Matematikk i praksis [4 ed.] 8200424111 [PDF]

Zitiervorschau

Tor Gulliksen

Matematikk i PRAKSIS

Universitetsforlaget

© Universitetsforlaget AS 1998

ISBN 82-00-42411-1 1. utgave 1981 2. utgave 1991 3. utgave 1996 4. utgave 1998 Det må ikke kopieres fra denne boken i strid med åndsverkloven eller avtaler inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstattningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Henvendelser om boken kan rettes til:

Universitetsforlaget Postboks 2959 Tøyen 0608 Oslo

Omslagsdesign: Anneli Skaar/® Universitetsforlaget Illustrasjoner: Ame Strøm, Tor Gulliksen og Kaj Konrad Clausen Layout og sats: Matematisk Sats Papir: 80 g ScanMatt Trykk: Gjøvik Trykkeri A.s Innbinding: Gjøvik Bokbinderi A.s

Forord

Utdrag av forordet i annen utgave Matematiske metoder og bruk av matematiske modeller får innpass i stadig flere fag. I mange studieretninger er det en fordel å ha god trening i matematikk. Dette gjelder også fagområder som tidligere har vært lite matematikk-krevende, f.eks. biologi. Denne boka er først og fremst beregnet for realfagstudenter. To år matema­ tikk i den videregeående skolen burde være et godt grunnlag for å lese den. Noe av stoffet vil være kjent fra skolen, men er tatt med av hensyn til studenter som har behov for repetisjon. Både i eksempler og oppgavestoff, og i fremstillingen forøvrig, er det lagt vekt på matematikkens praktiske nytteverdi og tilknytning til andre fag. Det er lagt forholdsvis liten vekt på stringent bevisførsel. Der jeg har ment at forståelsen er bedre tjent med en intuitiv forklaring, en figur eller et konkret eksempel istedenfor bevis, har jeg valgt det første. Foruten å gi kunnskap om en del viktige matematiske begreper og metoder har det vært mitt mål å trene leseren i å bruke denne kunnskapen til å løse praktiske problemer. Dette gjenspeiler seg i oppgavestoffet. der det foruten de tradisjonelle, ferdig oppstilte oppgaver også fins uoppstilte problemer. Mange av eksemplene har tilknytning til biologi, men det er også en rekke eksempler fra andre fagområder og fra dagliglivet. Ved valget av eksempler har jeg forsøkt å unngå stoff som krever spesialkunnskaper fra andre fag. Noen av eksemplene smaker av fysikk, men her har jeg stort sett innskrenket meg til slike ord og begreper som man til stadighet møter i dagliglivet, f.eks. temperatur, hastighet, kilowatt og solenergi. “Matematikk i praksis” ble skrevet som lærebok i et fem-vekttalls inn­ føringskurs i matematikk (MA 001) ved Universitetet i Oslo. Første utgave av boka kom ut i 1981. Den brukes fortsatt som lærebok i MA 001. Etter hvert har den fått utbredelse også utenfor Universitetet i Oslo, og nye brukergrupper

Forord

5

har kommet med ønsker om å inkludere nytt stoff. Fasiten er laget i samarbeid med Tor Sandmel. Blindern, april 1991

Tor Gulliksen

Utdrag av forordet i tredje utgave Tredje utgave er tilpasset reform 94. Det er meningen at boka skal kunne leses med fullt utbytte av studenter med bare to år matematikk fra videregående skole. Ingen emner er tatt ut av boka ved revisjonen, men kapitlene er, i større eller mindre grad, omarbeidet for å gjøre stoffet lettere tilgjengelig. Oppgavestoffet er supplert med en rekke enkle øvingsoppgaver. Noen av oppgavene er hentet fra eksamenssett i MA 001 ved Universitetet i Oslo. Disse er merket (UiO,...). Av hensyn til studenter med svak bakgrunn i trigonometri, har jeg skutt inn en ny seksjon om vinkler og kvadranten Dessuten har jeg tatt med en egen seksjon om arcusfunksjonene. I seksjon 5.2 har jeg inkludert et avsnitt om matematisk modellering, og i seksjon 12.3 har jeg tatt med Hesse-matrisen til en funksjon av to variable og testen for lokale ekstrempunkter. Jeg er takknemlig for de mange forslag til forbedringer av boka som har kommet fra Hans Foosnæs, Erik Plathe og Jan Søreng. Jeg takker også Geir Tufteland og Universitetsforlaget for fruktbart samarbeid. Tove Møllet har skrevet manuskripet i TpX. Jeg takker henne for godt og raskt arbeid og for hennes tålmodighet når mitt manuskript lot vente på seg. En spesiell takk går til Arne Strøm for hans utrettelige arbeid med å perfeksjonere computergrafikken. Sist, men ikke minst, en varm takk til Trine for hennes tålmodighet i disse månedene da all min fritid gikk med til arbeidet med boka. Blindern, juni 1996

Tor Gulliksen

Forord til fjerde utgave Boka har fått ny layout, trykk i to farger og bedre papirkvalitet, men selve innholdet er stort sett det samme. I listen over spesielle derivasjonsregler i seksjon 6.8 har jeg tatt med de deriverte til arcusfunksjonene, selv om formlene ikke er utledet i teksten. I sym­ bollisten etter kapittel 12 har jeg føyet til en oversikt over det greske alfabetet. Ellers har jeg tatt med litt utfyllende tekst i enkelte kapitler og foretatt noen språklige endringer. Desimaltegnet er konsekvent endret fra komma til punktum. Viktige resultater er satt i blå ramme, mens viktige formler ellers i teksten er satt i blått. Eksempler avsluttes med I og bevis avsluttes med ■. Nummerering av oppgaver, seksjoner og figurer er uforandret (bortsett fra sist figur i kapittel 12). Med Arve Michaelsen som ansvarlig for layout og TpX-kode, har dette arbeidet vært i de beste hender. Jeg takker både ham og Universitetsforlaget for godt og hyggelig samarbeid. Jeg takker også de av leserne som har gitt meg beskjed om trykkfeil de har funnet. Det har vært meget nyttig, og jeg håper på konstruktiv tilbakemelding fra leserne også i fremtiden. Blindern, mai 1998

6

Forord

Tor Gulliksen

Innhold

11

Kapittel 1 Reelle tall og størrelser

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

Størrelser og enheter 11 Tallinjen og de reelle tallene 12 Mengder 13 Ulikheter og intervaller 15 Rasjonale og irrasjonale tall. Avrunding 17 Potenser med heltallige eksponenter 19 Kvadratrot og n-te rot 22 Relativ økning og vekstfaktor 23 Summen av de n første leddene i en geometrisk følge 26 Summetegnet 27 Logiske slutninger 28 Om bruk av implikasjon og ekvivalens ved løsning av likninger 33 Absoluttverdi 34

37

Kapittel 2 Funksjoner av én variabel

Funksjoner av én variabel 37 Grafen til en funksjon 40 Lineære funksjoner og rette linjer i planet 42 Skifte av lineær skala 47 Lineære ulikheter og lineær programmering 49 Parabelen og funksjonen f (x) — a x1 + bx + c 55 Potensfunksjoner med heltallige eksponenter. Polynomfunksjoner og rasjonale funksjoner 59 2.8 Omvendte funksjoner 64 2.9 Flytting av grafen i forhold til koordinatsystemet 67 2.10 Det generelle funksjonsbegrepet 68 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Innhold

7

Kapittel 3 Periodiske fenomener 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

Periodiske funksjoner 71 Vinkler målt i grader og radianer 72 Sinus og cosinus 73 Vinkler og kvadranter 77 Tangens 78 Arcusfunksjonene: sin-1, cos-1 og tan79 Trekantberegninger 82 Trigonometriske formler 87 Tilnærmet beskrivelse av et periodisk fenomen ved hjelp av en sinuskurve 87 Funksjonen /(r) — a cos cot + b sin&tf 94 Addisjon av harmoniske svingninger med forskjellig frekvens 97 Interferens 98

Kapittel 4 Kontinuitet og grenser 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

71

101

Kontinuitet 101 Grensebegrepet 102 En setning om grenser 105 Ensidig grenseverdi 107 Presisering av kontinuitetsbegrepet 109 Horisontal asymptote 112 Tallfølger 115 Rekker 119

Kapittel 5 Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner 123 5.1 Eksponentialfunksjonen f (x) — ax 123 5.2 Eksponentiell vekst og matematisk modellering 129 5.3 Funksjonen log 133 5.4 Regneregler for logaritmer 135 5.5 Likningen ax — b 136 5.6 Funksjonen f (x) = loga x 147 5.7 Funksjonen In 139 5.8 Potensfunksjonen /(x) = xr 143 5.9 Logaritmisk skala 146 5.10 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem 148 5.11 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem 152

Kapittel 6 Derivasjon 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

8

Tangent og vekstrate 157 Den deriverte 160 Tolkninger og anvendelser av den deriverte 164 Noen spesielle derivasjonsresultater 169 Generelle derivasjonsregler 172 Den deriverte av ex og V 178

Innhold

157

6.7 Andre skrivemåter for den deriverte 179 6.8 Oversikt over derivasjonsreglene 182 6.9 Derivert, annenderivert og funksjonsdrøfting 6.10 Maksimum og minimum 192 6.11 Taylorpolynom 197 6.12 Antiderivert 200 6.13 UHopitals regel 202

183

Kapittel 7 Integrasjon

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11

205

Innledning 205 Det bestemte integralet 207 Noen anvendelser av det bestemte integralet 209 Noen regneregler for bestemt integral 212 Tolkning av det bestemte integralet som areal 214 Det ubestemte integralet 220 Integrasjon ved substitusjon 223 Delvis integrasjon 227 Det bestemte integralet som grense for en sum 228 Tilnærmet beregning av bestemt integral 232 Det bestemte integralet som en funksjon av øvre grense 234

Kapittel 8 Differensiallikninger

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

239

Differensiallikningsmodeller for vekst av populasjoner 239 Retningsdiagram, integralkurver og løsninger 243 Differensiallikningen y' = ay 246 Differensiallikningen y' = ay + b 250 Differensiallikningen y' = ay2 + by + c 255 Separable differensiallikninger 262 En modell for allometrisk vekst 264

Kapittel 9 Vektorer og komplekse tall

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

267

Vektorer i rommet 267 Koordinatformler 272 Likningen til et plan 277 Komplekse tall 279 Den komplekse eksponentialfunksjonen 285 Annengradslikninger 287

Kapittel 10 Lineær algebra 10.1 10.2 10.3 10.4

291

Innledning 291 n-tupler 292 En metode for løsning av lineære likningssystemer 294 Determinanter. Drøfting av n likninger med n ukjente 298 Innhold

9

10.5 10.6 10.7 10.8

Matriser 304 Potenser av en kvadratisk matrise 311 Den inverse til en matrise 315 Egenverdier og egenvektorer 319

Kapittel 11 Differensiallikningssystemer

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

329

Innledning 329 Løsning av homogene, lineære differensiallikningssystemer 332 Inhomogene lineære systemer 341 Lotka-Volterras modell 345 Fasekurver. Grafisk drøfting 346 Romkurver og tangentvektorer 350

Kapittel 12. Funksjoner av to eller flere variable

357

12.1 Grafen til en funksjon av to variable 357 12.2 Partielle deriverte 360 12.3 Maksimums- og minimumsproblemer for funksjoner av to variable 362 12.4 Linearisering. Tangentplan 367 12.5 Minste kvadraters metode 370 12.6 Gradientbegrepet 372 12.7 Utivdelse av kjerneregelen 374 12.8 Retningsderivert 377 12.9 Nivåkurver og nivåflater 381 12.10 Maksimering og minimering under en bibetingelse 384

Fasit

389

Symbolliste

409

Stikkordregister

413

10

Innhold

kapittel

Reelle tall og størrelser

1.1 Størrelser og enheter Når vi snakker om en størrelse, så mener vi noe som kan tilordnes en kvantitativ verdi ved måling, beregning eller telling. Det kan f.eks. være diameteren til et virus, temperaturen på Solas overflate, folketallet i Norge osv. ► Eksempel 1 Diameteren til et influensavirus er d — 0.000000 12 m. Her er diameteren gitt med målenheten meter (m). 0.000 000 12 kaller vi måltallet, og 1 m er enheten vi har brukt. Bruker vi i stedet enheten 1 pm = 0.000001 m, som kalles én mikrometer, får vi d — 0.12 pm. Måltallet er nå 0.12. Enheten mikrometer ble i eldre litteratur skrevet med symbolet p. Dette er en foreldet skrivemåte. Nå står p for forstavelsen mikro, som igjen står for én milliondel. I

Tierpotens

1 000000000000 1 000 000000 1000000 1 000 100 10 0.1 0.01 0.001 0.000001 o.ooooooooi 0.000 000000001

= = = = = = = = = = = =

1012 109 106 103 102 10’ 10“! 10~2 10“3 10“6 nr9 10“12

Forstavelse

Symbol

tera giga mega kilo hekto deka desi centi milli mikro nano piko

T G M k h da d c m M n P

Symboler for enheter og forstavelser, vedtatt i det internasjonale enhetssystemet 1.1

Størrelser og enheter

11

SI, finner du bl.a. i lommealmanakken “Den 7. sans.” Tabellen ovenfor viser de mest brukte forstavelsene. I litteraturen møter vi ofte begrepet dimensjonsløs (eller ubenevnt) stør­ relse. Med det mener vi en ren tallstørrelse, f.eks. forholdet mellom vekten av hjernen og vekten av kroppen til et dyr. Vil man være formalist, så kan man godt oppfatte tallet 1 som enhet for dimensjonsløse størrelser. Man kan også oppfatte prosent (%) som en enhet, og denne enheten kan man sette lik tallet 1/100.

► Eksempel 2 I 1973 var det 722 nye studenter ved Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet ved Universitetet i Oslo. 193 av disse var kvinner. Det gir en kvinneandel på

193

1 = 0.267 = 26.7 = 26.7 %. 722------------------------- 100

Til sammenligning var kvinneandelen i 1990 kommet opp i 40.9 %.

I

Oppgaver til seksjon 1.1 1. Hver cm2 av Jordas overflate bærer en luftsøyle med masse 1.0 kg. Jordas overflate er 5.1 • 108 km2.

a) Finn atmosfærens masse. b) 22 % av atmosfærens masse er oksygen. Finn massen av oksygenet i atmosfæren.

2. Én km2 ungskog produserer ca. 2.5 • 105 kg oksygen per år. Hvor stor andel er dette av oksygenet i atmosfæren over 1 km av Jordas overflate?

3. Plantenes nettoproduksjon av oksygen er ca. 0.9 • 1013 kg per år. Hvor mange år ville disse plantene bruke på å bygge opp atmosfærens innhold av oksygen hvis verken dyreliv eller branner fjernet oksygen fra luften?

1.2 Tallinjen og de reelle tallene Vårt tallsystem er resultat av en lang historisk utvikling og er tilpasset de stadig mer kompliserte beregningsoppgaver som menneskene har stått overfor. For å sette det i relieff så la oss se på tallbegrepet hos baktamanene på Ny-Guinea. De bruker kroppsdeler for å anskueliggjøre tallene, og teller slik: En, to, to-én, toto, tommel, håndledd, underarm, albue, overarm, skulder, nakke, øre, øye, nese, 12

Kapittel 1

Reelle tall og størrelser

andre-øye, andre-øre, osv. Noe større tall enn 27 fins ikke hos baktamanene. (Fredrik Barth: “Ritual and Knowledge among the Baktaman of New Guinea,” Yale University Press, 1975.) I vår kultur bruker vi tallinjen for å vise tall. Det er en rett linje der tallene 0 og 1 er plassert i to forskjellige punkter, og der de øvrige tallene har sin naturlige plassering i forhold til disse. Lengden av linjestykket med endepunkter 0 og 1 kaller vi tallinjens (aksens, eller skalaens) lengdeenhet.

h—E—H —2

Figur 1.1

-3-1 2

o

1

1.4

2

3

Tallinjen med lengdeenhet E og noen av tallene inntegnet

Hvert tall tilsvarer altså et bestemt punkt på tallinjen, og omvendt vil hvert punkt på tallinjen tilsvare et bestemt tall. Alle disse tallene kaller vi de reelle tallene. Senere i boka skal vi se at det er behov for å utvide tallsystemet. Vi skal da innføre noe som kalles komplekse tall. Men inntil videre vil vi bare benytte de reelle tallene, som vi kjenner fra før.

1.3 Mengder I dagligtalen har vi stadig bruk for å sammenfatte et utvalg av objekter og betrakte dem under ett, f.eks. “sjøfuglene i Norge” eller “maleriene i Nasjo­ nalgalleriet.” I matematikken kalles en slik sammenfatning av objekter en mengde, og objektene den består av, kalles elementene i mengden. Som typiske matematiske eksempler på mengder nevner vi:

a) de naturlige tallene (dvs. tallene 1, 2, 3, 4, ...)-

b) de hele tallene (dvs. ..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, ...) c) alle reelle tall x som passer i likningen x2 — 3x + 2 = 0

d) alle rette linjer i rommet

En mengde kan ha et endelig eller uendelig antall elementer. I det første tilfellet kan det være hensiktsmessig å beskrive mengden ved å lage en liste over ele­ mentene. Man skiller elementene med komma og inneslutter dem i klammer. Mengden av alle partall mellom 1 og 11 kan vi f.eks. skrive slik: {2, 4, 6, 8, 10}. For visse ubegrensede mengder kan man bruke en liknende skrivemåte. Skriver vi f.eks. {1, 2, 3, ...}, så er det underforstått at vi mener mengden av alle natur­ lige tall. På samme måten som vi bruker bokstaver til å betegne tall og størrelser, kan vi også bruke bokstaver til å betegne uspesifiserte mengder. Vi bruker gjeme store bokstaver for mengder og små bokstaver for uspesifiserte elementer. 1.3

Mengder

13

La A være en vilkårlig mengde. Hvis a er et element i A, skriver vi a € A. Hvis a ikke er et element i A, skriver vi a A. Vi har f.eks. 4 e {2. 4. 6} og 5 i {2.4.6}. Mengder kalles like hvis de har nøyaktig de samme elementene. F.eks. har vi {2. 4. 6} = {6. 2, 4}. Merk at rekkefølgen elementene er listet opp i, er uten betydning. Enkelte mengder nevnes så ofte i matematikk at de har fått sitt eget symbol:

N = mengden av alle naturlige tall {1.2.3....}

Z = mengden av alle hele tall [R = mengden av alle reelle tall 0 = den tomme mengden (se eksempel 5)

Istedenfor å liste opp elementene i en mengde kan vi fortelle hvilken egenskap elementene må ha for å være med i mengden. ► Eksempel 3 Mengden av alle positive reelle tall kan vi skrive {x e R | x > 0}, og vi leser: “mengden av alle x element i IR slik at x > 0.” I Mengden som består av alle løsninger av en gitt likning, kalles likningens løs­ ningsmengde.

► Eksempel 4

Løsningsmengden til likningen x2 —4 = 0 kan vi skrive

{x e R | x2 - 4 = 0}, og vi leser: “mengden av alle x element i R slik at x2 — 4 = 0.” Siden 2 og —2 er de eneste reelle tall som passer i likningen x2 — 4 = 0, må vi ha {x e R | x2 — 4 = 0} = {2. -2}. i

La A være en gitt mengde, og la P være en bestemt egenskap som det er meningsfylt å spørre om elementene i A har eller ikke har. Vi kan danne mengden {x b (eller vi sier at b er mindre enn a, og skriver b < a). Vi minner om følgende regler for regning med ulikheter: 1.4

Ulikheter og intervaller

15

a) Hvis a > b og c er et vilkårlig tall, så har vi a + c > b + c b) Hvis a > b og c > 0, så har vi ac > bc

c) Hvis a > b og c < 0, så har vi ac < bc

Legg merke til c) som sier at ulikhetstegnet “blir snudd” når vi multipliserer med et negativt tall. (Hvorfor er dette riktig?) Reglene ovenfor gjelder også om tegnet > byttes ut med tegnet >. Vi minner om at a > b per definisjon betyr a > b eller a — b, og leses “a er større enn eller lik b.” a < b betyr a < b eller a = b, og leses: “a er mindre enn eller lik b.” Mengden av alle tall som ligger mellom to gitte tall på tallinjen, kalles et intervall. Det er viktig å skille mellom de intervallene som inneholder sine endepunkter, og de som ikke gjør det. Tabellen nedenfor viser fire typer av intervaller. Her står a og b for to gitte tall slik at a < b.

Symbol

T Lesemåte

Intervallet består av de tallene x som oppfyller

(a, b)

Det åpne intervallet fra a til b

a y2

bare hvis

x G {-2,2}

x > 0 _I

c) Vi har (x — l)(x — 2)(x — 3) = 0

x e {L 2, 3}

d) Vi har (x — l)(x — 2)(x — 3) = 0

x & {1,2}

e) Vi har (x — l)(x — 2)(x - 3) = 0

x g {1,2, 3, 4}

x = 2

f) Vi har 3x = 6

4. La x og y være vilkårlige reelle tall. Avgjør om P er en nødvendig betingelse for Q. om P er en tilstrekkelig betingelse for Q< eller om P er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for Q. a) P: “x = 2”

b) P:“xy = 0”

Q: “x2 = 4”

Q: “x = 0 eller y = 0”

c) P:“x + y = 0”

32

Kapittel 1

Reelle tall og størrelser

2:“x=0ogy=0”

1.12 Om bruk av implikasjon og ekvivalens ved løsning av likninger ► Eksempel 29 Vi skal løse likningen x + y/x + 1 = 1, det vil si at vi skal bestemme de reelle tall x som gjør utsagnet x + y/x + 1 = 1 sant. Vi har da følgende kjede av implikasjoner og ekvivalenser:

x H-

a/x

— 1

x

4- 1 — 1 — x Jj. $

(Se eksempel 23)

x + 1 = (1 -x)2 $

x + 1 = 1 — 2x + x2

x2 — 3x = 0 $

x(x - 3) = 0 x — 0 eller (x — 3) = 0 x = 0 eller x = 3

Vi har en ubrutt kjede av implikasjoner fra den gitte likningen til utsagnet “x = 0 eller x = 3.” Dette betyr at hvis x oppfyller likningen, må vi nødvendigvis ha x = 0 eller x = 3. Siden vi ikke har noen ubrutt kjede tilbake, vet vi imidlertid ikke om noen av disse verdiene virkelig oppfyller den gitte likningen. For å finne ut det må vi “sette prøve,” dvs. vi må sette tallene inn i den gitte likningen for å se om noen av dem skulle passe. Det viser seg at x = 0 passer, mens x = 3 ikke passer. Den gitte likningen har derfor en eneste løsning, nemlig x = 0. I ► Eksempel 30

x3 — 4x = 0

x (x2 — 4) = 0 $ x (x + 2) (x — 2) = 0

x = 0 eller x + 2 = 0 eller x — 2 = 0

$ x ; 0 eller x = —2 eller x = 2

1.12

Om bruk av implikasjon og ekvivalens ved løsning av likninger

33

Her er det en ubrutt kjede av ekvivalenspiler, derfor har vi en ubrutt kjede av implikasjonspiler i begge retninger. Vi vet da uten videre at 0, —2 og 2 nettopp er løsningene til den gitte likningen. Fra en logisk synsvinkel er det ikke nødvendig å “sette prøve’’ (en annen sak er at vi kanskje ønsker å gjøre det likevel for å avsløre eventuelle regnefeil). I

Oppgaver til seksjon 1.12 1. Løs likningen x + 2 — >/4.r + 13 = 0 etter et lignende mønster som i eksempel 29. 2. Løs likningen %/x2 + 1 4- Vx2 — 1 = 2. (Hint: Isoler først ett rottegn på den ene siden av likhetstegnet, og fjern det ved kvadrering. Gjenta prosessen.) 3. To radionavigasjonsfyr F\ og F2 ligger ved kysten i avstand 21 km fra hverandre. Et fartøy P ligger i avstand 12 km fra land (se figuren).

F F.

•------- --- - ..... »

12 / 0

\a\ = —ci hvis a < 0 ► Eksempel 31

34

Kapittel 1

Vihar | — 7| = 7 og |7| =7.

Reelle tall og størrelser

I

For alle reelle tall x gjelder formelen:

For et gitt positivt tall a har vi |x| < a

—a < x < a

For vilkårlige tall a og b har vi |r/ + b\ < \a\ å- \b\,

\ab\ = |a| ■ \b\.

a

|q|

b

\b\

(b / 0)

► Eksempel 32 På tallinjen har vi en naturlig lengdeenhet, nemlig lengden av linjestykket med endepunkter 0 og 1. Når vi snakker om avstanden mellom to tall a og b på tallinjen. mener vi måltallet for avstanden målt med denne lengdeenheten.

p— - 5 - —5 - —►!

4

-3 -10

-8

H— 5 _

H

12

7

-------- b — a-------- 4

Figur 1.5

Hvis a < blir avstanden lik b — a, som antydet på figur l .5. og hvis a > b, blir avstanden lik a — b. I begge tilfeller kan derfor avstanden skrives \b — tz|. I

Oppgaver til seksjon 1.13 1. Finn absoluttverdien til tallene —3.27 og 11.562.

2. Finn enklere uttrykk for: a) 7(5 - 9)2

b) yfy2

c) y] (x - y)2

3. Anta at a < —3. Finn |a| uttrykt ved a. 4. For hvilke verdier av x har vi:

a) x < |.x|

b) |x| < x

c) |x| < x

5. Skriv mengdene som et intervall (se tabellen i seksjon 1.4): a) {x e K. | |x | < 2 }

b) {x e 1 | |x — 3| < 2 }

1.13

Absoluttverdi

35

6. Skriv mengdene som en union av to intervaller:

a) {a: e R | |x| > 2}

b) {x € R I |x - 3| > 2}

7. La 6 :> 0 være et gitt tall. Skriv følgende mengder som et intervall:

a) {x e R | |jv| < e }

b) {x e IR | |x — 3| < e }

8. La x og y være tall slik at |x| = 2 og | v| = 3. Hva kan du si om:

a) xy

36

Kapittel 1

b) x/y

Reelle tall og størrelser

c) x + y

d) x - y

kapittel

Funksjoner av én variabel

I dette kapitlet skal vi innføre funksjonsbegrepet. Videre skal vi se på noen enkle typer av funksjoner og anvendelser. De lineære funksjonene er viet størst oppmerksomhet. Vi skal bl.a. se hvordan de kan brukes til å beskrive enkle sammenhenger i observerte data. (Flere typer av funksjoner blir innført i kapit­ lene 3 og 5.) Vi skal hovedsakelig arbeide med funksjoner av én variabel, men funk­ sjoner av to variable blir nevnt i slutten av seksjon 2.5. Funksjoner av to eller flere variable kommer for alvor først i kapittel 12.

2.1 Funksjoner av én variabel En funksjon forbinder man ofte med en formel som uttrykker hvordan en vari­ abel y avhenger av en annen variabel x, f.eks.

y = x3 + 4x2 + 5. Fordi verdien til y er bestemt hver gang vi velger en verdi for x, sier vi at y er en funksjon av x. Et annet eksempel er arealet til en sirkel med radius r (som vi vet er 7rr2). Fordi arealet er bestemt hver gang vi velger en verdi for radien, sier vi at sirkelens areal er en funksjon av radien. Det fins mange eksempler der en variabel y er bestemt av en variabel x, men der det ikke er mulig å stille opp en formel (i noen rimelig betydning av ordet) som uttrykker denne sammenhengen. Det gjør at vi har behov for en definisjon av funksjonsbegrepet som ikke refererer til noen formel. Etter flere hundre års diskusjon var det først tidlig på 1900-tallet at det ble alminnelig enighet om det funksjonsbegrepet vi bruker i dag. 2.1

Funksjoner av én variabel

37

DEFINISJON En funksjon av én variabel er en regel som til hvert tall i en viss tallmengde tilordner et bestemt tall. Vi skal na gi en del eksempler pa funkjsoner (av én variabel) som går inn under definisjonen ovenfor.

