MDM 1415 Parte I [PDF]

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Universit` a degli Studi di Bologna Scuola di Ingegneria e Architettura Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA Sede di Forl`ı

MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM

– Parte I – prof. Alessandro Rivola [email protected]

http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola https://campus.unibo.it

Indice 0 Richiami di Cinematica 0.1 Macchina, Meccanismo, Membro . . . . . . . . . . . 0.2 Gradi di libert`a e Coppie cinematiche . . . . . . . . 0.3 Catena cinematica, Meccanismo, Sistema Articolato 0.4 Gradi di libert`a di un meccanismo . . . . . . . . . . 0.5 Cinematica del corpo rigido nel piano . . . . . . . . 0.5.1 Posizione e velocit`a . . . . . . . . . . . . . . 0.5.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . . 0.5.3 Accelerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.4 Teorema di Kennedy-Aronhold . . . . . . . 0.5.5 Traiettoria e centro di curvatura . . . . . . . 0.5.6 Profili coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.7 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6 Analisi cinematica di sistemi articolati piani . . . . 0.6.1 Esempio: il quadrilatero articolato . . . . . 0.6.1.1 Analisi di posizione . . . . . . . . . 0.6.1.2 Analisi di velocit`a e accelerazione . Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Sistemi Articolati 1.1 Analisi cinematica con approccio modulare 1.1.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Approccio modulare . . . . . . . . 1.1.3 Gruppi di Assur . . . . . . . . . . . 1.1.4 Gruppi di Assur a tre membri . . . 1.1.5 La Diade (RRR) . . . . . . . . . . 1.1.6 Il gruppo RRP . . . . . . . . . . . 1.1.7 Il gruppo RPR . . . . . . . . . . . 1.1.8 Il gruppo PPR . . . . . . . . . . . 1.1.9 Il gruppo RPP . . . . . . . . . . . 1.2 Sintesi cinematica . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Il quadrilatero articolato . . . . . . 1

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5 5 5 8 9 10 10 10 11 12 12 13 15 16 16 16 17 19

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20 20 20 21 21 22 23 24 25 26 27 28 28

2

INDICE 1.2.2 1.2.3 1.2.4

1.2.5 1.2.6

1.2.7 1.2.8

Riferimenti

Sintesi cinematica di un QA manovella–bilanciere . . . . . . . . . Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere . . . . . . . . . Generazione di Movimenti–Sintesi grafica . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.1 Segmento di biella per due posizioni . . . . . . . . . . . 1.2.4.2 Segmento di biella per tre posizioni . . . . . . . . . . . . Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tracciamento delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.1 Generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.2 Traiettoria a partire dalle polari . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.3 Formula di Eulero–Savary . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.4 La circonferenza dei flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.6 Impiego di atlanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.7 Teorema di Roberts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.8 Guide rettilinee esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.9 Guide rettilineee approssimate . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.10 Meccanismi per moto traslatorio . . . . . . . . . . . . . Generazione di Traiettorie–Sintesi grafica . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7.1 Tre posizioni imposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sintesi cinematica mediante metodi analitici . . . . . . . . . . . . 1.2.8.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8.2 La diade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8.3 Sintesi di un QA per la generazione di movimenti . . . . 1.2.8.4 Sintesi di un QA per la generazione di traiettorie in tempi stabiliti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8.5 Sintesi di un QA per la generazione di funzioni . . . . . 1.2.8.6 Tecnica del loop chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8.7 Order synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Meccanismi con Camme 2.1 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Meccanismi con camme piane . . . . . . 2.1.2 Meccanismi con camme spaziali . . . . . 2.1.3 Accoppiamenti di forza . . . . . . . . . . 2.1.4 Accoppiamenti di forma . . . . . . . . . 2.2 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Meccanismi cinematicamente equivalenti 2.4 Sintesi cinematica con metodo grafico . . . . . .

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30 35 36 36 37 37 38 38 39 40 41 42 43 45 46 46 47 48 48 50 50 52 56

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61 63 66 67 68

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69 69 69 70 71 72 74 75 75 77

INDICE

3

2.5

Sintesi cinematica con metodi analitici . . . . . . . . . . . 2.5.1 Camma con punteria a coltello centrata . . . . . . . 2.5.1.1 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.2 Raggio di curvatura e angolo di pressione 2.5.1.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . . 2.5.2 Camma con punteria centrata a rotella . . . . . . . 2.5.2.1 Profilo primitivo e profilo camma . . . . . 2.5.2.2 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . . 2.5.2.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . . 2.5.3 Camma con punteria a piattello centrata . . . . . . 2.5.3.1 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3.2 Dimensionamento del piattello . . . . . . 2.5.3.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . . 2.5.3.4 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Meccanismo camma-bilanciere con rotella . . . . . . 2.5.4.1 Profilo primitivo . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4.2 Angolo di pressione . . . . . . . . . . . . . 2.5.4.3 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4.4 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . . 2.5.4.5 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . . 2.6 Fenomeno del sottotaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Convenzione sui segni dei raggi di curvatura . . . . 2.7 Sintesi analitica con il metodo dell’inviluppo . . . . . . . . 2.7.1 Inviluppo di una famiglia di curve . . . . . . . . . . 2.7.1.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Determinazione delle coordinate del profilo camma 2.7.2.1 Camma con punteria a piattello centrata . 2.7.2.2 Camma con punteria centrata a rotella . . 2.8 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ruote Dentate 3.1 Raggio primitivo e raggio base . . . . 3.2 Rapporto di trasmissione . . . . . . . 3.3 Passo base, passo e modulo . . . . . 3.4 Proporzionamento della dentatura . . 3.4.1 Dentiera normalizzata . . . . 3.4.2 Ruote normali e ruote corrette

