Matematik. M 3b 9789147108923 9147108924 [PDF]

Zitiervorschau

..

MARTIN HOLMSTROM EVA SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON

••

MARTIN HOLMSTROM EVASMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON

MATEMATIK

LIBER

•

I

e ever oc

••

arare

Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3b och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!

Antalet värdesiffro

I regelrutorna finns det som är extra viktigt. Det finns uppgifter i tre nivåer med olika fårg på uppgiftsnumren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå fin11s något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Till vissa uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av boken. I facit har dessa uppgifter röda uppgiftsnummer.

FORDJUPNIN

I varje kapitel finns det Fördjupningsavsnitt. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.

DIGITALA RUTA

I digitala rutan får du använda digitala verktyg för att lösa problem.

NOG- UPPGIFTE

NOG-uppgifter har samma upplägg som på Högskoleprovet.

~

TEST

TANKENÖT

Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens lösta exempel. I slutet av boken finns repetitionsavsnitt.

Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen!

Författarna

3

1

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

6

Förenkling av uttryck 6 Polynom 10 Ekvationer 13 Tillämpningar 15 Andragradsekvationer 17 Uppdelning i faktorer 22 Faktorisering och ekvationer 25 Förkorta rationella uttryck 29 Mer om förenkling 33 Faktorisera polynom 35 Rationella uttryck multiplikation och division 38 addition och subtraktion 40 Upptäck & visa: Delbarhet 43 Repetition av räta linjen 44 Mer om räta linjer 51 Grafer och nollställen 54 Lite om olikheter 57 Lösa olikheter från grafer 58 Mer om grafer 63 Olikheter med teckenstudium 66 Linjär optimering 70 F Ekvationer med nämnare 72 F Mer om optimering 74 Digitala rutan: Rationella funktioner 76 Sammanfattning 77 Blandade uppgifter 78 Nog-uppgifter 84 Test lA 85 Test lB 87

Ändringskvot 88 Vad betyder ändringskvoten för en graf? 93 En kurvas lutning 96 Beräkning av gränsvärden 103 Digitala rutan: Gränsvärde med räknare 109 Använda derivatans definition 110 Härledning av deriveringsregler 114 Derivera polynom 117 Upptäck & visa: Sekant och derivata 121 Digitala rutan: Derivata med räknare 122 Tolka derivatan 1 123 Tangenten till en kurva 128 Växande och avtagande 130 Rita kurvor med hjälp av derivatan 136 Konstantbestämning 141 Största och minsta värde 142 Derivatans graf 145 Andraderivatan 152 Maximi- och minimiproblem 155 F Problemlösning, ekonomi 159 Tolka derivatan 2 161 Derivatan av y =

X

Diskontinuerliga funktioner 167 Diskret funktion 169 F Härledning av derivatorna till 1

-Fx och -

X

4

,Fx och y = _!_

170

163

F Mer problemlösning 172 F Inflexionspunkt och derivata Sammanfattning 175 Blandade uppgifter 177 Nog-uppgifter 183 Test 2A 184 Test 2B 186

174

Potenser 188 Talföljder 193 Geometriska talföljder 195 Geometriska talföljdens summa 198 Successiva inbetalningar 201 F Summatecken 206 Funktionen y = ex 207 Euler och talet e 210 F Härledning av talet e 211 Derivatan av y = ex 213 Naturliga logaritmer 216 Derivatan av y = 2x 221 Problemlösning 223 Digitala rutan: Funktionen y = ex 226 Upptäck &visa: Logaritmer 227 Sammanfattn ing 228 Blandade uppgifter 230 Nog-uppgifter 234 Test 3A 235 Test 3B 236

Primitiva funktioner 238 Primitiva funktioner med villkor 243 Beräkna integraler 245 Arean av ett område mellan två kurvor 251 Mer om area 258 Kan en integral ha värdet noll? 260 Upptäck & visa: Förhållandet mellan areor 264 Digitala rutan: Integraler med räknare 265 Tillämpning av integraler 266 F Bevis: A(x) = F(x) 270 Sammanfattning 271 Blandade uppgifter 272 Nog-uppgifter 276 Test 4A 277 Test 4B 279

Repetition 1 Repetition 2 Repetition 3 Repetition 4

281 285 292 299

Facit Tankenötter 328 Facit Upptäck & visa 329 Facit Digitala rutan 330 Facit NOG-uppgifter 330 Ledtrådar och lösni11gar 331 Sakregister

336

5

••

FORENKLING AV UTTRYCK Flera avsnitt i detta kapitel är repetition av tidigare kurser. Om du redan behärskar momenten kan du gå vidare till nästa. I det här avsnittet ska vi träna på att förenkla olika uttryck. Den del av matematiken som sysslar med bokstavsuttryck kallas algebra. En rektangulär teaterscen ska byggas. På scengolvet finns ett kvadratiskt hål enligt figuren. Figuren är inte skalenligt ritad, men har de mått (m) som anges i bilden. Ht1r stor är scengolvets area? x-5

x- 1

x-5 x+3

Vi skriver ett uttryck för golvets area och förenklar detta. Golvets area = rektangelns area - kvadratens area Golvets area = (x + 3)(x - 1) - (x - 5) 2 = = x2

-

x

+ 3x - 3 - (x2 - IOx + 25) =

= x 2 + 2x - 3 - x 2 + IOx - 25 = = 12x - 28

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Observera minustecknet framför parentesen!

Vi h ar fått ett uttryck för scengolvets area. Arean = 12x - 28 Beroende p å vilket värde som variabeln x har, får vi olika värden p å arean. Låt oss t ex bestä.m ma golvets area då x = 7 m. Vi sätter in x = 7 i uttr ycket och får

A = 12 · 7 - 28 = 84 - 28 = 56 För x = 7 m är arean alltså 56 m 2 •

a(b + c) = ab + ac

Distributiva lagen

(a + b)(c + cl) =ac + ad+ be+ bd

Parentesmultiplikation

(a + b)(a - b)

=a2 -

b2

Konjugatregeln

(a + b) 2 =a2 + 2ab + b 2

Första kvadreringsregeln

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Andra kvadreringsregeln

Ett uttryck somt ex 5x2 - 8x + 10 kallas ett polynom där x är variabel. Polynomet består av 3 termer där talen 5 och -8 kallas koefficienter. Ett polynom som bara har 2 termer tex 7x + 8 kallas ett binom.

Skriv som polynom. a)

3p(p - 4) = 3p · p - 3p · 4 = 3p2 -

b) x 2 (x + 3) - x(x2

-

1) = x 3 + 3x2

c) (4x + 3)(x - 2) = 4x2

-

-

12p x 3 + x = 3x2 + x

8x + 3x - 6 = 4x2

-

5x - 6

a) (x + 6) 2 = x 2 + 2 · x · 6 + 62 = x 2 + 12x + 36 b) (3 - 4x)2 = 32 - 2 · 3 · 4 x + (4x) 2 = 9 - 24x + 16x2 c) x(4 + x) - (x + 2)2 = 4x + x 2 - (x2 + 4x + 4) = = 4x + x 2 - x 2 - 4 x - 4 = - 4

EKVATIONER OCH FUNKT IONER

a) (s3 + 8)2 = (s 3) 2 + 2 · s 3 • 8 + 8 2 = s6 + 16s3 + 64 Lägg märke till att (s 3) 2 = s 3 · 2 = s6 b) 3(x + h) 2

= 3(x

2

+ 2xh + h 2 )

= 3x

2

+ 6xh + 3h2

c) (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2) 2 = (x + 2)(x2 + 4x + 4) =

= x 3 + 4x2

+ 4x + 2x2 + 8x + 8

= x3 +

6x2 + 12x + 8

Förenkla 1001

a) 5(7x + 3) + 2(x - 3)

b) 3x(9 - 2x + x2 ) + x

1002

a) 4(a - 6) - 2(1 + a)

b) 8y(y- 1) - 2(3y2

1003

a) (x - 9)(x + 7) - x 2

b) (3a - 4b)(8a - 7b) - 14(a2 + 2b2 )

1004

Utveckla kvadraterna

1005

a) (x + 6)2

b) (a - 9)2

c) (3x + 4) 2

d) (1 - 9x) 2

e) (2a + 3b) 2

f) (7c - 2x)2

+ y) + 7y

Multiplicera följande binom.

a) (x3 + 7x)(x2 - 4)

b) (3a 2 + 5a)(a 2 + 2a 3)

Förenkla 1006

a) x 3 (x - 6) - x 2 (2x + x 2)

1007

a)

1008

1009

(p + 9) 2 + (p + 1) 2

b) (x - 2) 2 + (x - 3)2

-

2x2

c) (x + 5) 2 - (x + 4) 2

d) (x - 8)2

a) (2r - 7) 2 + (r + 8)2

b) (3x + 5)2 + (5x - 1) 2 - 20x

c) (x2 + 2)(4x - 2x2) + 2x4

d) (2x3 + 0,5x) 2 - 2x2(x4 + x 2)

Förklara varför (a - b) 2 och (b - a) 2 alltid betyder samma sak.

1010

b) 8a 3 - (4a - 1)(3 - 2a2)

Utveckla kvadraterna

a) (x2 + 8)2

b) (2y2 - 5) 2

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

-

(x - 7)2

1011

Förenkla a) x 6 - (2 - x 3 ) 2

1012

b) (3x2

6)2 + 36x2

Utveckla kvadraterna a) (a3 + 7b) 2

1013

-

b) (x3 - 3x2 ) 2

Förenkla och skriv som polynom. a) (0,5x + 2)2 - 2(x + 2)

b) (0,8x + 5) 2 - (0,2x + 20)2 + 375

c) (3y2 + 4y)2 - 3y3 (3y - 8)

d) (x2 - x)(x2 + x) - x(x 3 - x)

1014 Förenklingen nedan är inte korrekt!

Förklara vad som är fel, och gör en korrekt förenkling.

3 - (X =

3 - Zx 2 + 6x - I 4x - 42 =

= - 2x2

1015

1016

7)( 2X + 6) =

-

-

8X

-

3Cf

Förenkla uttrycken a) 2(x + h)2 - 2(x 2 + h2 )

b) (a + 3)3 - 27(a + 1)

c) 3(x - 2) 2 - 2(x - 3) 2

d) (x - h) 3 + h(x + h)2

Beräkna utan räknare. a)

(Js-h)

2

b)

1017

Förenkla och svara i exakt form.

1018

Förenkla så långt som möjligt

(J?+J3)(J7-J3)

~+y+2)(3+zj-~-~(-3-zj TANKENÖT 1 Min ålder är inte en jämn kvadrat, men om 30 år blir den det och för 30 år sedan var den det. Hur gammal är jag?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

POLYNOM p(x) = 2x3 - 5x - 7 är ett polynom av tredje graden.

Polynomets gradtal bestäms av den term som har störst exponent. Talen 2 och -5 kallas för koefficienter och -7 är en konstantterm.

tredjegradskoefficient

t

förstag radskoefficient

i

2x3

-5x

7

tredjegradsterm

förstagradsterm

konstantterm

Polynomet x 3 + 4x2 - 3x + 8 är exempel på ett fullständigt tredjegradspolynom. Det betyder att det finns termer med samtliga heltalsexponenter från tre och nedåt (3, 2, 1 och 0). Polynomet 2x3 - 5x - 7 är också av tredje graden men är ofullständigt.

Ett polynom är en summa av termer där varje variabel har positiva heltal som exponent, dvs 0, 1, 2 osv. Den största exponenten anger polynomets grad.

Här ska du ange koefficienter, konstantterm, gradtal samt om polynomet är fullständigt. a) 5x 3 - 2x2 + 7x + 8

Koefficienterna är 5, -2 och 7. Konstanttermen är 8. Polynomet är av tredje graden och fullständigt. b) 3x 4 + l7x - 9

Koefficienterna är 3 och 17. Konstanttermen är - 9. Gradtalet är 4. Polynomet är ofullständigt eftersom både x 3 -term och x2 -term saknas.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Utgå från polynomfunktionenf(x) = 3x2 - 4x + 1. Bestäm c) Skriv och förenkla f (a + 5)

b) f(- 3)

a) /(5)

a) Vi ska ersätta variabeln x med 5. Nedan har vi markerat med rutor, var talet 5 ska skrivas. /(5)

=3 · ~

2 -

b) f(-3) = 3 · (-3)2 c)

4 · ~ + 1 = 75 - 20 + 1 = 56 -

4 · (-3) + 1 = 3 · 9 + 12 + 1 = 40

f (a + 5) = 3 · (a + 5)2 -

4(a + 5) + 1 = 3(a2 + lOa + 25) - 4a - 20 + 1 = = 3a2 + 30a + 75 - 4a - 20 + 1 = 3a2 + 26a + 56

Bilden visar grafen till polynomet f(x). Vi ska avläsa följande värden. a) f(O)

b) /(2) ' ,y

a) Med f(O) menas y-värdet då x = 0 Vi ser att f(O) = 3 1

•

b) Här ska y-värdet avläsas då x = 2. Eftersom x = 2 ger y = - 1 gäller att /(2)

SVAR:

1019

a) f(O) = 3

1021

I

\ \.. /

X

l

b) /(2) = -1

Utgå frånf(x) = x2 - 3x och bestäm följande. a) f(5)

1020

=-1

\

' I

c) f(O)

b) f(-5)

d) f(b)

Vilka av följande polynom är fullständiga? Ange också gradtalet på dessa. A: 4x3 - 5x2 - 3x + 7

B: 5x5 + 7x2 - 5x + 9

C: x 2 - x + 7

D: x 2 + 1

Titta igen på uppgiften ovan. a) Vilken koefficient har x2 -termen i A? b) Vilken är konstanttermen i C? c) Vilket gradtal har D?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1022

Ange vilka av följande uttryck som är polynom. 3

7

A: 3x + 3.j;, + 7

5

2

B: 5x + 3x + -

x2

C: 6x3 + 2x3 + 1 1023

Grafen visar polynomfunktionen f (x).

y

Använd grafen och bestäm a) f(l)

b) f(-1)

1

X

-

n

\

j

I

\

I

I\. /

1024

~om lilil ulil ice tiaI Utgå från ett polynom p(x) av fjärde graden. Förklara vad som händer med polynomets gradtal om vi gör följande:

'·'

b) Multiplicerar med x 3

a) Multiplicerar med x c) Multiplicerar med en konstant

-:t=

0

d) Adderar termen x 4

e) Subtraherar termen x 5

1025

Titta på grafen i uppgift 1023 igen. Bestäm polynomets konstantterm.

1026

Utgå från funktionen g(x) = 2x2 - 3x + 4 och bestäm följande.

a) g(2)

c) g(a + 1)

b) g(a)

d) g(5a)

1027

Ge exempel på ett andragradspolynom p(x) som uppfyller villkoret p(2) = 5.

1028

Bilden visar polynomfunktionen j(x). Använd bilden och bestäm

f (3)- f (2) 3-2

·y

\

1 I/

\

X

I

\

1029

Utgå från f (x) = x 2 - 2x och förenkla. a)

f (3 + h)- f (3) h

b)

f (a + h)- f (a) h

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

EKVATIONER

Lös ekvationen 2t + 103 = 3 . 102 Vi skriver tiopotenserna som vanliga tal. 2t + 1000 = 300 2t = 300 - 1000 2t = -700

t = - 350 SVAR: t =

Ekvationen har roten t = - 350 - 350

Lös ekvationen 12x2 - (3x - 1)(2 + 4x) = 0 Vi börjar med att multiplicera parenteserna. 12x2 - (6x + 12x2 - 2 - 4x) = 0 l 2x2 - 6x - l 2x2 + 2 + 4x = 0 - 2x + 2 = 0

Observera teckenändringarna när parentesen tas bort.

2x= 2

x=l SVAR: X=

1

Lös ekvationen 5 -

2x-l

1-x -- - -

2 6 Mgn = 6. Vi multiplicerar hela ekvationen med 6.

_ _ 6(2x-l) = 6(1-x) 6 5

6

2

Observera parenteserna!

Efter förkortning får vi ekvationen 30 - (2x - 1) = 3(1 - x) 30 - 2x + 1 = 3 - 3x 3x - 2x = 3 - 31 X = -28 SVAR: X=

- 28

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös ekvationerna 1030

1031

a) 12x + 4 = 42 + 2x

b) 20 = 14s - 22

c) 800 + 3r = 2500 + r

d) 0 = 3y + 6

a) 10- 3x = 5+2x

b) 45 -

c) 0,2x + 3 = 11

d) 0,03 - O, ly = 0,05

X

X

5p =

10 - 15p

X

1032

a) 50+ - =x 3 2y 7 y + - =c) 5 10 2

b) - + - = 10 3 2 13 5 1 - - -- d) 2y y 3

1033

a) 2x - 103 = 10

b) lOy - 102 = 2 · 103

c) t · 10-2 = 1

d) 5 = 4x · 10-2

1034

a) (x + l )(x - 3) = (x - 5)(x - 1)

b) (x + 3)(x - 4) + (3 - x)(x + 4) = 4(2 - x) c) (5x - 7)(3x + 3) = 12(x + 1)2 - 3x(9 - x) d) 16 = (x - 3)(x + 1) - (x - 5)(x - 1) 1035

a) (x - 4) 2

(x + 5) 2 - 5(1 - 4x) = 0

-

b) 0 = (3x - 2)(x - 3) - (x - 5) 2 - 2(x - 2)(x + 2)

c) (3x - 3)2 - (2x - 3)2 - 5(x + l )(x - 1) = 29 d) (3x + 4)2

1036

1037

(4 - 3x) 2 = (2x + 3)2

-

x+l 4 -x a) - - = l O+- 2 3

a)

4 x+ l

3

=

LEDNING:

-

(3 - 2x)2 b)

2

y _ 3(10 -2y) _ 3+5y= O 4 2

Mgn = x(x + 1)

X

1 2 b) x + 5 - x

1-x _

4

= _3(_2x_ -_ 7_)

1038

a)

1039

Lös ekvationerna

20

a) (3x + 4)2

-

b)

5y-2

5

(2x + 3) 2 = 3 + 5(x + 2)2

b) 5t2 - (2t + l)(t - 3) - 3(t + 2)(t - 2) = 0

EKVAT IONER OCH FUNKT IONER

3

y

5-y - - = 3 - -------'--5 2

••

TILLAMPNINGAR

Mirja är på semester och hyr en bil i fyra dagar. Hyra inklusive försäkring kostar 3200 kr och bensinkostnaden beräknas bli ca 10 kr/mil. Om Mirja kör x mil kan kostnaden i kr beräknas enligt K(x) = 3200 + lOx.

a) Bestäm K(l5), dvs kostnaden då Mirja åker 15 mil. K(l5) = 3200 + 10 · 15 = 3350 SVAR:

K(l5) = 3350 kr

b) Mirja vill också veta genomsnittskostnaden G(x), dvs den genomsnittliga kostnaden per mil. Skriv ett uttryck för G(x). G(x)

-- K(x) __ 3200 + lOx X

där x = antal mil

X

SVAR: G(x)=

3200+10x X

c) Bestäm G(50), dvs genomsnittskostnaden per mil när Mirja kör 50 mil. G( 50) = SVAR:

3200+10·50 50

=74

74 kr/mil

d) Hur långt har Mirja kört då genomsnittskostnaden blir 50 kr/mil? Vi löser ekvationen

3200+ IOx

= 50

X

3200 + IOx = 50x 3200 = 40x X =

80

SVAR:

1040

Mirja har kört 80 mil.

En keramiker tillverkar fruktfat. För att beräkna genomsnittskostnaden G(x) i kr/st används följande formel: G(x) = 4500 + 12x X

a) Beräkna G(lOO). b) Hur många fruktfat måste keramikern tillverka för att genomsnittskostnaden ska bli 30 kr/st?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1041

Bilden visar två plåtar A och B. I den ena plåten har man skurit bort en kvadrat. Bestäm x så att plåtarna får lika stor area? A

8 X

5 +x

2

X

3x

1042

1043

Vilka av följande ekvationer saknar lösning? a) X + 5 =X + 10

b) 3x= 6x

c) 2x + 4 = 2x + 4

d) 5x - 3x = 0

e) x - 3=x - 5

f) 3(2 + x) = 3x

Figuren visar en rätvinklig triangel.

(cm)

Använd Pythagoras sats (a2 + b2 = c2) och bestäm triangelns omkrets.

x+ 3

9 X

1044

Reza hyr en liten bil och kan beräkna genomsnittskostnaden G(x) i kr/mil med formeln - 1020 + 8x G(x)där x = antal mil X

a) Hur många mil ska Reza köra för att genoms11ittskostnaden ska bli 20 kr/mil? b) Är det sant att genomsnittskostnaden minskar med drygt 10 kr/mil då antalet mil ökar från 50 till 100?

1045

Vi har polynomet p(x) = x 3 + 2x - 5. Bestäm p(2).

1046

Polynomet x 2 - 6x + 8 är givet. Beräkna utan räknare polynomets värde för x = 3 + Js

1047

Linda är 15 år äldre än sin bror Hugo. Om man subtraherar kvadraterna på Lindas och Hugos ålder, så får man talet 1125. Hur gammal är Linda?

1048

Lös ekvationen (x - a) 2 = x 2 med avseende på x.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1049

En kvadrat har sidan x meter. E11 ny kvadrat fås då varje sida förlängs med 5 m. a) Gör en skiss av de två kvadraterna med sidlängderna angivna. b) Visa algebraiskt att differensen mellan de två kvadraternas area är lOx + 25. c) Förklara denna differens med hjälp av dina figurer.

1050

Bestäm x.

X+

(cm)

.Jx+ 11

3

X

1051

Uttrycket K = (x - l)(x + l)(x2 + l)(x4 + 1) Förenkla K och beräkna sedan värdet för x = -Ji

ANDRAGRADSEKVATIONER

Lös ekvationen 3x2 = 48 3x2 = 48 48 x=3 2

Båda leden har dividerats med 3.

x 2 = 16

x=+.J16

Vi drar roten ur båda leden.

x= +4 SVAR: X =

+4

Svaret kan också skrivas x 1 = 4, x 2 = -4 Siffrorna 1 och 2 kallas index.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös följande ekvationer. Svara med tre värdesiffror i de uppgifter där du avrundar svaret. 1052

a) x 2 = 324

b) 3x2 = 600

1053

a) x 2 -10 = 0

b) 2x2

1054

a) 250 - x 2 = 150

b) 5 - 3x2 = 1 + x2

1055

a) (x + 5) 2 = l Ox

b) 4x(x - 1) = 2(3 - 2x)

1056

2x + 9 X +8 a) - - - - -

8- x

4

X

19 = 3 1

-

b) 2x -

=1

X

Fullständiga andragradsekvationer som t ex ekvationen x 2 + 7 x + 6 = 0 kan vi lösa ganska enkelt med hjälp av form eln från M2b.

x2 + 7x + 6 = 0

x2 + px + q = 0

x2 + 7x = - 6

x 2 + px = -

x 2 +7x + 7

2

x+ -

2

4

2

2

-6

4

2

x=--+

7

2

= 49 -6 49

7

--

2

7

x+ - =+

x2 +

7

2

+ px+ 2

2

- - q 2

EKVAT IONER OCH FUNKT IONER

2

p

-

-- p

2

2

x+P

-- p

2

2

2

49 -6 4

p

x

2

x+P=+

px + q = 0

X-- - -p ± 2

q

p

2

-q 2

-q

2

p 2

2

-q

2

-q

Lös ekvationen x 2 + 6x - 16 = 0 med hjälp av formeln

x2 + 6x - 16 = 0

Halva koefficienten för x med ombytt tecken

X

Siffertermen med ombytt tecken

= -3 ± .J9 + 16

x=-3±.Jis X=

X1 =

-3+5

Kvadrera!

-3+5= 2

SVAR: X

1

= 2

X = 2

X

2

=

-3 - 5 = - 8

-8

Vi kan pröva vårt svar genom att sätta in x-värdena i den ursprungliga ekvationen. x 1 = 2 ger 2 2 + 6 · 2 - 16

=0

x 2 = -8 ger (-8 )2 + 6 · ( -8) - 16 = 0

Alltså är vårt svar korrekt!

Lös ekvationen 20 + 3x - 3x2 = 2 Vi börjar med att skriva ekvationen så att termerna kommer i "rätt ordning':

- 3x2 + 3x + 18 = 0 Ekvationen är nu skriven i allmän form. Eftersom koefficienten framför x 2 är -3 så dividerar vi alla termer med - 3. Vi får då ekvationen:

x2 -x-6 = 0 Ekvationen är nu skriven på normalform och vi kan använda formeln.

x2 - x - 6=0 X

Observera att koefficienten för x är -1 !

= 0,5 + .J~0,_2_5_+_6

X=

0,5 + .j6,25

0,5 ± 2,5 X = 0,5 + 2,5 1 X =

SVAR:

X = 1

=

3

3

x 2 = 0,5 - 2,5 = -2 X

2

= -2

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös följande ekvationer. a) x 2 - 8x + 16 = 0

b) x 2 - 8x + 17 = 0

x=4+.Jl6 - 16

X=

x=4+Jo

x=4+.J=i

Det blir noll under rottecknet!

Här får vi ett negativt tal under rottecknet!

x=4 + 0 X

l

=4

X

2

4 + .Jl6 - 17

Eftersom vi inte kan dra roten ur ett negativt tal, saknar ekvationen reella rötter.

=4

När vi får noll under rottecknet blir båda rötterna lika.

Ekvationen saknar reella rötter.

SVAR:

Man säger att ekvationen har dubbelrot.

Lös följande ekvationer. Svara med tre decimaler i de uppgifter där du avrundar svaret. 1057

10 58

1059

1060

1061

a) x 2 - 8x + 15 = 0

b) x 2 - lOx + 9 = 0

c) x 2 - 4x - 21 = 0

d) x 2 + 18x + 80 = 0

a) 3 - 4x2

b) 0 = 20x - 2x2 - 44

-

4x = 0

c) 1 + 8x - x 2 = 0

d) 2 - 7x - 4x2 = 0

a) (x-1) 2 +(x-2) 2 = 1

b) (2x-3) 2 -(x-2) 2 = 2x(x-5)+8

c) (x + 1) 2 - (x + 2) 2 = 0

d) (x - 4)(x + 8) = 2x + 3

I en rektangel är den ena sidan 16 m kortare än den andra sidan. Se figuren. Bestäm rektangelns sidor då man vet att dess area är 225 m 2. Titta på triangeln. Använd Pythagoras sats och bestäm x. Mått i meter.

X-

X

6

10

x+6

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

16

Lös ekvationerna 1062

a) x(x + 4) + (x - 2)2 = 0 c)

1063

x2 b) - + l, 25x - 0, 75 = 0

a)

5x 2

2 4

-X

2

9

d) x+-=10

+4,9=7x

X

x-1 2

b)

= 1,5

x+l c) -= l+ - x 4 6

1064

d)

6-x x-2 5-x x+3

--

X

4 x+2

-3

Bestäm triangelns längsta sida. Mått i meter. b)

a)

x-2

5 X

1065

x+5

Bestäm rektangelns sidor då man vet att arean är 90 m 2 •

X

23 - x

1066

Bestäm triangelns omkrets då man vet att arean är 6,0 m 2•

X

1067

För två tal gäller att talens produkt är 420 och talens summa är 43. Bestäm talens differens.

1068

I uppgift 1057 har du löst ekvationer som var skrivna på formen

x2 + px + q = 0. Det finns ett samband mellan ekvationens rötter och konstanterna p och q. Vilket är sambandet?

TANKENÖT 2 Man utgår från ett tvåsiffrigt positivt ta{ och sätter en nolla mellan siffrorna. Då bildas ett tresiffrigt tal. Kan detta tal vara 9 gånger så stort som det tvåsiffriga talet?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

UPPDELNING I FAKTORER Titta på multiplikationen x · (x + 3) Vi multiplicerar på vanligt sätt och får då x · (x + 3) = x2 + 3x

Omvänt kan vi skriva så här: x 2 + 3x= x·(x+3)

Summa

Produkt

Vi har omvandlat en summa till en produkt genom att bryta ut faktorn x. Detta kallas att faktorisera uttrycket. Här ser du ytterligare två faktoriseringar: • 3 + 9y = 3 · 1 + 3 · 3y = 3(1 + 3y) • 6x2

36x = 6x · x - 6x · 6 = 6x(x - 6)

-

I det här avsnittet ska vi träna på att faktorisera uttryck. Faktorisering kommer vi sedan att använda då vi löser ekvationer och förenklar uttryck.

Vi visar hur uttrycket 2x2 + 14x kan faktoriseras på olika sätt. Om vi bryter ut 2 får vi: 2x2 + 14x = 2(x2 + 7x) Om vi bryter ut x får vi: 2x2 + 14x = x(2x + 14) Om vi bryter ut så mycket som möjligt får vi: 2x2 + 14x = 2x(x + 7)

I följande exempel faktoriserar vi så långt som möjligt.

a) Sy4 - 10y3 + 15y2 = 5y2 (y 2 b) x

2

-

-

2y + 3)

9 = (x + 3)(x - 3) ( Konjugatregeln

2 25 c) +a

Går ej att faktorisera

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

)

a) x 2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) a 2

-

Kvadreringsregel

4a + 4 = (a - 2)2

c) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

a) x 3

-

4x

= x(x2 -

4)

= x(x + 2)(x -

2)

b) a 3 + 2a2 b + ab 2 = a(a 2 + 2ab + b2 ) = a(a + b) 2 c) 3x5 - 3x = 3x(x 4 - 1) = 3x(x2 + l)(x2 - 1) = 3x(x2 + l)(x + l)(x - 1)

Faktorisera så långt som möjligt. 1069

a) 3x-6

b) lOx + 15

c) 4 + 4x

1070

a) x 2

-

x

b) 3x+9y

c) l2x + 3x2

1071

a) x 2

-

4

b) x 2

c) 49 - x 2

1072

a) 9x2 - 1

1073

a) x 3

1074

a) 5x - l6x2 + x 3

-

-

25

c) x 2 - 16

2x2

c) xy2 - xy

b) 3xy + 5y2 b) 4x3 + 2x2

-

4x4

c) x 3

-

x4

Faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna. 1075

a) x 2 + 4x + 4

b) a 2 + 6a + 9 c)

p2 + lOp + 25

d) a 2 - l2a + 36 1076

a)

2 X + X+

0,25

b) x 2 - 2x + 1

c) a 2 - 8a + 16 d) s2 + 16s + 64 1077

Vad ska skrivas i rutorna så att likheten stämmer?

a) x 2 + l6x + 0 = (x + b) x 2

-

0,2x +

0

=

0 )2 (x - 0 )2

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Här följer några blandade uppgifter på faktorisering. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt. 1078

a) 16x2 -8x+8

b) 30xy2+20xy

c) 25x2 - 16

1079

a) x 2 + 25

b) 4x2

c) 36x2 - 1

1080

a) 25a2 + lOab + b2

b) 25a2 + lOab

c) 25a2 - 9b2

1081

a) x 2

b) 4a 2 + 4ab - b2

c) 4a2

1082

a) 5a2 b - 25ab2

b) xy2- xy + 3x2y

c) 16x2 + y2 + 8xy

1083

a) x4 - 1

b) .x4 - 16

c) x4 - y4

1084

a) 2x2 - 18

b) 100 - 4x2

c) x 3 - x

1085

a) 3x - 12x3

b) x 2 - x 4

c) 2x2

1086

a) x 3y - xy3

b) x4-x6

c) x 2 - 196

1087

a) x 3 + x 2 + 2x

b) 49y2 - 4z2

c) 9z2 + 3z + 1

1088

a) 16y2+25- 40y

b) 4a3 -8a2

1089

a) 25+4a2 + 10ab

b) 9a2b2 -25

-

49

-

9y2

200

-

c) 36x2

1090 Att det måste vara något fel i förenklingen nedan är ju L1ppenbart eftersom 1 :t: 2. Fundera på vad som sker i varje steg och försök hitta felet. Motivera!

a=b a2 = ab a2 - b2 = ab - b2 (a - b)(a + b) = b(a - b) a+b=b b+b=b 2b = b 2=1 1091

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x 2 + a innehåller faktorn x + 7?

1092

Faktorisera x80 - 1 så långt som möjligt.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

4ab + b2

-

-

9y2 + 36xy

FAKTORISERING OCH EKVATIONER En produkt som t ex 3 · 2 · 0 blir noll, eftersom en av faktorerna är noll. Titta på ekvationen (x - 5)(x + 9) = 0 Högra ledet är noll. Vänstra ledet är en produkt. Alltså måste minst en av faktorerna vara noll. Vi sätter varje faktor = 0 och får då att x = 5 eller x = - 9 Ekvationer vars ena led är faktoriserat och det andra ledet = 0, kan vi alltså lösa på detta sätt. 2x2 = 6x Vänstra ledet är faktoriserat

2

0 0 2x = 0

2x - 6x = 2x · (x - 3) =

X

x-3 = 0

l

X2

=

Q

Vi sätter varje faktor till O

=3

Om en produkt= 0 gäller att minst en av faktorerna är noll.

x · (x - 8) = 0 betyder att x =0 eller x =8

Att kunna faktorisera polynom är viktigt både vid ekvationslösning och förenkling. Titta på följande. 1) Vilka rötter har ekvationen (x - 2)(x + 5) = O? Eftersom ekvationen är faktoriserad, ser vi att rötterna är x = 2 och x = -5. 2) På motsvarande sätt kan vi bestämma faktorerna om vi vet rötterna. Rötterna till en ekvation är x = -1 och x = 3. Vilken är ekvationen? Ekvationen (x + l)(x - 3) = 0 har rötterna - 1 och 3.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös ekvationen 3x(2x + 7)(3x - 2) = 0 Eftersom högra ledet = 0 och vänstra ledet är faktoriserat kan vi sätta varje faktor = 0.

2x + 7 = 0 2x= -7

3x = 0 x=O

-3,5

X=

SVAR:

X

1

=0

= -3,5

X 2

X3

3x-2 = 0 3x= 2 2

x=3

2 =-

3

Lös ekvationen x 2 + 5x = 0 Vi faktoriserar genom att bryta ut x.

x(x + 5) = 0 x = 0 eller x = -5

SVAR:

X1 =

0

X = 2

-5

Ge exempel på ekvationer som har följande rötter. a) x = 3 eller x = 2

SVAR: tex (x - 3)(x - 2) = 0

b) x=Oellerx= - 9

SVAR:texx(x+9)=0

c) x = 0, x = -1 eller x = 0,5

SVAR: tex 3x(x + 1)(2x - 1) = 0

Lös ekvationerna 1093

a) (x + l)(x - 5) = 0

b) x(2x - 1)=0

1094

a) x 2 - 7x = 0

b) x 2 + 8x = 0

1095

a) 2x2 - 3x = 0

b) 3x+x2 =0

1096

a) 4x(2x - 5)(x - 1) = 0

b) (5 + x)(2x - 3)(3x + 6) = 0

1097

a) 10x= O,lx2

b) 0,8X2 + X = 0

1098

Ge exempel på en ekvation som har rötterna a) x = 0 eller x = 5

b) x = -3 eller x = 1

c) x = 0 , x = 9 eller x = -0,25

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös ekvationen x 2 - 25 = 0 med hjälp av konjugatregeln.

x 2 - 25 = 0 (x + 5)(x - 5) = 0 X = -5 X = 5 l 2 SVAR:

x = 5 eller x = -5

Lös ekvationen t3 - 4t = 0 Vi faktoriserar vänsterledet, genom att bryta ut t och sedan använda konjugatregeln. t 3-

4t = t(t2 - 4) = t(t + 2)(t - 2)

Ekvationen kan alltså skrivas t( t + 2)(t - 2) = 0 Vi får rötterna t 1 = 0 SVAR:

t 2 = -2

t3 = 2

tl = 0 t2 = - 2 eller t3 = 2

Lös ekvationen x 3 - 6x2 + 9x = 0 x 3 - 6x2 + 9x = x · (x2 - 6x + 9) Vi har brutit ut faktorn x och vet nu att x = 0 är en rot. För att finna ytterligare rötter, faktoriserar vi uttrycket i parentesen med hjälp av kvadreringsregeln. x2

-

6x + 9 = (x - 3)2

Den ursprungliga ekvationen kan nu skrivas

X· (X - 3) 2 = 0 Rötterna är x = 0 eller x = 3 (dubbelrot) SVAR:

x = 0 eller x = 3

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös följande ekvationer.

1099

a) x 2

1100

a) 4(3 - x)(2x + 9) = 0

b) x(2x + 7)(5x - 2) = 0

1101

a) 2x2 = 4x

b) x 3 = 4x

1102

a) x 3 + 4x = 0

b) 3x3 = 27x

1103

a) x 3 + 12x2 + 36x = 0

11 04

a) 32x = 2x3

1105

-

b) x 2

9=0

-

121 = 0

b) x 3 = x 2 - 0,25x

1

Skriv en ekvation som har rötterna x 1 = 4, x 2 = 0 och x 3 = - 2

1106 Antag att du löser ekvationen (x + 3)(2 - x) = 1 så här: X 1 =-3 (x + 3)(2 - x) = 1 ==> X 2 -2 -

Gör du rätt? Om inte, lös ekvationen rätt.

1107

Visa hur du kan faktorisera uttrycket 2x2 - 12x - 14.

1108

Ge exempel på en ekvation som har roten x 1 = 0 samt dubbelroten x 2 = x 3 = -5.

1109

Här gäller attf(x) = x 2 + 3x + 1. Lös ekvationenf(2a) = 1.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

••

FORKORTA RATIONELLA UTTRYCK Det här avsnittet handlar om rationella uttryck. x 2 Med ett rationellt uttryck menas kvoten mellan två polynom, t ex - 3 Ett annat ord för kvot är förhållande. x+ I engelskan betyder ratio förhållande.

Rationellt uttryck

x 2 + 5x

Kvoten mellan två polynom som t ex - - x 1 är ett rationellt uttryck. Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med 0.

a) Vilket värde kan x inte ha i uttrycket

2

x-8

?

Nämnaren får ej vara noll, dvs x - 8 t= 0 vilket ger x t= 8. Tecknet t= utläses "är ej lika med" eller "är skilt från". SVAR: X i=

8

b) För vilka värden på x är uttrycket

x+l X

2

-6X

ej d efinierat?

x 2 - 6x får inte vara noll. Vi löser ekvationen x 2 x(x - 6) = 0 ger x 1 = 0

-

6x = 0 med faktorisering. x2 = 6

svAR: Ej definierat för x = 0 eller x = 6

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

lSxy a) Förenkla 3xy

2

Om täljare och nämnare faktoriseras ser vi lättare hur vi kan förkorta. z 1 I l lSxy 3·S·t.·y·y --= =Sy SVAR: Sy 3xy 3 ·i· p l

1

1

l2x 2 y

b) Förenkla

8xy 3 1

2

l

.I

12x y_ 4·3·.t·x·y _ 3x 8xy

3

-

4· 2 · .t· y· y · y 1

I

2y

2

3x SVAR:

2y2

I

2(x + 1) Förenkla ( ) 12 x+l l

2(x + 1)

----

l

,Z(x-+11

1

-

~(x-+11

12(x + 1)

6

1

SVAR:

6

-

6

1

4a+a 2

Förenkla uttrycket

a

Innan vi kan förkorta måste vi faktorisera täljaren. Vi får bara förkorta faktorer! 1

4a+a 2 (4:·(4+a) --- = =4+a a

(/l 1

SVAR:

4+a

Förenkla uttrycken.

a)

Sx+3S

-

10x+25

b)

X+ 3

-

x+7

,5 · (2x+5) 2x+5

x+7 SVAR:

2x+5

I

2

3x + 9x

$·(x+7)

=

3x · ( ~ ) (..vY3)

= 3x

l

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

SVAR:

3x

1110

Vilket värde får x inte ha i följande uttryck? X

a)

1111

c)

x+2

2x x+3

b)

x- 3

c)

X

X

2x - 6

För vilket/vilka värden är uttrycket ej definierat? a)

c)

1113

x-5

6 2x-3

Vilka av uttrycken är inte definierade för x = 3? a)

1112

b)

1

3+x

b)

2x+l

6x (x-3)(x + 2)

x+l

x 2 -9x

Skriv ett rationellt uttryck som inte är definierat för

b) x = 0

a) x = 6

c) x = +5

Förenkla följande rationella uttryck.

1114

a)

15x 2 5x

b)

6x2y 3 1115

1116

1117

1118

1119

a)

a)

a)

a)

a)

3xy

4

a(2a+ b) a 3x-6 x- 2 ab+b

b)

b)

b)

b)

b 2x 2 -4x

x-2 4x

b)

3xy

2

c)

xy 2 5a b

8x(x-l) 2(x - 1) p 4r 2t 3

c)

l5ab 2x(y+3) y(y+ 3) 2x+6 x+3 2xy+ 2x 2x 3xy-6y

3(x-2) 2xy-4y 2

c)

c)

pr4t 3 4x 2(x -5) 2x(x -5) 5x+l5 5 X

c)

2

-xy X

c) c)

2 2 a b + ab a+b

6a 2 +6ab

1120

a)

1121

Titta på uppgift 1120 a) igen. För vilka värden på x är uttrycket inte definierat?

