Matematikk-didaktikk 8256227001 [PDF]

Zitiervorschau

Ragnar Solvang

MATEMATIKK­ DIDAKTIKK

KNKI MBR-DEPOTBIBUOTEKET POSTBOKS 278 - 8601 MO

© NKI 1992

1. utgave 1. 2. 3. 2. utgave 1.

opplag opplag opplag opplag

1986 1988 1991 1992

Utgiver: NKI. Hans Burums vei 30, Postboks 111, 1341 Bekkestua Tlf.: Sentralbord: (02) 12 29 50 Ordrekontor: (02) 12 25 75 Illustrasjoner: Bjørn Norheim Omslag: Brian Albers Sats: Tåsen Fotosats AS

Printed in Norway by Østlandspostens Boktrykkeri as 1291 2000 (2000) Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOPINOR. Interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffes med bøter eller fengsel.

ISBN 82-562-2700-1

Forord Denne utgaven av Matematikkdidaktikk er en revisjon av boka som kom i 1985. Seks års erfaringer med bruken av boka danner grunnlag for revisjonen. Enkelte kapitler er blitt nokså omfattende, men det skulle ikke være til hinder for at både gamle og nye utgaver kan brukes sammen. De viktigste endringene har vært presiseringer og klargjøringer, dessuten en viss innstramming av stoffet. Boka bygger ellers på det fine samarbeidet jeg hadde med professor Stieg MellinOlsen i forbindelse med førsteutgaven av boka. Jeg benytter anledningen til å takke ham for dette samarbeidet, samtidig som jeg også retter en takk til alle dem jeg tidligere har kunnet støtte meg til i arbeidet med boka.

Under arbeidet med den nye utgaven har jeg kunnet støtte meg til gode råd fra mine to øvingslærere Vivi Pedersen og Erik Ask fra Senter for lærerutdanning og skoletjeneste ved Universitetet i Oslo. Jeg retter en hjertelig takk til dere begge for den fine innsatsen. Lektor Torgeir Onstad ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, har denne gangen vært konsulent på hele boka. Han har gjort en stor og verdifull innsats for å høyne bokas presisjonsnivå. En rekke steder har han kommet med direkte forslag til utforming av teksten og dermed vært med på å sette sitt preg på deler av boka. For denne innsatsen er jeg ham dypt takknemlig.

Jeg retter også en stor takk til NKI-forlaget for deres arbeid med boka.

Oslo, november 1991

Ragnar Solvang

Innhold 1 Skolematematikken i Norge etter 1960 .......................................................... 1.1 Skolematematikken i Norge i tidsrommet 1960-1974 ..................... 1.2 Skolematematikken i Norge etter1974 .................................................

9 9 12

2 Mål, stoffutvalg og stofforganisering ....................................................... 2.1 Måltyper ...................................................................................................... 2.2 Målformuleringene i praksis ................................................................... 2.3 Ny mønsterplan i 1987 ........................................................................... 2.4 Stoffutvalg i matematikken ..................................................................... 2.5 Kriterier for stoffutvalg eller sjekkliste? ............................................. 2.6 Organisering av lærestoffet ..................................................................... 2.7 Stofforganisering i fagplanene ..............................................................

21 21 24 26 26 35 36 38

3 Hovedmomenter i matematikkundervisningen ............................................... 3.1 Planlegging av undervisning ................................................................... 3.2 Didaktisk grenseoppgang .........................................................................

41 41 47

4 Undervisningsmetoder og organisasjonsformer ........................................... 4.1 En kort oversikt ...................................................................................... 4.2 Undervisningsmetodenes oppgave ...................................................... 4.3 Den meddelende metode ....................................................................... 4.4 Den heuristiske metode ......................................................................... 4.5 Selvinstruksjon ......................................................................................... 4.6 Den problemorienterte metode ............................................................ 4.7 Organisasjonsformer. En oversikt ...................................................... 4.8 Klasseundervisning ................................................................................ 4.9 Gruppeundervisning ................................................................................ 4.10 Gruppearbeid ........................................................................................... 4.11 Individualisert undervisning .................................................................

51 51 52 53 55 60 62 63 63 64 64 69

4.12 Prosjektorientert matematikkundervisning.Prosjektarbeid ............... 4.13 Et eksempel på prosjektarbeid .............................................................

70 71

5 Kunnskaps- og forståelsestyper i matematikklæring ................................... 75 5.1 Innledning .................................................................................................. 75 5.2 Hva er kunnskap og forståelse? ........................................................... 77 5.3 Skjema. Tilpasning ................................................................................ 78 5.4 Likevekt. Selvregulering ........................................................................ 82 5.5 Piagets hovedtese ..................................................................................... 83 5.6 Familiære og ufamiliære undervisningsopplegg .............................. 84 5.7 Figurative og operasjonelle kunnskaper ............................................. 89 5.8 Instrumentell forståelse og relasjonsforståelse ................................... 96 5.9 Kunnskapsanalyse .................................................................................. 100 5.10 Konstruktivisme ....................................................................................... 103

6 Arbeidsmåter ................................................................................ 6.1 Innledning ........................................................................................... 6.2 Fire faser i oppbyggingen av faget ....................................................... 6.3 Den induktive arbeidsmåte .............................................................. 6.4 Den deduktive fase ........................................................................... 6.5 Den aksiomatiske fase ...............................................................................

107 IO7 108 109 123 131

7 Problemløsing og problemorientert matematikkundervisning ................... 7.1 Innledning .................................................................................................... 7.2 Noen definisjoner....................................................................................... 7.3 Eksempler på problemløsing ................................................................... 7.4 Hvordan løse problemer? ........................................................................ 7.5 Problemløsing og Piagets teori ...................................................... 7.6 Problemløsing og undervisning............................................................... 7.7 Hva er problemorientert matematikkundervisning? ............................ 7.8 Eksempler på problemorienterteundervisningstemaer ........................

133 133 134 137 140 143 146 154 154

8 Undervisningsprinsipper i matematikk ........................................................... 8.1 En liten opprydding ..................................................................... 8.2 Differensiering. Progresjon ............................................................... 8.3 A appellere til ulike representasjonsformer forkunnskap ................. 8.4 Prinsipper med utgangspunkt i relasjonene enkelt-sammensatt og spesielt-generelt ................................................

163 ^3 I64 165 169

9 Sosiale sider ved matematikkundervisningen ................................................ 173 9.1 Fornuftsgrunnlag for læring .................................................................. 573

9.2 Det instrumentelle og det sosiale fornuftsgrunnlaget ........................ 175 9.3 Analyse på nivåer .................................................................................... 177 Henvisninger ...................................................................................................... 179 10 Differensiering ................................................................................................... 10.1 Differensiering. Et forsøk på begrepsavklaring................................ 10.2 Differensieringsformer ............................................................................ 10.3 Faglig-metodisk differensiering .......................................................... 10.4 Oppsummering ......................................................................................... 10.5 Avslutning ...............................................................................................

11

181 181 182 186 195 196

Skriftlige arbeider. Evaluering ...................................................................... 197 11.1 Hensikt ...................................................................................................... 197 11.2 Bruksområder for skriftlige arbeider ................................................. 198 11.3 Typer av skriftlige arbeider ................................................................. 199 11.4 Utarbeidelse av prøver ............................................................................ 202 11.5 Retting og evaluering .............................................................................. 204 11.6 Gjennomgåelse av prøver. Etterarbeid .................................................. 208 11.7 Eksamen ...................................................................................................... 210

12 Motivasjon .............................................................................................................213 12.1 Litt generelt om motivasjon ................................................................... 213 12.2 Ytre og indre motivasjon ........................................................................217 12.3 IM-motivasjon ........................................................................................... 220 12.4 UM-motivasjon ......................................................................................... 232 12.5 Avslutning .................................................................................................. 237 13 Hjelpemidler i matematikkundervisningen ...................................................... 239 13.1 Innledning .................................................................................................... 239 13.2 Lommeregneren ......................................................................................... 240 13.3 Datamaskinen ............................................................................................. 244 13.4 Andre hjelpemidler .................................................................................. 247 14 Bruksorientert matematikkundervisning ...........................................................249 14.1 Relevansproblemet i matematikkundervisningen .................................249 14.2 Bruksorientert matematikkundervisning ................................................253 14.3 Matematiske modeller .............................................................................. 256

Appendiks

..................................................................................................................... 265

Litteraturliste ................................................................................................................. 281 Stikkordregister ............................................................................................................ 287

1

Skolematematikken i Norge etter 1960

1.1

Skolematematikken i Norge i tidsrommet 1960-1974

Vi skal i dette avsnittet gi en kort oversikt over utviklingen i skolematematikken i årene 1960 til 1974. Tidsrommet er ikke tilfeldig valgt. I disse arene skjedde det utrolig mye som fikk betydning for skolematematikken i det neste tiåret, og sikkert også for de fagplanene som vi vil få i årene som kommer.

I 1935 fikk realskolen og gymnaset nye fagplaner. Avbruddet i krigsårene førte til at vi i 1945 hadde relativt ferske planer. Landet var heller ikke i en slik økonomisk forfatning at det var mulig å omforme skoleverket i pakt med de nye sosiale, politiske og teknologiske ideene som fulgte i krigens kjølvann. Andre land kom bedre ut av krigen enn de europeiske. I USA startet reformar­ beidet i matematikk nokså tidlig etter krigen. Den utviklingen de opplevde der, ble ikke for alvor kjent for utenverdenen før det berømte sputniksjokket i 1957. Det som skjedde i USA er temmelig typisk for tidsånden fra de første etterkrigs­ årene. Atombomben, med hele dens uhyggevirkning, hadde tross alt imponert mange av dem som allerede den gang skulle ha forstått bedre. Matematikk, fysikk og tekniske fag ble de store prestisjefagene, og det ble investert kolossale pengebe­ løp i blant annet en omlegging av matematikkundervisningen i skolen. Svært kort fortalt kan vi si at amerikanerne ønsket å legge om undervisningen slik at elevene ble opplært i en mer presis matematikk, og det ble lagt vekt pa en rekke emner som tidligere ikke hadde inngått i et vanlig skolepensum. Det var emner som funksjoner (i grunnskolen), sannsynlighetsregning, vektorregning osv. En ønsket nå å fram­ stille stoffet så presist som mulig ved å bruke terminologi og symboler fra mengdelære og matematisk logikk. Dette førte til at en fant det gunstig å la deler av

9

elementær mengdelære og utsagnslogikk inngå som deler av matematikkpensumet pa de ulike klassetrinn. Det førte også til at en la større vekt på bevisføring enn tidligere. Alt i alt kan en si at matematikken fikk et svært formelt preg.

Disse nye ideene nådde Europa i slutten av 50-årene. Det var OEEC — det senere OECD som kom til å formidle dem til Europa gjennom en rekke konferanser. Den første av disse ble holdt i Frankrike i 1959, og en kan trygt si at denne konferansen ble avgjørende. Representanter for skoler og universiteter fra alle de nordiske land var representert, og en besluttet å få i stand et nordisk samarbeid på dette feltet. På initiativ fra Nordisk Råd ble Den nordiske komiteen for modernise­ ring av matematikkundervisningen nedsatt i 1960. I årene som fulgte utarbeidet komiteen en rekke såkalte forsøkstekster til bruk i grunnskolen og gymnaset. Noen av disse tekstene var oversatt fra amerikansk, men stort sett laget komiteen egne forsøksplaner og forsøkstekster. Rundt 1962 kom så forsøksundervisningen i gang. I begynnelsen ble den styrt av den norske gruppen i den nordiske komiteen under ledelse av rektor Kay Piene ved Pedagogisk seminar i Oslo. I midten av 60-årene ble forsøkene i ungdomsskolen overtatt av Forsøksrådet for skoleverket, mens det daværende Gymnasrådet ledet forsøkene i gymnaset, og til dels i realskolen. Skolemyndighetene stilte seg svært positive til de reformene som nå ble utprøvd, men det ble ikke tatt noe initiativ til å utvide forsøkene. Det ble holdt en rekke kurs i «moderne matematikk», og de resulterte i at enkeltlærere eller skoler meldte sin interesse for å delta i forsøkene. Selv om forsøkene ikke fikk så stor bredde, mente en at de positive erfaringene en samlet inn, var så representative for utfallet at alle utredninger om grunnskolen før mønsterplanen (1974) satset på moderne matematikk. Alt tydet på at skolemate­ matikken i Norge ville gå i «moderne» retning. Det skulle gå annerledes, først og fremst på ungdomsskoletrinnet.

I 1972 brøt det ut en voldsom avisdebatt om «moderne matematikk» i Trondheim. Diskusjonen spredte seg til Oslo-pressen, og det kom en masse kritikk fra mange hold. Universitetslærere og lærere i grunnskole og gymnas stod fram og kritiserte de forsøkene som hadde pågått i rundt ti år. Denne kritikken skapte mange vanskeligheter, og den har på en usunn måte preget debatten om skolematematikken helt fram til i dag (1991). Blant annet får forsøkene med «moderne matematikk» og det preget de gav mønsterplanen, gjerne skylden for at regneferdighetene anses som lave i grunnskolen i dag. Her er det nok grunn til å ha en noe mer nyansert oppfatning. Samtidig som forsøkene med «moderne matematikk» tok til, innførte mange av de «gamle» læreverkene nye oppstillingsmåter, algoritmer, for multiplikasjon og divisjon. Ele­ ver som fikk læreverk med nye algoritmer, kunne ikke nyte godt av hjelp fra foreldrene. Dette er en innvending som gjelder så vel tradisjonelle som «moderne»

10

lærebøker. Når nye læreverk så ble skrevet etter det såkalte spiralprinsippet (se kapittel 2). ble det såpass mange nye sider ved læreverkene at det blir ren gjetning hvor årsaken til de lavere regneferdighetene ligger.

I «moderne matematikk» var den faglige framstillingen så uvant at selv foreldre med solid skolebakgrunn hadde problemer med å hjelpe barna. Når det gjelder de nye algoritmene, er det verd a merke seg at den «moderne matematikken» ikke hadde dem på sitt program. Likevel må denne matematikkreformen ta sin del av skylden fordi framstillingen var så uvant at det ikke ble naturlig for foreldrene å hjelpe barna; ikke en gang på områder der de hadde faktiske kunnskaper.

Hvordan kom så planene til å se ut? Hvilken innvirkning fikk debatten om «moderne matematikk» på fagplanene? I barneskolen beholdt en de deler av mengdelæren som en mente var nødvendige for å forstå grunnleggende regneope­ rasjoner. Grunnleggende begreper som «større enn» og «mindre enn» ble ansett som nyttige. I ungdomsskolen hadde en i forsøksperioden lagt stor vekt på å beherske elementer fra logikk og mengdelære. Mesteparten av dette forsvant. Hvor mye som ble igjen, var helt avhengig av lærebokforfatterne. Men selv om mye av begrepsdannelsen fra forsøkene i ungdomsskolen forsvant, stod en tilbake med en gevinst som kanskje rettferdiggjorde alle forsøkene: muligheten for en grundig innføring i begrepene variabel og funksjon (avbildning). Med disse begre­ pene vil det være mulig å gi elevene en tilfredsstillende oppfatning av hva matema­ tikk er, alderstrinnene tatt i betraktning. At dette stoffet behandles med nokså forskjellig intensitet i de ulike læreverkene, viser egentlig bare at de forskjellige forfatterne vurderer verdien av disse emnene temmelig ulikt.

I den videregående skolen ble i første rekkt innføringen av mengdelære og logikk tonet kraftig ned. Det fikk den noe uheldige følgen at den vektleggingen av bevistyper og deres form som var gjennomført i forsøksperioden, mer eller mindre forsvant. Kanskje er dette grunnen til at arbeidet med bevisføring også ble redusert i de endelige pensa. Men mesteparten av stoffet som ble utprøvd i disse årene, er fortsatt med. Stort sett er hele pensumet i vektorregning beholdt. Det eneste av noe omfang som er sløyfet, er innføringen i affine avbildninger. I forsøkene fikk funksjonslæren en ansiktsløftning som stort sett er beholdt helt fram til i dag (1991). I forsøksperioden trakk enkelte lærere inn litt stoff om matematiske modeller. Dette temaet ble videreført, og i dag er det videreutviklet særlig i matematikk på samfunnsfaglinja. Forsøkene med sannsynlighetsregning har vunnet innpass som det tilsvarende tilvalgsfaget, uten store endringer. Det er all grunn til å hevde at store deler av det som kom i forsøksperioden, fortsatt er i behold eller har vært med på å påvirke den form skolematematikken har fått. Det hevdes ofte at mange av de forandringene som er gjennomført, kunne ha skjedd uten forsøkene i 1960- og 1970-årene. Faglig sett er det riktig. Men det var

11

forsøkene som skapte den atmosfæren, det faglige og pedagogiske miljøet, som alltid vil være en forutsetning for omfattende forandringer.

Den striden som har pågått om kvaliteten på EDB-undervisningen i skolen, minner mye om den vi opplevde i matematikk i 1972. Det er et problem når fagekspertisen etterpå kommer og er dommere over det som gjøres og har vært gjort. En av følgene var at det i årene etter at mønsterplanen kom, ble utført relativt lite nytenkning på skolematematikkens område her i landet. Forsøkene med lomme­ regner er de eneste som på en positiv måte peker seg ut. Denne mangelen på nytenkning viser seg da også i den nye mønsterplanen (M-87). Med unntak av to hovedemner som mer eller mindre skal integreres i de åtte andre hovedemnene (se kapittel 2), er det stort sett det samme stoffutvalget som i mønsterplanen av 1974. La oss her bare antyde at for eksempel geometrien utvilsomt har behov for en ansiktsløftning, men en kan ikke fortenke dem som laget M-87, at de ikke utførte en slik operasjon. Det finnes nemlig ikke noe erfaringsgrunnlag her til lands for en forandring.

Rundt om i verden har det i alle disse årene vært diskutert og forsøkt nye faglige ideer, men her i landet ble den faglige utviklingen lagt død av de offentlige rådene. Heldigvis har de pedagogiske høgskolene og enkeltpersoner arbeidet videre, men noen samordning av alt dette arbeidet finnes ikke. Hvor de faglig-pedagogiske frontlinjene går i dag (1991), er heller uklart. Årene fram til 1974 har gitt oss en viktig lærdom. Skoleverket må bli satt i stand til å nærme seg det samfunnet det skal utdanne elever for. Med den brede sammenset­ ningen som den nordiske komiteen hadde, mente en at i hvert fall linjene til universitetene var i orden. Blant annet var to av landets professorer i matematikk knyttet til moderniseringsarbeidet, men det viste seg at dette ikke var nok. Det er tydelig at forbindelseslinjene til samfunnet bade må defineres og formaliseres. Det er det eneste som kan gi lærerne trygghet i deres daglige arbeid. Hele dette tidsrommet i norsk matematikkundervisning er grundig behandlet i doktoravhand­ lingen til Gunnar Gjone: «Moderne matematikk. Internasjonale reformbestrebelser og nasjonalt læreplanarbeid» (Oslo 1983) (20) . *

1.2

Skolematematikken i Norge etter 1974

Tiden etter 1974 var pa mange måter en fredelig tid i grunnskolen og i den videregående skolen. Det var mange som nå ønsket ro i skolen; utredningenes og forsøkenes tid var forbi. Ro ble det, men det betyr ikke at det ikke var debatt * Tall i parentes viser til litteraturlista bak i boka.

12

innenfor skoleslagene. Disse debattene gikk imidlertid mer på hvordan en skulle gjennomføre de intensjonene som politikerne hadde gitt uttrykk for, og som en måtte anta var nedfelt i de nye skoleplanene. Vi skal trekke fram noen karakteri­ stiske punkter i utviklingen etter 1974.

Ungdomsskolen Temmelig tidlig oppstod problemet med de såkalte rammeplanene for ungdoms­ skolen. For barnetrinnet var saken grei, fordi det ved avslutningen av sjette skoleår ikke blir holdt noen sentralgitt eksamen. Men når så elevene kom til 7. klasse, var det klart at en begynte på en utdanning som skulle ende opp i en sentralgitt eksamen. Systemet med en rammeplan og en finale med sentralgitte oppgaver er en umulighet, og resultatet ble at eksamensoppgavene ble gitt med utgangspunkt i de veiledende årsplanene i mønsterplanens matematikkdel. Dermed var «rammeplantenkningen» stort sett «kastet over bord», og i dag er det få som snakker om rammeplaner for ungdomstrinnet.

Kanskje nettopp fordi vi beholdt sentralgitt eksamen i 9. klasse, ble det klart at vi trengte differensieringsmuligheter på 7.-9. trinn. Men var det tillatt å differen­ siere? Hadde ikke politikerne sterkt understreket at undervisningen skulle foregå i samlet klasse? Ved de pedagogiske sentra rundt om i landet ble en rekke ulike differensieringsmodeller utprøvd på en slik måte at en kom politikerne i møte så langt det var pedagogisk mulig. Dette førte i mange tilfeller til en nivågruppering av elevene, selv om det radde stor usikkerhet om dette var lovlig. Først i 1979 ble det ryddet opp i problemene. Se kapittel 10 om differensiering og [9] *. Et annet stikkord i denne sammenhengen er nivå. Fra slutten av 70-årene og fram til i dag (1991) har det pågått en debatt om matematikknivået i ungdomsskolen. Som vi vel kunne vente, har folk samlet seg i to grupper: de som mener at det har foregått en nivåsenkning, og de som mener at dette ikke har foregått. Begrepet nivå er vanskelig. Det vil alltid være et spørsmål om hva vi sammenlikner med, og om det vi sammenlikner med, er målbart. Det har i den forbindelse vært hevdet at det har skjedd en nivåhevning i matematikk fordi det i dag er flere som lærer matematikk. Her dreier det seg altså om en kvantitativ nivåhevning. Den andre gruppen viser til eksamenskravene og peker på at de jevnt har gått nedover, altså en kvalitativ nivåsenkning. Tilbake står det store spørsmålet: Hva skjer i skolestua? Vi skal bare nevne noen resultater fra undersøkelser som er gjort.

1 1983 la Sigrun Jernquist fram resultatene av sine undersøkelser (35). For 7. klassetrinn påviser hun systematiske forandringer i prestasjonene nar en sam­ menlikner perioden før og etter innføringen av mønsterplanen. Videre sier hun at *

Tall i hakeparentes viser til appendikset bak i boka.

13

«det samme er tilfelle om en foretar sammenligning innenfor hver av periodene. Analysene viser videre at prestasjonene i mønsterplanperioden er svakere enn i perioden før mønsterplanen bade i aritmetikk/algebra og i praktisk regning, mens det er tendens til bedring i prestasjonene i geometri. Ser en pa perioden før mønsterplanen, finner en kun forandring i geometriprestasjonene og det i form av framgang. For de to kullene i mønsterplanperioden er det påvist reell tilbakegang i aritmetikk/algebra og i praktisk regning i begge analysene, mens geometriprestasjonene viser seg stabile. På 8. og 9. klassetrinn finner en også systematiske forandringer i prestasjonene for faget som helhet med hele samplet som analysegrunnlag. På 8. trinn er det spesielt geometridelen som viser tilbakegang, og på 9. trinn delprøven praktisk regning.» (35).

I 1980-81 ble det gjennomført to undersøkelser som vakte berettiget oppsikt. De går begge ut på å undersøke regneferdighetene i grunnskolen. Den første av dem, Østfold-undersøkelsen, var utført av Per Even Melbye og Tor Hammervoll ved Halden lærerhøgskole. Denne undersøkelsen tar for seg regneferdighetene til elever på barnetrinnet. Vi viser til selve undersøkelsen (25) for et inngående studium av resultatene. Men vi skal her nevne et resultat for å gi en pekepinn om hva undersøkelsen avslørte. I et oppgavesett på fire oppgaver av typen 36 • 84 = ? gjorde gjennomsnittlig hver sjetteklassing 1,54 oppgaver feil. Det var 34 % som ikke gjorde feil i det hele tatt. Hvis vi holder disse utenfor, blir resultatet at 66 % av sjetteklassingene i gjen­ nomsnitt gjorde 2,33 oppgaver feil. (22). Telemark-undersøkelsen (4), som ble utført av studentene ved Telemark lærerhøg­ skole under ledelse av Gard Brekke, viste samme tendens som Østfoldundersøkelsen. Det nye med Telemark-undersøkelsen var at den også omfattet ungdomstrinnet [1],

Liknende erfaringer ble også gjort i andre land. Det førte til at en i USA fikk en opinionsbølge mot den eksisterende matematikkundervisningen. En ville tilbake til mer drill i de fire regneartene. Slagordet ble Back to basics. Det er kommet sterke motforestillinger på en slik pendelsvingning. Klarest kommer det kanskje til uttrykk i Hans Freudenthals motslagord Forward to basics. Dette bør vi ha i tankene når vi raskt skal se på motforestillingene til de undersøkelsene vi har vist til. En viktig innvending som flere har gjort, går ut på at oppgavene i de to nevnte undersøkelsene er gitt kontekstfritt. Det vil si at oppgavene blir gitt uten at de er satt inn i en meningsfylt sammenheng for elevene. Ville resultatene ha blitt annerledes dersom 36 • 84 var den regneoppgaven en måtte utføre for å løse et praktisk problem?

14

Ville det bety noe for utfallet dersom oppgaven var å beregne lønna når timeprisen var 84 kroner og arbeidstiden 36 timer? Det vet vi ikke noe om. Men vi kan trygt si at de to undersøkelsene bare avslører en bestemt side ved de resultatene — eller mangelen på resultater — som oppnås ved matematikkundervisningen vår. Dersom en hadde lagt inn praktiske oppgaver av den typen som er nevnt foran, ville en ha avslørt alle de tilfeller der eleven kanskje kan multiplisere, men ikke vet når multiplikasjon skal nyttes.

Som avrunding på dette kan det være grunn til å sitere Gunn Imsen (33): «Det sentrale spørsmålet når det gjelder elevenes kunnskaper er ikke spørsmå­ let om nivåsenkning eller ikke, men om elever flest kan det vi ut fra rimelige samfunnshensyn mener de bør kunne når de går ul av grunnskolen. Både de normerte prøvene og de mange andre kunnskapsundersøkelsene den senere tid peker i retning av at helst burde flere ha kunnet litt mer.»

I denne sammenheng er det også viktig a nevne en undersøkelse ved Marit Holm (28) om virkningen av lommeregneren i matematikkundervisningen. Undersøkelsen ble gjort i en forsøksgruppe på seks sjuendeklasser som fikk bruke lommeregner, og som kontrollgruppe benyttet hun ti sjuendeklasser uten lommeregner. Vi skal bare nevne ett av resultatene hennes. Ved analyse av prestasjonene i regneferdighet (de fire regneartene) ble det ikke påvist signifikante forskjeller mellom forsøksgruppen og kontrollgruppen pa en avslutningsprøve. Det skulle bety at en kan beholde den vanlige regneferdigheten samtidig som elevene lærer å bruke et hjelpemiddel som sikrer et regneresultat. 1 denne sammenheng kan det nevnes at fra 1984 utarbeider Grunnskolerådet to eksamenssett til avgangseksamen i 9. klasse. I det ene forutsettes det at elevene bruker lommeregner.

Grunnskolen er blitt vurdert og gransket i en rekke bøker og undersøkelser. Her er det trolig viktig å nevne en konferanse som helt klart vil få betydning for grunnskolematematikken. Den fant sted tidlig i 1983, og det ble utarbeidet et bakgrunnsmateriale med tittelen «Matematikk i utakt med tidens krav ... ?» IflT). På denne konferansen ble mønsterplanen i matematikk lagt under lupen, og noen av innleggene er det referert til foran. Det viktige ved denne konferansen var at myndighetene klart gav uttrykk for at en ny matematikkplan bør foreligge i siste halvdel av 80-årene.

I 1987 kom den endelige utgaven av Mønsterplan 1987 (108), som vi gjerne kaller M-87. Andre steder i boka skal vi gå nærmere inn på matematikkplanen i den. Her skal vi bare nevne at M-87 skiller seg vesentlig ut fra forgjengeren sin, M-74. I M-87 er begrepet «tilpasset undervisning» kommet inn som en erstatning for differensiering, og selve fagstoffet er delt inn på en litt annen måte. Dessuten er det kommet til to nye emner: problemløsing og datalære. I tillegg til M-87 er det utarbeidet «Veiledende årsplaner i matematikk» (113).

Den videregående skolen Også i den videregående skolen viste det seg at det var problemer med gjennom­ føringen av de prinsippene som var satt opp i fagplanen. Kort tid etter at fagplanen var tatt i bruk, viste det seg at planen virket uklar på mange lærere. Det ble behov for en presisering av den i den forstand at for enkelte emner burde det utdypes hvor langt en som lærer burde gå. I 1978 sendte derfor Rådet for videregående opp­ læring (RVO) ut to rundskriv (RVO-99/78 og RVO-lOO/78), der det ble foretatt nødvendige presiseringer av fagplanen. Ikke minst med hensyn til eksamen har disse rundskrivene vært av betydning.