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79 79 79 79 82 83 83 85 86 87 87 88 88 89 90 90 91 92 93 94 96 97 100 100 100 101 102 102 102 104 105 108

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109 . 109 . 110 . 111 . 113 . 113 . 114

4

INDICE 3.5

Taglio delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Macchine dentatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Segmento d’azione e arco d’azione . . . . . . . . . . . . . 3.7 Fattore di ricoprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Calcolo del numero minimo di denti . . . . . . . . 3.8.2 Interferenza tra pignone e dentiera . . . . . . . . 3.9 Spessore della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Funzione evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Spessore della dentatura . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3 Misura Wildhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Correzione della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Dentatura normale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Dentatura corretta . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 Interasse di riferimento e di lavoro . . . . . . . . . 3.10.4 Correzione e interasse . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.4.1 Correzione senza variazione di interasse 3.10.4.2 Correzione con variazione di interasse . . Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capitolo 0 Richiami di Cinematica 0.1

Macchina, Meccanismo, Membro

Una macchina `e un sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sotto l’azione di forza opportunamente applicate, lavoro di interesse industriale. In sostanza, una macchina ha il compito di trasformare una energia di un certo tipo, in essa entrante, in energia da essa uscente, in generale di tipo di verso: ad esempio di trasformare energia meccanica in altre forme di energia (come avviene nelle macchine operatrici o generatrici), oppure di trasformare in energia meccanica energia di tipo generalmente diverso (come nelle macchine motrici), oppure anche di trasformare energia meccanica in energia meccanica, variandone i fattori (come avviene ad esempio nei riduttori di velocit`a). Si pu`o dunque dire che una macchina ha la duplice finzione di trasmettere movimento e di trasmettere azioni (forze e/o coppie). Un determinato sistema meccanico viene denominato meccanismo, anzich´e macchina, quando lo si considera dal punto di vista del movimento, pi` u che da quello delle azioni in gioco e della trasformazione o trasmissione di energia. Pertanto, la nozione di meccanismo non `e connessa a quella di lavoro, a differenza della nozione di macchina che `e per definizione sede di un flusso di energia. Gli organi che compongono una macchina o un meccanismo si dicono membri. Un membro pu`o essere costituito, per ragioni costruttive, da pi` u pezzi resi solidali tra loro, purch´e si comportino come un sol pezzo dal punto di vista funzionale.

0.2

Gradi di libert` a e Coppie cinematiche

Come noto, se consideriamo un corpo rigido nello spazio, la sua postura pu`o essere individuata attraverso tre variabili di posizione e tre variabili d’orientamento. Diciamo allora che il corpo rigido possiede sei gradi di libert` a (gdl), pari al numero di variabili indipendenti (tre di posizione e tre di orientamento) necessarie a definirne la postura rispetto ad un riferimento fisso. Due membri a contatto tra loro si toccano su due porzioni della loro superficie, ciascuna denominata elemento cinematico. L’insieme di sue elementi cinematici a contatto tra loro costituisce una coppia cinematica (o giunto). Presi due corpi rigidi A e B in movimento uno rispetto all’altro, si dice che B `e 5

6

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

vincolato ad A se `e collegato ad esso mediante una coppia cinematica (o giunto) che ne impedisca alcuni movimenti relativi consentendone altri. In questo caso, solo l variabili di configurazione sono libere, le altre v essendo fissate (vale ovviamente l + v = 6): l e v sono rispettivamente il numero di gdl e di vincolo della coppia cinematica. Le seguenti figure mostrano schemi di soluzioni adottate per realizzare coppie cinematiche ad un gdl: la coppia rotoidale (Figura 1), la coppia prismatica (Figura 2), la coppia elicoidale (Figura 3). Tutte e tre sono costituite da elementi cinematici rigidi che vengono a contatto tra loro tra superfici non nulle, ossia da elementi cinematici combacianti. Le coppie rigide e combacianti sono dette coppie elementari.

Figura 1: Coppia rotoidale

Figura 2: Coppia prismatica

Figura 3: Coppia elicoidale Oltre alle coppie elementari, esistono le coppie superiori che possono essere rigide ma non combacianti, o combacianti ma non rigide come, rispettivamente, nel meccanismo a

` E COPPIE CINEMATICHE 0.2. GRADI DI LIBERTA

7

Movimenti permessi Gradi di libertà

uno

due

tre

quattro cinque

Categoria della coppia

Denominazione della coppia

uno

C1

R (elementare) P (elementare) E (elementare)

C2

RT C (elementare) CS R

due uno uno uno

S (elementare) SA SL PP (elementare)

tre due due uno

SC SE CC

tre tre due

uno

C4 C5

S5

tre

due

C3

rotazioni

traslazioni

moti elicoidali

uno uno

Descrizione della coppia

Rotoidale Prismatica Elicoidale Cilindrica

uno uno uno

Sferica uno uno due

Piano su piano uno

due

Tabella 1: Coppie cinematiche camma (coppia tra i membri 1 e 2) e nella trasmissione a cinghia (coppie tra i membri 1 e 2 e tra i membri 2 e 3) della Figura 4.

Figura 4: Meccanismi con coppie superiori Le coppie cinematiche pi` u comuni sono elencate nella Tabella 1, in cui sono indicate le possibilit`a di movimento permesse da ciascuna coppia. Tutte le coppie elencate sono rigide. Le uniche coppie elementari sono le R, P, E, C, S, PP .

8

0.3

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

Catena cinematica, Meccanismo, Sistema Articolato

In un meccanismo esiste sempre un membro fisso, a cui si d`a il nome di telaio. Se nessuno dei membri di un dispositivo meccanico sia a priori da considerare fisso, si d`a al dispositivo il nome di catena cinematica. Un catena cinematica diviene un meccanismo quando un suo membro funge da telaio. Da una catena cinematica si possono ottenere tanti meccanismi quanti sono i membri ma di norma non tutti i meccanismi sono strutturalmente diversi fra loro. La diversit`a va infatti valutata sulla base del numero e del tipo di elementi cinematici di ciascun membro, in relazione alla posizione che questo occupa nel meccanismo (vedi Figura 5).