2

4x -8x

b)

2

x -2xy

2 2 a b + ab

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Förenkla/förkorta följande rationella uttryck.

5a-5b b) 10a 2 -10ab

1122 2

1123

1124

8(3x + 5) a) 12(3x+5)

2

c)

2

2

18x +9x b) 12x 3 + 6x 2

9(2x-3) (3x + 1) 12(3x + l)2 (2x-3)

c)

( 4x - 8)(2x + 5) ( 4x + lO)(x - 2)2

Titta på uppgift 1123. För vilka värden på x är uttrycken ej definierade?

1125 Vilket fel görs i följande förenkling? Förklara.

.i ·(4a ~~= 3a .i ·a 12a - 3b

b)

=

4 ji( - b

Korn riTi1 u lil I ce r.a;

=4-b

ji(

1126

Finns det rationella uttryck som är definierade för alla tal? Förklara i så fall med exempel hur ett sådant uttryck kan se ut.

1127

Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 2 och som har värdet 6 då x = 4.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

••

MER OM FORENKLING Här visar vi hur man kan använda konjugatregeln och kvadreringsreglerna vid förenkling.

Förenkla uttrycken (x -4) 2

2

a)

x -8x+l6

x-4

=

x-4

=

(x-4)· (x - 4) (x -4)

= x-4

De röda faktorerna är lika och kan alltså förkortas bort.

b)

3x 2 - 12

=

x- 2

SVAR:

a)

X -

3 · (x 2 - 4)

=

x -2

3 ·(x+2)· (x - 2) (x - 2)

= 3(x + 2)

b) 3(x+2)

4

Förenkla uttrycken. 4x 2 - 6x+9 a)

b)

4x2 -9

(2x-3) 2 - -----(2x + 3)(2x -3)

2 x -100

(x - lO)(x + 10)

10-x

10-x

----

(2x-3)· (2x-3) 2x-3 ------- --(2x+3)· (2x-3) 2x+3

- (x - lO)(x + 10) - (x + 10) -l ·(x - 10)

-1

=-(x+lO)=-x-10

Lägg märke till att vi bryter ut - 1 i nämnaren för att "ändra ordningen" på termerna! 10 - x = - 1 · (- 10 + x) = - (x - 10)

SVAR:

a)

2x-3 2x+3

b) - x - 10

Bryta ut minus 1

(1 O- x)

=-(x -

10)

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 2

1128

a)

c)

x +3x

b)

3x+9 x 2 +8x+l6 x+4

d)

a2 -b2 1129

a)

c)

2

a + b -2ab

2

-y 2

4a + 12ab + 9b c) 2a 2 b+ 3ab 2

c)

1132

a)

c)

1133

x+4 x 2 +4x+4 x 2 + 2x

d) x 2 + IOx + 25

x 2 -6x +9 b) 2 x -9

a) 2x 2 -2xy

a)

x 2 -16

x+5

ab-3b 2

2

1131

b- a

a 2 +9b2 -6ab

X

1130

b)

2

b2 -ab

2

x 2 -9

x -4x +4 d) 2-x a 2 + 2ab+b 2 b) a 3 -ab 2

3x+9

2

a-1 a2 - 1 9a2

2

x +l

d)

30ab + 25b 2 9a 2 -25b 2 -

4x 2 -4x 8x 2 -16x+8

b)

X

+l

25-9y 2 25+30y+9y 2 2

d)

x -3x

9-x 2

4x 2 -28x+49

Visa att - - 2- - - inte går att förenkla.

2x - 98

Förenkla så långt som möjligt.

1134

2a 2 -12a+l8 a) 2a-6 x 3 -4x

c)

2x 2 -8x + 8

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

3a 2 - 12 b) 6a 2 -24a + 24

l8b2 -2x 2 d) 9b 2 - 6bx+x 2

1135

a)

c)

x 2 -81

b)

9-x

4a 2 -4a+ 1 1- 4a

1-25x 2 2

d)

2

1136 Förklara varför

25x 2 -lOx + 1

(2-

x)

a - 1

a - a2

7

(x - 2)

8

1 2-x

FAKTORISERA POLYNOM Sedan tidigare vet du följande: 1) Ekvationen (x - 2)(x + 3) = 0 har rötterna är x = 2 och x = - 3. 2) Om rötterna till en ekvation är x (x + l)(x - 9) = 0.

= - 1 och x = 9, kan ekvationen skrivas

Lägg m ärke till att också ekvationen 4(x + l)(x - 9) = 0 h ar dessa rötter. Nu ska vi skriva ekvationen x 2 - 6x + 5 = 0 i faktoriserad form! Vi löser ekvationen på vanligt sätt. x 2 - 6x + 5 = 0 x=3+-J9 - 5 x=3+2 X1 = 5 X2 = 1

Nu kan ekvationen skrivas (x - S)(x - 1) = 0

Om vi vet rötterna kan en ekvation eller ett uttryck skrivas i faktoriserad form. x2 - 6x + 5 =0 har rötterna x =5 och x =1 • Ekvationen x 2 - 6x + 5 =0 kan skrivas (x - 5)(x - 1) • Uttrycket x 2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

=0

I nästa exempel ska vi faktorisera ett polynom, genom att lösa motsvarande andragradsekvation.

EKVATIONER OCH FUNKT IONER

Faktorisera polynomet x 2 - x - 6 Vi löser motsvarande ekvation, dvs x2 - x - 6 = 0 Ekvationen har lösningen X= X =

0,5 + ~0,5 2 + 6 0,5 + 2,5

Faktorerna är (x - 3) och (x + 2) Polynomet kan skrivas (x - 3)(x + 2) Alltså gäller att x 2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) Kontrollera gärna med parentesmultiplikation! SVAR:

(x - 3)(x + 2)

Förenkla uttrycket

x 2 -x-6 x-3

Precis som tidigare kan vi endast förkorta faktorer! I det förra exemplet såg vi att x 2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) Vi får följande:

x 2 -x - 6

(x - 3)(x+2)

x-3

x-3

----=

=

1 ~(x+2)

~

=x+2

1 SVAR:

X+ 2

Faktorisera polynomet 14 + l 2x - 2x2 Eftersom vi vill att x2 - termen ska vara positiv, bryter vi ut faktorn - 2.

-2(x2 - 6x - 7)

Observera att tecknen ändras!

Vi löser ekvationen x 2 - 6x - 7 = 0

x=3+~9+7 x = 3+4 x = 7 eller x = -1 SVAR:

Polynomet kan skrivas - 2(x - 7)(x + 1)

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1137

Faktorisera följande polynom.

a) x2 1138

b) x 2 + x - 12

4x - 21

-

-

l2x - 36

Faktorisera och förkorta.

x 2 -4x+3 a) x-3 1139

c) 3x2

2

x +8x-9

b)

c)

x+9

3x 2 -3x-6

3x+3

Faktorisera dessa polynom så långt som möjligt.

b) 2x3 + l6x - 18x2

a) 12 - 4x - x 2

c) 15x - 2x2 - x 3

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

1140

1141

1142

x+l a) x 2 -3x-4 a)

a)

b)

x 3 -7x 2 -18x

b)

2

2x -20x+l8 x 2 +2x-3

b)

2

x - 9

x 2 -4

x 2 -Sx +6 x 2 - 10x+24 x-4 Sx+lO x 2 +7x+10

2

x -7x+12

1143

a)

1144

x2 +x-6 x 2 +2x-15 a) + x- 2 x+S b)

x -8x+16

X 2

2

- x - 12

x + lOx + 21 1145

b)

2

+

4x-4 2

x +6x-7

-

a3

-

2a 2 -8a

3a 2 -15a+12

X

x+7

x 2 -ax+8 Bestäm a så att det rationella t1ttrycket 2 x +x-6 får en gemensam faktor i täljare och nämnare.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV RATIONELLA UTTRYCK Du kommer väl ihåg reglerna för multiplikation och division av bråk? 3 2

3·2

6

-·- 7 5 7 · 5 35

Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna med varandra.

3· 5 _- -15 -3/2 - -_ 7 5 7 2 14

Täljaren multipliceras med 5 nämnarens inverterade tal, dvs 2

Samma räkneregler som gäller för bråktal (rationella tal) gäller också för rationella utryck.

..orenkla h2 -h h F h+l h 2 -h h=h 2 - h ,_l = h(h-l)·l=_h-_l h+l h +l h (h+l)· h h+l

SVAR:

När h inverteras får vi

h- l h+l

Förenkla uttrycken. 4

4

3

x+3;x+3 = x+3. x = (x+3)·x = (x+3) · x ·x = x 3 a) x x4 x x+3 x·(x+3) x ·(x+3)

b)

4a2 -l 12a

SVAR:

2 3a _ (4a -1) · 3a _ (2a - l ) · (2a+ 1) · 3a _ 2a+ 1 -2a-l 12a·(2a-l) 4· 3a · (2a - l ) 4

a) x3

b) 2a+ 1 4

Tänk på att du ska faktorisera och förkorta, innan du multiplicerar uttrycken i täljare och nämnare.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1 h

Förenkla 1146

a) 3x ; 9x 5 5

a)

c)

1148

d) 6· 3x

5x 2

8

4

15x

b)

3(x - 5) 15x

Sx

4

d)

x-5

b)

2

3x 2

a + 1 14a 7a

l+a

5

x+y

x +y

x +y

a+b; a+b d) 8b 2b

x-y a) y2

x-y 2y

b-c (b- c)2 b) 4a 8a

(x - y )2 2 5x y

Sxy a2 -

a)

b2

ab

ba a+b

a)

15a

Sa

b2 - b a 2 d) a b2 - 1 (x+h) 2 - x 2 b) h

x+ l 3(x + h) 2

-

3x 2

h

x 2 -(x-h) 2

h

d)

9x 2 - 1 3x- l a) 12x 2 3x

3 b) x 2 - l

2

c)

2a+ l

b) (x-3) ·- 2x -9

x 3 -x

c)

d)

4a 2 -1

X

b2 -9 2b 3 c) b2 . b - 3

1152

7

2

c)

1151

12x 28x

6

(x - y)2

1150

7 2

a) ab / ba

c)

1149

7

!

c) 12/

1147

b) 6x ; 2x

x + 2x + 1 x +l

x3

d)

x

2

I

15 x +l

-2xy x+y

x-2y X

2

-y 2

EKVATI ONER OCH FUNKT ION ER

1153

a)

(x - 6) 2

4x

X

c)

(6-x)

b)

3

(x - b )2 5x-10b 2b-x

b-x

y 3-y y-1

(y + 1)

2 1 - 3x X

d)

2 3x

.. f'' kl kc·· f(x+h)- J(x) Bestam ett oren at uttryc 1or h

1154

då a) f(x) = 5x2

1155

b) f(x) = x 3

k(x) är kvoten mellan J(x) och g(x). Ange ett förenklat utryck för k(x) då b 2x a) J(x)= - + - och g(x)= +b 3 2 3 X

1

1

b

X

b) f(x) = b - x och g(x) = - - -

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV RATIONELLA UTTRYCK Sedan tidigare vet du att det måste vara samma nämnare när bråktal adderas. 5 1 Titta t ex på additionen + 6 15 Vi förlänger så att båda bråken får den minsta gemensamma nämnaren (mgn). Här är mgn = 30.

5

1

5· 5

6

15

6· 5

- +- =

+

1· 2 15· 2

25

2

27

9

30

30

30

10

= -+- = - = -

Vi gör på liknande sätt då vi adderar rationella uttryck.

1) Vi förlänger så att varje nämnare blir mgn. 2) Sedan sätter vi på ett gemensamt bråkstreck. 3) Till sist förenklar vi i täljaren.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Låt oss nu förenkla

1

1-a

1

+-

a

Här är nämnarna a och ( 1 - a ) vilket ger mgn = a( 1 - a)

1 1 l· a 1· (1- a) a+(l-a) a+l-a 1 --+ - = + = = = --1-a a (1-a)· a a· (l - a) a(l-a) a(l-a) a(l-a)

Förenkla

a)

3

5

3+5

8

4

2x

2x

2x

x

+-------

2x

2 4 3·2 4 6 4 6 + 4 10 b) -+ -+ -+ --- X 3x 3 ·x 3x 3x 3x 3x 3x Här är mgn = 3x. Vi har förlängt den första termen med 3, för att få nämnaren 3x.

Förenkla, dvs skriv på gemensamt bråkstreck. 1 1 a) (x-h)-x

mgn = x(x- h)

x ·l

l· (x - h)

x (x -h)

x (x-h)

SVAR:

2 b) a+l

-

x-(x-h) x(x-h)

-

x-x+h

-

x(x -h)

h --x(x -h)

h x(x -h) 1 a-1

2(a - l ) (a+l)(a - 1)

mgn = (a + l)(a - 1)

l (a+ 1) (a-l)(a+ l )

2a - 2 - a - 1

2(a-l)-l(a+l) -

(a+l)(a-1)

--

a- 3

(a+l)(a-1) - (a+l)(a-1)

SVAR:

a-3 (a + l)(a-1)

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

• Förläng så att alla termer får samma nämnare • Skriv på gemensamt bråkstreck och förenkla täljaren • Faktorisera täljaren och förkorta

Förenkla följande uttryck.

1156

X

X

4y y -b) s s

X

X

2y

4 a) - + 2

4 3 2 c) - + - - -

y

1157

a) -+s 4

b)

1158

2x X +a) 7y y

3a Sa b) - + 2h 3h

1159

a)

2

+-

a

3x

3x-l

7

7

b)

s

+

1

1

3x

2x

1161

Rätt eller fel? X 1 a) - = - ·x S 5

b) h+ h = 4h 3 3

c) 3a = a · a · a

d)

1

2h

c)

Sy + Sy = 0 l-y

Förenkla följande uttryck så långt som m öjligt.

1162

1163

1164

1165

1166

a)

a)

a)

a)

x+ l

a-3 3 b) a + 4 + a

2

+-

X

1

1

1

p-l

p+2

b) x+h --;

3x+l x- S

2x-l

3 b) - -

+-5- x

X

2

3

1

X

x+ l

X

- +--

b)

2x 2 Förenkla uttrycket

(

2 x-1

)+

1-x

1

3

x +h 1

1

--- X-h X

2x- l

EKVAT IONER OCH FUNKT IONER

1

ah

a)

3

1

c) -

c)

y- l

1

ah

a 2a

1160

6x

ah

c) - + -

y - -y b) 3t t

1

ax

-3 6

ah

+-

2

ha 2

+- -

3h

s -

6h

2x

2

x-1

x- 1

DELBARHET Först ska du undersöka om uttryck av typen 43 - 4 är jämnt delbara med talet 6. Gör så här: • Välj ett naturligt tal större än 1.

Tex talet 4 • Bestäm "talet i kubik'' och subtrahera sedan ditt första tal.

43 - 4 = 64 - 4 = 60 • Dividera differensen med 6.

60I 6 = I O Alltså jämnt delbart med 6. • Upprepa punkterna ovan för talen 5, 6, 7 och 8. 1 Var uttrycken delbara med 6?

2 Visa att uttrycket a3 - a alltid är jämnt delbart med 6. Nu ska kvadraten på udda och jämna tal undersökas. 3 Börja med att kvadrera några jämna tal och några udda tal. Blir kvadraterna jämna eller udda? Formulera en slutsats. 4 Ett jämnt tal kan skrivas med formeln 2 · n där n = 0, l, 2, 3, .. . Udda tal kan skrivas med formeln 2 · n + 1 där n = 0, 1, 2, 3, .. . Använd detta för att bevisa din slutsats i uppgift 3 ovan. 5 Visa följande: Om p och q är udda tal, så är p2 + q2 jämnt.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

••

REPETITION AV RATA LINJEN Tänk dig att kostnaden då man anlitar en konsult består av en fast kostnad på 600 kr och dessutom 400 kr/timme. Sambandet mellan kostnaden och tiden kan skrivas y

= 600 + 400 · x

där y

= kostnad i kr

x = antal timmar

Eftersom kostnaden beror på antalet timmar, säger man att "kostnaden är en funktion av antalet timmar': dvs "y är en funktion av x'~ Nu vill vi visa det här sambandet med en grafl Vi gör därför en värdetabell där vi beräknar kostnaden för olika antal timmar. Tid x (timmar)

Kostnad i kr y= 600 + 400x

1

600 + 400 = 1000 600 + 800 = 1600 600 + 1200 = 1800

2 3

kr '' y 2 000

/ /

1 600

/

/

1 200

Tabellens värden markeras i ett koordinatsystem och vi ritar linjen genom punkterna. Eftersom grafen blir en rät linje, kallas funktionen en linjär funktion.

/

400 X

-

1

Vi ser att linjens lutning k = 00 = 400 1

=kx + m

• k =riktningskoefficient och anger linjens lutning • m anger var linjen skär y-axeln

I vårt exempel med konsulten, y = 400x + 600, gäller att k = 400 (timkostnad) och m = 600 (startavgiften).

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

/

4

r

4

Alla linjära funktioner kan skrivas y

800 -

48

2

3

h

Här har vi ritat graferna till två olika konsulter som har samma timkostnad, men olika fasta avgifter. Linjerna har alltså samma k-värde, men olika m-värden.

kr ', y

/

2 000

/ /

1 600

/

/ /

/

1 200

Vi ser att linjer med samma k-värde är parallella.

/

/

/

800

/

400

/

/ /

Om k > 0 är linjen stigande

X ~ ~

2

1

Om k = 0 är linjen parallell med x-axeln

3

h

Om k < 0 är linjen fallande

• Funktioner anger samband. • En funktion kan beskrivas med hjälp av en graf, en tabell eller en formel. • Om grafen är en rät linje kallas funkt ionen en linjär funktion.

• I koordinatsystemet markerar vi den beroende variabeln längs y-axeln och den oberoende variabeln längs x-axeln. För konsulten gäller ju att kostnaden y beror av antalet timmar x.

Rita den linje som har ekvationen y = 2x + 3

1. Eftersom m = 3 skär linjen y-axeln i (O, 3) och vi börjar med att markera den pu n kten.

'

'Y

I I

2 2. k= 2= 1 Trappstegets bredd = 1

J

/ k,

L 1 •

-

2

/

Trappstegets höjd = 2 (stigande)

I.

Vi konstruerar ett trappsteg och markerar punkten. 3. Därefter gör vi minst ett trappsteg

I

=.'

/i

J

I

I

I

I

till och ritar slutligen linjen.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

,x

-

Skriv linjens ekvation på formen y = kx + m 1. Linjen skär y-axeln i (O, 5) vilket betyder att m = 5.

2. När vi konstruerar trappan finner vi att ~x = 4 och ~y = -3. -3 k= - =-0,75 4 Linjens ekvation är y = - 0,75x + 5

,y M

,

"' '

I

/

111

..,-

Li =•

" ""'

~ I

"' '

~

-

~

Li

y

=

, '

•

- 0,75x + 5

y = kx+m

•

'

""'

b) y=x-l

/

'

b

/

/

V

-X '

/

För en viss hyrbil kan hyran beräknas med formeln y = l 5x + 250 där y = hyran i kr och x = antal mil. a) Hur stor är grundavgiften?

b) Bestäm den rörliga kostnaden, dvs milkostnaden. c) Vilken lutning har linjen y = 15x + 250? 1168

-

'y

1

b) m = -1 och k = 1 ger y = x - 1 a) y = 3

X

a

a) Här gäller att m = 3 och k = 0. Linjens ekvation är y = 3

1167

3

"''

.

1

Ange linjernas ekvationer på formen

SVAR:

-

~

• •

SVAR:

~

,

Vi utgår från följande linjer: 1) y = 2x - 4

2) y = l5x + 4

3) y

4) y = 4 - 2x

5) y = 2x

6) y = 4

a) Vilka linjer är stigande? b) Vilka linjer är fallande? c) Vilka linjer skär y-axeln i punkten (0, 4)? d) Vilka linjer är parallella?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

=

15x + 120

Bestäm k och m för följande funktioner. Rita sedan linjerna a) och b) i samma koordinatsystem och ange skärningspunkternas koordinater.

y=

b) y = O,Sx + 2

1169

a)

1170

a) y = -3x

b) y=x+4

1171

a) y = 2 - O,Sx

b) y = -1

1172

a) y=x

b) y = 3 - 2x

1173

Grafen visar hur priset y (kr) på en vara har ändrats med tiden x (år). Bestäm linjens lutning i kr/år. a) kr •

2x -1

b) kr

pris

240 160

160

/

/

V

/

80

'

2

1

'

'

3

0

4

-

tid '

1174

240

V

/

80

/

/

-

-

, pris

tid

-

'

'

ar

1

'

'

'

2

3

'

'

0

4

-

ar

Graferna a och b visar hur antalet "polisanmälda brott" y (st) i två städer har ändrats med tiden x (år). Ange linjernas ekvationer på formen y = kx + m. b)

a) st ' y

/

5000 /

/ /

y

st

'

5000 -

/

............. ........_ .............

-

V

I"--.

I""-.. ............

-

/

""-.... r-.....

-

1000 -

1000

X

X

'

1

'

'

2

'

'

3

'

4

I 0

ar

I

1

I

I

2

I

3

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

I

I

4

0

ar

Ange ekvationer på formen y = kx + m för linjerna nedan. 1175

y

/

\ e

/

--

/ I

I/

V

/

\

X.

J

I

a

\

""' \

""' \

""'l

""' X

/1

/

\

/ e / .

\

""'b

1177

/

/

/

-- I .,.......... .....

.......... L...---'

.........

.....

a

..........

.......... 1

'

J

~

\

~

',.

X

.

f

/

I

\ r--.....

\_/ • J....... r-.... '

I

/ ,.l" r-.. . J

'

\

...........

'b

/

/ \

......._

X

...........

I/

I

/

/

I/

/

'Y

--; I

f

.

1

/ I

""'

_t

/

/

X

""'

/

I/

d

a

/

\

/

c

\

/

)
----

JO - 10 = 20

/ 200

Alltså gäller att k = Yz - y 1

X

X z -x1

10

30

20

40

mil

En rät linje som går genom punkterna (x1, y,) och (x 2, y2) och inte är parallell med y-axeln har riktningskoefficienten k = Y2- y,

x2 -x1 Parallella linjer har samma k-värde.

Beräkna riktningskoefficienten för den räta linje som går genom punkterna (- 3, 4) och (1, 2). Vi använder formeln k = Yz -y

•

1 ~

k=

4- 2 -3-1

=

2 -4

k --

1- (-3)

--

2-4 1+ 3

(- 3, 4) ..........

=-0,5

[',...__ ~

Observera att vi får samma resultat om vi startar med (1, 2)

2-4

..........

--

-2 4

y

..........

(1, 2) ............

.

1

!'-...

--o '5

Från figuren ser vi att linjen genom p unkterna har k = -0,5.

EKVATIONER OCH FUNKT IONER

i'-

-

En rät linje går genom punkten (3, - 1) och har k = - 2. Här ska vi visa två sätt att bestämma linjens ekvation. 1. y=k·x+m

Vi sätter in x = 3, y = -1 och k = -2 i ekvationen. y=k · x+m -1 = -2 · 3 + m -1= -6 +m 5=m

SVAR:

Linjens ekvation är y = -2x + 5

2. y - y 1 = k(x - x 1) Nu sätter vi in x = 3, y = -1 och k = -2 i formeln.

y - y 1 = k(x - x 1) y - (-1) = -2(x - 3) y + 1 = - 2x + 6 y = -2x + 5

1179

SVAR:

Linjens ekvation är y = -2x + 5

En rät linje går genom följande två punkter. Bestäm linjens riktningskoefficient. a) (4, 2) och (O, O)

b) (5, - 3) och (4, 1)

c) (4, 1) och (2, -5)

d) (6, 2) och (3, 2)

1180

En rät linje har k = 1 och går genom punkten (2, 4). Bestäm linjens ekvation.

1181

En rät linje går genom punkten (-2, 1) och är parallell med linjen y = -3x + 7. Bestäm linjens ekvation.

1182

En linje L går genom punkterna ( 5, 1) och (- 1, - 2). Linjen M går genom punkten (4, 3) och är parallell med linjen L. Bestäm ekvationen för linjen M.

1183

Sara hyr en bil och får veta att kostnaden består av en fast kostnad och en milkostnad. För körsträckan 10 mil blir kostnaden 370 kr och för körsträckan 15 mil kostar det 430 kr. a) Bestäm kostnaden per mil. b) Bestäm den fasta kostnaden. c) Lina hyr en annan bil som har samma milkostnad som Saras. Hon betalar 620 kr för 25 mil. Hur stor är den fasta kostnaden för bilen?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

••

MER OM RATA LINJER

Bestäm k och m för linjen Sx - 2y + 4 = 0. Ekvationen Sx - 2y + 4 = 0 är skriven i allmän form. Vi löser ut y och får:

5x + 4 = 2y 2,5x + 2 = y y = 2,5x + 2 Nu är ekvationen skriven i k-form, och vi kan bestämma k och m. SVAR:

k = 2,5 och m = 2

I vilka punkter skär linjen 3x + 2y- 8 = 0 koordinataxlarna?

Vi börjar med att skriva linjens ekvation i k-form och ritar sedan linjen i ett koordinatsystem.

3x + 2y - 8 = 0 2y=-3x+8 y = -1,Sx + 4

•

\.

\ \ 1

•

Skärningen med x-axeln är svår att avläsa, men vi kan se att x z 2,7.

' y

\.

\. y: -1 •

\

I\

X+'

X

-

'

\.

\.

\

Lägg märke till att avläsning från grafer endast ger ungefarliga värden. Om vi vill ha exakta värden måste vi beräkna dessa. 1. Linjen skär y-axeln då x = 0. Vi sätter in x = 0 i linjens ekvation: 3 · 0 + 2y- 8 = 0 2y= 8 y=4

Skärningspunkten är (0, 4)

SVAR:

2. Linjen skär x-axeln då y = 0. Vi sätter in y = 0 i linjens ekvation:

3x + 2 · 0 - 8 = 0 3x- 8 = 0 3x= 8 8 X= z 2,7 3 8 Skärningspunkten är -3' 0

(0, 4) och

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Rita grafen till x = 2 '

,y

En linje med ekvationen x = 2 kan inte skrivas på formen y = kx + m. Grafen består av alla punkter (2, y) tex (2, 3), (2, 1), (2, 0).

X=

2

••

X

-

-

Grafen är en rät linje parallell med y-axeln. Observera att x = 2 inte är en funktion.

1184

Rita och bestäm skärningspunkten mellan linjerna 3x - 2y - 8 = 0 och 6x + 3y - 9 = 0

1185

En rät linje L går genom punkten (0, 5) och är parallell med linjen x = -2. Bestäm ekvationen för linjen L.

1186

Bestäm skärningspunkten mellan linjen 4x - 2y + 24 = 0 och koordinataxlarna.

1187

Vilka av följande linjer är parallella?

1188

a) l,5x - 3y + 15 = 0

b) 7x - 14y = 0

C) X + 2y + 10 = 0

d) y = 0,5

e) y = 4 - 0,5x

f) y = 3

Bestäm arean av det triangelområde som begränsas av linjerna y = x och y = 12 - 3x samt a) x-axeln

b) y-axeln.

1189

Bestäm den linjära funktionenf(x) när du vet attf(2) = 6 och f(4) = 15.

1190

Ett företag tillverkar och säljer delar till båtmotorer. Företagets fasta kostnader består av löneutgifter på 900 000 kr/år och hyreskostnader på 45 000 kr/månad. Tillverkningskostnaden är 180 kr/enhet och försäljningspriset är 720 kr/enhet. a) Skriv en funktion som visar hur vinsten V (kr) beror av antalet sålda enheter x på ett år. b) Hur många enheter ska säljas för att företagets årsvinst ska bli 180 000 kr?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1191

I den punkt där linjen y = 3 + 4x skär x-axeln går linjen L som har 2 k = - - . Bestäm ekvationen för linjen L. 3

1192

Bilden visar kvadraten ABCD, där M är mittpunkt på sidan CD. Diagonalen BD och linjen AM har dragits. Dessa linjer skär varandra i punkten P. Hur stor del av kvadratens area utgör triangeln PMD?

8 ..------------, C

p

A

1193

D

Arean av den triangel som begränsas av linjerna y = kx + 6, y = x + 1 samt y-axeln är beroende av värdet på k. a) Bestäm arean d å k = 0,5 b) Undersök och beskriv hur arean beror av k, under förutsättning att linjerna skär varandra i första kvadranten.

'~ "'

" m

"' "' .,. "' "'z )>

>

500

' "' < m

"'-

""''" "'-

,wv

~ ~VI/

..."'"'>

~

"'c

~VI/

z

m.

Här ser du några av de nya sedlar som kommer att tas i bruk hösten 2015.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

••

GRAFER OCH NOLLSTALLEN Tänk dig en raket som skjuts snett uppåt och att raketens bana kan beskrivas med andragradsfunktionen y = 20x - x 2 - 36 y

Grafen visar raketens bana där y-axeln anger höjden over marken och x-axeln anger läget längs marken. Raketen befinner sig på marken, dvs y = 0, både när den skjuts upp (A) och när den landar (B). X

Hur långt frå.n avskjutningsplatsen landar raketen? Vi vill alltså veta avståndet mellan A och B. Först beräknar vi koordinaterna för A och B, dvs grafens skärningspunkter med x-axeln. Dessa nollställen får vi genom att lösa ekvationen y = 0, dvs 20x - x 2 - 36 = 0 x 2 - 20x

+ 36 = 0

x=lO±.Jl00-36

x=lO±.JM X=

X = 1

10 + 8 18

X = 2

2

x 1 = 18 anger landningsplatsen x2 = 2 anger raketens startplats Raketen landar 18 m - 2 m = 16 m från startplatsen.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

A

B

y

Funktionen f (x) har två nollställen. Ekvationen f(x) = 0 har två rötter.

X

y

Grafen tangerar x-axeln. Ekvationen f(x) = 0 har dubbelrot. X

y

Andragradsfunktionen f(x) saknar nollställen. Ekvationen f(x) = 0 saknar reella rötter.

X

1194

Bestäm funktionernas nollställen .Grafern a ska inte ritas.

b) y = x2 + l Ox + 9

a) y = x(x - 8)

c) y = 36 - x 2 1195

Använd grafen och avgör om följande ekvationer h ar två rötter, dubbelrot eller saknar rötter.

a) x2

-

6x + 10 = 0

b) x2

-

6x + 10 = 4

c) x2

-

6x + 10 = 1

d) x

2

-

e) x

-

Rita också y = x + 1

\

\

6x + 10 = 2 - x

L E D N I NG:

1196

y

-

6x + 10 = x + 1

LEDNING: 2

'

Rita y = 2 -

X

I

I

\

'

'

\. /

-1

y-=

x2

-6 , + 10

Vilken av följande funktioner h ar den graf som visas i koordinatsystem et ? a) y = 2x - x 2

b) y =

x2 -

4

c) y = 8x - x

y 2

-

7

X

>

d) y = x 2 + 2x + 1

e) y = 6x - x 2 + 7

f) y = 4x - x 2

-

5

EKVATI ONER OCH FUNKT IONER

X

1197

Ge exempel på ett andragradspolynom med nollställen x 1 = 6 och x 2 = - 3.

119 8

Bilden visar grafen till polynomet p(x) = (a - x )(x + b)

y

I/ '\

Bestäm konstanterna a och b.

I

\

I

1

•

1199

Ett andragradspolynom f (x) saknar nollställe. Rita en skiss av grafen.

1200

Grafen visar y

=

\ X

y

500 + 40x - x 2

a) Ange koordinaterna för punkten P

X

>

b) Bestäm avståndet mellan P och Q c) I vilken punkt skär grafen y-axeln? 1201

Skissa grafen till till ett andragradspolynom som inte kan faktoriseras.

1202

Bilden visar grafen till polynomet f(x) = x 2 + ax - 3.

,y

a) Bestäm polynomets nollställen. b) Bestäm konstanten a.

1 X \

\ I

\

•

/

1203

Rita en skiss av en andragradsfunktion som kan skrivas på formen f(x) = k(x - a)(x - a). TANKENÖT? Talen a, b, c, d och e är positiva heltal. Bestäm talens summa om följande gäller: ab =4

c

-== e

d be= 1

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

ad= 12

LITE OM OLIKHETER Olikheten x + 3 < 5 har svaret x < 2. Det betyder att olikheten är sann för alla x-värden som är mindre än 2, t ex x = 1 eller x = 0. När man löser en olikhet får man alltid ett intervall som svar.

Skriv intervallen med olikhetstecken a)

X I

I

I

•

I

I

I

-1

0

1

2

3

4

5

>

Den fyllda ringen betyder att 2 tillhör lösningen. 2

SVAR: X


X

• 0

I

I

1

2

f) I

-3

4

-2

I

I

-1

0

• • 3

1

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

>

X I

I

4

5

),

X I

I

2

3

),

1206

Talet x finns i följande intervall. Skriv intervallet. a) Det största talet är 25 och det minsta talet är 10. b) Talet är mindre än 15 eller större än 24. c) Talet är större än 3 och mindre än 12. d) Talet är mindre än 30.

1207

Vilka av talen 10, 11, 12 och 13 uppfyller alla intervallen i förra uppgiften?

1208

Skriv intervallen med olikhetstecken. a) x ligger mellan 1 och 8 b) x är mindre än Oeller större än 3 c) x är större än 5 och mindre än 10 d) x är mindre än eller lika med O

••

0

LOSA OLIKHETER FRAN GRAFER

Grafen visar hur temperaturen t varierar med tiden x.

~C t

a) Lös olikheten t < 0 t < 0 betyder att temperaturen ska vara under noll, dvs grafen

ska vara under x-axeln. Detta gäller för x-värden mellan 2 och 5, vilket skrivs 2 < x < 5. SVAR:

2 0 Temperaturen är över noll, då grafen ligger ovanför x-axeln. Detta gäller i två intervall, nämligen då x < 2 eller x > 5. SVAR:

x < 2 eller x > 5

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Figuren nedan visar vinsten för två företag A och B. Mkr , vinst

B

5

.,. . r--

4

-

3 2

/

/

~

I

I",

V

'\.

V

I\ I

'

1

L..\

2004

-

0

2009

ar

Från figuren ser vi följande: •

Ar 2004 har de två företagen lika stora vinster. Även år 2009 är vinsterna lika stora . • Ar 2004- 2009 har företag A större vinst än företag B. Före år 2004 och efter år 2009 har A mindre vinst än B. Nu tänker vi oss ett mer teoretiskt exempel, där vi betecknar axlarna med x och y. Den räta linjen kallar vi fortfarande B och kurvan kallar vi A. Se nästa exempel.

Vi ska använda graferna A och B när vi löser några olikheter. B

· Y .,.,,....

""' !',..

/_

.,, V /

'\.

/

I\

'

1 X

4

9

-

a) Lös olikheten A > B Vi finner lösningen till den här olikheten där kurvan A ligger ovanför linjen B. Detta gäller för x-värden mellan 4 och 9. SVAR:

4

a) Definitionsmängden, dvs de tillåtna x-värdena är följande: -1 < x < 3

y= f(x

b) Värdemängden: - 5 < y < 4

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1216

Titta på grafen till funktionen y = f(x). Ange funktionens

y

•

/ "'\

a) nollställen

I

J

\ ~

\ X

b) värdemängd c) definitionsmängd.

1217

Utgå från funktionenf(x) = x 2 - 7x + 12 a) Bestäm f (- 1)

b) Vilka är funktionens nollställen? 1218

Grafen visar funktionen y = x 2

-

4x.

a) Lös olikheten y < 0

b) Lös ekvationen x

2

4x = - 4 både grafiskt och algebraiskt.

y 1

y= x2 - 4x

_

.I I I

-

X

\

\

c) Lös olikheten y > - 3

I

I'

\ I\. J

1219

Bestäm funktionernas nollställen. Graferna ska inte ritas. a) y = 2x(x - 3) b) y = x 2

c) y

1220

=

-

lOx + 9

16x - x 3

En funktion y = f(x) är avbildad i koordinatsystemet. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen. a) Bestäm nollställen till J(x) b) Lös olikhetenf(x) < 0 c) Lös ekvationen f (x) = 3 d) Bestäm värdemängden e) Bestäm definitionsmängden

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

y f(x)

/ I

I

'\ \

\

1

'

\ \

\

X

-)

-

1221

I koordinatsystemet finns grafen till f(x) = x 2 + 2x + p och den räta linjen g(x) = kx + m.

·Y

/

1

VI

•

a) Bestäm konstanterna p, k och m b) Lös ekvationenf(x) = g(x)

\

c) Lös olikheten f (x) > g(x)

\

/

d) Bestäm f(g(2))

1222

I/

/

I koordinatsystemet finns grafen till den räta linjen y = g(x) samt andragradsfunktionen y = f(x). a) För vilka x är g(x) > O?

/i I

I

·Y

"' "

y,.. f(Xi

""""' I "" I'\. ' Yi=i "' J

1\

b) Är det sant attf(-1) = f(3)

\

J

c) Bestäm g(lO) g) Bestäm g(f(l))

1223

~

X

Lös följande uppgifter med hjälp av grafen till y = g(x).

y

~-

a) Lös ekvationen g(x) = -2 b) Lös olikheten g(x)

~

X

0

I

'\ jj

'\

y= g())

Rita grafen till f(x) = O,Sx - 1,5 i samma koordinatsystem. c) Lös ekvationen f (x) = g(x) d) Lös olikheten f (x) > g(x) e) Bestäm f (g(2)) y

1224

Grafen visar y

=

500 + 40x - x 2

p

c) Lös olikheten y < 0 d) Lös olikheten y

~

800.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

X

-

(x)

OLIKHETER MED TECKENSTUDIUM Antag att prognosen för ett företags resultat kan beskrivas med polynomet R(x) = x 2 - Sx + 4

där R = resultat i Mkr och x = antal år efter 2010. Vi beräknar resultatet för några olika år och för in i en värdetabell. Från tabellen ser vi att resultatet är positivt (företaget går med vinst) vissa år, medan det är negativt år 2012 och 2013.

Även från funktionens graf kan vi se hur resultatet ändras. När grafen ligger ovanför x-axeln är resultatet positivt. Då grafen ligger under x-axeln är resultatet negativt.

2010 2011 2012 2013 2014 2015

Mkr

0 1 2 3 4 5

4 0

-2 -2 0 4

Resultat

4 X

• ar

Både tabellen och grafen visar alltså hur resultatet varierar.

Nu ska vi använda endast en x-axel för att visa företagets resultat. Först markerar vi funktionens nollställen, dvs 1 och 4. Sedan skriver vi "tecknen" plus, noll eller minus (+, 0, -) för att visa om resultatet är positivt, noll eller negativt. Vi får på detta sätt ett teckenschema 4 1 som vi kan använda när vi löser olikheter. Resultat + o - o +

Låt oss tex lösa olikheten R > 0. Olikheten betyder att resultatet ska vara positivt, dvs R ska vara markerat med +. Lägg märke till att detta gäller för två olika intervall, nämligen före år 1 och efter år 4.

·- -1 4- R + 0 - 0 +

t

Svaret blir x < 1 eller x > 4. Se de gröna intervallen i figuren. Till sist löser vi olikheten R < 0. När är R negativt? Jo, i det intervall som ligger mellan år 1 och år 4. Svaret blir 1 < x < 4.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

i

X

X

•

Ett företags resultat kan beskrivas med funktionen R = (x - 3)(7 - x)

där R = resultat i Mkr och x = antal år efter 2000. Lös olikheten R < 0. Olikheten betyder att vi ska bestämma när företagets resultat är negativt. Vi börjar med att bestämma de x som ger resultatet noll, dvs (x - 3)(7 - x) = 0.

x

=

3 eller x

=

7

Vi markerar dessa nollställen på en tallinje (x-axel). 3 0

R

X

7 0

-

När är resultatet negativt? För att få veta detta, beräknar vi temperaturen före, mellan och efter tidpunkterna x = 3 och x = 7. Observera att vi väljer dessa x-värden fritt. T ex kan vi välja x = 2, x = 5 och x = 8.

= 2 ger R = (2 x = 5 ger R = (5 x = 8 ger R = (8 x

= (- 1) · 5 = - 5 (minustecken) 5) = 2 · 2 = 4 (plustecken) 8) = 5 · (- 1) = - 5 (minustecken)

3)(7 - 2) 3)(7 3)(7 -

Vi markerar tecknen i teckenschemat.

7,--1 - 0 + 0 -

,- -(3

R

X

-

Till sist skuggar vi de intervall där t har minusgrader, dvs t < 0. Se teckenschemat. Vi avläser intervallen och får svaret x < 3 eller x > 7. SVAR:

x < 3 eller x > 7.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös olikheten 32 + 12x - 2x2 > 0 1. Vi bestämmer vänstra ledets nollställen. 32 + 12x - 2x2 = 0 x 2 - 6x - 16 = 0 x=3+.J9+16 x=3+5 x = 8 eller x = -2

2. På x-axeln har x = 8 och x = -2 markerats. Vi bestämmer vänstra ledets tecken för några lämpliga x-värden.

x = 10 ger x = 0 ger+ x = - 10 ger -

3 2 + 12x - 2x2

-2

8

0 +

0 -

-

X

3. Olikheten 32 + 12x - 2x2 > 0 innebär att uttrycket ska vara större än noll, dvs positivt. Vi markerar i teckenschemat och avläser svaret. SVAR:

-2 ----

\

\

" '" ~

r--.. \

'\

\

......... .......'f

""'" ~

\ \

(8 0 ' \ y = - 2x + 2

2-, ........ r--..

