Matematika I : Kombinacije pitanja sa odgovorima [PDF]

Zitiervorschau

Kombinacije pitanja

200

MATEMATIKA I

MATEMATIKA I

Kombinacije pitanja sa odgovorima

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

0

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE TUZLA Autor: Suad Spahić

Kombinacije pitanja Definicija 3. Za niz

kažemo da je

ako je skup svih elemenata tog

niza ograničen, tj. ako postoji realan broj

I 1.

n

takav da je

za svako

n

. Ovo zapisujemo sa

Navesti aksiome skupa realnih brojeva (Definicija 1 str.45). Definicija 1

. Skup realnih brojeva, u oznaci

, je skup u kome važe

Nije ograničen ako

slijedeće aksiome: U skupu

takvo da je

.

definisana je i zatvorena operacija sabiranja, tj. bilo kom

paru elemenata

odgovara jedinstven element

;

Budući da je

* definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo

kom paru

Teorem 1.2.2. Svaki konvergentan niz je ograničen. Neka je niz ( ) konvergentan, tj. neka je lim

odgovara jedinstven element

proizvoljno, na primjer neka je članovi niza, počev od nekog indeksa

. Neka je

. Na osnovu definicije konvergencije, svi , pripadaju okolini (

), odnosno najmanja

van ove okoline se nalazi konačno mnogo članova niza. Neka je vrijednost i

najveća vrijednost od tih konačno mnogo članova koji su van

okoline. Označimo sa

Množenje je distributivno prema sabiranju:

Tada očigledno vrijedi

,

. , što predstavlja ograničenost

niza. 3.

2.

Definicija ograničenog niza i negacija ograničenosti. Teorem (sa dokazom) o vezi konvergencije i ograničenosti. (zadatak)

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

Definicija granične vrijednosti funkcije (zapis sa okolinama i sa granične vrijednosti.

Definicija. Neka je

1

tehnikom). Negacija

tačka nagomilavanja

MATEMATIKA I

U skupu

Kombinacije pitanja skupa D. Tačka kada

je

ako za svaku

funkcije f u tački

okolinu V

tačke

postoji

ili

okolina

tačke a, tako da vrijedi U tom slučaju koristimo oznaku Zapis sa okolinama i sa Neka su

i

.

okolinom.

tačka nagomilavanja skupa

. Tada

II

4.

Definicija izvoda funkcije u tački. Po definiciji odrediti izvod funkcije . Teorem o vezi neprekidnosti i diferencijabilnosti sa dokazom (Stav 1) sa odgovarajućim primjerom. Definicija 1. funkcije je u tački naziva se

1. Definisati apsolutnu vrijednost realnog broja. Navesti i dokazati Stav 1 (str. 52). Definicija. realnog broja u oznaci je preslikavanje

granična vrijednost

, je definisano pomoću:

ukoliko ona postoji, konačna ili beskonačna. Ako je

diferencijabilna funkcija u tački

, tada je ona i

ili

neprekidna u istoj tački. Iz relacije (2) slijedi

je neprekidna u tački

onda je

, tj. funkcija

Ovom definicijom smo dali tri definicije modula realnog broja.

.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

Neka su

2

, tada je

MATEMATIKA I

Drugim riječima kada je

ili

Kombinacije pitanja Ako je iz:

. Sa druge strane

, na osnovu tranzitivnosti relacije

tome je:

, slijedi

Skalarni proizvod dvaju vektora

. Prema

čije su koordinate

u ortonormiranoj bazi, jednak je zbiru proizvoda njihovih odgovarajućih kordinata, tj. ako je:

. Dokažimo sada obrnutu implikaciju, tj.

Slično se dokazuje i slučaj kada je da vrijedi relacija

. I ovdje ćemo razdvojiti

i

. Ako je

, tada je

Ako je pak

te iz

, pa slijedi

tada je

. , tj.

.

3. Ugao između dvije prave u prostoru. Uslov paralelnosti i ortogonalnosti dvije prave. Ako se ravni i sijeku tada se ugao između tih ravni

definiše kao ugao između njihovih karakterističnih

vektora koji su redom Dakle možemo pisati

2. Osobine skalarnog proizvoda. Dati oblik skalarnog proizvoda vektora zadatih koordinatno (Stav 1 str 197). , potrebno je i dovoljno da njihovi karakteristič-ni :

vektori

budu kolinearni, što je ekvivelentno uslovu

1. =

=

;

3. 4.

4. =| | ∙

∙

Definicija neprekidnosti funkcije u tački. Definicija oscilacije funkcije u tački (str.266). Veza neprekidnosti i oscilacije funkcije u tački (Stav 2). Definicija 3. Za funkciju kažemo da je u tački ako

;

5. tj., ako je

Funkcija

je neprekidna na skupu

neprekidna u svakoj tački toga skupa. U tom slučaju pišemo Fakultet Elektrotehnike | SUDO

3

.

ako je

MATEMATIKA I

2.

Kombinacije pitanja u tački

ioznačavati

*

Dakle, oscilacija funkcije je nenegativna, tj. vrije-di

str.266 Funkcija

je neprekidna u tački

U skupu

ako i samo ako je

kom paru

definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo odgovara jedinstven element

Množenje je distributivno prema sabiranju:

2.

Definicija granične vrijednosti niza, primjer. Teorem (sa dokazom) o jedinstvenosti granične vrijednosti niza. Teorem o lopovu i dva policajca (sa dokazom). (zadatak)

Definicija 2. Kažemo da je realan broj a ako

. Skup realnih brojeva, u oznaci

, je skup u kome važe

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

što

ili Teorem 1.2.1. Ako niz ima graničnu vrijednost onda je ona jedinstvena. Pretpostavimo da vrijedi

definisana je i zatvorena operacija sabiranja, tj. bilo kom

paru elemenata

−a

Gornju činjenicu zapisujemo sa

slijedeće aksiome: U skupu

takav da za svaki prirodan broj

odgovara jedinstven element

;

i

4

MATEMATIKA I

Navesti aksiome skupa realnih brojeva (Definicija 1 str.45).

Definicija 1

∈

jednostavnije zapisujemo matematičkom simbolikom sa

III 1.

