Matematik. M 4 9789147109098 9147109092 [PDF]

Zitiervorschau

JONAS SJUNNESSON

t,AARilN HOLIIASiRÖIIA EVA sMEOHAMRE

N O S S E N N U J S S .. JONA M O R T S M L O H N I MART E R M A H D E M S A V E

•

e ever oc

I

••

arare

Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 4 och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. -

EMP. l!

Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!

O

DEFINITION : R

O

Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken.

SATS: Vertikalv

· -

Antalet värdesittro

Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter ar annu svarare. ..

AKTIVITET

••

0

Aktiviteter är avsnitt med laborativ karaktär. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.

DIGITALA RUTA

I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för att lösa problem. Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare.

Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen!

Författarna

3

1.1

Graferna till y =sinx och y =cosx

Enhetscirkeln och några samband Sinuskurvor 14 Digitala rutan: Trigonometriska funktioner 22 Cosinuskurvor 23 1.2 Grafer och ekvationer

2.1

8

40

45

Additions- och subtraktionssatsen 45 Formler för dubbla vinkeln 48 50 Ekvationer och formler Funktionen y = a sinx + b cosx 53 1.4 Radianer

56

Vinkelmåttet radianer 56 Exakta värden och radianer 61 Tillämpningar 64 Aktivitet: Rätt eller fel? 68 Trigonometriska bevis 69 Upptäck & visa: Para ihop uttryck Sammanfattning TEST 1

74

Blandade uppgifter

4

72 77

Repetition av derivata

82

Derivatans definition 82 Deriveringsregler 86 Upptäck & visa: Area under tangent Mer om derivatan 89

88

2.2 Fler deriveringsregler 92 Derivatan av y = sin x och y = cos x

26

Trigonometriska ekvationer 26 Ekvationer och intervall 33 Tangenskurvor 36 sin 2x = sin x och cos 2x = cos x Ekvationen sin 3x = cos 2x 43 1.3 Formler

8

71

Sammansatta fu nktioner 96 Derivatan av logaritmfunktioner Aktivitet: Produktregeln 104 Derivatan av en produkt 105 Derivatan av en kvot 108 Digitala rutan: Ekvationer och derivator 110 2.3 Kurvanalys och problemlösning

92 100

111

Absolutbeloppet som funktion 111 Egenskaper hos logaritmfunktioner 115 Asymptoter och kurvanalys 118 Problemlösning med derivator 122 Förändringshastigheter 127 Aktivitet: Skissa grafer 130 Digitala rutan: Matematisk modell 132 Sammanfattning 133 TEST 2 135 Blandade uppgifter 137

3.1

Differentialekvationer

142

4.1

Primitiva funktioner 142 Primitiva funktioner med villkor Differentialekvationer 148 3.2 Integraler

146

152

Integral och area 152 Upptäck & visa: Arean under cosinuskurvan 158 Integralens värde och tillämpningar 159 Numerisk lösning av integraler 164 Aktivitet: Inkomstfördelning 168 Sannolikheter med integraler 170 3.3 Volymberäkning med integral

Rotation kring x-axeln 174 Rotation kring y-axeln 178 Digitala rutan: Beräkna volymer Sammanfattning 182 TEST 3 184 Blandade uppgifter 187

174

181

Komplexa tal z = a + bi

192

Inledning 192 Räkning med komplexa tal 196 Upptäck & visa: Komplexa tal 199 Digitala rutan: a + bi 200 Ekvationer 201 Mer om komplexa talplanet 203 Faktorsatsen 206 Polynomdivision 209 Ekvationer med en känd reell rot 211 Aktivitet: Skissa tredjegradsfunktioner 4.2 Komplexa tal i polär form

214

215

Polär form 215 Aktivitet: Upptäcka samband 219 Multiplikation och division i polär form de Moivres form el 225 Ekvationer av typen zn = w 226 Funktionen y = e2 230 Digitala rutan: Polär form 233 Olika bevismetoder 234

220

Sammanfattning 238 TEST 4 241 Blandade uppgifter 243

Facit

257

Facit till tankenötter Sakregister

286

287

Tabell med exakta värden

288

5

I det här kapitlet får du lära dig • Härleda trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln • Använda trigonometriska formler • Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • Egenskaper hos trigonometriska funktioner • Använda trigonometriska funktioner i tillämpade sammanhang • Lösa problem med hjälp av trigonometri • Undersöka matematiska samband med digitala hjälpmedel • Hantera trigonometriska uttryck • Genomföra bevis

-

-

- -

•

•

---- --

••

PERIODISKA FORLOPP

tidigare kurser har vi använt trigonometri för att beräkna vinklar och sträckor i geometriska figurer. Här ska vi utvidga trigonometrin och möta nya tillämpningsområden. Formler och lagar som du får lära dig i det här kapitlet kan användas i t ex ellära, optik och akustik. Många händelser i naturen återkommer med bestämda mellanrum, man säger att de är periodiska. EXEMPEL:

•

I en ljudvåg varierar lufttrycket periodiskt.

•

"Dagens längd" varierar under året.

•

I en väggkontakt varierar den elektriska .. . spann1ngen.

•

Solfläcksaktiviteten varierar periodiskt och når maximal intensitet vart elfte år.

Vattendjupet it ex en hamnbassäng ändras periodiskt och kan beskrivas med en trigonometrisk funktion. Om vattendjupet är h m efter t timmar får vi sambandet

••

nt

h(t) = 1,5 + 2sin-

6 Längst ner på sidan ser du grafen till funktionen. Genom att matematiskt beskriva detta naturfenomen kan vi svara på frågor som: När är djupet mer än 3 m? Hur länge är hamnbassängen tom? Kapitlet ger dig kunskaper så att du kan analysera den här och liknande funktioner.

•

Listan kan göras lång. Periodiska händelser kan ofta beskrivas matematiskt med hjälp av trigonometriska funktioner. Låt oss titta på tidvattnet som är ett periodiskt förlopp. Två gånger per dygn är det högvatten (flod) och två gånger är det lågvatten (ebb). Det är gravitationen mellan jorden och månen som ger upphov till tidvattnet.

h

m eter

n t = ., '

j

I

'

., • +

/

•

\ I

\.

'

'I' )

.

.;

"\

'

j

\

Tv. och ovan: Bilderna visar samma plats vid ebb (lågvatten) och vid flod (högvatten).

blli\ - .-

'

I

-B

-

.;

,I

' • L

.,,

f

u

TRIGONOMETRI

t

-,....

timmar

1.1 GRAFERNA TILL y=sinx OCH y=cosx Enhetscirkeln och några samband Låt oss titta på en rätvinklig triangel med hypotenusan 1. a

Definitionen på sinus och cosinus ger

b

b

. a smv = - = a 1

cosv = - = b 1

SLUTSATS:

I en rätvinklig triangel med hypotenusan = 1, gäller att motstående katet = sin v närliggande katet = cos v

Titta nu på den rätvinkliga triangeln i enhetscirkeln. Eftersom hypotenusan = 1, är alltså kateterna sin v och cos v.

O

::::i.T

1

C

·V)

' •

COS V

DEFINITION:

En enhetscirkel har radien 1 och medelpunkt i origo. cos v = X-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln sin v = y-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln •

tanv = Y = s,nv X

COSV

Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln.

y

2

1 X

3

:

4

Du kommer väl ihåg hur koordinatsystemets fyra kvadranter numreras. Se bilden.

1.1 GRAFERNA TILL y=sinx OCH y=cosx

(x. y)

----------

•I

Titta på enhetscirkeln igen . Pythagoras sats ger följande samband: (sin v) 2 + (cosv) 2 = 1 Detta kallas trigonometriska ettan. Uttrycket (sin v) 2 kan också skrivas sin2 v, och utläses "sin-kvad rat-v':

O

SATS: Trigonometriska ettan

sin 2 v + cos 2 v =1

y 180° _--4-....,--...:..::._--

Sedan tidigare vet vi att sin 30° och sin 150° har samma värde. Se enhetscirkeln till höger som visar att

-

V

X

cos(v)

cos(180- v)

sin(l 80° - v) = sin v cos( l 80° - v) = - cos v

Från den här bilden kan vi se att Ay COS ( - V)

=

COS V Si n V ---------

sin (- v) = - sin v .

Eftersom tan v =

Sln V

cosv

V

får vi att

X

-V

tan (180° - v) = - tan v

sin(- v) ---------

tan (- v) = (- tan v)

sin (180° - v) = sin COS (180°

v

- V} = -COS V tan (180° - v) = -tan v

sin (-v) = -sin v COS (-v)

= COS V

tan (-v) = -tan v

TRIGO NOMETRI

•

Vad händer med sin v och cos v om vi lägger till 360° till vinkeln v? Att addera 360° innebär att radien får rotera ytterligare ett varv. Detta medför att sin (360° + v) = sin v och att cos (360° + v) = cos v Man säger att perioden för sinus och cosinus är 360°. Vi får t ex att sin 30° = sin (30° + 360°) = sin 390° Ay

Låt oss nu undersöka vad som händer om vi lägger till 180° till vinkeln v? V+

180°

Bilden visar att sin v = b och sin (v + 180°) = -b cos v = a och cos (v + 180°) = -a

X

För tan (v + 180°) gäller alltså sin( v + 180°)

-b b tan(v+l80°)= = =-=tanv cos( v + 180°) -a a

sin (v + 180°) = -sin v COS (V

+

180°) = -COS V

tan (v + 180°) = tan v

Att ta11 (v + 180°) = tan v betyder att tangens har perioden 180°. Om vi adderar en period, dvs 180° för tangens, får vi alltså samma värde som tan v. Detta innebär tex att tan 5° = tan 185° = tan 365°

PERIOD

sin v = sin (v + n · 360°)

där

n är ett heltal

360°

cos v = cos (v + n · 360°)

där

n är ett heltal

360°

tan v = tan (v + n · 180°)

där

n är ett heltal

180°

1.1 GRAFERNA TILL y=sinx OCH y=cosx

(a. b)

För en vinkel v gäller att 90° < v < 180° och sin v = 0,6. Bestäm cos v utan att använda räknare. Vi söker alltså x-koordinaten i enhetscirkeln för den punkt som har y = 0,6 och ligger i andra kvadranten (eftersom 90° < v < 180°). y

Trigonometriska ettan ger (cos v) 2 + (sin v) 2 = 12 cos2 v + 0,62 = 1 cos2 v = 1 - 0,36 cos2 v = 0,64

(x. 0,6)

X

cosv = +.J0,64 = +0,8 Här gäller endast den negativa lösningen, eftersom vi vet att koordinaten finns i andra kvadranten. SVAR: COS V =

-0,8

Antag att du vet att sin35°::::::: 0,57, cos 35°::::: 0,82 och tan 35°::::: 0,70. Bestäm följande utan att använda räknare. a) cos 755° = cos (755° - 2 · 360°) = cos 35° ::::: 0,82 Vi subtraherar 2 perioder. b) tan (-145°) = tan (-145° + 180°) = tan 35° ::::: 0,70 Vi adderar en period. c) sin (-395°) = sin (-395° + 360°) = sin (-35°) ::::: -0,57

Bestäm det exakta värdet för tan 480° om du vet att tan 60° =

J3

Vi subtraherar 3 perioder och får 480° - 3. 180° = - 60° tan 480° = tan (-60°) = - tan 60° = SVAR:

-J3

tan 480° = - .fj

TRIGONOMETRI

...

KAPlliEl! 1 .."'"'" .

1101

.

•..:.'.

Använd enhetscirkeln och bestäm. a) cos90°

b) sin 90°

c) cos 180°

d) sin 180°

e) cos 270°

f) sin 270°

1107 Avgör, utan att använda räknare, vilka av följande likheter som är rätt. Motivera.

a) sin 40° = sin (-40°) b) cos 40° = cos (-40°)

1102

a) Du vet att sin 30° = 0,5. Ange ytterligare en vinkel som har sinusvärdet 0,5. b) Utgå från cos 60° = 0,5 och bestäm ytterligare en vinkel som har cosinusvärdet 0,5.

c) sin 580° = sin 40° d) tan 40° = tan 580°

1108

Bestäm med hjälp av figuren sin v och tan v.

5 V

1103

Bestäm följande trigonometriska värden med hjälp av figuren.

4

1109

Ay

b) Bestäm tan v när du vet att cos v = 5 I 13 och vinkeln v ligger i första kvadranten.

(0,93; 0,37) X ),.

1104

a) sin 22°

b) cos22°

c) sin 202°

d) sin 338°

e) cos (-22°)

f) cosl598°

a) Använd trigonometriska ettan och bestäm det exakta värdet av sin v omcosv=3/10.

1110 Rita en enhetscirkel och förklara sambanden cos (180° - v) = -cos v och sin (180° - v) = sin v.

1111

I enhetscirkeln har punkten P koordinaterna (a, b). y

Bestäm följande utan räknare. a) sin 750° då sin 30° = 0,5

p

b) tan 20° då du vet att tan 200° :::: 0,36 c) sin 340° då du vet att sin 20° :::: 0,34 1105

V

X

En vinkel v finns i l:a kvadranten. Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan värdet av cos v då sin v = 5 I 13. Bestäm med hjälp av figuren

1106

Använd trigonometriska ettan och att sin 30° = 0,5 när du bestämmer följande.

a) sin v

a) (sin 60°)2 + (cos 60°)2

c)

b) 1 - (sin 30°) 2

d) cos (-v)

1.1 GRAFERNA TILL y=sinx OCH y=cosx

b) sin (180° - v) COS V

1112

1113

Bestäm, utan att använda räknare, vilket av talen a = sin 20°, b = cos 95° och c = sin 170° som är störst. Motivera ditt svar.

1115

I en spetsvinklig triangel ABC gäller att cosB = 0,8. B

Beskriv uttrycken cos x2 och 2 .. (cos x) . Ar det något av uttrycken som betyder samma som cos2 x?

C

A

Bestäm värdet av a) sin (A + C)

1114

b) cos 2 B + cos 2 (A + C)

Punkten P har koordinaterna (a, b). Ay

1116 P(a. b)

Ge exempel på två vinklar v, för vilka .

definitionen tan v =

X

R

a) Bestäm koordinaterna för punkterna T, R och S i bilden. b) Använd resultatet i a för att visa sambandet sin v = cos (v + 270°) och cos v = - sin (v + 270°).

\

SlnV

cosv

inte gäller.

Sinuskurvor Vi börjar med ett praktiskt exempel. Bilden visar lilla Marja som åker "pariserhjul". Antag att pariserhjulet har radien 5 meter och att hjulets medelpunkt är på samma höjd E som trädets topp. När Marj a är allra högst upp, är hon alltså 5 meter över trädtoppen. När Marja är nere på marken igen, så är hon 5 meter under trädtoppen.

Laborativ

inledning finns på s 22

y

c

5

5

y A

X

5

F

Vi kallar Marjas höjd över trädtoppen för y. Höjden y kan alltså variera mellan +5 m och -5 m. Höjden y beror på radiens vinkel x mot horisontalplanet, se bilden. Vi säger att höjden y är en funktion av vinkeln x. I nästa bild har vi ritat en graf som visar hur Marjas höjd över trädtoppen beror av vinkeln x. Grafen kallas sinus-kurva. Punkterna A-F på grafen motsvarar de punkter som är markerade på pariserhjulet. Titta nu på den blå triangeln i pariserhjulet. Här ser vi att sinx = l dvs y = 5 · sin x. 5 me er

y

J

§

B /

I

I

"\

,D

I

'

'

\

A 9

oo

\ .E

-

160°

\

\ .

X

I

'\

I

I

\ I"'-. ' I

§

1.1 GRAFERNA TILL y=sinx OCH

y=cosx

/

I

.

oo 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

sin x för 0° < x < 360°

s1nx

Låt oss nu rita grafen till y

0 0,50 0,87 1 0,87 0,50 0 -0 • 50 -0 •87 -1 -0 •87 -0 •50

Vi beräknar y = sin x för några olika vinklar x. Se värdetabellen.

=

y g

,,,..

l

~

"""

_/

- e;-5--.

/

/

~oo

3·0°

' "I'\.

X

' 9ioo 1 ')0' 1 so!

45~

1,

TRIGONOMETRI

...

KAPlliEl! .."'"'" .

.

•..:.'.

~

1.2 GRAFER OCH EKVATIONER Trigonometriska ekvationer EKVATIONEN sin x = a

Att ekvationen sin x = 0,5 har två svar känner vi till sedan tidigare. Räknaren ger oss den första roten, nämligen vinkeln x 1 = 30°. Med hjälp av enhetscirkeln, se bilden, får vi den andra roten x 2 • X

2

= 180° -

y

30° = 150° X ).

Låt oss nu lösa ekvationen sin x = 0,5 grafiskt. Vi ritar därför kurvan y = sin x och linjen y = 0,5 i samma koordinatsystem. Därefter avläser vi skärningspunkternas x-koordinater. Från bilden nedan ser vi att graferna skär varandra i fler än två punkter! Kurvan och linjen skär faktiskt varandra i oändligt många punkter. Alla dessa punkters x-koordinater är rötter till ekvationen sin x = 0,5. 'Y .

/ i

v1 - 300°

-3 30°

1

[',.,.

/

l~ ·~ -. 1!

-2

oo

1/ l /

0

"-...

V

~

30°

I

.....

y= Sin X

/ ""'"

[',.,.

.l I 1

1! ·oO

i"

I / ,)(iOO

~

"'

V

~

390°

Yl =( ,5 5~

5'

oo

/ "-... ......

I

På bilden ser vi att ekvationen har rötterna -330°, -210°, 30°, 150°, 390°, 510° ...

Hur kan vi beräkna alla dessa rötter?

1.2 GRAFER OCH EKVATIONER

;1

l"'l / I

0

Ater till enhetscirkeln!

Om vi vrider radien i enhetscirkeln ett helt varv, så återkommer vi till samma läge igen. Vinklarna är nu 30° + 360° = 390° eller 150° + 360° = 510°. Om vi vrider radien två hela varv, får vi vinklarna 30° + 2 · 360°= 750°eller 150° + 2 · 360° = 870° Om vi i stället vrider radien ett varv "bakåt", får vi 30° - 360° = - 330° eller 150° - 360° = - 210° Om vi vrider radien n hela varv, får vi vinklarna 30° + n · 360° eller 150° + n · 360°

Ekvationen sin x = 0,5 har lösningar

x = 30° + n · 360° eller X

= 180° - 30° + n · 360°

O

SATS: Lösningar till sinx = a

Om ekvationen sin x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas X= V+

n · 360°

eller X

=180° -

V+

n · 360°

Observera att n betyder alla heltal, både positiva och negativa, och att ekvationen har oändligt många lösningar. Termen n · 360° anger att perioden är 360°.

TRIGONOMETRI

EKVATIONEN cos x = a

I bilden nedan har vi ritat graferna till y = cos x och y = 0,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters x-koordinater ger oss lösningarna till ekvationen cos x = 0,5 Vi ser att lösningarna ligger symmetriskt i förhållande till y-axeln. Lösningarna är +60°, +300°, +420° osv. •

,y

1

I ~ I I I ~" .oc

/

I I/ I/

-3

-420

··300

/

I I I I I I/

""

\I -

r-

.

("'

'

I~

I

-1!lloc' / V -6 oo

V=

I +"-I I I

'

oo

1! oo

'\.

........

I I I 1/ + I I I {\ IX 0, )

/

/

'

/ i

' '

60 D

'\..

420'

300'

Hur kan vi beräkna alla dessa lösningar? Vi betraktar ekvationen cos x = 0,5 igen. Räknaren ger oss vinkeln x 1 = 60° Den andra vinkeln x 2 = -60°. Se enhetscirkeln!

y

I

Om radien i enhetscirkeln vrids n varv får vi vinklarna ±60° + n · 360°

: x, ' 'I : Xz I I

'

Ekvationen cos x = 0,5 har lösningarna X

= ± 60° + n · 360°

O

SATS: Lösningar till cosx = a

Om ekvationen cos x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas X= ±V+ n ·

1.2 GRAFER OCH EKVATI ONER

360°

X

Lös ekvationen sin x = 0,8 Svara i hela grader. Räknaren ger närmevärdet 53,1301 ... 53° + n · 360°

X:::::::

eller

180° - 53° + n · 360° 127° + n · 360°

X::::::: X :::::::

SVAR: X:::::::

53° + n . 360° eller X::::::: 127° + n. 360°

•

Lös ekvationen sin 3x = 0,5 Räknaren ger 30°. 3x = 30° + n · 360°

3x = 150° + n · 360°

eller

Nu divideras alla termer med 3. Glöm inte perioden! 10° + n · 120°

X=

eller

X

= 50° + n · 120°

Bilden visar att skärningspunkterna återkommer med perioden 120°. ' Y i/=

••

sin

X

I '\ J

I"• I

I

I I I

I I

/ '\ J

\ ~

T j

\

\

\

'

I

j

I

\

'

.-

I

\

\ / ,~

\

I

9 oo

I

SVAR: X =

I

/ '

\

I

...

Y= 0,5

\

'

1

I

X 0

\

I I I

1

' I

..,

10° + n. 120° eller X

=

50° + n. 120°

TRIGONOMETRI

Lös ekvationen sin (x - 20°) = 0,5 Räknaren ger 30°. X - 20° = 30° + n · 360° X = 30° + 20° + n · 360° X = 50° + n · 360° Den andra lösningen är x - 20° = 180° - 30° + n. 360° X = 150° + 20° + n · 360° X = 170° + n · 360° SVAR: X=

50° + n. 360° eller X

170° + n. 360°

=

Lös ekvationen sin (2x + 10°) = 0,866. Svara i hela grader. Räknaren ger 60°. 1) 2x + 10° = 60° + n · 360° 2x = 50° + n · 360° x = 250 + n . 1800 c { Alla termer har dividerats med 2!

J

2) 2x + 10° = 180° - 60° + n · 360° 2x = 110° + n · 360° X = 55° + n · 180° SVAR: X=

25° + n . 180° eller X= 55° + n. 180°

y

Lös ekvationen sin x = -0,5 Räknaren ger x = - 30°. Observera att vinkeln - 30° motsvaras av 360° - 30° = 330°. Se enhetscirkeln! X = 330° + n · 360° Den andra lösningen är X= 180° - (-30°) + n · 360° X = 210° + n · 360° H är väljer vi att ange svaret i positiva vinklar. SVAR: X =

1.2 GRAFER OCH EKVATIONER

330° + n . 360° eller X

=

210° + n. 360°

X

-- --- ---

330°

•

Lös ekvationen cos x = 0,707. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 45°. X:::::: +45° + n · 360° SVAR: X::::::

y

+45° + n · 360°

Lägg märke till att -45° motsvaras av 360° - 45° = 315°

X

>

Se enhetscirkeln. Om vi vill skriva svaret i positiva vinklar, får vi x:::::: 45° + n · 360° eller x :::::: 315° + n · 360°

Lös ekvationen cos (x - 30°) = 0,94. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 20°. X - 30° : : : +20° + n · 360° Här måste vi dela upp lösningarna. x - 30° : : : 20° + n · 360° x - 30° : : : -20° + n · 360° X :::::: 50° + n · 360° X:::::: 10° + n · 360° SVAR: X:::::;

50° + n. 360° eller X:::::; 10° + n. 360°

• •

Lös ekvationen cos (2x + 20°) = 0,5 Räknaren ger vinkeln 60°. 2x + 20° = ±60° + n · 360° Här måste vi dela upp lösningarna. 2x + 20° = 60° + n · 360° 2x + 20° = - 60° + n · 360° 2x = 40° + n · 360° 2x = -80° + n · 360° X = 20° + n · 180° X= -40° + n · 180° X = -40° + 180° + n · 180° SVAR: X=

20° + n. 180° eller X

=

140° + n. 180°

TRIGONOMETRI

...

KAPlliEl! 1 .."'"'" .

.

•..:.'.

Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader.

1201

a) sin x

= 0,174

1202

a) sin 3x = 0, 707

1203

a) sin (x - 30°) b)

1204

b) sinx = 0,643 b) sin 2x

= 0,643

b) grafiskt genom att rita y = 2 sin (4x - 30°) + 1 och y = 1,8 med grafritare.

1218 Ahmed löser en trigonometrisk

= 0,342 15°) = 0,707

a) sin (2x + 10°)

ekvation enligt nedan. Han gör dock ett fel! Finn felet och rätta till det!

= 0,61 2x + 30° = +52,4° + n · 360° 2x + 30° = 52,4° + n · 360° 2x = 22,4° + n · 360° x = 11,2° + n · 180° eller

cos (2x + 30°)

a) sin0,25x = 0,174 X

b) sin-= 0,707 3

1206

a) sinx = -0,707

b) sin2x = -0,9

1207

a) 3 sinx = 2,457

b) 2 sinx + 1 = 0

1208

a) cosx = 0,819

b) cosx = 0,342

1209 1210

a) cos2x = 0,94

Här ska du lösa ekvationen 2sin (4x - 30°) + 1 = 1,8 a) algebraiskt

= 0,342 sin (x + 10°) = 0,985

b) sin (3x -

1205

1217

X =

1219

b) cos 3x = 0,707

-11,2° + n · 180°

Ekvationen sin(ax + b) =

)3 2

har en lösning x = 10° + n · 120°. Bestäm a och b samt ekvationens övriga lösningar. Visa hur du gör.

a) cos (x + 40°) = 0,259 b) cos (x - 15°) = 0,707

1220 1211

= 0,684 b) 3 cos 2x = 0,522

1212

a) cos (x - 10°) = -0,5

a) 2 COS X

b) cos 3x = -0,259

1213 1214 1215

a) cos 3x = 1,2

X

b) cos- = 0,985 3 • s1nx a) 2 + 3 sin x = 0,5 b) - - = 0,25 2 Bestäm samtliga lösningar till ekvationerna. a) 6 sin (2x - 10°) + 1 = 3 b) 6 cos (2x - 10°) + 3 = 0

1216

Lös ekvationen 24sin (2x- 20°) + 1 = 13 utan att använda räknare.

1.2 GRAFER OCH EKVATIONER

Zara påstår att en viss ekvation har lösningen x = n · 120°, x = 180° + n · 360°. Max har fått svaret x = ±120° + n · 360°, x = n · 180° på samma ekvation. Kan de ha rätt båda två?

Ekvationer och intervall

Lös ekvationen sin x = 0,5

0° n=l => n = 2 => n = -1 =>

n=O

2.

x= X= X= X=

30° 30° + 360° = 390° 30° + 2 · 360° = 750° Utanför intervallet! 30° - 360° = -330° [ Utanför intervallet! J

x = 150° + n · 360° ger

=> X = 150° n = l => X = 150° + 360° = 510° n = -1 => X= 150° - 360° = -210°

n=O

X1 =

SVAR:

30°

150°

X2 =

X3 =

Utanför intervallet! Utanför intervallet!

390°

Vi kan visa lösningarna grafiskt. '

y = c:

1

.

/

V ,I

30

n Y

' "~

9 JO

150°

,/

\

2'

" '-...

I ..

oo 1;

_./

I

390

"~

4. 'oo ,

y =0 5

...

i

1o·

'

X

\

6: oo),

'

'

./

De skärningspunkter som finns inom intervallet 0° < x < 450° är X= 30° I

X2 =

150°

X

3

= 390°

TRIGONOMETRI

Lös ekvationen cos (2x + 10°) = 0,5

0°::::; x::::; 250°

Räknaren ger vinkeln 60°. 2x + 10° = ±60° + n · 360°

Vi delar upp lösningarna: 2x + 10° = 60° + n · 360° 2x = 50° + n · 360° X= 25° + n · 180°

2x + 10° = -60° + n · 360° 2x = - 70° + n · 360° X=

-35° + n · 180°

Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka lösningar som finns i intervallet.

n=O

X=

n=l

X=

(n = 2

X=

(n = 0

X=

n=l

X=

(n = 2

X=

SVAR: X I

= 25°

25° 25° + 180° = 205° 25° + 360° = 385°) -35°) -35° + 180° = 145° -35° + 360° = 325°)

Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader.

1221

1222

1223

a) sinx=0,174

0° =- rar x·

/

)

/

.,(,·tn'

/{

'

/ , 6 = - 3 · 1 + m ==> m = 9 SVAR:

2.1

Tangentens ekvation är y = - 3x + 9

REPETITION AV DERIVATA

För funktionenf(x) gäller attf(4) = 3 ochf'(4) = 2. Bestäm ett ungefärligt funktionsvärde då x = 4, 1

f(4) = 3 f'(4) = 2

==> ==>

y 3 2- - - - - - . L':.y=0,2 3------ ~

Vi utgår från (4, 3) Tangenten har k = 2

I

~XI= I

:

0, 1 X

4 4, 1

Titta på bilden där vi har markerat punkten (4, 3) och ritat en tangent, dvs en linje med lutningen 2. Från punkten där x = 4, går vi ett litet steg i tangentens riktning. Eftersom /),,.x är så litet, kommer tangentens y-värde då x = 4,1 ungefär att motsvara funktionens värde. Vi fårf(4,l)::::: 3 + 0,2 = 3,2

2101

Funktionenf(x) = x 2 + 5 är given.

2107

a) Ställ upp och förenkla ändringskvoten

SVAR:

j(4,1)::::: 3,2

a) f(3) = 4 ochf'(3) = -2. Bestäm ett ungefärligt värde på f(3,l) b) g(7) = -2 och g'(7) = 3. Bestäm ett ungefärligt värde på g(6,8)

f (2 + h)- f (2) h b) Beräkna gränsvärdet för kvoten då h ~ 0.

2108

c) Förklara vad du har beräknat. 2102

2103

Deriveraf(x) = x 2 + 7x med hjälp av derivatans definition.

2109

Hur lutar grafen i en punkt där derivatan är

Vi har en polynomfunktion. Bestäm tangentens ekvation då x = 2 om a) f(2)

= -3 ochf'(2) = 1

b) h(2)

=

b) ett litet positivt tal

c) noll

d) negativ

2105

h

2106

.

((4+h) 2 +3)-(4 2 +3)

h

h~O

2110

Funktionen f(x) har en tangent då x = 4. Bestäm tangentens ekvation då f (4) = 5 ochf'(4) = 3. 2

Utgå från funktionenf(x) = 3x + 2x och bestämf'(x) med hjälp av derivatans definition.

1/6

a) l 1 m - - - -

b) lim

2104 För en funktion gäller att f(l) = 2 ochf'(l) = 3. Förklara vad detta betyder.

=

Förklara vad dessa gränsvärden betyder. . (5+h) 3 -5 3 h~o

a) positiv

2 I 3 och h'(2)

a) Utgå från funktionen f(x) = 4x. Här ska du bestämma ett närmevärde tillf'(2) genom att beräkna lutningen för en sekant som går genom de punkter där x = 1,9 och x = 2,1. b) Kan du få ett ännu bättre närmevärde på f'(2)? Förklara.

2111

Visa med hjälp av derivatans definition att

f(x) =

a2

X

==> f'(x) = - 2~ X

DERIVATOR

Deriveringsregler Med hjälp av derivatans definition härledde vi i kurs 3 följande deriveringsregler.

Deriveringsregel

EXEMPEL :

y=)l,,n ==>y =n·)l,,n - 1

y =x5

y' =5x4

y =2x3

y' =2 · 3 · x2 =6x2

y = ekx ==> y' = k . ekx

y =2e4x

y' =2 . 4 . e4x =8e4x

y = f (x) + g(x) ==> y' = f'(x) + g'(x)

y = x3 + e2x

y' = 3x2 + 2e2x

I

1

y=-=X

y = - 1· X- 2 = - - 1

-1

I

X2

X

1 y- O 5 · X - 05' -0,5 -~= I

- '

- ..Jx

-2J"x

Derivera följande funktioner. SVAR:

y' = 4x3 + 24x2 - 7

SVAR:

f'(x) =ex+ 2e2x+ 4eo.sx

c) y = 700 · l,08x

SVAR:

y' = 700 · ln 1,08 · l,08x

d) f(x)=6Fx = 6·x 0' 5

SVAR:

'( ) X ! = 3 ·X- '

a) y = x

2.1

4

REPETITION AV DERIVATA

+ 8x3-

7x

05

= 3 1

vX

4

Bestäm p'( -2 ) doa p (x ) =

+ 8x

X

X

3

Vi skriver funktionen som två bråk och förkortar. x 4 8x 8 _2 p(x) =-+ = x+- = x+8·x x 3 x3 x2

p' (x) = 1 + (-2) · 8 · X -3 = 1 - 16 · X -3 = 1- -16 x3 '( ) 16 P -2 =1- (- 2)3 =1 + 2=3

SVAR:

3

En aktiefond minskar i värde (kr) enligt y = 140 000 · 0,75x där x är tiden i år efter år 2010. Bestäm och tolka y'(3).

y' = 140 000 · ln 0,75 · 0,75x 3 y'(3) = 140 000 · ln 0,75 · 0,75 "" -16 991 Värdeminskningen år 2013 är cirka 17 000 kr/år

SVAR:

Bestäm derivatan till följande funktioner. 5

2112

a) y = x + 2x3

b) y

= 12x -

2113

a) y = ex+ e3x

b) y

=X-

2114

a) y = X+ e-5x

b) y

= 32e x+ e

2115

Lös ekvationen y' = 0 då a) y = x

3

12x

-

5

= l,4x

2120

a) y

2121

1 a) y =-3x 3

b) Y = 300 · 0,8x 3 b) y = 5x 2

4ex 05 '

2

2

b) y = lOx - e x

2122

För vilka x är derivatan inte definierad i uppgift 212la) ?

2123

Derivera a)

y =x-2fx

b)

2Fx y=9

Derivera

2116 2117 2118 2119

a) y

= x(5 -

a) y

x)

= 0,3x

10

+ 25

b) y b) y

= (x + 7)(x =x

x 2 +x6 a)

y=

2 a) y=X

2

b) y=

2

(x - x

3

7 b) y = - X

2124

För vilka x är derivatan inte definierad i uppgift 2123a) ?

2125

Lös ekvationen dy = 0 då dx

)

3x 4 - x 3 3

7)

= x 3 - l,5x2 2 y = (5x - 1)

a) y b)

18x

DERIVATOR

Bestäm f' (1) då

2126

2

a)

f(x)= 3x-2 7x

b)

f(x)=3x+x

2130

Lös ekvationen y'

2131

Kurvan y = har en tangent i den punkt där x = 4. I vilken punkt skär tangenten x-axeln?

2132

Bestäm konstanten p så att g' (4) = 1 då

2127 Funktionen g(x) = 8000 · l,045x beskriver hur ett kapital ökar med tiden x år. Bestäm g'(lO) och förklara vad du har beräknat. I vilken punkt på kurvan y = x 2 - 4x är tangenten parallell med

2128

a) linjen y

=

6x + 1

b) x-axeln?

2129

Antag att den heta drycken i en kopp 1 svalnar enligt y = 20 + 78 · 0,88 där y är temperaturen i grader och t = tiden i minuter.

100 då y

=

340 · 1,08x

sFx

g(x)=

2133

=

1

px

+--./x

Du vet att en tredjegradsfunktion y = f(x) har två extrempunkter, dels för x = 1 och dels för x = 5 . Vilka x-värden kan ge funktionens största värde i intervallet O < x < 3? Motivera.

a) Bestäm temperaturen efter 5 minuter. b) Är det sant att temperaturen minskar med nästan 4 grader/minut efter 10 minuter?

AREA UNDER TANGENT 5

Bilden visar grafen till funktionen

f

y

1 (x) = - samt

1 f1(x) = -

X

X

en tangent i punkten (1, 1). Tangenten och de båda koordinataxlarna bildar en triangel. 1 Bestäm tangentens ekvation samt skärningspunkterna med axlarna. 2 Bestäm triangelns area.

