Matematici speciale - teorie, exemple, aplicatii [2 ed.] 973-9337-87-2 [PDF]

Zitiervorschau

MATEMATICI SPECIALE

teorie. exemple.

aplicaţii

Matematici speciale - teorie, exemple,

Editia a Il-a

aplicaţii-

MATEMATICI SPECIALE- TEORIE, EXEMPLE, APLICATII Vasile Brînzânescu, Octavian

Copyright© 1998

~Editura

Stănăşilă

ALL EDUCATIONAL S. A.

!SBN 973-9337-87-2 Toate drepturile sunt rezervate Editurii ALL EDUCATIONAL S. A.

Nici o parte din acest volum nu poate fi copiată permisiunea scrisă a Editurii ALL EDUCATIONAL S. A.

fără

Drepturile de distribuţie în străinătate aparţin în exclusivitate editurii.

Copyright© 1998 by ALL EDUCATJONAL S. A. AII rights reserved. The distribution ofthis book outside Romania" without

the written permission of ALL EDUCATIONAL S. A., is strictly prohibited.

Editura ALL EDUCATIONAL S. A.

Bucureşti

Bd. Timişoara nr. 58, sect.6 !il 413 Il 58, 413 43 21, 413 18 50 Fax: 413 05 40 Departamentul difuzare

Redactor: Coperta: Desene:

!il 413 03 29, 413 1612, 413 07 15

Viorica Fătu, Marius Stelian Stanciu Adriana Sima

PRINTED IN ROMANIA

Şomodi

Vasile

Brînzănescu

Octavian Stănăşilă

Matematici speciale -teorie, exemple, aplicatii -

Algebră liniară ... Analiză

Geometrie ... Ecuatii diferentiale ... complexă ... Spatii Hilbert... Fizică matematică

Editia a II-a

Colecţia Matematică -Fizică -Automatică,

a editurii ALL cuprinde: de analiză matematică, P. Flondor, O. Stănăşilă

1.

Lecţii

2.

Algebră liniară;

geometrie

analitică şi diferenţială,

C.Radu 3. Probleme de fizică M. Penescu 4. Fizică -Voi. I, Voi. II Cornelia Moţoc 5. Teoria sistemelor. Sinteza robustă. Metode numerice de calcul, V. Ionescu, A. Varga. Stabilizarea sistemelor liniare, A. Halanay, V. Drăgan 7. Probleme rezolvate de fizică nucleară, colectiv Cat. de Fizică Atomică şi Nucleară Facultatea de Fizică, Univ. Bucureşti

6.

8. Simularea Monte Carlo a transportului radiaţiilor, O. Sima 9. Analiză matematică - culegere de probleme- Voi. I, şi II, N. Donciu, D. Flondor 10. Probleme de

algebră liniară,

geometrie

analitică,

diferenţială şi ecuaţii diferenţiale

G. Atanasiu, Gh. Munteanu, Mihai Postolache 11. Algebră liniară- teorie şi probleme rezolvate, Teodor Stihi 12. 1000 de probleme rezolvate şi exerciţii fundamentale, Ana Niţă, Tatiana Stănăşilă, O. Stănăşilă 13. Elemente de aritmetică, Constantin Vraciu, Mariana Vraciu 14. Subiecte de licenţă, Facultatea de automatică şi Electronică, coordonatori: Nicolae Cupcea, Ion Fătu

CUPRINS PREFAŢĂ ........... ......................................................................... 7

PARTEA 1-A Capitolul/. ALGEBRĂ LINIARĂ .................................................... 9 § L Seturi de numere ......................................................................................... 9 §2. Spaţii vectoriale, baze; aplicaţii liniare şi matrice asociate ................... 29 §3. Valori şi vectori proprii; forme canonice ale matricelor ......................... 75 §4. Metode numerice în algebra liniară ....................................................... 108 Capitolul li. GEOMETRIE LINIARĂ ........ ~ .................................. 117 § L Spaţii euclidiene ...................................................................................... 117 §2. Clase de operatori pe spaţii euclidiene .................................................. 125 §3. Aplicaţii biliniare, forme pătratice ......................................................... 131 §4. Metode numerice în algebra liniară (continuare) ................................. 14 7 Capitolul III. ELEMENTE DE MA TEMA TI CĂ DISCRETĂ .......... .155 §1. Grafuri, circuite logice, automate .......................................................... 155 §2. Calculabilitate ......................................................................................... 164 §3. Cîmpuri discrete de probabilitate .......................................................... 166

PARTEA A 11- A Capitolul IV. GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ ............................... 176 Spaţii geometrice ..................................................................................... 176 §2. Curbe ........................................................................................................ 187 §3. Suprafeţe ................................................................................................. 204 §4. Varietăţi diferenţia bile ........................................................................... 225 §5. Elemente de calcul tensorial .................................................................. 230 §L

Capitolul V. SISTEME DJFERENŢIALE ...................................... 244 §1. Clase de ecuaţii şi sisteme diferenţiale .................................................. 244 §2. Sisteme diferenţiale liniare .................................................................... 270 §3. Interale prime pentru sisteme diferenţiale ........................................... 299 §4. Stabilitatea poziţiilor de echilibru ......................................................... 309 §5. Ecuaţii integrale ...................................................................................... 319 §6. Metode numerice ..................................................................................... 327

6

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

Capitolul VI. TEHNICI DE SPAŢII HILBERT............................... 334 §1. Serii Fourier generalizate şi polinoame ortogonale clasice .................. 334 §2. Caracteristici statistice ale variabilelor aleatoare ................................ 349 §3. Aplicaţii. ................................................................................................... 359

PARTEA A III- A Capitolul VII. ANALIZĂ COMPLEXĂ ........................... ............... 368 §1. Funcţii olomorfe ......... ,............................................................................ 368 §2. Integrala complexă .................................................................................. 405 §3. Analiticitate şi olomorfie ........................................................................ 417 §4. Puncte singulare, reziduuri; aplicaţii .................................................... 430 Capitolul VIII. CALCUL OPERAŢIONAL ................................... .446 §1. Semnale; timp şi frecvenţă .................................................................... .446 §2. Transformarea Laplace ........................................................................... 448 §3. Elemente de teoria dist.-ibuţiilor ............................................................ 465 §4. Transformarea Fourier ........................................................................... 482 §5. Transformarea "z" şi transformarea Fourier discretă .......................... 517 Capitolul IX. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ...................... 529 §1. Cîteva ecuaţii clasice., ............ ,.... ,........................................................... 530 §2. Ecuaţii cvasiliniare de ordinul2 ............................................................ 536 §3. Funcţii Bessel .......................................................................................... 548 §4. Soluţii fundamentale ale unor operatori diferenţiali.. .......................... 557 §5. Metode numerice pentru rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale ... 575 SUBIECTE DA TE LA PROBA SCRISĂ A EXAMENULUI DE MATEMATICI SPECIALE ........................................................... 582 BIBLIOGRAFIE ...........................................................................585 ADDENDA ................................................................................... 587

PREFATĂ '

Acest curs a fost elaborat pe baza lecţiilor de matematici speciale ţinute de autori pentru studenţii anilor I şi II ai Facultăţilor de Automatică şi Electronică din Institutul Politehnic Bucureşti. Lucrarea răspunde unor programe analitice modernizate, urmărind întărirea laturii algoritmice şi reflectând atenţia deosebită acordată atât rigorii în prezentarea noţiunilor, cât şi vigorii pe care aplicaţiile şi modelele matematice o generează. Demonstraţiile

rezultatelor de

bază

cerute de

programă

sunt complete

cadrul unor observaţii sau rezultate - anexă sunt indicate

şi

dezvoltări

doar în

ale teoriei

fără

detalii de demonstraţie. Tot din raţiuni didactice, la sfârşitul cărţii am introdus o listă de probleme date la probele scrise ale examenelor. Autorii au avut în vedere micşorarea dificultăţilor trecerii de la liceu la fa-

cultate şi de aceea au prevăzut revederea succintă a unor elemente de algebră sau geometrie analitică studiate în învăţămîntul mediu, asigurând o pantă mai lină de ascensiune spre matematica superioară. Cartea are trei părţi, corespunzînd în principiu celor trei semestre când se

predau matematicile speciale (exceptând analiza numerică). Prima parte cuprinde noţiunile şi rezultatele de bază ale algebrei lin iare şi geometriei liniare, aceasta din urmă acoperind calculul vectorial, geometria analitică şi studiul geometriei spaţiilor vectoriale înzestrate cu produs scalar. Am introdus totodată

unele elemente de matematică discretă cerute de noile programe. Partea a II-a cuprinde mai întâi unele elemente de geometrie diferenţială a curbelor şi suprafeţelor, incluzând noţiuni de calcul tensorial, orientate spre nevoile fizicii şi analizei sistemelor neliniare. Studiul ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi sistemelor diferenţiale este făcut subliniind atât aspectul geometric (câmpurile de vectori, linii de câmp etc.), cât şi cel calculatoriu - procedural (rezolvarea efectivă a unor clase de ecuaţii diferenţiale). Ultima parte a cursului tratează succint unele teorii centrale ale matema~ ticii, interesând mult pe inginer, fizician sau chimist. Analiza complexă este o teorie de mare coerenţă internă şi largă aplicabilitate, iar calculul operaţional este un permanent instrument de lucru. TransfOrmarea Fourier şi transf'or~

marea Laplace stabilesc legături profunde între domeniile - timp, frecvenţă şi domeniul complex, studiul acestor conexiuni fiind dezvoltat mai departe în cadrul teoriei matematice a sistemelor. ln ultimul capitol se dau unele elemente de bază ale teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale, care utilizează multe rezultate anterioare şi pregătesc conexiuni fireşti cu alte cursuri de specialitate.

