Mathematisch für Anfänger: Die beliebtesten Beiträge von Matroids Matheplanet (German Edition) [1 ed.] 382742285X, 9783827422859 [PDF]
Dies ist kein Lehrbuch! Dieses Buch ist ein Schatzkästlein mit erklärenden und motivierenden Beiträgen, die genau zu den
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German Pages 316 Year 2009
382742285X......Page 1
Mathematisch für Anfänger: Die beliebtesten Beiträge von Matroids Matheplanet......Page 3
Vorwort ......Page 5
Inhaltsverzeichnis ......Page 9
Teil I Beweise und Beweistechnik......Page 15
1 Was ist Mathematik?......Page 16
2 Mathematisch für Anfänger ......Page 24
3 Beweise, immer nur Beweise ......Page 36
4 Die Beweisverfahren ......Page 40
5 Das Prinzip der vollständigen Induktion ......Page 52
6 Der unendliche Abstieg ......Page 74
7 Über das Auswahlaxiom ......Page 80
Teil II Lineare Algebra......Page 90
8 Lineare Algebra für absolute Anfänger ......Page 91
9 Lineare Gleichungssysteme ......Page 104
10 Lineare Abbildungen und ihre darstellenden Matrizen ......Page 122
11 Determinante: Was ist das? ......Page 138
12 Diagonalisierbarkeit: Was ist das?......Page 156
Teil III Analysis......Page 169
13 Die Standardlösungsverfahren für Polynomgleichungen ......Page 170
14 Die Beziehungen von Sinus und Cosinus ......Page 187
15 Doppelintegrale ......Page 198
16 Kurvenintegrale......Page 216
17 Oberflächenintegrale ......Page 226
18 Differentialgleichungen ......Page 237
19 Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel ......Page 267
Teil IV Ausblick auf Weiteres......Page 276
20 Eulers Berechnungen der Zetafunktion ......Page 277
21 Riemannsche Vermutung......Page 280
22 Das Kugelwunder ......Page 293
23 Geometrie in der Teetasse......Page 308
Literaturverzeichnis ......Page 313
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Zitiervorschau
Mathematisch für Anfänger
Martin Wohlgemuth (Hrsg.)
Mathematisch für Anfänger Die beliebtesten Beiträge von Matroids Matheplanet
Mit Beiträgen von Norbert Engbers, Ueli Hafner, Johannes Hahn, Artur Koehler, Georg Lauenstein, Fabian Lenhardt, Florian Modler, Thorsten Neuschel, Sebastian Stöckl, Martin Wohlgemuth
Herausgeber Martin Wohlgemuth E-Mail: [email protected] www.matheplanet.de
Wichtiger Hinweis für den Benutzer Der Verlag, der Herausgeber und die Autoren haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Ferner kann der Verlag für Schäden, die auf einer Fehlfunktion von Programmen oder ähnliches zurückzuführen sind, nicht haftbar gemacht werden. Auch nicht für die Verletzung von Patent- und anderen Rechten Dritter, die daraus resultieren. Eine telefonische oder schriftliche Beratung durch den Verlag über den Einsatz der Programme ist nicht möglich. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt. Bibliogra¿sche Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliogra¿e; detaillierte bibliogra¿sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer 09
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Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover¿lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Barbara Lühker Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd., Pune, Maharashtra, India Satz: Martin Wohlgemuth und die Autoren Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm Titelbild: © Jos Leys ISBN 978-3-8274-2285-9
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u
f (z) dz ≤ |u − v| · f K
γ ∂BR (x) z ∈ K 1 f (ξ) f (z) = dξ 2πi · 2 γ (ξ − z) 2π 1 |f (z)| · ≤ · γ (t) dt 2 2π 0 |γ(t) − z| 2π M 1 · R dt ≤ · 2π 0 (R − r)2
¾
=
1 M · 2πR · 2π (R − r)2
R, r M δ
∀f ∈ A ∀u, v ∈ Br (x) : |u − v| < δ =⇒ |f (u) − f (v)| < ε
f|K |f ∈ A
f|K |f ∈ A C(Br (x)) M ∀f ∈ A : f Br (x) ≤ M
! C(Br (x)) ! " # $ ! $ % & ' C(Br (x)) (
f|K |f ∈ A C(K) & ) K ⊆ U # (fn ) ! ! ' A ( (fnk ) ! K f ∈ H(U ) " K d(K, ∂U ) > 0 0 < r < R < d(K, ∂U ) ! K r$) % x1 , . . . , xn ∈ K * K⊆
n
i=1
Br (xi ) ⊆
n
i=1
Br (xi ) ⊆
n
BR (xi ) ⊆ U
i=1
! (fn ) & Br (xi ) ( $ " ) ( (fn ) + K * A H(U ) ! ,-. ' ( K0 ⊆ K1◦ ⊆ K1 ⊆ K2◦ ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ U i Ki = U
/ ! ' (fn )n∈N A ( fn(0)
K0 " ( fn(1)
n∈N
K1 & k ∈ N ' fn(k)
n∈N
n∈ N
Kk i ≤ k " " (gn ) :=
(n)
fn
n∈N
& Kk ,-. !