► Eksempel 1 Til hvert tall / 0 tilordnes det inverse tallet. (Anvender vi denne funksjonen (regelen) på et tall x / 0. får vi tallet -). I Til hvert naturlig tall

► Eksempel 2 tallet.

1 tilordnes den største primfaktoren i I

► Eksempel 3 Til hvert naturlig tall n, 1 < n < 37, tilordnes bruttolønnen i lønnstrinn n (i lønnstabellen for 1990-1991). I ► Eksempel 4

Til hvert reelt tall x i intervallet [ — 1.2] tilordnes tallet 2x — 1. I

► Eksempel 5

Til hvert reelt tall x tilordnes tallet 2x — 1.

I

Mengden av alle tall som en gitt regel skal anvendes på, kalles funksjonens definisjonsmengde. Definisjonsmengden til funksjonene i eksemplene 4 og 5 er henholdsvis | — 1.2] og OL Vi er vant til å la bokstaver stå for tall. På samme måte lar vi bokstaver stå for funksjoner. Hvis f er en funksjon, og x er et tall som funksjonen er definert for (dvs. x er element i definisjonsmengden), da lar vi f (x) betegne det tallet som funksjonen f tilordner tallet x. f (x) kaller vi funksjonsverdien i punktet x, og det leses “/ av x.” Lar vi for eksempel f og g være funksjonene i eksempel 1 og 2. får vi

f (x)

1 ~ — x

for

x /0

g(n) = største primfaktor i n.

n — 2, 3. 4. 5. 6, ...

Hvis en funksjon kalles f, så betyr Dt funksjonens definisjonsmengde. Når vi sier at en størrelse y er en funksjon av en størrelse x, så mener vi at det fins en funksjon f slik at v er bestemt av x ved likningen y = /(x).

► Eksempel 6 Antall finnhval i Antarktis er en funksjon av tiden. Funksjonen det her er snakk om, er den regelen som til hvert tall t tilordner antall finnhval, N, ved tidspunktet t. (Nedenfor vil vi regne r i år og sette t = 0 den 1. januar 1958.) Man kjenner ikke den eksakte verdien av N for ethvert tidspunkt r. men ut fra observasjoner og beregninger (International Commission on Whaling. 20th Report) kan vi stille opp følgende uttrykk som gjelder tilnærmet for tidsrommet 1. januar 1958-1. januar 1963:

2V = (-17400R+ 151000,

38

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

0 /(xi) < /(x2)

2.2

Grafen til en funksjon

41

Merk at funksjonen på figur 2.5 er voksende, men ikke strengt voksende. Funk­ sjonen på figur 2.3 er derimot strengt voksende.

(iii) f kalles avtagende hvis vi har

X] < x2 =>

/Ul) > /(x2)

(iv) f kalles strengt avtagende hvis vi har X] < X2

=>

/(xi) > /(x2)

(v) f kalles monoton hvis f er voksende, eller hvis f er avtagende.

Kontinuitet For å forklare hva det betyr at en funksjon er kontinuerlig, vil vi i første omgang innskrenke oss til funksjoner som er definert på et intervall. Funksjonen sies da å være kontinuerlig hvis grafen er sammenhengende. Populært sagt betyr det at grafen “kan tegnes uten å løfte blyanten.” Funksjonen på figur 2.3 er kontinuerlig. Derimot er funksjonen på figur 2.5 ikke kontinuerlig. Den har en del såkalte diskontinuitetspunkter der grafen gjør et sprang, nemlig x =

13 5 7 2 2 2 2

.

Senere trenger vi en mer presis definisjon av hva kontinuitet er. Det kommer vi tilbake til i kapittel 4.

Oppgaver til seksjon 2.2 1. Vis at funksjonen

er strengt avtagende innenfor hvert av intervallene («-, 0) og (0, —►), men ikke avtagende i området ().

2.3 Lineære funksjoner og rette linjer i planet En funksjon f som er gitt ved uttrykket f (x ) = ax -\-b, der a og b er konstanter, kaller vi en lineær funksjon. Vi minner om at grafen til funksjonen /(x) = ax + b er en rett linje. Tallet a er funksjonens (eller linjens) stigningstall og er gitt ved forholdet x2 — X]

der (xi,yi) og (x2, y2) er to gitte punkter på linjen. Tallet b befinner seg på y-aksen der grafen skjærer denne. På figur 2.6 har vi tegnet grafen til /(x) = ax + b i et tilfelle der a og b er positive tall. 42

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

For funksjonen /(x) = ax + b gjelder følgende: a > 0 => f er strengt voksende a < 0 => f er strengt avtagende a — 0 => f er konstant Som antydet på figur 2.7 kan vi tenke oss at linjen y = ax + b kommer frem ved å parallellforskyve linjen y = ax en strekning b langs y-aksen. En språklig kommentar: Når vi sier “linjen y = ax + b,” så mener vi naturligvis linjen som er gitt ved likningen y = ax + b, dvs. linjen bestående av alle punkter (x, y) slik at y = ax + b.

Figur 2.8 Linjen

x =c

La c være et gitt tall. Når vi sier “linjen x — c,” så mener vi linjen som består av alle punkter (x, y) slik at x = c (og y er vilkårlig). Denne linjen er parallell med y-aksen (figur 2.8) og har ikke noe veldefinert stigningstall. NB! Hvor bratt grafen til funksjonen f (x) = ax+b skal tegnes, avhenger ikke bare av stigningstallet a, men også av hvilke enheter vi har valgt på aksene. På figur 2.9 har vi tegnet grafen til funksjonen y = 2x for to forskjellige valg av lengdeenheter på aksene. 2.3

Lineære funksjoner og rette linjer i planet

43

Figur 2.9

Forskjellige valg av lengdeenheter på aksene

Tilpasning av lineære funksjoner til ovserverte data ► Eksempel 8 Følgende tabell viser antall småbruk i Norge (driftsenheter med jordbruksareal mindre enn 50 dekar. Kilde: Statistisk sentralbyrå). N er antall tusen småbruk.

ar

o

1974

1975

1976

1977

1978

N (tusen)

60.4

57.8

54.4

53.2

51.1

Vi skal finne en lineær funksjon som tilnærmet gir antall tusen småbruk N som funksjon av tiden t. Vi regner t i antall år etter 1974. Vi plotter dataene i et passende koordinatsystem (figur 2.10) og trekker (på øyemål) en rett linje som er tilpasset målepunktene.

(M Figur 2.10

Antall tusen småbruk i Norge

Linjens likning kan skrives N = at + b

der a og b er konstanter som vi kan bestemme ved å velge to punkter på linjen, f.eks. (0, 60) og (4.5, 50). 44

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

Linjens stigningstall er 50-60 a = ---------- — —2.22, 4.5-0

avrundet: a = —2.2 (tusen per år). (Det forsvinner altså ca. 2000 småbruk per år.) Av figuren leser vi ut b = 60 (tusen). Vi får derfor:

N = (—2.2)r + 60 (tusen)

Det er et skjønnsspørsmål hvordan man skal trekke linjen på figur 2.10. Senere skal vi se at det er en måte å gjøre det på som i en viss forstand er den beste. Den måten kalles minste kvadraters metode. (Se kapittel 12.)

► Eksempel 9 Man har undersøkt hvordan veksten av roten til Lupinus luteus avhenger av temperaturen. Ved en rekke forsøk lot man røtter vokse i 24 timer ved konstant temperatur. Det viste seg at i temperaturområdet fra 10.7 °C til 22 °C var rotens tilvekst y tilnærmet en lineær funksjon av temperaturen T. Se figur 2.11.

Figur 2.11

Vi skal finne en lineær funksjon som tilnærmet gir y som funksjon av T i intervallet [10, 22]. Vi velger da to punkter på linjen på figur 2.11, f.eks. (7, 0) og (35, 32). Linjens stigningstall er 32-0 a = ——- — 1.14

(mm per C).

Vi kan altså skrive y = (1.14)T + /?.

For å finne b kan vi f.eks. gjøre bruk av at punktet (7, 0) ligger på linjen. Punktets koordinater, T = 7 og y — 0, må passe i linjens likning, og vi får derfor 0 = (1.14)7 + b

som gir b — —7.98 (mm). Vi runder av til to siffer og får a = 1.1 og/? = —8.0. Dette gir den funksjonen vi søker: y = LIT - 8.0 mm

for

10 < T < 22 (°C). I

2.3

Lineære funksjoner og rette linjer i planet

45

Oppgaver til seksjon 2.3 1. Tegn grafen til funksjonen f (x) = 3.x + 1.

2. Skisser i xy-planet de tre linjene som er gitt ved likningene a) y — —2.x + 6

b) y — 2

c) x = 2

3. Skisser linjen N = 4r + 10 i rTV-planct.

4. Finn en likning for den rette linjen med stigningstall 5 som går gjennom punktet x = 3, y - 2. 5. Finn en likning for den rette linjen gjennom følgende punkter i xy-planet: (2, 1) og (4, 3).

6. Skisser i xy-planet de tre linjene som er gitt ved likningene (i)

2x + 3y = 6

(ii) 2x + 3y = 8

(iii) 2.x + 3 v = 10

Hva oppdager du? Forsøk å formulere en matematisk setning ut fra det du ser. 7. Likningen ax -\-by — c fremstiller en rett linje i xy-planet (vi antar at a og b ikke begge er null). Drøft stigningstallet for forskjellige verdier av a, b og c. 8. En undersøkelse i Oslo viste at N = antall dødsfall per uke er tilnærmet en lineær funksjon av gjennomsnittskonsentrasjonen c av SO2 målt i /zg/m3. Den empiriske funksjonen er N = 94+(0.03 l)c for 50 < c < 700. Skisser grafen.

9. Plott følgende data i xy-planet. Trekk på øyemål en rett linje tilpasset data­ ene, og finn en lineær funksjon som tilnærmet gir y som funksjon av x.

X

30

32

34

36

38

y

120

400

502

730

1050

10. Maksimalpulsen antas å avta lineært med alderen. Tabellen viser maksimalpulsen hos en del forsøkspersoner med forskjellig alder. a (år)

20

20

30

40

40

50

60

70

p (slag/min)

196

204

190

177

183

168

162

150

Finn en formel som tilnærmet gir maksimalpulsen som funksjon av alderen. 46

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

11. Behagelig badstubad forutsetter en bestemt relasjon mellom temperaturene x og y målt med henholdsvis “tørt” og “vått” termometer, se følgende tabell: x(°C)

50

60

70

80

90

y(°C)

36

40

44

48

52

Finn et uttrykk for y som funksjon av x.

2.4 Skifte av lineær skala En lineær skala på en rett linje har den karakteristiske egenskapen at avstanden mellom to vilkårlige punkter på linjen er proporsjonal med differansen mellom de tilsvarende tallene. u 10

20

30

40

100

Figur 2.12

50

60

70

150

80

90

100

200 T 212

o(

°F

To forskjellige lineære skalaer.

Når vi har to forskjellige skalaer, som på termometret på figur 2.12, så kan det være nyttig med en omregningsformel. Lar vi f.eks. temperaturen x °F tilsvare u °C, så har vi omregningsformelen u = ■— (x — 32). Som vi skal se, er denne formelen lett å utlede når vi kjenner to forskjellige par av samsvarende x og u-verdier, f.eks. (x = 32, u = 0) og (x = 212, u = 100). Istedenfor å utlede denne spesielle omregningsformelen så la oss behandle problemet mer generelt. Vi tenker oss to vilkårlige lineære skalaer på en rett linje og lar tallet x på den ene skalaen (x-aksen) tilsvare tallet u på den andre skalaen (w-aksen). Vi antar at det er gitt to forskjellige par av samsvarende x og u-verdier, nemlig (x = xq,u = uq) og (x — X], u = U]). Vi skal finne en omregningsformel.

«-akse x-akse X(J

Figur 2.13

Forholdet mellom lengden av linjestykkene L og L' kan uttrykkes på to måter, nemlig og • Det følger av dette at vi må ha

U — UQ

X — X()

Ul — Uq

X] — X()

2.4 Skifte av lineær skala

47

Løser vi denne likningen med hensyn på f.eks. u —

u\ —

uq\

---------Xi -x0/

m,

får vi

xj z/q — XOUi x d------------------xi -xo

Spesielt gjelder følgende setning:

Hvis x og u er samsvarende verdier for en måling avlest på to forskjellige lineære skalaer, så er u en lineær funksjon av x.

Oppgaver til seksjon 2.4 1. I fysikk bruker man skalaen for absolutt temperatur, kelvinskalaen, for å angi temperatur. Målenheten er kelvin, som forkortes K. En temperaturøkning på 1 K er det samme som en temperaturøkning på 1 °C. Nullpunktet på kelvinskalaen er 0 K = -273.15 °C. Sett u °C = y K. Finn y uttrykt ved u.

2. Betrakt fahrenheit- og celciusskalaen på figur 2.12 og sett x °F = u °C. Utled en formel for u uttrykt ved x. 3. Det er gitt to akser (med lineær skala), u-aksen og v-aksen.

u

V

Finn en likning som forbinder samsvarende verdier av u og v, og finn u uttrykt ved v. 4. Vi betrakter to akser (med lineær skala), a-aksen og t-aksen.

2?r

a

t to

Det er gitt to tall to og ?i. a = 0 svarer til t = tQ. a = 2jt svarer til t — t\. Finn en likning som forbinder samsvarende verdier av a og r, og finn t uttrykt ved a, to og L.

48

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

2.5 Lineære ulikheter og lineær programmering I denne seksjonen skal vi se på problemer som leder oss til å studere et sett av såkalte lineære ulikheter. Vi skal innskrenke oss til å studere ulikheter av typen

ax + by < c

(2)

der a, b og c er gitte tall slik at a og b ikke begge er 0. Gyldighetsområdet for (2), dvs. mengden av alle tallpar (x, y) som oppfyller ulikheten, kan vi anskueliggjøre ved en punktmengde i xy-planet. Denne punktmengden er et halvplan begrenset av linjen ax + by = c. Se eksemplene på figur 2.14.

Figur 2.14

Halvplan gitt ved en lineær ulikhet ► Eksempel 10

Betrakt følgende sett av ulikheter:

3x + 2y < 6 y — x > —3 x > —1 Gyldighetsområdet for hver av de tre ulikhetene er vist på figur 2.14. De punkt­ ene (x, y) som oppfyller samtlige tre ulikheter, må derfor befinne seg i snittet av de tre skraverte områdene, og dette området er antydet ved skraveringen på figur 2.15.

2.5

Lineære ulikheter og lineær programmering

49

► Eksempel 11 Vi skal sette sammen et måltid av x hg brød og y hg melk (1 hg = 100 g), men slik at følgende betingelser er oppfylt: Måltidet skal inneholde (i) høyst 470 kcal energi

(ii) høyst 10 g fett Blant alle mulige måltider som oppfyller disse kravene, skal vi bestemme det med størst proteininnhold. Vi gjør bruk av følgende data:

Innhold per 100 g Protein (g)

Fett (g)

Energi (kcal)

Kneippbrød (x)

9.5

1.4

261

Helmelk (y)

3.4

3.9

68

Vi kan stille opp følgende uttrykk for måltidets innhold av energi, fett og protein:

Energi (kcal) 26lx + 68y Fett (g)

1.4x + 3.9v

Protein (g)

9.5x + 3.4y

Kravene (i) og (ii) gir følgende ulikheter

26lx +68y < 470 1.4x + 3.9y < 10 x og y må naturligvis også oppfylle

50

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

Et måltid kan vi nå tenke på som et punkt (x, y) i xy-planet. De måltidene som oppfyller kravene (i) og (ii), dvs. ulikhetene ovenfor, utgjør det skraverte området M på figur 2.16. Vi skal nå finne måltidet med størst proteininnhold. La oss først bestemme beliggenheten av måltidene (x, y) med gitt proteininnhold p (målt i g). Vi får likningen 9.5% + 3.4y = p som gir

p y — —2.8x H------ . 3.4 For forskjellige valg av p gir dette parallelle linjer siden de har samme stig­ ningstall (nemlig —2.8). Noen av disse linjene er antydet på figur 2.17.

Figur 2.17

Vi skjønner at punktet P på figur 2.17 representerer det “tillatte” måltidet med størst proteininnhold. På figuren leser vi ut følgende omtrentlige verdier for koordinatene til P: x = 1.2 og y = 2.3 Dette tilsvarer 120 gram brød og 2.3 dl melk. Ønsker vi en mer eksakt løsning, kan vi gjøre bruk av at P er skjæringspunktet mellom linjene

261 x 4- 68y = 470

og

1.4x + 3.9y = 10.

Vi må altså løse likningssystemet:

261x + 68y = 470 1.4x + 3.9y = 10

Dette er eksempel på et såkalt lineært likningssystem. I kapittel 10 skal vi studere lineære likningssystemer med mer enn to ukjente, og vi skal gi en systematisk metode for å løse dem. I 2.5

Lineære ulikheter og lineær programmering

51

“Diettproblemet” ovenfor er eksempel på følgende mer generelle problem: Betrakt et (ikke-tomt og begrenset) område M i xy-planet, gitt ved et sett av ulikheter: a\x + b\y < C]

a2x + b2y < c2 anx + bny < cn La a og b være gitte tall. Problemet går ut på å finne største og minste verdi av uttrykket p = ax + by når (x, y) gjennomløper området M. La oss kalle disse verdiene pmin og pmaksOmrådet M er avgrenset av rette linjestykker og har dermed et visst antall hjørner. A finne /2mjn og pmaks er enkelt. Vi behøver nemlig bare undersøke i hjørnene til M, for det viser seg at største og minste verdi av uttrykket p = ax + by forekommer i hjørnene av området. For å forstå dette kan vi gå frem som i eksemplet ovenfor, og tenke oss de linjene som hver for seg representerer en konstant verdi av p. Disse linjene er parallelle.

Figur 2.18

Et eksempel på en slik situasjon er vist på figur 2.18, der noen av de parallelle linjene er inntegnet. Punktene P og Q gir henholdsvis største og minste verdi av p.

Lineære funksjoner av to variable Funksjoner av to variable hører hjemme i kapittel 12, men vi trenger allerede nå å kunne snakke om dem. Akkurat som for funksjoner av én variabel definerer vi en funksjon av to variable som en tilordningsregel. Eksempelvis kan uttrykket 3x + 5y + 4 oppfattes som en funksjon f av to variable, nemlig den regelen som til hvert par av tall (x, y) tilordner funksjonsverdien /(x, y) = 3x + 5y + 4.

DEFINISJON (Nivålinjene til en lineær funksjon /(x, y)) Vi sier at f er en lineær funksjon av to variable hvis det fins tall a, b og r slik at vi har f (x, y) = ax + by + r

52

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

for alle tall x og y, dvs. for alle punkter (x, y) i xy-planet. De punktene (x, y) som gir konstant funksjons verdi ax + by + r = p

(konstant),

danner en rett linje i x y-planet som kalles en nivålinje for f. Velger vi forskjell­ ige verdier for p, får vi forskjellige nivålinjer. Legg merke til at alle nivålinjene er parallelle, og at de fyller hele xy-planet. (Se figurene 2.17 og 2.18.) ► Eksempel 12 Nivålinjene til funksjonen f (x, y) — 2x + 3y er alle linjer som er parallelle med linjen 2x + 3y = 0. I

Oppsummering La M være et område i xy-planet som er bestemt av et sett med lineære ulikheter

ajX + biy < Cj,

i — 1,2, ... ,n

Anta at M er et ikke-tomt og begrenset område. Da er M avgrenset av rette linjestykker. For å skissere M kan vi starte med å tegne hver av linjene som ulikhetene gir opphav til: tzzx + biy — ei. For hver linje bestemmer du på hvilken side M ligger. (Se et godt råd nedenfor.) La f være funksjonen gitt ved f (x, y) = ax + by, der minst en av a og b er ulik 0. Ekstremverdiene til f i området M, dvs. den største og minste verdien som /(x, y) kan ha, når punktet (x, y) varierer i M. forekommer der nivålinjer til f tangerer (dvs. støter mot) M. For å finne største og minste verdi for f i området M, er det derfor nok å se på funksjonsverdien i hjørnene til M.

GODT RÅD For å finne ut på hvilken side av linjen atx + bfy = Cj området M ligger, kan du velge et eller annet punkt P = (xq, yo) utenfor linjen, og så se om punktet tilfredsstiller den tilsvarende ulikheten atx +fyy < c( eller ikke. Hvis ulikheten er tilfredsstilt, er M på samme side av linjen som P. Er ulikheten ikke tilfredsstilt, må M være på motsatt side av P. BEMERKNING Et område M som er bestemt av lineære ulikheter, behøver ikke å være begrenset. En funksjon /(x, y) = ax + by behøver da verken ha noen største eller minste verdi i området. (Se f.eks. på funksjonen f (x, y) = y — x, og se på området bestemt av ulikhetene x > 0, y > 0.) Det er imidlertid fortsatt riktig at hvis f har en ekstremverdi i området, så vil den forekomme der en nivålinje tangerer M. I problemene vi studerte ovenfor, var det to variable x, y. I praksis har en ofte å gjøre med lignende problemer, men med langt flere variable. Vi skal ikke gå nærmere inn på dette, bare nevne at den delen av matematikken der man håndterer slike problemer, kalles lineær programmering.

2.5

Lineære ulikheter og lineær programmering

53

Oppgaver til seksjon 2.5 1. Angi følgende punktmengde ved et skravert område i xy-planet: {(x, y) | x - v >2}.

2. Følgende ulikheter bestemmer et trapesformet området i xy-planet: x > 0.

x + y >2,

y > 0,

x + y < 4.

Skraver området, og bestem områdets hjørner.

3. Følgende ulikheter bestemmer et trekantformet område i xy-planet: x > 0.

y > 0,

x + y < 2.

a) Skraver området, og bestem områdets hjørner. b) Skisser, på samme figur som i a), noen nivålinjer for funksjonen /(x, y) = 2x + y. c) Hvor i området har f sin største og sin minste verdi?

4. a) Skraver det området i xy-planet som er gitt ved ulikhetene y > —2,

x + y < 2,

y + 2x > 1.

b) Hvor i det skraverte området har funksjonen f (x) — —3x + 4y sin største og sin minste verdi?

c) Finn største og minste verdi til funksjonen g(x) = 2x+3y i det skraverte området. 5. Følgende ulikheter bestemmer et ubegrenset området M i xy-planet: 2x + y > 4,

x -F 2y > 4.

a) Skraver området Af, og bestem dets hjørner. b) Skisser, på samme figur som i a), noen nivålinjer for funksjonen f (x, y) — 2x + 3y. og bestem eventuelle ekstremverdier for f i M.

6. Samme som foregående oppgave, men nå med funksjonen

/(x, y) = y — 2x.

54

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

7. (UiO, 1980.) En gårdbruker har 100 dekar til disposisjon for å dyrke soyabønner og kom. Utgifter, antall dagsverk som kreves, og fortjeneste per dekar er gitt i tabellen.

Utgifter til opp­ dyrking per dekar Antall dagsverk per dekar

Fortjeneste per dekar

Soyabønner

Kom

Totalt til disposisjon

100 kr

50 kr

6000 kr

2

4

180 dagsverk

500 kr

400 kr

Som siste kolonne viser, er avlingen som kan dyrkes, begrenset av dispo­ nibel kapital og antall dagsverk som kan settes inn i dyrkingen.

a) La henholdsvis x og y være antall dekar som dyrkes med soyabønner og kom. Angi grafisk de punktene (x, y) som tilfredsstiller de gitte betingelsene. b) Finn fortjenesten F målt i kroner. For hvilken tillatt kombinasjon av x og y mener du at fortjenesten blir størst?

2.6 Parabelen og funksjonen f (x) = ax2 + bx + c En kurve i planet med samme form som grafen til funksjonen y = x2, kalles en parabel (figur 2.19). Parabelen har en geometrisk egenskap som har nyttige anvendelser, bl.a. i optikk, akustikk og radioastronomi. Krummet vi et speil som en parabel, får speilet den egenskapen at lysstråler som faller inn mot speilet parallelt med parabelens akse, reflekteres og samles i et bestemt punkt, brennpunktet.

Figur 2.20 Lysstrålene samles i brennpunktet

Lager vi speilet rotasjonssymmetrisk om parabelens akse, får vi et såkalt parabolsk speil. Slike speil, med en åpning på ca. 1.5 m2, kan lages med enkel teknologi og brukes til koking av mat atskillige steder i verden. Se figur 2.21.

2.6

Parabelen og funksjonen /(x) = ax~ + bx + c

55

Justering for solhøyden Justering for solens asimut

“Solkomfyr” med parabolsk speil (B.J. Brinkworth, Solar Energy for Man. Compton Press 1972) Figur 2.21

La a, b og c være gitte tall, a 0. Man kan vise at grafen til funksjonen y = ax1 + bx 4- c alltid har form som en parabel, og at parabelens akse er parallell med y-aksen. Dette gjelder også om vi har forskjellig lengdeenhet på aksene, og gjør det til en enkel sak å skissere grafen. Fortegnet til koeffisienten a bestemmer om parabelen “åpner seg” oppover eller nedover (i forhold til et koordinatsystem tegnet på vanlig måte), se figur 2.22.

a 0 Figur 2.22

GODT RÅD Når du raskt skal danne deg et bilde av hvordan grafen til en annengradsfunksjon ligger i forhold til koordinatsystemet, kan den følgende metoden være grei. Vi illustrerer metoden på funksjonen y — 16x2 — 16x 4- 5. 1. Finn ut hvor grafen skjærer y-aksen: x —0

gir

y = 5.

2. Undersøk om det er andre verdier av x som gir samme y-verdi (altså y = 5):

y - 5

o 16x2 — 16x 4- 5 = 5 O 16x2 — 16x = 0 O x — 0 eller x = 1.

3. Siden parabelen er symmetrisk om sin akse, er det av interesse å se på midtpunktet mellom de punktene x — 0 og x — 1 som vi fant ovenfor, altså x = 1/2. Setter vi x = 1 /2 får vi y — 1.

56

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

y

På grunnlag av dette kan vi i grove trekk skissere grafen (figur 2.23).

La/være en vilkårlig funksjon. Ettall c kalles et nullpunkt for /hvis f(c) = 0. Vi skal senere se at problemer av mange slag kan tilbakeføres til et spørsmål om å finne nullpunktene til en passende funksjon. Nullpunktene til funksjonen f (x) = ax2 + bx + c (a 0) finner vi ved å løse annengradslikningen ax + bx + c — 0.

Hvis b2 — 4a c < 0, har denne likningen ingen reelle løsninger. Har vi derimot b2 — 4ac > 0, så har vi følgende løsninger:

—b 4- *Jb2 — 4ac

—b — \/b2 — 4ac

Disse løsningene, som også kalles likningens røtter, uttrykker vi gjeme i én formel: ________ —b ± \/b2 ~ 4ac Vi skal utlede denne formelen i kapittel 9. Anta at vi har b2 — 4ac > 0, slik at funksjonen f (x) = ax2 + bx + c har reelle nullpunkter x [ og xt. Det er et nyttig faktum at vi da kan skrive

f (x) = a(x - X| )(x — X2)

Formelen er enkel å utlede. (Jf. oppgave 5 og 6). Når et annengradsuttrykk ax2 +bx + c er skrevet på formen «(x — xi)(x — x?), sier vi at det erfaktorisert i lineære faktorer.