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

8

Apel-al la

intuiţia geometrică şi

la desen

APLICAŢII

reprezintă

o sursă

matematică ine~

de aceea am căutat să frânăm unele tendinţe de algebrizare excesivă. Ştim că tehnica modernă de vârf cere stabilirea unor modele tot mai perfecţionate ale diverselor procese, ale căror legi de evoluţie se traduc în ecuaţii. Am căutat să dăm multe exemple în acest sens, subliniind locul metodelor matematice, conjugabile cu utilizarea calculatorului. Aceste metode se folosesc după ce ecuaţiile şi condiţiile iniţiale (sau la limită) au /ost formulate pe baza înţelegerii de fond a modelului fizic. Am consta,ut de altfel că difkultăţile întâmpinate de studenţi sau de tinerii absolvenţi apar nu la aplicarea matematicii ci un pas mai înainte, la stabilirea modelului fizico-teh· nicoNmatematic~ deci pe teritoriul sinuos, multidisciplinar, al "specialistului colectiv". Prin efortul exemplar al Editurii ALL, acest tratat, împreună cu lucrarea puizabilă şi

de analiză matematică", acoperă, chiar cu oarecare prisos, matematica predată în învăţământul tehnic românesc. Ne adresăm deci studenţilor-ingineri aflaţi în preajma examenelor, dar şi multor profesori, cercetători şi elevi neindi{erenţi la priceperea lor Jnatema"Lecţii

tică.

Capitolele I § 2, 3; II, V, VII au fost elaborate de V 4; III, IV, VI, VIII, IX de O. Stănăşilă.

Bucureşti,

Brinzănescu,

iar I § 1,

Autorii

aprilie '94

NOTĂ LA EDITIA A 11-A

•

Întreg conţinutul primei ediţii a fost păstrat pentru că programele analitice în

invăţământul

tehnic superior nu au fost

Bucureşti,

februarie '98

incă

modificate.

Autorii

PARTEA 1

Capitolul 1 ALGEBRĂ LINIARĂ Algebra liniară studiază multe obiecte matematice importante - spaţii vectoriale, aplicaţii liniare, operatori, forme pătratice etc., oferind totodată limbajul necesar exprimării unor idei fecunde ca "principiul suprapunerii" sau faptul că "local, orice proces este liniar". Sunt necesare câteva pregătiri, care constituie şi un liant util între cunoştinţele din liceu şi dezvoltările lor superioare.

§ 1. Seturi de numere 1.1. Numere şi funcţii Cele mai importante obiecte matematice le reprezintă numerele şi funcţiile. Se poate spune că evoluţia omului a însemnat şi evoluţia ideii de număr. În acest sens este suficient să ne gîndim puţin la momentele apariţiei, în conştiinţa matematică a oamenilor, a numerelor 1, 2, 10, 1000, O, -1,

i ,- ~ ,J2,!iJ2,

n, e, 2 + i etc.

Prin sistem de numere se înţelege o mulţime de elemente cu care se pot efectua unele operaţii (adunări, înmulţiri, operaţii logice etc.), unele dintre elemente fiind în anumite relaţii (de exemplu, relaţii de ordine). Dar aceasta nu constituie o definiţie în sensul strict al cuvîntului. În cursul cunoaşterii ştiinţifice, contemplarea oricărei porţiuni a realităţii este urmată de asocierea unui model fizic în care se precizează mărimile şi legile de evoluţie. O etapă esenţială este aceea prin care mărimilor fizice li se asociază numere, dependenţe funcţionale, ecuaţii. Calculatorul nu se poate substitui acestor etape, el fiind doar un instrument de lucru, o unealtă de mare rafinament, care prelucrează nu numai seturi de numere ci şi şiruri de simboluri prezentate convenabil. Fără a intra în detalii, indicăm definiţiile (descriptive!) ale celor mai importante sisteme de numere. a) Codul binar B = {0,1}.

10

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •!• (PARTEA 1)

Cele două elemente sînt notate şi prin alte simboluri: (nu/da); (deschis/închis); (fals/adevărat); (F/A) etc. Uneori este util să se presupună că O < 1 şi să se definească operaţiile de adunare şi înmulţire în 13 după regulile cunoscute: O+ O= O, O+ 1 = 1, 1 +O= 1, 1 + 1 =O; O · O= O, O· 1 =O, 1 · O= O, 1 · 1 = 1. Astfel, x = x şi 2x = O, pentru orice x E 13 (punînd x 2 = x · x şi 2x = x + x). b) Sistemul numerelor naturale IN= {O, 1, 2, ... , n, ... }. Pentru orice n ;o: O vom nota Sn = 10, 1, ... , n}. Aşadar, 2

S 0 cS1 cS2 c ... şiiN= USn ~o

Mulţimea IN are o proprietate specifică, anume admite un element iniţial O (zero) şi orice element x admite un succesor, x+ 1. De aceea IN este prototipul sistemelor dinamice iterative, definite printr-o iniţializare şi prin recurenţă pas cu pas. Orice algoritm este strîns legat de indicarea unor date iniţiale şi de parcurgerea recurentă a unor instrucţiuni, astfel încît teoria algoritmilor se dezvoltă în conexiune intimă cu studiul sistemului numerelor naturale. Nu insistăm asupra introducerii operaţiilor algebrice uzuale (adunare, înmulţire, ridicare la putere etc.) în IN sau asupra relaţiei de ordine ($) sau divizibilitate ( ). Merită să subliniem că S 1 = 10, 1} dar S 1 13, deoarece 1+1 = 2 în IN, în timp ce 1+1 =O în 13. c) Mulţimea numerelor întregi Z = {... , -2, -1, O, 1, 2, ... } şi mulţimea numerelor raţionale IQ = lplq 1 p, q E Z, q > O} au fost studiate în detaliu în liceu. Reamintim că Z este un inel comutativ şi IQ este un corp comutativ (relativ la operaţiile de adunare şi înmulţire uzuale). d) Prin sistem de numere reale se înţelege orice corp comutativ IR (deci în 1R sînt definite operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire cu elemente nenule, cu proprietăţile bine cunoscute din liceu), pe care în plus este definită o relaţie de ordine$ (reflexivă, tranzitivă, antisimetrică şi astfel încît pentru orice x,y,zE IR, x:$y=:>x+z:$y+z ; Os;x, 0:$y:::::>O::;xy şi în plus, pentru orice x, y E IR avem x 5 y sau y 5 x); de asemenea se presupune că orice submulţime nevidă majorată a lui IR admite un cel mai mic majorant. Exemplul tipic al unui sistem de numere reale îl constituie mulţimea IR a tuturor fracţiilor zecimale infinite. Numerele reale au şi o "definiţie" fizică, ca măsuri ale unor mărimi fizice din realitate. Defectul acesteia este dublu: anume, nu se precizează ce sînt măsurile, mărimile, realîtatea etc. şi totodată nu permite dezvoltarea calculului cu numere (ea are totuşi meritul de a circumscrie natura modelatoare a numerelor reale, atîta timp cît orice mărime fizică - temperatură, pre~iune, timp, viteză etc., se exprimă prin

*

ALGEBRĂ LINIARĂ

11

numere reale). Din liceu este cunoscută definiţia mulţimii \C a numerelor complexe (C; IR 2 , cu operaţiile respective). Lanţul de inel uzi uni IN c Z c 1Q c IR c \C c ... exprimă lărgirea noţiunii de număr. Trecerea de la IN la Z (respectiv de la Z la IQ) este motivată de nevoia de a rezolva ecuaţii de forma a + x ; b cu a, b E IN (respectiv a unor ecuaţii de tipul ax; b cu a, b E Z, a 0). Trecerea de la IQ la IR este justificată in geometrie şi in analiza matematică ( J2E IRIIQ) iar considerarea mulţimii \C este legată în primul rînd de posibilitatea rezolvării ecuaţiilor algebrice (de exemplu, ecuaţia x 2 - 2x + 2 ; O nu are soluţii in 1R dar are soluţiile x 1,2 ; 1 ± i).

*

OBSERVAŢIE. Indicăm o legătură între numerele reale şi numerele naturale. Să presupunem că av a 2, ... , ak reprezintă un şir finit de numere reale şi pozitive. Considerînd reprezentările lor zecimale şi limitînd lungimea acestora atît cît permite registrul de memorie, numerele respective pot fi înlocuite cu trunchieri (rotunjiri) ale lor

ai

a2

as

a2,

a~

2

az

as

2

aM 1 M az

ak = ak,

al

a2 k

as k

aM k

a! =al, az

z::::.