X

-1

1

6

-2

3 Upprepa beräkningarna i 1 och 2, då tangeringspunkten har a)

X =

0,5

b)

X =

2

c)

X =

3

4 Formulera en slutsats om triangelns area.

5 Bevisa din slutsats genom att beräkna arean för det generella fallet då x = a. 6 Utred hur arean av motsvarande triangel blir, för funktionen

f (x) = !:.. . X

2.1

REPETITION AV DERIVATA

Mer om derivatan Bilden visar grafen till funktionen 3 2 y = x - 6x + 9x + 2.

y

f

8 och D

y'

=

0

y har en maximipunkt i 8 y har en minimipunkt i A

A och E

y'

>

0

funktionen växer

c

y'


0 dvs positiv Om både y' = 0 och y'' = 0 måste vi teckenstudera y'

Om vi deriverar andraderivatan får vi tredjederivatanf'''(x), sedan fjärdederivatan osv. Dessa derivator kallas derivator av högre ordning. Då förstaderivatan skrivs dy skrivs andraderivatan dx

Använd andraderivatan och avgör om funktionen y = x 4 har en maximipunkt då x = 0.

y = x4 -

-

8x3

3

8x y' = 4x3 - I 6x

= 4x(x2 - 4) = 4x(x + 2)(x y' = 0 för x = 0, x = 2 eller x = - 2.

2)

Alltså har funktionen en extrempunkt för just x = 0. Nu ska vi använda andraderivatan och undersöka om det verkligen är en maximipunkt.

y'' = 12x2 - 16 x = 0 ger y'' = -16 dvs< 0 SVAR:

~

Maximipunkt

Ja, det är en maximipunkt för x = 0.

DERIVATOR

Bestäm det största och det minsta värde som funktionen f(x) = x 2 - 2x + 2 antar i intervallet O < x < 3.

f'(x) = 2x - 2 f'(x) = 0 för x

=

1

Nu undersöker vi funktionens värde för x = 1 och för x = 0 och x = 3 (intervallets gränser) .

x = 0 ger f(O) = 02 - 2 · 0 + 2 = 2 2 x = 1 ger f(l) = 1 - 2 · 1 + 2 = 1 2 x = 3 ger f(3) = 3 - 2 · 3 + 2 = 5 Vi ser att det största värdet är 5 och det minsta värdet är 1. SVAR:

Största värdet är 5. Minsta värdet är 1. Bilden visar funktionsgrafen.

4

3

2 X

1

2134

2

3

a) f(x) = 2x3 + 7x2 - 2x + 1

Bilden visar funktionsgrafen y = f(x). I vilka av punkterna A- I gäller att

b) h(t) = 3e2 t

a) y' = 0

Bestäm andraderivatan till

-

4f

2136

b) y' < 0 2135

Bestäm eventuella maximi- och minimipunkter till följande funktioner. a) y = x

2

-

c) y' > O? y

G

2x + 1

b) y = 4x - 2 - x 2

c) y = 12x - x 3 d) y = x

3

-

>

X

2

6x + 9x

c

2.1

REPETITION AV DERIVATA

2137

Sant eller falskt? a) f'(a) = 0 ~ f(x) har en maximi- eller minimipunkt för x = a

2142 Beskriv hur du kan bestämma vilken typ av extrempunkter som 3 4 fu11ktionerna f(x) = x och g(x) = x har.

b) f'(a) = 0 ochf''(a) > 0 ~ f(x) har en maximipunkt för x = a c) f'(a) < 0 ~ f(x) är avtagande för x = a 2138

Bestäm största och minsta värde till följande funktioner i de angivna intervallen: a) b)

f (x) = 12 - 3x f (x) = x + 2

x2

3

2143

Vad blir tredjederivatan då du deriverar ett andragradspolynom?

2144

Titta på grafen till funktionen y.

y

-2 < x < 3

-1 < x < 2

X

2

2139

Vi utgår från tre funktioner A:y = 2x- x

2

Vilket av alternativen A, B och C visar derivatans graf, dvs y'?

B: y = 3x - x 3 C: y = l ,5X 4 - 3X 2

A

A y'

För vilka av dessa funktioner gäller att

a)

dy = 0 då X = 1? dx

X

),,.

2 A

b) funktionen har en maximipunkt då X = l?

B

Ay'

c) funktionen är växande då x = 2? X

),,.

2140

Utgå från funktionenf(x) = 2x + e-x

2 B

a) Beräknaf'(O) b) Beräkna f''(O)

c

c) Lös ekvationen f' (x) = 0

Ay'

d) Har fu11ktionen f (x) en maximipunkt?

X

),,.

I

2

2141

För en funktion gäller följande:

c

f(2) = 3,f'(2) = O,f''(2) < 0 och f(3) = l,f'(3) = O,f"(3) = 0 Förklara om funktionen har

2145

Här gäller att g'(x) = 2e-x och att g(O) = -1 Visa hur du löser ekvationen g(x) = 0.

a) en maximipunkt i (2, 3) b) en minimipunkt i (3, 1).

DERIVATOR

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

Derivatan av y =sin x och y =cos x I det här avsnittet ska vi bestämma derivatan till y

=sin x och y =cos x.

• ••

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• • • •• •••• •• • • • • • •• •• • • • • • • • • • •

•

Vi börjar med att undersöka hur grafen till y = sin x lutar i olika punkter. Titta på grafen till y = sin x, där x anges i radianer. I de markerade punkterna A-G har vi ritat tangenter. y y = s1nx 1

c k = -1

A

k

=

1

X

>

I

1

F

-1

k=O

Tabellen visar de olika tangenternas k-värden. Dessa k-värden anger också derivatans värde i punkterna. Punkt k-värde

=y'

A 1

B 0,5

c

D

E

F

0

- 0•5

-1

0

G 1

Med hjälp av tabellens värden kan vi nu "skissa'' derivata-grafen. Se nästa bild. A y'

1 A

G X

>

-1 -

E

Från bilden av derivatagrafen drar vi slutsatsen att y = sin x har derivatan y' = cos x. Att detta stämmer ska vi strax visa!

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

Den här bilden visar grafen till y = cos x och dess derivatagraf (den blå kurvan). Vi ser att derivatagrafen till y = cos x är en "upp-och-nedvänd sinuskurva': dvs y = - sin x. Detta betyder att y = cos x har derivatan y' = -sin x. Då x m äts i radianer gäller att:

y = sin x har derivatan y' = cos x y = cos x har derivatan y' = -sin x

BEVIS AV DERIVATAN TILL f(x) = sin x

. Definitionen av derivata.n ger

f

,

. sin(x+h) - sin(x) (x) = l r m - - - - - - h-40 h

Vi utnyttjar nu sambandet sin(a + b) = sina· cos b + cos a · sin b

f'(x) = lim sinxcosh+ cosxsinh-sin x

h

h-40

f, ( x) = lim sin x cos h - sin x + cos x sin h h

h -40

!

h

. sinx(cosh-1) '( x )= 11m sinh +cosx· - -

h

h-40

Vi undersöker nu uttrycken

h

cosh- 1

h

h (radianer)

cos h-1

sin h

h

h

0,1 0,01 0,000 1

- 0' 05 - 5 . 1o-3 0

0,998 .. .

och

sinh

h

då h ~ 0

0.999 .. . 1

• cosh-1 sinh Fran tabellen ser vi att lim = 0 och lim =1 h-40 h h-40 h Detta ger . cosh - 1 sinh f'(x) = lim s1n x · + cosx ·- h-40 h h = sin x · 0 + cos x · 1 = cos x

VSB

Observera att deriveringsregeln förutsätter att h mäts i radianer!

DERIVATOR

Derivera följande funktioner. a) y = sinx + cosx

yI =

b) y = 3 sinx - 2cosx

y' = 3 cos x + 2 sin x

c) y=

• x-s1nx

2

y

I

=

'

COSX - SlnX

1 - cosx 2

Beräkna f'(O) då f(x) = 4 sin x + 2 cos x

f' (x) = 4 cos x - 2 sin x f 0) = 4 • 1 - 2 • 0 = 4 I (

SVAR:

f'(O) = 4

Till kurvan f (x) = 5 sin x - 2 cos x dras en tangent. Tangeringspunktens x-koordinat är 0. Bestäm tangentens ekvation.

1 Vi bestämmer tangeringspunktens y-koordinat. f(O)

=

SsinO - 2cos0 = 0 - 2 = - 2

Tangeringspunkten har koordinaterna (0, -2).

2 Vi deriverar funktionen. f'(x)

=

Scosx + 2sinx

Tangentens k-värde = f'(O)

f' (0) = 5 cos O+ 2 sin O= 5 + 0 = 5 Nu sätter vi in k = 5 och tangeringspunkten (0, - 2) i formeln y=kx+m Vi får då y = Sx - 2 SVAR:

2.2

Tangentens ekvation är y = Sx - 2

FLER DERIVERINGSREGLER

Derivera följande funktioner. 2201

2209

a) y = sinx - cosx b) y = 2 sin x + 3 cos x

2202

2203

= x + 0,2sinx y = 5 cos x - sin x 2

= 2 sin x -

7 cos x

2211

Till kurvan g(x) = 2 sin x + cos x dras en tangent som tangerar kurvan i punkten (0, 1). Bestäm tangentens ekvation.

2212

Bestäm ekvationen för tangenten till y = 2 - cos x i den punkt där x = n.

2213

Vi har funktionen y = 3x - 6 cos x. Lös ekvationen y' = 0 för O < x < 6. Svara med två decimaler.

2214

Grafen till funktionen f(x) = x + k sin x ser du här. Visa hur du bestämmer k och a.

.

= SlnX + COSX y = - 3 cos x - 5 sin x

a) y b)

2205

1-cosx

a) y= b) y

2204

2210 Undersök hur lutningen i origo ändras för funktionen f (x) = A sin x då du förändrar A. Formulera en slutsats.

a) y b)

Bestäm g'(n) då g(x) är a) 3 sin x

b) 2 cos x + x

c) cosx - sinx 2206

Bestämf'(O) dåf(x) är a) 6cosx . s1nx c) 3

2207

Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan j(x) = 4 cos x i den punkt där kurvan skär y-axeln.

b) 2sinx- cosx

y

f(x) = 3 sinx - 4 cosx. Bestäm a) f'(x) c)

f'

X

b) f'(O)

1C

2rr 3

a

2

2208

p(t) = t3 + t - 4 cos t. Bestäm a) p(O) b) p'(O) c) p'(n)

- - - ..

TANKENÖT 6 Visa utan att

använda räknare att följande gäller:

=

555552_ 333332 444442

DERIVATOR

Sammansatta funktioner Med en sammansatt funktion menas t ex att y beror av u, som i sin tur beror av x. Ett praktiskt exempel: den tid det tar att koka ett ägg beror på vattentemperaturen, som i sin tur beror på spisplattans effekt. En sammansatt funktion kant ex vara y = sin(3x + 1). Funktionen kan uppfattas som y = sin u där u = 3x + 1 Här är y = sin u den yttre funktionen och u = 3x + 1 är den inre funktionen. Tabellen visar ytterligare några exempel på sammansatta funktioner. Sammansatt funktion Yttre funktion y =e3x - 5

y = sin(1 - 2x) y = (x2 + 8)4

Inre funktion

.

u = 3x - 5 u = 1 - 2x

y= u4

u =x2 + 8

y=

Sin U

Allmänt kan vi skriva en sammansatt funktion som y = f (u) där den inre funktionen är u = g(x). Funktionen kan också skrivas y = J(g(x)). Nu ska vi härleda derivatan y' till den sammansatta funktionen y = f(g(x)). Då LlY, LlU och Llx är "mycket små men ej noll" gäller följande: Den yttre funktionen y' : : : LlY LlU

dvs Lly : : : y' · Llu

LlU Den inre funk tionen u : : : LlX

dvs Llu : : : u' · Llx

I

Vi tecknar ett uttryck för derivatan: f'(x) : : : Lly LlX

~y - y' -~u Vi sätter in uttrycket för ily och får då att ~

Nu sätter vi in uttrycket för Llu och får

~y ~X

-

~

y' ·u' ·~ ~

= y' · u'

Derivatan av den sammansatta funktionen får vi således genom att bestämma produkten av vardera funktionens derivata!

O

SATS : Derivatan av en sammansatt funktion

y =f(u) där u =g(x) ==> y' =f'(u) · g'(x) Ofta kallas g'(x) den inre derivatan.

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

Deriveringsregeln kallas kedjeregeln.

dy . du du dx

Kedjeregeln skrivs även dy

dx

I exemplen nedan har den inre funktionen och den inre derivatan rödmarkerats.

Derivera funktionerna 2

a) y = (x + 5)

3

Funktionen kan uppfattas som y = u 3 där u = x 2 + 5.

y' = 3(x2 + 5)2 • 2x

( Den inre derivatan=2x.

J

Vi förenklar och får då y' = 6x(x2 + 5)2 SVAR:

y' = 6x(x2 + 5)2

1 b) y = - 3x-7 Vi skriver y =

1

3x-7

= (3x - 7)-

1

1

Funktionen kan uppfattas som y = u- där u = 3x - 7.

y'

=

2

-1 · (3x - 7)-

y =-

3 ( Den inre derivatan = 3.

J

3

I

SVAR:

•

(3x - 7) 2

Derivera funktionerna. a) y = sin Sx y' = cos 5x · 5 SVAR:

y'

=

Den inre derivatan är 5.

5 · COS 5x

b) y=e8x+2

y = e8x+ 2 . 8 I

SVAR:

Den inre derivatan är 8.

y' = 8e8x+z

DERIVATOR

Derivera funktionerna. a) y = (sin x)4

y' = 4(sin x)3 • cos x SVAR:

Den inre derivatan = cos x.

y' = 4(sin x)3 • cos X

Lägg märke till att y = (sin x) 4 även kan skrivas y = sin4 x. b) y = sin(x 4)

y' = cos(x4 ) • 4x3 SVAR:

y' = 4x

3

·

[ Den inre derivatan = 4x3.

cos(x

4

)

)

4

4

Det är viktigt att skilja på funktionerna sin (x ) och sin x!

Bestäm derivatan till y = .,j3 + 4x

y=~3 +4x =(3+4x )0 •5 2

5

y'=0,5(3+4x)-o' · 4 =

(3+4x)05·

2 y = -;:=== ~3+4x I

SVAR:

Derivera följande funktioner.

2215

c) y=e

2216

b) y = e2x -i

a) y = 5e4x

2218

x2

a) y = sin4x •

b) y = cos 3x

b) genom att utveckla parentesen och sedan derivera.

X

a) y = cos2 c) y = COS 7TX

2220

a) y

= 2cos6x

b)y=(x2 +x) 3

b) y = sin(2x + n)

b) y

= (2x + x2 ) 4

c) y = x - 3 cos2x

Derivera f(x) = (2x + 3) 2 a) som en sammansatt funktion

a) y = (3x - 4) 2 c) y = e2-x

2219

X

c) y = sm3

2217

Derivera följande funktioner.

2221

Under ett dygn ändrades temperaturen enligt y(t) = 12 + 5 sin 0,26t där t är antal timmar efter kl. 12. a) Bestän1 y' (t) b) Beräkna y' (8) c) Förklara vad y'(8) betyder.

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

2229

Derivera följande funktioner.

2222 a) y= c)

2223

y=

1

1 b) y= 3x-l

x+l

c)

x 2 +l

= .J4x+5 y = -.J1-x 2

2 y = e 2x3x 2224 a) c) y = (cos x) 4

2225

f (t) =

1

a) y

a) y = sin(x2)

b) y

= -J x

2

+1

a) Vilken temperatur hade maten när den placerades i kylrummet?

b) y = (sinx) 3

b) Efter hur lång tid är matens temperatur -7,5 °C? b) y = cos(2x3 )

c) Med vilken hastighet mätt i °C/h avtar temperaturen 6 timmar efter det att maten placerades i kylrummet?

2230

2226 En elev deriverar tre sammansatta funktioner enligt nedan. Eleven har slarvat och missat att skriva allt. Vad ska skrivas istället för frågetecknet? a) h(x) = sin 2x ~ h'(x) = 3(sin 2x) 3

2

•

2227

? )7 ~ h'(x)

=

•.

Bestäm en ekvation för tangenten till > kurvan y = e x-+4 x i punkten (O, 1).

2228 I intervallet O< x < n finns det två tangenter till kurvan y = -cos 2x som är parallella med linjen x - y = 4. Bestäm tangeringspunkternas x-koordinater.

I

•

7r

Använd sambanden cos x = sin --x

?

7( ? )6 • 3x2

Deriveringsregeln för y = sin x bevisades tidigare i kapitlet. Visa nu att derivatan av y = cosx ar y = -s1nx. 2

7r

b) h(x) =? ~ h'(x) = 2(x3 + 2x2 ) · (3x2 + 4x) = (

750 - 20 t +2t+25 2

där f (t) mäts i °C och t är tiden i timmar efter det att maten placerades i kylrummet.

c) y= es,nx

c) h(x)

Vid en kylanläggning för nedfrysning av mat kan man beräkna matens temperatur f(t) med sambandet

.

och cos --x = smx . 2

2231

Visa hur du löser följande NP-uppgift. Funktionerna f och g är deriverbara. Man bildar en ny funktion h(x) = (f(x)) 2 + (g(x)) 2• För funktionerna f och g gäller • f(O) = 2 och g(O) = 1 • f'(x) = g(x) och g'(x) = -f(x). Bestäm h'(x) och använd resultatet för att visa att h(x) = 5 för alla x.

••

TANKENOT7 Finn 7 positiva heltal

som alla är faktorer i talens s umma.

DERIVATOR

Derivatan av logaritmfunktioner Bilden visar grafen till f (x) = ln x samt tangenterna i de punkter där x = 2 och x = 4. Eftersom en tangents k-värde = derivatan kan vi avläsa ungefärliga värden på derivatan från bilden. ,

ta ge ten där ,_ ' -

~

1I

/

...

V

,,, V

V

' y

'/

r

V

.....-

,,, / -/ -

I

.....-

,,,

-V

/

.,,

.

,,,

/ . - --------------

/ : k

V

V

~-

I

2

.

tan gen ,en I är> - 4 I I 1 k == I I ....I I. --__ ..,_..,_..,_..,_

I y= ,nx

l2t 1

X ' r

1

1 :;

11

x =2

21

x=4

1 Tangenten har k ""' -

1

Tangenten har k ""' -

4

2

1 Detta innebär att f'(4) ""' -

1

Detta innebär att f'(2) ""' -

2

4

Det verkar som omf'(x) ""' _!_ vilket vi bevisar nedan. X

y = ln x kan skrivas e>' = x (definitionen av naturliga logaritmer)

BEVIS:

Nu deriverar vi båda leden i e>' = x och får

y' · e>' = 1

Lägg märke till att y' är inre derivata.

Eftersom e>' = x kan vi skriva y·x= 1 =}y= -1 x I

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

I

VSB

O

SATS: Derivatan av f (x)

f(x) = ln x har derivatan f'(x) =

= ln x _! X

Vad blir derivatan av y = lg x? Nu vill vi skriva y = lg x som en ln x-funktion. Vi vet att x kan skrivas x = 1olgx När vi logaritmerar får vi lnx = ln 101gx = lg x · ln 10 Vi löser ut lg x och får lg x = ln x lglO Nu vet vi alltså att y = lgx = lnx lnlO

1

--·lnx lnlO

. h C• 1 1 1 V1• der1verar oc 1ar y = lnlO x - x · lnlO I

O

SATS: Derivatan av f(x)

f(x) = lg x har derivatan f'(x)

= lgx 1

= X

·ln10

~

a) y = 2 · ln x har y' = 2 · .!_ = X

X

b) y = Bx - lnx h ar y , = 8 - - 1 5 Sx c) y = ln(4x)

Lägg märke till den inre funktionen 4x som har derivatan 4

1 y = ·4 4x I

Vi förenklar och får y' = I

SVAR:

4

4X

1

-

1 X

y = -

X

d) y = lg(6x) ~ y' =

1

6xlnl0

.6

SVAR:

1

y'=-xlnl0

DERIVATOR

Logaritmlagarna 1 2

ln(A · 8) =ln A + ln B A ln - = ln A - ln B B

3

ln Ab = b · ln A

Derivera

a) y = ln(x2)

Vi löser på två olika sätt: a) Kedjeregeln ger y' =

~ · 2x = ~ X

X

Om vi innan derivering använder en logaritmlag får vi:

y = 1nx2 = 2 1nx==> y = -2 x I

b) Kedjeregeln ger y' = ~· e x = 1

ex

Om vi istället först använder logaritmlagar får vi:

y = ln(ex) = X ln e = X y' = 1 Svaret blir naturligtvis samma! Välj den metod som d u tycker är enklast.

Bestäm derivatan till följan de funktioner.

2232

a) y = 5x - ln x

2235

b) y

b) y = lnx - x 2

2233

a) y=

c) y

=

2

2236 -8x

=

3 - lg2x

c) y = lnx 3

c) y = 5 lnx lnx

a) y = S lgx

2

b) y = 4x + 4 ln x

Bestäm f'(l) för följande funktioner a) f(x) = 3x2

-

4x + lnx

b) J(x) = 6lnx - 4x - x 4

ln x + ln 1

c) f(x) = l Oln x - 10

2234

a) y = ln(x + 1)

b) y = ln(2x)

c) y

=

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

2ln 3x

d) j (X) =

ln x

4

- X3 - 2 ln X

2237

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = x 2 - 3 ln x i den punkt på kurvan där x = 1.

2244

Brandkåren använder en speciell ugn vid tester. Temperaturen T(x) (°C) i en sådan ugn kan beskrivas med sambandet

T(x) = 20 + 150 · ln(8x + 1) 2238

Bestäm exakt värde påg'(2) då a) g(x) = 3 lg x

2239

där x mäts i minuter efter det att ugnen startats.

b) g(x) = lg(3x)

a) Efter hur lång tid är ugnens temperatur 500 °C?

Funktionen y = lg x har en tangent då x = 9 Bestäm tangentens k-värde exakt.

b) Bestäm och tolka T'(lO) 2240

Lös ekvationenf'(x) = 0 då f(x) = 9lnx + 0,5x2 - lOx.

2241

Funktioneng(x) = lnx har en tangent i den punkt där x = e. Visa att tangenten gar genom origo. 0

•

2245

Visa att derivatan av y = ln( Cekx) alltid är en konstant.

2246

Den tid y (sekunder) som krävs för att koka ett kylskåpskallt ägg, kan beräknas med

y 2242 Vilket fel har gjorts i de två deriveringarna nedan? Visa också de rätta svaren.

a) f(x)=Ine

2

x=>

f'(x)=

2243

100- x 192

där x är temperaturen i ägg-gulan efter kokning och M är äggets massa i gram. I ett löskokt ägg har ägg-gulan temperaturen 45 °C.

!x

e

b) f(x) = ln(cos 2x) => f'(x) =

= -16. M2'3 ln

1 cos2x

Bestäm derivatan till y = ln kx genom att a) använda kedjeregeln b) först använda logaritmlagen ln A · B = ln A + In B.

a) Bestäm koktiden för ett ägg som väger 65 g och ska vara löskokt. b) Bestäm äggulans temperatur hos ett ägg som kokats 240 sekunder och väger 65 g. c) Bestäm y'(lOO) för ägget i b och tolka resultatet. (Källa: Boiling an Egg, http://newton.ex.ac.uk/teaching/COHW/eggl)

Produktregeln - hitta ett mönster Hur blir derivatan när vi har en produkt av två funktioner, t ex y = x3 • sin x? Funktionen kan skrivas y =J(x) · g(x) där J(x)

= x3 och g(x) = sin x.

Om vi låter en symbolhanterande räknare bestämma derivatan till y = x3 · sin x kan räknarfönstret visa enligt nedan. 1.1 ~

*Osparade

~(x 3 · sin(x)) dx

Ci

T

x3-cos(x) + 3-x2-sin(x)

,.fabellen nedan visar ytterligare några derivator.

~ (x~ ·sin(x)) dx ·

x4 -cos(x) + 4-x3-sin(x)

!

xS·cos(x) + 5-x4-sin(x)

5

(x ·sin(x))

-

El

2-x7 -cos(2·x) + 7-x6 ·sin(2·x)

! (x6 ·

cos(x))

~ (ln (x)· sin(x))

6-x5 -cos(x) - x6 -sin(x) ln(x)·cos(x) + sin(x)

dx

X

1 Prova med ytterligare några produkter, om du har en symbolhanterande räknare/ dator. 2 Kan du se mönstret i tabellen? Försök att formulera en regel för y' då y

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

= f(x) · g(x)

Derivatan av en produkt I det här avsnittet ska derivera funktioner av typen y = x · In x. Funktionen y är en produkt av funktionerna f (x) = x och g(x) = In x. Funktionen kan skrivas y = f(x) · g(x). Vilken är derivatan till y = j(x) · g(x) ? Vi tänker oss en rektangel med sidornaf(x) och g(x), där dessa sidor ändras med tiden x.

f(x)

g(x)

!Jf . !Jg

Arean y av rektangeln är y = f(x) · g(x)

!Jf

På tiden fix ändras rektangelns sidor med sträckorna tig och tif

!Jf. g

f(x)

!Jg

g(x)

De blå areorna är areaförändringen under tiden fix. Den genomsnittliga areaförändringen per tidsenhet, !iy , blir då: fix

~y = ~f · g(x)+ tig· f(x)+ ~f ·tig= tif. g(x)+ tig. f(x)+ ~f · ~g ~X

fix

~X

Om vi låter fix~ 0 så kommer !iy fix

~X

~X

~ y'(x)

~{ tig ~{. tig · f(x)+-'J_ _ = f'(x)· g(x)+ g'(x)· f(x) y'(x) = lim ~y = lim _'J · g(x)+ Ax~ O

fix

.6.x~ O

fix

'-v-'

~f'

O

fix

~X

-->g'

~o

'-v-'

SATS: Derivatan av en produkt

y = f(x) · g(x) y' = f(x) · g'(x) + g(x) · f '(x)

DERIVATOR

Derivera funktionerna. a) y = x · lnx

y' = x · _!. + ln x · 1 = 1 + In x X

b) y =

X

2

COS X

•

•) y I = X2 · ( - Sill X + COS X · 2X = 2 X

' X · COS X - X 2 · Slll

c) y = e-x · sin X

y'

=

e-x · cosx + sinx · (- e-.x)

=

e-x · (cosx - sinx)

Här har derivatan faktoriserats.

Lös ekvationenf'(x) = 0 dåf(x) = 2x · e-4x

f'(x) = 2x · (- 4e-4x) + e- 4x· 2 = e- 4x • ( - 8x + 2) f'(x) = 0 endast då - 8x + 2 = 0 eftersom e- 4x > O - 8x + 2 = 0 X=

0,25

SVAR: X=

0,25

Derivera följande funktioner.

2247

a) y =X· ex

Bestäm f' (0) till följ ande funktioner.

2251

b) y = X 2 · e

-X

2

.

2248 a ) y = x · s1nx b) y

2249

=

b) y =

b) f(x) = ln(8 + x) · cosx

2252

X

e · cosx

a) y =X· 2x X

3

.

· SlllX

a) f(x) = e3x · sin x

a) f(x) = 2x · e3 x b) f(x) = sin 5x · cos 4x

2253

Bestäm y' och faktorisera sedan derivatan. a) y = sin 3x · cos 3x

2250

a) y = lnx · sinx b) y = e3x . cos 4x

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

b) y = ln(4x3) • e5x

2254

2255

2

Bestäm derivatan till f(x) = sin x

2259

Funktionen f(x) = (x + 1) · ex är given.

a) med produktregeln

a) Visa att f'(x) = (x + 2) · ex

b) med kedjeregeln.

b) Bestäm tangentens ekvation i den punkt där x = 0.

Derivera y = x(x2

-

2x + 3)

a) genom att först multiplicera in x och sedan derivera

2260

För vilka x-värden gäller att tangenten till kurvan y = x 3 • e-2x är parallell med x-axeln?

2261

Antag att du vet följande om de två funktionerna f och g.

b) genom att använda produktregeln.

2256 Du ska derivera funktionen f(x).

Ge exempel på en funktionf(x) där du

f(2) = 3,/'(2) = 4, g(2) = 2 och g'(2) = 7. Bestäm y'(2) då

a) kan använda produktregeln men inte behöver det.

a) y(x) = f (x) + g(x)

b) måste använda produktregeln.

b) y(x)

=

f(x) · g(x)

c) y(x) = f (g(x)) 2257

2258

För vilka x -värden är y' = 0 då y = sin x · cos x?

2262

a) Derivera funktionen y = x 2 • e3x · ln x b) Formulera en deriveringsregel för funktionen y = f(x) · g(x) · h(x).

Visa att derivatan av y = C · f(x) alltid har derivatan y' = C · f'(x)

DERIVATOR

Derivatan av en kvot kv . V1. s k a nu d erivera oten y =

f ((X)) gx

Kvoten kan skrivas som produkten y = f(x) · g- 1(x) och vi får derivatan:

f (X) ' g' (X) +f -(X) 1

2

I

y = f(x) · (-1) · g- (x) · g'(x) + f (x) · g- (x) = 1

1

g 2 (x)

g(x)

Vi förlänger och sätter på samma bråkstreck. ,

f'(x)·g(x)- j'(x)·g'(x) y = g2(x)

Q

SATS : Derivatan av en kvot

y(x)= f(x) g(x)

~

'( ) f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)

y X = ------

(g(x))2

Derivera funktionerna . •

sinx a) y = X I

y=

cos x · x - sin x · 1

x2

-

x · cos x - sin x

e2 x

b) y = cosx ,

y =

2 e 2x · cos x -

e

2x

( • -

• sin x)

2

-

e

2x

·

(2 cos x + sin · x)

cos2 x

cos x

Derivera och förenkla sedan derivatan. 2263

a) y=

X

x-1

b)

=2-x y 2+x

2x-3 c) y = - 4-Sx

2.2

FLER DERIVERINGSREGLER

2264

a) y=

x+2

x-4 .

c) y=

smx

x2

ex

b) y=

cosx

2265

b) y=

a)

lnx

2270

X

cosx . n y= i intervallet O < x < - , som sinx 2 är parallell med linjen y + 4x - 13 = 0.

e 4x+7

c) y = . SlnX

2266

a) y = .

Bestäm tangeringspunktens x-koordinat.

1

b)

SlnX

c) y=

2267

Visa hur du deriverar y =

x 2 -3x X

a) genom att först förenkla den rationella funktionen och sedan derivera

X

Bestämf'(O) dåf(x) är

cosx x+l

2269

ex

2271

b)

2268

y=

1

X

ln

Det finns en tangent till kurvan

c)

b) genom att använda deriveringsregeln för en kvot.

1

cosx

do lnx Lös ekvationen y = 0 a y = 2 X och x > 0.

2x

2272

Funktionenf(x) = e

g(x)

I

Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan x+l a) y = - x i punkten (0, 1) e

lnx d o b) y = a X= 1. x+l

är given.

Vi vet attg(2) = -1 ochg'(2) = 3. Bestäm f'(2).

2273 Visa hur du kan bestämma det största värdet för funktionen

f(x) = 5x utan att använd a räknaren. ex

TANKENÖT9 Bilden visar tre cirklar, alla med radien R cm. Hur stor area har det blå området? Svara exakt.

DERIVATOR

Ekvationer och derivator Lös ekvationen 0,2x4 + x - 5 = 0. Svara med fyra värdesiffror. Först ritar vi grafen till y = 0,2x4 + x - 5 och ser att det finns två nollställen. Se bilden. Ekvationen 0,2x4 + x - 5 = 0 har alltså två rötter. Med startvärdet x = 1 ger räknaren roten x 1 :::::: 1,972 Startvärdet x = -3 ger roten x 2 :::::: - 2,472 Använd räknare/dator och kontrollera att du får samma svar!

1 Lös följande ekvationer. a) In x + x -2 = 0

b) x - x 3 - 7 = 0

2 Bestäm samtliga rötter till ekvationen x2 • e- 0•2x = 8.

3 Rita grafen till y =

8e-O,lx ·

sin X i intervallet O "(O) = 6 = 6 y (x 2 + 1) 2 y 1 11

I punkten (0, O) är y'= 0 och y'' > 0 vilket betyder att funktionen har en minimipunkt. VSV

2314

Bestäm utan räknare g'(l) då g(x) = ln(2x + 5)

2315

Rita de två funktionernaf(x) = 2lnx och g(x) = ln(x2) på din räknare. Förklara resultatet med logaritmlagarna.

2.3

KURVANALYS OCH PROBLEMLOSNING

2316

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = ln 0,Sx i den punkt på kurvan där X = 2.

2317

Visa utan räknare att f(x) = 6lnx- x 2 + 4x har en maximipunkt då x = 3.

2318 Rita grafen tillf(x) = lnx på din räknare. a) Undersök vad som händer med grafens lutning för stora värden pa X.

2324

Det finns två tangenter till y = ln(x2 + 3) som är parallella med linjen 2y - x = 7. Bestäm dessa tangeringspunkters x- koordinater.

0

2325

b) Vad händer med derivatan för stora värden på x?

2319

2320

2321

2322

2323

Vilken lutning har tangenten till y = 4 · lgx då x = 2? Svara exakt.

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = lg x i den punkt på kurvan där X = 1. Bestäm kurvans lutning i den punkt där X= 3 då

Kurvan y = 4 ln x - 2x + 6 har en tangent i punkten (1, 4). Var skär tangenten x-axeln?

2326

En funktion bestäms av sambandet f(x) = ln(x2 + 4). a) Bestäm f'(x)

b) Bestäm tangentens ekvation i punkten (2,f(2)).

Rita graferna till y = ln x, y = ln 2x och y = ln 4x på din räknare. Avläs nollställe för respektive funktion. Vilket nollställe har funktionen y = ln kx? Formulera en generell regel.

4

c) Undersök om funktionen har någon tangent med riktningskoeffi.cienten 1.

2327

Utgå från funktioneng(x) = 5ln(4 - x 2 ) a) För vilka x-värden är funktionen definierad? b) Visa utan att rita grafen att funktionen har en maximipunkt för X = 0.

a) f(x) = ln 2x b) f(x) = ln 3x c) Rita funktionerna på din räknare. d) Kommentera resultatet i a) , b) och c).

DERIVATOR

Asymptoter och kurvanalys Vi börjar med att beräkna några gränsvärden och då är det bra att känna till följande: Då x ~ 0 så kommer också x 2 ~ 0 och x 3 ~ 0 osv

D ax ~ oo sa"kommer -1 o

~

X

0 och 21 X

Vad händer med uttrycket

4

x

3+x

~

då x

0 osv

~ oo?

Både täljare och nämnare går mot oändligheten. Vi förutsätter att x

"#

0 och dividerar både täljare och nämnare med x.

4x 4

X

3 X

+

X

3

X

X

+l

3 När x blir väldigt stort kommer termen - att gå mot noll. X

Uttrycket kan då skrivas SVAR:

4

O+l

=4

Uttrycket närmar sig värdet 4

2

Bestäm lim x400

x +5

2x

-2

+ 7x

För att täljare och nämnare inte ska bli oändligt stora dividerar vi med JC.

x2 x 2 +5 2x 2 +7x

-2

X

2x X

+

2

2

+

5 2

X

_

7x X

2

-

l+

5 2

X

7 2+X

När x blir väldigt stort kommer termerna

X

5 lim X400

l+

l+O

2

X

7 2+-

-

2

och ?.... att gå mot noll. X

1 -

2+0

x

2.3

5

KURVANALYS OCH PROBLEMLOSNING

2

SVAR:

0,5

Bestäm följande gränsvärden.

2328

5x a) lim x"°'oo X+ 1

b) lim x ~ oo

2 x +x

3

2329

8x + S a) lim x ""'oo 2x + 1

7x +Sx b) lim 2 3 x ""'oo 2x + 3x + x

2330

4x a) lim x -400 x 2 + 2x

x 2 +2x+3 b) lim 2 x-4 00 4x + 5x + 6

2x + 3x 2

3x c) lim x ~ oo 2- X

Nu ska vi undersöka rationella funktioner.

2x Bilden visar grafen till y = - 1- x

_l ' I I• I •

y= 1-

J

Eftersom nämnaren inte får vara noll, får x inte vara 1. Vi ska nu titta på grafen och undersöka vad som händer då x närmar sig 1.

2x

i

i

1

'

0-1

X

I/

I --I-- --I-- --I-- -r--I -- -- --- --- --- __.. -- -1-..,.-

I •

! !