(gn ) 0 # 1 2 3 4 g (gn ) H(U ) # ! A g ∈ A A
¾
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#
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∞ 1 ns
01234
n=1
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∞ 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + ... n2 2 3
01214
n=1
+ 6 ! &% 7 % "% 8 39:2 !% $ " ' ! ; 3 0 ? % % 4 ! 7% !
# ' ) % % % +% ' % + ? % sin(x) ! @(% ! /
¾
sin(x) = x −
x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!
0 ±π ±2π
±3π
?
sin(x) = x(x2 − π 2 )(x2 − 4π 2 )(x2 − 9π 2 ) . . .
x ∈ R x2 x2 x2 sin(x) = x 1 − 2 1− 2 2 1 − 2 2 ... π 2 π 3 π ?
!
" # $ % & ' ( % $ sin(x) ? = x
x2 x2 x2 1− 2 1− 2 2 1 − 2 2 ... π 2 π 3 π
)!
* x → 0 + ' ) $ ' & sin(x) lim ,! = 1, x→0 x -% ' & % . /% 0 / % . ! 2π1+ * ' 2 3+ * 1' 10 / % $ 2! y 2
1
0 1
π
2π
x
−1
−2
¾
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$ %&
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#
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¾
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|x| → ∞
0
fˆ : R → R; r → fˆ(r) =
1 |x|
R
f (x) e2πirx dx,
!" !
R
# $ % &
f (n) =
n∈Z (
θ(s) =
θ(it) =
fˆ(n)
!" '
n∈Z 2
f (x) = e−πtx
# )
2 2 1 e−πtx e−2πirx dx = √ e−πr /t , t R
fˆ(r) =
1 2
eπisn
2
* +
&
n∈Z
´¾½º¿µ 1 −πtn2 1 e = f (n) = 2 2
n∈Z
!" ,
n∈Z
=
2 ´¾½º¾µ 1 ˆ 1 −πn 1 i √ e t = √ θ f (n) = 2 t 2 t t n∈Z n∈Z
∞ Γ(s) = 0 ts−1 e−t dt 0 Γ(s) = (s − 1)Γ(s − 1) C 1
. # / 0
2 3
/14
π −s Γ(s)ζ(2s) = π −s
0
∞
ts−1 e−t dt ·
∞ 1 n2s
n=1
∞ 2 −s = (πn ) n=1
!" -
∞ 0
t
s−1 −t
e
dt
Re(s) >
1 2&
¾ ¼
t = πn2 v =
∞
(πn2 )−s
∞
2
(πn2 v)s−1 e−πn
0
n=1
v
πn2 dv
=
∞ n=1
∞
2
v s−1 e−πn
v
dv
0
1 v e dv = v θ(iv) − dv = 2 0 0 n=1 1 ∞ 1 1 s−1 1 v s−1 θ(iv) dv − v dv + v s−1 θ(iv) − dv = 2 0 2 0 1
∞
s−1
∞
−πn2 v
∞
s−1
v = 1t
v t ∞ i 1 1 s−1 = t θ dt − t θ(it) − dt + t 2s 2 1 1 ∞ ∞ 1 1 1 t−s− 2 θ (it) dt − ts−1 θ(it) − dt = + 2s 2 1 1 ∞ ∞ 1 1 1 1 1 = (t−s− 2 + ts−1 ) θ(it) − dt + t−s− 2 dt − 2 2 2s 1 1 ∞ 1 1 1 1 = (t−s− 2 + ts−1 ) θ(it) − dt − − . 2 1 − 2s 2s 1
∞
−s−1
s π
− s2
Γ
s 2
s/2
∞
ζ(s) =
(t
− s+1 2
+t
s −1 2
1
1 1 1 ) θ(it) − dt − − 2 1−s s
s 1−s s
π
− s2
Γ
s 2
ζ(s) = π
! " # #
− 1−s 2
Γ
1−s 2
ζ(1 − s)
$ % !
# & s Re(s) > 1 ζ(s) ζ(1− s) % ' " # # ζ(s) ( " # C # ) # s = 1 #%
* + + , # # . / % " (#
¾ ½
( ) < 1
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( +,- . ' ) # { 2 + b } . *
/ 0 1 2
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$ 4 -5 $ ' 0 ! 6 *
7 .