~

1f2X

.

~

•

\

För större värden på z, får vi linjer som är parallella med den streckade linjen, men har större m-värde. Hur stort kan vi välja z? Titta på den röda streckade linjen. Linjens ekvation är y = - 2x + 16.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Eftersom m = 0,Sz = 16 gäller att z = 32. För z > 32 får vi linjer som inte "träffar" det gröna området. SLUTSATS:

z = 32 är det största värdet och fås i hörnpunkten (8, 0).

Man kan visa att det största (eller det minsta) värdet på ett uttryck z, alltid ges av någon av hörnpunkterna (x, y) i det markerade området. Istället för att rita linjerna kan vi beräkna z = 4x + 2y för de olika värdena på x och y i hörnpunkterna, på följande sätt: Hörnpunkterna är (0, 6), (4, 4) och (8, O) enligt bilden på förra sidan. Uttrycket som ska maximeras är z = 4x + 2y. (0, 6) ger z = 4 · 0 + 2 · 6 = 12 (4, 4) ger z = 4 · 4 + 2 · 4 = 24 (8, O) ger z = 4 · 8 + 2 · 0 = 32

SVAR:

Vi ser att 32 är det största värdet!

Största värdet är 32.

Uttryckets största värde ges av någon av de punkter (x, y) som är det markerade områdets hörn.

I uppgifterna 1236-1238 gäller att x 2 0 och y 2 0. 1236

Bestäm det största värdet av z = Sx + 4y a) då villkoret 2x + y < 12 gäller b) då villkoret 2x + 2y < 12 gäller.

1237

Bestäm det största värdet av z = x + y a) då 3x + y < 12 och 2x + y < 10 b) då 6x + 3y::; 15 och x + 2y :::; 4.

1238

Bestäm det största värdet av uttrycket z = 2x + 3y då x + y::; 10 och 3x + y :::; 24 och x + 2y::; 16

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Ekvationer med nämnare

a+6

a 4- a - - = -3a 6 2a

Lös ekvationen

Vi multiplicerar ekvationens båda led med mgn = 6a. 6a ·

a+6

a 4- a - - = 6a · 6 2a 3a

6a(a+6) 3a

6a · a 6a(4-a) -----2a 6

2(a + 6) - a 2 = 3(4 - a) 2a + 12 - a2 = 12 - 3a a2 - Sa= 0 a(a - 5) = 0 a = 0 eller a = 5

SVAR:

a= 5

Nu måste vi kontrollera om någon av rötterna är falsk! Eftersom nämnaren aldrig får vara noll, gäller att a 0. Roten a = 0 är därför en falsk rot.

*

2 Lös ekvationen - -

a2-9

2-a --=l a+3

När den första nämnaren faktoriseras ser vi att mgn = (a + 3)(a - 3) Vi multiplicerar varje term med mgn. 2( a + 3) (a - 3) _ ( 2 - a) (a + 3) (a - 3) = . (a + ) (a _ ) 3 1 3 (a+3)(a-3) (a+3) Efter förkortning får vi 2 - (2 - a)(a - 3) = (a + 3)(a - 3) 2 - (2a - 6 - a2 + 3a) = a2 - 9 2 - 2a + 6 + a 2 - 3a = a 2 - 9 Sa= 17 a = 3,4 SVAR: a = 3,4

*

Eftersom mgn 0 gäller att a Roten a = 3,4 är inte falsk.

* 3 och a * -3

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös följande ekvationer.

1239

1240

1 2 a) -+ - 1= 0 3 x-3

b)

1

1 1 a) - = - + 2x 6 3x 2

2

x- 1 4

+

3x - 7 6

-

b) x+ - = 10 X

2

x2

b)

y + 4= - y- l y- l

-

8

a)

1242

2x - 3 6 - x a) = 0,31 4x Sx

b)

1243

a) a _ l +a=O a+ l a

a+ l a- l b) + =2 a- l a+2

1244

1 X a) - - - -l- 2x 3 2x -l

1245

x x+6 --- --

1247

Lös ekvationen. a)

1 X

4

1

--= 4 a+ l

2- x b) x 2 - 4-x+2= l 2x- 4

2x - 3

6

3

+- -

Förenkla

x-2

2

x +2

1246

2+x

4 =5 - -

2a b) 2 a +a

2

x -l

5

=2

x+4

2(x+4)

5

x +2

3

9

1241

a)

2x - 3

3 1 --- 2 x -x 6

1 2x+ l 18 b) x 2 + 8x +l6 - x 2 - 16 - 4-x

.......,

st"

6

Mer om optimering

En verkstad tillverkar produkterna Alfa och Beta med hjälp av två maskiner. Maskinerna går maximalt 12 h/dygn. Övriga data se tabellen. Beräkna den optimala vinsten/dygn. Produkt

Alfa

Antal

X

Beta y

Vinst/st (tusen kr)

8

6

Tillverkn ingstid (h) maskin 1

1

0,5

Tillverkn ingstid (h) maskin 2

-

1

2

3

3

Vinsten i tusentals kronor/dygn skrivs V= 8x+ 6y

Villkoren är: MASKIN 1: MASKIN 2:

X+ 0,5y < 12 X

2y

3

3

-+

< 12

Vi använder oss av likhetstecknen i olikheterna och får ett linjärt ekvationssystem som kan lösas. Lösningen blir x = 4 och y = 16. Om vi istället väljer att rita, så är alltså linjernas skärningspunkt i området (4, 16). Den optimala vinsten blir V= 8 · 4 + 6 · 16 = 128

SVAR:

Optimala vinsten blir 128 tusen kr/dygn.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1248

Ett snickeri tillverkar produkterna Arken och Smilla med hjälp av två maskiner. Båda maskinerna går maximalt 24 h/dygn och tillverkningstider för respektive produkt finns i tabellen. Snickeriets vinst för varje producerad enhet av Arken och Smilla är 400 kr respektive 300 kr. Beräkna snickeriets maximala vinst per dygn. Produkt

Arken

Smilla

X

y

400

300

Tid : maskin 1 (h)

2

1

Tid: maskin 2 (h)

1,6

2

Antal Vinst/st (kr)

1249

En transportbil fraktar lådor och skåp. Bilen kan lasta maximalt 2 ton och rymmer 22 kubikmeter. I tabellen finns värden för vikt och volym på de lådor och skåp som fraktas. Intäkterna består av "betalning per låda och eller skåp enligt fraktsats", se tabellen. 0

Låda

skap

Vikt (kg)

50

60

Volym (m3)

0,5

0,8

Fraktsats (kr)

25

32

Hur många lådor respektive skåp ska lastas för att inkomsten ska bli maximal?

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Rationella funktioner Nedan är grafen till funktionen f(x) =

2

x-3

.

Funktionen är inte definierad för x = 3. Vi ser att grafen består av två delar, den ena delen till vänster om linjen x = 3, och den andra till höger. Den lodräta linjen x = 3, där funktionen ej är definierad, kallas asymptot.

y

''

(x) '' ' \.

4

Här ska du bestämma dessa lodräta asymptoter.

'

I

' '' '' '

!

'

' ' '

IL ~

3 X

-

' Lin en

., =

3 kallas

~sv 110 ot

2

2 1 Rita graferna till de tre funktionerna f (x) = - , g( x) = - x x-1 och h( x) =

2

x+3

. Vilka är asymptoterna?

6x 2 För vilka värden på x är funktionen f (x) = 2 inte definierad? X - 9 Rita grafen till funktionen och bestäm dess asymptoter. 1

f (x) = - -2 - - -

3 Bestäm asymptoternas ekvationer för funktionen . sed an gra1en c Rita och k ontro11era resu1tatet. 4

-4x + 4x + 8

Hitta själv på en funktion som har asymptoterna x = 2 och x = -3. Rita sedan funktionen och kontrollera resultatet.

5 Vilka är asymptoterna till

f (x) =

1 3

2

2x -8x +6x

?

Rita sedan grafen och kontrollera resulatet.

6 Rita grafen till funktionen

f (x) = -

2 ---2

2x -8x+ l0

och förklara varför den inte har några asymptoter.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Kvadreringsreglerna

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Konjugatregeln

(a + b) (a - b) = a 2 - b2

Polynom

p(x) = 3x2 + x - 7 är ett fullständigt polynom

av andra graden.

Faktorisering av polynom

Om ett andragradspolynom p(x) har nollställen x = 2 och x = 5 kan polynomet faktoriseras till p(x) = k · (x - 2)(x - 5) där kär koefficienten framför x 2-termen. Om en produkt = 0 , måste minst en av faktorerna vara noll. (x - 1) · (x + 3) = 0 om x = 1 eller x = - 3

Rationellt uttryck

Kvoten av två polynom kallas för rationellt uttryck. 2 x +3x Uttrycket är ej definierat för x = 2. x-2

Bryta ut (-1)

2-x=-(x-2)

Förenkling genom faktorisering

x+3

(x + 3)

---5x + 15 5 · (x+3)

1

-5

x 2 - 10x + 25

(x-5)2

x-5

x-5

----- = 2

2

=

(x-S)· (x-5) (x - 5)

=x- 5

4x -36 4·(x -9) 4·(x+3)· (x - 3) ---= = =4(x+3) x-3 x-3 (x - 3)

Fyra räknesätt med rationella uttryck

Se sidorna 38-42.

BLANDADE UPPGIFTER Faktorisera så långt som möjligt.

1250

a) 6x2 -3x

1251

a) 81 - x 2

b) x 2 - 2x + 1

1252

a) x3 - lOOx

b) x 4 -16

1253

Uttrycket G = (2 + x) 2 - (2 - x) 2 + (3 + x) 2

-

(3 - x) 2

Förenkla G och beräkna sedan värdet för a)

1254

X=

100

b)

X=

c)

0,1

X=

-5

För vilket/vilka värden på variabeln x är uttrycket ej definierat?

a)

3+x 2x+l

6x b) (x-3)(x+2)

x+l x 2 -9x

c)

Lös ekvationerna.

1255

a) x 2

1256

a) x 2 = 3x

b) 3x(2+x)=x2

1257

a) x(8 - x)(x + 9) = 0

b) 6x2

1258

a) 780 = 4x2 + 8x

b) 117 - x 2 - 4x = 0

1259

Bestäm ekvationen för en rät linje som

-

b) 3(x + 5)(x - 2) = 0

8x - 33 = 0

-

9x = 0

a) går genom punkten (2, 5) och har k = 3 b) går genom origo och är parallell med linjen 3x - 2y + 8 = 0

1260

En rät linje går genom punkterna (- 8, - 14) och (- 4, 6). Bestäm linjens ekvation.

Förenkla följande uttryck

1261

1262

X

X

3

2

1

1 1 c) - X 2x

b) - 3a 4a

a) - + 1

1

X

x+l

a) - -

1

b)

1

x-1

+

1

x+l

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

c) 1-

1

x+l

1 3x

1263

Bestäm ekvationerna för de två linjerna i koordinatsystemet nedan.

I

y

'

/

a

I

F

'-9

I

I

h

F

/

I I IF

I/

/"

{) /

/

I

/"1.,,,.,/

/

012

X

-

0J4

/ .... /

-?

Lös följande ekvationer. 1264

a) (x + 6)2

-

(x + 7) 2 = 3

b) (x + 8)(x - 8) - (x - 6)(x + 4) = 10 1265

a) x 2

1266

a) 32 = 16x - 2x2

-

b) x 2 + 2x = 35

lOx + 9 = 0

b) 12x - 3x2 = 21

x2 1267

a) -

4

x2 -4=0

b)

2

+5,5+6x=O

1268

a) x(2x + 7) = 0

b) x(x - 120) = 1300

1269

a) 5x2 = 20x

b) 5 . 10-3 • x 2 = 0' 1

1270

Lös olikheten x2

1271

Faktorisera så långt som möjligt. 2

a) 5 - 20x

-

Sx < 0

2

b) 4x + 28x + 49

c)

X

x -x +3

2

4

1272 Förklara hur du löser olikheten

x 2 - 36 > 0 med teckenstudium.

1273

Bestäm skärningspunkten mellan linjerna y = 2x + 3 och y = x - 1.

1274

En linje Lär parallell med linjen y = 5 - x och går genom punkten (4, - 2). Ange linjens ekvatio11.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1275

I vilka punkter skär linjen y = l ,Sx + 3 koordinataxlarna?

1276

Titt a på bilden och lös följande.

y

a) Bestäm g(4)

""

b) Lös ekvation en f(x) = g(x) c) Vilken är värdemängden för f(x)?

"

~ ~

11\

'\

d) Lös olikh eten f(x) > g(x)

' I I"-

, 1/

e) Bestäm a så at t f(a) = 3

1277

y =- f(> 2

f (x) = g(x)

e) f(x) > g(x)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

1287

1288

1289

1290

a)

a)

a)

2

1-a l-a

b)

2

4x 2 -1 4x 2 -4x + l

x +4x +4

2

c) 2

3

a+a c) a-a 5

4x 9y b) 4x 2 -6xy

2

3

10x+4

X

X+l

x+l

- +--

x 2 -4 -

x 2 -3x 2x 2 -12x+l8

b)

Vilken är skillnaden mellan att lösa

1

1

1

X-h

X

x-h

--- -

Ko riTi1°rn l'.J fil iceriar

ekvationen 2x + x - ~ = O och att förenkla uttrycket 2x + ~ - ~ ? 3 7 3 7 Visa och förklara.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

Lös följande olikheter.

1291

a) x 2 + 2x > 0

b) x 2 < x

1292

a) 4x-6x2 < 0

b) x 2 + x 0

b) 4x - x 3 < 0

1294

Bestäm talet a så att ekvationen x 2 + a = 6x får en dubbelrot.

1295

En triangel har sina hörn i punkterna (4, 3), (4, 6) och (2, 3). a) Bestäm ekvationerna för de tre linjer som bildar triangelns sidor. b) Beräkna triangelns area. c) Beräkna triangelns längsta sida.

1296

Veronika ska hyra en bil och väljer mellan två alternativ. Bil A: De första 10 milen kostar 500 kr och därefter är kostnaden 19 kr/mil. Bil B: Den fasta avgiften är 200 kr och milavgiften är 25 kr/mil. För vilka körsträckor blir bil A det billigaste alternativet?

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 2

1297

1298

a)

a)

2

2

x -6x+9

x -9

X

2x

b)

x -2xy

x-2y

x+y

x 2 _ y2

a a - +-

9-a 2

a2 -6a + 9

2

b)

3

4

a a - - 3

4

Lös följande ekvationer.

1299

a) x 3

-

8x2 = -7x

b) 4x3 - 4x2 + x

= 0

c) 4x2 - 12x 3 = 0

1300

a) 8x-

c)

I

1-x

1

2x

+

3 y --=l b) y- 2 y

=0 1

l +x

=3

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

1301

4 8 a) För vilka värden på x är uttrycket x _ 2 - x( x _ 2 ) inte definierat? 4 8 b) Förenkla x- 2 - x(x- 2 ) så långt som möjligt. 4 c) Lös ekvationen

X-

8 2

-

(

X X-

2

)=2

(Np Ma C Vt 2011)

1302

Skriv ett ofullständigt polynom av grad 2 som inte kan faktoriseras.

1303

Bestäm det största värdet av uttrycket 3x + Sy då x > 0 och y > 0, samt villkoren x + y < 9 och x + 2y < 12 gäller.

1304

Lös olikheten x4 + x3 < 12x2 utan att använda räknare.

1305

Bestäm det största värdet av uttrycket 9x + Sy då x > 0 och y > 0. Dessutom gäller ytterligare 3 villkor, nämligen x + y < 8, x + 2y < 14 och 2x + y < 12.

1306

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. a)

1307

1308

1309

1310

2

(4 - X ) 5 1 b) (8-2x) 4 -4

+ 2x -15 X - 5 x 2 -8x+l5 + x 2 -l0x+25

X

En rektangel har arean 420 m 2 och omkretsen 86 m. Hur långa är rektangelns sidor? 1 •• kl f (2 + h)f (2) d o f( ) a x = -Foren a h x-l

Visa att följande likhet gäller: ( x +

Visa att om x =

l-a 2

och y =

.J;,)

2a

2 -(

x-

2

.J;,)

= 4x.J;,

så är x 2 + y 2 konstant,

2 l+a2 I+a dvs uttryckets värde är oberoende av värdet på a.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

KAPITEL 1

NOG -UPPGIFTER

I dessa uppgifter ska du bedöma om det finns NOG med information för att lösa uppgiften. Varje uppgift innehåller en fråga. Sedan följer två påståenden (1) och (2). Du ska avgöra hur mycket information som behövs för att besvara frågan. Till varje uppgift ska du välja ett av bokstavsalternativen A-E.

Tillräcklig information för lösningen erhålls: A i(1)meneji(2) B i (2) men ej i (1) C i (1) tillsammans med (2) D i (1) och (2) var för sig E ej genom de båda påståendena

N1

När kommer du fram till staden X?

( 1) Du startar 60 km från X och kör mot staden med hastigheten 90 km/h. (2) Du startar klockan 11.00 N2

Hur stor är vinkel A i triangeln ABC?

(1) Vinkel Bär lika stor som vinkel C. (2) Triangeln ABC är likbent. NJ

Hur stor är den rätvinkliga triangelns omkrets?

(1) Kateterna i triangeln förhåller sig som 3:4

(2) En av kateterna är 80 m och hypotenusan är 100 m. N4

Hur många rötter har ekvationen x 2 - 8x + c = O?

(1) c < 15 (2) c = 10 N5

Med hur många procent ökar folkmängden på 10 år ?

(1) Folkmängden ökar med 5 % varje år. (2) Första året ökar folkmängden med 1250 personer. N6

Vem av A och Bhar mest pengar från början?

( 1) Om B ger 20 % av sina pengar till A, kommer A att ha 25 % mer än B. (2) A och Bhar tillsammans 125 % mer än vad A har.

EKVATIONER OCH FUNKTIONER

0

Skriv som polynom.

a) (3 - 4x)2

b) (s3 + 8)2

c) 3(x + h)2

d) (x + 2) 3

EX 2,3 S 7,8

Skriv ett förenklat uttryck för den gröna arean.

x- 5

SID

6

x-1

x- 5 x+3

Utgå från polynomfunktionenf(x) = 3x2 Bestäm a) f(5)

-

4x + 1.

b) f(-3)

c) Skriv och förenkla f(a + 5)

0

EX 2 S 11

Lös ekvationerna a) 2t + 103 = 3 · 102 b) 12x2 - (3x - 1)(2 + 4x) = 0

©

EX 1,2 S 13

Faktorisera så långt som möjligt a) 5y4 - 10y3 + 15y2

b) x 2 + 6x + 9

c) 4x2 + 12x + 9

d) x 3

-

4x

Lös ekvationen x 2 + 5x = 0

0

EX 2 S 26

Ge exempel på en ekvation som har följande rötter. x = 0, x = - 1 eller x = 0,5.

©

EX 2,3,4 S 22,23

EX 3 S 26

Förenkla uttrycket

a)

4a+a 2 a

b)

x 2 -8x+l6 EX 4,1 S 30,33

x-4

EX 1 S 38

E KVAJi lONER

IONER

®

a) Bestäm k för den räta linje som går genom punkterna (-3, 4) och (1, 2).

EX 4 S 49

b) En rät linje går genom punkten (3, -1) och har k = -2. Bestäm linjens ekvation.

EX 5 S 50

I vilka punkter skär linjen 3x + 2y - 8 = 0 koordinataxlarna?

EX 2 S 51

Bilden visar grafen tillf(x) = 4x - x 2 och y = x. . y

/ =X /Y '\ / / / \

~

/

I/i-

I/

'I

VI

X

/ Lös följande olikheter och ekvation med hjälp av graferna. a) 4x - x 2 < 3

b) 4x - x2 > x

EX 3 S 60

c) 4x - x 2 = x

d) Bestämj(t(2))

€)

Lös olikheterna med teckenstudium. a) 32 + 12x - 2x2 > 0

b) x 4 < 4x2

1 1 Skriv på gemensamt bråkstreck och förenkla (x -h) - x

EX 2,3 S

68

0

Bestäm samtliga reella rötter till ekvationerna. a) 20 + 3x - 3x2 = 2 b) x 2

-

8x + 17 = 0

Förenkla uttrycket

0

EX

3,4 S

19, 20

x 2 -x-6 EX 2 S

x-3

36

Ange nollställen till funktionen y = 8,2x - x 2 - 16 Lös ekvationerna a)

©

1-

5-x 2

b)

= x-3

6+x

X

--=3

2

X

För vilket värde på talet a har ekvationen x2 + a = 68x dubbelrot? Linjen y = 2 - x skär grafen till y = x 2 - x - 2 i två punkter. Beräkna avståndet mellan dessa punkter.

Ali tillverkar och säljer smycken. Genomsnittskostnaden G(x) i kr/st kan bestämmas med G(x) =

3000

+ 0,002x + 2,5 där x = antal tillverkade smycken.

X

a) Bestäm genomsnittskostnaden då han tillverkar 300 smycken. b) Hur påverkas genomsnittskostnaden om Ali ökar tillverkningen från 500 smycken till 1000 smycken? Grafen till funktionen y = x 2 + ax + b går genom punkterna (4, O) och (2, - 11). Bestäm konstanterna a och b.

Förenkla uttrycket

x 2 - 6,5x+l0 2

x +5,5x-20

+

4-x

x+B 2

Visa hur du bestämmer p(p(-1)) då p(x) = x +

1

X

REPETITIONSUPPGIFTER TILL KAPITEL 1 FINNS PÅ SIDAN 281.

IONER

••

ANDRINGSKVOT I många sammanhang vill man beskriva hur något förändras. Man kanske undersöker hyreshöjningar i ett bostadsområde eller hur vattnets temperatur minskar. Ibland beräknar man den totala ändringen under en viss period, men ofta är man intresserad av en genomsnittlig ändring, t ex ökning/ år eller minskning/ sekund. En sådan genomsnittlig förändring kallas ändringskvot.

Månadslön

Adams månadslön har ökat enligt tabellen.

a) Bestäm den genomsnittliga ökningen per år under hela perioden.

2007

18 000

2008

19 500

2011

25 000

2013

30 000

Total löneökning = 30 000 kr - 18 000 kr = 12 000 kr Tid= 6 år 1200 - kr - = 2000 kr per ar Genomsnittlig ökning per år 6 år O

b) Hur stor är den genomsnittliga ökningen per år under de två sista åren, dvs från 2011 till 2013? Ökning = 30 000 kr - 25 000 kr = 5000 kr Genomsnittlig ökning per år = 5000 kr/2 år = 2500 kr per år SVAR:

a) 200 kr/år

DERIVATOR

b) 2 500 kr/år

Grafen visar befolkningen i en kommun från år 1990 till år 2010. • 1nvanare ·y •

15 000

.,,.

.,

.,,.

/

-

~

10 000

-,

,....

.y

"

- .,

......

' Il

u

I

V

X

0?

F

Nu ska vi undersöka funktionen. I vilka av punkterna A - H gäller det att d) f(x) = 0

\

e) f(x) < 0

f) f(x) > 0? DERIVATOR

2018

Figuren visar grafen till y = g(x) samt tangenten i den punkt där x = 3. Lös följande uppgifter med hjälp av figuren.

y

\ \

\ 1

.

\

y= g(, )

I\ 1

a) Bestäm g'(3)

X

\-

'\

b) Bestäm g'(4) c) Bestäm g(S)

' \. \

I

I

/

d) Lös ekvationen g(x) = 0 e) Lös ekvationen g'(x) = 0

2019

Ett företags resultat y Mkr är en funktion av tiden x år. Grafen y = f(x) nedan visar resultatutvecklingen. Mkr

resulta t

B

t id ),,

• ar F

I vilka punkter gäller det att a) resultatet är negativt b) resultatet ökar (förbättras)

c) f'(x) < 0 d) f(x) = 0

e) f'(x) = 0 f) derivatan är positiv g) resultatet är positivt men försämras?

2020 För en funktion y = f(x) är f(3) = 2 ochf'(3) = -1. Förklara vad detta betyder.

DERIVATOR

Kom lil1 u fil I ce 11a r

2021

Vattendjupet y = f(x) meter i en hamn varierar med tiden x timmar enligt diagrammet. .

y

'7

-6,.

-

..-

/

......

/

"-

/

"' "'

-4 --8

/

"'

..,

-/

1

•

.

t. • •

•I

•

I

5l

I

r I

I

$ f

9i

1

1

1 ) 11 1 2 1 3

Vilka av följande påståenden är sanna?

2022

a) /'(2) > 0

b) !'(3) = !'(9)

c) f'(S) f'(x) = 4x3

x3

3x2

x4

4x3

f(x) = x 5 ===> f'(x) = 5x4

Allmänt gäller följan de deriveringsregel:

f(x)

=xnhar derivatan f'(x) =n · xn-1

Vad händer med derivatan om fun ktionen multipliceras med en konst ant? Vi härleder för f(x) = 3x2 . 3) f (x) = 3x2 2

f(x + h)- f(x) _ 3(x + h) -3x

h

2

_

h

2

2

2

2

3(x +2xh+h )-3x

2

_

h

2

_ 3x + 6xh+3h -3x = h(6x+3h) = x+ h 6 3

h

h

f'(x) = lim (6x + 3h) = 6x h-'>0

Derivatan till y = 3x2 blir alltså y' = 2 · 3x2 - 1 = 6x Vi ser att derivatan till 3x2 blir 3 gånger så stor som derivatan till x 2 •

f(x) = k · xn

4) f(x) =

===>

f'(x) = k · n · xn- 1

där k är en konstant

X

f(x+h)- f(x) = x+h-x = h = l h h h f'(x) = liml = 1 h -'>0

Om vi använder deriveringsregeln för f(x) = x = x 1 får vi f'(x) = l ·x0 = 1 Jämför n1ed att li11jen f(x) = x har lutningen k = 1.

DERIVATOR

5) J(x) = 8

f(x) = 8 kan skrivas f'(x) = 8 · x 0

Vi deriverar enligt regeln och får f'(x) = 8 · 0 · x- 1 = 0 Du kan också tänka så här: f(x) = 8 är en rät linje som är parallell med x-axeln. Linjen har lutningen noll.

En funktion som är en konstant har derivatan = 0

Till sist ska vi härleda derivatan för en funktion med flera termer.

6) f(x) = x 2 + Sx 2

2

f(x+h)- f(x) _ (x+h) +5(x+h)-(x +Sx) _

-

h 2

h

2

x + 2hx + h + Sx + Sh - x

2 -

Sx

2hx + Sh + h

2

- ------------= ----- =

h

=

h(2x+5+h)

h

h

= 2x+5+

h

f'(x)= lim (2x+5+h)=2x+5 h~O

Om vi i stället deriverat "term för term': dvs först x 2 och sedan Sx, hade vi fått samma resultat.

Derivatan av ett polynom

f(x)

=g(x) + h(x)

~

f'(x)

=g'(x) + h'(x)

f(x) = x5 + 4x2 - 9x + 2 ~ f'(x)

DERIVATOR

=5x4 + Sx -

9

DERIVERA POLYNOM

Derivera följande funktioner:

f(x) = x 5

a)

f'(x) = 5 · x 5- 1 = 5x4 f(x)=x 2 -4x+3

b)

f'(x)=2x - 4 +O f(x)

c)

=

Derivatan av en konstant är noll.

5x3 + 2x4

f'(x) = 5 · 3x2 + 2 · 4x3 = 15x2 + 8x3 Derivatan av Sx3 är alltså "5 gånger så stor" som derivatan av x 3 .

Derivera följande funktioner.

xs a) f(x)= 2

'( ) 8x7 7 X= =4X ! 2

b) y = x2 (4x - x 3)

Innan vi kan derivera måste vi skriva y som ett polynom.

y

= x2

·

4x - x2 · x 3 = 4x3 - x 5

y' = 12x2 - 5x4

6

x -2x

3

Bestäm derivatan till y = - - -

3

Vi delar upp funktionen i termer på följande sätt:

x 6 2x 3 y= - 3 3

y' = 6xs - 6x2 = 2xs - 2x2 3 3

SVAR:

y' = 2x5 - 2x2

DERIVATOR

Bilden visar grafen tillf(x) = x 2 - Sx och en tangent i den punkt där x = 4. Beräkna tangentens lutning. y

1

- -

I

I

•

f(x) = x2

-

Sx ~ f'(x) = 2x - 5 \

\

Nu bestämmer vi derivatans värde då X = 4.

/,

'

I

!'(4) = 2 · 4 - 5 = 8 - 5 = 3 Detta betyder att tangentens k-värde = 3. Vi får givetvis samma k-värde om vi räknar rutor enligt trappstegsmetoden. SVAR:

Tangentens lutning är 3.

Bestäm derivatan av följande funktioner. 2047

a) y = x 7 + x 5

2048

a) y =

2049

a) y = 4 - x + x 2

b) y = 0,2x5 - 0,3x 10

2050

a) y = x - 10x2

b) y = O,Olx + 0,2 2x3

2051

x3 xs a) y=-+3 2

2052

Bestämf'(2) då

a)

2053

X

b) y = x 3 + 4x2 + Sx

+2

f (x) = 4x3 -

b) y=

6x

6

x1 4

- -

7

b) f(x) = 3x2 + x 4 - 45

Bestäm f'(l) då a)

f (x) = Sx + 8x

DERIVATOR

2

b) f(x)

= 2x3 -9x 6

X '

2054

Bilden visar grafen tillf(x) = x 2 - 4x. a) Beräknaf'(2). b) Beräkna derivatans värde i punkten B. c) Beräkna kurvans lutning i punken C.

,y 4-

-3 1 ' "

-1

,, ,,

z \\ 3--B -4

2055

c

I

I

X :,,...

'

\. J

Bestäm h'(O) då

b) h(x) = 4x4 + 9 - 8x

a) h(x) = x 4 - 4x - 5

2056 Funktionen f(x) = x 2 + 5x är give11. Bestäm J(- 3) samt f '(- 3) och förklara vad du har beräknat.

2057

Funktionenf(x) = x 2

-

7 är given.

a) Bestämf'(-3). b) Bestäm tangentens ekvation i den punkt där x = - 3.

t3

2058

Lös ekvationen h'(t) = 0 då h(t) =9

- l2t

Derivera följande funktioner.

2059

a) y = x(x - 3)

2060

a) y = x 2(x5

2061

3x 2 - 7x a) y= - - -

2062

-

4

a) y=

x-x 2

2

b) y= (3x-S)(x-8)

x)

x 3 - 3x 5 b) y = - 3 (x -9) 2 b) y = - 5 DERIVATOR

2063

Bestäm s'(l) då

b) s(t) = (3t + 7)2

a) s(t) = t 2 (t - 1)

2064

Funktionen f(x) = 4x2 - 16x + 100 är given. a) Lös ekvationen f 1 (x) = 0 b) Förklara vad du har beräknat i a-uppgiften.

2065

Bestämf'(-2) då f(x) = (x 4 + 5x) 2

2066

Bestäm med hjälp av grafen till g(t) ett ungefarligt värde på

a) g'(2)

b) g'(4)

c) g'(O)

ig(l)

3 ~

......

/

2-

I

I I

I

I

1 2

•

""" '\_

t

4 ~ f\

•

'

'

~

2067

Bestäm h'(x) då a, b och c är konstanter. a) h(x) = x 2 + bx + c

b) h(x) = ax2 + bx3 2068

Bestäm de x-värden där grafen till f(x) = x3 + l,5x2 - 30x + 9 har lt1tningen 6.

2069

I figuren ser du en graf och en sekant. y

\

'

'

/

\

j"

\

-1

\

4

\

lt'l I

;';

'\

\_

-

......

X

I

y

-; I

Grafen har ekvationen y = 2x2 - 6x + 2. Sekanten skär grafen då x = 2 och x = 3. Beskriv hur du gör för att bestämma ekvationen för den tangent som är parallell med sekanten.

DERIVATOR

2070

Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställen x 1 = 2 och x 2 = 4. Grafen skär y-axeln i punkten (0, p). Antag att vi drar en tangent i punkten (0, p). Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p. (Np Ma C Vt 2011) y

(0, p)

X

SEKANT OCH DERIVATA

Bilden visar grafen till funktionen f(x) = 4x - x 2• En sekant går genom punkterna (1, 3) och (a,f(a)).

tr l(1, 3)

l

1

~x) ·4x - x1

1

X

1

...,

1

Bestäm sekantens k-värde då a = 1,1 och då a = 1,01.

2 Jämför svaren i uppgift 1 med värdet av f'(l). Formulera en slutsats. 3 För vilka värden på a får sekanten a) lutningen noll b) negativ lutning

c) k =-2?

DERIVATOR

Derivata med räknare Funktionen f(x) = 100 · 0,85x beskriver hur temperaturen i en kaffekopp minskar med tiden x minuter när kaffekoppen placeras utomhus. Bestämf' (6). Med hjälp av räknare kan vi bestämma ett ungefärligt värde på derivatanf'(6). Här använder vi räknarens funktion för numerisk derivering "nDeriv" som finns under menyn ''MATH". nDeriv (funktionen, x, punktens x-värde) Så här kan räknarfönstret se ut (beroende på vilken räknare som används).

1!tii1:j

NUM CPX PRB

n0eriv[100*0.85"x,x,6l - 6.129393581

31'3

•

4:3v( 5:XV 6:fMin( 7:fMax( IEJnDeriv( 9-J,fnlnt

Om vi istället bestämmer f ' (6) genom att beräkna en differenskvot, får vi t ex följande:

f

t

(6)

~

t(6)-t(5,9) 0,1

~

-6,179 ... (grader/minut)

Räknarens derivata beräknas med ett extremt litet intervall och ger därför ett bättre värde påf'(6), än vad vi fick med intervallet 0,1. 1 Bestämf'(2) då funktionen ärf(x) = 0,4x5 - 3x

a) "för hand" med hjälp av deriveringsregler b) med räknare.

2 Bestäm med hjälp av räknarenf' (3) då a)

f(x) =

X

1 +x 2

b) f(x)

= (x2 + 1)2

3 Bestäm med hjälp av räknaren ett närmevärde tillf'(l) då a) f(x) =

2 0,4x

DERIVATOR

b) f(x) = x 2 JSx

TOLKA DERIVATAN 1

Kapitalet p kronor i en fond växer på tiden t år enligt enligt p(t) = 20 ooo + 1oot2 • Beräkna och förklara följande. a) p(5)

b) p'(5)

a) Med p(5) menar vi fondens värde efter 5 år. p(5)

= 20 000 + 100 · 52 = 22 500

SVAR:

Efter 5 år är kapitalet 22 500 kr

b) Med p'(S) menar vi ändringshastigheten på fondens värde efter 5 år. Vi deriverar och få r p'(t) = 200t Vi sätter in t = 5 i derivatan~ p'(S) = 200 · 5 = 1000 Positivt svar betyder att fonden ökar. SVA R :

Efter 5 år växer kapitalet med 1000 kr/år.

Ett företag som tillverkar q enheter av en vara vet att kostnaden T(q) i kr ges av funktionen

T(q) = 1200 + 240q - 0,3q2

5 :s; q :s; 30

Derivatan T'(q) kallas gränskostnad och anger kostnadsökningen per enhet vid en bestämd produktion. Bestäm gränskostnaden då man producerar 20 enheter.

T'(q)

240 - 0,6q T'(20) = 240 - 0,6 · 20 = 228 =

SVAR:

228 kr/enhet

T'(q) kallas gränskostnad och anger kostnadsökningen per enhet vid en bestämd produktion.

DERIVATOR

En kula skjuts rakt upp i luften. Kulans höjd h (meter) över marken ges av formeln

h(t) = 20 + 25t - 5t2 där tär tiden i sekunder. a) Bestäm kulans höjd efter 3 sekunder. h(3) = 20 + 25 · 3 - 5 · 32 = 50 SVAR:

Höjden är 50 m

b) Bestäm kulans hastighet efter 2 sekunder. Vi ska beräkna h'(2) och börjar med att derivera.

h'(t) = 25 - lOt h'(2) = 25 - 10 · 2 = 5 SVAR:

Hastigheten är 5 m/s

c) Vilken är kulans utgångsfart? h'(O) = 25 - 10 · 0 = 25 SVAR:

Kulans utgångsfart är 25 m/s

d) Från vilken höjd över marken skjuts kulan? I utgångsläget är t = 0. Vi beräknar h(O). h(O) = 20 + 25 · 0 - 5 · 02 = 20 SVAR:

Kulan skjuts från höjden 20 m

e) När vänder kulan? I det ögonblick som kulan vänder är hastigheten = 0. Vi sätter h'(t) = 0 och får följande ekvation: 25 - lOt = 0 25 = lOt t = 2,5 SVAR:

Kulan vänder efter 2,5 sekunder

DERIVATOR

2071

Ett föremål rör sig enligt s(t) = 3t2 + St, där s mäts i meter och t i sekunder. a) Beräk11a s(2)

b) Beräkna s'(2)

c) Vad betyder s(2) och s'(2)? 2072

Med funktionen N(t) kan antalet invånare i en kommun tår efter år 2007 bestämmas. Vad betyder N(4) = 32 000 och N'(4) = -130?

2073

Antonio producerar olivolja. Kostnaden K(x) i kr då x liter olivolja prodt1ceras, följer funktionen K(x) = 300 + 25x - O,Olx2 0 < x < 500 Bestäm gränskostnaden K'(x) då Antonio producerar a) 400 liter

2074

Man tömmer vatten ur en tank. Efter t minuter återstår s(t) liter. Tolka följande påståenden. a) s(O)

2075

= 250

b) s(S)

= 200

= -5

c) s'(lO)

Temperaturen i en ugn är g(t) grader vid tiden t minuter efter klockan 12.00. Förklara vad följande betyder. a) g(lO)

2076

b) 490 liter.

= 45

b) g'(lO)

=5

c) g'(30)

= -3

I en annan ugn är temperaturen g(t) grader vid tiden t minuter efter klockan 08.00. Skriv med symboler, på motsvarande sätt som i förra uppgiften. a) Klockan 08.20 var temperaturen 30 grader. b) Klockan 08.25 ökade temperaturen med 2 grader/minut. c) Klockan 09.00 minskade temperaturen med 5 grader/minut.

2077

Antalet bakterier i en bakteriekultur kan bestämmas med N(t) = 100 + St3 där N(t) är antalet bakterier efter t sekunder. a) Hur många bakterier finns det efter 35 sekunder? b) Hur stor är tillväxthastigheten efter 5 s? c) Bestäm tillväxthastigheten efter 1 minut.

2078

En buss har kört sträckan s(t) km på tiden t timmar efter start. Skriv med symboler. a) En timme efter start har bussen kört 52 km. b) En timme efter start är bussens hastighet 72 km/h. c) Två timmar efter start står bussen stilla.

DERIVATOR

2079

Temperaturen t °C i en ugn kan bestämmas med t(x) där x är antal minuter efter start. Förklara vad följande betyder. a) t(5) = 40

b) t'(4) = 2 c) t'(30) = - 1 d) t'(l5) = 0 2080

En fabrik tillverkar stolar. Totala framställningskostnaden T(q) kr beror av antalet stolar q, på följande sätt:

T(q) = 35 000 + 280q + 0,02q 2 Hur många stolar ska man tillverka för att gränskostnaden T'(q) ska bli 340 kr/stol?

2081

Från femte våningen i ett hus låter man ett paket falla ned till marken. Paketets höjds meter över marken ges av formeln s(t) = 29 - 5t2 där tär tiden i sekunder. a) Från vilken höjd över marken får paketet falla? b) Hur högt över marken befinner sig paketet efter 1 sekund? c) Hur långt har paketet fallit efter 2 sekunder? d) Hur stor är hastigheten efter 1 sekund? e) Hur lång tid tar det för paketet att nå marken? f) Vilken hastighet har paketet precis innan det slår i marken?

2082

Ett företag är nystartat och antalet anställda kan bestämmas med N(x) där x är antal månader efter start. Skriv följande med symboler. a) Två månader efter start har företaget anställt 80 personer. b) Tre månader efter start är ökningen av antalet anställda 10 personer/månad. c) 15 månader efter start slutar man med nyanställningar.

2083

Tänk dig att värdet V(t) på en aktie i kronor kan bestämmas med

V(t)

=

0,3t2 + 15t + 48

där t = antal månader efter att aktien introducerades på börsen. a) Vilket värde hade aktien vid börsintroduktionen? b) Efter hur lång tid har värdet fördubblats? c) Bestäm värdeökningen i kr/månad efter 5 månader. d) Hur lång tid efter start är värdeökningen 30 kr/månad?