!;

.;'"

/

V

Då x närmar sig 1 från höger, blir y mindre och mindre, dvs y går mot minus oändligheten. Vi sammanfattar:

x

~

1 (från vänster)

Då går y-värdet mot oo

x

~

1 (från höger)

Då går y-värd et mot -

oo

Linjen x = 1 kallas en asymptot.

2x Nu ska vi istället undersöka y = när x går mot oändligheten. 1-x Vi ska alltså beräkna gränsvärden på samma sätt som i de inledande exemplen. 2x 2

2 lim x =lim x =lim - - =-2 X-400 1- X X-400 1 X X-400 1 0 -1 - - - -1 X

X

-

I

Då x närmar sig 1 från vänster, ser vi att y blir större och större, dvs y går mot oändligheten.

2

X

X

Från bilden ser vi att kurvan närmar sig linjen y = -2 då

Ixl ~ oo

Också linjen y = - 2 är en asymptot.

DERIVATOR

Bilden visar grafen till y = -

1

X

~y

2

l- - f - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 -I

Också här gäller att nämnaren ej får vara noll, dvs x i= 0. Här är alltså x = 0, dvs y-axeln, en asymptot.

l- l - l - - l - - l - - l+ - 1l- - l - - l - - l - - ' I -I - - -

I

~ -l ,~ f - 1 - -

y

X-12 --1--1-x-

Man kan säga att definitionsmängdens gräns är x = 0. Vi ser att då lxl ~ oo, närmar sig grafen x-axeln. Här gäller alltså att också x-axeln, dvs y = 0, är asymptot.

ASYMPTOTER En asymptot är en rät linje (eller kurva) som en funktion närmar sig, då x närmar sig definitionsmängdens gränser.

. 1r:11.

Titta på grafen till

f (x) =

2

x-4

. Vilka asymptoter har funktionen?

'

.

-, , _ _ _ , _ - l - l - - l - - l - l - - - -1- - l - l - - l -1]1- 1 - - J - - l - 1 - - l - - l - l - - l - - l - l - ~

Vi ser att kurvan närmar sig x-axeln och linjen x = 4. SVAR:

2.3

x-axeln och linjen x = 4

KURVANALYS OCH PROBLEMLOSNING

•

a) Bestäm minimi- och maximipunkter till y = 4x + .!.. X

1

y = 4x + - = 4x + x-

1

~

I

y = 4- x

-2

= 4- -

x2

X

1 y =0~ 4--=0 I

~

1

1 1 X =-~X=±2

4

X2

2

Vi gör ett teckenschema för att avgöra när det är max respektive min. Observera att x =t:- O! - 0,5

y'

+

Y

/

0

0 -

0,5

ej def. -

-4 ~ ej def. ~

X

0

+

>-

4

b) Rita kurvan och ange asymptoterna. Titta på funktionsuttrycket y

=

4x + .!.. X

Här gäller att x För stora

lxl

=t=

0, dvs x = 0 (y-axeln) är en asymptot.

kommer termen 4x att dominera (betyda mest).

Linjen y = 4x är en asymptot, eftersom kurvan närmar sig linjen då lxl ~ oo A

II

Titta på bilden och jämför med teckenschemat. Lägg speciellt märke till att maximivärdet - 4 är mindre än minimivärdet 4! Funktionen är definierad för alla x utom för x = 0. c) Till sist bestämmer vi värdemängden som är y < - 4 och y > 4? SVAR:

a) Maximipunkt= (-0,5; -4) och minimipunkt= (0,5; 4) b) Asymptoter är linjen y = 4x och y-axeln. c) Värdemängden är y < -4 och y > 4

DERIVATOR

2331

. Vilka asymptoter har kurvan f(x) =

3

x+l

?

Rita kurvan på räknaren och kontrollera.

2338 Ge exempel på en funktion som uppfyller följande tre villkor. Förklara hur du tänker.

2332

3x

Vilka asymptoter har f(x) = X

2333

2

-4

1) Linjen y = 3x är en asymptot.

?

2) En annan asymptot är y-axeln.

f (x) = _!_ + 3x .

Givet är funktionen

3) Funktionen har en minimipunkt

X

a) Vilken term dominerar för stora

dåx = 2

Ixl ?

b) Vilken term dominerar för små lxl ?

2339

c) Vilka är kurvans asymptoter? 2334

2335

b) y = Sx

X

2340

. x+ 1 a) Bestäm 11m - x ~ OQ

.

x-1

b) V 1lka asymptoter har y =

2336

1 1 f(x) = - + 2

Skriv en funktion som har asymptoten

a) x=S

x+l x -1

Bestäm eventuella asymptoter och extrempunkter samt värdemängd till X

a) Bestäm utan räknare eventuella extrempunkter till 3 12 J(x) = x - 15x - X

?

Bestäm värdemängd och asymptoter. 4 1 a) f(x)=x+ b) f(x)=2x- x X

b) Rita grafen med hjälp av räknare. Ange funktionens asymptoter och värdemängd. 2341

Bestäm eventuella extrempunkter till funktionen g(t) =

2337

Bestäm eventuella extrempunkter. Ange också asymptoter och värdemängd. 1 4 2 a) f(x)=4x +b) f(x)=2x+ x X

W + 3_5 t . Vilket värde

har derivatan i extrempunkterna?

Problemlösning med derivator När du löser maximi-och minimiproblem är det bra att följa denna arbetsgång: 1 Teckna ett funktionsuttryck och ange definitionsmängd

2 Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställen 3 Avgör extrempunkternas karaktär 4 Bestäm största eller minsta värde

2.3

KURVANALYS OCH PROBLEM LOSNING

•

Man vill tillverka en cylindrisk behållare med så stor volym som möjligt. Hur stor blir den maximala volymen om summan av basradien och cylinderhöjden är 90 cm? Antag att radien är x cm och att höjden är h cm. X+ h = 90 h = 90 - X

Cylinderns volym V= rcx2h

-------- .(cm)

r-------1

h

När vi sätter in h = 90 - x får vi

V = TCX2 • ( 90 - X) V = 90rcx2 - rcx3

.,,

•

----. ' X

"

•

Definitionsmängden är O < x < 90 Vi deriverar och får V'= 180rcx -3rcx2

V'= 3rcx(60 - x) V' = 0 för x = 0 eller x

= 60

Eftersom x = radien så måste x > 0 gälla. Vi undersöker därför V'' endast för x = 60.

V''= 180rc - 6rcx V''( 60) = 180rc - 6 · rc · 60 = - 180rc V'' < 0 då x = 60 Alltså har V ett maximum för x = 60 Nu ska vi beräkna den maximala volymen V= rcx2h. Vi vet att x = 60 men hur stor är höjden h? Eftersom x + h = 90 får vi h = 30. Vi sätter in x = 60 och h = 30 i formeln.

V= rc · 602 • 30 cm3 = 108 000 rc cm3 = 108rc dm3 :::::: 340 dm3 SVAR:

Cylinderns maximala volym är ca 340 dm

3

DERIVATOR

Figuren visar grafen till y = 4x · e-x då x > 0. Från en punkt P på kurvan dras två linjer mot koordinataxlarna så att en rektangel bildas. Bestäm rektangelns maximala area.

X

>

Arean A(x) = x · y = x · 4x · e-x = 4x2e-x Definitionsmängden är x > 0 A'(x ) = Bxe-x - 4x2 e-x A'(x) = 0 =} Bxe-x - 4x2e-x = 0 4xe-x(2 - x) = 0 Vi får x 1 = 0 x 2 = 2 2

För x = 0 är rektangelns area noll. Vi gör ett teckenschema för att visa att x = 2 ger maximum.

+

A'(x) A(x)

X

0

/

A'(l) > 0 och A'(3) < 0 Vi beräknar rektangelns största värde, nämligen då x = 2. A(2) = 4 · 2 2 • e-2 ~ 2,2 SVAR:

Rektangelns maximala area är ca 2,2 ae

En boll får gunga vertikalt i en fjäder. I sitt högsta läge är bollen 1,1 meter över marken och i sitt lägsta läge är den 0,5 m över marken. Tiden för en svängning är 0,9 s. a) Ställ upp en matematisk modell på formen y(t) = A sin kx + B, där y är höjden över marken efter t sekunder. Amplituden A

=

1,1-0,5 2

2n Perioden = 0,9 s ger k

,, . 1· . ,,

Kurvans mitt 1nJe B =

SVAR:

2.3

= 0, 3

= 0, 9

1,1+0,5 2

20 y(t) = 0,3sin n t+0,8 9

KURVANA LYS OCH PROBLEM L OSNING

2n k= 0,9 = 0,8

20n = -9

>

b) Bestäm bollens maximala fart. Hastigheten beskrivs av derivatan . . 20n y(t)=0,3s1n t+0,8 9

,

y(t)=

20n

9

· 0,3·cos

20n

9

20n

f:::::2,l·cos

9

t

2

· 1a var .. d et pa• y '(t) f as d a• cos 0n t = 1 . M ax1ma 9 Då är y'(t) :::: 2,1 0

SVAR:

2342

Maximala hastigheten är 2,1 m/s.

Bestäm cylinderns maximala volym. Se bilden.

•

(dm)

2348

Funktionen f(x) = 3x - tan x har två extrempunkter i intervallet - TC I 2 < x < TC I 2. Använd derivatan och visa hur du bestämmer extrempunkternas x-koordinater.

2349

Bestäm de lokala extrempunkterna till

15 - 2x

------

....

2x

2343

I en likbent triangel är summan av basen och höjden 14,0 m. Bestäm triangelns maximala area.

X

f(x)=

2

X

+3

•

Rita sedan grafen på räknaren som kontroll. 2344

Antag att totalkostnaden T (kronor) för ett grönsakslager är en funktion av kvantiteten grönsaker x (kg) enligt 10 800 000 T( X ) = +0,3x X

Bestäm minimivärdet för totalkostnaden. 2345

2346

2347

Bestäm lokala extrempunkter till funktionenf(x) = xex. Rita sedan grafen på räknaren som kontroll. Bestäm eventuella maximipunkter till funktionenf(x) = x + cosx. Rita sedan grafen på räknaren som kontroll. Bestäm värdemängden med två decimaler till funktionen f(x) = x sin x i intervallet O < x < 2n.

2350

Bilden visar kurvan y = -x2 • ln x samt en rektangel med ett hörn på kurvan och två sidor längs koordinataxlarna. För rektangeln gäller att O < x < 1. Ay

X

a) Teckna rektangelns area som funktion av punktens x-koordinat. b) Bestäm x så att arean blir så stor som möjligt. c) Bestäm den maximala arean.

DERIVATOR

2351

2352

Man vill tillverka en cylindrisk plåtburk av 6,0 dm2 plåt. Burken ska ha både botten och lock. Vilken är burkens maximala volym?

2354

y

En kula skjuts från marknivå med utgångsfarten v0 med vinkelna mot markplanet. Om man försummar luftmotståndet kan sträckan i x-led som kulan hinner innan den slår i marken, beräknas med sambandet

5 .,..,. / /

o·

g

A(x) = 4x.J2s-x 2

a) Vilken vinkel ger det längsta "kastet"?

a) Vilken tidpunkt är koncentrationen maximal? b) Hur lång tid är koncentrationen mer än 8 mg/liter?

0 < x < 5.

b) Bestäm det x-värde som ger maximal rektangelarea.

b) Hur långt kan man teoretiskt skjuta en kula som har utgångsfarten 30 m/s?

Visa hur du bestämmer följande.

X

a) Visa att arean av rektangeln kan bestämmas med sambandet

s(a) = isin2a

En person använder en medicin mot sin allergi. Mängden medicin i kroppen kan beräknas med K(t) = 12 - 4 ln(t2 - 4t + 6) 1 < t < 6 där K(t) är medicinkoncentrationen i mg/liter och t är antal timmar efter det att man tagit medicinen.

/

x.,..

/

v2

2353

En cirkel och en rektangel är inritade i ett koordinatsystem enligt bilden.

2355

Här gäller ekvationen rc(360-t)

g(t) = 12 + 8 cos . - - -

180 a) För vilka värden t har g(t) sitt största värde? b) Bestäm en lösning till ekvationen g' (t) = g" (t).

Föränd ri ngshastig heter Om man kastar en liten sten i en damm uppstår en cirkelformad våg på vattenytan.

Vi antar att cirkelns radie ökar med den konstanta hastigheten 1,5 m/s. Med vilken hastighet ändras cirkelytans area 6 sekunder efter det att stenen träffat vattenytan? Både radien r och arean A är funktioner av tiden. Vi vet att r '( t ) = -dr = 1,5 m/s dt Detta ger r(t) = l,5t ~ r(6) = 1,5 · 6 = 9 Radien efter 6 sekunder är 9 meter. Vi söker nu derivatans värde då t = 6, dvs A'(6). Eftersom A = nr2 kan vi skriva A(t) = n(r(t)) 2 Här är r(t) den inre funktionen. A(t) = n(r(t)) 2 ~ A'(t) = 2 · n(r(t)) · ........,,_.. r'(t)

= 21rr(t) · r'(t)

yttre derivatan inre derivatan

A'(6) = 2n · r(6) · r'(6) = 2n · 9 · 1,5

SVAR:

z

84,8

Cirkelarean ändras med ca 85 m 2 /s

DERIVATOR

•

En sfårisk ballong fylls med 3,5 liter gas per sekund. Beräkna hur snabbt ballongens radie rökar då r = 4,5 dm. Sfärens volym skrivs V = dV V'(t) = = 3,5 liter/s dt 4

V(t) = n ·(r(t))3 3

4nr3

och volymen ökar med

3

::::}

4

2

2

V'(t) = n ·3(r(t)) · r'(t) = 4n(r(t)) ·r'(t) 3 . '-v-' d . · inre envatan •

yttre derivatan 2

V'(t) = 4nr

,

•

r' ::::} r =

V'(t) 4nr

2

3,5 -

4n ·4,5

2

:::::

0,014

0,014 dm/s = 1,4 mm/s SVAR:

Radien ökar med ca 1,4 mm/s

Ett alternativt sätt att redovisa lösningen på: dV

Vi skriver kedjeregeln: V'(t) = V =

4nr 3

::::}

dV

dr D a. r = 4,5 bl.1r dV dr 3

dt

dV dr

- -

·-

dr dt

= 4nr2

= 4n · 4,5 2

Insatt i kedjeregeln får vi ekvationen 3,5 = 4n · 4,5 dr 3,5 dt = 4n · 4,5 2 SVAR:

2356

:::::

O,Ol 4

dr • -

dt

0,014 dm/s = 1,4 mm/s

Radien ökar med ca 1,4 mm/s

Vid en olycka sprids en giftig gas. Det drabbade området är cirkelformat och radien r växer med 5 mls. Med vilken dA hastighet ökar områdets area A'(t) = då r = 48 m? dt

2.3

2

KURVANALYS OCH PROBLEMLOSNING

2357

Ett kubiskt isblock smälter så att sidan minskar med 2,5 mm/h. Med vilken hastighet förändras volymen då kubens sida är 65 cm.

2358

2359

En kvadrat har sidan x cm. Sidan ökar med 2,5 cm/s. Hur snabbt ökar arean då sidan är 13 cm?

2363

Bestäm dr då r = 20 km.

En stor snöboll smälter så att radien

dr

minskar med 2 mm/h, dvs -

dt

= -2 .

It

dV dt Bestäm då r = 3 cm. dt 2360

Ett flygplan flyger på 10 km höjd med konstant hastighet 900 km/h då det passerar en radarstation. Se bilden.

900 km/h

111

;,a.;p .......,.._ - - - - - - - - -

2

I sambandet y = kx är y och x funktioner 10 km

1

r

av tiden t och k är en konstant, k = - . 20 Bestäm x i det ögonblick då

dy = 3 och dx = 8 .

dt

dt 2364

2361

Bilden visar en rak cirkulär kon med toppvinkel 60°. Från början är konen fylld med vatten, som sedan minskar med hastigheten 2 liter/min. dh Bestäm , dvs hur snabbt vattendjupet

En doftkula har volymen 3,0 cm3 . På grund av avdunstning minskar kulans volym med tiden t månader på ett sådant sätt att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot kulans area. Efter 1 månad är doftkulans volym 2,0 cm3 • a) Visa att förutsättningarna ovan leder

dt

dr

till att -

sjunker, då h = 8 dm.

dt

= k där k är en konstant och

r cm betecknar kulans radie efter t månader.

b) Beräkna kulans volym efter 4 månader. (Np Ma E Ht 1996) h

2365 60°

Inom akustik råder följande samband mellan ljudintensitet 1 och ljudnivå L. I L = 10 · lg- (dB) där

lo

2362

Arean av ett klot ökar med konstant hastighet 28 cm2 per minut.

10 = 1 · 10- 12 (W/m2 )

Med vilken hastighet ökar klotets volym när radien är 6,5 cm?

dL a) Beräkna dl b) Ljudintensiteten från en maskin är 10-s W/m2 och ökar med 10 % varje sekund. Hur fort ökar ljudnivån? Motivera.

DERIVATOR

Skissa grafer Om man ska rita grafen till en funktion "i stora drag", är det praktiskt att veta vilken term som betyder mest för stora och små värden på x. Här skiljer vi inte på positiva och negativa x, utan vi undersöker vad som sker för stora och små värden på Ixl . För stora värden på Ixl dominerar den term med högst exponent, t ex x3 För små värden på Ixl dominerar den term med lägst exponent, tex~= x - 1 X

När man skissar grafer är det bra att veta hur kurvan ser ut i stora drag. I tabellen nedan repeterar vi det du lärde dig i kurs 3.

Låt oss nu skissa grafen till y

=

x3 - 2x + 3

Så här kan vi tänka: •

För stora

lxl är y ~ x

3

Grafen till y = x3 "börjar nerifrån'' och "går upp" (se den vänstra grafen i tabellen ovan) •

För små Ixl är y ~ -2x + 3.

Grafen till y = -2x + 3 är en rät linje som skär y-axeln vid y = 3 och har lutningen -2. Nära y-axeln är alltså funktionens graf ungefär som linjen! Då vi skissar grafen till y = x 3 - 2x + 3 kan vi utnyttja detta.

2.3

KURVANALYS OCH PROBLEMLOSNING

7 y f 2(x) =x3-2·x + 3

1 I

I

I

I

I

I

X I

I

1

10

I>

10

f1(x)=-2·x+3

-7

2

1 Vi har funktionen y = 4x

-

x4

a) Vilken term dominerar för stora Ixl ? b) Vilken term dominerar för små Ixl ?

2

Beräkna med huvudräkning ett ungefårligt värde på x 3 + 2x för följande värden på x. a) lxl = 100 b) lxl = 0,01

3

3

Givet är funktionenf(x) = x + 3x - 2. a) Vilken term dominerar för stora Ixl ? b) Vilken term dominerar för små lxl? c) Gör en skiss av grafen utan att använda grafritande hjälpmedel d) Använd din grafritare och kontrollera din skiss.

4

a)

3 Skissa grafen tillf(x) = 5 + 3x - x utan att använda grafritande hjälpmedel.

b) Kontrollera skissen med din räknare. c) Bestäm extrempunkterna med hjälp av derivatan.

5

Utgå från funktionenf(x) = x 4 - 6x2 - 2. a) Gör en skiss av grafen utan att använda grafritande hjälpmedel. b) Hur många nollställen har funktionen? 2

+ 2x + 3 6 Bestäm lim 2 • Motivera. x~ 4x + Sx + 6 x

00

7

Utgå från potensfunktionen f(x) = x 10 och exponentialfunktione11 g(x) = l, 1x . Vilken av funktionerna växer snabbast för stora värden på Ixl ? Bestäm detta genom att undersöka vad som som händer med X lO

funktionen h( x) = l,

x

1

för stora värden på Ixl .

DERIVATOR

Matematisk modell av soltimmar Till höger ser du en tabell som visar antal soltimmar/månad under ett år i Kiruna och Lund.

Månad

1 Använd räknarens funktion för sinusregression

och ställ upp en matematisk modell på formen y = a · sin(bx + c) + d, där y är antalet soltimmar och x är månaden. Ställ upp en modell för Kiruna och en modell för Lund. Lös följande uppgifter med hjälp av modellerna. 2 När förändras antalet soltimmar som mest i de två städerna?

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12

Kiruna

Lund

5 62 139 183 232 266 243 159 110 67 18 0

37 64 105 166 231 235 223 212 141 94 52 32

3 Vilka dygn är antalet soltimmar maximalt i de två städerna? 4

När har antalet soltimmar sitt minsta värde i de två städerna?

5 Använd modellen och bestäm när Luleå och Lund har samma antal soltimmar. 6 Diskutera vilka begränsningar dina modeller har.

2.3

KURVANALYS OCH PROBLEM LOSNING

Derivatans definition

f' (X) = lim f (X + h) - f (X) h

h~O

Derivatans beteckning

Derivatan av en funktion kan t ex skrivas dy . ~y f'(x) 1lm----'-y h~O ~ X dx I

Deriveringsregler

f(x)

f'(x)

8x2 - 3x + 1

16x - 3

5e4x

20 e4x

1

ln X

X

1

1 -

X

.

stn x

X

2

cosx .

cosx

- stn x

sin 6x

6 cos 6x

2x

ln 2 · 2x

. ,,' X

1

2.Jx ,-

1

lgx

Derivatan av en sammansatt funktion

X · ln10

2

y = sin(Sx + x ) är exempel på en sammansatt funktion . 2

y' = (5 + 2x) · cos(Sx + x

)

inre derivata 6 y

Absolutbeloppet som funktion

Grafen till y = lx - 21 består av två delar

x - 2 för x ~ 2 y =l x - ZI = 2- x förx< 2 1X I

-3

-1 - 1

I

1

6

Asymptoter

En asymptot är en rät linje (eller kurva) som en funktion närmar sig, då x närmar sig definitionsmängdens gränser

1

f (x) = 4x +-

har två asymptoter, linjen y = 4x och x = 0.

X

Se bilden. lJ

y - ~X +

-

,,,

~-

J -~

~

Derivatan av en produkt

y' = f. EX:

-

,..-;.-

r

-

"

i+ f' . g

y = x ·ln x y' = x · _!_ + 1 · In x = 1 + In x X

Derivatan av en kvot

y=

f

y'

g

- f'. g - f. g'

e 2x

EX:

y= . smx 2x

I

y =

Andraderivatan

2e

• · sm x - e2x · cos x

sin2 x

Olika skrivsätt: y''

f''(x)

dx 2

Om y' = 0 och y'' > 0, så har y en minimipunkt. Om y' = 0 och y'' < 0, så har y en maximipunkt. Om både y' = 0 och y'' = 0 m åste vi teckenstudera y'

(D

Bestäm derivatans nollställen då 6-x 2 funktionen y = e2 X

Derivera a) sinx + lnx b) ln 2x + cos4x

@

Derivera funktionerna och förenkla sedan derivatan.

Funktionen y = Ix - 31 är given. a) Rita funktionen på rutat papper. b) Funktionen består av två delar. Vad ska skrivas på de streckade linjerna? c·· x > ........... 1or _3

y=lx-31=

.. ........... for x < 3

a) f (x)

(x3 + x)(x2 - 1)

x 2 -l b) g(x)=-x- 1 c) f(x)

Förklara varför graferna till y = Ix - ll och y = Il - xl blir samma graf.

=

=

2

(x + 2) 5

Derivera och förenkla derivatan. a) g(x)=.JI - x 2 b) h(x) = ln(4x + 3)

Utgå från f(x) = 4 sin 3x + 5 cos x. Bestäm och förenkla f(x) + f''(x). Beskriv den punkt på kurvan y som har följande egenskaper:

=

f(x)

f(l) = 2,f'(l) = 0 ochf''(l) > 0 Bestäm lokala extrempunkter till f(x) = x 3 - 3x + 4.

2

c) g(u) = z 2 3 u + u+ d) h(v) = sin(v2 + 3) Bestäm ekvationen för tangenten till lnx . .. kurvan y = 1 den punkt dar x = 1. x+l Derivera a) y

Derivera och faktorisera derivatan. a) y=x·e

2x

b) y = 3x2 · lnx

ex

c) z=-sin2x

=

4lgx

b) y = lg(4x) För vilka värden på konstanterna a och b har f(x) = ax2 + bx - sin 3x ett lokalt maximum då x = O? Förklara hur du tänker.

d) t = cos2 x 1 Visa att dy = - -2 då y = tan x dx cos x

Bestäm förstaderivatan till f(u) = ln.f&t

. . Rita grafen till

3x f (x) = 2 X -16 Vilka är asymptoterna?

•

Under ett dygn varierar vattennivån (meter) i en hamn enligt sambandet h(t) = 0,7 sin(0,5t - 1,1) + 8,3 där t är tiden i timmar efter midnatt. a) Bestäm vattennivån klockan 05.30.

Temperaturen y °C i en sjö varierar enligt modellen y(t) = 7,5sin(0,524t - 1,57) + 9,0 där t är tiden i antal månader efter 1:a januari. När är temperaturen högst och hur hög är den då? I ett uppehållsrum i en gymnasieskola har man lagt golvvärme. Effektutvecklingen,f(t), mätt i W/m2 kan beräknas med funktionen j(t) = 8,92. (t - 20) 1' 1 då t > 20 där t är golvets temperatur mätt i °C.

a) Bestäm golvets temperatur då 2 effektutvecklingen är 90 W/m • b) Visa hur du bestämmer f'(27) och tolka resultatet. Lös ekvationenf'(x) = 0 då j(x) = 2x + cos x i intervallet O < x < 2n. Tolka resultatet och rita också som kontroll, grafen tillf(x) på din räknare. Bestäm största värdet av funktionen f(x) = x · e-x- i intervallet O< x < 2 ?

b) Vilken är den minsta vattennivån under dygnet? c) Vid vilken tidpunkt inträffar detta? Visa hur du tänker! d) När ändras vattennivån snabbast under de 3 första timmarna? e) Hur stor är förändringshastigheten då? Bestäm extrempunkter och asymptoter till 1

kurvan y = 2,25x+-. X

Luft blåses in i en sfärisk ballong med 3 hastigheten 35 cm /s. Hur snabbt ökar radien vid den tidpunkt då radien är 21 cm? a) Bestäm derivatan till funktionen y = x - x · lnx. b) För funktionen g(x) gäller att g(e) = 5 och g'(x) = In x Bestäm ett exakt och förenklat värde för g(2).

BLANDADE UPPGIFTER 1

Bestäm derivatan till följande funktioner. a) Y =

c)

X X

7

b) Y = x + X

cos X

3

y=e +x2

d) y

12 - Sex

=

b) f'(0,5) ~ 25

c) f''(O) = 96

f) y = sin 3x 2

5

a) Bestämf'(l)då f(x)=2x - 3lnx+-

x

10 Temperaturen i en ugn kan bestämmas med formelnf(t) = 150 + 50 sin 0,52t därf(t) är temperaturen i grader och t = tiden i timmar.

b) Bestäm g'(O) då g(x) = 3x - 2 cosx + 5 sinx

Bestäm

Bestäm y' till följande funktioner.

b) !'(3,5)

a) y =

4

Funktionen f (x) = 3x + 6 cos 4x. Vilka av följande påståenden är sanna? a) f(O) > f(l)

2

e) y = x + ln x + e

2

9

2- sFx

a) temperaturökningen uttryckt i grader per timme då t = 0,5

b) y = lg X

11 Bestäm derivatan till y = (2x - 3) 4

Beräkna f' (1)

a)

c) Förklara vad resultatet i b) betyder.

f (x) = ln x 2

b) f(x)

=

3x

4

12 Funktionen y = 2

har en tangent som är

X

5

Nedan ser du tre funktioner A, B och C. Vilka är funktionerna?

parallell med linjen y = 5 - x. Bestäm tangentens ekvation. 13 Bestäm y'' då y = 4 sin 3x

y

14 Beräknaf'(O) exakt dåf(x) = sin2x - sinnx

15 Grafen visar funktionen f (x). Bestäm de punkter där 1

a) f(x) = 0

b) f'(x) = 0

c) f(x) < 0

d) f'(x) > 0

e) f(x) och f'(x) samtidigt är negativa . .

6

y

Bestämf'(n) då f(x) = sinx

E

X

F

A

7

8

Beräkna y + 4y'' då y = 4 sin O,Sx

Bestämf'(O) dåf(x) = 3x · e-

2

c x

DERIVATOR

16 Utgå från funktionen y =

22 Bestäm lim f (x + h)- f (x) då h-tO h f(x) = x2 (x2+ x)

±+ x . X

Vilka av följande påståenden är sanna? A: Funktionen är växande för x = 5

23 Funktionen y = 3x - x 2 + In x har en tangent då x = 1. Bestäm tangentens ekvation.

B: Funktionen är inte definierad för x = 0

C: y har en minimipunkt i (2, 4) D: y har två asymptoter 17

24 Ange eventuella maximi,- minimi- och terrasspunkter till

y = Fx har en tangent i punkten (4, 2).

a) y = x 4

-

2x2

b) y

=

x · ex

I vilken punkt skär tangenten x-axeln?

..

9

18 Ar det sant att y = x + -

25 Bestäm lim ~y då y = 2 sin x - cos Sx Ax --+0 ~

har en

X

maximipunkt för x = 3?

har en tangent där grafen skär y-axeln. Bestäm tangentens ekvation.

19 I koordinatsystemet finns grafen till y'. Vilket av följande alternativ är funktionen y? a)

y=x

2

b) y = x 3

c) y d)

=

-

4

-

3x

26 Grafen till funktionen g(x) = 2 sin x + 3 cos x

y'

1 X I

),.

1

27 Lös ekvationen y' = 0 och svara med två värdesiffror. a) y = x 6

-

b) y = 2 sin x + 4 cos x

9x

2

4x - x

28 Lös ekvationenf'(x) = f(n) då j(x) = 0,1 + 0,5 COS X.

3

y = x 3 - 4x

20 Funktionen y är definierad för x

> 0. Ange

funktionens eventuella extrempunkter. a) y = x 2 - 2 ln x

29 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x · In x i den punkt vars x-koordinat är 1.

b) y = 2--.Jx, -6x

30 Utgå från funktionen f(x) =

C: f(x)

B: f (x) = x

2

4

2

= 4x

-

D: f (x)

x4

4

4x 2

= -4x

-

x4

l

b) För vilket värde på a blir f' (1) = 0 ? Motivera.

2

-

1

a) Visa hur du bestämmer f(0,5) då a = 2.

21 Vilken av funktionerna A- B har den graf som bilden visar.

A: f (x) = x + 4x

e - ax(x+

31

Bestäm y' (O) då y = sin(x - sin x).

y

32 Bestämg'(l) då a) g(x)=.J4x+x X

2

2

b) g(x)=-3x+l

33 Funktionen g(x) = A + B sin Cx har perioden 6n. Funktionens största värde är 17 och det minsta värdet är 9. Bestäm g"(O,Sn).

BLANDADE UPPGIFTER

34 Bestäm det största värde som funktionen y = C(e-px_ e-Zpx) kan anta för X> 0.

35 Kurvan g(x) = x2 skär kurvan y = ax3 + bx i punkten ( 1, 1). Bestäm konstanterna a och b så att kurvorna skär varandra under rät vinkel.

41 Ett företags intäkter i miljoner kr kan beskrivas med sambandet I(x) = 35 - 15x + 9x2 - x3 där x är antal år efter start. I punkten P börjar intäktsökningen att minska. Bestäm punkten P:s koordinater.

. 3 6 Funktionen

2x f (x) = 2 är definerad för X +2 x > 0. Bestäm funktionens värdemängd.

'} /

E / /

'\.

37 Sidans i en rak cirkulär kon är 12 cm. För vilken radie får konen maximal volym? Svara med två värdesiffror. nr2.h Forme1n 1or konens voIym V = c··

3

där r = radie och h = höjd.

,

/

,,

/

X

•

I

I I I I

I I I I I I I

x 2. 3x

42 Bestämf'(l) då f(x) = - - ln(2x + 1) Svara med två värdesiffror.

38 En låda (rätblock) med volymen 10 m 3 ska tillverkas av aluminiumplåt. Lådans bredd är dubbelt så stor som dess längd. Bestäm lådans längd, bredd och höjd så att materialåtgången blir så liten som möjligt. Lådan saknar lock. 39 Bestäm konstanten k så att funktionen f(x) = 4 - 4x - kx2 får ett lokalt maximum

i punkten (2, 0). Motivera ditt svar. 40 Två funktioner f och g ges av följande

43 En funktion h(x) = f(g(x)) är given där g(x) = 2x3• Skriv ett uttryck för h'(x) då du vet

att f'(x) = k(x). 44 Figuren visar en graf och en kvadrat vars ena hörn finns på grafen. Grafen skär y-axeln i punkten (O; 1,5). Redovisa hur du löser uppgifterna a) och b). y

samband:

f (x) = 2 sin x + sin x cos x

-n I 2 < x < n I 2

X

).

2

g(x) = 2(cos x) + 2 cos x - 1

-n I 2 < x < n I 2

a) Ekvationen g(x) = 0 har två rötter. Bestäm dessa med räknaren. b) Bestäm nu rötterna genom att lösa ekvationen med substitution. Visa hur du gör! c) Visa att f'(x) = g(x)

a) Bestäm kvadratens area genom att välja en andragradsfunktion vars graf liknar den ritade grafen. b) Välj nu en trigonometrisk funktion vars graf liknar bildens graf. Hur stor blir kvadratens area?

DERIVATOR

I det här kapitlet får du lära dig • Vad som menas med en differentialekvation • Vad som menas med lösningen till en d iffe rentia lekvati on • Bestämma primitiva funktioner för trigonometriska funktioner • Bestämma primitiva funktioner för logaritmfunktoner • Algebraiska metoder för bestämning av integraler • Beräkna volymer med hjälp av integraler • Numerisk bestämning av integraler • Lösa integraler med digitala hjälpmedel • Beräkna sannolikheter med hjälp av integraler

INTEGRALER OCH SANNOLIKHETER

isste du att man kan använda integraler för att beräkna så olika saker son1 sannolikheten för ett spädbarns vikt och formeln för ett klots volym?

Med hjälp av funktionsuttrycket för normalfördelningskurvan, kan vi nu bestämma sannolikheter.

Normalfördelningskurvan på bilden känner du igen från kurs 2. Säkert minns du också att man kan använda arean under kurvan för att bestämma sannolikheten för olika händelser.

Funktionsuttrycket är 2 l I x-3 ,5 ( ) j (X) = . e 2 0 ,5

o,s.Jiii

I det här kapitlet kommer vi också att använda integraler för att beräkna areor och volymer.

0.683 X

3

T ex ska vi visa varför formeln 4nr 3 för ett klot skrivs V = - - . 3

4

Vikten hos nyfödda barn är exempel på data som följer normalfördelningen. Antag att medelvikten är 3,5 kg och standardavvikelsen 0,5 kg. Medelvikten ligger vid kurvans topp, se bilden. Den röda grafen kallas frekvensfunktion. Här gäller att arean av det markerade området = sannolikheten att ett barn väger mellan 3 kg och 4 kg.

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

3.1

DIFFERENTIALEKVATIONER

Differentialekvationer används då man beskriver hur något förändras. Tex hur temperaturen i varmt kaffe minskar eller hur elektrisk ström och spänning ändras i en elektrisk krets. I kurs 5 behandlas olika typer av differentialekvationer. Här kommer vi bara att lösa enkla differentialekvationer samt verifiera (visa) att en given lösning är den rätta. •

••

•

• • •

•

•

•

• • • •• • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •

Primitiva funktioner Vi börjar med att repetera begreppet primitiv funktion från kurs 3.

