Matematik på 30 sekunder 9789176174449, 9176174441 [PDF]

Zitiervorschau

MATEMATIK

PÅ 30 SEKUNDER

MATEMATIK PÅ 30 SEKUNDER

De 50 mest betydelsefulla teorierna inom matematiken, var och en förklarad på en halv minut

Redaktör Richard Brown Skribenter Richard Brown Richard Elwes Robert Fathauer John Haigh David Perry Jamie Pommersheim Översättning Gunnar Hasseläng

Originalets titel: 30-second Math Copyright © The Ivy Press Limited 2012 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without prior written permission from the publisher. Utvecklad, formgiven och producerad av Ivy Press 210 High Street, Lewes East Sussex BN7 2NS, UK www.ivypress.co.uk Projektledare Peter Bridgewater Förläggare Jason Hook Redaktionschef Caroline Earle Art Director Michael Whitehead Formgivare Ginny Zeal Illustrationer Ivan Hissey Porträttexter Viv Croot Ordlistor Steve Luck Bildredaktör Jamie Pumfrey

Utgiven av Tukan förlag Heurlins plats 1 413 01 Göteborg www.tukanforlag.se Översättning av Gunnar Hasseläng Sättning hos Gyllene Snittet bokformgivning AB Första tryckningen Tryckt i Kina 2015 ISBN 978-91-7617-444-9

INNEHÅLL

6 Inledning 10 12 14 16

Tal och räkning ORDLISTA Bråk och decimaltal Rationella och irrationella tal 18 Imaginära tal 20 Talbaser 22 Primtal 24 Fibonaccital 26 Pascals triangel 28 Porträtt: Blaise Pascal 30 Talteori 32 Sätt talen i arbete 34 ORDLISTA 36 Noll 38 Oändligheten 40 Addition och subtraktion 42 Multiplikation och division 44 Potenser och logaritmer 46 Funktioner 48 Porträtt: Gottfried Leibniz 50 Infinitesimalkalkyl

52 Slumpen är vacker 54 ORDLISTA 56 Spelteori 58 Beräkning av odds 60 Porträtt: Girolamo Cardano 62 De stora talens lag 64 Spelarens feltänk – lagen om genomsnitt 66 Spelarens feltänk – martingalspel 68 Slumpen 70 Bayes sats

110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130

En extra dimension ORDLISTA Platonska kroppar Topologi Eulers tegelstenar Möbiusbandet Porträtt: Arkimedes från Syrakusa Fraktaler Origamigeometri Rubiks kub Knutteori

72 Algebra och abstraktion 74 ORDLISTA 76 Den variabla platshållaren 78 Ekvationen 80 Polynomekvationer 82 Porträtt: Abu ‘Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi 84 Algoritmer 86 Mängder och grupper 88 Ringar och fält

132 Bevis och satser 134 ORDLISTA 136 Fermats stora sats 138 Porträtt: Pierre de Fermat 140 Fyrfärgsproblemet 142 Hilberts program 144 Gödels ofullständighetssats 146 Poincarés förmodan 148 Kontinuumhypotesen 150 Riemannhypotesen

90 Geometri och former 92 ORDLISTA 94 Euklides Elementa 96 Pi – cirkelns konstant 98 Gyllene snittet 100 Porträtt: Pythagoras 102 Trigonometri 104 Cirkelns kvadratur 106 Parallella linjer 108 Grafer

152 154 156 158 160

BILAGOR Lästips Om skribenterna Register Tack

INLEDNING Richard Brown

Det sägs att matematik är det rena förnuftets konstform. Det är den grundläggande logiska strukturen för allt som existerar, och allt som inte existerar, i vår verklighet. Matematiken sträcker sig långt från de enkla beräkningar som ger oss rätt saldo på våra konton och rätt slutsumma i butiken. Den hjälper oss att organisera och förstå innebörden av allt vi kan föreställa oss. Precis som musik, konst och språk gör matematikens symboler och begrepp, varav många förklaras och diskuteras i den här boken, att vi kan uttrycka oss på fascinerande komplexa sätt och definiera ofattbart invecklade och vackra strukturer. Det finns en uppsjö av praktiska användningsområden för matematik, men det som gör matematiken så magisk är dess inneboende elegans och skönhet. Matematikens begrepp är meningsfulla för oss eftersom de är förnuftiga och hjälper oss att organisera vår existens. Men utanför den mening vi ger matematikens byggstenar existerar de egentligen inte alls, utom i vår fantasi. Inom natur- och samhällsvetenskapen används matematik för att beskriva teorier och ge struktur åt modeller, och aritmetik och algebra gör att vi kan göra affärer och lära oss hur vi ska tänka. Men bortom dessa praktiska tillämpningar finns ämnets sanna natur – matematiken är grunden som bestämmer reglerna för hur hela det strukturerade tankesystemet kan användas. Den här boken ger en inblick i den värld som matematikerna ser varje dag. Här beskrivs många av ämnets grundläggande beståndsdelar, med definitioner, historik och lite mer djuplodande förklaringar av matematikens viktigaste idéer. I boken beskrivs 50 betydelsefulla 6 g Inledning

Elegant geometri Matematiker använder ofta geometri för att visa matematiska företeelser, t.ex. ekvationer. Det här är ett visuellt bevis för Pythagoras sats, a2+b2=c2.

ämnen inom matematiken. De är indelade i sju kategorier som i grova drag definierar vad de handlar om. I Tal och räkning undersöker vi byggstenarna som gör att vi kan räkna saker i vår omgivning. Vi studerar några av talens operationer och strukturer i Sätt talen i arbete. De här avsnitten beskriver de aritmetiska system som hjälper oss att använda matematiken i vår vardag. I Slumpen är vacker går vi in på matematiken bakom sannolikhet och slumpmässiga händelser. Därefter närmar vi oss de djupare och mer komplexa talstrukturerna i Algebra och abstraktion. Nu börjar vi komma in på den högre matematiken. Nästa steg är att titta på de visuella aspekterna av matematiska sammanhang i Geometri och former. Eftersom matematisk abstraktion är ren föreställningsförmåga, kan vi sedan utforska vad som händer utanför våra tre dimensioner i En extra dimension. Slutligen, i Bevis och satser, diskuterar vi några mer djuplodande idéer och fakta som matematikens utveckling har lett oss till. Varje avsnitt ger en kort inblick i en av de många viktiga idéer som är centrala i dagens matematik. Varje avsnitt presenteras på samma sätt för att ämnet ska vara lättare att ta till sig – summering på 3 sekunder ger en kort sammanfattning, matematik på 30 sekunder en mer fullödig beskrivning och i addera 3 minuter börjar vi utforska de djupare förbindelserna mellan idén och världen i stort. Förhoppningen är att summan av de olika delarna ska få dig att öppna ögonen och öka din förståelse för hur matematiken fungerar. Som uppslagsbok kan boken bidra med grunderna för några av de viktigaste idéerna inom matematiken. Läser du den från pärm till pärm får du en inblick i en annan värld – lika rik och meningsfull som den du lever i nu – matematikens värld.

8 g Inledning

Kroppars skönhet Det finns bara fem sätt att konstruera en tredimensionell kropp av likadana regelbundna polygoner. Men gör det dessa kroppar speciella? Ja, det tycker i alla fall matematikerna.

TAL OCH RÄKNING

g

TAL OCH RÄKNING ORDLISTA

algebra En av huvudgrenarna inom den rena matematiken där operationer med och förhållanden mellan tal studeras. Elementär algebra handlar bland annat om hur aritmetikens räkneregler används för uttryck som innehåller variabler. I avancerad algebra studerar man dessa operationer och förhållanden mellan andra matematiska objekt och konstruktioner än tal. algebraiskt tal Ett tal som är en rot till ett polynom skilt från noll, vars koefficienter är heltal. Algebraiska tal är med andra ord lösningar till polynomekvationer (se sidan 80), som till exempel x2 2 2 5 0, där x 5 √2. Alla rationella tal är algebraiska, medan irrationella tal kan vara algebraiska eller inte. Ett av de mest kända algebraiska talen är det gyllene snittet (1,6180339 …) som ofta skrivs f. aritmetik Den ursprungliga formen av matematik – räknelära – som framför allt handlar om räkning med heltal och de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division. binärt system (bas 2) Ett talsystem där bara siffrorna 1 och 0 förekommer. Precis som vårt bas 10-system har entalskolumn (100 = 1),tiotalskolumn (101), hundratalskolumn (102) och så vidare, har bas 2-systemet en entalskolumn (20), en tvåtalskolumn (21 = 1), en fyrtals-

12 g Tal och räkning

kolumn (22) och så vidare. Binärt skrivs till exempel talet 7 som 111, det vill säga 1 × 1 + 1 × 2 + 1 × 4. bråktal (bråk) Ett tal som beskriver en del av en helhet. I de vanligast förekommande bråken är det nedre talet, nämnaren, ett heltal skilt från noll som talar om hur många bråkdelar helheten består av, medan talet ovanför bråkstrecket, täljaren, talar om hur många av dessa bråkdelar talet representerar. Egentliga bråk är mindre än 1 och täljaren är alltså mindre än nämnaren, t.ex. 2⁄3, medan oegentliga bråk är större än 1, som 3⁄2. faktor Ett av två eller flera tal som ett tredje tal är jämnt delbart med. Exempelvis är 3 och 4 faktorer till 12, liksom 1, 2, 6 och 12. figurtal Ett tal (eller antal punkter) som kan beskriva en regelbunden ifylld geometrisk form, som en triangel, kvadrat eller hexagon. heltal I mängden heltal ingår alla de naturliga talen (0, 1, 2 …) och alla de negativa heltalen (… –3, –2, –1). imaginärt tal Ett tal som blir ett negativt tal om det kvadreras. Eftersom inga reella tal ger negativa resultat vid kvadrering, skapade matematikerna det imaginära talet i, för vilket gäller att i 3 i 5 –1 eller om man så vill

i = √–1. Det imaginära talet som motsvarar √–1 hjälper oss att lösa många olika ekvationer som annars hade varit olösbara, och talet har en lång rad praktiska tillämpningar. irrationellt tal Ett tal som inte kan uttryckas som ett heltalsbråk. De vanligaste exemplen på irrationella tal är p och √2. Man kan se att ett tal är irrationellt på att följden av decimaler inte har ett repetitivt mönster. De flesta reella tal är irrationella. koefficient Ett tal som används för att multiplicera en variabel. I uttrycket 4x 5 8 är 4 koefficienten och x variabeln. Koefficienter är oftast tal men kan även skrivas med symboler: a kan till exempel representera en koefficient. Koefficienter utan variabler kallas konstanta termer eller bara konstanter. komplext tal Ett tal som består av både en reell del och en imaginär del, till exempel a 1 bi, där a och b representerar reella tal och i står för √–1. Se imaginärt tal. naturligt tal De ursprungliga räknetalen 1, 2, 3 och så vidare, det vill säga alla positiva heltal, eller alla heltal som inte är negativa. Om nollan ska räknas in är omtvistat men numera får den oftast vara med.

polynom Ett uttryck som innehåller tal och positiva heltalspotenser av variabler och som bara tillåter operationerna addition, subtraktion och multiplikation, t.ex. 3x2 + 4x -1. (Se även Polynomekvationer, sidan 80.) rationellt tal Ett tal som kan uttryckas som ett heltalsbråk. Rationella tal på decimalform har antingen ett ändligt antal decimaler eller en repetitiv decimalföljd. reellt tal Ett tal som kan placeras in på en kontinuerlig tallinje – den reella tallinjen. I de reella talen ingår alla rationella och irrationella tal. tallinje En visuell representation av alla reella tal på en horisontell skala, där de negativa talen stäcker sig oändligt långt åt vänster och de positiva åt höger, med nollan i mitten. På de flesta tallinjer är avståndet mellan heltalen detsamma utefter hela linjen. transcendent tal Ett tal som inte kan vara en rot till ett ändligt polynom med heltalskoefficienter – med andra ord ett icke-algebraiskt tal. p är det mest kända transcendenta talet, och enligt definitionen ovan kan t.ex. ekvationen ax3 + bx2 + cx – d = 0 aldrig ha lösningen x = p, oavsett värden på heltalen a, b, c och d. De flesta reella tal är transcendenta.

Ordlista g 13

BRÅK OCH DECIMALTAL matematik på 30 sekunder De naturliga talen 0, 1, 2, 3 … är SUMMERING PÅ 3 S

Matematikens utgångspunkt är de naturliga talen 0, 1, 2, 3 … Men mycket hamnar i mellanrummen och vi har två sätt att beskriva dem.

ADDERA 3 MINUTER

Omvandlingen mellan bråk och decimaltal är inte alltid så enkel. Vi känner lätt igen 0,25, 0,5 och 0,75 som 1⁄4, 1 ⁄2 respektive 3⁄4. Men den decimala motsvarigheten till 1⁄3 är 0,333333 …, där följden av treor aldrig tar slut, och 1⁄7 är 0,142857142857142857 …, också det ett evigt repetitivt mönster. Det har visat sig att alla bråk har decimaler med repetitiva mönster, medan tal som inte är jämnt delbara, som p , inte har något mönster. De är de irrationella reella talen.

14 g Tal och räkning

matematikens fundament och har använts av människan i tusentals år. Men allt kan inte bestämmas med hjälp av naturliga tal. Om 15 hektar åker ska delas jämnt mellan 7 bönder får var och en 15⁄7 (eller 21⁄7) hektar. De enklaste icke-naturliga talen kan uttryckas i bråkform som i det här fallet. Men för andra tal, som p, är det besvärligt eller rent av omöjligt. I takt med naturvetenskapens utveckling uppstod ett behov av att uttrycka mängder med större noggrannhet. I och med decimalsystemet och de indoarabiska siffrorna fick vi en praktisk kolumnbaserad metod. Talet 725 har till exempel tre kolumner som anger 7 hundratal, 2 tiotal och 5 ental. Lägger vi till ett decimalkomma efter entalskolumnen och extra kolumner till höger, kan vi enkelt uttrycka tal med delmängder som är mindre än ental. 725,43 står till exempel för 7 hundratal, 2 tiotal, 5 ental, 4 tiondelar och 3 hundradelar. Genom att lägga till kolumner åt vänster och höger kan vi skriva både stora och små tal med så stor noggrannhet som tillfället kräver. Faktum är att alla tal mellan heltalen kan uttryckas som ett decimaltal (men inte alltid som ett bråk), och placeras in på den reella tallinjen.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 TALBASER sidan 20 NOLL sidan 36

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ABU 'ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI

ca 790–850

ABU’L HASAN AHMAD IBN IBRAHIM AL-UQLIDISI

ca 920–980

IBN YAHYA AL-MAGHRIBI AL-SAMAWAL

ca 1130–1180

LEONARDO PISANO (FIBONACCI)

ca 1170–1250

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Delar av heltal kan uttryckas som bråk eller decimaltal.

1

1

1 2

0,5

1 4

0,25

1 8

0,125

1 16

0,0625

RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL matematik på 30 sekunder De reella talen är alla positiva tal,

SUMMERING PÅ 3 S

Reella tal – alla ”vanliga” tal som kan placeras in på en tallinje – är antingen rationella eller irrationella. Rationella tal kan skrivas som bråk, men det kan inte de irrationella.

ADDERA 3 MINUTER

Filosoferna i antikens Grekland ansåg att allt mätbart kunde skrivas som heltal eller delar av heltal. Enligt myten blev pythagoréerna så störda över upptäckten att Î2 är irrationellt att Hippasos från Metapontum mördades för att inte denna sanning skulle spridas över världen och skapa kaos. Att talet p är irrationellt är kanske lättare att tänka sig, men det var först för ungefär 250 år sedan som det kunde bevisas och det dröjde ett sekel till innan p bevisades vara transcendent.

16 g Tal och räkning

alla negativa tal och 0, och de kan delas in i olika grupper på flera sätt. Den viktigaste skiljelinjen är den mellan de rationella talen som kan uttryckas som ett heltalsbråk, t.ex. 1⁄2 eller 2 7⁄3, och de irrationella talen som inte kan skrivas på detta sätt. I antikens Grekland trodde man att alla tal var rationella tills en av Pythagoras elever bevisade att talet Î2 inte är rationellt. Man kan avgöra om ett tal är rationellt eller irrationellt genom att titta på följden av decimaler – om siffrorna till slut följer ett repetitivt mönster är talet rationellt (3⁄11 = 0,272727 …). Decimalföljden för irrationella tal (exempelvis p 5 3,14159265 …) har inget repetitivt mönster. Men det finns fler sätt att kategorisera dem. Rationella tal och många irrationella tal har en sak gemensamt – de är algebraiska, det vill säga de är lösningar till polynomekvationer med heltalskoefficienter. Î2 är till exempel en lösning till x2 2 2 5 0 (se Polynomekvationer, sidan 80). Men många fler irrationella tal är inte algebraiska, och p är ett exempel. Tal som inte är algebraiska kallas transcendenta – det är bara irrationella tal som kan vara transcendenta.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även BRÅK OCH DECIMALTAL sidan 14 POTENSER OCH LOGARITMER sidan 44 POLYNOMEKVATIONER sidan 80 PI – CIRKELNS KONSTANT sidan 96 PYTHAGORAS sidan 100

3-SEKUNDERSBIOGRAFI HIPPASOS FRÅN METAPONTUM

400-talet f.Kr. JOHANN LAMBERT

1728–1777

CHARLES HERMITE

1822–1901

FERDINAND VON LINDERMANN

1852–1939

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Ett reellt tal är rationellt om det kan skrivas som ett bråk. Annars är det irrationellt.

IMAGINÄRA TAL matematik på 30 sekunder Matematikerna har under årens SUMMERING PÅ 3 S

I dag arbetar matematikerna med ett utvidgat talsystem som förutom reella tal innehåller det imaginära talet i, som är kvadratroten ur 21.

ADDERA 3 MINUTER

Det komplexa talsystemet medger lösning av ekvationer som x 3 x 5 –1. Man kan fråga sig om det finns lösningar till exempelvis x 3 x 5 i, eller om vi måste utvidga talsystemet ännu en gång. Det har visat sig att de komplexa talen medger lösningar till alla tänkbara polynomekvationer, så de är faktiskt allt vi någonsin kommer att behöva. Detta underbara faktum kallas algebrans fundamentalsats.

18 g Tal och räkning

lopp utvidgat talsystemet flera gånger. Ett tidigt tillägg var de negativa talen. I affärsvärlden står 14 för en vinst eller en tillgång på 4 enheter medan –4 betyder 4 enheter i förlust eller skuld. Negativ aritmetik har en överraskande egenskap. Multiplicerar du ett positivt tal med ett negativt, får du ett negativt resultat: t.ex. 24 3 3 5 212. Men multiplicerar du ett negativt tal med ett annat negativt, får du ett positivt resultat: 24 3 23 5 12. Så det fanns inget tal (positivt eller negativt) som multiplicerat med sig självt gav ett negativt resultat. Det betydde att vissa enkla ekvationer, som x2 5 21, inte gick att lösa, och det utgjorde ett hinder när man skulle lösa mer komplicerade ekvationer, även när man hade svaret. Man fick bukt med problemet genom att införa det nya ”imaginära” talet i, definierat som kvadratroten ur 21, vilket också betyder att i 3 i 5 21. Det började som ett knep för att lösa vissa beräkningar och var kontroversiellt – Descartes myntade begreppet ”imaginärt” (inbillat) som ett nedsättande uttryck. Men med tiden har imaginära tal blivit lika accepterade som alla andra typer av tal. I dag använder matematikerna ofta ”komplexa tal” som består av en reell del och en imaginär del: t.ex. 2 1 3i eller 1⁄2 2 1 ⁄4 i eller mer generellt a 1 bi, där a och b kan vara vilka reella tal som helst.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även BRÅK OCH DECIMALTAL sidan 14 POLYNOMEKVATIONER sidan 80 RIEMANNHYPOTESEN sidan 150

3-SEKUNDERSBIOGRAFI NICCOLÒ FONTANA (”TARTAGLIA”)

1500–1557

GIROLAMO CARDANO

1501–1576

RAFAEL BOMBELLI

1526–1572

CARL FRIEDRICH GAUSS

1777–1855

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

1789–1857

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Positiva och negativa tal var inte nog för en del matematiker – de behövde imaginära tal.

TALBASER matematik på 30 sekunder När vi använder tal större än nio SUMMERING PÅ 3 S

Med basen menar man det antal unika siffror som ett talsystem använder.

ADDERA 3 MINUTER

Mayafolket i Centralamerika använde också basen 20 för ”lång räkning” i sin kalender, men de ”korrigerade” den tredje kolumnen från normala 400 = 20 3 20 till 18 3 20 = 360, kanske för att komma närmare antalet dagar på ett år. Om vi har valt basen 10 enbart för att våra fingrar är så många, så valde kanske mayafolket 20 för att de även hade överblick över sina tår i sandalerna.

20 g Tal och räkning

brukar vi sätta en 1:a först och återanvända talsymbolerna. Det beror på att vi använder decimalsystemet som har basen 10. Men basen 10 har inte alltid varit den populäraste. De antika babylonierna använde basen 60 (det sexagesimala systemet) när de räknade. Istället för att välja en ny kolumn vid nio hade de separata siffror ända upp till 59. Några av kvarlevorna från det systemet är att vi delar in en timme i 60 minuter och cirkeln i 360°. Från ett system med basen 12 – det duodecimala systemet – har vi kvar begreppen dussin och gross (ett dussin dussin). Det vigesimala systemet, med basen 20, var vanligt i Europa förr. Danskarna och fransmännen räknar fortfarande delvis i tjog: 60 heter tres på danska och 80 quatrevingts (fyra tjugotal) på franska. Dagens datorer använder det binära systemet med basen 2 där bara 0 och 1 förekommer. På så sätt blev det lätt att skapa räknemaskiner eftersom bara två separata tillstånd krävdes – som en öppen eller sluten strömbrytare. Addition och multiplikation är väl definierade i alla baser och algebra fungerar också. Testa det nästa gång någon ber dig att lägga ihop 1 och 1. Svaret är så klart 10 (på binär form)!

BESLÄKTADE TEORIER

Se även NOLL sidan 36

3-SEKUNDERSBIOGRAFI GOTTFRIED LEIBNIZ

1646–1716

GEORGE BOOLE

1815–1864

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Brown

Det vanligaste tal­ systemet har basen 10 – babylonierna tänkte stort och hade 60 unika siffror. Datakod är så enkel som möjligt och använder bara två siffror.

PRIMTAL matematik på 30 sekunder De flesta heltal är jämnt delbara i SUMMERING PÅ 3 S

Ett primtal är ett positivt heltal som bara är delbart med 1 och sig självt. Primtalen är ”odelbara” och är alltså talens motsvarighet till materiens grundämnen.

ADDERA 3 MINUTER

När vi primtalsfaktoriserar tal verkar det uppenbart att vi alltid ska nå fram till samma primtal i slutänden. Men ju mer man studerar tal, desto mindre uppenbart blir detta faktum. Men det stämmer och är så viktigt att denna sanning har fått namnet aritmetikens fundamentalsats. Även om det inte finns någon formel som ger oss primtalen ett efter ett, så ger oss primtalssatsen en uppfattning om hur stor andel av de naturliga talen som är primtal.

22 g Tal och räkning

mindre enheter. Exempelvis är 100 = 4 3 25. Men det är också sant att 100 = 20 3 5. Om vi tar endera av dem och bryter ner dem till allt mindre faktorer, kommer vi till slut fram till primtalsfaktorerna för 100: 100 = 2 3 2 3 5 3 5. Längre än så kan faktorerna inte brytas ner – de är primtal som bara kan delas med 1 och sig själva. När matematikerna började lista primtal letade de efter ett mönster, men de hittade inget. De frågade sig om listan var ändlig eller om de alltid kunde hitta större och större primtal. Euklides presenterade ett elegant bevis i sin bok Elementa för att antalet primtal är oändligt. 17 463 991 229 är ett stort primtal. Hur vet vi att det är ett primtal? Vi hade kunnat försöka dela detta heltal i alla mindre heltal tills inga andra faktorer än 1 återstår. Men det tar lång tid och det finns bättre sätt. Det största kända primtalet har över 10 000 000 siffror och det krävs smarta metoder för att avgöra att ett tal är ett primtal. Att söka efter stora primtal kan verka meningslöst, men en revolutionerande idé på 1970-talet ledde till en metod för kryptering av kommunikation med hjälp av ett system som genererar stora primtal. Tekniken används på internet så att vi kan handla säkert online.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TALTEORI sidan 30 EUKLIDES ELEMENTA sidan 94

3-SEKUNDERSBIOGRAFI EUKLIDES

ca 300 f.Kr. CARL FRIEDRICH GAUSS

1777–1855

JACQUES HADAMARD

1865–1963

CHARLES JEAN DE LA VALLÉE-POUSSIN

1866–1962

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Primtalen, som bara är delbara med 1 och sig själva, har fascinerat matematikerna i hundratals år. Stora primtal har i dag fått en praktisk användning.