∃

ili

Kombinacije pitanja Ako je

, onda postoji

takvo da

okoline oko tačaka

budu

). Na osnovu definicije 3.1. zaklučujemo

disjunktne ( dovoljno je uzeti da je

), počev od nekog indeksa

onda da su svi članovi niza (

i

,u

ali isto tako bi morali svi članovi niza počev od nekog indeksa

biti u

tačke

i od

Ako posmatramo članove niza čiji su indeksi veći i od

bi smo da se oni nalaze i u jednoj i u drugoj

5.

okolini broja , okolini

Grafik funkcije

Definicija 3. Funkcija

, zaključili

definisana na simetričnom skupu

na skupu Df , ako vrijedi

okolini, što nije u saglasnosti sa

a

je na Df ako je

disjunktnošću tih okolina. Definicija 3.1. Kažemo da niz ( okolini tačke

) konvergira ka tački

2.

Za skoro svako

Tada i niz 3.

n

i

nizovi za koje

Definicija diferencijabilnosti funkcije. Teorem o neophodnim i dovoljnim uslovima diferencijabilnosti sa dokazom (Teorem 1) . Definicija 2. Za funkciju kažemo da je ili derivabilna u

n

tački

ima graničnu vrijednost i važi

funkcije

ako ima konačnu derivaciju u toj tački.

Teorem 1. Funkcija

je diferencijalna u tački

ako i samo ako

Vrijedi

Definicija funkcije i načini zadavanja. Parnost (primjeri) i ograničenost funkcije.

Definicija 1.

ako je

4.

= A. je x_n ≤

na skupu .

Neka su =

je

ograničen skup. Drugim riječima je

nalaze skoro svi članovi niza.

Teorem 1.4.1. vrijedi 1.

Definicija 7. Realna funkcija

ako se u svakoj

gdje je

jeste granična vrijednost kada

Pretpostavimo da je

diferencijalna u tački

dakle

postoji konačna granična vrijednost.

1.

2. 3. 4.

Eksplicitni Parametarski Implicitno

Gdje

Tabelarno

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

5

kad

MATEMATIKA I

Ako postoji bilo da je konačan ili beskonačan.

Kombinacije pitanja

IV 1.

Navesti drugu grupu aksioma skupa realnih brojeva. Definisati donju među i infimum na skupu realnih brojeva. U skupu definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo kom

paru

Ako su jednačine pravih

redom:

odgovara jedinstven element Ako su:

i

fiksirane tačke na pravima

njihovi karakteristični vektori. Tada je najkraće rastojanje

a

između pravih

jednako količniku zapremine paralelopipeda konstruisanog nad vektorima

i

površine njegove osnove, tj. Definicija 3. Tačka oznaci

ako ima slijedeća svojstva:

Ili u skalarnom obliku

je minoranta skupa , tj.

Tačka ,

2° 2.

u

, tako da je:

, .

Uslov mimoilaznosti dvije prave. Izvesti formulu za najkraće rastojanje dvije mimoilazne prave 3.

Definicija infinitezimale (navesti neke primjere). Veza granične vrijednosti funkcije i infinitezimale (Teorem 13).

Definicija 7. Funkcija kada

je beskonačno mala veličina

ako je

; Teorem 13. Funkcija Ako je uslov

ispunjen prave

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

su

ima graničnu vrijednost

kada

gdje je

tačka nagomilavanja skupa D ako i samo ako se može predstaviti u obliku

.

6

MATEMATIKA I

1°

naziva se

Kombinacije pitanja gdje je

4.

.

Definicija diferencijala funkcije. Pravila diferenciranja. Primjer.

Definicija 3. u oznaci

u tački ili

V

u kojoj je funkcija diferencijabilna,

je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno

1.

promjenljive u toj tački tj.

Ako uzmemo

Šta je konjugovano-kompleksan broj? Šta je geometrijska interpretacija argumenta kompleksnog broja. Kakva je veza između argumenata kompleksnog i njemu konjugovanog kompleksnog broja

Za broj

, onda je prvi diferencijal

kažemo da je

Sabiranjem odnosno oduzimanjem

broju

.

dobijamo slijedeće jednakosti:

1.

2.

3.

Iz trougla Oxz sa slike nalazimo

gdje je

ugao naziva se argument kompleksnog broja

5.

Veza između argument k.b i njemu konjugovano k.b je

2.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

7

Nula-nizovi. Stolzova teorema sa primjerom.

Ovaj

I označavamo ga sa

MATEMATIKA I

4.

Kombinacije pitanja Definicija 4. Niz

n

za koga važi

Definicija 8. Za funkciju

, nazivamo

kažemo da je

na

konveksnom skupu K, ako za svaku konveksnu kombinaciju vrijedi

Teorem 1.4.2. Neka su dati nizovi

i

,

i neka su zadovoljeni uslovi:

1. je monotono rastući, tj

.

2.

Niz

3.

Postoji konačna ili beskonačna granična vrijednost postoji

tada

važi

4.

jednakost

Definicija lijevog i desnog izvoda i njihova veza sa diferencijabilnošću funkcije. Dati geometrijsko tumačenje nediferencijabilnosti funkcije.

Definicija. Za zadanu funkciju tački

3.

Monotonost (primjeri), ograničenost i konveksnost funkcije.

Definicija 6. Realna funkcija

kažemo da ima

ako postoji

I u tom slučaju, jednostranu derivaciju označavamo Analogno se definira i

naziva se:

u

u tački

ili pak kao

na razmaku na razmaku , ako tački jeste upravo nepoklapanje derivacija

na razmaku , ako Za svaku od ovih funkcija definiranosti ako je

u toj tački.

reći ćemo da je monotona funkcija na razmaku ; pišemo

Definicija 7. Realna funkcija

je

na skupu

ako je

Funkcija

ograničen skup. Drugim riječima je

nam .

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

8

može biti nediferencijabilna , za slučaj potrebe tj.ako uzmemo da

MATEMATIKA I

Najčešći razlog da funkcija nema derivaciju u nekoj

na razmaku

Kombinacije pitanja 2.

Ako je zadana prava čija je jednačina

VI

Navesti Moivreovu formulu. Korjenovanje kompleksnog broja.