F(x) är en primitiv funktion till f(x) om F'(xl = f (x)

Låt oss bestämma y då y' = 2x. Vi söker alltså de funktioner y som har derivatan y' = 2x. Funktionerna är y = x 2 + C. , \ "Yl717 Beroende på värdet av konstanten C ' får vi oändligt många funktioner. '/ I

\

\

Bilden visar tre av dessa primitiva funktioner. För de tre ritade kurvorna gäller olika villkor. Den röda kurvan uppfyller villkoret y(O) = - 3 vilket innebär att y = x 2 - 3

1

'

\

\

I

-

'

/ I

\

J

X

),

\. /

Vilken är den ursprungliga funktionen y om y' = - sin 2x?

cos2x cos2x Funktionen kan vara y = - - eller t ex y = +5 2 2 Lägg märke till att vi m åste dividera med 2 för att "kompensera" för den inre derivatan 2. 2 x C d.. C .. . d f k · k k · cos + ar ar en konstant. Samt11ga essa un t1oner an s rivas y = 2

3.1

DIFFEREN TI ALEKVATIONER

Tabellen visar exempel på några fler primitiva funktioner. f (x)

f (x)

F(x)

cosx cos 3x

F(x)

.

Sin X

2x

2x sin3x

ln2

3 .

Sin X

1

-cosx

ln X

X

sin

cos2x

2x

e2x

2

1

1 --

0 5e2x

x2

X

'

f(x)

Funktionstyp

F(x) x n+1

- - +C n +1

Potensfunktion

ekx

-

Exponentialfunktion

+C k

Funktionen

akx

y = akx

- - +C lna · k sin kx

Sinus-funktion

- coskx + C k

cos kx

Cosinus-funktion

sinkx + C

k 1

Funktionen y = _.!_ X

lnx + C

X

Bestäm samtliga primitiva funktioner. 3 a) f(x)= F(x) = 3ln x+ C X

b) g(x)=

5 X

5 G(x)= - - +C

2

X

6X l,S

c) h(x)=6$ d) f(x)

=

e) f(x) =

=6x

05 •

sin x + 2 cosx 32x

=

e ln3 2x

H ( x) =

1,5

F(x) = -cosx F(x)=

32x 2 · ln3

+ C = 4x 1' 5 + C + 2 sin x + C +C

INTEGRALER ,143

KAPITEL 3 .· ~

Bestäm en primitiv funktion till

f (x) = cos4x -

X

X

sin3

. cosF(x) = s1n4x + 3 _ sin4x + }cos~ 4 1 4 3 3 SVAR:

F(x) =

sin4x

4

x + 3cos3

Bestäm samtliga primitiva funktioner.

3101

1

4

b) h(x) = - -9e 3 x 3

a) h(x) = -

X

3107

b) f(x)

= 4ex /3 + ex/2

3108

a) J(x)

= sin Sx

b) f(x)

3109

a) f(x)

=1-

b) f(x) = 2cosx

3110

a) f(x)

1 c) h(x)=-x2 X a) g(x)

= sin2x

b) g(x)

c) g(x) = sin2

3103

a) g(x) = cos4 c) g(x)

= cos 3x

= cos 3x

X

X

f(x)=e- x -x-_!_ X

7

3102

a)

b)

b) g(x) = 2sin4x

= 3 cos 2x

Bestäm en primitiv funktion F(x) till följande funktioner. 3 3 3104 a) f(x)=x +3x+x

sin2x

= 2x + 3sin5x J(x) = ex- 4 cos 4x = 8 sin nx

= 3 cos 2nx

3111

a) f(x)

3112

Bestäm samtliga primitiva funktioner. a)

b)

f (x) = S(x -

b) f(x)

2eJ

f (v) = 2 + vev V

b) j(x) =X+ e-0,2x - e-x 2

3105

a)

c)

X

f(x)=-+8x 3 2

b) f(x) = x2(4x - 3)

3106

a)

f(x)= 6x-l 2

b)

f(x)=3x2-2x 5

3.1

DIFFERENTIALEKVATIONER

3113

f(z)= z +I

z2

Visa att funktionen 2 F(x) = (x - x) · ln x + x är en primitiv funktion tillf(x) = 2x · lnx - lnx + x.

3114

3117

En elev ska bestämma en primitiv funktion till 3x 2 + 2 f (x) = och far svaret 2x x 3 +2x F(x) = • Hjälp eleven att 2

Bilden visar grafen tillf(x). Rita en skiss som ger exempel på F(x) ochf'(x). Ay

1

0

l

\

X

lösa uppgiften rätt. 2

3115

'

\

I

\

\

I

I '\

/ [',..

,J'

X

1

Bestäm en primitiv funktion F(x) till 1 a) f(x)= kx 3118

k b) f(x)= x

3116

I

Bestäm en primitiv funktion F(x) till f(x) = 2 sin x · cos x. Visa hur du gör.

Bestäm samtliga primitiva funktioner F(x). a) f(x) =

5 3x

b) f(x) =

'll/3

a kx

'llf3 - 3lf'I TANKENÖT 11 Morfar sa: Jag skriver ett tresiffrigt tal. Sedan låter jag den första siffran byta plats med den sista siffran .och får ett nytt tresiffrigt tal. Till slut drar jag bort det mindre talet från det större. Förklara varför resultatet alltid är jämnt delbart med 11.

INTEGRALER

,1,s·

KAPITEL 3 .· ~

Primitiva funktioner med villkor

-

I det här avsnittet får du träna på att bestämma primitiva funktioner som uppfyller vissa villkor.

Tillväxthastigheten hos en planta ges av h'(t) = där h är plantans höjd i meter efter t månader. Bestäm h(x) då h(O) = 0,1 h'(t) = t0.s - 0,6t ~ h(t) = 2tl ,5

Detta ger h(t) =

h(O) = 0,1

~

3

t2

tl,5

- 0,6- + C 1,5 2

- 0,3t 2 + C

C = 0,1

Vi skriver h(t)=

SVAR:

.Ji - 0,6t

2t.fi 3

- 0,3t 2 +0,1

Funktionen är h(t) =

2tft 3

2

- 0,3t + 0,1

X

Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x) = cos- - sinx

n så att F 3

2

= 0. X

F(x) = 2sin-+ cosx + C 2

F

n

n

n

= 2sin-+cos-+C 3 6 3

'7r

'7r

Observera att - I 2 = 3 6

F n =2·0,5+0,5+C 3

n

Villkoret F -

3

= 0 ger

1 + 0,5 + C = 0 C = -1,5

3.1

DIFFERENTIALEKVATIONER

.

X

s v AR: F(x) = 2 sm - + cos x 2

- 1, 5

3119

Bestäm den primitiva funktionen F(x)

3124

så att F n = 1 dåf(x) är

funktionen till F(l) = 5.

2

a) sinx

b) sin2x

f (x) = _!_ _ ~ x

så att

X~

c) sin 4x 3125

3120

Visa hur du bestämmer den primitiva

Bestäm den primitiva funktionen till f(x) = e2x + 2x där F(O) = 2.

En pendels hastighet kan beräknas med s'(t) = 3 cos 0,2nt där s'(t) = hastighet i ml s och t = tid i sekunder. a) Bestäm s' (1)

3121

b) Bestäm den primitiva funktionen s(t) då man vet att s(O) = 0.

Bestäm den primitiva funktionen F(x) så att F(n) = 2 då f(x) är

c) Bestäm s(l) b) cos 2x

a) cosx

c)

cosx

3126

Bestäm den primitiva funktionen F(t) till 1 2 f (t) = 6t - - som uppfyller villkoret 2t F(l) = 9.

3127

Funktionen f(x) = a sin 3x har en primitiv funktion som uppfyller villkoren

3

3122 En elev ska bestämma den primitiva funktionen F(x) till f(x) = e3x + x där F(O) = 2. Eleven gör så här:

f(x) = e3x

+ X

F n 6

~ 2

z

Svar: F( x)= 3e

x

3128

Utgå från ekvationen xy' - 2x2 = 1 och bestäm den funktion y som satisfierar (uppfyller) villkoret y(l) = 0.

3129

Visa hur du bestämmer den primitiva funktionen F(x) till f(x) = cos2 x - sin2 x n som uppfyller villkoret F - = 2 . 4

3130

Visa hur du bestämmer ett exakt värde på F(O) dåf(x) = 23x och F(l) = 1.

+ x -/ 2

Hitta felet och lös uppgiften rätt.

3123

Bestäm den primitiva funktionen F(x) så

n

att F - = 0 dåf(x) är 3 a) sinx

=10.

02

F(O) = 2 ~ 3e 3x·O + +C =2 ~C= -I 2 3

och F n 3

.. F n Bestam - . 9

3

F( x)= 3e x + x +C 2

=5

X

b) cos-

c) 2 sin 3x

2

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

Differentialekvationer En vanlig ekvation som t ex 3x - 6 = 0 innehåller variabeln x. När vi löser ekvationen söker vi de värden på x som uppfyller ekvationen, i detta fall x = 2. En differentialekvation är en ekvation som innehåller derivator. Ekvationen y' = 2x är exempel på en enkel differentialekvation. Lösningen är de funktioner som gör att ekvationen blir sann. Att lösa enkla differentialekvationer kan t ex innebära att vi bestämmer de primitiva funktionerna! Vilken är lösningen till differentialekvationen y' = 3x2 ? Lösningen är y = x3 + C (dvs den primitiva funktionen) . Beroende på konstanten C får vi en mängd lösningar (kurvor), nämligen kurvan y = x 3 och alla de kurvor som vi får genom att parallellförskjuta kurvan längs y-axeln. Bilden visar några av kurvorna. Vilken av lösningarna uppfyller villkoret y( 1) = 3?

y

Villkoret y( 1) = 3 innebär att vi ska bestämma ekvationen för den av kurvorna som går genom punkten ( 1, 3). Vi sätter in x = 1 och y

= 3 i funktionen y = x3 + C 13 + C = 3 ::::::> C = 2 dvs y = x3 + 2

SVAR:

y = x3 + 2

Visa att y = sin 2x är en lösning till differentialekvationen y" + 4y = 0 Vi börjar med att bestämma y' och y".

y

= sin 2x ger y' = 2 cos 2x och y" = -4 sin 2x

Nu ska vi visa att vänstra ledet (VL) av differentialekvationen är lika med högra ledet (HL). VL = y" + 4y = - 4 sin 2x + 4 · sin 2x = 0 HL = 0 Alltså VL = HL VSV

3.1

DIFFERENTIALEKVATIONER

X

Bestäm den fullständiga lösningen till differentialekvationen f" (x) = 2.

f"(x)

= 2 =} f'(x) = 2x + C =} f(x) = x 2

SVAR:f(x) = x +

2

+ Cx + D

Cx + D

Bestäm konstanten a så att y = eax är en lösning till differentialekvationen y' + Sy = 0. Vi deriverar y =

eax

och får y' = a.

eax

Nu sätter vi in derivatan och funktionen i ekvationens vänstra led y' + Sy och får VL = a · e ax + 5 · e ax = e ax · ( a + 5) VL = HL då

e ax · ( a

+ 5) = 0

=}

a = -5

SVAR:

Vid ett test av läkemedel gäller att bakterieminskningen

a = -5

dN dt

uttryckt

i bakterier/timme, är proportionell mot antalet bakterier N efter t timmar. I varje ögonblick minskar antalet med 2 % per timme.

a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver bakterieminskningen. dN Differentialekvationen blir = -0,02N dt SVAR:

dN =-0,02N dt

b) Visa att N = 5000 · e-0•02t är en lösning till ekvationen N' = -0,02N. N' = -0,02 ·.5000 · e-0 •021 = -0,02N

VSV

funktionen N

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

Bestäm den fullständiga lösningen till följande differentialekvationer. 3131

a) y' = 2x + 3

3132

a)

3133

3134

dy = 8x 3 -12x 2 dx

3137

Visa att y = cos x är en lösning till differentialekvationen y" + y = 0

3138

Antalet elever på en skola kan beskrivas med differentialekvationen

b) dy= COSX + X dx

a) y" = 20

b) y"=6x

a) xy' = x + 1

b) x 3 dy+ 4 = 0 dx

dy - =-0 02· y dt ' där y är antal elever vid tiden t år från år 2005. Förklara med egna ord vad differentialekvationen betyder.

3139 3135

Visa att y = e-3x är en lösning till differentialekvationen y' + 3y = 0

3136

Bestäm en lösning till differentialekvationen y' = 4x + 5 så att a) y(3) = 20

b) Motsvarande lösningskurva går genom punkten (1, -5).

3.1

DIFFERENTIALEKVATIONER

I en bakteriekultur är antalet bakterier N(t) = 2000 från början. Tillväxthastigheten är proportionell mot antalet bakterier vid det aktuella tillfället. Antag att tillväxten är 7 % per minut. Ställ upp en differentialekvation med begynnelsevillkor som beskriver situationen.

3140

Bilden visar tre lösningskurvor till ekvationen y' = 5 - 4x. Bestäm ekvationen för den lösningskurva som går genom punkten ( 1, 6).

3147

Differentialekvationen y" = 12x - 2 .. . ar given. a) Bestäm den fullständiga lösningen. b) Ange den lösning som uppfyller villkoren y(2) = 0 och y'(2) = 0. c) Ange den lösning som uppfyller villkoren y(l) = 3 och y(2) = 20.

3141

3sinx Visa att y = + är en lösning 10 10 till differentialekvationen y' + 3y = sin x. cosx

3142

Bestäm konstanten p så att y = 3epx är en lösning till y ' + 8y = 0

3143

Visa att y = x · ex är en lösning till Il

y -y 3144

I

X

= e

3148

Bestäm funktionen f(x) då f"(x) = 6x ochf'(l) =f(l) = 2. Visa hur du gör.

3149

Visa att y = sin2 x satisfierar ekvationen 4y' + y''' = 0.

3150

Bestäm konstanten k så att y = Cekx är en lösning till differentialekvationen y" - 6y' + 8y = 0. Visa hur du gör.

3151

Bestäm konstanten a så att y = ax2 + 4 är en lösning till differentialekvationen y +y +y=x2 + 2x+ 6.

Undersök om y = x(ln x - 1) är en lösning till differentialekvationen y' = då X> 0.

l'.. + 1 X

3145

Bestäm den lösning till y' = Sx - 6e2x som för x = 0 antar värdet 1.

3146

Bestäm konstanterna A och B så att y = A sin 2x + B cos 2x blir en lösning till differentialekvationen y" = -4y då y(O) = 10 och y'(O) = 30.

Il

3152

I

Visa hur du bestämmer konstanten k så att differentialekvationen y" + ky' + 2y = X · ex har lösningen y = x . ex.

..

TANKENOT 12 Om Anna ger 10 % av sina pengar till David så har de lika mycket. Hur många procent mer än David, hade Anna före gåvan?

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

3.2

INTEGRALER

Integral och area Vi börjar med att repetera från kurs 3. Arean av det markerade området A kan beräknas med integralen b

A=

ff(x) dx

=

F(b) - F(a)

a

y y = f(x)

A

X

a

b

Här gäller att F(x) är primitiv funktion tillf(x).

ff(x) dx b

b

= [ F(x)]a = F(b)- F(a)

där F' (x) = f (x)

a

Man säger: "integralen av f(x) från a till b" Här gäller att a och b är integrationsgränser.

f(x) kallas integrand och x är integrationsvariabel. Skrivsättet [ F( x) F(x) till f(x).

3.2

INTEGRALER

J: innebär att man bestämmer den primitiva funktionen

Om flera integraler h ar samm a integrationsgränser kan de sättas samm an till en integral, enligt följande.

li

b

b

a

a

a

ff(x)dx+ fg(x)dx = f(t(x)+g(x))dx I kurs 3 härledde vi ett samband för arean mellan två funktioner. Arean A i figuren är differensen av två integraler.

b

A=

f

b

f(x)dx-

a

'

f

g(x)dx

a

,y

y = f(x )

-

A V=

g(x) -

x-a

x -- b

·-X

j(x) kallas överfunktion och g(x) kallas underfunktion.

Eftersom integralerna har samma gränser kan vi skriva med endast ett integraltecken enligt regelrutan nedan.

Arean mellan två kurvor

"y y = f(x)

b

f

Arean= (t(x)- g(x))dx a

Här är f (x) överfunktion och g(x) är underfunktion.

A

y = g(x) X

>

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

Bestäm integralerna. 2

a)

f

2

3

(x

2

23 - +2 3

+ 1) dx = ~ + x

-1

- I

(-1)3 - - -1 3

=

8 1 = -+ 2 +-+1 =6 3 3 SVAR:

6

7f /2

f

b)

COS X

. ],r/2 . 1C dX = [Sln X O = Sln

. 0 Sln = 1 2

0

SVAR:

1

7f /2

c)

f sin2xdx= -

cos2x 2

0

SVAR:

cos

7f /2

--

2rc -cos O

2

2

0

2

-- - --1 - -1 = l 2

1

Lös integralerna och svara exakt.

fe l

a)

2

x

J:= O,Se -0,Se = O,S(e - 1)

dx = [ O,Se 2 x

2

0

2

0

SVAR:

e2 - 1 -2

2 2 b) J-;dx = [ 2lnx ]~= 2ln3- 2~ = 2ln3 = ln3 3

1

=0

SVAR:

In 9

8

c)

f .fhdx f(2x ) 4,5

INTEGRALER

dx =

4,5

(16)1. 5

( 9 ) 1,5

3

3

SVAR:

3.2

05 '

=

--

( 2x )1.s

8

37

1 = 123 3

64

-- -

3

-

27 3

1,5 · 2 --

37 3

8

-4,5

=

ln9

2

Ett område A begränsas av kurvan y = 2 cos 2x, y-axeln samt linjen y = 1, enligt bilden. Beräkna områdets area med två värdesiffror. y .,.,.....,........ y = 2cos 2x

X

Den vänstra integrationsgränsen är 0. Den högra integrationsgränsen beräknar vi genom att lösa ekvationen 2 cos 2x = 1.

2 cos 2x = 1 cos2x = 0,5 Den negativa roten förkastas

n

x=-+n · n 6

lntegrationsgränsen är rc

6

1t /6

A=

f

[

(2cos 2x-l)dx = sin2x-x

]

tr / 6

O

=

0

2

sin n - n - (sin0 - 0)= 6

6

n

n

3

6

= sin- - - ::::: 0,866- 0,523 ::::: 0,34 fnlnt(2cos(2x)- 1.x,0,n/ 6)

Kontrollera gärna med räknarens integralverktyg. SVAR:

.3424266282

Arean är 0,34 ae

INTEGRA LER

l1ss

KAPITEL 3 .· ~

Beräkna följande integraler. Ange närmevärde med tre värdesiffror där svaret avrundas. 4

3201

3202

b)

0

2

I

b)

I

b)

ldx

Y- -

1 - - f - +I \

'

l --

1 - 4 - + -\

1--1---1-1

4

b)

0

\\-1--1- + - . f - . f

1

J;dx

' _x

~-1-q-

=

4 - 31
0

1 där tex Å = - - - - - -- - - - medellivslängd för en glödlampa

y

Bilden visar frekvensfunktionen j(x) = Å · e-.\x för Å = 0,05. Den markerade arean = sannolikheten att glödlampan går sönder inom de första 30 månaderna.

I 30

0,05. e-0.0Sx dx = [ -

e-0.0Sx

J: 0

=

- e-0 ,05 30 -

f(x) = 0,05·e-O,OSx

0•01-

(- e o )

= 1-

X ).

I

I

10

20

e -0.05 30 ::::::

30

0, 78

0

Svaret 0,78 betyder att 78 % av glödlamporna har gått sönder inom 30 månader.

3.2

INTEGRALER

En viss typ av elektroniska komponenter har en medellivslängd på 1000 timmar och antas ha exponentialfördelad livslängd. Beräkna risken att en komponent går sönder inom 500 timmar. Å = 1/1000 = 0,001 vilket ger frekvensfunktionenf(x) = 0,001 . e-o.oo ix _

Risken att en komponent går sönder inom de första 500 timmarna kan bestämmas med integralen 500

0,001 · e-0,00 l x dx = [ -e-0,00lx

J

Jo = 500

- e-0,001·500 -

(-e-0,0010 ),:::;;:

0,39

0

SVAR:

39 %

30

3247

d) Beräkna

En slumpmässig variabel x är exponentialfördelad med Å = 0,1. 3250

En viss typ av elektroniska komponenter som har en medellivslängd på 500 timmar, antas ha exponentialfördelad livslängd. Beräkna sannolikheten att en komponent a) går sönder under de första 100 timmarna.

dx

Vid radioaktivt sönderfall kan man med hjälp av exponentialfördelning bestämma sannolikheten att en radioaktiv kärna 'överlever" en viss tid (tid i minuter). Vi antar att Å = 0,01. a) Efter hur lång tid förväntas hälften av kärnorna ha sönderfallit? b) Bestäm halveringstiden med ln2 formeln r;_,2 = Å som du använt

b) håller längre än 400 timmar? Sannolikheten att lampan i en bils strålkastare ska gå sönder, kan beräknas med hjälp av exponentialfördelning där ,\ = 0,2. a) Ställ upp frekvensfunktionen f(x) där x är tiden i år. b) Är det sant att risken är ca 20 % att lampan går sönder under första året? c) Hur många procent av lamporna kommer att hålla mellan 2 år och 3 år?

x

och förklara resultatet.

b) Beräkna sannolikheten att x < 20.

3249

2

0

a) Bestäm frekvensfunktionen.

3248

J0,2e-o,

_)

i fysikkursen. Jämför med svaret i a-uppgiften.

KAPITEL 3 .· ~

••

3.3 VOLYMBERAKNING MED INTEGRAL Rotation kring x-axeln Ett område begränsas av kurvan y = f(x), linjen x = a, x = b samt x-axeln. Se bilden.

y y = f(x)

X

a

När området roterar kring x-axeln bildas en rotationskropp. Se nästa bild.

b

y y = f(x)

X

a

I det här avsnittet ska vi använda integraler för att beräkna volymen av rotationskroppar.

b

y

Vi tänker oss att vi delar volymen i mycket tunna cirkulära skivor. Om skivorna görs tillräckligt tunna, kan varje skiva betraktas som en cylinder med radienf(x) och höjden f}.x.

Llx f( ) X

--

a

Volymen av varje sådan liten skiva:::: :::: n · f(x) 2 • ~x Hela kroppens volym :::: :::: Summan av alla "n · f(x) 2 • ~x" i intervallet a till b. Detta skrivs V::::< .I.nf (x )2 · Ll.x Vi låter ~x gå mot noll och får b

V= t,x~O lim""'° n f (x ) _L..,;

2 ·

f}.x =

f

n f (x ) dx 2

a

I raden ovan har vi ersatt summatecknet med ett integraltecken och ~x med dx.

3.3

VOLYMBERAKNING MED INTEGRAL

b

Den sökta volymen V kan alltså skrivas b

J

V= n · f (x ) dx 2

a

Det här sättet att beräkna volymer kallas skivmetoden.

y Rotation kring x -axeln Rotati onskroppens volym V ka n beräknas

\

I I

m ed följand e integral: b

f

f

X

r

aI

b

2

y b

I 2

V = n · y dx = n y dx a

a

Det områd e som begränsas av x-axeln, linjen y = 0,Sx och linjen x = 6 får rotera kring x-axeln. Beräkna ett exakt värde på volymen av den rotationskropp som uppkommer. Från bilden ser vi att rotationskroppen är en kon. Vi beräknar konens volym med hjälp av en integral, där gränserna är x = 0 och x = 6 6

6

J

J

2

2

V= n · y dx = n (O,Sx) dx = 0

y = 0,5x

Ay

0

6

=

n · J0,25x dx = 2

X

0

=

n.

0,25x 3

SVAR:

3

6

0

0,25·6 3 = n. - - - -0 =18n 3

x=6

Volymen är 18n ve.

Med formeln för konens volym får vi naturligtvis samma svar.

n · r 2 • h då h = 6 och r = 3 ==> V= n· 32 . 6 =18n V= - - 3

3

INTEGRALER ,175

KAPITEL 3 .· ~

"y

Det område som begränsas av x-axeln, kurvan y = x 2 samt linjen x = 3, roterar kring x-axeln.

X

.... .....

Bestäm volymen av den rotationskropp som uppkommer. Svara med tre värdesiffror. 3

3

5

3

V=nf(x 2 ) 2 dx=nf x 4 dx=n x 0 0 5

0

5

n ·3

_

5 SVAR:

0

= 243n ""'

5

),..

.....

' ' '

''

' X=3

153

Volymen är 153 ve

Ay

Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas när det skuggade området roterar kring x-axeln. Svara med tre värdesiffror.

f

f

1

I

2

2

0

"Hela Volymen"

= n · [ 4,5e

2

x -

X

1

I

V= n · (3e x ) dx - n · 2 dx 0

f

--'-- - - - --y=2

=

n · (9e

2

x -

4)dx =

0

"Hålet"

4x ]~ = n · ((4,5e 2 - 4)- (4,Se0

-

0))""' 77 ,8

Bilden visar den ihåliga rotationskropp som bildas. Vi ser att totala volymen fås genom att beräkna differensen av de volymer som ges av y = 3ex och det "hål" som y = 2 ger.

SVAR:

3.3

..

Volymen är 77,8 ve

VOLYMBERAKNING MED INTEGRAL

',---

-

l

I I

1----

-

Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas när det markerade området roterar kring x-axeln. Svara med två värdesiffror.

3306

a)

b) y

y = x2 + 1 Y

1

3301

a)

Ay

b) y

y= l[x

1

x.,...

y=x

2

-1

X

X

3307

a)

LEDNING:

1

(ex)2 = e2 x

3

b)

y y = 4x - x3

1 2

4

X

y y= 1_

1

X

I

3302

a)

1

b)

y

1

y

X

1

y = e-X X I

r--

1

3303

1- -.-:::r, - .-:.\_

),..

4

1

2

3308

a)

b)

y

4

y

y= 3x2 - x3

b)

a) Ay

y

- ' - - - - y=6

X.,...

.__ __.._ y = 1

y=x

X

X

3

5

3304

3309

Kurvan y = e0 •5x begrä.n sar tillsammans med y-axeln, x-axeln och linjen x = 1 ett slutet område. Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då detta område roterar kring x-axeln.

3310

Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då följande område roterar kring x-axeln. Området begränsas av:

2

Kurvan y = x - 1 begränsar tillsammans med x-axeln ett område. Beräkna volymen av den kropp som bildas då detta område roterar kring x-axeln.

Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas när det markerade området roterar kring x-axeln. Svara med två värdesiffror.

3305

a)

b) y

X

2

a) kurvan y = 4x - x och linjen y = 3 b) kurvan y

y

X=

y =Vsin x

4.

=i

och linjerna y = x och

X

y=x+2

3311 X

TT

3

Kurvan y = 9 - x 2 innesluter tillsammans med linjen y = 5 ett område. Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas då området roterar kring x-axeln.

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

3312

Då det skuggade om rådet roterar kring x-axeln bildas en rotationskropp vars volym är n ve. Bestäm konstanten a med tre värdesiffror. a)

Det område som begränsas av de positiva koordinataxlarna och funktionen f (x) = cos x + sin x får rotera kring x-axeln. Beräkna rotationskroppens volym. Svara med tre värdesiffror.

3315

Ett klot har radien r. Visa att klotets volym 4nr 3 kan beräknas med formeln V = - 3

b)

y

y = 2e -O,Sx

X

X

1

a

3313

3314

a

Grafen till y = 2 sin x för O < x < n roterar kring x-axeln. Beräkna ett exakt värde på rotationskroppens volym.

Rotation kring y-axeln Då ett område roterar kring y-axeln, får den cirkulära snittytan radien x, istället för y. y d

-

c

X

>

Volymen av varje skiva ::::: rr · x 2 • 6.y. Om vi resonerar på samma sätt som vid d

d

J

J

c

'

rotation runt axeln kan volymen beräknas enligt V= n · x 2 dy = n x 2 dy

Rotation kring y-axeln Rotationskroppens volym V kan beräknas med följand e integral: d

V=nf x2dy c

3.3

VOLY MBERAKNING MED IN TEGRAL

y

Det område som begränsas av parabeln y = 3 - x 2 och de positiva koordinataxlarna, får rotera kring y-axeln. Se bilden. Beräkna rotationskroppens volym. Svara med tre värdesiffror.

-----

X

>

Gränserna är O och 3. Lägg märke till att gränserna nu finns längs y-axeln.

y = 3 - x 2 kan skrivas x 2 = 3 - y 3

V=n

f

3

x 2 dy=n

0

f

3

2

(3 - y)dy=n 3y-Y 2

0

0

= n-(9-4,5 - 0)=4,Sn""' 14,1

SVAR:

Volymen är 14,l ve

Det område som begränsas av kurvan y = Fx ,y-axeln och linjen y = 2, får rotera kring y-axeln. Bestäm rotationskroppens volym.

f 2

2

Volymen= n x dy

y

0

Eftersom y = Fx och vi söker x2 , måste uttrycket omformas.

2

''\

2

Kvadrering ger y = x.

\ \

X

>

Vi kvadrerar ännu en gång och får y4 = x 2• I integralen ersätter vi nu x 2 med y 4 och får S 2 2 f2 4 V=n f x dy=n y dy=n L 0

SVAR:

0

5

2

= 0

32n

=6,4n

5

Volymen är 6,4n ve""' 20,1 ve

INTEGRALER

KAPITEL 3 .· ~

Svara med tre värdesiffror i följande uppgifter.

3320

Kurvan y = _!_ samt linjen y

=

2,5 - x

X

3316

innesluter ett område. Bestäm exakt volym av den rotationskropp som bildas då detta område roterar kring

Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas när det skuggade området roterar kring y-axeln. aj

b)

y

a) x-axeln

y

3321

y= _1

b) y-axeln. 1

Ett område begränsas av kurvan y = - , X

X

X ).

3317

X

>

Ett område begränsas av grafen till y = 3 - x 2 och de positiva koordinataxlarna. Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då området roterar kring y-axeln. 2

3318

Kurvan y = 1 + x och linjen y = 5 begränsar ett område. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området roterar kring y-axeln.

3319

De positiva koordinataxlarna innesluter tillsammans med kurvan y = ln x och linjen y = 2 ett område. Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då detta område roterar kring y-axeln.

3.3

den positiva x-axeln samt linjerna x = 1 och x = 2. Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas då detta område roterar kring y-axeln.

VOLYMBERAKNING MED INTEGRAL

3322

Vi får två rotationskroppar då området som begränsas av linjen y = 2 och kurvan y = 6 - x2 får rotera A) kring y-axeln

B) kring linjen y

=

2.

Bestäm förhållandet mellan de två rotationskropparnas volymer. Svara exakt.

Beräkna volymer med räknare Här ska vi använda grafritare för att bestämma volymer. Vi använder oss av formeln V =

fy rc

2

y

dx .

X

Grafen till f (x) = x - 3x - 2 bildar tillsammans med koordinataxlarna ett område i fjärde kvadranten enligt bilden. 3

2

Vi ska beräkna den volym som bildas då detta område roterar kring x-axeln. Bilden visar att den högra integrationsgränsen verkar vara x = 3. Vi kontrollerar gränsen med hjälp av räknaren genom att lösa ekvationen x3 - 3x2 - 2 = 0. Använd funktionen solve eller INTERSECT.

X"3-3X 2- 2=0 • X=3.1958233454 .. . bound= - 1e99,1 .. . • left-rt=- 1e-12

Svaret blir x""' 3,1958. Nu kan vi bestämma rotationsvolymen

f n In t ( TT* (X" 3-3 X2 - 2) 2,X,0,3.1958)

3,1958...

med integralen

f rc(x

3

-

3x

2

-

2

2) dx

188 .8277954

0

Vi får svaret 189 ve. 1 Kurvan y = 2x · ln x och den positiva x-axeln innesluter ett område.

a) Beräkna områdets area. Svara med en decimal. b) Då området roterar kring x-axeln bildas en rotationskropp. Beräkna rotationskroppens volym. Svara med en decimal.

2 Kurvan y = xe-o,sx - 5 + x bildar tillsammans med koordinataxlarna ett område. a) Beräkna områdets area. Avrunda svaret till två värdesiffror. b) Då området roterar kring x-axeln bildas en rotationskropp. Beräkna rotationskroppens volym. Avrunda svaret till två värdesiffror.

3 Rita grafen till y = x4 och y = ex för -1 < x < 3. I första kvadranten innesluter graferna tillsammans med y-axeln ett område. Låt området rotera kring y-axeln och beräkna rotationskroppens volym.

INTEGRALER

Differentialekvationer

En differentialekvation är en ekvation där det finns derivator av olika ordning, t ex y' + 3y = 0

Primitiv funktion

F(x) är primitiv funktion till f(x) om F'(x) = f(x) f (x)

F(x)

f(x)

F(x)

2x

x2

e2x

0 5e2x '

5x7

5x6

2x

7 .

cosx

2x ln2

s1nx

1

sin3x

cos 3x

X

X

3

. Sin X

ln

-

- COS X

1 cos2x

sin 2x

1 --

x2

X

2

Beräkning av integraler

b

f f(x)dx= [F(x)] : =F(b) - F(a) a

Detta utläses "integralen av f(x) från a till b".

a och b kallas integrationsgränser f(x) kallas integrand

Areaberäkning med integraler

y y

y = t(x)

y = f(x) A

y = g(x)

A

X X

a

b

a b

b

A

= f f(x)dx a

b

A=

f f(x)-g(x)dx a

Integralens värde Titta på bilden! b

Här gäller att

ff

(x )dx = A- B

y

a

Integralens värde får man genom att beräkna "arean ovanför x-axeln minus arean under x-axeln''.

Tillämpningar

X

ite /h A

Grafen visar vattenflödet från en pump. Den totala vattenmängden M som lämnar pumpen under 6 timmar kan skrivas

"'

6

M =

fv(t)dt

V

""-...

" ........ ~

0

"-.. ...

M

"" -v

... ........_

, •

Volymberäkning med integraler

y

b

f

---------g1;,

2

V= rc y dx

I

I

a

X

a'I

X

l

a1

b

I

b

--- ---

För en ihålig rotationskropp enligt bilden ovan till höger gäller att b

V = rc

f (J

(x )

2

-

g( x )

2 )

dx

a

y

Vid rotation kring y-axeln enligt bilden gäller att /,

f

2

V= rc x dx 0

Sannolikhetsfördelningar

-----

------

X

Frekvensfunktionenf(x) för normalfördelningen kan skrivas

t

"'

h

(E)

Bestäm en primitiv funktion.

0 © ©

a) f(x) = 6x2 - 4x3 b) f(x) = 2ext3

Beräkna det markerade områdets area. y = x2 - 4

Ay X

a)

3

f(x)=x

5

b) g(x) =

X

2

Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x)=cos~-sinx ,så att F

2

~ 3

y = 2x - x2

=0.

Ge exempel på två funktioner f(x) och g(x) där det gäller att

f'(x) = g(x) och g'(x) = -f(x).

Beräkna arean av det område som 2 begränsas av kurvan y = x - 2x och x-axeln. Beräkna integralen. 2,r

Bestäm den fullständiga lösningen till differentialekvationen. a) y" = 60x2

b) y" = X+ 4

Bestäm den primitiva funktionen F(x) då

f sinxdx

a)

f sinxdx

2ir

b)

0

1r

Bestäm den primitiva funktionen G(t) till funktionen 2

1

g(t) = (e + 3) så att G(O) = 3,5.

a) f(x) = sin 2x och F(rr/2) = 0 b) f(x) = 3ex - e-x/2 och F(O) = 1 c)

f(x)=x

2

2 -X

a

ochF(l)=O

Bestäm följande integraler. 1r /2

a)

Beräkna det positiva talet a så att

f2xdx

= 8.

1

Grafen visar den primitiva funktionen y = F(x).

ff(x)dx 6

f cosxdx

Bestäm

0

2

1r /2

b)

med hjälp av figuren.

y

f sin2xdx

/

,/

0

'

\

F( ')

2

a)

f (2x + 3x

2

)dx

l

I

-1

4

b)

f (3x -2

2

-

x)dx

J >-

I

\

'

X )

e

Bilden visar grafen till y = ln(x + 1). Dela det markerade området i 2 parallelltrapetser och använd trapetsmetoden för att skriva ett uttryck 4

för

f

Visa att volymen för en rak cirkulär kan bestämmas med formeln 2

rcr ·h

V = -3

ln(x + l)dx

0

y y = ln(x + 1)

X

).

4

Visa att y = x · ex är en lösning till differentialkvationen 2xy' - 2y = 2xy.