FIBONACCITAL matematik på 30 sekunder I Fibonaccis talföljd 1, 1, 2, 3, 5, 8, SUMMERING PÅ 3 S

En enkel regel, att addera de två senaste termerna för att få nästa, ger en talföljd som är en av de vanligaste i naturen.

ADDERA 3 MINUTER

År 1202 hade Leonardo Pisano, även känd som Fibonacci, med en gåta om kaninuppfödning i sin bok Liber Abaci (Boken om kul­ ramen). Fibonacci gav den måhända orealistiska förutsättningen att varje vuxet kaninpar producerade ett par kaninungar i månaden och att kaninungar tar en månad på sig att bli vuxna. Om du startar med ett par kaninungar i januari så har du 144 kaninpar i december!

24 g Tal och räkning

13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 … är varje term summan av de två föregående. Denna talföljd spelar en viktig roll inom talteorin och har en lång rad spännande numeriska egenskaper. Om du adderar alla termer i Fibonaccis talföljd fram till en viss term, kommer summan alltid att vara 1 mindre än ett fibonaccital. 1 11 1 2 1 3 1 5 1 8 är till exempel 1 mindre än fibonaccitalet 21. Lägger man ihop kvadraterna av dessa tal får man produkten av två fibonaccital: 1 1 1 1 4 1 9 1 25 1 64 5 8 3 13. Förhållandena 1:1, 2:1, 3:2, 5:3, 8:5 … närmar sig det gyllene snittet f ≈ 1, 618. Geometriskt passar kvadrater vars sidlängder motsvarar fibonaccital ihop perfekt och bildar en gyllene spiral. Långt innan människan upptäckte matematiken bakom dessa mönster hade naturen lärt sig att dra nytta av fibonaccitalen. Bladen och blomknopparna på många växter med spiralstruktur – t.ex. ananas, solros och kronärtskocka – har mönster som bygger på parvisa fibonaccital. Om du undersöker en ananas hittar du 8 rader i spiral i ena riktningen och 13 i den andra. I djurriket kan vi konstatera att ett bis förfäder till antalet är ett fibonaccital i varje generation.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TALTEORI sidan 30 GYLLENE SNITTET sidan 98

3-SEKUNDERSBIOGRAFI LEONARDO PISANO (FIBONACCI)

ca 1170–ca 1250

30-SEKUNDERSTEXTEN Jamie Pommersheim

Fibonaccitalen upp­ träder i ett bis släkt­ träd. Varje hanbi har en mor medan varje honbi har två för­ äldrar, en hane och en hona.

1 hanbi

1 förälder

2 morföräldrar

3 förfäder

5 förfäder

8 förfäder

hanbi

honbi

PASCALS TRIANGEL matematik på 30 sekunder Vad kommer härnäst i den här SUMMERING PÅ 3 S

Blaise Pascals hyllade triangel innehåller inte bara massor av fascinerande numeriska mönster, den är också ett viktigt verktyg inom algebran. ADDERA 3 MINUTER

Pascals triangel innehåller många spännande mönster. Den första diagonalen innehåller bara 1:or och den andra lyder: 1, 2, 3, 4 … Men den tredje består av vad som brukar kallas triangeltal: 1, 3, 6, 10, 15 … Om du ska lägga bollar i en triangelform (t.ex. inför ett biljardparti), är det de här talen som gäller. Fibonaccitalen döljer sig också i triangeln, som totalsummorna av efterföljande ”sneda diagonaler” – kan du hitta dem?

26 g Tal och räkning

talföljden: (1 1), (1 2 1), (1 3 3 1), (1 4 6 4 1) …? Den här gåtan är ett viktigt problem inom algebran och är känd som ”expanderande parenteser”. Börja med uttrycket (1 1 x) och multiplicera det med sig självt. Då får du (1 1 x)2 5 1 1 2x 1 1x2. Multiplicerar du tre parenteser får du (1 1 x)3 5 1 1 3x 1 3x2 1 1x3. Fyra ger (1 1 x)4 5 1 1 4x 1 6x2 1 4x3 1 1x4. Det är inte algebran som är knepig här utan antalen. Nästa uttryck blir någonting i den här stilen: (1 1 x)5 5 1 1 ? x 1 ? x2 1 ? x3 1 ? x4 1 1x5. Men vilka är talen som ska fyllas i? Blaise Pascal ville finna ett sätt att snabbt svara på det, och det gjorde han i raderna på sin berömda triangel. Den börjar med en 1:a och under den finns två 1:or till. Pascal byggde upp sin triangel genom att låta varje tal vara summan av de två som står ovanför. (Tidigare matematiker hade fått samma resultat, bland andra den indiske tänkaren Pingala, över tusen år tidigare.) Den här uträkningen är enkel att göra: bara lite addition och ingen komplicerad algebra. Varje rad ger sedan svaret till ett problem med expanderande parenteser. Så för att hitta koefficienterna till (1 1 x)5 behöver du bara läsa sjätte raden: 1,5,10,10,5,1.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även FIBONACCITAL sidan 24 DEN VARIABLA PLATSHÅLLAREN sidan 76 POLYNOMEKVATIONER sidan 80

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PINGALA

ca 200 f.Kr. ABU BAKR MUHAMMAD IBN AL-HASAN AL-KARAJI

953–1029 YANG HUI

1238–1298 BLAISE PASCAL

1623–1662

ISAAC NEWTON

1643–1727

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Pascals triangel inne­ håller mängder av matematiska mönster och underlättar på ett smidigt sätt lösningen av algebraiska problem.

19 juni 1623

Föds i Clermont (nu Clermont-Ferrand).

1647

1654

Träffar Descartes och ger ut Expériences nouvelles touchant le vide, om vakuum.

Brevväxlar med Fermat.

1631

Familjen flyttar till Paris.

1639

Skriver Essai pour les coniques; flyttar till Rouen.

1642–1645

Konstruerar Pascaline, en mekanisk räknemaskin.

1650

Konverterar till jansenismen.

1655

Metoden för Pascals triangel trycks; träffar Antoine Arthaud, en ledande jansenistfilosof.

1656–1657 1653

Återgår till vetenskapen.

Skriver Provinsialbreven, som försvarar jansenismen.

1653

Ger ut Recit de la grande expérience de l'equilibre des liqueurs om tryck.

1658

Skriver en avhandling om cykloider.

1668

Påbörjar arbetet med Tankar, en samling filosofiska och teologiska anteckningar.

19 augusti 1662

Dör i Paris.

1670

Tankar ges ut postumt.

1779

Essai pour les coniques ges ut.

28 g Tal och räkning

BLAISE PASCAL Pascal led av kronisk migrän, sömnlöshet och magbesvär och plågades svårt under större delen av sitt korta men produktiva liv. Trots det blev han en enastående matematiker, fysiker, filosof och teolog och arbetade (och grälade) med sin tids mest framstående tänkare. Pascals mor dog när han var sex år och han undervisades i hemmet. Fadern förbjöd honom att läsa matematik, så det gjorde han givetvis i smyg. När han var 12 år gav fadern med sig och den unge Pascal satsade nu allt på matematiken – han utvecklade bland annat en räknemaskin för att hjälpa fadern i arbetet som skatteindrivare. Pascaline som den kallades var inte den första mekaniska räknemaskinen och trots att 50 tillverkades blev den ingen kommersiell framgång, men konstruktionen och teorierna bakom den gjorde stort intryck på Gottfried Leibniz. Under hela sitt vuxna liv utbytte Pascal tankar med filosofen Descartes om huruvida vakuum existerade eller inte. Descartes hävdade felaktigt att något sådant inte existerade, vilket fick Pascal att skriva en bok

om hydrostatik. Han fick även tid över att utveckla idén om ”Pascals triangel” (se sidorna 26–27), och fastställa principerna för sannolikhetsläran i samarbete med Pierre de Fermat. Det har vi den inbitne spelaren Chevalier de Méré att tacka för – han bad Pascal att bestämma hur man delar upp potten om två spelare med lika stora vinstmöjligheter väljer att lämna bordet under pågående spel. 1646 blev Pascals far sjuk och fick behandling av jansenistbröderna från klostret Port Royal. Blaise och hans syster Jacqueline blev starkt påverkade och genomgick en religiös konvertering. Mot slutet av livet ägnade Pascal mycket tid åt att försöka förena tro och förnuft – hans tankegångar sammanfattas kanske bäst i ”Pascals trossats” som ingår i Tankar, en samling filosofiska funderingar som var ofullbordad vid tiden för hans död. Trossatsen behandlade Guds existens och i vad mån man kunde slå vad om den. Pascal menade att man borde satsa på Gud med motiveringen att om Han existerar är din plats i himlen säkrad, och gör Han inte det så har du inte förlorat något.

Blaise Pascal g 29

TALTEORI matematik på 30 sekunder Talteori är läran om talens SUMMERING PÅ 3 S

Talteori är den vetenskap som studerar egenskaperna för olika grupper av tal och hur de uppför sig.

ADDERA 3 MINUTER

Carl Friedrich Gauss menade att matematiken var vetenskapernas drottning och att aritmetiken var matematikens drottning. G. H. Hardy följde upp detta uttalande för omkring 70 år sedan när han uttryckte sin uppskattning för ett område inom matematiken som enbart studeras för resultatens överraskande skönhet, utan att besudlas av praktiska tilllämpningar. När talteorin senare oväntat visade sig användbar inom kryptologin var det få som menade att något av skönheten hos matematikens drottning hade gått förlorad.

30 g Tal och räkning

intressanta egenskaper. Välj till exempel ett udda primtal och dividera det med 4. Resten blir alltid 1 eller 3. Det går att bevisa att om resten blir 1, så finns det två jämna kvadrater som tillsammans blir detta primtal. Dividerar du till exempel 73 med 4 så får du 18 med resten 1. Efter en kort sökning kan du konstatera att 73 5 9 1 64 5 32 1 82. Om resten däremot är 3 betyder det att det är omöjligt att hitta två jämna kvadrater vars summa blir det primtalet (testa med 7 eller 59). Följdfrågan är given: Varför? Matematiker nöjer sig aldrig med att upptäcka den här typen av märkligheter – de måste bevisa att en sådan regel alltid gäller för att det ska vara värt något. Matematikerna i antikens Grekland började undersöka heltalens delbarhet vilket ledde dem fram till studierna av primtalen. De tyckte även om att studera figurtalen och deras inbördes förhållanden. Om du har ett antal stenar som kan arrangeras till en liksidig triangel, en kvadrat eller en pentagon etc. så är det antalet ett figurtal. Euklides tog även fram en formel för summering av två kvadrater till en tredje kvadrat. Liknande funderingar ledde Pierre de Fermat till formuleringen av hans berömda stora sats.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även PRIMTAL sidan 22 RINGAR OCH FÄLT sidan 88 EUKLIDES ELEMENTA sidan 94 FERMATS STORA SATS sidan 136

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PYTHAGORAS

ca 570–ca 495 f.Kr. EUKLIDES

ca 300 f.Kr. PIERRE DE FERMAT

1601–1665

CARL FRIEDRICH GAUSS

1777–1855

G. H. HARDY

1877–1947

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Figurtal är en gren inom talteorin – tal som kan bilda en geometrisk figur.

Ett kvadrattal (eller en jämn kvadrat) är alltid summan av två triangeltal – här ser vi att vi får 52 genom additionen 10 + 15.

Adderar du följden av udda heltal från 1 och framåt får du kvadraten på antalet tal: 1+3+5+7+9+11+13+15=64=82.

SÄTT TALEN I ARBETE

g

Sätt talen i arbete ORDLISTA

algebraiskt uttryck Matematiskt uttryck där bokstäver eller andra symboler används för att representera tal. Algebraiska uttryck kan även innehålla vanliga siffror och olika typer av symboler för operationer som 1 (addition), 3 (multiplikation), √ (roten ur) och så vidare. Hur komplicerat ett algebraiskt uttryck än kan se ut så representerar det alltid ett enskilt värde. associativ En egenskap hos en operation som innebär att om ett uttryck innehåller två eller flera operatorer av samma slag så spelar det ingen roll i vilken ordning operationerna utförs. Multiplikation av tal är till exempel associativ eftersom (a 3 b) 3 c 5 a 3 (b 3 c). boolesk logik (boolesk algebra) En form av algebra i vilken logiska påståenden representeras av algebraiska ekvationer där ”multiplikation” och ”addition” (och teckenbyte) har ersatts av ”och” och ”eller” (resp. ”icke”), och där talen 0 och 1 representerar ”falskt” respektive ”sant”. Boolesk algebra var (och är) viktig vid utvecklingen av dataprogrammering. differentialekvation En ekvation som innehåller en okänd funktion och en eller flera av dess derivator. Differentialekvationer är viktiga verktyg för modellering av fysiska och mekaniska processer inom fysik och ingenjörsvetenskap.

34 g Sätt talen i arbete

exponent Det tal som anger hur många gånger ett annat tal, basen, ska multipliceras med sig självt. I uttrycket 43 = 64 är exponenten 3 och basen 4. Exponenten utläses ”upphöjt till” (här fyra upphöjt till tre). funktion En funktion beskriver ett förhållande på så sätt att den för varje ingångsvärde ger ett resultat i form av ett utgångsvärde. En funktion skrivs ofta som f (x). Exempelvis ger funktionen f (x) 5 x2 för varje ingångsvärde x ett utgångsvärde som är x2, det vill säga f (5) 5 25, f (9) 5 81 och så vidare. Ingångsoch utgångsvärdena kan betraktas som separata mängder så att funktionen kopplar varje element i mängden ingångsvärden till ett annat element i mängden utgångsvärden. kartesiska koordinater Tal som anger positionen för en punkt på t.ex. en graf i ett koordinatsystem (rutnät) vars axlar skär varandra vinkelrätt. Koordinaterna anger punktens läge (avstånd) i horisontell riktning (x-värdet) och i vertikal riktning (y-värdet) från en referenspunkt, oftast skärningspunkten (origo). kommutativ En egenskap hos en operation som innebär att om ordningen på talen i ett uttryck kastas om så blir svaret ändå detsamma. Multiplikation av tal är kommutativ eftersom 3 3 5 5 5 3 3.

kvantmekanik En gren inom fysiken där matematiska formler spelar en viktig roll vid beskrivning av subatomära partiklars rörelser och interaktion, till exempel våg–partikeldualiteten.

uttryck En kombination av tal och/eller symboler och variabler som tillsammans med operatorer som till exempel 1 (addition) eller 3 (multiplikation) beskriver ett samband eller ett värde.

monadologi Gottfried Leibniz metafysiska filosofi som han beskrev i verket Monadologie (1714). Hans filosofi kretsar kring begreppet monader, enkla enheter som han kallade ”sakers grundstenar” som var och en är programmerad att uppföra sig på ett visst sätt.

variabel En symbol som står för ett tal vars numeriska värde kan variera. En variabel uttrycks ofta med en bokstav som t.ex. x eller y, och fungerar som platshållare i ekvationer och uttryck som 3x 5 6, där 3 är en koefficient, x är en variabel och 6 en konstant.

multiplikator Anger med hur mycket ett annat tal, multiplikanden, ska multipliceras. I uttrycket 3 3 9 5 27 är multiplikatorn 3 och multiplikanden 9. reellt tal Ett tal som kan placeras in på en kontinuerlig tallinje – den reella tallinjen. De reella talen kan indelas i rationella tal (det vill säga tal som kan skrivas som heltalsbråk, inklusive positiva och negativa heltal) och irrationella tal (som inte kan skrivas som heltalsbråk, till exempel √2 och p). tallinje En visuell representation av alla reella tal på en horisontell skala, där de negativa talen stäcker sig oändligt långt åt vänster och de positiva åt höger, med nollan i mitten. På de flesta tallinjer är avståndet mellan heltalen detsamma utefter hela linjen.

Ordlista g 35

NOLL matematik på 30 sekunder Nollan användes som platshållare SUMMERING PÅ 3 S

Noll, med symbolen 0, betyder frånvaro av kvantitet.

ADDERA 3 MINUTER

I boolesk logik betecknar 0 falskt, och i elektriska sammanhang står 0 ofta för FRÅN. Inom fysiken är den absoluta nollpunkten den lägsta teoretiska temperaturen. Att nollställa ett instrument betyder att man ställer in det så att det visar rätt vid värdet noll. Uttrycket en nolla används nedsättande om en okunnig eller betydelselös person, men det är missvisande eftersom nollan är mycket viktig och mångsidig!

36 g Sätt talen i arbete

i numeriska system av många äldre civilisationer, bland annat babylonierna, grekerna (men bara astronomerna) och mayafolket. Så användes den även i Indien som vårt moderna talsystem härstammar ifrån. År 628 skrev Brahmagupta den första boken där nollan betraktas som ett tal och inte bara en platshållare, och nollan och negativa tal införlivades i aritmetiken. al-Khwarizmi introducerade det indiska talsystemet i den islamska världen 820. Fibonacci lanserade det i Europa 1202 genom boken Liber Abaci, och spred därmed användningen av nollan i Europa. Nollan är det enda reella talet som varken är positivt eller negativt och alla tal som inte är noll beskrivs som skilda från noll. Noll är den additiva identiteten, dvs. a 1 0 5 a, där a står för vilket reellt tal som helst – att lägga till noll gör det oförändrat. Dessutom gäller att a 3 0 5 0, och att 0⁄a 5 0 för alla a skilda från noll. Man skulle kunna tänka sig att ett reellt tal dividerat med noll skulle vara lika med oändligheten, men det håller inte för en striktare granskning så matematikerna säger helt enkelt att division med noll inte är definierad. Eftersom 0 är delbart med 2 så är det ett jämnt tal. Men om exponenten är 0 är svaret alltid 1; a0 = 1 för alla reella tal a utom 0. Vissa matematiker föredrar att börja räkna på 0 istället för 1.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TALBASER sidan 20 OÄNDLIGHET sidan 38 ADDITION OCH SUBTRAKTION sidan 40 MULTIPLIKATION OCH DIVISION sidan 42 POTENSER OCH LOGARITMER sidan 44

3-SEKUNDERSBIOGRAFI BRAHMAGUPTA

598–ca 670

ABU 'ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI

ca 780–ca 850

LEONARDO FIBONACCI

1170–1250

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

Mycket väsen för ingenting – nollan är ett mycket viktigt heltal.

OÄNDLIGHET matematik på 30 sekunder Att de naturliga talen är oändligt SUMMERING PÅ 3 S

Alla goda ting tar slut så småningom, men inte inom matematiken.

ADDERA 3 MINUTER

Buzz Lightyear, rymdhjälten i Pixars Toy Story utbrister stolt: ”Till oändligheten och vidare!” Men precis som när det gäller slutet på den reella tallinjen, och horisonten för dödsföraktande sjöfarare, spelar det ingen roll hur långt vi tar oss – vi kommer aldrig närmare den än när vi startade. Inte ens det totala antalet subatomära partiklar i universum, som beräknas vara färre än 10100 (en googol), är närmare oändligheten än 1. För att nå bortom oändligheten måste vi först nå den. Till och med Zenon hade fattat det.

38 g Sätt talen i arbete

många (aldrig tar slut) är lätt att inse. Påstår någon att ett tal är det högsta kan du alltid nämna ett till. Att det finns oändligt många tal mellan 0 och 1 är också sant, men det verkar lite knepigare. Begreppet oändlighet har fascinerat matematiker i tusentals år. Den grekiske stoikern Zenon studerade denna idé genom en serie paradoxer. Den mest berömda säger att all rörelse är omöjlig eftersom du för att komma från A till B måste passera ett oändligt antal mellanliggande punkter och varje delsträcka måste ta en positiv tid att tillryggalägga, och eftersom ett oändligt antal positiva tal måste ge en oändlig summa går det inte att komma någonstans på en ändlig tid. Vi vet nu att han hade fel (ett oändligt antal positiva tal kan bilda en ändlig summa!), men tankegången ledde till omfattande studier. Oändligheten är central inom infinitesimalkalkylen. Genom att studera en förändring under en följd av allt mindre positiva tidsintervall (vi kallar dem infinitesimala) kan vi bestämma förändringstakten i varje givet ögonblick. Det hela fungerar som hastighetsmätaren på en bil som beräknar din hastighet genom att dividera körsträckan med den tid den tog, under mycket korta tidsintervall. Kanske skulle vi inte komma någonstans om det inte vore för oändligheten!

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 INFINITESIMALKALKYL sidan 50 KONTINUUMHYPOTESEN sidan 148

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ZENON FRÅN ELEA

ca 490–ca 430 f.Kr. GEORG CANTOR

1845–1918

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Brown

Kommer det här någonsin att ta slut? Inte enligt matematikerna.

ADDITION OCH SUBTRAKTION matematik på 30 sekunder I antika kulturer som den egyptiska SUMMERING PÅ 3 S

Addition innebär att lägga ihop två eller flera termer. Subtraktion är att bestämma skillnaden mellan två termer.

ADDERA 3 MINUTER

Oändligt många tal kan adderas eller subtraheras i en oändlig serie. En serie med ändligt gränsvärde sägs vara konvergent. Ett enkelt exempel är serien 1 ⁄2 1 1⁄4 1 1⁄8 1 1⁄16 1 … 5 1. För att inse det, tänk dig att du går halvvägs genom ett rum, sedan hälften av återstoden ( 1⁄4 av det totala), sedan hälften av återstoden ( 1⁄8 ) och så vidare. Vissa oändliga serier ger häpnadsväckande resultat. Exempelvis är 1 2 1⁄3 1 1⁄5 2 1⁄7 1 1⁄9 2 1 ⁄11 1 1⁄13 2 1⁄15 … 5 p⁄4.

40 g Sätt talen i arbete

och den babylonska använde man addition och subtraktion redan på 2000-talet f.Kr. Decimalsystemet som användes i Indien var bättre lämpat för aritmetiska operationer, och började användas i Europa i och med Fibonaccis bok Liber Abaci. Aryabhata och Brahmagupta stod för viktiga bidrag till den indiska matematiken under 500- och 600-talen och symbolerna + och – lanserades i en bok av Johannes Widmann som gavs ut 1489. I addition kallas talen som adderas termer medan resultatet heter summa. Ett tal i minne krävs när summan i en kolumn av termer överstiger 9. Addition är kommutativ, det vill säga a 1 b 5 b 1 a, och associativ, det vill säga (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c). Att lägga till noll till ett tal resulterar i samma tal – noll är den additiva identiteten, dvs. a 1 0 5 a. Subtraktion är motsatsen (eller inversen) till addition. I subtraktion, som i exemplet a 2 b, kallas termen a minuend och termen b subtrahend. Till skillnad från addition är subtraktion varken kommutativ eller associativ. Precis som man ofta måste ha tal i minnet vid lodrät addition behöver man ofta låna vid subtraktion. Symbolen 6 utläses plus-minus och används för att ange en osäkerhet eller för att beskriva ett talpar (t.ex. de två rötterna till en andragradsekvation).

BESLÄKTADE TEORIER

Se även BRÅK OCH DECIMALTAL sidan 14 TALBASER sidan 20 NOLL sidan 36 MULTIPLIKATION OCH DIVISION sidan 42

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ARYABHATA

476–550

BRAHMAGUPTA

598–ca 670

LEONARDO FIBONACCI

1170–1250

JOHANNES WIDMANN

ca 1462–ca 1498

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

Summan av allt – addition och subtrak­ tion har varit en del av våra dagliga liv sedan urminnes tider.

MULTIPLIKATION OCH DIVISION matematik på 30 sekunder Multiplikation och division var SUMMERING PÅ 3 S

Multiplikation är upprepad addition av ett första tal ett antal gånger som anges av ett andra tal. Division innebär att bestämma hur många gånger en mängd ryms i en annan.

ADDERA 3 MINUTER

Med hjälp av logaritmer kan multiplikation och division utföras genom addition och subtraktion. Det är möjligt genom att multiplikation respektive division av tal uttryckta i form av exponenter till en gemensam bas är detsamma som att addera respektive subtrahera exponenterna. Innan räknemaskiner och miniräknare fanns var räknestickor med logaritmiska skalor det vanliga sättet att utföra aritmetiska beräkningar.