Formula za

broja

data tačka van prave . Da bismo dobili rastojanje neka nam je fiksirana tačka na pravoj i početak njenog karakterističnog

i

* ,

vektora

kompleksnog broja

. Tada je, rastojanje , tačke

vektorima

Ako prijeđemo u trigonometrijske oblike dobijamo

intenziteta vektora

, tj

Uslov paralelnosti prave i ravni

jeste: tj.

odakle je na osnovu jednakosti k.b Uslov ortogonalnosti prave i ravni Prema tome, ako je

tada je 3.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

od

prave , jednako količniku površine paralelograma konstruisanog nad

*

i iskoristimo Moivre-ovu formula za stepen, iz *

dovedimo u tačku

9

Definicija oznaka o i O . Objasniti značenje ovih simbola.

jeste:

MATEMATIKA I

1.

Izvesti formulu za rastojanje tačke od prave. Uslov paralelnosti i ortogonalnosti prave i ravni.

Kombinacije pitanja Definicija 8. Kazaćemo da je funkcija f zanemarljivo mala u odnosu na funkciju g kada i označiti

ako postoji okolina

tačke , tako da je

beskonačno mala veličina kada Definicija 10. Ako je količnik funkcija

. i

+

gdje je gdje je

ograničena funkcija, tj. ograničena je

funkcija

Gdje je

okolina tačke , pisaćemo

dominira nad funkcijom , kada

, kažemo da su funkcije

i

i

istoga reda kada

n-ti izvod i n-ti diferencijal funkcije. Leibnitzova formula za n-ti izvod.

Indukcijom možemo uvesti i derivaciju u tački

toga reda funkcije

ti izvod funkcije

*

1.

Definisati suprotni i recipročni kompleksni broj i dati njihove oblike. Šta je imaginarna jedinica? Dati algebarski oblik kompleksnog broja i objasniti od čega se taj oblik sastoji.

Definicija 2. Gdje je Dakle tački

VII

,kao

kompleksnog broja , u oznaci

koji zadovoljava uslov:

. Jasno, funkcije

je prva derivacija funkcije

u svakoj unutrašnjoj

, za koju postoji limes *

Definicija 3.

kompleksnog broja

kompleksni broj koji zadovoljava uslov: Definicija 4. Diferencijal diferencijal

, je kompleksni broj

reda funkcije , u oznaci

jeste prvi

diferencijala funkcije , odnosno

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

10

u oznaci

je

MATEMATIKA I

4.

i reći da funkcija

Ako je istovremeno

Kombinacije pitanja Definicija 4. Kompleksan broj Imaginarna

naziva se

i označava sa

jedinica

ima ,

Svaki kompleksan broj

svojstvo gdje

je

da gore

je

navedeni

Definicija 1.

označavamo sa ta

kraće vrijednosti funkcije

ili

jednost postoji i zovemo je desnom graničnom

u tački . Ako je

0, onda se piše

Tj

možemo napisati u obliku:

Po analogiji definira se i lijeva granična vrijednost *

Što predstavlja poznati Broj

zove se

a

broja

kompleksnog broja

. Često se

piše:

2.

Nije teško zaključiti da vrijedi

Njihova veza sa graničnom vrijednosti je ako i samo ako

Teoreme o vezi limesa sa relacijom poretka. (zadatak)

Teorem 1.2.7.Nekaje

proizvoljan niz. Uspostavljanje veze limes-

relacija poretka 1.

Ako je

4. tada

za skoro

svako

Teorem o pravilima diferenciranja zbira, razlike, proizvoda i količnika dvije funkcije sa dokazom (bar jednog pravila). Primjer.

Teorem 2. Neka su

Tada ako Još više,

2.

Ako je niz konveregentan i ako je , onda je svako

onda je

,

vrijedi:

za skoro 1°

3.

MATEMATIKA I

2°

Lijeva i desna granična vrijednost funkcije i njihova veza sa graničnom vrijednosti funkcije. Primjer.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

11

Kombinacije pitanja

VIII

1.

Definisarti minor elementa i algebarski kofaktor elementa. Navesti stav o Laplaceovom razvoju determinante. Primjer.

determinante matrice

Dakle, minor proizvoljnog elementa matrice, koja je dobijena iz matrice

brisanjem

je determinanta

vrste i

Za svaku kvadratnu matricu

reda

kolone.

1.

Intenzitet vektorskog produkta brojno je jednak površini paralelograma konstruisanog vektora nad vektorima

2.

Vektorski produkt dva vektora je nula vektor ako su ti vektori kolinearni ili je bar jedan od njih nula vektor.

3.

i svako

4.

važi.

5.

Neka je A=[

] kvadratna matrica reda , tada proizvod

minor elemenata

6.

, gdje je

zovemo

elemenata

.

koordinate vektora

Ako su

u ortonormiranoj bazi

,

tada je

Definisati vektorski prizvod dva vektora. Osobine vektorskog proizvoda. Vektorski produkt vektora zadatih koordinatno. dva vektora

, koji obilježavamo sa [

1.

Čiji je intenzitet jednak | || |sin , gdje je

2.

Koji je ortogonalan na svaki od vektora

3.

Ima takav smjer da vektori

] ili

je vektor:

ugao između vektora

i

i

čine trojku vektora iste orijentacije

3.

Asimptote funkcije. (Zadatak sa kosom asimptotom.)

Definicija. Pretpostavimo da je data funkcija gdje je

neki realan broj. Prava

,

naziva se kosom asimptotom , ako je

kao bazis Sa druge strane ako je odnosno

Tada se prava Fakultet Elektrotehnike | SUDO

definirana za

12

definirana na skupu i ako je

, ili je

naziva vertikalnom asimptotom krive

MATEMATIKA I

2.

.

Kombinacije pitanja

Monotonost funkcije (Teorem 17, Teorem 18, Teorem 19). Primjer.

Teorem 17. Ako je diferencijabilna funkcija

rastuća opadajuća na intervalu

, tada je Teorem 18.

Pretpostavimo da je

diferncijabilna na skupu funkcije (i)

ako funkcija

okolina tačke

1.