De første årene som fagplanen var i bruk, ble det også avslørt en annen svak side ved framstillingen av matematikken, nemlig fagets terminologi. Dette hadde RVO lagt altfor liten vekt på. De lærebøker som etter hvert kom, var ikke alltid på bølgelengde med hverandre terminologisk. For å bøte på dette utarbeidet RVO en terminologiliste og formelsamling (Gyldendal, 1978). Den har elevene lov til å ha med seg til eksamen. Eksamensoppgavene blir nå laget under forutsetning av at elevene har med seg dette heftet til eksamen. I rundskriv RVO-63/89 er det bestemt at på alle matematikkurs på studieretning for allmenne fag må eksaminandene ha med lommeregner til eksamen. Det vil si at lommeregneren også er et obligatorisk hjelpemiddel i den daglige undervisningen. Etter hvert er lærebøkene blitt justert etter dette rundskrivet, men det er først når nye læreplaner kommer, at den fulle nytten av hjelpemidlet viser seg. Vi regner med at en ny læreplan vil foreligge i 1992.

Litt bevegelse har det likevel vært i den videregående skolen. I skoleåret 1982-83 fikk Jan Ommundsen og Ragnar Solvang lov til å gjøre forsøk med en ny presisering av IMA-planen. De hadde selv laget forslag til en ny presisering, og på grunnlag av den ble det laget en forsøkstekst som ble kalt «Matematikk og samfunn». I forsøket deltok 2300 elever, og forfatterne prøvde å dreie matema­ tikken helt over i praktiske bruksområder. Matematiske modeller ble en gjennom­ gangsmelodi i forsøksteksten. Høsten 1983 kom forsøksteksten ut som ordinær bok. Boka (67) er så ulik de bøkene som er skrevet etter den opprinnelige presi­ seringen, at den krever egne eksamensoppgaver. Den forsøksteksten som Ommundsen og Solvang hadde laget, var på mange måter en konkretisering av debatten om IMA-pensumet som hadde pågått noen år. En slik bruksorientert matematikkundervisning er ikke lettere enn den «gamle», kanskje snarere tvert imot. Poenget er imidlertid at hvis elevene først skal slite med et fagstoff, bør de også ha følelsen av at det de gjør er nyttig i ordets beste og videste forstand.

16

Det er grunn til å tro at dette forsøket har vært med på å gi støtet til at RVO ville lage en ny presisering av IMA-planen. Våren 1983 ble en ny presisering utarbeidet, og den tok til å gjelde fra høsten 1984 (78). Den gamle ble avviklet våren 1985. Forsøket som er nevnt foran, var ikke det eneste i sitt slag. Først ute var Forsøks­ gymnaset i Oslo, der Hermann Ruge i et par år fikk tillatelse til å arbeide med et mer praktisk orientert matematikkopplegg. Opplegget forutsatte egne eksamens­ oppgaver. Det stoffutvalget som Forsøksgymnaset gjorde, har også hatt sin innvirkning på det som ble gjort i forsøket til Ommundsen og Solvang. Men Hermann Ruge og Forsøksgymnaset har, i motsetning til Ommundsen og Solvang, ikke gått ut med materialet sitt. Dermed har de ikke høstet erfaring utover sine egne elever.

I slutten av 80-årene satte RVO i gang en del arbeid som vi kan se som forberedelser til en ny fagplan i matematikk, særlig for 1MA. En arbeidsgruppe under RVO la i 1987 fram en innstilling som ble kalt «Reform av videregående skolematematikk» (111). Arbeidsgruppen gikk stort sett inn for å beholde den strukturen som faget har i dag (1991), men foreslo en rekke faglige endringer. Datamaskiner må tas i bruk, men enda viktigere var det for arbeidsgruppen å understreke at disse maskinene åpner for helt nye muligheter i skolematematikken, og at en må ta hensyn til dette ved stoffutvalget. Gruppen foreslår at matematiske modeller kommer inn i læreplanen, og at en legger mer vekt på den logiske oppbygningen til faget. Elementær geometri må igjen finne sin plass i pensum, og også kombinatorikk og elementær sannsynlighetsregning blir foreslått.

I 1989 la en annen arbeidsgruppe under RVO fram enda en innstilling: «Innstilling om matematikk og datateknologi». Når det gjelder strukturen i matematikkursene, inntar denne arbeidsgruppen en noe annen holdning enn den førstnevnte. I innstillingen anbefaler den at en utarbeider to fagplaner i matematikk for første årstrinn: en fagplan for elever som skal avslutte faget (kalt 1MA), og en for elever som skal gå videre i faget (kalt IMF). Videre foreslår gruppen at datateknologi blir innført i matematikkfaget ved at en vektlegger to hovedområder:

- datateknologi som faglig-pedagogisk hjelpemiddel - datarelaterte emner Gruppen presenterer ikke noen ny læreplan, men anbefaler at en ser nøyere på den nye danske læreplanen. Til slutt skal vi nevne en forandring som ble gjort med eksamensoppgavene i 3MN i slutten av 70-årene - en forandring som kan få betydning ved neste revisjon av matematikkplanene. I eksamensoppgavene ble det lagt inn en oppgave som populært går under navnet «leseoppgaven». Det er en oppgave der temaet i prinsippet skal være

17

ukjent for elevene, for eksempel integralkriteriet for å avgjøre om ikke-geometriske rekker konvergerer. Oppgaven er delt opp i en informativ tekst og små problemer (må ikke forveksles med lette problemer!). Til sammen skal de utgjøre et lite stykke ny matematikk for elevene. På den måten tester en elevenes evner til å sette seg inn i en ny tekst og løse problemer i tilknytning til den.

Disse oppgavene var det vi kaller problemorienterte (se kapittel 7). Slike oppgaver var et fast innslag fram til omkring 1985. Det er ukjent hvorfor RVO har droppet denne oppgaveformen. Akkurat som problemløsing er blitt en del av fagplanen i grunnskolen, er det grunn til å tro at dette emnet også kommer inn i den videregående skolen. Sett i lys av en slik utvikling er det beklagelig at RVO har droppet «leseoppgaven». I tiden etter 1976, da vi sist fikk nye læreplaner, har RVO gitt ut såkalte presiseringer av de eksisterende fagplanene. Presiseringene er bygd over de gamle læreplanene, men prøver å fange opp nye ideer og strømninger. Grunnen til denne tilsynelatende måten å revidere fagplaner på, er at det er et nokså stort administrativt apparat som må settes i sving for å få revidert en fagplan. Ulike presiseringer av fagplanen kan iverksettes gjennom rundskriv, noe som er mye lettere å håndtere. Ordningen med presiserte fagplaner har vist seg å være en smidig måte å utvikle faget på mellom to fagplanrevisjoner. Høsten 1990 ble det nedsatt en gruppe som skulle utarbeide nye fagplaner i matematikk. Det er uttalt ønske om at planene skal være ferdig i så god tid at de kan tas i bruk i 1993.

Quo vadis? Quo vadis? Under denne overskriften er det all grunn til å ofre litt tid på et forhold som stadig sterkere trekkes fram: jenter og matematikk. En foregangskvinne her i landet har vært Kari Garmannslund (19). Gjennom andre og egne undersøkelser kommer hun fram til temmelig entydige konklusjoner: Guttene får langt større oppmerksomhet i matematikktimene enn jentene, og guttene blir langt oftere oppmuntret til selv å finne løsninger på problemer. I et skriftlig debattinnlegg til Grunnskolerådets konferanse i 1983 uttaler hun: «Det blir hevdet at matematikkundervisningen i grunnskolen skjer på guttenes premisser. Det har derfor vært argumentert for å skille gutter og jenter i matematikkundervisningen, noe det for tiden drives forsøk med i England. Selv om dette etter min mening er en for lettvint løsning på et komplekst problem, så vil jeg likevel anmode om at dette aspektet blir vurdert i forbindelse med ny fagplan.» (22).

18

Dette er vel som Garmannsluncl uttaler, en for lettvint løsning. For ikke å havne i en ny form for kjønnsdiskriminering må vi heller satse på et stoffutvalg som jentene kan identifisere seg med. Men like viktig er det å bringe elevene inn i problemstillinger som gjør det klart for dem at matematikk er ett av de redskapene vi alle må ta i bruk for å forstå mange av dagliglivets problemer. Å unnlate å lære seg det mest elementære er ensbetydende med å sette seg selv utenfor en rekke praktiske beslutninger, enten «jeg» er mann eller kvinne.

12

Mål, stoffutvalg og stofforganisering

2.1

Måltyper

I forbindelse med de reformbestrebelsene som begynte i slutten av 50-årene, ble oppmerksomheten blant annet rettet mot skolematematikkens mål. Inntil da hadde målene bestått av noen fraser som få lærere egentlig la noe særlig vekt på i undervisningen. Dette er nok fortsatt situasjonen (1991). Grunnen til det er sannsynligvis det faktum at eksamensoppgavene i stor grad styrer matematikk­ undervisningen. Lærere flest føler seg overbevist om at en undervisning som tar sikte på å klare eksamensoppgaver, også er en undervisning i samsvar med målene. Vår manglende interesse på dette området har ofte ført til at fagets mål sjelden blir trukket fram i debatter om skolematematikk. Dermed snakker debattantene ofte forbi hverandre. Lærere blir utsatt for kritikk, og i sitt forsvar trekker de sjelden fram det vesentlige. Det vesentlige er nemlig om undervisningen og de resultater den har gitt, er slik at en kan si at malene er oppfylt. Hvis lærerne i langt større grad enn hittil argumenterte ut fra fagets mål, ville de tvinge andre til også å tenke gjennom disse forholdene. Fra en detaljdebatt ville vi kunne komme over til en prinsippdebatt om faget. Vi skal se på en del problemer som knytter seg til matematikkens mål i skolen. Pa figuren på neste side har vi laget en skisse som viser hvordan de faglige målene er plassert i forhold til skolens generelle mål. og de krav samfunnet bør eller vil sette til skolen. Pilene her star ikke for noen slags deduksjon, men bare for hvilken vei påvirkningen går.

På figuren ser vi at det går en linje direkte fra samfunnets krav til de avledete målene for matematikkundervisningen, ofte kalt delmålene. Med denne linja vil vi ha fram at vi i skolens matematikkundervisning finner stoff som ikke direkte kan

21

spores tilbake til de mer generelle målformuleringene. Noe stoff kommer med fordi samfunnet krever det. For eksempel finner vi ikke noe i målformuleringene for matematikk for grunnskolen (M-87) som kan tyde på at geometri bør være med i faget. Men ingen planmaker ville av den grunn sløyfe geometrien. Vanligvis har skolens generelle mal stort sett spilt liten rolle for matematikkens generelle mal. Samfunnet har heller aldri presisert sine krav overfor matematikk­ undervisningen i skolen. Samfunnet har stort sett nøyd seg med å stille krav om bestemte eksamener fra bestemte skoleslag for opptak til andre skoleslag. Og dermed er det indirekte blitt stilt krav om å ha lært noe matematikk, uten at en dermed har tenkt gjennom hvilke kunnskaper i matematikk som kunne være gunstige. Uten å ga nærmere inn pa det her vil vi gjøre oppmerksom på at matematikkens generelle mal ofte har stor betydning for de avledete mål for matematikkundervisningen. Vi skal først og frem st beha n die m at e m a t ik kens ge n er el 1 emål. D e avledete målene tar vi opp under avsnittet om stoffutvalg i matematikken.

Rent generelt kan vi si at de målformuleringene vi finner som innledning til fagplaner i matematikk, er beregnet pa matematikklærere. Dette er i seg selv et argument som viser at det er nødvendig for oss a studere slike målformuleringer. Men det forteller oss også at slike formuleringer gjennomgående er uegnete overfor andre interessegrupper. Det er derfor vesentlig at både lærere og myn­ digheter finner fram til måter å formulere matematikkens generelle mål pa, slik at

22

de kan bli forstått av så ulike mottakere som

-

elever Cj ■ foreldre politikere administratorer i departementer og kommuner/fylker avtakerinstitusjoner

Det er ingen grunn til å tro at utformingen av et mål kan bli den samme nar en henvender seg til så ulike grupper i samfunnet. Når det gjelder konsekvensene av et mal. vil de forskjellige gruppene ha ulike behov for forklaringer. Dessuten må en som lærer regne med å bli konfrontert med et uhyre vanskelig spørsmål: Hva er grunnen ti[ at fagplanens innhold er blitt som det er i relasjon til fagets generelle mål? Svaret på dette spørsmålet henger blant annet sammen med de sakalte kriterier for stoffutvalg (se side 26f). Men da verken disse eller de tanker planmakerne gjorde seg under utarbeidelsen av fagplanene, er gjort tilgjengelige på trykk, blir det opp til lærerne selv å gjøre de nødvendige analyser. Lærere flest må gjøre slike analyser med tanke på a møte utfordringer fra elever og foreldre. Ideer til analyser finner vi i resten av dette kapitlet, og for den saks skyld også i resten av boka.

Nar vi studerer fagplaner i matematikk, vil vi ofte møte følgende tvper mal: I H

III

Direktiv for oppsti 11 ing av emner i en fagplan... Generelle utsagn om fagets mal i relasjon til fagets egenverdi og nytteverdi Prosjektorientert (eller ideorientertj mal

Vi skal ikke her ga inn på konkrete eksempler pa disse typene. Vi nøyer oss med a vise til litteraturlista. Type I er veldig alminnelig, og vi finner den i (54) og (64). Type II finner vi for eksempel i (63).

Et karakteristisk trekk ved mange målformuleringer er at ingen av dem inneholder noe av den faglige -og pedagogiske filosofien som eventuelt var lagt ti] grunn for målformuleringene. Dette er beklagelig fordi denne mangelen ofte fører til at malene blir diskutert pa feil premisser. Når det gjelder type 111.jyil vi bare peke på at den er karakterisert ved at

~ undervisningen skal danne basis for utdanningsretninger som bygger pa vedkommende sk() 1 e_ - ^undervisningen sikter spesielt mot ett eller flere spesialemner eller en Spesiell metodikk

23

Vi vil sjelden finne maltypene I —III i rendyrket tilstand. Typebetegnelsene må betraktes som et lite forsøk pa a lage en grov inndeling. Vi finner mer om dette temaet i (6) og (24).

2.2

Målformuleringene i praksis

I dette avsnittet skal vi vise hvordan målene i matematikk er blitt formulert i en del læreplaner og forslag til lærcplanendringer. Vi begynner med det forslaget til mål som i 1967 ble utarbeidet av Den nordiske komiteen for modernisering av matematikk­ undervisningen, NKMM (se kapittel 1). I årene før vi fikk nye fagplaner på 70-tallet, var det mange matematikkomiteer i sving for å utrede de kommende planene. Men NKMM står avgjort i en særstilling, blant annet fordi den danner basis for de fleste av disse matematikkomiteene. Dessuten kan en trygt si at NKMM nok har gjort det grundigste arbeidet på dette området siden 1945. Denne vurderingen gjelder både den faglige og den pedagogiske siden ved fagplanutviklingen. Det er sjelden det har forekommet, hvis det da overhodet har forekommet, at et mål for et fag kunne settes opp på grunnlag av seks-sju års erfaring fra forsøksundervisning.

Det var professor Bent Christiansen ved Danmarks Lærerhøjskole som satte målkapitlet i pennen [2]. Han har også utgitt dette kapitlet i bokform, men da med tydelig adresse til danske lesere (6). Selv om de to framstillingene er temmelig like, er det også forskjeller som gjør begge framstillinger leseverdige. Målforslaget omfatter sju vesentlige områder for matematikkundervisningen |2|. Vanligvis er målformuleringene langt færre og dekker heller ikke på langt nær så mange oppgaver som de som blir trukket fram i NKMMs måiforslag. Slike formuleringer baserer seg vanligvis på begreper som i seg selv trenger en utredning. NKMMs forslag er ikke noe unntak. Også her finner vi upresise begreper som «innsikt», «forståelse», «innblikk» osv. (Se kapittel 5.) Til tross for det grundige arbeidet som den nordiske komiteen la ned i å formulere målene, slik at lærerne skulle forstå at det her dreide seg om en ny framstilling av faget, uteble stort sett diskusjonen. Det skyldtes neppe mangel på innsatsvilje, men heller mangel på tradisjon på dette området. I Den Høgre Skolen nr 17/1968 tok lærebokforfatterne, rektor Knut Alfsen og professor Erik Alfsen, opp spørsmå­ let. De valgte å gi målforslaget sitt en knapp form ledsaget av brede kommentarer. Det uheldige med en slik framstillingsform er at leseren blir litt i tvil om kom­ mentarene går pa det prinsipielle i malet, eller om det er tanker lærebokforfattere gjør seg før og under utformingen av læreverket sitt.

24

Det var derfor avgjort et framskritt i den sparsomme maldebatten da lektorene Bjørn Pedersen og Harald Solbakken i Den Høgre Skolen, nr 14! 1973, tok opp disse spørsmålene i forbindelse med de nye planene for gymnaset (som bygde pa Gjelsvik-komiteens innstilling). I [3] finner vi den første delen av denne artikkelen.

Utover i årene 1973—76 ble det arbeidet nokså mye med de offisielle fagplanene for grunnskolen og den videregående skolen. Gjennom de forslagene som ble sendt til uttalelse, skulle det snart vise seg at den linja i målformuleringene som den nordiske matematikkomiteen hadde slått inn på, og som lektorene Pedersen og Solbakken så utmerket hadde fulgt opp, ikke ble den som myndighetene fulgte. Igjen faller en tilbake til noen forholdsvis betydningsløse fraser, slik vi kjenner dem fra tidligere planer. Når vi sier betydningsløse fraser, er det med tanke på lærerne. Formuleringene er for få og for generelle til at de kommer til å framkalle stort engasjement hos lærerne. Men for planmakerne var de forhåpentligvis nyttige. Målene er gjengitt i |4|. I tillegg til planen for den videregående skolen utarbeidet myndighetene såkalte presiseringer av fagplanene, se kapittel 1. Her ble de avledete målene utdypet. Det ble gitt antydninger til eksempelvalg osv. For matematikkfaget i 1. klasse (1MAkurset, se |5|) ble det også utarbeidet eksempler på oppgaver som det kunne være naturlig å gi til eksamen både i kjernestoffet og i tilvalgsstoffet. Presiseringene ble ikke begrunnet ut fra fagets mål, men ut fra eksamenstekniske hensyn. Oppgaveeksemplene fikk selvsagt en kraftig innvirkning på undervisningen og på valget av eksamensoppgaver de første årene planen var i bruk. Siden 1976 har vi ikke hatt noen læreplanrevisjon i matematikk for den videre­ gående skolen, og vi har derfor heller ikke fått nye målformuleringer. Det eneste som har skjedd på denne fronten de siste årene, finner vi i innstillingen fra RVO (111), se kapittel 1. Her heter det:

«Skolematematikken skal tjene flere formål:

1 Den skal lære elevene matematikk som de kan få nytte og glede av i skolegang, studier, yrker og som individ og samfunnsmedlem.

2 Den skal også lære dem noe mer enn matematikk: rasjonell tenkning, kritisk vurdering, konsentrasjon, skapende problemløsing, klar og presis bruk av morsmålet i tale og skrift, kulturhistorie osv., altså mål som også gjelder for andre fag.» Det er knyttet få kommentarer direkte til disse målene, men store deler av innstillingen kan godt leses som en bred kommentar til dem. Men arbeidsgruppen operasjonaliserer ikke disse målene, det vil si at den ikke beskriver hva den mener skal legges i mange

25

av de upresise begrepene, slik at vi far et grunnlag for handling. Det fine med de oppsatte målene er at de tar hensyn både til faget selv (punkt 1) og til skolens over­ ordnete mål (punkt 2).

2.3

Ny mønsterplan i 1987

Som nevnt i kapittel 1 fikk vp en ny mønsterplan for grunnskolen i 1987. Den blir gjerne omtalt som M-87. Med denne planen fikk vi også en ny matematikkplan,.. som vi så vidt har berørt i forrige kapittel. Målene er gjengitt i j4 , og de har selvfølgelig mange likhetstrekk med mål­ formuleringene fra 1974. Men det er også forskjeller. De nye målene er av type II, men med en viktig «mangel»: I motsetning til M£74 finner vi ikke i målformuleringene i M-87 noe om at matematikkundervisningen skal gi faglig bakgrunn for videregående Utdanning, En mulig tolkning er at Grunnskolerådet synes at et slikt mål er så selvsagt i våre dager at det er helt unødvendig å ha det på papiret. Men en slik dom kan jo lett felles om de fleste formuleringene i fagets mål!

Noe av det nye i matematikkplanen i M-87 er at den tar konsekvensen av at ett av.. målene er innsikt i grunnleggende ferdigheter og metoder i matematikken. Derfor er problemløsing kommet inn som ett av de ti hovedemnene. Dette emnet bør også ses på bakgrunn av målet om å øve opp elevenes evne til logisk tenkning. Nytt er det også at en skal ta sikte på «å sette elevene i stand til selv å bearbeide,data og_ informasjon slik at de kan ta ansvarlige..J.i\giarclser». Det er et mål en vil prøve å realisere gjennom emner som problemløsing, statistikk og datalære.

Med unntak av de nye hovedemnene problemløsing og datalære er det egentlig lite nytt i matematikkplanen i M-87. Som nevnt i kapittel 1 var det heller ikke duket for det. Ikke desto mindre er den nye planen et viktig skritt framover. Planen i M-74 var en kompromissplan. Det er ikke den nye. Den hviler på den erfaringen en har vunnet siden M-74 ble tatt i bruk, nemlig at algebra og funksjonslære faller tungt. Derfor er disse emnene tonet ned i M-87. Egentlig er det litt inkonsekvent fordi planen sterkt betoner at matematiske modeller bør tas opp i grunnskolematematikken. Arbeid med slike modeller forutsetter at elevene har gode kunnskaper og ferdigheter i algebra og funksjonslære.

2.4

Stoffutvalg i matematikken

Det vanlige mønsteret i læreplanene våre er at målformuleringeneblir fulgt av selve deseplanen^det vil si en opplisting av emner som det forventes at lærebøkene omfatter,

26

og som undervisningen i store trekk skal følge. Lista over emner utgjør de avledete mål, for matematikkundervisningen, og vi kan si at slike lister er eksempler på det vi kaller stoffutvalg,. Men hvorfor valgte planmakerne akkurat disse emnene? Hva var deres kriterier for stoffutvalg?

I M-87 finner vi på side 42 en liste over hovedkriteriene for valg av lærestoff. Disse kriteriene er generelle og overordnet hvert enkelt fag. Hvordan de oppsatte kriteriene har fungert under utarbeidelsen av matematikkplanen, får vi ikke vite noe om. Selv om vi kan se at det er en sammenheng, ser vi ikke at det foreligger et resonnement som binder kriteriene til fagplanen. Leseren av fagplanen får derfor ikke noe innblikk i hvorfor fagplanen med sin emneliste etter myndighetenes oppfatning utgjør rimelige, avledete mål fra fagets generelle mål. Kriterier for stoffutvalg blir også aktualisert andre steder i M-87. Vi finner et helt kapittel som er viet lokalt utviklingsarbeid, og i kapittel 9, «Lærersamarbeid og planlegging», finner vi et større avsnitt om lokalt læreplanarbeid. I M-87 heter det at «lokalt utviklingsarbeid er arbeid i den enkelte skole eller kommune med sikte på å gjøre skolen bedre». Det betyr at både undervisningsmetoder, arbeidsmåter og stoffutvalg skal utvikles «på grunn av samfunnsmessig og faglig utvikling» (M-87, side 78). Den faglige utviklingen er blant annet knyttet til stoffutvalg, og dermed er spørsmålet om utvalgskriterier blitt aktualisert. Det er derfor svært uheldig at ikke myndighetene gjennom M-87 har stilt opp klarere kriterier for hvert enkelt fag eller gitt hovedtrekkene ved dem. Tilsvarende tanker kan en gjøre seg når det gjelder avsnittet om lokalt læreplanarbeid (M-87. side 64). Fagplanene for den videregående skolen er også svært magre når det gjelder slike kriterier for stoffutvalg. De presiseringer av fagplanen som kom ved rundskriv i 1978, og deretter den nye fagplanen for 1MA i 1984. er laget uten at de ble holdt opp mot noen kriterier. Det samme gjelder den dreiningen av fagstoffet som har skjedd i 1MA og i matematikk på samfunnsfaglinja. Vi tror ikke dermed at den utviklingen som har funnet sted, har vært uheldig eller gal, men vi skal merke oss at utviklingen i en viss forstand har vært planløs. Vi skal se et par eksempler på hvor merkelig en fagplan i matematikk kan bli når utvalgskriteriene mangler.

Eksempel 1 1 målet for grunnskolematematikken i M-74 blir en del matematiske emner trukket fram, og denne delen av målet kan dermed fungere som utvalgskriterier. Men geometrien er ikke nevnt. Betyr det at dette emnet helt kan sløyfes? Hvis det ikke kan sløyfes, hvor finner en da de utsagnene som sørger for at denne delen av matematikken ikke blir borte?

27

Eksempel 2 Malet for matematikk i den videregående skolen gjelder for alle linjer der det undervises i faget. Et av punktene i malet er a gi elevene forståelse for matematik­ kens betydning for utviklingen innen vitenskap og teknikk. Leser en presiseringen av fagplanen for 2MN/3MN, vil en fort se at det siterte punktet ikke engang har fungert som utvalgskriterium. Her finnes ikke noe som smaker av moderne viten­ skap og teknikk. Selv i planene for samfunnsfaglinja finner vi lite av det moderne samfunn, bortsett fra de emnene som uten videre er samfunnsorienterte, som for eksempel statistikk.

Betyr dette at planmakerne ikke har fulgt noen kriterier? Det er grunn til å tro at de har hatt noen kriterier av typen "erfaringen viser at". Dessuten har de fått hjelp av fagets indre logikk. Vi skal derfor forsøke å formulere noen kriterier slik de trolig har fungert på et ikke-spesifisert plan hos planforfatterne.

Hovedkriterium - Stoffet må velges slik at det oppfyller de kravene som målet direkte uttaler seg om. - Stoffet må velges slik at det ikke står i strid med det som står i fagets mål.

Dette er selvsagt svært vage formuleringer, men nedenfor skal vi trekke fram kriterier som er mer retningsgivende. Den første delen av hovedkriteriet er nærmest selvfølgelig, skjønt eksemplene foran vel ikke tyder på det. Det er nødvendig med en analyse av hva som kan ligge i målformuleringen, og ut fra denne analysen kan vi trekke slutninger om et stoffutvalg. Den andre delen er kanskje mer subtil. Kan vi gjøre et stoffutvalg som står i strid med målet? Ut fra uheldige tolkninger av utsagnene i målet kan det hende vi får et stoffutvalg som vi normalt ikke burde ha fått. Som eksempel kan vi nevne at i grunnskolen er ett ay målene å utvikle elevenes kunnskaper og ferdigheter slik at de ser på matematikk som et nyttig redskap når de skal løse problemer i dagliglivetj)g i yrkessammenheng. Mange har nok erfart at det å anvende matematikken er virkelig vanskelig, sammenliknet med den delen som kan drilles. Enkelte lærere og lærebokforfattere har derfor valgt å legge minst mulig vekt på dette stoffet, ja så lite at bruksorientert matematikk nærmest er blitt neglisjert. I slike tilfeller kan vi derfor langt på vei si at det som står i punkt 2 i hovedkriteriet, ikke er oppfylt.

Vi går så over til kriterier som virker mer retningsgivende uten at de binder lærerne

28

Faglige kriterier I denne sammenheng ma vi vurdere plasseringen av et emne. (Se ogsa psykologiske kriterier.) Vj ma plassere de fleste emnene i matematikk i en rekkefølge som avhenger av stoffets logiske oppbygning. Et emne bygger pa en rekke andre. Et spørsmål som bade lærere og lærebokforfattere stiller, er hvor presist eller grundig et tema skal behandles. Hvis vi forlater et tema på et tidspunkt da elevene virkelig er begynt å oppfatte hensikten, må det være galt å avbryte det. En rettesnor kan her være at vi ikke må forlate et tema før vi har fått noe ikke-trivielt ut av det. Og når vi velger å avslutte det. må det gjøres på en måte som er gunstig for det trinnet som eventuelt skal gå videre med temaet. Dette poenget har også noe med stofforganiseringen å gjøre (Se avsnitt 2.6.)