42 g Sätt talen i arbete

mycket krävande så länge de äldre talsystemen utan positionsprincipen användes, som egyptiernas, grekernas och romarnas. Talsystemen och aritmetiken som så småningom nådde Europa hade utvecklats i Indien där stora framsteg gjordes under 500- och 600-talen. I multiplikationen a 3 b 5 c kallas a multiplikator, b multiplikand och c produkt; a och b kallas även faktorer. Multiplikation av tal som anges med symboler, t.ex. a och b, kan skrivas a 3 b, a • b, (a)(b) eller, som matematikerna helst gör, bara ab. Liksom vid addition kan man behöva använda minnestal vid lodrät multiplikation om produkten av en kolumn blir större än 9. I exemplet a 3 1 5 a är 1 den multiplikativa identiteten. Multiplikation är kommutativ, det vill säga a 3 b 5 b 3 a, och associativ, vilket betyder att (a 3 b) 3 c 5 a 3 (b 3 c). Ingetdera gäller för division. I divisionen a 4 b 5 c är a dividend, b divisor och c kvot. Matematikerna föredrar skrivsättet a/b framför a 4 b. Lång division är en divisionsalgoritm där man ställer upp dividenden (den mängd som ska delas), divisorn (det tal du delar med) och kvoten (svaret) i en tabell. För matematikerna är division av ett tal med noll inte definierad eftersom den inte är rimlig.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även BRÅK OCH DECIMALTAL sidan 14 TALTEORI sidan 30 ADDITION OCH SUBTRAKTION sidan 40 POTENSER OCH LOGARITMER sidan 44

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ARYABHATA

476–550

BRAHMAGUPTA

598–ca 670

LEONARDO FIBONACCI

1170–1250

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

Vid multiplikation tar man ett tal och adderar det med sig självt så många gånger som det andra talet anger. Division är motsatsen, att dela ett tal i lika stora delar.

POTENSER OCH LOGARITMER matematik på 30 sekunder Om jag lägger 10 kr i min spargris SUMMERING PÅ 3 S

Potensformen är ett snabbt sätt att skriva upprepad multiplikation. Logaritmen är för potensformen vad division är för multiplikation – ett matematiskt sätt att göra motsatsen.

ADDERA 3 MINUTER

Matematikern John Napier var först med att använda termen logaritm som inversen till potenser, och på 1500-talet tog han fram tabeller med värden för logaritmräkning. Du har säkert sett knappar på din miniräknare som är märkta log10(x) (logaritmer för basen 10) och In(x), som brukar kallas naturliga logaritmer. Basen för dessa logaritmer är ett tal mellan 2 och 3 som kallas e och är ett speciellt tal som i likhet med p förekommer i många formler inom fysik, biologi och ekonomi.

44 g Sätt talen i arbete

varje vecka och antecknar hur mycket jag har sparat så får jag en summa som växer linjärt (med konstant takt). Om jag varje vecka sätter in 10 kr på ett bankkonto som ger ränta, kommer summan att växa exponentiellt (med en takt som ökar i takt med summans ökning, eftersom man även får ränta på den ränta som man fick på tidigare insättningar, vilket ger en snöbollseffekt). Om vi tänker oss att banken är generös och ger 100 % i ränta betyder det att jag skulle få 10 kr i ränta på mina insatta 10 kr så att jag hade 20 kr efter ett år. Om jag inte satte in mer pengar utan bara lät summan stå på tillväxt, skulle den fördubblas varje år så att jag hade 80 kr efter tre år eftersom 2 3 2 3 2 5 23 5 8. Efter fyra år skulle jag ha 160 kr och så vidare. I uttrycket 23 5 8 kallar vi den konstanta multiplikatorn 2 för basen medan exponenten 3 är det antal gånger vi ska multiplicera basen med sig själv. Då känns det naturligt att vilja vända på beräkningen. Om vi vet räntesatsen men vill få reda på hur många år det tar innan 10 kr har blivit 80 kr? En logaritm vänder på potensräkningen och vi skriver log2 8 5 3. Rent generellt talar funktionen log2 om vilken exponent som 2 ska upphöjas till för att få x. I fallet med banken, där pengarna fördubblas varje år, talar den om hur många år det tar innan summan är x kr.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 MULTIPLIKATION OCH DIVISION sidan 42 FUNKTIONER sidan 46

3-SEKUNDERSBIOGRAFI JOHN NAPIER

1550–1617

LEONARD EULER

1707–1783

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Medan logaritmernas tillväxt avtar snabbt växer potenstalen explosionsartat.

y Exponentiell tillväxt y 5 2x Linjär tillväxt y5x

Logaritmisk tillväxt y = log2(x)

x

FUNKTIONER matematik på 30 sekunder Exempel på funktioner hittar vi SUMMERING PÅ 3 S

En matematisk funktion är ett samband som knyter varje element i en mängd till ett element i en annan mängd. ADDERA 3 MINUTER

Funktionen är ett verktyg som används flitigt inom naturvetenskaperna och tekniken. Där motsvaras funktionsvärde och argument ofta av mätbara fysiska storheter som temperatur, volym och gravitationskraft. Funktioner är även vanliga inom ekonomi och affärsverksamhet där variablerna kan vara efterfrågan, tid, ränta, vinst med mera. Att studera funktionsmässiga samband mellan två eller flera storheter är en fundamental del av förståelsen för matematiska processer i naturen och näringslivet. Hjälper de oss att förstå människor bättre också? Knappast.

46 g Sätt talen i arbete

redan tidigt i historien men den moderna typen av matematiska funktioner dyker upp långt senare. I sin enklaste form är en funktion ett förhållande som ger ett enda utvärde (funktionsvärde) för ett enskilt invärde (argument). Skrivsättet f (x) används för att beskriva en funktion av variabeln x. Exempelvis är f (x) 5 x2 en funktion som ger (det beroende) funktionsvärdet 9 (32) för (det oberoende) x-värdet 3. Redan på 1300-talet presenterade Oresme idéer om beroende och oberoende variabler. Galileo skapade en formel som knöt samman en punktmängd med en annan och Descartes var först med att rita en kurva utgående från ett algebraiskt uttryck. Termen ”funktion” myntades av Leibniz i slutet av 1600-talet. Mängden av alla tillåtna argument (invärden) för en funktion kallas definitionsområde medan mängden av alla möjliga funktionsvärden kallas värdemängd. Funktioner med en variabel ritas ofta in i ett kartesiskt koordinatsystem, där x-axeln är horisontell och y-axeln som motsvarar funktionsvärdet f (x) är vertikal. f (x) 5 2x 1 3 ger till exempel en graf f (x) i form av en rät linje där alla par av (x,y) som satisfierar ekvationen ingår. De är bland andra (1, 5), eftersom 5 5 2 3 1 1 3 och (2,7) eftersom 7 5 2 3 2 1 3. Funktioner av två variabler kan ritas in med f (x,y) som vertikal axel med x–y-planet horisontellt.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även POTENSER OCH LOGARITMER sidan 44 EKVATIONEN sidan 78 TRIGONOMETRI sidan 102 GRAFER sidan 108

3-SEKUNDERSBIOGRAFI NICOLE D’ORESME

ca 1320-1382

RENÉ DESCARTES

1596–1650

GOTTFRIED LEIBNIZ

1646–1716

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

När ett värde på x sätts in i ekvationen 21,7x3 2 5x2 2 0,3x 1 1 ger det en punkt i koordinatsystemet och när tillräckligt många punkter är inlagda visas funktionens graf.

> Den här kurvan visar värdena på f(x) i intervallet x 5 –2 till x 5 1,2. För argumentet x 5 1 är funktionsvärdet –6, så en av punkterna som ligger på kurvan har koordinaterna (1,–6).

f (x) 10 f (x) 5 21,7x3 2 5x2 2 0,3x 1 1 5

x -2

-1

2

-5 (1, 26)

-10

1 juli 1646

Föds i Leipzig.

1677

1710

Utnämnd till hertigligt hovråd av hertigen av Braunschweig.

Essais de Théodicée publiceras.

1662

Filosofie kandidatexamen vid universitetet i Leipzig.

1711 1684

Anklagas för plagiering.

Publicerar sina anteckningar om infinitesimalkalkylen.

1712–1714

Skriver La monadologie.

1664

Filosofie magisterexamen.

1665

Juristexamen.

1673

Invald i brittiska vetenskapsakademin, och anställd av hertigen av Braunschweig-Lüneburg.

november 1675

Når ett genombrott i infinitesimalkalkylen.

48 g Sätt talen i arbete

1686

Ger ut Discours de métaphysique.

14 november 1716

Dör i Hannover.

GOTTFRIED LEIBNIZ Leibniz var ett universalgeni som levde under slutet av 1600-talet och början av 1700-talet och vars skrivna verk i stor utsträckning består av korta avhandlingar, anteckningar, artiklar i vetenskapliga tidskrifter och brevkorrespondens. Anledningen är troligen den enorma bredden på hans kunskapsområden. Många av Leibniz idéer förebådade moderna tänkesätt och teorier inom fysik, teknik, biologi, medicin, geologi, psykologi, lingvistik, politik, juridik, teologi, historia, filosofi och matematik. Han förbättrade Pascals räknemaskin (och påbörjade det arbete som Babbage och Lovelace senare skulle spinna vidare på), utvecklade det binära system som dagens digitalteknik bygger på, lade grunden för det vi i dag kallar boolesk algebra och symbolisk logik och utvecklade principen för återkoppling som inspirerade Norbert Wiener. Leibniz var ett akademiskt underbarn och son till en universitetsprofessor. Han talade flytande latin vid 12 års ålder och avlade sin första akademiska examen vid 16. Efter examina i även matematik, filosofi och juridik lämnade han den akademiska världen och till-

bringade större delen av sitt liv under hertigen av Braunschweigs beskydd. Leibniz bodde och arbetade i Leipzig, Paris, London, Wien och Hannover och samarbetade och brevväxlade med den tidens stora vetenskapsmän och filosofer. Hans kanske mest kända filosofiska teori är monadologin (monader kallades de minsta, odelbara enheterna enligt den filosofin). Tyvärr hamnade han i en kontrovers vilket gjorde att denna intellektuella superstjärna gick bort i tysthet. Trots alla kungliga och vetenskapliga kontakter stod hans grav omärkt i 50 år. Kontroversen mellan Leibniz och Newton om vem som upptäckte infinitesimalkalkylen uppstod 1711 och har aldrig blivit löst. Leibniz kände Newton, var ledamot av brittiska vetenskapsakademin och hade varit i London när Newton utvecklade kalkylen, så när Leibniz presenterade sin egen version ställde sig de flesta matematiker på Newtons sida och Leibniz blev baktalad. Om han stal idén och presenterade den som sin egen eller om båda kom till samma resultat oberoende av varandra lär vi aldrig få reda på och idag får båda äran för upptäckten.

Gottfried Leibniz g 49

INFINITESIMALKALKYL matematik på 30 sekunder Många vetenskapsgrenar studerar SUMMERING PÅ 3 S

Infinitesimalkalkylen är en gren inom matematiken som beskriver hur system och andra matematiska konstruktioner förändras i tid och rum.

ADDERA 3 MINUTER

Newtons och Leibniz upptäckt av infinitesimalkalkylen är ett av de viktigaste stegen i matematikens historia. Klimatforskning, ekonomiska modeller, kvantmekanik och relativitetsteori är bara några av alla matematiska tillämpningar i den fysiska världen som uttrycks i termer av differentialekvationer och studeras med hjälp av infinitesimalkalkyl. Att lösa den här typen av ekvationer är därför en av de största tekniska utmaningarna för dagens forskare och matematiker.

50 g Sätt talen i arbete

saker som rör sig och förändras med tiden. När en kula rullar på ett lutande plan förändras dess position. Den takt med vilken positionen förändras är kulans hastighet. Men även den kan naturligtvis förändras. Den takt med vilken hastigheten förändras kallas acceleration. Om du har en matematisk formel som beskriver kulans position, kan du då beräkna dess hastighet och acceleration? En geometrisk motsvarighet till problemet är att bestämma lutningen på en krökt kurva i en given punkt. Om kurvan är den graf som beskriver kulans position i förhållande till tiden, så motsvarar lutningen kulans hastighet. Detta förstod man redan på Arkimedes tid, men man hade bara ungefärliga metoder för bestämning av kurvans lutning. I slutet av 1600talet utvecklade Isaac Newton och Gottfried Leibniz var för sig infinitesimalkalkylen, en vacker samling regler för att beskriva grafers lutning och liknande problem. Kalkylen har två grenar: differentialkalkyl används för att bestämma en kurvas lutning, medan integralkalkyl ger dig arean mellan kurvan och x-axeln. Oväntat nog är dessa arbetsmetoder varandras motsatser, vilket kallas analysens huvudsats.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även EKVATIONEN sidan 78 GRAFER sidan 108

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ARKIMEDES

ca 287–212 f.Kr. ISAAC NEWTON

1643–1727

GOTTFRIED LEIBNIZ

1646–1716

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

1789–1857

KARL WEIERSTRASS

1815–1897

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Om vi vet en rullande kulas position i för­ hållande till tiden kan differentialkalkylen ge oss dess hastighet och acceleration. Tillämpar vi det på en kulle så ger kalkylen det tangent­ plan som bestämmer kullens lutning.

SLUMPEN ÄR VACKER

g

SLUMPEN ÄR VACKER ORDLISTA

apriorifördelning Inom statistiken vad man tror om sannolikheten för en viss händelse innan man har fått data som kan användas för att beräkna fördelningen. Apriorifördelningen spelar en viktig roll i Bayes sats. binär sekvens En lång följd av 0:or och 1:or som representerar ”av” respektive ”på” inom datatekniken. Instruktionerna till en dator består av binära sekvenser. centrala gränsvärdessatsen En sats inom sannolikhetsläran som säger att om man adderar ett tillräckligt stort antal oberoende slumpmässiga variabler, som att kasta en tärning, så kommer summan att gå mot en normalfördelning som grafiskt ger en normalfördelningskurva. falskt positivt Ett fel i till exempel ett medicinskt test. Falskt positiva resultat kan inträffa på grund av brister i testrutinerna och

54 g Slumpen är vacker

ger ett positivt resultat trots att det borde ha varit negativt. Eftersom falskt positiva resultat är vanliga i många tester är det omöjligt att bestämma sannolikheten för ett positivt resultat innan man har tillräckliga kunskaper för att bestämma apriorifördelningen. Se apriorifördelning och sant positivt. frekvens Antalet gånger en viss händelse inträffar under ett visst tidsintervall eller under en stor mängd tester i samband med ett experiment. Ju fler gånger en händelse inträffar, desto högre är frekvensen. Nashjämvikt Ett stadium där alla spelare i ett spelparti använder strategier som går ut på att inte ge någon annan spelare större chans att vinna. normalfördelning Inom sannolikhetsläran är denna fördelning mycket viktig och den representeras av en klockformad kurva som kallas

normalfördelningskurvan. Toppen av kurvan motsvarar medelvärdet, eller väntevärdet, och sidorna, som motsvarar alla tänkbara variationer, sluttar brant neråt innan de planar ut. odds Inom sannolikhetsläran jämför odds antalet utfall som ger en viss händelse med antalet utfall som inte ger den händelsen. Om sannolikheten för att något ska inträffa är p och sannolikheten för att det inte ska inträffa är 1 – p, så är oddset för att det ska inträffa p/(1 2p). Oddset emot att det ska inträffa är då (1 2p)/p. Sannolikheten för att få en fyra när man slår tärning är 1/6. Sannolikheten för att inte få en fyra är 5/6. Oddset för att få en fyra är då (1/6)/(5/6), eller 1/5. Uttryckt på vanligt sätt säger vi att oddset för en fyra är 1:5 (för). Oddset för att inte få en fyra är då 5:1 (emot). Det betyder att det finns ”fem sätt att förlora för varje sätt att vinna”.

sannolikhet Sannolikhet uttrycker hur trolig en händelse är genom att jämföra antalet utfall som leder fram till den med alla tänkbara utfall. Sannolikheten är förhållandet mellan antalet gynnsamma utfall (en viss händelse inträffar) och antalet möjliga utfall och skrivs som ett tal mellan 0 (noll sannolikhet) och 1 (visshet). Om du drar ett kort ur en kortlek är sannolikheten för att få ett hjärterkort 13/52 eller 1/4. Sannolikheten för att få ett hjärterkort är alltså 0,25. sant positivt Ett korrekt positivt resultat vid till exempel ett medicinskt test. Sant positiva resultat skiljer sig från falskt positiva genom att ett sant positivt är ett korrekt positivt resultat, medan ett falskt positivt är ett felaktigt positivt resultat som inträffar på grund av fel eller bristande noggrannhet. Se falskt positivt.

Ordlista g 55

SPELTEORI matematik på 30 sekunder Människan har ägnat sig åt SUMMERING PÅ 3 S

De strategier som används i spel som schack kan analyseras matematiskt och dyker upp i ett brett spektrum av vetenskapliga ämnen.

ADDERA 3 MINUTER

Spelteorin har expanderat utanför spelens gränser och kan tillämpas inom allt från politik till artificiell intelligens. Men spelen är fortfarande en utmaning. 2007 utvecklade den kanadensiske professorn Jonathan Schaeffer och hans kolleger en vattentät strategi för damspelet. Deras program kan aldrig förlora. Datorer kan visserligen slå människor även i schack, men en perfekt strategi i det spelet är ännu en avlägsen dröm. Ett hinder är att ett schackparti kan utvecklas på ett otroligt antal olika sätt – betydligt fler än antalet atomer i universum.

56 g Slumpen är vacker

strategispel i tusentals år, från tre i rad till schack och dam. Vissa är lättare än andra. I tre i rad är det till exempel ganska enkelt att formulera en bra strategi. Med lite övning så behöver du aldrig förlora. Spelteori är matematiska studier av sådana strategier. Ta ett spel som sten, sax, påse: Vilken är den bästa strategin för att vinna det? Om du bestämmer dig för att använda saxen oftare än sten och påse, kan din motståndare utnyttja det genom att använda stenen oftare. Om du inte upptäcker en strategi hos din motståndare är faktiskt den bästa långsiktiga strategin att välja helt slumpartat mellan de tre alternativen. När du spelar på det sättet så kommer du att vinna, förlora och spela oavgjort lika ofta. Det är vad som kallas ”jämvikt” i spelet – om båda spelarna använder den strategin kan ingen av dem öka antalet vinster genom att ändra strategi. John von Neumann och senare John Nash har visat att ett stort antal olika spel har den här typen av jämvikt, vilket är grundläggande inom spelteorin.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även DE STORA TALENS LAG sidan 62 SPELARENS FELTÄNK – LAGEN OM GENOMSNITT sidan 64 SPELARENS FELTÄNK – MARTINGALSPEL sidan 66 BAYES SATS sidan 70

3-SEKUNDERSBIOGRAFI JOHN VON NEUMANN

1903–1957

CLAUDE SHANNON

1916–2001 JOHN NASH

1928–2015 JOHN CONWAY

1937–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Sten, sax, påse – har du en strategi? Det har matematikerna.

BERÄKNING AV ODDS matematik på 30 sekunder Om du slår en tärning är oddset SUMMERING PÅ 3 S

Sannolika och osannolika händelser kan mätas på en skala, antingen i form av spelbolagens odds eller som matematikernas sannolikheter.

ADDERA 3 MINUTER

Spelbolagen ger bättre odds (högre vinst) för händelser som är mer osannolika. Det är skälet till att vi använder ordet ”emot”. Höga odds betyder att en händelse är osannolik. Tänk efter innan du satsar på en häst som ger 40 gånger pengarna – ingen annan tror att den ska vinna. Den kan vinna men sannolikheten är 1/41. Å andra sidan är låga odds, som 1,5 gånger insatsen (pengarna tillbaka plus halva insatsen i vinst), ett tecken på att hästen är favorit. Vinsten blir liten men du har stor chans att vinna.

58 g Slumpen är vacker

för att få en sexa 5 till 1 emot. Det betyder att det finns totalt sex utfall som alla är lika sannolika, av vilka fem är misslyckade och ett är lyckat. En matematiker skulle uttrycka samma sak som en division och säga att sannolikheten för att få en sexa är 1/6 – ett lyckat utfall av sex möjliga. På motsvarande sätt är oddsen för att dra spader ess ur en kortlek 51 till 1 emot, eller 1/52. Så länge alla utfall är lika sannolika (det vill säga att tärningen respektive kortleken inte är riggad) kan oddsen beräknas genom att du räknar lyckade och misslyckade utfall. Inom sannolikhetsläran tilldelas händelser tal som beskriver hur troliga de är. Dessa tal ligger alltid mellan 0 och 1, där 0 motsvarar en omöjlig händelse och 1 säger att den med visshet kommer att inträffa. Mindre troliga händelser har låg sannolikhetsgrad: singlar du slant tio gånger är chansen att få klave tio gånger 1/1024 (1023 till 1 emot). Troliga händelser har däremot hög sannolikhet. Om du drar ett kort ur en kortlek är sannolikheten för att undvika spader ess 51/52 eller 1 till 51. Ett säkert tips, eller?

BESLÄKTADE TEORIER

Se även DE STORA TALENS LAG sidan 62 SPELARENS FELTÄNK – LAGEN OM GENOMSNITT sidan 64 SLUMPEN sidan 68 BAYES SATS sidan 70

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PIERRE DE FERMAT

1601–1665

BLAISE PASCAL

1623–1662

CHRISTIAAN HUYGENS

1629–1695

ANDREY KOLMOGOROV

1903–1987

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

När du slår en tärning är sannolikheten för att få ett udda tal 3/6, så oddsen är 1 till 1: tre händelser ger vinst och tre förlust.

1501

1545

Föds 24 september i Pavia, Italien.

Skriver Artis magnae, sive de regulis algebraicis (även känd som Ars magna).

1520

Skrivs in på universitetet i Pavia.

1545

Ställer och publicerar Jesus horoskop. 1525

Medicine doktor vid universitetet i Pavia. Ansöker om inträde i läkarsällskapet i Milano, men antas inte förrän 1539.

1550

Uppfinner Cardanos galler, ett verktyg för kryptografi.

1570 1526

Skriver Liber de ludo aleae (Boken om att kasta tärning), utgiven postumt 1663.

1536

Anklagas för kätteri.

1570

Skriver Opus novum de proportionibus (om mekanik).

Skriver De malo recentiorum medicorum usu libellus (om medicin).

Dör 21 september i Rom.

1539

1576

Skriver Practica arithmetice et mensurandi singularis (om matematik).

1576

De vita propria (självbiografi) ges ut efter hans död.

GIROLAMO CARDANO Cardano var läkare, matematiker, geolog, naturvetare, alkemist, astrolog, astronom och uppfinnare och på så vis en äkta företrädare för renässansen (konsten var den enda bristen i hans genialitet). Han var god vän med Leonardo da Vinci med vilken han ofta samarbetade (belackarna säger plagierade), men han saknade helt Leonardos charm. De var båda utomäktenskapliga barn till jurister och båda ytterst talangfulla, men medan Leonardo nådde ära och berömmelse låg Cardanos otrevliga personlighet och hyperkritiska sätt i vägen för hans begåvning, och trots att han var mycket efterfrågad för sina kunskaper lyckades han göra sig impopulär överallt. Medicin var hans första karriär – han var en enastående kliniker som anlitades av de högst uppsatta – men hans öppna förakt för kollegerna, brist på empati och dåliga uppförande gjorde att hans praktik i Sacco gick dåligt, trots att han senare skulle jämföras med Vesalius och utnämnas till professor i medicin vid universitetet i Pavia där han själv hade utbildats. Han började intressera sig för matematik som han hade studerat tillsammans med sin far, och skrev två böcker av vilka Ars magna (1545) är en milstolpe från renässansen som beskriver lösningar på tredje- och fjärdegradsekvationer (se sidorna 80–81). Återigen hamnade han i konflikt – han hade fått ett bevis rörande tredje-

gradsekvationer från Niccolò Tartaglia, som hade beskrivit det för Cardano mot löfte om att han inte publicerade det. Men när han upptäckte att Tartaglia inte hade varit helt sanningsenlig valde Cardano ändå att ge ut det och blev fördömd av Tartaglia och sina många fiender. Katastrofen slog till 1560 när Cardanos karriär som läkare åter hade börjat blomstra. Hans äldste son mördade sin otrogna fru och dömdes till döden. Sonens död förstörde Cardanos liv och ödelade hans karriär. Han flyttade till Rom efter att ha berövats alla professorstitlar och sattes under en tid i fängelse för kätteri efter att ha ställt Jesus horoskop. Under hela sitt kontroversiella liv var Cardano en hängiven spelare. Han var mycket bra på det och skrev boken Liber de ludo aleae (Boken om att kasta tärning), den första om sannolikhetslära. Den beskriver i matematiska termer vad som händer när man kastar en tärning. Många purister fnyste, men den är en favorit bland spelare och kasinoägare, framför allt för att den innehåller ett mycket bra kapitel om hur man fuskar. Efter ett långt och produktivt men kaotiskt liv dog Cardano den 21 september 1576. Det sägs att han förutspådde sin egen död på timmen när. Det sägs också att han begick självmord vid den angivna tiden för att hans förutsägelse skulle slå in.