I en kommun förväntas folkmängden öka med hastigheten N' (t) = BOt där t = tiden i år efter 2010. Hur många invånare bör kommunen ha år 2018, om folkmängden år 2010 var 24 000? Bestäm arean av det markerade området.

y y = 4e2x

Svara med tre värdesiffror. En punkt P ligger på kurvan y = ..Jx enligt bilden.

X

1

y y=Vx

X

Då området A roterar kring x-axeln bildas rotationskroppen va.

Ett företag lät sina anställda göra ett test. Resultatet på testet är normalfördelat med standardavvikelsen cr = 55 poäng och medelvärdet x = 320 poäng. Använd frekvensfunktionen

Då området B roterar kring y -axeln bildas rotationskroppen Vb. Beräkna koordinaterna för punkten P då rotationskropparna va och vbhar lika stora volymer.

och bestäm hur många av företagets 2000 anställda som bör ha mer är 400 poäng? Kurvan y = 2eo.sx samt de räta linjerna x = 2 och y = 2 begränsar ett område som får rotera kring x-axeln. Bestäm rotationskroppens volym.

Kurvan y = Fx samt linjen y = 5 och y-axeln begränsar ett område som roterar kring y-axeln. Bestäm volymen.

I en stad kan antalet invånare per kvadratkilometer beräknas enligt sambandet f(x)= 10!

Kurvan y = sin x och linjen y = 0,5x innesluter ett område i första kvadranten. Beräkna områdets area och avrunda svaret till 2 decimaler. Visa hur du gör.

X X

där x är avståndet till stadens centrum. Hur många personer bor på avstånd mellan 1 km och 4 km från stadens centrum?

1

Kurvan y = - och de tre linjerna X

y = x, y = 0 och x = 3 innesluter ett område. Beräkna områdets area med 2 värdesiffror. En bakteriekultur växer enligt

dy = 2000 · e0 •1x där y = antal bakterier

dx

och x

=

a) Bestäm arean av det markerade området då g(x) = - x och f(x)=.JI0 - 2x.

b) Antag nu att linjen g(x) = - kx så att den markerade arean är 19,l ae. Bestäm k med tre värdesiffror.

tiden i timmar.

y

Med hur många bakterier ökar odlingen från x = 1 till x = 5? Svara i hela tusental.

f(x) =V10 - 2x g(x) = -X

Grafen till y = 5 - x - 2 sin x bildar tillsammans med de positiva koordinataxlarna ett område. Beräkna områdets area. Svara med två värdesiffror.

X

-3

5

BLANDADE UPPGIFTER 1

10 a)

Bestäm en primitiv funktion till

a) f(x) =

2

e5x

b)

Ay

b) g(t) = -

y

y = 5sin x

t

2

3

Bestäm en primitiv funktion till a) f(x) = sinx

b) g(x) = 2 cos 3x

c) h(x) = sin 0,5x

d) f (x) = x - cos 2x

Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x) = 3 sin 2x som uppfyller villkoret

11 Beräkna volymen som bildas då arean nedan får rotera kring x-axeln. y

F n =-0,25. 3 1

Beräkna följande integraler. Om svaret inte blir exakt , är det lämpligt att avrunda till tre värdesiffror.

1

a)

J2sinxdx 0 ,r / 2

5

a)

n: / 6

Jcosxdx

6

a)

J2cos3xdx

b)

,r / 18

0 5

7 ;dx

J Jx2

e

7T

4

a)

13 Visa att differentialekvationen y" - 4y = 0 har en lösning y = e-zx_ 14 Beräkna följande integraler.

I

7

2

12 Intelligenskvoten IQ är normalfördelad med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. Hur stor är sannolikhetn att en slumpvist vald person har IQ över 125? Använd frekvensfunktionen på sid 183.

,r

4

X

a)

±-dx

7T

Jcosxdx

Jcosxdx

b)

7T / 2

0

2

15 Beräkna följande integraler.

7

8

Jf(x)dx

Bestäm

F(7) = 2.

om du vet att F(l) = 5 och

a)

1

J 16x +; 3

5

8

dx

b)

b)

a)

Ay y=eX

a)

b)

Ay

1

Y =x

1

2

4

----.,......_ x

X

1

1

y

5--~

1

X

2e-0,lx ) dx

16 Beräkna arean av det markerade området. Ange svaret i exakt form.

y

y= X

J(1 0

I

Bestäm arean av det markerade området.

9

2

y = 2 + x2

X

>

5

INTEGRA LER

KAPITEL 3 .· ~

17 De två graferna y = 2 sin 3x och y = 4 cos 3x bildar tillsammans med y-axeln ett slutet område i första kvadranten.

Bestäm områdets area. 18 Bestäm den primitiva funktionen H(t) till 2t 3 -1 funktionen h(t) = som uppfyller 3

23 Kurvan y = 1/x roterar kring x-axeln enligt bilden. a) Bestäm exakt värde på rotationskroppens volym då p = 1,5 b) Bestäm p så att rotationskroppens volym blir 0,57l' ve. y

t

p

>

1

villkoret H(-0,5) = 5. X )I.

p

19 Hur lång tid måste jag köa för att köpa biljetter till festivalen?

Funktionen J(x) = Å · e-Åx där x är antal minuter och Å = 0,12 används här som frekvensfunktion för att beräkna den sannolika kötiden. a) Bestäm sannolikheten att kötiden är kortare än 10 minuter. 60

b) Bestäm

Jf (x) dx

och tolka resultatet.

0

24 Funktionen f (x) = a + e2x • sin 3x har en maximipunkt i intervallet O < x < 1. Bestäm konstanten a så att maximipunkten ligger under x-axeln.

25 Beräkna följande integraler. O,Srr

a)

J cos3xdx

2

b)

0

20 Bestäm det minsta positiva a så att integralen a

J4sin3x dx

J(sinxcosx + l)dx 0

26 Ett område begränsas av kurvan y = x 2 - 4x + 4, linjen y = x och positiva x-axeln. Beräkna arean av området.

0

a) får så stort värde som möjligt b) får värdet noll. 21 Ett område begränsas av x-axeln och kurvan y = c - ,!- där c > 0. Området roterar kring y-axeln. Skriv ett uttryck för rotationskroppens volym. 4

22 Bestäm ett exakt värde till

Jxex dx 0

när du vet att f(x) = xex har den primitiva funktionen F(x) = xex - ex.

27 Kurvan y = 9 - x 2 och x-axeln begränsar ett område. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området roterar

a) kring x-axeln

b) kring y -axeln. b

28 Bestäm konstanten b så att

Jx -

1

dx = 2

I

29 I en triangel är två av sidorna 12 cm vardera. Triangeln får rotera kring den tredje sidan. Hur stor kan rotationskroppens volym högst vara? Svara i exakt form. 30 Ett område begränsas av kurvan y = 2 cos x , linjen y = 1 samt de positiva koordinataxlarna. Beräkna ett exakt värde på områdets area.

J1ss

BLANDADE UPPGIFTER

31 a) Derivera funktionen y = x · In x - x

b) Använd resultatet i a-uppgiften och e

beräkna

Jln x dx I

32 Bestäm det blå områdets area då man vet att

n

39 Kurvan y = sin x+- har en tangent där 3 kurvan skär y-axeln. Tangenten begränsar tillsammans med koordinataxlarna en triangel. Kurvan delar denna triangel i två delar. Bestäm förhållandet mellan den större och den mindre delens area.

y

40 Vilket är det minsta värde som funktionen g(x) kan anta? Svara med tre värdesiffror.

y = f(x)

4

Jf(x)dx = 9,5

X

0

g(x)=

j(t

3

-4)dt

x> 1

I

33 Bestäm ett exakt värde på konstanten a så att e

2+ax d

J

x2

x=e

41

_1

För vilket positivt tal a gäller att

J(zt - I)dt~

l

2

J\

8

dt

I

34 Funktionen g(x) = 2x3 - 4x har en primitiv

funktion G(x) vars minsta värde är 1. Bestäm G(4). k

35 Bestäm k > 0 så att integralen

J(k -

x 3 )dx

0

får ett så stort värde som möjligt. 36 Kurvan y = ax - x 2 innesluter tillsammans med den positiva x -axeln ett område. Bestäm konsta11ten a då områdets area är 288 ae.

42 Klockan 06.00 avläser Eva att en cistern

innehåller 425 liter syra. Hon beslutar sig för att fylla på mer syra. Vätskeflödet y (liter/h) varierar då enligt y =15sin n. x där x 12 är antal timmar efter klockan 06.00. Om mängden syra blir mer än 500 liter slås ett varningslarm till. Vid vilken tidpunkt slås larmet till? 2

43 Grafen till y = 9 - x innesluter tillsammans

37 Ett område som begränsas av x-axeln och grafen till y = x(x - a) roterar kring x-axeln. Bestäm a > 0 så att rotationskroppens volym blir lOrr ve. Svara både exakt och med tre värdesiffror.

med linjen y = 5 ett område. Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas då området roterar kring linjen y = 4.

38 Bestäm a > 1 så att uttrycket a

a2 +

J(4x - 3x l

2

)

dx blir så stort som möjligt.

TANKENÖT 15 Bestäm förhållandet mellan sidorna i en likbent triangel, där höjden mot den "tredje sidan" är 1/5 av omkretsen.

INTEGRALER

I det här kapitlet får du lära dig • Räkna med komplexa tal skrivna på olika former • Visa ett komplext tal som punkt och vektor • Komplexa talplanet • Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal • Lösa ekvationer med komplexa rötter • Använda och bevisa de Moivres formel • Polynomdivision • Faktorsatsen • Lösa ekvationer med hjälp av polynomdivision • Olika bevismetoder

EULERS IDENTITET - ETT VACKERT SAMBAND

et finns många samband inom matematiken och naturvetenskapen som anses särskilt vackra. Leonard Euler har gett namn till det som många anser vara det vackraste sambandet, nämligen Eulers identitet. I dina matematikstudier har du redan kommit i kontakt med följande berömda tal.

TALET Pi är ett av geometrins viktigaste tal

TALEN 1 OCH O är två av aritmetikens viktigaste tal Det kan tyckas märkligt att dessa tal är relaterade till varandra i ett enda samband! EULERS IDENTITET:

e7t' + 1 = 0

n:::::: 3,1415 ... Pi är ju som bekant kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter.

TALET e är ett av differentialkalkylens viktigaste tal e::::: 2,7182 ...

Talet e är basen för den naturliga logaritmen och exponentialfunktionenf(x) = ex

I det här kapitlet får du bevisa detta samband. Här kommer vi också att använda komplexa tal bl a för att lösa andragradsekvationer. Det är också nödvändigt att kunna räkna med komplexa tal, för att klara svåra differentialekvationer.

Talet e kan bestämmas med gränsvärdet 1 n e = lim 1 + - . Prova gärna med större och n~oo n större värde på talet n.

I praktiska samma.n hang används komplexa tal bl a inom ellära.

TALET i är den imaginära enheten som är ett av algebrans viktigaste tal. Med hjälp av talet i kan vi lösa ekvationer av typen x2 = 1 eftersom definitionen är i 2 = - 1.

Bilderna visar ett fraktalt mönster. Dessa fraktaler skapas då matematiska beräkningar upprepas (itereras) många gånger. Till exempel med formeln z = z2 + c där z och c är komplexa tal.

KOMPLEXA TAL

4.1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

Inledning Kan vi dela talet 8 i två delar så att delarnas produkt blir 25? Låt oss prova! Vi kallar delarna för z och (8 - z) och får följande ekvation:

z(8 - z) = 25 8z - z2 = 25 z2- 8z + 25 = 0 z = 4 + .J16 - 25 z=4± J 9 Uttrycket

H

kallas för ett imaginärt tal ("overkligt" tal).

Ett tal som t ex 4 + .J 9 kallas för ett komplext tal.

O

DEFINITION: Imaginära enheten

Definitionen betyder t ex att

H

=

J9 ·H

= 3i

Ordet komplext betyder sammansatt och anger att ett komplext tal kan bestå av två delar, en reell del och en imaginär del. Komplexa tal betecknas ofta med z. Svaret till ekvationen z2 - 8z + 25 = 0 kan skrivas

z = 4 ± 3i z 1 = 4 + 3i och z2 = 4 - 3i För z 1 gäller alltså att realdelen är 4 och imaginärdelen är 3. Rez1 = 4 och Im z 1 = 3 De komplexa talen z 1 = 4 + 3i och z2 = 4 - 3i är lika så när som på imaginärdelens tecken. Sådana tal kallas konjugat till varandra. För konjugatet används skrivsättet z (utläses "z konjugat"). Här gäller alltså att z 1 = z 2

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

Titta på koordinatsystemet! Här kallas x-axeln för den reella axeln och y-axeln för den imaginära axeln. Koordinatsystemet kallas det komplexa talplanet. In z

Det komplexa talet z = 4 + 3i motsvaras av punkten (4, 3) i koordinatsystemet.

B

4 + 3i ·-- · - - - - 1

--3-i-~---

'

Om Re z = 2 och Im z = 0 får vi talet z = 2 + Oi dvs z = 2. z = 2 är ett reellt tal som motsvaras av punkten (2, 0). Se punkten A i bilden.

!

A 1

1

~

I

? .

De reella talen (t ex talet 2) ligger på den reella axeln. Dessa tal är alltså en delmängd av de komplexa talen. Komplexa tal som saknar realdel t ex z = 0 + 4i kallas ett imaginärt tal. De imaginära talen ligger på den imaginära axeln i det komplexa talplanet. Se punkten B = (0, 4) i bilden. Det komplexa talet z = 4 + 3i kan även representeras av den pil (vektor) som börjar i origo och slutar i punkten P = (4, 3). Med absolutbeloppet av z menas avståndet från origo till punkten P dvs längden av vektorn. Absolutbeloppet betecknas lzl.

--3-i-i-1---11---1r-...1 z -n-1 4 _+ -t 3 -1 IZI / t"'

Pythagoras sats ger

Izl = 14 + 3il = ~ 4

2

2

+3

=

~mz

' _/

-5s = s

I e

i ? ?~

Ett komplext tal z kan skrivas z

z

• In

=a + bi

. I=

z=a+b

,--, '1 -

1- I /

/' " b

./

Iv

.

Re z = a och lm z = b

Konjugatet till z = a + bi är z = a- bi

a

J

Absolutbeloppet av z skrivs z = a + bi = a 2 + b2 I

KOMPLEXA TAL

z

Ange realdel och imaginärdel av följande komplexa tal. a) z = 5 - 2i

Re z = 5 och Im z = -2

b) z=3+i

Re z = 3 och Im z = 1

c) Z = 8i

Re z = 0 och Im z = 8

d) z=7

Re z = 7 och Im z = 0

Bestäm talens konjugat. a) z = 1 - 4i

har

z = 1+4i

b) z = - 3 + i

har

z= - 3- i

c) z = 7i

har

z =-7i

d) z= -3

har

z=-3

Vilka komplexa tal motsvarar punkterna i koordinatsystemet?

In

z

c A

SVAR:

A = 5 + 2i B = 2 - 3i C= 4i

. •

0

I e~

F

G

D=-4 E = - 3i

E

B

F=O G = -2 - i

Beräkna lzl. a)

z = 7 - Si

b) z = 8i

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

lzl =~7 2 +(-5)2 =~49+25 =ffi ~s,6 2

2

lzl=.Jo + 8 =M=8

4101

Ange realdel och imaginärdel av följande komplexa tal z. a) -3 + 7i

4102

b) 7 - i

c) Si

Skriv z i formen a - bi. a) Re z = 4 och Im z = -3

4103

4105

4106

Beräkna absolutbeloppet av z. a) z = 3 + 4i

b) z = 12 - Si

c) z=S

d) z= -7i

e) z = 1 + 3i

f) z = i

Ange konjugatet till z.

b) Rez = -2 och Imz = 0,5

a) z=3+i

b) z = 1- lOi

c) Rez = -3 och Imz = -1

c) z = -8 - 2i

d) z = 2i

d) Re z = 0 och Im z = 9

e) z = - 0,7i

f) z = 12

a) Vilka komplexa tal motsvarar punkterna A - F? In

4107

Beräkna lzl. a) z = 1 + 2i c) z = 2-

z

b) z=l+hi

Jsi

0

Talet z ligger i första kvadranten. I vilken kvadrant ligger ?

4109

Vilket av följande komplexa tal ligger längst bort från origo?

A

.

/-

E

4108

z

~e ,z

I.

I F

B

.c 1

z = 1 + 7i

u = - 6 + Si

v = 5 - Si

w= -Bi

Vilka av punkterna motsvarar b) reella tal

4110

c) imaginära tal? 4104

Vilka av följande påståenden är sanna då z = a + 6i?

a) lzl =lzl Rita ett komplext talplan och markera följande komplexa tal. a) z = 2 + 4i

b) z = 5 - 4i

c) z = -5 + i

d) z= - 3i

e) Z=4

.

f) Z=l

b) z-z =0 Re z

c) Imz+Imz=O d) - - = l Re z

4111

Visa att för två godtyckliga komplexa tal u och v gäller räkneregeln u + v = +

u v.

KOMPLEXA TAL

Räkning med komplexa tal Tabellen visar resultatet när vi beräknar olika potenser av det imaginära talet i. I· 2

-

I

·3

= I· ·

· t. I

=I

· I

·5

I

·

=I

·4

I

·6

=I

·7

= I·3 · I·4

I

·2

·2

i· (-1 ) =-i

I

·2

(-1 ) - (-1)=1 .

i ·1=I

· I

·2

1

·4

(-1 ) · 1 = -1

· I

-i · 1=-i

osv

osv

När exponenterna blir större, använder vi att i 4 = 1. Se nästa exempel c) och d).

a) 8i 2 =8·i 2 =8·(-l)=-8 2

b) 16 - 5i = 16 - (-5) =16 + 5 = 21

c)

· 12 . (. 4) 3 . · 13 l =l ·l= l ·l=

d) i22 =

i 20 •

1 · l. = l.

i2 = (i 4)5 . i2 = 1 . (-1) = -1

När vi räknar med komplexa tal använder vi samma parentesregler som tidigare. Därefter behandlas realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig. Resultatet blir ett nytt komplext tal.

a) (2 + Si) + (1 + 4i) = 2 + Si + 1 + 4i = 3 + 9i b) (2 + 3i) (4 - 8i)

=8 -

16i + 12i - 24i 2 = 8 - 4i + 24 = 32 - 4i

2 2 c) (4 - 3i) = 16 - 24i + 9i = 16 - 24i - 9 = 7 - 24i

Vad händer när vi multiplicerar ett komplext tal med dess konjugat? Vi tittar på z · z då z = 1 + Si Eftersom = 1 - Si får vi 2 2 2 z · z = (2 + 5i)(2-5i) = 2 -(5i) = 4- 25i = 4 + 25 = 29 dvs ett reellt tal.

z

4 .1

KOMP L EXA TAL z = a + bi

Blir svaret alltid reellt ? Vi b eräknar z ·

z då z = a + bi.

z

2

2

z · = ( a + bi)( a- bi)= a -(bi) = a2 - (-b 2 ) = a2 + b2

Multiplikation med konjugatet

z = a + bi => z · z = a 2 + b2 När man multiplicerar ett komplext tal med konjugatet, blir svaret ett ree llt tal.

I näst a exempel ska två komplexa tal divideras. Där kommer vi att förlän ga med n ämnarens konjugat så att vi får en reell n ämnare.

8 +c . 3i - på 1ormen a + bi. Skrl·v t

För att få reell nämnare, förlänger vi med -i.

-i(8 + 3i)

--. .

-8i - 3i 2 .2

-t. l

=

-8i + 3 1

- l

=-8i+3=3-8i

Lägg m ärke t ill att -i är konjugat till nämn aren i. SVAR :

Skriv

3 - 8i

2+i

l -3i

på formen a + bi.

Näm narens konjugat är 1 + 3i. Vi förlänger m ed 1 + 3i och får följande:

(2+i)(1+3i)

2+ 6i +i+ 3i

(1- 3i)(1 + 3i) = - 0,l

l-9i

2

2

2+7i-3 1+ 9

-1 +7i

1

7i +- =

10

10

10

- - - - =- -

+ 0,7i

SVAR: -

0,1 + 0,7i

KOMPLEXA TAL

4124

Skriv som a + bi.

4112

a) (4+3i)+(5-i)

Skriv på formen a + bi. a)

b) S - 4i - (3 - 4i)

4113

a) (2 + 5i)(l - 3i) b) (5 + i)

4114

b)

4125

a) (2 + 3i)(2 - 3i)

a) (7 - i) 2 - (1 - 3i) 2

4117

a)

l

·8

·1 5

l

3-2i

(2+i)(6-4i)

Talen z = 3 + 4i och w = 6 - Si är givna. z a) Beräkna w

b)

·9 l

b)

· 26

c)

a)

l

·5

+

l

·7

b)

c)

l

· JO

l

4126 .39

l

· 12

- l

c)

· 135

l

Antag att z 1 = 3 - 2i och z 2 Beräkna följande.

· 63

- l

c)

Skriv på formen a + bi.

4119

1 a) -.

b)

l

.

4120

a)

l

2+i

b)

c)

•

25

c)

3+4i

4121

a)

2-3i

b)

I

(1 + i)

2

c)

d) Im(z1 + z2 )

4128

Givet är att z 1 = 2 + 3i och z 2 = 4 - 5i. Beräkna z 1 + z 2

5i 2i-I

4129 IS-i

1

b) Im(z 1 + z 2 )

Beräkna realdel och imaginärdel av z = (5 + i)(5-i) + 5i - (3 + i) 2

l

1-i

Re(z + z 2 )

= - S + 3i.

4127 .

l-i l

w

•

· IO

l

a) Re(z1 + z 2 )

4118

z

c) Vilket samband råder mellan dessa tre absolutbelopp?

Förenkla så långt som möjligt. a)

2+3i

b) Beräkna lzl, lwl och

b) 5(- 2 - 4i)2

4116

6-l7i

(I+i)(3-i)

2

b) (1 + 4i)(l - 4i)

4115

16 + lli

25 ( 2 + i)

2

Rita i det komplexa talplanet de två vektorer som motsvarar talen z och iz. a)

z = 5 + 2i

b)

z = -3 + i

c) z = -3 - 3i

4122

Talen z = 6 + Si och w = 5 - l2i är givna. a) Beräkna zw.

4130 Beskriv med hjälp av föregående

b) Beräkna lzl, lwl och lzwl.

uppgift hur man kan få vektorn iz utgående från vektorn z.

c) Vilket samband råder mellan dessa absolutbelopp?

4123

Markera i det komplexa talplanet en punkt z = 2 + 3i. Rita sedan de fyra punkter som motsvarar talen 2z, - 2z, - z och 0,5z .

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

4131

Antag att z :t:. 0. Vilken figur bildar de fyra punkterna z, iz, -z och -iz?

4132

Visa att det alltid gäller att Im(z · z) = 0

4133

Visa att följande påståenden är rätt.

4135

Bestäm det reella talet x så att 2

Re

x +i

a) Summan av ett komplext tal och dess konjugat är alltid ett reellt tal. b) Differensen av ett komplext tal och dess konjugat är alltid ett imaginärt tal.

4134

4136

= 0,6

Förenkla a) i+ i2 + i3 + , .. + i99 + i !OO b)

·

·2

l·l

·3

· 99

· l · ... · l

· 100

·l

Bestäm konstanten a så att uttrycket 5 +i - - blir reellt.

4 - ai

KOMPLEXA TAL

a2 + l Här ska du undersöka det komplexa talet z = . för olika värden på a. a+i 1 Beräkna z på formen z = x + iy föra = 1, 2, 3 .. . och fyll i tabellen . .

z =X+ IY 1 2 3 4

-1 -2 -3 -4

2

Formulera slutsatser om Re z och Im z.

3

Bevisa dina slutsatser.

4 Formulera en slutsats om

Izl .

5 Bevisa slutsatsen.

KOMPLEXA TAL

a + bi Här ska du använda räknaren och beräkna några komplexa tal på formen a + bi. Talet i hittar man på vissa räknare med hjälp av knapparna 2nd och decimalpunkt. Börja med att ställa in MODE på a + bi. Bilden visar räknarfönstret då (1 - 3i) 2 + (2 + i)2 beräknas. Utgå från z= 2 + i och w = 1 - 3i och beräkna följande. 1 z+w

4 z·w

2 3z-w

5 z/ w

3 z2

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

Sci Eng Float 0123456789 Rad ian j1}4,jffi Par Pol Seq · ·, Dot • Simu l Real • • re"Si lajHI Horiz G- T (1- 3i) 2+(2+i)2 -5-2i

Ekvationer

3

2

Lös ekvationen Sz + 1Oz + l Sz = 0

sz3 + 1oz2 + 1sz = o 5z · (z2 + 2z + 3) = 0 Vi har brutit ut faktorn Sz och och vet nu att z = 0 är en rot.

z 2 + 2z + 3 = 0

z = - l +.JI - 3 z = -1+H s v AR: z = 0 eller z = - 1 ± i h

z = - 1 ±i.J2

Lös ekvationen z2 - 4iz - 4 = 0

z2- 4iz- 4 =

0

J

z = 2i + 4i 2 + 4 z = 2i + .J- 4 + 4

z = 2i+Jo z = 2i + 0

SVAR:

z 1 = z 2 = 2i

(dubbelrot)

Lös ekvationen z +i= 2iz + 3

z +i= 2iz + 3 z - 2iz = 3 - i z( 1 - 2i) = 3 - i

(3 - i)

z = ....;..__.;_ (1- 2i) Förlängning med konjugatet (1 + 2i) ger

z=

(3-i)(1+2i) (1-2i)(1+2i)

SVAR: Z =

=

3+6i-i-2i l-4i

2

2

=

3+5i+2 1+4

--

5+5i 5

=l+i

1+i

KOMPLEXA TAL

z

Bestäm det komplexa talet z så att z + 2 · = 6 + Si . Vi skriver z = a + bi och konjugatet

z =a - bi .

Ekvationen blir då

a +bi+ 2(a - bi)= 6 + Si 3a - bi= 6 + Si I ekvationen måste realdelarna vara lika: 3a = 6 => a = 2 Även imaginärdelarna måste vara lika: -b = 5 => b = -5 Eftersom a = 2 och b = - 5 får vi z = 2 - Si. SVAR: Z

= 2 - Si

Lös följande ekvationer. Ange svaret på formen a + bi.

4137 4138

a) sz2 + 20 =

o

4148

Ge exempel på en andragradsekvation som har lösningarna z = -2 + 3i. Förklara hur du tänker.

4149

Bestäm konstanten a så att talet inom parentes blir en lösning till ekvationen.

b) 2z2 + 14 = 0 b) z2+25=5-3z2

a) sz2 + 45 = 0

4139

a) z2+ 8z+ 17=0 b) sz2- 10z+50=0

4140

a) z2 - 6z + 11

4141

a) 0, 1z2 - z + 3 = 0 b) z2- iz + 12 = 0

=0

b) (z + 5)

2

= -4

4150

a) z2 - lOz + a = 0

(z = 5

+ 2i)

b) z2 - 2iz + a = 0

(z = i - 1)

Bestäm konstanten a så att ekvationen z2 + aiz - 9 = 0 får dubbelrot.

Lös ekvationerna.

4142

a) iz + 8 = 0

4143

a) b)

b) Sz +i= 6 - i+ 3z

i3 - 6z2 + lOz = 0 2i3 + 24z2 + 80z = 0

4144

a) (1-i)z= 3 + i

4145

a) z =Si+ 2iz

4151 4152

b) iz+ 3i= 1

4153

b) 2z - (3 - i) + iz = 0 4146 4147

a) 20 = z(3 + i)

z+i . a) =zz 1 + 2i

4 .1

b) 2iz + 4i = 3 - z .

b)

Z-l

z+i

KOMPLEXA TAL z = a + bi

= 2-3i

4154

a) 3z+z=l+2i 2

2

a) z + lzl = 8 + 16i

b) z+S·z=(2+i) b) z2 = 8i

Undersök hur vektorerna z 1 och z2 ska placeras i det komplexa talplanet, för att likheten z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ska gälla. Motivera dina slutsatser.

Undersök var rötterna till ekvationen z2 - 1Oz + a = 0 "ligger" i det komplexa talplanet för alla möjliga värden på a.

2

Mer om komplexa talplanet Bilden visar de komplexa talen z = 4 + 2i och u = 2 + Si

In

z u,r\

I ~

Vi berä.k nar differensen u - z u - z = 2 + Si - (4 + 2i) = - 2 + 3i (den röda vektorn)

u - z" '\

'

IV

.

, tJ

_/

'( !.,,..

~

''

~ I Fe

~

Då vi parallellförflyttar vektorn - 2 + 3i ser vi att det är vektorn från z till u. Med Iu - zl menar vi alltså avståndet från z till u.

Avstånd i de komplexa talplanet u-

z är avstånd et från z till u.

Vad betyder Villkoret

lz- 21= 3?

lz- 21= 3

betyder att avståndet från

2 till z är 3.

Detta gäller för alla tal z som ligger på en cirkel med radien 3 och medelpunkten i (2, 0). Se bilden nedan till vänster. Den högra bilden visar

, In

z

, In

V

/

""" \

( /-,

I

.

""-..

/

I

(O, 2i

-

'

z

""" \

I F ez

(2 0)

\

lz- 2il = 3 . Här är m edelpunkten (0, 2i).

.

\

I

"

V

J

F ez

.,.

KOMPLEXA TAL

.,.z

z

In

a) Visa lösningen till olikheten

, .-

lz -11 < 4

i'.

...

~

Lösningen är alla tal som ligger på kortare avstånd än 4 från talet z = 1.

J

'

.;

-

\ ...

,I

,,.

1,

"""

z

In

b) Visa lösningen till olikheten lz + il < 2 Olikheten kan skrivas lz -(-i)I < 2. Lösningen är alltså alla tal z, vars avstånd till z = -i är mindre än 2.

Rez

. '

Il

. ;

1,

''

F ez

-

J

~ I"\

....

P'

"I n

z

;

c) I bilden har vi markerat de tal z där Im z > 2. .;

F ez

.,..

d) Visa likheten Iz - 2 - 3il = 2 i det komplexa talplanet.

lz - 2- 3il =

2 kan skrivas

lz- (2+3i~ = 2

Skrivsättet z - ( 2 + 3i ~ = 2 betyder att avståndet mellan z och talet (2 + 3i) ska vara 2. I det komplexa talplanet innebär det här en cirkel med centrum i (2, 3i) och radien 2. Se bilden.

4 .1

KOMPLEXA TAL

z

=

a

+ bi

z

• In

/

"

(2, 3i)

;

•

"'

~

.

/ F ez

-.

4163

Rita komplexa talplan där du visar följande. 4155

a) Rez< 1

c) lz 4156

4157

4158

b)

izl < 2

a)

ll < 2

lz+ 21 = 1 c) lz + il = 2

a)

Im z < 0 och

b)

4164

lz - 2il < 2

3 < Izl < 4

Talet z ligger på den röda linje som markerats i det komplexa talplanet nedan.

iz + 21 < 1

Vilket samband är markerat i bilden?

In

./

'

'

,_

. I-

z

.......

,_

(1, 4i) J ~

•

Det komplexa talet z = 4 + 3i har absolutbeloppet 5. Det finns ett enkelt sätt att skriva ytterligare tre tal med samma absolutbelopp. Hur då?

4165

Visa i det komplexa talplanet de punkter där Iz - 2il = Iz - 6il

4166

I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A, B, C, D, E, F, G och H. lm z

B

A

C

Visa de z som uppfyller följande. a)

4161

-1 < Im z < 2

0 < Rez < 2 b)

~e _z '

Rez-

Re z < 2

z 2 anta?

lm z

•

4160

b) 3 < Iz - 31 < 4

Vilka värden kan realdelen för

I

4159

Visa i det komplexa talplanet de punkter som uppfyller olikheten.

Re z

D

F H

G

-3 < Im z < -1

En parallellogram har hörn i punkterna 4 + 2i, -6 + 2i och i origo. Var finns det fjärde hörnet z?

Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de markerade områdena. Bestäm i vilket eller vilka områden 1

talet - kan ligga om z ligger i B.

z

4162

Beskriv med ord de z i det komplexa talplanet som är lösning till ekvationen.

(Np Ma E Vt 2005)

a) lz-(2 +2i) =4 b) lz-4+3il=3

KOMPLEXA TAL

Faktorsatsen Tredjegradspolynomet p(x) = (x - 2)(x2 + 3) har det reella nollstället x = 2. Omvänt gäller att om x = 2 är ett n ollställe till polynom et p(x) så kan polynomet skrivas: p(x) = (x - 2) · q(x) där q(x) är ett annat polynom.

O

SATS: Faktorsatsen

(x - a) är en faktor till p(x) om och endast om p(a) = 0 p(x) = (x - a) · q(x) där q(x) är ett annat polynom

Bilden visar ett polyn om p(x) som har t re reella nollställen, x = l , x = 2 och x = - 3.

y

p(x)=x 3 -7x+6

Detta p olyn om kan skrivas p(x) = (x - I )(x - 2)(x + 3) =

=x

3

-

7x + 6.

Ett tredjegradspolyn om har alltid tre rötter, men några av rötterna kan vara icke reella.

-

1-

X

-2

Tex p(x) = (x + 3) · (x2 - 4x + 8) = x 3 - x 2 - 4x + 24. Vi ser att en rot är x = - 3. De andra rötterna får vi när vi löser ekvationen 2

x -4x+8= 0 2

x=2± ) 2 -8 x=2+ F-4 X= 2 + 2i x 1 = - 3, x2 = 2 + 2i och x 3 = 2 - 2i y

Lägg m ärke till att rötterna x 2 och x 3 är varandras konjugat. Titta på grafe n ! Trots att ekvationen h ar 3 rötter, sk.är grafen x-axeln endast en gång, nämligen då x = -3. Grafen visar aldrig de icke-reella rötterna.

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

10 I

-10

1

Lägg märke till att den reella roten x 1 = - 3 kan betraktas som ett komplext tal. De reella talen är ju komplexa tal som saknar imaginärdel.

• Om p(x) är ett polynom av grad n så har ekvationen p(x) = 0 precis n st komplexa rötter. • Alla ekvationer med reella koefficienter som har en lösning

x = a + bi har också lösningen x = a - bi .

3

2

Här undersöker vi polynomet p(x) = x + 2x

-

5x - 6

a) Visa att polynomet innehåller faktorn x - 2. p(2)

= 23 + 2 . 22 -

5.2- 6

=0

Eftersom x = 2 är ett nollställe, måste (x - 2) vara en faktor. VSV

b) Innehåller polynomet faktorn x + 3? Vi undersöker om x = -3 är ett nollställe. p(- 3) = (- 3)3 + 2 · (- 3)

2

-

5 · (- 3) - 6 = - 27 + 18 + 15 - 6 = 0

Eftersom x = - 3 är ett nollställe, är x + 3 en faktor. SVAR:

Ja, x + 3 är en faktor.

c) Är x + 2 den tredje faktorn? p(- 2) = (- 2)3 + 2. (- 2) 2 - 5. (- 2) - 6 = - 8 + 8 + 10 - 6 = 4

Eftersom p(- 2) SVAR:

=I=

0 kan x + 2 inte vara en faktor till p(x).

Nej

KOMPLEXA TAL

y

Grafen visar ett tredjegradspolynom. Bestäm polynomet.

(3, 108)

Sätt polynomet = p(x). 20-

Eftersom grafen skär x-axeln i 2 och - 3, vet vi att 2 och -3 är rötter till ekvationen p(x) = 0. Vi ser också att - 3 är en dubbelrot.

1

p(x) = k(x + 3)(x + 3)(x - 2) Att p(3) = 108 ger k(3 + 3) SVAR:

4167

4168

2

•

=

(3 - 2) = 108 ::::} k = 108 = 3 36

4171

3

x + 2x + x + x + 3 innehåller faktorn x + 1.

p(x)

4169

4170

=

b) Polynomet p(x) = x 3 - 4x - 16 innehåller faktorn x + 2

Ge exempel på ett tredjegradpolynom som har nollställen x = 3, x = 2 och x = -1. Bilden visar grafen till ett tredjegradspolynom p(x). Vilket är polynomet? y (3, 15)

X

4 .1

Är följande sant? a) Grafen till funktionen f(x) = (x + 4)2 (x - 1) tangerar x-axeln då x = 4.

