150 105 12MB
Polish Pages 269 Year 1973
W O J C IE C H
ŻAKOW SKI
Matematyka Część I W y d a n ie p ią te
WYDAWNICTWA
NAUKOWO-TECHNICZNE#
WARSZAWA
1973
K O M IT E T R E D A K C Y JN Y J. DRESZER. A. GÓRSKI (sekrelar?). K GRABOWSKI. Z. GRZEJSZCZAK. C. KULESZA. J. LENKOWSKI. S. OKONIEW SKI, J OSIOWSKI, B. PASZKOWSKI. S. PASZKOWSKI, S. SŁAWIŃSKI (przewodniczący), M. SUSKI, A. WIERZBICKI, T. ZAGAJEWSKI. Z. ŻYSZKOWSKI
OD KOMITETU REDAKCYJNEGO Niniejsza seria „Podręczniki Akademickie * Elektroniku‘4 opracowana przy ścisłej współpracy profesorów z po litechnik Gdańskiej, Warszawskiej i Wrocławskiej jest dostosowana do potrzeb wydziałów elektroniki tych po litechnik. Książki tej serii obejmują wykłady prowadzone na pierwszych latach studiów, wspólne dla wszystkich spe cjalności. Komitet Redakcyjny ma nadzieję, że książki tej serii zaspokoją potrzeby studentów wydziałów elektroniki, a także, że niektóre z nich będą również użyteczne dla studentów innych kierunków oraz dla osób, które ukoń czyły studia według dawnych programów, w których nie wszystkie obecnie wykładane przedmioty były reprezen towane.
Rtdaktor naukowy WNT m g r M A Ł G O R Z A T A R A J W A C k A- J ACH> Mt . K R e d a k t o r technic zny
ELŻBI E TA G O S T A R Z Okl ail ky . o bw o lu tę i s tro nę tytu ło wy p ro je kt ow a !
Art plastyk T A M A S/. P I L T R / A k
517.2
Książka zawiera — oprócz wiadomości wstępnych z. lo giki matematycznej i nauki o zbiorach— rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej. Mate riał teoretyczny jest ilustrowany licznymi przykładami i rysunkami. Ze względu na przeznaczenie książki, w przykładach podanych w tekście nawiązuje się do zagadnień elektrotechniki. Zamieszczono też wiele za dań (z odpowiedziami) do samodzielnego rozwiązania. Książka jest podręcznikiem dla studentów wydziałów elektroniki wyższych szkół technicznych. Mogą z niego również korzystać studenci i inżynierowie innych spe cjalności.
WSZELKIE PRAWA ZASTRZEŻONE
Printed in Poland Wydanie l WNT — Wydanie II W N T — Wydanie III W N T — Wydanie IV W N T —
1968r. I969r 1970 r. 1972 r.
Spis treści
P rz e d m o w a ......................................................................................................................................
7
Rozdział I. Wiadomości w s tę p n e .............................................................................................. Wprowadzenie do m a te m a ty k i....................................................................... Rola matematyki w naukach fizycznych....................................................... Zdania i funktory .......................................................................................... Rachunek z d a ń .................................................................................................. Algebra Boole'a .............................................................................................. Formy zdaniowe i kw antyfikatory................................................................... D e fin ic je .............................................................................................................. Z b io r y .................................................................................................................. Zbiór liczb rzeczywistych ............................................................................... Funkcje jednej z m ie n n e j..................................................................................
9 9 12 14 19 22 26 30 32 37 48
Rozdział II. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zm iennej...................................................
67
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Granica c ią g u ...................................................................................................... Twierdzenia o c ią g a c h ....................................................................................... Granica fu n k c ji.................................................................................................. Ciągłość fu n k cji.................................................................................................. Właściwości funkcji c ią g ły c h ........................................................................... Pochodna f u n k c ji.............................................................................................. Różniczka fu n k c ji.............................................................................................. Obliczanie pochodnych .................................................................................. Pochodne i różniczki wyższych r z ę d ó w ....................................................... Twierdzenie R o l l e 'a ........................................................................................... Twierdzenie de l'Hos p ita la ............................................................................... Twierdzenie o p rz y ro sta c h ............................................................................... Ekstremum f u n k c j i .......................................................................................... Funkcje hiperboliczne i odwrotne do n i c h ................................................... Twierdzenie i wzór T a y l o r a ........................................................................... Drugi warunek wystarczający e k s tr e m u m ................................................... Wklęsłość i wypukłość krzywej. Punkt przegięcia....................................... Asy m p to ty .......................................................................................................... Badanie fu n k c ji.......................................................................................... Wzór M ac la u rin a ..............................................................................................
