Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. : Band 1 ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 9783834892201, 3834892203 [PDF]

Zitiervorschau

Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

Lothar Papula

Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium 11., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 493 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 307 Ubungsaufgaben mit ausfiJhrlichen Losungen STUDIUM

VIEWEG+ TEUBNER

Bibiiografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibiiografische Daten sind im Internet uber abrufbar.

1. 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8,, 9., 10., 11.,

Auflage 1983 durchgesehene Auflage 1984 durchgesehene Auflage 1986 durchgesehene und erweiterte Auflage 1988 verbesserte Auflage 1990 verbesserte Auflage 1991 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1996 verbesserte Auflage 1998 verbesserte Auflage 2000 erweiterte Auflage Oktober 2001 verbesserte und erweiterte Auflage 2007 unveranderter Nachdruck 2008

Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ewald Schmitt Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dijrften. Technische Redaktion: Hartmut Kuhn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: KunkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Druckhaus Thomas Muntzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinska Tiskarna, a.s., Tschechien Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN 978-3-8348-0224-8

V

Vorwort

Das dreibandige Werk Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fiir das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschafdich-technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formelsammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, wahrend der dritte Band spezielle Themen tiberwiegend aus dem Hauptstudium behandelt.

Zur Stoffauswahl des ersten Bandes Die Erfahrungen der letzten Jahre zeigen, daB die Studienanfanger nach wie vor iiber sehr unterschiedliche und in der Regel nicht ausreichende mathematische Grundkenntnisse verfiigen. Insbesondere in der Algebra bestehen groBe Defizite. Die Griinde hierfiir hegen u. a. in der Verlagemng der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Abwahl des Faches Mathematik als Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein nahtloser und erfolgreicher Ubergang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusdtzliche Hilfen kaum moghch. Dieser erste Band des Lehr- und Lemsystems leistet die dringend benotigte „Hilfestellung" durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elementarmathematik in das Grundstudium und schafft somit die Voraussetzung fiir eine tragfdhige Verbindung („Briicke") zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich bereits in der Vergangenheit bestens bewahrt hat und deshalb konsequent beibehalten wurde. Im vorliegenden ersten Band werden die folgenden Stoffgebiete behandelt: • AUgemeine Grundlagen (u. a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme, binomischer Lehrsatz) • Vektoralgebra (zunachst in der anschaulichen Ebene und dann im Raum) • Funktionen und Kurven (als wichtigste Gmndlage fiir die Differential- und Integralrechnung) • Differentialrechnung "^ (j^ii zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft • Integralrechnung / und Technik) • Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen) Eine Ubersicht iiber die Inhalte der Bande 2 und 3 erfolgt im AnschluB an das Inhaltsverzeichnis.

VI

Vorwort

Zur Darstellung des Stoffes Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden tJberlegungen ausgegangen: • Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen eine bedeutende RoUe, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares) Hilfsmittel • Aufgrund der veranderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen Defi^ zite soUte der Studienanfanger nicht iiberfordert werden. Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstandliche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewahlt. Begriffe, Zusammenhange, Satze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen naher erlautert. Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Ubungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einiiben und Vertiefen des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausfiihrlich kommentierten) Losungen ermoglichen dem Leser eine standige SelbstkontroUe. Mit der Verbesserung von Bildem wurden die Beispiele noch verstandlicher und optimiert. Dazu zahlen auch zusatzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenentwicklung.

Zur auBeren Form Zentrale Inhalte wie Defmitionen, Satze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehober^: • Definitionen, Satze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt. • Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol • gekennzeichnet. Bei der (bildlichen) Darstellung von Flachen und raumlichen Korpern wurden Grauraster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussagekraftige Bilder zu erhalten.

Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem MaBe werden leistungsfahige Computeralgebra-Programme wie z. B. DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Losung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein niitzliches und sinnvoUes Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art ,,Kontrollinstanz'' beim Losen von Ubungsaufgaben verwendet werden (Uberpriifung der von Hand ermittelten Losungen mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen.

Vorwort

VII

Mit der Verbesserung von Bildem wurden die Beispiele noch verstandlicher und optimiert. Dazu zahlen auch zusatzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenentwicklung.

Eine Bitte des Autors Fiir Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fiir die permanente Verbesserung dieses Lehrwerkes.

Ein Wort des Dankes . . . ... an alle FachkoUegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben, ... an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herm Ewald Schmitt, fur die hervorragende Zusammenarbeit wahrend der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes. Wiesbaden, im Sommer 2007

Lothar Papula

VIII

Inhaltsverzeichnis

I AUgemeine Grundlagen

1

1 Einige gmndlegende Begriffe iiber Mengen

1

1.1 Definition und Darstellung einer Menge 1.2 Mengenoperationen

1 3

2 Die Menge der reellen Zahlen 2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften 2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag 2.3 Teilmengen und Intervalle 3 Gleichungen 3.1 Lineare Gleichungen 3.2 Quadratische Gleichungen 3.3 Gleichungen 3. und hoheren Grades 3.3.1 AUgemeine Vorbetrachtung 3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax^ -\- bx^ + ex = 0 .... 3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen 3.4 Wurzelgleichungen 3.5 Betragsgleichungen 3.5.1 Definition der Betragsfunktion 3.5.2 Analytische Losung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel) 3.5.3 Losung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel)

6 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 13 14 15 17 18

4 Ungleichungen

18

5 Lineare Gleichungssysteme

21

5.1 Ein einfiihrendes Beispiel 5.2 Der GauBsche Algorithmus 5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes . . . . 6 Der Binomische Lehrsatz

21 24 33 35

Inhaltsverzeichnis

IX

Ubungsaufgaben

39

Zu Zu Zu Zu Zu

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 und 2 3 4 5 6

39 39 40 41 42

II Vektoralgebra

43

1 Gmndbegriffe

43

1.1 1.2 1.3 1.4

Definition eines Vektors Gleichheit von Vektoren Parahele, anti-parallele und koUineare Vektoren Vektoroperationen 1.4.1 Addition von Vektoren 1.4.2 Subtraktion von Vektoren 1.4.3 Muhiphkation eines Vektors mit einem Skalar

2 Vektorrechnung in der Ebene 2.1 Komponentendarstellung eines Vektors 2.2 Darstellung der Vektoroperationen 2.2.1 Muhiphkation eines Vektors mit einem Skalar 2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes 2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 2.4 Anwendungsbeispiel: Resuhierende eines ebenen Kraftesystems 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum 3.1 Komponentendarstehung eines Vektors 3.2 DarsteUung der Vektoroperationen 3.2.1 Muhiphkation eines Vektors mit einem Skalar 3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes 3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors 3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor 3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft 3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes 3.4.2 Anwendungsbeispiele

43 44 45 46 46 49 50 52 52 56 56 57 59 59 62 65 67 68 72 72 73 76 76 79 80 82 84 86 86 92

X

Inhaltsverzeichnis 3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) 3.4.2.2 Bewegung von Ladungstragern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)

4 Anwendungen in der Geometric 4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden 4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden 4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden 4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden 4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden 4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkei zweier Geraden 4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene 4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene 4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor 4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene 4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene 4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkei einer Geraden mit einer E b e n e . . . . 4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen 4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkei zweier Ebenen Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 2 und 3 Zu Abschnitt 4

92 93 94 98 98 98 100 101 103 105 107 109 109 112 114 115 117 119 122 124 128 128 132

III Funktionen und Kurven

137

1 Definition und Darstellung einer Funktion

137

1.1 Definition einer Funktion 1.2 Darstellungsformen einer Funktion 1.2.1 Analytische Darstellung 1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) 1.2.3 Graphische Darstellung 1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion 2 AUgemeine Funktionseigenschaften 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

NuUstellen Symmetrieverhalten Monotonie Periodizitat Umkehrfunktion oder inverse Funktion

137 138 138 138 138 140 141 141 142 144 147 148

Inhaltsverzeichnis 3 Koordinatentransformationen 3.1 Ein einftihrendes Beispiel 3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems 3.3 Ubergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten 3.3.1 Definition der Polarkoordinaten 3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten 4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 4.1 Reelle Zahlenfolgen 4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge 4.1.2 Grenzwert einer Folge 4.2 Grenzwert einer Funktion 4.2.1 Grenzwert einer Funktion fiir x —> XQ 4.2.2 Grenzwert einer Funktion fiir x ^ ± oo 4.2.3 Rechenregeln fiir Grenzwerte 4.3 Stetigkeit einer Funktion 5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Definition einer ganzrationalen Funktion Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynomfunktionen hoheren Grades Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion Interpolationspolynome 5.6.1 AUgemeine Vorbetrachtung 5.6.2 Interpolationspolynom von Newton 5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens

6 Gebrochenrationale Funktionen 6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion 6.2 Nullstellen, Definitionsliicken, Pole 6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im UnendHchen 6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazitat eines Kugelkondensators 7 Potenz- und Wurzelfunktionen 7.1 7.2 7.3 7.4

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld

XI 152 152 153 158 158 161 163 163 163 165 168 168 171 173 174 179 179 180 183 187 191 195 195 196 200 200 200 201 206 208 209 209 211 213 215

XII

Inhaltsverzeichnis

8 Algebraische Funktionen

215

8.1 Definition einer algebraischen Funktion 215 8.2 Gleichungen der Kegelschnitte 217 8.2.1 Darstellung eines Kegelschnitts durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten 217 8.2.2 Gleichungen eines Kreises 218 8.2.3 Gleichungen einer Ellipse 219 8.2.4 Gleichungen einer Hyperbel 221 8.2.5 Gleichungen einer Parabel 224 8.2.6 Beispiele zu den Kegelschnitten 225 8.3 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems 230 9 Trigonometrische Funktionen 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Definitionen und Grundbegriffe Sinus- und Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Anwendungen in der Schwingungslehre 9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) 9.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers) 9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 9.5.3 Superposition (Uberlagerung) gleichfrequenter Schwingungen . . . . 9.5.4 Lissajous-Figuren

10 Arkusfunktionen 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen Arkussinusfunktion Arkuskosinusfunktion Arkustanges- und Arkuskotangensfunktion Trigonometrische Gleichungen

11 Exponentialfunktionen 11.1 Grundbegriffe 11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion 11.3 Spezielle, in den Anwendungen haufig auftretende Funktionstypen 11.3.1 Abklingfunktionen 11.3.2 Sattigungsfunktionen 11.3.3 Darstellung aperiodischer Schwingungsvorgange durch e-Funktionen 11.3.4 GauB-Funktionen

231 231 236 237 238 240 240 240 244 246 252 257 258 258 259 260 261 265 267 267 267 269 269 273 275 277

Inhaltsverzeichnis 12 Logarithmusfunktionen 12.1 Gmndbegriffe 12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion 12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen 13 Hyperbel- und Areafunktionen

XIII 278 278 280 284 286

13.1 Hyperbelfunktionen 286 13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen 286 13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y = sinhx und y = coshx 286 13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y = tanhx und y = cothx 288 13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den hyperbolischen Funktionen 289 13.2 Areafunktionen 290 13.2.1 Definition der Areafunktionen 290 13.2.2 Die Areafunktionen y = arsinhx und y = arcoshx 291 13.2.3 Die Areafunktionen y — artanhx und y = arcothx 292 \?>2A Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen . 293 13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berticksichtigung des Luftwiderstandes 293 Ubungsaufgaben Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu Zu

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 und 10 11, 12 und 13

295 295 296 296 297 299 301 301 302 302 305

IV Differentialrechnung

308

1 Differenzierbarkeit einer Funktion

308

1.1 Das Tangentenproblem 1.2 Ableitung einer Funktion 1.3 Ableitung der elementaren Funktionen

308 309 313

2 Ableitungsregeln

316

2.1 Faktorregel 2.2 Summenregel 2.3 Produktresel

316 317 318

XIV 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13

Inhaltsverzeichnis Quotientenregel 320 Kettenregel 322 Logarithmische Ableitung 327 Ableitung der Umkehrfunktion 328 Implizite Differentiation 330 Differential einer Funktion 332 Hohere Ableitungen 335 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) .. 336 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve 339 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 344 2.13.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung) 344 2.13.2 Induktionsgesetz 346 2.13.3 Elektrischer Schwingkreis 347

3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Tangente und Normale 3.2 Linearisierung einer Funktion 3.3 Charakteristische Kurvenpunkte 3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen 3.3.2 Kriimmung einer ebenen Kurve 3.3.3 Relative oder lokale Extremwerte 3.3.4 Wendepunkte, Sattelpunkte 3.3.5 Erganzungen 3.4 Extremwertaufgaben 3.5 Kurvendiskussion 3.6 Naherungsweise Losung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton 3.6.1 Iterationsverfahren 3.6.2 Tangentenverfahren von Newton Ubungsaufgaben

348 348 350 353 353 355 363 368 370 372 378 383 383 384 391

Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3

391 391 395

V Integralrechnung

398

1 Integration als Umkehrung der Differentiation

398

2 Das bestimmte Integral als Flacheninhalt

401

2.1 Ein einfiihrendes Beispiel 2.2 Das bestimmte Integral

402 405

Inhaltsverzeichnis

XV

3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion

411

4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

414

5 Grund- oder Stammintegrale

418

6 Berechnung bestimmter Integrate unter Verwendung einer Stammfunktion . 420 7 Elementare Integrationsregeln

424

8 Integrationsmethoden

427

8.1 Integration durch Substitution 8.1.1 Ein einfiihrendes Beispiel 8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen 8.2 Partielle Integration oder Produktintegration 8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden 8.3.1 Partialbruchzerlegung 8.3.2 Integration der Partialbrtiche 8.4 Numerische Integrationsmethoden 8.4.1 Trapezformel 8.4.2 Simpsonsche Formel 9 Uneigentliche Integrale 10 Anwendungen der Integralrechnung 10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik 10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung 10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens 10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes 10.2 Flacheninhalt 10.2.1 Bestimmtes Integral und Flacheninhalt. Erganzungen 10.2.2 Flacheninhalt zwischen zwei Kurven 10.3 Volumen eines Rotationskorpers (Rotationsvolumen) 10.4 Bogenlange einer ebenen Kurve 10.5 Mantelflache eines Rotationskorpers (Rotationsflache) 10.6 Arbeits- und EnergiegroBen 10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte 10.8 Schwerpunkt homogener Flachen und Korper 10.8.1 Grundbegriffe 10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Flache 10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskorpers 10.9 Massentragheitsmomente 10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele 10.9.2 Satz von Steiner 10.9.3 Massentragheitsmoment eines homogenen Rotationskorpers . . .

427 427 428 434 440 441 443 447 448 453 459 464 464 464 467 469 470 470 476 481 487 490 494 500 504 504 507 513 518 518 522 523

XVI

Inhaltsverzeichnis

Ubungsaufgaben Zu Zu Zu Zu

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

1 bis 7 8 9 10

528 528 531 534 534

VI Potenzreihenentwicklungen

539

1 Unendliche Reihen

539

1.1 Ein einftihrendes Beispiel 1.2 Grundbegriffe 1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe 1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 1.3 Konvergenzkriterien 1.3.1 Quotientenkriterium 1.3.2 Leibnizsches Konvergenzkriterium fiir altemierende Reihen 2 Potenzreihen 2.1 Definition einer Potenzreihe 2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe 2.3 Eigenschaften der Potenzreihen 3 Taylor-Reihen 3.1 Ein einftihrendes Beispiel 3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion 3.2.1 Mac Laurinsche Reihe 3.2.2 Taylorsche Reihe 3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen 3.3 Anwendungen 3.3.1 Naherungspolynome einer Funktion 3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden 3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L'Hospital 3.4 Anwendungsbeispiele aus der Physik und Technik 3.4.1 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes 3.4.2 Kapazitat einer elektrischen Doppelleitung 3.4.3 RC~Schaltung mit angelegter Rampenspannung

539 541 541 543 546 547 550 552 552 553 559 560 560 562 562 569 571 573 573 584 587 593 593 595 596

Ubungsaufgaben

598

Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3

598 599 599

Inhaltsverzeichnis

XVII

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

604

I AUgemeine Grundlagen

604

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

604 604 606 608 609

1 und 2 3 4 5 6

II Vektoralgebra

610

Abschnitt 2 und 3 Abschnitt 4

610 613

III Funktionen und Kurven

620

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

620 622 622 623 625 627 629 629 630 633

1 2 3 4 5 6 7 8 9 und 10 11, 12 und 13

IV Differentialrechnung

635

Abschnitt 1 Abschnitt 2 Abschnitt 3

635 635 642

V Integralrechnung

652

Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt

652 653 656 657

Ibis 7 8 9 10

VI Potenzreihenentwicklungen

661

Abschnitt 1 Abschnitt 2 Abschnitt 3

661 662 663

Literaturhinweise

671

Sachwortverzeichnis

672

XVIII

Inhaltsiibersicht Band 2

Kapitel I:

Lineare Algebra 1 2 3 4 5 6

Kapitel II:

Reelle Matrizen Determinanten Erganzungen Lineare Gleichungssysteme Komplexe Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

Fourier-Reihen 1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion 2 Anwendungen

Kapitel III: Komplexe Zahlen und Funktionen 1 2 3 4

Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Komplexe Rechnung Anwendungen der komplexen Rechnung Ortskurven

Kapitel IV: Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen 1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung 2 Partielle Differentiation 3 Mehrfachintegrale Kapitel V:

Gewohnliche Differentialgleichungen 1 Grundbegriffe 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 4 Anwendungen in der Schwingungslehre 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 6 Numerische Integration einer Differentialgleichung 7 Systeme linearer Differentialgleichungen

Inhaltsiibersicht Band 2 Kapitel VI:

Laplace-Transformation 1 2 3 4 5

Anhang:

Grundbegriffe Allgemeine Eigenschaften der Laplace-Transformation Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion Rlicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Anwendungen der Laplace-Transformation

Losungen der Ubungsaufgaben

XIX

XX

Inhaltsiibersicht Band 3

Kapitel I:

Vektoranalysis 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kapitel II:

Ebene und raumliche Kurven Flachen im Raum Skalar- und Vektorfelder Gradient eines Skalarfeldes Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme Linien- oder Kurvenintegrale Oberflachenintegrale Integralsatze von GauB und Stokes

Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 2 3 4 5 6 7 8

Hilfsmittel aus der Kombinatorik Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Kennwerte oder MaBzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Spezielle Wahrscheinhchkeitsverteilungen Wahrscheinhchkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen Priif- oder Testverteilungen

Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik 1 Grundbegriffe 2 Kennwerte oder MaBzahlen einer Stichprobe 3 Statistische Schatzmethoden fiir die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (, ,Parameterschatzungen'') 4 Statistische Priifverfahren fiir die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parametertests") 5 Statistische Priifverfahren fiir die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (,,Anpassungs- oder Verteilungstests") 6 Korrelation und Regression

Inhaltsiibersicht Band 3 Kapitel IV:

XXI

Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 „Fehlerarten" (systematische und zufallige MeBabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung Statistische Verteilung der MeBwerte und MeBabweichungen („MeBfehler") Auswertung einer MeBreihe „Fehlerfortpflanzung" nach GauB Ausgleichs- oder Regressionskurven

Anhang:

Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Teil B: Losungen der Ubungsaufgaben

I AUgemeine Grundlagen

1 Einige grundlegende Begriffe iiber Mengen 1.1 Definition und Darstellung einer Menge Definition: Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung gewisser, wohiunterschiedener Objekte, Elemente genannt, zu einer Einheit,

Mengen lassen sich durch ihre Eigenschaften beschreiben (sog. beschreibende Darstellungsform): M = {x\x besitzt die Eigenschaften Ei, E2, ..., E^}

(I-l)

Eine weitere Darstellungsmoglichkeit bietet die aufzdhlende Form: M = {a^, a2, ..., 0 und x < 3 geniigen: 2x-4>0

=> 2 x > 4 => x>2

X 1L2 = {x\x

=> lLi =

{x\x>2}

2 und x < 3} = {x12 < x < 3} Besonders anschaulich laBt sich dieser Vorgang auf der Zahlengerade darstellen: die gesuchten Losungen ergeben sich durch Uberlappung der Teilmengen IL^ und IL2 (Bild 1-3):

ii

—^

2^^ X ^ 3

!-•—

1_

Bild 1-3

Definition: Die Vereinigungsmenge Au B zweier Meng en A und B istdieMenge aller Elemente, die zu A Oder zu B oder zu beiden Mengen gehoren: Au B =^ {x\xE A oder XE B}

(I-IO)

(gelesen: A vereinigt mit B; Bild 1-4)

Bild 1-4

Anmerkung Man beachte, daB auch diejenigen Elemente zur Vereinigungsmenge gehoren, die zugleich Elemente von A und B sind (es handelt sich hier also nicht um das „oder" im Sinne von „entweder oder").

1 Einige gmndlegende Begriffe iiber Mengen Beispiele (1)

A = {1, 2, 3, 4}, B = {1,5, 6,1} => AuB

(2)

Ml = { x | 0 ^ x ^ l } ,

M2 = {x\l^x^5}

Ml u M2 = {x 10 ^ X ^ 5}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ^

(Bild 1-5)

M, U M2

1

b

M

^

1

Bild 1-5

Definition: Die Differenzmenge {Restmenge) A\B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B gehoren: A\B^{x\xeA

(I-ll)

und x^B)

(gelesen: A ohne B', Bild 1-6)

Bild 1-6

Beispiele (1)

]N = {0, 1, 2, ...},

N * = {1, 2, 3, ...} =^ ]N* = N\{0} = {1, 2, 3,...}

(2)

v4 = {l, 5, 7, 10}, 5 = {0, 1, 7, 15} ^

^ \ 5 = {5, 10}

I Allgemeine Grundlagen

2 Die Menge der reellen Zahlen 2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften Grundlage aller Rechen- und MeBvorgange sind die reellen Zahlen-^I Sie warden durch das Symbol R gekennzeichnet und lassen sich in anschaulicher Weise durch Punkte auf einer Zahlengerade darstellen (die Zuordnung ist dabei umkehrbar eindeutig, Bild 1-7):

1

-1,1,

1

^1

1

0

1

0,5

1

1

H-

1,7

Bild 1-7 Darstellung der reellen Zahlen auf einer Zahlengerade

Positive Zahlen werden dabei nach rechts, negative Zahlen nach links abgetragen (jeweils vom Nullpunkt aus). Auf der Zahlenmenge R sind vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten, erklart. Es sind dies: — — — —

Addition (+) Subtraktion (—) als Umkehrung der Addition Multiplikation (•) Division (:) als Umkehrung der Multiplikation

Die Grundrechenarten geniigen dabei den folgenden Grundgesetzen: Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen a 1. Summe a + b. Differenz a — b, Produkt ab und Quotient - zweier reeller b Zahlen a und b ergeben wiederum relle Zahlen. Ausnahme: Die Division durch die Zahl 0 ist nicht erlaubt. 2. Addition und Multiplikation sind kommutative Rechenoperationen. Fur behebige Zahlen a, b € IR gilt stets: a ~\- b = b -\- a 1 > Kommutativgesetze ab = ba

1) Zu ihnen gehoren: 1. alle endlichen Dezimalbriiche (einschlieBlich der ganzen Zahlen), 2. alle unendlichen periodischen Dezimalbriiche, und 3. alle unendlichen nicht periodischen Dezimalbriiche.

(1-12)

2 Die Menge der reellen Zahlen

3. Addition und Multiplikation sind assoziative Rechenoperationen. Fiir beliebige Zahlen a, h, celR gilt stets: a + (b + c ) - ( a H - ^ ) + c 1 > Assoziativgesetze a (be) = (a/))c J

(i-13)

4. Addition und Multiplikation sind iiber das Distrihutivgesetz miteinander verbunden: a{h-\-c) = ab-\-ac

(1-14)

Distrihutivgesetz

2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag Unter den reellen Zahlen herrscht eine bestimmte Anordnung in dem folgenden Sinne: Zwei Zahlen a, b e IR stehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen zueinander: {a kleiner b)

a b

1

-^

a=b

X

1— b

—

1 a

• x

Bild 1-8

Bild 1-9

Bild I-IO

Aussagen (Beziehungen) der Form a b werden als Ungleichungen bezeichnet. Zu ihnen zahlt man auch die Relationen {a kleiner oder gleich b, d.h. entweder a b oder a = b)

b

Anmerkungen (1)

a b) bedeutet: Der Bildpunkt von a liegt links (rechts) vom Bildpunkt von b (vgl. hierzu die Bilder 1-8 und I-IO).

(2)

a = b bedeutet: Die Bildpunkte von a und b fallen zusammen (Bild 1-9).

Unter dem Betrag einer reellen Zahl a wird der Abstand des zugeordneten Bildpunktes vom Nullpunkt verstanden (Bild I - l l ) . -Ibl = -b

^\m

lal=Q

«H ^^ X

Bild I-ll Zum Begriff des Betrages einer Zahl {a> ^,b 0 a=0 a IL = {-1,5} (3)

x 2 - 4 x + 13 = 0 D = — 9 < 0 => Keine reellen Losungen

3.3 Gleichungen 3. und hoheren Grades 3.3.1 AUgemeine Vorbetrachtung Eine algebraische Gleichung n-ten Grades ist in der Form a„ x" + a„ _ I x" ~ ^ + ... + a^ X + ^0 = 0

(a„ / 0)

(1-21)

darstellbar. Sie besitzt hochstens n reelle Losungen, die auch als Wurzeln der Gleichung bezeichnet werden. Ist n ungerade, so existiert mindestens eine reelle Losung. Fiir Gleichungen bis einschlieBhch 4. Grades lassen sich allgemeine Formelausdriicke herleiten, die die Berechnung der Losungen aus den Koeffizienten der Gleichung ermoglichen. Als Beispiel fuhren wir die Cardanische Losungsformel fur eine Gleichung 3. Grades an.

2)

Die Losungen sind dann sog. (konjugiert) komplexe Zahlen. Sie werden in Band 2 ausfiihrlich behandelt (Kap. III).

12

I Allgemeine Grundlagen

Leider jedoch sind diese Formeln in der Praxis meist zu schwerfallig, so daB man in der Kegel auf andere Verfahren ausweicht (z.B. diuf graphische oder numerische Naherungsverfahren, siehe hierzu das in Kapitel IV dargestellte Tangentenverfahren von Newton). 1st eine Losung x^ bekannt, so kann die Gleichung n-ten Grades durch Abspalten des entsprechenden Linearfaktors x — x^ auf eine Gleichung vom Grade n — 1 reduziert werden. Auf dieses Thema gehen wir im Zusammenhang mit den Polynomfunktionen ausfiihrlich ein (siehe hierzu Abschnitt III. 5). AbschlieBend zeigen wir anhand von Beispielen, wie in Sonderfdllen die Losung einer Gleichung dritten bzw. vierten Grades gelingt.

3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax^ -i- bx^ + ex = 0 Kubische Gleichungen der speziellen Form (a^O)

ax^ -^bx^ -^ cx = 0

(1-22)

in denen also das absolute Glied fehlt, lassen sich stets durch Ausklammern der Unbekannten x in eine lineare und eine quadratische Gleichung zerlegen: x{ax^ + l?x + c) = 0 .

^

X = 0 => xi = 0

\

ax^ -\- bx -\- c = 0

(1-23)

Eine Losung liegt daher stets bei Xi = 0, zwei weitere Losungen konnen aus der quadratischen Gleichung resultieren. Beispiel x^ + 4 x 2 + 3x = 0 ' X = 0 => x^ = 0 x{x^ + 4x + 3) = 0 ^

x2 + 4x + 3 = 0 = >

X2/3=-2±l

Es existieren in diesem Beispiel also genau drei verschiedene Losungen. Sie lauten: x^=0,

X2=-1,

X3=-3

=> ]L = {-3, - i , 0}

3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen Eine algebraische Gleichung 4. Grades vom speziellen Typ ax"^ -i-bx^ + c = 0

((2 7^0)

(1-24)

(es treten nur gerade Potenzen auf) heiBt bi-quadratisch und laBt sich durch die Substitution z = x-^ in eine quadratische Gleichung uberfiihren: az^ + bz + c = 0

(1-25)

3 Gleichungen

13

Aus den Losungen dieser Gleichung erhalt man mittels der Rucksubstitution x^ = z die Losungen der bi-quadratischen Gleichung. Eine bi-quadratische Gleichung besitzt daher entweder keine reelle Losung oder aber zwei oder vier reelle Losungen. •

Beispiel x^-lOx^ + 9 = 0 Substitution: z = x^ z^ - lOz + 9 = i3 =>

^1/2

- 5±4

=> z^=9,

Z2 = l

Rucksubstitution mittels x^ = z: x-^ = Zi =-9 X^ =Z2

=--

=>

•^1/2

= ±3

1 => •^3/4 = ± 1

Losungsmenge: lL = {-3, - 1 , 1 ,3}

3.4 Wurzelgleichungen Die bisher behandelten Gleichungen konnten durch sog. dquivalente Umformungen^^ schrittweise vereinfacht und schlieBhch gelost werden, ohne daB dabei Losungen hinzukamen oder verschwanden. Bei Wurzelgleichungen, in denen die Unbekannte in rationaler Form innerhalb von Wurzelausdriicken auftritt, ist dies i.a. nicht der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt: •

Beispiel V2x-3 + 5-3x = 0

(2jt:-3^0,

d. h. x ^ 1,5)

Der Wurzelausdruck wird zunachst isoHert: V 2 x — 3 = 3x — 5 und anschlieBend durch Quadrieren beseitigt: V2X — 3 = 3x — 5 I quadrieren => 2x — 3 = (3x — 5)^ Dieser Vorgang stellt jedoch eine nichtdquivalente Umformung dar. Die neue (quadratische) Gleichung besitzt mehr Losungen als die urspriinghche Wurzelgleichung, wie wir im folgenden noch zeigen werden. 3) Bei einer dquivalenten Umformung bleibt die Losungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung (beziig-

lich derselben Unbekannten) unverdndert. Umformungen, die zu einer Verdnderung der Losungsmenge fiihren konnen, heiBen nichtdquivalente Umformungen.

I Allgemeine Grundlagen

14 Zunachst aber losen wir die quadratische Gleichung: 2x - 3 = (3x - 5)2 = 9x^ - 30x + 25 + 3 2 x - 2 8 = 0 |:(-9)

-9x^

32

^1/2

16

= —+

__18__

^i-y-2,

28 '256 28_16 ~%\~~9~~9-

' 2 5 6 - 2 5 2 ^ 16_^2 81 9 -9

_ 14

^2-y

Dies sind die beiden Losungen der quadratischen Gleichung. Sind sie zugleich auch Losungen der vorgegebenen Wurzelgleichungl Diese Frage kann nur durch eine Probe, d. h. durch Einsetzen der gefundenen Werte in die Wurzelgleichung entschieden werden: |;|||||;:|sss;::;|||s

Xn

=•

14

^2 • 2 - 3 + 5 - 3 - 2 = 0 1+5-6 =0 0 = 0 => Xi = 2 ist also eine Losung der Wurzelgleichung '2

14 9

14 3 + 5 - 3 - —= 0 9 1 14 =0 +5

y

2 = 0 ^ 3

Widerspruch X2 = 14/9 ist daher keine Losung der Wurzelgleichung

Die Wurzelgleichung v ^ x —3 + 5 —3x = 0 besitzt demnach nur die eine Losung Xi = 2.

3.5 Betragsgleichungen Wir zeigen in diesem Abschnitt anhand von Beispielen, wie man sog. Betragsgleichungen in einfachen Fallen durch Fallunterscheidung oder mit Hilfe eines halb-graphischen Verfahrens losen kann. Eine Betragsgleichung enthalt dabei mindestens einen in Betragsstrichen stehenden Term mit der Unbekannten x. Zunachst aber miissen wir uns mit den Eigenschaften der sog. Betragsfunktion vertraut machen.

3 Gleichungen

15

3.5.1 Definition der Betragsfunktion DefinitionsgemaB verstehen wir unter dem Betrag \ x \ einer reellen Zahl x den Abstand dieser Zahl von der Zahl 0. Beispiel |4| = 4, | - 3 | = 3

(BildI-16) Kl

-l-il -H

1

-3

1

1

1

0

Bild 1-16

J-

Der Abstand zweier Zahlen x und a aufder Zahlengeradeist dann \x — a\ (Bild 1-17): \x-a\

^ Bild 1-17

Der Betrag | x \ einer reellen Zahl x kann auch als eine Funktion von x aufgefaBt werden. Dies fiihrt zu dem Begriff der wie folgt definierten Betragsfunktion: Definition: Unter der Betragsfunktion y = \x\ wird die fiir alle xeIR erklarte Funktion X

y = \x\ =

X

fur

X^ 0 X

(Der in Betragsstrichen stehende Term 2 x — 1 ist fiir x ^ 0,5 grofier oder gleich Null, die Betragsstriche diirfen daher weggelassen werden und wir erhalten eine einfache lineare Gleichung.) | 2 x - 11 = 2 x - 1 = - X + 1

3x

-1=3

(Die Bedingung x ^ 0,5 ist fiir diesen Wert erfixUt.) 2 Fall: Fiir 2 x - 1 < 0, d.h. x < 0,5 ist |2x - 1| = - (2x - 1) = - 2x + 1 => (In diesem Fall ist der Term 2x — 1 negativ, den Betrag dieses Terms erhalten wir also durch Multiplikation des Terms mit — 1.) | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 = - x + 1 => - x = 0

xo = 0

(Die Bedingung x < 0,5 ist fiir diesen Wert erfiillt.) Die Betragsgleichung besitzt demnach die Losungen x^ = - und X2 = 0.

18

I Allgemeine Grundlagen

3.5.3 Losung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel) Die Betragsgleichung \x-2\

= x^

kann wie folgt auf halb-graphischem Wege gelost werden: Wir fassen die beiden Seiten der Gleichung als Funktionen von x auf und setzen und yi yi = 1^ Die Losungen der Betragsgleichung sind dann die Abszissenwerte der Schnittpunkte beider Kurven (Bild 1-21).

y^ = \x^2\=-(x-2) {furx^2)

Bild 1-21 Zur Losung der Betragsgleichung | x — 21 = x'^ auf halb-graphischem Wege

Bei genauer Zeichnung konnen diese Werte direkt abgelesen werden, jedoch mit keiner allzu groBen Genauigkeit. Rechnerisch erhalt man sie nach Bild 1-21 liber die Schnittpunkte der Geraden y = — (x — 2) = —x + 2 mit der Parabel j; = x^, da die Betragsfunktion y = \x — 2\ im Intervall x ^ 2, in dem die beiden Losungen hegen, mit der Geraden y = — {x — 2) = — x + 2 zusammenfallt: = -x + 2

x-^ -\- X

2 = 0

Xi = — 2,

=1

1L = {-2,1}

4 Ungleichungen Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit Ungleichungen, die noch eine unbekannte GroBe x enthalten. Die Losungsmengen sind in der Regel Intervalle. Ahnlich wie bei einer Gleichung versucht man auch hier, die vorgegebene Ungleichung durch dquivalente Umformungen zu losen.

4 Ungleichungen

19

Dabei sind die folgenden Regeln zu beachten: Aquivalente Umformungen einer Ungleichung Die Losungsmenge einer Ungleichung bleibt bei Anwendung der folgenden Operationen unverandert erhalten (sog. aquivalente Umformungen einer Ungleichung): 1. Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf ein beliebiger Term T{x) addiert Oder subtrahiert werden. 2. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen posidven Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden. 3. Eine Ungleichung darf mit einer beliebigen negativen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen der Ungleichung wie folgt gedndert wird: Aus aus aus aus

< ^ > ^

wird > , wird ^ , wird < , wird ^ .

Beispiele (1)

|x-l|>l Wir losen diese Ungleichung analytisch durch Fallunterscheidung. 1. Fall. Fixr X - 1 ^ 0, d.h. x ^ 1 ist |x - 11 = x - 1 ^

|x-l| = x - l > l | + l

=> x > 2 (Die Bedingung x ^ 1 ist im jeden Wert dieses Intervalles erfiillt.) IL^ = {x I X > 2} = (2, oo) 2 Fall. Fiir X - 1 < 0, d.h. x < 1 ist |x - 11 = - (x - 1) = - x + 1 =^ | x - l | = - x + l > l

^

-x>0|-(-l)

=^ x < 0 (Die Bedingung x < 1 ist fiir jeden Wert dieses Intervalles erfiillt.) ]L2 = { x | x < 0 } = ( - o o , 0 ) Die Losungsmenge IL der vorgegebenen Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der beiden Teillosungsmengen IL^ und 1L2: IL = ILj^ u IL2 = {x I X < 0 oder x > 2}

I Allgemeine Grundlagen

20

(2)

{x - 1)2 ^ |x| Wir losen diese Ungleichung auf sehr anschauliche Weise wie folgt: Linke und rechte Seite der Ungleichung werden als Funktionen von x aufgefaBt: j/jL = (x — 1)2 (Parabel)

und

y2 ^ 1^1

(Betragsfunktion)

Die Ungleichung laBt sich dann auch in der Form yi < }^2 darstellen. Losungen sind damit alle x-Werte, fiir die die Parabel unterhalb der Betragsfunktion bleibt. Wir zeichnen beide Kurven und erkennen anhand des Bildes 1-22, daB diese Bedingung genau zwischen den beiden Kurvenschnittpunkten erfiillt ist.

Bild 1-22 Zur Losung der Ungleichung (x — 1)^ ^ |x|

Diese erhalt man durch Gleichsetzen der Funktionen y^ = {x — 1)^ und y^ = \x\=x (fiir x^O)^); (x-1)2 = x

2x + 1 = X

x^l2 = 1.5 ± V 1.52 _ 1 = 1,5 ± 1,12

3x + 1 = 0 => xi = 2,62, X2 = 0,38

Losungsmenge: 0,38 ^ x ^ 2,62

4)

Anhand der Skizze erkennt man, daB die gesuchten Kurvenschnittpunkte im Bereich positiver x-Werte liegen. Die Betragsfunktion yi = 1^1 ist dort aber identisch mit der Geraden y = x, die daher die Parabel j^i = (x — 1) an den gleichen Stellen schneidet wie die Betragsfunktion.

5 Lineare Gleichungssysteme

21

5 Lineare Gleichungssysteme In diesem Abschnitt behandeln wir das unter der Bezeichnung Gaufischer Algorithmus bekannte Verfahren zur Losung eines linear en Gleichungssystems. Auf lineare Gleichungssysteme stoBt man in den Anwendungen beispielsweise bei der Behandlung und Losung der folgenden Probleme: — Berechnung der in einem Fachwerk auftretenden Stabkrdfte (z.B. Kranausleger, Briicken) — Bestimmung der Strome in einem elektrischen Netzwerk — Berechnung der Eigenfrequenzen eines schwingungsfdhigen Systems

5.1 Ein einfiihrendes Beispiel Es sei ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten GroBen X, y und z vorgegeben: (I) (11) (III)

— X -\- y -\- z = 0 X — 3y — 2z = 5 5x + y + 4z = 3

(1-27)

Das von Gaufi stammende Verfahren zur Losung eines solchen Gleichungssystems ist ein EUminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert, bis nur noch eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten ubrigbleibt. In unserem Beispiel eliminieren wir zunachst die unbekannte GroBe x wie folgt: Wir addieren zur 2. Gleichung die 1. Gleichung und zur 3. Gleichung das 5-fache der 1. Gleichung. Bei der Addition fallt dann jeweils die Unbekannte x heraus: (II) (I) (I^)

x-3y-2z - x + y^ -2y-

= 5) z = o]^

(III) (5,-1)

z=5

(II*)

5 x + y + 4z = 3^ - 5 x + 5}; + 5z = o | " ^

(1-28)

6y + 9z = 3

Damit haben wir das hneare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten j ; und z reduziert: (I*) (II*)

-2yz =5 6y + 9z = 3

Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addieren wir zur Gleichung (II*) das 3-fache der Gleichung (I*); (II*) (3-1*) (I**)

6y + 9z=

31

-6,-3z = 15r 6z = 18

(1.30)

I Allgemeine Grundlagen

22

Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und (I*^) bilden dann zusammen mit der iibriggebliebenen Gleichung (I**) ein sog. gestajfeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe nach von unten nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werdenkonnen: (I)

-x+

(I*)

y + z=

0

z=

5

-2y-

(I**)

(1-31)

6z = 18

Aus der letzten Gleichung folgt z = 3. Durch Einsetzen dieses Wertes in die dariiber stehende Gleichung erhalt man fiir y den Wert — 4. Aus der 1. Gleichung schheBhch ergibt sich x = — 1, wenn wir in diese Gleichung fiir y und z die bereits bekannten Werte einsetzen. Das vorgegebene hneare Gleichungssystem besitzt daher genau eine Losung X = — 1, 3; = — 4, z = 3. Um den Losungsweg zu verkiirzen, werden die einzelnen Gleichungen in verschliisselter Form durch ihre Koeffizienten und Absolutglieder (Cj) wie folgt reprasentiert: X

(I)

-1

(11)

1

(III)

5

y

z

^i

1

1

0

-3

-2

1

5

4

stets Leerzeilen fiir spatere Rechenschritte einplanen!

3

Um die Unbekannte x zu eliminieren, wird zur 2. Zeile die 1. Zeile und zur 3. Zeile das 5-fache der 1. Zeile addiert. Wir erhalten zwei neue (verschliisselte) Gleichungen mit den unbekannten GroBen 3; und z: X

y

z

^i

1

1

0

(I)

-1

(11) (11)

1 -1

-3 1

-2 1

5 0

(III) (5 1)

5 -5

1 5

4 5

3 0

(I*) (II*)

-2 6

-1 9

5 3

Leerzeilen einplanen!

5 Lineare Gleichungssysteme

23

Nun addieren wir zur 2. Zeile (II"^) das 3-fache der 1. Zeile (I*) und erhalten in verschliisselter Form eine Gleichung (I**) mit der Unbekannten z. Das Rechenschema ist jetzt ausgefiillt und besitzt die folgende Gestalt: X

y

z

Cf

Si

1

1

0

1

(I)

-1

(11) (M)

1 -1

-3 1

-2 1

5 0

1 1

(III) (5-1)

5 -5

1 5

4 5

3 0

13 5

(I*)

-2

-1

5

2

(II*) (3-1*)

6 -6

9 -3

3 15

18 6

6

18

24

(I**)

Eingebaut wurde noch als Rechenkontrolle die sog. Zeilensummenprobe. Die durch 5j gekennzeichnete letzte Spalte des Rechenschemas enthalt jeweils die Summe aller in einer Zeile stehenden Zahlen (Koeffizienten und Absolutglied). Mit Hilfe der Zeilensummen lassen sich die einzelnen Rechenschritte wie folgt kontrollieren: Wir greifen als Beispiel die 3. Zeile heraus (III). Ihre Zeilensumme betragt 13 (5+ 1 + 4 + 3 = 13). Addiert man zur 3. Zeile das 5-fache der 1. Zeile, so erhalt man die neue Zeile (II*) = (III) + (5 • I), deren Zeilensumme sich auf zwei Arten bestimmen laBt: Durch Addition der in der neuen Zeile stehenden Zahlen (Ergebnis: 6 + 9 + 3 = 18) sowie durch Addition des 5-fachen Zeilensummenwertes der 1. Zeile zum Zeilensummenwert der 3. Zeile (Ergebnis: 13 + 5-1 = 18). Beide Rechenwege miissen bei rich tiger Rechnung stets zum selben Ergebnis fiihren (hier: Zeilensummenwert 18). Damit haben wir ohne groBen zusatzhchen Rechenaufwand eine effektive Kontrollmoghchkeit. Aus dem Rechenschema erhalt man dann durch Zusammenfassung der eliminierten Zeilen (I) und (I*) und der letzten Zeile (I**) dsiS gestaffelte Gleichungssystem (1-31), aus dem sich die Losung ohne Schwierigkeiten berechnen laBt, wie wir bereits gezeigt haben.

24

I Allgemeine Grundlagen

5.2 Der GauBsche Algorithmus Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten GroBen x^, X2, ..., -x„. Innerhalb einer jeden Gleichung treten dabei die Unbekannten in linearer Form, d.h. in der 1. Potenz auf, versehen noch mit einem konstanten Koeffizienten. Definition: Das aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x^, X2, .-•, x„ bestehende System vom Typ ^ 1 1 ^ 1 + ^12-^2 + ••• + ^In^n

~ ^1

^21^1 + ^22^2

~

+ ••• + ^2n^n

.

^2

.

^ml-^1 "T- (^ml-^l

1 ••• + ^mn^n

(1-32)

~ ^m

heiBt ein lineares Gleichimgssystem. Die reellen Zahlen afj^ sind die Koeffizienten des Systems, die Zahlen Cj werden als Absolutgheder bezeichnet (i = 1, 2, ..., m; /c = 1, 2, ..., n).

Ein lineares Gleichungssystem heiBt homogen, wenn alle Absolutgheder c^, C2, ..., c^ verschwinden. Andernfalls wird das Gleichungssystem als inhomogen bezeichnet. Wir beschranken uns im folgenden auf den in den Anwendungen wichtigsten Fah eines sog. quadratischen hnearen Gleichungssystems, bei dem die Anzahl der unbekannten GroBen mit der Anzahl der Gleichungen iibereinstimmt {m = n): ^11-^1 + 0 = 6 0

0

Die Giiltigkeit dieser Gleichung wiirde aber die Gleichheit der Zahlen 0 und 6 bedeuten {innerer Widerspruch). Das vorgegebene Gleichungssystem ist daher nicht losbar. (4)

Wir behandeln zum AbschluB noch ein Beispiel fiir ein nicht-quadratisches lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und drei Unbekannten: — x + 3;— z = — 2 3x — 2y -\- z = 2 2x- 5y + 3z = 1 X + 4y -\-2z = 15 X

fi_

-1

y

z

1

-1

-2

-3

Ci

Si

3-£i

3 -3

-2 3

1 -3

2 -6

4 -9

2-El

2 -2

-5 2

3 -2

1 -4

1 -6

IE,

1 -1

4 1

2 -1

15 -2

22 -3

1

-2

-4

-5

3-£2

-3 3

1 -6

-3 -12

-5 -15

-5-£2

5 -5

1 10

13 20

19 25

-5 11

-15 33

fi

-20 ^ 44 ^^

Proportional Zeilen

5 Lineare Gleichungssysteme

33

Die beiden iibriggebliebenen Zeilen reprasentieren in verschliisselter Form zwei Gleichungen mit der einen Unbekannten z. Sie fiihren zu ein und derselben Losung fiir z, sind demnach zueinander proportionale Gleichungen (Zeilen) und stellen somit letztendlich nur eine einzige Gleichung dar. Das gestaffelte System besteht daher aus den Eliminationsgleichungen LE^ und E2 und einer der beiden zueinander proportionalen Gleichungen: — x + v— z — — 2 => x = l t y -lz= - ^ ^ y=2 ' - 5 z = - 15 ^ z = 3 '^ Das lineare Gleichungssystem besitzt also genau eine Losung, namhch x = \, y = 2 und z = 3.

5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes Das in Bild 1-23 dargestellte elektrische Netzwerk enthalt drei Knotenpunkte (a, b, c) und drei Stromzweige mit je einem ohmschen Widerstand^l I^ und /^ sind zuflieBende Strome, I^ ein aus Knotenpunkt c abflieBender Strom. Wir berechnen die in den Zweigen flieBenden Teilstrome 7^, 12 und 73 sowie den abflieBenden Strom i^ fiir die in Bild 1-23 vorgegebenen Werte.

R^ = 1Q, R2 = 5a,

R^=^3Q

7, = 1A, 7^ = 2A

Bild 1-23

Losung: Bei der Losung der Aufgabe benutzen wir das erste Kirchhqffsche Gesetz {Knotenpunktsregel): In einem Knotenpunkt ist die Summe der zu- und abfliefienden Strome gleich Null (zuflieBende Strome werden dabei vereinbarungsgemaB positiv, abflieBende Strome negativ gerechnet). Knotenpunkt: Stromverzweigungspunkt Stromzweig: Leitung zwischen zwei Knoten

I Allgemeine Gmndlagen

34

Fiir die Knotenpunkte a, b und c gelten dann die folgenden Beziehungen: (a)

/, - / , = 0

(1-42)

(b) (c)

/.

Ir + h

Eine weitere Gleichung liefert das zweite Kirchhojfsche Gesetz (Maschenregel): Injeder Masche''^ ist die Summe der Spannungen gleich Null. Bei einem Umlauf in der in Bild 1-23 eingezeichneten Richtung ist (*)

R^l^-Rjh

+ R^l ^3^3

0

(1-43)

Die drei Teilstrome /j^, 12, 13 lassen sich aus dem folgenden linearen Gleichungssystem, bestehend aus den umgestellten Gleichungen (a), (b) und (*), berechnen: la

/1

h R^Ii

R2I2 + ^ 3 ^ 3 =

(1-44)

0

Mit den vorgegebenen Werten nimmt das System die folgende Form an: lA

/,

•2A 5/7-^3/,

(1-45)

OA

Wir losen dieses System unter Verwendung des Gaufischen Algorithmus (auf die Zeilensummenprobe wird verzichtet):

fi 1-E, -1-E,

-5'

7)

h

h

1

0

-1 1 1 -1

^3

Ci

-1

-lA

-1 0

0 -1

-2A -lA

-5 0

3 1

OA lA

E^

-1

E2

-5 5

-1

-3A

4 5

lA 15A

9

16A

Eine Masche ist ein geschlossener, aus Zweigen bestehender Komplex.

6 Der Binomische Lehrsatz

35

Daraus ergibt sich das gestaffelte System -

h -I2-

/3=-lA (1-46)

I^= -3A 9/3-

16A

mit der Losung I^ = -A, I2 = — A und 73 = —A. Fiir den abflieBenden Strom 9 9 9 Ic folgt schlieBlich aus Gleichung (c) des linearen Gleichungssystems (1-42): /ll 16\ 27 / , = / 2 + / 3 = ( y + y J A = - A = 3A

(1-47)

6 Der Binomische Lehrsatz Unter einem Binom versteht man eine Summe aus zwei Gliedern (Summanden) der allgemeinen Form a -{- b. Die n-te Potenz eines solchen Binoms laBt sich dabei nach dem Binomischen Lehrsatz wie folgt entwickeln: (a + b)" = a" + ( J a « - i - Z 7 ^ + ( ^ j a " - 2 - l ? 2 + ... + (

^

J a^ • I?"" ^ + Z?" (1-48)

(neN). Die Entwicklungskoeffizienten I

I (gelesen: „n iiber/c") hQiBcn Binomialkoef-

fizienten, ihr Bildungsgesetz lautet: 'n\ ^kj

n{n-l){n-2)...[n-{k1-2-3.../C

1)]

{k,ne¥i^;k^n)

(1-49)

Erganzend wird 0/

1

(1-50)

gesetzt. Mit Hilfe der Fakultdt lassen sich die Binomialkoeffizienten auch wie folgt ausdriicken^*: n\ k

n(n-l)in-2)...[n-(k-l}] k\

^

n\ (gelesen: „n Fakultat") ist definitionsgemdfi das Produkt der ersten n positiven ganzen Zahlen: n\ = \-2-?>...n

(neN*)

Erganzend setzt man: 0! = 1 Beispiele: 3! = l - 2 - 3 = 6

7! = l - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 = 5040

'

36

I Allgemeine Grundlagen

Der Binomische Lehrsatz (1-48) kann daher unter Verwendung des Summenzeichens auch in der Form y

{a + br=

(1-52)

(^ja^'-^-b^

dargestellt werden. Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse zusammen: Binomischer Lehrsatz (fiir positiv-ganzzahlige Exponenten n) {a + 5)" = a" + n

(0- •.»'+0."--'-'-A:-l 0-

\a'^-h"- - ^ +fc"=

-k.jyk

k = 0

(A

Die Berechnung der Binomialkoeffizientef i l l / n\

n{n - i ) ( " - -2),..[n-ik~~k\

—

(1-53)

erfolgt dabei nach der Formel [k^n)

(1-54)

Anmerkungen (1) Die Summanden in der Binomischen Entwicklungsformel (1-53) sind Potenzprodukte aus a und b, nach fallenden Potenzen von a geordnet. In jedem Potenzprodukt ist dabei die Summe der Exponenten gleich n. (2)

Die Binomialkoeffizienten konnen auch nach der Formel n\ ^kj

nl k\{n-k)\

(1-55)

berechnet werden. (3)

Wichtige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten: ' n\ kj

(

n

\n — /c/

(Symmetric)

Weitere Formeln: siehe Formelsammlung.

(1-56)

6 Der Binomische Lehrsatz

37

(4)

Ersetzt man in Formel (1-53) den Summanden b durch — b, so erhalt man die Entwicklungsformel fiir die Potenz (a — b)^.

(5)

LaBt man fiir den Exponenten n der Potenz {a -\- b)^ auch beliebige reelle Werte zu, so gelangt man zur allgemeinen (unendlichen) Binomischen Reihe, die dann allerdings aus unendlich vielen Gliedern besteht (siehe hierzu Abschnitt VL3.2).

Pascalsches Dreieck Die Binomialkoeffizienten I

1 konnen auch direkt aus dem folgenden sog. Pascal-

schen Dreieck abgelesen werden {Bildungsgesetz: Jede Zahl ist die Summe der beiden unmittelbar links und rechts iiber ihr stehenden Zahlen): Zeile 1 1 1 1 1

1

3

3 6 10

15

2 1

3

5 6

1

2

4

1

1

1 4

1

10 20

4

5 15

5 1

6

6 1

7

t 6 ^4 Der Koeffizient (

J steht dabei in der {n + l)-ten Zeile an {k + l)-ter Stelle.

Beispiele (1)

Der Binomialkoeffizient I

1 steht in der 7. Zeile an 5. Stelle und besitzt

demnach den Wert 15. (2)

Fiir n = 2 erhalten wir die folgenden aus der Schulmathematik bereits bekannten Formeln: {a + b)^ = a^ -\-l

\ ab + b^ = a^ -\- lab -\- b^

i^a-b)^ = a^ - i

jab + b^ = a^ -lab

-i-b^

(1. Binom) (2. Binom)

38

I Allgemeine Grundlagen (3)

Entsprechend erhalt man fiir n = 3: (a+ 6)3 = a^ + r]a^b-\-(^]ab^

(4)

^b^ =a^ -}-3a^b^3ab^

-i-b^

Wir entwickeln das Binom {2x ± 5y)^ nach fallenden Potenzen von x: {2x±5y)^

={2xf

±3{2x)^{5y)

+ 3{2x){5y)^ ±{5y)^ =

= 8x3 ^ eOx^y + ISOxy^ ± 125j;^ (5)

Wir berechnen den Wert der Potenz 104^ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, wobei wir zunachst die Basiszahl 104 als Summe der Zahlen 100 und 4 darstellen: 104^ = (100 + 4)3 = 1003 ^ p j ^QQ2 . 4 1 + / ^ ! 100^ • 42 + 43 = = 1 000000 + 3 • 10000 • 4 + 3 • 100 • 16 + 64 = = 1 000000 + 120000 + 4 800 + 64 = 1124 864

Ubungsaufgaben

39

Ubungsaufgaben

Zu Abschnitt 1 und 2 1)

Stellen Sie die folgenden Mengen in der aufzdhlenden Form dar: MI={X|XGN*

und

|x|
2

d)

^ = {x IX GIR und

c)

- 8< x < 2

1 ^ x < 2}

Zu Abschnitt 3 1) Bestimmen Sie die reellen Losungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

2)

a)

_4x2 + 6 x - l = 0

b)

4x^ + 8 x - 6 0 = 0

c)

x 2 - 1 0 x = 74

d)

x 2 - 4 x + 13 = 0

e)

_ i = _9(x-2)2

f)

x2 + 9 x = - 1 9

g)

5 x 2 + 20x + 2 0 = 0

^^

( x - l ) ( x + 3)= - 4

Bestimmen Sie den Parameter c so, daB die Gleichung 2x^ + 4x = c genau eine (doppelte) reelle Losung besitzt.

40

I AUgemeine Grundlagen

3) Welche reellen Losungen besitzen die folgenden Gleichungen?

4)

a)

- 2 x 3 + 8x2 = 8x

b)

t"^ - 13t^ + 36 = 0

c)

x ^ - 6 x 2 + llx = 0

d)

x^ -3x^

e)

2x^^-8x^-24 = 0

f)

(x - 1)^ (x + 2) = 4(x + 2)

g)

0,5 (3 x^ - 6) (x^ - 25) (x + 3) = 0

+x = 0

Losen Sie die folgenden Wurzelgleichungen: a)

V - 3 + 2x = 2

c)

^x - 1 = ^x -{- 1

b)

V^

d)

+4:

v2-x;^-l+x = 0

5) Welche reellen Losungen besitzen die folgenden Betragsgleichungen? a)

| x ^ - x | = 24

b)

|x + l| = | x - l |

c)

| 2 x + 4| = - ( x ^ - X - 6 )

d)

| x ^ + 2 x - 1 | = |x|

Zu Abschnitt 4 1)

Bestimmen Sie die reellen Losungsmengen der folgenden Ungleichungen: a)

2x-8>|x|

b)

x^ + x + 1 ^ 0

c)

|xKx-2

d)

|x-4|>x^

e)

|x2-9| 0 :

bUa

(Bildll-17a)

2 0

b) 2 < 0

Bild 11-17 Zur Multiplikation eines Vektors 7i mit einem Skalar X

(11-4)

1 Grundbegriffe

51

Anmerkungen (1) Die Vektoren A a und 2 sind kollinear. (2)

Die Multiplikation eines Vektors mit einer negativen Zahl bedeutet stets eine Richtungsumkehr des Vektors (vgl. hierzu Bild II-17 b)).

(3)

Die Division eines Vektors 3 durch einen Skalar /u ^ 0 entspricht einer Multiplikation von 3 mit dem Kehrwert X == l//i. Beispiele (1)

Wir multiplizieren den Vektor 2 der Reihe nach mit den Skalaren 2, — 1,5 und 4 (Bild 11-18): 2 a: 1,5 a: 4 a:

|2 3| =

2 a T T 2, - 1,5 a Ti a,

2 |a| =

la

1-1,5 a| = 1,5 \a\ = 1,5 a

4 a T T 3,

\4 a\=

4\a\=

4a

7 -7,5a Bild 11-18 Zur Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

(2)

Beispiele aus Physik und Technik: (a)

Kraft, Masse und Beschleunigung sind durch die Newtonsche Bewegungsgleichung F = m~a miteinander verkniipft: F]]~a

(b)

(wegen m > 0),

Impuls: 'p = mv

d.h.

F = ma

(Impuls ^ Masse mal Geschwindigkeit)

p 11 t; (wegen m > 0), (c)

|F|=m|fl|,

|p| = m |t;|,

d.h. p = mv

Ein geladenes Teilchen (Ladung q) erfahrt in einem elektrischen Feld der Feldstarke F eine Kraft F = qE in Richtung des Feldes (positive Ladung) oder in die dem Feld entgegengesetzte Richtung (negative Ladung): q>0:

F U E,

\F\

q \E\,

d.h.

F = qE

q (p•

/ P

^z i i

^x/

^y

ay/

y

r

y

X d

Bild 11-36 Festlegung eines raumlichen rechtwinkligen Koordinatensystems durch drei Einheitsvektoren (Basisvekt oren)

Bild 11-37 Zerlegung eines Vektors in Komponenten

Ein im Nullpunkt „angebundener" Vektor a ist dann in der Form (11-36)

a = a^ -\- Uy + a^

darstellbar. Die als Vektorkomponenten von a bezeichneten Vektoren a^, Uy, 2^ sind die Projektionen des Vektors a auf die einzelnen Koordinatenachsen (Bild 11-37). Sie liegen in Richtung (oder Gegenrichtung) des jeweiligen Einheitsvektors. Daher gilt: (11-37) Fixr den Vektor a erhalt man somit die Komponentendarstellung a = a^ + Uy -}- a^

^x

X ' ^y ^y "•" z ^z

(11-38)

Die skalaren GroBen a^, Uy, a^ werden als Vektorkoordinaten oder skalare Vektorkomponenten von a bezeichnet. Wird der Vektor a vom Koordinatenursprung aus abgetragen, so stimmen die Vektorkomponenten von a mit den Koordinaten des Vektorendpunktes P iiberein. Bei fester Basis 'e^, ly, 'e^ ist der Vektor 3 in umkehrbar eindeutiger Weise durch die drei Vektorkoordinaten a^, a^, a^ bestimmt. 4) Statt e^, ly, 'cz sind auch folgende Symbole iiblich: ei, ^2, ^3 und /, j , k.

