Matematisk analyse : matematikk for ingeniører 2 [2] 8256228385 [PDF]

Zitiervorschau

Stray - Ubøe

Matematisk analyse 2 MATEMATIKK FOR INGENIØRER

nki a k'1 = lim a ---- ------ = a lim ----- -— A^dc 1 - k A-oc 1 - k n=0

Vi kan skille mellom fire situasjoner som vi nå skal drøfte etter tur. 1

\k\ < 1 I dette tilfellet blir lim.v^^ kv-1 = 0. Rekka er derfor konvergent, og:

2

\k\ > 1 I dette tilfellet blir lim.v_^ k= ±oo, avhengig av fortegnet på k. Grenseverdien eksisterer ikke. Dersom k > 1. blir delsummene positive og vilkårlig store. Iblant bruker vi skrivemåten:

for å uttrykke det.

REKKER

3

11

k = -1 I dette tilfellet blir: «o + a\

— Cl2

0

dersom A er et odde tall

a

dersom A’ er et partall

Grenseverdien eksisterer ikke. 4

k= 1 I dette tilfellet blir:

1 ledd

Men A' — 1 — når A' . Det vil si at grenseverdien ikke eksisterer. På samme måte som ovenfor, bruker vi iblant skrivemåten:

for å uttrykke det.

Absolutt konvergens Ulike rekker kan ha ulike konvergensegenskaper. Blant de rekkene som er lettest å håndtere regneteknisk. er de som konvergerer absolutt. Hva vi mener med absolutt konvergens, går fram av definisjon 1-1:

DEFINISJON 1-1 Vi sier at en rekke 32Ao an er absolutt konvergent dersom rekka:

konvergerer. Alle absolutt konvergente rekker konvergerer, men det omvendte behøver ikke å være tilfellet. Dersom en rekke konvergerer, men ikke er absolutt konvergent, sier vi at den er betinget konvergent. En betinget konvergent rekke kan være svært vanskelig å håndtere regneteknisk. Er vi uforsiktige, kan vi gjøre endringer som får en betinget konvergent rekke til å bli divergent!

Alternerende rekker Sett an = ( — 1 y cr for n = 0. 1....... og gå ut fra at cn > 0 for alle n. Da sier vi at rekka 32 (l«„ er alternerende.

12

REKKER

SETNING 1-1 La (cM)æ=0 være en nedtil monoton følge med

positive ledd. Dersom lim^-,^ cn — 0, blir rekka: É(-i)V n=0

konvergent. Bevis

Følgen av delsummer: 2.\ >7 = 0

minker monotont fordi vi hele tida trekker fra positive ledd. Pa samme måte ser vi at: 2.V+1 ( — l ) C„ = (tø — C]) + (C2 — C3) + • • • T (c‘2A' — C2.V-1)

■S'2A-l =

»=0

blir en voksende følge med positive ledd fordi alle parentesutrykkene er positive. Siden: S2.\ = .s'2 \-i + C'2 \ >

0

må følgen .s^v være konvergent med liniA—x Viv = L (se setning 2-18 i Matematisk analyse /). Men da blir også: lim A —oc

. i = lim (52 \ — m\_i) = lim ja\ - lim C2A-1 = L ' \-x ‘ ' .V—A —-x

Dermed har vi vist at liinv-x Vx = L, og rekka er derfor konvergent. EKSEMPEL 1-2 En uendelig rekke har det allmenne leddet:

an = (-1)" ——r, n+ 1

der n = 0. 1.2

a)

Vis at rekka konvergerer.

b)

Vis at du kan endre rekkas sum ved å endre leddenes rekkefolge.

Løsning a)

At rekka konvergerer, er en direkte konsekvens av setning 1-1. Dersom L er summen, blir altså: L

b)

1

2+ 3

4

Vi bytter om på rekkefølgen til leddene, slik at vi far rekka:

REKKER

13

Leddene i den nye rekka er de samme som før. men vi skal se at den nye rekka ikke kan konvergere mot L.

Det vil si at 0 < — 1 4. som er umulig. Konklusjonen i dette tilfellet blir at vi kan endre rekkas sum ved å endre rekkefølgen på leddene. Heldigvis er det bare betinget konvergente rekker som kan oppføre seg slik. For absolutt konvergente rekker gjelder setning 1-2.