Eksempel 3 Begrepet derivert innføres i IMA-kurset. Gjennomgåelsen innskrenker seg til polynomdivisjon, slik at når vi regner ut f(x + h) - f(x) h blir resultatet et polynom uttrykt i x og h. Så skal vi la h gå mot null, og ofte kan vi se at det blir gjort ved bare å sette h = 0. Spørsmålet her er: Hvor grundig skal en gå inn på at h går mot null, og at det er en vesentlig forskjell på å sette lik null og å gå mot null, når elevene faktisk har problemer med å se forskjellen?

Her blir læreren stilt overfor et stoffutvalgsproblem der valgene skal gjøres opp mot en prioritering: Vil elevene bli stilt overfor slike intrikate saker til eksamen? Her vil valg av eksempler (det vil si stoff) og arbeidsmåte være avgjørende for det grunnlaget elevene far for å møte en sterkere presisering av begrepet derivert. Uten å gå i detalj vil det være en begrepsmessig ulykke ikke å skille mellom lik null og å gå mot null. Eksempel 4 Enkle likninger behandles allerede pa barnetrinnet, men det er først i 7. klasse at dette stoffet skal gjennomgås systematisk. En fordeling av stoffet utover årstrinne n e p å denne måten skal helst tilskrives faglige kriterier. Men h yorfor yi fikk de n stoffordelingen som mønsterplanen uttrykker, sier planen ikke noe om. For likninger (som for alle andre emner) er stoffutvalget allerede gjort- og tilsynelatende er ^et ingenting tilbake for læreren. Men det er det! For det første er planene som gjelder for ungdomstrinnet, bare veiledende. Hvis en lærer ikke vil ta likninger grundig i 7. klasse, kan hun flytte dette stoffet til 8. eller 9. klasse. Men flyttingen må være basert på faglige kriterier som læreren selv må sette opp fordi de ikke finnes eller ikke er gitt fra myndighetenes side.

29

For det andre gjenstår det for læreren a velge eksempler til gjennomføringen av temaet likninger. og dessuten a velge metode, arbeidsmåte osv. Disse valgene er ikke bare av faglig art. Ogsa psykologiske kriterier ma inn i bildet (se nedenfor). Ved behandling av likninger blir læreren stilt overfor blant annet følgende pro­ blem: Skal malet med undervisningen være å fa elevene til a gjøre bruk av de fire likningslovene? Eller skal hun bare lære elevene regler av typen flytt leddet over på den andre siden av likhetstegnet og skift fortegn? Her er det snakk om to forskjellige presisjonsnivået, altså et valg av faglig natur. Et annet moment under faglige valg er at både lærebøker og lærere må gå sammen om å velge eksempler og angrepsvinkler på fagstoffet slik at elevene opplever hvordan en matematisk idé oppstår. Vi må ofte ha en undersøkende eller eksperi­ menterende fase før vi går over til den presise eller stringente framstillingen av stoffet. Alt i alt ser vi at valg av stoff og metode vil kunne gi elevene et noenlunde riktig bilde av matematikkfaget.

Psykologiske kriterier Generelt sett går disse kriteriene ut på å tilpasse undervisningen til det utviklings­ trinnet og modenhetsnivået som eleven befinner seg på. (Se også kapittel 5.) Kriteriene tilsier at yi stiller spørsmål som:

Er elevenes intellektuelle utvikling kommet så langt at de kan makte den innføringen jeg nå skal gi? - Er den progresjonen som læreboka legger opp tik den som passer for de elevene jeg ha ry? - Hvordan må jeg, tilpasse undervisningen av dagens tema til de ulike grupper i klassen? - Hvilke differensieringsmetoder er det gunstig å ta i bruk?

Etter hvert som en får erfaring som lærer, vil svaret på slike spørsmål gi seg selv. Men la oss understreke at det hører med til en lærers hverdag å bli lurt av sine egne erfaringer. At vi bommer på et opplegg, er langt fra noe uvanlig. Kanskje bør vi lage oss en sjekkliste som inneholder spørsmål av den typen vi har antydet oven­ for? Sammenlikn med lista på sidene 35—36.

Eksempel 5 Temaet er en innføring i drøfting av ulikheter ved hjelp av fortegnsskjema. Hvordan lønner det seg å begynne? Et naturlig resonnement er: Fordi uttrykket — 3x er enklere enn for eksempel (x + 4)(x — 2), bør vi begynne med det første. Her har vi brukt

30

et progresjonskriterium. Å gjennomføre undervisningen etter denne angrepsvinkelen kan føre til skuffelser. Det første uttrykket er så enkelt at læreren kan komme til å overse vanskeligheten med at vi har faktoren —3, og at elevene ikke ser hva vi skal gjøre med den variable x. Dersom vi spør hvilket fortegn x har når vi lar x være lik —4, vil nok en del elever undre seg. Det andre uttrykket er i en viss forstand enklere. Her vil det være naturlig å se pa (x + 4) for seg. og undersøke hvordan fortegnet pa uttrykket forandrer seg nar vi velger ulik verdi av x. Na vil vi kunne lede elevene sakte, men sikkert fram ti] at -4 spiller en avgjørende rolle for uttrykkets fortegn. Vi kan altså hele tiden bygge på de kunnskapene elevene har, og på dem som utvikler seg gjennom de nye erfarin­ gene eksemplene gir.

Politiske kriterier Kriterier av denne typen dreier seg stort sett om spørsmålet: Hva er viktig matematikk i en samfunnssammenheng i vid betydning? Vi stiller spørsmål som: Hva må vi kunne av matematikk - for å kunne fortsette på en bestemt utdanningsvei? - for å kunne forstå bestemte fag innenfor den utdanningen vi holder på med? - for å kunne forstå og forholde oss til vesentlige sider ved det samfunnet vi lever i?

Med slike kriterier vil for eksempel et tema som andregradslikninger bli vurdert ut fra sin nødvendighet. Det er gjennom slike kriterier at ønsket om en mer bruksorientert matematikk i skolen blir reist. I mønsterplanen av 1974 kom dette klart til uttrykk da en i matematikk ønsket å satse mer på forbrukerens matematikk enn på kjøpmannskalkulasjon. I mange tilfeller kan det bli lærerens eller lærebokforfatterens problem å hanskes med de politiske kriteriene. Vi skal antyde situasjonen med et eksempel. Eksempel 6 En lærebokforfatter skal skrive ut en tekst som har som faglig mål å lære elevene egenskaper ved funksjonen f(n) = a • b"

Dette er en viktig funksjon som kan knyttes til mange praktiske omrader. Et av dem er renteformelen

K., —

■ r",

der r er vekstfaktoren gitt ved &

r = 1 H—100 —

31

Med denne kunnskapen står elevene godt rustet til å kontrollere en rekke finansoperasjoner. Og en bruksmåte som direkte gjelder hverdagen, er den som en lærebok (67) har gjengitt fra en opplysningskampanje som Norsk Arbeidsgiver­ forening gjennomførte i 1982:

Dessverre er dette hva kneippen vil koste innen år 2000 hvis vi ikke passer oss. I 1970 kostet et kneippbrød kr. 1,50. I 1980 kostet det kr. 4,25. Med samme ... . ... •takt i prisstigningen vil brødet koste kr. 12,-i 1990 og kr. 34,- 10 år senere.

8.1.10 a) Skriv opp en formel for hvordan prisen vokser når prisstignin­ gen er 11 % per år. Antall år er n.

b) Bruk formelen i a) til å kontrollere om prisen i 1980 er riktig regnet ut når vi regner med en prisstigning på 11 c/c per år fra 1970. c) Vis at prisene i 1990 og 2000 stemmer dersom vi regner med 11 % prisstigning per ar.

Under de politiske kriteriene får vi også kriterier som går på informasjon om samfunnet vårt, informasjon som faktisk forutsetter at mottakeren kan matema­ tikk.

Omkring 1980 ble det fra en del lærere i den videregående skolen slått til lyd for at IMA-kurset burde blir mer orientert mot praktiske bruksområder. Det var uklart i debatten om dette ville gi et enklere pensum, eller om det ville virke mer motiverende, og da særlig for elever som skulle slutte med matematikk. I skoleåret 1982—83 ble det i RVOs regi gjennomført omfattende forsøk med en tekst som ble kalt «Matematikk og samfunn» (se kapittel 1, side 16). Vi kan si at uuttalte politiske kriterier var lagt til grunn. Det skulle vise seg at denne teksten gav støtet til at RVO utarbeidet en ny presisering av fagplanen for IMA-kurset. Men fortsatt mangler vi kjennskap til de utvalgskriterier myndighetene benyttet ved denne utarbeidelsen.

32

Kulturelle kriterier Ved en eventuell oppstilling av slike kriterier vil kjernespørsmålet måtte være: Hva er interessant? Her kan det naturligvis bli aktuelt å skille mellom det som er interessant for elevene, og det samfunnet finner interessant å presentere for dem. Det siste kan like gjerne sorteres inn under de politiske kriteriene, og tilbake blir da det som er interessant for elevene. Men vet vi noe om hva våre elever finner interessant? Neppe. Ved å plukke ut et passende eksempelmateriale for elevene kan vi likevel vise hvordan matematikken kan spille en større eller mindre rolle innenfor en rekke kulturaktiviteter, som musikk, idrett, billedkunst, arkitektur osv.

Videre vil det være viktig å peke på matematikkens linjer bakover i tiden, hvorfor akkurat den og den matematikken ble utviklet på det og det tidspunktet. Vi kan her nevne stikkord som geometrien før Euklid (hvilken rolle har Herons formel spilt?), hvordan utviklet matematikken seg under påvirkning av den pytagoreiske skolen? Her kan eksempelvalget lett føre oss over i filosofien. Vi skal vise med et eksempel at slike utvalgskriterier kan lede til høyst konkret matematikk. Eksempel 7

Lærere som er vel bevandret i notekunsten, bør kunne gjøre mye ut av den sammenhengen det er mellom delestrekene på gripebrettet til en gitar og eksponentialfunksjonen. Figuren til høyre viser denne sammenhengen.

Figuren er tatt fra (40).

33

2 - Matematikk-Didatikk

Eksempel 8 Følgende eksempel er hentet fra (68) og inspirert av en artikkel i den danske avisen Information. Eksemplet bør kunne illustrere bade matematikk, idrett og kvinne­ sak.

I en dansk avis kunne man i juni 1982 lese om utviklingen av maraton-tider

for menn og kvinner. Det viste seg at rekordutviklingen for begge kjønn til­ nærmet fulgte rette linjer, men kvinnenes rekordkurve var steilere enn den

for mennene. a) For mennene har rekordene utviklet seg omtrent slik: I 1940 var rekorden på 2 timer og 25 min. I 1970 " " " 2 timer og 7 min. Bestem likningen for en rett linje bestemt av disse to opplysningene, og

tegn grafen til likningen i et koordinatsystem. b)

La x - 0 bety 1940.

For kvinnene har rekordene utviklet seg slik:

I 1962 var rekorden på 3 timer og 30 min. I 1978 " " " 2 timer og 30 min.

Bestem likningen for en rett linje bestemt av disse to opplysningene, og

tegn grafen i det samme koordinatsystemet som ovenfor, det vil si at x = 22 betyr 1962.

c)

Bestem av grafen hvor kurvene skjærer hverandre. Bestem skjærings­ punktet også ved regning.

I hvilket år vil etter dette verdensrekordene pa

maratondistansen være lik for de to kjønn?

De kategoriene av kriterier som vi har behandlet, er ikke uttømmende. Ved valg av stoff, og ikke minst metode, vil en lærer komme til å bruke det vi kan kalle ubevisste kriterier. Disse kriteriene har gjerne sine røtter i erfaring som læreren har gjort. Selv om læreren ikke klarer å formulere disse kriteriene, vil han med stor tyngde kunne si at sånn lønner det seg å gjøre. I tråd med dette kan vi også nevne at et emne ofte blir valgt ut fra tradisjon; dette har jo alltid vært med i skole­ matematikken. Et slikt kriterium kan ikke uten videre avvises. Det har med videreføring av kulturarven å gjøre. På den annen side må en vokte seg for å la kulturarven bli en sovepute for dem som vil hindre en utvikling. Under de nevnte kategoriene har vi ikke skrevet noen presist formulerte kriterier. Vi har i stedet forsøkt å si hvilke typer spørsmål en stiller seg under de forskjellige kategoriene. Det er heller ikke lett å sette opp slike formuleringer. De har en tendens til å bli så generelle at de grenser til det verdiløse. Vi er derfor i tvil om ordet kriterium er det korrekte i denne sammenhengen. Trolig vil en sjekkliste i likhet med den vi skal se på i neste avsnitt, være å foretrekke.

34

Kriterier for stoffutvalg eller sjekkliste?

2.5

Den tyske matematikkdidaktikeren Friedrich Zech har i (98) valgt å samle en del forslag til kriterier for stoffutvalg i en sjekkliste. Vi skal gjengi dem med noen få forandringer. Legg merke til at det i en slik liste vil være naturlig å stille en rekke spørsmål og dermed ikke lage formuleringer som vil bli en tvangstrøye for så vel lærere som lærebokforfattere.

Sjekkliste for utvalg av undervisningsstoff i matematikk

JEr stoffet

-

adekvat for elevenes kognitive nivå og interesser? adekvat for lærerens interesse og didaktiske mulighet? av allmenn matematisk betydning? innordnet i det faglige pensum på en gunstig måte?

Er stoffet rettferdiggjort

-

som «kulturteknikk»? gjennom en saksituasjon fra dagliglivet? som meningsdannende informasjon? som matematisk grunnlag for teknisk eller naturvitenskapelig forståelse? gjennom sin kulturhistoriske betydning? ved ettertanke over matematikkens muligheter og grenser? ved sin estetiske verdi?

Er stoffet egnet som bidrag til å utvikle

-

anskuelsesevne? logisk tenkning? kommunikasjons- og/eller samarbeidsevne? språkevne? selvstendighet? kritisk evne? problemløsingsstrategier? mentale grunnteknikker (som å sammenlikne, ordne, abstrahere, genera­ lisere, klassifisere, konkretisere, analogisere)? - arbeidsdyder (omsorg, nøyaktighet, samvittighetsfullhet. klarhet, orden)? - allmenn eller spesiell yrkesforberedelse? Så langt Friedrich Zech. Store deler av denne sjekklista kan vel alle være enige i. og vi skal heller ikke gi mange kommentarer til den. Ved å kombinere noen av punktene vil vi kunne få spørsmål som vi synes mangler, men som altså indirekte er der. For eksempel savner vi at det mer direkte spørres etter eleven som sosialt

35

individ i forhold til det stoffet som skal holdes opp mot lista. Videre synes vi ikke det er tilstrekkelig at stoffet gir matematisk grunnlag for teknisk og naturviten­ skapelig forståelse. Hvorfor ikke la et av sjekkpunktene spørre etter informasjon om og forståelse av det samfunnet eleven lever i? Vi skal ikke fullføre denne analysen av Zechs liste. Vi har tatt den med som en oppfordring til matematikklærere om å bevisstgjøre seg i forhold til sine kriterier, og da gjerne gjennom en liste som hun kan holde stoffet opp mot før hun treffer den endelige beslutningen om a ta det med eller forkaste det. Alle læreplanene i den nye mønsterplanen forutsetter at det drives lokalt læreplan­ arbeid. Det betyr at lærerne vil bli stilt overfor et stoffutvalgsproblem, og vi får håpe at Grunnskolerådet vil utarbeide både stoffutvalgskriterier og retningslinjer for dette arbeidet.

2.6

Organisering av lærestoffet

Akkurat som lærestoffet kan velges ut etter bestemte kriterier, må også organise­ ringen av stoffet foregå etter visse kriterier. J et fag som matematikk vd-duti-stor utstrekning være to kriterier: - faglig-logiske - psykologiske ■

p v ?f'!■ i ' ’ e

,

j

.

jy \.

*

i ''.'“ti

.

.

.

Disse to kriteriene virker ikke uavhengig av hverandre. Når et emne skal plasseres på et eller annet klassetrinn eller et eller annet sted innenfor et årstrinn, vil begge typer kriterier være inne i bildet. La oss likevel se litt pa hvilke spørsmål vi stiller oss innenfor de to typene.

Faglig-logiske kriterier Når vi skal innføre et nytt tema, ma vi først vurdere om forutsetningene for temaet, er oppfylt.

Eksempel 1 Fagplanen for IMA_ inneholder noe om den deriverte av en funksjon.1..FfvQijii.ye må fagplanen gjøre ut av grenseverdibegrepet? Hvor «primitivl».-kan_de.t.te hegre* pet innføres uten å gjøre skade og samtidig være et bidrag til forståelse?^

Problemet i eksempel l blir i mange tilfeller overlatt til lærebokforfatterne, og det fører selvfølgelig til mange ulike tolkninger og løsninger av problemet. Er det sa blitt avklart at grenseverdibegrepet ma inn pa en eller annen mate, dukker det straks opp et par nye problemer: Hva bygger dette begrepet på? Ma vi ha med noe

36

om tallfølger? Fagets indre logikk griper altså fundamentalt inn i stofforganiseringen_Qg ofte på en måte som gjør det naturlig å trekke inn det andre settet av k-riterier.

Psykologiske kriterier 1 ler ma en stille seg spørsmålet om elevene er modne for et visst stoff. Selv om det er naturlig å ta stoffet på et bestemt trinn fordi de faglige forutsetninger er til stede, kan det tenkes at det nye stoffet likevel må vente.

Eksempel 2 Når enkel brøkregning er gjennomgått, det vil si i 4. klasse, har en det regnetekniske grunnlaget for elementær sannsynlighetsregning. Skal sannsynlighetsregning av den grunn påbegynnes i grunnskolen? Mønsterplanen av 1974 våget ikke det. blant annet fordi det pa det tidspunktet da planen ble satt i pennen, var ulike oppfatninger om verdien av en slik undervisning. Mange mente at sannsynlighetsbegrepet er sa vanskelig at det ikke er nok å ha de tekniske forutsetningene. Ikke desto mindre har andre land våget a innføre sannsynlighetsregning på lave trinn i skoleverket. Heller ikke i M-87 er dette tatt med som et selvstendig emne.

Eksempel 3 Som vi så i eksempel 1, blir den deriverte innført i 1MA-kurset. Men hvor langt skal en ga i omfang og dybde? Det kan se ut som et stoffutvalgsproblem, og til dels er det vel også det. Men først og fremst er det et organiseringsproblem, fordi det er spørsmål om hvordan vi skal fordele alt stoffet omkring derivasjonen pa de tre årstrinnene i den videregående skolen. Eksemplene foran er tatt med for a vise noe av det konfliktfylte ved bruk av de to kriteriene for organisering av stoff. Men mellom disse to kriteriene kan det også oppstå konflikt.

Eksempel 4 La oss se pa innføringen av begrepet kontinuitet. Siden dette begrepet blir definert ut fra grenseverdibegrepet. ma det behandles først ifølge det faglig-logiske krite­ riet. Men det kan være vanskelig overfor elevene a begrunne hvorfor en starter med grensebetraktninger. og derfor burde en. med støtte i det psykologiske krite­ riet. starte med problemer som ikke kan løses tør grenseverdibegrepet er innført. Det er snakk om en sakalt fagrelatert motivasjon. (Se kapittel 12.)

37

2.7

Stofforganisering i fagplanene

Stofforganisering er den måten lærestoffet er fordelt på i de ulike klassetrinn. Denne fordelingen av stoffet er forskjellig i grunnskolen og i den videregående skolem_

Til grunn for stofforganiseringergi grunnskolen liggeryen. ppp}i.stji^._ay^ii_såkalte. hovedemner'.

1 Problemløsing 2 fåTt~

3 4 5 6 7 8 9 10

Tallregning Måling og enheter Prosent Geometri Statistikk Personlig økonomi og samfunnsøkonomi Algebra og funksjonslære Datalære

Under hvert hovedemne finner vi delemner, som fordeler seg på de tre treårstrinnene: 1.—3. klasse, 4^—6. klasse og 7.-9. klasse. I tillegg til selve den læreplanen som står i M-87, er det laget «Veiledende årsplaner i matematikk» (113). De gir forslag til hvordan lærestoffet under delemnene kan fordeles på klassetrinnene.

Hovedemne 1, problemløsing, står i en særstilling. Dette emnet skal gjennomsyre hele undervisningen og inngår derfor i alle de andre hovedemnene og delemnene, selv om det ikke er sagt uttrykkelig.

Når det gjelder de andre hovedemnene og delemnene, fordeler de seg på klasse­ trinnene i samsvar med den oppfatningen myndighetene har når det gjelder elevenes aldersmessige forutsetninger. Det gjør at fagstoffet under et delemne kan bli fordelt på flere klassetrinn. Denne måten å organisere stoffet på kaller vi spiralorganisering. Vi skal presisere det litt nærmere. Spiralorganisering innebærer at en fører stoffet på et bestemt klassetrinn så langt en mener det er mulig for elevene. Stoffet skal avrundes på en slik måte at det egner seg for gjenoppta kelse en te n se ne re i skoleåret eller på neste klassetrinn. D e t e r umulig å gi generelle regler for hvordan dette bør gjøres. Myndighetene har derfor overlatt ansvaret til lærebokforfatterne og lærerne. Men en grei tommelfingerregel er at vi ikke forlater et emne før det er lagt til rette så mye kunnskapsstoff at emnet kan. fioldes ved like gjennom oppgaveregning og arbeid med problemløsing.

38

Hvordan har denne spiralorganiseringen falt ut i matematikk? Det finnes ingen undersøkelser om dette for faget, men lærere har ofte gitt uttrykk for at prinsippet ikke er til noen hjelp i det daglige arbeidet. Dels kommer det av at myndighetene ikke har gitt ut noen metodisk veiledning som kunne ha gjort prinsippet til noe annet og mer verdifullt enn en papiranbefaling. Dels skyldes det den tradisjonen lærebøkene har i norsk matematikkundervisning. Lærerne regner med at mønsterplanens intensjoner er ivaretatt i en lærebok som er godkjent. Følger en den. kjører en «safe». Langt på vei håper vi at det er riktig. Men det finnes mange eksempler på at lærerne ikke har vært fornøyd med forfatternes måte å tolke spiralprinsippet på, og derfor har tatt skjeen i sin egen hånd. I forbindelse med M-74 hevdet Tor Hammervold og Einar Jahr at lærebøkene ikke er skrevet etter spiralprinsippet slik det er tenkt ideelt (26), men etter det de kaller «opphakkingsprinsippet». Det er dessverre grunn til å tro at de stort sett hadde rett den gangen. Med den manglende debatten omkring spiral­ prinsippet siden M-74s dager, er det vel grunn til å tro at dette prinsippet ikke kommer stort bedre til sin rett i lærebøkene etter M-87.

Mønsterplanen M-74 var en såkalt rammeplan. Den kom likevel ikke til å fungere som noen konsekvent rammeplan, for M-87 er det ikke uttalt at den skal være en rammeplan.

Eksempel 1 La oss se på hovedemne 9, algebra og funksjonslære. Temaet har så avgjort sin hovedtyngde på 7.-9. klassetrinn, men det har røtter langt ned i barneskolen. Allerede ved innføring i enkle likninger i l. —3. klasse får elevene sitt første møte med begrepet variabel. I 4.-6. klasse møter de enkle formler. Det forutsetter at variabelbegrepet er forstått til det presisjonsnivået som er nødvendig for å forstå hva en formel er. På veien videre til å forstå funksjonsbegrepet kan en dra nytte av den innsatsen som er gjort i forbindelse med begrepene variabel og formel. Stofforganiseringen i den videregående skolen følger et noe annet mønster enn i grunnskolen. Her har læreplanene en langt mer tradisjonell form, og stoffet er ikke knyttet til hovedemner. I dette skoletrinnet behandles de tradisjonelle områdene: algebra, funksjonslære og geometri. Stoffutvalget er et resultat av års erfaring, og det er ikke knyttet noen rammeplantenkning til det.

Det er ikke uttalt at spiralprinsippet også er brukt i utformingen av matematikkplanene for den videregående skolen. Men indirekte har prinsippet gjort seg gjeldende. Disse planene er utviklet under sterk påvirkning av de forsøkstekstene som Den nordiske komiteen for modernisering av matematikkundervisningen

39

(NKMM, se kapittel 1) la fram, og de resultatene som ble oppnådd ved bruk av disse tekstene. Forsøkstekstene var sterkt preget av spiralprinsippet.

Selv om hvert årstrinn i den videregående skolen har et avsluttet matematikkurs, kan en likevel øyne spiralorganiseringer av stoffområder, men kanskje først og fremst når det gjelder begrepsutviklingen. Særlig iøynefallende er dette når det gjelder begrepet derivasjon, som blir innført på en intuitiv måte i 1. klasse og forsterket både definisjonsmessig og bruksmessig i 2. og 3. klasse.

Hovedmomenter i matematikkundervisningen

3.1

Planlegging av undervisning

I kapittel 2 har vi behandlet litt av det området som tradisjonelt er blitt kalt fagets_ didaktiske side. Der tok vi for oss problemer i forbindelse med stoffutvalg, stofforganisering og målet for vår matematikkundervisning. I forlengelsen av dette har en så omtalt den metodiske siden ved matematikkundervisningen, ofte kalt matematikkmetodikk eller matematikk fagmetodikkInnenfor dette området vil en vise, foreslå, legge til rette en rekke ideer som av mange benyttes for å na de delmålene vi setter opp for en time, og videre fram til det_generelle målet for matematikkfaget

i skolen. Ser vi på disse to sidene ved det å undervise i skolefaget matematikk ut fra den forskningen som er utført de siste tjue årene, blir det vanskelig å skille dem fra hverandre slik som antydet ovenfor. Det har ført til at mange forfattere bruker begrepet matematikkdidaktikk som et samlebegrep. Det vil vi også gjøre i denne boka, men med den reservasjonen at yi vil bruke ordet metodikk når vi vil framheve stoffets metodiske egenskap. Hensikten med det stoffet vi skal behandle i dette avsnittet, er å sette læreren i stand til å gjøre seg systematiske refleksjoner over hvordan hun kan

- forberede undervisningen - gjennomføre undervisningen - analysere den gjennomførte undervisningen med tanke pa eventuelle forbedringer Vanligvis planlegger vi undervisningen vår utfra den læreboka vi bruker, og derfor skal vi knytte våre betraktninger til et konkret eksempel (83). som vi har gjengitt pa side 42. Vi skal se litt på planleggingen av en time., og på hvilke problemstillin-

41

15.1 Potenser med negative eksponenter. Uttrykket a° I grunnskolen har du lært om potenser der eksponentene er naturlige tall. For eksempel regnet du slik:

a3 • a4 = a'^4 = a

og —= a9-4 = a5 a4 Disse to utregningene er eksempler på bruk av de to potensreglene: aP-a^-aP^

(1)

ap — =ap-P

(2)

Vi skal i dette avsnittet se hva vi mener med uttrykket ax der eksponenten x er et negativt helt tall eller null. Som utgangspunkt onsker vi at de to reglene (1) og (2) ovenfor fortsatt skal være gyldige. Dersom vi bruker regel (2) på uttrykket (—), får vi:

På den annen side har vi ved vanlige regneregler:

a-a-a

a3 _

a7

_1

a•a•a•a •a •a•a

1

a-a-a-a

a4

Vi ser at dette forer til at a 4 = -y Vi definerer derfor:

a"

Tallet a opphøyd i en negativ eksponent er 1 dividert med a opphøyd i den tilsvarende positive eksponenten. Denne regelen gir for eksempel at 0-3

1

1

7

i

1

1

2 3 = — = — og 3 1 = — = — 23 8 31 3

Dersom vi bruker regel (2) foran på uttrykket (

a3

- -

,,

—= a3 - 5 = a° a5

På den annen side er Vi definerer derfor:

£2 “ ; 1 når vi forkorter. a'

al) = 1

Det betyr at 2” =1, 3°=1, 11°= 1. (0.2)°= 1 og så videre.

42

, får vi:

Med disse nye definisjonene kan vi vise at regnereglene (1) og (2) foran fortsatt er gyldige. Vi får derfor: 2>- 2 s

= 25"'

' 31 = 2 2 =

2 5

11 = —22 4

Oppgave 15.1 Bestem følgende potenser: a) 4 1

b) 3 2

c) 5 2

d) 2 4

e) 6°

f) 7’2

Oppgave 15.2 Regn sammen følgende uttrykk:

ger det kan lede til. Vi vil ikke komme med noen fullstendige løsningsforslag her, men nøye oss med noen antydninger og for øvrig vise til (27).