DERIVATOR

2084 Antag att du vet vilken enhet som finns på y -axeln och på x-axeln. Formulera en regel hur du kan bestämma derivatans enhet. Ge några exempel.

En liten kula skjuts rakt upp i luften. Funktionen h(t) = 12t - 4,9t2 anger den höjd h meter över marken som kulan befinner sig på efter t sekunder.

2085

a) Bestäm h'(t) b) Bestäm h'(l) och tolka resultatet. c) Bestäm h'(l,4) och tolka resultatet. d) Lös ekvationen h(t) = 5 och tolka resultatet. e) Lös ekvationen h'(t) = 2 och tolka resultatet. f) Lös ekvationen h'(t) = -2 och tolka resultatet.

2086

En tåg börjar bromsa in. Sträckans (meter) som tåget fortsätter framåt efter inbromsningens början, kan bestämmas med funktionen s(t) = 40t - 0,3t2 där t = tiden i sekunder. a) Bestäm och tolka s(IO). b) Bestäm och tolka s'(IO). c) Hur lång tid tar det för tåget att stanna? d) Bestäm tågets bromssträcka. e) Vilken definitionsmängd har funktionen s(t) = 40t - 0,3t2 ?

f

I I

•

•

••

TANGENTEN TILL EN KURVA

Bilden visar grafen tillf(x) = 6x - x 2 med en tangent ritad i den punkt där x = 4. Vilken ekvation har tangenten?

Vi ska bestämma tangentens ekvation på formen y = kx + m. Eftersom axlarna inte är graderade, kan vi inte avläsa direkt från bilden.

X

4 y = 6x - x 2

1) Tangentens k-värde Derivatanf'(x) ger oss kurvans lutning i olika punkter. Vi bestämmer f '(4). f(x) = 6x - x2 f'(x) = 6 - 2x

!'(4) = 6 - 2 · 4 = - 2 Detta ger k = -2

2) Tangeringspunktens koordinater Vi bestämmer y-koordinaten i den punkt där x = 4. f(x) = 6x - x 2

f( 4) = 6 . 4 - 42 = 8 Tangeringspunkten är (4, 8)

3) Tangentens ekvation Då vi sätter in k = -2 och punkten (4, 8) i y = kx + m får vi följande:

8 = -2 · 4 + m

m = 16 Detta ger y = -2x + 16 SVAR:

Tangenten har ekvationen y = -2x + 16

DERIVATOR

Kurvan y = 5x - x 2 har en tangent med lut11ingen k = - 1. Bestäm tangeringspunktens koordinater. Vi får en ekvation genom att sätta tangentens lutning = derivatan. y' = 5 - 2x -1 = 5 - 2x 2x = 6 x =3

Tangeringspunktens x-koordinat x = 3 Tangeringspunktens y- koordinat y = 5 · 3 - 32 = 15 - 9 = 6 SVAR:

2087

Tangeringspunktens koordinater är (3, 6)

Kurvan y = x 2 - 5x har en tangent i punkten (3, -6). Bestäm tangentens k-värde.

= x2 -

2088

Bestäm lutningen på kurvan y

2089

Kurvan y = x 2 + 3x har en tangent i punkten (1, 4).

2x i den punkt där x

= 1.

Bestäm tangentens ekvation. 2090

Det finns en tangent till kurvan y

=

8x - x2 som har k = -2.

Bestäm tangeringspunktens koordinater. 2091

Till kurvan y = 2 + 4x - x2 finns en tangent i den punkt där x = 3. I vilken punkt skär tangenten y-axeln?

2092

Funktionenf(x) = x2 + ax har nollställen för x = 0 och x I den punkt på grafen där x = 4 finns en tangent. Vilket k-värde har tangenten?

= 5.

2093

Till kurvan y = x3 + x 2 - 5x finns en tangent i den punkt på kurvan där x = -2. I vilken punkt skär tangenten x-axeln?

2094

Till kurvan y = x2 - 2x - 1 finns två tangenter. Den ena tangeringspunkten har x = 0 och den andra har x = 2. Beräkna koordinaterna för den punkt där dessa två tangenter skär varandra.

2095

Kurvan y = 0,5x2 - 6x + 10 har en tangent som är parallell med linjen y = 2x + 5. Bestäm tangentens ekvation.

DERIVATOR

••

VAXANDE OCH AVTAGANDE Grafen visar hur vinsten i ett företag varierar och förväntas variera under åren 2005-2015. Mkr

vinst

1

2005

20 15

2010

år

Vi ser att under åren 2005-2010 ökar vinsten. Perioden 2010-2015 minskar vinsten. Nu låter vi samma graf få representera funktionen y = f(x).

,y

/

V

/ A 1

~

'

8 ........

'

.......

!"... y= f(x )

V X '

I punkten A gäller att - tangentens k-värde är positivt - derivatanf'(x) är positiv - funktionen f(x) är växande I punkten B gäller att - tangentens k-värde är negativt - derivatan f '(x) är negativ - funktionenf(x) är avtagande

DERIVATOR

Om f(x) > 0 så är funktionen strängt växande. Om f(x) < 0 så är funktionen strängt avtagande.

Vad innebär det för en kurvaf(x) attf' (x) = 0? Vi visar de möjliga situationerna.

1

I punkten P övergår

2

funktionen från att ha varit växande till att bli avtagande.

Från att ha varit avtagande blir funktionen växande. P kallas minimipunkt.

P kallas maximipunkt. y

y

k=O X

3

Från att ha varit avtagande fortsätter funktionen att avta. Precis i punkten P är derivatan noll. P kallas terrasspunkt.

Funktionen är avtagande.

X

4

Från att ha varit växande fortsätter funktionen att växa. Precis i punkten P är derivatan noll. Även här kallas punkten P en terrasspunkt. Funktionen är växande.

y

y p

k=O k=O X

X

DERIVATOR

Vi kan sammanfatta detta så här i en graf: y maximipunkt ter rasspunkt X

minimipunkt

Maximipunkter och minimipunkter kallas med ett gemensamt ord för extrempunkter. Funktionsvärdet i extrempunkten kallas extremvärde. Titta igen på graferna 3 och 4 på föregående sida. För att dessa grafer ska vara avtagande respektive växande för alla x, använder vi följande definition.

Om f'(x) ~ 0 så är funktionen växande. Om f'(x) ~ 0 så är funktionen avtagande. f'(x) får inte vara noll i hela intervallet

Observera att denna definition används i fortsättningen.

y

På grafen har maximi-, minimioch terrasspunkt markerats. Använd grafen för att bestäm ma i vilka intervall som funktionen växer respektive avtar.

SVAR:

X

-2

Funktionen växer då x ~ -2 eller då x 2::: 1. Funktionen avtar då - 2 ~ x < 1.

DERIVATOR

1

Grafen visar funktionen f(x) = 200 + x2 För vilka x-värden avtar funktionen?

-

y

25x.

Eftersom x-axeln inte är graderad kan vi inte se svaret direkt från grafen. Vi får istället utnyttja följande:

X

När en funktion avtar i ett visst intervall så är derivatan negativ i intervallet. För vilka x-värden är derivatan negativ? Vi deriverar och söker derivatans nollställen.

J(x) = 200 + x 2 - 25x f'(x) = 2x - 25 f'(x) = 0 då 2x - 25 = 0 dvs x = 12,5

y

Attf'(x) = 0 för x = 12,5 betyder att funktionen har sin minimipunkt för x = 12,5. Från grafen ser vi att f(x) avtar för X ~ 12,5.

X

12,5

Om vi inte har någon graf att titta på kan vi teckenstudera derivatan. Vi väljer då ett x-värde på vardera sidan av nollstället x = 12,5 och undersöker om derivatan är positiv eller negativ. Vi kant ex välja x = 10 och x = 13.

f'(x) = 2x - 25 f'( lO) = -5 som är< 0 ~ avtagande f'(l3) = 1 som är> 0 ~ växande Slutligen gör vi ett teckenschema. 12,5

f'(x)

= 2x -

25

0

X

+

f(x)

I det intervall där f' (x) är negativ (- ) avtar funktionen. Vi har markerat detta med en pil som pekar snett nedåt. När f' (x) är positiv (+) växer funktionen och vi har ritat en pil som pekar snett uppåt. SVAR:

Funktionen avtar för x < 12,5.

DERIVATOR

Undersök i vilka intervall som funktionenf(x) = x 3 - 3x är avtagande. Derivering av f(x) = x 3 - 3x ger f '(x) = 3x2 - 3 f' (x) = 0 då 3x2 - 3 = 0 x 2 = 1 x = 1 eller x = -1

Derivatans nollställen 1 och -1 markeras i teckenschemat. f'(x )

I

-1

1

0

0

X ),

Nu vill vi veta derivatans tecken på sidorna om varje nollställe. Vi beräknar därför värdet av f' (x) för x = - 2, x = 0 och x = 2. f'(-2) = 3 · (-2) 2 - 3 = 12 - 3 = 9

Alltså är tecknet +

f'(O) = 3 · 02 - 3 = 0 - 3 = -3

Tecknet är -

! '(2) = 3 · 22

Tecknet är+

+

f'(x) f(x)

-

3 = 12 - 3 = 9

-1

1

O

O

X

+

/

s v AR: Funktionen är avtagande för - 1 < x < 1

För vilka värden växer funktionen? a) y = 3x + 4 y' = 3

Här är y' alltid positiv(= 3), dvs funktionen är växande för alla värden på x. SVAR:

b)

y

Ft1nktionen är växande för alla x-värden

= x3 + 2

y' = 3x2 y' = 0 för

O X=

0

y

Teckenschemat visar att y' > 0 för alla x SVAR:

+

y'

Funktionen är växande för alla x

DERIVATOR

/

X

+

0

/

2096

Bestäm med hjälp av funktionsgraferna var fu11ktionerna är växande respektive avtagande. ~

a)

~

,y

. y I

'

\

I

1 I

1

X

I '\1 \. I '

I

I

y

I

'\ 1 X

X

I

I Undersök med hjälp av derivatan i vilka intervall somf(x) är växande respektive avtagande. 2097

a) f(x) = x 2 - 8x

b) f(x) = 12 - 3x

2098

a)f(x) = l2x-x3

b)f(x) = 60x-4x2

2099

För vilka värden på x är funktionen växande? a) y

2100

=x3 -

1

b) y

=4 -

x5

Antalet boende Ni en förort beror av tiden t (år) enligt N(t) = 5000 + 102t - 3t2 t > 0 Hur många år ökar befolkningen i förorten?

2101

För vilka x-värden är funktionen avtagande? a) f(x) = 35x + 5x2

b) f(x) = 12x2 + 8x3

2102

Är funktionen y = 2x5 - x7 + x6

2103

Antag att ett företags resultat i miljoner kr följer funktionen r = l,2t3 - 0,15t4 + 12 där t = antal år efter 2010. Se grafen.

-

3x växande för x = 1? Mkr

r

Under vilka år ökar resultatet? t ),-

• ar

2104

För vilka x-värden är funktionen avtagande? a) f(x) = 2x2 - x 4 + 1

2105

b) f(x) = x 4 + 6x3

Är funktionen y = 0,09x3 - x 5 alltid avtagande i sina nollställen?

DERIVATOR

••

RITA KURVOR MED HJALP AV DERIVATA När man ritar funktionskurvor är det viktigt att hitta de punkter där kurvorna "vänder" dvs maximi- och minimipunkter. y maximipunkt

minimipunkt

Ofta är det bra att veta "på ett ungefär" hur grafen till en polynomfunktion av högre grad ser ut. Observera att det är den största exponenten som bestämmer grafens huvuddrag. Lägg märke till hur plus- respektive minus-tecken påverkar grafens form.

x 2 -kurvor Positiv koefficient framför x2 .

Negativ koefficient framför x 2 •

y= x2 y= 3x2

y=2-x2 y = - x 2 + 6x y = 6x - 0,8x2

y = 5x2 - 8x + 11

x 3-kurvor Positiv koefficient framför x3 y = 2x3 - 1 y = 5x2 + 8x + x 3 y = - 9x 2 + 2x3

Negativ koefficient framför x 3 •

y=l-x3 y = 23 + 8x - 3x3 y = 4x2 - 0,2x3 + l2x

.x4-kurvor Positiv koefficient framför x 4 y = x 4 + 2x y = 2x4- x 3

DERIVATOR

N egativ koefficient framför x4.

y=x2_x4 y = 1 - 2x4

Undersök om funktionenf(x) = 19x - 2x2 har någon maximi-, minimi- eller terrasspunkt. Vi vet att i maximi-, minimi- och terrasspunkter är derivatan noll.

f'(x) = 19 - 4x f'(x) = 0 då 19 - 4x = 0

~

19 = 4x

~

x = 4,75

Vi gör nu ett teckenstudium för att se om vi har en maximi-, minimieller terrasspunkt då x = 4,75. 4,75

f'(x)

=

+

19 - 4x f(x)

SVAR:

X

O

/max~

Funktionen har en maximipunkt för x = 4,75

Rita grafen till funktionen y = x3 - 3x2 + 1 med hjälp av derivatan. Ange eventuella maximi-, minimi- eller terrasspunkter.

y = x 3 - 3x2 + 1 y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2) y' = 0 då x = 0 eller x = 2 Vi teckenstuderar derivatan. y' = 3x(x - 2)

f(x)

+

0

2

0

0

X

+

/ m a x ~ min/

Från teckenschemat ser vi att funktionen har en maximipunkt för x = 0 och en minimipunkt för x = 2.

. 'Y

Vi gör nu en värdetabell och ritar grafen. ')

Det är viktigt att du kan rita grafer både med och utan räknare.

SVAR:

(0, 1) är maximipunkt och (2, -3) är minimipunkt.

-

(

\

X

\

•

\

\

y == x3

) 3x2 + 1

DERIVATOR

Skissa "för hand" grafen till funktionen J(x) = 3x4 - 4x3 med hjälp av derivatan. Ange om funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkter.

f(x) = 3x4 - 4x3 f '(x) = 12x3 - 12x2 = 12x2(x - 1) f '(x) = 0 för x = 0 eller x = 1 Nu ska vi bestämma derivatans tecken på sidorna om dessa nollställen. Vi väljer x = - 1, x = 0,5 och x = 2 och undersöker om derivatan är positiv eller negativ. f ' (-1) = -24

Tecknet är -

~

avtagande

f ' (0,5) = -1,5

Tecknet är -

~

avtagande

! '(2) = 48

Tecknet är+

~

växande

f '(x) f(x)

0

1

0

0

X '

+

~terrass~ min /

Teckenschemat visar att kurvan har en terrasspunkt och en minimipunkt.Vi beräknar punkternas y-koordinater.

f(x) = 3x4

-

4x3

y

f(O) = 0

f (1) = 3 . 14 -

4 . 13 = 3 - 4 = - 1

Vi bestämmer ytterligare några y-värden och skissar kurvan.

1

. X

\

SVAR:

Funktionen har en terrasspunkt i (0, 0) och en minimipunkt i ( l , -1).

DERIVATOR

Undersök om funktionen y = x 3 + 2x har någon maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

y = x 3 + 2x y' = 3x2 + 2 y'

= 0 då 3x2 + 2 = 0

3x2 = - 2

Ekvationen saknar reella rötter!

Derivatan y' = 3x2 + 2 saknar alltså nollställen. Att derivatan saknar nollställen betyder att funktionen saknar maximi-, minimi- och terrasspunkter. En funktion som saknar dessa punkter är antingen alltid växande eller alltid avtagande. Vilket x-värde vi än väljer så är y' = 3x2 + 2 alltid positiv. Det betyder att funktionen är växande för alla x. Bilden visar funktionens graf. I

•

I' j

I

1

•

/

X

-

I/ I

I V= (3 "

2x

I

I SVAR:

Funktionen saknar maximi-, minimi- och terrasspunkt.

Bestäm eventuella maximi-, minimi- eller terrasspunkter till funktionerna. Rita sedan kurvorna.

x2

2106

a) y = 4x-x2

b) y =

2107

a) y = 3x - x 3 - 2

b) y = x3 + 2

2

+3x

DERIVATOR

Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionerna. Funktionsgraferna ska ej ritas. 2108

a) y=x3 - 3x2

2109

a) y = 0,25.x4 - 0,5x2

2110

Ange, med hjälp av derivatan, eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter. Rita sedan graferna. a) y = 2x3

2111

-

3x2

b) y = 4x5 - 5x4 + 4

b) y = x 4

-

2x2 - 3

Vinsten i ett företag y (miljoner kronor) förväntas följa funktionen y = 5,2x - 0,2x2 + 6 där x = antal år efter 2005. a) Sök funktionens maximipunkt. b) Vilket år är vinsten maximal? c) Bestäm den maximala vinsten.

2112 Robin ska undersöka funktionen f(x) = 0,2x3 - 0,6x2 - 0,75x.

Han använder sin räknare och ritar denna graf. Robin svarar att funktionen är växande för alla x och att funktionen har en terrasspunkt.

Y

Har Robin rätt?

2113

a) Bestäm konstanten c så att funktionen y = 0,5x2 + ex - 1 får en minimipunkt för x = 2. b) Bestäm minimipunktens koordinater.

x3

2114

Rita med grafritare funktionen f (x) = - - x 2 + 4 och dess derivata 5 f'(x) i samma koordinatsystem. a) Hur många rötter har ekvationenf(x) = f ' (x)? b) Bestäm nollställen tillf(x) och svara med 3 värdesiffror. c) Vilket är det minsta värdet på f(x) i intervallet O < x < 6?

2115

Bestäm a och b så att funktionenj(x) = ax3 + bx får en minimipunkt i punkten ( l , - 1). Visa hur du gör.

DERIVATOR

••

KONSTANTBESTAM NI NG

Grafen till g(x) = x3 + px2 har en minimipunkt för x = 2. Bestäm konstanten p. Minimipunkt för x = 2 betyder attg' (2) = 0. Vi deriverar och får g'(x) = 3x2 + 2px

g'(2) = 3 · 22 + 2 · p · 2 = 12 + 4p Vi löser ekvationen 12 + 4p = 0 4p = 12 ~ p = -3 SVAR:

p=

-3

2116

Vi har funktionenf(x) = 3x2 - ax. Bestäm konstanten a så att f'(2) = -1

2117

För funktionenf(x) = ax2 + 9x gäller attf'(3) = 0. Bestäm konstanten a.

2118

a) Bestäm konstanten p så att y = 3 + Sx - px2 får en maximipunkt för x = 1. b) Vilket är funktionens största värde?

2119

För vilket värde på a får funktionenf(x) = ax4 - 2x2 minimipunkt då x = -2?

2120

Vi har funktionen y = ax3 - 9x2 + 5 a) Grafen har en minimipunkt för x = -1. Bestäm konstanten a. b) I vilket intervall är y växande?

2121

Grafen till y

=

ax2 + bx + 50 har en minimipunkt i (3,14).

Bestäm konstanterna a och b. 2122

För funktioneng(x) gäller attg'(x) = 3x2 + a. Ge exempel påg(x) så att g(2) = 0.

2123

Andragradsfunktionenf(x) = ax2 + bx + c har en maximipunkt på positiva y-axeln. Bestäm de villkor som måste gälla för koefficienterna a, b och c. Visa hur du gör.

DERIVATOR

••

••

STORSTA OCH MINSTA VARDE Grafen visar hur temperaturen i en ugn varierar från klockan 7 till kl 13.

oc

te mperatur

130 110

V

'\

\ \

I

\

/

I

\

\. I

J

50

I I

'

/

20

tid . 7

8

9

10

11

12

13

h

Vi ser att temperaturkurvan har en maximipunkt kl 10 och en minimipunkt kl 12. Temperaturen är då 110 grader respektive 50 grader. Vi ska nu bestämma största och minsta värde på temperaturen i några olika tidsintervall. kl 7-13

I det här intervallet är minsta värdet på temperaturen 20° och största värdet är 130°. Lägg speciellt märke till att det inte är minimipunkten och maximipunkten som ger dessa värden.

kl 9-11

Minsta värdet är 80° och största värdet är 110°. Här ger maximipunkten det största värdet.

kl 10-13 Minsta värdet = 50°

Största värdet = 130°

Det största och det minsta värdet i ett begränsat intervall finner man antingen i maximi- eller minimipunkter eller i intervallets ändpunkter.

DERIVATOR

Använd grafen för att bestämma funktionens största och minsta värde. y

I

I

I

\

' j

\

X

/

'

. ".!

SVAR:

Största värdet är 4, minsta värdet är -3.

Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen f(x) = x 3 - 6x2 i intervallet 1 < x < 7.

1. Först undersöker vi med hjälp av derivatan om det finns någon maximi- eller minimipunkt i intervallet.

f'(x) = 3x2 - 12x = 3x(x - 4) f'(x)=O för x=O eller x=4 Funktionen har alltså en maximi-, minimi- eller terrasspunkt för x = 0 eller x = 4.

2. Observera att x = 0 inte finns i intervallet och att detta x-värde därför inte är intressant. De x-värden som ska undersökas är x = 4 samt intervallets slutpunkter x = 1 och x = 7.

3. Vi beräknar därför funktionsvä rden för dessa x-värden och får då funktionens största respektive minsta värde.

x = 1 ger f(l) = 1 - 6 = - 5 x = 4 ger f(4) = 64 - 96 = -32 x = 7 ger f (7) = 343 - 294 = 49

SVAR:

Funktionens största värde är 49 och det minsta värdet är -32.

DERIVATOR

Globa lt max

Globalt maximum och minimum Ett annat ord för största och minsta värde är globalt maximum och globalt minimum. Lokalt maximum och minimum Extrempunkter som inte är "det största" eller "det minsta" värdet, kallas ofta lokalt maximum och lokalt minimum.

2124

Lokalt min

Globalt min

Bestäm funktionernas största och minst a värden. a)

b)

'Y

y

I \, J

+-

1I

/ I'\ i

I

X

X

.

J

\

II

\ \ I

2125

Bestäm största och m insta värd et i in tervallet O < x < 3 för funktionerna.

a) f (x) 2126

= 4x - x 2

2

b) f(x) = x 2 - 5x

Bestäm största och minsta värd et för funktion erna i intervallet 0 ::; x :s; 4 a) y = 2x3 - 24x

2127

-

b)

y = l,5x2 - x 3 + 5

Antalet anst ällda i ett företag varierar enligt fu nkt ion en y = 34x - x 2 + 350 d är x = t iden i år från 2000. Bestäm största och minst a antalet anställda i följande tidsintervall. a) 0 0. Detta innebär att funktionen V(t) har ett minimivärde för t = 10.

V(lO) SVAR:

=

3500 + 25 · 102

-

500 · 10 = 1000

Varans minsta värde är 1000 kr.

2157

Lucia hoppar svikthopp från en trampolin. Hennes höjd över vattenytan h (meter) kan beräknas med formeln h(t) = 2 + 4t - 5t2 där t = tiden i sekunder. Bestäm Lucias högsta höjd över vattenytan.

2158

Värdet V (kr) av en viss aktie är en funktion av tiden t (månader) enligt

V(t) = 75 - l,2t + 0,04t2 Bestäm aktiens minsta värde. 2159

Vid försäljning av en viss vara är intäkten I (kr) en funktion av varans pris p (kr) enligt I(p) = p( 6000 - 40p). Bestäm den maximala intäkten.

DERIVATOR

Bestäm triangelns maximala area. Avrunda svaret till två värdesiffror.

(m) 2x

1) Teckna ett funktionsuttryck och ange definitionsmängd

Arean A=

2x(l5-2x) 2

15 - 2x

=x(l5-2x) = 15x-2x2

Eftersom triangelns bas 15 - 2x > 0 gäller att x < 7,5 Definitionsmängden är O < x < 7,5 2) Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställen

A' = 15 - 4x A' = 0 då 15 - 4x = 0 dvs då x = 3,75 Vi ser att x

=

3,75 ligger i definitionsmängden.

3) Avgör extrempun kternas karaktär

Vi bestämmer andraderivatan A''. A" = -4 dvsA" < 0 Detta bevisar att vi har ett maximum då x = 3,75. 4) Bestäm maximala arean

A(3,75) SVAR:

=

15 · 3,75 - 2 · 3,752 = 28,125

Den maximala arean är ca 28 m 2 •

Arbetsgång när du löser maximi- och minimiproblem: 1

Teckna ett funktionsuttryck och ange definitionsmängd

2

Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställen

3

Avgör extrempunkternas karaktär

4

Bestäm största eller minsta värde

2160

36 - 2x

Bestäm rektangelns maximala area. X

n DERIVATOR

(m)

2161

Fältforskningsenheten vid Sveriges Lantbruksuniversitet har undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. För kornsorten Baronesse gäller funktionen

f (x) = 0,002x3 - 0,8lx2 + 105,6x + 1600 0 :5 X :5 180 där f (x) är skördens storlek i kg/hektar och x är mängden tillsatt kväve i kg/hektar. Hur mycket kväve ska tillsättas för att skördens storlek ska bli maximal? (NP Ma C Vt 2005)

2162

En bonde ska sätta upp ett staket så att ett rektangulärt område inhägnas. Området gränsar till en väg enligt bilden. Den sida som ligger närmast vägen ska ha ett staket som kostar 440 kr/m, medan staketet längs de övriga sidorna kostar 200 kr/m. Bestäm den maximala area som kan inhägnas för en kostnad av 64 000 kr. -,- -.1n-~ _ V _Ä_G_ __ ,___,

------~..,l!j.!2.. .-~~-----~

2163

Totala kostnaden T (kr) för att producera en vara är en funktion av kvantiteten q enligtT(q) = 450 000 - 3q 2 + 0,005q3 a) För vilket värde på q har T(q) ett minimivärde? b) Vilken är den minsta totala kostnaden? (m)

2164

För vilket värde på x har denna låda maximal volym?

15 -

X X

4x

DERIVATOR

2165

Antag att ett företags vinst följer funktionen V(x) = 2lx - x3 + 9x 2

-

10 för O < x < 12.

V(x) = vinsten i tusental kr och x = antal producerade enheter i tusental.

Bestäm den maximala vinsten. 2166

Figuren visar andragradskurvanf(x) = 4 - x2 • En rektangel ABCD har två hörn på kurvan och två hörn på x-axeln. Se bilden.

Y

a) Teckna rektangelns area som en funktion av x. b) Vilken är definitionsmängden? c) Bestäm rektangelns maximala area. 2167

I ett koordinatsystem ligger en rektangel med ett hörn i origo, två sidor längs de positiva koordinataxlarna och ett hörn på grafen till y = 3 - 0,5x. Rita figur och visa hur du bestämmer rektangelns maximala area. Lös uppgiften både med hjälp av derivata och med grafritande hjälpmedel.

2168

På studentklubben Matematica har man märkt att antalet betalande gäster minskar då man höjer entreavgiften. Om entreavgiften är x kronor och antalet betalande gäster är y, så gäller sambandet y = 2700 - 15x då x varierar mellan 50 kr och 150 kr. För lokalhyra och andra omkostnader får klubben betala k kronor, där k = 25 000 + 3x2• a) Vilken entreavgift ger den största intäkten? b) Bestäm den maximala intäkten. c) För vilket värde på x blir vinsten maximal? d) Bestäm den maximala vinsten.

2169

Summan av tre sidor i en rektangel är 40 cm. Bestäm rektangelns maximala area.

2170

Två stafettlöpare A och B springer andrasträckan i ett 4 x 100 meterlopp. De går ut på andrasträckan samtidigt (vid t = 0) men löpare A har en högre starthastighet och får snart ett försprång. På t sekunder springer löpare A sträckanf(t) = 8,0t - O,lt2 • På samma tid springer löpare B sträckan g(t) = 7,0t + O,lt2 • Vilket är det största avståndet som löpare A har från löpare B?

DERIVATOR

Problemlösning, ekonomi

Vid ett glasbruk tillverkas flaskor. Tillverkningskostnaden består av en fast kostnad på 2000 kr och dessutom en kostnad på 30 kr/flaska. Försäljningspriset är 50 kr/flaska. Antag att man tillverkar och säljer q flaskor. Teckna uttryck för a) Intäkten

b) Vinsten.

a) Intäkt = Antal sålda flaskor · Pris per flaska I = q · 50 = 50q SVAR:

I= 50q

b) Vinst = Intäkt - Tillverkningskostnad V= 50q - (2000 + 30q) = 50q - 2000 - 30q = 20q - 2000 SVAR:

V = 20q - 2000

Grafen är en utbudskurva. En utbudskurva visar hur antalet sålda varor beror av priset, vilket ofta betyder att "högre pris innebär mindre försäljning". Utbudskurvan är en rät linje y = 100 - 4x y = antal sålda varor och x = pris/enhet

antal sålda varor Y 100 .

a) Teckna ett uttryck för intäkten. Intäkt = Antal sålda varor · pris/enhet I = (100 - 4x) · x = lOOx - 4x2 SVAR:

.•

X

'

25

kr/st

Intäkt= lOOx - 4x2

b) Vid vilket försäljningspris blir intäkten maximal?

I= lOOx - 4x 2 I'= 100 - Bx I' = 0 då 8x = 100, dvs x = 12,5 I" = -8 I" < 0 innebär att I är maximal då x = 12,5 SVAR:

Maximal intäkt då försäljningspriset är 12,50 kr/st.

DERIVATOR

2171

Diagrammet visar en utbudskurva.

antal sålda

a) Skriv utbudsfunktionen på formen y= kx+ m

varor 800

Y \ \

b) Bestäm det försäljningspris som ger maximal intäkt. c) Beräkna den maximala intäkten.

2172

Utbudsfunktionen för en vara skrivs y = 400 - Sx där x = varans pris i kronor och y = antal sålda enheter.

'

100

a) Teckna ett uttryck för intäkten. b) Bestäm den maximala intäkten. 2173

Vid en marknadsundersökning av telefoner fann man att om priset var x kr så såldes y telefoner enligt utbudsfunktionen y = 675 - x2 • a) Teckna ett uttryck för intäkten. b) Vilken är den maximala intäkten?

2174

Beräkna den maximala vinsten om tillverkningskostnaden i uppgift 2171 är 10 kr/st. LEDNING:

Vinst= Intäkt - Tillverkningskostnad

2175

Beräkna den maximala vinsten om tillverkningskostnaden i uppgift 2172 består av en fast kostnad på 200 kr och en rörlig kostnad på 10 krI st.

2176

Beräkna den maximala vinsten om tillverkningskostnaden i uppgift 2173 är 9 krI st.

2177

För en vara gäller att tillverkningskostnaden Tkr kan skrivas

T = q2 + lOq + 29 och att intäkten I kr beräknas med formeln I = 40q. För vilket värde på q är vinsten maximal?

DERIVATOR

X

kr/st

TOLKA DERIVATAN 2

Skissa grafen till funktionen g(x) då du vet följande: g '(2) = 0

g(2) = 5

och

g"(2)

< 0.

• Vi markerar punkten (2, 5) i ett koordinatsystem.

y

5

• Att g1 (2) = 0 och g'(2) < 0 innebär att funktionen g(x) har en maximipunkt då x = 2.

X

2

Vi skissar grafen nära maximipunkten.

Temperaturenf(t) grader beror av tiden t minuter. Vad betyder följande? f(6) = 30 och dessutom gäller attf'(6) = 0 ochf"(6) > 0

f( 6) = 30

~

efter 6 minuter är temperaturen 30 grader.

f'(6) = 0 och f"(6) > 0

SVAR:

~

vi har en minimipunkt.

Efter 6 minuter ha.r temperaturen sjunkit till minimivärdet 30 grader.

2178

Skissa grafen till h(x) då man vet att h(3) = 4, h' (3) = 0 och h"(3) > 0.

2179

Ett flygplans höjd över marken h(t) meter är en funktion av tiden t minuter efter start. Vad betyder följande: h(30) = 5000, h'(30) = 0 och h" (30) < 0

2180

Skissa grafen tillg(x) då man vet attg(5) = -2,g(5) = 0 ochg'(5) > 0

2181

Temperaturen i en bastu är f(t) grader t minuter efter man börjat värma bastun. Tolka följande. a) f(20) = 50 ochf'(20) = 3

b) f(45) = 90 ochf'(45) = -2

c) f(40) = 95,f'(40) = 0 ochf"(40) < 0

DERIVATOR

2182

Skissa grafen till en funktionf(x) som uppfyller följande tre villkor: 1) f(l) = 2 ochf(4) = 5 2) För x = 1 och x

=

4 är förstaderivatan noll.

3) För x = 1 är andraderivatan positiv och för x = 4 är andraderivatan negativ. 2183

Vattenmängden i en behållare är v(t) liter t minuter efter klockan 07.00. Skriv med ord vad följande betyder. a) v(O) = 10 och v'(O) = 20 b) v(30) = 150, v'(30) = 0 och v"(30) < 0 c) v(60) = 0, v'(60) = 0 och v"(60) > 0

2184

En funktion har en maximipunkt i (3, 6). Är det någon av funktionerna g(x),f(x), p(x) eller h(x) som kan uppfylla detta? a) g'(3)

=

0 och g"(3)

=

2

b) f'(3) = 6 och f"(3) < 0 c) p(3)

=

6, p'(3)

=

0 och p"(3)

=

-2

d) h'(3) = 0, h(3) = 6 och h"(3) = 6

Hastighet är en derivata!

DERIVATOR

1

DERIVATAN AV y == Jx OCH y == -

X

I det här avsnittet ska vi bestämma derivatan till y = Fx och y = _!_ med hjälp av driveringsreglerna. På s 171 finns härledningen x av dessa derivator. Först tränar vi lite algebra, så att det blir enklare att derivera.

Skriv med kvadratrotstecken. a) 7

· x 0 •5

= 7·

c) 8·x ' =

Fx

8

-0 5

2

xo,s

b)

=-

2

X o,5

2186

Fx

8

Fx

d) Skriv 2x-3 med positiv exponent.

2185

=

Skriv utan rottecken. 5 2 a) Fx b) x Fx

SVAR:

3

2

2x- = 3 X

2

c)

xFx

Skriv utan bråkstreck. 3

a)

b)

s X

Derivatan av f(x) =

1

4

x·x 2

c)

x 3Fx

f;

f(x)=Fx =x112 1 .!. -1 1 _.!. 1 1 1 f'(x)= - ·x 2 = -· x 2 = - · 112 -- - = 2 2 2 x 2./;

Derivatan av f(x) = _!_ X

f(x)=_!_=x -1 X

f

I

(x)=-l·x -1-1 =-l ·x -2 =-- 1 x2

DERIVATOR

På motsvarande sätt kan vi derivera

f (x) = ~. X

j(x)= -

1

x2

=X

-2

'( ) 2 · X - 2- 1 = - 2 · X - 3 = - - 2 X = f

X3

Man kan visa att deriveringsregeln f(x) = x" ==? f' (x) = n · x gäller för alla potensfunktioner.

y = J; har derivatan y' =

fx 2

X

y = ..!_ har derivatan y' = - -

1

X2

X

.. der1vatan . av y = -5 Bestam X

Funktionen kan skrivas y = ~ = 5 · x-1 X

5 5 ( 1) 2 5 2 y = · - · X = - X = -I

X2

SVAR:y

I

5 = 2 X

Bestämg'(4) då g(x) = 3-.Jx Vi skriver funktionen g(x) = 3 . x o.5

1,5

g'(x) = 3 · 0,5 · x- = 1,5 · x-o,s = ..Jx 0•5

15 g'(4) = ~= ' =0,75 4 2 SVAR: g'(4) =

0,75

DERIVATOR

11

-

1

Bestäm derivatan av f (x) = x-Fx -

3 X

4

Vi börjar med att skriva varje term på potensform.

f(x) = xl.5 - 3x-4 f'(x) = l,Sx0•5 - 3. (-4)x- 4 - 1 = 1,s,Fx + 12x- 5 SVAR:j'(x) = l,s-Fx + 12x-S

Bestäm s'(t) då s =

t

3

t

+t 2

Funktionen skrivs

t3 t 1 - 1 s=-+-=t+-= t +t 2 2 t t t SVAR: s'(t) = 1- ~

s' = 1 - t- 2

t

2187

2188

Bestämy' då

a) y = t2 + t-2

Ett annat skrivsätt för derivatan y

b) y = st2 + o,2t-s

.. dy ll ds ar tex e er - . dx dt d Observera att beteckningen -1'.:. dx

dy " Bestam dx

ska uppfattas som en symbol, inte ett bråk som kan förkortas. På motsvarande sätt skrivs

a) y = xl,3 _ xo,2

andraderivatan y" =

1

b) y=Sx- - +0,5

d2

Y dx 2

X

Derivera funktionerna.

2189 2190 2191

2192

2

4

5 b) y=-+ x2 X

1

a) y=x - -

x2

a) y=B-Fx a) y=x

5

b) y=

-Fx 3 1

12

+-x s

b) y= - - X

1

X

2

1

Beräkna f' (0,25) då f (x) = -Fx - -

X

DERIVATOR

2193

Grafen till y = Fx har en tangent i den punkt där x = 9. Bestäm tangentens lutning.

2194

Bestämf'(v) då a)

2195

f (v) = 5v3 -

Bestäm y'(x) till följande funktioner.

x 3 - 3x 6

a) y(x)= 2196

b) f(v) = O,Sv2 - 2v 1•3 + Cv + d

4v + a2

2

b) y(x)=-3 +Fx

3

X

Bestämf'(4) då f(x) = 2xFx + x.

d; . d2

2197

Bestäm andraderivatan 4

a) y=

2198

x +2x

x3

x1.2

Bestäm dy dx 5

a)

2199

b) y = x2.s +

y=

2x +3x

7

6

x--14 b) y = 7xs

6x6

Kurvan y =

1 2

har en tangent i den punkt där x = 0,5.

2x Beräkna var tangenten skär x-axeln.

2200

Linjen 6y = x + 9 är en tangent till kurvan y = Fx . Bestäm tangeringspunktens koordinater.

2201

Funktionen f (x) = är given. Lös ekvationenf'(x) = 1 och förklara vad du har beräknat.

2202

sFx

4

Till kurvan y(x) = x + - finns en tangent i kurvans minimipunkt. X

Bestäm tangentens ekvation.

2203

Bestämf'(t) till följande funktioner. a) f(t)

= a 3 + t1

b) f(t)

at 2

c) f(t)=s 0 +v0 t + 2

DERIVATOR

= r2 + 3t

DISKONTINUERLIGA FUNKTIONER En funktion f(x) är definierad i intervallet a < x < b. Om grafen är sammanhängande och inte har några "hopp" är funktionen kontinuerlig i intervallet. I annat fall är funktionen diskontinuerlig. Grafen till en diskontinuerlig funktion kan inte ritas utan att du "lyfter pennan''.

a'

a'

b Kontinuerlig i a~x~b

b Diskontinuerlig i a~x~b

0,25x 2 för x < 2

Funktionen f är definierad på följ ande sätt: f (x) = x+C Bestäm C så att funktionen blir kontinuerlig.

förx > 2

Bild 1 visar grafen då C = 0 . Vi ser att funktionen inte är kontinuerlig. Funktionen blir kontinuerlig om funktionsvärdena är lika då x = 2. Vi beräknar f (2) = 0,25 · 22 = 1. Om funktionen ska vara utan "hopp" måste det gälla att 2 + C = 1 ~ C = -1. Bild 2 visar grafen till f (x) då C = -1 BILD!

BILD 2

y

,y

/ /

\ \

\

/

"' "' SVAR:

1

•

~

V

/

\ X

-

/

"'

"-...,

1 •

/ V

X

-

C= -1

DERIVATOR

2204

Är funktionen kontinuerlig i punkten där x = 2? a)

1 för X '.S 2 f(x)= 1,1 förx>2

3x 2 -1

b) f(x)=

2205

4x 2

1

a) y=-

b) y=-

x2

x

c)

y = .[;

Bestäm a så att funktionen f(x) blir kontinuerlig.

f(x)=

2207

5 för x > 2

-

Använd grafritare och avgör om någon av följande funktioner är kontinuerlig. 1

2206

för x < 2

x2

x -1

-

2 + ax - x

för x < 3 2

för x > 3

Ge exempel på en funktion som är diskontinuerlig för x = 3.

2208 Stämmer följande påstående? "Om en funktion f är kontinuerlig i ett intervall a < x < b och f (a) och f (b) har olika tecken så har funktionen minst ett nollställe i intervallet':

2209

För vilka värden på C blir funktionerna kontinuerliga? 2

a)

x +C förx 1 X

SC-x förx < 2 b) f(x)= '\/'2x-5C 1Ör r X> 2 TANKENÖT9 Jag tänker på två tal där summan av talen är lika mycket som produkten av talen, medan talens differens är samma som talet 15 delat med talens kvot. Vilka är talen?

DERIVATOR

DISKRET FUNKTION Pedro köper biobiljetter för 50 kr/st. Kostnaden y kronor är en funktion av antalet köpta biljetter x st. Funktionen skrivs y = 50x.

kr ' Y 250

•

200 150

Detta är exempel på en diskret funktion. Lägg märke till att endast heltalsvärden 100 på x är tillåtna. Pedro kan ju bara köpa 50 ett helt antal biljetter. Grafer till diskreta funktioner blir alltid "punktformiga':

X

1

2

3

4

5

. st

Är funktionen diskret? a) En bils hastighet v (km/h) då du övningskör b) Kostnaden T (kr) då du köper x tårtor c) Vikten m (kg) av x liter vatten d) Sträckan s (meter) som ljuset hinner på tiden t (sekunder ) SVAR:

2210

Endast b) är diskret.

