Mecánica de Fluidos [PDF]

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Ejercicio 1 Un depósito de agua tiene forma semiesférica de 12m de diámetro, medida que corresponde a a la tapa del depósito. Si la superficie del agua contenida en el depósito está a 2m por debajo de la tapa, ¿cuánto será el trabajo que se requiere para bombear el agua hasta la tapa del depósito? Considere g=9.81 m/ s2

El trabajo es: W = Fuerza x distancia En este caso la fuerza (F) es el peso del agua que debe ser bombeada hacia la tapa del depósito y la distancia es la altura o distancia que debe recorrer el agua hasta alcanzar la tapa del depósito. A su vez F estará dada por: F = m.g, donde m es la masa del agua y g es la aceleración de la gravedad. Como no toda la masa del agua subirá en conjunto, si no que podemos considerar que sube en capas circulares cada una de las cuales tiene una altura dy y un radio r. Si dV representa el volumen de cada capa circular, tenemos que: 2

dV =π r dy Sabemos que la masa esta relacionada con el volumen mediante la fórmula

m=ρ . V , donde ρ es la densidad del agua y V el volumen, entonces: dm= ρ. dV Así entonces un diferencial de trabajo está dado por:

dW =( dF ) y=( dm ) g . y

dW =ρ ( dV ) g . y =ρ ( π r dy ) g . y 2

De modo que hallaremos el trabajo integrando dW 6

6

W =∫ ρ ( π r dy ) gy=πρg∫ r ydy 2

0

2

0

Es posible colocar el radio de cada capa circular (r ) en función de y, ya que como se puede apreciar en la grafica r e y son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa siempre es el radio de la semiesfera (6). Asi entonces siempre se cumple que:

r + y =6 → r= √36− y 2

2

2

2

Luego podemos escribir el trabajo como: 6

6

2 2

2 W =πρg ∫ ( √ 36− y ) ydy=πρg ∫ ( 36− y ) ydy 0

0

[

6

6

0

0

W =πρg 36 ∫ ydy −∫ y 3 dy

]

Ejercicio 2 Usando el teorema de Pappus, calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las gráficas de y=e2 x +1; y=2 √ x+ 5, alrededor de la recta

y=2 x−3

Ejercicio 3 Un objeto que tiene inicialmente una temperatura de 50°C se deja en una habitación que tiene una temperatura constante de 28°C. Luego de 10 minutos, la temperatura del objeto ha disminuido en 20%. ¿Cuál será la temperatura del objeto después de 25 minutos que se dejó en la habitación? Ejercicio 4 Resolver el problema de valor inicial: y ' ' +6 y ' +9 y=0 ; y ( 0 )=−1 ; y ' ( 1 ) =0