1

k

1

1

Înmulţind toate aceste numere cu !oM, se obţin numere naturale. Deci !oM a 1 ; bv ... , loM ak ; bk cu bv ... , bk naturale. Aşadar, numerele reale av ... , ak sînt puse în corespondenţă cu numerele naturale b 1, ... , bk, ceea ce sugerează

o legătură între date continue (în număr finit) şi date discrete. Fie A o mulţime oarecare. Se notează: A 0 ; Il, mulţimea finită formată dintr-un singur element, notat A; A 1 ;A;

A 2 ;AxA; {(av a 2) 1 a 1 , a 2 EAl, mulţimea perechilor ordonate de elemente din A Pentru orice întreg n ?: 1 se defineşte mulţimea sistemelor ordonate de cîte n elemente din A, An; {(av a 2, ... ,an) 1 av a 2 , ... ,an EA}. DEFINIŢIA!.!.

elemente

din

Orice element al mulţimii An (n?: 1), se numeşte set de n A. Prin definiţie, două elemente x = (x 1 , x 2 , ... , xn),

y; (yl> y 2 , ... , Yn) din An se (Aşadar,

consideră

egale

dacă

x 1 ; Yv x 2 ; Y2, ... , xn ; Yn

o egalitate în An revine lan egalităţi în A). Submulţimile lui An, n?: 1, se mai numesc relaţii n-are pe mulţimea A De exemplu, relaţia de ordine pe 1R este prin definiţie relaţia binară

12

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

f(x, y) E JR 2 1x o>y}. În mod similar, f(x, y, z) E IN 3 1 z ~ x-ly} este o relaţie

tern ară pe IN]. Uneori seturile de n elemente din A se mai numesc cuvinte de lungime n, formate cu litere din A. Notăm A' ~u A" (mulţimea tuturor cuvintelor cu

"""

litere din A). EXEMPLE.

1) 1132 ~ {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

2) JR 2 ~ JR x IR se identifică prin planul cartezian al geometriei analitice.

3) 113n, JRn, INn sint mulţimi de seturi de cite n elemente din 113 (respectiv din 1R sau IN). Elementele lui 113n se mai numesc cuvinte binare de lungime n

(sau seturi de n biţi); numărul acestora este 2n. De exemplu, mulţimea 113 8 a octeţilor are 28 ~ 256 elemente. DEFINIŢIA1.2. Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte corespondenţă (sau relaţie binară) de la A la B orice triplet p ~(A, B, R), unde R cA x B este o submulţime, numită graficul lui p. Se mai scrie p: A --7 B. În loc de (x, y) E R se mai scrie x --"-P--;y (sau x p y sau chiar x R y) şi se citeşte: x este in relaţia p cu y. În situaţii concrete relaţiile sint notate prin simboluri specifice o>, c, __71), rezultă că b = b'. Aici Dl~ {x EA 13 y E B, x _ _[__" y} şi se scrie y = f'(x) in loc de x

y.

Funcţia parţială

definită) dacă (aplicaţiilor)

f': A -t B se

numeşte totală

(sau

aplicaţie

peste tot

Dr= A. Vom nota cu sA mulţimea tuturor funcţiilor totale

de la A la B. Dacă i :A --7 B este o aplicaţie injectivă, atunci i(A), x --7 i(x) este bijectivă şi orice element x E A se poate identifica prin ilx), iar A poate fi atunci considerată ca o submulţime a lui B. aplicaţia

A

--7

ALGEBRĂ LINIARĂ

13

M este o mulţime şi n 2: 1 este un întreg, se numeşte operaţie algebrică n-ară pe M orice funcţie parţială w : M" -? M. Dacă nu se specifică contrariul, vom considera doar operaţii algebrice peste tot definite, numite şi legi de compoziţie. Operaţiile algebrice unare sînt funcţii M-? M, iar operaţiile binare, funcţii M'2-? M. Se pot considera şi operaţii nulare ~ = {A} -? M; o astfel de operaţie revine la fixarea unui element din M. O aplicaţie p : M" -? 113 (n 2: 1) se numeşte predicat n-ar pe mulţimea M, Dacă

iar mulţimea M P

lui p.

= {x E

Corespondenţele,

M"lp(x)

= 1} se

funcţiile,

numeşte mulţimea de adevăr a

operaţiile

şi

predicatele sînt

noţiuni

utilizate curent. Vom nota cu Rei M mulţimea relaţiilor binare pe o mulţime M deci Rei M = r7'(M x M). Reamintim că o relaţie pE Rei M, p = (M, M, R), se x; simetrică dacă \;/ x, y E M, P numeşte reflexivă dacă \;/ x E M, x x R y şi y R x implică x = y; M, x R y => y R x; antisimetrică dacă \;/ x, y E tranzitivă dacă \;/ x, y, z E M, x R y şi y R z implică x R z [deci p o pc p; întradevăr, \;/(x, z) E p o p, 3 y E M astfel încît x R y, y R z deci x R z şi (x, z) E p). ' Orice relaţie refl '"''vă şi tranzitivă se numeşte relaţie de preordine. O preordine antisimetrică se numeşte ordine parţială, iar o preordine simetrică se numeşte relaţie de echivalenţă. Orice pereche (M, S) formată dintr-o mulţime M şi o relaţie de ordine parţială S pe M se numeşte mulţime ordonată. Dacă (N, f(u) < f(v) se numeşte izotonă (sau monoton crescătoare). Fie acum p = ''=" o relaţie de echivalenţă pe o mulţime nevidă M. Pentru orice element x E M se poate considera clasa de echivalenţă a lui x, x={yEMi y=x!.

Este evident că \;/ x, y E M, avem x E x ŞI (x =y) H x = y. Mulţimea tuturor claselor x, x E M se notează M/p şi se numeşte mnlţimea · cît a lui M prin relaţia p. Se poate defini aplicaţia p : M-? Mfp, x-? x (numită surjecţia canonică).

Ideea principală în considerare a mulţimii - cît este aceea de a înlocui relaţia de echi· alenţă pe M printr-o relaţie de egalitate pe mulţimea M/p. Vom ilustra această idee în cazul construcţiilor sistemelor de numere Z şi Q pornind de la IN. Multe alte construcţii matematice (de exemplu, construcţia lui Cantor a lui 1R cu ajutorul daselor de echivalenţă de şiruri de numere din Q, vecto~ii liberi ca fiind clase de echipolenţă ale segmentelo r orientate, cardinalelh de mulţimi prin clasele de echipotenţă, completare a unui spaţiu metric. etc sînt obţinute trecînd la mulţimi - cît, convenabil definite).

14

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

Am definit anterior diversele sisteme de numere, prin explicitarea elementelor lor. De exemplu, Z ~ !... , -2, -1, O, 1, 2, ... }; dar o analiză atentă arată că numerele întregi negative nu sînt convenabil introduse. Această inadvertenţă logică poate fi evitată, cu preţul unor construcţii suplimentare, în modul următor: pornind de la mulţimea IN, definim pe IN x IN următoarea relaţie binară:

Se

verifică

imediat

(x, y) p (x', y') H x + y' ~ x' + y. că p este o relaţie de echivalenţă. Notăm cu

Z' ~IN x IN /p, mulţimea claselor (x:y) de perechi de numere naturale. are o structură de inel comutativ, relativ la operaţiile definite prin

Această mulţime

~

~

~

(x, y )+ (x', y') ~ (x + x', y + y'), cx:-y).

cx':Y'J ~ (xx' + yy':xy'+ xy),

o~

co:-o) şi 1 ~ cCOJ

Aplicaţia i: IN _. Z', x _. (x-;'O) este injectivă şi ca atare, orice număr natural x poate fi identificat prin clasa perechii (x:-0). În plus, aplicaţia f: 7!/ _. Z ~ {... ,-2,-1,0,1,2, ... }, (x:-y) _. x- y este bine defmită [pentru că dacă

(x:-y)~ (x';'"y'), este

bijectivă şi

atunci (x, y) p (x', y') deci x + y' ~ x' + y adică x- y ~ x'- y'], chiar un izomorfism de inele deci Z' se identifică prin Z; în

particular, numărul întreg -n, n:?: 1 se identifică prin (0~) şi astfel dispare inadvertenţa logică, dar pe seama îndepărtării de intuiţie. În mod similar, pe mulţimea A~ Z x (Z 1 !Ol) se poate considera următoarea relaţie de echivalenţă: (x, y) p 1 (x', y') H xy' ~ x'y şi mulţimea

- cît

corespunzătoare

A/p 1 are o

izomorf cu IQ; numărul raţional P q

structură

de corp comutativ

q" O se identifică prin clasa de

echivalenţă (p--;q). 1.2. Vectorii multidimens ionali, polinoamele seturi de numere

şi

matricele ca

În cele ce urmează, vom considera diverse seturi de numere, organizate, în mod convenabil, cu structuri algebrice utilizate frecvent în probleme teoretice sau aplicative. a) Spaţiul IRn (n :?: 1) este mulţimea tuturor seturilor ordonate de n numere reale, numite şi vectori aritmetici n-dimensiona li: x = (x 1, x 2 , ... , xn); xi E lR, 1 ~ i :$ n.

ALGEBRĂ LINIARĂ

Prin

definiţie (simbolizată

prin

notaţia&) două

15

elemente x; (x 1 , x 2 , ... , xn),

y; (y 1 ,y 2 , ... ,yn) din IRn se consideră egale dacă ele au aceleaşi componente;

mai precis, x = y

x 1 = Yv x2 = Yz, ... , xn = Yw

fi

Aşadar,

o egalitate în IRn este echivalentă cun egalităţi de numere reale. În mulţimea IRn se introduce operaţia algebrică binară de adunare, notată cu

eticheta

A

punînd

"+"

x + y ;(x1 + y 1, x 2 + y 2 , ... , xn+ Yn) "+" (x, y); x + y). Se pot considera

(aşadar,

"+": IRn x IRn --7 IRn, (x, y) --7 vectorii aritmetici remarcabili n-dimensionali următori: vectorul nul O; (0, O, ... , O) şi vectorii "unitari" e 1 ; (1, O, ... , 0); e2 ; (0, 1, ... ,O); ... ; en; (0, O, ... , O, 1).