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

69

Es geniigt daher die Angabe der skalaren Komponenten in Form eines Spaltenvektors:

- -. -^ - r^\

(11-39)

a = a^ e^ + Uy ey-\- a^ e^ = [ Uy

Von der ebenfalls moglichen Darstellung durch einen Zeilenvektor {a^ dy a^) werden wir keinen Gebrauch machen. Wir fassen zusammen: Komponentendarstellung eines Vektors (Bild 11-37) 'a = 'a^ + ~ay + 'a^ = a^ 'e^ + Qy ey-{- a^'e^ = i dy I

(11-40)

Dabei bedeuten: Vektorkomponenten von a

a^.Uy, a^\

Vektorkoordinaten (skalare Vektorkomponenten) von 3

I dy j :

Spaltenvektor

Sind Anfangspunkt P^ = ( x i ; y^] z^) und Endpunkt P2 ={^2'^ yi^ ^2) eines Vektors a bekannt, so lautet die Komponentendarstellung von a = P1P2 wie folgt: Komponentendarstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors a = Fi P2 = (X2 - x^) e^ + (>'2 - J^i) 'ey + {z2 - z^) ^^ = i 3^2-3^1 ) (11-41) \z2-z1

Dabei bedeuten: Pi = {x^; y^; Zi): Anfangspunkt des Vektors a = P1P2 P2 ^ (-^2? >'2' ^2)' Endpunkt des Vektors a = P1P2

/

II Vektoralgebra

70

Komponentendarstellung spezieller Vektoren Der Ortsvektor des Punktes P = (x; y; z) lautet: r{P) = OP =x~e^ + y~ey +z~e^^\

y

(11-42)

Fiir die drei Basisvektoren (Einheitsvektoren) 'e^, 'Cy und e^ erhalt man die folgende Komponentendarstellung:

\0. . ey=0

. e^+\

. . ('^ e^ + O e^ = \ 1

(11-43)

e^ = 0 e^ + 0 fij, + 1 ?^ = I 0 I Der Nullvektor 0 besitzt die Komponentendarstellung 0 = 0 €^-{-0 ey + 0 e^ = l 0

(11-44)

Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors a laBt sich nach Bild 11-38 aus dem rechtwinkligen Dreieck OP^P unter Verwendung des Satzes von Pythagoras leicht berechnen: ^i \

OP \0P'\ =^al a

0

jIU"-^

^P

\P^\=a,

^z y

\

/^x

+ aj

|2p = a^ = {Jal + a^y + a^ = cil + al + al |2| = a = V«x -^ aj + al

Bild 11-38

(11-45)

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

71

Gleichheit von Vektoren ZweiVektoren a und b sind genau dann g/efc/i, wenn sie in ihren entsprechenden Komponenten iibereinstimmen: 'a = h

^x = ^x^ S "" ^y

(11-47)

^z = ^z

Beispiele (1)

Der Ortsvektor des Punktes P = (3; - 2 ; 1) lautet: /

3\

r{P) = OP = 3 e ^ - 2 ? , + l e. 1 Sein Betrag ist • (P)| = r{P) - V32 + {-2f

(2)

Der Vektor a = j

+ l2 ^ V l 4 = 3,74

1 j wird vom Punkt ^ = (5; 0; 4) aus abgetragen.

Welche Koordinaten besitzt dann der Endpunkt B dieses Vektors?

Bild 11-39

Losung: Anhand einer Skizze (Bild 11-39) erkennen wir, daB der Ortsvektor des Endpunktes B sich wie folgt als Vektorsumme darstellen laBt: r (B) =7 (A) -i-lB =r (A) + a

II Vektoralgebra

72

Da A und a bekannt sind, erhalten wir 5\

/

2-

Ergebnis: B = {1; 1; 1)

3.2 Darstellung der Vektoroperationen 3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors a mit einem Skalar A wird wie in der Ebene komponentenweise durchgefiihrt: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors 3 mit einem Skalar / erfoigtkomponentenweise: (11-48)

A a = A

Beispiel Eine Masse von m ^ 5 kg erfahre durch eine Kraft F die Beschleunigung / 2\ — 1 Im-r-. Die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft lautet dann wie folgt: / 10\ F = ma = 5k2,\ —1

Normierung eines Vektors 3 sei ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener Vektor. Wie lautet der in die gleiche Richtung weisende Einheitsvektor 'e^l Wir losen diese Aufgabe wie folgt: 3 und 'e^ sind par allele Vektoren: a TT ^^. Der Vektor a besitzt die Lange \a\, der Vektor ~e^ die Lange 1.

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

73

Daher gilt (vgl. hierzu Bild 11-40): a = \a\e^

(11-49)

1 ^ a e, = --a = -\a\ \a\

(11-50)

Bild 11-40 Normierung eines Vektors Diesen Vorgang bezeichnet man als Normierung eines Vektors. Normierung eines Vektors (Bild 11-40) Durch Normierung erhalt man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor a einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet wie folgt: (11-51)

e, = ^ a

Beispiel Wir normieren den Vektor a = \ — 1 \ 2.

Z = 3e, => e, = la = U-l

) = ( " V3 j

3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren Die Addition und Subtraktion zweier Vektoren a und b erfolgt (wie in der Ebene) komponentenweise: Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren 2 und b werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert: a±b

-

'(ix\ 1'^x\ / = l ay\±{ ^ \ \a^/ ^^bj

/ax±bx\

\= i (^y±by I \ a^ ±bz /

(11-52)

74 •

II Vektoralgebra Beispiele (1)

Wir berechnen mit

(2 = 1 3 1 ,

^= (01

und

1 j

c={

den folgenden Vektor:

5= 4a + 3 S - 8 c = 4 | 3 | + 3 | 0 | - 8 | / 8 \

/

49 \

= f l 2 ]+J 0 J +( - 8 J =(l2+0 - 8 J =(

4J

\16/ (2)

/9\ \ 3 /

/

32 \

1 | =

/ 8 + 9 + 32\

\-40/

\ 16+ 3 - 4 0 /

\ - 2 1 /

Wir zeigen, daB die an einem Massenpunkt gleichzeitig angreifenden Krafte

sich in ihrer physikalischen Wirkung aufheben.

Losung: Die vier Krafte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende Fj^ den NuUvektor ergibt: 4 = ^1+^2+^3+^4 = / =

20X /4x -11 | N + 8 )

/ N +

IX -10 | N +

/ 20 + 4 + 1 - 2 5 \ /0\ = 1 - 1 1 + 8 - 1 0 + 13 ) N = { 0 | N V -3 + 9- 4- 2/ \0/

/-25X 13 JN =

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum (3)

75

Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, der die Strecke zwischen den Punkten P^ - ( - 4 ; 3; 2) und P2 = (1; 0; 4) halbiert (Bild 11-41)?

Bild 11-41

Losung: Der Vektor Pi Q ist parallel zum Vektor P^ P2, jedoch nur von halber Lange: 1 PlQ=^PlP2 Aus der Skizze folgt ferner, daB r (Q) als Vektorsumme aus r (P^) und P^ Q darstellbar ist: r{Q) = r{Pi)-^P,Q=r{P,)

+

1

-P,P2

Wir berechnen zunachst die benotigten Vektoren 7(P^) und P1P2:

Fiir den Ortsvektor 7 (Q) erhalten wir dann: 1 r{Q) = r(P,) + -PiP2 -4>

1

=

irA~i.

Ergebnis: Q = ( - 1 , 5 ; 1,5; 3).

''H-rYil.

76

II Vektoralgebra

3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes Die in Abschnitt 2.3 gegebene Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren laBt sich sinngemaB auch auf raumliche, d.h. 3-dimensionale Vektoren iibertragen: Definition: Unter dem Skalarprodukt a b zweier Vektoren ~a und h versteht man den Skalar 2 • 6 = | 3 | • 1^1 • cos (p ah = • cos cp

(11-53)

wobei (p der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (0° ^ ( / ) ^ 180°; Bild 11-42).

u

t^.

Bild 11-42 Zum Begriff des Skalarproduktes zweier Vektoren

Rechengesetze fiir Skalarprodukte Die Skalarproduktbildung ist sowohl kommutativ als auch distributiv: Kommutativgesetz Distributivgesetz

Z • b = b -a a • (5 + c) = a • ^ + a • c

(11-54) (11-55)

Ferner gilt fur einen beliebigen Skalar A: A{a-b) = {Aa)-b = a-{Ab)

(11-56)

Orthogonale Vektoren Verschwindet das skalare Produkt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren, so bilden sie einen rechten Winkel miteinander, stehen also aufeinander senkrecht. Solche Vektoren heiBen (wie in der Ebene) orthogonal. Orthogonale Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und h stehen genau dann aufeinander senkrecht, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: a-b = 0 a = arccos - = 48,2 \3j

- - =^ B = arccos - - = 109,5" 3 V 3;

a, 2 { 2\ cosy = -^= - -3 => y = arccos - - = 131,8° a Die drei Richtungswinkel des Vektors a lauten damit der Reihe nach wie folgt: a = 48,2°, i5 = 109,5°, y = 131,8°

82

II Vektoralgebra (2)

EinVektor a vomBetrage |a| = 5 bildemitderx-undy-Achsejeweilseinen Winkel von 60° und mit der z-Achse einen spitzen Winkel (0° < 7 < 90°). Wie lauten seine skalaren Vektorkomponenten? Losung: Der noch unbekannte dritte Richtungswinkel y wird aus der Beziehung (11-71) berechnet, die wir zunachst nach cos y auflosen: cos y = ± \/l — cos^ a — cos^ p Es kommt nur die positive Losung in Frage, da y nach Voraussetzung spitz ist und somit cos 7 > 0 sein muB. Mit a = p = 60° erhalt man: cos y = ^ l - cos^ 60° - cos^ 60° = 0,7071 => y = arccos 0,7071 = 45° Die skalaren Vektorkomponenten von H bestimmen wir nach Gleichung (11-72) wie folgt: a^ = \'a\ • cos a = 5 • cos 60° = 2,5 ay = \a\' cos P = 5 • cos 60° = 2,5 a^ = \a\ ' cos y = 5 • cos 45° = 3,54

3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Wir beschaftigen unsjetzt mit der Pr07^/c/^ioneines Vektors b auf einen zweiten Vektor a (Bild 11-45).

Bild 11-45 Komponente eines Vektors b in Richtung eines zweiten Vektors a

Der durch die Projektion erhaltene Vektor wird mit b^ bezeichnet, sein Betrag ist \^a\ "= 1^1 • ^^s ^

(11-73)

wobei (p der Winkel zwischen den Vektoren b und a ist. Aus dem Skalarprodukt a • ^ = |a| • 1^1 • cos (/) = |a| • \bj

folgt dann nach Division durch |3|: I -^ I

I -^ I

'a • b

(11-74)

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

83

Der Vektor b^ besitzt die g/eic/ze Richtung wie der Vektor H und ist somit in der Form ~*

1-^1^

|-^|^

l^al^

ea = \ba\—- = ~::^a (11-76) \a\ \a\ darstellbar, wobei e^ der Einheitsvektor in Richtung von a ist. Unter Beriieksichtigung der Beziehung (11-75) wird hieraus schlieBlich ba=\ba\

ba = \ba\ e,= \ba\- = - ^ - ^ = [-^)a \a\ \a\ \a\ \ | a r /

(11-77)

Dieser Vektor wird auch als die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektor 2 bezeichnet. Projektion eines Vektors h auf einen zweiten Vektor a (Bild 11-45) Durch Projektion des Vektors b auf den Vektor a entsteht der Vektor ba-\

'a'b\^^

(11-78)

Er wird als Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors a bezeichnet.

Anmerkung Ist 'e^ der Einheitsvektor in Richtung von a, so ist der Vektor b^ auch in der Form b^ = {b •'e^) ~e^ darstellbar. •

Beispiele (1)

Wir projizieren den Vektor ^ = I — 1 j auf den Vektor a = i 0 I. Um den gesuchten Vektor b^ bestimmen zu konnen, benotigen wir noch die folgenden GroBen:

a-b = l 0 j • I - 1 I - 12 + 0 + 28 = 40 \a\^ = 3^ + 0^ + 4^ = 25 Die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors 2 lautet dann nach Formel (11-78) wie folgt:

84

II Vektoralgebra (2)

Wir interessieren uns fiir die Komponente F^, die der Kraftvektor F = I 2 jN

in Richtung des Vektors

-s- F = l ~1

yl

s =^ I — 1 I

besitzt. Mit

2 j N = (8 - 2 + 12) N - 18 N

\S\^ = 2^ + (-1)2 + 2^ = 9 erhalten wir dann:

3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft F um die Strecke 1 verschoben, so i^t die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemaB das skalare Produkt aus der Kraft F und dem Verschiebungsvektor 1 (Bild 11-46): W = F-'S=\F\'111'

(11-79)

cos cp = F • s • cos (p

Bild n-46 Zur Definition des Arbeitsbegriffes

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente F^ besitzt nach Bild 11-46 den Betrag KsI = ^s — \^\ ' ^^^ (p = F • cos (p

(11-80)

Wir konnen daher den Formelausdruck fur die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen: W = F 1 = F • s • cos (p = {F • cos cp) • s = F^- s

(11-81)

Dies aber ist die bereits aus der Schulphysik bekannte Formel ^Arbeit = Kraftkomponente in Wegrichtung mal zurUckgelegtem Weg'^l

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum •

85

Beispiel

/-10N\ Die konstante Kraft F = I 2 N j verschiebe einen Massenpunkt vom Punkte \ 5N/ P^ = (1 m; — 5 m; 3 m) aus geradlinig in den Punkt P2 = (^ ^ ' ^ ^ ' 4 m) (vgl. hierzu Bild 11-47). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groB ist der Winkel cp zwischen dem Kraft- und dem Verschiebungsvektor?

Losung: Der Verschiebungsvektor lautet nach Bild 11-47 wie folgt: PlP2 = Die dabei verrichtete Arbeit betragt dann nach Gleichung (11-79) W = F '1={

/-10N\ /-lm\ ^^ )* ( 6 m I - (10 + 12 + 5) Nm = 27 Nm V 5N/ \ Im/

Fiir die Winkelberechnung benotigen wir noch die Betrdge von F und 1: \F\

=

V(

-10)2 + 2^ + 52 N = y ] ^ ]s^

IsI = V ( - l ) 2 + 6^ + 12 m = V38 m Dann aber giU: F •s=

|F|

' [si ' cos (p ^=>

W F •5 W cos (p = -——-— = — \F\ -[S\

\F\ -Isl

=—

27 Nm

yi29N-y38m

(p = arccos 0,3856 = 67,3°

= 0,3856

II Vektoralgebra

3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren und der Skalarproduktbildung wird in den Anwendungen eine weitere Vektoroperation benotigt, die sog. vektorielle Multiplikation. Sie erzeugt aus zwei Vektoren 3 und b nach einer bestimmten Vorschrift einen neuen Vektor, der die Bezeichnung Vektorprodukt tragt und durch das Symbol Zxb gekennzeichnet wird (gelesen: a Kreuz b). So sind beispielsweise die folgenden physikalischen GroBen als Vektorprodukte darstellbar: — Drehmoment M einer an einem starren Korper angreifenden — Drehimpuls L eines rotierenden

Kraft

Korpers

— Lorentz-Kraft Fj^, die ein Ladungstrdger ein Magnetfeld erfdhrt — Kraft auf einen stromdurchflossenen

{z.B. ein Elektron) beim Durchgang durch

Leiter in einem Magnetfeld

Das Vektorprodukt zwdQY Vektoren ist wie folgt definiert: Definition: Unter dem Vektorprodukt ~c = axb zweier Vektoren a und b versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften (Bild 11-48): 1. c ist sowohl zu a als auch zu b orthogonal:

2 'Z =2 ' b = 0

(11-82)

2, Der Betrag von c ist gleich dem Produkt aus den Betragen der Vektoren a und b und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels (p: \c\=^\a\-\b\

•sincp

(0° < ( p < 180°)

(11-83)

3. Die Vektoren 3, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshdndiges System.

Bild 11-48 Zum Begriff des Vektorproduktes zweier Vektoren

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

87

Anmerkung Das Vektorprodukt axb ist eine vektorielle GroBe und wird auch als dufieres Produkt Oder Kreuzprodukt der Vektoren a und b bezeichnet. Fiir den Flacheninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms erhalten wir nach Bild 11-49 A = (Grundlinie) • (Hohe) = a - h = a - b - sin (p = \a\ • \b\ • sin cp Dies aber ist genau der Betrag des Vektorproduktes

(11-84)

axb.

sm (p Bild 11-49

h — b ' sin (p

Es gilt somit: Geometrische Deutung eines Vektorproduktes (Bild 11-49) Der Betrag des Vektorproduktes axb entspricht dem Flacheninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms.

Rechengesetze fiir Vektorprodukte Distributivgesetze

'a x {b + 'c) = ~a xb -\- Z x'c

(11-85)

(a -\- b) x'c = a x'c + b x'c

(11-86)

Anti-Kommutativgesetz

axb = — (bxa)

(11-87)

Ferner gilt fiir einen beliebigen Skalar 1: X{axb) = {1 a)xb =^ax{l b)

(11-88)

Das vektorielle Produkt axb zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren a und b verschwindet fiir cp = 0° und (p = 180°. Die Vektoren a und b sind dann zueinander parallel oder antiparallel, d.h. kollinear.

II Vektoralgebra Wir konnen damit das folgende Kriterium fiir kollineare Vektoren formulieren: Kriterium fiir kollineare Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und h sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt verschwindet: (11-89)

a und h sind kollinear

2x^ — 0

Fiir den Sonderfall 'a = h folgt unmittelbar aus der Definitionsgleichung (11-83) | a x a | = |a| • |a|-sinO^ = 0 =^ 2 x 2 = 0

(11-90)

Zwischen den Basisvektoren ~e^, e^, 'e^ bestehen die folgenden wichtigen Beziehungen (Bild 11-50): (11-91)

^z*

(11-92)

Bild 11-50

Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) Die Komponenten des Vektorproduktes 'axh lassen sich auch direkt aus den skalaren Komponenten der Vektoren a und h berechnen (wir verwenden bei der Herleitung der Formel das Distributiv- und das Anti-Kommutativgesetz sowie die Beziehungen (11-91) und (11-92)): Zxh = {a^~e^ + ay~ey + a^ ~e^}x{b^ e^ + by 'Sy + b^ 1^) = = ^x ^x (^x X ^x) + ^x by C^x X "^3;) + ^x ^z (^x X 4 ) +

0

?^

- ey

+ Clyb^ {ey X 1^) + Qy by (C y X g^ ) + Qy ^^ (C y X ^^ ) H" -^z

0

^x

+ «z ^x ( 4 X ?x) + ^z by i^z xey)-i- a^b^ (e^ x 4 ) = 2„

— ?^

0

= a^by ?2 — a^b^ ~ey — a^b^ ~e^ + a.^^^ ~e^ + a^/7_^ e^ — a^by ~e^ = {ay b^ - a^ by) ~e^ + {a^ b^ - a^ b^) ly + {a^ by - ay b^) 1^

(11-93)

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

89

Unter Verwendung von Spaltenvektoren laBt sich diese Formel auch wie folgt schreiben: axb

(11-94)

a^b^-a^b^ ay bx .

Wir fassen zusammen: Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren Das Vektorprodukt axb zweier Vektoren 2 und h laBt sich aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen: ay D2;

a^ Dy

(11-95)

axb = ayb^.

Anmerkungen (1) Bei der Berechnung der Komponenten eines Vektorproduktes beachte man den folgenden Hinweis: Durch zyklisches Vertauschen der Indizes erhalt man aus der ersten Komponente die zweite und aus dieser schlieBlich die dritte Komponente. ^

(2)

Formal laBt sich ein Vektorprodukt axb auch durch eine dreihreihige Determinante darstellen: (11-96)

a Xb= DefinitionsgemaB besitzt dabei eine dreireihige Determinante vom Typ ail

D= ^31

ai2

ai2

^22

"23

'^32

«33

(11-97)

den folgenden Wert: D = ail ^22^33 + ^12 ^23 ^31 + ^13 ^21 ^32 ^ 3 2 ^ 2 3 ^ 1 1 ~ ^^33^21^12

^31^22^^13

(11-98)

II Vektoralgebra

90 Er kann z.B. nach der Kegel von Sarrus berechnet werden:

8 > f l /

axb = 10 e^ + 32 ^j; + 3 e^ — 8 e^ — 24 ^-^ — 5 ?^ — = - 14 'e^ + 21 ey - 5 e^

14^ 27 -5.

II Vektoralgebra

92

3.4.2 Anwendungsbeispiele 3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) Drehmomente sind vektorielle GroBen, die bei der Behandlung statischer Systeme von groBer Bedeutung sind. Wir betrachten einen starren Korper in Form einer Kreisscheibe, der um seine Symmetrieachse drehbar gelagert ist (Bild 11-51).

M = rxF

Bild 11-51 Zum Begriff des Drehmomentes

Bild 11-52 Die an einem starren Korper angreifende Kraft als linienfluchtiger Vektor

EineimPunkt P angreifende (in der Scheibenebene liegende) Kraft F erzeugt ein Drehmoment M, das als Vektorprodukt aus Ortsvektor 7 und Kraftvektor F in der Form M = rxF

(11-99)

darstellbar ist (r ist der Ortsvektor des Angriffspunktes P). Der Betrag von M ist | M | = M = |r| • |F|-sine/)

(11-100)

Der Drelimomentvektor liegt in der Drehachse und ist daher so orientiert, daB die drei Vektoren r, F und M in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die physikalische Wirkung von M ist die einer Dreliung um die in Bild 11-51 eingezeichnete Drehachse. Als linienfluchtiger Vektor darf die Kraft F langs ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Bei dieser Verschiebung bleibt jedoch das Drehmoment M unverdndert, wie wir jetzt zeigen wollen. Ist 1 der Verschiebungsvektor von P nach Q, so gilt nach Bild 11-52 = r+s

(11-101)

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

93

Unter Verwendung dieser Beziehung und des Distributivgesetzes fur Vektorprodukte erhalten wir fur das Moment der Kraft F im neuen Angriffspunkt Q den Formelausdruck MQ = rQxF

= {r + S)XF = rxF

-^-IxF

=M

^IxF

(11-102)

Die Vektoren 's und F sind aber kollinear, ihr Vektorprodukt 'sx F verschwindet daher: IxF = 0. Wir erhalten schlieBlich: MQ

= M+'SXF

(11-103)

= M + 0 = M

Damit haben wir bewiesen, daB die an einem starren Korper angreifende Kraft einen linienfluchtigen Vektor darstellt. Mit anderen Worten: Das Moment einer Kraft bleibt erhalten, wenn diese langs ihrer Wirkungslinie verschoben wird.

3.4.2.2 Bewegung von Ladungstragern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) Bewegt sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit v durch ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen FluBdichte B, so erfahrt es eine Kraft ^L ^ ^ (iJ X 5 )

(11-104)

(Lorentz-Kraft)

(q: Ladung des Teilchens). Die Kraftwirkung erfolgt senkrecht sowohl zur Bewegungsrichtung als auch zur Richtung des Magnetfeldes. Handelt es sich bei den Ladungstragern um Elektronen (q = — e; e: Elementarladung), so ist

FL=-e

(vxB)

(11-105)

Wir untersuchen nun spezielle EinschuBwinkel. (1)

Die Elektronen werden in Feldrichtung (oder in der Gegenrichtung) in das Magnetfeld eingeschossen: V U B

=> FL= -e(vxB)

=0

(11-106)

6 Sie gehen ungehindert durch das Feld hindurch, da der Geschwindigkeitsvektor V und der FluBdichtevektor B kollineare Vektoren darstellen und somit das Vektorprodukt 'vxB verschwindet {B\\dll-5?>).

r

Bild 11-53 Parallel zu einem homogenen Magnetfeld eintretende Elektronen

94

II Vektoralgebra

(2)

Bewegen sich die Elektronen senkrecht zum Magnetfeld, so wirkt die Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn (die Vektoren v, B und Fj^ stehen in diesem Sonderfall paarweise aufeinander senkrecht] Bild 11-54).

! ti-n t

Bild 11-54 Senkrecht in ein homogenes Magnetfeld eintretende Elektronen

(3)

Bild 11-55 Schraubenlinienformige Bahn eines Elektrons in einem homogenen Magnetfeld

Die Elektronen werden unter einem Winkel a gegen die Feldrichtung eingeschossen (0° < a < 180°, a / 90°). Die Geschwindigkeitskomponente in Feldrichtung (oder in der Gegenrichtung) bewirkt eine Translation parallel zu den Feldhnien, wahrend gleichzeitig aufgrund der zum Feld senkrechten Geschwindigkeitskomponente eine Kreisbewegung um die Feldhnien ausgefiihrt wird. Die Elektronenbahn ist demnach eine Schraubenlinie (Bild 11-55).

3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) In den Anwendungen wird haufig ein weiteres, diesmal aber aus drei Vektoren gebildetes „Produkt" benotigt, das als Spatprodukt oder auch gemischtes Produkt bezeichnet wird. Es ist wie folgt definiert:

Definition: Unter dem Spatprodukt [a b c] dreier Vektoren 3, b und c versteht man das skalare Produkt aus dem Vektor a und dem aus den Vektoren h und c gebildeten Vektorprodukt hx~c: [a b 2] = a ' {b x'c)

Anmerkungen (1)

Das Spatprodukt ist eine skalare GroBe.

(11-107)

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

95

(2)

Das Spatprodukt wird auch als gemischtes Produkt bezeichnet, da bei seiner Bildung beide Multiplikationsarten (skalare und vektorielle Multiplikation) auftreten.

(3)

Bilden die Vektoren 3, b, c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das aus ihnen gebildete Spatprodukt stets positiv (negativ).

Rechengesetze fiir Spatprodukte (1)

Bei einer zyklischen Vertauschung der drei Vektoren a, b und c andert sich das Spatprodukt nicht: [abc]

(2)

= [b2Z]

(11-108)

= [c2 b]

Vertauschen zweier Vektoren bewirkt stets einen Vorzeichenwechsel Zum Beispiel: [a b 2]= -[a 2 b]

(b und c vertauscht)

(11-109)

Die drei Vektoren a, b und c spannen ein sog. Parallelepiped (auch Spat genannt) auf (Bild 11-56). Dem Betrag des Spatproduktes [a b c] kommt dabei die geometrische Bedeutung des Spatvolumens zu, wie wir jetzt zeigen werden.

cos cp h = I'al ' cos (p

Bild 11-56 Zum Begriff des Spatproduktes

Die aus der Elementarmathematik bekannte Formel V = A - h (Volumen = Grundflache mal Hohe) fiihrt namlich bei Anwendung auf den in Bild 11-56 skizzierten Spat zu dem folgenden Ergebnis: V = A • h = \b x'c] ' \a\ ' cos cp = |a| • \b x'c] • cos cp

(11-110)

Dies aber ist nichts anderes als der Betrag des Spatproduktes [a b c] = a • (6 x c), da (p der Winkel zwischen den Vektoren a und 6 x c ist.

96

II Vektoralgebra

Geometrische Deutung eines Spatproduktes (Bild 11-56) Das Volumen eines von drei Vektoren 2, h und c aufgespannten Spats ist gleich dem Betrag des Spatproduktes [a b c]: ^Spat =

(11-111)

\[ahc]\ = \a • (bx~c)\

Berechnung eines Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) Ahnlich wie beim Skalar- und Vektorprodukt laBt sich auch ein Spatprodukt skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren berechnen:

aus den

Berechnung eines Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren Das Spatprodukt oder gemischte Produkt [a h c] dreier Vektoren 3, h und c laBt sich aus den skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) der beteiligten Vektoren wie folgt berechnen: [a h 'c] —Z - {h X c) =^ - a^{b c^ - b^€ ) + a {b^ c^ - b^ c^) + a^ {b^ c - b c^)

(IM12)

Anmerkung Das Spatprodukt [a b c] laBt sich auch als dreireihige Determinante darstellen: [a b 'c] = a ' (b x'c) =

(11-113)

Verschwindet das Spatprodukt a • {b x'c) der drei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren a, b und c, so sind die Vektoren a und bx~c zueinander orthogonal und umgekehrt. Dies aber bedeutet, daB der Vektor a in der von b und ~c aufgespannten Ebene hegt. Die drei Vektoren liegen damit in einer gemeinsamen Ebene (sog. komplanare Vektoren, vgl. Bild 11-57).

Bild 11-57 Komplanare Vektoren ^, b und c

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum

97

Wir konnen damit das folgende Kriterium fur komplanare Vektoren formulieren: Kriterium fiir komplanare Vektoren (Bild 11-57) Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren 2, h und c sind genau dann komplanar, wenn das aus ihnen gebildete Spatprodukt verschwindet: a,b und c sind komplanar

[a b 7:] — 0

(IM14)

Beispiele (1)

Das aus den Vektoren

a = I 4 I, \2/

und

c=

gebildete Spatprodukt verschwindet: 1 4 2 0-1 3 = 0 [a b ~c] = 2 5 13 Die Berechnung der Determinante erfolgt dabei nach der Kegel von Sarrus: 0 ^- i1 ^X . .3* n0 ^^ 1 / 5 x ; 3 ^ , \ [a I? c ] = - 13 + 24 + 0 - ( - 4 + 15 + 0) = 11 - 1 1 - 0 Die drei Vektoren sind daher komplanar, d.h. sie liegen in einer gemeinsamen Ebene. (2)

Welches Volumen Pspat besitzt der von den drei Vektoren

aufgespannte Spatl Losung: Wir berechnen zunachst das Spatprodukt [a b 2] =

2 -1 2

0 5 5 -2 1 2

II Vektoralgebra mit Hilfe der Kegel von Sarrus: 0

0.

2

1

2

2

\

5 1

[a ^ c] = 20 + 0 - 5 - (50 - 4 + 0) = 15 - 46 :

31

Ergebnis: Ispat = | [H ^ c] | = | — 311 = 31

4 Anwendungen in der Geometrie 4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden 4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden Eine Gerade g soil durch den Punkt P^ mit dem Ortsvektor ? | und parallel zn dnQm (vorgegebenen) Vektor a {Richtungsvektor genannt) verlaufen (Bild 11-58). Wie lautet die Gleichung dieser Geraden in vektorieller Form?

Bild 11-58 Zur Punkt-Richtungsform einer Geraden

Bezeichnet man den laufenden Punkt der Geraden mit P, so ist der zugehorige Ortsvek-> -^ ^ tor r (P) die geometrische (vektorielle) Summe aus r^ und P^ P : (11-115) r (P) = r^^ P^P Da die Vektoren P^ P und a kollinear sind (sie liegen beide in der Geraden), gilt ferner (11-116)

P^P = X a

k ist dabei ein geeigneter reeller Parameter. Fiir den Ortsvektor 7 (P) erhalt man dann unter Verwendung dieser Beziehung -f {P) = ri^+P^P

^7^+

Aa

(11-117)

4 Anwendungen in der Geometrie Die Lage des Punktes P auf der Geraden g ist somit eindeudg durch den Parameter 1 festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise 7 (P) = 7 (1) zum Ausdruck. Die gesuchte Geradengleichung lautet damit in der vektoriellen Parameterdarstellung wie folgt: Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden (Bild J11-58) (11-118)

7(F) = r [A) ='r^-\- A a Oder (in der Komponentenschreibweise)

r\ {'] \zj

/xi\

/-^^i+^^X

/^^\

(11-119)

= ( 3^1 | + ^ ( S ) = ( 3^1 + ^ S ) \ zi / \a^/ \ zi + XQZ /

Dabei bedeuten: X, y, z:

Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

•^1' >'l' ^1-

Koordinaten des vorgegehenen Punktes P^ der Geraden

^ x ' ^y> ^z'

Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors ~ader Geraden

h

Reelier Parameter {X e IR)

Fiir A = 0 erhalt man den Punkt P^, fiir 2 > 0 werden alle Punkte in Richtung des Richtungsvektors a durchlaufen, fur / < 0 alle Punkte in der Gegenrichtung (jeweils vom Punkte P^ aus betrachtet).

Beispiel Wir bestimmen die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P^ =(3; —2; 1) in Richtung des Vektors H == j 2 ) verlauft:

r{l) = ri^-{- Xa = \ - 2

+/i

2

=

- 2 + 2A

(Xe

So gehort beispielsweise zum Parameterwert X = 3 der folgende Punkt Q: 7 ( g ) = ? ( i = 3)=

- 2 + 2-3

\

1+3-3/

=

4

VlO/

=> 2 = (18; 4; 10)

100

II Vektoralgebra

4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden Eine Gerade g soil durch die beiden (voneinander verschiedenen) Punkte P^ und P2 mit den Ortsvektoren r-^ und ?2 verlaufen (Bild 11-59).

Bild 11-59 Zur Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Die vektorielle Gleichung dieser Geraden erhalten wir durch analoge Uberlegungen wie im vorangegangenen Abschnitt 4.1.1. Der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Geraden g ist wiederum als Summenvektor in der Form (11-120)

r{P) = rj^-hP^P darstellbar. Da die Vektoren P^ P und P^ P2 = ^2 " ^1 kollinear sind, gilt (r2-ri)

P^P =1P^P2=1

(11-121)

und somit r{P) = r^+P^P

=r,+XP^

P2 =r^+X

(r^ - r^)

(11-122)

Dies ist die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei vorgegebene Punkte P^ und P2 in vektorieller Form. Fiir 7 (P) schreiben wir wieder r(/l), um die Abhangigkeit vom Parameter i zum Ausdruck zu bringen. Zusammenfassend gilt somit: Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden (Bild 11-59) (11-123)

7(P) = r ( ^ ) = 7 l + / P 7 F ^ = 7 l + ; . ( r 2 - r i ) Oder (in der Komponentenschreibweise) / ^ \

/ ^ i \

/ ^ 2 - ^ i \

( y 1 = 1 yi l + '^l yi-yi \ Z/

\ Zi J

\ Z2— Z\ /

/xi +1(X2-xi)\

] = ( yi + ^^iyi-yi)

)

\ Zi + /(Z2 — Z\) /

(11-124)

4 Anwendungen in der Geometrie

101

Dabei bedeuten: X, y, z:

Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

x^, >'i, z^

Koordinaten der vorgegebenen Punkte Pi und P2 der Geraden Reeller Parameter (/e IR)

/:

Beispiel Wie lautet die Gleichung der Geraden g durch die beiden Punkte P^ = (1; 1; 1) und P2 = (2; 0; 4)? Losung:

?(l)=7i+l(72-?i) = ( 1 ) + 4 0 - 1 j = | 1-1

I

(AeR)

Zum Parameterwert 1 = 2 beispielsweise gehort demnach der folgende Punkt Q: 7{Q)=7{l

= 2) = ( l -

2

\ =(-l\

^

Q = (3;-l;7)

4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden Gegeben ist eine Gerade g in der vektoriellen Punkt-Richtungs-Form (11-125)

r{X) = r^+X'a

und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor 7Q (Bild 11-60). Wir stellen uns die Aufgabe, den (senkrechten) Abstand d dieses Punktes von der Geraden g zu bestimmen.

1 1 Q

Bild 11-60 Zur Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden

102

II Vektoralgebra

Dazu wahlen wir auf der Geraden einen weiteren Punkt P2 im Abstand K 1 P2 I "=1 vom Punkte P^. Der Vektor Pj^ P2 ist somit der Einheitsvektor in Richtung des Vektors a: (IM26)

PrP^ = e, = ^ a

Dieser Vektor bildet zusammen mit dem Vektor P^Q = VQ — r^ das in Bild 11-60 grau unterlegte Parallelogramm, dessen Hohe der gesuchte Abstand d des Punktes Q von der Geraden g ist. Fiir den Flacheninhalt A dieses Parallelogramms gilt dann einerseits A = (Grundlinie) • (Hohe) = | P^ P2 | • J = 1 • ^ = ^

(11-127)

andererseits A=

\P^P2XP^Q\

\a\

^4

^

(11-128)

Durch Gleichsetzen erhalt man schlieBlich die gewiinschte Abstandsformel: d=

^

(11-129)

—

Wir halten fest: Abstand eines Punktes von einer Geraden (Bild 11-60) Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor TQ von einer Geraden g mit der Gleichung 7 (A) =7^ + / 2 laBt sich wie folgt berechnen: d=-

^-^

(11-130)

—

Anmerkung Ist d = 0, so liegt der Punkt Q auf der Geraden.

Beispiel Die Gleichung einer Geraden g laute:

7{1)=T^ +AH = | 0 | + A[ 5 I

(AelR)

4 Anwendungen in der Geometrie

103

Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q = (5; 3; —2) von dieser Geraden: a X (TQ - r i) = ( 5 ) x (

3 - 0 )

= ( 5 ) x j

1

3) = -3,

| a x ( r Q - r i ) | = V ( - 2 1 ) ^ + 14^ + ( - 1 4 ) ^ = ^ 8 3 3 ^2^ + 5^ + 2^ = d = axlrn

J33 833

- r.

-5,02

33

4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden Zwei Geraden g^ und ^2 konnen folgende Lagen zueinander haben: — Ql und 02 fallen zusammen — Qi und 02 sind zueinander parallel — g^ und 02 schneiden sich in genau einem Punkt — gi und ^2 ^^^^ windschief, d.h. sie verlaufen weder parallel noch kommen sie zum Schnitt In diesem Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem (senkrechten) Abstand d zweier paralleler Geraden g^ und ^2 ™ t den Gleichungen ? (/l^) = 7jL + ^1 ^1

^^^

^(^2) = ^ 2 + ^2 ^2

(11-131)

(yl|, ^2 ^ ^ ^ ^il^ 11-61). Diese Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind, d.h. a^ x 3 2 = 0 ist.

Bild 11-61 Zur Berechnung des Abstandes zweier paralleler Geraden

104

II Vektoralgebra

Wir betrachten den auf der Geraden ^2 gelegenen Punkt P2 mit dem Ortsvektor 72Sein senkrechter Abstand von der Geraden g^ betragt dann nach Formel (11-130):

(IM32)

dJll^^^h^zM

(Punkt Q = Punkt P2 und somit VQ =^2)- Dieser Abstand ist zugleich der gesuchte Abstand der beiden parallelen Geraden. Wir fassen ^mQ folgt zusammen: Abstand zweier paralleler Geraden (Bild II- 61) Der Abstand zweier paralleler Geraden g-^ und 7(1 1) =^1 + ^"1 ^1

^^d

r{A2)^

= ^2

Qi

mit den Gleichungen

+h

(11-133)

^2

laBt sich wie folgt berechnen: d = 1^1 X (^2 - ^ i ) l 1^11

(11-134)

Anmerkungen (1)

Die Geraden g^ und ^2 ^i^^ genau dsinn parallel, wenn a^ xa2 = 0 ist.

(2)

Ist d = 0, so fallen die beiden Geraden zusammen.

Beispiel Die Geraden g^:

r{l^)=r^+l^a^

=i l \ + l J l \

(A^elR)

und

92' r{l2) = r2+h^2

= lo\^X2l^]

ih^^)

sind parallel, da ihre Richtungsvektoren a^ und a2 kollineare Vektoren darstellen: ^2 = 3 3^.

4 Anwendungen in der Geometric

105

Wir bereclinen jetzt den Abstand dieser Geraden:

|2i x(72 - 7 i ) | = VO^ + 42 + (-4)2 = 4 V 2

|ai I = x/l^TT^n^ = ^3 'i -\- lay + jiby zi + Aa^-i- jiibz

(11-146)

Dabei bedeuten: X, y, z:

Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene

x^, yi, Zi'. Koordinaten des vorgegebenen Punktes P^ der Ebene a^, Uy, a^ I Skalare Vektorkomponenten der hoidQn^nicht'kollinearen Richtungsb^, by, b^ J vektor en ~a und b der Ebene (a x Z? ^ 0) A li:

Voneinander unabhdngige reelle Parameter (A, /i e R)

4 Anwendungen in der Geometrie

111

Anmerkung Ein auf der Ebene E senkrecht stehender Vektor n heiBt Normalenvektor der Ebene. Einen solchen Vektor erhalt man beispielsweise aus den beiden Richtungsvektoren a und b durch Bildung des Vektorproduktes: (11-147)

n = Zxb

Beispiel Die Ebene E verlauft durch den Punkt P^ = {3; 5; 1), ihre Richtungsvektoren sind a = I 5 I und ^ = I 1 I • Die Gleichung dieser Ebene lautet dann in der Parameterform wie folgt:

^

^

^

- f'\

(

f'\

3 -\-2X + 5fi\ 5 + 5 1 + 12 \ 1+

f'\ (/I, /i GIR)

/l + 3 / i /

So gehort beispielsweise zu dem Parameterpaar 1 = 1, /i = 2 der folgende Punkt Q: / 3 + 2-1 + 5 - 2 \ /15\ ?(Q) = r(A = l;/i = 2) = j 5 + 5 - 1 + 1-2 1 = 1 12 j =^ \ 1 + 1-1 + 3 - 2 / \ 8/ e - ( 1 5 ; 12; 8) Der Vektor

steht dabei senkrecht auf der Ebene E {Normalenvektor).

112

II Vektoralgebra

4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene Eine Ebene E soil durch drei (voneinander verschiedene) Punkte P^, P2 und P3 mit den Ortsvektoren ^^,^2 und ?3 verlaufen(Bild 11-65). Die v^torz^/Z^Gleichungdieser Ebene erhalten wir durch analoge Uberlegungen wie im vorangegangenen Abschnitt 4.2.1. Der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Ebene ist der Summenvektor ? (P) - ?i + 1 Pi P2 + /i Pi P3

(11-148)

Ferner ist ^ 1 P 2 =^2-

^1

™d

^1 ^3 = ^3 - ^1

(11-149)

und somit ? (P) = 7i + 1 {r2 - 7i) + /i ih - 7i)

(^ /i e ]R)

(II-l50)

Dies ist die Parameterdarstellung einer Ebene durch drei vorgegebene Punkte P^, P2 und P3 in vektorieller Form. Fur ? (P) schreiben wir wieder r (2; /i), um zum Ausdruck zu bringen, daB der laufende Punkt P der Ebene durch die beiden Parameterwerte eindeutig festgelegt ist. Wir fassen zusammen: Vektorielle Drei-Punkte-Form einer Ebene (Bild 11-65) r(P) = r ( A ; M ) ^ r i + / P i P 2 + / / P i P3 = (r2 - ri) + /i (^3 - r^)

-r,+A

(11-151)

Oder (in der Komponentenschreibweise)

(

Xi

+ A{X2

-

Xi)

+ fi{X2

-Xi)\

I

yi+Hy2-yi)^i^iy3-yi) Zi + / (Z2 -

Zi) + // (Z3 -

Zi)

(n-i52)

/

Dabei bedeuten: X, >', z:

Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene

X2, }^2' -^2 > Koordinaten der vorgegebenen Punkte Pi, P2 und P3 der Ebene •^3^>'3'^3 J

A, fi:

Voneinander unabhangige reelle Parameter (A, // G 1R)

4 Anwendungen in der Geometric

113

Bild 11-65 Zur Drei-Punkte-Form einer Ebene

Anmerkungen (1)

Die Punkte P^, P2, Pi, diirfen nicht in einer gemeinsamen Geraden liegen, d.h. es muB die folgende Bedingung erfiillt sein: (11-153)

(^2 - 7 i ) x ( 7 3 - r i ) 7 ^ 0 (2)

Die nicht-kollinearen Vektoren P^ P2 r^ und P i P3 = ^3 — ^1 konnenals Richtungsvektoren der Ebene aufgefaBt werden. Der Normalenvektor n der Ebene ist dann wie folgt als Vektorprodukt darstellbar:

n=

P^P2xP^P^

(TI

- ^1) X (^3 - ^1

(11-154)

Beispiel Gegeben sind drei Punkte P^ = (1; 5; 0), P2 = ( - 2 ; - 1; Wie lautet die Gleichung der Ebene durch diese Punkte? Losung: Die Ortsvektoren der drei Punkte lauten:

n =

5

Damit erhalten wir die folgenden

und Richtungsvektoren:

und P3 = (2; 0; 1).

114

II Vektoralgebra Die Gleichung der Ebene lautet damit in der vektoriellen Parameterform wie folgt: r {1; /i) = 7^ 4- /I (r2 " ^l) + /^ (^3 " ^l) = /IN /-3x = 5 +A - 6

/ +//

IX / l - 3 i + /.x -5 = 5-61-5/i

(A,/iGlR)

4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor Eine Ebene E soil den Punkt P^ mit dem Ortsvektor 'r^ enthalten und senkrecht zu einem Vektor n (Normalenvektor genannt) verlaufen (Bild 11-66). 1st ? der Ortsvektor des laufenden Punktes P der Ebene, so liegt der Vektor P^P = 7 —7^ m der Ebene und steht somit s^n/crec/i/: auf dem Normalenvektor n. Dies aber bedeutet, daB das skalare Produkt der Vektoren n und ? — 7^ verschwindet. Die Gleichung der Ebene lautet daher: H • (7 — 7^) = 0

oder

n -7 =n -f-^

(11-155)

Wir fassen zusammen: Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Bild 11-66) n ' (r - 7 i ) = 0

(11-156)

oder (ausg(^schrieben) n^(x

- ^ 1 ) + ^); (3^-3^1) + ^ z ( ^ -

z,) = 0

(11-157)

Dabei bedeuten:

\

X, y, z:

Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene

^ 1 ' 3^1' ^ 1 -

Koordinaten des vorgegebenen Punktes P^ der Ebene

VL

n

n '

Skalare Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten) des Normalenvektors n {senkrecht zur Ebene E)

Anmerkung Die Gleichung (11-156) bzw. (11-157) ist die Koordinatendarstellung der Ebene. Ihre allgemeine Form lautet: ax -\- by -\- cz -\- d = 0

{a, b, c, d: Reelle Konstanten)

(11-158)

4 Anwendungen in der Geometrie

115

Bild 11-66 Ebene senkrecht zu einem Normalenvektor

Beispiel Die Gleichung der Ebene E durch den Punkt P^ = (2; - 5 ; 3) senkrecht zum Vektor n = I 2 1 (Normalenvektor) lautet wie folgt:

n-{7-7^)

= l 2 j - | y + S j = 4 ( x - 2 ) + 2(y + 5) + 5 ( z - 3 ) = 0

oder 4x + 2}; + 5z - 13 = 0

4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene Gegeben ist eine Ebene E mit der Gleichung n • (r — r^) = 0 und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor r^ (Bild 11-67). Welchen (senkrechten) Abstand d besitzt dieser Punkt von der Ebene El

Bild 11-67 Zur Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene

116

II Vektoralgebra

Wir bestimmen zunachst den Vektor P^Q. Er ist als Differenzvektor in der Form (11-159)

PiQ=rQ-r^

darstellbar. Seine Projektion in die Richtung des Normalenvektors n ergibt den Vektor > -* > -. PiQ^' = b, der mit dem Vektor Q Q der Lange d libereinstimmt 'K Somit gilt h = Q'Q

mit

(11-160)

\h\ = d

Andererseits gilt fur die Projektion von P^Q auf n nach Gleichung (11-78):

^-^H^y-np'^^' Dieser Vektor besitzt den Betrag iri_|H-(rQ-fi |H|2

^

n

|H|2

^' \n\ =

^4

—

(11-162)

Somit ist

\b\ =d = -

^4

^

(11-163)

Wir fassen zusammen: Abstand eines Punktes von einer Ebene (Bild 11-67) Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ^0 von einer Ebene E mit der Gleichung n- (r —7^) = 0 betragt ^_\n-(rQ-7^)\ \n\

Anmerkung Ist d = 0, so liegt der Punkt Q in der Ebene.

7)

Q' ist der FuBpunkt des Lotes von Q auf die Ebene E.

(11-164)

117

4 Anwendungen in der Geometrie Beispiel

1

EineEbene E enthalt den Punkt P^ = ( 1 ; 0; 9), ihr Normalenvektorist

n = 1 3 j.

Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q = (— 2; 1; 3) von dieser Ebene mit Hilfe der Formel (11-164):

n-irn-

ri) =

- - 3 + 3-30

|H|=Vl^ + 3^ + 5 \n'{rr

=-30

35 301

30

= 5,07

35

4.2.5 Abstand einer Geraden yon einer Ebene Eine Gerade g und eine Ebene E konnen folgende Lagen zueinander haben: — g liegt in der Ebene E — g und E sind zueinander parallel — g und E schneiden sich in genau einem Punkt Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daB die Gerade g mit der Gleichung r (X) =f^ -\- A a parallel zur Ebene E mit der Gleichung n - (r —fo) = 0 verlauft (Bild 11-68). Dies ist genau dann der Fall, wenn der Richtungsvektor a der Geraden senkrecht auf dem Normalenvektor n der Ebene steht, d.h. n -a = 0 ist.

Parallels zu g in der Ebene E

Bild 11-68 Zur Berechnung des Abstandes einer Geraden von einer Ebene

118

II Vektoralgebra

Dann hat jeder Punkt der Geraden g den gleichen Abstand d von der Ebene E. Wir wahlen auf g den bekannten Punkt P^ mit dem Ortsvektor r^. Nach den Ergebnissen des vorangegangenen Abschnitts gilt dann (Gleichung (11-164)): Abstand einer Geraden von einer Ebene (Bild 11-68) Der Abstand einer Geraden g mit der Gleichung r (A) = 7^ + A a von einer zu ihr parallelen Ebene E mit der Gleichung H • (? — TQ) = 0 betragt

d = ^A^M

(11-165)

Anmerkungen (1) Gerade und Ebene sind genau dann zueinander parallel, wenn n -a = 0 ist. (2)

Ist zusatzhch d = 0, so hegt die Gerade g in der Ebene E.

•

Beispiel Wir berechnen den Abstand d zwischen der Geraden g: Pi = {0; 1; —1),

Richtungsvektor a = l —4 I \ 2/

und der (zu ihr parallelen) Ebene E:

PQ = {1; 5; 2),

Normalenvektor n = I 1 I \3/

Zunachst aber zeigen wir, daB Gerade und Ebene parallel verlaufen und die Abstandsformel (11-165) daher auf dieses Beispiel anwendbar ist: n - 2 = ( l | - [ - 4 | - - 2 - 4 + 6 = 0 => g\\E Ferner ist

=

- 2 - 4 - 9 - - 1 5

/2^ + 1^ + 3^ = V14

4 Anwendungen in der Geometric

119

Aus Gleichung (11-165) folgt dann d =

|H-(ri-?o)l

1-151

15

14

4,01

14

4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daB sich die Gerade g mit der Gleichung f (1) = 7^ -h A a und die Ebene E mit der Gleichung n - (r —~rQ) = 0 in einem Punkt S schneiden (siehe hierzu auch Abschnitt 4.2.5). Dies ist genau dann der Fall, wenn H • a / 0 ist.

Bild 11-69 Zur Berechnung des Schnittpunktes und Schnittwinkels einer Geraden mit einer Ebene

Berechnung des Schnittpunktes (Bild 11-69) Der Ortsvektor 7^ des Schnittpunktes S erfiillt dann sowohl die Geradengleichung als auch die Gleichung der Ebene (Bild 11-69): 7^ == 7^ + /I5 a

und

(11-166)

n ' (js ~ ^0) ^ ^

Durch Einsetzen der 1. Gleichung in die 2. Gleichung erhalten wir eine Bestimmungsgleichung fiir den zum Schnittpunkt S gehorigen Parameter Ig: ^ • (^S - ^ ) = ^ • (^1 + ^5 a-rQ) = n-{ri—

= n- (r ^

7o) + '^s (H • H) = 0

+ Is 2) (11-167)

Wir losen diese Gleichung nach 1^ auf: ^s =

n-(ri-

TQ)

H • (ro - r^)

(11-168)

Diesen Wert setzen wir in die Geradengleichung ein und erhalten den Ortsvektor 7^ des Schnittpunktes S: ^s = ^1 +

n • (7o

(11-169)

120

II Vektoralgebra

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene (Bild 11-69) Der Ortsvektor des Schnittpunktes S der Geraden g: 7 (A) == r 1 + A 3 mit der Ebene E: n • (r —TQ) = 0 lautet: \

n- a

J

(11-170)

Anmerkungen (1) Gerade und Ebene schneiden sich genau dann in einem Punkt S, wenn die Bedingung n -a ^ 0 erfullt ist. (2)

Der Schnittpunkt S wird auch als Durchstofipunkt bezeichnet.

Berechnung des Schnittwinkels (Bild 11-69) Der gesuchte Schnittwinkel cp zwischen Gerade und Ebene ist der Neigungswinkel der Geraden gegeniiber der Ebene (Bild 11-69). Fiir ihn gilt: 0° ^ cp ^ 90°. Er hangt mit dem Winkel a zwischen dem Richtungsvektor a der Geraden und dem Mormalenvektor n der Ebene wie folgt zusammen: a = 90° + (^

Oder

a - 90° - (^

(11-171)

(abhangig von der On^n/:/erwng (i^ic/z^wng) des Normalenvektors n). Der Winkel a laBt sich dabei aus dem skalaren Produkt der Vektoren n und a berechnen: cosa-^

n• a

(11-172)

|n|;|a| Wegen a = 90° + (p gilt nach dem Additionstheorem der Kosinusfunktion cos a = cos (90° ± cp) = cos 90° • cos cp ^ sin 90° • sin cp = + sin cp

(11-173)

0 1 Somit ist _ . H•a _ n• 2 -\- smcp = Oder sin cp = -\(11-174) \n\-\a\ \n\-\a\ Beachtet man noch, daB der Schnittwinkel cp im Intervall 0° ^ (^ ^ 90° liegt und daher sin (/) ^ 0 ist, so erhalt man \n • a\ sm(p=^—^ \n\ • \a\

(11-175)

und durch Umkehrung schlieBhch: (p = SiTcsmi^—-^)

(11-17.6)

4 Anwendungen in der Geometrie

121

Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene (Bild 11-69) Der Schnittwinkel (p zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor a und einer Ebene mit dem Normalenvektor n laBt sich wie folgt berechnen: cp = arcsin I

|H-3| \ n\-\a\J

(11-177)

Beispiel Gerade g und Ebene E sind wie folgt gegeben:

g: Pi =(2; I; 5),

^ f '\

Richtungsvektor a = I —4 I

V 0/ E:

PQ = (3; 4; 1),

Normalenvektor n = l -1

I

Wir berechnen Schnittpunkt S und Schnittwinkel cp. Berechnung des Schnittpunktes S

...„-.,^(-j).(4:j).(-;)-(J)..-3-4.-. n-a = i -1 j | - 4 1 = 6 + 4 + 0 = 10

Wegen n -a = 10 y^O schneiden sich Gerade g und Ebene E genau in einem Punkt S, Fiir den Ortsvektor dieses Schnittpunktes erhalten wir dann nach Formel (11-170): ,^ ^ ^ , , - , , 3\ ^•(^o-^i)\

-

/ .

\ , - ^

122

II Vektoralgebra Berechnung des Schnittwinkels (p n -a = 10 (s. oben) |H| = V22 + (-1)2 + 1 2 ^ ^ 6 ^ (p = arcsm —

arcsm

= V 3 ^ + ( - 4 ) ^ + 02 = 5 10

arcsin 0,8165 = 54,7°

/6-5

4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen Zwei Ebenen E^ und £2 konnen folgende Lagen zueinander haben: — E^ und E2 fallen zusammen — El und £2 ^^^^ zueinander parallel — El und E2 schneiden sich Idngs einer Geraden Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daB die Ebenen E^ und £2 "^it den Gleichungen n^ • (r — f^) = 0 und H2 • (r — ^2) ^ 0 zueinander parallel sind. Dies ist genau dann der Fall,^wenn die zugehorigen Normalenvektoren n^ und H2 kollinear sind, d.h. Hi XH2 = 0 ist (Bild 11-70).

Bild 11-70 Zur Berechnung des Abstandes zweier paralleler Ebenen

Dann hat jeder Fnnkt der Ebene £2 ^^^ ^^^ Ebene E^ den gleichen (senkrechten) Abstand d und umgekehrt. Wir wahlen auf der Ebene £2 den bekannten Punkt P2 mit dem Qrtsvektor 72 und erhalten nach der Abstandsformel (11-164): d = 1^1 • (^2-^^1)1

(11-178)

4 Anwendungen in der Geometric

123

Zusammenfassend gilt somit: Abstand zweier paralleler Ebenen (Bild 11-70) DQVAhst'dndzwQiQTParallelebenen E^:Hi •(?--r,)- = 0 und E2 :^ 7 •(r--72) = 0 laBt sich wie folgt berechnen: (11-179)

1^11

Anmerkungen (1) Die beiden Ebenen sind genau dann parallel, wenn n^ xn2 = 0 ist. (2)

In der Abstandsformel (11-179) darf der Normalenvektor n^ durch den Normalenvektor H2 ersetzt werden.

(3)

Ist zusatzlich d — 0, so fallen die beiden Ebenen zusammen.

Beispiel Gegeben sind die folgenden Ebenen: £j^:

Pi = (7; 3; —4),

£2 • ^2 = (~~ 1' 0' ^)'

Normalenvektor KJ = I \

4 1 2/

Normalenvektor ^2 =

8 1

^ r'^

Die Ebenen sind parallel, da Hj^ XH2 = 0 ist (bitte nachrechnen!), Wir berechnen nun den Abstand d der Ebenen nach Formel (11-179):

= 8 - 12 + 24 = 20

|Hil = V ( - 1 ) ^ + 4 2 + 22 = 721 . = ^11^^^^M = ^

= 4,36

124

II Vektoralgebra

4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daB sich die Ebenen E^: n^ - (r —7i) = 0 und E2 : ^2 • (7 — 72) = 0 langs einer Geraden g schneiden (Bild 11-71). Dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehorigen Normalenvektoren n^ und H2 nicht-kollinear sind, d.h. die Bedingung H^ XH2 7^ 0 erfiillen.

Schnittgerade g

Bild 11-71 Zur Berechnung der Schnittgeraden und des Schnittwinkels zweier Ebenen

Bestimmung der Schnittgeraden (Bild 11-71) Fiir die Gleichung der Schnittgeraden g wahlen wir den Losungsansatz (11-180) Zu bestimmen sind der Richtungsvektor a und der Ortsvektor ?o ^^^ ^^f ^^r Geraden g gelegenen Punktes PQ. Da die Normalenvektoren H^ und H2 der beiden Ebenen jeweils senkrecht auf der Schnittgeraden g stehen, laBt sich der Richtungsvektor 2 von g als Vektorprodukt dieser beiden Vektoren darstellen: (11-181)

a = n^ X no

Den Ortsvektor ?o ^^s auf der Schnittgeraden gelegenen (aber noch unbekannten) Punktes PQ bestimmen wir wie folgt: PQ liegt in beiden Ebenen, der zugehorige Ortsvektor ?o erfiillt daher die Gleichungen beider Ebenen: r,) = 0

(11-182)

Oder (in ausgeschriebener Form)

^2x(^0 - ^2) + ^2yiy0

- -V2) + ^2z(^0 " ^l)

0

(11-183)

4 Anwendungen in der Geometrie

125

Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den drei unbekannten Koordinaten XQ, J/Q und ZQ des Punktes PQ. Eine der drei Koordinaten ist daher frei wdhlbar. Wir setzen z.B. XQ = 0 und berechnen die beiden iibrigen Koordinaten aus dem linearen Gleichungssystem (ii-lo4j

-n2^X2 + n2y{yo-y2)

+ n2^[zQ-Z2) = ^

(Gleichungssystem (11-183) fiir XQ =0). Damit sind die Koordinaten XQ, yo und ZQ und somit auch der Ortsvektor TQ des auf der Geraden g gelegenen Punktes PQ eindeutig bestimmt. Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Schnittgerade zweier Ebenen (Bild 11-71) Die Gleichung der Schnittgeraden g zweier Ebenen E^: n^ • (f — 7i) = 0 und ^2 • ^2 • (^ ~ ^2) ^ 0 lautet: ? (2) = 7o + ^ ^

(11-185)

Der Richtungsvektor 3 ist dabei das Vektorprodukt der Normalenvektoren n^ \ und H2 der beiden Ebenen: a = nixn2

(11-186)

Der Ortsvektor rg des (zunachst noch unbekannten) Punktes Po der Schnittgeraden laBt sich aus dem hnearen Gleichungssystem

^2 •

(TQ

-~r2) = 0

(11-187)

Oder (in der ausgeschriebenen Form) (11-188) "2x (^0 - ^2) + ^^2); ()'0 - yi) + f^2z (^0 " ^2) = ^ bestimmen, wobei eine der drei Koordinaten /rei wdhlbar ist (z. B. kann man XQ = 0 setzen).

Anmerkung Die beiden Ebenen schneiden sich genau dann, wenn H^ XH2 7^ 0 ist.

126

II Vektoralgebra

Berechnung des Schnittwinkels (Bild 11-71) DQY Schnittwinkel (p zweier Ebenen E^ und E2 ist der Winkel zwischen den zugehorigen Normalenvektoren n^ und H2. Nach Gleichung (11-66) gilt somit: Schnittwinkel zweier Ebenen (Bild 11-71) Der Schnittwinkel (p zweier Ebenen Ei und und H2 laBt sich wie folgt berechnen:

£2

mit den Normalenvektoren Hi

(II-l 89)

(p = arccos 1 l^il • 1^2!/

Beispiel Wir bestimmen Schnittgerade g und Schnittwinkel cp der folgenden Ebenen:

^1 • -^1 = (1; 0; 1),

( Normalenvektor n^ =- I

E2 • ^2 "^ (^' ^' ^)'

Normalenvektor n2 = I 1 I

' \ 5 I

\ 2 / Bestimmung der Schnittgeraden g (Ansatz)

r (X) =~rQ -\- X a

Fiir den Richtungsvektor a erhalten wir nach Formel (11-186): a = n.xn2

5

=\

V-3;

x

1 \=[ -6-

V2;

2 ]= [ - 8

V 1-10;

v-9y

Wegen H^ XH2 ^ 0 ist damit sichergestellt, daB sich die Ebenen auch tatsachlich schneiden. Der Ortsvektor rg des (noch unbekannten) Punktes PQ der Schnittgeraden wird aus dem folgenden linearen Gleichungssystem berechnet:

...