Figura 5: Catena cinematica di Stephenson e meccanismi da essa ottenibili Un meccanismo in cui sono presenti solo coppie elementari si dice sistema articolato. Tipici esempi di sistemi articolati sono il manovellismo di spinta (Figura 6a) ed il quadrilatero articolato (Figura 6b).

Figura 6: Sistemi articolati

` DI UN MECCANISMO 0.4. GRADI DI LIBERTA

0.4

9

Gradi di libert` a di un meccanismo

Si consideri un meccanismo costituito da m membri (di cui uno, il telaio, fisso) e c coppie cinematiche. Se i membri non fossero vincolati l’uno all’altro, il numero di gdl, ossia il numero di variabili di posizione e orientamento da poter fissare liberamente in modo da determinare la configurazione complessiva, sarebbe 6(m − 1). Poich´e ogni giunto elimina vi gdl, i gdl del meccanismo risultano invece: l = 6 (m − 1) −

c ∑

vi = 6 (m − 1) − 5C1 − 4C2 − 3C3 − 2C4 − C5

(1)

i=1

Evidentemente, l `e anche il numero di variabili di configurazione da attuare, mediante motori o altri meccanismi. La (1) `e nota come formula di Gr¨ ubler. Per meccanismi piani, occorre ricordare che i membri posseggono solo tre gdl: due di traslazione paralleli al piano del moto ed uno di rotazione ortogonale ad esso. La formula di Gr¨ ubler diventa perci`o: l = 3 (m − 1) −

c ∑

vi = 3 (m − 1) − 2C1 − C2

i=1

!  MECCANISMO PIANO

l = 3(m − 1) − 2 C1 − C2

!  MECCANISMO SPAZIALE

l = 6(m − 1) − 5 C1 − 4 C2 − 3 C3 − 2 C4 − C5 Figura 7: Calcolo dei gradi di libert`a di un meccanismo

(2)

10

0.5 0.5.1

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

Cinematica del corpo rigido nel piano Posizione e velocit` a

La posizione di un corpo rigido (CR) nel piano pu`o essere definita tramite la posizione di un punto A e l’orientamento θ di un suo segmento AB (vedi Figura 8a). Infatti, la posizione di un altro generico punto B del corpo risulta essere: B = xB + i yB = xA + i yA + |AB| eiθ

(3)

Derivando la (3) si ottiene la velocit`a del punto B (Figura 8b): π

˙ ˙ vB = vA + i θ|AB| eiθ = vA + θ|AB| ei(θ+ 2 )

(4)

Si `e cio`e ottenuto il Teorema di Rivals per le velocit`a dei punti di un CR: vB = vA + vBA = vA + ω ⃗ ∧ (B − A)

ω ⃗ = θ˙⃗k

(a)

(5)

(b)

Figura 8: Corpo rigido nel piano: posizione e velocit`a

0.5.2

Centro di istantanea rotazione

Il centro di istantanea rotazione di un CR `e quel particolare punto C del corpo per cui vale: vC = vA + ω ⃗ ∧ (C − A) = 0 (6) ⃗ , si ottiene la posizione di C: Pre-moltiplicando vettorialmente la (6) per il vettore ω ω ⃗ ∧ vC = ω ⃗ ∧ (vA + ω ⃗ ∧ (C − A)) = 0 (C − A) =

ω ⃗ ∧ vA ω2

Il punto C ha istantaneamente velocit`a nulla. In altre parole, l’atto di moto del CR `e in definitiva un atto di moto rotatorio attorno ad un particolare punto, il centro C (che pu`o anche non fare parte fisicamente del CR), ed `e caratterizzato dal vettore velocit`a angolare ω ⃗ , che ne definisce il moto d’insieme.

0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO

11

Poich´e la velocit`a di un punto qualunqe del CR `e diretta ortogonalmente alla congiungente il punto in questione con C (vedi Figura 9a), ne consegue che il centro di istantanea rotazione si trova sulla congiungente le normali alle direzioni delle velocit`a di due punti qualunque del CR (Figura 9b). In altre parole si `e ottenuto il: Teorema di Chasles: Il centro di istantanea rotazione di un CR in moto piano si trova sulla intersezione delle normali alle traiettorie dei punti del corpo stesso. Se la velocit`a angolare ω del CR `e nulla ed esiste un punto A del corpo la cui velocit`a `e diversa da zero, allora siamo di fronte ad un atto di moto traslatorio e tutti i punti del CR hanno velocit`a pari a vA . Si pu`o intendere che la rotazione del CR avviene attorno ad un punto improprio (cio`e all’∞) della normale alla direzione del moto.

(a)

(b)

Figura 9: Centro di istantanea rotazione Il luogo delle posizioni occupate nel corso del moto dal centro di istantanea rotazione nel riferimento fisso si indica come polare fissa, mentre il luogo delle posizioni occupate nel riferimento locale (mobile) `e la polare mobile. Il movimento del CR provoca il puro rotolamento della polare mobile sulla polare fissa: le due polari risultano tangenti tra loro nei successivi punti di contatto, ossia nei centri di istantanea rotazione dell’istante considerato.