Pentru orice A E IR

--7

pentru orice x; (xl> x 2 , ... , xn) E IRn se

A

Ax ; (l.xv "Ax 2 , IRn, (!., x) --7 "Ax.

multiplicarea IR x IRn

şi

... ,

l.xn)

şi

totodată

operaţia

defineşte externă

EXEMPLE.

Pentru orice x E IRn, avem x +O; O+ x; x. 2) Pentru orice x E IRn, x = (x 1, x 2 , ... , xn), avem x 1e 1 + x 2e 2 + ... + xnen ;x 1(1, O, ... , 0) + x 2(0, 1, O, ... , 0) + ... + xn(O, O, ... , 1); ; (xl> O, ... , O)+ (O, x2 , O, ... , 0) + ... + (0, O, ... , xn) = (x 1 , x 2 , ... , xn) = x. 1)

Reţinem deci că x ;

n

L x,e,. i:od

vectorii aritmetici 3-dimensionali a; (2, 1, 1), b ; (0, 1, 2), 3 Pentru orice X E JR notează se ' -x = (-1)x = (-x 1 , -x 2 , -x3 ). Atunci 2a + 5b- c; (4, 2, 2) +(O, 5, 10)- (3, O, O); (1, 7, 12). Să presupunem că aa + pb + yc; O (a, p, y E IR); atunci (2a, a, a) + (0, p, 2Pl + (3y, O, 0); (0, O, 0) deci (2a + 3y, a+ p, a+ 2Pl; (0, O, 0) adică 2a + 3y; O, a+ P ; O, a+ 2P =O, de unde a; O, p; O, y =O. Mulţimea IRn, înzestrată cu operaţia de adunare (cu eticheta "+") şi cu elementul neutru O este evident cu monoid comutativ. [Reamintim că se numeşte monoid orice triplet (M, *, e), format dintr-o mulţime M, o operaţie algebrică binară * pe M, care este asociativă şi are elementul neutru e E M.] Cu această structură, IRn se numeşte spaţiul aritmetic n-dimensional. În particular, JR 1 este chiar IR, iar JR 2 este în corespondenţă bijectivă cu mulţimea punctelor oricărui plan n relativ la un sistem xOy de axe (prin bijecţia lui R. Descartes, 1596-1650). În mod similar, JR 3 este în corespondenţă bijectivă cu mulţimea punctelor din spaţiul fizic raportat la un reper adică la 3)

Fie

c; (3, O, 0).

16

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII •!•

(PARTEA 1)

un sistem Oxyz de axe, iar JR 4 se identifică prin mulţimea seturilor ordonate de patru numere reale E = (x, y, z, t), numite şi evenimente punctuale, în care sînt indicate atît coordonatele spaţiale ale punctului (relativ la un reper fixat) cît şi momentul la care acestea sînt măsurate; IR 4 se mai numeşte spaţiul Minkowski·Poincare (H. Minkowski, 1864-1909; H. Poincare, 1854-1912). OBSERVAŢIE.

Una din justificările principale ale introducerii şi studiului spaţiilor aritmetice n-dimensionale IRn constă în aceea că evoluţia unor sisteme fizice este strîns legată de indicarea la fiecare moment a parametrilor lor de stare, care pot fi consideraţi ca n mărimi fizice; atunci seturile ordonate de n parametri de stare sînt tocmai elemente din IRn. O altă motivaţie constă în simplificarea notaţiilor. Astfel, orice funcţie fCxv x 2 , ... , xn), f: A_, IR, Ac IRn, de n variabile reale cu valori reale, poate fi considerată ca o funcţie f(x) de o singură variabilă vectorială x E A, x

= (x 1, x 2 , ... , xn).

În mod firesc, se pot considera mulţimile INn, 'ZF, Qn şi cn (n az, ... ), T = n~

şi dacă

L bnX"

= (bo, b1, bz, ... )

n~O

A E R, atunci se pot construi noi serii formale:

suma S + T

•

= (a 0

produsul S.T

•

+ b 0 , a 1 + bv a 2 + bz, ... );

= (c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , ... ),

n

unde c0 = a 0 b 0 , c 1 = a 0b 1 + a 1b 0 , c2 = a 0 b 2 + a 1b 1 + a 2b 0 , ... , cn = ~ akbn·k etc.; k=O

"'

produsul cu scalar AS = ('Aa 0 , 'Aav 'Aa 2 ,

... ).

ALGEBRĂ LINIARĂ

17

Un caz particular foarte important de serii formale îl constituie polinoamele. O serie formală S = (a 0 , a 1, a 2, ... )se numeşte polinom de grad d ~O dacă ad ;t O şi ad+l = ad+ 2 = ... =O. În acest caz se scrie

şi se obţine definiţia uzuală a polinoamelor. Se notează cu IR[X] mulţimea polinoamelor cu coeficienţii reali, într-o nedeterminată X şi cu IRd[X] submulţimea lui IR[X] a polinoamelor de grad:;; d. Printre polinoame se remarcă: polinomul nul O= (0, O, O, ... ) cu toţi coeficienţii nuli, polinomul X= (0, 1, O, O, ... ), ca şi x2 = (0, O, 1, O, ... ). Constantele nenule k E IR \ {0) se identifică prin polinoame de grad zero, anume (k, O, O, ... ). Polinomul nul se consideră prin convenţie ca avînd gradul-=. Reţinem că egalitatea a două polinoame de grad :;; d (d ~ 0) revine la d + 1 egalităţi de numere reale. EXEMPLU. Se consideră polinoamele

P = (2, 1, O, -1, O, O, ... ),

Q = (1, 2, 1, O, O, ... ).

Ne propunem să arătăm că dacă aP + ~Q =O şi a, ~ E IR, atunci a= O, ~=O. Pentru aceasta să observăm că aP + ~Q = (2a + ~. a+ 2~, ~. -a, O, O, ... ) iar

aP + ~Q =O= (O, O, ... , 0) revine sistemul la 2a +~=O, a+ 2~ =O, -a= O deci a= O, ~=O. În mod similar se definesc IC[[XJ], IC[X], Z[X] etc. Remarcăm de asemenea se pot defini polinoame de grad :;; d cu coeficienţi reali în mai multe relaţia

~=O,

că

nedeterminate Xv x2, ... , XP' ca fiind "expresii" de forma il~, .. ip;:,:O i 1 +i 2 +... +iP$d

Reamintim că un monoid (G, *, e) se numeşte grup dacă orice element x E G admite un invers (relativ la operaţia *); grupul se numeşte comuta tiv (sau abelian; N. H. ABEL, 1802-1829) dacă operaţia * este comutativă. Un inel (A,+, ·,O, 1) este o mulţime A înzestrată cu două operaţii algebrice +, · astfel încît (A, +, 0) să fie un grup comutativ, (A, ·, 1) să fie un monoid şi în plus, V x, y, z E A, x (y + z) = x · y + x · z şi (y + z) · x = y · x + z · x. Inelul se numeşte comutativ dacă înmulţirea este comutativă. Se spune că inelul A este integru dacă ori de cîte ori x, y E A şi x ;t O, y ;t O, rezultă x · y ;t O (adică xy =O=> x =O sau y = 0). Un inel (A,+,.,0,1) se numeşte corp dacă orice element nenul x E A admite un invers relativ la înmulţire. În orice corp A se definesc cele patru operaţii: anume, pentru orice x,y E A au sens x + y; x- y = x + (-y); x · y; iar dacăy ;t O, atunci are sens cîtul x/y = x · y- 1

18

MATEMATICI SPECIALE +TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

este un inel comutativ şi integru, care nu este corp. 2) Q, lR, C sînt corpuri comutative. 3) lR[X], lR[[X]], C[X] sînt inele comutative şi integre (şi nu sînt corpuri). Dar 1R 2 [X] nu este inel. ExEMPLE. 1) Z

c) Matrice. Pentru orice întreg n?: 1, notăm Jn = {1, 2, ... , n}. Reamintim că se numeşte matrice cum linii şi n coloane (m, n ?: 1), cu coeficienţi reali orice funcţie 1-t: Jm xJn -7 lR, (i,j) -7 ~-t(i,j). Notînd ~-tU, j) =ai}' matricea 1-t se mai poate reprezenta astfel: J1 = (aiJ )l$i$m,' 1Sj$n

iar elementele au pot fi dispuse într-un tablou dreptunghiular, obţinîndu-se astfel definiţia uzuală. Vom nota mulţimea tuturor acestor matrice cu Mm,n(lR). Dacă m = n, atunci se obţin matricele pătratice şi se scrie 1-t = (a;)l 5 i,j 5'Cn şi Mn(lR), în locul notaţiilor precedente. Se ştie ce înseamnă A= B, A+ B, AA pentru A, B E Mm,n(lR) şi  E lR, în compatibilitate cu definiţiile date în cazul funcţiilor. Dacă A E Mm,n(1R), B E Mn,p(lR), A = (a,)! rezultă

j=l

adunînd aceste n relaţii, se obţine

n

n

L L a;1 A;k x J ~ L A;k b;

b:ol f:::1

ordinea de însumare în membrul stîng, obţinem n

L j=l

.L aUAik xj ~Aik b;; J=l n

x 1 ·11· 8Jk ~ 11k deci 11· xk ~ 11k pentru 1S k S n.

