu planeta aflatã in micare mãturã arii egale In intervale de timp egale (viteza sectorialä este constantä).

Pa

,LLa•

Semnificatia mãrimilor cc intervin in expresiile de mai sus este:

3. Legea III: Pãtratul perioadei de revolutie al planetei este proporional cu cubul semiaxei mari a elipsei.

L este momentul cinetic a! planetei (mãnime cc se conservä) =

mM +M

masa redusa a sistemulul soare-planeta

E este energia totalã a planetei (mãnime cc se conservã). In ftmclie de valonile pe care Ic ia excentnicitatea conicei, aceasta poate fi: Afeliu

- Hiperbolä pentru e> 1, când E> 0

Perih eliu

- Parabola pentru e = 1, când E = 0 - Elipsa pentru 0 < e