. Ako je

tada je u tački a lokalni ekstremum

IX

Navesti elementarne transformacije matrice. Kakva je veza između elementarnih transformacija i ranga matrice (Stav 5. str. 132). Primjer.

mijenja znak u tački . Pri tome

Ako je

tada je u tački

lokalni minimum (ii) Ako je

u tački

1*. Množenje kolona vrsta jednim brojem različitim od nule; 2*. Dodavanje jednoj koloni vrsti neke druge kolone vrste ;

je lokalni

3*. Zamjena mjesta dviju kolona vrsta ;

maksimum.

:

qweru

φ(t)=|2-1|

φ'(t)=

Teorem 19.

Pri elementarnim transformacijama rang matrice se ne mijenja. ⇒

Neka je

Tada ako je minimum (maksimum).

postoji lokalni minimum

2.

Podnizovi. Skup tačaka nagomilavanja niza. Gornji i donji limes niza. (zadatak)

Definicija 7. Neka je dat niz definirana u stacionarnoj tački

funkcija

funkcije

u stacionarnoj tački c ima lokalni

.

i neka je

strogo monotono rastući Podniz

niz prirodnih brojeva. Tada kažemo da je može se posmatrati kao niz sa indeksima Ako sa

označimo

niza

, onda na

osnovu Bolzano-Weierstrassove teoreme zaključujemo da je on neprazan u Definicija 8. Najveća tačka nagomilavanja niza

.

zove se

niza i označava se sa . Najmanja tačka nagomilavanja niza označava se sa Fakultet Elektrotehnike | SUDO

13

zove se onji limes ili limes

i

MATEMATIKA I

4.

Kombinacije pitanja

3.

Dokazati da ako funkcije ima konačnu graničnu vrijednost u tački a , onda je ona ograničena u nekoj okolini tačke a.(Teorem2, str 252). Navesti pravila za limes zbira, proizvoda i apsolutne vrijednosti funkcija.

Teorem 2

Ako realna funkcija

, tada postoji δ okolina =

ima konačnu graničnu vrijednost u tački

tačke , tako da

gdje je

klasa ograničenih funkcija na skupu U. Neka je

se odabrati

tada za proizvoljnu oklinu

okolina

tačke , može

tačke , tako da vrijedi Budući da je V(b) možemo smatrati

Teorem 22. Neka je okoline

Ako

, tj.,

tačke

, tako da za svako

, osim možda same tačke

znak pri prolazu argumenta kroz tačku

ograničenim skupom, onda je ograničen i skup Drugim riječima, postoji

tačke

, ima konačnu drugu derivaciju u svim tačkama

tačka

, tada je

mijenja znak u tački

rastuća u okolini

. Ako funkcija

mijenja

prevojna tačka krive

, onda je funkcija

sa jedne strane

, sa druge strane opadajuća. Prema teoremu 20,

je prevojna tačka krive

vrijedi Teorem 23. Neka je

4.

Definisati prevojnu tačku. Navesti i dokazati Teorem 22. Navesti Teorem 23. Primjer.

Definicija 8. Neka je funkcija diferencijabilna na , ako je funkcija

definirana u nekoj okolini Tačka

na skupovima

različit tip konveksnosti, slika.

tačke

i

naziva se prevojna tačka krive ima

Tada je

prevojna tačka krive

X

1.

Definicija mješovitog proizvoda i njegova geometrijska interpretacija. Šta znači da je mješoviti proizvod tri vektora jednak nuli? Neka su proizvoljni vektori iz koji su dovedeni na zajednički početak. je broj koji obilježavamo sa jednak skalarnom produktu vektora

a koji je

, tj.

Geometrijska interpretacija: Apsolutna vrijednost mješovitog produkta tri nekomplanarna vektora jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima čemu je

u zavisnosti od toga da li je trojka vektora

suprotno orijentisana od bazisnih vektora. Fakultet Elektrotehnike | SUDO

14

. Pri isto ili

MATEMATIKA I

čime je teorem dokazan.

Kombinacije pitanja Zaista ako nad je

konstruišemo paralelopiped (sl.1) tada je

površina osnove paralelopipedaa

ort vektora

, gdje

, pri čemu vektori

čine trojku koja ima istu orijentaciju kao i bazisni vektori. Dakle imamo

3.

Bolzano-Cauchyjev teorem sa dokazom.

Teorem 15.

Neka je

proizvoljno izabrana vrijednost iz Kako je

a

visina paralelopipeda, tada je

, odnosno

i

. Tada postoji tačka

takva da je

. 4.

Teorem o izvodu složene funkcije i izvodu inverzne funkcije. Koristeći pravilo o izvodu inverzne funkcije, odrediti izvod funkcije f(x)=arccos x.

Teorem 3.

. Neka su zadate funkcije

definirana složena funkcija

i

takve da je

Neka, dalje, funkcija

ima

konačnu derivaciju u tački , a funkcija g ima prvu derivaciju u tački superpozicija

su 2.

ako i samo ako je

Definisati proizvod matrice vrste i matrice kolone. Dati pravilo za množenje matrica. Primjer.

ima derivaciju u tački

Teorem 4. tački Ako je

i vrijedi

. Neka funkcija

Neka dalje, postoji inverzna funkcija tada je funkcija

. Tada

ima derivaciju u

, koja je neprekidna u tački .

diferencijabilna i vrijedi

množimo nekim brojem tako da pomnožimo

Isto pravilo vrijedi i za

. 1.

1.

2.

α

distributivnost operacije množenja brojem u odnosu

na operaciju sabiranja matrica; α je distributivnost u odnosu

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

;

XI

Kako nazivamo matrice čija je determinanta jednaka 0. Navesti i objasniti formulu za izračunavanje inverzne matrice. Dokazati= tvrđenj a) ( A−1 )−1 A= b) ( AT ) −1 ( A−1 )T

Posmatrajmo kvadratnu matricu da je

ako je

reda . Za kvadratnu matricu a

kvadratne matrice istog reda, tada kvadratnu matricu

15

MATEMATIKA I

brojem λ svaku komponentu matrice-vrste, tj.

kažemo

. Ako su zovemo

Kombinacije pitanja matrice

, ako je ispunjen uslov

gdje je

dati red je konvergentan.Ako postoji

takav da je za

jednačina matrica istog reda kao "matrice" "A i B".