2.6

Parabelen og funksjonen /(x) = ax2 + bx + c

57

Oppgaver til seksjon 2.6 1. Finn eventuelle løsninger til følgende likninger: a) 2x2 + 3x - 1 = 0

b) 16x2 - 16x +5=0

c) N2 + 3N - 8 = 0

d) Å2 - 2Å + 6 = 0

2. For hvilke verdier av a har

A” — aA + 9 = 0 to forskjellige reelle røtter?

3. Skisser grafen til f (x) = x2 + x + 1. 4. Skisser grafen til f (x) = 2x2 + 4x + 1. 5. a) Finn nullpunktene xj og X2 til funksjonen f (x) = 7x2 - 35x +42.

b) Laxj og X2 være nullpunktene du fant ovenfor. Vis ved direkte utregning at vi har 7(x - xi)(x - x2) = f (x). 6. Anta at funksjonen

f (x) = ax + bx + c

har nullpunktene xj og x 2 (som godt kan være sammenfallende). Uttrykk X] og X2 ved a, b og c, og vis ved direkte utregning at vi har /(x) = a(x — xi)(x — xt)

for alle x. 7. La p og q være gitte tall slik at p~ > 4 0, så er f definert for alle reelle tall. Hvis n < 0, så er f definert for alle r # 0. Grafen til potensfunksjonen y = x4 er vist på figur 2.24.

Varmestråling fra svart legeme som funksjon av tempera­ turen

Figur 2.24

Figur 2.25

► Eksempel 13 (Varmestråling) Potensfunksjoner forekommer hyppig i fysikk. Et eksempel er vist på figur 2.25. Figuren illustrerer Stefans lov, som sier at utstrålingen fra et svart legeme er proporsjonal med 4. potens av den absolutte

2.7

Potensfunksjoner med heltallige . . .

59

temperatur. (Med absolutt temperatur forstår vi temperaturen målt i kelvin (K). Omregningsformelen er x °C = (x + 273.15) K.) I

► Eksempel 14 (Forstørrelse av en kule) overflate 5 og volum V. Som kjent har vi

Det er gitt en kule med radius r,

kulens overflate: S = 4nr2, og 4 3 kulens volum: V = -nr . 3

Hvis vi forstørrer kulen så den får dobbelt så stor radius, altså 2r, sier vi at den lineære forstørrelsesfaktoren er 2. Ut fra formlene ovenfor ser vi at overflaten er blitt fire ganger så stor som den var, og volumet er blitt åtte ganger så stort. Merk deg at hvis den lineære forstørrelsesfaktoren er 217/3, så blir volumet nøyaktig dobbelt så stort. Hvis vi i stedet gir kulen en lineær forstørrelsesfaktor x, der x er et vilkårlig positivt tall, så blir den nye radien x ganger så stor, altså lik xr. La S(x) og V(x) være henholdsvis overflate og volum av den forstørrede kulen. Vi får 5(x) = 4?r(xr)2 = 4nr2x2 = Sx2

V(x) = -7r(xr)3 = -nr^x2’ = Vx3

Legg merke til at vi får 5(x) Sx2 S _] V(x) ~ Vx3 “ VX

Både 5(x), V(x) og S(x)/ V(x) er altså potensfunksjoner av x.

I

Eksemplet ovenfor illustrerer et generelt fenomen som vi nå skal se på, og som vi senere skal se har viktige konsekvenser i biologi (jf. eks. 15). Vi bytter ut kulen i eksemplet ovenfor med et vilkårlig legeme. (Tenk f.eks. på “dyret” på figur 2.26.)

Figur 2.26

60

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

Vi tenker oss at legemet forstørres like mye i alle retninger, slik at formen bevares. For å si hva vi mener med lineær forstørrelsesfaktor i det generelle tilfellet, tenker vi oss en eller annen “linjal” L som forstørres i takt med legemet, f.eks. L, som antydet på figur 2.26. Den lineære forstørrelsesfaktoren x er linjalens lengde etter forstørrelsen dividert med lengden før forstørrelsen. Vi skal se på en setning som forteller oss hvordan overflate og volum vokser når legemet forstørres uten å forandre form:

Overflate- og volumforandring ved forstørrelse Betrakt et vilkårlig legeme med overflate S og volum V. Uten å forandre legemets form forstørrer vi det med lineær forstørrelsesfaktor x. La 5(x) og V(x) være henholdsvis overflate og volum av det forstørrede legemet. Vi har da:

(i) 5(x) = Sx2 (ii) V(x) = Vx3

Det følger at

5(x) 5 . V(x) “ VX Forholdet mellom overflate og volum er altså omvendt proporsjonalt med x.

Det er ikke helt enkelt å gi et stringent bevis for formlene (i) og (ii), men vi skal gi et heuristisk argument for (ii): Vi tenker oss at legemet er bygget opp av terninger som antydet på figur 2.26. Ved å benytte tilstrekkelig små og tilstrekkelig mange terninger kan vi få et volum som er så nær volumet av det gitte legemet som vi ønsker. Hvis vi forstørrer hele teminghaugen med lineær forstørrelsesfaktor x, så vil volumet til hver terning bli multiplisert med x3. Dermed blir hele teminghaugens volum multiplisert med x3. Det følger av det innrammede resultatet ovenfor at forholdet mellom over­ flate og volum avtar når forstørrelsesfaktoren x øker. Vi ser at vi kan få forholdet så lite vi vil, bare vi velger x stor nok. Dette har mange praktiske konsekvenser. Vi skal nevne et biologisk eksempel:

► Eksempel 15 (Cellevekst og deling) Vi tenker oss en celle som vokser uten å forandre form. Næringstilførselen skjer gjennom cellens overflate. Overflaten øker, men i forhold til cellens volum må den avta (y avtar mot null). Det blir derfor snart umulig å bringe nok næring inn til livsprosessene i cellens indre. En måte cellen kan omgå dette problemet på, er å forandre form på en slik måte at forholdet overflate/volum øker. Ved at cellen deler seg, skjer det nettopp en slik økning. Fenomenet er illustrert i tabellen nedenfor.

2.7

Potensfunksjoner med heltallige ...

61

Celle

Cellen har vokst til dobbelt volum. Lineær forstørrelse x = 21 3 % 1.26.

Den store cellen er delt i to celler av opprinnelig form og størrelse.

Overflate

5

% (1.26)25

25

Volum

V

Forholdet mellom overflate og volum

(0.79)5/V Forholdet har avtatt 21 %.

s/v

2V

(1.26)3 V

2V

(2S)/(2V) = S/V Forholdet er tilbake der det var.

En funksjon f som er definert for alle x ved f (x) = ao + a\x + «2*2 + ■ ■ • + anxn

der n er et naturlig tall og ao, a\, ..., er konstanter, kalles en polynomfunksjon, eller kort og godt et polynom. Hvis an =4 0, sier vi at f (x) er et 77-tegradspolynom. Et polynom er alltid en kontinuerlig funksjon, men grafen kan få et nokså komplisert utseende, avhengig av hvordan man velger koeffisi­ entene ao, a\. ■ • ■, an. Det kan vises at et n-tegradspolynom har høyst n for­ skjellige nullpunkter. En funksjon som er en kvotient av to polynomer kalles en rasjonalfunksjon. ► Eksempel 16

x2 - 3x + 5 x3 — 4x

er en rasjonal funksjon, f (x) er definert for alle x, bortsett fra nevnerens I nullpunkter x = 0, x = —2 og x = 2.

Oppgaver til seksjon 2.7 1. For hvert av tilfellene n =0. 1.2. 3, — 1. —2, skisser grafen til /(x) = x"

for —2 < x < 2. (Anta x / 0 der det er nødvendig.)

2. Avgjør hvilke av funksjonene som er potensfunksjoner, hvilke som er polynomfunksjoner, og hvilke som er rasjonale funksjoner: S

7

a) 5x

b) 6x' + 3x

1 + 2x d) ------ e) (1 +x)- - 1 — 2x 3 — 4xJ

62

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

S

1

c) x

3. Anta at en celle vokser uten å forandre form. La S og V være henholdsvis overflate og volum av cellen. a)

2

Vis at 5 er proporsjonal med V ?. _ 1

c

b) Vis at forholdet y er proporsjonalt med V-?.

4. En celle deler seg i to like celler av samme form som den opprinnelige. Vis at ved celledelingen øker forholdet y med 26 % uansett formen på cellen. 5. Om sommeren varmes svaberget opp som følge av solstråling. Etter hvert som temperaturen øker, øker imidlertid også utstrålingen fra steinen, og det er en grense for hvor varmt svaberget kan bli. Likevektstemperaturen inntreffer når varmetapet er blitt like stort som varmetilførselen. I en modell antar vi at varmetapet er gitt ved Iut = aT4 + b(T - To) der T er svabergets overflatetemperatur målt i K (= kelvin),

a = 5.7 • 10~8 Wm”2 K“4, b = 7.2 Wm'2 K~’,

To = 25 °C = 298.15 K. a)

Fyll ut følgende tabell:

(°C) T(K)

20

30

293.15 303.15

40

313.15

50

60

323.15 333.15

WWnT1)

b) Skisser grafen Zut som funksjon av T.

c)

Bestem likevektstemperaturen når tilført varme er Zinn = 750 W/m2.

2.7

Potensfunksjoner med heltallige ...

63

2.8 Omvendte funksjoner På figur 2.27 har vi tegnet grafen til en strengt voksende funksjon /, med definisjonsmengde A og verdimengde B. Verdimengden til f er mengden som består av alle funksjonsverdiene f (x) når x gjennomløper definisjonsmengden.

yo = /(x0)

;

j

a

v» = f~' (yo) Figur 2.27

Vi minner om at f er en tilordningsregel som til hvert tall x i A tilordner et bestemt tall y = f (x) i B. Siden f er strengt voksende, vil det omvendt til hvert tall y i B svare et entydig bestemt tall x i A slik at y = f (x). Denne omvendte tilordningsregelen kaller vi den omvendte funksjonen til f, og vi gir den symbolet . Vi har altså:

y = f(x)

o x = f 'fy)

Vi skjønner at definisjonsmengden til f 1 er B og verdimengden til f 1 er A. Merk at vi har

f ](f(xV) =x

for alle

x

e

A.

(7)

gjør godt igjen det f gjorde med x.”) Ut fra definisjonen av omvendt funksjon er det også klart at f er den omvendte funksjonen til Vi har derfor også: /(/-1(y)j = y

for alle

y E B.

f og f “1 er omvendte av hverandre. Hvis vi på figur 2.27 er villige til å akseptere y-aksen som argumentakse og x-aksen som funksjonsakse, så kan kurven på figur 2.27 tolkes som grafen til f~1. Det er imidlertid litt uvanlig å ha aksene slik. For å få et bedre inntrykk av grafen til 1 kan det være lurt å speile figuren om linjen y = x. Resultatet er vist på figur 2.28.

64

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

Figur 2.28

Figur 2.29

Nå er det vanligst å la argumentet hete x og funksjonsverdien y. Ønsker vi å følge denne praksisen, kan vi foreta en ren typografisk ombytting der bokstaven x erstattes med y og omvendt. Dette er gjort på figur 2.29. Hvis det er samme lengdeenhet på begge aksene, vil koordinatsystemet på figur 2.27 og på figur 2.29 nå være det samme. Vi kan derfor trekke følgende konklusjon:

Tegner vi grafen til f og f-1 i samme koordinatsystem, idet vi bruker samme lengdeenhet på aksene, så fremkommer den ene grafen av den andre ved speiling om linjen v = x.

Figur 2.30 Samme enhet på aksene gir symmetri om linjen y=x

► Eksempel 17 Funksjonen f er gitt ved f (x) = 5x + 1 for alle x. Det f gjør med x, er altså å multiplisere med 5 og så addere 1. Den omvendte funksjonen skal “gjøre det godt igjen,” og må følgelig først substrahere 1 og så dividere med 5. Vi må altså ha f ’(%) = i(x - 1)

for alle

2.8

x.

Omvendte funksjoner

65

"Rent mekanisk" kan dette utledes slik: Løser vi likningen y = 5x + 1 med hensyn på x, får vi x = i(y — 1). Vi må derfor ha

f !(y) = -(y-l)

for alle

y.

for alle

x.

Vi kaller argumentet x istedenfor y, og får

(x) = -(x — 1)

Merk: f 1 (x) må ikke forveksles med funksjonen

j-

I

Da vi definerte den omvendte funksjonen til en funksjon, gikk vi ut fra en strengt voksende funksjon f. Det er imidlertid ikke vesentlig at f er strengt voksende. Det vesentlige kravet til f er at det til hvert tall y i verdimengden til f fins et entydig bestemt tall x i definisjonsmengden, slik at y = f (x). En funksjon med denne egenskapen kalles en-entydig eller injektiv.

► Eksempel 18

Funksjonen y = | er en-entydig, men verken strengt voksende

eller strengt avtagende hvis vi velger mengden av alle tall / 0 som funksjonens definisjonsmengde. I

Oppgaver til seksjon 2.8 1. Finn et uttrykk for den omvendte funksjonen til f: a) f(x)=2 — 3x

, b) /('x) = l+x3

1 c) f (x) = ------x — 1

2. For hver av funksjonene i oppgave 1, vis ved utregning at f~](f(a)) = a

66

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

og

f(f~fib)) = b

for alle

a. b.

3. Det er gitt fem funksjoner definert for alle positive tall ved følgende funksjonsuttrykk:

X,

X2 ,

X3 ,

X2

,

X -3

Hvilke av disse funksjonene er omvendte av hverandre?

2.9 Flytting av grafen i forhold til koordinatsystemet Vi skal se hva som skjer med grafen til en funksjon når vi foretar visse typer enkle justeringer av funksjonsuttrykket. Innsikt i dette vil være til hjelp bl.a. i neste kapittel, særlig i forbindelse med kurvetilpasning i seksjon 3.9.

Vertikal forskyvning Erstatter vi funksjonen y = f (x ) med y = f (x) + b, der b er et gitt tall, så er det nokså opplagt at grafen forskyves i vertikal retning, oppover hvis b er positiv, slik som på figur 2.32, og nedover hvis b er negativ.

Horisontal forskyvning Erstatter vi funksjonen y = f (x) med y = f (x — a), så vil du med litt tankearbeid forstå at grafen forskyves i horisontal retning. Se figur 2.32. NB! Det er viktig å forstå at forskyvningen skjer til høyre hvis a er positiv, slik som på figuren, og til venstre hvis a er negativ. (Her er det lett å gjøre feil. Sjekk deg selv ved å finne ut hvordan grafen til f (x + 5) er forskjøvet i forhold til grafen til f (x). Skriv deretter ned en begrunnelse for at grafen er forskjøvet 5 enheter til venstre!)

Figur 2.32

Strekke, krympe og speile

Det er viktig å være klar over at det å multiplisere en funksjon med et gitt positivt tall c svarer til å forstørre eller forminske grafen i y-retningen, mens

2.9

Flytting av grafen i forhold til koordinatsystemet

67

ingen forandring finner sted i x-retningen. Hvorvidt vi får forstørrelse eller forminskelse, avhenger av om vi har c > 1 eller 0 < c < 1. Eksempler på dette er vist på figur 2.33. A multiplisere en funksjon med — 1 svarer til å speile grafen om x-aksen.

Figur 2.33

Vi skal nevne en siste type justering som også opptrer hyppig i praksis. Den består i å erstatte funksjonen y = /(x) med funksjonen y = f(kx), der k er et gitt tall. Forsøk å finne ut hvordan grafene nå ligger i forhold til hverandre! Start med å gjøre oppgave 2.9.2. (Figur 3.23 i neste kapittel viser et eksempel med k = 3.)

Oppgaver til seksjon 2.9 1. Skisser grafen til funksjonene y = x2, y = (x — l)2 og y = (x — 2)2.

2. Tenk deg at grafen til funksjonen /(x) er gitt. Studer noen eksempler, og lag så en setning som generelt beskriver grafen til funksjonene y = f (—x) ogy = f(2x).

2.10 Det generelle funksjonsbegrepet 12.1 definerte vi en funksjon av én variabel som en regel som til hvert tall i en viss tallmengde tilordner et bestemt tall. Det kan imidlertid være hensiktsmessig å operere med et mer generelt funksjonsbegrep, der argument og funksjons verdi ikke nødvendigvis er tall.

► Eksempel 19 La A være mengden av fuglearter i Norge. For hver fugleart x g A, la /(x) være gjennomsnittsvekten av et voksent individ. I

► Eksempel 20 La A være mengden av punkter i xy-planet. For hvert punkt p 6 A, la /(/?) være summen av koordinatene til p. (Altså, hvis p = (x, y), får vi /(/?) = x + y.)

68

Kapittel 2

Funksjoner av én variabel

► Eksempel 21 La A være mengden av middagsretter som serveres i kantina Frederikke. For hver rett R lar vi f (R) være næringsinnholdet, angitt ved en sekvens av fire tall som angir innholdet av henholdsvis proteiner, fett, karbo­ hydrater (målt i gram) og energi (målt i kcal). F.eks. har vi /(fiskegrateng) = (32.6. 8.7, 70.2. 492) I

Eksemplene ovenfor er tilordningsregler som faller inn under det generelle funksjonsbegrepet i matematikken. Den generelle definisjonen lyder:

DEFINISJON (Det generelle funksjonsbegrepet) En funksjon fra en mengde A til en mengde B er en regel som til hvert element i mengden A tilordner et bestemt element i mengden B. A kalles funksjonens definisjonsmengde.

2.10

Det generelle funksjonsbegrepet

69

kapittel

3 Periodiske fenomener

3.1 Periodiske funksjoner Periodiske fenomener forekommer hyppig i naturen. Det kan f.eks. være hjerte­ aktivitet, dagslysvariasjoner, klimavariasjoner eller svingninger i plante- og dyrepopulasjoner, eller det kan være mekaniske vibrasjoner og bølgefenomener som lyd og lys. På figur 3.1 ser vi et eksempel på et periodisk fenomen. Kurven viser periodiske blodtrykksvariasjoner. Perioden T = 0.9 sekunder er tegnet på figuren.

Figur 3.1 Blodtrykksvariasjoner i en arterie hos et friskt menneske

For å beskrive periodiske fenomener matematisk gjør man bruk av såkalte periodiske funksjoner. En funksjon / kalles periodisk hvis funksjons verdien “gjentar seg med en viss periode T”. Dette kan uttrykkes matematisk ved å si at følgende betingelse skal være oppfylt: f (x + T) = /(x)

for alle

x

Ingen av de funksjonene vi har sett på til nå, oppfyller en slik betingelse (bortsett fra de konstante funksjonene). For å beskrive periodiske fenomener må vi derfor innføre nye funksjoner. Vi skal først se litt på vinkelbegrepet. 3.1

Periodiske funksjoner

71

3.2 Vinkler målt i grader og radianer Vi vil regne vinkler med fortegn. Det er nyttig, blant annet fordi vi skal bruke vinkler til å beskrive dreiningen Positive vinkler svarer til positiv dreieretning (mot urviseren), mens negative vinkler svarer til negativ dreieretning (med ur­ viseren), se figur 3.2.

= 420s

Figur 3.2

Vinklene på figur 3.2 er angitt med enheten grader (°). En hel omdreining svarer som kjent til 360°. Oftest vil vi imidlertid måle en vinkel i radianer. Enheten 1 radian er vist på figur 3.3. Det er vinkelen som skjærer ut en bue med lengde 1 på enhetssirkelen (dvs. sirkelen med radius 1). Siden denne sirkelens omkrets er 2;r, så svarer en hel omdreining til 2x radianer. Vi får derfor 360° = 2rr radianer.

Figur 3.3

Vinkelen 1 radian

Spesielt får vi omregningsformlene 1° = ~ radianer, og 1 radian = I matematikk sløyfer vi som regel enheten radianer og behandler vinkler som om de var tall. Vi skriver f.eks. 360° = 2jt. Dermed får vi 180° = tt og 90° = 7T/2. Noen viktige vinkler målt i grader og radianer

Grader

0

30

45

60

90

180

270

360

Radianer

0

77 — 6

— 4

77

77 —

77 —

77

3.t — 2

2tt

3

2

► Eksempel 1 (Omregning fra grader til radianer) Finn vinkelen 18 målt i radianer. Løsning: Vi har 360° = 2tc. Da har vi 1 ° — 2rr/360 og derfor 2tt Jt 18° = 18 • 1° = 18------ = — 360 10

Svaret er eksakt. En numerisk tilnærmingsverdi er f.eks. 18° ~ 0.314.

72

Kapittel 3

Periodiske fenomener

I

Når en vinkel angis som et ubenevnt tall, er det underforstått at enheten er radianer. Man sier gjeme at vinkelen er angitt i absolutt vinkelmål. Den vinkelen som svarer til et gitt tall v, kommer frem på følgende måte: Hvis v er positiv, setter vi av en bue av lengde v i positiv dreieretning langs enhetssirkelen (figur 3.4). Hvis v er negativ, setter vi av en tilsvarende bue i negativ dreieretning (figur 3.5).

Figur 3.4 Vinkelen v — 0.5

Figur 3.5 Vinkelen v = —0.5

(radianer)

(radianer)

► Eksempel 2 (Omregning fra radianer til grader) En vinkel er gitt ved tallet — 13.6. Det er altså underforstått at enheten er radianer. Finn vinkelen målt i grader. Løsning: Vi har 2rr — 360°. Da har vi 1 = 360°/2tt, og derfor

360° -13.6 = -13.6-------- % -779.2°. 2;r

Oppgaver til seksjon 3.2 1. Angi følgende vinkler i absolutt vinkelmål (radianer):

a) 60°

b) -60°

d) 11.33°

c) 450°

2. Hvor mange omdreininger (og i hvilken retning) svarer til følgende vinkler? 5tt a) 107T b) —— c) 22 d) -15.18

3.3 Sinus og cosinus Betrakt et rettvinklet koordinatsystem med samme lengdeenhet på aksene og en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. La v være et gitt tall, v representerer en dreining som fører punktet Pq — (1,0) over i et bestemt punkt Pv. (Dette er vist på figur 3.6 for et tilfelle der v > 0.) Til ethvert reelt tall v har vi derfor tilordnet et punkt Pv med bestemte koordinater (x, y). Funksjonen sinus er den regelen som til tallet v tilordner koordinaten y. Vi skriver y = sin v. Funksjonen cosinus er den regelen som til tallet v tilordner koordinaten x. Vi skriver x = cos v.

3.3

Sinus og cosinus

73

Figur 3.6

Vinkel V > 0

► Eksempel 3 Vi skal finne sin( —og cos( —y) (uten bruk av kalkulator). Dreier vi punktet (1,0) vinkelen — 4 om origo, kommer vi til punktet (0, — 1) (se figur 3.7).

Figur 3.7

Vi har derfor cos(—y) = 0, og sin(—y) = —1.

► Eksempel 4 Vi skal beregne sin 2 på kalkulator. Siden det er underforstått at tallet 2 svarer til vinkelen 2 radianer, må vi først stille inn kalkulatoren på radianer (“rad”). Riktig svar blir sin 2 % 0.909. ► Eksempel 5 Vi skal beregne sin 2°. Vi stiller nå kalkulatoren inn på grader (“deg”). Riktigsvarer sin 2° ^ 0.035. (Obs! Vær klar over at noen kalkulatorer opererer med en annen type “grader” som det går 400 av på omdreiningen, istedenfor 360.) Enten vi dreier punktet (1,0) en vinkel v eller en vinkel v + 2n, så kommer vi til samme punkt (x, y). Vi har derfor:

sin(v + 2tc ) = sin v cos(u + 2tc ) = cos v

(1)

Sinus og cosinus er derfor periodiske funksjoner, med periode 2n. Figur 3.8 viser hvordan vi kan forestille oss at grafen til funksjonen v = sin v kommer frem ved at vi lar et punkt vandre med jevn fart langs periferien på en sirkel med radius 1. En kurve med en slik form kaller vi en sinuskurve.

74

Kapittel 3

Periodiske fenomener

V

Figur 3.8

► Eksempel 6 Betrakt en sylinder med radius r, og tenk deg at den er skåret over på skrå med en snitt-vinkel på 45°.

Figur 3.9

Klipper vi opp sylinderen, som vist på figur 3.9. og ruller den ut. får vi en sinusformet kontur. (Prøv med papir og saks!) I Velger vi andre lengdeenheter på aksene enn dem vi har valgt på figur 3.8. vil naturligvis sinuskurven få et mer langstrakt eller mer sammenpresset utseende. Se figur 3.10.

Figur 3.10

For en vilkårlig vinkel v gjelder formlene sint — v) = — sin v

(2)

cost — v) = cos v

som man lett kan overbevise seg om ved å se på figuren. Se figur 3.11. 3.3

Sinus og cosinus

75

På figur 3.12 er den nederste skraverte trekanten kommet frem ved å dreie den øverste skraverte trekanten 90° = y. Vi skjønner da at a — b, og at vi derfor må ha:

Figur 3.11

Figur 3.12

Formel (3) forteller oss at grafen til funksjonen y = cos v er forskjøvet y til venstre i forhold til grafen til u = sin v. Se figur 3.13. (Jf. seksjon 2.9.)

Figur 3.13

Oppgaver til seksjon 3.3 1. Beregn:

a) sin 0.8

b) cos 15

c) cos 15°

d) sin 67.28

2. Skisser grafen til funksjonen f (v) = sin v, på intervallet [—2rr, 2;r ]

a) uten bruk av kalkulator, b) med kalkulator. 3. Skisser grafen til funksjonen /(v) = cos v, på intervallet [—2rt. 2tr]

a) uten bruk av kalkulator,

b) med kalkulator. 4. Skisser, i ett og samme koordinatsystem, grafen til funksjonene y = sin x og y = cos på intervallet [—2tt, 2tt].

76

Kapittel 3

Periodiske fenomener

5. Skisser grafen til følgende funksjoner:

a) y = 2 sin x (bruk 1 cm som lengdeenhet på begge akser)

b) y = sin x (bruk 1 cm som lengdeenhet på x-aksen og 2 cm som lengde­ enhet på y-aksen) 6. Finn det største intervallet som inneholder 0 og er slik at funksjonen er strengt voksende i intervallet.

a) sin v

b) cos v

7. Finn en formel for sin v (uttrykt ved cosinus), som tilsvarer formelen (3). 8. Vis at hvis likningen 3 cos v 4- 5 sin v = A cos v + B sin v er oppfylt for alle v, så må vi ha A = 3 og B = 5. (Hint: Sett inn noen velvalgte verdier for v). 9. Forklar fenomenet i eksempel 6. Undersøk også andre snittvinkler enn 45°.

3.4 Vinkler og kvadranter Et vanlig rettvinklet koordinatsystem deler planet i fire områder, såkalte kvad­ ranter. Punktene på aksene regnes ikke med i disse områdene. Kvadrantene nummereres mot urviseren (positiv dreieretning), og med første kvadrant øverst til høyre. At en vinkel v ligger i en gitt kvadrant, betyr per definisjon at det til­ svarende punktet Pv på enhetssirkelen (jf. seksjon 3.3) ligger i denne kvadranten.

► Eksempel 7 a) Vinkelen tt/4 ligger i første kvadrant. b) Vinkelen tt/2 hører ikke til noen kvadrant fordi punktet P^/2 = (0, 1) ligger på en av aksene, nemlig y-aksen.

c) Vinkelen v på figur 3.6 ligger i tredje kvadrant fordi punktet Pv befinner seg der.

d) Vinkelen v = —0.5 ligger i fjerde kvadrant, se figur 3.5.

I

Vi kan bestemme kvadranten til en vinkel v ut fra fortegnet til sin v og cos v. Det gjøres lett med følgende tabell (fortegnene i tabellen følger direkte fra definisjonen av sinus og cosinus, se figur 3.6):

► Eksempel 8 til v.

