Matematisk analyse : matematikk for ingeniører 1 [1] 8256228369 [PDF]

Zitiervorschau

Haugland - Stray - Ubøe

Matematisk analyse 1 MATEMATIKK FOR INGENIØRER

nki antall statsborgere i landet Blant de tingene som interesserer oss mest ved en reell funksjon, er om den er begrenset, og hvilke vekstegenskaper den har. Når vi sier at en funksjon f‘.Df R er begrenset, mener vi egentlig at verdimengden Vf er begrenset (se definisjon 2-3 nedenfor og definisjon 2-1 på side 26).

DEFINISJON 2-3 Gå ut fra at verdimengden Vf til en funksjon /består av reelle tall. Da sier vi at funksjonen er reell og:

a) opptil begrenset dersom Vf er opptil begrenset. Her er tre vanlige måter å uttrykke det på: Det fins et intervall (—oo, b] som er slik at Vf

C

(-oo, b].

Det fins en konstant b som er slik at y < b for alle y e Vf.

Det fins en konstant b som er slik at /(x) < b for alle x

G

Df.

b) nedtil begrenset dersom Vf er nedtil begrenset. Det kan vi også si på ulike måter:

Det fins et intervall [a, oo) som er slik at Vf C [a, oo). Det fins en konstant a som er slik at a < y for alle y

G

Vf.

Det fins en konstant a som er slik at a 0 er grunntallet og Df C R.

En slik funksjon kaller vi en eksponentialfunksjon. Den enkleste og viktigste eksponentialfunksjonen får vi ved å sette a = e, der e er grunntallet i det naturlige logaritmesystemet.

GRUNNLEGGENDE BEGREPER

43

Dersom vi skyver grafen til en funksjon f et stykke a parallelt med førsteaksen i et plant koordinatsystem, får vi en ny funksjon g. Av figur 2-4 ser vi at g(x) = f(x — d). Grafen til f blir flyttet et stykke a mot høyre dersom a > 0. Vi får en tilsvarende flytting mot venstre dersom vi erstatter x med x + a. Verdien a kaller vi en faseforskyvning.

Figur 2-4

Vi kan beskrive viktige sammenhenger mellom fysiske størrelser ved å bruke funksjoner fra lista ovenfor, se neste eksempel.

EKSEMPEL 2-12 En metallstav blir lengre dersom temperaturen t stiger. Dersom stavens lengde ved temperaturen t\ er L\, og dersom lengden er L ved temperaturen t, er sammenhengen mellom disse størrelsene: L = L\

L\ct (t —

der a er lengdeutvidingskoeffisienten for metallet. Skriv tilordningen t —» L som en sammensatt funksjon. Hvilke funksjoner fra lista foran eksempet bruker du?

Løsning Vi bruker et pilskjema. Da blir løsningen slik: (2.23)

t —> t — t\ —> L\a (t — ti) —* L\ + L\a (t — t\)

I skjemaet er u en translasjon langs t-aksen, v er en lineær funksjon, og w er en translasjon langs L-aksen. I et tilfelle som dette er ikke skrivemåten: (2.24)

L = w(v(w(t)))

like opplysende som skjemaet (2.23)

44

GRUNNLEGGENDE BEGREPER

Gitt en sammensatt funksjon h = gof. Kan vi sette sammen f og g i omvendt rekkefølge, og blir i så fall gof =f og? Det vanligste svaret på det første spørsmålet er nei, og selv om svaret er ja, er hovedregelen at g o f f f o g Men det fins unntak, der funksjonenes rekkefølge ikke spiller noen rolle (se eksempel 2—1; se også oppgavene 3 og 4 til dette avsnittet på side 108). Du finner mer om slike problemer i teorien om matriser og lineære operatorer (lineær algebra).

I eksempel 2-6 på side 36 definerte vi speilingsfunksjonen S(a, b) = {—a, b) om andreaksen i et plant koordinatsystem. La oss døpe om funksjonen til A2, for vi har selvsagt en tilsvarende funksjon Ai som speiler punktene i et plant koordinatsystem om førsteaksen: Afa, b) = (a, -b)

(2-25)

EKSEMPEL 2 13 Hva skjer med punktet («, b) dersom den sammen­ satte funksjonen: a) A2 o

Ai

virker på det

b) Ai o A2 virker på det Merknader

Vi skal se at både A2o Ai og Ai o A2 gir utverdien {-a, -b), dersom vi mater dem med samme innverdi (a, b). Det vil si at A2 o A{ = A2o Ai. Vi sier at Ai og A2 kommuterer med hverandre. Løsning a) Hvordan den sammensatte funksjonen virker, ser vi av skjemaet:

(2-26)

(a, b) —U (a, -h)

(-a, -b)

b) Her virker funksjonene Ai og A2 i omvendt rekkefølge: (2-27)

(a, b)

(—a,—b)

men resultatet blir det samme som i del a ovenfor.