0.5.3

Accelerazioni

Derivando la (4) si ottiene l’accelerazione del punto B (Figura 10): π

¨ ¨ aB = aA + i θ|AB| eiθ − θ˙2 |AB| eiθ = aA + θ|AB| ei(θ+ 2 ) − θ˙2 |AB| eiθ

(7)

cio`e, in altri termini, il Teorema di Rivals per le accelerazioni dei punti di un CR: aB = aA + aBA = aA + ω ⃗˙ ∧ (B − A) + ω ⃗ ∧ω ⃗ ∧ (B − A) = = aA + ω ⃗˙ ∧ (B − A) − ω 2 (B − A) = aA + aBA + aBA t

n

(8)

12

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

Figura 10: Corpo rigido nel piano: accelerazioni

0.5.4

Teorema di Kennedy-Aronhold

Dati tre CR i, j e k, i tre centri di istantanea rotazione Cij , Cik e Cjk sono tra loro allineati (Figura 11).

Figura 11: Teorema di Kennedy-Aronhold Valogono inoltre le seguenti relazioni: (ij)

(ik)

(jk)

vCij = vCij − vCij = 0 ω⃗ik ∧ (Cij − Cik ) = ω⃗jk ∧ (Cij − Cjk )

(9)

Il teorema ha interessanti applicazioni. Infatti `e molto utile per determinare le velocit`a di punti e membri di meccanismi. Si veda, ad esempio, il quadrilatero articolato di Figura 12.

0.5.5

Traiettoria e centro di curvatura

` possibile determinare la velocit`a di un punto P di un CR anche attraverso la conoscenza E del raggio di curvatura della sua traiettoria. Infatti, indicato con Q il centro di curvatura della traiettoria di P , la velocit`a di P pu`o esprimersi anche come (Figura 13): ⃗ ∧ (P − Q) vP = Ω

0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO

13

Figura 12: Applicazione del teroema di Kennedy-Aronhold ⃗ `e la velocit`a angolare del raggio vettore (P − Q). dove il vettore Ω Poich´e il medesimo punto P appartiene al CR animato da velocit`a angolare ω ⃗ e avente C come centro di istantanea rotazione, risulta: ⃗ ∧ (P − Q) = ω vP = Ω ⃗ ∧ (P − C) ⃗ eω Trattandosi di moto piano, i due vettori Ω ⃗ sono tra loro paralleli e quindi dovranno esserlo pure i vettori (P − Q) e (P − C). Se ne conclude che: Un punto P , il centro di curvatura Q della sua traiettoria, ed il centro di istantanea rotazione C del CR a cui P appartiene, sono sempre allineati.

Figura 13: Esempio

0.5.6

Profili coniugati

Quando un CR (2) `e a contatto con un altro CR (1) (si supponga quest’ultimo fisso, ma nulla cambia se entrambi i corpi sono mobili) ed ha rispetto ad esso nel punto M di contatto un moto relativo di strisciamento (non urto, n´e distacco), i profili a contatto in M costituiscono nel piano del moto una coppia di profili coniugati s1 ed s2 (Figura 14). Poich`e siamo in presenza di strisciamento, la velocit`a relativa tra i corpi in M deve avere

14

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

la direzione della tangente comune ai due profili. Se ne deduce che il centro di istantanea (21) rotazione relativo C12 deve trovarsi sulla normale alla vM passante per M . Si pu`o quindi affermare che: Il centro di istantanea rotazione relativo si trova sempre sulla normale comune ai profili coniugati. D’altra parte, nel punto di contatto M la velocit`a relativa tra i profili si pu`o valutare mediante: (21)

(2)

(1)

vM = vM − vM (21)

vM = ω⃗2 ∧ (M − C23 ) − ω⃗1 ∧ (M − C13 ) = ω⃗2 ∧ [(M − C12 ) + (C12 − C23 )] − ω⃗1 ∧ [(M − C12 ) + (C12 − C13 )] = ω⃗2 ∧ (M − C12 ) + ω⃗2 ∧ (C12 − C23 ) − ω⃗1 ∧ (M − C12 ) − ω⃗1 ∧ (C12 − C13 ) = ω⃗2 ∧ (M − C12 ) − ω⃗1 ∧ (M − C12 ) = ω⃗21 ∧ (M − C12 )

(10)

da cui, ancora una volta, risulta che il centro relativo C12 si trova sulla normale comune (21) ai due profili (tangente alla direzione della velocit`a relativa vM ).

Figura 14: Profili coniugati Si pu`o inoltre aggiungere che, poich´e la normale ai profili deve contenere anche i loro centri di curvatura Q1 e Q2 , rispettivamente di s1 ed s2 , sulla normale medesima si troveranno: il punto di contatto M tra i profili s1 ed s2 , i loro centri di curvatura Q1 e Q2 , ed il centro di istantanea rotazione relativo C12 . La Figura 14 mostra anche le polari del moto: σ1 `e quella fissa; σ2 `e la mobile. Come noto (vedi §0.5.2), esse sono tangenti nel centro di istantanea rotazione C12 e sulla normale alle polari in C12 si trovano i loro centri di curvatura, rispettivamente O1 e O2 . Definito il moto relativo tra i corpi (2) e (1), cio`e date le polari del moto, sono infinite le coppie di profili coniugati s2 e s1 . Infatti, se s2 `e un qualsiasi profilo rigido solidale con il corpo mobile (2) ed s1 `e l’inviluppo delle successive posizioni assunte da s2 durante il moto di (2), allora i due profili s1 ed s2 sono coniugati.

