152 69 26MB
Polish Pages 544 Year 1976
J. B. ZELDOWICZ
MATEMATYKA WYŻSZA DLA POCZĄTKUJĄCVCH zastosowania w fizyce Z języka rosyjskiego przetłumaczyli MAREK DEMIANSKI • JAN PIOTR LASOTA
tM
WYDAWNICTWA NAUKOWC-TECHNICZNE ·WARSZAWA 1976
Opiniodawca dr Krzysztof Nowak Redaktor WNT mgr Małgorzata Rajwacka-Jachymek Okładkę projektował Tadeusz Chlebowski Redaktor techniczny Franciszek Bondartik Dane o oryginale: .HKOB
EOP.I1COB.I1'ł 3EJ1b,ll,OB.I1'ł
BhiClllAJI MATEMATHKA ,LJ;JIJI HA4l1HAIOI1111X 11 EE TIPJ1JIO)l{EHJ1.H K O, Lit > O, to i Lłz > O, tzn. że temperatura rośnie w czasie. Jeżeli z'(t) < O, Lit > O, to Llz < O, tzn. temperatura w późniejszej chwili z(t+Lit) będzie niższa od temperatury z(t) w danej chwili. Zatem, dodatnia pochodna wskazuje na to, że funkcja jest rosnąca, ujemna -że funkcja maleje. Wyrażenia funkcja rosnąca i funkcja malejąca stosuje się do dowolnej funkcji y(x); przy czymfunkcją rosnącą nazywa się taką funkcję dla której y rośnie wraz ze wzrostem zmiennej niezależnej x. rośnie). Jeżeli
Pochodna dy określa właśnie szybkość wzrostu, tzn. stosunek zmiany y dx
do zmiany x. Ujemna
wzroście
x,
Zdanie
szybkość
wzrostu oznacza zmniejszanie
się
y przy
i jeżeli !!L < O, to - dy jest szybkością ubytku. dx y ma
"wielkość
dx
dużą ujemną pochodną
po x" znaczy,
że
y
szybko maleje ze wzrostem x. Dodatnia pochodna dy oznacza, że y rośnie dx
ze wzrostem x. Pojęcia pochodnej można użyć również do wyrażeń z życia codziennego mówiąc np. "pochodna mojego nastroju po czasie jest dodatnia", zamiast "mój nastrój się poprawia". Rozważcie następujące żartobliwe zadanie: jaki jest znak pochodnej nastroju po odległości od fotela dentystycznego? Nastrój się pogarsza ("maleje", staje się "ujemny") w miarę zmniejszania się odległości, oznacza to, że pochodna jest dodatnia. Być może językoznawcy będą narzekać na zaśmiecanie języka, jednak takie swobodne i żartobliwe używanie pojęć matematycznych może być dobrym treningiem przed przyszłymi poważnymi zastosowaniami. Istnieją funkcje, których pochodne mają stały znak, niezależnie od wartości zmiennej. Taką własność ma, na przykład, funkcja liniowa y =
= kx+b,
dla której !!Y_ dx
=k
jest wielkością stałą. Zobaczymy później,
pochodna funkcji wykładniczej y = ax ma stały znak (choć nie stałą przy dowolnych x. Jednak ogólnie znak pochodnej funkcji może być różny, w zależności od wartości zmiennej niezależnej. Rozpatrzmy funkcję y(x), której pochodna y'(x) jest dodatnia przy x < x 0 i ujemna przy x > x 0 ; czyli: że
wartość)
y'(x) >O
dla x < x 0 ;
y'(x) . x 0
37
o takiej funkcji? Zacznijmy od x < x 0 . Przy x do x 0 , y będzie rosnąć, przy dalszym wzroście x, y maleje. Stąd wniosek, że dla x = x 0 funkcja y(x) ma maksimum. Rozpatrzmy przykład przeciwny Co
można powiedzieć
wzroście
y'(x) Powtarzając
dla x
< O dla x < x 0 ,
y'(x)
> O dla x > x 0
rozumowanie dochodzimy do wniosku,
że
w tym przypadku,
= x 0 funkcja y(x) ma minimum.
Jeżeli
funkcja y(x) dana jest wzorem, któremu odpowiada krzywa taka, że y' (x) zmienia się "płynnie" wraz ze zmienną x, to różne znaki y'(x) przy x < x 0 i x > x 0 oznaczają, że przy x = x 0 , y'(x 0 ) = O. Zatem przyrównując do zera pochodną, możemy znaleźć te wartości zmiennej niezależnej, dla których funkcja ma maksimum lub minimum. O wyjątkach od tej reguły dla funkcji niegładkich pomówimy później, w rozdziale III. Rozważmy przykład liczbowy. W paragrafie IV.l podano tablicę wartości funkcji y = 3x 3 -x 2 -x (str. 214). Na podstawie tej tabeli, można by pomyśleć, że dana funkcja jest rosnąca dla wszystkich wartości x, gdyż każde zwiększenie x o jeden powoduje wzrost wartości y. Obliczmy pochodną funkcji y = 3x 3 - x 2 - x: gładka*),
y' = 9x 2 -2x-1 Biorąc
x = O, otrzymamy y' (O) = - l < O, co znaczy, że przy x = O funkcja jest malejąca. Obala to przypuszczenie, że funkcja jest wszędzie rosnąca, które wysnuliśmy na podstawie tablicy. Przyrównajmy y'(x) do zera. Rozwiązując równanie
9x 2 -2x-1 =O znajdujemy dwa pierwiastki
x1
~
0,24,
x2
~
+0,46
Zbudujemy szczegółową tablicę włączając znalezione punkty odpomaksimum i minimum funkcji (tabl. 1.3). Widzimy, że istotnie, na odcinku od x = -0,24 do x = +0,46 funkcja y maleje od +0,14 do -0,38. Porównanie wartości y( -0,24) z sąsiednimi y( -0,30) i y( -0,18) potwierdza fakt, że przy x = - 0,24, y osiąga maksimum. Sąsiednie warwiadające
*> Krzywa bez tzw. punktów załamania i ostrzy (por. par. 111.2), przyp. tłum.
38
Tablica 1.3
~
l 0,40 l 0,46 0,52 l l 2 ~-Y -~-=-26~-=;--~~~~~-o- 1 ~1~~-~-~--~ -
X
_:_2/-1 -0,30 1-0,24
-0,18
0
1
tości y są
mniejsze. Wykres funkcji y = 3x 2-x 2-x został przedstawiony
na rys. 10. Widzimy
więc, że słowo
maksimum należy pojmować nie ze wszystkich wartości y. Rzeczywiście, maksimum y( -0,24) = 0,14, dla x = l, y = l, dla x = 2, dla x = 10, y = 269 itd. przy nieograniczonym wzroście x, rośnie nieograniczenie. największej
w sensie w punkcie y = + 18, y
również
lj
--2
2
X
Rys. 10
Czym wyroznta się znaleziony przez nas punkt maksimum*> Xmax = - 0,24, y = O, 14? Punkt ten wyróżnia się tym, że przy bliskich sąsied nich wartościach x, zarówno większych jak i mniejszych od Xmax, wielkość y jest mniejsza od Ymax = y(xmax)- Tę szczególną własność Xmax można zauważyć na podstawie tablicy- porównajcie y( -0,30), y( -0,24) i y( -0,18). Te same r-ozważania odnoszą się do minimum: dla Xmln = 0,46, Ymln= -0,381; dla dużych co do wartości bezwzględnej, ujemnych x, y nie*> Skrót "max" pochodzi od łacińskiego słowa "maximum", analogicznie"min"- od minimum.
ograniczenie maleje i staje się mniejsze od Ymin, ale X min wyróżnia się tym, jest mniejsze od wartości y dla x bliskich X 111111 • Warunek zerowania się pochodnej daje możliwość znajdowania właśnie takich maksimów i minimów. Znajdowanie maksimów i minimów metodą arytmetyczną, przez obliczenie i porównanie wartości funkcji przy różnych wartościach argumentu, okazuje się często i trudniejsze i mniej dokładne. Matematyka wyższa jest więc nie tylko ważnym osiągnięciem z punktu widzenia pojęciowego, również praktyczne, konkretne zagadnienia obliczeniowe dają się o wiele łatwiej rozwiązywać przy pomocy metod matematyki wyższej. Na zakończenie tego paragrafu zajmiemy się zagadnieniem odróżnienia maksimum od minimum korzystając z warunku y'(x) .= O. Warunek ten spełniony jest zarówno w maksimum jak i w minimum, różnica polega na znaku y'(x) dla x < x 0 i dla x > x 0 • Jak ustalić znak y'(x) dla x bliskich x 0 , nie obliczając bezpośrednio y' dla tych wartości x? Wiemy, że funkcja y(x) ma maksimum, gdy y'(x) > O dla x < x 0 i y'(x) < O dla x > x 0 . Zatem w tym przypadku sama pochodna y'(x) jest funkcją malejącą: wraz ze wzrostem x, pochodna, która najpierw była dodatnia (dla x < x 0 ), zeruje się (w x = x 0 ) i nadal malejąc staje się ujemna dla x > x 0 . Wiemy już jednak, jak rozpoznać funkcję malejącą: jej pochodna jest ujemna. Stąd, w pierwszym przypadku przy tej wielkości x = Xmax• przy której y ma maksimum, y'(x) = O, a pochodna pochodnej jest ujemna. Taka wielkość - pochodna pochodnej którą, zgodnie z ogólnymi regułami, można by zapisać następująco że Ymtn
dy' dx -
d(
~~)
---x-
ma swoją nazwę: druga pochodna. Oznacza się ją przez y"(x) lub d 2 y
dx 2
Tak
więc
warunkiem na maksimum jest y'(x) = O,
y"(x) < O
Taką samą metodą można sprawdzić, że jeśli są
dla
jakiegoś
warunki y'(x) = O,
y"(x) > O
to funkcja y(x) ma minimum w x. Powróćmy do przykładu omawianego y
40
.
= 3x 3 -x 2 -x,
y'
wyżej
= 9x 2 -2x-1
x
spełnione
Znajdujemy
pochodną
od y'
= 18x-2 Dla x = - 0,24, y' = O, y" = - 6,3 < O i rzeczywiście x = - 0,24, y = y"
= 0,14- jest to maksimum. Dla x = +0,46, y' =O, y" = +6,3 >O, przy x = 0,46, y = -0,38, funkcja y ma minimum. Ćwiczenia Znaleźć wartości x, dla których niżej podane funkcje osiągają minimum lub maksimum. W każdym przypadku określić, czy mamy do czynienia z minimum czy z maksimum. Dla funkcji, w których występuje stała oznaczona literą a podać odpowiedź dla a > O i a< O. l. y = ax 2 , 2. y = x+-1X-, 3. y = x+!:, 4. Y= x 3 -x, 5. y = x 4 +ax 2 +b. X
7. Wyznaczanie drogi na podstawie
prędkości.
Pole powierzchni pod
krzywą
Zagadnienie wyznaczenia prędkości chwilowej ruchu v(t) na podstawie danej zależności położenia od czasu z(t), doprowadziło nas do pojęcia pochodnej dz v(t) = dt Zagadnienie odwrotne polega na wyznaczeniu położenia i drogi, którą przebywa w danym odstępie czasu, gdy prędkość chwilowa v(t) jest dana jako funkcja czasu. Zagadnienie to doprowadza do innego bardzo ważnego pojęcia matematyki wyższej, mianowicie do pojęcia całki. Ustalmy wygodne oznaczenia. Rozpatrujemy drogę przebytą w czasie od t 1 do t 2 • Aby nie używać wskaźników, oznaczymy początek rozpatrywanego odstępu czasu literą p, t 1 = p, a koniec -literą k, t 2 = k. Drogę przebytą oznaczymy przez z(p, k). Zapamiętajmy, że jeśli w nawiasie przy znaku funkcji z znajdują się dwie wielkości p i k, to z(p, k) jest długością drogi przebytej w czasie od p do k, a z(t) z jedną wielkością w nawiasie jest położeniem (współrzędną) ciała w danej chwili t. Między tymi wielkościami istnieje prosta zależność ciało
z(k) = z(p)+z(p,k) z(p,k) = z(k)-z(p)
}
(7.1)
Droga przebyta w czasie od p do k równa jest rozmcy współrzędnych w końcu rozpatrywanego odstępu czasu z(k) i w początku tego odstępu z(p). Zajmiemy się teraz obliczeniem z(p, k).
41
W najprostszym przypadku,
jeżeli prędkość
jest
stała
v (t) = const = v0 oczywiście
to przebyta droga jest
(7.2)
równa iloczynowi czasu
prędkości
z (p, k) = (k- p) v0
(7.3)
Na wykresie zależności prędkości od czasu, prędkości stałej odpowiada pozioma linia prosta (rys. 11). Przebyta droga jest równa polu zakreskoV
Rys. II
pole prostokąta równe jest iloczynowi podstawy (k-p) (v 0 ). A jak jest w przypadku ogólnym, gdy prędkość chwilowa nie jest stała? Rozpatrzmy szczegółowo jeden przykład liczbowy. Niech prędkość będzie wyrażona wzorem*l v = t 2 • Znajdziemy drogę przebytą od t = = p = l do t = k = 2. Podzielmy cały odcinek od p do k na dziesięć części i zbudujmy tablicę prędkości (tabl. 4). Przez Lit oznaczymy małe odstępy czasu, po 0,1 s każdy, na które podzieliliśmy odcinek od t =p do t = k. wanemu,
gdyż
wysokości
Tablica 1.4
l
t
i 1,0
l 1,1
111,2 11,3
1,4 11,5 11,6 J1,7 11,8
1,9
2,0
~-v-~~~~~~~~~-;;-1~~-;;~-;;-Mt~
Na czym polega trudność przy obliczaniu drogi J;a pomocą danej prędkości v(t)? Problem polega na tym, że prędkość jest zmienna; dla stałej prędkości odpowiedź jest prosta. W rozpatrywanym przykładzie *> Prędkość v jest wyrażana w cm/s, t - w s; aby zadośćuczynić wymaganiom wymiarowym, piszemy v = at 2 , gdzie a ma wymiar cm/s 3 • Rozpatrujemy tu szczególny przypadek, gdy współczynnik a równy jest liczbowo l cm/s 3 •
42
na całym odcinku czasu od t = l do t = 2, wartość prędkości zmienia się czterokrotnie. Jednakże po podzieleniu tego odcinka na 10 części, w każdym małym odcinku o długości 0,1 s prędkość ulega mniejszej zmianienajwyżej o 10-20%. Zatem w małych odcinkach czasu prędkość można w przybliżeniu uważać za stałą i obliczać drogę przebytą w małym odstępie czasu mnożąc długość tego odcinka czasu przez prędkość, Abv obliczyć drogę: przebytą w każdym odcinku czasu Lit o dłu gości O, l s, skorzystajmy z początkowej prędkości w danym LI t: l cm/s w Lit od l do 1,1 s, 1,21 cm/s w Lit od 1,1 do 1,2 s itd. w końcu, 3,61 cmjsek w ostatnim LI t od l ,9 do :2,0 s. Całkowita droga przebyta w czasie od t = l do t = 2, przy tym sposobie liczenia okazuje się równa z(1;2)
= 0,1+0,121+0,144+ ... +0,361 = 2,185 cm
Oczywiście
przy takiej metodzie zaniżyliśmy drogę: w danym przykładzie wraz z czasem, dlatego prędkość na początku każdego odcinka Lit jest mniejsza od prędkości średniej. Każda z dziesięciu składo wych, na które podzielili~my drogę, została trochę zaniżona, wobec tego zaniżony jest cały wynik. Obliczmy teraz drogę inaczej, będziemy mianowicie dla każdego odcinka Lit brać wartość prędkości w końcu Lit. Dla pierwszego Lit od l do 1,1 s prędkość ta równa jest 1,21 cm/s, dla ostatniego od 1,9 do 2 s prędkość jest równa 4 cmfs. Przebyta droga w tym przypadku będzie równa prędkość rośnie
z (1 ;2)
= 0,121 +0,144+
... +0,400
= 2,485
cm
Ten sposób obliczania drogi daje oczywiście zawyżoną wartość z( l; 2). Znaczy to, że prawdziwa wartość leży w przedziale między 2,185 i 2,485. Różnica między 2,185 a 2,485 wynosi około 15%. Zaokrąglając ograniczenia dla z, otrzymujemy 2,18
Prawą stroną równości
4 Matematyka
wyższa
(8.3) czytamy:
"całka
od p do k, po de-te".
49
Wielkość p na dole całki nazywa się dolną granicą całkowania, wielkość k nad znakiem całki nazywa się górną granicą całkowania*>. Przedział, w którym t zmienia się od p do k nazywa się przedziałem całkowania. Funkcję v(t) we wzorze (8.3) nazywamy funkcją podcałkową, t - zmienną całkowania. Zatem całka zdefiniowana jest jako granica, do której dąży suma iloczynów wartości funkcji i różnica wartości argumentów, gdy różnice te dążą do zera, tzn. l=m
lim
I
l=m
v (t 1) Jt1 = lim
Llr,-o 1 ~ 1
I
k
v (t 1-
1)
Llt 1 =
.Jr,-o 1 ~ 1
1· v (t)
dt
(8.4)
~
Chociaż
pierwsza i druga suma w równości (8.4) są różne dla skończonej to jednak ich granice przy nieograniczonym zmniejszaniu się wszystkich przedziałów Llt, są jednakowe. Przy dążeniu Llt do zera, każdy oddzielnie wzięty składnik dąży do zera, ale za to rośnie do ńieskończoności ilość składników sumy. Sama suma dąży do dobrze określonej granicy stanowiącej rozwiązanie zadania i nazywanej "całką". Granica ta równa jest przebytej drodze, jeżeli funkcja jest prędkością chwilową. Oczywiście nie każda suma dużej liczby m małych składników dąży do określonej granicy przy m -t oo. Wyjaśnijmy, dlaczego w naszym przypadku granica taka powinna istnieć. Podzielmy odcinek długości k- p na m równych przedziałów. Długość każdego przedziału wynosi Llt 1 = = (k_;_p)fm. Jeżeli dla uproszczenia przyjmiemy, że prędkość v jest stała, to otrzymamy sumę m składników, z których każdy jest równy v.dt = ilości małych przedziałów,
= 1J(k-p) m
W wyniku
cała
suma (przebyta droga) równa jest mvLlt=
mv(k- p) =v(k-p) m
tzn. nie zależy od m. Najważniejsze jest to, że każdy oddzielny składnik maleje akurat w takim samym stopniu (proporcjonalnie do l/m), w jakim słowo "granica" używane jest w dwóch znaczeniach: całka sumy w tym samym znaczeniu, w jakim pochodna jest granicą ilorazu. Słowo "granica" odpowiada tu symbolowi "!im". Poza tym mówimy o granicach przedziału zmienności t od p do k, o granicach całkowania p i k. Słowo "granica" występuje tu w innym sensie. Uważny czytelnik na pewno nie zgubi się w tej dwuznaczności słowa "granica".
*> W tym paragrafie
jest
50
granicą
rośnie
liczba składników m. Oczywiście rówmez w przypadku zmiennej wynik nie będzie zależał od m przy bardzo dużej liczbie m małych odcinków Lit= (k-p)fm. Aby się o tym przekonać, czytelnik powinien wykonać ćwiczenia zamieszczone na końcu tego paragrafu. Ponieważ zmienna całkowania może przyjmować wartości p i k, więc oczywiście granice całkowania mają wymiar równy wymiarowi zmiennej całkowania (w naszym przykładzie granice całkowania mają wymiar czasu). Wymiar całki można łatwo otrzymać ze wzoru (8.1). Rzeczywiście, wymiar sumy równy jest wymiarowi jej składników. Poszczególne składńiki sumy (8.1) mają wymiar równy wymiarowi zmiennej całkowania pomnożonemu przez wymiar funkcji podcałkowej. W naszym przykładzie droga- prędkość, wymiarem całkijest s·cmfs =cm. Zauważmy, że wielkość całki oznaczonej zależy od wartości funkcji stojącej pod znakiem całki tylko w przedziale całkowahia. Wartości funkcji na zewnątrz przedziału całkowania nie mają żadnego wpływu na wielkość całki. Stanie się to zupełnie jasne, jeżeli przypomnimy sobie przykład droga- prędkość. Przebyta droga zależy oczywiście od prędkości v(t), ale zależy tylko od jej wartości w przedziale całkowania. Przebyta droga z(p, k) zupełnie nie zależy ani od tego, jaka była prędkość do chwili t =p, ani po chwili t = k. W paragrafie I. 7 wspominaliśmy o tym, że drog~ można WY.znaczyć jako pole powierzchni na wykresie zależności prędkości od czasu. Zadanie znalezienia pola S ograniczonego od góry krzywą o danym równaniu y(x), prędkości
X
Rys. 17
od
dołu osią odciętych (osią
również
sprowadza
się
x) a z boków prostymi x = a i x = b (rys. 17), do obliczenia odpowiedniej całki b
S=
J y(x) dx 11
4*
51
Aby to wyjaśnić musimy powrócić do rys. 12 i 13. Wyobraźmy sobie, na osi rzędnych odkładamy wartości jakiejś funkcji y(x), a na osi odcię tych- zmienną niezależną x, przy czym y(x) nie ma związku z ruchem i prędkością; zamiastpik użyjmy liter a i b. Suma pól prostokątów zakreskowanych na rys. 12 równa jest że
l=m
.l.:y(x 1 -l)Llx 1 1=1
a odpowiednia suma na rys. 13 l=m
LY(xl) Llx 1 1=1
W granicy, gdy 1Jx 1 --ł O, sumy te są z definicji równe całce, a suma pól do pola powierzchni ograniczonej przez krzywą y(x), gdyż im mniejsze są wszystkie Llx 1 , tym bliższa krzywej jest linia łamana (schodkowa) ogra-
dąży
niczająca prostokąty.
Na
zakończenie zauważmy, że całka
. Metoda znalezienia takiego wzoru wynika z wyżej udowodnionego twierdzenia o pochodnej całki. Przy tym, poza własnościami pochodnej całki, korzysta się również i z innej własności całki oznaczonej, mianowicie: całka oznaczona jest równa zero, gdy równe są górna i dolna granica całkowania
P
Z
J
(p, k = p) =
V
(t) dt = 0
p
Własność ta jest zupełnie oczywista: droga jest równa zero, jeśli czas drogi k-p =p-p= O. Wzór określający wartość całki jako funkcji jej granic całkowania, podany będzie w ten sposób, w par. 12, a wcześniej, w par. 11, podamy jego prostsze wyprowadzenie.
10.
Całka
pochodnej funkcji
Niech funkcja
podcałkowa
v(t) V
W tym przypadku jąco:
będzie
równa pochodnej znanej funkcji f( t)
(t) = j'(t)
=
a;
(10.1)
dokładna wartość całki może być
przypomnijmy sobie
przybliżone wyrażenie
*l Tylko w niewielu przypadkach, i to z trudem, udaje wanie dowolnej ilości małych składowych.
znaleziona następu na przyrost funkcji f się przeprowadzić
sumo-
55
(par. 4) !Jf
~
(10.2)
f'(t) !Jt = V (t) !Jt
Wielkość stojąca składników,
po prawej stronie równości jest akurat jednym z tych których suma równa jest całce. Możemy więc w przybliżeniu
napisać
(10.3) Jak już było powiedziane, równość (10.2) jest równością przybliżoną, tym dokładniejszą, im mniejszy jest przyrost !Jt" tzn. im mniejsza jest różnica t 1+1 - t 1 • Ale przy zmniejszaniu się różnicy t 1;. 1 - t 1 , tzn. przy zbliżaniu się tL+ 1 do t 1 , maleje różnica między v(t 1+1) i v(t1). Dlatego po prawej stronie wzoru ( 10.3) możemy z tym samym stopniem dokładności równie dobrze postawić v(t 1+1 ) jak i v(t 1), takjak to zostało wyżej zrobione. Napiszmy wzory o postaci jak (10.3) dla wszystkich przedziałów, na który podzielony jest obszar całkowania tzn. odcinek od p do k. Niech, p
k t
Rys. 18
na przykład, odcinek będzie podzielony na pięć przedziałów (rys. 18) tak, że t 0 = p, t 5 = k. Nie będziemy się lenić i napiszemy wszystkie pięć równości: f(t~)-f(to) ~
v(tl)(tl-to)
~ v(t 0 )(t~-t 0 )
~
v(tz)(tz-tl)
~
f(tz)-f(tl)
v(tl)(tz-tl)
f(t3)- f(tz) ~ V (t3)(t3- t z) ~ V (tz)(t3- t z) f(t4) -j(t3) ~ V (t4)(t4- t3) ~ V (t3)(t4- t3) f(ts)-f(t4)
~
v(ts)(ts-t4)
~
v(t4)(ts-t4)
Dodajmy do siebie te równości. Po lewej stronie funkcji f i pozostaje tylko
skracają się
wszystkie
pośrednie wartości
f(ts)-f(to) = f(k)-f(p)
Po prawej stronie otrzymujemy akurat taką sumę, przy pomocy której poprzednio wartości całki lub znajdowaliśmy drogę z(p; k)
wyrażaliśmy
56
przy danej
prędkości
f(k)-f(p)
v(t). Zatem
~ 2::v(t!+I)(tt+I-ti) ~
Iv(tl)·(tHI-tl)
~
k
~
(p, k)
Z
=
J
V
(t) dt
p
przy czym v(t)
=
!!L . dt
Im mniejszy jest każdy przyrost LI t, tzn. wielkość t 1+1 - t 1 , tym dokład niejsze jest wyrażenie (10.3) na przyrost f; ale przy zmniejszaniu t 1+1 - t 1 suma dąży do całki. Dlatego równość k
f(k)-f(p) =
J v (t) dt,
gdzie
v (t) =
!!f
(l 0.4)
okazuje się ścisła. Wzór (10.4) ustala związek między zagadnieniami znajdowania pochodnej i całki. Wynika z niego, że jeżeli uda się nam znaleźć funkcję f, której pochodna równa będzie funkcji podcałkowej v, to zadanie obliczenia całki zostało rozwiązane- wystarczy tylko znaleźć wartości f(k) i f(p) i obliczyć ich różnicę f(k)- f(p). Ze względu na wielką wagę tego wzoru w następnych paragrafach podamy inne wyprowadzenie wzoru (10.4) oparte na bardziej szczegółowym omówieniu własności całki (por. koniec par. 9) i funkcji f w
rzeczywistości
11.
Całka
nieoznaczona
W poprzednich paragrafach wprowadziliśmy pojęcie całki oznaczonej jako granicy sumy dużej liczby małych składników. W paragrafie 9 znaleźliśmy podstawowe własności całki oznaczonej: pochodna całki oznaczonej względem górnej granicy równa jest funkcji podcałkowej k
z (p, k)
=
f
v(t) dt
dz (p, k)
----(/f--=
v (k)
(11.1)
p
Obecnie będziemy chcieli wykorzystać tę własność do· obliczania całki oznaczonej. Tak więc będziemy szukali funkcji zmiennej k, której pochodna równa
57
jest v(k). Oznaczymy
tę funkcję
przez /(k). Wtedy, zgodnie z
df(k) dk
=V
(k)
definicją
(11.2)
Równanie (11.2) nie określa całkowicie funkcji f(k). Wiemy, że dodanie do funkcji f(k) dowolnej stałej nie zmienia pochodnej funkcji. Zatem jeśli /(k) spełnia równanie (11.2), to funkcja g (k) = /(k) +C również je spełnia.
Funkcję f(k) spełniającą równanie (11.2) nazywa się całką nieoznaczoną funkcji v(k). Nazwa ta wiąże się z dwoma własnościami /(k): pochodna funkcjif(k) jest równa pochodnej całki oznaczonej z(p, k) (por. wzory (11.1) i (11.2), dlatego /(k) nazywa się całką. Do funkcji f(k) spełniającej (11.2) można dodać dowolną stałą wielkość- stąd uzupełnienie "nieoznaczona". Dowolne rozwiązanie równania (11.2) może różnić się od jakiegokolwiek innego rozwiązania tylko o stałą. Istotnie, jeżeli istnieje inne rozwiązanie (l 1.2), które oznaczymy przez g(k), to dla ich różnicy otrzymamy
d
dk [f(k)-g (k)]
= v (k)
-v (k)
=O
Tylko pochodna stałej jest równa zero przy dowolnych wartościach argumentu. Całka oznaczona z(p, k) jest, zgodnie z (11.1), również jednym z rozwiązań (11.2). Znaczy to, że z(p, k) można przedstawić w postaci Ż(p,k) =f(k) +B
(11.3)
gdzie f(k) jest jakimś rozwiązaniem (11.2), B stałą; pozostaje tylko ją wyznaczyć. W tym celu skorzystamy z drugiej własności całki oznaczonej: całka jest równa zero, gdy górna granica i dolna granica pokrywają się z (p, Podstawiając
k = p
k
w (11.3)
= p) = i
korzystając
O =f(p)+B,
Mamy
stąd
w
z (p,
p)
=o
(11.4)
z (11.4), otrzymamy
B= -f(p)
końcu
z (p, k) = f(k)-f(p)
(11.5)
Zauważmy, że "nieoznaczoność" funkcjif(k) w niczym nie przeszkadza w obliczaniu przy jej pomocy całki oznaczonej zgodnie ze wzorem (11.5). Istotnie, zamiastf(k) weźmyjakiekolwiek inne rozwiązanie równania (11.2),
5.8:
na
przykład
g(k),
różniące się
od f(k) o
stałą
g(k)=f(k)+C
Obliczmy zamiast f
z (p, k)
całkę oznaczoną
na podstawie wzoru (11.5)
u~ywając g
= g (k)-g (p) = f(k) +C- [f(p)+C] = f(k)- /(p)
Otrzymaliśmy
wynik pokrywający Wygodnie jest oznaczać całkę
się
z (11.5).
nieoznaczoną tą samą literą
z,
którą
oznaczaliśmy całkę oznaczoną.
Dla danej funkcji podcałkowej v(t) całka oznaczona zależy od dolnej i górnej granicy całkowania tzn. jest funkcją dwóch zmiennych z(p, k). Całka nieoznaczona jest funkcją jednej zmiennej, którą oznaczmy przez t. Tak więc całka nieoznaczona z(t) jest funkcją spełniającą równanie z'( t) = dz (t) = v (t) dt Posługując się tą funkcją, całkę oznaczoną
(11.6)
z(p, k) funkcji v(t) znajdujemy
ze wzoru k
=
z(p,k)
j'v(t)dt
=
(11.7)
z(k)-z(p)
p
Przyjęty jest następujący skrócony zapis różnicy funkcji dla dwóch różnych wartości zmiennej
wartości
tej samej
(t)/:= z (k)-z (p)
z
(11.8)
W tym zapisie po lewej stronie jest funkcja zmiennej t, na prawo od niej znajduje się pionowa kreska, przy tej kresce u góry mamy wartość zmiennej, dla której chcemy wziąć wartość funkcji z plusem, u dołu- tę wartość, dla której funkcję bierzemy z minusem. Wstawiając we wzorze (11.7) pod całką v(t) wyrażone za pomocą z(t) zgodnie z (11.6), a po prawej - wyrażenie (11.8), otrzymujemy tożsamość k
J z'( t) dt
=
z (t)
1:
(11.9)
p
Zwróćmy uwagę
na jednakowe położenie k i p po obu stronach, co wzoru. Przejdziemy teraz do przykładów.
ułatwia
zapamiętanie
59
Rozpatrzmy zadanie o drodze przebytej w czasie od p do k przy = t 2 • Droga ta równa jest całce oznaczonej
pręd
kości ruchu równej v(t)
k
z(p,k) =
Jt
2
dt
p
Całkę nieoznaczoną
rozwiązując
obliczamy
równanie
dz (t) = v (t) = t z
dt
Wiemy
'
że
nione jest
d(t 3 ) dt więc
= 3t 2
'
a zatem
d(dt
1 ;)
= }--(3t 2 ) = t 2 • 3
Równanie
speł-
przez t3
z (t) = --3
Podstawmy to
rozwiązanie
do wzoru (11.9)
W szczególnym przypadku, gdy p = l, k = 2, otrzymujemy
~
.f
8
t 2 dt
1
7
= -3 -T =T= 2,333 ...
~
Tak
więc posługując się całką nieoznaczoną,
kładny
wynik, do którego w par. 9 z trudem wadzając rachunki liczbowe. Całka oznaczona jest granicą sumy typu
szybko
otrzymaliśmy
przybliżyliśmy się
d oprzepro-
v(to)(tr-to)+v(t 1 )(t 2 -tr) ...
przy dążeniu do zera każdego składnika i odpowiednim wzroście liczby tych składników. Aby obliczyć jej przybliżoną wartość, należy podzielić obszar całkowania na kilka przedziałów, znaleźć przybliżoną wartość drogi vLlt w każdym z nich, a wyniki dodać. Aby otrzymać dobrą dokład ność należy wykonać wiele operacji arytmetycznych. Jeżeli jednak znana jest całka nieoznaczona z(t), tzn. znana jest funkcja, której pochodna k
równa jest funkcji podcałkowej v(t), to dowolną całkę oznaczoną
J v (t)dt p
otrzymujemy natychmiast ze wzoru (l I .9).
60
Umiejętność
znalezienia funkcji,
gdy znana jest jej pochodna (całki nieoznaczonej), okazuje się nieoczekiwanie wspaniałym sposobem obliczania sumy (całki oznaczonej). Całkę nieoznaczoną nazywa się często funkcją pierwotną. Termin ten stosowany jest zwykle w podręcznikach, które najpierw omawiają zagadnienie znalezienia funkcji na podstawie jej pochodnej, a potem dopiero pojęcie całki oznaczonej. Terminu tego nie będziemy tu używać. Całka nieoznaczona zawsze może być wyrażona za pomocą całki oznaczonej t
z (t)
C+
=
J v (x) dx
(11.10)
a
Stosując regułę
na obliczanie pochodnej całki oznaczonej po górnej granicy, łatwo można sprawdzić, że z(t) dane równaniem (11.10) spełnia równanie (11.6) dla dowolnych stałych C i a. We wszystkich przypadkach do rozwiązania wchodzi różnica wartości z(k)-z(p), która nie zależy od C i a. Dlatego (11.10) można zapisać krócej jako t
z (t) Często
=
Jv (x) dx
zapis jest jeszcze krótszy, mianowicie Z
(t)
J
=
V
(t) dt
(11.11)
Sposób ten jest powszechnie stosowany i my będziemy się nim rówmez jednak pamiętać, że jest on w gruncie rzeczy niepoprawny. Można go porównać z pewnymi niepoprawnymi wyrażeniami mowy pot9cznej, które są powszechnie używane i dla wszystkich zrozu-miałe (z wyjątkiem małych dzieci i czepiających się pedantów), na przykład "zjeść talerz zupy". W zapisie (11.11) pogwałcono zasadę, zgodnie z którą zmienna całko wania nie występuje w wyniku. Zatem stosując skrócony zapis (11.11} należy zawsze pamiętać, że jest to skrót poprawnego wyrażenia (11.10). Na podstawie znanych nam wzorów na pochodne otrzymujemy wzory na całki nieoznaczone l d t = t, t dt = ~ , t 2 dt = -~; , posługiwać, należy
J
(por.
ćwiczenia
f
f .. do par. 3) ..
f
t '
dt
y't
;-
=
2J
t
61
Aby sprawdzić dowolny z tych wzorów, wystarczy znaleźć pochodną prawej strony; jeżeli otrzymamy funkcję stojącą pod całką, to wzór jest prawdziwy. Metody obliczania całek nieoznaczonych różnych funkcji zostały szczegółowó omówione w rozdziale II. Dzięki związkowi między całką a pochodną, udaje się znaleźć całki dla wielu różnych funkcji. Problem całkowania jest bardziej skomplikowany od problemu obliczania pochodnych. Komplikacje te wynikają stąd, że przy całkowaniu wymiernych wyrażeń algebraicznych (nie zawierających pierwiastków) w wyniku otrzymujemy logarytmy i funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Wynik całkowania wyrażeń zawierających pierwiastki często zawiera tylko nowe nieelementarne funkcje, które nie mogą być wyrażone przy pomocy skończonej ilości operacji na funkcjach algebraicznych, wykładniczych i trygonometrycznych. Jednakże trudności z wyrażeniem całek za pomocą wzorów nie powinny przesłaniać zasadniczej prostoty pojęcia całki. Jeżeli nie można (lub trudno jest obliczyć całki ze wzoru (11.9), to zawsze można ją obliczyć w sposób przybliżony wykonując uciążliwe, ale w zasadzie bardzo proste rachunki. Ćwiczenia
l.
Znaleźć wartość całek: l, l
b) o
2. 'Sokości
a
kąt
Znaleźć
h.
f
c)
2
przy pomocy
całki
J72' f yt 2
t 2 dt,
dt
d)
l
pole
3
dt
l
trójkąta prostokątnego
o podstawie b i wyw wierzchołku kąta ostrego, w punkcie x = b, y =O (rys. 19). Znaleźć równanie
Początek układu współrzędnych umieścić
prosty na osi
odciętych
Y
X
X
Rys. 19 przeciwprostokątnej
w tym
Rys. 20 układzie współrzędnych
Przy całkowaniu skorzystać ze wzoru
62
f x dx =
i
2
-~
•
wyrazić
•
pole za
pomocą całki .
lj
Xo X
Rys. 21
Rys. 22
Uwaga. Nie należy się przejmować tym, że dobrze znany wynik S= 1/2bh otrzymujemy takim nakładem pracy; metoda calkowania będzie zwykle stosowana tam,. gdzie zawodzi stosowanie metod elementarnych. 3. Znaleźć pole trójkąta z poprzedniego ćwiczenia umieszczając kąt prosty w początku układu, a kąt ostry w punkcie x = b, y = O (rys. 20). Przy calkowaniu skorzystać z oczywistej własności całki sumy dwóch składników j(f+g)dx = f!dx+ +f gdx, dla dowolnych/i g (stałych lub funkcji względem x) deidatnich lub ujemnych. (Por. uwagę do ćwiczenia 2). . 4. Znaleźć pole powierzchni pod parabolą· y = Ax 2 przethodzącą przez punkt x = xo, y = Yo, ograniczonej pionową prostą x = Xo i osią odciętych. Wyrazić pole za pornocą X o, Yo (rys. 21). 5. Zrobić to sarno dla paraboli przechodzącej przez początek układu o stycznej, poziomej w punkcie (x 0 , y 0 ) (rys. 22). Wskazówka 1. Odpowiedź można otrzymać natychmiast korzystając z wyniku poprzedniego ćwiczenia. Wskazówka 2. Można jednak zrobić wszystko po kolei, nie siląc się na pomysłowość: równania paraboli szukać w postaci y = kx 2 +nx+m, wielkości k: n, m,. wyznaczyć na podstawie warunku, że parabola przechodzi przez punkt (xo, Yo); początek układu współrzędnych oraz warunku, że styczna w punkcie x = xo, y = Yojest pozioma. Pole wyazić za pornocą ·Xo, y 0 • Wskazówka 3. feśli czytelnik nie potrafi skorzystać ze wskazówki 1,, to polj
i'.
X
Rys. 23
63:
wm1en skorzystać najpierw ze wskazówki 2, a na podstawie wyniku zorientuje się, jak można było skorzystać ze wskazówki l. 6. Napisać wzór na pole półkola o promieniu r (rys. 23) w postaci całki oznaczonej. Wskazówka. Z rysunku i twierdzenia Pitagorasa wynika, że x2+y2 = r2 ·CO
jest równaniem
okręgu
(por. par. IV.6). l
7.
Znaleźć wartość całki
J
1 ~x 2
stosując metodę
trapezów (por. rys. 15),
o biorąc
m= 5 i m= lO (m -liczba przedziałów). Rachunki przeprowadzić z dokładdo czterech miejsc po przecinku. Uwaga. Dokładną wartością tej całki jest rt/4. Przybliżone obliczenie całki daje możliwość otrzymania przybliżonej wartości liczby rt. 8. Narysować wykres funkcji nością
X
F (x)
=
Jy (x) dx
Funkcja y(x) dana jest w postaci graficznej (rys. 24).
Przyjąć
a
= O,
a
= 4,
y+
l
-.~~ --B-'o---,"'a·-----x Rys. 24
9.
Narysować
wykres funkcji X
F(x)
=f y (x) dx o
Funkcja y(x) dana jest w postaci graficznej na rys. 25. lj
Y
Y
X
X
Rys. 25
64
X
a
=
!ł.
10.
Narysować
krzywe X
F(x)
=f rp (x) dx o
gdzie funkcje rp(x) są krzywymi przedstawionymi na rys. 234 i 235 na Porównać F(x) z krzywymi podanymi na rys. 8 i 9.
12.
końcu książki.
Własności całek
Powyżej rozpatrywaliśmy
datnią funkcją
najprostszy przypadek całki oznaczonej z dopodealkową i granicą górną większą od dolnej k
z (p, k) =
I
V
(t) dt,
V
> O,
k > p
p
W tym przypadku całka jest oczywiście dodatnia, gdyż jest równa granicy sumy członów dodatnich. Całka ma prosty sens fizyczny przebytej drogi (v(t) jest prędkością) lub pola (v = v(t) jest równaniem krzywej). Jaki jest znak całki funkcji ujemnej, tzn. w przypadku, gdy v(t) < O? Pozostawimy na razie warunek k > p. W wyrażeniu na sumę (przechodzącą w granicy w całkę) w każdym członie czynnik Lit jest dodatni, czynnik v(t)- ujemny, każdy składnik- ujemny, suma ujemna i całka również jest ujemna. Zatem jeśli v(t) < O, p < t < k oraz k > p, to k
I
V
(t) dt
p, k =!= p; zachodzi to wówczas, gdy przez pewien czas od p do k ciało poruszało się w jednym kierunku, a potem w kierunku prze5 Matematyka
wyższa
65
ciwnym i w rezultacie w chwili k powróciło do punktu, w którym znajdowało się w chwili p. Zajmijmy się zagadnieniem pola ograniczonego krzywą. Przy k > p i v(t). > O całka jest równa polu ograniczonemu krzywą v(t), osią t i lik
niami pionowymi t = p, t = k (rys. 26). Przy v < O, k > p,
J vdt < O. p
W tym przypadku krzywa
leży
pod
osią odciętych
(rys. 27).
V V
k
p
~ .
o
',·,
'
l l
l
k
p
Rys. 26
Znaczy to, calce, musimy
że
aby
uważać
Rys. 27
zachować zasadę,
zgodnie z którą pole równe jest pole za ujemne, gdy krzywa leży pod osią od-
ciętych. Jeżeli weźmiemy
pod
uwagę funkcję
o zmiennym znaku, na
przykład
v(t) = sin t, to pole ograniczone taką krzywą na odcinku równym okresowi od t = O do t = 21r, jest, zgodnie z naszą definicją równe zero (rys. 28). V
t Rys. 28
Znaczy to, że pole pierwszego półokresu, które uważamy za dodatnie, "znosi się" z ujemnym polem drugiego półokresu. Jeżeli chcemy rozwiązać następujące zagadnienie: ile farby potrzeba na zamalowanie zakreskowanych miejsc na rys. 28, to· powyższa definicja pola nie będzie nam przydatna. W takim przypadku całkę należy podzielić dokładnie
na
części,
w których v nie zmienia znaku (w danym przypadku na dwie od O do r. i od r. do 2r.), obliczyć pole każdej części z osobna i dodać
części
ich
wartości bezwzględne.
Pojęcie całki oznaczonej można uogólnić również na przypadek, gdy górna granica całkowania jest mniejsza od dolnej. Wówczas nie będziemy mówić o drodze, czasie i prędkości (jak w par. 7), lecz o całce jako sumie
t",_ f
k
t,
tJ
p
•t
Rys. 29 Dzieląc
znowu odcinek od p do k (rys. 29) przy pomocy pośrednich wartości t 1 , t 2 , •.. , 1111 - 1 , przekonamy się, że teraz wszystkie .J t są ujemne. Łatwo się przekonać, że obecnie (por. par. 8).
k
I
p
V
(t) dt = -
gdyż
I
V (t)
(12.1)
dt
k
p
odcinka [p, k] odpowiednie sumy będą znakami wszystkich .J t we wszystkich składnikach. całki jest możliwość rozbicia obszaru całkowania na podziału
dla dowolnego
się różnić między sobą Istotną cechą
--+---·t
k
Rys. 30 części,
w czasie od p (początku) do k (końca) można przedstawić jako sumę drogi przebytej w czasie od p do l (chwili między p i k) i od l do k (rys. 30) np.
drogę przebytą
l
k
k
Jv(t)dt = J v(t)dt+ Jv(t)dt p
Korzystając
nie
(12.2)
p
z (12.1) można rozszerzyć wzór ( 12.2) na przypadek, gdy l [p, k]. Niech l> k >p (rys. 31). Wtedy oczywiście
leży wewnątrz
p
k
t
. l
Rys. 31 l
l
k
Jv(t)dt=Jv(t)dt+ Jv(t)dt p
(12.3)
k
67
Przenieśmy
na
lewą stronę
l
człon
ostatni
l
i skorzystajmy ze wzoru (12.1) k
l
k
J vdt- .J'vdt = J v(t)dt+ J v(t)dt =f vdt · k
p
p
(12.4)
p
Otrzymana w ten sposób równość pokrywa się dokładnie z (12.2). Analogicznie można rozpatrzeć przypadki innego rozmieszczenia liczb p, l, k (istnieje tylko sześć możliwości). Czytelnik może je łatwo sam zbadać i przekonać się, że wzór (12.2) jest słuszny we wszystkich tych przypadkach, tzn. niezależnie od wzajemnego położenia liczb p, l i k. Wszystkie te własności całek oznaczonych zostały w gruncie rzeczy wyprowadzone z definicji całki jako granicy sumy. Własności te wynikają również ze związku pozwalającego wyrazić całkę oznaczoną za pomocą całki nieoznaczonej. Istotnie, niech będzie dana całka nieoznaczona
f
V (t)
dt =
Z
(t)
Wówczas k
Jv(t)dt = z(k)-z(p) p
k
p
Jv(t)dt = z(p)-z(k)
=-f v(t) dt
k
p
Podstawowe prawo mówiące, że pochodna całki równa jest funkcji pododnosi się do pochodnej po górnej granicy. Jeżeli całkę oznaczoną uważać będziemy za funkcję jej dolnej granicy przy ustalonej (stałej) granicy górnej, to otrzymamy wynik o przeciwnym ·znaku, mianowicie całkowej,
k
dz (p, k)
---dp =
d dp
(f
V (t)dt
)=
-V
(12.5)
(p)
p
Ujemny znak w tym wzorze można łatwo zrozumieć rozpatrując całkę jako pole: zwiększając p zmniejszamy oczywiście pole (rys. 32)*>. · Formalnie wynik ten można otrzymać przestawiając granice (pojawi się przy *> Pole ograniczone prostymi pionowymi p-/-Ap, k, krzywą i od pola ograniczonego prostymi p, k, krzywą i osią x.
68
osią
x, jest mniejsze
V
v(t)
ll l
l l
o
p p+!Jp
t
k
Rys. 32
tym minus) i
stosując
znane prawo
mówiące
k
o pochodnej po górnej granicy
p
; p (f v(t)dt) =fp (-f v(t)dt) =- v(p) p
W
k
z zagadnieniem ustalenia znaku całki rozpatrzmy przysparzać początkującym nieco kłopotu. Rozpatrzmy
związku
mogący
przykład
(12.6) Równość
ta wynika ze znalezionej
wcześniej
pochodnej
1
-X2 Czy znak
całki
jest
właściwy?
Czy
może się zdarzyć, że całka
dodatniej
funkcji ~ jest ujemna? Czy znak ten nie przeczy wcześniej ustalonym X
prawidłom?
·
bierze się stąd, zapiszemy ją w postaci
Cały kłopot
Jeżeli
że równość
(12.6)
zapisaliśmy niedokładnie.
-_!_+C f !!!_= x x 2
to nie można powiedzieć, że znak całki jest zawsze ujemny, gdyż zależy to jeszcze od znaku wielkości C. Wszystkie twierdzenia o znaku całki odnoszą się w rzeczywistości do całki oznaczonej. Weźmy
69
Przy b > a całka jest dodatnia, jak być powinno, tzn. wzór (12.6) jest poprawny i prowadzi do poprawnego wyniku dla całki oznaczonej. Zwracamy uwagę, że z całką
J -;~- związane są inne, istotne trudności,
które
omówimy w par. II.I6. 13.
Wartość średnia
Całka może posłużyć
do otrzymania ścisłej definicji wartości zmiennej. mamy do czynienia z wielkością przyjmującą wiele np. m wartości
średniej
wielkości będącej funkcją jakiejś Jeżeli wartości,
to
wartość średnią
definiuje
różnych
się następująco
m Jak definiować wartość średnią funkcji v(t) zmiennej t przyjmującej wszystkie wartości w danym przedziale od p do k (p < t < k)? Wyobraźmy sobie, że v(t) jest prędkością chwilową. Jak zdefiniować wartość średnią v(p, k) tzn. prędkość średnią w czasie od p do k? Prędkość średnią definiuje się jako stosunek przebytej drogi do czasu, w jakim droga ta została przebyta k
v(p, k)
r v (t)dt
= z (p, k) = i____ _ k-p
k-p
Taka definicja średniej wartości funkcji jest rozsądna również w przypadku, gdy funkcja nie jest prędkością ruchu ale jakąkolwiek inną wielkością.
X
Rys. 33
70
Niech na (rys. 33).
przykłady
= y(x)
będzie
równaniem krzywej na
płaszczyźnie
x, y
b
Wtedy f y(x)dx jest polem pod krzywą. Wzór b
f y (x) dx Y=-" b-a
~
czyli(b-a)y =
j y(x) dx
oznacza, że y jest wysokością prostokąta o podstawie b- a, którego pole równe jest polu pod krzywą. Znaczy to, że pole zakreskowane nad linią y = y na rys. 33 oznaczone znakiem plus, jest dokładnie równe polu oznaczonemu znakiem minus na odcinku, na którym krzywa leży pod linią y = y. Wykres funkcji y(x), o ile nie jest prostą równoległą do osi x, musi koniecznie leżeć częściowo poniżej i częściowo powyżej wartości średniej y zdefiniowanej przy pomocy całki. Zgodnie z tym y jest większe od najmniejszej i mniejsze od największej wartościy(x) na odcinku p< x O i rozpatrzmy jakiś odcinek paraboli a < x < b. Na podstawie rysunku 35 widać przede wszystkim, że
a+b) y(a)+y(b) Y ( -2- < 2 72
Y
X
Rys. 35
Istotnie, y ( Y (a)+y (b)
2
a;-b )jest
rzędną punktu C leżącego na krzywej, a średnia
jest rzędną punktu D leżącego na środku cięciwy łączącej punkty
krzywej A i B, z rysunku
widać, że
C
leży niżej niż
D*>.
b.
Zajmijmy się teraz całką
Jy(x)dx, tzn. obliczeniem pola pod parabolą. •
Oczywiście
pole to jest mniejsze od pola trapezu o podstawach A 0 A i B0 B. Z drugiej strony, jeżeli przez punkt C przeprowadzimy styczną do krzywej, to styczna ta przetnie linie pionowe w punktach A' i B' i utworzy trapez o linii średniej C0 C; pole tego trapezu jest oczywiście mniejsze od pola pod krzywą. A zatem w przypadku paraboli o r > O mamy (b-a)y( a;b) < A
więc
dla
wartości średniej
J y(x)dx Przypominamy, y
dołowi, zaś parabolę
sunięcia równoległego
że
O jest zwrócona wypukłością ku q otrzymuje się w wyniku prze-
= rx 2 +p+q z dowolnymi p i paraboli y = rx 2 (par. IV.5).
73
dowodu, por.
ćw.
4)
słuszna
dla dowolnego r
(13.2) Wyraienie to jest dobrym wzorem przybliżonym na obliczenie pola pod dowolną krzywą gładką (por. ćwiczenia 6 i 7). Fosługiwanie się średnimi jest bardzo wygodne, w praktyce często okazuje się wygodniejsze od posłu giwania się całkami. b
f ydx, średnią obliczywszy ją znajdujemy łatwo całkę I =
W istocie wielkości te są równoważne, znając· całkę I =
wyraża~y jako .v =(h-afy.
= - 1-
b-a
a
,
z posługiwania się wartością średnią polegają na tym, że wielkość y ma ten sam wymiar (miano) co y i jest oczywiście wielkością tego samego rzędu co i wartości y na badanym odcinku. Dlatego niż taki też trudniej jest popełnić błąd o czynnik dziesięć w wartości sam błąd przy obliczaniu całki. Zwykle zakłada się, że uczący się matematyki wyższej doskonale znają arytmetykę i algebrę i nigdy nie popełniają błędu o czynnik 10, ani nie mylą się w znaku. Doświadczenie uczy jednak, że jest inaczej. Dlatego rachunki należy przeprowadzać tak, aby zmniejszyć prawdopodobieństwo Korzyści wynikające
y,
błędu.
Ćwiczenia Znaleźć wartość średnią
=x
na odcinku od O do 2. l ze średnią arytmetyczną wartości funkcji na końcach przedziału i z wartością funkcji w środku przedziału. 3. Sprawdzić wzór (13.2) na średnią dla danych w ćw. l. 4. Sprawdzić wzór (13.2) na średnią w postaci ogólnej, dla paraboli y = rx 2 + . +px+q. 5. Siła ciążenia F maleje wraz z odległością r od środka Ziemi według wzoru F = 1. 2.
=
y
Porównać wartość średnią
z
2
ćw.
4r . Znaleźć przy pomocy całki średnią wartość siły ciążenia na odcinku od po-
wierzchni Ziemi (promień Ziemi równy R) do (tzn. 2R od jej środka).
74
odległości
R od powierzchni Ziemi
6. Porównać dokładną cach odcinka. 7. Porównać dokładną wzoru (13.2) odnoszącego
14.
Przykłady
wartość średniej
z
ćw.
wartość średniej
z
ćw.
się
5 ze 5 ze
średnią arytmetyczną średnią obliczoną
na
koń
na podstawie
do paraboli.
pochodnych i
całek
W poprzednich paragrafach rozpatrywaliśmy związek między drogą i pręd równaniem krzywej i polem pod tą krzywą. Związki te odzwierciedlają konkretne problemy, stanowiące grunt, na którym wyrosły rachunek różniczkowy i całkowy. Oczywiście pojęcia całki i pochodnej mają zastosowanie nie tylko do omówionych przykładów, ale również do bardzo szerokiego kręgu zagadnień, z różnych dziedzin nauki, techn;ki i życia. W gruncie rzeczy, pochodna i całka stanowią bazę języka najlepiej dostosowanego do opisu przyrody. Uczeń zaczynający naukę języka obcego, aby przywyknąć do tego języka, powtarza proste podobne do siebie zdania; "na stole stoi szklanka", "na stole stoi dzban", "na ziemi siedzi kot", "na ziemi siedzi mysz". Pódobnie na początku nauki matematyki wyższej należy powtarzać na wielu podobnych przykładach związek między pochodną i całką. Najpierw należy nauczyć się podstaw obcego języka, a potem można formułować w nim określone myśli, życzenia i twierdzenia. Również i my najpierw nauczymy się wyrażać dobrze znane związki i formułować zagadnienia w języku wyższej matematyki, a potem dopiero będziemy rozwiązywać te zagadnienia i otrzymywać nowe wyniki*l. Podamy kilka typowych przykładów. kością, związek między
Pochodne po czasie
l. Wyobraźmy sobie naczynie dowolnego kształtu, z którego wypływu ciecz (rys. 36). Masa cieczy znajdującej się w danej chwili. w tym naczynia wynosi M. Wielkość ta jest funkcją czasu M(t). Ciecz zbiera się w drugim naczyniu, jej ilość wynosi m(t). Ilość cieczy wypływająca z naczynia w jednostce czasu oznaczymy przez W(t) i będziemy nazywać strumieniem cieczy. Wielkość ta ma wymiar gfs. Wielkości m, M i W związane są mówił: "Matematycy- to rodzaj Francuzów: wystarczy im coś poby natychmiast przetłumaczyli to na swój język - i okazuje się, że wychodzi z tego coś zupełnie odmiennego od ti;go, co miało się początkowo na myśli".
•> Goethe
wiedzieć,
75
Rys. 36
z
sobą
relacjami dM dm = -W(t) = +W(t) dt ' dt
-
(14.1)
Te same związki można zapisać w postaci całkowej. Przy tym założymy, że w jakiejś chwili początkowej t 0 , w pierwszym naczyniu ilość cieczy wynosi M(t 0 ) = M 0 , a drugie naczynie jest puste, tzn. m(t0 ) = O. Wtedy ft
m (t 1 ) =
J W(t) dt lo 11
M(t 1 ) =M(t 0 ) -
J W(t)dt
(14.2)
lo
Zwróćmy uwagę na to, że jeśli interesuje nas ilość cieczy w określonej chwili t 1 , to wyraża się ona za pomocą całki, w której zmienna całkowania przebiega wszystkie wartości od t 0 do t 1 . Jeżeli chcemy otrzymać wyrażenia na m(t) i M(t), to dla większej przejrzystości wygodnie jest zmienić oznaczenie zmiennej całkowania (korzystając· z tego, że nie wchodzi ona do wyniku) nazywając ją, na przykład -r (tau - grecka litera odpowiadająca łacińskiemu t). Wtedy t
m (t) =
J W(-r) d-r to t
M (t) = M (t 0 ) -
f W(-r) d-r fo
76
(14.3)
Zwykle pisze
się
po prostu r
m (t) =
I W(t) dt to t
M (t)= M (t 0 ) -
I W(t) dt
(14.4)
to
ale należy pamiętać, że t stojące pod znakiem całki ma inny sens niż argument t w M(t) i m(t), który pokrywa się z t w górnej granicy. Pod tym względem zapisy (14.2) i (14.3) są ściślejsze od (14.4). Powyżej napisane wzory odpowiadają doświadczeniu, w którym w róż nych chwilach czasu mierzy się M i strumień cieczy W. Często problem stawia się tak: W- strumień cieczy- zależy w znany sposób od jej ciśnienia tzn. od wysokości słupa cieczy h. Z kolei, przy danym kształcie naczynia, h zależy od M. Zatem znany jest strumień W jako funkcja ilości cieczy znajdującej się w naczyniu
W= W(M) Równanie ( 14.1) przyjmuje wtedy
postać
dM =-W(M)
dt
Jest to równanie różniczkowe. Takie równania będziemy rozpatrywali w rozdz. V. W takim przypadku nie należy już stosować wzorów typu (14.2)-(14.4), gdyż W nie jest dane jako funkcja czasu. 2. Zajmijmy się kondensatorem widocznym na (rys. 37). Zgromadzony w nim ładunek (ilość elektryczności) oznaczymy przez q. W układzie
Rys. 37
jednostek SI, ładunek q mierzy się w kulombach. Prąd elektryczny j płynący przez przewodnik jest ilością elektryczności przepływającą w jednostce czasu i w układzie jednostek SI mierzymy go w amperach. Prąd ma natę żenie jednego ampera, gdy przez przewodnik przepływa ładunek jednego kulomba w ciągu jednej sekundy. 77
Ładunek
kondensatora':'> i
prąd związane są między sobą zależnością:
dq =I
(14.5)
dt
(dodatni kierunek prąd.u zaznaczono strzałką). Jeżeli zależność prądu od czasu jest zadana lub znana z doświadczenia, to można napisać związek całkowy t
JI (t) dt
q (t)= q (t 0 )+
to
Jeżeli
dana jest
pojemność
C kondensatora, to spadek
napięcia
na kon-
densatorze można wyrazić następująco: Te = ~ . Spadek napięcia na oporze jest równy
gdzie E 0 oznacza
napięcie
otrzymywane z baterii. Na podstawie prawa
Ohma, prąd przepływający przez opór R wyraża się wzorem I = ...!.. ( E0 -
R
f)· Korzystając z (14.5) otrzymujemy równanie różniczkowe ~;
= -} ( Eo-
~-)
Zagadnienia związane z kondensatorem będą omówione szczegółowo w rozdz. VIII. 3. Pojęcie przyspieszenia. Wyżej rozpatrywaliśmy prędkość ruchu jako pochodną współrzędnej po czasie. Jeśli już znaleźliśmy prędkość chwilową .v i znamy jej zależność od czasu v(t), to można teraz zapytać, jak prędkość zmienia się w czasie. Pochodną prędkości po czasie nazywa się przyspieszeniem dv
dt=
a
(14.6)
i zwykle oznacza się je literą a (acceleration- po francusku przyspieszenie; również akcelerator- pedał gazu w samochodzie). *> Ładunkiem kondensatora nazywać będziemy ilość dodatniej lewej okładce kondensatora (rys. 37) wyrażoną w kulombach.
78
elektryczności
na
Ponieważ
wymiarem prędkości jest cm/s lub m/s, więc wymiarem przyspieszenia jest cm/s 2 lub mfs 2 • Jeżeli znane jest przyspieszenie jako funkcja czasu, to chwilową wartość prędkości można zapisać w postaci całki t
v (t)
= v (t 0 ) +
Ja (t)
(14.7)
d(
lo
Na przykład, w przypadku ruchu pod wpływem przyspieszenia ziemskiego a = -g, gdzie g = 9,8 m/s 2 (napisaliśmy znak- minus, ponieważ za dodatni uważamy kierunek do góry). Podstawiając w (14.7) a = -g, otrzymujemy l
v(t)
= v(t 0 ) -
J gdt = v(t )-(t-t )g 0
0
lo
Zapiszmy prędkość w postaci pochodnej drogi po czasie v = dz i poddt
stawmy do ( 14.6). Otrzymamy
a= Taką
· wielkość i oznacza
pochodną
~t(~~)
pochodnej - nazywa
się
drugą pochodną
d2 z a= ([t2
(co czytamy: "de- dwa- zet po de-te- kwadrat"). Zauważmy, że takie umieszczenie wykładników potęg (dwójki) w wy-
rażeniu
d2 dt
! jest
celowe. Wymiarem przyspieszenia jest
+ ; odrzucając t
bezwymiarowe znaki d, otrzymujemy poprawny wymiar przyspieszenia. Pochodne do
współrzędnej
4. Wyobraźmv sobie słup powietrza w atmosferze o stałym przekroS cm 2 • Gęstość powietrza*> e g/cm 3 zależy od wysokości h nad powierzchnią Ziemi. Objętość cienkiej warstwy zawartej między h i h+dh
JU
*>
e- grecka
litera "ro". Przyjmowane często w fizyce szkolnej oznaczenie d od francuskiego słowa: densite - gęstość) jest niewygodne, gdyż momylić ze znakiem różniczki.
(pochodzące głoby się
79
(rys. 38) równa jest S dh. Wewnątrz tej cienkiej warstwy gęstość e(h) można uważać za stałą - właśnie po to braliśmy cienką warstwę. W danym przykładzie dh może być równe l m lub 10 m, a nawet (z nieco mniejszą
l
l l
)---/
Rys. 38 dokładnością) 100m, gdyż przy zmianie wysokości o l km, gęstość powietrza zmienia się o 12-14%. Masa powietrza w warstwie dh równa jest dm = (! S dh. Masa powietrza w słupie o wysokości od h 1 do h 2 , określona jest za pomocą całki hz
m (h~> h 2 ) =S Masa
f e (h) dh ,,,
słupa
raża się
powietrza od powierzchni Ziemi (h wzorem
= O) do
wysokości
h wy-
h
m (0, h)
=S
f 12 (h) dh
o
Masa powietrza znajdującego się powyżej danej wysokości h jest równa*> 00
m = S
f e (h) dh h
Ciśnienie
P na jakiejś wysokości h, pomnożone przez pole S, równe jest sile, z jaką Ziemia przyciąga cały słup powietrza znajdujący się powyżej wysokości h. Sila ciążenia równa jest masie pomnożonej przez przyspie*> Znak oo w górnej granicy zastępuje bardzo dużą liczbę h, dalszym wzroście wielkość całki praktycznie się nie zmienia.
80
taką, że
przy jej
szenie grawitacyjne g,
skąd 00
P(h):;:
I g(! (g) dh h
Korzystając
ze wzoru (12.5) otrzymujemy dP dh =
-ge (h)
Wzór ten można było napisać od razu, rozpatrując równowagę cienkiej warstwy dh, na którą od dołu działa ciśnienie P(h), z góry ciśnienie P(h+dh), a wypadkowa tych dwu sił równoważy siłę przyciągania ziemskiego działa jącą na masę zawartą w warstwie. Wyrazimy w postaci całki objętość ciała (rys. 39). Podzielmy ciało płaszczyznami x = const, na cienkie warstwy. Objętość dV cienkiej warstwy
Rys. 39
jest równa iloczynowi pola przekroju S i grubości warstwy dx. A zatem, znana jest zależność pola przekrojów pionowych ciała od współ rzędnej przekroju x, to objętość ciała można obliczyć na podstawie wzoru
jeżeli
,..
V=
I
S(x)dx
(14.8)
Xo
Zastosujmy ten wzór do ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ustawmy go wierzchołkiem w początku układu współrzędnych, tak, by oś symetrii pokrywała się z osią z (rys. 40). Niech wysokość ostrosłupa wynosi h, a podstawa (która znalazła się na górze) niech będzie kwadratem o boku a. Jak wiadomo z geometrii, przekrój ostrosłupa utworzony w wyniku przecięcia na wysokości z płaszczyzną poziomą, jest również kwadratem, którego bok b tak się ma do a, jak z do h, tzn. z
b= b (z)= a- h 6 Matematyka
wyższa
81
Rys. 40
Zatem pole przekroju wynosi S(z)
a = b2 =-,;z z2• 2
Objętość ostrosłupa
równa jest h
V=
f~~- z
2
dz
~~
=
o Korzystając
h
f
z 2 dz
o
z wyników otrzymanych w par. 11, mamy
,, f. z 2 dz
o Otrzymujemy
więc wyrażenie
na
3
o?jętość ostrosłupa
V=~2 · -~- h3 h
1
= - h3
3
=
_!._ a 2 h 3
Objętość ostrosłupa
przez całek
równa jest jednej trzeciej iloczynu pola podstawy Wyprowadzenie tego wzoru w stereometrii bez użycia jest o wiele bardziej złożone. wysokość.
Ćwiczenie Wyprowadzić
krojów
wzór na
objętość
dowolnego
ostrosłupa korzystając
z
własności
prze-
równoległych.
*
*
*
W rozdziale I omówiliśmy pojęcia pochodnej i całki, ich niektóre najprostsze własności i związek między pochodną a całką. Zagadnieniom związanym z praktycznym obliczaniem pochodnych i całek poświęca82
my
rozdział
II. W rozdziale I podano tylko kilka najprostszych przy-
kładów.
Chcielibyśmy poradzić uczącemu się,
aby nie mierzył trudności i znaczenia jakiegoś rozdziału ilością wzorów, ich złożonością lub długością. W rzeczywistości rzeczą najtrudniejszą jest sformułowanie zagadnienia w postaci równania algebraicznego, całki lub równania różniczkowego. I właśnie na to należy zwracać uwagę. Jeżeli ostatnie trzy paragrafy wydały się czytelnikowi zbyt trudne, radzimy mu przeczytać raz jeszcze cały rozdział I. Autor wie z własnego doświadczenia, że prace których nie udało mu się zrealizować (ale które tymczasem zostały zrobione przez innych), nie powstały dlatego, że ograniczając się do ogólnych rozważań, nie miał odwagi wypisać równań, sformułować problemu w sposób matematyczny. Tymczasem trudności rachunkowe w dobrze postawionym problemie zawsze dają się przezwyciężyć, jeśli nie w sposób ścisły, to metodami przybliżonymi.
II. OBLICZANIE POCHODNYCH I
l. Symbol
różniczki.
CAŁEK
Pochodna sumy funkcji
Wygodne, poglądowe sposoby zapisu zależności i proste reguły pozwalające mechanicznie, bez namysłu i bezbłędnie dokonywać obliczeń mają istotne znaczenie zarówno w procesie uczenia się, jak i dla rozwoju matematyki. W rozdziale I omówiono sens pojęcia pochodnej. W rozdziale II wyło żymy reguły znajdowania pochodnych różnych funkcji: wielomianów, funkcji wymiernych, do których zalicza się ilorazy wielomianów, pierwiastków i ogólnie- potęg ułamkowych, funkcji wykładniczych, funkcji trygonometrycznych i innych. Będziemy również szukać wzorów na pochodne różnych kombinacji funkcji: sumy funkcji, iloczynu funkcji oraz funkcji złożonej. Na końcu rozdziału II podano wzory na pochodne wielu funkcji, z których korzysta się w paragrafach 1-12. Z definicji pochodnej wynika następujący sposób postępowania: przy znajdowaniu pochodnej w każdym przypadku należy wybrać jakąś wartość x i jakiś przyrost Llx; znaleźć f(x) i f(x+Llx), znaleźć przyrost Llf,
utworzyć iloraz LI/ a potem przejść do granicy z Llx Llx
-4
O.
Jednakże wzór dający ogólną postać- LI[_ dla dowolnego Llx(nie dążącego Llx
do zera), jest na ogół bardziej skomplikowany od wzoru na granicę, !im ~f= .Jx~o LJX
=
df ,
dx
tzn. od pochodnej. Dlatego też, dalej będziemy często wypisywać
takie wzory, które są słuszne tylko w granicy, przy przyroście dążącym do zera. W takich przypadkach zamiast Lly, Llx będziemy pisać dy, dx. Należy wypracować takie zasady działania na wielkościach dy, dx, aby spełniona
84
była
podstawowa
równość
:_ly dx
tzn. aby iloraz
=
różniczek był dokładnie
sywaliśmy przybliżone wyrażenie
równy pochodnej. na przyrost funkcji
y (x +Llx)- y (x) Wyrażenie
Dla
y'(x)
to staje
się ścisłe
=
Wcześniej
wypi-
Lly ~ y'(x) Llx
w granicy Llx
O (por. przypis na str. 27).