( '\ r«-^

ni-('-o-''i) = (

5 M

yo-0 l = Xo-l +5);o-3(zo-l) = 0

/2\ /xo-0\ "2 l ^ - 1 ^ 2 ) = I 1 N y o - 3 I = 2xo + y o - 3 + 2zo = 0

4 Anwendungen in der Geometrie

127

Wir setzen XQ = 0 und ordnen beide Gleichungen: 3;o + 2 z o =

3

Diese Gleichungen werden durch J/Q = 5/13 und ZQ = 17/13 gelost. Der Punkt PQ besitzt demnach die folgenden Koordinaten: 5

17 "^-13

Somit ist 7 (X)

=7Q

\ /' 0 -\- A a = 1 5/13 +A \V 1 7 / 1 3 /

13\ -8

/ |-I

-9/

13A

\

5/13-8^ I

(AG]R)

\17/13-9A/

die Gleichung der gesuchten Schnittgeraden g. Berechnung des Schnittwinkels (p n^-n2 = i

5 j | l | - 2 + 5-6 = l

|Hi I = 7 1 ^ + 52+(-3)2 = ^ 3 5 ,

IH21 = V 2 ^ T l ^ T ^ = 3

Fiir den Schnittwinkel (p erhalten wir damit nach Gleichung (11-189): (p = arccos ( —— ^

) = arccos ( —

— j = arccos 0,0563 = 86,8^

II Vektoralgebra

128

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 2 und 3 a=l 2 b = l 0 j und c = I 1 \ -4. Berechnen Sie die skalaren Komponenten und die Betrage der aus ihnen gebildeten folgenden Vektoren:

1) Gegeben sind die Vektoren

2)

a)

1-^ = 32 — 5

c)

53 = 4 (H - 2 S) + 10 c

b-h3'c

b)

52 = - 2 (5 + 5 c) + 5 (2 - 3 ^)

d)

I4 = 3 (a -b) c — 5 {b -'c) a

Welche Gegenkraft F hebt die vier Einzelkrafte 200 \ ^1 =

-lOx 30 N, -40/

110 JN, -50/ 40 \

85 JN,

F4 =

120/

/30X 50 N \40/

in ihrer physikalischen Wirkung auf? 3)

Berechnen Sie die Resultierende der in Bild 11-72 skizzierten (ebenen) Krafte nach Betrag und Richtung (Richtungswinkel).

z iI

^p-

Ps

Fj=80N

Pe/ '^7

a

^^ P, ^

a

y

(/

p

Bild 11-73 4)

Bestimmen Sie die Ortsvektoren der acht Ecken eines Wiirfels mit der Kantenlange a gemaB Bild 11-73.

Ubungsaufgaben

129

5) Normieren Sie die folgenden Vektoren:

.

^ f'\

-

a=i l \

b = 3 e^-4

^

. .

ey-\-^ e^,

.

f-'\ 1 I

c=l

.

. f '\

6) Wie lautet der Einheitsvektor e, der die zum Vektor a = \ — 4 I entgegenge7)

setzte Richtung hat? \ 3 / Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P = {3; 1; — 5)

. f '\

in Richtung des Vektors a = \ —5 I um 20 Langeneinheiten entfernt hegt.

V 4/ 8) Wie lautet die Gleichung der durch die Punkte Pj|^=(10;5; —1) und P2 = (1; 2; 5) verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von P1P2. 9)

10)

Liegen die drei Punkte Pi = (3; 0; 4), P2 = (1; 1; 1) und P3 = ( - 1 ; 2; - 2 ) in einer Geraden? Bilden Sie mit den Vektoren a = folgenden Skalarprodukte: a)

I'h

b)

(a-3

1 j , /?\ 1 /

h)'{A~c)

0

und c = \

\ 4 / c)

10

die

\—2/

(a + S) • (a - c)

11) Welchen Winkel schlieBen die Vektoren 3 und h miteinander ein?

a, . = (J), 5 = (i) c)

12)

2 = ?^ - 2 ?3, + 5 e^,

h=

. ..Q. S.(£) -'e^-\0~e^

Zeigen Sie: Die Vektoren 2 und h sind zueinander orthogonal:

130 13)

II Vektoralgebra Beweisen Sie den Kosinussatz

c^ = a^ -{- b^ — lab • cos y (Bild 11-74).

C

Bild 11-74 Zur Herleitung des Kosinussatzes

14)

Zeigen Sie: Die Vektoren

und bilden ein orthonormiertes System, d.h. die Vektoren stehen paarweise senkrecht aufeinander und besitzen jeweils die Lange 1. 15)

Zeigen Sie: Die drei Vektoren a=l

4 L

b=1

2 1 und

c --

bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 16)

Bestimmen Sie Betrag und Richtung (Richtungswinkel) des Vektors a:

a)

2= j 1 j

b)

3=I 4 j

c)

a= l

3 |

17)

Durch die drei Punkte A = (1; 4; - 2 ) , B = (3; 1; 0) und C = ( - 1; 1; 2) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Lange der drei Seiten, die Innenwinkel im Dreieck sowie den Flacheninhalt.

18)

Ein Massenpunkt wird durch die Kraft

^ = 1 —4 I N geradlinig von \ -2/ PjL = (1 m; 20 m; 3 m) nach P2 = {4 m; 2 m; — 1 m) verschoben. Welche Arbeit leistet die Kraft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor ll

19)

Eine Kraft vom Betrage F = 85 N verschiebt einen Massenpunkt urn die Strecke 5 = 32 m und verrichtet dabei die Arbeit W= 1360 J. Unter welchem Winkel greift die Kraft an?

- f ''\

Ubungsaufgaben

20)

131

^ ( '' Berechnen Sie die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors a = I — 2

V 1,

21)

Ein Vektor 3 sei durch Betrag und Richtungswinkel wie folgt festgelegt: \a\ = 10, a = 30°, j^ = 60°, 90° ^ y ^ 180°. Wie lauten die Vektorkoordinaten von al

22)

Bestimmen Sie die Richtungswinkel a, ^ und y der folgenden Vektoren: a)

23)

a=

1

b)

a=

Gegeben sind die Vektoren

5

a= (

c)

4l,

a=

^ = (—1)

und

Berechnen Sie mit ihnen die folgenden Vektorprodukte:

24)

a)

aX^

h)

(a — b)x{3 c)

c)

{-a + 2~c)x{-b)

d)

( 2 a ) x ( - S + 5c)

Bestimmen Sie den Flacheninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms: b)

25)

a

An einem Hebel greifen die in Bild 11-75 skizzierten senkrechten Krafte an. Wie groB muB eine 3. Kraft F sein, die im Abstand von 20 cm vom Hebelpunkt angreift, damit Gleichgewicht besteht? Anleitung: Die Summe alter Drehmomente muB verschwinden. • 100 cm

'50cm~ •M20cm

^ F.=UOON

F=? F2 = 600N

Bild 11-75 Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht

132 26)

II Vektoralgebra Wie muB der Parameter X gewahlt werden, damit die drei Vektoren h=\

4 1 und

c=

V 11/ komplanar sind? 27)

28)

Zeigen Sie: Die Vektoren a, b und c liegen jeweils in einer gemeinsamen Ebene. a)

a --

b)

3^

Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren und gebildeten Spats.

29)

Zeigen Sie: (a xb) x'c = (a •'c) b — {b •'c) a Anleitung: Komponentenweise Ausrechnung auf beiden Seiten.

Zu Abschnitt 4 1) Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P^ parallel zum Vektor a? Welche Punkte gehoren zu den Parameterwerten /I = 1, X = 2 und 1= -51 a)

P^ = (4; 0; 3),

a=

0

- ^ \

/5

b)

^1 = (3; - 2 ; 1 ) ,

- 1 / 2)

3=1 ^

Vs

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P^ und P2. Welche Punkte ergeben sich fiir die Parameterwerte A = — 2, A = 3 und 1 = 5? a)

Pi = ( l ; 3 ; - 2 ) ,

P2 == (6; 5; 8)

b)

Pi = ( - 2 ; 3 ; 1 ) ,

P2 = {U 0; 5)

Ubungsaufgaben

133

3) Wielautet die Gleichungder durchdie Punkte P^ = (10; 5; - 1) und P2 = (1;2;5) verlaufenden Geraden? Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von P^ P2 • 4)

Liegen die drei Punkte P^ ={3; 0; 4), P2 = {1;1;\) und P3 = ( - 7 ; 5; - 11) in einer Geraden?

5) Von einer Geraden g ist der Punkt P^ ^ (4; 2; 3) und der Richtungsvektor

^ f'\

a = I 1 1 bekannt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q = {4; 1; 1) von dieser Geraden.

6) P^ = (1; 4; 3) sei ein Punkt der Geraden g^, P2 = {5; 3; 0) ein solcher der Geraden ^2 • Beide Geraden verlaufen auBerdem parallel zum Vektor a mit den Vektorkoordinaten a^ = 3, ay = — 1 und a^ = 2. Welchen Abstand besitzen diese Geraden voneinander? 7) Von einer Geraden g ist der Punkt P^ = (1; —2; 8) und der Richtungsvektor a mit den folgenden Eigenschaften bekannt: |a| = 1, [i = 60°, 7 = 45°, a mit cos a > 0. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden. In welchen Punkten schneidet die Gerade die drei Koordinatenebenen? 8) Eine Gerade g verlaufe durch den Punkt P^ = {5; 3; 1) parallel zu einem Vektor a mit den drei Richtungswinkeln oc = 30°, f^ = 90°, y mit cos 7 < 0. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden? 9) Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g'l, ^2 zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel. a)

g^ durch P^ = (3; 4; 6) und P2 = {-1; - 2; 4) ^2 durch P3 = (3; 7; - 2 ) und P4 = (5; 15; - 6 )

b)

g^:

r{li) = 7 ^ + 1 ^ a^

Qi'

^ (^2) = ^2 + ^2 ^ 2

c)

g^ durch P^^ = (1; 2; 0) mit dem Richtungsvektor 3^ =

^2 durch P2 = (6; 0; 13) mit dem Richtungsvektor 'a2

134

II Vektoralgebra

10)

Zeigen Sie, daB die Geraden g^ und 02 mit den folgenden Vektorgleichungen windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand: Qi'

r{l^)=^r^

+ l i Hi =

92 • ^ (h) = ^2 + ^2 ^2

11)

Die in der x, y-Ebene verlaufende Gerade g^ schneidet die beiden Koordinatenachsen jeweils bei 3. Welchen Abstand besitzt diese Gerade von der z-Achse?

12)

Zeigen Sie, daB sich die Geraden gi und ^2 in genau dn^m Punkt schneiden und bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel: g^ durch P^ = (4; 2; 8)

und P2 = (3; 6; 11)

^2 durch P3 = (5; 8; 21) und P4 = (7; 10; 31) 13)

Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt Pi enthalt und parallel zu den Richtungsvektoren a und b verlauft? Bestimmen Sie ferner einen Normalenvektor n der Ebene. Welche Punkte gehoren zu den Parameterwertepaaren A = 1, jU = 3 und A = —2, ju = 11 Pi=(3;5;l),

b)

14)

Pi = ( 6 ; 0 ; - 3 ) ,

a =

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte P^, P2 und P3. Welche Punkte dieser Ebene erhak man fiir die Parameterwertepaare A = 3, fi = — 2 und 1 ^ — 2, /i = l ? a)

Pi=(3;l;0),

P2 = ( - 4 ; l ; l ) ,

P3 ^^ (5; 9; 3)

b)

Pi=(5;l;2),

P^ = ( - 2 ; - 1; - 3),

P3 = (0; 5; 10)

15)

Liegen die vier Punkte P i = ( l ; l ; l ) , P4 = (12; - 4 ; 12) in einer Ebene?

P2 = (3; 2; 0), P3 = ( 4 ; - l ; 5 )

und

16)

Wie lautet die Gleichung einer Ebene E, die auf den drei Koordinatenachsen jeweils diQ gleiche Strecke a abschneidet und ferner den Punkt Q = {3; —4; 7) enthalt? Hinweis: Stellen Sie zunachst die Gleichung der Ebene durch die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in Abhangigkeit von der Strecke a auf.

Ubungsaufgaben

17)

135

Eine Ebene E verlauft senkrecht zum Vektor n = I 3 j und enthalt den Punkt y4 = (5; 8; 10). Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene. Berechnen Sie ferner die fehlende Koordinate des aw/der Ebene gelegenen Punktes B = {2; y = 1; 1).

18)

Ein Normalenvektor n einer Ebene E besitze die drei Richtungswinkel a = 60°, [^ = 120° und y mit cos y < 0. Wie lautet die Gleichung dieser Ebene, die noch den Punkt P^ = (3; 5; - 2 ) enthalt?

19)

Welche Lage haben Gerade g und Ebene E zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.

a)

g durch P^ = (5; 1; 2) mit dem Richtungsvektor a = I 1 I

E durch PQ = {2; 1; ^) mit dem Normalenvektor n = I

c)

3 I

g durch P^ - (2; 0; 3) und P2 = (5; 6; 18) E durch P3 = (1; - 2 ; - 2 ) , P4 = (0; - 1 ; - 1 ) und P5 = . ( - l ; 0 ; - 1 )

20)

Eine Gerade g durch die Punkte A = {1; 1; 1) und B = (5; 4; —3) verlaufe sen/crecht zu einer Ebene E. Wie lautet die Gleichung dieser Ebene, wenn P | = (2; 1; 5) ein Punkt dieser Ebene ist?

21)

Eine Ebene E^ gehe durch den Punkt P^ = ( 1 ; 2; 3), ihr Normalenvektor sei

w^ .

n = I 1 I. Bestimmen Sie den Parameter a so, daB der Abstand des Punktes Q = (0; 2; 5) von dieser Ebene d = 2 betragt. Wie lautet die Gleichung der Parallelebene E2 durch den Punkt ^ = (5; 1; — 2)?

136

II Vektoralgebra

22)

Eine Ebene E enthalt den Punkt PQ ==(2; 1; 8) und verlauft senkrecht zum

^ f '\

Vektor n = i — 6 I. Zeigen Sie, daB die Gerade g: 7{X) = r^-^ la = i 3 \ +xi

1 j

zu dieser Ebene parallel ist. Wie groB ist der Abstand zwischen Gerade und Ebene? 23)

Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E: g:

r {l) = r^+ A a = l 2 \ + 1 I

2 \

E: H • (? - ?o) = 2 (x - 1) + 1 • (j; - 2) + 1 • (z + 3) - 0 Zeigen Sie, daB Gerade und Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel. 24)

Zeigen Sie die Para//^/toY der beiden Ebenen E^ und £2 und berechnen Sie ihren Abstand:

^ f

El durch P^ = (3; 5; 6) mit dem Normalenvektor n^ = I

'\

3 1

£2 durch P2 = (1; 5; —2) mit dem Normalenvektor wa = I ~ 9 j \ 6/ 25)

Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen:

£i: Hi (7-71) = / 1 | ( y - 5 J = 0

£2: «2(7-72) = ( 0 J l y - 5 J = 0

1 Definition und Darstellung einer Funktion

137

III Funktionen und Kurven

1 Definition und Darstellung einer Funktion 1.1 Definition einer Funktion Funktionen dienen zur Darstellung und Beschreibung von Zusammenhangen und Abhangigkeiten zwischen zwei physikalisch-technischen MeBgroBen. So ist z.B. die Auslenkung einer elastischen Stahlfeder von der GroBe der Belastung abhangig. Beim freien Fall sind Fallweg und Fallgeschwindigkeit zeitabhangige GroBen, d.h. Funktionen der Zeit. In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstarke abhangig von der angelegten Spannung, d.h. die Stromstarke ist eine Funktion der Spannung. Allgemein laBt sich der Funktionsbegrijf wie folgt definieren: Definition: Unter einer Funktion versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet.

Diese (eindeutige) Zuordnung wird durch das Funktionszeichen f in der Form y = f{x) symboHsch ausgedriickt. Dabei sind folgende Bezeichnungen iibhch: x: y: D: W\

Unabhdngige Veranderliche (Variable) oder Argument Abhdngige Veranderliche (Variable) oder Funktionswert Definitions})ereich der Funktion Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion

Beispiele (1)

Fahgeschwindigkeit v als Funktion der Zeit t: v = gt Definitionsbereich: t ^ 0; Wertebereich: v ^ 0

(2)

Parabel y = x-^ Definitionsbereich: D = (— oo, oo); Wertebereich: W =[0, co)

138

III Funktionen und Kurven

1.2 Darstellungsformen einer Funktion 1.2.1 Analytische Darstellung Bei dieser Darstellungsart ist die Zuordnungsvorschrift in Form einer Gleichung gegeben (Funktionsgleichung genannt): Explizite Darstellung (die Funktion ist nach einer Variablen hier y - aufgelost) F{x; y) = 0: Implizite Darstellung (die Funktion ist nicht nach einer der beiden Variablen aufgelost)

y=f{x):

Fine weitere analytische Darstellungsform ist die Parameter darstellung, die wir in Abschnitt 1.2.4 behandeln werden. Beispiele Die folgenden Funktionen sind explizit dargestellt: = ^2

y = sinx,

v{t) = gt,

U{I) = RI (Ohmsches Gesetz)

Beispiele fiir implizit vorgegebene Funktionen sind: F{x; y) = In y + x^ = 0

und

F(x; j;) = xj; — 2 = 0

1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) Funktionen konnen auch tabellarisch in Form einer Wertetabelle (Funktionstafel) dargestellt werden. Beispiel In einem Yersuch wird der Spannungsabfall U an einem ohmschen Widerstand in Abhangigkeit von der Stromstarke / gemessen. Die Wertetabelle hat dabei das folgende Aussehen: I/mA

50

U/Y

2,0 3,9

100 150 200 250 6,0

7,9

10,1

1.2.3 Graphische Darstellung Die Funktionsgleichung y=f{x) ordnet jedem x-Wert in eindeutiger Weise einen j-Wert zu: XQ I—• J/Q = / ( ^ O ) - ^^^ Wertepaar (XQ; y^) kann dann als ein Punkt P der Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem gedeutet werden (Bild III-l).

1 Definition und Darstellung einer Funktion

139

yk ^y=:f{x)

^y

y'o

1 1 ^0

X

Bild III-l Graph einer Funktion

Dabei sind folgende Bezeichnungen iiblich: XQ, J/Q:

Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten

XQ!

Abszisse

yo-

Ordinate

des Punktes P = (XQ: ^Q)

Fiir jedes Wertepaar (XQ; yo) erhalten wir genau einen Punkt. Die Menge aller Punkte (x; y = / ( x ) ) bildet die Funktionskurve (auch Schaubild oder Funktionsgraph genannt), die in anschaulicher Weise den Funktions verlauf von y = fix) darstellt (Bild III-l).

Beispiele (1)

(2)

Fallgeschwindigkeit v = gt, f^Os;

g = lOm/s^ (gemndet) (Bild III-2)

Bild III-2 Fallgeschwindigkeit als Funktion der Zeit

Bild III-3 Normalparabel y = x^

Parabel mit der Funktionsgleichung y = x^, x e IR (Bild III-3)

140

III Funktionen und Kurven

1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion Bei der mathematischen Beschreibung eines Bewegungsablaufes ist es oft zweckmaBig, die augenblickliche Lage des Korpers durch kartesische Koordinaten (x; y) zubeschreiben, die sich aber mit der Zeit t verandern, d.h. Funktionen der Zeit sind: x = x{t),

y = y{t)

{ti^t^t2)

(III-l)

Eine Darstellung dieser Art mit der Hilfsvariablen t als Parameter heiBt Parameterdarstellung einer Funktion (im angefiihrten Beispiel handelt es sich um einen Zeitparameter). In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen bedeutet der Parameter t meist die Zeit oder einen Winkel. FurjeJe?7 Wert des Parameters t aus dem Intervall t i ^ t ^ t 2 Qrhalton wir genau einen Kurvenpunkt. Die Parametergleichungen (III-l) beschreiben dann eine Kurve, wie in Bild III-4 dargestellt.

Bild III-4 Zur Parameterdarstellung einer Funktion

Um die Kurve zu zeichnen geht man in der Praxis zweckmaBigerweise wie folgt vor: Man erstellt zunachst eine Wertetabelle, indem man einige Parameterwerte vorgibt, dann die zugehorigen x- und j^-Werte aus den gegebenen Parametergleichungen berechnet und diese Wertepaare schheBHch als Punkte in einem rechtwinkhgen Koordinatensystem darstellt. Durch Verbinden dieser (dicht genug aufeinanderfolgenden) Punkte erhalt man dann den gesuchten Kurvenverlauf.

Beispiel Waagerechter Wurf: Ein Korper wird aus einer gewissen Hohe waagerecht mit der konstanten Geschwindigkeit vom Betrage VQ abgeworfen und bewegt sich dabei auf einer Parabelbahn (sog. Wurfparabel; Bild III-5). Die Parametergleichungen 1 x = VQt,

y =

dieser Bewegung lauten wie folgt: .

-gt'

(t: Zeitparameter mit t ^ 0)

2 Allgemeine Funktionseigenschaften

141

Wurfparabel

Bild ni-5 Wurfparabel beim waagerechten Wurf

Durch Eliminieren des Parameters t erhalt man schlieBlich die Gleichung der Wurfparabel in expliziter Form: X = VQt => t = —

(Einsetzen in die 2. Parametergleichung)

^0

1

,

1

2 Rechenbeispiel:

/ X

2 \voJ VQ = 15m/s,

1 ^ 45 m X ^

2vi g = lOm/s^

(x ^ 0 m)

2 Allgemeine Funktionseigenschaften 2.1 NuUstellen Definition: Eine Funktion y=f(x) wenn / ( X Q ) = 0 ist.

besitzt an der Stelle XQ eine

Niillstelle,

In einer Nullstelle XQ schneidet odcr beriihrt die Funktionskurve die x-Achse. Beispiele (1)

Die lineare Funktion (Gerade) y = x — 2 schneidet die x-Achse an der Stelle x i = 2 (Bild III-6).

(2)

Die Parabel j ; = (x — 1)^ besitzt in x^ = 1 eine doppelte Nullstelle, d.h. einen Beriihrpunkt (Bild III-7).

III Funktionen und Kurven

142 /i

\

X-y=x-2

y = (x-1}^

11/2

X

-Zy

Bild III-6 (3)

Bild III-7

Ein Beispiel fiir eine Funktion mit unendlich vielen Nullstellen liefert die Sinusfunktion y = sinx. Sie liegen bei Xj^ = k - n mit /c = 0, ± 1 , ±2,... (Bild III-8):

Bild III-8 Nullstellen der Sinusfunktion j^ = sin x

2.2 Symmetrieverhalten Wir unterscheiden zwischen Spiegel- und Punktsymmetrie. Definition: Eine Funktion y = /W mit einem symmetrischen Definitionsbereich D heiBt gerade, wenn sie fiir jedes xeD die Bedingung

f{-x)^f{x)

(111-2)

erfiillt.

Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse angeordnet: Jeder auf der Kurve gelegene Punkt geht durch Spiegelung an der y-Achse wieder in einen Kurvenpunkt iiber.

2 Allgemeine Funktionseigenschaften

143

Einfache Beispiele fiir spiegelsymmetrische Funktionen liefern die Parabel (Bild III-9a)) und die Kosinusfunktion y = cos x (Bild III-9b)).

y = x-^

y ii

y=cos X

Py=x^

J

f(-x)

)
')""

y=f{x)

Funktionsgleichung nach der Variablen x auflosen

-^

^ = giy)

2. Durch formales Vertauschen der beiden Variablen x und y gewinnt man hieraus schlieBlich die Umkehrfunktion y = g (x): ^==fjiy)

Variablen x und y miteinander vertauschen

"^ y = gM

III Funktionen und Kurven

150 Anmerkung

Die beiden Schritte konnen auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgefiihrt werden. Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitionsbereich und Wertebereich miteinander vertauscht. Nicht jede Funktion ist jedoch umkehrbar, wie bereits das einfache Beispiel der Normalparabel y = x-^, x e l R zeigt. Zu jedem Funktionswert yo>0 gehoren genau zwei verschiedene Werte XQ und — XQ der Variablen x. Denn jede oberhalb der x-Achse verlaufende Parallele zur x-Achse schneidet die Parabel in zwei spiegelsymmetrisch zur 3;-Achse angeordneten Punkten P und P^ (Bild III-21). Die Funktion y = x^ ist daher im Intervall — co < x < co nicht umkehrbar. Offensichtlich liegt dies an der fehlenden Monotonie der Normalparabel. Diese verlauft namlich (wie wir aus Abschnitt 2.3 bereits wissen) in ihrem vollstandigen Definitionsbereich weder streng monoton fallend noch streng monoton wachsend.

Bild III-21 Die Normalparabel y = x^, x e R als Beispiel fiir eine nicht umkehrbare Funktion

Streng monoton wachsende oder fallende Funktionen sind dagegen stets umkehrbar, da jede Parallele zur x-Achse die zugehorige Funktionskurve hochstens einmal schneidet. Die beiden nachfolgenden Beispiele werden diese Aussage noch verdeuthchen.

Beispiele (1)

y =

2x-hl

(xelR)

Diese Gerade verlauft streng monoton wachsend und ist daher umkehrbar. Durch Auflosen der Geradengleichung nach x erhalt man zunachst x = g{y) =

0,5y-0,5

Formales Vertauschen der beiden Variablen fiihrt schlieBlich zur gesuchten Umkehrfunktion: j ; = ^ (x) = 0,5 X — 0,5

(xeR)

Die Umkehrfunktion der Geraden y = 2 x + 1 ist also wiederum eine Gerade (Bild III-22).

151

2 Allgemeine Funktionseigenschaften

Bild III-22 Gerade y = 2x + 1 und ihre Umkehrfunktion ;; = 0,5x - 0,5

(2)

y = x^

(x^O)

Es handelt sich bei dieser Funktion um den im 1. Quadrant verlaufenden Teil der Normalparabel. Diese Funktion ist streng monoton wachsend und daher umkehrbar. Die Auflosung der Funktionsgleichung nach der Variablen x liefert die Wurzelfunktion x = v y, y ^ 0 (es kommt nur der positive Wert in Frage, da alle Kurvenpunkte im 1. Quadrant liegen). Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalt man hieraus schlieBlich die Umkehrfunktion y = V x , x^O (Bild III-23).

Bild III-23 Die Wurzelfunktion y = . der „Halbparaber' y = x^, x ^ 0

x^O

als Umkehrfunktion

III Funktionen und Kurven

152

Wie die Beispiele zeigen, verlaufen die Schaubilder einer Funktion y = f{x) und ihrer Umkehrfunktion y = g{x) spiegelsymmetrisch zur Geraden y = x {Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten). Diese Aussage laBt sich verallgemeinern, sofern auf beiden Koordinatenachsen der gleiche MaBstab verwendet wird (Bild III-24).

Bild III-24 Zur Umkehrung einer Funktion auf graphischem Wege

Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse dieses Abschnitts wie folgt zusammen: Uber die Umkehrung einer Funktion 1. Jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion ist umkehrbar. 2. Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitions- und Wertebereich miteinander vertauscht. 3. Zeichnerisch erhalt man das Schaubild der Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktionskurve an der Geraden y = x (Bild 111-24; Voraussetzung: gleicher MaBstab auf beiden Koordinatenachsen).

3 Koordinatentransformationen 3.1 Ein einfiihrendes Beispiel Die Gleichung einer Funktion oder einer Kurve hangt entscheidend von der Wahl des zugrunde gelegten Koordinatensystems ab. Besonders einfache Gleichungen erhalt man immer dann, wenn ein symmetriegerechtes Koordinatensystem gewahlt wird, das den speziellen Symmetrieeigenschaften der Funktion oder der Kurve Rechnung tragt. Wir erlautern dieses Problem an einem einfachen Beispiel.

3 Koordinatentransformationen

153

Bild III-25 Zur Koordinatentransformation eines Kreises

Der in Bild III-25 skizzierte Kreis mit dem Mittelpunkt M = (1; 2) und dem Radius r = 3 wird in dem zugrunde gelegten x, }^-Koordinatensystem durch die Gleichung (x-l)^

+ {y-2f

=9

(III-5)

beschrieben. Diese Gleichung laBt sich wesentlich vereinfachen, wenn wir zu einem neuen u, i;-Koordinatensystem libergehen, das die spezielle Symmetrie des Kreises berucksichtigt. Dazu wahlen wir den Mittelpunkt des Kreises als neuen Koordinatenursprung und legen durch ihn zur x-Achse bzw. _y-Achse parallele Koordinatenachsen. In dem neuen u, t;-System nimmt dann die Kreisgleichung die einfache Gestah u^ + v-^

(III-6)

an, wie man mit Hilfe des bekannten Lehrsatzes von Pythagoras dem Bild III-25 unmittelbar entnehmen kann. Zwischen den neuen und den aUen Koordinaten besteht dabei der folgende Zusammenhang: U = X — 1 V = y — 2

bzw.

X = U -\- 1 y == V -\- 2

(111-7)

Der Ubergang vom x, j^-System zum w, i;-System wird als Koordinatentransformation bezeichnet. In diesem einfiihrenden Beispiel handelt es sich um eine Parallelverschiebung des kartesischen x, y-Koordinatensystems.

3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems Wir gehen bei unseren Betrachtungen von einem rechtwinkligen (kartesischen) x, y-Koordinatensystem aus. Durch Parallelverschiebung der Koordinatenachsen entsteht hieraus ein neues, wiederum kartesisches Koordinatensystem (Bild III-26). Es soil im folgenden als u, i;-Koordinatensystem bezeichnet werden. Der Koordinatenursprung des neuen u, vSystems falle dabei in den Punkt 0' = (a; b), bezogen auf das alte x, y-System.

154 y

III Funktionen und Kurven

i

p

1) 1

a

bl

1

[

^

i

1 —

1 1

'>y

^ u

1

u

X

X

Bild III-26 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems

Ein beliebig herausgegriffener Punkt P besitze im x, y-System die Koordinaten (x; y) und im w, t;-System die Koordinaten (w; v). Zwischen ihnen bestehen die folgenden Transformationsgleichungen, die sich unmittelbar aus Bild III-26 ablesen lassen: X = u -\- a

bzw.

y = V -{- b

u = X —a

(III-

V = y — b

Wie verdndert sich bei einer solchen Koordinatentransformation die Gleichung einer Funktion y = f{x)l Mit Hilfe der Transformationsgleichungen (III-8) finden wir:

y=fix)

X = u -\- a y = V -\- b

i^ j^ b =f{u-\- a)

Oder

v =f{u -\- a) - b

(111-9)

Bei einer sinnvoll gewahlten Koordinatentransformation erreicht man dabei stets eine erhebliche Vereinfachung der Funktions- oder Kurvengleichung, wie bereits im einfiihrenden Beispiel gezeigt wurde. Weitere Beispiele im AnschluB an die nachfolgende Zusammenfassung werden diese Aussage bestatigen.

Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems (Bild III-26) Das kartesische x, jz-Koordinatensystem gehe durch eine Parallelverschiebung der Koordinatenachsen in das ebenfalls rechtwinklige u, t?-Koordinatensystem iiber (Bild ITI-26). Ein beliebiger Punkt P besitze im „alten" x, y-SystQm die Koordinaten (x; y) und im ,,neuen" u, i;-System die Koordinaten (u; v). Zwischen diesen Koordinaten bestehen dann die folgenden linearen Transformationsgleichungen: X =u+a y =V +b

bzw.

u = X V ~ y

(IIMO)

Dabei bedeuten: (a; b): Ursprung des neuen u, i;-Koordinatensystems, bezogen auf das alte X, y-System

3 Koordinatentransformationen

155

Anmerkung Die Konstanten a und b besitzen die folgende geometrische Bedeutung I a I: \b\: a> 0: b > 0:

Abstand der beiden vertikalen Koordinatenachsen Abstand der beiden horizontalen Koordinatenachsen Verschiebung der y-Achse nach rechts (sonst nach links) Verschiebung der x-Achse nach oben (sonst nach unten)

Beispiele (1)

Die Parabel y + 2 X + 3 laBt sich durch quadratische Ergdnzung in die folgende Gestah bringen: -^ +, 2x . . +, 3 = (x^ + 2x + 1) + 2 = (x + I r + 2 y= = X>^ - 2 = (x + 1)^ Mit Hilfe der Hnearen Transformationsgleichungen M = X+ 1

und

V= y — 2

fiihren wir ein neues, parallelverschobenes w, t;-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung im Scheitelpunkt der Parabel liegt und im x, jz-System die Koordinaten XQ = - 1 und yo = 2 besitzt^\ Die Funktionsgleichung der Parabel lautet daher im neuen M, r-System wie folgt: y-2

=

{x-^iy

w= X+ 1 V= y — 2

Durch diese Parallelverschiebung haben wir eine Vereinfachung der Parabelgleichung erreicht und dabei erkannt, daB es sich letztendlich um die bekannte Normalparabel handelt (Bild III-27).

^ i \ ii y

t^

/ 0'

-1

-1

0

u X

Bild III-27

_7_

Die Koordinaten des neuen Koordinatenursprungs im alten x, };-System erhalt man aus den Transformationsgleichungen fiir u = 0 und i; = 0.

III Funktionen und Kurven

156 (2)

Wir wollen die Gleichung der Funktion j ; = sin I x — - j + 1 durch eine geeignete Koordinatentransformation auf eine moglichst einfache Gestalt bringen. Zunachst formen wir die Funktionsgleichung geringfiigig um: y — 1 = sin X Durch die lineare Transformation n

r

y - l

fiihren wir ein neues u, i;-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung im alien System die Koordinaten x = n/2 und y = 1 besitzt. Diese Werte erhiilt man, wenn man in den Transformationsgleichungen u = 0 und v = 0 setzt. In dem neuen w, i;-System besitzt die gegebene Funktion dann eine besonders einfache Funktionsgleichung: \

y — 1 = sin X

^\

n

U= X — -

2 V=y - 1

Die vorgegebene Funktion erweist sich somit im neuen u, y-Koordinatensystem als elementare Sinusfunktion (Bild III-28).

•-

Bild 111-28

X

(3)

Die Parabel y = 0,5x^ soil um zwei Einheiten in Richtung der positiven x-Achse und gleichzeitig um drei Einheiten in Richtung der negativen jz-Achse verschoben werden. Wie lautet die Gleichung der verschobenen Parabel im X, y-Koordinatensystem? Losung: Der Scheitelpunkt S der verschobenen Parabel besitzt die Koordinaten XQ = 2 und J/Q = — 3. Wir wahlen ihn als Ursprung eines neuen u, i;-Koordinatensystems.

3 Koordinatentransformationen

157

In diesem System besitzt die Parabel die Funktionsgleichung v = 0,5u^. Zwischen den beiden Koordinatensystemen bestehen die Transformationsgleichungen X = u -\- 2

u = X— 2

bzw.

y = V — 3

V = y -\- 3

Man erhalt sie am bequemsten aus einer Skizze, die neben dem alten x, ySystem auch das neue u, t;-System sowie einen beliebigen Punkt P enthalt, den man (um Vorzeichenfehler zu vermeiden) zweckmaBigerweise so auswahlt, daB er im 1. Quadrant beider Koordinatensysteme liegt (Bild III-29):

yi

i

V ii

P

f

^

H

r'

iI

X

3

-'

!

f

2

Bild III-29

r

u

u

P besitzt im x, y-System die Koordinaten x und y und im u, i;-System die Koordinaten u und v. Aus der Skizze lassen sich dann die gesuchten Transformationsgleichungen unmittelbar ablesen. Die Parabel v = 0,5u^ besitzt demnach im x, y-System die folgende Funktionsgleichung (u = x — 2 und V = y -\- 3 gesetzt): y + 3 = 0,5 (x - 2f 2y

Oder

y = 0,5x^

2x-1

Beide Parabeln sind in Bild III-30 dargestellt.

y = 0,5x2

Bild III-30 Parallelverschiebung der Parabel y = 0,5 x^

III Funktionen und Kurven

158

3.3 Ubergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten 3.3.1 Definition der Polarkoordinaten Bisher wurde die Lage eines Punktes P der Ebene ausschlieBlich durch rechtwinklige Oder kartesische Koordinaten beschrieben. In vielen Fallen ist es jedoch giinstiger, auf die wie folgt definierten Polarkoordinaten r und cp zuriickzugreifen (Bild III-31): Yi P r

y^

y

Bild III-31 Polarkoordinaten (r; (p) eines Punktes P = {x\y)

Definition: Die Polarkoordinaten (r; ip) eines Punktes P der Ebene bestehen aus einer Ahstandskoordinate r und einer Winkelkoordinatc? cp (Bild 111-31): r:

Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung 0

(p: Winkel zwischen dem vom Koordinatenursprung 0 zum Punkt P gerichteten Radiusvektor und der positiven x-Achse

Anmerkungen (1) Fiir die Abstandskoordinate r gilt definitionsgemdfi stets r ^ 0, d.h. negative r-Werte sind nicht zugelassen! (2)

Der Winkel cp wird positiv gezahlt bei Drehung im Gegenuhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn), negativ dagegen bei Drehung im Uhrzeigersinn (mathematisch negativer Drehsinn). Er ist jedoch nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 360° (bzw. 271 im BogenmaB) bestimmt. Meist beschrankt man sich bei der Winkelangabe auf den im Intervall 0° ^ cp < 360° (bzw. 0 ^ cp 2

(x 2. Das Ergebnis dieser Grenzwertbildung ist der rechtsseitige Grenzwert von / ( x ) = x ^ an der Stelle XQ = 2: lim / ( x j = lim x^ = lim x^ - 4 n ^ CO

n -^ CO

(III-21)

x->2

(X > 2)

7n unserem Beispiel stimmen die beiden Grenzwerte von links und rechts uberein. Daher schreibt man kurz lim x2 = 4

(III-22)

und spricht von dem Grenzwert der Funktion / (x) = x ^ an der Stelle XQ = 2.

Allgemein laBt sich der Grenzwertbegriff wie folgt definieren: Definition: Fine Funktion y=f{x) sei in einer Umgebung von XQ definiert Gilt dann fiir jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen die Stelle XQ konvergierende Zahlenfolge mit x„ / XQ stets lim f{xn)-=g

(III-23)

n -^ oc

so heiBt g der Grenzwert von y "= f{x) an der Stelle XQ. Die symbolische Schreibweise lautet: lim fix) = g

(III-24)

X - * XQ

(gelesen: Limes von/(x) fur x gegen x^ gleich g).

Anmerkungen (1)

Es sei ausdrucklich darauf hingewiesen, daB die Funktion y = f{x) an der Stelle XQ nicht definiert sein muB. Es kann daher der Fall eintreten, daB eine Funktion an einer Stelle XQ einen Grenzwert besitzt, obwohl sie dort uberhaupt nicht definiert ist (vgl. hierzu das folgende Beispiel (2)).

(2)

Der Grenzubergang x — • XQ bedeutet: x kommt der Stelle XQ beliebig ohne sie jedoch jemals zu erreichen. Es ist stets x / XQ.

(3)

Anschaulich (aber etwas unprazise) laBt sich der Grenzwert g einer Funktion / (x) an der Stelle XQ wie folgt deuten: Der Funktionswert / ( x ) unterscheidet sich beliebig wenig vom Grenzwert g, wenn man sich der Stelle XQ nur geniigend ndhert.

nahe,

170

III Funktionen und Kurven

Gilt fiiT jede von links her gegen XQ strebende Folge lim fix) = 01 {X
Xo)

Besitzt die Funktion fix) an der Stelle XQ den Grenzwert g, so gilt also lim fix)= X

^

lim /(x) = lim fix) = g

(X < X Q )

^ XQ

X

XQ

(X

>

X

^

{g^ = g^ = g)

(III-27)

XQ

XQ)

Beispiele (1)

Die Funktion y=fix)^

1

x0

(Bild III-42)

besitzt an der Stelle XQ = 0 keinen Grenzwert, da der linksseitige Grenzwert nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert iibereinstimmt: gi = lim fix) = lim 0 = 0 x-^0 (x < 0)

x-^0 (x < 0)

:

g^. = lim fix) = lim 1 = 1 x->0 (x > 0)

x->0 (x > 0)

Bild 111-42

(2)

Die Funktion y = fix) =

2x

ist an der Stelle XQ == 2 nicht definiert.

Sie besitzt an dieser Stelle jedoch einen Grenzwert: Hm x ^ 2

^^ — 2x ^ •

,. x(X'-2) = lim x-^2

x-2

lim X x-^2

(der Faktor x — 2 ist wegen x ^ 2 stets von Null verschieden und kann daher herausgekiirzt werden).

4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion

(3)

171

1 Der Grenzwert der Funktion y = f{x) = - , x / 0 in der Definitionsliicke X

XQ = 0 ist nicht vorhanden (Bild III-43): 01 = hm

bzw.

Qf. =

lim I

+

00

(x > 0)

(x 0. Wie verhdlt sick diese Funktion fiir immer grofier werdende x-Wertel Fine solche Folge ist beispielsweise

= io, 100, 1000, ioooo, ... Die ihr zugeordneten Funktionswerte / ( x „ ) tionstafel (Wertetabelle):

fix,)

10

100

1000

10000

0,1

0,01

0,001

0,0001

1

entnehmen wir der folgenden Funk-

172

III Funktionen und Kurven

Dabei stellen wir fest, daB die Funktionswerte zunehmend kleiner werden und sich immer weniger von der Zahl 0 unterscheiden. Diese Aussage bleibt auch ftir jede andere, iiber alle Grenzen hinaus wachsende Zahlenfolge giiltig. Symbolisch wird das beschrie1 bene Verhalten der Funktion /(x) == - , x>0 fiir unbeschrdnkt wachsende x-Werte X

durch den Grenzwert lim ( - ) - 0

(III-28)

zum Ausdruck gebracht. Der Funktionsgraph nahert sich dabei asymptotisch der x-Achse (Bild III-44).

Bild III-44 Asymptotisches Verhalten der Funktion y — 1/x, X > 0 im Unendlichen

Allgemein definieren wir den Grenzwert einer Funktion fiir x —• oo wie folgt: Definition: Besitzt eine Funktion y ~f(x) die Eigenschaft, daB die Folge ihrer Funktionswerte fiir jede iiber alle Grenzen hinaus wachsende Zahlenfolge mit X „ G / ) gegen eine Zahl g strebt, so heiflt g der Grenzwert der Funktioi^ fur x —>- oc. Wir verwenden dafiir die symboUsche Schreibweise Hm /(x) - g X -^

(111-29)

a~j

Entsprechend wird der Grenzwert einer Funktion y = / (x) fiir den Fall erklart, daB die x-Werte kleiner werden alsjede noch so kleine Zahl (Grenziibergang x —• — oo). Falls dieser Grenzwert vorhanden ist, schreibt man symbolisch lim

f{x) = g

(III-30)

4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion •

173

Beispiele Vorbemerkung: Nach elementaren Umformungen gelingt die Berechnung der folgenden Grenzwerte: (1)

(2)

lim ( ^ ^ ^ ) =

lim ( 2 - - ) = 2

lim ( i ± ^ ) =

Um ( ~ + - ) = 0 X^

X - ^ + 00

(3)

lim ( -^—- I = lim x-^±oo\^

+ V

X

/

\ = ± 00 (uneigentlicher Grenzwert).

x-^ ±00 1 ^ . ^

x^

4.23 Rechenregeln fiir Grenzwerte Fiir den Umgang mit Grenzwerten gelten folgende Regeln (ohne Beweis): Rechenregeln fiir Grenzwerte von Funktionen Unter der Voraussetzung, daB die jeweiligen Grenzwerte existieren, gelten die folgenden Regeln: (1)

lim [C-f(x)] = C'I lim fix)] X -^XQ

(2)

lim [f{x)±g{x)]= X - > XQ

(3)

\X-^

(C: Konstante)

(111-31)

XQ

lim f{x) ± lim g{x) X -^ Xo

(III-32)

X -> XQ

lim [/(x)-6r(x)] = ( lim / ( x ) ) - | lim 0(x))

(III-33)

V X —> X'o

(4)

lim fix) lim (M) = ''-:'"' Hx)J hm gix)

(5)

lim v 7 W = 7 ' ™ -^W

flim3(x)^0) Vx^xo

(III-34)

(III-35)

III Funktionen und Kurven

174

lira [fix)]" = ( lira

(6)

Urn

(7)

(a^(^>) = a^---«

(III-36)

fix))

/

(111-37)

X —> XQ

(III-38)

Urn [log^/W] = log^( lim / ( x ) j

(8)

X ->

\ X^

XQ

XO

/

Anmerkungen (1) Diese Regeln gel ten entsprechend auch fur Grenzwerte vom Typ x —• oo bzw. X

(2)

•

— 00.

Grenzwerte, die zu einem sog. unbestimmten Ausdruck vom Typ - oder — fiihren, konnen nach der Regel von Bernoulli-LHospital weitetbehandelt werden. Wir kommen an anderer Stelle darauf zuriick (siehe Abschnitt VL3.3.3).

•

Beispiele (1)

3(x2-l) ( x - l ) ( x + l) lim -^ = 3 • lim ^ = 3- lim (x - 1) X+ 1

X + 1

= 3-(-2)=-6

(2)

lim (x ^ — 2 X + 5) x^ — 2x + 5 x^o 5 hm = =- =5 x^Q cosx lim cosx 1 x->0

4.3 Stetigkeit einer Funktion Definition: Eine in XQ und in einer gewissen Umgebung von XQ definierte Funktion y = fix) heiBt an der Stelle XQ stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle vorhanden ist und mit dem dortigen Funktionswert ubereinstimmt: lim / { x ) - / ( x o ) X ~>

XQ

(III-39)

4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion

175

Anmerkungen (1) Die Stetigkeit einer Funktion an einer hestimmtem Stelle setzt voraus, daB die Funktion dort auch definiert ist. Stellen, in denen eine Funktion nicht definiert ist, werden daher folgerichtig als Definitionslucken bezeichnet. An solchen Stellen kann die Funktion daher nicht stetig sein. (2)

Anschaulich (aber etwas unprazise) laBt sich die Stetigkeit einer Funktion y = f{x) an der Stelle XQ wie folgt interpretieren: Der Funktionswert f{x) unterscheidet sich beliebig wenig von /{XQ), wenn x nur geniigend nahe an der Stelle XQ liegt.

(3)

Eine Funktion, die an jeder Stehe ihres Definitionsbereiches stetig ist, wird als stetige Funktion bezeichnet.

•

Beispiele (1)

Funktionswert und Grenzwert der Funktion f{x) = x^ stimmen an der Stelle XQ = 1 iiberein: lira x^ =f{l) = 1 Daher ist die Funktion an dieser Stelle stetig. Sie ist sogar iiberall in ihrem Definitionsbereich D = (— oo, oo) stetig und somit eine stetige Funktion.

(2)

(3)

Die meisten der elementaren Funktionen (wir behandeln sie in den folgenden Abschnitten) sind stetige Funktionen. Zu ihnen gehoren beispielsweise die ganzrationalen Funktionen und die trigonometrischen iFunkXionQn. 1 Die Funktion f{x) = - ist an der Stelle XQ = 0 nicht definiert und kann X

demnach dort auch nicht stetig sein. Sie besitzt an dieser Stelle eine als Pol Oder Unendlichkeitsstelle bezeichnete DefinitionslUcke (vgl. hierzu Bild III-43 sowie den Abschnitt 6 iiber die gebrochenrationalen Funktionen).

Stellen, in denen eine Funktion zwar definiert ist, jedoch die Stetigkeitsbedingung (III-39) nicht erfiillt, heiBen Unstetigkeitsstellen. Wir definieren: Definition: Eine in XQ und in einer gewissen Umgebung von XQ definierte Funktion y = / ( x ) heiBt an der Stelle XQ tinstetig, wenn eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft: (1)

Der Grenzwert von /(x) an der Stelle XQ ist zwar vorhanden, jedoch vom Funktionswert /(XQ) verschieden: lim / M ^ / ( x o )

(III-40)

X - > Xo

(2)

Der Grenzwert von /(x) an der Stelle XQ ist nicht vorh'dndtn.

176

III Funktionen und Kurven

Anmerkung Wir weisen darauf hin, daB eine in XQ unstetige Funktion nach unserer Definition dort einen Funktionswert besitzt! In der mathematischen Literatur werden haufig auch Definitionsliicken als Unstetigkeitsstellen bezeichnet.

Beispiele (1)

Die in Bild III-45 dargestellte Funktion 1 0 1

y=fix) =

fiir

x0

ist in XQ = 0 unstetig, da der Grenzwert an dieser Stelle nicht existiert. Zwar sind links- und reclitsseitiger Grenzwert vorhanden, sie unterscheiden sich jedoch voneinander: Linksseitiger Grenzwert: Qi = lim

fix)

lim (-1) = x-^0 (x0)

Eine Unstetigkeit dieser Art bezeichnet man als Sprungunstetigkeit. In diesem Beispiel „springt" der Funktionswert von — 1 liber 0 nach + 1.

1

Bild III-45 Bin Beispiel fiir eine Funktion mit einer Sprungunstetigkeit in XQ = 0 (2)

Funktionen mit Sprungunstetigkeit en treten z.B. in der Elektrotechnik im Zusammenhang mit periodischen Impulsen auf. Der in Bild III-46 skizzierte „Sagezahnimpuls" besitzt an den Stellen T, 2 T, 3 T, ... jeweils eine Sprungunstetigkeit. An diesen Stellen fallt der Impuls von seinem Maximalwert y^ auf den Wert Null

4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion

T

177

2T

3T

t

Bild III-46 ,,Sagezahnimpuls" mit periodischen Sprungunstetigkeiten (3)

Die in der Regelungstechnik benotigte u=f{t):

0

fiir

^^ + 1

lim

f{x) =

(X+1)(X-1)

x^-1

=

y lim

X -\- 1

. ,, . (x — 1) = — 2

x^-1

Die Definitionslucke in XQ = — 1 kann durch die nachtrdgliche f(-l)=

lim

Festsetzung

-2

X + 11

behoben werden (man setzt Funktionswert = Grenzwert). Durch diese Abdnderung erhalten wir aus / ( x ) eine neue Funktion ^(x), die fiir alle x e IR definiert und stetig ist und sich als identisch erweist mit der linearen Funktion (Geraden) y = x - l (Bild III-49): 1

^W

X+ 1

=

X

1

X^ - 1 fiir x=

- 1

Bild III-49 1 Graph von y = ' 1 x^ X+1 nach Behebung der Definitionslucke xo = - 1

Aus dem letzten Beispiel ziehen wir eine wichtige Folgerung: Eine Definitionslucke XQ Idfit sich beheben, wenn der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist. Man setzt in diesem Fall /(xo)=

lim

fix)

X^Xo

und erhalt eine in XQ stetige Funktion.

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

179

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion Definition: Funktionen vom Typ /(x) = a„x" + a „ _ i x " " ^ + ... + 0) bzw. nach unten geoffnete Parabel (a < 0) Beispiele (1) (2)

I Die kinetische Energie ^kin = — mv^ eines Korpers der Masse m ist eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit v. Bei einer geradlinig gleichformig beschleunigten Bewegung ist der zuriickgelegte Weg s eine quadratische Funktion der Zeit t: 1 2 5" = — at + vot + So {a: Beschleunigung; 5*0 und ^o sind Anfangslage bzw. Anfangsgeschwindigkeit zu Beginn der Bewegung, d. h. zum Zeitpunkt t = 0)

III Funktionen und Kurven

184 Spezielle Formen einer Parabelgleichung

Sehr von Nutzen sind in den Anwendungen zwei spezielle Formen der Parabelgleichung. Es handelt sich dabei um die Produkt- bzw. Scheitelpunktsform.

Prodiiktform einer Parabel (Bild 111-56) y^ - ax-^ + bx + c — a(x — x^){x --^ 2 )

(TII-49)

Schnittpunkte der Parabel mit der x -Achse (reelle Nullstellen)

Xi,X2:

Xj=X2

Bild III-56 Zur Produktform einer Parabel

Bild III-57 Doppelte Nullstelle einer Parabel (Beriihrungspunkt = Scheitelpunkt)

Anmerkungen (1)

Die linearen BQstsindtQilQ x — x^ und x ^2 in der Produktform (III-49) werden als Linearfakt or en bezeichnet.

(2)

Aus Symmetriegriinden liegt der Scheitelpunkt S immer genau in der Mine zwischen den beiden Nullstellen (vgl. hierzu auch Bild III-56).

(3)

Sonderfall: Fallen die beiden Nullstellen zusammen {x^ = X2, sog. doppelte Nullstelle), so liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse und ist zugleich Beriihrungspunkt (Bild III-57). Die Produktform besitzt dann die spezielle Form y = a{x — Xi) {x — Xi) = a{x — x^)^ Diese Gleichung ist ein Sonderfall der Scheitelpunktsform, die nachfolgenden Beispiele kennenlernen werden. Beispiele (1)

y = 2x^ -Sx Nullstellen:

+ 6 x^ = 1,

(Bild III-58) Xj = 3

Scheitelpunkt ( = Minimum): S = {2; —2) Produktform der Parabel: y = 2{x — l){x — 3)

(III-50) die wir im AnschluB an

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

185

y=2x^-8x*6

Bild III-58 Schaubild der Parabel y = 2x^ — d>x-\-6 S=(2r2)

(2)

}^ = - 0,5 X ^ - 2 X - 2 Nullstellen:

(Bild III-59)

x^ = X2 = — ^ {doppelte Nullstelle)

Scheitelpunkt ( = Maximum):

S = {— 2; 0)

Produktform der Parabel: y = — 0,5 (x + 2)^

Bild III-59 Schaubild der Parabel 7 = -0,5x^ - 2 x - 2 y=-0,5x^-2x-2

Scheitelpiinktsform einer Parabel (Bild III-60) y-y^=a{x-XQf XQ, J/Q"

(IIT-51)

Koordinaten des Scheitelpunktes S

Bild III-60 Zur Scheitelpunktsform einer Parabel

186

III Funktionen und Kurven Beispiele (1)

Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel y = 3x^ — 6x-\- 12? Wie lautet die Scheitelpunktsform dieser Parabel? Losung: Durch quadratische Ergdnzung erhalt man j ; = 3 x 2 - 6 x + 12 = 3 (x^ - 2x) + 12 = 3 (x^ - 2 x + 1 - 1) + 12 = = 3 (x^ - 2 x + 1) + 3 ( - 1 ) + 12 = 3 (x - 1)2 + 9

Scheitelpunktsform: Scheitelpunkt: (2)

j ; -- 9 = 3 (x — 1)^

S = {1;9)

Schiefer Wurf: Bin Korper wird zur Zeit t = 0 unter einem Winkel a gegen die Horizontale mit der Geschwindigkeit VQ schrag nach oben geworfen (Bild III-61). Die Gleichung der durchlaufenen Bahnkurve lautet dann in der Parameterform wie folgt: X = (VQ ' cos a) t

it>0) y = {vo • sin

(x)t--gt^'

Wir suchen die Gleichung der Wurfparabel in expliziter Form sowie Wurfweite W und Wurfhohe H fiir die speziellen Werte VQ = 20 m/s, a = 30° und g = lOm/s^.

Wurfparabel

Bild m-61 Wurfparabel beim schiefen Wurf

Losung: Parameterdarstellung: X = 17,3205 - • t s m m 10 ^-5

(t^Os)

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

187

Gleichung der Wurfparabel in expliziter Form: y = 0,5774x -

0,0167 ^ -x^ m

(x ^ 0 m)

NuUstellen: x^ = Om (Abwurfort),

X2 = 34,58 m

Der Scheitelpunkt S liegt aus Symmetriegriinden genau in der Mitte zwischen den beiden NuUstellen. Seine Koordinaten lauten daher: xo = ^^ 1"^^ = 17,29 m;

J/Q

= y{xo = 17,29 m) = 4,99 m

Wurfweite: W = X2 — x^ = 34,58 m Wurfhohe: H = yQ = 4,99 m

5.4 Polynomfunktionen hoheren Grades Quadratische Funktionen lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen in der Produktform y = a{x — Xi){x — X2) schreiben, wobei x^ und X2 die reellen NuUstellen der Parabel bedeuten. Gibt es fur Polynome hoheren Grades {n ^ 3) dhnliche Darstellungenl Diese Frage diirfen wir bejahen. Wir werden im folgenden zeigen, daB auch ganzrationale Funktionen 3., 4. und hoheren Grades in Form eines Produktes aus lauter Linearfaktoren darstellbar sind, sofern gewisse Voraussetzungen erfiillt sind. Die Eigenschaften von Polynomfunktionen n-ten Grades formulieren wir in den folgenden drei Satzen und belegen sie durch zahlreiche Beispiele. Abspaltung eines Linearfaktors Abspaltung eines Linearfaktors Besitzt die Polynomfunktion f{x) vom Grade n an der Stelle Xi eine Nullstelle, ist also f{xi) — 0, so ist die Funktion auch in der Form f(x)^{x^x,)^Mx)

(111-52)

darstellbar. Der Faktor (x — x^) heiBt Linearfaktor, / i (x) ist das sog. 1. reduzierte Polynom vom Grade n ~ 1,

Diese Art der Zerlegung einer Polynomfunktion wird auch als Abspaltung eines Linearfaktors bezeichnet.

188 •

III Funktionen und Kurven Beispiel y=f{x)

= x^ -2x^

-5x + 6

Durch Probieren findet man eine Nullstelle bei x^ = 1. Die Polynomfunktion ist daher in der Form y = / W = x^ - 2x^ -5x-\-6

= {x-l)

-fiix)

darstellbar, wobei das 1. reduzierte Polynom fi {x) eine quadratische Funktion ist. Durcii Polynomdivision erhalt man: A{x) =

{x^- 2 x 2 - 5 X + 6): (x - 1 ) ^ = x 2 - .X — 6 5x + 6 -(--x2 +

X)

6x + 6 - ( - 6x + 6) 0 IT gilt

y=f{^)

= x^ - 2 x ^ ' - 5x + 6 =

•• ( x

-- l ) - ( x 2

6)

Nullstellen einer Polynomfunktion Ober die Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion n-ten Grades gibt der folgende fundamentale Satz aus der Algebra AufschluB (ohne Beweis): Nullstellen einer Polynomfunktion Eine Polynomfunktion ?t-ten Grades besitzt hochstens n (reelle) Nullstellen.

Anmerkung Mehrfach auftretende Nullstellen werden entsprechend oft mitgezahlt (siehe hierzu das nachfolgende Beispiel (2)). •

Beispiele (1)

3; = / ( x ) = x ^ - 2 x ^ - 5 x 4 - 6 ,

n=3

Drei (reelle) Nullstellen inxj^ = —2, X2 — 1 und (2)

X3 = 3.

y =f{x) = x^ -{- 0,1 x^ - 4,81 x - 4,225, n = 3 Drei (reelle) Nullstellen bei Xj^ = X2 — ^ 1,3 {doppelte Nullstelle) und X3 = 2,5.

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

189

(3)

Die Polynomfunktion y = f (x) = x^ — x-^ -\- 4x ~ 4 ist vom Grade 3, besitzt jedoch nur eine reelle Nullstelle in x^ = 1 (die beiden iibrigen Nullstellen sind konjugiert komplex).

(4)

Die Funktion y = f (x) = x^ + 1 liefert ein einfaches Beispiel fiir eine Polynomfunktion 2. Grades ohne reelle Nullstellen.

Produktdarstellung einer Polynomfunktion Aus den als bekannt vorausgesetzten (reellen) Nullstellen einer Polynomfunktion laBt sich ahnlich wie bei einer Parabel eine spezielle Darstellungsform der Funktion gewinnen, die als Produktdarstellung oder Produktform bezeichnet wird: Produktdarstellung einer Polynomfunktion Besitzt eine Polynomfunktion n-ten Grades genau n (reelle) Nullstellen la6t sich die Funktion auch in Form eines Produktes wie folgt darstellen: /(x) = a^x" + a„„i x"^ -^ + ... + aj X + ^0 = - a,^(x -x^){x-

X2) ... (x-x^)

(111-53)

Die n Faktoren X "" Xi , X ~~ X 9 , ... 5 X — X„ werden als Linear faktoren der Produktdarstellung bezeichnet.

Anmerkungen (1) Die Produktdarstellung (III-53) wird auch als Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren bezeichnet. (2)

Den Koeffizienten a„ in der Produktform (III-53) nicht vergessen!

(3)

Bei einer doppelten Nullstelle tritt der zugehorige Linesid^ktov doppelt, bei einer dreifachen Nullstelle dreifach auf usw. (vgl. hierzu die nachfolgenden Beispiele (2) und (4)).

(4)

Ist die Anzahl k der (reellen) Nullstellen {inklusive der entsprechend oft gezahlten mehrfachen Nullstellen) kleiner als der Polynomgrad n, so besitzt die Produktdarstellung die folgende spezielle Form: fix) = a„ (x - xi) (x - X2) ... (x - Xfc) • / * (x)

(III-54)

Dabei ist / * (x) eine Polynomfunktion vom Grade n — k ohne (reelle) Nullstellen (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (5)).