Neka za članove datog reda postoji

1. kako je

=I to je to je, na osnovu predhodne, relacije .

2. 2.

dati red je

konvergentan, a ako dati red je divergentan je

. Kako je

Tada, ako je

3.

Teorem o tri funkcije. Dokazati

sin x =1 x →0 x

lim

Neka su

date funkcije i neka je

nagomilavanja skupa D. Ako postoji okolina

Ako su skoro svi članovi reda

tačke a, takva da za svako

i postoje granične vrijednosti funkcija

Redovi sa pozitivnim članovima. Kriterij upoređivanja. D'Alambertov kriterij. (zadatak)

tačka u tački

tada, ako je

nenegativni, onda za red onda je i

kažemo da je red sa pozitivnim članovima.

Tada vrijedi, 1. 2.

Definicija stacionarne tačke. Rolleov teorem sa dokazom. Primjerom pokazati bitnost pretpostavki Rolleove teoreme.

Definicija 6. Tačku Teorem 8.

zovemo

Neka je funkcija

funkcije , ako je definirana na

sljedeće uslove. () ( )

postoji derivacija

u svakoj tački

( ) Tada funkcija Fakultet Elektrotehnike | SUDO

16

ima stacionarnu tačku koja pripada

i neka ispunjava

MATEMATIKA I

4.

Kombinacije pitanja Primjer: Funkcija

XII

je očito neprekidna na [-1,+1] i vrijedi f(-1)=f(1).

Prema tome uslovi (i) i (ii) teorema su ispunjeni, međutim uslov (ii), jer ne postoji prvi izvod kada . Znači Rolleeov teorem ne vrijedi za , što se vidi iz same derivacije funkcije

1.

Koje matrice imaju inverznu matricu? Navesti i objasniti formulu za izračunavanje inverzne matrice. Dokazati tvrđenja:

Ako su

kvadratne matrice istog reda, tada kvadratnu matricu

inverznom matricom matrice koja se dakle ne anulira.

zovemo

, ako je ispunjen uslov

gdje je I

jednačina matrica istog reda kao "matrice" "A i B".

Budući da je

to je zaista

2. Kako je

odnosno

odakle je 2.

Zapisati sistem od m jednačina sa n nepoznatih. Šta je rješenje sistema. Kakve su podjele sistema u odnosu na vrstu rješenja.

Za uređenu -torku (

brojeva kažemo da je

pri zamjeni

sistem

ako

prelazi u jednakosti među

brojevima. Ako je

tada za sistem

bar jedan od brojeva

za sistem

II.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

17

prema broju rjršrnja sistema -

Sistem koji nema rješenje Sistem ima rješenje a. Tačno jedno rješenje

kažemo da je

kažemo da je

, ako je sistem.

MATEMATIKA I

je oblika:

Kombinacije pitanja Teorem 21. Naka funkcija

b. beskonačno mnogo rješenja

. Da bi 3.

Definicija uniformne neprekidnosti funkcije. Veza između neprekidnosti i uniformne neprekidnosti (navesti primjer sa objašnjenjem).

Definicija 11. Za funkciju neprekidna na skupu

može naći pozitivan broj

da bude

za svako

takav

čije je međusobno rastojanje manje od δ ,

vrijedi je ravnomjerno neprekidna funkcija na skupu

Funkcija

bila konveksna konkavna na

, potrebno je i dovoljno

.

kažemo da je ravnomjerno ako se

da za svake dvije tačke

Prema tome,

ima drugu derivaciju u svakoj tački

, za bilo koje

XIII

Ako je determinanta homogenog sistema različita od 0, šta to znači za taj sistem jednačina?

, ako

Na osnovu Cramerovog stava zaključujemo da je trivijalno rjršenje jedinstveno rješenje sistema.

je ravnomjerno neprekidna na ℝ.

Odakle je jasno da se u relaciji

1.

2.

može staviti

Redovi sa pozitivnim članovima. Cauchyjev korijeni kriterij. Kummerov krtiterij. (zadatak)

Ako su skoro svi članovi reda

nenegativni, onda za red

preciznije odgovara svako pozitivno

Konveksnost funkcije. Navesti teoreme 20 i 21 . Primjer.

Definicija 7. Za funkciju

kažemo daje red sa pozitivnim članovima.

kažemo da je

proizvoljno izabrane

na

ako za

Teorem 2.2.4.

vrijedi

postoje

dati red konvergentan. Ako postoji

* Funkcija je

na

Neka postoji

dovoljno da funkcija

Da bi raste na

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

bila konveksna na .

tada je

, takav daje za

tada je dati red divergentan

, tj. ima drugi tip konveksnosti, ako u * vrijedi

obrnuta nejednakost. Teorem 20. Neka je

takav da je za

potrebo je i

red divergira. Teorem 2.2.5.

18

Tada ako je

red konvergira, a ako je

MATEMATIKA I

4.

Kombinacije pitanja konačnu derivaciju u tački , a funkcija

ima prvu derivaciju u tački

superpozicija

i vrijedi

ima derivaciju u tački

Teorem 4. tački

Neka dalje, postoji inverzna funkcija

Ako je

2.

Ako postoji konvergira. Ako postoji

i

, takvi daje za

, takav daje za

Neka postoji

. Ako je

0,

,

red konvergira, a ako je

rad 1.

?

XIV

Dati definicije relacije poretka, minorante skupa i infimuma skupa.

Definicija 2. označava sa elementa

Definicija 2.

na skupu

definira se pomoću

definisana u skupu

Npr:

koji su u relaciji

je definisana relacija poretka

Definicija 4. Element ima konačnu graničnu vrijednost u tački

samo ako za svako

postoji okolina

kažemo da je uređen. Za uređeni skup

naziva se

definirana složena funkcija Fakultet Elektrotehnike | SUDO

. Neka su zadate funkcije

2. i

Neka, dalje, funkcija

,

donje ograničenje skupa .

skupa

Teorem 3.

kažemo da su uporedivi, a za skup u kome

ili da je lanac, ako vrijedi:

tačke a, tako da vrijedi

Teorem o izvodu složene funkcije i izvodu inverzne funkcije. Primjer.

i

, ako je:

ako i

i označava se 4.

naziva se

, ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Za dva

kažemo da je

Funkcija

diferencijabilna i vrijedi

, onda dati red divergira.