-->
różniczki pisać będziemy ścisłą równość
dy = y'(x) dx
Mówienie o granicy dla Llx --> O, jak w przypadku równości przybliżonej Lly ~ y'(x)Llx, jest zbędne w przypadku drugiego wzoru, gdzie korzysta się z różniczek dy, dx. Reguły stosowania różniczek powinny być takie, aby iloraz różniczek równy był pochodnej; w tym celu należy od razu we wzorach odrzucić człony proporcjonalne do (dx) 2 i do dx w wyższych potęgach. Rozpatrzymy najprostszy przykład ·y = x 2 , na którym porównamy technikę posługiwania się przyrostami z techniką różniczkową. Poprzednio pisaliśmy
Lly Llx = 2x+L1x,
Przy pomocy
różniczek
piszemy
dy Człon (dx) 2
Lly- = 2x y , = l"1 m Ax-o Llx
= (x+dx) 2 -x 2 =
2x dx
po prawej stronie został od razu odrzucony y'(x)
=
dy dx
=
2x
Jako drugi przykład rozpatrzmy sumę dwóch funkcji pomnożonych przez stałe współczynniki Y= Cf(x)+Eg (x)
Przy pomocy dy
=
różniczek
y (x+dx)- y (x)
zapisujemy
=
=Cf (x+dx)+Eg (x+dx)-Cf(x)-Eg (x)
=
85
= C [f(x+dx)-f(x)] +E [g (x +dx)-g (x)] = = Cdf +Edg = Cf'dx+Eg'dx
Y'
= dy dx- = Cf' · + Eg '
Czytelnik łatwo otrzyma taką samą formułę posługując się przyrostami i granicami. Napisanie dx, dy (różniczki x, różniczki y) zastępuje mówienie o granicy i upraszcza postać wzorów. Ogólna reguła polega na tym, że przy zapisie opartym na użyciu różniczek można (i należy) odrzucić człony proporcjonalne do (dx) 2 , (dx) 3 itd. Poza tym, z różniczkami można postę pować tak, jak ze zwykłymi wielkościami algebraicznymi. Będziemy się posługiwać różniczką różnych zmiennych: dx, dt, itp. różniczką funkcji df i różniczką różnych wyrażeń złożonych, na przykład d
2.
(E..). Iloraz .!!L dx
g
Pochodmł
jest, z definicji,
pochodną funkcji
f(x).
funkcji odwrotnej
Jeśli
mamy dane y jako funkcję zmiennej x, to wiemy, że każdemu x odpowiada określona wartość y. Znaczy to, że i każdemu y odpowiada określone x .. Zatem podanie y(x) daje również zależność funkcyjną x(y). Zależność tę nazywamy funkcją odwrotną. Podajmy kilka przykładów; po lewej podano y(x), a po prawejfunkcję odwrotną x(y): y y
= x+a = X2 ,
y=x3+1,
x =y-a x
=
x=
VY
i/y-1
3-
W wielu przypadkach funkcja odwrotna ma o wiele prostszą postać niż funk Dla n całkowitego wzór ten można otrzymać z dwumianu Newtona. Jednak do otrzymania pochodnej znajomość dwumianu Newtona nie jest niezbędna.
94
Dla
potęgi
o
wykładniku
ujemnym napiszemy n
= -k, gdzie k jest
liczbą
dodatnią.
y
Zgodnie z
= x" = x- k =
1
~ X
regułą na pochodną funkcji złożonej (Y
= }
,f=
xk) otrzy-
mujemy
dy = __l_. df = _ _ l_kxk-1 = -kx-k-1 dx / 2 dx x 2k Podstawiając
znowu k
= -n, otrzymamy dy
dX =
również
d (x")
-crx- = nx
11 _
dla ujemnego n
1
·Tak więc wzór na pochodną funkcji potęgowej stosuje się dla dowolnego wymiernego wykładnika n. Wzór pozostaje również prawdziwy w przypadku wykładnika niewymiernego. Wzór ten ma bardzo ważne znaczenie. Przy całej jego prostocie warto go zapisać jeszcze inaczej, mianowicie y
Y = ex", -dy = n --dx
(5.2)
x
Należy się głęboko zastanowić nad tym wynikiem. Dla dodatnich n funkcja potęgowa ma tę oczywistą własność, że dla x == O, y również jest równe O. Krzywą y = ex" dla danego n > O możpa przeprowadzić przez dowolny punkt (x 0 , y 0 ) - wystarczy przyjąć c = y 0 fx~. Niech krzywa przechodzi przez początek układu współrzędnych i przez punkt (x 0 , y 0 ). Znajdźmy wartość średnią pochodnej na odcinku krzywej od początku układu do punktu (x 0 , y 0 ). Zgodnie z definicją średniej (por. par. I. 13), mamy xo
jl'= stąd
i
korzystając
Jo y'(x) dx
ze wzoru (11.9) z rozdz. I, otrzymujemy
y' = Y (xo)- Y (O) = Y (xo) = ~ x0
x0
X0
Rzeczywiście,
przy zmianie x od O do x 0 , y rośnie od O do y 0 • Znaczy to, wzrostu y (tzn. wartość średnia pochodnej) równa co jest oczywiste bez posługiwania się całkami.
że średnia szybkość
jest y 0 fx 0 ,
95
Xo
X
Rys. 41
ze wzoru (5.2) wartość pochodnej w punkcie (x 0 , y 0 ) jest n(n- wykładnik potęgi) średniej wartości pochodnej. Na rysunku 41 przedstawiono kilka krzywych odpowiadających różnym wykładJak
widać
-krotnością
nikom n: n= ~ , l, 2, 5 przechodzących przez ten sam punkt N(x 0 , y 0 ),
a więc mających tę samą średnią pochodną na odcinku O-x 0 • Widać, że im większe n, tym większa jest pochodna w punkcie N (tym bardziej stromo wznosi się krzywa). Wróćmy raz jeszcze do wzoru (5.2) :. dy Y -=ndx x Stąd dy = n L dx i dlatego dla małych przyrostów X
Lly =
LLJx
11
(5.3)
X
Będziemy uważać, że relacja (5.3) jest dostatecznie ścisła dla Llx tzn. dla zmiany argumentu o 1%. Wtedy z (5.3) otrzymujemy
Lly = n L O,Olx X
lub Lly
96
=
11
O,Oly
=
O,Oix,
Przy zmianie argumentu o l% funkcja nia się o n %.
potęgowa
z
wykładnikiem
n zmie-
Ćwiczenia
l.
a) y
=
Znaleźć
pochodne funkcji:
x 5 -3x 4 +x 3 +7x 2 -2x+5; b) y
y_;2-.=_-l-,
d) Y= (3x2-J)lo, e) Y=
2. a) Y ~
Znaleźć wartości
l 1x,
Rozwiązać
l b) y ~ -
X
=
(x 3 +x+1) 2 , c) y
=
(x 2 -x+1) 4 ,
j!;i.
f) Y=
y(9) i y(ll), jeżeli dane jest y(IO) = 5 w przypadku*>:
c) y ~ x 2 • pamięci,
to zadanie w
następnie porównać rozwiązanie
a
z
rozwiązaniem
dokładnym.
6. Pochodne funkcji algebraicznych Reguły
podane w powyższych paragrafach pozwalają znaleźć pochodną dowolnej funkcji otrzymanej w wyniku dodawania lub odejmowania, mnożenia lub dzielenia, podnoszenia do potęgi (stałej), w tym również ułamkowej. Pokażemy
Znajdziemy
przykładzie,
na
pochodną
jak
J(x)
Wynik chcemy
się
to najwygodniej robi w praktyce.
funkcji
napisać
= x Vx2 -1
od razu, tzn. nie
wprowadzając żadnych
nowych
3---
V
oznaczeń (w rodzaju x 2 - l = y). Pochodną oblicza się jakby oddzielnie dla każdego miejsca, w którym stoi x, mianowicie: (a)- pochodna danego wyrażenia po x stojącym przed pierwiastkiem, plus:
wyrażenia po
f/ x
pomnożona przez -pochodną y~i=-f po x - l oraz pomnożona przez
(b)- pochodna danego
(c) (d)- pochodną x 2 - l po x.
Zapis w postaci wzoru jest
-l
2
więc następujący:
(a)
(c)
(b)
l 1-1
df
2
3 --
~-------1
1
(d)
1---,
3·--
-.Jxz-1
Tx = vxz-1 + x· T. -xi:....:.:i ·2x *> Znak
~
7 Matematyka
oznacza wyższa
proporcjonalność.
97
Należy od razu nauczyć się takiego sposopu postępowania bez zbędnych zapisów, korzystając z: l) reguły różniczkowania funkcji złożonej podanej w par. 3, wzory (3.2), (3.4); 2) reguły różniczkowania funkcji będącej iloczynem kilku funkcji, (pochodna równa jest sumie pochodnych obliczonych przy założeniu, że za każdym raze~ (w każdym składniku) tylko jedną z funkcji uważa się za zmienną, a pozostałe za stałe) podanej w par. 4, wzory (4;2), (4.4), (4.6); 3) wzoru na pochodną dowolnej potęgi, który wygodnie jest stosować w postaci
y = ex",
dy dx
X
-=n-
y
(co uczyniono wyżej w przykłaazie- por. wyrażenie (c)). Aby nabyć wprawy należy wykonać 10-20 ćwiczeń czysto rachunkowych, nie mających sensu fizycznego. Ćwiczenia Znaleźć
pochodne funkcji:
x yx
3. y =
5
1 2
-I (x 3 -2x) 5
.
4. y
=
(x+
Y~ ) yx-'CT
. . 6. Y= (Vx+
1 )
yf
5
x.
1.y=-x-. 1-x 2 9• Y
_,(~x_-~1)'--'(,_x-'-+-=-3. Znajdziemy liczbę e korzystając wyłącznie ze wzoru (8.1). Zgodnie z ogólną własnością funkcji wykładniczych, e0 = l. Rozpatrzmy funkcję y = ex. Wtedy y(O) = l. Ze wzoru (8.1) wynika, że y'(O) = l. Weźmy małe Llx = r i obliczmy przyrost funkcji y = ex przy przejściu od x =O do x = r: Lly = y'Llx. Tak więc Lly
= l·Llx = r,
y(x)
=
y(O)+Lly,
Zapiszmy małą liczbę r jako ułamek
skąd
e'= l+r
(8.2)
o dużym mianowniku r = _!__n ; jeżeli
r ~ l, to n ~ l**>. Wtedy z (8.2) wynika, że
e-;- = 1 + ~ *>
Dokładność,
z
którą
,
skąd e= (l+ ~ Y
podano tu
liczbę
którą można otrzymać, wyznaczając pochodną
nych czterocyfrowych. **> Zapis r ~ l oznacza,
102
że
e jest także większa od dokładności,
10x przy pomocy tablic logarytmicz-
liczba r jest znacznie mniejsza od l.
Wyrażenie to jest tym dokładniejsze, im nicja liczby e ma postać następującą
e = lim n-oo
tzn. e jest Nie
słów co
granicą wyrażenia (l + .
należy
"granica",
!r.
Dla
(l+
od
_!_)" przy n dążącym do n z powodu
dokładnej wartości.
małego r otrzymaliśmy
jest n, a
więc ścisła
defi-
_!_)" n
+
nieskończoności.
występowania
"nieskończoność". w praktyce
mało różni się
obliczył
zrażać się
jednak
(1
większe
np. (l+
w tej definicji
1~0
roo
= 2,705,
Radzimy, aby czytelnik sam
wynik e• = 1+r
i równość ta jest tym dokładniejsza, im mniejsze jest r*>. Sprawdzimy to na konkretnych liczbach. Na podstawie tablicy 11.1, gdzie wartości ex wzięte są z tablic czterocyfrowych, widzimy, że nawet dla r = ±0,3 błąd nie przekracza 6%. Do Tablica 11.1
r
l
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -O, l -0,01
l
l+r 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99
l l
r
e'
0,6065 0,6703 0,7408 0,8187 0,9048 0,9900
l
o +0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
l
l+r l 1,01 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
l
e'
l 1,0101 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487
rachunków warto zapamiętać nie tylko e = 2,718, ale i przybliżone wartości e 2 ~ 7,4, e3 ~ 20, e4 ~ 55, e 5 ~ 150. Krótką tablicę wartości e% i e-% podano w uzupełnieniu, na końcu ·rozdziału II. Liczba e pozwala uprościć rozwiązywanie zadań na ciągi geometryczne i procenty składane. Rozpatrzmy przykład: ile razy wzrośnie produkcja w ciągu 50 lat przy corocznym przyroście 2%? Należy obliczyć 1,02 50 • •>
Istnieją dokładne
tablice funkcji y
=
e".
103
Do rozwiązania zastosujemy liczbę e: w przybliżeniu 1,02 = e 0 • 02 , skąd l,025o = eo,o2·5o =e= 2,72. Ogólny wzór ma postać (8.3) go stosować wystarczy, by małe było r; m i mr nie mr jest również małe, to e"'' = l + mr i otrzymujemy uprzednio poznany wzór (l +r)"' = l +mr, jednakże przy dużych mr nie można się nim posługiwać, natomiast wyrażenie (8.3) pozostaje słuszne. Dla przykładu podanego wyżej dokładna wartość wynosi 1,02 50 = 2,693, zaś przybliżona 1,02 50 = e 1 = 2,718, a ze wzoru (l +r)"' = l +mr, otrzymamy l+ 50· 0,2 = 2. Obliczenia przy pomocy liczby e dają błąd l%, a obliczenia na podstawie wzoru (l +r)"' = l +mr dają w tym przypadku błąd 25%. Ogólna ocena dokładności wzoru podana jest w par. 17 (ćw. 5). W związku z pierwotną definicją liczby e - por. wzór (8.1), pochodne funkcji wykładniczych mają wyjątkowo prostą postać, jeśli podnosi się do potęgi liczbę e. Pochodne te wyrażają się prosto za pomocą samej funkcji. Podajemy kilka wzorów: Aby
można było
muszą być małe. Jeśli
Y= eX,
dy
dx
=ex= y.
dy
dx = c
dex dx =
cex =
y.
dy = C dekx = Cekx _!jkx) = ky. dx dx dx dy dem l, y < O dla x < l. Cała krzywa leży po prawej stronie osi rzędnych. Ponieważ dodatnia liczba a podniesiona do dowolnej potęgi daje.liczbę dodatnią, więc nie istnieją logarytmy liczb ujemnych. Zwracamy jeszcze uwagę na to, że w równościach y = log4 x, x = al' wielkości x, y i a są bezwymiarowe. Jak ~idać z rys. 44, pochodna funkcji logarytmicznej y = log4 x jest dodatnia dla wszystkich wartości x; wraz ze zwiększaniem x pochodna maleje. Logarytmy o podstawie e (por. par. 8) nazywają się naturalnymi. Oznacza się je przez In x. Znajdźmy pochodną logarytmu naturalnego. Rozpatrzmy d In x =
= ln(x+dx)-ln x.
Skorzystajmy ze znanego wzoru: In a-In b= In:.
Wtedy
dIn x= In x:dx Wiemy
już
(patrz par. 8),
że
dla
= In ( 1 +
d: )
(9.1)
małych r
er= 1+r
Zlogarytmujmy obie strony In er
=
r
= In (1 + r)
(9.2)
Korzystając z tej równości, na podstawie (9.1) otrzymujemy
dlnx
106
=
ln(1+
a;)=
:x
Stąd
1
din x
(9.3)
---ciX-=-x
Pochodną logarytmu naturalnego .można również znaleźć korzystając z tego, że logarytm i funkcja wykładnicza są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Napiszmy
y =·In x, x' -
dx -
- dy-
Gdy x zmienia tycznym
się
d (eY) - eY
dY- '
w ciągu geometrycznym, In x zmienia się w ciągu arytmex = a bm,
In x = In a +m In b
Dlatego, im większe x, tym wolniej rośnie In x, tym mniejsza jest pochodna. Wyprowadzimy wzory wiążące logarytmy tej samej liczby, ale o różnych podstawach. Niech f= Ioga h,
af = h
(9.4)
Zlegarytmujmy obie strony drugiej
równości
(9.4) przy podstawie b:
flogba = Iogbh, skąd f= Iogb h . Biorąc pod uwagę (9.4), otrzymujemy Iogb a
lo
ga
= 1ogb h
h
Korzystając z (9.5) można otrzymać podstawie. Niech y = Iogax. Wtedy
In x Y = In a '
dy
(9.5)
Iogb a
l
pochodną
d In x
logarytmu przy dowolnej
1
dX = In a ' ~ = In a ·
1
x
a. Zgodnie ze wzorem (16.6), wynik ten rzeczywiście
jest dodatni dla b > a, jeżeli a i b mają ten sam znak. Jednakże dla całki
J d~
-l
X
wzór (16.6) daje niedorzeczny wynik: I= -2! Powodem tego jest fakt, ze funkcja podcałkowa staje się nieskończona w przedziale całkowania
funkcja(-~-)będąca całką nieoznaczoną
dla x = Oi w tym samym miejscu
funkcji ~ , ma nieskończony skok. X
Aby zorientować się w sytuacji, należy wyłączyć z całego przedziału -l < x < +l mały obszar wokół punktu osobliwego x = 0: -e 1 < x < e2 (e 1 i e2 małe liczby dodatnie) i rozpatrzyć
-1
f2
Ze wzoru (16.6) otrzymamy K
1-e 1 e1
1-e2 e2
=--+-~=
1
1
e1
B2
-2+-+-
Oczywiście
dla e1 i e2 dążących do zera, K--+ oo. W innych przypadkach całka z funkcji podcałkowej przyjmującej nieskończoną wartość w przedziale całkowania, może dawać 'całkowicie
określony, skończony
wynik. Na
przykład,
/ o
obliczamy
f e
l
dx
134
2. Aby to
udowodnić
= 2-2 .,Ie; przy e --+ O całka dąży do 2.
X
Rozważania
przyjmuje
d::_ =
yx
tego typu
są
zawsze nieodzowne, jeśli funkcja w przedziale całkowania.
wartości nieskończone
podcałkowa
17. Szeregi Stawiamy sobie za zadanie znaleźć proste i wygodne przybliżone wyrana funkcję y(x) (daną ściśle w postaci wzoru) w niewielkim przedziale zmienności argumentu ;x, na przykład, dla wartości x bliskich a. Definicja pochodnej podana w rozdziale· I może być zapisana w nastę pującej postaci żenie
y'(a) = lim Y (x)- Y (a) x-a x-a Z definicji tej wynika, że w granicy, tzn. tym dokładniej, im mniejsza jest różnica x-a, możemy napisać y(x) = y(a)+(x-a) y'(a)
(17.1)
Wzór ten odpowiada interpretacji pochodnej jako szybkości zmiany funkcji. Jeżeli znana jest wartość funkcji w danym punkcie y(a) i szybkość zmiany funkcji w tym punkcie
dy dx
l x-a
= y'(a), to dla x bliskich a, jeśli argu-
ment zmienił się o wielkość x-a w porównaniu z wartością początkową a, funkcja zmienia się o (x-a)y'(a). Wyrażenie (17.1) jest przyb_liżone, a jego dokładność jest tym mniejsza, im większy jest przedział x-a. Istotnie, obliczając zmiany funkcji ze wzoru (x-a)y'(a) korzystamy z wartości szybkości zmiany funkcji y'(a) na początku przedziału od a do x. Tymczasem sama szybkość y' również zmienia się w tym przedziale. Ścisły wzór ma postać X
y(x)
=
y(a)+
Jy'(t) dt
(17.2)
a
Zastosujmy wzór (17.1) do pochodnej y'(x). Wtedy y'(x)
= y'(a)+(x-a) y"(a)
(17.3)
Przypominamy czytelnikowi, że y"(x)- druga pochodna funkcji y po x, oznaczana również d 2~ dx
,
jest pochodną funkcji y'(x) po x, tzn. d' y"(x) = __Y_ dx
A
więc
y"
wiąże się
tak samo z y', jak y' z y. Analogicznie
określa się
y"'-
trzecią pochodną
d " Y",= _Y_ · dx 135
y< 4 >- czwartą pochodną, y- piątą pochodną itd. Pochodną n-tego rzę
du,
którą
otrzymuje
się
w wyniku n-krotnego kolejnego
różniczkowania
funkcji y(x), oznacza się y(x) lub d"y . W oznaczeniu y znak n umieszcza dx"
się
w nawiasie, aby o~różnić go od· wykładnika potęgi. Powróćmy do zagadnienia przybliżonego wyrażenia funkcji. Wzór (17.3) na pochodną jest niczym innym, jak wzorem (17.1), w którym zamiast y(x) podstawiono funkcję y'(x). Podstawmy wyrażenie na pochodną (17.3) do wzoru (17.2); otrzymamy X
Y (x)
= Y (a)+
j
[y'(a) +(t- a) y"(a)] dt
=
a
(x a) 2 = y(a)+(x-a) y'(a)+ ~- y"(a)
(17.4)
Wzór tenjest dokładniejszy od wyrażenia (17.1). Przy wyprowadzaniu (17.1) zakładało się (w pierwszym przybliżeniu), że szybkość zmiany funkcji, tzn. jej pochodna y' stale równa jest wartości pochodnej dla x = a. Przy tym założeniu otrzymujemy liniową zależność y od x*>. Przy wyprowadzeniu wzoru (17.4), wzięto pod uwagę, iż pochodna y'(x) nie jest stała, ale zmiany y'(x) uwzględniono tylko w sposób .przybliżony: wzór (17.3), z którego korzystaliśmy wyprowadzając wzór (17.4), zakłada stałość y"(x), co prowadzi do liniowej zależności y' od x; przy tym otrzymuje się kwadratową zależność y od x. Uściślijmy jeszcze wzór (17.4). Należy w tym celu uwzględnić, że y" nie jest stałe. Skorzystajmy ze wzoru X
y'(x)
= y'(a)+
J y"(t) dt
(17 .5)
a
Otrzymuje się go z (17.2) zamieniający na y'. Zauważmy również, że wzór ten (tak jak i (17.2)) można łatwo sprawdzić obliczając występującą w nim całkę. Zapiszmy teraz y"(x) zgodnie ze wzorem typu (17.1) zastosowanym do y"(x) y"(x)
= y"(a)+(x-a) y"'(a)
*> W wyrażeniu na y (17.1), x występuje tylko w pierwszej y jest wielomianem pierwszego stopnia względem x. Taka liniowa: jej wykres jest linią prostą (por. par. IV.4). wiąc,
136
(17.6) potędze. zależność
Inaczej mónazywa się
Ze wzorów (17.5) i (17.6) otrzymamy wtedy X
y'(x) = y'(a)+
J [y"(a)+(t-a) y'"(a)] dt a
lub (x-a) 2 y'(x) = y'(a)+y"(a)(x-a)+ - 2 -y'"(a)
(17.7)
Zauważmy, że Wyrażenie
wzór (17.7) jest wzorem typu (17.4) zapisanym dla y'(x). (17.7) na y'(x) wstawmy do (17.2); otrzymamy
Y (x) = y(a)+
l
[y'(a)+ y"(a)(t-a)+ y'"(a) (t-;a) 2 Jat=
"( ) "'( ) 2 + L-~(x-a) 3 = y(a)+y'(a)(x-a)+ __!_~(x-a) 2 2·3
(17.8)
Łatwo można sobie teraz wyobrazić, jaką postać będą miały wzory na y(x), jeżeli będziemy prowadzili dalej proces uściślania: jeżeli uwzględ nimy, że y'" nie jest stałe, to do wzoru będzie wchodzić y< 4 >(a); wyrażenie na y(x) będzie zawierać (x-a) 4 • Każdy następny krok w uściślaniu y(x) da dodatkowy składnik, z wyższą potęgą (x-a). Łatwo zauwa~yć oczywistość tego prawa, jeżeli porównamy otrzymane już wyrażenia. W najgrubszym przybliżeniu, jeżeli różnica x-a jest mała, to można uważać, że y(x) = y(a)- do tego nie jest potrzebna znajomość matematyki wyższej. Tę równość nazwiemy zerowym przybliżeniem, wyrażenie (17.1)- pierwszym przybliżeniem, wyrażenie (17.4)- drugim przybliżeniem, wyrażenie (17.8)- trzecim przybliżeniem. Wypiszmy razem otrzymane wzory:
(zerowe
y(x)=y(a)
przybliżenie)
y(x)
= y(a)+(x-a)y'(a)
y (x)
= y (a)+(x-a)y'(a)+ (x~a) 2 y"(a)
y(x) = y(a)+(x-a)y'(a)+
+
(pierwsze
i~~a) 2 (x
a) 3
2·3
przybliżenie)
(drugie przy bliżenie)
(y"(a)+ y'"(a)
(trzecie
przybliżenie)
137
Łatwo można się domyśleć, jaką postać będzie miał
wynik przy dalszym wzoru. Każde następne przybliżenie zawiera o jeden człon więcej niż poprzednie, tzn. w im wyższej potędze występuje różnicą. (x-a), tym wzór jest dokładniejszy. Wzór o tej postaci można również otrzymać w nieco inny sposób Dokładny wzór (17.2) scałkujmy przez części, zamieniając*> najpierw pod całką dt na d(t-x); otrzymamy uściślaniu
X
y (x)
= y (a)+ f y'(t) dt = y (a)+ a
X
f y'(t) d (t-x) = a
f X
X
I = y (a)+ y'(t) (t-x)a-
(t-x) y"(t) dt
=
X
= y(a)+(x-a)y'(a)+
f (x-t)y"(t)dt
(17.9)
a
Przeprowadzając n
razy całkowanie przez części otrzymamy dokładne na y(x) składające się z n+2 członów. Pierwszych n+ l członów pokrywa się z n-tym przybliżeniem otrzymanym poprzednio. Ostatni człon daje wyrażenie na resztę w postaci całki (n+ 1)-ej pochodnej funkcji y(x). wyrażenie
Y (x) = y (a)+(x-a)y'(a)+
(x
· a) 2 ~-- y"(a) +
...
f
X
... +
a)n ytnl(a)+ 1 (x-qy(t)dt 2·3 ... n 2·3 ... na (x
-
(17.10)
4
Bez ostatniego członu z całką, wzór jest tylko przybliżony. W ogólnym przypadku, pochodnej dowolnej funkcji, żadna skończona liczba potęg różnicy x-a nie może. dać absolutnie dokładnego wzoru**>. Wzór dokładny można uzyskać tylko przy pomocy wyrażenia zawierającego nieskończoną liczbę potęg różnicy x-a: (17.11)
za
*> Przy całkowaniu t jest zmienną (nie wchodzącą do wyniku), a x dlatego dt- d(t-x) i zamiana jest dopuszczalna. **> Z wyjątkiem przypadku wielomianu (patrz koniec par. 18).
stałe,
138
uważa się
Wyrażenie
szeregiem nieskończonym. Zwykle i mówi się po prostu "szereg". Współczynniki c0 , c1 , ... ,c", ... są różne dla różnych funkcji. Zależą również od wartości a. Współczynniki te można znaleźć szybciej niż podanym sposobem. W tym celu obliczymy pierwszą, drugą itd., ... , n-tą pochodną obu stron równości (17.11); mamy
takiej postaci nazywa
się
się słowo "nieskończony"
opuszcza
y(x)
=
c0 +ct(x-a)+c 2 (x-a) 2 +c 3 (x-a) 3 + ... ... +c.(x-a)"+ ...
y'(x) = c 1 +2c 2 (x-a)+3c 2 (x-a) 2 + ... ... +nc"(x-a)"- 1 +
...
= 2c 2 +3·2c 3 (x-a)+ ... n(n-l)c.(x-a)"- 2 + ...
y"(x)
y(")(x) =n (n-l) ... 3 ·2c"+(n+l) n (n-l) ... ... 3 ·2c.+ 1 (x-a)+ ... Każda z tych równosc1 pozwala określić jeden ze współczynników c1 • Istotnie, w każdej z tych równości po prawej i po lewej stronie podstawmy x = a. Wówczas wszystkie składniki zawierające czynnik (x-a) znikają i otrzymujemy równości określające współczynniki: skąd
y(a)=c 0 y'(a) = c 1 y"(a)
•
o
=
Co= y(a)
2c 2
c1
= y'(a)
c2
= 2l Y "( a)
y"'(a) = 3 ·2c 3
l "'( a) c 3 =2Ty
y(n)(a) = n(n-1) ... 3·2·c"
c"
•••
o
o
••••
o
Otrzymujemy y(x)
=
o
•••
o.
o
o
••••
o
y(n)(a) •••
o
= 2·3 ... (n- l) n
•••••••••••••••
o
••
o
••••••••
więc
"(a) "'(a) y(a)+y'(a)(x-a)+ ycx-a)+ Y 2 . 3 (x-a) 3 +
yiV(a) 4 y(n)(a) n + -2·3·4 (x-a)+ ... + 2·3 ... (n-1) (x-a)+ ...
(17.12)
139
Pierwsze n członów tego wzoru pokrywa się z n pierwszymi członami wzoru (17.10). Zwróćmy jeszcze uwagę na szczególny przypadek wzoru, mianowicie gdy a = 0: "(O) '"(O) y(x) = y (0)+ y'(O) x+ ~ x 2 + Y2 . 3 x3 + ... (17.13) Na ifoczyn kolejnych liczb naturalnych n(n-1) ... 3·2 istnieje wygodne oznaczenie n! (czytamy: n- silnia); na przykład 3! = 3·2 = 6; 4! = = 4·3·2 = 24; 5! = 120. W definicji silni przyjęto dopisywać w charakterze czynnika jedynkę n!= n(n-1)· ... ·3·2·1 co oczywiście nie zmienia iloczynu, ale łatwiej jest zapamiętać, że n! jest iloczynem n kolejnych liczb naturalnych od n do l. Na przykład 3! jest iloczynem trzech czynników: 3 · 2 · l, od 3 do l. Przy takiej definicji mamy oczywiście l! = l. Przy pomocy tych oznaczeń można zapisać wzory (17 .12) i (17 .13) w wygodnej i zwięzłej postaci 00
y(x)
= y(a)+ ~ fn>(~)-(x-a)n
.LJ
n!
oo
y(x)
(n)(O)
= y(O)+ ~ !__ xn
.LJ
(17.14)
n!
(17.15)
Wzory te dają rozwinięcie funkcji y(x) w szereg potęgowy, względem (x-a) (lub x). Wzór (17.14) nazywa się szeregiem Taylora, wzór (17.15) nazywa się szeregiem Maclaurina. Niech, na przykład y(x) = ex. Wtedy y' = ex,
y"
= ex, ... ,
y"
= ex, ...
Skorzystamy ze wzoru (17.15) na szereg Maclaurina. W naszym przypadku y (O) Podstawiając
Maclaurina
= y'(O) =
do (17.15) otrzymamy
względem
= l
rozwinięcie
funkcji y =ex w szereg
x:
xz
ex=
y"(O) ...
x3
xn
l+x+2- +6+ ... '+nT+ ...
Rozpatrzmy wzór, który otrzymuje np. do trzech członów
się
z szeregu Taylora,
niczyć się
(x a) 2 y (x) = y (a)+(x-a) y'(a)+- ~- y"(a)
140
jeżeli
ogra-
Qtwórzmy nawiasy po prawej stronie równości, a wynik napiszmy w postaci rÓ,Zwinięcia względem potęg x: l,
'·
y (x)
~Iy (a)-ay'(a)+ ~
a 2 y"(a)
J
+[y'(a)-ay"(a)] x+
-~
y"(a) x 2
\ (17.16) Po pta wej stronie ( 17 .16) występuje wielomian stopnia drugiego. Zwróćmy uwagę na fakt, że wyrażenie powyższe nie pokrywa się z tym, które otrzymałoby się, gdyby wziąć trzy pierwsze wyrazy w szeregu Maclaurina . "(O) y(x) = y(O)+y'(O) x+ ~ x 2 (17.17) Fakt ten stanie się zrozumiały, jeśli przypomnimy sobie, że wzór (17.16) daje dobry wynik, jeżeli x jest bliskie a, a wzór (17.17) stosuje się dla x bliskich zeru. W rozdziale I podano definicję pochodnej jako granicy ilorazu różnico wego przyrostu funkcji i przyrostu zmiennej niezależnej. Obecnie, znając wyrażenie przedstawiające funkcję w postaci szeregu, możemy dać ogólną odpowiedź na pytanie: jak, według jakiego prawa, iloraz AL zbliża się do _!iy , gdy L1x dąży do zera? Llx
dx
Rozważmy
szereg Taylora i oznaczmy (x-a)= L1x. Wówczas -y(a) = L1y. Otrzymamy ,1 Y -ij_~-
y(x)~
1 "( a) LIX+ A l y "'( a) (ALIX )2 + ... = Y '( a) + Ty -(,-
Dla małych L1x drugi składnik (z L1x) jest większy od trzeciego (z (L1x) 2 ). Zaniedbując ten ostatni, dochodzimy do wniosku, że różnica między ilorazem -~i i wartością pochodnej na brzegu przedziału, jest proporcjonalna do wielkości przedziału L1x i drugiej pochodnej y"(a). Przy tym porównujemy iloraz przyrostów na odcinku od x = a do x = a+L1x z pochodną na brzegu przedziału y'(a). Pochodną można również obliczyć inaczej: weźmy przyrost L1y przy zmianie x od a- ~do a+ A~ i podzielmy go przez L1x, otrzymany iloraz 2
porównajmy z
pochodną
2
y'(a), tzn. z
pochodną
w
środku
odcinka:
141
1( t( A;) ~ ~ At
!( Y + ~ ( ~x )'f"( ! (~x
a+ L12x) = f(a)+ L12x f'(a)+
a-
Lly Llx
f(a)
f'(a)
= f'(a)+ _2_ ( Llx 6 ·2
2
~ ( ~x Yf"(a)+ a)-
L12x
f'"(a)/
r/(a)
)2 -f"'(a) = f'(a)+ ( Llx24 )2!"la)
Taki sposób jest o wiele dokładniejszy; różnica między ilorazem przyrostów i pochodną jest proporcjonalna do (L1x) 2 a nie do Llx i zawiera przy tym
współczynnik ; 4
•
ćwiczenia
1. Rozwinąć wielomian trzeciego. stopnia y = ax 3 +bx2 +cx+d w szereg wzglę dem x-x 0 • Porównać pierwsze dwa, trzy i cztery człony rozwinięcia z danym wielomianem. 2. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję y = xex; wykazać, że jej rozwinięcie można otrzymać z rozwinięcia ex. 3. Rozwinąć funkcję ex w szereg Taylora względem x-1. 4. Znaleźć metodą rachunkową pochodną funkcji ex dla x = O, przyjmując przedział Llx = l; 1/2; 1/4; 1/8 . . 5. Oszacować dokładność wzoru (l+r)"'= e"'r. W tym celu zapisać jego lewą stronę w postaci (l+r)"'= eminU+r> i rozwinąć ln(l+r) w szereg.
18. Obliczanie
wartości
funkcji za
pomocą
szeregów
Zatrzymajmy się na chwilę przy zasadach leżących u podstaw wzorów z paragrafu poprzedniego. Zaczynając kurs matematyki wyższej uważaliśmy pojęcie funkcji za znane i opieraliśmy się na tym, że możemy obliczać wartość funkcji dla dowolnej wartości argumentu. Dlatego pochodne obliczaliśmy bezpośrednio, można powiedzieć - doświadczalnie, obliczając wartości funkcji dla bliskich wartości argumentu. Potem nauczyliśmy się znajdować pochodne ze wzorów i okazało się, że sporządzanie wzorów na pochodne jest rzeczą całkiem prostą. Również obliczanie wartości funkcji za pomocą wzoru zawierającego pochodne, okazuje się często prostsze od bezpośredniego obliczania wartości funkcji. Ponieważ szereg Taylora "urywa się" tylko dla wielomianów (zawiera skończoną liczbę członów), więc dowolna funkcja różna od wielomianu
142
\~oże być przedstawiona w postaci szeregu nieskończonego. Praktyczna ~leta
takiego szeregu związana jest z możliwością ograniczenia się do
d~óch~ub trzech członów szeregu i otrzymania dostatecznie dokładnego
wyniku Roz atrzmy kilka najprostszych przypadków. Niech y = ff. W poprzedni paragrafie otrzymano wzór \.
x2
x3
ex=l+x+--y+ 6
+ ...
x"
+~+
W szczególności, podstawiając x = l, otrzymamy w postaci szeregu
e=
1+1+
Wzór ten pozwala szybko i z z tablicy 11.2.
l
l
T+ -6-
+ ... +
l
nT
...
(18.1)
wyrażenie
na
liczbę
e
(18.2)
+ ...
dowolną dokładnością obliczać
eX, co widać
Tablica 11.2
X
l
0,10 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,00
e~
l 1,1052 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183 3,4903 4,4817 7,3891
x2
11+x 1,10 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 3,00
l 1+x+2 1,1050 1,2812 1,6250 2,0312 2,5000 3,0312 3,6250 5,0000
l1+x+-+-~ x2 xal
x2 xa x4 1+x+-+-+2 '6 24
1,1052 1,2838 1,6458 2,1015 2,6667 3,3568 4,1876 6,3333
1,1052 1,2840 1,6484 2,1147 2,7083 3,4585 4,3986 7,0000
2
l
6
_j
Pierwsze dwa składniki wzoru dają dokładność 0,5% przy x = 0,1. Pierwsze trzy składniki wzoru dają dokładność 1,4% przy x = 0,5. Pierwsze cztery składniki wzoru dają dokładność 1,8% przy x ·= 1,0. Tak dobra dokładność związana jest oczywiście z tym, że wyrazy- szeregu maleją. Każdy następny wyraz szeregu jest mniejszy od poprzedniego, przede wszystkim dlatego, że mianownik (n+ l)-go wyrazu jest n razy większy od mianownika poprzedniego n-tego wyrazu. Jeśli - l < x < l, to poza tym x" jest tym mniejsze im większe jest n. 143
/
/
Y
~~~--------~------------
D
X
Rys. 53
Ale nawet przy x > l, w dalekich wyrazach szeregu przyrost mianownika jest zdecydowanie większy od przyrostu licznika. Jak widać z tablicy Il.2, przy x = 2 suma pięciu wyrazów szeregu daje błąd 5%.
Jeśli dołączymy szósty wyraz
t:o , to otrzym,amy 7,3500; czyli błąd wy-
niesie 0,5%. Wypiszmy tego typu wzory dla funkcji trygonometrycznych y (x)
= sin x;
y'(x)
= cos x;
y'"(x) = -cosx;
144
y"(x)
= -sin x
y 1Y(x) = sinx
Tablica II.3
r-·------;----;----
x3
xs
6
1~0
tp*>
sin x
X
x--
x--+--
o
oo
0,0000
0,0000
0,0000
0,()000
7t
90
0,1564
0,1571
0,1564
0,1564
18°
0,3090
0,3142
0,3090
0,3090
3rr 20
27°
0,4540
0,4712
0,4538
0,4540
4rr 20
36°
0,5878
0,6283
0,5869
0,5878
5rr 20
45°
0,7071
0,7854
0,7046
0,7071
61t' 20
54°
0,8090
0,9425
. 0,8029 '
0,8091
7rr 20
63° .
0,8910
1,0996
0,8780
0,8914
8rr 20
1r
0,9510
1,2566
0,9258
0,9519
9rr 20
81°
0,9877
1,4137
0,9427
0,9898
90°
1,0000
1,5708
0,9248
1,0045
l. W tym przypadku każdy wyraz szeregu (19.4) jest większy od poprzedzającego wyrazu. Wzór (19.3) pozostaje nadal w mocy, jednak dla x > l wraz ze wzrostem n, x" rośnie nieograniczenie i nie można już w żaden sposób pominąć ułam-
Jeżel~
biorąc
ka~. W tym przypadku wzór (19.1) jest nieprawdziwy. Nie ma nawet 1-x
jakościowego podobieństwa między sumą
wyrazów dodatnich, a
ujemną
1 - . Ze wzoru (19.3) widać, że suma szewielkością (ponieważ x > 1)-
1-x
regu (19.4) rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem n. Takie szeregi nazywa się rozbieżnymi. Wyrazy szeregu (19.4) tworzą ciąg geometryczny. Ustaliliśmy, że suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego równa jest - 1 -jeśli 1-x
lxl < l
(i pierwszy wyraz jest równy l). Jeśli jednak x ~ l, to nieskończony ciąg geometryczny nie ma sumy skończonej. Zauważmy jeszcze, że dowolny ułamek okresowy jest sumą wyrazów ciągu geom~trycznego, na przyl l, szereg nie nadaje się do obliczeń. Dlatego też, nawet jeżeli interesuje nas tylko zachowanie szeregu dla x > O, to i tak musimy wziąć pod uwagę wszystkie wartości x, w tym również ujemne, w których rozpatrywana funkcja jest nieciągła. W rzeczywistości, nawet zachowanie funkcji dla zespolonych wartości argumentu ma wpływ na zbieżność szeregu. Podamy przykład. Zamieniając we wzorze (19.5) x na x 2 , otrzymamy __1_ = 1-x2+x4-x6+
l+x 2
(19.7)
...
Wykres funkcji 1 ~x 2 nie ma punktów nieciągłości, nie "ucieka" nigdzie do nieskończoności ani dla x dodatnich, ani dla x ujemnych. Tym niemniej szereg (19.7)
Rys. 56 nadaje
się
do
obliczeń
tylko dla x 2 < l, tzn. dla - l < x < l, co wynika z tego,
y=T
że
= ±i, tzn. dla x 2 = -l, funkcja y = -1 1 2 staje się nieskończona dla x = ± ' +x dlatego też dla x 2 = - l wartości bezwzględne wyrazów szeregu nie maleją. Znaczy to, że ich wartości bezwzględne nie maleją również dla x 2 = l. Nie możemy jednak w tej książce przedyskutować szczegółowo i w sposób wyczerpujący zachowania się funkcji dla zespolonych wartości x. Zainteresowanych czytelników odsyłamy na przykład do książki Zeldowicza i Myszkisa: "Elementy matematyki stosowanej". Rozpatrzmy jeszcze jeden przykład. Znajdżmy szereg Maclaurina dla funkcji y = tg x. Zgodnie z ogólnymi regułami, mamy y
=
tgx
y'"(x)
x , -= -sin =
COS
_2j-_jsill~cos4x
v Y
152
y'(x) = _1_2- '
COS X
=
y'v (x) =
y"(x)
= 2 sin~ , cos 3 x
X
16 sin x+8 sin 3 x
}6+88 sin 2 x+l6 sin 4 x cos 6 x
Stąd
y (O) =O,
y"'(O) = 2,
y'(O) = 1, y v(O) = O, 1
y"(O) =O yY(O) = 16
Dlatego
Wobec tego tg X
=
X
-J- _!_ 3
X3
+ _l_ X~+ 15
7315
X7
+ _g__ x 9 + ...
(19.8)
2835
W ostatnim wyrażeniu współczynniki przy x 7 i x 9 otrzymuje się w podobny sposób, w jaki otrzymano współczynniki przy x, x 3 i x~. Co można powiedzieć o zakresie stosowalności szeregu (19.8)? Patrząc na wykres tangensa można łatwo stwierdzić, że szereg (19.8) nadaje się do obliczeń tylko dla
lxl < ; , gdyż dla x = X=
-i" funkcja tg x zachowuje się tak samo, jak fu~kcja -1 ~ x pr~y
l.
Patrząc
na sam szereg
x+ -;:.._ + -:5 x5 -J- .•• trudno byłoby powiedzieć, dlajakiej
wartości x nie można go już stosować, gdyż prawo, któremu podlegają współczynnik! szeregunie jest proste, w odróżnieniu od omówionego wyżej szeregu l +x+x 2 + ...
Ćwiczenia
l • N ap1sac . ' szereg- M ac launna . dl a f un kCJI·· Y= -x+l 1 -x-. 2. Napisać szereg Maclaurina dla funkcji y =-In (l +x). 3. Napisać szereg Taylora względem' x-1 dla funkcji y = In x. Jaki jest zakres stosowalności szeregów otrzymanych w ćwiczeniach 1-3? 4. Obliczyć trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia w szereg względem x iloczynu funkcji f(x)g(x). Utworzyć ten sam szereg mnożąc szereg dla /(x) przez szereg dla g(x).
20. Dwumian Newtona dla
wykładników całkowitych
i
ułamkowych
Rozwińmy
w szereg Maclaurina dwumian a+x podniesiony do dowolnej m: y = (a+x) 111 • Pochodne znajdujemy zgodnie z ogólnymi regułami
potęgi
y'
=
m(a+x)'"- 1 , y" = m(m-1)(a+x)"'- 2 yCn> = m(m-1) ... (m--:-n+1)(a+x)m-n
}
(20.1)
153
i obliczamy
wartość
l
funkcji i pochodnych w punkcie x = O
Y (O) ~ am, y'(O) = mam-l y"(O) =m (m-1) am- 2, ..• y"(O) =m (m-1) ... (m-n+ l) am-n
(20.2)
Otrzymujemy szereg Maclaurina m m (m -l) m 2 2 1 (a+xm ) = am+-amx+ a- x + ... l 1·2
... +
m(m-l)(m-2) ... (m-n+l) m-n n a x + n.1
...
(20.3)
Jeżeli wykładnik potęgi m jest dodatnią liczbą całkowitą, to (a+x)"' jest wielomianem stopnia m; w tym przypadku szereg (20.3) będzie skoń czony: pochodna (m+ 1)-go rzędu funkcji (a+x)m, a więc również wszystkie pochodne wyższych rzędów, są równe zero. Znajduje to odbicie we wzorach (20.1), (20.2) i (20.3), bowiem dla n = m+ l czynnik (m-n+ l) jest równy zero, dla n > m+ l wśród czynników iloczynu m(m-l)(m-2) ... zawsze znajdzie się jeden równy zero, a zatem cały iloczyn jest również równy zero. Dla m całkowitych i dodatnich iloczyn mianownika można zapisać w wygodniejszej postaci
m (m-l) ... (m-n+ l)= m! , m(m-1) ... (m-n+l)(m-n)(m-n-1) ... 3·2·1 = -= (m-n)! (m-n)(m~n-1) ... ~2·1
Ostatecznie, dla dodatniego i (
a+x
)m
... +
=a
m
+
całkowitego
m otrzymujemy
. m! m-1 m! m-2 2 l!(m:_l)! a x+ 2 !(m- 2)! a x + ...
m! n!(m-n)! am-nx"+ ... +
+
m! 2 m-2 (m-2)! 2! a x +
m! m l m (m-l)! l! ax - +x
(20.4}
Po prawej i po lewej stronie wzoru (20.4) stoją wielomiany stopnia m. Wobec tego, dla m całkowitego i dodatniego otrzymujemy ścisłą równość spełnioną dla dowolnych wartości x. Wzór (20.4) jest symetryczny wzglę dem x i a: współczynniki przy wyrazach am-"x" i a•xm-n są równe. Jest to 154
zrozumiałe, gdyż
(x+a)m nie
zależy
od
uporządkowania składników
w na-
wiasie, tzn. (x+a)m = (a+x)m
Wzór (20.4) nazywa się dwumianem Newtona. Można go otrzymać nie z pojęć matematyki wyższej i pochodnych. W tym celu w iloczynie (a+x)(a+x) ... (a+x) korzystając
należy wykonać mnożenie
i odpowiednio pogrupować wyrazy. Jednakże dla wykładnika m danego w postaci ogólnej (a nie w postaci konkretnej liczby), pogrupowanie wyrazów jest bardzo trudne, tak że w końcu wyprowadzenie dwumianu Newtona z szeregu Maclaurina okazuje się prostsze. Warto zwrócić uwagę na to, że Newton otrzymał ogólny wzór (20.3)~ tzn. rozwinięcie (x+a)m dla dowolnych m. Dlatego poprawniej byłoby nazwać dwumianem Newtona wzór (20.3) a nie wzór (20.4), który jest prostym przypadkiem szczególnym wzoru (20.3). Powróćmy do ogólnego wzoru (20.3). Niech m nie będzie dodatnią liczbą całkowitą. W szeregu Maclaurina (20.3) wykładniki potęg zmiennej x, tzn. liczby n, są dodatnimi liczbami całkowitymi. Oznacza to, że jeżeli m nie jest dodatnią liczbą całkowitą, to we wzorze (20.3) licznik nie zeruje się dla żadnego n, a więc wzór (20.3) daje szereg nieskończony. W szczególności, dla m = - l szereg ten ma postać l
l
x
x2
x3
-=4 a+x a -a 2+ a 3 - -a+ Zauważmy, że
dla a
(20.5)
...
= l wzór (20.5) przechodzi w znany nam
już
wzór
l -l+x = l -x+x 2 -x 3 + ...
Ze wzoru (20.5) otrzymujemy l
również
l
x
x2
x3
-a-x - = -a- +a+ ... 2 + a-3 + a4 Dla m =
_L2 mamy
Va+ X
=
va + _!__ • 2
5
x4
X
va
7
- 128 -.- + -256 a 3ya-
-
-~
s
• -
x2 a va
+ _l_ 16
x3
.
a2va
x5 21 x6 . -.;=--1024 . .! a 4va a 5va
+ ... (20 •6) 155
Dla dowolnego m wszystkie wyrazy rozw1męcia (a+x)"' mają taką a i x, każdy następny wyraz różni się od poprzedniego
samą sumę potęg
o czynnik .2_ i współczynnik. Fizyk powiedziałby, że a i x we wzorze (20.3) a
powinny mieć ten sa było
od samego
1
wymiar, a więc, że~ jest bezwymiarowe. Można a
początku wyłączyć
a przed nawias
(a+x)rn=a"'(t+ i
rozwijać
(l + : )
Okazuje
się, że
szereg (20.3) Dla/ :
l~
m
względem
:-r
: .
dla wszystkich m (ujemnych i
111ożna stosować tylko wtedy, gdyl
l szereg (20.3) jest
:
ułamkowych
l
A' B, gdyż łamana jest zawsze dłuższa od prostej. Poszukiwanym punktem M jest wobec tego punkt przecięcia prostych A'B i A 1 B 1 • Wynika stąd, że a= /3. Dwa ostatnie przykłady pokazują, że niektóre zadania na znajdowanie maksimum i minimum można rozwiązać środkami matematyki elementarnej. Jednakże nie ze wszystkimi zagadnieniami można sobie poradzić nie odwołując się do matematyki wyższej, poza tym rozwiązywanie metodami elementarnymi wymaga często sprytu i pomysłowości, natomiast matema12 Matematyka
wyższa
177
A
~
\ \ \ \
B
\ \ \
\ \
Rys. 61
tyka wyższa daje standardowe metody rozwiązywania takich problemów. Nie znaczy to, oczywiście, że w matematyce wyższej nie są potrzebne spryt i pomysłowość! Przydadzą się na pewno i przy trudniejszych problemach. Ćwiczenia
arkusza blachy o bokach a i b chcemy zbudować skrzynkę, w wierzchołkach równe kwadraty. Jaki powinien być bok wyciętego kwadratu, aby skrzynka miała największą objętość? 2. W trójkąt ostrokątny o podstawie a i wysokości H wpisać prostokąt tak, aby dwa jego wierzchołki leżały na podstawie trójkąta, a jego powierzchnia była największa spośród wszystkich takich prostokątów. 3. Wyznaczyć największą powierzchnię prostokąta wpisanego w koło o promieniu R. 4. Przy jakim promieniu podstawy i jakiej wysokości zamknięta puszka cylindryczna o danej objętości V będzie miała najmniejsze całkowite pole powierzchni? 5. Dwa ciała poruszają się wzdłuż ramion kąta prostego z prędkościami v 1 i v 2 m/s, w kierunku wierzchołka kąta, od którego pierwsze ciało znajdowało się w chwili początkowej w odległości a m, a drugie w odległości b m. Po ilu sekundach od początku ruchu odległość między nimi będzie najmniejsza? 6. Wykazać, że iloczyn dwóch liczb dodatnich, których suma jest stała, ma największą wartość dla jednakowych czynników. 7. Prosta l dzieli płaszczyznę na dwie części - ośrodki I i II. Ciało porusza się w ośrodku I z prędkością v1o a w ośrodku II z prędkością v 2 • Po jakiej drodze powinien poruszać się punkt, aby jak najszybciej przejść od danego punktu A ośrodka I do danego punktu B ośrodka II? 1. Z
prostokątnego
wycinając
178
2. Szczególne przypadki maksimów i minimów Do tej pory mówiliśmy, że funkcje mogą mieć maksima i minima dla takich wartości x, dla których zeruje się pierwsza pochodna. Maksima i minima mogą się jednak pojawiać również dla takich wartości argumentu, dla których pierwsza pochodna nie jest równa zeru. Rozpatrzmy następujące zagadnienie: Określić dla jakiej wartości oporu R opornika połączonego szeregowo z interesującym nas opornikiem r, na r wydzieli się moc maksymalna
Rys. 62
(rys. 62). Przy tym opór r i napięcie baterii q; 0 uważamy za stałe. prądu I w ob;"odzie otrzymujemy korzystając z prawa Ohma
Natężenie
l=~ R+r
Moc W(R) = lep" gdzie q;, jest spadkiem napięcia na oporze r. Zgodnie z prawem Ohma, cp, = Ir, zatem
q;5 r W(R) = (R+r)z Aby określić maksimum W(R) rozwiążmy równanie
:'Ji- = O;
mamy
z r -2cpo (R+r)3 =O Otrzymane równanie nie ma rozwiązania. Czy oznacza to, że nioc może rosnąć nieograniczenie, że zadanie na znalezienie mocy 'maksymalnej nie ma rozwiązania? Przecież z sensu fizycznego zagadnienia wynika w sposób oczywisty,
że moc będzie największa dla R = O (wówczas
W =
~5) .Dla-
czego nie otrzymaliśmy wartości R = O z równania ~~ = · O? Aby to wyjaśnić, rozpatrzmy wykres zależności W(R) (rys. 63). Jak widać z wykresu, gdyby R mogło przyjmować wartości ujemne, to dla R = O nie byłoby maksimum. Jednakże ujemne wartości R nie mają 12*
179
w \ \
\
R Rys. 63
sensu. W każdym zagadnieniu fizycznym zakładamy, że R ;i: O. Wobec tego wielkość W ma maksimum w R = O, dlatego że przedział zmienności argumentu jest ograniczony. Oznacza to, że jeżeli przedział jest ograniczony, to przy badaniu funkcji ze' względu na maksima i minima należy wziąć pod uwagę brzegowe wartości argumentu. W przypadku, gdy maksimum (minimum) osiągane jest na brzegu przedziału zmienności argumentu, szereg f(x)- f(xo)
=
f'(xo) (x-xo)+
może zaczynać się nie od (x-x 0 ) 2 , a od
-d! f"(x
0)
(x -xo) 2 + ...
(x-x 0 ). Dlatego
też, jeżeli maksi-
mum funkcji występuje w punkcie x = x 0 , to biorąc wartość x odbiegającą nieco od x 0 , możemy przy wyznaczaniu maksimum popełnić znaczny błąd. Błąd ten jest proporcjonalny do (x-x 0 ), a nie do (x-x 0 ) 2 (jak w poprzednim paragrafie). Znaczy to, że nawet niewielkie odchylenie od wartości argumentu dającej maksimum jest w tym przypadku niepożądane. W takich przypadkach uważamy, że chociaż funkcja jest określona wzorem również dla x < x 0 , to wartości funkcji dla x < x 0 w konkretnym zagadnieniu nas nie interesują, nie mają sensu fizycznego. Może się zdarzyć, że f(x) po prostu nie ma sensu dla pewnych wartości argumentu. Jeżeli, na przykład, funkcja zawiera pierwiastek parzystego stopnia, np. kwadratowy, to przedział zmienności argumentu jest zwykle ograniczony (wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne). Zatem wartościami brzegowymi argumentu są te, przy których wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje wartość ,zero. Przy badaniu maksimów należy również brać je pod uwagę. 180
Rozpatrzmy
przykład.
y
Niech
= a-yb-x,
y'=
1 2yb-x
(2.1)
Chociaz y' nie przyjmuje wartości zero, to nie mozna na tym zakończyć dyskusji. Wartość x = b daje wyrazenie podpierwiastkowe równe zero. Widać, ze jeśli x = b, to y = a, jezeli jednak x < b, to y < a, gdyz od a odejmuje się liczbę dodatnią*>. Dlatego y ma maksimum w x =b. Maksimum (lub minimum) funkcji moze się pojawić równiez w punktach wewnętrznych, w których pochodna nie jest równa zero, jeśli wykres funkcji załamuje się. Z taką sytuacją spotykamy się w szczególności wtedy, gdy krzywa składa się z dwóch części, z których kazda opisywana jest innym wzorem, innym dla x < x 0 i innym dla x > x 0 • Rozwazmy następujący przykład. Niech na maszynce elektrycznej o stałej mocy grzeje się czajnik. Wyznaczyć chwilę, w której czajnik będzie zawierał największą ilość ciepła. Dla uproszczenia przyjmijmy, ze współczynnik sprawności maszynki wynosi 100% tzn., ze oddaje ona całe ciepło' czajnikowi. Załózmy, ze postawiliśmy czajnik na płytce w chwili t = O. W tym momencie czajnik zawierał q kalorii ciepła**>. Ilość ciepła wydzielona przez maszynkę wyraza się wzorem
Q= 0,24J2Rt gdzie I - natęzenie prądu w amperach, R - opór w omach, t - czas w sekundach, przy tym Q otrzymuje się w kaloriach. Wobec tego, w chwili t ilość ciepła w czajniku wynosi
Q= q+0,24J2Rt W pewnej chwili t = t 0 woda w czajniku zaczyna wrzeć. W tym momencie czajnik zawiera q+ 0,24/ 2 Rt0 ciepła. Woda wrząc, zaczyna zamieniać się w parę***>. Przy tym na wytworzenie jednego grama pary potrzeba 539 kalorii. Dlatego oznaczając przez dm ilość wody wyparowującą w czasie dt, otrzymujemy d _ 0,24J2R dt m539 Zatem w ciągu l s wyparowuje dm_ dt
=
0 •24! 2 R g wody. 539
Yb-x
*' Przez rozumiemy dodatnią wartość pierwiastka. **> Energię cieplną wody w temperaturze ooc przyjmujemy za równą zero. ***> Parowanie zachodzi również w temperaturach niższych od 100°C, ale ten efekt zaniedbujemy.
181
Woda, która
wyparowała
d~ 1 =
w
ciągu
100 d:;: =
l s
·~~
uniosła
ze
sobą
z czajnika
= 0,041 12 R cal
J2R
Dlatego do chwili t(t >. t 0 ) parująca woda zabierze z czajnika Q 1 = 0,0411 2 R(t- t0 ) cal. Wobec tego, ilość 'ciepła w czajniku wyraza się następująco:
ciepła.
Q= ą+0,241 2 Rt;jeśli t~ t 0 (do chwili wrzenia), Q= q+0,241 2 Rt0 -0,04l J2R(t-t 0 ) = = q+J2R (0,281t0 -0,041t), jeśli t?:: t0 (od chwili wrzenia).
Wykres Q(t) przedstawiono na rys. 64. Widać, ze Q(t) ma maksimum w punkcie t = t 0 , chociaz dla tej wartości t pochodna nie jest równa zero. Pochodna Q'(t) w punkcie t = t 0 jest nieciągła, ma skok. Istotnie, Q'(t) = 0,241 2 R, jeśli t< t 0 ; Q'(t) = -0,0411 2 R, jeśli t> t 0 • Wykres pochodnej przedstawiono na rys. 65.
a'(tJ
Q(t)
0,24 I 1R 1----...,
l l
l l l
l
o
o Rys. 64
l
t Rys. 65
Ostatni przykład pokazuje, ze maksimum moze wystąpić w punkcie, w którym pochodna jest nieciągła, tzn. gdy wykres funkcji załamuje się pod pewnym kątem. Odpowiadający temu punkt krzywej nazywa się punktem
załamania.
. Na rysunku 66a przedstawiono wykres funkcji y = x 213 = ]! x 2 , a ·na rys. 66b- jej pochodnej y'. Widać, ze minimum (lub maksimum) moze istnieć równiez, dla takich wartości argumentu x 0 , w których pochodna ma skok nieskończony. Odpowiadający punkt krzywej nazywa się ostrzem. Jak w przypadku kaZdego minimum, dla x < x 0 , y' < O; przyzblizaniu się do argumentu x = x 0 od lewej strony, funkcja maleje. Dla x > x 0 , y' > O; po przejściu argumentu x = x 0 funkcja rośnie wraz z x. Jednak 182
a)
y'
b)
Y
:~ o
2
3
X
2
2
\
X
-2
Rys. 66
w x = x 0 pochodna traci sens. Staje się dowolnie duża dla x bliskich x 0 x > x 0 ; staje się dowolnie mała (duża co do wartości bezwzględnej ale ujemna) dla x bliskich x = x 0 , jeśli x < x 0 • Maksima i minima osią gane dla wartości argumentu, w których pochodna jest nieciągła nazywają się ostrymi. Po omówieniu punktów szczególnych na krzywych, a przede wszystkim punktów załamania (por .. rys. 64), moźemy uściślić rozwaźania, które doprowadziły nas do pojęcia pochodnej. W rozdziale I, nie podkreślając tego specjalnie, zajmowaliśmy się krzywymi gładkimi. Pochodna y'(t) w punkcie t równa jest granicy ilorazu róźnicowego
jeśli
y(t2)-y(t1)
(2.2)
gdy t 2 i t 1 dąźą do t (przy tym róźnica t 2 - f 1 dąźy oczywiście do zera). Specjalnie podkreślaliśmy, źe granica ta nie zaleźy od wyboru t 1 i t2 ; obie te liczby mogą być większe od t, albo obie mniejsze od t, albo jedna większa, .a druga mniejsza od t, albo jedna równa t, a druga większa lub mniejsza od t. Istotnie, bio:t;ąc pod uwagę y (t+L1t)- y (t) L1t > O L1t widzimy, że wyraźenie to jest szczególnym przypadkiem ilorazu (2.2), mianowicie, dla t 1 = t, t 2 = t+L1t > t. Natomiast y(t)-y(t-L1t) L1t >o L1t .odpowiada przypadkowi: t 1 = t- L1 t < t, t 2
= t. 183
Obliczaliśmy również pochodną
jako
granicę
ilorazu
y(t+~)-y(~-~) Lit Llt co odpowiada t 1 = t - -Llt 2 t.
W przypadku krzywej
gładkiej
wszystkie te trzy
wyrażenia mają tę
samą granicę, równą pochodnej w danym punkcie .. W przypadku krzywej
z
załamaniem,
wartość
sytuacja się zmienia. W istocie, t, dla której krzywa ma załamanie, to
jeśli
przez t 0 oznaczymy
obliczając
Y (t 0 +Llt)- Y (t 0 )
Lit otrzymamy, przy Lit dodatnim i dążącym do zera, określoną wielkość. W przykładzie na str. 182 wielkość ta jest równa -0,041 12 R. Wielkość tę 'nazywamy pochodną prawostronną. Obliczając Y (to)- Y (t 0 -Llt)
Lit otrzymamy dla LI t dodatniego i dążącego do zera inną granicę, równą, we wspomnianym wyż~j przykładzie, 0,24/ 2 R. Wielkość tę nazywamypochodną lewostronną. Biorąc t 2 i t 1 po (t 2 --+ t 0 , t 1 --+ t 0 ) różne
stronach t 0 , można otrzymać w granicy ilorazu (2.2). Wobec tego, pochodna nie ma określonej wartości w punkcie załamania, ale można określić pochodną prawostronną i pochodną lewostronną dla tego punktu. W rozdziale I przy omawianiu pochodnych, aby uprościć wykład, umyślnie nie zaznaczaliśmy za każdym razem, że określona wartość pochodnej niezależna od sposobu w jaki Lit dąży do zera (z prawej czy z lewej strony), istnieje tylko dla punktów, w których krzywa jest gładka. Jak widać na rys. 65, w punkcie, w którym y(t) ma załamanie, pochodna y'(t) jest nieciągła, ma skok. Jeśli załamanie na krzywej y(t) zastą pimy łukiem o małym promieniu stycznym do krzywej z lewej i z prawej strony, to w przedziale, w którym krzywą y(t) zastąpiliśmy łukiem, wykres pochodnej y'(t) wyraźnie się zmieni (rys. 67). Jeśli krzywa y(t) jest nieciągła w punkcie t 0 (rys. 68), to można powiedzieć, że w punkcie t 0 pochodna y'(t) jest nieskończona; istotnie; jeśli
184
różnych
wartości
a)
b) a'(tJf
Q(t)
t---,-
D
t
D
Rys. 67 założymy, że
w bardzo
małym
przedziale od t 0 -e do t 0 +e, y zmienia
od y 1 do y 2 , to w tym przedziale pochodna będzie równa bardzo
duża,
tym
większa,
Y2 -
2e
Yt
,
się
tzn. będzie
im mniejsze jest e (rys. 68).
y(t)
Y2-1Jt
l
y'(t)
y=~
r---"!l
l l
lj2
l
l l l
~
l
l l
o
t
D
i-
t0 -t t0 t0 +t
t
Rys. 68 b
Zastanówmy się, co bętlzie z całką
J y(t)dt, jeśli funkcja y(x) nie jest a
gładka. Jeśli
funkcja ma
załamanie,
to przy obliczaniu pola powierzchni ograniczonej krzywą y(t), nie powstają żadne nowe problemy. W paragrafie I .l O całkę oznaczoną - pole powierzchni - wyraziliśmy w postaci sumy pól prostokątnych pasków o powierzchni Y (tn) (t11+1- tn)
lub
Y Ctn+1) (tn+1- tn)
W granicy, przy zmniejszaniu wielkości przedziałów, tzn. różnic (t;,+ 1 - 111), było obojętne, czy brało się y(t 11 ), czy y(t 11 -r 1), zarówno w przypadku krzywej gładkiej, jak i w przypadku krzywej z załamaniem. Jeżeli krzywa y(t) jest nieciągła w punkcie t = t 0 ale jest ograniczona, to dla przedziału, wewnątrz którego znajduje się punkt nieciągłości Ctn < < t 0 < t11 +1), wielkości y(t11 ) i y(t11 + 1) są różne, bez względu na to, jak 185
blisko siebie znajdują się wartości tn i tn+l· Wobec tego, w tym przypadku w wyrażeniu przedstawiającym całkę jako sumę, jeden ze składników zależy od tego w jaki sposób sumujemy: czy zgodnie ze wzorem (8.1), czy (8.2) z rozdziału l. Jednakże, jeśli długość przedziału f n+ l - tn dąży do zera, to składnik ten dąży do zera, dlatego więc granica sumy, tzn. całka, ma dobrze określoną wartość (niezależną od sposobu sumowania) również w przypadku, gdy funkcja podcałkowa jest nieciągła w obszarze całkowania. · Zachowuje się także związek między pochodną i całką. Powróćmy jeszcze np. do rysunków 64 i 65. Funkcję Q'(t), której wykres podano na rys. 65, oznaczmy przez f(t). Wtedy funkcja Q(t), której wykres podano na rys. 64 jest całką nieoznaczoną Q(t) = f f(t)dt. Na tym przykładzie widać, że nieciągłość funkcji f(t) prowadzi do załamania w całce tej funkcji Q(t). Korzystając z ogólnej reguły, możemy obliczyć całkę oznaczoną funkcji ze skończonym skokiem przy pomocy całki nieoznaczonej b
Jf(t) dt =Q (b)-Q (a) a
rys. 68 można powiedzieć, że dla funkcji dążącej do nieskończoności w przedziale dążącym do zera (rys. z prawej strony), całka jest funkcją nieciągłą (rys. z lewej strony). Należy jednak przy tym uściślić prawo dążenia do nieskończoności całki, i do zera- przedziału; nie będziemy się tutaj nad tym dłużej zatrzymywać. Przykłady tego rodzaju prowadzą do pojęcia (j -funkcji (por. Dodatek na końcu książki). Poza tym,
rozpatrując
Ćwiczenia
1. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji y od 2 do 10. 2. Znaleźć ostre maksimum funkcji:
v-
a) y = (x-5) l' x 2 ,
=
x 2 - 2x+ 3 dla x
zmieniającego się
b) y = l-yXZ
3. Obliczania pola powierzchni
W rozdziale I pokazano, że wartość całki oznaczonej
f a
b
f(x)dx wyznacza
pole powierzchni ograniczonej z góry linią y = f(x), z dołu osią x, a po bokach prostymi pionowymi x = a i x = b (rys. 69). Dlatego też umie-
186
lj
Rys. 69 jętność
znajdowania całek oznaczonych daje możność obliczenia przy pomocy standardowych metod, pól różnych powierzchni, podczas gdy matematyka elementarna pozwala tylko na obliczanie pól figur prostoliniowych i koła. lj
o
X
Rys. 70
Obliczmy pole powierzchni ograniczonej z góry krzywą y = ex"(n > 0), z dołu osią x, po prawej- prostą x = x 0 (por. rys. 70, gdzie n = 2, c= 0,25) S
=
J cx"dx = xo
[
0
Wzór (3.1) przepiszmy w sposób S
Jxo = ex~+ -
cx"+l n+1 o
--
l
n+1
(3.1)
następujący
1 = -n+ 1
n CX 0 X o
187
Poniewaz
c~ =
y(x 0 ), więc
l S = -Y (xo) n+ 1
(3.2)
Xo
Wielkości y i x mają wymiar długości. Na podstawie wzoru (3.2) widzimy, ze S istotnie mierzy się w jednostkach powierzchni. Jezeli chodzi o rząd wartości, to pole powierzchni równe jest y(x 0 )x0 ; wartość pola rózni się
od tego iloczynu o czynnik ~1 -, który dla nieduzych n jest rzędu jedności. n+1
Rozwazmy następny przykład: znajdziemy pole powierzchni ograniczonej od góry linią o równaniu X
Y= ce
a
(a >O)
(3.3)
z dołu osią x, z lewej strony- prostą x = x 0 , z prawej- prostą x przy czym A > x 0 (rys. 71). Pole to jest równe
f
A
SA=
ce
x a
dx = -cae
x·1A a l ,xo
[ = ca e
xo
a
-e
AJ a
= A,
(3.4)
Xo
X
Rys. 71 Xo
A
Jeśli
A jest duze w porównaniu z x 0 , to e---;- ~ e---;;. Jak widać ze wzoru (3.4), zwiększając wartość A prawie nie zmieniamy wartości SAA
Przy nieograniczonym wzroście A wielkość e---;; zbliza się do zera. Dlatego 1nozna powiedzieć, ze powierzchnia figury z rys. 71 jest nieograniczona z prawej strony. Pole jej jest równe CO
S 00
J
= X
188
o
X
Xo
ce--,; dx = cae7
= y (x 0 ) a
(3.5)
Wykładnik potęgi we wzorze (3.3) powinien być liczbą bezwymiarową. Dlatego wymiar a jest taki sam jak wymiar x, tzn. jest to długość; wymiarem y jest również długość. Wobec tego S ma wymiar pola. Okazuje się, że bardzo prosto oblicza się pole pod jednym łukiem sinusoidy (rys. 72). Istotnie, pole to jest równe
f" sin x dx =
S =
In
-cos x
lo =
2
o Y
Rys. 72
Obliczmy pole S elipsy. Zauważmy, że dzięki symetrii, wystarczy pole S 1 tej części elipsy, która leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, a wynik pomnożyć przez 4. Wobec tego S= 4S 1 . Aby obliczyć S 1 , znajdziemy y z równania elipsy. Równanie elipsy o półosiach a i b i środku w początku układu współrzędnych, ma postać x2 y2 tz2+v=l
znaleźć
(por. par. IV.7).