190 •

III Funktionen und Kurven Beispiele (1)

y=f{x)

= 2x^ +

lx-22

Nullstellen: x^ = 2, X2 = — 5,5 Produktdarstellung: y = 2{x — 2){x -\- 5,5) (2)

y=f

(x) = 3 x^+ 3

x^-3x-3

Nullstellen: x^ = — 1 {doppelte Nullstelle), ^2 = 1 Produktdarstellung: j; = 3 (x + 1) (x + 1) (x - 1) = 3 (x + 1)^ (x - 1) (3)

Die NuUstellenberechnung der Funktion y = x^ — 13x^4-36 fiihrt zu der bi-quadratischen Gleichung x'^-13x^ + 3 6 - 0 die durch die Substitution z = x^ gelost wird: z 2 - 1 3 z + 36 = 0 X X

= Zi

^= 4

=^

=> z i = 4 , Xi

2

Z2 = 9

^2 ^^ — --^

^^^ Z,

XT

J,

XA

^^ — 3

Das Polynom besitzt demnach vier verschiedene reelle Nullstellen bei x^ = 2 , X 2 = — 2 , X3 = 3 und x^ = — 3. Die Produktdarstellung lautet daher: j; = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3) (4)

Fine Polynomfunktion 3. Grades besitze in x^ = — 5 eine doppelte und in X2 = 8 eine einfache Nullstelle und schneide die y-Achse bei y{0) = 100. Wie lautet die Gleichung der Funktion? Losung: Ansatz der Funktion in der Produktform: j; = a (x + 5) (x + 5) (x - 8) = a (x + 5)^ (x - 8) Der Koeffizient a wird aus dem Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmt: j;(0) = 100

=> 100 = a - 5 ^ - ( - 8 ) = -200fl

=> a = - 0,5

Die gesuchte Funktion besitzt damit die Funktionsgleichung y= - 0 , 5 ( x + 5 ) 2 ( x - 8 ) = - 0 , 5 x ^ - x^ + 27,5x + 100 (5)

Die Polynomfunktion j; = 2x^ — 6x^ + 2x — 6 besitzt nur eine einfache (reelle) Nullstelle bei x^ = 3. Ihre Produktdarstellung lautet daher wie folgt: y=

2{x-3)-f*ix)

/ * ( x ) ist dabei eine Polynomfunktion 2. Grades ohne (reelle) Nullstellen. Durch Polynomdivision findet man / * ( x ) = x^ + 1. Somit gilt: y = 2x^ - 6x^ + 2 x - 6 = 2 ( x - 3)(x^ + 1)

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

191

5.5 Horner-Schema und NuUstellenberechnung einer Polynomfunktion Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, das bei der Losung der folgenden Aufgaben wertvolle Dienste leistet: — Berechnung der Funktionswerte einer Polynomfunktion — NuUstellenberechnung Polynomgrades

einer Polynomfunktion durch schrittweise Reduzierung

des

Wir wollen das Verfahren am Beispiel einer Polynomfunktion 3. Grades kurz erlautern. Dividiert man die Funktion f (x) = a^, x^ -\- a2X^ + a-^x -\- UQ durch die lineare Funktion X — XQ, wobei XQ ein zunachst beliebiger, dann aber fester Wert ist, so erhalt man eine Polynomfunktion 2. Grades und eine Restfunktion r{x)\ ao x^ + ao x^ + ai X + ao

fix) X

X

XQ

,

o

XQ

Die Koeffizienten h2, ^ i , ^o ^i^^ dabei eindeutig durch die Polynomkoeffizienten und den Wert XQ bestimmt, wie eine hier nicht durchgefiihrte Rechnung zeigt: 9

b2 = a^, Die Restfunktion

hi = a2 -\- a^ XQ,

h^ = a^ -\- ^2 XQ + a^ XQ

(III-56)

r (x) ist echt gehrochen und von der Form

/ X ^ gp + ^1 XQ + (22 -^0 + 'o I/I [^0? -^j] [XQ,

yi

Xi, X2]

[Xi,X2]

r)

yi

[""^0' -^1? ^2> -^3]

[•^1? ^2-> -^3]

K

f) [^2.->^3]

K

y?>

K yn

Anleitung zum Steigungs- oder Differenzenschema Die im Rechenschema gebildeten GroBen [XQ, X^], [XQ, XJ^, X2], [XQ, X^^, X2, X3], ... heiBen dividierte Differenzen L, 2., J., ... Ordnung. Sie sind wie folgt definiert: (1)

Spalte I enthalt die dividierten Differenzen 1. Ordnung, die aus zwei aufeinanderfolgenden Stutzpunkten gebildet werden^^: [XQ,

Xi] —

[xi, X2] =

3^0-.Vi X Q — Xi

yi

-yi

(III-63)

4) Es handelt sich um Differenzenquotienten, d.h. Steigungswerte. Dies erklart auch die Bezeichnung des

Rechenschemas.

198 (2)

III Funktionen und Kurven Spalte II enthalt die dividierten Differenzen 2. Ordnung. Sie werden aus drei aufeinanderfolgenden Stiitzpunkten gebildet: [XQ,

Xi, X2\ — XQ

[xi, X2, X3] =

(3)

— X2

(III-64)

^1 ~ ^3

Spalte III enthalt die dividierten Differ enzen 3. Ordnung, die aus vier aufeinanderfolgenden Stiitzpunkten gebildet werden: r [XQ,

X|,

1 _ [^0' ^ 1 ' -^2] ~ [ ^ 1 ' ^ 2 ' ^ 3 ] X2, X3J — XQ — X3

[X„ X2, X„ X4] = [^1' ^ 2 . ^3] - [ ^ 2 , ^ 3 . ^4] Xj[

—

^jjj.g5)

X^

Entsprechend werden die dividierten Differenzen hoherer Ordnung gebildet. Wir fassen zusammen: Interpolationspolynom von Newton (Bild 111-62) Das Newtonsche Interpolationspolynom n-ten Grades durch n + \ vorgegebene Stiitzpunkte PQ - (XQ; ^Q), P^ - (x^; y^), P2 = (X2; >'2), ... , Pn = i^nl >n) lautet wie folgt: y == aQ + ai (x — + ^ 3 (x —

XQ)

XQ) (X

+ ^2 (X — —

X|)

(X

XQ) (X

— x^) +

— X2) + . . .

... + a„ (x — XQ) (X — X|) (X — X2) ... (x — x„_ 1)

(III-66)

Die Berechnung der Koeffizienten ^Q, a^, a2, ..., a„ erfolgt dabei zweckmaBigerweise nach dem Steigungs- oder Differenzenschema.

Anmerkungen (1) Die Interpolationsformel von Newton besitzt gegeniiber anderen Polynomansatzen den groBen Vorteil, daB die Anzahl der Stiitzpunkte vergrofiert (oder auch verkleinert) werden kann, ohne daB man die Koeffizienten neu berechnen muB. Das Steigungs- oder Differenzenschema ist nur entsprechend zu ergdnzen.

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

199

(2)

Bin Nachteil aller Polynomansatze ist die ,,Welligkeif' der Naherungsfunktionen. Denn ein Polynom n-ten Grades besitzt bis zu n — 1 relative Extremwerte.

(3)

Die Newtonsche Interpolationsformel (111-66) wird haufig auch dann angewendet, wenn die Funktionsgleichung zwar bekannt, jedoch zu kompliziert ist. Man berechnet dann einige Kurvenpunkte und nimmt diese als Stiitzpunkte des Interpolationspolynoms. Beispiel Das Ergebnis einer MeBreihe liege in Flarm der folgenden Wertetabelle vor: k

0

1

2

3

^k

0

2

5

7

-12

16

28

-54

yk

Der Losungsansatz lautet (das Interpolationspolynom durch die vier vergegebenen Stiitzpunkte ist von hochstens 3. Grade): y=

UQ

-{- a^ix --

XQ)

+ a2(X —

XQ) {X

Die Berechnung der Koeffizienten Steigungs- oder Differenzenschema: k

^k

0

0

1

2

XQ) {X

— x^) {x — X2)

und a 3 erfolgt nach dem folgenden II

I

yk

— x^) + a^ix —

III

y^Q

-12 X

/ I

16 < ;

>

14 \ >

> 2

5 7

-54

>




-9

- 1/

a3

y-

/

Die Koeffizienten lauten somit: ao = — 12, a^ = 14, a2 = — 2, a3 = — 1 Damit erhalten wir das folgende Interpolationspolynom'. j; = - 12 + 14 (x - 0) - 2 (x - 0) (x - 2) - 1 (x - 0) (x - 2) (x - 5) = - x ^ + 5x^ + 8 x - 12

III Funktionen und Kurven

200

5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens Wir wenden uns einem einfachen Beispiel aus der Festigkeitslehre zu: Ein homogener Balken der Lange / mit konstanter Querschnittsflache wird einseitig fest eingespannt und am freien Ende durch eine Kraft F Siuf Biegung beansprucht (Bild III-63):

Bild III-63 Biegelinie eines einseitig eingespannten Balkens, der am freien Ende durch eine Kraft F belastet wird

Die Durchbiegung y des Balkens ist dabei von Ort zu Ort (x) verschieden, d.h. eine Funktion y = y (x) der Ortskoordinate x. Man bezeichnet diese Funktion als Biegelinie oder elastische Linie. Sie ist die Funktionsgleichung der neutralen Faser. In unserem Beispiel wird die Biegelinie durch die folgende Polynomfunktion 3. Grades beschrieben: y = y{x)=^

2EI

Ix^

X3

(0 ^ X ^ /)

(III-67)

{E: Elastizitatsmodul; 7: Flachenmoment des Balkenquerschnitts). In den Anwendungen der Differentialrechnung (Kap. IV) und der Integralrechnung (Kap. V) kommen wir auf dieses Beispiel nochmals zuriick.

6 Gebrochenrationale Funktionen 6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion Definition: Funktionen, die als Quotient zweier Polynomfunktionen (ganzrationaler Funktionen) g{x) und h{x) darstellbar sind, lieiBen gebrochenrationale Funktionen: h{x)

+ a„ iX^ ^ + ... + (2|X + ^Q h^x"" + ^ „ _ i x ' ' ~ ^ + . . . + 6 i x + ^0

(IIF68)

6 Gebrochenrationale Funktionen

201

Eine gebrochenrationale Funktion ist fiir jedes x e IR definiert mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms. Man unterscheidet noch zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen: n > m: Echt gebrochenrationale Funktion n ^m: Unecht gebrochenrationale Funktion Merkregel: Ist der Polynomgrad im Nenner grofier als im Zahler, so ist die Funktion echt gebrochenrational, in alien anderen Fallen jedoch unecht gebrochenrational.

Beispiele (1)

Zu den echt gebrochenrationalen Funktionen zahlen alle Potenzfunktionen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten: 1 1 1 Die ersten Vertreter sind die Funktionen y — - und y — —ir. X^

X

(2)

Echt gebrochenrational sind auch folgende Funktionen (die hochste Potenz tritt jeweils im Nennerpolynom auf): x^-3x + 2 y = -^—; x^-Ax^l

(3)

x-1 y^T—v-^^^^r-^-^^ (x + 2)(x + 5)

4x y=^- x ^ - 1

Unecht gebrochenrationale Funktionen sind dagegen: x^-1 y = —rx^ + 1 y=

(Zahler- und Nennerpolynom besitzen den gleichen Grad)

4^4- _ 2x + 5 • —- (Das Zahlerpolynom ist von hoherem Grade) x^ — 3x — 10

6.2 Nullstellen, Definitionsliicken, Pole Eine gebrochenrationale Funktion besitzt iiberall dort eine Nullstelle XQ , wo das Zahlerpolynom g{x) den Wert Null, das Nennerpolynom h{x) jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt: Nullstelle

XQ:

^(XQ) —0

und

/Z(XQ)

#: 0

(III-69)

III Funktionen und Kurven

202

Beispiel Wir berechnen die NuUstellen der Funktion y •

x^ + 1

= 0

1 =0

^1/2

x^ + 1 +1

(der Nenner x^ + 1 ist fiir jedes x ungleich Null). Sie liegen an den Stellen x^ = 1 und X2 = — 1.

In den NuUstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert, da die Division durch die Zahl Null nicht erlaubt ist. Stellen dieser Art werden daher folgerichtig als Definitionslucken der Funktion bezeichnet. Eine gebrochenrationale Funktion vom Typ (III-68) besitzt daher hochstens n Definitionslucken. So ist beispielsweise die echt gebrochenrationale Funktion y = 1/x an der Stelle XQ = 0 nicht definiert. In der unmittelbaren Umgebung dieser Stelle zeigt die Funktion jedoch ein charakteristisches Verhalten: Bei Annaherung von der linken Seite her werden die Funktionswerte kleiner als jede noch so kleine Zahl, bei Annaherung von rechts her wachsen die Funktionswerte uhQic jede Grenze hinaus (Bild III-64). Definitionslucken dieser Art werden als Pole oder Unendlichkeitsstellen bezeichnet.

Bild III-64 Funktionsgraph von y = l/x

Wir definieren daher: Definition: Stellen, in deren unmittelbarer Umgebung die Funktionswerte iiber alle Grenzen hinaus fallen oder wachsen, heiBen Pole oder Unendlichkeitsstellen der Funktion.

6 Gebrochenrationale Funktionen

203

Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind demnach Stellen, in denen das Nennerpolynom h (x) verschwindet, das Zdhlerpolynom g (x) jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt: Polstelle XQ : h (XQ) = 0

und

g (XQ) ^ 0

(III-70)

Die Funktionskurve schmiegt sich dabei asymptotisch an die in der Polstelle errichtete Parallele zur jz-Achse an (sog. senkrechte Asymptote, auch Polgerade genannt). Verhalt sich die Funktion bei der Annaherung von beiden Seiten her gleichartig, so liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vor. Es ist dann lim f{x)=

+ CO

oder

lim f{x) =

(III-71)

00

•• XQ

Bei einem Pol mit Vorzeichenwechsel fiihrt die Annaherung von rechts und links in entgegengesetzte Richtungen.

Beispiele (1)

1 Die Funktion y = - besitzt an der Stelle Xi = 0 einen Pol mit VorzeichenX

1 wechsel (Bild III-64), die Funktion y = —^ dagegen an der gleichen Stelle einen Pol ohne Vorzeichenwechsel (Bild III-65).

n

Bild III-65 Funktionsgraph von y = 1/x^

III Funktionen und Kurven

204

(2)

Die echt gebrochenrationale Funktion y ••

besitzt in x^ = 0 eine x^ -4 Nullstelle und in X2/3 = ± 2 jeweils einen Pol mit Vorzeichenwechsel (die Annaherung von links und rechts fiihrt jeweils in verschiedene Richtungen, vgl. hierzu Bild III-66).

Bild III-66 Funktionsgraph von y ••

Bin Sonderfall tritt ein, wenn Zahler- und Nennerpolynom gemeinsame Nullstellen besitzen. In diesem Falle verfahrt man so, daB man beide Polynome in Linearfaktoren zerlegt und gemeinsame Faktoren, soweit vorhanden, herauskurzt. Auf diese Weise konnen u. U. Definitionsliicken behoben und der Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Funktion damit erweitert werden (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel). Wir vereinbaren daher, bei der Bestimmung der Null- und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion wie folgt vorzugehen: Bestimmung der Null- und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion 1. Man zerlege zunachst Zahler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren und kurze (falls iiberhaupt vorhanden) gemeinsame Faktoren heraus. 2. Die im Zahler verbliebenen Linearfaktoren liefern dann die Nullstellen, die im Nenner verbliebenen Linearfaktoren die Polstellen der gebrochenrationalen Funktion.

6 Gebrochenrationale Funktionen

205

Beispiel 2x^ + lx^ - 3 2 x + 40 13 X + 10

+ 2x'

Zahler- und Nennerpolynom dieser unecht gebrochenrationalen Funktion warden zunachst in Linearfaktoren zerlegt (Horner-Schema verwenden), gemeinsame Linearfaktoren anschlieBend herausgekiirzt: ^

2x^ + 2x^ - 32x + 40 x^ + 2x^ 13x + 10 2 (x - 2)

2{x - 2Y {x + 5) ( x - l ) ( x - 2 ) ( x + 5)

(x/1,2, -5)

{x^\)

Die urspriinglich vorhandenen Definitionsliicken an den Stellen x = 2 und X = — 5 wurden somit behobenl Die „neue" Funktion besitzt jetzt nur noch eine Definitionsliicke bei x = 1. Die verbliebenen Linearfaktoren des Zahlers liefern dann die Nullstellen, die des Nenners die Polstellen der Funktion: Nullstelle: x^ = 2 Polstelle:

X2 = 1

(Pol mit Vorzeichenwechsel)

2(x-2) In Bild III-67 ist der Verlauf der „neuen" Funktion y = skizziert. Sie beX— 1 sitzt nur noch eine Definitionsliicke (Polstelle) bei X2 = 1.

Bild III-67 2 (x - 2) Funktionsgraph von y •• x-1

206

III Funktionen und Kurven

6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen Eine echt gebrochenrationale Funktion nahert sich fiir groBe x-Werte stets asymptotisch der x-Achse, da das Nennerpolynom infolge des hoheren Grades schneller wachst als das Zahlerpolynom. Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen, d.h. fiir x—• ± oo lautet daher y = 0 (x-Achse). •

Beispiele Die echt gebrochenrationalen Funktionen III-65) und V =

X

^ x^ - 4

1 1 y = - (Bild III-64), y = -^^ (Bild

(Bild III-66) nahern sich fiir x —• + oo asymptotisch

der x-Achse.

Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion / (x) muB man wie folgt verfahren, um ihr Verhalten im Unendlichen beurteilen zu konnen: Zunachst wird die unecht gebrochene Funktion /(x) durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) p{x) und eine echt gebrochene Funktion r{x) zerlegt: f{x) = pix) + r{x)

(III-72)

Diese Zerlegung ist stets moglich und eindeutig! Fiir x —*- ± oo verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil der Zerlegung und die gegebene Funktion zeigt daher in diesem Bereich ein dhnliches Verhalten wie die Polynomfunktion p{x). Diese ist somit Asymptote im Unendlichen. Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts wie folgt zusammen: Bestimmung der Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen 1. Jede echt gebrochenrationale Funktion nahert sich fiir x—^ ± oo heUehig der x-Achse, Daher ist 3; = 0 die Gleichung ihrer Asymptote im Unendlichen. 2. Eine unecht gebrochenrationale Funktion y = f{x) wird zunachst durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) p(x) und eine echt gebrochenrationale Funktion r(x) zerlegt: /(x) = p(x) + r(x)

(III-73)

Fiir X —^ + 00 strebt r (x) —^ 0 und die unecht gebrochene Funktion / (x) nahert sich asymptotisch der Polynomfunktion /7(x), d.h. y = pix) ist die Gleichung ihrer Asymptote im Unendlichen.

6 Gebrochenrationale Funktionen

207

Anmerkung Die Kurve y = f{x) = p (x) + r (x) schneidet ihre Asymptote y — p{x) iiberall dort, wo die Restfunktion r {x) verschwindet. Diese Schnittpunkte werden somit aus der Gleichung r{x) = 0 berechnet. •

Beispiel 0,5jt:^ - l^Sx + 1 y = ——2 T^ :^— X

~|

J X

i~ ZJ

{unecht gebrochenrationale Funktion)

Zahler- und Nennerpolynom werden in Linearfaktoren zerlegt, gemeinsame Faktoren herausgekiirzt: ^ 0,5^3 - l,5x + 1 ^ 0,5(x - 1)2 (x + 2) ^ A:2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

^=

0,5 (X - 1)2

0,5X2 _;|; + 0,5

x +1 =—^n—

,

,

_ ^^ ^

'

^

,,

(" ^ -'^

Nullstellen: Xi/2 = 1 (doppelte NuUstelle, d. h. Berilhrungspunkt und zugleich Extremwert) Polstelle: X3 = — 1 (Pol mzY Vorzeichenwechsel) Die ursprtingliche Definitionsliicke bei x = ~2 wurde behoben, die in ihrem Definitionsbereich nachtrdglich erweiterte Funktion besitzt damit nur noch eine einzige Definitionsliicke an der Stelle x — —1 (Pol mit Vorzeichenwechsel). Wir zerlegen nun die unecht gebrochene Funktion durch Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil: y = (0,5x2 _

^ _^ Q^5^J : (x + 1) = 0,5x - 1,5 +

— ^

- l,5x + 0,5 -(-l,5x-l,5) 2 Somit gilt: -^

Q,5(x-1)2 X + 1

0,5x2 _ ^ ^ 0^5 X+ 1

2 x + 1

Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen lautet daher: y = 0,5 X - 1,5 Kurve und Asymptote besitzen keine Schnittpunkte, da die Restfunktion 2 r(x) = nirgends verschwindet. In Bild III-68 ist der Funktionsverlauf graphisch dargestellt.

III Funktionen und Kurven

208

Bild III-68 Funktionsgraph von 0,5 (x - if y-

X+ 1

6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazitat eines Kugelkondensators Wir betrachten einen aus zwei konzentrischen, leitenden Kugelschalen mit den Radien ri und r2 bestehenden Kugelkondensator (r^ 0,

= f{x) - X « -

Vx^

m e Z, n e N ' ^ .

m/n

(III-85)

214

III Funktionen und Kurven

Die Potenzfunktion y = x^l^ ist also definitionsgemaB die n-te Wurzel aus der Potenz x^. Man beachte, daB diese Funktion zunachst nur fur x > 0 erklart ist. Fiir positive Exponenten laBt sich jedoch der Definitionsbereich auf das Intervall x ^ 0 erweitern. Die Wurzelfunktionen _y = v x (x ^ 0) sind auch als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten wie folgt darstellbar: y = \/ X = \/ X

,1/n

(III-86)

(x^O)

Anmerkungen (1) T)er Bcgriff der Potenzfunktion IsiQt sich 3.uch a,uf reelle ExponQntQn a ausdehnen. Man setzt in diesem Falle r^a • In X Jnx"^ (x>0) (III-87) y = x^ Dies erklart auch, warum der Definitionsbereich einer allgemeinen Potenzfunktion auf das Intervall x > 0 beschrankt werden muB ^\

(2)

Die Potenzfunktionen sind fur positive Exponenten streng monoton wachsend, fiir negative Exponenten dagegen streng monoton fallend (vgl. hierzu auch die beiden nachfolgenden Beispiele). Beispiele (1)

Die fiir x ^ 0 definierte streng monoton wachsende Potenzfunktion

x'/? besitzt den in Bild III-77 dargestellten Verlauf. /«

^y=x

1/2

1 Bild III-77 Graph der Potenzfunktion y = x^/^ (x ^ 0)

5)

Bild III-78 Graph der Potenzfunktion

y = x~'^'^

Inx ist der ,,natiirliche Logarithmus'' von x und nur fiir x>0 wichtige Funktion ausfiihrlich behandelt.

(x>0)

definiert. In AbschniU 12 wird diese

8 Algebraische Funktionen (2)

215

Die fiir x > 0 erklarte und streng monoton fallende Potenzfunktion

ist in Bild III-78 graphisch dargestellt.

7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld Ein Elektron erfahrt in einem elektrischen Feld der konstanten Feldstarke E die Kraft F = eE entgegen der Feldrichtung {e: Elementarladung). Es wird daher beschleunigt und nimmt dabei kinetische Energie auf. Die vom Feld verrichtete Arbeit betragt W = ell, wobei U die vom Elektron durchlaufene Spannung ist. Nach dem Energiesatz gilt dann: -moV^

= eU

(III-88)

(mo: Ruhemasse des Elektrons; v: Geschwindigkeit des Elektrons). Das Elektron erreicht damit nach Durchlaufen der Spannung U die Endgeschwindigkeit 2-^U= 2-^-Ju ^ const'Ju (III-89) y mo V mo ^ ^ ^ ^ Die GroBen v und U sind demnach iiber eine Wurzelfunktion miteinander verkniipft. v=

8 Algebraische Funktionen 8.1 Definition einer algebraischen Funktion Algebraische Funktionen sind Losungen einer algebraischen Gleichung n-ten Grades^^ in der Variablen y vom allgemeinen Typ ^« W • }^" + a„_ 1 (x) • j ; " " ^ + ... + ^1 (x) • 3^ + ao(x) = 0

(III-90)

Die in dieser Gleichung auftretenden Koeffizientenfunktionen aj^{x) mit /c = 0,1, ..., n sind dabei irgendwelche Polynome der Variablen x.

Algebraisch heiBt eine Gleichung, wenn die in ihr auftretenden GroBen ausschliefilich durch die vier Grundrechenoperationen miteinander verkniipft sind.

216

III Funktionen und Kurven

Definition: Jede Funktion, die als Losung einer algehraischen Gleichung vom Typ (III-90) auftritt, heiBt eine algebraische Funktion.

Zu den algehraischen Funktionen zahlen beispielsweise die ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) und die gebrochenrationalen Funktionen. Sie werden unter dem Begriff rationale Funktionen zusammengefaBt.

Beispiele (1)

Die Losung der algehraischen Gleichung 1. Grades 2y -^4x^ - 3 x - 10 = 0 ist die ganzrationale Funktion y = -2x^

(2)

+ l,5x + 5

Durch Auflosen der algehraischen Gleichung 1. Grades {x^ -^1) y-2x

=0

nach der Variablen y erhalt man die gehrochenrationale Funktion 2x r2

+1

Neben den rationalen Funktionen konnen beispielsweise auch Wurzelfunktionen als Losungen einer algehraischen Gleichung auftreten, wie das folgende Beispiel zeigen wird.

Beispiel Durch Auflosen der algehraischen Gleichung 2. Grades y-^ — x = 0 nach y erhalt man die beiden Wurzelfunktionen y = ± v x, x ^ 0.

Alle nicht-rationalen Funktionen, die als Losungen einer algehraischen Gleichung auftreten, werden als irrationale algehraische Funktionen bezeichnet. Zu ihnen gehoren u. a. die Wurzelfunktionen y = v x und die Potenzfunktionen y = x'"/", aber auch Funktionen, die man beispielsweise durch Auflosung einer Kegelschnittgleichung erhalt ^\ 7)

Zu den Kegelschnitten zahlen: Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. Sie werden im folgenden Abschnitt 8.2 ausfiihrlich behandelt.

8 Algebraische Funktionen

217

8.2 Gleichungen der Kegelschnitte 8.2.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten Die durch Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene entstehenden (ebenen) Kurven werden unter der Bezeichnung Kegelschnitte zusammengefaBt. Zu ihnen gehoren Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. Ihre Definitionsgleichungen sind algebraische Gleichungen 2. Grades vom allgemeinen Typ Ax^ + By^ + Cx + Dy -{- E = 0

{A^ + B^ ^ 0)

(III-91)

wobei die Symmetrieachsen der Kegelschnitte parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Uber die Art und Eage des Kegelschnittes entscheiden ausschheBhch die konstanten Koeffizienten A, B, C, D und E in der Gleichung (III-91). Im einzelnen gilt dabei (sog. Entartungsfdlle eingeschlossen): Kriterium zur Feststellung der Art eines Kegelschnittes Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel) mit achsenparallelen Symmetrieachsen lassen sich in einem kartesischen x, }^-Koordinatensystem durch algebraische Gleichungen 2. Grades vom Typ Ax^ + By^ + Cx ^ Dy + E = 0

{A^ + B^ ^ 0)

(III-92)

beschreiben, wobei die konstanten Koeffizienten dieser Gleichung wie folgt iiber die Art eines Kegelschnittes entscheiden: Kreis:

A = B

Ellipse:

A - B > 0,

A y^ B

Hyperbel: A - B < 0 Parabel:

A = 0,

B ^ 0 oder

B = 0,

A y^ 0

Anmerkung Bei gleichem Vorzeichen der Koeffizienten A und B handelt es sich also um eine Ellipse (im Sonderfall A — B um einen Kreis), bei unterschiedlichem Vorzeichen dagegen um eine Hyperbel. Eine Parabel Hegt immer dann vor, wenn einer der beiden Koeffizienten verschwindet (nur ein quadratisches Glied). In den folgenden Abschnitten geben wir zunachst einen kurzen Uberblick iiber die Gleichungen der einzelnen Kegelschnitte (Mittelpunktsgleichung bzw. Scheitelgleichung, Hauptform, Funktionsgleichungen). Dann zeigen wir anhand von konkreten Beispielen, wie man Art und Lage eines Kegelschnittes bestimmt. Zusatzhche Informationen iiber die Kegelschnitte findet der Leser in der Mathematischen Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler.

218

III Funktionen und Kurven

8.2.2 Gleichungen eines Kreises Der Kreis ist definitionsgemaB der geometrische Ort aller (ebenen) Punkte P, die von Qinorn festen Funkt, dcm Kreismittelpunkt M, den gleichen AhstSind r (Radius gQusinnt) besitzen(BildIII-79): (III-93)

MP = const. = r

Bild III-79 Zur geometrischen Definition eines Kreises

Gleichungen eines Kreises M: Mittelpunkt des Kreises; r: Radius Mittelpunktsgleichung (Bild 111-80): M = (0;0)

:^2^y2^^2 3; = ±-s/r^ — x^

(III-94) (111-95)

(—r^x^r)

(Oberer und unterer Halbkreis) Hauptform der Kreis gleichung (Bild 111-81):

(x-xo)^+{y~yo)^ y==yo±

= r^

\l^^ - (^ - ^ 0 ) ^

M= (•>^o-- r < X ^

(III-96) XQ

+ r)

(III-97)

(Oberer und unterer Halbkreis)

Anmerkungen (1) Der Mittelpunktskreis wird auch als Ursprungskreis bezeichnet. (2)

Jede durch den Mittelpunkt M gehende Gerade (Durchmesser) ist zugleich auch Symmetrieachse.

Algebraische Funktionen (3)

219

Der verschobene Kreis laBt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf den Mittelpunktskreis zumckfiihren. Als neuen Koordinatenursprung wahlt man dabei den Kreismittelpunkt M. In Bild III-81 sind die neuen Koordinatenachsen durch Strichelung angedeutet.

Bild III-80 Mittelpunktskreis

Bild III-81 Zur Hauptform der Kreisgleichung (verschobener Kreis)

8.2.3 Gleichungen einer Ellipse Die Ellipse ist definitionsgemaB die Menge aller (ebenen) Punkte P, fur die die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten, den sog. Brennpunkten F^ und F2, konstant ist (Bild III-82): (III-98)

Fi P + F2 P = const. - 2 ( 2

Bild III-82 Zur geometrischen Definition einer Ellipse

Bezeichnungen

(Bild III-82):

M:

Mittelpunkt

Fi, F2'

Brennpunkte

a:

GroBe Halbachse

b:

Kleine Halbachse

e:

Brennweite

a^2 = e^2 + b^

III Funktionen und Kurven

220

Gleichungen einer Ellipse M: Mittelpunkt; a: GroBe Halbachse; h: Kleine Halbachse Mittelpunktsgleichung {Bild 111-83)'. 1

r

+:L^^i u

Oder .._.

v = + - \/ci^ — x^ a

b^x^ + a^y^ ^ a^h^

M = (0; 0)

(III-99) (IIWOO)

{— a ^ X ^ a)

(Oberer und unterer Teil der Ellipse) Hauptform der Ellipse ngleichung {Bild 111-84): 5—+ 71 ""^ a^ b^ b y ^ >'o ± ~~ v ^ ^ — (x — XQ)^

(IIMOl)

M = {xo-yo) {XQ

— a^ X^

XQ

+ a)

(IIW02)

(Oberer und unterer Teil der Ellipse)

Bild III-83 Mittelpunktsellipse

Bild III-84 Zur Hauptform der Ellipsengleichung (verschobene Ellipse)

8 Algebraische Funktionen

221

Anmerkungen (1) Die Mittelpunktsellipse wird auch als Ursprungsellipse bezeichnet. (2)

Die durch den Mittelpunkt M gehenden Parallelen zu den Koordinatenachsen sind zugleich auch die (einzigen) Symmetrieachsen.

(3)

Die verschobene Ellipse laBt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf die Mittelpunktsellipse zuruckfiihren. Man wahlt dabei den Ellipsenmittelpunkt M als neuen Koordinatenursprung. In Bild III-84 sind die neuen Koordinatenachsen durch Strichelung angedeutet.

(4)

Fiir den Sonderfall a = b erhalt man einen Kreis mit dem Radius r = a.

(5)

Eine Ellipse laBt sich aus den vier Scheitelpunkten (Schnittpunkte mit den beiden Symmetrieachsen) leicht skizzieren.

8.2.4 Gleichungen einer Hyperbel Die Hyperbel ist die Menge aller (ebenen) Punkte P, fiir die die Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F^ und F2, konstant ist (Bild III-85): \F^P - F2PI = const. = 2a

(III-103)

\

Px

b-

Us, X^

M

e

a

A^i \

X

\

Bild III-85 Zur geometrischen Definition einer Hyperbel

Bezeichnungen {Bild III-85): M: FuF2: ^1^

a: b: e:

^2-

Mittelpunkt Brennpunkte Scheitelpunkte GroBe oder reelle Halbachse Kleine oder imaginare Halbachse Brennweite

a^ + b^

III Funktionen und Kurven

222

Gleichungen einer Hyperbel M: Mitteipunkt; a: GroBe (oder reelle) Halbachse; b: Kleine (oder imaginiire) Halbachse Mittelpunktsgleichung {Bild 111-86):

a

J— 1

t2

oder

h^ x^ ~~ a'^ y^ — a^ b^ \x\^a)

a

M = (0; 0)

(111-104) (IIM05)

(Oberer und unterer Teil der Hyperbel) (III-106)

Asvmptoten im Unendlichen: j = ± - x a Hauptform der Hyperbelgleichung {Bild 111-87): (X-XQ)^

iy~yo)^

y = >'o ± - \/(x ~

- 1

XQ)^

- a^

M - (xo; yo)

(IIM07)

(|x ~

(III-108)

XQI

^ a)

(Oberer und unterer Teil der Hyperbel) Asymptoten im Unendlichen: y ^ yQ ±- {x — XQ)

(III-109)

Bild III-86 Mittelpunktshyperbel

8 Algebraische Funktionen

223

Bild III-87 Zur Hauptform der Hyperbelgleichung (verschobene Hyperbel)

Anmerkungen (1)

Die Mittelpunktshyperbel wird auch als Ursprungshyperbel bezeichnet.

(2)

Die durch den Mittelpunkt M gehenden Parallelen zu den Koordinatenachsen sind zugleich auch die (einzigen) Symmetrieachsen.

(3)

Die verschobene Hyperbel laBt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf die Mittelpunktshyperbel zuriickfuhren. Neuer Koordinatenursprung wird dabei der Hyperbelmittelpunkt M. Die neuen Koordinatenachsen sind in Bild III-87 durch Strichelung angedeutet.

(4)

Im Sonderfall a = b stehen die beiden Asymptoten aufeinander senkrecht. Die Mittelpunktshyperbel besitzt dann die spezielle Gleichung y

1

Oder

y'

(III-llO)

und wird als rechtwinklige oder gleichseitige Hyperbel bezeichnet. Die Gleichungen der beiden Asymptoten lauten in diesem Sonderfall: y = ±x. (5)

Weil a eine geometrische Bedeutung hat {la ist der Abstand der beiden Scheitelpunkte), b dagegen keine, wird a auch als „reelle" und b als „iniaginare" Halbachse bezeichnet.

(6)

Der ungefahre Verlauf einer Hyperbel laBt sich aus den beiden Scheitelpunkten und den beiden Asymptoten leicht ermitteln.

III Funktionen und Kurven

224

8.2.5 Gleichungen einer Parabel Die Parabel ist als geometrischer Ort aller (ebenen) Punkte P definiert, die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt F, und einer festen Geraden, Leitlinie genannt, gleich weit entfernt sind (Bild III-88): (III-lll)

FP = AP Bezeichnungen {Bild III-88):

Parameter (der Betrag von p ist der Abstand zwischen Brennpunkt und Leitlinie) S: Scheitelpunkt der Parabel F: Brennpunkt (Brennweite: e =^ FS ^ \p\/2)

p:

Bild in-88 Zur geometrischen Definition einer Parabel

Gleichungen einer Parabel S: Scheitelpunkt; p: Parameter Scheitelgleichung {Bild 111-89): y^ = 2px

(III-112)

S = (0;0)

p > 0: Parabel ist nach rechts geoffnet (Bild III-89) y — ± \/2px

[x ^ 0)

(III-113)

/? < 0: Parabel ist nach links geoffnet y ^ ± yjlpx

(ITI-114)

[x ^ 0)

Hauptform der Parahelgleichung {Bild 111-90): {y - yo)^ = 2p{x - xo)

S = {xo; yo)

(III-115)

p > 0: Parabel ist nach rechts geoffnet (Bild III-90)

y = y0 ± y2p {x - Xo)

{x > Xo)

(111-116)

p < 0: Parabel ist nach links geoffnet y = yo ± y2p{x

- xo)

{x ^ XQ)

(111-117)

8 Algebraische Funktionen

225

Bild III-90 Zur Hauptform der Parabelgleichung (verschobene Parabel)

Bild III-89 Zur Scheitelgleichung der Parabel Anmerkungen (1)

Die nach oben bzw. unten geoffneten Parabeln wurden bereits im Zusammenhang mit den Polynomfunktionen in Abschnitt 5.3 ausfiihrlich behandelt.

(2)

Die durch den Scheitelpunkt S gehende Parallele zur x-Achse ist zugleich auch (die einzige) Symmetrieachse.

(3)

Die Hauptform (bei einer verschobenen Parabel) laBt sich stets durch eine Koordinatentransformation (Parallelverschiebung des Koordinatensystems) auf die Scheitelgleichung zuruckfiihren. Man wahlt dabei den Scheitelpunkt S als neuen Koordinatenursprung. Die neuen Koordinatenachsen sind in Bild III-90 durch Strichelung angedeutet.

(4)

Der ungefdhre Verlauf einer Parabel mit der Scheitelgleichung y^ = Ipx sich aus den folgenden fiinf Parabelpunkten leicht ermitteln: Pi = 5 = (0; 0),

P:2/3

(f^-")

4/5

(2/7; ±2p)

laBt

(III-118)

8.2.6 Beispiele zu den Kegelschnitten Bei der Feststellung der Art und Lage eines Kegelschnittes, dessen Gleichung in der allgemeinen Form (III-91) vorliegt, gehen wir schrittweise wie folgt vor: 1. Zunachst bestimmen wir anhand des in Abschnitt 8.2.1 beschriebenen Kriteriums aus den bekannten Koeffizienten der Kegelschnittgleichung die Art des vorliegenden Kegelschnittes (z. B. Kreis oder Ellipse). 2. Dann wird die Lage des Kegelschnittes ermittelt, indem man die von x bzw. y abhangigen Terme in der Kegelschnittgleichung — jeweils fUr sich getrennt — quadratisch ergdnzt und die Kegelschnittgleichung schlieBlich auf die entsprechende Hauptform bringt, aus der sich die Lageparameter und alle weiteren benotigten GroBen sofort ablesen lassen.

III Funktionen und Kurven

226 Beispiele

Hinweis: Ein unverschobener Kegelschnitt liegt genau dann vor, wenn die Kegelschnittgleichung keine linearen Glieder enthalt. Bei nur einem linearen Glied ist der Kegelschnitt in der entsprechenden Koordinatenrichtung verschoben (z. B. bei einem linearen x-Glied in Richtung der x-Achse), sind beide Glieder vorhanden, so ist der Kegelschnitt in beiden Koordinatenrichungen verschoben. (1)

Die algebraische Gleichung 2x^ - 6x + 2y2 + Ay = 11,5 reprasentiert wegen A = 5 = 2 einen Kreis. Wegen der vorhandenen linearen Glieder Hegt der Kreismittelpunkt aufierhalb des Koordinatenursprungs (verschobener Kreis). Durch quadratische Ergdnzung laBt sich die Kreisgleichung auf die folgende Hauptform bringen: 2x^ - 6x + 2y^ ^- Ay = 11,5 2(x^

- 3x) +2{y^

+ 2y) - 11,5

2{x^ - 3x + 1,5^) + 2 ( y 2 + 2y + 1^) = 11,5 + 2-1,5^+ 2 • 1^ (x-^,5)2 2{x - 1,5)2 ^2{y

(y + l)2 + 1)2 ::= 18

(x - 1,5)2 + (y + 1)2 ^ 9 Dies ist die Gleichung eines (verschobenen) Kreises mit dem Mittelpunkt M = (1,5; - 1 ) middtm Radius r = 3 (Bild III-91).

Bild III-91

8 Algebraische Funktionen (2)

227

Durch die Kegelschnittgleichung 16x2 + 4y^ + 76,8x - 24y + 64,16 = 0 wird eine Ellipse beschrieben. Denn aus A = 16 und B = 4 folgt:

AB = 16-4 = 64 >0 Um die Lage dieser wegen der vorhandenen linearen Glieder verschobenen Ellipse zu bestimmen, ordnen wir zunachst die Glieder: 16x^ + 76,8x + 4y^ -24y=

- 64,16

Durch quadratische Ergdnzung folgt dann weiter: 16(x2 + 4,8x) + 4(y2 -6y)=

-64,16

16{x^ + 4,8x + 2,4^) + 4iy^ -6y (x +2,4)2

+ 3^)= - 64,16 + 16 • 2,4^ + 4 • 3^

(y-3)2

16(x +2,4)2 _^4(^_3)2 _ 5 4 16(x +2,4)2 4(3;-3)2 64 "^ 64 (x +2,4)2 4

1

(^_3)2 =1 16

Es handelt sich demnach um eine achsenparallel verschobene Ellipse mit den folgenden Eigenschaften (Bild III-92): M = (-2,4;3),

a = 2, b = 4,

Bild III-92

III Funktionen und Kurven

228 (3)

Die Kegelschnittgleichung 4x^ -9y^

+ 16x4- 72y = 164

beschreibt eine Hyperbel Denn es ist A = 4 und B = — 9 und somit ^.5^4-(-9)=

-36 0 ist die Kurve nach links, fiir c < 0 dagegen nach rechts verschoben.

Beispiele (1)

y = sin (x + Ti): Diese Funktion ist gegenuber der Sinusfunktion 3; = sin x um n Einheiten nach links verschoben (die Kurve „beginnt" an der Stelle XQ = — 71, vgl. hierzu Bild III-109). Sie laBt sich auch durch die Funktionsgleichung y = — sin x beschreiben (an der x-Achse gespiegelte Sinusfunktion). Dies folgt unmittelbar aus dem Additionstheorem der Sinusfunktion (Gleichung(III-139)): y = sin (x + Ti) = sin x • cos n + cos x • sin 71 = — sin x -1

0

y=sin (x-t-TL)

Bild ni-109 Funktionsgraphen von y = sinx und y = sin (x + 71) (2)

3; = sin(x —1): Diese Funktion ist gegenuber der elementaren Funktion j; = sin X um eine Einheit nach rechts verschoben, die „1. Nullstelle" liegt also bei xo = 1 (Bild III-110).

Bild III-llO Funktionsgraphen von 7 = sin x und 3; = sin (x — 1)

9 Trigonometrische Funktionen

243

Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion y = a* sm(bx + c) Die drei Kurvenparameter a > 0, b > 0 und c in der allgemeinen Sinusfunktion y = a ' sm{bx -\- c) bewirken gegeniiber der elementaren Sinusfunktion 3; = sin x die folgenden Anderungen in Periode, „!• Nullstelle" und Wertebereich: Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion y = a sin (hx + c) (Bild IIMll) Periode:

p = 2 7i/b

(111-149)

„y. Nullstelle"".

XQ =: -

(IIM50)

Wertebereich:

—a^ y ^ a

c/b

(IIM51)

y=a-sin

(bx+c)

Bild III-lll Allgemeine Sinusfunktion y = a • sin {bx + c) (gezeichnet fiir c > 0)

Beispiel 3; = 2 • sin (0,5 X + 0,5 n)

(Bild III-112)

Periode:

p = An

,4. Nullstelle'':

0 , 5 x + 0,571 = 0 ^> x^ = ~ n

Bild III-112 Verlauf der Funktionen j = sin x und j = 2 • sin (0,5 x + 0,5 TT)

III Funktionen und Kurven

244

Eigenschaften der allgemeinen Kosinusfunktion j = « • cos (bx -k- c) Analoge Uberlegungen fiihren bei einer Kosinusfunktion vom allgemeinen Typ y = a ' cos {bx + c) zu dem folgenden Ergebnis: Eigenschaften der allgemeinen Kosinusfunktion y = a ' cos (bx-¥ c) (Bild 111113) 2jt/b

(III-152)

—c/b

(IIT-153)

~a ^ y ^ a

(ITI-154)

Periode:

p =

„i. Maximum'':

XQ

Wertebereich:

=

y=:a • cos fbx + c)

Bildni-113 Allgemeine Kosinusfunktion y = a • cos {bx -j- c) (gezeichnet fiir x > 0)

9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers) Die Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers) kann als Modellfall einer Sinusschwingung (auch harmonische Schwingung genannt) betrachtet werden (Bild III-114). Schwingungen dieser Art treten auf, wenn ein lineares Kraftgesetz vorliegt (wie beispielsweise das Hookesche Gesetz bei einer Feder). Die Auslenkung y ist dann eine periodischeVm\kXion der Zeit t und kann in der Sinusform y ^ A • ^in{a)t + cp)

{A > {), co > 0)

dargestellt werden. Dabei bedeuten: Maximale Auslenkung, Amplitude genannt Kreisfrequenz der Schwingung Phase (auch Phasen- oder Nullphasenwinkel genannt)

(III-155)

9 Trigonometrische Funktionen

245

///////////

elostische

Feder

Olekhgewichtslage

augenhlickliche • zur Zeif t

Loge

Bild 111-114 Federpendel

Pendelmasse

Die Periodendauer der Funktion ist p = 2 n/co und wird in diesem Zusammenhang als Schwingungsdauer T bezeichnet. Dabei besteht zwischen Kreisfrequenz co, Frequenz / und Schwingungsdauer T die folgende Beziehung: 2% CO = 2nf =

f =

(III-156)

Die Sinusschwingung ,,beginnf' zur Zeit ^o "^ ~ W ^ (sog- Phasenverschiebung). Fiir (p > 0 ist die Kurve auf der Zeitachse nach links, fiir cp < 0 nach rechts verschoben. Beispiel /

- 1

^

Schwingung mit der Funktionsgleichung y == 5 cm • sin I 2 s ^ - t -\- A = 5 cm,

co = 2s

Phasenverschiebung:

_ -, 271 2n ^, T = — = —zrT = ns 2 S

CD

2s

_ -i

^

71

- t -{— = 0 ^ > t o =

71

^

Bild III-115 zeigt den Sellwingungsverlauf fiir t '^ Os. y/cm ci

i y=

5cmsinf2s'^-f+jj

Bild III-115 Darstellung der Schwingung y = 5 cm - sin (2 s ^ • ^ + 7i:/2), t ^ 0 s

246

III Funktionen und Kurven

9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm Darstellung einer Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger Im Bereieh der Schwingungslehre hat sich eine unter dem Namen Zeigerdiagramm bekannte Darstellungsform durchgesetzt, die in besonders einfacher und anschaulicher Weise Schwingungsvorgange durch rotierende, d.h. zeitabhdngige Zeiger beschreibt. Anwendung findet diese Darstellungsart beispielsweise bei der Behandlung von Wechselstromkreisen: Sinusformige Wechselspannungen und Wechselstrome werden dabei durch rotierende Zeiger dargestellt. Auch bei der Superposition {Uberlagerung) von Schwingungen gleicher Frequenz bedient man sich mit groBem Vorteil des Zeigerdiagramms. Eine Sinusschwingung vom allgemeinen Typ (III-157)

y = A ' sin {o:)t -{- (p)

mit A > 0 und co > 0 wird im Zeigerdiagramm durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) co im Gegenuhrzeigersinn um den Nuhpunkt rotierenden Zeiger der Lange A beschrieben (Bild III-116). Zu Beginn der Rotation, d.h. zur Zeit t = 0 befindet sich der Zeiger in der Position (1), sein Winkel gegeniiber der Horizontalen betragt dann cp. Der Phasenwinkel cp der Sinusschwingung (III-157) bestimmt somit die Anfangslage des rotierenden Zeigers. In den folgenden t Sekunden hat sich der Zeiger um den Winkel cot in positiver Richtung weitergedreht und nimmt die Lage (2) ein (Drehwinkel insgesamt: cp -\- cot, Bild III-116). Dabei entspricht die Ordinate der Zeigerspitze dem augenblicklichen Funktionswert von y = A • sm{cot + cp), Bei der Rotation des Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit co durchlauft dann die Ordinate sdmtliche Funktionswerte der Sinusfunktion. Zwischen der Position des Zeigers und der Ordinate y seiner Pfeilspitze (die ja dem augenblicklichen Funktionswert der Sinusschwingung entspricht) besteht somit der folgende Zusammenhang: Lage zur Zeit t = 0 (Position (1)): y = A - sin cp Lage zur Zeit t > 0 (Position (2)): y = A - sin (cot -\- cp)

Bild III-116 Darstellung einer Sinusschwingung im Zeigerdiagramm

Bild III-117 Anfangslage eines rotierenden Sinuszeigers

9 Trigonometrische Funktionen

247

Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse wie folgt zusammen: Darstellung einer Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger (Bild 111-116) Eine sitmsfdrmige Schwingung vom Typ y =^ A ^ sin {o)t + cp)

(III-158)

{A> 0, co > 0)

laBt sich im Zeigerdiagramm durch einen im mathematisch positiven Drehsinn mit der Winkelgeschwindigkeit co um den Ursprung rotierenden Zeiger der Lange A darstellen (Bild Ili-116). Der Zeiger „startet" dabei zur Zeit t = 0 aus der durch den Phasenwinkel (p eindeutig festgelegten Position heraus (Anfangslage (1) in Bild III-116). Zur Zeit t > 0 befindet er sich dann in der Position (2) nach Bild IIM16. Wir treffen jetzt die folgende verbindliche Vereinharung: Eine sinusformige Schwingung wird im Zeigerdiagramm stets durch die Anfangslage des zugehorigen (rotierenden) Zeigers symbohsch dargestellt (Bild 111-117).

Beispiele Die durch die folgenden Funktionsgleichungen beschriebenen harmonischen Schwingungen sind im Zeigerdiagramm symbolisch darzustellen: yi = 4- sin(2 0 y^ = 4 ' sm[2t -\

3/2 = 4 • sin 21 + In

)

3/4 = 4 • sin (2 ^ + TT)

375 = 4 • sin 2t — Die Zeiger 3/2, 3^3, 3^4 und y^ werden dabei durch Drehung des Zeigers y^ = 4 • sin (It) um die folgenden Winkel gewonnen (Bild III-118): Zeiger

yi

^3

Dreh winkel (Bogenraafi)

n 4

In

Drehwinkel (GradmaB)

45°

>4

>^5

T

n

n ~6

120°

180°

-30°

III Funktionen und Kurven

248

Bild IIM18

Darstellung einer Kosinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger Eine Kosinusschwingung vom allgemeinen Typ y = A • cos {cot -\- (p)

(A > 0, co > 0)

(III-159)

ist auch als Sinusschwingung in der Form (III-160)

darstellbar und laBt sich somit durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit co rotierenden Sinuszeiger der Lange A beschreiben, der zu Beginn der Drehung die durch die Phase (p^ = cp -\- n/l eindeutig festgelegte Position einnimmt (Bild III-119). Mit anderen Worten: Einer Kosinusschwingung mit dem Phasenwinkel cp entspricht eine Sinusschwingung mit einem um n/2 vergrofierten Phasenwinkel (p^ = cp -\- njl.

Bild III-119 Darstellung einer Kosinusschwingung im Zeigerdiagramm (Anfangslage)

249

9 Trigonometrische Funktionen Beispiele y^ = 3 • COS (5r)

372 = 3 • cos {5t -i- n)

y^ = 3 ' cos I 5 f +

3/4 == 3 • cos (5 ^ — 0,5)

Die Kosinusschwingung y^ kann auch als eine Sinusschwingung mit dem Nullphasenwinkel cp = n/2 aufgefaBt werden. Der zugehorige Zeiger besitzt dann die in Bild III-120 dargestellte Anfangslage. Die Anfangslage der drei iibrigen Zeiger 372, 3^3 und 3^4 erhalt man dann, indem man den Zeiger y^ der Reihe nach um die Winkel n, K/3 und - 0 , 5 oder (im GradmaB) 180°, 60° und - 2 8 , 6 ° dreht, wie in Bild III-120 dargestellt.

Bild III-120

Zeigerdiagramm fiir Sinus- und Kosinusschwingungen Fiir die symbolische Darstellung von Sinus- und Kosinusschwingungen in einem Zeigerdiagramm gelten somit die folgenden Regeln: Eine unverschobene Sinusschwingung y = A- ^in{cot) wird im Zeigerdiagramm durch einen nach rechts gerichteten Zeiger, eine unverschobene Kosinusschwingung y = A - cos (cot) durch einen nach oben gerichteten Zeiger dargesteUt (Bild III-121). LaBt man auch einen negativen „Amplitudenfaktor" A zu, so bedeutet A < 0 eine Vergrofierung des Phasenwinkels um 180°, d.h. eine zusdtzliche Drehung des Zeigers um 180° im Gegenuhrzeigersinn. Unverschobene Sinus- und Kosinusschwingungen mit einem negativen ,,Amplitudenfaktor'' werden demnach in der jeweitigen Gegenrichtung d.h. nach links bzw. nach unten abgetragen (Bild III-122).

III Funktionen und Kurven

250 y=A cosfajf)

JA^O

A^O

A^O

y=A • sinfLJf)

1 A^O

Bild III-121 Zeigerdarstellung einer unverschobenen Sinus- bzw. Kosinusschwingung (Anfangslagen)

Bild III-122

Somit gelten allgemein die folgenden Regeln fur die Zeigerdarstellung von Sinus- und Kosinusschwingungen:

Schwingungstyp

A >0

A ) erfolgt noch eine zusdtzliche Drehung um den Winkel cp und zwar fiir ^ > 0 im Gegenuhrzeigersinn, fiir cp < 0 dagegen im Uhrzeigersinn. Beispiele (1)

Die durch die Funktionen yi = 3 • sinl2t

-\-

6

^3 = 4 • cos I 21 +

371

J 5 = 4 - sin (2^ + 1)

^2 = 2 • cos (It — n)

y^ = — 4 • sin 21

ye

12

3 • cos \2t -\-

beschriebenen Schwingungen sind im Zeigerdiagramm darzustellen. Die Losung der Aufgabe ist in Bild III-123 dargestellt.

9 Trigonometrische Funktionen

251

Bild III-123

(2)

Die harmonischen Schwingungen yi = 3 • cos I cot — - I

und

y2 = — 3 - sin I cot — --

sind durch Sinusfunktionen vom Typ y = A' sin {cot -\- cp)

{A > 0)

darzustellen. Losung: Bild III-124 zeigt die Anfangslage der zugehorigen Zeiger.

'Sm

Bild III-124

III Funktionen und Kurven

252

Der Zeiger y^ entsteht dabei durch Drehung des Zeigers yQ = 3 - sin {cot) um den Winkel 45° = n/4 im positiven Drehsinn (Bild III-124). Daher ist y^ = 3 • cos [cot

] ^ ^ ' ^^^ [cot + -

Analog erhalt man den Zeiger y2 durch Drehung des Zeigers y^ um den Winkel 150° = 5TI/6 im positiven Drehsinn. Es gilt daher y2 = — 3 • sin cot

5n^ ^ . = 3 • sin [cot -\6 / \ 6

Die vorgegebenen Schwingungen y^ und y2 konnen somit auch als Sinusschwingungen mit der Amplitude A = 3 und dem Phasenwinkel cp = 7i/4 bzw. (p = 5 71/6 aufgefaBt werden.

9.5.3 Superposition (Uberlagerung) gleichfrequenter Schwingungen Nach dem Superpositionsprinzip der Physik entsteht durch ungestorte zweier gleichfrequenter sinusformiger Schwingungen vom Typ yi =^ A^ • sin {cot 4- cp^)

und

^2 = ^ 2 ' ^i^ (^^ + ^2)

Uberlagerung (III-161)

eine resultierende Schwingung gleicher Frequenz: (III-162)

y = 3^1 + 3^2 == ^ • si^ i^^ + ^)

Amphtude A und Phase cp der Resultierenden sind dabei eindeutig durch die Amplituden Ai, A2 und die Phasen cp^, cp2 der Einzelschwingungen y^ und 3/2 bestimmt. Zeichnerische Losung (Bild III-125) Im Zeiger Jiagramm werden die Zeiger von y^ und 3/2 zu einem Para//g/ogramm zusammengesetzt, dessen Diagonale die resultierende Schwingung nach Bild III-125 darstellt. Amphtude A und Phase cp lassen sich unmittelbar aus dem Diagramm ablesen. y=yi-'y2

Bild III-125 Geometrische Addition zweier gleichfrequenter Schwingungen im Zeigerdiagramm

9 Trigonometrische Funktionen

253

Berechnung von Amplitude A und Phase (p (Bild 111-126) Aus Bild III-126 gewinnt man durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten u = Ui -\- U2 und v = Vi -^ V2 und der Hypotenuse A die folgende Beziehung fiir die Amplitude A der resultierenden Schwingung:

= {A^ • cos (^1 + v42 • cos (p2)^ + (-/li • sin ^ i + ^ 2 * ^i^ ^2)^ ^ = A^ • cos^ cpi + 2A1A2

• cos (p^ • cos (^2 + ^ 2 * ^^^^ ^ 2 + ^ 1 • si^^ ^ 1 +

+ 2y4| ^ 2 ' ^i^ 9 i ' si^ ^ 2 + ^ 2 * ^^^^ ^ 2 == = ^ f (cos^ ^ 1 + sin^ cpi) + A\-

(COS^

(^2 + sin^ (^2) +

1

1 + 2A^A2

(cos (pi • cos (/)2 + sin (^1 • sin (^2) = cos ((Pi - CP2) = COS ((^2 - (pl)

= A\-\-

A\-^1A^A2-

COS ((^2 - (Pi)

(III-163)

Somit ist ^ = ^ A \ ^ A\^1A^A2-

COS ((P2 - 9 i )

(III-164)

Die P/iase (p der resultierenden Schwingung berechnet man aus der Formel V v^ -\- v-> Ai • sin (p-i + An ' sin cp^ ^ - -^ ^ ^ ^ tan (p =^- - =- -^ u Ui -\- U2 A^ • cos (pi + A2' cos (p2

(III-165)

HilfsgroBen: u^ = A^ • cos (pi U2 = A2- cos (P2 Vi = Ai ' sin (pi i;^ - ^2 • sin (P2

Bild III-126 Zur Bestimmung von Amplitude und Phase einer resultierenden Schwingung

III Funktionen und Kurven

254

Wir fassen zusammen: Superposition zweier gleichfrequenter Schwingungen (Bild 111-126) Durch tmgestorie Uherlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen vom Typ Yi — Ai ' sin (cot 4- cpi)

und

y2 ~ A2 ' sm {(ot + (pj)

(III-166)

mit Ai>0, A2 > 0 und oj > 0 entsteht eine resultierende Schwingung dQV gleichen Frequenz: (IIM67)

y==yi+ >'2 = ^ ' sin {cot + (p)

Amplitude A und Phasenwinkel cp lassen sich dabei aus den AmpHtuden A ^ und A2 und den Phasenwinkein cpi und (p2 dor bcidcn Einzelschwingungen wiofolgt berechnen: A = \l

A\

tan (p =

+ AI+

2^1 A2 ' cos {cp2

(III-168)

(Pi)

Ai ' s'mcpi -{- A2' sin (p2 AI ' cos (pi -{• A2 ' cos c/>2

(III-169)

Anmerkungen (1) Man beachte die Voraussetzungen: Beide Schwingungen mussen als Sinusschwingungen mit jeweils positiver AmpHtude vorHegen. Die Formeln (III-168) und (III169) gelten aber auch dann, wenn beide Einzelschwingungen in der Kosinusform mit jeweils positiver Amplitude vorgegeben sind. In diesem Fall ist die resultierende Schwingung eine gleichfrequente Ko sinus schwingung. Die Einzelschwingungen mussen daher gegebenenfalls erst auf die Sinusform (oder Kosinusform) gebracht werden. (2)

Es ist ratsam, sich zunachst anhand QinQY Skizze iiber die Lage des resultierenden Zeigers zu informieren. Den Phasenwinkel cp erhalt man dann aus Gleichung (III169) unter Beriicksichtigung des Quadranten (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel (3)). Die dabei zu losende Gleichung tan cp = const. = c besitzt in Abhdngigkeit vom Quadrant die folgende Losung {Hauptwert im GradmaB)^^^: Quadrant

I

arctan ^ ^ g^~ ^ ^ ^ ^ c

II, III

IV

arctan c + 180°

arctan c + 360°

10) DieFunktion y = arctan x ist die Umkehrfunktion der Siuf das IntevYSLll —n/2 < x < n/2 beschrankten Tangensfunktion und wird in Abschnitt 10.4 noch ausfuhrlich behandelt.

9 Trigonometrische Funktionen

255

Beispiele (1)

Wie lautet die durch Superposition der beiden mechanischen Schwingungen y^ = 4 cm • sin (2 s ^ • t)

und

y2 = 3> cm- cos I 2 s ^ • t —

entstandene resultierende Schwingung? Losung: Zunachst wird die Kosinusschwingung y2 mit Hilfe des Zeigerdiagramms in eine Sinusschwingung umgewandelt (Bild III-127): _y2 = 3 cm • cos (2s ^ • t — - \ = 3 cm • sin ll s ^ - t -\- -

Bild in-127 Umwandlung einer Kosinusschwingung in eine Sinusschwingung

Mit Ai = 4 cm, A2 = 3 cm, cp^ = 0 und (p2 ^ V^ erhalt man aus den Gleichungen (III-168) und (III-169) die folgenden Werte fiir die Amplitude A und die Phase (p der resultierenden Schwingung (der resultierende Zeiger hegt im 1. Quadrant): A = /(4 cm)^ + (3 cm)^ + 2 • 4 cm • 3 cm • cos 4 cm • sin 0 + 3 cm • sin tan (p = 4 cm • cos 0 + 3 cm • cos

2,5981 cm 5,5 cm

= 6,08 cm

0,4724

arctan 0,4724 = 25,29° = 0,44 Die resultierende Schwingung lautet damit: y = yi + 3^2 ^ 4 cm • sin (2 s ~ ^ • 0 + 3 cm • cos l2s~^ - t = 6,08 cm-sin (2 s~i • z: + 0,44)

256

III Funktionen und Kurven (2)

Die gleichfrequenten Wechselspannungen u^ = 50V-sin(314s~i -1)

und

U2 = 80 V • cos (314 s ' ^ -0

werden zur Uberlagerung gebracht. Die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung w = WQ • sin (314 s~ ^ • t -\- (p) kann unmittelbar aus dem Zeigerdiagramm berechnet werden (Bild III-128): U = Ui+U2

UQ = V(50 V)^ + (80 V)2 = 94,34 V tan (p

80 V 50 V

= 1,6

(p = arctan 1,6 = 57,99° = 1,01

Die resultierende Wechselspannung laBt sich somit durch die Funktion u = u^+U2 = 50V-sin(314s~^ • 0 + 80 V • cos (314 s~i -0 = = 94,34 V-sin (314 s " i - t ^ - 1 , 0 1 ) beschreiben. (3)

Wir bringen die gleichfrequenten mechanischen Schwingungen yi = 6 cm • sin I cot + - 1

und

3^2 = 10 cm • sin j cot + - TT

zur ungestorten Uberlagerung. Der Zeiger der resultierenden Schwingung y = A- sin {cot -\- cp) liegt nach Bild III-129 im 2. Quadrant. y=y, ^y2

Bild III-129

9 Trigonometrische Funktionen

257

Fiir die Amplitude A erhalten wir nach Formel (III-168) den folgenden Wert: A = Ji6 cm)^ + (10 cm)^ + 2 • 6 cm • 10 cm • cos ( -

TT

- - ) = 8,72 cm

Den Phasenwinkel cp bestimmen wir aus Gleichung (III-169): 6 cm • sm I - I + 10 cm • sm I -TI\ tan (p =

^^ T~^ ^ ~ ^'^^^"^ 6 cm • cos I - I + 10 cm • cos {-n\

Diese Gleichung besitzt wegen 90° < cp < 180° die Losung (p = arctan(-2,3094) + 180° = 113,41° = 1,98 Die resultierende Schwingung wird somit durch die Gleichung y = yi -^ y2 = ^'72 cm • sin {cot + 1,98) beschrieben.