¾ ¾
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log(x)
!
ε=0
),--,*
ε > 0 ! x : xε > √ π(x) − Li(x) = O( x) / !
0
) * 1+ '
sin(γ log(x)) Li(x) − π(x) √ +O =1+ γ π( x)/2 0≤γ
γ
1 log(x)
# + 1
ρ=
1 2
, + iγ
),--2*
'
" $ $
3
½º
$ " $
1
¾º
$ 4 " + / '
( 4 "
5 % "
γ
)
* $ ! ' "
4 6
¾
x Li(x)
! " # $ % " " π(x) & ' Li(x) # π(x)
( ) * ' k > 0 + π(x)− √ ¿º
k x log(x)
Li(x) >
10
x < 10
log(log(log(x)))
1034
π(x) < Li(x)
x
!" #$ % & '
() * + , -
. & / " - * &
1034
x < 1010
π(x) < Li(x) + x
. & %
π(x) < Li(x)#
* / 0
1222$
3 *
& * 4 % 55 6 * / 0
!
7 & & * 4 8 & 9 & : ; & - , )& & 8 ? = !
F (x) [1,390821; 1,398244]·10316
!" 7 122@$
" !
* A/& 0 ) ? , "
F (x) =
& ) A9 &
Li(x)−π(x) √
! π( x)/2
π(x)
√ Li( x) . ) 2 = :
x = 10316
1
F (x)
& B
≈
√ x log(x)
*
6
2
6 = ;
13 O( 1000 )
? * = , - C* = *
!
: 8 /
-
¾
1,0 0,0
0,5
F (x)
1,5
2,0
√ F (x) = 2(Li(x) − π(x))/π( x)
1,3 · 10316
1,4 · 10316
1,5 · 10316
1,6 · 10316
1,3970 · 10316
1,3975 · 10316
1,3980 · 10316
1,3985 · 10316
1,3990 · 10316
0,03 0,02 0,01 −0,01 0,00
F (x)
0,04
1,2 · 10316
x Li(x) < π(x)
½º
! "
s Re(s) =
1 2 # $
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3
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¾
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¾ ¾
B := {(x, y, z) | x + y2 + z 2 ≤ 1} 2
A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ⊆ B
R3 ) σ1 , . . . , σn τ1 , . . . , τm
B =
n i=1
Ai ∪
m j=1
Bj =
n i=1
σi (Ai ) =
m
τj (Bj ).
j=1
M f : M → M ∈M M M ∈ M ! f (M ) ∈ M " M ∈ M #$% f (M ) #$% R := f (M) " & ' %( ) * + ,- ./" M #$% " 0 ) & & ) % " 1 2 ) 3 1 1 ) " 4 % ,2. ) 0
3$$ " 5 % 2 6% S 2 \D % 7 D "
8 9"
3$$ SO(3) 3$$
R3 " : ) & ) SO(3) &
S 2 " SO(3) 3$$ ; 3 SO(2) * 3 0 4 2 /
¾ ¿
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$ % " $ "$$ $ ! Q & # '$ " Q ($ ) " $ $ $ $ "$$
$ * ) $ "# $$ $ $ + ξ . . . ξ ω ω 1
n
−1
Q
ωi ωi−1 ωi−1 ωi
!"
#
"
$ %
!
A = {ai , a−1 i | i ∈ I}, &
' ( )
∀i ∈ I : ai a−1 = ; a−1 i i ai = *
◦ : (w1 , w2 ) → w1 w2 +
,
A
- , . "
/ ' ( ) 0
1
$ .
aa
−1
−1
Fa,b
−1
= a a = bb a b
A = {a, b, a−1 , b−1 } = b−1 b =
.
0
.
¾
S x ρ φ q φ = 2π · p/q p/q ∈ Q 2
φ
φ = r · 2π r ∈ R\Q ρ := ρφ A = {ρ, ρ−1 } ρ ρ−1 ! ζ := ζγ z "# γ = s · 2π s ∈ R\Q $ SO(3) % ρφ , ζγ φ = γ = arccos(1/3) " $ B SO(3) &
' ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎜ ρ := ⎝ 0 0 ⎛
⎜ ζ := ⎜ ⎝
2 3
0 1 3
2 3 1 3
√ 2
√ 2
0 √ ⎟ 2 ⎟ ⎠,
− 32 1 3
√ − 23 2
0
1 3
0
0
⎞
⎟ 0 ⎟ ⎠. 1
% ( )" * ( w ∈ B, w = ) (1,0,0)t w (1,0,0)t ) (0,0,1)t w (0,0,1)t '
ρ ζ ∈ SO(3)
+ % k ∈ N (
w ∈ B ) " w(0,0,1) = (0,0,1) w ∈ {ρ, ρ } w(1,0,0)t = (1,0,0)t
w ∈ {ζ, ζ −1 }. , k ≥ 2 ζ ±1 ) χn w = χ1 χ2 . . . χn (1,0,0)t - ρ±1 ) ,. (0,0,1)t ) t
t
−1
+ * ( w % k ) w(1,0,0)t √ 31k (a, b 2, c)t / a, b, c + k = 1 0 +
¾
w = ζw , w = ζ −1 w , w = ρw , w = ρ−1 w
√w 1 w (1,0,0)t = 3k−1 · (a , b 2, c )t a b c χ1 = ζ ±1 a = a ∓ 4b , b = b ± 2a , c = 3c ,
χ1 = ρ±1 a = 3a , b = b ∓ 2c , c = c ± 4b .