Avgör vilka av funktionerna nedan som är diskreta och vilka som är kontinuerliga. A: P(x) = 234x, där P är priset då du köper x böcker. B: T(x) = 83 · o,s9x+ 13, där Tär temperaturen efter x timmar. C: v(t) = lOt + 20, där v är hastigheten hos en fallande sten efter t sekunder D: y(x) = 50 + 80x, där y är vikten av x kulor som ligger i en låda

Korrimuliliceria

2211 Vilket/vilka av följande är alltid

en diskret variabel?

tid

längd ljudvolym

hårfärg antal

temperatur vikt

DERIVATOR

Härledning av derivatorna till vi och 1 X

Skriv

1 X+

1 h - - på gemensamt bråkstreck och förenkla. X

Vi förlänger så att båda termerna får nämnaren x(x + h).

I ·(x+h) x-(x+h) ---(x+h)·x x·(x+h) x(x+h) l ·X

SVAR: -

2212

x-x - h x(x+h)

h x(x + h)

Förenkla

b) (./h-h)(./h+h)

a) (.f;+h)(-Fx-h) 2213

Skriv på gemensamt bråkstreck och förenkla. a)

2214

h x(x + h)

I

x-b

1

I

b)

- -

x

x+h

I - --

x-h

Förläng med nämnarens konjugat så att nämnaren skrivs utan rottecken. I x-y a) 2 +.J; b) -Fx+Jy

Derivatan av f(x) =

~

Vi härleder derivatan av funktionen

f (x) = x

112

=

.f; .

Vi tecknar ändringskvoten och förlänger sedan med tälj arens konjugat som är .J x + h + -Fx

f(x+h)- f(x) _ .Jx+h--Fx _ (.Jx+h--Fx)(.Jx+h +-Fx) _ h h h( .JX+ h + -Fx) x+h - x - h( .JX+ h + -Fx) -

h h( .JX+ h +

I

- --===-----= .JX+ h +

.rx) -

.rx

Vi bestämmer nu derivatan genom att låta h gå mot noll.

f

I

(x)= lim h~o

I

.Jx + h + .f;

DERIVATOR

=

I

.Jx + O+ .J;

=

I

.J; + .J;

=

I

2-J;

VSV

Derivatan av f(x) =

.!. X

Nu ska vi härleda derivata.n till

1

f (x) = -

X

Vi sätter upp differenskvoten för

1

f (x) = -

och förenklar.

X

1

--

f(x+h)-f(x) _ x+h h

x

1

x+h

x _ (x+h)x

h

x-(x+h)

x(x+h) _ (x+h)x _ h

h

-h _ (X

+ h )x _

-h

_

( X + h) xh

h

-1

_

( X + h) X

-1 X

2

+ hx

Vi bestämmer nu derivatan genom att låta h gå mot noll i det förenklade uttrycket.

f'(x)=lim 11~0

-l

x 2 + hx

= 2-l =-__!___2 x

+0

VSV

x

DERIVATOR

Mer problemlösning

Undersök om funktionen V(x) =

!

+ 2x har någon minimipunkt.

X 1

Vi deriverar funktionen och får V = -

8 X

8 +2=0 V = 0 då x2 1

2x2 = 8

x2 = 4

~

X=

2

+2

8 2= x2

+2

Nu undersöker vi andraderivatan.

V"= 16

x3

16 x = 2 ger V = - = 2 23 Il

Il

V >0

För x = 2 har alltså V(x) en minimipunkt. X=

,,

16 -2 ger V = (- )3 = -2 2

För x

=

y,

V"< 0

I /

- 2 har alltså V(x) en maximipunkt.

')

SVAR:

V(x) har en minimipunkt för x = 2.

Figuren visar grafen till V(x). Lägg speciellt märke till att minimipunktens y-värde är större än maximipunktens.

2215

/ /

J

1

Bestäm maximi- och minimipunkter till y = - + x . X

245

2216

Bestäm det minsta värde som funktionen V ( q) = + Sq antar för q > 0. . q

2217

Vi har följande samband: I= 2a och p = a 2 + 4. Dessutom gäller att K = P . I För vilket positivt värde på a antar K sitt minsta värde?

DERIVATOR

X

2218

Totalkostnaden T (kronor) för ett fruktlager är en funktion av kvantiteten frukt q (kg) enligt T(q) =

6250000

q

+ 0,25q

Bestäm minimum (det minsta värdet) för totalkostnaden.

2219

Kurvan y =

x+5 X

2

har en tangent i den punkt där x = -1.

I vilken punkt skär tangenten linjen y = 4x + 3? 2220

Framställningskostnaden K (kronor) för en viss vara beror av mängden q (kg) enligt K(q) = 3600 + 5q + O,Olq2

Genomsnittskostnaden beräknas enligt G( q) = K (q) q Bestäm den minsta genomsnittskostnaden. 2221

Lagerkostnaden T (kronor) är en funktion av mängden varor q (stycken) enligt funktionen T(q) = 250 000 + q

q

4

Bestäm lagerkostnadens minsta värde. 2222

Ett företags vinst y i miljoner kr, kan beräknas med funktionen y = 0,05x3 - 0,12x2 + ex där x är antal år efter start och O < x < 10. Efter 2 år är företagets förlust 1,38 miljoner kr. Hur många år efter start börjar företaget äntligen gå med vinst?

2223

Man vill tillverka en cylindrisk plåtburk av 6,0 dm2 plåt. Burken ska ha både botten och lock. Vilken är burkens maximala volym?

2224

En fabrik ska tillverka kompostkärl. Dessa ska rymma 250 liter och ha form av räta cirkulära cylindrar. Kärlen, som ska ha lock, tillverkas i ett material som kostar fabriken 365 kr/m 2 i inköp. Bestäm minsta möjliga materialkostnad då man tillverkar 500 sådana kärl.

2225

Summan av dessa två figurers omkrets är 160 m. Bestäm triangelns omkrets då summan av figurernas area är så liten som möjligt. kvadrat

liksidig triangel

DERIVATOR

lnflexionspunkt och derivata Här ser du samma bild som när vi undersökte derivatans graf.

f'(x)

Derivatans minsta värde finns i punkten A.

X

För motsvarande punkt B på funktionsgrafen, gäller att här är grafens lutning som minst.

A

Punkt B kallas inflexionspunkt. Till vänster om B, kommer alla tangenter till grafen f(x) att ligga ovanför grafen.

f(x)

...-.-.....

Till höger om B kommer tangenterna att ligga under grafen. X

Tänk dig att f(x) visar hur priset på en motorbåt ändras med tiden. I punkt B kommer farten på prisfallet att börja minska.

y

y = x3 + 6x2

Titta på grafen till y = x 3 + 6x2 • Här gäller att y' = 0 för x = - 4 och x = 0. Dessa x-värden ger funktionens maximi- och minimipunkt.

in flexio spunkt /

i '

'' ' ''

-4

-2

Vad betyder y" = 0 ?

y' = 3x2 + l2x ~ y" = 6x + 12 6x + 12 = 0 ~ X = - 2 Till vänster om x = -2 är y" < 0 För t ex x = -3 blir y" = 6 · (- 3) + 12 = -6 < 0 Till höger om x = -2 är y" > 0. Den här punkten där andraderivatan byter tecken, kallas inflexionspunkt.

Vi har en inflexionspunkt om y" = 0 och y" byter tecken.

2226

Rita och avgör om grafen har inflexionspunkt. a) y = x2

DERIVATOR

-

2x

b) y=0,2x3

c) y = 2 + 0,05x4

1

••

Andringskvot

~y En genomsnittlig förändring ----'--

~x

1

Gränsvärde

. x 2 -l . (x+l)(x--1) lim x _ 1 = lrm X"""?I

X """? I

. = lim ( x + 1) = 2

(~)

X"""?I

1

Derivatans definition

f ' (X) = lim f ( X + h) - f (X) h~O h y (x+h, f(x+h))

8

X

.

x+h

X

~

Deriveringsregler

y=x"

y' = n·xn - l

Tangentens k-värde

Om grafen till funktionen y = f(x) har en tangent då x = a, så har tangenten lutningen k = f'(a).

Växande och avtagande Omf'(x) > O i ett intervall så ärf(x) växande i intervallet. Omf'(x) 5 0 i ett intervall så ärf(x) avtagande i intervallet. f' (x) får inte vara noll i hela intervallet.

Maximi-, minimi- och terrasspunkt

Omf'(a) = 0 har funktionenf(x) en maximi-, minimi eller terrasspunkt för x = a. y maximipunkt terrasspunkt X

minimipunkt

Största och minsta värde

I ett intervall har en funktion största/minsta värde antingen i maximi/minimipunkter eller i intervallets ändpunkter.

-4

y

/

"

1

\

\

1

X

Största värdet är 4. Minsta värdet är -5. >-5-

Lokala och globala extrempunkter

Globalt maximum = Största värde Globalt minimum = Minsta värde Man skiljer på lokala och globala extrempunkter enligt figuren.

Globalt max

Lokalt min

Globalt min

Andraderivata

Då vi deriverar y' får vi andraderivatan y"

y Andraderivatans tecken

Kontinuerlig och diskontinuerlig funktion

= 4x 3

+ 8x

1

= 12x2 + 8

J'(a)

=

0 ochf"(a) < 0

~

f(x) har en maximipunkt för x = a

f'(a)

=

0 ochf"(a) > 0

~

f(x) har en minimipunkt för x = a

f'(a) = 0 ochf"(a) = 0

~

undersök med teckenstudium

Man skiljer på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner. Om grafen är sammanhängande och inte har några "brott" är funktionen kontinuerlig.

a'

b Kontinuerlig i a~x~b

Diskret funktion

y

a'

b Diskontinuerlig i a~x~b

En diskret funktion är en funktion där endast vissa x-värden är tillåtna, t ex bara heltal.

BLANDADE UPPGIFTER 2227

Bestäm derivatan till följande funktioner. a) y = x 5 - 4x3 + 9x - 4

2228

= (5x -

l)(Sx + 1)

Bestämf"(4) då a)

2229

b) y

f (x) = 3x

3

-

x

2

b)

X

f(x)= -

2

4

X

3

- -

c) f(x) = 3x - 7

6

Bestämf'(- 1) då a) j(x) = x 99

b) f(x) = (x - 3) 2

c) f(x) = 7x

2230

Kurvan y = x3 - 6x + 2 har en tangent i den punkt på kurvan där x = 1. Bestäm en ekvation för tangenten.

2231

Figuren visar grafen till en funktionf(x).

-,y

I punkterna A, B och C har kurvans tangenter ritats. Bestäm med hjälp av figuren

\

I A

b) f'(2)

J

tJ \

t I/

1

a) f'(O)

\ I/ / I\

I

I

'

"\ c

I J

>-.

c) f'(4)

'\\

En funktion har följande teckenschema. För vilka värden på x är funktionen växande respektive avtagande? f'(x)

-3 0

+

4

f(x)

+

2 0

0

9

1

7

X ),-

+

2233

Bestäm ur teckenschemat ovan koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter.

2234

Undersök om punkten (0, O) är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt till följande kurvor.

a) y = 2x4 - x 2

b) y = 3x2

c) y = x 3 2235

' ~

I

I/ 2232

\

X

Beräkna följande gränsvärden. a) lim x~3

x2 X

-

9

-3

.

(3 + h)

2

-

3

2

b) l1m- - - h~ O h

DERIVATOR

2236

En bakteriekultur ökar enligt formeln N(t) = 2t3 + 50 där N(t) är antalet bakterier efter t minuter. a) Hur många bakterier finns det efter 5 minuter? b) Hur stor är tillväxthastigheten efter I minut? c) Hur stor är tillväxthastigheten efter 5 minuter?

2237

Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till följande funktioner. Rita sedan graferna. a) y = 12x - x 3

b) y = l,5x2

-

x3

2238

Är funktionen y = x4 + x3 + x 2 + x växande för x = - 1?

2239

Lös följande uppgifter med hjälp av figuren. y

/ "\ I

~

I

y :. g(, ·)

\

\ X '

a) Bestäm g(l) b) Bestäm g'(2) c) I vilket intervall är funktionen växande? d) I vilket intervall är g'(x) < O? e) Lös ekvationen g(x) = 0. 0

2240

(x+2)(x-6)

Lös ekvationenf'(x) = 0 da f(x) = - - - 2

2241

Sidorna i en rektangel är (x + 2) cm och (4 - x) cm. Bestäm rektangelns maximala area.

2242

Skissa grafen tillg(x) om man vet attg(4) = I, g'(4) = 0 och g"(4) < 0.

2243

Kostnaden T kronor för att framställa en viss vara är en funktion av antalet varor q stycken enligt T(q) = 23 000 + SOq + 0,009q2 Bestäm gränskostnaden T'(q) för q = 2000.

DERIVATOR

2244

Vilket är det största och det minsta värde som funktionen

s(t) = t 3 - l20t2 antar i intervallet O :::; t < 100? 2245

Grafen visar derivatan f'(x).

f'( ')

/ '\

a) För vilka x-värden är f'(x) = O?

\

I

b) För vilka x-värden är f(x) växande?

\

~- I

X

.

I

2246

Ange om y = x 3 - 3x2 + 3x har någon maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

2247

Värdet V (kkr = tusentals kronor) av ett lager frukt beror av tiden x (dagar) enligt V(x) = 75 + l,2x - 0,04x2 Bestäm det maximala värdet av frukten.

2248

Vattendjupet i en hamn varierar med tiden. Antag att h(t) är vattendjupet i meter vid tiden t timmar efter 22.00. Skriv med ord vad följande betyder. a) h(l) = 2,3

b) h'(l) = 0,2

c) h(4) = 3, h'(4) = 0 och h"(4) < 0

2249

Bestäm koordinaterna för terrasspunkten till kurvan

y = 3x4 2250

-

4x3 + 2

Undersök med hjälp av derivatan i vilka intervall funktionen 4

2

4

2

y = x - ~ är växande respektive avtagande.

2251

Tabellen visar hur lång sträckas (m) som sprintern Joel hunnit på tiden t (s). Använd begreppet ändringskvot och bestäm medelhastigheten då a) t = 3

Tid (s)

Sträcka (m)

2

7

4

26

6

60

b) t = 5

Joel vet att tabellens värden kan beskrivas med formeln s(t) = l,65t2 . Använd denna formel och beräkna Joels hastighet vid tiderna

c) t = 3

d) t= 5

DERIVATOR

• Vilka av begreppen nedan har inte behandlats i kapitel 2? • Förklara de fem övriga m atem atiska begreppen, gärna med hjälp av exempel.

2252

andraderivata

gränskostnad

permutation

globalt maximum

terrasspunkt

Beräkna följande gränsvärden. a) lim 25- (5 + h)2 h-40 h

2253

gränsvärde

b) lim 20 + 0,98x X-4= 5

Kurvan y = 0,4x2 har en tangent i den punkt där x

= 2,5.

Beräkna var tangenten skär x-axeln.

2254 f(x) = ax3 + x. Bestäm konstanten a så att f'(2) = 5. 2255

Figuren visar grafen till en funktion y = g(x) samt grafens tangent i punkten (0, - 1). Bestäm med hjälp av fig uren a) g(- 1)

\

y

\

\

\

I"1

y =g( )()

I

'

b) g'(O)

I

X

-

\. /

c) g'(l)

-\

2256

En låda har kvadratisk bottenarea där sidorna är (6 - x) cm. Bestäm lådans maximala volym då dess höjd är 2x cm.

2257

Genom m aximipunkten och minimipunkten på kurvan y = x3 - 12x går en rät linje. Bestäm en ekvation för linjen .

2258

Bestäm det största och det m insta värdet som funktionen s(t) = 2t2 - 12t + 25 antar i intervallet 2 < t < 5.

2259

Grafen visar funktionen y = f(x). I vilken eller vilka av punkterna A - F gäller att: a) y = 0

b) y'

=

Lös ekvationen y = y' då y = x3 + 3x2 .

DERIVATOR

F

A

E

B

0

c) y' < 0 2260

y

0

c

X

2261

I vilken punkt på kurvan y = x 2 - 4x - 8 är kurvans tangent parallell med linjen 6x + y - 3 = O?

2262

a) Skissa grafen till funktionen g(x) där det gäller att g(2) = 3 ochg'(2) = -1. b) Ge ett ungefärligt värde på g(2,l).

2263

Diagrammet visar in och utflyttning av folk i en region. Para ihop varje påstående med rätt punkt på kurvan. personer/å r

föränd ring A

O

tid 0

ar

c a) Här är folkmängden maximal. b) Här är utflyttningen från regionen störst. c) Här är folkmängden i regionen minst. d) Här är inflyttningen till regio11en störst. 2264

Intäkten I kronor vid försäljning av en viss vara beror av varans pris p kronor på följande sätt: I(p) = p · (1200 - 4p)

a) För vilka värden på p växer intäkten J? b) Vilken är den maximala intäkten? c) Bestäm gränsintäkten J'(80). 2265

En rakets höjd h (meter) över marken ges av funktionen h(t) = 24t2 - t3 där t = tiden i sekunder, 0 < t < 24. Vilken är raketens maximala höjd över marken? Svara med en värdesiffra.

DERIVATOR

2266

Summan av tre sidor i en rektangel är 28 m. Bestäm rektangelns maximala area.

2267

En rektangel har två sidor längs de positiva koordinataxlarna och ett hörn P på den räta linjen y = 6 - 2x. Se figur. Bestäm rektangelns maximala area. p

LEDNING:

Punkten P har koordinaterna (x, 6 - 2x) Rektangelns höjd = 6 - 2x och dess bredd = x.

2268

X

Derivera följande funktioner. a) g(x) = - 0,5x4 + 3x2

-

7x + a7

b) h(x) = 2fx- 2x-4 + 2x 1' 7

(x2 + 1)2 c) y= - - -

x3

2269

Funktionen y = x3 - l,5x2 har en tangent i maximipunkten. Tangenten skär kurvan i en punkt. Beräkna skärningspunktens koordinater.

2270

Kurvan y = ax3 + bx + 10 har en minimipunkt i (1, - 8). Bestäm konstanterna a och b.

2271

x 2 +7x-8 Bestäm lim--2 x~1 X + Bx-9 y p

2272

Punkten P ligger på grafen till y = 6x - x 2 i intervallet O < x < 6. Se figur. Triangeln OPA har kateten OA längs x-axeln. Bestäm triangelns maximala area. X

O

2273

En rektangel har omkretsen 15 cm. Då den får rotera kring en av sina sidor uppstår en cylinder. Bestäm maximala volymen av denna cylinder.

2274

Från punkten (-3, 12) kan två tangenter dras till kurvan y = - (6x + x2 ). Bestäm tangeringspunkternas x-koordinater. Svara exakt.

DERIVATOR

A

KAPITEL 2 N7

Vi har funktionen f(x). Vilket är funktionsvärdet /(8)?

(1) Funktionen f(x) är linjär ochf(3) = 4 (2) Funktionens derivata f '(x) = 2 N8

Vilken är derivatans värde då x = 5?

NOG -UPPGIFTER Tillräcklig information för lösningen erhålls: A i(1)meneji(2) B i (2) men ej i (1) C i (1) tillsammans med (2) D i (1) och (2) var för sig E ej genom de båda påståendena

(1) Den linjära funktionen f(x) skär x-axeln för x = 2 och y -axeln i (0, 8) (2) f'(x) < 0

N9

Har funktionen y = ax2 + bx en minimipunkt?

(1) b = 7 (2) a = - 2

N 10

Hur många nollställen har funktionen y = x 2 + b?

(1) y'(O) = 0 (2) y(O) = 1

N11

Vilket är största värdet för funktionen f(x) = ax2 + bx?

( 1) Funktionen har ett nollställe för x = 3 (2) Funktionen har ett nollställe för x = 0

N12

Vilka är konstanterna a och b då f(x) = 12 +ax+ bx2 ?

(1) f'(2) = 0 ochf"(2) = 8 (2) f(2) = - 4 ochf(l) = 0

N13

Vilketärtaletp?

(1) y = x 2P och y' = 2px7

(2) Medelvärdet av p och - p är O

DERIVATOR

0

Bestäm följande gränsvärden

. h3 - 2h 2 x + Shx b) 11 m - - - - '1-to h

x-2 a) lim?x-t2 x- - 4

Funktionenf(x) = 3x2 har en tangent i den punkt där x = 2. Använd derivatans definition och bestäm tangentens k-värde.

EX 2 S 105

EX 1 S 112

Derivera följande funktioner

a)

©

0 0

f (x) = 5x3 + 2x4

EX 1 S 117

b) y = x 2 (4x - x3)

EX 2 S 117

x 6 -2x 3 c) y = - - 3

EX

3 S 117

Kurvan y = Sx - x 2 har en tangent med lutningen k = -1. Bestäm tangeringspunktens koordinater.

EX 2 S 129

I vilka intervall är funktionen J(x) = x3 - 3x avtagande?

EX

Bestäm eventuella maximi-, minimi- eller terrasspunkter till y = x 3 - 3x2 + 1.

EX 2 S 137

3 S 134

Grafen tillg(x) = x3 + px2 har en minimipunkt för x = 2. Bestäm konstanten p.

EX S 141

Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen j(x) = x 3 - 6x2 i intervallet 1 < x < 7.

EX 2 S

Bilden visar grafen till en derivata f'(x). Rita en skiss av grafen till funktionen f(x).

EX 2 S 150

f'(x) X

143

För funktionen y = 5 + x 4 gäller att y' = 0 för x = 0. Undersök med hjälp av derivata om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

EX 2 S

153

Skissa grafen till funktionen g(x) när du vet att

@

g(2) = 5 , g'(2) = 0 och g"(2) < 0.

EX 1 S 161

a) Bestämg'(4) då g(x)=3~

EX 2

b) Bestäm s'(t) då s =

t

3

+t t

@

EX

2

S 164

4 S 165

Funktionen f är definierad på följ ande sätt:

f(x)=

0,25x 2

för x::; 2

x +C

förx > 2

Bestäm C så att funktionen blir kontinuerlig.

EX S 167

Funktionenf(x) finns avbildad här bredvid. Bestäm från grafen

,y

a) f(O) y= f(x

b) f(2)

c) f'(l)

I

1

I \

•

I

d) !'(2)

X

\J/

e) Lös olikheten f'(x) > 0.

y'

Figuren visar en derivatas graf. a) När är y' = O? b) När är y' > O? c) När är y avtagande?

~

X

I '\' ' '\. J

I

d) När har yen maximi-, minimieller terrasspunkt? Grafen till y = ax2 + bx har en maximipunkt i (1, 5). Bestäm y'(O).

DERIVAliOR

En blomkruka ramlar från ett fönster. Fallsträckanf(t) meter beror av falltiden t sekunder enligtf(t) = 5t2 . Beräkna och tolka

f (2 , 4 )- f (2)

EX 1

s 93

2 4- 2 '

Grafen tillf(x) = 6x - x 2 har en tangent i den punkt där x = 4. Vilken ekvation har tangenten?

EX 1 S 128

En kula skjuts rakt upp i luften. Kulans höjd h (meter) över marken ges av formeln h(t) = 20 + 25t - 5t2 där t är tiden i sekunder. a) Bestäm kulans höjd efter 3 sekunder. b) Bestäm kulans hastighet efter 2 sekunder. c) Vilken är kulans utgångsfart? d) Från vilken höjd över marken skjuts kulan? e) När vänder kulan?

EX

3 S 124

Ett företag som tillverkar q enheter av en vara har funnit att kostnaden T (kronor) ges av funktionen T(q) = 1200 + 240q - 0,3q 2 5 < q < 30

0

Bestäm gränskostnaden T'(20)

EX 2 S 123

Undersök om funktionenf(x) = 19x - 2x2 har någon maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

E X 1 S 137

Skissa "för hand" grafen till funktionenf(x) = 3x4 - 4x3 med hjälp av derivatan. Ange om funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkter.

EX 3 S 138

Bestäm triangelns maximala area. Avrunda svaret till två värdesiffror. (m) 2x 15 - 2x

EX 2 S

156

Antalet anställda N i ett företag antas variera i tidsintervallet 0 < t < 20 på följande sätt: N(t) = 2500 - 300t + 12,5t2

t = tiden i år efter 2010.

a) Hur många anställda hade företaget år 2010? b) Hur många anställda fanns det år 2012? c) Hur många år kommer antalet anställda att minska? d) Vilket är det minsta antalet anställda i företaget?

Man har beräknat att vinsten V (kr) vid försäljning av en viss vara beror av varans pris p (kr) enligt V(p) = p(SO 000 - 20p) - 80 000

a) För vilket pris på varan blir vinsten maximal? b) Vilken blir den maximala vinsten?

Grafen till funktioneng(x) = ax3 + bx + c går genom punkten (- 1, - 7). Dessutom gäller att g( 1) = g' ( 1) = 1. Bestäm konstanterna a, b och c.

® ®

.. kl a uttrycket f(x+h)- f(x) sa• 1·angt som moJ ·· ·1·1gt d a f(x ) = 5x 2 - x. Foren h 0

För funktionen h(x) gäller att h(lO)

= 3 och h'(lO) = -2.

Bestäm ett närmevärde för h(lO,l).

REPETITIONSUPPGIFTER TILL KAPITEL 2 FINNS PÅ SIDAN 285.

DERIVAliOR

POTENSER I det här avsnittet repeterar vi begreppet förändringsfaktor och potenslagarna.

23 Bas.,,,

Potensen 23 = 2 · 2 · 2

/Exponent

Här gäller att talet 2 är bas och talet 3 är exponent. ax. aY = ax+ y

a

X

- =a

x- y

23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 25

2 . 2 .2 . 2 . 2

22

2·2

--

aY

-2 -

3

(3 · 5)2 = 3 · 5 · 3 · 5 = 32 · 52

(23)4 = 23 . 23 . 23 . 23 = 23 . 4 = 212

)3.fl2. =.J3.12 =56 = 6 a

Fa

49

-

b-/b

9

Ji9 7 ./9-3

2° = 1 och 1o0 = 1 1

a-n = - där a ;t O an

..

TALFOLJDER OCH TALET e

, o-3=

,

103

Förenkla utan räknare. a) x 3 • x-2 = x3 + = x 1 = x (ao ·a6)2

b)

a12

--2 = a 12- (- 2) =a14

-2

a

a

c) (3x4)2 = 32. x4·2 = 9xs 1

1

-

1

3

3·-

1 d) 1000 3 = (10 ) 3 = 10 3 = 10 = 10

Skriv som en potens. a) x3~ = x3 . xo.s = x3.s 2

X ~

b)

-

X

Xo,s

.J1oox 2

c)

5~

2

-

=

X

2- 0 s

lOx Sx

05 •

15

' =X '

=2x ·

O5

d) (l6x3)o,s = 160.s . x3. o,s = 4x1,s

Ett kapital på 10 000 kr ökar exponentiellt till 14 000 på 5 år. Hur många procent är den årliga tillväxten? Vi kallar förändringsfaktorn x och får ekvationen nedan. Tiden i år

~

10000 · x 5 = 14000

/

Kapitalet från början

'

Det slutliga kapitalet

Förändringsfak torn X5

X

= 1,4

= 1,4115

X :::::

1,0696 ...

Förändringsfaktorn 1,0696 betyder en ökning med ca 7 % SVAR:

Den årliga tillväxten är 7 %

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Värdet på en motorcykel minskar till hälften på 3 år. Beräkna den årliga minskningen i procent. Vi antar att förändringsfaktorn är x och att motorcykelns värde från början är V kr. Efter 3 år ska värdet vara 50 % av V. Vi får följande ekvation.

V· x3 = 0,50 · V x3 = 0,50 Eftersom det är en minskning blir förändringsfaktorn mindre än 1.

x = o,50 1' 3 X~ 0,79

1 - 0,79 = 0,21 = 21 % SVAR:

21 %

1

Ekvationen x 5 = 1,4 har lösningen x = 1,45

Bestäm ett kapitals nuvärde om kapitalet med 8 % ränta växer till 25 000 kr på 6 år? Antag att nuvärdet är x kr. X·

1,086 = 25 000

25000 x= - 1,086 X~

15 754

SVAR:

Nuvärdet är ca 16 000 kr

3001

Skriv med rottecken. b) 71.s

3002

Skriv som en potens. a)

5Js ..

3

b)

J3

TALFOLJDER OCH TALET e

Bestäm den positiva roten till följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 3003

a) x4 = 100

3004

a) 5 · x 1·25 = 80

b) y5 + 70 = 290

3005

a) 3,1 + x 0•05 = 9

b) 0,2·x30 -65 = 150

3006

Skriv som en potens. a) 5-3 • 5-4

3007

Förenkla följande. X

a) (4x)

2

c) (2xy

2 3 )

X

-2

d) (x-o.s )4

3008

Ett kapital växer med 9 % ränta. Om 5 år har kapitalet vuxit till 20 387 kr. Bestäm kapitalets nuvärde. Svara i hela kronor.

3009

I en kommun fanns det 18 000 invånare år 2010. Antalet invånare minskar exponentiellt och x år efter år 2010 kommer det att vara 18 000 · o,97x invånare. a) Med hur många procent minskar folkmängden per år? b) Beräkna folkmängden år 2030 med tre värdesiffror.

3010

Ett kapital ökar från 500 kr till 3000 kr på 12 år. Hur stor är den årliga procentuella ökningen?

3011

Siri sätter in 5000 kr på ett bankkonto med fast ränta. Efter 2 år har kapitalet ökat till 5408 kr. Hur mycket pengar finns det på kontot efter ytterligare 3 år?

3012

Priset på en vara har på 3 år ökat med 50 %. Hur stor är den årliga ökningen?

3013

En bils värde minskar enligt formeln V = 130 000. 10- o,o7 t där V är värdet i kronor efter tår. Med hur många procent minskar bilens värde varje år?

.. TALFOLJDER OCH TALET e

3014

Förenkla (36x4 ) 0 •5 - (4x) 2 + (16x8) 0•25

3015

Förenkla uttrycket så långt som möjligt X·X - 3,2 · X 0.3

a)

x -o.9

(a3 ·b- 1,5 ) 4

b)

a2 . b-s

3016

Befolkningen i en by fördubblas på 15 år. Är det sant att befolkningen ökar med 51 % på 8 år?

3017

Beräkna och svara i bråkform. 2 . 3-t + 3. 2-2 + 4 . 5°

Beräkna och svara i exakt form, utan att använda räknare. b) 125-213

3018

a) 27 113

3019

a)

3020

Ett kapital minskar med samma procentsats varje år. Efter 10 år har kapitalet minskat med 18,3 %. Med hur många procent har kapitalet n1inskat efter 15 år?

3021

Förklara med potenslagarna varför

3022

Stämmer följande påstående? En tredjedel av 330 är 3 10 • Motivera.

J2 ·( Js +m)

b)

Jn-Jso J2

TANKENÖT 11 I en matematisk exempelsamling från 500-talet omnämns den grekiske matematikern Diotantos i ett av exemplen: "Diofantos tillbragte en sjättedel av sitt liv i barndom, en tolftedel i ungdom och ytterligare en sjundedel som ungkarl. Fem år efter hans giftermål föddes en son, som dog fyra år före sin far, hälften så gammal som fadern slutligen blev... Hur gammal blev Diofantos?

..

TALFOLJDER OCH TALET e

M

= 2J} ·

J7.

••

TALFOLJDER Titta på talen 2, 6, 10, 14, .... Vilket blir nästa tal? I det här exemplet är det typiska för talen att man adderar 4 till talet innan. Nästa tal blir alltså 18. När man skriver en följd av tal enligt en bestämd regel, kallas detta en talföljd. I de följande avsnitten får du veta hur talföljder byggs upp och hur ma.n kan beräkna summan med hjälp av en formel. Summaformeln för talföljden kommer vi sedan att använda i ekonomiska beräkningar. Talen i en talföljd brukar betecknas a 1, a2 , a3 , ••• och kallas även element. Den regel (formel) som beskriver talföljden 2, 6, 10, 14, ... kan skrivas an = 4·n-2 Genom att sätta in l, 2 och 3 istället för n i formeln a n = 4 · n - 2 får vi de tre första talen i talföljden: a I = 4·1 - 2 = 2

a2 = 4·2 - 2=6 a3 = 4 · 3 - 2 = 10

a) Bestäm det 10:e talet i talföljden an= n 3 Vi sätter in talet 10 istället för n och får a 10 = 10 3 SVAR:

1000

b) Bestäm a1 och a5 i talföljden an= 3. 2n- 1 a 1 = 3 · 2 1 - 1 = 3 · 2° = 3 · 1 = 3

a 5 = 3 · 25 - 1 = 3 · 24 = 48 SVAR:

3023

a 1 = 3 och a 5 = 48

Ange de fem första talen i en talföljd där a) an = 20n + 50 b) an = lOn - 2

.. TALFOLJDER OCH TALET e

3024

Bestäm a 3 då a) a n = 10 - 2n

3025

b) a11 = 10-n

Ange de fem första talen i en talföljd där

b) a11 = 2(n - 1)

a) a11 = 2n - 1

3026

Ange det tjugonde elementet i en talföljd där a) a = n3

b) a,, = 5n+l00 n

n

3027

Ange de fem första talen i en talföljd där

60 a) an=-

b) an = (n + 1)2

n

3028

Ange de fyra första elementen i en talföljd där

a) a 3029

11

=

3 ·2

b) a =5·3 11 -

11

1

Il

Vilket är nästa tal i talföljden? a) 8, 40, 200, 1000, ...

b) 4, 11, 18, 25, ... 3030

Robin bygger en "rad kvadrater" av tändstickor. Se bilden. a) Hur många stickor behöver Robin för att bygga 100 kvadrater? b) Hur många hela kvadrater kan Robin bygga på detta sätt av 36 stickor?

--

-

•

-.

3031

I en aritmetisk talföljd är differensen mellan ett tal och nästa tal konstant. Vilken är differensen i en aritmetisk talföljd som börjar med de tre talen 2x - 5, 20 och x + 18 ?

3032

Då Alex föddes fick han 10 kr av sin farfar och ett löfte om följande: "När du fyller 1 år får du dubbelt så mycket dvs 20 kr. När du fyller 2 år får du det dubbla dvs 40 kr och så fortsätter din födelsedagspresent att fördubblas ända tills du fyller 15 år." Hur mycket får Alex av farfar när han fyller 15 år?

3033

Skriv ytterligare 4 element i talföljden 2, 3, 5, 7, 11, ...

..

TALFOLJDER OCH TALET e

••

GEOMETRISKA TALFOLJDER Låt oss titta på en talföljd där första talet a 1 = 5 och där talföljden bildas genom att man upprepade gånger multiplicerar med 2. 5, 10, 20, 40, ... Vi visar hur talföljden är uppbyggd. 5 ·2 a2 = 5 · 2

5

aI = 5

5·2·2 a3 = 5 · 22

5·2·2·2 a4 = 5 · 23

Lägg märke till att exponenten = talets ordningsnummer - 1. Tex skrivs det fjärde talet a4 = 5 · 2 3 och det tionde talet a 10 = 5 · 29 Talföljden kan alltså beskrivas med formeln an= 5 · 2n- 1 Låt oss nu dividera ett tal i talföljden med det tal som är närmast före.

a3 a2

5 ·2 -

2

5·2

=2

Vi får kvoten k = 2

Talföljder som kännetecknas av att kvoten är konstant, kallas geometriska talföljder.

En geometrisk talföljd kan alltid skrivas med formeln

an = a1 · kn- 1

a 1 = första talet

k = kvoten

Ange de fyra första talen i talföljden an= 10 · 3n- 1

a1 = 10 · 3° = 10 a2 = 10 · 31 = 30 a3 = 10 · 32 = 90 a4 = 10 · 33 = 270 SVAR:

Talen är 10, 30, 90 och 270

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Ange kvoten till följande geometriska talföljder a) 40, 60, 90, 135 . ..

SVAR:

b) 8, 4, 2, 1 ...

SVAR:

c) 3, -6, 12, -24 ...

SVAR:

60 k=-=l,5 40 4

k=-=0,5 8 k=

-6 3

=-2

Bestäm det 10:e talet i följande geometriska talföljder. a) a 1 = 2 och k = 3. Eftersom a 10 = a 1 • k9 får vi

a10 = 2 · 39 = 39 366

SVAR:

a 10 = 39 366

SVAR:

a 10 = 1551,3

SVAR:

a 10 = -2560

b) a 1 = 1000 och k = 1,05

a 10 = 1000 · 1,059 = 1551,3 c) 5, -10, 20, -40, ...

a1 = 5 och k =

- 40 20

= -2 ger

a 10 = 5 · (-2) 9 = -2560

3034

Ange de fyra första talen i talföljderna. a) a n = 2 11 -

3035

1

1

Ange kvoten till följande geometriska talföljder. a) 1, 4, 16, . . .

3036

b) a 11 = 2 · 311 -

b) 100, 50, 25, . . .

c) 2, - 4, 8, ...

Bestäm det 8:e talet i följande geometriska talföljder. a) a 1 = 1 och k = 2 b) a 1 = 30 000 och k = 1,09

c) 1, 3, 9, ... 3037

Vilken av följande talföljder är geometrisk? a) 2, 4, 6, . . . ..

b) 100, 80, 64, . . .

TALFOLJDER OCH TALET e

c) 1, - 3, 6, ...

3038

Bestäm summan a 1 + a2 + a 3 då a) k = 2 och a1 = 4 b) a 1 = 50 000 och k = 1,05 c) a1 = 2 och a2 = -4

3039 Förklara, gärna med ett exempel,

vad som menas med en geometrisk talföljd.

3040

Bestäm det 5:e talet i en geometrisk talföljd då a) a 1 = 10 och a2 = 15 b) k = -2 och a 1 = 3 c) k = 1,05 och a2 = 4200

3041

Ange de tre första talen i en geometrisk talföljd där a) k = -3 och a 1 = 2 b) k = 2 och a 2 = 10 c) a4 = 54 och as = 81

3042

Ange första elementet i en geometrisk talföljd där a2 = 2 och as = 0,25

.. TALFOLJDER OCH TALET e

••

GEOMETRISKA TALFOLJDENS SUMMA Om Karolina slutar röka, har hennes mamma lovat att hon ska få 5 kr den första veckan. Nästa vecka ska hon få tre gånger så mycket, dvs 15 kr. Ytterligare nästa vecka tre gånger så mycket osv.

.

,

a) Hur mycket får Karolina den 7:e veckan? vecka 1 vecka 2 vecka 3 vecka 7 SVAR:

5 kr 5 kr· 3 = 15 kr 5 kr · 32 = 45 kr 5 kr · 36 = 3645 kr

Hon får 3645 kr den 7:e veckan

b) Hur mycket får Karolina totalt under de 7 första veckorna? Eftersom det endast gäller 7 veckor, kan vi addera det som Karolina får varje vecka. Summan består av 7 termer och betecknas därför s7 .

S7 = 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 + 3645 = 5465 SVAR:

Hon får 5465 kronor

c) Hur mycket får Karolina under 15 veckor? Eftersom det är så många termer (15 stycken) är det opraktiskt att addera som i b-uppgiften. Därför ska vi istället visa hur vi kan finna en formel som gör beräkningen mycket enklare. Först skriver vi summan av de 15 utbetalningarna: 2 3 14 5 15 = 5 + 5 · 3 + 5 · 3 + 5 · 3 + ... + 5 · 3 Därefter multiplicerar vi summan med kvoten 3. 3 . 5 15 = 3 · (5 + 5 · 3 + 5 · 32 + 5 · 33 + ... + 5 · 3 14) 3s15 = 5 · 3 + 5 · 32 + 5 · 33 + ... + 5 · 314 + 5 · 3 15

[ Observera att 3 · 314 = 3 1s ]

Om vi nu subtraherar summan s15 från 3s15 kommer de flesta termerna att "ta ut vara.ndra". 3s1s - s1s = 5. 31s - 5 Vi bryter ut s15 i vänstra ledet och talet 5 i högra ledet. 15 (3 1) = 5(3 - 1) 15

S

5(3 15 -1) s = --15 3- 1 s15 """ 36 000 000 ..