şi inversînd

i=l

n

n

}:o"!

i=l

L x J L aij A;k

~ 11 k adică

23

ALGEBRA LINIARA

Pentru orice matrice M

pătratică

Mn(A)

E

într-un inel comutativA, M = (a;) 1$i,ji'n• fie

de ordin n 2 1 cu

cqeficienţi

(Aij);:,_;,,., adică transpusa

M=

matricei formate cu complemenţii alge brici ai elementelor lui M. TEOREMA L 2. Dacă A este un inel comuta tiv şi M E Mn(A), atunci M ·M dacă

= M · M = !l ·In, In fiind matricea unitate de ordin n. În plus,

elementul !l = det M din A admite invers

matricea M admite inversă, anume M"1

DEMONSTRAŢIE. Fie M

=

faţă

1

M. M= ·M

de

înmulţire,

atunci

= !1" ·

(aij)JSi,}~n· Deoarece

elementul de pe linia i şi coloana) din produsul M

(A1;l 1,;;,J n deci în mod necesar m S"n. Intervertind rolul bazelor i7JJ şi i7JJ', rezultă n 5" m şi în final m = n. Teorema 2.3. arată că orice două baze ale lui V au acelaşi cardinal. EXEMPLE. 1) Fie V= JR 3 şi v1 = (1, O, 1), u2 = (2, 1, 3). Vectorii u 1 , u2 sînt liniari independenţi. Conform teoremei 2.2. ei pot fi completaţi pînă la o bază a lui JR 3 peste IR. Concret, se poate alege v =(a, b, c) E JR 3 astfel încît vectorii vv v2 , v să fie liniar independenţi şi aceştia vor forma o bază (de exemplu, luăm v = (3, 1, 0) ). 2) Fie V= IR 2 [XJ şi P1 = 1, P2 =X. Orice polinom de forma P = X 2 + etX + 13 (a, PE IR) are proprietatea că (P1 , P2 , P} formează o bază pentru V peste IR. 2.3. Fie V ct (0} un K -spaţiu vectorial finit generat. Numărul de elemente dintr-o bază a lui V se numeşte dimensiunea lui V (nu depinde de baza aleasă) şi se notează dimKV. Vom mai spune că V este de dimensiune finită. În concordanţă cu o convenţie anterioară punem, pentru V= (O), dimK V= O. Dacă V nu este finit generat punem dimK V==. DEFINIŢIA

COROLAR. Fie V un spaţiu vectorial peste K cu dim K V= n, finită.

a) Orice sistem liniar independent cu n vectori formează o bază. Orice m > n vectori din V formează un sistem liniar dependent. b) Orice sistem de generatori al lui V cun vectori formează o bază. Orice m < n vectori din V nu formează un sistem de generatori pentru V. DEMONSTR.~ŢIE. a) Fie L =(v1 , v2 , ... , vn} un sistem liniar independent cu n vectori. Din teorema 2.2. rezultă că L poate fi completat la o bază; din teorema cardinalului bazei rezultă că nu mai trebuie adăugat nimic, deci L este bază. Dacă L' este un sistem liniar independent cu m > n vectori, atunci L' se completează la o bază şi rezultă că dim K V ~ m > n; contradicţie.

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

34

APLICAŢII

•!- (PARTEA 1)

b) Din teorema 2.1 de existenţă a bazelor rezultă că din cei n vectori S = {v1 , ... , un} ai unui sistem de generatori pentru V, se extrage o bază; din teorema cardinalu!ui bazei rezultă că nu trebuie scos nimic, deciS este bază. Dacă S' este un sistem de generatori pentru V cu m < n vectori, atunci din S' se extrage o bază şi rezultă că dimKV::; m < n, contradicţie. EXEMPLE. 1) Care ca IR -spaţiu vectorial baza g[J

={1, il,

deci dimn< C =2.

2) Mm,n(K) are ca spaţiu vectorial peste K o bază (canonică) formată cu matricile eiJ =

{I ~ Il!S

3) K[X] are ca dim K K[X] = =. 4) C spaţiu

0 [a,b]

spaţiu

i Sm, 1 S j S n, deci dimK Mm,n (K)

vectorial o

bază infinită

= m·n.

{1,X, ... ,xn, .... ), deci

(care conţine funcţiile polinomiale) are dimensiunea infinită ca

vectorial peste IR.

2.2.

Subspaţii

vectoriale, proprietăţi; spaţiu vectorial·cît

Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K. DEFINIŢIA 2.4. O submulţime nevidă W c V se numeşte subspaţiu vectorial peste K dacă este stabilă la cele două legi de compoziţie (adică (\l)x, y E W, x + y E W şi (\l)x E W, (\I)A. E K, A.x E W) şi legile induse verifică proprietăţile din definiţia K -spaţiului vectorial. Se mai notează în acest caz W c.. V. Aşadar, W este un spaţiu vectorial peste K.

(criteriul subspaţiului). Fie V un K -spaţiu vectorial nevidă. W este un subspaţiu vectorial peste K submulţime o şi W c V dacă şi numai dacă au loc condiţiile: PROPOZIŢIA 2.4

(a) (\1)

X,

y E W,

X-

y E W;

(b) (\l)x E W, (\I)A. E K,

A.x E W.

W este K -subspaţiu vectorial atunci (\l)y E W rezultă -y E W, deci (\l)x, y E W avem x- y E W, adică (a), iar (b) are loc prin definiţie. Reciproc, presupunem că W are proprietăţile (a) şi (b). Deoarece W>"0 existăzE Wşi atunci z z=OEW. Apoi (\l)xEW, avem 0-x=-x ceea ce arată că W este subgrup abelian al lui V faţă de adunare, căci (\l)x, y E W avem x- ( -y) = x+ y E W, iar asociativitates şi comutativitatea adunării sînt evidente. Condiţia (b) arată că W este stabilă şi la legea de compoziţie externă, iar proprietăţile (1)-(4) din definiţia spaţiului vectorial sînt automat verificate pe W, fiind verificate pe V. DEMONSTRAŢIE. Dacă

ALGEBRĂ LINIARĂ

35

Fie V= IR 2 şi m E IR fixat. Atunci mulţimea W ={(a, ma) 1 a E IRI este un subspaţiu vectorial al lui V. Într-adevăr, folosind criteriul subspaţiului, este suficient să y EXEMPLE.

remarcăm

că

1)

dacă

u =(a, ma)

şi

v = (b, mb) sînt vectori din W, atunci u-v=(a-b,m(a-b)) deci u-vEW, iar

A E IR, atunci AU= (/ca, mica) E W. Mai mult, subspaţiul W poate fi X a tuturor mulţimea cu identificat punctelor dreptei de ecuaţie y = mx (fig. Figura I.l. I.l). 2) Fie V= IR[X] şi W ={PE V 1 P(O) =O}. Aşadar, W este submulţimea polinoamelor fără termen liber şi evident W c. V. TEOREMA 2.5. Fie V un spaţiu vectorial peste K şi W1, W2 c.. V subdacă

vectoriale. Fie S c V o submulţime nevidă. Atunci wl " w2, w, + w, = 1X E V 1 X = x, + x,, x, E w, şi x, E w, } = = { u + V 1 u E W 1 şi V E W 2 } şi 8 = (x E V 1X = 'LA;X; - sumă finită, cu A; E K, x; E 8}, sînt ~ubspaţii vectoriale ale lui V. DEMONSTRAŢIE. Vom verifica condiţiile (a) şi (b) din propoziţia 2.4, în fiecare caz. Fie X, y E wl "w2; atunci x, y E wl şi x, y E w2, deci X- y E wl şi X- y E w2, adică X - y E Wr " w2. Fie A E K şi X E wl "w2 ; atunci X E wl şi XE W2 , deci AxE W1 şi AxE W2 n W2 . Deci W1 n W2 c. V. Fie X, y E wl + w2; atunci X= xl + x2 cu Xr E wl, x2 E w2 şi y = Yr + Y2 cu Yl EWl, Y2 E W2. Rezultă că x 1 - y 1 E W1 şi X2- Y2 E W2, deci x- y = (x1 - y 1 )+(x2 - y 2 ) E W1 + W2 . Fie A E K; atunci "-x1 E W1 şi Ax2 E W2 , deci Ax= "-x1 +Ax2 E W1 + W2 . Deci W1 + W2 c.. V. spaţii

finită

finită

finit

Fie AEK; atunci Ax= ~(A·A;lx; ES. Aşadar,

Se. V.

finită

DEFINIŢIA2.5. În ipotezele anterioare, W1 n W2 se numeşte subspaţiul

vectorial intersecţie, W1 + W2 se numeşte subspaţiul vectorial sumă, iar S se numeşte subspaţiul vectorial generat de S (S este un sistem de generatori pentru S ). OBSERVAŢIE. Analog se poate defini suma a p, p ?.1 subspaţii vectoriale fVi c V, i = 1, .. , p; anume

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

36

DEFINIŢIA 2.6.

