Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger: Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet [1., Auflage] 3827426065, 9783827426062 [DJVU]

Table of contents :
Vorwort......Page 4
Inhaltsverzeichnis......Page 7
Teil I Algebra......Page 15
1 Gruppenzwang I - Wir rechnen mit allem......Page 16
1.1.1 Eine Hierarchie mathematischer St rukt uren......Page 17
1.2.1 Beispiele fuer Gruppen......Page 20
1.2.2 Gegenbeispiele......Page 23
1.2.3 Kleingeld- und Uhrenarithmetik......Page 25
1.3.1 Einseitig- und Eindeutigkeit......Page 28
1.3.2 Einfache Rechenregeln......Page 32
1.3.3 Potenzen......Page 34
1.4 Abschluss......Page 37
2.1 Untergruppen......Page 38
2.1.1 Das Untergruppenkriterium......Page 40
2.1.2 Beispiele und Gegenbeispiele......Page 41
2.1.3 Untergruppen von......Page 42
2.2 Nebenklassen und der Satz von Lagrange......Page 46
2.3 Normalteiler und Faktorgruppen......Page 51
2.4 Uhrenarithmetik reloaded......Page 54
2.5 Abschluss......Page 55
3.1 Gruppenhomomorphismen......Page 56
3.1.1 Strukturerhaltung......Page 58
3.1.2 Kern und Bild......Page 59
3.2 Mehr Homomorphismen......Page 60
3.2.1 Isomorphismen......Page 61
3.3 Der Homomorphiesatz......Page 63
3.3.1 Einmal mehr zyklische Gruppen......Page 66
3.4 Charakteristische Untergruppen......Page 67
3.5 Direkte Produkte und direkte Summen vonGruppen......Page 69
3.6 Abschluss......Page 71
4 Gruppenzwang IV - Gruppencamper brauchen Iso(morphie-)matten......Page 72
4.1 Hilfssaetze und Konventionen......Page 73
4.2 Der erste Isomorphiesatz......Page 74
4.3 Der zweite Isomorphiesatz......Page 76
4.4 Der dritte Isomorphiesatz......Page 81
4.5 Eine Anwendung der Isomorphiesaetze......Page 84
4.6 Abschluss......Page 87
5.1 Einfuehrung......Page 88
5.2 Drei grundlegende Aussagen......Page 90
5.3 Das erste Teilziel......Page 93
5.4 Das Grosse Ziel: Die Sylow-Saetze......Page 94
5.4.1 Der erste Satz von Sylow......Page 95
5.4. 2 Der zweite Satz von Sylow......Page 98
5.5 Anwendungen der Saetze von Sylow......Page 99
5.6 Abschluss......Page 102
6.1 Und was hat das nun mit Gruppen zu tun?......Page 103
6.1.1 (Sub-)Normalreihen......Page 104
6.1.2 Faktoren von (Sub-)Normalreihen und Aufloesbarkeit......Page 105
6.2.1 Isomorphie von Subnormalreihen......Page 106
6.2.2 Verfeinerungen......Page 107
6.3 Die Saetze von Schreier und Jordan-Hoelder......Page 109
6.4 Kommutatoren......Page 111
6.4.1 Die Kommutator-Reihe......Page 112
6.4.2 Nuetzliches fuer Gruppentherapeuten......Page 114
6.5 Nilpotente und p-Gruppen......Page 116
6.6 Abschluss......Page 118
7.1 Einleitung......Page 119
7.2 Speedcubing......Page 120
7.4 Die Gesetze des Wuerfels......Page 121
7.5 Die Cubegruppe......Page 122
7.6 Konjugation und Kommutatoren......Page 125
7.8 Weitere Informationen......Page 127
8 Endliche Koerper......Page 128
8.1 Wiederholung muss sein......Page 129
8.2 Koerper haben Charakter......Page 131
8.3 Frobenius mischt sich ein......Page 134
8.4 Polynomringe......Page 136
8.5 Adjunktion......Page 138
8.6 Symbolische Adjunktion von Nullste llen......Page 140
8.7 Existenz und Eindeutigkeit endlicher Koerper......Page 146
8.8 Zusammenfassung, literatur und Ausblick......Page 148