Rozdział III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 1. 2. 3. 4.
67 70 78 95 100 106 111 114 124 127 129 134 137 145 150 i 52 >56 *59 1^5 174
.......................................................
181
Funkcja pierwotna ........................................................................................... Całka nieoznaczona. Wzory podstawowe ................................................... Całkowanie przez c z ę ś c i........................... ....................................................... Całkowanie przez podstaw ienie.......................................................................
181 188 192 194
Sp is
6
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
treści
Całkowanie funkcji wymiernych ............................................................... .... Określenie całki oznaczonej ................................................... Interpretacje całki o z n a c z o n e j............................................... ....................... ....................................................................... Właściwości całki oznaczonej Twierdzenia podstawowe rachunku c a łk o w e g o ........................................... Przekształcanie całek oznaczonych ............................................................... Zastosowania geometryczne całki oznaczonej................................................ Przybliżone metody całkow ania....................................................................... Całka S tie ltje sa ...................................................................................................
202 205 213 219 226 236 241 248 255
L ite ra tu ra ..........................................................................................................................................
263
Skorowidz rzeczowy
265
.......................................................................................................................
PRZEDMOW A
Książka ta stanowi pierwszą część podręcznika matematyki dla studentów wydziałów elektroniki. Zawiera ona wstępne wiadomości z zakresu logiki, elementy nauki o zbiorach i funkcjach oraz zarys rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej. Zarówno pod względem treści ja k i pod względem formy, podręcznik ten odbiega nieco od do tychczasowego wykładu matematyki na politechnikach. W szczególności zwrócono większą niż zazwy czaj uwagę na wiadomości z podstaw matematyki. Wiadomości te bowiem, ze względu na ich ogólny charakter, można wykorzystać nie tylko w matematyce, lecz także w wielu innych dziedzinach nauki. Zapoznanie się z elementami logiki usystematyzuje i utrwali stosowaną w praktyce logikę intuicyjną, na której zwykle jest oparte wnioskowanie (to znaczy wyprowadzanie wniosków z przesłanek) cha rakterystyczne dla wszelkich nauk dedukcyjnych. Symbolika logiczna ułatwia ponadto definiowanie nowych pojęć i zapisywanie twierdzeń, gdyż język potoczny nie zawsze nadaje się do dostatecznie precyzyjnego, a jednocześnie zwięzłego, wyrażania myśli. Ponieważ podręcznik ten ma służyć kształceniu przyszłych magistrów inżynierów, położono duży nacisk na interpretacje geometryczne i fizyczne wprowadzonych pojęć. Interpretacje takie ułatwiąją bowiem przyswajanie sobie nowych wiadomości, zwłaszcza przez tych, dla których matematyka jest środkiem, a nie celem. Ostatecznym świadectwem tego, czy przerabiany materiał został należycie zrozumiany i czy student potrafi korzystać z nabytej wiedzy w praktyce, jest niewątpłiwie biegłość w rozwiązywaniu zadań. Z tego względu podręcznik zawiera nie tylko teorię, lecz także wiele rozwią zanych w tekście przykładów. Po każdym paragrafie umieszczono ponadto tematy ćwiczeń, a mianowicie pytania kontrolne z teorii i zadania — które student powinien rozwiązać. Wydaje się, że dzięki temu podręcznik ten okaże się pomocny do osiągnięcia dwóch zasadniczych celów, którym służy matematyka na wyższej uczelni technicznej. Pierwszym z nich jest umiejętność ścisłego formułowania myśłi i poprawnego wnioskowania, drugim zaś — znajomość metod matema tycznych przydatnych w naukach technicznych i nabycie wprawy w przeprowadzaniu różnego rodzaju rachunków. Znajomość literatury studiowanego przedmiotu i umiejętność korzystania z książek stanowi swoisty, łecz bardzo ważny rodzaj wiedzy. Z tego względu nie można więc poprzestać na jednym tylko podręczniku, gdyż doprowadza to do nie wskazanego spłycenia studiów. Dlatego na końcu tomu jest podany spis zalecanej literatury, obejmujący książki popularno-naukowe, zbiory zadań i podręczniki akademickie. Czytelnik rozpoczynający studia wyższe powinien zdawać sobie sprawę z tego, że poznanie ma tematyki nie przychodzi łatwo, wymaga systematyczności i wytrwałości. W żadnym przypadku nie należy zniechęcać się chwilowym niepowodzeniem, które towarzyszy niekiedy przyswajaniu sobie nowego, trudnego i obszernego materiału, lecz należy systematycznie i wytrwale pracować. Do zro zumienia treści tego podręcznika niezbędna jest jednak dobra znajomość matematyki w zakresie pro gramu szkoły średniej. Poczuwam się do obowiązku podziękowania Komitetowi Redakcyjnemu Podręczników dla wy działów elektroniki, w szczególności profesorowi Andrzejowi Górskiemu, profesorowi Jerzemu Osiow skiemu i profesorowi Stanisławowi Sławińskiemu, za powierzenie mi autorstwa tego tomu podręcznika matematyki.