Merknader For at en betinget konvergent rekke skal fa en ny grenseverdi, må vi endre rekkefølgen på uendelig mange ledd i rekka. Dersom vi stokker om på et endelig antall ledd, får den nye rekka både samme sum og de samme konvergensegenskapene ellers som den opprinnelige rekka hadde. SETNING 1-2 Dersom rekka er absolutt konvergent, kan vi endre rekkefølgen av leddene uten at grenseverdien blir endret.

Bevis

Beviset for denne setningen finner du i mer avanserte lærebøker. Det er såpass innfløkt at vi utelater det her.

Konvergenskriterier For å avgjøre om en rekke er absolutt konvergent, fins det en del enkle sammenlikningskriterier. Et av dem er integraltesten. som bygger på: SETNING 1-3 Gå ut fra at/: [0, oc) —> R er en kontinuerlig, positiv og minkende funksjon. Da konvergerer rekka V/„0/'(r) dersom og bare dersom det uegentlige integralet f(^f(x)dx konvergerer.

14

REKKER

Bevis

Av de to figurene tii venstre ser vi at:

Lrw
(x) = (-l)(-2)(-3)_x~4

Ved å studere likningene ovenfor ser vi at formelen for f '"'(x) blir: /^(x) =

i)!x“'’

Siden x'7 = 1 for x — 1, blir koeffisientene i taylorrekka:

Ved å sette inn fra likning (1.13) i likning (1.11) ser vi at rekka blir:

(1.14)

= (x - 1) -l(.r- l)2 +|(x- l)3 - ...

1-5 A løse differensiallikninger med potensrekkemetoden Dersom fer en analytisk funksjon, vet vi at:

/(x) =

(1.15)

c„x”

n

0

Etter setning 1-8 kan vi finne både den førstederiverte /' og den andrederiverteved å derivere leddvis:

(1.16) n= 1

f'(x) = n=0

n=2

f "(x) = yy cnn(n — l)x”-2 = n — ()

(1.17)

cnnx’^} =

cn+] (n + 1 )x'7

y^ cn+2^ + 2)(m + 1 )x"

Iblant kan vi bruke teorien om potensrekker til å løse differensial­ likninger. Neste eksempel viser et slikt tilfelle.

26

REKKER

EKSEMPEL 1-19 Løs likningen y' = r ved hjelp av potensrekker.

Løsning

Vi forsøker med f (x) — cnxn. Vi deriverer og setter inn for/'(.v) og f (x) i differensiallikningen. Da får vi at: hm (n + l)x" =

c"x"

n=0

n=0

Setter vi alle leddene over på venstresida, finner vi likningen:

^2(c„+i(w + 1) - c„)x" = 0 n=0

Uttrykket på venstresida skal være lik null for alle verdier av v. Da må alle koeffisientene være lik 0. Det vil si at for alle «-verdier må c„+i (« + 1) — cn = 0, som vil si at: L/—1 —

1 ‘ r C/j n+1

Starter vi med en kjent verdi cq = /(0), blir cj = c0, = c\/2 — co/2. cy — cq/3\ og så videre. Allment finner vi at cn = cy/nl. Løsningen til differensiallikningen blir derfor:

Resultatet i eksemplet ovenfor kan vi finne på andre måter også, men det er viktig å merke seg at vi kan bruke metoden med potensrekker i mer allmenne situasjoner (se neste eksempel).

EKSEMPEL 1-20 Finn alle funksjoner som er analytiske omkring x = 0. og som er løsninger til differensiallikningen:

(1.18)

(1 -x2)y"-2xy' + 2y-0

Løsning

Vi forsøker igjen med y = /(x) = £2 . * 0 cyx". Vi deriverer y i samsvar med setning 1-8 og setter inn i likning (1.18): (1 - v2)

c„n(n - 1 jU 2 - 2x n=2 ii = I

c/;«x"~' + 2 y cnxn = 0 n=0

REKKER

27

Etter at vi har utført multiplikasjonene og samlet ledd av samme grad, blir likningen slik: cnn(n — 1 ).v" 2 —

(1-19)

11 = 2

— 1 ).v" —

rt 2

y^ 2c„mx" + 2 y^ cnx" = 0 n= 1

77 = 0

I den første summen ovenfor gjør vi en substitusjon ved å erstatte n med n + 2. samtidig som vi lar n starte på 0 i stedet for 2. I de to neste lar \ i n starte på 0 i stedet for 1 og 2. Likning (1.19) blir da slik:

yy c^-^n+2XZ7+1 w - yy

n=0

- yy 2cnnxn- 2 yy cnxn = 0

-i

n=0

n=0

n=0

og etter enda litt opprydding får vi at: + 2) (77 + 1) — cnn(n - 1) — 2c,,n + 2c,, ]x = 0

Venstre side i den siste likningen blir lik null for alle x e R dersom og bare dersom: (1.20)

c„^ln + 2) (77 + 1) - c,,77(77 - 1) - 2c„n + 2c„ — 0

for alle 77-verdier. Likning (1.20) kan vi skrive slik: G7=2(Z7 + 2)(77 + 1) = 77(77 - i)c„

+ 2ncn - 2c,, = (n — n - 2')c„

Dermed blir: (1-21)

(772 + 77 — 2) (77 — 1 ) (77 + 2) x~, 77 o„ — — — c„ (?7 + 2) (77 1 ) (77 + 2) (77 + 1 )

—7

77 -1 - c„ 77 +1

Dersom vi kjenner c0 = /(0), kan vi bruke likning (1.21) til å regne ut c2. Deretter bruker vi den samme likningen til å regne ut C4 osv. Vi får at: C4 = -

4-1

1

2-1 02 = “Cf),

C2 = - - Cf),

06 =

1

] C4 — - - C0

OSV.

Allment blir: 02»

C()

Utregningene for koeffisientene med odde indeks blir enda enklere. For det første er:

Av likning (1.21) ser vi at da blir alle koeffisienter med odde indeks lik null, unntatt c\ Alt i alt kan vi skrive løsningen slik: V =/(0) +/'(0).Y -7(0) ■ £ +— K1 n = 1 277 J

28

REKKER

I mange tilfeller nøyer vi oss med løsningen når vi har funnet en rekke­ utvikling. Verdiene til en slik rekke kan vi lett beregne ved hjelp av et kort dataprogram. Men i dette tilfellet kan vi finne et vanlig regneuttrykk for løsningen. Vi definerer funksjonen g slik:

g(x) = V ------ -a2'' og setter h(x) = - • g(x) = V ------- - x2'1 2/7 - 1 A' ll=- \ /? = 1 2/7 — 1 Vi deriverer h og får:

Ved å integrere begge sider i likning (1.22) finner vi at:

Siden /z(0) = 0, blir C = 0. Det gir: g(Ap =

xh(x)

= | In

Vi har dermed vist at

r \

-

In (----- +/'(0)x \ i — v/ 7

Som vi alt har nevnt, er metoden som vi brukte i eksemplet ovenfor, svært allmenn. Følgende setning gjelder: SETNING 1-9 Dersom p(x). q(x) og r(x) er potensrekker som har positiv konvergensradius omkring x — 0. fins det en potensrekke y=f(x) med positiv konvergensradius som er en løsning til differensiallikningen:

y" + p{x)y' + q{x)y = r(x)

REKKER

29

Oppgaver kapittel 1

avsnitt 1-1 1

4 Bruk resultatet i oppgave 3 til å finne verdier for A’ slik at delsummene oppfyller ulikheten:

Bruk formelen for en uendelig geometrisk rekke til å bestemme verdien til rekkene under 0.9

for rekkene under.

5e

d)

EEo

/?- — 36

p/7

C) g)

EEoEiPe-

5 Bruk integraltesten til å avgjøre om rekkene konver­ gerer:

E

2 Hvilke av rekkene nedenfor konvergerer?

b)

c) ENN

EEoH)E

. E-

. „

n

d)

EEo2,r5 -

e)

EN^"

-1 ■' In 'n + 1 n

3 Gå ut fra at S = EEo(~ 1/E er en alternerende rekke som er slik at absoluttverdiene \cn\ minker monotont nar n vokser. Ga ut fra at — 0 dersom n — oc. La V.v = EEo(~EE være rekkas delsummer. Lag en figur og vis at:

5 -S\ < |cvE

6 Bruk integraltesten til å avgjøre om rekkene konver­ gerer:

Merknad

Ulikheten ovenfor viser at feilen vi gjør ved å avslutte rekka etter A’ ledd, er mindre enn det første leddet som vi ikke tar med.

b)

EEs"

30

7

REKKER

Bruk integraltesten til å avgjøre om rekkene konver­ gerer:

10 Bruk forholdstesten til å avgjøre om rekkene

konvergerer:

a> ÉE n In /? a- i

b) e; c) E,r

" e-

n — 0n2/'+2

Tl PS:

a) Bruk substitusjonen u — In.v. /74

b) Bruk delvis integrasjon. c) Bruk at 2~" = e "ln2.

8

Bruk sammenlikningstesten sammen med setning 1-3 til å avgjøre om rekkene konvergerer:

tr + 1

3 • 1.2"

0.9" /? + 1 3.2" 1.6" + n 11 Bruk forholdstesten til å avgjøre om rekkene

konvergerer:

9

Bruk sammenlikningstesten sammen med setning 1 -5 til a avgjøre om rekkene konvergerer:

a» Éz—[ fl ii = 3

b>É3 < ir

12 Finn ut hvilke av rekkene som konvergerer. Avgjør

om de også er absolutt konvergente.

1 2» -4

n=0

o n=0 d) E-”'A

i

n= l

v

REKKER

31

avsnitt 1-3 1

Finn konvergensradiene til rekkene, og bruk for­ melen:

]

g)

n In n

n— ]

sammen med leddvis integrasjon eller derixasjon til å finne et eksakt uttrykk for rekkas sum i hvert tilfelle:

avsnitt 1-2 1

Bestem konvergensradien til potensrekkene: a)

E,'

d) EEi^x-1 e) EE377*" 1 f) EzEe”^g) E2=2z?(« - 'n" melen:

sammen med leddvis integrasjon derivasjon til å finne et eksakt uttrykk for rekkas sum i hvert tilfelle: 2

Bestem konvergensradien R til potensrekkene. Avgjør også om rekkene konvergerer for .v = —R. b)

c» b)E — Z—/ n

3

‘‘ n- + 1

EKi«2V n— 1

- 1) ’’

Rekkene under har alle konvergensradius R = Bruk formelen:

- n -n—1

ir !n 'n — 2 n— =0

h)’ V

n- + 1

sammen med leddvis integrasjon eller derivasjon til å finne et eksakt uttrykk for rekkas sum i hvert tilfelle: n = 1 (n - 1 j!

32

REKKER

avsnitt 1-4

2/«+ 1)1

1

4z?(—1/

Finn taylorrekka (om x = 0) til funksjonene under: a) f (x) = e~ x b) f (x) = sin x

c) f (x) = cosx

/?!

d>

e)

f)

4

9n ■ 3' n!

2

= TVT

La M og N være to positive, hele tall. Dersom g(x) = {)cnx", kan vi finne taylorrekka til f (x) = xxg(xM) ved å sette:

Bruk sammenhengen:

f (x) = £ Il 0

n!

(-n)!

v

Bruk dette til å finne taylorrekka (omkring x = 0) til funksjonene under:

til å finne et eksakt uttrykk for rekka:

a>

(2z?)l

b)/(A=i4?

b) Bruk resultatet i a til å finne eksakte verdier for

rekka:

c) //v) =

* ? 1 + X”

d)/w =71 — + X4 5

Bruk formelen: = -In (1 - .v) 3

til å finne en rekke som konvergerer mot /(x) = x In (1 -f x2) for |x| < 1. 6

Finn en potensrekke som konvergerer mot /(x) = x“e"Y” for alle x.

7

Finn en potensrekke som konvergerer mot funk­ sjonen:

e)

/(x) = ex~

f)

/(x) = xln (1 + x2) (se oppgave 1 -3-5)

La/(x) = eA~. Finn de tre første koeffisientene i taylorrekka til/ved direkte utregning. Sammenlikn utregningene med framgangsmåten i oppgave 2e.

4 a) Gå ut fra at/(x) =

(/-/ og at rø = q = ... = cA ]=0. mens c\ / 0. Hva blir grenseverdiene: f (x) lim——. k = 0. 1. 2.......... V - 1 xk

.v -0

/W =

—y=e’~ 2 dz

Hva blir grenseverdien: ./(-V) lim —— v -0 XA

TlPS: Finn først en rekke som konvergerer mot: b) Gå ut fra al g(x) =

koeffisientene A, / 0. Definer /?(x) = g(x) -

()/;x", der alle h.x".

REKKER

Hva blir grenseverdiene:

lim----- for k = 0. 1.2............... \ - 1 ■

■