Girolamo Cardano g 61

DE STORA TALENS LAG matematik på 30 sekunder Tänk dig ett experiment med SUMMERING PÅ 3 S

Med tillräckligt många försök kommer frekvensen av en slumpmässig händelse att hamna mycket nära sannolikheten för att den ska inträffa. ADDERA 3 MINUTER

Det första viktiga steget för att visa sambandet mellan sannolikhet och frekvens togs av Jacob Bernoulli 1713. Irénée-Jules Bienaymé och Pafnutij Tjebysjov gav ytterligare stöd åt denna tankegång 150 år senare och det slutgiltiga beviset för att våra uppskattningar kan bli så bra de behöver vara presenterades av Émile Borel 1909.

62 g Slumpen är vacker

slumpmässigt utfall – som att kasta en boll genom en basketring eller singla slant – som du kan upprepa hur många gånger du vill under samma förhållanden. Sannolikheten för att få klave tio gånger i rad är liten, men det är möjligt. Om vi singlar slant i all evighet kommer sådana osannolika händelser att inträffa då och då. Men i det långa loppet kommer den procentuella andelen av, låt säga, klavar att närma sig sannolikheten för den händelsen. Det är de stora talens lag – principen att i det långa loppet kommer sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa att bestämma med vilken frekvens den faktiskt inträffar. De stora talens lag inskränker sig inte till slumpmässiga händelser. Tänk dig att du vill ta reda på genomsnittslängden för kvinnor i Sverige. Ju större grupp du studerar ur en stor population, desto bättre stämmer gruppens genomsnitt överens med populationens genomsnitt. Noggrannheten i din bedömning av ett genomsnitt ökar bara med kvadratroten ur testgruppens storlek. Och för att göra en god uppskattning krävs ett större underlag om det du mäter varierar mer. Men den här lagen gör klart för oss att har vi bara tillräckligt mycket data kan vi alltid göra en så bra uppskattning som vi behöver.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även SPELARENS FELTÄNK – LAGEN OM GENOMSNITT sidan 64

3-SEKUNDERSBIOGRAFI JACOB BERNOULLI

1654–1705

IRÉNÉE-JULES BIENAYMÉ

1796–1878

PAFNUTIJ TJEBYSJOV

1821–1894

ÉMILE BOREL

1871–1956

30-SEKUNDERSTEXTEN John Haigh

Hur stor är chansen att göra mål på tre skott av tio under en längre period? I det långa loppet kommer den att vara ungefär densamma.

SPELARENS FELTÄNK – LAGEN OM GENOMSNITT matematik på 30 sekunder Det kan kännas frestande att SUMMERING PÅ 3 S

I slumpspel är det tveklöst en dålig strategi att använda tidigare utfall för att förutsäga framtiden.

ADDERA 3 MINUTER

Mynt, tärningar och roulettehjul ger alla utfall som är lika sannolika vid varje spel. Och osannolika händelser sker: tio klavar i rad, tolv 7:or i rad, inget tal över 30 på tio spel och så vidare. Det finns så många ”ovanliga” saker som kan inträffa att några av dem måste göra det (”ovanliga händelser inträffar ofta”). Men de kan aldrig påverka framtiden eller våra möjligheter att förutsäga den.

64 g Slumpen är vacker

misstänka att om du har fått tio klavar i rad så skulle chansen vara större att få krona. Vissa menar att ”enligt lagen om genomsnitt som säger att krona och klave är lika vanligt, måste krona snart börja komma ikapp”. Det stämmer inte: Om myntet inte är manipulerat spelar de tidigare utfallen ingen roll – chansen att få krona eller klave nästa gång är fortfarande fast vid 50 % klave, 50 % krona. Detsamma gäller för roulette och lotto: att nollan inte har visat sig under 100 spel ökar inte chansen för att den ska komma upp nästa gång. I Italien dök inte talet 53 upp i lottoraden under två års tid vilket ledde till många personliga konkurser och självmord. Mynt, roulettehjul och lottobollar är viljelösa föremål utan förmåga att minnas tidigare utfall och anpassa sin frekvens. Frekvenser kommer att närma sig sina respektive sannolikheter, i det långa loppet – men det kan ta mycket lång tid! En äkta ”lag om genomsnitt” är inget annat än en omformulering av lagen om stora tal, och kan inte användas för att hävda att tidigare resultat kan påverka den närmaste framtiden.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även DE STORA TALENS LAG sidan 62 SPELARENS FELTÄNK – MARTINGALSPEL sidan 66

3-SEKUNDERSBIOGRAFI GIROLAMO CARDANO

1501–1576

30-SEKUNDERSTEXTEN John Haigh

Varje gång du singlar slant är chansen att få krona eller klave densamma – även om du har fått flera kronor eller klavar i rad.

SPELARENS FELTÄNK – MARTINGALSPEL matematik på 30 sekunder Ett europeiskt roulettehjul har SUMMERING PÅ 3 S

Att fördubbla insatsen efter varje förlust på rött eller svart i roulette är en dålig snarare än en vinnande strategi. ADDERA 3 MINUTER

Amerikanska roulettehjul har dessutom en ”dubbelnolla” men vinsten är densamma. I båda fallen gör kasinot en liten men säker vinst i det långa loppet. Det finns inget sätt att kombinera olika satsningar på ett spel eller på olika spel som raderar ut kasinots fördel. Om roulettehjulet är i ursprungligt skick och alla utfall är lika sannolika kommer spelaren i det långa loppet att förlora.

66 g Slumpen är vacker

37 fält – 18 röda, 18 svarta och ett grönt (0). Spel på rött eller svart ger dubbla insatsen vid vinst. En spelare bestämmer sig för att alltid spela på rött och dubbla insatsen om han förlorar. Eftersom sannolikheten för rött inte är noll är det oundvikligt att utfallet blir rött ibland – kanske dyker första röda upp vid fjärde försöket: då har han förlorat 1 + 2 + 4 (totalt 7) insatser och vunnit 8 vilket ger en nettovinst på en insats. Denna vinst på en insats följer med hela tiden, hur lång tid det än tar innan den första röda dyker upp. Spelaren menar att han på det här sättet kommer att vinna en insats för varje påbörjad serie. Tyvärr för spelaren är denna slutsats falsk. Alla kasinon har en maximal insats, ofta omkring 100 gånger minimiinsatsen. När spelaren har förlorat 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 (totalt 127) enheter, förbjuder kasinots regler honom att satsa 128 enheter, även om spelaren har de pengar som krävs! Spelaren kan använda det här systemet för att vinna 1 enhet flera gånger, men det är ofrånkomligt att han förr eller senare hamnar i en situation när han inte kan eller får fullfölja systemet och då förlorar han mer än han har tjänat.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även DE STORA TALENS LAG sidan 62 SPELARENS FELTÄNK – LAGEN OM GENOMSNITT sidan 64

3-SEKUNDERSBIOGRAFI GIROLAMO CARDANO

1501–1576

30-SEKUNDERSTEXTEN John Haigh

Spela inte med dubbla insatsen – det är en usel strategi.

SLUMPEN matematik på 30 sekunder Tänk dig två långa serier med SUMMERING PÅ 3 S

Slumpen är central inom naturvetenskapen, men mycket svår att upptäcka matematiskt. ADDERA 3 MINUTER

Internet bygger på binära sekvenser: långa följder av 0:or och 1:or som datorerna översätter till de program och filer vi vill använda. För att maximera effektiviteten komprimeras de här följderna så långt det går med filkomprimeringsprogram. När en följd har komprimerats genom att förutsägbara eller återkommande mönster tagits bort blir den svårare att skilja från rent slumpmässiga följder. Perfekt komprimerad information är matematiskt oskiljaktig från slumpmässig.

68 g Slumpen är vacker

krona (A) och klave (B), som båda börjar med AABABA … Den ena är helt slumpmässig och resultatet av att någon singlat slant. Den andra är det inte, utan är noggrant utvald av en människa. Finns det något sätt att avgöra vilken som är vilken? Ett enkelt test säger att i det långa loppet ska krona och klave uppträda lika ofta i en slumpmässig sekvens. Men det räcker inte. Det ska även finnas lika många par av resultat (AA, AB, BA och BB). Detsamma gäller för tripplar, kvadrupler och längre sekvenser. Men det finns ännu fler krav på en äkta slumpmässig följd och ovanstående kriterier går också att åstadkomma på artificiell väg. Den enklaste sekvensen är BBBBBB … Den är helt klart inte slumpmässig. Den kan dessutom enkelt komprimeras. Frasen ”en miljon klavar” beskriver den sekvensen på ett mycket smidigt sätt och gör att vem som helst kan förmedla och återskapa den perfekt. Äkta slumpmässiga följder kan inte komprimeras alls. Det enda sättet att beskriva en slumpmässig sekvens för någon är att skriva ner hela sekvensen. Det är först på senare år som man har insett detta viktiga faktum – att slumpmässigt är liktydigt med icke komprimerbart.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även DE STORA TALENS LAG sidan 62 BAYES SATS sidan 70 ALGORITMER sidan 84 GÖDELS OFULLSTÄNDIGHETSSATS sidan 144

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ÉMILE BOREL

1871–1956

ANDREJ KOLMOGOROV

1903–1987

RAY SOLOMONOFF

1926–2009

GREGORY CHAITIN

1947–

LEONID LEVIN

1948–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Vilken följd är slump­ mässig? Inte ens matematikerna kan avgöra det.

BAYES SATS matematik på 30 sekunder Tänk dig att en testmetod för en SUMMERING PÅ 3 S

Bayes sats hjälper oss att finna sannolikheten för en händelse om alla fakta finns till hands, men bara om du känner till apriorifördelningen.

ADDERA 3 MINUTER

Bayes sats är uppkallad efter den presbyterianske prästen Thomas Bayes som levde i England på 1700talet. Hans arbete i ämnet publicerades inte förrän flera år efter hans död. Bayes sats leder till filosofiska frågor om sannolikhetens inneboende natur. Inte minst apriorifördelningens betydelse i Bayes sats visar att det inte går att bedöma sannolikheten för en viss händelse förrän man har gjort upprepade försök för att bedöma händelsens frekvens.

70 g Slumpen är vacker

viss sjukdom har 90 % noggrannhet. Tänk dig sedan att en slumpmässigt vald person, Bob, testar positivt. Vilken är den ungefärliga sannolikheten för att Bob har sjukdomen? Det visar sig att den frågan inte kan besvaras! Du behöver mer information, nämligen hur vanlig den aktuella sjukdomen är. Du behöver veta apriorifördelningen – hur stor sannolikheten är för att en slumpmässigt vald person har sjukdomen. Låt oss anta att 1 % av befolkningen har sjukdomen. Bayes sats ger oss sannolikheten för att den som har testat positivt har sjukdomen. I en grupp med 1 000 personer har i genomsnitt 10 personer sjukdomen (1 %) och 9 av dem ger positivt testresultat (”sant positivt”). Resterande 990 personer har inte sjukdomen och 10 % av dem, eller 99 personer, kommer ändå att testa positivt (”falskt positivt”). De falskt positiva resultaten överträffar de sant positiva med 99 mot 9 så oddsen är alltså 11:1 att Bob inte har sjukdomen. En osannolik händelse förblir osannolik trots resultatet från ett tillsynes noggrant test!

BESLÄKTADE TEORIER

Se även BERÄKNING AV ODDS sidan 58 SPELARENS FELTÄNK – LAGEN OM GENOMSNITT sidan 64 SLUMPEN sidan 68

3-SEKUNDERSBIOGRAFI THOMAS BAYES

ca 1702–1761

30-SEKUNDERSTEXTEN Jamie Pommersheim

Oddset för en viss händelse är för­ hållandet mellan antalet sant positiva utfall (9) och antalet falskt positiva (99).

ALGEBRA OCH ABSTRAKTION

g

ALGEBRA OCH ABSTRAKTION ORDLISTA

algebraisk geometri Den gren inom matematiken som kombinerar geometri med algebra – den omfattar studier av geometriska former som skapas av lösningsgraferna till algebraiska polynomekvationer. associativ En egenskap hos en operation som innebär att om ett uttryck innehåller två eller flera operatorer av samma slag så spelar det ingen roll i vilken ordning operationerna utförs. Multiplikation av tal är till exempel associativ eftersom (a 3 b) 3 c 5 a 3 (b 3 c). differentialekvation En ekvation som innehåller en okänd funktion och en eller flera av dess derivator. Differentialekvationer är viktiga verktyg när man gör modeller av fysiska och mekaniska processer inom fysik och ingenjörsvetenskap. egenskap En karakteristik eller beskrivning av en mängd eller helhet. Egenskaper behöver inte vara fysiska – exempelvis har talen 2, 4, 6, 8 egenskapen att vara jämna tal. exponent Det tal som anger hur många gånger ett annat tal, basen, ska multipliceras med sig självt. I uttrycket 43 5 64 är exponenten 3 och basen 4. Exponenten utläses ”upphöjt till” (här fyra upphöjt till tre).

74 g Algebra och abstraktion

femtegradspolynom Polynom där den högsta exponenten för en variabel är 5. heltal I mängden heltal ingår alla de naturliga talen (0, 1, 2 …) och alla de negativa heltalen (… –3, –2, –1). identitet (eller neutralt element) Ett element i en mängd som när det kombineras med ett annat element i en binär operation gör att det andra elementet förblir detsamma. I mängden av positiva heltal där operationen är addition är identiteten 0. I samma mängd där operationen är multiplikation är identiteten 1. invers (eller inverterad operation) En operation som har motsatt effekt jämfört med en annan operation. Exempelvis är inversen till addition subtraktion och vice versa medan inversen till multiplikation är division och vice versa. koefficient Ett tal som används för att multiplicera en variabel. I uttrycket 4x 5 8 är 4 koefficienten och x variabeln. Koefficienter är oftast tal men kan även skrivas med symboler: a kan till exempel representera en koefficient. Koefficienter utan variabler kallas konstanta termer eller bara konstanter.

kommutativ En egenskap hos en operation som innebär att om ordningen på talen i ett uttryck kastas om så blir svaret ändå detsamma. Multiplikation av tal är kommutativ eftersom 3 3 5 5 5 3 3. konstant Ett tal, en bokstav eller en symbol som står för sig själv och motsvarar ett bestämt värde. I till exempel ekvationen 3x 2 8 5 4 är 3 en koefficient och x en variabel, medan 8 och 4 är konstanter. ofullständighetssatsen En sats av Kurt Gödel som säger att ett system av matematiska regler som inbegriper aritmetikens regler inte kan vara fullständigt. Det betyder att det alltid kommer att finnas matematiska påståenden som inte går att bevisa eller motbevisa med hjälp av enbart reglerna i det systemet. operation En räkneregel som ger ett utgångsvärde för ett eller flera ingående värden. De vanligaste operationerna är de vi kallar de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division. polynom Ett uttryck som innehåller tal och positiva heltalspotenser av variabler och som bara tillåter operationerna addition, subtraktion och multiplikation, t.ex. 3 x2 1 4x 21. (Se även Polynomekvationer, sidan 80.)

reellt tal Ett tal som kan placeras in på en kontinuerlig tallinje – den reella tallinjen. De reella talen kan indelas i rationella tal (det vill säga tal som kan skrivas som heltalsbråk, inklusive positiva och negativa heltal) och irrationella tal (som inte kan skrivas som heltalsbråk, till exempel √2 och p). snitt Inom mängdläran namnet på den mängd som bara innehåller element som är gemensamma för två eller flera mängder. Om vi till exempel har två mängder A och B, är snittet den mängd element som ingår i båda mängderna A och B. term Ett tal eller en variabel, eller en kombination av tal och variabler, som är åtskilda av operationen 1 eller 2 i ett uttryck. I till exempel ekvationen 4x 1 y2 2 34 5 9 är 4x, y2 och 34 termer. variabel En symbol som står för ett tal vars numeriska värde kan variera. En variabel uttrycks ofta med en bokstav som t.ex. x eller y, och fungerar som platshållare i ekvationer och uttryck som 3x 5 6, där 3 är en koefficient, x en variabel och 6 en konstant.

Ordlista g 75

DEN VARIABLA PLATSHÅLLAREN matematik på 30 sekunder Matematiker diskuterar alltid tal, SUMMERING PÅ 3 S

Inom algebran används symboler som x och y för att representera okända tal, eller mängder vars värden kan förändras.

ADDERA 3 MINUTER

Algebra är den gren inom matematiken som gör att vi kan uttrycka generella regler för tal. Börja till exempel med två tal: 4 och 5. Multiplicera sedan vart och ett av dem med ett tredje tal, 3, vilket ger 12 och 15. Addera sedan resultaten: 27. Du får samma svar som om du hade lagt ihop de två ursprungliga talen (4 1 5 5 9) och sedan multiplicerat med det tredje (9 3 3 5 27). Det gäller för vilka tre ursprungliga tal som helst. Den här lagen kan uttryckas algebraiskt: (x 1 y) z 5 xz 1 yz.

76 g Algebra och abstraktion

men ofta vill de göra det utan att bestämma deras exakta värden. Anta att vi vill uttrycka att det i ett visst rum finns dubbelt så många kvinnor som män. Vi kan uttrycka det förhållandet mellan de två talen utan att känna till deras värden genom att använda en platshållare i form av en symbol som x. Om det (hittills okända) antalet män i rummet är x, så är antalet kvinnor 2 gånger x (ofta förkortat till bara 2x). Om vi senare till exempel får reda på att x 5 7, kan vi sätta in det värdet i sambandet och få reda på antalet kvinnor: 2x 5 14. Detta abstrakta, algebraiska uttryckssätt är mycket användbart inom all vetenskap. Om en bil kör med den konstanta hastigheten v en viss sträcka s, under tiden t, så måste det finnas ett visst förhållande mellan talen v, s och t, oavsett vilka värden de har. Här måste hastigheten vara lika med avståndet dividerat med tiden, det vill säga v 5 s/t. Det är en generell regel, men sätter vi in faktiska värden kan vi räkna på specifika fall. Om vi sedan får reda på två av de faktiska värdena (till exempel s 5 10 och t 5 2), kan vi använda formeln för att finna det tredje (v 5 10/2 5 5).

BESLÄKTADE TEORIER

Se även EKVATIONEN sidan 78 POLYNOMEKVATIONER sidan 80

3-SEKUNDERSBIOGRAFI DIOFANTOS

ca 200–284 ABU 'ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI

ca 770–850

ABU KAMIL SHUJA

ca 850–930

OMAR KHAYYAM

1048–1131 BHASKARA

1114–1185

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

I algebran markerar x platsen för ett okänt tal.

EKVATIONEN matematik på 30 sekunder Den viktigaste symbolen inom SUMMERING PÅ 3 S

När vi vet att två mängder är lika stora har vi en ekvation. De flesta vetenskapliga påståenden har den formen.

ADDERA 3 MINUTER

Ekvationer behöver inte bara uttrycka likheten mellan tal, de kan även innehålla mer sofistikerade storheter. Differentialekvationer talar om att två olika geometriska kvantiteter faktiskt är desamma. Einsteins fältekvation inom den allmänna relativitetsteorin säger att det sätt på vilket materia rör sig i rummet är lika med det sätt på vilket rummet är krökt. För att förstå universums geometri måste vi lösa den ekvationen.

78 g Algebra och abstraktion

matematiken är =. Den talar om att mängderna på båda sidorna är lika stora. En ekvation är ett uttryck på denna form. Uppenbara ekvationer som 7 5 7 är naturligtvis ganska ointressanta. Men ekvationer kan vara mycket användbara när likheten är mindre uppenbar. Ett berömt exempel är E 5 mc2, den ekvation inom fysiken som säger att energin (E) som finns i ett föremål är lika med massan (m) gånger ljushastigheten (c) i kvadrat. Många grundläggande lagar inom fysiken uttrycks som ekvationer. En vanlig typ av ekvation innehåller ett okänt tal. Om x är ett tal sådant att 2x 1 1 5 9, det vill säga ”2 gånger x plus 1 är lika med 9”, så innehåller den ekvationen tillräcklig information för att bestämma x exakt. Det finns bara ett möjligt värde på x som får ekvationen att stämma. När man löser ekvationer är grundregeln att ”alltid göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet”. Om du vill subtrahera 1 från ena sidan så måste du göra det även från den andra: 2x 5 8. När du sedan vill dividera ena sidan med 2 måste du göra det på båda: x 5 4. Det här är lösningen till den ursprungliga ekvationen.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även INFINITESIMALKALKYL sidan 50 DEN VARIABLA PLATSHÅLLAREN sidan 76 POLYNOMEKVATIONER sidan 80

3-SEKUNDERSBIOGRAFI EUKLIDES

ca 325–265 f.Kr. DIOFANTOS

ca 200–284 ABU 'ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI

ca 770–850

ABU BAKR MUHAMMAD IBN AL-HASAN AL-KARAJI

ca 953–1029

ALBERT EINSTEIN

1879–1955

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Vetenskapen bygger på ekvationer – lik­ heter – från grund­ skolans räkning till relativitetsteorin.

POLYNOMEKVATIONER matematik på 30 sekunder På gymnasiet får studenterna lära SUMMERING PÅ 3 S

Polynom är uttryck som innehåller tal och positiva heltalspotenser av variabler och som bara tillåter operationerna addition, subtraktion och multiplikation (t.ex.4x2-8x+6).

ADDERA 3 MINUTER

I antikens Grekland var man inriktad på geometri och löste andragradsekvationer med hjälp av korsande linjer och cirklar som man ritade med linjal och passare. Geometrin hos former som definieras av polynomekvationer med mer än en variabel kallas algebraisk geometri och är ett centralt område i dagens matematiska forskning. Inom tekniken används paraboloiden som bestäms av följande polynomekvation med 3 variabler: z 5 x2 1 y2, för att bestämma formen på parabolantenner och bilstrålkastare.

80 g Algebra och abstraktion

sig att lösa ekvationer som 3x2 1 5x 2 1 5 0. Det är ett exempel på en polynomekvation, som definitionsmässigt innehåller summor av termer (som 3x2) där en variabel (här x) är upphöjd till en positiv heltalsexponent (i det här fallet 2). Ovanstående ekvation är en andragradsekvation eftersom den högsta exponenten (det antal gånger basen ska multipliceras med sig själv) är 2. Thornieroperationer – som innehåller bråktalsexponenter, trigonometriska och exponentiella funktioner – är inte tillåtna i polynom, och det gör att polynomekvationerna tillhör de mest grundläggande ekvationerna. Metoder för lösning av andragradspolynom (att hitta värden för variabeln som satisfierar ekvationen) upptäcktes för länge sedan i olika kulturer, oberoende av varandra. Arbetet ledde så småningom fram till en lösningsformel som gör att man enkelt hittar de exakta lösningarna. En generell lösning av tredjegradsekvationen (där den högsta exponenten är 3) och fjärdegradsekvationen (4) presenterades först på 1500-talet i Italien, när matematikerna lyckades ta fram formler som liknar den för andragradsekvationen men är mer komplicerade. Sökandet efter en formel för femtegradsekvationer avslutades mer än 200 år senare när Niels Abel bevisade ett av de första negativa resultaten i matematikens historia: det finns inga generella lösningsmetoder för polynomekvationer av femte graden eller högre!

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 FUNKTIONER sidan 46 DEN VARIABLA PLATSHÅLLAREN sidan 76

3-SEKUNDERSBIOGRAFI NICCOLÒ TARTAGLIA

1499/1500–1557

GIROLAMO CARDANO

1501–1576

NIELS HENRIK ABEL

1802–1829

ÉVARISTE GALOIS

1811–1832

30-SEKUNDERSTEXTEN Jamie Pommersheim

Polynomekvationer bildar vackra tredimensionella former.

z 5 x2 1 y 2

> En paraboloid beskrivs av polynomekvationen z 5 x2 1 y2

> En hyperboloid beskrivs av polynomekvationen x2 1 y2 2 z2 5 1

x 2 1 y2 2 z2 5 1

ca 770–780

Föds i Khwarizm, i dagens Uzbekistan.