9.5.4 Lissajous-Figuren Lissajous-Figuren entstehen durch Uberlagerung zweier aufeinander senkrecht stehender Schwingungen, deren Frequenzen in einem rationalen Yerhaltnis stehen. Sie lassen sich z.B. auf einem Kathodenstrahloszillograph (Braunsche Rohre) durch Anlegen von (sinusformigen) Wechselspannungen an die beiden Kondensatorplattenpaare realisieren. Fine Sinusspannung am horizontal ablenkenden Plattenpaar (x-Richtung) bewirkt, daB der Elektronenstrahl eine Schwingung in waagerechter Richtung nach der Gleichung X = a- sin (ft) 0 ausfiihrt. Eine Kosinusspannung gleicher Frequenz am vertikal ablenkenden Plattenpaar (jz-Richtung) veranlaBt den Elektronenstrahl zu einer periodischen Bewegung in vertikaler Richtung gemaB der Gleichung y = b • cos {cot). Die augenblickliche Lage des Strahls bei gleichzeitigem Anlegen beider Spannungen wird dann durch die Parameter-Gleichungen X = a- sin {cot), y = b - cos {cot)

{t ^ 0)

(III-170)

beschrieben {a > 0, b > 0). Lost man diese Gleichungen nach sin {cot) bzw. cos {cot) auf und beriicksichtigt die Beziehung (III-138), so erhalt man als Bahnkurve des Elektronenstrahls eine Ellipse mit den Halbachsen a und b (Bild III-130): sin^{a^t) + cos^{ojt) = 1 =^ ( - J

+ U)

=1

=> ^ + ^ = 1

(III-171)

258

III Funktionen und Kurven

Sfartpunkt(t=0)

Bild 111-130 Lissajous-Figur (Ellipse): Die Pfeilrichtung kennzeichnet den Durchlaufsinn des Elektronenstrahls

10 Arkusfunktionen 10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen Die trigonometrischen Funktionen ordnen einem Winkel x in eindeutiger Weise einen Funktionswert zu. In den Anwendungen jedoch stellt sich haufig genau das umgekehrte Problem (z.B. beim Losen einer trigonometrischen Gleichung): Der Funktionswert einer bestimmten trigonometrischen Funktion ist bekannt, gesucht ist der zugehorige Winkel So besitzt beispielsweise die einfache trigonometrische Gleichung tan x = 1 unendlich viele Losungen, d.h. es gibt unendlich viele Winkel, deren Tangens gleich Bins ist. Die Losungen dieser Gleichung konnen bequem auf zeichnerischem Wege als Schnittpunkte der Tangensfunktion y = tan x mit der Geraden y = 1 (Parallele zur x-Achse) ermittelt werden (Bild III-131). Sie lauten: Xu k = -4 + k • n

(keZ)

Bild 111-131 Zur Umkehrung einer trigonometrischen Funktion

(III-172)

10 Arkusfunktionen

259

Die Umkehrung der Tangensfunktion ist demnach nicht eindeutig. Offensichtlich ist dies eine Folge der fehlenden Monotonieeigenschaft. Ganz ahnlich liegen die Verhaltnisse bei den iibrigen trigonometrischen Funktionen. Beschranken wir uns jedoch bei der Losung der Gleichung tan x = 1 auf den Winkelbereich — n/2 < x < n/2 (hier ist der Tangens streng monoton wachsend), so erhalt man genau eine Losung: tan X = 1

Losung im Intervall — n/2 < X < n/2

XQ

= n/A

(III-173)

Zur Umkehrung der trigonometrischen Funktionen Grundsatzlich lassen sich die trigonometrischen Funktionen infolge fehlender Monotonieeigenschaft nicht umkehren. Beschrankt man sich jedoch auf gewisse Intervaile, in denen die Funktionen streng monoton verlaufen und dabei sdmtliche Funktionswerte annehmen, so ist jede der vier Winkelfunktionen umkehrhar. Die Umkehrfunktionen werden als Arkusfunktionen oder zyklometrische Funktionen bezeichnet. Ihre Funktionswerte sind im Bogen- oder GradmaB dargestehte Winkel

10.2 Arkussinusfunktion Die Sinusfunktion verlauft in dem symmetrischen Intervall — n/2 ^ x ^ n/2 streng monoton wachsend, durchlauft dabei ihren gesamten Wertevorrat und ist daher in diesem Intervall umkehrhar. Ihre Umkehrung fiihrt zur Arkussinusfunktion (Bild III-132).

y=sin X

Bild III-132 Zur Umkehrung der Sinusfunktion a) Funktionsgraph von j = sin x b) Funktionsgraph von y = arcsin x

y=arcsin x

260

III Funktionen und Kurven

Deiinition: DIQ Arkussinusfunktion j; = arcsin x ist die Umkehrfunktion dei Siuf das Intervall — n/l ^ x ^ n/2 bechrankten Sinusfunktion y = sin x.

In der folgenden Tabelle 3 haben wir die wesentlichen Eigenschaften der Arkussinusfunktion zusammengestellt. Tabelle 3: Eigenschaften der Arkussinusfunktion y = arcsin x y = sin X (Bild IIM32a))

y = arcsin x (Bild IIM32b))

Definitionsbereich

n n -2^^^2

- 1^ X ^ 1

Wertebereich

- 1 ^ >' ^ 1

Nullstellen

xo = 0

xo = 0

Symmetrie

ungerade

ungerade

Monotonie

streng monoton wachsend

streng monoton wachsend

71

71

2 - ^ 2

Beispiele arcsin 0 = 0

arcsin 0,5 = 7i/6 = 30°

arcsin ( — 0,75)

0,8481

10.3 Arkuskosinusfunktion Die Kosinusfunktion ist im Intervall 0 ^x ^JT streng monoton fallend, durchlauft dabei ihren gesamten Wertevorrat und ist daher dort umkehrbar. Ihre Umkehrung ftihrt zur Arkuskosinusfunktion (Bild III-133). Definition: D'lt Arkuskosinusfunktion y = arccosx ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall 0 ^x^Jt beschrankten Kosinusfunktion y = cosx. Ihre Eigenschaften entnimmt man Tabelle 4.

10 Arkusfunktionen

261 yk n-

71 '

2

\

y = arccos x

b)

Bild III-133 Zur Umkehrung der Kosinusfunktion a) Funktionsgraph von y = cos x b) Funktionsgraph von y = arccos x

1

-7

1

X

Tabelle 4: Eigenschaften der Arkuskosinusfunktion y = arccos x y = cos X

y = arccos x

(Bild III-133a))

(Bild TIM 33b))

Definitionsbereich

Q^x^n

- 1^ X ^ 1

Wertebereich

- 1 ^ >' < 1

O^y^n

n

Nullstellen

Xo- 1

streng monoton fallend

Moiiotonie

streng monoton fallend

Beispiele arccos 0

arccos 0,5

60°

arccos(-0,237) = 1,8101

10.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion Die Umkehrung der Tangensfunktion erfolgt im Intervall — n/2 < x < n/2, in dem der Tangens streng monoton wachsend verlauft und dabei seinen gesamten Wertebereich durchlauft. Die Umkehrfunktion wird als Arkustangensfunktion bezeichnet (Bild III-134).

262

III Funktionen und Kurven

Definition: Die Arkustangensfunktion y = arctan x ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall — n/2 < x < n/2 beschrankten Tangensfunktion y = tan x.

Ihre Funktionseigenschaften sind in Tabelle 5 naher beschrieben.

y=tan x

Bild III-134 Zur Umkehrung der Tangensfunktion a) Funktionsgraph von y = tan x b) Funktionsgraph von y = arctan x

Tabelle 5: Eigenschaften der Arkustangensfunktion y = arctan x y = tan x (Bild IIM34a)) n 2

n 2

y = arctan x (Bild III-134b))

Definitionsbereich

— -
0 und a ^ 1 heiBen Exponentialfunktionen.

Ihre Eigenschaften haben wir in Tabelle 7 zusammengetragen, wobei wir noch zwischen den Fallen 0 < a < 1 und a > 1 unterscheiden. Tabelle 7: Eigenschaften der Exponentialfunktionen y = a^^ (0 < a < 1) (Bild III-139)

y = a^ (a > 1) (Bild III-139)

Definitionsbereich

— CC'
0:

Zerfallskonstante

Bild 111-142 Zerfallsgesetz beim radioaktiven Zerfall (T: Halbwertszeit)

11 Exponentialfunktionen (2)

271

Ein weiteres Beispiel liefert die Entladung eines Kondensators mit der Kapazitat C iiber einen ohmschen Widerstand R. Die Kondensatorspannung u klingt dabei exponentiell mit der Zeit t ab: «(f) = M o e " ^

*f>0)

(Bild III-143)

{UQ: Kondensatorspannung ZU Beginn; RC: Zeitkonstante)

Bild ni-143 Entladung eines Kondensators uber einen ohmschen Widerstand

(3)

Zwischen dem Luftdruck p und der Hohe h (gemessen gegeniiber dem Meeresniveau h = 0) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang (sog. barometrische Hohenformel): p{h) = po-Q

7991m

{h/m ^ 0)

(Po = 1,013 bar). Der Luftdruck nimmt dabei mit zunehmender Hohe exponentiell ab.

Einen etwas allgemeineren Typ einer Abklingfunktion erhalt man durch Hinzufiigen einer additiven Konstanten b: I y = a-Q~^^^b Oder y = a'Q ^ + b (t^O) (III-178) Diese Konstante beschreibt eine Verschiebung der Kurve langs der y-Achse: b > 0:

Verschiebung nach oben um die Strecke b

b 0) m

Beispiel

Bin Korper besitze zur Zeit t = 0 die Temperatur TQ und werde in der Folgezeit durch vorbeistromende Luft der (konstanten) Temperatur T^ gekiihlt (T^ < TQ). Mit der Zeit nimmt dabei seine Temperatur T nach dem Exponentialgesetz T{t) = {To-TL)-o-^'+TL

(t^O)

ab {Abkiihlungsgesetz nach Newton; k ist dabei eine positive Konstante). Die Korpertemperatur T strebt dabei asymptotisch dem Grenzwert T^ = lim T{t) = t^

TL

00

zu, d. h. der Korper kuhlt im Laufe der Zeit so lange ab, bis er die Temperatur der Luft erreicht hat (Bild III-145).

Bild III-145 Abkiihlungsgesetz nach Newton

11 Exponentialfunktionen

273

11.3.2 Sattigungsfunktionen Dieser in den Anwendungen weit verbreitete Funktionstyp tritt meist in der zeitabhdngigen Form ^0

y = a{l -Q

o0)

auf und verlauft fiir a > 0, A > 0 und r = l/A > 0 streng monoton wachsend (Bild III146). Der Funktionswert strebt dabei fur t —• oo asymptotisch gegen den Grenzwert a, d.h. y = a ist Asymptote im Unendlichen. Die Kurventangente in tQ = 0 schneidet die Asymptote an der Stelle ti = 1/1 = 1. Der Funktionswert an dieser Stelle betragt rund 63% des „Endwertes" a, d.h. es ist y{ti) = y{T) = 0,63 a. yi l -^ Tangente in L = 0

y=a

_z \ /

0,63 a-

/ /

/

' /^^y=a(l-e-'^f)

1

Bild 111-146 Sattigungsfunktion vom Typ

1

j = a(l

1

F 1

1'

1

-Q~^')

/

U

Beispiele (1)

Die Aufladung eines Kondensators mit der Kapazitat C iiber einen ohmschen Widerstand JR erfolgt nach der Gleichung t

u{t) = UQ' il — e

RC

it>0)

(UQ: Endwert der Kondensatorspannung). Bild III-147 zeigt den Verlauf dieser Sattigungsfunktion fur die Werte UQ = 100 V und JRC = 1 ms.

Bild III-147 Aufladung eines Kondensators (gezeichnet fiir UQ = lOOY und RC= 1ms) f/ms

III Funktionen und Kurven

274

(2)

Bei einem KFZ-Stofiddmpfer legt der Kolben beim Einschieben einen Weg y nach dem Zeitgesetz y = yo(l-e-''0

(t>0)

zuriick (yQ > 0, k > 0).

Etwas allgemeiner ist der folgende Typ einer Sdttigungsfunktion: y = a{l-Q-^^)

+b

Oder

y = all-Q

M+^

(^^0)

(III-180)

Die additive Konstante b beschreibt dabei eine Verschiebung der Kurve in Richtung der y-Achse: b > 0: Verschiebung nach oben um die Strecke b b 1: streng monoton wachsend (vgl. hierzu die Kurven in Bild III-154)

Asymptoten

y=0

(x-Achse)

X= 0

(y-Achsc)

Anmerkungen (1)

Man beachte, daB Logarithmen nur fur positive reelle Zahlen (x > 0) und eine positive Basis a 7^ 1 gebildet werden konnen.

(2)

Die Logarithmusfunktionen besitzen unabhdngig von der Basis a genau eine Nullstelle bei XQ = 1: logal=0

(III-196)

Alle Kurven gehen somit an dieser Stelle durch die x-Achse (siehe hierzu auch Bild III-154). Beispiele Bild III-154 zeigt den Verlauf der beiden Logarithmusfunktionen y = logo,5X (Umkehrfunktion von y = 0,5-^) und 3; = In x (Umkehrfunktion von y = Q^). Vi

,

3 y=lnx

2 1 /l\

2

3

^

5

6

-1

-2-3-

y=logo^5X

X

Bild 111-154 Funktionsgraphen der logarithmischen Funktionen y = logo,5 ^ und y = lnx

282

III Funktionen und Kurven

Spezielle Logarithmusfunktionen Von groBer praktischer Bedeutung ist die Umkehrfunktion j ; = log^ X - Inx

der Q-Funktion:

(x > 0)

(III-197)

{naturliche Logarithmusfunktion). Sie wird auch kurz als In-Funktion bezeichnet. Daneben spielen die Umkehrfunktionen von y = 10^ und y = 2^ nur eine untergeordnete Rolle. Auch sie werden wie folgt durch eigene Symbole gekennzeichnet: y = log^QX = lgx

(x > 0 )

(III-198)

y = log2 X = lb X

(x > 0)

(III-199)

In Bild III-155 zeigen wir, wie man die Funktionskurve von j ; = Inx durch Spiegelung der e-Funktion y = Q^ an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten erhalt.

Bild III-155 Funktionsgraphen der e-Funktion y = und ihrer Umkehrfunktion y •• Inx

Beispiele (1)

Die Halbwertszeit x einer radioaktiven Substanz ist der Zeitraum, in dem genau die Hdlfte der ursprunghch vorhandenen Atomkerne (TIQ) zerfallen ist. Aus dem Zerfallsgesetz n{t) =

UQ-

Q~^^

folgt dann (vgl. hierzu auch Bild III-142): n (T) = HQ • e— AT

1

Oder

Q-^-C

=

1

12 Logarithmusfunktionen

283

Durch Logarithmieren auf beiden Seiten erhalt man schlieBlich l n e " ^ ' = l n ( - l => ( - 2 T ) • In e = In 1 - In 2 => - A T = - l n 2 1

0

_ In 2 _ 0,693 Die Halbwertszeit T einer radioaktiven Substanz ist somit zur Zerfallskonstanten k umgekehrt proportional (2)

Beim Aufladen eines Kondensators mit der Kapazitat C iiber einen ohmschen Widerstand R gilt (vgl. hierzu auch Bild III-147): u{t) = UQil

- Q ^^ J

Wir berechnen fiir die speziellen Werte i^ = 100Q, C = 10 jiF und WQ = 50 V den Zeitpunkt T, in dem die Kondensatorspannung genau 90% ihres Endwertes UQ erreicht hat: u{T) = 90Vo von 50 V = 45 V Mit der Zeitkonstanten RC = 1 0 0 ^ - 1 0 " 5 F = 10-^8

=

1ms

erhalten wir die folgende Bestimmungsgleichung fiir T: 7^

45 V = 50 V 11 - e

^ "^^

Wir dividieren jetzt durch 50 V und isoheren dann die e-Funktion: r_

0,9 = 1 - e

1 ^s

7^

=> e

1 "^s _ 0,1

Beide Seiten werden jetzt logarithmiert: l n e " i ^ = lnO,l => ( V l n e = lnO,l ^ =-2,3026 \^ 1 ms/ ^ ^ 1 ms 1 => T = 2,3026 ms Nach rund 2,3 ms erreicht die Kondensatorspannung 90% ihres Endwertes UQ = 50 V.

284

III Funktionen und Kurven

12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen Exponentialgleichungen Eine Exponentialgleichung liegt vor, wenn die unbekannte GroBe nur im Exponenten von Potenzausdrucken auftritt. Ein allgemeines Losungsverfahren fiir Gleichungen dieser Art laBt sich leider nicht angeben. In vielen Fallen gelingt es jedoch, die Exponentialgleichung nach elementaren Umformungen und anschlieBendem Logarithmieren zu losen. Wir geben zwei einfache Beispiele.

Beispiele (1)

Die Exponentialgleichung e^°^^ = 1 kann wie folgt durch Logarithmieren gelost werden: In e^^^^ = In 1 = 0 =^ (cos x) • In e = cosx = 0 => 1 n

Xj^ = — -\- k ' n

(ke'E)

Die Gleichung besitzt demnach unendlich viele Losungen.

(2)

2^ + 4 - 2 " ^ - 5 = 0

Oder

2-^ +

4

5= 0

Wir losen diese Exponentialgleichung durch die Substitution z — 1^ und erhalten eine quadratische Gleichung mit zwei reellen Losungen: 4 Z + - - 5 = 0 I -z z ' z^ + 4 - 5 z = 0 Oder 5

/25

,

5

z^-5z + 4 = 0 3

Nach RUcksubstitution und anschheBendem Logarithmieren folgt schheBHch: 2^ = zi = 4 => In 2^ = In 4 = In 2^ x - l n 2 = 2 - l n 2 => x^ = 2 2-^ = Z2 = 1 => In 2-^ = In 1 = 0 X-In 2 = 0 =^ ^2 = 0 Die Exponentialgleichung besitzt die Losungen x^ = 2 und X2 = 0.

12 Logarithmusfunktionen

285

Logarithmusgleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte nur im Argument von Logarithmusfunktionen auftritt, werden als logarithmische Gleichungen bezeichnet. Sie konnen haufig nach elementaren Umformungen und einer sich anschlieBenden Entlogarithmierung gelost werden, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Beispiele (1)

lg(4x-5)-l,5

( 4 x - 5 > 0 , d.h. x > 1,25)

Diese logarithmische Gleichung kann durch Entlogarithmierung wie folgt gelost werden: |Qlg(4x-5) ^ I Q I ' ^

4x-5

= 10^'^ = 31,6228

4x^36,6228 => x^ -9,1557 Die Logarithmusgleichung besitzt genau eine Losung x^ = 9,1557. (2)

ln(x2-l)=:lnx +1

(x > 1)

Da 1 = In e ist, erhalt man unter Verwendung der bekannten Rechenregeln fiir Logarithmen: In (x^ — 1) = In X + In e = In (^x) Durch Entlogarithmieren folgt hieraus die folgende quadratische Gleichung: x^ — 1 = ex

oder

x^ — ex — 1 = 0

T2

Xi/2=:^e + J /e" ^ + 1 = 13591 ±1,6874

Wegen der Bedingung x> 1 kommt nur die positive Losung x^ = 3,0465 in Frage.

286

III Funktionen und Kurven

13 Hyperbel- und Areafunktionen 13.1 Hyperbelfunktionen 13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen In den Anwendungen treten vereinzelt Funktionen auf, die in der mathematischen Literatur unter der Bezeichnung Hyperbelfunktionen bekannt sind. Sie setzen sich aus den beiden e-Funktionen y = Q^ und y =^ Q~^ definitionsgemaB wie folgt zusammen:

Definition: Die Definitionsgleichung en der Hyperheljunktionen Sinus

hyperholicus:

Kosinus

hyperholicus:

Tangens

hyperholicus:

Kotangens

hyperholicus:

lauten:

y == sinh x = - l e ^ — e ~ ^ l

(III-200)

, = cosh,4(e- + e-)

(III-201)

2\

/

e"^ — e ~ ^ gX _|_ g

X

e-^ + e ~ ^ e^"^ — e ^"^

(III-202) (ITI-203)

Anmerkungen (1)

Ublich sind auch die folgenden Bezeichnungen fiir die vier Hyperbelfunktionen: Hyperhelsinus, Hyperhelkosinus, Hyperheltangens und Hyperhelkotangens.

(2)

Die Bezeichnungen der Hyperhelfunktionen lassen auf eine gewisse Verwandtschaft mit den trigonometrischen Funktionen sclilieBen: Zwischen ihnen bestelien weitgehend analoge Beziehungen wie zwischen den Winkelfunktionen. Durch eine formale Substitution gewinnt man aus einer trigonometrischen Beziehung stets eine entsprechende hyperbohsche Beziehung. Im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen sind die Hyperhelfunktionen jedoch nicht-periodische Funktionen.

13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y = sinhx und y = coshx Die Eigenschaften der in Bild III-156 skizzierten Hyperhelfunktionen j ; = cosh X sind in Tabelle 9 zusammengesteUt.

y == sinhx und

13 Hyperbel- und Areafunktionen

287

Tabelle 9: Eigenschaften der Hyperbelfunktionen y = sinhx und y = coshx y = sinh x

V = cosh X

Definitionsbereich

— OC' < X < CO

— cc < X < cc

Wertebereich

— cc < y < cc^

1 < >' < X

Symmetrie

ungerade

gerade

Nullstellen

Xo = 0

Extremwerte

XQ = 0

(Minimum)

streng monoton wachsend

Monotonie

1

X

Asymptoten

2 (fur X --^ cc)

(fur X — • x )

y=sinhx

Bild III-156 Funktionsgraphen der Hyperbelfunktionen y = sinh x und y = cosh x

Beispiele (1)

Mit einem Taschenrechner wurden die folgenden Funktionswerte ermittelt: sinh 1,3 = 1,6984

cosh 0,8 = 1,3374

sinh ( - 0 , 5 ) =

cosh (-1,5) = 2,3524

-0,5211

1 sinh 1 0 ; ^ cosh 10 ^ - - e ^ ^ - 11013,2329 2

288

III Funktionen und Kurven (2)

Eine an zwei Punkten P^ und P2 in gleicher Hohe befestigte, freihangende Kette nimmt unter dem EinfluB der Schwerkraft die geometrische Form einer sog. Kettenlinie an, die durch die hyperbolische Funktion y = a- cosh (x/a)

(a: Parameter mit a > 0)

beschrieben wird (Bild III-157).

Bild III-157 Kettenlinie

13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y = tanhx und y = cothx Die Hyperbelfunktionen y = tanhx und y = cothx besitzen die in Tabelle 10 aufgefiihrten Eigenschaften. Die zugehorigen Kurven sind in Bild III-158 dargestellt.

y=cofh X

Bild III-158 Funktionsgraphen der Hyperbelfunktionen y = tanh x und y = coth x

13 Hyperbel- und Areafunktionen

289

Tabelle 10: Eigenschaften der Hyperbelfunktionen y = tanhx und y = cothx y == tanh x

y = coth X

Definitionsbereich

— 00 < X < 00

|x|>0

Wertebereich

- 1 i

Symmetrie

ungerade

ungerade

Nullstellen

xo = 0

Pole

xo = 0

Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

y— \ y= — \

(fiir x —• oo ) (fur X —• — oo)

X=0 (Polgerade) y=\ (fur X —• oo) y = — 1 (fur X —• — oo)

Beispiele Auf einem Taschenrechner wurden folgende Funktionswerte abgelesen: tanh 2 = 0,9640

coth 1,2 = 1,1995

tanh ( - 1 , 4 ) = -0,8854

coth ( - 2 , 3 ) = -1,0203

tanh 5 = 0,9999 ^ 1

coth 5 = 1,0001 ^ 1

13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den hyperbolischen Funktionen Aus den Definitionsgleichungen (III-200) bis (III-203) folgen unmittelbar die folgenden Beziehungen: tanh X =

sinhx coshx'

coshx coth X = ^" sinhx

1 tanhx

(III-204)

Von Bedeutung sind auch die sog. Additionstheoreme fiir sinh x, cosh x und tanh x.

290

III Funktionen und Kurven

Sie lauten: Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen sinh (xi ± X2) = sinhx^ • coshx2 ± coshxj • smhx2

(III-205)

cosh(xj^ ± X2) = coshx| • coshx2 ± sinhx^ • sinhx2

(III-206)

t a n h (xi + X2) -= - ™ ™ — ~

(III-207)

--^-

1 ± tanhx^ • tanhx2

Aus ihnen gewinnt man weitere wichtige Beziehungen wie z.B.: cosh^ X - sinh^ x = 1

(III-208)

sinh (2 x) = 2 • sinh x • cosh x

(III-209)

cosh (2 x) = sinh^ x + cosh^ x

(III-210)

Die Exponentialfunktionen y = e^ und y = Q~^ lassen sich durch die Hyperbelfunktionen y = sinhx und y = coshx wie folgt ausdriicken: e^ = cosh X + sinh x

(III-211)

e~^ = coshx — sinhx

(III-212)

13.2 Areafunktionen 13.2.1 Definition der Areafunktionen Die hyperboUschen Funktionen y = sinh x und y = tanh x sind in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsende Funktionen und daher dort umkehrbar. Bei der Hyperbelfunktion y = cosh x miissen wir uns jedoch auf ein Teihntervall beschranken, in dem die Funktion ein streng monotones Verhalten zeigt und dabei sdmtUche Funktionswerte durchlauft. Wir wahlen das Intervall x ^ 0. Die hyperbohsche Funktion y = cothx ist in den Teihntervallen x < 0 und x > 0 jeweils streng monoton fallend, durchlauft dabei den gesamten Wertevorrat und ist daher umkehrbar. Die Umkehrung der Hyperbelfunktionen in den genannten Bereichen fiihrt zu den Areafunktionen.

Definition: Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heiBen Areafunktionen. Bezeichnung und Schreibweise dieser Funktionen lauten: Areasinus hyperbolicus:

y = arsinh x

Areakosinus hyperbolicus:

y — arcosh x

Areatangens hyperbolicus:

y = artanhx

Areakotangens hyperbolicus: y = arcothx

13 Hyperbel- und Areafunktionen

291

13.2.2 Die Areafunktionen y = arsinhx und y = arcoshx Die wesentlichen Eigenschaften der Areafunktionen y = arsinh x und y = arcosh x sind in Tabelle 11 zusammengestellt. Ihren Kurvenverlauf erhalt man aus den Funktionsbildern der entsprechenden Hyperbelfunktionen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Bild III-159).

Tabelle 11: Eigenschaften der Areafunktionen y = arsinhx und y = arcoshx y = arsinh x

j; = arcosh x

Definitionsbereich

— 'OG' < X < 00

1 ^ X < OC

Wertebereich

— -00 < y < cc-

0 ^ y < CO

Symmetrie

ungerade

Nullstellen

xo = 0

XQ

Monotonie

streng monoton wachsend

streng monoton wachsend

= 1

Bild III-159 Funktionsgraphen der Areafunktionen y = arsinh x und y = arcosh x

III Funktionen und Kurven

292

13.2.3 Die Areafunktionen y = artanh x und y = arcoth x T)iQ Areafunktionen y = artanh x und y = arcoth x besitzen die in Tabelle 12angefuhrten Eigenschaften und den in Bild III-160 skizzierten Funktionsverlauf.

Tabelle 12: Eigenschaften der Areafunktionen y = artanh x und y = arcoth x y — artanh x

y = arcoth x

Definitionsbereich

- 1< X < 1

|x|>l

Wertebereich

— 00 < y < 00

|j|>0

Symmetrie

ungerade

ungerade

Nullstellen

xo - 0

Pole

^1/2 = ± 1

Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

X = ± 1 (Polgeraden)

Xi/2= + 1

X = + 1 (Polgeraden) y= 0

(fxir x —»- + oo)

Bild III-160 Funktionsgraphen der Areafunktionen y = artanh x und y = arcoth x

13 Hyperbel- und Areafunktionen

293

13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen Die Areafunktionen lassen sich unter Verwendung der \n-Funktion auch wie folgt als logarithmische Funktionen darstellen: Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen y = arsinhx = In (x 4- Vx^ + l)

{— cc < x < co)

(III-213)

y = arcoshx = In (x + ^/x^ - l )

(x ^ 1)

y = artanh x = - • In | - ^

j

(I x | < 1)

(III-215)

y = arcothx = - • In [ ^-"t- j

(|x| > 1)

(ITI-216)

(III-214)

Beispiele Bin Taschenrechner liefert die folgenden Funktionswerte: arsinh 1,5 = In (l,5 + VT^5^TT) = 1,1948 arsinh ( - 3,47) = In ( - 3,47 + ^ ( - 3 , 4 7 ) ^ + l ) = - 1,9574 arcosh 12,8 = In (l2,8 + V 12,8^ - l ) = 3,2411 arcosh 1,03 = In (l,03 + ^ 1 , 0 3 ^ - 1 ) = 0,2443 artanh 0,72 = - • In ( ^ ^ ^ ^ ) ^ o,9076 2 \ 1 - 0,72 / 1 / 1 - 0 29' artanh (-0,29) = - • In - ^ I = - 0,2986 1 /147 + r arcoth 14,7 - - • In - ^ I = 0,0681

2

\UJ-

1'

13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes Im luftleeren Raum erfahrt bekannthch jeder Korper die gleiche konstante Fallbeschleunigung g, so daB die Fallgeschwindigkeit v proportional zur Fallzeit t wachst: v = v{t) = gt

(t^O)

(III-217)

294

III Funktionen und Kurven

In einem t, r-Diagramm erhalt man den in Bild III-161 a) skizzierten linear en Verlauf. Wesentlich anders liegen die Verhaltnisse bei Beriicksichtigung des Luftwiderstandes. Wir behandeln dieses Problem ausfiihrlich in den Anwendungen der Integralrechnung (Kap. V) sowie im Zusammenhang mit den Differentialgleichungen (Band 2, Kap. V). An dieser Stelle wollen wir nur das Ergebnis mitteilen. Wird die Reibungskraft R proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit v angenommen, R = k • v^ {k ist dabei eine positive Konstante), so erhalt man fiir die Abhangigkeit der Fallgeschwindigkeit v von der Fallzeit t eine hyperbolische Funktion: v(t)

Vp • tanhI — t

(t^O)

(III-218)

{v^ = ^mg/k). Bild III-l61b) verdeutlicht, wie sich die Fallgeschwindigkeit v fiir t — • GO asymptotisch ihrem Endwert lim

% • tanh I — t

^E

(III-219)

t -^ CO

nahert. Physikalische Deutung: Die Endgeschwindigkeit v^ wird erreicht, wenn sich Gewichtskraft G = mg und Luftwiderstand R = k • das Gleichgewicht halten und die Fallbewegung damit krdftefrei geworden ist:

k'vi

mg

' mg

T

Bild 111-161 Abhangigkeit der Fallgeschwindigkeit v von der Fallzeit t a) ohne Beriicksichtigung des Luftwiderstandes b) bei Beriicksichtigung des Luftwiderstandes

(III-220)

ijbungsaufgaben

295

Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1) Bestimmen Sie fiir die folgenden Funktionen den grofitmoglichen Defininitionsbereich sowie den Wertebereich:

2)

a)

y=

d)

y =

b)

x^ + 1

y.

c)

/x^-1

y = In IXI

c2-0,5x-3

4x2 _ 15

X + 1

Bestimmen Sie den jeweils grofitmoglichen Definitionsbereich und zeichnen Sie anschlieBend den Funktionsgraphen: a)

y=

b)

/2x + 6

y.

1 |x-l|

c)

y=e

x|

3) Bei der aperiodischen Schwingung eines mechanischen Systems wurden folgende Werte gemessen: t/s

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

y/cm

4

2,87

2,01

1,37

0,90

0,55

0,30

t/s

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

_v/cm

0,12

0

-0,08

-0,14

-0,17

-0,18

-0,19

t/s

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

y/cm

-0,18

-0,17

-0,16

-0,15

-0,14

-0,12

-0,11

t/s

2,3

2,5

3

3,5

y/cm

-0,08

-0,06

-0,03

-0,01

Skizzieren Sie den Funktionsverlauf y = y{t) in einem geeigneten MaBstab. 4)

Fine Funktion ist durch die Parametergleichungen x (t) = 0,51, y (t) = v t + /: — 2, t ^ 0 definiert. Stellen Sie die Funktion explizit, d.h. in der Form y = y(x) dar und skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Intervall 0 < r < 15 (Schrittweite: At = 1). Welche Koordinaten gehoren zu den Parameterwerten t^ = 1,5 und t2 = 5?

296

III Funktionen und Kurven

Zu Abschnitt 2 1) Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen in ihrem maximalen Definitionsbereich: a)

y = 4x^ — 16

b) b)

d)

};== 1 x ^ - 4 1

e) e)

g) 2)

1

y=

^

x2-l

'-^^

l+x2

c)

y = sinx • cosx

f)

3; = V^^-25

y = 4 • sin-^ x

h)

X - 1

x3

y = —y-—-

^"x2 + l

Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellenl a)

J^-^^ry

c)

y = x'^-4x^

-45

b)

y = sm^x--

d)

y = (x - 1) • e^

3) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Monotonie: a)

y = x"^

b)

d)

3; = | x ^ - 2 x + l |

f)

y= -2-ln{2x-4)

j; = VX — 1

(x ^ 1)

(x^l)

c) e)

y = x^ + 2x y = Q^""

(x > 2)

4)

Zeigen Sie: Die Funktion j; = 2 • sinf — 4 • cosf besitzt die Periode p = 2n.

5)

Wie lauten die Umkehrfunktionen von: a)

1 3; = — 2x

(x>0)

b)

/— y = ^3x

(x > 0)

c)

37 = 2 - e ^ ' ^ ' ^

Zu Abschnitt 3 1) Wie andert sich die Funktionsgleichung von y ^ x ^ — sinx + 3

2)

a)

bei Verschieben der Kurve um drei Einheiten in positiver x-Richtung und zwei Einheiten in negativer j-Richtung,

b)

bei Verschieben der Kurve um jeweils fiinf Einheiten in positiver x-Richtung und y-Richtung?

Fiihren Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung _y = 2x^ — 16x + 28,5 durch eine geeignete Koordinatentransformation (Parallelverschiebung) auf die Parabel y = 2 X -^ zuruck.

Ubungsaufgaben

297

3) Zeigen Sie, daB die Sinuskurve mit der Funktionsgleichung y = sin I x — - | — 2 durch Parallelverschiebung der Sinuskurve j; = sin x entsteht. 4)

Der Mittelpunktskreis x^ -\- y^ = 16 soil parallel zu den Koordinatenachsen so verschoben werden, daB sein Mittelpunkt in den Punkt M = (—2; 5) fallt. Wie verandert sich dabei die Kreisgleichung?

5) Wie lauten die Polarkoordinaten folgender Punkte? P, = (4; -^ 12)

P2 = ( - 3 ; - 3 )

P^ = (5; - 4 )

6) Von einem Punkt P sind die Polarkoordinaten r, cp bekannt. Wie lauten seine kartesischen Koordinaten? a) 7)

P: r = 1 0 ,

(^ - 35°

b)

P: r = 3,56, (^ = 256,5°

Skizzieren Sie den Verlauf der folgenden, in Polarkoordinaten dargestellten Kurven: a)

r{(p) = 1 + sin (p

b)

(O^qxln)

r{cp) = e^'^^

{0 ^ cp ^ n)

8) Gegeben ist die in kartesischen Koordinaten dargestellte Kurve mit der (impliziten!) Funktionsgleichung (x^ + _y^)^ — 2x3; = 0. a)

Wie lautet die Funktionsgleichung in Polarkoordinatenl

b)

Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Zu Abschnitt 4 1) Bestimmen Sie das Bildungsgesetz der unendHchen Folgen: a)

0,2; 0,04; 0,008; ...

b)

1 4 9 2' 3' 4' •'•

2) Zeichnen Sie den Graph der Zahlenfolge

\n^ + 10/ 3) Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen fiir w -» co: a) , c)

/2n + l \ = ( ^^ ) / \ /"^ + 4 « - l = ( 2—^ \ n^ — 3n

b)

=

/n2+4

""^

1 2 2' 4'

3 8'

298

III Funktionen und Kurven

4)

Berechnen Sie (gegebenenfalls nach elementaren Umformungen) die folgenden Grenzwerte: lim

b)

1X^ + 1

d)

f)

lim

3

^

( x - 2 ) ( 3 x H - 1)

lim x^2

4x-8

X

^

lim x-^0

sin (2 x) smx

x^-2x + 3

00

^

I

-•-

^2

'1 + x - 1

lim

c)

+ 3 lim

lim

x-^0

5)

x^ — X — 12

X -»

00

h)

x^ - 4 x + 1 1

Welchen Grenzwert besitzt die Funktion / (x) =

- X

lim x-^l

x^-1 X - 1

fiir X — 1 ?

1-V^ Anleitung: Erweitern Sie die Funktionsgleichung mit 1 + v •^• 6)

Zeigen Sie: Die Funktion Grenzwert g = 0.

7)

An welchen Stellen besitzen die folgenden Funktionen

8)

a)

y-

d)

j;:

X+ 2

b)

x-4

/(x) = v x + 2 — v ^

x^ + 4 x + 8

y.

besitzt fiir

x — • GO den

Definitionsluckenl smx

x^ + 3x + 2

1 smx

Zeigen Sie, daB die Funktion fx

/W = i

,

fur

X J\ — x^

18)

x(t) und y{t) seien zwei aufeinander senkrecht stehende Schwingungen gleicher Frequenz. Bestimmen Sie die durch ungestorte Uberlagerung entstehenden Lissajous-Figuren fiir: a)

X (0 = 3 cm • sin (5 s ~ ^ • t) y{t) = — 4 cm • cos (5 s~^ • t)

b)

x (f) = — 5 cm • cos (2 s ~ ^ • t) y(^) = — 5 cm • sin (2 s" ^ • t)

Zu Abschnitt 11, 12 und 13 1) Eine radioaktive Substanz zerfallt nach dem Zerfallsgesetz n{t)=nQ'Q~^^ {t ^0). Fiir das Element Radon ^ l ^ ^ n besitzt die Zerfallskonstante /I den Wert X = 2,0974 • 10"^ s~ ^ Berechnen Sie die Halbwertszeit T. 2) Wird ein Kondensator mit der Kapazitat C iiber einen ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung q exponentiell mit der Zeit t nach der Gleichung t_

Q(t) = ^0 ' ^ ^^ ab. Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, von dem an die Kondensatorladung unter 10% ihres Anfangswertes q{0) = q^ gesunken ist (Zeitkonstante i^C = 0,3 ms). 3) Bestimmen Sie aus der barometrischen Hohenformel p{h) = 1,013 bar • e 7991m den Luftdruck in den Hohen h^ = 500 m, /12 = 1000 m, h^ = 2000 m, h^ = 5000 m und ^5 = 8000 m.

306 4)

III Funktionen und Kurven Durch die Gleichung y{t) = 2 • Q~^'-^^ - cos (nt) wird eine geddmpfte Schwingung beschrieben. Skizzieren Sie den Schwingungsvorgang im Periodenintervall O^t^l (Schrittweite: At = 0,1).

5) Wir betrachten einen Stromkreis mit einer Induktivitat L und einem ohmschen Widerstand R. Beim Einschalten der Gleichspannungsquelle erreicht der Strom infolge der Selbstinduktion erst nach einiger Zeit den nach dem Ohmschen Gesetz erwarteten Endwert IQ. Dabei gik: i(0 = i o ( l - e ~ ^ ' )

{t>0)

Berechnen Sie fiir IQ = 4 A, R = 5Q und L = 2,5 H den Zeitpunkt, in dem die Stromstarke 95% ihres Endwertes erreicht hat. Skizzieren Sie die Strom-ZeitFunktion. 6)

Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y = a • Q~^^ + 2 so, daB die Punkte ^ = (0; 10) und B = {5; 3) auf der Kurve hegen.

7)

Wie sind die Parameter a und b zu wahlen, damit die Kurve y = a - Q~^^^ durch die Punkte A = (3,5; 12) und B = (8; 2,4) verlauft?

8)

Eine Fliissigkeit mit der Anfangstemperatur TQ wird durch ein Kiihlmittel mit der (konstanten) Temperatur T^ gekiihU. Die Temperaturabnahme verlauft dabei exponentiell nach der Gleichung T(0 = ( T o - T i ) - e - ^ ^ + T i

(^^0)

wobei T (t) die Temperatur der Fliissigkeit zur Zeit t ist. In einem Versuch mit Ol werden bei einer Kiihltemperatur von T^ = 20 °C folgende Werte gemessen: Nach 50min betragt die Oltemperatur 85 °C, nach 150 min dagegen nur noch 30 °C. Bestimmen Sie TQ und k und berechnen Sie anschheBend, nach welcher Zeit t^ das Ql eine Temperatur von 60 °C erreicht hatte. 9)

Der Kolben eines KFZ-Stofiddmpfers lege beim Einschieben einen Weg x nach dem Zeitgesetz xit) = 30 cm A - e ~ ^ ^ ^

{t ^ 0)

zuriick. Nach welcher Zeit ist der Kolben um 15,2 cm eingeschoben? 10)

Der aperiodische Grenzfall einer (gedampften) Schwingung wird durch eine Funktion vom Typ y (t) = {A -\- Bt) Q~^^ mit t ^ 0 beschrieben. Skizzieren Sie fiir A = 3, B = d> und 1 = 2 diese „Kriechfunktion" im Intervall 0 ^ Z: < 3.

Ubungsaufgaben 11)

307

Ein durchhangendes Seil geniige der Gleichung y = a • cosh{x/a) (Kettenlinie). Berechnen Sie gemaB der Skizze (Bild III-164) den Durchhang H fiir die Werte a = 20 m und / = 90 m.

Bild 111-164

12)

Losen Sie die folgenden Exponentialgleichungen: a)

13)

^x^ — 2^

b)

e^ + 2 - e - ^ = 3

Welche Losungen besitzen die folgenden logarithmischen Gleichungen? a)

In A/X + 1,5-Inx = ln(2x)

b)

(lgx)^-lgx = 2

308

IV Differentialrechnung 1 Differenzierbarkeit einer Funktion 1.1 Das Tangentenproblem Zunachst wollen wir anhand eines einfachen und iiberschaubaren Beispiels die Problemstellung der Differentialrechnung aufzeigen. Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist dabei die Normalparabel mit der Funktionsgleichung y = f{x) = x^. Wir stellen uns die Aufgabe, die Steigung der Kurventangente an der Stelle x = 0,5, d.h. im Kurvenpunkt P = (0,5; 0,25) zu bestimmen, und losen dieses Problem schrittweise wie folgt: (1)

In der Umgebung von P wird ein weiterer, von P verschiedener Parabelpunkt Q ausgewahlt (Bild IV-1). Bezeichnen wir die Abszissendifferenz der beiden Punkte mit Ax, so lauten ihre Koordinaten wie folgt: P = (0,5; 0,25), yi

Q = (0,5 + Ax; (0,5 +

I

y=x'

?

Axf)

(IV-1)

.

1 L-Sekanfe 2-

Q

i

r y/—Tangenfe

in P

z/y

1-

pMt\

0.25-

^

I

—

^x

5

;

»-

as^z;X

^

^^

Bild IV-1

X

Die durch P und Q verlaufende Sekante besitzt damit die Steigung Ay (0,5 + Axf - 0,25 0,25 + Ax + (Ax)^ - 0,25 m^ = tan s = Ax Ax ^ Ax Ax + (Ax)^ Ax(l + Ax) 1 + Ax Ax Ax

(IV-2)

1 Differenzierbarkeit einer Funktion

309

und stellt eine erste Ndherung der gesuchten Tangente dar. Die Sekantensteigung m^ hangt dabei erwartungsgemaB noch von Ax, d.h. der Lage des Parabelpunktes Q ab. (2)

Wir lassen jetzt den Punkt Q Idngs der Parabel auf den Punkt P zuwandern (2—•^P)- Dabei strebt die Abszissendifferenz Ax gegen Null (Ax—• 0). Beim Grenziibergang geht die Sekante in die Tangente und die Sekantensteigung m^ damit in die Tangentensteigung m^ iiber. In unserem Beispiel erhalten wir: m^ = tan a = lim

Ay -— = lim (1 + Ax) = 1

(IV-3)

Die Kurventangente im Parabelpunkt P = (0,5; 0,25) besitzt somit den Steigungswert m^ = \. Symbolisch schreiben wir dafiir: 3;'(0,5)=r(0,5) = l

(IV-4)

(gelesen: y Strich an der Stelle 0,5 bzw. / Strich an der Stelle 0,5). Man bezeichnet diesen Grenzwert als Ableitung der Funktion y = f(x) = x'^ an der Stelle X = 0,5 und nennt die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

1.2 Ableitung einer Funktion Wir formulieren nun das im vorangegangenen Abschnitt dargestellte Tangentenprohlem in allgemeiner Form: Gegehen sei eine Funktion y = f{x), gesucht wird die Steigung der Kurventangente an dQY StdlQ x = XQ, d.h. im Kurvenpunkt P = (XQ; yo) (yo =f{^o))Die Losung der gestellten Aufgabe erfolgt dabei in zwei Schritten: (1)

Zunachst wahlen wir auf der Funktionskurve in der Nachbarschaft von P = (XQ; yo) einen weiteren, von P verschiedenen Kurvenpunkt Q aus (Bild IV-2).

Bild IV-2 Zum Begriff der Ableitung einer Funktion Xa +

^X

310

IV Differentialrechnung Wird die Abszissendifferenz der beiden Punkte wieder mit Ax bezeichnet, so besitzen P und Q die folgenden Koordinaten: ^ = (^0; -Vo)

init

yo = / ( x o )

(IV-5)

Q = {xo + A x ; / ( x o + Ax))

Die Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante ist dann durch den sog. Differenzenquotienten Ay /(xo + A x ) - / ( x o ) m„ = tan e = ^ = \ ^ Ax Ax

,_^-_,, (IV-6)

gegeben. (2)

Wandert nun der Punkt Q Idngs der Kurve auf den Punkt P zu (Q —• P), so strebt gleichzeidg die Abszissendifferenz Ax—•O und beim Grenzubergang fallt die Sekante in die (gesuchte) Tangente. Die Tangentensteigung m^ ist somit der Grenzwert der Sekantensteigung m^, d.h. der Grenzwert des Differenzenquotienten (IV-6)fur A x — 0 : m^ = tan a = 11m -— = lim Ax-^O ^ ^

(IV-7)

Ax-^0

^^

Man nennt diesen Grenzwert, falls er vorhanden ist, die Ableitung der Funktion y = fix) an der Stelle x = XQ und kennzeichnet ihn durch eines der folgenden Symbole: y'ixo),

Oder

f'ixo)

Der formale Quotient

dy ^ dx

dy -^

(IV-8 wird als Differentialquotient der Funktion

y = fix) an der Stelle X — XQ bezeichnet (gelesen: dy nach dx an der Stelle X = XQ). Wir kommen spater darauf zurtick. Definition: Eine Funktion y = / ( x ) heiBt an der Stelle X — XQ differ enzier bar, wenn der Grenzwert r

Ay

/{XQ 4 - A X ) ~ / ( X Q )

hm —- = lim ^_.____^__ (TV-9) Ax^O A^ Ax->0 A-^ vorhanden ist. Man bezeichnet ihn als die (erste) Ableitung von y = / W ^^ ^^^ Ste//e X = XQ oder als Differ entialquotient von y ~ f(x) an der Stelle x = XQ und kennzeichnet ihn durch das Symbol y'i^o)^

f'i^o)

Oder

dy --

(IV-10)

1 Differenzierbarkeit einer Funktion

311

Anmerkungen (1) Die Ableitung y' {XQ) wird auch als 1. Ableitung bezeichnet. (2)

Der Vorgang, der zur Bestimmung der Ableitung, d.h. zur Berechnung des Grenzwertes (IV-9) fuhrt, heiBt Differentiation oder Differenzieren.

(3)

Wahlt man den Punkt Q rechts (links) vom Punkte P, so erhalt man beim Grenziibergang Q —• P die rechtsseitige (linksseitige) Ableitung. Nur wenn beide Ableitungen uhereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle XQ differenzierbar (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (4)).

(4)

Geometrische Interpretation der Ableitung: Die Differenzierbarkeit einer Funktion y = f{x) an der Stelle x = XQ bedeutet, daB die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit endlicher Steigung besitzt.

(5)

Die Ableitungsfunktion y^(x) = f'{x) ordnet jeder Stelle x aus einem Intervall / als Funktionswert den Steigungswert (Grenzwert IV-9) zu. Man spricht dann kurz von der Ableitung der Funktion y = f(x).

Eine weitere sehr niitzliche Schreibweise fiir die Ableitung einer Funktion erhalt man d unter Verwendung des sog. Differentialoperators -—. Dieser erzeugt aus der Funktion dx y =f{x) die Ableitungsfunktion y' — f (x)\

J^[/W]=/'W

(iv-ii)

dx Beispiele (1)

y = f{x) = const. = a => y' = f' (x) = 0

Ay

Differ enzenquotienV. —- = Ax

/(x + Ax)-/(x) ^ Ax

a-a

—- = -—— = 0 Ax

Aj;

1. Ableitung: y' = lim —— = lim (0) = 0

(2)

3;=/(x) = x => /=f^{x) Ay

Differ enzenquotient: -— = Ax

=l /(x + Ax)-/(x) Ax

Aj;

1. Ableitung: y' = lim -—- = lim (1) = 1 Ax->0 ^ ^

Ax-^O

=

(x + A x ) - x Ax Ax

= -— = 1 Ax

IV Differentialrechnung

312 (3)

y=f{x)

= x^

=> y'=f'{x)

^y Ax

Differ enzenquotient:

= 2x

/(-^ + Ax)-/(x) Ax

(x + A x ) ^ - x ^ Ax

x^ + 2x • Ax + (Ax)^ - x^ Ax 2x • Ax + (Ax) Ax 1. Ableitung:

y' =

Aj; lim Ax^O Ax

2x + Ax

lim (2x + Ax) = 2 x Ax^O

Unter Verwendung des Differentialoperators konnen wir dafiir auch schreiben: d ax So betragt beispielsweise die Steigung der Tangente an der Stelle x^ = 0 , 5 : 37^(0,5) = 2-0,5 = 1 an der Stelle X2 = 1: 3;^(1) = 2 - 1

(4)

=2

Die in Bild IV-3 dargestellte y=f{x)

= \x\-

X -X

Betragsfunktion fiir

X ^ 0 X< 0

liefert ein Beispiel fiir eine Funktion, die nicht iiberall in ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist. Diese Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar, dsi sie dort keine eindeutig bestimmte Tangente besitzt.

Bild IV-3

1 Differenzierbarkeit einer Funktion

313

Denn rechts- und linksseitige Ableitung in x = 0 sind zwar vorhanden, weichen jedoch voneinander ab: Rechtsseitige Ableitung {Q^ —• P): lun fJ^±M^fM= Ax->0

^^

Hm ^ Ax^O

= ^^

Hm(l) = l Ax-^0

Linksseitige Ableitung (Q2 —• P)'lun m ± M ^ m = Ax

Ax-^0

Hm = i ^ ^ = Ax

A:x->0

lim

(-1)=-!

Ax^O

1.3 Ableitung der elementaren Funktionen Die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen lassen sich auf direktem Wege als Grenzwert des Differenzenquotienten nach der Definitionsgleichung (IV-9) gewinnen. Sie sind in der folgenden Tabelle 1 zusammengestellt Tabelle 1: Erste Ableitung der elementaren Funktionen Funktion /(x)

Ableitung / ' (x)

Konstante Funktion

c — const.

Potenzfunktion

x"" (neM)

0 (Potenzregel)

Wurzelfunktion ^^

s/x

Trigonometrische Funktionen

sinx

1 2vx

cos X

cos X — sinx

tanx

1 cos^x

cot X

1 sin^x

1) Sonderfall der Potenzfunktion x" fiir n ^ 1/2 (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel (2)).

IV Differentialrechnung

314 Tabelle 1 (Fortsetzung) Funktion / (x) Arkusfunktionen

Ableitung / ' (x) arcsin x

arccos x

arctan x

arccot X Exponentialfunktionen

Logarithmusfunktionen

1

x/T^^ 1 1

+x^ 1

1 +x2 e-^

a^

(In a) • a*^

In X

1 X

1 (In a) • X

sinh X

coshx

coshx

sinhx

tanh X

coth X

Areafunktionen

Vl-x^

e^^

log^x Hyperbelfunktionen

1

1 cosh^x 1 sinh^ X 1

arsinh x

V^^^^i" arcosli X

artanh x

arcoth x

1

Vx^^l 1 l~x2 1 l-x2

1 Differenzierbarkeit einer Funktion

315

Wir beweisen jetzt exemplarisch die Potenzregel d (IV-12) (x") = n ' Xn-l dx fixr positiv-ganzzahlige Exponenten (n e M*). Dabei machen wir Gebrauch vom Binomischen Lehrsatz in der Form +

\a ""-^'b^

(a + ^f = fl" + I

.

a"-2-l?2 + ... + 5"

(IV-13)

(sielie hierzu Abschnitt L6). Fiir den Differenzenquotient der Potenzfunktion f{x) = x^ folgt dann unter Verwendung dieser Entwicklungsformel mit a = x und b = Ax: Ay _ fix + Ax)-fix) Ax Ax

_ ix + Axf - x" _ Ax

X" + I " ^ I X« - i . Ax + '

\-"-2 (Ax)2 .M^^2+ ... + (Ax)"-x"

Ax Ax + I |x n-2

^n-l

(Ax)2 + ... + (Axr

Ax

:h'-'H>"-'

,n-l Ax -h ... H- (Ax'

(IV-14)

Beim Grenziibergang Ax—*- 0 diirfen wir nach der Grenzwertregel (III-32) gliedweise vorgehen. Dabei verschwinden alle Glieder bis auf den ersten Summand. Folglich ist dx

JU"-+ru"-

( x " ) - lim n

x"-i

Ax + ... + (Ax)'n-l (IV-15)

=n-x«-i

Damit ist die Potenzregel fur positiv-ganzzahlige Exponenten bewiesen. Sie gilt jedoch allgemein fiir beliebige reelle Exponenten. Auf den Beweis verzichten wir. Beispiele (1)

y = x^^^

(2)

y-

(3)

y =

y

X = X

1/2

-1/2

-1/3

=yx y

^ = X

3-X1/3

= - • X

•1/2

2

3

•1/2

2-xV2 -3/2

^^ 1 2-x3/2

2 • x/x

316

IV Differentialrechnung

2 Ableitungsregeln Wir behandeln in diesem Abschnitt eine Reihe von Ableitungsregeln, die das Differenzieren einer Funktion wesentlich erleichtern. Bei ihrer Herleitung benotigen wir die in Abschnitt 111.4.2,3 dargestellten Rechenregeln fiir Grenzwerte und setzen ferner voraus, daB alle in den Formelausdriicken auftretenden Funktionen auch differenzierbar sind.

2.1 Faktorregel Faktorregel Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten: ->

y=:C'f(x)

y' = C- f (x)

(C: Konstante)

(IV-16)

Beweis der Faktorregel: Wir setzen vorubergehend y = g{x) =^ C - f{x). Unter Verwendung der Grenzwertregel (III-31) gilt dann: y = lim Ax->0

gix-hAx)-gix)

= lim C

^^

=

lim Ax^O

fix + Ax)-fix) :

C • f{x + Ax) - C - f{x)

= C ' lim

^^

fix +

Ax)-fix)

(IV-17)

C'f'ix)

Beispiele (1)

y-lOx"^

(2)

3; = - 3 • e-^ ^

(3) (4)

=> 3;' = 10- —(x'^) = 10-4x3 = 4 0 x 3 dx

3;' = - 3 • - - (e^) = - 3 • e^ dx dx d X = 4 • sin ^ :^ -— = 4 • — (sin ^ = 4 • cos t dt dt

d 1 5 3; = 5 • In X => 3;^ = 5 • - - (In x) = 5 • - = dx

XX

2 Ableitungsregeln

317

2.2 Summenregel Summenregel Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden: + / 2 M + - ..+f„{x) =>

(IV-18)

+ /2W + -

Beweis der Summenregel: Wir beweisen diese Ableitungsregel fiir f{x) = f^ (x) + /2 (x), d.h. eine Summe aus zwei Funktionen. Unter Verwendung der Grenzwertregel (III-32) ist dann: y' = lim

/(x + Ax)-/(x) Ax

/ i ( x + Ax) +/2(x + Ax) - / i ( x ) - / 2 ( x ) Ax Ax^O

= lim

lim

7 i ( x + A x ) - / i ( x ) ^ /2(x + A x ) - / 2 ( x ) Ax Ax

/2(X + A x ) - / 2 ( X ) /i(x + A x ) - / i ( x ) : h lim Ax Ax Ax->0 Ax^O

= lim

-fi{x)+fi{x)

(IV-19)

Beispiele (1)

y = 4x^ + 3 • cosx - 5 • e^ + Inx => y ' = 28x^ - 3 • sin x - 5 • e-^ +

(2)

y = 4 ' arctan x — 2 • arccos x + 10 • sinh x + 3 x 4 y' =

(3)

1 + X'

1

s{t) = -at^

^

H

2 :i:z=^z + 10 • cosh x + 3 '\ - x ^ ^

+ VQI -\- SQ => s{t)

ds = -— =

at-i-VQ

318

IV Differentialrechnung

2.3 Produktregel Produktregel Die Ableitung einer in der Produktform y = u {x)' V (x) darstellbaren Funktion erhalt man nach der Produktregel y' = u^ (x) • V(x) + v^x)' u(x)

(IV-20)

Anmerkungen (1) In der Praxis verwendet man meist die folgende Kurzschreibweise: y = uv ^> y'= u'V-\-v'u (2)

(IV-21)

Die Produktregel laBt sich auch wie folgt darstellen: d --(uv) = u'v + v'u dx

(IV-22)

Beweis der Produktregel: Der Differenzenquotient der Produktfunktion y = f{x) = u{x) • v{x) lautet: /(-^ + ^^) " ~ / W Ax

^y Ax

u{x + Ax) - v{x -\- Ax) — u{x) • v{x) Ax

(IV-23)

Gleichzeitig addieren und subtrahieren wir jetzt im Zahler den Term u{x) • v{x -\- Ax) und erhalten nach einer Umordnung der Glieder: Ay Ax

u{x + Ax) • v{x + Ax) — u{x) • v{x 4- Ax) + u{x) • v{x + Ax) — u{x) • v{x) Ax [u{x + Ax) — u{x)] • i;(x + Ax) + u{x) - [v{x + Ax) — i;(x)] Ax [u{x + Ax) — u{x)] ' v{x -\- Ax) Ax

=

u{x + Ax)-u{x) -~ Ax

u{x) • [i;(x + Ax) — v{x)] Ax

, . . , . . i;(x + A x ) - i ; ( x ) i; (x + Ax) + w (x) Ax

n^r->A\ (IV-24)

2 Ableitungsregeln

319

Beim Grenziibergang Ax—•O beachten wir die Grenzwertregeln (III-31) bis (III-33) und erhalten schlieBlich i/(x + A x ) - w ( x ) , , . , , . . , . v{x + y = lim — v{x -\- Ax) + lim u{x) •

=

(

u{x + Ax) - u{x)\

lim

VAX-^O

^^

Ax)-vix)

( , , A ^^ , • I lim i; (x + Ax) I +

/

\Ax->0

/

/ t;(x + A x ) - i ; ( x ) + u{x)\ lim \Ax--0

^^

= u' (x) • i;(x) + w(x) • v' (x) = w^ (x) • v{x) -\- v' {x) - u(x)

(IV-25)

Beispiele (1)

j; = (4 X ^ — 3 x) (2 • e^ — sin x) = wz;

i^ = 4 x ^ - 3 x

=> w' = 1 2 x ^ - 3

i; = 2 • e^ — sin X => i?^ = 2 • e*^ — cos x y' = u'v + v'u = (12x^ - 3) (2 • e^ - sin x) + (2 • e^ - cos x) (4x^ ~ 3 x) = = (8x^ + 24x^ - 6 x - 6 ) - e ' ' - ( 1 2 x ^ - 3 ) - s i n x - ( 4 x ^ - 3x)-cosx (2)

y = arctan x • In x = wi^ u

V

u = arctan x => u i; = In X

=> t;^ =

1 1 +x^ 1 X

, , , 1 ^ 1 y = u V -{- V u = • mX H 1 + X^ X

In X arctan x = 1 + X^

arctan x H X

320

IV Different!alrechnung

Die Produktregel laBt sich auch fiir Produktfunktionen mit mehr als zwei Faktoren formulieren. Bei drei Faktoren u = u{x), v = v{x) und w = w{x) gilt beispielsweise: Produktregel bei drei Faktorfunktionen d — (t/z;w) — u' vw + uv' w + uv w' dx

(T V-26)

Beispiel 3; = 5x^ sin X ' Q^ = uvw u

V

W

u = 5x^ => u' = 15x^ 1; = sin X => w = Q^

v' = COS X

=>

W' = Q^

y' = u'vw + uv'w + uvw' = 15x^ • sinx • e^ + 5x^ • cos x • e^ + 5x^ • sinx • e^ = 5 x^ • e^ • (3 • sin X + X • cos x + x • sin x)

2.4 Quotientenregel Quotientenregel Die Ableitung einer Funktion, die als Quotient zweier Funktionen u{x) und in der Form y ='y =

D(X)

darstellbar ist, erhalt man nach der Quotientenregel

v{x) — v' (x) •u{x) vHx)

(IV-27)

Anmerkungen (1) Die in der Praxis iibliche Kurzschreibweise lautet: u , u' V — v' u y = - => y' = -,—

(lV-28)

2 Ableitungsregeln (2)

321

Die Quotientenregel laBt sich auch wie folgt formulieren: d f u\ dx\v I

u'V — v'u v^

(IV-29)

Auf den Beweis der Quotientenregel wollen wir an dieser Stelle verzichten. Wir werden ihn aber spater im Zusammenhang mit der sog. logarithmischen Differentiation nachholen (vgl. hierzu Abschnitt 2.6).