Kvadranten til v

1

2

3

4

sin v cos v

+ +

+ —

—

— +

—

En vinkel v er slik at sin v 0. Finn kvadranten

Løsning: Fra tabellen ser vi at v må ligge i fjerde kvadrant. (Tegn også

I

en figur som illustrerer dette!)

3.4 Vinkler og kvadranter

77

Oppgaver til seksjon 3.4 1. I hvilke kvadranter ligger vinklene? a) 110°

b) -80°

c) 3?r/2

d) — 11tt/5

e) 1

f) 2

2. Hold et papir slik at det skjuler fortegnene i tabellen ovenfor. Forsøk så selv å fylle inn de riktige fortegnene ved å tenke på hvordan sinus og cosinus er definert. 3. Bruk opplysningene til å bestemme, eller si noe om, kvadranten til v: a) sin v > 0, cos v < 0

b) sin v < 0, cos v < 0

c) cos v > 0

3.5 Tangens Funksjonen tangens skrives tan og er definert ved uttrykket sin v tan v = -----cos v Grafen til y = tan v er vist på figur 3.14. De stiplede linjene er ikke en del av grafen, men er såkalte vertikale asymptoter. En definisjon av begrepet vertikal asymptote (for en funksjon) bygger på grensebegrepet, og er gitt i seksjon 4.4.

Figur 3.14

Foreløpig kan vi, noe upresist, si at det er en vertikal linje som er slik at funk­ sjonens graf enten forsvinner oppover eller forsvinner nedover etter hvert som grafen nærmer seg linjen fra den ene eller den andre siden. For tangensfunksjonen befinner de vertikale asymptotene seg nøyaktig der tan v ikke er definert, det vil si der cos v = 0. 78

Kapittel 3

Periodiske fenomener

Noen egenskaper ved tangensfunksjonen - tangens er periodisk med periode 7t - tangens er strengt voksende i intervallet (—y, y)

- tangens har vertikale asymptoter i punktene ±y, og derfor også i alle punkter + nit, der n er vilkårlig helt tall.

Egenskapene ovenfor er enkle å verifisere: Først verifiserer du at vi har

sin(u + jr) = — sin v

og

cos(v + rr) = — cos v.

(Gjør det!) Deretter dividerer du første likning med siste likning. Da forsvinner minustegnet, og du får tan(v+7r) = tan v. Tangensfunksjonen er altså periodisk med periode 7r (jf. seksjon 3.1). Den andre egenskapen vil du være i stand til å verifisere når du har lært om derivasjon og funksjonsdrøfting i kapittel 6. (At funksjonen tan x = er strengt voksende i intervallet [0,7r/2), kan vi imidlertid se direkte. På dette intervallet er nemling sin x strengt voksende og cos x strengt avtagende.) For å vise den tredje egenskapen er det tilstrekkelig, på grunn av periodisiteten, å vise at tangens har vertikal asymptote i punktet tc/2. Dette er det strengt tatt for tidlig å vise her, fordi det involverer grensebegrepet som først kommer i kapittel 4.

Oppgaver til seksjon 3.5 1. Finn fortegnet til tangens i de forskjellige kvadrantene.

2. Plott grafen til funksjonen /(v) = tan v, for —rr/2 < v < rr/2, på en grafisk kalkulator. Sammenlign svaret med figur 3.14. 3. Tegn grafen til funksjonen /(v) — tan v, på intervallet [—2zr, 2jt]

a) uten bruk av kalkulator, men ved hjelp av resultatet i oppgave 1. Tegn også inn de vertikale asymptotene som stiplede linjer. b) med grafisk kalkulator.

3.6 Arcusfunksjonene: sin 1, cos 1 og tan 1 På lommeregnere med funksjonstaster finner du betegnelsene sin-1, cos-1 og tan-1. Dette er de omvendte funksjonene til sinus, cosinus og tangens. Du vil kanskje invende at periodiske funksjoner ikke kan ha noen omvendt funksjon, fordi forskjellige tall kan gi samme funksjons verdi. I så fall har du helt rett! Det vi må gjøre, er å innskrenke definisjonsmengden til sin, cos og tan på en passende måte. 3.6

Arcusfunksjonene: sin ',cos 1 og tan 1

79

Funksjonen sin Funksjonen sinus er strengt voksende i intervallet [—jt/2, 7r/2]. Velger vi dette intervallet som definisjonsmengde, får sinus en omvendt funksjon som kalles arcussinus. Den betegnes arcsin eller sin-1. Vi skal bruke betegnelsen sin-1.

Hvis v befinner seg i intervallet [—tt/2, tt/2], har vi

y = sin v

O

v = sin-1 y

► Eksempel 9

Finn vinkelen v i intervallet [—tt/2, tt/2] slik at sin v = —0.7. Løsning: Vi bruker kalkulatoren og får v — sin-1 (-0.7) —0.78. I

Hvis a er et gitt tall i intervallet [—1, 1], har likningen sinu = a uendelig mange løsninger. Vinkelen v = sin-1 a er den eneste løsningen i intervallet [—tt/2, tt/2] . Søker vi løsninger som ligger utenfor dette intervallet, kan vi ha hjelp av følgende setning:

La v være et vilkårlig tall, og betrakt vinklene v og rr — v. De tilsvar­ ende punktene Pv og P^-v på enhetssirkelen ligger symmetrisk om den vertikale aksen. Vi har derfor sin v — sin(;r — v),

for alle

v.

OPPGAVE Lag en figur som illustrerer setningen ovenfor. (Start med å tegne et aksekors og enhetssirkelen med sentrum i origo. Velg deg så en vinkel v.)

Finn en vinkel v i tredje kvadrant slik at sin v = —0.7. Løsning: Sett u = sin-1 (—0.7) —0.78. Vinkelen u ligger i fjerde

► Eksempel 10

kvadrant. Vinkelen tt — u har samme sinusverdi som u, og må ligge i tredje kvadrant ifølge setningen. Vi kan derfor sette v = jr — u 3.14 + 0.78 = 3.92. I

Funksjonen cos Funksjonen cosinus er strengt avtagende i intervallet [0, tt]. Velger vi dette intervallet som definisjonsmengde, får cosinus en omvendt funksjon som kalles arcuscosinus. Den betegnes arccos eller cos-1. Vi skal bruke den sistnevnte.

80

Kapittel 3

Periodiske fenomener

Hvis v befinner seg i intervallet [0,

tt],

v = cos v O

har vi

v = cos-1 y

Hvis a er et gitt tall i intervallet [—1, 1], har likningen cos v = a uendelig mange løsninger. Vinkelen v = cos-1 a er den eneste løsningen i intervallet [0, tt]. Søker vi en løsning som ligger utenfor dette intervallet, kan vi finne den ved å skifte fortegn på v og/eller addere et helt multiplum av 2?r. Ingen av disse operasjonene vil forandre cosinusverdien. (Jf. figur 3.11.)

Funksjonen tan-1 Funksjonen tangens er strengt voksende på intervallet {—7r/2, ti/2>. Velger vi dette intervallet som definisjonsmengde, får tangens en omvendt funksjon som kalles arcustangens. Den betegnes arctan eller tan-1. Vi skal bruke betegnelsen tan-1.

Hvis v befinner seg i intervallet (—æ/2,

y = tan v O

tc/2),

har vi

v — tan- y

Hvis a er et vilkårlig gitt tall, har likningen tan v = a uendelig mange løsninger. Vinkelen v = tan-1 a er den eneste løsningen i intervallet (—tt/2, tt/2).

Tangens er periodisk med periode tt, derfor må også ntr + tan-1 a være en løsning for ethvert helt tall n. Når vi ser på grafen til tangensfunksjonen, jf. figur 3.14, er det ikke vanskelig å innse at dette må være alle løsningene. Vi har altså denne setningen:

La a være et vilkårlig gitt tall. Løsningene til likningen tan v = a

er alle tall v som kan skrives

v = njr + tan-1 a

der n er et helt tall.

3.6

Arcusfunksjonene: sin *, cos 1 og tan 1

81

Finn alle vinklene v i intervallet [0, 2tt] slik at tan v = —3. Løsning: Vi har tan '1 (-3) « —1.25 (= -71.6°). Denne vinkelen ligger utenfor det ønskede intervallet. Vi kan imidlertid addere et helt multiplum av 7T uten å forandre tangensverdien. Adderer vi henholdsvis ti og 2tt, får vi vinklene vj = —1.25 + tt ~ 1.89 og i>2 = —1.25 + 2y % 5.03. Dette er de eneste løsningene i intervallet [0, 2tt], for hvis vi adderer 3tt, havner vi igjen utenfor intervallet. I

► Eksempel 11

Oppgaver til seksjon 3.6 1. Finn funksjonens definisjonsmengde.

a) sin 1 x

c) tan 1 x

b) cos 1 x

2. Plott funksjonen på grafisk kalkulator, over intervallet [—1, 1],

a) sin"1 x

b) cos-1 x

3. Plott funksjonen tan-1 x på grafisk kalkulator, over intervallet [—5, 5]. 4. Finn sin-1 (0.92) og cos-1 (—0.08)

5. En vinkel v ligger i intervallet (—y, y), og vi har tan v = 11.407. Finn v. Oppgi svaret både i grader og i absolutt vinkelmål (radianer). 6. Det er gitt at sin v = —0.26 og cos v < 0. Finn v.

7. Det er gitt at sin v ~ 0.98 og cos v = —0.17. Finn v. 8. Finn v i intervallet {—tt/2, a) tan v = 1

tt/2).

b) tan v — — 1

c) tan v = 0.33

9. For hver likning i foregående oppgave, finn alle løsningene.

10. For hver likning i oppgave 8, finn den løsningen som befinner seg i intervallet (tt/2, 3tt/2>.

3.7 Trekantberegninger I mange praktiske situasjoner har man behov for å kunne beregne vinkler og lengde av sider i trekanter. Vi skal vise noen eksempler på hvordan sinus, cosinus og tangens, og deres omvendte funksjoner, kan brukes til dette. I denne seksjonen vil vi til en forandring oppgi vinkler med enheten “grader,” fordi det er den enheten som er mest brukt når vi snakker om vinkler i dagliglivet. Betrakt den rettvinklete trekanten på figur 3.15, der lengden av sidene er x, y og r.

82

Kapittel 3

Periodiske fenomener

Figur 3.15

Det følger nokså direkte fra våre definisjoner at vi har:

y r

motstående katet sin v = - = ----------------------hypotenusen

x hosliggende katet cos v = - = ----------------------r hypotenusen y x ► Eksempel 12 lengde r.

motstående katet tan v = — = ----------------------hosliggende katet

Anta at y = 5, og v = 40° i figur 3.15. Finn hypotenusens

Løsning: Vi har x = r sin v, som gir r = x/sin v = 5/ sin(40°) ~ 7.78.

I ► Eksempel 13 Tenk deg at figur 3.15 viser den ene siden av et skrått tak. Anta at takvinkelen er v = 18°.

a) Finn avstanden r fra takfoten og opp til mønet, uttrykt ved x. b) Taket dekker et horisontalt areal på 100 m2. Man skal legge takstein på taket, og er interessert i det virkelige takarealet. Hvor stort blir det?

Løsning:

a) Vi har x!r — cos u, som gir r = x/ cos v — x/cos(18°) « x(1.05). b) Forholdet mellom det virkelige og det horisontale takarealet er r/x ~ 1.05. Dette virkelige takarealet er derfor ca. 105 m2. I

► Eksempel 14 Et skrått tak har stigning 1:3, dvs. taket stiger én meter for hver tredje meter målt horisontalt. Finn takvinkelen v målt i grader. Løsning: (Tegn figur!) Vi har tann = 1/3, og får v = tan-1 (1/3). Vi stiller kalkulatoren på grader, og finner v = 18.4°. I

► Eksempel 15 Kl. 12 en klar dag i Oslo, i midten av april, er solintensiteten mot en horisontal flate ca. 700 W/m2. Anta at solstrålene danner vinkelen v = 40° med horisontalplanet. Vi skal undersøke hvor mange W per m2 en flate, som står loddrett på stråleretningen, mottar. 3.7

Trekantberegninger

83

Flate på y m2 sett fra siden

meter

Flate på 1 m2 sett fra siden

1 meter Figur 3.16

Intensiteten mot en flate rettet mot sola er I —

yj ]iar v _ sjn40°.

Dette gir / ~ l. 1 • 103 Wm 2. I forbindelse med trekantberegninger kan den såkalte cosinussetningen være til god hjelp:

Cosinussetningen La v være en av vinklene i en trekant, og la a være lengden av den motstående siden. La b og c være lengdene av de to andre sidene. Da har vi

a~ — h~ + c~ — 2b c cos v

Figur 3.17

► Eksempel 16 En trekant har sider med lengde henholdsvis 4, 5 og 7. Finn den største vinkelen v målt i grader. Løsning: (Tegn figur!) Den største vinkelen må ha siden med lengde 7 som sin motstående side. Cosinussetningen gir 7- = 42 + 52 — 2 • 4 • 5 cos v. Dette gir cos v = —1/5, og vi får v = cos-1 (-1 /5). Stiller vi kalkulatoren på grader, får vi v % 101.5°. I Legg merke til at cosinussetningen brukt på en rettvinklet trekant (v = 90°) gir oss Pytagoras’ setning som spesialtilfelle. Se figur 3.18.

84

Kapittel 3

Periodiske fenomener

Figur 3.18 Pytagoras’ setning: a1 = b1 + c2

SKRIVEMÅTE For å forenkle skrivemåten er det vanlig å skrive sin2 v istedenfor (sin v)2, og cos2 v istedenfor (cos v)2.

Ved hjelp av Pytagoras’s setning er det lett å vise at følgende likning gjelder for alle v: sin2 v + cos2 v = 1 (4) Bevis: Vi nøyer oss med å vise at likningen gjelder for en vilkårlig vinkel v i første kvadrant. Betrakt figur 3.15. Velger vi r = 1, får vi for det første at x2 + y2 = 1, fra Pytagoras’ setning. For det andre har vi x — cos v, og y = sin v, som følger direkte fra definisjonen av sinus og cosinus. Kombinerer vi disse to tingene, følger likningen. ■

Ved hjelp av (4) er det mulig å komme frem til eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til noen spesielle vinkler. Se tabellen. v målt i grader

0

30

45

60

90

v målt i radianer

0

71

71

71

6

4

3

7T 2

sin v

0

1 2

-a/2

1V3 2

1

cos v

1

-V3 2vJ

-V2 2vz

1 2

0

tan v

0

3

1

V3

ikke definert

2

► Eksempel 17 (Eksakt beregning av cos 30°) En mulig fremgangsmåte: Tegn en likesidet trekant med sidelengde lik 1. Del figuren i to rettvinklete trekanter ved hjelp av en delelinje fra et hjørne og til midtpunktet av den motstående siden. Ser du på en av de rettvinklete trekantene, ser du at vinklene er 30, 60 og 90 grader. (Husk at summen av vinklene i en trekant er 180 grader!) Du ser av figuren at vi må ha sin 30° = 1/2 (Hvorfor?) Fra (4) følger det at vi må ha sin2(30°) + cos2(30°) = 1. Altså cos2(30°) = 3/4. fordi cos(30°) må være positiv, får vi cos(30°) = | V3. I

3.7

Trekantberegninger

85

Oppgaver til seksjon 3.7 1. La x, y, r og v være som på figur 3.15. a) Gitt x = 6 og y = 7. Finn v. b) Gitt x = 6 og r = 8. Finn v.

c) Gitt r = 9 og y = 7. Finn v.

d) Gitt v — 30° og r = 5. Finn x og y.

e) Gitt v = 75° og x = 4. Finn y og r. 2. I en likesidet trekant er som kjent alle vinkler lik 60°. Sjekk at du kommer til samme resultat ved å bruke cosinussetningen på en likesidet trekant med sidelengde 5. 3. En trekant har sider med lengde henholdsvis 2, 4 og 5. Finn vinklene ved hjelp av cosinussetningen.

4. Utled de eksakte verdiene til sin v, cos v og tan v i tabellen ovenfor. 5. En 10 m høy vertikal stang står på horisontalt underlag og kaster en 16 m lang skygge. Finn vinkelen v som lysstrålene danner med underlaget. 6. I situasjonen som er beskrevet i eksempel 15, tenker vi oss et blad med areal 50 cm2 som vender rett mot sola. Hvor mange watt mottar bladet?

7. Vi tenker oss et snitt av en vevsprøve laget for mikroskop. Hvis prøven inneholder en sylindrisk struktur, så vil denne høyst sannsynlig være kuttet på skrå, slik at det vi ser i mikroskopet, er et bilde som på figur 3.A (i).

Figur 3.A

Figur 3.A (ii) viser den avskårne sylinderen i profil, a, b og d kan lett måles. Finn snittets tykkelse t og snittvinkelen v, uttrykt ved a, b og d.

86

Kapittel 3

Periodiske fenomener

3.8 Trigonometriske formler I tillegg til de formlene vi allerede har nevnt, fins det en rekke andre der sin, cos og tan inngår. Vi skal her nevne noen vi får bruk for senere. De to første formlene er grunnlaget for de øvrige, og vil bli utledet i seksjon 9.5 ved hjelp av komplekse tall.

cos(w + v) = cos u cos v — sin w sin v

(5)

sin (w + v) = sin w cos v + cos u sin v

(6)

Erstatter vi v med —u, får vi: cosO/ — v) = cos u cos v + sin u sin v

(7)

sinfw — v) = sin u cos v — cos u sin v

(8)

Senere får vi også bruk for disse formlene:

a + /i a — [i sin r —Ø2) (Q > 0. C2 > 0). Amplituden C til funksjonen f(t) + g(t) er da gitt ved

c2 = Cf+ cf+ 2C]C2cos(øi -02)

(22)

og middelverdien er 0. Om utledning av denne formelen, se oppgave 5.

► Eksempel 28

Betrakt funksjonene:

/ 2 F(t) - 2 4- 5cos7t 11 — G(t) = 3 + 2cos;r(r — 1)

3.12

Interferens

99

Vi skal finne amplituden C til funksjonen F(Z) + G(r). C er også amplituden til funksjonen 5 cos 71 I /-----

+ 2 cos 7t(t — 1) = 5 cos

+ 2 cos(jrr — tt)

som ifølge (22) er C = J52 + 22 + 2 • 5 • 2cos(------- tt =6.24. V \ 3 7 I

Oppgaver til seksjon 3.12 1. Finn amplituden til F(t) + G(t). a) F(f) = 3 cos?T(r + 2),

G(t) = 4cos n(t + 3)

b) F(t) = 5 + 3cos7r(r + 2),

c) F(t) = 3cos2tt(z + 2),

G(f) = 5 + 4cos7r(r 4- 3) G(t) = 4cos2jr(r + 3)

2. For hvilke verdier av to har 2 cos lirt + 3 cos 2zr (r — fø) sin største og minste amplitude?

3. La C], C2, øi, 02 og C være som i formel (22). Finn C uttrykt ved C\ og C2 i følgende tilfeller:

a) øi = Ø2 b) øi - 02 = nr

c) Sammenhold resultatet med figurene 3.27 og 3.28. 4. I en modell har man gjort følgende antagelser: To dyrearter, art 1 og art 2, har henholdsvis N\ og A4 individer. Man antar at N\ og AL svinger har­ monisk med en periode på tre år. Det største og det minste antall individer for hver av de to artene er:

Maks. antall Min. antall

Art 1

Art 2

600 300

1500 700

Svingningene er faseforskjøvet i forhold til hverandre slik at art 1 når sitt maksimale antall 1 år etter art 2.

a) Still opp formler som gir N\ og N? som funksjon av tiden. (Hvis du synes det mangler forutsetninger, så lag dine egne.)

b) La N være det samlede antall individer i de to artene. Hvor ofte får N sin største verdi, og hvor stor er verdien da? 5. Utled formel (22). Hint: Skriv /(r) og g(r) på formen a cos a>t + b sin a>t. Adder de fremkomne uttrykkene, og finn amplituden C ved hjelp av (19).

100

Kapittel 3

Periodiske fenomener

kapittel

4 Kontinuitet og grenser

4.1 Kontinuitet At y er en kontinuerlig funksjon av x, betyr grovt sagt at en gradvis forandring av x fører til en gradvis forandring av y, uten plutselige hopp. Før vi gir en mer presis definisjon, skal vi se på et par eksempler.

► Eksempel 1 La y være arealet av et kvadrat med side x. Da er y en kontinuerlig funksjon av x, for hvis vi tenker oss at x gradvis forandres fra verdien x = a til verdien x = b, så er det intuitivt klart at arealet y = x2 gradvis forandres fra verdien y = a2 til verdien y — b2. At forandringen skjer gradvis og uten plutselige hopp, gjenspeiler seg i grafen til y = x2 ved at den blir en sammenhengende kurve. I

Figur 4.1

Diskontinuerlig

funksjon

4.1

Kontinuitet

101

► Eksempel 2 Vi tenker oss et fartøy som måler vanndybden langs en strekning OB. La y være dybden ved det punktet som befinner seg i avstanden x fra utgangspunktet O. Av figuren skjønner vi at det skjer en dramatisk forandring av dybden idet man passerer punktet A. Grafen til y som funksjon av x må gjøre et hopp akkurat her. Derfor er y ikke en kontinuerlig funksjon av x, men må sies å være diskontinuerlig. I

En del matematiske resonnementer forutsetter at man har med kontinuerlige funksjoner å gjøre. For at det skal være mulig å avgjøre om en gitt funksjon er kontinuerlig eller ikke, trenger vi en presis matematisk definisjon. En slik definisjon kommer vi tilbake til i seksjon 4.5. Først må vi diskutere et beslektet begrep, det viktige grensebegrepet.

4.2 Grensebegrepet Grensebegrepet danner grunnlaget for mye av det vi skal gjøre senere. La oss som eksempel se på funksjonen f (x) = A som er definert for alle ikke-negative tall x, bortsett fra x = 1. Grafen til f er antydet på figur 4.2.

Figur 4.2

Vi har tegnet pilspisser på grafen for å antyde at man ved å følge grafen kan komme så nær punktet (1. 5) man vil, men at punktet selv ikke ligger på grafen. Ved å velge x tilstrekkelig nær 1 (men forskjellig fra 1) kan vi altså få funksjonsverdien f (x) så nær 5 vi vil. Vi sier at /(x) nærmer seg | som grense når x

går mot 1. Dette skriver vi slik:

når

(og leser: “f (x) går mot 5 når x går mot 1”). Vi kan også skrive det slik:

lim f (x) = 2

r-1

(og leser: "limes (grensen) for /(x) når x går mot 1, er lik |”).

102

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

DEFINISJON La C være et tall. Når vi skriver lim f (x ) = C

x—>a

så mener vi at funksjons verdien /(x) vil ligge så nær C vi måtte ønske, bare x velges tilstrekkelig nær a. Hvorvidt f (x ) er definert for x — a, er i denne forbindelsen uvesentlig. Derimot er det underforstått at det skal finnes tall i definisjonsmengden til f så nær a man måtte ønske. ► Eksempel 3

0.

La x være et vilkårlig tall

Ser vi på figur 4.3, så skjønner vi at vi kan få cos x så nær 1 vi vil, bare x velges tilstrekkelig nær 0. Vi har altså: lim^ocosx — 1. I ► Eksempel 4 Vi har lim j ^/x = 1. Vi kan gi en løs geometrisk begrunnelse for dette. For x > 0 tolker vi ^/x som lengden av siden i et kvadrat med areal lik x. Hvis vi forstørrer (eventuelt forminsker) kvadratet slik at arealet nærmer seg 1, så er det nokså klart at lengden av siden også må nærme seg 1. I Når vi sier at limx_>a /(x) eksisterer, mener vi at det fins et tall C slik at limx_>a /(x) = C. Det er naturligvis ikke alltid tilfellet.

► Eksempel 5 Vi kan få så stor vi vil, bare x velges tilstrekkelig nær 0. Dette uttrykker vi ved å skrive

lim — = oo x—>0 x-

/ \ )i- \

1 y = ~2 x —► X

i

Figur 4.4

Fordi oo ikke er noe tall, vil vi imidlertid si at lim, _^0 -V ikke eksisterer.

4.2

Grensebegrepet

1

103

► Eksempel 6

På figur 4.5 har vi antydet grafen til funksjonen f (x) = cos1.

Figur 4.5

Lar vi x “gli” inn mot 0 fra den ene eller den andre siden, vil funksjonsverdien f (x) pendle mellom — 1 og 1. f (x) nærmer seg altså ingen grense når x 0. lim cos j eksisterer ikke. 1

Å gi en helt presis definisjon av grensebegrepet som ikke gir rom for tvetydig­ heter eller misforståelser, er ingen spøk. Det tok matematikerne hundrevis av år å komme frem til en avklaring av begrepet. En tilfredsstillende presisering ble først gitt av Cauchy i 1821. Forhåpentlig vil de uformelle forklaringene ovenfor, sammen med det du lærte om grensebegrepet på skolen, være tilstrekkelig for det vi skal gjøre fremover. For dem som måtte ønske en mer presis definisjon, tar vi for sikkerhets skyld med en slik; men den kan være tung å forstå, og kan gjeme hoppes over. DEFINISJON La a og C være gitte tall. Anta at definisjonsmengden til f inn­ eholder tall vilkårlig nær a. limA^a f (x ) = C betyr da at det til hvert positive tall 6 fins et positivt tall 8 slik at følgende implikasjon gjelder:

(x e D/ og 0 < |x — a\ < 8) => \f(x) — C| 3

c)

x—>3

lim cos x

x-w

2. Hva kan du si om lim v^o *-1? (Tegn figur). 3. Hva kan du si om limA_^o -X-4? (Tegn figur). 4. Hva kan du si om: . 1 a) hm sin — x^O

104

Kapittel 4

X

Kontinuitet og grenser

1 b) lim x cos — x->0

X

4.3 En setning om grenser

Grensesetning La a, c og d være tall, og anta at vi har limA_w f (x) = c og limA_,(Z g(x) = d. Da har vi lim [f (x) + g(x)] = c + d

(1)

lim [f (x) — g(x)] = c — d

(2)

\iva[f(x)g(x)~\ — cd

(3)

/(*) C hm ------- = -.

(4)

x—>a x—>a

x—>a

x^a g(x)

d

Vi skal ikke bevise denne setningen. Ved hjelp av formlene (1 )-(4) ovenfor kan vi finne grensen for en rekke forskjellige uttrykk. ► Eksempel ~i

Vi skal finne limA^i —-V~- Her nytter det ikke å bruke formel

(4) direkte, fordi det ville gi et “uttrykk" av formen -■ Vi kan imidlertid foreta følgende omforming: > 0. x / 1) Dette gir

x — y[x yfx (lim^i^/x) hm ---------- = lim ——----- = -------------- —-----x->l x — 1 x—»1 vx + 1 (limr_^i ^/x) + 1

1

_ 1

1 + 1 “ 2 I

Vi skal nå utlede følgende formel som vi får bruk for i kapittel 6:

sin x lim ------ = 1

v —()

(5)

X

La først x være et fritt valgt tall i intervallet (0. S-), og se på figur 4.6.