! a, b, c w ∈ B ζ ζ −1 w(1,0,0)t = (1,0,0)t
"# b $ w % ζ ζ −1 % b = ±2 & $ ' () w = χ1 χ2 v ' χ1 χ2 = ζ ±1 ρ±1 , χ1 χ2 = ρ±1 ζ ±1 , χ1 χ2 = ζ ±2 , χ1 χ2 = ρ±2 .
a $ b = b ± 2a $
# c # $ b = b ∓ 2c '
# √ 1 # v(1,0,0)t = 3k−2 · (a , b 2, c )t ' b = b ± 2a = b ± 2(a ∓ 4b ) = b ± 2a − 8b = b + (b − b ) − 8b = 2b − 9b .
b b $ #
¾
Bρ ρ B Bρ−1 Bζ Bζ −1
B = Bρ ∪ Bρ−1 ∪ Bζ ∪ Bζ −1 ∪ {}.
ρBρ−1 B
ρ ! ρ−1 ρ ! ! ρ−1 " # ρ $ % & ! ' & (
q qqq q qq r q qqq q
q qqq q q qq r qq q q ra
q qqq q qq r q qqq q
−1
q q qq r qq q q qqq q
q qqq q q qq r qq q q r b
q qqq q r qq q qqq q
r
q qqq q qq r q qqq q
r q q qq r qq q q qqq q
q qqq q r qq q qqq q
q qqq q q qq r qq q q
q qqq 2 ar a r qq q q qqq q q q qq r qq q q qqq q
! " # $ %& ' ' $ ( " # '
ρBρ−1 = Bρ−1 ∪ Bζ ∪ Bζ −1 ∪ {},
ζBζ −1 = Bζ −1 ∪ Bρ ∪ Bρ−1 ∪ {}.
) & * + , ! - (( * + , *+ , - ((
¾
X := S 2 \D
B ! " S 2 \D D # $ % ! & ' B\{}( D = {x ∈ S 2 | ∃ g = ∈ B g(x) = x}. ) ! & B D * % !
∼ ⊂ {(x, y) | x, y ∈ S 2 } : x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ B
y = g(x)
+ & ", -&
+ &( x = (x) ∀x ∈ S 2 ",( ) y = g(x) x = g−1 (y) ∀x, y ∈ S 2 , g ∈ B -&( ) y = g(x) z = h(y) z = hg(x) ∀x, y, z ∈ S 2 , ∀g, h ∈ B ./& ! ∼ g(x) = y}, *! 0 S 2 " 1 B $ 2! z S 2 % ! w ∈ B ! & B & ( Ox := {y ∈ S 2 | ∃g ∈ B
∀w ∈ B
w(D) = D w(S 2 \D) = S 2 \D.
$ ( B D S 2 \D
¾
z∈D
B(D) ⊂ D
w ∈ B v ∈ B w vwv −1
v(z)
B(D) := {b(d) | b ∈ B, d ∈ D} #
D
! "
$ %
D
S 2 \D
&"
B(S 2 \D) ⊃ S 2 \D. '
B(S 2 \D) ⊂ S 2 \D
z w(z) = z
(&" ) *
B " ∀w ∈ B v(z) (&" )
v∈B
&"
∀w ∈ B
vwv −1 (v(z)) = v(w(z)) = v(z)
+
, %
w-.
&"
B(S 2 \(S 2 \D)) = B(D) ⊃ D % &""
* '
Bζ ,
Bζ −1 ,
Bρ ,
B
Bρ−1 ,
{}
% &" &" &" .
S 2 \D
(&" ) "% / 0
"
2% 3 5
B
H
1
4
O := {Ox | x ∈ S 2 \D}
%" 6 "% 5 0
778 " " 6 !&"
&" 1
*" +9 * &" " :&"
- ; 0 < 5 " : 6
H
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B
; 0