Definicija oscilacije funkcije na skupu (str. 259) (primjeri). Veza oscilacije funkcije i ima graničnu vrijednost u postojanja granične vrijednosti. Da li funkcija tački

, koja je neprekidna u tački .

, onda dati red

divergira. 3.

tada je funkcija

ima derivaciju u

takve da je ima

19

je maksimum skupa minoranata skupa

Skup može imati najviše jedan supremum infimum

Zapisati homogeni sistem jednačina i objsaniti šta nam govori Kroneker-Capellijev stav za tu vrstu sistema. Dokazati Stav 2 (str152)

MATEMATIKA I

1.

. Neka funkcija

. Tada

Kombinacije pitanja Definicija 11. Za funkciju

Iz Kroneker-Capelijevog stava slijedi da je svaki . Pri tome

-torka čiji su svi elementi nule tj.

je rješenje sistema

neprekidna na skupu

kažemo da je ravnomjerno ako se

da za svake dvije tačke vrijedi skupu stav 2

Ako su uređene

torke

može naći pozitivan broj

takav

čije je međusobno rastojanje manje od δ , Prema tome,

je ravnomjerno neprekidna funkcija na

, ako

i

rješenje sistema Dakle, funkcija

Ako sada uvrstimo uređenu

jednačinu

dobijamo

Dakle

zadovoljava

pa budući da je i proizvoljno to je

jednačinu sistema rješenje sistema

,

. 4.

3.

Weierstrassov teorem (Teorem 16) i Cantorov teorem (Teorem 17) (bez dokaza). Negacija uniformne neprekidnosti.

Teorem 16.

Ako je

tada je

tačke toga segmenta u kojima funkcija

. Još više, postoje

dostiže svoju najveću, odnosno svoj-u

Ako je

tada je

Navesti Rolleov teorem. Navesti i dokazati Lagrangeov teorem i pokazati njegovu vezu sa Rooleovim teoremom.

Teorem 8.

Neka je funkcija

definirana na

sljedeće uslove. ()

najmanju vrijednost. Teorem 17.

, ako

( )

ravnomjerno neprekidna na

postoji derivacija

u svakoj tački

( ) Tada funkcija Fakultet Elektrotehnike | SUDO

20

ima stacionarnu tačku koja pripada

i neka ispunjava

MATEMATIKA I

sistema

u

nije ravnomjerno neprekidna na skupu

Kombinacije pitanja Teorem 9.

Ako je funkcija

definirana na

i ispunjava

sljedeće uslove:

. 2.

postoji derivacija

u svakoj tački

Definisati vektorski prizvod dva vektora. Osobine vektorskog proizvoda. Vektorski produkt vektora zadatih koordinatno.

tada postoji

dva vektora

.

tako da vrijedi

1

, koji obilježavamo sa [

Čiji je intenzitet jednak | || |sin , gdje je

2

Koji je ortogonalan na svaki od vektora

3

Ima takav smjer da vektori

] ili

je vektor:

ugao između vektora

i

i

čine trojku vektora iste orijentacije

kao bazis

Intenzitet vektorskog produkta brojno je jednak površini paralelogra-ma konstruisanog vektora nad vektorima

2.

Vektorski produkt dva vektora je nula vektor ako su ti vektori kolinearni ili je bar jedan od njih nula vektor.

XV

Definisati kompleksne brojeve. Kada su dva kompleksna broja jednaka?

Definicija 1.

3.

je skup svih uređenih parova

4.

realnih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja na slijedeći način:

5.

. Ako su brojeva

se uvodi na osnovu jednakosti uređenih

tada je

parova, tj. Fakultet Elektrotehnike | SUDO

21

koordinate vektora

u ortonormiranoj bazi

,

MATEMATIKA I

1.

1.

Kombinacije pitanja Definicija 1.Neka su u skup

skupa elementu 3.

iz

Skup

neprazni skupovi. Pod

(ili funkcijom) ,

podrazumijeva se svaki poskup

kojim se

pridružuje jedan i samo jedan element

Elementi skupa

Granična vrijednost kompozicije dvije funkcije (Teorem 8 bez dokaza). Izračunati:

i

iz skupa .

nazivaju se originali, a elementi skupa

zovemo

slike preslikavanja

i označavamo D( ), a skup slika

.

(X)

i označavamo sa R( ). Teorem 8. Ako je

Definicija 3. Preslikavanje ,i

tačka nagomilavanja

skupu

a za svaku okolinu

tačke

definiciji

postoji okolina

Tada je

tačke a, takva da je

Tada ako je

definirana u stacionarnoj tački funkcija

u stacionarnoj tački

funkcije ima lokalni

. 2.

naka je

;

(ii)

1

2

1)

2

1

2

definisano pomoću

je jedna

2

1

2

1

2.

Zapisati nehomogeni i njemu odgovarajući homogeni sistem jednačina . Ako je rješenje homogenog sistema, i ako je rješenje nehomogenog sistema, pokazati da je rješenje nehomogenog sistema.

ne postiže se ekstrem funkcije postiže se ekstrem funkcije a)

Ako odgovarajuće zbirove zamjenimo u i-toj jednačini sistema

b)

1.

preslikavanje. Dakle, po

dobijamo

XVI

Definisati preslikavanje i objasniti svaku od oznaka u zapisu f : X → Y. Šta je injektivno preslikavanje (dati primjer injektivnog i neinjektivnog preslikavanja). 3.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

22

Ako je f injektivno preslikavanje onda je f strogo monotona funkcija. Dokazati!

MATEMATIKA I

(i)

u

injekcija skupa prirodnih brojeva u samog sebe

minimum (maksimum). Opšti teorem: Neka je funkcija definisana na nekom intervalu

2

Preslikavanje

1

Neka je

skupa

je injekcija ako važi 1,

.

Navesti i dokazati Teorem 19 (Drugo pravilo, str. 362). Navesti opšti teorem za postojanje lokalnog ekstrema funkcije. Primjer.