TALFOLJDER OCH TALET e

SVAR:

Hon får 36 miljoner kronor

Titta på formeln för s15 igen! Lägg märke till följande: 5 = den första termen i talföljden, dvs a 1 3 = kvoten i den geomet riska talföljden, dvs k 15 = antal termer som adderas, dvs n 11

a 1 (k -1) Formeln kan skrivas sn = --'' - - - - -

k- 1

11

a1 (1- k Om k < 1 används formeln s = "'"""'' - - - - 1- k )

11

O m k = 1 kan formeln inte användas eftersom vi då får O i nämnaren. Men om k = 1 är ju alla tal i talföljden lika. Summan blir då sn = n · a 1

Summan av de n första termerna i en geometrisk talföljd

s

=

a1{k" -1) a1(1-k") k- 1

n

- ----

a 1 = första termen

1- k

kvoten k ;t 1

a) Beräkna s7 då a1= 5 och k = 3 11

Formeln sn = SVAR: S7 =

a1 (k - 1)

k -1

ger s7 =

5(37 - 1)

3-1

Eftersom k < 1 använd er vi formeln 400(1-0,8 s5 = 1- 0,8 5

5465

5465

b) Beräkna s5 då a 1= 400 och k = 0,8

SVAR: 5 =

=

5 )

6

5 11

=

a1 (1- k

11 )

1-k

och får

= 1344, 4

1344,64

Beräkna 5 50 i den geom etriska talföljden 3 + 6 + 12 + ... 6 Eftersom a 1= 3 och k = = 2 får vi 3 5so

--

3(250 -1)

SVAR:

2- 1

-- 3, 38 ·1015

ca 3,38. 1015

.. TALFOLJDER OCH TALET e

3043

Beräkna 55 då b) a1= 10 000 och k = 0,5

a) a 1= 2 och k = 4 3044

Beräkna summan 5 10 för de geometriska talföljderna. Avrunda till heltal. a) a 1= 2000 och k = 1,06

3045

b) 800 + 1200 + 1800 + ...

Beräkna summan av de åtta första talen. Avrunda till heltal. a) a 1 = 12 och k = 0,9

3046

b) 4000 + 4200 + 4410 + ...

Beräkna följande geometriska summor. a) 2 + 2 · 3 + 2 · 32 + ... + 2 . 39 b) 500 + 500. 1,06 + 500. 1,062

3047

•..

+ 500. 1,0611

Lille Viktor fick det något förhastade erbjudandet: "Om du är snäll så får du 1 kr i veckopeng, och sedan fördubblas veckopengen varje vecka!" a) Hur stor blir veckopengen den 10:e veckan? b) Hur stor blir Viktors "inkomst" under 10 veckor? c) Hur stor skulle Viktors totala "inkomst" ha blivit under ett halvår (26 veckor), om han lyckats vara snäll hela tiden?

3048

Ett diskotek hade 26 000 besökare under det första året. Under de följande åren ökade antalet besökare med ca 10 % varje år. Hur många (avrundat till två värdesiffror) besökte diskoteket a) det tredje året?

b) det 5:e året?

c) totalt under de 10 första åren? 3049

Emma ritar sitt "släktträd" tio generationer tillbaka. Hur många personer blir det i hela trädet? Se bilden som visar Emmas träd två generationer tillbaka.

fa rfar

farmor

morfar

fa r

mormor mor

Emma

3050

Ange summan av de 4 första elementen i en geometrisk talföljd där a 2 = 8000 och a 5 = 4096 . ..

TALFOLJDER OCH TALET e

SUCCESSIVA INBETALNINGAR Om man sätter in 500 kr på ett konto med 8 % ränta, finns det efter 3 år 500 kr· 1,08 3 ""' 630 kr på kontot. Den här typen av beräkningar, med endast en insättning, känner du säkert igen från tidigare. Nu ska vi istället syssla med ekonomiska beräkningar, där man gör flera insättningar. Vi visar med några exempel.

Johan lånade 4000 kr av sina föräldrar i slutet av 2009, 2000 kr i slutet av 2011 och 5000 kr i slutet av 2012. I slutet av 2014 ska han betala hela sin skuld plus ränta efter 5 %. Hur mycket ska han betala? Avrunda svaret till hundratals kronor. Vi gör ett tidsdiagram för att bättre förstå lösningen.

I

2009

2010

2011

I 4000 kr

2012

2013

I 2000 kr

2014

I

• ar

>

5000 kr

----->-

5000 . 1.052 = 5512.50 kr

__:7

2000 · 1,053 = 2315,25 kr

L . __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _~

4000 · 1,05 5 :: 5105, 13 kr

~I

L . __ _ _ _ _ _

Totalt :: 12 932,88 kr

SVAR:

Han ska betala 12 900 kr

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Maria sätter in 6000 kr, 5 år i följd, på ett konto där räntesatsen är 7 %. Första insättningen var i slutet av 2010, därefter i slutet av 2011, 2012, 2013 och 2014. Hur mycket pengar finns det på kontot efter den sista insättningen? 2010

2011 6000

2012 6000

I

2013

6000

I 6000

2014

I

• ar

>

6000

'V 6000 6000 · 1,07 6000 · 1•07 2 6000 · 1,073 6000 · 1,074

Direkt efter den sista insättningen finns det på kontot kr: 6000 + 6000 · 1,07 + 6000 · 1,072 + 6000 · 1,073 + 6000 · 1,074 Genom att beräkna varje term för sig och sedan addera termerna, kan vi naturligtvis finna svaret. Men vi kan också använda summaformeln för en geometrisk talföljd, där a 1= 6000, k = 1,07 och n = 5.

s

a1 (kn-l)

=---'----

k-1

n

5

. t• 6000(1,07 -1) ,: : ; 34 504 V 1 ar 1,07- 1 SVAR:

3051

ca 34 500 kr

Anna lånade 5000 kr mot 10 % årsränta den 1 januari 2012. Den 1 januari 2013 lånade hon ytterligare 3000 kr med samma räntesats. Den 1 januari 2015 ska lånen och räntan betalas. Hur mycket ska Anna betala då?

I uppgifterna 3052-3057 ska svaren avrundas till hela kronor. 3052

Gustav sätter i slutet av varje år in 3000 kr på ett konto där räntan är 8 %. Hur mycket finns det på kontot direkt efter a) den fjärde insättningen? b) den sjunde insättningen?

..

TALFOLJDER OCH TALET e

3053

När Albin fyllde 1 år satte hans föräldrar in 1000 kr på ett konto. Antag att föräldrarna fortsätter att sätta in 1000 kr varje gång Albin fyller år. Hur mycket finns det på kontot direkt efter insättningen på Albins 18-årsdag, om räntan hela tiden varit 7 %?

3054

Tove köpte två obligationer. Den första kostade 5000 kr och köptes i december år 2009. Räntesatsen var 6,5 % med löptiden 5 år. Den andra obligationen köptes i december 2012 och kostade 3000 kr. Dess räntesats var 6,75 % med löptiden 2 år. Hur mycket är Toves obligationer värda i december 2014?

3055

I början av sex på varandra följande år har Lina satt in 2000 kr på ett konto med räntesatsen 4,0 %. Hur mycket pengar finns det på kontot direkt efter den sista insättningen?

3056

Vid slutet av fem på varandra följande år har Reza satt in 7000 kr på ett konto med räntesatsen 5,85 %. Hur stort var beloppet på kontot ett år efter den sista insätttningen?

3057

En skola har under 5 års tid avsatt 8000 kr/år till en miljöfond. Första avsättningen var i slutet av 2008 och räntan är hela tiden 6 %. a) Hur stor är miljöfonden i slutet av 2013? b) Hur stor är miljöfonden i slutet av 2015?

Varje år ska Eva sätta in ett bestämt belopp på ett konto med räntesatsen 7 %. Hur stor måste den årliga insättningen vara, om det direkt efter den 8:e insättningen ska finnas 30 000 kr på kontot? Svara i hela kronor. Vi antar att den årliga insättningen är x kr och använder formeln al (kn -1) s = --n k-1

a1 = x

k = 1,07 och n = 8 ( antal insättningar) ger

x(l,07 8 -1) - - - - = 30000 1,07-1

x( 1,078 -1) = 30000 · 0,07 30 000 · 0,07 x= - - - - (1,078 - 1) X :::::

2924

SVAR:

2 924 kr

.. TALFOLJDER OCH TALET e

I slutet av år 2006 lånade Peter 300 000 kr till en bostadsrätt. Lånet har en bunden ränta på 9 % och löper i 8 år. Lånet är ett annuitetslån, vilket innebär att man varje gång ska betala ett lika stort belopp till banken. Detta belopp kallas annuitet, och man kan t ex betala annuiteten varje månad, varje kvartal eller varje år. Peter ska betala sina annuiteter en gång per år, så att hela lånet inkl ränta är återbetalt efter 8 år, dvs i slutet av år 2014. Bestäm annuiteten. Antag att Peters annuitet (årliga betalning) är x kr. Den annuitet som banken får redan i slutet av 2007 är värd mera för banken än t ex den annuitet som betalas 2011 (banken kan ju använda pengarna en längre tid). Annuiteten 2007 är för banken värd x · 1,097 kr eftersom det är 7 år kvar till år 2014. Annuiteten 2008 är för banken värd x · l,096 kr eftersom det är 6 år kvar till år 2014. Direkt efter den sista annuiteten år 2014 är hela lånet betalt. Den sista annuiteten är således värd x kr för banken.

I

2007 2008

2009

I X

I X

2010

2011

2012 2013

0

ar

2014

I

I

I

I

I

I

X

X

X

X

X

X

t

-

> X

~

X·

1,09

~

X·

1 09 2 '

X·

1,096

X·

1,097

Summan av annuiteterna kan skrivas x + x · 1,09 + x · 1,092 + ... + x · 1,097 8 X· (1 09 -1) Med summaformeln får vi - - '- - l, 09-1 Om Peter skulle vänta i 8 år, och först då betala igen hela lånet så måste han betala 300 000 · 1,098 ,::: 597 769

x·(l 098 -1) Vi får ekvationen ' = 300 000 · 1,09 8 1,09-1

x= X~

300 000 · 1,098 · 0,09 (1,09 8 -1) 54 202

..

SVAR:

Peter ska betala 54 202 kr varje år.

TALFOLJDER OCH TALET e

Avrunda svaren till hela kronor i uppgifterna 3058-3062. 3058

Vilket belopp ska man varje år sätta in på ett ko11to med räntesatsen 8 %, för att det efter den 5:e insättningen ska finnas 20 000 kr på kontot?

3059

Anders tog ett lån på 250 000 kr i slutet av år 2010. Lånet har en fast ränta på 9 % och ska betalas med 5 annuiteter, den första i slutet av år 2011. Hur stor blir annuiteten?

3060

Vilket belopp ska man varje år sätta in på ett konto med räntesatsen 7 % för att det direkt efter den 1O:e insättningen ska finnas 40 000 kr på kontot?

3061

Ett lån på 60 000 kr ska betalas genom annuiteter. Den första annuiteten betalas ett år efter det att lånet tagits. Hur stor ska annuiteten vara för att lånet ska vara återbetalt efter den tionde annuiteten? Lånet har en fast ränta på 9,75 %.

3062

Ett företag gör 8 lika stora årliga avsättningar till en investeringsfond med räntesatsen 7,5 %. Hur stor måste varje avsättning vara om investeringsfonden ska vara a) 200 000 kr direkt efter den sista avsättningen? b) 400 000 kr tre år efter den sista avsättningen?

3063

Bestäm x med två decimaler så att X - X· 1,15 +X · 1,15 2 - X· 1,153 + ...

+X·

1,158 = 400

Summatecken

6

I,n

Beräkna

2

n=3

6

Skrivsättet

I,n

2

innebär att vi ska bestämma summan av termerna

n 2

n=3

där n är alla heltal från 3 till och med 6. 6

I,n

2

= 32 + 4 2 + 52 + 62 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86

n=3

86

SVAR:

9

Beräkna

L,2n-, n=3

Första termen a I = 2 3 - 1 = 22 = 4 Kvoten k = 2 Antal termer n = 9 - 3 + 1 = 7 b

Lägg märke till att antalet termer är ( b - a + 1) i en summa av typen

L n=a

s

= 4(27 -1) = 508

7

2- 1 508

SVAR:

Beräkna följande summor. Avrunda till heltal. 5

3064 3065 3066 3067

a)

a)

I,2n

b) I.211

n=I

n=l

5

2

I,n3

b) L,100 · l,Sn

n=2

n=O

6

10

a) I.311-)

b) I,20 000. l,08n

n=l

n=2

12

20

a) L,3 . 40,511 n=O

..

6

b) I,800 · l,0711- 1 n =l

TALFOLJDER OCH TALET e

FUNKTIONEN y= ex Grafen visar hur folkmängden i en region ökar exponentiellt med tiden. folkmängd

Den exponentialfunktion som beskriver ökningen en tid framåt är y = 165. e o.o2x där y är folkmängden i tusental och x är tiden i år.

Y

Lägg märke till att vi här har infört "talet e"! Vi härleder talet e i nästa avsnitt.

X 0

ar

När man sysslar med befolkningsprognoser är det vanligt att man vill veta hur fort folkmängden ökar. Man vill alltså veta funktionens derivata. En exponentialfunktion som är mycket lätt att derivera är y = ex, där e == 2,7. Ett närmevärde på e får vi med räknarens tangent ex e = e1 = 2,71828 ... Definitionen på talet e är e = lim(l+h)

1 'h

== 2,71828

h--+0

1/h

e= lim(1+h)

== 2,71828

h--+0

Med hjälp av räknaren kan vi beräkna e2 , e-1 osv. Figuren visar grafen till y = ex, y samt y = 3 . e0•2 x

= e-x

Grafen till y = 3 · e x skär y -axeln i (0, 3) medan de andra graferna skär y-axeln i (0, 1). 02 •

y 8

y =e - X

6

y =3 . eD.2x

5 4

Funktionen y = 3 · e0•2x växer långsammare än y = ex, eftersom konstaten 0,2 är mindre än konstanten 1. Vi kan också se att y = e-"' och y = e-x är spegelbilder av varandra i y-axeln.

y =e x

7

X

-3 -2 -1

1

2

3

4

-1

.. TALFOLJDER OCH TALET e

5

y =ekx är växande om k > 0 och avtagande om k < 0

y =C.

ekx

skär y-axeln i punkten (0, C)

I ett köpcentrum ökar antalet kunder enligt formeln N = 150 · e0•41 där t är tiden i tim mar. Beräkna antalet kun der då b) t = 3

a) t = 0

a) N(O) = 150 · e0•4 · 0 = 150 · e0 = 150 · 1 = 150 SVAR:

150 kunder

b) N(3) = 150 · e0,4 · 3 = 150 · e1•2 = 498 SVAR:

3068

ca 500 kunder

Bestäm med tre värdesiffror.

a) eo,s 3069

b) 400 · e O, I

c) 15 · e-0 •8

Ett kapital ökar enligt formeln K = 35 000 · e0•125x kr där x är antal år efter 2010. Hur stort är kapitalet år 2018? Avrunda till tre värdesiffror.

3070 f(x) = 250 · e0•15x Bestäm med tre värdesiffror a) f( O)

3071

c) f(-2)

Värdet av en maskin minskar enligt formeln V= 580 000. e- 0, 351 där V är värdet i kronor efter t år. Bestäm maskinens värde i h ela tusentals kronor a) då t = 0

3072

b) f(3)

b) efter 4 år.

Bestämf(O) då

a) f(x) = 4 · e x c) f(x) = 135 . e-2 x + ex

..

TALFOLJDER OCH TALET e

b) f(x) = 2 + e O,Sx

3073

I vilken punkt skär följande grafer y-axeln? a) y = 2eX

c) y

3074

b) y =se-X+ 1

= 4200 .

e0 •02x

Vilka av följande funktioner är växande? a) f(x) = 0,2 . eo,osx b) y = e-x

C) Y = 25 · eO,Sx

3075 Adam har lärt sig en minnesregel för komma ihåg 10 decimaler i talet e. Han säger så här: Jag vet att jag ska börja med 2,7. Så upprepar jag ett visst årtal två gånger. Sedan tänker jag på vinklarna i en halv kvadrat. Försök att lära dig talet e med 10 decimaler.

3076

Lös ekvationen e05 x = 6 - O,Sx genom att rita graferna till y = e0,Sx och y = 6 - O,Sx

3077

I en liten fiskeby är prognosen att antalet turister ökar enligt N = 50 . e0 •26t där tär antal år efter 2000. Beräkna antalet turister avrundat till hundratal. a) år 2010

3078

b) år 2020.

Bestäm med tre värdesiffror e o.01 . 4 _

a)

3079

b)

0,1

1

0,01

Talet e kan definieras så här: 1 e= lim l +rr-'>~

n

n

1

n

Definitionen innebär att uttrycket 1 + närmar sig värdet e, n då n blir större och större. Man säger att n går mot oändligheten. Hur många korrekta decimaler blir det om man använder definitionen och bestämmer värdet på e för följande värden på n? Jämför med miniräknaren, där e = 2,71828 ... a) n = 100

b) n = 1000

c) n = 10 000

d) n = 100 000

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Euler och talet e Leonard Euler, född i Schweiz 1707 och

ansedd som en av de främsta matematikerna genom tiderna, var den förste som behandlade logaritmer som exponenter. Han var också den som införde talet e, och lyckades dessutom beräkna e med hela 23 decimaler! e = 2,718 281 828 459 045 235 360 28 ...

För att utföra beräkningen av e använde Euler sin formel: 1 1 e=1 +-+ +

1

+

1

1 1·2 1·2·3 1·2·3·4

+ ...

Ju fler termer som tas med i beräkningen desto fler korrekta decimaler får talet e. Lägg märke till att Euler även konstruerade formeln i uppgift 3079. "

Aven problemet med "Königsbergs broar" lyckades Euler lösa : Genom staden Köningsberg , nuvarande Kaliningrad i Ryssland , flyter floden Pregel. I floden, som delar staden i två delar, finns två öar. Mellan öarna och fastlandet finns, som bilden visar, 7 broar. Ett klassiskt matematiskt problem Lyder så här: "Är det möjligt att starta en promenad, passera samtliga broar bara en gång vardera och till slut komma tillbaka till startplatsen?"

" 1736 visade Euler med hjälp avs k grafteori att en sådan promenadväg Ar inte kunde finnas!

"

TALFOLJDER OCH TALET e

Härledning av talet e Som du redan vet från förra avsnittet har talet e "uppfunnits" för att man vill ha en enkel derivata till exponentialfunktioner av typen f (x) = ax. Här ska vi nu visa hur talet e kan bestämmas. Vi börjar med att bestämma derivatan till definition.

f (x) = ax med hjälp av derivatans

f' (X) = lim f (X + h)- f (X) h

h~ O

Vi skriver ändringskvoten och förenklar så långt som möjligt.

f (X+ h )- j (X)

ax+h - ax

------=

h

f

=

ax · ah - ax

ax · (ah -1)

= ----

h

h h 1 h 1 '( x ) = 1im a x · a - = a x · 1i m a -h~ o h h~O h

h

ah - 1

inte innehåller något x. Kvoten är oberoende av x. h ah -1 Alltså gäller att derivatan kan skrivas f'(x) = k · ax där k = lim - h~ o h Om k = 1 får vi en enkel derivata, 11ämligen f'(x) = ax Lägg märke till att kvoten

Vad händer med gränsvärdet då h närmar sig noll? I tabellen låter vi h bli väldigt litet och undersöker gränsvärdet för olika värden på basen a. a=2

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

a=3

0,7177 0,6956 0,6934 0,6932 0,6931

0, 1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

1,1612 1,1045 1,0992 1,0987 1,0986

Titta nu på de röda talen längst ned i tabellen. Vi vill att k ska vara 1 istället för 0,6931 eller 1,0986. -1 --= 1 ~ ah

h

ah

= 1+h ~

a

= ( 1 + h) tth 1

Nu vet vi att basen a = lim(l + h) '1i h-40

Detta gränsvärde : : : 2,713 .... ger vi namnet e.

VSV

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Vi sammanfattar: 11

Derivatan blir enkel om a = lim(l + h )

1i

Detta gränsvärde är talet e ochf(x)

har alltså derivatanf'(x)

h~O

f(x)

=ex ~

=

ex

=

ex

=ex

f '(x)

Härledning av derivatan till f (x) = e4x Vi utgår från f(x) = e4x

f (x + h) - f (x)

e 4(x+h) - e 4x -

h

e 4x+4h _ e4 x

h

h

e 4x . e4h - e 4x

- - - - - =e h

4x

e 411 - 1 h

411

f '(x) = lim e4 x • e h~O

- 1 h 411

e -l Vad händer med - - när h - O? h -1 Från tabellen ser vi att - - får gränsvärdet 4 när h - 0. h e 4h

'( ) 11m · e x = f '1 ~ 0

SLUTSATS:

..

1

4h 4x

·

e

-

h

=

e

4x

·

4 = 4 · e 4x

f(x) = e4x har derivatanf'(x) = 4 · e4x

TALFOLJDER OCH TALET e

0, 1

0,01 0,001

4,918 ... 4,081 ... 4,008 .. .

DERIVATAN AVy= ex Vi sammanfattar resultatet från fördjupningens h ärledning.

f(x)

=ex

~

f(x) = ekx

~

=ex

f '(x)

f '(x) = k . ex

Bestäm derivatan till följande funktioner. a) y =

e3x

y' = 3 . e 3x = b) y =

e -x

=

3e3x

e-lx

y' =- 1 · e-x =

-

e-x

c) y = 200 . e - 0, 4 x

y' = 200 . (-0,4) . e - 0,4 x =

-80e- 0. 4 x

Antag att en befolkning ökar enligt y = 160 . e0•03x där y är befolkningen i miljoner efter x år. Bestäm tillväxthastigheten för x = 1 och x = 10.

y' = 160 . 0,03 . e0,03x = 4,8 . e0,03x

y ' (1) = 4,8 · e0·03 · 1 = 4,8 · e0•03 :::::: 4,9 y ' (10) = 4,8 · e0•03 · 10 = 4,8 · e0·3 :::::: 6,5 SVAR:

Efter I år är tillväxthastigheten 4,9 miljoner/år. Efter 10 år är tillväxthastigheten 6,5 miljoner/år.

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = e-2x + 3x i den punkt på kurvan där x = 0. Rita funktionen och tangenten på din räknare för att kontrollera resultatet. Vi deriverar funktionen och beräknar derivatans värde för x = 0.

y = e-2x + 3x y' = -2 . e-2 x + 3 y' (O) = - 2 . e-2 · 0 + 3 = - 2 · e0 + 3 = - 2 · 1 + 3 = - 2 + 3 = 1 Tangentens lutning k = 1. Tangeringspunktens y-koordinat beräknas: y(O) = e-2 · 0 + 3 · 0 = e0 + 0 = 1 Tangeringspunkten är (0, 1) och k = 1. Vi bestämmer tangentens ekvation:

y = kx+m l=l·O+m m= 1 y=x + l SVAR:

y =X+ 1

Derivera följande funktioner. 3080

a) y = e5X + ex

b) y = 200 . e3 x

3081

a) j(x) = 3ex + e- 2 x

b) f(x) = 6,4eO,Sx

3082

a) y =

b) y= e2-

3083

Berä.k na med tre värdesiffror

X -

e-4 x

a) f ' (1) då f (x) = e2x

3084

e - 10x + e -x

b) j'(2) dåf(x) =

X - eO,Sx

En investering N (kr) ökar enligt formeln N = 240. e1,5 t där t är tiden i år. Bestäm tillväxthastigheten med två värdesiffror då a) t = O

..

b) t = 2

TALFOLJDER OCH TALET e

3085

Beräkna ett exakt värde på f'(O) då a) f(x)

3086

= sex -

6e- 3 x + e-x

= 16 . e-0,45x

Värdet av en aktiefond m (tusentals kr) minskar enligt m = 20 · e-0, 121 där t är tiden i månader. Bestäm värdet i hela tusentals kronor efter a) 5 månader

3087

b) f(x)

b) 2 år.

a) Bestäm m'(6) i förra uppgiften. b) Förklara vad svaret i a-uppgiften betyder.

3088

Beräkna f"(O) då a) f(x) = 3x + e 2x

3089

Bestäm en ekvation för tangenten till följande kurvor i den punkt på kurvorna där x = 0. a) y = e2x

3090

b) f(x) = 2800 · e-o,osx

b) y = 6x - e-2 x

c) y = 4 + e-x

Ett företags kostnader (tusentals kronor) ändras exponentiellt med tiden x månader enligt sambandet P = 900 . e-o,osx. a) Bestäm P(l l )- P( 9 ) och tolka resultatet. 2 b) Bestäm P '(lO) och tolka resultatet.

3091

Vilken lutning har grafen till f (x) = en · x där grafen skär y - axeln?

3092

Tänk dig en funktionf(x) där det gäller attf(O) = 30 och derivatan f'(x) = 12e2x. Vilken är funktionen?

3093

Funktionenf(x) = ex har en tangent i den punkt där x = a. Visa att tangenten skär x-axeln då x = a - 1.

TANKENÖT 13 På den skakiga börsen går aktien XL upp med 5 % varannan vecka och ner med 5 % varannan vecka. Med hur många procent ändras Xl:s aktiekurs på ett år (52 veckor)?

.. TALFOLJDER OCH TALET e

NATURLIGA LOGARITMER Tidigare har vi sett att alla posit iva tal kan skrivas som t iopotenser, tex 5 = 10 1g5 Exponenten kallas för talets tio-logaritm .

Låt oss nu använda talet e som bas. Exponenterna kallas då för e-logaritmer eller naturliga logaritmer. Dessa betecknas ln (b okst aven 1från logaritm, n från n aturlig). T ex gäller då att

5 = eln 5

Figuren visar grafen till y = ~ Vi ser att 5 :::::

,y

e'·6

y = EE'x

Alltså gäller att ln 5 ::::: 1,6. -

"

..J

__".1... -"-

'

I II 1-

-

,..

V

-

Då vi best äm mer In 5 med räknare får vi ln 5 ::::: 1,6094 ...

ln8 är det tal som

e ska upphöjas till för

att vi ska få talet 8. e ln8

=8

..

TA LFOLJDER OCH TALET e

/

•

•• • • • • ••

rt • • .•

•• •• •• • • • • •• • •

- ::::-

-l ,

X

Q i

.

De logaritmlagar som du lärde dig i kurs 2b gäller också för de naturliga logaritmerna.

Logaritmlagar Multiplikation

Ln (a · b) = Ln a + Ln b

ln a = Ln a - Ln b b Potensräkn ing Ln aP=p · Ln a Division

När vi löser ekvationer av typen eX = 50 använder vi oss av naturliga logaritmer. Se nästa exempel.

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. a) ex = 50 b) 4e3X - 5 = 17 4e3 = 22 x = ln50 e3X = 5,5 X ::::: 3,91 Kontrollera gärna svaret 3x = ln5,5 genom att beräkna e3•91 ln5,5 X

Definitionen på naturlig logaritm

x=

X

3 ::::: 0,568

c) e(x+4 ) = 24 000 x + 4 = In 24 000 X = ln 24 000 - 4 X ::::: 6,09

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. a)

ln x = 1,5 X= e l.S

X :::::

4,48

b) ln (0,5x + 3) = 4,5 0,5x + 3 = e4 •5 0,5x = e4•5 - 3 e4.s - 3

x= - - X""'

0,5 174

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Lös ekvationen 2x = 9 När vi logaritmerar ekvationen kan vi använda antingen tiologaritmer eller naturliga logaritmer. Vi visar båda alternativen.

lg 2x = lg 9 X·

x - In 2 = In 9

lg 2 = lg 9

lg9 x=lg2

ln9 x =ln2

x:::::3,17

x:::::3,17

3094

Beräkna med tre värdesiffror

b)

a) 2 - In 35

c)

ln6 ln3

lnlOOO 10

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 3095

a) ill X= 4,9

3096

a) ex = 400

3097

b) ln4x = 3,5

c) e0 •2 x = 5200

X

b) 3eX= 30

a) ln-=3 2

3098

a) ln (x + 5)

3099

a) 4x = 12

c) lnx = - 2

=4

c) 2e0•5x

-

9= 2

e-3r.

b) lnx - 1 = 1

c)

b) 2 3x = 850

c) 1,5-x = 0,01

b) In e-

1 c) ln -

b)

c)

3

= 0,8

Beräkna och svara exakt. 3100

a) ln e

3101

a) e102

3

2

e

e ln5

e - lnS

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 3102

a) 10e2x = 5

b) ln(x - 3,5) = 3,5

3103

a) lnlOx = - 0,2

b)

3104

a) ln(4x - 1) = 0

b) 25 · e-o,osx = 14

..

e (x + O,S)

TALFOLJDER OCH TALET e

= 100

c) ln2x + 7 = 4 c) 17 - 3 In4x = 2

c) 1 + 2e(3x- 4) = 15

3105

Lös ekvationen a) f ' (x) = 100 dåf(x) = 4000 · e0•08 x b) g'(x)

=

-3 dåg(x) = 15 · e- o,sx

Använd derivata och bestäm det minsta värdet av funktionen f(x) = e2x - 5x. Vi börjar med att bestämma derivatans nollställen.

f'(x) = 2e2x - 5 f'(x) = 0 då 2e2 e2x = 2,5 2x = In 2,5 X :,::: 0,458

X -

5 = 0, dvs 2e2x = 5

Nu använder vi andraderivatan för att undersöka om vi har en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

f"(x) = 4e2x f"(0,458) > 0, vilket innebär att f(x) har en minimipunkt. Vi beräknar detta minsta värde och får

f (0,458) = e2 · 0•458 SVAR:

3106

5 · 0,458 ,::,; 0,21

Minsta värdet är 0,21. Man kan kontrollera med räknaren att resultatet stämmer. Se bilden.

Minimum X=.45814418 Y=.2092731 7

a) Bestäm det största värdet av funktionen y = 2x - ex + 5 b) Bestäm det minsta värdet av funktionen y = 2~ - 8x ~ - x.

3107

Bestäm med hjälp av derivata minimipunkten till funktionen y = Skissa också funktionens graf.

3108

Funktionenf(x) = 2e2x - 8x + 3 har en minimipunkt. Bestäm minimipunkten med hjälp av derivatan. Kontrollera sedan svaret genom att rita funktionen på din räknare.

3109 Förklara, utan att använda räknare,

hur du kan bestämma ungefarligt värde på In 3 och lg 3 .

.. TALFOLJDER OCH TALET e

3110

Bilden visar grafen till både en exponentialfunktion y = Cekx och dess derivata. Vilken graf är funktionens och vilken är derivatans? Motivera!

3111

Bestäm med hjälp av derivata det x-värde då f(x) = x2 + e2x antar sitt minsta värde. Svara med två decimaler.

3112

Beräkna det kortaste vertikala avståndet d mellan kurvanf(x) = exoch linjen g(x) = 2x (se figur). Svara exakt.

y

·y I

j

(Np fvta C Ht 2000) 1

f(;

) =

,x _,, V

,'1--

V I / 7(X

,

I

I/

Vem leder loppet?

..

TALFOLJDER OCH TALET e

I

I

I

X X

I

DERIVATAN AV y= 2x För att kunna derivera y = 2x måste vi först skriva funktionen så att basen uttrycks i e. Eftersom 2 = eln 2 får vi

Vi deriverar på vanligt sätt och får y' = ln 2 · e111 2 · x = ln 2 . 2x

y = 2x har alltså derivatan y' = ln 2 · 2x

f (X) :

ax

:::::>

f I (X) : ln a • ax

då a > 0

Exponentialfunktioner är ofta skrivna med ändringsfaktorer. Antag tex att antalet turister på en badort ökar med 35 % per år och att det fanns 400 turister år 2012. Exponentialfunktionen y = 400 · 1,35x ger antalet turister x år efter 2012. Om vi vill veta tillväxthastigheten, måste vi derivera. Se exempel 1.

Bestäm y' då y = 400. l,3sx.

y' = 400 · ln 1,35 · 1,35x SVAR:

y' = 400 · ln 1,35 · l,35x

En bils värde i kronor minskar enligt V(t) = 140 000 · 0,7t där tär antalet år. Bestäm värdeminskningen i kr/år då t = 2. V'(t) = 140 000 · In 0,7. 0,7t

V'(2) = 140 000 · In 0,7 · 0,72 :::::: -24 500

Svaret blir negativt eftersom det är en minskning.

sv AR: Vårdeminskningen är ca 24 500 krI år.

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Skriv på formen y =

ekx.

Ange k med 2 decimaler.

3113

a) y = l,6x

b) y = l,86x

c) y = 1,97x

3114

a) y=0,81 X

b) y = 0,6x

c) y = o,99x

3115

Derivera följande funktioner. a) y = 5x

b) y = 150 · 1,3x

3116

Bestäm P'(lO) då P(t) = 200 · 1,41

3117

Bestämf'(4) dåf(x) = 60 000 · I,025x

3118

En stads befolkning N(t) ök.a r n1ed tiden tår enligt N(t) = 35 000 · 1,0281• a) Bestäm N'(t). b) Beräkna tillväxthastigheten efter 5 år.

3119

Lös ekvationen E'(t) = 3500 då E(t) = 20 000 · 1,051

3120

På en uteservering serveras kaffe. Temperaturen hos kaffet minskar enligt y = 25 + 70 · o,955x grader, där x är tiden i minuter efter det att kaffet har serverats. a) Bestäm kaffets temperatur efter 5 minuter. b) Bestäm y' . c) Bestäm temperaturminskningen då x = 5.

3121

I vilken punkt på kurvan y = 3 · 5x har tangenten lutningen 2? Ange koordinaterna med tre värdesiffror.

~om r.li1 ulil I ce r.a.r 3122 Du sätter in 15 000 kr på ett konto med 6 % ränta. Teckna ett samband som visar hur mycket pengar, y (kr), du har på kontot efter x år. Visa sedan hur du löser ekvationen y'(x) = 1200 och tolka svaret. 3123

Grafen tillg(x) = C · 2o,sx går genom punkten (4, 2) och har en tangent där kurvan skär y-axeln. Bestäm var tangenten skär x-axeln. Svara exakt .

..

TALFOLJDER OCH TALET e

••

PROBLEMLOSNING

Temperaturen y (grader) på varmt kaffe i en kaffekanna avtar enligt y = 20 + 80 · e-0,025x där x är tiden i minuter. Hur lång tid tar det för temperaturen att sjunka till 70 grader? 20 + 80 . e-O,OZSx = 70 80 . e -D,025x = 50 e - 0,025x = 0,625

- 0,025x = ln 0,625 X=

ln0,625 -0,025

:::=

19

SVAR:

Ungefär 19 minuter

Ett kapital K ökar med tiden x år enligt formeln K = 45 000 · e0 ,23x kr. Hur stor är den procentuella ökningen per år? Vi kan skriva K = 45 000 · (e0•23 )x där e0•23 är ändringsfaktorn. e0•23 :::= 1,26 Detta innebär att ökningen är ca 26 % per år. SVAR:

26 % per år

En investering Vkr förväntas öka enligt V(t) = 15000 · l,3lx där tär tiden i år. Lös ekvationen V'(t) = 20 000 och förklara vad ekvationens lösning betyder. Eftersom vi ska derivera, skriver vi forst formeln med basen e istället for 1,31. 1,31 =

e l n 1,31 :::= e0,27

V(t) = 15000 · e 0•27' V' ( t) = 15000 · 0,27 · e0•27' = 4050 . e0•271 4050 · e0•27 t = 20000 0 27t 20000 e' = - 4050 2 0,27t = In 0000 4050 t :::= 5,9 SVAR:

Efter ca 6 år ökar det investerade beloppet med 20 000 kr/år

.. TALFOLJDER OCH TALET e

3124

Antalet turister i en liten by vid havet ökade med tiden x år enligt T = 200 · e0•47x a) Hur många turister fanns det efter 5 år? b) Efter hur många år fanns det 25 000 turister? c) Efter hur lång tid kan man räkna med att antalet turister ökade med 1000 personer/år? d) Hur stor var den procentuella ökningen per år?

3125

Antag att antalet elever på en högskola ökade enligt y = 480 · eo,ossx där y är antal elever efter x år. a) Hur många elever fanns det från början? b) Hur många elever fanns det efter 4 år? c) Hur lång tid tog det för elevantalet att öka till 1000?

312 6

Värdet V (kronor) av en aktie ökar med tiden x år enligt V= 180 · e0•32x a) Hur stor är den procentuella ökningen per år? b) Bestäm V'(5) med tre värdesiffror.

3127

Priset p (kronor) för en vara minskar med tiden t (veckor) enligt p(t) = 70 + 250 · e-0,041 a) Vad kostar varan efter 3 veckor? b) Efter hur lång tid kostar varan 220 kr? c) Lös ekvationen p'(t) = -5 d) Med hur många procent minskar priset den första veckan?

3128

Antag att värdet V kronor av en aktie följer funktionen V(x) = 8,1 + e0,4x - 2x där x = antal år efter 2007. a) Vad var aktien värd år 2007? b) Vilket år var värdet minst? c) Bestäm aktiens minsta värde . ..

TALFOLJDER OCH TALET e

3129

Antalet anställda vid ett företag kan bestämmas med hjälp av formeln N(t) = 3,2 + 2t - e0•351 där N(t) = antalet anställda i tusental och t = antal år efter 2005, 0 < t < 8. a) Vilket år var antalet anställda störst? b) Hur många anställda var det som mest?

313 0

Värdet av en aktie ökar från 100 kr till 115 kr på två år. Teckna en modell där aktiens värde ökar exponentiellt med tiden. Låt y vara aktiens värde i kr och x tiden i år. a) Använd basen e b) Använd basen 10 c) Bestäm aktiens värde efter ytterligare 3 år med hjälp av modellen i uppgift a) d) Gör nu samma beräkning med hjälp av modellen i uppgift b)

3131

Grafen till en exponentialfunktion y = C · ax går genom punkterna (0, 5) och (5, 20). Bestäm y'(6).

3132

I en region minskar antalet invånare y (miljoner) enligt den matematiska modellen y = 8 · 0,98x där x = tiden i år från år 2010. a) Skriv modellen på formen y = C · ekx b) Beräkna och tolka y'(4). Svara med 3 värdesiffror. c) Vad kan man beräkna med ekvationen y'(x) = - 0,135? d) Lös ekvationen i uppgift c)

3133

Visa hur du löser den här nationella provuppgiften. En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus där temperaturen ligger kring noll grader. Temperaturen på kaffet avtar exponentiellt med tiden. Efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och vid samma tidpunkt minskar temperaturen med hastigheten 4,1 °C per timme. a) Vilken var temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen? b) Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 °C. Hur lång tid efter att man hällt kaffet i termosen är det fortfarande drickbart? (Np Ma C Vt 2005)

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Funktionen y = ex Följande uppgifter ska lösas med grafritande hjälpmedel.

1 Rita graferna y = 2ex och y = se-x i samma koordinatsystem. a) Hur många rötter har ekvationen 2e = se-x? b) Lös ekvationen och svara med 3 värdesiffror.

2 Hur många nollställen har funktionen y = e-x + x 2 - S?

3 Lös ekvationerna. Svara med 3 värdesiffror. b) e-0,Sx = 3 + X Med grafritare kan du rita grafen till både en funktion och dess derivata utan att behöva derivera. Bilden nedan visar räknarfönstren då grafen till y = x 2 - 4x och dess derivata ritas. Med en annan räknare blir fönstren naturligtvis annorlunda!

nDeriv kan du hitta under menyn MATH och Y1 under VARS, Y, VARS , Function Plot1 Plot2 Plot3 \Y1=X"2-4X Y2=n0eriv(Y1 .X.X) Y3= Y4= Y5= Y6=

X

4 Prova med din egen räknare att rita y = x 2 - 4x samt derivatan. Jämför med bilderna ovan.

5 Rita funktionsgrafen och derivatans graf. Hur många rötter har ekvationen y = y'? a) y = e-x - Sx

..

TALFOLJDER OCH TALET e

LOGARITMER

Här är det bra att kunna de tre logaritmlagarna.

1 ln (a · b) = ln a + ln b 2 ln a = lna - lnb b 3 ln ab = b · ln a

1 Visa hur du löser ekvationen ln(lS) = ln(x + 12)

2 Lös ekvationerna. a) ln (x + 10) = ln 7

b) ln ( 3x - 8) = In x

Lös följande ekvationer utan att använda räknare. 3

a) ln (x + 1) = ln 2 + ln 3x

b) In (x + 6) = ln x + In x

4

a) ln 3x = ln 12 - ln 2

b) In 10 = ln 2x - ln 5

5 Kontrollera med din räknare om 1

1

ln(l O+ 5) - ln - + - = ln 10 + ln 5. 10 5 1

1

6 Visa att In(a+ b)-ln - + - = lna+ lnb a b

7 a) Visa att Ig x = Ig e · In x Använd "formeln" i a-uppgiften och lös ekvationerna i uppgift b och c. Svara med tre värdesiffror. b) lnx = 3 - lgx

C) lg X = 2 + ln X

.. TALFOLJDER OCH TALET e

Funktionen y

=ex

Talet e ::::: 2, 718 Graferna visar att

y=

är växande om k > 0 och avtagande om k < 0

y

ekx

8

7

y = C · t xskär y -axeln

y = e -x

i punkten (0, C)

6

y = 3. e 0,2x

5 4

X

- 3 -2 - 1 -1

Naturliga logaritmer

1

2

3

Varje positivt tal kan skrivas som en potens av e. tex 5 = elnS Exponenten kallas e-logaritm eller naturlig logaritm.

