Math 2bac Log [PDF]

Zitiervorschau

Les Fonction Logarithmes

Prof : IDRISSI Abdessamad  Exercice 1 :.

2ème Année Bac Sc Exp

(série n°1)

........................................... ...............

Déteminer l'ensemble de définition de la fonction f dans chacun des cas suivants :

1 x

① - f  x   ln  x  2  ④-

;;

② - f  x   ln  x 2  4

f  x   ln  3 x  1  ln  x  2  2x  1    x 1 

⑥ - f  x   ln 

;;

 Exercice 2 :. ①-

②-

⑤ - f  x   ln  3 x  1 x  2 

;;

⑦ - f  x 

③ - f  x   ln  2 x 2  x  3

;;

ln  2 x  1

⑧ - f  x   ln

;;

ln  x  1

.. ........................................................

Résoudre dans

les équations suivantes :

a – ln  2 x  3   ln  x  1  ln 3

;;

b –

ln  2 x  1  2ln 1  x   0

c – ln x  2  ln 8 x  1  0

;;

d –

 ln x 

Résoudre dans

3

 2  ln x   3ln x  0 2

les inéquations suivantes :

 x2 a – ln   0  x 1  ln x  1 c– 0 ln x  1

 Exercice 3 :

;;

b –

 2x  1  ln    x3 

;;

d –

 ln x 

2

1

 ln x  2  0

............................... ..........................

Calculer les limites suivantes :

3ln x  1 ① - lim x  x

④⑦-

x 1 x 1

1  lim   ln x  x 0  x  ln  x  3  lim x  x 2  x  1

② - lim

;;

x

;; ;;

ln  x  1 

⑤ - lim x 0

x

ln  x  1  ln  1  x  x

⑧ - xlim  ln x   x

 Exercice 4 :

③ - lim

;;

x2

2

2

;;

ln  x 2  x  1

0

⑥ - lim x 

;;

ln  x 2  2 

⑨ - lim x.  ln x  x

0



x

x2 2

.

................................ .........................

 f  x   x  ln x  1 2 Soit f la fonction numérique définie par :   f  0   0

① - Déterminer D f

, puis calculer

; x

0

.

lim f  x  .

x



②- Etudier

la continuité de la fonction f à droite en 0 .

③- Etudier

la dérivabilité de f en 0 à droite et interpréter le résultat géométriquement.

④- Etudier

les variations de la fonction f .

  ⑥- Déterminer les branches infinies de la courbe C  . ⑦- Tracer la courbe C  . (on prend : e  2, 7 et e  0, 4 ) ⑤- Déterminer

le point d'inflexion de la courbe C f . f

1

f

[email protected]

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 Exercice 5 : 1

ère

........................... ..............................

partie :

Soit g la fonction définie sur 0; par : g  x   x  1  ln x

① - a – Calculer g '  x 

pour tout x  0;  .

b – Etudier les variations de la fonction g.

②- En 2

ème

déduire que : g  x   0 pour tout x  0;  .

partie :

2   f  x   x  x ln x ; x Soit f la fonction définie par :    f  0  0

① - Déterminer D f ② - a – Etudier

0

.

l'ensemble de définition de la fonction f .

la continuité de la fonction f à droite en 0 .

b – Etudier la dérivabilité de f en 0 à droite et interpréter le résultat géométriquement.

 

③- Calculer xlim f  x  , ④ - a – Montrer

puis étudier la branche infinie de courbe C f au voisinage de  .

que : x

0 : f ' x   x  g  x 

b – En déduire les variations de f sur D f .

⑤ - a – Montrer

que la droite



 

d'équation y  x est une tangente à la courbe C f

point A  1;1 .

au

 

b – Etudier les positions relatives de C f et la droite    .

⑥ - a – Calculer f ''  x 

pour tout x

0.

 

b – Etudier la concavité de la courbe C f

et déterminer ce point d'inflexion.

 O, i , j  .

⑦- Tracer C f 

dans un repère orthonormé

⑧- a - Montrer

que la fonction f admet une fonction réciproque f 1 définie sur un

intervalle J à déterminer . b – Montrer que f 1 est dérivable sur J.

c – Calculer

 f  '  1 . 1

 

d – Tracer C f 1

dans le repère

 O, i , j  .

 3ème partie : Soit

 un  n

①-

1   u0  2 ;  n  la suite définie par :  u  f  u  n  n 1

Montrer que :  n 

②- Montrer

que la suite

③- Montrer

que la suite

:

.

0  un  1 .

 un  est croissante.  un  est convergente et déterminer sa limite

[email protected]

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