Når vi planlegger en time, må vi også forutsette at vi planlegger for en rekke timer framove r, selv om d et ba re er R ---------------- * L

136

Problemløsingens mest «problematiske» fase er nettopp denne transformasjonen. Det er her kunsten ligger, det er her det ligger en undervisningsutfordring som trygt kan kalles et problem for læreren. Han kan trene seg i å undervise i pro­ blemløsing, men det kan neppe bli rutine for ham.

7.3

Eksempler på problemløsing

Vi skal se på noen problemer, men først en liten unnskyldning: Det kan jo tenkes at leseren kjenner løsningene, slik at utfordringene rett og slett er rutineoppgaver. Vi har ingen illusjoner om at vi på noen få sider klarer å formidle alle de tanker en gjør seg når de nevnte problemer skal løses. Vi håper bare på å få illustrert noen av tankene i forrige avsnitt.

Problem 1 Den første figuren nedenfor viser et kvadrat med sider på 2 cm, der vi har skåret bort et hjørne slik at figuren blir vinkelformet. Vi har følgende problem:

Hvordan vi egentlig tenkte da vi laget denne løsningen, er vanskelig å si, men vi vil anta at tankene har vandret på denne måten: Først deler vi figuren i tre. Da har vi oppfylt kravet om at vi skal ha kongruente figurer. Deler vi nå hvert av kvadratene i fire like deler, har vi fått tolv kongruente småkvadrater. og vi er blitt ledet fram til følgende delprobletrr. Med tolv småkvadrater blir det tre småkvadrater på hver av de figurene vi skal fram til. Hvilke ulike former kan vi lage av tre småkvadrater? Det kan åpenbart bare bli disse:

137

Hva gjør vi nå? Siden bare to muligheter foreligger, kan vi prøve oss fram. Vi vil da fort erfare at det er det siste alternativet som gir løsningen:

La oss skjematisere det vi har gjort:

Vi hadde problemet P: Del den gitte figuren i fire kongruente figurer.

Vi transformerte P til TP: Mulige figurer av tre småkvadrater.

Situasjonen er altså denne:

algoritmen

Vi har nettopp gjennomgått et eksempel som inneholder et element som går igjen i nær sagt all problemløsing, nemlig transformasjon av problemet til et annet pro­ blem som vi ser muligheten av a kunne angripe uten at vi i øyeblikket ser for oss

138

algoritmen. Transformasjonen kan ytre seg på ulike måter. I eksemplet foran bestod den i å spalte opp den gitte figuren i nye, slik at vi fikk fram de to trekkene som skal karakterisere løsningen. Andre ganger kan transformasjonen simpelthen bestå i å utføre eksperimenter og på dette grunnlaget trekke konklusjonen, som da ikke er noe annet enn kvalifisert gjetning. Vi arbeider induktivt. La oss se på et eksempel.

Problem 2 Finn summen 1+3 + 5 + ....... + (2/z + 1).

Hvis vi ikke kan noe om aritmetiske rekker, har vi heller ikke noen metode som er basert på teori. Vi ma derfor utvikle løsningen på fritt grunnlag, og en vanlig angrepsvinkel er å prøve seg fram. Vi danner en del delsummer:

1 = 1 1+3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 X.

.

Etter disse forsøkene er det grunn ti] å tro at svært mange elever ville se mønsteret, nemlig at vi får kvadrattall. Og de elevene som ikke ser det, vil nok finne det ut ved passende ledespørsmål. Og skulle heller ikke det hjelpe, vil sikkert alle innse sammenhengen nar den blir fortalt (siste utvei!). For disse elevene ma vi ta et par ekstra eksempler slik at de får prøve det de er blitt fortalt. Vi tar summen opp til 9 og opp til 11. Her oppstår det et nytt problem: Hvordan formulere resultatet? Det er ikke nok å si med en selvfølgelig mine at summen er et kvadrattall. Vi må finne ut hvilket kvadrattall. Slik er det rimelig å tenke: Vi skal summere ulike tall. I den siste summen har vi 7 som siste tall. Det kan skrives 2-3 + 1. Svaret ble 16 = 42. Ser vi noen sammenheng her? Flere forsøk viser: Summerer vi opp til 9 = 2-4 + 1, får vi svaret 25 = 52. Summerer vi opp til 11 = 2-5 + 1, får vi svaret 36 = 62. Vi har satt strek under noen av tallene. Øker vi disse tallverdiene med 1, får vi grunntallet i den potensen som er svaret. Det skulle bety at

1 + 3 + 5 + ....... + (2/z + 1) — (/z + 1 )Dette resultatet har vi funnet ved induktiv arbeidsmåte. Vi kan bevise dette resultatet ved induksjonsbevis. eventuelt pa annen måte.

139

Vi skal senere si noe om undervisningsmetoder og problemløsing. Her skal vi bare nevne at den heuristiske metode ligger godt til rette fordi det vil være nødvendig med ledespørsmål underveis i prosessen fram til algoritmen. Som en øvelse overlater vi til leseren a reflektere litt over hva som ble resultatet av transformasjonen, og hvilke algoritmer en laget for å løse det gitte problemet.

Problem 3 Konstruer en firkant ABCD der AB = 8 cm. LA = 90°, LB = 75°, og der hjørnet C ligger like langt fra AB som fra AD. AD = CD.

Leseren vet godt hvordan det skal løses. For ham er det et rutineproblem. Vi lager en hjelpefigur som vi forsøker å få så riktig som mulig:

Denne figuren vil fortelle oss hvor vi bør begynne, nemlig med å konstruere den trekanten der vi har nok opplysninger. Det viser seg å være trekanten ABC. Det vi har gjort, er å benytte en viktig metode i problemløsing: Vi tenker oss problemet løst og forsøker å finn e ut om vi på den måten kan få tips om hvil ke de Iprob lem e r det gitte problemet består av, og hvordan delproblemene skaLløSÆS,.Denne meto­ den blir ofte omtalt som «å arbeide haklciigs^.

Vi skal utover i avsnittene vise flere eksempler på problemløsing og dermed antyde flere strategier som kan brukes. Før vi gjør det, skal vi se litt mer på Polyas oppfatninger slik de kommer til uttrykk i boka «How to solve it». Der kan vi for øvrig finne mange gode tips om problemløsing.

7.4

Hvordan løse problemer?

Denne litt pretensiøse problemstillingen er hentet fra Polyas bok. Boka gir selv­ følgelig ingen endelig samling av strategier som kan løse alle problemer. «Det finnes ingen kongevei til problemløsing/ * (52). Polyas fortjeneste eH?lant annet at

140

han i store trekk har strukturert hva det vil si å løse problemer. Strukturen hans er b vgd opp om k r ing fiir e h oy e dpun kter:

-

å å å å

forstå problemet legge en plan gjennomføre en plan se tilbake

Disse fire hovedpunktene hadde ikke vært til særlig hjelp om det ikke var for at Polya under hvert av dem ramser opp en rekke spørsmål som problemløseren bør stille seg under forsøket på å løse problemet. Polyas samling av spørsmål er gjengitt i [7|. Samlingen må betraktes som en idébank. På sidene 147—148 har vi gjennomgått et eksempel i ren Polya-ånd. Vi skal nok ikke oppfatte Polya dit hen at dersom en bare lærte seg spørsmålslista hans, og husket alle de gode påminnelsene, ville en klare å løse alle de problemer en støter pa. Det er selvfølgelig helt galt. Det verdifulle i alle disse påminnelsene er at vi ved å benytte en del av dem på en kløktig mate kan bli i stand til a transformere en del av problemet, eller få innsikt i en del av problemet. De kan gi oss tips om den retningen vi bør arbeide i for sa forhåpentligvis å unnfange den lyse ideen som skal til.

Lista til Polya er egentlig svært innholdsrik, og vi burde derfor satt av plass til a kommentere nesten samtlige setninger. Vi skal nøye oss med a kommentere noen av radene i lista ut fra skolens interesse. o

- A forstå problemet Under dette hovedpunktet finner vi spørsmålet «Hva er betingelsene?». Å forstå og å være klar over de forutsetninger som gjelder i problemet, hører med til forståelsen av selve problemet. Hvis et problem dreier seg om et trapes, og en ikke har erkjent at to sider i firkanten må være parallelle, er det vel ikke nevneverdig håp om at en ska] klare å løse selve problemet. Med andre ord: Polya vil ha oss til å tenke gjennom hva problemsituasjonen bygger på. Her ligger det en veldig utford­ ring til læreren. Han skal ved hjelp av ledespørsmål hjelpe eleven til å klargjøre problemets forutsetninger for seg selv. Men noe av målet med det hele må være å få eleven til a tenke slik selv. - Å legge en plan Dette bør ikke i første omgang oppfattes så absolutt. Legg merke til at Polya uttrykker seg langt mer forsiktig i selve teksten. Polyas mange spørsmål er noen av dem en stiller seg før en klarer å legge en plan. Enjyr i den fasen der ulike typer innfall far slippe til. En prøver seg fram. I denne fasen er det ofte viktig å studere et mer spesielt problem enn det som er gitt.

141

Hjelpestørrelsene som Polya omtaler, kan virke noe uklare, men når en studerer boka hans, blir det klart at han legger vekt på a finne fram til gunstige betegnelser pa de ukjente, og å få satt dem i relasjon til hverandre for eksempel i en likning. Derfor blir bruken av variabler et viktig poeng i mange problemløsingssituasjoner. Ofte kan vi gjøre om et geometrisk problem til et algebraisk. Hvis et kalkulasjonsproblem går ut på å beregne den avansen et firma har, er det gunstig å sette avansen til x % og så regne som om den var kjent. Håpet er at dette vil føre til en likning som vi kan løse.

Det er også i tråd med lista til Polya å forsøke å endre litt på utgangspunktet for problemet. Hvis et problem handler om en trekant, kan vi spørre oss hva vi kan gjøre med den uten å forandre på trekanten. Forslag: Vi kan lage den omskrevne sirkelen, noe som gir oss grunn til å tenke i periferivinkler. Vi kan halvere alle vinkler, noe som får oss til a tenke på den innskrevne sirkelen, som igjen fører oss inn på tanken om at det er en algebraisk sammenheng mellom radien i denne sirkelen og trekantens areal og omkrets. Hva kan vi få ut dersom vi tenker på medianene? En haper at alle slike innfall skal gi oss kunnskap om problemet og egenskapene ved det, slik at vi kan begynne å forsøke å løse i det minste ett delproblem. De to siste hovedpoengene: - å gjennomføre plcuiLLL_ - å se tilbake er svært viktige. Det første punktet, å gjennomføre planen, er avhengig av at vrhar en idé til løsning som fører fram. Det andre punktet, å se tilbake, er viktig dersom vi skal lære noe av den løsningen vi har funnet. «Uerfarne» problemløsere hopper svært ofte bukk over dette punktet i ren begeistring over å ha fått til en løsning. Men det er viktig at vi øver opp evnen til å se tilbake. Det er nå vi er i en avslappet tilstand i forhold til utfordringen, og derfor har mulighet til å tenke igjennom hva vi har lært av dette problemet. Vi skulle gjerne ha føyd den nye erkjennelsen til den erkjennelsen vi allerede har. Eller sagt med andre ord: Vi vil gjerne ha utvidet våre skjemaer slik at den nye kunnskapen ikke blir isolert i forhold til annen relevant kunnskap. Vi må altså ta fatt på akkommodasjonsprosessen, se side 79. Men under arbeidet med å se tilbake hender det også at vi får øye på en ny og langt mer elegant måte å løse problemet på. Et eksempel på det er vist på sidene 148—149.

I undervisningen kan vi komme inn på det «å se tilbake» når stoffet skal konsolideres. Det gjelder særlig problemer som må løses fordi løsningen gir øs^en algoritingrncd stor bruksverdi i matematikken (for eksempel det å løse andregradslikninger).

142

Vi skal på denne bakgrunn stille tre problemer som leserne kan prøve seg pa. Arbeidsmåten kan en velge selv, men vi foreslår at to og to arbeider sammen, og at en forsøker å sette alle de innfall en matte få, på papiret. Videre kan Polyas liste brukes på to måter: Enten leter en i den etter forslag til angrepsmåter, eller en forsøker å løse problemene for deretter å sammenholde det en har prøvd pa med Polyas liste.

Her er problemene: 1) Del følgende trapes i fire kongruente firkanter:

Vi har gitt tre vilkårlige parallelle linjer. Konstruer en likesidet trekant som har et hjørne plassert pa hver linje!

3)

Vis at

a2 + b2 + c2

ab + bc + ca

der a, b og c er positive reelle tall.

7.5

Problemløsing og Piagets teori

Fra Piagets teori kjenner vi to svært viktige begreper: assimilasjon og akkommoda­ sjon. Disse to begrepene kan knyttes til problemløsing. Vi minner om at assimila-

143

sj on noe fore n kl e t sagt e:r a t e t: in di vid k a.n bruike si n e eksi sterende kunnskapsskj£=__ m^er for å handle i en gitt situasjon, mens akkommodasjon — like kort fortalt — vil si at individet må gjøre om på deler av sine skjemaer før assimilasjon kan inntreffe. Qg like kort fortalt: Målet er assimilasjon (se kapittel 5).

Vi skal se hvordan Piagets teori om tilpasning kan koples sammen med detji løse utfordringer som vi stiller oss selv eller får av andre. Utfordringer skal som vanlig bety problemer eller rutineoppgaver. Vi lar U betegne en utfordring, og S det skjemaet som brukes til å løse utfordringen. Skjemaet S vil bestå av de løsningsstrategier vi rar over, og som er eller føles relevante for utfordringen. Erich Wittmann kaller slike skjemaer for løsningsskjemaer (94). Et gunstig samvirke mellom U og S vil lede til en løsning av U. Dette samvirket^ mellom Ljog .S' vil vi betegne (L/, Sj. Vj kan godt si at dette paret uttrykker sluttilstanden på dlem vekse 1 virkningen som pågår mellom utfordringen og kunnskapsskjemaene våre.

Det ligger langt utenfor rammen for denne boka å gjøre forsøk på å beskrive denne vekselvirkningsprosessen. Et banebrytende arbeid på dette området er utført av Newell og Simon (59). Vi skai nøye oss med å drøfte to situasjoner som både vi og våre elever ofte kommer opp i. Den første situasjonen er karakterisert ved at vi har en utfordring U, men mangler løsningsstrategi eller løsningsskjema. Utfordringen er et problem,.og vi skriver: I

(U, ?)

=

(P, ?)

Spørsmålstegnet viser at vi ikke har noen algoritme som kan løse problemet^ Den andre situasjonen er karakterisert ved at yi har en rekke, løsningsskjeniaær (strategier), men for tiden ingen utfordringer (rutineoppgaver) vi kan bxiike,dem på. Denne situasjonen vil vi betegne slik:

(?. S)

I den første situasjonen, det vil si (P, ?), vil vi være på jakt etter et løsningsskjema. Her forsøker vi altså å velge blant de strategier vi har. I denne prosessen kan det tenkes at vi finner en kjent algoritme som kan brukes, og situasjonen er overvei­ ende en assimilasjonsprosess. Men vanligvis vil vi bli nødt til å bygge om på eksisterende skjemaer, og vi står overfor en prosess som overveiende — eller for en stor del — er en akkommodasjonsprosess. Individet må være kreativt. Noen ganger er skjematilpasningen beskjeden, som i tilfellet på neste side.

144

Løs likningen

. 5 . 1 sin- x------- sin x + — - U 6 6

Vi forutsetter her at individet vet hvordan andregradslikninger skal løses. Andre ganger er skjematilpasningen krevende, for eksempel i det problemet vi behandlet på side 139, der vi summerte ulike tall opp til 2n + 1. Den andre situasjonen, (?, S), krever stort sett bare assimilasjonsprosesser. Indivi­ det møter denne situasjonen på litt forskjellige måter. Det vanligste er at vi går rundt med en del løsningsstrategier eller løsningsskjemaer i hodet, og i en eller annen sammenheng må vi for eksempel løse en bestemt andregradslikning. Da tilpasser vi denne spesielle likningen til det skjemaet vi har for å løse slike likninger.

Vi har gitt eksempler på at (F, ?) og (?, S) kan svare til henholdsvis akkommodasjon og assimilasjon. Som oftest er de to prosessene vevd inn i hverandre, og vi sier at dTer inseparable (uatskillelige). Det vil si at begge prosessene er med på å gi en helhetsforståelse av problemløsingens natur. De to prosessene er dermed komple­ mentære.

Når vi leter etter en strategi, er det klart at vi titt og ofte utfører ren assimilasjon fordi det er en forutsetning for å kunne bearbeide en viss del av problemet. En hyppig forekommende form i matematikken er at en arbeider med rutineoppgaver fram til et visst punkt, og så inntreffer det egentlige problemet. Typisk for denne situasjonen er oppbyggingen av eksamensoppgaver i videregående skole. 1 tråd med dette kan vi nevne matematikerens arbeidsform og illustrere den ved et enkelt eksempel:

Vi har utvidet våre skjemaer slik at vi kan beregne hypotenusen i en trekant der katetene er gitt. Å beregne hypotenusen når katetene er 3 og 4, eller 5 og 12x_er_ rutineproblemer som bare kaller på assimilasjon. Men så oppdager vi at hypotenusene bliFhdeTail slik som de gitte tallene, og dermed velger matematikeren seg et nytt problem. Dette valget er for det meste en assimilasjonsprosess, men fortsettel­ sen — det å finne ut om det finnes flere slike hele tall som passer inn i den pytagoreiske setningen, og hvordan en eventuelt finner alle — vil i høy grad være preget av akkommodasjonsprosesser.- Det blir ekte problemløsing!__

Vi har koplet sammen problemløsing og de to prosessene assimilasjon og akkom­ modasjon fordi det etter vår mening får følger for undervisningen. Vi kommer

145

tilbake til det i et senere avsnitt, men vi antyder her at eksplisitt undervisning i problemløsing kan føre til helt nye og ukjente differensieringssituasjoner. Dersom problemløsing i bred skala er nødvendig for å forberede ungdom til et komplisert moderne samfunn, skal vi selvfølgelig ikke gå av veien for å prøve å løse de differensieringsproblemene som måtte oppstå. Det gjelder bare å være klar over at denne arbeidsformen ikke er helt problemfri!

7.6

Problemløsing og undervisning

Momenter som hører inn under dette avsnittet, vil en også finne under behandlin­ gen av problemorientert matematikkundervisning. (Se avsnitt 7.7.) I dette avsnittet skal vi se litt på undervisningsmetoder og noen eksempler.

Pen mest aktuelle undervisningsmetoden i problemiløsing er etter vår mening den heuristiske. Problemløsing har jo til hensi k tå læ re e 1 evene å ten k e, og det oppnår en nettopp ved å sette elevenes tanker i gang gjennom passe utfordre n de spørsmå 1. Organiseringen av klassen vil kunne variere, og den er langt på vei bestemt av det problemet som skal behandles. Det gjelder ikke minst ved bruk av problemorien­ tert matematikkundervisning. Gruppearbeid eller individualisert undervisning gir best mulighet for differensiering, mens heuristisk klasseundervisning er velegnet som opptakt til et fellesproblem.

Ved problemløsing bør i kke gr u ppene være for s tore. To t i 1 t r c, h øy st fi r cc 1 e ver i hver gruppe skulle være brukbart. Dessuten bør gruppene være noenlunde homogcnv nar det gjelder kreativitet. For «skjeve» grupper har lett for å føre til at de minst kreative elevene blir «overkjørt» og ikke slipper til. Det kan også gjelde i andre typer gruppearbeid, men dette uheldige trekket blir nok mest tydelig i gruppearbeid på problemløsing. Både ved gruppearbeid og individualisert undervisning kan en spørre om hvilken rolle læreren kan/bør/skal spille. Etter vår oppfatning er to trekk helt klare: _ Hun må spiIle entilbaketrukket rolle. - Hun må ha tenkt gjenn om de de lp r obl em er som probl emet bestå r av, og løsningen av dem.

Noen få kommentarer: Det ligger i problemløsingens natur at elevene må få tumle med problemet mest mulig på egen hånd, slik at de gjør de erfaringer som er nødvendige for å transformere problemet til situasjoner en har algoritmer for. Men selvsagt vil det svært ofte forekomme at eleven eller gruppen star fast. Da må

146

læreren ha klart for seg hva første delproblem er. og sånn noenlunde det eller de ledespørsmål som kan hjelpe elevene videre. Ledespørsmålet vil da i seg selv være et lite problem som er slik at elevene klarer å analysere det med tanke pa a finne en algoritme.

Vi skal vise et slikt eksempel der vi lar delproblemene være inspirert av lista til Polya. Eksemplet er det samme som i den oppgaven vi gav på side 143. Se etter om du har løst oppgaven på samme måten som vi har. Eksempel 1 La «, b og c være positiv reelle tall, og vis at

a2 + b2 + c2 2? ab + bc + ca Hvordan kan vi komme i gang her? Siden vi blant annet har a2 4- b2 på venstre side og ab på høyre side, kunne vi jo prøve med å subtrahere 2ab på begge sider. Vi kan da bruke andre kvadratsetning og få denne utgaven av den gitte ulikheten:

(a — b)2 + c2

—ab + bc + ca

Gir så dette noe nytt som vi kan komme videre med? Neppe! Vi har her brukt et knep som vi ofte kan ha glede av, men i dette tilfellet var det uten virkning. Vi skal derfor se hvordan vi kan løse problemet ved at vi studerer en rekke delproblemer som læreren må ha tenkt igjennom før hun bruker dem i en klasse. Gjennom­ føringen er i Polyas ånd, men vi understreker at vi må regne med flere feilslag underveis. Så glatt som framstillingen nedenfor kan gi inntrykk av, er det sjelden det går ved første forsøk! a)

Kan vi lage et enklere problem? Svar: Sett c = 0, og vi får a2 + b2 - ab

b)

Kjenner vi et tema der a2, b2 og ab inngår? Svar: I kvadratsetningene (a + b)~ og (a - by2

c)

Kan det forenklete problemet gjøres om slik at det minner om en av kvadrat­ setningene? Svar: a2 - ab + b2 ()

d)

Hvilken av kvadratsetningene er det mest nærliggende å satse på? Svar: (a - b)~

e)

Vi skal ha en ulikhet. Hvilken får vi direkte av d)? Svar: (a - b)~ 2= 0

147

f)

Hva kan ulikheten i e) omformes til? Svar: (a - b)2 > 0 a2 — 2ab + b2 0 a 2 + b2 > 2ab > ab Altså gjelder den forenklete ulikheten.

g)

Hvis vi har tre positive tall a, b og c, hvilke muligheter for utvidelse av (a - b)2 0 kan tenkes? Forslag: (a — by + (b — c)2 > 0 ) (* a2 — 2ab + b2 + b2 — 2bc + c2 0 a2 + 2b2 + c2 2ab + 2bc

Her mangler det et ac-ledd. Hvordan lager vi det? Svar: Ved å føye til (c - a)2 i (* ). (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

Det gir:

0

som gir det vi skulle bevise:

a2 + b2 + c2^ ab + bc + ca h)

Generalisering av *():

(X, - X2y + (x2 - X3)2 + ...... + (xn - X])2

X,X2 + X2X3 + ....... + Xz;X]

gir ulikheten

X!

2

2

+ X2

2

+ X3

2

+ ....... + X„

XjX2 + X2X3 + ....... + X„X\

En liten kommentar til eksemplet foran: 1 punkt f) skrev vi

a2 + b2

2ab

ab

altså en mindre skarp ulikhet. Hvorfor gjorde vi det? Jo, fordi den forenklete oppgaven bare krevde denne ulikheten. Men egentlig førte den forenklete utgaven av problemet oss litt på avveier. Har vi a2 + b2

148

2ab

så har vi også b2 + c2 2? 2bc

og dessuten c

+ a x 2ca

Summerer vi disse tre ulikhetene, far vi

a2 + b2 + c2 2a ab + bc + ca Denne metoden ligger også bedre til rette for en generalisering. Det vesentlige med denne kommentaren er likevel følgende:

Husk punkt 4 på lista til Polya: - Å se tilbake

Når en løsning først er etablert, bør en se på to ting: Hva var de sentrale punktene i vår løsningsstrategi, og kan løsningen forbedres i betydningen forenkles? Når det gjelder eksempel 1, vil vi gjerne understreke at de svar vi har gitt på de enkelte delproblemer, bare er ment som forslag fra vår side. Andre svar kan være tenkelige. Dessuten foreligger jo den muligheten at leseren ville dele opp problemet i helt andre delproblemer enn dem vi har antydet, altså legge opp en helt annen strategi. Vi har med eksemplet foran også villet peke på typer av delproblemer en lærer må være forberedt på å måtte diskutere. Men vi hadde også andre grunner til å velge dette eksemplet. I de fleste avhandlinger og lærebøker om problemløsing vil de problemene som blir lagt til grunn for analyse, ofte stå helt isolert. I undervisningssammenheng mener vi det vil være uheldig, og det er grunn til å tro at også løsningsstrategier må konsolideres som all annen kunnskap.

En måte å gjøre det på er å lage en samling av problemer, et såkalt problemområde, som alle kretser rundt den samme løsningsstrategien eller rimelige varianter av den. Det er nødvendig dersom det skal skje en akkommodasjon i forhold til selve strategien. Dette blir da også gjort i vanlig skolematematikk, for eksempel ved innlæring av algoritmen for faktorisering av andregradsuttrykk. Her går en den lange veien fra uttrykk på formen ax2 + bx til ax2 + bx + c.

Nok et punkt i denne sammenheng bør nevnes. Når en leser om problemløsing^ fristes en ofte til å spørre hvor det problemet en nå arbeider med, kommer,fra.

149

Hvordan har problemet oppstått'? Som et eksempel kan vi nevne trigonometriske likninger av typen

3 cos x + 4 sin x = 1 Hvilke matematiske problemstillinger har vi som forutsetter at elevene kan løse ,slike likninger? Fra Polya (75) henter vi følgende eksempel: Løs likningen

y4 + \

~t ) ~ 54^y- + y /

\

+ 101 = 0 y* 2 /

Til en slik oppgave (som kan løses av gymnaselever!) kan det stilles en rekke spørsmål av metodisk og faglig art. Vi tar bare med to.

__ Hva vil feste seg hos eleven dersom hun får den til? 2)

Har løsningsmetoden/strategien noen hensikt? Det vil si: Finnes det matema­ tiske problemer som leder til denne likningen?_

Innenfor likningsteorien har vi en klasse likninger som vi kaller resiproke likninger, og som likningen foran er et eksempel på. Det er med andre ord grunn til å anta at slike oppgaver har interesse som en matematisk teori innenfor området likninger. Men bør det være noe mål for skolens matematikkundervisning å kunne løse slike likninger? Vi tror at hvis problemløsing skal ha noen framtid i vanlig skoleundervisning, må opptakten til problemet ikke forsømmes. Elevene må bli konfrontert med en situasjon som leder fram til et matematisk problem. Uten dette er vi stygt redd for at problemløsing bare vil ha appell til dem som allerede liker å knekke «nøtter». Vi skal derfor se på et problem fra ungdomsskolen, der vi ikke har forsømt oss når det gjelder bakgrunnen for problemet.

Eksempel 2

Innledning til et problem Vi har kjøpt en gammel mynt som på den ene siden har davidsstjernen. På den andre siden leser vi årstallet 1288. Vi tviler på at mynten kan være ca 700 år gammel, og vi undersøker først hvor den kommer fra. Det viser seg at den stammer fra Marokko. I dette landet brukte de tidligere den islamittiske kalenderen, også kalt månekalenderen. I et leksikon (MEDIA) finner vi omtalen på neste side.

150

«Av praktiske grunner må en kalender dele inn tiden i hele døgn. Men verken månen eller jorden foretar sine kretsløp på et jevnt antall dager, noe som er årsaken til at det er utviklet så mange tidsregningssystemer. En måne-måned (synodisk måned), dvs. tiden mellom to fullmåner, er om lag 29,53 døgn. Et solar er omtrent 365,24 døgn.

En tidsregning som bare bvgger pa måne-måneden. blir kalt en månekalender. Hver maned begynner ved nymåne. I en månekalender har som regel annenhver maned 29 dager, mens de øvrige har 30. 12 måneder utgjør et fritt måneår, som ikke følger solaret. Nyttar og høytider faller derfor pa for­ skjellige årstider fra ar til ar. Den islamittiske kalenderen har et slikt manear den dag i dag.»

Andre nødvendige opplysninger: Ar 0 i den islamittiske kalenderen er det aret Muhammed flyktet til Medina, slik at 1288 altsa er 1288 manear etter denne flukten. Tidspunktet for denne flukten regnet etter var kalender er 622 e.Kr.