825

Skriver Beräkning med indiska siffror.

ca 830

Skriver Den kortfattade boken om beräkning genom återförening och opposition.

830

Presenterar en världskarta.

ca 850

Dör.

Mitten av 1100-talet

Robert från Chester översätter Den kortfattade boken om beräkning genom återförening och opposition.

82 g Algebra och abstraktion

1126

1857

Adelard från Bath översätter al-Khwarizmis astronomiska tabeller.

Algoritmi de numero Indorum (al-Khwarizmi om indisk räknekonst) av Baldassarre Boncompagni publiceras.

1100-talet

Adelard från Bath översätter Beräkning med indiska siffror.

ABU ‘ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI Abu ‘Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi var en av de främsta tänkarna under den islamska storhetstiden, och hans arbete som översattes till latin fyra århundraden efter hans död lade grunden för de matematiska studierna i väst. Man vet inte mycket om hans liv – hans familj var persisk och flyttade till Bagdad (ett arabiskt kalifat sedan mitten av 600-talet) där han studerade vid kalifen al Mamuns Visdomens hus (Bait al-Hikma) – bibliotek och lärosäte under den islamska guldåldern. Här studerade alKhwarizmi vetenskapliga texter översatta till grekiska och sanskrit och verk av babylonska och persiska vetenskapsmän. Han var en framstående geograf, kartograf (han redigerade och korrigerade Ptolemaios Geographica, och fick 70 geografer att delta i framtagningen av en världskarta till kalifen) och astronom, men hans största och mest ovärderliga bidrag handlade om matematik – i synnerhet algebra, aritmetik och trigonometri. Han sammanförde tekniker, metoder och idéer från Indien och längre österut och tillförde egna innovationer och förbättringar. Vi har al-Khwarizmi att tacka för införandet av det indiska talsystemet i väst,

inklusive nollan (som han hämtade från äldre indiska matematiker vilket framgår av titeln på hans bok från år 825, Beräkning med indiska siffror), arabiska siffror, tiotal, ental, decimaler och decimalkomma. Han är troligen mest känd som algebrans fader (även om det mest handlade om att sammanföra befintlig kunskap och lägga till egna tolkningar och metoder). Faktum är att ordet ”algebra” kommer från arabiskans al-jabr (komplettering, återförening) vilket ingår i titeln på hans stora verk Den kortfattade boken om beräkning genom återförening och opposition, som innehåller den första systematiska lösningen av linjära ekvationer och andragradsekvationer. Den hade efterfrågats av kalifen som ville ha en praktisk och lättläst bok med verkliga exempel och lösningar på problem inom handel och affärsverksamhet. När al-Khwarizmis arbete översattes till latin på 1100-talet fick matematikerna ännu ett nytt ord. Den latiniserade formen av hans namn är Algoritmi och ur det uppstod begreppet algoritm. Han har även en krater på månens baksida uppkallad efter sig.

Abu ’Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi g 83

ALGORITMER matematik på 30 sekunder Informationsrevolutionen på SUMMERING PÅ 3 S

Algoritmer uppfattades som teoretiska procedurer för lösning av matematiska uppgifter. Nu används de i stor mängd i datorer över hela världen.

ADDERA 3 MINUTER

Den största frågan inom datavetenskapen handlar om hur fort en algoritm kan köras. Tänk dig att du börjar med två stora primtal och multiplicerar dem. Utmaningen är att hitta de två ursprungliga talen ur slutresultatet. Det finns en algoritm för att göra det, men det kan ta miljontals år även för de allra snabbaste av dagens processorer. Finns det ett snabbare sätt? Ingen vet. Men det hoppas vi inte eftersom det är det som gör våra bankaffärer på nätet säkra!

84 g Algebra och abstraktion

1900-talet gick hand i hand med datorns utveckling. Men datorer är ingenting utan sina program, och dataprogram är inget annat än tilllämpningar av matematiska konstruktioner som kallas algoritmer. En algoritm är inte komplicerad, den är bara en lista med instruktioner för att utföra en uppgift där varje steg är helt otvetydigt så att det kan utföras av en maskin utan tankeförmåga. Ordet algoritm kommer från al-Khwarizmi som tog fram vattentäta procedurer för lösning av vissa ekvationer. Många matematiker utvecklade liknande idéer under åren som gick, men det var först genom Alan Turings och Alonzo Churchs arbeten under 1930talet som den exakta formuleringen av en algoritm utkristalliserade sig. Turing tänkte sig ett pappersband utefter vilket en ”Turingmaskin” kröp fram och skrev respektive raderade symboler enligt vissa bestämda regler. Turing använde denna teoretiska modell för att visa att en enstaka procedur aldrig skulle kunna ge svar på alla matematiska frågor. Även bland heltalen finns det en del ”oberäkneliga” problem. Det här var en parallell till Gödels ofullständighetssats, och en lika stor chock för matematikerna. Men det var när Turingmaskinen tog steget över från abstrakt matematik till den verkliga världen som datorn föddes.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även POLYNOMEKVATIONER sidan 80 HILBERTS PROGRAM sidan 142 GÖDELS OFULLSTÄNDIGHETSSATS sidan 144 AL-KHWARIZMI sidan 82

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ALONZO CHURCH

1903–1995

STEPHEN KLEENE

1909–1994

ALAN TURING

1912–1954

STEPHEN COOK

1939–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Alla dataprogram består av en algoritm, en idé som uppstod på 800­talet.

MÄNGDER OCH GRUPPER matematik på 30 sekunder Att samla ihop och kategorisera SUMMERING PÅ 3 S

Varje samling av objekt är en matematisk mängd. En grupp skapas genom att objekt kombineras i en mängd så att andra objekt i mängden uppkommer.

ADDERA 3 MINUTER

Vi har tänkt oss att det är tal som är våra objekt, men det hela blir kanske intressantare om vi betraktar andra saker som våra objekt. Den berömda kvintcirkeln inom musikvetenskapen är mängden av de 12 tonarterna. Den kan ges en gruppstruktur som kallas en cyklisk grupp.

86 g Algebra och abstraktion

objekt är en viktig del av matematiken. Samlingar av objekt (mängder) gör att vi kan definiera gemensamma egenskaper hos de saker vi studerar. Att skapa unioner av mängder (där varje objekt som ingår i någon av mängderna finns med) eller snitt (där bara de objekt som ingår i båda mängderna finns med) hjälper oss att förfina kategoriseringen. Precis som med tal kan vi kombinera objekt i en mängd för att skapa andra objekt i samma mängd. En grupp är en mängd med speciella egenskaper. 1) Två objekt vilka som helst i mängden kan kombineras via en operation (till exempel addition) och kombinationen av två objekt måste redan finnas med i mängden. 2) Det finns ett speciellt objekt i mängden som kallas identiteten och har egenskapen att vilket objekt som helst som kombineras med identiteten förblir oförändrat – exempelvis är 0 den additiva identiteten eftersom du kan addera den till vilket annat tal som helst utan att dess värde ändras. 3) Till varje objekt i gruppen finns ett annat objekt i gruppen som kallas dess invers. Ett objekt som kombineras med sin invers blir identiteten. Tänk på alla heltal med addition som kombinerande operation och 0 som identiteten så förstår du, t.ex. 5 1 –5 5 0.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även FUNKTIONER sidan 46 RINGAR OCH FÄLT sidan 88

3-SEKUNDERSBIOGRAFI JOSEPH-LOUIS LAGRANGE

1736–1813

NIELS HENRIK ABEL

1802–1829

ÉVARISTE GALOIS

1811–1832

ARTHUR CAYLEY

1821–1895

GEORG CANTOR

1845–1918

BENOÎT MANDELBROT

1924–2010

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Venndiagram gör det lättare att förstå sambanden mellan olika mängder.

A

A"C

A"B

A"B"C

B"C B

C

RINGAR OCH FÄLT matematik på 30 sekunder Aritmetik med heltal omfattar två SUMMERING PÅ 3 S

Mängden heltal har trevliga egenskaper som ger den beteckningen ring. Mängden reella tal är ännu trevligare och kallas ett fält.

ADDERA 3 MINUTER

Ringar och fält var historiskt viktiga eftersom matematikerna tack vare dem kunde översätta vissa klassiska problem till ett helt nytt språk. Det nya språket ledde fram till länge emotsedda bevis, som att cirkelns kvadratur var omöjlig, att kuben inte kan dubbleras och att en godtycklig vinkel inte kan delas jämnt i tre med bara passare och linjal. Det gjorde också att matematikerna kunde bevisa att trots att vi har formler för lösning av andra-, tredje- och fjärdegradsekvationer, kan ingen motsvarande formel existera för femtegradspolynom.

88 g Algebra och abstraktion

grundläggande operationer: addition och multiplikation (genom vilka vi även lär oss subtraktion och division). I skolan får vi lära oss att summan 1 1 4 1 9 1 16 inte kräver några parenteser eftersom vi kan starta var som helst och även kasta om termerna och alltid få samma svar (eftersom addition är associativ och kommutativ). Vi lär oss hur operationerna samverkar genom att förstå heltalens distributiva egenskaper: a 3 (b 1 c) = a 3 b 1 a 3 c. Många mängder har också dessa praktiska egenskaper. Vi listar dem inte här men vi har ett namn på alla mängder med dessa egenskaper: ringar. Mängden av reella tal är också en ring, men den har ytterligare en praktisk egenskap som mängden av heltal saknar. För heltalen gäller att om du adderar eller multiplicerar två heltal så får du ett heltal och detsamma gäller vid subtraktion, men du får inte alltid ett heltal om du dividerar två heltal. Ett reellt tal kan du däremot dividera med vilket annat reellt tal som helst (utom noll!) och alltid få ett reellt tal. Den distinktionen gör att mängden reella tal är ett fält.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även ADDITION OCH SUBTRAKTION sidan 40 MULTIPLIKATION OCH DIVISION sidan 42 POLYNOMEKVATIONER sidan 80 MÄNGDER OCH GRUPPER sidan 86 CIRKELNS KVADRATUR sidan 104

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ÉVARISTE GALOIS

1811–1832

RICHARD DEDEKIND

1831–1916

EMMY NOETHER

1882–1935

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Den distributiva egenskapen beskriver samverkan mellan addition och multi­ plikation – mängder med samma egenskaper kallas ringar.

GEOMETRI OCH FORMER

g

GEOMETRI OCH FORMER ORDLISTA

axiom Ett påstående som är uppenbart sant eller har accepterats som sant utan bevis.

hexagon En polygon med sex raka sidor och sex hörn.

diameter En rät linje som passerar genom centrum av en cirkel eller en sfär, från ena sidan till den andra. Mer allmänt uttrycker den det största avståndet mellan två punkter i samma figur.

hyperbolisk geometri En form av ickeeuklidisk geometri där parallellpostulatet i den euklidiska geometrin har ersatts med postulatet att det finns minst två linjer i planet som inte korsar en given linje. I hyperbolisk geometri är en triangels vinkelsumma mindre än 180º. Se euklidisk geometri.

dodekaeder En polyeder med 12 sidor. En regelbunden dodekaeder är en av de fem platonska kropparna och har 12 regelbundna pentagoner som sidor. En rombisk dodekaeder är ett exempel på en oregelbunden dodekaeder.

hypotenusa Den längsta sidan i en rätvinklig triangel. Hypotenusan spelar en viktig roll i Pythagoras sats. Se Pythagoras sats.

euklidisk geometri Läran om linjer, punkter och vinklar i planet och rummet. Den har fått sitt namn efter den grekiske matematikern Euklides från Alexandria och är ett matematiskt system med regler och lagar baserade på de fem postulat (axiom) som han lade fram i sin bok Elementa.

ikosaeder En polyeder med 20 sidor. En regelbunden ikosaeder är en av de fem platonska kropparna och har 20 liksidiga trianglar som sidor.

galoisteori Metoder med vilka algebraiska strukturer som kallas grupper kan användas för att lösa algebraiska ekvationer.

konstant Ett tal, en bokstav eller en symbol som står för sig själv och motsvarar ett bestämt värde. I till exempel ekvationen 3x 2 8 5 4 är 3 en koefficient, x en variabel, medan 8 och 4 är konstanter. Men termen används kanske ännu oftare för symboler som p och e.

geometri En gren inom matematiken som framför allt sysslar med former, linjer, punkter, ytor och kroppar.

92 g Geometri och former

kateter De två kortare sidorna i en rätvinklig triangel som båda gränsar till den räta vinkeln.

kägelsnitt En figur som skapas av skärningen mellan ett plan och en cirkulär konisk yta. Ett kägelsnitt kan vara en cirkel, en ellips, en parabel eller en hyperbel beroende på med vilken vinkel planet skär konen. lemma En matematisk sanning som ger stöd åt en viktigare matematisk sanning, till exempel en sats. Även ett steg på vägen mot en större matematisk sanning. omkrets Längden på gränslinjen runt en figur, oftast använt i samband med cirklar. pentagon Polygon med fem raka sidor och fem hörn. pentagram Femuddig stjärna bestående av fem räta linjer. polyeder En kropp med fyra sidor eller fler i form av polygoner. Regelbundna polyedrar, som de fem platonska kropparna, har sidor i form av regelbundna polygoner. Pythagoras sats En sats som har tillskrivits Pythagoras som säger att för en rätvinklig triangel gäller att kvadraten på hypotenusans längd är lika med summan av kvadraterna på kateternas längder. Det skrivs normalt a2 1 b2 5 c2.

påstående Ett uttalande om en sats eller ett problem. Påståenden följs ofta upp av en demonstration som visar att de är sanna (ett bevis). radie Avståndet från periferin till mitten av en cirkel eller sfär. Radien är hälften av diametern. sats Ett matematiskt faktum som har bevisats genom logisk slutledning eller med hjälp av tidigare accepterade matematiska fakta eller axiom. talteori En gren inom matematiken som framför allt sysslar med talens egenskaper och samband, där de positiva heltalen ägnas störst uppmärksamhet. transcendent tal Ett tal som inte kan vara en rot till ett ändligt polynom med heltalskoefficienter – med andra ord ett icke-algebraiskt tal. p är det mest kända transcendenta talet, och enligt definitionen ovan kan t.ex. ekvationen ax3 + bx2 + cx – d = 0 aldrig ha lösningen x = p, oavsett värdena på heltalen a, b, c och d. De flesta reella tal är transcendenta.

Ordlista g 93

EUKLIDES ELEMENTA matematik på 30 sekunder Euklides var en grekisk mateSUMMERING PÅ 3 S

De 13 banden i Elementa, där Euklides presenterar fascinerande och hänförande sanningar om geometri och talteori, har haft en inverkan på vår civilisation som inte kan överskattas.

ADDERA 3 MINUTER

Det finns flera berömda anekdoter som berör Euklides filosofi. Efter att ha bevisat ett påstående under en lektion fick Euklides frågan av en student vilken praktisk nytta man kunde ha av det. Euklides gav studenten en slant och skickade iväg honom, eftersom han uppenbarligen krävde någon form av belöning för studierna och inte ansåg att kunskapen i sig var mödan värd. När Ptolemaios I bad Euklides att förklara satserna på ett enklare sätt svarade Euklides: ”Det finns ingen kungsväg till geometrin.”

94 g Geometri och former

matiker som levde och undervisade i Alexandria omkring 300 f.Kr. Han är uppmärksammad inte bara för specifika satser om trianglar, cirklar och primtal, utan för hela det matematiska synsättet med definitioner, identifiering av postulat och logisk slutledning utifrån dessa grundläggande antaganden, lemma för lemma, sats för sats. Han skapade principer för matematisk slutledning som har fungerat som inspirationskälla under de efterföljande 22 seklerna av geometriundervisning över hela världen. Mycket av hans mest hyllade verk Elementa i 13 delar handlar om geometri (i del I bevisar Euklides Pythagoras sats och i del XIII beskriver han hur man konstruerar de fem platonska kropparna), men i tre av delarna ägnar han sig även åt talteori. I del VII förklarar han hur man hittar den största gemensamma divisorn till två heltal med hjälp av en algoritm som bär hans namn. I del IX återkommer han till Pythagoras sats och ger oss en formel som genererar heltal vars kvadrater summerade bildar kvadraten på ett annat heltal, som 32 1 42 5 52, så att de anger sidlängderna i en rätvinklig triangel.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även PRIMTAL sidan 22 CIRKELNS KVADRATUR sidan 104 PARALLELLA LINJER sidan 106 PLATONSKA KROPPAR sidan 114

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PYTHAGORAS

ca 570–ca 490 f.Kr. EUKLIDES

ca 300 f.Kr.

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Ett bevis för Pythagoras sats. Kongruenta trianglar kan användas för att visa att den grå kvadraten har samma area som den gula rektangeln och att den röda kvadraten har samma area som den blå rektangeln.

PI – CIRKELNS KONSTANT matematik på 30 sekunder Den mest kända och lättidentiSUMMERING PÅ 3 S

”Quantitas, in quam cum multiplicetur diameter, proveniet circumferentia” – ”Den kvantitet som, när diametern multipliceras med den, ger omkretsen.” Det är p.

ADDERA 3 MINUTER

Inom p-filologi skriver man bland annat ”piesi”, det vill säga poesi där antalet bokstäver i varje ord motsvarar respektive decimal. James Jeans började det hela så här: ”How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.” Förstår du? Novellen ”Cadaeic Cadenza” skrevs av Mike Keith 1996 och sägs vara skriven på piska. Det är piesi på prosa och antalet bokstäver i orden motsvarar de första 3 835 siffrorna i p.

96 g Geometri och former

fierade men ändå svåruträknade matematiska konstanten är också den med längst anor – det irrationella (och transcendenta) talet p = 3,1415926535897 … var känt av alla antika civilisationer på grund av dess enkla förhållande till cirkeln. Konstanten anger förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Man tror att begynnelsebokstaven i det grekiska ordet för omkrets, perimetros (περίμετρος), gav konstanten dess beteckning. Den kallas även Arkimedes konstant för att han ägnade så mycket tid åt att försöka bestämma den. Talet p har troligen inspirerat till mer studier än något annat inom matematiken, från Arkimedes och den kinesiske matematikern Liu Huis beräkningar med in- och omskrivna polygoner, via Leibniz ändliga summa av ett oändligt antal bråktal, till fascinerande ekvationer som den indiske matematikern Ramanujans formler, och talet spelar än i dag en viktig roll inom många vetenskapsgrenar. Detta gåtfulla tal har gett upphov till tävlingar i att räkna upp så många av dess decimaler som möjligt i rätt ordningsföljd, samtidigt som datorer har programmerats att beräkna allt fler av dem. Talet högtidlighålls över hela världen på p-dagen (14 mars, eller 3/14 med amerikanskt skrivsätt) och det har även uppstått ett nytt (seriöst men ganska humoristiskt) studiefält som kallas p-filologi.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 TRIGONOMETRI sidan 102 CIRKELNS KVADRATUR sidan 104

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PYTHAGORAS

ca 570–ca 490 f.Kr. ARKIMEDES

ca 287–212 f.Kr. ISAAC NEWTON

1643–1727

WILLIAM JONES

1675–1749

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Brown

Arkimedes ritade polygoner med allt fler hörn utanför och innanför en cirkel och ringade på så vis in ett ungefärligt värde på p.

GYLLENE SNITTET matematik på 30 sekunder Om du delar en linje i två segment

SUMMERING PÅ 3 S

Två tal förhåller sig till varandra som det gyllene snittet om summan av talen har samma förhållande till det större av dem som det större till det mindre.

ADDERA 3 MINUTER

Gyllene snittet anses av många spela en viktig estetisk roll inom konst, arkitektur och design – pyramiderna i Egypten, de klassiska grekiska templen, Leonardo da Vincis målningar och till och med dagens iPod är präglade av detta tal. Men även om det finns exempel på konstnärer och formgivare som medvetet har använt förhållandet i sina verk (arkitekten Le Corbusier, till exempel), så finns det många som ifrågasätter det gyllene snittets konstnärliga betydelse.

98 g Geometri och former

a och b så att hela sträckan förhåller sig till det långa segmentet på samma sätt som det långa segmentet förhåller sig till det korta, det vill säga (a 1 b)/a 5 a/b, så får du det gyllene snittet. Förhållandet kallas även det gudomliga förhållandet och betecknas med den grekiska bokstaven fi (f), och det är ett irrationellt tal som man får genom att beräkna: f 5 (1 1 √5)/2 5 1,6180339887498 … För matematiker är det intressant att konstatera att det för f även gäller att f2 5 1 1 f och 1/f 5 f 2 1. Gyllene snittet är också längden på diagonalen i en regelbunden pentagon med sidlängden 1. Pentagrammet, den figur som bildas av diagonalerna i en pentagon, förknippades med mystik av Pythagoras och hans anhängare. Konstnärer och arkitekter använder det gyllene snittet för att skapa proportioner som är tilltalande. Fibonaccis talföljd 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … har den egenskapen att förhållandet mellan två efterföljande tal kommer allt närmare f ju längre man kommer i följden. Den gyllene rektangeln, vars sidor förhåller sig till varandra som f, återfinns i både dodekaedern och ikosaedern. En gyllene spiral bildas om man ritar kvartscirkelbågar i kvadrater vars kantlängder har förhållandet f som i figuren till höger.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 FIBONACCITAL sidan 24 PLATONSKA KROPPAR sidan 114

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PYTHAGORAS

ca 570–ca 490 f.Kr. LEONARDO FIBONACCI

1170–1250

ROGER PENROSE

1931–

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

En följd av kvadrater vars sidlängder skalas upp med det gyllene snittet kan pusslas ihop till en spiral­ formad figur. Kvarts­ cirkelbågar som ritas in i kvadraterna bildar en gyllene spiral.

ca 570 f.Kr.

Föds på Samos.

ca 530 f.Kr.

Flyttar till Kroton i nuvarande södra Italien.

ca 490 f.Kr.

Dör, troligen i Metapontum.

ca 200–250 e.Kr.

Diogenes Laertios, författare till Om kända filosofers liv och tankar.

ca 234–305 e.Kr.

Porphyrios, författare till biografin Pythagoras liv.

ca 245–325 e.Kr.

Iamblichos, författare till Om Pythagoras liv.

100 g Geometry & other shapes

PYTHAGORAS De flesta som inte är matematiker minns Pythagoras sats som något som nämndes i skolan, och det är också den han förknippas med mest i dag, Men mannen som sådan var betydligt mer gåtfull och i dag finns ett helt akademiskt arbetsfält som sysslar med ”det pythagoreiska problemet”, det vill säga att separera den verkliga, historiska Pythagoras och det han åstadkom från alla lager av myter och hans närmast helgonlika eftermäle. Eftersom varken han eller hans samtida någonsin skrev ner något känner man nästan inte till något med säkerhet, och för hans många anhängare blev han en halvt gudomlig, mystisk figur – som en kung Arthur från antiken. Om denne mystifike och karismatiske man sades det att han hade ett lår av guld, att han utförde mirakel och hade förmågan att befinna sig på två ställen samtidigt. Pythagoras ansåg att själen var odödlig och genomgick ett flertal reinkarnationer, och han grundade en exklusiv

religiös sekt som hyllades för sin principfasta och strikta renlevnad och blev tillräckligt inflytelserik för att förföljas av det politiska etablissemanget. Det vet vi för att hans trogna anhängare – pythagoréerna var en blomstrande sekt fram till 400-talet e.Kr. – började skriva om honom cirka 150 år efter hans död. De skrev om historien och glorifierade hans livsverk, där de framhöll att Pythagoras var källan till alla Aristoteles och Platons idéer. De många avhandlingar som har givits ut i hans namn är förfalskningar. Vad matematiken anbelangar lär Pythagoras, även om han betraktade talen och deras samband som gudomliga, knappast ha bevisat sin sats. Det enda som pekar på att han studerade geometri är propaganda från hans efterlevande. Vi vet numera att hans sats var känd bland babylonierna i aritmetisk form, även om inte heller de bevisade den, så kanske är sanningen att Pythagoras helt enkelt uppmärksammades som den som förde vidare en viktig och elegant matematisk formel.