Beispiele (1)

y=

x^ — 4x -\- 5 u 2x^-4x + l V

u=^ x^ - 4x -^ 5

=> u' =

i; = 2 x ^ - 4 x + l => v' = ^ _u'v-v'u ^ ' v^

3x^-4 Ax-4 -Ax + \)- {Ax - 4) (x^ - 4x + 5) ( 2 x 2 - 4 x + l)^

_{?>x^ -A){2x^ ~

2x^^-8x3 + l l x ^ - 2 0 x +16 ( 2 x ^ - 4 x + \Y

(2)

y =

In X + X e-^

u V

w = lnx + x => u = — h l =

•^ +

y ==

u V —Vu

v^

-^ + 1

X

/I

1

X

X

=

T

/I

^

• e-^ — e-^ • (In X + x)

T

/^-^ +

e-^ •

(e^)2

(In X + x) X 4- 1 — X • (In X + x)

\

1

^

(e^)2

/I

(In x + x

322

IV Differentialrechnung

2.5 Kettenregel Die bisher bekannten Ableitungsregeln (Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel) versetzen uns in die Lage, einfache Funktionen problemlos zu differenzieren. Diese Ableitungsregeln reichen jedoch nicht mehr aus, wenn es um die Ableitung zusammengesetzter oder ineinander geschachtelter Funktionen geht. Mit den bislang bekannten Regeln wird es uns beispielsweise kaum gelingen, die Ableitung der Funktion y = sin (3 X — 4) oder y = 2- Q^^ ZU bilden. Dazu benotigen wir die Kenntnis einer weiteren Ableitungsregel, die unter der Bezeichnung Kettenregel bekannt ist. Bei der Herleitung dieser Regel lassen wir uns dabei von den folgenden Uberlegungen leiten: Mit Hilfe einer geeigneten Substitution u = u{x) versuchen wir, die vorgegebene Funktion y = f{x) in eine einfacher gebaute und moglichst elementare Funktion y = F{u) uberzufiihren: y=f{x)

Substitution u = u{x)

^

y = F{u)

Fiir die Funktionen u = u{x) und y = F(u) haben sich dabei die Bezeichnungen u = u{x):

Innere Funktion

y = F{u): Aufiere Funktion eingebiirgert. Zwischen ihnen besteht dann der folgende Zusammenhang: y = F(u) = F(u{x))^f{x)

(IV-30)

Die gesuchte Ableitung der Funktion y = f{x) nach der Variablen x laBt sich dann als Produkt aus den Ableitungen der dufieren und der inner en Funktion gewinnen: y j _ l j _ l ± dx du dx

(IV-31)

(sog. Kettenregel). Wir haben somit unsere Aufgabe gelost, falls sowohl die auBere als auch die innere Funktion elementar, d. h. unter Verwendung der bekannten Ableitungsregeln differenzierbar sind. Mit den Bezeichnungen dy .. -— : Aufiere Ableitung (Ableitung der auBeren Funktion y = F {u)) du du -— : Innere Ableitung (Ableitung der inneren Funktion u = u (x)) dx laBt sich die Kettenregel allgemein wie folgt formulieren:

2 Ableitungsregeln

323

Kettenregel Die Ableitung einer zusammengesetzten (verketteten) Funktion y = F{u{x)) = f{x) erhalt man als Produkt aus dufierer und innerer Ableitung: (IV-32)

/ = ? =? • ax au ax

Anmerkungen (1) Fiir die erfolgreiche Anwendung der Kettenregel ist von entscheidender Bedeutung, daB es mit Hilfe einer geeigneten Substitution u = u{x) gelingt, die vorgegebene Funktion y = f{x) in eine elementar differenzierbare Funktion y = F{u) zu iiberfiihren. Die nachfolgenden Beispiele werden dies unterstreichen. (2)

Man beachte, daB die innere Funktion u = u{x) immer mit der Substitutionsgleichung identisch ist.

(3)

Die Kettenregel laBt sich auch in der Form (IV-33)

y{x) = F'{u)'u'{x) darstellen {F^{u): dufiere AhlQitung; u'{x): mn^re Ableitung).

Beweis der Kettenregel: Wir wollen den Beweis dieser wichtigen Regel nur andeuten. Der Differenzenquotient laBt sich in der Form Ay Ay AM Ay Au - ^ = —^ = -^ Ax Ax Au Au Ax

(IV-34)

darstellen und setzt sich somit aus den Differenzenquotienten der dufieren und der mn^r^n Funktion zusammen. Beim Grenziibergang Ax—• 0 strebtauch Au—• 0 und es gilt unter Verwendung der Grenzwertregel (III-33): ^ _

=

liin

— = lim / ^ ^ . — ^ = f lim —\'(

/ ,. Ay\ / Au\ dy du hm / • lim — = / . -

lim

—

(IV-35)

324 •

IV

Differentialrechnung

Beispiele (1)

(2)

3; = 3 - s i n (5 x) Substitution:

u = u(x) = 5x

Aufiere Funktion:

y = F{u) = 3 • sin u

Innere Funktion:

u = u{x) = 5x

Aufiere Ableitung:

dy —- = 3 • cos u du

Innere Ableitung'.

du ~-~ = 5 dx

Kettenregel:

dy dy du y = -r ^ ~r ' ~r ^ 0 ' ^^^ i^) • 5 = 15 • cos u dx du dx

Riicksubstitution:

y' = 15 • cos u = 15 • cos (5 x)

y =

{3x~4f

Substitution: Aufiere Funktion: Innere Funktion:

(3)

u = u{x) = 3x — 4 o dy ^ y = F(u) = u^ => -— = Su ' du du u = u{x) = 3x — 4 =^ -— = 3 dx dy

dy du ^ = -~-'~--- = ^u'-3 dx du dx

Kettenregel:

y=---

Riicksubstitution:

y' = 24 w^ = 24 (3 x — 4)^

^ = 24u'

y ^ e ^ ^ - ^ ' - ^ x + i) Substitution:

u = u{x) = 4x-^ — 3x -{- 2

Aufiere Funktion:

dy y = F{u) = e^ => — = e" du

Innere Funktion:

u = u{x) = 4x

Kettenregel:

dy dy du 3;' = -— = -—•-— = e" • (8x — 3) dx du dx

Riicksubstitution:

3;^ = e" • (8x - 3) = (8x - 3) • e ( ^ ^ ' ~ ^ ^ + 2)

J

du — 3x + 2 => — = 8 x — 3 dx

2 Ableitungsregeln (4)

y=

325

10-ln{l+x^)

Substitution:

u = u{x) = 1 -\- x^

Aufiere Funktion:

dy 10 y = F{u) = 10 -In u ^> -— = — du u

Innere Funktion:

J u = u[x) = 1 -i- x

Kettenregel: RUcksubstitution: (5)

(6)

du => -— = 2x dx

, dy dy du 10 20 x y' ^ = = 2x = dx du dx u u 2 0 x _ 20x y' — — , , 2 u 1 -\- x^

X = A ' sin{ojt + (p) Substitution:

u = u{t) = a>t -\- cp

Aufiere Funktion:

dx x = F {u) = A- ^inu => -— = A • cos u du

Innere Funktion:

du u = u{t) = cot -\- cp ^> -— = co dt

Kettenregel:

dx dx du —- = --.—- = [A - cos ujw = Aco • cos u dt du dt

RUcksubstitution:

dx — = Aco • cos u = Aco - cos (cot -^ cp) dt

y = ^{x^ -4x

+ 10)2 = {x^ - 4x + lO)^/^

Substitution:

u ~ u{x) = x-^ — 4x + 10

Aufiere Funktion:

y = F{u) = u^^^ ^> -~ = -u du 3

Innere Funktion:

u = u{x) = x"^ — 4x -\- 10 => -— = 2x — 4 ax (iy dy du 2 _.,-. 2(2x —4) y~r^~r'~r^~^ ' (2x —4) = dx du dx 3 o . 3/~ , 2(2x-4) 4x-8 y = — 3'lfu 3 - ^ x 2 - 4 x + 10

Kettenregel: RUcksubstitution:

^/^

326

IV Differentialrechnung

In einigen Fallen mixssen mehrere Substitutionen hintereinander ausgefuhrt werden (stets von innen nach aufien), um die vorgegebene Funktion in eine elementar differenzierbare Funktion zu iiberfiihren. Wir geben hierfiir ein Beispiel:

Beispiel y = In [sin (2 x — 3)] 1. Substitution: u = u{x) = 2x — 3 =^ }^ = ln (sin u) Diese Funktion ist noch nicht elementar differenzierbar. Erst eine weitere Substitution fuhrt zum Ziel. 2. Substitution: v = v{u) = sinu => y = lnv Somit gilt: y = \nv

mit

v = sin u

und

u = 2x — 3

Die Kettenregel besitzt jetzt die folgende Gestalt: ^

dy dx

dy dv du di ) du dx

Dabei ist: j; = In i;

dy 1 => — = —

V = smu

dv => —- = cos u du

u = 2x — 3

dv

V

du dx

Die Kettenregel liefert dann: . dy dy dv du 1 ^ ^ 2 • cos u y = — = = = - - . - - - . - - = : - . (cos u)'2 = — — dx dv du dx V v Nach stufenweiser Riicksubstitution {v—• u—• x) folgt schlieBlich: y =

2 • cos u 2 • cos u ^ / X = —:—— = 2 • cot u = 2 • cot (2 x — 3) V sm u

2 Ableitungsregeln

327

2.6 Logarithmische Ableitung Bei der Bildung der Ableitung von f{x) = x^,x>0 ist keine der bisher bekannten Ableitungsregeln direkt anwendbar, da die Variable x sowohl in der Basis als auch im Exponenten auftritt ^\ Dennoch gelingt die Differentiation dieser Funktion, wenn man die Funktionsgleichung zunachst logarithmiert: Infix) = In x^ = X • In X

(IV-36)

und anschlieBend beide Seiten dieser Gleichung unter Verwendung von Ketten- und Produktregel differenziert (Substitution: u = f (x)): 1 fix) 1 7 7 T - r W = ^ = l - l n x + x - - = lnx + l => fix) fix) X f (x) =fix) (In X + 1) - x^ (In X + 1)

(IV-37)

Man bezeichnet diese Art des Differenzierens als logarithmische Differentiation und die dabei auftretende Ableitung der Funktion ln/(x) als logarithmische Ableitung von fix), wobei gilt: 1 f'ix^ 77T-/'W = ^

d Infix dx

(IV-38)

Wir fassen dieses Ergebnis wie folgt zusammen: Logarithmische Differentiation In vielen Fallen, beispielsweise bei Funktionen vom Typ /(x) — [w(x)]^^^^ mit w(x) > 0, gelingt die Differentiation einer Funktion nach dem folgenden Schema: 1. Logarithmieren der Funktionsgleichung. 2. Differ enzier en der logarithmiert en Gleichung unter Verwendung der Kettenregel.

Beispiele (1)

y = x^i"^

(X > 0)

Die Funktionsgleichung wird zunachst logarithmiert: In y = In x^^"^ = sin x • In x

2)

Man beachte, daB f{x)^x^

weder eine Potenzfunktion noch eine Exponentialfunktion ist.

328

IV Different!alrechnung Jetzt wird diese Gleichung differenziert, wobei zu beachten ist, daB y eine Funktion von x ist {Kettenregel anwenden): 1 y^ 1 . X • cos X • In X + sin X - • j; = — = cos X • In X H sm x = y

X

y

y

,

X

y{x • cos X • In X + sin x)

x^^^^ (x • cos x • In x + sin x)

X

X

= x^^^"^~^^(x • COS X • In X + sin x) (2)

Wir wollen jetzt die Quotientenregel (IV-27) mit Hilfe der logarithmischen u Differentiation beweisen. Zunachst wird der Quotient y = - logarithmiert: V

y = - => In j; = In I - I = In w — In ?; \V J

V

Beim Differenzieren der logarithmierten Funktion ist zu beachten, daB y, u und V Funktionen von x sind {Kettenregel anwenden!): 1 , 1 , --y =--u y u

1

, V V

Oder

y' u' — =y u

v' u'v — v'u = V uv

Durch Auflosen nach y' erhalten wir schlieBlich die bereits bekannte Quotient enregel y =y

u'v — v'u u u'v — v'u u'v — v'u = ^ = UV

V

uv

i;^

2.7 Ableitung der Umkehrfunktion Gegeben sei eine umkehrbare Funktion y =f{x) und ihre Ableitung y' =f'{x). Wir suchen die Ableitung der Umkehrfunktion y = f ~^ (x) = g{x). Bei der Losung des Problems schlagen wir den folgenden Weg ein: Zunachst losen wir die Funktionsgleichung y — f{x) nach der Variablen x auf und erhalten die nach x aufgeloste Funktionsgleichung x = f~^ (y) = g{y). Zwischen den Funktionen y = f(x) und x = g{y) besteht dann der folgende Zusammenhang: fix)=f{9{y)) = y

(lV-39)

2 Ableitungsregeln

329

DieFunktion f{g{y)) ist dabei eine aus den beiden Funktionen / und g zusammengesetzte (yerkettete) Funktion, wobei / die dufiere und g die innere Funktion ist. Differenziert man die Gleichung f{g{y)) = y unter Verwendung der Kettenregel beiderseits nach der Variablen y, so erhalt man: (IV-40)

f\x)-g^{y) = l Diese Beziehung losen wir nach g^iy) auf:

g'iy) = -^

(rw^o)

(iv-41)

Hieraus erhalt man die gewiinschte Ableitung der Umkehrfunktion, indem man zunachst in der Ableitung f^{x) die Variable x durch g{y) ersetzt {x = g{y)) und anschlieBend auf beiden Seiten der Gleichung die Variablen x und y miteinander vertauscht {Umbenennung der beiden Variablen). Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen: Ableitung der Umkehrfunktion Eine Funktion y=fix) sei umkehrbar, x = g{y) die nach der Variablen x aufgeloste Form dieser Funktion. Dann besteht zwischen diesen beiden Funktionen der folgende Zusammenhang:

g'{y) = ^ ,

(rWv^o)

(iv-42)

Hieraus erhalt man durch die beiden folgenden Schritte die gesuchte Ableitung der Umkehrfunktion y == g{x): 1. In der Ableitung f'{x) wird zunachst die Variable x durch g{}^ ersetzt. 2. AnschlieBend werden auf beiden Seiten die Variablen x und y miteinander vertauscht (formale Umbenennung der beiden Variablen).

Beispiele (1)

Gegeben: y =^ f{x) = Q"", f (x) = e^ Gesucht: Ableitung der Umkehrfunktion y = g{x) = lnx Wir losen zunachst die Funktionsgleichung y = Q^ nach der Variablen x auf und erhalten x = g{y) = \ny. Die Ableitung dieser Funktion ist nach Gleichung (IV-42): 1

1

1

f'(x)

e^

y

330

IV Differentialrechnung Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir hieraus die gesuchte Ableitung der Umkehrfunktion y = g{x) = ln x. Sie lautet: d 1 ^^(x) = —-(lnx) = dx X (2)

1 y— = tan^ x + 1 cos^ X Gesucht: Ableitung der Umkehrfunktion y = g{x) = arctan x

Gegeben: y = fix) = tan x, f (x) =

Die nach der Variablen x aufgeloste Form von y = tan x lautet: ^ = Oiy) = arctan y Wir bestimmen ihre Ableitung nach Gleichung (IV-42): 1 o'(y) = -7j fix)

1

1

tan^x+l

3/2 + 1

(unter Beriicksichtigung von tanx = _y). Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir die gesuchte Ableitung der Umkehrfunktion y = g (x) = arctan x: d g' (x) = — dx (arctan x)

1 x^ + 1

1 1 + x^

2.8 Implizite Differentiation Wir gehen von einer in der impliziten Form F{x; y) =^ 0 dargestellten Funktion aus. Gelingt es, diese Gleichung in eindeutiger Weise nach einer der beiden Variablen aufzulosen, so laBt sich die Ableitung der Funktion mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln meist ohne Schwierigkeiten bilden. Wir geben ein einfaches Beispiel.

Beispiel Durch Auflosen der Kra5g/dc/iwng x^ 4- y^ = 1 oder F{x; y) = x-^ -{- y-^ — 1 = 0 nach der Variablen y erhalten wir zwei Wurzelfunktionen: y= ± V l - x 2

(-i^x^l)

Unter Verwendung der Kettenregel (Substitution: w = 1 — x^) ergeben sich hieraus die Ableitungen , y

d

(±x/r^^) ^^V ;

JV^^

2 Ableitungsregeln

331

In vielen Fallen jedoch ist die Auflosung der Funktionsgleichung F{x; y) = 0 nicht moglich Oder nur mit groBem Aufwand zu erreichen. Die Ableitung der Funktion nach der Variablen x kann dann durch gliedweise Differentiation der impliziten Funktionsgleichung nach X gewonnen werden.Dabei ist jedoch zuberucksichtigen,daB die Variable y eine von x abhdngige GroBe darstellt. Bei der Differentiation ist daher jeder Term, der die abhdngige Variable y enthdlt, nach der Kettenregel zu differenzieren. Durch Auflosen dy dieser Gleichung nach y = -r- erhalt man schheBlich die gewiinschte Ableitung. Diese dx Art des Differenzierens wird daher als implizite Differentiation bezeichnet.

Implizite Differentiation Der Anstieg einer in der impliziten Form F{x; y) = 0 dargestellten Funktionskurve laBt sich schrittweise wie folgt bestimmen; 1. Gliedweise Differentiation der Funktionsgleichung F{x; y) = 0 nach x, wobei die Variable y als eine Funktion von x anzusehen ist. Jeder Term in der Funktionsgleichung, der die abhangige Variable y enthalt, ist daher unter Verwendung der Kettenregel zu differenzieren. dy 2, Auflosung der differenzierten Funktionsgleichung nach y' =-r- fiihrtzurgedx suchten Ableitung (Anstieg der Kurventangente).

Anmerkung dy Die Ableitung y' = ^r~ enthalt meist beide Variable, x und y sind jedoch nicht unabdx hangig voneinander, sondern iiber die implizite Funktionsgleichung F{x\y) = ^ miteinander verkniipft. Beispiele (1)

Gegeben ist die in der impliziten Form dargestellte Funktion F{x; y) = 2y^ + 6x^ - 2 4 x + 6y = 0 Wir berechnen die Steigung der Kurventangente in den Schnittpunkten der Kurve mit der x-Achse. Schnittpunkte mit der x-Achse: y = 0 6 x ^ - 2 4 x = 0 => 6 x ( x ^ - 4 ) = 0 => x^=0, Si=(0;0),

S2=i2;0),

S^ = {-2;0)

X2/3 = ± 2

IV Differentialrechnung

332

Implizite Differentiation d dx

F{x;y)

= — {2y^ + 6x^ - 2 4 x + 6 y) = dx = 6 y^ • y' + l^x^ - 24 + 6 y' = 0

Die Terme 2 y^ und 6 y wurden dabei nach der Kettenregel differenziert! Wir losen die Gleichung jetzt nach y^ auf und erhalten: {6y^ + 6)3;' = 2 4 - 1 8 x ^

2 4 - ISx^ 637^ + 6

3x' y^ + 1

Damit ergeben sich die folgenden Steigungswerte fiir die Kurventangente in den drei Schnittpunkten mit der x-Achse: / ( S i ) = 4, y'(S2)=-S, (2)

y'{S^)=-S

Wir bestimmen den Anstieg der Kurventangente im Punkt P = {x; y) des Mittelpunktskreises F(x; y) = x^ + y^ — 25 = 0 durch implizite Differentiation : d dx

F{x;y)

- —- (x^ + j;2 _ 25) ^2x dx

+ 2yy

=0

y

=

Fiir den Kreispunkt P^ = (3; 4) beispielsweise erhalten wir damit den Steigungswert y'(Pi) = - 3/4 = - 0,75.

2.9 Differential einer Funktion Wir betrachten auf dem Graph einer differenzierharen Funktion y = f{x) einen behebigen Punkt P = {XQ\ J/Q). Fine Anderung des Abszissenwertes um Ax zieht eine Anderung des Ordinatenwertes (Funktionswertes) um A3; nach sich und wir gelangen zu dem ebenfalls auf der Kurve gelegenen Punkt Q (Bild IV-4). P und Q besitzen dabei die folgenden Koordinaten: P = {xo;yo=fixo)h

e = (^o + Ax;/(xo + Ax))

(IV-43)

Fur die Anderung des Funktionswertes (auch Zuwachs genannt) gilt daher: A3;=/(xo + A x ) - / ( x o )

(IV-44)

Die entsprechenden Koordinatenanderungen auf der in P errichteten Kurventangente bezeichnen wir als Differentiate: dx: dy:

Unabhdngiges Differential Abhdngiges Differential, auch Differential df von /(x) genannt

2 Ableitungsregeln

333

Bild IV-4 Zum Begriff des Differentials einer Funktion

dy ist die Anderung des Ordinatenwertes, wenn man von P aus langs der dortigen Tangente um dx = Ax in der x-Richtung fortschreitet. Dabei wird der Punkt Q' erreicht, der zwar ein Punkt der Tangente, i.a. jedoch kein Punkt der Kurve ist. Aus dem in Bild IV-4 eingezeichneten Steigungsdreieck ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang zwischen den beiden Differentialen: dy tan (X = f (XQ) = -— =^ dy = f [XQ] dx dx

(IV-45)

Wir fassen zusammen: Differential einer Funktion (Bild IV-4) Das Differential dy — df =f' (XQ) dx

(IV-46)

einer Funktion y = f (x) beschreibt den Zuwachs der Ordinate auf der an der Stelle XQ errichteten Kurventangente bei einer Anderung der Abszisse x um dx.

Anmerkungen (1) Wir weisen nochmals der groBen Bedeutung wegen darauf bin, daB die Koordinatenanderungen auf der Funktionskurve mit Ax und Ay, die entsprechenden VerSindQYungemiuf dQT Kurventangente abQY mit dx und dy bezeichnet werden, wobei Ax = dx angenommen wird. Die Differenz Ay — dy miBt daher die OrdinatenAbweichung zwischen der Kurve und ihrer Tangente bei einer Argumentsanderung um Ax, ausgehend vom gemeinsamen Tangentenberiihrungspunkt P (vgl. hierzu Bild IV-4).

334 (2)

IV Different!alrechnung Aus der Beziehung dy = f (x) dx ziehen wir den SchluB, daB die Ableitung einer Funktion als Quotient zweier Differentiale aufgefaBt werden darf: y'=f'{x)

= ~-=

lim ^

(IV-47)

Dies rechtfertigt die in Abschnitt 1.2 eingefiihrte Bezeichnung „Differentialquotient" fiir die Ableitung einer Funktion. Aus der Gleichung (IV-47) darf jedoch keinesfalls der SchluB gezogen werden, daB es sich bei den Differentialen dx und dy stets um ,,unendlich kleine" GroBen handelt. Zum AbschluB wollen wir aus Gleichung (IV-46) noch eine fiir die Praxis wichtige Folgerung ziehen. Fiir kleine Argumentsanderungen Ax = Jx gilt ndherungsweise: Ay = dy= f (xo) dx = f (xo) Ax

(IV-48)

Diesaberbedeutet: Die Funktion y=f{x) darf in guter Naherung in der wnmiYte/baren Umgebung des Punktes P = (xQiyo) durch die dortige Kurventangente, d.h. durch eine lineare Funktion ersetzt werden. Anwendung findet diese Naherung u.a. bei der Linearisierung von Funktionen (z.B. von Kennlinien) sowie in der Fehlerrechnung. Beide Probleme werden an anderer Stelle eingehend behandelt (siehe hierzu Abschnitt 3.2 sowie Band 2, Abschnitt IV2.5.5).

Beispiel J = / (x) = X ^ + e^ ~ \

Kurvenpunkt P = (1; 2)

Wie groB ist die Ordinatenanderung langs der Kurve bzw. langs der im Kurvenpunkt P = (1; 2) errichteten Tangente, wenn man (von P aus) in positiver x-Richtung um Ax = ^x = 0,1 fortschreitet? Losung: Zuwachs auf der Kurve: = 2,3152 -2 = 0,3152

Ay=f{l,l)-f{l)

Zuwachs auf der Kurventangente: r ( x ) = 2x + e - - i dy=f'{l)dx

= 3'0,l

=> r ( l ) = 3 -0,3

Die Ordinatenanderungen Aj; und dy unterscheiden sich nur geringfiigig voneinander (um rund 5%).

2 Ableitungsregeln

335

2.10 Hohere Ableitungen Durch Differenzieren gewinnt man aus einer (differenzierbaren) Funktion y = f{x) die 1. Ableitung y' = f'(x). Falls auch f {x) eine differenzierbare Funktion darstellt, erhalt man aus ihr durch nochmaliges Differenzieren die als 2. Ableitung bezeichnete Funktion ax \

J

dx\dxJ

Sie ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung y' = f {x). Durch wiederholtes Differenzieren gelangt man schlieBhch zu den Ableitungen hoherer Ordnung: 1. Ableitung: 2. Ableitung: 3. Ableitung:

d y^=/^W = ^ dx d y" ^f"{x) =-dx

( /(-^ \ I [f (x \

y'" = f" (x) = ^ if" {x dx \

n-te Ableitung: y^") =/("> (x) = - - ( / ( « - ! ) (x)

(gelesen: y n Strich bzw. / n Strich von x). Sie werden auch der Reihe nach als Ableitungen L, 2., 5.,..., n-ter Ordnung usw. bezeichnet. Daneben ist die Schreibweise in Form hoherer Differentialquotienten moglich: y'

dy ax dx'

y"

ax~

ax~ dx^'

'•'

ax' dx"

^

(IV-50)

d''y — - ist dabei der Differ entialquotient n-ter Ordnung (gelesen: d n y nach d x hoch n).

Beispiele (1)

Die e-Funktion y = Q^ ist beliebig oft differenzierbar. Alle Ableitungen sind dabei gleich und ergeben wiederum die e-Funktion: y' =y" =y"' = ^^^ ^y{n) ^

^^x

IV Differentialrechnung

336 (2)

y = 4x^ + X ' cos x Die ersten drei Ableitungen lauten: y' = -— {4x^ -\- X - cos x) = 12x^ + cos x — x • sin x ax y" = —- (12x^ + cos X — X • sin x) = 24x — 2 • sin X — X • cos x ax y'" = -— (24 X — 2 • sin X — X • cos x) = 24 — 3 • cos x + x • sin x ax

2.11 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) Wir gehen von einer in der Parameterform x = x{t),

y = yit)

(IV-51)

{ti^t^t2)

gegebenen Funktion bzw. Kurve aus und interessieren uns fiir den Anstieg der Kurventangente in dem zum Parameterwert t gehorenden Kurvenpunkt P = {x{t); y{t)) (Bild IV-5).

Tangenfe in P

Bild IV-5

Dabei soil zunachst vorausgesetzt werden, daB es durch Elimination des Parameters t moglich ist, die Gleichung der Funktionskurve in der expliziten Form y = /(x) darzustellen. y ist dann eine Funktion von x, wobei x wiederum vom Parameter t abhangt, d.h. y kann als mittelbare oder verkettete Funktion von t aufgefaBt werden: y = f{x{t)). Nach der Kettenregel gilt dann: dy dt

dy dx dx dt

oder

y = y 'X

(IV-52)

2 Ableitungsregeln

337

Die Ableitungen nach dem Parameter t werden dabei iiblicherweise durch Punkte (x, y), die Ableitungen nach der Variablen x weiterhin durch Striche gekennzeichnet. Durch Auflosen der Gleichung (IV-52) nach y^ erhalten wir die wichtige Beziehung y

(IV-53)

=

die auch dann ihre Giiltigkeit unverandert beibehah, wenn eine expHzite Darstellung der in der Parameterform (IV-51) gegebenen Funktion nicht moghch ist. Ableitung einer in der Parameterform gegebenen Funktion (Kurve) (Bild iy-5) Die Ableitung einer Funktion bzw. Kurve mit der Parameterdarstellung X

=

xW, y = y{t)

(ti^t^

(IY-54)

t2)

kann aus den Ableitungen der beiden Parametergleichungen wie folgt bestimmt werden: / =

I

(IV-55)

X

Anmerkungen (1) (2)

dy Die Ableitung y' = —- ist eine Funktion des Parameters t. ax In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen bedeutet der Parameter t haufig die Zeit oder einen Winkel. Beispiele (1)

Die Parameterdarstellung eines Mittelpunktskreises mit dem Radius r = 5 lautet: x{t) = 5 • cos t,

y{t) = 5 • sin t

(0^^ z i = 0 , 5 ,

2z^ -\- z -1=0

z — cos cp:

Z2 = - 1

Riicksubstitution fiihrt zu den folgenden trigonometrischen Gleichungen, deren im Intervall 0 ^ cp < 27i gelegene Losungen wir wie folgt bestimmen: cos cp = 0,5

=> (pi = arccos 0,5 (vgl. hierzu Bild IV-9) cp2 = 271 — arccos 0,5 = -n

cos cp = — 1

^

(P3 = arccos (— 1) = TT

(vgl. hierzu Bild IV-10)

Bild IV-9 Losungen der Gleichung cos cp = 0,5 im Intervall 0 ^ cp

Bild IV-10 Losungen der Gleichung cos cp = — \ im Intervall 0 ^ (p y = — 2x -\- 1 1 1 = - =^ v ^ - x + 1 2 2

Vi 1

Tangente ^

Normale

/)

^'

l^y=x^-2x

+1

V

-1

Bild IV-19 Funktionsgraph der Parabel y^x^ mit Tangente und Normale in P = (0; 1)

X

— 2x+\

350

IV Differentialrechnung

3.2 Linearisierung einer Funktion Eine nichtUneare Funktion y = f{x) laBt sich in der Umgebung eines Kurvenpunktes P = (XQ; yo) ndherungsweise durch die dortige Tangente, d.h. durch eine lineare Funktion ersetzen (Bild IV-20). Diesen Vorgang bezeichnet man als Linearisierung einer Funktion. Die Funktionsgleichung der in F errichteten Tangente lautet nach Gleichung (IV-77): (iv-79)

y-^y^=f'{xo) X —

XQ

Wir konnen diese Gleichung aber auch in der Form y~yo=f'

(-^^o) • (^ - ^o)

Oder

Aj; = f

(XQ) AX

(IV-80)

mit X — XQ = AX und y — y^ = Ay darstellen. Sie liefert in der unmittelbaren Umgebung des Kurvenpunktes P, der in den technischen Anwendungen meist als „Arbeitspunkf bezeichnet wird, eine brauchbare lineare Ndherung fiir den tatsachlichen Funktionsverlauf. r» y=f(x)

Linearisierfe Funktion (Tangente) yo

1

Bild IV-20 Zur Linearisierung einer Funktion y = f {x) in der Umgebung des „Arbeitspunktes" P = {XQ\ yo) Wir fassen zusammen: Linearisierung einer Funktion (Bild IV-20) In der Umgebung des Kurvenpunktes {„Arbeitspunktes") P = (XQ; J/Q) kann die nichtUneare Funktion y = / (x) ndherungsweise durch die lineare Funktion (Kurventangente) y-yo=f'(^o)'i^-^o)

Oder

Ay=f'{xo)Ax

ersetzt werden. Dabei bedeuten: Ax, Aj;: Relativkoordinaten, bezogen auf den Arbeitspunkt P

(IV-81)

3 Anwendungen der Differentialrechnung

351

In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere in der Automation und Regelungstechnik) interessieren haufig nur die Abweichungen der GroBen (Koordinaten) vom Arbeitspunkt P. Man fiihrt dann zunachst durch Parallelverschiebung ein neues u, ?;-Koordinatensystem mit dem Arbeitspunkt P = (XQ; yo) als Koordinatenursprung ein (Bild IV-21). Yi i

i y=f(x)

^^^

v=mu

p u

(

Bild IV-21

yo

\ ^0

X

-

Zwischen dem „alten" x, j^-System und dem „neuen" u, i^-System bestehen dabei folgende Transformationsgleichungen: u = X — XQ,

V = y — yQ

(IV-82)

Die linearisierte Funktion (IV-81) besitzt dann im neuen u, i;-System die besonders einfache Funktionsgleichung V = mu

(m = /^

(XQ))

(IV-83)

Die Koordinaten u und v sind die Abweichungen gegeniiber dem Arbeitspunkt P (Koordinatenursprung), also Relativkoordinaten.

Beispiele (1)

Die e-Funktion y = Q^ soil in der Umgebung der Stelle XQ = 0 durch eine lineare Funktion angendhert werden (Bild IV-22). Losung: Tangent enberuhrungspunkt: P = {0; 1) Tangentensteigung: y' = Q^ =^ m^ = y' (0) = 1 Tangente:

y-1 X—0

= 1 => 3; = x + l

IV Differentialrechnung

352

Tangenfe in P

Bild IV-22 Zur Linearisierung der e-Funktion in der Umgebung des Punktes P = (0; 1)

In der unmittelbaren Umgebung der Stelle XQ = 0 darf somit die e-Funktion ndherungsweise durch die lineare Funktion j; = x H- 1 ersetzt werden: j; = e-^ ;;^ X + 1 Mit dieser Naherungsfunktion berechnen wir einige Funktionswerte und vergleichen sie mit den exakten Werten: 0,01

0,05

04

0,2

Naherungswert j ; = X + 1 1,010000

1,050000

1,100000

1,200000

Exakter Wert y = e^

1,051271

1,105171

1,221 403

X

1,010050

Folgerung: Die Naherung ist um so besser, je weniger wir uns vom ,,Entwicklungszentrum" XQ = 0 entfernen. (2)

Die Schwingungsdauer T einer ungeddmpften elektromagnetischen Schwingung wird nach der Thomsonschen Formel

berechnet (L: Eigeninduktivitat; C: Kapazitat). Fiir die speziellen Werte L = 0,1 H und C = 10|iF = 10~^F beispielsweise erhalt man: T = 2 7 r V 0 , l H - 1 0 ~ 5 F = 6,28 ms Eine geringfilgige Anderung der Kapazitat C um A C zieht (bei unverdnderter Induktivitat) eine geringfUgige Anderung der Schwingungsdauer T um AT nach sich, wobei naherungsweise der folgende lineare Zusammenhang gilt (wir ersetzen die Kurve durch ihre Tangente): AT

_dT

~Kc~~dc

dT

In • -

L

2JLC

AC

c

AC

3 Anwendungen der Differentialrechnung

353

Eine Zunahme der Kapazitdt um beispielsweise AC = 0,2 |iF = 2 • 10 ^ F bewirkt eine Erhohung der Schwingungsdauer um AT=n-

0,1 H • 2- 10"'^ F = 0,06ms 10"

Die Schwingungsdauer betragt somit bei einer Kapazitat von C = 10,2 |iF ndherungsweise T = 6,34 ms. Der exakte Wert ist T = 6,35 ms.

3.3 Charakteristische Kurvenpunkte 3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen Das Verhalten einer (differenzierbaren) Funktion y = fix) in der Umgebung eines Kurvenpunktes P = (XQ; J/Q) wird im wesentlichen durch die ersten beiden Ableitungen y' und y'^ bestimmt: (1)

Geometrische Deutung der 1. Ableitung

Die 1. Ableitung y' = f {x) gibt die Steigung der Kurventangente an und gestattet daher Aussagen liber das Mono^onie-Verhalten der Funktion an der betreffenden Stelle: /^(XQ)

> 0: Die Funktionskurve wdchst streng monoton beim Durchgang durch den Kurvenpunkt P (Bild IV-23).

/ ' ( x o ) < 0 : Die Funktionskurve fdllt streng monoton beim Durchgang durch den Kurvenpunkt P (Bild IV-24). Dabei wird die Kurve stets im Sinne zunehmender x-Werte durchlaufen.

Bild IV-23

Bild IV-24

IV Differentialrechnung

354

(2)

Geometrische Deutung der 2. Ableitung

Die 2. Ableitung y" = f" {x) ist die Ableitungsfunktion der 1. Ableitung y' = f {x). Sie beschreibt daher das Monoto/z/e-Verhalten von / ' (x) und bestimmt damit das Krilmmungsverhalten der Funktionskurve: f"{xQ)

> 0: Die Steigung der Kurventangente nimmt beim Durchgang durch den Kurvenpunkt P zu, d. h. die Tangente dreht sich im positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn). Die Kurve besitzt daher in P Linkskrummung (Bild IV-25),

f" (XQ) < 0: Die Steigung der Kurventangente nimmt beim Durchgang durch den Kurvenpunkt P ab, d. h. die Tangente dreht sich im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn). Die Kurve besitzt daher in P Rechtskrilmmung (Bild IV-26).

Bild IV-25 Zum Begriff der Linkskriimmung einer Kurve

Bild IV-26 Zum Begriff der Rechtskriimmung einer Kurve

Anmerkung Anstatt von Links- bzw. Rechtskriimmung spricht man haufig auch von einer konvex bzw. konkav gekriimmten Kurve.

3 Anwendungen der Differentialrechnung

355

3.3.2 Kriimmung einer ebenen Kurve Kurvenkriimmung Im vorangegangenen Abschnitt hatten wir bereits erkannt, daB man mit Hilfe der 2. Ableitung qualitative Aussagen iiber das Kriimmungsverhalten einer ebenen Kurve y = f {x) in einem Kurvenpunkt P — {x; y) treffen kann. Das Vorzeichen dieser Ableitung entscheidet namlich wie folgt iiber die Art der Kurvenkrummung (Linksoder Rechtskrummung, siehe Bild IV-27):

y" =f"{x)

>0

Linkskriimmung

y" =f"{x)

fix)

bzw•

fix,)

y''(l) = 0

y- = -4 => y'"{l) Damit ist die Behauptung bewiesen.

= - 4 7^ O;

=^ Wendepunkt

370

IV Differentialrechnung

3.3.5 Erganzungen Die Bestimmung der relativen Extremwerte einer Funktion y = / (x) erfolgte bisher nach dem folgenden Schema: 1. Zunachst werden aus der notwendigen Bedingung f {x) = 0 alle Stellen mit einer waagerechten Tangente ermittelt. 2. Dann priift man anhand der 2. Ableitung, wie sich die Kurvenkriimmung in diesen Punkten verhalt und ob das hinreichende Kriterium fiir relative Extremwerte, d. h. die Bedingungen (IV-90) erfullt sind. In einigen Fallen jedoch versagt dieses Verfahren, wenn namlich an der betreffenden Stelle xo neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung ver^c/zwzWe/', also f {XQ) = 0 und f"{x{)) •= 0 gilt. Jetzt priift man, ob an dieser Stelle vielleicht ein Sattelpunkt vorliegt. Dies ist der Fall, wenn f'ix^) ^ 0 ist. Verschwindet jedoch auch die 3. Ableitung an der Stelle XQ, SO muB man auf das folgende allgemeine Kriterium zuriickgreifen, das wir hier ohne Beweis anfiihren: AUgemeines Kriterium fiir einen relativen Extremwert Eine Funktion y = f (x) besitze an der Stelle XQ eine waagerechte Tangente, d. h. es gelte f {xo) = 0. Die ndchstfolgende an dieser Stelle nichtverschwindende Ableitung sei die n-i& Ableitung /^'^^ (xo). Dann besitzt die Funktion an der Stelle X 0 einen relativen Extremwert, falls die Ordnung n dieser Ableitung gerade ist und zwar ^m relatives Minimum iixr Qin relatives Maximum fm

/^"^ (XQ) > 0 /^"''(XQ)

(wr QX\

< 0

Ist die Ordnung n jedoch ungerade, so besitzt die Funktion an der Stelle XQ einen Sattelpunkt.

Beis piele (1)

Wir zeigen, daB die Funktion y = x'^ an der Stelle xo = 0 einen relati ven (und sogar absoluten) Extremwert besitzt (Bild IV-40): y'

=4x^

=^y'(0)

y"

= 12x2 ^

==0

y"{{))

= 0

y'^{0)

= 0

{waagerechte Tangente)

y''^ = 24x

^

3;(4) :::. 24

=^ ^ ^^j (Q) =. 24 / 0

Die auf y^ ndchstfolgende an der Stelle XQ = 0 nichtverschwindende Ableitung y^^'^ ist von 4. und damit gerader Ordnung. Daher hat die Funktion an dieser Stelle einen relativen Extremwert und zwar wegen y (4) (0) = 24 > 0 ein relatives Minimum.

3 Anwendungen der Differentialrechnung

Bild IV-40 Funktionsgraph von y ^ x

Bild IV-41 Funktionsgraph von y = x^ (2)

Besitzt die Funktion y = x^ relative Extremwertel Um diese Frage zu beantworten, bestimmen wir zunachst die Stellen mit waagerechter Tangente: y' = 5x4 y' ^ 0

^ 5x'

0

xi - 0

Die Ordnung der ndchsten, an der Stelle xi = 0 nichtverschwindenden Ableitung entscheidet dartiber, ob ein relativer Extremwert oder ein Sattelpunkt vorliegt: y ;(4)

y

(5)

20x3

^ y"{Q)

= 0

60x2

^ y"'{Q)

= 0

120X =^ y(4)(0) = 0 120

=> 3;(5)(0) = 120 7^ 0

Die Ordnung der letzten Ableitung ist ungerade, die Funktion y ^ x^ besitzt somit an der Stelle x i = 0 einen Sattelpunkt. Relative Extremwerte sind bei dieser Funktion nicht vorhanden (vgl. hierzu Bild IV-41).

372

IV Differentialrechnung

3.4 Extremwertaufgaben In zahlreichen Anwendungen stellt sich das folgende Problem: Von einer vorgegebenen Funktion y = / (x) ist der grofite (oder kleinste) Funktionswert in einem gewissen Intervall I zu bestimmen. Problemstellungen dieser Art werden als Extremwertaufgaben bezeichnet. Bei der Losung einer solchen Aufgabe geht man so vor, daB man zunachst mit Hilfe der Differentialrechnung die im Innern des Intervalls gelegenen relativen Extremwerte berechnet. Das gesuchte absolute Maximum (oder absolute Minimum) kann aber auch in einem Randpunkt des Intervalls / liegen (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (3)). Durch einen Vergleich der Randwerte mit den im Intervallinnern gelegenen relativen Extremwerten erhdlt man die Losung der gestellten Aufgabe.

Losungsverfahren fur Extremwertaufgaben Von einer Funktion y — f (x) laBt sich der grofite (oder kleinste) Wert in einem vorgegebenen Intervall / wie folgt bestimmen: 1. Zunachst werden mit Hilfe der Differentialrechnung die im Innern des Intervalls / liegenden relativen Maxima (oder relativen Minima) berechnet. 2. Durch Vergleich dieser Werte mit den Funktionswerten in den Randpunkten des Intervalls erhalt man den gesuchten grofiten (oder kleinsten) Wert der Funktion y ~ f{x) im Intervall /.

Anmerkungen (1) Die Funktion y = f{x), deren absolutes Maximum oder Minimum im Intervall / bestimmt werden soil, heiBt in diesem Zusammenhang auch Zielfunktion. (2)

Bei zahlreichen Extremwertaufgaben ist die Gleichung der Zielfunktion y = fix) zunachst noch unbekannt und muB daher erst aufgestellt werden. Dabei kann der Fall eintreten, daB die GroBe y von mehr als einer Variablen abhangt. Diese Variablen sind jedoch nicht unabhangig voneinander, sondern durch sog. Nebenoder Kopplungsbedingungen miteinander verkniipft. Das Aufstellen der Nebenbedingungen ist dann oft das eigentliche Problem bei der Losung einer Extremwertaufgabe. Man findet diese Bedingungen haufig durch Anwenden elementarer geometrischer Lehrsdtze (wie z.B. Satz des Pythagoras, Strahlensatze, Hohensatz usw.). Mit Hilfe dieser Nebenbedingungen laBt sich dann die GroBe y als eine nur noch von der einen Variablen x abhangige Funktion y = fix) darstellen (siehe hierzu auch das nachfolgende Beispiel (4)).

3 Anwendungen der Differentialrechnung

373

Beispiele (1)

Problemstellung: Einem Quadrat mit der vorgegebenen Seitenlange a ist ein Rechteck mit grofitem Flacheninhalt einzubeschreiben (Bild IV-42). Die Rechtecksseiten sollen dabei parallel zu den Flachendiagonalen des Quadrates verlaufen. a/2

a-x

Bild IV-42

a/2

Bild IV-43

Losung: Offensichtlich gibt es unendlich viele Moglichkeiten, dem vorgegebenen Quadrat ein Rechteck einzubeschreiben. In Bild IV-42 ist ein solches Rechteck dargestellt {grau unterlegt). Zielgrofie ist dabei der Flacheninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks in Abhangigkeit von der (eingezeichneten) Strecke x. Diese Funktion bestimmen wir wie folgt: Vom Quadrat mit dem Flacheninhalt a ^ ziehen wir die Flachen der vier Dreiecke I, II, III und IV ab. Die Dreiecke I und II erganzen sich dabei zu einem Quadrat vom Flacheninhalt x^, ebenso die Dreiecke III und IV zu einem Quadrat vom Flacheninhalt {a — x)^. Daher gilt: A{x)

{a

— lax — 2x^

Wir ermitteln jetzt das im offenen Intervall 0 < x < m{(jot) flieBt in dem Kreis ein Wechselstrom i = IQ • sin {cot + cp), dessen Scheitelwert / o nach der Formel UQ

^0

{(JO >

R^^

oj L

0)

0) C

berechnet wird lZ=\lR^-\-lwL

^ )

ist der Scheinwiderstand

des Kreises . Bei welcher Kreisfrequenz o) y erreicht der Scheitelwert /o sein Maximum?

Bild IV-44 Wechselstromkreis in Reihenschaltung Losung'. io wird am grofiten, wenn der Scheinwiderstand seinen kleinsten Wert annimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der unter der Wurzel stehende Ausdruck MTV kleinsten wird. Es geniigt daher, das (absolute) Minimum der Zielfunktion

y-fH

Z' = R' +

[(DL

1 (D C

im Intervall 0 < ft> < oo zu bestimmen. Dazu benotigen wir die ersten beiden Ableitungen: y' {(D) = 2 I

(O L

y"{(o) =2

L +

(JO C

(o^C

L +

co^C

—3— [(DL (0^ C \

(0 C

3 Anwendungen der Differentialrechnung

375

Aus der notwendigen Bedingung y' {(D) = 0 folgt dann: 2{coL

L +

CD C

>2C

0

7^0 oj L

1 0) C

= 0

=»

W^LC

- 1

= 0

=^ OJr

/LC

Auch die hinreichende Bedingung ist ftir diesen Wert erfiillt: y

^ /LC

\(^

^ = 8L^ > 0

Der Scheitelwert /Q des Stromes erreicht daher sein absolutes Maximum bei der Kreisfrequenz cOr = 1/VL C (sog. Resonanzkreisfrequenz). Der Scheinwiderstand Z ist dann gleich dem ohmschen Widerstand R und es gilt /o = uo/R. (3)

Die Biegelinie eines einseitig eingespannten und am freien Ende durch eine Kraft F auf Biegung beanspruchten Balkens der Lange / lautet wie folgt (BildIV-45):

^W-2l7 0^'-l-^'

(0 ^ X ^ /)

(vgl. hierzu auch Abschnitt IIL5.7, in dem dieses Anwendungsbeispiel erstmals angesprochen wurde; E und / sind positive Konstanten). An welcher Stelle des Balkens ist die Durchbiegung y am grofitenl

Bild IV-45

Losung: Zunachst ermitteln wir die im Intervall 0 ^x ^ I gelegenen relativen Extremwerte: (2/x-x^),

y

2EI

y'

0 => 2lx - x^ = 0

y"

2EI x\

ill - 2x)

=0,

X2 = 2 /

IV Differentialrechnung

376

Die zweite Losung (x 2 = 21) liegt aufierhalb des Intervalles und kommt daher nicht in Frage. An der Stelle x 1 = 0, d. h. an der Einspannstelle wird die Durchbiegung wegen y"{xr

=0)

¥1

> 0

am kleinsten: ymin = };(xi = 0) = 0 Die maximale Durchbiegung erfahrt der Balken daher im rechten Randpunkt X = /, d. h. am freien Ende: yi

y{x^l)

3~Wl

Wir haben es hier mit dem eingangs geschilderten Sonderfall eines Randextremwertes zu tun. Mit Hilfe der Differentialrechnung konnen nur relative Extremwerte mit waagerechter Tangente bestimmt werden. Dies aber trifft fiir den am freien Ende liegenden Randpunkt des Balkens gerade nicht zu. Die dortige Tangente an die Biegelinie verlauft gegen die Horizontale geneigt (Bild IV-45). (4)

Wir behandeln ein weiteres Beispiel aus der Festigkeitslehre: Aus einem Baumstamm mit kreisformigem Querschnitt soil ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daB sein Widerstands1 ^ moment W ^ — bh einen grofiten Wert annimmt (Bild IV-46).

b: h: 2R:

Breite des Balkens Dicke des Balkens Durchmesser des Baumstammes

Bild IV-46

Losung: Das Widerstandsmoment W hangt von den GroBen b und h ab, die jedoch nicht unabhangig voneinander sind, sondern iiber den Satz des Pythagoras mit dem Radius R des Baumstammes wie folgt verkniipft sind: b^ +/z^

{2R)

4R'

AR'

3 Anwendungen der Differentialrechnung

377

Mit Hilfe dieser als Nebenbedingung oder auch Kopplungsbedingung bezeichneten Beziehung laBt sich das Widerstandsmoment W als eine nur von der GroBe b abhangige Funktion darstellen: W{b) = -bP 6

= lb{4R^ 6

- b^) = -(AR^b6

b^)

{0 0 => Relatives Minimum fiir X4 = V3 Min = U3;

- — V 3 ) = (l,73; -1,92)

3;^'(x5 = — V 3) =

1n

V 3 < 0 =^ Relatives Maximum fiir

r 10 Max = ( - V 3 ; — V 3 ) = ( - l , 7 3 ; 1,92)

Wendepunkte: y^' = 0 und y'" 7^ 0

r3^^^^ (-^6/7 "^ i V 6) =

5 y

/7^ 0 ^> Wendepunkte iViX x^p = ± ^6

( r 25 A Wi = f V6; - ^ V6J = (2,45; - 1,70)

W'l = ( - 7 6 ; ^ V6 ) = (-2,45; 1,70)

Verhalten der Funktion im Unendlichen: Die Funktion ist echt gebrochen und strebt daher fiir x —> ± oo asymptotisch gegen die x-Achse. Asymptote im Unendlichen: y = 0 (x-Achse) Wertebereich: — oo < y < GO

IV Differentialrechnung

380

Zeichnung der Funktion: Der Funktionsverlauf ist in Bild IV-47 dargestellt. Dabei wurde auf beiden Achsen der gleiche MaBstab gewahlt.

Bild IV-47 Funktionsgraph von y (2)

Wir untersuchen den Verlauf einer durch die Funktionsgleichung y = y{t) ^ 3 - Q-^'^^ ' cost

{t ^ 0)

beschriebenen geddmpften Schwingung. Definitionsbereich: t '^ 0 (aus physikalischen Griinden) Nullstellen: y = 0 3 • e~°^^^ • cos ^ == 0 =^ cost

=0

7^0

Losungen sind die positiven Nullstellen der Kosinusfunktion: tk = -J ^ k - jx

(^ G N)

Ableitungen der Funktion (mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel): y = -3 - e"^'^^ • (sin^ + 0,1 • cos ^ y =

3 • e-O'i' . (0,2 • sin ^ - 0,99 • cos t)

y=

3 • e-O'i' • (0,97 ' sint + 0,299 • cos t)

3 Anwendungen der Differentialrechnung

381

Relative Extremwerte: j) = 0 und y ^ 0 :^ = 0 =^ - 3 • e~^'^^ • (sin^ + 0,1 • cos 0 = 0 7^0

sin ^ + 0,1 • cos ^ = 0

sin /^ = — 0,1 • cos t

tan r = - 0,1

Die im Intervall r ^ 0 gelegenen Losungen dieser trigonometrischen Gleichung lassen sich anhand der folgenden Skizze leicht bestimmen (BildIV-48):

BildIV-48 Positive Losungen der Gleichung tan r = - 0 , 1 (Skizze)

Die erste positive Losung liegt bei ^o = arctan (—0,1) + Jr = 3,04, alle weiteren (positiven) Losungen in Abstanden von jeweils einer Periode: tk = 3,04 -{- k • Jt

(/: G N)

Wie verhalt sich die 2. Ableitung an diesen Stellen? Fiir gerades k ist y positiv: j;(3,04 + /c • TT) = 3,016 • Q-^M^.^^ + k-^) > Q

(^ ^ Q, 2, 4, ...)

An diesen Stellen hegen daher relative Minima. Sie beginnen mit Mini = (3,04; -2,20) Min2 = (9,32; -1,17) Mins = (15,61; -0,63)

usw.

Fiir ungerades k ist die 2. Ableitung negativ: y(3,04 + k - Jt) = -3,016 • e-0'i(3.04 + /:-^) - = - + - + ...+- = n--=l LJ n n n n n

k = l

.

^

'

n-mal n

)

/c= 1 + 2 + 3 + ... + ^ = ^ — -

k = i

n{n-\- l ) ( 2 n + 1)

Mit diesen Ausdmcken laBt sich die Obersumme auch wie folgt schreiben: 2

n(n + l)

n+ 1 n

1 n ( n + l ) ( 2 n + l)

1 /n + 1\ / 2 n + 1 6 \ n J \ n

nj

o \

n

\

nl

n

b \

n

\

n

Beim Grenzubergang n —• oo strebt die Streifenbreite Ax = 1/n gegen Null und 2

die Obersumme 0„ geht dabei definitionsgemdfi in das bestimmte Integral iiber, das den gesuchten Fldcheninhalt A darstellt: 2

x^dx=

A=

lim 0 „ = lim ^2 + - + - • (1 + - ) • ( 2 + n->oo

n^ao

I

1

1 1 7 = 2 + 0 +-•1-2 = 2 + - = 6 3 3

n

6

\

nJ

\

U

x-^ dx

3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion

411

3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion Unter den in Abschnitt 2.2 genannten Voraussetzungen reprasentiert das bestimmte b

f (t) dt den Flacheninhalt A zwischen der Kurve y = f{t) und der ^Achse

Integral a

im Intervall a^t^b

(Bild V-10)^).

Bild V-10 Das bestimmte Integral als Flacheninhalt

Bild V-11 Zum Begriff des unbestimmten Integrals (Flachenfunktion)

Betrachtet man in diesem Integral die untere Integrationsgrenze a als fest, die obere Integrationsgrenze b dagegen als variabel, so hangt der Integralwert nur noch von der oberen Grenze ab: Der Integralwert ist daher eine Funktion der oberen Grenze. Um auch nach auBen bin zu dokumentieren, da6 die obere Grenze variabel ist, ersetzen wir b durch X und erhalten die Funktion

nx) =

f{t)dt

(V-24)

(vgl. hierzu Bild V-11). Sie wird als ein unbestimmtes Integral von f{t) bezeichnet, da die obere Grenze unbestimmt ist (im Sinne von variabel).

1) Die Kennzeichnung der Integrationsvariablen ist ohne jede Bedeutung. Um im folgenden MiBverstandnisse zu vermeiden, kennzeichnen wir in diesem Abschnitt die Integrationsvariable durch das Buchstabensymbol t (anstatt von x).

412

V Integralrechnung

Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals Das unbestimmte Integral I (x) = \ f (t) dt beschreibt fiir x ^ a den Fldcheninhalt zwischen der Kurve y = f (t) und der t-Achse im Intervall a ^t ^ x in Abhangigkeit von der oberen Grenze x und wird daher auch als Fldchenfunktion bezeichnet (Bild V-11). Fiir verschiedene x-Werte erhalt man i.a. verschiedene Flacheninhalte: Aus dem unbestimmten Integral wird jeweils ein bestimmtes Integral (die obere Integrationsgrenze besitzt dann einen festen Wert). In Bild V-12 sind die Funktionswerte der Flachenfunktion I{x) fiir zwei verschiedene obere Grenzen x^ und X2 geometrisch als Flacheninhalte dargestellt. Grau unterlegte Flache: I{x,) =

f(t)dt

Stark umrandete Flache:

/(^2)= [f{t)dt

Bild V-12 Das unbestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze

Wahlt man als untere Grenze a* (anstatt von a), so ist auch /*(x)=

(V-25)

\f{t)dt

ein unbestimmtes Integral (eine Fldchenfunktion) von f{t). Zwischen I{x) und /*(x) besteht dabei der folgende Zusammenhang (Bild V-13): /(x)-/*(x)

f(t)dt

f(t)dt =

f{t)dt

(V-26)

3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion

413

Bild V-13

Die beiden Flachenfunktionen unterscheiden sich demnach durch das bestimmte Integral

/ {t) d t, d. h. durch eine Konstante. Ihr Wert ist nichts anderes als der

Fldcheninhalt zwischen der Kurve y = f it) und der ^Acllse im Intervall a ^t ^ a^ (grau unterlegte Flache in Bild V-13; Voraussetzung: a^ > a). Da aber fiir die untere Integrationsgrenze a, von der an die Flachenberechnung erfolgt, grundsatzlich beliebig viele Moglichkeiten existieren, gibt es entsprechend auch unendlich viele unbestimmte Integrate der Funktion y = f(t). Sie unterscheiden sich in der unteren Grenze voneinander. Wir konnen daher den folgenden Satz aussprechen: Eigenschaften der unbestimmten Integrale

1, Das unbestimmte Integral /(x) =

f (t) d t reprasentiert den Fldchen-

inhalt zwischen der Funktion y = f {t) und der r-Achse im Intervall a ^t ^x in Abhangigkeit von der oberen Grenze x. 2. Zu jeder stetigen Funktion / {t) gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Grenze voneinander unterscheiden. 3. Die Differenz zweier unbestimmter Integrale / i ( x ) und / 2 W von f {t) ist eine Konstante.

V Integralrechnung

414 Beispiel /i(x)

t^ dt

t^ dt sind zwei unbestimmte Integrate der

und / 2 ( ^ )

0

1

Normalparabel f (t) = t^ und reprasentieren die in Bild V-14 dargestellten 1

Flachen. Sie unterscheiden sich dabei durch das bestimmte Integral

t^ dt, d. h.

durch eine Konstante, die der im Bild grau unterlegten Flache entspricht: /l(x) -

I2{X)

r dt

r dt

t^ dt ^ const.

Die Konstante besitzt — wie wir spater in Abschnitt 6 (1. Beispiel) noch zeigen werden — den Wert 1/3 (Flache unter der Normalparabel y — t'^ zwischen t = 0 und t = 1). Yi l

Ly=t'

I, (X)

1

1^I2(X)

1

>
c-f-Ax) Ax

(V-29)

Beim Grenzubergang Ax —• 0 bleibt diese Ungleichung erhalten: lim /(x) ^

M lim —-
0

Ax -> 0

Damit erhalt man die Ungleichung fix)

^ l'(x)


u'{x) = \, i;(x)=—cosx Dann gilt: / = J X • sin X oo\^

2/^/

^

Das uneigentliche Integral ist daher konvergent und besitzt den Wert 1/2: 00

X

1 —:rdx= •^

(2)

. lim

f 1 1 —r^ Jx = lim / (A) = -

/l-^00«^-^

A-^00

^

Wir berechnen das zu Beginn erwahnte Arbeitsintegral mM f —r- dr = jmM •

W

und erhalten zunachst mit der (endlichen) oberen Grenze r = X:

W{2) =fmM'

—

• fmM

dr=fmM

1

1

Der Grenzwert fiir /I —• oo ist vorhanden und fiihrt zu lim W{X) = lim / m M

A^00

X-^oo

/I

1\

V^O

^/

=

fmM ^0

Die aufzuwendende Arbeit gegen die Gravitationskraft betragt daher: W=

f

mM f—^

dr=fmM-

1 , .. . f^M -^ dr= X-^hmCO W{X) = ^0

9 Uneigentliche Integrale

(3)

463

DsiS uneigentliche Integral

yjx dx ist dagegen J/v^rg^nr, wie wir gleich zei-

gen werden. Zunachst aber integrieren wir von x = 0 bis bin zu x = 1 {grau unterlegte Flache in Bild V-31):

'•^' = l ^ ' " ^ l ' " ' ' " = 5 0

.3/2

^ 2 0

2 3

/—

3^

0

Beim Grenzilbergang X —• oo strebt der Integralwert / (A) jedoch uher alle Grenzen: lim I{X) = lim - v ^ ^ = ^ /I ^

GO

/I - > 00

-^

Geometrische Interpretation: Die von der Kurve y = v x und der positiven x-Achse eingeschlossene Flache ist unendlich groB (vgl. Bild V-31):

Bild V-31

(4)

Fiir die Flache A zwischen der Kurve y =

1

und der x-Achse (vgl. 1 H-x^ hierzu auch Bild V-30) erhalten wir den folgenden Wert:

A=

dx

dx

1 + X'

1 + x^

= 2 • lim 1 -> 00

arctan x

• = 2 •

lim 1 -> 00

dx 1 +x"

= 2 • lim (arctan X) = 2 • - = n A^oo

^

Bei der Flachenberechnung haben wir dabei die Achsensymmetrie von Kurve und Flache beriicksichtigt (Faktor 2).