Teorem 19.

ili

preslikavaju u različite

elemente skupa . Ovo preslikavanje naziva se i

skupa

4.

naziva se

, ako i samo ako se različiti elementi skupa

Kombinacije pitanja

Teorem 21. Neka je funkcija je

injekcija. Tada je

strogo monotona

. funkcija na funkcija , koja je i Dokaz: Pretpostavimo da neprekidna na segmentu injekcije, nije strogo monotona na Tada možemo naći tri tačke takve da je , ali vrijednost nije između i Neka je npr., . Budući da je po teoremu o

1.

međuvrijednosti neprekidne funkcije (v. Teorem 15, poglavlje (4.7)), postoji tačka takva da je ; odakle, zbog injektivnosti funkcije , slijedi , što je nemoguće ( jer je ). Teorem je dokazan. da je 4. Izvod parametarski zadate funkcije sa uslovima i izvođenjem. Primjer:

(s lijeva)

zadate u funkciji nekog realnog parametra t. Neka je ; (2) . Ako je Gdje su i realne funkcije definirane na istome podskupu bijekcija, tj. ako postoji funkcija Ako su promjenljive

XVII

Zapisati proizvoljan kvadratni sistem jednačina. Prevesti ga u matrični zapis uz objašnjenja novih oznaka, i dati način rješavanja u matričnom obliku. O čemu moramo voditi računa kod primjene matričnog načina rješavanja sistema jednačina (obrazložiti)?

i

pa je

tada je sistemom (2), parametarski definirana funkcija Primjer: Jasno da možemo iz posljednjih jednačina eliminirati parametar (kvadriranjem jednačina i sabiranjem kvadrata) i dobiti , između ostalog imati analitičke

Primjećujemo da posljednja eksplicitna funkcija

dobijena iz relacije

Ne odgovara prvobitnoj funkciji zadatoj parametarski. Naime, polazni uslov , ne dozvoljava da je negativno, jer je Prema tome ostaje samo funkcija

2.

Opšta jednačina ravni u prostoru. Šta su minimalni podaci za definisanost jednačine ravni ; dati vektorski oblik jednačine ravni.

u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu

Primjer:

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

MATEMATIKA I

Odnosno, riješavanjemove jednačine po izraze

je jednačina oblika

23

Kombinacije pitanja gdje su

konstante i ako je bar jedna od konstanti različita od 0 tada

postoji ravan. Vektor vektor i

koji je normalan na ravan

Ako je

Definicija 7. Realna funkcija

je

na skupu

ako je

ograničen skup. Drugim riječima je

zove se normalni ili karakteristični

.

vektor položaja odnosno vektor ma koje tačke M ravni

njen karakteristični vektor, tada se jednačina (1) može napisati u vektorskom

obliku

3.

Definicija funkcije i načini zadavanja. Parnost (primjeri) i ograničenost funkcije. funkcije

jeste granična vrijednost kada

Ako postoji bilo da je konačan ili beskonačan.

1.

2.

3. 4.

4.

Navesti i dokazati Cauchyjev teorem. Navesti njegovu vezu sa Lagrangeovom i Rolleovom teoremom.

Teorem 13.

Ako

tačaka na

onda postoji

pri čemu tako da vrijedi

Razmotrimo funkciju

Eksplicitni Parametarski

Za koju očito vrijedi

Implicitno Tabelarno

parametar

i

tako da je

Osim toga, može se izabrati realni Nije teško vidjeti da

Zadovoljava taj zahtjev. Sada funkcija 5. Grafik funkcije

Definicija 3. Funkcija

na skupu Df , ako vrijedi

teorema, pa

ima stacionarnu tačku u

ispunjava sve uslove Rolleovog , tj. postoji

sa vojstvom

Sa druge strane je definisana na simetričnom skupu a

je na

ako je

odakle slijedi

čime je teorem dokazan.

Veza sa lagrangeom: Ako se izabere lagrange. Fakultet Elektrotehnike | SUDO

nema stacionarnih

24

, iz ovog teorema slijedi tvrdnja

MATEMATIKA I

Definicija 1.

Kombinacije pitanja jer u suprotnom funkcija

Rolleovog teorema imala stacionarnu tačku u intervalu

bi na osnovu

4.

Ravan paralelna osi normalan na osu

jer je njen karakterističan vektor

5.

Ravan paralelna osi

jer je njen karakterističan vektor

.

ortogonalan na osu

1.

6.

Ravan paralelna ravni normalan na ose i

jer je njen karakterističan vektor

7.

Ravan paralelna ravni normalan na ose i

jer je njen karakterističan vektor

8.

Ravan paralelna ravni ortogonalan na ose i

jer je njen karakterističan vektor

Ako je

XVIII

Ako je determinanta homogenog sistema različita od 0, šta to znači za taj sistem jednačina?

ma koja tačka ravni

tačku

Navesti neke specijalne položaje ravni u prostoru i oblike njihovih jednačina. Normalni oblik jednačine ravni.

je

gdje su

(drugim riječima, neka funkcija

ravan 2. 3.

redom na koordinatnim osama

.

Jednačina ravni koja prolazi kroz koordinatni početak (3) Njen karakterističan vektor (3)normalan na osu , jer je

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

. Neka za svaku

postoji vrijednost

takva da

slika segment [ , b] u neki segment).

Tada je Posljedica. Neka je

odsječci koje

monotona funkcija, tj.

koja leži između vrijednosti

je 1.

pa je

Veza monotonosti funkcije i neprekidnosti (Teorem 19 sa posljedicom).

Teorem 19. Neka je

2.

, tada je

Što predstavlja normalnu jednačinu ravni. 3.

Ako je determinanta homogenog sistema različita od nule sistem je nemoguć i nema trivijalnih riješenja.

pošto je

4.

, gdje je

monotona funkcija. Tada segment čiji su krajevi

Monotonost funkcije (Teorem 17, Teorem 18, Teorem 19). Primjer.

Teorem 17. Ako je diferencijabilna funkcija , tada je

ravni

25

i

ako i samo ako

MATEMATIKA I

Veza sa Rolleom: Jasno da je

rastuća opadajuća na intervalu

Kombinacije pitanja Teorem 18.