Pythagoras g 101

TRIGONOMETRI matematik på 30 sekunder En rätvinklig triangel har den SUMMERING PÅ 3 S

Trigonometri är läran om förhållandena mellan vinklarna i en triangel och längderna på dess sidor. Den är grundläggande inom all modern naturvetenskap.

ADDERA 3 MINUTER

Inom plangeometrin som vi studerar i skolan har alla trianglar vinkelsumman 180°. Den sfäriska trigonometrin som används inom astronomin var emellertid av större intresse för antikens civilisationer. På en sfär är vinkelsumman för en triangel större än 180°. Faktum är att om du sätter en punkt på Nordpolen och två andra punkter på ekvatorn (ett kvarts varv från varandra) så blir alla tre vinklarna i den triangeln 90°!

102 g Geometri och former

egenskapen att övriga vinklar har ett samband med förhållandet mellan sidornas längder. Detta samband utgörs av sinusfunktionen (och dess släktingar som t.ex. cosinus), där sinus för en vinkel är lika med förhållandet mellan den motstående sidans längd och hypotenusan (den räta vinkelns motstående sida). Att känna till hur man beräknade längder med utgångspunkt från vinklar var avgörande för antikens astronomer och forskningsresande, från sumererna och de antika grekerna till indierna och perserna. Hipparchos, en grekisk astronom som levde under 100-talet f.Kr., brukar kallas ”trigonometrins fader”. I dagens matematik har de trigonometriska funktionerna många användningsområden. Punkterna på en cirkel kan bestämmas med hjälp av en rätvinklig triangel – om radien är 1 blir koordinaterna för en punkt på cirkeln lika med cosinus respektive sinus för vinkeln U. När U ökar kommer y-värdet (sinus för U) först att öka, sedan minska, bli negativt och återkomma till noll. När U fortsätter att öka över 360° upprepas cykeln om och om igen så att grafen för sinus U relativt U får en periodisk (upprepad) vågform. Allt som uppför sig eller ser ut som vågformer – strålning inom fysiken, ljudvågor som till exempel musik, oceanografi, ultraljudsbilder och mycket annat inom ingenjörsvetenskap och arkitektur – kan studeras med hjälp av de grundläggande trigonometriska funktionerna som sinus och cosinus.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även FUNKTIONER sidan 46 INFINITESIMALKALKYL sidan 50 PI – CIRKELNS KONSTANT sidan 96 GRAFER sidan 108

3-SEKUNDERSBIOGRAFI HIPPARCHOS

ca 190–120 f.Kr. PTOLEMAIOS

ca 90–165 e.Kr LEONHARD EULER

1707–1783

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

Cosinus­ och sinus­ funktionerna är definie­ rade som x­ och y­koordi­ naterna för den punkt där en linje från origo med vinkeln U från x­axeln skär enhetscirkeln.

y

y 5 sin U

x

U x 5 cos U

CIRKELNS KVADRATUR matematik på 30 sekunder I det antika Grekland betraktade SUMMERING PÅ 3 S

Det kan verka enkelt att rita en kvadrat med samma area som en given cirkel med passare och linjal. Men matematikerna vet att det är omöjligt.

ADDERA 3 MINUTER

Traditionen att genomföra geometriska konstruktioner enbart med hjälp av linjal och passare går tillbaka på de axiom som Euklides ställde upp i Elementa. Begränsningarna för vad man kan utföra med dessa verktyg finns inbyggda i verktygen som sådana. Det hindrar inte att horder av amatörer och professionella matematiker varje år anser sig ha funnit lösningar på de omöjliga problemen. Sådana människor ser man i branschen som excentriska men harmlösa. Det verkar ligga i den mänskliga naturen att ge sig på omöjliga uppgifter.

104 g Geometri och former

man alla tal som längder, så deras matematik var nästan uteslutande geometrisk. Att dividera ett tal med två sågs som en geometrisk konstruktion. Tänk dig talet som längden på ett linjesegment. Använd sedan geometrins verktyg – linjalen och passaren – för att dela segmentet i halvor. Du har då dividerat med två. Om man börjar med en cirkel skulle man kunna försöka skapa en kvadrat vars area är lika stor som cirkelns. För tusentals år sedan kom matematikerna mycket nära ”cirkelns kvadratur”, men de tidiga försöken byggde på antagandet att p skulle kunna uttryckas som förhållandet mellan två heltal. Men p är inte bara irrationellt, på 1800talet bevisade man också att det är transcendent. Hundratals år tidigare hade matematiker på olika håll visat att transcendenta tal inte kunde konstrueras med hjälp av passare och linjal, så nu var den frågan definitivt utagerad. Men lösningsförsöken hade ändå lett till många viktiga matematiska upptäckter. Kägelsnitten skapades av Menaichmos för att lösa den här typen av problem, och detsamma gäller den abstrakta algebran och galoisteori – områden med stor betydelse för dagens matematik.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även RATIONELLA OCH IRRATIONELLA TAL sidan 16 EUKLIDES ELEMENTA sidan 94 PI – CIRKELNS KONSTANT sidan 96

3-SEKUNDERSBIOGRAFI HIPPIAS FRÅN ELIS

ca 450 f.Kr.– ? EUKLIDES

ca 300 f.Kr. ARKIMEDES

ca 287–ca 212 f.Kr.

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Med bara linjal och passare kan du enkelt dela en vinkel i två, eller konstruera en regelbunden hexagon. Men cirkelns kvadratur är omöjlig.

PARALLELLA LINJER matematik på 30 sekunder Parallella linjer hade en central SUMMERING PÅ 3 S

Parallella linjer är linjer i planet som sträcker sig oändligt långt utan att mötas, som järnvägsskenor. Lagen om parallella linjer spelar en avgörande roll i olika former av geometri. ADDERA 3 MINUTER

Den hyperboliska geometrin, med sina många parallella linjer, fascinerar geometrikerna. Den kom till nytta i fysiken under 1900talet i och med Einsteins speciella relativitetsteori. Hermann Minkowski visade att universums geometri i grunden är hyperbolisk. Det verkar inte så vid ett första påseende, men när man utgick från perspektivet att alla hastigheter under ljushastigheten är ekvivalenta, avslöjades rörelsens hyperboliska egenskaper.

106 g Geometri och former

roll i Euklides Elementa när han började konstruera sin tvådimensionella geometri i planet utifrån fasta principer. Euklides började med fem grundläggande geometriska lagar. Utifrån dem härledde han fakta som studenter i alla generationer känner igen, till exempel satsen om likbelägna vinklar: om ett par av parallella linjer korsas av en tredje linje är de likbelägna vinklarna lika stora. Euklides femte lag som kallas ”parallellpostulatet” säger att om du har en rät linje och en punkt som inte ligger på den linjen, så finns det bara en möjlig rät linje som går genom punkten och är parallell med den första linjen. Var och en som försöker på ett eget papper blir snabbt övertygad om att det stämmer, men i tusentals år försökte matematiker förstå varför det var så. Många var övertygade om att lagen var en följd av de andra fyra, enklare lagarna. Det var först på 1800-talet som Gauss, Bolyai och Lobatjevskij på var sitt håll upptäckte en ny typ av geometri som följde Euklides första fyra axiom, men inte parallellpostulatet. I denna icke-euklidiska ”hyperboliska” geometri kan oändligt många linjer dras genom en punkt och ändå vara parallella med en given linje.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även EUKLIDES ELEMENTA sidan 94

3-SEKUNDERSBIOGRAFI EUKLIDES

ca 300 f.Kr. CARL FRIEDRICH GAUSS

1777–1855

NIKOLAJ LOBATJEVSKIJ

1796–1856

JÁNOS BOLYAI

1802–1860

HERMANN MINKOWSKI

1864–1909

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Parallella linjer är ett av våra vanligaste mönster och samtidigt nyckeln till helt okända geometriska världar.

1

2 3

4

5

6 7

> Parallella linjer med likbelägna vinklar

> Poincarés skiva beskriver hyperboliska parallella linjer

8

GRAFER matematik på 30 sekunder Inom matematiken används SUMMERING PÅ 3 S

En graf är en bildmässig representation av förhållandet mellan två eller flera variabler.

ADDERA 3 MINUTER

Det finns andra koordinatsystem än det kartesiska, till exempel polära koordinatsystem, där man använder en radiell koordinat r och en eller flera vinkelkoordinater. Det underlättar lösningen av problem där avståndet från en punkt är viktigt till exempel effekten hos en sändarantenn. I ett vidare perspektiv är en karta också en typ av graf, eftersom den kopplar samman data som stads- och vägnamn, höjder etc. med en geografisk position.

108 g Geometri och former

grafer mest för att avbilda matematiska funktioner. Inom andra områden, som biologi och ekonomi, är grafer ett vanligt sätt att visa upp data. Matematiska grafer ritas oftast i ett koordinatsystem i två dimensioner med två vinkelräta axlar, x och y. Positionen för varje punkt i planet kan beskrivas med ett koordinatpar (x, y) som anger avståndet från y- respektive x-axeln. Samma princip används för att visa information i tre dimensioner och då lägger man till en tredje axel som brukar kallas z. Det här systemet kallas kartesiska koordinater efter dess upphovsman, den franske matematikern och filosofen René Descartes. Hans samtida, Pierre de Fermat, utvecklade liknande idéer oberoende av honom. Men kanske borde uppfinningen tillskrivas Nicole d’Oresme, som tre sekel tidigare använde en horisontell och en vertikal axel för att grafiskt bevisa en regel för hur lång sträcka två föremål med olika hastigheter tillryggalägger. Descartes insikter om grafens potential satte fart på matematikens utveckling – nu kunde man förena tal och geometriska figurer. Det gjorde det möjligt att åskådliggöra ekvationer med hjälp av grafer – algebra och geometri kunde nu samverka inom ett område som fick namnet analytisk geometri.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även IMAGINÄRA TAL sidan 18 FUNKTIONER sidan 46 INFINITESIMALKALKYL sidan 50 PARALLELLA LINJER sidan 106

3-SEKUNDERSBIOGRAFI NICOLE D’ORESME

ca 1320–1382

RENÉ DESCARTES

1596–1650

PIERRE DE FERMAT

1601–1665

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

Det algebraiska ut­ trycket för en viss ellips (överst) och motsvarande geomet­ riska graf i ett karte­ siskt koordinatsystem.

(x 21)2 ( y 22)2 1 51 2 2 4 3 y

6 (1,5) 4

(–3,2)

2

(1,2)

(5,2)

x -6

-4

-2

2 (1,–1) -2

-4

-6

4

6

EN EXTRA DIMENSION

g

EN EXTRA DIMENSION ORDLISTA

axiom Ett påstående som är uppenbart sant eller har accepterats som sant utan bevis. dodekaeder En polyeder med 12 sidor. En regelbunden dodekaeder är en av de fem platonska kropparna och har 12 regelbundna pentagoner som sidor. En rombisk dodekaeder är ett exempel på en oregelbunden dodekaeder. eulerkarakteristik Inom topologin en term som används för att beskriva en figurs topologiska data. För tredimensionella polyedrar bygger den på ekvationen P 2 K 1 S 5 eulerkarakteristiken, där P är antalet punkter eller hörn, K är antalet kanter och S är antalet sidor. fakultet n-fakultet (skrivs n!) är produkten av de första n positiva heltalen. 4! (fyrafakultet) är alltså 1 3 2 3 3 3 4 5 24. fraktal dimension Ett mått på antalet dimensioner i en fraktal mängd som kan vara ett tal som ligger mellan två naturliga tal. Den fraktala dimensionen ger en uppfattning om självlikformigheten hos en fraktal.

112 g En extra dimension

hörn Inom plangeometrin en punkt där sidorna i en polygon möts och inom rymdgeometrin en punkt där kanterna i en polyeder möts. ikosaeder En polyeder med 20 sidor. En regelbunden ikosaeder är en av de fem platonska kropparna och har 20 liksidiga trianglar som sidor. iteration Inom fraktal geometri en upprepad operation som utför samma uppgift varje gång. Jones polynom Ett polynom inom knutteori som beskriver vissa egenskaper hos knutar. Kleins flaska Ett föremål med en sluten yta med bara en sida och inga kanter. Kleins flaska kan inte visualiseras i tre dimensioner utan att ytorna korsar varandra. Den är namngiven efter den tyske matematikern Felix Klein som var först med att beskriva ytan 1882. komplext tal Ett tal som består av både en reell del och en imaginär del, till exempel a 1 bi, där a och b representerar reella tal och i står för √–1.

kub En kropp med sex sidor, som alla består av en kvadrat. Kuben är en av de fem platonska kropparna. oktaeder En polyeder med åtta sidor. En regelbunden oktaeder är en av de fem platonska kropparna och har åtta liksidiga trianglar som sidor. polyeder En kropp med fyra eller fler sidor i form av polygoner. Regelbundna polyedrar, som de fem platonska kropparna, har sidor i form av regelbundna polygoner.

torus Inom geometrin en figur formad som en badring. von Kochs snöflinga En av de första fraktaler som beskrevs. Varje sida på en liksidig triangel genomgår en iteration (upprepad operation) där den mittersta tredjedelen ersätts av två linjer i vinkel ut från ursprungstriangeln, som två ben i en ny liksidig triangel. Denna process upprepas i all oändlighet.

polygon En tvådimensionell figur som har tre eller fler räta sidor. polynom Ett uttryck som innehåller tal och positiva heltalspotenser av variabler och som bara tillåter operationerna addition, subtraktion och multiplikation, t.ex. 3x2+4–1. (Se även Polynomekvationer, sidan 80.) tetraeder En polyeder med fyra sidor. En regelbunden tetraeder är en av de fem platonska kropparna och har fyra liksidiga trianglar som sidor.

Ordlista g 113

PLATONSKA KROPPAR matematik på 30 sekunder Att sätta ihop olika regelbundna SUMMERING PÅ 3 S

En platonsk kropp är en regelbunden polyeder vars sidor består av likadana regelbundna polygoner.

ADDERA 3 MINUTER

I Timaios kopplade Platon ihop dessa polyedrar med de fem element som man ansåg att allt i universum var uppbyggt av: kuben med jord, tetraedern med eld, oktaedern med luft, ikosaedern med vatten och dodekaedern med eter. Numera används de här kropparna i olika typer av spel eftersom de alla har perfekt form för att fungera som tärningar.

114 g En extra dimension

polygoner och bilda en kropp är inte så svårt. Tänk på den klassiska fotbollen med omväxlande hexagoner och pentagoner. Men att fixa det med bara en polygonform är knepigare. Faktum är att det bara finns fem sätt att göra det: kuben med sina sex kvadratiska sidor, tetraedern, oktaedern och ikosaedern som är uppbyggda av fyra, åtta respektive tjugo liksidiga trianglar samt dodekaedern med sina tolv pentagoner. Antikens greker studerade dem ingående. Platon skrev om dem i sin dialog Timaios, och man tror att Theaitetos (samtida med Platon) var den förste att bevisa att inga andra existerar. Hur kom han fram till det? Om fler än två liksidiga polygoner sammanfogas, så måste de mötas i ett hörn. I ett hörn måste summan av vinklarna av de polygoner som möts vara mindre än 360° (summan kan inte vara större och är den exakt 360° blir formen plan). Det innebär en stor begränsning. Alla regelbundna polygoner med sex sidor eller fler har vinklar som är större än 120°. Tre av dem ihop fungerar alltså inte! Och det finns bara ett litet antal sätt att kombinera ihop resterande liksidiga polygoner så här. Det lilla antalet är fem!

BESLÄKTADE TEORIER

Se även ARKIMEDES FRÅN SYRAKUSA sidan 122

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PYTHAGORAS

ca 570–ca 490 f.Kr. PLATON

ca 429–347 f.Kr. ARKIMEDES

ca 287–212 f.Kr.

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Brown

Lär känna de fem platonska kropparna – medurs från vänster: kuben, tetraedern, dodekaedern, ikosaedern och oktaedern.

TOPOLOGI matematik på 30 sekunder Inom topologin är en kub, en SUMMERING PÅ 3 S

Precis som geometri är topologi, eller gummiduksgeometri, en studie av former. Skillnaden är att topologerna klassar två former som lika om de går att omforma till varandra.

ADDERA 3 MINUTER

En viktig parameter inom topologin är en forms ”eulerkarakteristik”. Den får man fram genom att sätta ut prickar och förbinda dem med kanter. På en sfär kan vi rita två punkter och två kanter så att ytan delas i två sidor. En grundläggande regel säger att med P punkter, K kanter och S sidor, så måste det gälla att P 2 K 1 S 5 2 för alla topologiska sfärer. (En kub har P 5 8, K 5 12 och S 5 6.) En torus har däremot eulerkarakteristiken 0, vilket betyder att P 2 K 1 S 5 0.

116 g En extra dimension

pyramid och en sfär samma sak. Topologerna bryr sig nämligen inte om sådana bagateller som detaljer i formen (längd, area, vinklar eller kurvatur). Topologin riktar istället in sig på de övergripande aspekterna av formen, det vill säga information som inte går att ta bort genom att töja och böja (att klippa och klistra är inte tillåtet). Vilka egenskaper kan överleva en sådan behandling? Typisk topologisk information är antalet och typen av hål i en figur. Exempelvis består bokstaven ”i” av två delar åtskilda av ett mellanrum, och topologisk bearbetning tillåter inte att det mellanrummet försvinner. ”i” är alltså ekvivalent med ”j” och talet ”11”, men inte med ”L” eller ”3”. Hålet i bokstaven ”0” går inte heller att få bort vilket gör den topologiskt identisk med ett ”A” och siffran ”9” men inte med ”8” som har två hål. En tunnelbanekarta är ett bra exempel på tillämpad topologi. Stadens faktiska geografi är omarbetad så att viktig topologisk information framträder tydligare, som ordningen på stationerna och knutpunkterna där de olika linjerna möts.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även MÖBIUSBANDET sidan 120 KNUTTEORI sidan 130 POINCARÉS FÖRMODAN sidan 146

3-SEKUNDERSBIOGRAFI LEONHARD EULER

1707–1783

JULES HENRI POINCARÉ

1854–1912

FELIX HAUSDORFF

1868–1942

MAURICE RENÉ FRÉCHET

1878–1973

LUITZEN EGBERTUS JAN BROUWER

1881–1966

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Vad är det för skillnad på en sfär och en kub? Ingenting, om du frågar en topolog.

EULERS TEGELSTENAR matematik på 30 sekunder Det är enkelt att rita en rektangel SUMMERING PÅ 3 S

Ett rätblock (som en tegelsten) är uppbyggt av sex rektanglar. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler intresserade sig för en viss typ av tegelstenar vars mått motsvarade heltal. ADDERA 3 MINUTER

Om det existerar några perfekta tegelstenar, så är de i alla fall inte små. Med hjälp av datorer har matematikerna kommit fram till att om en perfekt eulersk tegelsten finns så måste en av dess sidor vara över 1 000 000 000 000 enheter lång. Det närmaste man har kommit hittills är en perfekt parallellepiped, uppbyggd av två rektanglar och fyra parallellogram (som rektanglar men utan räta vinklar). Alla dess dimensioner och diagonaler motsvarar heltal.

118 g En extra dimension

där både höjden och bredden är heltal. Men det blir svårare om vi vill att även diagonalen ska vara ett heltal. Om vi prövar med en kvadrat som är 1 cm bred och 1 cm hög, blir diagonalen cirka 1,41 cm – närmare bestämt Î2 cm enligt Pythagoras sats. Detsamma gäller för alla kvadrater: om sidorna är heltal kan inte diagonalen vara det. Det gäller även för de flesta rektanglar, men det finns några som fungerar. En som är 3 cm bred och 4 cm hög har en diagonal på exakt 5 cm. En annan har sidorna 5 cm och 12 cm med diagonalen 13 cm. Euler ville konstruera en tegelsten där alla kanter var heltal liksom diagonalerna på varje sida. Den första hittades av Paul Halcke 1719. Den är 44 enheter hög, 117 bred och 240 lång, och sidorna har diagonalerna 125, 244 och 267. Senare har man hittat fler exempel. Nästa utmaning blir att hitta en där även diagonalen mellan motstående hörn i tegelstenen motsvarar ett heltal. En sådan tegelsten skulle kallas perfekt. Än så länge har ingen hittat Eulers perfekta tegelsten – och vi vet inte om någon existerar.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TALTEORI sidan 30 PYTHAGORAS sidan 100 TRIGONOMETRI sidan 102

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PAUL HALCKE

d. 1731

LEONHARD EULER

1707–1783

CLIFFORD REITER

1957–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Alla vet hur en tegel­ sten ser ut. Men har någon sett en perfekt tegelsten? Matema­ tikerna letar fort­ farande efter en.

MÖBIUSBANDET matematik på 30 sekunder Börja med en rektangulär pappersSUMMERING PÅ 3 S

August Möbius ensidiga pappersslinga öppnar porten till en värld av exotiska former. ADDERA 3 MINUTER

Klipp ut två hål i en sfär och bind ihop dem med en cylinder. Nu har du skapat en torus (en badringsform). Klipp ut ett hål i en annan sfär och sy fast ett möbiusband längs kanten (tyvärr är det omöjligt att göra i det tredimensionella rummet). En grundläggande regel inom topologin är att alla ytor kan skapas med utgångspunkt från en sfär genom att man upprepade gånger tar upp hål och syr in cylindrar och möbiusband.

120 g En extra dimension

remsa. Limmar du ihop den ena änden med den andra, så får du en cylindrisk pappersring. Men om du vrider ena änden ett halvt varv innan du fogar ihop bandet så får du något mycket mer intressant: ett möbiusband. Det fascinerande med detta enkla pappersband är att det bara har en sida och en kant! Om du ritar en linje längs mitten av bandet kommer den att täcka både ”insidan” och ”utsidan” av bandet innan den kommer tillbaka till startpunkten, eftersom de två sidorna i själva verket är en och samma. Du undrar kanske vad som skulle hända om du klippte isär bandet längs den linjen? Det märkliga är att om du gör det får du inte två nya slingor, utan bara en. Pröva gärna så får du se! August Möbius band har fascinerat både barn och vuxna sedan han upptäckte det 1858. Men för matematikerna är det framför allt viktigt på grund av de andra former som kan skapas av det. Om du limmar ihop två möbiusband längs kanterna så får du en ensidig yta som kallas Kleins flaska. (Det enda problemet är att det är omöjligt att göra i det tredimensionella rummet utan att flaskans yta passerar igenom sig själv.)

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TOPOLOGI sidan 116 KNUTTEORI sidan 130 POINCARÉS FÖRMODAN sidan 146

3-SEKUNDERSBIOGRAFI LEONHARD EULER

1707–1783

AUGUST FERDINAND MÖBIUS

1790–1868

JOHANN BENEDICT LISTING

1802–1882 FELIX KLEIN

1849–1925

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

August Möbius band var lagom skruvat för att roa människor i hundratals år framöver.

ca 287 f.Kr.

Föds i Syrakusa.

ca 270 f.Kr.

Studerar i Alexandria, Egypten (troligen).

ca 212 f.Kr.

Dör under belägringen av Syrakusa.

ca 530 e.Kr.

Första omfattande sammanställningen av hans verk av Isidoros från Miletos.

500-talet e.Kr.

Kommentarer till Arkimedes Om sfären och cylindern, Parabelns kvadratur och Två böcker om jämvikt skrivs av Eutokios från Askalon.

1906

Arkimedes palimpsest hittas i Konstantinopel.

29 oktober 2008

Alla uppgifter på palimpsesten som har med Arkimedes att göra blir fritt tillgängliga på internet.