0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO

0.5.7

15

Esempio

Nel meccanismo a tre membri binari di Figura 15 i membri 1 e 2 sono accoppiati mediante una coppia superiore e si toccano nel punto M . I profili che delimitano tali membri sono coniugati, hanno cio`e in M tangente t comune e la velocit`a relativa (di strisciamento) tra i membri 1 e 2 in M `e diretta lungo tale tangente t. Perci`o il centro di istantanea rotazione C12 giace sulla normale ai profili in M . D’altra parte, per il teorema di Kennedy-Aronhold, C12 `e allineato con i centri (assoluti) C13 e C23 : pertanto `e immediato individuarlo. Inoltre, applicando la (9), si ottiene la (11), che consente ad esempio di determinare il legame tra le velocit`a angolari dei due corpi. (21)

(2)

(1)

vC12 = vC12 − vC12 = 0 ω⃗2 ∧ (C12 − C23 ) = ω⃗1 ∧ (C12 − C13 )

Figura 15: Esempio

(11)

16

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

0.6

Analisi cinematica di sistemi articolati piani

Il problema consiste nell’individuare la posizione di un generico membro del meccanismo rispetto ad un sistema di riferimento solidale al telaio. Mediante successive derivazioni rispetto al tempo si ottengono velocit`a ed accelerazione.

0.6.1

Esempio: il quadrilatero articolato

0.6.1.1

Analisi di posizione

!

Figura 16: Chiusura della catena cinematica Equazione di chiusura: AB + BC + CD + DA = 0

(12)

a cos α + b cos β + c cos γ = d a sin α + b sin β + c sin γ = 0

(13)

La (12) pu`o essere proiettata nell due direzioni x e y fornendo le due (13) nelle variabili del moto α, β e γ. La differenza tra il numero delle variabili e il numero delle equazioni fornisce il numero di gradi di libert`a del meccanismo, ossia il numero di variabili indipendenti. Se tra le variabili del moto si assume come variabile indipendente l’angolo α (il meccanismo possiede un solo grado di libert`a), le proiezioni dell’equazione di chiusura risultano essere nelle incognite β e γ. Una delle due (ad esempio β) pu`o essere facilmente eliminata (quadrando e sommando membro a membro le due (13)), giungendo alla (14) nell’unica incognita γ. b2 = (−a cos α − c cos γ + d)2 + (−a sin α − c sin γ)2 b2 − a2 − c2 − d2 + 2ad cos α = cos γ (2ac cos α − 2cd) + 2ac sin α sin γ A(α) = B(α) cos γ + C(α) sin γ

(14)

La (14) ha due soluzioni per γ: γ1 e γ2 (a cui corrispondono rispettivamente le soluzioni β1 e β2 per l’angolo β). Tali soluzioni stanno ad indicare che esistono due possibili configurazioni del quadrilatero (Figura 17b). L’analisi di posizione si pu`o risolvere con “riga e compasso”. Nel caso del quadrilatero articolato le due configurazioni si trovano come intersezione di due circonferenze di centri B e D e raggi b e c, rispettivamente (Figura 17b).

0.6. ANALISI CINEMATICA DI SISTEMI ARTICOLATI PIANI

17

(! b)

(! a) Figura 17: Le due configurazioni del quadrilatero articolato 0.6.1.2

Analisi di velocit` a e accelerazione

Derivando rispetto al tempo le (13) si ottiene: aα˙ sin α + bβ˙ sin β + cγ˙ sin γ = 0 aα˙ cos α + bβ˙ cos β + cγ˙ cos γ = 0 Le (15) possono essere poste in forma matriciale, ottenendo: } ]{ } { [ sin α b sin β c sin γ β˙ = −aα˙ cos α b cos β c cos γ γ˙

(15)

(16)

ossia, in forma compatta: [A] {s} ˙ = −α˙ {h(α)}

(17)

in cui la matrice [A] `e detta Jacobiano. La soluzione del problema di velocit`a si ottiene dalla: {s} ˙ = −α˙ [A]−1 {h(α)} = α˙ {k(α)} {s} ˙ `e il vettore dei coefficienti di velocit` a. α˙ Per le accelerazioni, `e sufficiente derivare le (17) per ottenere: ( { }) ˙ {s} ˙ {¨ s} = − [A]−1 [A] ˙ +α ¨ {h(α)} + α˙ h(α)

(18)

in cui il vettore {k(α)} =

(19)

o, facendo riferimento alla (18): { {¨ s} = α ¨ {k(α)} + α˙

2

∂k(α) ∂α

} =α ¨ {k(α)} + α˙ 2 {k ′ (α)}

(20)

in cui il vettore {k ′ (α)} `e il vettore dei coefficienti di accelerazione. Dalle (18) e (19) si vede che i problemi di velocit`a e di accelerazione, al contrario di quello di posizione, sono problemi lineari.

18

CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

Le analisi di velocit`a e di accelerazione risultano indeterminate se lo Jacobiano [A] non `e invertibile, ossia se il suo determinante `e nullo. Si parla di posizioni singolari. Il quadrilatero in esame si trova in posizione singolare se il punto C `e allineato con B e D (vedi Figura 18). Infatti, si ha: [ ] b sin β c sin γ det[A] = det = bc sin β cos γ − bc cos β sin γ = sin(β − γ) = 0 b cos β c cos γ cio`e lo Jacobiano ha determinante nullo quando β = γ.

!

Figura 18: Quadrilatero in posizione singolare

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

19

Riferimenti Bibliografici [Dou88]

Samuel Doughty. Mechanics of machines. Wiley New York, 1988.

[FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicata alle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. P`atron editore S.r.l., Bologna, 2005. [Pau79]

B Paul. Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall, 1979.