Ponieważ
w pierwszej
Y=
ćwiartce
y > O, więc
b + -ya2-x2
a
Stąd
J·;-a
sl
b =a
V a 2-x 2 dx
(3.6)
o Całkę tę można łatwo obliczyć dokonując
zamiany zmiennej zgodnie ze
wzorem x = a sin t. Otrzymujemy 1t
1t
a
{Va -x 2
2 dx=
o
f
2
ayl-sin 2 tacostdt=
o
f
2
a 2 cos 2 tdt=
o
1t
J 2
=a2
l+cos 2t dt = a2 2
[_!_ + 2
sin~Jn;z = 4
o
7ta2
(3.7)
4
o
189
Na podstawie wzorów (3.6) i (3.7) otrzymujemy
sl
b rca rcab =a. -4- = -42
Pole całej elipsy jest równe S = rcab. Jeśli a = b = r, to otrzymujemy S= rcr 2 - pole koła, bo, jak wiadomo, przy a = b = r elipsa przechodzi w okrąg. Zwróćmy jeszcze uwagę na pewną waźną rzecz. Juź w rozdziale I zauwa:żyliśmy, :że pole (całka) moźe być zarówno dodatnie jak i ujemne. W związku z tym przy obliczaniu pola powierzchni nale:ży zachować pewną ostro:żność. Przypuśćmy na przykład, :że interesuje nas ilość farby, która jest potrzebna do pomalowania powierzchni ograniczonej dwoma łukami sinusoidy i osią x (rys. 28), jeśli na pomalowanie jednostki powierzchni potrzeba a gramów farby. Jak pokazano na str. 66, w tym przypadku nie mo:żna obliczać pola powierzchni przy pomocy jednej całki. Nale:ży oddzielnie obliczyć całki na odcinkach od O do re i od re do 2rc. Mówiąc ogólnie, je:żeli funkcja podcałkowa y = f(x) zmienia znak, to aby rozwiązać tego typu zagadnienie nale:ży przedział całkowania podzielić na części, w których f(x) nie zmienia znaku, obliczyć całki po tych oddzielnych częściach i wyniki zsumować biorąc przy tym ich wartości bezwzględne. Znajdźmy pole figury ograniczonej z góry linią y = x•e-x (n -liczba całkowita dodatnia), z dołu osią x przy x > O (z prawej strony figura jest nieograniczona). Pole to wyraża się za pomocą całki
Aby
obliczyć tę całkę
zastosujemy
całkowanie
e-xdx
=
dg,
przez
części, przyjmując
x" =f
Wtedy
A
więc 00
f o
W paragrafie 11.21
190
x•e-xdx = [-x•e-x); +
00
f
n x"- 1 dx
o
•
ustaliliśmy, że x•e-x = ~x ---->-O. Ponieważ x•e-x = O e x-oo
dla x =
o,
więc
[x•e--xn" =
o,
a zatem
f"' x•e-xdx = f"' nx•-le-xdx o
f
Oznaczmy
o
x•e-xdx =I•. Wówczas I.= ni.- 1 •
o Całkując
przez
części
otrzymamy w ten sposób In-l=
(n-1)1.~ 2 , ...
itd. Dlatego
I.= n (n-1) (n-2) ... 3 ·2 ·lo Ci)
Ale lo=
f e-~dx.
Wielkość tej całki otrzymamy podstawiając w (3.5) c= l, a= l,
o
x 0 = O. Wtedy / 0 = e0 = l. Wobec tego I.=
f"' x•e-xdx =n (n-l) (n-2) ... 3 ·2·1 =n!
(3.8)
o Ćwiczenia
l. Znaleźć pole powierzchni ograniczonej jednym (rys. 73).
Wskazówka.
Skorzystać
ze wzoru sin 2 x = ; -
łukiem
;
linii y = sin 2 x i
osią
x
osią
x.
cos 2x.
Y
X
Rys. 73 2. 3. 4. koło
S.
Wykonać ćwiczenie Znaleźć
Znaleźć x 2 +y 2 =
l dla linii y = cos 2 x. pole powierzchni ograniczonej z góry pole powierzchni dwóch
krzywą y = -1 x 2 +x 6.
farby ,
na które parabola y = ; x 2 dzieli
potrzebną
do pomalowania powierzchni ograniczonej
osią x i prostymi pionowymi: x = l i x = -l.
Wykonać ćwiczenie osią
y = x(l-x)a, z dołu
8.
Znaleźć ilość
-x-2 i
części,
linią
5 dla powierzchni ograniczonej
krzywą
y = x 3 +2x 2 -
x.
Wskazówka.
Narysować 2
7. Znaleźć pole elipsy ~5
najpierw wykres funkcji y = x 3 +2x 2 -x-2. 2
+~
=
l.
191
4.
Wartość średnia
Przypominamy czytelnikowi, że od x = a do x = b nazywamy
wartością średnią
funkcji f(x) w przedziale
b
f f(x) dx (4.1)
/(a; b ) = - " - - b-a
Odnotujmy dwie właściwości związane z wartością średnią. l. Wartością średnią wielkości stalej w dowolnym przedziale jest ta sama stała. . Z punktu widzenia fizyki jest to oczywiste; istotnie, jeśli prędkość chwilowa się nie zmienia. to średnia prędkość w danym przedziale równa jest stałej wartości prędkości chwilowej. Własność tę można otrzymać w prosty sposób ze wzoru (4.1)
.
b
-
/C
dx C(b-a) C(a· b ) = - - - - = - - - =C ' b-a b-a 2. Wartość średnia sumy dwóch funkcji równa jest sumie nich tych funkcji, tzn.
wartości śred
Istotnie
f [y b
- + Yz =-b-a l Y1
1
(x)+ yix)] dx =
a b
= b~a
f
b
JI(x) dx+
b~a
a
f
Yz(x) dx
= j\ + Yz
O
Znajdźmy wartość średnią
funkcji y = sin x w przedziale od x = O
do x = 1t
f"' sin x dx
2
y (O; 1t) = -0 - - - - = 7t-O
W artość
192
średnia
7t
=
0,637
funkcji y = sin x w przedziale od x = O do x = b,
wynosi b
f sin x dx o
y(O; b)=
b-0
1-cos b
(4.2)
-----
b
Co się stanie, jeżeli będziemy nieograniczenie zwiększać liczbę b, tzn. nieograniczenie zwiększać przedział? Licznik ułamka z prawej strony wzoru (4.2) dla dowolnego b będzie nie większy od dwóch (równy jest dwa, jeżeli cos b = -l, tzn. gdy b = 1t, 37t, 57t, 77t, ... ), mianownik zaś będzie rosnąć nieograniczenie, dlatego cały ułamek będzie nieograniczenie zbliżał się do zera. A więc, im większy jest przedział, tym wartość średnia sin x jest bliższa zeru. Wykażemy, że wartość średnia funkcji y = cos x w nieskończonym przedziale jest również równa zero. Istotnie b
f cosxdx .Y (O; Jeżeli będziemy
b) = ~b
_ sin b =-o- -_ -sinbxi~ - - - --b-
nieograniczenie
zwiększać liczbę
(4.3)
b, to mianownik ułamka
si~ b będzie rósł nieograniczenie, a licznik będzie zawsze nie większy od jedności. Wobec tego, cały ułamek będzie dążył do zera, a więc.Y(O; oo)
= O. W taki sam sposób można otrzymać wniosek, że wartość średnia funkcji y = cos kx w nieskończonym przedziale jest także równa zero. Znajdźmy wartość średnią funkcji y = sin 2 x w nieskończonym przedziale od x = O do x = oo. Zgodnie ze znanym wzorem trygonometrycznym, mamy 1-cos 2x 2
------
Stąd
-.,----- 1 sm 2 x = 2
1 2
1 2
1 2
- - cos 2x = - -O = -
Korzystając ze wzoru sin 2 x+cos 2 x = l, otrzymamy wartość średnią
cos 2 x
w tym samym przedziale
--2
cos x
13 Matematyka
wyższa
-
~
1
1
2
2
= 1 -sin 2 x = 1 - - = -193
Ćwiczenia
l. Znaleźć wartość średnią funkcji y = x", w przedziale od x = O do x = x 0 • 2. Znaleźć wartość średnią funkcji y = Cekx w przedziale, w którym y zmienia się ody = n do y = m. Wyrazić tę wartość średnią za pomocą n i m, rugując z wyniku C i k. Zbadać otrzymane wyrażenia przy m blis.kim n (m= n+v, v ~n). 3. Znaleźć wartość średnią funkcji: y = sin 2 x, y = cos 2 x, w przedziale: a) od X
=0
do
4. Wyznaczyć okres funkcji y
=
=0
do
X
=
7t'
wartość średnią
5.
'
b) Od X
funkcji y 2
Długość łuku
X
= ~, 4
sin(rot+1X), gdzie ro, 1X w ciągu jednego jej okresu.
są
liczbami
stałymi. Znaleźć
i krzywizna krzywej
Zajmiemy się zadaniem znalezienia długości łuku s krzywej y = f(x) od punktu x = a do punktu x = b (rys. 74). Długość małego odcinka AC linii zastępujemy długością odcinka łączą-
Y
D
a Rys. 74
cego punkty A i C. Rozpatrujemy tylko krzywe bez skoków i Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy Lis= y(Lix) 2 +(Liy) 2
=
Llx
V
1+
załamań.
(~~Y
Skąd
Lis Llx
=
-. /
V 1+
( LI ) 2 LI;
(5.1)
Przechodzimy w (5.1) do granicy przy Llx ~ O;~~ przechodzi w po-
194
chodną
y'
= f.'(x), gdzie y = f(x) jest równaniem krzywej; otrzymujemy*> ds
Całkowita,
szukana
= y1+/' 2(x)dx
długość łuku
jest równa
b
s
=
f J/f+J'2-(x) dx
(5.2)
a
Wyrazenie to rzadko udaje się scałkować z powodu pierwiastka wystę pującego pod całką. Porlamy kilka przykładów, w których rachunki moi:na łatwo doprowadzić do końca. l. Długość okręgu. Będziemy sz_ukać długości okręgu x 2 +y 2 = R 2 • w pierwszej ćwiartce, 4 wynik pomnoi:ymy przez 4. Z równania okręgu mamy
Najpierw znajdziemy a
następnie
długość _l_ okręgu, lei:ącej y'
Na podstawie wzoru (5.2) mamy R
s= [
=
-x
-}TR2 -
X~=-
r R
~1+ R2x~x2 dx = V~~xx2
(5.3)
Wprowadźmy nową zmienną t zgodnie ze wzorem x = R sin t; wtedy dx = R cos tdt i z (5.3) otrzymujemy (por. par. 11.16) n/2
s=
fo
Rdt
= ~~ 2
Stąd otrzymujemy długość okręgu C = ~R · 4 = 2rr:R. 2. Krzywa
łańcuchowa.
y
Jest to krzywa, której równanie ma
postać
=~(e: +e-~-) 2
(5.4)
gdzie a jest stałą. Nazwa krzywa lańcuchowa pochodzi stąd, i:e taki właśnie kształt przyjmuje giętkie, nierozciągliwe cięż:kie włókno (na przykład łańcuch) zawieszone na obu końcach. Wykres krzywej łańcuchowej przedstawiono na rys. 75 (dla a = 2). *> Różnica między długością łuku, a długością odcinka prostej jest i po przejściu do granicy (do różniczek) mamy prawo ją pominąć. 13·
rzędu
(Llx) 2
195
Y
o
X
Rys. 75 Znajdźmy długość łuku
punktu x
krzywej
łańcuchowej
= x0 •
Na podstawie wzoru (5.4) mamy y'
yl+y'2
=ll
2x
=~
.
-e 2
od punktu x = O do
Stąd
2x
e-,;- -2 + e--;;1+ X
4 X
ea + e a 2
s=
f
X
X
_e_a_+_2_e_-_a_ dx =~·-a
[e~-
-e-+ J:o
=·i- (e~~~- e-~~)
o
Z
długością łuku wiąże się
definicja promienia krzywizny R krzywej
w danym punkcie. Wielkość _l_ nazywa się po prostu krzywizną (im mniejs~y . R promień, tym bardziej się krzywa "zagina") .. Rozważmy mały odcinek krzywej (rys. 76) o długości ds i znajdźmy kąt między stycznymi do krzywej na końcach tego odcinka. Kąt ten można uważać za przyrost drx kąta rx nachylenia stycznej do osi x. Poprowadźmy w tych punktach normalne (prostopadłe do stycznych). Zgodnie ze znanym twierdzeniem geometrii, kąt między normalnymi jest równy kątowi drx między stycznymi. Na tej podstawie można znaleźć odległość R punktu przecięcia normalnych od krzywej. Mały odcinek krzywej będziemy uważać za łuk okręgu. Normalna do okręgu ma oczywiście kierunek promienia okręgu. Punktem przecięcia
196
Rys. 76
normalnych jest
środek okręgu. Jeśli
krzywa jest
okręgiem,
to ds = Rdrx
lub d01. = _!___ ; wielkość ta jest stała dla dowolnego odcinka okręgu. Dla ~ R . krzywej dowolnej wielkość _t!O!._ wzięta dla nieskończenie małego odcinka ds
krzywej, może służyć jako definicja krzywizny w danym punkcie. Korzystając ze wzoru na ds i z tego, że a = arc tg y', można znaleźć wyrażenie na krzywiznę, mianowicie dy' da = d arctg y = -~, 1 +y l
da
ds =
l (l+ y' 2 )31 2
•
dy' y" dx = (l+ y' 2)372
Znak krzywizny d01. pokrywa się ze znakiem drugiej pochodnej y" ds
i charakteryzuje kierunek, w którym skierowana jest wypukłość krzywej. Jeżeli w punkcie x 0 , y" > O, to krzywa w pobliżu tego punktu znajduje się powyżej stycznej w tym punkcie i jest skierowana wypukłością do dołu (rys. 77). Jeśli y"(x 0 ) < O, to krzywa znajduje się poniżej stycznej skierowana jest wypukłością do góry (rys. 78). Y
Y
~ l
D
Xo
Rys. 77
X
D
Xo
X
Rys. 78
197
Y
o
X
Xo
Rys. 79 Może się zdarzyć, że y"(x0 ) = O, przy czym na prawo od punktu x 0 (tzn. dla x > x 0 ), y"(x) > O, a dla x < x 0 , y"(x) < O. Oznacza to, że na prawo od punktu x 0 krzywa jest skierowana wypukłością w górę, a na lewo -wypukłością w dół. W takim punkcie (rys. 79) krzywa przechodzi z jednej strony stycznej na drugą, zmienia w nim kierunek wypukłości, przegina się. Dlatego takie punkty nazywamy punktami przegięcia. Ćwiczenia
l. Zapisać za pomocą całki długość łuku paraboli y = x 2 od punktu (O; O) do punktu (l; 1). 2. Zapisać za pomocą całki długość łuku linii y = e• od punktu x = O do punktu x=l. . 3. Zapisać za pomocą całki długość łuku elipsy. 4. Doprowadzić do końca zadania · 2, dokonując w całce zamiany zmiennej: 1+e 2 •= z 2 •
6.
Przybliżone
obliczanie
W poprzednim paragrafie krzywej, mianowicie
długości łuku otrzymaliśmy
wzór na obliczanie
długości łuku
b
s=
J yl+y' (x) dx 2
(6.1)
a
Wspomnieliśmy również, że z powodu występowania pierwiastka, trudno jest (lub jest nawet niemożliwe) wyrazić całkę za pomocą funkcji elementar-
198
nych. Dlatego
duże
znaczenie
mają
przybliżone
wzory na
obliczanie
dłu
gości łuku.
Załóżmy, że wielkość y' 2 (x)
jest mała w porównaniu z jednością, tzn. ly'(x)l ~ l. Pomijając wtedy we wzorze (6.1) y' 2 , otrzymamy b
s~
f vf dx = b- a
(6.2)
a
Różnica
b- a jest długością poziomego odcinka, którego końcami są x = a i x = b. Wzór (6.2) pokazuje, że jeśli wartość bezwzględna y' jest mała (krzywa mało się odchyla od poziomego odcinka), to długość łuku tej krzywej jest bliska długości poziomego odcinka (rys. 80a).
a) Y --~ D
l
l
a
b
x
b) Y y(b)
y(a) -
D a
·x
Rys. 80 Jeśli· y' 2 (x) ~
l, to w (6.1) pomijamy jedynkę; otrzymujemy b
s ~
JV
y' 2 (x)
a
dx
=
f
b
y'(x) dx
= y (b)- y (a)
(6.3)
a
Wzór (6.3) pokazuje, że w tym przypadku długość łuku krzywej jest bliska dłUgości pionowego odcinka, którego końcami są y(a) i y(b) (rys 80b). 199.
Istotnie, jeśli pochodna y' jest duża, to krzywa wznosi się gwałtownie i podobna jest do prostej pionowej (dla prostej pionow~j pochodna jest nieskończona).
Wzory (6.2) i (6.3) stanowią proste, przybliżone wzory na długość ale jest to przybliżenie bardzo niedokładne, które można otrzymać również nie korzystając z (6.1). Otrzymamy teraz wzory bardziej dokładne. Niech ly'(x)l < l. Zatrzymując dwa pierwsze wyrazy we wzorze na dwumian Newtona (por. par. II.20), otrzymamy łuku,
Wzór (6.1) daje s
~
f
b
[1 + y' 2(x)] dx
=
(b- a)+
a
Jeśli
~
b
f y' 2(x) dx a
ly'(x)l > l, to
V1 + y'2(x)
= y'(x)
V
1 + y'21(x)
do ostatniego pierwiastka stosujemy wzór na dwumian Newtona,
~. Pochodna wynosi y' = 2x; równa jest l dla x = 0,5 i większa od jedJeśli
y'(x) = l, to y(x) = x+c; wykresem tej funkcji jest linia prosta. W przykładach tych obliczenia przeprowadzane są z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
*>
••>
201
ności dla x > 0,5. Długość łuku s 1 odpowiadającą zmianie x od O do 0,5 znajdziemy z pierwszego wzoru (6.4), a długość łuku (s 2 ) odpowiadającą zmianie x od 0,5 do 2 - z drugiego wzoru:
o.s
s1
= (0,5-0)+0,5
f
4x 2 dx
05 3
= 0,5+2 ·T= 0,58
o 2
= 4-0,25+0,5
s2
f
dx
= 3,75+0,25 (ln2-ln0,5) = 4,10
2x
o,s dług~ść łuku
Szukana
jest równa
s= s 1 +s2 Obliczmy
= 0,58+4,10 = 4,68
dokładną wartość długości łuku
ze wzoru (6.1)
2
s =
f vi+4x
2
dx
o
Dokonując zamiany zmiennych: 2x = z i str. 165, otrzymujemy
f v1+4x O
2
dx
prawdziwo.ści
=;
korzystając
ze wzoru 33 na ·
[xv4x 2 +1 + ; ln(2x+v4x 2 +1)]
tego wzoru
(6.7)
moźna się przekonać różniczkując
jego
prawą stronę.
Na podstawie wzoru (6. 7) otrzymujemy
s= ; Błąd
[2vrr +
; In C4+vu)J = 4,65
przy obliczaniu, zgodnie ze wzorem (6.4), wynosi
około
0,7%.
2. Znajdziemy długość łuku krzywej e" między punktami o odciętych
x=Oix=l. W tym przypadku y' = e", a przy zmianie x od O do l pochodna od l do e. Korzystamy zatem z drugiego wzoru (6.4):
s= e1 -e 0 +0,5
j :~ =
rośnie
2,72-1-0,5e-"l: = 2,04
o Wzór dokładny na długość łuku daje wartoś~ (por. ćw. 2 i 4 do par. 5)
s= Błąd
202
.;-1 • 11+e 2 -1 1 ./2-1 v l + e2 - .Vr 2 + -In V - ~ In V = 2,00 2
we wzorze
v1 + e
przybliżonym
+1 2 wynosi 2%. 2
v2 + 1
Czasami, aby obliczyć w sposób ·przybliżony długość łuku, funkcję we wzorze (6.3) rozwija się w szereg względem potęg x. Zatrzy: mując przy tym odpowiednią ilość wyrazów rozwinięcia, można otrzymać długość łuku z dowolną dokładnością. Rozpatrzmy przykład. Wyznaczymy długość okręgu, przyczym będziemy obliczać długość s łuku okręgu odpowiadającego kątowi 30° (rys. 81).
podcałkową
Y
X
Rys. 81 Długość okręgu
wynosi C = 2nR. Oczywiście otrzymamy jak w (5.3), ale z inną górną granicą
Zauważmy, że
OA = R sin 30°. =
~
taką samą całkę
R. Dlatego
l
-R
:z
s=f~~~2 Wyrażenie podcałkowe można przekształcić
w sposób
(6.8) następujący
1
Ale
(6.9)
20:ł
Wyrażenie
to rozwiniemy w szereg zgodnie ze wzorem na dwumian
Newtona (por. wzór (20.3) z rozdziału II). W tym celu podstawiamy ( = t. Otrzymamy [
X ) 1- ( -R
2
]-+ =
-+ =
(1-t)
35 4 + ... = 1 +2 1 (R X ) +128-t 35 + -128 Podstawiając
~) =
1 3 t 2 + 5- t 2 + 1+ --t+16 2 8
2+g-R 3 ( X ) 4+T6 5 (R X )6 +
(XR )B + ...
ten wynik do (6.8) i
całkując,
(6.10) otrzymujemy
1 l 3 5 35 s= -2-R+ 6·8-R+ 46~32R+ -f6--i~iR+ 128·9·2 9-R+ ... = .1
1
3
5
35
= R [ -2-: + -48- + -40·32 + 16-7 ·2 7 . + 128 ·9 -29 + ...
J
(6.1l)
Widać, że otrzymać
wyrazy szeregu (6.11) maleją bardzo szybko. Dlatego aby s wystarczy wziąć tylko kilka pierwszych wyrazów. Biorąc tylko
jeden wyraz szeregu otrzymamy s =
~
R, a
długość całego okręgu C
= 6R.
/
dwa wyrazy, otrzymamy s = 0,521R, C= 6,252R. Trzy wyrazy szeregu dają: s = 0,523R, C= 6,276R itd. Wiemy, że długość okręgu wynosi C = 21tR. Porównując to z otrzymanymi przez nas wynikami, znajdujemy przybliżone wartości liczby 1t; 3; 3,126; 3,138, ... Im więcej weźmiemy wyrazów szeregu (6.11), tym dokładniejszą otrzymamy wartość liczby n-. Wartość liczby 1t z dokładnością do siedmiu cyfr po przecinku wynosi 3,141 592 6. Biorąc
ćwiczenia
l.
chowej
Korzystając
ze wzorów
między pun~tami
x
przybliżonych, znaleźć długość łuku
= O i x = 2 (a = 1). Otrzymany wynik
krzywej
łańcu
porównać
z do-
kładną wartością długości łuku.
2. Znaleźć długość łuku hiperboli xy = - l między punktami x = 0,5 i x = l. Uwaga. W tym przypadku nie można otrzymać dokładnego rozwiązania, ponieważ całka (6.1) nie daje się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. 3. Otrzymać przybliżoną wartość liczby 7t, obliczając długość łuku okręgu odpowiadającego kątowi środkowemu 45° (zatrzymać trzy, cztery i pięć wyrazów szeregu).
204
7. Obliczanie
objętości. Objętość
i powierzchnia
bryły
obrotowej
W paragrafie I.14 otrzymano wzór
"•
JS(x) dx
V=
(7.1)
"• gdzie S(x) oznacza pole przekroju ciała płaszczyzną prostopadłą do osi x i przechodzącą przez punkt x. (Radzimy czytelnikowi, aby powtórzył sobie wyprowadzenie tego wzoru). Przy pomocy tego wzoru otrzymano wzór na objętość ostrosłupa. Dokładnie tak samo otrzymuje się objętośĆ stożka. Początek układu współrzędnych umieszczamy w środku koła leżącego w podstawie stożka, a oś x skierowujemy wzdłuż jego wysokości (rys. 82). Niech S(x) będzie X
Rys. 82
polem przekroju stożka płaszczyzną prostopadłą do wysokości i odległą od podstawy o x. Przekrój ten jest kołem o promieniu rx. Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy
r"
H-x
--r-=-H gdzie r oznacza .!__ (H-x) H
promień
podstawy, a H- wysokość
stożka. Stąd
rx =
i wobec tego H
V=
f
f 71 z--
H
TC
r2 2
H (H-x) dx = 2
TCr2
.
(H-x) 2 dx =
o
o (H-x) 3 :1H TCr 2 H 3 TCr 2 H ------ -----· = -- --- ·- = - - - . H2 3 :o 3H 2 3 TCr 2
~--
205
. kuli umieszczamy początek układu współ w środku wielkiego koła, a oś x skierowujemy wzdłuz średnicy kuli, prostopadle do płaszczyzny tego wielkiego koła. Przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi x i oddaloną o x od początku układu jest kołem o promieniu Rx. Z twierdzenia Pitagorasa mamy Rx = Aby
otrzymać objętość
rzędnych
=
VR
2-
x 2 ( R - promień kuli).' Dlatego
S(x) = 1tR 2 x = 1t(R 2 -x 2 )
3JR
R 4 2 -x 2 )dx=1': [ R 2 x-~ 3 V =J1t(R =-1tR . 3 o 3 o , 4
Ze wzoru (7 .l) wynika zasada Cavalieriego *>: Jeżeli dwie bryły zawarte między dwoma równoległymi płaszczyznami P i Q mają tę własność, że ich przekroje dowolną płaszczyzną równoległą do P i Q są równe (równe są funkcje podcałkowe S(x)), to objętości tych brył są równe. Przypuśćmy, że bryła powstała w wyniku obrotu figury przedstawioneJ na rys. 83 wokół osi x (taką figurę nazywa się trapezem krzywoliniowym)
Y
o
X
Rys. 83
W tym przypadku przekrój jest kołem o promieniu y = f(x) i polu S(x) = 1ty 2 • Korzystając z (7 .l), znajdujemy
=
b
V= 1t
Jy
2
dx
(7.2)
a
Obliczmy np. elipsy ::
objętość bryły
+ ~~ =
połow.y
l, wokół osi x. Bryła ta nazywa się elipsoidą obrotową.
•> Cavalieri- matematyk
włoski,
Wspomnianą zasadę sformułował
206
otrzymanej w wyniku obrotu górnej
żyjący w pierwszej połowie XVII wieku. bez dowodu i opublikował w 1635 r.
Z równania eli psy mamy y = ł.. a
Va2 -
x 2 , a z (7 .2)
-a
Dla a = b = R otrzymujemy objętość kuli o promieniu R. Wyprowadzimy teraz wzór na powierzchnię bryły obrotowej przedstawionej na rys. 84. Rozpatrzmy bryłę ograniczoną przekrojami przechodzą-
X
Rys. 84
cymi przez punkty x i x+dx. Boczną powierzchnię tej przez dF. Traktując ją jako stożek ścięty otrzymamy dF
=
1t
bryły
oznaczymy
[y(x)+y(x+dx)] ds
Vl
gdzie ds jest długością małego łuku krzywej, przy czym ds = + y' 2 (x) (por. par. 5). Sumę y(x) +y(x+ dx) można zastąpić przez 2y(x), zaniedbując wielkość y'(x)dx w porównaniu z y(x)*>. Dlatego dF Całkowite
= 21ty (x) Vl+ y' 2 (x) dx
pole powierzchni
bryły
obrotowej jest równe
b
F= 27t
j Y (x) Vl+ y' (X) dx
(7.3)
2
a
Przy pomocy tego wzoru można łatwo znaleźć powierzchnię kuli. Istotnie, kulę można otrzymać w wyniku obrotu górnego półokręgu wokół *>
tak
Zauważmy, że
w wyrażeniu na dF sumę y(x)+y(x+dx) zaniedbujemy jest rzędu dx· ds ~ dx 2 •
mnoży się
przez ds,
że wielkość, którą
207
osi x. Równaniem okręgu jest x 2 +y 2 = a2 , skąd -X y' = )7~2~~2 Podstawiając
te
wielkości
do wzoru (7.3), otrzymujemy
f vai-.xi- ]/~ 2a_=-x 2 a
F= 27t
-a
dx
=
21taxla J-a
=
47ta 2
Ćwiczenia
l.
Znaleźć objętość "ścinka"
walca obrotowego o promieniu R, wy walca pod kątem o.: (rys. 85).
walca obrotowego, tzn.
bryły odciętej
płaszczyzną przeprowadzoną
przez
od
zwykłego
średnicę
podsta•
B
Rys. 85 2. Znaleźć objętość stożka, korzystając z tego, że stożek jest bryłą otrzymaną w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. 3. Znaleźć objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu figury ograniczonej z góry linią y =
8.
yx, z
Kreślenie
dołu osią
x, z prawej strony
prostą pionową
x
=
2.
krzywych
Najbardziej prymitywny sposób rysowania wykresu funkcji f(x) polega na obliczeniu wartości f(xn) dla dużej ilości punktów Xn, przy tym, na ogół, punkty Xn wybiera się w postaci Xn = x 0 +na; n = O, +l, +2, ... Metoda ta jest oczywiście pracochłonna. Aby prześledzić zmienność funkcji w przedziale Llx, krok a należy wybrać tak, aby był dużo mniejszy od Llx, tzn. a ~ ~ Llx. Przy małym kroku jednak, liczba punktów potrzebna do pokrycia interesującego nas obszaru jest bardzo duża.
208
Metody omówione w paragrafach l i 2 tego rozdziału pozwalają na szybsze i pewniejsze narysowanie wykresu, na stworzenie ogólnego obrazu w postaci krzywej. Należy w tym celu znaleźć przede wszystkim charakterystyczne punkty krzywej : maksima, minima, punkty załamania, punkty przegięcia itd. Znajomość wykresu pozwala wysnuć wiele ważnych informacji o samej funkcji, na przykład, o liczbie pierwiastków rzeczywistych, przedziałach, w których znajdują się· te pierwiastki, itd. Zilustrujemy to na przykładzie wykresu wielomianu trzeciego stopnia, tzn. wykresu funkcji y
= ax 3 +bx 2 +cx+d
(8.1)
Narysujemy wykres funkcji
(8.2)
y =0,5x 3 -0,75x 2 -3x+2,5 Znajdźmy pochodną
przede wszystkim maksima i minima. naszej funkcji, otrzymamy
Przyrównując
do zera
y' = 1,5x 2 -1,5x-3 =O
(8.3)
Skąd
x 1 = -1,x2 =2. Zbadajmy każdą z tych wartości osobno. W tym celu obliczmy y": y" = 3x-1,5, y"( -1) = -4,5 < O. Oznacza to, że w x 1 = -1 funkcja ma maksimum Ymax
= -0,5-0,75+3+2,5 = 4,25
y"(2) = 6-1,5 = 4,5 > O, dlatego w x 2 = 2 funkcja ma minimum Ymin
= -2,5
wielomian dla x dużych co do wartości bezwzględnej. Zauważmy, że dla bardzo dużych x, wyraz zawierający x 3 będzie miał wartość bezwzględną o wiele większą od pozostałych wyrazów. Dlatego znak wielomianujest określony przez znak wyrażenia ax 3 • Jeśli a > O, to ax 3 > O dla x > O, prawa gałąź wykresu jest skierowana do góry; ax 3 < O dla .x < O; lewa gałąź wykresu jest skierowana do dołu. Oczywiście dla a < O lewa gałąź biegnie do góry, a prawa do dołu. Znajdźmy punkty przegięcia. Z tego co powiedziano w paragrafie 5 wynika, że aby znaleźć punkty przegięcia należy rozwiązać równanief"(x) = = O. Korzystając z (8.3) otrzymujemy y" = 3x-1,5. Równanie y" = O ma Zbadajmy teraz, jak zachowuje
się
rozwiązanie x = 0,5. Ponieważ y'" = 3, więc y- y 0 = -} (x- 0,5)3, gdzie 14 Matematyka
wyższa
209
przez y 0 oznaczono rzędną stycznej. Dlatego, jeżeli x > 0,5, to y- Yo > O, jednak x < 0,5, to y- y 0 < O. Mamy zatem w x = 0,5 punkt przegięcia. Zauważmy, że wykres wielomianu trzeciego stopnia ma zawsze jeden i tylko jeden punkt przegięcia. Istotnie, równanie y" = O dla funkcji y, która jest wielomianem trzeciego stopnia, jest równaniem pierwszego stopnia. Ma ono zawsze tylko jedno rozwiązanie. Ponieważ y"' = const, więc y- y 0 = A(x-x0 ) 3 • Oczywiście y- y 0 zmienia znak przy przejściu x przez x 0 • Powróćmy do wykresu. Obliczmy rzędną y punktu przegięcia; otrzymamy y ~ 0,88. Wyznaczymy jeszcze kierunek stycznej w punkcie przegięcia. Korzystając z (8.3) otrzymujemy tg rJ. = y'(0,5) = 3,38. Biorąc pod uwagę powyższe wyniki, dla funkcji (8.2) otrzymujemy· wykres przedsiawiony na rys. 86.
jeśli
lj
5
1'4 l -3 -2
l
2
-2
3
4
X
~
-3 Rys. 86 Oczywiście, jeżeli nie obliczymy więcej żadnych wartości funkcji, to otrzymamy wykres dający tylko z grubsza obraz zachowania funkcji. Jednak nawet taki wykres daje możliwość określenia liczby pierwiastków (tzn. liczby punktów przecięcia wykresu z osią x) i otrzymania pewnych informacji o ich wartościach. W naszym przykładzie na rys. 86 widzimy, że są trzy pierwiastki: jeden z nich leży między 0,5 a 2, drugi z nich jest na pewno dodatni (jest większy od 2), a trzeci ujemny (jest mniejszy od -1). Wykres będzie znacznie dokładniejszy, jeżeli obliczymy jeszcze wartości funkcji dla kilku argumentów x.
210
W naszym przykładzie obliczymy jeszcze trzy wartości funkcji. Dla x = O mamy y = 2,5, co pozwoli nam dokładniej przedstawić przebieg krzywej· między maksimum a minimum. Dla x = 3, y = 0,25; wartość ta daje nam informację o szybkości wzrostu prawej gałęzi. Analogicznie, aby otrzymać informację o szybkości opadania lewej gałęzi, weźmy x = -2; otrzymamy y = 1,5. Wykorzystując te wartości otrzymujemy wykres przedstawiony na rys. 87. lj
-3
Rys. 87
Na podstawie takiego wykresu możemy dokładniej oszacować pierwiastki wielomianu: jeden z nich leży między x = 0,5 i x = l, drugi między x = 2 i x = 3 (bliżej 3), trzeci pierwiastek jest mniejszy od x = -2 (przypuszczalnie, jego wartość jest bliska x = - 2,5). Może się zdarzyć, że przyrównując pierwszą pochodną do zera nie otrzymamy pierwiastków rzeczywistych. Znaczy to, że badany wielomian nie ma ani maksimum, ani minimum. Ponieważ pozostaje w mocy wszystko to co było powiedziane o zachowaniu się wielomianu dla dużych x co do wartości bezwzględnej, więc w tym przypadku wykres przecina oś x tylko w jednym punkcie (wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty). Wreszcie, pochodna może mieć tylko jeden podwójny pierwiastek x 0 • Ma ona wtedy postać y' =A (x-x 0 ) 2 (8.4) Całkując
(8.4) otrzymamy A Y= 3(x-xo) 3 +G
14*
(8.5} 211
Jak widać, w tym przypadku, wielomian różni się od pełnego sześcianu tylko o stały czynnik. Na podstawie (8.5) wnioskujemy, że y nie ma ani maksimum, ani minimum (por. przykład 2 z par. 1). Wykres przecina oś x w jednym punkcie. Punkt ten znajdujemy przyrównując y do zera, mianowicie
(x-xoP = - 3C A
x=x 0 -V~ Zagadnienie znajdowania maksimum i minimum dla wielomianu stopnia trzeciego, a więc badanie jego wykresu, można zawsze rozwiązać do końca, gdyż przyrównując pochodną do zera otrzymujemy równanie kwadratowe, którego pierwiastki łatwo można znaleźć. Ćwiczenia
l.
2.
Znaleźć
maksima i minima
a) y
=
x 3 -3x 2 +2,
c) y
=
x 3 -3x 2 +6x+3.
Określić ilość
b) y
poniższych =
funkcji oraz
narysować
x 3 -3x 2 +3x-15.
pierwiastków rzeczywistych
równań:
a) 2x -3x -12x+15 =O,
b) 4x +15x 2 -18x-2 =O,
c) 2x 3 -x 2 -4x+3 =O,
d) x 3 -x 2 +2 =O.
3
2
3
ich wykresy:
IV. FUNKCJE I WYKRESY
l.
Zależność
funkcyjna
W naukach przyrodniczych, w technice i w matematyce bardzo często spotykamy się z zależnościami funkcyjnymi. Zależność funkcyjna jednej wielkości (y) od drugiej (x) oznacza, że każdej wartości x odpowiada określona wartość y. Wielkość x nazywa się przy tym zmienną niezależną lub argumentem funkcji, y-funkcją tej zmiennej. Porlamy kilka przykładów z geometrii i fizyki l. Objętość kuli V jest funkcją jej promienia r V= 47t r3 3
2. Objętość V podstawy r
stożka
o danej
3. Droga s przebyta przez ciało który upłynął od chwili, w której
wysokości
h
zależy
spadające
swobodnie zależy od czasu t, spadanie
od promienia jego
rozpoczęło się
gt2 s =-24. Natężenie prądu I zależy, zgodnie z prawem Ohma, od oporu przewodnika R, przy danej różnicy potencjałów U
. u
(1.1)
I=-R Można podać
mnóstwo innych
przykładów
tego rodzaju.
213
ze w naukach przyrodniczych i w technice nas wielkości (funkcje) zalezą od kilku wielkości. I tak, w przykładzie 4 powyzej, natęzenie prądu zależy od dwóch wielkości: od różnicy potencjałów U i od oporu R, a w przykładzie 2 - objętość stożka zależy od jego wysokości h i promienia podstawy r. Przyjmując, że wszystkie wielkości, z wyjątkiem jednej, są dane i ustą. lone, badamy zalezność funkcji od jednej zmiennej. W niniejszej ksiązce ograniczamy się w zasadzie do funkcji jednej zmiennej. Tak więc, na przykład, biorąc baterię akumulatorów o określonej róznicy potencjałów U, będziemy zmieniać opór przewodnika R i mierzyć natęzenie prądu /; w takim układzie doświadczalnym natęzenie prądu zależy tylko od oporu, wielkość U we wzorze (1.1) należy uwazać za stały Jest
rzeczą znamienną,
interesujące
współczynnik.
Zalezność funkcyjną
wzorów, na
podaje
się
w matematyce
najczęściej
w postaci
przykład
Y= 2x+8,
Y= x 2 +5,
(1.2)
y = 3x 3 -x 2 -x
x-1 y= x+l Ze wzorów tych wynika w sposób oczywisty, ze mamy do czynienia z funkcjami jednej zmiennej. Wzór daje możliwość obliczenia wartości funkcji dla każdej danej wartości zmiennej niezależnej. Znając wzór opisujący zależność y od x, mozna łatwo zbudować tabelę wartości y dla kilku dowolnie· wybranych wartości x. Zbudujmy np. tabelę dla trzeciej funkcji (1.2). W górnym wierszu podane są wybrane przez nas wartości x, a w dolnym wierszu, pod każdym danym x, podano odpowiadającą mu wartość y l
2
3
l
18
69
danym wzorem można zbudować dokład np. wartości x = O; 0,1; 0,2; ... itd. Można powiedzieć, że wzór jest "lepszy" od dowolnej tabeli. Zawiera bowiem nie tylko informacje pozwalające zbudować tabelę, ale daje również mozliwość znalezienia wartości funkcji dla wartości zmiennej niezależnej nie zawartych Oczywiście posługując się
niejszą tabelę, wybierając
214
w tabeli. Z drugiej strony, tabela jest często wygodniejsza, gdyż przy jej pomocy można szybciej znaleźć wartość y dla danego x (jeśli to x jest w tabeli, tzn. obliczenia na podstawie wzoru zostały już dokonane przy zestawianiu tabeli). W naukach przyrodniczych i w technice, prawa rządzące zjawiskami, wyrażają się przy pomocy wzorów. Zdarza się jednak również i tak, że nie istnieje teoria danego zjawiska i fizyk, chemik, biolog, technik, może podać tylko wyniki przeprowadzonych przez siebie doświadczeń, zależność badanej wielkości od wielkości podanej przy ustawianiu doświadczenia. Tak jest, na przykład, przy badaniu zale:żności oporu przewodnika od jego temperatury. W tym przypadku zale:żność funkcyjna może być przedstawiona jedynie w postaci tabeli zawierającej wyniki doświadczenia. Z doświadczenia wiadomo, że dla danego przewodnika (z danego materiału, o danym przekroju i danej długości) opór elektryczny zależy od temperatury przewodnika. Dla ·każdej wartości temperatury T przewodnik ma określony opór R, można więc mówić o zależności funkcyjnej R od T, czyli, ze R jest funkcją temperatury T. Przeprowadzając pomiary, mo:żna znaleźć wartości R dla ró:żnych T i wobec tego znaleźć zale:żność R(T). W wyniku pomiarów otrzymuje się tabelę, gdzie podaje się wartości R dla różnych T, na przykład: T (w stopniach Celsjusza)
R (w omach)
o
25
50
75
112,0
118,4
124,6
130,3
100 135,2
Jeśli interesują nas wartości R dla innych temperatur, nie wchodzących do tabeli, to w zasadzie potrzebne są nowe pomiary, gdy:ż ścisły wzór opisujący zalezność R(T) nie jest znany. W praktyce można dobrać taki wzór przybliżony, który będzie zgodny z doświadczeniem dla tych temperatur, dla których przeprowadzono pomiary. Weźmy na przykład wzór
R = 112,0+0,272T-0,0004T2 i zbudujmy zgodnie z tym wzorem T
l
R (ze wzoru)
l
o 112,0
tabelę:
25
l
~18,551
50 124,6
l l
75 130,15
100
l
135,2
215
Wzór daje wartości R zgodne z wynikami doświadczenia dla tych temperatur, dla których wykonano pomiary; uzasadnione jest zatem przypuszczenie, że dla temperatur pośrednich (na przykład, dla 10°, 80°, czy 90°), wzór ten również opisuje poprawnie zależność funkcyjną R(T). Tym niemniej użycie wzoru poza badanym przedziałem, na przykład, dla - 200oc lub 500°C, może prowadzić do błędów, gdyż nie ma powodu aby R(T) wyrażało się za pomocą trójmianu kwadratowego. Wzory, które otrzymuje się nie w sposób teoretyczny, a przez dopasowywanie, nazywa się empirycznymi (tzn. opartymi na doświadczeniu). 2.
Układ współrzędnych
Aby przedstawić w sposób poglądowy zależność funkcyjną przy pomocy wykresu, używa się układu współrzędnych. Poprowadźmy na płaszczyźnie dwie proste prostopadłe. Prosta pozioma nazywa się osią x albo osią odciętych; prosta pionowa- osią y albo osią rzędnych. Punkt przecięcia prostych nazywa się początkiem układu współrzędnych (punkt O na rys. 88). Na ogół wyobrażamy sobie, że płaszczyzna, na której poprowadzono osie x i y nie leży na stole, ale postawiona jest przed czytelnikiem pionowo, jak ściana, naprzeciwko której siedzi, poza tym- że strzałka na osi x wskazuje kierunek od lewej strony do prawej, a strzałka na osi y-kierunek z dołu do góry. Określoną parę wartości x i y, na przykład: x = 2, y = 4, reprezentuje na wykresie jeden punkt (punkt A na rys. 88). Położenie tego punktu Y C ---~x=2, y=4) l l l
., l l
l l
o
B
X
Rys. 88
wyznaczone jest przez następujące warunki: prosta prostopadła AB poprowadzona z punktu A do osi x, odcina na tej osi odcinek OB równy dwóm jednostkom długości, odcinek OB łączący początek układu O ze
216
spodkiem prostopadłej B, uważa się za dodatni i odpowiada on dodatniej wartości x, gdy punkt B leży na prawo od punktu O. Prosta prostopadła AC poprowadzona z punktu A do osi y odcina na tej osi odcinek OC, którego długość równa jest 4. Na osi y dodatnie wartości y odpowiadają punktom, których rzuty na oś y leżą powyżej początku układu współrzędnych. Przyjęto oznaczać dodatni kierunek osi strzałką, umieszczając obok niej literę określającą nazwę osi. Zakładając, że płaszczyzna współrzędnych jest pionowa, mówimy, że "im większe jest y tym wyżej położony jest punkt" oraz "ujemne y leżą poniżej dodatl)ich". W praktyce, przy rysowaniu wykre~ów, wygodnie jest posługiwać się papierem milimetrowym, na który naniesiona jest siatka prostokątna. Należy tu podkreślić, że warto jest nauczyć się od razu stawiać na rysunku kropkę odpowiadającą punktowi o danych współrzędnych x i y. Wyszukiwanie na rysunku punktów B i C, na osiach (por. rys. 88) oraz rysowanie prostopadłych AB i AC, należy wykonać w myśli i nie komplikować rysunku zbędnymi liniami i oznaczeniami. Ujemne wartości x znajdują się na lewo od punktu O, ujemne wartości y poniżej punktu O. Na rysunku 89 przedstawiono kilka punktów, których współrzędne x i y mają różne znaki.
Y
A(2,4)
----« l
D(- 2,3)
l
?----
l l l l
1
l l l l
l
l
l l l
' D
6-
F(-1,-1)
X
-- ____ __,!,
E(J,-2) Rys. 89
Punkty na rys. 89 A: E:
X
X
są następujące:
= 2, Y = 4; = 3, Y= -2;
D: F:
= -2, X= -1,
X
y=3 Y= -1
Współrzędne punktu zapisuje się często umieszczając je w nawiasie po symbolu punktu, przy czym na miejscu pierwszym stoi współrzędna x (odcięta
217
punktu), na miejscu drugim- współrzędna y (rzędna punktu). Dla punktów A, D, E i F na rys. 89, mamy właśnie taki zapis współrzędnych. Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części, tzw. ćwiartki; są one ponumerowane na rys. 90. W każdej ćwiartce współ rzędne x i y mają określony znak: w I ćwiartce: x > O, y > O, tzn. x i y są dodatnie; w II ćwiartce: x < O, y > O, tzn. x jest ujemne, y dodatnie; w III ćwiartce: x < O, y < O, tzn. x i y są ujemne, w IV ćwiartce: x > O, y < O, tzn. x jest dodatnie, a y ujemne. Znaki współrzędnych y i x w kaZdej ćwiartce pokazane są również na rys. 90. Proszę porównać je ze znakami współrzędnych punktów A, D, E, F na rys. 89. Y
Y
++
6(0,3) :
II
I
+
o
+
K (-3,0) X
F(2,0} X
H(O,-f}
IV
Dl
o
Rys. 90
Rys. 91
Jeśli dla punktu G (rys. 91) podano warunek x = O, to punkt ten leży na osi y, przy czym prosta prostopadła poprowadzona z G do osi x jest osią y: Oznacza to, że punkt przecięcia prostej prostopadłej z osią x pokrywa się z początkiem układu O, a więc odległość tego punktu przecięcia od początku układu jest równa zero. Można również powiedzieć, że odcięta punktu G leżącego na osi y jest równa zero. Jeśli dla punktu F podano warunek y = O, to punkt F leży na osi x i prosta prostopadła poprowadzona z punktu F do osi y, pokrywa się z osią x, a jej punkt przecięcia z osią y pokrywa się z początkiem układu O. Przykłady takich punktów podano na rys. 91:
G (0, 3),
F (2, 0),
J.l (0, -1),
K (- 3, O)
Punkt, dla którego x = O, y = Ojest niczym innym jak początkiem układu współrzędnych, tzn. 0(0, 0). Wyżej specjalnie zwróciliśmy uwagę na to, by nie nanosić na rysunek rzutów prostopadłych danych punktów na osie, tzn. aby nie postępować tak, jak to było robione na rys. 88 i 89. 218
Na rysunku 88 chodziło o zaznaczenie punktu A (2, 4); punkty B i C charakter pomocniczy, słuzyły tylko do wyznaczania punktu A, były uzyteczne na początku, gdy definiowaliśmy pojęcie współrzędnych. Czytelnik powinien nauczyć się szybko znajdować punkty o danych współrzędnych - dodatnich, ujemnych i zerowych oraz odczytywać współ rzędne x i y punktów zaznaczonych. na wykresie.
miały
Ćwiczenia
l.
Odczytać współrzędne
punktów przedstawionych na rys. 92
Y
c
o• F
•B
E•
•A
o N
B•
X
•H
•L
H• K
Rys. 92
3.
Wielkości
geometryczne
wyrażone
za
pomocą współrzędnych
Podanie dwóch liczb- współrzędnych x i y- określa połozenie punktu na płaszczyźnie. Równiez wszystkie wielkości geometryczne odnoszące się do tego punktu mogą być wyrazone za pomocą współrzędnych tego punktu. lj
A(x, y)
c
l l
lY
l l
X
B
X
Rys. 93
219
Znajdźmy odległość
punktu A o współrzędnych x i y od początku tzn. odcinka r prostej OA łączącej początek układu O z' punktem A, tzw. promienia wodzącego punktu A (rys. 93) oraz kąt ex między prostą OA a osią odciętych. Prowadzimy pomocnicze linie AB i AC. Długość OB równa jest x, długość AB równa jest długości OC, tzn. y. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa, mamy układu,
(OA) 2 =·r 2
= (OB) 2 +(AB) 2 = x 2 +y 2
czyli r =
Z definicji tangensa
yx2+y2
kąta
tg ex = Niech na
przykład,
y
x = 2, y = 3. Wtedy r =
cx Zauważmy, że kąt
AB
-oif = -x--
y13 ~ 3,6
= arc t g -23-
~
560
liczymy zawsze od dodatniego kierunku osi x, dlatego
np. jeśli y = 2, x = -2 (rys. 94), to ex jest kątem rozwartym; tg ex = - 2- = -2
Y
X
Rys. 94
Gdy punkt leży poniżej osi x, to będziemy liczyć kąt ex w dół od osi, przy tym ex za ujemne. Na rysunku 95 pokazano dwa przykłady: dla punktu A(2, -2) mamy ex= -45°, dla punktu B( -3, -3), ex= = -135°. Dla dowolnego punktu kąt ex leży w granicach od -180° do 180°. Łatwo również jest rozwiązać problem odwrotny. Załóżmy, że punkt A znajduje się w danej odległości r od początku układu współrzędnych O, uważając
220
Y
Y
Az l l
X
\Cf.t2
l
------r:-18
A Dl
B
X
l
Rys. 95
a odcinek OA tworzy znaleźć współrzędne
Rys. 96
kąt ex z osią x (z dodatnią, prawą półosią x). punktu A. Na podstawie rys. 93 mamy,
Należy
x = r cos ex y
= r sin ex
Wzory te są słuszne dla dowolnych dodatnich i ujemnych wartości kąta ex i dają poprawne znaki współrzędnych x i y w dowolnej ćwiartce. Rozważmy teraz dwa punkty: A1 (x 1 , y 1), Aix2 , Y2) (rys. 96). Znajdźmy odległość r12 między tymi punktami i kąt exw jaki tworzy odcinek A 1 A 2 z osią x*>. Wygodnie jest przeprowadzić przez punkt A 1 prostą równoległą do osi x, a przez punkt A 2 - prostą równoległą do osi y. Na rys. 96 wykreślono je liniami przerywanymi, a ich punkt przecięcia oznaczono przez B. Wówczas w trójkącie A 1 A 2 B odcinek A 1 B równy jest x 2 -x 1 , odcinek A 2 B równy jest Y2- y 1 • Cała konstrukcja trójkąta A 1 A 2 B podobna jest do konstrukcji z rys. 93. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
*> Jak wiadomo, znaki u dołu liter z prawej strony nazywają się wskaźnikami. Jednakowe litery z różnymi wskaźnikami np. y 0 , Yt. Yz, y., Yb, używane są zamiast różnych liter, po to aby zaznaczyć, że chodzi tu o podobne pod pewnym względem, ale jednocześnie różne wielkości. Na przykład, x 1 i•xz są wielkościami odkładanymi na osi x, obie są odciętymi ale różnych punktów. Wielkości oznaczone różnymi lite- . rami ale takimi samymi wskaźnikami, odnoszą się do tego samego punktu: A 1 - to oznaczenie jakiegoś punktu, x 1 -jego odciętej, y 1 -jego rzędnej. Czasami stawia się dwa wskaźniki, na przykład r 12 (co czytamy "er jeden -dwa, a nie "er- dwanaście) oznacza odległość między punktem A 1 i punktem A 2 •
221
Kąt ct 12
znajdziemy w warunku tg !X t z = Yz- Y t_ Xz-Xt
(3.1)
Czytelnik powinien sprawdzić, że wzory te są słuszne dla dowolnych znaków wszystkich czterech wielkości: x 1 , y 1 , x 2 , y 2 •
Y
A2 (3,3) l
•
t
Ak2,1)
t
,----=:-=:__.,=-=-=:=-=:}B 2
3 D Rys. 97
Na
na rys. 97 pokazano przypadek, gdy x 1 < O, x 2 > O. odcinka A 1 B równa tu jest sumie wartości bezwzględnych *l: 2, lx2 1= 3. Ale to właśnie odpowiada ogólnemu wzorowi przykład,
Długość ~x 1 1
=
Łatwo
rówmez sprawdzić wzory na r 12 i tg ct 12 . Rozpatrzmy teraz zagadnienie trzech punktów: A 1 , A 2 i A 3 • Jak stwierdzić, nie wykonując konstrukcji, ale opierając się wyłącznie na obliczeniach przeprowadzonych na wartościach współrzędnych, czy punkty te leżą na jednej prostej? Oczywiście, jeżeli kąt ct 12 odcinka A 1 A 2 z osią x jest równy kątowi ct 13 odcinka A 1 A 3 z osią x, to odcinki A 1 A 2 i A 1 A 3 leżą na jednej prostej. Na rysunku 98 pokazano przypadek, gdy ct 13 > ct 12 , punkt A 3 leży powyżej przedłużenia prostej A 1 A 2 , ale widać również, że gdyby ct 13 było równe ct 12 , to punkt A 3 leżałby na prostej stanowiącej przedłużenie odcinka A 1 A 2 • *l Pionowe kreski zastępują słowa "wartość bezwzględna". Zatem, dla wielkości -dodatnich znak ten niczego nie zmienia: 131 = 3, IO,ll = 0,1. Wielkości ujemne umieszczone między pionowymi kreskami, równe są dodatniej wartości otrzymanej przez pomnożenie danej wielkości przez -1; na przykład: l-31 = 3, 1-0,ll = 0,1. Czasem, zamiast określenia "wartość bezwzględna" używa się określenia "moduł", np. l-31 jest to moduł minus trzech, równy plus trzy.
222
Y
A3 l l l
l l
l l
O't3:
l l
_j _ _ l__
B
At D
c
X
Rys. 98
Z
(3.1) na tangens kąta wynika, że jeśli a 12 = a 13 , to punktów A 1 , A 2 , A3 spełniają następujący związek
wyrażenia
rzędne
współ
(3.2) Można powiedzieć, że
warunek (3.2) jest warunkiem na podobieństwo A 1 A 2 C i A 1 A3 C. Podobieństwo trójkątów prowadzi do równości kątów o wierzchołku A 1 • Zależność (3.2) moze być stosowana również w przypadku, gdy punkt A 1 leży między punktami A 2 i A 3 (rys. 99); jeśli trzy punkty leżą na jednej dwóch
trójkątów
Y
o
X
Rys. 99
prostej, to z podobieństwa trójkątów A 1 A 2 B i A 1 A3 C wynika proporcja (3.2). W przykładzie pokazanym na rys. 99, x 3 - x 1 < O, y 3 - y 1 < O, ale iloraz tych różnic jest dodatni i równy ilorazowi wielkości dodatnich x 2 - x 1 i Yz-Yt·
223
Ćwiczenia
l. Zaznaczyć w (1, -1).
układzie
współrzędnych
punkty: (1,1), (-1,1), (-1, -1),
2. Zaznaczyć w ·układzie współrzędnych punkty: (1,5) (5, 1), (-1, 5), (-~. 1), (-1, -5), (-5, -1), (1, -5), (5, -1). 3. Zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty (0,4), (0, -4), (4, 0), ( -4, 0). 4. Znaleźć odległość od początku układu i kąt ex między promieniem wodzącym a osią x, dla punktów: (1, 1), (2, -2), (-3, -3), (-4, 4). 5. Znaleźć odległości między parami punktów: A 1 (1, 1), A 2 (1, -1); A 1 (1, 1), A 2 (-1, -1); A 1 (2, 4), A 2 (4, 2); A 1 (-2, -4), A 2 (-4, -2). 6. Sprawdzić, czy następujące trójki punktów leżą na jednej prostej: A, (0, 0), A 2 (2, 3), A 3 (4, 6); A 1 (0, 0), A 2 (2, 3), A 3 (-2, -3); A 1(0, 0), A 2 (2, 3), A 3 (-2, 3). 7. Znaleźć współr;zędne wierzchołków kwadratu o boku a, którego przekątne pokrywają się z osiami x i y. 8. Znaleźć współrzędne wierzchołków sześciokąta foremnego o boku a, w którym jedna z przekątnych pokrywa się z osią x, a środek leży w początku układu współ rzędnych.
9. Znaleźć współrzędne wierzchołków podstawa leży na osi x oraz:
trójkąta
równobocznego o boku a, którego
a) wierzchołek przeciwległego kąta- na osi y; b) jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem układu. 10. Dany jest punkt A 1 o współrzędnych x 1 i y 1 • Znaleźć współrzędne: punktu A 2 położonego symetrycznie do punktu A 1 względem osi x, punktu A 3 położonego symetrycznie do punktu A 1 względem osi y, punktu A4 położonego symetrycznie do A 1 względem początku układu.
4. Wykres funkcji. Równanie prostej Wiemy już, jak każdej parze wartości x i y przyporządkowuje się określony punkt na płaszczyźnie. Jeśli y jest określoną funkcją zmiennej x, każdej wartości x odpowiada określona wartość y. Jeżeli dla wielu różnych wartości x znajdziemy odpowiadające im wartości y, to otrzymane pary wartości dadzą wiele punktów na płaszczyźnie. Zwiększając liczbę różnych wartości x, wybierając je coraz bliżej siebie, otrzymamy w końcu punkty tworzące ciągłą linię. Linia ta nazywa się wykresem funkcji. W rzeczywistości często wystarcza naniesienie tylko kilku punktów, a punkty pośrednie i cały wykres można otrzymać łącząc te punkty linią gładką. Aby uniknąć dużych błędów należy jednak znać w przybliżeniu obrazy krzywych przedstawiających różne funkcje. Zaczniemy od zbadania kilku typowych i najważniejszych funkcji. Zajmijmy się tzw. funkcją liniową y 224
= kx+b
Niech, na
przykład,
y
= 2x+1
Wybieramy kilka punktów, dla których
wartości
o 3
x i y podajemy
2
3
5
7
poniżej.
Zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych (rys. 100). Od razu rzuca się w oczy, że punkty te leżą na jednej prostej. W takim razie, prowadząc przez te punkty linię prostą (stąd nazwa funkcja liniowa), otrzymamy pełny Y
o
o
o
D
X
Rys. 100
wykres funkcji. Dla dowolnego x odpowiedni punkt (x, y) leży na tej prostej. Jak wykazać, dla dowolnej funkcji postaci y = kx+b i dowolnych ki b, że wszystkie punkty należące do wykresu leżą na jednej prostej? W tym celu sprawdzimy, że warunek (3.2), który wyprowadziliśmy w poprzednim paragrafie spełniony jest dla dowolnej trójki punktów wykresu. Rozpatrzmy dwa punkty: A(x 1 , y 1 ) i B(x 2 , y 2 ), których współrzędne spełniają równanie y = kx+b. Wtedy
Yz-Yt = kxz+b-(kxt+b) = k(x 2 -x 1 ) skąd
!5 Matematyka
wyższa
225
Okazuje się, że iloraz nie zależy od x 1 i x 2 • Zatem, również dla innej dowolnej pary punktów wykresu, a w szczególności dla pary punktów A(x 1 , y 1 ) i C(x 3 , y 3 ), otrzymamy także
Znaczy to,
że
dla dowolnych
trzech punktów wykresu A (x 1 , y 1)
B(x 2 , Y2) i C(x 3 , y 3 ) zachodzi związek
tzn. dowolne trzy punkty leżą na jednej prostej, a zatem wszystkie punkty wykresu funkcji y = kx+b leżą na jednej prostej. A więc wykresem funkcji y = kx +b jest linia prosta. Równanie y = kx+b nazywa się równaniem prostej. Współczynnik k określa kąt między prostą a osią x i nazywa się współczynnikiem kierunkowym prostej. Podstawiając do równania x = O, otrzymamy y = b. Jednym z punktów prostej jest więc punkt (0, b); punkt ten leży na osi y, na wysokości b nad początkiem układu (jeśli b < O, tu punkt ten leży pod początkiem układu). Wobec tego b jest rzędną punktu przecięcia prostej z osią y, ibi jest długością odcinka, odciętego pr.'ez prostą na osi rzędnych (na rys. 100 b = 1). Oczywiście, aby wykreślić prostą odpowiadającą danemu równaniu, nie trzeba obliczać współrzędnych wielu punktów i nanosić ich na wykres; jeżeli mamy dwa punkty, to tym samym prosta przez nie przechodząca, jest Cflłkowicie określona. Można, np. zawsze brać dwa punkty: (0, b) (!, b+k) i prowadzić prostą p przez te dwa punkty. Jako drugi punkt można wybrać punkt przecięcia prostej z osią x (x = x 0 , y = 0). Z warunku y = kx 0 +b =O, znajdujemy x 0 = -
!. .
Warto dojść do takiej wprawy, by rzuciwszy tylko okiem na równanie, móc wyobrazić sobie przybliżony przebieg odpowiedniej krzywej i następnie szybko ją narysować. Dla funkcji liniowej, której wykresem jest prosta, jest to bardzo łatwe, ponieważ przebieg prostej zależy tylko od dwóch wielkości: k i b wystę pujących w równaniu prostej. Wobec tego pozostaje do zbadania niewiele wariantów: k może być dodatnie lub ujemne, wartość bezwzględna k może być duża albo mała, b może być dodatnie lub ujemne. 226
IJ
k=10 l k=-10 Rys. 101 przykładu rozważmy równanie y = kx; tzn. b = O. Odpowia-mu prosta przechodzi oczywiście przez początek układu współ rzędnych, tzn. przez punkt (0, 0). Na rys. 101 pokazano kilka prostych dla różnych k: k = 0,1, k =l, k = 10, k = -0,1, k =-l, k = -10. Proszę sprawdzić, czy każda prosta została poprowadzona prawidłowo, a potem przekonać się o słuszności następujących ogólnych wniosków: l. Jeśli k > O, to prosta leży w I i HI ćwiartce, jeśli k < O, to prosta leży w II i IV ćwiartce. 2. Dla k = l, zgodnie z powyższym wnioskiem, prosta leży w I i III ćwiartce. Część prostej leżąca w I ćwiartce tworzy z osią x kąt a = 45°, czyli dzieli na pół kąt między osiami x i y (przypominamy, że kąt z osią x jest to kąt z dodatnim kierunkiem osi x zaznaczonym strzałką). Przedłu żenie prostej leżące w III ćwiartce, tworzy z osią x kąt a = -135°. 3. Dla k = -1 część prostej leżąca w II ćwiartce tworzy z osią x kąt a = 135°, a przedłużenie prostej w IV ćwiartce kąt a = -45°. 4. Jeśli \k\ < l, to prosta ma łagodny spadek, tzn. biegnie bliżej osi x niż osi y: spadek jest tym łagodniejszy, im mniejsze jest \kl. Jeśli lki > l, to prosta ma ostry spadek, biegnie bliżej osi y niż osi x; jest tym bardziej stroma, im większe jest lk\. Rozpatrzymy teraz przypadek ogólniejszy, mianowicie, gdy b jest różne od zera. Przypuśćmy, mamy wykres prostej, dla której b = O, np. y = 0,5x (rys. 102). Czym różni się od niej prosta, dla której b "# O,
Dla
dająca
15*
227
Rys. 102
ale o tym samym k, np. prosta· y = 0,5x+2? Oznaczmy y 0 = 0,5x i = 0,5x+2*>. Dla dowolnego x wielkość Y2 jest większa od y 0 o dwie jednostki, tzn. punkty tworzące prostą Y2 otrzymuje się z odpowiednich punktów tworzących prostą y 0 , przez przesunięcie ich do góry o dwie jednostki. Zatem prosta Y2 jest równoległa do prostej y 0 i leży od niej wyżej o dwie jednostki. Oczywiście, reguła ta odnosi się do dowolnego b (jeśli b < O, to prosta leży niżej od odpowiedniej prostej y = kx). Wiedząc już, jak biegną proste o równaniach y = kx, dla różnych k, możemy sobie łatwo wyobrazić ogólny przebieg prostej y = kx+b dla dowolnych k i b (por. ćwiczenia na końcu paragrafu). Współczynnik kierunkowy k w równaniu y = kx+b będziemy czasem nazywać nachyleniem prostej. W szczególnym przypadku, gdy k = O, otrzymujemy równanie y = b (y = b dla dowolnego x), któremu odpowiada prosta pozioma o nachyleniu równym zero. Można sobie wyobrazić piechura idącego po prostej y = kx w prawo, w stronę rosnących x. Jeśli k > O, to piechur idzie pod górę (nachylenie jest dodatnie), jeśli k < O, to piechur schodzi w dół (nachylenie jest ujemne). Wielkość k określa stosunek zmiany wartości funkcji d~ zmiany jej argumentu, istotnie y2
kx 2 + b-(kx 1 +b) Xz-Xl
*> Yo odnosi się tu do całej prostej, nie jest to rzędna szczególnego punktu, ale dowolnego punktu na prostej o danym k i b= O; y 2 jest rzędną dowolnego punktu leżącego na prostej o danym k i b = 2. A wjęc y 0 nie jest liczbą ale funkcją zmiennej x; Yo(x), zaś y 2 jest inną funkcją zmiennej x; y 2 (x).
rzędna
228
z. takimi ilorazami zetknęliśmy się wcześniej -gdy pokazywaliśmy, wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. W przypadku dowolnej funkcji będziemy rozpatrywać wielkość
że
y(xz)-y(xl) równą tangensowi kąta, jaki tworzy odcinek łączący dwa punkty (x 1 , y(xl)) i (x 2 , y(x 2 )) z osią odciętych. Dla funkcji liniowej wielkość ta jest stała dla dowolnej pary punktów, nie zależy ani od x 2 , ani od x 1 • Stąd też wynika, że wszystkie punkty wykresu funkcji liniowej leżą na jednej prostej. Ćwiczenia Narysowc;ć
proste:
y~~3x,
y = 3x+2, y = 3x-I, y = 2-x, y=2-0,5x, y=-x-3.
5. Parabola Zajmiemy .się
funkcją
Y= axz różnych wartości a. Na początku omówimy przykład, gdy a = l. Jakie są ogólne własności tej funkcji? l. y > O dla wszystkich x, zarówno dla x > O, jak i dla x < O. Znaczy to, że cała krzywa położona jest powyżej osi x i tylko w początku układu współrzędnych styka się z osią x. 2. Najmniejsza wartość (minimum) funkcji y osiągana jest dla x = O. Minimum y równe jest O. Na wykresie minimum jest najniżej położonym punktem krzywej. 3. Dla dwócli~x o jednakowych wartościach bezwzględnych ale prze-
dla
Y
X
Rys. 103
229
ciwnych znakach, otrzymujemy jednakowe wartości y. Znaczy to, że krzywa jest symetryczna względem osi y. Krzywa y = ax 2 jest pokazana na rys. l 03. Krzywą taką nazywamy parabolą.
Dla dowolnego dodatniego a równanie y = ax 2 ma takie same własności, jak y = x 2 (Patrz wyżej). Zastanówmy się, co będzie, jeśli a < O? Rozpatrzmy przykład, gdy a= -2, tzn. y = -2x 2 . Kr:t:ywa pokazana jest na rys. 104. Własności tej krzywej są następujące:
.Y
Rys. 104
l. y < O dla dowolnych x. Cała krzywa leży poniżej osi x i jest styczna do osi x w początku układu współrzędnych. 2. Funkcja y osiąga swoją największą wartość- maksimum- dla x = O. Maksimum to równe jest y = O. Na wykresie maksimum jest najwyżej położonym punktem krzywej. (~ 3. Krzywa jest symetryczna względem osi y, tak jak w przypadku a dodatniego. Rozpatrzmy teraz równanie
y=a(x-n) 2 Niech, na przykład,· a = l, n = 3. Krzywą przedstawiono na rys. 105. Jest taka sama parabola, jak na rys. 103, ale przesunięta w prawo o trzy jednostki na osi x. Jeśli daną funkcję y = f(x) porównamy z funkcją y = f(x-n), to zauważymy, że wykres drugiej funkcji jest przesunięty w prawo względem pierwszego o n jednostek. Oczywiście w obu przypadkach f jest tą samą
230
Y
o
X
Rys. 105 funkcją
i oznacza podniesienie do kwadratu argumentu, tzn. tej która stoi w nawiasie pod znakiem funkcji, np.
f(g) = g 2 ,
f(x-2)
=
(x-2) 2 ,
Dlaczego wykres przesuwa
się
wielkości,
f( -x) = x 2
f(x-n)
=
w prawo?
(x-n) 2 Wyjaśnijmy
to bardziej
szczegółowo.
Przypuśćmy, że na wykresie funkcji y 1 = f(x) znajduje się jakiś punkt charakteryst:vczny x = x 0 , np. w tym punkcie funkcja ma załamanie lub maksimum, !uh po prostu przyjm u ie jakąś określoną· wartość y 0 . Wtedy na wykresie funkcji Y2 = f(x-n) ta wartość y 0 pojawia się, gdy argument funkcji f równy je:"t starej wartości x 0 , tzn. x-n = x 0 • Ale to znaczy, że współrzędne punktu charakterystycznego są teraz następujące: x = x 0 +n, y = f(x). Widać stąd, ie dowolny punkt charakterystyczny wykresu wraz z całym wykresem przc,uwa się w prawo (x = x 0 +n zamiast x = x 0 ). Proszę porównać rys. l 03 'l rys. l 05; jako punkt charakterystyczny wygodnie jest tu wybrać wierzchołek paraboli x 0 = O, f(x 0 ) = (0) 2 = O. Rozważania powyższe są elementarne ale bardzo ważne i należy je dobrze sobie przysw O leży powyżej osi x i ma minimum y = O dla x = n. Dla a < O krzywa leży poniżej osi x i ma maksimum y = O dla x =n.