ARKIMEDES FRÅN SYRAKUSA Den populära bilden av Arkimedes är den uppfinningsrike ingenjören som sprang naken, stänkande av vatten efter sitt bad, längs gatorna och skrek ”heureka!” (jag har funnit det), efter att ha hittat ett sätt att mäta volymen på en oregelbunden kropp (genom att sänka ner den i vatten och mäta vattenvolymen som rinner över kanten). I likhet med många andra bra historier är den troligen inte sann. Däremot upptäckte han vad som numera kallas Arkimedes princip (en lag inom hydrostatiken): tyngden av den vätska som en kropp undantränger när den sänks ner i vätska är lika med den lyftkraft som verkar på kroppen. Det antika Greklands mest berömda praktiska matematiker är även känd för den skruv som bär hans namn (en typ av pump som bygger på spiralprincipen) och för att ha förklarat hävstångsprincipen matematiskt. Hans namn förknippas även med militära vapen som Arkimedes klo (en kran som lyfte upp fiendeskeppen ur vattnet) och ”värmestrålen” (en stor samling speglar som koncentrerade solens strålar mot skeppen för att tända eld på dem), men det är inte känt om något av vapnen verkligen fungerade. Hans arbeten var kända av de lärda i Grekland

och skrevs ner på 500-talet e.Kr., och bland vetenskapsmännen under medeltiden var han också ett upphöjt namn, men det är först i modern tid som matematikerna har haft några andra möjligheter att bedöma om hans uppfinningar byggde på hållbar matematik än att extrapolera bakåt. Det var inte förrän 1906, när man hittade Arkimedes palimpsestmanuskript, som hans vetenskapliga arbete kunde granskas i detalj. En del av hans arbeten kunde tolkas redan på 1910-talet, men med modern teknik har man till slut lyckats återskapa allt som vi numera vet om Arkimedes metoder. Manuskriptet avslöjar hur noggrant han approximerade värdet på p, hur han gick tillväga för att bestämma arean under en parabel, att han uppfann myriaden samt det bevis han var mest nöjd med – att en sfärs volym och area är två tredjedelar av en cylinders med samma höjd och diameter (inklusive ändytorna). En skulptur av en sfär och en cylinder fanns på Arkimedes grav (nu försvunnen), som hade tillåtits förfalla innan den upptäcktes och restaurerades av talekonstens mästare Cicero år 75 f.Kr., långt efter att en överambitiös romersk soldat hade slagit ihjäl honom under belägringen av Syrakusa.

Arkimedes från Syrakusa g 123

FRAKTALER matematik på 30 sekunder Under slutet av 1800- och början SUMMERING PÅ 3 S

En fraktal är ett abstrakt eller fysiskt objekt som har en liknande struktur vid olika grader av förstoring.

ADDERA 3 MINUTER

Att iterera ett antal enkla instruktioner för att skapa komplicerade former är mycket effektivt och många saker i naturen har fraktala egenskaper över ett begränsat förstoringsintervall. Ett träds grenar, en flods nätverk och människans cirkulationssystem är några exempel. Kustlinjen runt en ö är ett exempel på en fraktal kurva. Fraktala ytor hittar vi på broccoli, berg och moln.

124 g En extra dimension

av 1900-talet började matematikerna intressera sig för många olika företeelser som var svåra att förstå sig på med den tidens matematik. Cantormängden är ett oändligt antal punkter som man får genom att börja med ett linjesegment, ta bort en tredjedel i mitten, ta bort en tredjedel i mitten av de två återstående delarna, ta bort en tredjedel i mitten av de fyra återstående delarna och så vidare. Processen att upprepa en operation eller en serie operationer kallas iteration och den är grundläggande för fraktaler. Bland de tidiga exemplen hittar vi von Kochs och Peanos kurvor samt sierpinskitriangeln som har likheter med Pascals triangel. I von Kochs kurva (som liknar von Kochs snöflinga) ersätts varje linjesegment med fyra segment som vart och ett är en tredjedel så långt i varje iteration, så att längden på kurvan ökar vid varje iteration. Sådana objekt sägs ha en fraktal dimension som kan ligga mellan linjens en dimension och planets två dimensioner. Utför man en iteration på enkla funktioner som x2 1 c, där x och c är komplexa tal (med både reella och imaginära delar), och avbildar resultaten i det komplexa planet, så får man fascinerande och vackra grafer som kallas juliamängder. Benoît Mandelbrot använde datorer för att visualisera de här mängderna liksom den besläktade mandelbrotmängden, och utvecklade fraktalerna till en speciell geometrisk gren inom matematiken.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även IMAGINÄRA TAL sidan 18 OÄNDLIGHET sidan 38 FUNKTIONER sidan 46 GRAFER sidan 108

3-SEKUNDERSBIOGRAFI GEORG CANTOR

1845–1918

HELGE VON KOCH

1870–1924

WACŁAW SIERPIN’SKI

1882–1969

GASTON JULIA

1893–1978

BENOÎT MANDELBROT

1924–2010

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

De första fyra stegen i den iterativa konstruk­ tionen av en klassisk fraktal som kallas von Kochs kurva.

ORIGAMIGEOMETRI matematik på 30 sekunder Origami – konsten att vika papper SUMMERING PÅ 3 S

Origamigeometri är matematiken bakom konsten att vika ett oftast kvadratiskt pappersark till en mer komplex form.

ADDERA 3 MINUTER

Matematiken bakom origami har använts för att lösa flera praktiska tekniska utmaningar. En origamibaserad hopvikbar solfångare monterades på en japansk satellit. Origamiteknik har använts för att optimera vikningen av krockkuddar så att de blåses upp på bästa sätt. En origamiinspirerad stent har utvecklats för att vidga igensatta blodkärl. Man har även konstruerat en tunn plastlins som kan vecklas ut till en stor area på rymdteleskop.

126 g En extra dimension

– är en gammal japansk tradition som bygger på geometri. På senare år har man gjort stora framsteg inom matematiken som beskriver origami. Huzita, Justin och Hatori har formulerat ett antal axiom för origami som liknar de axiom som gäller för geometrin. På senare år har man även lyckats bevisa ett antal matematiska satser som handlar om teorin bakom origami. Robert Lang med flera har tagit fram algoritmer och dataprogram för sökning av optimala lösningar för hur man viker de komplexa figurerna. Med hjälp av dem kan man ta fram vikningsmönster som anger de konkava och konvexa veck som krävs för att skapa en önskad form. Traditionell origami har oftast handlat om att skapa djur, blommor och liknande former, men numera är geometriska former det främsta målet för många av utövarna. Origamitessellationer är en variant där ett rutnät av veck används som utgångspunkt för att konstruera geometriska former där repetition är ett stående inslag. Shuzo Fujimoto anses allmänt vara upphovsmannen bakom denna typ av origami. Inom modulär origami kombinerar man flera geometriska moduler, som var och en är tillverkad av ett enskilt pappersark, till mer komplexa modeller.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även ALGORITMER sidan 84 EUKLIDES ELEMENTA sidan 94 PLATONSKA KROPPAR sidan 114

3-SEKUNDERSBIOGRAFI SHUZO FUJIMOTO

1922–

HUMIAKI HUZITA

1924–2005

ROBERT LANG

1961–

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

En origamitessellation där ett enda pappers­ ark har vikts till ett upprepat mönster av kvadrater.

RUBIKS KUB matematik på 30 sekunder Rubiks kub uppfanns av Ernö Rubik SUMMERING PÅ 3 S

Rubiks kub® är ett mekaniskt permutationspussel som man löser genom att arrangera bitarna så att kubens alla sidor blir enfärgade.

ADDERA 3 MINUTER

Utöver den ursprungliga Rubiks kub av typen 3 3 3 3 3 har man producerat varianter med sidan 2, 4, 5, 6 och 7. Antalet permutationer för 7 3 7 3 7kuben är över 10160 (en 1:a följd av 160 0:or!). Det finns även rätblocksversioner som 2 3 2 3 3, 3 3 3 3 2 och 3 3 3 3 4. Varianter som bygger på de övriga fyra platonska kropparna, tetraedern, oktaedern, dodekaedern och ikosaedern, har också utvecklats. Bland övriga polyederversioner märks rombikuboktaedern, den stympade tetraedern, den stympade oktaedern och den stjärnformade kuboktaedern.

128 g En extra dimension

1974 och såldes i hans hemland Ungern från 1977. 1980 började Ideal Toy Company sälja den över hela världen och i dag har över 300 miljoner sålts. Den är konstruerad så att var och en av kubens sex sidor kan vridas oberoende av varandra. De 26 bitarna har över 43 triljoner (1018) olika kombinationsmöjligheter (permutationer). Det blir lättare att lösa kuben om man lär sig algoritmer för hur man genomför olika operationer, som att rotera tre hörn utan att ändra något annat. David Singmaster har tagit fram en metod för att ange de olika dragen så att man kan skriva ner algoritmerna. Singmaster lanserade även en av de mest kända allmänna lösningarna för kuben. För matematikerna utgör kuben inget annat än en praktisk tillämpning av en algebraisk grupp. Genom att analysera kuben ur det perspektivet kan man visa att den går att lösa med högst 20 drag från vilket utgångsläge som helst. Det var först 2010 som det resultatet kunde bevisas matematiskt. När den här texten skrevs (2011) höll Feliks Zemdegs världsrekordet i kublösning – under sju sekunder i genomsnitt. Andra tävlingsformer är att lösa kuben med ögonbindel, med en hand eller med fötterna så snabbt som möjligt.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även BERÄKNING AV ODDS sidan 58 ALGORITMER sidan 84 MÄNGDER OCH GRUPPER sidan 86 PLATONSKA KROPPAR sidan 114

3-SEKUNDERSBIOGRAFI DAVID SINGMASTER

1939–

ERNÖ RUBIK

1944–

30-SEKUNDERSTEXTEN Robert Fathauer

När man löser Rubiks kub vrider man sidorna i rätt ordningsföljd för att arrangera om bitarna så att varje sida blir enfärgad – antalet möjliga permutationer är ofattbara 43 triljoner!

KNUTTEORI matematik på 30 sekunder Som alla scouter och seglare vet SUMMERING PÅ 3 S

Ta en repstump och knyt några knutar och sätt sedan ihop ändarna. Hur kan vi avgöra om två sådana slingor faktiskt är ekvivalenta? Detta problem har förbryllat forskarna i över hundra år.

ADDERA 3 MINUTER

Matematiken bakom knutteori är mycket viktig i ett bredare vetenskapligt perspektiv. Ett exempel är DNA-strängarna i våra celler som ständigt knyts och knyts upp av en armé av enzymer. Om en DNAmolekyl blir för trasslig så dör normalt den cellen. Biokemister som försöker förstå vad enzymerna sysslar med måste analysera de resulterande knutarna matematiskt.

130 g En extra dimension

så finns det många typer av knutar (eller knopar). De är alla olika genom att repet korsar och går runt sig självt på olika sätt. Inom knutteorin är den centrala frågan om två knutar som ser olika ut verkligen är olika. Två knutslingor anses vara av samma typ om en av dem kan bearbetas så att den får samma form som den andra, utan att man klipper och limmar i repet. Den enklaste knuten kallas en trivial knut: en enkel oknuten slinga. Men även en sådan kan framstå som mycket komplicerad: en trivial knut kan enkelt förvandlas till ett oformligt nystan (som alla vet som har försökt reda ut ett hoptrasslat halsband eller en fiskelina). Ett genombrott kom 1984 när Jones polynom upptäcktes – ett algebraiskt uttryck som beskriver varje unik knut. Varje knut har ett, och om två knutar har olika Jones polynom så kan de inte vara samma knut. Polynomet skiljer till exempel en knut från dess spegelbild, vilket tidigare hade varit ett svårt problem. Men det finns fortfarande ingen känd teknik som med säkerhet kan bestämma om två knutar är ekvivalenta (vissa knutar som vi vet är olika har ändå samma Jones polynom) och inte heller om en viss knut är knuten eller oknuten!

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TOPOLOGI sidan 116

3-SEKUNDERSBIOGRAFI WILLIAM THOMSON (LORD KELVIN)

1824–1907

JAMES WADDELL ALEXANDER

1888–1971

JOHN CONWAY

1937–

LOUIS KAUFFMAN

1945–

VAUGHAN JONES

1952–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Knutar finns i många varianter. Men det är svårt att säga om två slingor verkligen är av samma typ.

BEVIS OCH SATSER

g

BEVIS OCH SATSER ORDLISTA

algebraisk talteori En gren inom matematiken som framför allt sysslar med egenskaper hos och samband mellan algebraiska tal (tal som är en rot till ett heltalspolynom skilt från noll). axiom Ett påstående som är uppenbart sant eller har accepterats som sant utan bevis. bevisteori Den gren inom den moderna logiken som beskriver bevis som matematiska objekt i sig. Bevisteori spelar en viktig roll i matematikens filosofi. decimaltal Ett tal på tallinjen som har ett decimalkomma, till exempel 10,256. hypersfär En tredimensionell version av en tvådimensionell sfär (ytan av ett klot). Den är en kompakt mångfald utan begränsningsyta eller hål. Hypersfären kan bara visualiseras i fyra eller fler dimensioner. Se även mångfald.

134 g Bevis och satser

icke-trivial lösning En lösning till en linjär ekvation där inte alla ekvationens variabler samtidigt är noll. Den lösning som fås i fallet när alla variablerna är noll kallas trivial. Kleins flaska Ett föremål med en sluten yta som bara har en sida och inga kanter. Kleins flaska kan inte visualiseras i tre dimensioner utan att ytorna korsar varandra. Den är namngiven efter den tyske matematikern Felix Klein som var först med att beskriva ytan 1882. komplext tal Ett tal som består av både en reell del och en imaginär del, till exempel a 1 bi, där a och b representerar reella tal och i står för √–1. linjär ekvation En ekvation vars graf blir en rät linje i ett kartesiskt koordinatsystem, därav namnet. Linjära ekvationer består av termer som är antingen konstanter eller produkter av en konstant och en variabel.

mångfald En mångfald är en form där varje tillräckligt litet område liknar en vanlig form i det euklidiska rummet. Mångfalder finns i alla dimensioner. En kurva (till exempel en cirkel) är en endimensionell mångfald, eftersom varje litet område påminner om en endimensionell linje. En tvådimensionell mångfald är en yta (till exempel en sfär) där varje litet område ser ut som en del av ett tvådimensionellt plan. En hypersfär är ett exempel på en tredimensionell mångfald, eftersom varje litet område påminner om en vanlig tredimensionell figur i rummet. Se även hypersfär. möbiusband En yta som bara har en sida och en kant. Ett sådant kan du tillverka genom att vrida en pappersremsa ett halvt varv och tejpa ihop ändarna. naturligt tal De ursprungliga räknetalen 1, 2, 3 och så vidare, det vill säga alla positiva heltal, eller alla heltal som inte är negativa. Om nollan ska räknas in är omtvistat men numera får den oftast vara med.

primtal Ett positivt heltal som bara är jämnt delbart med 1 och sig självt. pythagoreisk trippel En mängd av tre positiva heltal (a, b och c) som följer regeln a2 1 b2 5 c2. Den minsta och mest kända pythagoreiska trippeln är 3, 4 och 5, eftersom 32 1 42 5 52. reellt tal Ett tal som kan placeras in på en kontinuerlig tallinje – den reella tallinjen. De reella talen kan indelas i rationella tal (tal som kan skrivas som heltalsbråk) och irrationella tal (som inte kan skrivas som heltalsbråk, till exempel √2 och p). sats Ett icke uppenbart matematiskt faktum som kan bevisas med hjälp av en kombination av tidigare bevisade matematiska fakta och/ eller axiom. torus Inom geometrin en figur formad som en badring.

Ordlista g 135

FERMATS STORA SATS matematik på 30 sekunder Den franske juristen och amatörSUMMERING PÅ 3 S

Det finns inga (icke-triviala) heltalslösningar till ekvationen xn 1 y n 5 zn om n . 2. Det tog matematikerna över tre sekel att bevisa att detta enkla påstående är sant.

ADDERA 3 MINUTER

Fermats påstående har ingen praktisk användbarhet. Men det svårfångade beviset blev en sporre för generationer av matematiker. Man kan nog hävda att hela det område inom matematiken som kallas algebraisk talteori har uppstått för att lösa detta enda problem, och det har i sig resulterat i många viktiga tillämpningar. Wiles arbete byggde på många stora föregångare och när han tillkännagav sitt genombrott hamnade nyheten på förstasidan i New York Times.

136 g Bevis och satser

matematikern Pierre de Fermat levde på 1600talet och arbetade sig igenom Diofantos Arithmetica när han kom fram till avsnittet om de pythagoreiska tripplarna (heltalskvadrater som summerade blir en ny heltalskvadrat, som 32 1 42 5 52). En formel för att leta reda på sådana tripplar förekommer i Euklides Elementa. Fermat hävdade att inga sådana tripplar existerade om man istället för att kvadrera upphöjde till 3, 4, 5 eller något annat heltal. Han skrev i sitt exemplar av Arithmetica att han hade ett fantastiskt bevis för detta påstående, men att det inte rymdes i bokens marginal. Hundratals matematiker tillbringade tusentals timmar i jakten på beviset men de kom inte längre än till att det stämde för vissa specifika exponenter. Fermat publicerade själv ett bevis för fallet n = 4 senare i livet. Tungviktare som Euler och Gauss bevisade också en del specialfall. Det första allvarligt menade försöket att bevisa det allmänna fallet för alla n gjordes av Sophie Germain i början av 1800-talet. Fermats stora sats var i själva verket bara en förmodan fram till 1994 när den bevisades av den brittiske matematikern Andrew Wiles.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TALTEORI sidan 30 EUKLIDES ELEMENTA sidan 94

3-SEKUNDERSBIOGRAFI PIERRE DE FERMAT

1601–1665

SOPHIE GERMAIN

1776–1831

CARL FRIEDRICH GAUSS

1777–1855

ANDREW WILES

1953–

30-SEKUNDERSTEXTEN David Perry

Fermats anteckning i marginalen upptäcktes först efter hans död. Andrew Wiles första uppsats om beviset för Fermats sats är på 108 sidor – marginalerna är tomma.

17 augusti 1601

Föds i Beaumont de Lomagne, Tarn et Garonne, Frankrike.

1620-talet

Studerar i Bordeaux.

1631

Examen i civilrätt från universitetet i Orléans.

1636

Utsedd till kunglig bibliotekarie i Paris.

1636

Manuskriptet till Introduktion till plan och fasta punkter börjar cirkulera, innan Descartes hinner publicera sin La Géométrie.

1654

Brevväxlar med Pascal om sannolikhetslära.

1656

Brevväxlar med Huygens.

1659

1679

Redovisning av upp­ täckter inom läran om tal skickas till Huygens och Carcavi.

Introduktion till plan och fasta punkter ges ut postumt i Varia Opera Mathematica.

12 januari 1665

1994

Dör i Castres.

Fermats stora sats bevisas av Andrew Wiles.

1670

En utgåva av Diofantos Arithmetica ges ut av Samuel Fermat med anteckningar av Pierre de Fermat.

PIERRE DE FERMAT Tack vare den mystik som under hundratals år omgav den sats som bär hans namn har Fermat blivit en av de mest kända matematikerna för icke-matematiker. Trots att han stod för många viktiga bidrag inom geometri, sannolikhetslära, fysik och infinitesimalkalkyl, och att han numera hyllas som den moderna talteorins grundare, gjorde Fermat under hela livet sitt bästa för att upprätthålla amatörstatusen. Han presenterade alla sina idéer och upptäckter i form av brev eller manuskript och lät sig inte publiceras så länge han levde, kanske för att han inte ansåg det mödan värt att upphöja sina lösa anteckningar och teorier till publicerbar standard. Precis som sin mentor, François Viète (1540–1603), arbetade han som jurist vid den lagstiftande församlingen i Toulouse. Han höll sig utanför den akademiska världen och slapp på så vis att presentera vattentäta bevis för sina påståenden och få dem granskade av professorerna – vissa kolleger muttrade faktiskt i tysthet att han inte kunde bevisa något eftersom inga bevis fanns, och över att han hela tiden utmanade dem med problem som var för svåra att lösa. Fermat gav igen genom att bevisa att vissa problem saknade

lösning. Han var högt ansedd av den tidens stora, som Beaugard, Cavanci och, under den tid han bodde och verkade i Paris, Mersenne. Newton tillkännagav öppet att han aldrig hade kommit fram till differentialkalkylen utan Fermats förberedande arbete med kurvor och tangenter och hans framsteg med en metod som han kallade ”adégalité”. Fermat uppskattade den korrespondens han hade med Pascal i vilken de båda kämpade med ett spelproblem och ställde upp principerna för sannolikhetsteorin. Fermat hade även (ofrånkomligen) en dust med Descartes (tveklöst den grinigaste av alla matematiker) om geometrisk teori, där han gjorde filosofen ursinnig genom att sprida sina egna slutsatser ett år innan Descartes publicerade sina. Fermat hade rätt, men Descartes som tillhörde etablissemanget använde sitt inflytande och sina kontakter för att svärta ner Fermats rykte. Fermat förblev kontroversiell, skarpsinnig och gåtfull in i det sista och lämnade ett tillsynes olösligt pussel i arv till eftervärlden: hans berömda stora eller sista sats, nedskriven som i förbigående i marginalen i en av hans läroböcker, som skulle förbli olöst i över 300 år efter hans död.

Pierre de Fermat g 139

FYRFÄRGSPROBLEMET matematik på 30 sekunder Du har ritat en världskarta och SUMMERING PÅ 3 S

Du behöver bara fyra färger för att färglägga länderna på en karta så att inga grannländer får samma färg – varför krävs aldrig en femte?

ADDERA 3 MINUTER

Fyrfärgssatsen är den första stora matematiska sats som bevisades med hjälp av datorer. Appel och Haken fann en matematisk metod för att reducera problemet från alla tänkbara kartor till en hanterlig mängd av ett antal tusen kartor som en dator sedan kunde analysera. Användningen av denna nydanande teknik ledde till en debatt som pågår än i dag om huruvida datorassisterade härledningar ska accepteras som giltiga matematiska bevis.

140 g Bevis och satser

nu vill du göra den mer estetiskt tilltalande genom att färglägga de olika länderna. Du bestämmer dig för att två länder som gränsar till varandra inte får ha samma färg. Frankrike, Belgien, Tyskland och Luxemburg måste alla ha olika färg eftersom alla dessa fyra länder gränsar till alla de andra tre. Du behöver alltså minst fyra färger. Men kommer du vid något tillfälle att tvingas använda en femte färg? Fyrfärgssatsen säger att du inte behöver det. Hur stor och komplicerad kartan än är, behöver du aldrig fler än fyra färger. Påståendet är mycket enkelt att uttrycka men extremt svårt att bevisa. Det var inte förrän 1976, 100 år efter att satsen formulerades, som de amerikanska matematikerna Kenneth Appel och Wolfgang Haken lyckades formulera ett bevis. Fyra färger räcker alltså för att färglägga kartor på ett plan eller en sfär, men det gäller inte nödvändigtvis för andra typer av ytor. Kartritare som färglägger en torus kan behöva så många som sju och på ett möbiusband kan det krävas sex färger.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TOPOLOGI sidan 116

3-SEKUNDERSBIOGRAFI WOLFGANG HAKEN

1928–

KENNETH APPEL

1932–2013

30-SEKUNDERSTEXTEN Jamie Pommersheim

När du färglägger en karta krävs bara fyra färger för att två länder med gemensam gräns inte ska få samma färg. Det tog matematikerna över ett sekel att bevisa att ingen femte färg krävs.

HILBERTS PROGRAM matematik på 30 sekunder I början av 1900-talet hade SUMMERING PÅ 3 S

David Hilbert hoppades kunna använda aritmetikens underliggande logiska struktur för att finna matematikens perfekta teori. Men tyvärr blev hans plan aldrig verklighet.

ADDERA 3 MINUTER

Hilberts program kunde visserligen inte motsvara hans höga förhoppningar, men hans arbete gjorde ändå bestående avtryck på matematiken. Hans ”formalistiska” sätt att hantera numeriska system som spel skapade nytt intresse för den matematiska logiken. Även om ett enda dataprogram eller en enda algoritm aldrig kan lösa alla matematiska problem, kan flera undertyper av problem lösas på detta sätt. Dagens matematiker skördar än i dag positiva resultat ur Hilberts program.

142 g Bevis och satser

matematiken hamnat i något av en kris. Samtidigt som matematikerna löste allt mer komplicerade problem fanns det vissa principiella frågor som var obesvarade. Varifrån kommer talen? Vilka grundläggande lagar lyder de under? Varför är vissa frågor om tal så utomordentligt komplicerade? David Hilbert fick den djärva idén att ta itu med utmaningarna. Han ville demontera matematiken i dess beståndsdelar och behandla dem som brickor i ett spel. På samma sätt som schack spelas med bland annat bönder och torn har matematikens spel sina symboler som fundamentala ingredienser: 0, 1, 1, 3, 5 och så vidare. Genom att reducera matematiken till ett spel med symboler och bortse från vad de ”betyder” försökte Hilbert upptäcka dess grundläggande regler. Med det gjort hoppades han att en slutgiltig framgångsstrategi skulle uppenbara sig. Det skulle vara en universalmetod för att avgöra om ett påstående om tal var sant eller falskt. Tyvärr förverkligades aldrig Hilberts program. Kurt Gödels ofullständighetssats visade att en komplett uppsättning regler aldrig skulle gå att få fram. Senare visade även Alan Turings arbete med algoritmer att det aldrig kan finnas en enda procedur som kan bedöma sanningshalten i alla matematiska påståenden.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även ALGORITMER sidan 84 GÖDELS OFULLSTÄNDIGHETSSATS sidan 144

3-SEKUNDERSBIOGRAFI DAVID HILBERT

1862–1943

WILHELM ACKERMANN

1896–1962

JOHN VON NEUMANN

1903–1957

KURT GÖDEL

1906–1978

ALAN TURING

1912–1954

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Precis som schack är matematik bara ett spel. Men vilka är reglerna?