464

V Integralrechnung

10 Anwendungen der Integralrechnung 10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik 10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung Im Abschnitt IV.2.13.1 haben wir uns bereits mit der Bewegung eines Massenpunktes beschaftigt und dabei gezeigt, daB man Geschwindigkeit v und Beschleunigung a durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren der als bekannt vorausgesetzten Weg-Zeit-Funktion s = s{t) erhalten kann: ds , V = — = s, dt

dv , .. a = —- = V = s dt

(V-99)

Umgekehrt lassen sich Weg s und Geschwindigkeit v einer Bewegung durch Integration der Beschleunigung-Zeit-Funktion a = a{t) gewinnen. Unterliegt ein Korper der Masse m einer zeitlich verdnderlichen Kraft F = F{t), so folgt aus der Newtonschen Bewegungsgleichung F = ma fiir die Beschleunigung-Zeit-Funktion F (t) a = a{t) = —^ m

(V-100)

1st F (t) und damit a (t) bekannt, so erhalt man aus dieser Gleichung durch Integration die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v = vit) = ^vdt = jait) dt

(V-101)

und hieraus durch nochmalige Integration die Weg-Zeit-Funktion s = s{t)=^lsdt

= lv{t) dt

(V-102)

Die dabei auftretenden Integrationskonstanten werden in der Regel durch die Anfangswerte s (0) = SQ und v (0) = VQ festgelegt. SQ bedeutet die Wegmarke zu Beginn (d.h. zur Zeit t = 0), VQ die Anfangsgeschwindigkeit. Wir fassen dieses Ergebnis wie folgt zusammen: Integration der Bewegungsgleichung F = F{t) bzw. a = a{t) (F = ma) Geschwindigkeit v und Weg s erhalt man durch ein- bzw. zweimalige Integration der Beschleunigung-Zeit-Funktion a = a{t): v = ^a(t)dt,

s = ^v(t)dt

(V-103)

10 Anwendungen der Integralrechnung •

465

Beispiele (1)

Bewegung mit konstanter Beschleunigung Eine Bewegung erfolge mit konstanter Beschleunigung a langs einer Geraden. Weg und Geschwindigkeit zu Beginn (d.h. zur Zeit t = 0) seien s{0) = SQ und i;(0) = VQ. Dann gilt fiir die Geschwindigkeit v: V = \ a dt = at -{• Ci

Die Integrationskonstante wird aus dem Anfangswert v{0) = VQ berechnet:

V = at +

VQ

Durch nochmalige Integration erhalten wir das Weg-Zeit-Gesetz s = \ v{t) dt = \ (at -\-

VQ)

dt = - at-^ -\- VQt -{- C2

Aus dem Anfangswert s{0) = SQ folgt C2 = SQ, und das Weg-Zeit-Gesetz nimmt damit die folgende Gestalt an: 1 S = -at

(2)

2

-h VQt -{-

SQ

Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes Wir untersuchen die Fallgeschwindigkeit v als Funktion der Fallzeit t unter Beriicksichtigung der Reibung (vgl. hierzu auch Abschnitt III. 13.2.5). Der Schwerkraft (dem Gewicht) mg wirkt dabei die Reibungskraft kv^ entgegen (k: Reibungskoeffizient). Nach dem Grundgesetz der Mechanik erhalt man damit die folgende Bewegungsgleichung fiir den freien Fall: ma = mg — kv^

=^ a = g

v-^ m

Bevor wir diese Gleichung integrieren, bringen wir sie noch unter Beriicksichdv tigung von a = — auf die folgende Gestalt: dt dv k J f -- = g-~v^ = g(l dt m \

k

j\ dv v"-] => — ^ = dt mg J g[\ ( 4 ^ V'2 mg

V Integralrechnung

466 Mit Hilfe der X

Substitution

=

mg

V,

dx

k

dv

mg

dv =

dx

erhalten wir schlieBlich: Img k

m

dx g{l -x^)

dx

yj gk

dt

1-x^

Integration auf heiden Seiten fuhrt zu: m

dx

gk

1 -x'

m

dt

Nach Riicksubstitution

gk

• artanh x = t + C

ergibt sich hieraus:

, • artanh I I — v] = t i- C gk \M mg Der freie Fall erfolge aus der Ruhe heraus, d.h. zur Zeit t = 0 sei v{0) = 0. Aus diesem Anfangswert erhalt man fiir die Integrationskonstante den Wert C = 0 (artanh 0 = 0): / —r ' artanh ( V \\J

^ gk

mg

v] = t

=>

artanh ( / — v

gk

V V ^9

Durch Umkehrung folgt schheBHch: k

V = tanh

mg V = v{t) =

,

k

(

gk /— t \\l m tanh(

/ ^

VV m

t

(t^O)

Fur t — • 00 strebt die Fallgeschwindigkeit gegen die konstante schwindigkeit v^ = Hm V (t) = Hm t ^

CO

t-^

mg

tanh

t

Endge-

=

CO

Gewichtskraft und Reibungskraft sind dann im Gleichgewicht und der Korper fallt krdftefrei, d.h. mit konstanter Geschwindigkeit.

10 Anwendungen der Integralrechnung Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion V = v{t) = v^- tanh I

g Vr

467 laBt sich damit auch in der Form it>0)

darstellen. Ihr Verlauf ist in Bild V-32 skizziert.

Bild V-32 Fallgeschwindigkeit v als Funktion der Fallzeit t unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes

10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens Wir beschaftigen uns jetzt mit einem wichtigen Problem aus der Festigkeitslehre (vgl. hierzu auch die Abschnitte III.5.7 und IV.3.4): Bin einseitig fest eingespannter homogener Balken der Lange I mit konstanter Querschnittsflache werde durch eine am freien Balkenende einwirkende Kraft F smf Biegung beansprucht (Bild V-33).

Bild V-33 Biegelinie y = y{x) eines einseitig eingespannten Balkens unter dem EinfluB einer konstanten Kraft F

468

V Integralrechnung

Die Durchbiegung y ist dabei von Ort zu Ort verschieden, d.h. eine Funktion y = y{x) der Ortskoordinate x (wir messen x vom eingespannten Balkenende aus). In der Festigkeitslehre wird gezeigt, daB die 2. Ableitung der elastischen Linie der Biegegleichung ^^ (v-104)

y" = - ^ i genugt. In dieser Gleichung bedeuten: (Materialkonstante)

E:

Elastizitdtsmodul

/:

Fldchenmoment des Balkenquerschnitts

Mjy'. Biegemoment (von Ort zu Ort verschieden) In unserem Beispiel ist das Produkt EI {Biegesteifigkeit das Biegemoment an der Stelle x gilt dann:

genannt) eine Konstante. Fiir (V-105)

Mj,= -F{l-x)

(die konstante Kraft wirkt im Abstand I — x von der betrachteten Stelle). Damit nimmt die Biegegleichung die folgende Gestalt an: y"=^^{l-x)

(V-106)

(O^x^l)

Die Gleichung der gesuchten Biegelinie y = y{x) erhalt man nach zweimaliger

Integra-

tion der Biegegleichung (V-106): F y" dx = ^ EI

{l-x)dx

F y' dx = — . Ix ^ EI J

= — (lx--x^

+ Ci)

(V-107)

1 ^ x"^ -\- Ci] dx =

| j Q / x 2 - ^ x 3 + CiX + C2)

(V-108)

Die Integrationskonstanten Q und C2 bestimmen wir aus den Randwerten y{0) = 0 y' (0) = 0

(keine Durchbiegung am eingespannten Ende x = 0)

(V-109)

{waagerechte Tangente am eingespannten Ende x = 0)

wie folgt: y^(0) = 0 ^

Ci = 0

37(0) = 0 ^

C2 = 0

(V-110)

9) Die Biegegleichung ist eine sog. Differentialgleichung 2. Ordnung (vgl. hierzu Kap. V in Band 2). Sie gilt nur ndherungsweise unter der Voraussetzung, daB die Durchbiegungen klein sind gegen die Balkenlange, d.h. y 0)

(V-113)

r^

{EQ\ Elektrische Feldkonstante; &/. Relative Dielektrizitatskonstante des Mediums). Auch das Potential eines Punktes des elektrischen Feldes ist kugelsymmetrisch: Die Aquipotentialfldchen sind konzentrische Kugelschalen.

V Integralrechnung

470

ZwischenzweiPunkten P^ und P2 desFeldesmitdenAbstanden r^ bzw. r2 v e n d e r felderzeugenden Ladung Q besteht dann definitionsgemaB die folgende Potentialdifferenz (Spannung):

Ui2 =

E{r)dr

Fiir die Feldstdrke

t/l2 =

(V-114)

E{r) setzen wir den Ausdruck (V-113) ein und erhalten schlieBlich:

E (r) dr =

Q ( 1 47ieQ8^\r^

e

4nEQ8^r^

dr =

Q 47reo£r

[dr _ Q J r^ 4nsQ£^

1 r2

(V-115)

10.2 Flacheninhalt 10.2.1 Bestimmtes Integral und Flacheninhalt. Erganzungen Im Abschnitt 2 wurde das bestimmte Integral

f{x) dx als Flacheninhalt A zwischen

der Kurve y = / ( x ) , der x-Achse und den Parallelen x == a und x = b eingefiihrt (Bild V-35). Diese geometrische Interpretation ist jedoch nur zulassig, wenn die (stetige) Integrandfunktion f{x) uberall im Integrationsbereich die Bedingung / ( x ) ^ 0 erfullt, die Kurve also oberhalb der x-Achse verlauft.

Bild V-35 Das bestimmte Integral als Flacheninhalt

471

10 Anwendungen der Integralrechnung Beispiele (1)

Wir suchen den Fldcheninhalt A, der von der Parabel y = x^ — 2x -{- 3, der x-Achse und den Parallelen x = 0 und x = 3 begrenzt wird(Bild V-36). Da die Parabel im Intervall 0 ^ x ^ 3 oberhalb der x-Achse verlauft, gilt:

A=

{x^ — 2x -\- 3) dx = -x^ — x^ -\- 3x = 9

x^-2x-^3

Bild V-36 Zur Berechnung der Flache unter der Kurve y = x —2x + 3 im Intervall 0 ^ x ^ 3

(2)

Die Exponentialfunktion y = Q^ verlauft bekanntlich in ihrem gesamten Definitionsbereich — oo < x < oo oberhalb der x-Achse. Sie bildet mit der negativen x-Achse ein Flachenstiick, dessen Inhalt A sich wie folgt mit Hilfe eines uneigentlichen Integrals berechnen laBt:

A=

I c^dx=

lim X-^

= lim ( e ^ - e /I - > 00

OO

Q^ dx = lim '^

-1

i - > CO

^) = lim ( 1 - e " ^) = 1 /i - > 00

V Integralrechnung

472

Liegt das Flachenstiick jedoch, wie in Bild V-37 skizziert, vollstandig unterhalb der b

x-Achse, so ist der Integralwert

/ (x) dx negativ und kann daher nicht dem gesuchten a

Flacheninhalt A entsprechen. In diesem Fall geht man wie folgt vor: Man spiegelt die Flache an der x-Achse und erhalt das in Bild V-38 dunkelgrau unterlegte Flachenstiick vom gleichen Flacheninhalt A. y* y=-f(x)

y=f(xj

y=f(x) Bild V-38

Bild V-37

Dieses Flachenstiick hegt oberhalb der x-Achse und wird von der gespiegelten Kurve mit der Gleichung y= —f{x) und der x-Achse berandet^^^. Den gesuchten Flacheninhalt A erhalten wir damit durch Integration iiber die Funktion y = — / (x) in den Grenzen von x = a bis x = h\ b

b

A= f [ - / ( x ) ] J x = -

[f{x)dx

(V-116)

Die gespiegelte Kurve konnen wir aber auch durch die Gleichung y = \f{x)\ beschreiben. Der Flacheninhalt A laBt sich daher auch durch das Integral f{x)\dx =

f(x) dx

(V-117)

berechnen, wobei Betragsbildung und Integration miteinander vertauschbar sind. 10) Bei der Spiegelung einer Kurve an der x-Achse multiplizieren sich die Ordinaten (Funktionswerte) mit - 1 .

10 Anwendungen der Integralrechnung

473

Beispiel Welchen Fldcheninhalt schlieBt die Tangensfunktion im Intervall — 1 < x ^ 0 mit der x-Achse ein (Bild V-39)?

Bild V-39

Losung: A

tan X dx =

-In I cos x\

In I cos x\

In |cos 0| - In |cos ( - 1)| = In 1 - In 0,54 = 0,62

Der allgemeinste Fall tritt ein, wenn die Flache teils oberhalb und teils unterhalb der x-Achse liegt. Wir miissen dann die Flache so in Teilfldchen zerlegen, daB diese entweder voUstdndig oberhalb oder vollstdndig unterhalb der x-Achse liegen (Bild V-40). Die entsprechenden Integralbeitrage sind daher positiv oder negativ, je nachdem, ob die Kurve gerade oberhalb oder unterhalb der x-Achse verlauft (die positiven Beitrage sind in Bild V-40 dunkelgrau, die negativen Beitrage hellgrau unterlegt).

Bild V-40 Zur Berechnung des Flacheninhaltes im allgemeinsten Fall (Zerlegung der Flache in Teilflachen)

V Integralrechnung

474

Fiir die Berechnung dieser Teilflachen benotigen wir daher als zusatzliche Information dieimIntegrationsintervall a^x^b gelegenenNw//5te//enderFunktion y=f{x). So besitzt z.B. die in Bild V-40 skizzierte Funktion genau drei im Integrationsintervall liegende Nullstellen x^, X2 und X3 (nach steigender GroBe geordnet). In den Teilintervallen a ^ x ^ x^ und ^ 2 ^ x ^ X 3 liegt dabei die Kurve unterhalb der x-Achse, die entsprechenden Integralbeitrage I^ und 73 sind daher negativ. In den Teilintervallen xi ^ X ^ X2 und X3 ^ x ^ b dagegen verlauft die Kurve oberhalb der x-Achse, die entsprechenden Integralbeitrage 12 und I^ sind somit positiv. Die Gesamtflache A ist dann als Summe der Betrdge aller Teilintegrale darstellbar: A = A, + A2 + A^ ^ A^= \I^\ + \l2\ + I/3I + I/4I = 1^11 + ^2 + l^3l + ^4 = b

fix) ^xl + I fix) dx+\

\ fix) dx\ + I / ( x ) dx

(V-118)

Wir fassen die Ergebnisse liber die Flachenberechnung wie folgt zusammen: Flacheninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse Bei der Berechnung des Fldcheninhaltes A zwischen einer Kurve y = / { x ) , a ^ X ^b und der x-Achse sind die folgenden Falle zu unterscheiden: 1. Fall: Die Kurve verlauft oberhalb der x-Achse (Bild V-35). Dann gilt: b

(V-119)

A= ifix)dx a

2. Fall: Die Kurve verlauft unterhalb der x-Achse (Bild V-37). Dann gilt: A -

I

fix) dx

fix) dx

(¥-120)

3. Fall: Die Kurve verlauft teils oberhalb, teils unterhalb der x-Achse (Bild V-40). In diesem Falle muB die Flache zunachst so in Teilflachen zerlegt werden, daB diese entweder vollstandig oberhalb oder vollstandig unterhalb der x-Achse hegen. Dazu werden die Nullstellen der Funktion y = fix) im Intervall a ^x ^ b benotigt. Anhand einer Skizze laBt sich dann die Zerlegung der Flache in Teilflachen mit den genannten Eigenschaften problemlos durchfiihren. Die Berechnung der Teilflachen erfolgt dabei mit Hilfe der Integralformeln (V-119) und (V-120). Die gesuchte Gesamtflache ist dann die Summe aller Teilflachen.

10 Anwendungen der Integralrechnung

475

Beispiel Wir berechnen den in Bild V-41 skizzierten Flacheninhalt zwischen der Polynomfunktion y = x-^ — 3 x ^ — 6 x + 8, der x-Achse und den Parallelen x = — 2,5 und X = 3.

Bild V-41 Zur Berechnung der Flache zwischen der Kurve y = x^ — 3x^ — 6x + 8, der x-Achse und den Parallelen x = — 2,5 und x = 3

Die NuUstellen der Funktion sind der Reihe nach X1 •— — Z, X 2 = 1 und xa = 4. Sie liegen bis auf den letzten Wert im Intervall - 2 , 5 ^ x ^ 3 (Bild V-41). Die Flache zerfallt damit in drei Teilfldchen, die jeweils abwechselnd unter- und oberhalb der x-Achse liegen. Es sind daher die folgenden drei Teilintegrale zu berechnen:

I (x"^ — 3 x ^ — 6 x + 8 ) J x :

1=

1

x ' ^ - x ^ - 3 x ^ + 8x

2,64 -2,5

-2,5 1

( x3 ^. - 3Qx^ ^2 - 6 x + 8)Jx

/^ = -2

- x ^ - x ^ - 3 x 2 + 8x = 20,25 4 -2

3

( x ^ - 3 x ^ - 6 x + 8) Jx =

x ^ - x ^ - 3x2 _^g^

= - 14

Der gesuchte Flacheninhalt betragt damit: A = A,-^A2^A^

= \I,\-hl2-^\h\

= 2,64 + 20,25 + 14 = 36,89

= \- 2M\ + 20,25 + | - 14| =

V Integralrechnung

476

10.2.2 Flacheninhalt zwischen zwei Kurven Wir betrachten ein Flachenstiick, das von den Kurven 3;^ = /^ (x) und y^ = f^ (x) sowie den beiden Parallelen x = a und x = b berandet v/ird(Bild V-42). Dabeisoll wZ^^ra/Zim Intervall a ^x ^b die Bedingung /^(x) ^ fj^{x) erfiillt sein, d.h. die Kurve y^ =/o W verlauft zwischen x = a und x = b oberhalb der Kurve 3;^ = /^ (x) (dieses Verhalten wird durch die Indizes zum Ausdruck gebracht: o = oben, u = unten). yo=fo(x)

Bild V-42 Zur Berechnung der zwischen zwei Kurven gelegenen Flache

Wir berechnen den Flacheninhah A zwischen den beiden Kurven als Differenz zweier Fldchen. Nach Bild V-42 gilt namhch: ^ =

3;^ Jx -

y^ Jx =

/^(x) dx -

f^(x) dx

(V-121)

Das erste Integral beschreibt dabei die unterhalb der Kurve y^ = /^ (x) liegende Flache, das zweite Integral entsprechend den Flacheninhalt unterhalb der Kurve y^ = /^^ (x). Die Integraldifferenz (V-121) laBt sich noch zu einem Integral zusammenfassen: Flacheninhalt zwischen zwei Kurven (Bild V-42)

^ = \{yo- yu) dx a

[/;,(x) -/„(x)] dx a

Dabei bedeuten: yo — fo (^) • Gleichung der oberen Randkurve yu ^ fu W • Gleichung der unteren Randkurve Voraussetzung: /^(x) ^/„(x) im Intervall a ^ x ^b

(V-122)

10 Anwendungen der Integralrechnung

477

Anmerkungen (1) Die Lage des Flachenstiicks spielt dabei keine RoUe, solange uherall im Intervall a ^ X ^b die Bedingung /^(x) ^/^^(x) erfullt ist. Der Formelausdruck (V-122) bleibt daher auch fiir die in den Bildern V-43a) und V-43b) skizzierten Flachen gultig. yk yo='^o(x)

y^

a

b)

b

X

Yu^fJ^)

Bild V-43 (2)

Die Integralformel (V-122) gilt nur unter der Voraussetzung, daB sich die beiden Randkurven der Flache an keiner Stelle des Intervalls a^x ^h durchschneiden, d.h. iiberall in diesem Intervall muB die Bedingung /^(x) ^/^^(x) erfullt sein. Andernfalls ist die Flache so in Teilfldchen zu zerlegen, daB die beiden Randkurven einer jeden Teilflache diese Bedingung erfiillen. Zur Berechnung dieser Teilflachen werden daher die im Intervall a ^x ^b gelegenen Schnittpunkte beider Kurven benotigt. Bild V-44 verdeutlicht das Vorgehen bei zwei Teilflachen A^ und A2, d.h. bei einem im Intervall a ^ x ^b gelegenen Schnittpunkt mit dem Abszissenwert X;!^.

y=t (X)

y=f,(x)

Bild V-44

V Integralrechnung

478

In den beiden Teilintervallen gelten dann folgende Beziehungen: Im Intervall a ^ x ^ x^:

/i W ^ /i W

Im Intervall x^ ^ x ^ b:

/i W ^/2(x)

Die Gesamtfldche A berechnet sich daher wie folgt: Xi

A = A^ -\- A2 =

b

Ifi M - h (^)] ^^ +

[/i W - h (^)] ^^

Ui (^) - / i W] ^^

(V-123)

Man bestimme den Fldcheninhalt zwischen der Parabel y = und der Geraden y = l,5x + 2 (Bild V-45).

0,5 x^ + 6

[/2W-/lW]^-^ +

Beispiele (1)

y=-0,5x^^6

Bild V-45 Zur Berechnung der Flache zwischen der Parabel y •• und der Geraden y = l,5x + 2

•0,5x^ +
xi = - 4,7,

X2 = 1,7

Das Flachenstiick wird im Intervall — 4,7 ^ x ^ 1,7 oben von dQi Parabel und unten von der Geraden begrenzt. Daher ist der Flacheninhalt: 1,7

A=

\ [{-0,5x^+

6)-{l,5x

+ 2)]dx =

-4,7

1,7

1,7

(-0,5x^ + 6 - l , 5 x - 2 ) ^ x = -4,7

+ 4)dx =

-4,7

1 . 3 x^ -^x^ 6 4 (2)

{-0,5x^-l,5x

+ 4x

1,7

3,81 - ( - 1 8 , 0 6 ) = 21,87

-4,7

Wir berechnen die zwischen der Sinus- und Kosinuskurve liegende Fldche im Bereich zweier aufeinanderfolgender Schnittpunkte. Die in Bild V-46 grau unterlegten Teile sind wegen der Periodizitat der Randkurven fldchengleich.

Bild V-46 Flachenstuck zwischen der Sinus- und Kosinuskurve im Bereich zweier aufeinanderfolgender Schnittpunkte Aus der trigonometrischen Gleichung sin X = cos X

oder

tan x = 1

berechnen wir zunachst die Kurvenschnittpunkte. xj^ = arctan 1 + /c • 7i = - + /c • TT

Sie hegen an den Stellen

(/C = 0, ± 1, ± 2,...)

V Integralrechnung

480

Wir entscheiden uns dabei fiir den in Bild V-46 skizzierten (dunkelgrau unterlegten) Bereich zwischen den ersten beiden positiven Schnittpunkten, d.h fur n 5 das Intervall - ^ x ^ - 71. In diesem Interval! verlauft die Sinuskurve ober4 4 halb der Kosinuskurve. Der gesuchte Fldcheninhalt wird daher liber das folgende Integral berechnet: 571/4

(sin X — cos x) dx

A=

571/4

- cos X — sm X

2,83

= 2-

7l/4

71/4

(3)

Wir interessieren uns fiir den Fldcheninhalt A zwischen der Parabel y = 2,5x^ — 8,75X und der Kurve y = 2x^ — 12x^ + 16x. Zunachst aber bestimmen wir die dabei benotigten Kurvenschnittpunkte: 2x^ - 12x^ + 16x = 2,5x^ - 8,75x 2x^ - 14,5x2 _^ 24,75x = x{2x^ - 14,5x + 24,75) = 0 Xi = 0 ,

^

X2 = 2,75, X3 = 4,5

Die gesuchte Flache A besteht somit aus zwei Teilflachen A-^ und A2, die wir jetzt berechnen wollen (Bild V-47).

y=2,5x^-8,75x

Bild V-47

10 Anwendungen der Integralrechnung

481

Im Intervall 0 ^ x ^ 2,75 ist die Parabel die untere, im Intervall 2,75 < x ^ 4,5 dagegen die ohere Berandung der Flache. Daher gilt: 2,75

[(2x^ - \2x^ + 16x)-(2,5x2 - 8,75x)] dx

M = 0 2,75

=

I (2x3 - 14,5x2+ 24,75x)^x 0

1 . -x^

14,5 . 24,75 x'' H

2,75

21,6634

0

4,5

A2 = I [ ( 2 , 5 x 2 - 8 , 7 5 x ) - ( 2 x 3 _ ^2x^ + 16x)] Jx 2,75 4,5

= I ( - 2 x 3 + 14,5x2-24,75x)Jx = 2,75

1 4 , 14,5 3 2 3

24,75 2 2

4,5

= 6,4759

2,75

Somit erhalten wir eine Gesamtfldche von A = A^+A2

= 21,6634 + 6,4759 - 28,1393 ^ 28,14 •

10.3 Volumen eines Rotationskorpers (Rotationsvolumen) Rotationskorper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse. Zu ihnen gehoren beispielsweise die Kugel, der Kreiskegel, der Zylinder, das Rotationsparaboloid und der Torus. Rotation einer Kurve um die x-Achse Die iiber dem Intervall a ^ x ^b gelegene Kurve mit der Funktionsgleichung y = f{x) erzeuge bei Rotation um die x-Achse den in Bild V-48 skizzierten Rotationskorper. Dieser wird jetzt durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine groBe Anzahl n von Scheiben gleicher Dicke Ax zerlegt.

V Integralrechnung

482

Im folgenden betrachten wir eine wahllos herausgegriffene Scheibe (in Bild V-48 grau unterlegt).

Bild V-48 Zerlegung eines Rotationskorpers in Zylinderscheiben der Dicke Ax

Sie wird durch eine kreisformige Zy Under scheibe gleicher Dicke ersetzt, die durch Rotation des in Bild V-49 skizzierten Rechtecks mit den Seitenlangen y = / ( x ) und Ax um die x-Achse entsteht.

Bild V-49 Durch Rotation des eingezeichneten Rechtecks um die x-Achse entsteht eine kreisformige Zylinderscheibe vom Volumen AVx = ny^ Ax

Das Volumen dieser zylindrischen Scheibe ist dann AV^ = (Grundflache) • (Hohe) = ny^ Ax

(V-124)

10 Anwendungen der Integralrechnung

483

Ebenso verfahrt man mit den iibrigen Scheiben. Die Summation iiber sdmtliche Zylinderscheiben liefert einen Ndherungswert fiir das Rotationsvolumen V^, der bei beliebiger Verfeinerung der Zerlegung gegen den exakten Wert strebt. Beim Grenziibergang n —• oo geht die Scheibendicke Ax gegen Null und man erhalt fiir V^ die folgende Integralformel: Rotationsvolumen bei Drehung einer Kurve um die x-Achse (Bild V-48) Bei Drehung einer Kurve mit der Gleichung y = f{x), a ^ x ^ b um die x-Achse entsteht ein Rotationskorper vom Volumen r

y^ dx = n ' f^{x)dx \

a

(V-125)

a

Zu diesem Ergebnis gelangt man auch durch eine in den Anwendungen ubliche und sehr beliebte formale Betrachtungsweise. Wir gehen dabei von einer infinitesimal dUnnen Scheibe der Dicke dx aus (in Bild V-50 grau unterlegt):

Bild V-50 Der Rotationskorper wird aus infinitesimal diinnen Zylinderscheiben der Dicke dx zusammengesetzt

Das Volumen einer solchen Scheibe (auch Volumenelement genannt) betragt (V-126)

dV^ = ny^ dx

Jetzt summieren, d.h. integrieren wir iiber sdmtliche zwischen x = a und x ^ b gelegenen infinitesimal diinnen Scheiben und erhalten schlieBlich fiir das Rotationsvolumen die bereits bekannte Formel dV^ (V)

7-^ dx = 71 f^ •

(x) dx

(V-127)

V Integralrechnung

484 Rotation einer Kurve um die j-Achse

Analog verfahrt man bei Korpern, die durch Rotation eines Kurvenstiicks um die y-Achse entstanden sind (Bild V-51).

Bild V-51 Zur j^-Achse rotationssymmetrischer Korper

Die entsprechende Integralformel fiir das Rotationsvolumen lautet: Rotationsvolumen bei Drehung einer Kurve um die j-Achse (Bild V-51) Bei Drehung einer Kurve mit der Gleichung x = g{y), c ^ y ^ d um die y-Achse entsteht ein Rotationskorper vom Volumen

Vy^n-

x-^ dy = n '

g

(V-128)

iy)dy

Anmerkung Die Gleichung der rotierenden Kurve liegt meist in der Form y = f{x) vor und muB dann erst noch nach der Variablen x aufgelost w^erden. Die auf diese Weise erhaltene Funktion x = g{y) ist die „nach der Variablen x aufgeloste Form von y = f{xy\

Beispiele (1)

Durch Drehung der iiber dem Intervall 0 ^ x ^ n/2 gelegenen Kosinuskurve y = cos X um die x-Achse entsteht der in Bild V-52 skizzierte Rotationskorper. Sein Volumen betragt nach Integralformel (V-125): n/2

V^ = 7f

cos^ X dx = n

n/2 1 1 - X + - • sin (2 x)

0

71"

T

10 Anwendungen der Integralrechnung

485

y=cos X

Bild V-52

Rotationskorper, entstanden durch Drehung der Kurve y = cos X, 0 ^ X ^ n/2

um die x-Achse

(2)

Durch Rotation des in Bild V-53 skizzierten Kreisabschnitts der Hohe h um die x-Achse entsteht ein sog. Kugelabschnitt mit dem folgenden Volumen:

l^x = ^ *

W^^ — ^ ;

r— h

—n'

2 r^ X

dx = 7i-

{r^ — x^) dx r— h

^ x^

1 1 ^3 _ _ ^ 3 _ ^ 2 ( ^ _ ^ ^ _ ^ _ ( ^ _ / j ) 3

nh^ [r — -h

Bild V-53

Der grau unterlegte Kreisabschnitt erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen Kugelabschnitt

Im Grenzfall h = 2r erhalt man eine Vollkugel mit dem Volumen

V Integralrechnung

486 (3)

Welchen Rauminhalt besitzt der Korper, der durch Drehung der in Bild V-54 skizzierten (grau unterlegten) Flache um die y-Achse entsteht? y/cm i I

fv':A

'"Parabel y=ax^-hb

10 ^

-A

A^

x/cm

Bild V-54

Losung: Zunachst bestimmen wir die Gleichung der Parabel, die wir wegen der Achsensymmetrie in der Form y — ax^ -\- h ansetzen diirfen: I? = 10 cm; P = (4 cm; 18 cm) ist ein Punkt der Parabel => 18 cm = a • (4 cm)^ + 10 cm => a = 0,5 cm~ -^ Die Parabelgleichung lautet somit: y = 0,5 cm" ^ • x^ + 10 cm Das gesuchte Rotationsvolumen V berechnen wir nach der aus Bild V-54 ersichtlichen Formel V-

''^Zylinder

V,Paraboloid

Dabei ist F2;yiinder ^^s Volumen des Zylinders mit dem Radius r = 4 cm und der Hohe /i = 18 cm: ^Zyiinder = nr^h = n{4 cm)2 • 18 cm = 904,78 cm^ Paraboloid ^^^ das Volumen des Rotationsparaboloids, das durch Drehung der iiber dem Intervall 10 < y/cm ^ 1 8 gelegenen Parabel um die j^-Achse entsteht und mit Hilfe der Integralformel (V-128) berechnet werden kann. Dazu losen wir zunachst die Parabelgleichung nach x^ auf: x^ = 2 cm • (y — 10 cm)

10 Anwendungen der Integralrechnung

487

Diesen Ausdruck setzen wir jetzt in die Volumenformel (V-128) ein und erhalten damit fiir das Volumen des Rotationsparaboloids: 18 cm

^Paraboloid = ^'

18 cm

{y - 10 cm) dy

x^ dy = 2ncm 10 cm

10 cm

10 cm • 3;

= 2 Ti: cm

18 cm

= 201,06 cm^

10 cm

Fiir das gesuchte Rotationsvolumen V ergibt sich damit der folgende Wert: '^

''^Zylinder

^Paraboloid

= 904,78 cm^ - 201,06 cm^ = 703,72 cm^

10.4 Bogenlange einer ebenen Kurve Wir stellen uns die Aufgabe, die Ldnge einer liber dem Intervall a ^x ^b gelegenen Kurve mit der Funktionsgleichung y = f{x) zu berechnen, und bedienen uns dabei der bereits in Abschnitt 10.3 erwahnten formalen Betrachtungsweise. Wahllos greifen wir ein von den beiden Randpunkten P und Q begrenztes, infinitesimal kurzes KurvenstUck heraus und ersetzen den Kurvenbogen durch das Linienelement ds, d.h. durch die entsprechende Strecke auf der in P errichteten Tangente (Bild V-55).

yi i

/ y=f(x)

/

a/ ^ ^ p

'

.-^^^>' c7


0 darstellbar. Der Faktor (— 1)"^ ^ ist dabei abwechselnd positiv und negativ und bestimmt somit das Vorzeichen der Gheder. Es wird daher auch als Vorzeichenfaktor bezeichnet. Fiir alternierende Reihen existiert ein spezielles von Leibniz stammendes Konvergenzkriterium. Es lautet (ohne Beweis): Leibnizsches Konvergenzkriterium fiir alternierende Reihen Eine alternierende Reihe vom Typ (VI-19) mit a^> 0 ist konvergent, wenn die Reihengheder die folgenden Bedingungen erfiillen: 1. a^ > a2 > a^ > ... > afi> a^^l > ... 2.

lim a„ — 0

(VI-20)

n -^ CO

Anmerkung Eine ahernierende Reihe ist demnach konvergent, wenn die Betrdge ihrer Gheder eine monoton fallende Nullfolge bilden {hinreichende Konvergenzbedingung).

1 Unendliche Reihen •

551

Beispiele (1)

Die alternierende Reihe

L ^

n!

^

1!

2!

3!

4!

ist konvergent, da die Betrage ihrer Glieder eine monoton fallende NuUfolge bilden und somit das hinreichende Leibnizsche Konvergenzkriterium (VI-20) erfiillen: 1

1

1

1

1

1 1 lim a„ = lim n'— = lim 1 • 2 • 3

(2)

n

Auch die sog. alternierende harmonische Reihe 00

n

LJ n= l

2

3

4

konvergiert, da sie die Konvergenzbedingungen (VI-20) erfiillt: 1 1 1 1 1 > - > - > ... > - > - > ... 2 3 n n-{- 1 1 lim (2„ = lim - = 0 n - » 00

(3)

n^

CO ^

Die alternierende geometrische Reihe 00

y

( - i ) « + i ==1 - 1 + 1 - 1 + _ . . .

n= 1

dagegen ist divergent, da sie keine der beiden im Leibnizschen Konvergenzkriterium (VI-20) genannten Bedingungen erfiillt: ay, = \ fur alle n e N * ^ ( lim a„ = lim 1 = 1 ( ^ n ->• 00

n-^

CO

^. n- i r^ i . ^ i Die unendliche Zahlenfolge ist keine monoton fallende Nullfolge!

552

VI Potenzreihenentwicklungen

2 Potenzreihen 2.1 Definition einer Potenzreihe Potenzreihen unterscheiden sich von den bisher behandelten Zahlenreihen dadurch, daB ihre Glieder Potenzen und somit Funktionen einer unabhangigen Variablen x darstellen. Definition: Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ •CC'

P(x) =

=

UQ

+ aj^x^ + a2 x^ + . . + a„x" +

n=0

(VT-21)

Anmerkungen (1) Die Glieder einer Potenzreihe P{x) sind also Potenzen der unabhangigen Variablen x. (2)

Die reellen Zahlen UQ, a^, a2, ... sind die Koeffizienten der Potenzreihe.

(3)

Zu einer etwas allgemeineren Darstellungsform der Potenzreihen gelangt man durch die Definitionsvorschrift GO

P{x)= ^ a,ix-Xor

=

n= 0

= QQ + ai{x — XQ)^ + (22 (X — XQ)^ 4- ... + a„(x — XQ)'^ + ...

(VI-22)

Die Stelle XQ heiBt „Entwicklungspunkf' oder auch „Entwicklungszentrum'\ Fiir XQ = 0 erhalten wir die in den Anwendungen meist auftretende spezielle Form 00

y

a„x" („Entwicklung um den Nullpunkt"). Die a//gemdne Form (VI-22) kann

dabei stets mit Hilfe der formalen Substitution z = x — XQ auf die spezielle Form (VI-21) zuriickgefuhrt werden, so daB wir uns auf diesen Potenzreihentyp beschranken konnen.

Beispiele 00

(1)

P{x)=

y n-0

x" = 1 + x l + x ^ + ... 4-x" +

2 Potenzreihen

(2)

553

p(x)= y LJ

=1+ n\

1!

+

2!

+...+

n!

+...

(3) P(x)= y (-i)-i.(^^ll" = (^i^^-(^^A^ + eY Konvergenzradius r der Mac Laurinschen Reihe von f{x) wird nach der Formel (VI-29) berechnet. Innerhalb des Konvergenzbereiches, d.h. fiir | x| < r wird die Funktion f{x) dabei durch ihre Mac Laurinsche Reihe dargestellt.

(4)

Die Symmetrieeigenschaften einer Funktion spiegeln sich auch in ihrer Mac Laurinschen Reihe wider: In der Reihenentwicklung einer geraden Funktion treten nur gerade, in der Reihenentwicklung einer ungeraden Funktion dagegen nur ungerade Potenzen auf.

564 •

VI Potenzreihenentwicklungen Beispiele (1)

Mac Laurinsche Reihen von f{x) = e* und f{x) = e~* Fiir die e-Funktion ist f{n) (_^) _ ^x

^^^ goj^jt

/('^) (0) = e^ = 1

{n = 0, 1, 2, ...)

Die Mac Laurinsche Reihe von f [x) = e^ lautet demnach wie folgt: X

1

.

1

1

2

1

3

e^ = 1 + — x ^ + — x ^ + ^ x ^ + ... = x^

x^

x^

^

x"

Ilir Konvergenzradius betragt r = oo, d. h. die Reihe konvergiert bestdndig (vgl. hierzu auch Beispiel (2) aus Abschnitt 2.2). Ersetzen wir in der Reihenentwickiung von / ( x ) = e^ die Variable x formal durch — x, so erhalten wir die Mac Laurinsche Reihe von /(x)=e"-

X

.

(-^)'

{-^y T

^

I

Y

-

2

^

3

{-^y OO

y.n

Sie konvergiert ebenfalls fiir alle x G R, d. h. bestdndig. Selbstverstandlich erhalt man diese Reihe auch auf dem direkten Wege liber die Mac Laurinsche Formel (VI-38). (2)

Mac Laurinsche Reihen von / {x) = cos x und / {x) = sin jc Wir entwickeln zunachst die Kosinusfunktion f (x) = cos x in eine Mac Laurinsche Reihe. Es ist: / (x)

= cos X

^ f (0)

= cos 0 = 1

f'{x)

--sinx^/'(0)

=-sinO = 0

f''{x)

= - c o s x => f'^{0)

= -cosO = - 1

f" (x) = sin X

^ f" (0) = sin 0 = 0

/(4)(x) = cosx

^ /(4)(0) = cosO = 1

Viererzyklus

3 Taylor-Reihen

565

Ab der vierten Ableitung wiederholen sich die Ableitungswerte. In einem regelmdfiigen Viererzyklus werden dabei der Reihe nach die Werte 1, 0, — 1 und 0 durchlaufen. Die Mac Laurinsche Reihe der Kosinusfunktion besitzt demnach die folgende Gestalt: x^

1

cos X

x^

OO

Y^^

6! +

Sie enthalt wegen der Spiegelsymmetrie ausschlieBlich gerade Fotonzen. Eine Berechnung des Konvergenzradius nach Formel (VI-29) ist zunachst nicht moglich, da in der Reihenentwicklung jeder zweite Koeffizient verschwindet. Wir helfen uns mit einem mathematischen „Trick" und bringen die Reihe mit Hilfe der Substitution t = x^ auf eine neue Gestalt: ,

fl

f2

j3

OO

VL«

l - 2 ! + 4T-6! + Diese Potenzreihe in der neuen Variablen t enthalt alle Potenzen, ihr Konvergenzradius kann daher mit Hilfe der Formel (VI-29) berechnet werden: a.

lim

= lim

( - 1 ) " • {2n + 2)!

lim

^n + l

W ^

(2/2)! (-1)^^ + 1

OO

1) (2^ + 2)

{2n)\(2n+

lim n-^oo

{2n + 2)! (2«)!

= lim (2n + 1) {2n + 2) = oc

(2n)Y

Die Reihe konvergiert somit fiir alle ^ G R. Wegen x^ = t und somit X = A/7 gilt dies auch fiir alle x G R, d. h. die Kosinusreihe konvergiert (erwartungsgemaB) hestandig. Die Mac Laurinsche Reihe der Sinusfunktion erhalten wir am bequemsten durch gliedweise Differentiation der Kosinusreihe (bekanntlich ist (cos x)' ^ — sin X und damit sin x = — (cos x)'): sin X = —— (cos x) dx 2x1

d dx 4^3

x^

x^

x"

6x5

~6V xV

IT

3 X^

5 X^

3T "^ 5T

OO

y2n

+ l

y (-1)" . _ ! ^t-o^ > (2n + l)!

Sie konvergiert ebenso wie die Mac Laurinsche Reihe der Kosinusfunktion bestdndig, Auch diese Potenzreihe laBt sich nattirlich auf direktem Wege iiber die Mac Laurinsche Entwicklungsformel (VI-38) herleiten. Wegen der Punktsymmetrie der Sinusfunktion treten in der Potenzreihenentwicklung nur ungerade Potenzen auf.

566

VI Potenzreihenentwicklungen (3)

Binomische Reihe (1 ± jc)" Wir entwickeln zunachst die Funktion /(x) = (1 + x)" mit nelR in eine Mac Laurinsche Reihe. Die dabei benotigten Ableitungen und ihre Werte an der Stelle x =0 lauten: /(x) = ( l + x ) « /'(x) = n ( l + x ) « - i f"{x) f'"{x)

= n{n - 1)(1 + x)«-2 = n{n -\){n-

=>

/(0) = 1

=>

f'{0) = n

=> /^^(O) = n{n - 1)

2) (1 + xY'^

=> /'''(O) = n{n -\){n-

2)

Die Mac Laurinsche Reihenentwicklung nach Formel (VI-38) beginnt daher wie folgt: ^n . ^ 1 n{n-l) ( l + x ) ^ ^ l + - x ^ + ^^^

^ n{n-l){n-2) x^+^ ^"^^

= 1 +-x^ + —-—^x^ H 1 1-2

——— 1 •2-3

^ ^x3 + . . . = x-^ + ...

Die Koeffizienten dieser Reihe sind die bereits aus Abschnitt 1.6 bekannten Binomialkoeffizienten n\ ^kj

n{n-l){n-2)...{n-k 1-2-3...k

+ 1)

Die Mac Laurinsche Reihe von f{x} = (1 + x)" ist damit in der Form

"-"'^'H:y^iF / W ( l ) = - 2 - 3

Die gesuchte Taylorsche Reihe von f{x) = \nx um das Entwicklungszentrum XQ = 1 lautet somit: Inx = 0 + ^ ( x -

1)1-^(x-1)2+|(x-1)3-^{x-l)4+-...=

= (^ - ^)' _ (^ - 1)' + (^ - 1)' _ (^ - 1)^ ^ _

«H-1 = ^E^-^^ =1

(^-1)"

Die s^/ir langsam konvergierende Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius r = 1 und den Konvergenzbereich 0 < x ^ 2. In diesem und nur diesem Intervall reprasentiert die Reihe den natiirlichen Logarithmus. So erhalten wir beispielsweise an der Stelle x = 2 eine Darstellung der logarithmischen Funktion durch die bekannte alternierende harmonische Reihe: 1 1 1 In 2 = 1 - - + - - - + 2 3 4

-...

Der Summenwert betragt 0,6931 (auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau).

3 Taylor-Reihen

571

3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen Der Leser findet in der nachfolgenden Tabelle 1 eine Zusammenstellung der Potenzreihenentwicklungen einiger besonders wichtiger Funktionen. Tabelle 1: Potenzreihenentwicklungen einiger besonders wichtiger Funktionen Funktion

Konvergenzbereich

Potenzreihenentwicklung AUgemeine Binomische Reihe^^

(1 + x)"

^4"y

^

^^^e^^-^^^

^

00

Wir formen den Exponenten noch geringfiigig um:

In f 1 + xj

1 X

Fiir X —• 00 geht dieser Ausdruck gegen die unbestimmte Form - . Wir ??^

diirfen daher die Bernoulli-de LHospitalsche Grenzwertregel anwenden. Sie fiihrt zu

= lim X - » CX)

1 i

_|_

=1

_

Somit ist lim I 1 +

(5)

Die Kardioide mit der Gleichung r = 1 + cos cp, 0 ^ cp < In besitzt den vom Winkel cp abhangigen Kurvenanstieg dy 2 • cos^ (p + cos cp — \ y = dx - — sin cp (1 + 2 • cos (p)

2 • cos^ cp + cos cp — \ — sin (/? — 2 • sin (/? • cos cp

wie wir im Beispiel des Abschnittes IV.2.12 bereits gezeigt haben (vgl. hierzu auch Bild IV-12).

3 Taylor-Reihen

593

Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin {2q)) = 2 • sin q)' cos q) lasst sich der Nenner dieses Ausdrucks auf die fiir unsere Zwecke giinstigere Form ,

2 • cos^ (p + cos q) — I — sinq)— 2 • sin ^ • cos q)

2 • cos^ q) + cos q) — I — sin ^ — sin (2 q))

bringen. Die Berechnung des Kurvenanstiegs in dem zum Winkel q) = 7t gehorigen Kurvenpunkt (Schnittpunkt) mit der negativen x-Achse) fiihrt zu dem unbestimmten Ausdruck , .

y (w=Jt)=

,

,. 2 • COS^ 09 + COS 09—1 lim : :—;-—r cp-^jt — s m ^ — s m ( 2 ^ )

0 0

>—

Durch Anwendung der Grenzwertregel von Bernoulli-de UHospital wir schlieBlich: , ,

y (q)=jt)=

,

,.

hm cp^ji

=

2 • COS^ 09 +

erhalten

COS 0 9 — 1

-. -.———— = — sm 99 — sm (2 99)

cp^Tt

(2 • cos^ q) + cos q) — I)' (—sin ^ — sin (299))'

Im cp^ji

— 4 • cos 09 • sin 09 — sin 09 0 ^ /^ X - — r = 0 — COS 99 — 2 • COS (2 (59) —1

Die Kardioide besitzt demnach fiir q) — Jt eine waagerechte Tangente.

•

3.4 Anwendungsbeispiele aus der Physik und Technik 3.4.1 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes Wir haben uns bereits an verschiedenen Stellen mit dem Freien Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes beschaftigt und dabei fur die Fallgeschwindigkeit v die folgende Zeitabhangigkeit hergeleitet: y = y(^t) = VE - tanh ( - ^ t\ (g: Erdbeschleunigung;

{t > 0)

(VI-60)

VE'- Endgeschwindigkeit).

Die Fallgeschwindigkeit nahert sich dabei im Laufe der Zeit asymptotisch ihrem Endwert VE, wie in Bild VI-12 anschaulich dargestellt.

VI Potenzreihenentwicklungen

594

Bild VI-12 Zeitlicher Verlauf der Fallgeschwindigkeit unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes Einfache Ndherungsfunktionen fiir diese relativ komplizierte Geschwindigkeit-Zeit-Funktion erhalten wir durch eine Potenzreihenentwicklung der in Gleichung (VI-60) auftretenden hyperbolischen Funktion. Wir gehen dabei zunachst von der elementaren Funktion tanh x aus. Ihre Mac Laurinsche Reihe entnehmen wir der Tabelle 1: tanhx

1

3

2

5

(IX I < Jt/2)

(VI-61)

In unserem Beispiel ist x — — t zu setzen und wir erhalten schlieBlich aus (VI-60) VE

und (VI-61) die folgende Reihenentwicklung fiir v{t)\ V (t) — VE • tanh ( -^^ t \VE

3^1.

VE

VE

2l_ 15 4 .

3

+

\VE

15 \VE

(VI-62)

Durch Abbruch der Reihe nach dem 1., 2. bzw. 3. Glied erhalten wir die folgenden einfachen Ndherungspolynome fiir die Zeitabhangigkeit der Fallgeschwindigkeit: 1. Ndherung: v\ ~ gt 2. Ndherung: V2 = gt

3vl

3. Ndherung: vj = gt — — ^

~4;

t +

2r

Die 1. Ndherung liefert das fiir den luftleeren Raum giiltige und bereits aus der Schulphysik bekannte lineare Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v = gt. In Bild VI-13 haben wir den Verlauf dieser Nahemngspolynome fiir eine Endgeschwindigkeit von VE = 60 m/s ( = 2 1 6 km/h) dargestellt. Man erkennt deutlich, dass diese Nahemngen nur fiir kleine

3 Taylor-Reihen

595

Fallzeiten sinnvoU sind. Durch Hinzunahme weiterer Reihenglieder lassen sich diese Naherungsfunktionen jedoch noch verbessern.

Bild VI-13 Nahemngsfunktionen fur den zeitiichen Verlauf der Fallgeschwindigkeit Durch gliedweise Integration der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion (VI-62) erhalten wir das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls in Form einer Reihenentwicklung:

s{t) =

+

:t

\lv\

r

454.

t'

-

dt (VI-64)

In 1. Ndherung gewinnen wir hieraus das bekannte Fallgesetz fiir den luftleeren Raum: 1

.(0

.

(VI-65)

3.4.2 Kapazitat einer elektrischen Doppelleitung Die in Bild VI-14 im Querschnitt dargestellte elektrische Doppelleitung besteht aus zwei parallelen Leitern (Drahten) mit der Lange / und dem Leiterradius R. Der Mittelpunktsabstand der beiden Leitungen betragt d = 2a. Die Kapazitat dieser Anordnung berechnet sich dann nach der Formel Jt Go I

C

In

1+

(VI-66)

596

VI Potenzreihenentwicklungen

Leiter

Leiter

Bild VI-14 d = 2a

Durch Reihenentwicklung lasst sich hieraus eine fur R ( - 1 ) " •— °^

3^

n

A 2"

n= 0

e) pw= y -^x"+i

f) p(x)= y "i^x"

00

00

/-J n + 1

2)

P(x) =

LJ

ill

Berechnen Sie den Konvergenzradius und Konvergenzbereich der Potenzreihe P(x) = 1 - x ^ H - x ' ^ - x ^ + - . . . Anleitung: Setzen Sie zunachst z = x^ und untersuchen Sie anschlieBend das Konvergenzverhalten der neuen (z-abhangigen) Reihe.

Zu Abschnitt 3 1) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine Mac Laurinsche Reihe: a)

2)

/(x) = sinh x

b)

/(x) = arctan x

c)

/(x) = In (1 + x^)

Bestimmen Sie die Mac Laurinsche Reihe der Funktion /(x) = cosh x a)

auf direktem Wege nach Formel (VI-38),

b)

2iusdQnPotenzreihenentwicklungen\on e^ und e~^ unterBeriicksichtigung

3) Entwickeln Sie die Wurzelfunktion / (x) =

1

unter Verwendung der Bino-

mischen Reihe in ein Mac Laurinsches Polynom (Abbruch nach dem 3. Glied). Berechnen Sie anschheBend mit dieser Naherungsfunktion den Funktionswert an der Stelle x = 0,2 und schatzen Sie den Fehler ab.

600

VI Potenzreihenentwicklungen

4)

Bestimmen Sie die Mac Laurinschen Reihen der folgenden Funktionen, indem Sie die Potenzreihen der beiden Faktoren gliedweise multiplizieren. In welchem Bereich konvergieren die Reihen? ^)

5)

/(x) = e~^^ • cos X

b)

/(x) = sin^x

c)

f{^) =

^ 1 + x^

Entwickeln Sie die folgenden Funktionen um die Stelle XQ in eine Taylor-Reihe:

1 X^

2 X

6)

Die Funktion f (x) = x • Q~^ soil in der Umbebung des Nullpunktes durch einfache Polynomfunktionen bis maximal 3. Grades angenahert werden. Bestimmen Sie diese Naherungsfunktionen mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihenentwicklung und skizzieren Sie ihren Verlauf.

7)

Berechnen Sie den Funktionswert von / (x) = v 1 — x an der Stelle x = 0,05 auf sechs Dezimalstellen nach dem Komma genau.

8)

Berechnen Sie cos 8° mit Hilfe der Mac Laurinschen Reihenentwicklung von cos X auf vier Dezimalstellen genau. Hinweis: Winkel erst ins Bogenmafi umrechnen!

9)

Ersetzen Sie die Sinusfunktion in der Umgebung ihres 1. Maximums im positiven x-Bereich durch eine Parabel Anleitung: Taylor-Reihe von /(x) = sinx um die betreffende Stelle bestimmen und nach dem quadratischen Ghed abbrechen.

10)

Losen Sie die Gleichung coshx = 4 —x^ ndherungsweise durch Potenzreihenentwicklung von cosh x und Abbruch dieser Reihe nach der 4. Potenz.

11)

Losen Sie das (unbestimmte) Integral F{x) =

r 1

dt, indem Sie den Inte-

0

granden zunachst in eine Mac Laurinsche Reihe entwickeln (Binomische Reihe verwenden!) und diese anschlieBend gliedweise integrieren. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der durch Integration gewonnenen Potenzreihe, die eine Ihnen bekannte elementare Funktion darstellt. Um welche Funktion handelt es sich?

601

Ubungsaufgaben 12)

Die folgenden bestimmten Integrale sind elementar, d.h. in geschlossener Form nicht losbar. Sie lassen sich jedoch durch Potenzreihenentwicklung des Integranden und anschlieBender gliedweiser Integration berechnen. Bestimmen Sie den Wert dieser Integrale auf vier Dezimalstellen nach dem Komma genau. 0,5

0,2 COS

(>/x) dx

b)

X+ 1

dx

c)

dx

13) Zeigen Sie, wie man aus der als bekannt vorausgesetzten Potenzreihe von In (1 1 durch Differentiation die Mac Laurinsche Reihe von gewinnen kann.

X)

1 —X

Anleitung: Gehen Sie von der folgenden Entwicklung aus: ln(l

X

( - 1 ^ x < 1)

=

14) Zwischen Luftdruck p und Hohe h (gemessen gegeniiber dem Meeresniveau) besteht unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang (sog. barometrische Hohenformel): p(h) = Po-Q

h 7991m

(/z ^ 0 m)

Leiten Sie mit Hilfe der Potenzenreihenentwicklung einen linearen Zusammenhang zwischen den GroBen p und h her. Bis zu welcher Hohe /z^^x li^fert diese Naherung Werte, die um maximal 1 % vom tatsachlichen Luftdruck abweichen? 15)

Die Schwingungsdauer T eines konischen Pendels (Bild VI-14) hangt bei gegebener Fadenlange / und festem Ort nur noch vom Winkel cp zwischen Faden und Vertikale ab: T = T{q)) = 2n'

- - cos cp

(g: Erdbeschleunigung) Zeigen Sie: Fiir kleine Winkel cp ist die Schwingungsdauer T nahezu winkelunabhangig.

Bild VI-14 Konisches Pendel

602 16)

VI Potenzreihenentwicklungen Die Schwingungsdauer T einer ungedampften elektromagnetischen Schwingung laBt sich nach der Beziehung T = 2n - sjhC aus der Induktivitat L und der Kapazitat C berechnen (Bild VI-15).

\ \r

Bild VI-15 Elektromagnetischer Schwingkreis

a)

Berechnen Sie die Schwingungsdauer fur die Werte LQ = 0,1 H und Co = 10 |iF.

b)

Bei einer Kapazitatsanderung um AC andert sich die Schwingungsdauer um AT (die Induktivitat bleibe konstant). Leiten Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung einen linearen Zusammenhang zwischen diesen GroBen her.

c)

Berechnen Sie mit dieser linearen Ndherungsformel die Anderung AT der Schwingungsdauer fiir den Fall einer Kapazitdtszunahme um A C = 0,6 |iF und vergleichen Sie diesen Wert mit dem exakten Wert.

17) In der Relativitatstheorie wird gezeigt, daB die Elektronenmasse m mit der Elektronengeschwindigkeit v nach der Formel m = m(v) = — 'l-iv/c)

-

zunimmt (niQ: Ruhemasse des Elektrons; c: Lichtgeschwindigkeit). Zeigen Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung, daB zwischen den GroBen m und v in L Ndherung der folgende Zusammenhang besteht: v^ m«mo (1+2^2 18)

Die folgenden 0" Typ - bzw. „0

Grenzwerte fiihren zunachst auf einen unbestimmten Ausdruck vom oo" — . Berechnen Sie diese Grenzwerte unter Anwendung der „oo

Kegel von Bernoulli und de EHospital: a) d)

hm

tanx

x->0

b)

^ X • e^

^™ 1

^

e)

lim

x->0

hm

cos X— 1 ^

x"-a«

c)

f)

hm x^O

hm

X - ^ 00

sin X ^

In X —^ ^

Ubungsaufgaben

g)

3-tanx .

lim

^^^

•x j)

^^ h)

Sm{ZX)

^. l n ( l + x ) hm

^^0

1, k)

^. x^-2 Im ^^ X -> 00

19)

603

^

.^ i)

^. In x lim —^

x->oo ^

r tanh(Vx) hm -

S

X -»0

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a)

lim (2x)^

d)

lim ( e~^ • \/x I ^ /

f)

. 1 lim x-^oVtanx

b) e)

lim I - j

c)

lim (x^-lnx)

lim (x — n) • tan ( x->/ U

1 X

Anleitung: Die Grenzwerte sind von einem Typ, auf den die Regel von Bernoulli und de L'Hospital zunachst nicht anwendbar ist. Mit Hilfe elementarer Umformungen gelingt es jedoch, die unbestimmte Form „0/0" bzw. „oo/oo" herzustellen, auf die man dann die Grenzwertregel anwenden darf.

20)

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe einer geeigneten Potenzreihenentwicklung: a)

hm X-.0

c)

hm x^O

21)

1 — cos X x^ —

^ b)

^. 2(x —sinx) ^hm ^0 e ^ ^ - l + s i n x

coshx — 1

IX d)

1. hm

^

x^O

sin^x ^

Bestimmen Sie den Grenzwert lim (x — e-^) X

^

CX)

vom Typ oo — oo durch Ausklammern der Exponentialfunktion und Verwendung der Grenzwertregel von BernoulU-de LHospital

604

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben I AUgemeine Grundlagen Abschnitt 1 und 2 1)

M l = {1, 2, 3, 4}; ILi = { - 2 ; 0 , 5 } ;

M2 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31} 1^2 = {0, 4}

2)

M i u M 2 = (-2,4);

3)

] L = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6} = { W I ^ G N *

b 1 -5

4)

M i n M 2 = [0, 2); und

M i \ M 2 = [2,4) n ^ 6}

a 1 2

\ 0

c \ 8

BildA-1

m^

b< a< c

5)

a)

( 2

b)

(

2^ X ^10 —

] 10

X^ 2

• ^

BildA-2

•

Bild A-3

'^x^2

Bild A-4 -5 1^ X < 2 d)

[—

^

•

BildA-5

Abschnitt 3 1)

2)

a)

Xi = l,31,

c)

x i = 14,95,

f)

Xi = - 3 , 3 8 ,

c= - 2

X2=0,19 X2 = - 4,95 X2=-5,62

b)

x^ = 3,

X2 = - 5

d)

IL = { } = 0

e)

g)

x^ = X2 = - 2

h)

IL

5 7 3'3

]L={-1}

1 AUgemeine Grundlagen 3)

4)

5)

a)

x^=0,

c)

605

X2 = X3 = 2

b)

ti/2 = ±2,

Xi-0

d)

x^=0,

e)

X112 = ± \ / 6

f)

g)

x^ = - 3,

a)

Xj^ = 3,5

d)

Xi = - 1

a)

Nach Bild A-6 erhalt man die Losungen als Schnittpunkte (Abszissenwerte) der Parabel y^ ^ x^ - x mit der Geraden ^2 = 24: x^ = - 4,424, X2 = 5,424

b)

x^=0

X2/3 = ± x / 2 , b)

t^/^ = + 3

X 2 / 3 = ± 1,618,

^1 = — 2,

X2 == 3,

X4/5=+0,618

X3 = — 1

X4/5 - ± 5

Xeme reellen Losungen

c)

K d n e reellen Losungen

(s. Bild A-7)

y,=2U

I

y^

\x-1\

yi=x-x Bild A-6 c)

Die L5sungen ergeben sich nach Bild A-8 als Schnittpunkte (Abszissenwerte) der Parabel yi = — x^ + x + 6 mit der Geraden 372 = 2 x + 4: Xj^ = — 2, X2 = 1

y=\2X'i-^\

Bild A-8

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

606 d)

Nach Bild A-9 ergeben sich vier Schnittpunkte (Losungen): xi = -3,303, X 2 = - 1 , 6 1 8 , X3= 0,303, x^ = 0,618

y^ = \x^-^2x-1\

Bild A-9

Abschnitt 4 1)

a)

Losungen erhalten wir fiir j;^ > J^i^ ^•^' ^ = (^^ ^ ) (s- Bild A-10).

b)

Die Parabel y^=x^ + x-\-l verlauft nach Bild A-11 iiberall im Intervall (— oo, oo) oberhalb der x-Achse {y2 = 0)- Daher gilt: IL = (— oo, oo).

x^+x+V

2

/

6 -y,=2x-8

Bild A-10

Bild A-11

c)

Keine Losungen, da y^ = |x| fiir x ^ 0 parallel zur Geraden y2= x — 1 verlauft: IL = 0 (s. Bild A-12)

d)

Aus Bild A-13 folgt: IL = {x | -2,562 < x < 1,562} (die Parabel y^ = x^ schneidet die Gerade y = — (x — 4)= —x + 4 an den Stellen x^ = — 2,562 und X2 = 1,562).