Visa att polynomet 5

k(x + 3) 2 (x - 2)

p(x) = 3(x + 3) 2 (x - 2)

Hur kan man visa att polynomet p(x) = x3 - 4x - 15 innehåller faktorn x - 3?

6

X

KOMPLEXA TAL z = a + bi

4172

Vad är rätt av följande? Motivera. a) Om x = 2i är en rot till ekvationen 2 x + ax + b = 0, där a och b är reella, så är också x = -2i en rot. b) Polynomet p(x) = (x2 + 4)(x - 1) har endast ett reellt nollställe. c) Ekvationen x 4 + ax3 + bx2 +ex+ d = 0 har alltid fyra reella rötter.

4173

Grafen visar ett tredjegradspolynom p(x). Bestäm p(x).

2

4175

Ekvationen x 3 - 3x + 4x - 12 = 0 har en rot x = - 2i. Visa att också konjugatet x är en rot till ekvationen.

4176

Bestäm den reella konstanten k så att x + 2 blir en faktor till polynomet

y (2. 147)

3

20-

p(x) = x + kx + k

X

2

•

1

4177

Ett tredjegradspolynom p(x) har nollställen x 1 = 2 och x 2 = 2 + 3i a) Ange det tredje nollstället.

4174

b) Bestäm det polynom p(x) som har dessa tre nollställen och där p(O) = 13.

Visa att

a) p(x) = x 3 - 6x2 + llx - 6 är delbart med x - 3 2

b) p(x) = x + 4 är delbart med x + 2i

Polynomdivision Med hjälp av polynomdivision kan vi faktorisera polynom och på så sätt lösa ekvationer av högre grad. 1 4 Då vi förkortar uttrycket ( x ~ )( x) ) får vi svaret (x - 4). x+l Då parentesmultiplikationen (x + l)(x - 4) görs, får vi x

SLUTSATS:

Divisionen

X2 -

3 X-4

x+l

2

-

3x - 4

= x- 4

Så här kan divisionen ställas upp! Här kan svaret skrivas

x

2

-

I Täljare

3x- 4

lx+l ~ .------

Nämnare

KOMPLEXA TAL

Vi visar divisionen och förklarar tankegången: Tänk så här: 2 Vad ska multipliceras med x för att få x ?

X

x 2 - 3x - 4 -(x2 + x) - 4x - 4

x- 4 x2 - 3x- 4

-x2 +

l x +l

SVAR: X 2

x(x + 1) = x + x 2 2 Från x - 3x - 4 subtraheras nu x + x Kvar blir - 4x - 4 Vad ska multipliceras med x för att få -4x? SVAR: - 4

lx+l

X

-4 · (x + 1) = -4x - 4 Från -4x - 4 subtraheras nu -4x - 4. Det som blir kvar, dvs "resten'' blir 0. Alltså gäller att divisionen "går ut':

-4x-4 -(-4x - 4) 0

SLUTSATS:

Vi ser att divisionen

x 2 -3x-4 x+l

= x- 4

•

Dividera polynomet x 3 - 4x2 + 9x - 10 med x - 2. 2

x - 2x + 5 x3 - 4x2 + 9x-l0 - (x3 - 2x2 ) -2x2 + 9x

lx-2

2

-(-2x + 4x) Sx - 10 - (Sx - 10)

s VAR: x2 - 2x + 5

0

Utför följande polynomdivisioner. 4178

(x2 +

4179

(x2 - 4x - 5)/(x - 5)

4180

(2x3 + 9x2 + x - 12)/(x - 1)

4181

(x3 - x- 6)/(x - 2)

X -

12)/(x + 4)

KOMPLEXA TAL z = a + bi

4182

(x3- x

4183

(x4 + x 3 - x 2 + x - 2) / (x + 2)

4184

Faktorisera polynomet p(x) = x 3 + 16x2 - 185x + 168 så långt som möjligt.

2

-

7x + 3)/(x- 3)

Ekvationer med en känd reell rot Antag att vi vet att x = 2 är en rot till ekvationen till x 3 Vilka är de övriga rötterna?

-

4x2 + 9x - 10 = 0.

1 En faktor är (x - 2) 2 Med polynomdivision får vi att

x 3 -4x 2 +9x-10

x-2

= x 2 - 2x + 5

3 Ekvationen x 2 - 2x + 5 = 0 ger oss de två övriga rötterna. X=

1 +.Jl - 5

x=1+H X = 1 ± 2i

Detta är två komplexa rötter. 3

2

Ekvationen x 4x + 9x - 10 = 0 är av tredje graden och har därför tre komplexa rötter X

1

-

x 2 = 1 + 2i

=2

Ekvationen x 3

-

X

3

= 1 - 2i

x - 6 = 0 har en rot x 1 = 2. Bestäm de övriga rötterna. 3

Vi utför divisionen x 2

+ 2x + 3 x3 + Ox2 - x- 6 - (x3 - 2x2) x

2

-

xx-2 -

6

2X (2x2 -

lx-2

X

4x) 3x-6 - (3x - 6) 0

Divisionen får svaret x 2 + 2x + 3. Alltså vet vi att x

3

-

x - 6 = (x - 2) · (x

2

+ 2x + 3)

Till sist löser vi ekvationen x 2 + 2x + 3 = 0 och får då rötterna X 2 = - 1 + ih X 3 = - 1 + i.fi_ SVAR:

De övriga rötterna är x 2 = -1 + ih och x 3 = -l-ih

KOMPLEXA TAL

Ekvationen x3 - x2 + Bx + 10 = 0 har en reell heltalsrot. Lös ekvationen. 1 Först ritar vi grafen till funktionen f(x) = x3

-

x2 + Bx + 10

så att vi hittar den reella roten. 20 Y

X

1

-1 0

2 Vi kontrollerar att roten är x = - 1 genom att beräkna 3 2 f(-1) = (-1) - (-1) + 8(-1) + 10 = -1 - 1 - 8 + 10 = 0 Alltså ska vi dividera med faktorn x + 1. 3 Då vi utför divisionen Prova gärna själv!

x

3

2

-

x + Bx + 10 x+l

blir svaret x 2 - 2x + 10.

4 Till sist löser vi ekvationen x 2 - 2x + 10 = 0. 2

x - 2x + 10 = 0 x=l+.Jl-10 1 + 3i

X=

SVAR:

XI=

-l,x2 = 1 + 3i ochx3 = 1- 3i

4185

Ekvationen x3 + x 2 - 7x - 15 = 0 har en rot x = 3. Bestäm de övriga rötterna.

4186

a) Visa att x = -1 är en rot till ekvationen x3 - x 2 + 3x + 5 = 0 b) Lös ekvationen x

3

-

2

x + 3x + 5 = 0.

4188

Bilden visar grafen till f(x) = x3 - 3x2 + 4x - 2. Bestäm samtliga rötter till ekvationen f(x) = 0. y

-J (

4187

Ekvationen x3 + 6x + 20 = 0 har en rot x = - 2. Bestäm de övriga rötterna.

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

X

4189

g(x) = x 4 - 6x3 + 6x2 + 24x - 40 har två reella nollställen, x = 2 och x = - 2. Bestäm samtliga rötter till ekvationen g(x) = 0.

4193

Ekvationen z3 + a:i + bz = 20 har en rot z 1 = 2i. a) Bestäm de rella konstanterna a och b. b) Bestäm ekvationens övriga rötter.

4190

4191

Ekvationen x 3 - 3x2 + 4x - 12 = 0 har en positiv heltalsrot. Gissa denna rot och lös sedan ekvationen. Skriv de rationella uttrycken som polynom.

a)

4192

x 4 +2x-20 x- 2

b)

4194

a) Bestäm den reella konstanten a så att polynomet p(z) = z3 + az + a2 blir delbart med z + 2. b) Lös sedan ekvationen p(z) = 0.

x 5 -2x 3 -1 x+l

Polynomet p(x) = x 3 + ax2 + x - 2 har en faktor (x - 2). Lös ekvationen p(x) = 0.

0 NA1URLG ENERGI

lit-

'

.

KOMPLEXA TAL

Skissa tredjegradsfunktioner I den här aktiviteten ska du undersöka tredjegradsfunktioner och lösa motsvarande ekvationer. Räknare ska användas. 1 Nedan ser du funktionen f(x) = x3 - 5x2 - 3x + 18 ritad. Ett nollställe är (2, 0). Använd polynomdivision och bestäm de två andra nollställena.

X

-1 5 3

2

2 Rita grafen tillf(x) = x bx - 3x + 18 för olika värden på b. Försök att hitta det värde på b som innebär att f(x) får en dubbelrot. -

3 Faktorisera polynomet x3 - bx2 - 3x + 18 för detta värde på b. 4 Lös ekvationenf(x) = 0 för b = 0 5 Bestäm ett exakt värde på c så att f(x) = x3 - 4x2 - ex + 18 har en terrasspunkt.

4 .1

KOMPLEXA TAL z = a + bi

4.2

••

KOMPLEXA TAL I POLAR FORM

Potär form I figuren har vi ritat det komplexa talet z = a + bi som en vektor. Vektorn är bestämd till längd och riktning.

lm z z = ai + b

b

Om vektorns längd betecknas med r så gäller att

r= .Ja

2

+ b2

Re z

a

).

Då vektorn bildar vinkeln v med den positiva reella axeln gäller följande:

a cosv =r .

b smv = r

a = r · cos v b = r · sin v

Med hjälp av detta kan man skriva

z = a + bi = r · cos v + r · sin v · i = r( cos v + i · sin v) Man säger att z = r(cos v + i sin v) är skrivet i polär form. • r = absolutbeloppet av z • vinkeln v kallas argumentet av z

Argumentet mäts i grader eller radianer. Du kommer väl ihåg att 360° motsvarar 2rr radianer. En tabell med exakta trigonometriska värden finns på sidan 288.

Polär form z = r(cos v + i sin v) Vinkeln v kallas argumentet av z och skrivs arg z = v

r= z

I 2 = 'I! a + b 2

Absolutbeloppet av z

KOMPLEXA TAL

Skriv z = - 3 + 3i på polär form. Svara i grader.

Argumentet beräknas In

Figuren ritas och vi ser att 3 tanu = 3 u = 45° ~ V= 180° - 45° = 135°

,., : -·

~

"'

·~

Fe z

\

u1

-3

z

'

e

Absolutbeloppet beräknas

lzl = ~ 3

2

SVAR:

+ 32 =

Jl8::::: 4,24

z = Jis ·(cosl 35° + isinl35°)::::: 4,2 · (cosl35° + isinl35°)

Skriv z = -4 på polär form. Ange argumentet i radianer. Vi börjar med att rita figuren och ser att r = 4 och v = n SVAR: z =

A ln

"

- ,-

4(cos n + i sin n)

Figuren visar att

r = 3 och v = 270°

Al n

'\

"-

z

,., ' ;

-·

4.2

F ez

~

l /l

"

-

(\

z

Skriv z = -3i på polär form. Ange argumentet i grader.

SVAR :

z

z = 3(cos 270° + i sin 270°)

KOMPLEXA TAL I PO LAR FORM

z

Fe z ),

lzl

z

Här gäller att = 5 och arg = 45°. Skriv z på formen a + bi.

z=

5 · cos 45° + 5 · sin 45° · i ~ 3,54 + 3,54i

SVAR: Z ~

Skriv

z= 4

cos

6

z

. I-

Re z 1

3,54 + 3,54i

7n

Alm

. . 7n: +1s1n-

6

på formen a + bi.

Använd exakta värden.

Eftersom cos

z=

4 -

SVAR: Z

4201

J3 2

=

7n: -J3 och sin 7n: = - -1 1ar .c• =vi 6 2 6 2 1.

-1

2

,,; . = - 2-v 3 - 2t

-2.J3- 2i

Beräkna argumentet i grader med en decimal.

4204

a) z = 5 + 2i

Skriv följande tal i polär form. Ange argumentet i grader med en decimal och absolutbeloppet med två värdesiffror.

b) z = - 3 + 4i

a) z = 12 + Si

c) Z = 1 - 3i

b)

z= 1- i c) z = - 7 - 24i

d) z= - 5 - i

4202

Beräkna absolutbeloppet av z i föregående uppgift. Svara med tre värdesiffror.

4205

Bestäm argumentet i radianer och det exakta värdet på absolutbeloppet. a)

4203

Skriv följande komplexa tal på formen a + bi. Svara med en decimal. a) b) c)

z = 7(cos 40° + i sin 40°) z = 3(cos 125° + i sin 125°) z = 8(cos 190° + i sin 190°)

b)

z = 3 + 3i z= i

c) z = - 1 - i d) z = l - i-J3

e) z = - 2 + 2i

f) z = - 2 + i · 2../3

KOMPLEXA TAL

4206

Skriv på formen a + bi. Svara med exakta värden.

4209 Ett komplext tal

z har argumentet

v. Bestäm konjugatets argument.

a) z = 14(cos 71 + i sin 11) b) z = 10 cos c)

3

2rc

+ isin-

4210

3

3rc

2

Rita ett komplext talplan och markera de punkter z för vilka 1C

1C

2

2

a) lzl < 2 och - - < argz < -

z = cos 311 + i sin 311

d) z=2 cos

4207

2rc

. . 3rc +zsm-

1C

4

4

b) 1 zn = rn (cos nv + i sin nv)

Hur blir formeln om z istället skrivs z = re'v ? Visa hur du gör!

4.2

z=e6

b) Beskriv hur läget ändras för talet z dån ändras.

Bestäm dy. a) y

a) Rita de komplexa talen för n = l, 2, 3, ...

..

KOMPLEXA TAL I PO LAR FORM

Polär form Talet z = 4 + 3i skrivs med rektangulära koordinater (4, 3). 2

2

r= .J4 +3 = 5 3

tan v = -

~

4

v : : : 36,9°

Här ska vi nu istället använda räknaren och direkt få de polära koordinaterna (r, v). Tex kan menyn MATH och funktionen CPX användas, när vi bestämmer konjugat, realdel, imaginärdel, polär form mm. MATH NUM 1 :conj( 2:real( 3:imag( llangle( 5:abs( 6:.,Rect 7:.,Polar

abs(4+3i) 5.00

angle(4+3i) 36.87 imag(4+3 i) 3.00

Bilderna ovan visar att vi skrivit 4 + 3i på räknaren och sedan bestämt absolutbelopp, vinkel och imaginärdel. Vi får r = 5 och v :::::: 36,9° vilket ger z :::::: 5( cos 36,9° + i sin 36,9°) Använd räknare till följande uppgifter.

1 Skriv med polära koordinater z = 12 + Si

2 Bestäm konjugatet till z =

4i

.

l+z

16+11i

6-17i 3 Bestäm realdel och imaginär del till - --2 + 3i 3-2i . (2+i)(6-4i) 4 Skriv ( .)( .) pa polar form. l+z 3-z 0

••

Kontrollräkna sedan "för hand".

KOMPLEXA TAL

Olika bevismetoder

Liten ordlista

generell= allmängiltig bevisa att något gäller generellt = visa att det alltid gäller

DIREKT BEVIS

Vi utgår från tre heltal som följer på varandra, tex talen 9, 10 och 11. Nu ska vi multiplicera talet i mitten med sig självt och sedan subtrahera produkten av de två andra talen. 102 - 9 · 11 = 1 Svaret = 1. Blir det alltid så? Vi provar igen, nu med talen 4, 5 och 6. 52 -4· 6 =1 Också med talen 12, 13 och 14 blir svaret 1. 2 13 - 12 · 14 = 1 Det verkar som att det alltid blir 1, vilket kan bevisas.

Bevis: Antag att talet i mitten är x. Då blir det första talet x - 1 och det tredje talet x + 1. Vi multiplicerar talet i mitten, dvs x, med sig självt, och subtraherar produkten av de två andra talen. 2 2 2 2 2 2 x - (x - 1) · (x + 1) = x - (x - 1 ) = x - x + 1 = 1 VSB Nu har vi visat att oavsett vilka värden vi väljer på x så blir svaret alltid 1. Vi har i detta direkta bevis använt en generell m etod där vi använder en tidigare bevisad sats, konjugatregeln.

Direkt bevis

I ett direkt bevis används definitioner och tidigare kända satser för att utföra beviset .

4.2

..

KOMPLEXA TA L I POLAR FOR M

a) Bevisa med ett direkt bevis att summan av två jämna tal alltid är jämn. Alla jämna tal innehåller faktorn 2. Två jämna heltal x och y kan skrivas x = 2n och y = 2m , där n och m är heltal. Summan = 2n + 2m = 2(n + m). Eftersom summan innehåller faktorn 2, är summan ett jämnt tal. VSB b) Visa att summan av ett jämnt och ett udda tal är udda. Ett udda tal kan skrivas 2n + 1 och ett jämnt tal 2m där n och m är heltal.

vsv

2n+ 1 + 2m = 2(n + m)+ 1 jä,nnt udda

4258

Visa att summan av två udda tal är ett jämnt tal.

4259

Visa att kvadraten på ett udda tal alltid är ett udda tal.

4260

Välj ett naturligt tal större än 1. Subtrahera sedan talet från "talet upphöjt till s': Visa att differensen är jämnt delbar med 6.

4265

Visa att varje vinkel v i en regelbunden n-hörning kan skrivas

Visa följande sats: Om p och q är två jämna tal så är p2 + q2 delbart med 4.

V=

Visa följande: Om p och q är två udda tal 2 2 så är p + q ett jämnt tal.

4262

Nedan finns tre beräkningar. Försök att hitta ett mönster och skriv en liknande beräkning. Ställ upp en hypotes som du sedan bevisar. 4 3 1 5 4 1 6 5 1 ---=--- --5 4 20 6 5 30 7 6 42 Visa att om när udda så är (n + 2)2 delbart med 8.

-

1800- 3600 n

4261

4263

4264

4266

Visa att x + y > 2 om x > 0 och y > 0 y X

4267

I den spetsvinkliga triangeln ABC är sin A = p. 6

Visa att cos(B + C) = -~1- p B

n2

KOMPLEXA TAL

••

MOTSAGELSEBEVIS

Bland de indirekta bevisen finns t ex motsägelsebevis. Här betyder P ett påstående t ex x = 2. Motsatsen innebär att x i= 2. Detta skrivs -,P och utläses " icke P". Titta på följande motsägelsebevis, där vi bevisar att antalet primtal är oändligt!

P: Det fi nns oändligt många primtal. Detta ska bevisas. -,P: Det finns ett ändligt antal primtal. Om det fin ns ett ändligt antal primtal (n stycken) , kan vi kalla dem Pi• p2 , p3 , ... , p 11

•

Vi bildar nu ett nytt tal, talet q =Pi · p2

•

P3 • ••• • Pn+

1.

Det här talet är delbart bara med sig själv och talet 1. Vi har alltså hittat ännu ett primtal, vilket innebär att påståendet att det finns n primtal är en motsägelse. Alltså finns det oändligt många primtal. VSB

Två olika Motsägelsebevis

1) Om vi vill bevisa a tt A gä lle r, ka n vi istä llet visa a tt motsatsen, dvs att -,A le de r till något s om ä r fa ls kt, dvs e n motsäge lse. 2) Om vi vill bevisa att A ~ 8, kan vi iställe t visa att A och -,8 le der till e n motsäge lse.

Formulera motsatsen, dvs -,P till följande. a) P: Heltalet n är udda

-,P: H eltalet n är jämnt

b) P: x + y > 5

-,P: X+

c) P: x

-,P: x = 5

i=

5

d) P: Alla elever i klassen är tjejer

4.2

..

KOMPLEXA TAL I PO LAR FORM

y 0 ger en motsägelse, dvs att x 5 + x + 9

x=0

=}

05 + 0 + 9

SLUTSATS:

-:t-

Visa med ett motsägelsebevis att om 3 x + 2x + 8 = 0 så är x < 0.

4269

Formulera -.P

0.

0 och för x > 0 blir alltid x5 + x + 9 > 0 dvs

Om x 5 + x + 9 = 0 så är x < 0

4268

-:t-

-:t-

0.

vsv

4271

Visa att följande gäller för alla heltal n. Om n 2 är ett jämnt tal så är n ett jämnt tal. Använd indirekt bevis.

4272

Visa med ett indirekt bevis att om n 3 + 4 är ett udda tal så är n ett udda tal.

4273

Visa med ett motsägelsebevis att

a) P: Heltalet n är jämnt

b) P: x + y < 8

c) P: x = 3

2

d) P: Det regnar

-2

l+a

4270

Visa med ett motsägelsebevis att 3 x + 3x + Sx + 1 = 0 =} x < 0.

4274

< 2 för alla reella tal a.

Här gäller att x och y är heltal. Visa med ett motsägelsebevis att x2 - 9y -:t- 3.

KOMPLEXA TAL

J::i

dvs i 2 = -1

Det imaginära talet i

i=

Komplext tal

Ett tal på formen z = a + bi där a och b är reella tal.

Realdel

z

lmaginärdel

z = a + bi har imaginärdelen b, vilket skrivs Im z = b

Konjugat

z = a + bi har konjugatet z = a - bi

Geometrisk representation av komplexa tal

Ett komplext tal z = a + bi kan representeras av punkten P med koordinaterna (a, b) eller av vektorn OP. Se bilden.

=

a + bi har realdelen a, vilket skrivs Re z = a

lmz P= (a, b)

Re z

0

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av z = avståndet från origo till punkten P. Detta skrivs

lzl = .Ja

2

+ b2

Argument

Vektorn OP bildar vinkeln v med den positiva reella axeln. Vinkeln v kallas argumentet till z och skrivs arg z = v.

Polär form

z = r( cos v + i sin v)

r = absolutbelopp och v = argument

Räkning med komplexa tal

Man använder de vanliga räknereglerna och regeln i 2 = -1 . Division sker genom förlängning med nämnarens konjugat. 4+7i _ (4+7i)(2+3i) _ 8+12i+l4i+2li 2- 3i

(2- 3i)( 2 + 3i)

4- 9i

2

2

-1 3 + 26i - - - = - 1+2i 13

Absolutbelopp och argument

När man multiplicerar komplexa tal som är skrivna i polär form ska man • multiplicera absolutbeloppen • addera argumenten När man dividerar komplexa tal som är skrivna i polär form ska man • dividera absolutbeloppen • subtrahera argumenten

Mer om absolutbelopp

Iz · wl = Izl ·Iwl

arg(z · w)

!__ = lzl/ lwl w

z arg = argz- argw w

=

arg z + arg w

Lösningen till olikheten lx - 21 < 3 är de tal, vars avstånd till punkten x = 2 är n1indre än 3. Se bilden.

X

---

I

-1 0

Lösningen till olikheten lz -1 I < 4 är alla tal vars avstånd till (1, 0) är mindre än 4. Se bilden.

I

I

I

I

1

2

3

4

. I-

-3

9

5

Re z 1

5

'>

Faktorsatsen

x = a är en rot till ett polynom p(x) om och endast om

x - a är en faktor till polynomet.

Polynomdivision

Eftersom ekvationen x 3 - x - 6 = 0 har en rot x 1 = 2 x 3 -x-6 kan divisionen utföras.

x-2

2

Vi får kvoten x + 2x + 3. 2

Genom att sätta x + 2x + 3 = 0 kan vi sedan finna de övriga två rötterna. Omf(x) är ett polynom av n:te graden så har ekvationen f(x) = 0 precis n st komplexa rötter.

11

de Moivres formel

(cos v + i sin v) = cos nv + i sin nv

Funktionen y = ez

ex+iy = ex(cos y + i sin y)

y = ekz har derivatan y' = kekz

Ekvationen z1

=w

4

EXEMPEL: Z =

16i

r 4 (cos 4v + i sin 4v) = = 16( cos 90° + i sin 90°)

Bilden visar de 4 rötterna.

Bevis

Se sidan 234.

lm z

Bestäm det komplexa talet z så att 4z + 3z = 21 + 6i

Utgå från det komplexa talet z = 1 + 2i och bestäm följande.

© 0

lzl

a) z

b)

d) argz

e) lz I

c) argz

Skriv uttrycket a + bi.

1 + i.fi

9

på formen

1- i.fi

Bestäm dy då y = 2e_,x

Förenkla så långt som möjligt uttrycket (1 + i)IO + (1 - i) IO

Förenkla uttrycket (5 - 2i) 2 - (5 - 2i)(5 + 2i) så långt som möjligt.

Skriv det komplexa talet z = 2 + 2i

dx

a) på polär form b) på formen re'1

Skriv det komplexa talet i 4 + i 6 + (1 - i) 2 på formen a + bi.

Lös ekvationen z3 + 8 = 0. Svara på formen a + bi

4

Skriv det komplexa talet i - 2i på formen a + bi 1+ i

n

.. n

Utgå från talen z 1 = 3 cos-+ zs1n3 3

n

.. n

Hur förändras argument och absolutbelopp för ett komplext tal z om z l

multipliceras med - ? 2

a) Bestäm z 3 = z 1 • z2 =

3e 11r

.

och z 2 = 2 cos- + 1 sm6 6

b) Bestäm z4

6e- i1rt3 Visa att . 13 = -1- i.fi

Markera i det komplexa talplanet de punkter, som uppfyller olikheten

z1/z 2

a) lzl < 4 a) Visa att polynomet p(x) = x 3 + x + 10 har faktorn x + 2.

b) lz-2il < 2 c)

2 < Iz + 1- 2il < 4

3

b) Lös ekvationen x + x + 10 = 0.

(E)

Utgå från talen z = 3 + 2i och w = 2 - i. Beräkna z - w - ( z -

w) l - 18i

a) Bestäm talet p så att funktionen f(x) = x 3 - x + p får ett nollställe för X= -2.

3-4i

b) Lös ekvationen f(x)

Skriv på formen a + bi

a) 1 + i 1-i

b) 3 - Si l+i

Visa att om p är ett udda heltal så är 1 + p2 ett jämnt heltal.

c)

=

0 fullständigt.

0

För vilka heltal n gäller att Re z = 0 då z = ( 2v'3 + 2i )" ?

Talet z ligger på den linje som markerats i det komplexa talplanet nedan. Vilka värden kan realdelen för z2 anta? lm z

2

Skriv z = ( cos v + i sin v ) dels med Moivres formel, dels med kvadreringsregeln. Vilken regel får man när man identifierar

a) Rez

b) Imz?

Talet z 1 = .Jj + i och z2 = 6ei(1r.tz) är givna. Beräkna z2 /z 1 • Ge exakt svar på polär form.

. I

Re z 1

Vi har två komplexa tal z och w. Beräkna z · w - zw

I figuren är en kvadrat med sidan 2 längdenheter ritad. I två av hörnen finns de komplexa talen z1 och z2 ritade som punkter. Här gäller att z 1 = .

2ei(1r.tsJ

Skriv z = -6 + 3i på polär form. Svara med tre värdesiffror.

Ange z2 på samma form som z1 Alm

Ekvationen x3 - x 2 + 3x - 3 = 0 har en heltalsrot.

z

a) Gissa denna rot genom att rita grafen 2 3 tillf(x) = x - x + 3x - 3.

z, Re z

>

b) Visa att att den rot du gissat är en lös11ing till ekvationen. c) Bestäm ekvationens övriga rötter.

BLANDADE UPPGIFTER 1

Skriv på formen a + bi. a) (10 - 5i)

2

2

3+i

b)

1-2i

12 Skriv på formen a + bi. Svara med exakta värden.

rc

a) J z J = 4,5 och argz = 2

Beräkna 2z - 3z då z = -5 - 2i.

rc

b) JzJ = 2 och argz = - 4

3

Lös ekvationerna. a)

4

z2 - 6z + 13 = 0

b) z +i= 2iz + 3

Bestäm realdelen av z då z =

3-i

6

• 6+ 3i Bestäm JzJ da z = 1 + 2i Utgå från z = -

1+i 2

13 Sätt z = cos- + i sin- och beräkna exakt. 6 6 a)

i

c) z6

b) 2iz

14 Förenkla a)

och beräkna följande.

l

.4

b)

l

c) i 7 + i 12

·31

15 Bestäm kvoten då polynomet x 3 + x 2 + 18 divideras med x + 3.

-

a) z c)

rc

.

l

5

rc

b) z+z

d) Z·Z

z - -z

16 Beräkna och skriv på formen z = a + bi. b) (8 + 2i)2 + i 16

a) 5(2 + 3i) - i(l - 2i)

7

Skriv i polär form med argumentet i radianer.

a) 3i

b) - 2

c) -2 - 2i

d)

--/3-i

17 Bestäm Re z och Im z då 1 + 2i a) z= - .-

b)

z=

i 11 + (2i) 6

l

8

Bestäm absolutbelopp och argument i radianer till följande tal.

d)

c) - Si

b) 2i

a) - 3

---/3 + i

19 z = 4 - 3i och u = 2 + i

e) .J2(1 + i)

2

9

a) Beräkna JzJ och Jul

Utgå från de komplexa talen z = 8 (cos 150° + i sin 150°) och w = 2(cos 30° + i sin 30°). Skriv på polär form.

a) zw

18 Visa att summan av tre på varandra följande udda heltal är jämnt delbar med 3.

c) w3

b) z/w 3

b) Beräkna JzuJ ocl1

2

10 Utför divisionen (x + 4x

-

3x - 12)/(x + 4)

11 Lös ekvationen z 3 = 8(cos 150° + i sin 150°)

z u

20 Lös ekvationen 2z3 + 2z2 + 5z = 0 21 Skriv på formen a + bi.

( 2 + 3i )( 3 - i) z= - - - - (1 + i)(l - 2i)

KOMPLEXA TAL

•

~ i:{p

E~ U)~

z ~

tAi Han levde och verkade på 1700-talet och var en av de mest produktiva matematikerna genom tiderna. Eulers identitet, se uppgift 40.

22 Bestäm det komplexa talet z så att a)

2z + 3z

= 10 + i

b) z - 4z = 6 - 2oi

5+i 23 Bestäm konstanten a så att talet 2+ai blir reellt. 24 Antag att a och b är positiva reella tal. Bestäm argument till

a) a

b) - a

c) ib

d) -ib

b) z I i

z2 = (3 + i)(2i + 1)(1 - 7i) z3 =

· 16

1

+ i·18

29 Avståndet d mellan två punkter z 1 och z2 kan skrivas d = z 1 - z 2

I

a) Beräkna avståndet mellan punkterna z 1 = 13 - 7i och z2 =Si+ 18.

25 z = 5(cos 90° + i sin 90°). Beräkna och skriv på formen a + bi. a) zi

28 Vilka av följande rötter är reella? 3-Si z 1 =4i+-l+i

b) Bestäm talet k så att avståndet mellan punkterna z 1 = 3 + 4i och z2 = ki blir 5.

c) Z:i

26 Bestäm en rot till ekvationen ez = 1 + i

30 Lös ekvationen och skriv rötterna på polär form med argumentet i grader a) z 4 = - 16

27 Skriv z på formen a + bi då z = (2 + i) 2 • e05 "i

BLANDADE UPPGIFTER

b) z6

=

- 64i

42 Visa att antalet diagonaler i en n-hörning

31 Lös ekvationen. a) x 4

-

b) x 3 - 2x2 + Sx = 0

16 = 0

kan skrivas n

2

3n .

-

2

32 Vi har det komplexa talet z = 1+ i.

Skriv på formen a + bi.

a)

Z

4

b) z10 3

33 Lös ekvationen z = 27i

34 Visa att y'' + y

=

0 då y = i · e ;z

35 De två talen z = 3i + 2 och w = -5 + 6i ritas som punkter i det komplexa talplanet. Bestäm vinkeln zOw där O = origo. Svara i grader med en decimal.

36 Bestäm realdelen för det komplexa talet z = a + bi så att z2 + z är ett reellt tal för alla värden på talet b. 37 Bestäm de reella talen k och p så att x = 3 + Si blir en rot till ekvationen x 2 + p = kx.

43 Bestäm samtliga rötter. a) x 4 - 5x2 - 36 = 0

b) x 4 + x 3 - 5x2 + x - 6 = 0 44 Ekvationen x 4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 5 = 0 har de komplexa rötterna x = +i. Bestäm ekvationens övriga rötter. 45 För vilka reella värden på a saknar ekvationen 2 z - az = 0,6a reella rötter? Motivera.

46 Skriv talet ~ på formen a + bi. 47 Talet ei"- 1" 2 kan skrivas mycket enklare. Hur? 48 Rita i det komplexa talplanet de punkter som definieras av ekvationen Iz - ll = Iz - il . 3

38 Bestäm exakta värden på Rez och Im z då z + 2z = 2( cos0,25n + i sin0,25n)

2

49 Polynomet ax + bx + x + 3 har faktorerna x + 3 och x + 1. Bestäm talen a och b och lös 3 2 sedan ekvationen ax + bx + x + 3 = 0. e 2ix

39 Ställ upp en andragradsekvation som har reella koefficienter och en lösning x = 1 + 3i

50 Bevisa formeln

2

.

- 1

e IX+ 1

= itanx

40 Visa Eulers identitet en; + 1 = 0 41 Skriv ett tvåsiffrigt tal xy där x och y är talets siffror. Låt siffrorna byta plats så att du får talet yx. Visa att de två talens differens alltid är jämnt delbart med 9.

KOMPLEXA TAL

REPETITION 1 5001

För en vinkel v gäller att 90° < v < 180° och sin v = 0,6. Bestäm cos v utan att använda räknare.

5006 Bestäm grafens ekvation på formen y=Asink(x+v)+C y

EX 1 SID 11

5002

I

Antag att du vet att sin 35°:::: 0,57, cos 35° :::: 0,82 och tan 35° :::: 0,70. Bestäm följande utan att använda räknare. a) cos 755°

I

'\

'\

I

I

\

•

I

I

'

I

\

9 )0

_/

b) tan (-145°)

I

I

\\

\

I

II

\

oo \

2'

/

\

I "

I

X

/

c) sin (-395°) EX6SID19

EX 2 SID 11

5003

Bestäm det exakta värdet för tan 480° om du vet att tan 60° = J3

5007

Ange amplitud, period och förskjutning för y =I+ 3cos(x - 20°). 2

EX3SID11

5004

Ange amplitud, period och förskjutning för funktionen y = 2 sin (3x + 60°)

EX 2 SID 23

5008

Bestäm ekvationen för grafen i bilden, både som en sinus-funktion och en cosinus-funktion.

EX5SID18 'Y

5005 Rita med räknare graferna tillf(x) = sinx och g(x) = -sin x. Jämför graferna.

i:c

-

/

r--..._

/

""

/

EX 7 SID 19

• '

9 JO

1

/ / V

.........

" "'

"' X

oo

2'

oo

3

oo

'

EX 3 SID 24

RE PET IT I ONSU PPG I FTER

Lös följande ekvationer. Svara i hela grader. 5009

a) sin x = 0,8

5020

Utgå från tan x = 3 och att 0° < x < 90°. Beräkna exakta värdet på sin 2x.

b) sin 3x = 0,5

EX 2 SID 49

EX 1·2 SID 29

5010

Lös följande ekvationer.

5021

a) sin (x - 20°) = 0,5 b) sin (2x + 10°) = 0,866

a) cos2 x - sin2 x = 0,5

c) sin x = -0,5

b) sinx cosx + 0,2 = 0 EX 3-5 SID 30

5011

a)

COS X=

c) sin 2x + cos x = 0

0,707

d) 3 cos2x + 2 sin x + 2 = 0

b) cos (x - 30°) = 0,94

EX 1·4 SID 50·52

c) cos (2x + 20°) = 0,5 EX 6-8 SID 31

5012

a) sin x = 0,5 b)

COS (2x

5022

a) Skriv y = sin x + cos x på formen

y = msin (x + v)

0° < x < 450°

+ 10°) = 0,5

b) Skriv y = 3 sin x - cos x på formen y = m sin (x - v)

0° 2. d) Visa likheten Iz - 2 - 3il = 2 i det komplexa talplanet.

lzl.

a) z = 7 - Si

b) z = Bi

EX 1 SID 204 EX 4 SID 194

5097

Förenkla och berä.k na.