Capitolo 1 Sistemi Articolati 1.1 1.1.1

Analisi cinematica con approccio modulare Premessa

Figura 1.1: Sistema articolato a cos α + b cos(α + β) + c2 cos(α + β + γ2 ) + + d cos(α + β + γ2 + δ) + e cos(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − A)x a sin α + b sin(α + β) + c2 sin(α + β + γ2 ) + + d sin(α + β + γ2 + δ) + e sin(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − A)y c3 cos(α + β + γ2 + γ3 ) + d cos(α + β + γ2 + δ) + e cos(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − G)x c3 sin(α + β + γ2 + γ3 ) + d sin(α + β + γ2 + δ) + e sin(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − G)y

20

1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE

1.1.2

21

Approccio modulare

L’approccio modulare ha lo scopo di determinare equazioni di chiusura disaccoppiate e di risolvere, in passi successivi, sottoinsiemi di equazioni contenenti un numero ridotto di variabili. Spesso il disaccoppiamento `e ottenuto a posteriori. Secondo l’approccio modulare l’idea `e invece quella di considerare il problema in modo da ottenere a priori sottoinsiemi (moduli) di equazioni contenenti poche incognite ciascuno. La k−esima equazione scalare di chiusura `e nella forma: fk (ψ1 , . . . , ψn ) = 0,

k = 1, . . . , n − l

dove ψi `e la i−esima variabile del moto (i = 1, . . . , n). Indicando con l il numero di gradi di libert`a del meccanismo e con qj la j−esima variabile indipendente (j = 1, . . . , l), la k−esima equazione di chiusura pu`o scriversi: fk (ψ1 , . . . , ψn−l , q1 , . . . , ql ) = 0 dove, in generale, le incognite (le variabili indipendenti ψi ) compaiono in tutte le n − l equazioni. Seguendo l’approccio modulare, invece, si pu`o arrivare addirittura ad un sistema di equazioni in echelon form (a gradinata), in cui nella prima equazione compare una sola incognita, nella seconda compare una sola incognita in pi` u e cos`ı via: f1 (ψ1 , q1 , . . . , ql ) = 0 f2 (ψ1 , ψ2 , q1 , . . . , ql ) = 0 f3 (ψ1 , ψ2 , ψ3 , q1 , . . . , ql ) = 0 ... fn−l (ψ1 , . . . , ψn−l , q1 , . . . , ql ) = 0

1.1.3

Gruppi di Assur

Figura 1.2: Catene cinematiche a mobilit`a nulla: solo due sono gruppi di Assur (AKC: Assur Kinematic Chain)

22

1.1.4

CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI

Gruppi di Assur a tre membri

(a)

(b)

Figura 1.3: Gruppi di Assur a tre membri: a) RRR; b) RRP

(a)

(b)

Figura 1.4: Gruppi di Assur a tre membri: a) RPR; b) PPR

Figura 1.5: Gruppi di Assur a tre membri: RPP

1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE

1.1.5

La Diade (RRR)

P3

µk (P2-P1)

r1 P1 r2 λ(P2-P1)

P2

Figura 1.6: Schema per la soluzione del gruppo RRR (Diade) Equazioni di chiusura:

Posto:

(P3 − P1 )2 = r1 2 (P3 − P2 )2 = r2 2

(P3 − P1 ) = λ(P2 − P1 ) + µ k¯ ∧ (P2 − P1 ) (P3 − P2 ) = (P3 − P1 ) − (P2 − P1 )

la seconda equazione di chiusura fornisce: r2 2 = (P3 − P2 )2 = (P3 − P1 )2 + (P2 − P1 )2 − 2(P3 − P1 )(P2 − P1 ) = r1 2 + (P2 − P1 )2 − 2[λ(P2 − P1 ) + µ k¯ ∧ (P2 − P1 )](P2 − P1 ) = r1 2 + (P2 − P1 )2 − 2λ(P2 − P1 )2 cio`e un’equazione nell’unica incognita scalare λ: [ ] 1 r1 2 − r2 2 λ= 1+ 2 (P2 − P1 )2 Introducendo l’espressione di λ nella prima equazione di chiusura si ottiene: (P3 − P1 )2 = λ2 (P2 − P1 )2 + µ2 (P2 − P1 )2 = r12 cio`e un’equazione di secondo grado nell’incognita µ: [ ] r12 2 2 µ = −λ (P2 − P1 )2 Si hanno tre casi: µ2 > 0 2 soluzioni reali distinte 2 µ =0 2 soluzioni reali coincidenti 2 µ Rr (2.12) Ricordando l’espressione del raggio di curvatura del profilo primitivo nel caso di camma con punteria centrata a rotella ((2.9)): ρ0 =

[ ]3 (R0 + s)2 + s′2 2 (R0 + s)2 − (R0 + s)s′′ + 2s′2

con: R0 = Rb + Rr . Si osserva, come del resto `e abbastanza intuitivo, che a parit`a di altre circostanze (legge di moto, raggio rotella), il pericolo di sottotaglio `e tanto maggiore quanto minore `e il raggio base della camma. In Figura 2.27 `e mostrato il caso in cui, a parit`a di raggio di curvatura del profilo primitivo si aumenta il raggio del rullo (di conseguenza diminuisce il raggio base). Nel caso (c) il profilo camma che darebbe luogo al profilo primitivo desiderato dovrebbe presentare un cappio. Come `e ovvio, durante il taglio con una fresa avente diametro pari a quello del rullo, tale cappio viene distrutto; ne risulta che la camma cos`ı realizzata non `e atta a generare la legge di moto desiderata.

!

Figura 2.27: Fenomeno del sottotaglio

2.6. FENOMENO DEL SOTTOTAGLIO

2.6.1

97

Convenzione sui segni dei raggi di curvatura

Il raggio di curvatura ρ0 del profilo primitivo `e positivo se il centro O della camma si trova dalla stessa parte del centro di curvatura K. In altre parole ρ0 `e positivo se il profilo `e convesso rispetto al centro della camma O. Il raggio di curvatura ρ del profilo camma `e positivo se il materiale si trova dalla stessa parte del centro di curvatura K. In altre parole ρ `e positivo se il profilo `e concavo rispetto al centro di curvatura K.