Problem Bruk disse opplysningene til å bestemme myntens alder etter var tidsregning. Hvilke delproblemer læreren bør ha tenkt igjennom, overlater vi foreløpig til leseren, men under problemorientert undervisning (se sidene 154-155) vil vi antyde en slags fasit. Til slutt skal vi vise et eksempel som vanligvis blir brukt i 1. klasse i videregående skole, men som i den form vi gir det, godt kan brukes i 8. eller 9. klasse i ungdomsskolen. Vi presenterer først problemet og antyder så hvordan vi tror arbeidet kan komme til å forløpe. Framstillingen fra vår side blir en slags lærer­ veiledning.

Eksempel 3 Problem På en tomt skal det settes opp et hus med rektangelformet grunnflate. På grunn av tomtas beliggenhet kan huset bare plasseres innenfor en bestemt trekant (se figuren på neste side), og med en av husets sider langs en av trekantens sider. Finn ut hvordan vi kan lage et hus med størst mulig grunnflate.

151

15 m

10 m

16 m

Dette problemet egner seg godt til gruppearbeid, men innledningen og framstillin­ gen av problemet bør tas som klassesamtale. Dermed er det mulig å gjøre situasjo­ nen naturlig, og kanskje ta en innledende diskusjon om arbeidsmetode. Vi tegner inn én mulighet for grunnflate:

Vi måler høyden og lengden og beregner arealet. Andre muligheter for å tegne inn rektangler? Elevene velger selv grunnlinje, trekker opp høyden hver gang, og beregner arealet. Vi samler resultatene i en tabell. Hvilken grunnlinje ser ut til å gi størst areal? Deretter ordner vi tabellen etter avtakende verdier av grunnlinja.

Vi framstiller tabellen grafisk og finner at kurven når toppen for en grunnlinje lik 8 m. Nye øvelser vil gi som resultat at vi får størst areal når vi velger en grunnlinje som er halvparten av trekantens grunnlinje. Finn i hvert tilfelle hvor stor høyden er i forhold til trekantens høyde. Vi får halvparten av trekantens høyde. I dette temaet blir det mange avlesninger eller målinger med etterfølgende beregninger som praktisk talt alle elevene kan. Det skulle altså være noe å gjøre for alle (jamfør differensieringsproblemet).

For ytterligere fordypelse i problemene omkring variasjon av rektangler i en trekant, kan vi la elevene velge forskjellige trekanter. Når vi sammenlikner resulta­ tene, kommer vi fram til den rolle grunnlinja i trekantene spiller for arealet av det største rektanglet som kan innskrives på den aktuelle måten.

152

Som en fortsettelse på temaet kan vi ta en rektangulær blikkplate som er 30 cm bred, og be elevene komme med forslag til a lage en renne med rektangulært tverrsnitt av denne plata. Renna skal lages slik at den fører mest mulig vann. Hva vil «kapasiteten» være avhengig av? Arealet, det vil si tverrsnittet av renna. Hvor mye må vi brette opp på hver side for at tverrsnittsarealet skal bli størst mulig? Vi begynner med å brette opp 2 cm, så 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm osv., og i tur og orden regner vi ut tverrsnittsarealet. Vi får en tabell som vi kan framstille grafisk. Av grafen kan vi finne ut når vi får størst tverrsnitt.

Vi kan også spørre elevene om hvilken form vanlige takrenner har. Trolig vil de fort gjette på «halvsylinder». Dermed oppstår det et nytt problem: Hvilken renne har størst kapasitet: den vi møysommelig har funnet fram til ved å studere rektan­ gulære tverrsnitt, eller den vi får dersom vi bøyer blikkplata til en «halvsylinder»?

Opplegget kan avrundes med tilsvarende betraktninger om hvordan vi lager en eske med maksimalt volum av en rektangulær papplate. Som en øvelse bør leseren gå gjennom denne framstillingen og holde den opp mot lista til Polya. På den måten kan en bli fortrolig med hans berømte liste og kanskje føye til nye nyttige momenter.

1 tillegg til den nevnte lista har Polya også drøftet en,rekke.^enere]JejiTåt^ et gitt problem på. ^e^ejierelle måter kaller vi gjerne strate^er_^^ø\^L^ufpllstendig liste over ulike strategier.

-

transformasjon (reformulering) analogi spesialisering generalisering arbeide baklengs systematisk eksperimentering illustrere, konkretisere innføre hjelpestørrelser lage selvmotsigelser lete etter et mønster løse delproblemer

Det er ikke her plass til å gå grundig inn på slike strategier. Vi skal bare antyde hvilke strategier som har vært brukt i noen av de tidligere eksemplene i dette kapitlet. - I problem 1 på side 137 var strategien å prøve å løse visse delproblemer.

- I problem 2 på side 139 var vi på jakt etter et mønster. - I problem 3 på side 140 gikk vi ut fra at vi kjente løsningen (vi brukte hjelpefigur),

153

°g på grunnlag av dette fant vi hvilken trekant vi kunne konstruere (delproblem). Deretter «rykket vi bakover» til vi hadde hele firkanten. Vi arbeidet altså baklengs. - I eksempel 1 på side 147 fulgte vi Polyas råd og løste et enklere problem før vi gikk løs på det egentlige problemet. Underveis løste vi delproblemer.

- I eksempel 3 på side 151 drev vi systematisk eksperimentering. Vi viser ellers til Polyas bok (75).

7.7

Hva er problemorientert matematikkundervisning?

I faglitteraturen bruker en betegne Isene probl e m or i e n t e r i ng e 11 e r pro b 1 e m o r i e n t e rt matematikkundervisning på flere ulike måter. Hos enkelte betyr det at en tygger hele undervisningen på oppgaver og problemer med lite teoriutvikling. Andre lar betegnelsen stå for en matematikkundervisning der store deler av den dreier seg om bruk av matematikk i praktiske situasjoner, f denne sammenhengen kan det nevnes at enkelte stiller det krav at elevene også skal være med på å finne fram tij de praktiske situasjoner som vi skal ta i bruk matematikken på (32). Da snakker en .gjerne også om deltakerstyring. Vi vil bruke begrepet problemorientert matematikkundervisning i en litt annen bg tydning. Vi tenker oss at vi har et tema i matematikken som er aktualisert på en eller annen måte (enten praktisk eller faglig). Som tema kan vi tenke på den pytagoreiske setningen, sinusproporsjonen, formelen for renteregning, momsberegningen, cos (u - v) osv. Når vi snakker om et problemorientert undervisnings­ tema, mener vi at det valgte temaet er delt opp i en rekke delemner som hver for seg utgjør en rutineoppgave eller et ekte, men lite problem. Læreren underviser i det valgte temaet på grunnlag av et problemopplegg sprn han forhånd, og som kan brukes både i klassesituasjonen, i gruppearbeid og i ilfoividualjsert undervisning. Det vil være situasjonen som avgjør om vi på forhånd skal kunngjøre overfor elevene hva vi skal fram til. I neste avsnitt skal vi vise dette ved noen eksempler.

7.8

Eksempler på problemorienterte undervisningstemaer

Eksempel 1 Vi går tilbake til eksemplet på problemløsing på side 150. Der dreide det seg om å bestemme alderen på en mynt.

154

I et problemorientert opplegg ville det være rimelig å gi samme innføring eller bakgrunn som vi gav på side 151, det vil si ta for seg utdraget av leksikonartikkelen med de nødvendige kommentarer. Så kunne vi lage grunnstammen i problemopplegget slik: a) b) c) d)

Hvor mange døgn (av vår lengde) har et islamittisk år? Hvor mange prosent (eller hvor stor brøkdel) utgjør et islamittisk ar av vart kalenderår? Hvor mange år etter vår tidsregning er 1288 islamittiske år? 1 hvilket år ble mynten laget?

Dette er bare et forslag til problemopplegg. og det kan godt tenkes at leseren ville gjøre det mer detaljert. Vi tror at dette opplegget ville passe godt i et gruppearbeid med for eksempel 2—4 elever. Også i individualisert undervisning vil det passe. Derimot vil opplegget ikke virke helt etter sin hensikt i en klassesituasjon, selv med heuristisk undervisning. Grunnen er at utdraget fra leksikonartikkelen, som jo er en nødvendig betingelse, ikke vil komme til sin rett. Eksempel 2 I dette eksemplet skal vi vise et problemopplegg for et problemorientert bevis for den pytagoreiske setningen. Framstillingen egner seg godt i 8. klasse i ungdoms­ skolen. Før vi går løs på selve problemopplegget, vil vi nevne et kinkig problem i forbindelse med denne setningen: Hvordan motivere for den'? Likningen

I

a2 + b2 = c2 sier n)

250

Sknv så enkelt som mulig. Sett prøve ved å sette a = 2, b = 5, x = 1. a) (3a — x) — (2b — 2a + 5x) b) 56 - (—3b 3- 2a — 3x) + (-2x + b - 4a) c) _ (^2b + 3x) 3- (4a - 2x) - (-5a + 3b)

251

Regn ut. a) 2 (x + y) b) 5 (x - 2y) c) 4 (2a - b) d) 5(4a - 3x 4 y)

B C

252

C

253

Regn ut og trekk sammen. a) 4y — 3 (x 4- y) b) —3x - 2 (x - 2y) c) 2 (x - 3y) - 3 (2x - y)

e) 10 (2x - 3b + 5y) f) 8 (4x - y) - 6 (6x - 2y) g) 2 (a + 3b) - 5 (2a - b)

d) —2 (x - 4y) 4- 3x e) -5 (2x — 3y) 4- 4 (x - y) f) -2 (-3x 4- a) - 3 (-2a 4- 6x)

Regn ut og trekk sammen. Sett prøve når a - 2, b = 4, c = 1. a) 3 (a - 2b) - 2 (2a - 3b) 3- 2c b) 5 (-a + b) — 3 (4b — 3a) — (a - c) c) —2 (a - 3c) 4- 5 (2a - 5c 4- b) - 2b d) -3 (-2c + 2b - 3a) - 4 (a - b + 3c)

193

7 - Matemamtikk-Didatikk

C

254

Regn ut og trekk sammen. a) 2 (a2 - a) + 3 (a2 + a) b) 3 (a2 — 3a) — 2 (a2 - 5a) c) 4 (a2 - 3x) - 2 (3a2 - 2x) d) x (2 - y) + y (1 + x) e) x (3 - 2y) + y (3x - 4) f) a (b - a) — b (a 4- b)

255

Regn ut og trekk sammen. a) —3a (a — 2b) + 4a (2a — 2b) b) 2a (3a - b) — 4 (a2 — 2ab) — 6b (a — 2b) c) a (a2 — a) + 3a2 — 2a2 d) 2a2 (a — 1) + 3a2 (2 — a)

EKS. -------------I forbindelse med blandede tall skal vi nå bruke de reglene vi kan for oppløsning av parenteser.

2| + 5^ = (2 + |) + (5 + |) = 2 + | + 5 + | = 7 + |= 7+ l+ i= 8^ 5 5 5

256

54 — 2y = (5 + 4) — (2

+

= 5- 2 + ^- |= 3+ 7 7

i = 3| 7 7

y) = 5 + 4 — 2 —

Regn ut som i eksempelet over.

’1

c,8TT-3Tf

b>6i - 4 d>4 - 4+ 4 C

257

0 ,oi - 4i - 2i

Oppgavene under kan bl.a. regnes ved å gjøre de blandede tall om til ensbenevnte brøker. Vurder hvilken framgangsmåte som lønner seg, og regn ut.

a)3|

b)4|

c) 6|

-4 -4 -4

.. 24 71 d)y -

194

e)27 + 37-'7

e)l|l

08tt g)9|

-6I

h) 16 j o

i) 213 *

- I24 - 167j

J) 617| - 599^4 16

10.4

Oppsummering

Innenfor området differensiering (organisatorisk og pedagogisk) benytter en seg av et omfattende vokabular. Nedenfor har vi samlet de viktigste begrepene og satt dem inn i en helhet. Fordi det er enkelte momenter som bare perifert har vært omtalt tidligere, skal vi gi noen korte kommentarer. Når vi ikke går i dybden her, skyldes det at disse momentene ikke er spesielt knyttet til matematikkdidaktikk.

Oversikt

kunnskap:

195

Vi begynner på toppen med ulike typer differensieringsbehov. Slik disse momentene står i rammen, er det vel uten videre klart at de vil føre til et differensieringsbehov. Et slikt behov kunne vi godt ha beskrevet også andre steder i systemet. En lærer kan føle behov for å differensiere undervisningen, og hun vurderer så hvordan det best kan gjøres i den undervisningssituasjonen hun står i. Eleven kan også føle behov for en differensiert undervisning, og det kommer til uttrykk ved at han ber læreren om hjelp. Det innebærer at han vil ha hjelp på egne premisser, altså en tilpasset undervisning. De forhåndsvalgte rammene er et resultat av politiske beslutninger og ligger langt fra det læreren har noen innvirkning på. Disse rammene er en form for organisatorisk differensiering, og imøtekommer behov som interesse og formål. Innholdet i resten av oversikten er utførlig behandlet i dette kapitlet. La oss bare føye til at mellom de tre siste rammene kunne vi også ha satt inn en rute med påminnelsen «pedagogisk refleksjon». Det er her læreren kommer inn med sine refleksjoner.

10.5

Avslutning

Undervisning i sammenholdte klasser har lett for å bli ren klasseundervisning, og fornuftig gjennomført trenger ikke det være noen dårlig undervisning. Vanske­ ligheten ligger ofte i å engasjere alle elevene og å sette dem i gang med arbeidet på de forutsetninger de selv har. Det er her differensieringen kommer inn innenfor klassens ramme. Da må en velge stoffbehandling og differensieringsform med omhu. Et viktig moment i de avgjørelsene en tar, vil utvilsomt være de erfaringer en selv har gjort med klassen. Og nettopp det gjør at det ikke er mulig, og vel heller ikke ønskelig, med ferdiglagete oppskrifter på hva en skal gjøre. Derfor har vi i dette kapitlet bare vist en del muligheter en kan spille på.

196

11

Skriftlige arbeider. Evaluering

11.1

Hensikt

De skriftlige arbeidene i skolematematikken tjener flere formål, men det er den betydningen de har som undervisningsmiddel som er den viktigste. Kanskje er det det viktigste undervisningsmidlet vi overhodet har. Det er jo først og fremst gjennom de skriftlige oppgavene at elevene produserer noe. blir konfrontert med problemene, blir faglig motivert til å arbeide med løsningsmuligheter. Denne motivasjonen kan variere en god del etter hvilken type skriftlige arbeider vi har, men generelt gjelder det nok at motivasjonen er størst for de skriftlige arbeidene som blir utført på skolen — prøvene — forutsatt at de er hensiktsmessig laget. Motivasjon må her ikke forveksles med det å ha lyst til å ha prøver. Den lysten er neppe stor hos elevene, men når de først har fått delt ut prøven, er de vanligvis motivert for å finne fram til eller få løsning på oppgaven. En annen grunn til at vi vurderer de skriftlige arbeidene høyt som undervisnings­ middel, er den plassen de har i læringsprosessen. De skriftlige arbeidene brukes på ahe trinn i læringsprosessen, men har sin største betydning i konsolideringsfasen. Det er i denne fasen elevene skal bli fortrolige med stoffet og få en dypere forståelse av det aktuelle temaet, og det er i denne fasen en fornuftig rutine skal bygges opp. Som undervisningsmiddel ma de skriftlige arbeidene innpasses i det daglige arbeidet. Det innebærer at slike arbeider må få en bred plass og dekke flere aspekter ved undervisningen. De skriftlige arbeidene må derfor alltid vurderes i relasjon til

- fagets oppbygning - de faglige krav

197

I denne sammenheng er det grunn til å peke på at uansett hvordan vi organiserer stoffet, bør vi bygge opp oppgavematerialet spiralt (se sidene 38-39), slik at vi kan få en nærmest kontinuerlig repetisjon av stoffet framfor en «skippertaks»repetisjon. Når det gjelder de faglige krav, går de både på det teoretiske nivået og pa den ferdigheten en skal nå i den oppgaveløsningen som er knyttet til faget. Det er i den forbindelse eksamen får en veldig tilbakevirkende kraft. På flere områder innenfor skolematematikken kan en se at kompleksiteten i eksamensoppgavene ligger langt over den en finner i selve teorien som danner basis for oppgavestoffet.

11.2

Bruksområder for skriftlige arbeider

Vi har i forrige avsnitt slått fast at skriftlige arbeider skal betraktes som et undervisningsmiddel. I dette avsnittet skal vi se litt nærmere på noen områder der et slikt undervisningsmiddel vanligvis blir tatt i bruk. A B C D E

konkretisering (illustrasjon, innøving) av nylig gjennomgått stoff (teori) konsolidering av de enkelte emner (også repetisjon) kontroll av standpunkt for eleven evaluering innøving av gode arbeidsvaner

Vi skal gi noen kommentarer til disse punktene.

Punkt A på denne lista er svært viktig. Slik det er utformet, kan det se ut som om denne formen for konkretisering alltid kommer etter at teorien er etablert. I mange tilfeller vil det være naturlig å starte med en del oppgaver som innledning, en forberedelse av de problemer som tas opp i forbindelse med teorien. Disse skriftlige arbeidene vil nesten uten unntak være kladderegning. Denne eksemplifiseringen vil i mange tilfeller være svært viktig, og ofte helt nødvendig for at elevene skal «få tak» i teorien. Det vil gjerne være slik at når teorien er gjennomgått, har eleven bare fått en anelse om sammenhengen. Det hele er foreløpig noe diffust. I slike tilfeller vil oppgaveregning (det vil si skriftlig arbeid) være helt avgjørende dersom eleven skal komme videre. Derfor må både det innledende og det eksemplifiserende oppgavematerialet være nøye gjennom­ tenkt.

Det er altså i løpet av konsolideringsfasen at eleven skal oppnå å forstå og beherske stoffet. Igjen er det naturlig å satse på elevenes egen innsats, og skriftlige arbeider i en eller annen form vil vanligvis være det beste. Avhengig av det stoffet som skal

198

konsolideres, kan vi velge mellom ulike former for skriftlige arbeider, men vi skal merke oss at det ofte kan lønne seg å la utarbeidelsen skje i grupper.

Når det i punkt C er snakk om kontroll av standpunkt, er det i like høy grad en kontroll av i hvilken grad undervisningen vår har nådd fram til eleven. Vi må altså gi elevene oppgaver som skal løses skriftlig, slik at vi blant annet kan få tilbakemelding på vår egen innsats. Det er vanlig at en gir regning på kladd til hver time og dessuten 0 hjemmeregning med jevne mellomrom. A håndheve et slikt prinsipp konsekvent kan være vanskelig fordi kontrollen av disse arbeidene kan bli vanskelig. Men de hjemmearbeidene vi pålegger elevene, må følges opp på en eller annen måte. Stikkord her er gjennomgåelse i timene, utarbeidelse av løsningsforslag til hele oppgaven eller deler av den, skriftlige kommentarer fra læreren, individuelle kommentarer til besvarelsen osv. Evaluering er svært viktig i tilknytning til skriftlige arbeider. Noen vil nok hevde at det bare er i forbindelse med slike arbeider at evaluering er mulig. Det inntrykket vi får av elevene ved muntlig kontroll, er ofte usikkert. Graden av sikkerhet kan økes betraktelig dersom læreren venner elevene til selv å ta initiativ til å spørre når noe er uklart. Best er det nok at læreren gir elevene kontrollspørsmål. Da er det mulig å komme elevene litt under huden, slik at vi kan få inntrykk av om det aktuelle stoffet er forstått på det nivået vi mener vi kan kreve.

Det hører med til skolens generelle mål å venne elevene til fornuftige og gode arbeidsvaner. Gjennom skriftlige arbeider i matematikk har vi gode muligheter til å gi vårt bidrag når det gjelder å nå dette målet. I første rekke dreier det seg om å lære elevene å føre oppgaver på en oversiktlig og logisk korrekt måte. Videre går det ut på at vi forlanger noenlunde pent utførte tegninger der det er en støtte for framstillingen. Læreren bør instruere elevene om hvordan vi tegner prismer, pyramider osv. Men vi advarer likevel mot å være for pedantisk. Det virker bare mot sin hensikt. Spesielt advarer vi mot for strenge krav til føring av oppgaver under de korte skoleprøvene. Ved disse prøvene er tiden vanligvis så knapp at det er urimelig å vente at elevene skal klare å legge nevneverdig flid i selve innføringen.

11.3

Typer av skriftlige arbeider

Vi har tidligere i dette kapitlet sa vidt berørt enkelte typer skriftlige arbeider. Stort sett kan vi si at vi har følgende typer:

- hjemmeregning pa kladd - hjemmeregning innført

199

- korte skoleprøver - heldagsprøver - diagnostiske prøver Vi skal kommentere disse typene.

Hjemmeregning på kladd Som pedagogisk tommelfingerregel kan vi si at det til hver time skal gis kladdeoppgaver. Hjemmeregningen på kladd skal stort sett bare dreie seg om det temaet som er aktuelt. Det er unntak å gi oppgaver fra andre områder. Og som påpekt tidligere bør vi ikke gi mer på kladd enn at vi kan forlange skikkelig arbeid av elevene, og at læreren har en rimelig mulighet for kontroll.

Hjemmeregning innført Når det gjelder den hjemmeregningen som skal føres inn, bruker vi den til så vel systematisk repetisjon som konsolidering av den siste tids teorigjennomgåelse. Omfanget av oppgaver må ikke være for stort. Fristelsen til slurvearbeid og avskrift vil trolig øke med arbeidsbyrden. I ungdomsskolen bør vi ikke gi flere oppgaver enn at vi kan gjennomgå dem på en skoletime. Mer tid har læreren sjelden anledning til å bruke, og vi må dessuten være klar over at vi vanligvis må gjen­ nomgå hele hjemmeregningen i ungdomsskolen.

I den videregående skolen kan vi nok øke mengden av oppgaver noe, og i siste klasse kan vi gi hjemmeregning som omfatter om lag halvparten av et eksamenssett. Ved vurderingen av omfanget bør læreren sette kvalitet høyere enn kvantitet. Med kladdeoppgaver til praktisk talt hver time mener mange at det ikke er nødvendig med så hyppig innføring av hjemmeregning. Vi skal ikke her gi uttrykk for noen hyppighet, men heller oppfordre lærerne til å finne sin form tilpasset den undervisningen en har gitt. Derimot vil vi slå et slag for at en bør ha en fast dag for innlevering av innført hjemmearbeid, og at elevene bør få en uke på det.

Vi bør ikke ha noen illusjon om at alle elevene benytter seg av hele denne tiden. Dessverre blir nok mesteparten av arbeidet gjort siste dagen. Men poenget er at de elever som vil ta hjemmeregningen «over en lang», skal ha anledning til det. Endelig skal en huske på at ved å gi så god tid har læreren anledning til å be de elevene som han vet ikke kan få noen hjelp hjemme, om a begynne på oppgaven slik at læreren kan tre støttende til. På frivillig basis bør enhver elev ha adgang til å diskutere hjemmeregningen med sin faglærer.

200

Vi har nevnt at gjennomgåelsen helst ikke bør ta mer enn en time. I den videregå­ ende skolen (særlig siste klasse) kan det nok hende at gjennomgåelsen vil ta lengre tid. Men vi kan spare mye tid ved at vi i gjennomgåelsen av visse oppgaver bare skisserer løsningen. Det gjelder utelukkende oppgavetyper der framgangsmåten og tekstingen er kjent fra tidligere oppgaver av samme slag. Lærerne diskuterer ofte seg imellom hvordan en kan redusere gjennomgåelsen av hjemmeregning. men noen fullgod løsning har en vel ikke funnet fram til. En annen måte som klart vil redusere forbruket av tid til gjennomgåelse, er å kopiere opp løsningene på oppgavene. Mot denne metoden kan det innvendes at vi gjør elevene passive. Men det kan vi motvirke vedågi løsningene som hjemmelekse, og i neste time spørre klassen på kryss og tvers. Den viktigste innvendingen mot metoden er nok at muligheten for at løsningsarkene skal gå i arv, er nokså stor.

Korte skoleprøver Med korte skoleprøver mener vi prøver på 1-2 timer. Med det reduserte timetallet i faget i de to skoleslag, spesielt i ungdomsskolen, blir vi nødt til mer og mer å bruke entimesprøver.

Drillprøvene kan være av en times varighet, mens prøver av det andre slaget bør gå over to timer. Lengre prøver er det ofte vanskelig å få til. Også prøver som skal inneholde mer kompliserte oppgaver, kan godt ha med enkelte drillmomenter, men dette innslaget kan vi redusere en del ved å ha egne prøver der ferdigheter og «håndgrep» skal demonstreres. Det vanlige er at en i løpet av et skoleår har 8-10 korte skoleprøver i ungdomsskolen og 10-12 prøver i den videregående skolen, avhengig av hvor mange heldagsprøver som blir arrangert. Flere prøver er det neppe tid til hvis vi skal avansere med rimelig fart i pensum. Vi bør ta oss den tiden vi trenger til gjennomgåelse av slike prøver, blant annet fordi elevene er blitt motivert overfor akkurat de problemene prøven har reist. Dette er en undervisningssituasjon læreren bør utnytte. En kan si at det er i denne situasjonen (og selvfølgelig også i forbindelse med heldagsprøvene) at skriftlige arbeider fungerer best som undervisningsmiddel.

Heldagsprøver Heldagsprøver blir brukt både i ungdomsskolen og i den videregående skolen. I de senere år har mange skoler gått over til bare å bruke heldagsprøver, og korte prøver er kuttet helt ut. Grunnen er at de korte prøvene vanligvis tester et så lite stoffområde at bedømmelsen blir usikker. Da eksamen er en heldagsprøve, vil slike prøver gi bedre eksamenstrening enn de korte. Dersom en bare bruker

201

heldagsprøver. forutsetter det en viss samkjøring med de andre skriftlige fagene. Ved en del skoler blir det satt opp en rutetabell for alle skriftlige prøver i skoleåret. Antall slike prøver kan variere noe. men to-tre stykker i semesteret er det vanlige. A bruke bare heldagsprøver er en fordel for bade lærer og elev. Men disse prøvene bør ikke være til hinder for a legge inn en-timesprøver til repetisjon, drill, kontroll av ferdigheter, «skriftlig-muntlige» prøver osv. Det beror på en avveining om en har tid til slike prøver.

Diagnostiske prøver Diagnostiske prøver er korte prøver, fra ti minutter til en skoletime, og i disse prøvene forsøker en å peile inn hva elevene har fått ut av en bestemt stoffmengde, eller hvilke forutsetninger de har for et stoffområde klassen skal ta fatt på. På grunnlag av den diagnostiske prøven gir en litt repetisjon før en lar elevene få den egentlige prøven eller tar fatt på det nye stoffområdet. Oppgavene i slike diagnostiske prøver består som oftest av ferdighetsoppgaver (drilloppgaver). Mange føler nok at de ikke har tid til slike prøver selv om de bare skulle ta en liten del av en skoletime. Alt elevene gir fra seg av prøver, liker de å få vurdert og gjennomgått. Altså tar en slik «liten» prøve lengre tid enn en kanskje beregnet. Det er derfor grunn til å stille spørsmålet om ikke vanlig kladderegning til hver time med rimelig kontroll kan gi like mye og like god informasjon om det som er oppfattet i en undervisningssekvens, eller om det ma repeteres før en tar fatt på nytt stoffområde. Ikke minst tror vi at det gjelder foran større prøver. Opparbeider vi et gjensidig tillitsforhold mellom oss og elevene, vil elevene selv meddele oss hvor skoen trykker.

Endelig skal vi kort nevne at skoleverket også opererer med normerte prøver. Da bruken av dem er helt knyttet til evalueringsspørsmålet, vil vi ikke gå nærmere inn på slike prøver. Her skal vi bare nevne at slike prøver er et tilbud fra myndighete­ nes side. Hensikten med denne typen prøver er å skape en noenlunde ensartet karaktersetting i faget for hele landet.

11.4

Utarbeidelse av prøver

La oss først se på de vanlige skoleprøvene i forhold til hjemmeregning. Temaer som skal tas opp i en prøve, bør først være gitt i hjemmeregning, slik at elevene har fått utfordringer på linje med dem de kan regne med å få på prøven. Det vil øke

202

sikkerheten hos eleven (i betydningen «dempe engstelsen for prøven»), og hun vil dessuten fa større mulighet for å møte forberedt til prøven. Dette siste poenget er viktig, og en skal merke seg at eleven virkelig vil være motivert for denne forbere­ delsen.