8
Przedm ow a
Pragnę także wyrazić podziękowanie profesorowi Wacławowi Pawelskiemu z Politechniki Odańskiej oraz profesorowi Zbigniewowi Zieleźnemu z Instytutu Matematyki P A S za liczne, cenne dla mnie uwagi i rady, które ułatwiły mi ostateczne opracowanie tekstu. Odilzielne słowo podziękowania należą się Kolegom moim z Katedry Matematyki Politechniki Warszawskiej, a mianowicie ma gistrowi Grzegorzowi Decewiczowi i magistrowi Julianowi Kwasowi, którzy po zapoznaniu się z rę kopisem przedstawili swoje spostrzeżenia i sprawdzili odpowiedzi do zadań. Warszawa, maj 1966
AUTOR
Drugie wydanie tego podręcznika zawiera znaczną ilość zmian i uzupełnień, które zdecydowałem się wprowadzić, chcąc udoskonalić i uprościć wykład, oraz dostosować się do używanych obecnie oznaczeń. Dużą pomoc okazałi mi przy tym Koledzy z Katedry Matematyki na Wydziale Ele ktroniki Politechniki Warszawskiej: magister Anna Żakowska, docent Wacław Leksiński, doktor Ireneusz Nabiałek, magister Kazimierz Banach oraz magister Andrzej Janicki-Rola. Przekazali mi Oni wiele wnikliwych uwag, oraz wykryli niektóre pomyłki. Na nowej wersji części tekstów zaważyły także bez wątpienia moje doświadczenia zebrane w ostatnich łatach podczas prowadzenia wykładów w Politechnice Telewizyjnej. Warszawa, wrzesień 1968
AUTOR
Czwarte wydanie tego podręcznika różni się znacznie od wydań poprzednich, gdyż uwzględnia zmiany w programie matematyki na wydziałach elektroniki, wprowadzone na skutek zmian w progra mach szkól średnich. W związku z tym napisano od nowa, skrócono lub usunięto wiele partii materiału. Dotyczy to w szczególności rozdziału pierwszego. Do zrozumienia treści tego podręcznika konieczna jest w związku z tym dobra znajomość matematyki w zakresie nowego programu liceum ogólnokształ cącego. Wszystkie niezbędne wiadomości z tego zakresu można znaleźć np. w książce R. Leitnera i W. Żakowskiego: ,.Matematyka, kurs przygotowawczy na wyższe uczelnie techniczne", wydanej przez WNT. Warszawa, lipiec 1971
AUTOR
I
WIADOMOŚCI WSTĘPNE
1. WPROWADZENIE DO MATEMATYKI Przedmiotem matematyki jest badanie właściwości pewnych pojęć abstrak cyjnych. Wiele takich pojęć, np. punkt, prosta, odcinek, liczba, kształtowało się w świadomości człowieka na skutek obserwacji form przestrzennych i stosunków ilościowych występujących w przyrodzie. Droga prowadząca od codziennych ob serwacji i doświadczeń do najprostszych nawet pojęć abstrakcyjnych, np. do pojęcia liczby naturalnej, była długotrwała i trudna, gdyż wymagała śmiałego i niespodzie wanego oderwania myśli od konkretnych przedmiotów. Filozof angielski A dam S mith (1723-1790) dał temu wyraz pisząc: „Terminy liczbowe wyrażają jedną z najbardziej abstrakcyjnych idei, jakie umysł ludzki jest zdolny stworzyć” . Przez długi okres czasu matematykę cechowało nieuporządkowane nagroma dzenie pojęć abstrakcyjnych oraz ich właściwości (twierdzeń), związanych z licze niem, mierzeniem i kształtowaniem form przestrzennych. W ten sposób powstawały zalążki arytmetyki i geometrii. Matematyka była w tym okresie nauką na wpół doświadczalną, na wpół abstrakcyjną. Wysoki poziom kultury myślenia, jaki charakteryzował uczonych starożytnej Grecji, oraz nagromadzenie wielu pojęć i twierdzeń z zakresu geometrii stworzyły sprzyjające okoliczności do nadania tej właśnie nauce postaci konsekwentnie zbudo wanego s y s t e m u w n i o s k ó w z z a s a d p i e r w o t n y c h . Pierwszy taki system zbudował Euklides (IV w. p.n.e.) w słynnym swym dziele Elementy. System ten, zwany geometrią euklidesową, przetrwał z niewielkimi zmianami do naszych czasów i znany jest Czytelnikowi z nauki w