Teil II Diskrete Mathematik......Page 150
9.2 Der Weg......Page 151
9.3.1 Beispiel......Page 152
9.3.3 Systematisches Probieren......Page 153
9.4.1 Suche im Internet......Page 154
9.4.2 Eine Wertetabelle......Page 155
9.4.3 Ein Plan......Page 156
9.5.2 Anwendung des Polya-Burnside-Lemmas......Page 157
9.5.3 Die T(n,k)-Formel......Page 159
9.5.4 Verstehe die Formel......Page 160
9.5.6 Unterscheidungen bei der Fragestellung......Page 162
9.6.2 Zusammenfassung und Loesung der AufgabeSatz......Page 166
9.6.4 Nachbetrachtung......Page 167
10 Summenzerlegungen......Page 168
10.2 Aequivalente und verwandte Fragen......Page 171
10.3 Die Anzahl der Summenzerlegungen von n......Page 172
10.4.1 Summenzerlegungen nach Groesse der Summanden......Page 173
10.4.2 Summenzerlegungen nach Anzahl der Summanden......Page 175
10.5 Dualitaet......Page 177
10.6 Leere Behaelter......Page 178
10.7 Erzeugende Funktionen......Page 180
10.7.1 Die Bruecke......Page 181
10.7.2 Ueber die Bruecke gehen......Page 182
10.7.3 Der Bauplan ist klar......Page 183
10.8 Ausblick und Schluss......Page 184
11 Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung......Page 185
11.2 Kartenhaus-Zahlen......Page 186
11.4 Verallgemeinerte Pentagonalzahlen......Page 187
11.6 Zweites Wunder......Page 188
11.7 Nachlese......Page 190
12.1 Kleine mathematische Hilfe fuer potentielle Schwiegermuetter......Page 191
12.2 Ein Dorf will heiraten......Page 192
12.3 Die graphentheoretische Darstellung......Page 193
12.4 Graphentheoretischer Algorithmus fuer das Problem des gewichtsmaximalen Matchings......Page 196
12.4.1 Beispiel: Unser Dorf......Page 197
12.4.2 Suche ein optimales Matching......Page 198
12.5.2 Ansatz mit linearer Optimierung......Page 202
12.5.3 Formulierung der konkreten linearen Optimierungsaufgabe......Page 203
12.5.4 Ganzzahlige Loesungen......Page 205
12.6 Zurueck ins Dorf......Page 208
13 Ueber die Anzahl surjektiver Abbildungen......Page 211
14 Potenzsummen......Page 218
15.1 Rechnen gemaess Definition......Page 222
15.3 Multipliziere in guenstiger Reihenfolge......Page 223
15.4 Teile und (be-)herrsche......Page 224
15.6 Algorithmische Berechnung......Page 225
15.7 Weiteres Anwendungsbeispiel......Page 226
16.2 Das Prinzip der Inklusion und Exklusion......Page 228
16.3 Permanenten......Page 230
16.4 Das Rencontre-Problem......Page 233
17.1 Definitionen und Vorbereitungen......Page 238
17.2 Zaehlen mit Permanenten und Determinanten......Page 240
17.3 Der Satz......Page 242
17.4 Beweis der Aussagen (17.1) und (17.2)......Page 243
17.5 Beweis des Satzes......Page 244
18.1 Die Binomialmatrix......Page 246
18.2 Pfade und Pfadsysteme......Page 248
18.3 Das Lemma von Gessel-Viennot......Page 250
18.4 Die Determinante der Binomialmatrix......Page 251
18.5 LU-Zerlegung der Binomialmatrix......Page 253
18.6 Ein weiteres Beispiel - Spinne und Feind......Page 256
Teil III Geometrie undKonstruierbarkeit......Page 259
19.1 Winkeldreiteilung......Page 260
19.2 Satz von Haga und Verallgemeinerung......Page 262
19.3 Konstruktion eines Silbernen Rechtecks......Page 266
19.4 Schlussbemerkung......Page 269
20.1 Das Problem und die Rechnung......Page 270
20.2 Die Konstruktion......Page 275