Av andre formelle ting når det gjelder prøver, kan vi nevne at vi alltid bør kopiere opp oppgavene og ikke gi dem etter en oppgavesamling. Bruker vi oppgavesamling. kommer problemet med bruk av fasit. Mange lærere har gjort den erfaringen at det å lage oppgaver selv gir mange fordeler, men dessverre også mye ekstraarbeid. Vi skal bare vurdere fordelene. Oppgavene i en oppgavesamling passer sjelden inn i den undervisningssituasjonen som prøven skal kontrollere. Dersom vi vet at klassen for eksempel har problemer med å multiplisere og dividere rasjonale uttrykk med hverandre, er det rimelig at læreren legger vekt på det i undervisningen og i den første prøven etter at arbeidet med slike problemer er avsluttet. Det er da rimelig at læreren lager en rekke oppgaver av denne typen, med stigende vanskelighetsgrad. For at slike opplegg skal kunne lages med noenlunde rimelig arbeidsinnsats, er det en forutsetning at skolen har lærebøker og oppgavesamlinger utover dem en underviser etter.

En generell regel for konstruksjon av et oppgavesett er at de delene som gjelder kontroll av de siste ukenes arbeid, må være tilpasset den undervisningen læreren har gitt i denne perioden. Resten av oppgavene skal passe inn i en systematisk repetisjon. Disse oppgavene kan vi gjerne ta fra en oppgavesamling.

Når det gjelder mengden av oppgaver som bør gis til en prøve, hersker det neppe enighet blant lærerne. Mange vil nok hevde at det skal gis så mange at den flinke bare med nød og neppe blir ferdig i rett tid. Noen mener til og med at ingen skal rekke å bli ferdig. Vi vil heller gjøre oss til talsmenn for et noe annet syn. Settet bør lages slik at den flinke har litt tid til overs når hun legger pennen ned. Som en antydning av hva synspunktet innebærer, kan vi nevne at pa heldagsprøver bør den flinke være ferdig 15—20 minutter før tiden løper ut. Det mener vi bør være en forutsetning når elevenes arbeid skal evalueres. Elevene føler seg snytt hvis det gjenstår problemer som de vet de kan løse. De mentale sidene ved å gi for mye arbeid på prøvene, vil vi overlate til leseren å tenke igjennom. Når det gjelder oppgaveutvalget til heldagsprøver. kan vi generelt si at en bør sørge for at det finnes oppgaver og spørsmål til alle elevkategorier i klassen, altså bade lette og vanskelige oppgaver. Men samtidig ma en heller ikke gi sa mange lette problemer at de gode elevene drukner i oppgaver som er trivielle for dem. Nar det gjelder vanskelige oppgaver eller problemer, ma det selvfølgelig være noen av dem

203

også, men vi tror ikke det er nødvendig med så mange vanskelige problemer som en for eksempel kan finne i enkelte eldre eksamenssett til examen artium. For a finne ut om en elev er dyktig er det ikke nødvendig med så mange «nøtter». Dersom en reduserer noe pa omfanget av vanskelige problemer, kan en til gjen­ gjeld få prøvd eleven på flere områder. Den holdningen vi her har gitt uttrykk for, mener vi har gyldighet for begge skoleslag. Oppgavene i et oppgavesett bør være ordnet etter stigende vanskelighetsgrad. Settet bør bestå av sakalte graderte oppgaver. Ofte far en en passende stigning i en oppgave ved å gi «mellomfasit», det vil si at en midt inne i en oppgave eller i begynnelsen av oppgaven gir svaret. Da kan eleven gå videre i oppgaven selv om han ikke greier å finne fram til det rette «mellomsvaret» selv. Det vi har sagt om konstruksjon av heldagsprøver, gjelder stort sett også de korte prøvene, bare en tar hensyn til de tidligere bemerkningene om slike prøver: De må være rettet inn både mot den aktuelle undervisningen og mot repetisjon.

11.5

Retting og evaluering

Rettingen av de skriftlige arbeidene (prøvene) bør skje så fort som mulig. Alt tyder på at gjennomgåelsen da blir mer effektiv.

Det er alminnelig anerkjent at en retting som bare består av R (for riktig) og G (for galt) har forholdsvis liten verdi. En bør gå så grundig gjennom alt sammen at en finner fram til hvor feilen oppstod. Dette punktet er vanligvis det viktigste å oppdage, men en skal ikke utelukke at det lenger ned i regningene kan forekomme feil som en bør gi elevene et vink om. Det vil alltid være spørsmål om hvor mye en lærer skal gjøre ut av rettearbeidet, og hvor omfattende kommentarene skal være. Det sier seg nesten selv at med den rettebyrden en lærer vanligvis har, er det neppe mulig å gjennomføre lange og omfattende kommentarer. En bør venne seg til å bruke knappe formuleringer som direkte peker på det vesentlige. Det kan være formuleringer av typen: «Bruk kvadratsetningen riktig!», «Hva er betingelsen for ekstremalpunkt?», «NB! Husk at høyden står vinkelrett på grunnlinja!» osv.

Noen ganger vil det falle naturlig at en gir seg tid til mer omfattende forklaringer. De bør ikke være slik at læreren gir hele sammenhengen, men heller formulerer seg slik at eleven ved hjelp av læreboka og egeninnsats finner fram til det korrekte. Eksempel: «Bruk den utvidete pytagoreiske setningen på A ABC!» Vis gjerne til de sidene i læreboka der eleven kan fa ytterligere hjelp.

204

Endelig skal vi gjøre oppmerksom pa en unødvendighet: I rettekommentarene ma det aldri forekomme karakteristikker av negativ art som går på eleven. Karakteri­ stikker som «Dette er sludder, tull, idioti» osv. har ingen verdi for eleven. Det må være bedre å fortelle hvorfor det er sludder enn at det er sludder. Inspirerende er heller ikke slike kommentarer for eleven. Det ville være en langt større pedagogisk seier for læreren dersom hun med rimelige motivasjonsmidler kunne få eleven til å bruke sine evner maksimalt. Når det gjelder de positive karakteristikkene, forholder det seg selvsagt annerledes. Slike skal brukes, men med en viss beherskelse. Går det inflasjon i «hyggelige» karakteristikker, blir de etter hvert bare tomme fraser for elevene, og de mister den verdien de kan ha. En elev som sliter og gjør så godt han kan, men likevel ikke lykkes, trenger en oppmuntring, så å si en «dytt i ryggen», for i det hele tatt å kunne leve med de krav som dessverre overgår hans evner. Den flinke trenger også sine opp­ muntringer for å bli inspirert til ny innsats. Kommentarer som «elegant, flott» osv. hører absolutt hjemme. Ofte bør disse elevene bli oppmuntret på tomannshånd. De vil (vanligvis) neppe like å bli skrytt opp i skyene i alles påhør.

Under rettearbeidet bør vi gjøre oss notater om det vi spesielt vil framheve. Da slipper vi å skrive samme kommentaren flere ganger. I stedet skriver vi bare «se gjennom­ gåelsen» i margen på besvarelsen. Selv om begrepet rettferdig karakter er en fiksjon, bør vi så langt vi evner gi rettferdige karakterer i den betydningen at alle besvarelser er vurdert på grunnlag av et system som elevene kan forstå. Som oftest vil det være et eller annet slags poengsystem (se nedenfor). Med øvelse går det mer eller mindre av seg selv, men en uøvd lærer bør finne fram til arbeidsmåter som sikrer alle elevene den samme bedømmelsen.

Ved større prøver bør lærerne samarbeide både når det gjelder utarbeidelse av oppgaver og av retteskjema. Dette skjemaet kan være et viktig middel til å sikre noenlunde jevn bedømmelse. I [9] har vi gjengitt et slikt skjema som noen sensorer brukte til eksamen i 3MN. Skjemaet bygger på at det maksimale poengtallet skal være 60 (se neste side). I tillegg har Rådet for videregående opplæring gitt sensorene et forslag til hvordan disse poengene skal fordeles på de enkelte oppgaver. Denne fordelingen finner en under «Max» på retteskjemaet.

Bruken av retteskjemaet er også viktig i samarbeid med elevene. Vi mener at det bør være en helt åpen bedømmelse slik at elevene vet hvordan poengene er fastsatt, og slik at hver enkelt kan se hvordan hun fikk poengene sine, og hvordan de dannet grunnlaget for karakteren.

De fleste retteskjemaer lages slik at hvert spørsmål eller gruppe av spørsmål i hver oppgave tillegges et bestemt antall poeng når spørsmålet er korrekt besvart. Så

205

justeres poengverdien nedover i samsvar med hvilke feil som er gjort i forbindelse med spørsmålet. Mange liker å sette bare ett poeng pa hvert spørsmål og sa justere med halvpoeng og kvartpoeng. fil eksamen i 3MN har en brukt et poengsystem med 60 poeng fordelt pa ca 35 spørsmål. Det betyr at enkelte spørsmål har fatt 3 poeng som maksimalt opp­ nåelig antall. I slike systemer er det ofte vanlig at «nøttene» far høyt poengtall, men vi nøler ikke med en liten advarsel. De vanskelige spørsmålene er det bare de beste elevene som klarer, og de «trenger» ikke innkassere for eksempel 3 poeng pa et spørsmål. Etter var oppfatning bør 3 poeng (dersom et spørsmål skal ha så høyt poengtall) legges til spørsmål som en mener skiller godt mellom to karakterer. En annen tanke er å gi ekstrapoeng for å knekke en «nøtt» i stedet for å gi en form for «straff» for ikke a klare den. Videre er det mange sensorer som vil at det skal gis poeng for føringen av oppgavene. Innen visse grenser er vi enige i et slikt syn. Forutsetningene må da være at vi vet hva vi mener med god føring, og at det er rimelig tid til a utføre noe slikt. Men hvordan fordeler vi så poengene etter de karakterene vi har? Med andre ord: Hvor mange poeng må en ha for å få G eller 4? Som en første rettesnor kan vi lage den lineære fordelingen. Vi kan for eksempel tenke oss at vi på en prøve i ungdomsskolen er kommet til at 30 poeng dekker hele settet. Så har vi fem karakterer fra Lg til Sg. Det blir seks poeng på hver karakter, og vi kan sette opp denne tabellen: 0— 6 7—12 13—18 19—24 25—30

poeng poeng poeng poeng poeng

gir gir gir gir gir

Lg. Ng. G. Mg. Sg.

Denne måten å fordele poengene på har den svakheten at den ikke gir rom for noen refleksjoner over sammenhengen mellom prestasjon og poeng. Det kan jo tenkes at på det oppgavesettet som fordelingen skulle brukes på, var det så mange enkle spørsmål at 7 poeng for å få Ng er altfor billig. Faglige vurderinger leder oss for eksempel til at en må ha oppnådd 10 poeng for å få Ng.

Ser vi på den andre enden av skalaen, finner vi kanskje ut at 25 poeng for å få Sg betyr at denne karakteren kan brukes på besvarelser som inneholder vesentlige mangler og feil. Et par bagatellmessige feil og mangler kan likevel tåles på en besvarelse som blir honorert med Sg. Faglige vurderinger forteller oss for eksempel at laveste poengsum for å få Sg bør være 28, samtidig som vi krever at «nøttene» i oppgavesettet må være blant de oppgavene eleven har fått til.

206

Vi har nå funnet at det er poengene fra og med 10 til og med 27 som skal dekke karakterene Ng, G og Mg. Disse atten poengene kan for eksempel deles ut med seks poeng på hver karakter, og vi får denne fordelingen:

0— 9 10—15 16—21 22—27 28—30

poeng poeng poeng poeng poeng

gir gir gir gir gir

Lg. Ng. G. Mg. Sg.

Etter at dette er gjort, retter vi en del besvarelser og ser hvordan prøven faller ut. Deretter gjør vi de nødvendige justeringene. Tabellen ovenfor viser altså ikke lenger en lineær fordeling. Hensikten med den lineære fordelingen er bare å stille opp en fordeling som vi ut fra faglige vurderinger kan gjøre om til en annen, og som viser en mer «realistisk» sammenheng mellom prestasjon og karakter.

Tilsvarende betraktninger kan vi gjøre for prøver vi har laget i den videregående skolen. I |9| har vi vist hvordan et retteskjema for 3MN kan lages. Det gir 60 poeng for «fullt hus».

Så lenge karakterene har så stor betydning som de nå har i skolene våre og for samfunnet, bør læreren bruke litt tid på å forklare hvordan hun bruker karakter­ systemet, og hvordan hun vurderer. Likeså bør hun innprente at karaktersetting langt på vei er skjønnsmessig, selv om en stiller opp kriterier for bedømmelsen. Overfor elevene bør hun dessuten trekke den konklusjon at det er vanskelig å diskutere pa noen fornuftig måte om en besvarelse skal ha 3 eller 3 + , om den skal ha Mg eller Mg-, En bør si at en aldri klager på meningsforskjeller (i karakterer) som er på mindre enn en karaktergrad. Har en lærer satt G, og eleven mener arbeidet er verd Mg. ma en ta seg tid til å forklare hvorfor arbeidet ikke står til Mg. Kan en vise til et retteskjema eller en poengfordeling som viser at en ikke har satt karakterene på måfå, vil eleven vanligvis forstå resultatet. Elevene har krav på å kjenne karaktersystemet, bade i teori og praksis. Vi viser ellers til de omfattende reglene som er gitt for karaktersetting i de ulike skoleslag, og til de offentlighetsregler som gjelder.

Hvordan vil for eksempel en elev som stort sett far dårlige karakterer, være motivert for videre arbeid med faget? Karakterene kan representere framtiden for eleven, arbeid eller ikke arbeid, yrkesutdanning eller ikke. Er matematikken sterk nok i seg selv til å motivere for videre læring, dårlige karakterer til tross?

Betraktningene vi gjør her. viser betydningen av a arbeide med den indrconotivasjonen hos eleven (se kapittel 12). Vi ma gjøre matematikkfaget så sterkt som

207

mulig i elevenes bevissthet, slik at karakterene ikke blir den eneste drivkraften for læring. Det er i det store og hele arbeidet mot et slikt mål fagmetodikken dreier seg om. Stieg Mellin-Olsen har tidligere i denne boka drøftet problematikken ut fra prinsipper og begreper som «eiendom til kunnskaper», «kunnskaper som gjør elevene sterke», «funksjonelle kunnskaper», «instrumentelle kunnskaper» (49). Karaktersetting innebærer en del fristelser for læreren. Vi må generelt advare mot at en gir gode karakterer for å styrke populariteten. Likeså må vi advare mot «psykologiske karakterer», det vil si karakterer som er for gode, men som læreren i beste mening gir enkelte elever for å oppmuntre dem. Da det vanligvis er veldig lett å sammenlikne matematikkbesvarelser, vil elevene fort oppdage slike «gavekarakterer». Dette må ikke tolkes dit hen at «psykologiske karakterer» ikke skal forekomme. Mener en at eleven trenger en oppmuntring, bør en lete opp de gullkorn som gjør det rimelig å sette et pluss på karakteren.

11.6

Gjennomgåelse av prøver. Etterarbeid

Generelt sett ville det være ønskelig om oppgavene kunne gjennomgås i detalj. På dette punktet er det klart at læreren må resignere. En rimelig regel vil være at oppgaver som tas fra ferskt stoff, bør gjennomgås i detalj. Når det gjelder oppga­ ver som tas fra gammelt stoff, og der elevene fra før av har (eller skal ha) forbilder for føring av oppgavene, må læreren kunne ta seg den frihet å skissere løsningen. På grunnlag av hvordan disse oppgavene har falt ut, må hun ha tenkt gjennom hvilke punkter hun vil legge vekt på. Dessuten må hun selvfølgelig gi klassen anledning til å spørre om det som fremdeles måtte være uklart.

Metodisk sett er det viktig at klassen blir trukket inn i arbeidet under gjennomgåel­ sen. En kan gjerne bruke elever til å skrive på tavla under gjennomgåelsen, men vær oppmerksom på at de arbeider saktere enn læreren, slik at gjennomgåelsen nok vil ta lengre tid. Til tross for dette er det viktig å slippe elevene til ved gjennomgåelsen. En bør også her arbeide med å lære dem opp til å gi klart uttrykk for sine tanker og løsningsmåter når de er ved tavla. Altfor ofte ser en tause elever som omhyggelig skjuler hva de skriver på tavla. Men det vesentlige er selvsagt å diskutere problemene i prøven med klassen, få elevene til å ytre seg om på hvilke punkter de følte seg usikre.

Da elevene under en slik gjennomgåelse trolig er maksimalt motivert for å arbeide med problemene, bør læreren benytte anledningen til sma, raske repetisjoner innenfor de muligheter som oppgaven gir anledning til. Hvis det er elever som har funnet elegante løsninger som ligger utenfor allfarvei, bør de få sjanse til å demonstrere løsningen sin. Dette bør likevel skje etter at «hovedmetoden», den

208

slagne landevei, er gjennomgått. For middels gode elever og svake elever er det bare frustrerende å få se det elegante først. Vanligvis vil slike elever fatte større interesse for det elegante når de føler seg trygge på at det finnes mer «håndverks­ messige» veier. Bade korte prøver og heldagsprøver gir læreren verdifull informasjon om det arbeidet hun selv har nedlagt, og om det standpunkt elevene har nadd. For a fa mest mulig ut av dette er det viktig at læreren bruker litt tid til å tenke pa hvilke undervisningsmessige konsekvenser prøven bør fa. Prøven kan gi verdifulle tips om hva hun ma repetere, og hva hun kan anse for innlært, og som bare skal holdes ved like. Viktig er det ogsa at læreren i sine funderinger spør klassen. Nar en prøve er holdt, vet den enkelte elev noe mer om hvor hun star. Na er hun ikke bare meningsberettiget, hun kan ogsa på en saklig mate gi uttrykk for hvilken vekt enkelte emner bør fa i undervisningen i den nærmeste framtid.

Mange lærere bruker mye tid på å kontrollere elevenes rettelser. Om dette er vel anvendt tid, vet vi selvfølgelig lite eller ingenting om. Følgende ordning er trolig enklere og mer funksjonell: En diskuterer hensikten med å utføre rettelsene med elevene. Her bør hovedargumentet være at elevene bør samle på regnebøkene sine slik at når de skal forberede seg til en prøve, kan det blant annet skje ved å gå gjennom «gamle» oppgaver. Rettelsene gjøres av hensyn til repetisjonsarbeidet, og det blir elevenes arbeids- og ansvarsområde. Læreren kan nøye seg med å registrere at rettelsene er utført i et omfang som eleven selv finner nødvendig. Skal denne holdningen fra lærerens side være effektiv, ma hun fra tid til annen minne elevene på at en aldri går uforberedt til en prøve, og at den enkleste måten å forberede seg på er å regne «gamle» oppgaver. Å regne nye oppgaver som en ikke får til, har liten hensikt. Men for at elevene skal innse det hele, må læreren gi oppgaver som gjør det klart for elevene at de burde ha fulgt hennes råd. Til etterarbeidet hører det også å måtte takle visse feil som læreren har gjort. En av de vesentligste feil er at hun kan ha bedømt en besvarelse galt. Innrøm da det med en gang, og rett karakteren med en hyggelig bemerkning. Gi eleven følelsen av at du som lærer er takknemlig for å ha blitt korrigert. En annen vesentlig feil er at hun kan ha laget en uheldig prøve.

Når det gjelder prøver som faller uheldig ut, må en først og fremst spørre seg selv om det er klassen som er så svak at det dårlige resultatet heller er et adekvat uttrykk for nivået. I tilfeller der en tror dette, bør en ha diskutert hele prøven med en kollega og gjerne sammenliknet klassen med en parallellklasse.

Kommer en til det resultatet at oppgavene var for vanskelige, eller at en har gitt for mange oppgaver, har en flere utveier. En kan la være å gi karakterer, en løsning

209

elevene setter svært stor pris pa. En kan være mild i karakterene, noe som egentlig betyr at en kutter ut en del av oppgavesettet, nemlig den delen som elevene stort sett ikke har klart eller fatt tid til a gjøre. Dette er ogsa en mate som faller i elevenes smak, nar en bare tar hensyn til de elevene som har gjort mer enn ventet, og dem som har gjort en innsats pa delvis andre omrader enn den delen av oppgavesettet en legger til grunn for bedømmelsen. Vær oppmerksom pa at elevene sjelden bifaller at en gir karakterer etter det de har prestert, for deretter a love a la prøven telle lite ved karakteroppgjøret. Elevene vil vanligvis bare føle seg snytt, og de har heller ikke noen mulighet til a kontrollere vektleggingen av denne prøven ved karakteroppgjøret. Andre løsninger kan sik­ kert ogsa komme pa tale, men det viktigste er at en innenfor rimelige grenser velger en løsning som elevene ogsa er fornøyd med. A ødelegge det gode samar­ beidet mellom elev og lærer for en uheldig prøves skyld, ma bare frarades.

11.7

Eksamen

Eksamen er en viktig rammefaktor som er bestemmende for undervisningen. I kapitlet om mål (kapittel 2) så vi at en la vekt på hva eleven måtte kunne for å klare seg i samfunnet. Men til eksamen er det omvendte tilfellet: Det er spørsmål om hva samfunnet ønsker fra elevene, og det gjelder ikke bare faglig innhold. Skolen har også en sorterende rolle. Den er med på å sile ut elevene for ulike typer arbeid og videre utdanning.

Denne oppgaven ser vi avspeilt i oppbygningen av mange karaktersystemer. Det er ofte slik at det på forhånd er fastsatt hvor stor brøkdel av elevpopulasjonen som skal ha en bestemt karakter. En har da i utgangspunktet et karaktersystem som ikke gir karakterer etter fagkunnskaper. Systemet gir karakterer etter hvilken plass en erobrer i rekkefølgen av medelever i populasjonen. Ved innføringen av ungdomsskolen i Norge fikk vi et slikt karaktersystem. Karakterene ble gitt etter prosentsatsene 4-24-44-24-4 (Sg-Mg-G-Ng-Lg). Populasjonen var her eksamenskretsene. Reguleringen av elevenes karakterer til denne fordelingen ble utført på ulike vis: ved normerte prøver og korrigeringer til eksamen. Prinsippet ble ofte misbrukt da mange blandet sammen begrepene utvalg og populasjon. Den enkelte skole ble oppfattet som en populasjon, og ikke som et utvalg innen eksamenskretsen.

Ved fellessensuren i grunnskolen brukes prosentfordelingen, som nevnt ovenfor, til å påvirke karaktergrensene slik at en oppnår normalfordeling. Det betyr at det

210

er begrenset hva vi kan lese ut av et eksamensresultat til ungdomsskoleeksamen. I prinsippet går alle eksamener like godt. Ser vi derimot på eksamensoppgavene, oppdager vi fort at enkelte år var oppgavene lette. For eksempel har det hendt at dersom en elev klarte alle de oppgavene som bare bygde på stoff fra 7. klasse, ville hun få G. Men dette slo ikke ut i gode karakterer. Umiddelbart ser det rettferdig ut. men en skal være klar over at når oppgaveutvalget er så uheldig, er det stor sannsynlighet for at rene bagateller kan komme til å ødelegge for en god karakter. Det er egentlig greit at det er streng sensur, men oppgaveutvalget må være slik at det er en rimelig sjanse for at karakterene blir satt på grunnlag av det en kan, ikke på grunn av tilfeldigheter med for lette oppgaver.

Også den videregående skolen har en slags normalfordeling av karakterene, men her er fordelingen svært grov. Karakterene blir delt inn i tre grupper: Om lag 20 % skal ha 6 eller 5, ca 60 % skal ha 4 eller 3, og om lag 20 % skal ha 2, 1 eller 0. Gjennomsnittstall for årene 1980-84 for 3MN-kurset viser at ca 16 % fikk 6 eller 5, ca 45 % fikk 4 eller 3, og ca 39 % fikk 2. 1 eller 0. I 1988 viste den tilsvarende fordelingen at bare 9.7 % fikk 6 eller 5, mens 37,7 % fikk 4 eller 3, og hele 52,6 % (!) fikk 2, 1 eller 0 — med 10,0 % på karakteren 0. Som vi ser, har vi en skjev fordeling over mot de svake karakterene. Fordelingen 15 -45-40 har holdt seg temmelig stabil (1988 var et unntak). Den er på mange måter blitt «normalfordelingen» forkurset 3MN, og fungerer faktisk slik. Det vil si at dersom sensorene før fellessensuren har en fordeling som avviker sterkt fra den, prøver en å jenke karaktergrensene slik at normale tilstander blir gjenopprettet. Fordelen med denne fordelingen er at den er et resultat av faglige vurderinger, og ikke som i grunnskolen der vi har en prosentfordeling som støtter seg på en sannsynlighetsteoretisk ønskefordeling.

For de andre matematikkursene i den videregående skolen har vi tilsvarende fordelinger. For 2MN-kurset har vi for eksempel den omtrentlige fordelingen 14-41-45, men her har det vært enkelte store svingninger. Et interessant trekk i bildet er at prosentgruppene 41 og 45 «bytter plass» når vi ser på fordelingen for 3MN-kurset. noe som er naturlig fordi 2MN-kurset er et avsluttende kurs. De som får 0 eller 1, slutter med faget, og på landsbasis utgjør denne gruppen ca 20 %. Nar vi likevel får 40 % på 2, 1 eller 0 i 3MN-kurset, kan det bety at de faglige kravene er satt høyt nok når vi tenker pa den tiden som står til rådighet. Lærere vil være uenige om i hvilken grad prinsippet om prosentvis fordeling av karakterer nedfeller seg hos elever og lærere i klasserommet, og skaper holdninger til undervisningen hos dem. I mange tilfeller er prinsippet vanskelig å få øye på i den daglige undervisningen. Elever og lærere arbeider mot faglige mal framfor å gjøre klassen «bedre enn» andre klasser, eller den enkelte elev «bedre enn» andre elever.

211

I og med at prinsippet om prosentvis fordeling eksisterer som et overordnet prinsipp for karaktergivning, er det likevel viktig a ha et bevisst forhold til det: I hvilken grad styrer det undervisningen? Hvordan konstruerer vi for eksempel prøver, og hvordan er ars- og eksamensprøver bygd opp?

De svake skal fa noen lette oppgaver slik at de får til noe, og de flinke må ha et problem eller to som de kan «bryne seg på». Men definerer vi nå «flink» og «svak» slik at det ikke blir for mange eller for få av dem i klassen? Setter vi poengsum­ mene våre slik at vi drysser ut et akseptabelt antall av hver karakter i klassen? Sannsynligvis gjør vi det, og vi kan heller ikke gjøre det på annen måte. Men da må vi samtidig undersøke noen andre forhold: - Hvordan star oppgavene vi lager i forhold til det vi har lagt vekt på som indre motivasjon hos elevene? - Hvilken betydning har det for elevenes læring nar de vet at prøvesituasjonene, som er viktige for dem, bidrar til sortering? Det er i alle fall viktig at vi diskuterer alle disse problemene åpent med elevene, fordi det vel neppe finnes noe annet forhold ved skolen som opptar dem mer. Mange har gjort den erfaringen at jo grundigere kjennskap elevene har til evalueringsordningene, desto mer avslappet blir deres forhold til dem. Når elevene vet hvordan systemet virker, blir det også en del av deres ansvar å gjøre det best mulig innenfor systemets rammer. Så får vi håpe at det en gang skal lykkes oss å lage et evalueringssystem som kan virke mer positivt på undervisningen enn det vi har i dag.

212

12 12.1

Motivasjon

Litt generelt om motivasjon

Litt populært kan vi si at motivasjon er alle de drivkrefter som ligger bak vare handlinger. Slike drivkrefter kan være både bevisste og ubevisste, men de gjør alltid atferden vår målrettet, og i en viss utstrekning blir de årsak til våre handlin­ ger. Det generelle studiet av disse drivkreftene hører hjemme i psykologien, og her skal vi bare innledningsvis ta for oss noen momenter som direkte får konsekvenser for matematikkdidaktikken.

I matematikkdidaktikk vil ordet motivasjon ofte bli brukt litt annerledes enn ovenfor. Vi snakker om motivasjon i betydningen

- vekke interesse for noe eller

- legitimere handlinger og mål Vi kommer derfor i dette kapitlet mer til å behandle det vi kan ka\\e pwtivasjonsmidler, det vil si tiltak som er svært bevisste, og som vi ut fra egne eller andres erfaringer vet kam

vekke interesse for det vi holder på med - fange oppmerksomhet A inspirere til innsats - bevisstgjøre elevene

Slike midler gir oss likevel ingen sikkerhet for at elevene vil bli motivert. Et motivasjonsmiddel som har slått godt an i en rekke situasjoner, kan plutselig vise seg virkningsløst. Det er derfor om å gjøre at læreren kan analysere den situasjo-

213

nen han er oppe i. Da vil han temmelig sikkert bli nødt til å gå til psykologien, men også til andre vitenskaper, som for eksempel sosiologi.