231
Istnieje jeszcze jedna modyfikacja równania, która nie zmienia krzywej; rozpatrzmy mianowicie funkcję
kształtu
y =a (x-n) 2 +m
Wykres jej różni się od wykresu funkcji y = a(x-n) 2 tylko przesunięciem krzywej w pionie o wartość m. Położenie osi symetrii krzywej nie zmienia się i dla a > O funkcja ma minimum w punkcie x = n, jej wartość w tym punkcie równa jest y = m (razem z całą krzywą, o wielkość m przesunął się. również punkt minimum). Dla a < O punkt (n, m) jest punktem maksimum. Podajemy dwa przykłady: y = (x-3) 2 +2 y
(rys. 106)
= -(x- 3) 2 + 2
(rys. 107)
Oś
symetrii narysowana jest na obu wykresach linią przerywaną. Minimum na rys. 106 i maksimum na rys. l 07 leżą na przecięciu osi symetrii z. krzywą.
IJ
o D
.~---
X
Rys. 106
Rys. 107
Zatem wykresem funkcji y =a (x-n) 2 +m
jest parabola o osi symetrii x = n. Dla a > O minimum funkcji jest w punkcie (n, m), dla a < O punkt ten stanowi maksimum funkcji. Na wykresie minimalna (najmniejsza) wartość y odpowiada punktowi krzywej, który leży niżej od wszystkich innych punktów. Maksimum funkcji y(x) (największa wartość funkcji) odpowiada na wykresie punktowi leżącemu wyzej od innych punktów. Punkt na wvkresie odpowiadający
232
m1mmum albo maksimum funkcji, będziemy nazywać odpowiednio: punktem minimum albo punktem maksimum krzywej. Otwierając nawias w wyrażeniu y = a(x-n) 2 +m otrzymamy
y = ax 2 -2anx+an 2 +m Wyrażenie
postać
to jest wielomianem drugiego stopnia. Ogólna mianu drugiego stopnia jest następująca
wielo-
y = a 1 x 2 +hx+c Wybierając odpowiednie a, n i m w poprzednim wyrażeniu, można je zawsze sprowadzić do powyższej postaci. W tym celu przyrównajmy wyrażenia z x 2 , x oraz wyrazy wolne
-2anx = bx, Z
równości
tych otrzymamy
a 1 =a, Możemy
b
n=-
wobec tego
2a'
b2
m = c- an 2 = c- -
4a
r (C-
napisać tożsamość
aX 2 + bx +C = a (X+
2~
:~ )
+
Na podstawie wykresu paraboli można badać kwadratowego -dla różnych przypadków. Zadanie kwadratowego
rozwiązania rozwiązania
równania równania
ax 2 +bx+c =O można potraktować następująco: rozważmy krzywą
y=ax 2 +bx+c=a(x+ ;ay+(c- ::) punkty jej przecięcia z osią x. W punktach tych y = O, a zatem x odpowiadające punktom przecięcia, są właśnie pierwiastkami równania kwadratowego. Krzywa y = ax 2 +bx+c jest parabolą. Wiemy, że parabola ta ma oś
i
znajdźmy
wartości
symetrii - prostą pionową x
= -
_l:_ oraz dla a > Oparabola ma minimum 2a
i że wartość tego minimum równa jest y
=
c-
_b:_ (patrzymy 4a
stronę ostatniego wzoru, która ma dobrze znaną postać
miona paraboli dla .a > O
są
na prawą
a(x- n) 2 +m). Ra-
skierowane do góry.
233
lj
3
3
2
2
/)
X
Rys. 108 Oczywiście, jeśli minimum leży powyżej osi x, to parabola nigdzie nie przecina o:,! x (rys. 108, krzywa l). A więc je.i:e1i
a> O,
b2
c-->0 4a
to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych*>. Jeśli jednak minimum leży poniżej osi x, a ramiona paraboli skierowane są do góry, to parabola musi przeciąć oś x w dwóch punktach i punkty te są rozmieszczone symetrycznie względem prostej x = n = - _E_ (krzy2a
wa 2 na rys. 108). Zatem dla
a> O, równanie ma dwa pierwiastki (x 1 i x 2 na rys. 108). Rozważmy teraz przypadek pośredni, gdy parabola jest styczna do osi x (krzywa 3 na rys. 108). Przypadek ten zachodzi dla
b2
c--=0 4a Jeśli będziemy przechodzić
stopniowo od krzywej 2 do krzywej 3 do góry, to oczywiście pierwiastki będą się do siebie w momencie styczności. Dlatego w przypadku, gdy
przesuwając parabolę zbliżać
i
nałożą się
*> Na wykresie znajdują się tylko rzeczywiste wartości x i y, diatego zespolone nie odpowiadają żadnym punktom przecięcia na wykresie.
234
też
pierwiastki
c- _Q:_ 4a
=
O, mówimy o pierwia::tku podwójnym lut"> o dwóch równych
(pokrywających się)
pierwiastkach ró\1 nania. W taki sam sposób można przypadek, gdy a < O, kiedy krzywa ma maksimum, a jej końce są skierowane do dołu. Zalecamy Czytelnikov, i, aby sam narysował odpowiednie wykresy i przekonał się, że:
zbadać
b2
gdy a < O, c- 4a2- < O, to nie ma pierwiastków rzeczywistych, b2
gdy a < O, c- - 2 > O, to
są
4a
dwa
różne
pierwiastki rzeczywiste,
gdy a < O, c- !t_= O, to jest pierwiastek podwójny, (dwa jednakowe 4a
pierwiastki). Ogólny wzór na pierwiastki równania kwadratowego ma
-b± x1,2
Równanie ma dwa
różne
postać
vh2=4ac 2a
=
pierwiastki rzeczywiste, gdy
można obliczyć
1/b 2 - 4a~~ czyli gdy b2 -4ac >O Przepiszmy to
wyrażenie następująco
b2 -4ac = -4a(c- ::)
Warunek b2 .:..... 4ac > O jest spełniony w dwóch przypadkach
Są
b2
l)
a> O,
c-- 0 4a
b2
te dwa przypadki istnienia dwóch różnych pierwiastków, które otrzymaliśmy wcześniej badając krzywe opisane równaniem y = = ax 2 +bx+c. Zauważmy, na koniec, że zależnie od znaku współczynnika a przy r w równaniu paraboli, krzywa jest skierowana wypukłością do dołu (a > O) lub do góry (a < 0). Ta własność krzywej nie zależy ani od wartości, ani od znaków współczynników b i c występujących w równaniu paraboli y = ax 2 +bx+c. Określenie wypukłości krzywej jest następujące: ustalamy na krzyw~j to
właśnie
235
dwa punkty A(x 1 , y 1) i B(x 2 , Y2) i przeprowadzamy przez nie prostą. Jeśli część krzywej leżąca między tymi punktami, leży poniżej prostej, to mówimy, że krzywa jest wklęsła. Jeśli część krzywej między tymi punktami leży powyżej prostej, to mówimy, że krzywa jest wypukla. Wypukłość paraboli można określić na podstawie rysunku, ale można ją także wyznaczyć algebraicznie. Rozważmy dwa dowolne punkty x 1 i x 2 • Na paraboli odpowiadają im punkty A(x 1 , y 1 = axi+bx 1 +c) i B(x 2 , Y2 =
=
ax~+bx2 +c). Znajdźmy współrzędne
Geometrycznie dowodzi
punktu M będącego środkiem odcinka AB. odcinki AM i MB są równe (rys. 109),
się, że jeśli
Y
X
Rys. 109
to współrzędne punktu M(x Ym) są nich współrzędnych punktów A i B 11. ,
X
m
Określimy
teraz
Xt
=
+x2 2 '
--~-
współrzędne
takiego, że X11 = Xm = ,X't_+_x~22
=
a(
2 x1 +x 2
Wielkość ( x, ~xz)
2
Ym
=
!lrytmetycznymi odpowied-
Yt +Y2
~-----
2
punktu N(x 11 , y 11 ), Podstawiając x,.
•
leżącego
na paraboli,
= ~ 1 +xz_ do równania, 2
może się przekonać, że
znajdujemy Yn. Czytelnik y,.- Y m
średnimi
)
2
-
(
a
xi +a 2a~) -2
=
-a
(x 1 2-x 2
jest zawsze dodatnia, dla dowolnych
)
2
(różnych)
x 1 i x 2 • A więc jeśli a > O, to Yn < Yn., czyli punkt N na paraboli znajduje się niżej od odpowiadającego mu (o tej samej współrzędnej x) punktu na prostej; parabola jest więc wklęsła. wartości
236
6. Funkcja trzeciego stopnia. Hiperbola.
Okrąg
Rozpatrzymy jeszcze kilka przykładów krzywych, które są obrazami prostych funkcji. Na rysunku 110 przedstawiono krzywą opisaną wzorem
Y= x3+x Charakteryzuje wzrostem x rośnie
się
ona tym, że na dowolnym jej odcinku, wraz ze krzywa wznosi się w miarę przesuwania na
także y;
Y
y=x 3 -x
X
Rys. 110
Rys. 111
prawo. Nie występuje ani maksimum, ani minimum. Jest oczywiste, że taka krzywa przecina oś odciętych tylko raz, w punkcie x = O. Na rysunku 111 przedstawiono krzywą opisaną wzorem
Y= x3-x
(6.1)
Jak widać, w przypadku tej krzywej występują dwa obszary, gdzie y rośnie wraz ze wzrostem x: dla ujemnych x < -0,57 i dla dodatnich x > +0,57. Między nimi, na odcinku -0,57 < x < +0,57 funkcja jest 'malejąca wraz ze wzrostem x maleje y. Występuje maksimum w punkcie x = 0,57, (y = 0,38). Słowo "maksimum" w tym przypadku nie oznacza, że wartość y = 0,38 jest w ogóle największą możliwą wartością funkcji y określonej wzorem (6.1). Łatwo zauważyć, że dla dodatnich x, y przyjmuje dowolnie duże wartości. Czym więc wyróżnia się punkt maksimum (x = -0,57, y = 0,38)?
237
widać z wykresu, wartość y w tym punkcie jest większa od wary w sąsiednich punktach. Punkt maksimum oddziela obszar, w którym
Jak tości
funkcja jest rosnąca (na lewo od maksimum) od obszaru, w którym funkcja maleje (na prawo od maksimum). Takie maksimum nazywamy lokalnym dla podkreślenia, że wartość y w tym punkcie jest większa od wartości y w innych punktach, o ile tylko współrzędne x tych punktów nie są zbyt daleko od x = -0,57. Analogicznie, w punkcie: x = 0,57, y = -0,38 występuje lokalne minimum. Y
4 X
Rys. 112
Na rysunku 112 podano dwa przykłady krzywych opisanych wielomianami trzeciego stopnia. Równanie trzeciego stopnia, które otrzymujemy przyrównując wielomian do zera, w przypadku górnej krzywej ma jeden pierwiastek rzeczywisty, a w przypadku dolnej krzywej- trzy pierwiastki: x 1 = l, x 2 = 2, x 3 = 3. Można łatwo się przekonać, że równanie stopnia trzeciego ma zawsze co n O. Do tej pory, zawsze najpierw określaliśmy y jako funkcję x, a następnie rysowaliśmy odpowiednią krzywą, czyli wykres funkcji. Teraz, na przykładzie okręgu, rozwiążemy odwrotne zagadnienie: mając daną krzywą określimy, jakiej zależności funkcyjnej y od x odpowiada ta krzywa. Zajmiemy się okręgiem o promieniu r i środku w początku układu współ rzędnych. Punkty okręgu są oddalone o r od początku układu współ rzędnych. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa, mamy więc xz+yz = rz
239
Wyrażając
y jako
funkcję
x, otrzymujemy Y=
±
}lrz-xz
Traktując okrąg jako wykres funkcji
y(x), widzimy na podstawie wykresu, jest to funkcja niejednoznaczna: każdej wartości x (o ile lxl < r) odpowiadają dwa punkty na krzywej -na górnym i dolnym półokręgu. Tym dwóm punktom odpowiadają dwa różne znaki pierwiastka kwadratowego. że
Funkcji y = ~~ 2 =~2 odpowiada półokrąg górny, a funkcji y = - V'r 2 -x 2 odpowiada półokrąg dolny. Znajdziemy teraz równanie okręgu o środku w punkcie (a, b). Będziemy postępować formalnie: wiemy, że zastąpienie x przez x-a w zapisie funkcji powoduje przesunięcie wykresu funkcji o a jednostek w prawo, czyli
Y=
± J/rz-(x-a)2
jest równaniem okręgu przesuniętego w prawo o a jednostek, tzn. o środku w punkcie (x = a, y = O) na osi x. Następnie, jeśli do każdej wartości y dodamy taką samą wartość b, to cały wykres zostanie przesunięty w górę o b jednostek*). Czyli szukane równanie okręgu o środku w punkcie (a, b) ma postać
Y=
± Vr 2 -(x-a) 2
+h
W danym przypadku prościej byłoby wyprowadzić to równanie bezpogeometrycznie, korzystając ze wzoru na odległość między punktami (x, y) i (a, b): r 2 = (x-a) 2+(y-b) 2 średnio,
Celowo
wybraliśmy postępowanie
bardziej formalnie, aby na jeszcze jednym w jaki sposób zastąpienie x przez x-a, a y przez y-b powoduje przesunięcie krzywej. przykładzie pokazać,
7. Zmiana skali krzywej jak należy zmienić równanie krzywej, aby krzywa ta została równolegle. Jeśli zastąpimy x przez x+a, krzywa przesuwa się o a jednostek w lewo, jeśli zastąpimy y przez y+b, to k1zywa przesunie się Wiemy
już,
przesunięta
*l Można też powiedzieć, że wykres podnosi się o b jednostek, przez y-b; wówczas otrzymuje się 2 -(x-a) 2 y-b= ±
yr
co jest
240
równoważne
równaniu zamieszczonemu w
tekście.
jeśli
y
zastąpić
o b jednostek w dół. Aby przesunąć krzywą o g jednostek w prawo, należy x przez x-g, aby przesunąć krzywą o h jednostek w górę, trzeba zastąpić y przez y-h. Równanie okręgu o promieniu r i środku w początku układu współ rzędnych, ma postać x 2 + y 2 = r 2 • Równanie okręgu o takim samym promieniu o środku w punkcie: x = g, y = h, tzn. przesuniętego o g jednostek w prawo i h jednostek w górę (położenie wyjściowe- środek w początku układu), ma postać zastąpić
(x-g)2+(y-h)1
=
r1
Jeśli dana jest dowolna krzywa, o równaniu y = f(x), to jednostek w prawo i h w górę, otrzymuje się pisząc
lub
y-11 = f(x-g)
przesunięcie
og
y = h+f(x-g)
Jeśli krzywa dana jest w postaci równania F(x, y) = O, to aby uzyskać takie samo przesunięcie, należy równanie to zastąpić równaniem F(x-g, y-h) =o. Teraz zajmiemy się zagadnieniem, jak należy zmienić równanie krzywej, aby wszystkie jej rozmiary pionowe zwiększyły się C razy?*> Oczywiście, zamiast równania y 0 = f(x) trzeba napisać y 1 = Cf(x), wówczas dJa tego samego x wielkość y 1 jest C razy większa od poprzedniej, czyli C razy większa od y 0 . Jako przykład rozważymy proste przechodzące przez początek układu. Równanie prostej nachylonej pod kątem 45°, w I ćwiartce ma postać
Yo
=X
Równanie y 1 = lOx
odpowiada prostej bardziej stromej, której (dla danego x) rzędna jest większa 10 razy (por. rys. 101). Regułę przejścia od y 0 = f(x) do y 1 = Cf(x) można wyrazić także następująco: w równaniu krzywej y 0 = f(x) zastępujemy y 0 przez
tzn. piszemy ~
,
zależność y 1 od x charakteryzuje się
w celu uproszczenia wykładu będziemy zakładać, że C> 1, 2 razy - to znaczy pomnożyć ją przez 2, ale 0,3 razy znaczy pomnożyć ją przez 0,3, czyli w rzeczywistości zmniejszyć.
*> W dalszym
bo
= f(x). Wówczas
Y~
ciągu,
przecież powiększyć jakąś wielkość
zwiększyć ją
16 Matematyka
wyższa
241
tym, z
że
krzywa y 1 (x) jest" wydłużona" C razy
krzywą
(wzdłuż
pionu) w porównaniu
y 0 (x).
Na pierwszy rzut oka wydaje się, że jest stratą czasu podawanie dwóch różnych sformułowań, których równoważność jest tak oczywista Y1 = Cf(x)
~
= f(x)
Ale drugie sformułowanie, gdzie y 0 zastępujemy przez~~ , stosuje się
c
w przypadku, gdy krzywa jest dana w postaci równania nie rozwią .zanego ze względu na· y, czyli równania w postaci F(x, y) = O. Na przykład, równanie okręgu o promieniu l wygodnie zapisuje się w postaci także
F (x, y)
= x 2 + y5 -l = O "wydłużonej"
Jak otrzymać równanie krzywej nowym (rys. 114 krzywa y 1(x))?
3 razy w kierunku pio-
!! 3
-3
Rys. 114
Z reguły powyżej
sformułowanej
wynika, że w równaniu
zastąpić przez ~!- . Otrzymamy
xz +
Ta krzywa nazywa 242
się elipsą.
( ~1
Y
-l = 0
okręgu należy
y
W naszym
przykładzie
równania
widać, że
vT=-X2
--x
= yi 2 , Y t = 3 y 1 = 3y 0 dla tego samego x. Ale Yo
Istotnie
dają się łatwo rozwiązać
zastąpienie y przez
-"f- prowadzi
reguła mówiąca, że
do "wydłużenia" krzywej C razy w kie-
runku pionowym, pozostaje słuszna i dla krzywych, których równanie F(x, y) = O jest tak skomplikowane, że nie daje się ono rozwiązać algebraicznie względem y, na przykład
x+ y lg Y= O Sformułowanie dotyczące zastępowania y przez _Y. , łatwo przenosi się
c
na współrzędną x. Zastępując x 0 przez x~_ w równaniu krzywej, powodukrzywej wzdłuż osi x C razy, tzn. dla tego samego y x 1 jest C razy większa od wartości x 0 . Zaczniemy nie od dowodu ale od przykładów:
jemy
"rozciągnięcie"
wartość
(por. rys. 101). Pierwsza prosta biegnie pod druga zaś łagodniej. Rozważmy inny przykład: (
~l
2 )
kątem
+ y2 -1
45°
=
względem
osi x,
o
Pierwsze równanie opisuje okrąg o promieniu l, drugie jest równaniem krzywej "wydłużonej" wzdłuż osi x dwa razy. Istotnie, łatwo ll)Ożna się przekonać, że np. krzywa przecina oś x w punktach
Y
= 0,
(
~1
r
-1 = 0,
X1
= ±2
(por. rys. 115).
1
Rys. 115 16*
243
można przeprowadzić rozwiązując
Dowód Y
=f(x
0 ),
y
=t(-~), to
równanie
względem
x:
jeśli
otrzymamy
Xo
xl
- - = q;(y)
=q; (y),
c
przy czym q; jest funkcją odwrotną do funkcji f Ważne jest, że f jest jedną i tą samą funkcją we wzorach z x 0 jak i x 1 • Dlatego q; jest również takie samo dla x 0 i dla x 1 • Przepisując drugą z ostatnich równości w postaci
-~ = q;(y)=>x1 = Cq;(y) otrzymujemy x1(y) co odpowiada
= Cxo(Y)
następującemu sformułowaniu:
jeżeli x zastępujemy przez~ , to krzywa "rozciąga się" C razy wzdłuż osi x.
c
Rozpatrzmy
przykład Xt
Y = l o2
Y = l oXo ' Funkcją odwrotną
do
wykładniczej
jest funkcja logarytmiczna '
x0
=
lg y,
xl
2 =
lg y,
x 1 = 2lg y
Co si.ę stanie, jeśli w równaniu y = f(x) zastąpimy zmienną x przez kx? Aby móc posłużyć się sformułowaną powyżej regułą, przypomnimy regułę dzielenia przez ułamek: mnożenie przez k jest równoważne dzieleniu l
przez T, tzn. kx
=
_!_ l
T
! spełnia rolę wielkości C z poprzednich wzorów. Jeśli, na przykład, k =-}, to ! =2, tzn. C =2, a więc zastąpienie x
To oznacza, że ułamek
0
przez 0,5x 1 odpowiada zastąpieniu x 0 przez~- i prowadzi do "rozciągnię2
cia" krzywej 2 razy 244
wzdłuż
osi x.
Jeśli k = 3, to__!_ = __!_ , czyli C = -31k
3
•
W ten sposób, zastąpienie x
przez 3x oznacza zastąpienie x przez_.!_ . Co to oznacza geometrycznie? 1/3
zajmowaliśmy się
większymi od jedności i wynik sformułowaliśmy następująco: zamiana y -+ Cy w równaniu krzywej, powoduje "rozciągnięcie" krzywej C razy w kierunku
Do tej pory
tylko dodatnimi i
wartościami ~
pionowym, zaś zamiana x
c powoduje
-+ _x_
rozciągnięcie
krzywej C razy
.
w kierunku poziomym. Jeśli C jest dodatnie, ale mniejsze od jedności, tzn. O < C < l, co odpowiada k > l, to zmiana y
-+
_z_ zmieniają się pionowe rozmiary C razy;
[C
.
ale ponieważ C < l, więc zmiana C razy oznacza "ściskanie". Na przykład, gdy C = 0,5, to zmiana rozmiarów C razy oznacza pomnożenie wysokości ~rzez 0,5, czyli podwójne jej zmniejszenie (skrócenie). Analogicznie będzie, jeżeli zastąpimy
x przez ~ : dla O < C < l taka zamiana prowadzi do
c
y1 =sin3x
lj
Rys. 116 "ściśnięcia"
krzywej. Rozpatrzymy jeszcze jeden mamy dwie krzywe Yo
= sin x,
y1
przykład.
Na rysunku 116
= sin 3x
Druga krzywa ma rozmiary poziome trzy razy mniejsze niż pierwsza. Zależność y = sin x jest okresowa: dla x = 27t ~ 6,3 (co odpowiada kątowi 360° w mierze stopniowej); sinus ma taką samą wartość jak i dla x = O; dodanie 27t do dowolnego kąta nie zmienia wartości sinusa kąta. Funkcja y = sin 3x jest też okresowa, ale jej okres jest mniejszy 3 razy: wystarczy, aby x zmieniło się o _3'.:._ ~ 2,1 wówczas 3x (czyli kąt, którego 3
sinus
odkładamy
na osi
rzędnych)
zmienia
się
o 27t, a sinus 3x przyjmuje 245
taką samą wartość
. 3x = sm . 3 ( x+ 32 sm
7t)
Warto przemyśleć na tym przykładzie fakt ogólny, że zastąpienie x przez kx w równaniu krzywej powoduje pomnożenie jej rozmiarów poziomych przez{- . W danym przykładzie k = 3, rozmiary poziome, a więc, w
szczególności, odległość między
punktami na osi x, dla których y
=
O,
została pomnożona przez ~ , czyli zmniejszyła się 3 razy. Przy zastąpieniu x przez kx okres funkcji okresowej zmniejsza się k razy, za to jej częstość, czyli liczba okresów na jednostkę długości, zwiększa się k razy. Jakkolwiek powyższe reguły są bardzo proste, to jednak początkujący (do których adresowana jest ta książka), często. się mylą przy ich użycil,l.. Na koniec zastanówmy się, co się stanie, gdy y zastąpimy przez _ł'_ , Iubx
c
przez_)(_ , w przypadku gdy C jest ujemne. Takiego przejścia można dokonać
c
w dwóch etapaclr: piszemy C= -l·b, gdzie b jest nujemy dwukrotnej zamiany: Y o -+
YJ
Y2
już
dodatnie i doko-
Y2
7J- -+ -:::...-yl} = - b
Zastąpienie y 0 przez~'- , gdy b
> O,
już zbadaliśmy -prowadzi ono
do zmiany rozmiarów pionowych b razy. Pozostaje zbadać, jak działa zmiana znaku y, czyli zastąpienie y przez - y. Dla pojedynczych punktów rozważaliśmy to zagadnienie w par. l. Odpowiedź w przypadku krzywych podajemy bez dowodu: zmiana znaku y powoduje odbicie krzywej względem osi x, a zmiana znaku x powoduje odbicie względem osi y. Rozważmy przykład
F(x,y) = (x-3) 2 +(y-5) 2 -4 =O
Jest to równanie okręgu o promieniu 2, o środku w punkcie (3, 5). Na rysunku 117 przedstawiono okręgi o równaniach F (x, - y) = (x-3) 2 +(- y-5) 2 -4 =O F ( -x, y) = ( -x-3) 2 +(y-5)2-4 =O
F ( -x,- y) = ( -x-3) 2 +(- y-5) 2 -4 =O
246
!J
Q
(:3>\ ~
F(-x,y)=O
F(x,y)=O
o F(-x,-y)=O
Q
X
o
F{x,-y)=O
Rys. 117 widać
ze wzorów, symbol F oznacza we wszystkich przypadkach to uważnie badając pierwszą część wzorów). Łatwo zauważyć, co się dzieje z krzywą (okręgiem), gdy x zamieniamy na - x albo y na - y, oraz przy jednoczesnym zastąpieniu x przez - x i y przez - y. Wnikliwe zrozumienie wyłożonych tu zasad pozwoli czytelnikowi po skonstruowaniu i zbadaniu własności jakiejś krzywej opisanej równaniem Jak
tę samą funkcję (proszę prześledzić
y = f(x) wyobrazić
sobie przebieg wszystkich funkcji postaci
(x-a)
y-b_ -fcl c2
przy czym
F (x, y) = O
lub
stałe
a, b, c 1 , c2
lub
F
(x-a ,
Z=-~-) =
Ct
mogą przyjmować
O
Cz
dowolne
wartości.
Ćwiczenia
l.
Wykreślić
krzywe:
y2 -+--1=0 ' 9 4 x>
(x+W 4
+
(y-5)2 -l =O
9
,
(x-~2.:.._
9
+
(y+5)2 - l = O
4
wykres funkcji x + y -l = O jest okręgiem. Wskazówka. Przy rysowaniu krzywych radzimy. najpierw zaznaczyć środek, punkt najwyższy i najniższy oraz punkty skrajne po prawej i lewej stronie, a następnie od ręki narysować krzywą łącząc kolejne punkty. 2. Narysować krzywą· y = sin x, możliwie dokładnie, biorąc np. x z przedzia;u 1 od -7t do 1t, co 0,257t. Wskazówka l. x jest kątem wyrażonym w radianach, dlatego wygodniel~st wiedząc, że
2
2
l
l 247
brać
takie kąty, które mierzone w stopniach wyrażają się liczbami całkowitymi: = 45°, 0,57r = 90° itd. Można skorzystać z tablic zamieszczonych na końcu rozdziału II, gdzie podano zależność sinusa od kąta mierzonego w radianach. We wszystkich przypadkach należy na osi odciętych odmierzać x w radianach. Wykreślić krzywe: 0,257r
a) y
=
2 sin x,
d) y
=
cos x
e) y
=
cos x+sin x
/) y
=
cos 2 x
g)
y=
b) y = sin 0,5x,
(skorzystać
=
z
tożsamości
=
3 sin 3x
trygonometrycznej cos x
=
sin ( x+ -;- ~)
y2sin ( x+ : )
=
_l_ + _l_ cos 2x 2
c) y
2
=
_l_ +_l_ sin (2x+ _2:._)· 2
2
2
!:..)
sin 2 x =_l_- _l_ sin (2x+ 2 2 2
Wszystkie te krzywe od a) do g), proszę wykreślić przesuwając, y = sin x. 3. Dobierając odpowiednio punkty, zbudować krzywe:
"rozciągając"
lub
"ściskając" krzywą
a) Y=
±{x2 -f
lub y 2 - x 2 +l liczbą urojoną,
=
O, przyjmując wartości x od -5 do + 5, co 0,5. to dla odpowiadającej jej wartości krzywa będzie
Jeśli
y okaże się
nieokreślona
(nie
istnieje). b) Y= 2±y(x~lf2 :..:=j
c) Y= ±yx2 +l
Wskazówka 2. Po przekształceniu tego równania do postaci x 2 -y 2 +l =O, krzywe c) można otrzymać na podstawie krzywej a), zamieniając rolami x i y
widać, że
d) 4y 2 -4y-x 2
=
O
Wskazówka 3. Zapiszmy równanie w postaci
4(y+~r-x 2 -1=0 następnie, przesuwając
i
"ściskając" krzywą
c), otrzymamy żądaną krzywą.
8. Równania parametryczne krzywej
Pane
są wielkości
\
~~eżności
od
ładając
248
x i y
będące
x
funkcjami czasu t, czyli x(t) i y(t), np.
= cos t,
y
= sin t
(8.ł)
te można przedstawić graficznie w postaci dwóch krzywych, w przypadku pierwszej funkcji na osi odciętych czas t, a na
x, a w przypadku drugiej - na osi odciętych czas t, a na - y. Można również rozpatrywać inne zagadnienie. Mianowicie, wyobraźmy sobie, że x i y są współrzędnymi punktu, a każdej wartości t odpowiada określone położenie tego punktu; pytamy: jaką krzywą wyznaczy taki punkt na płaszczyźnie xy, gdy będziemy zmieniać wartości t? Aby odpowiedzieć na to pytanie, można z dwóch równań: x = x(t) i y = y(t) wyrugować wielkość t; otrzymamy wyrażenie, w którym wystąpią tylko y i x, tzn. albo y = y(x), albo F(x, y) = O. Następnie budujemy krzywą biorąc różne wartości x i znajdując odpowiadające im wartości y. Dla podanych wyżej funkcji znajdujemy
osi osi
rzędnych rzędnych
x2 +y2 Y=
±Vl-x2
=
cos 2 t+sin 2 t lub
=
l
x 2 + y 2 -l =O
tak więc, w płaszczyźnie xy krzywa, której punkty mają współrzędne: x = cos t, y = sin t, jest okręgiem. Jednakże, często nawet stosunkowo proste wyrażenia x(t) i y(t) prowadzą, przy próbach wyrugowania t, do tak skomplikowanych wzorów, że nie ma sensu tego robić. Na przykład, jeśli x y
= a 1 t 4 +b 1 t 3 +c 1 t 2 +d 1 t+e 1 = a 2 t4 +b 2 t 3 +c 2 12 +d 2 t+e 2
(8.2)
to, aby wyrugować t, należy rozwiązać równanie czwartego stopnia, co prowadzi do bardzo skomplikowanych wyrażeń. Można oczywiście zbudować krzywą w płaszczyźnie xy nie rugując t; wystarczy brać różne wartości t i dla każdej z nich znaleźć wartości x i y. Wyniki 9dnoszące się do pierwszego przykładu, podano poniżej. - - - - - ------.-----cc-------.----- - - - -
o
t
X= COS
y
t
=sin t
1t
4
1t
2
4
l
0,7 o 1-0,7
O
0,1
---- -------·---
l
31t 1t -l
l
51t
4
l l
~ 2
i }!!_ ! i l 4 ! Z7t i
~-=o.7i~o G~-~-~
-~-~~--o ! -o,7J~T
-o,7l_o_J
Oczywiście, nie ma potrzeby zajmować się wartościami t większymi od 2TI, gdyż wartości x i y będą się powtarzały. Na podstawie tabeli otrzymujemy punkty krzywej. Korzystamy przy tym tylko z wartości x i y.
249
Wartości
t, dla których były obliczane x i y, przy wyznaczaniu punktów potrzebne. Równania opisujące współrzędne punktów krzywej, wyrażone za pomocą parametru t przybierającego dowolne wartości, nazywają się równaniami parametrycznymi krzywej (por. np. (8.1) i (8.2)).
nie
są już
Ćwiczenia
l.
Wykreślić
krzywe, dane w postaci
a) x = cos t, y = sin 2t;
równań
parametrycznych:
b) x = cos t, y = sin 3t
Wskazówka. Ponieważ sin 3t bardzo szybko się zmienia, t dostatecznie bliskie siebie, na przykład: O, 0,1; 0,2; ... 2. Wykreślić krzywe:
więc
trzeba
brać
wartości
y =sin 3t y = sin(5t+l)
a) x = cos 3t,
b) x
3.
=
cos(5t+ 1),
Wykreślić
a) x = cos t,
b)
X
'
krzywe:
= cos t,
V
.
=
COS
(t ' _TC_) 4 -l-
y = cos t
4. Wykreślić krzywą, wzdłuż której porusza się punkt A leżący na okręgu o promieniu l cm, toczącym się po osi x z prędkością l cm/s. W chwili początkowej środek okręgu leży na osi y, a rozpatrywany punkt A w początku układu współrzędnych. Po czasie t środek okręgu znajduje się w punkcie (t, 1), a okrąg obrócił się o' kąt t radianów. Krzywa będąca torem punktu A nazywa się cykloidą.
V.
WYPŁYW
WODY. ROZPAD PROMIENIOTWÓRCZY
T PODZIAŁ JĄDER. POCHŁANIANIE ŚWIATŁA
l.
Wypływ
wody z naczynia -
sformułowanie
zagadnienia
Rozpatrzymy wypływ wody z naczynia, które u dołu ma otwór lub cienką Do naczynia musi dopływać woda z zewnętrznego źródła. Zagadnienie wypływu wody jest bardzo proste, ponadto, aparat matematyczny, który jest niezbędny do jego opisania, stosuje się również w bardziej zło żonych i ciekawszych problemach. Wyobraźmy sobie naczynie, do którego dopływa (lub z którego wypły wa) woda. Objętość wody znajdującej się w naczyniu oznaczymy przez V(cm 3 ). Objętość ta zmienia się w czasie, to znaczy V jest funkcją czasu t(s). rurkę.
Jaki jest sens wielkości dV ? dt
Oczywiście,
dV = V(t+dt)- V(t) jest
ilością
wody, która
wpłynęła
do naczynia w czasie dt; dl-_::_ jest ilością wody, która wpłynęła do naczynia dt
w jednostce czasu, oznacza więc prędkość zmian ilości wody w naczyniu. Wielkość ta nosi nazwę strumienia wody. Strumień będziemy oznaczali przez q(t). Jeżeli q > O to woda wpływa do naczynia; jeżeli q < O, to woda wypływa z naczynia, jej ilość w naczyniu zmniejsza się. Jeżeli znamy zależność strumienia wody od czasu, czyli funkcję q(t), to dV dt
--- = q(t)
(l.l)
W tym przypadku problem znalezienia V jest podobny do ·zagadnienia znajdowania drogi, jeżeli znana jest prędkość. W rozdziale I wyjaśnialiśmy, że zagadnienie to rozwiązujemy za pomocą całkowania. 251
Aby zagadnienie miało dobrze określone rozwiązanie, trzeba zadać wody V0 , która znajdowała się w naczyniu w określonym momencie czasu t 0 . Warunek V = V 0 dla t = t 0 nosi nazwę warunku początkowego. Ilość wody, która wpłynęła do naczynia wczasie od t 0 do t, jest określona ilość
II
przez
J q(t)dt. Ilość wody w naczyniu w chwili t
1
wyraża się więc
wzorem
t,
V(t 1 ) = V0 +
f
q (t) dt
(1.2)
to
Wyrażenie
to jest
określone
dla dowolnej chwili czasu t 1 i dlatego V od t. Zauważmy w szczególności, że dla t 1 = t 0 całka we wzorze (1.2) jest równa zeru i V(t 0 ) = V 0 . Zatem rozwią zanie (1.2) rzeczywiście spełnia nałożone ograniczenie na ilość wody w chwili t 0 (warunek początkowy). Zwróćmy uwagę na to, że ze wzoru (1.2) można korzystać i dla t 1 < t 0 . Znaczenia wzoru dla t 1 < t 0 i t 1 > t 0 są różne. Gdy t 1 > t 0 , to V(t 1) oznacza ilość wody, która będzie w naczyniu w chwili t 1 , jeżeli w chwili t 0 zawierało ono wodę o objętości V 0 , a strumień wody jest określony przez funkcję q(t). Gdy t 1 < t 0 , to V(t 1 ) oznacza ilość wody, która powinna znajdować się w naczyniu w chwili t 1 po to, aby później w chwili t 0 znajdowała się w nim objętość wody V0 przy strumieniu q(t). Zamiast t 1 można po prostu pisać t. Wówczas wzór ( 1.2) przyjmuje całkowicie określa .zależność
postać t
V(t) = V0
+
I q (t) dt
(1.3)
to
Mówiąc ściślej, litera t oznacza górną granicę całkowania i jest już wykorzystana. Dlatego zmienną całkowania należałoby oznaczyć jaką kolwiek inną literą, na przykład, -r i pisać (1.3) w postaci t
V(t) = V0
+
I q(-r) d-r to
co pokrywa się z (1.2), jeżeli w (1.2) zamienimy t 1 na t oraz t na -r. Na ogół jednak nie robi się tego i wzór piszemy w postaci (1.3). Nie prowadzi to do nieporozumień. Pamiętać należy jednak, że w (1.3) q(t) nie jest wartością q w górnej granicy całkowania, a jest funkcją zmiennej całkowania przebiegającą wszystkie wartości od t 0 do t. Wzór (1.3) będący rozwiązaniem zagadnienia o wypływaniu wody, jeżeli dany jest strumień q(t) i ilość wody w chwili początkowej t = t 0 ,
252
można otrzymać
definicji
w wyniku innych mamy
rozważań.
Z
równości
(1.1), na mocy
całki nieokreśłonej,
V(t) =
f q (t) dt
Założymy, że w pewien
Oznaczmy
sposób obliczyliśmy całkę nieoznaczoną z funkcji q(t). przez /(t). Wówczas
ją
f q (t) dt = I (t)+ C gdzie C jest
stałą całkowania. Stąd
V(t) =I (t)+C
(1.4)
Aby wyznaczyć stałą całkowania, skorzystamy z warunku początkowego, tzn. zażądamy, aby dla t = t 0 zachodziła równość V= V 0 • Podstawiając w (1.4) t= 10 , otrzymujemy V 0 = l(t 0 )+ C, skąd C= V 0 -l(t 0 ). Podstawiając wartość C do (1.4), otrzymujemy V(t) = V 0 +I(t)-I(t 0 ) Jest to zgodne ze wzorem (1.3), mamy bowiem t
!t
J q(t)dt=I(t)] to
=
I(t)-I(t 0 )
i lO
Wyrażenie
(1.4) można nazwać ogólnym rozwiązaniem równania (1.1). C różne wartości, ze wzoru (1.4) można otrzymać różne rozwiązania szczególne odpowiadające różnym warunkom początkowym. Na ogół jednak strumień jest nieznaną funkcją czasu. Częściej znamy prawo fizyczne charakteryzujące wypływanie wody, które podaje zależność strumienia od parcia wody, to znaczy od wysokości z słupa (poziomu} wody (rys. 118). Nadając stałej
253:
Na
przykład,
wypływa
gdy woda
przez
cienką długą rurkę,
to
q= -kz :gdzie
współczynnik
wypływa.
k jest
Gdy woda
dodatnią stałą,
wypływa
znak minus oznacza, że woda przez otwór w cienkiej ściance, to
q=
-aV:z
W obu tych przypadkach zagadnienie nie jest jeszcze rozwiązane, nie znamy zależności poziomu wody w naczyniu od czasu z(t), a więc nie .znamy i strumienia. Dlatego problemu znalezienia V na podstawie równania dV dt
- -- = q (z)
(l. S)
nie można sprowadzić do poprzedniego przypadku. Sformułowaliśmy dopiero problem w ogólnym przypadku, dla dowolnej zależności strumienia q -od z. Równanie (1.5) zawiera dwie nieznane wielkości: ilość (objętość) wody V i poziom wody z. Oczywiście wielkości te nie są niezależne. Określonemu poziomowi wody odpowiada określona ilość wody, tak że V jest znaną funkcją*> zmiennej z: V(z). Podstawiając V(z) do równania (1.5), znajdujemy dV(z) d V (z) = -------. -dz = q (z) dt dz dt
~--
Pochodna wysokości
objętości
po wysokości jest równa powierzchni przekroju na z (por. wzór (4.8) z rozdziału I). Pochodną tę oznaczymy
przez S(z) d V( z)
---- =S (z) dz
*l Postać tej funkcji jest określona przez kształt naczynia. Na przykład, dla naczynia cylindrycznego: V = rcr ~ z; dla naczynia stożkowego (rys. 118): V =
= -~- S(z)z, gdzie
jest promieniem przekroju na poziomie z. Z r(z) = r 0
mamy
.254
-1-, gdzie r
więc
0
wysokości
=
n-r 2 (z), a r(z)
podobieństwa trójkątów
otrzymujemy
S jest polem przekroju naczynia na
z, S
jest maksymalnym promieniem naczynia·, a h jego
V=-}· ~~-z 3
•
wysokością.
Ostatecznie otrzymamy
dz
S (z) dt Metodę rozwiązywania
2.
= q (z)
tego równania omówimy w
równania od funkcji szukanej
różniczkowego
wypływu
sprowadziliśmy
Rozwiązanie
Problem
(1.6}
wody
nania, w którym pochodna
~;
jest
dz
=
paragrafie.
w przypadku, gdy pochodna
zależy
do znalezienia funkcji z(t) z rów-
funkcją
S (z) dt
następnym
zmiennej z
q (z)
Przepiszmy to równanie w postaci!!!_= dt
_'!J!L. S(z)
Oznaczmy
q (z) S(z)
= f(z);
wówczas ostatecznie otrzymamy
.!!!__ = f(z) dt
(2.1}
Równania zawierające szukaną funkcję i jej pochodne, nazywają się równaniami różniczkowymi. Jeżeli równanie zawiera tylko pierwszą pochodną, to nazywa się ono równaniem pierwszego rzędu. Z najprostszym równaniem różniczkowym w postaci dz
-
dt
=f(t)
do czynienia. Rozwiązać takie równanie - znaczy znaleźć jej pochodną. Rozwiązujemy je za pomocą całkowania. Rozpatrzmy równanie (2.1 ). Przepiszmy je w postaci
mieliśmy już
funkcję znając
(2.2) Zapis taki odpowiada temu, że w trakcie rozwiązywania naszego problemu chwilowo będziemy rozpatrywali t jako funkcję zmiennej z, tzn. będziemy szukali funkcji odwrotnej t(z) (por. par. II.2, w szczególności wzór 11.2.3), a gdy ją znajdziemy, wyrazimy z przez t. Całkujemy lewą i prawą stronę 255-
równania (2.2)
stąd
mamy z
t= t 0 +
f
dz f(z)
zo
(2.3)
'Otrzymaliśmy rozwiązanie
naszego problemu: z prawej strony jest funkcja zmiennej z, a z lewej - czas t. Taka równość pozwala dla każdej wartości t znaleźć odpowiadające z. Rozwiązanie (2.3) spełnia warunek początkowy .z = z 0 przy t = t 0 (w chwili początkowej t = t 0 dany jest poziom wody w naczyniu z 0 ). Na zakończenie tego paragrafu rozpatrzmy dwa przykłady l. Woda wypływa ze stożkowego naczynia przez cienką rurkę:
1 r~ V=-1t-Z 3 3 Jt2
q=- k z, d V = S ( ) = 1tr~ 2 dz z Jt2 z '
dz
dt
q (z) S(z) = - 1tr~z 2
=
Tir~
---zdz = dt ' kh 2
W tym
przykładzie
nie jest trudno
z -= 2
2
z~
-~--
2
wyrazić
z jako
funkcję
kh 2 - - ( t - t0 ) Tir~
-.Jll z~- -7trg-(t-t 2kh 2
z= Wzór ten jest ogólnym dz
dt - -
rozwiązaniem
(2.4)
0)
Łatwo sprawdzić, że
zagadnienia.
1
kh 2 ~r~
·
zmiennej
- - 2 - 2kh 2 ~---
Zo- nr~ (t-to)
kh 2 -
;..r~
z
czyli z rzeczywiście spełnia równanie. Oczywiście dla t = t 0 , mamy z = z 0 • Wyrażenie (2.4) pozwala na znalezienie chwili, w której naczynie zostanie -opróżnione:
:256
z= O dla t=
t0
+ ~ rz-"--2 kh
zZ
·_o .
2
wypływa
2. Woda przypadku
V(z)
z naczynia cylindrycznego przez dV
= 1tr6 z,
2
dz
dt = 1tr 0 dt =
rurkę.
W tym
-kz
stąd 2
-7tr 0 -
dz
=
z
kdt
-m·6 (In z- In z 0 ) = -7tr6 In__!_ In~ = k (t- t 0 ) Korzystając
z (2.5)
łatwo można wyrazić
In z= lnz 0
-
-
z0
z
z jako
funkcję
(2.5)
t. Istotnie
k 2-(t-t 0 ) 7tro
skąd k
- "7t,T (t-to)
z = z0 e
0
Rozpatrzymy dwie chwile czasu t i t+Llt i znajdziemy stosunek z (t+Llt) z (t)
k
Z
(
t+ LJA t )
----=e z (t)
- - (t+.dt-to-t+to)
1tr5
- 7tl:ij-
= e
Widzimy, że stosunek ten zależy tylko od Llt, a nie zależy od t. Zatem, dla jednakowych odstępów czasu stosunek ten jest stały. Interesująca jest różnica między drugim przypadkiem a pierwszym, mianowicie w drugim rozwiązaniu nie ma takiej chwili czasu, dla której z byłoby dokładnie równe zeru. Z upływem czasu z maleje, ale do zera zbiega tylko przy t ~ oo. 3. Rozpad promieniotwórczy
Podstawowe prawo rozpadu promieniotwórczego stwierdza, że stosunek liczby atomów, które rozpadły się w jednostce czasu do ogólnej liczby atomów, jest wielkością stalą, zależną tylko od rodzaju atomów. Przy tym zakłada się, że atomów jest bardzo dużo. Wspomniany stosunek nazywa się prawdopodobieństwem rozpadu. Oznaczmy przez N(t) ilość atomów, które do chwili t nie uległy rozpadowi. 17 Matematyka
wyższa
257
W chwili czasu t+dt będzie N(t+dt) atomów, które się jeszcze nie rozpadły. Zatem w ciągu czasu dt (od chwili t do t+ dt) rozpadło się N(t)- N(t+ dt) = = -dN atomów. Prawdopodobieństwo rozpadu jest więc równe OJ = -dN Ndt-'
=
skąd
dN
dt =
(3.1)
-OJN
Na podstawie tej zależności oraz pamiętając, że wymiar dN jest taki jak
dt N wymiar stosunku--, widzimy, że prawdopodobieństwo rozpadu OJ ma t wymiar 1 *l s
Warunek początkowy sprowadza się teraz do określenia liczby atomów w chwili początkowej N = N 0 dla t = t 0 • Rozwiązując równanie (3.1) sposobem omówionym w poprzednim paragrafie oraz korzystając z warunku początkowego, otrzymujemy N (t) = N 0
(3.2)
e-rot
(rachunki pozostawiamy czytelnikowi). Gdy pochodna jest proporcjonalna do szukanej funkcji, to można zaproponować prostszy sposób rozwiązania równania. W rozdziale II wyjaśniliśmy, że pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna do tejże funkcji, tzn. d (ax) - const · ax ([Xw
szczególności
*> Zatem tutaj prawdopodobieństwo ma nieco inny sens niż wówczas gdy mówimy, np. że przy rzucie monetą prawdopodobieństwo "wyrzucenia" orła jest równe jednej drugiej. Określenie prawdopodobieństwa rozpadu jako stosunku liczby atomów, które rozpadły się w jednostce czasu, do początkowej liczby atomów, ma sens tylko wówczas, gdy liczba rozpadów w jednostce czasu (np. w sekundzie) jest małą częścią ogólnej liczby atomów. Dokładnie, prawdopodobieństwo rozpadu określa się czasami
wzorem w
=
-
dN , to znaczy praw d opo d o b"1enstwo rozpa d u Jest . rowne stosun k ow1. Ndt
liczby rozpadów w odstępu czasu.
258
o
ciągu małego odstępu
o
czasu do ogólnej liczby atomów i
długości
jeżeli
Ci k
są stałymi. Znając tę własność
że rozwiązanie
równania (3.1) ma
funkcji
wykładniczej założvmv,
postać
N= Cekt i dobierzemy C i k tak, aby spełnione Różniczkując (3.3) otrzymujemy
było
(3.3) równanie i warunek
początkowy.
dN = Ckekt = kN dt
podstawiając
to do (3.1), otrzymamy kN = -wN, skąd k = -w. Podstaw (3.3) t = O i korzystając z warunku początkowego otrzymujemy C= N 0 , a zatem N= N 0 e-"'1•. Wielkość -wt, która występuje w wykładniku potęgijest bezwymiarowa, tak jak być powinno. Atomy promieniotwórcze charakteryzuje okres połowicznego rozpadu T- jest to czas, w którym liczba atomów N w wyniku rozpadu zmniejsza się o ,połowę w porównaniu z początkową liczbą atomów. Określimy okres połowicznego rozpadu T. Ze wzoru (3.2) N(T) = wiając
= N 0 e-wT. Z drugiej strony, z definicji N(T) =_l_ N 0 , zatem N 0 e-wT = 2
.
= ~ N 0 , czyli e-wT =+,'skąd
T= In 2 ~ 0,69
-wT = -ln2, Okres
w
w
(3.4)
połowicznego
rozpadu jest odwrotnie proporcjonalny do prawdorozpadu. Każdy atom, zanim ulegnie rozpadowi, istnieje przez jakiś czas; czas ten nazywamy czasem życia atomu. Znajdziemy średni czas życia t atomu danego pierwiastka promieniotwórczego. Przypuśćmy, że w chwili t = O jest N 0 atomów. W czasie od t do t+ dt rozpadowi uległo podobieństwa
-dN
=
wNdt
atomów. Wszystkie atomy tej grupy żyły tak samo długo, ich czas życia wynosi t. Wśród wybranych w chwili początkowej atomów znajdują się grupy atomów, które powinny przeżyć różne okresy czasu od wspólnego momentu początkowego do różnego dla różnych atomów, momentu rozpadu. Aby obliczyć średni czas życia należy pomnożyć czas życia każdej grupy atomów przez liczbę atomów w grupie, dodać otrzymane dla różnych 17•
259
grup atomów wyniki i podzielić otrzymaną atomów we wszystkich grupach.
wartość
przez
sumę
Ponieważ dodawać będziemy dużą liczbę składników,
zajmie
całka,
zatem
t=
wszystkich
miejsce sumy
ro fo twN dt ---'-cro:-::----
(3.5)
J wNdt
o
Podstawimy tu za N
ro"
wyrażenie
J wN dt = o
Jro w N
0
(3.2). W mianowniku otrzymamy
e-wt e-wr d(= -w N 0 - w
o
lro = N
0
o
tego należało oczekiwać, ponieważ całka w mianowniku podaje sumę wszystkich atomów, które uległy rozpadowi, która jest oczywiście równa liczbie atomów w chwili początkowej. Całkę występującą w liczni.ku bę dziemy obliczali całkując przez części, przyjmując t =f, e-wr dt = dq. Mamy
= wNo [
-
_!__t e-wt -_l_ e-wr]ro W2
w
o
Ze wzoru (3.5) otrzymamy teraz -
N0 wNo
l w
(3.6)
t=--=Korzystając
z tego wyniku
możemy
równanie (3.1) i jego
rozwiązanie
(3.2)
zapisać następująco
dN
dt-
N
(3.7)
t
N= N 0 e Należy
t
(3.8)
przy tym pamiętać, że czas t jest zmienną niezależną, liczba atomów zależy od t. Wielkość t jest stąłą charakteryzującą dany rodzaj atomów promieniotwórczych.
260
Ze wzoru (3.8)
widać, że
w czasie t =
t
liczba atomów zmniejsza
się
od N 0 do N 0 e- 1 =~czyli ·e razy, w przybliżeniu 2,72 razy. Zgodnie e
z (3.7),
początkowa prędkość
rozpadu jest taka, że gdyby liczba atomów rozpadowi w jednostce czasu nie malała, to wszystkie atomy rozpadowi w czasie t. Istotnie, w chwili t = O było N 0 atomów
ulegających uległyby
i
prędkość
rozpadu d N \ dt
N_o • Przy takiej szybkości wszystkie a to-·
= -
t
t=O
my rozpadłyby się w ciągu czasu
t.
Ze wzoru (3.4) mamy w =_!_n_~_, dlatego T
T t= ln 2 :::::: 1,45T W obliczeniach wygodniej stosować
t
niż
okres połowicznego rozpadu.
Ćwiczenia
l. Średni czas życia radu wynosi 2400 lat. Obliczyć okres połowicznego rozpadu radu. 2. Początkowo mieliśmy 200 g radu. Ile go zostanie po upływie 300 lat? 3. W ciągu 500 lat rozpadło się 10 g radu. Ile go było początkowo? 4. Obliczyć, w ciągu jakiego czasu rozpadnie się: 1%, 10%, 90%, 99% początkowej ilości radu. 5. Zawartość radu w różnych skałach (na Ziemi), średnio jest r"ówna około 1/10 12 (chodzi o ilość atomów). Jaka była zawartość radu 10 000 lat temu, 10 6 lat teinu 5· 10 9 lat temu (5·10 9 lat to wiek Ziemi)?
4. Pomiar
średniego
czasu
życia
atomów pierwiastków promieniotwórczych
Średni czas życia
t różnych atomów promieniotwórczych jest różny. Na znamy kilka izotopów uranu. Jeden z nich o ciężarze atomowym 238(U 238 ) żyje średnio t = 7 ·10 9 lat. Inny izotop, U 23 S, żyje średnio t = 10 9 lat (ten właśnie izotop jest wykorzystywany jako paliwo jądrowe w elektrowniach atomowych). Średni czas życia radu wynosi natomiast 2400 lat*>. · Nie należy wyciągać z tego wniosku, że średni czas życia wszystkich promieniotwórczych atomów mierzy się w tysiącach Jat. Wśród promieniotwórczych substancji spotykanych w przyrodzie i zbadanych już przez przykład,
*> W tablicach fizycznych
często
podaje
się
okres
połowicznego
rozpadu T==
= 0,69(, por. par. 3.
261
małżonków
Curie i Ernesta Rutherforda, spotykamy polon o średnim 200 dni, rad A o średnim czasie życia 4 minuty i rad C' ze średnim czasem życia 2 · 10-4 sekund. W ciągu ostatnich 30 lat w związku z rozwojem fizyki jądrowej i wykorzystaniem energii jądrowej odkryto bardzo dużo (ponad 400) różnych promieniotwórczych substancji o bardzo różnych średnich czasach życia. Jeżeli w chwili t mamy N(t) atomów, to w jednostce czasu rozpada się n(t) = OJN(t) atomów. Wielkość n(t) opisuje szybkość rozpadu atomów. Pomnożymy obie strony równości (3.2) przez OJ. Otrzymamy czasie
życia
OJN
=
OJN 0 e-wt
n (t)
=
n 0 (t) e-wt
lub (4.1)
rozpadu w chwili początkowej. czas życia pierwiastka jest duży, to nie udaje się doświad czalnie sprawdzić wzoru (3.2). Rozpatrzmy uran 238. Współczesne metody pomiarowe pozwalają rejestrować rozpady poszczególnych atomów promieniotwórczych. Okazuje się, że w jednym gramie U 238 w ciągu każdej sekundy następuje 1,2· 104 rozpadów. Jeden gram U 238 zawiera ,2,5· 10 21 atomów, dlatego gdzie n0 (t)-
szybkość
Jeżeli średni
OJ =
_!_.3 ·104 = 2,5·10 21
5 ·10-18 _!_ s
Korzystając z (3.6) znajdujemy t = 2i~;,\o;: = 2·10 17 s = 7 ·10 9 lat. Przypuśćmy, że w ciągu 10 lat obserwujemy proces rozpadu uranu. W tym czasie w jednym gramie rozpada się około 4·10 12 atomów. Wykazanie, że zamiast 2,5·10 21 zostało 2,5· 10 21 -4·10 12 atomów, byłoby bardzo trudne. Przeprowadzając jednak doświadczenia z promieniotwórczymi substancjami o niezbyt długich średnich czasach życia (od kilku minut do kilku dni), można z dużą dokładnością sprawdzić wzór (4.1), a tym samym potwierdzić wzory (3.1) i (3.2). Można postępować w sposób następujący: Będziemy obliczać liczbę rozpadów w ciągu krótkich odstępów czasu. Dzieląc liczbę rozpadów przez długość odcinka czasu otrzymamy szybkość rozpadu w różnych chwilach czasu. Sporządzimy wykres zależności szybkości od czasu. Otrzymamy linię krzywą. Jak przekonać się, że krzywa ta jest wykresem funkcji wykładni czej? W tym celu obliczymy logarytmy otrzymanych wartości szybkości
262
rozpadu i zrobimy teraz wykres zależności In n od czasu t. Powinniśmy w wyniku linię prostą, co można łatwo sprawdzić. Liczne doświad czenia faktycznie dają prostą. W takim razie In n(t) jest liniową funkcją czasu, tzn.
otrzymać
= a+bt n(t) = ea+bt = eaebt = cebt. Na wykresach b ma Inn(t)
Oznacza to,
że
(4.2) wartość
ujemną b =
-w, gdzie w jest prawdopodobieństwem rozpadu. Za tein doświadczenie potwierdza główny wynik poprzedniego paragrafu i pozwala wyznaczyć w przez obliczenie tangensa kąta nachylenia prostej (4.2) do osi t. Trzeba zaznaczyć, że ten wynik w istocie jest niezwykle zadziwiający*>. Wyobraźmy sobie N 0 atomów promieniotwórczych przygotowanych jednocześnie w chwili początkowej t = O. Wszystkie one zostały przygotowane jednocześnie taką samą metodą. Wiemy, że atomy promieniotwórcze są nietrwałe i mogą się rozpadać. Można sądzić, że rozpad atomów wymaga pewnego czasu. Wyobraźmy sobie, że po ich przygotowaniu atomy powinny w jakiś sposób dojrzeć do rozpadu. W takim przypadku należałoby oczekiwać, że wszystkie atomy będą, nie rozpadając się, dojrzewać tak samo długo i po tym czasie jednocześnie się rozpadną. Wyobraźmy sobie pewien model dział z naciągniętymi sprężynami i z kołami zębatymi (lub mechanizmem zegarowym), które mogą przy pewnym po~.:>żeniu kół zębatych (lub mechanizmów zegarowych) zwalniać sprężynę i wyrzucać pociski. Wystrzelenie pocisku nazywać będziemy rozpadem działa. Przy jednakowej konstrukcji wszystkich dział przygotowanych w tym samym czasie, pociski zostaną wyrzucone po upływie jednakowego czasu. Taki obraz rozpadu działa nie ma nic wspólnego z rzeczywistym zachowaniem się promieniotwórczego atomu. Przygotowane w tym samym czasie atomy rozpadają się w różnych chwilach czasu. Obliczmy np. ile procent atomów ulega rozpadowi w czasie krótszym od średniego czasu życia. Na podstawie wzoru (3.2) otrzymujemy szybkość rozpadu (liczbę atomów rozpadający_ch się w jednostce czasu): dN = dt
*l
Niels Bohr mówi o tym w
wykładzie
o przemianach promieniotwórczych
(I 905 rok): "Sens dyskusji o średnim czasie życia atomów bez wskazania konkretnej
chwili czasu, sprowadza się do tego, że można powiedzieć, nie starzeją się one do momentu, zanim nie zaczynają się rozpadać i w takim razie możliwość rozpadu jest taka sama w dowolnej chwili ich życia".
263
-wN0 e-w 1• W
ciągu
dN
czasu dt rozpada
-dt
·dt
= dN =
się
-wN0 e-wtdt
atomów, a w czasie od t = O do t = t rozpada się t
M,;" -
f wNo e-wtdt = -No e-wt o
o
.. p . . atomow. omewaz w
l =-=-, t
.
w1ęc
M= N 0
(1- +)~
0,63N 0
Znaczy to, że w ciągu czasu t mniejszego od t rozpada się 63% atomów. W analogiczny sposób obliczamy, że w czasie od t do 2t rozpada się 23% atomów, a w odstępach czasu większych od 2t, 14% atomów.
(2)
Jt
t
Rys. 119
Na rysunku 119 przedstawiono równocześnie wykresy ilości rozpadów w jednostce czasu dla atomów promieniotwórczych (I) i dla modelu dział (2). Wykres dla modelu dział ma pewną "szerokość". Wynika to stąd, że działa zostały przygotowane niezupełnie jednakowo i dlatego wystrzelą niedokładnie jednocześnie. Im dokłal:lpiej przygotowuje się działa; tym krzywa (2) na rys. 119 będzie "węższa". Powierzchnia pod krzywą (I) reprezentuje ogólną liczbę atomów, które uległy rozpadowi, powierzchnia pod krzywą (2) -liczbę wszystkich dział. Można przygotować tyle samo dział co atomów. Wówczas obie krzywe będą ograniczały takie same pola. 264
Odcięta środka cięzkości obu krzywych jest tez taka sama*>, co oznacza, ze rozpatrujemy takie działa, dla których średni czas zycia (do wystrzału) jest taki, jak średni czas :życia rozpatrywanych atomów promieniotwórczych. Aby osiągnąć zgodność krzywych, wzięliśmy tyle samo dział co atomów i z takimi mechanizmami, aby ich średni czas :życia był taki samjak atomów. Tym niemniej otrzymaliśmy krzywe znacznie rózniące się. Doświadczenia z promieniotwórczymi jądrami z absolutną pewnością odrzucają ten typ krzywej, który otrzymujemy dla naszych· dział. Im dokładniej przeprowadzimy doświadczenia, tym dokładniej potwierdzi się prawo (3.2). Porównanie z modelami dział posłuzyło nam do tego, aby nie przyjmować zalezności (3.2) jako takiej, która musi zachodzić i jest naturalna dla rozpadu promieniotwórczego, lecz aby wywołać zdziwienie i ciekawość i doprowadzić do pytania: Dlaczego właściwie rozpad promieniotwórczy przebiega w taki sposób? Jakijest sens fizyczny prawdopodobieństwa rozpadu? W początkach naszego wieku przypuszczano czasami, ze rozpad promieniotwórczy wymaga jeszcze pewnego zewnętrznego działania, na przykład jakiejś padającej z zewnątrz cząstki. Wówczas mozna było wyobrazić sobie, ze jeden atom rozpadł się wc:r:eśniej, a inny później, w zalezności od tego, w który atom wcześniej uderzyła cząstka. Hipotezy tej nie potwierdzają fakty; rozpad promieniotwórczy przebiega z jednakową szybkością w bardzo róznych warunkach, nie zale:ży od temperatury i zderzeń między atomami, nie zale:ży od wpływu promieni kosmicznych; przy rozpadzie promieniotwórczym dokładnie ~achowuje się energia, co tez przeczy jakiemukolwiek zewnętrznemu działaniu przy rozpadzie. Według innej hipotezy, w rzeczywistości, w chwili początkowej, gdy przygotowywaliśmy atomy promieniotwórcze, nie były one jednakowe i dlatego rozpadły się w róznym czasie. To przypuszczenie odpowiada obrazom modeli dział, które zaopatrzone są w mechanizmy zegarowe róznie nastawione. Zakłada się tez, ze dokładna znajomość stanu kaZdego atomu całkowicie określa jego przyszłość i w szczególności, dokładnie określa kiedy on się rozpadnie. Jezeli atomy rozpadają się w róznym czasie od momentu przygotowania, to znaczy, ze było to juz określone w momencie narodzin: atomy tego samego materiału promiertiotwórczego zostały niejednakowo przygotowane, rózne czasy zycia zostały określone
*> W paragrafie VI.15
wykażemy, że
wynika to ze wzoru (3.5).
265
przy ich przygotowywaniu. Taki punkt widzenia też nie wytrzymuje krytyki, bowiem przy każdej konkretnej metodzie otrzymywania atomów pierwiastka promieniotwórczego powinno się otrzymywać inną zależność szybkości rozpadu od czasu, a takiemu założeniu przeczy doświadczenie. Jeden i ten sarn rodzaj atomów promieniotwórczych można otrzymać różnymi metodarni: na przykład atomy Mo 99 (molibden o ciężarze atomowym 99) otrzymuje się w reaktorach atomowych przy podziale uranu. Takie same atomy otrzymywano wcześniej działając jądrami ciężkiego wodoru (deuteru) na atomy zwykłego, występującego w przyrodzie, niepromieniotwórczego molibdenu. Obecnie można podać wiele takich przykładów, w których jeden i ten sam rodzaj atomów promieniotwórczych otrzymuje się różnymi sposobami. Doświadczenie wykazuje, że niezależnie od metody otrzymania atomów, zawsze szybkość rozpadu jest określona wzorem (3.2), ze stałą wartością w charakteryzującą dany rodzaj atomów. Zatem doświadczenie potwierdza faktycznie podstawowe równanie
dN
-=-wN dt
Równanie to mówi bardzo wiele: wszystkie promieniotwórcze atomy takie same. Prawdopodobieństwo rozpadu .nie zależy od tego, jak i kiedy zostały one otrzymane. Otrzymane niedawno 100 atomów rozpada się tak samo jak i 100 atomów, które pozostały z przygotowanych uprzednio 10 6 atomów po odczekaniu tak długo, aż pozostało z nich tylko 100 atomów*>. Cóż w tym dziwnego, że 100 atomów o danym ciężarze atomowym i liczbie elektronów są zawsze takie same? Jeżeli są to atomy niepromieniotwórcze, to nie ma się czemu dziwić, ale w przypadku atomów promieniotwórczych trzeba się dziwić przypominając sobie, że ze 100 atomów 63 rozpada się w czasie t, a pozostałe 37- po upływie czasu t, to znaczy, należy są dokładnie
*> Charakterystyczną cechą funkcji wykładniczej jest to, że część krzywej będącej jej wykresem, jest podobna do całej krzywej. Istotnie, niech N= N 0 e-"''· W chwili t= t1o N= N'= N 0 e-w•,. Rozpoczniemy teraz nowy pomiar czasu od momentu t h czas odczytywany od tego tnomentu oznaczymy przez T, T= t-t h t= t, +T. Wówczas N= N 0 e-wr = N 0 e-w Będziemy rozpatrywali najprostszy przypadek metalicznego ·uranu 235, bez grafitowej domieszki powodującej harnowanie neutronów.
280
Podział jądra następuje, w przybliżeniu, w połowie wszystkich przypadków trafienia neutronu w jądro uranu 235. W pozostałych przypadkach neutron zostaje wyemitowany, pozostawiając jądro w stanie początkowym i przy tym liczba neutronów nie ulega zmianie. Jądro uranu można uważać za kulę o promieniu R wielkości rzędu 10- 12 cm. Jak często neutron biegnący wewnątrz metalu trafia w jądro uranu? W ciągu krótkiego czasu dt neutron przebywa drogę vdt. Wyobraźmy sobie walec, którego osią jest prosta, po której porusza się neutron; promień walca jest równy promieniowi jądra uranu R. Neutron będzie się zderzać z tymi jądrami, których środki znajdować się będą wewnątrz walca. Jeżeli środek jądra znajduje się wewnątrz walca, to tor neutronu przechodzi od środka jądra w odległości mniejszej od R, dlatego neutron zahacza o jądro· i trafia w nie. Objętość walca jest równa
1tR 2
V
dt
W metalicznym uranie, w jednostce objętości zawartych jest N atomów, a zatem i N jąder (wymiarem N jest I/cm 3 ). Dlatego w interesującej nas objętości 1tR 2 vdt mamy N1tR 2 vdt jąder. Ile będzie trafień neutronu w jądro w ciągu krótkiego czasu dt? Nie każde trafienie neutronu wywołuje rozpad jądra. Niech et będzie częścią tych przypadków trafienia neutronu w jądro, kiedy trafienie wywołuje podział jądra (w przypadku uranu 235- et ::::i 1/2). Wówczas liczba rozpadów w ciągu czasu dt jest równa Net1tR 2 v dt Wielkość
et1tR2 mająca wymiar powierzchni, ponieważ et i 1t są bezwymiarowe, nazywa się przekrojem czynnym rozpadu i oznaczana jest uf*>. Jeżeli wewnątrz metalicznego uranu znajduje się n neutronów, to liczba podziałów w czasie dt wynosi nNufvdt
Przy każdym podziale powstaje v neutronów w wyniku pochłonięcia jednego neutronu. Zatem zmiana liczby neutronów przy każdym podziale wynosi v-1. Obliczonej wyżej liczbie podziałów odpowiaca zmiana liczby neutronów dn = nN(v-1)ufvdt •> a- grecka litera sigma.
fission
Wskaźnik
f jest
pierwszą literą
(8.1) angielskiego
słowa
(podział jądra).
281
Stąd
otrzymujemy
dn
dt = nN (v-1) Oj V Oznaczmy (8.2)
N(v-1)ajV =a
wówczas
dn dt
-=an
Jak wiemy,
rozwiązaniem
tego równania jest n (t)
=
(8.3)
n 0 e"t
gdzie n 0 jest liczbą neutronów zawartą w układzie w chwili t = O. Zatem, jeźeli liczba neutronów w układzie zmienia się tylko w wyniku podziału, to liczba neutronów wzrasta w ciągu geometrycznym, jeźeli czas wzrasta w ciągu arytmetycznym. Istotnie, jeźeli rozpatrzymy kilka odcinków czasu o równej długości
t l, to
tl
+Lit,
t l +2L1t,
tl
+3L1t, ...
odpowiadające
im liczby neutronów będą równe n l = no eat,, fnl, j 2nl> / 3nl, ... , gdzie f= eaJt
Zauwaźmy, źe
taki sposób opisania procesu- "narastanie w ciągu geometrycznym"- często spotykany jest w popularnych opracowaniach. Fizycy i technicy korzystają z niego rzadko, oni mówią o eksponencjalnym, tzn. wykładniczym p,rawie narastania. Prawo wykładnicze jest scharakteryzowane szybkością wzrastania a (wzór (8.3)). Zbadajmy jakijest wymiar a. We wzorze (8.3) at występuje w wykładniku potęgi. Dlatego at jest wielkością bezwymiarową, a zatem wymiarem a jest 1/s. Do tego wyniku moźna teź dojść przypominając sobie, źe ) uf cm 2 v ---cm a= N -1 - ( Y-1 cm3
Znajdziemy
przybliźoną wartość stałej
s
a.