Ekvationerna ex = a och ln x a

b) ln X

=

5

x = e5 X:::::

Derivatan av en exponentialfunktion

=

1,61

X :::::

148

f(x)

= eX

~

f'(x)

= eX

f(x)

= ek."

~

f'(x)

=

f(x)

= ax

~

f '(x)

= lna · ax

ktx

4

5

Nuvärde

Om kapitalet 10 000 kr ska betalas om 8 år och räntesatsen är . 10000 kr 5 % blir kapitalets nuvårde ""' 6768 kr 8 1,05

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd kan skrivas med formeln

a = a • k (n n

I)

I

där a 1 = första talet och k = kvoten 12

I den geometriska talföljden 4, 12, 36 ... är k = -

4

=3

och det 7:e talet (elementet) a7 = 4 · 36 = 2916

Summan aven geometrisk talföljd

Summan av de n första termerna i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln

a (k I) a (I - k = 1 = --'1'----k-1 1-k 11

11

-

S n

)

a 1= första termen kvoten k :t= 1 I den geometriska talföljden 3, 6, 12 ... är k = 2 och summan av de 8 första termerna EXEMPEL:

s8 =

3·(28 -1) 2-1

= 765

BLANDADE UPPGIFTER 3134

Ett företags export i miljoner kr beror av tiden t månader enligt funktionen E(t) = 8,9 · e0•051 • Hur stor är exporten efter 9 månader?

Beräkna utan räknare. 3135

a) e0

b)

3136

a) lne 1•5

b) ln-Fe

c) ln 1

e ln4

c)

e - ln2

Derivera följande funktioner.

5x - e-x

3137

a) f(x) = 2000 · ex

b) f(x)

3138

a) y = 450 . e0 ·02x

b) y = 1oe2x + e3

3139

Mormor tänker ge 15 000 kr till sitt barnbarn Alma om 4 år. Hur mycket bör Alma få, om hon istället får gåvan redan nu? Räntesatsen är 7 %. Avrunda svaret till hela kr.

3140

Bestäm summan av de tre första elementen i en geometrisk talföljd där

=

b) a6 = 800 och a7 = 400 3141

Befolkningen i en kommun antas växa enligt N = 52 000 · e0 •012t där tär tiden i år räknat från år 2000. a) Bestäm folkmängden år 2000. b) Bestäm folkmängden år 2010. Avrunda till hela tusental. c) Vilket år kan man räkna med att folkmängden blir 80 000?

3142

Kurvan y = e-3x har en tangent i den punkt där x Bestäm tangentens ekvation.

= 0.

3143

För vilket x-värde är y' = 0 då y = 12x - e4x + ln3?

3144

Bestäm y" då y = 2e-3x

3145

När Stina startade en konsultfirma blev hennes årslön under det första året endast 80 000 kr. Sedan började det gå bättre för henne, och under de följande åren ökade lönen med ca 25 % varje år. a) Hur stor var hennes lön under 4:e året? b) Hur stor blev hennes medellön under de 10 första åren? ..

TALFOLJDER OCH TALET e

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 3146

a) e2X = 3

b) ln 4x = 5

3147

a) 5e0•1x - 4 = 2

b) e 1 gäller att 2a

I

2

3

3

: 2x dx = a + 3a - 4

EX S 261

•• I en kommun förväntas folkmängden N öka med hastigheten N'(t) = 80t där t = antal år efter 2010. Hur många invånare bör kommunen ha år 2018, om folkmängden år 2010 var 24 000?

EX 2 S 244

Bestäm det blå områdets area. Svara med 2 värdesiffror om svaret måste avrundas.

E X 2, 3 S 247

a)

b)

y= 3x2

y

y y = 2e2x

X

2

©

X

>--

1

>

Beräkna 3

0

b)

a) j(4x+5) dx

J(e-o.sx - 2x) dx

EX

4, 5 S 248

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan y = x 2 - 2x och x-axeln.

EX

3 S 255

Beräkna arean av det markerade området.

EX S

-1

-1

. y

\

\

"' "'

I\.. •

'

258

y :\. x2 +- 2 I

I'

"'- "-r=~"'-

~

X

"'

Hastigheten i m/ s för ett föremål ges av formeln v( t) = e0•25t där t är tiden i sekunder. Hur långt hinner föremålet under de två första sekunderna, dvs från t = 0 till t = 2? Svara med två värdesiffror.

EX 2 S 267

Bestäm den primitiva funktionen G(t) till funktionen g(t) = (et + 3)2 så att G(O) = 3,5. Figuren visar grafen till funktionenf(x). Grafen avgränsar tillsammans med x-axeln och linjerna x = -3 och x = 3 områdena A, B och C som har areorna 7/6, 16/3 och 7/6. y

2

ff(x) dx

Bestäm

B X

-3

-3

A

2

Funktionenf(x) har en primitiv funktion F(x) = 0,5x2 + 8e0,sx. Tillf(x) finns en tangent med lutning k = 2. I vilken punkt skär tangenten y-axeln? Svara med en decimal.

Vilket är det minsta värde som funktionen g(x) kan anta? Svara med tre värdesiffror. X

3

g(x) = j(t -4)dt

x>l

1

REPETITIONSUPPGIFTER TILL KAPITEL 4 FINNS PÅ SIDAN 299.

REPETITION 1 Förenkla

3x 2 -xy

2

5001 5002

x -x a) x-l a)

1

3x X

2

+

b)

1

6x

-1

b)

3xy - y 2 4x

2x

7

3

a)

5004

Faktorisera så långt som möjligt.

(x + 1)

a) x2 + lOx + 25

b)

21

1-x 2

5003

2

+

23x

x-1

b) 2x4

-

2

5005 Skriv linjernas ekvationer på formen y = kx + m.

REPETITION SUP PG I FTER

5006

Ange följande linjers ekvationer. a) En rät linje genom punkten (2, -3) och med k = 4 b) En rät linje genom punkterna (4, -6) och (2, 8)

5007

Lös följande olikheter

a) (x - 4)(x - 1) < 0 5008

Lös ekvationerna b) 3(x + S)(x - 2) = 0

a) x 2 - 8x - 33 = 0

2x+l0y=532

5009

Lös ekvationssystemet

5010

Bestäm ekvationerna för följande linjer.

0,Sx = 132,5

a) En rät linje genom punkten (-7, -1) och parallell med linjen y = 3x + 1 b) En rät linje genom origo och parallell med linjen 8x - 2y - 7 = 0 5011

Lös olikheterna a) x 2 < 6x

5012

Bestäm nollställen till följande funktioner. a)

5013

b) 2x - 8x3 < 0

y = x 2 - 4x - 5

b) f(x) = 2x2 - 16x

Funktionenf(x) = x3 - 4x2 + x + 6 är avbildad i koordinatsystemet. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen. a) Bestäm f(2)

y

b) Lös ekvationen x 3 - 4x2 + x + 6 = 0 c) Lös olikheten x 3

-

4x2 + x + 6 > 0

d) Är det sant att f(3) > f(l)?

2

e) Beräkna algebraiskt f(-3).

5014

då p(x) = x2

b) J(x) - J(2) = 0 5015

-

lOx

då f(x) = 2 + 4x - 2x2

Lös ekvationerna a) 2x = 8x3

REPETITION SU PPG I FTE R

\ 1'

Lös följande ekvationer. a) p(x) = p(3)

I \

b) 40 - 2x2 = 2x

\

X

"\..J

'

Förenkla

x3 5016

5017

a)

a)

ax+ay b)

x 4 +x2 X

x-h

+

X

h-x

b)

axy h + x-h h-x X

5018 Förklara httr du kan skriva ett rationellt

uttryck som har värdet noll då x = 2 och som inte är definierat för x = 1.

5019

Lös följande olikheter.

a) x 2 • (5 - x) < 0 5020

b) 2x2 + 6x < 0

Lös olikheterna

a) x 2 - 4x - 12 > 0

b) 6x - 9 - x 2 < 0

5021

Förenkla (x + h) 3 - 3xh(x + h)

5022

Lös ekvationenf(x) - 2g(x) = 2 dåf(x) = 40 - Sx ochg(x) = 4x - 7

5023

För att tillverka x st bord är kostnaden k(x) kronor enligt k(x) = 2000 + 400x a) Hur mycket kostar det att tillverka 4 bord? b) Teckna ett uttryck för genomsnittskostnaden då man tillverkar x st bord. c) Vilken är genomsnittskostnaden då man tillverkar 4 bord?

5024

En funktion y = f(x) är avbildad i koordinatsystemet. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen.

y f(

')

/ "\ I

a) Bestäm nollställen till f (x)

\

'\

I

1

'

'

b) Lös olikhetenf(x) < 0

\

\

c) Lös ekvationen f(x) = 3

X

-J~

-

d) Bestäm värdemängden e) Bestäm definitionsmängden 5025

Lös ekvationerna X

a) -+ 5

X- l

4

= 2

b)

8

x+l

X

5

-+

=x-l

5026

Förenkla (y + 2) 3 - (y + 2) 2

5027

Lös olikheten 5x2 - 2x3 - 2x < 0

5028

För vilka värden på konstanten a har ekvationen x 2 + 6ax + 18a = 0 dubbelrot?

5029

Sum1nan av den första positiva heltalen 1 + 2 + 3 + ... + n n(n + 1) • kan skrivas som . Hur manga tal har man adderat om 2

summan blir 7260? 5030

5031

5032

5033

Bestäm heltalen a och b i ekvationen y = x 2 + ax + b så att motsvarande kurva blir den som ritats i figuren. Förenkla så långt som möjligt:

80h-5h3 Sh( 4+ h)

x(l 07 10 -1) Lös ekvationen ' = 650 000 . 1,07 -1 Svara med två värdesiffror.

5

21

Här gäller att f(x) = x 2 + 4x. Bestäm och förenkla uttrycket a) f(a) + f(-a)

5034

y

b) f(a + 2) -f(a)

Bestäm det största värdet av uttrycket z = 3x + y då det gäller att x ~ 0 , y > 0 och 2x + y < 14.

REPETITION SU PPG I FTE R

X

REPETITION 2 5035

Förenkla a)

y + 2y _ Y

2x 5036

3x

x

b)

y

y

x+l

x-1

Derivera funktionerna a) y = 5x2 + 9x - x 3

b) y = (2x - 5)2

x(x4

-

1)

-

5037

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = 6x - x2 i punkten (1, 4).

5038

Undersök med hjälp av derivatan i vilka intervall funktionen f(x) = x3 - 3x2 är växande.

5039

Lös olikheterna a) (x - 8)(2x + l)(x - 3) < 0

5040

1

-

b) 8x2 + 4x > 0

Figuren visar grafen till funktionen y = f(x) samt den räta linjen y = g(x). y

Lös följande uppgifter med hjälp av graferna.

V= f(x)

a) Lös ekvationen f(x) = g(x)

/

-/ ~

b) När är g(x) > O? \

\

c) Lös olikheten f(x) > g(x)

I_.....V"

d) Bestämf'(2)

-

-;

l.---

'

I/

_/

" \ 99'~ '

_,.. ......

_,_....

e) Lös olikhetenf'(x) > 0 5041

Bestämf'(- 1) då a) f(x) = 3x2

-

7x

b) f(x) = (lOx - 3) 2

Sx - x 2

5042

Bestäm största värdet av funktionen f(x)

5043

Bestäm med hjälp av derivatan eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionen y = 3x2 - x3.

5044

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (-2, -3) och är parallell med linjen 4x - 2y + 7 = 0

5045

Beräkna y-koordinaten för skärningspunkten mellan kurvan y = x 2 - 3x - 1,75 och y-axeln.

=

REPETITION SUP PG I FTER

X '

5046

Funktionen y = x 2 - 3x - 1,75 är given. Beräkna x-koordinaterna för kurvans skärningspunkter med x-axeln.

5047

Lös följande olikheter a) 25x < x 3

5048

b) 5x2

-

2x3 < 0

Bilden visar grafen till y = f(x). I vilken eller vilka av punkerna A-G gäller det att

y

E F

- I \ c

'

-

a) f(x) = 0 A

~

b) f '(x) = 0

D

X

c

c) f(x) = 1

J

d) f '(x) > 0 I

'

\ J --5B

5049

Kurvan y = 2x + x 2 + x 3 har en tangent i den punkt på kurvan där x = -1. Bestäm en ekvation för tangenten.

5050

Undersök med hjälp av derivatan i vilka intervall funktionen f(x) = 2x3 - 3x4 är avtagande.

5051

För vilka x-värden är uttrycket .. kl For ara.

X

X

2

-9

inte definierat?

5052

Bestäm med hjälp av derivatan största och minsta värdet för funktionen y = 2x3 - 3x2 i intervallet O :::; x < 2.

5053

Vilken av följande funktioner är avbildad i figuren? a) f(x) = (x + l)(x + 5)

y

b) f(x) = (x - l)(x - 5)

/ '\

c) f(x) = -(x - l)(x - 5)

J I

d) f(x) = - (1 + x)(S + x)

J

r

'

\

X

e) f(x) = (1 - x)(5 - x)

-

REPETITION SU PPG I FTE R

\

5054

En andragradsfunktion g(x) har maximipunkten (5, 1). Vilka av följande påståenden är sanna? LEDNING:

5055

Skissa grafen innan du besvarar frågan.

=1 g'(5) = 0

b) g'(l)

c)

d) g"(5) < 0

e) g(4) < 1

f) g(6) > 1

g) g'(4) är positivt

h) g'(5) > 0

Ett träds höjd (meter) kan beräknas med funktionen h(x) där x är trädets ålder i år. Vad betyder a) h(5) = 1,5

5056

5057

=0

a) g(5)

b) h'(6) = l?

'a \

Bestäm linjernas ekvationer.

Ekvationen (x - 3)(x4 - 16) = 0 har tre reella rötter.

Lös ekvationssystemet

5059

x 2 -8x Beräkna a) lim---

'\

1-G-

\/ 1/ \

/

/

/ X

-

'\

a-4b = 13

X

4x-x 3 b) l i m - x~ 2

2- x

Graferna till funktionen y = f(x) och y = g(x) är ritade i figuren. a) Bestäm nollställen till f(x). b) För vilka x gäller det att f(x) > g(x)? y

g(x)

I \

I

\

I

fI(x1.

V ~~

I

1

I

I

I""-

X

~ I

/

/

2a+5b = 13

5058

5060

b

\

Bestäm produkten av rötterna.

x~o

y

•

-

'

REPETITION SUP PG I FTER

5061

Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till y = x4 - 4x3.

5062

Använd derivatan och bestäm i vilka intervall som funktionen y = 0,25x

4

+ 5x 3

3

-12x

2

.. k. + 78 vaxer respe t1ve avtar.

5063

En rät linje går genom punkterna (2, 5) och (6, -2). Bestäm linjens ekvation på formen ax + by + c = 0.

5064

Vi har en funktionf(x) = x2 + 7x a) Bestäm funktionens nollställen. b) Beräknaf(2) -f(l) + f(3)

5065

En sten kastas rakt upp i luften. Stenens höjd h meter över marken kan beräknas ur sambandet h(t) = 1,8 + 8t - 5t2 där t = tiden i sekunder. a) Bestäm stenens hastighet vid utkastet. b) Hur högt över marken stiger stenen?

5066

Grafen visar funktionen y = g(x) a) Bestäm g'(2) b) Lös ekvationen g(x) = -5

"" "' 1

'

y

""-

""'I"'-

X

-

I

""' 5067

Bestäm nollställen till följande funktioner. a) g(x) = 4x(x - 2)(2x - 5) b) h(x) = 16x - x 5

5068

5069

5070

En tangent till kurvan y = 4x2 + 1Ox är parallell med linjen 6x + y- 3 = 0. Bestäm tangentens ekvation.

l-2x+x 2 x Förenkla +- 2 2 X -1 X +x Bestäm ekvationen för tangenten i maximipunkten till kurvan y = x3 - 6x2 + 9x.

REPETITION SU PPG I FTE R

""'

""'

5071

I figuren är kurvan y = f(x) ritad. För vilka x är f (x) och f' (x) samtidigt positiva?

·y 1-

I X >!

I

\ J 5072

Bestäm y" då b) y = (3x - 1)2

a) y = 3x2 + 7x

5073

Grafen visar derivatan y'

' y'

I/ \

a) För vilka x är y' = O? b) För vilka x är funktionen y växande? - 1-

I

\

I

\

I

'

X

I

5074

Lös olikheterna a) 3x2

-

b) 5x2

l2x < 0

-

x3 > 0

5075

Bestäm det minsta värde som funktionen g(x) = x 2 - 18x + 75 kan anta.

5076

Genom maximipunkten och minimipunkten till kurvan y = 1 - 12x + 9x2 - 2x3 går en rät linje. Bestäm en ekvation för linjen.

5077 f(x) = 60x2 5078

-

x3 och g(x) = 900x. Lös ekvationenf'(x) = g'(x)

Funktionenf(x) = ax2 + 2x + 1. Bestäm konstanten a så att f'(2) = 0.

5079

Antalet anställda vid ett företag beräknas följa funktionen A(t) = 48t - 3t2 + 340 där t = antal år efter 2005. a) Vilket år är antalet anställda maximalt? b) Hur många anställda är det då?

5080

Här gäller att f(x) = 4x2 • Beräkna a) f(3) - f(2)

b)

f (3,1)- f (2,9) 0,2 REPETITION SUP PG I FTER

5081

Tabellen visar hur temperaturen i en bastu ökar. Bestäm temperaturökningen i grader/minut a) 5 minuter efter start b) 25 minuter efter start.

Temperatur Tid (minuter) (grader)

0 10 20 30

15 35

60 90

5082

Vid försäljning av n enheter av en vara kan vinsten V(n) kkr (tusen kronor) berä.k nas med formeln V(n) = 200n - 4n2 - 1500. Beräkna den maximala vinsten.

5083

Funktionen y = x3 + ax2 + bx har en maximipunkt i (1, 3). Bestäm konstanterna a och b. y

5084

Grafen visar funktionen y = ax2 + bx + c. Bestäm konstanterna a, b och c.

\

\

I

I

-1-,- "- / X

REPETITION SU PPG I FTE R

5085

Till kurvan y = x3 kan det dras två tangenter med k = 12. Bestäm dessa tangenters ekvationer.

5086

Funktionen f(x)

5087

I vilken eller vilka av punkterna A-H nedan gäller det att f(x) · f'(x) > O?

=

x3 - 4ax. Bestäm konstanten a så att f'(5)

=

25.

y H A

F

G

X

c

5088

5089

För två tal vet man att summan är 800. Bestäm det maximala värdet på talens produkt.

x 2 -8x+7 7-x Förenkla - -2 - - + +x X

5090

-1

1+ X

En låda har höjden 5,0 cm och basytan är en rektangel med sidorna x cm och y cm. Bestäm låda.ns största möjliga volym då det gäller att x + y = 30 cm. Se figuren.

5 L _________ _ / /

//

y X

5091

.. . s(t)-s(3) • Berakna lrm da s(t) 1~3 t- 3

5092

Utgå från derivatan y'= 2x + 1 och ge två exempel på funktionen y.

5093

Bestäm det största värdet av uttrycket z = 3x + 2y för positiva värden på x och y och då det gäller att 2x + y::; 8 och 2y + x ::; 10.

=

t2 + 4t

REPETITION SUP PG I FTER

REPETITION 3 Bestäm utan räknare. 5094

a) 103

b) lg 100

c) lg 10-3

5095

a) e0

b) In e

c) 101g5

5096

a) In e4•5

b) lg0,01

c) e'n 16

5097

a) lg 1

b) In 1

c) lg 10 + ln e

5098

Lös följande ekvationer.

a) x 2 - 8x + 7 = 0

b) (2x - l)(x + 2) = 0

c) x 3 - lOOx = 0

d) 2x2

+ 30 = 80

5099

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = 6x - x 2 i den punkt på kurvan där x = 1.

5100

Vi har den geometriska talföljden 2, 6, 18, ... a) Bestäm det tionde talet. b) Bestäm summan av de tio första termerna.

5101

Bestäm med hjälp av derivatan eventuella maximi-, minimioch terrasspunkter till f(x) = x 3 - 6x2 + 9x.

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 5102

5103

5104

a) x 9 = 20

b) 1ox =2

c) lg X= 0,2

d) 1,1sx = 3

e) ex= 8

f) ln X= 2

a) 0,4x = 0,2

b) In x = - 0,6

c) e2x = 10

d) 1ox = 850

e) lg X= 1,2

f) x 0•5 = 9

Förenkla

a)

5105

2

x -100 2 100+20x+x

b)

Lös olikheten x 3 - 4x < 0

REPETITION SU PPG I FTE R

X

2

2- x

2- x

5106

Omsättningen i en butik har på 7 år ökat exponentiellt från 200 000 kr till 475 000 kr. Ange med två värdesiffror den årliga procentuella ökningen.

5107

I en kommun har befolkningen minskat med i genomsnitt 1,8 % per år under de senaste 10 åren. Ange med två värdesiffror a) den totala procentuella minskningen under de 10 åren b) hur lång tid det tar för befolkningen att minska med 60 %.

5108

Funktionen y = 2x2 + 2x har en tangent som är parallel med linjen 2x + y + 1 = 0. I vilken punkt skär tangenten x-axeln?

5109

Mari har lovat att ge sin son 10 000 kr i gåva om fem år. Vilket är nuvärdet av gåvan om räntesatsen är 8 %?

5110

I vilken punkt skär följande grafer y-axeln? a) y = 1ox

5111

b) y = 260 · l,3x

c) y = x2 + 6x - 5

En tallrik rykande het soppa svalnar enligt T = 20 + 80 · 0,9sx grader, där x är tiden i minuter sedan soppan har serverats. a) Hur varm är soppan efter 5 minuter? b) Hur länge måste man vänta innan man kan börja äta soppan, om man vill att temperaturen ska vara mindre än 65 grader?

REPETITION SUP PG I FTER

5112

Lös ekvationen y' = 0. Avrunda till en decimal. a) y = e3x

-

200x

y = X - e0 , 2 x

b)

4x - x 3 5113 Visa hur du beräknar lim- - x ~ 2 2-x

5114

Utgå från funktionenf(x) = 20x - e5x och beräkna andraderivatans värde då x = 0,2. Avrunda till heltal.

5115

Sara är x år. Hennes längd i cm beskrivs med funktionen g(x). Förklara med ord vad g(2) = 89 och g'(2) = 8 betyder.

5116

Folkmängden i en kommun ökar enligt formeln N(t) = 135 000 · 1,0175r där tär tiden i år. a) Bestäm folkmängden efter 3 år. b) Hur länge dröjer det innan folkmängden är 235 000?

5117

Grafen visar funktionen y = A · 2 kx

-

y

Bestäm konstanterna A och k. -c

y= A · 2kx

\ - 1-

\

-t l" -1

X

•

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. 5118

a) x0•1 - 20 = 30

5119

a) 32x-7=21

5120

Bestämf"(-1) då a) f(x) = x 2 (x4 + 1)

5121

c) ln 2x = 2

b) 102 + 102x = 10 3

c) 4 . e6X = 10

b) f(x) = (x2 + 3) 2

Bestäm konstanterna a och b så att kurvan y = a + bx - x 2 går genom pu11kterna (-2, 3) och (5, - 4).

REPETITION SU PPG I FTE R

5122

Nils fick låna 100 000 kr på en bank mot 12 % ränta. a) Hur mycket är Nils skyldig banken efter 5 år? b) Antag att Nils återbetalar sitt lån med 5 årliga annuiteter, där den sista betalas precis efter 5 år. Hur stor blir varje annuitet? Svara i hela kronor.

5123

5124

Produktionen i ett företag minskar med 2 % varje år. Efter hur lång tid har produktionen halverats? 3-3x 2 Beräkna lim - 2- x ""'- 1

X

+X

5125

Kurvan y = 7x - 3e4x har en tangent i den punkt på kurvan där x = 0. Beräkna x-värdet för den punkt där tangenten skär x-axeln.

5126

I en bakterieodling ökar antalet bakterier enligt y = 400 . e0•28 x där y är antalet bakterier efter x timmar. Bestäm med två värdesiffror a) ht1r många bakterier det finns efter 5 timmar b) hur lång tid det dröjer innan antalet bakterier har fördubblats c) hur stor den procentuella ökningen är per timma d) tillväxthastigheten då x = 3 timmar.

5127

Bestäm det tionde elementet i en geometrisk talföljd där a 3 = 8 och a6 = 64.

5128

I vilken av punkterna A-H i figuren gäller att y' < 0 och y < 0 samtidigt? 'Y f!3

I I

II

/

l/ 1-

j \ ~ -

' L

r

\ /

/!:' '\

/

X

/ ·,G

A J

5129

I slutet av december 2005 började Maria spara på ett pensionskonto genom att sätta in 20 000 kr. Kontot hade räntesatsen 9 %, och Maria bestämde sig för att även i fortsättningen sätta in 20 000 kr i slutet av varje år. Hur mycket fan11s det på kontot i början av januari år 2010?

REPETITION SUP PG I FTER

5130

Kalles vikt i kg beskrivs med funktionen m(x) där x är Kalles ålder. Vad betyder

b) m'(2) = 3?

a) m(2) = 14

5131

Ett bussbolag sänkte de ordinarie priserna vissa vardagar. Sänkningen var 30 % och man kallade detta för "lågpris'~ Pensionärer fick ytterligare 30 % rabatt på lågpriset. Vilket var det ordinarie biljettpriset om en pensioner betalade 345 kr för en "lågprisbiljett"?

5132

Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen y = 6x - x 2 i intervallet O < x < 4.

5133

Skissa grafen till funktioneng(x) om man vet attg(2) och g"(2) = 1.

5134

Folkmängden i en kommun beskrivs med funktionen p(x) där x är antal år efter år 2000. Skriv i ord vad som gäller om p(S) = 12 000, p'(S) = 0 och p"(S) > 0.

x2

=

0, g'(2)

-2e-3 x

5135

Bestämf"(O) då f(x)= -

5136

Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = 4x + e3x i den punkt på kurvan där x = 0.

5137

Beräkna a) f'(O) då f(x)

=

4

=

10e0 •3x - e-x

b) f '(2) då f(x) = 5x - lOe- o.sx Svara med 3 värdesiffror.

5138

Priset P(x) kr på en importvara beror av tiden x månader enligt funktionen P(x) = 28 000 · e-0 •0175x

Lös följande uppgifter med två siffrors noggrannhet. a) Vilket är priset efter 2 månader? b) Bestäm p '(2) dvs prisändringen efter 2 månader. c) När är priset 20 000 kr? d) När minskar priset med 410 kr/månad? e) Hur stor är den procentuella minskningen per månad?

5139

Ange de tre första elementen i en geometrisk talföljd där a) a4 = 60 och k = 2

REPETITION SU PPG I FTE R

b) a4 = - 297 och a 5 = 891

0

5140

Antag att ett företags resultat R i Mkr kan bestämmas med formeln R(t) = 2t - 3e0•11 där t = antal år efter 2000. a) Beräkna R(O) och R'(O) b) Förklara med ord vad du har beräknat i a-uppgiften. c) Vilket år är företagets resultat maximalt?

5141

Visa att 2y + y'= 0 då y = e- 2x

5142

På ett företag ökade antalet anställda på 2 år från 6200 personer till 6900. Teckna en modell som visar hur antalet anställda y st ökar med tiden x år om ökningen är a) linjär

b) exponentiell.

c) Hur många anställda finns det efter ytterligare 3 år enligt den exponentiella modellen? Avrunda till hela hundratal. 5143

f(x) = 2x3 - 6x2 - 2x - 2 Lös ekvationenf(x) = f'(x).

5144

Grafen visar funktionen y = ax2 + bx + c. Bestäm konstanterna a, b och c.

,y

,., " ~

\

J

\ J

-2 - 1

X •

5145

Ett lån på 200 000 kr ska återbetalas med tio annuiteter. Räntan är 12 % och den första annuiteten betalas ett år efter det att lånet togs. Bestäm annuiteten.

5146

Bestämf"(O) exakt dåf(x) = 2 · 3x

5147

På en skola kommer antalet elever y st att öka enligt y = 700 · l,09x där x = antal år efter år 2010. Skriv funktionen på formen y = C · f!x

5148

Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror. a) lg(3 - 0,2x)

=

b) 35x = 10 . gx

2,5

sx. Svara med en decimal.

5149

Lös ekvationen y' = 1 då y =

5150

I en geometrisk talföljd är det första talet 1 och det 4:e talet 27. a) Bestäm talföljdens 10:e tal. b) Beräkna summan av talföljdens tio första termer.

REPETITION SUP PG I FTER

5151

Temperaturen y (grader) i en ugn ökar enligt y = 130 · l,2x där x är tiden i minuter. a) Skriv funktionen på formen y = C · ekx b) Bestäm temperaturen efter 10 minuter c) Derivera den funktion som du har svarat med i uppgift a). d) Beräkna och tolka y'(lO). Svara med 2 värdesiffror.

5152

Två varor A och Bhar samma pris, nämligen 500 kr. För ett år sedan hade de också samma pris, men då 400 kr. Vilken blir prisskillnaden mellan varorna om ytterligare ett år, om vi förutsätter att priset på A ökar linjärt 1nedan priset på B ökar exponentiellt?

5153

Hur många element ska adderas i den geometriska talföljden a = 5 · 2" för att summan ska bli 327 680? 11

5154

(m )

En låda har mått enligt figuren.

X

Bestäm lådans maximala volym.

L ___________ _ / /

/

12 - 5x

/

3x

5155

Derivatan till funktionenfär f'(x) = x · (x - a) 2 , där a är en positiv konstant. Beskriv hur grafen till funktionen f kan se ut. (NP Ma C Vt 1998)

5156

En funktionf(x) = 4x3 + ax2 + bx är given. Bestäm konstanterna a och b då man vet att funktionen är avtagande endast för 0,5 < x < 2.

5157

Lös ekvationen 3x- 1 = 2x

5158 Visa hur du löser ekvationen

e2x - 4ex + 3 = 0.

REPETITION SU PPG I FTE R

REPETITION 4 Lös följande ekvationer. Avrunda svaren till tre värdesiffror.

5159

a) x7 = 40

5160

a) 2e3x = 15

5161

Ligger punkten (2, -3) på linjen 4x + 2y - 3 = O?

5162

Är funktionen y = x(x - 2) växande för x = 2?

5163

Ange de tre första elementen i en geometrisk talföljd där

b) lg X

=

2,9

c) 5 + ln x = 1

b) al= 2 och k = - 0,5

a) an= 3 · 2n-l

5164

Bestäm största möjliga värde på E(t) = 28 000 - 140t - 0,7t2 •

5165

Kurvan y = 6x - 5 - x2 har en tangent i maximipunkten. Beräkna koordinaterna för de punkter där tangenten skär kurvan y = x 2 + 3.

5166

Beräkna 2

a)

f

2

(3x - 2x)dx

1

b)

s 1 x 2 dx

f 1

5167

Undersök med hjälp av derivatan när funktionenf(x) = x 3 - 6x2 + 4 är växande.

5168

Beräkna s 10 i en geometrisk talföljd då a) a 1 = 3 och k = 2

b) a 1 = 5000 och k = 1,08

5169

Bestäm F(x) om F(O) = 8 ochf(x) = 6e2x

5170

Lös ekvationen

5171

Ett kapital på 8300 kr är placerat så att det växer med 12 % ränta per år. Ange med två siffrors noggrannhet hur lång tid det tar för kapitalet att växa till 23 000 kr.

5172

Priset på en vara ökar exponentiellt så att ökningen är 42 % på 5 år. Hur stor är den procentuella ökningen per år? Avrunda till två värdesiffror.

(1 - 2x)(3x + 6) · x = 0

REPETITION SUP PG I FTER

5173

För en funktion g(x) gäller att funktionsvärdet är -3 då x = 2. Desssutom gäller då x = 2 att förstaderivatan är noll och andraderivatan är negativ. Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna? a) g(2) = - 3

b) g(x) har en maximipunkt då x = 2 c) (2, O) är en maximipunkt d) g"(2) < 0

5174

Bestäm konstanterna p och r så att kurvan y = px2 + rx går genom punkterna (1, - 1) och (3, 3).

5175

Funktionenf(x) finns avbildad här bredvid. Bestäm a) f(O)

b) f( - 2)

c) f'(-1)

d) f '(O)

e) f(l)

f) ! '(3)

'Y

I"'.

""

I I

)-. '

""·"'.

I

/

f(x)

/I

5176

Bestäm funktionen p(t) då p'(t) = 2t + 1 och p(S) = 4.

5177

Figuren visar grafen till y = ax2 + bx + c.

X

I

.

Bestäm a, b och c. 1

X

5178

Bestäm konstanten k 2

så att

f(k+x)dx=9

\. J

1

5179

I denna figur är A = 5 ae och B = 6 ae.

Ay

b

Beräkna integralen

ff(x)dx. a

b a

B

5180

Lös ekvationen 4,5 · 2x- 1 = 36.

5181

Beräkna arean av det slutna område som begränsas av kurvan y = 6x - x 2, x-axeln och linjen y = 8.

REPETITION SU PPG I FTE R

X

5182

Lös olikheten 3x(x2 + 1)(5 - x)

5183

Funktionen f(x) har uppritats. Teckna ett uttryck för den skuggade arean.

~

0 y y = f(x) X

e

a

5184

f

Undersök vilka värden som uttrycket ex - x - 1 kan anta.

5185 Funktionen g(x) har en primitiv funktion

G(x) vars graf är ritad i figuren.

f

G( )

6

Visa hur du kan bestämma

I

g(x)dx

0

j

I j

/ 1-

""- .....

V X

'

1

5186

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan y = x 2 och linjen x + y = 2.

5187

Kurvan y = 3 · 2xskär linjen 2y - 3 = 0 i en punkt. Bestäm kurvans lutning i denna punkt.

5188

y

Beräkna arean av det gröna området.

y = e2x

y=5 X

5189

Förenkla uttrycket (x + 1) 3 - (x + 1)2

5190

Funktionen g(x) = 2x3 - 4x har en primitiv funktion G(x) vars minsta värde är 1. Bestäm G(4).

-

(x + 1)

2

5191

.. kl x +2x-35 x+6 - -Foren a x 2 -25 x+5 a

5192

Man vet att

f 0

a

f (x )dx = 5. Beräkna

f(1 - f(x) )dx 0

REPETITION SUP PG I FTER

5193

För funktionen f gäller att f(x + 1) = 2 · f(x) samt f(O) = 4. Beräkna f(3).

5194

En rektangel har omkretsen 15,0 cm. Då rektangeln får rotera kring en av sina sidor uppkommer en cylinder. Bestäm den maximala volymen av denna cylinder.

5195

Kurvan y = 3x2 - x3 begränsar tillsammans med x-axeln ett område. Kurvan y = 0,5x3 delar detta område i två delar. Beräkna förhållandet mellan de två delarnas areor.

5196

.

Funktionen g(x) = ~ har en primitiv funktion G(x) för vilken 3 X det gäller att G(9)

5197

2

=

-2. Bestäm G(36).

Bestäm a så att arean som begränsas av kurvan y =

1 X

2

,

x-axeln

samt linjerna x = 0,25 och x = a blir 2ae. Se figuren. y

1

y=x2

X ),,,

0,25

a

5198

Bestämf'(O) + f(l) då man vet attf'(l) + f(O) = 1 och för alla x gäller att f'(x) + f(x) = 0.

5199

Kurvan y = ax - x2 innesluter tillsammans med den positiva x-axeln ett område. Bestäm konstanten a då områdets area är 288 ae.

5200

Lös ekvationen e2x - sex + 6 = 0. 4

5201

Bestäm det blå områdets area då man vet att

Jf(x)dx = 9,5. 0

y

---

y = f(x)

REPETITION SU PPG I FTE R

l

5202

Bestäm a så att integralen

f(

x

2

2

-

ax ) dx blir så liten som möjligt.

0

Bestäm också integralens minimivärde. 5203

Befolkningen i ett land är 8,0 miljoner och ökar med 2,0 procent per år. I ett annat land är befolkningen 10,0 miljoner och där minskar befolkningen med 2,0 procent per år. Hur många år dröjer det innan de båda länderna har lika stor befolkning? a

5204

Bestäm a så att integralen

f

(6x - x

2

-

5)dx blir så stor som möjligt.

0

Bestäm också integralens maximivärde. Svara exakt.

5205

lgx+lgy=2 Lös ekvationssystemet ex = e4y

l

, ••

• e. W''

Har du tränat färdigt nu?

REPETITION SUP PG I FTER

KAPITEL 1 1001

1014 Minustecknet framför binomen behandlas fel. Det bästa är att utföra parentesmultiplikationen och samtidigt behålla parentesen. Därefter tas parentesen bort. 3 - (2x 2 + 6x - 14x - 42) = 3 - 2x2 - 6x + l 4x + 42 = - 2x2 + 8x + 45

a) 37x + 9 b) 28x - 6x2 + 3x3

1002 a) 2a - 26 b) 2y2 -3y

1003 a) - 2x - 63 b) 10a2 - 53ab

1004 a) x2 + 12x + 36 b) c) d) e) f)

1015 a) 4xh

a 2 - 18a + 81 9x2 + 24x + 16

2

1017 a) 4J°ab

3

1019 a) 10

b) 16a3 - 2a2 - 12a + 3

1028 - 2 1029 a) h + 4 b) 2a + h - 2 1030 a) X= 3,8

c) 0

1031

b) 28

b) 13 - lOx c) 2x + 9 d) 15 - 2x

1021

1008 a) 5r2 - 12r + ll3 b) 34x2 + 26

1022

c) 4x3 + 8x - 4x2 d) 2x6 + 0,25x2

c) y = 7

b) 40 d) b2 - 3b

c) t = 100

a) 4x - 4 b) 9x 4 + 36

1034 a) X = 2

b) X = 4 c) X= - 11 d) X= 6

1036 a) X= 13

b) y= 9

1037 a) X = 3

b) x =-10

b) 7

c

d)

1012 a) a6 + 14a3 b + 49b2 b) x6 - 6x5 + 9x4

e) 2

1013 a) 0,25x b) 0,6x c) 48y3 + 16y2 d) 0

d) X= 125

a) - 5 c) grad 2

c)

3

b) X = 12 d) y = 4,5

1035 a) X = 7

b)

1010 a) x4+ 16x2 + 64 b) 4y4 - 20y2 + 25

b) p = - 3,5 d) y = - 0,2

1033 a) X= 505 b) y = 210

b) 0

1024 a) Då x4-termen multi-

ger (a - b)2 = = a - 2ab + b2 och (b - a) 2 = b - 2ab + a2 • Alltså gäller att (a - b) 2 = (b - a) 2

a) X= 1 C) X = 40

A har gradtalet 3 och C har gradtalet 2.

1023 a) - 4

1009 2:a kvadreringsregeln

c) r = 850

b) s = 3 d) y = -2

1032 a) X = 75

1020 A och C är fullst ändiga.

1007 a) 2p2 + 20p + 82

FACI T

1027 tex p(x) = x2 + 1

b) 4

1018 6 + 8x + 2x2

1006 a) - 8x3

2

b) a +9a

2

b) 2a2 - 3a + 4 c) 2a2 + a + 3 d) 50a 2 - 15a + 4

-

1016 a) 2

1005 a) x + 3x - 28x b) 13a4 + 6a 5 + 5a3

1011

3

c) x 6 d) x 3 - 2x2h + 5xh 2

1 - 18x + 8lx2 4a 2 + 12ab + 9b2 49c2 - 28cx + 4x2 5

1026 a) 6

pliceras med x blir graden 4 + 1 = 5. Här multipliceras x 4 -termen med x 3 . Vi får ett polynom av grad 7. Gradtalet blir oförändrat. Vi får fler x 4 -termer men gradtalet ändras inte. Polynomet får gradtalet 5.

1025 Konstanttermen = - 3

c) X= - 4

b)x = -11 d) x= 0

1038 a) X = 0,2 b) y :::: 1,2 (y = 35/29)

1039 a) X= - 2

b) t = - 3

1040 a) 57 kr/fat b) 250 st 1041

X= 0,8

1042 a, e och f 1043 36 cm (x = 12) 1044 a) 85 mil b) ja (28,40 kr/mil och 18,20 kr/mil)

1045 p(2) = 7 1046 4 1047 45 år

1048 x = 0,5a 1049

1062

a)

a) Saknar reella rötter b) X I = 0 ' 5 X 2 = - 3 c) x 1 = x 2 = 1,4 d) X 1 == 9 X 2 == 1

x+ 5 5x

X

x+5

X

b) Differensen mellan de två areorna = = (x + 5)2 - x 2 = = x 2 + lOx + 25 - x 2 = = IOx + 25 c) Figuren ovan visar att den större kvadraten är 5x + 5x + 25 större, dvs lOx + 25. 1050

8

x

1052

a) b)

X 1.

f'(x) = k · J(x)

_)'

Om k > 1 , t ex k = 2, blir derivatan 2 gånger större än funktionen. Då gäller att röd graf= derivatan. Om O < k < 1 , blir derivatan mindre än funktionen, dvs svart graf= derivatan

3111

f'(x)=2x+2e 2 x=o är en ekvation som vi inte kan lösa analytiskt. Räknaren ger x = -0,43.