Figur 4.6

4.3

En setning om grenser

105

Vi bruker nå at arealet av trekanten O A P er mindre enn arealet av sirkelsektoren 0 B P, som igjen er mindre enn arealet av trekanten O BQ. Dette gir ulikhetene 1 1 1 - sin x cos x < -x < - tan x 2 2 2

Dividerer vi overalt med sin x (som er positiv) og multipliserer med 2, får vi cosx

sin x

cosx

Tar vi den inverse av disse tallene, får vi 1 smx ------- > ------ > cosx cos x x Disse ulikhetene må også holde om vi erstatter x med —x. De må derfor sikkert holde forx e (—y,0)U(0, y). Vi vet at limA^o cosx = 1 og limr^o ^377 = 1 = 1. er derfor klemt mellom to uttrykk som begge går mot 1. Det er da

klart at —Æ selv går mot 1. ► Eksempel 8

Vi skal finne lim/7^o s'n^h der m

x = coh, det vil si at h —

0 er et gitt tall. Vi setter

Merk at x —>■ 0 når h —r 0 (og omvendt). Vi har

sin coh sin x sin x sin x lim -------- = lim —-— = lim co ■ ------ = 00 lim ------ = co h—?0 h — x—>0 X x—>0 X

I

BEMERKNING I situasjoner der formel (4) ikke kan brukes, fordi teller og nevner hver for seg går mot 0, kan vi ofte komme meget enkelt og raskt til målet ved å bruke FHopitals regel. Den introduseres i seksjon 6.3.

Oppgaver til seksjon 4.3 1. La f og g være funksjoner slik at limA_^5 /(x) = 3 og lirn^s g(x) = 4. Finn grenseverdiene: a) lim (f (x) + g(x)) x—^5

\ r f(x) c) hm -----x^5 g(x)

b) lim /(x)g(x) x—>5 f(x)-2g(x) + 18 d) hm -----------------------— x-5 f(x)2+g(x)2

2. Finn limA_>0(x + |) sin x.

3. Finn: a) lim

4 - 3x

x^2 2 T x

106

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

b) lim ----- -— x—»0

X-

3(a + Ax) — 3a lim — A.r^O Ax (a + Ax) — a~ e) lim — Ax Aa-»0

c)

(2 + A)3-8 d) hm ----------------h (x + /?)3-x3 f) hm ------------------h 0 h

■ 4h sin 4. Finn: lim---- /7-0 '1

4.4 Ensidig grenseverdi La oss betrakte en funksjon f med graf som antydet på figur 4.7. y

i

Figur 4.7

Slik vi har definert grensebegrepet, vil f (x) ikke gå mot noe bestemt tall når x går mot a. limv_^a f {x) eksisterer ikke. Lar vi derimot x “gli” mot a fra venstre, tyder figuren på at f (x) nærmer seg A. Vi skriver:

lim f (x) = A x —> a ~

(venstresidig grenseverdi)

Tilsvarende, hvis vi lar x “gli” mot a fra høyre, vil f (x) nærme seg B, og vi skriver lim f(x} = B (høyresidig grenseverdi) x—+a~

Grensesetningen (1 )-(4) gjelder også for henholdsvis høyresidig og venstresidig grenseverdi. ► Eksempel 9

Grafen til funksjonen /(x) = |x + y er antydet på figur 4.8.

Figur 4.8

4.4

Ensidig grenseverdi

107

For x > 0 har vi 1 x 1 f (x) = -x + - = -x 4- 1. 2x2

som gir / 1 \ lim f (x ) = lim -x + 1 = 1. v—-o+ ,v—»0\2 /

For x < 0 har vi 1

-x

1

/U) = F + -— = -x - 1 . x 2 som gir

/l \ lim f (x) = lim -x - 1 = -1 a—*0 \ 2 ,v^0~ / I

► Eksempel 10

Figur 4.9

Vertikal asymptote

Vi har:

1 lim ------- = oc

og

x—ra+ X — Cl

1 lim ------x—>a~ X — Cl

DEFINISJON (Vertikal asymptote) Hvis /(x) går mot oc eller mot — oc når x nærmer seg et tall a fra den ene eller den andre siden (eller fra begge sider), så kalles linjen x = a en vertikal asymptote for f.

Linjen x = 0 på figur 4.4 og linjen x = a på figur 4.9 er vertikale asymptoter.

Oppgaver til seksjon 4.4 1. Finn limv_,0- f (x) og limv^0+ f (x). a)/(x) = l + — x d) f (x) = sin x 108

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

b)/(x) = —-3 |x|

c)f(x)=x4

2. Finn limx_^g- /(x) og limx^o+ /(v) hvis de eksisterer.

a) f (*) =

„ cos x b) /(x) = —— |x|

sin x

|x|

3. Finn:

a)

r Iv-5| lim --------x—>5_ X — 5

4. Finn:

5. Finn: lim N^C+

6. Bestem eventuelle vertikale asymptoter for funksjonene:

a) /(x) = —b) /(x) = -4—

c) W) = —------

x2 - 4

x -2

Nr.

- kt

4.5 Presisering av kontinuitetsbegrepet La f være en funksjon som er definert i et intervall 1. Skal f være kontinuerlig i den forstand vi snakket om i seksjon 4.1, så må ikke grafen til f “gjøre hopp.” At grafen ikke gjør et hopp i punktet a e I, kan vi sikre oss ved å kreve at funksjons verdien /(x) skal nærme seg verdien f (a) når x går mot a, dvs. kreve at limx^a /(x) = f (a). Dette er et presist matematisk krav som vi velger å bruke som definisjon av kontinuitet i punktet x = a.

DEFINISJON At f er kontinuerlig i punktet a, skal bety at

lim /(x) = f (a).

x—»a

Hvis en funksjon er kontinuerlig i alle punkter der den er definert, sier vi kort og godt at den er kontinuerlig. I motsatt fall kalles den diskontinuerlig.

► Eksempel 11

Av figur 4.10 skjønner vi at

lim cosx — cosa.

x—f a

4.5

Presisering av kontinuitetsbegrepet

109

Figur 4.10

Formelen gjelder uansett valg av a. Dette betyr at funksjonen /(x) = cosx er kontinuerlig. På samme måte kan vi innse at funksjonen sin x er kontinuerlig. I

► Eksempel 12 Lan være et gitt naturlig tall. Funksjonen /(x) = x” er kontinu­ erlig. La nemlig a være et vilkårlig tall. Bruker vi formel (3) i grensesetningen “n ganger”, får vi

lim /(x) = lim xn = (lim x)” = an — f (a)

x—^a

x—>a

x-^-a

I Svært mange av de funksjonene vi skal møte i det følgende er kontinuerlige. Dette er viktig, for kontinuerlige funksjoner har en del nyttige egenskaper. For eksempel er grafen til en kontinuerlig funksjon y = f (x) en sammenhengende kurve, når x varierer i et intervall. Dette er strengt tatt ikke et presist utsagn, fordi det ikke er helt klart hva vi mener med en “sammenhengende kurve.” Utsagnet kan imidlertid presiseres på denne måten:

Skjæringssetningen La f være en funksjon som er kontinuerlig for alle x i det lukkede intervallet [a, b], og anta at f (a) f (b). Når x varierer fra a til b, vil /(x) anta enhver verdi mellom f (a) og ffbf

Geometrisk kan vi illustrere setningen med figur 4.11, der vi har valgt f (a) < f(bf og der m er et tall mellom /(a) og f(bf

110

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

Setningen uttrykker geometrisk at når f er kontinuerlig i [a, Z?], da må grafen til f skjære linjen y — m i minst ett punkt. Derav navnet skjæringssetningen. Rent intuitivt vil vi kanskje si at setningen er opplagt, men den er langt fra enkel å bevise ut fra den presise definisjonen av kontinuitet som vi har gitt. Vi har da heller ikke tenkt å ta med beviset.

► Eksempel 13 XJm er det tallet som opphøyet i tredje potens gir m. Men hvordan kan vi vite at det f.eks. fins noe tall C slik at C3 er eksakt lik 5? Et svar kan vi få ved å se på funksjonen f (x) = x3, som vi vet er kontinuerlig, se eksempel 12. Fordi f(l) = 1 og /(2) = 8 og f(l) < 5 < f (2), så fins det ifølge skjæringssetningen minst ett tall C i intervallet [1, 2] slik at f(C) — 5, dvs. C3 = 5. I

Setning om kontinuitet Hvis f (x) og g(x) er kontinuerlige funksjoner, så er også følgende funksjoner kontinuerlige i alle punkter der de er definert:

/(x) + g(x),

/(x)-g(x),

/(x)g(x),

/(x) ——, g(x)

/(g(x))

Det er lett å vise kontinuiteten for de fire første ved å bruke henholdsvis (1), (2), (3) og (4) i grensesetningen. Ideen i beviset for kontinuiteten av /(g(x)) er i korthet denne:

Når x —> a, så vil g(x) —> g(a) fordi g er kontinuerlig. Når g(x) g(a), så vil /(g(x)) —> f(g(a)) fordi f er kontinuerlig. Når x —> a, så vil derfor /(g(x)) -> /(g(a)). ► Eksempel 14

Funksjonen cos(p-) (definert for x

0) er kontinuerlig fordi

cosinusfunksjonen og funksjonen g(x) = p- (definert for x kontinuerlige.

0) begge er I

Oppgaver til seksjon 4.5 1. Forklar hvorfor funksjonen sin | er kontinuerlig.

2. a) Forklar hvorfor ethvert polynom 2

czø + a\x 4- fl2X~ 4- • ■ • 4~ anx

n

er en kontinuerlig funksjon av x. b) Forklar hvorfor enhver rasjonal funksjon r(x) er kontinuerlig.

4.5

Presisering av kontinuitetsbegrepet

111

3. Finn a) lim sin .v~* 1

b) lim sin(5 + 2x)

c) lim (.v2 — x + l)12

4. Finn a)

lim cosirr + x)

b) lim cos A ^0

/ h \ sin I c) lim cos x H— — h^O \ 2J >1 5. Vis at likningen x5 — x + 1 = 0 har minst én reell rot. (Hint: Bruk skjæringssetningen på funksjonen /(x) = x5 — x + 1.)

6. Finn

4.6 Horisontal asymptote DEFINISJON La f være en funksjon som er definert for vilkårlig store tall. La C NX.XQ et gitt tall. Hvis vi kan få f (x) så nær C vi vil for alle tilstrekkelig store verdier av x, så skriver vi

lim f (x) = C.

x—^oc

(i)

Hvis vi istedenfor å se på tall utover til høyre på tallinjen. ser på tall utover til venstre, får vi helt tilsvarende hva som menes med

lim

f (x) = C.

(ii)

Linjen y — C vil vi kalle en horisontal asymptote for f hvis (i) eller (ii), eventuelt begge, er oppfylt. ► Eksempel 15 a) Linjen y = 0 er en horisontal asymptote for f (x) — Å. Se figur 4.4 b ) Linjen y — 0 er horisontal asymptote for f (x ) = -+?. Velg a — 5 på figur 4.9.

c) Vi har 2x + 3

2+| =------ V x - 5---- 1-5

2+0 ------- = 2 ] _0

X

nårx oc (eller når x -> —oo). Dette viser at linjen v = 2 er horisontal asymptote for funksjonen v = . I

112

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

► Eksempel 16 Vi tenker oss et lodd i en fjær som trekkes ut av kvilestillingen og slippes. Loddet vil pendle opp og ned. men utslagene blir i praksis mindre og mindre etter som tiden går. La y = f(t) være avstanden mellom loddet og opphengningspunktet ved tiden t, og la y = C svare til kvilestillingen. Grafen til f er antydet på figur 4.12.

Figur 4.12

Horisontal asymptote

Vi kar lim^^ f(t) = C. Linjen y = C er en korisontal asymptote for f.

I

Grensesetningen (1 )-(4) gjelder fortsatt om limx^a overalt i setningen erstattes med lim^^. ► Eksempel 17

I teorien for enzymreaksjoner forekommer likningen

■S H- Km

(Michaelis-Mentens likning)

der V står for reaksjonskastigket og s står for substratkonsentrasjon. V,„ og Km er konstanten

Figur 4.13

Figur 4.13 viser grafen til V som funksjon av 5. Figuren antyder at reaksjonshastigheten nærmer seg V,„ som grense når 5 går mot 00. Ved hjelp av grense­ setningen kan dette utledes slik:

(Vi brukte her at lim^^ = 0, noe som skulle være opplagt fordi Km ikke avhenger av 5.) Linjen V = V„, er horisontal asymptote.

4.6

Horisontal asymptote

113

I tråd med tidligere praksis sier vi at limf (x) eksisterer hvis og bare hvis det fins et tall C slik at lim /Cx) = C. ► Eksempel 18 limv^x, sin x eksisterer ikke, fordi funksjons verdiene “pendler” mellom 1 og —1 uansett hvor langt ut vi går med x. I Grafen til funksjonen /(x) = lx + sin x er antydet på figur 4.14.

Figur 4.14

limy-^oc f (x) eksisterer ikke, men vi skriver limv-^æ f (x) — oo. Når vi skriver lim^oo /(x) = oo, mener vi at uansett hvilket tall C vi velger, så skal det finnes et tall xc slik at /(x) > C gjelder for alle tall x i Df som er større enn xc- Det er underforstått at / er definert for vilkårlig store tall.

En setning om eksistens av grenseverdi Det å finne en grenseverdi atskiller seg fra forbryterjakt på minst én måte: Bare det å vite at grensen eksisterer, gjør det ofte enkelt å finne den. Det skal vi se eksempel på i neste seksjon. Vi nevner allerede her en setning som gir en tilstrekkelig betingelse for at limx_^oc /(x) eksisterer. (Vi forutsetter som før at f (x ) er definert for vilkårlig store tall x.)

Hvis det fins tall xo og C slik at /(x) > C for alle x i definisjons­ mengden til / som er større enn xo og / er avtagende i denne delen av definisjonsmengden, da eksisterer lirn^oc f (x).

En funksjon som oppfyller betingelsen i setningen, er antydet på figur 4.15.

Figur 4.15

114

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

(6)

En tilsvarende setning får vi om ordet “avtagende” byttes ut med “voksende,” samtidig som “/(x) > C" byttes ut med “/(x) < C.”

Oppgaver til seksjon 4.6 1. Finn grenseverdien for /(x) når x —> oo.

4x + 1 a) o—c 2x — 8

b)

8x12 + x + 1 -------- ET 2x2 — x 4- 1

2. Finn horisontale asymptoter for funksjonene i oppgave 1. 3. Finn de horisontale asymptotene for funksjonen y — —. x 4. Finn grenseverdiene når x —r oo, og når x

—oo, for

Finn eventuelle asymptoter.

4.7 Tallfølger La a(n) være en funksjon som er definert for alle naturlige tall n = 1, 2, 3, ... (eventuelt for alle n > no, der nø er et fast naturlig tall), slik at det til hvert naturlige tall n er tilordnet et tall a(n). Vi sier da at vi har en tallfølge, eller kortere: en følge. Funksjonsverdien a(n) skriver en ofte an, og an kalles det n-te ledd i følgen. Lar vi f.eks. an = (—5)" forn = 1,2, 3, ..., er altså leddene i følgen-1, i,-jL,....

1

/ 2

'4/ 4

5'^ 6 ~

7

8

Figur 4.16

På figur 4.16 har vi antydet grafen til funksjonen an = (— |)" med de naturlige tallene som definisjonsmengde. Merk deg at de stiplede linjene ikke er med i grafen. De er bare tegnet inn for å gi et bedre visuelt inntrykk. Definisjonen av lim„^oc an blir et spesialtilfelle av den vi gav i seksjon 4.6. lim,^^ an - C betyr som før at vi kan få an så nær C vi vil for alle tilstrekkelig store verdier av n. Tallfølgen sies da å konvergere mot C. 4.7

Tallfølger

115

Vi har lim„ c(-ir=o.

► Eksempel 19

Grensesetningen (1 )—(4) gjelder fortsatt om lim lim,,_,^. Har vi f.eks. lim atl = A

og

> og

n

overalt erstattes med

lim bn = B, oc

så gjelder lirn^ocanbn = AB. Det n-te leddet i en tallfølge behøver naturligvis ikke alltid hete an. Andre populære navn er bn og rn. Heller ikke behøver det n-te leddet være gitt ved en regneformel, som tilfellet er med an = ( —5)" •

► Eksempel 20 La rn være det tallet vi får ved å ta med de n første desimalene i rt (n — 1,2, 3, ...). Leddene i denne tallfølgen blir da 3.1, 3.14. 3.141. 3.1415. 3.14159, .

Vi har lim,,^^ rn =

ti.

Tallfølgen konvergerer mot ir.

Vi har ofte bruk for følgende resultat, der k står for et vilkårlig, men fast tall (uavhengig av n):

-1 < k < 1

=>

k = 1

=>

k < —1 k > 1

lim kn = 0 lim k'1 = 1

n^oc

lim kn eksisterer ikke =>

lim kn —

n —> og

og

Også i det siste tilfellet sier vi at lim,^^ kn ikke eksisterer.

► Eksempel 21 I populasjonsdynamikk deler man en populasjon inn i alders­ grupper og studerer hvordan aldersfordelingen forandrer seg med tiden. I en modell var en dyrepopulasjon inndelt i to aldersgrupper, “unge” og “gamle”. xn og yn var henholdsvis antall unge og antall gamle etter n sesonger (n — 1,2, 3, ...). Ifølge modellen hadde man xn = 0.2)" 1200 — (0.9)"510

yn = (1.2)” 300 — (0.9)" 120 (I kapittel 10 skal av denne typen.) at både xn og yn alle grenser etter

116

Kapittel 4

vi se hva slags biologiske forutsetninger som leder til uttrykk Fordi (0.9)" —> 0 og (1.2)" —>■ oc når n oc, er det klart går mot oc når n —> og. Populasjonen vokser altså over som tiden går. Vi vil nå se hvordan det går med forholdet

Kontinuitet og grenser

mellom antall unge og antall gamle “i det lange løp.” Mer presist, vi vil se på lim^-^oc —. Vi har yn

xn

yn

(1.2)" 1200 — (0.9)"510 hm — = hm -------------------------------n—>oa (1.2)"300 - (0.9)" 120 .

1200 — (y|)”510

1200

300-(^)"120

300

fordi

lim

/0.9V \ 12/

Vi skal senere få behov for å finne grenseverdien lim„_>oo nm kn der — 1 < k < 1, og m er et naturlig tall. Når n går mot oo, så går kn mot 0, men fordi nm går mot uendelig, kan vi ikke uten videre si hva nmkn går mot (eller om det går mot noe i det hele tatt). Velger vi f.eks. m = 100 og k = 0.99, så blir det n-te leddet i følgen n100 ■ (0.99)", og de fire første leddene blir

0.99,

1.2 ■ 1030 ,

5.0 • 1047,

1.5 ■ 1O60

Man må ikke la seg lure til å tro at n10(1 • (0.99)" går mot oo. Merkelig nok har vi: lim n"'k" = 0 for - 1 < k < 1 (8)

Vi skal bevise dette resultatet, men innskrenker oss for enkelhets skyld til tilfellet 0 < k < 1. Bevis: Først vil vi vise at grensen eksisterer. Ifølge setningen (6) i 4.6 kan det lønne seg å avgjøre om funksjonen f(n) — nmkn er voksende eller avtagende “tilstrekkelig langt ut til høyre.” Vi vil først bestemme de naturlige tall n der vi har f(n) > f(n + 1). Vi har

f (n) > /(n + 1) O nmkn > (n + V)mkn+1

Dette viser at f er avtagende “til høyre” for tallet

1

4.7 Tallfølger

117

Fordi f(n) > 0 for alle n, eksisterer grensen ifølge setning (6). Det fins altså et tall C slik at lim,,^ nmkn = C. Vi må bestemme C. Et knep består i å betrakte en passende “delfølge” av den opprinnelige følgen. Vi prøver med den følgen som består av ledd nr. 2. 4. 6. 8. ..., 2n, ... i den opprinnelige følgen. Denne nye følgen må selv­ sagt ha samme grense som den opprinnelige, altså lim,7^oo(2n)w^(2'!) = C. Dette grenseuttrykket kan omskrives slik: C = lim 2mknnmkn = ( lim 2"')( lim kn\{ lim n"'k") = 2'" • 0 ■ C = 0. n —* ■'V' ' n '"v" 'n 'u . og vi har vist at C = 0.

Tallet e Et meget viktig grenseuttrykk er lim77_,oc(l + Det er ikke helt enkelt, men det går an å vise at denne grensen eksisterer og er tilnærmet lik 2.718. Den eksakte verdien av grenseuttrykket er et irrasjonalt tall som har fått betegnelsen e. Ved siden av m er e en av de aller viktigste konstantene i matematikken, og den vil spille en stor rolle i det følgende.

(Prøv på lommekalkulatoren med noen verdier av n og se hva du får!)

Oppgaver til seksjon 4.7 1. Finn:

c)

lim

2. Finn lim (0.999 999 999 99)n.

3. Finn

lim

1 + V n

(Hint: Sett | = ^.) 4. I år 1202 stilte og løste den italienske matematikeren Fibonacci følgende problem: Anta at ett par voksne kaniner produserer ett par kaniner hver måned. Anta videre at ett par nyfødte kaniner blir voksne etter to måneder, og at de da straks produserer ett par kaniner. Start med ett par 1 måned

118

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

gamle kaniner. Fibonaccis problem går ut på å finne ut hvor mange par voksne kaniner det er etter n måneder. La an være dette antallet. Vi har da: a\ — 1, «2 = 1, «3=2, «4 = 3, «5=5, «6 = 8,

...

Dette er den berømte Fibonacci-følgen. a) Vis at vi har an+\ — an + an-\ for n > 2. b) Sett bn —

Vis ved hjelp av formelen ovenfor at vi har bn = 1 H-------- for ^n — 1

n > 2

c) Vi oppgir at lim^oo bn eksisterer. Finn grenseverdien ved hjelp av formelen i punkt b). 5. Vi nevner uten bevis at Fibonacci-tallene ovenfor kan skrives

der b = |(1 + V5) og c = |(1 — V5 )■ Bruk dette til å finne grenseverdien for bn = ^±1 når n —> oo.

4.8 Rekker Før vi definerer begrepet summen av en uendelig rekke, skal vi se på et eksempel som illustrerer ideen.

► Eksempel 22 La oss tenke oss en oljereserve R = 1.1 • 109 (tonn) (~ det man tror fins i Nordsjøen). La oss også tenke oss et konstant årlig forbruk på « = 5 • 107 (tonn) (~ Norges oljeproduksjon i 1980). Med dette forbruket ville oljereserven vært oppbrukt i løpet av 22 år. Tenker vi oss derimot at vi som før starter med et forbruk på « = 5 • 107 (tonn) det første året, men trapper ned forbruket med 5 % hvert år, så viser det seg merkelig nok at oljereserven aldri tar slutt. Vi skal se hvordan dette henger sammen. Forbruket første, annet, tredje år osv. er henholdsvis 95

«, -- «, 100

Samlet forbruk etter n år er derfor

Ifølge formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk følge (side 22) får vi

(10)

= 20« 1 -

4.8

Rekker

119

Dette gir sn < 20a = 10' < R. At v;; er mindre enn R for alle n. betyr at uansett hvor mange år n vi holder på, så er det olje igjen i reserven. La oss nå spørre oss hvor mye olje som før eller senere blir forbrukt om vi holder på i det uendelige. Vi må da finne summen

(i det uendelige).

a +

(H)

Men hvordan skal vi beregne en slik sum? Adderer vi leddene ett for ett, blir vi jo aldri ferdige! Ser vi imidlertid på uttrykket (10) for summen av de n første leddene, så ser vi at dette nærmer seg 20a som grense når n oo. Skal vi i det hele tatt tillegge den endeløse summen (11) noen mening, så bør det derfor være denne grenseverdien. Mengden av olje som “før eller siden” blir brukt, er derfor lim sn = 20 • a = 109 (tonn.) n—

Andre år Første år 5 ■ 107 tonn 4.75 ■ 10' tonn Figur 4.17

tonn

Evigvarende oljereserve

Dette er illustrert på figur 4.17.

I

Motivert ut fra betraktningene ovenfor skal vi nå gi en presis definisjon av hva vi mener med en uendelig sum av tall.

DEFINISJON La a\, a?, aj, ... ,an, ... betegne en vilkårlig tallfølge. Uttrykket ci\ + a? + 03 + ■ • • + cin + • • •

kalles en uendelig rekke, eller kort og godt en rekke. Hvis lim^cx/a] + 02 + ■ • • + an) eksisterer og er lik 5, sier vi at rekken konvergerer med sum s, og vi skriver a\ + 02 + «3 + • ■ ■ = .v

eller

I motsatt fall sier vi at rekken divergerer. Rekken har da ingen sum. 120

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

► Eksempel 23

La a og k være gitte tall, a / 0. Rekken a + ak + ak2 + • ■ ■ + ak"~i + • • •

kalles den geometriske rekken. For å undersøke når rekken konvergerer må vi undersøke grenseverdien for sn — a -f- ak -f- ak

ak

Ifølge summeformelen i seksjon 1.9 har vi sn = for k fz ]. For —1 < k < 1 har vi kn -> 0 når n -> oc. I dette tilfellet får vi sn og rekken a + ak + ak2 + • • • konvergerer med sum -A-. I Ifølge eksemplet ovenfor har vi a + ak + ak~ + • ■ • + ak

_ i

a + • • ■ = ------1 —k

for

— 1 < k < 1

(12)

Dette kattes formelen for summen av den geometriske rekken. Den geometriske rekken divergerer hvis k > 1 eller k < — 1.

► Eksempel 24

Man støter på følgende rekke bl.a. i genetikk:

1 + 2k + 3k2 + 4k2 + • • ■

der \k\ < 1. Vi skal finne summen av denne rekken. Sett

sn = 1 + 2k + 3k2 + • • ■ + nk"~} Vi får

sn — ksn — 1 -f 2k — 3 Zc -r • • • -f- nk -k- 2k2 - 3k3---------- nk'1

= 1 + k + k2 + ■ ■ ■ + k"~} - nk11

Ifølge (8) har vi at nk" —>■ 0 når n —> oc (under forutsetning av \k\ < 1). Vi får derfor

lim sn

(1 - k)2'

Per definisjon får vi da

1 + 2k + 3k2 + 4k3 + • • •

(1 -k)2

for

4.8

|Zr| < 1.

(13)

Rekker

121

Oppgaver til seksjon 4.8 1. Finn summen av rekken

2. Finn summen n=l

3. Bruk resultatet i eksempel 24 til å beregne summen

4. Finn summen av rekkene: 1 1 1 a) —r- T —r 4- —r T • ■ •, N > 1 N2 N3 N4 b) 0.936 + (0.936)2 + (0.936)3 + • • • C) W4 + W6 + t/8 + M10 + • ■ • ,

\u\ < 1

5. La a = 0.4444 ... være tallet med uendelig desimalbrøk der samtlige desi­ maler er 4. Tallet kan oppfattes som summen av den geometriske rekken m + pyy + ■ ■ ■• Skriv a som en kvotient av to naturlige tall. 6. Cesiumisotopen 137Cs er et farlig forurensende stoff. 137Cs mister 2.3 % av sin masse hvert år på grunn av radioaktiv nedbrytning. Anta at det hvert år slippes ut en konstant masse M av 137Cs. Hva er den totale massen som har hopet seg opp i naturen

a) etter n år?

b) når likevekt har inntrådt? 7. Anta at oljereserven R i eksempel 22 var 2 • 109 tonn. Da behøver man ikke å redusere oljeforbruket med så mye som 5 % per år for å ha nok i all fremtid. Foreslå et bedre tall (det best mulige).

122

Kapittel 4

Kontinuitet og grenser

kapittel

Eksponentialfunksj oner, logaritmefunksjoner og potensfunksj oner For å kunne bygge opp de funksjonene vi oftest trenger, gjenstår det tre funksjonstyper som vi enda ikke har sett på, nemlig eksponentialfunksjoner, loga­ ritmefunksjoner og generelle potensfunksjoner. I dette kapitlet skal vi bli kjent med disse funksjonene, og vi skal se noen praktiske anvendelser. I seksjon 5.2 skal vi dessuten se nærmere på begrepet matematisk modellering.