Ofte knyttes motivasjonsbegrepet til et lystbegrep. Vi vil selvfølgelig at arbeidet med matematikken skal være lystbetont for våre elever, men et slikt synspunkt alene ville være en voldsom innsnevring. Det å arbeide med matematikk betyr å utføre en rekke handlinger på et faglig plan. Det er derfor like naturlig å spørre hvorfor en gjør visse matematiske handlinger som å spørre hvorfor en gjør vanlige dagligdagse hand 1 inger. På det faglige planet er dette «hvorfor» todelt. Pa den ene siden kan en spørre hvorfor en gjør de og de operasjoner (handlinger) for å få løst e* problem. På den annen side kan en spørre hvorfor en vil løse dette pro b 1 emet. 1 det første tilfellet vil det bli snakk om motiv for å velge bestemte 1 Øsningsstrategier, og sv a re tv i 1 som oftest være: ti dl i gere erfaring.

Eksempel 1 Vi skal bestemme integralet

fx3 • ex~ dr Hvis vi står i en situasjon der det ikke er noe avgjørende å få løst denne oppgaven, og vi har glemt hvordan slikt skal gjøres, ville vi ganske sikkert børste hele problemet inn under teppet og være vel fornøyde. Hvis vi derimot av en eller annen grunn må få løst oppgaven, og vi har glemt integralregningen, vil disse merkelige drivkreftene utløse tanker om hvor vi kan finne framstillinger som vil kunne hjelpe oss. Skulle vi endelig huske integralregningen, vil tankene bli styrt i retning av: Hvilke metoder har vi? Hvilke er det naturlig å forsøke med?

Svarene på slike spørsmål vil avhenge av den erfaringen en har. Erfaring er et kjernepunkt ved valg av strategier, og vi er dermed kommet inn på tanker vi har utredet i kapitlet om problemløsing.

på den annen side har vi som nevnt de problemene som møter oss når vi skal forsøke å få elevene til å interessere seg for matematikken gene re 11 og for de enkelte temaer spesielt. For mange lærere vil denne siden være den de er mest fortrolige med, og som de kanskje knytter hele motivasjonsproblemet til. Etter vår oppfatning må begge sider være med i en motivasjonstenkning. Den ene siden er utenkelig uten den andre. De to sidene står altså i et komplementært forhold til hverandre.

Før vi går over til å karakterisere motivasjonen/motivasjonsmidlene i matematikk, skal vi liste opp de motivas|onsoppgavene en matematikklærer vanligvis vil møte.

214

1 motivasjon for det å lære matematikk 2 motivasjon for å ha et bestemt område av matematikken i skolefaget matematikk 3 motivasjon for et bestemt tema 4 motivasjon for de enkelte delemner

Vi skal knytte noen kommentarer til disse punktene. I forbindelse med punkt 1 får vi spørsmålet om hva som er vitsen med matematikk. Normalt kan en spare seg bryet med å spille på de kulturelle strengene. En elev som ville forstå slikt strengespill, vil neppe spørre etter vitsen med matematikk. Det ma være ærlig å si at mange ikke vil få noe bruk for all den matematikken som står i pensum, men på det tidspunkt læringen foregår, er elevens framtidsvalg ikke alltid bestemt. S-vært mange utdanningsmuligheter forutsetter blant annet matematikk. Endelig er det en rekke situasjoner i samfunnet som forutsetter matematikk, og har vi ikke denne kunnskapen, kan vi heller ikke delta i beslutningsprosesser, kontrollere vårt forhold til medmennesker, til samfunnet,_ Men i tillegg til dette er det viktig å få fram at tenkemåten i de forskjellige fagene har mye til felles. Fordi mange av de resonnementene vi gjør i dagliglivet og i andre fag, I er blitt rendyrket i matematikken i form av slutningsskjemaer og bevisstrukturer, gir dette faget oss et viktig bidrag til det vi kan kalle felleserkjennelsen. Med «område» under punkt 2 tenker vi på de hoveddeler som matematikken deles inn i, for eksempel algebra, aritmetikk, geometri, analyse osv. Å motivere for disse områdene er ofte en vanskelig sak, men av og til ogsa lett. Det gjelder for eksempel geometri. Hvis ikke lærebøkene gjør det, ma det bli lærerens oppgave å knytte / fagets områder sammen på en slik mate at elevene oppfatter faget som en helhet, ! der et område ikke kan unnværes uten at det kan få radikale konsekvenser for et annet område. Under punkt 3_tenker_yi på temaer av typen «den deriverte», «skalarprodukt», «ekstremalverdibetraktninger» osv. Dersom læreren kan si noe som gjør at elevene vil møte stoffet med fornuftige forventninger, har hun trolig motivert sine elever. Motivasjonen ligger svært ofte i den bruksverdien (i videste forstand) temaet har, og det betyr at vi ofte vil vente med å motivere (les: legitimere) stoffet til det -faktisk motiverer seg selv. Da dette er en motivasjonssituasjon som ofte dukker opp. skal vi ta et eksempel.

Eksempel 2 Vi er kommet til avsnittet om «den deriverte». Det vanlige er at en går rett løs på problemet å bestemme likningen for tangenten i et gitt punkt på en parabel. Men hvor er dette problemet kommet fra? Fra læreboka, fra læreren! Kanskje vi heller kunne

215

begynne slik: I et firma har bedriftsøkonomen funnet at inntekten ved salg av en bestemt vare avhenger av prisen på varen, gitt ved formelen:

/(/?) = 500/? - 2p~,

p > 50

der I(p) er inntekten i tusen kroner når varen blir solgt for p kroner. Hvilken pris gir størst inntekt?

Her kan elevene komme med sine løsningsforslag, og det er grunn til å tro at grafisk framstilling vil bli brukt. Dette arbeidet bør kunne munne ut i spørsmålet om vi ikke ved ren regning kunne finne ut det vi ser av (en mer eller mindre nøyaktig) graf, nemlig at når p = 125 (kroner), vil I(p) være størst: Z(125) = 31 250, det vil si 31 250 000 kroner. Når først grafen er tegnet, kan en bruke den til a forsøke å karakterisere toppunktet, nemlig der vi har horisontal tangent. Konklusjon: Vi må utvikle en teori som setter oss i stand til å bestemme tangenter til kurver generelt og i toppunkter spesielt. Ved denne form for motivasjon har vi vist at en problemstilling som både er av matematisk og praktisk art, krever en ny matematikkunnskap. Det er ikke nødven­ dig at den er praktisk; det vesentlige er at vi leder elevene gjennom en situasjon som ender opp i et problem der det er klart at ny kunnskap må utvikles. Elevene vil forstå hvordan denne nye kunnskapen utvikles. Vi har ingen garanti for at det vil gjøre temaet «den deriverte» lystbetont for elevene. Det viktigste er at elevene ikke opplever læreren som en trollmann som rister problemstillinger og løsnings­ metoder ut av ermet.

I punkt 4 tenker vi for eksempel på delemner som «sinusproporsjonen». Har vi som innledning til området trigonometri sagt noe om at vi ønsker å lage en matematisk teori som setter oss i stand til å beregne avstander og vinkler som ikke er tilgjengelige for direkte måling (for eksempel avstanden mellom jorda og sola, mellom to fjelltopper osv.), kan vi dra nytte av det ved innledningen til sinuspro­ porsjonen. Hvordan skal vi beregne en avstand mellom to punkter når disse to sammen med et tredje punkt danner en trekant der en side og to vinkler er kjent? I kommentarene til punktene 1-4 har vi så vidt sett på de muligheter som ligger i matematikken selv når det gjelder motivasjon. Vi skal i dette kapitlet — som vi har antydet i andre kapitler (se kapittel 7 om problemløsing) — gi noen tips om Eyordan vi kan legge opp undervisningen slik at elevenes oppmerksomhet blir fanget, interessen vekkes, og de inspire;^. tit å ta fad. Elevene blir bevisstgjort.

Vi vil gjerne at elevene skal ta del i den spennende prosessen det er «å værejuaignaatiker». De skal ikke bare få kunnskaper i matematikk, men også om matematikk. Det betyr at når vi kommer til et nytt emne i faget, begynner vi ikke timen med å si at

216

«vi er kommet fram til kapittel 4. og her skal vi gjennomgå ... Kan dere nå tegne av den figuren jeg lager på tavla?»! Vi lager heller et problem for elevene, slik at de selv lærer å stille spørsmål til matematiske situasjoner. Debgr i hovedsak dette vi nå skal vise metoder for. Ovenfor har vi brukt både motivasjon og motivasjonsmidler som begrep. I dette kapitlet kommer vi vesentlig til å beskjeftige oss med motivasjonsmidler, og fordi vi håper at bruken av dem vil lede til eller være et av midlene til a sette de nødvendige drivkreftene i gang, vil vi også tillate oss å bruke ordet motivasjon, selv om vi ikke bruker det i den brede betydningen som psykologene gjør. Denne snevre bruken av ordet motivasjon er svært vanlig i fagdidaktisk litteratur.

12.2

Ytre og indre motivasjon Motivasjon

Ytre motivasjon

Indre motivasjon

Motivasjon kan erovt sett deles i to deler: ytre (ekstern) motivasjon og indre (intern) motivasjon. Til den ytre motivasjonen hører for eksempel sult, tørst, behov for frisk luft, søvnighet — med andre ord alle^dejenomener som kan påvirke elevens holdning til undervisningen. Jil den ytre motivasjonen hører også to faktorer en aldri må overse: eksamen/prøver og foreldre/foresatte. Den ytre moti­ vasjonen er like viktig for matematikken som for alle andre menneskelige aktivite­ ter. og vi viser derfor til psykologien for en nærmere utdypning av denne betydnin­ gen.

Nærmest som et apropos til dette vil vi nevne lærerens egen person som motivasjon for eleven til å delta med åpne sanser i matematikkundervisningen. En elev kan utmerket godt bli motivert til å arbeide med matematikken bare på grunn av læreren. Noen er spirituelle, kjent fra idrettsbanen, eller har gjort seg fordelaktig bemerket osv. Alt dette er helt utmerket, og en lærer kan gjerne spille pa slike faktorer for å motivere (det vil si anspore, oppmuntre) elevene til å arbeide med faget hans.

For alle dem som ikke har slike talenter, er likevel ikke alt hap ute. Tvert om vil rimelig arbeid med oss selv vanligvis føre til at vi kommer pa god fot med elevene. Dermed kan vi i det minste si at vår egen person ikke forårsaker at elevene vender ryggen til faget.

217

„

.4

a

Indte motivasjon vil si at eleven selv føler trang til a utføre en bestemt handling. Overført til matematikkundervisning skulle det bety at vi burde lage vare undervis­ ningsopplegg slik at alle problemer (som er den nye kunnskapen vi skal formidle) oppstar sa naturlig at elevene selv vil finne det nødvendig og ønskelig a finne en løsning. Dette er drømmen, men dessverre langt fra skolens hverdag. Forklaringen består av mange faktorer, og det å eksperimentere seg fram til velegnete motivasjonsmidler er trolig bare en av de faktorene som må tas med i betraktningen. Vi ma forsøke å.gi elevene de utfordringer de kan makte. Stoffet må derfor deles opp i forhold til det nivået elevene befinner seg på. Dermed kan vi trygt si at til oppgaven å motivere elevene hører temaer som progresjon i stoffet og differensiering av elevene. Motivasjonsproblemet kan nå fortone seg enda mer innfløkt.

De resultater motivasjonspsykologien er kommet fram til, kan være en hjelp når vi skal motivere elevene for skolearbeid, men stort sett vil vi løsrive oss og heller reise spørsmålet: Når vi først er matematikklærere, hvordan kan vi da motivere elevene for akkurat dette faget ved hjelp av faget selv? Ide neste avsnittene skal vi gi en del eksempler på hvordan dette i mange tilfeller kan skje. Fordi det da vil bli snakk om den motivasjonen som kan ligge i faget selv, vil vi kalle disse motivasjonsformene for fagrelatert motivasjon og bruke betegnel­ sen fagrelaterte motivasjonsmidler. Fagrelatert motivasjon vil_ neppe finne sted hvis ikke jplanleggingen_gjøres^å elevenes premisser. Det er selvfølgelig bare begrensete kunnskaper vi har om disse premissene, og derfor vil våre motivasjonsbestrebelser også kunne lide under denne mangelen på kunnskap. Noe vet vi likevel om elevenes premisser.

, Grovt sett faller de i to grupper: \

- elevenes egne kunnskapsbehov - de kunnskapsmessige forutsetninger skapt ved tidligere læring

Elevenes kunnskapsbehov viser seg ved at de møter matematikken med stor interesse, enten fordi de synes faget i seg selv er morsomt og interessant, eller fordi de vet at kunnskaper i matematikk er inngangsbilletten til videre utdanning. Andre kunnskapsbehov er de som kommer som en følge av opplevelser eller erfaringer fra diet praktiske liv: «Hvorfor må vi betale for 64 rekker når vi halvgarderer seks kamper på en tippekupong?», «Hvordan lager vi en rett vinkel når vi skal legge bunnstokkene i en hytte?». Til disse elevenes premisser hører vanligvis også at de ønsker å meddele slike problemer. De har altså et kunnskapsbehov, og vi må gi dem mulighet til å komme fram med det.

218

Et langt større problem er alle de elevene som tilsynelatende ikke har noe kunn­ skapsbehov i matematikk. Ikke har de noe uttalt ønske om å fortsette skolegangen, og deres daglige gjøremål byr ikke på noen «matematiske utfordringer». Disse elevene vil ikke engasjere seg i situasjoner som apenbart krever litt matematikk: «Når du kjøper to ukeblad og tre appelsiner til 7 kr per kg, hvor mye skal du da ha igjen på en hundrelapp?». Disse elevene vil akseptere det de far igjen, eventuelt diskutere vekslepengene med kioskdama på mangelfullt grunnlag.

En vanlig erfaring er at slike elever ikke gir uttrykk for noe kunnskapsbehoyy og. selv om læreren har en undervisningsform som er åpen for elevenes problemer i dagliglivet^ er det ikke sikkert at disse elevene tar slike problemer «med seg på skolen». Dette er noe av bakgrunnen for det vi skal behandle i dette kapitlet: den såkalte utenfor-matematiske motivasjonen. Så over til den andre gruppen premisser. Når vi stiller elevene overfor en utford­ ring, bringer vi samtidig deres skjemaer (se kapittel 5) ut av likevekt. Vi bringer i beste forstand inn en uvisshet i elcvens sinn. En slik uvisshet er av enkelte psykologer betraktet som en av de mest generelle motivasjonsvariabier som finnes. Opplever eleven utfordringen som relevant i forhold til så vel den kunnskapsmeng­ den han har, som til hans grunnleggende holdninger til samfunn, skole og læring, vil eleven ta imot utfordringen. Han vil akseptere at de skjemaene han har, må gjennomgå visse revisjoner: Akkommodasjonsprosessen kan begynne. Men skulle det hende at eleven ikke ser relevansen, hjelper det lite eller ingenting at den gitte informasjonen er betydningsfull. Eleven vil stille seg likegyldig overfor de problemene vi reiser, og være lite motivert for selve læringen. Men vi skal også være klar over at det å oppfatte relevansen ikke er tilstrekkelig til å bli motivert for læring. Hvis eleven innser betydningen av informasjonen og utfordringen, men føler at den er for krevende i forhold til det han kan fra før, kan det godt hende at han vil finne utveier til å unngå utfordringen, kanskje vegre seg mot den (92).

De fagrelaterte motivasjonsmidlene er særlig karakterisert ved at:

- de tar sitt utgangspunkt i elevens forkunnskaper, de skjemaer hun har til rådighet - utfordringen i det ukjente stoffet må ikke avvike, for mye fra det eleven kan - utfordringen må kunne bearbeides slik at kunnskapsutvikling kan finne sted For at de fagrelaterte motivasjonsmidlene skal fungere, må noen nødvendige betingelser være, oppfylt fra lærerens side:

219

- Eleven ma forstå, oppfatte utfordringen (se kapittel 7 om problemløsing). - Progresjonen i stoffinnholdet i motivasjonsmidlet ma være slik at midlet virker etter sin hensikt. - Læreren må tenke over om det fagrelaterte motivasjonsmidlet må framstilles med tanke pa en differensiert undervisning.

Det vil være gunstig for resten av dette kapitlet at vi allerede her gir en oversikt over innholdet i den fagrelaterte motivasjonen. I avsnittene utover skal vi gi stikkordene innhold. Motivasjon

Ytre motivasjon

Indre motivasjon

På det psykologiske plan

På det faglige plan

Fagrelatert motivasjon

Innenfor-matematisk motivasjon ved:

Utenfor-matematisk motivasjon ved:

- kontrast i framstillingen bruk utenfor matematikken _ konflikt i framstillingen ^ufullstendighet i framstillingen -overraskelse i framstillingen -bruk i nye matematiske situasjoner -delmålsoppstilling

I fortsettelsen vil vi bruke de korte skrivemåtene IM-motivasjon og UMmotivasjon for henholdsvis innenfor-matematisk og utenfor-matematisk motiva­ sjon. Vi skal nå gå i gang med å utdype hva vi legger i stikkordene ovenfor.

12.3

IM-motivasjon

De stikkordene som yi gav en oversikt over i forrige avsnitt^ må ikke betraktes som noen veldefinert kategorisering. De er først og fremst ment å være noen knagger en kan hekte forskjellige eksempler på. De eksemplene vi skal gi utover, er dels forslag til angrepsvinkler på stoff, dels forslag til hva en bør framheve i undervis­ ningen (og derigjennom benytte seg av fagrelatert motivasjon). Lista over eksem­ pler er ikke på noen måte uttømmende. Den skal først og fremst være et bidrag til å presisere våre stikkord og gi ideer til egen undervisning.

220

Kontrastmetoden V,ed denne metoden bringer vi inn eksempler som viser at en egenskap har visse begrensningen Detvil svært ofte dreie_seg_om lovmessigheter som gjelder under v i sse omstendig he te r. men ikke generelt. Eksempel 1 Både i ungdomsskolen og i den videregående skolen omtaler vi addisjon og multi­ plikasjon som kommutative regneoperasjoner. Dersom det er viktig å framheve akkurat dette, som for elevene må fortone seg som en selvfølgelighet, må vi gå inn med eksempler der ombytting av operasjonene ikke er selvsagt. I ungdomsskolen kan vi bruke sammensetning av kongruensavbildninger (se nedenfor), i videregående skole kan vi bruke sammensetning av funksjoner.

Sammensetning av speilinger er altså ikke en kommutativ operasjon.

Igjen kan vi føre inn en kontrasteffekt ved å fortelle at det finnes operasjoner i geometrien som er kommutative: Vi tar da for oss den samme trekanten og markerer

221

et hjørne med A. Vi dreier så trekanten om A, først 30°, deretter 45°. Resultatet sammenlikner vi med det vi får når vi lar en dreining på 45° etterfølges av en dreining på 30°. Vi ser at resultatene blir like. Det kan se ut til at slike betraktninger tar mye tid, men dersom læreren på forhånd har laget alle figurene på en skriftprosjektør-transparent, vil hele forestillingen bare ta noen minutter. Den etterfølgende diskusjonen kan derimot kreve tid, noe vi skal være takknemlige for. Det viser at elevene blir engasjert i stoffet - et engasjement som gir uttrykk for motivasjon. Disse eksemplene fra geometrien kan brukes som innledning til regneoperasjoner i vektorregning, der vi nettopp må diskutere hvilke lover som gjelder.

Eksempel 2 I tråd med eksempel 1 kan vi nevne at vi motiverer elevene for en rekke begreper ved å vise at de ikke har generell gyldighet. Som eksempel kan vi nevne kontinuitet. Hadde alle funksjoner vært kontinuerlige, var det unødvendig å gi funksjonene en slik karakteristikk. Fordi vi har diskontinuerlige funksjoner, må vi forklare hva som ligger i de to begrepene.

Eksempel 3 De fleste lærerne vil nok oppleve at mange elever adderer brøker slik: -- 1-- —

2

1

----

3

5

3+5

2+1

Nå skal vi motivere elevene. Først skal de innse feilen, deretter skal vi gi dem lyst til å gå løs på addisjonsregelen en gang til. Det første gjør vi ved å lage et eksempel, et slags moteksempel som har kontrasteffekt, som for eksempel

JL + J_ - 1 + 1

2 _ 1

2

4

2

2+2

2

Etter dette må vi vise hvordan vi trekker sammen slike brøker ved hjelp av regnereglene for brøker.

Konfliktmetoden Metoden går stort sett ut på at vi bearbeider et gitt problem med yle metodene vi .JiaLtil rådighet. Dette arbeidet leder oss til situasjoner der vi må_gjøre brudd på de forutsetningene som gjelder for de matematiske setninger vi kan bruke, eller ti 1 situasjoner der den matematikken vi kan, dekker situasjonen dårlig.

222

Eksempel 4 Elevene har lært å utføre x"1 : x" nar m > n Men hva hvis m = /?? Da kan x'n : x" utføres ved at vi oppfatter divisjonene som en brøk der teller og nevner er like store. Divisjonen gir altså tallet 1 som svar. Men dette enkle_ resultatet dekkes ikke av regnereglene for potenser. Regner vi over stokk og stein slik: xm : x" = xm - ”

vil det føre til at vi for m = n får symbolkombmasjonen x(l. Vi er kommet i konflikt med potensregningen. men samtidig blir vi motivert til a bestemme oss for en definisjon av x() fordi dette vil redde potensregningen. Å bringe stoffet opp i en konfliktsituasjon blir den egentlige motivasjonen for å innføre en definisjon av x°. På samme måten motiverer vi elevene til å innføre en definisjon av x ", der n er et naturlig tall. Legg merke til at slik vi går fram, får vi også en svært naturlig motivasjon for hvordan vi bør definere og x

Eksempel 5 Vi skal i dette eksemplet se på noen motivasjonsproblemer i forbindelse med innføring av negative tall (fortegnstall). Som lærere er vi klar over at det strengt tatt ikke finnes noen praktisk situasjon som tvinger oss til å innføre negative tall. Vi bør derfor overveie om disse tallene, som gjerne er oppstått i en praktisk situasjon, kan innføres gjennom en konfliktsi­ tuasjon i matematikken. Forslag: Dersom elevene kjenner til det å stille opp enkle likninger, kan vi skissere denne situasjonen for dem: Kari forteller at hun har satt inn 500 kroner på sjekkontoen sin. Etter innskuddet var saldoen 200 kroner. Hva var den opprinnelige saldoen? Denne situasjonen fører til likningen:

5 + 500 = 200 der 5 er den opprinnelige saldoen. Likningen har ingen løsning, men i dagligtale sier vi at den opprinnelige saldoen viste at kontoen var overtrukket med 300 kroner. Den matematikken vi hittil har lært, kan altså ikke brukes til å løse så enkle problemer som folk flest løser uten kunnskaper i matematikk.

223

Dersom elevene har lært lovene for å løse likninger, kan vi bruke en oppgave som denne:

Kari er i dag 30 år, og Berit er 18 år. Når var eller blir Kari dobbelt så gammel som Berit?

Denne oppgaven leder til likningen 30 + x = 2(18 + x)

Fordelen her er at svaret ikke på noen måte er opplagt. Først etter en del regning (NB! Både denne oppgaven og den første bør regnes i samlet klasse) får en likningen x + 6 = 0

Slike likninger kan altså ikke løses på vanlig måte. Vi prøver derfor med tallinja. Den ser slik ut på dette nivået: 0

12

4

3

------------------- 1------1----- 1------1-----

1----------------------------- ►

Uttrykket x + 6 = 0 betyr at vi skal starte et sted på tallinja slik at når vi går seks skritt mot høyre, havner vi i null. Da må vi begynne seks enheter til venstre for null, altså: +6

A

0

1

2

3

4

5

--------------------- 1----- 1----- 1------I—----- 1----- 1----- 1----- 1----- 1---------- ►

Punkt A betegner vi —6. Så kommer navnedannelsen og en samtale som fører til at vi kan innføre alle de negative tallene: -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Denne innføringen tar altså sikte på å utvide vår matematikkunnskap for å løse et praktisk problem. Nå kan det være gunstig å motivere mer positivt for bruken av negative tall ved å gjøre oppmerksom på at når vi først har dem. er det en rekke praktiske situasjoner som vi kan dekke med fortegnstall'. 5 dm over normal vannstand 5 kr i fortjeneste 5 varmegrader 5 kr i formue om 5 år

5 dm under normal vannstand 5 kr i tap 5 kuldegrader 5 kr i gjeld for 5 år siden

5

224

f ——I------ 1--------- 1 -4 -3 -2 -1

t— 0

i

1

i 2

i 3

i 4

5

Som avslutning vil vi bare nevne at de to likningseksemplene også motiverer til å innføre regneregler for negative tall og regneregler for fortegnstall. Men eksemp­ lene gir bare sparsomme tips om hvordan regnereglene bør være. Likningen x + 6 = 0 forteller oss at vi må ha

(-6) + 6 = 0

Men hvordan skal vi så definere regnereglene for fortegnstall? Resultatet ovenfor vil nok ikke gi elevene så mange ideer, og egentlig ligger problemstillingen litt «dypt». Hvis vi overhodet mener at det er gunstig å gå inn på dette i 7. klasse, må det være gjennom den induktive arbeidsmåte. Vi kan da multiplisere på begge sider ovenfor med ( + 2), og av dette utlede at

(+2) • (-6) = -12 Som forutsetning må vi da stille opp at den distributive loven også gjelder for fortegnstall.

Ufullstendig framstilling Ufullstendige framstillinger er noe som alltid har preget skolematematikken. Å strebe mot et matematikkopplegg som er fritt for ufullstendigheter, bunner vel i faglig forfengelighet. Med innføringen av spiralorganisert pensum kan vi si at ufullstendigheten er satt eller settes i et slags system. Den ufullstendigheten som et emne blir forlatt.i på et_trjn.n, kan danne motivasjon for å ta emnet opp igjen i neste

Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom kurven og førsteaksen. Et vilkårlig punkt P på kurven har koordinatene (5 cos t + 2,

koordinatene

(2,0).

Finn koordinatene til

S? og lengden

5 sin t) .

I SPl .

Punktet S har

Hva slags kurve er k?

Linjen m er gitt ved parameterframsti11ingen

m:

r x = 7 + s 1 [ y = - S

S £ R

Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom k og m. III

I en pyramide ABCD er grunnflaten ABC aitt ved punktene A(5,—1,1), B(7,5,5) og C( —1,5,1) . Toppunktet D har koordinatene (2,2,0). Bestem arealet av trekanten ABC.

Planet gjennom A, B og C kaller vi a . Finn likningen for a . sidekanten BD og planet a . Finn volumet av pyramiden.

Regn ut vinkelen mellom

Vi tenker oss at toppunktet D har koordinatene volumet V av pyramiden ABCD.

t - 2) . Finn et uttrykk for

Finn eventuelle ekstrema 1verdier for volumet V. ligger i samme plan for noen verdier av t.

(t

- t, - t + 4,

Undersøk om vektorene A§, Å? og AD

275

2

IV Funksjonen

a)

f er gitt ved ,, , f (x)

Finn

lim f(x) x -» - =o, --(x2-4x+3).f(x) 2

f”(x) = x=1 ** 0

v x = 3, f“(x) skifter fortegn.

2

Vendepunktet i (l^e1'5) og ^e’-5) (2)

Sra,:

(2,7,5)

/ ! \

Max

= 6 0

sjekk asymptoter

'

10?• e2= 4 4 • 1010etter 2 døgn 3

J

Sterkest økning når f”(x) =0

278

2

. (1) 111

1123

N (x)

S,ekk re,eransepunkter

(1.4,4 A(3.4,48)

a

f' ( x) > 0, dvs. x = 1 (1 døgn)

2

2

pnPNC

P0ENG

KL.:

SKOLE:

KAR.:

NR.:

MAX POENG

POENG

, Maks. verdi for funksjonen: x=-A ,

c)

N(l) = 6 0 -1096^8,0 ■ 1O10, k-

2

=0,386

3

Omv. funk. : tan x er kont

og strengt voksende 1

x = f'1(1) e * 1 = tan x **

= y

dos. f -1(1) = j-

2

Graf.: sjekk symmetri

2

b) -9— f'(x)

der t = f (x)

2

3ir

Z

COSy

c)

7" tan x dx = - Inlcos x| ♦ C

t=cosx. dx = —— 1 ‘ -sin x

2

Areal = (7 • 1 -fT tan x dx) = ?♦ In -]=. - In1 =-f- - i l n 2 =0,439 4

0

4

VZ

“

2

Z

Sum poeng KARAKTER FORS.