Suma de

subspaţii

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

vectoriale W1 + ... + WP c V se

numeşte

pentru orice xEW1 + ... +WP' din x:x1 + ... +xp :y1 + ... +yP, cu xi,Yi EWj, i=l, ... ,p, rezultă că xi =yi, i=l, ... ,p (adică descompunerea oricărui vector este unică). Cînd suma este directă, o vom nota w1 EB w2EB ... EB wP. PROPOZIŢIA 2.6. Fie W1 , W2 c. V două subspaţii vectoriale ale spadirectă dacă

vectorial V peste K. Sînt echivalente următoarele condiţii: a) Suma W1 + W2 este directă. b)W1 nW2 :{0). DEMONSTRAŢIE. (a)-.-; (b). Evident {0) C Wl n W2 . Fie XE Wl n W2 ; atunci 0=0+0 şi O=x+(-x) (-xEW1 nW2 ) deci x:O, din unicitatea ţiului

scrierii. (b)-;(a). Fie

că

x=x 1 +x 2 =y1 +y 2 , cu deci xl - Y1 = Y2 - X2 E Wl n W2, Atun~i X2, Y2 E W2. şi xl, Y1 E Wl x 1 - y 1 = y 2 - x 2 =O, adică x 1 = y 1 şi x 2 = y 2 . EXEMPLE. 1) Dacă S={a), atunci S={AaiÂE IR}; iar dacă S={a,b),

atunci

S = (aa+ pb

xEW1 +W2

1

şi

presupunem

a, PE IR}.

2) Fie V= JR2. Pentru orice m E IR definim Wm ={(a, ma)! a E IR). Atunci şi pentru orice m, m E 1R cu m';em avem WmnWm·=l(O,O)) 1

Wm EBWm' = JR2 3) Fie

{e1, ... ,en) baza canonică a lui IRn şi Wk ={ekf, l~k~n. Atunci

JRn =W1 EB ... EBWn. TEOREMA 2.7. Fie V un >paţiu vectorial peste K, dimK V= n (finită)

W c. V un subspaţiu vectorial. Atunci W are dimensiune finită şi dacă dim K W = m, avem m ~ n. DEMONSTRAŢIE. Fie g(J o bază pentru W; în particular, g(J este un sistem liniar independent de vectori în W (deci şi în V). Dar conform corolarului teoremei 2.3 a), într-un spaţiu vectorial finit dimensional orice sistem liniar independent de vectori este finit. Rezultă că g(J este finit. Conform teoremei 2.2, g(Jpoate fi completat la o bază a lui V deci numărul de elemente ale lui g(J este cel mult n, adică m ~ n. CoROLAR. Fie V spaţiu vectorial peste K, dimK V= n (finită) şi W c V un. subspaţiu vectorial cu dim K W = dim K V. Atunci W = V. DEMONSTRAŢIE. Fie g(J1 ={w 1 , ...., w n) o bază în W. Deoarece dim K V =n şi

deoarece {w 1 , ... , w n ) este sistem liniar independent, rezultă că g(J 1 este bază şi în V. Atunci (\f)vEV putem scrie v=Â 1 w 1 + ... +Ânwn adică vEW, deci W=V. şi

ALGEBRĂ LINIARĂ

37

Fie V un spaţiu vectorial peste K şi \V c V un subspaţiu vectorial. Definim pe V relaţia binară fnw astfel: fie x, y E V; x inw y dacă şi numai dacă x - y E W.

LEMA 2.8.

Relaţia

fnw

este o

relaţie

echivalenţă.

de

Pentru orice x E V avem x- x =O E W, deci xinwx, Fie x fnw y, x, y E V; atunci x- y E W, deci y- x E W,

DEMONSTRAŢIE.

fnw este reflexivă.

adică

adică

yinwx şi fnw este simetrică. Fie yinwx şi y91wz cu x, y, z E W, deci x- z = (x - y) + (y- z)

E

W,

adică

xfnwz

şi

fnw

este tranzitivă.

TEOREMA 2.9. Pe mulţimea cît V/W există o structură spaţiu vectorial peste K (numită spaţiu vectorial cît). DEMONSTRAŢIE.

Pentru

x, y E

definim

V /W

6

x+ y =

naturală

~

x +

y.

de

Trebuie

este bine definită, ca operaţie între clase, independentă de Ori, dacă x' =X şi y = y' atunci x'- X E w şi y'- y E W,

arătat că operaţia reprezentanţi.

+

(x' + y')- (x + y) E W, adică x'-; y' =x y, ceea ce înseamnă că pe V/Wam definit o lege de compoziţie internă. Avem imediat: (x+y)+z X+

= (x

-=-

+ y)+z = (x+y)+z

---..._

o= X+ o= x;

X+ (-x)' =X + IR, F(x, y) = 2x + 3y este evident

(V) (x, y), (x', y') E IR 2, F(a(x, y) + {3(x', y')) = = F(ax + fJx', cy + fJy) = 2(ax + {Jx) + 3(cy + fJy') = a(2x + 3y) + {3(2x' + 3y) = = ciF(x, y) + {JF(x', y). 2) Fie K un corp comutativ şi n ~ 1 întreg. Pentru orice 1 :5 k :5 n, aplicaţia prk: K" --> K, (x 1 ,... , xn) --> xk este liniară (numită proiecţia canonică de indice k). liniară, deoarece (V)a,

f3

E IR,

b

3) Aplicaţia

I: Cfa. bl --> IR, l(f)

=

f f(x)dx

este evident IR -liniară şi în

a

mod similar, operatorul de derivare D: C1~,bl--> Cr~,bl•

D(f) = f' este

IR -liniar. (Am notat cu c 1:, bJ spaţiul vectorial al funcţiilor derivabile cu derivate continue pînă la ordinul k inclusiv, k ~ O). PROPOZIŢIA 2.10. Mulţimea HomK(V, W) are o structură naturală

de spaţiu vectorial peste K. definim DEMONSTRAŢIE. Pentru orice {, g E HomK(V, W) (f + g): V --> W, (f + g)(x) = f(x) + g(x), (V) x E V, care este o

aplicaţia aplicaţie

liniară; într-adevăr

(f + g)(ax + fJy) = {(ax+ fJy) + g(ax + fJy) = af(x) + {3f(y) + ag(x) + +fJg(y) = a(f(x) + g(x)) + {3(f(y) + g(y)) = a(f + g)(x) + {3({ + g)(y), pentru (V) x, y E V şi (V) a, f3 E K. Se verifi_că imediat că HomK(V, W) cu această adunare are structură de grup abelian. Pentru orice f E Hollk(V, W) şi orice il. E K definim aplicaţia J{: V --> W, (J{)(x) = }{(x), (V) x E V, care este aplicaţie liniară; într-adevăr (}{)(ax+ fJy) = }{(ax+ fJy) = il.(af(x) + {3f(y)) = a(J{)(x) + {3(il.f)(y) pentru (V) x, y E V şi (V) a, f3 E K. Se verifică imediat proprietăţile (1)-(4) din definiţia 2.1. Aplicaţia nulă din HomK(V, W) este 0: V--> W, x--> Ow. DEFINIŢIA 2.8. Fie V, W două K- spaţii vectoriale şi f : V --> W o aplicaţie liniară. Se numeşte nucleul lui f submulţimea lui V, Ker f = {x E Vif(x) =O} = r'({O}). Se numeşte imaginea luifsubmulţimea lui W, Im f = {(V) = {y E W 1 (3) x E V cu y = {(x)}. PROPOZIŢIA 2.11. Fie V, W două K- spaţii vectoriale şi f: V --> W o aplicaţie liniară. Atunci: (a) Kerf, Im f, sînt subspaţii vectoriale în V, respectiv W. (b) f este injectivă dacă şi numai dacă Kerf = {0} şi f este surjectivă dacă şi numai dacă Im f = W. DEMONSTRAŢIE. (a) Pentru orice x,y E Kerf avem f(x) = O şi f(y) = O; atunci f(x- y) = f(x)- f(y) = O, deci x - y E Kerf şi f(kx) = J{(x) = il.· O = O,

ALGEBRĂ LINIARĂ

39

deci Âx E Kerf, adică Kerf este subspaţiu vectorial în V. Pentru orice u, vE Im f avem u = f(x), v = f(y) cu x, y E V; atunci u- v = f(x)- f(y) = f(x- y) E Im f şi ).u = }{(x) = f(Âx) E Im f, (1;/)). E K, deci Im f este subspaţiu vectorial în W. (b) Presupunem f injectivă şi fie x E Kerf; atunci f(x) = O = f(O), de unde x = O, adică Kerf = 101. Presupunem Kerf = 101 şi fie x, y E V cu (1;/)). E K,

= f(y); atunci f(x)- f(y) = O sau f(x- y) = O, deci x- y E Kerf, adică x - y = O sau x = y şi prin urmare f este injectivă. Faptul că f este su:rjectivă dacă şi numai dacă Im f = W rezultă din definiţia su:rjectivităţii. f(x)

EXEMPLU. Aplicaţia

f: IR 3

-+ IR 2 , f(x, y, z) = (x- y, y- z) este evident

Nucleul lui f este 3 Kerf = l(x, y, z) E IR if(x, y, z) = OI = l(x, x, x) 1x

liniară.

Im f = l(u, v)

= i(u,v)

E

E

IR 2 1 C3) x, y, z

2

IR !(3) x, y, z

E

E

IRI, iarimaginea lui f este

IR astfel încît (u, v) = f(x, y, z)) =

IR astfel încît (u,v) = (x- y, y- z)l = i(u, v)

E

E

IR 2!