K

K ρ0 ρ

ρ

ρ0

ρ0

ρ

ρ

ρ0

K

K O O Figura 2.28: Fenomeno del sottotaglio

Dimostriamo ora la (2.12). Con riferimento alla Figura 2.28 abbiamo: Profilo interno: ρ = ρ0 − Rr Profilo esterno: ρ = −(ρ0 + Rr ) Condizione affinch non si verifichi sottotaglio `e che la somma delle curvature di camma e rotella (o fresa) sia positiva, cio`e: 1 1 + >0 ρ Rr Per il profilo interno si ha: 1 1 + >0 ρ0 − Rr Rr

1 1 Rr + ρ0 − Rr ρ0 + = = >0 ρ0 − Rr Rr (ρ0 − Rr )Rr (ρ0 − Rr )Rr ρ0 >0 (ρ0 − Rr )

(2.13)

98

CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME Se ρ0 `e positivo deve risultare: ρ0 > 0 ρ 0 > Rr

(2.14)

ρ0 < 0 ρ 0 < Rr

(2.15)

Se ρ0 `e negativo deve risultare:

La (2.15) `e sempre verificata. Per il profilo esterno si ha: 1 1 >0 + −(ρ0 + Rr ) Rr

1 Rr − ρ0 − Rr −ρ0 1 = = >0 + −(ρ0 + Rr ) Rr −(ρ0 + Rr )Rr −(ρ0 + Rr )Rr ρ0 >0 (ρ0 + Rr )

Se ρ0 `e positivo deve risultare: ρ0 > 0 ρ0 > −Rr

(2.16)

La (2.16) `e sempre verificata. Se ρ0 `e negativo deve risultare: ρ0 < 0 ρ0 < −Rr

(2.17)

Dalla (2.14) e dalla (2.17) risulta in conclusione che deve valere la (2.12). Possiamo anche osservare che quando ρ0 < 0 (il profilo primitivo `e concavo) non si hanno mai problemi per il profilo interno (vedi (2.15)); `e il profilo esterno che pu`o essere soggetto a sottotaglio. Al contrario, quando ρ0 > 0 (il profilo primitivo `e convesso), `e il profilo esterno che non ha problemi di sottotaglio (vedi (2.16)), mentre il profilo interno pu`o esserne affetto. Se si vuole ragionare in termini di profilo camma, dovendo valere la (2.13) deve essere: 1 1 ρ + Rr + = >0 ρ Rr ρRr

ρ + Rr >0 ρ

Se ρ `e positivo deve risultare: ρ>0 ρ > −Rr che `e sempre verificata. Se ρ `e negativo deve risultare: ρ0 ρ Rf

2.6. FENOMENO DEL SOTTOTAGLIO ovvero:

1 1 ρ + Rf + = >0 ρ Rf ρRf

99

ρ + Rf >0 ρ

Se ρ `e positivo deve risultare: ρ>0 ρ > −Rf che `e sempre verificata. Se ρ `e negativo deve risultare: ρ 0)

Definizione: Si definisce coefficiente di spostamento x il rapporto tra lo spostamento di profilo v ed il modulo m0 : v x= m0

132

CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE

3.10.3

Interasse di riferimento e di lavoro

L’interasse di riferimento a `e la somma dei raggi primitivi di taglio: a = R1 + R2 = m0

Z1 + Z2 2

(3.5)

L’interasse di lavoro a′ `e la somma dei raggi primitivi di lavoro: a′ = R1′ + R2′ = m′

Z1 + Z2 2

(3.6)

in cui m′ `e il modulo di lavoro. Se si desidera un regolare funzionamento con interasse di lavoro pari a quello di riferimento (a′ = a) deve risultare: S1 + S2 = π m 0

(3.7)

con S1 e S2 spessori del dente misurati sulla primitiva di taglio. Infatti, per un regolare funzionamento (in assenza di giochi o interferenze), lo spessore di un dente di una delle due ruote deve coincidere con quello del vano di un dente dell’altra ruota (e viceversa), cio`e (indicando con l’apice le quantit`a riferite alle primitive di lavoro): S1′ = V2′

S2′ = V1′

Inoltre, essendo: S ′ + V ′ = p′ = π m′ , risulta: S1′ + V1′ = S1′ + S2′ = π m′ Se l’interasse di lavoro coincide con quello di riferimento (le primitive di lavoro coincidono con quelle di taglio e a′ = a = R1 + R2 ), per avere un funzionamento regolare deve essere: S1′ + S2′ = S1 + S2 = S1 + V1 = p0 = π m0 Si `e pertanto dimostrato che la (3.7) vale se e solo se a′ = a. Al contrario, se l’interasse di lavoro a′ `e diverso da quello di riferimento a risulta: S1 + S2 ̸= π m0 Osserviamo inoltre che: S1 + V1 = π m0 `e sempre vera, mentre S1 + S2 = π m0 (cio`e la (3.7)) `e vera solo se a′ = a.

3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA

3.10.4

133

Correzione e interasse

Nel caso di dentatura normale (non corretta) sulla primitiva di taglio si ha (vedi §3.10.1): p πm0 Spessore = V ano = = 2 2 Pertanto, considerate due ruote 1 e 2 risulta: S1 = V 1 =

πm0 2

S2 = V2 =

πm0 2

e, di conseguenza: S1 + S2 = πm0 In conclusione: per un regolare ingranamento tra due ruote normali l’interasse di lavoro deve coincidere con quello di riferimento (a′ = a). Viceversa, nel caso di dentatura corretta sulla primitiva di taglio si ha (vedi §3.10.2): Spessore ̸= V ano Possono quindi verificarsi due casi: • Correzione senza variazione di interasse: l’interasse di lavoro viene fatto coincidere con quello di riferimento • Correzione con variazione di interasse: l’interasse di lavoro non coincide con quello di riferimento

In generale, nel caso di correzione della dentatura possiamo distinguere due situazioni: • la correzione viene effettuata in vista delle esigenze di funzionamento della coppia di ruote dentate: – migliorare la resistenza del dente alle sollecitazioni di flessione – migliorare la resistenza del dente alle sollecitazioni di pressione – permettere il montaggio con interasse prestabilito – evitare linterferenza in condizioni di lavoro • la correzione viene effettuata per evitare interferenza nel taglio di almeno una delle due ruote dell’ingranaggio.

134

CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE

3.10.4.1

Correzione senza variazione di interasse

!

Figura 3.34: Correzione senza variazione di interasse Come appena visto, in questo caso le primitive di taglio coincidono con quelle di lavoro (funzionamento) e la situazione `e quella rappresentata in Figura 3.34. Si vuole ora dimostrare che quando a′ = a, per assicurare un regolare funzionamento (in assenza di giochi o interferenze) la somma degli spostamenti di profilo delle due ruote ingrananti deve essere nulla. A tal proposito si consideri la Figura 3.35 in cui si `e apportata una correzione positiva al pignone 1 (la pi` u piccola tra le due ruote) e una uguale correzione in valore assoluto, ma ` evidente che lo spessore del dente del pignone sulla primitiva di negativa, alla ruota 2. E taglio vale:

⌢

S1 = CA = CB D’altra parte per la ruota vale:

⌢

S2 = CD = CE Con l’ausilio della Figura 3.36 `e facile convincersi che: (π ) π m0 S1 = + 2 v1 tan α0 = m0 + 2 x1 tan α0 2 2 (π ) π m0 S2 = − 2 |v2 | tan α0 = m0 + 2 x2 tan α0 2 2 Per cui risulta: S1 + S2 = m0 [π + 2 tan α0 (x1 + x2 )] da cui si vede chiaramente che vale la (3.7) (condizione necessaria per avere un regolare ingranamento quando a′ = a) se e solo se: x1 + x2 = 0

3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA

135

Figura 3.35: Correzione senza variazione di interasse (v1 = −v2 , v1 > 0)

!

Figura 3.36: Spessore del dente di pignone e ruota sulla primitiva di taglio

Figura 3.37: Correzione di un ingranaggio in cui a′ = a e la correzione positiva `e attribuita al pignone

136

CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE

La Figura 3.37 riporta una sintesi dei dati di correzione per un ingranaggio in cui a = a e la correzione positiva `e attribuita al pignone. In Figura 3.38 `e mostrato il caso particolare in cui v1 = −v2 = 0.5 m0 . ′

Figura 3.38: Variazione della forma del dente a seguito di correzione (v1 = −v2 = 0.5 m0 ) La Figura 3.39 mostra come attribuire la correzione positiva al pignone, allontani quest’ultimo dalla condizione di interferenza con la ruota. Infatti, la figura riporta ruota e pignone nella condizione limite di interferenza (in cui la circonferenza di testa della ruota passa per il puntioo K1 e si vede che apportare una correzione negativa alla ruota (uguale in valore assoluto a quella del positiva del pignone) comporta una diminuzione del raggio di testa della ruota con conseguente allontanamento dalla condizione di interferenza.

Re2’’ Re2’ Re2

Figura 3.39: Una correzione negativa sulla ruota allontana dalla condizione di interferenza

3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA 3.10.4.2

137

Correzione con variazione di interasse

Figura 3.40: Correzione con variazione di interasse La Figura 3.40 mostra l’ingranamento tra un pignone e una ruota in cui ad entrambi `e apportata una correzione positiva. L’ingranaggio `e montato con un interasse a ˜ pari a quello di riferimento a maggiorato della somma v1 + v2 dei due spostamenti di profilo. Dalla figura emerge come in tali condizioni venga a crearsi un gioco tra le dentature di pignone e ruota, in contrasto con la condizione di regolare funzionamento su cui ci si `e basati fino ad ora (vedi §3.10.3). In altre parole, non si pu`o montare l’ingranaggio con un interasse a′ = a ˜ in quanto risulta ′ a 0

140

Ruote Dentate

Esempio

141

Ruote Dentate

Modifica della forma dei denti a seguito di correzione

Nota: in tabella x indica lo spostamento di profilo (non il coefficiente di spostamento).

Una correzione positiva: • allontana dalla condizione di interferenza • migliora la resistenza a flessione al piede • riduce le pressioni di contatto (aumenta la curvatura del profilo al piede) • il dente ha forma più appuntita

142

Ruote Dentate

Ruote dentate cilindriche a DENTI ELICOIDALI

143

Ruote Dentate

I fianchi dei denti della dentiera generatrice sono piani

144

Ruote Dentate

145

Ruote Dentate

146

Ruote Dentate

(a) elica destra, (b) elica sinistra.

147

Ruote Dentate

Ruote dentate CONICHE

148

Ruote Dentate

149

Ruote Dentate

150

Ruote Dentate

Ruote Dentate Coniche a Denti curvi

151

Ruote Dentate

Trasmissione del moto tra assi SGHEMBI con Ruote Dentate

152

Ruote Dentate

Ingranaggio Vite senza fine – Ruota elicoidale

i τ= Z

153

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

139

Riferimenti Bibliografici [FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicata alle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. P`atron editore S.r.l., Bologna, 2005. [FMM09] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di meccanica applicata alle macchine - Seconda parte - Elementi di meccanica degli azionamenti. P`atron editore S.r.l., Bologna, 2009. [LF04]

Faydor L Litvin and Alfonso Fuentes. Cambridge University Press, 2004.

Gear geometry and applied theory.

[RR03]

Guido Ruggieri and Paolo Righettini. profilo. McGraw-Hill, 2003.

Ruote dentate con spostamento del

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