szkole. Euklides, stawiając sobie za zadanie uporządkowanie geometrii, zauważył, że nie można w konsekwentnie budowanym systemie określić wszystkich pojęć (terminów geometrycznych) oraz nie można udowodnić wszystkich twierdzeń. Z tego względu wyodrębnił on tzw. pojęcia pierwotne — których nie określał, oraz tzw. pewniki — czyli twierdzenia, które przyjął bez dowodu. Każde inne pojęcie jest w geometrii euklidesowej określone, czyli zdefiniowane za pomocą pojęć pier wotnych (bezpośrednio, bądź też pośrednio- poprzez pojęcia już określone). Każde twierdzenie, nie będące pewnikiem, jest udowodnione, przy czym w dowodzie można powoływać się wyłącznie na pewniki i twierdzenia udowodnione poprzednio. System geometrii zbudowany przez. Euklidesa był pierwszą a k s j o m a t y c z n ą t e o r i ą d e d u k c y j n ą. Aksjomatand teorii nazywamy twierdzenia
10
I. W
ia d o m o ś c i w s t ę p n e
przyjęte w niej bez dowodu. Teoria jest d ed u kcyjn a , jeżeli jej rozwój odbywa się na skutek rozumowania zwanego dowodzeniem lub wyprowadzeniem (deductio znaczy po łacinie wyprowadzenie). Aczkolwiek matematyka jest z samej istoty rzeczy nauką dedukcyjną, jednak dopiero w teorii aksjomatycznej wiadomo dokładnie co trzeba, a czego nie trzeba dowodzić. Do chwili obecnej wielu dyscyplinom matematycznym nadano postać teorii aksjomatycznych. W szczególności około roku 1890 matematyk i logik włoski G iuseppe Peano (1858-1932) zbudował taką teorię dla arytmetyki liczb natural nych, natomiast współczesny logik polski A lfred T arski (ur. 1902) zbudował teorię aksjomatyczną dla arytmetyki liczb rzeczywistych. Ogólnie rzecz biorąc, teoria aksjomatyczna charakteryzuje się tym, że spośród jej pojęć są wyodrębnione pojęcia pierwotne, których nie określamy, spośród zaś jej twierdzeń są wyodrębnione aksjomaty, których nie dowodzimy. Rozwój teorii aksjomatycznej odbywa się na drodze dedukcji, która prowadzi do nowych twier dzeń. Zarówno wszystkie pojęcia pierwotne jak i wszystkie aksjomaty, stanowiące tzw. aksjomatykę, są w teorii aksjomatycznej wyraźnie wymienione. W aksjomatyce teorii występują wszystkie pojęcia pierwotne. Aksjomaty opisują podstawowe właś ciwości tych pojęć. Zauważmy, że aksjomatyzując pewną dyscyplinę matematyczną, tzn. nadając jej postać teorii aksjomatycznej, można to zrobić w różny sposób, przyjmując rozmaicie układ pojęć pierwotnych i aksjomatów. W ten sposób pojęcie przyjęte za pierwotne w jednym ujęciu teorii może nie być pierwotnym w innym ujęciu, a więc wymaga określenia. Podobnie twierdzenie przyjęte za aksjomat w jednym ujęciu teorii może nie być aksjomatem, lecz twierdzeniem wymagającym dowodu, gdy przyjmiemy inną aksjomatykę. W tym sensie można mówić o różnych teoriach aksjomatycznych jednej dyscypliny matematycznej. Analiza systemu Euklidesa, będącego prawzorem teorii aksjomatycznej, od słoniła przed matematyką nowe horyzonty. Szczególnie ważną rolę odegrał słynny V pewnik Euklidesa: W płaszczyźnie wyznaczonej przez prostą 1 i nie leżący na niej punkt A istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez A i nie przecinająca /. Usuwając ten pewnik z aksjomatyki Euklidesa otrzymujemy teorię zwaną geometrią absolutną. Okazało się, że V pewnik Euklidesa nie jest twierdzeniem tej geometrii, tzn. że nie można go wyprowadzić z aksjomatyki geometrii absolutnej. Oczywiście, każde twierdzenie geometrii absolutnej jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, ale nie na odwrót. Uzupełniając aksjomatykę geometrii absolutnej jakimś nowym pewnikiem, o treści sprzecznej z V pewnikiem Euklidesa, otrzymujemy jedną z tzw. geometrii nieeuk Iideso)»ych.