5088

a) Bi 2 c) i1 3

b) 16 - Si 2 d) i22 EX 1 SID 196

5089

a) Visa att polynomet innehåller faktorn X - 2. b) Innehåller polynomet faktorn x + 3? c) Är x + 2 den tredje faktorn?

a) (2 + Si) + (1 + 4i)

EX 1 SID 207

b) (2 + 3i) (4 - Bi)

c) (4 - 3i)2 EX 2 SID 196

RE PETIT I ONSU PPG I FTER

Här undersöker vi polynomet p(x) = x 3 + 2x2 - Sx - 6

5098 Grafen visar ett tredjegradspolynom. Bestäm polynomet.

5106

7n

. . 7n Skriv z = 4 cos +ism6 6 a

på formen

+ bi.

EX 5 SID 217

y (3, 108)

20

5107

X

Utgå från de komplexa talen z = 5 (cos 30° + i sin 30°) och w = 2 (cos 20° + i sin 20°). a) Skriv z · w på polär form.

. z

1

b) Skriv -

på polär form. EX 1 SID 222

W - 100

5108 EX 2 SID 208

a) Skriv z · z på polär form då '!r

'!r

3

3

z = 6 cos- + i sin 5099

Dividera polynomet x 3 - 4x2 + 9x - I O medx - 2.

b) Skriv z/w på polär form då '!r

. .

'!r

z=6 cos- + zs1n- och

EX SID 210

3

5100

3

Ekvationen x - x - 6 = 0 har en rot x 1 = 2. Bestäm de övriga rötterna.

3

'!r

'!r

4

4

w=2 cos- + isin-

EX 1 SID 211

5101

Ekvationen x - x + Bx + 10 = 0 har en reell heltalsrot. Lös ekvationen. 3

2

EX 2 SID 222

5109

Multiplicera det komplexa talet z = 4( cos 60° + i sin 60°) med det komplexa talet i.

EX2SID212 EX 3 SID 223

5102

Skriv z = - 3 + 3i på polär form. Svara i grader.

5110

Skriv z = -4 på polär form. Ange argumentet i radianer.

Skriv på polär form -. l

'!r

'!r

då z= 4 cos-+ isin3 3

EX 1 SID 216

5103

z

5111 EX 2 SID 216

'!r

EX 4 SID 223

. .

'!r

Utgå från z = 2 cos-+ zs1n3 3 beräkna z3 •

och

EX 1 SID 225

5104

Skriv z = - 3i på polär form. Ange argumentet i grader.

5112 EX 3 SID 216

(.f3+i)

6

Beräkna medhjälp av de Moivres formel. EX 2 SID 225

5105

Här gäller att lzl = 5 och arg z = 45°. Skriv z på formen a + bi.

5113

Lös ekvationen z" = I6i. Skriv svaret på polär form.

EX 4 SID 217 EX 1 SID 227

R EPETITI ONSU PPG I FTER

~ 5

5114

Lös ekvationen z form i radianer.

2

= 1-

i. Svara på polär

5118

dy Bestäm då y dx

= 2e- ix EX, SID 232

EX 2 SID 228

5119 5115

Skriv i polär form. a)

e4iri

c)

2e;1rf 3

b) e3+2;

a) Bevisa med ett direkt bevis att summan av två jämna tal alltid är ... Jamn. b) Visa att summan av ett jämnt och ett t1dda tal är udda.

EX 1 SID 231

EX 1 SID 235

5116

Skriv på formen kez 1C

. .

5120

1C

a) 5 cos- +ism-

4

Formulera motsatsen, dvs -,P till följande. a) P: Heltalet n är udda

4

b) P: x + y ~ 5

b) l+iv'3 EX 2 SID 231

c) P: x '# 5 d) P: Alla elever i klassen är tjejer

5117

Bestäm en rot till ekvationen ez =-l+iv'3

EX 2 SID 236 EX 3 SID 231

RE PETIT I ONSU PPG I FTER

1112

KAPITEL 1 1101

b) 1 e) 0

a) 0

d) 0 1102

1103

1104 1105

f) -1

b) 0,36 c) -0,34 12

COSV= -

(z0,92)

1114

13

1106

1113

b ) 0,93 d) - 0,37 f) - 0,93

a) 0,37 c) - 0,37 e) 0,93 a) 0,5

= sin (180° - 170°) = sin 10° som är mindre än sin 20°. b = cos 95° är negativt och därför det minsta talet. Det största talet är alltså a = sin 20°

c) -1

a) 150° b) 300° (som också kan skrivas - 60°)

a) 1

b) 0,75

1107 bochdärrätt 1108 1109

. 3 3 sin V = - ' tan V = 5 4 a) sin v = ±.J9i I 10 b) tan v = 12 I 5 = 2,4

1110

y

1116

v = 90° och v = 270°

1117

a) A = 5 b) A = 2 c) A = 3

1

Punkternas x -koordin ater byter tecken :::::} cosinusvärdet by ter tecken. P unkternas y -koordinater är samma :::::} sinusvärdet är oförändrat.

1111

a) b c) a

b) b d) a

1118

1119

'V

~- /

I

w

p = 72°

~

"8 "

I

360°

I

I

c) ,v /

V~ , +

~i

r,.,

X /

11 6"

p = 180° p = 90°

r,.,

V

" 1-,~e

lv'f

1120

a) 20° åt vänster b) 50° åt höger

1121

a) 45° åt vänster b) 30° åt höger

1122

a) A = 3 p = 180° f = 25° åt höger b) A = 4 p = 180° f = 15° åt vänster

1123

a)A= l ,5p=72° f = 12° åt höger b) A = 2 p = 120° f = 30° åt vänster

1124

a) A = 1,5 k=2 b) A = 1 k= 2

1125

a) 3 och - 3 b) 2 och O c) 5 och - 1

1126 y = 1,5 sin 2 · (x - 30°)

51 X

/ 1. . .,

I

90° 180°

b) 1,28

y=

I::"

X ).

a) A = 4 p = 720° b) A = 1 p = 1440° c) A = 0,5 p = 1080° a) -

X

•

"

a) T= (- b, a) R = (- a, - b) S = (b, - a) b) Om v motsvarar P, gäller att v + 270° motsvarar S. Från bilden ser v i att sin v = b = cos (v + 270°) och att cos v = a = = -sin (v + 270°). a) 0,6

4! In

.

-

cos x : Man ska kvadrera x , och sedan bestämma cosinus för x 2 • (cos x) 2 : Här ska cosinusvärdet kvadreras. Detta skrivs ofta cos2 x .

Y. -

1

2

1115

X

-1

b) ,_: ,y

c = sin 170° =

"

X ).1

1127

a) y = sin2x b) y = 5 sin 2(x - 30°) c) y = 3 sin 0,5(x + 40°)

1128

1129

= 2 sin (x - 45°) = 2,5 sin 3(x - 45°) = 2 sin 0,25(x + 120°) exf(x) = 2sin4x + 3

a) y b) y c) y

1140

'f

1141

c)

Amplitud= 2 Kurvans "mittlinje" =3 360° I 90° = 4

1130

1142

1143

1144 x

y = 3 - 2sin3 x I

I

I

60

1131

360

k = 0,5ochb = 7

1132

Y y = 3 sin ( 2x + 60° ) +1

4

360

1133 y = 2 sin (2x - 60°) + 3 1134 Asin(kx+ v) =Asink(x+v I k) Detta betyder v I k enheters förskjutning (åt vänster om v I k > 0). 1135

6 + A = 2(6 - A) ger A = 2

1136 y = 3 sin4(x - 15°) + 2 1137

•Y 1-

'

/

"'1 \

I .,

'

"

,

€0

' - 1-80 I

.

A

,,

'I

~ ' ~

')

n ,1

-

/ ' = 2 •OS ~

1138

a) 120° b) 360° c) 180°

1139

a) 3 och - 3 b) 5 och 3 c) 0,5 och -0,5

tex a) y b) y

y

I

= sin2x och y = cos 2(x - 45°) y = 2 sin (x - 90°) och y = - 2cosx

a) y b)

Båda har "mittlinjen'' y = 3 och amplituden 2. f(x) = 3 - 2 sin 3x börjar med att "gå nedåt': eftersom det är minus framför sin x. g(x) = 3 + 2 sin 3x börjar med att "gå upp" pga plustecknet.

= cos (x - 30°) = 3 cos 2(x - 40°) y = 4 cos 0,5(x + 10°)

a) y b) y

1145

1201

= 2 sin x + 3 = 3 COS X + 1

Grafens mittlinje är 2. För att nå ner till - 1 måste b = 3 eller b = -3. Period = 90° är en fjärdedel mot "normalt", ger k = 4. Period = 180° = 360° I 2. Amplitud = 2. Grafens mittlinje = 3. Första topp vid 75°. y = 2 sin 2x + 3 har sin första topp vid 45° (som är 30° tidigare). Alltså y = 2 sin 2(x - 30°) + 3 :::::> y = 2 sin (2x - 60°) + 3 y = 2 cos 2x + 3 har sin första topp vid 0° (75° tidigare). Alltså y = 2 cos 2(x - 75°) + 3 ===> y = 2 cos (2x - 150°) + 3 Funktionsvärdet är 5. LEDNING: Ekvationerna 2 = A + B och 6 = - A + B ger A = - 2 och B = 4 a) x = 10° + n · 360° X= 170° + n · 360° b) X = 40° + n · 360° X= 140° + n · 360°

1202 a) x = 15° + n · 120° X= 45° + n · 120° b) X= 20° + n · 180° X = 70° + n · 180° 1203 a) x = 50° + n · 360° X = 190° + n · 360° b) X = 70° + n · 360° X = 90° + n · 360°

= 5° + n · 180° X = 75° + n · 180°

1204 a) x

b) X = 20° + n · 120° X = 50° + n · 120°

1205 a) x = 40° + n · 1440° X= 680° + n · 1440° b) X = 135° + n · 1080° X = 405° + n · 1080° 1206 a) x = 315° + n · 360° X = 225° + n · 360° b) X = 148° + n · 180° X= 122° + n · 180°

= 55° + n · 360° X = 125° + n · 360°

1207 a) x

b) X= 330° + n · 360° X = 210° + n · 360°

1208 a) x = + 35° + n · 360° b) X = + 70° + n · 360° 1209 a) x = + 10° + n · 180° b) X = + 15° + n · 120° 1210

a) x = 35° + n · 360° eller X= - 115° + n · 360° Kan också skrivas X = 245° + n · 360° b) x = 60° + n · 360° eller X = 330° + n · 360°

1211

a) x=+70° + n·360° b) X = + 40° + n · 180°

1212

a) x = 130° + n · 360° eller X = 250° + n · 360° b) X = + 35° + n · 120°

1213

a) Lösning saknas b) X =+ 30° + n · 1080°

1214

a) x = 330° + n · 360° eller X= 210° + n · 360° b) x = 30° + n · 360° eller X= 150° + n · 360°

1215

a) x

14,7° + n · 180° eller X z 85,3° + n · 180° b) x = 65° + n · 180° eller X = -55° + n · 180° :::::> X 125° + n · 180° z

=

1216

x = 25° + n · 180° eller X = 85° + n · 180°

1217

13,4° + n · 90° eller X z 46,6° + n · 90° b) Stämmer med svaret i a) a) x

z

1218

1219

Det positiva svaret är korrekt. Det andra svaret: 2x = - 52,4° - 30° + n · 360° 2x = - 82,4° + n · 360° ~ X= - 41,2° + n · 180°. 120° = 360°/ 3 ~ a = 3 3x + b = 60° + n · 360° ~

x=

60°-b 3

+ n·l20°

600-b = 100 ~ b = 300 3 De övriga lösningarna blir X = 30° + n · 120°

1220 Ja. Om du ritar en tallinje och prickar in deras lösningar, ser du att deras olika "lös11ingsuttryck'' ger samma svar. Ett annat alternativ är att båda har räknat fel.

1221

1231

a)

X= X=

b)

1222 a)

X =

10° 370° 15°

X=

X=

b)

X =

1224 a)

X= X=

1225 a)

X= X= X =

b)

X=

30° 210° 5° 185° 195° 125° 245° 11°

X= X = X= X= X= X=

75° 255° 203° 175°

X=25°

1226 x = 321° eller x = 759° 1227 a) 30° 60° 2 10° 240° b) 90° 180° 270° c) 16° 20° 88° d) 90° 270° 450°

1228 a) 20,5° -2e0 + C = - 1

=> C = 1 Alltså gäller att g(x) = - 2e-x + 1 - 2e-x + 1 = 0 e-x = 0,5 ln0,5 SVAR: X = - ln 0,5 "" 0,7 - X=

a) y' = ln 1,4 · l,4x b) y' = 300 - ln 0,8 · O,sx I

2140 a) 1 b) 1 c) x"" -0,7 d) Nej

b) (2, -4)

2134 a) y" = 12x + 14 b) y" = 12e21 - 8

4

a) y' x + 3x5 b) y'=4x3 - x 2 I

a) 1

12 2133 x=0,x=lellerx=3 Om f (x) har positiv tredjegradsterm ger x = 1 en maximipunkt. Detta innebär att f(l) är funktionens största värde i i11tervallet. Om f (x) har negativ tredjegradsterm => minimipunkt för x = 1 och maximipunkt för x = 5. Detta betyder att största värdet finns i en av intervallets slutpunkter, dvs för x = 0 eller x = 3.

z0,8

-

b) ~

2127 g'(lO)"" 547 Detta betyder att det 10:e året ökar kapitalet med ca 550 kr/år

2132

a) y' = 3x

b) y' = 3x

a)x=-2x = 3b)x = 0,2 I 2

a) Största värde= 14,25 Minsta värde = -6 b) Största värde= 10 Minsta värde = 1

2139 a) A, B och C b) A och B c) C

2130 X""l7

9

2

1

7

2

a) y'=5-2x b)y' =2x

)

2126

2131

a) y'=5x4+6x2 b) y' = 12

a

2125

- 2ax - ah

2112

2119

1

2

-2axh-ah 2

h....:;O

2118

2

ax 2 - ax 2 - 2axh - ah 2

=lim

2117

h

-

x (x + h)

= lim ,,~o

2116

1

2

2

h....:;O

vX

2124 x h(x) = konstant h(O) = (f(0)) 2 + (g(0)) 2 = = 22 + 12 = 5 ==> h(x) = 5 för alla x

2

2220

%-x ) =

2231

I

2

y =cosx=sin( : - x)

c 2223

X

2x y = - (x2 + 1)2 I

/

a) y' = 2(4x + 5)b) y' = x(x2 + 1)-0.s c) y' = - x(l - x2)-0•5

c) y = -

05 ·

2224 a) y'=(2 - 6x)·e

2

X

a) y' = 2x · cos(x2 ) b) y' = - 6x2 sin(2x3)

2226

y' =

COS X·

2228 2229

X

c

)

5

I

y =

xln lO 3 3

I

y =-

X

5n

a) f(O) = 10 °C b) f(t) = - 7,5 ==> t = 5 h (roten t = - 7 förkastas) c) !'(6)=- 750(2·6+2) "" (6 2 +2·6 + 25)2 "" -1,97 °C/timme

X

I

xlnlO

2236 X= 2 12

2 c) y = -

b) y' =

esi nx

2227 y = 4x + 1

b) y' = _!. 2235 a )

a) 2cos 2x b) t ex (x3 + 2x2 ) 2 + 8 c) tex x 3 + 5

n x =1 12

y = x+l

2 3 x- x

b) y' = 3sin x · cosx c) y' =- 4cos3 x · sinx

C)

1

I

2234 a)

2

2225

1

a) 3 c) 10

2237 J = 2 2238 a)

b) 2239

k=

b) - 2 d) - 4,75 -X

3

2ln10 1

2ln10 l

9 · ln l O

2240 x = 1 eller x = 9 2241

Tangeringspunktens y -koordinat = ln e = 1 Tangentens k = 1 I e. Tangeringspunkten = = (e, 1) och k = 1 I e sätts in i formeln 1 y = kx + m =} 1 = - · e + m

2249 a) y' = X · ln 2 · 2x + 2x b) y' = 3x2 • sinx + x 3 • cosx

,

2242 I båda deriveringarna har den inre derivatan glömts bort. a) Inre derivatan = 2e2 x Vi får f'(x) = 2e2 x/e 2x = 2. Observera att funktionen också kan skrivas y = ln e2x = 2x b) Här är inre derivatan, dvs

Jx cos2x = - 2sin2x

som ger f'(x) = - 2 sin 2x/cos 2x = = - 2tan2x

y' = _l . k = _!_ kx X b) y = ln kx = ln k + ln x =}

y

I

1 1 =0 +- = -

x

X

2244 a) 2,9 minuter b) T'(lO)"" 14,8 Efter 10 minuter stiger te1nperaturen i ugnen med ca 15 °C/1nin. 2245 y = ln( Cekx) = ln C + ln ekx = =lnC+kx Detta ger y' = 0 + k = k. 2246 a) ca 323 s = 5 min 23 s b) ::::24°C dy 16 ·65 213 c) - = - - dx x- 100 x = 100 =} nämnaren = 0 dvs ERROR. Modellen gäller alltså för x < 100. 2247 a) y' =X · e" + ex · 1 b) y' = - X 2 • e-x + 2x. e-x 2248 a) y' = 2x sinx + x cosx b) y' = excosx - exsin x 2

cos 2 x

2251

3x

b)

a) 1

!

2265 a)

8

b) 5

5 x (:

2255 a) y'(x) = 3x2 - 4x + 3 b) y'(x) = 3x2 - 4x + 3

2258 Produktregeln ger y'(x) = 0 · f(x) + C · f'(x) y' = C ·f'(x) VSV

a) 11

=

e

X

e4 x+7 (4sin x - cosx)

,

c) y = - - - - - - sin2 X I

2266 a) y =-

COSX

sin2 x

b) y'= - ~ e ,

lnx - 1 c) y = (lnx) 2 b) - 1

c) 0

2269 a) y = 2x + 1 b) y = O,Sx - 0,5

=}

= 0

2261

1

y

2268

2259 a) f'(x) = (x + l)e + 1 · ex= = (x + 2)e· b) y = 2x + 1 X

2x 2 (3 - x)

2267 a) 1

n x = +-+n·n 4

2260

,

1-lnx b) y = x2

+ 5 ln( 4x 3 ) )

2254 a) J(x) = sin2x = sinx · si11x =} J'(x) = cosx · sinx + + s1nx · cosx = = 2 sin x cos x = sin 2x b) f(x) = sin2 x = (sin x) 2 =} f'(x) = 2(sin x) 1 cosx = = 2 sin x cos x = sin 2x

2257

xcosx - 2sinx

,

2253 a) y' = 3(cos2 3x - sin23x) b) y' = e

,

c) y = - - - - x3

b) y' = 3e xcos 4x - 4e sin 4x 3

2256 a) J(x) = (x - S)(x + 10) b) J(x) = xex

2243 a) y = lnkx =}

ex (cosx + sinx)

X

2252 a) 2

m = O VSV

b) y =

2250 a) y'=_!_sinx+lnx·cosx

e

=}

6 2264 a) y =-(x - 4)2 I

2270

n x= -

2271

a) y =

6

,

b) y =

3 =} y' = 1

X -

(2x - 3) · x - (x 2 - 3x) ·l x2

2x 2 - 3x - x 2 +3x

-

x2

=

=1

2272 - 273 b) 29

c) 28

2262 a) 2x · e3x · lnx + + x2 • 3e3x • ln x + 1 + x 2 ·e3x ·-

f

2273 -

'(x) = S·ex - Sx ·ex = (e x )2 Se x(1-x) (e x )2

5(1-x) ex

X

b) y' = f'. g. h + f. g'. h + + f. g. h' 2263

1 a) y =- (x - 1)2 I

b) y' = - (2:x)z )

c

7 y =-(4-5x) 2 t

Eftersom ex :t O gäller att f'(x) = 0 för x = 1

"(x) = - sex - 5(1 - x)·ex = f (e x )2 =

S(x - 2) =}

ex

f"(l) < 0

Funktionens största värde 5 = j(l)= -

e

2301

a) 2 och - 2 b) 8 och - 8 c) 0

2309

x 2 -4x + 3för x< l ochx>3

2318

- x 2 +4x-3förl - 1, en lösning då m = -1 och inga lösningar för m < -1 b) Ekvations systemet får bara en lösning, eftersom linjen y = l,Sx + m skär antingen den ena linjen eller den andra.

x =2

y = ln 4x har nollställe då 1

x =-

4

2321

y = ln kx har nollställe då 1

x= k 2322

x-1

y = lnlO

y = lx · (x - 2) · (x - 4)1

Rita t ex funktionen y = lx-ll+ lx - 31. Man ser att då 1 < x < 3 gäller att y = 2, dvs y är konsta11t. Till vänster om detta intervall är y = - 2x + 4 och till höger gäller y = 2x - 4. För y =lx - al+l x-bl gäller i intervallet a < x < b att y = b - a. Då x < a gäller y = -2x + (a + b). Då x > b gäller y = 2x - (a + b). 2

7 Det är samma funktion eftersom ln x 2 kan skrivas 2 111 X.

2316 y = O,Sx - 1 2317

lnlO

2320 y = ln x har nollställe då x=l y = ln 2x har nollställe då

b) och c) x = 0 eller x = 3

1

k=

2

f'(x)=i-2x+4 X

f'(3) =

6 3

- 2·3+4 =0

f"(x)=-_i_-2 ==>

x2

f"(3) < 0 dvs en maximipunkt.

2323

1 a) -

.!.

b)

3

3

d) Kurvorna har samma lutning vid ett visst x-värde, de är endast förskjutna i y-led.

2324

X

l

= 3

X

2

= 1

2325 I punkten (2, 0) 2326 a) f'(x) =

;x x-+4

b) y = 0,Sx - 1 + ln 8 ""' ""' 0,Sx + 1,08 c) Nej, det finns ingen tangent med k = 1 eftersom ekvatione11

2x - = 1 saknar reella 2 x +4 rötter. 2327 a) -2 y' > 0 och X = 1 ==} y' < 0

2328

a) 5

2329

a) 4

b) 7

2330

a) 0

b ) 0,25

2331

x -axeln och linjen x = - 1

b) 1/3

c) - 3

2339 Båda koordinataxlarna är asymptoter, dvs x = 0 och y = 0. Mini1nipunkt i (- 2; -0,25) Värdemängd: y > - 0,25 2340

2332 x-axeln och linjen x = +2 2333 a) 3x b) 1/x c) Linjen y = 3x och y -axeln. 2334 a) tex J(x) =

1

x-5 2

b) t ex f(x) = - + 5x X

2335

2336

a) 1 b) x = 1 och y = 1

2341

a) Värdemängd: y < - 4 och y ;:::: 4. Linjen y = x och y-axeln är asymptoter. b) Värdemängd är alla y -värden. Linjen y = 2x och y-axeln är asymtoter.

2337 a) Minimipunkt = (0,5; 3). Asymptot är y-axeln. Värdemängd är alla y. b) Minimipunkt = (.fi,, 4.fi,) och maximipu11kt =

~

f'(x) = 0 ger 3- - 2 =O 2 k X X

=-

3 x = 2 ger k = 12 . 12

SVAR:

tex J(x)=3x+ -

x

a) Maximipunkter: (- 2, 28) och (1, - 26) Minimipunkter: (-1, 26) och (2, - 28) LE DN I NG: Sätt t = x 2 då ekvationen ? 12 3x- - 15+ - , = 0 skalösas. xb) y -axeln är asymptot och värdemängd är alla y -värden.

är 1, vilket sker då

2a = rc/2 ~ a = rc/4 dvs 45°

b) ca 90 m (92 m) 2353

a) K'(t) = - 4(2t - 4)

t 2 - 4t +6 K'(t) = 0 då t = 2 och detta ger maximum. SVAR: Efter 2 timmar

b) K(t) = 8 ger

Maximipunkt= (- 1; 0,6) . Här är derivatan noll. Minimipunkt = (0, 0). Här är derivatan inte definierad.

t=2 --Je-2 ::::: 1,15 och t =2 +..Je-2 :::::2,85 2,85 - 1,15 = 1,7 h (1 h 42 min) 2354 a) Sätt y = rektangelns halva

höjd. Pythagoras sats ger

2345 Minimipunkt i (- 1 ; - 0,3 7)

x2+ yz = 52 ~

2346 Saknar maximipunkter 2347

y = J 25 - x 2 A = b · h = (2x) · (2y) =

- 4,81 < y < 1,82

2348 f'(x) =

= 3-

= 4x-J 25 - x 2 VSV

cosx · cosx - sinx · (- sinx)

=

2

cos x 1 = 3----

3-

1

cos2x

=0 1

cosx=± -

b)

2349

~

cos x =3

2350

.jj, ./3 6

-J3 )- ./3 6

a) A =xy = x(-x2 ln x) = = - x3 lnx b) A' = - 3x2 lnx - x 2 Maximal area då X= e - l/ 3 :::::: 0,717 c) -

3e

ae:::::: 0,123 ae

n(360 - t))

180 t = n · 360 b) t : : : 361

~

Maximipunkt =

1

J2_ : : : 3,54

cos

±0,955

Minimipunkt --

X=

1

2

3 X=

5

2355 a) g(t) h ar max då

COS2 X

X

X

derivering. Det största värde som si112a ka11 få

2344 3600 kr (x = 6000)

k Tex J(x) = 3x+ - som har

k

2352 a) Kan lösas utan

2343 24,5 m 2

Asymptoter är y-axeln och y = 4x. Värdemängd är y < - 4J2 , y > 4.fi, .

derivatan f'(x)=3-4

1,1 dm3

2342 393 dm 3

(-h, - 4h) .

2338 Eftersom y = 3x är en asymptot, måste termen 3x finnas med. x = 0 är asymptot ~ f (x) ej är definierat då x = 0.

2351

2356

1500 m 2 /h

2357 3,2 dm3/s 2358 65 cm2 /s 2359 -23 cm3/h 2360

X=

2361

- 3,0 mm/min

3,75

2362 91 cm3 /min 2363 780 km/h

=0

~

4nr 3 2364 a) V = - 3 dV dV dr V'(t)= = ·- = dt dr dt

7

c)

dr dr = 4nr ·- =A· dt dt 2

8

Volymändring proportionell mot kulans area => V'(t) = k · A dr dvs A·-= k·A => dt

2

cos x

20

ca 0,43

21

a) h(5,5):::::: 9,0 m b) hn11n. = - 0,7 + 8,3 = 7,6 m c) sin(0,5t - 1,1) = - 1 ger t = 2(- rr/2 + n · 2rr) + 1,1 Första positiva svaret fås dån = 1. Detta ger t:::::: 10,5 => klockan 10.30 d) Klockan 02.12 (efter 2,2 timmar) e) 0,35 m/h

-

9

x = 3 eller x = - 2

10

a) j'(x) = 5.x4 - 1 b) g'(x) = 1 c) J'(x) = 10x(x2 + 2) 4

10-6

a) g'(x) = --.} x z 1- x 4 b) h'(x)= 4x + 3 - 4u - 4 c) g'(u)=(u2+ 2u+3)2 d) h'(v) = 2vcos(v2 + 3)

5

: : : 4 ' 3 · l 05

12

22

Maximipunkt = (- 2/3; - 3) Minimipunkt = (2/3; 3) Asymptoter är y -axeln och linjen y = 2,25x

23

0,0063 cm/s

24

a) y'= - ln x

13

6

y = 0,5x - 0,5 a) y' = x~lO I

b) y 14

TEST2 1 a) y=cosx+ -

x

b) y=_.!_-4sin4x X

a) 6 y

15

1 X

b) ln4 + 3

BLANDADE UPPGIFTER 1

dL:::::: 4 3· 10 · 10- = dt ) = 0,43 dB/s

2

cosx ·cosx -sinx · (- sinx)

Ekvationenj'(x) = 2 - sin x = 0 saknar rötter. Betyder att f(x) saknar extrempunkter.

cos 2 x

11

1O dL _ dl 10-s · lnlO

1

2

19

- - - vsv

2365 a) dL = 10 dl l · lnlO b) Kedjeregeln: dL dL dl - = - ·dt dl dt =

=

1

b) 0,36 cm3

dl = 0 dt )

z

sin 2x d) t' = - 2 sin xcos x = - sin 2x sinx dy y= => - = cosx dx

-

dr = k VSV dt

1·10-5

a) y' = (2x + l)e2x b) y' = 6x · lnx + 3x , ex(sin2x - 2cos2x)

f'(u)= J_ 2u

I

6

X

b) y'=7x + 1 c y =e - -

1 = xln lO

Derivatan = 0 och andraderivatan negativ är villkor för maximum. f'(x) = 2ax + b - 3 cos 3x j'(O) = 2a · 0 + b - 3 cos(3 · O) = =b - 3 j'(O) = 0 ger b - 3 = 0 dvs b = 3 f"(x) = 2a + 9sin 3x j"(O) = 2a + 9sin O = = 2a + 9 · 0 = 2a Andraderivatan är negativ om a < 0. SVAR: b = 3 och a < 0

a) y' = 1 + sinx )

4

x3

d) y' = - sex e) y' = 1+_.!_ f) y' = 3 COS 3x X

2

a) 5

b) 8

3

5 a) y =- 2-.Jx I

I

b) y =

1

x ·lnlO

4

a) 2

5

A: f(x)= lx + 3I B: f(x) = lx l C:

b) 3 ln 3 : : : 3,3

f (x) =l x-21

6

-1/rr

16

x -axeln och linjerna x = +4

7

0

x-3för x >3 b) y =l x - 31= 3-xförx f (x) = x 3 - x + D f(l) = 2 ==> 13 - 1 + D = 2 ==> D=2 f (x) = x 3 - x + 2

3211

3151

VL = y" - 6y' +By = = Ck2 e"x - 6Ckekx + 8Cekx = = C(k2 - 6k + 8) · ekx = 0 Eftersom C ,;t. 0 och ek1 ,;t. 0 ==> k2 - 6k + 8 = 0 vilket ger k = 2 eller k = 4.

3218

(ax - bx' )dx = ::,

0

3219

Här kan man utnyttja symmetrin och bestämma halva arean.

f cos x dx = 1 . Parabeln

2 cos2 x dx =

skär x -axeln då 1 - kx2 = 0

TC /2

f (cos2x + 1) dx = 0

· 2X Slll [

+x

==> x = + -

],r/Z

2

1

k

Jl/k

0

f (l - kx

=(o+ ;)-o=;

2

a) 8 (eftersom gränserna är

f dx 4

=8)

.fi]k =l 3

3

samma får vi

2

2Ji]I )dx =

0

1

b) 8

J

0

=

3215

A=

TC/2

a= 1

a) 15

= E.. - 0 = 9 3

2cos2 x - 1 = cos 2x ==>

=

3

Sökta arean = = 9 ae - 4,5 ae = 4,5 ae

01n c > b ==> värdet av integralen blir B - A Om c < b ==> värdet blir

0

(- 3+3)3/2 -

3

a) 0,167 ae b) 0,489 ae

f

- 3/2

(6+3)3/2

-

1C /2

3

ger k =i 9

3220 a) 0

b) -1

3221

b) -10,5

a) 4,5

b) 0

3152 y" + ky' + 2y = (2ex + xe ) + + k( ex + xe ) + 2xe = = (2 + k)ex + (3 + k)xe = xex Om detta ska stämma måste 2 + k = 0 och 3 + k = 1. k = - 2 uppfyller båda krave11. 3201

f j(x)dx = 2. Kan tolkas

A- B 3214

3 _

3

3212 0,171 ae 3213

dx =

(2x + 3)

som att arean under grafen i intervallet 1 < x < 4 är 2 ae.

3149 y' = 2sinx · cosx = sin 2x y" = 2cos 2x ==> . 2X y "' = - 4 Sln 4y' + y"' = 4sin 2x + + (- 4sin 2x) = 0 VSV 3150

312

1

3e + 4

1 2 '

- 3/2

4

2 x

a) y = 2x3- x 2 + Cx + D b) y = 2x3 - x 2 -20x+28 c) y = 2x3 - x 2 + 6x - 4

b) 1- ae 3

3209 a) 0,414 ae b) 2,83 ae

3146 A = 15 och B = 10 3147

f (2x + 3)

=

LEDNING:

,r/2

f (cos 2 v 0 1C / 2

=

f 0

3216

b = e0·1

2

sin v)dv =

cos2vdv

3222 a) Positivt. Grafen ligger över x -axeln. b) Negativt. Grafen ligger under x-axeln. c) N egativt. Grafen ligger både över och under x-axeln, men de 11egativa områdena är större. 3223 4,5 ae

3224 a) Svaret = 0. Arean ovanför x-axeln är lika stor som arean under x-axeln. b) Svaret blir 2 + (-2) = 0 och har samma tolkning som a-uppgiften.

3239 Vi utgår från att grafen ligger ovanför x -axeln. On1 trapetsets "tak" ligger under grafen, blir värdet för litet. Om "taket" ligger ovanför grafen, blir värdet för stort.

b-a

3225

590 mm

3240

h= -

3226

ca 700 kWh (730)

3241

a) 14 %

3227

8,2 grader

3228

ca 4600 kubikmeter (4575)

3229

a) 0,32 m/s

3242 Samma medelvärde => alla kL1rvorna är symmetriska kring 210. Spridningen är störst för kurva A och minst för C.

b)

21C

1,4

""4,5 s

3245

a) a = n 31C

b) a =- eller a= -

4

3232

4

8,4 le

följande integral bestäms summan av alla delareor. r

f2rcx dx = [ 1CX

3233

J:

= 1CY

2

VSV

3,64

b) ca 30

3235 4,1

b) 10 ae

3236

a) 12 ae

3237

a = 0, b = 4 och 2

arean= 10- ae

3

1,5

2rr2 ve

3314

8,97 ve

3315

Rita en cirkel med radien r och medelpunkt i origo. För cirkelbågen gäller y 2 + x2 = r2 (Pythagoras sats). Låt en fjärdedel av cirkelbågen rotera kring x-axeln. Då bildas ett halvklot som har volymen

b) 13,6 : : : 14 %

I'

V = 1C

f(r

2

3

= 1C

a) 0,8 % b) ca 100 st (99) c) ca 490 st

X

2

3249

3250

a) f(x) = b) Ja (18 %) c) 12 % d) Svaret blir ca 1 (0,998). Det här betyder att alla lampor har gått sönder inom 30 år. a) 69 minuter b) Det blir samma svar.

= 0

r3

1

r- ·r- -

=

3 3

2 · 2rcr = 4rcr 3 3 3316

a) 25,l ve

3317

14,l ve

3318

25,1 ve

3319

84,2 ve

3320 a) 1,125n 3321

3

b) l,125rr

6,28 ve

3322 64 : 15

b) 74 ve

3302

a) 24ve

b) l,5ve

TEST3

3303

a) 550 ve

b) 600 ve (604)

1

a) F(x) = 2x3 - x4 b) F(x) = 6ex13

2

a) F(x) = 3 lnx b) G(x) = - 5/x

b) 120 ve

3306

a) 49 ve

b) 3,5 ve

VSV

b) 1,57 ve

a) 66 ve

a) 6,3 ve

3

3

3301

3305

2rcr

Hela klotets volym =

b) 0,45 o,2e-0•2x

r

r x -3

a) f(x) = 0,1 · e-o, ix b) 0,86

3248 a) 0,18

x2 ) dx =

-

0

c) 38 %

3304 3,4 ve

3234 a) ca 26

3238

3313

3246 ca 400 personer (0,4 %)

cirkelring kan skrivas !::,.A : : : 2nx · l::,.x. Med

2

a) a = 0,549 b) a = 2,14

=1C

3247

Om !::,.x är litet kan vi bortse från att inner- och ytterradie är olika. Vi tänker oss varje cirkelring som en rektangel med sidorna 2nx och l::,.x. Arean av en

0

3312

n

3244 a) 73 % b) 8 %

1C

3231

440 ve (442)

3243 ca 190 st

c) 46 cm 3230

3311

X

3307 a) 31 ve

b) 9,4 ve

3

F(x)=2sin-+cosx - l ,5 2

3308

a) 0,52 ve

b) 63 ve

4

f(x) = sin x och g(x) = cos x

3309

5,4 ve

5

a) y = 5x4 + Cx + D

3310

a) 28 ve

b) 46 ve

x3

2

b) y= - +2x +Cx+D 6

6

1

1

24 Räknarens ekvationslösning ger skärningspunkter för x = 0

a) F(x)= -- cos2x -2 2 b) F(x) = 3ex - 2e-x12- 4

och x ::::: 1,895. Arean=

x3

1 c) F(x)= - - 2lnx - 3 3

7

a) 1

b) 1

8

a) 10

b) 66

9

9 ae 1 1- ae 3

10 11 12 13

14

a) 0 G(t) = 0,5e

J (sinx - 0,5x)dx:::::0,42 ae 25

+ 6e + 9t - 3 1

a= 3

1,6 ae

26

11 000 st

27

12 ae

28

ca 126 000

29

a) 16,8 ae

16

y=x·ex ==>y'=eX+xex VL = 2xy' - 2y = = 2x(ex + xex) - 2xex = = 2xex + 2x2ex - 2xex = = 2x2ex = 2x · xex = 2xy = HL

2

21 b) 0,496

5x

a) F(x) = 0,2 . e b) G(t) = 2 · ln t

a) F(x) = - cos x 2

b) G(x)= - ·sin3x 3 c) H(x) = - 2 cos 0,5x d) F(x) = 0,5x2 - 0,5 sin 2x

Alltså är det en lösning.