Pretpostavimo da je

diferncijabilna na skupu funkcije (i)

okolina tačke

tada je u tački

ako funkcija

. Ako je

lokalni ekstremum

mijenja znak u tački . Pri tome

Ako je

Prema tome, dodavanjem kolone slobodnih članova matrici broj linearno *, gdje je nezavisnih kolona se ne povećava, pa je

tada je u tački

lokalni minimum (ii) Ako je

u tački

je

*

lokalni maksimum.

Teorem 19.

Neka je

definirana u stacionarnoj tački

Tada ako je

funkcija

u stacionarnoj tački

funkcije

.

ima lokalni

minimum (maksimum).

.

tzv. 2.

Ako je

*, tada je bazisni minor matrice

minor matrice

* što znači da je kolona slobodnih članova linearna

kombinacija onih kolona matrice

istovremeno i bazisni

koje sadrže elemente bazisnog minora.

Prema tome kolona slobodnih članova je linearna kombinacija svih kolona matrice , čiji koeficijenti predstavljaju rješenje sistema 2. Definicija skalarnog proizvoda vektora. Dokazati stav: dva vektora su ortogonalna ako i samo ako je njihov skalarni proizvod nula. Izvesti formulu za računanje ugla između dva vektora. Skalarni produkt dva vektora

1.

Navesti Kroneker-Capellijev stav i objasniti pojmove matrica koje se javljaju u tom stavu. *

i samo ako je rang sistema

sistem

je saglasan tj. ima bar jedno rješenje, ako

je skalar broj koji obilježavamo sa

i

definišemo ovako Dakle skalarni produkt vektora je skalar, koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla koji oni zaklapaju.

jednak rangu proširene matrice istog sistema.

. Dva vektora su ortogonalna ako i samo ako je njihov skalarni produkt nula. Neka su vektori skalarni produkt vektora

1.

Ako sistem ima rješenje, tada relacija

pokazuje da je kolona

slobodnih članova linearna kombinacija svih kolona matrica sistema, tj. matrice

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

Obrnuto, neka je

ortogonalni. Tada je jednak nuli, tj.

. Ako je jedan od vektora

, pa je prema

MATEMATIKA I

XIX

nula vektor to mož-

emo smatrati ortogonalnim prema ma kom drugom vektoru, pošto je pravac nula vektora nije definisan. Prema tome su ortogonalni. Analogno zaključ-

26

Kombinacije pitanja ujemo da iz

slijedi da su vektori

nula. Ako ni jedan od vektora uslova

i relacije

ortogonalni i ako su oba vektori

nije nula vektor tada je

slijedi da je

odnosno

>0 , pa iz , tj. vektori

Ako uzmemo

su

ortogonalni. 3.

, onda je prvi diferencijal

, prva derivacija konačna ili ∞ funkcije

Definicija neprekidnosti funkcije u tački. Definisati prekid druge vrste i objasniti primjerom. (Zapis neke konkretne granične vr npr: i sl.)

Definicija 3. Za funkciju

kažemo da je

Funkcija

tj., ako je

u tački

Definicija 5. Neka je

tačka prekida funkcije

na krivu

u tački . Da bi smo se u to uvjerili,

najprije trebamo definirati tangentu krive. Opštost se neće umanjiti ako koristimo krivu i ostalr oznake sa slike.

ako

je neprekidna na skupu

neprekidna u svakoj tački toga skupa. U tom slučaju pišemo

koeficijent pravca tangente

u tački , predstavlja

ako je

.

. Kažemo da je u tački

ako postoje konačne granične vrijednosti * pri čemu je tačna barem jedna od relacija

Ako je a tačka nagomilavanja samo jednog od skupova

ili

limesa iz * . je svaki prekid funkcije 4.

koji nije prekid prve vrste.

Definicija izvoda funkcije u tački. Geometrijsko tumačenje izvoda. Jednačina tangente na krivu.

Definicija 3. u oznaci

u tački ili

u kojoj je funkcija diferencijabilna,

1.

Uočimo, determinantu kvadratne matrice

je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno

promjenljive u toj tački tj. Fakultet Elektrotehnike | SUDO

XX

Definisati adjungovanu matricu. Navesti osnovne osobine množenja matrica.

27

reda

, tj.

MATEMATIKA I

onda se zahtijeva postojanje i konačnost samo odgovarajućeg

Kombinacije pitanja

u takozvanom

Što predstavlja njenih elemenata

A zatim od kofaktora

formirajmo matricu

reda

, tj. matricu

Ili u vektorskom obliku gdje je

Transponovana matrica, matrice matrice

.

i obilježava sa

, tj. matrica

zove se adjungovana matrica,

. Dakle, ,

Šta su minimalni uslovi za definisanost prave u prostoru. Kanonski i vektorski oblik jednačine prave.

Skup tačaka

prostora čije koordinate zadovoljavaju sistem

3.

Definicija uniformne neprekidnosti. Navesti primjer funkcije koja jeste i primjer funkcije koja nije uniformno neprekidna.

Definicija 11. Za funkciju tj. tačka

koje istovremeno pripadaju i jednoj i drugoj ravni definisanoj

jednačinama

obrazuje pravu u prostoru.

Zaista, ako su (1) jednačine dviju ravni

i

neprekidna na skupu da za svake dvije tačke

, pri čemu vektori

i .

Neka je prava, koja prolazi kroz datu tačku vektoru Uzmimo da je

(sl.1) gdje je

a paralelna je zadanom

.

ma koja tačka prave . Kako su vektori

kolinearni , to je Fakultet Elektrotehnike | SUDO

ako se

može naći pozitivan broj

takav

čije je međusobno rastojanje manje od δ ,

vrijedi Prema tome,

nisu kolinearni, tada je presjek ravni

kažemo da je ravnomjerno

28

je ravnomjerno neprekidna funkcija na skupu

, ako

MATEMATIKA I

2.

Kombinacije pitanja 4.

Navesti neodređene oblike funkcija u izračunavanju graničnih procesa. Navesti Prvi i Drugi L'Hospitalov teorem. Primjer.

Teorem 14. Neka funkcije f i g zadovoljavaju uslove Cauchyevog teorema na i neka je

Ako je

konačan ili beskonačan. Tada postoji i

i postoji Još više, tada vrijedi .

Teorem 16. diferencijabilne u intervalu

, na kome je

i neka je

MATEMATIKA I

Neka su funkcije

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

29