21.1 Satz von Carnot......Page 278
21.2 Umkehrsatz von Carnot......Page 280
22 Die Kardioide als Huellkurve......Page 282
Teil IV Elliptische Kurven und Kryptographie......Page 286
23.1 Motivation......Page 287
23.2 Definition elliptischer Kurven......Page 288
23.3 Singulaere Punkte......Page 289
23.4 Das Gruppengesetz......Page 292
23.4.1 Der unendlich ferne Punkt......Page 293
23.4.2 Die anderen Faelle......Page 295
23.4.3 Zusammenfassung der Definition......Page 297
23.5.1 Vorbereitung......Page 298
23.5.2 Ausschluss der einfachen Faelle......Page 299
23.5.3 Der letzte Fall......Page 302
23.6.1 Projektive Geometrie......Page 305
23.7 Abschluss......Page 307
24.1 Einfuehrung......Page 308
24.2 Das Problem des diskreten logarithmus......Page 309
24.3 Schluesseltausch nach Diffie-Hellman......Page 311
24.4 Public-Key-Verschluesselung nach EIGamal......Page 312
24.5.1 EIGamal-Signatur-Algorithmus......Page 313
24.5.2 ECDSA......Page 315
24.6 Index Calculus......Page 316
24.7 Abschluss......Page 318
25.1.1 Hasses Satz......Page 319
25.1.2 Elliptische Kurven mod n......Page 320
25.2 ECM - Faktorisierung mit elliptischenKurven......Page 321
25.3.2 Das Goldwasser-Kilian-Zertifikat......Page 324
25.3.3 Am Beispiel der vierten Fermat-Zahl......Page 326
25.4 Abschluss......Page 327
26.1 Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig gross......Page 328
26.2 In jeder unbegrenzten arithmetischen Progression gibt es unendlich viele Primzahlen......Page 329
26.3 Es gibt arithmetischen Progressionen beliebiger laenge, die nur aus Primzahlen bestehen......Page 330
27.1 Einfuehrung......Page 331
27.2 Probedivision......Page 332
27.3 Fermat- Faktorisierung......Page 333
27.4 Lehman-Algorithmus......Page 335
27.5 Pollard-Rho-Verfahren......Page 337
27.6 (p-l)-Verfahren......Page 341
27.7 Elliptische-Kurven-Methode......Page 345
27.8 Quadratisches Sieb......Page 352
Teil V Ausblick auf Weiteres......Page 361
28.1 Motivation......Page 362
28.2 Zeit und Frequenzbereich......Page 363
28.3 Der Weg zur Fouriertransformation......Page 364
28.3.1 Von den Fourierreihen zur Transformation......Page 365
28.3.2 Tabelle zur Fouriertransformation von Zeitsignalen......Page 366
28.4.1 Die Sinusfunktion......Page 367
28.4.2 Die Rechteckfunktion......Page 369
28.4.3 Die Dreieckfunktion......Page 370
28.5 Die Faltung......Page 371
28.6 Systeme......Page 374
28.7 Was es sonst noch gibt......Page 376
29.1 Einleitung......Page 378
29.2 Formalisierung des Problems......Page 380
29.3 Ein maechtiges Werkzeug: Variationskalkuel......Page 381
29.4 Bestimmen der optimalen Loesung......Page 383
29.5 Abschluss......Page 386
30 Repunits, geometrische Summen und Quadratzahlen......Page 388
30.1 Einige Spezialfaelle......Page 389
30.2.1 Die Pellsche Gleichung......Page 391
30.2.2 Rekursive Folgen......Page 393
30.3.1 m geradzahlig......Page 394
30.4 Ausblick......Page 403
31.1 Einleitung......Page 404
31.2 Die Irrationalitaet von e......Page 405
31.3 Die Irrationalitaet von pi......Page 407
32.1 Einleitung......Page 410
32.2 Die Transzendenz von e......Page 411
32.3 Die Transzendenz von pi......Page 415
Literaturverzeichnis......Page 427
Index......Page 432