1 AUgemeine Grundlagen

607

Bild A-12 e)

Die Kurven yi = \x'^—9\ und y2 = \x — l\ schneiden sich an den Stellen x^ = - 3,702, X2 = - 2,372, x^ = 2,702 und x^ = 3,372 (s. Bild A-14).DieLosungsmenge lautet daher: IL = ( - 3,702; - 2,372) u (2,702; 3,372)

f)

IL = ( - oo; -0,5]

(s. Bild A-15)

Bild A-14

g)

'n = X+U

Die Parabel y^ verlauft im gesamten Intervall (— oo, co) unterhalb der Geraden y2 = x + 4 (s. Bild A-16). Daher ist IL = (~ oo, oo) die gesuchte Losungsmenge.

1 -5/

Bild A-16

r

x"

1;

X

\'yi=-^^

608

A n h a n g : Losungen der Ubungsaufgaben h)

Fallunterscheidung: 1. Fall:

x + l>0

und

x - l < x + l =>

2. Fall:

x + 1< 0

und

x - l > x + l

Losung: IL = ]L-^ u]L2 = (— 1, oo), 2)

a)

x^2

b)

xeR

d)

(1 - x) (x + 2) ^ 0

d.h. c)

]L^=(-l,oo)

=> 1^2 = 0 x > — 1 - 2 ^ x ^ 2

Fallunterscheidung: L Fall:

1-x^O

und

x + 2^ 0 ^

2. Fall:

1- x < 0

und

x + 2 1^2 = 0

d.h.

-2 ^x ^ 1

Xe R 4-x

^0 x + 2 Fallunterscheidung: 1. Fall:

4 - x > 0

und

x + 2> 0 ^

2. Fall:

4- x < 0

und

x + 2 ^2 = 0

d.h.

- 2 y = 120° Der Betrag des Richtungsvektors H ist frei wdhlbar. Wir setzen l^l = a = 1 und erhalten:

(

a • cos a \

/ V 3/2\

a • cos i^ I = I a • cos y /

Geradengleichung:

0

I

\ — 0,5 / 5 + ^ A 2 ~r{P) =7{X) =7-^ + I'd = \ 3 I

(/lelR)

1 -0,5Ay 9)

a)

Die Gleichungen der beiden Geraden lauten: g^:

/3-4AA 7(ii)=?i+AiPiP2 = l 4-6^1 I

(AielR)

\6-2yli/

Ql-

/

3 + 222\

^(^2) -=^3 + ^ 2 ^ 3 ^ 4 = 1

7 + 822)

(^^2^^)

\ - 2 - 4 2 2 / g^ und g-^ sind windschief zueinander, da a^^ x a 2 = I —20 I ?^ 0

und

\-20/ [^1 ^2 (^3 - ^ 1 ) ] = 100 7^ 0 ist. Ihr Abstand betragt d = b)

I [Hi H9 (?^ — 7i)ll ^ ^ \ ^ = 2,04 \ai X 02!

Die beiden Geraden sind parallel, da a^ XH2 = 0 ist {kollineare Richtungsvektoren!). Ihr Abstand betragt iHi X (?9 — ? i ) |

^=:=' ^ V l^ll

^=1,79

II Vektoralgebra

c)

615

Die beiden Geraden schneiden sich wegen a^xa2 = l —1 1^0 \-4/ [a^ 'a2 (r2 — ^i)] = 0 in genau einem Punkt S.

und

Schnittpunkt (;.^ = 2, ^2 = - 1): 5 - (5; 2; 10) Schnittwinkel: cp = arccos _^ _^ Vl^il-kil/ 10)

= 32,47°

^1 und ^2 si^0) 2x j; = In X + 0,5 - In 2

4 • cos (t + 27r) =- 2 • sin/: - 4 • cos t =- y{t) b)

y =

^

1 -X 3

(x>0)

(x > 0)

Abschnitt 3 1)

sin li + 3 => _v = (x — 3)^ — sin (x — 3) + 1

2: v.

a)

•• u + 3,

b)

• u + 5, y = V + 5:

y -

sin 1/ + 3

: (x - 5)^ - sin (x - 5) + 8

2)

v = 2ii^ => 3; = 2x^ - 16x + 28,5 = 2 (x - 4f - 3,5 => u = x-4, v = y + 3,5, d.h. die Parabel y = 2x^ wurde um vier Einheiten nach rechts und um 3,5 Einheiten nach unten verschoben.

3)

V = sinu => y = sin I X

u=X

, V = y -\- 2, d.h. die Sinuskurve y = sin x

wurde um n/4 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach unten verschoben. 4)

(X + 2f + {y-

5)

P^: r = V160 = 12,649, cp = 288,43°

6)

5f

16

P2:

r = xAs = 4,243,

cp = 225°

P3:

r = V41 = 6,403,

cp = 321,34°

a)

: (8,192; 5,736)

b)

P2 - ( - 0 , 8 3 1 ; -3,462)

623

Ill Funktionen und Kurven 7)

a)

Funktionsverlauf: s. Bild A-22

b)

Funktionsverlauf: s. Bild A-23

r=Usinip

a)

r = V 2 • sin (p ' cos cp = v sin (2 cp)

b)

S. Bild A-24 r=Vs/n(2(p)

Bild A-24

Abschnitt 4 1)

a)

a„ = 0,2"

b)

2)

Graph der Folge: s. Bild A-25

(WGN)

a^ =

n+1

(n e N)

c)

On

OM Bild A-25

_

i

—

I

—

I

—

I

—

I

—

I

—

I

—

I

—

I

—

,

—

10

,

—

I

—

I

—

I

—

I

-

15

n

^n = ^

(^ e N)

624

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

3)

a)

0,5

b)

00

C)

1

4)

a)

0

b)

-7

c)

2

f)

lim

,.

- = lim

x ( V l + x + l) 1

= lim

"^^ VTT^ + i

g) 5) 6)

h)

8)

lim (V-^ + 2 - V^) = lim

1+x-l

=

^ - ^ Q x ( V l + x + l)

= 0,5

(Vx + 2 - >/x) (Vx + 2 + Vx)

=

)

a)

x^ = 4

d)

x^ = k- %

b)

X + 2— X

2

= lim

x^ = — 2, X2 = — 1

=0

c)

x^^ ^ ^

{ke Z)

Der Grenzwert an der Stelle XQ = 0 ist nicht vorhanden [QI / g^): x^O (x < 0)

x^O

gj.= lim /(x) = lim (x — 2) = — 2 x^O (x > 0)

x->0

Der Grenzwert von /(x) an der Stelle XQ = 1 ist vorhanden und stimmt mit dem dortigen Funktionswert f{\) = 2 iiberein: lim

x^-1

= lim

x ^ l X —1 x ^ 1

10)

oo

2

Qi = lim /(x) = lim x = 0;

9)

e)

4

= lim

7)

7/4

(Vl + ^ - l ) ( \ / l +-^ + 1) = ,.lim

"-^^

1

d)

( x - l ) ( x + 1) X—1

= lim (x + 1) = 2 x ^ \

Die Funktion besitzt zunachst an der Stelle Xj^ = 1 eine Definitionsliicke {unbestimmter Ausdruck 0/0). Sie laBt sich jedoch beheben, da der Grenzwert an dieser Stelle existiert: x^ — X

x ( x — 1)

X

1

lim —r = lim — = lim — = x^ix^-x^ + x-1 x ^ i (x - l)(x^ + 1) x ^ i x ^ + 1 2 Wir setzen daher nachtraglich / ( I ) = 1/2.

625

Ill Funktionen und Kurven

Abschnitt 5 2 7 - - X+ 9 3

1)

Hauptform:

2)

R^

3)

a)

y= -2{x

b)

j ; = 5 (x + 2) (x + 2) = 5 (x + if

c)

y = 2 x (x + 5) bzw. y + 12,5 - 2 (x + 2,5)^

d)

3; = 4 ( x + 5 ) ( x - 3 )

4) ^

y = ^

y ••

Achsenabschnittsform: ^

X 21/2

1

y •• 7/3

112 Q

13 84

+ 2,581) (x - 0,581)

• 2 (x + If

bzw. j ; + 64 = 4 (x + 1)^

, 31 22 x^H X -\ 28 21

13 84

(x - 8) (x + 0,8462)

y - 3,028 = - 0,1548 (x - 3,577)^;

Scheitelpunkt S = (3,577; 3,028)

a)

6)

y = - 2 x ^ - 8 x + 10

7)

a)

y = {x-4){x'+4)

b)

y=l,5('x-^^Vx + ^^

c)

3;= - 3 x ( x ^ - 6 x + l l )

d)

3;--2x(x-2)^

Nullstellen:

b)

bzw.

5)

8)

y ^ a x ^ 10,25

bzw. y - 5 =

t^ = 0,

5,702

Bild A-26

10)

y = - [x + if

^2 == 2 {doppelte Nullstelle, d.h. Extremwert, s. Bild A-26)

z=Uf^-16f^-*-16f

9)

e)

a)

X| = — 2,

X2 = 1,

b)

ti = - 2,

a)

/ ( - 1 , 5 1 ) = -36,162

^3 = 3 => j ; = (x + 2) (x - 1) (x - 3)

t2 = \ =^ z=

- 2{t + l){t-\){t'' b)

+ 1)

/(3,56)= -418,982

626 11)

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Funktionsverlauf: s. Bild A-27 Nullstellen: x-^^ = — 5 X2=

—2

X3 = 1

^y=3x^+18x^+9x-30

/ ( - 3 , 2 5 ) = 27,891

Bild A-27

12)

y = -j^{x

13)

a)

14)

a)

- 3)(x + 3)(x - 6) (x + 6) : 1,

— 5,

12 Xj

^^3/4 •

5 1 2 + 6 (x + 1) - - (x + 1) (x - 1) (x + 1) (x - 1) (x - 2) : 3 18 1

b)

b)

X2

108

(x^ - 2 8 x ^ + 109x + 100)

y= - 13,1 - 1,6 (x 4- 1) + 5,4 (x + 1) (x - 2) + 3,5 (x + 1) (x - 2) (x - 4) = = 3,5x^-12,1x^+2,5

c)

y = 50,05 - 8,45 (x + 4) - 0,65 (x + 4) (x - 1) + 1,3 (x + 4) (x - 1) (x - 2) = = l,3x^ + 0,65x^ - 23,4X + 29,25

d)

y = 594 - 423 (x + 4) + 95 (x + 4) (x + 2) - 13 (x + 4) (x + 2) (x - 1) + + 1 •(x + 4)(x + 2 ) ( x - l ) ( x - 3 ) = x ' ^ - l l x ^ + 17x^ + 1 0 7 x - 2 1 0

15)

y = 0,693 147 + 0,991 344 (x - 1) - 0,081 312 (x - 1) (x - 1,25) - 0,046 549 (x - 1) (x - 1,25) (x - 1,5) + + 0,036128 (x - 1) (x - 1,25) (x - 1,5) (x - 1,75) = = 0,036128x'^ - 0,245253x^ + 0,497429x^ + 0,598856x - 0,194013 y{x^ = 1,1) = 0,793080

(exakter Wert: 0,792993)

y{x2 = 1,62) = 1,287717

(exakter Wert: 1,287 689)

627

Ill Funktionen und Kurven Abschnitt 6 1)

2)

a)

Nullstellen: x-^^ = — 2, ^2 = 1; Pole: x^ = 2

b)

Nullstellen: x^ = 3, ^2 = 4;

c)

Nullstellen: x-^^ = 1;

d)

Nullstellen: x^ = - 0,8284, X2 = 0, x^ = 4,8284; Pole: X4./5 =

e)

Nullstellen: x^ — — \,

Pole: X3 = — 1, x^ = 0 Pole: X2 = — 1 ±^2

X2 = 5; Po/e: X3 = 0

Gemeinsame Linearfaktoren in Zahler und Nenner werden (so weit moglich) herausgekurzt: a)

Nullstellen: x^i2 = ±2;

Asymptote im Unendlichen: y = 1

Funktionsverlauf: s. Bild A-28

Asymptote y=1

Bild A-28

b)

Nullstellen: Xj^/2 — 2; Po/e: X3 = — 2; Asymptote im Unendlichen: y = x — 6 Funktionsverlauf: s. Bild A-29 /*

2 ^

10 X

^Asymptote y=x-6

-20

Bild A-29

628

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben c)

Funktionsverlauf: s. Bild A-30

x-2

Asymptote AsymoMe v=1

^^ Unendlichen: y = 1

Bild A-30

d)

Funktionsverlauf: s. Bild A-31

yk

Nullstellen: X|/2 = 1 Pole: X3/4 = — 1 Asymptote im Unendlichen: y = 1

-y=

Asymptote y=1

Bild A-31

1 ( x - 2 ) ( x + 4)^ _ x ^ + 6 x ^ - 3 2 8 • (x + 1) (x - 1) ~ 8x^-8

3)

y-

4)

Funktionsverlauf: s. Bild A-32

Bild A-32

Ill Funktionen und Kurven

629

Abschnitt 7 1)

Funktionsverlauf: s. Bild A-33

2)

Funktionsverlauf: s. Bild A-34

1

m/s 50 v=V2gh

.

10-

10

Bild A-33

50

100

h/m

Bild A-34

Abschnitt 8 1)

Kreisgleichung: {x + 41,5)^ + {y - 280,5)^

2)

Kreisgleichung:

{x - 3f + {y - 5)^ = 25; M = (3; 5), r = 5

3)

a)

Kreis:

(x - 1)^ + {y + 2f = 25; M = (1; - 2), r = 5

b)

Hyperbel:

c) } d)

Ellipse: F Kreis:

{x + 3)^ + (y - 1,5)^ = 11,25; M = ( - 3; 1,5),

e)

Parabel:

(3; + 3) = -(x + 2); S = (— 2; — 3) (nach rechts geoffnete Parabel)

f)

Ellipse:

2

)

{x - \f

g)

Ellipse:

h)

Parabel:

M = (0;0), a = 2, b = 2 (rechtwinklige Hyperbel)

^

M = (1;0), a = 4, b = 3 ^ ^

— + ^=1; 9

16

X

4)

2

^=1;

F

).012,5; M = (-41,5; 280,5), r = 282,^

{y + \f

- +1 .2 2

36 {y — 2)

7/4 / y

= \; 4\2

'

M-(l;-l), V,

;,

r = 3,354

r a = ^l, V

,

b•

7/4

•

16

1;

M = {-;--

\r

] , a = 6,

3/'

2 (x — 2); 5 = (2; 2) (nach links geoffnete Parabel)

Gleichung des Briickenbogens: y =" — 0,003 m ^ • x ^ + 20 m Schnittpunkte mit der Fahrbahn: x^/2 = ± 81,65 m

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

630

Abschnitt 9 und 10

2)

GradmaB

40,36°

81,19°

- 322,08°

278,19°

- 78,46°

4,83°

118,6°

BogenmaB

0,7044

1,4171

-5,6213

4,8553

-1,3694

0,0843

2,0700

a)

0,2164

b)

-0,6198

c)

0,4685

d)

-0,0384

e)

0,9997

f)

- 0,5774

g)

-1,2810

h)

0,4063

i)

-0,1113

j)

0,9239

3)

Der trigonometrische Pythagoras folgt unmittelbar aus dem Additionstheorem (111-140) fiir

4)

y-

5)

a)

2 A = 2, p=-n,

c)

^ = 10, p = 2,

a)

Funktionsverlauf: s. Bild A-35

6)

;x{x — n) •

4

2

4

—rX + -X n XQ^ — XQ^3

b)

A = 5, p =" n, XQ

d)

n A = 2,4, p = - ,

2,1

% Xo=-

y=U'Sin(3x+2)

Bild A-35

b)

Funktionsverlauf: s. Bild A-36 y=2cos(2x-'K)

Bild A-36

Ill Funktionen und Kurven 7) J

A = 5cm, r - 1 4 s , co = -s ' 7

631 \

cp =—; ^ 14

Funktionsverlauf: s. Bild A-37

y (0 = 5 cm • sin - s ^^^ \1

• t -\ 14

y/cmk y=5cmsin[fs-^'Uj^)

Bild A-37

IQ = 2 A, p=T= 9)

a)

71

n

10ms, co = , (p = -; 5 ms 5

i{t) = 2A- sin

71

5 ms

n

t+ 5

Funktionsverlauf: s. Bild A-38

y=2-sin(2f-^)

Bild A-38

b)

Funktionsverlauf: s. Bild A-39

y=3-cos[0.5t-f)

Bild A-39

632 10)

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Periodendauer: p ^ n Nullstellen (gleichzeitig relative Minima): x^ = —\- k • n

(ke'i

Relative Maxima: x^ = k • % {ke'E) Funktionsverlauf: s. Bild A-40

Bild A-40

3 \

11)

12)

f

T^

a)

y = 5 • sm[3t + -n\

oder

y = 5 • sm\3t

b)

y = 3 • sin [nt + -n\

oder

y = 3 • sinlnt

c)

j; = 3 • sin j 2 f + - 71 j

d) a)

y = 4-sm (0,51 + 6,142) oder Zeigerdiagramm: s. Bild A-41

oder

y ^ 3 • sinilt

n

j; = 4 • sin (0,5^ - 0,142) b) Zeigerdiagramm: s. Bild A-42

f OS f

s/n

Bild A-41 3)

14)

Bild A-42

a)

0,5980

e)

0,8084

b)

- 1,2614

f)

0,3082

c)

1,0781

d)

4,4304

g)

1,1837

h)

2,8198

a)

u{t) = 241,3 V • sin (500 s" ^ • t + 0,488)

b)

u{t) = 526,2 V • sin (1000 s" ^ • f - 0,217)

633

Ill Funktionen und Kurven 15)

y{t) = y^ (t) + 372 (t) = 18,68 cm • sin (4,5 s ^ -1 + 1,991);

Zeigerdiagramm: s. Bild A-43

Bild A-43

sin

16)

a)

x^j, = - 2,2943 + k • n

c)

x^j, = 2,0472 +

(keZ)

k-2n

X2k= - 0 , 0 4 7 2 + /c-27r

(/ceZ)

b)

xj^= - 0,6073 + /c • -

d)

Hk = ^ +

k-2n (/C G

X9), = - 71 + /c • 27r

17)

Wir setzen 3; = arccos x. Dann folgt x = cos 3; und waiter: ^ = V 1 — cos^ y = sin 3; = sin (arccos x)

^1-x 18)

a)

Ellipse:

b)

Kreis:

(3 cm)^

(4 cm)^

x^ + 3;^ = (5 cm)^;

1;

a = 3 cm,

b = 4 cm

r = 5 cm

Abschnitt 11, 12 und 13 1)

T = 3,305 • 10^ s = 3,825 Tage

2)

r = 0,691 ms = 6,91 -lO'^^s

3)

h/m I 500 I 1000 | 2000 p/bar

0,952

0,894

0,789

{he:

5000

8000

0,542

0,372

Z)

634 4)

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Funktionsverlauf: s. Bild A-44

Bild A-44

5)

Nach t = 1,50 s hat der Strom den Wert 3,8 A, d.h. 95% seines Endwertes i^ = 4 A erreicht. Der Funktionsverlauf ist in Bild A-45 skizziert. i/Ak

Bild A-45 6)

a = S, b = 0A159; j = 8 • e"^'^^^^''+ 2

7)

« = 17,565, ^ - 0 , 0 3 1 1 ;

8)

To = 185,57 °C, k = 0,0187 m i n " ^

10)

>;= 17,565 • e"^'^^^^^' T{t) = 165,57 °C • Q-o,oi8imin-^-t + 20°C

Funktionsverlauf s. Bild A-46

Bild A-46

IV D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g

635

11)

if = 75,93 m

12)

a)

x^ = - 0,3012,

b)

Die Substitution t = e^ fiihrt zu der quadratischen Gleichung t'^ — 3t + 2 = 0 mit den Losungen t^ = 1 und t2 = 2. Durch Rucksubstitution erhalt man schlieBlich: x^ = 0, X2 = 0,693

13)

a)

b)

X2 = 2,3012

x^=2

Diese Gleichung wird iiber die Substitution

z = Ig x gelost

IV Differentialrechnung Abschnitt 1 1)

a)

Ay /(1+Ax)-/(1) (1 + Axf - 1 — = = == 3 + 3 • Ax + (Ax) Ax Ax Ax /'(I)-

,.

b)

^y

— = Ax

lim (3 + 3 - A x + ( A x ) 2 ) - 3

/(xo + A x ) - / ( x o )

Ax

=

(XQ+AX)^ - x l

Ax

2 ^ ^

.

^/A ^2

= 3 XQ + 3 XQ • Ax -f (Ax)

f (XQ) = lim (3xo + 3xo • Ax + (Ax)^) = 3XQ Ax ^ 0 2)

a)

y' = 20x'^

b)

j ^ ' = 2 (a + 1) x"

c)

y'=

d)

. 5 3/7^ J^' = - • V->c

^, e)

^., 4 3 / : y' = - . V x

,, f)

^., y' =

— 1 2-Jx

^bschnilt t 2 1)

2)

a)

- 4 0 x ^ + 6x^

b)

z' = — a • sin ^ — 21 + e^

d)

20 3 / — y'= — V ^ ^ - 4 • e"" + c o s x 3

c)

30 3 1 3^ == "^~(lnlO)x"^cos2x

a)

/ = (12x^ - 2)(x^ - 2 x + 5) + (2x - 2)(4x^ - 2 x + 1): = 2 0 x ^ - 32x^ + 5 4 x ^ + lOx - 12 tan X

^ = 2 COS X

sin X

b)

y' = 2

^ COS X

c)

y' = c o s X • c o s X — sin X • sin X = c o s ^ x — sin^ x

d)

y' = 2{3 + lOx) (3x + 5 x ^ - 1) = lOOx^ + 9 0 x ^ - 2 x - 6

636

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben e)

1

y' = 2'lnx-\-2x--

=

2-\nx-\-2

X

3)

f)

y' = e^ • cos t — sint' Q^ = Q^' (cos t — sin t)

g)

y' = w • x"-^ • e^ + e^ • x" = x " " ' • e^ • (^ + x)

h)

, 1 y = - ' cosh X + sinh x • In x

i)

y = 2 X • arcsm x H

j)

y' = 2 • e^ • cos x + 2x • e^ • cos x — 2x • e^ • sin x = 2 • e^ • (cos x + x • cos x — x • sin x)

X

a)

b)

(25x'^ - 12x) (x^ + 2x + 1) - (2x + 2) (5x^ - 6x2 ^ ^^

/

{x^ + 2x + lf

, 10(x2 + l ) - 2 x - 1 0 x - 1 0 x ^ + 10 y = ~= -— {x^ + lf (-x^ + 1)^ -•x^ — 2x'lnx X

, c)

:z=z:

y

4

=

1 — 2 • In X = — 3

X

X

, _ (6x2 _ ^2x + l){x^ - 5x) - (3x2 - 5)(2x^ - 6x2 + x - 3) ^

^ "

1 1 - • e-^ — e"" • In X

,

^

(x3-5x)2

X

In x

X

(e-)2

^ 1 2

~-^

e"

'/2_2;C

/

1 — X • In X

x-e^

(x2 + l ) - 2 x ( x ^ / 2 _ ^ 2 ^

f)

/ =

g)

, — sin X • sin X — cos x • cos x —1 y ^____ ____^ :^__^

h)

, cosh X • cosh X — sinh x • sinh x 1 y = cosh2 X cosh2 X

i)

y

,

^

(1 - sin xf

^

=

cos x — sin x + 1

"

J^ 1

- • X — In X X

/ =— - —

1 — In X

= — - -

^—

(1 - sin x)^

1 1 + x2 • e — e • arctan x 1 - (1 + x2) • arctan x

^ ~

k)

( x 2 + 1)2

— sin X (1 — sin x) + cos x (1 + cos x) =

,

- l , 5 - x ^ / 2 _ 2 ; ^ + 0,5-x~^/2

( x 2 + 1)2

(1 + x 2 ) - e ^

637

IV Differentialrechnung 4)

a)

y'= 25{4x^-x^+

b)

3x^—2 3;'= - 1 0 ( x ^ - 2 x + 5 ) ~ ^ - ( 3 x ^ - 2 ) = - 10 •—{x^ -2x + 5y

c)

y' = [cos (x + 2)] • 1 = cos {x + 2)

d)

y' = 2 [-sin {101 - n/3)] • 10 = - 20 • sin (101 - n/3)

e)

/ = 3-Q~'^''-i-4)=

f)

y' = 2 • sin (2x - 4) • cos (2x - 4) • 2 = 4 • sin (2x - 4) • cos {2x - 4) 1 3x' y

x^

~2x

lf-{12x^-2x)

-n-Q-^""

• ( 3 x ^ - 2 ) = 2-

h)

);' = ( 2 x - 2 ) - e ^ ' " ^ ^ + ^

i)

1 y=-—^ '\ - ( x ^ - 1 ) 1 +(x^ + 1)^

k)

• 2x ••

1

• 2x =

y(2-x^)(x^-i)

2-V-^^-1 2x 1 +(x^ + l)2

3;' = ^ (x^ - 4x + 10)-1/^ • (2x - 4) = ^ •

X— 2

-4x + 10 1)

};'= - - ( x ^ - 4 x + 5 ) " ^ / ^ - ( 3 x ^ - 4 )

m)

y' = S- [-sin (x^ + 2x - 1)^] • 2 (x^ + 2x - 1) (2x + 2): = - 2 0 ( x ^ + 2 x - l)(x + l)-sin(x^ + 2 x - \f

5)

n)

/:

a)

3;'= - 2 • e""^* • cos t - sinf • e"^^ = - e""^^ • (2 • cos t + sinr)

b)

u = e"'"^'"'' • (1 • sin X + X • cos x) = (sin x + x • cos x) • e"^"^'''''

c)

3;' = 2 (x^ - 1) (2x) (x + 5)^ + 3 (x + 5)^ (x^ - \f = (x^ - 1) (-x + 5)^ (7x^ + 20x - 3)

d)

y' - ( 4 x - 4 ) - s i n ( 2 x ) + 2 • cos (2x) • (2x^ - 4 x + 5) -

• (— sin x) = — tan x

= 4 ( x - l)-sin(2x) + 2(2x^ - 4 x + 5)-cos(2x) e)

y' = 2' e^"" • arcsin (x - 1) H

— • Q^"" =

i\ - ( x - i r 1

2 • arcsin (x — 1) + -

Vi - (^ - 1 ) ' 3-e"^' + e - ^ ' - ( - 5 ) ( 2 - 3 0 = (15r-13)-e"^'

638

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben g)

y = x-\n{x -^ Q^^f = 2x • In (x + e"") => 3;' = 2 • In (x + e^) +

1 2x(l + e^) • (1 + e^) 2x = 2 • In (x + e^) + ^ —^ X+e X + e"^

h)

/ = 4^-^"^(ln 4) • 11 • In X + X • - J = (In 4) • (In X H- 1) • 4^*^"^

i)

y' = 2x • cos(x^ + 1) • cos(4x) - 4 • sin(4x)- sin(x^ + 1)

j)

3;' = - 4 • sin (x - 4) + 2 • cos (2x + 3)

k)

X

/

1 1 tanh t cosh^ t

1)

y-

m)

y' = n

n)

y = 2-^x^

o)

3 3 • In X + In (x + 4) => y = X

y^ln[±]^J^^'

y ~

H-x\""^

1

X+ +- 4

sinh t • cosh t l-x-l-(l+x)

^/l+x^"~^ X~ \

1

-1 +

4x^-2

/x"-l

2-V^ - 1 1 cos X — = • cos X = —izi 2 • V sin X

X

2 • v sin x

p)

y= -aA-Q-""'

q)

y = CO A • cos {cot -\- cp)

-hB'Q-^'

4 4 ,3'9

c)

n Xi;, = - + /c-7i, y^j^ = 0,5;

d)

Pi = (2; 0)

e)

3 X2k=-n

+ k-n,

P^ = (-0,5; 2,5), P2 = (1,5; - 13,5)

7)

Pi-(1,118; -0,652), P2 = (-1,118; 0,652)

8)

a)

Pi = (0,707; 0,429), P2 = (-0,707; - 0,429)

b)

Pi=(0;5),

9) 10)

P2 = (y3;9,5),

Pi = ( - 0 , 7 8 0 ; 0,193) a) b)

y'=

y2j,= -0,5

— sin X • In X H V X y' ~ (cos X — X • sin x) • e^

P3-(-y3;9,5)

[ke'.

IV Differentialrechnung

639

11)

1 1 Aus Inj; = In x" = n • In X folgt: -'y' = n--,

12)

a)

—-

,

:

13)

a)

2x-\-2y'y'

=

b)

l}rx^la^y'y=^

y

b)

d^ y r : ^ ->

1

X

n n _. y^ = - • y = - • x^ = n • x" X

X

— =

—=

c)

^^ 2-V^TT

—= -

^^ ^

0=>y'=-y ,

h^ X

,

=> y =

— a y

c)

2(x^ + 3;^)(2x + 2); • j;') - 2 (x^ + y ^ ) - 2x(2x + ly • y') = 2y y' => ,

(x^ + y ^+3;^) ) ( 2 x+- l2)x- y2+x ^3; -23;(x^ 2x

d)

2x = 3y'''y

e)

3y -y —2y — 4xy - y =

2

,

.

2

,

,

^

.2 ,,2 2x^y^-l

,

=^-^y =a ^ 2 , , 2

2

x^

,1^3,

3x^37^-4x^3;

14)

Po = (4; 5,583); 3 ; ' ^ - ^ ; y-1

15)

a)

y = - e"^'^' • (0,8 • cos t + sin t), y = e~^'^^ • (1,6 • sin r - 0,36 • cos 0

b)

y = 3x • I n x + x — arctanx

2

,_

2x

y ( P o ) = -0,436

2

^

/

/

-,

1

y = 6 x - l n x + 5x l + x ^

„_2-6x^

'^ / " ( T T W ^ "(i + x^)^ d)

37 = ylco • cos {cot + (p), y = — Aoj^ • sin {cot + (p)

e)

y' = (In 4) • (sin x + x • cos x) • 4^"^^"^ y" = (In 4) • 4^'s^"^ • [in 4 (sin x + x • cos x)^ + 2 • cos x - x • sin x]

f)

-x"^ - 6x^ + 27x^ + 16x - 6 y' = (x^ + x ^ - 2 ) 2

,, _ ( - 4 x ^ - 18x^ + 54x + 16) (x^ + x^ - 2) (x^+x^-2)^ 2(3x^ + 2x) ( - x ^ - 6x^ + 27x^ + 16x - 6) (x^ + x ^ - 2 ) ^

1

— X

(l+x^)^

640 16)

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben a)

y= -4'

e~^' • [4 • cos (4t + 5) + 3 • sin (4f + 5)], y{0) = 6,968

b)

y'"{x)=-^,

c)

y{^)

/"(l)--l

4x-4

-7,

= :

{x + 1)^

3;'(0)--4, 17)

a)

/=^

c) 18)

y

,,

16-8x

{x) = -

-j,

(X + If

y"{0) = 16,

,„

b) d)

y'^2t-^\-t^ ^

y'=

cott,

y

/

7i\

^ = - = \ AJ

Senkrechte Tangenten: y

24x-72 {X + 1)^

y' = - tan t y' = \,5t,

j;'(to = 3) = 4,5

^

a 371

%

Waagerechte Tangenten:

(x) •

y'"{0)=-12

y' {tQ = \) = 0,707

t+1

a

19)

y

t^ = -,

t2 = ^

^3 = 0,

^4 = 71

^

P^ ^ {0; b), P2 = {0; — b)

=> P^={a;0),

P^ = {— a; 0)

4t

Waagerechte Tangenten: + 0,486

'-i/i •

1/2 •

: (-0,618; ±0,3)

Senkrechte Tangente: ^3 = 0 ^

P3=(-l;0)

Funktionsverlauf: s. Bild A-47

Bild A-47

20)

a) c)

y

sin (p + cos (p tan (/? + 1 cos (/? — sin (^ 1 — tan cp

y

sin (p — cp • cos (/) cos (^ 4- (^ • sin (p

b)

y =

sin (/) + 2 • sin (p • cos (/> sin cp • cos (^ + cos^ cp — sin^ cp

IV

21)

641

Differentialrechnung

/ :

sin (p • sin (2 cp) — cos cp • cos (2 (p) cos (p • sin (2 (/)) + sin (p • cos (2 (/))

Waagerechte Tangenten:

cp^ = n/6,

Zugehorige Kurvenpunkte:

Senkrechte Tangenten: Funktionsverlauf:

5 cp2 = -n, 6

7 (p^= -%, 6

11 cp^ = ^ n 6

P^ = (0,612; 0,354),

P2 = ( - 0 , 6 1 2 ; 0,354),

P3 = ( - 0 , 6 1 2 ; - 0 , 3 5 4 ) ,

P^ = (0,612; -0,354)

(p^=0,

q)^ = n

=> P 5 = ( l ; 0 ) ,

F5 = (—1;0)

s. Bild A-48

r=^cos(2(p)

Bild A-48

22)

/

sm cp + cos (p cos (p — sin (p

Waagerechte Tangenten:

3 cp^ = -n,

7 (p2 = -n

^=> Pi = (—7,460; 7,460), P2 =(172,641; -172,641)

Senkrechte Tangenten:

n cp^ = - ,

5 (p^ = -n

P3 = (1,551; 1,551), p^ = (-35,889; - 3 5 , :

23)

i;(0 = 3,6 ms ^ • t + 4 ms \ s(10 s) = 230 m,

24)

i;(10 s) = 40 m s " \

a(10 s) = 3,6 ms"

v{t) = 2 • Q~^'^' • [4 • cos (40 - 0,1 • sin (4 0] a{t) =

-2-Q'

};(3)=-0,80, 25)

a(t) = 3,6 ms ^

i;(0=-20cms

[15,99-sin (4 0 + 0,8-cos (4 0] i;(3) = 5,08,

a ( 3 ) = 11,71

^ - s i n (2 s ^ • ? - 7r/3),

i;(3,2s) = 16,04 cm s " \

a(0=-40cms

a ( 3 , 2 s ) = - 2 3 , 9 0 cm s"^

^ • cos (2 s ^ • t - n/3)

642

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

Abschnitt 3 1)

2)

a)

Tangente: y = 1,3406 • t + 0,616;

Normale: y = - 0,746 • t + 4,789

b)

Tangente: j; = - 0 , 3 1 4 5 x + 4,193; Normale: y = 3,1197x

c)

Tangente: y = 5,333 A; - 16,939;

Tangente in tQ=0:

y = -t,

Tangente

Normale: y=-

y{t^ = T) = A

0,1875x + 5,144

(s. Bild A-49)

y=jf Asymptote y=A

Bild A-49

3)

Die Funktion wird durch die jeweilige Kurventangente ersetzt: a)

y = V2• X

b)

3; = 4,993x + 4,800

c)

Die Gleichung r = 2 • cos cp beschreibt den Kreis {x — 1)^ + y^ = 1 (bitte nachrechnen: es ist cos (p = x/r und r^ = x^ + y^). Dem Polarwinkel cpQ = n/4 entspricht der Punkt PQ = {1; 1). Die dortige Kurventangente verlauft waagerecht und besitzt daher die Funktionsgleichung y = 1 (s. Bild A-50). PQ = (1; 1}

Tangente in PQ 2cos(p

Bild A-50

643

IV Differentialrechnung 4)

Tangente in PQ = (5; In 5): y = 0,2x + 0,6094 y{xi = 4,8) = 1,5694 (exakt: 1,5686); y{x2 = 5,3) = 1,6694 (exakt: 1,6677)

5)

1 1 y = — X ^ —- (Tangentenberiihrpunkt: PQ = (1; 1)) (s. Bild A-51)

Bild A-51

6)

K{X)

= (1 + e2^)2

Wegen e^ > 0 und e^^ > 0 ist auch K{X) > 0, die Kurve ist daher an jeder Stelle nach links gekriimmt. 7)

Va^ -x^

Obere Halbellipse: y b y' = K{X)

-1 x{a^ - x^) 2,

{a^ - x 2 ) 2

=-

y" = -ab{a^

-5 - x^) 2

-a^b (a4 _ ^ 2 ^ 2

+

^2^2)2

Schnittpunkt mit der positiven y-Achse: P = (0; b) K{0) = 8)

b 2 "^ Rechtskriimmung;

a^ ^(0) = -r

y' = - X • e-0'5^', y'' = (x2 - 1) • e-^'^^' K{X) = ^ ^^—^ ^ =^ / c ( - l ) - K:(1) = 0 [1 + x 2 • e-^'l2 K: = 0 ist eine notwendige Bedingung fiir einen Wendepunkt!

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

644

9)

a)

Q

(1 4- cos^x) 2

Qijt/2) = 1

Kriimmungskreis in P = (jr/2; 1) (siehe Bild A-52): Radius ^ = 1; Mittelpunkt M = {jt/2;0) yi

\ p

1-

yv^

y = sin X

/ 1 ^^ \

K/2

1

^

>^

X

-1-

b)

Q

(1 + 4x^)2

Bild A-52

Q (0) = 0,5

Kriimmungskreis im Scheitelpunkt S = (0; 0) (siehe Bild A-53): Radius ^ = 0,5; Mittelpunkt M = (0; 0,5)

Bild A-53

IV Differentialrechnung c)

645

y' = 2(1 - e-^) • e-^ = 2 ( e - ^ - e-^^) y" = 2 ( - e ~ ^ + 2 • e-^-^)

[l +4(e

e-2x): > (0) = 0,5

2 ( - e - ^ + 2 • e-2^)

Kriimmungskreis in P = (0; 0) (siehe Bild A-54): Radius Q = 0,5; Mittelpunkt M = (0; 0,5)

Bild A-54

10) y'(r) = - D ( - y + ? ^ Es ist 11)

a)

y ' (ro = «) = 0 und Minimum: ( - 0 , 5 ; - 5 ) ;

^

(ro = a)

b)

Maximum: (0; 16); Minima: (±2; 0)

c)

Maximum: (0; 2)

d)

Maximum: (1; 0,368)

e)

Maxima fiii x k = -r + k • jt, _y yt = 0,5

f)

2D

> 0

Maximum: (1,5; 27)

3 Minima ftir Xk=-jJt-hk-Jt,

12)

/ 4 ^ _ 6a^

y''(r)

(k e Z)

y k = —0,5 {k e Z)

Minimum: (0,5; -0,08)

Es ist y'{3) = y" (3) = y'" (3) = y^^) p ) ^ Q, aber y^^) (3) = 240 7^ 0. Da die letzte Ableitung von ungerader Ordnung ist, besitzt die Funktion an der Stelle xi = 3 einen Sattelpunkt.

646

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

13)

Fiir jede der vier trigonometrischen Funktionen gilt: In den Nullstellen Xk ist y " (xk) = ^ und y'" {xk) f^ 0 (nachrechnen)! Fiir die Steigung der Wendetangenten erhalt man: Sinusfunktion: abwechselnd 1 und — 1 Kosinusfunktion: abwechselnd — 1 und 1 Tangentenfunktion: 1 Kotangensfunktion: — 1

14)

X = 1/2 (Maximum des Biegemoments in der Balkenmitte)

15)

a)

16)

Es ist

17)

Nebenbedingung (Satz des FythagoTas): a^ + b^ = 4R^

Maximum fiir v = b

Ia{b)

dP JR

= ^

0

V4R^b^

und

b)

K,

d^P dR^

< 0;

Pmax =

P(Ri

4Rt

=^ a = V4R^

- b^

-Z?8

^V^R'

/ a wird maximal fiir b = R VS, a = R 18)

Der Umfang U = 2x -\- 2y (und damit der Materialverbrauch) wird am kleinsten, wenn die Rechtecksseiten x und y gleichlang sind: x = 3; = 2 m.

19)

y = Jtr^h;

Nebenbedingung:

4r^ + /z^ = I6m2 =^ y(/i) = ^ (16m2 • /z - /z^) 4

Maximum fiir h = — v 3 m, z' = — V 6 m; 20)

32

Vmax = TT V 3 7tm^

Nach Bild A-55 befinden sich die Massenpunkte zur Zeit t an den folgenden Orten: A:

x{t) = 15 m - 0,5 ms~^^ • t

B:

y{t) = 12 m - 0,6 ms-

Der gegenseitige Abstand betragt dann

d{t) = yj: 2 ^ y 2 _ \/(15m - 0,5ms-i • 0^ + (12m - 0,6ms-i • t)^ Er ist nach ti = 24,1 s am kleinsten: dmin = d{24,l s) = 3,84 m y/m ^ , Storfpunkf von B

Bild A-55

IV Differentialrechnung 21)

A = Ijtrh

647

-f 27cr^

Nebenbedingung: V = Jtr^h = 1000 cm^ 2000 cm^ A (r) =

^ 2 + 2jtr^

Minimale Oberflache fiir r = 5,42 cm, h = 10,84 cm ^min = 553,73 cm^ 22)

a)

Definitionsbereich: D = ]R\{3} Pol: xi = 3 Senkrechte Asymptote: x = 3 Extremwerte: Maximum in (—0,162;—0,325) Minimum in (6,162; 12,325) Asymptote im Unendlichen: y = x + 3 Wertebereich: W = {-oo\ -0,325] U [12,325; oo) Funktionsverlauf: s. Bild A-56

Bild A-56

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

648 b)

Definitionsbereich: D = R \ { - 1 } Nullstellen: xi = 1 (doppelte NuUstelle, d. h. Beriihrungspunkt und Extremwert) Pol: X2 =

-I

Senkrechte Asymptote: x = —1 Extremwerte: Relatives Maximum in (—3;—8) Relatives Minimum in (1; 0) Asymptote im Unendlichen: y = x — 3

yi

Wertebereich: W = (-oo; - 8] U [0; oo) Funktionsverlauf: s. Bild A-57

A-57

c)

Definitionsbereich'. — 3 ^ x ^ 3 NuUstelle: xi = -2,683 Extremwert: Relatives Maximum in (1,342; 3,354) Wertebereich: - 1 , 5 ^ y ^ 3,354 Funktionsverlauf: s. Bild A-58

Bild A-58 Randpunkt

IV Differentialrechnung d)

649

Definitionsbereich: D — (0, cxo) Nullstelle: xi = 1 Pol: X2 = 0

Senkrechte Asymptote: x = 0 Extremwert: Relatives Maximum in (2,718; 0.368) Wendepunkt: (4,482; 0,335) Asymptote fiir x —> oo: y = 0 (x-Achse) Wertebereich: W = (-oo; 0,368] Funktionsverlauf: s. Bild A-59

Bild A-59 -05\

e)

Definitionsbereich: — oo < x < oo Wertebereich: 0 ^ y ^ 1 Periodizitdt:

p = Jt

Nullstellen:

Xk = k • Jt {k e Z)

Extremwerte: Relative Maxima in Xy^

Jt

k • Jt, yk = l

{k e

Die relativen Minima fallen mit den Nullstellen der Funktion zusammen. Jt

Jt

Wendepunkte: Xk = -r + k • —, yk = 0,5 {k e Z) Funktionsverlauf: s. Bild A-60

Bild A-60

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

650

7t^

Es handelt sich um eine um Jt/A V2 y = sm X + cos X = VZ • sm I X + — nach links verschobene Sinuskurve mit der Amplitude A = ^ und der Periode p = 27t (s. BildA-61). Yi

i

y=sinx + cosx

/2-

~r

4

^

-/2-

X

B Bild A-61

Definitionsbereich: D = (—oo, oo) Wertebereich: W = [0, oo) Nullstelle: xi = 0 Extremwert:

Relatives Minimum in (0; 0)

Wendepunkt: (0,347; 0,25) Verhalten der Funktion im Unendlichen: Fiir X -^ — oo folgt: 3; —> oo Fiir X -^ +00 folgt: y -^ 1, d. h. y = 1 isi Asymptote Funktionsverlauf: s. Bild A-62

Bild A-62

23)

a)

Definitionsbereich: t ^ 0 Nullstelle: ti = 0 Extremwert:

Relatives Maximum in (0,549; 1.540)

Wendepunkt: (1,099; 1,185) Wertebereich: 0 ^ y^

1,540

Asymptote im Unendlichen: y = 0 Funktionsverlauf: s. Bild A-63

IV Differentialrechnung

651

^y=U(e-^-e-^n

Bild A-63 b)

Definitionsbereich: t ^ 0 NuUstelle:

ti = 0,333

Extremwert:

Relatives M/mmwm in (0,833; - 1,417)

Wendepunkt: (1,333; -1,043) Wertebereich: —1,417 ^ }^ ^ 5 Asymptote im Unendlichen: y = 0 Funktionsverlauf: s. Bild A-64

Bild A-64

24)

Aus den Eigenschaften y (0) = 0 , y = -4x^ + 12X^ - lOx

25)

a)

xi/2 = ±1,0217

d)

xi = -0,3517

26)

b)

y{l) = -2,

xi = 5,2468

y'{1) = 2 und y" {I) = 0 folgt:

c)

ui = 1,4757

Im Intervall —jt/2 < x < jt/2 existiert genau e/^e Losung: xi = 1,21 AA

652

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

V Integralrechnung Abschnitt 1 bis 7 1)

a) b)

F(x) = -x^--x"^+-x^-'X^ 3 2 3 2 F(0= - 3 •cos?-4-sin^ + C 1

2)

3)

4)

1

+ 5x +C c)

F{t) = 2-e^ - 5-Inlt] + t + C

2

5

d)

F{x) = --\n\x\

f)

F{x) = — 2 • arcsin x — tan x + C

g)

F{u)= -3-cos

a)

1

e)

F (z) = - • arctan z

h)

F(x) = - 3 • e"^ - sin x + C

1 F(x) = e""+ - x ^ - x ^ - c o s x + C 3

b) '

10^ i^W = + cot x + C ' ' In 10

c)

F(x) = - x ^ - 6 x ^ + 9x + C

d)

F(x) = 2 • sinh x + C

e)

F{t) = - 3 • arctan t --ln\t\ + C

f)

F(x) = 10 • tanh x

h)

F(x)-^

j)

4 i^(x) = - • x'^/^ + C

a)

-70,667

b)

1

c)

2a

d)

e)

6,095

f)

0,909

g)

-13,167

h)

9,210

i)

7i/2

j)

0,107

k)

-10,4

1)

-62,133

n

4

5

--x^

+ 3x + C

u-6-ln\u\+-u^

+C

3 a^ -\- b - cos x + C In a

/3^-V^ + C

y = — cos x + 3-e^ n

--x^

1

g)

z^ + C

F{u) = 5 • arcosh u + C

i)

30 F(x) = —-x^^/^^ + C

k)

1 F(x) = - • tanx + C -6,114

X + 4 - arctan x

n

3

4

2 / ,

4\2

4 /

4

5) o„ = y x,^-Ax - y /c^• — • - = — • y /c^ = — • —^—^ = — n + /c = 1 a

/c = 1

fc

= 1

, a^/ 1 x-^Jx= lim 0„ = lim — 1 + n->co

n-^oo4\

/I

V Integralrechnung 6)

653

Die Ableitung der auf der rechten Seite stehenden Funktion ergibt die Integrandfunktion. d __ Beispiel a): ^ ( x - e ' ' + C ) = l - e ' ' - e ' ' - x = e ' ' - ( l - x ) dx

7)

Wir zeigen, daB F[ =f{x) ist: ^i W = V- (^^ • e-" + 2) = 2X • e^ + x^ • e"^ = (x^ + 2x) • e^ = /(x) dx Gesamtheit der Stammfunktionen: F{x) = Fi (x) + Ci = x^ • e"^ + 2 + Ci = x^ • e-^ + C

(C =

4

8)

A = 2- I (-0,25x^+4)rfx = 21,33 0 7l/2

9)

^ = 2 •

COS X J x = 2 0

3,291

10)

^=

I (-3x^ + 12x-7)6/x-8,61 0,709

11)

n{t) = no-Q~^'

Abschnitt 8 1)

Die Substitutionen sind jeweils in Klammern angegeben. 2

a)

Fix) = --^1+x^+

C

b)

F{x) = — -^{5x

+ 12)^ + C

c)

Fit)= ---l/il-tf

d)

0

e)

F (z) = - • (arctan z) + C

f)

F(x) = In |x^ + 6x - 12| + C

g)

F(x) = In |lnx| + C

h)

F(x)=

3'

3

3,

{u =

+C

l+x^) (w = 5x + 12)

{u =

l-t)

(u = cos x) 1

2

cos(x^) + C

{u = arctan z) (w = x^ + 6x - 12)

(w = In x) {u = x^)

€^+2)

654

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben i)

F(x) = --\n\2x^

j)

0

k)

0,471

iu = 3t- 71/4)

1)

2,055

{u =

m)

F(x) = - - e ^ ' ~ ^ + C

n)

F(z) = - • tan^ (z + 5) + C

o)

Fix) =

2)

0,117

3)

A= \^6-2x

{u =

- 4 x + 2| + C

{u = 2x^ -4x

+ 2)

l+t^)

5-x)

V4-x^ X

dx = 2^6

(M = X ^ - 2 ) (w - tan (z 4- 5))

/x ,

arcsin - + C V 2/

(x = 2 • sin w)

= 4,899

0

4)

F(x) - - - X V x + X + 2 V x - 2 • In (1 + Vx) + C

5)

Die Zerlegung des Integranden ist jeweils in Klammern angegeben. a)

F(x) = - x ^ I In X

)+^

b)

F{x) = X • sin X + cos x + C

(w = In x, ?;' = x) {u = x, v' = cos x)

5

c)

t' In \t\~t

\ In t dt

: 4,047

(w = In t, i;' = 1)

1

d)

1 F{x) =

1 X • cos (3 x) + - • sin (3 x) + C

{u = x, v = sin (3 x))

0,8

e^ • (x - 1)

0,8

: 0,555

(u = x, v' = e^)

0

f)

F{x) = X • arctan x — - • In (1 + x^) + C

g)

1 1 F{t) = -t — -— • sin (2 cot) + C 2 4co

{u = arctan x, v' = 1)

{u = sin (cot), v = sin (cot))

V Integralrechnung

655

6)

a)

F ( x ) - - - • e^- (sinx + cosx) + C

7)

a)

F(x)=--

{ln\x - a\ - ln\x + a\) + C

b)

F{x)=~

• l n | x - 1| + 2 • l n | x + 1| - y • l n | x + 2| + 4x + C

c)

Fiz)=j-\n

d)

z + 2

z + 2

F(x) = - e " - ^ • (x^ + 2x + 2) + C

+ C

F ( x ) = ^ - l n | x - 9| + ^ - lnjx + 7| + C

e)

8)

z - 1

b)

F{x)=--ln

^ =

X

3 (x - 3)

- 3

C

In X c^x = 4,047 1

9)

A

=1

x^ - 4 X - 5

(ix

X H- 5

=

21 X -

5

^x = 2,207

Bild A-65

(s. Bild A-65) 10)

a)

F(x) = — (Inx)^/^ + C

(Substitution: w = Inx)

b)

F(x) = In I sin XI + C

(Substitution: u = sinx)

c)

F(x) = X • sinhx — coshx + C

d)

F(x)

e)

1 Fix) = x + - - l n | x - 1| - - . l n | x + l | - 2(^ + 1) + C

C

(Partielle Integration: u = x, v' = coshx)

(Substitution: u = cosx)

(Partialbruchzerlegung)

^

g)

J -^H- 1

^x

=

F{x) = — (Inx)^ + C

X+ 1

dx = —3,493

(Polynomdivision)

(Substitution: w = Inx)

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

656 h)

F{x) = 2 • In \2x^ - 11 + C

(Substitution: u = 2x^ - 1)

i)

F(x) = ~ {x^ + 1) • arctanx — — x -\- C (Partielle Integration: u = arctan x, v' = x)

j)

1 1 F(x) = — {x - 1) • Jx^ — 2x — ^ • arcosh (x — 1) + C (Substitution: x — 1 = cos u)

k)

F{x) = 4 • In |x - 2 | - 3 • In |x - 3 |

11)

A =4

12)

a)

Jt

b)

0

13)

a)

0,5228

b)

0,5227

14)

a)

29,9558

b)

0,1904

X- 3

+ C

(Partialbruchzerlegung)

a^ — x^ dx = Ttab

c)

4,0621

Abschnitt 9 1)

a)

1

b)

1

c)

e^

X

2)

3)

1(1)

A

X • e '^^ dx = e~

e"^ J X +

J

e"^"" dx =

a

X^

2X

2

a

a^

a^

h -r b

(s. Bild A-66)

Bild A-66

A—^OO

fi J

657

V Integralrechnung

Abschnitt 10 1)

a)

s = - f ^ + 30t,

b)

s=

v=-2t

+ 30

1 ^ 1 r +—--008(71/:) + 30t n^

2

1 r,

n^

V= - t

1 71

{s in m, V in m/s, t in s) 2)

s = cos (cot),

V = — CO • sin (cot)

3)

y{x)-

4)

s (0 = — • In [cosh [ ^ t ) )

5)

A = 2-

6)

A=

7)

yl =

F (2/x^-x^-/^x) 24 EI

a ^ 0)

(4x^ - 16x)^x + 2-

(4x^ -

16x)dx

=i

\ [ - x ^ + 2 x + 2 - ( x ^ - 2 ) ] Jx = 9

[3x - 1 - (x^ - 2 x - 1)] ^x = 125/6 = 20,83 0 1,1886

8)

I

A.= 2-

[ - x ^ + 3 - ( 2 - c o s h x - 2 ) ] ^ x = 4,811

0 1,3788

9)

A=

( V - x^ + 4 x - x^) ^x - 1,0457

\ 0

b

10)

a^ r F^ = 27i- — • {b^ -y^)dy

11)

F^ = 71 •

4 =

-na^b

(x - 2)^ • 3 x Jx = 6,471 = 20,106

0

12)

Vy = n- \ y^ dy = 625n = 1963,5

320

sin(7it) + 30

658

Anhang: Losungen der tJbungsaufgaben 5

13)

r 44 V^ = 7i- \{x^ -9)dx = —n = 46,08

a)

3 4

2 V^ = n- j{y'

b)

- . 172 + 9)dy=-yn

= mA

0

14)

s = 2-

I cosh( ^]dx = 19,70

15)

/x^ + 12,6^ s - I ^ ^ — — ^x = 12,73 1 7,45

16)

s=

I V l +2,25x Jx = 20,45

17)

s = j V l + cos^ X dx^ 3,82 0 2

18)

My = 4n- 1 y^ • VJ^^ + 0,25 ^3; :=53,23 0

19)

1

3

rinx-V4x^ + l

M^ = -n • \ 2 J

X

1

dx ^^4,187

a + /i

20)

M^ = 2n-

rdx = 2nrh a

0,173m

21)

I

W=

/c5Js-12645 Nm

0

22)

W=

23)

P1^= j ^-^—^ t ^ F ^ P i F i - I n ^ — ) => FT = - 4 4 2 0 , 8 Nm

^^(v'-'-V'~' 1— k \

1^1

V Integralrechnung

659

5m

24)

=>

W=npg'\y^dy

1^ = 8,026 • 10^ N m

Om

25)

_ 2 Jiinear = ' = ^ , 6 3 7 ,

_ 1 /J^quadratisch = 7^ ^^

71

^

= OJO^

2

n/co

26)

/=

1%

^0 ' si^ ( 00

n ^ GO

1 1 , , , = hm = - 00

= lim

n ^ 00

: hm

n -> 00

e)

Die Reihe divergiert:

lim

n -^ 00

1\"

n

I 1

\2

-

n+ 1 2n

1 =- 00

9

lim n - ^ GO

4)

a)

1

1

1

1!

2!

3!

— > — > — >...

b)

c)

d)

1

1

3

5

1

1

1

1

4

9

und und

( 2 n + l ) ( 2 n + 2)

= 0< 1

lim

Reihe konvergiert

lim

Reihe konvergiert

n —> 00 2,n — 1

und

1 1 1 7> ^> ^ 5 2-5^ 3-5^

= 0:

lim

und

Reihe konvergiert = 0:

lim n ^ CO n • 5^

Reihe konvergiert

Abschnitt 2 1)

a)

r = lim

= lim n-^ CO n -\- 1

n - > cx)

Die Reihe divergiert in beiden Randpunkten. Konvergenzbereich: b)

lim

r = lim

n+ 1

|x| < 1

1

Die Reihe divergiert fiir x = — 1 (harmonische Reihe) und konvergiert fiir x = \ (alternierende harmonische Reihe). Konvergenzbereich: — 1 < x ^ 1 r = lim n -> GO

lim

a„

::^— =

n -^ 00

/7

n+ 1 n

lim n -^ 00

1

Die Reihe konvergiert in beiden Randpunkten. Konvergenzbereich:

\x\ ^ \

^n+l

d)

r =

lim n -> 00

a„

= lim n -^ CO

•• l i m Z

2 =

2

n -> 00

Die Reihe divergiert in beiden Randpunkten. Konvergenzbereich: e)

r = lim n —>• 0 0

n{n + 2) lim „ _^ 00 {n+ l){n + 1)

1

Die Reihe divergiert in beiden Randpunkten. Konvergenzbereich:

0

r =

lim n -^ 00

: lim

in + l){n + l)\

n -> 00

n\{n + 2)

lim n^

in + ir

CO n + 2

Die Reihe konvergiert bestdndig, d.h. fiir jedes x G R . 2)

r = 1. Konvergenzbereich:

|x| < 1

|x| < 2

|x| < 1

VI Potenzreihenentwicklungen

663

Abschnitt 3 CO

1)

a)

sinh X =

v-^"^^

V

;

|x| < oo

Konvergenzbereich:

n= 0

b)

arctan X =

V ^

(—1)"

2n + 1

n = 0

2

a)

b)

3

^ n= 1

cosh x = l + — H !-...= 2! 4!

Ji'

2V fix)

|x| ^ 1

»i

Y ^

n= 0

(2n)!

;

Konvergenzbereich:

|x| < oo

1 c o s h x = - ( e ' ' + e "") • 2 1 +xH

3)

Konvergenzbereich:

|x| ^ 1

Konvergenzbereich:

2)

;

2!

Jv

h-

2!

Jv

3!

1

\

h...

4!

4!

I

+

/

/

Ji'

1-xH

V

2!

2!

Jv

3!

Jv

\

4!

4!

= ^ ^ = = (1 - x^)-1/2 = 1 + ^ x^ + ^ x^ + - ^ x^ /. ,.3 2 8 16 Naherungsfunktion

1.... 3 /A o ^ 6 /(0,2) ;:^ 1 + - (0,2)^3 +I - (0,2)^ - 1,004024 2 8

Fehler

(auf 6 Dezimalstellen genau)

Fehler: ^ — ( 0 , 2 ) ^ = 0 , 1 6 - 1 0 " ^ 16^ ' ^ 4)

a)

7

;

3 / W = e ^'^-cosx = 1 - 2 x + - x 2

1 x^

7

J V ;

3

24

2

Konvergenzbereich: , b) c)

/ ( x ) = sin X = X

x'^ + ...

|x| < oo X*

2 1

, x

—+...;

Konvergenzbereich:

|x| < oo

Der Faktor (1 + x ^ ) " ^ wird nach der Binomischen Formel entwickelt (Substitution x -> x^, ^ = — 1): sinh X ^ _ -, f{x) = = n+ X ) • sinhx = x l + x^ Konvergenzbereich:

|x| < 1

5

^ 101 ^ x"^ H x - + ... 6 120

h.

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

664 5)

a)

1 2

/ (x) = cos X

iV-3 2

1

/

JT

hy^

Konvergenzbereich: \x\ < oo b)

f(x) = v ^ = 1 + y (x - 1) - I (x - 1) ^ + ^ ( x - l ) ^ + ... Konvergenzbereich: 0 < x ^ 2

c)

1

f(x)

2

= - 1 + 1 (x - 1) ^ - 2 (x - 1 ) ' + 3 (x - 1)'

Konvergenzbereich: 0 < x < .2 6)

/ (x) = X • e -

X

1

X - x^ + 2!

y-f^rx;

Ndherungsfunktionen (Bild A-69): /i(x) = X

/2(x)

= X -

X^

/3(X)

= X - X^ + — X^

Bild A-69

7)

f (x) = \ / l — X = (1 — x) ^/^ wird nach der BZ/tom/^c/ze/t Forme/entwickelt (n = 1/2): \ / l - 0,05 = (1 - 0,05) 1/2 = = 1 - i (0,05) - ^ (0,05) 2 - 1 : 1 ^ (0,05)3 2 ^ ^ 2-4 ^ ^ 2-4-6

l - l - 3 - 5 (0,05)' ,_,,, 2-4-6-

1 - 0,025 - 0,0003125 - 0,000007 81 - 0,00000024 < 0,5 • 10Abbruch der Reihe nach dem 4. died: nach dem Komma genau)

y^l - 0,05 ^ 0,91 A619 (auf 6 Dezimalstellen

665

VI Potenzreihenentwicklungen 8° = 0,139 626 1 1 (0,139 626)^ + — (0,139 626)"^- + . . . = 2! 4!

cos 8° = cos 0,139 6 2 6 - 1

= 1 - 0,009784 + 0,000016 - + ...