1. W
p r o w a d z e n ie
do
m atem atyki
li
Na przykład, uzupełniając aksjomatykę geometrii absolutnej tzw. p e w n i kiem Łobac zews k i e g o : W płaszczyźnie wyznaczonej przez prostą l i nie łetący na niej punkt A istnieją co najmniej dwie proste przechodzące przez A i nie przecinające ł otrzymujemy jedną z geometrii nieeuklidesowych, opracowaną przez matematyka rosyjskiego M ikołaja Łobaczewskiego (1793-1856) i niezależnie od niego — przez matematyka węgierskiego Janosa Rolyai’a (1802-1867). Do chwili obecnej powstało jeszcze wiele innych geometrii nieeuklidesowych, a jedna z nich, zbudo wana przez matematyka austriackiego Bernharda Riemanna (1826-1866), stano wiła formalną podstawę teorii względności A lberta Einsteina (1879-1955). Przyk ład geometrii świadczy o tym, że można budować takie nowe i ważne praktycznie aksjomatyczne teorie matematyczne, które są „niedostrzegalne” z intuicyjnego punktu widzenia. Nieodparcie przychodzą tu na myśl słowa Einsteina: „Jak to się stało, że matematyka, produkt myśli ludzkiej niezależny od doświadczenia, tak wspaniale pasuje do świata realnego?” Na początku XX w. rozwinęły się tzw. badania metamatematyczne, dotyczące właściwości całych teorii aksjomatycznych. Jest rzeczą zrozumiałą, że aby mówić o całej teorii, rozumiejąc przez to zbiór wszystkich jej aksjomatów i wypływających z nich wniosków (twierdzeń), trzeba uprzednio wyraźnie wymienić środki logiczne, jakimi posługujemy się w dowodach, czyli podać reguły wnioskowania. Teoria aksjomatyczna, dla której reguły wnioskowania zostały wyraźnie sprecyzowane, nazywa się teorią sformalizowaną. Taka teoria jest najdoskonalszą postacią teorii matematycznej. W obrębie teorii sformalizowanej można dowodzić twierdzeń za pomocą maszyn. Subiektywny czynnik intuicji jest tu ostatecznie wyeliminowany. Dwiema ważnymi właściwościami odnoszącymi się do sformalizowanych teorii aksjomatycznych są: niesprzeczność i zupełność. Teoria jest niesprzeczna, jeżeli nie ma w niej takich dwóch twierdzeń, z których jedno jest zaprzeczeniem drugiego. Teoria jest natomiast zupełna, jeżeli każde wyrażone w jej terminach zdanie orzeka ją c e — lub zaprzeczenie tego zdania— jest twierdzeniem, inaczej mówiąc, jeżeli co najmniej jedno z tych zdań jest aksjomatem albo wnioskiem z aksjomatów roz ważanej teorii, czyli gdy jest w jej ramach „osiągalne” . Badania nad niesprzecznością i zupełnością teorii sformalizowanych doprowa dziły do ważnych, interesujących wniosków. Nawet dla tak podstawowej teorii, jaką jest arytmetyka liczb naturalnych, nie można podać dowodu niesprzeczności, w którym nie korzysta się z niesprzeczności innej teorii. Podobnie przedstawia się sprawa z geometrią euklidesową. Jeżeli jednak przyjmiemy na przykład bez za strzeżeń — jak się to zwykle czyni — niesprzeczność arytmetyki liczb rzeczywistych, to potrafimy już udowodnić niesprzeczność geometrii euklidesowej i na odwrót. Są to tzw. wzgłędne dowody niesprzeczności. Większość teorii matematycznych stanowią teorie niezupełne. Taką jest na przykład arytmetyka liczb naturalnych. Współczesny matematyk i logik austriacki
12
I. W
ia d o m o śc i w s t ę p n f .