279

Litteraturliste

1 2

3

4

5

6

7 8 9 10 11 12 13 14

15

Alfsen, Erik: Matematikk 1MA. Kjernestoff, Aschehoug 1979. Becker, G. mfl.: Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I, Klinkhardt Verlag 1979. Bjørk, Johansson, Kristensen: Problemløsning med datamaskin, Tanum-Norli 1983. Brekke, Gard: «Eit kort samandrag av ei rekneundersøking i ein kommune i Telemark» i rapporten Søkelys på matematikken i ungdomsskolen, Grunnsko­ lerådet 1983. Bruner, Jerome S.: Bidrag til en undervisningsteori, Gyldendals Pædagogiske Bibliotek, København 1972. Christiansen. Bent: Mål og midler i den elementære Matematikkundervisning, Munksgaard Forlag, København 1967. Finnes i norsk utgave på Dreyers For­ lag. Christiansen, Lichtenberg: Matematik 65, Munksgaard Forlag, København 1965. Claesson, P. (red.): Matematikåmnet i skolan. Lårobok i matematikåmnets metodik, Liber 1979. Finnes i forkortet norsk utgave på Fabritius Forlag 1981. Dorfler, W. (red.): Anwendungsorientierte Mathematik in der Sekundarstufe 11, Verlag Johannes Heyn, Klagenfurt 1976. af Ekenstam, Greger: «Problemldsningsformåga i matematik hos 12-13åringar» i Rapport nr 74/1982, Universitetet i Linkøping. Erstad, Bjørnsgård: Matematikk 1MA. Kjernestoff, Aschehoug 1984. Forfang, Ommundsen, Solvang: Tall og tegn. Differensiert oppgavesamling i 7. klasse, NKI-forlaget 1977. Forfang, Ommundsen, Solvang: Tall og tegn. Elevbok 8b, NKI-forlaget 1977. Forfang, Ommundsen, Solvang: Tall og tegn. Elevbok 7a med differensiert oppgavesamling, NKI-forlaget 1979. Forfang, Ommundsen, Solvang: Tall og tegn. Elevbok 7b med differensiert oppgavesamling, NKI-forlaget 1979.

281

16 Forsøksrådet for skoleverket: Skolen i 70-årene. 17 Freudenthal, Hans: «Hovedproblemer for matematikkundervisningen» i Normat, årg. 29, hefte 2/1981. 18 Furth. Hans G.: Piaget for teachers, Prentice-Hall, Inc. 1970. 19 Garmannslund, Kari: Kan ikke jenter regne?, Gyldendal Norsk Forlag 1983. 20 Gjone, Gunnar: Moderne matematikk. Internasjonale reformbestrebelser og nasjonalt læreplanarbeid, Oslo 1983. 21 Glatfeld, M. (red.): Anwendungsprobleme in Mathematikunterricht der Sekundarstufe I, Vieweg & Sohn 1983. 22 Grunnskolerådet: Matematikk i utakt med tidens krav . . . ?, Matematikkonferansen i Oslo 28.2-1.3.1983. 23 Gundem. Bjørg: Skolens oppgave og innhold. En studiebok i didaktikk, Uni­ versitetsforlaget 1983. 24 Gyldendals Pædagogiske Bibliotek: Artikler til undervisningslære nr. 2, København. 25 Hammervoll, Melbye: «Regneferdighetsundersøkelsen i Østfold». Delrapport I i Skrifter 1980:5, Halden lærerhøgskole. Delrapport II i Skrifter 1981:3, Halden lærerhøgskole. 26 Hammervoll. Jahr: «Hva skal en ta hensyn til i framtida når en skal forandre læreplanen i matematikk for grunnskolen?» i Symbol nr 2/1983. 27 Hanneborg, Solvang: Innføring i planlegging av matematikkundervisning, Skrifter fra matematikkseksjonen ved Pedagogisk seminar i Oslo 1984. 28 Holm. Marit: Lommeregner som pedagogisk hjelpemiddel i grunnskolen, hovedoppgave til 3. avdeling ved Statens spesiallærerhøgskole 1982. 29 Holme. F. mfl.: Sigma. Matematikk for den videregående skole, grunnbok 1, NKS/Gyldendal Norsk Forlag 1977. 30 Hundeide, Karsten: Piaget i skolen, Cappelens Almabøker, Cappelen Forlag 1973. 31 Hundeide. Karsten: Piaget i kritisk lys, Cappelens Almabøker, Cappelen Forlag 1977. 32 Illeris, Knud: Problemorientering og deltagerstyring. Oplæg til alternativ didaktik, Munksgaard Forlag, København 1976. 33 Imsen, Gunn: Noen betraktninger og konklusjoner fra rapporten Søkelys på matematikken i ungdomsskolen, Grunnskolerådet 1983. 34 Jernquist, Sigrun: Utviklingstendenser i matematikkprestasjoner på ungdoms­ trinnet i tidsrommet 1973-81. Pedagogisk Forskningsinstitutt 1982. 35 Jernquist, Sigrun: «Utviklingstendenser i matematikkprestasjoner på 7., 8. og 9. klassetrinn» i Matematikk i utakt med tidens krav . . . ?, Grunnskolerådet 1983. 36 Johansson, Solvang, Ytrehus: Matematikk for reallinjen. Algebra og funksjonslære 3, Cappelen Forlag 1970. 37 Johansson, Solvang, Ytrehus: Algebra og funksjonslære for annen klasse, M5, Cappelen Forlag 1974.

282

38 Kline, M. mfl.: Kan Liv lære å regne? Søkelys på skolematematikken, Fabritius Forlag 1981. 39 Lakatos, Imre: Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery, Cambridge University Press 1979. 40 Land, Frank: The Language of Mathematics, John Murray, London 1975. 41 Lenz, Nilsen: Lagos 2MN, NKI-forlaget 1980. 42 Lesh, Richard: «Applied Mathematical Problem Solving» i Educational Studies in Mathematics, vol. 12, no. 211981. 43 LMFK: Mødebok for den 10. kongress, Odense 29.7-1.8.1978. 44 LMFK: Kongressberetning, Odense 29.7-1.8.1978. 45 Læreplan for den videregående skole. Del 1-4, Gyldendal Norsk Forlag 1976. 46 Matematikkseksjonen ved Bergen lærerhøgskole: Rapport fra Fagdidaktisk verksted om lærebøker i matematikk, 13.8-17.8.1979. Mellin-Olsen, Stieg: «Kritikk av alternativ 2 i Mønsterplanen» i Norsk skole­ 47 blad nr 28/1972. 48 Mellin-Olsen, Stieg: Læring som sosial prosess, Fakkelbok, Gyldendal Norsk Forlag 1977. 49 Mellin-Olsen, Stieg: «Instrumentalism as an Educational Concept» i Educatio­ nal Studies in Mathematics, vol. 12, no. 3/1981. 50 Mellin-Olsen, Stieg: «Problemstillinger. Om å lære fra tekst» i Rapport fra Lærebokkonferansen 3.-6. august 198', Matematikkseksjonen ved Bergen lærerhøgskole, Caspar forlag. 51 Mellin-Olsen, Stieg: Eleven, matematikken og samfunnet, NKI-forlaget 1984. 52 Moses, Stanley: The Art of Problem Solving, Transworld Publishers Ltd. 1974. 53 Miinzinger, W. (red.): Projektorientierter Mathematikunterricht, Urban & Schwarzenberg, Miinchen 1977. 54 Mønsterplan for grunnskolen, Aschehoug 1974. 55 NCTM (National Council of Teachers of Mathematics): Problem Solving in Mathematics, Yearbook 1980. 56 NCTM: An Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980s. 57 NCTM: Mathematics for the Middle Grades (5-9), Yearbook 1982. 58 NCTM: The Agenda in Action, Yearbook 1983. 59 Newell, Simon: Human Problem Solving, Prentice-Hall 1972. 60 Nilsen, Ommundsen: Lommekalkulator i matematikk og mekanikk, NKIforlaget 1977. 61 Niss, Mogens: «Problemorientert Projektarbeid» i Tre essays om matematikk­ undervisning, tekst nr 4, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter 1978. 62 Niss, Mogens: Projektundervisning i matematikk - teori og erfaring (stensil). Pedagogisk seminar i Oslo 1982. 63 Nordisk udredningsserie, 1967:9: Rapport fra Den nordiske komiteen for modernisering av matematikkundervisningen, Stockholm 1967. 64 Norsk Lektorlag: Gymnaset i søkelyset 11, Cappelen Forlag 1964.

283

65 NOU 1973:33: Matematikk i grunnskolen. 66 Ommundsen, Solvang: Matematikk for den videregående skole Grunnbok. 2MN, Cappelen Forlag 1979. 67 Ommundsen, Solvang: Matematikk og samfunn 1MA, Cappelen Forlag 1983. 68 Ommundsen, Solvang: Matematikk og samfunn 1MA. Oppgavesamling, Cap­ pelen Forlag 1983. 69 Ommundsen, Solvang: Matematikk for den videregående skole, 2MS, Cappe­ len Forlag 1983. 70 Ommundsen, Solvang: Matematikk for den videregående skole, 3MS, Cappelen Forlag 1986. 71 Pedersen, Bernt: Lommeregneren i ungdomsskolen, Gyldendal Norsk Forlag 1981. 72 Piaget, Jean: Psykologi og pædagogik, Reitzels Forlag, København 1969. 73 Piaget, Jean: Die Entwicklung des Erkennens I. Das mathematische Denken, Klett Verlag, Stuttgart 1972. 74 Piaget-kritikk i Norsk Pedagogisk Tidsskrift nr 2/1977. 75 Polya, George: How to solve it, Doubleday Anchor Books 1957. 76 Ragsdale, Ronald G.: Datamaskiner i skolen. Retningslinjer for planlegging, Cappelens Dataserie, Cappelen Forlag 1983. 77 Ruge, Hermann: «15 år med EDB i skolen». Artikkel i Lærerstudenten, nr. 1, 1984. 78 Rådet for videregående opplæring: Rundskriv nr 47/1984. 79 Raaheim, Kjell: Opplevelse, erfaring og intelligens, Universitetsforlaget 1969. 80 Raaheim, Kjell: Problem Solving and Intelligence, Universitetsforlaget 1974. 81 Sandvold, Øgrim: Matematikk for den videregående skolen. Kjernestoff, 1MA, Gyldendal Norsk Forlag 1982. 82 Sandvold, Øgrim: Matematikk for den videregående skolen, 2MN, Gyldendal Norsk Forlag 1984. 83 Sandvold, Øgrim: Matematikk for den videregående skolen, 2MS, Gyldendal Norsk Forlag 1984. 84 Skemp. Richard R.: The Psychology of Learning Mathematics, Penguin Books 1971. 85 Skoldverstyrelsen: Låroplan for grundskolan, Liber 1980. 86 Solvang, Ragnar: Algebra for 7. klasse. Forsøkstekst i moderne matematikk. Forsøksrådet for skoleverket 1969. 87 Solvang, Ragnar: Algebra og geometri for 8. klasse. Forsøkstekst i moderne matematikk, Forsøksrådet for skoleverket 1970. 88 Solvang, Mellin-Olsen: Matematikk fagmetodikk, NKI-forlaget 1980. 89 Staupe, Wibe (red.): Matematikk!databehandling. Debattskrift om reform av skolematematikkens innhold, Cappelen Forlag 1982. 90 Steiner, Hans-Georg (red.): Didaktik der Mathematik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978.

284

91 92 93 94

95 96

Stowasser, Breiteig: «Problemorientert undervisning med eksempler fra rekursjon» i Normat, hefte 2/1979. Svartdal, Olav: Kommunikasjon og forståelse av atferd, Tanum-Norli 1982. Ulin, Bengt: Att finna et spår, Robygge Bokhandel. Jarna 1983. Wittmann. Erich: «Mutter»-Strategien der Heuristikk, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978. Wittmann, Erich: «Complementary Attitudes in Problem Solving» i Educatio­ nal Studies in Mathematics, vol. 4, no. 2/1971. Wittmann, Erich: Grundfragen des Mathematikumerrichts, 6. opplag, Vieweg

& Sohn 1983. 97 World Yearbook of Education 1982/83: Computers and Education, Kogan Page, London 1983. 98 Zech, Friedrich: Grundkurs Mathematikdidaktik, Beltz Verlag 1977.

Tillegg til 2. utgave 1992 101 Baune. Øyvind: Vitenskap og metode, Oslo 1989. 102 Bjdrkqvist, Ole: Social konstruktivism — ny-gammalt i matematikdidaktiken,

Åbo Akademi 1990. 103 Føllesdal, D., Walløe, L., Elster. J.: Argumentasjonsteori, språk og viten­ skapsfilosofi, Universitetsforlaget 1990. 104 Innstilling om matematikk og datateknologi, RVO 1987. 105 Kilpatrick, Jeremy: What constructivism might be in mathematics education. Proceeding of the 11. International Conference on the Psychology of Mathe­

matics Education, Montreal, Vol. 1, 1987. 106 Lerman, Stephen: Constructivism, Mathematics and Mathematics Education. Educational Studies in Mathematics, Vol. 20, No. 2, p. 211-223. 107 Mellin-Olsen, Stieg: Kunnskapsformidling, Caspar Forlag 1989. 108 Mønsterplan for grunnskolen 1987, Aschehoug 1987. 109 Ommundsen, Solvang: Matematikk for den videregående skolen. Grunnbok 3MS, Cappelen Forlag 1980. 110 Ongstad. Sigmund: Differensiert morsmålsundervisning. Artikkel i Differen­ siering i teori og praksis, redigert av Sigmund Ongstad og Alfred Oftedal Telhaug, i Forsøk og reform, nr. 34, Tanum-Norli 1979. 111 Reform av videregående skolematematikk, RVO 1987. 112 Sjøberg, Svein: Naturfagenes didaktikk, Gyldendal 1990. 113 Veiledende årsplaner i matematikk, Aschehoug 1987. 114 Ålvik, Trond (red.): M-87. En brukerveiledning, Universitetsforlaget 1987.

285

Stikkordregister

A

B

akkommodasjon 79, 80, 82, 87, 103, 143. 144, 149,156 akkommodasjonskonflikt 83, 87 akkommodasjonsprosess 80,81,82, 94. 142, 144,219 aksiomatisk fase 109, 131 aksiomatisk-deduktiv metode 123 aktivisering 163 Alfsen. Erik 24 Alfsen. Knut 24 algoritme 10, 134, 135, 136. 144. 241,246 algoritmeforståelse 240 antimotivasjon 238 arbeide baklengs 140, 153. 154 arbeidsmetode 47 arbeidsmåte 47. 48. 49, 107, 122, 123, 167 arbeidsmåte, deduktiv 108, 123 arbeidsmåte, induktiv 68, 108. 109, 114, 120. 122, 139, 187, 188 arbeidsmåte, intuitiv 121 assimilasjon 78, 79, 80, 83, 87, 103, 143, 144. 156 assimilasjonsprosess 81.82,145 avbildning 11 avledet mål 21

«back to basics» 14 begrepsanalyse 102 beslutning 44 bevis 123, 128, 139 bevisføring 127 bevisst forskjellsbehandling 181 billedlig framstilling 167 billedplan 169 Bjdrkqvist. Ole 105 Brekke, Gard 265 bruksorientert matematikk 28,31.33,255 bruksorientert matematikkundervisning 17,71. 249,250,253 Brun, Viggo 134 Bruner, Jerome S. 166

C Choquet, Gustave 131 Christiansen. Bent 24, 108 computer 245

D databehandling 244 datalære 26 datamaskin 239, 244. 245

287

datastøttet læring 62, 247 deduktiv arbeidsmåte 108,123 deduktiv fase 109. 123 deduktiv metode 49. 123 deduktiv metode ved bevisføring 127 deduktiv metode ved utledning 129 delingstime 184 delmål 21. 229, 231 delproblem 137, 149, 151. 153, 154. 159,229 delstruktur 78 deltakerstyring 154 Den nordiske komiteen for modernisering av matematikkundervisningen 10, 24, 39. 131, 232 diagnostisk prøve 164,199,202 didaktikk, matematikk- 41 differensiering 13,49,51,63, 146, 163, 164, 181, 182, 184, 188, 190, 195, 218,253 differensiering, faglig 127, 186 differensiering, metodisk 186 differensiering, nivå- 191,270 differensiering, organisatorisk 182, 186, 195, 196,273 differensiering, pedagogisk 182, 195, 274 differensiering, tempo- 284 differensieringsbehov 182, 187, 190, 195, 196 differensieringseffekt 189 differensieringsformer 182, 189, 191 differensieringsmetode 29 differensieringsmiddel 165, 191 differensieringsmodell 13 differensieringsproblem 61, 80, 99, 102, 168. 182, 188 differensieringstiltak 184 differensiert undervisning 66, 219. 247 drilloppgave 201, 202 drillprøver 201 DSL 247

E edb 244 eksisterende skjema 79, 80 eksperimentering 139,153,154,246 ekstern motivasjon 217 ekte gruppearbeid 64

288

ekvilibrasjon 83 enkelt-sammensatt 49, 169 erfaringsinnsamlende fase 109 erfaringssetning 124 evaluering 198, 199, 204

F faglig differensiering 127.186 fagrelatert motivasjon 60. 218 fagrelatert motivasjonsmiddel 218 familiært undervisningsopplegg 84 fellessensur 208, 210. 211 ferdighetsoppgave 202 figurativ kunnskap 89,90,91,94. 95. 96. 99, 100, 169 folkematematikk 174, 179 forklarende modell 240 Formo-Berntsen. Håkon 180 fornuftsgrunnlag for læring 173, 175 forsterkning, motivasjon ved 228 forståelse 76, 77, 80, 173 forståelse, instrumentell 52, 96, 97, 98, 99, 100 forståelseskategori 96 forståelsestyper 77, 84 Forsøksrådet for skoleverket 10,61,181 «forward to basics» 14 Freudenthal, Hans 14 funksjonsmaskin 243

G Garmannslund, Kari 18 generelle mål 44 genese 83 gjennomsnittlig forandring 254 Gjone, Gunnar 11,271 gradert oppgave 67, 164, 192,203 gradert oppgaveopplegg 63 grafisk eksperimentering 246 grunnleggende ferdighet 26 gruppe, heterogen 66.68, 191 gruppe, homogen 66, 68, 191, 192 gruppearbeid 46, 48, 51, 63, 64, 67, 151, 190, 192 gruppearbeid, ekte 64 gruppearbeid, induktivt 68 gruppearbeid, uekte 64, 66, 192 gruppesammensetning 61,63,64 gruppeundervisning 48, 69 «guided discovery» 57

H

J

Hammervoll. Tor 14. 39 handling 87. 89. 91. 102, 136. 188.214 handlingsplan 165, 169 heldagsprøve 199.201,202,209 helhetsforståelse 91,92,94,95.96 Hermansen, Randi 179 heterogen gruppe 66,68, 191 heuristikk 55, 133, 134 heuristisk metode 48. 55. 56, 58, 59. 60, 64. 140 hjelpemidler i matematikkundervisningen 239 hjemmeregning 54. 199, 200. 202 Hoém. Anton 180 Holm, Marit 15, 241 homogen gruppe 66.68. 191, 192 hovedkriterium 28 Hundeide. Karsten 78

Jahr, Einar 39 jenter og matematikk 8 Jernquist. Sigrun 13

I ikonisering 165 IM-motivasjon 220 Imsen, Gunn 15 IMU-prosjekt 61 individualisering 61. 163 individualisert undervisning 48. 51. 61.63. 69. 146, 156 indre motivasjon 207,212.218 induksjonsbevis 122, 123, 139 induktiv arbeidsmåte 68. 108. 109, 114, 120. 122. 139, 187. 188 induktiv fase 187 induktiv innføring 120 induktiv metode 46.49, 108.231,242 induktivt arbeid 165 induktivt gruppearbeid 68 induktivt opplegg 111 innenfor-matematisk motivasjon 220 inseparabel prosess 80. 145 instrumentalforståelse 52, 96. 97. 98. 99. 100 instrumentelt fornuftsgrunnlag 175. 176 intellektuell utvikling 30 intern motivasjon 217 internalisert operasjon 93 intuisjonisme 105 intuitiv arbeidsmåte 121 intuitiv metode 188 invers funksjon 244

K Kilpatrick. Jeremy 103, 105 klasseundervisning 48, 63 kognitiv psykologi 76,103 kognitiv struktur 78 konfliktmetoden 222 konkretisering 96, 163, 167, 198 konsolidering 191, 198. 200. 247 konsolideringsfase 188. 189. 191. 197, 198 konstruktivisme 103. 104, 105 kontrastmetoden 221 kontroll av standpunkt 198. 199 kontrollspørsmål 47, 54. 56. 57. 164 korte prøver 209 kreativ matematikk 134 kriterier, faglig-logiske 36 kriterier, faglige 29 kriterier for stoffutvalg 27 kriterier, kulturelle 33 kriterier, politiske 31 kriterier, psykologiske 30. 37 kriterier, ubevisste 34 kunnskap 76,77,81.82.83 kunnskap, figurativ 89,90.91.94. 95, 96, 99, 100, 169 kunnskap, operasjonell 89, 91.93, 94, 95.96.97,99, 100, 117, 190, 191 kunnskap, reversibel 92. 93, 94. 95 kunnskapsanalyse 100 kunnskapstyper 77. 84. 89 kvalifisert gjetning 110. 121. 188

L ledespørsmål 56, 59 Lerman. Stephen 105 Lesh. Richard 166, 168 likevekt 82, 83 lineær fordeling 206 lommeregner 15, 239, 240. 242. 245 lærersamarbeid 192 lærestudio 184, 185 læring 103 løsningsskjema 144, 145

289

M M-74 26 M-74, mål 267 M-87 15. 26. 27. 40 M-87, hovedemner 38 M-87, mål 269 Maier, E. 179 maksimal motivasjon 238 MAK VIS 163 matematikkdidaktikk 41 matematisk logikk 9 matematisk modell 11.179,256 matematisk valgfag 244 Mead. George Herbert 180 meddelende metode 48. 53 Melbye, Per Even 14 Mellin-Olsen, Stieg 71.76,84,96, 173, 175. 179, 180, 208, 249 mengdelære 9 mental delstruktur 78 mental struktur 78, 83 metakunnskap 76. 82, 83. 179 metalæring 177 metaplan 75, 76 metode, deduktiv 49, 123 metode, heuristisk 48, 55, 56. 58, 59, 60, 64, 140 metode, induktiv 46, 49. 108, 231.242 metode, intuitiv 188 metode, meddelende 48, 53 metode, problemorientert 49, 62, 72 metode, sokratisk 57 metodevalg 44, 45, 47, 164 metodikk 41 metodisk differensiering 186 metodisk hjelpemiddel 240 modellplan 169 moderne matematikk 10 motivasjon 45, 49, 52, 60, 160, 178, 189, 207, 213, 214, 215,216,217,218 motivasjon, ekstern 217 motivasjon, fagrelatert 60, 218 motivasjon for delmål 229 motivasjon, IM- 220 motivasjon, indre 207,212,218 motivasjon, innenfor-matematisk 220 motivasjon, intern 217 motivasjon, maksimal 238 motivasjon, optimal 238 motivasjon, UM- 232 motivasjon, utenfor-matematisk 219, 220, 229, 232

290

motivasjon ved bruksverdi 228 motivasjon ved forsterkning 228 motivasjon ved overraskelse i framstilling 227 motivasjon ved ufullstendig framstilling 225 motivasjon, ytre 217 motivasjonsmiddel 213, 214, 217, 218 motivasjonsoppgave 214 mønsterplan 10 mønsterplan 1974 26 mønsterplan 1987 15, 26, 27, 40 mål, generelle for matematikkundervisningen 220 mål for den videregående skolen 269 måltyper 21

N Newell. Allen 144 Niss, Mogens 253 nivådifferensiering 191,270 nivågruppering 183 NKMM 266 normalfordeling 210,211 normerte prøver 201

O objektplan 75 observasjonssetning 124 Ommundsen, Jan 16 omvendt funksjon 244 operasjon 78, 91, 92, 102, 214 operasjon, internalisert 93 operasjon, reversibel 92 operasjonell kunnskap 89, 91,93, 94, 95, 96, 97, 99, 100, 117, 190, 191 oppdagelsesmetode 57 oppgaveregning 164 oppsummering 54, 60 optimal motivasjon 238 organisasjonsformer 48, 49, 52, 63 organisatorisk differensiering 182, 186, 195, 196, 273 organisering av lærestoff 36

P pedagogisk differensiering 182,195, 274 Pedersen. Bjørn 25, 267 Piaget, Jean 75, 76, 78, 79, 83, 84. 89. 90, 91,93, 103 Piagets hovedtese 83

Piagets teori 143 Piene. Kay 10 planlegging av undervisningen 41 politiserende undervisning 175 Polya, George 134. 140. 141. 153, 154, 271 presisering av fagplaner 25 presisjonsnivå 50. 58 problem 134, 135, 136 problemløsing 26.49, 108, 133, 135, 136, 140. 143, 144. 145. 146. 149. 214. 216. 219. 227. 229. 231.240. 245, 246. 250 problemopplegg 154, 155, 158 problemorientert bevis 155 problemorientert matematikk 255 problemorientert matematikkundervisning 62. 133. 146, 154, 161.250 problemorientert metode 49. 62, 72 problemorientert prosjekt 72 problemorientert undervisning 151. 158 problemorientert undervisningsopplegg 156. 227. 229 progresjon 30. 49. 163, 164. 218, 274 progresjonskriterium 30 progresjonsproblem 80 progresjonstyper 182 projeksjonstegning 244 prosjektarbeid 48.63.70.71.72 prosjektorientert matematikkundervisning 70.71. 73. 133. 250 prøver, korte 209 prøver, normerte 201

R rammeplan 13. 39 rammetimetall 183 Rasmussen. Rolf 180 realitetshensyn 255 redusert induksjon 121 regneark 247 regnestav 239 relasjonsforståelse 52. 68. 69. 96. 97. 98. 99. 100 relevanskriterium 251.252 relevansparadoks 252 relevansproblem 250. 252. 253 relevansproblemet i matematikkundervisningen 249 relevansutfordring 253

repetisjon 54. 200. 202. 203 representasjonsformer 50. 167. 186. 189 representasjonsformer forkunnskap 163, 165. 169. 188 restrukturering 104. 105 rettearbeid 204 reversibel operasjon 92 reversibilitet 95 Ruge. Hermann 17 rutineoppgave 134, 135 rutineproblem 134. 161

S samarbeid 163 sammenholdt klasse 195 sannsynlighetsregning 9 sekvensiering 44 selvinstruerende stoff 192 selvinstruerende undervisningsopplegg 62 selvinstruksjon 48. 60. 61.64. 69. 192 selvregulering 82 sette sammen operasjoner 92 Simon. Herbert A. 144 Skemp, Richard R. 76 skjema 78, 79. 81.93 skjema, eksisterende 79. 80 skjemabegrepet 78. 82 skoleprøver 199. 201 skoleregning 54 skriftlig arbeid 197 sokratisk metode 57 Solbakken. Harald 25. 267 Solvang, Ragnar 16 sosialt fornuftsgrunnlag 175.176 spesielt-generelt 49. 170. 171 spiralorganisering av stoff 39 spiralorganisert pensum 225 spiralprinsippet 11 språkdannende fase 109 spørreteknikk 56 standardprogram 247 stofforganisering 38 stoffutvalg 26, 27. 245, 252 stoffutvalg, kriterium for 27 stoffutvalg, sjekkliste for 35 stoffvalg 44, 47 strategi 44. 134, 140, 153, 214 strukturmatematikk 250 symbolform 167 symbolisering 166. 188

291

symbolplan 165, 169, 189 systematiserende fase 109 systematisering 109

utenfor-matematisk motivasjon 219,220,229,232 utvalgskriterier 27

T

V

tankemessig handling 91 Telemark-undersøkelsen 14, 265 tempodifferensiering 284 transformasjoner 137, 138, 139, 153, 160 translasjonsprosess 168

variabel 11 variasjon 163 veksthastighet 254 vektorregning 9 verbalform 167 verbalisering 165, 188 verbalplan 165, 188 videregående skole, mål 269

U uekte gruppearbeid 64, 66, 192 ufamiliært undervisningsopplegg 84, 88 UM-motivasjon 232 undervisning, differensiert 66, 219, 247 undervisning, individualisert 48, 51, 61, 63, 69, 146, 156 undervisning, organisasjonsformer 48 undervisning, politiserende 175 undervisning, problemorientert 151, 158 undervisningsmetode 47,48,51,52 undervisningsmiljø 51 undervisningsopplegg, familiært 84 undervisningsopplegg, problemorientert 156, 227, 229 undervisningsopplegg, selvinstruerende 62 undervisningsopplegg, ufamiliært 84, 88 undervisningsprinsipp 47,48,49, 163

292

W Wittmann, Erich 144

Y ytre motivasjon 217

Z Zech, Friedrich 35

0 Østfold-undersøkelsen 14

Å årsaksforståelse 98