2 sistemul x - y = u, y - z = v admite soluţii} = IR • DEFINIŢIA 2.9. (1) Fie V, W două K -spaţii vectoriale. O aplicaţie liniară f: V -+ W se numeşte izomorfism dacă este bijectivă. (2) O aplicaţie liniară f: V -+ W se numeşte endomorfism sau operator liniar al lui V. Mulţimea HomK(V,V) se mai notează cu L(V) sau End(V). (3) O aplicaţie liniară f :V -+ V se numeşte automorfism dacă este bijectivă

(izomorfism).

OBSERVAŢII. 1)

W

V

Mulţimea

automorfismelor lui V se

Fie V, W, Z trei

•

spaţii

notează

vectoriale peste K

Z două aplicaţii liniare. Atunci g

o

Aut(V).

şi

f :V -+ Z este o

aplicaţie liniară. Într-adevăr, (g o {)(ax+ fJy) = g(f(ax + fJy)) = g(cx{(x) + {Jf(y)) = ag(f(x)) + {Jg(f(y)) = a(g o f)(x) + {J(g o {)(y), (V) x,y E V, (V) a,{J

2) Fie

K.

f :V -+ W un izomorfism. Atunci f- 1 :W -+ V este izomorfism.

Trebuie arătat că

ar (u) + fr (v), 1

E

1

este aplicaţie liniară, adică r' W este un izomorfism de spaţii vectoriale (vezi observaţiile ce urmează definiţiei 2.9). Reciproc, presupunem că există un izomorfism f: V -7 W şi fie !313 = {e1 ,e2 ,... ,enl o bază în V. Vom arăta că !313' = {f(e1 ),f(e2 ),... ,f(en)l, că

notată şi

f(i31J), este bază în W

şi

atunci va rezulta

m = n conform teoremei 2.3. Presupunem că există o relaţie de forma Â.rf(e1 ) + ~f(e2 ) +...+ ?-,,f(en) = O, n

cu Â;

E

K, i = 1,... ,n. Atunci avem f(L Â;e;l = O (f este aplicaţie liniară), i=l

n

.ieci

L A;e; E

n

Kerf = {O}. Prin urmare L Â;e; = O, de unde rezultă

i=l

i=l

:11 = ;1.2 =...= An = O, deoarece !313 este bază. Deci !313' este sistem liniar independent. Apoi pentru orice w E W există vE V astfel încît f(v) = w, n

deoarece f este smjectivă. Dar v = L Â;e; cu Â; i::::!

E K

şi

atunci

42

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE, n

n

w = f(v) = f('i, A;e) = i"'l

'2, AJ(e;),

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

deci $' este şi sistem de generatori pentru

i=l

adică $'

este bază. TEoREMA 2.15. Fie V un spaţiu vectorial peste K finit dimensional, dim K V = n şi W c. V un subspaţiu vectorial cu dim K W = m • Atunci dimK V 1 W = n- m.

W,

DEMONSTRAŢIE.

Fie

a'J.

= {w1, ... ,

wml

W o

c

bază

a lui W, care este în

particular sistem liniar independent în V, deci poate fi completat la o bază GB = {w1 , ... , wm, vm+I' ... , vn} a lui V. Vom arăta că ~ = {Vm+l' ... , VrJ este bază n

în VIW. Fie

n

'i,A 1v1 =O cu Ai

E

2,A1v1 E W, deci

K; atunci avem

J=m+l n

L, A1v1

J=m+l

m

=

L. A1wj

j=m+l

sau A1w 1 +...+ Âmwm - Am+lvm+l - ... -}~nun =O. Dar 9B

}=1

este o bază în V, deci

rezultă

\

independent. Apoi, pentru orice

= O,j = 1,... ,n, vE

V

există

v = ~w 1 +... + Âmwm + Am+lvm+l +...+ Ânvn;

adică ~

A;

E

K, i

este un sistem liniar =

1, ... , n astfel încît n

atunci

V:::::-

L, }. 1V1 ,

deoarece

)=m+l

w1

= O,j = 1, ... , m(w1

V/W.

Rezultă că

E

dimK V

W), deci

~

este

şi

sistem de generatori pentru

/W = n- m.

1. (teorema dimensiunii). Fie V, W două spaţii vectoriale peste K, finit dimensionale şi f: V -> W o aplicaţie liniară. Atunci Kerf şi Imf au dimensiunea finită şi avem: CoROLARUL

dimK Ker f + dimK Im f = dimK V. DEMONSTRAŢIE. Ca subspaţii vectoriale ale unor spaţii vectoriale finit dimensionale, Kerf şi Imf sînt finit dimensionale. Din teorema de izomorV /Kerf ~ Im {, deci cele două spaţii au aceeaşi fism avem că dimensiune. Atunci dimK Im f = dimK V /Kerf = dimK V- dimK Kerf'. CoROLARUL 2. Fie V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită şi f: V -> V un operator liniar (endomorfism). Atunci aplicaţia este injectivă dacă şi numai dacă f este surjectivă. DEMONSTRAŢIE. Avem următoarele echivalenţe: /'injectivă H Keif ={O}

r H

dimK Ker{ =O

H

dimK Im f = dimK V

H

Im f =V

H

{este smjectivă.

TEOREMA 2.16. (Grassman). Fie V un spaţiu vectorial peste K, de

dimensiune

finită şi V1 ,V2 ~V două subspaţii

vectoriale. Atunci

dimK(V1 + V2 ) = dimK V 1 + dimK V 2 - dimK(V1 n V 2 ). Vom stabili următorul izomorfism de spaţii vectoriale

DEMONSTRAŢIE.

h:V1 /CV1 n V2 ) ~ CV1 + V2 )/V2 , definind h(D 1 ) =VI (v 1 = v 1 +O

E

V1 + V2 ).

ALGEBRĂ LINIARĂ

t\

Dacă

lJ1 =

vi

= V~'

adică

atunci vi -

h este corect

vl E

vl

(Î

de unde vi -

Vz'

definită. Funcţia

h este

vl E

43

v2'

deci

aplicaţie liniară:

h(aD, + fJViJ = h(av0f3viJ = av,-;-{3v; =a v, + {3 v; = ah(v,) + {3h(v;) pentru orice iJ1 , E V1 /V1 n V2 şi orice a,{3 E K. Funcţia h este injectivă:

v;

v1 E Kerh, atunci iJ, = h(D1 ) = O, de unde v1 E V2 , deci v1 E V1 n V2 , adică v1 = ii. Prin urmare Kerh = {O} şi h rezultă injectivă. Funcţia h este smjectivă: (\f) v E (V1 + V2 JN2 , v = v1 + v 2 cu v1 E V1 şi v 2 E V 2 ; atunci·

fie

v vt

V2 , de unde = = h(i!1 ), cu iJ1 E V1 /(V1 n V2 ). Fiind izomorfe, spaţiile vectoriale V1 /(V1 n V2 ) şi (V1 + V2 )/V2 au aceeaşi dimen· v- v1

= v2 E

siune, deci dimK

v,- dimK(V, n V2) = dimK(Vl + V2)- dimK v2.

de unde

rezultă relaţia dorită.

COROLAR. Fie V un spaţiu vectorial peste K, de dimensiune finită şi V1 ,V2 c.V două subspaţii vectoriale. Dacă suma V1 + V2 este directă, atunci dimKcv,

(j) V2) =

v, + dimK v2.

dimK

2.6 rezultă că V1 n V2 = {O}, de unde dimK(V1 n V2) =O deci dimK(V1 + V2 ) = dimK V1 + dimK V2. OBSERVAŢIE. Două subspaţii V1 ,V2c.V se zic transverse dacă DEMONSTRAŢIE.

dim(V1 n V2) este

Din

propoziţia

minimă şi

dim(V1 + V2)

maximă posibilă.

De exemplu, în

JR 3 o dreaptă V1 şi un plan V 2 trecînd prin origine sînt transverse dacă

v,

ct V2 . 2.4. Matrice asociate aplicaţiilor liniare Fie V, W

şi

dimK W

două spaţii

= m.

Fixăm

vectoriale peste K, finit dimensionale, cu dim K V o bază

a'J. = {v1 ,.... ,vnl

în W. Fie f: V -> W o aplicaţie

liniară;

în V

= {w1 ,... ,wml

şi ~

atunci putem

să

=

n

o bază

scriem:

f(vl) = auwl + azlW2 +...+ amlwm f(v2) = a,2w1 + a22w2 +...+ am2wm

m

sau mai concentrat f(v)

= L a,1w,,j = l, ... ,n, unde i:::l

unic determinaţi pentru cele două baze fixate (ceea ce rezultă din unicitatea coordonatelor).

şi

coeficienţii a,1 E

pentru

K sînt

aplicaţia liniară

f

44

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

DEFINIŢIA 2.10. Matricea M('"" matricea asociată baze fixate.

aplicaţiei

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

din Mm,n(K) se numeşte

= (aij),

două

liniare f: V __, W, relativ la cele

OBSERVAŢIE.