Gęstość
uranu jest w przybli-
źeniu równa 18 g/cm 3 • Liczbę N jąder w l cm 3 , otrzymamy przypominając
sobie liczbę Avogadra: l gramoatom dowolnej substancji zawiera 6 ·10 23 atomów. Dlatego 235 g uranu 235 zawiera 6·10 23 atomów, a zatem i 6· 10 23 jąder. W lcm 3 jest więc--.!~--·6·10 23 ~ 4·10 22 jąder, N=4·10 22 1/cm 3 • 235
282
Zavpodstawimyśrednią wartoŚĆ Y~ 2,5,
V=
2·10 9 cm
1,6·10- 24 cm 2 • Otrzymamy l a = 4 ·10 22 ·1,5 ·1,6 ·10- 24 · 2 ·10 9 = 2 ·10 8 - , s
s
'(J'f
l
= _!__ (10- 12) 2 =
-- =
a
2
5 ·10- 9 s
W takim razie, jeżeli neutrony nie opuszczają układu, to liczba ich wzrasta e razy w ciągu 5·10- 9 s. Przy takiej szybkości narastania, w ciągu jednej mikrosekundy, to znaczy w ciągu 10- 6 s, liczba neutronów wzrasta e2-lo•.lo-6 = e2oo razy, czyli 10o,43.2oo = 1086 razy Jedna tona uranu 235 zawiera 2,5·10 27 jąder. Jeżeli neutrony nie uciekałyby z układu, to ta ilość uranu rozpadłaby się po upływie mniej niż jednej mikrosekundy, czyli nastąpiłby wybuch. Do energetycznego wykorzystania procesu rozpadu taka szybkość wzrostu liczby neutronów jest niedopuszczalna. Część neutronów powinna móc uciec z układu i w ten sposób zmniejszy się szybkość narastania neutronów. 9. Ucieczka neutronów Wyobraźmy
sobie pewną masę uranu 235 w postaci kuli o promieniu r. równanie określające liczbę neutronów n znajdujących się wewnątrz tej kuli. Założymy dla uproszczenia, że kula jest umocowana na cienkiej podstawce tak, że wokół niej jest próżnia i neutron opuszczający kulę już nigdy do niej nie wraca. Jak określić strumień neutronów, czyli liczbę neutronów opuszczających kulę w ciągu jednostki czasu? Przeprowadzimy grube oszacowanie. Rozpatrzymy mały odcinek czasu dt. W ciągu tego czasu każdy neutron przebywa drogę vdt. Gdzie znajdują się te neutrony, które opuszczą kulę w ciągu czasu dt? Oczywiście, powinny się one znajdować wewnątrz kuli, w cienkiej warstwie przylegającej do powierzchni kuli, ale w odległości nie większej niż vdt od powierzchni, inaczej w ciągu czasu dt nie zdążą one dotrzeć do powierzchni, przeniknąć przez nią i wyjść na zewnątrz. Ale i te neutrony, które znajdują się wewnątrz warstwy o grubości vdt też nie wszystkie zdążą uciec w czasie dt, ponieważ nie u wszystkich neutronów zawartych w tej warstwie prędkość jest skierowana wzdłuż promienia na zewnątrz; jednak przy bardzo grubych oszacowaniach nie będziemy brali tego pod uwagę. Chcemy
napisać
283
Jak
znaleźć liczbę
neutronów w warstwie? W
całej
kuli znajduje
się n
neutronów. Objętość kuli J·est równa V= _'3L nr 3 , objętość interesującej nas . cienkiej warstwy, jest w przybliżeniu równa Svdt, jeśli vdt jest małe; S = 4nr 2 (powierzchnia kuli). Średnia gęstość neutronów, tj. liczba neutronów w jednostce objętości, jest równa C= ~ . Założymy, że w cienkiej warstwie powierzchniowej gęstość jest taka sama jak Wówczas liczba neutronów w tej warstwie jest równa
es v dt = --nVSDlatego równy·
strumień
(liczba neutronów,
gęstość średnia.
v dt
wylatujących
w jednostce czasu) jest
3v
nS
v =-n
q=-V= V
r
W rzeczywistości, w pobliżu powierzchni gęstość neutronów jest mniejsza od średniej, oprócz tego, jak wspominaliśmy wyżej, neutrony poruszają się we wszystkich kierunkach. Dlatego też w rzeczywistości strumień neutronów jest mniejszy od otrzymanego wyżej, jest mianowicie 'równy
3kv
q =--n
(9.1)
r
gdzie k < l jest czynnikiem liczbowym. W paragrafie 12 przez porównanie wyników teoretycznych z doświadczeniem, wykażemy, że k jest bliskie 0,3. Jeżeli wewnątrz kuli nie następuje podział jąder i nie powstają nowe neutrony, to na liczbę neutronów wewnątrz kuli otrzymujemy równanie _dn dt
lub,
korzystając
=
-q
z (9.1)
dn
Tt
=
3kv ---rn
Oznaczając
_3kv =b r
otr;Zymujemy dn dt
284
-bn
(9.2)
Rozwiązanie
tego równania jest mim dobrze znane
n = no e-bt
(9.3)
Średni czas przebywania neutronów wewnątrz kuli, zgodnie z (9.3),
jest równy -
l b
r
t=~=-~
Zauważ:my, ż:e
t ~ ! __ .
3kv
Dlatego średni czas jest w przybliż:eniu równy
V
którego neutron poruszający się z prędkością v, przebywa promieniowi kuli r. Dokładne rozwiązanie zagadnienia ucieczki neutronów wymaga bardzo złożonych obliczeń. Bardzo istotne jest, aby od samego początku przyzwyczajać się do przybliż:onego określania wszystkich interesujących nas wielkości. Ścisłe rozważ:ania często bywają bardzo trudne i wymagają całkiem innego zakresu wiedzy, często - współ pracy całego zespołu ludzi oraz uż:ycia maszyn cyfrowych itp. Czy oznacza to, że ktoś uczący się, zajmujący się samokształceniem, gdzieś daleko od wyzszych uczelni i ośrodków naukowych, nie moż:e marzyć o rozwią zywaniu trudnych zagadnień? Zawsze są proste, choć bardzo przybliżone (na przykład, taki jak wyż:ej) sposoby podejścia do zagadnienia. Tłuma czenie, że ścisłe rozwiązanie jest trudne i nie szukanie przybliż:onych rozwiązań, oznacza po prostu to, ż:e chcemy usprawiedliwić swoją niemoc i lenistwo; najczęściej bowiem lenistwo jest główną przeszkodą dla początkujących uczonych i badaczy. czasowi, w
drogę
ciągu
równą
10. Masa krytyczna Dotychczas rozpatrywaliśmy oddzielnie dwa zagadnienia: powstawanie _neutronów bez uwzględnienia ich ucieczki oraz uciecżkę neutronów bez uwzględnienia ich powstawania. Obecnie rozpatrzymy układ, w którym neutrony powstają i mogą uciekać z układu. W jednostce czasu w układzie, jak wiemy, powstaje an neutronów i bn neutronów ucieka z układu. Ponieważ: zmiana liczby neutronów w jednostce czasu jest!!..'!. , więc dt
dn
dt
=
an-bn,
czyli
dn -=en dt
(10.1) 285
gdzie c= a-b. Przy zadanej (l 0.1) ma rozwiązanie
początkowej
liczbie neutronów n 0 , równanie
n = no ect
(10.2)
Rozwiązanie to prowadzi do zupełnie różnych wyników dla dodatniego i ujemnego C. Istotnie, z (10.2) wynika, że przy c < O liczba neutronów
jest tym mniejsza, im większe jest t, to znaczy, z biegiem czasu n dąży do zera. Jeżelijednak c> O, to n jest tym większe, im większejest t, to znaczy n z biegiem czasu rośnie nieograniczenie. Tylko wpływ jakichś innych czynników fizycznych, które nie zostały wzięte pod uwagę, może zahamować wzrost n. W takim razie wartość c = O jest wartością krytyczną; wartość ta rozdziela rozwiązania różnych typów, z rosnącą i malejącą liczbą neutronów. Ponieważ c = a-b, więc dla danego a można mówić o krytycznej wartości b: bkr = a, bowiem dla b < bkr = a, c = a- b > O, a dla b > bkr = a, c = =a-b< O. Wielkość a określonajest przez własności substancji ulegającej podziałowi: zgodnie ze wzorem (8.2), a= NvaAv-1). Wielkość b zależy od ilości rozpatrywanej substancji ulegającej. podziałowi b= 3kv r
Dlatego wprowadza się pojęcie krytycznej wartości promienia rk., dla którego b = bkr = a. Ze wzorów (8.2) i (9.2) wynika, że 3kv rkr
- - = Nvaf(v-1) skąd
Masa kuli, której
promień
jest równy rk., nazywa
się masą krytyczną
mkr.
Oczywiście
(10.3) gdzie 12 - gęstość substancji ulegającej podziałowi*>. Gdy r > rkr (gdy m > mk,), to mamy c > O i następuje wzrost liczby *> Tak jak poprzednio, ma kształt kuli.
podziałowi
286
zakładamy, że
rozpatrywana masa substancji
ulegającej
neutronów. Gdy r < rkr (gdy m < mk,), to mamy c < O i początkowa liczba neutronów ulega zmniejszeniu. Niech dana będzie kula o promieniu r. Jej powierzchnia jest równa S = = 47tr 2 ,
a objętość V= _i_ 1tr 3 3
S 47tr 2 3 --y=-4--= r -7tr3 3 Jeżeli r jest małe, to ten stosunek jest duży, jeżeli r jest duże, to ten stosunek jest mały. Nic więc dziwnego, że przy małym promieniu, gdy stosunek powierzchni do objętości jest duży, ucieczka neutronów jest ułatwiona, a warunki do wzrastania liczby neutronów są gorsze. Zastanawiająca jest tylko gwałtowność, z jaką zmienia się liczba neutronów przy zmianie b: jeżeli b > bk., to w ciągu pewnego czasu liczba neutronów maleje praktycznie do zera, niezależnie od tego, czy b = l,Olbk., czy też b = 2bkr· Jeżeli b < bk., to liczba neutronów nieograniczenie rośnie i przy b = = 0,99bk., i przy b = 0,5bk,, choć z różną prędkością. Właśnie dlatego mówi się o krytycznej wartości r lub krytycznej wartości masy. Masa większa od krytycznej nazywa się nadkrytyczną, masa mniejsza od krytycznej nazywa się podkrytyczną.
n
Rys. 122
Na rysunku 122 przedstawione są krzywe n = n 0 er dla kilku b. Wykreślimy zależność n od b dla kilku określonych wartości czasu t. Przy obliczeniach przyjęto a = 2·10 8 lfs. Na rysunku 123 przed-
wartości
287
n
n
l
-g
t =5·!0 s
o
b
Rys. 123
Rys. 124
stawiona jest krzywa n(b) dla t = 5·10- 9 s, na rys. 124 - krzywa n(b) d·la t= 15·10- 9 s, a na rys. 125 przedstawiono krzywą n(b) dla t= 30·10- 9 • Przecięcie krzywych z osią odciętych (b = O) nie mieści się na rysunkach 124 i 12:5: na rys. 124 przy b = O, n = 20n 0 , na rys. 125 przy b = O, n = 400n 0 . Jak widać z rys. 122, a także z porównania rys. 123-125, im większe jest t, tym silniej rozbiegają się krzywe n(t) (rys. 122), tym bardziej zakrzywione są krzywe n(b) (rys. 123-125), tym wyraźniej pójawia się krytyczna wartość b = 2·10 8 (w tym przykładzie). Jeżeli t > 10- 6 s, to krzywej n(b) nie można odróżnić od prostej pionowej b = bkr = 2 · 108 ; n = O przy b > bk" n = oo przy b < bkr. n
D
b Rys. 125
288
11. Masa podkrytyczna i nadkrytyczna z
ciągłym źródłem
neutronów
W poprzednim paragrafie badaliśmy jak zmienia się w czasie liczba neutronów przy zadanej wartości początkowej n 0 • Rozpatrzymy teraz nieco inne zagadnienie. Niech w chwili początkowej t = O liczba neutronów będzie równa zero i w tym momencie włączamy źródło neutronów emitujące q 0 neutronów w jednostce czasu. Zagadnienie to prowadzi do równania
dn -- = cn+q 0 dt gdzie c = a-b. początkowymi
Szukać będziemy rozwiązania
(11.1) tego równania z warunkami
n = O przy t = O.
Metoda rozwiązywania jest podobna do zagadnienia rozpatrywanego w paragrafie 5. Pomimo to przypomnimy tok rozumowania. Szukamy ilości neutronów w chwili t. Cały przedział czasu od O do t dzielimy na odcinki ;lr. Rozpatrzymy jeden taki odcinek czasu od-r do -r+Ll-r. Źródło wyemitowało w tym czasie ą 0 .d-r neutronów. Gdyby źródło było czynne tylko w ciągu jednego odcinka czasu .d-r, to mielibyśmy do czynienia z zagadnieniem rozpatrzonym w poprzednim paragrafie z początkową ilością neutronów (n 0 = q0 .d-r); jedyna różnica polegałaby na tym, że neutrony zostałyby wyemitowane w chwili t = -r, a nie t = O. Dlatego zamiast rozwiązania n= n 0 ect mielibyśmy rozwiązanie n= n 0 ec O
Jeśli
n ~ ..!!.!!_ ect c c < O, to et < O, dlatego wraz ze wzrostem t
wielkość
dużo mniejsza od jedności i wartości n zbliżają się do liczby
to liczba dodatnia,
ponieważ
się
ą. (jest c
c < O)
n~-~ c Różne
ect staje
\
postacie krzywych n(t) przedstawiono na rys. 126. n
c~--t
------r Rys. 126 Zauważmy interesujący
Jeżeli
c = O to nie
niemy ect w szereg ect
290
szczególny przypadek, mianowicie gdy c = O. ze wzoru (11.2). Rozwi• (ct) 2 = l+ct+ - - + ... 2
można bezpośrednio korzystać
Podstawiając
n(t)
do wzoru (11.2), otrzymamy
q =c
Tym wzorem
0 [
2 1+ct+ -(ct) 2-
+ ...
można posługiwać się
-1
J= q [t+ -fet 1
przy c
0
2
+ ...
J
= O; otrzymujemy
n (t) = q 0 t Ten wynik
łatwo można otrzymać
(11.3)
z równania (11.1). Istotnie, dla c = O
równanie (11.1) ma postać dn
= q 0 • Stąd n(t) = q 0 t+A, gdzie A jest Dla t = O powinniśmy mieć n = O, dlatego A = O dt
stałą całkowania.
.i otrzymujemy (11.3). Jak wykazaliśmy wyżej, dla c < O koncentracja neutronów z biegiem czasu osiąga stałą wartość - _ąo lub inaczej-~-. Im mniejsze jest ·
c
[c[ większa jest wartość
lei
(im
bliżej jesteśmy stanu krytycznego), tym tego wyrażenia. W takim razie nawet przy bardzo słabym źródle (małe q 0 ), masa bliska krytycznej może produkować dowolnie dużą liczbę neutronów; im większa jest liczba podziałów, tym Większa jest wydzielona energia. Na takich właśnie zasadach pracują na ogół reaktory atomowe. Utrzymanie takich warunków wcale nie jest łatwe, ponieważ małe
zmiany b i c bardzo gwałtownie zmieniają wielkość~ kiedy c jest bliskie c
zera, a praca z c bliskim zeru jest konieczna, jeśli chce się otrzymywać dużą moc przy małych q 0 • Jednak przy pomocy automatycznej regulacji zagadnienie to udaje się rozwiązać: kiedy n przekracza zadane ograniczenia, układ regulujący zmienia wartość a lub b. Istnieją również naturalne czynniki ułatwiające regulację, na przykład, przy zwiększeniu n wzrasta również temperatura aktywnej substancji i przy tym okazuje się, że c zmniejsza się, tak że w znanych granicach układ jak gdyby samoreguluje się.
12.
Wartość mas~
krytycznej
Wiemy już teraz, jak bardzo zmieniają się własności układu w zależności od tego, czy mamy do czynienia z masą nadkrytyczną, czy też podkrytyczną. Rozpatrzmy dokładniej warunki krytyczne rkr
19•
3k = Na;(v-1)
291
Podstawimy dane dla uranu 235: Oj= 1,6·10- 24, Y= 2,5, N= 4·10 22 • Otrzymamy
Współczynnika
k nie umiemy określić, wiemy tylko że jest on mniejszy od Znajdziemy ten współczynnik porównując wyniki teoretyczne z doświadczeniem. Doświadczenie wykazuje, że krytyczna masa uranu 235 jest równa około 50 kg. Uranowa kula o ciężarze 50 kg ma promień 8,5 cm. Zatem w tym przypadku jedności.
Zastanówmy się nad fizycznym znaczeniem wzoru na promień krytyczny. na rk, szybkość neutronów uległa skróceniu. To znaczy, wyrażenie na rkr można otrzymać nie rozpatrując rozwoju procesu w czasie, nie rozpatrując szybkości narastania neutronów i szybkości ucieczki neutronów z układu. Jeżeli zaniedbamy bezwymiarowy czynnik 3k (który jest rzędu jedności), to wzór na promień krytyczny przyjmie postać W
wyrażeniu
(12.1)
z lewej strony tego wzoru? Objętość walca o długości równej promieniowi i o polu podstawy u f• jest równa rk,u f• Przypominamy, że jeżeli neutron porusza się po osi takiego walca, to wywołuje on podziały tych jąder uranu 235, których środki znajdują się wewnątrz walca. N jest liczbą jąder w jednostce objętości. Zatem Nrk,u f podaje średnią liczbę jąder w objętości walca. Można teraz inaczej sformułować warunek krytyczny. Wyjaśniliśmy już wcześniej, że średnia droga swobodna, jaką przebywa neutron w ulegającej podziałowi substancji, który powstał wewnątrz substancji (w wyniku podziału), jest rzędu promienia r. Gdy neutron przebędzie drogę r, wychodzi on z obszaru zajętego przez ulegającą podziałowi substancję i jest dla dalszego procesu podziału stracony. Warunek krytyczny sprowadza się do tego, że średnio, na jej drodze, neutron, zanim opuści układ, spowoduje powstanie jednego neutronu. Przy podziale powstaje Y - l nowych neutronów. Znaczy to, że przed opuszczeniem układu neutron powinien spowoJaka
292
wielkość występuje
dować około -
1-
v-1
podziałów, a to znaczy, że w objętości walca ruf po.
winno znajdować się około _l_ jąder. Ten warunek sprowadza się do v-1
wzoru (12.1). Oczywiście takie rozważania nie są ścisłe. Są one 'jednak potrzebne do zrozumienia fizycznego sensu procesów i nie można ich zastąpić nawet najbardziej ścisłymi obliczeniami na maszynach cyfrowych, bowiem obliczenia takie nie zastępują, ale uzupełniają zrozumienie jakościowej, fizycznej strony zjawisk. W szczególności, czytelnik powinien ·zwrócić uwagę na zasadę sformułowaną na początku paragrafu: jeżeli pewna wielkość wystę puje przy wyprowadzeniu wzoru, ale w ostatecznej jego postaci nie występuje, to znaczy, że istnieje taki sposób otrzymania tego samego wyniku, w którym wielkość ta wcale nie występuje. Należy zawsze szukać takiego bardziej prostego sposobu wyprowadzania wzoru, poniewaz mne' wyprowadzenie wzoru - to inne nowe spojrzenie na badany proces.
13.
Pochłanianie światła. Przybliżone sformułowanie
zagadnienia
Rozpatrzmy pochłanianie ś~iatła w powietrzu zawierającym pyłki sadzy. Niech w jednostce objętości znajduje się N pyłków. Powierzchnię przekroju jednego pyłka płaszczyzną prostopadłą do promienia świetlnego, oznaczymy przez u i będziemy krótko nazywać przekrojem. Na przykład, dla cząstki pyłu w postaci kuli o promieniu r, u jest polem przekroju przechodzącym przez środek, a więc u = 1tr 2 *>. Będziemy zakładali, że światło padające na pyłek ulega całkowitemu pochłonięciu. Zagadnienie sprowadza się do określenia zależności części światła pochłoniętego i przepuszczonego od wielkości N, u i od długości drogi x, którą promień świetlny przeszedł w powietrzu zawierającym pył. Zaczniemy od bard:z;o grubego oszacowania drogi, na której następuje pochłanianie znacznej części światła. Długość jej oznaczymy przez L. Nad tym, co znaczy wieloznaczne sformułowanie "znaczna część światła" bę dziemy się zastanawiać w następnych paragrafach, tymczasem nie będziemy się przejmować nieścisłym sformułowaniem zagadnienia. Rozpatrzymy walec o powierzchni podstawy S i wysokości L. Zażądamy, *> Dla pyłków o złożonym kształcie ścisłe określenie przekroju a jest następujące: jest to średnia powierzchnia cienia rzuconego przez pyłek na powierzchnię prostopadłą do promienia świetlnego.
293
aby suma przekrojów wszystkich pyłków znajdujących się w tym walcu była równa S. W objętości walca SL zawartychjest NSL pyłków, suma ich przekrojów jest równa uNSL, a więc żądamy aby uNSL =S skąd
L =-1uN
(13.1)
Sprawdzimy wymiary we wzorze (13.1): u jest powierzchnią, jej wymiarem jest cm 2 , N jest liczbą cząstek w jednostce objętości, jej wymiarem jest ljcm 3 • Zatem l
[L] = ----1-
= cm
cm 2 cm3
być powinno. Jaki jest sens fizyczny rozpatrywanego warunku? Gdyby można było rozmieścić pyłki tak, aby zajęte przez różne pyłki powierzchnie ·nie zachodziły na siebie, to przy pomocy pyłków znajdujących się w walcu o wysokości L i powierzchni podstawy S, można by było zakryć całą powierzchnię podstawy i osiągnąć całkowite pochłonięcie Światła. Przy x < L całkowite pochłanianie światła jest niemożliwe: jakkolwiek rozmieścimy pyłki, całko wite pole ich przekroju nie będzie wystarczające na to, aby pokryć całą podstawę walca. Oczywiście, że przy x = L i nawet przy x > L, w rzeczywistości, nie nastąpi pełne pochłanianie światła. Przy przypadkowym rozkładzie pyłków, dla dowolnego x pozostaną takie kierunki, wzdłuż których nie wystąpi an1 jeden pyłek i promień świetlny przejdzie w takim właśnie kierunku. Energia, jaką światło przenosi przez jakąkolwiek powierzchnię w ciągu jednej sekundy, nazywa się strumieniem energii świetlnej. Niech I będzie strumieniem energii świetlnej przez powierzchnię l cm 2 • Wielkość ta nosi
jak
nazwę gęstości strumienia energii i ma wymiar ~~2 s·cm
rozpatrywali gęstość strumienia energii bości warstwy x. Oczywiście I (x)
gdzie / 0 jest
/(x) w
Dalej będziemy
zależności-od
gru-
·
= I of(x)
energią padającego światła,
rakteryzującą osłabienie światła.
294
świetlnej
.
a f(x)-
(13.2) szukaną funkcją
cha-
o właściwościach funkcji f(x)? Jeżeli x = O, to jeszcze nie nastąpiło i /(0) = / 0 , zatem f(O) = l. Jeżeli x > O, to następuje osłabienie światła /(x) < 10 , dlatego f(x) < l. Oczywiście, wraz ze wzrostem x funkcja f(x) maleje dążąc do zera, to znaczy f(x) jest funkcją malejącą. Wobec tego jej pochodna jest ujemna Co
można powiedzieć
osłabienie światła
df dx
L; dlatego nie oczekujemy, aby funkcjaf(x) przyjmowała wartość zero przy x = L. Można jednak przyjmować, że wielkość x = L jest charakterystyczną długością. Znaczy to, że przy przejściu przez światło drogi x ~ L, część światła pochłoniętego jest bardzo mała w porównaniu z częścią światła przechodzącego; przy przejściu drogi x ~ L pochłonięta zostaje zauważalna część światła, a po przejściu drogi x ~ L znaczna część światła ulega pochłonięciu, a przechodzi tylko niewielka jego część. Funkcja f(x), jak wynika ze wzoru (13.2), jest bezwymiarowa. Można
zakładać, że jeżeli
wprowadzimy wielkość bezwymiarową~ , to funkcja L
f(~ )będzie zawszejednakowa dla dowolnych pyłków, dla dowolnych Ni u. Założenia
te potwierdzimy i
14. Równanie
opisujące
uściślimy
w
następnych
pochlanianie i jego
paragrafach.
rozwiązanie
Rozpatrzmy cienką warstwę powietrza między x i x+dx. Wszystkie wyliczenia przeprowadzimy dla słupa powietrza w postaci walca o polu podstawy l cm 2 (w poprzednim przypadku, kiedy rozpatrywaliśmy cylinder o polu podstawy S cm 2 , wielkość S w końcu skróciła się). Wiązka światła jest złożona z równoległych linii i jest scharakteryzowana przez gęstość strumienia energii /. Gdyby nie występowało pochła nianie światła przez cząstki pyłu, wielkość I byłaby stałą. W rozpatrywanym słupie powietrza zawartych jest Ndx pyłków, które pokrywają powierzchnię uNdx z całkowitej powierzchni podstawy równej l cm 2 • Zatem w słupie pochłaniana jest część uNdx energii padającej na słup. Dlatego dQ = !Nudx. Gdy światło przejdzie słup dx, to strumień energii światła zmniejszy się o wielkość równą ilości pochłoniętej energii d Q. Przed wniknięciem do słupa powietrza gęstość strumienia energii była /(x),
295
.a po
wyjściu
ze
słupa
l(x+dx), dlatego I (x)-1 (x+dx) =lu Ndx
Zauwazmy, ze J(x+dx)-I(x) =dl; otrzymujemy
dl
dx-Rozwiązaniem
(14.1) więc
z (14.1)
-lNu
tego równania jest
I= lo
(14.2)
e-Nx
Rozwiązanie
to otrzymuje się takim samym sposobem jak rozwiązanie N = N 0 e-wt przy rozpatrywaniu rozpadu promieniotwórczego (por. par. 3). Tutaj / 0 jest wartością wielkości I dla x = O. Przy zwiększaniu grubości słupa w ciągu arytmetycznym: x 1 = a, x 2 = = 2a, x 3 = 3a itd., siła światła zmniejsza się w ciągu geometrycznym. Istotnie, oznaczając e-aNa = a (wówczas a < l) i korzystając z (14.2), znajdujemy
15.
Związek między rozwiązaniami dokładnymi
i
przybliżonymi
Pouczające
jest porównanie dokładnego rozwiązania (par. 14) z rozwią zaniem przyblizonym (par. 13). Porównanie takie pomaga przy korzystaniu z przyblizonych oszacowań w złozonych zagadnieniach, kiedy trudno jest znaleźć dokładne rozwiązanie; porównanie pomaga zrozumieć granice stosowalności przyblizonego rozwiązania. W przyblizonym rozwiązaniu znaleźliśmy długość, wzdłuż której zachodzi znaczne pochłanianie L= _l_
Nu Przy pomocy
wielkości
L
dokładne rozwiązanie
(14.2) mozna
zapisać
następująco X
(15.1)
A więc całkowicie potwierdza się przypuszczenie, ze znaleziona przy pomocy przyblizonych rozwazań wielkość L występuje w dokładnym rozwiązaniu. Dokładne rozwiązanie faktycznie ma postać
296
Na podstawie funkcji
dokładnego rozwiązania
f (~ ). Mamy fu) = e--i-.
(I 5.1) znajdujemy
konkretną postać
'
Rozpatrzmy długość x = L. Przybliżone rozważania prowadziły do tego, że na tej długości następuje całkowite pochłanianie światła. Na podstawie dokładnego rozwiązania (15.1), podstawiając w nim x = L, znajdujemy I= / 0 e- 1 = 0,37/0 , tzn. przechodzi 37% światła, a ulega pochłonięciu 63%. Dla małych wartości~ możemy wyrazić e-~ zgodnie ze wzorem Maclaurina,. w postaci szeregu,
zostawiając
e
jedynie dwa wyrazy; otrzymamy
_:_ L ~
X
1 ---L
(15.2}
Geometrycznie odpowiada to zamianie krzywej na styczne do krzywej, przy x = O (rys. 127). Jak wynika z (15.2), styczna przecina oś x dla x = L. Dlatego, gdyby pochłanianie następowało z jednakową szybkością to l
X
Rys. 127
znaczy tak, że na każdej jednostce długości ulegałaby pochłonięciu taka sama ilość światła, to światło zostałoby całkowicie pochłonięte na drodze x = L. W takim razie wartość L otrzymana w wyniku przybliżonych rozważań faktycznie spełnia też ważną rolę i w dokładnym rozwiązaniu. Zagadnienie znajdowania przybliżonych r~,związań jest bardzo ważne w praktyce. Trzeba zatem rozwijać umiejętności szybkiego znajdowania przybliżonych rozwiązań, ćwiczyć się w ich znajdowaniu i rozumieniu. Jest to znacznie ważniejsze i owocniejsze od podkreślania niedostatków metod przybliżonych. Można się cieszyć i z tego, że np. przyblizone rozwią zanie daje 100% pochłaniania, tam gdzie dokładne rozwiązanie daje 63%. Przybliżone rozwiązanie przy x = L daje 0% przepuszczah-lości światła, zamiast dokładnej wartości 37%. Nie należy się jednak martwić z tego powodu, bo od początku było wiadomo, że w tym przypadku nie należy oczekiwać od przybliżonego rozwiązania zbyt dużej dokładności. 297
Jeżeli wykazano, że zagadnienie nie posiada rozwiązania w postaci jawnego wzoru, to nie należy na tym poprzestawać. Należy znaleźć rozwiązanie choćby bardzo przybliżone. Posługując się nim, trzeba jednak pamiętać, że nie jest to rozwiązanie dokładne. Zatrzymamy się jeszcze nad zagadnieniem wymiarów. Wymiar wielkości L = I/Nu sprawdziliśmy i wykazaliśmy, że jest nią długość. Często okazuje się, że można znaleźć przybliżone wyrażenie interesującej nas wielkości, znając tylko jej wymiar i wymiary wielkości wyjściowych, wchodzących do warunków zadania. Jednak w tym konkretnym przypadku nie było to możliwe. Istotnie, wielkość mającą wymiar długości można zbudować
w~chodząc
z koncentracji N (l/cm 3 ), mianowicie / 1
= ~ (/
1
jest tu
średnią odległością między cząstkami), można też zbudować mając przekrój u(cm 2 ): / 2 = 2 charakteryzuje rozmiary cząstek). Oczywiście, wielkość /IX= lili-O ulega osłabieniu e razy na drodze L = 0,01 cm. Zatem krótsze promienie ultrafioletowe o długości fali 1,1·10- 5 cm = == 1100 A ulegają osłabieniu e razy na drodze L = 0,01 cm. Zatem pochłanianie światła przez powietrze nie jest podobne do pochła niania światła przez czarne pyłki, które pochłaniają światło o dowolnej długości fali. Ilość energii świetlnej q ulegającej pochłonięciu przez jeden atom w jednostce czasu, jest proporcjonalna do strumienia energii świetlnej /w tym miejscu, gdzie znajduje się atom q =al
a jest tutaj
współczynnikiem proporcjonalności. Określimy
wymiar u.
erg . Wymiarem strumienia energii I jest s
Wymiarem q jest
~
cm 2 ·s
.
Zatem a ma wymiar cm 2 • Wielkość u nazywamy przekrojem efektywnym. Dla czarnego pyłka a pokrywa się z wielkością geometryczną- powierzchnią cienia. Dla cząsteczek i atomów, a zależy istotnie od długości fali światła.
W przybliżeniu powody tej zależności można sobie wyjaśnić następująco: Ilość pochłanianej przez atom energii przy padaniu na niego światła okazuje się szczególnie duża, jeśli częstość drgań światła pokrywa się z częstością ruchu elektronów w atomie. Przy tym mamy do czynienia z rezonansem; elektron drga szczególnie silnie i pochłania wyjątkowo dużo energii świetlnej. Taki rezonans następuje, na przykład, przy pochłanianiu przez atomy sodu (w stanie pary) żółtego światła o długości fali 5890 A = 5,89·10- 5 cm. Dokładnie takie samo żółte światło zostaje emitowane przez atomy sodu przy wysokiej temperaturze, kiedy drgania elektronów są wywołane silnymi zderzeniami atomów między sobą. Przy rezonansie wielkość a osiąga wartość 10- 10 cm 2 • Rozmiary atomów i molekuł są rzędu 10-8-I0- 7 cm, czemu odpowiada przekrój rzędu I0- 16-10- 14 cm 2 • W takim razie, maksymalny efektywny przekrój jest wiele razy większy od naturalnych powierzchni przekroju atomów i czą steczek. Z drugiej strony, dla światła, którego częstość nie pokrywa się z częstością własną atomu, efektywny przekrój jest mały, dużo mniejszy od pola przekroju atomu. *l
A - angstrem,
l
A = l o-s cm.
299
17.
Osłabienie
Wykładnicze
strumienia
naładowanych cząstek
prawo zaniku strumienia
cząstek
a. i p w
zależności
od przebytej
drogi I= 10 e-x/L
(17.1)
jest oparte na bardzo ogólnym założeniu, ż:e osłabienie strumienia na małym odcinku drogi dx jest proporcjonalne do natężenia strumienia
!!_ = _ _!_I dx
L
(17.2)
gdzie współczynnik proporcjonalności _!._ jest liczbą stałą, zależną tylko L
od rodzaju
cząstek.
Rozwiązaniem
równania (17.2) jest I= lo
e-x/L
Wzory (l 7.1) i (17.2) są równoważne, jeden wynika z drugiego. Doświadczenie wykazuje, · ż:e w pewnych przypadkach wykładnicze prawo (17.1) jest zupełnie ścisłe, a czasami obserwuje się odstępstwa. Rozpatrzymy uważnie przyczyny, które mogą wpływać na odstępstwa od wzoru (17.1) (lub, co jest równoważne, od wzoru (17.2)). Łatwo jest odpowiedzieć na pytanie o znaczeniu odstępstw od wzoru (17.1). We wzorze (17.2) zakłada się, że przy zmianie x i zmianie /rozpatrywane światło (lub jakiekolwiek inne promieniowanie) jakościowo nie ulega zmianie, w innym bowiem przypadku zmieniłoby się L. Przepiszemy (17.2) w następującej postaci
Stąd widać, że wielkość _l_ • _ci!_ jest stała. Jeżeli okaże się, że w różnych I
dx
punktach przestrzeni wielkość _l • _d!_ jest różna, to znaczy, że w tych I
300
różne
dx
jest nie tylko natężenie promieniowania, ale różny jest skład fizyczny (na przykład światło różnokolorowe ma różną średnią długość fali). Przy rozpatrywaniu sposobów ochrony przed promieniowaniem i w zagadnieniach dotyczących pochłaniania przez różne substancje promieni a., p, y i neutronów, spotykamy inny powód odstępstwa od prostego prawa (17.2). Prawo (17.2) stosowane do procesu pochłaniania światła stwierdza, że jeżeli światło napotka na swojej drodze pyłek, to część światła przechodząca punktach też: i jego
nie ulegnie zmianie, a inna część światła będzie W przypadku promieniowania promieniotwórczego sytuacja jest bardziej złożona: cząstki ex są jądrami atomu helu i wylatują z promieniotwórczego "rodzimego" jądra z dużą prędkością, rzę du 0,07c (gdzie c- prędkość światła), tzn. z prędkością około 2·10 9 cm/s. Przebiegając przez atom cząstka ex oddaje część swojej energii elektronom .. Po około 50 000 zderzeń z atomami cząstka ex traci połowę swojej energii, przy tym nie przestaje ona istnieć, nie znika, ale jej energia i prędkość ulegają zmianie. Po 100 000 zderzeń cząstka ex zatrzymuje się, przestaje zderzać się z atomami i wybijać z nich elektrony. Takiej liczby zderzeń dokonuje cząstka ex w powietrzu na drodze kilku centymetrów. Praktycznie na tej drodze różne cząstki ex (o jednakowej energii początkowej) doznają różnej liczby zderzeń, nie koniecznie równej 100 000. Jednak, ponieważ 100 000 jest dużą liczbą, więc na danej drodze odstępstwa liczby zdefzeń pojedynczych cząstek ex od wartości średniej 100 000, są niewielkie (rzędu 300, tzn. około 0,3% średniej liczby zderzeń). Dlatego cząstki ex o jednakowej energii tracą całą swoją energię, w przybliżeniu, na takiej samej drodze. Długość tej drogi zależy od energii początkowej cząstek ex. Jeżeli strumień cząstek ex o jednakowej energii biegnie wzdłuż osi x, to zależność między natężeniem strumienia i długością przebytej drogi x, ilustruje krzywa przedstawiona na rys. 128. Krzywa ta w niczym obok
t~go pyłka zupełnie
całkowicie pochłaniana.
·1
X
L·
Rys. 128
nie przypomina wykresu funkcji wykładniczej. Na znacznej części drogi natężenie strumienia cząstek ex nie ulega zmianie; w ciągu jednakowych odstępów czasu przez powierzchnię l cm 2 przebiega taka sama liczba cząstek ex. Następnie natężenie bardzo szybko maleje. Ten szybki zanik strumienia został przygotowany na tej części drogi, gdzie natężenie nie ulegało zmianie, ponieważ wówczas ęnergia cząstek ex malała wraz ze wzrostem drogi x. Szybki zanik strumienia zachodzi tam, gdzie energia cząstek jest już niewielka. 301
Analogicznie zachowują się również szybkie elektrony (cząstki pemitowane, gdy wewnątrz jądra neutron przemienia się w proton). W tym przypadku obraz jest bardziej złożony, dlatego że przy rozpadzie promieniotwórczym emitowane są elektrony z różnymi energiami, poza tym elektrony przebiegające w pobliżu atomu mogą nie tylko oddać mu część swojej energii, ale też często doznają odchylenia . . Krzywą dla cząstek P przedstawiono na rys. 129. Już dla niewielkich x Y
• X
Rys. 129 część
elektronów ubywa ze strumienia; są to te elektrony, które miały Dlatego w pobliżu x = O przebieg krzywej jest podobny do przebiegu funkcji wykładniczej. Jednak dalej krzywa osiąga oś odciętych, natężenie I maleje do zera przy pewnej wartości x odpowiadającej maksymalnej energii elektronów otrzymywanych przy danym rozpadzie promieniotwórczym. Z praktycznego punktu widzenia najważniejszymi i jednocześnie najtrudniejszymi są problemy związane z ochroną przed promieniowaniem y emitowanym przez substancje promieniotwórcze i przed neutronami powstającymi przy podziale jąder w reaktorach i wybuchach atomowych. W tym przypadku sytuacja jest najbardziej zagmatwana i złożona, ponieważ promienie y i neutrony tracą energię dużymi porcjami i przy tym ich tor ulega bardzo dużym odchyleniom. Nawet w grubej warstwie powietrza 100-200 m prawdopodobieństwo przejścia (rzędu 37%) promieni y i neutronów bez żadnych zmian jest bardzo duże. Dlatego wymagają one grubych warstw zabezpieczających. Strumień promieni y i neutronów nie zanika przy określonej grubości warstwy, jak to miało miejsce dla promieni cc i p. Przy bardzo grubych warstwach ochronnych, jak to wynika z doświadczenia i skomplikowanych obliczeń, strumień promieni y i neutronów zanika zgodnie (w przybliżeniu) z prawem wykładniczym. małą prędkość początkową.
VI. MECHANIKA
l. Sila, praca, moc Związki pomiędzy
podstawowymi wielkościami~ mechaniki można ściśle sformułować tylko za pomocą całek i pochodnych. W rozdziale I rozpatrywaliśmy już zależności między drogą (lub położeniem), jaką przebywa ciało i jego prędkością, a także - między prędkością i przyspieszeniem. Nie powtarzając tamtych rozważań, rozpatrzymy obecnie zależności między takimi wielkościami, jak: siła, praca, energia, moc. Rozważmy ruch prostoliniowy ciała wzdłuż osi x. Niech siła F działająca na ciało będzie też skierowana wzdłuż osi x. W fizyce elementarnej pracę A wykonaną przez siłę, określa się jako iloczyn siły F i drogi przebytej przez ciało l= xk-xp, gdzie X p- położenie początkowe ciała, xk- połozenie końcowe ciała
Oczywiście,
mamy tutaj taką samą sytuację, jak w przypadku zależności i drogą. Prosta zależność: praca jest iloczynem siły i drogi - zachodzi tylko wówczas, gdy siła jest stała. Jeż;eli siła ulega zmianie w trakcie przemieszczania, to należy cały proces przemieszczenia podz~lić na małe części, tak aby na kazdym małym odcinku siłę można było traktować jako stałą. W ów czas dla małego odcinka między prędkością
LIA 1
=
F 1 Llx 1
=
Flxl+ 1 - x 1)
Zatem, w ogólnym przypadku (zmiennej a całką
siły)
praca nie jest iloczynem,
x,
A=
f Fdx x,
303
Przyjmujemy, że znamy ruch ciała, który jest dany w postaci znanej funkcji x = x(t). Przemieszczenie ciała w ciągu małego odcinka czasu dt jest równe iloczynowi prędkości chwilowej v i czasu dt dx
Wzór na
dx
= vdt = - d t dt
pracę można zapisać następująco h
A
=
f
F
~~
h
=
dt
f
(1.1)
Fv dt
tp
tp
Iloczyn Fv występujący w tym wzorze, jest pracą wykonaną w jednostce czasu; nazywamy ją mocą siły. Istotnie, w przypadku stałej prędkości i stałej siły, droga jest równa x = vt, praca jest równa A = Fx = Fvt,
"
,.
'
a stosunek pracy do czasu jest równy·~- = Fv. Oznaczając moc przez W, t
Fv
= W,
możemy napisać t;
A=
f Wdt
W układzie jednostek SI siła jest mierzona w niutonach (N); l N jest to siła, która masie l kg nadaje przyspieszenie l m/s 2 ; jednostką pracy jest dżul (J) równy l N· l m, jednostką mocy- wat (W) równy Jjs = = 107 erg/s. W technicznym układzie jednostek siłę mierzy się w kilogramach- siły kG (l kG jest to siła, z jaką masa l kg jest przyciągana przez Ziemię), długość mierzy się w metrach, pracę w kilogramometrach (kGm), moc w kilogramometrach na sekundę (kGm/s); często używa się również innej jednostki mocy, tzw. konia mechanicznego równego 75 kGm/s. W fizycznym układzie jednostek siłę można mierzyć w dynach (l dyna siła; która masie l g nadaje przyspieszenie l cm/s 2 ), pracę - w ergach (l erg = l dyna· l cm), moc - w erg/s. Na ciało może działać kilka sił, na przykład F 1 i F 2 ; można wówczas mówić o pracy wykonywanej przez pierwszą siłę (A 1) i drugą siłę (A 2 ) w czasie, gdy ciało przemieściło się z położenia początkowego x P do poło żenia końcowego xk. Zakładając, że siły F 1 i F 2 są stałe, otrzymujemy A1 Zwróćmy uwagę Siłę uważamy
304
za
= (xk-xp) F~>
na znaki
A 2 = (xk-xp) F 2
wielkości występujących
dodatnią, jeżeli działa
w tych wyrażeniach. w kierunku dodatnim osi x,
tzn. w stronę pokazaną strzałką na osi x w prawo (rys. 130). Siłę działającą w przeciwną stronę -w lewo, uważamy za ujemną. Jeżeli ciało przemieszcza się w tę samą stronę, w którą działa siła, to praca siły jest dodatnia.
~-.
-
"-~ FD X
-
Rys. 130
Wyobraźmy
sobie, że ciało porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku siły, tak że F 1 i (xk-xp) mają różne znaki; wówczas praca A 1 okazuje się ujemna. · Rozważmy na przykład ciało, na które działają dwie siły (rys. 13la):
a)~ ..
--
0 .
Xp
b)
r;Rys. 131 siła rozciągniętej sprężyny ręką. Siła
F1
F 1 i siła naprężenia nici F 2 , którą naciągamy w lewo, F 1 '< O; my ciągniemy w prawo, F 2 >O. silniej niż sprężyna*>, to ciało przemieszcza się z lewej
działa
Jeżeli ciągniemy
strony na prawą. Na rysunku 131a pokazano położenie początkowe ciała, a na rys. 13lb jego położenie końcowe: (xk-xp) >O, F 1 O. Całkowita praca wykonana przy przemieszczaniu ciała A = A 1 +A 1 , jest też dodatnia. Ale A < A 2 , bo A 1 O. Wykazać, że praca
prędkości ruchu ciała jest ujemna. 2. Siła tarcia jest stała co do wartości i skierowana przeciwnie do kierunku prędkości tzn. · -h -jeżeli v > O F- { ' +h, -jeżeli v v0
gdzie: V jest prędkością ruchu jachtu, S - powierzchnią żagla, (! -gęstością powietrza, a- bezwymiarowym współczynnikiem (dla żagla ustawionego prostopadle do kierunku wiatru a ~ 1). Znaleźć pracę siły wiatru przy przemieszczaniu jachtu o b metrów. Znaleźć moc siły wiatru. Ruch jachtu przyjąć za jednostajny, o stałej prędkości równej v. Znaleźć maksymalną moc przy Vo = 30m/s, a = l, S= lO x lO m 2 i wyrazić ją w koniach mechanicznych.
311
6. Ciało porusza F= fcos wf. Znaleźć
się
zgodnie z prawem x = c cos(wt+tx) pod działaniem w czasie od t= 10 do t= tk. Obliczyć pracę
pracę siły
w czasie jednego okresu (od t
=
O do t= 21t' w
•
Znaleźć średnią
moc
siły
siły
siły.
. W tym przypadku ze wzoru
A= -JFdxmożnakorzystaćbez Xp
żadnych
komplikacji (por. poprzedni paragraf). W szczególności, w przypadku, gdy ciało poruszało się początkowo od xP do xk> a później w stronę przeciwną i wróciło do położenia początkowego, to xk = xP i całkowita praca faktycznie jest równa zeru: x,.=xp
A Dzieląc drogę
na
części Xm
=
f
F (x) dx
=
O
potwierdzamy ten wynik Xk
Xm
Xm
A=fF~+fF~=fF~-fFh i dla xk = Xp, A = O. W mechanice energię potencjalną określamy jako zdolność do wykonania pracy. Sprężyna posiada określony zapas energii potencjalnej, zależny od tego, na ile jest ona rozciągnięta lub ściśnięta. Przy nieruchomym położeniu jednego końca, energia potencjalna sprężyny zależy od położeąia ciała, do którego przyczepiony jest jej ruchomy koniec. W takim razie, energia potencjalna u = u(x) jest funkcją współrzędnej x. Jeżeli w wyjściowym położeniu energia potencjalna była równa u(xP), to po przemieszczeniu ciała do położenia xk, kiedy sprężyna wykonała pracę A równą xo
A= *> łająca
Jeżeli
na
drugi koniec
ciało zależałaby
końca sprężyny,
312
a
więc
f
F(x) dx
sprężyny mógłby przemieszczać się
nie tylko od nie spełniałaby
dowolnie, to siła dziaale i od położenia drugiego sformułowanego warunku.
położenia ciała
pozostała
energia potencjalna jest równa u(xp)- A. Zatem Xt
u (xk) =u (xp)-A =u (xP)Należy
J F (x) dx
(2.1)
sobie sprawę z roli znaku przy A w tym wyrażeniu: wykonuje pracę, to zapas zdolności sprężyny do wykonywania pracy zmniejsza się. Wykonana przez sprężynę praca jest czerpana z zapasu energii potencjalnej. Dlatego też wykonana praca (to co oddała sprężyna) jest równa różnicy między początkową i końcową energią sprę w
pełni zdać
jeżeli sprężyna
żyny:
A
= u (xp)-u (xk)
We wszystkich wzorach występuje różnica wartości energii potencjalnej w dwóch położeniach ciała. Dlatego, jeżeli zamienimy u(x) na u(x) +C (C- dowolna stała), to fizyczne wyniki nie ulegną zmianie. Istotnie [u(xP)+C]-[u(xk)+C] Wartość
=
u(xp)-u(xk)
u(x) w jakimkolwiek punkcie~ oznaczmy go przez x 0 dowolnie. Oznaczymy ją przez u0 • Teraz wartość funkcji u(x)
można wybrać
w dowolnym innym punkcie x jest w nim xP = x 0, xk = x
określona
przez wzór (2.1), jeżeli
przyjąć
X
u (x) = u 0
-
J F (x) dx
(2.2)
Xo
W ten sposób rozwiązuje się zagadnienie znajdowania energii potencjalnej przy zadanej sile. Można rozważyć zagadnienie odwrotne: znając potencjalną energię jako funkcję x, u(x), znaleźć siłę F(x). Aby rozwiązać to zagadnienie, weźmy pochodną obu stron równości (2.2). Pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, a więc du (x)
--dx~-
Znak minus jest tu bardzo
=c -F(x)
ważny. Siła
jest dodatnia, skierowana w stronę
rosnących x, gdy du_ jest ujemne, tzn. jeżeli ze wzrostem x maleje energia dx
potencjalna u.
Siła
jest ujemna (skierowana w
stronę malejących
x), je-
żeli _dll_ > O, tzn. w przypadku, gdy ze wzrostem x energia u rośnie; w tym dx
przypadku
oczywiście,
gdy x maleje, maleje
też
energia u. Wobec tego, 313
siła jest zawsze skierowana w tę stronę, w którą energia potencjalna maleje. Rozpatrzmy dokładniej przykład sprężyny. Niech w stanie początkowym sprężyny ciało znajduje się w początku układu współrzędnych (rys. 133).
;~~----;'~ Rys. 133
Przy
odciąganiu ciała
w prawo siła jest proporcjonalna do odległości, na i jest ona skierowana w lewo:
jaką zostało odciągnięte ciało
F= -kx, Załóżmy, że
k >O
u0 = O dla x 0 = O, tzn. przyjmiemy energię za równą zeru, otrzymamy
potencjalną
nie-
naciągniętej sprężyny
fo F dx = k fo x dx = k T X
u (x) = Łatwo przekonać się, że
F = -
X
2
temu u(x) odpowiada, zgodnie ze wzorem
~~ , siła
F = -1x ( k
~2
)
= - kx
Rozpatrzmy drugi przykład: siłę ciężkości. Oś z skierujemy do góry. Siła ciężkości działająca w dół jest równa- mg, gdzie g jest przyspieszeniem siły ciężkości. Nie zależy ona od wysokości z, ale przecież stała wielkość jest szczególnym przypadkiem funkcji. Ważne jest to, że siła ciężkości nie zależy od czasu i prędkości. Dlatego można' stosować otrzymane wyżej wzory. Energię potencjalną ciała na powierzchni Ziemi przyjmiemy za zerową z = O, wówczas z
u (z)=
z
-fo F dz = -(-mg) of dz = mgz
(2.3)
Energia potencjalna rośnie liniowo wraz ze wzrostem wzniesienia ciała nad powierzchnię Ziemi. W poprzednim przykładzie zakładaliśmy, że odległość z jest mała w porównaniu z promieniem Ziemi. Obecnie będziemy rozpatrywali siłę przyciągania przyjmując, że odległości mogą być dowolnie duże. Zgodnie z pra314
wem c1ązenia Newtona, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od przyciągającej masy. Wiadomo, że dla ciał znajdujących się na powierzchni Ziemi, siła przyciągania przez całą kulę ziemską jest równa sile przyciągania przez masę równą masie Ziemi i umieszczoną w środku Ziemi *l. Wygodnie jest zatem odległość odmierzać wzglę dem środka ziemi. Oznaczmy ją przez r. Zatem siła działająca na ciało jest równa
F= Oczywiście stała
C jest dodatnia. Siła jest ujemna, ponieważ jest skierowana Ziemi, a współrzędna r narasta przy oddalaniu się od Ziemi siła działa w stronę malejących r. Stałą C łatwo jest określić korzystając z tego, że siła działająca na powierzchni Ziemi (r = r0 = 6340 km = 6,4·10 8 cm) jest nam dobrze znana ku
środkowi
c
F (r 0 ) = -mg = - - 2 ro gdzie g jest przyspieszeniem 981 cm/s 2 • Ostatecznie
siły ciężkości,
Przyjmiemy znowu energię za równą zeru. Wówczas
f
= mgr 02 (
równym na powierzchni Ziemi
potencjalną ciała
r
f -,:z = r
F dr= mgr'6
ro
C = mgr'6
mgr'6
F=
u = -
,
na powierzchni Ziemi l .,.
dr
mgr'6 ( -
--,:t
)
=
ro
l
--
r
l ) + --r
r'r 6)
ro =mg ( r 0 - - = mg-(r-r 0)
0
r
(2.5)
Przy małej wysokości z=r-r 0 ~ r0 , !"_o_ mało różni się od jedności i w przyr
bliżeniu
. u (r) =mg (r-r 0 ) = mgz *> Nie jest to słuszne dla ciała znajdującego się we wnętrzu Ziemi. W takim przypadku obliczając siłę przyciągania należy brać pod uwagę tylko tę część masy Ziemi, która znajduje się bliżej środka Ziemi niż rozpatrywane ciało.
315
co pokrywa się ze wzorem (2.3) otrzymanym wcześniej. Jednak przy zwięk szaniu r, jak widać ze wzoru (2.5), energia potencjalna nie rośnie nieograniczenie, jak to wynika z przybliżonego wyrażenia (2.3), lecz dąży do określonej granicy u {oo) = mgr 0 •
pod uwagę zmniejszanie się siły przyciągania wraz z odenergia ciała w nieskończoności, zgodnie ze wzorem przybliżo nym jest taka, jak w odległości r 0 od powierzchni Ziemi, tzn. w odległości 2r0 od środka Ziemi. Spotykaliśmy się tu z fizycznym problemem, w kt.órym rozpatruje się nieskończone odległości. Należy jednak mieć na uwadze to, że w fizycznych problemach interesują nas zawsze wielkości skończone, skończone odległości. Na przykład, jeżeli rozpatruje się ruch ciała i jego energię, zależnie od przyciągania Ziemi, to pośrednio może nas interesować zagadnienie osiągnięcia przez ciało Księżyca, Marsa lub innych planet, czy gwiazd, tzn. osiągnięcia odległości większych lub znacznie większych w porównaniu z promieniem Ziemi, ale zawsze skończonych. Rozpatrzymy zagadnienie wyrzucenia rakiety na dużą wysokość i na dużą odległość od Ziemi. Interesować nas będzie energia i czas lotu. Rozważymy dwa przypadki: l) rakieta powinna oddalić się na odległość R = 10r0 , gdzie r 0 oznacza promień Ziemi, 2) rakieta powinna oddalić się na odległość R = 100r0 . Czas lotu rakiety jest, w przybliżeniu, proporcjonalny do odległości. Dlatego w drugim przypadku rakieta lecieć będzie około 10 razy dłużej niż w pierwszym. Zmiana R istotnie zmienia czas lotu. Dlatego rozpatrując czas lotu nie można zamienić R na nieskończoność. Praca potrzebna na to, aby po oderwaniu się od Ziemi rakieta oddaliła się na odległość R od środka Ziemi, jest równa A
więc, jeżeli wziąć
ległością,
A =
mgr~ (_!___ - __l_) r0
R
Pamiętając, że r 0 =
6,4· 10 8 cm, w pierwszym przypadku otrzymujemy A 1 =mg·5,76·10 a w drugim A 2 =mg·6,34·10 8 ; IO~krotna zmiana odległości nieznacznie wpłynęła na ilość potrzebnej energii. Gdybyśmy zamienili R na nieskończoność, to otrzymalibyśmy 8,
Aoo =mg ·6,4·10 8
316
A1 różni zamienić
się
od A co o 10%, od A 2 R na nieskończoność.
-
o 1%. Dlatego
obliczając pracę możemy
A więc jedną i tę samą wielkość R, w tym samym zagadni.eniu, rozpatrując jego różne aspekty, albo można zamienić na nieskończoność, albo też nie można tego zrobić. Możliwość takiej zamiany zależy nie tylko od samej wielkości R (i porównania jej z innymi występującymi we wzorach wielkościami o tym samym wymiarze, w danym przypadku r 0 ). Możliwość zamiany zależy od postaci wzoru, w którym przeprowadzanajest ta zamiana. Wracając do zagadnienia energii potencjalnej ciała przyciąganego przez Ziemię, znajdujemy liczbową wartość u( oo) na jednostkę masy; w fizycznym układzie jednostek jest ona równa gr 0 = 981·6,4·10 8 ~ 6,28·10 11 erg/g, a w układzie technicznym gr 0 = 6,28 ·10 8 kGm/kg. Interesująca jest zamiana tej wielkości na jednostki cieplne: l kilokaloria jest równa 427 kGm, tak że u( oo) = 15 · 10 3 kcal/kg. Wielkość ta jest 30 razy większa od ciepła parowania wody i 10 razy większa od energii chemicznej substancji wybuchowych. W zagadnieniach mechaniki nieba i w fizyce wygodnie jest przyjąć za zerową energię potencjalną ciała znajdującego się nieskończe~ie daleko od przyciągającej je masy. W ów czas dla energii potencjalnej ciała w odległości r otrzymujemy r
u(r) = u(oo)-
J
F(r)dr =
c r
00
gdzie C jest stałą ze wzoru-na siłę (F= -Cjr 2 ); jeżeli znamy przyspieszenie g siły ciężkości na powierzchni Ziemi i promień Ziemi r 0 , to jest ona określona wzorem (2.4). Można otrzymać inne wyrażenie na C. Istotnie, z prawa powszechnego
ciążenia Newtona, F = -u m~ gdzie m jest masą ciała przyciąganego r
M- masą Ziemi, r- odległością od środka Ziemi, u stałą grawitacyjną równą 6,7·10- 8 dyn·cm 2 Jg 2 = 6,7·10- 8 cm 3 Jg·s 2 • Dlatego C = umM. Korzystając z tego wzoru łatwo jest obliczyć C znając u i M. Zagadnienie znajdowania energii potencjalnej dwóch ładunków elektrycznych e 1 i e 2 jest bardzo podobne do zagadnienia poprzedniego. Siła oddziaływania między ładunkami jest równa
przez
Ziemię,
F = k !_t__e_2_
r2
(2.6)
317
Przy tym,
jeżeli ładunki są wyrażone
w jednostkach elektrostatycznych
(jednostka ładunku jest równa _!_9 kulomba), a siła w dynach, to we 3 ·lO
wzorze (2.6) k = l. We wzorze tym nie występuje znak minus, który występuje we wzorze na siłę grawitacyjną. Faktycznie, jeżeli e 1 i e 2 są jednoimienne (oba są dodatnie lub oba ujemne), to iloczyn e 1 e2 jest dodatni. Ale w tym przypadku ładunki odpychają się, tzn. siła F jest dodatnia. Określając teraz u(r) tak,_aby u(oo) =O, otrzymujemy
u (r) = e l e2 .
r
Energia potencjalna dwóch jednoimiennych ładunków znajdujących w skończonej odległości, jest dodatnia: odpychają się one i oddalają od odległości r do oo i mogą wykonać pracę równą u(r)
się
się
= u(oo) = u(r)
Energia potencjalna dwóch różnoimiennych ładunków jest ujemna. Istotnie, e 1 e 2 < O, jeżeli e 1 > O, e 2 < O, co jest jasne z fizycznego punktu widzenia: różnoimienne ładunki przyciągają się, więc trzeba dostarczyć energię na to, aby oddalić jeden ładunek od drugiego na nieskończoną odległość. Zauważmy, że dzięki zasadzie zachowania energii, energię potencjalną można określić nie tylko jako zdolność do wykonania pracy ale i jako pracę, którą trzeba włożyć po to, aby doprowadzić układ do danego stanu. Rozciągnięta sprężyna jest zdolna do wykonania pewnej pracy, gdy wraca do stanu wyjściowego. Oczywiście, że taką właśnie pra~ę trzeba było włożyć, aby rozciągnąć sprężynę. Analogiczne stwierdzenie można wypowiedzieć w przypadku ciała podniesionego na pewną wysokość nad Ziemią lub w przypadku dwóch ładunków. 3. Równowaga i Rozważmy ciało,
stabilność
które może poruszać się bez tarcia wzdłuż pewnej prostej, którą przyjmujemy za oś współrzędnych x. Niech na ciało działa siła skierowana wzdłuż tej osi i zależna od współrzędnej x. Może to być na przykład sprężyna. Dalej zajmujemy się innymi przykładami. Położeniem równowagi nazywa się takie położenie ciała, kiedy siła działająca na nie jest równa zeru i ciało może pozostawać w spoczynku. Punkt, w którym następuje równowaga nazwiemy x 0 , a więc F(x 0 ) = O. Rozwijając funkcję F(x) w szereg Taylora i pomijając wszystkie wyższe
318
potęgi
x-x 0 prócz pierwszej, widzimy, że możemy mieć dwa warianty F(x) w otoczeniu x 0 (przy warunku F(x 0 ) = O): F(x) = = k 1 (x-x 0 ), F(x) = -kz(x-x0 ). W obu przypadkach przyjmujemy, że k 1 i k 2 są wielkościami dodatnimi. Pierwszy przypadek jest przedstawiony na rys. l34a, a drugi na rys. I34b. Tym obu przypadkom odpowiada całkiem zależności
a)
b)
F
F
o
X
Rys. 134
rozny charakter równowagi. W przypadku a), jeżeli ciało znajduje się nieco na prawo od punktu x 0 , to działa na nie dodatnia siła tzn. siła, która ciągnie go dalej w prawo. W takim razie, w przypadku a) równowaga w punkcie x 0 jest niestabilna (nietrwala); wystarczy małe odchylenie ciała (w prawo albo w lewo), aby na ciało zaczęła działać siła, zwiększająca jego wychylenie. Inaczej jest w przypadku b); przy odchyleniu ciała w prawo siła jest ujemna, tzn. ciągnie ciało w lewo. Wychylenie ciała z położenia równowagi wytwarza siłę starającą się przywrócić ciału stan równowagi. W tym przypadku mamy do czynienia z równowagą stabilną (trwałą). Łatwo przekonać się, że dla ciała przymocowanego do sprężyny realizuje się ten drugi przypadek. Zgodnie z wypisanymi wyżej wyrażeniami na siłę, znajdujemy energię potencjalną, korzystając ze wzoru (2.2). W przypadku równowagi niestabilnej mamy u (x)
1 = u (x 0 ) - T
.
k 1 (x-xo)
2
a w przypadku równowagi stabilnej u (x) = u (x 0 )+
Odpowiednie krzywe przedstawione
~
są
k 2 (x-x 0 ) 2
na rysunkach l35b.
319
a) u
b)
u
u(x0)
.V l
D
X
X
o
Xo
X
Rys. 135
W takim razie, w przypadku równowagi niestabilnej energia potencjalna ma maksimum, w przypadku równowagi stabilnej -minimum. W obu przypadkach w punkcie minimum lub maksimum, F= - _du =0, siła dx
równa jest zeru. Wynik jest intuicyjnie sensowny. Jeżeli ciało znajduje się w stanie maksimum energii potencjalnej, to przy odchyleniu w obie strony wydzielana jest energia, która może być zużyta na pokonanie bezwładności przemieniając się w energię kinetyczną. Jeżeli ciało znajduje się w stanie minimum energii, to aby go odchylić w dowolne inne położenie trzeba dostarczyć mu energii; energia ta spowoduje zwiększenie energii potencjalnej; tracąc małą ilość energii można będzie jedynie nieznacznie przemieścić ciało. Takie własności ciała znajdującego się w stanie minimum energii potencjalnej, całkowicie odpowiadają pojęciu równowagi stabilnej. Energia potencjalna siły ciężkości w pobliżu powierzchni Ziemi jest równa mgz, gdzie z jest wysokością nad powierzchnią Ziemi. Krzywą przedstawiającą zależność u(x) można wyobrazić sobie jako krzywą przedstawiającą wysokość położenia ciała w zależności od współrzędnej poziomej x. Wyobraźmy sobie ciało, które porusza się po linii krzywej jak koralik nanizany na mocny drut. Krzywa u(x) odpowiada kształtowi drutu, jeżeli płaszczyzna rysunk,u jest pionowa. Wówczas widać, że maksimum u(x) jest takim punktem (rys. 135a) na drucie, z którego przy małym popchnięciu koralik zsuwać się będzie w dół, minimum u(x) (rys. 135b) najniższym punktem, w którym koralik znajduje się w położeniu stabilnym i może sam zsuwać się do niego z sąsiednich punktów. A więc na podstawie wykresu funkcji u(x) można wyobrazić sobie kierunki sił i charakter równowagi. Rozpatrzmy kilka przykładów. l. Niech naładowane ciało porusza się po prostej (przyjmiemy ją za oś x), do której zamocowane są nieruchome dwa jednakowe ładunki,
320
Y X
Rys. 136
symetrycznie względem początku układu współrzędnych, w odległości 2a jeden od drugiego (rys. 136). Oczywiście w początku układu współrzędnych ciało znajdować się będzie w równowadze. Istotnie, w tym przypadku siły działające na ciało ze strony nieruchomych łaqunków, są równe co do wartości i przeciwnie skierowane, tak że równoważą się one, tzn. ich wypadkowa jest równa zero. Energia potencjalna ciała składa się z dwóch członów u (x)
gdzie e jest
ładunkiem ch~ła,
ległością ciała
od lewego
e e
e1 e
r
r
1 = -,+-
11-
e 1 -wielkością nieruchomego
ładunku,
r"-
odległością ciała
ładunku, r' odod prawego ła
dunku; czyli
r' = x +a,
r" = a - x
dlatego
1u (x) = e 1 e ( a+x
1- ) + -a-x
(3.1)
Odpowiednie krzywe przedstawiono na rys. 137. Górna krzywa odpowiada przypadkowi e 1 e > O, tzn. przypadkowi, gdy ładunek ciała i ładunki nieruchome są jednoimienne; dolna krzywa odpowiada przypadkowi e 1 e < O, tzn. gdy ładunek ciała i ładunki nieruchome są różnoimienne. W przypadku ee 1 < O równowaga w początku układu współrzędnych jest niestabilna. Istotnie ciało jest przyciągane przez lewy i prawy ładunek i w początku układu siły przyciągania równoważą się. Jednak, jeżeli niewiele przesuniemy ciało, np. w prawo, to siła przyciągania do prawego ładunku będzie silniejsza i ciało będzie poruszać się w tę stron~. Znajdziemy d 2 ~
l . Korzystając
dx 1 x~O
~;! 21 Matematyka
wyższa
= 2et
z (3.1) otrzymujemy
e[-(a1xP- + Ta~xfJ
(3.2)
321
u
Rys. 137 Podstawiając
we wzorze (3.2) x = O, otrzymujemy
~:~
=
i' x=O
-~~~ ~-
d 2x Zatem, dla x = O, ~ 2- > O, gdy e 1 e > O. W tym przypadku u(x) ma dx
minimum dla x pi to_:_~~ dx X=O
=
O, równowaga jest stabilna.
Jeżeli
jednak e 1 e < O,
< O, u(x) ma maksimum dla x = O, równowagajest niestabilna.
2. Analogicznie rozpatrzymy przypadek, gdy ładunki są rozmieszczone w takiej samej odległości od początku układu współrzędnych ale na prostej prostopadłej do linii (osi odciętych), po której porusza się naładowane ciało (rys. 138). W tym przypadku energia potencjalna jest równa e1 e
.)
U( X= 2 va2+x2 Y
e, Q
•
X
e, Rys. 138
322
e, t->D
Wykres energii potencjalnej dla a = l, le 1 el = l, jest przedstawiony na rys. 139. W przykładzie tym przy e 1 e > O, równowaga w początku układu jest niestabilna. Jeżeli ładunek ciała jest przeciwny do nieruchomych ła dunków (e 1 e < 0), to równowaga.jest stabilna. Nietrudno się o tym przekonać, rozpatrując siłę działającą na poruszający się ładunek (rys. 140). Niech e 1 e > O. Przesuniemy ciało w prawo od ij
lj
e1e>O
e1e zk), a rk --,-- odległość ładunku e od tego punktu. Zatem, przy do-
wolnym rozkładzie nieruchornych ładunków w przestrzeni, praw~ziwa jest równość
6u 6u 6u ---+ -~+---=o 2 1 1 2
2
2
6x
6y
6z
(3.3)
W szczególności i dla tego punktu, który jest punktern równowagi ła dunku e. Warunkiem koniecznym położenia równowagi jest, aby siła skierowana wzdłuż dowolnej osi była równa zeru. Warunek ten jest spełniony gdy
~=0
ax
'
~=0 ay ,
~=0
az
Jeżeli siły działające wzdłuż trzech prostopadłych osi są równe zeru, to równa jest też zeru siła w dowolnym kierunku*>. Na to, aby równowaga była stabilna względem ruchu we wszystkich trzech prostopadłych kierunkach, potrzeba aby
Jednak przeczy to równaniu (3.3), ponieważ suma trzech wielkości dodatnich nie może być równa zeru. W ostatnich czasach (r. 1956) problem, czy można w stabilny sposób utrzymywać naładowane cząstki, działając na nie nieruchornymi ładunkami, skoncentrował na sobie dużo uwagi. Aby otrzymać energię jądrową przy spalaniu deuteru, należy utrzymywać naładowane jądra w przestrzeni nie dopuszczając do ich zderzeń ze ściankarni naczynia. Z powyższego dowodu wynika, że nie można tego osiągnąć rozmieszczając na ściankach naczynia ładunki, jakkolwiek byśmy je nie rozmieścili. W takim razie ten kierunek badań od razu można nazwać beznadziejnym. Wiadomo, że do rozwiązania tego zagadnienia może w zasadzie doprowadzić metoda· zaproponowana przez radzieckich uczonych A. D. Sacharowa i I. F. Tarnrna, wykorzystująca pole magnetyczne. *> każdej
Jeżeli
osi
mamy
różną
od zera siłę F działającą w dowolnym. kierunku, to równa rzutowi siły F na tę oś.
wzdłuż
działać będzie siła,
325
Ćwiczenia
l. Ładunek e porusza się po prostej, na której umocowane są nieruchomo dwa dodatnie ładunki e 1 i e 2 = 4e 1 w odległości 2a jeden od drugiego. Znaleźć taki punkt na prostej, w którym możliwa jest równowaga ładunku i zbadać charakter równowagi. Rozpatrzeć dwa przypadki: e > O i e < O. 2. Rozwiązać zadanie l zmieniając znak ładunku e 2 •
4. Drugie prawo Newtona przez Newtona drugie prawo dynamiki głosi, że iloczyn masy i przyspieszenia jest równy działającej sile*>. Przyspieszenie a jest pochodną prędkości v po czasie, prędkość zaś jest pochodną współrzędnej ciała po czasie. W takim razie Sformułowane
dv ma=m-=F dt
(4.1)
lub (4.2)
Zaczniemy od rozpatrzenia przypadku, kiedy
siła
jest dana w postaci
funkcji czasu F= F(t). Znaczy to, że pochodna _!il!_ jest zadana jako dt
.
funkcja czasu. W tym przypadku, korzystając z prawa Newtona (4.1) łatwo można znaleźć prędkość w dowolnej chwili czasu; prócz działającej siły trzeba też zadać prędkość w pewnej chwili t 0 . Wówczas V
(t) =
V
(t 0 )
+
-l- f
t
F (t) dt
(4.3)
to
Znając prędkość
w
x(t 0 ), znajdujemy
od czasu v(t) i położenie ciała w dowolnej chwili
zależności
położenie
początkowe ciała
t
x(t)=x(t 0 )+ jv(t)dt
(4.4)
to
gdzie v(t) ma
postać
(4.3).
bezwładności, głosi, że ciało, na które porusza się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. To znaczy, przyspieszenie jest równe zeru, gdy siła jest równa zeru.
*> Pierwsze prawo Newtona, tzw. zasada
nie że
działają żadne siły,
dla takiego
326
ciała
Związek między prędkością i drogą omówiliśmy dokładnie w rozdziale J. Wzory (4.3) i (4.4) całkowicie rozwiązują problem znajdowania x(t) na podstawie równania (4.2). Związek (4.2) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, występuje w nim druga pochodna szukanej funkcji x(t). Rozwiązanie zależy nie tylko od zadanej funkcji F(t) ale i od dwóch stałych wyznaczonych z warunków początkowych: położenia i prędkości ciała w podanej chwili czasu t 0 . Jeżeli znamy lub doświadczalnie znajdziemy prawo ruchu ciała, tzn. funkcję x(t), to znalezienie siły działającej na ciało nie będzie przedstawiać żadnej trudności; należy obliczyć drugą pochodną funkcji x(t) i pomnożyć ją przez m (wzór 4.2). Ćwiczenia
I.
Znaleźć
prawo ruchu
ciało spoczywało
w
ciała
pod
działaniem stałej siły
początku układu współrzędnych
F,
jeżeli
w chwili t
=
O
(x = O).
pole.cenie zad. l z warunkami początkowymi: V 0 d)a t = 0. 3. Wykonać polecenie· zad. l z warunkami początkowymi: X= X 0 , V = V 0 , dla t= 0. 4. Ciało o masie 20 kg zaczyna poruszać się pod działaniem siły l kG, z początku układu współrzędnych, bez prędkości początkowej. Jaką drogę przebędzie ono w cią gu lO s? 5. Z wysokości 100m swobodnie, tzn. z prędkością początkową równą zero, spada kulka. Po jakim czasie osiągnie ona Ziemię? (opór powietrza pomijamy). 6. Z wysokości100m zaczyna spadać kulka z prędkością początkową Vo = lO m/s. Rozpatrzyć dwa przypadki: a) prędkość początkowa kulki v 0 jest skierowana w dół, b) prędkość początkowa jest skierowana do góry. Obliczyć po jakim czasie kulka osiągnie Ziemię. Jaka jest prędkość kulki w momencie zetknięcia z Ziemią. Wykazać, że w przypadkach a) i b) prędkość ta jest taka sama. 7. Na ciało działa siła proporcjonalna do czasu, jaki upłynął od początku ruchu (współczynnik proporcjonalności jest równy k). Znaleźć prawo ruchu ciała, jeśli wiadomo, że ciało rozpoczyna ruch z punktu x = O z prędkością początkową Vo. 8. Na ciało działa siła zmieniająca się okresowo w czasie F= fcos wt (/,w2.
Wykonać
X =
0,
V =
stałe).
a) Znaleźć prawo ruchu ciała, jeżeli x
ten jest ruchem
drgającym. Znaleźć
okres
=
O, v
=
O, gdy t
=
O.
Wykazać, że
drgań, maksymalną wartość
ruch
x(t) i maksy-
malną prędkość.
b) Znaleźć prawo ruchu ciała jeśli F= /sin wt, przy warunkach początkowych: x = O, v = O, dla t = O. 9. Ciało porusza się pod działaniem stałej siły F. W chwili t = t 0 ciało znajdowało się w punkcie x = x 0 . Znaleźć prędkość, jaką powinno mieć ciało w chwili t= to, aby w chwili t= t 1 znajdowało się w punkcie x = x 1 •
327
5.
Popęd siły
Zagadnienie znajdowania· ruchu ciała przy zadanej zależności siły od czasu zostąło rozwiązane w poprzednim paragrafie. Obecnie rozpatrzymy własności tego rozwiązania i niektóre nowe pojęcia z nim związane. Iloczyn P = mv (masy ciała i jego prędkości) nazywamy pędem ciała. Wielkość
f
t
(5.1)
F(t)dt
to
nazywamy popędem siły w czasie od t 0 do t. Wzór (4.3) można zapisać następująco t
P(t)-P(t 0 )=
J Fdt
(5.2)
fo
zmiana pędu jest równa popędowi siły. spotykamy siły działające tylko w ciągu krótkiego okresu czasu, przykładem jest uderzenie młotkiem odskakującym po uderzeniu od ciała. Przed uderzeniem i po, siła jest równa zeru. Gdy nie działają inne siły prócz krótko działającej siły uderzenia, to, oczywiście, do momentu uderzenia ciało porusza się ze stałą prędkością i po uderzeniu też porusza się z inną stałą prędkością.
i
wypowiedzieć słowami: Często
F
t
Rys. 142
Niech F(t) będzie Rozpatrzmy całkę
różne
od zera tylko w przedziale czasu od t 1 do
t 2•
f2
I
=
J F (t) dt
(5.3)
tl
Wielkość tę można nazwać całkowitym popędem siły, całkowitym
sensie, działa.
328
że całkę
obliczamy po
całym
odcinku czasu, kiedy
siła
w tym faktycznie
W
wyrażeniu
(5.1)
występuje całka
od t 0 do t.
Jeżeli t 0
< t 1 , a t> t 2 , to
t
f F dt =I to
Mamy bowiem t
j'Fdt= to
tt
f to
t
l2
f
Fdt+ t
1
Fdt+ j'Fdt 12
Po prawej stronie pierwsza i trzecia całka jest równa zeru, ponieważ w tych czasu F = O, a druga całka jest równa l. W takim razie ze wzorów (5.2) i (5.3) otrzymujemy: P(t) = P(t 0 )+l, jeżeli t 0 < t 1 , t.> t 2 • Ze wzoru (4.3) widzimy, że prędkość ciała po uderzeniu zależy tylko od popędu siły, tzn. od całki siły, a nie od konkretnej postaci funkcji F(t). Na przykład, siły F(t) reprezentowane przez wykresy przedstawione na rys. 143 dają taki sam popęd siły, tzn. jednakowo zmieniają prędkość ciała. odstępach
F
X
Rys. 143
Dla każdej z tych krzywych F(t) nietrudno jest narysować odpowiadający jej wykres prędkości v(t). Na rysunku 144 przedstawione są te wykresy przy ogólnym założeniu, że prędkość początkowa równa się zeru. Wspólną cechą krzywych na rys. 144 jest to, że mają one taką samą wartość pręd kości końcowej, wszystkie krzywe przechodzą z prawej strony w poziomą prostą na wysokości v = lfm. V
t Rys. 144
329
Każdą z krzywych F(t) na rys. 143 można "ściskać" wzdłuż osi czasu i proporcjonalnie rozciągać wzdłuż osi siły. Powierzchnia pod krzywą F, tzn. Fdt, całkowity popęd siły, nie ulega przy tym zmianie. W taki właśnie sposób, otrzymano np. krzywą 2 z krzywej l na rys. 143. Im krótszy jest czas działania siły, tym krótszy jest czas, w którym prędkość ciała zmienia się od wartości początkowej v0 = O do wartości końcowej vk = Ijm (rys. 144). W takim razie, w granicy, przy bardzo dużej sile działającej w ciągu bardzo krótkiego czasu, wykres prędkości przyjmuje
J
V
D
t1 Rys. 145
postać schodka (rys. 145). Przy tym nie jest już teraz ważne, którą z krzywych na rys. 143 ściskaliśmy; schodek jest scharakteryzowany ty li T
m
Jeżeli
podstawimy v(t) z (4.3) do wzoru (4.4) i wprowadzimy dokład niejsze oznaczenia (tak, aby górną granicę całkowania i zmienną całkowania oznaczały różne litery), to otrzymamy wzór bardzo złożony na pierwszy rzut oka t
x(t) = x(t 0 )+(t-t 0 )v(t 0 )+
tl
ml j' dt j' F(t )flt 1
to
2
2
to
Występującą tu całkę można przekształcić stosując reguły dla całek podwójnych. Nigdzie jednak nie wspominaliśmy o tych prawach, dlatego intere-
331
sujące
pod
nas
przekształcenia
otrzymamy
korzystając
z prawa (5.5) ruchu
ciała
zadziałaniem popędu siły.
Działanie siły
F(t) w czasie LI-r od pewnego momentu -r do -r+Lir, można w przybliżeniu zastąpić działaniem popędu siły LI/= F(-r)LI-r. Ruch ciała pod wpływem takiego popędu jest nam już znany- por. wzór (5.5), w którym należy zamienić I na Ll/(-r). Następnie należy dodać "wkłady" do x(t) od wszystkich odstępów czasu LI t;; w rezultacie otrzymamy
=m J. F(-r) (t-r) dr t
l
(5.7)
to
tu sumę przez całkę dla dostatecznie małych przedziałów czasu LI-r. We wzorze (5.7) nie wzięto pod uwagę położenia początkowego x(t 0 ) i ruchu z prędkością początkową (t-t 0 ) v(t 0 ); wyrazy te dodamy po prostu do wyrażenia (5.7) i ostatecznie otrzymamy Jak zwykle,
zamieniliśmy
J. t
x(t) = x(t 0 )+(t-t0 )v(t 0 ) +l -
m
F(t 1 )(t-t 1 )dt
(5.8)
Wzór (5.8) różni się od (5.6) tym, że w (5.8) całkować trzeba tylko jeden raz. Nie powiedzieliśmy dlaczego można dodawać składniki od poszczególnych popędów, od prędkości początkowej i położenia początkowego. Dokładniej o tym się mówi w Dodatku na końcu książki, w par. 5. Tu wystarczy nam, że można bezpośrednio sprawdzić czemu jest równe x(t 0 ),
dx/ dt
t0
i
ddt x , korzystając ze wzoru (5.8). W tym celu należy zróżnicz2
2
·
kować
x(t) określone wzorem (5.8), analogicznie jak to zrobiliśmy sprawdzając wzór (5.5) w paragrafie V.5. Przypomnijmy czytelnikom, że zgodnie z trzecim prawem Newtona, przy oddziaływaniu dwóch ciał, siła z jaką drugie ciało działa na pierwsze (F~)*>, jest równa co do wielkości i przeciwnie skierowana do siły, z jaką pierwsze ciało działa na drugie (F2 ), F 2 (t) = - F 1 (t).
też
332
*> Wskaźnik przy literze F, na które ciało działa siła F, oznacza numer ciała, do którego odnosi się pęd.
wskaźnik
przy literze P
ciała
Wzór (5.2) zastosowany do pierwszego
i
siły
F 1 , daje
t
P 1(t)-P 1 (t 0 ) =
Ten
zaś
wzór zastosowany do drugiego
JF
1
ciała
dt
i
(5.9) siły
F 2 , daje
t
Pit)-Pz (to)= Ponieważ
IF
2
F 2 = - F 1 zgodnie z trzecim prawem Newtona, t
I Fz dt = Dlatego (5.10) przyjmuje
(5.10)
dt więc
t
jF
-
dt
1
postać
(5.11) Porównując
(5.9) z (5.11), otrzymujemy Pt(t)-P 1(t 0 ) =
Pz(t 0 )~Pz(t)
skąd
Pt(t)+Pz(t) = Pt(to)+Pz(to)
Z ostatniego wzoru wynika, sumy pędu tych ciał.
że działanie ciała
jednego na drugie nie zmienia
6. Energia kinetyczna Rozpatrzmy ciało poruszające.się pod wpływem znanej siły F(t). Znajdziemy związek między pracą wykonaną przez tę siłę i prędkością ruchu ciała.
Z podstawowego równania m ~ = F(t), mnożąc obie strony przez prędkość
v, otrzymujemy
dv mvdt =F (t) v
Zachodzi
(6.1)
tożsamość
333
słuszna dla dowolnej w postaci
a
ponieważ
m jest
zależności
v(t).
Korzystając
stałą, więc 2
mv- ) = . -d- ( dt
Wprowadzając
z niej zapiszmy (6.1)
F (t)
2
V
oznaczenie 2
K
(6.2)
otrzymujemy ostatecznie
dK --- - =F (t) V
(6.3)
dt
Korzystając
z
wyrażenia
na
pracę
(1.1), otrzymamy
t1
A
=
f
tl
F (t) v dt
=
f
:~
dt
skąd
(6.4)
K jest energią kinetyczną ciała. Wzór (6.4) wyraża zasadę zadawania energii: zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy wykonanej przez siłę. Wzór (6.3) wyraża prawo: zmiana energii kinetycznej jest równa mocy, którą posiada sila. Jeżeli siła jest dana w postaci określonej funkcji czasu, to popęd siły, a zatem i spowodowana przez tę siłę zmiana pędu ciała, nie zależy od masy ciała, ani od jego prędkości początkowej, pqnieważ popęd siły i zmiana
r,
pędu są równe
J F dt. ro
Natomiast praca siły i zmiana energii k~netycznej ciała pod działaniem siły, jak widać ze wzorów (6.2), (6.3), (6.4), istotnie zależą nie tylko od samej siły, ale i od masy ciała i jego prędkości początkowej. Praktycznie, działając zadaną siłą w ciągu określonego czasu na ciężkie ciało spoczywające w chwili początkowej, nadamy mu tylko niewielką prędkość, przesunięcie ciała będzie małe i praca siły też będzie mała. Lżejsze ciało przejmie większą 334
pracę, osiągnie dużą energię. Jeżeli
do momentu zadziałania siły ciało w kierunku przeciwnym do kierunku działania siły, to siła może zmniejszyć jego energię. Wyobraźmy sobie ciało biorące udział jednocześnie w dwóch ruchach. Na przykład, człowieka chodzącego po kajucie płynącego statku lub padającą w kajucie piłkę. Założymy, że jeden z tych ruchów jest ruchem jednostajnym (w naszym przykładzie- ruch statku). Powstaje pytanie: czy można, obserwując spadanie piłki w kajucie lub ruch jakiegokolwiek ciała pod działaniem przyłożonej siły, stwierdzić, czy statek porusza się czy nie? Innymi słowy, czy jednostajny ruch statku wpływa na charakter ruchu przedmiotów na statku? Okazuje się, że nie wpływa. Doświadczenia wykazały, że brak wpływu ruchu jednostajnego na zjawiska fizyczne dotyczy nie tylko mechaniki ale i procesu rozchodzenia się światła i zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Z tego faktu Einstein wyciągnął bardzo ważne wnioski rozwijając teorię względności. (W tej książce nie będziemy się poruszało się
zajmować teorią względności).
W mechanice łatwo można przekonać się o wspomnianej niezależności od ruchu jednostajnego. Istotnie, niech ciało porusza się w pociągu z pręd kością v, a pociąg niech porusza się po torach ze stałą prędkością v0 • Wówczas względem obserwatora stojącego przy torach, ciało porusza się z prędkością v1 = v+ v0 . Przy tym przyspieszenie ciała jest takie samo dla obserwatora stojącego przy torach i dla obserwatora jadącego w pociągu · dv dv 1 d dvl dv 0 j~t a 1 = ----·---- = -(v+v 0 ) =-+----=-=a dt dt dt dt dt i~'J
W takim razie, stały składnik w wyrażeniu na prędkość nie zmienia przyspieszenia. Dlatego i siła działająca na ciało nie ulega zmianie: F = = ma 1 = ma. Różnica prędkości ciała przed i po działaniu siły, jest też jednakowa dla obserwatora znajdującego się przy torach i dla obserwatora stojącego w pociągu. Istotnie, niech prędkość względem obserwatora stojącego w pociągu do momentu zadziałania siły będzie równa v', a po zadziałaniu siły- v"; dla obserwatora stojącego przy torach• odpowiednie prędkości będą równe v~ i v~'. Wówczas v~ = v' + v0 , v~' = v" + v0 i dlatego
v;- v~
=
v" + v0 - v'- v0
=
v"- v'
Zagadnienie jest trudniejsze jeśli chodzi o problem energii kinetycznej*>: nie tylko sama energia kinetyczna, ale nawet różnica energii kinetycznych *> Ten fragment
można pominąć
przy pierwszym czytaniu.
335
jest różna dla torach
różnych
obserwatorów. Dla obserwatora
")2
( ')'
m (v" +v 0 ) 2
( __ __ m v1 K~ -K~ =_!.~!II
---------
2
2
2
stojącego
przy
m(v'+v 0 ) 2
--2--=
2 , " , " , " 111 (v') 2 +mv 0 v -mv 0 v = K -K +mv0 (v -v) - - -2= 1n (v") 2
We wzorze tym K~ i K~' są, odpowiednio, początkową i końcową energią kinetyczną obliczoną przez obserwatora znajdującego się przy torach a K' i K" odpowiednimi kinetycznymi energiami obliczonymi przez obserwatora w pociągu. Praca siły i moc są także różne dla różnych obserwatorów, bo choć siła jest ta sama to jednak przebyta droga i prędkość są różne dla obserwatora stojącego przy torach i dla obserwatora jadącego w pociągu.
Jednak równość zmiany energii kinetycznej i pracy siły zachodzi dla dowolnego obserwatora, choć każda z tych wielkości oddzielnie nie jest jednakowa dla różnych obserwatorów. (Przykłady potwierdzające ten fakt znajdują się w ćwiczeniach). Zwróćmy uwagę na interesujący wzór, który zachodzi jeżeli ciało porusza się pod wpływem tylko jednej danej siły F(t)
w tym przypadku prędkość v(t) można wynieść przed całkę, zana średnią arytmetyczną prędkości początkowej i końcowej. Jest to słuszne tylko wtedy, jeżeli v(t) jest prędkością, jaką posiada ciało w wyniku działania jednej siły F(t). Jeżeli jednak na ciało działa kilka sił: F 1 , F 2 , F 3 , to praca wykonana przez wszystkie siły jest równa iloczynowi prędkości średniej i sumie popędów wszystkich sił, mianowicie A
więc,
mieniając ją
v ;v_o_
336
f
tl
tl
ll
1
F 1 dt+
~-1~~
f
F 2 dt+ v 2vo 1
f
F 3 dt
(6.5)
każdej
Jednak praca
z tych
równa odpowiedniemu nieważ siła
F2
sił
(na
przykład siły
składnikowi ~l.::.!.i__ [' 2 .
działająca
samodzielnie
F2 ) oddzielnie, nie jest
F2 dt we wzorze (6.5), po-
'o nadałaby ciału prędkość różną
niżej ćwiczenie 6)~
od v(t) (por. Ćwiczenia
l. Znaleźć wyrażenie na energię kinetyczną ciała poruszającego się pod działa niem stałej siły F (w chwili początkowej prędkość była równa zeru), w zależności od czasu i w zależności od przebytej drogi. . 2. Ciało porusza się pod wpływem siły F= fcos w t, przy t= O, l' = O. Znaleźć wyrażenie na energię kinetyczną ciała. Określić maksimum energii kinetycznej. 3. Ciało porusza się zgodnie z prawem x(t) = A cos(wt-/-. Oznaczmy g/et = v1 • Równanie (7.8) przyjmie dv
dt Przypuśćmy, że
= rx.
postać
(v 1 - v)
v0 < v1 • Wówczas prawa strona równania (7.9) jest na
początku ruchu dodatnia, a więc dodatnia jest i lewa strona, tego
prędkość
v(t) wzrasta. Przy tym, im v jest
bliższe
dv dr
> O, dla-
v1 , tym
bliższe
zeru jest !!.!!__ , tym wolniej zatem wzrasta v. Gdyby w pewnej chwili czasu dt
v(t 1 ) = v1 , to wówczas v pozostałoby stałą, ponieważ jest rozwiązaniem równania (7.9) z warunkiem początkowym 1 v(t 1 ) = v1 • Analogicznie, jeżeli w chwili początkowej v > v1 , to v przybliża się do v1 , ale w tym przypadku v maleje. Dlatego po pewnym czasie od początku ruchu ciało spada, praktycznie, ze stałą prędkością v1 = gja, t1
v
okazało się, że
=v
-
i: i: i l [[l *> Wymiar gf!X można odczytać na podstawie wzoru (7.8). Ponieważ odejmować można tylko wielkości mające taki sam wymiar, więc gf!X powinno mieć wymiar prędkości.
340
v(t) jl_ ()(
D
Rys. 147 niezależnie
od tego, jaką prędkość miało ono gdy zaczynało spadać. Wykres dla przypadku v0 = O ma postać jak na rys. 147. Powyższe rozważania wykazują, że cały szereg własności v(t) można zbadać nie rozwijając nawet równania (7.9). Rozwiążemy teraz to równanie. ) . dz dv . , . ( . .. W, P rzyJmiJmy owczas dt = - dr 1 rowname 7.9 zapiszemy v1 - v = z. prędkości
następująco
dz - = -rxz dt
przy czym, dla t= O powinno być z= v1 - v0 • Szukanym rozwiązaniem jest z(t) = (v 1 - v0 )e-•r. Przechodząc do funkcji v(t) otrzymujemy v1-v(t)
= (v 1 -v 0) e-or
skąd
(7.10) Na podstawie wzoru (7.10) łatwo jest otrzymać wyniki, które otrzymaliśmy rozpatrując równanie (7.9). Po pierwsze, jeżeli v0 :> v1 , to v(t) > v1 , ponieważ (v 0 -v 1 )e-ar> O. Jeżeli natomiast v0 < v1 , to (v 0 -v 1 )e-ar< O i dlatego v(t) < v1 • Po drugie, obojętnie jakie by nie było v0 , przy dostatecznie dużych t wielkość e-ar jest mała i praktycznie v(t) = v1 • Korzystając ze wzoru (7.10) znajdziemy wyrażenie na drogę w zależności od czasu
skąd, przyjmując, że
x(O)
= O, mamy
x (t)
1 (1- e-•r) 0 -= v 1 t+ --
V -V (X
341
Jeżeli prędkość ciała jest duża lub rozmiary ciała są duże, to siła oporu jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Z doświadczenia wiadomo, że wówczas•:•>
gdzie S jest powierzchnią przekroju ciała, (! - gęstością ośrodka. Siła oporu nie zależy teraz praktycznie od lepkości ośrodka. Współczynnik w tym wzorze jest wielkością bezwymiarową; jego wartość zależy od kształtu ciała (dla łatwo "opływanych" Ciał k może zmaleć do wartości 0,03-0,05, dla trudno "opływanych" ciał k może osiągać wartość 1-1,5).
Oznaczając k~e = x, otrzymujemy (7.11) Oczywiście
" ma wymiar g/cm. zagadnienie o zaburzeniu dla wiednie równanie ma postać Rozwiążemy
sił
oporu (7.11). Odpo-
dv dt
m-= -xv 2 Dzieląc obie strony przez m i przyjmując " m
= /3, (f3 > O) otrzymamy
!!_!;___ = - f3v2
dt
Stąd -"-~ = V
f3 dt.
Całkując,
prędkością ciała w chwili
t
otrzymamy - _!_l" = - f3tl' , gdzie v0 jest vo
V
= t 0 • Dlatego _!_ +_l_ = - f3(t- t 0 ), skąd V
V
to
=
Vo
Vo --:----::--''ó----:-
(7.12)
l+f3vo(t-to)
Z równości f3 = " wynika, że f3 ma wymiar l/cm. m
*> Wzór ten jest
słuszny
przy liczbie Reynoldsa
Rve
~-
> 100. Sens wzoru po-
'YJ
danego w tekście jest następujący: (przy ruchu dużego ciała energia tracona w związku z oporem ośrodka jest zużywana nie na pokonanie tarcia jednych warstw cieczy o drugie, ale na energię kinetyczną cieczy, która musi poruszać się, aby "rozstąpić się" i przepuścić ciało. Sami wyprowadźcie stąd wzór na siłę.
342
Znajdziemy wzór na
drogę.
dx =
Na podstawie (7.12) otrzymujemy d
Vo
l+f3v 0 (t-t 0 )
t,
skąd
t
x(t)
= x(t 0 )+
f to
Przyjmując, że ciało
Vo
1 +·p v0 (t-t 0 ) dt
rozpoczyna ruch z
początku układu
(7.13) (x(t 0 ) = 0),
z (7.13) otrzymujemy l
= 7fln [l+f3v 0 (t-t 0 )]
x(t)
(7.14)
Łatwo przekonać się, że
ze wzoru (7.14) wynika wykładnicza zależność od drogi: v = v0 e-Pxtt. Jeżeli teraz chcemy znaleźć drogę, jaką przebędzie ciało od momentu gdy siła, która nadawała mu prędkość przestanie działać, to stwierdzimy, że droga (wzór (7.14)) jest tym większa, im większe jest t.*>. W rzeczywistości tak nie jest. Rzecz w tym, że gdy prędkość ciała zmaleje, to wzór (7.11) przestanie być słuszny. Trzeba wówczas przejść do wzoru (7.1) i odpowiednio, drogę obliczać ze wzoprędkości
ru (7.5).
Rozpatrzmy zagadnienie spadku ciała w powietrzu w przypadku, gdy opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości. Przypuśćmy, że ciało zaczyna spadać z początku układu współrzędnych z prędkością początkową v0 • Zupełnie analogicznie jak wówczas gdy opór jest proporcjonalny do prędkości, otrzymujemy równanie dv
dt
(7.15)
= g-pvz
Równanie to przepiszmy w postaci
Łatwo dojść do wniosku, że
=
V 1,
gf/3 =
vi.
Vgf(3 na wymiar prędkości, oznaczmy 1/gf(3
=
Wówczas (7.16)
•> Zgodnie z wzorem (7.14),
x-+
oo, gdy
t-+
oo.
343
Dokładne rozwiązanie jest podane w odpowiedzi do ćwiczenia l. Rozpatrzmy ogólne własności rozwiązania. Rozumując analogicznie jak w przypadku równania (7.9), dochodzimy do wniosku, że w tym przypadku prędkość ruchu powinna osiągnąć wartość v1 = g/f3. Wykażemy, że po dość długim czasie od początku spadania, prawdziwy jest wzór
y
(7.17) gdzie C jest
wielkością stałą.
dv
dt Dla
dużych
Równanie (7.16) zapiszmy
następująco
(7.18)
= f3 (v 1 +v)(v 1 -v)
t, v::::; v1 dlatego w (7.18)
zastąpimy
v1 +v przez 2v 1 •
Jeżeli
zastąpić v przez v1 w różnicy v1 - v, to otrzymamy .!!:!._ = O, skąd v = dt
= const = v1,.
Ponieważ
interesuje nas właśnie mała różnica między v i v1 -(prawo przybliżania się v do v1), więc nie możemy pomijać różnicy v-v 1 • Zatem, z równania (7.18) otrzymamy (7.19) dz = - dv ; rowname , · ( 7. 19) przyJmUJe · · pastac, Oznaczarny v1 - v =z, -dt
dt
dz
dt = Rozwiązaniem
-2f3v 1 z
jego jest (7.20)
co pokrywa
się
z (7.17). C ze wzoru (7.20) nie można określić na podstawie warunku początkowego v(O) = v0 (tzn. z(O) = v1 - v0 ), ponieważ równanie (7.19) jest słuszne tylko przy dostatecznie dużych t (w pobliżu t= O nie można zastępować v + v1 przez 2v 1). Zauważmy jeszcze, że wzór F( t) = - uv 2 (t) jest słuszny tylko wówczas, gdy v > O. Istotnie, jeżeli v < O, to powinniśmy mieć F(t) = uv 2 (t), ponieważ siła oporu jest skierowana przeciwnie do prędkości i co za tym idzie, jest dodatnia, jeżeli prędkość jest ujemna. Dla obu przypadków: v > O i v < O, mamy wzór Wartości stałej
F(t)
344
=
-uv(t)iv(t)l
Ćwiczenia
l.
nia
Znaleźć wyrażenie
~~ = f)(v~-v 2 ),
na
prędkość
przy warunku
zależności
w
początkowym
od czasu, na podstawie równav(O) = v 0 • Na podstawie wzoru
v. ;-
na v wykazać, że prędkość ruchu ustala się na wartości v 1 = 2v 1 (v 0 - v 1 )
we wzorze (7.20) C =
V1
+ Vo
-~- Wykazać, że
.
2. W zagadnieniu spadania ciała (siła oporu jest proporcjonalna do prędkości), wyporu Archimedesa. 3. Stosując wyniki poprzedniego zadania do kuli i biorąc pod uwagę, że dla kuli k = 6rtR'Yj, gdzie R jest promieniem kuli, 'YJ -lepkością ośrodka, wykazać, że uwzględnić siłę
prędkość (przy dużych t) spadku ustala się na wartości v gęstością materiału,
z którego zrobiono
Rozpatrzymy przypadek, kiedy i
F
= F(x).
wyjaśniliśmy, że
potencjalną
e' -
2R 2 g
u(x), pierwiastek kwadratowy daje dwie możliwe wartości dla v(x), w zaleźności od dwóch możliwych znaków pierwiastka, mianowicie
v
=±V~
[E-u(x)]
W chwili początkowej zarówno wartość, jak i znak v0 są określone przez warunki początkowe. Dalej ruch odbywa się w kierunku źądanym przez prędkość początkową v0 • Oczywiście, jeźeli v =F O, to znak prędkości nie moźe się nagle zmienić. I tak, jeźeli w chwili początkowej ciało znajdowało się w punkcie x = x 1 *> i v0 > O, to ciało dotrze do skrajnego punktu Xc. W punkcie, gdzie prędkość ciała jest równa zeru, nastąpi przejście od wzoru v =
~-~ [E-u(x)] do wzoru
v =- {
~
[E-u(x)].
Ponieważ
w tym punkcie v = O, więc zmiana znaku następuje bez skoku (nieciągłości) Analogiczny obraz będziemy mieli w punkcie x = xD. A więc, w przypadku przedstawionym na rys. 148, ruch ciała będzie ruchem drgają cym między dwoma skrajnymi połoźeniami Xc i xD. Rozpatrzmy inny przykład. Energia potencjalna ciała jest dana w postaci funkcji u = ax (a > 0). Znaleźć ruch ciała. Przypuśćmy, źe w chwili początkowej t 0 , x = x 0 , v = v0 . Wówczas prędkości.
całkowita energia E = m~5 + ax 0 . Korzystając z (8.4) otrzymujemy
gdzie y
=
_3_a_ . Znając v(x), znajdujemy czas m
'
t =
to +
f
Xo
*> Punkt x 1 na rys. 148 nie miejscu między Xc i x 0 .
348
został
X
dx Vo+Y (xo-x)
----;:;:2---;-------:-
zaznaczony;
może się
on znajdować w dowolnym
W całce dokonajmy zamiany v~+y(x 0 -x) mujemy t= t 0
2dz
vo
Stąd
=
-ydx. Otrzy-
l v6+y (x 0 -x} -v 0 ]
Y
Y
2zdz
2 [ ;--
--=to--
-
= z2,
znajdziemy x:
przenosząc
v0 na lewo,
podnosząc
do kwadratu i
skracając
przez y otrzy-
mujemy
Znajdując
d 2 x2 dt
,
przekonujemy się, że jest to ruch jednostajnie opóźniony.
Tego należało się spodziewać; ponieważ F= _!f!!_ = -a, siła jest stała dx
i ujemna znaczy to, że ruch jest jednostajnie opóźniony. W tym prostym przypadku, kiedy siła w rzeczywistości nie zależy od x, oczywiście nie było· potrzeby stosowania takiego złożonego sposobu rozwiązywania. W następnym przykładzie rozpatrzymy energię potencjalną, której; wykres ma postać schodka (rys. 149). Takiej zależności u(x) odpowiada
siły przedstawiony na rys. 150 (aby się o tym przekonać, czytelnik siła jest duża i ujemna,. powinien przypomnieć sobie, że F= dx
wykres
-!!!!._),
"" F
X
D
x, Rys. 149
X
Rys. 150
34!)1
tzn. jest skierowana w stronę malejących x. Im bardziej krzywa u(x) na rys. 149 jest stroma, tzn. im na mniejszym odcinku Ll = x 1 -x0 następuje wzrost u(x), tym większa co do bezwzględnej wartości jest siła. Tam gdzie u(x) jest stałe (na lewo od punktu x 0 i na prawo od punktu x 1 ), siła jest równa zeru. Niech ciało rozpoczyna ruch z punktu x 0 (rys. 149) z prędkością v0 , a jego całkowita energia niech będzie równa E. Przy jakich wartościach E dało może dotrzeć do punktu x 1 ? Ponieważ u(x 0 ) = O, więc E= mv~/2. Z drugiej strony, E = mvi/2 +Ut. gdzie v1 jest prędkością ciała w punkice x 1 , a u 1 - energią potencjalną dla x = x 1 . Dlatego 2
mvl =E-ul 2
(8.6)
Ze wzoru (8.6) widać, że jeżeli E < u 1 , to ciało nie może dotrzeć do punktu x 1 , ponieważ w tym przypadku mamy vi < O, co nie może zachodzić. Dlatego ciało może dotrzeć do punktu x = x 1 tylko wówczas, gdy E~ u 1 . Znajdziemy dla tego przypadku pracę siły F przy przemieszczaniu ciała z punktu x 0 do x 1
A = Korzystając
mvi
mv5
mvi
--T - - -2-- = --2- -E
z (8.6), znajdujemy A= E-u 1 -E=
-tt 1
Przy dalszym ruchu ciała w prawo od punktu x 1 F= O dla x > x 1 .
siła
F nie wykonuje pracy,
ponieważ Ćwiczenia
l. Energia potencjalna
i
wyraża się
wzorem u
=
.!!:r (k ::-- O). Narysować wykres
wykazać, że odpowiadający
ruch jest ruchem drgającym. 2. Energia potencjalna jest określona następująco:
- r o,
jeżeli
u (x)- tx,
jeżeli
2,
jeżeli
x Aby zrozumieć pochodzenie tej nazwy, rozpatrzmy odcinek o długości a obraprzeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Związek między obrotem i drganiem łatwo zauważyć: obracająca się wskazówka po każdym obrocie wraca do poło .żenia wyjściowego tak samo jak i drgające crało po upływie jednego okresu wraca
Zauważmy, że ogólnie, jeżeli A (t) = L cos wt (lub A (t) = L sin wt), to L jest największą wartością wielkości A (t); jest ono nazywane amplitudą wielkości A (t). Zauważmy jeszcze, że częstość drgań w nie zależy od amplitudy a. Niech x = x 1(t) będzie rozwiązaniem równania (9.1), tzn. niech za-
chodzi równość m d 2 ~1 = -kx 1 • Rozpatrzmy funkcję x 2 (t) = Cx 1 (t) dt
l
gdzie C jest stałą. Podstawiając do równania (9.1) wartości x 2 i d 2 ~~ otrzy.
mamy mC
to v
=
~
2
d x 1_ =
dt 2
jest
~
-kCx1 (t), lub (dzieląc przez C)
liczbą
obrotów w jednostce czasu, w
=
21tv jest
prędkością kątową
w radianach na sekundę. Ponieważ radian jest wielkością bezwyw ma wymiar 1/s. W związku z takim prostym znaczeniem w, przy ruchu po okręgu wielkość w w zagadnieniu drgań jest nazywane częstością kątową. *> Zdefiniowaliśmy amplitudę jako połowę pełnego wychylenia drgań. Na drodze od skrajnego lewego położenia x·= -a do skrajnego prawego położenia x = a, ciało przebywa odcinek o długości 2a, równy podwójnej amplitudzie. obrotu
wyrażoną
miarową, więc
23 Matematyka
wyższa
353
jeżeli x = x 1 (t) to równanie.
Zatem, spełnia
spełnia
Łatwo sprawdzić, że
równanie (9.1), to i x 2 (t) = Cx 1 (t)
równanie (9.1) posiada i inne
b sin wt. Faktycznie, d 2 (~;2 w!)_
=
drugą pochodną
i jego
do (9.1) oraz
, tzn. V/km
jemy w
=
= -.
-
rozwiązanie:
też
x(t) =
w 2 sin wt. Podstawiając wartość x
upraszczając
przez sin wt, otrzymu-
tę samą wartość co poprzednio*>. Dlatego (9.6)
Tak jak i w poprzednim przypadku, nie można z (9.1) wyznaczyć wartości b. Wyznaczają ją warunki początkowe. Niech w chwili początkowej t = O ciało znajduje się w punkcie x = O i zaczyna poruszać się z prędkością początkową v0 w wyniku zadziałania krótkotrwałej siły, na przykład uderzenia. Wówczas, ponieważ v(t) = bw cos wt, więc dla t = O
v0 = bw skąd b
=
(9.7)
-~0-. Zatem, amplituda w tym przypadku jest określona przez (()
prędkość początkową.
Zależność
(9.7) podaje praktyczny i wygodny sposób pomiaru popędu Jest on szeroko stosowany w mechanice przy pomocy tzw. wahadła balistycznego: jeżeli ciało jest zawieszone jak wahadło lub jest utrzymywane w położeniu równowagi przez sprężyny i znamy częstość jego drgań, to prędkość początkową po uderzeniu ciała można określić na podstawie amplitudy drgań ciała wywołanych przez to uderzenie. Wykażmy, że w przybliżeniu, wzór (9.7) można otrzymać na podstawie ogólnych elementarnych rozważań. Amplitudę mierzymy w cm, prędkość w cmjs, a czas w s. Dlatego amplituda powinna być wielkością tego samego rzędu co iloczyn prędkości początkowej i pewnej części okresu. Ponieważ ruch od momentu uderzenia do maksymalnego wychylenia trwa przez 1/4 część okresu i v < v0 , bo ruch jest opóźniony, więc b < v0 T/4. Gdyby ruch odbywał się ze stałym opóźnieniem, to prędkość średnia· byłaby siły
i
prędkości.
*> w
b sin (-
=
V ~m
--. /
V~~--t)
=
nie prowadzi tu -b sin
również
(V-~~ t);
do nowego
.
rozwiązania, ponieważ
znak minus przed pierwiastkiem w wyra-
żeniu
na w odpowiada tej samej postaci funkcji co i poprzednio, przy innej
stałej
b.
354
wartości
równa połowie prędkości początkowej i dlatego b ::;:;; v0 T/8. W rzeczywistości, jak wynika ze wzorów (9.7) i (9.6)
b=
_IJ_o_
=
w
v_o_T_ = _l)_o!'_ 27!
6,28
Ważne jest to, że dzięki niezaletności amplitudy od okresu drgań jest ona wprost proporcjonalna do prędkości początkowej. Sprawdziliśmy, że dwie różne funkcje (9.4) i (9.6) spełniają równanie
m~~-= -kx.'Przypuśćmy, że chcemy rozwiązać zagadnienie ruchu ciała dt
z
~
zadaną prędkością początkową:
dla
= O, x = x 0 , v = v0 (przy czym wartości x 0 i v0 są dowolne i mogą być obie różne od zera). Takie zagadnienie nazywamy ogólnym. Do tej pory, w odróżnieniu od zagadnienia ogólnego, rozpatrywaliśmy przypadki szczególne. W jednym z nich przyjęliśmy dla t= O, v =O, x = x 0 , a w drugim- dla t= O, v = v0 , x =O. Przypuśćmy, że rozpatrujemy rozwiązanie x = a cos wt. Przyjmując t
t =·O otrzymamy x 0 = a, a więc x = x 0 cos wt. Ale wówczas v = _dx_ = L
df
0.
= -x0 w sin wt, a więc dla t = O, v = O, a nie v0 • Dlatego, za pomocą rozwiązania x = a cos wt nie możemy rozwiązać ogólnego zagadnienia, możemy rozwiązać jedynie zagadnienie z zerową prędkością początkową. Spróbujmy rozpatrzeć rozwiązanie x = b sin wt. W tym przypadku
v=
!!.x_ = dt
b w cos wt; dla t= O otrzymujemy v0 = bw, b = -vo , skąd
x=
~sin
wt. Jednak dla t = O, x = O, a nie x 0 • Zatem, za pomocą tego
(J)
w
rozwiązania też
nie
możemy rozwiązać
Łatwo sprawdzić, że
ogólnego zagadnienia.
suma
x =a cos wt+b sin wt też
(9.8)
rozwiązaniem
równania (9 .l) dla dowolnych a i b czytelnik sam to sumy (9.8) i podstawiając ją do (9.1)). A więc dysponujemy rozwiązaniem z dwoma dowolnymi stałymi: x = a cos wt+b sin wt. Odpowiadająca prędkość jest równa v = -aw sin wt+bw cos wt. Za pomocą wzoru (9.8) można rozwiązać ogólne zagadnienie o ruchu ciała z dowolnego położenia i dowolnej prędkości początkowej: dla t = O, x = x 0 , v = v0 • Korzystając z warunków początkowych, na podstawie (9.8) jest
może sprawdzić obliczając drugą pochodną
23•
355
znajdujemy a
=
= ~;
x0, b
dlatego
(l)
Vo
.
x = x 0 cos w t+ -- - sm rot (l)
Z tego wynika, że rozwiązania x = a cos rot, x = b sin rot nie dają ogólnego zagadnienia ruchu, a tylko przypadki szczególne, ze szczególnymi warunkami początkowymi. Dlatego rozwiązania te nazywają się szczególnymi. Rozwiązanie x = a cos wt+b sin rot pozwala na rozwiązanie ogólnego zagadnienia ruchu z dowolnymi warunkami początkowymi. Dlatego takie rozwiązanie nazywa się rozwiązaniem ogólnym. Ogólne rozwiązanie z dwoma dowolnymi stałymi można otrzymać również w wyniku innych rozważań. W równaniu (9.1) zamiast zmiennej niezależnej t wprowadzimy nową zmienną niezależną -r, zgodnie ze wzorem rozwiązania
't
= t+t'
(9.9)
. · . z ( 9 .9) w1"dac, · stał ą. W o. wczas -dx-- = -dx -dt = -dx , pomewaz g dz I.e t , Jest dr:
. ze
d t -dr:
l. A na log1czme . . d2X dt 2
=
dt
d2 X -;dr:
dr:
.
dt
R owname . . (9 . l) przyJmuJe . . pos t ac.
d2 x m--= -kx d-r2
= C co s rot, gdzie C jest stałą, w = .. l k . Vm Wracając do zmiennej t, otrzymamy x = C cos w(t+ t') = C cos (wt+wt').
Znamy jego
rozwiązanie:
.
x
Podstawmy rot'= a; wówczas x Korzystając rozwiązanie
my
= C cos (wt+a)
ze wzoru: cos(a+(J) (9.10) i (9.8)
C c os (w t+ a)
Zatem, po to aby oba warunki
=
(9.10)
cosacos(J-sinasin(J, porówna-
= C co s a c os w t+ C sin a sin w t = = a cos w t+ b sin rot rozwiązania opisywały
ten sam ruch,
muszą być
spełnione
a
=
C co s a,
b = - C sin a
Ponieważ a i b łatwo wyrażają się za pomocą położenia początkowego i prędkości początkowej, więc dobrze jest umieć rozwiązywać zagadnienie odwrotne: znajdować C i a znając a i b. W tym celu zbudujemy wyra-
356
żeni a
skąd
sin a cos a
b a
-- - = - - - = tg a,
a= arctg ( -
!
)(9.11)
Jeżell rozwiązanie jest zapisane w postaci (9.10), to oczywiście, ampli-
tuda
drgań
jest równa C. Zatem,
amplituda jest równa a
Jia 2
+
b2
jeżeli rozwiązanie
Niech dla t =
oX=
ma
postać
Xo. V = Vo; wówczas
= x 0 , b = -~ , dlatego amplituda drgań jest równa-. l x~ + v~2
V
w
(9.8), to
w
•
Ćwiczenia
l. Ciało drga zgodnie ze wzorem
d2~:
df,- =
• -x. Znaleźć zależność x(t) i określić
okres drgań dla następujących przypadków: a) dla t= O, x =O, v = 2 cm/s; b) dla t= O, x = l, v = O; c) dla t= O, x = l, v ~~ 2 cm/s. W przypadku c) zapisać rozwiązanie zarówno w postaci (9.8), jak i (9.10).
10. Energia
drgań.
Zapiszmy ogólne
gasnące
Drgania
rozwiązanie
równania (9.1) w postaci (9.10)
x = C cos (wt+a)
Energia potencjalna
ciała
u (x(t))
w
każdej
kx 2 (t)
chwili czasu jest równa kC 2
= - f - = - 2-cos 2 (w.+a)
a energia kinetyczna rnv 2
K (t)= -
m . 2 2- = -2-[ -Cw sm (wt+a)] =
rnC 2 w 2
2
sin 2 (wt+a)
Częstość drgań, jak wiemy, jest określona wzorem w 2 = ~. Podstawiam
jąc w 2
do wyrażenia na energię kinetyczną, otrzymamy kC 2 K (t) = - 2 - sin 2 (wt+a)
A
więc
czynnik przed funkcją trygonometryczną w wyrażeniu na energię
potencjalną i kinetyczną jesttaki sam. Same funkcjecos 2 (wt+a) i sin 2 (wt+a)
357
X
x=sin 2{wt +ex)
x =cqs 2(wt +ex) t Rys. 151 są
może być
do siebie podobne, jedna
otrzymana z drugiej przez przesu-
nięcie wzdłuż osi czasu o Llt = ____7"__(rys. 151). Każda z wielkości u i K drga Zw
od maksymalnej wartości do zera, przy czym, kiedy jedna z nich jest maksymalna, to druga jest równa zero. Zauważmy, że funkcje cos 2 (wt+a) i sin 2 (wt+a) opisują drgania wokół położenia średniego równego połowie położenia maksymalnego. Łatwo można to zauważyć na podstawie rys. 151 oraz znanych wzorów 1 l l cos 2 f3 = -(l +cos 2/3) =- - + - -- cos 2/3 2 2 2
sin 2 f3
=
_1-(l-cos2f3) 2
=L-21-cos2f3 2
Widać stąd, że wielkość 1/2 cos 2/3 drga, staje się dodatnia lub ujemna, a 1/2 jest wartością średnią. Suma energii potencjalnej i kinetycznej, tzn. energia całkowita układu
jest
stała,
jak
należało oczekiwać.
Zauważmy, że gdybyśmy
związku w =
V~ ,
wymusili ruch z częstością nie spełniającą
to wówczas suma energii potencjalnej i kinetycznej
nie byłaby stała, maksymalna energia kirtetycz na nie byłahy równa maksymalnej energii potencjalnej. Nie jest to takie dziwne, ponieważ drgania z częstością różną od w = -.
Fic- nie
Jl
m
r'uchu, zatem, aby takie drgania 358
spełniają podstawowego równania
mogły zachodzić,
potrzeba, by oprócz
siły
F = - kx*)
działały
na
ciało
jeszcze inne
zewnętrzne siły;
na skutek
k 2 ~nie jest zachowana.
2
+ 2 Pracy sił zewnętrznych energia całkowita _!!1lJ_ 2 Przejdźmy do zagadnienia drgań gasnących. Niech oprócz siły sprężyny F = - kx, na ciało działa siła tarcia. Założymy, że siła tarciajest stosunkowo mała; w ciągu jednego okresu drgań praca siły tarcia jest mała w porównaniu z energią drgań; wówczas w przybliżeniu można przyjąć, że drgania zachodzą tak jak i bez siły tarcia x (t) = C cos (mt+cx) Energia drgań jest równa kC2 2
•
Jeżeli występuje siła tarcia, to energia drgań .
z biegiem czasu maleje. Zatem tarcie doprowadzi do tego, że współczynnik C przy funkcji cos(mt+cx) nie będzie stały lecz powoli będzie malał. Prawo zmniejszania C określa warunek mówiący, że zmniejszenie energii jest równe pracy siły tarcia. Odnosząc obie wielkości do jednostki czasu, otrzymamy
!_~ d(~) =
dt
dt
= kC dC =F V=
dt
1
w l
(10.1)
gdzie F 1 jest siłą tarcia, v-prędkością ciała, W 1 - ;mocą siły tarcia. Prędkość v, tak jak i siła F, w procesie drgań zmieniają się okresowo. Iloczyn F 1 v przez cały czas jest ujemny. W interesującym nas przypadku małego tarcia, tzn. powolnego zaniku drgań, możemy przyjąć, że zmiana amplitudy C(t) w czasie kilku drgań jest niewielka. Iloczyn F 1 v należy rozumieć jako średnią wartość tego wyrażenia w ciągu okresu. Wzór (10.1) jest słuszny tylko dla okresów czasu dłuższych od okresu drgań. Jako przykład rozpatrzmy siłę tarcia proporcjonalną do prędkości ruchu ciała F 1 = -hv, F 1 v = -hv 2 Podstawiając
v = -Cm sin (mt +ex), otrzymujemy
F 1 v = -hC 2 m2 sin 2 (mt+cx) Zauważmy, że średnia wartość
równa
funkcji sin 2 (mt+cx) w
ciągu
okresu jest
~ (por. ćwiczenia do paragrafu III.4 oraz wzory na stronie 193)
*> Tej sile odpowiada
eneq~ia
potencjalna u(x)
=
k;~-
. 359
Korzystając
z (10.1) otrzymujemy ostatecznie kC
skąd dC
= -
!I(;_ dt
=
-hC 2 w 2
• -
1-
2
hw2 C
dt
2k
Pamiętając, że w 2 = ~ , otrzymamy proste wyrażenie m
dC
h
---=---C dt 2m Rozwiązaniem
tego równania jest -
C= Co e
h -·-t
(10.2)
2m
C0 wyznacza się z warunków początkowych. Mnożąc obie strony (10.2) przez cos(wt+tx) i korzystając z (9.10), otrzymujemy h
---·t
gdzie w
=
V~ .
X
(t) = C 0 e zm
Jest to wzór
cos (wt+tx)
(10.3)
przybliżony otrzymany przy założeniu, że
siła
tarcia jest niewielka i jest proporcjonalna do prędkości. W przypadku, gdy siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości zagadnienie to można rozwiązać dokładnie. Na ciało działają wówczas dwie
siły: - kx i h
dx • dt
Zgodnie z drugim prawem Newtona, mamy d2x dt2
dx dt
m--= -kx-·hRozwiązania siły
x(t)
będziemy
szukali w postaci takiej samej jak dla
małej
tarcia
x (t) = C 0 e:-rrcos (w 1 t+tx) Wówczas
d2 x
----;[(2 = y2 C0 e-rrcos (w 1 t+tx)+yC 0 w 1 e-rtsin (w 1 t+oc)+ +Co w 1 ye-rrsin (w 1 t+tx)-C 0 wr e-rrcos (w 1 t+oc)
360
(10.4)
(10.5)
Podstawiając powyższe wyrażenia na x,
dx , d 2 x2 do {l 0.4) i upraszczając dt dt
przez C0 e-rr, otrzymamy my 2 cos (w 1 t+cx)+myw 1 sin (w 1 t+cx)+ +myw 1 sin(w 1 t+cx)-mw 2 cos(w 1 t+cx) = -k cos (w 1 t+cx)+hy cos (w 1 t+cx)+hw 1 sin (w 1 t+cx) lub [my 2 -mwi] cos(w 1 t+cx)+2myw 1 sin(w 1 t+cx)
= -[k-hy] cos (w 1 t+cx)+hw 1 sin (w 1 t+cx) Równość
(10.6)
zachodzić będzie
= (10.6)
dla dowolnej chwili czasu t, jeżeli
my 2 -mwi = -k+hy } 2myw 1 = hw 1
(10.7)
Z drugiego równania (10.7), po podzieleniu obu stron przez w1 , otrzymujemy h Y= 2m
(10.8)
Wówczas z pierwszego równania mamy k h2 wi=---m 4m 2
Zatem x (t) = C 0 e-
2hm t
cos
V(~ - 4~2 )
(10.9)
•
t
+et
(10.10)
W przypadku, gdy tarcie jest małe, tzn. liczba h jest mała w porównaniu z k, pod pierwiastkiem można zaniedbać h2 /4m 2 w porównaniu z kjm. Przy tym wzór (10.10) przechodzi w (10.3). Zatem, w rozwiązaniu przybliżonym otrzymaliśmy poprawne prawo zaniku amplitudy, ale nie zauważyliśmy małej zmiany częstości drgań wywołanej siłą tarcia. . Jeżeli tarcie jest duże, to wyrażenie pod pierwiastkiem może stać się ujemne i wzór straci sens. Oznacza to, że przy dużym tarciu ruch nie ma już charakteru drgającego. W tym przypadku należy szukać rozwiązania w postaci x = Ce~rt. Podstawiając je do równania, otrzymamy dwie wartości na y. Suma dwóch rozwiązań odpowiadających tym wartościom y
361
da nam ogólne rozwiązanie, pozwoli rozwiązać zagadnienie z dowolnymi warunkami początkowymi. Dokładniej ten przypadek rozpatrzymy w zwią zku z drganiami elektrycznymi w paragrafie VIII.l O. Ćwiczenie
prawo zaniku drgań przy sile tarcia proporcjonalnej do kwadratu (takie tarcie występuje w przypadku szybko poruszającego się ciała w cieczy o malej lepkości). Wykazać, że po upływie długiego okresu czasu amplituda wyraża się wzorem C(t) = l/bt, gdzie b jest stalą niezależną od Co- wartości amplitudy w chwili początkowej. · · 2. Znaleźć prawo zaniku drgań dla siły tarcia niezależnej od prędkości (taka sila tarcia występuje przy tarciu dwóch twardych suchych powierzchni jedna o drugą). Określić, czas, po którym ustaną drgania. 3. Znaleźć równanie małych drgań wahadła, tzn. punktu materialnego zamocowanego na nici o długości /. Małymi drganiami nazywać będziemy odchylenia o niewielki kąt, tzn. takie drgania, gdy wielkość wychylenia poziomego jest x mała w porównaniu z l. Znaleli:ć okres drgań. Wskazówka. Skorzystać z faktu, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest wielkością stalą. l.
Znaleźć
prędkości
11. Drgania wymuszone i rezonans
Rozpatrzmy ciało, na które działa siła sprężystości F= - kx. Stwierdziliśmy, :że pod wpływem takiej siły ciało drga z określoną częstością w = Vkfm~ tzw. częstością drgań swobodnych lub częstością własną. W dalszym ciągu częstość własną będziemy oznaczali przei w0 ; a więc w0 = J/kj-;~ Niech na ciało, oprócz siły sprężystości działa dodatkowo okresowa siła zewnętrzna o częstości w. Okazuje się wówczas, że amplituda drgań wywołanych przez siłę zewnętrzną zależy bardzo od tego, jak bliska jest częstość drgań wymuszonych w częstości drgań swobodnych,. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu i ma bardzo duże znaczenie praktyczne. Dotyczy ono dowolnych układów, w których możliwe są drgania. W układach mechanicznych (maszynach, silnikach) drgania takie mogą prowadzić do niebezpiecznych zniekształceń i zniszczenia. Często rezonans jest wykorzystywany do tego, aby przy użyciu ·małej siły wywoływać drgania przyrządu o dużej amplitudzie. W układach elektrycznych przy działaniu kilku sił okresowych o różnej częstości (na przykład kilku pracujących radiostacji), rezonans daje możli wość osiągnięcia tego, że drgania w nowym układzie zależą tylko od jednej
362
siły
okresowej- tej, której częstość drgań jest bliska temu można stroić radioodbiorniki na Napiszmy równanie drgań d2 x dx m dt 2- = -kx-hdt +fcoswt
układu. Dzięki
W tym równaniu, fcos wt jest
częstości własnej określoną stację.
(11.1)
siłą zewnętrzną.
Podzielmy obi e strony równania (11.1) przez m i oznaczmy_!_= w~.
m
z taką częstością zachodzą drgania swobodne ciała (bez tarcia); stosunek h/m oznaczmy przez 2y (por. poprzedni paragraf i wzory (10.8), (10.9)). Otrzymujemy d2 x dx f 2 -(jj2- = -w 0 x-2y dt + łn cos wt Należy oczekiwać, że drgać
z
pod
taką samą częstością.
działaniem siły
o częstości w ciało będzie Dlatego szukamy rozwiązania w postaci
x =a cos wt+b sin wt
(11.2)
Podstawiając wyrażenie
na x i jej pochodne do równania (11.1) otrzymamy 2 - aw cos w t- bw 2sin w t = - aw5 cos wt- bw5 sin w t+
+2yaw sin wt-2ybw cos wt+ Lcos wt m Aby ta równość była słuszna dla dowolnych t, współczynniki po obu stronach równania przy cos wt i sin wt powinny być równe, czyli powinny zachodzić równości 2 2ybw+-f -aw 2 = -awom ,- bw 2 = - bw5 + 2yaw
(11.3)
Z drugiego równania (11.3) znajdujemy
2yw -a w5-w2
b=---~-
Podstawiając tę wielkość
do pierwszego równania (J 1.3) otrzymujemy
f a=-m
(11.4)
Wówczas (11.5)
363
do postaci x = cos(wt+oc) i przypominając sobie, że C= = 1/a + (por. wzór (9 .11) ), otrzymujemy amplitudę C drgań wywołanych przez siłę zewnętrzną przechodząc 2
b2
C=_f_· m
l J/(w5-w2)2-+(2yw)2
(11.6)
Widać, stąd, że leżności
C jest tym większe, im w jest bliższe w0 • Wykres zaC od w przy ustalonym w 0 , jest przedstawiony na rys. 152, dla
c 10
o
w
0,1 0,2 Rys. 152
dwóch wartości y. Przyjęto f/m = l, w0 = l. Im mniejsze jest tarcie, tym szybciej rośnie amplituda drgań, gdy częstość drgań wymuszonych jest równa częstości własnej drgań .. Nietrudno jest przekonać się, że suma rozwiązania (10.5) równania (10.4) i ogólnego rozwiązania (11.2) równania (11.1) x
= acoswt+bsinwt+C0
e-l' 1cos(w 1 t+oc)
(11.7)
gdzie a i b są określone wzorami (11.4) i (11.5), też jest rozwiązaniem równania ( 11.1 ). Za pomocą tego rozwiązania można rozwiązać zagadnienie z dowolnymi warunkami początkowymi, dobierając odpowiednie C0 i oc. Istotnie, niech dla t == O, x = x 0 , v = v0 . Wówczas, korzystając z (11.7), znajdujemy x 0 = a+C 0 cos oc v0 = bw-C 0 (y cos oc+w 1 sin oc)
{11.8)
Z tego układu równań można wyznaczyć C0 i oc (por. ćwiczenia do tego paragrafu). W takim razie (11.7) przedstawia ogólne rozwiązanie zagadnienia drgań ciała pod działaniem siły sprężystości i okresowej siły zewnętrznej. Rozwiązanie to potwierdza przypuszczenie uczynione w początku tego 364
paragrafu o tym, że przy długotrwałym działaniu siły zewnętrznej o czę w, ciało będzie drgało z taką samą częstością w. Istotnie, jakiekolwiek by nie były warunki początko~e, to wpłyną one tylko na wartości C 0 i rx, tzn. tylko na ostatni składnik w rozwiązaniu (11.7). Jednak z biegiem czasu, składnik ten, mający częstość w 1 , maleje i staje się dowolnie bliski zero dzięki czynnikowi e-l't, dlatego można go zaniedbać przy dużych t. Pozostałe składniki opisują drgania o częstości w, które nie zanikają z biegiem czasu, dlatego, że są podtrzymywane przez działanie siły zestości
wnętrznej. Ćwiczenia
l. Wyznaczyć Co i !X z układu równań (11.8). 2. Dzięki występowaniu siły tarcia, maksymalna amplituda C występuje przy w! .. niewiele różniącym się od w~. Znaleźć różnicę między w!.xfw~ i l, w zależności od y. Wskazówka. Zbadać minimum wyrażenia pod pierwiastkiem we wzorze (11.6) oznaczając
12. O
w2
=
z.
dokładnych
i
przybliżonych rozwiązaniach
problemów fizycznych
W poprzednim paragrafie udało nam się dość prostym sposobem znaleźć zagadnienia drgań ciała pod wpływem okresowej siły zewnętrznej, przy występującej jednocześnie sile sprężystości -kx i sile
dokładne rozwiązanie
tarcia - h dx . dt
Mając ważnych
l.
do dyspozycji to rozwiązanie granicznych przypadków.
Częstość
w; = k
111
w
siły zewnętrznej
jest
możemy łatwo znaleźć
mała
wiele
w porównaniu z w 0 , gdzie
Pomijając we wzorze (11.6) w w porównaniu z w 0 , otrzymamy
C=--L-=L mw~
2. C=
Częstość siły zewnętrznej
1 -2- 2 -. Ale ·/w 2 ~ L· ~ 4-m w +4y w
rażenie 4y 2 w 2 , otrzymujemy 3.
w jest
Siła
tarcia jest mała.
C=
k
duża
w porównaniu z w 0 • Wówczas
w4 (tarcie nie jest duże); pomijając wy-
_L. 2 mw
Pomijając wyrażenie zawie:ąjące
c= f
-;n-·
l
-w~-w 2 -
y, otrzymujemy
(12.1)
365
Bierzemy
wartość bezwzględną, ponieważ
we wzorze (11.6) rozpatrujemy pierwiastka. 4. Zjawisko ścisłego rezonansu: częstość siły zewnętrznej jest dokładnie równa częstości własnej, tzn. w = w 0 . Wówczas
dodatnią wartość
c = _f__ . __l_ m
2yw
= _[__ = _f__ hw
hw 0
(12.2)
Podane tu graniczne przypadki stanowią niemal 90% wszystkich przypadków. Po otrzymaniu ogólnego rozwiązania, należy go uprościć rozpatrując różne przypadki graniczne, tak jak to zrobiliśmy wyżej. Proste wzory opisujące przypadki graniczne, łatwiej jest zapamiętać i są one częściej stosowane w praktyce. Tylko niekiedy trzeba się odwoływać do ogólnych wzorów. Znając przypadki graniczne wiemy nie wszystko, ale prawie wszystko co kryje w sobie bardziej złożony wzór dokładny. Powstaje pytanie, czy nie można otrzymać prościej tych granicznych wzorów, upraszczając samo równanie. Rozwiązywanie w sposób ścisły skomplikowanego równania, a następnie upraszczanie rozwiązania jest równie nierozsądne, jak np. bardzo dokładne pakowanie kilku przedmiotów razem, zawijanie ich w ładne opakowanie przy użyciu specjalnej maszyny, a następnie rozrywanie tego opakowania rękoma i używanie tych przedmiotów oddzielnie. Bezpośrednie otrzymanie granicznych (przybliżonych) wyrażeń jest tu szczególnie ważne dlatego, że dokładne rozwiązanie jest bardzo czułe na małe zmiany przy sformułowaniu zagadnienia. Wystarczy nieco skomplikować zadanie, a już nie można znaleźć dokładnego rozwiązania. Rozwią zanie przybliżone jest niedokładne, ale bardziej stabilne ze względu na zmianę sformułowania zagadnienia. Dla uczącego się szczególnie ważne są te przypadki, kiedy można otrzymać i porównać oba rozwiązania- dokładne i przybliżone. Właśnie na takich przykładach można nabrać doświadczenia w poprawnym wyborze przybliżenia i uwierzyć w tego wynik. Wróćmy do pierwszego przypadku: częstość siły zewnętrznej (drgań wymuszonych) jest mała. Oczywiście, mamy do czynienia z ruchem powolnym. Dlatego w wyjściowym równaniu (11.1) d2x m ([t2
=
-
dx kx- h dt
+f c os r•Jt
opuszczamy człony związane z ruchem: m d 2 x_ i h dx ; otrzymamy: dt 2
366
dt
-kx+fcos wt,
O
skąd
fcos wt x = --- k--- = C cos wt,
c=- fk .
W takim razie, przy małej częstości, w każdej chwili przyłożona siła zewnętrzna jest równoważona przez siłę sprężystości. Oczywiście, wynik ten jest ogólny- dotyczy każdego ruchu ci małej częstotliwości. Taki graniczny przypadek nazywamy statycznym. W szczególności, siła sprężystości może być dowolną funkcją współrzędnej x: F(x); siła zewnętrzna może być dowolną funkcją
czasu F 1(t). Równanie
drgań
przyimuje
d2 x dx m([i2 =F (x)-h dt- +F 1 (t)
postać
(12.3)
Nie zawsze można znaleźć dokładne rozwiązanie tego równania, ale można metody przybliżone. Istotnie, pomijając w przypadku powolnego ruchu, składniki z prędkością i przyspieszeniem, otrzymujemy
stosować
Znajdujemy stąd x(t)- przybliżoną zależność między x i t. Podstawiając x(t) do ścisłego równania (12.3) możn,a określić, jak duży błąd popełni.. .. · d 2 x · h dx l tsmy, poilllJając wyrazy m dt 2 1 dl . Przejdźmy
do drugiego przypadku granicznego - bardzo dużej czę częstqści czas działania siły zewnętrznej, a zatem i popęd siły, w ciągu każdej połowy okresu (póki siła działa w jednym kierunku) jest mały, ponieważ krótka jest połowa okresu. Zatem, przy danej amplitudzie siły f, im większe jest w, tym mniejsza prędkość, którą może osiągnąć ciało i tym mniejsze jest przemieszczenie ciała. Pomijając w równaniu (11.1) stości
w. Przy dużej
wyrazy kx i h dx , otrzymamy równanie ruchu ciała swobodnego, na które nie
dt działają żadne siły
prócz
siły zewnętrznej
(12.4) Rozwiązania
równania (12.4)
szukać będziemy
w postaci x = C cos wt.
Wówczas - Cw 2 co s w t
367
Podstawiając
do (12.4) otrzymujemy: -Cmw 2 cos wt = fcos wt, skąd C=
-_f_. A więc 11!(!)2
;x;
coswt = - -f 2
W postaci typowej x = C cos(wt+a), tak, aby C było dodatnie, mianowicie x
Przy tym
siła sprężystości
(12.5)
mw
rozwiązanie
(12.5)
można zapisać
. f cos (wt+1t) =-Tm w jest równa
wi\ kf cos w t - kx = - - 2 2 co s w t = - -f w mw
a
siła
tarcia hf . dx h - = --sm wt mw dt
Porównując siły zależące okresowo od czasu, ich chwilowe wartości, lecz amplitudy. Stosunek sprężystości (stosunek amplitud) jest równy
można porównywać
nie
siły zewnętrznej
siły
do
Stosunek ten jest tym większy, im większe jest w. Analogicznie, stosunek siły zewnętrznej do siły tarcia rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem w. Dlatego przy dużych wartościach w siła zewnętrzna przewyższa znacznie siłę sprężystości i siłę tarcia. Potwierdza się zatem możliwość przybliżonego rozpatrywania ruchu pod działaniem samej tylko siły zewnętrznej.*> Trzeci przypadek graniczny (pominięcie tarcia) łatwo można otrzymać bezpośrednio
tf2x 111 - -
dt 2
= - kx +f COS
Wt
= - mwi\ X+ f COS
W!
(12.6)
*> Istotne jest tutaj to, że siła tarcia jest tym mniejsza, im prędkość jest mniejsza. Przy suchym tarciu (siła tarcia nie zależy od prędkości) siła zewnętrzna mniejsza od siły tarcia nie spowoduje drgań przy żadnej częstości.
368
Rozwiązania
równania (12.6) szukamy w postaci x
Podstawiając do równania wyrażenie na x i
2
d x2 dt
,
=
C cos(wt+a).
otrzymamy
m (w~-w 2 ) C cos wt =;fcos wt
a= O, skąd
c- __! __~ m (w~-w 2 )
-
Rozpatrzmy czwarty przypadek - częstość siły zewnętrznej jest dorówna częstości własnej: w = w 0 . Będziemy szukali rozwiązania równania (11.1) w postaci x = = C cos(w 0 t+a). Wówczas
kładnie
d2x m -([j"2 = -m C w~ cos (w 0 t +a) Pamiętając, że w~
=
kjm, otrzymujemy
d2 x m ({(2 = -kC cos (w 0 t+a) = -kx Podstawiając
wyrażenie
do (l 1.1)
na x i jego pochodne, otrzymujemy
hCw 0 sin (w 0 t+a)+fcos W 0 t= O Równość
ta
będzie spełniona
dla dowolnych t,
a= Rozwiązanie
ma zatem
r.
2 '
C
jeżeli
f
= -/iwo-
postać
x
= __[___ cos hw0
(w t- ~) 0
2
(12.7)
przy rezonansie jest więc równa C = f/hw 0 • wykres zależności C określonej przez przybliżone wyrażenia (12.1) i (12.2), od w (rys. 153). Wzór (12.1) daje dwie gałęzie dążące do nieskończoności przy w = w 0 , wzór (12.2) daje przy w = w 0 wartość skończoną C= A. Po narysowaniu krzywych (12.1) i po oznaczeniu punktu A odpowiadającego wzorowi (12.2), łatwo jest odręcznie narysować wykres gładkiej krzywej (krzywa przerywana na rys. 153), która daleko od rezonansu pokrywa się z krzywymi (12.1) i posiada maksymalną wartość A w punkcie w 0 • Amplituda
drgań
Sporządzamy
24 Matematyka
wyższa
369
w Rys. 153 Amplitudę C i fazę początkową ex w przypadku rezonansu (czwarty przypadek graniczny) można wyznaczyć za pomocą rozważań energetycznych pozwalających na przybliżone rozwiązanie pewnych zagadnień nie mających rozwiązań dokładnych.
Moc siły zewnętrznej f co s w t przy ruchu = .C cos(wt+cx) jest równa Wz =fcos wt
~~
określonym
wzorem x =
= -fCwcoswtsin(wt+a)
Wyznaczymy średnią moc siły zewnętrznej w - nieskończonego) okresu czasu
ciągu długiego (mówiąc
ściślej
Zauważmy, że
co s w t sin (w t+ ex) =
~
sin 2wt cos ex+ cos 2 wt sin ex
dlatego . ( w t+ ex) = -l -.-2-~ . l . co s w t sm 2 sm w t co s ex+ cos w t sm ex = T sm ex
Zatem Wz = - fCw sin ex lub 2
.7t)
fCw ( ex+W= • --cos 2 2
Wyznaczymy teraz
średnią
moc
siły
tarcia.
Ponieważ
(12.8)
Fr = -,hv
więc
(12.9)
370
ale i)t = (
~~
y
= C 2 w 2 cos 2 (wT+ttf =
_c~w 2
Dlatego z (12.9) otrzymujemy
Ponieważ
praca siły zewnętrznej zostaje zużyta na pokonanie tarcia moc siły zewnętrznej i siły tarcia powinny być równe co do bezwzględnej wartości tzn. więc średnia
IWzl
-
IWrl =
(12.10)
lub fCw i cos (rx + _:_) i = h ~~w 2 2 l 2 ! 2 czyli f'l cos (
et+
--i-r.)
i
= hCw
!
skąd
C= _L i cos (a+~-)! hw!
Maksymalną możliwą amplitudę
jak
widać
2
(12.11)
1
(zjawisko rezonansu) otrzymujemy
z (12.11) gdy cos(a+ ;) =l czyli dla
r:t.
=--i .Przytym
w= w0 a C= _f__ Zatem rozwiązanie w przypadku rezonansu ma hwo
postać
r.)
f cos ( w 0 t- -2 x = hwo A
więc
ponownie
otrzymaliśmy
Wrócimy do wzoru (12.8).
największą wartość, ponieważ
wzór (12.7).
Widać
z niego
że
wówczas co s (et+
przy rezonansie Wz ma
~-) =
l. Dlatego w przy-
padku rezonansu siła zewnętrzna osiąga największą średnią moc i dlatego wykonuje największą pracę. Przeprowadzone tu rozważania pozwalają wyznaczyć amplitudę przy rezonansie również w przypadku bardziej złożonej zależności siły tarcia 24•
371
prędkości.
{)d
Niech
siła
tarcia
będzie określona
wzorem
Fr = - hv lvl"- 1
(12.12)
Dla v > O wzór ten daje Fr = -hv" dla v < O otrzymujemy Fr = hlvl". Dlatego wzór (12.12) przy dowolnym znaku prędkości v określa siłę tarcia skierowaną przeciwnie do prędkości. Średnia moc siły zewnętrznej jest jak dawniej,
wt =
Fr tu
wzorem (12.8). Wyznaczymy Wr. Chwilowa wartość ale v 2 = lvl 2 , zatem wt = -hlvi"+ 1 • Podstav, otrzymujemy
określona
V= -hv 2 lvl"- 1 ;
wiając
wartość
wt = Korzystając
-hc"+ 1 W~+ll sin(wo t+a)i"+ 1
(12.13)
z ( 12.13) otrzymamy
gdzie A= lsin(w 0 t+a)i"+ 1 *l. Warunek (12.10) daje
hc"+t W "+t o A -- -l /C w0 l cos ( a+ -" ) .
2
skąd
C= Maksymalna amplituda
! l
V2h~w~ f.ęos osiągana
C=
•
2
(a+ ; )
przy rezonansie jest równa
~o V~{A
(12.14)
Szczególnym przypadkiem wzoru 02.14) dla n = l (siła tarcia proporcjonalna do prędkości) jest znalezione wcześniej wyrażenie
f
C=--
w0h
13. Odrzut i
wżór
Ciolkowskiego
Przy ruchu w próżnijedynym sposobem kierowania lotem (zmiana prędkości i kierunku) jest odrzucanie części masy przez lecące ciało, tzn. zastosowanie zasady ruchu odrzutowego. *)
Dla
przykładu
podamy kilka
wartości
A dla
różnych n: n
-+O,
3 4 n= l, A= 0,5; n= 2, A='};'= 0,42; n= 3, A= g= 0,375.
372
A-+~= 7t
0,64;
Rosyjski uczony K. E. Ciołkowski jako pierwszy całkowicie zdał sobie ze znaczenia ruchu pod wpływem odrzutu i zbadał podstawowe zależności tego ruchu. Od niego, przez jego uczniów i następców, radzieckich uczonych i konstruktorów, pochodzi naukowa tradycja, której ucieleśnienieJTI są radzieckie sztuczne satelity Ziemi, sztuczne planety i pojazdy kosmiczne z kosmonautami na pokładzie. Wyprowadzimy podstawowe równanie prostoliniowego ruchu rakiety. Paliwo rakiety- proch, lub mieszanina spirytusu i benzyny oraz utleniacza (tlenu, kwasu azotowego)- posiada chwilowy zapas Q energii chemicznej na jednostkę masy (Q jest rzędu 1000 kcal/kg dla prochu bezdymnego i 2500 kcal/kg dla benzyny z tlenem*l). Przy spalaniu energia chemiczna przemienia się w energię cieplną produktów spalania. Następnie produkty spalania wylatują przez dyszę, przy czym ich energia cieplna zamienia się w energię kinetyczną ruchu. Kiedy silnik odrzutowy jest zamocowany na stanowisku badawczym, spaliny wylatują z określoną prędkością u0 • Przy tym ich energia kinetyczna na jednostkę masy stanowi tylko pewną część energii chemicznej paliwa sprawę
2
~=aQ 2
(13.1)
gdzie a jest liczbą niemianowaną - współczynnikiem sprawności procesu spalania i wylotu gazów**l. Dalej będziemy zakładać, że znamy prędkość u0 • Jest ona równa około 2 km/s dla prochu i około 3 km/s dla paliwa płynnego. Łatwo sprawdzić, że tym wartościom odpowiada a :::::; 0,5 (sprawność jest rzędu 50%). Przed rozpoczęciem spalania paliwo spoczywało. Przypuśćmy że spaleniu uległa (i wyleciała z dyszy) masa dm paliwa. Przy tym "uniosła" ona pęd u0 dm. Oczywiście, popęd siły dl z jaką rakieta oddziałuje na tę masę, jest równy pędowi uniesionemu przez masę dm*':'*l dl
= F dt = u 0 dm
Zgodnie z prawem akcji i reakcji, popęd siły z jaką masa dm produktów spalania działa na rakietę, jest równy tej samej wielkości tylko z przeciwnym *> Kaloryczność benzyny wynosi około 10 000 kcal/kg, jednak aby spalić l kg benzyny (CH 2 ) należy zużyć jeszcze 3,4 kg tlenu. W rakiecie lecącej w próżni tlen należy zabierać, a energię trzeba przypisać całkowitej masie paliwa i utleniacza. **> We wzorze (13.1) należy Q wyrazić w jednostkach mechanicznych (erg/g), wówczas u0 otrzymamy w cm/s. Przy tym l kcal/kg= l cal/g= 4,18·10 7 erg/g. ***> Oznaczenie dl jest związane z tym, że rozpatrujemy małą masę dm.
373
znakiem .•Niech, na przykład, prędkość wylotu spalin u0 będzie skierowana w stronę malejących x. Wówczas u0 jest ujemne: u0 = -lu 0 1. Dla popędu siły działającej na rakietę otrzymujemy dl,= F, dt = -u 0 dm = luol dm
(13.2)
Wielkość
l' = _d!__ = dm
luol
popędem siły przypadającym
jest
popęd jednostkowy. Wielkość
na jednostkę masy, jest to tak zwany ta jest równa prędkości wylotu gazów ze spo-
czywającej
rakiety. Sprawdzimy jednostki we wzorze (13.3).
Siła
F ma wymiar g· cm/s 2 (dyn),
popęd siły I jest iloczynem siły i czasu, dlatego ma wymiar g· cm/s, !!!..._ma dm
zatem wymiar _g ·cm = cm/s, a więc wymiar prędkości. Dla spalin prochos ·g
wych u0 = 2·10 5 = 2 km/s. dla paliw płynnych u0 = 3 km/s. W technicznym układzie jednostek popęd jednostkowy ma wymiar kG· sfkg, gdzie kG oznacza siłę, a kg masę. Siła l kG jest równa sile wyrażonej w dynach podzielonej przez l 000 g, gdzie g jest przyspieszeniem siły ciężkości, masa l kg jest równa masie wyrażonej w gramach i podzielonej przez 1000. Dlatego I' wyrażone w kG· sfkg, liczbowo jest równe uo ·IOOO = lOOOg
=
.!:!2._ •
g
Przyjmując
w przybliżeniu g ~ 1000 cmfs 2 , otrzymujemy 200 kG· sf
/kg dla spalin prochowych i 300 kG· sfkg dla paliw płynnych. Siła działająca na rakietę, zgodnie ze wzorem (13.2), jest równa F,
dm
= luol-dt-
Jest ona proporcjonalna do ilości gazów wylatujących w jednostce czasu. Przejdźmy teraz do wyprowadzenia wzoru na prędkość ruchu rakiety. Jeżeli rakieta porusza się sama z pewną prędkością u, to prędkość wylotu gazów różni się od u0 i jest równa u+u0 = u-luol (przypominamy, że w spoczywającej rakiecie prędkość wypływu gazów jest równa -lu0 1). Oczywiście, że takie wielkości jak różnica prędkości prochu przed spaleniem i wylatujących spalin prochowych. oraz siła, z jaką działają na rakietę spaliny, nie zależą od tego, czy rakieta się porusza, czy nie. Oznaczmy początkową masę rakiety wraz z prochem przez M 0 • Masę 374
wylatujących
gazów prochowych oznaczmy przez m. Wielkość m jest czasu: m = m(t). Oznaczenie m jest zgodne z tym, że małą masę wylatujących gazów oznaczaliśmy przez dm, ilość spalin wylatujących
funkcją
w jednostce czasu- przez dm . Masa rakiety wraz z prochem w chwili dt
t
jest równa M= M(t) = M 0 -m(t)
Równanie ruchu (drugie prawo Newtona) ma du
dt
M
Równanie to
dm
można zapisać następująco
korzystając
= JuoJ dm
z (13.4),
(Mo-m) To,
że
postać
= F = Juol-~lt-
M du
lub,
(13.4)
du
din = Juol
.(13.5)
dt uległo uproszczeniu fizycznie oznacza, że (gdy na rakietę nie
działają
inne siły) prędkość rakiety zależy tylko od ilości wylatujących spalin (przy ustalonej wartości u0 ). Do chwili, gdy z dyszy wyleciała dana ilość gazów m, rakieta osiąga pewną prędkość u, niezależnie od tego, w ciągu jakiego czasu wyleciała ta ilość spalin. Nietrudno jest rozwiązać· równanie (13.5). W chwili początkowej, przy m = O, mamy u = O. Otrzymujemy więc m
u= JuoJ
f
o
'm
dm
1
M -m = -JuoJln (M 0 -m) , == 0 1
·
io
Mo M0-m
M M
0 = Ju 0 J [ -ln.(M 0 -m)+ln M 0 ] = Ju 0 Jln---- = Ju 0 Jln - -
zatem
Mo u= Ju 0 Jln M
(13.6)
Wzór ten otrzymał jako pierwszy K. E. Ciołkowski, nosi on jego imię. Jeżeli interesuje nas końcowa prędkość uk w chwili zakończenia spalania całego paliwa, to należy we wzorze (13.7) podstawić zamiast M wielkość Mk- końcową masę rakiety po spaleniu całego paliwa: Mk = M 0 -mP,
375
gdzie mP oznacza
całkowitą masę
uk
paliwa. Otrzymamy
= lttolln
Mo
M~-
(13.7)
k
Korzystając z tego wzoru łatwo można rozwiązać zagadnienie odwrotne: jaka powinna być początkowa masa rakiety, aby danej skończonej masie Mk nadać pewną określoną prędkość uk?
uk In- Mo - = -----
Mk
Juol
skąd
(13.8)
Aby ciało krążyło wokół Ziemi w postaci sputnika, jego siła odśrodkowa musi równoważyć siłę przyciągania Ziemi. Odpowiadająca. prędkość ut nazywa się pierwszą prędkością kosmiczną. Wyznaczamy ją z zależności (13.9) gdzie R jest promieniem orbity. Jest on w przybliżeniu równy promieniowi Ziemi, dlatego po prawej stronie równości (13.9), jako siłę przyciągania wzięliśmy siłę ciężkości na powierzchni Ziemi. Ze wzoru (13.9) znajdujemy Ut=
]l gR~
Jlgr 0 ~ 8 km/s
W przypadku sputnika lecącego w odległościrod środka Ziemi, znacznie od r 0 , należy uwzględnić, że wraz ze zmianą wysokości zmienia się przyspieszenie siły ciężkości równe g na powierzchni Ziemi. Istotnie, zgodnie z prawem ciążenia Newtona, ciało znajdujące się w odległości r od różniącej się
środka Ziemi jest przyciągane przez Ziemię siłą F = u m~ , gdzie m
r ozńacza masę ciała, M- masę Ziemi. Z drugiej strony, zgodnie z drugim
prawem Newtona, F = ma, gdzie a oznacza przyspieszenie siły ciężkości w odległościrod środka Ziemi. Porównując oba wyrażenia na F znajdujemy · l"1 r = r 0 , t o a = g, dl a t ego g = uM a = -uM . J eze - , sk ą d u = · -gr5 O st a~
~
tecznie otrzymujemy a wej i
siły ciężkości
r
prowadzi do tt 2
r5
r
r
Mk-=Mkg2
376
M
= g ~~- . W tym przypadku równość siły odśrodko
skąd
obliczamy
prędkość
sputnika na orbicie
u=
v-gt_r
Im większa jest odległość r, tym mniejsza jest prędkość u konieczna do tego, aby sputnik poruszał się po odpowiedniej orbicie. Nie znaczy to jednak, że łatwiej jest wyrzucić sputnik na orbitę o bardzo dużym promieniu r, niż na orbitę o promieniu r bliskim r0 ; przecież, aby umieściĆ sputnik na orbicie o dużym promieniu r należy stracić dużo energii na pokonanie siły ciężkości po drodze od powierzchni Ziemi do orbity. Rozpatrzymy teraz kolejny, ze względu na stopień trudności, problem. Aby ciało mogło opuścić obszar przyciągania ziemskiego, jego początkowa energia kinetyczna powinna być większa od różnicy energii potencdalnych ciała oddalonego i ciała na powierzchni Ziemi. Wielkość tę znaleźliśmy w paragrafie 2 (wzór (2.5)). Przy tym zakładaliśmy, że spalanie paliwa i nabieranie prędkości następuje szybko na drodze małej w .porównaniu z promieniem Ziemi, tak że zmiana energii potencjalnej na tej drodze może być zaniedbana. Znaczy to, że w czasie spalania paliwa siła odrzutu jest bardzo duża i można w tym czasie nie brać również pod uwagę sił ciążenia. Stwierdzono, że szybkie spalanie paliwa jest korzystniejsze lPOtrzeba mniej paliwa) niż rozciąganie procesu spalania na czas potrzebny do przebycia drogi porównywalnej z promieniem Ziemi*>. Prędkość początkowa, jaką powinno mie~ ciało, aby oddalić się z obszaru przyciągańia ziemskiego, nazywa się drugą prędkością kosmiczną. Znajdziemy ją. Zgodnie ze wzorem (2.5), energia początkowa potrzebna do osiągnięcia odległości r od środka Ziemi przez ciało znajdujące się początkowo na jej powierzchni (r 0 ), jest równa K 0 = mg !.o_ (r- r0 ). W na-
r
szym przypadku r jest dużo większe od r0 , dlatego r-r0 ~ r, skąd k 0 = mgr0 • Przyrównamy tę wielkość do energii kinetycznej rakiety
=
u~
Mk2 = Mk gro skąd l
u2
---
= J!2gr 0
~
11,2 km/s
*> Tylko na tym odcinku drogi, gdzie jest duża gęstość atmosfery i opór powietrza, nie jest wygodnie poruszać się z dużymi prędkościami. Jednak grubość atmosfery jest mała w porównaniu z promieniem Ziemi (por. rozdz. VII) i będziemy ją pomijać.
377
W końcu prędkość początkowa, jaką powinno mieć ciało aby oddalić poza pole przyciągania Słońca, tzn. poza granice słoneczne układu planetarnego, nazywa się trzecią prędkością kosmiczną (u 3 ). Znajdziemy ją korzystając z faktu, że prędkość v1 obrotu Ziemi wokół Słońca jest znana i wynosi v1 = 30 km/s. Zgodnie z prawem ciążenia Newtona, siła przyciągania ciała o masie m
się
przez
Słońce jest równa
F = - k
M~ m , gdzie M 0 jest masą Słońca*>, r
odległością
od środka Słońca do ciała, k Energia potencjalna ciała w odległości r od u (r) = -
~M 0 - m
r-
stałym współczynnikiem.
środka Słońca
jest równa (13.10)
r
energii potencjalnej przyjęto energię w nie(por. par. 2). Wielkość energii potencjalnej ciała znajdującego się na orbicie ziemskiej łatwo jest wyrazić za pomocą prędkości ruchu Ziemi po orbicie. Istotnie, na orbicie Ziemi siła przyciągania Ziemi ku Słońcu jest równoważona przez siłę odśrodkową, tzn. Przy tym za
zerową wartość
skończoności
vi -_ k -M-02MM rl
rl
gdzie v1 jest prędkością obrotu Ziemi wokół Słońca, a r 1 - promieniem ziemskiej orbity równym 15Ó milionów km= 1,5·10 13 cm. Stąd kM 0 =
wzór (13.10) przyjmuje
vi ~'t
postać
u ( r 1)
=
2' •
-vl m
Aby ciało znajdujące się w odległości r 1 od Słońca mogło oddalić się z pola przyciągania Słońca, na tej odległości suma jego energii kinetycznej i potencjalnej musi być nieujemna. Prowadzi to do warunku
v2 oznacza tu
szukaną prędkość potrzebną
układu słonecznego,
v 1 jest
znaną prędkością
do możliwości opuszczenia ruchu Ziemi.
*> Znakiem 8 astronomowie oznaczają Słońce. Liczbowo M 0 = 2· 10 33 g.
378
do czynienia rozpatrując ruch ciała w polu Ziemi; prędkości niezbędnej do oddalenia się ciała z pola przyciągania ziemskiego odpowiada energia kinetyczna dwa razy większa niż energia kinetyczna odpowiadająca prędkości niezbędnej do obrotu ciała w postaci sputnika. Z ostatniej zależności znajdujemy minimalną konieczną prędkość Z
taką sytuacją mieliśmy j~ż
przyciągania
na orbicie Ziemi należy 42 km/s. Przy tym okazuje się, że ciało poruszające z prędkością więksŻą niż 42 km/s oddali się od układu słonecznego niezależnie od tego, jak jest obliczona jego prędkość- czy prosto, wzdłuż promienia Słońca [1], czy wzdłuż stycznej do orbity Ziemi [2], [3], czy też nawet w kierunku Słońca [4]- por. rys. 154 (pod
Zatem, aby
oddalić się
od
układu słonecznego,
osiągnąć prędkość (względem Słońca)
Ziemia [1]
[4] Rys. 154
w powierzchnię Słońca). Od kierunku pręd kości początkowej zależy tylko kształt toru, co jest pokazane na rysunku. Oczywiście, do wyrzucenia rakiety z Ziemi najkorzystniejsza jest trajektoria [2]: sama Ziemia porusza się z prędkością 30 km/s, a więc, aby otrzymać prędkość 42 km/s w tym kierunku wystarczy, aby względem Ziemi rakieta poruszała się z prędkością v~ = 12 km/s. Tę prędkość v~ rakieta powinna mieć po wyjściu z pola przyciągania Ziemi, tzn. rakieta oddali się od Ziemi na odległość dużą w porównaniu z promieniem Ziemi, ale małą w porównaniu z promieniem ziemskiej orbity. Jakajest potrzebna do tego prędkość początkowa na powierzchni Ziemi? pewnym
kątem,
aby nie
trafić
379
Tę prędkość- trzecią prędkość kosmiczną
u3
-
~znaczymy
ze
związku
(13.11)
po prawej stronie oznacza tu energię potrzebną do poprzyciągania ziemskiego, drugi zaś- energię, która powinna pozostać, aby rakieta miała (w sumie z prędkością ruchu Ziemi) prędkość v~ konieczną do ~ożliwości opuszczenia. układu słonecznego; Ze wzoru (13.11) otrzymujemy Pierwszy konania
składnik
skąd
u3
= y;f-t--~2 - =
y'il)2-+ii2
~ 16,4 km/s
Zauważmy, że aby zbliżyć się do Słońca lub dotrzeć do Merkurego czy Wenus, nie wystarcza druga prędkość kosmiczna. Faktycznie, przy tej prędkości rakieta oddali się od Ziemi i będzie poruszać się po orbicie z prędkością równą prędkości Ziemi, tzn. 30 km/s. Chociaż energia potencjalna maleje przy zbliżaniu się ku Słońcu, to jednak rakieta nie może zbliżyć się do Słońca, ponieważ nie dopuszcza do tego siła odśrodkowa jej ruchu po orbicie. Aby dostać się w głąb układu słonecznego, należy zmniejszyć prędkość rakiety względem Słońca, a to jest tak samo trudne jak i zwiększenie prędkości. W szczególności, aby trafić w Słońce rakietę należy zatrzymać, tzn. powinna ona mieć prędkość 30 km/s względem Ziemi· (po wyjściu z jej pola przyciągania). Dlatego na powierzchni Ziemi rakieta powinna mieć prędkość początkową
u4
=
y30 1 +1(2 2
=
32 km/s
Trafić w Słońce jest trudniej niż oddalić się od niego. Bardziej korzystne sytuacje można otrzymać korzystając ze zmiany prędkości rakiety w wyniku działania innych planet. Nie będziemy jednak zajmować się tutaj tym zagadnieniem. Znajdziemy wartości stosunku M 0 /Mk, przy których osiągane są pręd kości u1 , u 1 , u 3 . Dla prochu lu0 1= 2 km/s. Korzystając ze wzoru (13.8) otrzymujemy: dla u1 = 8 km/s: M 0 /Mk, = e4 = 54, dla u 2 = 11,2 km/s: M 0 /Mk 2 = e 5• 9 = 270, dla u 3 = 16,4 km/s: M 0 /Mk l = e 8 • 2 = 3641. W przypadku paliwa ciekłego lu0 1= 3 km/s. W analogiczny sposób otrzymamy M 0 /Mk, = 14,5, M 0 /Mk 2 = 42, M 0 /Mk, = 245. Z obliczonych wartości wynika, że wielkość M 0 /Mk zależy istotnie od prędkości wylotu gazów (u 0 ).
380
Przy rozpatrywaniu problemów związanych z wystrzeleniem rakiety należy o tym, że do Mk wchodzą masy zbiorników paliwa itp. Znajdziemy sprawność rakiety. Określimy tę wielkość jako stosunek
pamiętać
//2
••
energii kinetycznej rakiety po wypaleniu paliwa Mk--f, do energn chemicznej spalonego paliwa m Q= (M0 -Mk) Q. wyraża się wzorem 1J
=
Współczynnik sprawności
Mku; 2Q(M 0 -Mk)
(13.12}
--=-:::--;-::-::---:
Podstawiając do wzoru (13.12) wyrażenie (13.7) nauk> i następnie czone z (13.1), otrzymujemy ostatecznie
1J =
Mk -Mo-Mk
IX---
u~
wyzna-
(tn Mo__)z Mk
Współczynnik sprawności okazuje się być iloczynem wewnętrznego współ czynnika sprawności IX charakteryzującego stopień spalania paliwa i przemiany energii cieplnej w energię kinetyczną gazu i drugiego czynnika zależnego tylko od wyboru stosunku masy paliwa m do masy samej rakiety Mk. Oznaczmy m/Mk =z. Wówczas M 0 = Mk+m = Mk(1 +z); obliczamy współczynnik sprawności
1J
Mk =IX----
( In---Mk+m ) m Mk
2
=IX
1- [ In (1 +z)] 2 z
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że współczynnik sprawności jest bardzo duży przy małych z, dzięki ułamkowi 1/z. W rzeczywistości, dla małych z zachodzi ln(1 +z) ;:::; z i dlatego 1J;:::;
1 2 z z
IX-
= IXZ
jest proporcjonalny do z, jest on mały przy z. Przy małym z rakieta porusza się powoli, prawie całą energię unoszą gazy. Przy bardzo dużych z współczynnik sprawności znów opada w wyniku zmniejszenia się masy Mk*>. Ponieważ końcowa prędkość rakiety Współczynnik sprawności
małych
*> Dla
dużych
z
wielkość
[ln(l+z)] 2
rośnie
wolniej
niż
z. Faktycznie,
oznaczając
Y= ln(l+z) otrzymamy z= e•-1, a funkcja e> rośnie szybciej niż dowolna potęga y
(por.
rozdział
II).
381
też zależy
tylko od z, więc można powiedzieć, że współczynnik sprawności przez prędkość. Przy małej prędkości współczynnik sprawności rakiety jest mały, dlatego nie jest wygodne stosowanie rakiet do osiągania stosunkowo małych prędkości. Przy dużej prędkości, energetyczny współczynnik sprawności rakiety znów maleje. niemniej jednak, stosowanie rakiet jest uzasadnione, ponieważ nie znamy innych sposobów przyspieszenia ciał do dużych prędkości. określony
jest
Ćwiczenia
z dającą maksymalny współczynnik sprawności 'Y/· Znaleźć tego maksymalnego współczynnika. 2. Znaleźć promień orbity, na której okres obiegu sputnika jest równy 24 godziny. Sputnik wystrzelony na taką orbitę w płaszczyźnie równika zawiśnie nad jednym punktem powierzchni Ziemi. I.
Znaleźć wartość
wartość
14. Tor pocisku
Rozpatrzymy obecnie zagadnienie lotu pocisku wyrzuconego z lufy z pręd kością początkową v0 . Punkt wylotu pocisku z lufy przyjmujemy za początek układu współrzędnych, oś y skierowujemy pionowo do góry. Dla uproszczenia pominiemy siłę oporu powietrza -uwzględnienie tej siły bardzo komplikuje zagadnienie. Zgodnie z drugim prawem Newtona dv
m-(( 1-=F To prawo stosowaliśmy poprzednio tylko w przypadku ruchu prostoliniowego. Jednak w zagadnieniu znajdowania toru kierunek prędkości v zmienia się z biegiem czasu (prędkość jest zawsze skierowana wzdłuż stycznej do toru pocisku). W związku z powyższym będziemy postępować nastę pująco: siłę F rozłożymy na składowe w kierunku osi x i w kierunku osi y. Składowe te oznaczymy odpowiednio przez Fx i Fy. Tak samo postąpimy z prędkością v. Każdy ruch w płaszczyźnie xy można rozpatrywać jako wynik złożenia dwóch ruchów- jednego odbywającego się wzdłuż osi x pod działaniem siły Fx z prędkością vx i drugiego - wzdłuż osi y pod działaniem siły Fy z prędkością vy. Stosując do każdego z tych ruchów z osobna drugie prawo
382
Newtona, otrzymamy
dvy
dvx m---= F dt X'
mdt
(14.1)
Fy
=
Otrzymaliśmy dwa równania, jednak w każdym z nich siła i prędkość są skierowane wzdłuż jednej prostej (wzdłuż osi x w pierwszym równaniu i wzdłuż osi y w drugim). Oznaczmy przez rp kąt wylotu pocisku względem poziomu, rp nazywa się on kątem wyrzutu. Ponieważ rozpatrujemy najprostszy przypadek, gdy podczas lotu na pocisk działa tylko siła ciężkości skierowana ku Ziemi, więc Fx = O, Fy = -mg. Dlatego równania (14.1) w tym przypadku sprowadzają się do
m dv~ =O dt
(14.2)
'
Podstawmy warunki początkowe dla funkcji vx Przy malej prędkości początkowej rola oporu powietrza jest niewielka. Jednak pod uwagę prędkość początkową np. v 0 = 800 m/s, to dla pocisku kalibru (średnicy) ~05 mm, przy kącie wyrzutu q; = 55°, opór powietrza zmniejsza zasięg z 61 do 22,2 km .
jeżeli weźmiemy
.384
dziemy największą wysokość na jaką wzniesie się pocisk oraz zasięg przy danych ip i v0 • Aby wyznaczyć ;maksymalną wysokość pocisku rozpatrzymy równanie dy = O. Otrzymamy dx
g tg rp-x - - - 2= O v~ cos rp skąd X
Przy tej
wartości
x
=
v~
sin rp cos rp v~ sin 2rp = ----g 2g
--=--~--'-
wysokość
y
osiąga
;maksimum (fizycznie jest jasne, 2
to jest maksimum; można to łatwo sprawdzić badając d ~ .
znalezioną wartość
dx
•
że
Podstawiając
x do (14.9) otrzymujemy =
Ymax
v5 sin 2 rp 2g
Aby wyznaczyć zasięg pocisku wystarczy znaleźć wartość x, dla której y = O (por. rys. 155) x tg rp-x 2 Odrzucając
nie
interesujące
nas Xmax
_ _g__ _
2v5 cos 2 rp
rozwiązanie
=O
x = O, otrzymujemy
v5 sin 2rp
= ___:_
.
(14.10)
_:c_
g
Zasięg
rzutu zależy więc od prędkości początkowej i kąta wyrzutu. Przy jakim kącie wyrzutu zasięg jest największy (przy ustalonym v0 )? Oczywiście jest on największy wówczas, gdy sin 2rp = l, tzn. gdy rp = 45°. Określimy czas wznoszenia się pocisku. W tym celu wystarczy rozwiązać równanie .!!_)'_ = O, ponieważ w tej chwili czasu t, gdy y osiąga największą dt
wartość, pocisk przestaje się wznosić i zaczyna opadać. Warunek prowadzi do równania v0 sin rp-gt = O,
skąd
v0 sin rp g
(14.11)
t=-----'-Całkowity 25 Matematyka
czas lotu te wyższa
dy =O dt
określamy korzystając
z tego,
że
lot trwa tak
385
długo, aż
x =
Xmax·
Na podstawie (14.8) i (14.10) otrzymujemy Vo
v5 sin 2({!
fe COS ({!=---g--
skąd
tc
=
2v0 sin({! g
(14.12)
Porównując wzory (14.12) i (14.11) widzimy, że całkowity czas lotu te jest 2 razy większy od czasu wznoszenia. Czas wznoszenia pocisku jest równy czasowi opadania. Zauważmy na koniec, że rzeczywiste tory pocisków nie są dokładnie parabolami, ich kształt jest nieco zaburzony, ponieważ w rzeczywistości na pocisk działa siła oporu powietrza. Przy tym zasięg, wysokość rzutu, całkowity czas lotu, itp. zależą od masy pocisku jego kształtu i gęstości powietrza. Ćwiczenia
1. Pocisk wylatuje z lufy z prędkością 80 m/s. Obliczyć zasięg rzutu i maksymalną na jaką wzniesie się pocisk, jeśli kąt wyrzutu rp = 30°, 45°, 60°. 2. Wyznaczyć maksymalną wysokość, na jakiej pocisk o prędkości początkowej v 0 = 80 m/s może trafić w cel odległy o 500 m od działa. wysokość,
15. Masa,
środek ciężkości
i
moment.bezwładności pręta \l'
x wzdłuż pręta, oznaczmy przez e na jednostkę długości pręta. Wówczas na odcinku dx między x i x+dx znajduje się masa dm = edx. Pręt ;może być wykonany z materiału, którego gęstość zależy od x lub może mieć różny przekrój w zależności od x. Dlatego e jest funkcją współrzędnej x. Wielkość e jest iloczynem gęstości objętościowej ;materiału d (gjcm 3 ) i przekroju pręta S (cm 2):
Rozpatrzmy cienki
pręt.
Skierujmy
oś
masę przypadającą
e (g/cm) =
Sd
Wielkość e należy nazwać gęstością na jednostkę długości. Ponieważ jednak prawdziwa gęstość d (objętościowa) nigdzie dalej nie występuje, więc krótko, będziemy e nazywać gęstością. Grubość pręta przyjmujemy za bardzo ;małą; przedstawiać go będziemy jako linię- odcinek osi x.
386
Masa
pręta
jest
oczywiście
równa b
f e (x) dx
m =
(15.1)
a
gdzie a i b
są współrzędnymi końców pręta.
Przypuśćmy, że pręt
jest przymocowany do osi x, oś x jest położona poziomo, oś y jest skierowana pionowo do góry, siła ciężkości działająca na pręt, jak pokazują strzałki (rys. 156), stara się opuścić pręt. Y
a
o
j1
dm x x+dx
b
R
X
Rys. 156 Wyobraźmy sobie, że oś x to sznur ciężarków. Na rysunku schematycznie przedstawiony jest pryzmat, na którym w początku układu współrzędnych opiera się oś x. W takim razie oś x można obracać wokół osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Obliczymy, jaki ciężar Jl umieszczony na lewo w odległości R jest potrzebnv do zrównoważenia pręta znajdującego się z prawej strony (por. rysunek). Zgodnie z zasadą dźwigni, element masy dm znajdujący się w odległości na prawo od osi jest równoważny przez element masy dJl znajdujący się w odległości R po lewej stronie osi, jeżeli masy są odwrotnie proporcjonalne do odległości, tzn. jeżeli
x
djJ.
X
dm = R'
czyli
Rdjl
=
x dm
(15.2
Element masy dm jak wyjaśniliśmy wyżej, jest równy edx. Aby zrówno· potrzebna jest masa Jl spełniająca równość
ważyć cały pręt,
b
RJ1. =
f xe (x) dx
(15.3)
a
Równanie to otrzymaliśmy całkując lewą i prawą stronę równania (15.2). Przy tym po lewej stronie osi różne elementy masy dm znajdują się w różnej odległości x od podpory, dlatego x występuje pod znakiem całki. 25•
387·
Po lewej stronie wszystkie elementy masy df.l (równoważące różne elementy dm pręta) umieszczone są w tej samej odległości R od podpory. R jest stałą i dlatego
f R df.l = R f df.l = Rf.l z porównania (15.3) i (15.1), całka, od której zależy masa J.l jest różna od całki określającej masę pręta. Postawmy pytanie: gdybyśmy masę pręta skupili w jednym punkcie, to w jakiej odległości Xc od podpory (od początku układu) należałoby ją Jak
widać
równoważąca pręt,
.
X
Rys. 157 umieścić, którą
aby zrównoważyć tę samą masę f.l znajdującą równoważy pręt (tys. 157)? Znajdujemy
się
w
odległości
R,
b
Rf.l
=
Xc
m =
J
(15.4)
dx
X(!
a
~kąd b
1
Xc
= -m
J
f xe dx
b
X(!
a
dx
= _a_b_ __
f
(!
(15.5)
dx
a Xc jest współrzędną środka ciężkości, inaczej - środka masy pręta. Bardzo istotne jest, że Xc jest dobrze określonym punktem pręta: jeżeli pręt w całości przesunąć wzdłuż osi x, na przykład w prawo na odległość l (rys. 158), to Xc zwiększy się też o tę samą odległość l, tak że punkt o współrzędnej x = = Xc dla danego pręta zawsze znajduje się w określonej odległości od koń ców pręta. Udowodnimy to. Rozpatrzmy pręt przesunięty na odległość l w prawo w porównaniu z położeniem początkowym (rys. 158b). Wielkości odnoszące się do poło żenia po przesunięciu będziemy oznaczali takimi samymi literami jak i odpowiadające im wielkości odnoszące się do położenia początkowego,
388
a)
9
D a, l l
lj
l
p
l l l
l
l l l l l
D Rys. 158
ale ze
wskaźnikiem
a1
/. Przy tym
= a+l,
b1
= b+l,
=e (x-l)
e1(x)
Warto zwrócić uwagę na znak ;minus w ostatnim wzorze. Faktycznie, na podstawie rys. 158 widzimy, że każdej wartości x w nowym położeniu pręta (rys. a) odpowiada taka sama wartość gęstości, jak wartości x-1 w początkowym położeniu pręta (rys. b). Ze wzoru (15.5) mamy
Xc
=
f a
b
xe (x) dx
f
Xc1
b
e (x) dx
a
W
=
f a1
b
f
xe1(x) dx
(15.6)
b
e1(x) dx
a1
całkach występujących
we wzorze na
dokonamy zamiany zmiennych: z= x-1, czyli x = z+l, skąd dx = dz. Wówczas e1tx) = e(x-1) = e(z): Dla x = a1 = a+ l otrzymamy z= a, dla x = b1 = b+l otrzymamy z= b. Dlatego bl
f a1
Znaczy to,
że
Xc
b
Ql(x) dx
= f e (z) dz = m a
;masa pręta nie zależy od tego, w jakim położeniu znajduje
się
pręt.
389
Przejdźmy
do
całki występującej
b!
f
w liczniku wzoru na
b
x~l(x) dx-=
b
f (z+l) e (z) dz = Jze (z) dz+lJ e (z) dz a
a1
Zauważmy, że
Xc 1
b
a
a
na podstawie wzoru (15.4) mamy b
b
f ze (z) dz = f xe (x) dx = a
Xc
m
a
dlatego b1
f Korzystając
xe1(x) dx =
Xc
m+lm
ze wzoru (15.6) znajdujemy Xc1
=
Xc
m+lm = m
Xc+
l
Wynik ten można było przewidzieć wcześniej, jednak wykonane tu formalne przekształcenia są kształcącym zadaniem na zmianę zmiennych w całce oznaczonej. p
X
Rys. 159
Najkorzystniej jest przyjąć układ współrzędnych o początku w środku masy pręta (rys. 159). Wielkości w tym układzie współrzędnych zaznaczać 'będziemy wskaźnikiem O. Oczywiście bo
f eo(x) dx =m ao
Współrzędne środka
masy
Xc 0
w tym
układzie są
równe zeru, dlatego
bo
f ao
.390
xeo(x) dx = O
(15.7)
Wykaze;my, ze przy dowolnym połozeniu pręta jego energia potencjalna w polu cięZkości jest równa energii potencjalnej jego całej masy umieszczonej w środku cięZkości pręta. Rozpatrzymy połozenie pręta przedstawione na rys. 160. Energia potencjalrta elementu pręta o masie dm jest równa g z dm, gdzie z jest wysokością, g - przyspieszeniem siły cięzkości. Energię potencjalną u całego pręta znajdujemy za pomocą całkowania. Jako zmienną całkowania wybieramy odległość odmierzoną wzdłuz pręta od jego środka
z
X
Rys. 160 cięzkości.
W tym przypadku wartość gęstości w punkcie x oznac~ymy przez e0 (x). Wysokość z wyraza;my za pomocą x. Jak widać z rys. 160, z(x) = zc+x cos oc, gdzie Ze jest wysokością środka cięzkości pręta. Otrzymamy bo
U
=
bo
f gz (>o(X) dx =g f (zc+X COS oc) (>o(X) dx = ao
ao bo
= gzc
bo
f (>o(X) dx+g COS OC f ao
X (>o(X) dx
= gzc
m
ao
poniewaz druga całka jest równa zeru, zgodnie ze wzorem (15.7). Zatem energia potencjalna zale:ly tylko od ;masy pręta i wysokości jego środka cięzkości.
Omówimy teraz tak zwany moment bezwładności. Pojęcie to występuje przy rozpatrywaniu zagadnienia ruchu obrotowego pręta. Rozwa:lmy rys. 161. Niech pręt obraca się wokół osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez początek układu współ rzędnych. Przy takim obrocie kaZdy punkt pręta zakreśla okrąg, którego promień jest równy odciętej x punktu w połozeniu początkowym (pozio391-
''
'
\ \ \
\
o
a x
b
X
Rys. 161
mym) pręta. Oznaczmy przez m prędkość kątową obrotu, wyrażoną w radianach na sekundę. Znaczy to, te w czasie dt oś x obraca się o kąt dcp = = mdt. Długość łuku, który zakreśla dowolnie wybrany punkt o odciętej x, jest równa dl =
zatem, liniowa
prędkość
ruchu V
dcp =
X
X ())
każdego
(x)
dt
punktu jest równa
dl
= {[t = ())X
Znajdziemy energię kinetyczną ruchu obrotowego pręta. Element masy dm znajdujący się w odległości x od początku układu współrzędnych (na odcinku dx od x do x+dx) posiada energię kinetyczną vz mzxz mzxz 2 dm = - 2 -dm = --2-e(x)dx Zatem, energia kinetyczna
Całka występująca pręta względem
osi
całego pręta
jest równa
w tym wzorze nosi nazwę momentu bezwładności przez jego początek i oznaczana jest
przechodzącej
przez I
W takim razie E = 1~ 2
•
"
Energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się za pomocą momentu bezwładności i prędkości kątowej obrotu w taki sam sposób jak energia
392
kinetyczna ruchu liniowej
postępowego wyraża się ~ pomocą
masy i
prędkości
mv 2
E=-2 Przejdźmy
duje
się
do obliczenia I. Dla pręta, którego środek ciężkości znajw początku układu, moment bezwładności oznaczany jest przez ! 0 bo
lo
f
=
(15.8)
x 2 eo(x) dx
ao
Zauwatmy, że liczba 10 jest dodatnia, ponieważ funkcja podcałkowa w (15.8) jest dodatnia. Obliczymy moment bezwładności pręta wówczas, gdy środek cięZkości znajduje się w odległości l na prawo od początku układu współrzędnych. tak że Xc 1 = l. W tym przypadku a= ao+l,
b= bo+l,
e (x)
= eo(x-1)
b
I
=
f x e (x) dx · 2
a
Podstaw:my z= x-1; wówczas x = z+l, dx = dz. Gdy x zmienia od a do b, z zmienia się od a0 do b0 • Dlatego bo
I
=
f
bo
(z+
l) 2 e 0 (z)
ao
d z = J2
bo
J tpo(z) d z+ 21. f ao
ao
się
bo
zeo(z) d z+
f
z 2 e 0 (z) d z
llo
(15.9) bo
Zauważmy, że
J e (z)dz = m, 0
druga całka po prawej stronie w (15.9)
Do
jest równa zeru na mocy wzoru (15.7), a trzecia całka jest równa 10 na mocy (15.8). W takim razie, wzór (15.9) przyjmuje postać I= 10 +mF
(15.10)
Wielkość m/ 2
jest oczywiście momentem bezwładności masy punktowej w odległości l od osi obrotu (od początku układu współ rzędnych). Zatem moment bezwładności pręta względem dowolnej osi prostopadłej do pręta, jest równy sumie momentu bezwładności wzglę dem środka ciężkości i momentu bezwładności masy równej masie pręta znajdującej się w odległości I od osi. znajdującej się
393'
Poglądowo można wyobrazić sobie pręt zamocowany w środku ciężkości na przegubie. Wówczas obrót osi może nie powodować obrotu samego pręta, możliwy jest ruch, którego kolejne etapy są przedstawione na
rys. 162. Energia kinetyczna takiego ruchujest równa E'= ~ mv~1 , gdzie Ve 1 jest prędkością środka ciężkości pręta. Ale Ve 1 = roi, tak że E'
=
w;
m/ 2 •
Rys. 162
Ruch, który rozpatrywaliśmy poprzednio (rys. 161), odróżnia się od ruchu zilustrowanego na rys. 162 ty,m, że tam sam pręt też się obraca z prędkością kątową ro wzglę(,ie.m swego środka ciężkości. Dlatego energia kinetyczna ruchu obrotowego z rys. 161 jest równa sumie energii obrotu przedstawionego na rys. 162 i energii obrotu wokół środka ciężkości '
. 1 wz .
rowneJ
02 .
Z wyprowadzenia wzoru widać, że takie proste dodawanie energii przy składaniu dwóch ruchów otrzymuje się tylko wówczas, gdy rozpatruje się ruch środka ciężkości; tylko w ty,m przypadku równa jest zeru całka (15.7). Ćwiczenia
l. Znaleźć moment bezwładności względem środka ciężkości pręta o długości l z równomiernym rozkładem masy. 2. Pręt jest złożony z dwóch części: pierwsza część o długości l. ma stałą gęstość Qh druga część ma długość /2 i ma też stałą ale inną gęstość Qz. Znaleźć położenie środka ciężkości pręta.
3. w
Znaleźć położenie środka ciężkości
kształcie
cienkiego
trójkąta
o
długości
i
wartość
momentu
bezwładności
dla
pręta
L. Wyrazić te wielkości za pomocą L i masy
m. Wskazówka. Jeżeli oś x skierujemy wzdłuż układu obierzemy w wierzchołku trójkąta, to Q (x) pręta
394
środkowej
=
trójkąta,
ax, gdzie a jest
a
początek
stalą.
16. Drgania zawieszonego
pręta
Rozpatrzmy pręt zawieszony w punkcie A (rys. 163). Niech środek ciężkości znajduje się poniżej punktu zawieszenia, przy czym odległość między nimi niech wynosi /. Taki pręt jest wahadłem. Wyznaczymy jego okrets drgań ·:
Rys. 163
Jeżeli wahadło wychylimy z położenia równowagi o mały kąt p, ~o· jego energia potencjalna będzie równa
u== Rozłożymy
-mglcosp
cos rp na szereg i ograniczymy 2
razów: co s p = l -
u=
się
do pierwszych dwoch wy-·
.
_!!!___ •
2
A więc
~mgl(l- ~:)= -m~l +mgli'
W takim razie przyrost energii potencjalnej przy wychyleniu o kąt p2 od położenia równowagi (p Energia kinetyczna obrotu
E=I
= O)
pręta wokół
jest równy L1u
·wahadła.
= mg/
i
2
•
r
osi jest równa
~2 ~ I· ~ ( ~~
r
Zgodnie ze wzorem (15.10), I= ml 2 +I0 , dlatego E =
~ (ml
2
+I0 )
(
~~
gdzie / 0 jest momentem
bezwładności wahadła względem środka ciężkości.
Przypuśćmy, że pręt
drga harmonicznie, tzn. f{; = a cos rot. Z zasady 395·
zachowania energii mamy L1um." = Emax. Ponieważ 1 Emax = 2(mF+Io)a 2 w 2 ,
w= Jl
-. /
szczególności, jeżeli
W /0
mgl
mF+/0 masa
1.
= -a rosin rot, więc
a2 Ltumax = mglT
ok res drgan'
pręta
17-
T----~:~ Jl . . ,
jest skupiona w
środku ciężkości,
to
= O. W tym przypadku otrzymujemy znane wzory na częstość i okres
drgań
tzw. wahadla matematycznego
w=v~'
Z otrzymanych wzorów wynika, że im większe jest 10 , tym mniejsza jest częstość drgań, a zatem tym większy jest okres. Jeżeli 10 =F O, to, w określonym położeniu punktu zawieszenia częstości drgań jest maksymalna. Ponieważ położenie punktu zawieszenia jest scharakteryzowane przez l, więc aby wyznaczyć interesujące nas położenie
rozwiążemy równanie
dw dl
=O. Daje'ono mg(ml 2 +10 )-mgl·2ml =O, skąd . .
otrzymujemy l . max =
,/l;
Jl
m
Dla pręta o długościrL z równomiernym rozkładem masy, 10 = ~~ 2 (por. zadania do paragrafu 11.5), dlatego lmax =
y~z ~ 0,3L.
Ćwiczenia
1. Wahadło ma kształt płaskiego trójkąta z cienkiego materiału (blacha, karton) (rys. 164). Wyznaczyć okres drgań, jeżeli wahadło jest zawieszone: a) w punkcie A,
Rys. 164 b) w środku podstawy JJ. W obu przypadkach określić, jak zawieszenia, aby otrzymać minimalny okres drgań.
396
należy przesunąć
punkt
VII. RUCH CIEPLNY CZĄSTECZEK I ROZKŁAD GĘSTOŚCI W ATMOSFERZE
l. Warunki równowagi w atmosferze
Zastanówmy się, jak rozłożona jest gęstość powietrza w atmosferze. w zale:Z:ności od wysokości. Dobrze wiadomo, że na większych wysokościach powietrze jest rzadsze, a ciśnienie powietrza jest mniejsze niż na poziomie morza. Powód zależności ciśnienia od wysokości jest oczywisty: wyobraźmy sobie, objętość walca o wysokości ilh, polu przekroju S, obję tości Sil h. Powietrze znajdujące się w takim walcu (o średniej gęstości . e i masie m = etJhS) jest przyciągane ku Ziemi, tzn. znajduje się pod działaniem siły cię·żkości skierowanej w dół i równej mg = eilhSp. "Walec powietrzny" jednak nie o_pada, lecz znajduje się w spoczynku dzięki temu, że działa na niego od dołu na wysokości h ciśnienie p(h) większe niż ciśnienie działające z góry na wysokości h+t1h, równe p(h+ilh) ~por. rys. 165. Siła parcia na dolną podstawę walca jest równa Sp(h); równoważy ona
Rys. 165
397
sumę siły
parcia na
górną podstawę
i
siłę ciężkości,
tzn.
Sp (h)= Sp (h+L1h)+eL1hSg
(1.1)
czyli p(h)-p(h+LJh)
= eLJhg
Przyjmujemy, że LJh jest małe. Wówczas nie trzeba mówić o gęstości niej ponieważ wysokości h i h+L1h są bliskie siebie i e będzie się różnić od e(h). Dlatego (1.2) przyjmuje postać
e,
dp
dil = Otrzymaliśmy
śred mało
(1.3)
różniczkowe określające zależność
p(h). W równapowietrza l!· Wielkości p i e są związane ze sobą prawem Boyle'a-Mariotte'a. Bę dziemy zakładali, że temperatura atmosfery jest taka sama na dowolnej
niu tym
równanie
-g e
(1.2)
występuje gęstość
wysokości.
W rzeczywistości temperatura zależy od strumienia ciepła ze Słońca i ubytku ciepła ~ głównie w wyniku wypromieniowania ciepła w przestrzeń za pośrednictwem powietrza, a dokładniej mówiąc - cząsteczek pary wodnej i tlenku węgla zawartych w powietrzu. Nieznaczna część promieni słonecznych jest pochłaniana w górnych, bardzo rozrzedzonych warstwach powietrza. Znaczna część energii słonecznej dochodzi do powierzchni Ziemi, jest przez nią pochłaniana, a dqpiero od Ziemi nagrzewa się powietrze. Dlatego w rzeczywistości w atmosferze występuje złożony rozkład temperatur: na powierzchni Ziemi, jak dobrze wiemy, waha się od - 40°C do + 40°C, w zależności od położenia geograficznego i pory roku, na wysokości około 15 km temperatura jest najniższa, około - 80°C i jest praktycznie taka sama zimą i latem na całej kuli ziemskiej; na więk szych wysokościach temperatura wzrasta i osiąga + 60°C- + 75o c na wysokości 50-60 km. Przeprowadzone w ostatnich czasach pomiary przy pomocy satelitów Ziemi, wykazały, że na wysokościach 300-1000 km gęstość powietrza, choć mała, ale i tak jest znacznie większa niż przypuszczano wcześniej. Jak się przekonamy, duża gęstość powietrza świadczy o tym, że w danych warstwach temperatura powietrza jest dość wysoka. Prócz tego znaczna część cząstek tlenu i azotu rozpada się na tych wysokościach na atomy, jony i elektrony. Gdyby nie było strumienia ciepła z·zewnątrz i strat ciepła, tzn. gdybyśmy
398
rbzpatrywali izolowany cieplnie słup powietrza, to z biegiem czasu temperatura w całym słupie powinna się wyrównywać. Dalej będziemy rozpatrywali właśnie taką idealizowaną sytuacj~ - pełnej równowagi cieplnej i mechanicznej. Równowaga cieplna sprowadza się do tego, że wszędzie temperatura powietrza jest jednakowa, zatem nie ma strumieni ciepła (gdyby w różnych punktach słupa powietrza temperatura była różna, to ciepło od bardziej nagrzanych obszarów przenikałoby do mniej nagrzanych, tzn. występowałyby strumienie ciepła). Równowaga mechaniczna sprowadza się do tego, że wypadkowa siła wszystkich sił działających na dowolną objętość powietrza wybraną w atmosferze, jest równa zeru, przy tym należy brać pod uwagę siłę ciężkości powietrza dla danej objętości i parcie na całą powierzchnię ograniczającą daną objętość.
równanie (1.3) atmosfera może w stanie spoczynku. Ponieważ rozpatrujemy wysokości h małe w porównaniu z promieniem Ziemi, więc g -przyspieszenie siły ciężkości, można uważać za wielkość Przy
rozkładzie ciśnienia spełniającym
znajdować się
stałą.
2.
Związek między gęstością
i
ciśnieniem
Zgodnie z prawem Boyle'a-Mariotte'a, iloczyn ciśnienia gazu p i zajmowanej przez niego objętości v, jest stały dla danej masy gazu m 0 i przy danej temperaturze: pv = a, gdzie a jest stałą. Oznaczając gęstość gazu przez e, otrzymamy m0 = ve. Zatem v = m0 / e, a ponieważ p = afv, więc p=
gdzie b do jego
=
afm 0 . W takim razie,
be
ciśnienie
(2.1) gazu jest wprost proporcjonalne
gęstości.
Współczynnik proporcjonalności
dla powietrza w temperaturze pokojowej łatwo znaleźć. Wiadomo, że ciśnienie atmosferyczne p 0 na poziomie morza jest w przybliżeniu równe l kG/cm 2 = 106 dynjcm 2 • Gęstość powietrza eo pod ciśnieniem p 0 jest równa*> w przybliżeniu 1,3·10-3 gfcm 3 • Podstawiając p 0 i eo do wzoru (2.1), znajdujemy p 0 = be 0 , skąd 106 b= T:f.J.o- 3 = 7,7 ·10 8
'
za pomocą wazema. Bierzemy naczynie o znanej objętości .z hermetycznym kranem i ważymy je wraz z powietrzem, a następnie -·bez powietrza, odpompowując powietrze przy pomocy pompy próżniowej. *>
Wartość tę łatwo można wyznaczyć doświadczalnie
399
Zauwazmy, ze b ma wymiar kwadratu prędkości. W rzeczywistości ta jest związana z prędkością cząsteczek i prędkością dźwięku: kwadrat prędkości dźwiękujest równy 1,4b (nie będziemy tego udowadniać). W dalszym ciągu będzie nam potrzebna nie tylko wartość liczbowa b dla powietrza w temperaturze pokojowej, ale i ogólne wyrazenie stałej b, dla dowolnego gazu i przy dowolnej temperaturze. W tym celu skorzystamy z prawa Clapeyrona wielkość
(2.2)
pV =RT
gdzie V jest objętością zajmowaną przez jedną gramocząsteczkę (inaczej mol) gazu, T- temperaturą bezwzględną (odczytywaną od zera bezwzględnego odpowiadającego -237°C*>), R jest tzw. uniwersalną stalą gazową. Wiadomo, że przy temperaturze ooc równej 273°K przy ciśnieniu atmosferycznym, tzn. przy p 0 = 106 dyn/cm 2 , jedna gramocząsteczka gazu zajmuje objętość równą 22,4 l = 2,24·10 4 cm3 (prawo Avogadra)**>. Stąd 106 ·2,24·104 = R·2?3. Wówczas R=83·10 7 dyn·cm 3 , mol ·cm 2 ·st
=83·10 7 ~'
st ·mol
Oznaczmy ciężar cząsteczkowy gazu przez M. Dla wodoru H 2 , M= 2; dla helu He, M = 4, dla azotu N 2 , M = 28; dla powietrza, średnia wartość M = 29,4. Z definicji, V zawiera M gramów gazu. Zatem, gęstość e jest związana z V zaleznością M
e= V' Podstawiając
czyli
M V=-
e
wyrazenie na V do (2.2), otrzymujemv P =e
RT
M
(2.3)
Porównując wzory (2.3) i (2.1), znajdujemy
b =RT M
(2.4)
•> Jednostką temperatury bezwzględnej jest stopień Kelvina CK) (nazwa na cześć angielskiego 'uczonego- Kelvina), na przykład, 20°C = 293°K, tzn. dwadzieścia stopni Celsjusza równe jest dwustu dziewięćdziesięciu trzem stopniom Kelvina. **> Zaniedbujemy przy tym małe różnice między l atmosferą i l kG/cm 2 i między l kG i 10 6 dyn.
400
Na koniec wyrazimy ciśnienie za pomocą liczby cząsteczek n zawartych w jednostce objętości gazu. Wiadomo, że jedna gramocząsteczka dowolnej substancji zawiera 6·10 23 cząsteczek. Wartość 6·10 23 nazywa się liczbą Avogadra i oznaczamy ją przez A. W takim razie, masa jednej cząsteczki jest równa M l (2.5) m =A= 6·1023 M Jeżeli
jedna
gramocząsteczka
zajmuje
objętość
V, to liczba n cząsteczek
w jednostce objętości jest rów~a n = : . Gęstość gazu wyraża się wzorem
e=
mn. Z prawa Clapeyrona (2.2) otrzymujemy RT
p= nA= nkT
gdzie k jest
stałą
Boltzmanna
k = B = 8,3 ·10 7 = 1 38 . 10 _16 erg A 6 ·10 23 ' st R odnosi się do wybranej umownie ilości materii -jednej gramoi dlatego w wymiarzeR występuje "mol". Wielkośćkodnosi się do jednej cząsteczki, dlatego wymiarem k jest erg/st. Wielkość kT ma wymiar energii (erg). W paragrafie 4 wykażemy, że w atmosferze kT jest równa średniej energii potencjalnej jednej cząsteczki w polu ciężkości, przy temperaturze T. Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego jednej cząsteczki
cząsteczki jest równa ~ kT. 3.
Rozkład gęstości
Ze wzoru (2.1) znajdujemy różniczkowego
na
gęstość
e=
~ . Podstawiając ten wynik do równania
J?Owietrza (1.3), otrzymujemy
dp
g
-=--p dh b
Rozwiązaniem tego równania jest p = runków
początkowych).
Niech dla h
= O,
p= Po e 26 Matematyka
wyższa
ce-: h (C p
-.!,h b
= p0,
wyznaczamy z wawówczas (3.1) 401
Dzieląc
stronami (3.1) przez b otrzymamy -.!!_h
e= (!o e
(3.2)
b
gdzie eo jest gęstością powietrza przy h = O (tzn. na poziomie morza). Ze wzoru (3.1) widać, ż:e na wysokości H= bfg nad poziomem morza, ciśnienie powietrza maleje e razy. Znajdziemy wzór wiąż:ący H z wielkością kT: H = b/g; korzystając
z (2.4) i (2.5) zn~jdujemy H= -A~, skąd mg H=kT
(3.3)
mg
Obliczymy
wartość
H
= bfg
H korzystając z równości H
= 7,7·10s
cm2Js2
103 cmjs2
= 77·10s '
moż:na wyrazić
Wzory (3.1) i (3.2)
za
cm
Wraz ze wzrostem wysokości w w ciągu geometrycznym:
maleją
e = eo; e = 0,368e 0 ; e = 0,135e 0 ;
p = p0 ,
jeż:eli jeż:eli jeż:eli
H,
ciągu jeż:eli
'
pomocą
H
m
następująco
h
h
p=poe
= 77 k
(!=(!o e
H
arytmetycznym = O, to
ciśnienie
i
gęstość
h
h = ·H, to p = p 0 je = 0,368p 0 , h = 2H, to p = p 0 /e 2 = 0,135p 0 , h = 3H, to p = p 0 /e 3 = 0,05p 0 ,
e= 0,05eo· Znając zależ:ność gęstości
mas~ powietrza
ma w
od wysokości moż:na wyrazić za pomocą eo i H
słupie o powierzchni podstawy l cm 2 • Faktycznie OC>
ma =:= '
OC>
h
fo e d h = fo eo e- li dh
Dokonajmy zmiany zmiennej : z = ; , wówczas dz = ~ dh co
ma= eo H
fo e-Zdz = -eo He-zl: = eo H
Korzystając z równości ma= eoH obliczymy (dla sprawdzenia) jeszcze raz wartość H. Ponieważ: ciśnienie atmosferyczne jest równe l kG/cm 2 , więc masa powietrza w słupie o·podstawie l cm 2 jest równa l kg. W takim
402
razie ma= l kg/cm 2 = 1000 g/cm 2 • Wiedzą-e, że H
eo =
1,3·10-3 gfcm 3 , mamy
= ma = ---.!:.Q~-- = 7 7 ·10 5 cm
eo
1,3 ·I0-3 ' co jest zgodne z poprzednim wynikiem. Znajdziemy średnią wysokość, na której znajduje się jeszcze powietrze, tzn. wysokość środka ciężkości pionowego cylindrycznego słupa powietrza. Aby nie wprowadzać niepotrzebnych wielkości, !OZpatrzymy słup powietrza o polu podstawy l cm 2 ; oczywiście, położenie środka ciężkości nie zależy od pola podstawy. Na wysokości k między h i h+dh znajduje się masa dm = edh. Zatem średnia wysokość jest równa oo.
00
f
f o
hdm
h =.-0~~-
he (h) dh 00
f e (h) dh o całkę występującą
Obliczymy jemy 00
f
00
he.(h) dh
o·
w liczniku. Na podstawie (3.3). otrzymuh·
=f heo e-li dh o
00
= eo H 2
f
ze-zdz
= eo H 2
o
00
(f ze-zdz =
l---:- por. wzór (3.8) w rozdziale III). Ostatecznie mamy
o
(3.4) W takim razie wysokość H, na której'g~stość i ciśnienie powietrza maleje e razy, jest jednocześnie średnią wysokością, na której znajduje się powietrze. Analogi'czny wynik otrzymaliśmy ·wcześniej omawiając rozpad promieniotwórczy (paragraf V.3): jeżeli prawdopodobieństwo rozpadu jest dn = ..,.. wn, n = n 0 e-wt, to w ciągu czasu -r =_l_ ilość su brówne . w ..Ą.., s . . w stancji promieniotwórczej maleje e razy, przy tym średni czas życia atomu ~
promieniotwórczego jest też równy '.
t = .-r = ...!w ..
Przypominamy, że prost11 zależność (3.3) gęstości i ciśnienia· od wysokości odnosi się do p:fzypadku ~tałej temperatury. W rzeczywistości rozkład gęstości i ciśnie11ia jest. nie.co. inny niż podaje wzór (3.3) i zależy między innymi od pory roku. 26*
403
Ćwiczenia
1. Znaleźć ciśnienie powietrza w szybie na głębokości l km, 3 km, 10 km. 2. Znaleźć zależność ciśnienia powietrza od wysokości przy temperaturze powietrza -40°C oraz +40°C. 3. Przypuśćmy, że temperatura powietrza zmienia się wraz z wysokością zgodnie
z równaniem~~
=
-cxT0 , gdzie To jest
temperaturą powietrza na
powierzchni Ziemi,
ex -stałym współczynnikiem. Znaleźć zależność ciśnienia powietrza od wysokości. 4~ Wiadomo, że powyżej w zadaniu 3, ex ~ 0,07·10- 5 cm- 1 • Korzystając z wyników zadania 3 wyznaczyć ciśnienie powietrza w szybie na głębokości: 1 km, 3 km, 10 km. Przyjąć, że temperatura na powierzchni Ziemi jest równa zeru. Porównać te wyniki z wynikami zadania l.
4. Kinetyczno-molekularna teoria
rozkładu gęstości
W poprzednich paragrafach znaleźliśmy rozkład gęstości powietrza w zależności od wysokości, w stanie równowagi, gdy działa siła ciężkości. Przy tym rozpatrywaliśmy powietrze jako ośrodek ciągły z podaną zależnością ciśnienia od gęstości. Rozważymy teraz te same wyniki z innego punktu widzenia, a mianowicie, z punktu widzenia teorii molekularnej. Będziemy rozpatrywali poszczególne cząsteczki i ich ruch. Hipotezy o tym, że materia składa się z oddzielnych atomów, wypowiadano już w starożytnej Grecji. Jednak ruchem cząsteczek i jego związkiem z energią cieplną, jako pierwszy zaczął zajmować się wielki rosyjski uczony M. W. Łomonosow, który jest twórcą teorii kinetyczno-molekularnej. Stan gazowy tym różni się od stanu ciekłego i stałego, że w gazie cząsteczki można traktować jako niezależne, nie oddziałujące między sobą. Ruch cząstek gazu jest swobodnym ruchem inercjalnym. Od czasu do czasu cząsteczki gazu zderzają się ze sobą. W normalnych warunkach zderzenia cząsteczek następują bardzo często i droga jaką cząsteczka przebywa pomiędzy zderzeniami jest niewielka. Pod ciśnieniem atmosferycznym i w temperaturze ooc w 22,4 l gazu zawarta jest l gramocząsteczka, tzn. 6·10 23 cząsteczek; w l cm3 zawartych jest n = 6 ' 1023 4 = 2, 7 · l 0 19 cząsteczek. 2,24·10
Będziemy
mieniu
około
rozpatrywali cząsteczki w przybliżeniu, jako kulki o pro2·10- 8 cm*>. Wówczas po to, aby dwie cząsteczki zderzyły
•> W rzeczywistości dwuatomowe cząsteczki, na przykład cząsteczki tlenu lub azotu, są bardziej podobne do pary zlepionych kulek, tak jak np. orzeszek arachidowy z dwoma jądrami w jednej skorup Ciepło parowania zależy nieistotnie od temperatury; dla wody: Q = 540 cal/g w 100°C, a 600 cal/g w 0°C. W dalszym ciągu tę zależność będziemy pomijać. **> Ciężar cząsteczkowy wody- 18, liczba Avogadro- 6·10 23 , l cal= 4,18· ·10 7 erg.
413
Rozpatrzmy parę nasyconą nad powierzchnią wody. Jeźeli para jest nasycona, to liczba cząsteczek wody, które wyparowały w jednostce czasu jest równa liczbie cząsteczek, które skropliły się na powierzchni ·wody i przeszły do fazy ciekłej (kondensacja) w jednostce czasu. Prędkość parowania jest równa Q.,
Ce
RT
gdzie C jest wielkością stałą proporcjonalną do pola powierzchni wody. Szybkość kondensacji jest proporcjonalna do ciśnienia pary wodnej i do pola powierzchni wody. Zatem w przypadku pary nasyconej, kiedy pręd kość parowania i prędkość kondensacji są równe, mamy Dp
=
Ce
RT
gdzie D i C są stałymi proporcjonalnymi do pola powierzchni, leźnymi od temperatury i nie zaleźącymi od ciśnienia, skąd
słabo
za-
Q.,
p = Fe RT gdzie stała F nie zalety od pola powierzchni wody. W takim razie, ustala się związek między ciśnieniem pary nasyconej, a ciepłem parowania. Rozpatrzymy jeszcze jeden proces podobny do parowania, mianowicieemisję elektronów przez nagrzaną powierzchnię. Ten proces zachodzi na katodach lamp radiowych. Chłodna katoda w próźni nie emituje elektronów*>. Jednaki przy wysokiej temperaturze katoda emituje elektrony. Przy tym, jeźeli do anody przyłoźony jest dostatecznie duźy potencjał dodatni, to anoda przyciąga elektrony i kaźdy elektron, który oderwał się od powierzchni katody trafia 'do anody. Prąd elektryczny płynący w obwodzie przez lampę radiową jest równy iloczynowi liczby elektronów emitowanych przez katodę w jednostce czasu i wartości ładunku jednego elektronu. Doświadczenie wykazuje, że w tym przypadku zachodzi następująca zaleźność między natęźeniem prądu i temperaturą: Q
I= ge-lir
Q jest róźna dla róźnych katod. Na przykład, dla katody z czystego wolframu ~ = 55 000°, dla katody z tlenku baru ~ = 30 000°, Wartość stałej
*> Nie rozpatrujemy tu przypadku bardzo silnych pól elektrycznych (10 6 V/cm i większych), które mogą wyrywać elektrony nawet z chłodnej powierzchni katody. Nie rozpatrujemy też wybijania elektronów z katody przez promienie świetlne lub przez bombardowanie katody elektronami, jonami lub innymi cząstkami.
414
zatem taka katoda
może pracować
przy
niższej
temperaturze.
Znając
zależność I od T możemy o bliczyć ~ . Przy tym Q, które występuje w ostatnim wzorze, pokrywa się z energią konieczną do oderwania elektronu z katody*>. Przy pomocy lampy radiowej można bardzo prosto zmierzyć rozkład elektronów emitowanych z powierzchni katody, ze względu na ich prędkość przy danej temperaturze. W tym celu przy nagrzanej katodzie przykładamy do anody niewielki ujemny potencjał p. Przy takim potencjale anoda odpycha elektrony emitowane z katody. Dlatego znaczna część elektronów nie dotrze do anody, zawróci i trafi znów na katodę. Będą jednak i takie elektrony, które mimo wszystko trafią do anody, pokonując jej odpychanie. Do tego potrzeba, aby energia kinetyczna elektronu wylatującego z katody przewyższała różnicę energii potencjalnej między anodą i katodą, tzn. wiel_.!'P__
kość
ep. Liczba tych elektronów jest proporcjonalna do e kT **>. W takim razie, przy ujemnym potencjale p anody prąd jest równy · I = ecp
= / 0 e-k'T, gdzie / 0 jest prądem przy dodatnim potencjale. Przy wykonyaby odległość między anodą i kaaby liczba elektronów między nimi nie była zbyt duża i aby wzajemne odpychanie między elektronami nie wpłynęło na wynik waniu
doświadczenia należy pamiętać,
todą była mała, doświadczenia.
Radziecki uczony A. F. Joffe zaproponował wykorzystanie tego zjawiska do bezpośredniego przekształcenia energii cieplnej w energię elektryczną. Jeżeli elektrony biegną z katody do ujemnie naładowanej anody, to taki układ w całości jest źródłem napięcia; w zewnętrznym obwodzie między ujemnie naładowaną anodą i dodatnio naładowaną katodą prąd ma taki kierunek, :że wykonuje pracę. Ta:\ Energia konieczna do oderwania elektronu może być wyznaczana również innymi metodami. **> We wzorze e-•. Dlatego szybkość zmian pola magnetycznego jest proporcjonalna do
:Szybkości zmian prądu, tzn. do. pochodnej.!!!__ . Ostatecznie w cew~e dt
{por. rys. 174) (1.5)
Rys. 174
przy czym za dodatni kierunek prądu w cewce przyjęto kierunek od l do 2, a fPL jest różnicą potencjałów na końcach cewki. Jest ona określona jako: potencjał cp 1 ·z lewej strony minus potencjał cp 2 z prawej strony. Rozpatrując dokładniej kierunek pola magnetycznego i SEM indukowaną przy jego zmianie, można udowodnić, że współczynnik L występujący w tej zależności (tak zwana indukcyjność) jest zawsze dodatni. Ze wzoru (1.5) wynika, że jeżeli _d_!_ < O, to cp 1 - cp 2 < O, tzn. cp 2 > rp 1 . dt
W takim razie, jeżeli prąd jest dodatni (płynie od l do 2) i maleje, to cewka odgrywa rolę baterii podtrzymującej w obwodzie dodatni prąd, bez względu na to, że CfJL
CfJL
< O. Jeżeli prąd jest dodatni i narasta, to!!!_ > O, dlatego dt
> O. W tym przypadku cewka odgrywa
nieważ różnica potencjałów
rolę
dodatkowego oporu, pona cewce jest wówczas dodatnia przy dodatnim
prądzie
(por. wzór (1.3)). Istotna różnica między
na tym, że
CfJL
źródłem napięcia
i opornikiem, a
cewką
polega
zależy nie od wartości I, a od szybkości zmian!!!_ . dt
*> Nie będziemy rozpatrywali przypadku, gdy na jeden rdzeń nawinięte są dwie cewki, tzn. transformatora łączącego ze sobą obwody elektryczne, w których płyną różne prądy. • Nie rozpatrujemy też przypadku bardziej złożonej zależności pola magnetycznego od prądu, gdy do cewki wstawiony jest żelazny rdzeń i natężenie prądu jest tak duże, że żelazo "nasyca się".
422
Współczynnik L występujący w równaniu nosi cewki (samoindukcja). Jednostkę indukcyjności nazywamy henrem (H).
nazwę indukcyjności Indukcyjność
cewki jest równa l henrowi, jeżeli przy szybkości zmian prądu równej l A/s w cewce powstaje różnica potencjałów l V. Wymiar indukcyjności odczytujemy ze wzoru (1.5) wolt • sekunda henr = ---··amper
Często w skrócie mówimy "indukcyjność L" zamiast mówić "cewka o indukcyjności równej L", mówi się również "pojemność C" zamiast "kondensator o pojemności C". Analogicznie, mówi się o SEM E 0 , zamiast mówić o źródle napięcia. Z tego co powiedzieliśmy wyżej wynika, że indukcyjność wpływa na prąd w obwodzie, podobnie jak masa inercjalna wpływa na prędkość ruchu; indukcyjność przeciwdziała zmianom prądu, masa, zgodnie z drugim prawem Newtona, przeciwdziała zmianom prędkości. Dokładniej podobieństwo to rozpatrzymy w paragrafie 4. Z punktu widzenia dalszych rozważań, pojemność, opór, SEM, i indukcyjność mają wspólną własność: w obwód są zawsze włączone za pomocą dwóch przewodników (w odróżnieniu, np. od transformatora mającego cztery wyjścia lub lampy radiowej mającej trzy wyjścia: anodę, katodę i siatkę). Urządzenia, które włączamy do obwodu za pomocą dwóch przewodów, noszą nazwę dwubiegunowych. Urządzenia, które włączamy za pomocą czterech przewodów, nazywają się czterobiegunowymi. W ukła dzie każdy element: kondensator, opornik, źródło prądu i cewka, w każdej chwili czasu charakteryzuje się określonym prądem, który przez niego płynie i określoną różnicą potencjałów na wejściu i wyjściu. Wyobraźmy sobie zamknięte pudełko z dwoma wychodzącymi zeń przewodnikami A i B. Wewnątrz pudełka może znajdować się R, E, L, C. Podłączamy do pudełka amperomierz A i woltomierz V. Jeśli układ zestawimy tak jak na rys. 175 (znaki + i - odpowiadają znakom na zaciskach
Rys. 175
423
amperomierza i woltomierza) to amperomierz będzie wskazywać płynący od A do B. Woltomierz wskaże różnicę potencjałów
prąd
I
PA-PB
([!p=
Od tego co zawiera pudełko zależy związek między PP i I: w przypadku opornika R: pp = RI w przypadku źródła prądu SEM*> E 0 : pp = -E0
(1.6) (1.7)
w przypadku cewki L: PP = L!!!_
(1.8)
dt
w przypadku kondensatora*·~> C: pp
t
C
(lub
d:rp
=
J Idt
= (pp)o+ _L
(1.9)
to
-~-I)
:(1.9a)
W pewnych przypadkach otrzymujemy bardziej złożone zależności. Na przykład, prostownik prądu (lampa dwuelektrodowa lub dioda pół przewodnikowa) nie jest opisywany przez żaden ze wzorów (1.6)-(1.9). Jednak w większości zagadnień można ograniczyć się do rozpatrzenia elementów układu, dla których z dużą dokładnością spełnione są wzory (1.6)-(1.9). W dalszych paragrafach tego rozdziału (za wyjątkiem par. 16) będziemy właśnie rozpatrywali takie układy. W paragrafie 16 specjalnie rozważa się własności układu, w którym występuje urządzenie o złożonej zależności prądu od różnicy potencjałów. Be AR
r_
L
E
BLAE ~
J
R
Rys. 176
Rozpatrzmy układ przedstawiony na rys. 176. Spadki gólnych elementach układu są następujące: Pc = PAc-PBc> PR
=
PAR-cpBR>
napięć
na poszcze-
P!- = Cf!AL-cpBL} Cf!E = Cf!A,-PB,
(1.10)
*> Oporu wewnętrznego w SEM nie bierzemy pod uwagę. •*> q A.= o'{!p, --ctl dqA = I , s k ą d -dr-drpp = --cl I . J eze . ,.1 w c h w1.,.1 począt k oweJ. t
t= t 0 ,
'{!p = (t:pp) 0 ,
to
'{!p = (t:pp)o
+ ~
JI dt. 'o
424
Zauważmy jeszcze, że Cf!Bc = Cf!AR' cp 8 R = Cf!AL• cp8 L =rCf!AE; dlatego dodając stronami wszystkie wyrażenia (1.10), otrzymamy L.
Cf!c+Cf!R+Cf!L +cpE
=
Jeżeli układ z rys. 176 jest zamknięty, to marny zatem
Cf!A~-Cf!B~ cp A~= cp8 E.
W takim przypadku (1.11)
Ta ogólna równość wraz ze wzorami (1.6)-(1.9) określa całkowicie wszystkie procesy zachodzące w układzie. Korzystając z tej równości, poniżej bę dziemy rozpatrywali róźne układy, zaczynając od najprostszych, złaźonych tylko z dwóch elementów.
2.
Rozładowywanie
kondensatora przez opór
Rozpatrzmy proces zachodzący w układzie złaźonym z kondensatora C i oporu R (rys. 177): Potencjał punktu A oznaczmy przez cp (niech przeciwległa płytka będzie uziemiona). Początkowo niech cp = cp 0 • Zatem na płytce A zgromadzony jest ładunek _qA = Ccp 0 •
Rys. 177
Czy moźna mówić o prądzie płynącym przez kondensator? W konden, satorze dwie płytki rozdzielone są izolatorem (np. powietrzem) tak, że w rzeczywistości elektrony nie mogą przepłynąć przez kondensator. tzn. przejść z płytki A na B. Jednak, jeśli na płytkę A trafi ładunek dodatni. to płytka B będzie naładowana ujemnie, tak że z płytki B przez przewodnik odpłynie ładunek dodatni (prąd również płynie z lewej strony na prawo). Dwa amperomierze A 1 i A 2 , z których jeden mierzy natężenie prądu w przewodniku zamocowanym do płytki A; a drugi w przewodniku zamocowanym do płytki B wskazują ten s~rn prąd. Nie interesuje nas przy tym czy w różnych częściach obwodu przepływają ładunki dodatnie. czy elektrony, nie interesuje nas też, czy przezA 2 przejdą te same elektrony, które
425
wcześniej przeszły przez A 1 , czy inne4 Dlatego wszędzie dalej będziemy mówili o prądzie płynącym przez kondensator mając na myśli prąd płynący w przewodnikach połączonych z okładkami kondensatora. W obwodzie elektrycznym o prądzie płynącym przez kondensator można mówić tak samo jak o prądzie płynącym przez opornik lub cewkę, różnica polega na innej zależności między prądem i różnicą potencjałów, co formalnie wyrażają wzory (1.9) i (1.9a). Przy zamykaniu wyłącznika P. (rys. 177) przez opór R płynie prąd
1
I= RrpR Zgodnie ze wzorem (1.11), rp+rpR =O,
skąd
R1
I = -
rpR = -rp, dlatego (2.1)
cp
dodatnim nazwaliśmy prąd płynący z lew~j strony na prawo, przy rp > O, jak widać na podstawie wzoru (2.1), prąd jest ujemny, płynie z prawej strony na lewo, kondensator rozładowuje się*>. Wiedząc, Ponieważ więc
że I= ~; (prąd płynący przez kondensator), a q = Op, znajdujemy
I=C~
(2.2)
dt
Porównując
(2.1) i (2.2) otrzymujemy
drp
Tt=Takie równanie rozwiązaliśmy promieniotwórczego. Jeżeli dla
już
t =
rp (t)
Ze wzoru (2.3) wynika,
[ R.]
= om =
że
1
(2.3)
RC~
w związku z zagadnieniem rozpadu O, rp = r 0 , to
= rpo e-t/Itc
(2. Zauważmy, że we wstystkich układacli (rys. 176 i dalsze) majęcych kształt mówimy o kierunku prądu w górnej cz~ści prostokąta; w dolnej częici zamykającej układ, prąd ma oczywiicie .kierunek przeciwny. prostokąta,
426'
stąd
[Re]
wolt • sekunda kulomb =--- · - = sekun da kulomb wolt
W czasie t = RC ładunek q kondensatora i natężenie prądu I zmniejszają się
dwukrotnie. Proces rozładowania kondensatora łatwo .jest prześledzić eksperymentalnie. W sklepach z częściami radiowymi sprzedawane są kondensatory .o pojemności C = 20 mikrofaradów = 20·10- 6 F i oporniki o oporze R = 20 megaomów= 20·10 6 n. Dla układu z takimiR i C otrzymujemy RC = 400 s - czas bardzo dogodny do obserwacji. Wielkość RC nazywa się stalą czasową układu, złożonego z pojemności i oporu (w przypadku rozpadu promieniotwórczego analogiczną wielkość nazywaliśmy średnim czasem życia).
Rys. 178
Rozpatrzymy obecnie zagadnienie ładowania kondensatora przez opór. pokazany na rys. 178. Jeżeli wyłącznik P jest zamknięty, to, zgodnie z (1.11), IPE+IPR +q.> = ą, gdzie er jest potencjałem uzierr:iY1ej płytki kondensatora. Ponieważ IJ?E = - E 0 , IJ?R = RI, więc -E+ RI +q.> = O. Rozważmy układ
Prąd
nły11ą.:y przez kondensator jest równy I= !!!L = C!!_'!!_, dlatego ~
.
~
dtpl
-E 0 +RCdt +tp =O czyli -
dtp 1 = - -(tp-Eo) dt RC
(2.5)
q.> od czasu, wygodme jest ~prcwa-.zic :wwą z: z = q.>-E0 • Wówczas dz = dtp. Równanie (2.5) przepiszmy w postaci
Aby
znaleźć zależność
zmienną
dz dt
z
RC 427
Jego
rozwiązaniem
jest z
=
(2.6)
Zo e-t/RC
_gdzie z0 jest wartością z w chwili początkowej. Znajdziemy rozwiązanie dla przypadku, gdy w chwili początkowej kondensator nie był naładowany, przy t = O, cp = O. W ówczas z = - E0 • Na podstawie (2.6) otrzymujemy z = - E0 e-t;Rc, cp = z+Eo = -E 0
e-t/Re
+Eo = E 0(1-e-t/RC)
(2.7)
Wykres zależności cp od t przedstawia rys. 179. Linia ciągła odpowiada wzorowi (2.7), przerywana prosta pozioma reprezentuje wartość cp = E0 ,
t Rys. 179
do której z biegiem czasu zbliża się rozwiązanie. Wielkość z ma geometryczny sens odległości wzdłuż linii pionowej, od linii ciągłej do przerywanej. Odległość ta z biegiem czasu maleje wykładniczo. W ciągu czasu RC ładunek kondensatora osiąga 63% swej końcowej wartości, w czasie 2RC- 86%, a w czasie 3RC- 95% wartości końcowej. Ze wzorów (2.4) i (2. 7) widać, że wyładowywanie i ładowanie kondensatora zachodzi tym szybciej, im mniejszy jest opór R. Ćwiczenia
l. W układzie przedstawionym na rys. 177, C= 10 6 F, R = 10 7 Q, R = 10a Q, R = 10 9 Q. Dla każdego z tych przypadków znaleźć czas, po jakim prąd płynący w chwili początkowej przez kondensator: a) zmniejsza się o l 0%; b) zmniejszy się o połowę. 2. Rozpatrzeć proces wyrównywania się potencjałów przy szeregowym połą czeniu dwóch kondensatorów C 1 i C2 przez opór R. Jeden z kondensatorów w chwili
Rys. 180
428
początkowej
t= O jest naładowany do różnicy potencjałów 'Pc 1 (0) = a, a drugi nie tzn. 'Pc 2 (0) =O (rys. 180). 3. Znaleźć zmianę stałej czasowej układu jak np. na rys. 177, jeżeli wszystkie wielkości występujące w układzie zwiększymy n-krotnie. Uwaga l. Warunki zadania należy rozumieć w ten sposób, że zwiększają się wymiary pojemności i oporu ale materiały, z ~tórych zostały one wykonane nie ulegają zmianie. Uwaga 2. Znany jest wzór na pojemność kondensatora płaskiego: C= eS/4rtd, gdzie S oznacza pole powierzchni płytki kondensatora, d- odległość między płyt kami, e jest wielkością stałą, zależną od materiału między okładkami (stała dielektryczna). Wartość oporu drutu znajdujemy ze wzoru R = e /frr, gdzie l jest długością, rr- powierzchnią przekroju poprzecznego, e -stałą zależną od materiału, z którego zrobiony jest drut. jest
naładowany,
3. Drgania w
układzie
z kondensatorem i z
przerwą iskrową
Typowy przykład zastosowania kondensatora przedstawia rys. 181. W ukła dzie występuje źródło napięcia z SEM równą E i opór R (rolę R może odgrywać opór wewnętrzny źródła napięcia). Niżej znajduje się przerwa iskrowa; przy różnicy potencjałów mniejszej od pewnej wartości rp 1, przerwa
Rys. 181
iskrowa jest izolatorem. Przy rp = rp 1 przeskakuje iskra, powietrze między przewodnikami nagrzewa się do wysokiej temperatury i staje się dobrym przewodnikiem. Sumaryczny opór przewodów doprowadzających oraz rozgrzanego powietrza oznaczymy przez r. Wartość r jest mała i pozostaje mała tak długo, dopóki płynie prąd podtrzymujący wysoką temperaturę powietrza. Przy określonej małej wartości prądu / 2 , powietrze ostyga i przerwa iskrowa znów staje się izolatorem. Tej wartości prądu odpowiada różnica potencjałów rp 2 = l 2 r. Przy tym rp 1 > rp 2 , popieważ aby wywołać przeskok iskry potrzebne jest większe napięcie niż dla jej podtrzymania. Na rysunku 182 przedstawiono zależność rp od t dla takiego układu. 429
Rys. 182
Na odcinku OA
następuje ładowanie
przerwę iskrową.
W tym przypadku
kondensatora, prąd nie słuszny jest wzór (2.6)
q; = E (1- e-t/RC)
płynie
przez (3.1)
W punkcie A w chwili t = tA różnica potencjałów osiąga wartość q; 1 , przerwa iskrowa zaczyna przewodzić prąd, następuje wyładowywanie kondensatora. Ponieważ R ~ r, więc prąd płynący ze źródła napięcia można zaniedbać w porównaniu z prądem płynącym przez prz;rwę iskrową. Na q; otrzymujemy równanie dq;
dt= przy czym dla t =
tA,
q;
=
q; rC
q; 1 • Znajdujemy stąd (t-t.)
q;
=
f/J1 e
re
(3.2)
W punkcie B, w chwili t = tB, q; = q; 2 i przerwa iskrowa znów staje się izolatorem i znów rozpoczyna się ładowanie (odcinek BC). Wyznaczymy czas t B - t A' w ciągu którego następuje wyładowanie kondensatora. Skorzystamy z faktu, że przy l= t B, q; = q; 2 . Podstawiając w (3.2) q; = q; 2 , t = tB, otrzymujemy ta-t..._
re
skąd t B - t.A. = rC In f' l
•
f{J2
Na odcinku BC (ładowanie) słuszna jest zależność (3.1) przesunięta w czasie o odcinek -r (na rys. 182 wielkość -r przedstawia odcinek A 0 B). Mamy więc
'
(
q;= E -1-e ~30
-_(t-:_. Znajdziemy średnią wartość h w ciągu okresu. Ze wzoru (9.4) znajdujemy h
=
R~~
(1-cos 2wt);
pamiętając, że średnia
wartość cosinusa w ciągu okresu jest równa zeru, otrzymujemy h = RI;,/2. Wydzielanie ciepła na oporn:k1 R może następować tylko w wyniku zmniejszania się energii elektrycznej P. Dlatego
dP =-h
dt
(9.5)
Przyjęliśmy, że R jest małe, a zatem małe jest h. Energia drgań wolno maleje, wyraźne zmiany energii są zauważalne dopiero po upływie kilku okresów. Rozpatrując okresy czasu duże w porównaniu z okresem drgań T, zamieniamy w prawej stronie rówńania (9.5) h na h
dP RI! -·-=-h=-dt 2
(9.6)
Ponieważ
energia P wolno zmienia się, więc na podstawie (9.3) widzimy Im też jest wielkością wolno zmieniającą się. Obliczamy Im z (9.3); otrzymamy :że
(9.7) •> Znak jej
oczywiście się
nie zmienia.
457
Korzystając
z (9.7), z
równości
(9.6) otrzymujemy
dP
R
dt= --[P tego równania jest P = P 0 e-RttL, gdzie P 0 jest dla t = O. Dlatego, zgodnie z (9.7), mamy Rozwiązaniem
wartością
P
e-Rtf2L Vj 2P~ L
I = -. m
Wówczas I
=
V2~o--
e-Rtf2L sin (rot+7t)
(9.8)
Pamiętając, że rp = rp 0 co s rot, a rp 0 = ____b_ , otrzymujemy Cw
I cos rot = -l - v2P 0 e-RtflL cos rot rp = _"!_ -Cro Cro L Wzory (9.8) i (9.9) wykazują, że gdy elektryczne zanikają wykładniczo.
występuje
Powyższe rozwiązanie otrzymaliśmy
nych.
Zauważmy, że
w
za
(9.9)
niewielki opór, to drgania
pomocą rozważań przybliżo
przybliżonym rozwiązaniu
nie jest
spełniona
za-
leżność I= C !!_p_, choć jest ona spełniona tym lepiej, im mniejsze jest R. dt
Spróbujmy rozwiązać teraz to zagadnienie mamy związek rp+rpR+rpL =O, skąd
ściśle.
Dla
układu
dl
na rys. 199
(9.10)
rp+Rl+Ldt =O
przy czym I= C dg; . Podstawiając do (9.10) wyrażenie na I oraz na dl
.
~
~
otrzymujemy d 2 g; LC---;w:Rozwiązania otrzymaliśmy
=
dg; -rp-RCdt
tego równania będziemy szukali w takiej samej postaci, w rozważaniach przybliżonych, tzn. rp = Ae-M cos rot
gdzie A., ro, A
458
(9.11)
są
stałymi,
które trzeba
jaką
{9.12) wyznaczyć.
Podstawiając
rp
do równania (9.11),
następnie
upraszczając
przez Ae-u otrzymamy
L C..Pcos w t+ 2L CAw sin w t-L C w 2 c os w t = -cos wt+RCA cos wt+RC w sin wt
=
Aby równość ta zachodziła dla dowolnej chwili czasu t, współczynniki z lewej i prawej strony przy cos wt i sin wt muszą być odpowiednio równe, tzn.
LCA 2 +LCw 2 = RCA-1 2LCAw = RCw Z warunku (9.14) otrzymujemy A =
, / w =
V
(9.13) (9.14)
-1t, a następnie z (9.13) otrzymujemy 1 R_zLC - 4L2
(9.15)
Stałej A nie można wyznaczyć z równania (9.11). Jej wartość wyznacza się z warunku początkowego: dla t= O, qy = qy 0 • Znając qy(t) łatwo można
znalefć I = C
drp .
dt
Otrzymujemy
I= -CA e-'.t(w sin wt+A cos wt)
(9.16)
Porównując rozwiązanie dokładne z rozwiązaniem przybliżonym widzimy, że: l) W przybliżonym omówieniu zagadnienia poprawnie została określona wielbść A charakteryzująca prędkość zaniku drgań. Jednak przybliżone rozwiązanie nie daje zależności w od wartości oporu R. 2) Wzór dla prądu nieco różni się od tego, który otrzymaliśmy w przybliżeniu.
W taki ~am sposób można wykazać, że równanie (9.11) posiada jeszcze jedno rozwiązanie, mianowicie (9.17) przy czym w i A są takie same jak znalezione poprzednio. jest równe
Odpowiadające
natężenie prądu
I = CBe-" 1(w cos wt-A sin wt)
(9.18)
Suma rozwiązań (9.12) i (9.17) jest też rozwiązaniem równania (9.11). Tylko przy pomocy tej sumy można rozwiązać ogólne zagadnienie; znaleźć rozwiązanie równania (9.11) z warunkami początkowymi dla t := O, qy = qy 0 , I = 10 • Faktycznie, wówczas dla współczynników A i B znajdujemy równa459
ni a: q; 0
=
A, 10 = C A A.- CBw,
A
skąd
B= CA.q;~~~
= f!!o,
Cw
Ćwiczenia
1.
Znaleźć
I(t) w układzie przedstawionym na rys. 199,
jeżeli
C= l, L
= l, R =
= 0,1; 0,5; l. Dla t= 0: q;= l, l= O. 2.
Wykonać
polecenie
ćwiczenia
l,
jeżeli
dla t= O: q;= O, I= l.
R
Rys. 200 3. W przybliżony sposób znaleźć prędkość zaniku nym na rys. 200 przyjmując, że R jest bardzo duże.
10. Przypadek
dużego
drgań
w
układzie
przedstawio-
oporu
Niżej
rozpatrzymy przypadek dużego oporu; jest on interesujący przede wszystkim z matematycznego punktu widzenia i nie wiąże się z pozostałą częścią materiału. Dlatego przy pierwszym czytaniu paragraf ten można pominąć. Rozwiązanie
równania (9 .11) otrzymane w poprzednim paragrafie jest
słuszne tylko wówczas, gdy R nie jest zbyt duże. Istotnie, na pod sta wie (9 .15)
widać, że jeżeli R >
2
V~ ,
to
wyrażenie na w
traci sens,
ponieważ
pod
pierwiastkiem otrzymujemy liczbę ujemną. W tym przypadku równanie (9 .11) posiada rozwiązanie w innej postaci. Szukać będziemy rozwiązania w postaci q;= AePt (odpowiednio l= -ACpe-Pt). Podstawiając do (9.11) wyrażenie na q; i jej pochodne oraz upraszczając przez Ae-Pt, otrzymamy
LC/3 2 Jest to równanie kwadratowe
f3 460
=
2~
±
= -1+RCf3 względem
-v 4~2
/3. -
Rozwiązując
Łh-
je otrzymamy (10.1)
Wyrażenie
pod pierwiastkiem w (10.1) różni się znakiem od wyrażenia pod pierwiastkiem w (9.15). Zatem właśnie wtedy, gdy nie można znaleźć w, można znaleźć /3. Wzór (10.1) prowadzi do dwóch wartości na p, dlatego można znaleźć dwa rozwiązania równania (9.11) cp = Ae-P.t Rozwiązaniem będzie też
ich suma cp
= Ae-P .r + Be-P2t
(10.2)
Odpowiednio (10.3) Jeżeli
dla t otrzymamy
= 0:
cp
=
A+B = cp 0 Z tego
podstawiając
cp 0 , I= 10 , to
t
=
O w (10.2) i (10.3),
-AC/3 1 -BC/3 2 = 10
układu równań można znaleźć
A i B.
Rozpatrzmy dokładniej wyrażenie na /3. Niech R ~ 2-. fT-. Wówczas
-
-. j Rz
J1
4p
-
l LC
=
vl- ;fe
D la tego
/3 2
=
f3 1 =
- Jizc
2~
R 2L
= _B_ -_B_ + - 12L 2L RC
(
l-
+ =
R 2L -
~
Jl c
ł . ,
d . mozna roz ozyc zgo me ze wzorem na .
Ograniczając się
dwumian Newtona;
-2~
l 4L
R -. / 2L Jl
do dwóch pierwszych wyrazów, mamy
;;C ) = 2~ - R1C l RC
1- . Te RC
=
LR -
l R RC ~ L
wartości
/3 1
' · •R· d . , pomewaz Jest uze;
i /3 2 są nam znane z para-
grafów 1-5. Faktycznie, /3 1 odpowiada zanikowi prądu zgodnie z prawem e-R t/ L, tzn. tak jak w układzie złożonym tylko z indukcyjności i oporu (por. par. 5). Pierwiastek /3 2 odpowiada zanikowi prądu zgodnie z prawem e-t/Re, tzn. tak jak w układzie złożonym tylko z pojemności i oporu (por. par. 2). Z ma'tematycznego punktu widzenia interesujący jest przypadek, gdy wyrażenie pod pierwiastkiem w (10.1) jest dokładnie równe zeru, tzn
tak,
że
oba pierwiastki /3 1 i /3 2 pokrywają się. Otrzymujemy tylko jedno równania (9.11). Jednak aby otrzymać rozwiązanie ogólnego
rozwiązanie
461
zagadnienia z warunkami początkowymi t = O, rp = rp 0 , I = 10 , należy mieć dwa rozwiązania. Jak znaleźć drugie rozwiązanie? Założymy, że P1 i= P2 , ale różnica P1 -P 2 jest mała. Wówczas mamy dwa rozwiązania: e-P,t i e-P,r. Ich róźnica też jest rozwiązaniem. Zapiszmy to rozwiązanie następująco e-p,r _ e-p,r = e-P,t(e(p,- p,)r -l)
P2 -P 1
Ale
jest
zatem e crc
l =C
f
ldt
l =C
f
•> Stała całkowania jest równa 30 Matematyka
wyższa
Cw
. 10 cos (wt+a) dt = 10 sm (rot+ a)
iiic·
Dla prądu zmiennego zawsze
iiic =
(11.4) O.
465
Zapisując f!!c
w postaci f!!c f/!3 =
=
g; 3 cos(wt+a 3 ), otrzymamy
1 Cw lo,
a3
=a-
~
-2
Zatem w obwodzie prądu zmiennego związek między amplitudą prądu i amplitudą napięcia na kondensatorze jest taki sam, jak na oporniku, 1 - . Wyrażając pojemność w faradach, a częstość w odwrotgdy R 3 = - -
Cw
nościach
st:kundy, otrzymamy R 3 w omach. Krzywa napięcia dla kondensatora jest przesunięta
natężenia do przodu o pięcia f!! c
! okresu (rys.
względem
krzywej
203). W takim razie krzywa na-
w kondensatorze jest przesunięta w stronę przeciwną niż krzywa f!!v
t
Rys. 203
Przy danym takim samym prądzie, f!!L i ({Je mają przeciwne znaki. na siebie krzywe f!!L i f!!c, to okaże się, że prąd płynący przez kondensator i prąd płynący przez cewkę mają przeciwne znaki. Faktycznie, wszystkie wzory wyrażające cp w zależności od I łatwo można odwrócić, tzn. wyrazić I w zależności od_ g;, mianowicie Jeżeli nałożyć
I = 10 cos (wt+a)
r.,.----
g; = cp 0 cos
(wt+a)
cpR
= R/ 0 cos (wt+a)
IR = ~ cos (wt+~)
([!L
= L wf 0 cos (w t+ a+ ; ) =
IL =
= -Lw/ 0 sin (wt+a) f!!c
= Clw 10 cos ( wt+a- ; ) = = cl lo sin (wt+a) w
466
-
J: = J:
cos( wt+a- ; )
=
sin (wt+a)
I c = f!! o C w co s (w t+ a+ ; ) =
=
-g; 0 C w sin (wt+a)
Przeciwne przesunięcie fazy i przeciwne znaki we wzorach odnoszących do indukcyjności i pojemności mają zasadnicze znaczenie przy rozpatrywaniu L i C włączonych razem do obwodu. W doświadczeniach z prądem zmiennym często korzysta się z katodowego oscylografu strumieniowego. Przy tym na jedną parę płytek odchylających (odchylanie wzdłuż osi x) przykłada się napięcie proporcjonalne do natężenia prądu. Na drugą parę płytek (odchylanie wzdłuż osi y) przykłada się napięcie proporcjonalne do cp. Strumień biega po linii o równaniu x = al, y = hep; współczynniki a i b zależą od czułości oscylografu. Ponieważ I i cp są funkcjami okresowymi czasu, więc strumień zakreśla na ekranie przez cały czas tę samą linię. Przy częstości 50 okresów na sekundę oko nie jest w stanie śledzić ruchu strumienia, widzi tylko ciągłą świecącą się
linię.
Jeżeli na płytki odchylające pionowo przyłożyć różnicę na oporze równą Cf'R, to strumień zakreśli prostą; istotnie
x =al= al 0 cos (wt+et), Rugując t, znajdujemy y potencjałów
=
y
= bcpR = bR10 cos (wt+a)
b~ x. Jeżeli do tych płytEk przyłożyć różnicę
na k:mdensatorze Cf!c, to otrzymamy
x = a1 0 cos (wt+et),
(a~o
r
+ (
potencjałów
blo~Cw
r
y
= b
elipsę
~w 10 sin (wt+et)
= cos 2 (rot+et)+sin 2 (rot+et) = l
Elipsę otrzymuje się też przy włączeniu Cf'L· Przy włączeniu Cf'R +cpL ·lub Cf'R + Cf!c, osie symetrii elipsy nie pokrywają się już z osiami x i y. A więc na podstawie kształtu krzywej na oscylografie można odgadnąć co jest włączone do obwodu: C, L czy R, czym "napełnione jest pudełko" (por. rys. 175).
12.
Wielkości średnie,
moc i
przesunięcie
fazowe
W poprzednim paragrafie natężenie i napięcie rozpatrywaliśmy w zależności od czasu. Jednc.kźe w wielu zagadnieniach wystarczy znać wartości średnie tych wielkości. Jtko prosty przykład rozpatrzymy grzejnik elektryczny o oporze R. Wiemy, że w obwodzie prądu stałego moc· (tzn. ilość energii wydzielana 30°
467
w jednostce czasu) jest równa h = ([!l= R/ 2 = ([! 2 /R. W obwodzie prądu zmiennego moc chwilowa jest równa h (t)
= ([!(t) I (t) =
R (I (t) ) 2
= [([! (t)JZJR
dlatego h (t) = RI~ cos 2 (wt+a)
(12.1)
W ciągu jednego okresu h(t) dwukrotnie przyjmuje wartość równą zeru i dwt k·otnie osiąga wartość mc.ksymalną równą RI5. Rozpatrując
grzejnik ekktryczny przeważnie interesuje nas ilość w ciągu czasu t przewyższającego wielokrotnie okres Dlatego znajdziemy średnią wartość mocy w ciągu czasu t. Korzystając z (12.1) mamy
ciepła
prądu
wydzielanego zmiennego T.
długiego przedziału
(12.2) przy czym ostatnia im większe jest t.
równość
jest
przybliżona
Przyjęto określać wartość natężenia prądu
takiego
prądu stałego,
który wydziela
i jest
spełniona
tym lepiej,
zmiennego I jako natężenie moc na oporze R
taką samą
R/6
(12.3)
2 Na podstawie (12.3) znajdujemy -
[=
Vl2
10 ~ 0,711 0
W taki sam sposób średnie wartości napięcia w a rur. ku h=
ip2
T
([!5 = 2
ii,
skąd
p określamy
(12.4) na podstawie
(12.5)
Przyrządy mierzące prąd zmienny - amperomierze, woltomierze - są skalowane tak, że strzalki pokazują właśnie I oraz rp. Ze wzorów (12.4) i (12.5) wynika, że maksymalna wartość natężenia prądu jest Vlrazy większa od wartości średniej. Na przykład, w obwodzie o średnim napięciu 220 V największa chwilowa wartość napięcia osiąga ±310 V. Ze związków (12.2), (12.4), (12.5) i wzoru ([!o= R/0 wynika, że rp= RI i h = ~l, a więc prawo Ohma i związ< k między mocą, natężeniem i napięciem na oporze zachodzi i dla wartości średnich.
468
przez kondensator i cewk;ę, to natężenie tak, że ich wykresy są jednakowe lecz przesunięte jeden względem drugiego. Obliczymy moc w przypadku ogólnymdowolnego przesunięcia fazy. Niech I= 10 cos(wt+f3), cp = cp 0 cos(wt+f3+(J.). Wówczas Gdy
i
prąd
zmienny
płynie
napięcie prądu zmieniają się
h(t) = / 0 cp 0 cos(wt+f3)cos(wt+f3+(J.) i
Skorzystamy ze znanego wzoru trygonometrycznego cos (wt+ f3 +(J.) = cos (wt+ /3) cos (J.- sin (wt+ /3) sin (J. Otrzymamy cos(wt+f3)cos(wt+f3+(J.) = cos (J. cos 2 (wt+f3)-sin (J. cos(wt+
+f3)sin(wt+f3). Ponieważ cos 2 (wt+f3) = 1/2, a cos(wt+f3)sin(wt+f3) = l /2 sin (2wt + 2/3) = O, więc l h = 10 cp 0 cos (J.· l = lip cos (J.
W takim razie średnia wartość mocy w ogólnym przypadku, gdy przesunięcie fazowe jest równe (J., jest proporcjonalna do cos (J.. W przypadku oporu: (J. = O, cos (J. = l i wracamy do wzoru (12.2). W przypadku kJndensatora: (J. = -7t/2, cos (J. = O, w przypadku cewki: (J. = 7t/2, cos (J. = O. W takim razie, w obu tych przypadkach średnia moc jest równa zeru. Wynik ten jest zrozumiały z fizycznego punktu widzenia. W k~:mdensatorze i cewce energia elektryczna nie jest zamieniana na ciepło, jest jedynie magazynowana. W obwodzie prądu zmiennego w ciągu jednej części okresu k0ndensator pochłania z obwodu energię elektryczną i magazynuje ją, w ciągu drugiej części okresu kondensator oddaje swoją energię, pracuje na rzecz obwodu. To samo odnosi się i do cewki włączonej w obwód prądu zmiennego. Zwykły transformator, do którego nie włączono żadnego obciążenia, pełni rolę cewki (jeżeli zaniedbać niewielkie straty w przewodach). Przez taki transformator płynie prąd z amplitudą I= cpfLw. Jednak nie pobiera on mocy z sieci ponieważ faza jest równa (J. = 7t/2 i cos (J. = O. Liczniki pobieranej energii elektrycznej są zbudowane tak, że mierzą właśnie ~~ cos (J.. Dlatego transformator włączony do obwodu bez obciążenia praktycznie nic nie dodaje do rachur k..1 za energię ekktryczną, zwiększa jedynie całkowity prąd płynący w przewodach. Jeżeli do sieci włąc;zyć wiele indukcyjności (transformatory, silniki 469
elektryczne bez obciążenia itp.), to całkowity i wówczas straty w przewodn:bch będą jest istotne w przypadku sieci miejskiej. duży
13.
Układ drgający
w obwodzie
prądu
prąd może być zauważalne.
zmiennego. Rezonans
dowolnie To zjawisko
napięć
Rozpatrzmy teraz włączone szeregowo do obwodu prądu zmiennego opornik, ce\\ kę i k":mdensator (rys. 204). Oczywiście w tym układzie prąd płynący przez R, L, C jest taki sam. Zapiszemy go w postaci
= 10 cos (wt+oc) Różnica potencjałów w obwodzie wynosi fP = ({! 1 -({!4 =
(13.1)
I
R~s.
fPR +fPL +fPc·
204
Na podstawie wzorów (11.2)-(11.4) otrzymujemy fP = RI 0 co s (w t+ oc) -L wf 0 sin (w t+ oc) +
=
RI 0 cos (w t+ oc) +I 0
(-~w
~:
sin (rot+ oc) =
-Lw) sin (w t+ oc)
(13.2)
Widać stąd, że różnice potencjałów
na cewce i na kcmdensatorze mają przeciwne znaki, dzięki czemu współczynnik przy sin(wt+oc) jest różnicą dwóch składników. Zapiszmy fP w postaci (13.3)
fP = bcos(wt+oc+P)
Wówczas b jest
amplitudą różnicy potencjałów,
różnicy potencjałów (napięcia).
Aby
wyznaczyć
tzn.
największą wartością
b, przepiszmy (13.3) nastę
pująco
fP Porównując
to
= b cos p cos (rot+oc)- b sin p sin (wt+oc) •
wyrażenie
z (13.2), otrzymamy
b co s p = RI0 , Podnosząc równości
(I 3.4) do kwadratu i b2
470
b sin p = l ó ( Lw-
= R2J2+J2 o o
dodając
(Lw--1-)2 Cw .
C~ ) otrzymujemy
(13.4)
skąd
(13.5) Z wzoru (13.5) widać, ze przy danej tuda napięcia b jest minimalna, gdy
wartości
amplitudy
prądu / 0
·Lw =_l_
(13.6)
Cw
Zapisując
danej jezeli
(13,5) w postaci / 0 =
wartości spełniony
pująco:
w =
ampli-
b
~--,--------
VR2+(Lw-dwr
, widzimy, ze przy
amplitudy napięcia amplituda prądu jest maksymalna, jest warunek (13.6). Warunek (13.6) mozna zapisać nastę-
li~ c . Jest to właśnie częstość własna układu z danymi L C.
Dlatego warunek (13.6) jest warunkiem występowania rezonansu, warunkiem pokrywania się częstości drgań własnych układu z częstością tego prądu zmiennego, który przepuszczamy. Zauwazmy, ze przy rezonansie napięcie w sieci jest równe cp Korzystając
= RI 0 cos (wt+a)
(13.7)
z (13.1), otrzymujemy przy rezonansie (13.8)
cp = RI
Przejdziemy do wartości średnich. Średnie wartości prądu i roznicy pozgodnie z wzorami (12.4) i (12.5). Ze wzoru Cf!L = = Lwl0 sin(wt+a), znajdujemy _ Lw(13.9) Cf!L = Lwi = - - 'f! R
tencjałów określamy
Analogicznie, ze wzoru
Cf!c
Cf!c
= - 1-10 sin(wt+a), otrzymamy
w
C
l
-
~
= Cw I= -CwR
(13.10)
y·łzory (13.7)-(13.10) zachodzą przy rezonansie, tzn. gdy w= ll~c . Podstawiając tę wartość
w do wzorów (13.9) i (13.10) otrzymamy
n, r L
=
_ 'f! c
l,jL_ V C cp
= R
471
Dlatego w przypadku rezonansu napięcie na cewce i na kondensatorze jest tym większe im mniejszy jest opór R, a fPL i 'Pc mogą wielokrotnie przewyższać napięcie źródła prądu zmiennego (/;. Przy szeregowym łączeniu opory dodają się. Ale opory kondensatora i ce\\. lj
0,6
Przecięcie trzech krzywych: fP~> rp 2 , rp 3 , w przybliżeniu w tym samym punkcie, jest przypadkowe.
•>
liśmy
494
Łatwo sprawdzić
formalnie,
podstawiając
z
=
f mp (nx) dx = f lfl (z) dz = f
1f1
nx,
(x) dx = 1.
W takim razie, trzem różnym funkcjom lfi(X) reprezentacje funkcji delta l.
1m n-oo
n 2 (l +n 2 X 2)3/2
Sprawdzimy,
źe
że
odpowiadają
trzy
róźne
(4.2)
'
sposób, który
zaproponowaliśmy
lim ,,_oo
a
poprzednio
2
2 (x2 + a2)3f2
jest zgodny z tymi ogólnymi metodami. W tym celu zapiszmy
n = lfa, otrzymujemy pierwszą reprezentację /5, zgodnie z (4.2). Zatem nie ma jednego prostego wzoru, który opisywałby funkcję /5(x). Oczywiście powiedze~ie, źe /5(0) = oo, nie wystarcza, aby zdefiniować /5; naleźy jeszcze wykazać, źe jest to ta nieskończoność, która jest potrzebna. Jednak /5(x) moźna otrzymać w wyniku przejścia granicznego (n--+ oo) z zupełnie zwyczajnych, dobrze określonych funkcji zmiennej x, w których wielkość pomocnicza n występuje jako parametr. Przy tym naleźy szczególnie podkreślić, że /5 moźna otrzymać w wyniku przejścia granicznego, z róźnych funkcji lfl· Dopóki n jest skończone, funkcje nlfJ(nx) róźnią się między sobą i w szczególności Oznaczając
I
~
f f(x) nlfJ (nx) dx =F f(O)
(4.3)
i tylko w granicy przy n --+ oo, róźne funkcje nlfJ(nx) nicy c5 (x) i odpowiednie całki*> (4.3) dąźą do f(O):
dążą
do jednej gra-
limJ =/(0) •>
Mówiąc ściśle, jeżeli
/(x) -+ oo dla. pewnych
(4.4) wartości
x lub gdy x
-+
oo. (albo
x-+ -oo), to nie każde rp(x) prowadzi do (4.4). Funkcja /(x) nie powinna być niecią gła
lub, przynajmniej punkty nieciągłości nie powinny występować tam (x ~ 0), gdzie = oo, inaczej bowiem powstanie bezsensowne pytanie, jaka jest wartość funkcji w punkcie nieciągłości. ~(x)
495
Dowolność jaka występuje przy wyborze funkcji pierwotnej cp(x), z której otrzymuje się b(x), jest zgodna całkowicie z ogólną ideą. W następnych paragrafach rozpatrzymy przykłady zastosowania 6(x) w fizyce. Opisanie jakiegokolwiek oddziaływania, tzn. jakiejkolwiek funkcji skończonej . 'IJ!(x), za pomocą funkcji delta jest możliwe i celowe wtedy, gdy dokładna postać oddziaływania, tzn. zależności od x, nie jest istotna, a ważna jest tylko całka. Przedstawione wyżej przykłady nie wyczerpują oczywiście wszystkich możliwych funkcji cp(x), dzięki którym można otrzymać funkcję b(x). Można odrzucić symetrię cp(x): przy przejściu do funkcji nrp(nx), ze wzrostem n maleje odległość maksimum od punktu x = O, tzn. nawet niesymetryczne funkcje przybliżają się do b(x).
.
Na
przykład
funkcja
J1t e-'
przechodzi w
1
V~ e- osiąga 2
ona maksimum przy x = Ifn. Można też stosować funkcje rp(x), które nie dają się zapisać w postaci jednego wzoru zapewniającego "gładkość" funkcji rp(x). Można jako rp(x) przyjąć funkcję nieciągłą
1 rp=Tdla-1 t, poniewaź w tym obszarze funkcja podcalkowa jest toźsamościowo równa zeru w wyniku zerowania się wyraźenia x 1 (t, -r). Przypominając sobie wyrazenie (5.1) na x 1(t, -r), otrzymamy t
X
(t) = __!._ m
f x (t--r) F (-r) d-r 1
-oo
Taka metoda otrzymania rozwiązania ma bardzo duże ogólne znaczenie. Podsumowując: jeźeli dla układu liniowego znane jest rozwiązanie odpowiadające działaniu funkcji delta, to rozwiązanie opisujące działanie dowolnej funkcji (F(t) w naszym przykładzie) otrzymuje się w wyniku prostego sumowania lub calkowania. Idee liniowości i sumowania rozwiązań dotyczą nie tylko takich prostych zagadnień jak ruch cząstki, są one słuszne w wielu dziedzinach matematyki, fizyki i w innych naukach przyrodniczych. Bywa i tak, źe układ jest zło zony i nie moźna rozwiązać równania nawet dla prostego działania funkcji delta. Rozwiązanie odpowiadające funkcji delta mozna czasami otrzymać metodą prób. W innych przypadkach takie rozwiązania moźna otrzymać w wynik1:1 rozwaźań fizycznych (por. zadania poniźej); następnie korzysta się z liniowości i otrzy;muje wynik dla dowolnej działającej funkcji. Rozwiązanie odpowiadające funkcji delta (x 1(t, -r) w naszym przykła dzie,) jest szczególnie waźne i nosi specjalną nazwę -funkcji Greena danego zagadnienia. Zabawne, że angielski matematyk Green, na cześć którego nazwana jest ta funkcja, źył w XIX wieku i oczywiście nie znał funkcji delta, ale dopiero wprowadzenie funkcji delta pozwoliło jasno i krótko wyjaśnić rolę funkcji Greena. Takich przypadków jest nie mało w matematyce, np. przed wprowadzeniem pochodnych i całek znanych było sporo wyników dotyczących stycznych, powierzchni i objętości. Rozwój nauki polega nie tylko na osiąganiu coraz to wyźszego poziomu wiedzy, nowych wyników, ale i na popularyzacji i upraszczaniu rezultatów otrzymanych wcześniej. Zadaniem tej ksiąźki, która się właśnie kończy, jest właśnie ułatwienie zrozumienia klasycznej już: wiedzy- podstaw matematyki wyźszej.
503
Ćwiczenia
l. Rozpatrzmy strunę zamocowaną w punktach x = O, x = l, naciągniętą siłą k. wychylenia są małe, wyznaczyć z równoległoboku sił kształt struny pod wpływem jednostkowego obciążenia w punkcie x = x 1 (rys. 229). Znaleźć wyra-
Zakładając, że
Y
F=t
X
Rys. 229 żenie na wychylenie struny pod działaniem siły f(x) rozłożonej wzdłuż struny w dowolny sposób (rys. 230). 2. Znaleźć ruch wahadła pod działaniem siły wyrażającej się za pomocą funkcji
delta, tzn.
rozwiązać równanie m ~;~
=
-kx+b(t-T), przy warunku
początkowym
Y~""'~ D
l
X
Rys. 230
= -
oo,
dx x = O, dt = O.
hadła
pod
działaniem siły
t
Korzystając
dowolnie
z otrzymanego
zmieniającej się
rozwiązania znaleźć
w czasie.
ruch wa-
ZAKOŃCZENIE. Co dalej?
Matematyka wyższa, a dokładniej - rachunek różniczkowy i całkowy pozwala na rozwiązanie wielu zagadnień, których nie można rozwiązać metodami arytmetyki, algebry i geometrii. Ogromne znaczenie ma samo sformułowanie pojęć takich jak: prędkość chwilowa, przyspieszenie, popęd siły. Pojęcia te (oraz wiele innych z różnych dziedzin) można sformułować ściśle tylko wówczas, gdy korzystamy z pochodnych i całek. Wiadomości, które przyswoiliście sobie czytając tę książkę, stanowią tylko mały fragment całej matematyki, są małą częścią tych działów matematyki, które stosuje się w fizyce. Książka została napisana jako podręcznik, tak że przy pewnym wysiłku i dostatecznej koncentracji można w całości, dokładnie zrozumieć wszystko co zostało w niej napisane. Obecnie, mówiąc tu o trudnych problemach, odstąpimy od podręcznikowego stylu. W krótkim zakończeniu nie można wyłożyć całej fizyki matematycznej, można ty)ko spróbować przedstawić ogólne wyobrażenia o celach tej dyscypliny i zainteresować nią czytelnika. Aby lepiej zrozumieć poniższe rozważan.ia spróbujemy w skrócie sformułować ogólne cechy problemów, którymi zajmowaliśmy się w książce. Były to zagadnienia ruchu jednej cząstki - w mechanice, zagadnienia związane ze zmianą w czasie jednej lub dwóch wielkości: współrzędnej i prędkości ciała lub ładunku kondensatora i prądu w obwodzie. Mieliśmy do czynienia z funkcjami jednej zmiennej - czasu; liczba rozpatrywanych funkcji była równa jeden (np. natężenie prądu jako funkcja czasu) lub dwa (np. położenie ciała x(t) i prędkości ciała v(t)). Narzuca się naturalne uogólnienie: dalej należy rozpatrzyć zagadnienie ruchu dwóch ciał, trzech ciał itd. Do tej klasy zagadnień należy problem ruchu gazu lub cieczy. Przecież jeden gram wodoru -to 3 · l 0 23 cząsteczek, 505
tzn. 3 · 10 23 oddzielnych ciał. Staje się oczywiste, że potrzebne są tu nowe metody rozwiązań, bowiem tradycyjnymi metodami nie tylko nie można rozwiązać tych 3 ·10 23 równań, ale nawet na zapisanie ich tylko, nie wystarcza ani czasu, ani papieru. Powstają nowe dyscypliny -hydrodynamiki i dynamika gazów w odróżnieniu od mechaniki punktu materialnego oraz nowe sposoby formuło wania i rozwiązywania zagadnień. Pytać będziemy, ile jest cząsteczek w tej lub innej części rozpatrywanej objętości. Rozwiązanie zagadnienia sprowadza się do określenia gęstości gazu w przestrzeni e(x, y, z), ciśnienia gazu p(x, y, z) oraz prędkości gazu w różnych punktach przestrzeni. Trzeba tu dodać, że wszystkie te wielkości zależą od czasu, na przykład: p(x, y, z, t). Prócz tego prędkość gazu jest wektorem, tzn. w każdym punkcie określona jest jej wartość i kierunek. Innymi słowy można powiedzieć, że dane są trzy składowe wektora. W takim razie od zagadnień dotyczących kilku funkcji jednej zmiennej przechodzi się do funkcji kilku niezależnych zmiennych. Dlatego przy budowaniu równań pojawiają się pochodne po czasie i po
współrzędnych, na przykład:~ i~, ~, ~ . Przypo~inamy, że
ot
a
ox
oy
oz
znak piszemy wówczas, gdy mamy do czynienia z pochodnymi cząstko wymi, tzn. kiedy rozpatrujemy zmiany funkcji przy zmianie jednej ze zmiennych i przy ustalonych pozostałych zmiennych, na przykład
!!. = oy
lim e (x, y +Lly, z, t) -e (x, y, z, t) Lly
L1.v~o
Jeden z ważniejszych działów fizyki matematycznej zajmuje się badaniem równań, w k.tórych występują pochodne cząstkowe tzw. równań różniczkowych cząstkowych. Równania takie opisują ruch cieczy, gazów i ciał stałych, rozchodzenie się ciepła w tych ośrodkach, zjawiska dyfuzji atomów i cząsteczek. We wszystkich tych przypadkach, jak już wspominaliśmy, można w zasadzie rozpatrywać oddzielne cząstki i wiele funkcji jednej zmiennej czasu. Są jednak teorie fizyczne, w pierwszym rzędzie - elektrodynamika, gdzie tak nie jest. Rozpatrzmy dwa S,Poczywające ładunki. Siła działająca między nimi zależy od ich położenia (od odległości między nimi); wydawałoby się, że jest to zagadnienie zależne od sześciu funkcji x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 jednej zmiennej - czasu. Ruch ładunków w pierwszym przybliżeniu niewiele
506
tu zmienia, trzeba tylko wziąć pod uwagę, że powstaje jeszcze oddziały wanie magnetyczne między ładunkami, zależne od ich prędkości. Najważniejszym faktem zmuszającym do zupełnie nowego podejścia do zagadnienia jest to, że występuje Ópóźnienie oddziaływania, jest ono przekazywane z prędkością światła. Działanie jednego ładunku na drugi zależy od położenia (i prędkości) pierwszego ładunku w pewnej chwili poprzedniej. Teoria, w której wszystko to, co stanie się z ładunkami do chwili t+Llt jest całkowicie określone przez podanie stanu w chwili t, jest teorią pola elektromagnetycznego. Teoria ta jednocześnie z oddzielnymi ładunkami rozpatruje pole elektryczne E i pole magnetyczne H, które są dane i zapełniają całą przestrzeń. Wielkości E i H są wektorami i jednocześnie funkcjami współrzędnych i czasu. Z matematycznego punktu widzenia, teoria pola elektromagnetycznego -to teoria równań różniczko wych cząstkowych, podobna do teorii równań sprężystości, akustyki i dynamiki gazów. Różnica polega na tym, że w tych ostatnich przypadkach równania otrzymuje się przez "idealizację": aby nie mówić o poszczególnych cząstkach wprowadza się, np. gęstość gazu. Tylko w tym przybliżo nym sensie gaz można rozpatrywać jako ośrodek ciągły, scharakteryzowany przez funkcję ciągłą e(x, y, z, t). Pole elektryczne okazuje się też być funkcją ciągłą.
Hydrodynamika rozwinięta w XVIII wieku przygotowała podstawy matematyczne dla elektrodynamiki. Nic więc dziwnego, że początkowo próbowano przenieść na grunt elektrodynamiki idee mechaniczne, myślano, że istnieje specjalny ośrodek- eter, taki, że jego ruch jest odpowiedzialny na zjawiska ekktryczne i magnetyczne. Wiemy teraz, że analogia matematyczna pozostała, a sens fizyczny elektrodynamiki jest inny i nie spro· wadza się ona do mechaniki. Mówiąc o teorii matematycznej trzeba powiedzieć nie tylko o sformuło waniu zagadnienia i wyjściowych równaniach, ale i o cechach charakterystycznych wyników. Dla równań różniczkowych cząstkowych można wyróżnić dwa typy rozwiązań. Jeden typ, charakterystyczny dla ograniczonego obszaru, to drgania własne z określoną częstością. Ciało o danym kształcie ma pewien zbiór częstości. Przypomnijmy sobie wahadło; ma ono określoną częstość drgań. Gdy na wahadło działają siły zewnętrzne i jeśli częstość siły zewnętrznej jest bliska częstości drgań wahadła, to zachodzi charakterystyczne zjawisko rezonansu. Zagadnienie to opisuje teoria równań różniczkowych zwyczaj-
507
nych: m
d2x = dt 2
-kx+f(t). Teoria równań różniczkowych cząstkowych
wykazuje, że ciało posiada wiele częstości i zachowuje się tak jak układ wielu wahadeł o różnych częstości~ch, posiada wiele rezonansów. Jeżeli macie w domu fortepian lub pianino to sprawdźcie to. Powoli, bezszelestnie opuśćcie klawisz, aby tylko uwolnić strunę nie uderzając jej młoteczkiem. Teraz uderzcie krótko w inne klawisze i słuchajcie jak odzywa się swobodna struna ... Dla ośrodka wypełniającego całą przestrzeń charakterystyczny jest inny typ rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych - są to rozwią zania opisujące rozchodzące się fale. W szczególności, takimi falami w elektrodynamice są fale radiowe i świetlne, w ośrodkach ciągłych dźwięk. Fale posiadają niezwykłą własność przenoszenia informacji: ciśnienie lub pole elektryczne w jednym punkcie (w pobliżu odbiornika) jako funkcja czasu jest podobne do zależności od czasu tej samej wielkości w źródle - nadajniku. Można znaleźć również rozwiązanie opisujące strumień reflektora lub lasera. Rzuca się w oczy podobieństwo między strumieniem reflektora i strumieniem wody z sikawki strażackiej. Znajomość własności rozwiązań zagadnień różnych typów miało i ma nadal bardzo ważne znaczenie dla rozwoju fizyki. Widma atomów przez długi czas były zagadką ~la fizyków. Zagadką. były nie tyle związki i liczbowe wartości częstości, ile sam fakt, że ten sam atom emituje lub rezonansowo pochłania qrgania o kilku różnych, dobrze określonych częstościach. Podobieństwo do drgań ciał stałych pozwoliło na sformułowanie równań mechaniki kwantowej; podobieństwo między wiązką cząstek i reizwiązaniami dla fal znalazło też swoje zastosowanie w mechanice kwantowej. W zasadzie matematykę można uważać za rodzaj udoskonalonej logiki. Zadziwiające, że po znalezieniu zasad tej logiki i nauczenia się ich, czło wiek wyposażył się w narzędzia silniejsze od zwykłego "zdrowego rozsądku". Człowiek skonstruował rękami proste narzędzia, za pomocą których zbudował urządzenia; za pomocą tych urządzeń konstruuje jeszcze bardziej nowoczesne i złożone mechanizmy, z kolei, za pomocą tych mechanizmów jest zdolny zrobić to, czego nie mógłby nigdy zrobić gołymi rękami. Analogicznie jest z matematyką; rozwijając proste aksjomaty, konstruując coraz bardziej złożone teorie i wprowadzając nowe pojęcia, można zrozumieć i opanować nawet najbardziej niezwykłe zjawiska występujące w przyrodzie.
508
Wyżej
wspomniano tylko o kilku przykładach dotyczących teorii równań typu. Inny niezwykły przykład pochodzi z geometrii. Codzienne doświadczenia uczą nas, że w przestrzeni wygodnie jest wprowadzić trzy współrzędne: x, y, z. Okazuje się, że można też współ rzędne wprowadzić inaczej, mianowicie tak, aby współrzędna ~ = const odpowiadała pewnej powierzchni zakrzywionej (np. x = const, y i z dowolne- jest to równanie płaszczyzny prostopadłej do osi x). Można też wprowadzić współrzędne krzywoliniowe: ~' IJ,' i z trudem, męcząc się, obliczać odległości między punktami i inne wielkości przy pomocy nowych współrzędnych. Na pierwszy rzut oka jest to nudne, nieprzydatne zajęcie. Trzeba mieć specyficzne cechy umysłu, aby umieć dostrzegać piękno w pokonywaniu trudności, w rozwijaniu teorii w dowolnych, najogólniejszych współ rzędnych wyłącznie z zamiłowania. W taki sposób, jak grom z jasnego nieba, pojawiła się ogólna teoria względności (możliwe, że teorie Łobaczewskiego Bolyai i Riemanna przyczyniły się do jej powstania). Uogólnione współrzędne są tak samo wygodne do opisu zwykłej przestrzeni podlegającej prawom geometrii euklidesowej, jak i do opisu przestrzeni zakrzywionej. Współrzędne prostokątne x, y, z są wygodne do opisu przestrzeni euklidesowej, lecz są całko wicie bezużyteczne do opisu przestrzeni zakrzywionej; współrzędne x, y, z nie dają nawet podstaw, aby przypuszczać, że mogą istnieć Jakieś inne przestrzenie. Zajęcie się współrzędnymi krzywoliniowymi, co wyglądało na niepotrzebne utrudnienie, przygotowuje nas do badania takich przestrzeni, o istnieniu których nic nie wiedzieliśmy. Okazuje się, że siła powszechnego ciążenia jest związana właśnie z tym, że przestrzeń jest nieco zakrzywiona. To "nieco" dotyczy warunków tu na Ziemi, w układzie słonecznym. Dla zjawisk zachodzących we wszechświecie (np. wybuchy gwiazd, czy ewolucja wszechświata) przestrzeń może być silnie zakrzywiona. Przy badaniu przyrody, pokonywanie trudności ;matematycznych, fizyczna intuicja, śmia łość przy przeprowadzaniu doświadczeń i obserwacji -wszystko to jest nieodzowne, aby posuwać się do przodu. Mówi się czasem, że "matematyka -to młyn, który miele tylko to co zostało do niego włożone". Tak uzasadnia się złe wyniki stosowania matematyki do nieprawdziwych wyjściowych założeń. W rzeczywistości "młyn'• określonego
509
ten
często
daje
więcej niż
do niego
włożono,
daje to czego nie spodziewa-
liśmy się!
Teraz, na końcu tego wykładu można by znowu napisać rozdział pod tytułem "A co jeszcze dalej". Nie należy się jednak tym przejmować, ponieważ tutaj bliska jest już granica, ża którą posunięcie się naprzód oznacza już nie tylko uczenie się, ale i tworzenie lub rozwijanie nowych teorii. Starałem się wyobrazić sobie mojego czytelnika, który za kilka minut z westchnieniem ulgi zamknie tę książkę. Zapewne większość z Was to licealiści lub początkujący studenci. Niech matematyka pozostanie dla Was na zawsze ścisłym i pięknym językiem, zdolnym do wyrażania myśli i sposobów myślenia; niech będzie nie tylko przedmiotem, który trzeba tylko "zaliczyć". Matematykę, trzeba polubić, a uczucie to będzie odwzajemnione, matematyka na pewno pomoże Wam w wielu sytuacjach.
ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA DO ĆWICZEŃ
Rozdział
I
Paragraf 3 l. a) z= t 2 Llz = '
Llz =(t+ Wyniki
..4!..) 2
3
-
(t+ ..4!..) 2 (t- ..4!..) 2
pokrywają się
2
3
..4!..) 2
2
-
(t-
=
3t 2 Lit+ (Lit) 3 • Llz 4 ' Lit
=
2tLit· Llz ' Lit =
2t .!!!__ ' dt
=
2t· b) z= '
=
3t 2 + (Lit) 2 .!!:!_ 4 ' dt
z obliczeniami zamieszczonymi w par. 3.
=
t3
'
3t 2 •
Proszę zwrócić uwagę
na fakt, że w przypadku z= t 2 stosunek Llz nie zależy od Lit, a w przypadku z Lit
=
t3
stosunek Llz zawiera tylko (Lit) 2 • Lit 2 2b 2. a) y'= 4x\ b) y'= 2x+2, c) y'=- - , d ) y'=- - , e) y' = x3
X3
1 ----=-· 2yx
Paragraf 4 l. Znajdźmy (1,2) 2 • Rozpatrujemy funkcję z= t 2 ; niech t= 1, a Lit= 0,2, z'= 2t, z'(l) = 2; a więc Llz = 2· 0,2 = 0,4, (1,2) 2 = P+0,4 = 1,4; dokładnie (1,2) 2 = 1,44. "Błąd stanowi tu 3%. (1,1) 2 = 1,2; dokładna wartość wynosi 1,21. Błąd w tym przypadku stanowi 1%. (1,05) 2 = 1,1; wartość dokładna 1,1025. Błąd stanowi 0,2%. (1,01) 2 = 1,02; wartość dokładna 1,0201. Błąd stanowi 0,01%. 2. Por. poniższą tablicę
t
1,1 1,05 0,98
l
Błąd Zp
18,0 17,5 16,8
l
Z4
17,5 17,4875 16,798
l
w
w%
przybliżeniu
0,3 0,07 0,01 l
511
Paragraf 5 1. Por. rys. 231. 2. Por. rys. 232. 3. Por. rys. 233. 4. Por. rys. 234. 5. Por. rys. 235.
6. y
=
!
x-
do krzywej y
=
~
, (
+, o) , (O, -
~)
;y
=
3x-2, (
~
,
O) , (0, -2). 7. Styczna
ax 2 w punkcie.(x 0 , y 0 ) przecina osie współrzędnych w punktach( ~o
Y 5
-3
Rys. 231
Rys. 232
Rys. 234
Rys. 233
Rys. 235
512
,O)
i (0, -y0 ) (patrz str. 32). Równanie stycznej do krzywej y = ax 3 w punkcie (x0 , y 0 ) ma postać y = 3ax~x-2Yo· Punktami przecięcia stycznej z osiami współrzędnych
są: ( ~
xo,
O) , (0, -
2yo).
Paragraf 6
l. x =O, minimum, gdy a> O; maksimum, gdy a< O. 2. x = -l maksimum, x = l minimum. 3. x = - y'a (a > O) maksimum, x = y'a (a > O) minimum. Gdy a < O, to nie występuje ani maksimum, ani minimum. 4. x = 3 maksimum,
J
x =
p, .
1_ . 5. a> O, x =O minimum; a= O, x =O minimum; a
0,5F0 • 4 2
(2..
R) = _! Fo. _!_ Fo+ 2 7. F ( R+ 2R) = F 2 2 9 6 3 = 0,505F0 • Błąd wynosi 1%. Rozdział
· _! Fo+ _!_ • _!_ F 9
6
4
0
=
109 F0 = 216
II
Paragraf 3 l. =
Otwierając nawiasy otrzymamy z= a 2 x 2 +2abx+b 2 ,. stąd z= 2a 2 x+2ab = 2a(ax+b). Obliczymy teraz tę samą pochodną na podstawie reguły znajdowania
pochodnej funkcji złożonej: z= y2, y = ax+b, _E!_= dz dy = 2ya = 2a(ax+b). dx dy dx 2. z'= -
a (ax+b) 2
z''
-
-
2a z' (ax+bP ' =
l (x+l) ·
Paragraf 5 l. a) y'= 5x4 -12x 3+3x 2 +14x-2, b) y'= Z(x 3+x+l) (3x 2 +1), c) y'= 4(x 2 1 -x+l)3(2x-1), d)y'= 10(3x2 -1) 9 6x, e)y'= ,/)Wygodniejestzapisaćy vx2-1 . w postaci potęgi ułamkowej y = x 2 ' 5 , następnie ze wzoru na pochodną potęgi znajdujemy y' =
2
5
x- 3 15 • 2. a) Jeśli x zmienia się o 1%, to Lly = n· 0,01y, dlatego przy
zmianie x o k% otrzymamy Lly = n· 0,01· y· k. W naszym przypadku x zmienia
się
o lO%, Lly = n· 0,1y. Ponieważ n = l.., więc Lly =l..· 0,1y = 0,05y; dlatego
2
2
y(ll) = y(10)+0,05· 5 = 5,25, y(9) = y(l0)-0,05· 5 = 4,75. Znajdziemy
dokładne
wiązanie. Oznaczmy współczynnik proporcjonalności przez k, wówczas y Ponieważ dla x = 10 powinniśmy mieć y = 5,
=
k
roz-
y'.X
więc 5 = k y'IO, skąd k = 1,58
(obliczenia są wykonywane z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku). Dlatego y = 1,58 y'X, y(ll) = 1,58 y'iT = 5,24, y(9) = 4,74. b) Wartości przybliżo~~: y(ll) = 4,50, y(9) = 5,50; wartości dokładne: y(ll) = 4,54, y(9) = 5,56.~ c) Wartości przybliżone: y(ll) = 6,00, y(9) = 4,00; wartości dokładne: y(ll) = 6,0S, y(9) = 4,05. Paragraf 6 l. y'= 3x 2 (x 2 -l) 2 +x 3·2(x 2 -1)2x
aa•
= x 2 (x 2 -1)(7x 2 -3). 515
7.
y'=
10. y'
x2+1 (x2-l}2
9
= -12x+5 yx3+2+
3(3x-l) 2x 3 yx 3+2 2x+l
x6 x
l 12. y' = --,---=---
yx+1
13. y' =
,_ . Y-
11.
x2+2x+5 (x+l)2
y'=- ____l--:---.,(x2-l) yx 2 -1
3 y(x+l) 4
3 y(x+1)4
4x+3 vx ----'7-====::::::::::-
4Vx2+xJ!x 14.y'=Vx2+yx + 6x 2+Vx = 7x 2+2j/x6V x2+Vx 6 x2+yx .
v'
15. y' = (Sx-3 3 ) yftX2 (l +x2)3 17.y'= 3x 2
18.y, = 20. y'
=
22. y'
=
23.
yx-=l+
16.
4 3 y(2x+3)
x 3 -l
2yx-1 2 -2x -x+9 3 --·
3(x-l) 3j/2x- 3 4x 3 -10x 2-22x-11 3(x-2) 2y(x+l) 2
r
! Vc 2:~~1 z:::)~.
y'= yx2:._1 Vx+vx+
Y x2 X
516
y'= }/(2x+3)2+x
2-1
Yx+vx+ (1+2~i)xy'XCI_ 6 y':Xy(x+v x) 2
24. y
l
l )=7-1 ( x+ yx
6
17 (
) l l-Zyx 3
X
2
l ) lf7 . +2x ( x+ yx
1_ _ 2 __ 25. y'=
3}!X2
l - -3-.
vx+T
l-6y.X2--4xfxiŁx-2x (x_;-;)Vx+l· = 3(x+l)fx 2 (x+l)
Paragraf 7 l. y'= 2,3·ll;_l_.
2
4. y' = _ 2.3 lg 2 (
~
3. y' = 2,3 Jg 5· 5X+l.
2. y' = 2,3 lg 2· 2•.
v'x
r
Paragraf 8
4.
y'=
_1_/;. 2
vx-
5. y'=5e•-3e 3 •.
Paragraf 9
Różniczkując obie strony otrzy-
l. 2,3026; 4,6052. 2. Jogsl5 = Jg 15 = 1,6825. 3. Jg 5
(uv)' mujemy-- = taki sam wynik
u'
v'
U
V
-+-;stąd
UV
5. a) y' =
(uv)'= u'v+uv'.
- 1- (2x)' = x 2x
można otrzymać następująco:
y =In 2x =In 2+In
x;
b) y'= _ l - .
l . ' =c) Y
y' =(In 2)' +(Inx)' =
_!_. X
x+3 f) y' =
d)y'=~-.
-(x+ l~x-1)
2 x2 -l
e) y' = ---,6=-x_-_l---,--
3x2-x+l
x 2 +1
X
g) y' =
h) y'= lnx+l. i) y!= 3x 2 ln(x+l)+
1-x 2x(x+l)
---,---::.,-.:.:._
~. x+l
j) Aby obliczyć pochodną, zlogarytmujemy obie strony równości (podstawa logarytmów może być dowolna, my weźmiemy Jogarytmy naturalne) In y = x In x. Teraz z kolei obliczamy pochodne obu stron tej równości, uwzględniając fakt, że y jest
funkcją zmiennej x, czyli In y jest funkcją złożoną: _!_ y' = In x +l. A więc mamy
Y y' = y(ln x+ 1), lub ostatecznie y' = x•(Jn x+ 1). W taki sam sposób następny przykład.
k) y' =
2 -InX + y'x 2-l x Yx - ! (X x 2 -1
x
rozwiązujemy
) .
517
Paragraf 10
l. y'= 2cos(2x+3). 4. y'=2sinxcosx.
3. y'= -(2x-l)sin(x 2-x+l)
2. y'= -sin(x-1).
S.y'= 3cos3xcos x-2cosxsinxsin3x. 2
6. y' = (sin 2x)x [In sin 2x+ 2x .cos 2x] (por. sm2x
rozwiązanie przykładu
1.y'= tg x+ ~. . cos x
9.
2S.y' = - -
cos 22x
e'• 2 x.
5j z par. 9).
y'= _l_. __l _ 2 sin2 ~ 2
Paragraf 11
l. a) y'= - --,--yl-x2 ' 3. a) y' =
2 ---,--yl-4x2
b) y'=
b) y'= _.,---::3_ _ 9x 2+6x+2 ' d) y' =
l
e
arc
tgf;
2yx(l+x) Paragraf 12 l. -1; l.
2. -1.
Paragraf 15
l. Aby
wykonać całkowanie
f x(x-l) 2dx =f x(x 2-2x+l)dx =f (x 3 -2x 2+x)dx = 2. Zapisujemy
całkę
otwieramy nawiasy; znajdujemy 4
~
-
~
funkcję podcałkową w następującej postaci: x 2+ 2x- 3
wielomianu:
x3 + =
~
x 2+C.
x+2-1...
X
X
Terazjużłatwo można wykonać całkowanie: f x 2+ 2x- 3 dx = ~+2x-3ln x+C. 2
X
3. Dokonujemy zmiany zmiennych: 3x-5 = t, dt
= 3dx;
f cos(3x-5)dx =l_ f cost dt =l_ sin t+ C= l_ sin(3x-5)+ C. 3 . 3 3
4. -
~. cos(2x+l)+C.
6. cos x+x sin x+ C. 7. x (In x-1)+ C. Ćwiczenia 8-11 można rozwiązywać wykonując całkowanie przez części, wygodniej jednak będzie zastosować metodę współczynników nieoznaczonych. 8,_!_ x sin 2xx 2cos 2x+ C. •
2
(_!_2
_!_) 4
9. ( -x -3x 2-6x-6)e-x+ C. 10. (2x+l) cos x+(x 2+x-l) sin x+ C. 11. f