5.1 Eksponentialfunksjonen /(x) = ax Funksjonen f (x) = ax, der a er en positiv konstant, kalles eksponentialfunk­ sjonen med grunntall a, og leses “a i x-te.” Den har et stort anvendelsesområde, og vi skal utover i boka møte den i en rekke praktiske problemstillinger. Her er noen smakebiter i stikkordsform:

- Hvor fort vokser en bakteriepopulasjon? - Hvor fort nedbrytes radioaktivt avfall?

- Hvordan avtar dagslyset nedover i havdypet? - Hvor fort tiner maten i fryseren hvis strømmen går?

Vi venter til neste seksjon med å gå inn i praktiske problemstillinger. Foreløpig skal vi nøye oss med å se hvordan ax defineres, og vi skal bli kjent med noen av eksponentialfunksjonens matematiske egenskaper. (I kapittel 8 skal vi se mer til eksponentialfunksjoner fordi de brukes ved løsninger av differensiallikninger.)

Definisjon av ax La a være et gitt positivt tall. Det er klart hva ax betyr når x er et helt tall. (Jf. seksjon 1.6.) Vi skal nå se hvordan vi definerer ax for et hvilket som helst reelt tall x. Vi skiller mellom tilfellene x rasjonal og x irrasjonal.

5.1

Eksponentialfunksjonen f (x) = a

123

(I) Vi antar først at x er rasjonal. Vi kan da skrive x som en brøk m/n. der m er et helt tall, og n er et helt positivt tall. Hva vi skal mene med am ", gir seg selv fordi vi ønsker at de velkjente reglene for regning med potenser skal fortsette å gjelde for vilkårlige eksponenter (jf. seksjon 1.6). Spesielt må vi forlange at / -\>n a ->< — an-m = (//« j ,

altså m-te potens av n-te rot av a. Jf. seksjon 1.6.

► Eksempel 1

160-75 = 16>TO = 165 = (165 )3 = 23 = 8

(II) La nå x være et vilkårlig irrasjonalt tall. Vi velger en følge av rasjonale tall X], X2, X3,..., x„, ... som konvergerer mot x. (Vi kan f.eks. la x„ være det tallet vi får ved å ta med de n første desimalene i x.) Vi kan nå betrakte tall følgen ax\ a1. ax\

Hvert ledd i følgen er allerede veldefinert siden eksponentene er rasjonale tall. Det er mulig å vise at denne tallfølgen konvergerer (og at grenseverdien blir den samme uansett hvilken følge xi, X2, X3,..., x,7,... vi velger, bare den konverg­ erer mot x). Vi setter ax = lim aXn.

(Denne likningen kommer vi ikke utenom hvis vi skal ha noe håp om å få eksponentialfunksjonen kontinuerlig.) Fremgangsmåten ovenfor kan illustreres ved følgende eksempel: ► Eksempel 2 (Hva 2n bety r)

n

xn

1 2 3 4 5 6 7

3.1 3.14 3.141 3.1415 3.14159 3.141592 3.1415926 7T

2-v, 8.574187.. . 8.815240... 8.821353... 8.824411 . . . 8.824961 ... 8.824973 ... 8.824977... 2T = 8.82497... I

124

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

Noen egenskaper ved funksjonen f (x) = ax (a > 0) a) f er definert for alle reelle tall.

b) f er kontinuerlig og monoton. - Hvis a > 1, da er f strengt voksende, og vi har lim ax = oo.

- Hvis a = 1, da er f konstant lik 1. - Hvis 0 < a < 1, da er f strengt avtagende, og vi har lim ax = 0. x—>oo

På figur 5.1 har vi sammenlignet grafene til noen eksponentialfunksjoner med forskjellige grunntall. Velger vi tallet e = 2.71828... som grunntall, altså tallet vi definerte i slutten av seksjon 4.7 ved et spesielt grenseuttrykk, får vi funksjonen ex, som spiller en meget viktig rolle i matematikken. (Grunnen til at nettopp ex er så viktig, er det vanskelig å forstå før vi har kommet til seksjon 6.6.) Av typografiske grunner ser vi ofte at funksjonen ex betegnes exp(x).

Figur 5.1

Noen eksponentialfunksjoner

Reglene nedenfor viser at potensreglene i seksjon 1.6 gjelder for vilkårlige reelle eksponenter. Forutsetningen er imidlertid at grunntallene er positive, ellers er ikke uttrykkene som inngår, definert.

Regler for regning med vilkårlige eksponenter x og y positive tall)

(i)

axay=ax+y

CLX (ii) — = ax~y a>

5.1

(iii)

(ax)y = axy

(iv)

(ab}x = axbx

(a og b er

Eksponentialfunksjonen f (x) = a

(2)

125

► Eksempel 3 a) Vi skal finne lirn^^ 2-v. Regel (iii) ovenfor gir

for alle x. Vi får derfor

lim 2

/ 1 Vv = lim ( — l = 0.

b) Vi skal finne limA_^_?c(4)'. Vi har

lim 2A — oc.

c) Vi skal finne grenseverdien for

5V + 5~A

når

Vi bruker regel (i) ovenfor, og får 5 V - 5“x _ 5A (1 - 5~2x) _ 1 - 5~2x

1 -0

5X + 5~x " 5V1 + 5~2v) “ 1 + 5- 2a

1 +0

Den grenseverdien vi søker, er altså 1. ► Eksempel 4 Sett f (x) = 5 • 3A. La L være et positivt tall. Vis at f (x) har samme vekstfaktor over alle intervaller av lengde L. Løsning: Betrakt et vilkårlig intervall [xq, x i ] av lengde L. Over dette intervallet har f (x) vekstfaktoren

/(xi) _ 5 • 3A| /(x0)

5 • 3A()

Vekstfaktoren er altså den samme for alle intervaller av lengde L,7 nemlig 3L. I C c

Eksponentialfunksjoner og vekstfaktorer DEFINISJON Når vi sier at f er en eksponentialfunksjon, mener vi i det følgende at det fins positive konstanter a og c slik at f er gitt ved /(x) = ca' for alle x. Tallene a og c kalles funksjonens parametere. 126

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

I eksempel 4 ser vi en viktig egenskap som er typisk for alle eksponentialfunk­ sjoner. Vi har denne setningen:

En eksponentialfunksjon har samme vekstfaktor over alle intervaller av samme lengde.

Setningen er enkel å bevise. (Du kan kopiere resonnementet i forrige eksempel.) Prøv selv!

Likningen x! = b Når vi skal løse likningen xr — b der r er et gitt reelt tall / 0. kan vi bruke denne setningen:

0 gjelder følgende ekvivalens:

For x > 0. b > 0 og r

(4) x' — b

x — b] '

Bevis: Vi skal bevise ekvivalensen ved å vise at vi har implikasjon begge veier. Først viser vi implikasjon i retningen Fra likningen xr — b får vi

(x'')1/r = b}/r. Venstresiden kan forenkles slik (V')1 ' = xrll//r> = x1 = x. Altså får vi x = b '.Vi har nå vist implikasjonen x' — b => x = b] 1.

På lignende måte viser vi den omvendte implikasjonen, altså i retningen Fra likningen x = b},r får vi xr = ^1/'')r =b(]/r)r =b] =b. Dermed har vi vist at x = b'

5.1

=> x' = h.

Eksponentialfunksjonen /(x) = a

127

Eksponentialfunksjoner! med graf gjennom to gitte punkter Betrakt uttrykket for en generell eksponentialfunksjon f (x) = cax. I praksis møter vi følgende problem: Hvordan bestemmer vi parametrene a og c slik at grafen til f går gjennom lo gitte punkter P og Q? Vi viser fremgangsmåten med et eksempel: Sett P = (—2/3. 5) og Q = (5/3, 7). Siden grafen skal gå gjennom disse punktene må vi ha likningene: ca -2/3

(I)

ca 5/3 = t2

(ID

Dividerer vi siste likning med første likning, faller c bort, og vi får ~ a 7/3 ' = 5

Vi løser denne likningen mhp. a (se (4)), og får

Fra likning (I) får vi = 5a2/3.

Setter vi så inn (den tilnærmede) verdien vi fant fora, får vi c ~ 5(0.657)2//3 3,8.

Oppgaver til seksjon 5.1 1. Finn ved hjelp av kalkulator: a) 10194

c) 1OO23

b) 1OO2/3

2. Beregn uten bruk av kalkulator:

b) 1000“2/3

a) 10002/3

3. Skisser grafen til følgende funksjoner:

a) f (x) = (1.8)A

b) f (x) =

1

c) f(x) = —3(1.2)'

4. Forklar hvordan vi definerer 3V2.

5. Avgjør om grenseverdien eksisterer når x går mot uendelig, og bestem i så fall grensen. a) (0.999)'

128

Kapittel 5

b) (0.999)“'

c) (1.111)'

d) (1.111)“'

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

6. Forenkle uttrykkene b) (x^3^)^

a) 2xA3'A6'A 2A(3A + 8) 7. Finn lim x->oo 3a(2a - 5)

8. Beregn vekstfaktoren til funksjonen y = 3(1,5)A over et intervall av lengde 2. 9. Bevis setningen i (3). 10. a) To tall a og c oppfyller likningene 12 = ca1 og 48 = ca4. Finn a og c. (Hint: Det kan lønne seg å dividere den siste likningen med den første.) b) Finn a og c i likningen y = caxnår det er oppgitt at x = 3 gir y = 10.13, og x = 5 gir y = 22.78.

5.2 Eksponentiell vekst og matematisk modellering

Eksponentiell vekst DEFINISJON Når vi fremover i boka sier at en størrelse y vokser (eller avtar) eksponentiell med t, mener vi at det fins positive konstanter a og c slik at vi har

y — ca’

(5)

for alle L (ev. for alle t > fø, der tø er gitt). Legg merke til at c er verdien til y når t = 0, og a er vekstfaktoren til v når t gjennomløper et intervall av lengde 1.

Figur 5.2 a > 1, y vokser eksponentielt

Figur 5.3 0 < a < 1, y avtar

eksponentielt

► Eksempel 5 Anta at y er en størrelse (f.eks. målt i kg) som vokser eksponentielt med tiden t, der t > 0. Anta at t måles i timer. Anta videre at y har verdien 5 (kg) ved tiden t = 0, og at v vokser med 3 % (per time). Finn y uttrykt ved t. Løsning: Vi kan skrive y — ca’, der parametrene a og c er positive tall som må bestemmes. Vi hare = y(0) = 5 (kg) og a = 1.03. Altså y = 5(l.O3)r (kg). I 5.2

Eksponentiell vekst og matematisk modellering

129

Mange vekstforløp i naturen kan beskrives (tilnærmet) ved et uttrykk av formen (5) hvis vi innskrenker oss til et begrenset tidsrom. Det dreier seg om vekstforløp der en størrelse i løpet av et tidsrom vokser (eller avtar) med en tilnærmet fast prosent per tidsenhet. Her er noen eksempler på slike vekstforløp.

► Eksempel 6 a) Verdens folketall ble per 1.1.1980 anslått til 4.1 milliarder. Folketallet vokser for tiden med ca. 2 % per år. b) En koloni av tarmbakterien E. coli som vokser under ideelle betingelser, dobles i antall ca. hvert 55. minutt. Vi har altså en vekst på 100 % per 55 minutter.

c) Radioaktivt plutonium (som er et farlig avfallsprodukt fra atomkraftverk) brytes ned med en halveringstid på 24 400 år. Det betyr at mengden av plutonium i en gitt mengde avfall avtar med 50 % per 24 400 år. I

Noen ord om matematisk modellering La oss se nærmere på teksten i eksempel 6 a) og sette oss som mål å finne en formel som gir folketallet som funksjon av tiden. Det virkelige folketallet vil vi ikke kunne få eksakt beskrevet ved noen slik formel. Vi lager i stedet en matematisk modell der det virkelige folketallet ved tiden t erstattes med en tenkt størrelse y = fit). Planen er å komme frem til et uttrykk for f (f) som passer med opplysningene i teksten. Skal dette gi mening, må vi først presisere opplysningene og deretter oversette dem til matematiske krav. Aller først må vi imidlertid skrive ned hvordan vi vil at modellens variable y og t skal tolkes i forhold til virkeligheten. Modellens variable og deres tolkning

La t representere tiden målt med tidsenheten år, og la t — 0 tilsvare tidspunktet 1.1.1980. La y = f(t ) representere folketallet (målt i milliarder) ved et vilkårlig tidspunkt t > 0. Presisering av opplysninger. Matematiske krav Vi antar at folketallet ved tiden t = 0 er 4.1 milliarder. Vi setter derfor som krav at /(0)=4.1. (A)

Det er opplyst at befolkningen for tiden vokser med ca. 2 % per år. I modellen krever vi at veksten er nøyaktig 2 % per år, og at det forholder seg slik i all fremtid. Altså f(t + 1) = (1.02)/(r)

for alle

t > 0.

(B)

Vekstfaktoren over intervaller av lengde 1 er altså lik 1.02. Fra (A) og (B) følger det at vi har /(f) =4.1-(1.02/, (*) 130

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

for t — 0, 1, 2, 3,.... (Modellen sier ikke foreløpig noe om /(r) for mellom­ liggende r-verdier!) I modellen antok vi at veksten i folketallet er 2 prosent per år. Det virker rimelig å anta at den prosentvise veksten f.eks. per måned eller per uke også er konstant. Vi idealiserer dette og stiller følgende krav: f(t) har konstant vekstfaktor over intervaller av samme lengde.

(C)

Med dette kravet er det forholdsvis lett å vise at (*) må gjelde for alle positive rasjonale tall. (Hint: Hvis du f.eks. skal finne f (7/5), ser du på vekstfaktoren over intervaller av lengde 1 /5. Kall den k. Du får da

k5 = (vekstfaktoren over et intervall av lengde 1) = 1.02,

og derfor k = (1.02)1/5. Videre har du f (7/5) = k1 f (0). Sett inn uttrykket du fant for k, og verdien for f(0), og du er fremme.) Siden vi nå har en formel for f(t) som gjelder for alle rasjonale tall t > 0, er vi godt rustet for praktiske formål. Fra et teoretisk synspunkt kunne vi imidlertid ønske oss at formelen holdt også for irrasjonale t-verdier. For at dette skal være tilfellet må vi innføre enda et krav: f er kontinuerlig.

(D)

(At (*) nå gjelder for alle reelle tall t > 0, og ikke bare for rasjonale, kommer av følgende: Hvis f og g er to kontinuerlige funksjoner, og vi har f (t) = g(t) for alle rasjonale tall, da har vi også f(t) = g(t) for alle reelle tall.) I krav (D) kunne vi byttet ut ordet “kontinuerlig” med “monoton.” Konklusjonen ville blitt den samme.

Konklusjon

Verdens folketall ved et vilkårlig tidspunkt t > 0 er (ifølge modellen) gitt ved formelen y = 4.1 • (1.02)? (milliarder), der tiden t (år) regnes fra 1.1.1980. ► Eksempel 7 (“Befolkningseksplosjonen ”) Ut fra modellen vi stilte opp oven­ for, øker verdens folketall eksponentielt i henhold til formelen

y(t)= 4.1 -(1.02/. La oss finne ut hva folketallet vil være den 1.7.2010, ifølge modellen. Løsning: Fra 1.1.1980 til 1.7.2010 er det 30.5 år. Vi har y(30.5) =4.1 ■ (1.02)30-5 % 7.5.

Det folketallet vi skal finne, er derfor ca. 7.5 milliarder. 5.2

Eksponentiell vekst og matematisk modellering

I 131

Følgende setning er enkel å bevise:

La y = y(t) være en størrelse som vokser (eller avtar) eksponentielt. Anta at v endres med vekstfaktoren b over et intervall av lengde T. Vi har da

y(t) = y(0)b^T

for alle

(7)

t > 0.

Intuitivt kan vi tenke oss at formelen ovenfor kommer frem på denne måten: Vi oppfatter T som en ny tidsenhet. Forholdet t/T er tiden t målt med den nye tidsenheten. I løpet av den nye tidsenheten endres y med faktoren b. Da må y i løpet av t/T nye tidsenheter ha endret seg med faktoren bl/T. Fordi startverdien er y(0), må verdien ved tiden t være y(0)bf/T. ► Eksempel 8 En størrelse y (målt i kg) har ved tiden t — 0 verdien 1000 (kg). Anta at y vokser eksponentielt med doblingstid på 17 uker. Finn y uttrykt ved t, der t er målt i uker. Løsning: Det følger av setningen ovenfor at vi har y(r) = 1000 • 2?//’7 I

(kg).

► Eksempel 9 Vi betrakter en porsjon radioaktivt avfall, som ved tiden t = 0 inneholder en viss mengde plutonium Zq. Plutoniumet brytes ned eksponentielt med en halveringstid på 24 400 år. Mengden av plutonium ved tiden t (regnet i år) blir da 1 \ f/24400

Z = Zo

2/

I kapittel 8, som omhandler differensiallikninger, skal vi se atskillig mer til matematisk modellering av vekstforløp. I

Oppgaver til seksjon 5.2 1. En størrelse y vokser eksponentielt med 12 % per år. Ved tiden t = 0 har y verdien 30.

a) Finn y uttrykt ved tiden t (når tidsenheten er år). b) Hva er verdien av y ved tiden r = 23.7 (år)? 2. Samme oppgave som ovenfor, men med ordet “vokser” byttet ut med ordet “avtar.”

3. En størrelse y avtar eksponentielt med halveringstid T\/2. Verdien av v ved tiden t — 0 er y0. Finn v uttrykt ved tiden t (og halveringstiden Zj/2).

132

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

4. En størrelse vokser eksponentielt med 12 % per år. Hvor mange prosent vokser den med

a) per tiår?

c) per dag?

b) per måned?

5. I en bakteriekultur dobles antall bakterier hvert 45. minutt. Ved tiden t — 0 var antall bakterier 106. Finn antall bakterier y som funksjon av tiden t, målt i timer. Gjør det klart hvilke forutsetninger du legger til grunn i modellen. 6. Utled formelen i setning (7). 7. Vi skal skylle en genser i en gitt mengde skyllevann med volum V, og ønsker å fordele skyllingen på n like store skyllevann. Før skyllingen tar til, og mellom hver skylling, antar vi at plagget er vridd opp, slik at det hver gang inneholder en vannrest med samme volum R. Anta at vannet i genseren før skyllingen har såpekonsentrasjon cq, og anta at såpen ved hver skylling fordeler seg jevnt i vannet.

a) Finn et uttrykk for såpekonsentrasjonen i første, andre og tredje skylle­ vann. b) Såpekonsentrasjonen i siste skyllevann er

c =

V V” n— . \ nR/

/

cq

c avtar når n vokser. lim„_^o0 c kan tolkes som en nedre teoretisk grense for hvor rent det er mulig å få tøyet med en gitt mengde skyllevann. Finn denne grenseverdien uttrykt ved cq og (Hint: Sett og la N oo.) c) Gitt co = 1000 mg/liter, V = 3 liter og R = 0.5 liter. Plott c som funksjon av n for n = 1,2, 3, 4, 5.

5.3 Funksjonen log Logaritmeregning er en metode som ble utviklet for flere hundre år siden for å forenkle regnearbeidet i forbindelse med multiplikasjon, divisjon, potensering og rotutdragning. I våre dager, etter at lommekalkulatoren ble allemannseie, har denne siden ved logaritmeregningen mistet mye av sin betydning. Det har imidlertid oppstått nye og viktige anvendelsesområder som vi skal se noen eksempler på utover i boka. La oss starte med å betrakte eksponentialfunksjonen f (x) = 10A . f er strengt voksende og har mengden av alle positive tall som verdimengde. / har derfor en omvendt funksjon g som er definert for alle positive tall, g kalles logaritmefunksjonen med grunntall 10. Funksjonsverdien for en gitt argumentverdi y kalles \0-logaritmen til y, og den skrives med symbolet

g(y) = logy. 5.3

Funksjonen log

133

log y kalles også den briggske logaritmen til y etter engelskmannen Briggs, som tidlig på 1600-tallet utarbeidet tabeller over log y som funksjon av v. Etter definisjonen av begrepet omvendt funksjon (seksjon 2.8) har vi:

O x = log.v

y — 10'

Sagt på en annen måte: 10-logaritmen til et tall er den eksponenten vi må opphøye grunntallet 10 i for å få tallet. Merk at vi har:

10logv = y

► Eksempel 10

Vi har:

log 100 = 2. log 10=1, log 1=0. logO.l = — 1. logO.Ol = —2 Før du går videre, så finn log 10

uten å bruke kalkulator!

I

Funksjonen log er strengt voksende og kontinuerlig. Den brukes i våre dager blant annet til å gi måleskalaer for surhet (pH-skalaen) og støy (dB-skalaen).

► Eksempel 11 (pH-skalaen) [HrCD] betegner måltallet for hydroniumkonsentrasjonen i en oppløsning når enheten er mol/1. (1 mol av en bestemt type par­ tikler, f.eks. atomer, molekyler eller ioner, inneholder like mange av disse partiklene som det er atomer i 1 g C-gass. Dette antallet betegnes Na (Avogadros tall). Vi har NA 6.0225 ■ 1023.)

- I destillert vann har vi [H3CD] = 10" . - I sur nedbør kan vi f.eks. ha |H;O| = 10 4.

- og i en basisk oppløsning f.eks. [H3CD ] = 1012. Siden verdiene for [KsO4"] varierer i et så enormt område som eksemplene ovenfor viser, er det hensiktsmessig med et annet mål for denne konsentrasjonen. Vi definerer pH = -logfHsO*]. r

~7

For destillert vann får vi derfor pH = — log(10“ ) = —(—7) = 7. Hvis vi har pH < 7. betyr det sur oppløsning, og hvis pH > 7, har vi basisk oppløsning. (Middelverdien for surhetsgraden i Mari dal s vannet i perioden 1973-1975 var pH = 6.45. Middelverdien i 1989 var pH = 6.36.) I

Oppgaver til seksjon 5.3 1. Finn log x uten bruk av kalkulator, der x er: a) 10 000 000

b) -1100

2. Finn log 362.19.

134

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

3. Finn x når log x er: b) 10

a) 9

c) —6

4. Skisser grafen til funksjonen f (x) — log x. 5. Finn definisjonsmengden til følgende funksjoner:

a) logx

b) log|x|

c) log(l - x)

6. Hvilken ulikhet gjelder for pH når det er gitt at [H3O+] > 10 5? 7. I tidsrommet 1973-1975 lå surhetsgraden i Maridalsvannet mellom følg­ ende grenser: 6.26 < pH < 6.71. Mellom hvilke grenser lå [H30+J?

5.4 Regneregler for logaritmer Ved å bruke regnereglene (i)—(iii) i (2) er det lett å bevise følgende viktige regneregler:

Regneregler for logaritmer For positive tall u og v, og vilkårlig tall r har vi:

(i)

log(uv) = log u + log v

(iii)

log(u') = r log u

(8)

w\ - I = log u — log v v/

(

Bevis: Vi nøyer oss med å bevise regel (i), fordi de andre reglene kan bevises på tilsvarende måte. Knepet består i å bruke eksponentialfunksjonen /(x) = 10r på begge sider av regelens likhetstegn. Sagt på en annen måte: Vi danner uttrykkene 10logft/l9 og iolog!/+logL’. Hvis vi kan vise at disse er like, så kan vi slutte at eksponentene, nemlig log(wu) og log u + log v, må være like. (Grunnen er at funksjonen 10A er strengt voksende, og dermed en-entydig.) På den ene side har vi per definisjon av log-funksjonen at løJogU/u) = uv_

På den annen side har vi (fra en regel for regning med eksponenter, se (2)) at 10logM+logu _ lølogM lølogv _ uv

5.4

Regneregler for logaritmer

135

Oppgaver til seksjon 5.4 1. Anta at log « = 124 017 og log v = 100 009. Finn uten bruk av kalkulator: c) log(«10)

a) log(uu)

2. Bevis regnereglene (ii) og (iii) for logartimer.

5.5 Likningen ax = b Problemstillinger i forbindelse med størrelser som vokser eller avtar ekspon­ entielt, leder ofte til en likning av typen av = b, der a og b er gitte positive tall, a 1. En slik likning kan lett løses ved hjelp av logaritmer på denne måten:

ax — b

log(r/A) = logZ?

(vi tar logaritmen på begge sider)

x log a = log b

(vi bruker regneregel (iii) i (8))

los b O x — —-— log a

(merk: log a / 0 fordi a / 1)

► Eksempel 12 (Aldersbestemmelse etter i4C-metoden) I atmosfæren er det et nokså konstant forhold mellom mengden av radioaktivt karbon l4C og vanlig karbon 12C. La oss kalle dette forholdstallet /q. Fordi levende organismer behandler l4C og 12C likt, vil man, så vel i levende som i nylig avdøde planter og dyr. finne det samme forholdstallet /q. Døde planter og dyr kan ikke lenger ta opp karbon fra atmosfæren, og mengden av radioaktivt l4C som fins i en materialprøve fra slike, vil derfor avta eksponentielt med en halveringstid på 5730 år. Mengden av ,2C er derimot uforandret. Lar vi 1 være forholdet mellom mengdene av l4C og 1aC i prøven, vil derfor også / avta eksponentielt med en halveringstid på 5730 år. t år etter plantens eller dyrets død vil vi derfor finne at /j \ r/5730

/ = /□(-) Vi skal nå vise med et konkret eksempel hvordan denne formelen kan brukes til aldersbestemmelse.

Figur 5.4

136

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

I 1955 ble det i nærheten av Gjøvik funnet rester av en støttann fra en mammut. Ut fra målinger av tannens I4C-konsentrasjon fant man at forholdstallet / var ca. 10 % av den atmosfæriske verdien /q- Formelen ovenfor gir altså ! \ f/5730

= 0.1.

2

Tar vi logaritmen på begge sider av denne likningen og bruker regneregel (iii) i (8), får vi t 1 57301Og2=1Og 1, og betrakt eksponentialfunksjonen f (x) = ax. f er strengt voksende og har mengden av alle positive tall som

5.6

Funksjonen /(x) = loga x

137

verdimengde. f har derfor en omvendt funksjon g som er definert for alle posi­ tive tall, g kalles logaritmefunksjonen med grunntall a. Funksjonsverdien for en gitt argumentverdi y kalles a-logaritmen til y, og den skrives med symbolet

g(y) = loga y.

Vi har da: y — ax

O x = logfl y

Funksjonen f (x) = log(Z x er definert for alle x > 0, og er strengt voksende og kontinuerlig. Nedenfor har vi tegnet en skisse som i grove trekk viser grafen til funksjonene logzz x og ax. Siden de er omvendte funksjoner, og vi har valgt samme lengdeenhet på aksene, må grafene ligge symmetrisk om linjen y = x. (Jf. seksjon 2.8.)

Figur 5.5

På en lommekalkulator med funksjonstaster kan vi bruke log-tasten til å beregne logaritmer med et hvilket som helst grunntall a > 1. Vi har nemlig følgende formel:

Bevis:

Siden a' og logzz x er omvendte funksjoner, har vi

a1 0.

Vi tar log på begge sider av denne likningen, bruker regneregel (iii) i (8), og får (logfl y) logtf = log v. Formelen vi søker, følger direkte herfra. a

Det følger av formelen (9) at regnereglene for logaritmer i (8) faktisk gjelder for logaritmefunksjoner med vilkårlig grunntall a > 1.

► Eksempel 13 Funksjonen log2 brukes bl.a. i informasjonsteori. Skal vi f.eks. beregne log2 5, kan vi bruke log-tasten slik:

los 5 logT 5 = —% 2.322 log 2

138

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

Oppgaver ti! seksjon 5.6 1. Beregn uten kalkulator: c) log5 125

a) log2 64 2. Beregn log2 61 ved å bruke formelen (9).