Kurt Godeł (ur. 1906) wykazał, że każda niesprzeczna teoria zawierająca aryt metykę liczb naturalnych jest niezupełna, a ponadto, że niemożliwe jest podanie dowodu niesprzeczności każdej takiej teorii przy użyciu wyłącznie jej środków, to znaczy nie powołując się na właściwości innej teorii. Dokładna analiza teorii mate matycznych doprowadziła więc do odsłonięcia ich naturalnych „niedoskonałości". Wspomnimy tu jeszcze, że w odniesieniu do teorii sformalizowanej można sprecyzować znaczenie słowa dowód, którym posługujemy się zwykle w znaczeniu znanym Czytelnikowi i przyjętym w języku matematycznym. Mówiąc poglądowo, dowód twierdzenia teorii sformalizowanej jest to jego „rodowód” sięgający aż do aksjomatów i sporządzony na podstawie sprecyzowanych dla tej teorii reguł wnios kowania. Matematyka współczesna dzieli się umownie na wiele dyscyplin, do których należą m.in. algebra, analiza matematyczna i geometria analityczna. Podstawę każdej z tych dyscyplin stanowią pewne teorie aksjomatyczne. Na przykład teoria liczb rzeczywistych stanowi podstawę analizy matematycznej. Ponadto, we wszystkich dyscyplinach matematycznych wielkie znaczenie mają pojęcia i metody teorii mno gości (nauki o zbiorach) rozwiniętej przez matematyka niemieckiego G eorga Canto r a (1845-1918), oraz elementy logiki matematycznej zapoczątkowanej przez ma tematyka angielskiego G eorgea B oole’a (1815-1864).
2.
ROLA MATEMATYKI W NAUKACH FIZYCZNYCH
Przejdziemy teraz do wstępnego omówienia roli matematyki w innych naukach, w szczególności zaś w interesujących Czytelnika naukach fizycznych i technicznych. Filozof niemiecki Immanuel K ant (1724-1804) pisał: „W każdej dziedzinie wiedzy o świecie jest tylko tyle prawdziwej wiedzy, ile jest w niej matematyki” . Filozof angielski Franciszek Bacon (1561-1626) pisał natomiast: „Istnieje w na turze wiele zagadnień, których nie można ani dostrzec z wystarczającą dokładnością, ani przedstawić dostatecznie jasno, ani wykorzystać dostatecznie zręcznie bez pomocy i interwencji matematyki” . Zastosowanie matematyki do badań przyrodniczych — w szerokim tego słowa znaczeniu — można podzielić na dwa etapy. Pierwszy z nich, to budowa m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o rozważanego zjawiska. Natura zjawiska nie jest przy tym istotna, np. może być nim rozładowanie kondensatora w obwodzie zawierającym oporność i indukcyjność, uginanie się belki pod wpływem przyłożonej siły, i in. Na model matematyczny składają się zwykle równania, wyrażające w przybliżony, lecz właściwy matematyce zwięzły i przejrzysty sposób, najistotniejsze, stwierdzone doświadczalnie powiązania i zależności między miarami występujących w badanym zjawisku wielkości fizycznych. Inaczej mówiąc, model matematyczny opisuje w spo sób przybliżony, lecz zwięzły i przejrzysty, te cechy zespołu praw fizycznych rządzą cych modelowanym zjawiskiem, których wpływ na przebieg zjawiska uważamy na
2. R
ola m a t e m a t y k i w
naukach
f iz y c z n y c h
113
podstawie doświadczeń za dominujący. Oczywiście, dla jednego zjawiska fizycz nego można budować różne modele, uwzględniające mniej Ijb więcej ce:l .zespół j praw fizycznych rządzących badanym zjawiskiem. W modelach takich mogą wys tępować różne pojęcia matematyczne. Bolyai pisał: „Trzeba patrzyć na naturę rozsądnie i oczywiście tak, jak na prawdę, a zadowalać się takim jej obrazem, który zawiera jak najmniej błędów” . Etap drugi polega na poddaniu zbudowanego modelu formalnemu rozumo waniu matematycznemu, które pozwala wysnuwać wnioski mające często postać nowych równań. Otóż równania te mogą sugerować istnienie takich związków między miarami wielkości fizycznych i takich zjawisk, które uprzednio nie były stwierdzone doświadczalnie. Jeżeli związki te, czy też zjawiska zostaną następnie potwierdzone doświadczeniem, to można mówić o odkryciach fizycznych doko nanych za pomocą matematyki. Klasycznym przykładem takiego właśnie odkrycia, mającego wielki wpływ na rozwój całej współczesnej techniki, było odkrycie przez matematyka i fizyka angielskiego Jamesa C lerka M axwella (1831-1879) zjawiska fali elektromagne tycznej, potwierdzonego następnie doświadczalnie. Odkrycie to zostało dokonane za pomocą formalnego rozumowania przeprowadzonego przez Maxwella, który poddał procesowi wnioskowania model matematyczny zjawisk elektrycznych i mag netycznych, opracowany na podstawie doświadczeń fizyka i chemika angielskiego M ichała Faradaya (1791-1867). Historia fizyki zna także wiele innych ważnych odkryć, w których „znaczenie matematyki było dominujące. Ponieważ model matematyczny badanego zjawiska stanowi tylko przybliżony opis zespołu praw fizycznych rządzących tym zjawiskiem, więc należy uzns.ć za naturalne, że wnioski otrzymane z tego modelu będą także tylko w przybliżeniu zgodne z doświadczeniem. Trzeba jednak zdawać sobie sprawę, że sam i i s t o t a tej zgodności, zgodności produktu otrzymanego za pomocą formalizmu matema tycznego z doświadczeniem, nie jest w ogóle znana. Nie wiemy co jest przyczyną tej zgodności choć możemy się domyślać, że rozumowanie człowieka, które ukształ towało się na obserwacjach przyrody, nie odbiega od niej w swych w ni oś cach. A oto charakterystyczna wypowiedź dotycząca tego interesującego zagadnienia., pochodząca od grupy współczesnych matematyków zachodnioeuropejskich, wystę pujących pod pseudonimem N icolas Bourbaki: „Jest niezrozumiałe i być może pozostanie na zawsze niezrozumiałą zagadką, w jaki sposób osiągnięcia matematyki znajdują zastosowanie w praktyce” . Na podstawie podanych tu uwag należy podkreślić, że j e d y n ym k r y t e rium sensu fizycznego wniosków matematycznych j f st d o ś w i a d c z e n i e . Zaznaczamy jednak, że chodzi tu o poprawność interpre tacji fizycznych, nie zaś o poprawność rozumowania matematycznego, gdyż mate matyka jest nauką abstrakcyjną i wszelkie sprawdzanie jej na drodze doświadczalnej byłoby zwykłym nieporozumieniem.
14
I. W
ia d o m o ś c i w s t ę p n e
Historia fizyki dostarcza wielu przykładów na to, że doświadczenie potwierdza zazwyczaj wnioski i sugestie, jakich dostarcza rozumowanie matematyczne. Z tego względu matematyka stanowi potężne narzędzie pracy badawczej fizyków i tech ników. Rozwój matematyki odbywa się na skutek bardzo ciekawego i mało znanego procesu myślowego, na którym polega twórczość matematyczna. Proces ten był przedmiotem badań wielu wybitnych twórców, do których należeli m.in. matema tycy francuscy: H enri Poincarś (1854-1912) i Jaques Hadamard (1865-1963). Wielu uczonych tłumaczyło ten proces czymś, co matematyk polski Witold Pogo rzelski (1895-1963) nazywał „szczególną wrażliwością na wewnętrzne piękno kon strukcji myślowych”, przyrównując badania matematyczne do „kompozycji mu zycznych i dzieł malarskich, wymagających od swego twórcy zaangażowania uczu ciowego” . Wielkie zadowolenie, które daje uwieńczone powodzeniem rozumowanie matematyczne, znalazło wyraz w znanej, pełnej ekspresji wypowiedzi Poincarego: „Nie po to rozwijamy matematykę, aby konstruować maszyny, ale po to konstru ujemy maszyny, żeby mieć więcej czasu na zajmowanie się matematyką” .
3. ZDANIA I FUNKTORY Przez zdanie rozumiemy w logice wyłącznie zdanie orzekające, które jest praw dziwe albo fałszywe. O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną 1, natomiast o zdaniu fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną 0. N a przykład zdanie n jest liczbą niewymierną jest prawdziwe, czyli ma wartość logiczną 1, natomiast zdanie tc jest liczbą naturalną jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną 0. Zdanie gramatyczne 100 jest dużą liczbą nie jest (w ramach arytmetyki) prawdziwe ani fałszywe, więc nie jest zdaniem w znaczeniu przyję tym w logice.
Na marginesie zauważmy, że sama istota prawdy i fałszu nie należy do mate matyki. Zdania będziemy oznaczać małymi literami alfabetu. Jeżeli zdanie p jest praw dziwe, to piszemy p « 1, jeżeli zaś zdanie p jest fałszywe, to piszemy p = 0. Niech p i q będą dwoma zdaniami. Z tych zdań można utworzyć zdanie zło żone, korzystając ze spójników zdaniotwórczych, zwanych w logice funktorami. W tablicy LI zebrano informacje dotyczące sześciu najważniejszych funktorów, które znane są Czytelnikowi z nauki w szkole. W ostatniej kolumnie tej tablicy
Tablica
Funktor Symbol rsj
{\
i ! I
=>
o
Czytamy
Negacja (zaprzeczenie)
nie
Koniunkcja (iloczyn logiczny)
i
Alternatywa (suma logiczna)
jeżeli
Nazwa
Czytamy
~ P
negacja zdania p
nie p (nieprawda, że p)
PM
lub
i j Implikacja !1 (wynikanie)
Symbol
to ...
pVq
P => Q
...wtedy i tylko wtedy, gdy...
Równoważność
p o ą i
y_
Nierównoważność (alternatywa wy kluczająca)
koniunkcja zdań P i Q
alternatywa zdań p i q
implikacja o poprzedniku p i następniku q
równoważność zdań P i Q
P i Q
p lub q
jeżeli p, to q
p wtedy i tylko wtedy, gdy q
Wartość logiczna 1 zdanie złożone i • ' i 1 0 — :! i 1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1 1
0
pVq
n ierówno ważność zdań p i ą
p albo ą
r
1
0
0
0
1
1 !i
n i
\ i
1
i
i
i 1
1
0
0
1
1
0
0
r " j \ .1 i
0
1
0
1
0
0
1
albo
0
—
0
0 0
!
o i
1
0
1
i
■ ..... f 0
, _
_
1 _ 1 .... 1 0 j
Zdania i funktory
•
Nazwa
j
i.
V
Zdanie złożone
I
16
I. W
i a d o m o ś c i w s t i ;p n e
znajdują się o k r e ś l e n i a wartości logicznych odpowiednich /dań złożonych, w zależności od wartości logicznych zdań p i q. U w a g a . Zwracamy uwagę na rozróżnienie funktorów l u b przykład zdanie sin 30° =
lub
( v ) oraz a l b o
( y) . Na
cos 0° = 1
jest prawdziwe, jeżeli natomiast zastąpimy w tym zdaniu lub przez albo, to otrzymamy zdanie fał szywe. Jeżeli p v q jest zdaniem prawdziwym, to zdanie p v q jest także prawdziwe, ale nie na odwrót. Można więc w zdaniu prawdziwym zastąpić albo przez lub nie zmieniając jego wartości logicznej. Natomiast zastąpienie lub przez albo zmienia w przypadku p — 1 i q = 1 (i tylko w tym przypadku) wartość logiczną zdania złożonego, ponieważ l v l *= 1, natomiast 1 y 1 = 0.
Interpretacja geometryczna funktorów przedstawiona jest na rys. I.l. Wnętrzu kola, na którego brzegu napisany jest symbol zdania, odpowiada w tej interpretacji wartość logiczna 1, natomiast zewnętrzu koła — wartość logiczna 0. Obszar zakreskowany odpowiada wartości logicznej 1 odpowiedniego zdania złożonego.
p Ag
PYg Rys. 1.1
Interpretacja fizyczna funktorów przedstawiona jest na rys. 1.2. Każdemu ze zdań złożonych: ~ p, p a q, p v q , p => q, p o q > oraz p v q , odpowiada układ elektryczny. Zdania p i q interpretowane są tu jako przekaźniki; zamknięty obwód przekaźnika odpowiada zdaniu prawdziwemu, natomiast otwarty obwód przekaź nika odpowiada zdaniu fałszywemu. Działanie przekaźnika odpowiada więc war tości logicznej 1, natomiast spoczynek— wartości logicznej 0. Połączenie galwa niczne (droga dla prądu) między punktami A i B odpowiada zdaniu złożonemu prawdziwemu, natomiast brak takiego połączenia — zdaniu złożonemu fałszywemu.
3. Z
d a n ia
i fu n k to r y
KONIUNKCJA
NEGACJA ~ p
|^A _ J
j
A !\\r~
© ALTERNATYWA
phq
1 “O
>©
Q
IMPLIKACJA p = * q
pVę
fu
A_
f
t ©
©! 1 I @C< £ ^ Ł > ©
p
RÓWNOWAŻNOŚĆ p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q. R e g u ł a p r z e c h o d n io ś c i im p lik a c ji. Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p => q i zdanie q => r, to należy uznać za prawdziwe zdanie p => r.
ĆWICZENIA 1.
Podać określenie wartości logicznych zdań: ~ p, p A q , p v