GÖDELS OFULLSTÄNDIGHETSSATS matematik på 30 sekunder Matematikens fundament är SUMMERING PÅ 3 S

Kurt Gödel slog världen med häpnad när han avslöjade att man aldrig kommer att kunna skapa en fullständig uppsättning regler för tal.

ADDERA 3 MINUTER

Även om Gödel försäkrar oss att det inte går att skriva en fullständig regelbok i aritmetik, har man steg för steg tagit fram en hierarki av logiska system för aritmetiken där varje system täpper till många av luckorna i systemet under. I ämnet bevisteori jämför man den logiska styrkan hos de olika systemen, medan reverserad matematik går ut på att förstå var de klassiska matematiska resultaten passar in genom att fråga sig exakt vilka underliggande antaganden som krävs för att bevisa en given sats.

144 g Bevis och satser

aritmetiken: systemet med de naturliga talen 0, 1, 2, 3 … tillsammans med de välkända sätten att kombinera dem: addition, subtraktion, multiplikation och division. Matematikerna brottades med detta system i tusentals år och i slutet av 1800-talet riktade de in sig på att hitta dess grundläggande lagar. Vad de sökte var en lista över aritmetikens grundläggande regler ur vilken alla satser i den högre matematiken skulle kunna härledas med hjälp av logik. Flera regelsamlingar gjorde anspråk på att spela den rollen, inte minst Principia Mathematica, ett verk i tre volymer av Bertrand Russell och Alfred North Whitehead som avsåg att bygga upp hela matematiken utifrån en lista med grundläggande antaganden. Men 1931 bevisade Kurt Gödel att alla sådana ansträngningar var förgäves. Han bevisade en sats som säger att det är omöjligt att skriva ner en komplett lista med regler för aritmetiken. Varje försök kommer automatiskt att bli ”ofullständigt”. Det kommer alltid att finnas ett påstående om heltal som faller mellan stolarna: trots att det är korrekt kan det inte härledas ur de givna lagarna. Du kan givetvis göra tillägg i regelboken för att få med just det påståendet som en ny lag, men det skulle fortfarande finnas andra luckor i teorin. Gödels sats garanterar att det inte finns en chans att täppa till alla.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även OÄNDLIGHET sidan 38 ALGORITMER sidan 84 HILBERTS PROGRAM sidan 142

3-SEKUNDERSBIOGRAFI ALFRED TARSKI

1902–1983

JOHN VON NEUMANN

1903–1957

KURT GÖDEL

1906–1978

JOHN BARKLEY ROSSER

1907–1989

GERHARD GENTZEN

1909–1945

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Aritmetiken är full av luckor. Hur många vi än täpper till finns det ändå många kvar.

POINCARÉS FÖRMODAN matematik på 30 sekunder En sfärs yta har inga hål. Det är SUMMERING PÅ 3 S

Den franske matematikern Henri Poincaré förmodade att sfärer i alla dimensioner var de enda formerna som saknade hål. Över hundra år senare bekräftades hans förmodan.

ADDERA 3 MINUTER

Poincarés förmodan gäller även för mångfalder i högre dimensioner. 1961 visade Steven Smale och Max Newman att för alla dimensioner från fem och uppåt är hypersfärer de enda formerna utan hål. 1982 lyckades Michael Freedman bevisa att samma sak gäller i fyra dimensioner. Den tredimensionella versionen, som intresserade Poincaré mest, var alltså den sista pusselbiten som föll på plats.

146 g Bevis och satser

uppenbart. Men vad innebär det för en yta att ha ett hål? Matematiskt fungerar det så här: om du ritar en cirkel på en sfär så kan du minska cirkelns omfång tills den krymper till en enda punkt. Men på en torus (ytan på en badring) fungerar det inte alltid – en cirkel som går runt formen på rätt sätt är fångad i eller kring hålet. För matematikerna betyder ”inga hål” att alla sådana cirklar kan dras ihop till punkter. En dubbeltorus har också hål i sig liksom den mer exotiska Kleins flaska. Sedan början av 1800talet har vi känt till att sfären faktiskt är den enda slutna ytan utan hål, betraktad ur ett topologiskt perspektiv. Det betyder att alla slutna ytor utan hål, till exempel en kub, kan töjas till formen av en sfär. Ytor är tvådimensionella former. Vad Poincaré frågade sig var om samma sak gäller när vi går upp till tre dimensioner, när ytorna ersätts av former som kallas ”mångfalder”. Poincaré förmodade att den enda tredimensionella mångfalden utan hål är ”hypersfären” – den vanliga sfärens storebror. Det bevisades slutligen av Grigori Perelman 2003.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även TOPOLOGI sidan 116 MÖBIUSBANDET sidan 120

3-SEKUNDERSBIOGRAFI JULES HENRI POINCARÉ

1854–1912

STEPHEN SMALE

1930–

RICHARD HAMILTON

1943–

MICHAEL FREEDMAN

1951–

GRIGORI PERELMAN

1966–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Om alla möjliga cirklar kan krympas till ingenting, så måste formen vara en sfär.

KONTINUUMHYPOTESEN matematik på 30 sekunder Följden av naturliga tal fortsätter SUMMERING PÅ 3 S

Den tyske matematikern Georg Cantor upptäckte att oändligheten finns i flera varianter. Hur dessa oändligheter förhåller sig till varandra är ett mysterium än i dag.

ADDERA 3 MINUTER

Cantors verk är ett av få där matematik möter ideologi. En samtida matematiker, Leopold Kronecker, avfärdade hela ämnet med orden: ”Gud skapade de naturliga talen och resten är människans verk.” David Hilbert å sin sida menade att ”ingen har rätt att utestänga oss från det paradis som Cantor har skapat”. Dessa meningsskiljaktigheter består än i dag. Vissa mängdteoretiker söker efter nya lagar som ska göra så att vi slutgiltigt kan avgöra om kontinuumhypotesen är giltig eller ogiltig, medan andra hävdar att vi aldrig kommer att få veta.

148 g Bevis och satser

i all evighet: 1, 2, 3, 4, 5 … Det finns också oändligt många reella tal (decimaltal som 0,5 eller p eller 0,1234567891011121314 …). De här två typerna av oändlighet kallas uppräknelig oändlighet respektive kontinuum. Till sina samtida matematikers förfäran lyckades Georg Cantor bevisa att de är olika stora. Enkelt uttryckt är mängden decimaltal en större oändlighet än mängden naturliga tal. Och det räcker inte med det: Cantor identifierade fler nivåer av oändligheter (oändligt många faktiskt). Men för de flesta vanliga matematiker är de här två de viktigaste typerna av oändlighet. Cantor hade visat att kontinuumet är en större oändlighet än den uppräkneliga. Vad han inte visste var om det fanns några nivåer mellan dem. Han trodde inte att så var fallet och hans förmodan fick namnet kontinuumhypotesen. 1963 kom den amerikanske matematikern Paul Cohen fram till det chockerande resultatet att kontinuumhypotesen är formellt obestämbar. Det betyder att med den nuvarande uppsättningen matematiska lagar kan kontinuumhypotesen varken bevisas eller motbevisas.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även OÄNDLIGHET sidan 38 HILBERTS PROGRAM sidan 142 GÖDELS OFULLSTÄNDIGHETSSATS sidan 144

3-SEKUNDERSBIOGRAFI GEORG CANTOR

1845–1918

KURT GÖDEL

1906–1978

PAUL COHEN

1934–2007

HUGH WOODIN

1955–

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Oändligheten finns i olika storlekar. Men hur kan vi veta när vi har hittat dem alla?

RIEMANNHYPOTESEN matematik på 30 sekunder Primtalen har alltid fascinerat SUMMERING PÅ 3 S

Bernhard Riemann formulerade en regel som beskriver primtalsfördelningen. Den fungerar men ingen har kunnat bevisa att den alltid gäller.

ADDERA 3 MINUTER

Även om Riemanns hypotes inte har bevisats så har hans idéer bidragit till att bevisa en annan viktig sats: primtalssatsen. Den formulerades av Gauss 1849 och ger en utmärkt uppskattning av antalet primtal upp till en godtycklig gräns. Den är inte exakt men ger tillräckligt bra resultat. Gauss kunde inte bevisa den men 1896 lyckades Hadamard och de la Vallée-Poussin på var sitt håll härleda den genom att ringa in Riemanns nollor till en rektangulär kritisk remsa mellan 0 och 1.

150 g Bevis och satser

matematikerna och gör så än i dag. Problemet är att de är så oförutsägbara. Det är väldigt svårt att säga när nästa primtal ska dyka upp: ibland ligger de tätt ihop (t.ex. 191, 193, 197, 199) och på andra ställen är avstånden större (t.ex. 773, 787, 797, 809). 1859 tog Bernhard Riemann fram en formel som skapar lite reda i detta kaos. Den var precis vad matematikerna hade letat efter. Med den kunde man bestämma det exakta antalet primtal fram till en viss gräns och därmed förutsäga nästa primtal exakt. Trots att experimentet tydde på att metoden fungerade perfekt, kunde Riemann inte bevisa att den alltid skulle ge rätt svar. Formeln byggde på en märklig konstruktion som kallas Riemanns zetafunktion. En funktion är en matematisk regel som för varje ingångsvärde ger ett resultat i form av ett utgångsvärde. I Riemanns fall är både in- och utgångsvärdena till funktionen komplexa tal (se Imaginära tal, sidan 18). Vad Riemann behövde veta var vilka av ingångsvärdena som gav svaret noll. Han förmodade att alla de viktiga nollorna ligger på en vertikal linje som kallas den kritiska linjen och skär den reella axeln (a) vid 1⁄2. Men varken han eller någon annan har kunnat bevisa att det är sant.

BESLÄKTADE TEORIER

Se även IMAGINÄRA TAL sidan 18 PRIMTAL sidan 22 TALTEORI sidan 30

3-SEKUNDERSBIOGRAFI CARL FRIEDRICH GAUSS

1777–1855

BERNHARD RIEMANN

1826–1866

JACQUES HADAMARD

1865–1963

CHARLES DE LA VALLÉE-POUSSIN

1866–1962

30-SEKUNDERSTEXTEN Richard Elwes

Ligger Riemanns alla nollor på en vertikal linje vid 1⁄2? Den frågan står mellan oss och primtalens mysterium.

b

a

den kritiska linjen

BILAGOR

g

LÄSTIPS

BÖCKER Matematik: vad som är värt att veta Tony Crilly (Lind & Co, 2012) The Book of Numbers John H. Conway och Richard K. Guy (Copernicus, 1998)

Gödel, Escher, Bach: ett evigt gyllene band Douglas Hofstadter (Brombergs, 1985) How To Build A Brain Richard Elwes (Quercus, 2011)

The Colossal Book of Mathematics Martin Gardner (W. W. Norton & Co., 2004)

Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its Consequences John Allen Paulos (Hill and Wang, 1988)

Designing and Drawing Tessellations Robert Fathauer (Tessellations, 2010)

The Man Who Loved Only Numbers Paul Hoffman (Fourth Estate, 1998)

e: the Story of a Number Eli Maor (Princeton University Press, 1998)

Mathematical Puzzles and Diversions Martin Gardner (Penguin, 1991)

Fermats gåta Simon Singh (Norstedts, 1998)

Maths 1001 Richard Elwes (Quercus, 2010)

Flatland Edwin Abbott (Bakhåll, 2004)

Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories James Pommersheim, Tim Marks och Erica Flapan (John Wiley & Sons, 2010)

Fractal Trees Robert Fathauer (Tarquin Publications, 2011)

154 g Bilagor

The Princeton Companion to Mathematics Timothy Gowers (red.) (Princeton University Press, 2008) What Is the Name of This Book? The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles Raymond Smullyan (Penguin Books, 1981)

WEBBSIDOR +Plus Magazine http://plus.maths.org/content/ En matematiktidskrift på nätet med de senaste nyheterna och artiklarna från de främsta matematikerna och vetenskapsförfattarna. Cut the Knot http://www.cut-the-knot.org/ En encyklopedisk samling av matematikkällor för alla kunskapsnivåer med aritmetiska spel, problem, pussel och artiklar.

Math is Fun http://www.mathsisfun.com/ Matematiksajt för barn, lärare och föräldrar – med en praktiskt illustrerad ordlista. The Mathematica Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/ Animeringar kopplade till ett brett spektrum av matematiska företeelser. PlanetMath http://planetmath.org/ PlanetMath är ett virtuellt forum med målet att göra det lättare att ta till sig kunskaper i matematik. Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/ En omfattande källa till matematik och världens största samling av matematiska formler och matematisk grafik.

MacTutor History of Mathematics Archive http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ Arkiv om matematikens utveckling med biografier över kända matematiker.

Lästips g 155

OM SKRIBENTERNA

Richard Brown är medlem av fakulteten och grundutbildningsansvarig vid matematiska institutionen vid Johns Hopkins University i Baltimore, Maryland. Hans matematiska forskning har bland annat handlat om att använda dynamiska system för att studera topologiska och geometriska egenskaper hos ytor. Han studerar därmed hur de topologiska transformationerna av ett rum påverkar geometrin för detta rum. Han är också engagerad i att studera och förbättra effektiviteten hos universitetens grundutbildning i matematik och att undersöka hur studenterna klarar den svåra övergången från gymnasiematematik till högskolematematik.

Robert Fathauer är pusselkonstruktör, konstnär och författare. Han äger Tessellations, ett företag som är specialiserat på produkter som kombinerar matematik och konst. Han har skrivit artiklar om Escherliknande tessellationer, fraktala mönster och fraktala knutar, och han har bland annat skrivit böckerna Designing and Drawing Tessellations och Fractal Trees. Han har även anordnat flera utställningar om matematisk konst i både USA och Europa. Han har en högskoleexamen i matematik och fysik från University of Denver och en doktorsexamen i elektroteknik från Cornell University. Under flera år var han forskare och gruppledare vid Jet Propulsion Laboratory.

Richard Elwes är matematiker och lärare samt en skolad logiker som har skrivit många artiklar om modellering av teoretisk algebra. Han har bland annat skrivit böckerna Maths 1001 och How To Build A Brain. Han skriver regelbundet om matematiska företeelser i tidskriften New Scientist och ger ofta föreläsningar på skolor och för allmänheten. Han har medverkat i BBC World Service och i Guardians podcast Science Weekly. För närvarande arbetar han som lärare vid University of Leeds, där han bor med sin fru.

John Haigh är docent emeritus i matematik vid University of Sussex. Han har framför allt forskat på tillämpad sannolikhetslära inom biologi och spelteori. Förutom att undervisa på olika universitet har han hållit populära föreläsningar organiserade av Royal Statistical Society och London Mathematical Society. Han har bland annat skrivit Taking Chances, om sannolikhetslära för lekmän, och (tillsammans med Rob Eastaway) The Hidden Mathematics of Sport, som beskriver olika sätt att använda matematiskt tänkande för att öka framgångarna och glädjen i olika sporter.

156 g Bilagor

David Perry har examina i matematik från University of Wisconsin i Madison och University of Illinois i Urbana-Champaign. Han undervisade i två år vid Ripon College i Wisconsin innan han sadlade om till programvaruutvecklare i den privata sektorn. Han har även undervisat vid Johns Hopkins Center for Talented Youth-program varje sommar sedan 1997 där han lär ut talteori, kryptologi och avancerad kryptologi. Han skrev många av övningsuppgifterna till läroboken Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories av James Pommersheim, Tim Marks och Erica Flapan. Dessutom är han i full färd med att skriva sin första roman, en historisk fantasybok som är tänkt att avslöja den sanna berättelsen om David och Goliat. Jamie Pommersheim är Katharine Piggottprofessor i matematik vid Reed College i Portland, Oregon. Han har skrivit om forskning inom en lång rad olika områden, som algebraisk geometri, talteori, topologi och kvantdatateknik. Han har lärt ut talteori till studenter på olika nivåer: från talangfulla gymnasiestudenter till avancerade forskare. Han är medförfattare till boken Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories (2010).

Om skribenterna g 157

REGISTER

A Abel, Niels Henrik 80 abstrakt algebra 104 addition och subtraktion 40–41, 42 algebra 6, 8, 12, 20, 26, 74, 76, 80, 83, 108 algebraisk geometri 74, 80 algebraisk talteori 134, 136 algebraiska tal 12, 16, 134 algebraiska uttryck 34, 46 algebrans fundamentalsats 18 algoritmer 83, 84–85, 94, 126, 128, 142 al-Khwarizmi, Abu ’Abdullah Muhammad Ibn Musa 36, 82–83, 84 allmänna relativitetsteorin 78 analysens fundamentalsats 50 analytisk geometri 108 andragradsekvationer 40, 80, 83 andragradsekvationer, lösningsformel 80, 88 apriorisannolikhet 55, 70 Aristoteles 101 aritmetik 6, 8, 40, 42, 83, 88, 142, 144 aritmetikens fundamentalsats 22 Arkimedes från Syrakusa 50, 96, 122–123 Arkimedes princip 123 Aryabhata 40

B bas 10 (se decimalsystemet) bas 12 (se duodecimalt system)

158 g Register

bas 2 (se binärt system) bas 20 (se vigesimalt system) bas 60 (se sexagesimalt system) Bayes sats 70–71 Bayes, Thomas 70 Bernoulli, Jacob 62 bevisteori 135, 144 Bienaymé, Irénée-Jules 62 binär sekvens 54, 68 binärt system 12, 20, 49 boolesk logik (boolesk algebra) 34, 36, 49 Borel, Émile 62 Brahmagupta 36, 40 bråk 12 bråk och decimaltal 14–15

C Cantor, Georg 148 cantormängden 124 Cardano, Girolamo 60–61 centrala gränsvärdessatsen 54 Church, Alonzo 84 cirkelns kvadratur 104–105

D da Vinci, Leonardo 61, 98 decimalsystemet 14, 20, 40 Descartes, René 18, 28, 29, 46, 108, 139 differentialekvationer 34, 50, 74, 78 differentialkalkyl 50, 139 dodekaeder 92, 98, 112, 114, 128 duodecimalt system 20

E Einstein, Albert 78, 106 ekvationer 78–79, 108 Elementa (Euklides Elementa) 22, 92, 94–95, 104, 106, 136 Euklides från Alexandria 22, 30, 92, 94, 104, 106, 136 euklidisk geometri 92 Euler, Leonhard 118, 136 eulerkarakteristik 112, 116 Eulers tegelstenar 118–119 expanderande parenteser 26

F falskt positiv 54, 70 femtegradsekvationer 80 femtegradspolynom 75, 88 Fermat, Pierre de 29, 30, 108, 136, 138–139 Fermats stora sats 30, 136–137 Fibonacci 24, 36, 40 fibonaccital 24–25, 26, 98 figurtal 12, 30 fjärdegradsekvationer 61, 80 fraktaler 124–125 Fujimoto, Shuzo 126 funktioner 35, 46–47, 108 fyrfärgsproblemet 140–141 fältekvation 78

gummiduksgeometri (se topologi) gyllene rektangel 98 gyllene snittet 12, 24, 98–99 gyllene spiral 24, 98 Gödel, Kurt 142, 144 Gödels ofullständighetssats 74, 84, 142, 144–145

H Hardy, G.H. 30 Hilbert, David 142, 148 Hilberts program 142–143 Hipparchos 102 Hippasos från Metapontum 16 hyperbolisk geometri 93, 106 hypersfär 134, 146

I icke komprimerbart 68 ikosaeder 93, 98, 112, 114, 128 imaginära tal 12, 13, 18–19 indoarabiska siffror 14, 34, 83 infinitesimalkalkyl 38, 48, 49, 50–51, 96, 139 integralkalkyl 50 irrationella tal 12, 13, 14, 16–17, 96, 98, 104

J G Galilei, Galileo 46 galoisteori 92, 104 Gauss, Carl Friedrich 30, 106, 136, 150 Germain, Sophie 126 grafer 108–109 gudomligt förhållande

Jones polynom 112, 130

K kartesiska koordinater 34, 46, 108 Kleins flaska 112, 120, 134, 146 knutteori 130–131 komplexa tal 12, 18, 112, 134, 150

kontinuumhypotesen 148–149 kvantmekanik 35, 50

normalfördelning 54 normalfördelningskurva 54

L

O

lagen om genomsnitt 64–65 lagen om stora tal 62–63, 64 Leibniz, Gottfried 29, 35, 46, 48–49, 50, 96 linjära ekvationer 83, 134 Liu Hui 96 logaritmer 42, 44 lång division 42

odds 55, 58–59 oktaeder 113, 114, 128 Oresme, Nicole 46, 108 origamigeometri 126–127 origamitessellationer 126 oändlighet 36, 38–39, 40, 96, 148

P M Mandelbrot, Benoît 124 mandelbrotmängden 124 martingalspel 66–67 Minkowski, Hermann 106 modulär origami 126 monader 35, 49 monadologi 35, 49 multiplikation och division 42–43 mångfald 143, 146 mängder och grupper 86–87 Möbius, August 120 möbiusband 120–121, 134, 140

N Napier, John 44 Nash, John 56 Nashjämvikt 54, 56 naturliga logaritmer 44 naturliga tal 38, 135, 148 Neumann, John von 56 Newton, Isaac 49, 50, 139 noll 36–37, 83

parallella linjer 106–107 parallellpostulatet 106 Pascal, Blaise 26, 28–29, 49, 138, 139 Pascals triangel 26–27, 124 Peanos kurva 124 pi 13, 14, 16, 35, 44, 92, 96–97, 104, 123, 148 Pingala 26 Pisano, Leonardo (se Fibonacci) plantrigonometri 102 Platon 101 platonska kroppar 9, 92, 94, 114–115, 128 Poincaré, Henri 146 Poincarés förmodan 146–147 polyeder 93, 113 polynomekvationer 12, 16, 18, 74, 80–81 polära koordinater 108 potenser och logaritmer 44–45 primtal 22–23, 30, 94, 135, 150 primtalsfaktorisering 22, 27 primtalssatsen 22, 150 Pythagoras 16, 98, 100–101

Pythagoras sats 7, 93, 94, 101, 118 pythagoreisk trippel 94, 95, 135, 136

tredjegradsekvationer 61, 80 triangeltal 26, 31 trigonometri 83, 102–103 Turing, Alan 84, 142

R

V, W

Ramanujan 96 rationella tal 12, 13, 16–17 reella tal 12, 13, 14, 16, 18, 35, 36, 75, 88, 135 Riemann, Bernhard 150 riemannhypotesen 150–151 ringar och fält 88 Rubik, Ernö 128 Rubiks kub 128–129

variabel platshållare 76–77 Vesalius 61 Widmann, Johannes 40 Wiener, Norbert 49 vigesimalt system 20 Wiles, Andrew 136, 138 von Kochs kurva 124 von Kochs snöflinga 113, 124

Z S

Zenon från Elea 38

sannolikhet 55, 58, 61, 62, 70 sannolikhetsteori 54 sant positiv 55, 70 Schaeffer, Jonathan 56 sexagesimalt system 20 sfärisk trigonometri 102 sierpinskitriangel 124 sinusfunktion 102 slump 68–69 speciella relativitetsteorin 106 spelteori 54, 56–57

T talbaser 20–21 talteori 24, 30–31, 93, 94, 139 Tartaglia, Niccolò 61 tetraeder 113, 114, 128 Theaitetos 114 topologi 116–117, 120, 134, 146 torus 113, 120, 135, 140, 146 transcendenta tal 13, 16, 96, 104

Register g 159

TACK BILDRÄTTIGHETER Förlaget vill tacka följande personer och organisationer för att vi har fått tillåtelse att använda deras bilder i boken. Vi har gjort vad som står i vår makt för att all information ska vara korrekt och ber om ursäkt för den händelse vi har begått några misstag. 129 Rubiks kub® använd med tillstånd från Seven Towns Ltd. www.rubiks.com 131 Tillstånd att använda knutbilderna av Dale Rolfsen, Rob Scharein och Dror Bar-Natan.

160 g Tack