5.7 Funksjonen In En av de viktigste logaritmefunksjonene får vi ved å velge tallet e — 2.71828 ... som grunntall. Den kalles den naturlige logaritmefunksjonen, og den har fått symbolet In. Funksjonsverdien for en gitt argumentverdi y kalles den naturlige logaritmen til y, og den betegnes In y. Vi har altså In y = loge y for alle y > 0. Hvorfor denne logaritmen kalles “naturlig,’' får vi en forklaring på i neste seksjon.

Fordi funksjonen f (x) = In.r vil bli brukt ved mange anledninger senere, gir vi en oppsummering av noen av de viktigste egenskapene.

5.7

Funksjonen In

139

Noen egenskaper ved funksjonen f (x) = Inx a) f er definert for alle reelle tall > 0.

b) f er kontinuerlig og strengt voksende. Vi har

lim Inx = —oc

lim Inx = oo,

c) Inx og ex er omvendte funksjoner, dvs. at vi har: y = ex

(10)

o x = In y

Spesielt har vi: eln ' = y

ln(eA) = x

for alle y > 0

In e — 1

for alle x

In 1 = 0

------------------------------------------ -------------------------------- I For regning med naturlige logaritmer gjelder de samme reglene som vi listet opp i (8). Vi har altså:

Regneregler for logaritmer For positive tall u og v, og vilkårlig tall r har vi: (i)

ln(wv) = Inu -F In v

(ii)

/u \ In — I = In u — In v \v /

ln(iZ)=rlnw

(iii)

(11)

På en lommekalkulator med funksjonstaster fins det en tast for den naturlige logaritmefunksjonen In. Akkurat som log-tasten kan også ln-tasten brukes til å beregne logaritmer med et hvilket som helst grunntall a > 1. Vi har nemlig følgende formel, som kan utledes på tilsvarende måte som (9): In v log . v = —— In a ► Eksempel 14

La oss bruke kalkulatorens ln-tast til å beregne log2. Vi har: , In 5 lo§2 5 = rv In 2

140

Kapittel 5

(12)

2.322

(jf. eksempel 13).

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

I matematikk og naturvitenskap er det vanlig å uttrykke funksjonen ax (der a er et gitt, positivt tall), ved hjelp av funksjonen ex. Vi har:

elnaV _

e(lna)x

Vi ser av forrige linje at vi alltid kan skrive

ax = e'~x

der

Å = In a.

I det tilfellet at funksjonen ax er strengt avtagende, har vi 0 < a < 1. Da er In a negativ, og derfor er Å negativ. Det er vanlig praksis at man i dette tilfellet erstatter X med —X, slik at vi får

ax = e'x

der

X = — Ina.

Vi får derfor denne setningen:

La a være en positiv konstant. Funksjonen /(x) = ax kan skrives: /(%) - e

der X = In a > 0, hvis funksjonen er voksende

f (x) = e

der X = — In a > 0, hvis funksjonen er avtagende

► Eksempel 15

(13)

(1.64)x = e°-495x — exp(0.495x).

Halveringstid La y = y(t) være en (ikke konstant) størrelse som avtar eksponentielt med tiden. Vi kan da skrive y = ce~kt, der c og X er positive konstanten Den tiden det tar for y å avta fra en gitt verdi y\ = y(ti) til verdien |yi, kalles som kjent halveringstiden. Den betegnes Tj/2. Det er en viktig egenskap ved eksponentielt avtagende størrelser at halveringstiden er uavhengig av “start­ tidspunktet” t]. Vi har altså: 1 y(t] + r]/2) = -y(L)

for alle

t}.

(14)

Det er enkelt å finne halveringstiden til y = ce~Xt uttrykt ved X: Ved å dividere med c, og bruke funksjonen In på begge sider av likningen, får vi ln(l/2) = — X7j/2 In e, som gir XTi/2 = In 2

(15)

► Eksempel 16 (Desintegrasjonskonstanten) Mengden y av et bestemt radio­ aktivt stoff i en prøve avtar eksponentielt med tiden, og følger derfor en formel 5.7

Funksjonen In

141

av typen v = ce~/t. Tallet Å kalles stoffets desintegrasjonskonstant (engelsk: decay constant). Vi har nevnt at i4C som brukes til datering, har halveringstid 7/2 = 5730 år. Desintegrasjonskonstanten er derfor

In 2

1.2 ■ KU4 år-1.

5730 år

Oppgaver til seksjon 5.7 1. Beregn uten kalkulator: b) ln(e2,/3x2) — 2 Inx

a) ln(e5)

2. Skriv følgende funksjoner på formen e'x\ a) 2V

b) 10v

c) (0.5/

d) (0.1/

3. Beregn exp(2.038). 4. Løs følgende likninger ved å ta den naturlige logaritmen på begge sider av likningen: a) 100 = /•(2 b

b) 0.8 = ef0-7)?

5. Beregn halveringstiden 7/2. for y (angi 7/2 med enhet):

a) y = 0.8e-/cr,

k — 0.38 (h-1)

b) y = 12.69 • e~rt, c) y = 14 ■

(1 h = 1 time)

r = 63.7(8-')

N = 4.2 år

6. Beregn doblingstiden 73 for y (angi 73 med enhet): a) y = 4.9 • //

b) y = y0U/

k = 2 (h-'j

c = 1 (s-1)

7. Planter kan bare leve i de øverste ca. 10 meter i vann. Det skyldes BouguerLamberts lov, som sier at lysintensiteten I i vannet avtar eksponentielt med dybden x. Vi har at 7 = a) Gi en tolkning av konstanten 7ø.

b) Parameteren /z > 0 kalles absorpsjonskoeffisienten. og avhenger av hvor rent vannet er, og av lysets bølgelengde. Anta at lysintensiteten ved x = 6 meters dyp er 0.02 % av lysintensiteten ved overflaten. Bestem /z (med enheten m“‘ (dvs. meter-')).

8. Undersøk om grafen til f (x) = ce'v kan komme frem ved parallellforskyving av grafen til g(x) = e'x når c er en positiv konstant. 142

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

5.8 Potensfunksjonen /(x) = xr La r være et vilkårlig reelt tall. Funksjonen f {x) = xr er definert for alle positive tall x, og kalles potensfunksjonen med eksponent r. (Hvis r er et helt tall, gir uttrykket xr også mening for negative verdier av x, men i alminnelighet lar vi x' være udefinert for x < 0.) Nedenfor har vi sammenlignet grafene til en del potensfunksjoner med forskjellige eksponenter.

Figur 5.7 Potensfunksjoner med

Figur 5.8 Potensfunksjoner med

positiv eksponent

negativ eksponent

Noen egenskaper ved funksjonen /(x) = xr (vilkårlig r) a) f er definert for alle reelle tall > 0. b) f er kontinuerlig og monoton.

- Hvis r > 0, da er f strengt voksende, og vi har lim xr = oo. x— - Hvis r — 0, da er /(x) konstant lik 1.

(16)

- Hvis r < 0, da er f strengt avtagende, og vi har lim x' = 0. X~^9G

c) Hvis r

0, da har / en omvendt funksjon som er gitt ved

/-1(x) = x1/f

for

x > 0.

Legg merke til at c) følger av ekvivalensen (4) i seksjon 5.1.

Potensfunksjonen med graf gjennom to gitte punkter DEFINISJON Når vi sier at f er enpotensfunksjon, mener vi at det fins konstanter c og r(c > 0) slik at /(x) = cx' for alle x. Tallene c og r kalles funksjonens parametere.

5.8

Potensfunksjonen /(x) = xr

143

I praksis møter vi følgende problem: Hvordan bestemmer vi parametrene c og r. slik at grafen til f gar gjennom to gitte punkter P og Q i første kvadrant? Vi illustrerer fremgangsmåten med et eksempel: Sett P — (2. 7) og Q = (3.4). Fordi kurven skal gå gjennom punktene P og Q. må punktenes koordinater passe i likningen v = cx'. Det gir oss likningene 7 = c2' 4 = c3'

Dividerer vi den første av disse likningene med den siste, faller c bort, og vi får

7

2V

4

3/ ’

Bruker vi en eller annen logaritmefunksjon på begge sider av likningen, f.eks. ln-funksjonen. får vi (ifølge regneregel (iii) for logaritmer, jf. (11)): In

og derfor

I I seksjon 5.11 skal vi si litt om tilpassing av en kurve y = cx'' når vi har flere enn to “datapunkter” P og Q. Vi avslutter med en biologisk anvendelse av potensfunksjoner som kaster lys over et dramatisk fenomen i naturen.

► Eksempel 17 (Allometrisk vekst) Når en organisme vokser, er det sjelden at alle deler eller organer vokser med samme veksthastighet. Normalt vil der­ for organismens form endre seg med tiden. Dette kalles allometrisk vekst (i motsetning til isometrisk vekst, der formen bevares).

Figur 5.9

Formen endrer seg med

tiden

144

Kapittel 5

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

La y — y(t) være størrelsen av et gitt organ ved tiden t, og la x = x(t) være størrelsen av organismen som helhet ved tiden t. I mange forsøk har det vist seg at v og x (tilnærmet) er knyttet sammen ved følgende formel:

y = cx'

(“allometriloven”),

der c og r er konstanten c avhenger av hvilke målenheter en bruker for x og y. r er derimot et tall som er uavhengig av målenhetene og kalles allometrikonstanten. (Jf. oppgave 5.) I kapittel 8 skal vi se at den merkelige allometriloven følger av en naturlig og enkel antagelse.

Figur 5.10

Allometriloven kan ha høyst ubehagelige konsekvenser. Hvis kroppsstørrelsen til et dyr øker ut over det som er “normalt,” og dette skjer uten at dyrets “allometrikonstanter” endres, så kan enkelte organer eller kroppsdeler bli så underdimensjonert eller overdimensjonert at det er livstruende. Det kan være noe slikt som har skjedd med den irske kjempehjorten, Megaloceros, på figur 5.10, der geviret er overveldende stort. I

Oppgaver til seksjon 5.8 1. Plott grafen til f (x) — (1.2)x' 67 på millimeterpapir. Bruk 5 cm som enhet på begge akser. 2. Skisser i grove trekk grafen til/(x) = 3-x''for r =0.6, r = 1.6,/- = —1.5.

3. Anta at likningen y — cxr gjelder for (x = 2, y = 16) og for (x = 3, y — 54). Finn c og r. 4. Anta at likningen y = cxr gjelder for (x = 2, y = 4) og (x = 5. y — 8). Finn c og r.

5. La x og y være størrelsen av to kroppsdeler målt i milligram. Anta at følg­ ende allometrilov gjelder: y — 2.8x106. Hvordan vil allometriloven se ut hvis X og Y er kroppsdelenes størrelse målt i gram? 5.8

Potensfunksjonen /(x) = xr

145

6. Tenk deg et stilisert dyrehode med gevir, som vist på figur 5.A.

Figur 5.A

a) Anta at hode og gevir vokser allometrisk ifølge allometriloven y = cx1. Bestem allometrikonstanten r ut fra figur 5.B (i) og (ii). b) Tenk deg at alle “dyrehodene” på figur 5.B er tegnet i samme målestokk.

Figur 5.B

Beregn størrelsen av geviret på hode (iii), og tegn det inn på figuren.

5.9 Logaritmisk skala Betrakt følgende data: Omtrentlig lengde i meter IOM icr8 10-6 107 10'6

Atomkjernens radius Radien til et virus Radien til en celle Jordas diameter 1 lysår

Ønsker vi å plotte disse dataene på en akse, vil en lineær skala ikke være brukbar på grunn av det kolossale forholdet det er mellom største og minste verdi. Bruker vi derimot den skalaen som er vist på figur 5.11, så får vi en oversiktlig figur.

Atomradien Jordas diameter Menireske C elle AtomkjerneAvstanden Kjøttmeis til Sola Blåhval radien Virus 1 l 1 I014 Figur 5.11

146

Kapittel 5

10-10

10-6

1()-2 j

102

107

10ll

1 lysår 1 1016

Logaritmisk skala

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

meter

Skalaen på figur 5.11 kalles en logaritmisk skala og blir brukt en del i det følg­ ende. Det er lett å forstå hvor på skalaen rene potenser av 10 er plassert, men nøyaktig hvor på skalaen ovenfor vil du plassere f.eks. tallet 50? For å svare på dette må du vite mer detaljert hvordan den logaritmiske skalaen er bygd opp. Det får vi lett oversikt over ved å sammenligne den med en lineær skala, slik som vist på figur 5.12.

50 102 103 104 iiii’ 111

io~2 io~' i

]ø6 i

io

।

Logaritmisk skala

।

i ।

।

i

-2

-1

0

1

F

1

1

3

4

■R

1 7

Den tilsvarende lineære skalaen

log r

Figur 5.12

Å plassere tallet 50 på den logaritmiske skalaen på figuren ovenfor svarer til å plassere log 50 ~ 1.7 på den tilsvarende lineære skalaen. Hvor på den logarit­ miske skalaen vil du plassere 500? Generelt gjelder følgende:

o

A plassere et (positivt) tall r på en logaritmisk skala svarer til å plassere log r på den tilsvarende lineære skalaen. (Se figur 5.12.) _____________________________________________________________________!

Før du leser videre, så gjør følgende oppgave: Lag en finere oppdeling av den logaritmiske skalaen på y-aksen på figur 5.13 ved å plassere tallene

0.3, 0.5, 0.6, 0.7, 0.9, 3, 5, 6, 7, 9, 30, 50, 60, 70, 90.

-10

12

—1—i—i—i—i—I—i—1—i—i—I—1—i—\_

1___

I_

i__ i_

i_ i_ I_ i_ i_

1__ i_

!_

1__ i_

i_

i

I

J___ i___ i___ lJ___ i___ i___ lJ___ i___ i___ i I 0.1

0.2

0.6

0.8 1

2

4

8 10

20

40

80 100

Figur 5.13

En grafisk fremstilling kan i visse tilfeller bli mer oversiktlig om vi benytter et koordinatsystem der vi har logaritmisk skala på en eller begge akser. Papir der det er inntegnet et slikt koordinatsystem, kalles logaritmepapir (henholdsvis enkeltlogaritmisk og dobbeltlogaritmisk papir), og er å få kjøpt i bokhandelen. I de neste to avsnittene skal vi se eksempler på bruk av logaritmepapir.

5.9

Logaritmisk skala

147

Oppgaver til seksjon 5.9 1. a) Plott følgende tall på en logaritmisk skala:

3.2,

2,

10.

6.

17

b) Transformer disse tallene over til nye tall ved å multiplisere med 25. Plott de nye tallene på samme skala som ovenfor. Hvordan ligger de fem siste punktene i forhold til de fem første? c) Transformer tallene i a) over til nye tall ved å ta kvadratroten. Foreta en lignende sammenligning som ovenfor.

5.10 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem Figur 5.14 viser et enkeltlogaritmisk koordinatsystem med logaritmisk skala på y-aksen og lineær skala på x-aksen. 1000

700 500 400 300

200 100 70 77 50 —J—

40 01 slik at f (x) = cx1.

► Eksempel 20 Plotter man den daglige varmeproduksjonen hos varmblodige dyr mot kroppsvekten på dobbeltlogaritmisk papir, så ligger punktene bemerk 5.11

Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

153

elsesverdig nær en rett linje. Noen verdier er angitt i tabellen her. og resultatene er plottet på figur 5.20. Rotte

Høne

Murmeldyr

Hund

Menneske

Hest

Vekt(kg)

0.5

2.2

2.8

18

70

500

Varmeprod. (kJ)

130

410

320

2000

6000

30000

Figur 5.20

Vi skal finne en empirisk formel som tilnærmet gir den daglige varmeproduksjonen y (kJ) uttrykt ved kroppsvekten x (kg). Vi har trukket en rett linje som graf på øyemål. Fordi vi er i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, svarer linjen til en potensfunksjon y — cxr. Ved hjelp av cm-mål finner vi linjens stigningstall r % 0.75. Konstanten c finner vi ved å sette inn “koordinatene” til et punkt på linjen, f.eks. “Hund” = (18, 2000). Vi får

2000 = c • (18)0'75

som gir c = 228.86 ~ 2.3 • 102. Den formelen vi søker, blir v = 2.3 • 102 - x0 75

Oppgaver til seksjon 5.11 1. Plott følgende funksjoner på dobbeltlogaritmisk papir: a)

154

Kapittel 5

v

= 3.8-a-17

b) y = 360-x"°'3

Eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og potensfunksjoner

2. (UiO, 1978) Følgende data er hentet fra en undersøkelse over personer som i 1933 flyttet til Tartu i Estland fra den omliggende landsbygda, y er an­ tallet som flyttet per 100 000 landsbygdinnbyggere. x er flytteavstand i km (avrundet oppover til nærmeste hele tall delelig med 20).

X

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

y

I700

550

230

120

75

60

45

35

25

20

a) Plott disse dataene på dobbeltogaritmisk papir, og tilpass på øyemål en rett linje. b) Finn en empirisk formel for y som funksjon av x.

3. Larvene til møllen Porthetria dispar L. påfører skog og frukttrær stor skade. Ved parringen blir hannene tiltrukket av hunnene, som produserer et sexstimulerende luktestoff. Dette luktestoffet kan brukes i forsøk på å holde møllbestanden under kontroll ved at hannene blir lurt til feller. Følgende tall ble funnet i et eksperiment (Beroza et al.. 1972): x = mengde luktestoff

0.1

1

10

100

N = antall fangede hanner

3

7

11

20

a) Fremstill resultatet på dobbeltlogaritmisk papir. Tilpass på øyemål en rett linje til de observerte dataene.

b) Angi en empirisk formel for N som funksjon av x. 4. a) S = 4?rr2 og V = ? er overflaten og volumet av en kule med radius r. Plott punktene (5. V) på dobbeltlogaritmisk papir for noen verdier av r. f.eks. r = 5. 9, 13 og 20. Hva legger du merke til. og hva er forklaringen på det du ser?

b) Tenk deg n legemer med forskjellig størrelse, men samme form. La Vi. Vn og Aj.......... A„ være henholdsvis volum og overflate for legemene. Plotter man V, mot A, (/ = 1........ n) på dobbeltlogaritmisk papir, så vil punktene ligge på en rett linje. Hva er linjens stigningstall?

5.11

Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

155

kapittel

Derivasjon

Begrepet “derivert,” som er hovedtemaet i dette kapitlet, skal bl.a. gi oss et verktøy til å behandle problemstillinger som har å gjøre med forandring og vekst. Begrepet har en viktig geometrisk tolkning, knyttet til begrepet tangent, og en viktig “praktisk” tolkning som øyeblikkelig vekstrate. I seksjon 6.1 skal vi starte med et eksempel fra den virkelig verden der begge disse aspektene kommer inn. Hvis du ønsker å gå direkte til den rent matematiske definisjonen av den deriverte til en funksjon, kan du gå til seksjon 6.2, der selve definisjonsuttrykket befinner seg i (3).

6.1 Tangent og vekstrate La oss som et innledende eksempel studere kurven på figur 6.1, som i grove trekk viser verdens folketall som funksjon av tiden. At kurven ikke er like bratt overalt, betyr naturligvis at folketallet ikke har vokst like raskt hele tiden. La oss f.eks. se på tidsrommet fra 1650 til 1850. I løpet av disse 200 årene økte folketallet med 550 mill. Den gjennomsnittlige vekstraten over intervallet [1650, 1850] er da 550 mill. ———- = 2.8 mill, per år. 200 ar Dette kan tolkes som stigningstallet til sekanten AP, dvs. den rette linjen gjennom A og P. Som mål på hvor rask veksten er ved et gitt tidspunkt, er det naturlig å bruke stigningstallet til kurvens tangent. La oss f.eks. ta tidspunktet t = 1960. På figuren har vi trukket tangenten på øyemål. Stigningstallet er

3500 mill. ———----- = 47 mill, per år 75 ar 6.1

Tangent og vekstrate

157

Dette kan vi kalle den øyeblikkelige vekstraten ved tiden t — 1960.

Figur 6.1

A tegne tangenten til en kurve i et gitt punkt er ikke alltid så greit som ovenfor. Betrakt f.eks. kurven på figur 6.2. Blir du bedt om å bestemme kurvens tangent i punktet A, synes du antagelig at oppgaven er uklart formulert, og at det er behov for en presisering.

Figur 6.2

Helt entydig blir oppgaven først når kurven er en “matematisk kurve,” beskrevet f.eks. ved en likning eller som grafen til en gitt funksjon, og ikke bare som en tusjstrek på et papir. Vi skal nå si hva vi mener med tangenten til en kurve i et gitt punkt A. Vi tenker oss da et vilkårlig valgt punkt P A) på kurven, og betrakter sekanten AP (figur 6.3). Lar vi P “gli” mot A langs kurven, så vil sekanten dreie seg om A. Tangenten definerer vi som den entydig bestemte linjen som sekanten nærmer seg når P nærmer seg A. Figur 6.4 viser eksempler på tangenter.

Tangent = grensestilling for sekant Figur 6.3

158

Kapittel 6

Derivasjon

Figur 6.4

Noen tangenter

Det er ikke alltid det fins en entydig bestemt linje som sekanten nærmer seg, og følgelig eksisterer ikke alltid tangenten i et gitt punkt på en kurve.

Figur 6.5 Tangenten eksisterer ikke i et knekkpunkt

Et viktig eksempel er vist på figur 6.5 der vi har et såkalt knekkpunkt (A). Her nærmer sekanten seg to forskjellige grensestillinger, avhengig av om vi nærmer oss A fra høyre eller fra venstre.

Oppgaver til seksjon 6.1 1. Tabellen viser hvordan folketallet (per januar) i et tenkt u-land vokser.

t (år)

1970

1975

1980

y (folketall, mill.)

96.3

107.9

121.9

Beregn den gjennomsnittlige vekstraten (mill, per år) for hvert av tids­ intervallene [1970, 1975], [1975, 1980] og [1970, 1980],

2. En størrelse y varierer med tiden, og har verdien y0 = 19.4 ved tiden t = 1, og verdien yj = 23.2 ved tiden t — 5. Tiden måles i år. Finn følgende for tidsintervallet [1,5]:

a) den gjennomsnittlige vekstraten b) den relative økningen

c) den prosentvise økningen

d) vekstfaktoren

6.1

Tangent og vekstrate

159

6.2 Den deriverte La f (x) være en funksjon som er definert i et intervall, og la A være et punkt på grafen gitt ved x — a. Vi antar at grafen har en tangent i punktet A. og vi skal finne et uttrykk for tangentens stigningstall.

Vi lar Ax være et vilkårlig tall, men slik at a + Ax ligger i Df (funksjonens definisjonsmengde). Et eksempel er tegnet på figur 6.6, der Ax er valgt positiv. Forandrer vi argumentet fra x = a til x = a + Ax, så gir dette en tilvekst i funksjonsverdien som kan skrives

Av = f (a + Ax) — f (a). Kvotienten

Ay

f (a + Ax) — f (a)

Ax

kan tolkes som stigningstallet til sekanten AP (figur 6.6). Lar vi Ax gå mot null og holder a fast, så vil punktet P “gli” langs kurven og nærme seg punktet A. Sekanten dreier da om A og nærmer seg tangenten i A. Følgelig vil sekantens stigningstall nærme seg tangentens stigningstall. Vi har altså: Av tangentens stigningstall = lim —— Aa—Ax

f (a + Ax) - f (a) hm aa—»0 Ax

------------------------(1)

Betrakt funksjonen /(x) = x2. Tangenten i punktet x = a har

► Eksempel 1 stigningstall

f (ci + Ax) — f (a) . (ci Ax) — ci lim ------------------- ------- = lim ---------------------Aa-^o Ax Aa—o Ax

= lim (2a + Ax) Aa- —0 = 2a.

160

Kapittel 6

Derivasjon

Figur 6.7

► Eksempel 2 La oss tenke oss at vi skal lage et parabolsk speil for å koke mat med solvarme. Vi ønsker i den anledning å bestemme brennpunktet i parabelen y = .r2. Vi betrakter den lysstrålen som etter refleksjon i speilet går horisontalt mot brennpunktet (figur 6.8).

Brennpunkt

Figur 6.8

Tangenten i punktet A må danne 45° med .r-aksen. Fordi vi har samme lengde­ enhet på aksene, blir stigningstallet lik 1. På den annen side er stigningstallet. ifølge eksempel 1, lik 2zq. Dette gir 2xq = 1, som gir xq = og følgelig — 4‘

La f (x) være en gitt funksjon som er definert i et intervall, og la a være et tall i dette intervallet. Hvis grensen

eksisterer, sier vi at f er deriverbar i punktet x = a. Verdien av uttrykket (2) kalles stigningstallet til f i a. og er det samme som stigningstallet til grafens tangent i punktet (a. f (a)). Den regelen som til tallet a tilordner stigningstallet til f i a. er en funksjon som kalles den deriverte til f og betegnes med f. Skriver vi x istedenfor a, får vi: 6.2

Den deriverte

161

DEFINISJON (/ derivert) ved uttrykket

Gitt en funksjon f. Vi definerer en ny funksjon f

f (x + Ax) - f (x) /'(x) — hm -------------------------- . Ax—>0 Ax

f leses “ f derivert.” Fra det som er sagt ovenfor, har vi:

f (a) er stigningstallet til funksjonen /(x) i punktet x — a.

► Eksempel 3 definisjon

(4)

Vi skal finne den deriverte til funksjonen /(x) — x3. Vi har per

/z(x) = lim Ax—>0

= lim

(x + Ax)3 — x3

Ax x3 + 3x2 Ax + 3x(Ax)2 + (Ax)3 — x3

Ax

Ax—>0

= lim (3x2 + 3xAx + (Ax)2) = 3x2. Ax—>0

Funksjonens stigningstall, f.eks. i punktet x = 5, er= 3(5)' = !.

I

► Eksempel 4 Vi skal finne den deriverte til funksjonen /(x) = Ax + B, der A og B er konstanter. Vi har:

(A(x + Ax) + B) — (Ax + B) /'(x) = hm -----------------------------------------Ax—>0 Ax

lim A = A.

Ax^O

Figur 6.9 viser eksempler på hvordan grafen til en funksjon kan se ut rundt et punkt a der funksjonen ikke er deriverbar.

Diskontinuitet

Knekkpunkt

Vertikal tangent

Figur 6.9

Det fins imidlertid også andre eksempler, vesensforskjellige fra de tre på figuren, men de spiller mindre rolle i praksis.

162

Kapittel 6

Derivasjon

Av hensyn til senere anvendelser vil vi understreke at en funksjon som er diskontinuerlig i et punkt x = a, ikke kan være deriverbar i dette punktet. (Vi hopper over beviset for dette.) Sagt med andre ord:

Hvis f (x) er deriverbar for x =

såer f (x) også kontinuerlig for x = a.

15)

Når vi sier at en funksjon f er deriverbar, så mener vi at f er deriverbar i ethvert punkt i definisjonsmengden. Å derivere en funksjon vil si å bestemme den deriverte. Senere skal vi lære å derivere mange forskjellige funksjoner, men la oss først se på noen praktiske anvendelser av den deriverte.

Oppgaver til seksjon 6.2 1. I denne oppgaven skal du beregne stigningstallet til funksjonen f (x) = x3 i punktet x = | på to forskjellige måter: a) Tilnærmet beregning ved grafisk metode: Regn ut funksjonsverdien i noen punkter i nærheten av x = trekk på øyemål en glatt kurve gjennom punktene, og trekk deretter på øyemål tangenten i punktet x = 4. Anslå tangentens stigningstall ut fra figuren.

b) Eksakt beregning ved hjelp av derivert. 2. Finn stigningstallet ti! funksjonen f (x) = 7x - 3

i hvert av punktene x = 1. x = 2 og x = 3.