3112

d = 2 - 2ln2

3113

a) y =

e 0,47x

c) y =

e0,68x

3114

b) y =

e0,62x

a) y = e-o.21x b) y=e-o.six c) y = e- O,Olx a) y' = ln5 . 5x b) y' = 150 · ln 1,3 . l,3x

3116

P'(lO)"" 1900 (1946,52)

3117 !'(4)"" 1600 (1635,36)

tz 26

3120

a) 8 1 grader b) y' = 70 · In 0,955 . o,955x c) 2,6 grader/minut X z

- 0,548 y

z

a) 292 kr b) Efter 13 veckor c) tz 17,3 d) ca3 %

3142 y = 1 - 3x

3128 3129 3130

x =-- ln2

a) 480 elever b) 670 (674) elever c) 8,6 år

a) 9,1 kr b) år 2011 c) ca 5 kr (5,05) a) År 2010 b) 7400 personer a) y = 100. e0 •0699X b) Y = 100. l00,0303x c) 142 kr d) 142 kr

y'(6) ""7,3

3133

a) y = C·ea1 ger y' = a . eat = a . y - 4,1 = a · 76 ==> a"" -0,054 76 = C. e-o.os4 .4 ==> C"" 94,3 C är temperaturen hos kaffet då t = 0, dvs då kaffet hälldes i termosen. b) 94,3 · e- 0•0541 = 55 ger ln(55 I 94,3)

c.

t = ----

- 0,054 t"" 10 timmar

3134

14 miljoner kr

3135

a) 1

3136

a) 1,5

b) 4

b) 0,5

c) - = 0,5 2

3138

a) y' = 9. e0•0 2x b) y' = 20 . e2 x 11443kr

3140

a) 520

X z

0,27

3145

a) 156 250 kr b) ca 266 000 kr

3146

a)

X z

3147

a) b)

X z

a) b)

X z

0,549 b) x z37,l

X""

X z

b) 44 800

1,82 2,61 35,4 11,l

3149

1272 kr

3150

X z

3151

a) f'(x) = ln 2 · 2x b) f'(x) = 0,4 · ln 5 · 5o.4 x

0,245

3152 y = 170 000 . e-O,l9Bx 3153

6048

3154

X =

3155

9 . 2x = 92 16=>x = 10 dvs det 11:e talet

3156

x=

16, l

ln0,4

5

::::: - 0,18

3157 y"" - 3,5 3158

62 328 kr

3159

6 termer

3160

a) ca 2100 (2065) b) 8,9 % c) År 2018 d) År 2025

3161

a) 4,39

3162

a) y = 3e- 0•2x

b) y =

a) f'(x) = 2000 · e x b) f'(x) = 5 + e-x

3139

a) 52 000 b) 59 000 c) år 2036

3144 y" = l8e-3x

c) 0

1

3137

3143

3148

313 2 a) Y = 8 . e-o.202x b) År 2014 är befolkningsminskningen 149 000 invånare/år. c) Efter hur mån ga år som minskningen är 135 000 personer/år. d) Efter ca 9 år (8,9)

2

3124 a) ca 2100 b) ca 10 år c) Efter 5 år d) 60 % per år 3125

3127

1,24

3122 y = 15000 ' l,06X=? y = 15000. eX In 1,06 y' = 15000 • In 1,06 ' l,06X y' = 1200 ==> X z 5,44 Efter ca 5 år växer kapitalet med 1200 kr/år. 3123

3141

a) N'(t) = 35 000 · ln 1,028 · 1,0281 b) 1100 personer/år

3119

3121

a) ca 38 % (37,7 %) b) 285

3131

3115

3118

3126

b ) -3,09

e 0,22x

3163

2 1 (fler än 20,05)

3164

a) y = 2000 · l,04x b) y = 2000. e1n l.0 4 x c) y'(5) "" 95,4 Efter 5 år är ökningen 95,4 kr/år

FAC IT

3165

a) b) c) d)

ca 760 mbar 3,8 km över havet y ' = -146,885 e-0 •145 x Minskar med 110 mbar/km e) På höjden 7,4 km över havet

3166

1

21 %

3

ca 16 000 kr

4

a) 39 366 b) ca 1551,3

3168

1

3169

x

3170

X =

z

X

-0,548 och y

z

1,24

c) F(x)=

ca 34 500 kr

8

54 202 kr

9

ca 500 kunder

10

6,5 miljoner/år

11

a) x=3,91 b) X= 0,568 c) X= 6,09

12 14

a) x c) 9x8

b) a d) 10

a) x3•5 c) 2x0•5

b) x1,s

d) 4x 1•5

a) X=4,48 b) X= 174 C) X= 3,17

ca 19 minuter

5

a) y' = 3 · e

3x

y' = - 8oe-

k=-

6t 8

+e-x +C

- 9t

4004 a) G(x) = 4e0•5x b) G(x) = 8e0•5x c) G(x) = 2x 1•5 2

d) G(x)= .:._ +2e-o.sx 2

26 % per år

4005 a) F(x) =

Efter ca 6 år ökar det investerade beloppet med 20 000 kr/år

x2

x4

4

2

-+-

b) F(x) = x 4 - x3 X

2

X

c) F(x) = - - 2

a) - 256

b) ca - 323

4

d) F(x) = ex + 0,5e 2x

y = x+l y' = 400 · ln 1,35 · 1,35x

2

8 Kan skrivas: 0,75t8 - 9t

04 • x

18

+C

b) G(t) = t - l,5e 21 c) G(t) = 0,125t4 + 0,2 t5 d) t ex G(t) = 5

15

17

b)

4003 a) G(x) =

24 500 kr/år

a) k = 0,5

b) k = - 2

3

14

4

2

d)F(x) = 3x+

Minsta värdet är 0,21

16

+

e3x

13

a) 1000 a1 = 3 och a5 = 48

8

ca3,38·10

7x2

e2x

15

7

3,2

TEST3A

7

5465

x 4 + 4x2 eX + e2x

4002 a) F(x) = x 2 + eX + C b) F(x) = x 5 + 2x" + C

(- 1,l; 2,1)

f1 (x)=3 · e" -x

6

c) - 2560

3x + x 2 2x2 + x3

a) F(x) = b) F(x) = c) F(x) = d) F(x) =

ca 62 °C

6

3

4001

30 tal är mindre än 200

3167

2

7%

2

5

1

KAPITEL4

TEST 38

x2

1 4006 a) F(x) = - - - + C

2

3 ln2

b) F(x) = 5e

X

02 • x

3 --+C X

4007 a) F(x) = 10e

0 1 • x

+

8xfx 3

+C

2 b) F(x) = xfx +~ +C 3 X 4008

a) F (x) -- 1, 5e

2

x2,s

b) F(x)=

FACIT

2,5

x

6e-7x + 7 - 4eo.sx "

=0,4x-fx

4009 a) F(x) = x - 0,5x

2

2x1.s

b)F(x)=

3

+

0,4x 2 •5

+2-..fx

6

4010 a) F(x) = - - + x

1

b) F(x)= -

4011

5x

4028 a) 5,6

b) 2,74

2

I

lOx

t2 b) G(t) = - -1 0e0 •11 + 30

4013 a) F(x) = 4x + 3x - 4 b) F(x) = 4x3 + 3x2 + 20

b) 3,55

4032 a) 8,08

b) 84,4

2

4015 a) F(x) = x + 3

b

2

F(2) = 0 och F(- 1) = -3

f(-f(x))dx = = -f f(x)dx

= 0 - (- 3) = 3

b) 39

4035 a) 3,46 ae

b) a:::: 1,89

a

=

a

4034 a) 5,25

f(o - J(x))dx =

b

f j(x)dx = F(2)-F(-1) = - I

=

A

4033 Från grafen ser man att

2

4014 a) F(x) = e" + 0,5e-2x - 0,5 b) F(x) = 2eX - x 2 + e-x - 1

b

"

2

4047 10- ae 3

4036 3

,y F(x) = x + 3 2

4048 a = 18

4037 t exj(x) = 2

)

I

4049

4038 a) 4 ae

b) 4,5 ae

4039 a) 4 ae

1 b) 2- ae 6

,I

• X -

4016 a) N(t) = 60t2 + 1500 b) ca 2000 (2040)

4050

k=

.J2

1

6- ae:::::: 6,17 ae 6

4051 a) 2,5 ae

2 4040 a) 1,125 ae b) 1- ae 3

4052 15 ae

4041

4053 5,67 ae

2,53 ae

hörn ligger i x = -a och x = a. Rektangelns area = bas· höjd ~ A = 2a · a2. Den gula arean =

Ay

b) P(7) = 257 kr

Y =r 3

b) 295 kr

b) 9,33 ae

4054 Vi antar att rektangelns

2 4042 Arean= 4- ae 3

4017 a) P(t) = 60e0•21 + 14 4018 a) 95 kr

ligger under x-axeln och att f(x) har nollställe i x = a och x = b. Linjen y = 0 är överfunktion och y = f (x) är underfunktion. Då blir

= F(l) - F(- 1) =

4031 a) 42

2

' i\ .

4046 Tänk dig att arean

4030 9 ae

4012 a) G(t) = t 2 - 3t + 2

b)

4045 4 ae

-I= 3 - 0 = 3

4

a) F(x) = x3 + 1 b) F(x) = x 3 - 10

3

4044

från grafen.

fJ(x)dx

1

+

3

b) 3

4029 Avläs F(l) och F(-1)

1

2x

4027 a) 0,583

2 6- ae 3

1

X

9e0•041

+3 b) ca 19 miljoner

4019 a) N(t) =

\

4021 a) 15

y= x2 -

'/

-a

_/

b) 3,19

4023 a) 1,72 ae

b) 3,44 ae

4043

2a /2a 3

3

3

1 Arean = 1- ae

3

= _!_ VSV

3

4055 a) Negativ b) Positiv

,y

c) Negativ d) Positiv

y=x 2 +2x

4024 a) 10

b) 10

4025 a) 88 4026 a) 5,33 ae

b) 25,0 b) 9 ae

4056 a) -4

J

I \

'

lI\.

3

Förhållandet

4

b) 9

4022 a) 19,1

--

J

' 1,

4020 3,875

2a3

J

I '

'

X

b) 0

4057 b, e och f 4058 a) 6

b) -4,5

FAC IT

4059

4060

4061

I

a) -12 b) 1 c) - 11

4073 F(x) = x + 8x + 27 4074

c och e

a) - 16 I 3 b) B = 15,75 ae

4075

x2 G(x) = + - +3,5 2 2

4076

a) 33

1

b) 18

n+l

3

f x n dx =

409 2

= -n+ l

2 b) 2 3

a) 30 m 5

b)

f6dt

b) 36 ae

c) 15 m 4063 4064 4065

4066

4067

c) 0,718 ae

12,4 m

3

4079

10 000 liter Under de två första åren växer trädet med 80 cm. Under den andra timmen kör Emma 70 km. a) 285 ae b) Under de först a 5 minuterna läcker ca 285 liter vatten ut.

c) Ja

4070

ca70000personer

4081

4071

A leder med ca 4 meter

4072

a) F(x) = x 3 + 7x b) G(x) = 2,5e 2x 2

3

1)( X - 2 ) dx =

F(3) - F(- 2)

-

5- 0

=l,25

4

4

1200 liter

b) 1,25 4082 a) -11

4095 Funktionens nollställen ska "svara mot" den primitiva funktionens max och min. Bild b visar funktionenf(x).

b) -1 4083 Alvin springer 400 m

på 48 sekunder.

f l

4084 ca 5300 personer 4085 - 6

f(x)dx

= F(l)-F(O) =

()

= 3 - 5 = -2

4087 9 ae

TEST 4A

2 4088 Arean = 2 - ae 3

1

a) F(x) =

y j

'

I I

2

\

I

'

4091

12

3 X

4089 k = 7 4090

~

2

+ 4x

1,17 ae

+C 4

b) F(x) = - 4,5e-2x + C

y = 6 - x2

I

1 1- ae 6

3

2

a) F(x)=3e x +

I )

- +

5x

e 4x

'

Il

I

3

)

r

I

x

b) F(x) = 2x3 - x 4

5

a) G(x) = -

x b) H(x) = 4x.Jx

4

F(x) =

5

16 ae

6

1

7

4 ae

8

9 ae

4

c) F(x)= x +~ 3 4

2

-2

4080 4,5 ae

a) Från kl 07.00 till 10.00 ökar vattenmängden med 1500 liter. b) Från kl 10.00 till 11.00 minskar vattenmängden med 200 liter.

FACI T

f(X +

16,7

4086 7,34 ae

4068 Frå11 klockan 5 på morgonen till klockan 12 förbränns 15 m 3 olja 4069

20

4094 a) och b) F(x) .. . . . ar pr1m1t1v 4 funktion till den givna integralen ==*

4078 a) 4 ae

0

>- ==*

k = ln 4 l 2

4093 4062

1

20 > n + 1 dvs n < 19 4077 a) - 0,5

att k = - 2m)

0

1

e2x

y = 1 - 2x eller y = 2x - 1 (ska gälla

n+l

0

x3 - 2x2 - 7

9 10

b) 1

a) -5 sa

2+x3 dx = a

5001

S(-x2+ x) dx = I

!

= [-

2

+ 0,5x

= ( - ~ + 0,5a

2

J: =

(- 2+ 0,5) =

) -

2 2 = - -+0,5a + 1,5 a a

2a

2+ x 3

Sx

2

b)

X

1

b)

x-2

x -1

5003 a)

b) - 1 -

+ 3a VSV

ca 27 000 invånare

x+l

5019

2

5005 a) y= - x+2 3

5006 a) y = 4x - 11

b) y = 22 - 7x

5008 a) b)

X X

l

l

= 11 X 2 = - 3 = - 5 X2 = 2

265

b) ca 6,4 ae

5009

3

a) 36

b) ca 2,3

5010

4

1 1- ae 3

y = 3x + 20 b) y = 4x

5011

a) 0 0,5 eller -0,5 3 d) Nej, 0 < 2 e) - 60

5014

5024 a)x I = - 5x2 = -l X = 1 3 b) - 6 :s; x < - 5 eller -1 5 b) X> 2,5

b) 8

5076 y =

X -

5

5079 a) 2013

b) 532 st

5080 a) 20

b) 24

5081

a) 2 grader/minut b) 3 grader/minut

5100 a) 39 366 5101

b) 59 048

(1, 4) är maximipunkt (3, O) är minimipu11kt

5102 a) X:::: 1,39 b) x::::0,301 C) X :::: 1,58 d) e) X :::: 2,08 f)

X ::::

X ::::

7,86 7,39

5103 a) x"" 1,76 b) x::::0,549 C) X:::: 1,15 d) X:::: 2,93 e) X :::: 15,8 f) X = 81,0 5104 a)

x - 10

b) - 1

x+ l O

5105 x < - 2 eller O < x < 2 5106

13 %

5082 1000 kkr = 1 Mkr

5107 a) 17 %

5083 a = - 5 b = 7

5108

5084 a = 1 b = - 4 c = 5

5109 6806 kr

(- 1,0)

b) 50 år

5110

a) (O, 1)

b) (O, 260)

5130

c) (O, -5) 5111

a) 82 grader b) Mer än 11 min

5112

a)xzl,4

5113

Jag faktoriserar täljaren och förkortar.

b)xz8,0

x(4 - x 2 )

4x-x 3

--- 2- x

-

2- x

5131

a) DåKalleär2år väger han 14 kg b) Då Kalle är 2 år ökar hans vikt med 3 kg/år

5148

704 kr

.-

2-x = 4(2 + x)

lim 4(x + 2) = 4(2+ 2) = 16 x~2

\ J

X

0

5134 Ar 2005 antar folkmängden minimivärdet 12 000.

-68

5135

5115

Då Sara är 2 år är hon 89 cm lång och växer med 8 cm/år

5136 y = 7x + 1 5137

a) 4

a) ca 142 000 b) ca 32 år

5138

a) 27000kr b) minskar med 470 kr/mån c) efter 19 månader d) efter 10 månader e) 1,7%

5118

5119

A =5

5150

a) 19 683

5151

a) y"" 130. e0•182x b) ca 800 grader c) y' "" 23, 7 . e 0.182x d) Efter 10 minuter ökar temperaturen med ca 150 grader/minut

5152

25 kr

5153

15 st

5154

30,72 m 3

5155

Kurvan har minimipunkt för x = 0 och terrasspunkt för x = a enligt teckenschemat nedan.

-0,3 b) 29 524

•

5114

5117

X ::::

'

Sedan beräknas gränsvärdet

5116

b)

-1570 0,277

X =

,y

4(2 - x)(2+x)

X""

5149

5132 Största värde = 9 Minsta värde = 0 5133

a)

k =-1,3

- 17,5

x=O

a) X"" 9,77 · 10 16 b) xz2,32 c) X "" 3,69

5139

a) x :::: 1,52 b) x:::: 1,48 c) X "" 0,153

a) 7,5; 15; 30 b) 11, - 33, 99

5140

a) R(O) = - 3 R' (O) = 1,7 • b) Ar 2000 var resultatet - 3 Mkr men det förbättrades med 1,7 Mkr/år. c) år 2019

5120

a) 32

b) 24

5121

a = ll

b=2

5122

a) 176234kr b) 27 741 kr

5123

Efter 34 år

5124 -6 5125

X=-0,6

5126

a) 1600 b) 2,5 timmar c) 32 % d) y'(3) = ca 260 bakterier/timme

5141 5142

5143

O

f '(x)

b) 6,84

2e-2 x - 2e- 2x = 0

a) y = 6200 + 350x b) y = 6200 · 1,055x c) 8100 personer

x

=0 eller x = 5 eller

x=l

5144 a = 2 b = 4 c = 2

5127

1024

5145

35 397 kr

5128

D

5146

2 (ln3) 2

5129

119694kr

5147 y = 700 . e 0,0862x

x= a

~

f(x)

x

0

+ /

+ /

5156

a = -15 b = 12

5157

X""

2,7

5158 Sätt e x= t och lös ekvationen t2 - 4t + 3 = 0 ~ t = 1 eller t = 3 ex= l ~ x = O e x= 3 ~ X = ln3 SVAR: x = 0 eller x = ln 3 5159

a) xz 1,69 b) xz2,ll c) X "" 0,903

5160

a)

0,672 b) X"" 794 C) X :::: 0,0183

5161

Nej

5162

Ja,y' (2) = 2

5163

a) 3, 6 och 12 b) 2, - 1 och 0,5

5164

35 000

5165

(-l,4)och(l,4)

5166

a) 4

5167

x < 0 eller x > 4

5168

a) 3069 b) ca 72 433

X""

b) 0,8

FAC IT

b

5169 F(x) = 3e2x + 5

5183

5170 x 1 = -2 x2 = 0 x 3 = 0,5 5171

9,0 år

b

O

f

+

Jf(x)dx

5195 0,42

5174 p=l

r= - 2 b) 3 e) 0

5196 2

6

5185

Jg(x)dx = G(6) - G(O)

5197 a = 0,5

0

5198 - 1

Jag avläser på grafen G(6) = 6 och G(O) = 2 G(6) - G(O) = 6 - 2 = 4

c) -1 f) 2

5193 32 5194 196 cm 3

5184 ex - x -1 >0

5173 a, b och d är sanna

d) -1

Jf(x)dx - Jf(x)dx + d

5172 7,3 %

5175 a) 1

d

5199 a = 12 5200 x 1 = ln 3 x2 = ln 2

5176 p(t) = t2 + t - 26

5186 4,5 ae

5201 3,5 ae (9,5 - 6 = 3,5)

5177 a = 3 b = 6 c = l

5187 1,5 · ln2

5202 a = 3/ 4

5178 k = 7,5

5188 2 ae

5179 - 1

5189 x3 + 2x2 - 1

5180 x = 4 2 34- ae 3

5181

5182 O 4500 + 12x = 30x

X

1042 a) x-termerna "tar ut varandra'' och vi får 5 = 10. Eftersom detta är orimligt saknar ekvationen lösning. 1042 Lös ekv: 3x · (5 + x) - x 2 = 2 · ( x 2 + 6) 1043 Lös ekv: x2 + 9 2 = (x + 3) 2 2

1046

(3+$) - 6(3+$)+8 = = 9 + 2 ·3 ·

.Js + 5 -

18 - 6 ·

1047 Lös ekvationen (x + 15) 2 1051

-

.Js + 8 = 4

x2 = 1125

"Para ihop" parenteserna från vänster och använd konjugatregeln tre gånger: (x2 - l)(x2 + l)(x4 + 1) = = (x4 - l)(x4 + 1) = x 8 - 1

1056 a) 4(2x + 9) = x(x + 8) => 8x + 36 = x 2 + 8x b) 2x2 - (8 - x) = x => 2x2 = 8 1063 b) 4(6 - x) = x(x - 2)=>x2 +2x - 24 = 0 1066 1103

x(x + 1) - - - = 6 =>x = 3 2 a) Bryt ut x och använd sedan en kvadreringsregel

1117

Faktorisera täljaren

1120

b) Faktorisera täljare och nämnare

1129

a) b) c) d)

1130

Nämnaren= (a - b) 2 Täljaren= (x + 2)2 Täljaren = (a - 3b) 2 Nämnaren = (x + 5) 2

d) Täljaren skrivs (2 - x) 2

c) Bryt först ut - x

1200 a) 500 + 40x - x 2 = 0 => x = 50 eller X = - 10 b) 50 - (- 10) = 60 le 1215

c) Ekvationen x 2 - 6x + 5 = -3 ger rötterna x = 4 eller x = 2 "Avståndet mellan rötterna= tiden" =4- 2=2

1226 b) Lös motsvarande ekvation för att hitta nollställen. 1227 b) Bryt ut - 1 först. 1230 b) x(x2 + 2x + 1) = 0 har rötterna x = 0 eller x = -1 1236 a) Rit a linjen y = 12 - 2x undersök sedan hörnpunkterna. 1237 a) Rita linjerna y = 12 - 3x och y = 10 - 2x 1238 Rita linjerna y = 10 - x och y = 24 - 3x och y = 8 - 0,5x 1262 a) mgn = x(x + 1) b) mgn = (x + l)(x - 1) 1271

c) Bryt först ut x. Sedan kvadreringsregel

1277 a) Motsvarande ekvation saknar reella rötter. 1282 Rita linjerna 1284 p( l ) = 1 + 6 = 7. Lösekvx2 +6x = 7 1289 Skriv uttrycket i parentesen med bara .. en namnare 1294

x = - 3 + '19 - a Dubbelrotdå9 - a=O.

1295 a) Rita punkterna och triangeln.

c) Pythagoras sats ger d = .J~32_+_2_2 1296 Lös olikheten 500 + 19(x - 10) < 200 + 25x 1300 c) mgn = (1 + x)(l - x)

6

- 34 + .J1156 - a Dubbelrot då 1156 - a = 0

2036 a) Täljaren: x 2 + 2hx + h 2 - x 2 = = 2hx + h2 = h(2x + h) b) Efter förenkling blir täljaren: 6hx + 3h2

2054 c) Beräknaf'(4)

Skärningspunkternas x-koordinater beräknas, dvs 2 - x = x 2 - x - 2 ~ x = +2 Markera (2, O) och (- 2, 4) i ett koordinatsystem. Avståndet d beräknas med Pythagoras sats: 2

2

=m

0 = 4 + 4a+b 2

+ 2a + b

2066 b) Tänk dig en tangent till kurvan där t = 4. Vilken lutning har tangenten?

2077 a) Bestäm N(35)

b) Bestäm N'(5)

2080 T' = 340 ~ 280 + 0,04q = 340

e) Lös ekvationen 29 - 5t2 = 0 f) Beräkna s'(2,4)

2095 Parallell med y = 2x + 5 ~ k = 2 y' = 2 ~ x - 6 = 2 dvs x = 8 2103

KAPITEL 2 2008 b) Beräkna kvoten

2,5 - 2

2121

2011

tlK = K(150) - K(lOO) = 2825 - 2700 = 12

2012

tl V = 890 - 240 = 650_ -

38-21 8- 6

Bestäm maximipunktens t-koordinat 3 . l,2t2 - 4 . 0,15t3 = 0 ==:;. t2 (3,6 - 0,6t) = 0 dvs t = 0 eller t = 6

2120 a) y' = 3ax2 - 18x y'(- 1) == 0 ~ 3a + 18 == 0 dvs a == - 6

N(2,5) - N(2)

2014 a) Tabellen ger

b) y = x 6 + 2x5 + x4

2064 a) 12x - 16 = 0

2081

2

- 11 = 2

2060 a) y = x 7 - x 3

2068 Lös ekvationen 3x2 + 3x - 30 = 6

Insättning av (4, 0) och (2, - 11) i y = x 2 + ax + b ger följande ekvationssystem:

2015

2028 a) En liten del av grafen tillf(x) kan approximeras med en rät linje genom (2, 3) och med k = 4. Beräkna sedan y-värdet då x = 2,1

2043 f( l + h. ) = (1 + h) 2 + 6(1 + h)

X =

d = .J4 +4

8

2027 Tänk dig räta linjer genom punkten (2, 5) med k = 2 och med k = -1. Bestäm linjernas ekvationer och sedan f(l O) .

2040 b) Dividera alla termer med x 2• Termen 1/x går mot noll.

TEST 18 5

2017 Tänk så här: I vilka punkter gäller det att a) lut ningen= 0 b) lutningen är negativ d) kurvan skär x-axeln e) kurvan finns under x-axeln?

m/s = 8,5 m/s

a) Punktens y-värde = - 3. Lös ekvationen x 2 + 2x - 3 = -3

y' == 2ax + bx y'(3) == 0 ~ 6a + b == 0 (3, 14) ~ 9a + 3b + 50 = 14 Lös ekvationssystemet.

2127 a) Maxpunkt för x = 17, dvs utanför intervallet. Största och minsta antal fås alltså i intervallets ändpunkter. y(O) = 350 och y(15) = 635

2138

2139

2143

2144

c) y är växande när derivatagrafen är positiv, dvs när grafen ligger ovanför x-axeln . d) Pu nkten A betyder att vattenmängden i badkaret fortfarand e ökar, men ökningen är m indre eftersom vattenflödet minskar. e) I punkten Bär g' negativ, vilket betyder att vattenmängden mi11skar Bilden visar att "derivatagrafen" är en andragradskurva med maximipunkt, dvs - x!-. Derivera funktio11erna. Endast b) får - x2 • Derivering gerf'(x) = 3x2 - 12 1) Positiv koefficient för x 2 "'* derivatagrafen har minimipunkt. 2) 3x2 - 12 = 0 ===* derivatagrafen har nollställe för x = - 2 och x = 2, dvs symmetriskt krin g y-axeln .

2270 y' = 3ax2 + b samt y(l) = - 8 och y'(3) = 0 ger ekvationssystemet

3a + b = 0 a + b + l O= - 8

KAPITEL 3 3012

P - x 3 =1,5·P=*x3 =l,5

3020

X 0

kvad rater. 3032 På !:årsdagen a1 = 10 · 2 1 kr= 20 kr

På 15:årsd agen a 15 = 10 · 2 15 kr 3047

2202

V = x · 4x · (15 - x) dvs V = 60x2 - 4x3 2

Arean= x(40 - 2x) dvs A = 40x - 2x 4

y' = 1- ----:, ===* y'= 0 för X= +2

xVisa att y har m inimipunkt för x = 2.

2245 a) Bestäm när derivatagrafen skär

x-axeln. b) Bestäm när derivatagrafen är positiv, dvs ovanför x-axeln. 26 - 7

2251

a)

2253

Bestäm först t angentens ekvation. Sätt sedan y = 0 i tangentens ekvation.

m/s = 9,5 m/s

4- 2

2

2254 j'(x) = 3ax

b) Han får totalt

1(2 10 -1) 2- 1

3048 a) 26 000 . 1,1 02

kr

b) 26 000. 1,104

10

har nollställe för x = ±2, dvs alternativ celler d. Minpunkt för x = -2 innebär att derivatans "teckenväxling" ska vara - 0 + (under x -axeln, skärning, över x -axeln). För maxpu nkt är derivatans teckenväxling + 0 - (jämför med bilden till 2145, punkt B och D ). SVAR: d

2169

= 0,817 ===* X = 0,97999 ...

3030 a) 4 + 3 · 99 b) 4 + 3n = 36 =::::;, n::::::: 10,67 dvs 10 hela

2146 f'(x) är en andragradsfunktion som

2164

1

+1

2261

Parallell med y = - 6x + 3 "'* k = - 6 y' = - 6 ===* 2x - 4 = - 6 ===* X = - 1

2269

En tangent i maximipunkten har k = 0

26000(1, 10 - 1) c) 1,10- 1 3049

Ett släktträd tio generationer bakåt betyd er här summa11 av 11 generationer, d är Emma är en generation. 1(211 - 1) Antal personer = - - -

2- 1

3051

Anna ska betala 5000 · 1,1 03 + 3000 · 1,102

2000(1,046 - 1) 3055 Beräkna l, _ 1 04 3056 Värdet 1 år efter den sista insättningen

kan t ex beräknas så här: 7000(1,0585 5 -1) O - - - - - - · l, 58 5::::: 41 643 1,0585-1 3057 a) Den sista avsättningen görs i slutet av

2012. Värdet i slutet av år 2013 blir 5

8000 · 1,06(1,06 - 1) : : : : 47 803 1,06 - 1 3062 b) Direkt efter sista insättningen ska

beloppet vara

400000 3

kr.

l , O75 Om vi antar att insättningen är x kr, blir ekvatio11en: x(l,075 8 - 1)

400000

1,075 -1

1,0753

3073 3074

3079

Graferna skär y -axeln d å x = 0

4015

Beräkna funktionsvärden fört ex x = 0 och x = 1. Omf( l ) > j(O) är funktionen växande. 1

a) Räknaren ger ( 1 + 100

)JOO

::::: 2, 7048

Jämför detta värde med e ::::: 2,71828. Endast en decimal är korrekt. 3082 b) Termen e är konstant (::::: 7 ,4) och har derivatan = 0

4018

4020

a) F(x) = x 2 + C Går genom (1, 4)

=?

4 = 12 + C

a) V(t) = 0,2t3 + C ~ 120 = 0,2 · 53 + C =? C = 95 Bestäm V(O) . 1

F(x)= - - + C x3

4028

f I

2

(e x + e3 x )dx

4032 a)

0

3089 b) y ' = 6 + 2e-2x =?

k = y ' (O) = 6 + 2 · 1 = 8 y(O) = 6 · 0 - e0 = 0 - 1 = -1 dvs tangeringspunkten är (0, - 1) 3105

a) 0,08. 4000 . e0•08 x = 100 =? e0•08 x = 0,3125 b) - 7,Se-O,Sx = - 3 ~ e-O,Sx = 0,4

4037 Välj en enkel ft1nktion, t exf(x) = C =? F(x) = C · x =? C= 8

se -

4040 Ekvationen x 2 - 1 = x - x 2 ger gränserna =? x = 1 eller x = - 1 0

4043

f

x3 2 O-(x + 2x)dx = - - - x 2

3

-2

3124

c) T' = 1000 ~ 0,47 · 200 · e0 •47x = 1000

3126

a) Tillväxtfaktor = e0 •32 ::::: 1,38 dvs ökning med 38 % per år.

4047 j(x) = x 2 + C där C = - 4

Gränserna är x = 2 och x = - 2 4048

3127

d) Procentuell minskning = _p (_l)~_p_(O_)

3138

= ---0,5a - (- a) =9

p(O) 4051

3132

[-:I

d) y'(4) = -0,0202. 8e-0•0808 ::::: -0,149 miljoner. Minustecknet betyder att det minskar. 3

1

a) Integrationsgräns då 8x = 8x = - 2 =?X = 0,5 X Detta ger y = 8 · 0,5 = 4 Arean = triangel + integral =

f 2

3

b) Derivatan av e = 0 eftersom e är en konstant (::::: 20).

0,5 · 4 2

+ - 12 dX 0.5

x

b) 4x - x2 =3 ~ x 1 = 1 och x 2 = 3

3143 y ' = 12 - 4e4 x . Termen ln 3 är konstant

och har derivatan = 0.

I

4 2

3156 3167

Lös ekvationen y' = 0 (tangenten är parallell med x-axeln då k = O)

2

A = f (4x - x )dx+2 · 3+ f (4x - x )dx 0

3

4052 Gränserna bestäms med ekvatio11en

xz

y' = 180k · e-kx. Då maträtten sätts in

=0

4- -

=?

x = 4 och x = - 4

4 2 I 2 X samt 4 - - = l,Sx ~ 16 - x 2 = 6x 4

i ugnen är x = 0. Ekvationen y'(O) = 2 ger k-värdet. Bestäm sedan y(24).

Arean = summan av två integraler eller en integral minus en triangel

KAPITEL4 4005 De förenklade funktionerna: 3

2

b) J(x) = 4x - 3x d) f (x) = ex+ e2x

c) j(x) = x - 0,25

4061

[ 0,5kx

2

+ mx ] ~ = O,Sk + m = 0 5

4071

Beräkna

f

v(t)dt för A och för B.

0

4010

a) Funktionen kan skrivas

6 J(x) = x 2

1

-7

4085 Bestäm G(8) - G(2) 4089

[ 2x

2

J:

= 2k

2

-

2 · 32 = 80

4090 Beräkna arean av triangel + integral Gränserna fås av x = -

1

X

2

g(t) =e21 +6e1 +9=> G(t) = O,Se21 + 6e1 + 9t + C 4

10

5071

5078 f'(x) = 2ax + 2 => f'(2) = 4a + 2

4

[0,25t -4t ] ~ = 0,25x - 4x -(0,25 - 4 )

5081

Sök uttryckets minsta värde för x > 1

(x + h)(x2 + 2xh + h 2 )

-

3x2h - 3xh2 = . . .

5026 (y + 2)(y2 + 4y + 4) - (y2 + 4y + 4) = . . . 5028

x = - 3a + ~9a 2 -18a Dubbelrot då 9a 2 - 18a = 0 9a(a - 2) = 0 för a = 0 eller a = 2

5029 Lös ekvationen n(n + 1) = 2 · 7260 5030 (0, 5) => 0 = 52 + Sa + b (2, 1) => 1 = 22 + 2a + b Lös sedan ekvationssystemet. 5031

Faktorisera täljaren => 5h(l6 - h2 ) = = 5h(4 + h)(4 - h)

5033 a) a 2 + 4a + a2 - 4a = 2a 2 b) (a + 2) 2 + 4(a + 2) - (a 2 + 4a) = = a 2 + 4a + 4 + 4a + 8 - a 2 - 4a = = 4a + 12 5034 Rita y = 14 - 2x och undersök punkterna (0, 14) och (7, O) 5040 e) Bestäm i vilka intervall som lutninge11 är positiv. 5041

b) f(x) = 100x2

a)

35 -1 5

grader/minut=>

10 - 0 "medeltemperaturökningen" är 2 grader/minut

5083 f(l) = 3 ger 3 = 1 + a + b f'(x) = 3x2 + 2ax + b f'(l) = 0 => 0 = 3 + 2a + b

KAPITEL 5 5021

Sök de intervall där kurvan är växande och samtidigt ovanför x-axeln.

5073 b) y är växande när y' är positiv, dvs då y'-grafen ligger ovanför x-axeln.

TEST 48 7

5069 Faktorisera och förkorta först.

-

60x + 9

5065 a) Bestäm h'(O) b) I den högsta punkten är hastigheten =0,dvsh'(t)=O 5066 a) Linjens lutning k = - 1 => derivatans värde alltid = - 1, dvsg'(2) = - 1 b) Sätt in y = - 5 i linjens ekvation: y =-X+ 3 5068 Parallell med y = - 6x + 3 => k = - 6 Lös ekvationen y' = - 6 dvs 8x + 10 = -6 Detta ger tangeringspunktens x-koordinat.

5084 y' = 2ax + b y(O) = 5 ger c = 5 y(2) = 1 => 1 = 4a + 2b + c y'(2) = 0 => 0 = 4a + b 5085 y' = 3x2 Ekvatione11 3x2 = 12 ger de två tangeringspunkternas x -koordinater. 5087 Sök de punkter där det antingen gäller att bådef(x) ochf'(x) är positiva, eller att båda är negativa. T ex i H är båda positiva (grafen är ovanför x -axel11 och lutningen är positiv). 5088 Produkten P = x · y och y = 800 - x P = x(800 - x) = 800x - x 2 5089 Faktorisera och förkorta så att mgn = 1 + x 5091

Gränsvärdet = s'(3)

5093 Rita y = 8 - 2x och y = 5 - 0,Sx i första kvadranten. Undersök värdet på z i områdets hörn. 5109

Lös ekvationen x · 1,08 5 = 10 000

5111

b) 65 = 20 + 80 · o,95x => 45 = 80 · o,95x

5121

Lös det ekv.system som bildas av 3 = a - 2b - 4 och - 4 = a + Sb - 25

5123

Lös ekvationen 0,5 = 0,98x

5128

Bestäm de punkter där grafen är avtagande och under x-axeln.

5142 b) 6900 = 6200 · X 2 =>

X

"=' 1,055

5144 Sätt tex in punkterna (O, 2), (- 1, O) och (-2, 2) i ekvationen. 5147

Använd att 1,09 =

e1n 1·09

2

J= (2k+2) - (k+0,5) = 9

5150

a) Lös ekvationen 27 = 1 · k 3

5178

5153

2 Lös ekvationen l0( x - l) = 327680 2 -1

5184 Derivera och undersök extrempunkten.

5156 y' = 12x + 2ax + b Använd att y'(0,5) = 0 och y'(2) = 0 2

5157

(x - l )·lg3 = x · lg2~ (x - 1) · 0,477:::: 0,30lx

5172

Lös ekvationen x 5 = 1,42

5176

p(t) = t2 + t + c

5187 x-koordinaten ges av 3 · 2x = 1,5 Derivera sedan och bestäm lutning. 5189

(x + 1) 3 = (x + l)(x + 1) 2

5190

Minimivärdet = 1 för G(x) = 0,5x4 - 2x2 + C a

5192

5177 Använd att y(O) = l,y(-1) = -2 och y'(- 1) = 0

[kx + 0,5x

a

a

J(1 - J(x))dx = Jl dx - Jj(x)dx 0

0

0

5193 j(O + 1) = 2 · f(O) = 8 dvs J(l) = 8 osv 5200 Sätt eX = t och lös den nya ekvationen.

SAKREGISTER algebra 6 andraderivata 152 andragradsekvation 17 annuitet 204 areafunktion 245, 270 asymptot 76 avtagande 130

faktorisera 22, 35 falsk rot 72 fullständigt polynom 10 funktion 45 förenkla 30, 33 förkorta 30 förändringsfaktor 189

limes 97, 104 linjär funktion 44 linjär optim ering 70 ln X 216 logaritmlagar 217

marginalskatt 92 maximipunkt 131 bas 188 genomsnittskostnad 15 mgn 40 beroende variabel 45 geometrisk talföljd 195 minimipunkt 131 binom 7 globalt maximum 144 minsta värde 142 bryta ut 22 globalt minimum 144 m-värde 44 grafens form 136 definitionsmängd 63 gränskostnad 123 naturlig logaritm 216 gränsvärde 103 delbarhet 43 NOG-uppgift 84 derivata, polynom 116 nollställen 54 derivata, y = ex 213 index 17 normalform 19 derivata 97, 112 inflexionspunkt 174 nuvärde 190 derivatans graf 145 intäkt 159 integral 246 deriveringsregler oberoende variabel 45 polynom 115 integrand 246 integrationsgräns 246 olikhet 57, 66 diskontinuerlig 167 oändligheten 103 diskret funktion 169 intervall 57 invertera 38 distributiva lagen 7 polynom 7 dubbelrot 20, 55 polynoms grad 10 k-värde 44 potens 188 e 207,210 koefficient 7 potensft1nktio11 164 e-logaritm 216 konjugatregel 7 primitiv funktion 238 element (talföljd) 193 konstantterm 10 kontinuerlig 167 exponent 188 rationellt uttryck 29 exponentialfunktion 207 kvadreringsregler 7 riktningskoefficient 44 extrempunkt 132 kvot (talföljd) 195

336

sekant 93 största värde 142 summatecken 206 talföljd 193 talföljdens summa 198 tangent 97, 128 tangeringspunkt 128 teckenschema 66 term 7 terrasspunkt 131 underfunktion 251 undre gräns 246, 265 utbudskurva 159 variabel 7 värdemängd 63 växande 130 y-biss 152 y-prim 97 ändringskvot 88 är skilt ifrån 29 överfunktion 251 övre gräns 246, 265

Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 3b. Den riktar sig till samhällsvetenskapsoch ekonomiprogrammet, samt till estetiska och humanistiska programmet. Boken passar också för vuxenutbildning. •

Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken.

•

Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera.

•

Upptäck & visa, Kommunicera, NOG-uppgifter samt Digitala rutan ger möjlighet att träna många förmågor.

•

I facit finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter.

M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Best.nr 47-10892-3 Tryck.nr 47-10892-3 QJ

Li ber

Vl

,_;

QJ

-

..0