Mecánica de Fluidos. Streeter [PDF]

Zitiervorschau

MECÁNICA DE FLUIDOS Novena edición

Victor L. Streeter Professor Emeritus of Hydraulics University of Michigan

E. Benjamin Wylie Professor of Civil and Environmenta/ Engineering University of Michigan

Keith W. Bedford Professor of Civil Engineering Ohio State University

Traducción

Juan G. Saldarriaga V. Profesor de ingeniería hidráulica Universidad de los Andes Revisión técnica

Germán R. Santos G. Profesor titular Escuela Colombiana de Ingeniería

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MECÁNICA DE FLUIDOS, NOVENA EDICIÓN No está permitida la reproducción total o parcial de este libro. ni Oluta

Cero absoluto (vac(o completo)

Figura 2.8

Unidades y escalos poro lo medido de lo presión.

41

42

C A PÍ T U l O

2

•

Mecánica de fluidos

por el peso específico del agua, la ecuación (2.2.8) se conviexte en

p 3

= YwSh

(2.3.1)

Para agua 'Y~ puede tomarse como 9806 N/m o Cuando se quiere dar la presión en libras por pulgada cuadrada, ambos lados de la ecuación se dividen por 144: Prr-,

=

62.4lb/pie3 •

62 .4 Sh 144

= 0.433Sh

(2.3.2)

en la cual h permanece en piest. La presión atmosférica local se mide mediante un barómetro de mercurio (figura 2.9) o a través de un barómetro aneroide, que mide la diferencia de presión entre la atmósfera y una caja o tubo vacío en forma análoga al manómetro bourdon, excepto en que el tubo se encuentra vacío y sellado. Un barómetro de mercurio está compuesto por un tubo de vidrio cerrado en uno de sus extremos, lleno de mercurio e invertido, de tal forma que su extremo abierto se sumerge en mercurio. Tiene una escala colocada de tal manera que se puede determinar la altura de la columna R (figura 2.9). El espacio por encima del mercurio contiene vapor de mercurio.

Figura 2. 9

Barómetro de mercurio.

t En lo ecuación {2.3.2) se puede expresar lo presión atmosférico estóndor en libros por pulgada cuadrado, p""

= 62.4{13.6)29.92 = 14.7 144 12

cuando 5 = 13.6 poro mercurio. Cuando 14.7 se multiplico por 144, lo atmósfera estóndor se convierte en 2116 lb/ pie2. Luego 2116 dividido por 62.4 arrojo 33.91 pies de H20 . Cualquiera de estos designaciones es poro la atmósfera estándar y puede llamarse uno atmósfera si siempre se entiende que es la atmósfera est6ndar y se mide desde el cero absoluto. Estos diferentes designaciones poro uno atmósfera estándar (figuro 2.8) son equivalentes y dan un medio conveniente para convertir de un conjunto de unidades o otro. Por ejemplo, para expresar 100 pies de H20 en libros por pulgada cuadrada se uso 100 - - (14.7) = 43.3 psi 33.91 debido a que 100/33.91 es el número de atmósferas estándar y cado atmósfera estándar es 14.7 psi.

Estática de fluidos

43

Si la presión del vapor de mercurio hv está dada en milímetros de mercurio y R se mide en las mismas unidades, la presión en A puede expresarse como

= hA

h, + R

mm Hg

A pesar de que hves una función de la temperatura, es muy pequeña a temperaturas atmosféricas usuales. La presión barométrica varía con el lugar, es decir con la elevación y con las condiciones del tiempo. En la figura 2.8 una presión se puede localizar verticalmente, lo cual indica su relación con respecto al cero absoluto o a la presión atmosférica local. Si el punto se encuentra por debajo de la línea de presión atmosférica local y se utiliza el nivel de referencia manométrico, la presión es negativa, de succión o de vacío. Por ejemplo, la presión de 460-mm Hg abs, como en 1, con una lectura barométrica de 720-mm Hg, puede expresarse como - 260-mm Hg, 11 pulg Hg de succión o como 11 pulg Hg de vacío. Se debe notar que

= P bar

+ P man Para evitar cualquier confusión, en este texto se adopta la convención de que una presión es manométrica a menos que específicamente se marque como absoluta, con excepción de la atmósfera, la cual es una unidad de presión absoluta. P abs

La tasa de cambio de la temperatura en la atmósfera, con respecto a cambios en elevación, se conoce como la tasa de lapso. El movimiento de un paquete de aire depende de la densidad del paquete con respecto a la densidad del aire que lo rodea (ambiente). Sin embargo, a medida que el paquete asciende a través de la atmósfera, la presión del aire disminuye, el paquete se expande y su temperatura disminuye a una tasa conocida como la tasa de lapso seca adiabática. Una compañía desea quemar una gran cantidad de basura. Se estima que la temperatura de la columna de humo a 1O m por encima del suelo será 11 °C mayor que la del aire ambiente. Determinar qué pasará con el humo (a) a una tasa de lapso atmosférica estándar {3 = -0.00651 oc por metro y t0 = 20°C y (b) a una tasa de lapso invertida {3 = 0.00365°C por metro. Solución

Combinando las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.17) se obtiene

dy

o

To + {3y

La relación entre la presión y la temperatura, para una masa de gas que se expande sin transferencia de calor, es

!_

= (}!_J(k-1)/ k

1;

Po

en donde T 1 es la temperatura absoluta inicial del humo; p 0 es la presión absoluta inicial, y k es la relación de calor específico, 1.4 para aire y otros gases diatómicos. Eliminando p/p0 en las últimas dos ecuaciones da como resultado f3yJ-[(k-l)lkj(g/R{j)

T=7;1+ (

1'o

Debido a que el gas ascenderá hasta que su temperatura sea igual a la temperatura ambiente,

T=To+f3y

Ejemplo 2.4

44

C A PÍ T U l O

2

•

Mecánica de fluidos

Las últimas dos ecuaciones pueden ser resueltas para y. Sea a=

-1

(k - l)glk R/3 + 1

entonces,

(a) Para {3 = - 0.00651 °C por metro, R = 287 m·N/(kg·K), a= 2.002, y y= 3201 m. (h) Para la inversión de temperatura atmosférica {3 = 0.00365 °C por metro , a= - 0.2721, y ,. = 809.2 m.

EJERCICIOS 2.3.1 Seleccionar la frase correcta: (a) La presión atmosférica local se encuentra siempre por debajo de la presión atmosférica estándar. (b) La presión atmosférica local depende únicamente de la elevación del lugar. (e) La presión atmosférica estándar es la presión atmosférica local media al nivel del mar. (d) Un barómetro lee la cllierencia entre la presión local y la presión atmosférica estándar. (e) La presión atmosférica estándar absoluta es 720 mm Hg. -* 2.3.2 Seleccionar las tres presiones que son equivalentes: (a) 10.0 psi, 23.1 pies H20 , 4.91 pulg Hg ; (h) 10.0 psi, 4.33 pies H 20, 20.3 pulg Hg; (e) 10.0 psi, 20.3 pies H20 , 23.1 pulg Hg; (d) 4.33 psi, 10.0 pies H20, 20.3 pulg Hg; (e) 4.33 psi, 10.0 pies H 20, 8.83 pulg Hg.

2.3.3 Cuando el barómetro lee 730 mm Hg, 10 k.Pa de succión es igual a (a) -10.2 m 0.075 m Hg; (e) 8.91 m H20 abs; (d) 107 kPa abs; (e) ninguna de estas respuestas. 2.3.4

H~O; (b)

Con el barómetro leyendo 29 pulg Hg, 7.0 psia es equivalente a (a) 0.476 atm; (b) 0.493 atm;

(e) 7.9 psi en succión; (d) 7.7 psi; (e) 13.8 pulg Hg abs.

2.4

MANÓMETROS

Manómetros estándar Los manómetros son aparatos que emplean columnas de líquido para detenninar diferencias de presión. El manómetro más elemental, usualmente llamado piezómetro, se ilustra en la figura 2.10a; mide la presión de un líquido cuando éste se encuentra por encima del cero manométrico. Un tubo de vidrio se coloca verticalmente de tal manera que esté conectado al espacio dentro del tanque. El líquido sube por el tubo hasta que alcanza su equilibrio. La presión está dada por la distancia vertical h desde el menisco (superficie líquida) hasta el punto donde se mide la presión, expresada en unidades de longitud del líquido dentro del tanque. Es obvio que el piezómetro no trabaja para presiones manométricas negativas, porque fluiría aire hacia el tanque a través del tubo. También es impráctico para medir grandes presiones en A, debido a que el tubo vertical tendría que ser muy largo. Si la densidad relativa del líquido es S, la presión en A es hS unidades de longitud de agua.

\

Estática de fluidos

1 (a)

Figura 2.10

h

(b)

Manómetros simples.

Para medir presiones negativas pequeñas o presiones manométricas positivas en un líquido, el tubo puede tomar la forma que se muestra en la figura 2.10b. Con este arreglo, el menisco puede llegar a reposo por debajo de A, tal como se muestra. Debido a que la presión en el menisco es O manométrica y que la presión disminuye con la elevación, unidad de longitud de H 2O Para presiones negativas grandes o presiones manométricas positivas se emplea un segundo líquido de densidad relativa mayor (figura 2.10c). Éste debe ser no miscible con el primer fluido, el cual ahora puede ser gas. Si la densidad relativa del fluido en A es S 1 (con base en agua) y la densidad relativa en líquido manométrico es S2, se puede escribir la ecuación para la presión en A, empezando ya sea en A o en el menisco superior y procediendo a través del manómetro como hA + ~S1 - h,S2 = 0 en donde hA es la presión desconocida, expresada en unidades de longitud de agua, y h 1 y h 2 están expresadas en unidades de longitud. Si A contiene un gas, generalmente S 1 es muy pequeña, de tal manera que h2S1 puede despreciarse. Se puede seguir un procedimiento general al trabajar con todos los problemas de manómetros:

l . Empezar en un extremo (o en cualquier menisco si el circuito es continuo) y escribir la presión en ese punto en una unidad apropiada (por ejemplo pascales) o utilizando un símbolo apropiado si es desconocida. 2. Añadir a ésta el cambio en presión, en la misma unidad, desde uno de los meniscos hasta el siguiente (más si el siguiente menisco se encuentra por debajo y menos si se encuentra por encima). 3. Continuar hasta el otro extremo del manómetro (o el menisco inicial) e igualar la expresión a la presión en ese punto, conocida o desconocida. La expresión contendrá una incógnita para un manómetro simple o dará la diferencia de presiones para el manómetro diferencial. En forma de ecuación

Po - (y¡ - Yo)Yo -(y2 - Y1)r1 - (y3 - Y2)Y2 -(y4 - Y3)r3 -· .. -

,

P~rnt.m~nll~

-:n la mL•tk._a

/ '

lt

¡ - - - - - - -- - - - -- - -- - -- --

Ti.:mpC

I'C

o utilizando la ecuación (3 .4.1 )

OQH _ 8W = dE = l._ & & dt dt

J

petN +

f

pev · dA

(3.4.3)

>t

I'C

El trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores puede dividirse en dos partes: el trabajo WP, hecho por las fuerzas de presión sobre las fronteras móviles y el trabajo Ws hecho por las fuerzas cortantes tales como el torque ejercido sobre un eje que rota. El trabajo hecho por las fuerzas de presión en el tiempo & es 8WP,

= Ot J pv

(3.4.4)

· dA

Utilizando las definiciones de los términos de trabajo, la ecuación (3.4.3) se convierte en

OQH Ot

~ = l._ 8t

J

dt n

peeN +

J. ( p "

p

+

eJpv · dA

(3.4.5)

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 119 En ausencia de efectos nucleares, eléctricos, magnéticos o de tensión superficial, la energía interna e de una sustancia pura es la suma de las energías potencial, cinética e "intrínseca". La energía intrínseca por unidad de masa está causada por el espaciamiento molecular y las fuerzas moleculares (dependientes de p, p o T ). Luego, la energía interna se define como

u··

V2 •• +u (3.4.6) 2 Las dimensiones de e son unidades de trabajo por unidad de masa o [FL/M], que se reduce a dimensiones de [ U/t2]. Se debe notar que la variable de elevación, z, en el término de energía potencial requiere la definición de un nivel de referencia o datum para cada problema. Como se necesitan elevaciones relativas, el datum no tiene que ser absoluto o universal. La velocidad en el término de energía cinética es la magnitud de la velocidad total en el punto en cuestión en el campo de flujo, es decir, V2 = v · v = u2 + v2 + w 2• Al aplicar la ecuación (3.4.5) a un volumen de control, se puede considerar la cámara de mezcla definida en la figura 3.10. Utilizando los procedimjentos para la aplicación y simplificación del volumen de control de la sección anterior, la ecuación de energía se desarrolla como sigue. l. Establecer las fronteras del volumen de control, de tal manera que las áreas de entrada y de salida sean regiones de flujo uniforme donde, hasta donde sea posible, las líneas de corriente sean paralelas a la pared de entrada y los vectores de velocidad sean perpendiculares a sus respectivas áreas superficiales.

e= gz + -

2. Establecer un datum para la medida de elevación. 3. Si el flujo es permanente, entonces la ecuación (3.4.5) se convierte en

8QH _ ~ = J ( p + 8t & se P

e)pv · dA

(3.4.7)

4. Luego se aplica la ecuación (3.4.7) a cada área de superficie de control

8QH _ s.-~ "'

~ t'. (}{;

=

J scl

(Ji A

+ e1

)p

V

1 1

·

dA l +

(3.4.8)

5. Con los vectores de velocidad perpendiculares a las áreas, se evalúan los productos punto, como en el paso número 4 de la sección previa (ecuación 3.3.3)

Volumen de control

Figura 3. 1O

Volumen de control con flujo o través de una superficie de control perpendicular a la superficie.

120 C A P Í T U L O

3

•

Mecánica de fluidos

z

----+~~-~~~--~----~D~a_w~m Figura 3. 11

Energía potencial.

6. Sustituir la definición de e en la anterior ecuación hasta obtener

/jQH &

~ &

=

- tcl +

L2

(:' +

gz,

(: +

+

gz,

~ + u;' )r,v,dA, +

~

+

(3.4.9)

u," }'v,dA,

La simplificación de los ténninos en la ecuación (3 .4.9) requerirá algún procedimiento matemático cuidadoso o algunas suposiciones, pero tal como se plantea ahora, la ecuación (3.4.9) es completa y válida para la cámara de mezcla. En la ecuación (3.4.9), los tres términos de energía gz + Vl-12 + p/p se conocen como la energía disponible. El primer término, gz, es la energía potencial por unidad de masa. Con referencia a la figura 3.1 1, el trabajo necesario para levantar W newtons una distancia z metros es Wz. La masa de W newtons es W/g kg; por consiguiente, la energía potencial, en metros-newtons por kilogramo es

-Wz = gz W/g

El siguiente término, v2/2 se interpreta como sigue: la energía cinética de una partícula de masa es 8mv2/2. Al expresarlo respecto a la masa unitaria, se divide por 8m; luego Vl/2 es la energía cinética en metros-newtons por kilogramo. El término p/p es el trabajo de flujo o energía del flujo por unidad de masa. El trabajo de flujo es el trabajo neto hecho por el elemento de fluido sobre sus alrededores, a medida que fluye. Por ejemplo, en la figura 3.12 se presenta una turbina que consta de una unidad con álabes la cual rota a medida que el fluido pasa a través de ella, ejerciendo un torque sobre su eje. Para una pequeña rotación la caída de presión a través de los álabes multiplicada por el área expuesta del álabe es una fuerza sobre el rotor. Cuando se multiplica por la distancia desde el centro de la fuerza hasta el eje del rotor se obtiene un torque. El trabajo elemental p8Ads es hecho por p8Ads unidades de masa del fluido que fluye; por consiguiente, el trabajo por unidad de masa es pip.

Ecuación de energía de estado permanente Debido a que la distribución de p, p, v y u·· son variables a través de cada área, el análisis de un problema es difícil. Para obtener una forma de la ecuación (3.4.9) útil para cálculos, se requieren los

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

Figura 3.12

Trabajo hecho por una presión sostenida.

siguientes pasos o suposiciones. La energía intrínseca, través de cada área; por consiguiente,

u··pv dA

J

= u••

u··, se supone como constante o uniforme a pv dA

J

(3.4. 10)

se

.re

Con el fin de determinar los términos de energía de presión y energía potencial es necesario un poco más de razonamiento. Aquí el término de energía potencial puede aproximarse tomando la altura promediada en el área, zc o altura del centroide del área de entrada. Entonces

gzpv dA

J

= gzc J

se

pv dA

se

(3.4.11)

Con el fin de determinar la presión, cualquier distribución arbitraria de presiones puede ser aproximada calculando la presión promedio sobre el área, utilizando los métodos del capítulo 2. Sin embargo, corrientemente se hacen suposiciones simplificadoras. En primer lugar, si el diámetro de la entrada o de la salida es pequeño, como en la mayoría de las tuberías o conductos típicos, entonces para la mayoría de los propósitos la presión y la densidad están uniformemente distribuidas a través de cada área de superficie de control. En este caso

ppvdA

f

P

. Pen > Pp > 1 -vQH , mientras que para la turbina, -vQH > Pr > P.m1 > Pe1ec• Se ha encontrado que las ineficiencias del f p f r sistema se pueden calcular tomando las relaciones de las potencias en diferentes partes del sistema.

Una planta hidroeléctrica (figura 3.15) tiene una diferencia de elevación desde el agua, aguas arriba, hasta el agua a la salida de H = 50 m y un caudal Q = 5 m3/s de agua a través de la turbina. El eje de la turbina rota a 180 rpm y el torque en el eje, una vez medido, es T = 1.16 X 105 N · m. La salida del generador es 2.100 kW. Determinar (a) la potencia reversible para el sistema, (b) la irreversibilidad, o pérdidas en el sistema y (e) las pérdidas y la eficiencia en la turbina y en el generador. Solución (a) La energía potencial del agua es 50 m · NIN. Por consiguiente, para una conversión perfecta la potencia reversible es

yQH = (9806N/m 3)(5m3 /s)(50 m·N/N) = 2,451,500N·rnfs = 2451.5kW (b) La irreversibilidad o pérdida de potencia en el sistema es la diferencia entre la potencia de entrada y la potencia de salida en el sistema, o

2451.5 - 2100 = 351.5 kW (e) La tasa de trabajo hecha por la turbina es el producto del torque en el eje y la velocidad de rotación: 180 2 ( n) s- 1 = 2186.5 kW 60 Por consiguiente, la irreversibilidad a través de la turbina es 2451.5-2186.5 kW, o, cuando se expresa como trabajo por unidad de peso del fluido, Tw

= 1.16 x

105 N· m

(265.0 kW) 1000 N. mis 1 1 1 kW 9806 N/m 3 5 m3 /s

= 5.4 m. NIN

H=50m

Figura 3.15

Irreversibilidad en una planta hidroeléctrica.

= 265.0

Ejemplo

3.41

128 C A P Í T U l O

3

•

Mecánica de fluidos

La pérdida de potencia en el generador es 2186.5-2100 = 86.5 kW, o 86.5(1000) = 1.76 m. NIN 9806(5) La eficiencia de la turbina 17, es 1],

= 100 50m·N/N

- 5.4m·N/N 50 m·N/N

=

89.19 por ciento

y la eficiencia del generador 178 es

1Jg

Ejemplo 3.5

5 76 .4 - 1. = 96.05 por ciento 50 - 5.4

= 100 50 -

La planta de agua para enfriamiento de un edificio grande se localiza en un pequeño lago alimentado por una corriente, tal como se muestra en la figura 3.16. El caudal de aguas bajas de diseño es 5 pes y, en esta condición, el caudal de salida del lago únicamente es 5 pes a través de una estructura de compuertas cerca del canal de descarga del sistema de agua de enfriamiento. La temperatura de la corriente de entrada es 80°F. La tasa de flujo del sistema de enfriamiento es 1O pes, y el intercambiador de calor del edificio eleva la temperatura del agua de enfriamiento en 1O grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura del agua de enfriamiento recirculada a través del lago, sin tener en cuenta las pérdidas de calor hacia la atmósfera y hacia el fondo del lago, si estas condiciones existen por un periodo prolongado?

Solución En la figura 3.16 se muestra el volumen de control con las variables tasa de flujo volumétrico Q y temperatura T. No existe cambio en la presión, densidad, velocidad o elevación entre las secciones 1 y 2. La ecuación (3.4.18) aplicada al volumen de control es

8QH &

+ u,•• PQ1

= U2•• PQ2

En la cual 8Qj &es la tasa temporal de adición de calor hecha por el intercambiador de calor. La energía intrfuseca por unidad de masa, a presión y densidad constantes, es una función de la temperatura únicamente; ésta es u2 ** - u1** = c/T2 - T1), en donde cPes el calor específico o

Al edificio ----Desde el edificio Vertedero controlado

(a)

Figura 3.16

(b)

Sistema de enfriamiento de agua.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 129 capacidad de calor del agua. Por consiguiente, la ecuación de energía aplicada al volumen de control es

i" =

cP(I; - T¡)pQ,

Similarmente, el calor añadido en el intercambiador de calor está dado por

DQH = e !lTp Q 8t p ~ en la cual 11T = 10 es el aumento de temperatura y Q~ = 10 pes es la tasa de flujo volumétrico a través del intercambiador de calor. Luego,

cP!lTp Q~ = cP(I; - T¡)p Q1 o

T.2

= T.

+ !lTQe

= 80

+ 10(1 0)

Q, 5 Debido a que T2 = T + AT , la temperatura T del lago es 90°F.

=

lOOoF

1

Todos los términos en la ecuación de energía (ecuación 3.4.21) excepto la cabeza en el eje y los términos de pérdida de energía son la energía disponible. Para fluidos reales que fluyen a través de un sistema, la energía disponible disminuye en dirección aguas abajo; ésta está disponible para ha(;er trabajo, como cuando se pasa a través de una turbina de agua. Una gráfica que muestre la energía disponible a lo largo de un tubo de corriente esquematiza la Unea de energía (ver sección 11.2). Una gráfica de los dos ténninos z +pi y a lo largo del volumen de control esquematiza la cabeza piezométrica o línea piezométrica. La línea de energía siempre tiene una pendiente hacia abajo en el flujo de fluidos reales, excepto en donde haya una bomba o cualquier otra fuente de energía. Las reducciones en la línea de energía también se conocen como las pérdidas de cabeza.

En la figura 3.17, una bomba con una potencia de agua (WHP) de 1O hp toma agua desde la represa tal como se indica, y lleva el agua a una salida que se encuentra 15 pies por encima de la superficie del embalse, con propósitos de irrigación. ¿Cuál es el caudal a la salida? Dibujar e identificar las líneas piezométricas y de energía. Las pérdidas totales del sistema desde la bomba hasta la salida se parametrizan como 8 V212g, pero no existen pérdidas desde la entrada en el embalse hasta la bomba. El diámetro de la tubería de descarga es 4.67 pulg. Solución Suponer flujo permanente y posicionar un nivel de referencia en la superficie del agua del embalse. Se aplica la ecuación de energía entre el nivel de la superficie del embalse (1) y la salida (2). En la superficie del embalse la presión es atmosférica, p 1 = O y se conoce la elevación (z 1 = 0). Se considera que el volumen del embalse es tan grande que durante el bombeo del agua el volumen extraído es tan pequeño que la caída en el nivel del agua es cero y por consiguiente la velocidad en la superficie es cero (V1 = 0). A la salida, la única presión que se opone al flujo de salida en la boquilla como un chorro libre es la atmosférica; por consiguiente, p 2 =O. La ecuación de energía, (ecuación 3.4.21), se convierte en

V2

K-

2g

en la cual HPes la cabeza de la bomba, HP=-Hs y [(Vl/2g representa las pérdidas entre 1 y 2.

Ejemplo

3.61

130

C A PÍ TU LO

3

•

Mecánica de fluidos

P~rdida!'

= 29.5'

- - Unea de energ{a ----- Unea piezo~trica

figura 3.17

Líneas piezométricas y de energía para un sistema de bombeo.

El caudal a través del sistema es constante; por consiguiente, debido a que el diámetro de tubería es constante en cualquier parte, las pérdidas del sistema pueden expresarse en términos de la velocidad constante a la salida, Vr Luego, O+ O+ O+ Hp

V2

= _2g2

+ 15 +

o+ o+

8 Vi

2g

Como

WHP

= 10 =

yQHPpies ·lb/s 550 pies ·lb/s/HP

Entonces 5500 HP = - - pies r~A

Por consiguiente, 5500 yy;A

= 9 Vi

2g

+ 15

Resolviendo para la raíz real de la ecuación cúbica se obtiene y;

= 15.4 pies/s

y Q = y;A = 1.83 pies 3 /s

En unidades de energía/peso o [F·UF] o dimensiones de longitud, los términos en la ecuación de energía pueden expresarse en unidades de cabeza equivalente pérdida de cabeza

V2

= 8 -2 = 29.5 pies 2g

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control

cabeza de energía cinética cabeza de la bomba

V2 2

=-

=

2g

131

3.7 pies

= HP = 48.2 pies

Por consiguiente, se pueden dibujar las líneas piezométrica y de energía.

El sifón mostrado en la figura 3.18 se encuentra lleno de agua y descarga 150 Us. Encontrar las pérdidas desde el punto 1 hasta el punto 3 en términos de la cabeza de velocidad V212g. Encontrar la presión en el punto 2 si dos terceras partes de las pérdidas ocurren entre los puntos 1 y 2.

Ejemplo 3.7

Solución

En primer lugar se aplica la ecuación de energía, ecuación (3.4.21), al volumen de control que consta de toda el agua dentro del sistema aguas arriba del punto 3, colocando el datum de elevación en el punto 3, y la presión manométrica cero se escoge como el datum de presión: V2 V2 P3 _1 + !2 + z3 + pérdidas 1_ 3 + zl = _ 3 + 2g 2g o

r

r

o+ o+

1.5

V2 = _3

V2 +O+ O+ K - 3 2g 2g

en donde las pérdidas desde 1 hasta 3 se expresan como K )l2g. Utilizando el caudal

~3

= Q = I50Us A

1 n(O.l m)2 1000 Llm 3

= 4.77m/s

y Vsl2g = 1.16 m. Luego, K= 0.29 y las pérdidas son 0.29 Vsl2g =0 .34 m· NIN. La ecuación de energía aplicada al volumen de control entre los puntos 1 y 2, con pérdidas ! KV j/2g = 0.23 m, es O+ O+ O

=

1.16 + p 2 + 2 + 0.23

r

La cabeza de presión en 2 es -3.39-m H20 o p 2 = - 33.2 kPa.

El aparato mostrado en la figura 3.19 (conocido como tubo de Pitot) se utiliza para determinar la velocidad de un líquido en el punto l. Es un tubo con su extremo inferior dirigido hacia aguas arriba y su otro extremo vertical y abierto a la atmósfera. El impacto del líquido contra la apertura 2 obliga al líquido a levantarse en el extremo vertical hasta una altura .tlz por encima de la superficie libre. Determinar la velocidad en l . Solución El punto 2 es de estancamiento, donde la velocidad del flujo se reduce a cero. Esto crea una presión de impacto, conocida como la presión dinámica, la cual forza el fluido hacia el extremo vertical. Escribiendo la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2 sin tener en cuenta las pérdidas, por ser éstas muy pequeñas, se llega a

Vf 2g

+

!2

r

+ O = O + P2 + O

r

Ejemplo

3.81

132 C A P Í T U L O

3

•

Mecánica de fluidos

Fronterd del volumen de control 1-2

1.5 m

t

Figura 3.18

Figura 3.19

Sifón.

Tubo de Pitot.

P/Y está dado por la altura del fluido por encima del punto 1 y es igual a k pies del fluido.pj'Y está dado por el manómetro como k + Az, sin tener en cuenta la altura capilar. Después de sustituir estos valores en la ecuación, V2 _1

2g

=~z

y

Este es el tubo de Pitot en una forma simple.

EJERCICIOS 3.5.1

El factor de corrección de energía cinética (a) se aplica a la ecuación de continuidad; (b) tiene las unidades de cabeza de velocidad; (e) se expresa mediante 1/A JA (v/V) dA (d) se expresa mediante 1/A JA (v/V) 2 dA ; (e) se expresa mediante 1/A JA(v/V)3dA.

3.5.2 El factor de corrección de energía cinética para la distribución de velocidad dada en la figura l. l. es (a) O; (b) 1; (e) 4/3; (d) 2; (e) ninguna de estas respuestas. 3.5.3

Un tubo de vidrio con una curva de 90° se encuentra abierto en sus dos extremos. Se inserta en una corriente de aceite, densidad relativa 0.90, que fluye de tal manera que la abertura se dirige hacia aguas arriba y el otro extremo es vertical hacia arriba. El aceite dentro del tubo se encuentra 50 mm por encima de la superficie del aceite que fluye. La velocidad medida por este tubo es, en metros por segundo, (a) 0.89; (b) 0.99; (e) 1.10; (d) 1.40; (e) ninguna de estas respuestas.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 3.5.4 En la figura 10.9a, la diferencia manométrica R' para v1 = 5 pies/s, S= 0.08 y S0 = 1.2 es, en pies, (a) 0.39; (b) 0.62; (e) 0.78; (d) 1.17; (e) ninguna de estas respuestas. 3.5.5 La velocidad teórica del aceite, densidad relativa 0.75, fluyendo desde un orificio en un embalse bajo una cabeza de 4 m es, en metros por segundo, (a) 6.7; (b) 8.86; (e) 11.8; (d) no se puede determinar con los datos dados; (e) ninguna de estas respuestas. 3.5.6 ¿En cuáles de los siguientes casos es posible que un flujo ocurra desde una presión baja hasta una presión alta? (a) El flujo a través de una sección convergente; (b) el flujo adiabático en una tubería horizontal; (e) el flujo de un líquido hacia arriba en una tubería vertical; (d) el fl ujo de aire hacia abajo en una tubería; (e) es imposible en un conducto de sección transversal constante. 3.5.7 Si se desprecian todas las pérdidas, la presión en la parte más alta de un sifón (a) es un mínimo para el sifón; (b) depende de la altura del punto más alto por encima del embalse aguas arriba únicamente; (e) es independiente de la longitud del extremo aguas abajo; (d) es independiente del caudal a través del sifón; (e) es independiente de la densidad del líquido.

3.6

LA ECUACIÓN DE MOMENTUM LINEAL DEL VOLUMEN DE CONTROL

Ecuación básica La segunda ley de Newton se utiliza para un sistema como la base para detenninar la forma de volumen de control de la ecuación de momentum lineal. En la ecuación (3.2.4), sea N el momentum lineal del sistema mv y 17 el momentum lineal por unidad de masa pv/p = v. Entonces, la ecuación (3.2.4) se convierte en F

=

d(mv) dt

= -a J

af

pv d'V +

\'C

1

vpv · dA

(3.6.1)

SC

En palabras, la suma vectorial de las fuerzas externas reales aplicadas que actúan sobre el volumen de control es igual a la tasa temporal de incremento del momentum lineal dentro del volumen de control, más la tasa neta a la cual el momentum está dejando la superficie de control.

Análisis de la ecuación de estado permanente Para analizar esta ecuación se utilizará el enfoque usado en las dos ecuaciones previas. Considérese una sección de tubería como la mostrada en la figura 3.20 con la entrada en 1 y la salida en 2. l. Definir el volumen de control al igual que antes, con las superficies de control localizadas donde el área sea perpendicular a las líneas de corriente y el campo de flujo esté bien definido con las líneas de corriente paralelas a la pared de la sección de flujo. 2. Suponer que el flujo es permanente. 3. Se establece el sistema de fuerzas equivalentes o resultantes y los parámetros del flujo sobre el volumen de control, el cual consta tanto de las fuerzas resultantes como de los intercambios de momentum equivalentes en la entrada y la salida. 4. La suma vectorial de las fuerzas externas reales aplicadas consta de los siguientes componentes

F

=w +

FPI + FP2 + F'TO + F,..

(3.6 .2)

133

1 34 C A P Í T U l O

3

•

Mecánica de fluidos

Figura 3.20

Volumen de control para el flujo a través de una tubería.

Cada uno de los términos se define como sigue:

w Fp1

es la fuerza de peso. El fluido dentro del volumen de control tiene un peso que actúa en la dirección de la gravedad, y la magnitud es igual al volumen del volumen de control multiplicado por el peso específico. y FP2 son las fuerzas de presión en los extremos. La presión del fluido en la entrada y la salida crea una fuerza de presión en cada cara. La fuerza vectorial total es igual a

FP =

F.,.0

L. pdA =

L

pn · dA

(3.6.3)

donde n es la normal unitaria del área superficial la cual siempre se dirige positivamente hacia fuera del área superficial. Al igual que en el capítulo 2, la fuerza de presión puede calcularse utilizando los métodos para encontrar las fuerzas individuales vertical y horizontal, o el vector completo Fp puede calcularse. En la mayoría de los casos la presión promedio de área es p o la presión es constante, entonces FP= pA y el vector F11 es perpendicular al área de entrada y se dirige hacia el volumen de control. y Fw son las fuerzas de presión y el corte en las paredes, respectivamente. Las paredes ejercen tanto esfuerzos cortantes como normales sobre el fluido. El esfuerzo cortante en la pared r 0 , ejerce una fricción sobre el fluido y actúa en el plano de la superficie del volumen de control para retardar el flujo. El esfuerzo cortante en la pared es una función del tipo de material de la frontera y de su rugosidad, de la densidad del fluido y su velocidad y de la geometría de flujo. En general varía de punto a punto dentro del flujo. Flujos en tuberías y ciertos flujos en capas límites son los únicos donde puede hacerse un cálculo exacto de r 0 y F r o (ver los capítulos 6 y 7). El esfuerzo normal, F, , en la pared o en la superficie de control es el responsable primor-

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 135 dial de mantener la geometría del campo de flujo. Por ejemplo, el flujo de la figura 3.20 se curva a la salida 2 debido a que el esfuerzo normal es mayor en la parte superior, dando como resultado una deflexión del flujo. Así mismo, si no existiese esfuerzo normal en la "parte inferior" del flujo, éste simplemente "caería" bajo el efecto de la gravedad. La fuerza de esfuerzo normal, junto con FT0 , es muy difícil de separar; por consiguiente, éstas se unen en este punto en una fuerza de reacción resultante, F, la cual actuará en el centro de gravedad del volumen de control. Típicamente la dirección y la intensidad de F se determinarán en la solución. 5. El intercambio de momentum, M 1 y~. a la entrada y salida, respectivamente, deben ser analizados ahora. Para flujo permanente, la parte derecha de la ecuación (3.6.1 ) se escribe en la entrada y en la salida como

M, + M 2 =

f

v 1(p1v 1 ·dA) +

f

v 2 (p2v 2 ·dA)

(3.6.4)

''. Para analizar el flujo, el problema se reduce a un estado permanente mediante la superposición de la velocidad del álabe u hacia la izquierda (figura 3.28b) sobre el álabe y el fluido.

X

-

Fx

(b)

(a)

(e)

Figura 3.28

(o) Álabe móvil; (b) flujo en el álabe visto como un problema de flujo permanente mediante lo superposición de la velocidad u hacia lo izquierdo; (e) diogromo vectorial polar.

145

146

C A PÍ T U LO

3

•

Mecánica de fluidos

El volumen de control incluye todo el fluido en contacto con el álabe, con su superficie de control perpendicular al flujo en las secciones 1 y 2. La figura 3.28c muestra el diagrama vectorial polar para el flujo a través del álabe. Los vectores de velocidad absoluta parten del origen O, y el vector de velocidad relativa V 0 - u se deflecta del ángulo f) en el álabe, tal como se muestra. V 2 es la velocidad absoluta fmal a la salida del álabe. La velocidad relativa v, = V0 - u no cambia en su magnitud a medida que pasa por el álabe. La masa por unidad de tiempo está dada por pA0v, y no es la tasa de masa que está siendo descargada desde la boquilla. Si se emplea una serie de álabes, como ocurre en la periferia de una rueda de agua, ordenada de tal manera que uno u otro de los chorros interseca todo el flujo de la boquilla y la velocidad es sustancialmente u, entonces la masa por segundo es la masa total por segundo que se descarga. Al aplicar la ecuación (3.6.1) al volumen de control de la figura 3 .28b se encuentra que

'LFx = J pvxV · dA = - F_, = p(V0

-

se

u) cos e((V0

-

u)Ao]

o

F: = p(V0 í..~ = J

-

u) 2 Ao(l - cos 8)

pvYV

· dA = F¡.

se

= p(V0

-

u)sene [(V0

u)Ao ]

-

o

F¡. =

p(V0

-

u) 2 Ao sen

e

Estas relaciones son para un álabe único. Para una serie de álabes éstas se convierten en

F.T =

Ejemplo 3.16

p~(V0 -

u)(l - cos 8)

F'_1. = p{k(V0

-

u) sen

e

Determinar las componentes de fuerza para el álabe móvil único de la figura 3.29a debidas al chorro de agua y a la tasa de trabajo hecha sobre el álabe.

Solución La figura 3.29b es la reducción a estado permanente con el volumen de control mostrado. En la figura 3.29c se muestra el diagrama vectorial polar. Al aplicar la ecuación (3.6. 1) en las direcciones x y y al volumen de control de la figura 3.29b

-F: = (1000 kg/m 3 )(60 mls)(cos 170°)(60 mfs)(O.OOI

m2)

+ (1000 kg/m3 )(60 m/s)(-60 m/s)(O.OOl m 2 )

F: = E;. =

7.145 kN (1000 kg/m 3 )(60 m/s)(sen 170°)(60 mfs)(O.OO I m 2 )

= 625 N

La potencia ejercida sobre el álabe es

uFx

!Ejemplo 3.17

= (60 mfs)(7. 145 k.N) = 428.7 kW

Determinar la potencia que puede obtenerse de una serie de álabes (figura 3.30a), curvados 150°, alejándose a 60 pies/s de un chorro de agua de 3 .O pes que tiene una sección transversal de 0.03 pies2 • Dibujar el diagrama vectorial polar, y calcular la energía remanente en el chorro.

Conceptos del flujo de fluidos y ecuaciones básicas de volumen de control 100

Ao

CD

Ao

(1:1)

(a)

u,= 60 V0 = 120

(e)

Figura 3.29

Chorro que actúo sobre un álabe móvil.

Ao

-

F.lt

60 pies/¡;

vr;; 40 pies/s - -- -

100 pie!}ls

V1, es decir, ha ocurrido un cambio de velocidad correspondiente a una aceleración inercial de V (V, - V1)/!:u que en el límite, p cuando t:u tiende a O, se convierte en u8u/8x. Esta aceleración es un resultado puro del encogimiento del campo de fluido introducido por el cambio rápido en la geometría del flujo.

La derivada total La tasa temporal total de cambio de cualquier variable en el sistema euleriano se encuentra en forma análoga a las ecuaciones (4.1.2) o (4.1.4). Cualquier variable, ya sea un escalar o un vector, por ejemplo a, cuyos valores son función de la posición y del tiempo, se deriva como sigue

da dt

- (x, y,

z, t)

aa dt aa dx aa dy aa dz + -- + -- + - ar dt ax dr ay dr az dr

== - -

o

-da = -aa dr

ar

+

aa

aa

aa

ax

ay

az

u- + v - + w -

== (v · V')a

(4.1.6)

La operación general se conoce como la derivada total o sustancial. Para diferenciar los distintos tipos de derivadas temporales que un ingeniero encuentra, a continuación se cita la descripción en Bird, Stewart y Lightfoot (Transport Phenomena, John Wiley Co., 1968): A un ingeniero se le pide contar y representar gráficamente la tasa temporal de cambio de pájaros b, lo cual se puede hacer de tres formas: l. El ingeniero se sienta en un sitio fijo y mide la tasa de cambio deb en un punto de observación fijo en el cielo; esta derivada es db dt

ab

= ar

Ecuaciones diferenciales básicas

1

1 1 __...¡

1

dx 1-+-

1

1

(a)

(b)

1 1

1

Debido a que

1 1

CD®

Qes constante

A2 V1

(e)

Figura 4.2

(a) Aceleración total, (b) temporal y (e) inercial.

2. Un piloto lleva al ingeniero a bordo de un avión que viaja con un vector velocidad fijo v p = upi + V Pj + w ,k . El ingeniero mide la tasa de cambio de pájaros tal como la observa por la ventana del 1 avión; entonces, la tasa temporal de cambio de b es db ()b ()b db db -=-+u -+ V -+ w -

dt

ar

p

ax

p

ay

p

az

3. Finalmente, el ingeniero mide la tasa temporal de cambio de las aves desde un globo que flota con la velocidad local del viento o del fluido, v = ui + vj + wk; entonces la derivada se expresa como db

dr

db

= ar

db db db + u ax + v ay + w -dz

la cual es la forma utilizada en el enfoque de análisis euleriano adoptado aquí.

189

190 C A P Í T U L O

4

•

Mecánica de fluidos

Movimiento y deformación A medida que un paquete de fluido se mueve de un instante a otro, existen cuatro posibles tipos de movimiento y/o deformación de la forma del paquete. Estos incluyen la translación y la rotación simples, al igual que la dilatación del volumen y la deformación angular. Los dos primeros son ejemplos de movimiento lineal en donde la forma original del paquete no cambia aunque cambie su posición y orientación. Las dos segundas representan un cambio en la forma original. Aquí se hará una pequeña introducción geométrica a estos procesos, relacionando los campos de velocidad con el movimiento y la deformación resultantes. Se debe notar que todas las formas de estos movimientos pueden ocurrir simultáneamente, pero para comprender cada una de ellas se considerarán en forma separada y en dos dimensiones. Se supondrá que la generalización en tres dimensiones se hará luego. La translación (figura 4.3a) simplemente significa tomar el paquete y moverlo una distancia durante un periodo de tiempo corto dt. No se permite ni rotación del paquete ni ninguna deformación. La deformación será medida por el grado a que el ángulo entre cualquier par de líneas, que originalmente eran ortogonales entre sí, se deforme durante el tiempo dt. Para el caso de la translación, el ángulo de 90° entre cualquier par de líneas ortogonales que definen cualquier plano en el paquete debe permanecer constante. La translación pura, sin ninguna deformación o rotación, puede ocurrir solamente en un campo de velocidad muy especial; es decir, el flujo debe ser uniforme espacialmente y no puede contener gradientes espaciales. La dilatación (figura 4.3b) se refiere al estiramiento o encogimiento del paquete, inducido por un gradiente espacial en el campo de velocidad. No se permite deformación; en lugar de esto, únicamente se permite una extensión o compresión lineal de los ejes ortogonales que definen el plano. El campo de velocidad que acompaña este cambio, nuevamente es restringido. Por ejemplo, en la figura 4.3b, el cambio de forma en la configuración de líneas punteadas conserva el ángulo de 90° entre todos los ejes ortogonales, pero el campo de velocidad se restringe a cambios únicamente en la dirección de los ejes. Por consiguiente, para la figura en la dirección x, únicamente u puede variar, no v ; mientras que en la dirección y únicamente v puede variar y no u. Si el cambio de forma da como resultado un cambio del volumen es una cuestión extremadamente importante. De la figura, el volumen original V es dx dy. En la forma reordenada, los cambios incrementales en longitud durante el periodo de tiempo dt se encuentran mediante una expansión de series de Taylor (correcta hasta el primer orden) tal como se muestra en la figura 4.3; por consiguiente, el volumen en un tiempo dt posterior es

V,.,,

= ( dx

+ :

dx dt )(dy +

~ dy dt)

Después de multiplicar los términos, y dejando de lado los términos de segundo orden y órdenes superiores, la tasa temporal de cambio relativo del volumen VR se puede encontrar en términos del campo de velocidad como

#R = _au + dv dt dx dy

dt En las tres dimensiones,

au

av

aw

#R -- = - +-+ =V·v dt dx dy dz

(4.1.7)

Por consiguiente, la dilatación de volumen puede relacionarse directamente con la estructura espacial de los gradientes de velocidad y esta relación tomará un significado físico importantísimo con respecto a la ecuación de continuidad de la sección 4.3.

Ecuaciones diferenciales básicas

•dtl ,. ----------1

1 1 1

1 1 1

1 1

________ .J_l 1

dy udJ

u

o

u dx

(a) u+ au dy

u+ a u dx

ay

ay

t - . - - - - --+--- u+ au dx

ax

u

u

u .....__ _ _ _ __.___ u+ au dx o u

ax

au dxdt

ax

(b)

Figura 4.3

(o) Translación y (b) dilatación de un paquete de fluido y su relación con los gradientes del campo de velocidad. (continúo en la página siguiente)

La rotación se define como la velocidad angular promedio de dos elementos que originalmente se encontraban haciendo ángulos rectos entre sí. Tal como se puede ver en la figura 4.3c, debe haber gradientes en el campo de velocidad o esfuerzos cortantes, para sostener la rotación sobre el periodo dt. Teniendo en cuenta el elemento dx, y para ángulos pequeños, tand81 = d81 = por consiguiente,

Para el elemento vertical dy

(Z

dxdt}dx

191

192 C A P Í T U L O

•

4

Mecánica de fluidos

tan d82

=

d82

= - -au

ay

dy dt

por consiguiente,

8? =

d(}2

-

dt

=

du

ay

El promedio de estos dos es la velocidad angular del paquete alrededor del eje z (4. 1.8a)

La rotación alrededor de los otros dos ejes se define como

w-"

=

~(:

~)

(4.1.8&)

w

=

~(~ ~)

(4.1.8c)

X

-

La velocidad angular es una cantidad vectorial

.n = w)

+ w,j + w"3 D :3f.1 = (ML 3 Y ' (T- 1 )'"3 D3ML 1T - 1 TI4 = px4W' 4 D:.¡ c = (ML-3 )'~ (T- 1 )Y4D4LT- 1 Escribiendo ecuaciones simultáneas en x1, y 1, z" etc. tal como se hizo antes y resolviéndolas se encuentra que

TI,

=

Fr pm2D4

e wD

I l - Vo 2 -

mD

Resolviendo para el parámetro de empuje se llega a:

F¡. pw 2 D 4

= j¡

( V0 wD'

Debido a que los parámetros pueden recombinarse para obtener otras formas, el segundo término se reemplaza por el producto del primero y segundo términos, VD piJ.L, y el tercero se reemplaza por el primero dividido por el tercero, V0 /c; entonces,

Fr 2

pw D

4

=

.h( wDV

0 ,

-

V0 Dp, V0 f..l

e

J

De los parámetros adimensionales, probablemente el primero es el de mayor importancia dado que relaciona la velocidad de avance con la velocidad de rotación. El segundo parámetro es un número de Reynolds y tiene en cuenta los efectos viscosos. El último parámetro, la velocidad de avance dividida por la velocidad del sonido es el número de Mach, el cual sería importante para velocidades cercanas o mayores a la velocidad del sonido. Los efectos de Reynolds usualmente son pequeños, de tal manera que una gráfica de F¡pwU versus VjwD debería ser la más informativa.

Los pasos en un análisis dimensional pueden resumirse como sigue: l. Seleccionar las variables pe11inentes. Esto requiere algún conocimiento del proceso. 2. Escribir las relaciones funcionales, por ejemplo, F(V, D, p, f..l, e, H) = O 3. Seleccionar las variables repetitivas. (No incluir la cantidad dependiente como una variable repetitiva). Estas variables deben contener todas las m dimensiones del problema. Usualmente se escoge una variable porque especifica la escala y otra porque especifica las condiciones cinemáticas. En los casos de mayor interés en este capítulo, una variable que relaciona las fuerzas o las masas del sistema, por ejemplo, D, V o pes escogida. 4. Escribir los parámetros TI en función de exponentes desconocidos, por ejemplo, TI 1 = v x' D-'1 p :'J1 = (LT- 1 ) ' 'L'1 (ML-3 ) :' ML- 1 T ~ 1 5. Para cada una de las expresiones n , escribir las ecuacionesde los exponentes, de tal manera que la suma de los exponentes de cada dimensión sea cero.

236 C A P Í T U L O

5

•

Mecánica de fluidos

6. Resolver simultáneamente las ecuaciones. 7. Sustituir nuevamente en las expresiones Il del paso 5, los exponentes para obtener los parámetros adimensionales n. 8. Establecer la relación funcional

.t;(n 1,

TI 2 , TI 3 ,

••• ,

n ,_, )

=

o

n:

o despejar explícitamente uno de los TI 2 = .t;Cn"

n}, .. ., rr,_

111 )

9. Recombinar, si se desea, para alterar las formas de los parámetros Il, manteniendo el mismo número de parámetros independientes.

Formulación alternativa de los parámetros TI Un método rápido para obtener los parámetros TI , desarrollado por Hunsaker y Rightmire 13], utiliza las variables repetitivas como las cantidades primarias y resuelve para M , L y Ten función de ellas. En el ejemplo 5.3 las variables repetitivas son V, D y p; por consiguiente

V= LT- 1

p = ML-3

D=L T

L=D

= DV

(5.3.4)

M= pD3

1

Ahora, utilizando las ecuaciones (5.3.4),

J1 = ML 1T- 1 = pD 3 D- 1D- 1V = pDV por consiguiente, el parámetro

n es J.1

ni =

pDV Las ecuaciones (5.3.4) pueden utilizarse directamente para encontrar los otros parámetros TI. Para g = LT-2 = DD-2 V2

= V2 D

D~

1

y

n,_ =

g V2D

1

=

Este método no requiere la solución repetitiva de las tres ecuaciones con tres incógnitas para la determinación de cada parámetro n.

Coeficiente de presión El coeficiente de presión !lp/(pV212) es la relación de la presión con respecto a la presión dinámica. Cuando el coeficiente de presión se multiplica por el área, el producto es la relación de las fuerzas de presión con respecto a las fuerzas inerciales, ya que (pV212)A sería la fuerza necesaria para reducir la velocidad a cero. También se puede escribir como !lh/(V2/2g) dividiéndolo por y Para flujo en tuberías, la ecuación de Darcy-Weisbach relaciona las pérdidas h1 con la longitud de la tubería L, el diámetro D y la velocidad V mediante un factor de fricción adimensional f t h,

L V2 D2g

=J--

o

JL - _ h,_ D

-

V 2 12g -

1·(RF W M 2

'

'

'

.!_ .!._J '

11 ' l1

t Existen varios factores de fricción de uso general. Este es el factor de fricción de Darcy-Weisbach, que es 4 veces el valor del factor de fricción

de Fanning, también conocido como f.

Análisis dimensional y similitud dinámica 237 como se ha demostrado quef LID es igual al coeficiente de presión (ver ejemplo 5.4). En el flujo en tuberías, la gravedad no tiene influencia sobre las pérdidas; por consiguiente F puede despreciarse. Similarmente, la tensión superficial no tiene efecto y W se ignora. Para el flujo permanente de un líquido la compresibilidad no es importante y M se deja de lado; l se refiere a D; l 1 se refiere a la altura de la proyección de la rugosidad € en la pared de la tubería; y l~ hace referencia al espaciamiento E'. Por consiguiente, -

f L = ¡ 2· D

(R~D' E'D )

(5.3.5)

'

En los capítulos 6 y 12 se tratarán los problemas del flujo en tuberías. Si la compresibilidad es importante,

f L = f~ D

-

(R' M' ~D' €'D)

Con el flujo en orificios. estudiado en el capítulo 10, V 1 H - V212g - e11 -

f2

=

(5.3.6)

C11 "r2glf y

(RWM.!_1 ' .!.._] 1 '

'

'

1

(5.3.7)

2

en la cual 1 puede referirse al diámetro del orificio y / 1 y !2 a las dimensiones de aguas arriba. La viscosidad y la tensión superficial no son importantes para orificios grandes y fluidos de baja viscosidad debido a que los numeradores de los números de Reynolds y Weber son muy grandes comparados con sus denominadores. Los efectos de compresibilidad no son importantes cuando el número de Maches pequeño con relación a l. Éstos se vuelven importantes a medida que el número de Mach se aproxima o es mayor que la unidad. En el flujo permanente uniforme en canales abiertos, tratado en el capítulo 6, la ecuación de Chézy relaciona la velocidad promedio V, la pendiente del canal S y el radio hidráulico de la sección transversal R (el área de la sección dividida por el perímetro mojado) mediante

V donde

,-

Ah

= e-v RS = e 1 R\

(5.3.8)

L

e es un coeficiente que depende del tamaño, la forma y la rugosidad del canal. Entonces ~

_ 2gL_l _

V 2 12g -

R

e2

-

h

(F' R' .!_l ' .!_] l 1

(5.3.9)

2

debido a que usualmente los efectos de tensión superficial y compresibilidad son poco importantes. El arrastre F sobre un cuerpo se expresa mediante F = C 0 ApV212 en donde A es un área típica del cuerpo, usualmente la proyección del cuerpo en un plano perpendicular al flujo. Entonces FIA es equivalente a D.p y ( RFM l -lJ -e' ' ' l ' l D - f2

F A p V 2 12 -

1

(5.3.10)

2

El término R se relaciona con el arrastre de fricción superficial debido a los esfuerzos viscosos al igual que el arrastre deforma, o perfil, resultante de la separación de las líneas de corriente del flujo del cuerpo; F está relacionado con el arrastre de onda si existe una superficie libre; para números de Mach grandes e0 puede variar en forma más notoria con relación a M que con respecto a los otros parámetros; y las relaciones de longitud pueden referirse a ía forma o rugosidad de la superficie.

238 C A P Í T U L O

5

•

Mecánica de fluidos

El número de Reynolds El número de Reynolds VD pi¡.;., es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds crítico distingue entre los diferentes regímenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. En flujo compresible, el número de Mach generalmente es más importante que el número de Reynolds.

El número de Fronde El número de Fraude VI -..,fii, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por pA, es una relación de las fuerzas dinámicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales. Con un flujo a superficie líquida libre (donde l se reemplaza por y, la profundidad) la naturaleza del flujo (rápidot o tranquilo) depende de si el número de Fraude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.

El número de Weber El número de Weber Vllp/o- es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión superficial (evidente cuando el numerador y el denominador se multiplican por l). Éste es importante en interfases gas-líquido o líquido-líquido y también donde estas interfases se encuentran en contacto con una frontera. La tensión superficial causa pequeñas ondas (capilaridad) y la formación de gotas, y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeñas cabezas. El efecto de la tensión superficial sobre la propagación de ondas se muestra en la figura 5.l. A la izquierda del mínimo de la curva, la velocidad de onda está controlada por la tensión superficial (las ondas se conocen como risos), y a la derecha del mínimo de la curva los efectos gravitacionales son dominantes.

El número de Mach La velocidad del sonido en un líg~üdo se escribe como ..} Klp si K es el módulo de elasticidad volumétrica (sección 1.8) o e = ..J kRT donde k es la relación de calor específico y T la temperatura . Klp es el número de Mach. Es una medida de la relación absoluta para un gas perfecto. V/e o VI . J entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Cuando V/e se eleva al cuadrado y se multiplica por pA/2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinámica y el denominador la

..,

N

"'"'o

.g

"'"' "''[j o 05

e Longitud de onda Figura 5.1

Velocidad de onda versus longitud de onda para ondas superficiales.

t Un flujo en un canal abierto con profundidad y es rápido cuando la velocidad del flujo es mayor que la velocidad onda elemental en el fluido quieto. El flujo tranquilo ocurre cuando la velocidad del flujo es menor que

-/gy.

.jgy de una

Análisis dimensional y similitud dinámica 239 fuerza dinámica a la velocidad del sonido. También se puede demostrar que es una medida de la relación de la energía cinética del flujo con respecto a la energía interna del fluido. Es el parámetro correlacionante más importante cuando las velocidades están cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.

EJERCICIOS 5.3.1

Una recombinación arbitraria incorrecta de los parámetros TI

J

Vo pwD2 ~) ' lmD ' f.l ' mD

(e"o. --¡;-, peD ~)

está dado por (a) F

e { V0

( )

,

mD

V0 ep, pcD) ; 0 WJ.l

f.l

=o

(d)

(b)

{

v,p

=O

1~· V0 pD

m2D3p'

e )

mD

f.l

~) = o

peD2 p =

0

(e) ninguna de estas respuestas.

5.3.2 Las variables repetitivas en un análisis dimensional deberían (a) incluir la variable dependiente; (b) tener dos variables con las mismas dimensiones si es posible; (e) excluir una de las dimensiones de cada variable si es posible; (d) incluir las variables no consideradas como factores muy imp01tantes; (e) no satisfacer ninguna de estas respuestas. 5.3.3 Dentro de los siguientes literales, seleccionar la cantidad que no es un parámetro adimensional: (a) coeficiente de presión; (b) número de Froude; (e) factor de fricción de Darcy-Weisbach; (d) viscosidad cinemática; (e) número de Weber. 5.3.4 ¿Cuántos parámetros TI se necesitan para expresar la función F(a, V, t, v, L) =O? (a) 5; (b) 4; (e) 3; (d) 2; (e) l. 5.3.5 ¿Cuál de los siguientes literales podría ser un parámetro TI para la función F(Q, H. g, Vn, cj> ) =O cuando Q y g se toman como las variables repetitivas? (a) Q2/gH\ (b) va;g~ Q, (e) Q!gcJ>~, (d) Q/ ..JgH, (e) ninguna de estas respuestas. 5.3.6

¿Cuál de los siguientes literales tiene la forma de un número de Reynolds? (a) ~

(b)

:!!jf

(e)

lf

(d)

11~ 1

(e ) /:'~

5.3.7 El número de Reynolds puede definirse como la relación de (a) fuerzas viscosas a fuerzas inerciales; (b) fuerzas viscosas a fuerzas gravitacionales; (e) fuerzas gravitacionales a fuerzas inerciales; (d) fuerzas elásticas a fuerzas de presión; (e) ninguna de estas respuestas. 5.3.8 El coeficiente de presión puede tomar la forma (a) ninguna de estas respuestas.

ffl;

(h) P:'!,~ ; (e)

t/fr ; (d)

D.p },~ ; (e)

5.3.9 El coeficiente de presión es la relación de las fuerzas de presión con respecto a (a) fuerzas viscosas; (b) fuerzas inerciales; (e) fuerzas gravitacionales; (d) fuerzas de tensión superficial; (e) fuerzas de energía elástica. 5.3.10 Seleccionar aquella situación en la cual las fuerzas inerciales serían no importantes: (a) el flujo sobre la cresta de un vertedero; (b) el flujo a través de una transición en canal abierto; (e) olas chocando contra un tajamar; (d) el flujo a través de un tubo capilar largo; (e) el flujo a través de una -. válvula medio abierta.

240

C A P Í T U L0

5

•

Mecánica de fluidos

5.3.11 ¿Cuál de los siguientes pares de fuerzas es el más importante para un flujo laminar entre dos placas paralelas poco separadas? (a) inerciales y viscosas; (b) de presión e inerciales; (e) gravitacionales y de presión; (d) viscosas y de presión ; (e) ninguna de estas respuestas. 5.3.12 Si la elevación capilar /).h de un líquido en un tubo circular de diámetro D depende de la tensión superficial cr y del peso específico y, la ecuación para la elevación capilar podría tomar la forma(a) M= estas respuestas.

5.4

~fF(~)(b)D.h = c(fr)" (e) M=

cD(f)" (d)

D.h

2

= \:*F( ~ )(e)ningunade

EL TEOREMA TI : TRANSPORTE DE CALOR Y DE MASA

El procedimiento de TI Buckingharn puede extenderse al caso de transporte de calor y de masa similarmente; a continuación se muestran algunos ejemplos ilustrativos. El ejemplo 5.6 considera el aparato intercambiador de calor.

Ejemplo 5.6

Es deseable encontrar una serie de grupos adimensionales que permitirían relacionar el calor llevado hacia fuera por la velocidad promedio, en una tubería intercarnbiadora con otras variables relevantes. Solución

Se supone que las variables relevantes son el diámetro de la tubería D , la densidad del fluido p, la viscosidad ¡.L, la capacidad de calor ep , la velocidad V, el coeficiente de transferencia de calor h y la conductividad de calor k. Esencialmente el coeficiente de transferencia de calor es la variable desconocida y tiene dimensiones de [MT 3 0]. Debido a que existen siete variables y cuatro dimensiones independientes, M, L, T y E>, es necesario encontrar tres grupos adimensionales. Si D. k, ¡.L y V se escogen como las variables repetitivas, se forma el siguiente sistema de ecuaciones

I1 1 = D-' 1J.l-'' v :' k" 1 c1, I1 2 = Dx~ J.1 ,.~ V :2 k "·z p 0

1

= D 'J J..l " V :J k "~ h

Mirando a I1 , en detalle expandiendo las potencias de las dimensiones se encuentra que L

x.l

M

T

0

- y, + z) + w_, =o - y, + z3 + w3 + 1 = o - •V1 - z3 3w3 3 = o - w, - 1 = o

la cual se resuelve fácilmente para llegar a x 3 = 1, y 3 =

·'

z3 = O,

w 3 == - 1

o

_ hD I11 . k Similarmente se pueden encontrar los otros dos números (5.4.2)

(5.4.1)

(5.4.3 )

Análisis dimensional y similitud dinámica 241 Mientras que fl 2 se reconoce como un número de Reynolds, el nuevo grupo fl 3 se denomina como el número de Nusselt, N", y es una medida de la intensidad de la convección respecto a la conducción en los mecanismos de transporte de calor. El grupo 11 1 se denomina como el número de Prandtl, P,, el cual representa la relación de la difusión de calor con la difusión de momentum. Si tanto el numerador como el denominador de fi 1 se multiplican por p, entonces fi 1 se convierte en v/k, el número de Prandtl formado por la relación de las difusibidades de momenturn y calor. Para el problema ejemplo, se requieren experimentos de laboratorio para correlacionar Nu = f(R, P, )

Las lagunas de enfriamiento, los lagos, las lagunas, etc., están sujetas a un intenso calentamiento radiactivo durante las estaciones de primavera y verano. Rápidamente el calor se acumula en la superficie y las velocidades inducidas por el viento y los esfuerzos cortantes mezclan el calor hacia las aguas profundas. La mezcla por viento no es lo suficientemente fuerte para mezclar completamente la columna de agua a una temperatura uniforme. Consecuentemente, resulta una estratificación caracterizada por un fuerte gradiente vertical de temperatura. Si se supone una relación lineal entre la densidad y la temperatura [ecuación (1.5.10)], entonces las variables relevantes son la profundidad d, la viscosidad ¡.t, la velocidad v, el coeficiente de expansión {3, la diferencia de temperatura entre la superficie y el fondo D. T, la aceleración de la gravedad g, la densidad p y la conductividad térmica modificada k" =k/e". Encontrar los grupos adimensionales que relacionan la intensidad de la estratificación con respecto a las variables relevantes.

Ejemplo 5.7

Solución

Existen ocho variables y cuatro dimensiones lo cual arroja cuatro grupos adimensionales. Si se seleccionan d, ¡...t, {3 y g como las variables repetitivas, entonces los cuatro grupos adimensionales se definen como

n, = d '' f..l '' f3 ;' g" ' P n2

= d '2J..lY2 {372g"2 v

I13

= d r = [S"'r L] = [Smr t"'¡] umT,,

(S.S.20)

T,,

Sin embargo, hasta este momento son grupos sin nombre debido a que existen numerosas formas de " y r dependiendo de la forma funcional del término fuente-sumidero. Por consiguiente existen tantos nombres para los grupos como formas funcionales. Por ejemplo, si el término fuente-sumidero en la forma dimensional fuera la tasa de reacción de primer orden parametrizada por una constante k 1, entonces S" = k 1C, Smc en la ecuación (5.5.19) se convierte en k 1C111 , y el número [k 1Uum] es una forma del número de Damkohler que calcula la importancia de la generación química de C con respecto al transporte advectivo.

Normalización de dos escalas: la capa límite Una capa límite se define cuando existen dos escalas de longitud en el problema. Típicamente la escala horizontal es varios órdenes de magnitud mayor que la escala vertical. Algunos ejemplos incluyen los flujos que ocurren naturalmente a gran escala en lagos, ríos. estuarios y en la atmósfera. Todos los flujos de ingeniería cerca de fronteras sólidas, tales como paredes sólidas, superficies de alas o cascos de buque, presentan capas límite. Utilizando los métodos de normalización anteriormente descritos con las dos escalas de longitud, se obtienen las ecuaciones de las capas límite siempre presente, que serán analizadas en el capítulo 7.

5.6

ESTUDIOS EN MODELOS Y SIMILITUD

Frecuentemente se emprenden estudios sobre modelos de estructuras y máquinas hidráulicas propuestas como una ayuda en el diseño. Éstos permiten una observación visual del flujo y hacen posible obtener cierta información numérica, por ejemplo, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencias y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presión y pérdidas. Si se desea obtener información cuantitativa acertada de un estudio con un modelo, debe existir similitud dinámica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere (1) que exista similitud geométrica exacta y (2) que la relación de presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante. Este segundo requerimiento también puede expresarse como una similitud cinemática, es decir, que las líneas de corriente deben ser geométricamente similares. La similitud geométrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un décimo del tamaño del prototipo en cualquier dimensión lineal, la altura de las proyecciones de la rugosidad debe tener la misma relación. Para que las presiones dinámicas tengan la misma relación en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinámica estricta, los números de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para el caso de una relación de escala 1: l. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud. La discusión de algunos casos aclarará este concepto. Como una ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el análisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio; las esferas prototipo (mundo real) y modelo se muestran en la figura 5.2. Por supuesto, la similitud geométrica se asegura si el modelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debe cumplir con la relación de D mID p . Esto incluye también las proyecciones de la rugosidad de pequeña escala.

248

C A P Í T U LO

5

•

Mecánica de fluidos Prototipo, P

Modelo. M

Similirud geométrica

+

Similitud cinemática

Similitud dinámica

Figura 5.2

Similitud geométrica y dinámica para el flujo sobre una esfera.

La similitud dinámica se asegura haciendo que los polígonos de "fuerza" en el modelo y en el prototipo sean similares. Sobre cada esfera están actuando tres fuerzas netas, la fuerza de presión,f; p la fuerza viscosa o de corte, fr y la fuerza inercial debida a la aceleración, .f;. Estas fuerzas deben formar un poligono cerrado tal como se muestra para el prototipo de la figura 5.2. El poligono de fuerzas para el modelo debe ser similar al del prototipo en el sentido de que debe ser cerrado y escalado linealmente. Para asegurar tal similitud, la relación de cada lado debe mantenerse, es decir,

[fp] [ ~'] .f prototipo = .f modelo

{5.6.1)

y

[; ]prototipo

~ [; Ldelo

(5.6.2)

Nótese que estas relaciones están formadas por las agrupaciones adimensionales de la sección previa. Los poligonos de fuerza se consideran similares si

E,= E "' R,, = R

111

(5.6.3) {5.6.4)

En otras palabras, el asegurar la igualdad entre los polígonos de fuerzas de modelo y prototipo, se consigue igualar los números adimensionales entre modelo y prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos generalmente es algo imposible de alcanzar, a menos que la relación de escala sea 1:l. A continuación se presentan algunos casos ejemplo para ilustrar estos requerimientos.

Pruebas en túneles de viento y agua Este equipo se utiliza para examinar las líneas de corriente y las fuerzas que son inducidas a medida que el fluido pasa alrededor de un cuerpo completamente sumergido. El tipo de prueba realizada y la disponibilidad del equipo determina qué tipo de túnel debe ser usado. Debido a que la viscosidad cinemática del agua es alrededor de 1110 de la del aire, un túnel de agua puede utilizarse para estudiar modelos con números de Reynolds relativamente altos. ¡El efecto de arrastre de diferentes tipos de paracaídas fue estudiado en un túnel de agua! A velocidades muy altas los efectos de compresibilidad, y consecuentemente el número de Mach, deben tenerse en consideración y ciertamente pueden ser la

Análisis auuensional y similitud dinámica 249 razón principal para llevar a cabo la investigación. La figura 5.3 muestra el modelo de un portaviones que está siendo probado en un túnel de baja velocidad para estudiar el patrón del flujo alrededor de la superestructura del buque. El modelo se encuentra invertido y suspendido del techo, de tal manera que los trozos de lana puedan utilizarse para dar una indicación de la dirección del flujo. Detrás del modelo se encuentra un aparato para medir la velocidad del aire y su dirección en diferentes lugares de la trayectoria de planeo del portaviones.

Flujo en tuberías En el flujo permanente en una tubería las fuerzas viscosas e inerciales son las que tienen consecuencias importantes; por consiguiente, cuando se cumple la similitud geométrica, tener el mismo número de Reynolds en el modelo y el prototipo asegura la similitud dinámica. Los diferentes coeficientes de presión correspondientes son los mismos. Para pruebas con fluidos que tienen la misma viscosidad cinemática en modelo y prototipo, el producto, VD, debe ser el mismo. Frecuentemente esto requiere velocidades muy altas en modelos pequeños.

Estructuras hidráulicas abiertas Estructuras tales como vertederos, piscinas de discipación, transiciones en canales y vertederos, generalmente tienen fuerzas debidas a la gravedad (causadas por cambios en la elevación de superficies de los líquidos) y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas y de esfuerzo cortante turbulento. En estos casos la similitud geométrica y el mismo valor del número de Froude en

Figura 5.3

Pruebas en túnel de viento para la superestructura de un portaviones. El modelo se encuentro invertido y suspendido del techo. (Lo fotografío se tomó en los Laboratorios de Ingeniería Aeroespacial de la Universidad de Michigon paro la Corporación Dyna Sciences).

250 C A P Í T U L O

5

•

Mecánica de fluidos

el modelo y el prototipo producen una buena aproximación a la similitud dinámica, es decir

v;, g,) lll

Debido a que la gravedad es la misma, la relación de velocidad varía según la raíz cuadrada de la relación de escala A = 1p 1l m ,

V,, = V,, ..JA Los tiempos correspondientes para eventos que ocurren (por ejemplo para el tiempo de viaje de una partícula a través de una transición) están relacionados; luego llll tlll = -

t

V,,

" =

t m

lE_ V,/1 = t ,/A l V 111

/IJ

p

La relación de caudales Q P /Q m es

Q,,

= 1~ 1( JI = A 512 1 ,~ 1 t/11

Q/11

Las relaciones de fuerza por ejemplo sobre compuertas F/ F"' , son

F;,

-

F,,

=

yhJil ~

yhlllt;,

= A3

donde h es la cabeza. En forma similar, otras relaciones pertinentes pueden derivarse de tal manera que los resultados del modelo sean interpretados como comportamientos del prototipo. La figura 5.4 muestra una prueba sobre un modelo llevada a cabo para determinar el efecto de un rompeolas sobre la formación de ondas en un puerto.

Figura 5.4

Pruebas sobre modelo de un puerto. (Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Michigan).

Análisis dimensional y similitud dinámica 25 1

Resistencia de buques La resistencia al movimiento de un buque a través del agua está compuesta por el arrastre de presión, la fricción superficial y la resistencia debida a las ondas. Los estudios en modelos se complican por los tres tipos de fuerzas que son importantes: inerciales, viscosas y gravitacionales. Los estudios sobre fricción superficial deben basarse en números de Reynolds iguales en el modelo y el prototipo, pero la resistencia de las ondas depende del número de Froude. Para satisfacer ambos requerimientos, el modelo y el prototipo deberían ser del mismo tamaño. Esta dificultad puede superarse utilizando un modelo pequeño y midiendo el arrastre total sobre éste cuando es remolcado. Luego, se calcula la fricción superficial para el modelo y se sustrae del arrastre total. El arrastre restante es escalado hacia el tamaño del prototipo, utilizando modelación de Froude, y la fricción superficial del prototipo se calcula y añade para obtener la resistencia total debida al agua. La figura 5.5 muestra el cambio dramático en el perfil de la onda que resulta con una proa rediseñada. De tales pruebas es posible predecir, utilizando modelación de Froude, la formación de la onda y el arrastre que ocurrirá en el prototipo.

Maquinaria hidráulica La velocidad rotacional de la maquinaria hidráulica introduce una variable extra. Las partes móviles en una máquina hidráulica requieren un parámetro extra para asegurar que los patrones de líneas de corriente sean similares en el modelo y en el prototipo. Este parámetro debe relacionar el flujo que pasa a través (descarga), con la velocidad de las partes móviles. Para máquinas geométricamente similares, si los diagramas de velocidad de entrada o de salida de las partes móviles son similares, entonces las unidades son homólogas, es decir para propósitos prácticos existe similitud dinámica. El número de Froude no es importante, pero los efectos del número de Reynolds (conocidos como efectos de escala debido a que es imposible mantener el mismo número de Reynolds en unidades homólogas) puede causar una discrepancia del2 al 3 por ciento de la eficiencia entre el modelo y el prototipo. El número de Mach también es importante en compresores de flujo axial y turbinas de gas.

El coeficiente de válvula K= !:lp/(pVl/2) para una válvula de 600 mm de diámetro tiene que determinarse de pruebas sobre una válvula geométricamente similar de 300 mm de diámetro, utilizando aire atmosférico a 80°F. El rango de las pruebas debe ser para un flujo de agua a 70°F y desde 1 a 2.5 m/s. ¿Cuáles son los rangos necesarios de flujo de aire? Solución El rango para el número de Reynolds para la válvula prototipo es

(VD) V

min

(VD)

max

V

=

(1 m/s)(0.6m) (1.059 X 10-5 pies 2 /s)(0.3048 m/pie)2

= 610,000(2.5)

= 610•000

= 1,525,000

Para pruebas con aire a 80°F v = (1.8 X 10-4 pies 2 /s)(0.3048 m/pie)2 = 1.672 X 10-5 m 2 /s

Ejemplo

5.91

252 C A P Í T U L O

Figura 5.5

5

•

Mecánica de fluidos

Pruebas sobre modelos mostrando lo influencio de uno proa en formo de bulbo sobre lo formación de ondas. (Departamento de Arquitectura Noval e Ingeniería Marina, Universidad de Michigon)

Análisis dimensional y similitud dinámica 253 Entonces los rangos para las velocidades de aire son vmin(0.3 m) 1.672 X 10-5 m 2 /s

= 610, 000

vmin = 30.6 mis

V.nax(0.3m) 1.672 X I0-5 m 2 /s

=

vmax

1, 525, 000

7r

- (0.3 m) 2 (30.6 mis) 4

7r

- (0.3 m) 2 (85 mis)

4

= 85 m/s

= 2.16 m 3 /s

= 6.0 m-~/s

EJERCICIOS 5.6.1 ¿Qué velocidad debe tener el aceite, p = 1.6 slugs/pie3 y J.L = 0.20 P, en una tubería de l pulg de cliámetro para que sea dinámicamente similar a una velocidad de agua de 1O pies/s a 68°F en una tubería de t pulg de cliámetro? (a) 0.60 pies/s; (b) 9.6 pies/s; (e) 4.0 pies/s; (d) 60 pies/s; (e) ninguna de estas respuestas. 5.6.2 La velocidad en un punto de un modelo de la cresta de una presa fue meclida como 1 mis. La correspondiente velocidad del prototipo para A= 25 es, en metros por segundo, (a) 25; (b) 5, (e) 0.2; (d) 0.04; (e) ninguna de estas respuestas. 5.6.3 Se ha encontrado que la altura de un resalto hidráulico en una piscina de disipación fue de 4.0 pulg en un modelo, A= 36. La altura del resalto en el prototipo es (a) 12 pies; (b) 2 pies; (e) no se puede determinar con la información dada; (d) menor que 4 pulg; (e) ninguna de estas respuestas. 5.6.4 Un modelo de un buque, a escala 1: 100, tiene una resistencia de onda de 1ON a su velocidad de cliseño. La corresponcliente resistencia de onda del prototipo, en kilonewtons, es (a) 10; (b) 100; (e) 1000; (d) 10,000; (e) ninguna de estas respuestas. 5.6.5 Un modelo a escala 1:5 de un proyectil tiene un coeficiente de arrastre de 3.5 a M = 2.0. ¿Cuántas veces mayor debería ser la resistencia del prototipo cuando se dispara al mismo número de Machen aire con la misma temperatura y la mitad de su densidad? (a) 0.312; (b) 3. 12; (e) 12.5 ; (d) 25; (e) ninguna de estas respuestas.

PROBLEMAS 5.1

Demostrar que las ecuaciones (4.5 .11 ), (4 .6.5) y (3.7 .1) son dimensionalmente homogéneas.

5.2 Ordenar el siguiente grupo en parámetros adimensionales: (a) llp, p y V; (b) p, g, V y F; (e) J.L, F, llp y t. 5.3 Mecliante inspección, reordenar los siguientes grupos en parámetros aclimensionales (a) a, L y t; (b) v, l y t; (e) A, Q y w; (d) K, u y A. 5.4

Derivar la unidad de masa consistente con unidades de pulgadas, minutos y toneladas.

5.5 En ténninos de M, L y T, detenninar las climensiones de radianes, velocidad angular, potencia, trabajo, torque y momento de momentum. 5.6

Encontrar las dimensiones de las cantidades dadas en el problema 5.5 en el sistema FLT.

5.7

Resolver el ejemplo 5.2 utilizando Q y H como las variables repetitivas.

254

C A P Í T U LO

5

•

Mecánica de fluidos

5.8 Utilizando las variables Q, D, ó.Hil, p, J-L y g como las variables pertinentes en el flujo, en una tubería lisa, ordenarlas en parámetros adimensionales con Q, p y J.t como las variables repetitivas. 5.9 Si se sabe que el esfuerzo cortante r depende de la viscosidad y la tasa de deformación angular du/dy en un flujo laminar unidimensional, determinar la forma de la ley de viscosidad de Newton, utilizando razonamiento dimensional. 5.10 Se sabe que la variación de presión !:lp en líquidos estáticos depende del peso específico y y de la diferencia de elevación ó.z. Mediante razonamiento dimensional, determinar la forma de la ley hidrostática de variación de la presión. 5.11 Cuando se desprecian los efectos viscosos y de tensión superficial, la velocidad V del flujo de salida del líquido de un embalse depende de la caída de presión !:lp del líquido y de su densidad p. Determinar la forma de la expresión para V. 5.12 Se piensa que la fuerza de boyamiento F 8 sobre un cuerpo depende de su volumen sumergido 'r/ y de la fuerza gravitacional que actúa sobre el fluido. Determinar la forma de la ecuación de la fuerza de boyarniento. 5.13 En un fluido que rota como un sólido alrededor de un eje vertical con una velocidad angular w, el aumento de presión p en la dirección radial depende de la velocidad w, del radio r y de la densidad del fluido p. Obtener la forma de la ecuación para p. 5.14 En el ejemplo 5.3 encontrar otros dos conjuntos de parámetros adimensionales recombinando los parámetros adimensionales dados. 5.15 Encontrar los parámetros adimensionales para el ejemplo 4.4 utilizando ó.p, p y 1 como las variables repetitivas. 5.16 El número de Mach M para el flujo de un gas perfecto, en una tubería, depende de la relación de calor específico k (adimensional), de la presión p, de la densidad p y de la velocidad V. Mediante análisis dimensional, obtener la forma de la expresión del número de Mach. 5.17 Encontrar la escala para el torque T sobre un disco de radio r que rota en un fluido con viscosidad J.t con una velocidad angular w y una luz y entre el disco y la placa fija. La velocidad en un punto de un modelo de un rebosadero de una presa es 1 m/s. Para una 5.18 relación prototipo a modelo de 10:1, ¿cuál es la velocidad en el punto correspondiente del prototipo bajo condiciones similares? La potencia de entrada a una bomba depende del caudal Q, del aumento de presión !:lp, de la 5.19 densidad del fluido p, del tamaño D y de la eficiencia e. Encontrar la expresión para la potencia, utilizando el análisis dimensional. 5.20 El torque desarrollado por una turbina de agua depende del caudal Q, la cabeza H, el peso específico y, la velocidad angular w y de la eficiencia e. Determinar la forma de la ecuación para el torque. 5.21 Estudios experimentales extensos sobre el problema de transferencia convectiva de calor en barras cilíndricas han revelado que el coeficiente de transferencia de calor, h,.• depende del conjunto de variables listadas en la siguiente tabla: Simbolo

Nombre

Uoldadts

u p

Velocidad

mis .kgtm3 kglm·s

JL d

k

cP h
y 1/J. Las condiciones en el origen no están definidas debido a que éste es un punto de estancamiento. Dado que cualquier línea de corriente se puede considerar como una frontera fija, los ejes positivos pueden tomarse como las paredes, que producen el flujo alrededor de una esquina de 90°. Las líneas equipotenciales son hipérbolas cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y sus asíntotas están dadas por y = ±x. Las líneas de corriente son hipérbolas rectangulares que tienen y = ±x como ejes y los ejes coordenados como asíntotas. Utilizando la forma polar de la función de con·iente se nota que las dos líneas () = O y () = 7r/2 son la línea de corriente 1/J = O. Este caso puede generalizarse para producir eJ flujo alrededor de una esquina con un ángulo a. Examinando

n8 = Ar~r to: cos-

a

t¡1

ne = Ar1rta sena

se nota que la línea de corriente if¡ =O ahora está dada por 8 = O y 8 = a. En la figura 8.1 Ose muestran dos redes de flujo para a = 225° y a= 45°.

Figura 8.9

Red de flujo para el Rujo alrededor de una curva de 90°.

Flujo de fluidos ideales 361

Figura 8.10

Red de Aujo poro~ Aujo o lo largo de dos superficies inclinados.

Fuente y sumidero Una línea perpendicular al plano X)' de la cual en forma imaginaria sale flujo uniformemente en todas las direcciones formando ángulos rectos con respecto a ésta, es una fuente. Ella aparece como un punto en un diagrama usual de flujo bidimensional. El flujo total por unidad de tiempo y unidad de longitud de la línea se conoce como la intensidad de la fuente. Como el flujo es radial desde la fuente. la velocidad a una distancia r desde la fuente se determina dividiendo la intensidad por el área del flujo del cilindro, o 2nJ..L 12m-, en la cual la intensidad es 2nJ..L. Entonces, debido a que por la Ecuación (8 .3 .4), la velocidad en cualquier dirección está dada por la derivada negativa del potencial de velocidad con respecto a la dirección,

- o /()r = O. Es decir q

1 d - = = -rae

r

debido a que ro 8 es el elemento de longitud en la dirección tangencial. Con referencia a la figura 8.12, el flujo alrededor de una curva cerrada se conoce como la circulación. El flujo alrededor de un elemento de la curva se define como el producto de la longitud del elemento os de la curva y la componente de velocidad tangente a la curva, q cos a. Por consiguiente. la circulación r alrededor de una trayectoria cerrada C, es

r =J

q cos a ds

e

=J

q . ds

e

La distribución de velocidad dada por la ecuación el>= - ¡.J-8 corresponde al vórtice y es tal que la circulación alrededor de cualquier curva cerrada que contiene el vórtice es constante. El valor de la circulación es la intensidad del vórtice. Seleccionando cualquier trayectoria particular con radio r para determinar la circulación, a= 0°, q = fJ- Ir y ds = rd8; luego,

r =J

q

COS

e

ad

S

= r'TT o

J.l r d()

= 27r J.l

r

En el punto r = O, q = ¡.J-!r tiende a infinito; por consiguiente, este punto se conoce como un punto singular. La figura 8.11 muestra las líneas equipotenciales y las líneas de corriente para el vórtice.

Figuro 8.12

Notación paro lo definición de circulación .

Flujo de fluidos ideales

Doblete El doblete en dos dimensiones se define como el caso límite cuando una fuente y un sumidero de igual intensidad se aproximan uno al otro de tal manera que el producto de su intensidad y la distancia entre ellos permanece igual a una constante 2TCJ.L; J.L se conoce como la intensidad del doblete. El eje del doblete va desde el sumidero hasta la fuente, es decir, la línea a lo largo de la cual se aproximan uno al otro. En la figura 8.13 una fuente se localiza en (a, O) y un sumidero de igual intensidad en (-a, 0). El potencial de velocidad para ambos, en algún punto P es

tP

=

-mlnr¡ + mlnr2

con r 1 y r 2 medidos desde la fuente y el sumidero, respectivamente al punto P. Luego 21Cm es la intensidad de la fuente y el sumidero. Al tomar el límite de a aproximándose a cero para 2am = ~J-, se debe alterar la forma de la expresión para 4>. Los términos r 1 y r 2 pueden expresarse en las coordenadas polares r y 4> utilizando la ley del coseno:

2ar cos

e=

r~ = r 2 + a 2 + 2ar cos

e=

r 21 = r 2 + a 2

Reescribiendo la expresión para

~ ~ - ~ (In r¡ -

-

r'[l

+

(~)' - 2~ cos (1]

+

+ (;)' +

2~ cos (1]

4> con estas relaciones, se obtiene

In rl) ; -

~ {In r' + m[1 + ( ~)' - 2 ~ cos 9] - In r'

-

m[1 + ( ~ )' + 2 ~ co 8 ]}

La expresión en series ln(l + x)

=x

-

x2 x3 + 2 3

-

+ ...

4

lleva a

X

Figura 8. 13

Notación para la deducción de un doblete bidimensional.

363

364 C

A P Í T U LO

8

(/) =

•

-

+

+

Mecánica de fluidos

H(;)' _2~ coser Z: os eJ w~Y - 2>ose]'-

~ {(~)'

a - 2- cos ()r

. . . - [ (; )' +

e

r~ r

(; H(;)' 2~ coser _H +

+

2 cos e

+

j

Después de simplificar

Si 2am

= f.L, y se toma el límite de a aproximándose a cero. entonces

(/) =

f.1 cos () r

lo cual es el potencial de velocidad para un doblete en dos dimensiones en el origen, con su eje en la dirección +X. Utilizando las relaciones 1 aq, -- =

dqJ = - }_ dt¡t ar r ae

v, =

rae

a"' dr

da para el doblete

dt¡l

ae

=

f.1 cos ()

r

Después de integrar,

t¡l = -

)1 sen

()

r

es la función de corriente para el doblete. Las ecuaciones en coordenadas cartesianas son

(/) =

f.lX

t¡l

=-

f.lY

x2 + y2

Reordenando se obtiene

Las líneas de cf> constantes son círculos que pasan por el origen con centro en el eje x, y las líneas de corriente son círculos que pasan por el origen con centros en el eje y, tal como se muestra en la figura 8.14. El origen es un punto singular donde la velocidad tiende a infinito.

Flujo de fluidos ideales 365

Figura 8.14

líneas equipotencioles y líneas de corriente poro un doblete bidimensional.

Flujo uniforme El flujo uniforme en la dirección - x, u ~

= -U, se expresa mediante = Ux V'= Uy

y en coordenadas polares como ~

= Urcos e

VI= Ur sen

e

Flujo alrededor de un cilindro circular La suma de los flujos debidos a un doblete y a un flujo uniforme da como resultado el flujo alrededor de un cilindro circular; luego, ~= Urcose+

11 cos

e

r·

V = l..frsen

r

8

-

psene r

Debido a que una línea de corriente en un flujo permanente es una posible frontera, la línea de corriente 1/J = O está dada por O = ( Ur -

la cual se satisface para ()

~ )sen 8

= O, n, o para cualquier valor de r que satisfaga Ur - J1. r

=O

Si este valor es r = a, lo cual es un cilindro circular, entonces

J1

= Ua 2

366 C A P Í T U L O

8

•

Mecánica de fluidos

y la línea de corriente 1/J = O es el eje x y el círculo r = a. Las funciones de potencial y de corriente para el flujo uniforme alrededor de un cilindro circular de radio a, luego de la sustitución del valor de ¡..t, están dadas por

"' = u(r

a2)

- - ; sen

e

para el flujo uniforme en la dirección - x. En la figura 8.15 se muestran las líneas equipotenciales y de corriente para este caso. La velocidad en cualquier punto del flujo puede obtenerse ya sea utilizando el potencial de velocidad o la función de corriente. Sobre la superficie del cilindro necesariamente la velocidad es tangencial y se expresa por {}1/f/éJr parar= a; luego

q

= r=a

u(t

+

a~ ) sen 8 r

= 2U sen 8 r=a

e

e=

La velocidad es cero (punto de estancamiento) en = O, n y tiene valores máximos de 2U en n/2, 37r/2. Para una presión dinámica igual a cero en infinito, con la ecuación (8.4.7) para p 0 =O,%= U

la cual se cumple en cualquier punto del plano con excepción del origen. Para los puntos sobre el cilindro

p = p U 2 (l- 4 sen 2 8) 2 La presión máxima, que ocurre en los puntos de estancamiento, es pU 212; y la presión mínima, en n/2, 3rr/2, es - 3pU 2/2. Los puntos de presión dinámica cero están dados por sen ±112, o 6 = ±n/6, ±5n/6. Se puede hacer un tubo de pitot estático cilíndrico, haciendo tres aperturas en un cilindro en O y ±30°, debido a que la diferencia de presión entre O y ±30° es la presión dinámica pU 212.

e=

e=

Figura 8.15

Líneas equipotenciales y líneas de corriente para el flujo alrededor de un cilindro circular.

Flujo de fluidos ideales 36 7 Se puede demostrar que el arrastre sobre el cilindro es cero mediante la integración de la componente x de la fuerza de presión sobre el cilindro; luego

u.,

27r

Arrastre =

Jo

pa cos 8 d8 = pa -

1

27r

(1 - 4 sen2 8 ) cos 8 d8

Jo

=O

Similarmente, la fuerza de sustentación sobre el cilindro es cero.

Flujo alrededor de un cilindro circular con circulación La adición de un vórtice al doblete y al flujo uniforme da como resultado el flujo alrededor de un cilindro circular con circulación y

tP

=

u(

2

r

+

ar

)

cos (} -

~ (}

ljl =

a2)sen 8

(

U r - -

r

r r + -In 2rc

La línea de corriente 1/J = (f /2n)ln a es el cilindro circular r = a. A grandes distancias del origen, la velocidad sigue siendo igual a u = -U, demostrando que el flujo alrededor del cilindro circular se mantiene con la adición del vórtice. Algunas de las líneas de corriente se muestran en la figura 8.16. La velocidad en la superficie del cilindro, la cual necesariamente es tangente al cilindro, es

q

= iJljll é)r

= 2U sen 8 + r

2n a

r=ll

El punto de estancamiento ocurre cuando q = O, es decir, sen 8

r = - - -4nUa

Cuando la circulación es 4rcUa, los dos puntos de estancamiento coinciden en r circulaciones más grandes, el punto de estancamiento se aleja del cilindro. La presión en la superficie del cilindro es

Figura 8.1 6

üneos de corriente poro el Rujo alrededor de un cilindro circular con circulación.

= a. 8 =

-1

_ _

Para

368 C A P Í T U L O

8

•

Mecánica de fluidos

Nuevamente el arrastre es cero. Sin embargo, la sustentación se convierte en Sustentación

= -

r7T pa sen ede o

2

u2 J = -E!!!__ 2

7r [

1-

(

2 sen

e+

0

r

2naU

)2]sen ede

= pur

demostrando que la sustentación es directamente proporcional a la densidad del fluido, a la velocidad de aproximación U y a la circulación r. Este empuje, que actúa en ángulos rectos a la velocidad de aproximación, se conoce como el efecto Magnus. El buque a rotor Flettner se diseñó para utilizar este principio, montando cilindros circulares con ejes verticales al buque movidos mecánicamente para rotar los cilindros con el fin de proveer circulación. El flujo de aire alrededor de los rotores produce un empuje a ángulos rectos a la dirección relativa del viento. La pequeña distancia entre líneas de corriente en el lado superior de la figura 8. 16 indica que la velocidad es alta en ese sitio y que por consiguiente la presión debe ser baja. El flujo teórico alrededor de un cilindro circular con circulación puede transformarse [2] en el flujo alrededor de un ala con la misma circulación y la misma sustentación. El ala desarrolla su sustentación produciendo una circulación alrededor de sí misma debido a su forma. Puede demostrarse f2l que la sustentación es pUf para cualquier cilindro en un flujo en dos dimensiones. El ángulo·de inclinación del ala con respecto a la velocidad de aproximación (ángulo de ataque) afecta en forma importante la circulación. Para ángulos de ataque grandes, el flujo no sigue el perfil del ala y la teoría deja de aplicarse. Debe mencionarse que todos los casos de flujo de fluidos ideales bidimensionales pueden manejarse convenientemente mediante la teoría de variable compleja y un sistema de transformación conforme que transforma la red de flujo de una configuración a otra mediante una función de variable compleja apropiada.

1Ejemplo

8.3

Una fuente con una intensidad de 0.2 m 3/s·m y un vórtice con una intensidad de 1 m 2/s se localiza en el origen. Determinar las ecuaciones para el potencial de velocidad y la función de corriente. ¿Cuáles son las componentes de velocidad en x = 1m, y = 0.5 m? Solución

El potencial de velocidad para la fuente es

= - 0.2ln r 2n

y la correspondiente función de corriente es 1jf

= _ 0.2 8 2n

El potencial de velocidad para el vórtice es 1

= - 2n 8

y la correspondiente función de corriente es 1jf

1 = -In r

2n

m 2 /s

Flujo de fluidos ideales 369 Añadiendo las funciones respectivas se obtiene

cp = - ~ ( 0.1 ln r

~)

+

y

Las componentes radiales y tangenciales de la velocidad son

Vr

En(l , 0.5),r=

"/1 2

=

=

1

- -- =

rae

lOn r

+ 0.52 =1.117m. v, =0.0285rnlsy

1 2~r

=0.143m/s.

V8

Un cilindro circular de 2m de diámetro y 20m de longitud se rota a 120 rpm en la dirección positiva (sentido contrario al de las manecillas del reloj) alrededor de su eje. Su centro se encuentra en el origen de un sistema coordenado cartesiano. Sobre el cilindro sopla un viento de 10 rnls en la dirección x positiva: t = 20°C y p = 100 kPa abs. Determinar la sustentación sobre el cilindro.

Ejemplo 8.4

Solución

El punto de estancamiento tiene 1/J =O. Seleccionando incrementos de R, ()puede obtenerse de sen

-r lnR e= 2n U R- 11 R

La sustentación está dada por pUfL.

EJERCICIOS 8.6.1 ( a)

ae dx

Seleccionar la relación que se debe = dt¡r .

dy '

(b)

acp ax

=

dt¡r . - dy ,

man~ en UD

(e

~

d

=

flujo irrotacional en dos dimensiones

iiv .

ax .

(d)

acp dx

=

acp .( ) dy ' e

mnguna

de estas respuestas.

8.6.2

Una fuente en un flujo en dos dimensiones a es UD punto desde el cual se imagina que un fluido sale uniformemente en todas las direcciones: b es nna línea de la cual se imagina que un fluido sale uniformemente en todas las direcciones fcnnando ángulos rectos con ésta; (e) tiene una intensidad definida como la velocidad en el radio unitario: (d) tiene líneas de corriente que son círculos concéntricos; (e) tiene un potencial de velocidad que es independiente del radio.

8.6.3

El vórtice en dos dimensiones (a) tiene una intensidad dada por la circulación alrededor de una curva que incluye el vórtice; (b) tiene líneas de corriente radiales; (e) tiene una circulación igu al a cero alrededor de él; (d) tiene una distribución de velocidad que varía directamente con la distancia radial desde el vórtice; (e) crea una distribución de velocidad que tiene rotación en todo el fluido.

370 C A P Í T U L O

8.7

8

•

Mecánica de fluidos

ONDAS DE AGUA: UN PROBLEMA DE FRONTERA MÓVIL

Tal como se sugirió al fmal de la sección 8.5, los dos aspectos básicos de las soluciones exactas en la sección 8.6 pueden no cumplirse. De hecho no solamente el flujo puede ser no permanente sino que muchos problemas prácticos se caracterizan por campos de flujo donde las fronteras en sí mismas se deforman o se mueven con el tiempo. Las fronteras móviles usualmente están confinadas a regiones del fluido donde existen cambios y gradientes de densidad fuertes o discontinuos y la mayoría de estos problemas involucran el análisis y la predicción de ondas en la interfase o frontera en movimiento. Ejemplos de éstos incluyen las omnipresentes ondas de agua que pueden ser vistas en la playa (una interfase aire-agua), las formas de ondas de los sedimentos fluidizados que componen el "fondo de un río o canal durante el transporte de carga de lecho, o las dunas montañosas movidas por el viento en el desierto del Sahara. Los primeros enfoques al problema de predecir ondas fueron hechos por Airy [3] y Stokes [4] quienes formularon y resolvieron el problema de las ondas de agua mediante una función potencial variable en el tiempo. El enfoque resultante de la teoría de onda lineal, aplicado al problema de la superficie libre es utilizado ampliamente en diseños, hoy en día por los ingenieros de costas. La figura 8.17 muestra un esquema de un campo de flujo bidimensional en un plano vertical y su terminología. Mientras que no nos involucremos con la forma como se creó la deformación de onda superficial, se nota que una onda progresiva se mueve hacia la derecha con una velocidad de onda o celeridad C. La profundidad del agua desde el fondo hasta el nivel no perturbado o nivel del agua en reposo (NAR) es d y para esta sección se supone constante. La deformación variable en el tiempo y en el espacio de la superficie libre se mide con respecto al NAR y se denomina r¡(x, y, t). La distancia entre la altura máxima (la cresta) y la altura mínima (el valle) se conoce como la altura de onda H. Un observador fijo en el origen vería la onda repitiéndose a sí misma con un periodo, T, por tanto, la longitud de onda, L, o distancia entre dos crestas sucesivas, es

L = CT donde Ces la velocidad de onda. Las normales unitarias, N y n, corresponden al fondo y a la superficie, respectivamente. La primera suposición y la más fundamental es el flujo sin fricción o irrotacional, en cuyo caso se puede encontrar una solución de función potencial integrando la ecuación de Laplace [ecuaciones (8.3.6) y (8.3.7)1, es decir

~---------L=CT--------------~

Figura 8.17

Esquema de definición de uno onda de agua.

Flujo de fluidos ideales 371 Se requieren las siguientes condiciones de frontera. Con referencia a la ecuación (8.5.8) y a la figura 8.6, las partículas de fluido no pueden atravesar la frontera sólida del fondo. Por consiguiente

q·

(8.7.1)

En la superficie libre la frontera se está mm-iendo y su posición sólo se puede encontrar al resolver el problema; por consiguiente, el problema es altamente no lineal. Con respecto a la ecuación (8.5. 10) y a la figura 8. 7, la condición de frontera cinenuítica establece que una partícula fluida en la superficie debe permanecer en la superficie z = 1J, es decir, q ·n

= V ·n

(8.7.2)

Esta condición de frontera también puede escribirse como

= - VqJ

q

1:=r¡

:=r¡

= - -aqJI

an

(8.7 .3) :•y¡

Nótese nuevamente que esta condición de frontera se aplica en la superficie libre z = r¡ cuya posición es desconocida. La condición final es la condición de superficie dinámica. Aquí se supone que la presión en la superficie del agua es la presión cero manométrica y puesto que el vector velocidad en cualquier punto de la superficie libre es tangente a ésta, la superficie libre es por lo tanto una línea de corriente y se puede aplicar la ecuación de Bemoulli [ecuación (8.4.4)], es decir,

P q2 aqJ - + gr¡ + - - -

p

dt

2

= F(t)

Si se toma el datum como la superficie libre, entonces F(t) = O, y si la presión es manométrica. entonces la ecuación se convierte en

q2

2

aqJ

a¡ =o

+ gr¡ -

(8.7.4 )

Hasta este punto el problema es altamente no lineal debido a que se desconoce la po ICIÓD de la superficie libre y a la presencia del término de energía cinética (q2/2) en la condición de la superficie dinámica. Ahora se hacen dos suposiciones simplificadoras para linealizar el problema. En primer lugar, se supone que la amplitud es pequeña, es decir se supone que 17 es mucho más pequeña que la longitud de onda, L. Al hacer esto, la condición cinemática [ecuación (8.7.3)] ahora puede aproximarse aplicándola en z = O, el NAR, en lugar de hacerlo en la superficie libre. es decir.

ql :=r¡

1/2, entonces resulta una condición de agua profunda donde (8.7.1 O)

Cuando d/L < 1120, entonces resulta una onda de agua poco profunda con

C2

= gd

(8.7.11)

Finalmente, se encuentran las velocidades locales del fluido diferenciando la función potencial, para obtener

aq, =

u(x, z, t)

=

w(x, z, t)

= _ aq, =

()x

(}z

HgT cosh(k(z + d)) cos(kx _ UJio '·>+) 2L cosh(kd)

(8.7.12)

HgT senh(k(z + d )] sen(kx _ mt) 2L cosh(kd)

(8.7.13)

La figura 8.18 contiene un esquema del vector velocidad total en dos profundidades, dentro de la columna de agua para diferentes posiciones (valores fijos del argumento kx - wt) , durante una onda completa. Tal como se anotó en el ejemplo 4.3, las funciones de velocidad son funciones periódicas con una función de amplitud variable con la profundidad, es decir, u = A(z) cos(k.x - mt) w

= B(z) sen(kx

- mt)

Flujo de fluidos ideales 373

u=O

w=t

u=w=O

u=O

u=w =O

u=O

~

9

~

@f

~

:o.,.;l'f~··

Figura 8. 18

w= t

w= t

Vectore$ de velocidad total para dos profundidades versus la posición horizontal.

Por consiguiente, para cada posición o argumento fijo los vectores velocidad tienen la misma dirección pero disminuyen en magnitud con el incremento de profundidad hacia el fondo. En cada profundidad fija el vector velocidad total cambia de orientación con la posición bajo la onda. Cuando kx - wt = O, n o 2n radianes, ocurren las elevaciones máximas y mínimas y el vector velocidad total es horizontal, siendo positivo o moviéndose hacia la derecha en la cresta y siendo negativo o moviéndose hacia la izquierda en el valle. En n/2 o 3n/2 cuando r¡ = O, se obtienen las máximas velocidades verticales, positivas para n/2, negativas para 3n/2. Al observar esta fi gura se nota que los vectores de velocidad total se mueven en una progresión en sentido contrario a las agujas del reloj desde O hasta 2n. Adicionalmente parece que no existe un movimiento neto de paquetes de fluidos en la dirección de avance de la onda. Esto no es una ilusión dado que el análisis de una trayectoria de partícula, basado en la integración del campo de velocidad, daría tal resultado. A medida que la onda se mueve en el fluido no existe transporte neto de masa de fluido. El único transporte que ocurre es el de la transmisión de energía cinética y potencial. En los libros de texto de ingeniería costera u oceánica se encuentran discusiones más elaboradas sobre estos aspectos [5, 6].

EJERCICIOS 8.7.1 En la superficie de agua de una onda progresiva (a) la superficie del agua es una línea de corriente; (b) la velocidad es diferente a cero y está especificada por la condición de frontera cinemática; (e) se supone que para propósitos iniciales la presión no varía; (d) se aplica la ecuación de Bernoulli; (e) todas las anteriores. 8.7.2 Las suposiciones de ondas linealizadas de pequeña amplitud (a) son válidas para el 50% del espectro de las ondas de importancia en ingeniería; (b) suponen que la altura de la superficie libre es mucho más pequeña que la longitud de onda; (e) suponen que el término de la cabeza de energía cinética en la ecuación de Bemoulli, aplicada a la superficie, es muy pequeño con respecto a Jos otros

37 4

C A P Í T U LO

8

•

Mecánica de fluidos

términos; (d) limitan el análisis a ondas en agua con profundidades menores a cinco metros; (e) todas con excepción de la (d). 8.7.3 Con respecto a la velocidad de onda y a la celeridad (a) las velocidades horizontal y vertical se encuentran desfasadas 90°; (b) la velocidad de onda de agua profunda es linealmente proporcional a la longitud de onda; (e) la velocidad de onda de aguas poco profundas es proporcional a la profundidad; (d) la velocidad de onda de aguas poco profundas de una onda de 2 metros de profundidad. es 0.71 veces más lenta que la misma onda de aguas poco profundas en 3 metros de agua; (e) un tsunami con una longitud de onda de 4.000 km creada en agua, con una profundidad de 5 km, viaja como una onda de agua poco profunda con una celeridad de 221 rn/s; (j) únicamente (a) y (e).

PROBLEMAS 8.1

Calcular el gradiente de las siguientes funciones escalares en dos dimensiones: (a) ), ambos con difusividad térmica (a= k/pc) p dimensiones de [U/t]. De estas estructuras dimensionales se nota que la difusión pura es un proceso de transporte que consume mucho tiempo, debido a que se puede inferir que la escala de longitud para difusión en un periodo de tiempo dado, T0 , es proporcional a (0JT) 112 rnientras que la correspondiente escala temporal de difusión para una distancia Lo es proporcional a L~ 10J. Como ejemplo, el coeficiente de difusión típico para el cloro o el oxígeno en agua es del orden de 10-s cm2/s. Por consiguiente, la escala temporal de difusión es del orden de 109 segundos o aproximadamente 32 años. Claramente la difusión molecular es un agente de transporte muy lento pero persistente. En contraste la advección, el transporte simple de masa o calor por la velocidad de un fluido, es un agente de transporte mucho más potente. Si la velocidad en un canal es 14 crn/s, típico para muchas corrientes de río, el tiempo de viaje de una partícula que no se sedimente o que flote en forma neutra sería aproximadamente 7 segundos para viajar la misma distancia de un metro. Por consiguiente, la advección, la convección y los flujos turbulentos deducidos de éstos serán agentes de transporte bastante importantes. La difusión molecular será importante en casos donde la velocidad es cero o cercana a cero, lo cual incluye todos los sólidos y el flujo de fluido cerca de paredes sólidas.

Transporte por advección y difusión 379

9.1

DIFUSIÓN Y CONDUCCIÓN MOLECULAR PERMANENTE

Utilizando las ecuaciones (4. 7.4) y (4.8.10) se encuentran las ecuaciones de difusión para calor y masa, eliminando los términos de advección-convección (por ahora), haciendo que los términos de fuente y sumidero sean cero. Las ecuaciones se convierten en (9.1.1)

y

de dt

= CZJ/vzc = 9l ( rPC

+

(}x2

azc

+ ()2CJ

()y2

(9.1.2)

(}z2

Si las condiciones de transporte de calor y masa son uniformes en un plano yz, perpendicular a la dirección x, entonces una forma unidimensional se identifica como

dT

2r a = ()x2

a--

(9.1.3a)

at ·azc ac 2n= ()x2 at

(9.1.3b)

La circunstancia posib1e más simple es la difusión de estado permanente unidimensional en la cual todas las derivadas temporales son cero.

Conducción de calor permanente Considérese una delgada lámina de metal que separa dos tanques de líquido sin movimiento tal como se muestra en la figura 9.1. La temperatura del liquido A impone una temperatura TA en la cara izquierda de la lámina, mientras que el líquido B mantiene una temperatura constante T8 en la cara derecha. La variación de la temperatura a través de la lámina es permanente a lo largo de un periodo de tiempo prolongado debido a que las condiciones de frontera son permanentes. La ecuación (9.1.3a) se reduce a una forma de estado permanente unidimensional como

a a2T

= a d 2T

()x2

dx2

d 2T =O

= O

dx2

r

¡!:¡ Uquido A

Uquido B

__ ..._ o

Figura 9.1

+x

___Ta,... o

+X

Lámina delgada de metal que separa dos fluidos de diferente temperatura.

(9. 1.4)

380 C A P Í T U L O

9

•

Mecánica de fluidos

Debido a que la variación de la temperatura en el plano yz se supone como uniforme y que la única variable dependiente es x, la ecuación se convierte en una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. La solución es T(x) = C1x + C2

Dado que existen dos coeficientes de integración, se deben aplicar dos condiciones de frontera: T (x O)= TA y T (x = L) = TB. Por consiguiente, c2= TA y el = (TB - TA)IL, y T(x)

=[

(Ta ~ TA) ]x + TA

=

(9. 1.5)

El flujo de calor a través de la lámina por unidad de área se calcula utilizando la ecuación (3.9.2) como

=

qT A

=

-k dT dx

y de la ecuación (9 .1.5) anterior Nrx

=

- k

![((Ta ~ TA))x] = -k(T

8

~ TA)

(9.1 .6)

Por consiguiente, el flujo es constante. Si el área superficial es finita, tal como el caso de la pared de una casa, entonces ambos lados se pueden multiplicar por el área para determinar el flujo total de calor como qr

= kA (TA

- Ta)

=

TA - Ta

L

R

y la relación Llk.A se conoce como la resistencia térmica, R. Finalmente, si la lámina consta de m capas, cada una con su propio espesor L; y conductividad k; pero aún está sujeta al mismo cambio de temperatura TA - T8 , entonces sigue siendo cierto que el flujo de calor es constante a través de cada material y (9.1.7) i=l

donde

R. 1

= l::i_ k.A 1

Enfoques similares se pueden plantear para tubos y esferas huecas. En una tubería con temperaturas interiores y exteriores de TA y T8 , respectivamente, el flujo de calor a lo largo de la dirección radial, r, está dado por qT A

=

-k dT dr

Si el área de la sección transversal perpendicular al flujo de calor está dada por A = 2rrrL

entonces

Transporte por advección y difusión 381 donde

La distribución de temperatura está dada por (9.1.8)

Es posible obtener fórmulas similares para las distribuciones de temperatura en esferas huecas de radios rA y r8 [l]t {9.1.9)

T (r)

y ( -'A - 1) r

La pared del sótano de una casa está compuesta por una capa de bloque de concreto de 19.7 cm de espesor y un panel de roble de 1.27 cm de espesor, separados por una capa de aislamiento de fibra de vidrio. La temperatura del terreno alrededor de la cimentación se supone permanente a 12.7°C (285.7 K), mientras que la temperatura del aire estancado (sin movimiento) en el sótano es 22.7°C(295 K). ¿Qué espesor de aislamiento se requiere para que no exista pérdida de calor desde el sótano? Las conductividades (k) para los materiales son 0.208 W/m·Kpara el roble, 0.762 para el concreto y 0.03 10 para el aislamiento. Calcular la solución para un área de 1-m2 • ¿Cuál es la temperatura en la interfase entre el aislamiento y el bloque de concreto? Solución Utilizando la ecuación (9.1.7) se calculan las resistencias como sigue: R

0.197

bloque

- R - Lb = b k A 0.762(1) b

-

~ 'amoento

~ ~os

= Ro - !:J._ kA = i

~el

= RP =

LP k A

=

p

= 0.26 K/W

L;

0.031(1)

0.0127 0.208(1)

= 32.26L, K/W

= 0.06 K/W

y luego se reemplazan en la ecuación de flujo de calor correspondiente qT

=

T' T1, entonces el calor escapa del medio, mientras que si ~ > Ts, el calor se transfiere desde el fluido hacia el medio. La variable h se conoce como el coeficiente de transferencia de calor convectivo y tiene un valor único cuando se utiliza el método de análisis global. La intuición sugeriría que debido a que existe un número casi infinito de variedades de campos de flujo y geometrías, debería haber un número similar de coeficientes de transferencia globales. El problema mostrado en la figura 9 .5a es un problema combinado de conducción-convección, que se analiza como sigue. En el caso de flujo permanente la consideración principal es que el flujo perpendicular a la superficie es constante en todo el sistema. Por consiguiente, (9.2.2)

El signo negativo en la transferencia de calor convectiva se debe a la convención de signos para el flujo, es decir, se define como positiva la dirección hacia afuera de la superficie. En este caso el flujo en el lado izquierdo de la lámina se encuentra en la dirección + x, la cual es opuesta al flujo positivo que estaría dirigido hacia fuera de la superficie en la dirección - x. Ensamblando la ecuación (9.2.2) en la forma de transferencia de calor total, al igual que en la sección 9 .l, se obtiene

El coeficiente de transferencia de calor total, HT, se define para el sistema combinado suponiendo la siguiente forma (9.2.3)

Transporte por ad\'eCClÓD y difusión 391 donde

(9.2.4a)

y (9.2.4&)

Se puede aplicar el mismo principio a un conducto como el mostrado en la figura 9.5b. Nuevamente el flujo total qT se encuentra a partir de una solución en series con convección y conducción combinadas como

TA - Ta

LR

qr =

= h,.~

TA - Ta

~!J.

+

+

h.~.

(9.2.5)

En la ecuación (9.2.5) A 8 = 2m-8 L, donde Les la longitud del conducto; AA= 2nrAL; y A"' es igual al área media logarítmica, es decir, ~ = AA- AB ln(AA/AB)

El coeficiente de transferencia de calor total está dado por H

-

T -

.J_

h. +

1

(r, Q)A 8

.

A,

+ h.if;

Si está basado en el área interior de la tubería. Se puede encontrar una expresión similar para HT con base en el área exterior.

Grupos adimensionales de transferencia de calor y especificación de parámetros A primer~ vista parecería que el coeficiente de transferencia de calor, h, debería ser muy fácil de seleccionar para un problema como con los coeficientes de difusión, esto es, simplemente buscar las difusividades en textos de referencia estándar o manuales (por ejemplo, referencia [2]), haciendo los ajustes apropiados por temperatura y otros factores. El coeficiente de transferencia de calor, sin embargo, no es una propiedad del fluido y, por consiguiente, a menudo, no es una simple constante. Éste varía de punto a punto en el campo de flujo y depende bastante de la geometría del problema al igual que del origen del movimiento del fluido y de la intensidad del movimiento con respecto a la viscosidad. En un sentido, el uso del valor global o del promedio total de h parece reducir algunas de las anteriores complejidades, pero aparecen otras fuentes de empirismo, particularmente al escoger la localización correcta para obtener el valor de TA(o T8 ) . En los dos problemas ejemplos de adveccióndifusión, las localizaciones son bastante diferentes para cada geometría, y la forma de la temperatura utilizada en la ecuación también es con frecuencia una función de la geometría. Por ejemplo, en el análisis de la placa plana, en la ecuación (9.2.1), T1 se toma como la temperatura del fluido en un punto bastante lejos ( --7 oo) de la superficie, s. Por consiguiente, para la placa qr = hA(Ts- TJ. Para una tubería, la convección en la pared exterior puede tratarse como en el caso de la placa con T1 --7 T"'. Sin embargo, la geometría del flujo en el interior de la tubería restringe el crecimiento de la capa límite interna, y ~ se toma como el promedio de la sección transversal o temperatura global del fluido transportado. Por consiguiente, la mayoría de los datos sobre coeficientes de transferencia de calor se dedujeron en experimentos de laboratorio llevados a cabo cuidadosamente, donde las geometrías se restringieron a formas simples fáciles de configurar o a aquéllas con valor práctico o industrial. La gran cantidad

392

C A PÍ T U LO

9

•

Mecánica de fluidos

de información para h está, entonces, limitada a la geometría del campo de flujo y se presenta en su forma más compacta mediante el uso de grupos adimensionales (ver capítulo 5). El número de Reynolds (entre otros) es un número adimensional importante que relaciona la intensidad de la inercia con respecto a la fricción en la ecuación de momentum. ¿Existe un grupo adimensional análogo para la transferencia de calor? Si nuevamente se examina el fluido moviéndose cerca de una pared, la intensidad de la convección-advección puede compararse con la conducción notando la equivalencia de flujo de calor a través del sistema. Por consiguiente, en la superficie de la pared (x = O)

Se encuentra que la relación de la transferencia de calor con respecto a los coeficientes de difusión es

a

-(T-

h

k

=

T¡)

(}y

x-0

(T - T¡)

que puede hacerse adimensional multiplicándolo por la escala longitudinal L , es decir,

hL k

(9.2.6)

(T - T¡)L

Esta relación adimensional se conoce como el número de Nusselt (ver sección 5.4) y refleja la intensidad de la advección con respecto a la difusión. Debido a que la viscosidad, v, o difusión de momentum por fricción, y la difusividad de calor tienen magnitudes diferentes, se utiliza el número de Prandtl para describir la relación, es decir, P, =v/a. En problemas de convección forzada o advección el número de Stanton, S,, se define como

S= _h_ 1

(9.2.7)

pvcP

donde v es la velocidad representativa del campo de flujo utilizada para parametrizar el número de Reynolds. Este número también se forma de St = N uIRPr . En los problemas de convección natural la velocidad del flujo, v, se induce por las inestabilidades de densidad en el flujo. Por consiguiente, si la densidad se relaciona linealmente con la diferencia de temperatura ó.T, entonces p = p 0 ( 1 - {31l1) (ver capítulo 1, sección 6) y surge el número de Grashof, G, (ver la ecuación 5.4.4) como un grupo adimensional que domina la correlación para h. Por consiguiente, desde la perspectiva de laboratorio, el número de Nusselt, Nu, es el grupo adimensional que debe relacionarse con (R , P) para la convección forzada o (G,. P) para la convección natural. Adicionalmente, también se podría correlacionar el número de Stanton con (R, P) para el caso de la convección forzada. Por consiguiente, los datos para diferentes valores de h se expresan en términos de los grupos adimensionales R , P,, N" y G ,. Como un ejemplo del uso de las parametrizaciones·no dimensionales, considerar la especificación de la temperatura del fluido que se mueve dentro de una tubería horizontal de diámetro constante (D) como se muestra en la figura 9.6. Un análisis sobre un volumen de control elemental de tubería (figura 9.6a), de longitud diferencial dx, revela que el flujo de calor neto (qr) a través de la pared de la tubería está balanceado por la advección neta de energía térmica hacia fuera de la tubería, causada por el movimiento del fluido, es decir, n~

pV--cAT(x + dx) - T(x)] 4

n~ = pV-cpdT = nDqdx

4

(9.2.8)

Transporte por advección y difusión 393

-L------1 •1 •1•

1: -- - x ¡ . ...

dx

--j

(a)

T·~-~1'·

Tw t AT

(b)

Tw = constante óT

To Tubcrfa

)

T¡

(e)

Figura 9.6

Distribución de temperatvra en una tubería horizontal de diámetro constante.

El flujo de calor qr se define mediante la ecuación (9.2.1) como qT

= h(Tw -

T(x))

(9.2.9)

donde hes el coeficiente de transferencia de calor convectivo, T.., es la temperatura en la pared interna de la tubería y T(x) es la temperatura promedio en el área transversal del fluido que variará de acuerdo con la posición, x, a lo largo de la tubería. Después de algunas transformaciones algebraicas y tomando el límite Ax - t O

l

dT 1 [ T..v - T (x) dx

=

4h pcPVD

(9.2 . 10)

Esta ecuación puede integrarse para dos condiciones, fluj o de calor constante o temperatura de pared constante. El caso del flujo de calor constante implica que los términos T.., - T(x), h y qr en la ecuación (9.2.9) son constantes; por consiguiente, la ecuación (9.2.10) se integra desde la entrada x =O (T = T) hasta la salida x =L (T = To) como

r: - T, = r: T... - T

ó.T

I;

= 4~(

h ) = D pe PVm

4~S D

1

(9 .2. 11)

donde S1 es el número de Stanton. La variación de temperatura resultante se esquematiza como se muestra en la figura 9.6b.

394

C A PÍ T U LO

9

•

Mecánica de fluidos

Para el caso de temperatura constante, Twes constante y la ecuación (9.2.10) se convierte en 1 dT T.v- Tdx

= 4~ D

Mediante integración a lo largo de toda la longitud de la tubería (9.2.12)

Por consiguiente, ocurre una variación logarítmica de la temperatura a lo largo deL (figura 9.6c). En una forma similar al análisis de la sección transversal de la tubería, presentado anteriormente, la diferencia de temperatura media logarítmica se define como

y la ecuación (9 .2.12) se convierte en

r: - I; = 4f.s !::.T./m

D

(9.2.13) r

A continuación se presentan algunos ejemplos más explícitos del diseño de parametrización.

Transferencia de masa conveetiva y advectiva y grupos adimensionales En una analogía directa al caso de transferencia de calor y con todas las dificultades inherentes, es posible describir el flujo de masa convectiva y advectiva para la especie A, mediante la siguiente ecuación (9.2.1)

Aquí hm es el coeficiente de transferencia de masa y C ~w y CA/ son las concentraciones de la especie A en la superficie de la interfaz, s, y bien dentro del fluido, f, respectivamente. Nuevamente la especificación de la localización de eA./ depende de la geometría, de la dinámica y de las propiedades del flujo. Por ejemplo, para el ejemplo anterior sobre capa límite, la concentración lejana se toma por fuera de la capa límite, es decir, CA./~ C"".f' donde nuevamente el valor del interior del conducto es la concentración global o promedio de sección transversal. CA..• es el valor de concentración en la interfaz sólido-fluido la cual se encuentra en equilibrio para la presión y la temperatura dadas del sistema. Al igual que en la sección previa, se deducen los grupos adimensionales relevantes, considerando la intensidad de la advección respecto a la difusión para un sistema simple con flujo constante. En la interfaz sólido-fluido los valores son iguales y

Por consiguiente

_!!__ceA dx

e

A ,s

)1 .... o

(9.2.14)

-.:;

Este grupo adimensional se conoce como el número de Sherwood, S,, o el número de NJLSM{¡ ck transferencia de masa, N uAB' La relación de la difusividad de masa con respecto a la difusi\idad de momento, vl2ll AB' se define como el número de Schmidt, Se. Por consiguiente, la correlación de laboratorio que debe cuantificarse es N uAB =S, = JtR... S).

Un resumen de expresiones globales comunes Esta sección resume, sin ser exhaustiva, algunas de las representaciones globales de los coeficientes de transferencia de calor y de masa requeridos para parametrizar los efectos de la convecciónadvección. Las geometrías más simples son placas planas, conductos y esferas y en esta sección se parametrizan los coeficientes globales y no las variaciones punto a punto. l. Placa plana. El flujo laminar sobre una placa lisa de longitud L ocurre para un número de Reynolds menor quelOS. La función del número de Nusselt [3] está dada por

N" = O' 664 Ro.s p ro.333 L

(9.2. 15)

donde el número de Reynolds se basa en la longitud de la placa. Para un número de Reynolds mayor que 105 o para una superficie rugosa con un número de Reynolds mayor que 10\ se establece una relación de flujo turbulento y (9.2. 16)

Para la transferencia laminar de masa de una especie única sobre una placa plana [4]

S¡, = O• 664 Ro.s soe 333 L

(9.2. 17)

Para flujo turbulento es posible invocar la analogía de transferencia entre la masa, el momentum y la energía, y establecer que

Sh

= O· 0366 R 0L·8 S0e·333

(9.2 . 18)

El concepto de analogías de transferencia se discute en muchas referencias, por ejemplo en la [5], y es útil al establecer parametrizaciones en nuevos problemas, utilizando soluciones existentes para geometrías iguales pero con una propiedad de transferencia diferente. Estas adaptaciones se permiten si las propiedades del sistema son constantes y si no se crea energía o masa en el campo de flujo. Esto implica que no pueden existir fuentes o sumideros debido a radiación, reacciones biológicas y químicas o a disipación viscosa. 2. Flujos en conductos. El flujo laminar al interior de un conducto con temperatura de pared constante Twse describe para un número de Reynolds (basado en el diámetro D) menor que 2100 [1]

_

(

N" - 1.86 RP,

D)o.333 ( Jlb Jo.l4 L Jlw

(9.2. 19)

donde Les la longitud de la tubería, J.Lw es la viscosidad a la temperatura de la pared y f..Lb es la viscosidad a la temperatura promedio de la sección transversal. Esta ecuación es válida hasta un valor de RPr D/L > 10. De la referencia anterior, el coeficiente de transferencia para el flujo turbulento en una tubería está dado por

N u

(J

= 0.027R · P~.3 ~: 08

33

l4

(9.2.20 )

396

C A PÍ TU l O

9

•

Mecánica de fluidos

la cual es válida para LID> 60 y diferencias grandes entre las temperaturas de pared y cuerpo (117). Para valores menores de AT, Sleicher y Rouse [6] recomiendan (9.2.21)

donde n = 0.4 para calentamiento (T,. > 1) y 0.3 para T.,. < T. Para la transferencia de masa en un conducto la fórmula de Harriott y Hamilton [7] es válida

S,,

=

0.0096R 0· 913 S~ 0.346

(9.2.22)

3. E::,feras. La transferencia de calor y de masa que resulta del flujo alrededor de una esfera se estudia en las referencias [4, 8]. Para una esfera única [9] .l4

Nu

=2

( J

+ [0.4R05 + Q.Q6R066? ]P,OA j!:_

(9.2.23)

J.L,.

donde el número de Reynolds se basa en el diámetro de la partícula y en la velocidad de corriente libre o de asentamiento. La viscosidad en la pared y la viscosidad en la corriente libre, f.Lw y J.L, respectivamente, son importantes si la diferencia entre las temperaturas de la pared y la corriente libre es grande. Esta ecuación es válida para un número de Reynolds de la partícula menor que 7.6(104) y 1.0 < ¡;}J.LIV ~ 3.2. En la referencia [lO] se encuentra la correlación de transferencia de masa como

=2

Sh

+

0.6S~·333Ro.s

(9.2.24)

En ambos casos se nota que si el fluido es inerte, entonces R =O y Nu = Sh = 2.

je¡emplo 9.3

En el ejemplo 3.23, calcular la temperatura de la pared a la salida (punto 2) y el coeficiente de transferencia de calor para el intercambiador de calor en cuestión. T1 = 90°C, q = 5 kJ/m2 ·s. Solución

En la tubería de 10 cm de diámetro,

m= m= 1.0 kg/s. La velocidad promedio es 1

2

l. O kg/s

V=~=

pA

(965.3 kg/m3 )n(0.05 m) 2

= 0.132 mis

El número de Reynolds es R

=

VD V

=

(0.132)(0.1) 0.328(1Q-)

= 4( 104)

y, por consiguiente, el flujo es turbulento. De la ecuación (9.2.21)

Nu =

hD = 0.023R0·8P,0·3 k

y por consiguiente h

= k 0.023 (4(104)]0.8 (2)03

0.1 Aquí se selecciona el número de Prandtl como 2.0 con base en el apéndice C y k es 0.68 W/m·K. Por consiguiente, se estima que hes 925 J/m2 ·s·K. Se estima que la temperatura global o promedio en la sección transversal de la salida es 82.5°C. Por consiguiente, la temperatura de pared se calcula con la fórmula de transferencia

Transporte por advección y difusión 397 de calor convectiva para el último metro de longitud de la tubería

= L = 20m) =

q(x

Despejando T...,(x

-h(Tw - J;(x

= L))

= L ) se obtiene T,/x = L = 20m) = -

h + 7; (x = L)

=

5000 J/m2 ·s + 82.5°C 925 J/m 2 ·s·K

Por consiguiente, T"' =77. 1oc.

Sobre un pequeño lago de 200 m de longitud y 35 m de ancho fluye aire seco. Suponer que el aire se encuentra a 'presión atmosférica estándar (760 mm Hg = 10.34 m ~0). Las temperaturas del aire y del agua se encuentran en equilibrio a 25°C y la velocidad promedio del viento es 8 m/s. Utilizando la analogía de transferencia turbulenta para una placa plana, estimar la tasa de evaporación o flujo de vapor de agua desde la superficie. Solución

Para aire seco a presión estándar (1O1.3 kPa) la viscosidad es 1.46( 1o-5) m2/s y la difusividad de masa de vapor del agua en el aire es 0.242 cm2/s o 2.42(10- 5) m2/s. La presión de vapor del agua a 25°C es 3227 N/m2 . El número de Reynolds para la distancia longitudinal de 200 m es

R

=

=

uL v

(8 rn/s)(200 m) 1.46(1Q-5 )rn 2 /s

=

l.l (1 os)

que es típico para flujos geofísicos o en capas límites naturales. El número de Schmidt es vi~ AB o 0.6, y entonces utilizando la ecuación (9 .2.18) se puede encontrar el número de Sherwood corno

S"

=

h"'L

qnAD.

= 0.0366 R 9:8 S~·333

Por consiguiente, h m

~AD = 0.0366- R OL.s s oc.333 L

= 0.0366 2.42(1Q-5)m2/s [l.l(IOS)](0.6)o.333

200m = 0.1 m/s

Utilizando la ecuación (9.2.8) se encuentra el flujo de evaporación suponiendo que CA./ es la concentración de vapor de agua bastante lejos de la superficie, es decir, CA ..,· Por consiguiente, qm

= hmA(CA,s

- CA... )

Con propósitos de discusión se supone que CA.x es igual a cero. La concentración de vapor de agua en la superficie se encuentra utilizando

e = A ,s

PA TR

=

3227 Nfm2 (302 K)(287 t{~ )

= 0.037 kg!m3

Ejemplo 9.4

398 C A P Í T U l O

9

•

Mecánica de fluidos

Por consiguiente, el flujo hacia fuera de la superficie completa del lago es

q,

=

(0. 1 m/s)(200 m)(35 m)(0.037 - 0) kg/m 3

= 25.9 kg/s de vapor de agua

Esto equivale a 0.026 m 3 de agua líquida perdida en la superficie completa, por segundo o 3.7(10- 6) m de agua perdida en la lagun a, por segundo. Este valor está un poco sobrestimado, principalmente como resultado del hecho de que raramente, si es que ocurre, CA."' es igual a cero.

EJERCICIOS 9.2.1

El flujo de calor advectivo (a) es uniforme en todas las direcciones coordenadas; (b) es proporcional a la diferencia de temperatura entre dos puntos; (e) es una cantidad vectorial; (d) es una propiedad del medio; (e) by c.

9.2.2

El coeficiente de transferencia total de calor o de masa (a) incluye la transferencia de calor debida al movimiento del medio al igual que la conducción o difusión; (b) es inversamente proporcional al coeficiente de transferencia de calor convectivo: (e) varía linealmente con el área de la sección transversal perpendicular al flujo; (d) es proporcional a la resistencia térmica o difusiva, R ; (e) a y b.

9.2.3

Los números de Nusselt y Sherwood (a) relacionan las intensidades de la advección con los gradientes de densidad: (b) son similares o análogos; (e) relacionan la intensidad del transporte difusivo con el transporte advectivo; (d) son proporcionales al número de Reynolds; (e) by c.

9.3

TRANSPORTE EN LA CAPA LÍMITE LAMINAR

En la sección 7.2 se investigó el transporte de momentum en la capa límite para de terminar el valor exacto del esfuerzo cortante, -r-0 , en la interfaz entre la placa plana y el campo de flujo laminar [ecuaciones (7.2.6)- (7.2.8)]. Subsecuentemente se integraron estas ecuaciones para determinar la fuerza total o arrastre sobre la placa [ecuaciones (7.2.9) y (7.2.10)]. Similarmente, existen soluciones exactas para el transporte laminar de calor y de especies sobre placas planas, las cuales también pueden analizarse para encontrar soluciones exactas de los coeficientes convectivos de calor y transporte de masa y los correspondientes flujos. Se extiende el procedimiento discutido en la sección 7.2, que se conoce como la técnica de análisis integral de Von Kármán, para alcanzar este objetivo.

Transferencia de calor Se define un volumen de control como en la figura 9.7 y se hacen las siguientes suposiciones: el flujo es permanente y laminar y no tiene aceleración vertical, y la temperatura de la placa, Ts, es más baja que la de la corriente libre, Tor., más allá de la capa límite térmica, ~T. Para hacer que Ts -7 T"' se introduce convección libre mediante la aceleración vertical de paquetes de fluidos inestables. Se aplican las siguientes condiciones de frontera:

T

= T·' @ y = O;

T = T_@ y= 8T;

Transporte por advección y difusión 399

qr(S) ----1 ---

1

•qr(x+ dx)

Figura 9.7

Definición de volumen de control paro transferencia de calor en una copa límite.

Nuevamente, al igual que en la capa límite de momentum, se utiliza una expansión en series del perfi l de temperatura T(y), como

=

T(y) - TS

e( + e2 y + e '·v~ + e~-yJ

la cual, después de aplicar las condiciones de frontera, se convierte en

T,. Too - 7;

T(y) -

= l.z.. - _!_(_[_)3 2 8T

(9.3.1)

2 8T

En contraste, de la sección 7.2, el perfil de velocidad está dado por

lz -

u(y) = u 28

_!_ ( y

)3

(9.3.2)

2 8

Las alturas de las capas límite térmicas ( 8T) y de momentum se relacionan mediante el número de Prandtl (9.3.3)

La ecuación (7 .2. 7) da el crecimiento de 8 en función de la distancia x desde el borde de ataque, y del número de Reynolds a la distancia x, R = uxlv. El análisis de volumen de control permite que se evalúe el coeficiente de transferencia de calor. Los cuatro flujos de calor en la frontera se deben balancear; por consiguiente, qr (y = 0) = qT(x + dx) - qT (X) - qT (8) y

ar

-k-

(}y

dx(l) y=O

=f

DT

pe,

u(x + dx, y)T(x + dx, y)dy

0 -

DT

J0

pcPu(x,

y)T(x, y)dy - dx

IDT 0

pe,

u(x, y)Toody

400 C

A PÍTU l O

9

•

Mecánica de fluidos

Suponiendo que pep es constante, dividiendo por el área superficial de la placa d.x(l) y tomando el límite dx --? O, se llega a los siguientes resultados 8

- k- dT -

= -d f • u(y)(T"" - T(y)) dy pcP ()y }·=o dx o

(9.3.4)

La inserción de los perfiles de velocidad y temperatura [ecuaciones (9.3. 1) y (9.3.2)] en la ecuación (9.3.4) arroja la siguiente ecuación para el número de Nusselt en cualquier punto x a lo largo de la placa (9.3.5)

Para ir de la ecuación (9.3.4) a la (9.3.5), se utilizó la ecuación de tasa de Newton, la cual es q(x, y

= O) = h(x)(T.

- T_)

=

dT

-k -

()y

y=O

Tal como se ve, esta solución parametriza el flujo y el coeficiente de transferencia de calor en cada punto a lo largo de la placa. Sin embargo, para el diseño se requiere una representación global o promedio que puede encontrarse como q

= hA(T.

- T_)

=f

h(x)(T: - T_)dA

La sustitución de la ecuación (9.3.5) en esta ecuación e integrando en el ancho (w) y la longitud (L) de la placa conduce a la siguiente expresión global para el número de Nusselt

N uL

= -hL o.m k = 0.72R o.sp L r

(9.3.6)

Se debe anotar que utilizando la solución exacta basada en la solución de la placa plana de Blasius [11] da

N ul

=

O· 664R o.sp o333 L r

(9.2.15)

Estas dos soluciones difieren en un 9%. El método integral aproximado es una técnica bastante útil cuando no se conocen a priori las soluciones de los perfiles.

Transferencia de masa Utilizando las mismas restricciones impuestas para la capa lím ite térmica laminar, el enfoque de análisis integral de Von Kármán se puede aplicar al análisis de la capa límite de concentración (8) y al coeficiente de transferencia de masa (hm ). Una condición adicional impuesta para este análisis es que no puede haber fuentes o sumideros dentro del volumen de control. Se supone que el perfil tiene la forma

e - es = d¡

+ d2y + d3y 2 + d4y3

y está sujeto a las siguientes condiciones de frontera C

= C,@ y

= O;

C = C @y· =o· 00

(''

()C =O @y = o (}y r

() 2C

()y2

=0 @y =0

Transporte por adYecctón y difusión 401 El perfil se convierte en

= ~(L)

C(y) - Cs

es

e_ -

2 8c

_.!.(LJ 2 8c

(9.3.7)

La altura de la capa límite de concentración (5) se relaciona con la altura de la capa límite de momentum mediante

818e

= 8e

113

(9.3.8)

Un análisis de volumen de control idéntico al realizado a la capa térmica revela que h,.JCs - C.. )

= -d f&: dx o

[C(x, y) -

C.. ]u(x, y)dy

(9.3.9)

La sustitución del perfil apropiado en la ecuación (9.3.9) y la integración dan como resultado una relación adimensional para el coeficiente de transferencia de masa para cada lugar x a lo largo de la placa

S

hx

=

X

h,.x

(9.5.8)

Transporte por advección y difusión 407 Por consiguiente, si la varianza de la mancha de concentración puede muestrearse en dos tiempos diferentes, el coeficiente de difusión se puede calcular directamente como

2ñ = (a] - a~)

(9.5.9)

2(t2 - ti)

Analogía con la distribución de probabilidad gausiana Es notable pero no coincidencia] que la forma de la ecuación (9.5.4) sea similar a la distribución normal de probabilidad. Esto se ha notado desde la deducción de Albert Einstein de la ecuación (9.5.4) en 1905 (ver el análisis en la referencia [4]). La distribución normal de probabilidad (P ) para una variable n está dada por P(n)

=

1

.fiiia

2

?

e- n 12(1-

Por consiguiente, sin~ x, a2 =22ñt en la ecuación (9.5 .5), M = 1, y la media de la distribución se centra en x =O, entonces se recupera la ecuación (9.5.4). Conocer esta información es útil para el muestreo de campo. Tal como se insinuó en la ecuación (9.5.9), el tamaño de la nube de concentración usualmente ayuda a determinar el coeficiente de difusión o posteriormente la difusividad del remolino. Una medida conveniente del tamaño se puede adaptar de la distribución normal, ya que es bien conocido que el 95% del área total bajo la curva está contenido dentro de un ancho de± 2a (4u total), medido desde la media de la curva (ver figura 9. 8). Desde otra perspectiva, si se conoce el coeficiente de difusión o la difusividad de remolino, el tamaño (ancho) de la nube, w (t), en cualquier tiempo tes (

(9.5. 10)

La analogía con distribuciones de probabilidad puede ampliarse más allá de la distribución normal pero, por ahora, únicamente el concepto generalizado de momentos es útil. Esto se define como se muestra a continuación:

momento cero = M 0 = M = primer momento = M 1 = segundo momento = M2 =

J~ C(x, t)dx

J~ xC(x,

J~

t)d.x

x 2 C(x, t)d.x

Cualquier momento superior al segundo puede encontrarse fácilmente incrementando la potencia del exponente de la variable independiente dentro del integrando. Para la distribución normal y su analogía de distribución de concentración en la ecuación (9.5.4), la media, J..L, y su varianza, dl, se pueden calcular de

mientras que [ .. (x - }1-)2 C(x, t)d.x

[ .. C(x, t )dx

(9.5.11)

408

C A P Í T U LO

•

9

Mecánica de fluidos

Bases de la difusión turbulenta Tal como se ha afirmado en diferentes lugares, los distintos flujos de transporte turbulento (por ejemplo, u' T' o w' C') poseen algunos atributos. En primer lugar, su tamaño varía desde fluctuaciones del tamaño de la geometría de flujo hasta la escala de turbulencia más pequeña conocida como la escala de Kolmogorov. En segundo lugar, son bastante transitorios y aleatorios en el sentido de que para el mismo flujo medio, los detalles de una fluctuación turbulenta individual posiblemente no se repetirán, como sí lo harán las características estadísticas de la naturaleza aleatoria. En tercer lugar, la naturaleza de remolino aleatoria del flujo da como resultado gradientes espaciales intermitentes pero grandes en las variables, a medida que paquetes del fluido con características bastante diferentes entran en contacto entre sí a causa de la turbulencia. En cuarto lugar, la continua introducción de paquetes con concentraciones altas y bajas, causadas por la turbulencia, dará como resultado una dilusión total de las zonas de alta concentración a través de un comportamiento de difusión o mezcla. La energía para crear la turbulencia típicamente se introduce al sistema a escalas del tamaño de la geometría completa del flujo (por ejemplo, una tormenta de viento sobre un lago o laguna). La viscosidad es el agente que actúa para disipar la energía turbulenta en forma de calor y opera en las escalas más pequeñas posibles del campo de flujo. Entre las escalas de creación y disipación turbulentas existe una cascada ordenada de energía turbulenta a través de la cual la energía se transmite en forma no lineal desde las fluctuaciones o escalas turbulentas grandes a las pequeñas, mediante una secuencia continuamente variable (es decir. decreciente) de remolinos turbulentos. Para un flujo medio permanente, la creación de energía turbulenta se encuentra en equilibrio con la tasa de destrucción, y por consiguiente, la tasa a la cual la energía se transmite hasta los remolinos turbulentos más pequeños es constante. Tal como se anotó anteriormente, las escalas turbulentas más pequeñas se conocen como las escalas de Kolmogorov o de disipación para longitud, tiempo y velocidad, cuyos valores son del orden de 0.1 cm, 0.1-1.0 s y 0.1 crn/s, respectivamente. A pesar de la utilidad de las caracterizaciones de las escalas, éstas no dan mucha información útil acerca de la analogía de gradiente para mezcla turbulenta y la aplicabilidad última de la difusión turbulenta. Para hacer esto se requiere utilizar otras mediciones para caracterizar el impacto y tamaño de los remolinos. Suponer, tal como se muestra en la tigura 9.9, que una masa de partículas se libera en un punto dentro de un campo turbulento. El campo turbulento se encuentra bastante lejos de cualquier frontera Prueba No. 1

+ Prueba No . 2

-t-

xo·Yo

Tiempo---~

Figura 9.9

Difusión de uno maso de partículas con respecto al tiempo.

Transporte por advección y difusión 409

y se puede definir de tal manera que todas las medidas estadísticas sobre la estructura espacial y temporal de las fluctuaciones sean constantes. Por consiguiente, se considerará que la turbulencia es homogénea, es decir, que las estadísticas de las fluctuaciones turbulentas son constantes en una dirección particular e isotrópicas, es decir, que la estructura estadística espacial en las tres direcciones es constante. Adicionalmente, las fluctuaciones turbulentas de velocidad serán permanentes, lo cual significa que sus estadísticas no cambian con el tiempo. En la figura 9.9, un paquete de partículas de masa M se localiza en el origen de campo de turbulencia y las fluctuaciones turbulentas de gran escala empezarán a distorsionar, cortar y dispersar las partículas a medida que el tiempo pasa en la prueba l. Si se repitiera el experimento, tal como en la prueba 2, la forma de la masa M en cada intervalo de tiempo sería bastante diferente. Sin embargo, al reconocer la naturaleza aleatoria del campo de turbulencia, los promedios estadísticos o de conjunto de la evolución o dispersión de las masas para un número repetido de pruebas permitirá un tratamiento matemático. El lector debe remitirse al análisis en las referencias [4, 13-16] para un análisis más detallado sobre el proceso de promedio conjunto. Durante los estados iniciales del movimiento de la partícula, las partículas individuales se encuentran fuertemente empaquetadas, es decir, su movimiento está restringido por las partículas vecinas; consecuentemente, las partículas no se habrán ajustado al campo de turbulencia o alcanzado equilibrio con él. Para un periodo de tiempo mayor, la masa ha sido apartada o esparcida por la acción de los esfuerzos cortantes turbulentos, y las partículas se han ajustado al campo de turbulencia, o están en equilibrio con éL Estos dos periodos pueden determinarse utilizando el concepto de coeficiente de correlación y sus escalas de tiempo y longitud asociadas. El coeficiente de correlación lagrangiano R para la fluctuación de velocidad u' se encuentra utilizando las siguientes formas generales (ver referencia [4]) RL (r) = x

u'(t)u'(t + r) ~u' 2 (t) ~u'2 (t + r)

(9.5.12)

Los corchetes denotan los promedios de conjunto para todas las pruebas, las barras significan promedios temporales, L indica la formulación lagrangiana y x denota la coordenada. Debido a que las velocidades se encuentran correlacionadas consigo mismas, RLx se conoce como la función de autocorrelación. La figura 9.10 (levemente modificada de la referencia [4]) muestra la transición del coeficiente de correlación en el tiempo desde r - O, donde la correlación es 1.0, hasta r ---7 00 , donde no existe ninguna correlación. La porción inferior de la figura muestra una función de autocorrelación típica correspondiente a este comportamiento y define la escala de tiempo asociada como TLX

= J"" o

RLX (r)dr

(9.5.13)

Tal como se muestra en la referencia [15]t, el análisis de G . Taylor [12] del crecimiento de la nube muestra que la tasa de crecimiento de la varianza del promedio de conjunto de la nube es (9.5.14)

Se pueden encontrar expresiones similares para las direcciones y y z . Con base en el tratamiento dado en las referencias anteriores o en Csanady [17], se pueden identificar dos comportamientos distintos para u/ (t), es decir, el tiempo pequeño donde t ---7 O y t < TL y el tiempo largo donde t ---7 00 y t > TLx' La tabla 9.1 resume los resultados. Por consiguiente, para clempos cortos la varianza crece 1

t Existen numerosos referencias adicionales o ésto .

410 CAPÍTULO

•

9

Mecánica de fluidos

ut+ -r

Ut+ T

, ,,

,,

,, ~

U -r

, , •,

T - Pequeño

(a)

(b) Uf+ T

Ut+ T

T

-

-r-

Grande

(e)

00

(d )

l.O

(d)

T-oo

Figura 9. 10

Evolución en el tiempo del coeficiente de correlación. (a) Correlación perfecta. (b) Correlación alta. (e) Correlación boja. (d) Sin correlación.

Tabla 9.1

Regímenes de varianza de difusión

Criterios (lé)ngitud)

Crecimiento dt la varipza

Tiempo pequefto

Ll
'D ~ 4D..t

-

2

y

4D_J

(9.5.22)

La figura 9.12 contiene un esquema del crecimiento con el tiempo de la línea de concentración constante (isopleta) coincidente con el ancho ± 2u (4u) de la nube de difusión. Se nota que coeficientes de difusión desiguales darán como resultado una distribución no simétrica alrededor del origen. 3. Advección y difusión. Una velocidad constante u en la dirección x puede conducir o mover la nube difusiva hacia aguas abajo. La hipótesis básica requerida para extender el análisis de difusión es que la velocidad no distorsiona las estadísticas de campo de la turbulencia. Por tanto, se puede definir un nuevo sistema coordenado móvil, x. = x - ut, que reduce la ecuación de advección difusión a una ecuación de difusión pura para la cual todas las soluciones de difusión existentes pueden adaptarse. Considérese el siguiente problema de difusión lateral (figura 9.13) descrito por primera vez en Fischer et al. [ 15]. Se mezclan dos corrientes con una velocidad u en el origen x = O; una de las corrientes no tiene concentración mientras que la otra tiene una concentración C0 . La ecuación de advección difusión permanente se convierte en

ac

U dx

éPc

= D v {)y1

No se ha incluido el término de difusión horizontal debido a que los gradientes en la horizontal son bastante pequeños en contraste con aquéllos en la dirección y. Las condiciones de frontera y

to

t3

1 111 1 11

D.. = D)

~~

1(a) 111 111 111 y 1 11 X

(b)

Figura 9 .12

Esquema del crecimiento con el tiempo de lo concentración de uno fuente lineal poro (o) difusividodes iguales y (b) difusividades diferentes.

414 CAPÍTULO

9

•

Mecánica de fluidos +y

u .

Figura 9. 13

Difusión lateral en la interfaz de dos corrientes con concentraciones diferentes.

son (figura 9.13)

o

= O, y) = { C0 C(x, y ~ oo) = O C(x,y ~ -oo) = C0 C(x

y>

o

y < O

La solución es C(x, y)

=

C o{1- erf(fll y J} 2 4DYx/u

(9.5.23)

La figura 9.13 contiene un esquema de la zona de mezcla resultante para los fluidos. En lugar de mezclar dos corrientes continuas, suponer como French [20] que la masa M se inyecta continuamente en el fluj o bidimensional (horizontal), dominado por una velocidad de advección u en la dirección x, a una tasa temporal denotada por M. E n este caso todavía se aplica la ecuación (9.5 .21) y la solución se convierte en

C(x, y)

=

M

u ~4nxDY / u

exp(-~J 4x D ,

(9.5.24)

4. Difusión más advección transitoria. Ahora se retoma al caso de la prime.ra solución exacta [ecuación (9.5. 18)] y se pregunta qué impacto tendría la advección u sobre la solución. Se aplican las mismas condiciones iniciales y de frontera que en el caso de difusión pura y la solución [20] es

C(x, y)

C [ erfc ( xrif)f - ut = --º-

2

"J 4D,J

J + erfc(xj4f5) + ut Jexp(-ux J] 4Dxt D,

(9.5.25)

5. Difusión transitoria con reacción de primer orden. Finalmente, se considera el mismo problema que en el primer ejemplo, pero además de la difusión existe una tasa de reacción de primer orden (decaimiento en este caso) parametrizada como en el capítulo 3 como -k 1C. La ecuación gobernante se convierte en

ac = o a2c - k¡C ar ax2 X

(9.5.26)

Transporte por advección y difusión 415 1.0 .,.....,....,._,.........,....,....,._,....,.............-.-.,....,..........-.-,....,..........-..-.,....,....,....,,........, - - - con reacción qufmica • • • • • .. • sin reacción qufmica

0.8

0.6

rS ..... t..>

0.4 Incremento del tiempo

0.2

200

300

X

Figuro 9.14

Comportamiento de la solución de difusión transitoria con y sin reacción de primer orden.

Las condiciones de frontera e iniciales son las mismas que en las soluciones 1 y 4, C(x =0, t) = C0 , C(x ~ oo, t) = C(x, t ~ O) = O, y la solución es C(x, t)

=

Co 2

exp(-x~k/Dx )erfc( i2Dxt n;

+ Co 2

-

Kt]

(9.5.27)

exp(x~k/D,)erfc(in; + Jk:!J 2Dxt

La cantidad total de masa de concentración C colocada en el dominio por unidad de área mediante el flujo difusivo en x = O hasta el tiempo tx (ver problema 1) es

M(tx) =

C0 ~D)k1 {(k t, + 1

t)erf(.jf;t;) +

e~)} nk,tx

(9.5.28)

La figura 9.14 contiene un esquema del comportamiento de la solución. Ésta es esencialmente la ecuación (9 .5 .18) tal como se representó en la figura 9.11 con la adición de un conjunto de soluciones para los mismos C0 y Dx pero agregando un decaimiento químico. Tal como se puede notar, el efecto de la tasa de decaimiento es confinar los gradientes de concentración empinados a una región muy cercana a la superficie u origen x = O. Esta región se vuelve muy delgada a medida que la tasa se incrementa. Este modelo tiene una importancia histórica considerable, ya que sirve como base para la teor{a de penetración de la transferencia de masa por interfaz en las fronteras. En la sección 9.7 se reúne una serie de problemas ejemplo, pero antes de seguir es necesario completar la discusión sobre la difusión turbulenta estudiando cómo la naturaleza de la difusión turbulenta se ve afectada por paredes y fronteras. Por lo tanto, la siguiente sección se centra en el transporte en capas límites y en canales.

416 CAPÍTULO

9

•

Mecánica de fluidos

EJERCICIOS 9.5.1 La dispersión de una fuente puntual de material (o calor) mediante difusión molecular (a) tiene distribuciones de concentración que varían linealmente con el tiempo; (b) tiene una tasa de difusión constante; (e) tiene un "ancho" que varía exponencialmente con el tiempo; (d) tiene una forma que es idéntica a la distribución de probabilidad gausiana; (e) by d. 9.5.2 La difusión turbulenta de una nube de partículas puede determinarse con el enfoque de gradiente de difusividad constante (a) cuando la duración del proceso de difusión es mayor que la función de autocorrelación del proceso; (b) está directamente relacionada con la varianza de la distribución de la nube; (e) cuando la duración del proceso de difusión es mayor que el tiempo de difusión lagrangiano, T Lx; (d) cuando el crecimiento de la varianza es proporcional al tiempo t y es mayor que Tx; (e) nunca. 9.5.3 Las soluciones de difusión exactas, catalogadas en la sección 9.5, son válidas (a) para geometrías muy simples; (b) para difusividades turbulentas constantes; (e) ya sea para difusión molecular o difusión turbulenta con difusividades de remolino constantes; (d) tanto para condiciones permanentes como transitorias; (e) todas las anteriores.

9.6

DIFUSIÓN Y DISPERSIÓN EN CANALES

Las soluciones discutidas en la sección 9.5 y los ejemplos seleccionados en la sección 9.7 es.tán basados en procesos de difusión que ocurren en campos de turbulencia especializados (isentrópicos y homogéneos) bastante lejos de cualquier frontera. Con excepción de chorros libres tales como chimeneas o de escapes de humo a la atmósfera, la mayoría de los flujos de chorro se encuentran y son afectados por fronteras. Tal es el caso de las descargas de efluentes de aguas residuales o de procesos industriales en ríos, estuarios o lagos. Tal como se afirmó en otra sección de este texto, la presencia de fronteras originan capas límites que a su vez hacen que el campo de flujo y sus características de turbulencia sean diferentes en las tres direcciones coordenadas posibles. Por consiguiente, un posible efecto de las paredes es hacer que la turbulencia sea homogénea, pero no isotrópica, en cada una de las tres direcciones. Se puede anticipar que las difusividades de remolino serán bastante diferentes en cada una de las direcciones del canal. Por consiguiente, el primer objetivo de esta sección es aprender a predecir las difusividades de remolino en flujo turbulento en canales y el impacto sobre las diferencias en la magnitud de la mezcla turbulenta en el canal. Un segundo impacto posible de la pared es que el penacho no será libre de esparcirse en las tres direcciones, es decir, verticalmente, lateralmente y hacia aguas abajo. La figura 9.15 presenta un esquema del proceso de difusión de un efluente que descarga en el centro de la corriente de un río. Las fronteras del penacho, definidas por la descripción previa de varianza (4u), eventualmente intersecarán no solamente el fondo (región 1) sino las paredes del canal (región 2). En la región 3 y más adelante, el transporte todavía podrá describirse a través de modelos simples unidimensionales, pero mediante un mecanismo diferente conocido como dispersión que se definirá. En muchas formas sus fundamentos son similares a las difusividades de remolino excepto en que la definición estará basada en la necesidad de "cerrar" los términos resultantes de los promedios espaciales y no en los promedios temporales de los flujos turbulentos de los capítulos anteriores.

Difusividad vertical de remolino A partir del esquema mostrado en la figura 9.15 y sabiendo que d «W, se puede anticipar que los gradientes de momento y de transporte serán más fuertes en la dirección vertical que en la transver-

Transporte por advección y difusión 4 17

A'

B'

C'

Frontera del penacho "-....._

1 1

Región 2a :

Región 2b :

1

1

1

...,.J

...,.J

...,.J

A

B

e

Región 1

Región 3

(a)

(b) A' 1 1

-W----¡1

A

-

-

-

Sección A-A'

(e)

Figura 9.15

Difusión y dispersión turbulento en uno corriente poro un eAuente descargado centralmente. (o) Visto en planto. (b) Visto lateral. (e) Visto de la sección transversal, aguas abajo del canal.

sal. Por consiguiente, es razonable esperar que la difusión turbulenta vertical, parametrizada mediante la difusividad vertical de remolino, domina la región 1 y que la mezcla o esparcimiento a través del plano vertical ocurrirá más rápidamente que en la dimensión lateral. Elder [21] fue el primero en encontrar una expresión para la difusividad vertical de remolino, Ez, basada en las soluciones exactas de capa límite para el flujo turbulento en canales. De aquí, una solución de capa límite turbulenta en un plano vertical adimensional de la forma u(z) ~

= .!. (1 k

+

In ~) d

(9.6.1)

se supuso, donde z se mide verticalmente a partir del fondo y se extiende hasta la altura d. En esta forma está implícito que el campo de flujo es infinitamente ancho. Tal como se notó en el capítulo 6,

418 CAPÍTU LO

9

•

Mecánica de fluidos

k es el coeficiente de Von Kármán y u. es la velocidad de fricción, de tal manera que en z = O, u = u•. Adaptando el procedimiento utilizado en flujo en tuberías, se encuentra que la distribución de esfuerzo cortante para toda la profundidad [21] es

~=

P11:

=

~o(l

- ;)

(9.6.2)

donde 17 es la viscosidad de remolino vertical para la capa límite turbulenta [ecuación (6.4.9)] y ~o es el esfuerzo cortante en el fondo (z = 0). La viscosidad de remolino se puede encontrar mediante (9.6.3)

Para encontrar la difusividad de remolino, Elder supusó similaridad entre el transporte turbulento de momentum y de masa e hizo que 17(2) = E ,(z ). En ambos casos se nota que a diferencia del caso para las difusividades constantes tratadas en fa sección previa, esta difusividad se comporta en forma análoga a la formulación de longitud de mezcla de Prandtl [ecuación (6.4.10)] y varía con la distancia desde el fondo, es decir, no es constante. Para poner esto en una forma más útil para guías de diseño, Elder utilizó un promedio vertical de la forma

E.· =

_!_ d

Id Ez(z)dz = k u.d Id

~(1

o d

o

-

~ )d::. = 0.067 u.d

(9.6.4)

d

Aquí el símbolo- • se utiliza para el promedio espacial con el fin de diferenciarlo de la barra para promedio temporal. Se puede ver que la difusividad vertical de remolino promedio o global es función únicamente de la profundidad y de la velocidad de fricción. y no de la velocidad promedio del flujo en el canal. Para un canal de 5 m de profundidad con una velocidad de fricción de 2 cm/s, = 134 2 2 cm /s o 0.0134 m /s. Contrástese este valor con el coeficiente de difusión molecular típico d~l orden de 1.0(10- 5) cm2/s para diferentes solutos en el agua [2].

e:

Viscosidad transversal de remolino El esparcimiento lateral se parametriza mediante la difusividad transversal de remolino, EYy es el mecanismo dominante en la región 2. La extensión del concepto de la ecuación (9.5.14) a y o la dirección lateral sugiere en parte que la velocidad transversal jugará un papel en la tasa de difusión lateral. Sin embargo, una solución exacta para esta distribución de velocidad [15, 20], no se encuentra disponible. Por consiguiente, esta información ha sido compilada en forma empírica. La difusividad lateral de remolino promedio es de la forma (9.6.5)

Tal como lo anotan las dos referencias anteriores, se ha (o está siendo) analizado una cantidad sustancial de información de campo sobre la difusión lateral y a partir de esta información en las referencias, el coeficiente de correlación e es ~

para canales rectangulares, y

-· EY =

(0.15 ± 0.075) u.d

-· =

(0.60

E,

± 0.30) u. d

(9.6.6)

(9.6.7)

para canales naturales que contengan meandros y fronteras rugosas o irregularidades. Si existen irregularidades producto de la ingeniería, tales como protección de bancas, espolones o muros marinos

Transporte por advección y difusión 419

-·

en la frontera, entonces EY será aún ma1.or. Intuitivamente se puede saber que la irregularidad geométrica y la rugosidad incrementarán EY a medida que crean una mezcla más vigorosa mediante la creación de remolinos turbulentos de gran escala.

Tiempo para mezcla completa Comparando las ecuaciones (9.6.6) y (9.6.7) con la ecuación (9.6.4) se puede ver que para canales r.:_~tos lisos es aproximadamente 2.25 veces mayor que mientras que para canales naturales EY es casi 1O veces mayor que Aunque la difusividad transversal es el agente de mezcla más poderoso, la profundidad vertical pequeña permite que la mezcla ocurra en toda la profundidad mucho más rápidamente que la difusión lateral completa. Un estimativo de esta escala de tiempo de mezcla puede obtenerse con base en los grupos adimensionales.

e;

E:

e;.

- · E-7 -d2 z t l

Aquí d y W son la profundidad y el ancho, respectivamente, y t~ y t>' son las escalas de tiempo requeridas para la difusión vertical y lateral, respectivamente, para que el material ocupe toda la profundidad (final de la región 1, figura 9.15) y el ancho total (final de la región 2, figura 9.15). Utilizando la expresión para las difusividades, entonces __ d _ - 15dlu. 0.067u. W2 ty- 1.667 . du.

tz -

(9.6.8)

Si se considera que W está en el rango de 10 a 100 veces mayor que d, se encuentra el rango de tiempos de la mezcla. Para 1Od - W -7 canal angosto, t,

=

t

=

1.667(102 )d

(9.6.9)

u.

Para 1OOd - W -7 canal ancho, y

1.667(104 )d u.

(9.6.10)

En el caso angosto, tY es aproximadamente 11 veces mayor que tz y para un canal ancho t>, es aproximadamente 1100 veces más grande que tz. Por consiguiente, la mezcla vertical para toda la profundidad toma un tiempo muy corto para completarse con respecto a la mezcla lateral aun cuando las difusividades laterales son más de 10 veces superiores.

Dispersión Esencialmente, la dispersión es un método para hacer promedios superficiales o espaciales el cual fue descrito por primera vez por Taylor [22] y Aris [23]. En las referencias [15, 24-25] se encuentran resúmenes sobre la dispersión. La formulación de promedio de área unidimensional del transporte de contaminante o de momentum y la ecuación de calor se deduce matemáticamente reconociendo que las variaciones vertical y transversal en un canal fluvial largo y complejo (o tubería) son agentes de transporte importantes. La operación básica involucrada en la deducción es la creación ya sea de una ecuación diferencial parcial o una ecuación de volumen de control que gobierne y que se deduce en función de variables promediadas en el área. Este promedio se define formalmente para una variable

420

C A P Í T U LO

9

•

Mecánica de fluidos

Figura 9.16

Definición de volumen de control en un canal utilizado paro promedios de área.

a (x, t) como

=f

a z• (x, t)A(x)

a(x, t) dA

Esta ecuación es muy familiar debido a que es el aspecto básico en la deducción de volumen de control para masa, momentum y energía. Aunque en la literatura se encuentran deducciones más elegantes, se introducirá la dispersión utilizando el volumen de control. Considérese el volumen de control en un canal fluvial mostrado en la figura 9 .16. Las fronteras del volumen de control son perpendiculares a la orilla y el flujo es perpendicular al área. De la ecuación (3 .9.8) y con las suposiciones de la sección 3.3, la ecuación de volumen de control es

!

f e d\;;/ + fX+dx e(x + dx, y,

Z,

t) u(x + dx, y , z, t ) dA

-t

e(x, y, z, t) u(x, y, z, t) dA

=O

Las cantidades en x + dx pueden relacionarse con aquéllas en x utilizando una expansión de series de Taylor. Por consiguiente,

donde d't/ como

= d.Adx. Recordando la definición de promedio de área, la anterior ecuación se describe

-dtace-

A)dx +

[a -J euA dx -

dx

=o

(9.6.1 1)

Después de dividir por dx, el problema permanece idéntico al problema para el cual se dedujeron los factores de corrección de energía cinética [ecuación (3.4.14)] y de momentum [ecuación (3.6.8)), es decir.

--· -· euA e "#

¡¡• A

¡..;ue\'amente la notación de barra • específicamente se refiere a un promedio de área o espacial para distinguirlo del promedio temporal denotado por una barra única. En lugar de emplear el concepto de factor de corrección. la práctica corriente es utilizar la descomposición de los términos no lineales tal como fue descrito para la ecuación de Reynolds en la sección 6.4. Por consiguiente, las desviaciones de los promedios espaciales se definen y denotan mediante una doble prima y se aplican al promedio

Transporte por advección y difusión 421

Figura 9.17

Definición de las variables utilizados en la

descomposición poro encontrar los promedios espaciales.

del producto descompuesto resultante (figura 9.17), es decir a(x, y, z, t) = a • (x, r) + a"(x, y, .::, t) y

--· -·u• A + --· CuA C C"u" A

(9.6.12)

==

La ecuación (9 .6.12) se sustituye en la (9 .6. 11) y se convierte en (9.6.13)

Se debe recordar que u• es la velocidad promedio de la sección transversal que se denotaba como U o V en el capítulo 3. Si se sustrae la ecuación de continuidad, la ecuación final se convierte en (9.6.14)

El término de correlación espacial C" u" · también requiere el cierre o especificación en términos de variables del flujo medias. Taylor [22] y Aris [23] pudieron demostrar que de nuevo la aproximación de gradiente de difusión era válida; por consiguiente

--· C"u" = - Kac -dx

donde K se define como el coeficiente de dispersión. Notando que ¡¡• = U del capítulo 3, la última ecuación se convierte en

ac·

ac· ax

a~c ·

+U-= K -

axl-

= O

(9.6.15)

Si se incluyen los efectos de la difusión turbulenta y de la difusión molecular, la deducción se vuelve bastante difícil. Sin embargo, el resultado se incluye en el término de dispersión como

ac·

K --;¡;-

= - --· C"u" +

-·

ac·

(EA + ~)-;¡;-

Sin embargo, tal como se verá más adelante K es bastante mayor que típicamente se ignoran.

E: y 0.4d2/~ . El tiempo y la longitud requeridos para alcanzar este estado en condiciones turbulentas (región 3, figura 9.15) no son tan fáciles de encontrar como en el caso laminar y se estiman utilizando el método en Fischer et al. [15]. Se hace más difícil por el intercambio entre la advección aguas abajo y la intensidad de mezcla •transversal (Ey ). Si se supone un canal rectangular y ocurre una tasa continua de entrada de masa (M) en una fuente lineal vertical en la línea central del canal, entonces la solución de estado permanente en dos dimensiones para la concentración es

.E_ = Co

1 •

(4n X

1/

) 2

f.{exp[-(y• - 2n n = _..

y~) 2 /4x•]

+ exp[- cy· - 2n +

y~)2 14x·]} (9.6.16)

donde C0 = MIUWd; x· = xE/ UW 2 y y' = y/W. La fuente se localiza en y = y0• Analizando la concentración en la línea central del canal, la mezcla completa se define como la distancia hacia aguas abajo. Lm, en la cual la concentración se encuentra dentro del 5% de su promedio transversal en cualquier lugar de la sección. Esta distancia es (9.6.17)

Transporte por advección y difusión 423 Tabla 9.2

Comparación de coeficientes de mezcla

Canal angosto

Número de la ecuación

E, :::: 0.6u.d

9.6.7

= 0.06mVs = O.Oll lPWZiu.d = 2.75 m /s t..' ,. 0.1 Wl/E"Y =Lm/U K

Canal ancllo

9.6.20

K:::: 275 m2/s

9.6.17 -

L,. !:42 km

2

= 1.16 h

. Lm ""'O:lUW2/EY 0.42 km ::¡

Si la descarga se localiza en uno de los lados del canal, entonces W se reemplaza por 2W y la correspondiente longitud de canal hasta mezcla completa es

L

m

~

0.4UW2 E

(9.6.18)

y

Los procedimientos para estimar el coeficiente de dispersión son bastante numerosos; cada uno está limitado a una serie particular de suposiciones acerca de la física y la geometría del flujo. Elder [21] nuevamente sugiere los primeros estimativos para canales, basado en la suposición de que las fluctuaciones alrededor deJ promedio vertical eran únicamente responsables de la dispersión. Extendiendo el análisis para E, presentado anteriormente, él demostró que K

= 5.93 u.d

(9.6.19)

donde nuevamente des la profundidad. Fischer [27] presentó una aplicación mucho más profunda del trabajo de Taylor en canales y pudo deducir un procedimiento para el cálculo exacto de K en un canal donde se conoce el caudal en forma bastante exacta. French [20] presenta este método en detalle. Reconociendo la necesidad de poder obtener fácilmente estimativos para corrientes no muy bien instrumentadas, Fischer et al. [ 15] presentó la siguiente fórmula empírica basada en un cierto número de experimentos de campo 2

2

K = 0.011U W u.d

(9.6.20)

Anotaron que las respuestas eran correctas dentro de un factor de 4 el cual, teniendo en cuenta que las medidas de campo en sí mismas únicamente son válidas dentro de un factor de 2, es aceptable. En la tabla 9.2 se presenta el coeficiente de dispersión y las escalas relacionadas para las condiciones utilizadas en el ejemplo anterior comparando CZJJ , E: y E,, utilizando la ecuación (9.6. 18) con una velocidad promedio de 0.1 m/s. · Se nota que el coeficiente de dispersión aun para el canal angosto es más de un orden de magnitud mayor que E,.. el cual ya se había visto tiene un orden de magnitud mayor que E. y 1OS veces mayor que . pero con tiempos de mezcla vertical bastante más cortos que en el caso de la mezcla lateral; (d) difusividades

424

C A P Í T U lO

9

•

Mecánica de fluidos

de remolino promediadas en la profundidad proporcionales al tiempo de variación y a la velocidad de fricción, u. ; (e) ninguna de las anteriores.

9.6.2 Con todas sus demás características iguales un canal diez veces más ancho que otro tendrá (a) un tiempo de mezcla lateral cien veces más grande; (b) un coeficiente de mezcla diez veces mayor; (e) un coeficiente de dispersión diez veces mayor; (d) tasas de flujo iguales; (e) a y d.

9.7

APLICACIONES DE TÉCNICAS DE DIFUSIÓN Y DISPERSIÓN

Estimación de la velocidad de fricción Tal como se puede ver en la sección 9.6 la variable más importante para estimar las difusividades de remolino y los coeficientes de dispersión es la velocidad de fricción, u•. Para flujo permanente hacia abajo por un canal con pendiente suave, se puede obtener un estimativo de u. (= ~-r0 /p). Considérese un volumen de control en un canal como se indica en la figura 9.19. La pendiente de fondo es lo suficientemente pequeña para que So ~tan O~ O. La gravedad es la única fuerza de cuerpo que actúa sobre el volumen de control mostrado en la figura. Un sistema de coordenadas local se sitúa en el fondo, y por consiguiente, el ángulo entre la aceleración debida a la gravedad y y también es O. Con condiciones permanentes, el caudal en el canal o la velocidad promedio es la misma en cualquier parte. Por consiguiente, los vectores de intercambio momentum (M1x y M.) en la dirección coordenada del canal, dirección x, son iguales y se cancelan entre sí. Las fuerzas de presión en los extremos (F y F ) también son iguales y se cancelan. Por consiguiente, en la dirección x el balPtx P2x ance de fuerza se reduce a que la componente del peso del fluido dentro del volumen de control es balanceada por la fuerza de fricción en el fondo, F Tx,

)'

(a)

(b)

Figura 9.1 9

Definición del volumen de control para un canal de pendiente suave.

Transporte por advección y difusión 425 En términos de las variables dadas y suponiendo un ancho unitario, se tiene

pgD.x d(l)

Sefl

e-

'l"0 ÓX(l)

En la anterior ecuación tu d (1) es el volumen y tu (1 ) es el área superficial del volumen de control en contacto con el fondo. En términos de la pendiente y la profundidad el esfuerzo cortante del fondo se convierte en (9 .7.1)

o u. = ~ gdS0

Para el canal de 5 m de profundidad de la sección previa se estableció una velocidad de fricción de 2 cm/s. ¿A qué pendiente de canal corresponde esta condición?

(9. 7 .2 )

Ejemplo 9.6\

Solución

De la ecuación (9.7.2)

Luego, (0.02 rnls) 2 (9.806 m/s2 )(5 m)

= 8.2( 10--6)

La condición del ejemplo 9.6 corresponde a unas condiciones de fondo casi plano, tal como en un estuario, o la confluencia de un río y el océano. Típicamente, las condiciones de pendientes suaves son válidas en ríos con pendientes hasta 0.003 a 0.004. Valores más grandes que éstos usualmente resultan en campos de presión no hidrostáticos que requieren hidráulica de pendientes empinadas, lo cual es un tema por fuera del a1cance de este texto.

Coeficientes de mezcla

Durante una tormenta una porción del río Cuy ahoga que entra al lago Erie de los Grandes Lagos Laurencianos tiene una pendiente de 0.002, una profundidad de 4 m, y durante las condiciones de prueba una velocidad promedio permanente de 0.8 m/s. ¿Cuáles son las difusividades laterales y verticales de remolino, el coeficiente de dispersión y la longitud total de la región 2 aguas abajo del canal para descargas tanto en la línea central como en la banca lateral? Suponer que el ancho del canal es 110m. Solución

Todas las funciones expuestas en la tabla 9.2 requieren una estimación de la velocidad de fricción. Por consiguiente

u. =

-vrgdso =

0.28 m/s

Ejemplo 9.7

426

C A PÍ TU l O

O

•

Mecánica de fluidos

Los valores para los diferentes coeficientes de mezcla son

E,

= 0.6du. = 0.67 m 2/s

= 0.075 m 2 /s = 0.01JU2W2 = 76.0 m2/s

E._ = 0.67du. K

du. Las longitudes en el canal para la mezcla completa (final de la región 2) para descargas en la lfnea central (e) y lateral (s) son 0.1UW 2

L,

=

0.1 (0.8 mls)(llO m)2 0.67 m~/s

= 1447 m = 1.447 km

= 4Lc = 5790 m = 5.79 km

Finalmente un estimativo del tiempo requerido para la mezcla completa para la descarga en la línea central se encuentra así: 0.1W2 E,

=

0.1( 110m) ~ 0.67

m~/s

= 1805 S = 0.5 h

Penacho trazador conservativo y geometría

Ejemplo 9.8

Suponer la misma condición que en el problema anterior y suponer adicionalmente que la descarga es en el centro del canal. El material se descarga a una tasa de 1.0 m3/s y la concentración de contaminante en la descarga es 450 mg/L. Determinar la concentración del contaminante y el ancho del penacho a 125. 250 y 500 m aguas abajo. Solución

Utilizando la definición de ancho dada en la ecuación (9.5.10), el ancho del penacho en cualquier punto en la dirección aguas abajo se estima utilizando wP(x)

= 4

2 m)] ex { (-0. 55 m) (0. 8 m) } p 4(451 m)(0.67 m 2 /S)

= (0.0082 kg/m 3 )(0.135) = 0.0011 kg/m 3 = 1.1 mg/L El hecho de que haya alguna concentración de contaminante para el ancho correspondiente a la banca de la corriente es consecuencia de la definición del ancho del penacho como 4u. Esto únicamente tiene en cuenta el 95% de la masa, implicando que alguna masa contaminante existirá más allá del ancho de ± 2u.

Periodo de ajuste inicial El ejemplo anterior se concentró en la región 2 la cual está caracterizada por mezcla lateral y advección hacia aguas abajo, tal como se anotó en la figura 9.15. Parece que el esparcimiento es un proceso bidimensional y las predicciones del ejemplo 9.8 se basaron sobre tal hipótesis. El concepto de dispersión analizado en la sección 9.6 estableció que la ecuación de difusión advección unidimensional

428

C A P Í T U LO

9

•

Mecánica de fluidos

también puede utilizarse para la misma región con base en variables promedio de área, las cuales varían únicamente con el tiempo (t ) y con la distancia del canal (x). Por consiguiente el esparcimiento en dos o tres dimensiones de un escalar pasivo puede modelarse como un proceso unidimensional. Tal como se estudió en la sección 9.6, esta aproximación de gradiente de difusión con un coeficiente de dispersión únicamente puede aplicarse después de un periodo inicial de ajuste, luego de que algunas fluctuaciones alrededor del promedio de la sección transversal de las variables en el plano moviéndose con la velocidad media U se han distribuido normalmente. La pregunta a responder es ahora qué tan aguas abajo es la longitud de ajuste inicial. En el libro de Chatwin [28] se argumenta empíricamente que para que la dispersión sea el resultado de un esparcimiento laminar en un plano vertical (profundidad d), caracterizada por una velocidad longitudinal promediada en la sección transversal U y un coeficiente de difusión molecular CZIJ, el periodo de ajuste inicial tp está dado por 2

t, >

0.4d -q¡;-

(9.7.4)

De Fischer et al. [15] el concepto se extendió al esparcimiento lateral turbulento (E), sobre un ancho W, es decir, · 0.4W 2

t,> - - -

(9.7.5)

E_,. De xlt = U se encuentra una fórmula en términos de la distancia 0.4W 2 U E y

X>--fl

(9.7.6)

Usualmente este valor se expresa en forma adimensional [ecuación (9.6. 16] como x·P xE)'

x· = - · " UW2

Ejemplo 9.9

> 0.4

(9.7.7)

¿Cuáles son las condiciones de tiempo y distancia para el periodo de ajuste inicial del ejemplo 9.8? Solución

Para el periodo de ajuste inicial t,

0.4W2

0.4(110 m) 2

> --- = 0.67 m 2 /s E_,.

= 7223.8 S = 2.0 h

Para la longitud de ajuste en el canal 0.4 W 2U 0.4(110 m)2(0.8 rnls) xP

>

E>'

=

0.67 m 2 /s

= 5780 m

= 5.78 kn1

Comparando con xc del ejemplo anterior y Le del ejemplo 9. 7, se ve que la distancia para la cual el penacho alcanza la orilla (x) es bastante modesta, siendo únicamente 451 m. La longitud para mezcla completa (Le = 1447 m) es bastante menor que la longitud de canal requerida para el ajuste a la normalidad (xp = 5780 m). Se debe recordar que la longitud para mezcla completa es una definición basada en que la intensidad de la concentración promedio en la pared esté dentro de15% del promedio de la sección transversal. La condición de ajuste a normalidad se refiere a que las estadísticas de las fluctuaciones alrededor del promedio de la sección transversal, están distribuidas en una forma especial (por ejemplo, normalmente distribuidas). Éstos son dos criterios diferentes, a pesar de que en la práctica con frecuencia se confunden.

Transporte por advección y difusión 429

PROBLEMAS 9.1 Un panel de vidrio en una ventana tiene un área de 0.5 m 2 y una conductividad térmica de k = 0.87 W/m·K. La temperatura de la superficie exterior es 28.5°C y de la superficie interior es 20°C. Si la ventana tiene 6 mm de espesor, calcular la tasa de transferencia de calor a través de la ventana. ¿Cuál es su resistencia térmica? 9.2 El techo de una casa tiene una temperatura superficial de 75°F y un área total de 4200 pies2 • La temperatura ambiente del aire es 20°F. Si el coeficiente de transferencia de calor convectivo promedio unitario es 1.8 Btulh·pie2·°F, determinar la tasa de transferencia de calor entre el techo y el aire. ¿En qué dirección fluye el calor? 9.3 La pared de un horno está compuesta por dos capas de materiales diferentes. La capa interna tiene 10 mm de espesor con k 1 = 35 W/m·K y la capa externa tiene 12 cm de espesor con k2 = 3.15 W/m·K. La temperatura de la superficie interior se mantiene a 950 K mientras que la de la superficie exterior es 380 K. Encontrar el flujo de calor a través de la pared del horno y la temperatura en la interfase entre las dos capas. 9.4 La superficie exterior de un muro de concreto de 20 cm de espesor con una conductividad de k= 0.65 W/m·K se expone a un viento frío a - 4.5°C; el coeficiente de transferencia de calor por convección es 35 W/m2 ·K. En el lado en reposo, la temperatura del aire es l2°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 14 W/m2 ·K. Encontrar el flujo de calor a través de la pared. 9.5 Para la construcción de la pared de un horno se utilizan ladrillos con dimensiones 20 X 10 X 8 ·cm. Dos clases de materiales están disponibles. El primero tiene una temperatura límite máxima de 850°C y una conductividad térnúca de 1.25 Btulh·pie· °F, y el otro tiene una temperatura límite máxima de 580°C y una conductividad térmica de 0.8 Btulh·pie· 0 F. Si el flujo de calor permisible a través de la pared del horno es 350 Btulh·pie2, detenninar el diseño más económico para la pared del horno suponiendo que todos los ladrillos tienen el mismo costo y que se deben colocar de la misma forma. La temperatura interna de la pared del horno es 850°C, mientras que la superficie externa se mantiene a 200°C . 9.6 Sobre una placa plana de 20 X 80 cm fluye aire a 95°C. La temperatura de la placa es 22°C y el flujo de calor es 150 W. Encontrar el coeficiente de transferencia de calor promedio entre el aire y la placa. 9.7 Para la placa del problema 9.6 el coeficiente de transferencia de calor está dado por h"(x) ::= 16.78 x - 213 W/m2 ·K donde x es la distancia desde el borde de ataque de la placa. (a) Encontrar el coeficiente de transferencia de calor promedio (h). (b) Determinar el flujo de calor entre la placa y el aire. 9.8 Desde el interior de un cuarto se transfiere calor hacia el aire exterior a -4°C. La superftcie interior de los muros del cuarto tiene una conductividad superficial de 16.7 W/m2 ·K y la superficie exterior tiene una conductividad de 32.5 W/m2 ·K. Las paredes tienen una conductividad térmica unitaria de 2.35 W/m2·K. (a) Encontrar la temperatura en la superficie exterior de las paredes. (b) Encontrar el flujo de calor a través de cada pared. 9.9 Dentro de una tubería fluye vapor saturado a 120 psi. Las conductividades superficiales unitarias para las superficies interior y exterior son 428.5 Btulh·pie2 ·°F y 6.54 Btu/h·pie2·°F, respectivamente. La propia tubería tiene una conductividad superficial unitaria de 855 Btulh·pie2•0 F. Encontrar la temperatura en la superftcie exterior de la tubería si ésta se encuentra en un cuarto con una temperatura de 82°F. 9.10 La temperatura interior de un submarino, de 35 pies de diámetro y 250 pies de longitud se debe mantener a 68°F. La conductividad superftcial unitaria interna es 3. 15 Btulh·pie2 •0 F. Cuando el

430

C A P Í T U LO

9

•

Mecánica de fluidos

submarino está quieto, la conductividad superficial unitaria exterior es 16.5 Btulh·pie2·°F, mientras que cuando se está moviendo a máxima velocidad la conductividad superficial unitaria exterior es 123 Btulh·pie2 •0 F. Durante la operación, las temperaturas del agua de mar varían de 28 a 60°F (a máxima velocidad). La pared del submarino consta de una lámina de acero inoxidable de 0.75 pulg en el exterior, una capa de aislamiento de fibra de vidrio de 1.3 pulg y una lámina de aluminio de 0.25 pulg de espesor en el interior. Determinar el tamaño mínimo, en kW, de la unidad de calor requerida para mantener la temperatura interna a 68°F.

9.11 Una barra calentadora larga, con área de sección transversal de 10 cm2 , se sumerge en aceite a 92°C. Una corriente eléctrica a través de la barra genera calor en forma uniforme a una tasa de 900 kW/m3 • ¿Cuál es la conductividad superficial unitaria si la temperatura del calentador se encuentra por debajo de 180°C? La barra de calentamiento está hecha de un material con una conductividad térmica de 72 W/m·K a 180°C. 9.12 Por el interior de un tubo de cobre, con un diámetro interior de 0.15 m y un diámetro exterior de 0.17 m, fluye vapor saturado a 105°C. El tubo se coloca en un ambiente a 34oc y el coeficiente de transferencia de calor de la conductancia de la superficie exterior es 19.3 W/m2 • K. (a) Encontrar la pérdida de calor a través de la tubería de cobre. (b) Se utiliza un aislamiento de 4 cm de espesor, con k = 0.30 W/m·K con el fin de reducir la pérdida de calor a través de la tubería de cobre. ¿Cuál es la pérdida de calor a través de la tubería en este caso? (e) ¿Cuál es el porcentaje en la reducción de pérdida de calor? 9.13 Un cilindro hueco largo, con radio interior R1 y radio exterior R2, está construido de un material con una conductividad térmica que varía linealmente con la temperatura. La temperatura en la superficie interna es T1, mientras que la de la superficie externa es T2. Demostrar que la tasa a la cual se transfiere calor mediante conducción a través del cilindro está dada por =

q

k LA T¡ - T;

R¡ - ~

donde A = 2n( R1 - R2 )lln(R/R 1), k= k)l + a (T1 + T2)/2], Les la longitud del cilindro y a es una constante. Una esfera hueca con radio interno R1 y radio externo R2 está cubierta con una capa de 9.14 aislamiento de radio exterior Rr Encontrar la tasa de transferencia de calor a través de la esfera en función de R1, R 2, R3, las temperaturas, las conductividades térmicas y los coeficientes de transferencia del calor. 9.15 Un tanque cilíndrico de pared delgada, de 4.2 pies de diámetro, se encuentra lleno de agua a 78°F hasta una profundidad de 6 pies, tal como se muestra en la figura 9.20. Determinar el tiempo requerido para calentar el agua de 78°F a 145°F si el tanque se sumerge súbitamente en aceite a 250°F. El coeficiente de transferencia de calor total entre el agua y el aceite es 75 Btulh·pie2 • 0 F.

Figura 9.20

Problema 9.15.

Transporte por advección y difusión Flujo de aire

----~

o

•t

Alambre de cobre

~-t :.m,.:., ¡

1 ,; b

¿¡¡.M' l

Tmn: =(62 + 19t)°F

Figuro 9.21

Problema 9.16.

9.16 Un alambre de cobre de 0.06 pulg de diámetro y 1 pie de longitud, mostrado en la figura 9.21 , se coloca en una corriente de aire cuya temperatura está dada por Twr• = (62 + 19t), en °F, donde tes el tiempo en segundos. Si la temperatura inicial del alambre es 42°F, representar gráficamente su temperatura con respecto al tiempo, desde t 0 = O hasta t1 = 200 s. La conductibilidad superficial unitaria entre el aire y el alambre se puede tomar como 9.2 Btulh·pie2•0 F. 9.17 Un alambre con radio R (figura 9.22) emerge desde una tinta con una velocidad U0 a una temperatura T0 por encima de la temperatura ambiente. Encontrar la distribución de temperatura de estado permanente a lo largo del alambre si la longitud expuesta aguas abajo de la tinta es bastante larga.

9.18 Sobre una piscina fluye aire a 29°C que contiene vapor de agua con una presión parcial de 0.3 atm. La piscina tiene una temperatura de 21 °C. Si la piscina tiene un área de 10 X 1Om2 , encontrar la tasa a la cual se transfiere masa desde la piscina. El coeficiente de transferencia de masa promedio puede tomarse como 0.0034 mis. 9.19 Encontrar el número de Reynolds para el flujo en una tubería utilizando los siguientes datos: d = 20 cm, U0 = 2.5 pies/s, p = 450 kg/m3 y JL = 75 lbm/pie·h.

,=

9.20 Encontrar el número de Pr'andtl utilizando los siguientes dato : JL = 15.2(10)- 4 N·s/m 2 , e 2000 Jlkg·K y k= 2.38 Btu/pie·h· 0 F.

9.21 Encontrar el número de Nusselt para el flujo en una tubería utilizando los siguientes datos: = 20 cm, k= 0.42 W/m·K y h = 38 Btu/h·pie2 •0 F.

d

9.22 Encontrar el número de Stanton para el flujo en una tubería utilizando los siguientes datos: d = 20 cm, U0 = 4.13 m/s, p = 1530 lb)pie3, JL = 12.8(10)-~ N·s/m2, e, = 4000 Jlk.g·K y fi = 4.32 Btulh·pie2 •0 F. · D=1R

Aire

Figura 9.22

Problema 9.17.

431

432

e .:. .

='

í r u Lo

9

•

Mecánica de fluidos

Sobre una placa plana de 3.2 m de longitud fluye aire, y se estima que el número de Reynolds 9.23 promedio es 4.32(106). Se encontró que el número de Nusselt promedio.era igual a 4500. ¿Cuál es el coeficiente de transferencia de calor promedio si sobre la misma placa con el mismo R fluye aceite a 38°C? 9.24 Sobre una placa plana fluye aire a 22°C con una presión de 120 kPa y con una velocidad de 4.5 mis. Si la placa tiene 50 cm de ancho y la superfj.cie "en contacto con el aire está a 82°C, calcular las siguientes cantidades en x = 42 cm: (a) el coeficiente de fricción local; (b) el coeficiente de fricción promedio; (e) la fuerza de .arrastf.tv, (d) el coeficiente de transferencia de calor convectivo local; (e) el coeficiente de transferen~e calor convectivo promedio; (j) la tasa de transferencia de caloL · 9.25 Para el flujo sobre una placa plana deducir la relación entre el espesor de la capa límite térmica e hidrodinámica y el número de Prandtl. Suponer distribuciones lineales de velocidad y de temperatura en la capa límite. 9.26 Entre dos placas planas paralelas fluye agua (figura 9.23) con una velocidad promedio de 26 mis. La distancia que separa las placas es 6 cm. Encontrar la distancia, l, a partir de la entrada donde las dos capas límites se unen. 9.27 A medida que el aire fluye sobre una capa de hielo, éste se derrite y se disuelve en el aire. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección promedio, ~ , es 72 W1m2 •K, encontrar la transferencia de masa por convección promedio. 9.28 Las dos superficies de una pared plana (figura 9.24) se mantienen a temperaturas T0 y TL' respectivamente. Si el espesor de la pared es L y la conductividad térmica está dada por k = k0(l + a 1T + a 2 T 2), encontrar el flujo de calor a través de la pared. 9.29 Repetir el problema 9.28 si, adicionalmente a las condiciones descritas, el área de la sección transversal decrece linealmente desde A 0 en x = O hasta A L en x = L.

Figura 9.23

Problema 9.26.

Figura 9.24

Problema 9.28.

Transporte por advección y difusión 433 9.30 Una tubería de acero con diámetro exterior de 1.90 pulg y diámetro interior de 1.61 pulg va a transportar agua a 52°F. Se van a utilizar dos capas de aislamiento, una de magnesio al 85%, k = 0.034 Btulh·pie·°F de 1.2 pulg de espesor y otra de fibra de vidrio, k= 0.02 Btulh·pie·°F de 1.0 pulg de espesor. El aire ambiente se encuentra a una temperatura de ll0°F. Las superficies interior y exterior tienen coeficiente de transferencia de calor convectivo de 135 Btu/h·pie2 ·°F y 8 Btu/h·pie2 ·°F, respectivamente. (a) Si se desea minimizar la pérdida de calor, ¿qué material se debería colocar al lado de la superficie de la tubería? (b) ¿Cuál es el flujo de calor a través del área superficial de la tubería? 9.31 Una tubería de acero con diámetro nominal de 1 pulg se sumerge en agua a 32°C. La superficie exterior de la tubería tiene una temperatura de 180°C. El coeficiente de transferencia de calor convectivo entre la superficie de la tubería y el agua es 2.32 Btulh·pie 2 · 0 F. Si se desea reducir la pérdida de calor a la mitad mediante la adición de un aislamiento con conductividad térmica de 0.092 Btulh·pie2 ·°F, calcular el espesor del .aislamiento. Para las condiciones del problema 9.31, el coeficiente de transferencia de calor varía de 9.32 acuerdo con hub =0.7d 2/J, en Btulh·pie2 ·°F, donde dtn!. es el diámetro externo del aislamiento en pies. Encontrar el espesor de aislamiento que reducirá la pérdida de calor a la mitad respecto a la de la tubería sola. m ~n

9.33 Para la conducción de calor de estado permanente a través de un cilindro hueco, deducida en el problema 9.13, demostrar que para un elemento de cilindro hueco, A satisface las ecuaciones para transferencia radial de calor de estado permanente. 9.34 Para la conducción de calor de estado permanente a través de un cilindro hueco, deducida en el problema 9 .13, encontrar .el porcentaje de error resultante si se hubiera utilizado un promedio aritmético del área, n(R 1 + R 2 ), en lugar del promedio logarítmico, para valores de Rj R, de 2, 5 y 7. 9.35 Evaluar los siguientes parámetros a T =62°C para aire, agua y glicerina: Lu0plJ.L, J.LC/k, hUk, y h!p cPu0. Los valores deL, u0 y h pueden lomarse como 1 m, 22 m/s y 52 W/m2 • K, respectivamente. 9.36 Un fluido fluye paralelamente a una placa plana, tal como se muestra en la figura 9.25. A una distancia L desde el borde de ataque de la placa, el fluido y la placa tienen la misma temperatura, mientras que para x > L la placa tiene una temperatura constante T1 donde Ts > Tx. Si las distribuciones de velocidad y temperatura tanto para la capa límite hidrodinámica cotno para la capa límite térmica se describen mediante perfiles cúbicos, demostrar que la relación ~ = DrlDpuede expresarse como

~=

i

= P ,-113 . 1 - (

[

~)

34]13

Capa lfmite de motrentum

L

X

--L-----+-~•1

t--I•

Figura 9.25

Problema 9.36.

434 C A P Í T U l O

9.37

•

9

Mecánica de fluidos

Para las condiciones descritas en el problema 9.36 demostrar que

p •t3. R•t2

9.38 Considerar el flujo sobre una placa plana con una velocidad de corriente libre constante. Si las distribuciones de velocidad y temperatura tanto para la capa límite hidrodinámica como para la térmica están descritas por perfiles lineales, encontrar expresiones para el número de Nusselt local N , en función de Rx y Pr. ~

9.39

Repetir el problema 9.38 con las distribuciones de velocidad y temperatura dadas por U

9.40

= ao

Y: = f3o

T -

+

fJ.y

+ {J2y2

Repetir el problema 9.38 con las distribuciones de velocidad y temperatura dadas por U

9.41

+ a.y + a2y2

= a 1 sen ({J1y)

T -

Y:

= a 2 sen ({J2y)

Repetir el problema 9.38 con las distribuciones de velocidad y temperatura dadas por u/uoo

= (y/fJ)lf7

~ ~ = (y/ DT )1¡7

; oo

S

9.42 Una mezcla de gas tiene la siguiente composición: CH4 , 0.77; N 2 , 0.14; C 2H 6 , 0.05; y C02 , 0.04. Para este gas encontrar (a) la fracción molar de N 2 y C 2H 6 ; (b) la fracción de peso de C02 ; (e) las presiones parciales de los componentes de la mezcla de gas si la presión total de la mezcla de gas es 1235 lePa. 9.43 Una mezcla de cierto gas está contenida en un tanque de 22m3 . La mezcla de gas tiene la siguiente composición:~' 12.5%; N 2, 53.4%; y C02, 34.1 %. Si la presión en el tanque es de 1450 lePa, a 32°C, encontrar (a) la fracción molar de C02 ; (b) la fracción volumétrica de H 2 ; (e) el peso de la mezcla; (d) la densidad de masa de N 2 ; (e) las presiones parciales de los componentes de la mezcla de gas. 9.44 Para una mezcla binaria de gases de especies A y B, demostrar que (a) CflJAB = CZIJBA; (b) JA+ J8 =O; (e) n A+ n8 = pv; (d) NA+ N 8 = eV. 9.45

Para una mezcla binaria de especies A y B demostrar que:

y

9.46

Para una mezcla binaria de especies A y B, demostrar que:

WAIMA y dxA

=

dwA

MAM 8 (wAIMA + w8 /M8 ) 2

9.47 125 m3/min de aire seco (0 2 , 20.95%; N2 , 78.08%; C02 , 0.03%; Ar, 0.93%; y otros gases 0.01 %) a 29°C se mezcla con una corriente de cierta mezcla de gas con composición N 2 , 32%; 0 2 ,

Transporte por advección y difusión 435

CD 1

Ylezcla

--+m3 192.5-.-

rmnuto

Gas / 38.5°C

Figura 9.26

0 Problema 9.47.

40%; y H2, 28%, a 38.5°C, tal como se muestra en la figura 9.26. Las presiones totales en las entradas (1) y (2) son 1234 y 980 kPa, respectivamente (ver figura 9.26). La mezcla ocurre adiabáticamente y en estado permanente. Si el caudal a la salida es 192.5 m 3/rnin, determinar (a) las tasas de flujo de masa para el aire seco y la mezcla de gas; (b) la presión a la salida; (e) la composición de la mezcla de gas resultante a la salida; (d) la temperatura a la salida. 9.48 Una mezcla de gas de O~ y C02 a 28° y una presión total de 1450 kPa fluye en una tubería de 0.3 m de diámetro. Si x02 = 0.48, uÜ1 = 0.23 m/s y uc02 = 0.14 m/s, calcular (a) xc0~ : (b) Pmm•' p"- y p co2 ; (e) Cmezcla' C02 YCCÚ2; (d) la Velocidad de flujo promedio en la tubería y la tasa de flujo de gas: ll') JÚ2 YJco2· 9.49 El desinfectante más comúnmente utilizado en plantas de tratamiento de aguas residuales es el gas cloro (Cl2). Cuando el gas cloro se añade al agua, ocurre la siguiente reacción Cl2 + H 20 H HOCl + H+ + CI¿Cuál es el tiempo para que un mol de Cl2 se difunda a través de una película de agua estancada de 0.6 cm de espesor a l9°C cuando los niveles de concentración de Cl, s'on 0.032 mollm · en uno de los bordes de la película y cero en el otro borde? ~

9.50 Una esfera de 2 centímetros de diámetro de naftalina se suspende en aire quieto. La naftalina tiene un peso molecular de 128 g/mol y una presión de vapor de 0.13 kPa a 74°C. La presión y la temperatura del sistema son 100 kPa y 74°C, respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de naftalina que entra a la fase gaseosa en un día? 9.51 Dos tanques grandes rígidos aislados están interconectados por un dueto circular de 1 m de longitud y 12 cm de diámetro. La temperatura y la presión en ambos tanques son 19°C y 100 k.Pa, respectivamente. El primer tanque contiene una mezc1a uniforme de gas de 52% de C02 y 48% de NH3 y el otro contiene una mezcla de gas uniforme de 23% de C01 y 77% de NH3 . ¿Cuál es la tasa de transferencia de NH3 entre los dos tanques? Suponer una transferencia de masa de estado permanente. 9.52 Repetir el problema 9.51 para un dueto cónico. con diámetros de 6 y 14 cm, respectivamente en los dos extremos del dueto. Suponer en este caso que el NH3 se difunde en la dirección decreciente del diámetro. 9.53 Una vasija de 4 m de longitud, bastante ancha, contiene agua con una profundidad uniforme de 2 cm. El agua tiene una temperatura de l8°C y la presión total del sistema es 1 atm. Sobre la vasija fluye aire con una velocidad de 7 mis. La transición de flujo laminar a turbulento ocurre cerca de

436 e

f. ::o

í1 u Lo

•

9

Mecánica de fluidos

R.r = 3(1 OS). Suponiendo una difusividad de masa de 0.3( 1o-4 ) m2/s, encontrar el tiempo requerido para evaporar toda el agua de la vasija. 9.54 Suponiendo perfiles de velocidad y de concentración lineales en una capa límite laminar sobre una placa plana, deducir la relación entre el espesor de la capa límite de momentum, 8; el espesor de la capa límite de concentración, oc; y el número de Schmidt, Se. 9.55 Un chorro circular de agua sin color entra a un tanque de agua con la misma densidad con una velocidad de 1O pies/s y un diámetro de 4 pulg. Si, adicionalmente a la variación con la distancia axial, el factor de proporcionalidad para la velocidad promedio temporal máxima es 6.2D, ¿cuál es la velocidad máxima en x = 5 pies? 9.56 Si se utiliza un chorro vertical de agua en la superficie libre para socavar el sedimento del fondo de una corriente, ¿cuál es el máximo diámetro del chorro de agua permitido? La velocidad de socavación requerida es 2 pies/s, la profundidad del agua es 6 pies, y el chorro de descarga 0.5 pies3/s. Utilizar el factor de proporcionalidad del problema 9.55. 9.57 Un contaminante se libera en un fluido en reposo en un tanque uniforme largo en x =O y t = O. El área de la sección transversal del tanque es 25 m2 , 9b = IG-9 m 2/s y M = 1000 kg. ¿Cuál es la concentración en x = O a t = 4 días y a t = 30 días? ¿Cuál es la concentración en x = 1 m y t = 365 días? En un instante, se liberan 20 kg de sal en una corriente. ¿Cuál será la distribución de la sal30 9.58 min después? La velocidad de la corriente es 0.4 mis. Su área de sección transversal es 10m2 ; y el coeficiente de dispersión es 40 m 2/s. 9.59 Determinar el coeficiente de dispersión longitudinal, K , para una tubería de 3 pulg de diámetro que transporta agua a 6 pies/s. T = 60°F. 9.60 Un fluido se agita de tal manera que la viscosidad cinemática de remolino se incrementa linealmente desde cero (y = O) en el fondo del tanque hasta 0.2 m 2/s en y = 600 mm. Para partículas uniformes con velocidades de asentamiento de 300 mrnls en fluido en reposo, encontrar la concentración en y = 350 mm si el caudal es 1O por litro en y = 600 mm. En el problema 9.57 determinar la concentración en x = O, 1, 2, 3 y 4 cm para intervalos de 9.61 un día hasta 1O días. En el problema 9.58, determinar la concentración después de 10 minen intervalos de 40 m 9.62 alrededor de la sección de máxima concentración. 9.63

Repetir el problema 9.54 con las distribuciones de velocidad y concentración dadas por u

9.64

= ao +

aty + a zy2

e - es

= f3o +

f3tY + {32yz

·Repetir el problema 9.54 con las distribuciones de velocidad y concentración dadas por u = a o + a ty + a 2y2 + a 3y3

C - e s = f3o + f3tY + {32y2 + {33y3

9.65 Deducir la ecuación (9.3.6) utilizando un perfil de concentración cúbico en la aproximación de análisis integral de Von Kármán. 9.66

El siguiente perfil de concentración

e - es = a¡y e a2y se sugiere para ser utilizado en la aproximación de análisis integral de Von Kármán. ¿Es este perfil sugerido una selección razonable? 9.67

Repetir,el problema 9.66 utilizando el siguiente perfil de conc~ntración e - e s = a ¡y + a 2 sen (a3y)

9.68

En flujos turbulentos la ecuación de transferencia de calor se promedia en el tiempo utilizando

Transporte por advección y difusión 437 f4----0.9 - - - - + - i 1 1 1

milla

---~~-::

-0.5-----..l

1 1

1 1

milla

-r~ --

11 1 1 1

1

E. -Ji.-

F'¡gura 10.21 Coeficiente C. para medidores vénturi. (Fluid Meters: Their

Theory and Applicatíon, 6th. ed., American Socíely of Mechanícal Engíneers, 7971) .

Mediciones 4 77 relaciones de diámetro D/ D 1 desde 0.25 hasta 0.75 con las tolerancias mostradas por las líneas punteadas. Cuando sea factible, se debe seleccionar un medidor vénturi cuyo coeficiente sea constante dentro del rango de números de Reynolds para los cuales se va a utilizar. El coeficiente puede ser ligeramente mayor que la unidad para medidores vénturi inusualmente lisos por dentro. Esto no significa que no haya pérdidas, sino que es el resultado de haber despreciado los factores de corrección de energía cinética a 1 y a 2 en la ecuación de Bernoulli. Generalmente, a 1 es mayor que a 2, debido a que la región de reducción hace que la distribución de velocidad en la sección 2 sea más uniforme. El medidor vénturi tiene unas pérdidas totales bajas debido a la región cónica que se expande gradualmente, la cual ayuda a la reconversión de la energía cinética alta en la garganta a energía de presión. La pérdida es aproximadamente del lO al15% del cambio de cabeza entre las secciones 1 y 2.

Medidor vénturi para flujo compresible El flujo teórico de un fluido compresible a través de un medidor vénturi es sustancialmente isentrópico y se obtiene de las ecuaciones (4.3.4) y (4.5 .9), y de la expresión pvk =constante. Cuando se multiplica por Cv, el coeficiente de velocidad, la tasa de flujo de masa es (10.7.8)

El coeficiente de velocidad es el mismo que para el flujo de un liquido.

Boquilla de flujo En la figura 10.22 se muestra la boquilla de fluj o ISA (lnstrument Society of America, Sociedad Instrumental de América) (originalmente la boquilla de flujo VDI). El chorro no tiene contracción diferente a aquélla en la abertura de la boquilla; por consiguiente, el coeficiente de contracción es la unidad. Las ecuaciones (10.7.5) y (10.7.7) son también válidas para la boqui1la de flujo. Para una tubería horizontal (h = 0), la. ecuación (10.7.5) puede escribirse como

Q

= e~ {2D.p

(10.7.9)

~ p

en la cual

e=

(10.7. 10)

y !1p = p 1 - p 2• El valor del coeficiente e dado en la figura 10.22 se utiliza en la ecuación (10.7.9). Cuando se va a utilizar el coeficiente dado en la figura, es importante cumplir con las dimensiones mostradas, particularmente en lo referente a la localización de las aberturas piezométricas (se muestran dos métodos) para medir la caída de presión. Por lo menos un tramo de tubería recta de 10 diámetros de longitud debe preceder la boquilla. La boquilla de flujo cuesta menos que el medidor vénturi. Tiene la desventaja de que las pérdidas totales son mucho más grandes debido a la falta de guía del chorro aguas abajo de la abertura de la boquilla.

478 C A P Í T U L O

•

1O

Mecánica de fluidos

A2

1.20 C=

A¡

Cu

0.65

1.18

ffl

1.16 0.60

1.14

rS

g- -i?t--,JI

1.12

o

l.lO

f - IX/1~

c::l o~ o

e

0.55 0.50

1.08

,....

1.06

V1

1.04

.,; ~

1.02 1.00 0.98 0.96 0.94 +-l

1.- ~ 0.1 D1

0.92

~

0.45 0.40

,....

0.35

~ ;,...... ..,. .... ~ ~

, /~ ~

0.30

,.-

0.20 0.10 0.05

L: ~ ~ /~

"

10"

figuro 10.22 Boquilla de Rujo ISA (VOl} y coeficiente de descarga (Ref 11 en NACA Tech, Mem. 952).

Ejemplo 10.4

Determinar el flujo por una tubería de agua de 6 pulg de diámetro que contiene una boquilla de flujo de 4 pulg de diámetro. El manómetro diferencial mercurio-agua registra una diferencia manométrica de 1O pulg. La temperatura del agua es 60°F. Solución

De los datos dados, S0 = 13.6, S,= l.O, R' = 10/ 12 = 0.833 pies, A 2 = 7T/36 = 0.0873 pies 2, p = 1.938 slugs/pie3 y J.L = 2.359 X l0- 5 lb·s/pie2 • Sustituyendo la ecuación (10.7.10) en la ecuación (10.7.7) se obtiene

Q=

e A,

2gR'(~: - 1)

De la figura 10.22 y para A/A, = (4/6)2 = 0.444, se supone que se aplican las regiones horizontales de las curvas. Por consiguiente, C = 1.056. Luego se calcula el caudal y el número de Reynolds como

Q = 1.056(0.0873) 64.4(0.833)(

13 6 · - 1.0) = 2.40 pes 1.0

Entonces =

2.40 nt16

= 12.21 pies/s

Mediciones 4 79 y

12.21(1.938) = 502,000 2(2.359 X lO-S) La gráfica muestra que el valor de·Ces correcto; por consiguiente, el caudal es 2.40 pes.

Medidor de codo El medidor de codo para flujo incompresible es uno de los aparatos de medición de caudales más simples. Las aberturas piezométricas en el lado interno y externo del codo se conectan a un manómetro diferencial. Debido a la fuerza centrífuga en la curva, la diferencia de presiones está relacionada con el caudal. Una longitud recta de apaciguamiento debe preceder el codo, y para resultados más exactos el medidor debería calibrarse in situ (21). Debido a que la mayoría de las tuberías tienen un codo, éste puede utilizarse como medidor. Después de la calibración los resultados son tan confiables como los de un medidor vénturi o una boquilla de flujo.

Rotámetro El rotámetro es un medidor de área variable que consta de un tubo transparente que se amplía y un medidor de "flotador" (más pesado que el líquido) el cual se desplaza hacia arriba por el flujo ascendente de un fluido en la tubería. El tubo se.encuentra graduado para leer directamente el caudal. Las ranuras en el flotador hacen que rote y, por consiguiente, que mantenga su posición central en el tubo. Entre mayor sea el caudal, mayor es la altura que asume el flotador.

EJERCICIOS 10.7.1 ¿Cuál de los siguientes instrumentos de medición es un medidor de caudal? (a) un correntómetro; (b) un medidor de disco; (e) un anemómetro de hilo caliente; (d) un tubo de pitot; (e) un medidor vénturi. · 10.7.2 El coeficiente de descarga para un medidor vénturi de 40 X 20 mm para un número de Reynolds de 200.000 es (a) 0.95; (b) 0.96; (e) 0.973; (d) 0.983; (e) 0.992. 10.7.3 Seleccionar la frase correcta: (a) El caudal a través de un tubo vénturi depende únicamente de ~P y es independiente de la orientación del medidor. (b) Un medidor vénturi con una diferencia manométrica R 1 dada descarga un caudal mayor cuando el flujo es verticalmente hacia abajo que cuando el flujo es verticalmente hacia arriba. (e) Para una diferencia de presión dada, las ecuaciones muestran que el caudal de gas es mayor a través de un tubo vénturi cuando se tiene en cuenta la compresibilidad que cuando se desprecia. (d) El coeficiente de contracción de un medidor vénturi es la unidad. (e) La pérdida total es la misma en una tubería dada cuando se utiliza un medidor vénturi o una boquilla con el mismo D2•

10.8 APARATOS DE MEDIDA DE CAUDAL PARA CANALES ABIERTOS Vertederos Los medidores de caudal basados en obstrucciones en conductos tienen sus contrapartes en el flujo en canales de superficie libre. Por ejemplo, la canaleta Parshall es análoga al medidor vénturi mientras

480 C A P Í T U L O

•

l O

Mecánica de fluidos

Figura 10.23 Vertedero rectangular de cresta delgada.

que los vertederos son análogos a los orificios. Un vertedero es una obstrucción en el canal que hace que el líquido se represe detrás de él y fluya sobre éste. Midiendo la altura de la superficie líquida aguas arriba, se determina el caudaL Los vertederos construidos a partir de una lámina de metal u otro material, de tal manera que el chorro, o napa, salte libre cuando deje la cara de aguas arriba, se conocen como vertederos de cresta delgada. Otros vertederos, tales como el vertedero de cresta ancha, soportan el flujo en una dirección longitudinal. El vertedero rectangular de cresta delgada (figura 10.23) tiene una cresta horizontal. La napa se contrae en la parte de arriba y en la parte de abajo, tal como se muestra. Si se desprecian las contracciones se puede deducir una ecuación para el caudal. Sin contracciones el flujo aparece tal como se muestra en la figura 10.24. La napa tiene líneas de corriente paralelas y presión atmosférica a través de ella. La ecuación de Bernoulli aplicada entre 1 y 2 (figura 10.24) es

v2

H+0+0= +H-y+O 2g

en la cual se ha despreciado la cabeza de velocidad en la sección l. Despejando v, se obtiene

~2gy

V=

El caudal teórico Q, es

Q,

=J

v dA =

J:

vL dy =

.j2g L

J:

yl 12 dy =

~ .j2g LH3n

en donde Les el ancho del vertedero. Los experimentos muestran que el exponente de Hes correcto pero el coeficiente es demasiado grande. Las contracciones y las pérdidas reducen el caudal real alrededor del 62% del caudal teórico o 3.33LH 312 Q = { 1.84LH312

unidades use unidades SI

Figura 10.24 Napa del vertedero sin contracciones.

(10.8.1)

Mediciones 481 Cuando el vertedero no abarca completamente el ancho del canal, tiene contracciones de extremo, las cuales se ilustran en la figura 10.25a. Se obtiene una corrección empírica para la reducción del flujo al restar O.lH deL en cada extremo de la contracción. Se dice que el vertedero de la figura 10.23 tiene sus contracciones de extremo suprimidas. La cabeza H se mide aguas arriba del vertedero a una distancia lo suficientemente grande para evitar la contracción de la superficie. Un medidor de gancho montado en un tanque de aquietamiento conectado a una abertura piezométrica mide la elevación de la superficie del agua para determinar la cabeza. Cuando la altura P del vertedero (figura 10.23) es pequeña, no se puede despreciar la cabeza de velocidad en l. Se puede añadir una corrección a la cabeza,

Q

=

2J3n CL(H +a ~g

(1 0.8.2)

en la cual V es la velocidad y a es mayor que la unidad, usualmente se toma como 1.4, para tener en cuenta la distribución de velocidad no uniforme. La ecuación ( 10.8.2) debe resolverse para Q por prueba y error, debido a que tanto Q como V se desconocen. Como primera aproximación, se puede despreciar el término aV2/2g para evaluar Q. Con este caudal de prueba, se calcula un valor de V debido a que Q L(P + H)

V=

Para caudales pequeños el vertedero de ranura en V es particularmente conveniente. Se desprecia la contracción de la napa y el caudal teórico se calcula (figura 10.25b) como sigue: l . La velocidad a la profundidad y es v = ~2gy , y el caudal teórico es Q1

= J vdA =

t

vxdy

2. Mediante triángulos similares, se puede relacionar x con y X

H - y

=

L H

3. Después de sustituir v y x,

O.lH -t 1-

-t 1- O.lH

~L----..¡

(a)

(b)

Figura 10.25 Vertederos: (o) horizontal con contracciones de extremo y (b) Vertedero de ranura en V.

482 C A P Í T U l O

1O

•

Mecánica de fluidos

4. Expresando UH en términos del ángulo e/> de la ranura en V, se obtiene L

2H

= tan e/> 2

Por consiguiente, Q

'

=~

f2=g tan e/> H 5n 2

15 v' ""o

5. El exponente de la ecuación es aproximadamente correcto, pero el coeficiente debe reducirse alrededor del 42% debido a que se ignoraron las contracciones. Una ecuación aproximada para una ranura en V de 90° es _ {2.5082·50 Q - 1.3882·50

unidades USC unidades SI

(10.8.3)

Los experimentos muestran que el coeficiente se aumenta si la cara de aguas arriba de la placa del vertedero se hace más rugosa, lo cual hace que la capa límite crezca hasta un mayor espesor. La gran cantidad de líquido que se mueve despacio cerca de la pared puede voltearse más fácilmente y, por consiguiente, se presenta una menor contracción de la napa. El vertedero de cresta ancha (figura 10.26a) soporta la napa de tal manera que la variación de la presión es hidrostática en la sección 2. Se puede aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 para encontrar la velocidad v2 a la altura z, despreciando la velocidad de aproximación, como H + O+ O

v2

= -2

2g

+ z + (y - z)

Resolviendo para v2 , V2

= ~2g(H - y)

y z se elimina; por consiguiente, v 2 es constante en la sección 2. Para un vertedero de ancho L perpendicular al plano de la figura, el caudal teórico es {10.8.4)

Una gráfica de Q en abscisas contra la profundidad y en ordenadas, para H constante, se muestra en la figura l0.26b. La profundidad a la cual se alcanza el máximo caudal se analiza a continuación. Una compuerta o cualquier otra obstrucción localizada en la sección 3 de la figura 10.26a podría parar completamente el flujo haciendo que y = H. Si se permite que un pequeño caudal pase a través

a

y

Q (a)

Figura 10.26 Vertedero de cresta ancho.

(b)

Mediciones 483 de la sección 3 (dejando H constante), la profundidad y se vuelve un poco menor que H y el caudal es. por ejemplo, el que se muestra en el punto a de la curva profundidad-caudal. Abriendo adicionalmente la compuerta o la obstrucción en la sección 3, la relación caudal-profundidad sigue la porción superior de la curva hasta alcanzar el caudal máximo. Cualquier abertura adicional de las obstrucciones de aguas abajo, sin embargo, no tiene ningún efecto sobre el caudal, debido a que la velocidad de flujo en la sección 2 es que es exactamente la velocidad a la cual una onda elemental puede viajar en agua en reposo con una profundidad y. Por consiguiente, el efecto de cualquier reducción adicional de la elevación de la superficie aguas abajo no puede moverse hacia aguas arriba para afectar adicionalmente el valor de y, y la descarga ocurre en el valor máximo. Esta profundidad y se conoce como la profundidad crftica y se estudia en la sección 13.5. La velocidad de una onda elemental se deduce en la sección 13 .12. Tomando dQ/dy e igualando el resultado a cero, para H constante,

.JiY,

dQ

dy

= O = L~2g(H -

1 -2g y) + Ly--r====== 2 v'2g(H - y)

Resolviendo para y se obtiene 2 y= - H 3

Insertando el valor de H , es decir, 3y/2, en la ecuación para la velocidad v2, da como resultado

v2 = .fiY y después de sustituir el valor de y en la ecuación (10.8.4) se llega a _ {3.09 LH 3n. unidades USC Q, - 1.705LH3n. unidades SI

(10.8.5)

Los experimentos muestran que para un borde de aguas arriba bien redondeado, el caudal es 3.03LH3n.

Q

= { 1.67 LH3n.

unidades use

(10.8.6)

unidades SI

el cual está dentro del 2% del valor teórico. Por consiguiente, el flujo se ajusta a sí mismo para descargar a la tasa máxima. Debido a que la viscosidad y la tensión superficial tienen efectos menores sobre el coeficiente de descarga de vertederos, un vertedero se debería calibrar con el líquido que medirá.

Ensayos sobre un vertedero de ranura en V de 60° reportaron los siguientes valores de cabeza H sobre el vertedero y el caudal Q: H, pies

0.345

0.356

0.456

0.537

0.568

0.594

0.619

0.635

0.6~

0.665

Q. pes

0.107

0.110

0.205

0.303

0.350

0.400

0.435

0.460

0.490

0.520

Utilizar el algoritmo de mínimos cuadrados para determinar las constantes en Q = CH m para este vertedero.

Ejemplo 10.5

484

C A PÍ T U LO

l O

•

Mecánica de fluidos

y

•

Figuro 10.27 Gráfica log-log de Q versus H poro un vertedero de ranura en V.

Solución

Tomando logaritmos a cada lado de la ecuación In Q

= In e

+ m ln H

o

y=B+mx

se nota que los valores óptimos de B y m son necesarios para obtener la línea recta que pasa por los datos cuando se representan gráficamente en un papellog-log. Mediante la teoría de los mínimos cuadrados, la mejor línea recta que pasa por los puntos es aquella que produce el valor mínimo de la suma de los cuadrados de los desplazamientos verticales de cada punto de la línea, o de la figura 10.27,

donde n es el número de puntos experimentales. Para minimizar F, aF!aB y aFI()m se toman y se igualan a cero, arrojando dos ecuaciones con las dos incógnitas B y m como

-aF as = O = 2L[y., -

(B + mx.)](-1) ,

de donde

Ly. - nB - ml:x. 1

1

=O

(1)

y aF ()m = O

= 2L[Y; -

(B + mx¡)](-x¡)

o

Ú;Y; - Bú; - múJ

=0

(2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) para m, se obtiene m

=

Ú ;y/J:.x; - 'f.y/n

ú J/J:.x; -

:Ex¡In

Estas ecuaciones se resuelven fácilmente mediante una calculadora o un programa simple en una hoja electrónica. La respuesta para los datos de este problema es m = 2.437 y e= 1.395.

Mediciones 485

Medición del caudal de un río Para la planeación de recursos hidráulicos o para la protección contra inundaciones son esenciales los registros diarios u horarios del caudal de los ríos a lo largo de periodos largos de tiempo. Las mediciones repetidas del caudal mediante la determinación de la distribución de velocidad a lo largo de una sección transversal del río son costosas. Para evitar el costo y seguir obteniendo registros diarios, se establecen secciones de control y, en las cuales el canal del río es estable, es decir, hay poco cambio en el fondo o en los lados de su lecho. La sección de control se encuentra con frecuencia en el quiebre de pendiente, en el fondo del río, donde se vuelve más empinada hacia aguas abajo. El propósito de la sección de control es establecer una relación precisa entre el caudal y la elevación, una variable mucho más fácil de medir. El caudal en una sección transversal fija del canal se encuentra mediante Q(t)

= J V·dA = f

u(y, Z, t)dA

(10.8.7)

Aquí u es la componente de la velocidad en la dirección x, la cual es perpendicular a la sección transversal y se dirige hacia aguas abajo (figura 10.28a). Por consiguiente, los datos más directos de Q(t) resultarían de dividir la sección transversal en un número incremental de áreas de tamaño M IJ..,

(a)

(b)

Figura 10.28 Esquema de un aforo en una corriente.

486 C A P Í T U L O

1O

•

Mecánica de fluidos

midiendo la velocidad hacia aguas abajo del canal, ejemplo,

uv en cada área incremental y sumando. Por

Q=~u . M1,) .. k lo} i,j

En esta ecuación está implícito que u .. representa el promedio en cada sección transversal AA . . Adicionalmente se supone que el tiempo que toma la recopilación de los datos en toda la sección transversal es menor que el tiempo que toma para cualquier cambio apreciable en el caudal. Se pueden simplificar considerablemente los requerimientos para la recopilación de datos de velocidad teniendo en cuenta el conocimiento del perfil de velocidad en un canal abierto y su relación con la velocidad promedio, tal como se detalló en el ejemplo 6.4. En este ejemplo se aprendió que la medida de la velocidad en zld = 0.4 (zld = 0.6 si z se mide desde la superficie hasta el fondo) o el promedio de dos medidas de velocidad en z/d = 0.2 y 0.8 dará la velocidad promedio, u. Por consiguiente, la sección transversal (figura 10.28b) se divide en franjas de columnas de agua de igual ancho, (~w), y la velocidad se mide en las dos profundidades normalizadas para cada una de las franjas, y el producto se suma como ~

~

M

= LÜ/ ''J.Wjdj

(1 0.8.8)

j=l

Utilizando la medida en un punto para la velocidad promedio, Q se estima como ( 10.8.9)

Típicamente el ancho de cada franja no es mayor que el 10% del ancho total de la sección transversal. Al mismo tiempo que se mide el caudal, una mira o un transductor de presión, montado en la sección de control, registra la altura de la columna de agua o el nivel. Por consiguiente, el caudal medido por el equipo de muestreo se puede relacionar con la altura del agua. Cuando la corriente nunca ha sido calibrada, se deben recopilar pares de datos, caudal y altura, que cubran todo el rango de caudales para la corriente desde flujos bajos hasta flujos altos. Estos datos se utilizan para establecer la curva nivel-caudal. La curva nivel-caudal permite entonces mediciones rápidas del flujo, simplemente registrando la elevación del nivel de agua, una medida muy simple y económica de hacer. Se deben llevar a cabo verificaciones subsecuentes para determinar si la calibración original sigue siendo válida. Si se ha utilizado una sección de control estable, se observará un cambio muy pequeño en la calibración. Para secciones transversales inestables la calibración podría cambiar en periodos de días. Los errores que se pueden cometer en la medición del caudal ocurren en dos formas. El primero es el error estándar del instrumento en las tres mediciones de u, ~ w y d. El segundo error está en la aproximación numérica de la integral dada en la ecuación ( 10.8. 7), mediante el método de la integración trapezoidal utilizado en la ecuación (10.8.8). Los métodos en las ecuaciones (10.1.2) y (10.1.3) se uriliz;m para estimar el error del instrumento. Los libros de texto sobre métodos numéricos (por eJemplo. [22]) indican que el error de la aproximación numérica es del orden de O (~w2 ) para intervalos de ancho igualmente espaciados. Por consiguiente, utilizando un mayor número de columnas de ~oua en la sección transversal reduce el error de aproximación.

Mediciones 487

EJERCICIOS 10.8.1 El caudal a través de un vertedero de ranura en V varía como (a) H - 1n.; (b) H 1n.; (e) H 3r.; (d) H 5n. ; (e) ninguna de estas respuestas. 10.8.2 El caudal de un vertedero rectangular de cresta delgada con contracciones en los extremos es menor que para el mismo vertedero con contracciones de extremo suprimidas en (a) 5%; (b) 10%; (e) 15%; (d) no es un porcentaje fijo; (e) ninguna de estas respuestas. 10.8.3 En la segmentación de un río para una calibración de sección, el ancho inicial de cada uno de los segmentos es de 10m de longitud. Utilizando un ancho de 5 m, duplicando el número de celdas, (a) bajará el error esperado; (b) decrecerá el error de integración numérica cuatro veces; (e) incrementará el error estimado debido al mayor número de puntos de medición; (d) ninguna de las anteriores.

10.9 MEDIDA DE CONCENTRACIÓN DE PARTÍCULAS La posible combinación de especies de masa en partículas o disueltas que pueden ser transportadas por fluidos en movimiento son innumerables, variando desde compuestos esotéricos que ocurren en procesos unitarios de ingeniería química hasta .el transporte simple de una gota de lluvia o de una partícula de sedimento. Un repaso exhaustivo de todos los procedimientos para medir concentraciones de estas especies es prohibitivo. Aquí la atención se centra en un subconjunto especializado de concentraciones de partículas transportadas en el fluido en movimiento. Aun con esta meta, un repaso completo no es posible. Una partícula se define aquí como una masa pequeña pero coherente compuesta de otro material o de otra fase del fluido. Como ejemplos de las primeras incluyen la arena movida en los ríos y corrientes o el polvo de carbón movido en la atmósfera. Ejemplos de las últimas incluyen gotas de lluvia o nubes en la atmósfera saturada. En todos los casos es probable que las partículas individuales que componen un volumen de muestra tengan una distribución de tamaño aleatoria la cual, afortunadamente, tiende a una distribución predecible de tamaños probables. Es más, también se da el caso de que la masa de cada partícula sea mayor que la masa del fluido que desplaza y las partículas se asienten o se muevan con respecto al movimiento global del fluido. Por consiguiente, las variables de mayor interés de medición son la concentración o masa por unidad de volumen de las partículas y la distribución de tamaño de las partículas que componen la muestra.

Tamaño de partículas En este momento no existen aparatos potencialmente disponibles para hacer medidas simultáneas del tamaño y la concentración de las partículas utilizando el mismo aparato. En lugar de esto, muestras de la mezcla cuya concentración se está midiendo deben recopilarse en el punto de medición y someterse a un análisis de clasificación de tamaños mediante un subsecuente análisis de laboratorio. El tamaño de las partículas encontradas en las actividades día a día varían desde 0.001 J.Lm ( 1 J.Lm es una micra, la cual es 1o-6 m) hasta 104 J.Lm o 1 cm. Las partículas más pequeñas son típicamente polvo de carbón o metalúrgico y virus, mientras que las partículas más grandes son las gravas encontradas en los lechos de corrientes o en canteras. La figura 10.29 [23] contiene un mapa de los diferentes tipos de partículas, sus rangos de tamaño y sus nombres de clasificación. El tamaño en la tabla se muestra en micras. También se utiliza un sistema de unidades fi, el cual es un sistema basado en la potencia 2, definido de tal manera que el diámetro en unidades fi ( cp) se relaciona con el diámetro

-,..,.---,----

-~

.,...

-

00

00

Diámetro de partícula, micras

( 1 pm) 0.00 1

0.0001

¡ ()¡ 'JlCrsorc~

ll.•lonll llllld zy Los resultados son h;

= 24.88 m

Q2 = -0.3293 m 3 /s

Q1

=

1.1980m3/s

Q3 = - 0.8687 m 3/s

Al bombear desde un depósito hacia dos o más depósitos, tal como se muestra en la figura 12.11 , se deben conocer las características de la bomba. Suponiendo que la bomba gira a velocidad constante, su cabeza depende del caudal. Un procedimiento apropiado es como sigue: l. Suponer un caudal a través de la bomba. 2. Calcular la elevación de la línea piezométrica en el lado de succión de la bomba. 3. A partir de la curva característica de la bomba, encontrar la cabeza producida y añadirla a la elevación de la línea piezométrica de la succión. 4. Calcular la caída en la línea piezométrica hasta la unión J y detenninar la elevación de la línea piezométrica en ese sitio.

558

C A P Í T U LO

1 2

•

Mecánica de fluidos

Figura 12.11 Bombeo desde un depósito o otros tres depósitos.

5. A partir de esta elevación, calcular los caudales en las tuberías que la conectan con los otros depósitos. 6. Si el caudal desde la bomba hacia J es igual al caudal neto hacia fuera de J, el problema está resuelto. Si el caudal hacia J es muy grande, suponer un caudal menor a través de la bomba y repetir el procedimiento. Este procedimiento se representa gráficamente fácil de forma que la intersección de las dos elevaciones versus las curvas de caudal dan la respuesta. Problemas de tuberías ramificadas más complejos pueden resolverse mediante un enfoque similar, empezando con una solución de prueba. Sin embargo, los procedimientos de análisis de redes, mostrados en las secciones 12.4 y 12.5, se recomiendan para sistemas multirramas al igual que para sistemas de circuitos multiparalelos.

Ejemplo 12.9

Una bomba se encuentra en una tubería desde un depósito de succión hasta una unión en la cual se conectan tres depósitos mediante tuberías, tal como se muestra en la figura 12.11. Existe una válvula de cheque en la bomba. Utilizar una hoja electrónica para balancear los caudales en el sistema. La ecuación de la bomba está dada por

Hp

= Ao

+ A,Q +

~Q2

+ A3Q3

conA0 = 100, A,= -0.2, A2 = -0.03 y A3 = -0.007; v = 0.000001 m2/s; L l...4 = 10,000,2000, 2500,2000 m, respectivamente; DL.A =4.5, 2.0, 2.5, 2.3 m, respectivamente; E l .. .4 =0.00006, 0.00005, 0.00008, 0.00009 m, respectivamente; y z~, . 4 =O, 12, 18, 25m, respectivamente. Solución

Enfoques alternativos están disponibles, incluyendo los procedimientos de las siguientes secciones. El procedimiento descrito anteriormente trabaja bien cuando se utiliza el optimizador o el solucionador con la hoja electrónica. El caudal hacia la unión se supone positivo de modo que la meta es satisfacer la relación,

L Qen = Q,

+ Q2 + Q3 + ~ = O Se utiliza un valor de QP, el caudal a través de la bomba, para encontrar la elevación de la línea piezométrica en J. h,

= z,

+ HP - hft

El valor de hfl se determina en la ecuación de Darcy-Weisbach con QP = Q 1, y para evaluar fse utiliza la ecuación (6.7.13). Con este h, , se determinan los caudales Q2, Q3 y Q4 utilizando la ecuación (6.7 .15), haciendo uso de los valores absolutos de (z, - h1 ) como hfl y utilizando el signo de hfl para determinar la dirección del flujo. El procedimiento se repite variando QP hasta que I Q~n =O , sujeto a la restricción de que h1 > Zr

Flujo en conductos cerrados 559 Los resultados son

h,

= 22.75 m

Q2 = -14.495 m 3 /s

Qp

= Q, = 20.257 m3/s

Q3 = -14.761 m3/s

~

= 8.999 m3/s

12.4 FLUJO PERMANENTE: REDES DE TUBERÍAS Las tuberías interconectadas, en las cuales el flujo en una salida dada puede venir de diferentes circuitos, se conocen como redes de tuberías, análogas al flujo a través de redes eléctricas. Los problemas en estas redes, en general, son complejos y requieren soluciones de prueba y error en las cuales los circuitos elementales se balancean en tandas hasta que todas las condiciones del flujo se satisfagan. Las siguientes condiciones se deben satisfacer en una red de tuberías: l. La suma algebraica de las caídas de presión en cada circuito debe ser cero. 2. El caudal de entrada debe ser igual al de salida en cada unión. 3. Se debe satisfacer la ecuación de Darcy-Weisbach, o una fórmula equivalente exponencial de fricción, para cada tubería, es decir, la relación apropiada entre la pérdida de cabeza y el caudal se debe mantener para cada tubería. La primera condición establece que la caída de presión entre cualquier par de puntos en el circuito, por ejemplo, A y G (figura 12.12), debe ser la misma a través de la•tubería AG o a través de AFEDG. La segunda condición es la ecuación de continuidad. Debido a que es impráctico resolver analíticamente los problemas de redes, se utilizan métodos de aproximaciones sucesivas. El método de Hardy Cross [3] es uno, en el cual se suponen los caudales para cada tubería, de tal manera que la ecuación de continuidad se satisface en cada unión. Luego se calcula una corrección para el caudal en cada circuito y se aplica para balancear mejor los circuitos. Las pérdidas menores se incluyen como longitudes equivalentes en cada tubería. Comúnmente se utilizan ecuaciones exponenciales de la forma h1 = rQ", donde r = RUDmen la ecuación (12.1.1 ). El valor de res una constante para cada tubería (a menos que se utilice la ecuación de Darcy-Weisbach) y se determina antes del procedimiento de balanceo de los circuitos. El término de corrección se obtiene como sigue. Para cualquier tubería en la cual Q0 es un caudal inicial supuesto

Q = {4¡ + óQ

Figura 12.12 Red de tuberías.

( 12.4.1)

560 C A P Í T U L O

1 2

•

Mecánica de fluidos

donde Q es el caudal corregido y .!lQ es la corrección. Luego, para cada tubería h1

= rQ" = r(Oo

+ óQ)"

= r(Q¡j

+ nQ¡j- 1óQ + .. ·)

Si LlQ es pequeño comparado con Q0, todos los términos de la serie después del segundo pueden despreciarse. Ahora, para un circuito

en donde LlQ se factoriza en la sumatoria por ser el mismo para todas las tuberías del circuito, y se han añadido signos de valor absoluto para tener en cuenta la dirección de la suma alrededor del circuito. La última ecuación se resuelve para .!lQ en cada circuito de la red como

(12.4.2)

Cuando LlQ se aplica a cada tubería del circuito de acuerdo con la ecuación (12.4. 1), la dirección es importante, es decir, se añade a los caudales en la dirección de las manecillas del reloj y se resta en los caudales en la dirección contraria. Los pasos en un procedimiento aritmético pueden describirse tal como sigue: l. Suponer la mejor distribución de caudales que satisfaga la continuidad examinando cuidadosamente la red. 2. Para cada tubería en un circuito elemental, calcular y sumar la pérdida de cabeza neta 1 L h1 = L rQ". Calcular también L rniQI"- para el circuito. La relación negativa, dada por la ecuación ( 12.4.2) permite calcular la corrección, la cual se añade algebraicamente a cada caudal en el circuito para corregirlo. 3. Proceder hacia otro circuito elemental y repetir el proceso de corrección del paso 2. Continuar en todos los circuitos elementales. 4. Repetir los pasos 2 y 3 tantas veces como sea necesario hasta que las correcciones LlQ sean arbitrariamente pequeñas. Los valores de r ocurren tanto en el numerador como en el denominador; por consiguiente, pueden utilizarse valores proporcionales a r real para encontrar la distribución. Similarmente, la partición de los caudales puede expresarse como un porcentaje de los caudales reales. Para encontrar una pérdida de cabeza particular, se debe utilizar el valor real de r y Q después de haber determinado la distribución.

1Ejemplo

12.1 O Se desea conocer la distribución de caudales a través de la red de la figura 12. 13 para los caudales de entrada y de salida dados. Por simplicidad, n tiene un valor de 2.0. Solución

La distribución sue_vesta se muestra en la figura 12.13a. En la parte superior izquierda el término L rOo lOo 1 se calcula para el circuito inferior número l. Al lado izquierdo del 1 diagrama se encuentra el cálculo de 'LnriOol"- para el mismo circuito. Se utiliza el mismo formato para el segundo circuito en la parte derecha superior de la figura. El caudal corregido después del primer paso para la tubería horizontal superior se determina como 15 + 11.06 = 26.06 y para la diagonal como 35 + ( -21.17) + ( - 11.06) = 2.77. La figura 12.13b muestra los caudales después de una corrección y la figura 12.13c los valores después de 4 correcciones.

Flujo en conductos cerrados 561

7Ql X 6 = 29.400 2 X 70

X

6 =

840

3S2

X

3 =

3,675 2

X

3S

3=

210

-3ol X S • -4,SOO 2

X

30 X S =

300

X

28,S7S

152

X

1

=

225 2

-352 X 2 • -2,450 -13.832 X 3 = -

1,350

1.5 X 1 •

X

2X

574 2

X

3.5 X 2 • 140 13.83

X

3

=

-2,799

llQ¡ "' - 28,S75 = -21 17 1.350 .

AQ2

=

2,799 253

30 83

253

= 11.06

(a )

48.832 X 6 • 2 772

X

3 =

-51.172 xs

14,308 2 23

= -13.090

48.83 X 6 =

586

2 X 2 77 X 3 =

17

X

2x51.17 x5

1,241

AQ1

•

241 _ l. 1,114

=

26.062 X 1 •

-23.942 X

679 2 X 26.06 X 1 =

52

2 • -1,146 2 X 23.94 X 2 -

96

-1.65~ X 3

511

=-

1,114

8 2 X 1.656 X 3 - 475

=

10 158

475

= - 1. 114

AQz == 158 = 3.006 (b)

AQ¡ • 0.0079

AQ2 = 0.169

llQ¡ = 0.0013

AQ2

-

0.0003

(e)

Figura 12.13 Solución para el flujo en una red simple.

Las redes muy simples, tales como la de la figura 12.13, pueden resolverse con calcuiadoras programables portátiles o con una hoja electrónica. Para redes más grandes que la del ejemplo previo o para redes que contienen múltiples embalses, bombas de suministro o bombas de impulso, puede utilizarse una hoja electrónica, tal como se plantea en la siguiente sección. Para redes grandes con muchos circuitos y muchos elementos se recomienda una solución numérica basada en los principios originalmente presentados por Hardy Cross, tal como se describió anteriormente. Varios métodos más generales [4-7], se encuentran disponibles basados primordialmente en los esquemas de balance de circuito o balance de nodos de Hardy Cross. En los métodos más generales normalmente se modela el sistema con un conjunto de ecuaciones simultáneas que se resuelve mediante el método de Newton-Raphson. Algunas soluciones programadas [5,6] son muy útiles como herramientas de diseño, debido a que los tamaños y las rugosidades de las tuberías pueden tratarse como incógnitas adicionalmente a las presiones en las uniones y los caudales.

12.5 FLUJO PERMANENTE: METODOLOGÍAS PARA REDES HIDRÁULICAS COMPLEJAS Los sistemas hidráulicos que contienen componentes diferentes a tuberías pueden manejarse reemplazando cada componente con una longitud equivalente de tubería. Cuando la componente adicional es una bomba, se requiere consideración especial. Igualmente, en sistemas que contienen más de una elevación de la linea piezométrica fija, puede introducirse un artificio especial.

562 C A P Í T U L O

•

l 2

Mecánica de fluidos

-3------®

......... ---

¿;~i;;, ........ o.09m3J s n -- .... Ell35 m .... / 0.03-400-0.3

'

~

1

/ITl

0

'""'~

\

®Circuito 2

\ , tCD ~

\ ~ ,o El150 ~

o..s.~

Circuito 1 3

• rn

n

ltto

·6

lll c::i~' \ \ fij< lltutx:ría/ruocl ónlt uheríalvál vt>la f

tubería

longltud

diámetro

a

B • alg•AR

AR

Rt

1

0.019

100

0.200

1000

0.031

BBBl•

3246.1

Rfl =

490.8

2

0.025

24{)

0.100

1200

0.008 BBB2•

15581.1

Rn=

49596

g-

9.806

Cd.A=

0.000150

HR•

QOHO=

0.00720

120.000

•HR+BBB1•B15

[email protected]•

• Ll4-BBB2•K14

•BBB1 +Rfl•ABS(B15)

[email protected] ..

• BBB2+Rf'2-Kt4

117.405

• SQRT{HRI(Rfl + Rf2+ 1/(2•g.cd.A'2))) =HR-(Rf1+Rf2)-Q0'2

CP & CM para culcular HJ & QJ @. 2 s

[email protected]•

np & BM para calcular HJ & QJ @. 2 S

[email protected] •

tutleríu 1

Depósito ticmpo,s

QA

CP

tubería

BP

2

CM

tubería

UOIÓfl

BM

- 0.1

0.00720

0.0

0.00720

0.1

0.00720

143.364

3249.6

5.256

15938

0.2

0.00720

143.364

3249.6

5.256

15938

0.3

0.00720

143.364

3249.6

63.089

0.4

0.00121

143.364

3249.6

0.5

-0.00657

123.939

0.6

-0.01270

98.680

0.7

-0.00760

0.8

0.00032

0.9

HJ

QJ

2

CP

Válvula

BP

QB

HB

0.0072

117.405 117.405 146.469

119.975

0.00720

119.975

0.00720

119.975

0.00720

232.123

0.0072 15938 0.0054

119.975

0.00720

232.123

15938 0.0030

184.223

15847

129.704

0.00420

232.123

15938 0.0000

232.123

137.395

15730

142.342

0.00031

232.123

15938

0.0000

232.123

3246.7

232.123

15581

142.594

-0.00575

195.202

15790 0.0000

195.202

3249.3

232.123

15581

121.706

-0.00709

147.242

15597 0.0000

147.242

78.790

3252.3

195.202 15581

98.893

- 0.00618

53.065

15866 0.0000

53.065

95.317

3249.8

147.242 15581

104.278

- 0.00276

11.289

15933

0.0000

11.289

0.00209

121.042

3246.2

53.065

15581

109.321

0.00361

2.584

15888 0.0000

2.584

l.O

0.00690

126.768

3247.1

11.289

15581

106.853

0.00613

61.314

0.0000

61.314

1.1

0.01017

142.387

3249.4

2.584

15581

118.262

0.00742

165.578

15760 0.0000

165.578

1.2

0.00795

153.026

3251.1

61.314

15581

137.193

0.00487

202.417

15885 0.0000

202.417

1.3

-0.00043

145.809

3250.0

165.578

15581

149.221

-0.00105

233.940

15949 0.0000

233.940

1.4

- 0.01005

118.616

3246.3

202.417

15581

133.065

- 0.00445

213,073

15823 0.0000

213.073

1.5

-0.00847

87.3n

3251.0

233.940

15581

112.678

- o.oon8

132.863

15633 0.0000

132.863

1.6

-0.00552

92.505

3250.2

213.073

15581

113.315

- 0.00640

63.714

15802 0.0000

63.714

1.7

- 0.00434

102.080

3248.8

132.863

15581

107.391

- 0.00163

-8.584

15967 0.0000

-8.584

1.8

0.00225

105.916

3248.2

63.714

15581

98.636

0.00224

13.556

15899 0.0000

13.556

1.9

0.00882

127.300

3247.2

- 8.584

15581

103.865

0.00722

81.919

15662 0.0000

81.919

2.0

0.01217

148.630

3250.4

13.556

15581

125.316

0.00717

133.558

15692 0.0000

133.558

15718

2.1

0.00553

159.518

3252.0

81.919

15581

146.119

0.00412

216.315

15939 0.0000

216.315

2.2

-0.00393

137.948

3248.8

133.558

15581

137.191

0.00023

237.075

15937

0.0000

237.075

2.3

- 0.00506

107.264

3248.0

216.315

15581

126.075

-0.00579

210.318

15785 0.0000

210.318

- 0.00709

140.823

15593 0.0000

140.823

2.4

- 0.00766

103.567

3248.5

237.075

15581

126.600

Figura 12.35 Ejemplo 12.19, resultados del transitorio en sistemas en serie.

Q8

= -gBp(CdA) 2 + ~[gBp(CdA) 2 F + (CdA) 2 2gCP

En la figura 12.35 se muestran los resultados del transitorio. Nótese que las condiciones iniciales se especifican en t = 0.0 s y que éstas también se incluyen en t = - 0.1 s. Estas últimas se necesitan en la tubería 2 cuando se hacen los cálculos en t = +0.1 s, debido a que es necesario para alcanzar 0.2 s desde t = - 0.1 s.

Flujo en conductos cerrados 593

PROBLEMASt 12.1 Determinar la discrepancia entre las pérdidas de cabeza calculadas con la ecuación de DarcyWeisbach y con la ecuación Hazen-Williarns para agua a l5°C que fluye en una tubería de acero soldado de 1m de diámetro. C = 120 y € =0.2 mm. Representar gráficamente la discrepancia como función del número de Reynolds, 104 < R < 107 • 12.2

Dibujar las líneas piezométrica y de energía para la figura 12.36. H = 10m.

12.3 Calcular el valor de K para la válvula de la figura 12.36 de tal manera que el caudal del problema 12.2 se reduzca a la mitad. Representar gráficamente las líneas piezométrica y de energía. 12.4

Calcular el caudal del sistema de la figura 12.37. Dibujar las líneas piezométrica y de energía.

12.5

¿Qué cabeza se necesita en la figura 12.37 para producir un caudal de 0.3 m3/s?

12.6 ¿Qué diámetro de tubería lisa se requiere para conducir 8 Lis de querosene a 32°C a través de una longitud de 150m con una cabeza de 5 m? Existe una válvula y otras pérdidas menores con un K total de 7.6. 12.7 Por una tubería horizontal de hierro fundido de 12 cm de diámetro y 300m de longitud fluye agua {15°C). La tubería está conectada a un embalse con una entrada reentrante aguas arriba y descarga a la atmósfera aguas abajo. La línea contiene una válvula de globo abierta y tres codos estándar. Encontrar el caudal si la elevación del embalse es (a) 8 m y (b) 15m por encima de la salida.

--------------------------------------1-

Tubería nueva de acero comercial

Figura 12.36 Problemas 12.2 y 12.3.

2m Petr61eo S=0.88 Jl 0.04 paiec L.-...::.::;;;:...L.r~-_.....--~r

=

Figura 12.37 Problemas 12.4 y 12.5.

1

t

Los problemas 12.1 · 12.70 se refieren a Rujo permanente y 12.71 · 12. 100, o Rujo no permanente.

594 C A P Í T U l O

1 2

•

Mecánica de fluidos

8-pulg-diam tuberfa de acero

Figuro 12.38 Problemas 12.8 y 12.9.

12.8 pies.

Calcular el caudal a través del sifón de la figura 12.38 si se remueve el difusor cónico. H

=4

12.9 Calcular el caudal en el sifón de la figura 12.38 para H = 8 pies. ¿Cuál es la presión mínima en el sistema? 12.10 Encontrar el caudal en el sifón de la figura 12.39. ¿Cuál es la presión en el punto A, el cual se encuentra 150 mm por encima de la salida? Estimar la presión mínima en el sistema. 12.11 Despreciando las pérdidas menores diferentes a la de la válvula, representar gráficamente la línea piezométrica para la figura 12.40. La válvula de globo tiene un coeficiente de pérdidas K = 4.5. 12.12 ¿Cuál es la máxima altura del punto A (figura 12.40) para que no ocurra cavitación? La lectura del barómetro es 29.5 pulg Hg. 12.13 Determinar el caudal del sistemadelafigura 12.41 paraL = 600 m, D = 500mm, E= 0.5 mm y H = 8 m, con las características dadas para la bomba A. 12.14 Determinar el caudal a través del sistema de la figura 12.41 para L =4000 pies, D = 24 pulg de tubería lisa, H = 40 pies, con las características de la bomba B. 12.15 Construir la tabla de cabeza-caudal-eficiencia para las bombas A y B (figura 12.41) conectadas en serie. (Unidades SI). Curva de retorno cerrada

100-mm-diam tuberfa !i!la

50-mm diam boquilla

v2

Pérdida= 0.1 ~

Figura 12.39 Problema 12.1O.

Tu hería lisa de !1 pulg diam Agua a 60'F

Fig ura 12.40 Problemas 12.11 y 12.12.

Flujo en conductos cerrados 595

Agua 11 W'C (68"F)

Bomba A H,.

m

21.3 18.3 16.8 15.2 13.7 12.2 10.7 9.1 7.6 6.1

BombaB

Qp pies

Va

70

o

60

56.6 72.5 85.8 97.7 108 116 127

55 50 45 40 35

30 25 20

130 134

pies

o 2.00 2.56 3.03 3.45 3.82 4.11 4.48 4.59 4.73

t %

o S9 70 76 78 76.3 72

Q,.

Hp m

píes

24.4 21.3

80 70 60

18.3 15.2 12.2 9.1 6.1

so

40 30 20

Vs

o 74 112 140 161 174 177

t pie~

%

o 2.60 3.94 4.96 5.70 6.14 6.24

o 54 70 80 73 60

40

65 56.5 42

Figura 12.41 Problemas 12.13 o 12.20, 12.46, 12.47, y 12.50.

12.16 Construir la tabla cabeza-caudal-eficiencia para las bombas A y B (figura 12.41) conectadas en paralelo. (Unidades USC). 12.17 Encontrar el caudal en el sistema de la figura 12.41 cuando las bombas A y B están conectadas en serie, utilizando una tubería de hierro fundido limpia de 1600 m y de 300 mm, y H = 30 m. 12.18

Determinar la potencia necesaria para mover las bombas A y B en el problema 12.17.

12.19 Encontrar el caudal en el sistema de la figura 12.41 cuando las bombas A y B se conectan en paralelo, utilizando una tubería de acero de 2000 m y de 500 mm, H = 10 m. 12.20

Determinar la potencia requerida para mover las bombas en el problema 12.19.

12.21 Se bombea agua a 60°F desde un tanque presurizado basta un depósito, 25 pies más arriba (figura 12.42). La longitud total de la tubería de acero comercial es de 1200 pies y el diámetro es 6 pulg. Despreciar las pérdidas menores. La curva cabeza-caudal para la bomba está dada por H = 38- 2Q2, con H en pies y Q en pies cúbicos por segundo. Si la presión en el tanque es atmosférica, ¿cuál es el caudal en el sistema? 12.22 Si la presión manométrica en el tanque del problema 12.21 es 15 psi, ¿cuál es el caudal en el sistema? Dibujar la línea piezométrica para esta condición de flujo.

25 pies

Figura 12.42 Problemos 12.21 y 12.22.

596 C A P Í T U l O

1 2

•

Mecánica de fluidos

Embal!le

Figuro 12.43 Problemas 12.23 y 12.24.

12.23 Se bombea agua desde un embalse grande hasta el tanque presurizado a una elevación más alta (figura 12.43). La longitud total de la tubería es 2000 pies, el diámetro es 8 pulg, es de plástico liso y C = 130. Despreciar las pérdidas menores. Si la curva de la bomba es H = 48- 2Q 2, con H en pies y Q en pies cúbicos por segundo, encontrar el caudal en el sistema cuando la presión en el tanque es 12 psi y la elevación del tanque de agua es 10 pies. Dibujar la línea piezométrica. 12.24 Si la elevación en el tanque de agua del problema 12.23 es 35 pies y éste se encuentra abierto a la atmósfera, ¿cuál es el caudal? 12.25 Dos embalses están conectados mediante tres tuberías en serie de hierro fundido limpias: L 1 = 300m y D = 200 mm; L2 =360m y D2 = 300 mm; y L 3 =1200 m y D 3 =450 mm. Cuando Q = 0.1 m 3/s de agua a 20°C, detenninar la diferencia de elevación entre los embalses. 12.26

Resolver el problema 12.25 mediante el método de longitudes equivalentes.

12.27 Para una diferencia de elevación de 1Om en el problema 12.25, encontrar el caudal utilizando la ecuación de Hazen-Williams. 12.28 Dos tuberías horizontales (€ = 1.5 mm) en serie conducen aire a presión atmosférica y a l5°C. La tubería de aguas arriba tiene 120m y un diámetro de 720 mm, y la de aguas abajo tiene 30 m y un diámetro de 900 mm. Estimar la longitud equivalente de tubería de 450 mm (€ = 0.76 mm). Despreciar las pérdidas menores. 12.29 ¿Qué caída de presión, en milímetros de agua, se requiere para que fluya un caudal de 3m3/s en el problema 12.28? Incluir las pérdidas debidas a la expansión súbita. 12.30 Se desea conformar una compañía para vender el agua en una ciudad. Ésta comprará el agua a $(200,000 + 2,000*Q)* Q, con Q en pies cúbicos por segundo y la transportará 25 millas por una tubería con espesor constante. La ciudad pagará $1,900,000 + $265,000 * (Q- 5) para 5 a 10 pes. Los precios están dados sobre bases anuales. La tubería cuesta $1,450,000*D (en pies). El factor de fricción de la tubería es f = 0.02. La estación de bombeo cuesta $30,000 + $22,000Dp3 (en pies). La bomba es una de la serie homóloga con H 1 = 200 pies, Q1 =5 pes, DP1 =1.167 pies, N, = 1200 rpm y la eficiencia es r¡ = 0.84. El costo del dinero, incluyendo los fondos de amortización y las contingencias es 13%, y los costos de mantenimiento y operación son $100,000 por año. Suponer que el costo de la energía es 8 centavos por k Wh. Seleccionar el tamaño de la bomba, el diámetro de la tubería y el caudal que dará el retorno óptimo para la compañía de agua.

Flujo en conductos cerrados 597 12.31 Una bomba suministra agua por una tubería de 14,000 m de longitud hasta un embalse agua 2000, el flujo generalmente es turbulento. La mayoría de los flujos en canales abiertos son turbulentos, usualmente con agua como líquido. Los métodos para analizar el flujo en canales abiertos no están tan desarrollados como los de conductos cerrados. Las ecuaciones comúnmente utilizadas suponen turbulencia completa, con pérdidas de cabeza proporcionales al cuadrado de la velocidad. Aunque prácticamente todos los datos sobre flujos en canales abiertos se han obtenido a partir de experimentos de flujo de agua, las ecuaciones deberían dar resultados razonables para otros líquidos de baja viscosidad. El material de este capítulo es válido únicamente para flujo turbulento.

606

C A PÍ T U LO

1 3

•

Mecánica de fluidos

13.1 CLASIFICACIÓN DEL FLUJO Definiciones El flujo en canales abiertos se presenta en gran variedad de formas, desde el flujo de agua sobre la superficie de un campo arado durante una lluvia fuerte hasta el flujo con profundidad constante en un canal prismático largo. Puede clasificarse como permanente o no permanente y como uniforme o no uniforme. El flujo uniforme permanente ocurre en canales inclinados muy largos de sección transversal constante en regiones donde se ha alcanzado la velocidad terminal, es decir, donde la pérdida de cabeza, debida al flujo turbulento, se suministra con exactitud mediante la reducción en energía potencial debida al descenso uniforme en la elevación del fondo del canal. La profundidad de flujo uniforme permanente se conoce como la profundidad normal. En el flujo uniforme permanente el caudal y la profundidad son constantes a lo largo del canal. Existen varias ecuaciones de uso común para determinar las relaciones entre la velocidad promedio, la forma de la sección transversal, su tamaño y rugosidad y la pendiente, o inclinación, del fondo del canal (sección 6.6). El flujo no uniforme permanente ocurre en cualquier canal irregular en el cual el caudal no cambia con el tiempo; también ocurre en canales regulares cuando la profundidad del flujo y, por consiguiente, la velocidad promedio cambian de una sección transversal a otra. Para cambios graduales en la profundidad o en la sección, conocidos como flujo gradualmente variado, puede utilizarse la integración numérica o el método paso a paso, para calcular las profundidades de flujo si se conocen el caudal, las dimensiones y la rugosidad del canal y se dan las condiciones en una sección transversal. En los tramos de un canal donde ocurren cambios marcados en velocidad y en la profundidad en una distancia corta, como en una transición desde una sección transversal a otra, frecuentemente se hacen estudios sobre modelos. El resalto hidráulico es un ejemplo de flujo no uniforme permanente; éste se analizó en las secciones 3.7 y 13.4. El flujo uniforme no permanente rara vez ocurre en canales abiertos. El flujo no uniforme no permanente es común pero muy difícil de analizar. El movimiento de ondas es un ejemplo de este tipo de flujo, y su análisis es complejo cuando se tiene en cuenta la fricción. El flujo también se clasifica como tranquilo o rápido. Cuando el flujo ocurre a bajas velocidades, de tal manera que una pequeña perturbación pueda viajar hacia aguas arriba y cambiar las condiciones aguas arriba, se dice que el flujo es tranquilo (F < 1; el número de Froude F se definió y analizó en la sección 5.3). Las condiciones aguas arriba se afectan por lo que ocurre aguas abajo y el flujo se controla por las condiciones de aguas abajo. Cuando el flujo ocurre a velocidades tan altas que una pequeña perturbación, tal como una onda elemental, es barrida hacia aguas abajo, el flujo se describe como fugaz o rápido (F > 1). Pequeños cambios en las condiciones de aguas abajo no producen ningún cambio aguas arriba; por consiguiente, el flujo se controla por las condiciones de aguas arriba. Cuando el flujo es tal que su velocidad es exactamente igual a la velocidad de una onda elemental, se dice que el flujo es crítico (F = 1). También se utilizan los términos "subcrítico" y "supercrítico" para clasificar las velocidades del flujo. Subcrítico se refiere a flujo tranquilo con velocidades menores que la crítica, y supercrítico corresponde a flujos rápidos, con velocidades mayores que la crítica.

Distribución de velocidad En flujo en canales abiertos la velocidad en cualquier frontera sólida debe ser cero, y generalmente se incrementa con la distancia desde las fronteras. La velocidad máxima no ocurre en la superficie libre pero usualmente está por debajo de ésta a una distancia de 0.05 hasta 0.25 de la profundidad. La velocidad promedio a lo largo de una línea vertical algunas veces se determina midiendo la velocidad a 0.6 de la profundidad, pero un método más confiable es tomar el promedio de las velocidades a 0.2

Flujo en canales abiertos 607 y 0.8 de la profundidad, de acuerdo con las medidas del Servicio Geológico de los Estados Unidos (U.S. Geological Survey).

EJERCICIOS 13.1.1 En flujo en canales abiertos (a) la línea piezométrica siempre es paralela a la línea de energía; (b) la línea de energía coincide con la superficie libre; (e) las líneas de energía y piezométrica coinciden; (d) la línea piezométrica nunca puede aumentar; (e) la línea piezométrica y la superficie libre coinciden. 13.1.2 El flujo tranquilo siempre debe ocurrir (a) por encima de la profundidad normal; (b) por debajo de la profundidad normal; (e) por encima de la profundidad crítica; (d) por debajo de la profundidad crítica; (e) en pendientes adversas.

13.2 SECCIONES TRANSVERSALES IDDRÁULICAS ÓPTIMAS EN CANALES Algunas secciones transversales de canales son más eficientes que otras, en el sentido de que dan una mayor área para un perímetro mojado dado. En general, cuando se construye un canal, la excavación, y posiblemente el recubrimiento, tienen un costo. Utilizando la fórmula de Manning (capítulo 6) se demuestra que cuando el área de la sección transversal es mínima, el perímetro mojado también e~ mínimo, de tal manera que tanto el recubrimiento como la excavación se aproximan a sus valores mínimos para las mismas dimensiones del canal. La sección hidráulica óptima es aquella que tiene el menor perímetro mojado o su equivalente, la menor área para el tipo de sección dado. La fórmula de Manning es

Q = CmAR213Stl2 n

( 13.2 . 1)

en donde Q es el caudal (UIT) , A es el área de la sección transversal de flujo, R (el área dividida por el perímetro mojado P) es el radio hidráulico, S es la pendiente de la línea de energía. n es el factor de rugosidad de Manning (tabla 6 .1) y Cm es una constante empírica (V 13/T ) igual a 1A9 en unidades USC y a 1.0 en unidades SI. Cuando Q, n y S se conocen, la ecuación ( 13.2.1) puede escribrrse como A= cP 215

(13.2.2)

en donde e es conocida. Esta ecuación demuestra que P es un mínimo cuando A es mínima. Para encontrar la sección hidráulica óptima para un canal rectangular (figura 13.1 . P = b - 2y y A = by. Luego A= (P- 2v)v

= cP~

5

~------ b------~

Figura 13. 1

Sección transver· sal rectangular.

608 C A P Í T U L O

1 3

Mecánica de fluidos

•

por eliminación de b. Se está buscando el valor de y para el cual Pes un mínimo. Derivando con respecto a y, se obtiene

J

dP - 2 y+ p- 2y = -cp 2 -3!5 _dP ( dy 5 dy

Haciendo que dP/dy =O da P = 4y, o debido a que P = b

+ 2y, entonces

b = 2y

( 13.2.3)

Por consiguiente, la profundidad es la mitad del ancho del fondo, independientemente del tamaño de la sección rectangular. Para encontrar la sección trapezoidal hidráulica óptima (figura 13.2), A = by + my2 y P = b + 2y--)l + m 2 • Después de eliminar b y A en estas ecuaciones y la ecuación (13.2.2), A

= by+ my 2 =

+ m 2 )y+ my 2 = cP 215

(P- 2y--)l

(13.2.4)

Manteniendo m constante y derivando con respecto a y, se hace dP!()y igual a cero; luego P = 4y--Jl

+ m2

-

2my

(13.2.5)

Nuevamente, manteniendo y constante, se deriva la ecuación (13.2.4) con respecto a m y se hace que ()p¡()rrz sea igual a cero, produciendo 2m + m2

=1

---,.-==

J¡

Luego de despejar m,

v3 m=1

3 y después de sustituir para m en la ecuación (13.2.5),

--)3 b = 2- y 3

A = -fj y2

(13.2.6)

la cual demuestra que b = P/3 y, por consiguiente, los lados inclinados tienen la misma longitud que el fondo. Como tan -l m = 30°, la sección hidráulica óptima es medio hexágono regular. Para secciones trapezoidales en las cuales m se especifica (máxima pendiente para la cual el talud es estable) se utiliza la ecuación (13.2.5) para encontrar la relación óptima ancho de fondo a profundidad. El semicírculo es la sección hidráulica óptima de todas las secciones transversales de canales abiertos posibles. La prueba de esto se deja a los lectores.

Figuro 13.2

Sección transversal trapezoidal.

Flujo en canales abiertos 609

Determinar las dimensiones del canal recubierto en ladrillo trapezoidal más económico para mover 200 m 3/s con una pendiente de 0.0004.

Ejemplo 13.1

Solución

Con la ecuación (13.2.6),

R = A= l._ p 2 y sustituyendo en la ecuación (13.2.1),

(l )

213

200 =

LOO " 3 2 0.016 y 2

.Jo.oo04

o y8i3

= 146.64

y= 6.492 m

y de la ecuación (13.2.6) b = 7.5 m.

EJERCICIOS 13.2.1 La sección transversal rectangular hidráulica óptima ocurre cuando (b = ancho del fondo y y= profundidad) (a) y = 2b; (b) y = b; (e) y = b/2; (d) y = b2 ; (e) y= b/5. 13.2.2 La sección transversal hidráulica óptima de un canal se define como (a) la sección transversal de canal menos costosa; (b) la sección con el coeficiente de rugosidad mínimo; (e) la sección que tiene un área máxima para un caudal dado; (d) aquella que tiene un perímetro mínimo; (e) ninguna de estas respuestas.

13.3 FLUJO PERMANENTE UNIFORME EN UNA LLANURA DE INUNDACIÓN Un problema práctico de canales abiertos de importancia es el cálculo del caudal a través de una llanura de inundación (figura 13.3). En general, la llanura de inundación es mucho más rugosa que el canal del río y su profundidad (y radio hidráulico) es mucho más pequeña. La pendiente de la línea de energía debe ser la misma para ambas porciones. El caudal en cada porción se determina separadamente, utilizando la línea punteada de la figura 13.3 como la línea de separación para las dos secciones (pero no como una frontera sólida), y los caudales se suman para determinar la capacidad total del sistema. Debido a que ambas porciones tienen la misma pendiente, el caudal puede expresarse como Q1 = K 1, S

Figura 13.3

Q2

= K2 ,

S

Sección transversal de planicie de inundación.

610 CAPÍ T U LO

13

•

Mecánica de fluidos

o ( 13.3.1)

donde el valor de K es K= Cm AR2!3 n de la fórmula de Manning y es una función de la profundidad únicamente para un canal dado con rugosidad fija. Calculando K 1 y K2 para elevaciones diferentes de la superficie de agua, su suma puede hacerse y representarse gráficamente con respecto a la elevación. Utilizélndo esta gráfica, fácilmente se determina la pendiente de la línea de energía para una profundidad y un caudal a partir de la ecuación (13.3.1).

13.4 RESALTO HIDRÁULICO Y PISCINA DE DISIPACIÓN Resalto hidráulico En la sección 3.7 se desarrollaron las relaciones entre las variables V,, y 1, V2 y y2 para un resalto hidráulico en un canal rectangular horizontal. Otra forma de determinar las profundidades conjugadas para un caudal dado es siguiendo el método F + M. La ecuación de momentum aplicada al cuerpo libre de líquido entre y1 y y2 (figura 13.4) es, para un ancho unitario (V1y1 = V2y 2 = q),

Reordenando se obtiene 2

yy, 2

2

+ pV2y = 'Y2Y2 + 1 1

pV2y 2

2

( 13.4.1)

o (13.4.2)

en donde Fes la fuerza hidrostática en la sección y M es el momentum por segundo que pasa a través de la sección. Escribiendo F + M para un caudal q por unidad de ancho dado, 2

F + M= 'YY

2

+ pq

2

(13.4.3)

y

se hace una gráfica de F +M como abscisa contra y como ordenada (figura 13.5) para q = 10 pes/ pie. Cualquier línea vertical que interseque la curva la corta en dos puntos que tienen el mismo valor de F + M; por consiguiente, éstas son las profundidades conjugadas. El valor de y para un F + M

Figura 13.4

Resalto hidráulico en un canal rectangular horizontal.

Flujo en canales abiertos 611

8.0 7.0 6.0 5.0

q = 10 pes/pie r =62.4 lb/pie\ 3.0 2.0

1.0 1200

1600

2000

F+M

Figura 13.5

Curvo F + M poro un resalto hidráulico.

rrúnimo, obtenido derivando la ecuación (1 3.4.3) con respecto a y y haciendo que d(F igual a cero, es

.q2)"3 -1 (_g

Yc =

+ M)ldy sea

(13.4 .4 }

El resalto siempre debe ocurrir desde una profundidad menor a este valor hasta una profundidad mayor que este valor. Esta profundidad es la profundidad crítica, que es la profundidad de mínima energía, tal como se demuestra en la siguiente sección. Por consiguiente, el resalto siempre debe ocurrir del flujo rápido al flujo tranquilo. El hecho de que la energía disponible se pierda en el resalto impide la posibilidad de un cambio súbito desde la profundidad conjugada alta hasta la profundidad conjugada baja. Las profundidades conjugadas están directamente relacionadas con los números de Froude antes y después del resalto como

FJ¡gy; =~

F2 =~ .¡gy;

( 13.4.5)

De la ecuación de continuidad v 2y2 = gy3F 21 = v 22y22 = g)·3F 2 1 1 1 2 2

o F2y,3 = 1

1

F:;--1.3,-

(13.4.6)

De la ecuación (1 3.4.1)

y~ (1 + 2V~ ) g)l

=

Yi ( 1 +

2gh V~ )

Sustituyendo de las ecuaciones (1 3.4.5) y (13.4.6), se obtiene ( 1 + 2F~ )F 1- 413 = ( 1 - 2F~ )F2- 413

(13.4.7)

612 CAPÍTULO

l 3

•

Mecánica de fluidos

El valor de F 2 en términos de F 1 se obtiene utilizando la ecuación del resalto hidráulico (3. 7.11) como y,= -;·

+ ~(~)J' + 2

v~,

o

2 Y2 = -1 y,

+

V21

11 + 8-

V

gy,

Utilizando las ecuaciones (13.4.5) y (13.4.6) F = 2

2-J2F1

(.jl

+ 8F~ - 1)312

(13.4.8)

Estas ecuaciones se aplican únicamente a una sección rectangular. El número de Froude es siempre mayor que la unidad antes del resalto y menor que la unidad después del resalto.

Piscinas de disipación Una piscina de disipación es una estructura para disipar la energía disponible de flujo aguas abajo de un rebosadero, de obras de descarga, de rápidas o de estructuras de canal. En la mayoría de las instalaciones existentes el resalto hidráulico se mantiene dentro de la piscina de disipación y se utiliza como un disipador de energía. Este análisis se limita a piscinas rectangulares con pisos horizontales a pesar de que algunas veces se utilizan fondos pendientes para ahorrar en excavación (tabla 13.1). Tabla 13. 1

Clasificación del resalto hidráulico como un efectivo disipador de energía.

Descripción

l -1.7

Onda estacionaria

1.7-2.5

Prerresalto

2.5-4.5

Transición

4.5- 9

Rango de buenos resaltos

9 y superior

Efectivo pero fuerte

Solamente una pequeña diferencia en las alturas conjugadas; cerca a F, = 1.7 se desarrolla una serie de pequeñas ondas. Superficie del agua bastante quieta, velocidad bastante uniforme y baja pérdida de cabeza; no se requieren pantallas si la longitud de piscina es apropiada. Acción de oscilación a la entrada del chOrro. desde el fondo de la piscina basta la superficie; cada oscilación produce una gran onda de periodo irregular que puede viajar hacia aguas abajo a lo largo de muchas núllas y daf\ar bancas en tierra y protecciones de enrocado; si es posible, evitar este rango de P, en el diseño de piscinas de disipación. ResaJto bien baJanceado y la acción en su óptimo; absorción de energfa (irreverslbilidades) en el rnngo de 45 a 70 por ciento; puede utilizarse pantaJlas y bloques para dísminui.r la longitud de la piscina. Disipación de energía hasta el8S por ciento: otros tipos de piscinas de disipación pueden ser más económicos.

De ref. [1]. t

l.Jsualmente se utilizan bloques de impacto a la entrada de la piscina para corrugar el flujo, con un espaciamiento regular más o menos igual al ancho de los bloques. Frecuentemente se emplean bloques de salida, ya sean triangulares o dentados, en el extremo de aguas abajo para ayudar a contener el resalto dentro de la piscina y permitir acortarla.

lt Los referencias numerados se encuentran al final de este capítulo.

Flujo en canales abiertos 613 La piscina debe recubrirse con concreto de alta calidad para prevenir la erosión y los daños por cavitación. No se deben permitir irregularidades en el piso o en los muros. La longitud del resalto, alrededor de 6y2 , debe estar dentro de la piscina recubierta, con un buen enrocado aguas abajo si el material es fácilmente erosionable.

Un resalto hidráulico ocurre aguas abajo de una compuerta deslizante de 15 m de ancho. La profundidad es 1.5 m y la velocidad es 20 mis. Determinar (a) el número de Froude y el número de Froude correspondiente a la profundidad conjugada, (b) la profundidad y la velocidad después del resalto y (e) la energía disipada por el resalto.

Ejemplo 13.2

Solución

(a) F1 =

~

JiY

=

20 = 5.215 ~9.806( 1.5)

De la ecuación (13.4.8) F2

2

= [

~1

.J2(5 ·2215)

+ 8(5.215

) -

= 0.2882

1]3' 2

(b)

Entonces 30 V2 = F2gy 2 2 2 = F2g 2 -V: 2

y ~

= [0.2882 2 (9.806)(30)]113 = 2.90 mis

y2

= 10.34m

(e) De la ecuación (3.11.24) la pérdida de cabeza h1. en el resalto es

h = (y2 - y¡)3 = (10.34 - 1.50)3 = 11.13 m . N/N 4(1.5)(10.34) 1 4 yly2 La potencia disipada es Potencia = yQh. = 9806(15)(30)(11.1 3) = 49. 1 MW 1

EJERCICIO 13.4.1 El flujo supercrítico nunca puede ocurrir (a) directamente después de un resalto hidráulico; (b) en un canal de pendiente suave; (e) en un canal de pendiente adversa; (d) en un canal horizontal ; (e) en un canal empinado.

614 CAPÍTULO

13

•

Mecánica de fluidos

13.5 ENERGÍA ESPECÍFICA Y PROFUNDIDAD CRÍTICA La energía por unidad de peso ES , tomada con referencia al fondo del canal, se conoce como la , energía específica. Esta es una cantidad útil para el estudio del flujo en canales abiertos y fue introducida por Bakhmeteff [2] en 1912. Se representa gráficamente en forma vertical por encima del fondo del canal como

V2 E =y+S 2g

(13.5.1)

En la figura 13.6 se muestra una gráfica de la energía específica de un caso particular. En un canal rectangular, en donde q es el caudal por unidad de ancho, con Vy = q, 2

E =y +-qs 2gy2

( 13.5.2)

Es interesante observar cómo varía la energía específica con respecto a la profundidad para un caudal constante (figura 13.7). Para valores pequeños de y, la curva tiende a infinito a lo largo del eje E.,• mientras que para valores grandes de y el término de cabeza de velocidad es despreciable y la curva se aproxima a la línea de 45°, Es = y en forma asintótica. La energía específica tiene un valor mínimo, por debajo del cual no puede ocurrir el valor dado de q. El valor de y para Es mínima se obtiene igualando dE/dy a cero manteniendo q constante, en la ecuación (13.5.2),

dEs dy

= Ü = 1- !f._

Figura 13.6

Ejemplo de energía específica.

gy3

8 7

6

2

q = 5.5 m /s

5

1

y 4 3 2 1

1

Energía

!-+---'~+\.

Profundida:l crílica

~

1.456 m

-----------1 Flujo rápido

.........__..___..

o~__,_....;;;....~.---~._..~--__.._

o Figura 13.7

3

4 Es

5

6

7

Energía específica requerida para el Aujo de un caudal dado con diferentes profundidades.

8

Flujo en canales abiertos 615

Figura 13.8

Energía específica para una secci6n no rectangular.

o

Yc = (

~r

(13.5.3)

La profundidad para energía mínima y e se conoce como la profundidad crítica. Eliminando q2 en las ecuaciones (13.5 .2) y (13.5.3) lleva a

3 E•mfn =-Y' 2 e

( 13.5.4)

demostrando que la profundidad crítica es 2/3 de la energía específica. Eliminando Eren las ecuaciones (13.5.1) y (13.5.4), se obtiene ( 13.5.5)

La velocidad del flujo en la condición crítica Ve es 'V gyc, la cual se utilizó en la sección 10.8 con respecto al vertedero de cresta ancha. Otro método para obtener la condición crítica es determinar el caudal q máximo, que puede ocurrir para una energía específica dada. Las ecuaciones resultantes son iguales a las ecuaciones (13.5.3) a (13.5.5). Para secciones transversales no rectangulares (figura 13.8), la ecuación de energía específica adquiere la forma Q2

E =y+-• 2gA 2

( 13.5.6)

donde A es el área de la sección transversal. Para encontrar la profundidad crítica dE, = O = 1 - Q2 dA dy gA 3 dy

De la figura 13.8, la relación entre dA y dy se expresa mediante dA= Tdy

donde T es el ancho de la sección transversal en la superficie. Con esta relación Q2 T = I e gA3 e

(13.5.7)

-

La profundidad crítica debe satisfacer esta ecuación. Eliminando Q en las ecuaciones (1 3.5.6) y (13 .5.7), se obtiene E =y+ s

e

A 2T

_ r

e

(13.5 .8)

616 CAPÍTULO

13

Mecánica de fluidos

•

Esta ecuación demuestra que la energía mínima ocurre cuando la cabeza de velocidad es la mitad de la profundidad promedio AíT. La ecuación (13.5.7) puede resolverse mediante prueba y error para secciones irregulares, representando gráficamente Q 2T

f(y)=gA3

La profundidad crítica ocurre para el valor de y que hace f(y) = l.

Ejemplo 13.3

Determinar la profundidad crítica para un caudal 1Om3/sen un canal trapezoidal con fondo de 3 m de ancho y taludes laterales de 1 horizontal a 2 vertical (1 a 2). Solución

y2

A = 3y + 2

T=3 +y

Luego, 2

f( ') = 10 (3 +y) 5 10.198(3 +y) = 1.0 ) 9.806(3y + y 2 /2) 3 (3y + 0.5y 2 )3

Por prueba y error

y

2.0

J.;2

f(y)

0.1

0.53

0.8

LO

0.99

0.98

0.985

0.984

0.95

0.982

1.014

0.998

1.0014

La profundidad crítica es 0.984 m. Esta solución iterativa se puede obtener fácilmente con la función solucionador en una hoja electrónica o utilizando una calculadora programable.

En fluj o uniforme en un canal abierto, la línea de energía se inclina hacia aguas abajo paralela al fondo del canal, lo que muestra un descenso constante de la energía disponible. Sin embargo, la energía específica permanece constante a lo largo del canal debido a que y + V 2/2g no cambia. En flujo permanente no uniforme la línea de energía siempre se inclina hacia aguas abajo, es decir, la energía disponible disminuye. La energía específica puede incrementarse o disminuir, dependiendo de la pendiente del canal, del caudal, de la profundidad del flujo, de las propiedades de la sección transversal y de la rugosidad del canal. En la figura 13.6 la energía específica se incrementa para el flujo hacia abajo en la porción empinada del canal y disminuye a lo largo del piso del canal horizontal. Las relaciones de energía específica y profundidad crítica son esenciales para estudiar el flujo gradualmente variado y determinar las secciones de control del flujo en canales abiertos. La pérdida de energía en un resalto hidráulico se visualiza fácilmente dibujando la curva de F .J.. M (figura 13.5) y la curva de energía específica (figura 13.7) para el mismo caudal, utilizando la misma escala vertical. Las profundidades conjugadas se presentan donde una línea vertical interseca la curva F + M. La energía específica de la profundidad mayor siempre es menor que la energía específica correspondiente a la profundidad conjugada más baja.

Flujo en canales abiertos 617

En un canal trapezoidal, b = 4 m y m = 0.4, fluye agua con un caudal de 16 m3/s a la mitad de la profundidad crítica, antes de que ocurra un resalto hidráulico. Encontrar la altura después del resalto y la pérdida de energía en kilovatios.

Ejemplo 13.4

Solución Resolver la ecuación (13.5.7) para y e utilizando el método de la bisección. Luego tomar la mitad de la profundidad crítica, y 1 y sustituirlo en la relación de F + M,

F+ M

my3

+ -- +

- - - = 0.5 by 2

')'

3

q2 ----=--gy(b

+ my)

Ahora se resuelve esta ecuación y se escoge la raíz por encima de Yr que tiene la misma (F + M)/y, utilizando nuevamente el método de la bisección.

V2 Pérdida= - 1

2g

-

V22

-

2g

+y1 - v,

m·N/N

--

y . = ....:....;._:__:;___ yQ pérdida k'l.' n P otencta 1000 Utilizando la función solucionador de una hoja electrónica. primero se encuentra la profundidad crítica y luego la profundidad.después del resalto. obteniéndose los siguientes resultados:

y r = 1. 132 m Pérdida= 0.727 m· NIN

y~=

1.974 m

Pérdida de potencia = 114 kW

EJERCICIOS 13.5.1 El flujo a profundidad crítica ocurre cuando (a) cambios en la resistencia aguas arriba afectan las condiciones aguas abaj o; (b) la energía específica es un máximo para un caudal dado; (e) cualquier cambio en la profundidad requiere más energía específica: (d) la profundidad normal y la profundidad crítica coinciden para un canal; (e) la velocidad está dada por , 2gy. 13.5.2 La profundidad crítica en un canal rectangular se expresa mediante (a) ..fiy; (d) , 'ql g; (e) (q2/g) 113 •

.,.¡'vy; (b)

, 2gy; (e)

13.5.3 La profundidad crítica en un canal no rectangular e expresa mediante (a) Q 2TigA 3 = 1; (b) Q'PigA 2 = 1; (e) Q 2A 3/gT 2 = 1; (d) Q2 /gA 3 = 1; (e) ninguna de estas respuestas. 13.5.4 La energía específica para el flujo expresado por V= 4.43 rn/s y y = 1 m en metros-newtons por newton, es (a) 2; (b) 3; (e) 5.43; (d) 9.86; (e) ninguna de estas respuestas. 13.5.5 La energía específica mínima posible para un flujo es 2.475 pies· lb/lb. El caudal por pie de ancho, en pies cúbicos por segundo, es (a) 4.26; (b) 12.02: (e) 17; (d) 22.15; (e) ninguna de estas respuestas.

13.6 TRANSICIONES En las entradas a canales y en los cambios en la sección transversal o en la pendiente del fondo, la estructura que conduce el líquido desde la sección de aguas arriba hasta la nueva sección se conoce

618 C APÍTULO

l 3

•

Mecánica de fluidos

-

11 1 1

¡2

1 1 1

1 1 1

Figura 13.9

Planta

1 1 1 1 1

Transición de un canal rectangular o uno trapezoidal poro Rujo tranquilo.

como una transición. El propósito de una transición es cambiar la forma del flujo y el perfil superficial para que resulten unas pérdidas mínimas. En la figura 13.9 se ilustra una transición para flujo tranquilo de un canal rectangular a un canal trapezoidal. Aplicando la ecuación de energía desde la sección 1 hasta la sección 2

V2

_, + y, 2g

=

V2 _2

2g

+ Y2 + z2 + E¡

( 13.6.1)

En general, las secciones y las profundidades se determinan mediante otras consideraciones, y z debe determinarse para la pérdida de energía disponible esperada Er Mediante un buen diseño, es decir, con paredes que se curvan lentamente y sin cambios súbitos en el área de la sección transversal, las pérdidas pueden mantenerse alrededor de 1110 de la diferencia entre las cabezas de velocidad para flujo que se acelera y alrededor de 3/10 de la diferencia entre las cabezas de velocidad para flujo que se frena. Para flujo rápido, se requiere la mecánica de ondas para el diseño de transiciones [3].

!ejemplo 13.5

En la figura 13.9, 400 pes fluyen a través de la transición; la sección rectangular tiene 8 pies de ancho y y 1 = 8 pies. La sección trapezoidal tiene 6 pies de ancho en el fondo con taludes laterales 1:1, y y2 = 7.5 pies. Determinar la elevación en el fondo z a través de la transición. Solución

400

V.1 = - = 6.25 64 V.= 2

400 = 3.95 101.25

Vr

= 0.61

~ =

= 0.24

E, = 0.3 ( Vr - Vi ) = 0.11

2g

Vi 2g

101.25 pies 2

2g

2g

Sustituyendo en la ecuación (13.6.1) se obtiene

z = 0.61 + 8 -

0.24 - 7.5 - 0.11

= 0.76 pies

El medidor de profundidad crítica [4] es un aparato excelente para medir caudales en canales abiertos. Las relaciones para determinar el caudal se presentan para un canal rectangular de ancho

Flujo en canales abiertos 619

Figura 13. 1O Medidor de profundidad crítica.

constante (figura 13.10) con una elevación del fondo, a lo largo de un tramo del canal, de aproximadamente 3ycde longitud. La elevación del fondo tiene una altura tal, que la sección restringida se convierte en una sección de control con velocidad crítica sobre ésta. Midiendo únicamente la profundidad de aguas arriba yl' se puede determinar con bastante exactitud el caudal por pie de ancho. Aplicando la ecuación de energía desde la sección 1 hasta la sección crítica (la localización exacta no es importante), incluyendo el término de pérdidas en la transición, 2 V1 _

2g

2

2

Ve+ _1 ( __ Ve +y1 =z+y +_

10 2g

2g

e

2

_

_V 1 )

2g

Debido a que

Ye

+

V2

v;

=Ee

_e

28

= Ec

3

2g

en donde Ec es la energía específica a profundidad crítica, V 21 y 1 + 1.1= 2g

z + 1.033E,

( 13.6.2)

De la ecuación ( 13.5.3) 2 ( Yc= 3Ec=

3

~

(13.6 .3)

2 )'

En las ecuaciones (13.6.2) y (13.6.3) se elimina Ec y se resuelve la ecuación resultante para q.

y2 Jn

q = 0.517g 112 y 1 - z + 1.1 ~

2

(

Debido a que q = V 1y 1, V 1 puede eliminarse y

q = 0.517g 112 (Yt _

0 55

z+ ·

g

~r Yf

( 13.6.4)

La ecuación se resuelve mediante prueba y error. Ya que y 1 y ¡: son conocidos y que el término del lado derecho que contiene q es pequeño, se puede despreciar para obtener una primera aproximación de q. Un valor ligeramente más grande que el así obtenido puede sustituirse en el lado derecho de la ecuación. Cuando los dos valores de q son iguales, la ecuación se resuelve. En forma alternativa, se puede utilizar la función solucionador en una hoja electrónica para resolver la ecuación (13.6.4). Una vez que se conoce z y el ancho del canal, se puede preparar una gráfica o tabla para obtener Q en función de cualquier y 1• Los experimentos muestran una exactitud entre el2 al 3%.

620

C A PÍ T U l O

13

•

Mecánica de fluidos

Con flujo tranquilo se presenta un resalto hidráulico aguas abajo del medidor, y con flujo rápido el resalto hidráulico ocurre aguas arriba del medidor.

!ejemplo 13.6

En un medidor de profundidad crítica de 2m de ancho con z = 0.3 m se mide la profundidad y 1 la cual es igual a 0.75 m. Calcular el caudal. Solución

Utilizando la ecuación ( 13.6.4)

q = 0.517(9.806112 )(0.45 3' 2 ) = 0.489 m 2 /s Como una segunda aproximación, suponer q como 0.50, q = 0.517(9.8061!

2

)

[o.45

+

0 55 05 ( · · 9.806 0.75 )

312

i]

= 0.530 m 2 /s

y como una tercera aproximación, suponer q como 0.535, q = 0.517(9.806112 )

055 0 535 [0.45 + ( · 9.806 0.75 )

312

i]

=

0.536 m 2 /s

Entonces

Q = 2(0.536)

=

1.072 m 3/s

EJERCICIOS 13.6.1 Las pérdidas a través de una transición divergente son de alrededor de (b) 0.1 (V?- Vi)

2g

(e) 0.3 (V¡ - lt;)

(d) 0.3 (V~ - Vi)

2

2g

2g

(e) ninguna de estas respuestas.

13.6.2 Un medidor de profundidad crítica (a) mide la profundidad en la sección crítica; (b) siempre está precedido por un resalto hidráulico; (e) debe tener flujo tranquilo inmediatamente aguas arriba; (d) siempre tiene un resalto hidráulico aguas abajo; (e) siempre tiene un resalto hidráulico asociado con él.

13.7 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO El flujo gradualmente variado es un flujo no uniforme permanente de una clase especial. La profundidad, el área, la rugosidad, la pendiente del fondo y el radio hidráulico cambian muy lentamente (si lo hacen) a lo largo del canal. La suposición básica en el análisis es que la tasa de pérdida de energía en una sección dada se rige por la fórmula de Manning para la misma profundidad y caudal, sin importar las tendencias en la profundidad. Resolviendo la ecuación (13.2.1) para la pérdida de cabeza por unidad de longitud del canal, se llega a

S _ _ !lE _ ( nQ !lL Cm AR213

J

(13.7. 1)

Flujo en canales abiertos

1

621

2

1

----- --------¡

-- --

SAL

Figuro 13.11 Flujo gradualmente variado.

en donde S es ahora la pendiente de la línea de energía o, más específicamente, el seno del ángulo que la línea de energía hace con la horizontal. En flujo gradualmente variado las pendientes de la línea de energía, de la línea piezométrica y del fondo son diferentes. Los cálculos del flujo gradualmente variado pueden llevarse a cabo ya sea por el método del paso estándar o mediante integración numérica. Los canales horizontales anchos se tratan como un caso especial que puede integrarse analíticamente.

El método del paso estándar Aplicando la ecuación de energía entre dos secciones apartadas una distancia finita ó.L (figura 13.1 1). incluyendo el término de pérdida, se obtiene

V2

V2 +S ó.L +y = _2 +y +S ó.L 2g o 1 2g 2

_1

(13.7.2)

Al despejar la longitud del tramo se obtiene

!iL = (Vr- Vi)l2g + Yt- Y2 S - S0

(13.7.3)

Si las condiciones de una sección son conocidas, por ejemplo, en la sección 1 y se desea la profundidad Y: una distancia !iL aguas abajo, se requiere una solución de prueba y error. El procedimiento es como s1gue:

l. Suponer una profundidad y~, y luego calcular A2 y V 2• 2. Para la y 2 supuesta. encontrar el promedio de y, P y A para el tramo, y calcular S. Para canales prismáticos y = (y 1 + y 2)/2, con A y R calculados para esta profundidad). 3. Sustituir en la ecuación (13.7.3) para calcular ó.L. 4. Si !iL no es correcto, suponer una y 2 nueva y repetir el procedimiento.

En la sección l de un canal de sección transversal trapezoidal. b 1 = 10m. m , = 2 y)'¡ = 7 m, y en la sección 2, 200 m aguas abajo, el fondo se encuentra 0.08 m más alto que en la sección 1, b2 = 15m y m2 = 3. Q = 200 m 3/s y n = 0.035. Detenninar la profundidad del agua en la sección 2. Solución

200 V.1 = = 1.19 mis 168 P1 = b1 + 2y1 ~ml S = o

-

0 08 · 200

+ 1 = 10 + 2(7h2 2 + 1 = 41.3 m

= -0.0004

Ejemplo 13.71

622 C A P Í T U L O

1 3

•

Mecánica de fluidos

Debido a que el fondo tiene una pendiente adversa, es decir, que sube en la dirección de aguas abajo, y debido a que la sección 2 es mayor que la sección 1, y 2 probablemente es menor que y 1• Suponer y2 = 6.9 m, entonces ~

= 15(6.9) + 3(6.92) =246m2

200 V:2 = = 0.813 m/s 246

y p 2 = 15 + 2(6.9-Jiü) = 58.6 m

El A = 207 promedio y el perímetro mojado P = 50.0 promedio se utilizan para encontrar un radio hidráulico promedio para el tramo, R = 4.14 m. Luego

S=(

nQ >2) = [ 0.035(200) ] 2 = 0.000172 CmAR2f3 1.0(207)(4.14213)

Sustituyendo en la ecuación (13.7.3), se obtiene AL= (1.19 2 - 0.813 2)/[2(9.806)]

+ 7- 6.9 = 242 m

0.000172 + 0.0004 Un valor un poco mayor de y2, por ejemplo 6.92 m, produciría un cálculo más cercano a la longitud real.

El método del paso estándar se implementa fácilmente en una hoja electrónica o en una calculadora programable. En la primera prueba y 2 se utiliza para evaluar ALnuevo· Luego una proporción lineal arroja un nuevo y2 de prueba para el siguiente espacio; entonces nuevo

o

Unas pocas iteraciones son suficientes para una información completa en la sección 2.

Método de integración numérica Un procedimiento más satisfactorio, particularmente para el flujo en canales con sección transversal de forma constante y una pendiente de fondo constante, se basa en obtener una ecuación diferencial en función de y y L y luego resolverla mediante integración numérica. Si AL se considera como un infinitesimal en la figura 13.11 , la tasa de cambio de la energía disponible es igual a la tasa de pérdida de cabeza -DE/AL dada por la ecuación (13.7.1), o

:J ~;

+ z, -

s,L+ Y) ~ - (c.~''' J

{13.7.4)

donde z0 - S0L es la elevación del fondo del canal en L, z0 es la elevación del fondo en L = O y L se mide positivamente en la dirección hacia aguas abajo. Después de diferenciar,

Flujo en canales abiertos 623

(13.7.5)

Utilizando la ecuación de continuidad VA = Q se llega a dV A+ V dA =O dL dL

y expresando dA = T dy, en donde Tes el ancho de la sección transversal en la superficie libre, se obtiene dV

-

dL

VT dy

QT dy

A dL

A 2 dL

=-- - =-- -

Sustituyendo Ven la ecuación (13.7.5)

y resolviendo para dL, se obtiene dL = So- (nQ!C,.AR213)2 dy

{13.7.6)

Después de integrar (13.7.7)

en la cual Les la distancia entre las dos secciones que tienen profundidades y 1 y y 2 • Cuando el numerador del integrando es cero, prevalece el flujo crítico; no existe cambio en L para un cambio en y (despreciando la curvatura del flujo y la distribución de presión no hidrostática en esta sección). Debido a que éste no es el caso para un cambio gradual en la profundidad, las ecuaciones no son exactas cerca a la profundidad crítica. Cuando el denominador del integrando es cero, prevalece el flujo uniforme y no existe cambio en la profundidad a lo largo del canal. El flujo se encuentra a profundidad normal. Para un canal con sección transversal prismática, con n y S0 constantes, el integrando se convierte en una función de y, únicamente, es decir 1 - Q2 TigA 3 F(y) = S - (nQIC,.AR213 )2 0

y la ecuación puede integrarse numéricamente representando en forma gráfica F (y) como la ordenada contra y como la abscisa. El área bajo la curva (figura 13.12) entre dos valores de y es la longitud L entre las secciones, debido a que y2

L=

I

F(y) dy

Yt

Un canal trapezoidal, b = 3m, m = 1, n = 0.014 y S0 = 0.001 , transporta 28 m3/s. Si la profundidad en la sección 1 es 3 m, determinar el perfil de la superficie de agua para los siguientes 700 m hacia aguas abajo.

Ejemplo 13.81

624 C A P Í T U L O

13

Mecánica de fluidos

•

F(y)

Área = L

y

Figuro 13.12 Integración numérico poro Aujo gradualmente variado.

Solución

Para determinar si la profundidad aumenta o disminuye, se calcula la pendiente de la Hnea de energía en la sección 1 utilizando la ecuación (13.7.1 )

= by + my 2 = 3(3) + 1(3 2 ) = 18m 2 P = b + 2y...) m 2 + 1 = 11.485 m

A

y

R=

18 = 1.567 m 11.485

Entonces

S = [ 0.014(28) 18( 1.567 213 )

]2 = 0.00026

Sustituyendo los valores de A, Q y T = 9 m en la ecuación (13.5.7) se obtiene Q2T/gA 3 = 0.12, lo que muestra que la profundidad está por encima de la crítica. Si la profundidad es mayor que la crítica y la línea de energía está menos empinada que la pendiente del fondo del canal, la energía específica se incrementa. Cuando la energía específica aumenta por encima de la crítica, la profundidad del flujo aumenta. Entonces ~y es positiva. Sustituyendo en la ecuación (13.7.7) L

-J>' -

3

3

1 - 79.95T/A d 0.001 - 0.1537/(A2R4!3) y

La siguiente tabla evalúa los términos del integrando Denominador y

A

p

R

T

Numerador

)( 10'

F(y)

L

3 3.2

18 19.84 21.76 23.76 25.84

11.48

1.57 1.65 1.72 1.80 1.88

9 9.4 9.8 10.2 10.6

0.8766 0.9038 0.9240 0.9392 0.9509

739 799 843 876 901

1185 11 31 1096 1072 1056

231.6 454.3 671.1 883.9

3.4 3.6 3.8

12.05 12.62 13.18 13.75

o

La integral f F (y) dy puede evaluarse representando gráficamente la curva y tomando el área bajo ella entre y= 3 y los valores consecutivos de y . Como F (y) no varía sustancialmente en este ejemplo, puede utilizarse el promedio de F (y) para cada tramo (la regla trapezoidal), y cuando éste se multiplica por ~y. se obtiene la longitud del tramo.

Flujo en canales abiertos 625 Entre y= 3 y y = 3.2 1185 + 1131 0.2 = 231.6 2

Entre y = 3.2 y y= 3.4 1131

+ 1096 0.2 = 222.7

2 y así sucesivamente. Como se conocen cinco puntos, puede graficarse la superficie del agua. Una forma más acertada de sumar F (y) para obtenerLes utilizando la regla de Simpson. El procedimiento utilizado es equivalente a una solución de segundo orden de Runge-Kutta de una ecuación diferencial. Se usó una calculadora programable para llevar a cabo esta solución. Tomando ~y = 0. 1 m en lugar de 0.2 m, la longitud para y = 3.6 m es 0.6 m menor.

Canales horizontales anchos Para canales anchos, el radio hidráulico es igual a la profundidad y para canales con fondos horizontales, 50 = O. Por consiguiente, se puede simplificar la ecuación (13.7.7). El ancho puede considerarse como unitario, es decir, T = 1, Q = q, A =y y R =y. Luego,

L= -

f

)

>'¡

1 - q2Jgy3 n2q 2JC;,y~ o¡3

(13.7.8)

dy

o, después de integrar L

~- 133 ( ~;

J

(y"P- y:" ) +

:g (~· J (y"'- y~3

Después de contraerse por debajo de una compuerta deslizante, el agua fluye hacia un canal horizontal ancho a una velocidad de 15 m/s y una profundidad de 0.7 m. Encontrar la ecuación del perfil de la superficie de agua, n = 0.015. Solución

De la ecuación ( 13.7 .9), con x reemplazando L como la distancia desde la sección 1, donde y 1 = 0.7, y con q = 0.7(15) = 10.5 m2/s, X =

_ ]__ [

13

1 ]2 (yl3/3 - 0 713/3) + 3 0.015(10.5) . 4(9.806)

(-1->2) 0.015

(y4/3 - 0.74/3)

La profundidad crítica ocurre en [ecuación (13.5.3)] 2 ,113

Ye --

(

g q )

-

(

10.52 --,113 = 2.24 m 9.806

j

La profundidad debe incrementarse hacia aguas abajo, debido a que la energía específica disminuye y la profundidad debe moverse hacia el valor crítico para una menor energía específica. La ecuación no es válida cerca a la profundidad crítica debido a las aceleraciones verticales que no se tuvieron en cuenta en la deducción del flujo gradualmente variado. Si

(13.7.91

Ejemplo 13.9

626

C A PÍ T U l O

1

3

•

Mecánica de fluidos

el canal es lo suficientemente largo para alcanzar la profundidad crítica antes del final del canal, la alta velocidad del flujo aguas abajo de la compuerta debe ahogarse o debe ocunir un resalto hidráulico. El cálculo de la superficie de agua para el flujo subcrítico debe empezar con la profundidad crítica en el extremo de aguas abajo del canal. El cálculo numérico de los perfiles de la superficie de agua se analiza después de que se clasifiquen los diferentes tipos de perfiles de flujo gradualmente variado.

EJERCICIO 13.7.1 El flujo gradualmente variado es (a) flujo uniforme permanente; (b) flujo no uniforme permanente; (e) flujo uniforme no permanente; (d) flujo no uniforme no permanente; (e) ninguna de estas respuestas.

13.8 CLASIFICACIÓN DE PERFILES SUPERFICIALES Un estudio de la ecuación (13.7.7) revela muchos tipos de perfiles superficiales, cada uno con características definidas. La pendiente del fondo se clasifica como adversa, horizontal, suave, crítica y empinada. En general, el flujo puede estar por encima o por debajo de la profundidad normal y por encima o por debajo de la profundidad crítica. En la figura 13.13 se representan gráficamente los diferentes perfiles; en los siguientes párrafos se analizan los procedimientos utilizados para su clasificación. Se supone un canal muy ancho en las ecuaciones reducidas que siguen, con R =y.

Hori7ontnl

Horizontal ~--

'~ ',

Figura 13.13 Perfiles típicos de superficie líquida.

'-1

Flujo en canales abiertos 627

Perfiles en pendiente adversa Cuando el fondo del canal sube en la dirección del flujo (S0 es negativa), los perfiles superficiales resultantes se conocen como adversos. No existe profundidad normal, pero el flujo puede estar por encima o por debajo de la profundidad crítica. Por debajo de la profundidad crítica el numerador es negativo y la ecuación (13.7.6) tiene la forma

1 - C,ly3 dL = --....!...!..-dy So - C2fyl0!3 donde C 1 y C2 son constantes positivas. Aquí F (y) es positiva y la profundidad se incrementa hacia aguas abajo. Esta curva se denomina A3 , tal como se muestra en la figura 13.13. Para profundidades mayores que la profundidad crítica, el numerador es positivo y F (y) es negativa, es decir, la profundidad aumenta en la dirección hacia aguas abajo. Para y muy largo, dUdy = l!S0 , que es una asíntota' horizontal para la curva. En y= Ye• dUdy es cero y la curva es perpendicular a la línea de profundidad crítica. Esta curva se denomina~·

Perfiles en pendiente horizontal Para un canal horizontal S0 =O, la profundidad normal es infinita y el flujo puede estar por encima o por debajo de la profundidad crítica. La ecuación tiene la forma

dL = -Cyll3 (y3

-

C1) dy

Para y menor que la profundidad crítica, dUdy es positiva y la profundidad aumenta hacia aguas abajo. Se denomina H3 . Para y mayor que la profundidad crítica (curva H2 ), dUdy es negativa y la profundidad disminuye hacia aguas abajo. Estas ecuaciones se pueden integrar analíticamente para canales muy anchos.

Perfiles en pendiente suave Una pendiente suave es aquélla para la cual el flujo normal es tranquilo, es decir, donde la profundidad normal y0 es mayor que la profundidad crítica. Pueden ocurrir tres perfiles, MI' M 2 y M 3 , para la profundidad por encima de la normal, por debajo de la normal y por encima de la crítica o por debajo de la crítica, respectivamente. Para Ja curva M 1, dUdy es positiva y se aproxima a 1/50 para y muy grande; por consiguiente, la curva M 1 tiene una asíntota horizontal hacia aguas abajo. Como el denominador tiende a cero cuando y tiende a y0 , la profundidad normal es una asíntota en el extremo de aguas arriba de Ja curva. Por otro lado, dUdy es negativa para la curva M 2 , con la profundidad normal como asíntota aguas arriba y dUdy = O en la profundidad crítica. La curva M3 tiene una profundidad que aumenta hacia aguas abajo, tal como se muestra.

Perfiles en pendiente crítica Cuando la profundidad normal y la profundidad crítica son iguales, los perfiles resultantes se denominan e l y e 3 para la profundidad por encima y por debajo de la profundidad crítica, respectivamente. La ecuación tiene la forma 1 1 - bly3 dL=dy So 1 - b,lylOI3 en la cual tanto el numerador como el denominador son positivos para e1 y negativos para e3 . Por consiguiente, la profundidad se incrementa hacia aguas abajo para ambos perfiles. Para valores grandes de y, dUdy tiende a 1/S0 ; por consiguiente, la asíntota es una línea horizontal. El valor de dUdy en la

628

C A P Í T U L0

1 3

•

Mecánica de fluidos

profundidad crítica es 0.9/S0 ; por consiguiente, la curva C 1 es convexa hacia arriba. La curva C 3 también es convexa hacia arriba, tal como se muestra.

Perfiles en pendiente empinada Cuando la profundidad normal es rápida en un canal (la profundidad normal menor que la profundidad crítica), los perfiles resultantes S 1, S 2 y S 3 se conocen como los perfiles empinados. S 1 se encuentra por encima de la profundidad normal y la crítica, S2 entre la profundidad crítica y la profundidad normal y S 3 por debajo de la profundidad normal. Para la curva S 1 tanto el numerador como el denominador son positivos y la profundidad aumenta hacia aguas abajo aproximándose a una asíntota horizontal. Para la curva S2 el numerador es negativo y el denominador es positivo pero aproximándose a cero en y = y0 . La curva se aproxima a la profundidad normal asintóticamente. La curva S 3 tiene dUdy positiva debido a que el numerador y el denominador son negativos. Ésta tiene la forma que se muestra en la figura 13.13. Hay que anotar que un canal dado puede clasificarse como suave para un caudal, crítico para otro caudal y empinado para un tercer caudal, debido a que las profundidades normal y crítica dependen de diferentes funciones del caudal. En la siguiente sección se analiza el uso de los diferentes perfiles superficiales.

13.9 SECCIONES DE CONTROL Un pequeño cambio en las condiciones de aguas abajo no puede sentirse aguas arriba cuando la profundidad es crítica o menor que la crítica; por consiguiente, las condiciones de aguas abajo no controlan el flujo. Todos los flujos rápidos están controlados por las condiciones de aguas arriba y los cálculos de los perfiles superficiales deben comenzar en el extremo de aguas arriba del canal. Los flujos tranquilos están afectados por pequeños cambios en las condiciones de aguas abajo y, por consiguiente, están controlados por ellos. Los cálculos de flujo tranquilo deben empezar en el extremo de aguas abajo de un tramo y proceder hacia aguas arriba. Las secciones de control ocurren en las entradas y salidas de canales y en los cambios en las pendientes de canales, bajo ciertas condiciones. Una compuerta en un cana] puede ser un control tanto para tramos aguas arriba como para tramos aguas abajo. Se ilustran tres secciones de control.

(a)

(h)

(e)

figura 13.14 Secciones de control en canales.

Flujo en canales abiertos 629 Pmfunthllatl conjugada a H 1

----~r--H~ 2 Figura 13.15 Resalto hidráulico entre dos secciones de control.

En la figura 13.14a el flujo pasa por la profundidad crítica a la entrada de un canal y en ese punto se puede calcular la profundidad para un caudal dado. El canal es empinado; por consiguiente, los cálculos proceden hacia aguas abajo. En la figura 13.14b un cambio de suave a empinada en la pendiente del canal hace que el flujo pase por la profundidad crítica en el quiebre de la pendiente. Los cálculos proceden tanto hacia aguas arriba como hacia aguas abajo desde la sección de control en el quiebre de la pendiente. En la figura 13.14c una compuerta en un canal horizontal provee un control tanto aguas arriba como aguas abajo. Las diferentes curvas fueron designadas de acuerdo con la clasificación de la figura 13.13. El resalto hidráulico ocurre cuando se satisfacen las condiciones requeridas por la ecuación de momentum. En la figura 13.15, el líquido sale por debajo de una compuerta en flujo rápido a lo largo de un canal horizontal. Si el canal fuera lo suficientememe corto, el flujo descargaría en el extremo del canal como una curva H 3• Sin embargo, en un canal más largo, se presenta un resalto y el perfil resultante consta de tramos de curva H 3 y H 2 con un resalto entre éstas. Al calcular estos perfiles para un caudal conocido, se calcula la curva H 3, empezando en la compuerta (se debe conocer el coeficiente de contracción) y se procede hacia aguas abajo hasta que sea evidente que la profundidad alcanzará la crítica antes de que se alcance el extremo del canal . Entonces se calcula la curva~ empezando con la profundidad crítica en el extremo del canal y procediendo hacia aguas arriba. Se calcula y se representa gráficamente la profundidad conjugada a la correspondiente a la curva H 3, tal corno se muestra. La intersección de la curva de la profundidad conjugada y la curva H 2 localiza el resalto. El canal podría ser tan largo que la curva H 2 en todas partes sería mayor que la profundidad conjugada a H 3. Entonces ocurre un resalto ahogado, y H 2 se extiende hasta la compuerta. Todas las gráficas están dibujadas exagerando la escala vertical. debido a que los canales usuales tienen pendientes de fondo muy pequeñas.

EJERCICIO 13.9.1 El resalto hidráulico siempre ocurre (a) de una curva M 3 a una curva M 1; (b) de una curva H, a una curva H 2; (e) de una curva S 3 a una curva S 1; (d) por debajo de la profundidad normal hasta arriba de ésta; (e) por debajo de la profundidad crítica hasta por encima de ésta.

13.10 CÁLCULO POR COl\1PUfADOR DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO En la sección 13.7 se introdujeron los métodos del paso estándar y la integración numérica para el cálculo de los perfiles superficiales del agua. Los cálculos repetitivos en el primero de estos métodos se manejan fácilmente en el computador digital utilizando un lenguaje de programación estándar o una hoja electrónica. La figura 13.16 muestra una hoja electrónica para calcular el perfil de la superficie

630 C A P Í T U l O

1

3

•

Mecánica de fluidos

Cálculo de) perfil de lu ~ouperficte litne

Q=

2.5 m"3/s

b= m=

2.5m 0 .8 , .

=

".~....

0\ltúlar las prorurtdld~des ~títb)' aotanaJ · • ·:·. .., . '

= ,

yc F;

,

•

..J. >< ....

9806 N/m" 3 1 9.806 rnls"2

Cm g- =

0.0002, 600m. '

SO = L=

Gamma :::;

'

•.

r

. 1.7'80~m . . : ,, ·:·.'

. _;·¡,657ui~~~ol.';:'Q~2*(b

3.189:9 ~:',m. . ; ·

•

n = Y~nt ' :._ .

•

.,,
no permanentes) no uniforme. 109.606 normal, flu¡o en canales. 285. 606 permanente. 108. 283. 5-I 1-568 potencial. 346-377 ráp1do. 238. 606 rol de gravedad. 56 sobre ~uperfic1es curvas. 58 Función. autocorrelactón. 409 Func1ón de comente de Stokes. 356 de error. 412 de simHaridnd, 655. 665 Funciones for1.adas. 111

G Garcfa M , 705 Gas perfecto leye~ de. 16 relac1ones. 16 Geankopoh,, C .• 440. 705 Generac1ón. 165 Gibson. A H .. 313 Gidaspow. D.. 647. 704 Giii.A.. 29 Glenn. S • 658. 705 Goldste10. S .. 29. 345 Golpe de Ariete. 578-592 c1ern: de vál vula condic1ones de frontera, 586 ecuac1ones d1ferenc1ales. 580

mt!todo algebraico. 590 de tramo hacia atnh. 590 rápida y lento, 579 solución por caracterlsucas. 583 Gradiente de presión, adverso. 328 Gradiente. 36. 327 Grados Ranltinc. 15 Granr, W., 658, 705 Gust. G .. 402, 504 m~todo

H Hamilton. R., 396. 440 Hammctt, F. G., 540 Hansen, A., 258 Harleman, 0 ., 441 Harriot. P.. 39ó, 440 Heathersbaw. A .. 460. 503 Helfñch, K.,681, 706 Hcmond. H .. 441 Henderson. F'. M .• 642 Hidrogeologla. 643 H1drómetro, 67 H1drostática. 35-44 Hill, W., 503 H1perconcentración. 647 Hipótesis de Prandtl. 318. 347 Hoffman, J .• 504 Ho¡a elecrrónica. 557. 563-566, 588, 630 Holley. E.• ~1 Holt. M., 258 Homogéneo. 387 Horowitz, P.. 503 Ho ward. C.D .. 604 Hudson, W.D., 604 Humedad. 673 absoluta, 673 específica. 673 relación de mezcla, 673 relativa, 673 Hunsaker, J. C.. 258 Hunt, J., 650. 704

fnd1ce de ca\'itación. 535 lnercia momento de. 709 producto de, 71 O ln~t1rut0 hidráulico. 314 lntegración numérica, 584. 622 625. 629 lntercambiador de calor. 163 lntercambio de calor. 123 lppcn, A.T., 642 lpsen. D.C.. 258 lriba.me, J., 705 Irreversibilidad. 123 lsaacson, M .• 341. 345

J Jaeger. J.• ~1 l . 441 Jain. A K.. 295, 314 Johnson. J .W.. 345 K Ka}. J .• 441 King. H W., 603. 642 lectona ltbre medla. 3. 276 Trovobndge, .!60. 503 T~;lleri~

::on rugosu!ad aruficial. 281, 288 Cl

panklo. 553

en series, 550 envejecimiento de. 567 equtvalentes, 301, 552 esfuerzo de tensión en, 582 ramificadas, 556 redes de. 559 resistencia fricciona) en. 290 Tubo circular. flujo a través de. 268 Thbo de corriente, 106 de Pitot. 131. 457 de Prandtl, 459 de salida. 5 19 estático, 452 Tobo Pitot-estático, 458 1\Jrbin&ll. 121\ de hélice. 516,520 de impulso, 529, 533 de reacción. 518 Francis. 519. 520 Kaplnn, 518 Pehon,529 vr lncidad específica. 51 1 Turbomaquinaria. 505-540 Torbomáqumas, teoría de, 513-518 Turbulencia. 273 de escala fina. 26 1 de gran escala, 261 homogtnea. 409 isotrópica, 409 medida. 409 nivel de, 273-276 permanente, 409 1\Jrbulento defusión, 402, 405, 411 ecuaciones de transporte de calor, 403 flujo, 283. 107 nllmero de Prandtl, 404 número de Schmidt. 404 Tumer, J .. 705

potencial, 450 terminal, 327 Velocímetro de laser doppler, 463 Vena contracta, 299 Venas fijas, 143 móviles, 143 series de, 146 Ventiladores, 522 Vtnturi, 206. 474 Vertederos de crc$ta ancha. 480 de cresta delgada, 480 de ranura en V.. 481 Vech. C ., 463. 504 Vida media. 167 Viscosidad dnemáttca. !1. 7 16 del agua, 712, 713 Vi~co~idad , 5. 8-11 , 712. 7 13 cinemática de remolino, 277 de remolino. 276, 107 ley de Newton de, 4 medida de, 493 unidades y conversiones, 9 Viscosímerro de tubo capilar, 495 Viscosfmetro Oswald-Cannon-Fenske, 497 Viscosímetro: de cilindro conctncrico, 494 de tubo captlar, 496 Saybolt. 496 Ubbelohde. 495 Volumen de control, 102, 113 Volume n especffico, 12 Von Kármán. T., 277, 313, 3 19, 345 Vórtice, 74, 361 , 515 forzado, 74 libre, 74, S 15 Vorttcidad, 195 Vulcanología. 643

w u Unidades fuerza y masa, 6, 227, 228 sistema internacional (SI) de, 6 homólogas, 251, 506 Unión de tuherfas, 556. 589 Utili7..ación. 165 V

Válvula, golpe de ariete. 587 Vanooi, V., 704 Variación de la presión. 35 compresible, 39 incompresible. 37 Vector álgebra. 723 campo, 722 diagramas. 146.506, 515 operaciones diferenciales. 19 1 operador. 723 producto cruz. 725 producto punto, 724 uni1arin. 722 Velocidad de asentamiento. 327 de fricció n. 2 77, 424 de pared. 280 del sonido, 578 especffica de succión, 536 especffica, 5 1O medta temporal. 109

Watcrs, G.Z., 604 Wei. C. Y.. 603. 641, 542. 618 Wcisbach, J., 300,314 Welty, J., 440 Whicaker, S., 440 White. C .. 440. 567, 604, 705 Wicks, C., 440 Williams, A., 464, 504 Wilson, R., 440 Wood, D. J., 604.561 Wylie. E. B.. 604. 542. 586

y Yalin, M .. 704

Yeh. C. 463. 504

z Zonas muertas, 696

CONVERSIONES Y CONSTANTES SI Y USC 1055 w 1 Btu/s

=

Fuerza

4.448 N 1 lb

=

Longitud

0 .3048 m 1 pie

Energía

1

1 N·m

4 .187 1

1J

leal

-- = 1

Pre~ión

Temperatura

IW

1 N·rnfs

0.4536 kg

6894.76 N/m2 llb/pulg 2

0

l R Conducti vidad ténnica Viscosidad

Flujo volumétrico

llbm

1 1/s 1 N·m/s

= 1

0.5556 K

1.3561

=

1

1 pie ·1b

=

14.594 kg = 1 1 slug Potencia

=1

l Btulh·pie·°F

1 slug 1055 w 1 Btu/s

=

~(°F - 32) ¡ oc

=

l

746W 1 HP

=

=

=

IOP viscos¡dad unitaria del sr

448.83 gal/min

32.174lbm = l

47.88 Pa = 1 lb/pie2

=

= 1

0.5778 W/m·K

=

=

1 pie3/s

47.88 kglm·s = 1 1 sluglpie·s

479 p = 1 1 sluglpie·s

= 1

6.309(10- 5 ) m 3/s 1 gallmin

1

p agua = l. 94 slug/pie-1 = 1()()() kglm 3 ( 4°C) g = 9.806 rn!s 2 =- 32.174 pieh. 2 'Y agua = 62.43 lb/pie-1= 9806 N/ m 3 (4°C) Condiciones estándar 4°C y 760-mm Hg o

Calor c~pccífico del agua = 4187 Jlkg·K = 1Btullbm· R

=

pie·lb = 25,05 1slug.oR

1

l