3. Finn den deriverte til følgende funksjoner ved hjelp av definisjonsuttrykket (3): a) f (x) = x2 b) f (x) = 8 4. Sett f (x) — 2x2 + 1. a) Finn /'(x) fra definisjonsuttrykket (3).

b) Finn stigningstallet til f i punktet x = 5000.

5. La funksjonen f være definert ved

for x 7^ 0. og sett /(0) = 0. a) Tegn grafen til f. og undersøk hvor f er kontinuerlig. b) Avgjør om f er deriverbar i x = 0.

6.2

Den deriverte

163

6.3 Tolkninger og anvendelser av den deriverte ► Eksempel 5 (Øyeblikkelig vekstrate for en populasjon) I økologien snakker man ofte om vekstraten til en dyre- eller plantepopulasjon ved et gitt tidspunkt. Vi skal gi dette begrepet et presist innhold. N A

“Virkelighet”

—►! Figur 6.10

La N være antall individer i populasjonen. Vi tenker oss at N varierer med tiden t. Fordi N antar heltallige verdier, må variasjonene skje i sprang. N er derfor verken en kontinuerlig eller en deriverbar funksjon av tiden (figur 6.10), og begrepet tangent gir liten mening. Vi omgår problemet ved å velge en “modell” — en idealisering av virke­ ligheten — der “antall individer” er gitt ved en deriverbar funksjon f (figur 6. 11). Lar vi f betegne den deriverte til f, så er f (to) stigningstallet til f i punktet t = tø. Det kaller vi populasjonens øyeblikkelige vekstrate ved tids­ punktet t = tø, eller kortere vekstraten ved tiden to- (Dette svarer til det vi kalte øyeblikkelig vekstrate i 6.1.) Et annet ord for vekstrate er veksthastighet. Vi må være klar over at begrepet øyeblikkelig vekstrate bare har presis betydning innenfor modellen. Vekstraten ved tiden tø avhenger naturligvis av hvilken funksjon f vi har valgt til å beskrive virkeligheten. I seksjon 2.1. eksempel 6, valgte vi å beskrive antall finnhval i Antarktis ved funksjonen f(t) = At + B,

0 < t < 5 år

der A = —17 400 år-1 og B = 151 000. Vekstraten ved et vilkårlig tidspunkt t er f'(t). Bruker vi derivasjonsresultatet fra eksempel 4, får vi f'(t) = A = -17 400 år1.

Vekstraten er negativ, som betyr at populasjonen avtar.

► Eksempel 6

Figur 6.12 viser et kar som fylles med vann.

i

Figur 6.12

164

Kapittel 6

Derivasjon

v=V’(t) (liter/min)

I

La V — V(t) (liter) være vannvolumet i karet ved tiden t. Vi tenker oss at ikke noe vann forlater karet, og skal gi en tolkning av den deriverte V'(t). La oss først se på et tidsintervall [r, t + Ar]. V(t + Ar) — V(t) er økningen av vannvolumet i karet i dette tidsintervallet. Dividerer vi med Ar som er den tiden denne økningen tar, får vi uttrykket V(r + Ar) — V(r) ------------------------Ar

. (liter/mm).

som er den gjennomsnittlige tilstrømningshastigheten i intervallet [r, t + Ar]. Tilstrømningshastigheten v akkurat ved tidspunktet r definerer vi som grense­ verdien av dette uttrykket når Ar går mot null, altså lim △z->o

VO + AC-VOT = v,w

n)

Ar

En mer generell modell er vist på figur 6.13, der vannet ikke nødvendigvis strømmer til karet hele tiden, men også kan tenkes å strømme ut igjen samme vei.

Figur 6.13

Fremdeles kan V'(t) tolkes som tilstrømningshastigheten, men negative verdier for denne må da bety at vannet strømmer ut av karet. I ► Eksempel 7 (Energi og effekt) Dette er ord som forekommer hyppig i avis­ spaltene, ikke minst i forbindelse med diskusjon om kraftutbygging. Energi måles bl.a. i Wh (watt-timer) og er “det man betaler for.” Effekt måles i W (watt) og angir hvor mye energi som produseres (eventuelt forbrukes) per tids­ enhet. Grovt sagt: “Effekt = energi per tidsenhet” Vi skal nå se hvordan begrepet derivert kan brukes til å gi en presis definisjon av effekt. Vi tenker oss da en modell der det strømmer energi fra en energikilde til en mottaker (f.eks. en forbruker).

Energikilde _____________

Mottaker

Figur 6.14

La E(t) være den energimengden som er mottatt i tidsrommet fra t = 0 frem til tidspunktet t. Den energimengden som mottas i løpet av tidsintervallet [r, t + Ar], er da E(t + Ar) — Eit}. Dividerer vi dette med tidsintervallets lengde Ar,

6.3

Tolkninger og anvendelser av den deriverte

165

får vi den gjennomsnittlige effekten i dette tidsintervallet. Effekten ved tiden t defineres som grenseverdien når Ar -> 0. altså

E(t + Ar) - Eit) lim -----------------------az^o Ar

Dette kjenner vi igjen som defmisjonsuttrykket for den deriverte til funksjonen Eit). Vi har altså: (Effekten ved tiden t) = E it). (6) Dette uttrykkes gjerne kort ved å si at "effekten er den deriverte av energien ”, La oss gjøre dette mer konkret ved å se på et enkelt talleksempel: La oss si at en panelovn står på 1200 W. Hva vil det koste oss? Spørsmålet er meningsløst, for regningen vil naturligvis avhenee av hvor lenge ovnen står på. Det vi betaler for. er mottatt energimengde, og den vil være proporsjonal med tiden som ovnen har stått på. Etter f.eks. 4 timer (h) har vi mottatt (1200 W) (4 h) = 4800 Wh, og etter t timer har vi mottatt energimengden E(t) = 1200? (målt i Wh). Deriverer vi denne funksjonen, får vi E'it) = 1200, som nettopp gir effekten 1200 W som ovnen til enhver tid står på. I

► Eksempel 8 (Oppvarmingsrate og avkjølingsrate) temperaturen til et legeme ved tiden t. Den deriverte

T'(t)

La T = Tit) være

Tit + ^t) - Tit) = hm -----------------------az-^o Ar

kaller vi oppvarmingsraten ved tiden t. Den kan litt upresist beskrives som “temperaturøkning per tidsenhet ved tidspunktet t." Avkjølingsraten ved tiden t definerer vi som —T'(t).

Figur 6.15

Vi skal se på et konkret eksempel. Vi har malt temperaturen i et badekar med 120 liter vann. Måleresultatene er angitt på figur 6.15. og en temperaturkurve er trukket på øyemål gjennom målepunktene. Vi spør nå etter av­ kjølingsraten kl. 9.30. Vi trekker da (på øyemål) tangenten til kurven ved 166

Kapittel 6

Derivasjon

tidspunktet 9.30. Oppvarmingsraten er stigningstallet til tangenten, som blir — —3 (°C per time). Følgelig blir avkjølingsraten kl. 9.30 3 °C per time. (I tider med energiknapphet kan det være verdt å merke seg at ca. halvparten av den energien man bruker for å varme opp badevann, kan brukes til opp­ varming av leiligheten, simpelthen ved å la vannet avkjøles i karet før det slippes ut. (Pass på å la døren stå åpen!)) La oss nå spørre oss hvor mange watt badevannet avgir kl. 9.30. Vi oppgir følgende data: Når 1 liter vann avkjøles med en avkjølingsrate på 1 °C per time, så avgis 1.2 W. Av dette slutter vi følgende: Når 120 liter vann avkjøles 3 °C per time, så avgis 120 • 3 • 1.2 W - 432 W Avgitt effekt fra badevannet kl. 9.30 er derfor i overkant av 400 W.

I

► Eksempel 9 (Hastighet) Vi tenker oss et punkt i rettlinjet bevegelse langs en akse. La x = x(t) være punktets posisjon ved tiden t.

positiv x-retning ------------►

-•----------- negativ x -retning

------------------------ ► x-akse

0

x — x(t)

1

Figur 6.16 Punktets posisjon på x-aksen ved tiden t

Vi ser på to tidspunkter t og t + Åt (At > 0). Gjennomsnittshastigheten i tidsintervallet [r, t + At] er posisjonsendringen dividert med reisetiden, altså

Ax

x(t + Ar) — x(r)

Ar

Ar

Vi tenker oss nå at intervallet gjøres kortere og kortere ved å la Ar gå mot 0. Hastigheten ved tiden t defineres som grenseverdien Ax , lim — = x (r). a?^o Ar

Fortegnet til x'(r) gir bevegelsesretningen. Positivt fortegn svarer til bevegelse i positiv x-retning. Definisjonen av hastighet kan vi kort uttrykke slik: “Hastigheten er den deriverte av posisjonen.”

Hastighet er et begrep som inneholder informasjon både om hvor fort og i hvilken retning bevegelsen skjer. Vi kommer tilbake til dette i kapittel 9, og i seksjon 11.6, der vi skal se nærmere på “hastighetsvektoren ” til et punkt som beveger seg langs en kurve i rommet. I 6.3

Tolkninger og anvendelser av den deriverte

167

► Eksempel 10 (Speedometer, banehastighet og veilengde) Vi tenker oss et kjøretøy som beveger seg langs en kurve. Ved tiden r = 0 nullstiller vi “tripptelleren.”

t + Ar

Figur 6.17

La t være et vilkårlig tidspunkt (t > 0), og la s(t) være den veilengden kjøretøyet har tilbakelagt i løpet av tidsintervallet [0, r]. Betrakt et senere tids­ punkt t + Ar. Den tilbakelagte veilengden i løpet av tidsintervallet [r. t 4- At] er da As = s(t + At) — s(t).

Dividerer vi As med reisetiden Ar, får vi et tall > 0, som er det man i dagligtalen kaller “gjennomsnittshastigheten” i tidsrommet fra t til t + Ar. Lar vi Ar gå mot 0, går As/Ar (i prinsippet) mot den verdien som vises på kjøretøyets speedometer ved tidspunktet r. I dagligtalen kaller vi dette kjøretøyets “has­ tighet." Det strider imidlertid mot fysikkens terminologi fordi verdien ikke gir informasjon om bevegelsesretningen. Vi velger i stedet å kalle grenseverdien banehastighet. Vi har altså: Banehastighet ved tiden r = lim —- = s'(t). At-^() At Kort sagt i ord: "Banehastigheten er den deriverte av veilengden.”

Oppgaver til seksjon 6.3 1. len bakteriekultur kunne antall bakterier ved tidspunktet t (timer) beskrives bra ved hjelp av formelen

N = No + At + Br.

0 0 (sekund) har tilbakelagt strekningen v = (4.9l)t2 (meter). Finn farten ved tiden t.

6.4 Noen spesielle derivasjonsresultater A. ,/'(x) = xn (n naturlig tall)

Vi har allerede sett at vi har: f (x) = x

/'(x) = 1

(Eksempel 4)

f (x) = x2

f'(x) = 2x

(Eksempel 2)

f (x) = x3

f'(x) = 3x2

(Eksempel 3)

Ut fra dette er det fristende å gjette på at vi har: f (x) = x"

=> /'(x)=/?x"

Vi skal bevise at dette er riktig i eksempel 13.

B. f (x) = sinx

For å forenkle skrivemåten vil vi bruke bokstaven h istedenfor Ax. Vi har da: , r f(x + h)-f(x) sin(x + h) - sinx j (x) = lim ----------------------- = hm ------------- ----------- . h-^o h h->-0 h

For å finne denne grenseverdien omformer vi uttrykket sin(x + A) — sin x ved hjelp av (10) i seksjon 3.8, og får:

sin(x + /?) — sinx = 2 cos

h sin —. 2

Vi får da:

f (x 4- h) — f (x) h

2 cos(x + 4) sm | / h \ sin 4 ----------------------- - = cosi x 4— I —> cosx. h \ 2/

Vi har altså:

f (x ) — sinx

6.4

>

f'(x) = cos x

Noen spesielle derivasjonsresultater

169

C. /(x) = cosx Ved å bruke formel (12) i seksjon 3.8 kan vi skrive

f (x + /?) - /(x)

cos(x + h) - cosx

-2 sin (x + 5) sin 4

h

h

h

/ h \ sin 5 = — sin x 4— —,— \ 2/ 4 Vi får da

/

,

(x) = lim

/ A \ sin 4 — sin x 4— —— \ 2/2

sin x.

Vi har altså:

f (x) — cosx

/'(x) = —sinx

=>

D. f (x) = logfl x (a > 0, a ± 1) I den utledningen som nå følger, vil vi gjøre bruk av disse egenskapene ved logaritmefunksjoner:

log

/ xi \ — = loga xi — loga x 2 for alle xj, x? > 0

(*)

\ X2 /

t logfl x = loga(xr) for alle x > 0 og alle t

(**)

er en kontinuerlig funksjon av x

(***)

iog6/ x

Dessuten vil vi gjøre bruk av følgende grenseresultat (jf. (9), seksjon 4.7):

1

lim (1 4- .s)5 = lim

s->0

(

1 V’

14— = e. nJ

Vi har:

/ x 4- h \ log | ------- I log^x + /?) -log„x _ “\ x J h h

Setter vi her v =

£ h

/ V

h\ x/

så vil 5 -x 0 når h —x 0, og vi får:

1 / h V 1 il 1 -logJ 1 + = -loga(l +5)' -x -logt;e = ——. x \ x/ x x x In ci Vi får altså følgende derivasjonsregel:

/(x) = log x

170

Kapittel 6

Derivasjon

/'(x) = - log e — ------x x 1n a

Velger vi spesielt grunntallet a = e, får vi logw x = In a og In a = 1. Dette gir følgende viktige resultat: , 1 f (a) = A'

f (x) - In a

På grunn av denne meget oversiktlige derivasjonsformelen kan vi være enige om at logaritmefunksjonen med grunntall e — 2.71828 ... peker seg naturlig ut blant logaritmefunksjonene. Det er en av grunnene til at In a kalles den naturlige logaritmen til x. E. /(x) — |x| (Absoluttverdifunksjonen)

Grafen til absoluttverdifunksjonen /(x) = |x| er vist på figur 6.18, og den deriverte er vist på figur 6.19.

y = |a|

Figur 6.18

Figur 6.19

V = y~

Vi har:

, Ixl f (x) — |.v | => / (x) = — A

for

x /0

Absoluttverdifunksjonen er ikke deriverbar for a = 0.

Oppgaver til seksjon 6.4 1. Deriver funksjonene

a, a2, a3, a4

og a5.

2. Deriver

a) sin a

b) cos a

e) log2A

f) |a|

c)

d) log a

In a

3. Beregn funksjonens stigningstall i det angitte punktet.

a)

a7,

d) In a.

a

= 3 a

= 2

b) sin a, e) |a|,

a a

= 0

C) COS A, A = 7r/2

= —2

Deriver

a) fit) = é

b) f(N) = In N

c) f (v) = sin v

d) f(u) = cos u

e) /(r) = \r|

f) /(w) = log w

6.4

Noen spesielle derivasjonsresultater

171

5. Deriver funksjonene

c) L = sin v

b) m = In t

a) p = æ

6.5 Generelle derivasjonsregler Ved å kombinere de spesielle derivasjonsresultatene ovenfor ved hjelp av de generelle derivasjonsreglene vi nå skal utlede, blir vi i stand til å derivere en stor klasse funksjoner. A. Den deriverte av en konstant

Antar vi f (x) — c der c er konstant, får vi:

. .. f(x + Ax)-f(x) c-c j (x) — lim-------------------------- = lim -------- - 0 Ax—0 Ax Ax—0 Ax Vi får altså denne regelen:

/(x) = c

f (x) = 0

(c konstant)

B. Den deriverte av en sum av funksjoner La f og g være to funksjoner som er definert i et område A. Sett h = f + g, dvs, h er funksjonen definert ved h (x) = f (x) + g (x) for x e A. Anta at f og g er deriverbare i x. Da er også h deriverbar i x, og vi har h'(x) — / (x) + g'(x). Denne regelen kan kort uttrykkes slik: h(x) — f (x) + y(x)

Bevis:

=> h'(x) — f'(x) + g'(x)

Regelen er lett å bevise. Vi har:

/z(x + Ax) — /?(x) _ [f(x + Ax) + g(x + Ax)] - [f (x) + g(x)]

Ax

Ax f (x + Ax) - f (x ) gfx + Ax) - g(x) = ----------- -------------- +------------ - ------------------- \ f (x)+g(x) Ax Ax Ax—0

Vi får altså:

, h(x + Ax) — hi x) . , h (x) = lim ------------------------- = f (x) + g (x) Ax—0 Ax

► Eksempel 11

Sett h(x) = sin x + cos x. Vi får da h'(x) = (sinx)7 + (cosx) = cosx — sinx.

172

Kapittel 6

Derivasjon

Regelen ovenfor kan utvides til å gjelde en sum av n funksjoner, f], f2, ..., fn. Resultatet kan kort skrives:

/?(x) =

(x) + y2U) H------- F/nW =A hfx) = f[(x) + /2'(x) H------- F /,z(x)

Regelen kan uttrykkes i ord ved å si at en endelig sum avfunksjoner kan deriveres ledd for ledd. C. Den deriverte av et produkt av funksjoner

La f og g være funksjoner som er definert i et område A. Betrakt funksjonen h definert ved hfx) = /(x)g(x) for x e A. Anta at f og g er deriverbare i x. Da er h deriverbar i x, og vi har hfx) = ffx)g(x) + f(x)gfx). Dette kan vi kort skrive slik: h(x) = f(x)g(x) Bevis:

=> hfx) = ffx)g(x) + f(x)gfx)

(f)

Vi vil nå bevise denne regelen. Vi har:

h(x + Ax) - h(x)

f (x + Ax)g(x + Ax) — f(x)g(x)

Ax

Ax

Uttrykket på høyresiden kan omformes til

Fordi g er deriverbar i området A, må g være kontinuerlig i dette området. Lar vi derfor Ax gå mot 0, så går g(x + Ax) mot g(x). Uttrykket ovenfor går derfor mot /z(x)g(x) + /(x)g'(x). ► Eksempel 12

(sinx cosx)7 = (sinx)zcosx + sinx(cosx)7 = cosx cosx + sinx(— sinx) • 2 — cos 2 x — sin x

= 2 cos2 x — 1.

► Eksempel 13 (Induksjonsbevis) La n være et naturlig tall. Vi skal verifisere formelen (x")z = nx”-1 ved et såkalt induksjonsbevis.

Tankegangen bak et induksjonsbevis er at det ikke bare er én formel som skal bevises, men én formel (utsagn) for hvert naturlig tall n. I vårt tilfelle gjelder det utsagnene 6.5

Generelle derivasjonsregler

173

Nr.

Utsagn

l

(x)' = 1

2

(x2)' = 2x

3

(x3)' = 3x2

k

(xkf = kxki

k+1

(x*+1)z = (k + l)xA

Et induksjonsbevis består generelt av to “jobber”: (i) Verifiser at utsagn nr. 1 gjelder.

(ii) Verifiser at utsagn nr. k impliserer utsagn nr. k + 1 (for et vilkårlig naturlig tall k). (Er disse to jobbene utført, så må nødvendigvis samtlige utsagn gjelde, og beviset er fullført.) Så til vårt konkrete tilfelle: , (x + Ax) — x (i) x = lim ------------------ = lim 1 = 1. A.r->0 Ax A.r^O (ii) Vi skal vise at formelen (xÅ'+1)' = (k + 1 )xk kan utledes av formelen (xk)' — kxk~} (k er et naturlig tall). Bruker vi produktregelen (7), får vi

(xk+])' = (x • xk)' = x’ ■ xk + x(xk)' = xk + x(xk)' = xk + x(kxk~]) = xk + kxk = (1 + k)xk.

Beviset er dermed fullført.

■

Et viktig spesialtilfelle av (7) får vi om funksjonen g er konstant. Har vi g(x) konstant lik c, får vi g'(x) = 0. (7) gir da: /z(x) = cf (x) => //(x) = ('/'(X)

Dette uttrykker vi i ord ved å si at en konstant faktor kan settes utenfor ved derivasjon. ► Eksempel 14 Sett f (x) = ao+a\x+O2X2+a?,x-' + ■ ■ ■+a„x”, derr/ø, ..., an er konstanten f'(x) finner vi ved å derivere ledd for ledd. Den deriverte av a,x1 er at ganger den deriverte av x', altså a, i x1 ”1. Vi får da f (x) = a\ + 2a2X + 3ai,x~ + • ■ • + nanxn~].

I

174

Kapittel 6

Derivasjon

D. Den deriverte av en kvotient av funksjoner

La f og g være definert i et område A. Sett h(x) = —— f°r hver x e g(x) yÉ 0. Da er h deriverbar i x. Vi har: ,, ,

f (x)

.

°S

ffx)g(x) - f(x)gfx)

g(x)~

g(x)

Dette kan bevises ved omtrent samme metode som ble brukt i C ovenfor, og vi hopper over detaljene.

► Eksempel 15

Sett /(x) = tan x. Vi har

f fx) = (tan x)' =

sinxV

(sinx)'cosx — sinx(cosx)'

cosx /

(cosx)2 • 7

?

cos x + sin x

cos2 x 1 COS2 X

I

E. Den deriverte av en funksjonsfunksjon. Kjerneregelen De derivasjonsreglene vi har behandlet til nå, setter oss i stand til å derivere funksjonsuttrykk som er bygget opp fra funksjonene x”, sinx, cosx, Inx, |x|, og de konstante funksjonene ved hjelp av de fire elementære regneoperasjonene addisjon, substraksjon, multiplikasjon og divisjon. Senere kommer vi også til å få bruk for å derivere funksjonsuttrykk som er bygget opp på en annen måte. La oss som innledende eksempel betrakte funksjonen h definert ved h(x) = sin(lnx) for x > 0. Denne funksjonen er satt sammen av funksjonene sin og In, men ikke ved hjelp av noen av de fire elementære regneoperasjonene. Vi skal se at det likevel fins en enkel sammenheng mellom den deriverte til h og den deriverte til hver av de to funksjonene som h er satt sammen av. Vi går like godt mer generelt til verks og bytter ut funksjonene sin og In ovenfor med uspesifiserte funksjoner f og g som vi tenker oss gitt. Vi lar h være funksjonen gitt ved h(x) = /[g(x)]. Denne måten å kombinere to funksjoner på kalles funksjonssammensetning eller dannelse av en funksjonsfunksjon. f kalles den ytre funksjonen, og g(x) kalles kjernen. Som vi skal se senere, er den deriverte til funksjonen h gitt ved formelen

hfx) = /'[g(x)] ■ g'(x) Formelen gjelder for alle x der uttrykket på høyresiden gir mening. Her betyr /'[g(x)] den deriverte til funksjonen f utregnet i punktet g(x). Resultatet kalles kjerneregelen og kan kort formuleres slik:

Kjerneregelen

h(x) = f[g(x)]

=> hfx) = /'[g(x)] • gfx)

6.5

Generelle derivasjonsregler

175

Kjerneregelen kan uttrykkes i ord på denne måten: Vi kan derivere en funksjonsfunksjon ved å derivere den ytre funksjonen og sette inn kjernen, og sa multiplisere med den deriverte av kjernen. Før vi ser på beviset for kjerneregelen, vil vi bruke den på noen eksempler. ► Eksempel 16 Vi skal derivere funksjonen h (x) = sin(lnx),x > 0. Fordi den ytre funksjonen er sin, er den deriverte av den ytre funksjonen cos. Vi setter inn kjernen In x og får cos(ln x). Dette skal multipliseres med den deriverte a\ kjernen, som er Vi får derfor: h'(x) = [sin(lnx)]' = [cos(lnx)]x I

► Eksempel 17 Vi skal derivere funksjonen h(x) = In(cosx), — f < x < f. Den ytre funksjonen er In. Deriverer vi den ytre funksjonen og setter inn kjernen cos x, får vi ^7. Dette skal multipliseres med den deriverte av kjernen, som

er — sin x. Dette gir: h'(x) = [In(cosx)]' = —-— • (— sinx) = — tanx. cos x I

► Eksempel 18 Vi betrakter funksjonen h(x) = cø + ccosfwx — f) der cq, c, w og ø er konstanter, w 0. Dette kan oppfattes som en funksjonsfunksjon med ytre funksjon f gitt ved f(u) = cø + ccosu og kjerne u = g(x) = wx — ø. Vi har f'(u) = — c sin u, og gfx) = w. Kjerneregelen gir derfor:

hfx) ~ —cwsinfwx — ø). I

Av hensyn til spesielt interesserte tar vi med et bevis for kjerneregelen. Bevis: For å finne den deriverte til fifx) = f(g(x)) ser vi på grenseverdien av uttrykket h(x + Ax) - h(x) _ f(g(x + Ax)) - f [g(xj] — -------------------I---------------------

7

Ax

Ax

1°)

når Ax -> 0. Uttrykket kan omskrives slik:

f[g(x + Ax)] - f[g(x)]

g(x + Ax) - g(x)

g(x + Ax) - g(x)

Ax

Vi innfører nå en ny variabel u = g(x) og setter Aw = g(x + Ax) - g(x). (9) kan da skrives

176

Kapittel 6

Derivasjon

f(u + An) - f(u)

g(x + Ax) - g(x)

A//

Ax

Vi lar nå Ax —> 0. Forutsetter vi at g er deriverbar i x, så er g også kontinuerlig i x, og da vil g(x + Ax) -> g(x). Dermed vil Aw 0. Grenseverdien av (10) blir derfor som er lik

f'(u)-g(x)

f '[g(x)] • g'(x).

Vi får derfor ,/z /?(x + Ax) — A(x) , h (x) = hm ----------- ------------- = f [g(x)] • g (x) A.r->0 Ax og vi er fremme. Ser vi på (9), skjønner vi at beviset strengt tatt bare er gyldig dersom g er slik at nevneren g(x + Ax) — g(x) er forskjellig fra null for alle tilstrekkelig små verdier av Ax. Kjerneregelen kan imidlertid bevises i alle tilfeller, men vi vil ikke gå nærmere inn på detaljene. ■

Oppgaver til seksjon 6.5 1. Deriver funksjonene: a) x2 + x3 d) x sin x + x cosx

b) sinx + cosx e) 1 + x + x2

c) x sinx f) 1 + x + x2 + • '■ • + xr

2. Deriver funksjonene: a) x In x

b) 5x

C)

d) sinx cosx

e) sin x

f) 5 sin" x

5

3. Deriver funksjonene:

a)

5x2 + 3

1 , 1 —x

b)

d) tanx

e)

C)

3x + 7 sinx

sinx x

f)

In x

cosx

|x|

4. Deriver følgende funksjoner ved å bruke kjerneregelen: a) sin(x2) b) sin(l+x+x2) c) ln|x| d) In(cosx)

5. Deriver følgende funksjoner: a)

y)y Jf ( y-A.

---

vV

Qin CM i i yVY

1 —u

Lo -f (Jf \ -LØ J \U) —

a

x

cos u

d) f (k) — 1 + k + k2

e) f (a) = sin a cos a

,

1 , t 1 -t f) I(r} = --r — 1

6. Deriver følgende funksjoner ved å bruke kjerneregelen: a) /(x) = (1+x+x2)109 b) /(r) = ln(l+r2)

c) /(0 = a 4- «o sin [ w (r — f0)]

d) g(x) = sin— X

6.5

Generelle derivasjonsregler

i

6.6 Den deriverte av ex og x1 Den deriverte av f (x) = ex Vi skal finne den deriverte av funksjonen f (x) = ex ved å bruke et "knep.” Vi har ln(