2-5 Inversfunksjoner Dersom vi har en funksjon f.Df^ Vf, ønsker vi av og til å finne en funksjon g: Vf —>• Df i den omvendte retningen, slik at vi kommer tilbake til de opprinnelige innverdiene. Vi minner om eksempel 2-2 (se side 32), der vi brukte mengdene: X = {Danmark, Norge, Sverige, Finland, Tyskland}

Y — {krone, mark, pund, lire}

GRUNNLEGGENDE BEGREPER

45

S

o

I eksemplet forsøkte vi å lage en korrespondanse Y —> X som skulle tilordne riktig land til hver myntenhet. En slik tilordning ville i så fall «oppheve» virkningen av f. I eksemplet fant vi at mengden Y var for stor. Men i virkeligheten var også X for stor. For at g skal bli en funksjon, må vi: 1 begrense oss til å bruke Vf i stedet for hele Y (se eksempel 2-2e) 2 fjerne elementer fra X, slik at vi får en defmisjonsmengde Df der f blir en-til-en

Avgrensingen av Df kan vi gjøre på flere måter. Vi velger å beholde Danmark, men det egentlige poenget er at f må se forskjell på innverdiene, så vi kunne ha beholdt enten Norge eller Sverige i stedet. Vi står da igjen med funksjonen:

(2.28)

f-. {Danmark, Finland} —> {krone, mark}

Nå er altså Df = {Danmark, Finland} og Vf = {krone, mark}, og f ser forskjell på innverdiene (se figur 2—5b). Dermed kommer vi ikke i tvil om hvilket land som skal svare til pengeenheten krone.

a)

Figur 2-5

Vi definerer tilordningen g fra Vf til Df på denne måten: g

(2.29)

krone —> Danmark

(2.30)

mark —> Finland

Merk at de sammensatte funksjonene g°fogf°g virker slik:

(2.31)

g°f(x) = x

(2.32)

f°g(y)=y

og det var det vi ønsket å oppnå. Vi sier at g er den omvendte funksjonen til f, eller inversfunksjonen til f. (Selvsagt er også f den omvendte funksjonen til g.) Vi skriver ofte/1 for inversfunksjonen til f. Tallet —1 er ikke en eksponent, men står der bare for å vise at/-1 er «det omvendte» av f. EKSEMPEL 2-14 Definer funksjonene u og v slik: (2.33)

(2.34)

x2

for

x e [0, oo)

v(v) = x2

for

x e (-oo, oo)

m(v)

=

46

GRUNNLEGGENDE BEGREPER

a) Har u en inversfunksjon? Hvilken funksjon er i så fall det? b) Har v en inversfunksjon? Hvilken funksjon er i så fall det? Løsning a) Funksjonen u er strengt opptil monoton, og derfor er den en-til-en Verdimengden Vu er lik [0,oo). Derfor er:

u-. [0, oo) —> [0, oo)

inverterbar. Inversfunksjonen u~x får vi ved å løse likningen y = x2 med hensyn på x. Det vil si at x = 07. Figur 2-6

b) Funksjonen v er ikke en—til—en, så den har ingen inversfunksjon. EKSEMPEL 2-15

a) Vis at funksjonen f: R —R, der /(x) = 2 x + 3, er inverterbar. b) Sett y —f{x), og finn inversfunksjonen f~!.

Løsning a) Vi overlater til deg å vise at/ser forskjell på alle reelle tall, og at ethvert reelt tall er en utverdi. Alt i alt vil det si at /har en inversfunksjon. b) For å finne et uttrykk for inversfunksjonen, bruker vi funksjonsuttrykket for f, som vi løser med hensyn på x. Det gir:

EKSEMPEL 2-16

a) Oppgi den største defmisjonsmengden Dg som er slik at funksjonen x — 1 blir inverterbar. Finn den tilsvarende verdimengden Vgb) Finn et uttrykk for inversfunksjonen g~x. Løsning a) For at funksjonen g skal være definert, må 2x - 1 > 0. Det vil si at x > 1/2. Funksjonen g blir strengt voksende på intervallet [1 /2, oo), så vi setter Dg = [1/2, oo). På grunn av funksjonens vekstegenskaper blir verdimengden Vg = [0, oo).

b) Vi setter y = y/2x — 1, kvadrerer, og løser likningen med hensyn på x. Det gir:

Dersom vi kjenner grafen til en inverterbar funksjon/, er det lett å tegne grafen til inversfunksjonen p1 (se neste setning). SETNING 2-3

a) Dersom vi bruker samme koordinatsystem for /^’ som for / er grafen til/-1 den samme kurven som grafen til f.

GRUNNLEGGENDE BEGREPER

47

b) Dersom vi insisterer på å ha førsteaksen i horisontalretningen både for /og forfår vi koordinatsystemet og grafen til /~* ved å speile koordinatsystemet og grafen til / om diagonalen gjennom første og tredje kvadrant (det vil si om linja y — x). Bevis a) Dette er opplagt. Se figur 2-7a.

b) Lag et koordinatsystem med y-aksen horisontal (det vil si som førsteakse, se figur b). Det er en direkte konsekvens av måten vi definerte en inversfunksjon på at punktet (y, x) ligger på grafen til /~1, dersom (x, y) ligger på grafen til f.

2-6 Symmetriske funksjoner Vi får ofte god informasjon om en reell funksjon / ved å tegne grafen. Ofte blir grafen en kurve eller et kurvestykke som vi kan tegne i et plant koordinatsystem. Grafen kan ha visse symmetriegenskaper. Her skal vi drøfte de aller enkleste symmetriene. DEFINISJON 2-6 Gå ut fra at funksjonen /: Df R har føl­ gende egenskap: Dersom (x,y) er et punkt på grafen til /, ligger også punktet (—x, — y) på grafen. Da er grafen symmetrisk om origioen. Vi sier også at funksjonen er odde.

Merknader 1 Definisjonen sier at dersom vi endrer fortegnet på x, endrer også funksjonsverdien fortegn: y —> — y. 2 Vi får derfor denne huskeregelen: At funksjonen/: Df —> R er odde, vil si at/(—x) = -/(x).

EKSEMPEL 2-17 Vis at /(x) = x3 er en odde funksjon.

Løsning Vi må vise at/(-x) = -/(x). I dette tilfellet er regnearbeidet lett. Vi får at /(-x) = (-x)3 = -x3 = —/(x), så funksjonen er odde. Se også figur 2-8.

Figur 2-8

DEFINISJON 2-7 Gå ut fra at funksjonen /:£>/—> R har føl­ gende egenskap: Dersom (x,y) er et punkt på grafen til / ligger også punktet (-x,y) på grafen. Da er grafen symmetrisk om y-aksen. Vi sier at/er en jamn funk­ sjon.

48

GRUNNLEGGENDE BEGREPER

Merknader

1 Definisjonen sier at dersom vi endrer fortegnet på x, blir funksjonsverdien uendret. 2 Vi får derfor denne huskeregelen: At funksjonen/: Df -+ R er jamn vil si at/(-x) = /(x).

EKSEMPEL 2—18

Vis at funksjonen /(x) = x~ er jamn.

Løsning Vi må vise at /(-x) = /(x):

A~x>) = {-x)2 = X2 = f(x) Se figur 2-9.

Neste setning viser at visse symmetriegenskaper utelukker andre. SETNING 2-4 La/:DZ—>R være en funksjon som ikke er kon­ stant lik null. Da gjelder at:

a) Grafen til/kan ikke være symmetrisk om førsteaksen. b) Grafen kan ikke både være symmetrisk om andreaksen og sym­ metrisk med hensyn på speiling gjennom origoen.

Bevis a) Dersom grafen til/er symmetrisk om førsteaksen, blir/en en-tilmange-relasjon (for hver innverdi a får vi to ulike utverdier; det er i strid med definisjon 2-2 på side 30).

b) Vi minner om de to symmetrioperasjonene:

(2.35)

symmetri gjennom origoen:

(2.36)

symmetri om andreaksen:

(a, b) (c, d)

(-a, -b) (-