3

F(x) = - 1,5 · cos2x - 1

4

a) 4

b) 85,9

5

a) I

b) 1/3

6

a) 7 ln5 ::::: 11,3 b) ln 8 - I ::::: 1,08

(6,25; 2,5) I första kvadranten ritas linj erna y = kx och x = h. Området som begränsas av x-axeln och linjerna får rotera kring x-axeln. Då bildas en kon vars volym är h

V = 1C

h

2 (kx) dx =

J

1C

0

k2x 3 =

2 2 k x dx =

J 0

h

rck2h3

1C

3

3

0

3

3

VSV

21C

1C . c2

2

22

3e4 + 1

23

a) n I 3 ve

24

a < - 3,51

25

1 a) - 3

26

0,833 ae

27

a) 814 ve

28

b = e2

29

256rc-J3 cm3

30

(2- ./3

31

a) y' = lnx

32

3,5 ae

33

a = 3e- 1 - 2

34

99

35

k = Fl

+;)

(9,5 - 6 = 3,5)

9

a) 2,08 ae

b) 0,718 ae

36

a = 12

10

a) 10 ae

b) 0,5 ae

37

a = 300 115 ::::: 3,13

11

311C ::::: 19,5 ve 5

38

a=

39

2: 1

12

4,8 %

40

-1 ,01

13

y' = - 2e-2x ochy" = 4e-2x y" - 4y = 4e-2x - 4 . e-2 x = 0

41

a= 5

42

Klockan 13. 12

43

174 ve

vsv 14

a) 0

b) - 1

ca 27 000 invånare

15

a) 65,5

b) - 2,87

20

12,8 ae

16

a) ln 5 ae

b)

21

146 st (7,3 % av 2000)

17

0,82 ae

23

625n::::: 1960ve

b) I

-3

3

18

H ( t) = 2t +

1

2t

2

+4

2./3

ae

2

ae

8

b) 24,2

p=

b) 127ve

a) 1

19

55,2 ve

b)

b) 2,41

2

Förflytta kurvan y = 9 - x2 fyra steg nedåt. Förflytta också linjerna y = 5 och y = 4, fyra steg nedåt. Nu blir den nya kurvan y = 9 - x2 - 4 = 5 - x 2 och linjerna blir y = 1 samt y = 0, dvs x-axeln. LEDNI NG:

22

(hela första

7

- 0

Konen har höjden h och radien r = y(h) = kh. Det gäller alltså att r 2 = k 2 h2

a) a = - (halva första 3 våglängden)

3 våglängden)

-4 1

1C

b) a =

BLANDADE UPPGIFTER

2ln3 + ln 5

18

20

0

15

17

a) 70 % b) Integralen = 1 betyder att alla (100 %) köar kortare tid än 60 minuter.

1,895

b) - 2 21

19

KAPITEL4 4101

4102

4103

Imz = 7 Im z = - 1 Im z = 5

a) Rez=-3 b) Re z = 7 c) Re z = 0

a) Z= 4 - 3i b) z = -2 + 0,5i c) z =-3 - i d) z = 9i

B= 3- i D = 4i F = - 2i

C = - 2 - 3i E= -3 b) E c) DochF lr

a) 56 - 8i

4116

a) 1

4117

4106

a) z = 3- i b) z = l +lOi c) z = -8+2i d) z = - 2i e) z = 0, 7i f) = 12

4:e kvadranten

4109

w= - 8i

4110

a, c och d

4130

a) 0,2+0,4i b) 3 - 4i c) 2 - i

Vektorn z vrids 90° så att vinkeln ökar.

4131

a) 3 + 4i c) 3 - 4i

Punkterna är hörn i en kvadrat.

4132

z = a +bi~ z ·z = (a+ bi)(a - bi) = = a 2 - (bi) 2 = a2 + b2 som är reellt. Alltså gäller att Im(z· z) = O VSV

4133

Antag att z = a + bi a) z+z = (a+bi)+(a - bi) = = 2a som är reellt b) z - z = (a+bi) - (a - bi) = = 2bi som är imaginärt

4134

a = - 0,8

4135

1 x = 3 eller x = -

4121 4122

b) - 0,5i

a) zw = 126 - 32i b) zl = 10 wl = 13

I

I

4123

2·

' lr lZ

z • 0 5·

/-

R ~z. >!

-

-·-,

4136 4124

a) 1 + i

4125

a) - 0,14 + 0,48i b) lzl = 5 lwl = l O

z

b) 3 - 2i

=0,5

w

z lz l c) - - lwl w 4126

Antag att u = a + bi och V= C + di U + V = a + bi + C + di = = a + c + (b + d)i

a) - 5 c) - 5

b) 1 d) - 1

4127

Re z = 18

In1 z = -1

4128

6 + 2i

4129

a)

~

u + v = a + c - (b + d)i u+v=a - bi+c - di= = a + c - bi - di = = a + c - (b + d)i VSV

= - -1

a) 9 + 2i

b) 5

\ \

' ....... ...-

b)

4114

a) 17 - i

b) 24 + lOi

'

I

a) 13

b) 17

IZ

R -z-

z n

I

~

""'

>!

'11 7

4113

:..-

,

a) 0 Ledtråd: (i + i 2 + i 3 + i 4) = i+ (- 1) +(- i)+ 1 = 0 Summan av nästa grupp med fyra termer blir också = 0 osv. b) - 1 Ledtråd: Summan av ex ponenterna 1 + 2 + 3 + ...+ 100 = 1 100 100. + = 5050 j 5050

II z I,

3

2

•

4112

>i

a) - i b) -1 - i c) - 0,5 + 0,5i

c) 3

4108

''

.

4119

a) Js z 2,24 b) F3zl,73

4111

, /

c) 0

b) - 2

b ) 13 d) 7 f) 1

z

4107

c) - i

· t Z-

a) 0

b

a) 5 c) 5 e) 00

/

c) lzl ·lwl = lzwl R z

n

I-

lzwl = 130

e

l Z

' lr

c) -1

b) - 1

a

4105

c)

4118

1

. f

e-T

b) i

a) - i

a c

b) - 60 + 80i

IC

4120

a) A = 5 + i

4104

4115

. ·0-.2'

4137

a) z = +2i

b) z= +ifi

4138

a) z = +3i

b) z= +iJs

4139

a) z = -4 + i b)z = l+ 3i

4140

a) z = 3 + ih b) z = - 5 + 2i

4141

a) z = 5 + i.Js b) z1 = 4i z 2 = - 3i

4142

a) z = 8i

.I

_)

i2 = 1 . (- 1) =

j 5048 .

b) z = 3-i

4143 4144

c)

a) z=Oellerz=3 ± i b) z = 0 eller z = - 6 ± 2i

- 2 + i b)

z=

a)

4146

a) z = 6 - 2i b) z = - 1 - 2i

4147

a) b)

4149

Re z

a) z = 1 + 2i b) z = - 3 - i

z=

z = - 2 + 4i eller z = - 10 eller z = 10

4162

a) Alla punkter på en cirkel med radien 4 och medelpunkten i (2, 2i) . b) Alla punkter på en cirkel med radien 3 och medelpunkten i (4, -3i)

4163

a)

1

-1

1- i

z = 0,1 - 0,3i z = 0,6 - l,2i

4156

a) lm z

Den faktoriserade ekvationen är t ex (x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i) = 0 Då parenteserna multipliceras får jag x 2 + 4x + 13 = 0 a) a = 29

4161

2; 1.---.

4145

4148

lm z

Re

-3

z

-2 I

I

a) a = +6

4151

a) b)

4152

4153

b)

lm

b) a = - 2

I

z = 0,25 + i z = 0,5 - i

-2

),.

.

/

z

2

c)

a) z 1 = 2 + 4i z2 = - 2 - 4i b) z, = 2 + 2i z2 = - 2 - 2i

Re z

lm z

/ ' -........'\.

Re

z 4164 Re z2 2 - 4

E11dast då vektorerna z 1 och z2 är parallella, gäller

4165 4157

lm z Re z

-3

-2

Alla punkter som ligger på linjen z = 4i, dvs den röda linjen. lm z

-1

a = 25 ger dubbelroten z = 5 a < 25 ==> Två reella rötter som ligger på den reella axeln a > 25 ==> Två komplexa rötter som ligger på linjen

Re z

, lm z

),.

4158

lz-(1+4i)l 8 c) -,P: x -:t 3 d) -,P : Det regnar inte

4270 Vi vill visa att A ~ B. Här innebär -,B att x > 0. Om x ;::: 0 kan det inte samtidigt gälla att x 3 + 3x + Sx + 1 = 0. Vi får en motsägelse. Alltså gäller påståendet. VSB

4271 Antag motsatsen dvs att n 2 jämnt ~ n udda Då kan vi skriva n = 2k + 1 men då är n 2 = (2k + 1)2 = = 4k 2 +Sk+ 1 = = 2(2k2 + 4k) + 1 dvs udda och vi har en motsägelse.

4272 Om n är ett jämnt tal kan vi skriva n = 2k ~ n 3 + 4 = = (2k) 3 + 4 = 8k3 + 2 = = 2(4k3 + 1) som är jämnt, dvs en motsägelse att n 3 + 4 är udda. 2 -2

X

y

y

X

4266 - + - >2 ~ x2 ~ ~

~

+ y 2 > 2xy

x 2 + y 2 - 2xy > 0 (x - y) 2 > 0

Detta stän1mer efterson1 ett tal i kvadrat alltid är större än eller lika med noll! VSV

4267 Trigonometriska ettan ~ p2 + cos2 A = 1 ~ cosA = + )1 -p • Eftersom A < 90° är cos A > 0. Alltså 2

cosA= ~l - p cos(B + C) = cos(l 80° - A) = =- cosA = - )1 - p

vsv

X ;:::

4273 Motsatsen innebär att

2

n

- ---

4263 (n + 2) 2 - n 2 =

2

>2

~2

> 2(1 + a 2)

l+a ~ 1 > 1 + a 2 ~ 0 > a2 • Detta är en motsägelse då kvadraten på ett reellt tal aldrig kan vara negativ.

4274 Vi antar motsatsen, dvs 9y = 3 ~ x 2 = 3 + 9y ~ x 2 = 3(1 + 3y) ~

x2

-

X =

+.fj ·J l+3y

Talet x är ett heltal endast om J 1 + 3y innehåller

J3

faktorn och då måste 1 + 3y innehålla faktor11 3. Detta är omöjligt eftersom y är ett heltal. Vi ser att x inte är ett heltal, vilket då leder till en motsägelse. VSV

17

TEST4 1

a)

a)

lm z

z = l - 2i I

b) lzl = -is "" 2,4 c) argz = 63° d) arg z = - 63° = 297° e)

1

dy

b)

2 3

- 8 - 20i

4

-2i

5

2

6

n . . n a ) z 3 = 6 cos -+ i sm -

lm z

a) 75 - lOOi

2

5 - lOi

3

a) z = 3 + 2i

4

Re z = - 1

5

lz l = 3

6

a) 0,5 - 0,5i c) i

7

a) 3( cos: +i sin:)

Re z

2

z4 =1,5

0

9

a) i c) 3 - 2i

10

z = 3 + 6i

11

1

12

0

13

a)

c)

2

'°(

c) '\/ o

lmz

cos n +i sin n

6

6

z=

b) - 1 - 4i

18

cos~ + i sin~)

z = -2, z =l ± iJ3 6

Vi sätter p = 2n - 1 1 + p2 = 1 + (2n - 1)2 = = 1 + 4n 2 - 4n + 1 = = 2(1 + 2n 2 - 2n) Uttrycket är jämnt delbart med 2, dvs ett jämnt tal. VSV

a) p = 6 b) X 1 = -2 X 2 = 1+i.fi. =

3

. 2ei4Tr/3 = VL kan a 11tsa s k rivas

9

a) 16(cosl80°+isinl80°) b) 4(cos 120° + i sin 120°) c) 8(cos 90° + i sin 90°)

10

x2

11

zl = 2( cos 50° + i sin 50°) z2 = 2(cos 170° + i sin 170°) Z = 2(cos 290° + i sin 290°) 3

12

a)

= 2 cos

.. 4n +ism-

vsv Absolutbeloppet halveras och argumentet ökar med 90°.

z = 4,5i b) z = .,J2 - i ·.J2 b) -1 + i .J3

13

21

a) cos 2v = cos2 v - sin2 v b) sin 2v = 2sin v cos v

a) i c) -1

14

a) 1

15

x 2 - 2x+6

16

a) 8 + 14i

17

a) Re z = 2 Im z = -1 b) Re z = - 64 Im z = - 1

18

Vi kallar det minsta av talen (2n + 1) De övriga talen blir då (2n + 3) och (2n + 5) Talens summa = (2n + 1) + + (2n + 3) + (2n + 5) = = 6n + 9 = 3(2n + 3) Alltså är sumn1an jämnt delbar med 3. VSB

22

z = 3 ( cos ; + i sin ;

)

18

Js ·e

23

z2 =

24

Re z2 > -9

b) - i

c) 1 - i

b) 61 + 32i

.3Tr

25

0

26

z = 6,7l(cos 153° + i sin 153°)

27

a) X = 1 b) f(l) = 13 - 12 + 3. 1 - 3 = 0

' - -,3/2

= - l - J3i=HL

3

n = 3,9, 15,21, . ..

0

4n

-

20

. k Vin en 1 - 2n =4n 3

b) 2 och n/2 a) 3 och n c) 5 och-rr/2 d) 1 och 5n/6 e) 2 och n/4

l-i.fi.

- i,r/3

VL = e . = 2e-i21rt3 3e'"13

cos 5n + i.. sin 5n) 4 4

8 Rez

19

Js(

b) 1 d) 0,5

d) 2 ( cos lln +isin lln) 6 6

X3

16

b) z = 1 + i

b) 2(cos n + i sin n)

1

a) p(-2) = (-2)3 + (-2) + 10 = 0 b) x = - 2 eller x = 1 ± 2i

8

15

b) 0,2 + l,4i

1

- IX

dx

b)

14

Re z

zl=-is ""2,4

. · - = - 2ie

7

BLANDADE UPPGIFTER

c) x = +J3i

19

a) 5 och b)

20

41

.Js

.Jm och .Js

z1 = 0

z2 = - 0,5 + l,Si z3 = - 0 ' 5 - 1' Si 21 z = 2 + 3i 22 a) z = 2 - i b) z = 23

a = 0,4

24

a) 0° c) 90°

25

a) - 5

Differensen är jämnt delbar med 9. VSV

- 2 - 4i

42

b) 180° d) 270° b) 5 .-

c) - 25i

'TT:

26

z = ln -J 2 + - · i

27

z = - 4 + 3i

xy betyder här 1Ox + y och yx betyder 1Oy + x Differensen = lOx + y - (l Oy + x) = 9x - 9y = 9(x - y)

Från varje hörn i en n-hörning kan (n - 3) diagonaler ritas. Från de n hörnen blir det totalt n(n - 3) diagonaler, men då har alla diagonaler ritats 2 gånger. Antalet diagonaler är alltså

n(n - 3)

n 2 - 3n

2

2

4

43

a)

X X

28 29 30

31

Alla eftersom zl = - 1 z2 = 50

b)

z3 = 0

b) k = 0 eller k = 8

a) 13 le

a) z 1 = 2( cos 45° + i sin 45°) z 2 = 2(cos 135° + i sin 135°) Z = 2(cos 225° + i sin 225°) 3 z 4 = 2(cos 315° + i sin 315°) b) z 1 = 2(cos 45° + i sin 45°) z 2 = 2(cos 105° + i sin105°) z 3 = 2(cos 165° + i sin 165°) Z = 2(cos 225° + i sin 225°) 4 Z = 2(cos 285° + i sin 285°) 5 Z = 2(cos 345° + i sin 345°) 6

a) x 1 = 2 x2 = - 2 X = 2i X = - 2i 3 4 b) X 1 = 0 X = 1 + 2i 2 X = 1 - 2i 3

32

a) - 4

33

z 1 = 3(cos 30° + i sin 30°) z2 = 3(cos 150° + i si11 150°) z 3 = 3(cos 270° + i sin 270°)

3

X X

1

X

4 4

=

.

45

Rötterna är z = 0, Sa+ J~ 0,- 2-5a_2 _+_0_,6-a Saknar reella rötter då 0,25a2 + 0,6a < 0. Olikheten har lösningen - 2,4 < a < 0.

l +i

l+i

J2

Z1

47

- 0,5

48

Linjen y = x

49

a = - 1, b = - 3. Ekvationen har rötterna x = - 3 och x = + 1

50

=-

f2,

- - -2 - - - - - - - 2 COS X -1 + i 2 Sin X COS X + 1

2sinx(-sinx +icosx)

a = - 0,5

2cosx(cosx +i sinx)

37

k = 6 p = 34

sinx(icosx - sinx)

38

h Rez =

40

e"; = (cos rr + i · sin n) = - 1 dvs - 1 + 1 = 0 VSV

a) x = 50° + n · 360° eller X = 170° + n · 360° b) x = 25° + n · 180° eller X = 55° + n · 180° c) x = 330° + n · 360° eller X = 210° + n · 360°

5011

a) x "" 45° + n · 360° eller X "" 315° + n · 360° b) x "" 50° + n · 360° eller X"" 10° + n · 360° c) x = 20° + n · 180° eller X= 140° + n · 180°

5012

a) x 1 = 30° x 2 = 150° X = 390° 3 b) X 1 = 25° X 2 = 145° X = 205° 3

5013

a) x"" 27° + n · 180° b) X "" - 25° + n · 90° c) x"" 72° + n · 180°

- - - 2- - - - - - 2cos x +i2sinxcosx

36

x 2 - 2x + 10 = 0

5010

- 2sin2 x+i2sinxcosx

-

39

5008 y = 3 + 2sin(x + 30°) eller y = 3 + 2cos(x - 60°)

1-2sin2 x + i2sinxcosx-1

73,5°

3

5007 Amplitud = 3 Period = 720° Kurvan är förskjuten 40° åt höger i förhållande till y = cosO,Sx

e2 ix - 1 cos2x+isin2x - 1 2 e ;x + 1 cos2x +i sin2x + 1

35

r;; Imz = -v 2

5004 Amplitud = 2 Period= 120° Kurvan är förskjuten 20° åt vänster jämfört med sin 3x.

5009 a) x "" 53° + n · 360° eller X ::. 127° + n · 360° b) x = 10° + n · 120° eller X = 50° + n · 120°

46

Zz

=

cosx(cosx +i sinx)

cosx

.

= itanx

-

-

i sin x(cos x + i sinx) cosx(cosx +i sin x) t SinX

J3

- t

x = 2 + i eller x = 2 - i

=

5003 tan 480° = -

5006 y = 3sin 2(x - 30°) + 1

= 2i

= -3 . X = t 3 X

5002 a) "" 0,82 b) "" 0,70 c) "" - 0,57

=2

X = 4

COS V = -Q,8

3 = - 2i

= 3

2

5001

5005 Grafen tillg(x) = - sin x är "spegelvänd" i x-axeln jämfört med grafen till f(x) = sin x

44

b ) 32i

34 y = i . e iz ==> y ' = i2 . e iz = -eiz och y" = - i · e iz Detta ger y + y" = i· eiz + (- i · eiz) = 0 vsv

1

KAPITEL 5

5014 a) x = n · 360° eller X = 60° + n · 120° b) X= 7,5° + n · 90° eller X = 25° + n · 60°

1C

5027 a) x = - +n·n eller 8

x=

31C

8

5041

+n · n

1C

5015

5016

b) x = - +n·n 3

a) x 1 = 10° + n · 180° X = - 5° + n · 90° 2 b) X = 20° + n · 120° a) x 1 = 18° x 2 = 90° X = 162° 3 b) x = 30° + n · 360° eller X = 50° + n · 120°

5042 a) y' = 6x(x2 + 5)2

5028 a) 25 °C b) - 10 °C c) - 1,5 °C d) Efter ca 33 minuter 5029 A = 53

k :::: 1,43

5030 a) HL = 1 - sin2x · tanx = l-2sinxcosx · - - = cosx

.../2

= J"icosx

vsv cos 2x = 0,28

5020 sin 2x = 0,6 a) x = + 30° + n · 180° b) X= 168,2° + n · 180° X= 101,8° + n · 180° c) x = 90° + n · 180° X= 330° + n · 360° X = 210° + n · 360° d) X= 270° + n · 360°

502 2 a) y = l,4lsin (x + 45°) b) y = 3,16 sin (x - 18,4°)

= 1 - 2 sin2 x = cos 2x = VL VSV b) VL = (cosx + sinx)2 + (cos x - sin x) 2 = = cos 2 x + 2 sinx cosx

+ sin2 x + cos2 x 2 sin x cos x + sin2 x = = 2 cos 2 x + 2 sin2 x = = 2 (sin 2 x + cos2 x) = 2 = HL VSV c) Se exempel 2 s 70 d) Se exempel 2 s 70

5044 a) y' = 4(sin x) 3 · cos x b) y' = 4x3 • cos(x4) 5045 y

b)

1C rad

5025 y = 2sin( X

- : )

5034 a) y' = 4x3 + 24x2 - 7 b) f'(x) = ex+ 2e2x+ 4e0,5x c) y' = 700 · ln 1,08 · 1,08x

1 c y =I

)

X

d) y' =

5038 Största värdet är 5. Minsta värdet är 1. 5039 a) y' = cosx - sinx b) y' = 3cosx + 2sinx

5026 -1

c y = )

2

1 xlnlO

5047 a) y = -2 I

X

b) y' = 1

b) y'=2X·COSX - X 2 ·sinx c) y' = e-x . cosx + sinx. (- e-x) = e-x · (cosx - sinx) 5049

X =

5050

a)

0,25

y' =

.

X· COSX - SlnX

x2 b) y' = e x · (2cosx + sinx) cos2 x 2

5051

1 - cosx

2

5x

~

5035 3

I

-

b) y' = 8-J_

5033 f(4,l)::::3,2

5037 Ja, det är en maximipunkt för X= 0.

5024 a) x"" ± 0,735 + n · n b) x:::: 5,36 + n · 2n eller x :::: 4,07 + n · 2n

-;::==

I

5032 Tangentens ekvation är y = - 3x + 9

c) "" 97,4° d) 60°

2 J3+ 4x

-

)

5036 Värdeminskningen år 2013 är cirka 17 000 kr/år

4

I

5046 a y = x

--./ X

5023 a) :::: 0,768 rad

-

5048 a) y' = l+ lnx

5031 f'(x) = 2x + 3

d) f'(x)=3·x- 0 •5 =

3 y - - (3x - 7)2 I

5043 a) y' =5 cos 5x b) y' = 8e8x+ 2

.

SlnX

5018 VL = = sin (x + 45°) - sin (x - 45°) = sinx · cos45° + cosx · sin 45° - (sin x · cos 45° cos x · sin 45°) = 1 = 2cosxsin45° = 2cosx ---=

5021

Tangentens ekvation är y = 5x - 2

b)

5017 cos 60° = 0,5

5019

5040 f'(O) = 4

5052

Grafen består av två delar, y = x - 1 då x > 1 och J = - X + 1 då X< 1.

lx 2

-

~

=1

~x2 - 3 = 1

~x = ±2 eller x 2 - 3 = - 1 ~ X = +.Jl:::: +1,4

5053 I punkten (0, 0) är y'= 0 och y'' > 0 vilket betyder att funktionen har en minimipunkt. VSV

5054 Uttrycket närmar sig värdet 4

5071

a)

e2 -1

b) ln 9

5096 a)

A1 n

2

5055 0,5

,

,

1 c) - = 12-

37

5056 x -axeln och linjen x = 4 5057 a) Maximipunkt = (-0,5; -4) och minimipunkt = (0,5; 4) b) Asymptoter är linjen y = 4x och y-axeln. c) Värdemängden är y< - 4 ochy> 4

3

3

5059 Rektangelns maximala area är ca 2,2 ae 20n 5060 a) y(t) = 0,3sin t+0,8 9 b) ca 2,1 m/s 5061

1

.

--

'

5073 - 2 5074 0,33 m = 33 cm

A1 n

b)

5075 ca 3,28 ae

X

c) H(x) = 4x t. 5 + C d) F(x) = -cos x + 2 sin x + C

32x

5063

F(x) =

5064 h(t) =

4

I

5076 ca 1,4 5077 0,58 = 58 %

+C x

+ 3cos3

2t-lt - 0,3t 2 +0,l 3

5065 F(x) = 2sin- + cosx - 1,5 2 5066 VL = y" + 4y = = - 4 sin 2x + 4 · sin 2x = 0 HL = 0 Alltså VL = HL

vsv

5067 f(x) = x 2 + Cx + D 5068 a = -5

5079

=

-0,02N

funktionen N

vsv 5070 a) 6

b) 1

,

18nve

c)

"

Il

z

5080 153 ve 5081

.

I ez

77,8 ve

z

5086 A = 5 + 2i C= 4i E = -3i G = -2 - i 5087

c) 1

d)

Re z = 5 och Im z = -2 Re z = 3 och Im z = 1 Rez = 0 och Im z = 8 Rez=7ochlmz=O

5085 a) = 1 + 4i b) z = - 3 - i c) z = -7i d) z = - 3 B = 2 - 3i D= - 4 F= O

a) Izl = -v74 : : : 8,6 b) lzl = 8 b) 21 d) - 1

5089 a) 3 + 9i c) 7 - 24i

b) 32 - 4i

5093 z 1 = z 2 = 2i

z

/

"-

(2. 3i)

.,

/ f

ez)

5097 a) Eftersom x = 2 är ett nollställe, 1nåste (x - 2) vara en faktor. VSV b) Ja, x + 3 är en faktor. c) Nej 5098 p(x) = 3(x + 3) 2(x - 2)

5100

De övriga rötterna är

x 2 = - l +i.J2 X3

5101

och

=-1 - i h

x 1 = - 1, x 2 = 1 + 3i och x 3 = 1 - 3i

5102 z = .Ji8 ·(cos135° + isin135°) ""4,2 · (cos135° + isin135°)

- 0,1 + 0,7i

5092 z = 0 eller

. . ..

5099 x2 - 2x + 5

5088 a) - 8 c) i

5091

b) -0,02 · 5000 · e-0 •021

~

,.

ez

5078 39 %

5090 3 - 8i

5069 a) dN = -0,02N dt =

\

'".

X

N'

z

.

5084 a) b) c) d)

b) G(x) = - 2 + c

sin4x

:,,

I\.

5072 0,34 ae

5083 6,4n ve ::::: 20, 1 ve

5062 a) F(x) = 3 lnx + C

2 · ln3

'

-

R,z

5082 14,l ve

Radien ökar med ca 1,4 mm/s

e) F(x) =

.....

,. I......

.

5058 Cylinder11s maximala volym är ca 340 dm 3

z

z = -1 + i-./2

5103 z = 4(cos n + i sin n) 5104

z = 3(cos 270° + i sin 270°)

5094 z = 1 + i

5105

z"" 3,54 + 3,54i

5095 z = 2 - Si

5106

z= - 2J3 - 2i

(dubbelrot)

5107 a)Z·W= 10 (cos 50° + i sin 50°)

5113

z

b) - = 2,5(cosl0° + isin l0°) w

5108 a) Z· Z= 36 cos

5114

2n

3

+ 1s1n

n

3

5110

=

n)

5111 5112

5115

6

6

5116

T2 T3

COS

- 64

5

- ""0,26 gram 19

5117

T6

x = 4, y = 2 och z = 1 eller x = - 4, y = - 2 och z = - 1

12 k1n. De har ännu inte startat! Deras relativa h astighet är 81 km/h, dvs 1350 m/min. De möts alltså efter endast 8,9 minuter.

T7

T8

T4

15n 15n) + i sin 8 8

a)

T9

b) 2e;"13

5eirrt4

z = ln2 +

2n

3

·i

4_± min"" 4,5 m in 9

jämnt

udda

5120 a) -,P: H eltalet n är jämnt b) -,P: x + y < 5 c) -,P: x = 5 d) -,P: Minst en elev i klassen är pojke

· - ix -dy = - 2ie dx

555552 = (1111 1. 5)2 = = 11111 2 • 5 2 11111 2 • 52 - 11111 2 • 32 = = 111112 • 4 2 Detta ger 52 - 32 = 4 2 ==> 25 - 9 = 16 dvs VL = HL Tex l, 2, 3, 6, 12, 24 och 48, dvs en talföljd där "nästa tal" är summan av de tidigare talen. 1Ost < x < 70 st

R2(n -J3 ) 0 .d b . mra et estar 2 av en liksidig triangel och tre cirkelsegment.

T10 14 maskiner

T5

a) Summan = 2n + 2m = 2(n + m). Eftersom summan innehåller faktorn 2, är summan et t jämnt tal. VSB b) Ett udda tal kan skrivas 2n + 1 och ett jämnt tal 2m där n och m är heltal.

2n + l + 2m = 2(n + m)+ 1

a) l(cos4n + isin4n) b) e3 (cos 2 + isin 2)

z3 = - 8 5118

T1

1,19 (

c) 2 (cos; + i sin; )

4 ( cos lln + i sin l ln)

i

7 7 z 1 :::::: 1,19( cos ; + i sin ; ) Z 2 ::::::

zi = 4(cos 150° + i sin 150°)

-z

5119

. . 2n

b) z I w = 3( cos- + isin12 12 5109

zl = 2( cos 22,5° + isin 22,5°) z2 = 2(cos 112,5° + isin 112,5°) z3= 2(cos 202,5° + isin 202,5°) z4 = 2(cos 292,5° + isin 292,5°)

T11 lOOa+lOb+c - (lOOc + lOb + a) = = 99a - 99c = 99(a - c) Talet 99 är jämnt delbart med 11.

T12 25 % T13 6 m högt T14

_i_ 27

T15 42: 29 : 29 T16 11 547 kr och 32 660 kr T17 3 chokladkakor, 15 sega råttor och 2 kola T18 Nej! 101 är ett primtal p och om delningen är möjlig så ska det gälla att n · x + n · y = p dvs n(x + y) = p Alltså måste också p vara jämnt delbart med n. T19 87,3 km/h

Sakregister a + bi 193 absolutbelopp 111 absolutbelopp av z 193 additionssatser 46 amplitud 15 andraderivata 89 area med integral 152 argume11t 215 asymptot 36, 120 avståndsformeln 45

faktorsatsen 206 frekvensfunktion 168, 170 fu11ktionen y = ez 230 förskjutning 18 förändringshastighet 127 gränsvärden

halva kvadraten 61 halva liksidiga triangel11 hypotenusa 8

bevis 69, 234 båglängd 57

i

cirkelsektor 57 cosinuskurva 23 cosinussatsen 45 delta-y 82 de Moivres formel 225 derivata av kvot 108 derivata av produkt 105 derivata 83 derivatans definition 82 deriveringsregler 86, 93, 101 differentialekvation 148 direkt bevis 234 dubbla vinkeln 48

0,5 Sin X = 0,5 tan X= 1,5

28 27 37

enhetscirkel 8 Eulers formel 230 Eulers identitet 191 exakta värden 61 exponentialfördelning

287

192

imaginär del 192 inre derivata 96 inre funktion 96 integral 152 integralens värde 159 integrand 152 integrationsgräns 152 integrationsvariabel 152 intervall 33 invers 115 kedjeregeln 97 konjugat till z 193 komplexa talplanet 193 kvadrant 8 logaritmfunktion 115 logaritmlagar 102

ekvationen COS X=

118

172

maxinupunkt 89 medellivslängd 172 medelvärde 170 minimipunkt 89 mittpunktsmetoden 164 motstående katet 8 motsägelsebevis 236

normalfördelning 170 numerisk lösning 164 närliggande katet 8 parallelltrapets 165 period 15 polynomdivision 209 polär form 215 primitiv funktion 142

61

radian 56 rationella funktioner 119 reell del 192 rotation kring x-axeln 175 rotation kring y-axeln 178 sammansatt funktion 96 sin-kvadrat 9 sinuskurva 14 skivmetoden 175 spegelvänds i x-axeln 112 standardavvikelse 170 subtraktionssatser 46 tangenskurva 36 tangent 83 tangentens ekvation 94 trapetsmetoden 165 trigonometriska bevis 69 trigonometriska ettan 9 täthetsfunktion 170 underfunktion yttre funktion

153 96

ändringskvot

82

överfunktion

153

..

EXAKTA TRIGONOMETRISKA VARDEN Vinkel

0

30° 45° 60°

90° 120° 135°

1C

0

1

1

c

0

6

2

1C

1

1

c -\1 2 c -\1 3

c -\1 2

1

1

2

2

.v3

1

0

4

n 3 1C

2

180°

-../ 3

ej def.

c

-v 3

1

2

2

31C

1

c \1 2

c -'\1 3

1

- - --

-1

v2 1

5n

1

v3

6

2

2

.[3

1C

0

-1

0

- --

-

210° 225° 240°

270° 300° 315° 330°

360°

r-

71C

6 5n 4

1

'\: 3

2

2

--

1 -c -v 2

1 -'1 2

41C

c

-v 3

1

3

2

2

-1

0

31C

2

c

-

1

r:.

v3 1 .'1 3 ej def.

3

\1 3 2

1 2

71C

1

1

4

12

111r

1

c -\1 2 c

6

2

2

.[3

2rc

0

1

0

5n

••

BILDFORTECKNING

2n 3 4

-

-

-

150°

1

\1 3 2

"V 3

c

- '\1 3 -1

1

---

Omslagsfoto: Matton Images 6-7 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 6 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 13 Denny Lorentzen/Scanpix 25, 32, 35, 39 Shutterstock 42 Berit Roald/Scanpix 55,65,67,80 Shutterstock 81 Pat Wellenbach/AP/Scanpix 103 Shutterstock 107 Denny Lorentzen/Scanpix 114 Thomas Eisenhuth/EPA/Scanpix 117, 126 127 Shutterstock 132 Linda Berglund/Sydsv/IBL 140-141 Shutterstock 140 Paulina Westerlind/Scanpix/ Bildhuset 150 Stig Hammarstedt/Scanpix 163 Shutterstock 169 Jessica Gow/Scanpix 173 Eyevine/IBL 190-191 Science Photo Library/IBL 190 Science Photo Library/IBL 195 Navesh Chitraka/Reuters/Scanpix 200 Shutterstock 213 Anders Wiklund/Scanpix 218 Robert Ekegren/Scanpix 229 Hussein EI-Alawi/Sydsv/Scanpix 237 Anders Bergstedt/Maskot/Scanpix 246 Nils-Johan Norenlind/Tiofoto/ NordicPhotos 250 Shutterstock 252 Koen Suyk/ANP/Scanpix 256 Science Photo Library/IBL

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 4. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår. •

Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

•

Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera.

•

Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor.

•

Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

ti?-10909-8 .,., ,..: