Matematik. M 5 9789147109289 [PDF]

Zitiervorschau

N O S S E N N U J S S •• JONA M O R T S M L O H N I T MAR E R M A H D E M S A EV N O S S B O K A J S R LA N O S L I N KLAS

N O S S E N N U J S S .. JONA M O R T S M L O H N I MART E R M A H D E M S A V E N O S S B O K A J S R LA N O S L I N KLAS

ISBN 978-91 -47-10928-9 © 2013 Jonas Sjunnesson, Martin Holmström, Eva Smedhamre, Lars Jakobsson, Klas Nilson och Liber AB

Projektledare: Calle Gustavsson Redaktör: Tho1nas Aidehag Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1

Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Kina 2013

••

KOPIERINGSFORBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvud1nan för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: [email protected]

} 1.1

MÄN~DLÅRA OCH KOMBINATORIK Mängder

8

2.1 De hela talen

Begreppen tom mängd, d elmängd och grundmängd 10 Venndiagram 12 Mängdoperationer 14 Komplementmängd och differens 17 Upptäck & Visa: Hitta samband 20 1.2 Repetition av sannolikhetslära

Sannolikhet och mängdlära 22 San nolikhet vid försök i flera steg 1.3 Kombinatorik

Delbarhet och primtal 64 Aktivitet: Eratosthenes såll 69 2.2 Kvot och rest

21

24

2.3 Kongruens

4

2.4 Talföljder

83

86

Aritmetiska talföljder 86 Geometriska talföljder 90 Rekursiva talföljder 95 Digitala rutan: Talföljder och kalkylblad 98 Summanotation 101

46

Sammanfattn ing 54 TEST 1 56 Blandade uppgifter 59

79

Kongruensräkning

28

Inledande exempel 46 Eulervägar och Hamiltonvägar 50 Aktivitet: Den handelsresandes problem

70

Aktivitet: Periodiska decimalutvecklingar 72 Största gemensamma delare, Euklides algoritm 73 Aktivitet: Diofantiska ekvationer

Multiplikationsprincipen 28 Permutationer 30 Kombinationer 35 Binomialsatsen 39 Binomialfördelning 43 Digitala rutan: Spela Yatzy 45 1.4 Grafteori

64

53

2.5 Induktion 103 Upptäck & Visa:

Handskakningsproblemet Sammanfattning 107 TEST 2 108 Blandade uppgifter 109

106

77

3.1

Differentialekvationerna y' = f(x) och y" = f(x) 114

4.1

=

3.2 Differentialekvationen y' ky Upptäck & Visa:

117

Allmän lösning till y' + f(x)y = 0 119 Tillämpningar på första ordningens differentialekvationer 120 3.3 Riktningsfält

124

3.4 Eulers stegmetod

128

Digitala rutan: Eulers stegmetod med datorstöd 131 3.5 Logistiska tillväxtekvationen y = ky(M - y) 132 3.6 Differentialekvationen y" + ay' + by= f(x) 136

142

Aktivitet: Dämpad svängning Sammanfattning 148 TEST 3 149 Blandade uppgifter 151

Implicit derivering

147

158

162

4.2 Generaliserade integraler 167 Upptäck & Visa: Generaliserade

integraler 169 Generaliserade integraler och volymer 170 Generaliserade integraler i naturvetenskapen 172 4.3 lntegrationsmetoder

174

Partialbråksuppdelning 174 Integralbestämning med partialbråk 176 Digitala rutan: Partialbråksuppdelning och integralbestämning 179 Partiell integration 181 4.4 Kurvlängd

Tillämpningar på andra ordningens differentialekvationer 140 3.7 Tillämpningar

Förändringshastighet och derivering

184

Sammanfattning 187 TEST 4 188 Blandade uppgifter 189 Omfångsrika uppgifter 190 Omfångsrika uppgifter av undersökande karaktär 195

Facit 207 Facit tankenötter 227 Facit Aktivitet 228 Facit Digitala Rutan 229 Facit Upptäck & Visa 230 Sakregister 231

5

,.•

•

I det här kapitlet får du lära dig • Mängdlärans notationer •

• Utföra olika operationer på mängder • Rita venndiagram och använda dessa för att dra slutsatser • Begreppen permutation och kombination •

• Metoder för beräkning av antalet kombinationer och permutationer

•

Använda binomialsatsen • Egenskaper hos grafer • Hitta Eulervägar och Hamiltoncykler • Resonera kring grafteoretiska problem ,,

.•',~..

• .v;.i

• \

• '

r

\ •

an brukar säga att grafteorin började med problemet om Königsbergs sju broar (ses. 50) som den schweiziska matematikern Leonhard Euler formulerade i mitten av 1700-talet. Cirka hu11dra år senare kom fyrfärgsproblemet som lyder så här. Tänk dig att du har en karta, t ex över Europas länder eller över Sveriges kommuner eller helt enkelt en karta över en fantasivärld ritad på ett plant papper. Anta att du vill färglägga kartan så att två länder (eller kommuner) som gränsar till varandra (längs en hel gränslinje) alltid har olika färger. Hur många färger behövs det för att klara alla kartor? I kartan över Sverige ser du att det behövs fyra färger, men frågan är: räcker fyra färger för alla kartor? Problemet var olöst i över hundra år, men 1976 bevisade två matematiker verksamma i USA att fyra färger räcker alltid. Deras bevis bygger på en omfattande analys av ett stort antal olika fall med hjälp av dator. Problemet kan reduceras till en enklare figur - en så kallad graf - där varje färgat område ersätts med en punkt, eller nod. Om områdena gränsar till varandra, illustreras detta med en linje, eller kant mellan noderna.

- ..,,.

-/

..

..

7

MANGDLARA OCH KOMBINATORIK

l

1.1

••

MANGDER Det finns många olika sorters månghörningar i figuren nedan: en triangel, två rektanglar, en femhörning och en sexhörning. Alla dessa figurer kan sägas vara element i mängden av alla månghörningar.

Talen 1, 2 och 5 är heltal. Med mängdlärans språk säger man att dessa tal är 1 element i mängden av alla heltal. Talen - och J2 tillhör inte mängden av 2

heltal. De är däremot element i mängden av reella tal, vilket för övrigt även 1, 2 och 5 är.

O

DEFINITION: Mängd

En mängd definieras som en samling objekt. Objekten i mängden kallas element.

Mängder bru.kas anges med versaler, dvs stora bokstäver, och elementen med gemener, dvs små bokstäver. Det finns många symboler i mängdläran. Om man vill ange att p är ett element i mängden A, skriver man

p E A (p tillhör mängden A) och om man vill ange att q inte är ett element i mängden A skriver man

q ~ A (q tillhör inte mängden A). Om man vill beskriva att mängden A består av alla heltal mellan 1 och 10 kan man skriva

A = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Ett annat sätt att beskriva samma mängd är

A = {x: 1 < x < 10, x

E

Z}

Detta utläses "mängden av alla x, sådana att x ligger mellan 1 och 10 och där x är ett heltal".

8

l

1.1

..

MANGDER

Skriv med mängdsymboler a) Bokstaven a tillhör inte m ängden konsonanter, K, medan b tillhör denna mängd . b) Talet rr tillhör mängden reella tal, som betecknas ffi.. c) Mängden A består av alla lösningar till ekvationen x2 = 4. d) Mängden B består av alla jämna heltal som är större än noll. e) Mängden C består av alla månghörningar med fler än två och färre än fem hörn. LÖSNING

a) A

b)

~

7t E

K, b EK ffi.

2

c) x = 4 ger lösningarna x = 2 och x Alltså är mängden A = {- 2, 2}.

=

- 2.

d) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .} e) C = {trianglar och fyrhörningar}

Vissa mängder används så ofta att de får spe ciella symbole r

N betecknar mängden av alla naturliga tal, N Z

={1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

betecknar mängden av alla heltal,

Z = { ... - 6, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... },

Q

bete cknar alla rationella tal, dvs. alla ta l s om kan skrivas som en kvot av två heltal, t ex

2

E

Q.

5 ffi. betecknar alla reella tal, t ex .fi. E lR (däremot .fi. i Q )

C bete cknar alla komplexa tal, t ex är lösningarna till ekvationen x2 = - 1 element i (C

..

..

9

MANGDLARA OCH KOMBINATORIK

l

Begreppen tom mängd, delmängd och grundmängd Den tomma mängden innehåller inga element och betecknas 0. Man kan konstruera en tom mängd på många sätt. Om A är mängden av alla heltal som är lösningar till ekvationen x 2 = 2 så är A lika med tomma mängden, eftersom det inte finns någon heltalslösning till ekvationen. Om B är en annan tom mängd, t ex mängden av alla negativa tal i intervallet 1 < x < 2, så är A och B samma mängd, den tomma mängden. Titta på de två mängdernaA = {4, 8} och B = {2, 4, 6, 8, 10}. Vi ser att alla element som finns i mängden A också finns i mängden B. Vi säger då att A en delmängd av B, vilket betecknas A c B. Ibland kan det vara lämpligt att tänka sig de förekommande mängderna som en delmängd av en grundmängd, som betecknas U. Om vi sysslar med mängder där elementen är människor kan U vara mängden av alla människor på jorden. Om elementen är reella tal kan det vara lämpligt att U = R är grundmängden .

•

A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} och C= {l, 2, 3}

Gäller det att a) A är en delmängd av B? b) C är en delmängd av B? ••

LOSNING

a) Eftersom alla element i mängden A även ingår i mängden B är A en delmängd av B. Detta kan skrivas A c B. b) Det finns ett element i mängden C, elementet 1, som inte ingår i mängden B. Därför är inte C en delmängd av B. Detta kan skrivas C Cl: B .

1.1

..

MANGDER

1101

1102

A = {l, 3, 7, 12} och B = {l, 7}. Vilka av följande påståenden är sanna? a) AcB

b) BcA

c) 7 E B

d) 15 !l A

1106

Ange alla element som tillhör både mängden A = {x: x E Z, - 1 ~ x:::; 10} och mängden B = {x: x E lR , x < O}.

1107

Vilka av nedanstående mängder är den tomma mängden?

Skriv med mängdsymboler

A = {x : x

a) Talet 2 tillhör mängden av naturliga tal.

d) Den tomma mängden är en delmängd av de naturliga talen. 1103

Låt K vara mängden av alla kvadrater, R mängden av alla rektanglar, k 1 en kvadrat med sidan 4 cm och r 1 en given rektangel. Vilka av följande påståenden är sanna?

C = {x: x

E

IR, x2 = - 1}

D = {x : x

E

C, x 2 = -4}

1108 Vad är det för skillnad mellan att skriva 5 E N och {5} c N?

1109

Använd skrivsättet {x : x ... } för att ange mängden {2, 4, 8, 16, ... }.

1110

Visa att A = {2, 3, 4} inte är en delmängd av B = {x: x E N, x är ett jämnt tal}.

1111

Vilken mängd beskrivs här:

1112

Ange mängden B av alla reella tal b för vilka mängden A = {x: x E IR, x 2 + 5x + b = 0} blir den tomma mängden.

a) r1 E R

b) k 1 !l R

N, 2x = 3}

B = {x : x E IR, 3x = 4}

b) Talet e tillhör ej mängden rationella tal. c) De naturliga talen är en delmängd av de reella talen.

E

c) KcR d) Både K och R är delmängder av mängden av alla fyrhörningar. 1104

Gör en lista på elementen i följande mängder.

a) A = {x : x E N, 3 < x < 12} b) B =

{x : x E N, x är ett jämnt tal, x < 15} c) C = {x: x är ett primtal, x < 25} 1105

Sätt in symbolerna E och !l istället för rutorna.

TANKENÖT 1

D {1, 4, 5, 6, 7} 15 D {x: x är ett primtal} 8 D {x : x är ett komplext tal} 3 + 18i D {x : x är ett komplext tal}

a) 6 b) c) d)

e) 18

På Hilberts hotell finns oändligt många rum, numrerade 1, 2, 3, ... Hotellet är fullbelagt. Tio nya gäster anländer och vill ha varsitt rum. Hur ska man klara det?

D {3, 6, 9, ...}

..

..

11

MANGDLARA OCH KOMBINATORIK

l

Venndiagram Ett venndiagram är en figur som kan förtydliga mängdläran. (Venn var en engelsk matematiker som var med om att skapa mängdläran.) Grundmängden U illustreras i ett venndiagram med en rektangel och alla delmängder av grundmängden som slutna figurer inom denna rektangel. Med ett venndiagram kan vi tydligt illustrera mängderna A

= {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} och C = {l, 2, 3}.

Man ser tydligt att A är en delmängd av B, men att C inte är en delmängd av A .

1

2 3

4 6

Om vi endast har två mängder, A och B kan fyra fall inträffa, vilket illustreras av följande fyra figurer: B

A

Alla element i A ingår också i B, dvs A c B. Alternativt kan alla element i B ingå i A, dvs B c A.

Det finns element som tillhör både A och B. Men det finns också element i A som inte tillhör B och det finns element i B som inte tillhör A. Det finns inga gemensamma element i A och B. Mängderna sägs vara disjunkta .

1.1

..

MANGDER

B

A ~

A

B

Beskriv med hjälp av venndiagram de tre mängderna: mängden av alla motorfordon, mängden av alla tvåhjulingar och mängden av alla bilar. LÖSNING tvåhjulingar

1113

1114

Rita venndiagram för mängderna A = {O, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {8, 10, 12, 15} och C = {12, 15}.

1118

A: alla rektanglar B: alla trianglar

Rita venndiagram för mängderna: mängden av alla röda hus och mängden av alla gula hus. Grundmängden kan vara mängden av alla hus.

C: alla kvadrater D: alla rektanglar höjden 2 cm 1119

1115

Rita venndiagram för mängden av alla bokstäver och mängden av alla vokaler.

1116

Mängden N är mängden av alla naturliga tal. Vad skulle mängden A kunna vara?

Mängderna A och B är disjunkta. B är en delmängd av mängden C. Några av elementen som tillhör A tillhör även C. Beskriv situationen med ett venndiagram.

1120 Vad menas med att två mängder är disjunkta? Förklara med exempel.

1121 A

Rita venndiagram för följande fyra mängder:

Nedan ser du två mängder. A: Män mellan 20 år och 30 år. B: Arbetslösa män. A

1117

8

Ge exempel på en mängd som är disjunkt till mängden

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... }. a) Är dessa mängder disjunkta? b) Tolka betydelsen av det skuggade området. ..

..

13

MANGD LARA OCH KOMBINATORIK

l

Mängdoperationer Union och snitt

Låt oss studera två mängder A

= {2, 4, 6},

B

= {l, 2, 3}

Mängderna A och B har ett enda element gemensamt, nämligen talet 2. Ma.n säger då att snittet (skärningsmängden) av A och Bär 2. Detta skrivs i symboler An B = {2} och utläses A snitt Bär lika med mängden som består av talet 2.

Snittmängden består alltså av de element som finns i mängd A och i mängd B. Den streckade delen i figuren nedan representerar A n B.

4

1

A

8

6

3

An B

Tillsammans omfattar mängderna A och B talen 1, 2, 3, 4 och 6. Man säger att unionen (föreningsmängden) av A och B är dessa tal. Uttryckt i symboler skriver vi

AuB={ l ,2,3,4,6}. Detta utläses A union Bär lika med mängden av talen l , 2, 3, 4, 6.

Unionmängden består alltså av de element som finns antingen i mängden A eller i mängden B eller i både A och B. Den streckade delen i figuren nedan representerar A u B .

14

l

1.1

..

MANGDER

O

DEFINITION: Union och snitt

Snittet av två mängder A och 8, som betecknas A n 8,

är mängden av alla element som tillhör både A och 8. I symboler skrivs detta A n 8

={x : x e A och x e 8}.

Unionen av två mängder A och 8, som betecknas Av 8,

är mängden av alla element som tillhör A eller 8 (eller både A och 8). I symboler skrivs detta Av 8

={x: x e A eller x e 8}.

Bland eleverna på en skola använder 243 Facebook, 61 Instagram och 20 Twitter. Man vet också att 47 använder både Facebook och Instagram, 13 både Facebook och Twitter och 9 både Instagram och Twitter. Dessutom vet man att 5 elever använder alla tre tjänsterna och att 12 elever inte använder någon av dem. Mängden av alla elever med Facebook betecknas F, mängden av alla med Instagram I och mängden av alla med Twitter T. Hur ska man beteckna mängden av de elever som a) använder både Facebook och Instagram? b) använder antingen Facebook eller Twitter eller både och? c) Hur många elever finns på skolan?

_}

15

l

..

OSNING

a) Mängden av elever som använder både Facebook och Instagram är snittet mellan mängderna F och I och betecknas F n I. b) Här avses unionen mellan mängderna F och T och betecknas

Fu T. c) För att kunna svara på frågan ritas ett venndiagram.

I F

T

I uppgiften anges att det är 5 elever som tillhör alla tre mängderna. Denna mängd är snittet mellan mängderna F, I och T. 47 elever tillhör både F och I. Om man tar bort de 5 elever som finns i alla tre mängder får man (47 - 5) = 42 elever som endast använder Facebook och Instagram.

På motsvarande sätt får vi fram att 8 elever endast tillhör F och T, medan 4 elever endast tillhör I och T. Det anges i uppgiften att 61 elever tillhör mängden I. Av dessa drar vi bort dem som även tillhör 11ågon annan mängd. 61 - (42 + 5 + 4) = 10 elever tillhör alltså endast I. På motsvarande sätt får vi fram att 3 elever tillhör endast T och 188 elever tillhör endast F. Vi noterar även de 12 elever som inte tillhör någon av mängderna F, I och T, men däremot grundmängden (mängden av alla elever i skolan). Vi är nu redo att summera ihop alla fält i venndiagrammet. Det totala antalet elever i skolan är: 5 + 8 + 4 + 42 + 3 + 10 + 188 + 12 = 272 SVAR:

1.1

..

MANGDER

a) F n I

b) FuT

c) 272 elever finns på skolan.

Komplementmängd och differens På en skola finns 1 200 elever varav 35 studerar spanska. Om dessa 35 elever bildar mängden A kommer alla övriga elever att tillhöra komplementmängden till A. Denna mängd innehåller alltså 1 200 - 35 = 1 165 element.

O

DEFINITION: Komplementmängd

Anta att A ~ U, där U är en given grund mängd. Alla element i U utom de som tillhör mängden A tillhör komplementet till A med avseende på U.

Komplementet till A betecknas Ac (eller ibland CA}.

Tillsammans bildar en mängd och dess komplementmängd hela grundmängden, A u A c = U

A

Ytterligare ett begrepp som är bra att kunna är differens.

O

DEFINITION: Differens

Differensen A\B består av de element i A som inte tillhör 8. I figuren är A\B och 8\A markerat.

A

B

..

..

17

MANGDLARA OCH KOMBINATORIK

l

Vad är komplementmängden till A

= {x: - 4 < x < 6} om U = JR?

••

LOSNING

Mängden A markeras på en tallinje (streckad linje). Komplementmängden är övriga reella tal (markerad med heldragen linje): -4 6 ~~~~~~----------------------------~~~----,11-

/

/

CA

CA

Komplementet är {x: x < -4 eller x > 6}

1122

A = {2, 4, 6, 8, 10} och B = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

1125

Efter en gasolycka kom 77 hjälpsökande till sjukhuset. 49 personer hade andnöd och 38 personer klagade på huvudvärk. Sjukvårdspersonalen bedömde att patienter med endast huvudvärk skulle tillfriskna på egen hand. Patienter med andnöd var i behov av normal vård. Endast patienter med både andnöd och huvudvärk krävde specialisthjälp. Hur många patienter krävde specialisthjälp?

1126

Bestäm komplementmängden till A = {x E lR : x < 5} om U = JR?

1127

Bestäm komplementmängden till A = {x E Z : x ~ 4} om U = Z?

1128

b) (A uB) n C

SättA = {l, 2, 4, 5, 9, 11}, B = {2, 5, 9, 17, 21} och C= {5, 9, 11, 13, 17}. Bestäm

c) B\ (Au B)

a) AnBnC

d) C(A u Bu C)

b) Au (Bu C)

Bestäm A u B och A 1123

n

B.

A = {x: - 1 < x < 3} och B = {x: -3 < x < 1}.

BestämA u B ochA n B. 1124

Rita av venndiagrammet och skugga

A

B

c

a) AnBn C

c) Au (B n C) d) (A

1.1

..

MANGDER

n

B) u (A

n

C)

112 9

På en allergiklinik fanns 40 patienter. 16 personer var gluten-intoleranta, 18 laktosintoleranta och 17 b) bn = 2 + 4(n - 1), c) c = l n-1

d) d l = 0

dn +I =

d) d n = 27 - 7(n - 1),

n = l, 2, 3, ...

a) a I = 3

an +I = an +7

b) b0 = 1

(d11) 2

+1

2436 Skriv följande talföljder på rekursiv form. a) 9, 13, 17, 21, ... b) -4, -10, -16, - 22, ... c) 3, 6,12, 24, ... d) 10-8 , 10-6 , 10-4 , 10-2 ,

2.4

TALFOLJDER

•.•

11

2438

)

n = l, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ...

Pernilla sätter varje år in 10 000 kr på ett konto med 3 procents årsränta. Beskriv med en rekursionsformel hur kapitalet förändras.

2439

En talföljd är definierad rekursivt med formeln a)

Hur många vinklar får man med 20 strålar?

a1 =a an+l = an . 2 1

Bestäm a om a5 = 8. b)

a1 =3 an+l = an . k

3

Bestäm kom a 5 = 3/4. c)

2 1

a1 =a

Bestäm a om summan av de 5 första elementen är 45. 2440

2445

"Diagonalsumman'' (se figur) i Pascals triangel kan beskrivas med en rekursiv talföljd där a0 = 1 och a 1 = 1.

Ange både rekursiv regel och slutet uttryck för följande aritmetiska talföljder.

1

2

3

5

8

13

a) a0 = 2, a 1 = 10, a2 = 18, etc. b) b0 = l, b1 = -1, b2 = -3, etc. c) c2 = 0, c3 = 100, c4 = 200, etc.

2441 Förklara varför an+ 1 = an + d är

1

en aritmetisk talföljd. 6

2442

a) Vilka är de fem första talen i den rekursiva talfölJ.den an + 1 = an (n + 1) om a0 = 1. b) Vad beskriver denna rekursionsformel?

2443

I en talföljd är rekursiviteten definierad med formeln an+1 = an - (an

2

-

2444

Teckna en rekursiv definition för denna mycket berömda talföljd! 2446

Pappersformatet A4 har en rekursiv definition. AO är ett ark med längd 2 114 ::::: 1, 19 m och bredd 2- 1' 4 ::::: 0,84 m. Sedan definieras Al som ett halvt AO (halverad längd). A2 är ett halvt Al, osv.

4) I 2 a n

Använd räknaren för beräkna a 10 om a) a 1 = 4

1

b) a 1 = 8

A2

c) a 1 = 40

Om två strålar startar från samma punkt får man en vinkel och om man har tre strålar bildas tre vinklar. Se figur. Skriv en rekursiv formel för antalet vinklar om n strålar startar från samma punkt under förutsättning att samma mönster fortsätter. _}

>----~~-----
2y' + 0>36y = 0

Utnyttja ett digitalt verktyg för att lösa följande uppgifter.

3606

Lös ekvationerna

a) y'' + 0>8y' + 1>16y = 5>8 b) y" + 2y' - 3y = 24x - l8x2

e) y'' + 2y' + Sy = 0 f) y'' + 4y' + By = 0

c) y'' - y = 2cos x

3605

Lös ekvationen

a) 2y" - 2>4y' + 0>22y = 0 då y(O) = 0 och y'(O) = 10 b) y" + 0>3y' + 0>02y = 0 då y'(O) = 1 och y"(O) = 0 c) y'' + 0>8y' + 0)16y = 0 då y(O) = 0 och y(l) = 2

d) y'' - 2y' + y = 2e-x

3607

Lös ekvationen y' + 2y = - 5 sin x så att lösningskurvan går genom punkten (O> 4).

3608

Lös ekvationen y" + 2y' - By = 0 för vilken linjen y = 2x tangerar lösningskurvan i origo.

d) y" + 9y = 0 då y(O) = 0 och y'(O) = 1)5

OI FFE RENTIALEKVATI ONER

Tillämpningar på andra ordningens differentialekvationer •

En lättrörlig vagn med massan 0,65 kg placeras på ett horisontellt underlag. I vagnens ena ände fästs en fjäder. Fjäderns andra ände fästs i en vägg så att fjädern är horisontell. Se figur. Fjäderkonstanten i Hookes lag bestäms till 130 N/m. Vagnen förs en liten bit åt höger så att fjädern sträcks. Sedan släpps den så att vagnen kommer att utföra en oscillerande rörelse fram och tillbaka.

a) Teckna och lös differentialekvationen för vagnens rörelse. Bortse från friktion vid lösningen. Vagnen kommer att påverkas av fjäderkraften F = -l30x. Minustecknet säkerställer att kraften alltid är riktad mot jämviktsläget (x = 0). d2x • 0,65 = -l30x Newtons andra lag (a · m = F) ger: -dt2 2

d x

dt 2 + 200x = 0

Med ett digitalt verktyg får vi lösningen: x(t) = c2 sin( 10J2 · t) + c1 cos(10J2 ·

t)

b) Illustrera lösningen grafiskt om fjädern dras ut 0,05 m innan den släpps. Vi löser differentialekvationen med begynnelsevillkoren x(O) = 0,05 och x'(O) = 0. Vi får lösningen: x(t) = 0,05cos(10J2 ·

0,02-

X

.'

3.6

>

DIFFERENTIALEKVATIONEN y"+ay'+by= f (x)

t)

Använd ett digitalt verktyg för att lösa uppgifterna. 3609

3611

Rörelsen hos ett barn i en gunga kan beskrivas med differentialekvationen

y" + 0,4y' + Sy = 0 med begynnelsevillkoren y(O) = 0 och y'(O) = 2.

a) Bestäm y(t) förutsatt att rörelsen kan anses odämpad.

Bestäm lösningen till denna differentialekvation. 3610

En partikel rör sig längs x-axeln i ett koordinatsystem. En kraft som är proportionell mot partikelns avstånd från origo drar partikeln mot origo. Vid tidpunkten t sekunder bestäms partikelns läge x av differentialekvationen

d2x -= - 2x 2 dt Partikeln dras ut till startpunkten x = 5,2. Vid t = 0 släpps partikeln från startpunkten. Bestäm x som funktion av t. Beräkna vid vilken tidpunkt partikeln för första gången passerar origo.

Eskil hänger upp en fjäder så att den kan svänga fritt. Låt y vara avståndet i meter mellan fjäderns fria ände och dess jämviktsläge. Accelerationen y'' är då proportionell mot y. Om tiden t mäts i sekunder är proportionalitetskonstanten -0,16. Det gäller att y(O) = 0,075 och y'(O) = 0,03.

b) Bestäm den fria ändens största avstånd från jämviktsläget. 3612

En elektrisk krets består av en spole parallellkopplad med en kondensator. Över kondensatorn ligger en likspänning U. När spänningen bryts uppkommer en elektrisk ström i kretsen. Denna ström, i, kan beskrivas med en andra ordningens

R

1

differentialekvation: i" +-i'+ i= 0 L LC Här betecknar R spolens resistans och L dess induktans. C är kondensatorns kapacitans. Begynnelsevillkoren för strömmen och dess tidsderivata är i(O) = 0 och i'(O) = U IL. Vid ett tillfälle gällde att U = 30 volt, R = 25 ohm, L = 0,089 H och C = 22 · 10-6 F. Lös ekvationen och illustrera lösningen grafiskt.

OI FFE RENTIALEKVATI ONER

3.7

••

TILLAMPNINGAR

I en behållare finns 40 1 saltlösning som från början har koncentrationen 10 g/1. Genom ett rör tillförs salt med hastigheten 4 g/h. Genom ett annat rör försvinner samtidigt en del av saltmängden från lösningen med hastigheten 5 % i timmen. Genom omrörning ser man till att lösningen i behållaren hela tiden hålls homogen.

4 g/h

a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver hur saltmängden y g i behållaren förändras vid tiden t timmar.

Att 4 g/h tillförs och 5 % försvinner i timmen ger differential. dy ekvationen -=4-0,0Sy. dt b) Lös differentialekvationen och bestäm salthalten efter 10 h. Hur stor blir salthalten på lång sikt? Från början finns det 40 · 10 g = 400 g salt i behållaren. Detta ger oss att y(O) = 400. Med hjälp av ett digitalt verktyg bestäms lösningen till y = 320 · e - o,os, + 80. Efter 10 h har vi 320 · e-o.os · 10 + 80 g = 274 g. Eftersom lim(320 · e--0.ost ) = 0 går saltmängden ner till 80 g efter t°"'oo lång tid .

3.7

..

TILLAMPNINGAR

kv2

En fallskärmshoppare påverkas av tyngdkraften nedåt, och en bromsande kraft uppåt som är proportionell mot hastigheten i kvadrat. Enligt Newtons andra lag gäller att den resulterande kraften är lika med massan gånger accelerationen (hastighetsändringen). a) Ställ upp en differentialekvation för rörelsen om massan är 80 kg och proportionalitetskonstanten är 16 (kg/m). mg

Enligt Newtons andra lag, gäller att F = mg- kv2 , där F = am = v' · m. Differentialekvationen blir v' · m = mg- kv2 V

' =g--v k 2 m

V

' =9 82--V 16 2

'

80

v' = 9,82 - 0,2v2 b) Använd ett digitalt verktyg för att lösa differentialekvationen om v(O) = 0. I Wolfram Alpha skriver vi: solve v' = 9.82 - 0.2 · v2 and v(O) = 0. 2 802861 fo 1·· . . 7,00714 ·e ' -7,00714 . V 1 ar osn1ngen. v + e 2•80286 .1

1

c) Bestäm hopparens maximala hastighet. När hopparen nått maxhastigheten är v' = 0: 0 = 9,82 - 0,2v2

v::::: 7,00714 m/s ::::: 7,0 m/s d) Rita hastighetsgrafen för de tre första sekunderna. När når hopparen halva maximala hastigheten? Grafisk lösning ger att hopparen når halva maximala hastigheten efter 0,39 s ::::: 0,4 s.

y

0.39, 3,5 1

X I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

0.2

OI FFE RENTIALEKVATI ONER

I

I

)..

Arne tar med sig 10-gradigt vatten in i sin 90-gradiga bastu. Hur snabbt kommer vattentemperaturen, T, att öka? Ökningshastigheten, T', bör vara störst i början när temperaturskillnaden mellan bastun och vattnet är som störst. Efter hand som temperaturdifferensen minskar avtar ökningshastigheten. Ett rimligt antagande är att ökningshastigheten är proportionell mot temperaturskillnaden mellan bastuns temperatur och vattnets (Newtons avsvalningslag). a) Teckna en differentialekvation för vattnets temperaturökning då proportionalitetskonstanten k är 0,04 min- 1• T(t) =Vattnetstemperatur

dT

Differentialekvationen blir:

= 0,04(90- T)

dt b) Använd ett digitalt verktyg för att lösa differentialekvationen. I Wolfram Alpha skriver vi: solve T'

=0.04 · (90 -

T) and T(O)

=10

Vi får lösningen: T = 90 - 80 . e-0•041 c) Vilken temperatur har vattnet efter en halvtimme och en timme? T(30) = (90 - 80 · e- 0 •04 . 30) °C = 66 °C T(60) = (90 - 80 · e-0 •04 . 60) °C = 83 °C

3701

Du ställer ifrån dig en läsk med temperaturen 8 °C i ett varmt rum med temperaturen 27 °C. Temperaturen y °C stiger enligt Newtons avsvalningslag med en hastighet som är proportionell mot differensen 27 - y. Proportionalitetskonstanten är 0,03lmin- 1• a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver denna situation. b) Hur snabbt ökar temperaturen då den är 20 °C? c) Lös differentialekvationen. d) Efter hur lång tid är temperaturen 22 °C?

3.7

..

TILLAMPNINGAR

3702

En fabrik har under en längre tid förorenat en närliggande sjö så att det nu finns 850 kg föroreningar i sjön. Fabriken har nu tvingats att minska sina utsläpp till SO kg/år. Man beräknar att via ett vattendrag försvinner 10 % av föroreningarna varje år. Forskningsavdelningen på fabriken tar fram följande matematiska modell för hur mängden föroreningar, m kg, förändras med tiden t år.

dm -=50-0,lm dt

_}

a) Förklara hur de får fram de två termerna i högerledet. b) Lös differentialekvationen. c) Bestäm mängden föroreningar i sjön efter 5 år. d) Så småningom stabiliseras mängden föroreningar vid ett bestämt värde. Vilket?

3703

Nisse har ett akvarium som innehåller 200 liter vatten, förutom fiskar, växter och stenar. Det bildas nitrat i vattnet och om fiskarna ska hålla sig friska och pigga måste Nisse byta vatten i akvariet.

3704

Tidigare tappade han regelbundet ut 50 liter akvarievatten och ersatte det med lika mycket friskt vatten. Om det före vattenbytet fanns 100 mg nitrat per liter akvarievatten var koncentrationen 75 mg/1 efter vattenbytet. Nu har Nisse utrustat sitt akvarium med en utrustning för vattenbyte. Den pumpar ur akvarievatten och fyller samtidigt på med lika mycket friskt vatten genom en slang. Vattnet som rinner från akvariet kommer att vara väl blandat eftersom motorfiltret är igång hela tiden och flödet i slangen på det tillrinnande vattnet inte är så kraftigt. Under vattenbytet kan nitratkoncentrationen i akvariet beskrivas med differentialekvationen dy = - Y dx 200 där y mg/1 är 11itratkoncentrationen då x liter friskt vatten tillsatts. Hjälp Nisse med att lösa ekvationen och beräkna sedan hur mycket vatten som behöver tillsättas enligt den nya metoden för att sänka nitratkoncentrationen från 100 mg/1 till 75 mg/1. (NP Ma Vt -00)

Carlos tar ut sin termometer från kylen. Den visar 5 °C när den kommer ut i det omgivande rummet med temperaturen 22 °C. Termometerns temperatur förändras då enligt differentialekvationen dy . dt = - 0,3(y - 22) där y °C är temperaturen efter t minuter. Ange i hela grader termometerns temperatur efter 5 minuter.

3705

En kula med massan 0,05 kg faller från hög höjd rakt ned. Luftmotståndet är kv2 med k = 0,1 kg/m. a) Ställ upp och lös differentialekvationen för rörelsen. b) Beräkna kulans största hastighet. c) Beräkna accelerationen vid hastigheten Om!s och 2 m/s.

3706

Den olydige Oskar har knyckt sin pappas luftgevär och skjuter prick på ett mjölpaket. "Mjölmotståndet" lyder samma lag som luftmotståndet, med mjölets k = 0,01 kg/m. Kulorna väger 0,0005 kg och träffar påsen med hastigheten 180 mls. Försumma tyngdkraftens inverkan på kulan. a) Ställ upp differentialekvationen för kulans hastighet i mjölpaketet och lös den. b) Beräkna kulans hastighet i mjölet efter 1 ms. c) Rita lösningskurvan.

OI FFE RENTIALEKVATI ONER

3707 Isaac ställer ut en kaffekopp en vinterdag. Han gör antagandet att temperaturen i koppen y °C sjunker enligt differentialekvationen y' = - 0,027(y + 20).

a) Hur kallt är det ute? Förklara hur du tänker. b) Förklara med hjälp av differentialekvationen vad som händer med förändringshastigheten y' då temperaturen i koppen närmar sig utomhustemperaturen? 3708

En kopp te har ursprungligen temperaturen 82 °C. Efter en minut är teets temperatur 71 °C. Enligt Newtons avsvalningslag är förändringshastigheten hos temperaturen proportionell mot temperaturskillnaden till omgivningen. a) Gör en matematisk modell för hur temperaturen förändras ner mot rumstemperaturen som är 21 °C. b) Bestäm hur länge en person måste vänta på att avnjuta sitt te om hon inte vill dricka det när temperaturen överstiger 45 °C.

3709

3710

En fallskärmshoppare med massan 78 kg faller fritt utan att låta fallskärmen utvecklas och utan begynnelsehastighet. Luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten i kvadrat med proportionalitetskonstanten 18 kg/m. Ställ upp en differentialekvation och bestäm det värde hopparens hastighet närmar sig. Låt hastigheten vara y m!s efter x s. En tank innehåller 25 000 liter rent vatten. Vatten som innehåller 0,006 gram/liter av en förorening läcker in i tanken med en hastighet av 50 liter/min. Varje minut förs 100 liter av det väl blandade förorenade vattnet bort. Tanken innehåller y(t) gram förorening efter t min. Ställ upp och lös den differentialekvation som visar hur y förändras med tiden t .

3.7

..

TILLAMPNINGAR

3711

Ett radioaktivt ämne A sönderfaller med sönderfallskonstanten 0,6 s- 1 till det radioaktiva ämnet B. Ämnet B sönderfaller med sönderfallskonstanten 0,09 s- 1 till det stabila ämnet C. Mängderna av de tre ämnena betecknas med a, b och c. Från början finns det 24 µg av ämne A och inget av ämnena B och C. Sönderfallen kan modelleras med följande differentialekvationer da -=-0 6·a dt '

db

-

dt

= 0 6 · a - 0 09 · b

'

'

de

-=0 09·b dt '

a) Bestäm mängden a av än1net A vid tiden t genom att lösa den första differentialekvationen. b) Använd resultatet från a) för att bestämma mängden av ämnet B vid tiden t genom att lösa den andra differentialekvationen. c) Använd resultaten från a) och b) för att bestämma mängden av ämnet C vid tiden t genom att lösa den tredje differentialekvationen. d) Illustrera de tre lösningarna i ett och samma diagram. e) När finns det lika mycket av ämne A som ämne B? f) Hur mycket av ämne B finns det som mest? När inträffar detta? g) Hur mycket av de olika ämnena finns det efter 5 s?

Dämpad svängning Differentialekvationen 0,2 y''(x) = -5y(x) - cy'(x) med y(O) = 0,1 och y'(O) = 0 kan beskriva rörelsen hos en 200 g-vikt som svänger i en fjäder. Vi ska nu undersöka konstanten c:s betydelse för rörelsen. Du kan behöva hjälp av ett digitalt verktyg. 1 Lös differentialekvationen för c = 0. Rita funktionen och beskriv kurvans utseende i ord. 2 Upprepa med c = 0,2 sedan med 0,1 och 0,05. Rita funktionen och beskriv kurvans utseende. 3 Vad händer om du väljer ett större värde på c, tex c = 1 eller c = 5? Rita funktionen och beskriv kurvans utseende.

OI FFE RENTIALEKVATI ONER

Differentialekvationer

En differentialekvation är en ekvation i vilken minst en term innehåller y', y" eller en högre derivata. Ordningen för en differentialekvation är ordningen hos den högsta förekommande derivatan. Differentialekvationen y'' - 2y' + y = f (x) ärt ex av andra ordningen.

y'=ky

Allmänna lösningen till y' = ky är y = C. ekx

Eulers metod

Eulers metod är en numerisk metod för att lösa differentialekvationer. För differentialekvationen y' = f (x, y) stegar vi oss fram längs en lösningskurva enligt X n + 1 = X n +h Yn+l = Yn + h ·f(xn,Yn) där h är steglängden.

Logistisk tillväxt

I många sammanhang är exponentiell tillväxt inte en lämplig modell att använda eftersom en tillväxt i verkliga livet inte kan pågå i all oändlighet. När det gäller levande organismer sätter omgivningen automatiskt gränser. Istället används då ofta den logistiska tillväxtekvationen, y' = ky(M-y), som modell. M är det värde som utgör en övre gräns för antalet individer.

y '' + ay' + by = 0

Man kan visa att följande gäller för lösningen av andra ordningens differentialekvationer av typen y" + ay' + by = 0: Den karakteristiska ekvationen r2 + ar+ b = 0 har rötterna r 1 och r2 • Om r 1 och r2 är reella tal och r1 = r2 så kan lösningarna skrivas Y =cl•e' x + c2 ·X· e'iX = e' x( cl + C2x). 1

1

Om r 1 och r 2 är reella tal och r 1 -:t= r 1 så kan lösningarna skrivas y = C1e'1x + C2e'2x . Om r 1 = s + it och r 2 = s - it kan lösningarna skrivas

y

= esx(C1sin tx + C2cos tx) = Cesxsin(tx + ""

t --',oo

I

Integralen är d ivergent.

b)

f

fe t

00

· e-2x dx = 1rm I --'> oo

0

t -2x

dx = 11m · - -1 e- 2x t --',oo

0

1 0 1 - 21 . = 11m - - e - - - e 2

f--',oo

S VAR:

2

b)

f

- 2x

e

0

~

4.2

2

a) Integralen är divergent 00

'168

l

GEN ERAL ISERADE INTEGRALER

ax= -1 2

2

0

00.

oo .

~

KAPliTEL 4

Avgör om följande integraler är konvergenta eller divergenta. Beräkna de konvergenta.

fe-x dx QO

4201

a)

4205 Beräkna gränsvärdet a

limf 4e--0,9 x dx och förklara vad du

fe-2x dx QO

b)

0

a -400

0

· y

räknat ut.

0

QQ

c)

fsinxdx

\

\

0 00

QQ

4202

a)

f ldx f:

f(x = 4e-O9x

b)

f~dx

1

.............

'

l

l

X

c

00

c)

2 dx

l

l

4203

4206

Beräkna den area som begränsas av de positiva koordinataxlarna och funktionen f(x) = e-0,2x.

0

2

f3e-2xdx 00

c)

d)

l

3

(2x+l)

d

f r:dx fe2xdx 2

4

X

X-v X

4208

f)

•

Undersök för vilka värden på k som

f:kdx blir konvergent. QQ

1

QQ

f}xdx

4

2

Arean av det område som begränsas av kurvan, positiva x-axeln och linjen x = a saknar begränsning åt höger. Bestäm värdet på a om arean är 4 a.e.

00

0

e)

f

Rita grafen till funktionen y = -

4

X

00

b)

är

konvergent. Bestäm i så fall dess värde.

4204 Beräkna, om det är möjligt, integralerna. a) J2dx xs

Fx dx f 0

4207 QQ

Undersök om integralen

1

integralen

I

- oo

Provat ex med k = 0,8, k = 0,9, k = l, k = 1,1 och k = 1,1. Formulera en slutsats.

I~ l:J P.P.täc~ B:. visa _·.~

GENERALISERADE INTEGRALER

f

'

QO

Du ska nu undersöka värdet av den generaliserade integralen för olika värden på n, där n > 1. • Bestäm integralens värde då n •

=

• Formulera en slutsats om hur

f2-dx beror av n. xn

• Bevisa din slutsats.

I

x

2.

Beräkna integralen värde för ytterligare några värden på n och fyll i tabellen till höger. 00

1

In dx

2 3 4

5 6

7

FOR OJ U PAD INTEGRAL- OCH DIFFERENTIA L KALKYL

'169

~

"'KAPliliEL 4

Generaliserade integraler och volymer

O

SATS: Volymformeln

f b

V(x} = A(xldx , där A(x) är arean av ett snitt vinkelrätt mot x-axeln. a

Kurvan y =

_!__

får rotera kring x-axeln. Då uppkommer en

X

rotationskropp vars volym vi vill beräkna. Hur stor är denna volym om rotationskroppen begränsas nedåt av x = Vi och a) uppåt av x = 5?

b) saknar begränsning uppåt?

••

LOSNING

Bilden nedan visar ett tvärsnitt av rotationskroppen. Ett godtyckligt tvärsnitt vid 1 x-koordinaten x har en radie som är r = - .

1----,_,___,_ r(x_) 1--X + - - + - 1 - - 1

X

Arean av detta tvärsnitt är

n ·r

2

=

n·

1 X

I

f - - -1

X

:*-- -t' -

1. .

I

2

I I

1 - - -1- 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - i - - 1

Volymen av rotationskroppen i intervallet 1 -

a+b= O

b=I

1 1 1 1 - 2 - - - - =-- + - X -x x(x- 1) x x- l 1

SVAR:

-

X2 - X

4301

1 1 1 =-- + - x(x - 1) X X - 1

4305

Dela upp bråken i två bråkuttryck. x 2 +3 10 -x a) b) x2 2x c)

3x a b -----+- (x+2)(x-1) x+2 x-1 ·

x(x+2)+1 x+2

4306 4302

William partialbråksuppdelar ett rationellt uttryck enligt nedan. X

x+3

x+3 - 3

--

x+3

--

x+3

3

x+3

x+3

=1-

X

4303

a)

c)

b)

x-2 x+l

c)

x+ l x-3

3

x+3

4307

Dela upp följande bråk i p artialbråk genom att ansätta på lämpligt sätt.

x+ l a) (x-2)(x-1)

4 b) x(x-4)

2x+5 c) - 2 - x -5x

x- 7

Dela upp bråken i två bråkuttryck. X

x+ l x+2

X

b)

x+ 4

Dela upp bråken i två bråkuttryck.

a)

Använd samma »metod,, för att partialbråksuppdela a)

3x Partialuppdela uttrycket ( )( ) .. x+2 x -l gen om att ansatta

4308

b)

X

x-5

x +l

1-x Partialbråksuppdela utrycket ( )2 .. X+ 2 genom att ansatta 1-x a b --- = + - - -2 (x+2)2 x+2 (x+2) ·

X

x +8 1

4304 Partialbråksuppdela ( ) genom att t t +1 1

a

ansätta ( )=tt+l t

+

b t+l

4309

Använd metoden i föregående uppgift för att dela upp bråken X

.

a)

(x- 1)2

x+3 b) (x -1)2 .

FOR OJ U PAD IN TEGRAL- OCH DIFFERENTIALKALKYL

175

~

"'KAPliliEL 4

lntegralbestämning med partialbråk

Den primitiva funktionen till f(x), som ofta skrivs F(x),

f

kan även skrivas som f(x)dx, dvs som en integral där varken övre eller undre begränsning anges.

Absolutbeloppet av talet a har i tidigare kurser defin ierats på följan de sätt:

a om a > O - a om a < O

a=

Vi kan då defin iera en primitiv 1

funktion till - , även för negativa X

En godtycklig primitiv funktion till _.!_ kan skrivas:

f:

värden på x:

X

dx = ln x + C

. J x+l Bestam x dx. LÖSNING

Vi utnyttjar partialbråksuppd elningen från sid 17 4:

x+ l X

Jx;

1

dx =

J 1+ :

x+ l

SVAR :

J

X

KOMMENTAR:

dx =

Jl dx + J: dx = x + Ini xl + C

dx = x+lnlxl +C ln a är en dast definierat föra> 0.

- 1

Om -1

J:

J: dx beräknas och b < 0 gäller b

dx = [ Ini xl]b = Ini- Il - Ini bl = ln 1 - ln(-b) = - ln(-b)

b

'176

~

4.3

1

INTEGRATIONSMETODER

1

= 1+ -

X

~

KAPliTEL 4

Exempel 1 visar hur man med partialbråksuppdelning kan hitta primitiva funktioner till bråkuttryck.

1

3

Bestäm

f 2

X

2

dx. -X

LÖSNING

Vi utnyttjar partialbråksuppdelningen från sid 175:

1

1

x2- x

x(x -1)

----

fX

1 2

dx =

f

1

1

x

x -1

=--+-- -1 +

-X

X

1

dx = lnlx -11 - lnlxl + C

X-1

Resultatet kan eventuellt skrivas ln logaritmlagarna.

2

+ C med hjälp av

X

3

3

f

x-1

x- 1 dx= ln--,

21 X

X

-X 3

SVAR:

J 2

Bestäm

X

2

2

4 = ln - ln _!_ = ln /_!_ =ln3 2 3 2 3 2

1

4 dx = ln-X 3

2

f

x+3 dx. 2 (x-1)

LÖSNING

x+3 1 4 Enligt uppgift 4309 b är ( )2 = +( )2 x-1 x-1 x-1

. f

Alltsa är

SVAR:

f

x + 3 dx = (x-1) 2

f

1 x-1

•

4 4 + dx = Ini x - 11+C 2 (x-1) x-1

x+3 4 2 dx=lnlx - 11 +C (x-1) x-1

FOR OJ U PAD INTEGRAL- OCH DIFFERENTIA L KALKYL

177

~

'

KAPliliEL4

4310

Bestäm följande integraler.

f3x:x- dx 3

a)

2

')

b)

1

4311

f2:x dx

Bestäm följande integraler. a)

J

b)

J

c)

J

2x+l d (x-l)(x+2) x

1

Bestäm

Jx+2 X d X

a)

4312

4316

b)

Jx-2 X dx.

d)

Beräkna exakt 3

1

Jx(x + 1) dx

a)

2x d x 2 +4x +4 x

2x+l x 2 +x-6

J(1-4x2x)

genom att först

5

2

4317

A B sätta =-+-x(x+l) x x+l

Bestäm

1

I

4318

genom att först sätta 1 A B ----- +-(x-l)(x-2) x-1 x-2 ·

4319

x+4 - - - - - d x genom att först sätta (x - 2)(x + 1)

J 0

x+4

A

Bestäm

B

--------+-(x-2)(x + l) x-2 x+l a) Bestäm A och B.

4320

x+4 dx . (x+l)(x+2)

J 0

Du ska beräkna integralen 1

x+3 dx exakt. 2 (x-1)

Studera gärna exempel 3 på nytt innan du startar.

-1

4313

X

LEDNING:

f(x - l)(x - 2) dx

b)

d

J 2

1

0

2

Bestäm arean som begränsas av x+4 y= , x-axeln, x = 1 och x = e. x(x + 1)

2x Rita grafen av funktionen y = 2 • X -1 Bestäm sedan arean av det område som begränsas av kurvan och x-axeln i intervallet 2 < x < 4.

b) Beräkna integralen.

4314

Bestäm följande integraler.

a) c)

2

Jx+ 2 dx Jx+l x dx

b) d)

Jx

2 2

+ 2x

J lx

x- 2

dx TANKENÖTS

dx _.!_

e+4

4315

Bestäm

Jx-4 x dx. 5

4.3

INTEGRATIONSMETODER

3 skrivas som 5 + 2 där A och B B

Kan

A

är positiva heltal så attA ~ B?

~

KAPliTEL 4

Partialbråksuppdelning och integralbestämning x 3 +8x 2 -x-6

• Bråket

3

2

x +x -4x-4

kan vi partialbråksuppdela med hjälp

av ett symbolhanterande verktyg:

expand

x3+8·x 2- x- 6 x3•x2- 4x - 4

Cl 131

~ 2 _ 8 +1 x+2 3·(x+1) 3·(x- 2)

-

611

• Vi bestämmer primitiv funktion till

8: Jx +x X: +

2 -

X-

6dx

=

- 4x - 4

J

5

x+2

2 8 ---+ +I dx 3( X + 1) 3( X - 2)

för hand:

2

8

5 · Ini x + 21- - ·lnlx + Il + - · Ini x 3 3

21+ x + C

• Sedan bestämmer vi primitiv funktion till

x 3 + 8x 2

Jx

3

-

2

+x -4x-4

dx med ett symbolhanterande verktyg:

Osparade

J

x- 6

x3+8·x2-x-6 , dx 0 2 x •x - 4·x- 4

Cl ~

ln ( (x-2)s· lx+z l,s)

(x+ 1)2

+X

3 611

1 Visa att de två metoderna ger samma resultat. (De digitala verktygen anger vanligen inte den godtyckliga konstanten, så bortse från den skillnaden).

_} FOR OJ U PAD IN TEGRAL - OCH DIFFERENTIALKALKYL

'179

~

"'KAPliliEL 4

2 Lägg märke till absolutbeloppstecknet, men bara runt (x + 2). Varför används tecknet bara där? 3 Använd ett digitalt verktyg för att dela upp i partialbråk: 3x - 16 a) 2(x 2 +x-12)

19x 2 - x - 54 b) 4(x 3 -x 2 -4x + 4)

x 3 +4x 2 +x-11 c) x 3 +x 2 - 4x - 4

4 Använd partialbråksuppdelningarna för att bestämma följande integraler utan digitalt verktyg.

a)

f

)f

C

3x-16 d 2(x 2 +x-12) x 3

b)

f

2

19x -x-54 dx 4(x 3 -x 2 -4x+4)

2

x + 4x + x - 11 d 3 2 X x + x - 4x - 4

.

5 Bestäm även integralerna i uppgift 4 direkt med ett digitalt verktyg. Visa att de båda metoderna ger samma resultat.

,.·1

f

Losunge 1 rur

•

~

KAPliTEL 4

Partiell integration En annan användbar metod för integralbestämning är

partiell integration. För att förstå tekniken ska du först erinra dig tekniken att derivera en produkt.

O

SATS: Derivatan av en produkt

!!_ (t!x) · h(x)) = f'(x) · h(x)+ f(x) · h'(x) dx

Genom omflyttning av termerna kan detta skrivas som

f(x)·h'(x)= d (f(x)·h(x))- f'(x)·h(x) dx För att få enklare slututtryck sätts h'(x) = g(x) och h(x) = G(x). Med denna omskrivning får sambandet utseendet:

f(x)·g(x)= d (J(x)·G(x))- f'(x)·G(x) dx Ta en primitiv funktion till båda leden:

ff(x)·g(x)dx= f !(J(x)·G(x))dx-f f'(x)·G(x)dx ff(x)· g(x)dx O

=

f(x)·G(x)-

ff'(x)·G(x) dx

SATS: Partiell integration

f

f (x) · g(x)dx = f (x) ·G(x)-J f'(x)· G(x) dx

G(x) är en pr imitiv funktion till g(x).

FOR OJ U PAD INTEGRAL- OCH DIFFERENTIA LKALKYL

181

..._

"'KAPliliEL 4

f

ex dx.

g(x)

f(x)

Bestäm

f(x)

SVAR:

X.

G(x)

f'(x)

G(x)

fx·ex dx = ex ·(x-l)+C

Kontrollera gärna genom att derivera högerledet.

1(

Bestäm

fx · cosx dx. 0

••

LOSNING

f x · cos x dx = x · sin x - f 1 · sin x dx = x · sin x + cos x + C

f 1(

X . cos X

dx

= [X . sin X + cos X]~ =

0

= 1t · sin 1t + cos 1t -

0 · sin O - cos O = 0 + (- 1) - 1 = - 2

1(

SVAR:

f

X· COSX

dx = -2

0

Bestäm integralen och kontrollera svaret genom att derivera den primitiva funktionen i nedanstående uppgifter. 4321

a) c)

'182

~

4.3

fx · sinx dx f eo,sx dx X .

b)

d)

fx·cos2x dx f(x+l)·e xdx

INTEGRATIONSMETODER

2

rr /4

I

4322

4323

a)

a)

fxex dx

b)

f x · sin2x dx

0

0

1(

rr /2

fxcos2xdx 0

b)

f xsinxdx 0

~

KAPliTEL 4

2

4324 Joel har fått till uppgift att beräkna 3

f2xe x dx. Nedan ser du hans lösning.

4327

fx · lnxdx I

3

e

0 3

f2xe x dx 3

=

X

2

.

e

3

--

--

3

0

= 3e

4329

J1nxdx(tänkpåattlnx l·lnx=lnx·l)

c)

f(lnx) · x dx f lnx dx

b)

fx lnx dx 2

2

I

Bestäm de primitiva funktionerna genom att integrera flera gånger. a)

a)

2

3

Bestäm

4326

fx lnx dx I

Har han gjort rätt? Om inte lös den rätt.

4325

a)

0

32e3

3

4328

3

--

3

0

x 2e3x

3x

e

b)

f ln2xdx

c)

4330

fx f x

2

3

•

sinx dx

·

exdx

b)

fx

2

2

•

e x dx

Bestäm primitiv funktion till f(x) = ex sin x. (LEDNING:

integrera partiellt två gånger)

2

Spiralgalaxen M106 drygt 20 miljoner ljusår från jorden.

FOR OJ U PAD INTEGRAL- OCH DIFFERENTIA L KALKYL

183

..._

"'KAPliliEL 4 ••

4.4 KURVLANGD Hur kan man bestämma längden hos en kurva? Studera grafen av funktionen y = 1 + 2x - x Anta att du ska bestämma längden av kurvstycket mellan x = 0 och x = 2.

2

y •

Du kan då approximera kurvan med ett antal linjestycken mellan de båda punkterna på kurvan. I figuren approximeras kurvans längd av fyra linjestycken. Mellan x = 0 och x = 0,5 approximeras alltså kurvlängden med längden av segmentet som har längden b:,,,s. Med beteckningar enligt figuren gäller att ( b:,,,s ) = ( ~ ) + (Liy ) 2

Alltså är Lis=

J( ~ ) + (Liy )

2

2 .

2

2

•

Beräkningen av kurvlängden kan sedan utföras genom att summera längderna hos alla de linjestycken b:,,,s som approximerar kurvan.

Använd t ex Excel för att beräkna längden av kurvan y = 1 + 2x - x 2 mellan x = 0 och x = 2. Använd 4 intervall för beräkningen . ••

LOSNING 2

2

I varje intervall kan b:,,,s beräknas som Lis=)(~ ) + ( Liy ) Kurvlängden hos y fj_x

fj_y

1, 75

0,5 0,5 0,5 0,5

0,75 0,25 - 0•25 - 0•75

0 0,5

1

1 1, 5 2

2 1, 75 1

Totalt: SVAR:

'184

~

4.4

..

KU RVLAN GD

fj_5

0,90 0,56 0,56 0,90 2,92

Med fyra delintervall blir kurvlängden 2,92 längdenheter. Atta intervall ger längden 2,95 och sexton 2,96 längdenheter. 0

ANM.

=1 + 2x - x2

y

X

•

~

KAPliTEL 4

4401

Beräkna med Excel kurvlängden hos y = x 2 + 1 i intervallet - 1 ::; x S 1. Använd åtta intervall för beräkningen.

4402

Beräkna med Excel kurvlängden hos

y=

.J9- x

2

Använd steglängden 0,25 för beräkningen. Med kännedom om vilken kurva du beräknat kurvlängden för kan du utnyttja en annan välbeka11t metod för beräkningen. Jämför värdena. .

Metoden att summera längderna hos alla de linjestycken som approximerar kurvan blir arbetsam om intervallängden görs liten. Därför måste den förbättras. Gör följande omskrivning:

med y = f (x) och b.x mycket litet. Summan av alla dessa linjestycken, vardera med en längd b.sn, närmar sig kurvans längd då antalet intervall ökar. Om antalet intervall blir oändligt stort övergår summan i en integral och kvoten ~y kan ersättas med dy= f'(x). ~ dx ·

Q

SATS: Samband för beräkning av kurvlängd

Längden av kurvan y = f(x) i intervallet a , x, bär b

s = JJ1+ f'lx) 2 dx. a

I många fall blir integranden så komplicerad att du kommer att behöva digitala hjälpmedel för att bestämma integralens värde.

FOR OJ U PAD INTEGRAL- OCH DIFFERENTIA L KALKYL

185

~

'

KAPliliEL4

Beräkna längden av kurvanf(x)

= 1 + 2x -

x2 mellan x = 0 och x

= 2.

••

LOSNING

f'(x) = 2 - 2x Kurvlängden är 2

2

f)1+(f'(x)) dx= f-J1 + (2 - 2x) dx 2

0

2

0

Integralen beräknas med ett digitalt hjälpmedel. 2

f-J1 + (2 - 2x ) 2 dx ::::: 2,95789 0

SVAR:

Kurvlängden är 2,96 längdenheter.

4403

Använd formeln för beräkning av kurvlängden hos funktionen y = x2 + 1 i intervallet - 1 < x < 1. Beräkna integralens värde med ett digitalt verktyg.

4405

Använd formeln för beräkning av kurvlängden hos funktionen y = x · Fx i intervallet O< x < 5. Försök att beräkna integralen utan digitalt verktyg.

4404

Använd formeln för beräkning av ~ kurvlängden hos funktionen y = x2 • Beräkna integralens värde med ett digitalt verktyg.

4406

Beräkna längden av grafen av funktionen 3 1 x y=- + mellan x = 1 och x = 2. 6 2x Antingen kan du beräkna längden exakt eller använda ett digitalt verktyg .

J9-

4.4

..

KU RVLAN GD

Om y = f(z) och z = g(x) är två deriverbara funktioner så gäller för den sammansatta funktionen y = f(g(x)) att

Kedjeregeln

y' = f'(g(x )) ·g'(x) eller dy= dy· dz dx dz dx Implicit derivering går ut på att derivera funktioner som inte är givna explicit med y i vänsterledet och ett uttryck med enbart x i högerledet.

Implicit derivering

ff (x) dx 00

Generaliserade integraler

En integral av typen

kallas en generaliserad integral och

a

f f(x)dx

t

oo

beräknas med hjälp av gränsvärden,

= limJ f(x)dx. (~

oo

a

a

Om gränsvärdet existerar sägs integralen vara konvergent, annars är den divergent.

Primitiv funktion

Den primitiva funktionen tillf(x), som ofta skrivs F(x), kan även skrivas som

f f (x) dx ,

dvs som en integral

där varken övre eller undre begränsning anges.

Primitiv funktion till _! En godtycklig primitiv funktion till -1 kan skrivas X

Partialbråksuppdelning

f

X

-I dx = Ini xl + C . X

Att dela upp ett bråk i flera bråkuttryck kallas partialbråksuppdelning. Denna teknik l1ar man nytta av för att hitta primitiva funktioner till bråkuttryck.

Regel för partiell integration

f

Kurvlängd

Längden av kurvan y = f(x) i intervallet a::; x r = a - k · b. r är delbart med n, eftersom både a och b är delbara med n.

2302 a, c och d

378=3·100+7·10+8·1= = 3(99 + 1) + 7(9 + 1) + + 8 · 1 = (3 · 99 + 7 · 9) + 3 + +7+8 Talet 378 är delbart med 9 om 3 + 7 + 8, dvs siffersumman är delbar med 9.

2211

Resten blir 3.

2212

Med a = k 1 • 12 + 3 och b = k2 · 12 + 3 blir a - b = = (k , · 12 + 3) - (k2 · 12 + 3) = k I · 12 - k2 · 12 = 12(kl - k2) => a - b är delbart med 12.

2305 a) 8, 15, 22 eller 9, 16, 23 eller . .. b) 15, 26, 37 eller 16, 27, 38 eller .. .

Talet a2 + 3a + 2 kan skrivas om som (a + l)(a + 2), som är delbart med 5 om (a + 1) är delbart med 5. Calle har rätt. Beräkningen härstammar från antal sätt som l, 2, 3 eller 4 av primtalsfaktorerna kan kombineras för att bilda 4 delare till 210. syftar på delaren 1. O a) k = 5 b) r= 3 c) k = 3, r = 2 d) k = 10, r = 1

2202 a) k = 3, r = 1

b) k=6,r=2 c) k= 11,r= 1 d) k = 20, r = 5 2203 Kvoten är 20 och resten 5. Thomas tar inte hänsyn till att O < r < 5.

2213

b) 50

2215 a) 8

b) 28 d) 221

c) 1 2216

d) 1

2207 Tex 84 och 110. 2208 Eftersom (n + l)(n - 1) = n 2 - 1 så är n 2 = (n + l)(n - 1) + 1. Kvoten blir alltså n - 1 och resten 1. 2209 Resten blir 9, som är delbart med 9.

a) 18=2·3·3och32= =2 · 2·2·2·2 MGM(l8,32) = 2 · 2 · 2 · · 2 · 2 · 3 · 3 = 288 b) 24 = 2 · 2 · 2 · 3 och 90 = 2 · 3 · 3 · 5 MGM(24,90) = = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360 b) 12a2 b d) 2a

2217 a) 36x c) 6x 2218 a)

_!2

b)

26

2219

2306 13, 22, 31, 40, 49, 58, ... 2307 Ja, Jenifer har rätt. Att a 14(mod 15) begränsar de möjliga talen till {14, 29, 44, 59, 74, 89, 104, 119}. Av dessa är endast 29 = 5 (mod 8).

=

2308 [0] 4, [1] 4, [2]4, [3]4 2309 Titta på restklasserna modulo 3. För n = 0 skrivs n = 3k och n2 = 3 · 3k2 => n2 O(mod 3). För n 1 skrivs n = 3k + 1 och n2 = 3(3k2+2k) + 1 => n 2 = l(mod 3). För n = 2 skrivs n = 3k + 2 och n2 = 3(3k2 + 4k) + 4 => n 2 4 l(mod 3).

=

2221

=

==

11 51 195 c) 19 b) 18

a) 18

2304 b och c

2310 a) 4(mod7) b) 2(mod3) c) O(mod8) 2311

2220 c och d

2205 a) k = -1, r = 3 b) k = - 2, r = 4 b) 0

b) 34

2214 a) 50

2204 a) k = 30, r = 0 b) k = 0, r = 13

2206 a) 5 c) 1

a) 6

2303 n = 41

Ja det är möjligt. Fyll 3-litersspannen och häll över innehållet i 5-litersspannen. Fyll sedan 3-litersspannen på nytt och häll över så mycket du kan i 5-litersspannen. Kvar har du 1 liter.

2222 Ja, det stämmer. SGD(l2,8) = 4 och MGN(l2,8) = 24 och 4 · 24 = 8 · 12 SGD(l0,15) = 5 och MGN(l0,15) = 30 och 5 · 30 = 10 · 15 SGD(l2,18) = 6 och MGN(l2,18) = 36 och 6 · 36 = 12 · 18

a) 2(mod4) c) 8(mod9)

2312 a) 3

b) 2

a) 9

b) 1

c) 11

d) 11

c) 1

d) 1

2313 a) 4(mod 5) b) l(mod 5) c) 2(mod 5) d) 3(mod5) 2314 n = 16, n = 25 och n = 34 2315

a) l(mod 9) b) l(1nod 9) c) l(mod 9) d) l(mod 9)

2316

425 = 25 (mod 8) eftersom 42 och 2 ger samma rest vid division med 8, 42 = 2(mod 8). 2 5 = 32 = = O(mod 8) eftersom 32 ger resten O vid division med 8.

2317

4 · n 2 (mod4) =

= 4(mod4)·n 2 (mod4) :0

2301

b) 2(mod3) d) l(mod60)

=O(mod4)

=

2318 (3n + 1)3 = 27n3 + 27n2 + + 9k + 1 = l(mod9)

2403 a) 50 c) - 87,5

2319

2404 a) aIT = 1 + (n - 1) · 6 = = - 5 + 6n b) an = - l+(n -1)· 4 = = -5 + 4n c) a fJ = 52 - (n - 1) · 16 = = 68 - l6n

521 = 500 + 20 + 1 = = 5·

100 --..,,.........,·

+ 2 · -----...,....-' 10 + 1 =

al (mod9)

as ! (mod9)

= 5 + 2 + 1 (mod 3) = = 9(mod 3) = O(mod 3)

2320 91T - 1(mod 8) = = (9"(n1od8) - l(mod8)) =

b) - 27 d) 13 . 10 4

d) a,, = 150-

100

3

9(mod8)

- l(mod8) =

2405

1000(1 + 1000) = 500500

2

= l " - l(mod8) = O(mod8) Mån dag. 1 000 = 700 + 280 + 20 = = 20=21 - 1 =- l(mod7)

2322 På 1 (förutsatt att det finns klockor då). 25 100 = 1100 = = l(n1od 12)

2406 a) 35

0

= b + d(mod 7) v.s.b.

2401

a) 23, 29 c) - 66, - 42

b) 99, 88 d) -14, -1

2402 a) a11 = 25 + (n - 1) · 50 = = - 25 + son b) a n = - 3 - (n - 1) · 9 = = 6 - 9n c) a IT = 10 000 + - (n - 1) · 4 000 = = 14 000 - 4 OOOn

1

Janne sätter in 8 000 kr på ett konto med 3 % ränta i början av fyra på varandra foljande år. Hur mycket pengar har han på kontot precis efter fjärde insättningen? EX:

2

d) a11 = - +(n - l) - = 3 3 = (-1 + 2n) I 3

2427 a) 2

~

Talföljderna A, B och E är aritmetiska eftersom differensen är lika stor mellan termerna. Så är inte fallet i C och E.

2411

a) 150 b) 0

c) 0

23,27,31

2415

1 - h , l, l+h

2416

90a + l Ob

2417

a) 192, 768 b) -8, -16 c) 1/10, 10 d) 1, - 2

2418

a) 25.3n- l b) _ 3.4n- l c) 10 000 · 0,4n- 1 d) 20,sn - o.s a) 2 560 b) -768 c) 6,4 · 10-5 d) 10-6

2420 a) 21

b) 28

- 2 048

2422 12 288 kr 2423 a) 63

1-( ~ )"

2429 Ca 25 år

2 620

S = n(l + 2n - l) = n · 2n = n 2 11 2 2

2421

~

Om vi låter n gå mot oändligheten får vi 1 ) 11 llin 1- ( = 1 v.s.b. IT-?.. 2

2430

2414 a 1 = 1 och an = 1 + 2 · (n - 1) = 2n - 1

2419

1-( ~)

11

; 1~({)'

2410

2413

c) 2

S,, = ----'--1-....:.... - -----'--1----'- 1- 2

2409 73

2412

b) 0

2428 a 1 = 1 I 2, k = 1 I 2 vilket ger

b) 108

2408 a) 4 + 2(n - 1) b) 11 c) 460

2324 201 672 = 2 · 10 5 + 1 · 103 + + 6 . 102 + 7 . 10 + 2 = = 2 + 1 + 6 + 7 + 2(mod 3) 2325 Om a = b(mod 8) och c = d(mod 7) så är a - b och c - d delbara med 7. Vilket ka11 skrivas a - b = 7 · k och c - d = 7 · p där p och k är heltal. a + c(1nod 7) = b + 7 k + d + + 7p(mod 7) = b + d(mod 7) + + 7k(mod7) + 7p(mod7) =

b) 375 c) 7

2407 a) 95

2323 3

0

4 11 - 1 eller (- 4)" - 1 2" - 1 eller(- 2)" - 1 320 · 0,25" - 1 2·(- 5) 11 - 1

2426 5 880 kr per år.

l

2321

2425

n

fJ

=

2424 a) b) c) d)

b) 9,0 c) 29 524

2431

x 6 -1 x- l

c

b

b

a

Likformighet ger - = -

2432 a) 0,5 b) ja, kvoten inverteras. 2433 Sätt b = ak, c = ak2 ,

• • •,

där

k = b I a. ==> lg b = lg ak = lg a + lg k, lg c = lg a + 2lg k, ... Logaritmerna bildar en arit1netisk talföljd med differensen lg k.

2434 2,9 mg 2435 a) 3, 10, 17, 24 b) 1,4,10,22 c) - 1, - 1, - 1, - 1 d) 0, l, 2, 5 2436 a) b) c) d)

a 1 = 9, a11 + 1 = an + 4

a l = - 4 ' a11+1 = a11 - 6 a1 = 3, a n + 1 = an · 2 a l = 10-s ' a11+ 1 = a n · 100

= 1' a = a · 2 b) b1 = 2, b + I = bn + 4 c) c1 = 1, c + 1 = c d) d 1 = 27, dn + I = dn - 7 a1 = 10 000 och a + 1 = an · 1,03

2437 a) a I

11 + 1

11

11

11

2438

2452 a) 61 1 2453 a)

fl

n an n

I an

b) +11 F2

n

b

11

+1

= bn - 2

11

2441

3(2" -

c) I

11

100 · (n - 2)

I

1)

2501

b) -3 d) 1 111

i=O 32

Om vi tar exemplet 6

6

L ak + L ak = L ak k= l

Det stämmer bra med

a1 = a0 + 5 = 8.

k= 4

2n =

i= I

k= I

kan vänsterledet skrivas (a1+ az + a3) + (a4 +as + a6). Det är ju lika 1ned a 1 + a2 + + a3 + a4 + a5 + a6 so1n precis är högerledet.

1. n = 1 => l

VL = si

=

L6n -

2

=4

och HL = n(3n + 1) = = 1(3 + · 1 + 1) = 4 2. Anta att det gäller för n = k: n=k

sk=1:6k -

+ 1) = 3k2 + k 3. Visa att det gäller för n = k + 1:

= k(3k

n=k+I

sk=

I

6k - 2 =

i=I

= 1 blir VL = 1

och HL = 1. 2. Anta: För n = k gäller VL = k2 . 3. För n = k + 1: VL = k 2 + (1 + 2k) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 = HL. b) 1. För n = 1: VL = 100 och HL = 100. 2. Anta: För n = k gäller VL = lOSk - 5k2 . 3. För n = k + 1: VL = 105k - 5k 2 + + (100 - l Ok) = l OSk + - 5k2 + 105 - 5 - lOk = l OS(k + 1) - 5(k2 + 2k + 1) = = lOS(k + 1) - (k + 1)2 = = HL

2=4 + 10+ 16 + ... =

i=I

2. Anta att för n = k

2502 a) 1. För n

2449 a) : Ic2i + 1) b) : Isi i=l i=O 2450 Alla utom C är lika. 3

I

= 2(k+ l ) + k(k + 1) = = (k + l)(k + 2) = = (k + l)((k + 1) + 1)

1. För n = 1 ger formeln a 1 = 3 + 5 · 1 = 8.

4

20

2n = 2c k + 1) +

i= l

gäller att a k = 3 + Sk. 3. Då ger den rekursiva definitionen att a k + 1 = = ak + 5 = 3 + Sk + 5 = = 3 + S(k + 1), v.s.v.

2448 a) : I2i-l = : I2i i=l i=O

2451

s" = I

n=k

i= I

+n

2446 a) Längd 0,297 .m och bredd 0,210 m. b) 1 I 2 11 m 2

i=l

n=k+ I

i= O

c) 2

fibonaccitalföljden som kan skrivas an = an+ 2 + an + 1•

5

3. Visa att det gäller för n = k + 1:

2504

2455 a) 524 288 brev b) 1 048 575 brev

2445 Detta är den så kallade

2447 a) 6 c) 5

+ ... +2k = k(k+l)

b) I -c1 + i/3)

b) Det är en rekursiv definition för fakultet.

2444 a 1 = 0, an + 1 = an

i=I

i= O

2442 a) l , 2, 6, 24, 120

b) 2

s" = l: 2n = 2+ 4+ 6 +.

- c- 2);

6

2443 a) 2

och

2. Anta att det gäller fö r n = k:

5

2454 a)

= si = L 2n = 2

HL = n(n + a) = 1(1 + 1) = 2

1

Vi lägger hela tiden till samma tal, nämligen differensen d.

1

i= I

6 7 8 9 96 192 384 768 189 381 765 1533

Il

Il

SLU T EN : C11 =

1 2 3 4 5 3 6 12 24 48 3 9 21 45 93

b) a = 3 · 2n- I

b = 1 - 2n b) REKURSIV: C + 1= Cn + 100 SLUTEN:

1. n = 1 =>

VL

I

Il

REKURSIV:

2503

n=k

an n I an

2440 a) REKURSIV: a,., + 1 = an + 8 SLUTEN: a = 2 + 8n

b)

a n+ l

1

11

2439 a) 0,5 c) - 15

b)

n=k

= L (6k - 2)+6(k + 1) - 2 = i=I

= = = = =

2505

k(3k + 1) + 6(k + 1) - 2 = 3k 2 + 6 + 6k + 4 = 3k2 + 6k + 3 + (k + 1) = 3(k2 + 2k + 1) + (k + 1) = 3(k + 1)2 + (k + 1)

1. För n = 4 ger formeln a,, = 2. Det är mycket

riktigt 2 diagonaler i en fyrhörning. 2. Anta att formeln gäller för en k-hörning: k(k-3) ak = • 2

3. När ett nytt hörn läggs

~

till blir en av sidorna i _./

k-hörningen diagonal. Dessutom ska diagonaler dras från d et nya hörnet till alla andra hörn, förutom de två närmsta hörnen: k(k- 3) ak+i = +l+(k-2) = 2 k(k - 3) 2(k - l) = + = 2

-

2

2

k - k- 2

-

(k + l )(k - 2)

-

2 2 (k+ l )((k + l ) - 3)

11 · 11 k - 4 · 4k = (7 + 4) · 11 k - 4 · 4k = 7 · 11 k + 4 · 11 k - 4 · 4k = 7 · 11 k + 4(11 k - 4k) = 7 - 11 k + 4 · 7p = 7(llk + 4p)

2507 a) 1. För n = I: VL = 2, HL = 2. 2. Anta at t för n = k: VL = k(k+l)(k + 2). 3

1

2 671

2

Ja

3

kvot: k = 6, rest r = 1.

4

15

5

a) 3

6

428 934 = 4 · 105 + 2 · 104 + + 8 · I 0 3 + 9 · 10 2 + 3 · 10 + + 4 =- 4 + 2 - 8 + 9 - 3 + 4 = = 0 (n1od 11) 10 100

8

10

3

3

2508 a) ln(n + 1) b) n!(n + 1)

1. För n = 1: Rekursiv formel ger a 1 = 2a0 - 1 = 3. Sluten formel a l = 2 2 - 1 = 3 . 2. Anta att för n = k: ak =2k+1 _ 1. 3. För n = k + I ger rekursiv formel ak+ 1 = 2ak + 1 = = 2(2k+l _ 1) + 1 = = 2k+2 - 2 + 1 = 2k+ 2 - l , v.s .v.

=

11

2 4 . 3 2 . 5 . 31

12

p = 2, 3, 5, 7 ger 2P-

2509 an = 0,5n2 + 0,5n + 1 2510

l .För n = lärVL > 2för X> 1. 2. Anta att för n = k så är ( 1 + x)k > 1 + k. 3. För n = k + 1: VL = (l+x)k+t = = (1 + x)k(l + x) = = (1 + x)k + (1 + x)kx ~ I + k + 1 = HL.

17

a och c

18

45 219 kr

19

a 1 ::::: 1,41; a 2 ::::: 1,55; . .. ; a 12 ::::: 1,618033; a 13 ::::: 1,618034; a 14 ::::: 1,618034; ... 1 1. För n = 1: VL = HL = - . 2 2. Anta at t för n = k: k+2 VL = 2 k • 2 3. För n = k + l:

c) 4

10

= (k + l)(k+ 2)(k+3) =HL.

3

b) 2

z, = 1 + i, z2 = 1+ 3i, z3 = - 7 + 7i.

3

+

43 200 kr

k + 2 k+ 1 VL = 2 k + k+I -

9

= k(k+l)(k + 2) + (k+ l )(k+2) =

=

16

2

7

3. För n = k + 1: VL =

3(k + l )(k + 2)

Ja, eftersom de ger samma rest vid division med 33.

TEST2

2506 1. n = 1 ~ 11 1 - 4 1 = 7 2. Anta att det gäller för n = k, alltså l l k - 4k = 7p där p är heltal. 3. Visa att det gäller för n = k + 1: 11k+l _ 4(k+l) =

k(k + l )(k + 2)

15

20

2

= = = = = =

1. För n = 1 är n 3 + 2n = 3, vilket är delbart med 3. 2. Anta att k 3 + 2k är delbart med 3. 3. (k + 1)3 + 2(k + 1) = = k3 + 3k2 + 3k + 1 + + 2k + 2 = k3 + 2k + + 3(k2 + k + 1), vilket är delbart med 3 då k3 + 2k är delbart med 3.

2511

1 = 3, 7, 31, 127. Tex är 127 ett primtal, eftersom J127::::: 11,3 och 127 varken är delbart med 2, 3, 5, 7 eller 11.

13

T ex 23 402 eller 23 498.

14

2 522 = 1 · 2 047 + 475, 2 047 = 4 · 4 7 5 + 147, 475 = 3 · 147 + 34, 147 = 4 · 34 + 11. 34 = 3 · 11 + 1.

2

= 2 _ (2(k + 2) _ k + l) = 2k+l 2k+l k+ 3 = 2= HL 2k+I

BLANDADE UPPGIFTER 1

101, 131, 163, 193,

2

1 287

3

b) 2 . 33 • 5 . 7 a) 3 · 109 c) 3 2 • 11 · 13 d) 2 11

4

103, 137, 167, 197,

107, 109, 113, 127, 139, 149, 151, 157, 173, 179, 181, 191, 199

53 a) - 1155

b)

199 6930

5

Talet ska sluta på en jämn siffra och siffersumman ska vara delbar med 3.

6

a) 0,27 27 27 ... b) 1,142857 142857 . .. c) 0,2941176470588235 294117.. .

7

a)

.!..!_ 40

8

9

a) 66 c) I a) 14 c) 13/12

b)

5

c)

13

82 333

b) 2 d) 357

b) 20 d) - 1/32

10

a) an =- l+(n - 1)·3=3n - 4 b) a = (n + 1)/(n + 2) c) a = 3" d) a = 3,14 + (n - 1) · 0,08 = 3,06 + 0,08n Il

26 27

a = 84 + (n - 1) · 7 = 77 + 7n

--

Il

a21 b6o --

Il Il

11

a) -38

b) 24

c) 3145

12

a) 42

b) 8

c) 3/26

13

a) 11, 13, - 5 b) 2, 6, - 11

14

a) geometrisk, a = 100 · (- 1)'' b) aritmetisk, a17 = - 100 + (n - 1) · 200 = = - 300 + 200n c) geometrisk, a17 =-100·(09)nl , d) ingetdera e) aritmetisk, an = Sa + 3 + + (n - 1) · (a + 2) = = 4a + 1 + n(a + 2) f) geometrisk, a17 = e"x 51, 135,219

16

ca 450 år, 160 000

17

Efter 12 år

18

a) 800,400,200, 100,50,25 b) a17 = 800 · 0, 5" c) 13 dygn

1. För n = 1: VL = HL = 1. 2. Anta att för n = k: 2k- i< k!. 3. För n = k + 1: (för k > 1) VL = 2k = 2 · 2k- 1 < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)! = HL. a) Eftersom 13 = 1(mod 6) är 13 3 - 13=1 3 - l = = O(mod 6), v.s.v. b) För 5 876 332 + 2 = 5 876 334 är siffersL1mman delbar med 3. Talet är jämnt, så det är dessutom delbart med 2. 5 876 334 är alltså delbart med 6 och 5 876 332 = 2(mod 6) => (5 876 332)3 - 5 876 332 = = 23 - 2 = 6 = O(mod 6), v.s.v. c) För alla n. Kommentar: n - 1, n och n + 1 är tre på varandra följande heltal. Ett eller två av dessa är delbart med 2 och ett med 3. Alltså är n 3 - n = n(n + l)(n - 1) delbart med 6.

1112

a) an = .J2n b) an = 2 c) a17 = logl0 17 - 1 =n -1 d) a17 = a + (n - 2)b

20 358 21

a) n = 14

22

b - (a + b)/2 = = (a + b) I 2 - a = (b - a)/2. b fab b

23

29

11

15

19

28

M

-

b) n = - 4

a

a

24

a I b= 1I 3

25

Eftersom a 1, a2 , a 3, •• . är en geometrisk talföljd så a a är ...1.. = i . För talföljden a2

x = 8, y = 12 eller x = 0,5, y= - 3

31

8, 12, 16,20,24,28,32,36

32

1. För n = 1: VL = l, HL = 1. 2. Anta att för n = k: VL= k(k+l)(k + 2) . 6 3. För n = k + 1: V L = k(k+l)(k+2) (k+l)(k+2)

a1

a12 , a22 , a 32 bl'1r d ao a2

-3= - ·- = - · - = a2 2

Det ger att talföljden är geometrisk.

=

+---2

6 k(k+l)(k+2) 3(k+ l )(k+2) = +----- 6 3·2 = (k+l)(k+2)(k+3) = HL. 6 33

1. För n = 1: VL = HL = 1. 2. Anta att för n = k: k2(k+ l )2

VL = - - 4

3. För n = k + 1: VL = = k2(k + l )2 +(k+l)3 = 4

--

4 (k + 1)2 ( k 2 + 4(k + 1)) 4 (k+1)2(k 2 +4k+4) 4 (k + l)2(k+2)2 4

34

_)

--

--

= HL.

1. För n = 1: VL = Dx = 1. HL= lx0 = 1.

2. Anta att för n = k: Dxk = kxk- 1• 3. För n = k + 1: Dxk+ 1= = D(xk · x) = xk · Dx + + (Dxk) · x = xk + kxk- 1 • x = = xk + kxk = (k + l)xk, v.s.v. 35

a) 400 b) 4 500 c) 918 d) a =a + a + O,lOa 1(1 - n-t - 25) 4500 e) 570 (5;~-) f) 4 200 (4 234) g) an =an - l + + O,lOa 1(I - a,,_ 1 I 4 500) + + 175 h) 3 000 (3 027) i) 5 800 (5 847) 11

11-1

11

36

_

a) 1. För n = 1 blir a" - b = a - b, vilket är delbart med a - b. 2. Anta att för n = k: (a - b)l(ak - bk). b) För n = k + 1: ak+ 1 - bk+ 1= = ak · a - bk · b = ak · a + - ak · b + ak · b - bk · b = = ak(a - b) + b(ak - bk), vilket är delbart med a - b. b) 1. För n = 1 blir a2" - b217 = a 2 - b 2= (a - b)(a + b), vilket är delbart med a + b. 2. Anta att (a + b)l(a2k - b2k). 3. För n = k + l: a2(k + I) _ b2(k + l) = = a2k . a2 _ b2k . bz = = azk . a2 _ a2 . b2k + + az . bzk _ bzk . b2 = = a2(a2k _ b2k) + + b2 k(a 2 - b2 ). Detta uttryck är delbart med a + b. 17

30

-

--

k2(k+l) 2 +4(k+l)3

KAPITEL 3 3101

3109

a) y = - x2 + C

x3 x2 b) y = - - - +x+C 3 2 x3 c) y = - -x+C 3

x4

2

d) y = - - +x +2x+C

Nej, en förstagradsfunktion. B: Ja, om man bestämmer andraderivatan till en tredjegradsfunktion fås alltid en funktion av första graden. c: Ja, t ex så har både kx kx ,, e h , e y = k2 oc y = - kA:

3202 a) y = l0e3x

c)y=3e3-3x d) y = e - 0,5 + 1,Sx 3203 y = 2e-3x, y'(O) = - 6 3204 a) N(t) = Ce0•91 b) N(t) = 2e0•91 c) N(t) = 10e0 •91 - 4•5 3205 a) y = 4e-2x, y'(O) = - 8

b) y'(- 1) = - 8e2

2

e) y =

2

e

2

funktionen y(x) = ekx som lösning. D : Nej, då måste koefficienten framför andragradstermen vara lika. Det som kan skilja är konstanttermen. Koefficienten framför x-termen och konstanttermen kan vara olika eftersom de bestäms av begynnelsevillkoren.

+C

X

X

f) y = 4sin- +C 2

x3 x2 3102 a) Y = - - +- +C x +C 2 2 l 2 b) y = C1x+C2 c) y = 2e2 x + C1x + C2 d) y = 4sinx+C1x+C2 e) y =

24x 2 fx 5

+C1 x+C2

3110

y = - cosx + 5

c2

3111

2e2 - 2e0•5

3112

a) y = 2fx - 4

f) Y = - lnx + c,x + 3103

a) b) c) d)

y = x2 + C y=2e2 x+c y = 2lnt + C y = - 2 cos 2t + C

b) y= -

e 2x

+2

c) y = x4 + 4x2 + 3x + 2 d)y=-lnx + 4

3104 a) y = 2x + 4

b)y=2x2 + 3x + 5 c) y=ex+ x - l d) y = sinx + cosx e) y = 2x + 3 f) y = x2 - 2x + 1

2

3113

y' = 2,y(O) = 3

3114

y" = 6x

3115

a) y = x 2 + x

b)

.... y

1 + Ce-x => y' = 1 - ce-X HL = x - y = x - x + 1 - ce-x = 1 - ce-X = y' = VL.

3108 y = 2e-~+ 2 - 2e

4

3207 y' = -3y, y(O) = 2 3208 y' = y I 5 med lösningen

y = 2e5x 3209 f(x) = 2exl 4 3210

Den allmänna lösningen är Y = Ce- I,Sx, alltså en exponentialfunktion som närmar sig noll för stora värden på x. Detta stäm1ner för A och C men inte för B. Om y(O) = 2 kan kurva A stämma och om y(O) = - 2 kan kurva C stämma.

3211

Riktningskoefficienten för tangenten

f'(x) = L\y = f(x) - O = 0,25f(x) L\x x - (x - 4) Differentialekvationen blir f'(x) = 0,25f(x) och dess allmänna lösning är f(x) = Ceo,2sx.

3213

-

3107 y = x2 + x-5

3206 a) k= 4

3e b) y = - x

a) N(t) = N 0 ek1 b) N(t) = Noe0,541

c) 1,3 h

= - sinxcosx + + ( 1 + cos x) sin x = . . = - s1nxcosx + s1nx + + cos x sin x = sin x = HL. 3106 y = X

3

3212

3105 y = 1 + cos x => y' = - sin x VL = y'cosx + ysinx =

b ) y = - 2e-l,Sx

1

\

J

l/

X )

3116

y = x2 + 4x

3201

a) y = ce-3x b) y = Ce5X c) Y = ce-xl3 d) Y = ce-Sx

a) N( t) = 180e2•071 b) 0,83 h c) Antalet organis1ner är för stort i förhållande till vätskemängden.

dK 3214 a) = - 0,012K dt b) 0,049 M c) 190 s 3215

a) N( t) = N 0 e-k1

b) 38,5 h

dK 3216 a) = - 6,93 · 10- 3 K dt

3306 a)

'' .. . ...' .... .... ..... ..... ........... '.. ,,,.

.''

....

.. ....

\ I \"\ ' .... .... .. '' '' '

\I\\

\I\\

\I\\

.. .... '' ' ' '' ' ... ' \ \\ ...

b) 0,0125 M

\ I \ \

' '''' '''' ,---,, ,,,,

..

3217

3401

y

'''' '''' ,-·-, ,, ,,,,

'''' '''' ---,,,,, ,

..

;

3402 -1,52

'

..

'''' '''' ,,---,, ,,,

..

1-1-~:.;'''' ,'''' ,. ., . ., ,..... ..,...., '''' ,, ,,.t .,,,,

Befolkningen m inskar i

r I t r

en takt av 1,2 % per år.

t

I I It

I I I f

t I t t t I t t

t I r

I t t

t , , r

X

.

t

Folkmängden var 4,8 b) 2 1n/s c) 2 m/s Bilden 11edan visar de två lösningskurvorna i b och c.

1niljoner år 1850.

3218 I(x) = I e-o.533 x 0

y

a) K(t) = K e-0,01231

3219

........•••••..•••' ' ' ~·..•• ••••••' .•' .•••....' ' ~· ... .. ''}'. .iliJ ... ...... ,........ ,. ........, ----.. ,,..,, ,,,..,,-- ---,, .... ,, ,, . , , . , , .. , :~ .. , , ' -1- . ,,,,~···· • ., .....,,., ,'' ,• , , , ., , . , ..

0

\ \ \ I

\

b) 113 s

~

~

~

\

\

\

3220 a) v( t) = 2,8e-0,03365t b) 31 s

"

\ \

·~~ ~~

\\

'' ''.'' '' '' ' '''' '''' '''' ,,., ,,., , , ;

"

, . t,

, , , r

t , • ,

t t t t

' t , t

t

, , , t

t I ••• • ••• ,, t

t

I f

I t

X ),.

, ,

a) Z(t) = 1240e4,97s10-1 1

3221

b) 98 °C c) 56 °C

3307 a)

.,.

s1nältpunkten.

/

.,.

/

I

.,.

' '

' ' ' '

3302 A och Il, B och III, C och b)

IV samt D och I

{

.,.

I I

-

;,-

I

X

/ /

~ --

/

'

\ \

\

\

'

b) 3 3310 y

,,,,11( Il( f _.,.,///Il/I

I

t

t 11 t t t t

11

l

f

11

f

-

I

I

I

I

t t t I

- - - ., ., / I / I I ,..,_ _ _ _ , , , , ; - 1 1

I

I I i r I I ,,,,,,

-

"

/

I

I

I

I

I

I

I

I

I

f

t

I

____ .,,,,,,,,,,,,, ,,

____ ,,,,1,11111 ' ' ,, ~

'

'

'

'

\

\

\

,

'

-

- -

\

\

\

\

\

,

'

-

,,. -

I

/

I

,,,,,

I

I

I

I I

I

I

I

I

I

I

I

I

-

., I

\ \ \ \ \ ' ',' ',

-

, I I I I I I ...- -_ J. ,,..,,,,,,

\

\

\

\

\

\

\

\

'

'

\ \

\ \

\ \

\ \

\ \

\ \

\ \

\ \

' \

' \

\

\

'

\

\

\

\

\

\

\

""" -

''

\

l

l\\l

I,

\

\

\'

''

b)

'\

l

\ \

\

\

\'

\ \

\

I

'

-

-

-

-' .,

I

' '

'

-. ~ '

-

-

/ I ., .,

I I

'

'

'

-

I

,,, -

I

\ I \

\

\

\

\

'

-. -

,,,

/

-.,. - -

I

I

'' '

/

/'

,-

/

/

/'

I

/

/

/

{

I

/

/

3404 a) y(4) = 6 b) y(2) = 2 3405 a) Lös differentialekvationen y' = 3y och bestäm y(l,3) om y(l) = 2. Använd steglängden h = 0,1. b) Den exakta lösningen 2

X

c)

, , , , , , , , , , , ....

y = Cx2

Produkten av x och y måste vara positiv beroende på kvadratroten. Därför finnslösningskurvor enbart i första och tredje kvadranterna. y ,,.,,.,,,,,,.,.,,., ..... ,,,,.,,,,, ,,..,. .. ,,,.,,.,.,., .,,,,t/111 (I ,,..,..,,,/tl" '' ...... ,,,,.,,,, '- ',,., ... ,.,,.,.,,., ,,,,

är y(x) = 3e 3x ~

e

2 31 3 y(l,3) = 3 e · • : : : 4,92 .

e

Svaret är alltså för litet.

3406 -0,38 3501

a) y' = 0,0625y(150 - y) b) 225 c) 120

3502 a) 120 b) 60 c) 40 och 80 3503 a) 500 st c) 250 st d)

b) 160 st/h

Ay 500 -

( (

.. . . ,.,.,.,. ,,,,,, ..... .,.,.,. ,.,,,,,,,,

....

y = - x - 1 (svart kurva ovan)

' ' '' \

y= - (röd kurva ovan)

I

---' ' ' , , , , , , -.: -, --

\

\

\

{

~

\

\

/'

\\\\\\\\\\\\\''

\

\

1

3309 a) y = x 2 3305 a)

\

3308 Klas resonemang bygger på att kurvan har lutningen 2 hela tiden mellan x = 0 och x = 1. Det stämmer inte. Lutninge11 ökar ju m ed y. Därför får han ett för litet värde.

V- ~1-

3304 a) 1

''

t

3403 a) steglängd 0,5: y(l) = y(2) = y(3) = 1,5 st eglängd 1: y(l) = 2, y(2) = 1 ,y(3) = 2 b) y' kommer omväxlande att vara 1 och -1. Först ökar y -värdet m ed 1 och i nästa steg minskar d et med 1. c) Efter ett steg kommer man till punkten (0,5; 2) och efter 2 steg till punkten (l; 1,5). Vid varje steg därefter blir y' = 0 och då kommer inte y -koordinaten att förändras.

X

'A y

'' ''

{

'

a) A, C b) Båda är - 0,5.

-

I

- -' ' ' /'

t ex komma över

3303

/

' ' ' (1 .1 )' )0.5: 0,5) \ - - ' -' - - - X - - - ' - .,. \ /'

d) Temperaturen kan

3301

/

3,5

1---"4,,,,.,. ' ...''... -__ ,...,............ ... ,' 't.'1 ,\ .,. ..... ...................... _____ _----- ..................... ... ... ,,. .. .,.i,,..,..,..,..,,.,. _ .. _

,., ,, .,.,.,.,. . . 1-..........1 ,,. , ... ,,, ,,,,,.,.,. ,,,.,,. __ ,,,,,,,. ,,,,,,, ... ,,,,,,, ,,,,,,,..,._ ,,,, ,,,,,,.,.,_ ,1,r. "1 1,,,,,,.,,,. ,,, ,,,.,,,.,..,,,. ,, ,. ,.,,,,,,,,. ...... Il

rtlllt't't"''

100 X

X

0,5

1

3504 a) 3,125 · 10-s vecka- 1 b) y' = 3,125 · l0-5y(1800 - y) c) 1 260

3505 a) y' = 8,5 · 10-6y(lOOOO - y) b) 7 870 st c) 60 år d) 83 individer/år

3506 När antalet y närmar sig 600 kommer tillväxthastigheten att närma sig noll. Om tillväxthastigheten är noll ökar inte antalet individer. Det betyder att de aldrig kan bli fler än 600 st.

3507 a) y' = 4 · 10-6y(8000 - y) b) 64 st/vecka c) 500 st

3508 a) N' = 4,5 · 10-4N(400 - N) b) 200 st c) 4 månader 3509 a) y' = 0,007y(200 - y) y(O) = 30 b)

c)

200·4 ,0552x y(x) :::. 4,0552x +5,667 AY

.. .. •.,, .. ..,,,.,,,.. .•,, .•,,,.. .•..•....••..•.. 2ol:l.................. ·················· ................... ................. , ,, , , , , , , , ,, , , ,, ., , ,. , , , . , , , , . , , , . , , , , . , ,,. ,, , , ,,. ,,, , , , . , , , , , , , , . , ,, , :;.! •••• • • • • • • • • • • • • • • • u • • • •• • · - • • n

•+

. •....••. •.••..••..•.... ·········· .················........ ..·-·· ....... ........................ ........................

3603 a) Y = Ce-Zx ==} y' = - 2 Ce-2x, y" = 4Ce- 2x y" + 4y' + 4y = 4Ce-2x + + 4(- Ce- 2x) + 4Ce-2x = = ce-2 x(4 - 8 + 4) = 0 b) y = Cxe-2x ==} y' = ce- 2 x(1 - 2x), y" = 4Ce-2x (x - 1) y" + 4y' + 4y = = 4Ce-2x(x - 1) + + 4Ce- 2x(1 - 2x) + + 4Ce-2x = = 4Ce-2x((x - 1) + + (1 - 2x) + x) = 0 3604 a) y = C1ex + C2e-2x b) y = CleO.Sx + C2e-X c) y = C1e2x+ c2 d) y = eo,6x(c1 + Czx) e) y=e-x(clsin2x + + C2 cos2x) f) y = e-2x(clsin 2x + + C2cos2x)

3605 a) y = 10e 1•1x - 10e0, 1x b) y = 5e-0,2x - 20e-O,lx c) y = 2xe0,4- 0,4x

....................................... ...... .. .................................. ....." ....................... .... .... .... ......... .. ............. . ....... t . ,.. • t . . . . , , , •

• • • • • • .. • •

• t • • , , t . .. . t "

• • • , . . . .. .

• • • • .. • • • ' . . . .. . . .. t • • ' . t . "

d)

. . . .. . t .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. .

: :~: : ::: : : :: : : ::: : :;: : : :;: : ::: : : ·-· =~: 4 11; ;:;; ..................................... ;::; ; ;:; ; ;::; ; ;:; ; ;: : ; ;;:; ; ;:; ; ;::; ~

··-····-·······--···-··················· • · - - · . - - · · · . -· • j . . . ..j. •• . .. . · - . . i ·-· . 1 ••.

.. ,.. ....,,.,,, ..,........

..

, , , ,~~,, ,,, , , , , , ., , , , . , , , ., , , . , , , , , ,., , , •• ! ' ' '' ' ' ~. , , ,., , ,,.,, , ., , , ,,, ,., ,, ,,, ,., ,, ,, .~, ,,, '''''''' ,,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

X

•

d) lim 200 · 4,0552x = X-4= 4,0552X+ 5,667 =

4,0552x lim200 x--+oo 4,0552x + 5,667 = 200

a) - 1, 3 c) - 4

3602 a) - 5, 1 c) -4, 0

tillsätta 58 liter/min.

3704 18 °C 3705 a) v' = 9,82 - 2v2 med v(O) = 0. Lösning: 4,43 V ( t ) = 2,216 e8861 · -1 b) 2,2 m/s c) 9,82 m/s 2 respektive 1,82 m/s 2 •

3706 a) v' = - 20v2 med lösningen 180 v(t) - - - 3600x+l

b) 39 m/s c)

·y

3606 a) y = e-0.4x(C1sin x + + C 2cosx) + 5 b) y = C1e-3x + C2ex +6x2 + 4 c) y = C1ex + C2 e-x - cos x d) y = ex(C1 +C2 x) +!e-x 2

3607 y = 3e-

2x -

3608

2sin x + cos x

b) - 7, - 5 d) - 5, 5 b) - 3 d) -6, 6

y = -1 e2x --1 e-4x 3

3

3609 y = 0,9oe-0·21 • sin (2,2t) 3610

y = 5,2·cos(.J2t); 1,1 s

3611

a) y(t) = 0,075 sin(0,4x) + + 0,075 cos(0,4x) b) 0,11 m

a) M = 478 st, k = 0,001 år-1 b) Knappt 5 år c) 3 år 9 mån ader, 59 st/år

3601

3703 y = lOOe-x1200. Han behöver

\

-2-5-

......

I

X I

'

.

0,( 01

-1

Eftersom tillväxthastigheten går mot noll då y närmar sig 200 kommer y att närma sig ju st 200 för stora värden på x.

3510

med 50 kg/ år och minskar med 10 % av den befintliga halten i vattendraget. b) m(t) = 850e-0·11 + 500 c) ca 710 kg d) 500 kg eftersom exponentialfunktio11en går mot noll.

.

........ .... .... ............................... .............................. . ..,......... .. ................................ ,....... ,,, ...........,.'.".. • • .. t • •

y = 0,5sin 3x

3702 a) Föroreningarna ökar

3612 y = 0,48e- 1401 · sin(700t) 3701

a) b) c) d)

y' = 0,031(30 - y) y' ""0,22 °C/min y(x) "" 27 - 19e-0·03x 43 min

3707 a) Det är - 20 °C ute. Man ser det via Newtons avsvalningslag: y' = - 0,027(y + 20) = = -0,027(y - (- 20)) b) Om y närmar sig - 20 °C kommer termen (y + 20) att närma sig noll. Detta innebär att y' närmar sig noll.

3708 a) y' = -k(y - 21) med y(O) = 82 och lösning y(t) = 21 + 6le-o.1991 b) ca 5 1nin (4,7 min)

3709 y = 9,82 - -18 y 2 och 78 y(O) = 0 ger

8

6,52(e3 ·01 x -1) y(x) = e3.0lx+ l

9

I

b) ca 11 min

10

D enna funktion närmar sig 6,52 m/s då x """? = .

3710

y' = 0,3 -

y

11

ochy(O) = O

250 med lösningen y(t) = 75(1 - e-x/250).

3711

24e-0•61

a) a(t ) = b) b(t) = 28,24(e- 0•09' - e-0·6 ') c) c(t) = 24 + 4,24e- 0·61 + - 28,24e-o.091

8,7

k

a) v' = g - - v1'8 m b) 30 m/s 88000

13

y = -4 eX - -4 e- 5X 3 3

~,

16

~29 a

-

b

,

,-...

_/

L..

~

1-1-: ./

i"'-...

Vc

\

a)

K . 5 '

,b

a) b) c) d)

17 15

4 5

9

0,79

10

a) 8,8

11

c y= -

13

:r

= - kh ,p(h) = C.

e -kh

14

c) ca 13,6 m/s

dA a) = kr dt dV c) = kr dt

dA b) = kr dt dV d) = kA dt

dN = !N dt 7

y = 0,4xFx + 1,6, y'(4) = 1,2

3

a)

a) N' = - k · N c) Ca 1,2 · 1010 år

19

Bakdäcket har ett tryck som är 0,27 bar högre.

20

- 5 e -0,8x - -5 e 0,4x y --

21

a) Resterande utrymme för tillväxten. b) Vid 38,6 minuter.

22

a) N' = -1 ,79 · 10-9 ·N med N (O) = 2 · 1023 b) 3,58 · 10 14 ato111er/s c) 1,89 · 1023 atomer eller cirka 95 % av ursprungliga antalet.

23

a) p(t) = 1 - e-o.o1t

................. ....... ... . ............ . P , , ~~ ,, , PP(' P (' P('P • P ~ , PPP,P•P•P#PP~#P#PP P # P P#P#P#•••P P PPP•-•P•

7

..

a) Maskinens värde minskar med hastigheten 3 5 % per år av det aktuella värdet . b) 147 000 kr

t,f t,

N' = k · N och N( 0) = 900 och

18

Ay

•• •• •••••• •, ... ,,.... I tt r, H tt ,r , t tr

e- 3 - --2' 2 3

a) k=2,78- 10- 4 b) N' = 2,78 · 10- 4 • N · ·(400 - N) c) Efter ca 30 år.

, , , .,, .,, , , , , , ,, . ,. , ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' '' ' ' ' ' ''. '. '' '' ' '.'' ............................. ''' '' '' ' ' '' '' ' ' '''''' '' ''' ' ' ' '''' ''''....''

a) N'(t) = 0,017N(t) b) 220 000

y = e-1 x(1 - x), minimipunkt

17

, , ,,,, ,,,, ,,, ,,,,,, ,

6

13

a) y( l ) = 42, y (4) = 446 b) y '(l ) = 58 dygn-I, y'(4) = 72 dygn-I

m

a) y = 3,5x2 + C b) y = 3x2 + C c) y = x 3 + x 2 + C 1x + C2 d) y = 2e-2x + C1x + C2

, , ,,,,, , , , ,, ,,, ,, ,, , ,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,, , ,, , ,, , ,, ,, ,,, , ,, ,,, , , 1 ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,,, , , , ,

X

b) N(t) = - No e-t,54 · io-•o,

2

y= - 6x + 2

+- - 1

16

3

1

2

4

y = 8e-cosx

1

BLANDADE UPPGIFTER

y = x" + C1x + C2

b) 10,4

N(5) "" 2 720

b) v(t) "" 66, 7 t + 1,90

f v(t)dt"" 63

8

1

.

15

ca 230 fiskar ca 500 fiskar 5 000 fiskar ca 9 månader

0

y = - 4e-0,4x

8

3

li11jens lutning, alltså -0,015.

TEST3

3

k = y'(O) = 6

12

dv a) - = - kv 1 där - kär dt

d)

2

8

~

e) 1,21 s f) 3,72 s; 17,2 µg g) a(5) = 1,19 µg, b(5) = 16,6 µg c(5) = 6,21 µg

1

7

y = -3 e 2x --3 e_6x

b) k = 0,148 km-I c) 29 kPa

--

y = - 4x + 6

X

14 y" - 9y = 0 15

6

I punkten C.

12

d)

0

dT a) = k(T - 21),k= -0,104 dt

x:i.,. _

3

3

I

1

b) 2,5 A

4

y = 3~

5

y = 3e0,5x

b) p(t) = 1 - 0,8e-0 •0 lt c) Båda planar ut mot trycket 1 bar för stora t. d) 230 s

24

De båda sjukdomsförloppe11 beskrivs av funktioner na

28

100e0 ' 8 x Y1 (x) = eo.sx + 11,5, för

dt y(O) = 380 b) Lösningen är y(t) = 144,?e-0 •681 + 235,3. Halten av Novocain i kroppen stabiliseras efter en viss tid till 235 mg. Grafe11 återges i figu r en.

8 sjuka första dagen, och 100e 0 '8 x y 2 (x) = 08 , för 2 sjuka e ' X+ 49

,,

c..-"

/

I

I\

L

I

/

/ 1-0

/

- ·~

_/

. '

29

-v ,

X ),

Antalet sjuka dag 3 är 49 respektive 18 stycken. Antalet som insjuknar dag 3 är 20 med modell 1 och 12 med modell 2. Största antalet insjuknande är 50 stycken och inträffar under dag 3 för modell 1 och dag 5 för modell 2.

25

30 31

a) k : : : 0,314 n1- 1 I

b) v = 9, 82 -

-,

e) - - 6 ( l+ - 1 ) 2X 3 X4

4102

l, 23 p)

0,314

X

.•

Differensen (TRum - T) avgör om det rör sig om uppvärn1ni11g eller avsvalning. Om differensen (TRu m - T) är negativ blir det avsvalning. Då är TRum < T. Om TRum > T blir (TRum- T) positiv, vilket ger en positiv derivata (uppvärmning).

d) 4(e3 ' + t) 3 • (3e 31 + 1)

e) -

· v och

32 33

dT a) = - 0,04 · (T- 4) dt och T(O) = 20 ger T(t) = 16e-0•04' + 4. b) 25 min till 10 °C och 69 n1in till 5 °C.

f) - - - (v2 + 3)1.s 2

a) 2x·ex b) 2sin v · cos v = sin 2v

4104

Han har tappat bort de inre derivatorna. Första funktionen har en inre derivata som är

d 3 - e x = 3e 3x . Detta ger dx f'(x) = 3e3X/e3x = 3.

a) v'(t) = 10 - 20v 1 e -201 b) v(t) = - - -

(Han skulle ha sluppit hela bekymret om han utnyttjat att ln e3x = 3x.) I den andra är inre derivata11

2

mg k

d - cos3x = - 3sin3x. dx

a) m'(t) = 40 - 0,002 · m(t) b) 178 s c) 2 mg/I

Det ger

f'(x) = - 3 sin 3x/cos 3x =

c) 24 m/s respektive 3,3 m/s

26 y(t) = e-0,5361 med koncentrationen i procent. Efter 12 h är koncentrationen 0,0016 o/o.

V

6e-3"

4103

c) 0,5 m/s

2

1+ e-o,392s1 v(t) = 50 · 1- e-o,392s,

-4 c) (2x + 1)3

f ("' (x) = k" f(x)

2

80 v(O) = 0 med lösningen

27

a) 60(3x + 5) 19

b) 2../3x - 5

30-

I

J

-20(1 - 4x) 4 24x2(1 + 2x3) 3 3(2x + 2)(x2 + 2x)2

3

I

l J ; 48.YJ I

8(2x + 3)3

3

-

"

J

a) b) c) d)

f) 3(cosx - sinx)(sinx+ + cos x) 2

Följande bild visar de båda funktionerna. y

4101

,y

första dagen.

.

KAPITEL I+

a) dy = 160-0,68y och

= - 3 tan3x.

4105

a) 2(cosx + l)(sinx+x) b) 4(2 + 2e 2 x )(2x + e 2 x ) 3 ' ' c) (4x 3 + 4x)e 1.

2

dr = dV / dV = k·A = k A dt dt dr

4120

4207 2

4128

ar utn1ngen

4119

= 0

2

32 mm/min

4118

4206 Ja, den är konvergent och har värdet 2.

1 2 dy 2x · - 2 + X · - = 0 x dx

4115

4117

=>

4205 4,44 (Arean under kurvan från y-axeln och bort n1ot oändligheten är alltså 4,44 a.e.)

dy

2x

dx

3y

-=--

1

--

3

4125 y = -x-2

4134 0,03 m/s 4135 4201

470 km/h a) 1

1 b) 2

c) divergent

4204 a)

1

b) 1

32

c)

3

2

e) går ej

4217

4h-1 ""' 4,66

4218 a) 12,6 g d) 2

f)

e2 2

4219

b) 20 g

2 000 liter

4220 80. Temperaturen var 80 °C i kaffekoppen från början.

ff (x) dx ~

4221

= 1. Det betyder

4310

b) 2 ln 2 + 1 "" 2,4

0

att sannolikhete11 är 1 att komponenten någon gång går sönder. 4222

a) 3 470 st b) 5 200 st

4223

0,02 µg

4311

a) x -2lnlx+2l+C

b) x + 2lnlx-21+ C

4301

f2xe dx = 2x e3 f e dx ""' ... "" 3

4312

4

9 a) ln-

8

3

3 a) l+ x2

4313

a) A = 2, B = - 1

4314

4326 a)

b) ~ - _!_ X 2

ml X + 11 + C

d) 2x + 4 lnl x - 21+ C

4

x+4 1

4303 a) 1-

4315

7 b) l + - -

4316

4

b) 2lnl X + 21+

t 4305

d) lnl2x - 11-

t+l 2

x+2

4317

1

+

(x+ 2)

4318

1

3 4306 a) 1b) 1 - - x+2 x+l 4

c) l + - x-3

4319

2 x- l

I

4308

4309 a)

4321

b)

x-l

1

x- I

+

4+3ln- -

2e3 + 1 9

""' - 4,57

e2x

X . e2x

2

2

a) sinx - x · cosx + C

x · sin2x 2

+

cos2x 4

-.
-

En harmonisk svängning.

0,100110011001 .. . = 909

Ay c = 0.05 c = 0, 1 c = 0,2

2

500

0,148500148500 ... = - 3367

0,1

AKTIVITET: Diofantiska ekvationer Svängningarna dämpas. Ju större c, desto större dämpning.

• Ekvationen kan skrivas 01n till 3x + 4y = 30. En heltalslösning kan hittas i x = 10 och y = 0. • Genom att skriva om ekvationen som 3

3

Ay 0 .1

30

y = -- x + - kan vi stega oss fram 4 4 (Lix = - 4, Liy = 3) till ytterligare några

lösningar, t ex:

x =6

y =3

och

x =2

y =6

X

1 c= 1

Dämpningarna blir allt kraftigare. För c = 5 passerar inte vikten jämviktsläget någon gång.

DIGITALA RUTAN: Spela Yatzy

DIGITALA RUTAN: Partialbråksuppdelning och integralbestämning

För att beräkna sannolikheten att få m sexor i ett kast med 5 tärningar används forn1eln:

1

..!.1n (x - 2)s I x + 21'5 + x = 3 (x+l)2

~ (ln(x -

2

Teoretisk sannolikhet

0

0,402

1

0,402

2

0, 161

3

0,032

4

0,003

5

0,000 (0,000129]

2

3

•

a)

1 048 575

4

a)

120 miljoner kr

8

3x - 16

-

b)

2(x 2 +x-12) x+4 19x 2 - x - 54

1

+--2(3-x)

4(x 3 - x 2 -4x+4) 3 1

f

2 + 1 dx = x + 4 2(3 - x)

fx

2

3 + 1 + 5 dx = - 1 2(x + 2) 4(x - 2)

1

1,6 mg

5

= 3lnlx-ll + -ln lx + 21+ -lnl x - 21 2 4

b) Efter 3 dygn; 2,65 pp1n

f x+I

c) Den minskar, 2,67 ppm

5 5 = 3lnl x + 11+ - Ini x + 21+ - Ini x - 21+ x

c)

5

DIGITALA RUTAN: Eulers stegmetod med datorstöd

3

-

5 + 5 + I dx = 4(x + 2) 4(x - 2) 4

d) 0,375 ppm a)

b)

f f

2

3x-16

( X

2

+ X-12

4

1 )dx = 2lnlx + 4l--lnl3-xl

a) 3,27

• 0,76 5,10

b) 3,53

2

19x 2 - x-54 dx = 3 2 4(x - x - 4x + 4)

1

•

2

= 2lnlx + 4l--lnl 3-xl

• a) Efter 3 dygn

•

+x =

I

• Stabiliseringsnivån blir b/0,68. Konstanten a påverkar endast när nivån stabiliseras. •

)

5 --+ +- - x - 1 2(x + 2) 4(x - 2) 3 2 x +4x +x - 11 c) 3 2 x +x - 4x-4 3 5 5 - -- ---+ +l x + l 4(x+2) 4(x - 2)

DIGITALA RUTAN: Talföljder och kalkylblad

• a0 = 2,80, an + 1 = an · 1,12

2

5 · lnl X + 21- - · lnl X + 11 + - · lnl X - 21+ X 3 3 (x - 2)8 och (x + 1) 2 är positiva för alla x.

b)

Ju fler gånger försöket upprepas, desto närmare de teoretiska sannolikheterna bör de framslumpade värdena ligga.

•

2) + lnlx + 21 - ln(x + 1)

1 - ( 8lnlx - 21+ 151n lx + 21- 2lnlx + 11)+ x = 3

Avrundat till tre d ecimaler blir sannolikheterna: Antal sexor

15

8

5

= 3lnlx-ll + - lnlx+21+- ln lx - 21 2 4

c) 3,67 c)

f x 3 +4x2 +x -

11 dx = x 3 +x 2 - 4x - 4 5 5 = 3 lnl x + 11 + - Ini x + 21+ - Ini x - 21+ x 4

4

HITTA SAMBAND Det eftersökta san1bandet för de två n1ängderna A och Bär

ALLMÄN LÖSNING TILLy + f(x)y = 0

IAu Bl = IAI + IBI - IA n Bl.

a) 1. f(x) = 2x 2 . F(x) = x 2

Genom att studera venndiagrammet ser man att elementen i A n B räknas två gånger i IAI + IBI och måste dras bort en gång för att korrekt ange IA u Bl.

,

3. Ekvationen bl ir y · e + 2xy · e 4. Ekvationen kan skrivas som

Motsvaranade samband för tre mängder A, B och Cär

IAu Bu Cl = IAI + IBI + 1c1- IA n Bl - IA n c1. Termerna -IA n Bl - IA n Cl - IB n Cl justerar för de element som räknats (minst) två gånger i IAI + IBI + ICI. Elementen i A n B n Char räknats tre gånger i IAI + IBI + ICI, men även dragits bort tre gånger i -IA n Bl - IA n Cl - IB n Cl och måste alltså adderas ytterligare en gång.

x2

K"2.

5. y · e·

= C~ y =

Ce

x2

~(y · ex dx

2

-xl

- 2x 4

b) y = Ce c)

c y=x

d) y = Ce

2

1

x

GENERALISERADE INTEGRALER • För n = 2 blir integralen 1.

HANDSKAKNINGSPROBLEMET

• •

antal pers.

antal handsk.

1

0

2 3

1

... 1

3

n

f-dx , x"

2 3 4 5

1

6

n

7

.. • Antalet handskakningar kan beräknas genom 1

- (n - l)n , där n är antal personer. 2 1

• Formeln gäller för n = 1, då - (1 - 1) · l = 0. 2

Anta att formeln gäller för n = k. Om antalet personer ökar till k + 1, måste alla k personer utföra ytterligare en handskakning. Antalet handskakningar blir då: 1 1 1 - (k -l)k + k = - ((k - l)k + 2k) = - ((k - 1) + 2)k = 2 2 2 1 = - k(k + 1), som precis är formeln för n = k + 1. 2

1/2 1/3 1/4

1/5 1/6

• JJ_ dx = 1

X 11

oo

• JJ_ dx = l

1

n- 1

limf-x" dx

= lim

1\-17

1

(1

x"

1

a--'>oo

a1-n = lim a--'> .. 1- n

l-11

a --'>oo

l

= -1- n n -1

= 0.

(~

_x_

1- n

I

)

= O

Sakregister aritmetisk talföljd 86 Armstrong, Neil 157

grundmängd 10 gyllene snittet 63

barberarens paradox 19 binomialfördelni11g 43 binomialkoefficient 39 binomialsatsen 40

Hamiltonväg, Hamiltoncykel 50 Hamilton, William Rowan 50 handelsresandes problem 53 handskakningsproblemet 106 Hilberts hotell 11 homogen differentialekvation 139 hyperboliska funktioner 197

Cartesius blad cykel 47

194

delbarhet 64 delmängd 10 differensmängd 17 differentialekvation, diffekvation 114 diofantisk ekvation 77 disjunkt 12 divergent 168 dämpad svängning 147 Eratosthenes såll 69 Euklides algoritm 73 Euler, Leonhard 7, 51 Eulers metod 128 Eulerväg, Eulercykel 51 fakultet 30 fibonaccitalföljden 63 Fibonacci, Leonardo 63 fyrfårgsproblemet 7 förändringshastighet 159 GCD 73 generaliserad integral 168 geometrisk talföljd 90 grad (hos en nod) 47 graf 46 grafteori 46

implicit deriveri11g 162 induktion, induktions bevis 103 inhomogen differentialekvation 139 invers funktion 196 kant 46 karakteristisk ekvation 138 kedjeregeln 158 kombination 35 kombinatorik 28 komplementmängd 17 kongruens, kongruent modulo konvergent 168 kurvlängd 184 kvot, heltalskvot 70 Königsbergs broar 7, 51

nCr 36 Newtons avsvalningslag nod 47 nPr 31

144

ordning (för differentialekvation) 114 partialbråksuppdelning 174 partiell integration 181 Pascals triangel 39, 40 periodisk decimalutveckling 72 permutation 30 primtal 64 rekt1rsion, rekursiv 95 relativt prima 75 rest 70 restklass 81 riktningsfålt 124 Russell, Bertrand 19

79

Lajka 157 Lemniskata 194 logistisk tillväxt 132 lösningskurva 115 löv 52 minsta gemensamma multipel, MGM 74 multiplikationsprincipen 22, 28 mängd 8

sluten formel 95 snitt, snittmängd 14 steglängd 128 stegmetod 128 största gemensamma delare, SGD 73 summatecken 101 tommängd träd 52

10

union, unionsmängd utfallsrum 21 venndiagram väg 46

12

14

..

BILDFORTECKNING

Omslagsfoto: Martin Barraud /Matton Images 6- 7 Shutterstock 15 Fredrik Sandberg/Scanpix 19 Helen King/ Corbis/Sca11pix 26 Shutterstock 29 Keith Sherwood/Shutterstock 34 Mikael Sjöberg/XP/Scanpix 36, 42, 44 Shutterstock 53 Anders Wejrot/Scanpix 61 Hussein el-Alawi/Sydsve11skan/IBL

62- 63 Shutterstock 68 \,Vikipedia 69 Bridgeman Library/IBL 71, 79, 82, 86, 90, 100 Shutterstock 78 Steve Marcus/Reuters/Scanpix 106 Ulf Palm/Scanpix 110 Torbjörn Andersson/Scanpix 112-113, 116 Shutterstock 118 Stephanie Schuller/SPL/IBL 121, 122 Shutterstock 130 Adan1 Haglund/Maskot/Scanpix 135 Richard Peters/Rex Features/IBL 136, 141, 142, 145, 147 Shutterstock

152 155 156 157 161 166 173 180 183 198 199 202 205

Fredrik Sandberg/Scanpix Charles Platiau/Reuters/Scanpix NASA Scanpix Shutterstock NASA Roger Turesson/DN/Scanpix Julian Stratenschulte/DPA/IBL ESA, NASA, R Gendler, J GaBany Nils-Johan Norenlind/NordicPhoto Shutterstock SPL/IBL Shutterstock

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 5. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen . Boken passar också för vuxenutbildning och basår. •

Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

•

Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera .

•

Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.

•

Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnas ieprogram.

17-10928-9 --117-10928-9

Li ber

4)

-

_r:,.

·-