Dacă alegem alte baze, o altă matrice. EXEMPLE. 1) În IR 2 fixăm y baza canonică 9'l = (e 1 , e2 } deci

aceleiaşi aplicaţii

liniare i se

asociază

1

e 1 = (1,0), e2 = (0,1). Omotetia cu centrul în origine de raport k, k > O este aplicaţia liniară Q)k :

IR 2

__,

IR 2 ,(x, y) __, (kx, ky);

vezi fig. I.2. Matricea asociată relativ la bazele 9'! 1,

lui

ffik,

~,

este

(~ ~} În mod similar, rotaţia de unghi e în jurul originii, este Figura I.2. aplicaţia Pe : IR 2 __, IR 2 , (x, y) __, (X COS 0 - y sin 0, X sin 0 + y COS 0), Care asociază oricărui punct M(x,y) punctul p 8 (M) = M' astfel încît JJOMJJ = JJOM'JJ şi

yt

~p.(F)

MOM' = e (fig. I.3.). Matricea asociată lui p0 în baza canonică (repetată) este cos&

-sin cos

( sine

VM'(x',y')

Bî O)'

"/""-e

2) Considerăm aplicaţia liniară cp:

IRz(Xl __, IR

2

,

Matricea lui

Kn, h: W -'> Km izomorfismele

teoremei 2.14.

Considerăm

diagrama din figura L4.,

g" 1 . Atunci M('re, = Mj·[!!J',

unde !3i'J = g(elî.), !3i'J' = h(91J.!);

într-adevăr,

f

fie

A= (a,) = Mf're, adică f(v1) = Î a,p,. i = 1 izomorfismelor g şi h, g" (e ) = v1 şi h(w) = e;. Atunci 1

Din

definiţia

rezultă că

1

Figura 1.4.

M'!·[!!J' =A. f

W g Z două aplicaţii liniare TEOREMA 2.18. Fie V f între spaţiile vectoriale finit dimensionale V, W, Z cu dimK V= n, Fie el'l. = !v 1 ,... ,vn}, 9IJ.! = !w 1 ,... ,wm}, dimK W = m, dimKZ = l. ~

=

!z1 ,... ,z1 } baze fixate respectiv în V, W, Z. Atunci

ALGEBRA LINIARA l

m

L bk,zk,

DEMONSTRAŢm. Fie f(v) = La;p; şi g(w,l = E

Mz,m(K) şi Mf'rJB' =A= (au)

(g n f)(u;) = g(f(u )J = =

±. (f

bkiaij

}k =

gl ţ,

auw;)

±

ckjzk ,

deci

k = 1

i "' 1

M':''etj, = B = (bk,)

47

=

E

Mm,n(K). Calculăm

ţ, aug(w,) = ţ, au(

unde M':,{etj, = C =

(cki)

t,

bk,zk)

=

EMz,n (K). Din

k=l

k=lli""l

m

L bkiai.J.,k

unicitatea coordonatelor avem: ckJ

= 1, ... , l;j = 1, ... , n, deci

i ""1

C =BA. OBSERVAŢIE. Dacă

W =V

şi ~

= ~' iar

f :V -; V este un operator

liniar (endomorfism), vom nota Mf'etj, mai simplu cu Mf . COROLARUL 1. Fie V un

spaţiu

vectorial peste K, dim K V = n,

şi

fl!1 o

bază fixată în V. Funcţia J.ZrJiJ:End(V) -tMn(K), J.ZrJB(f) = M'f, este un

izomorfism de inele. DEMONSTRAŢm.

Fie fl!1 = {v1 , ... , vnl· Din teorema 2.17 ştim că aplicaţia J.l : End(V) -; M n(K) este bijectivă şi că J.Z(f + g) = J.Z(fJ + J.l(g ). Din teorema 2.18 rezultă că J.l(g of) = J.l(g) · J.Z(f), deoarece M':or = M': · M'f. În n

plus, J.1(1y) =In, deoarece 1vCv1) = u1 = :E8ijv1, deci Mt:; = (8ij) =In (8ij =O dacă i

*j

i::4

şi 8ij = 1 dacă i = j). În concluzie, 1-1 este un izomorfism de inele.

Rezultatul binecunoscut.

următor

este cuprins de fapt în §1 (teorema 1.2)

LEMA 2.19. Fie K un corp comutativ şi A

E

şi

este

M n (K). Atunci A este inversa·

*

bilă dacă şi

numai dacă A este nesingulară ( det A O). matricelor inversabile din Mn (K) se notează cu GL(n; K) şi ea are, evident, o structură de grup (necomutativ) faţă de legea de compoziţie dată de înmulţirea matricelor. Grupul GL(n; K) se numeşte grupul general liniar de ordin n cu coeficienţi din K. Submulţimea

ExEMPLU.

Mulţimea matricelor de forma (cosO

sme

-sine), e E lR,

case

un subgrup al grupului GL(2,1R). Mai general, matricele A

E

formează

Mn (lR) cu

proprietatea că A· AT = In formează un subgrup al lui GL(n, lR), care va fi studiat ulterior.

48

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1}

CoROLARUL 2. Fie V un spaţiu vectorial peste K, dim K V = n, şi :3iJ o

bază fixată în V. Restricţia funcţiei J1 fJIJ ţimea

End(V} -> M n (K) la submul-

Aut(V) ia valori în GL(n;K) şi este un izomorfism de grupuri.

DEMONSTRAŢIE.

Vom omite indicele :3iJ în

f E AuifV); atunci există

J1(f} · J1(r

1

r' E Aul{V) şi

for'

notaţii,

= ly,

ca

şi

mai înainte. Fie

r' "f = ly.

Rezultă că

J =In şi J1(r J · J1(fJ =In, deci J1({J E GL(n; K), adică putem consi-

restricţia

dera

:

1

J1: Aut(V) -> GL(n; K). Desigur,

restricţia rămîne injectivă şi

Jl(g of) = Jl(g) · Jl(f), deci este morfism de grupuri. Fie acum A

deoarece J1: End(V) -> Mn (KJ este

smjectivă există

f

E

E

GL(n; K);

End(V) astfel încît

= A şi există g E End(V) astfel încît }l(g) = A - 1 . Atunci J1(f o g) = J1(fJ · J1(g) =A· K 1 =In = }l(ly) de unde,~ fiind injectivă, rezultă J1({)

că

f

o

g = lv şi analog g of = ly, adică f

E

Aut(V). Prin urmare,

restricţia

J1 :Aut(V) -> GL(n; K) este surjectivă, deci~ este izomorfism de grupuri. DEFINIŢIA 2.11. Fie V, W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste corpul K şi fie f : V -> W o aplicaţie liniară. Se numeşte rangul aplicaţiei liniare {,numărul p({J = dimK(Im fJ. TEOREMA 2.20. Fie f: V -> W, g : W -> Z două aplicaţii liniare spaţiile finit dimensionale V, W, Z peste corpul K. Atunci: (a} p(g o f) o; p(f) şi p(g o f) o; p(g). (b) Dacă g este izomorfism, atunci p(g o f) = p({J, iar dacă f este izomorfism, p(g o f) = p(g). DEMONSTRAŢIE. (a) Avem incluziunile Im(g of) c Im(g) şi Ker(f) c Ker(g o j'}. Într-adevăr, fie z E Im(g o{); atunci z = (g o f)(v) cu vE V, deci z = g(f(v)) cu f(v) E W, adică z E Im g. Fie acum vE Ker {; atunci f(v) = O, deci g(f(v)) = O, adică vE Ker(g o{). Rezultă că dimK Im(g of) O: dimK Im g, adică p(g o {J o: p(g) şi dimKKer f O: dimKKer(g o{), deci conform teoremei dimensiunii, dimK Im(g o fJ = dimK V- dimKKer(g o {J O: dimk V- dimkKer f = dimK Im {, adică p(g o {J O: p(f).

între

(b) Dacă g este un izomorfism, atunci f = g- 1 "(g c {J şi din punctul (a) rezultă p(f) O: p(g of) şi p(g of) O: p(f), deci p(g of) = p(f). Analog, dacă f este izomorfism, atunci p(g) o; p(g of)

şi

g = (g of)

o

r'

şi

din punctul (a), rezultă

p(g of) o; p(g), deci p(g of) = p(g).

A E Mm,n(K) o matrice nenulă. Reamintim că se numeşte determinant principal al matricei A un determinant Ll., format cur linii şir coloane ale matricei A, avînd proprietăţile: L\. * O şi orice determinant obţinut Fie

ALGEBRA LINIARA

49

din matricea A, de ordin mai mare decît r este nul. Ordinul r al unui determinant principal al matricei A se numeşte rangul lui A şi se notează r = p(A). Dacă A este matricea nulă punem p(A) = O. OBSERVAŢIE. Evident o matrice nenulă A poate să aibă mai mulţi determinanţi principali, dar toţi au acelaşi ordin (conform definiţiei). atunci coloanele matricei A, aCJI = (a;), Dacă A = (a;) E Mm,n (K) 1 5: i 5: m pot fi privite ca vectori în

spaţiul

vectorial M m,l (K) pentru orice

maxim de coloane ale lui A liniar independente (= dimensiunea subspaţiului vectorial generat de vectorii coloană ai matricei A). LEMA 2.21. Pentru orice matrice A E Mm n(K) avem p(A) = p'(A). Notăm

j = 1, 2, ... , n.

cu p'(A)

DEMONSTRAŢIE. Dacă

r = p(A);

1

~

i

~ r;

=numărul

* O şi 1:1 = kr,) * O,

A = O atunci p(A) = p'(A) = O Fie A

putem presupune (printr-o renumerotare) că 1 ::; j s; r.

Să arătăm că

primele r coloane a(j)' j = l,... ,r, sînt

liniar independente peste K. Fie il1ac 11 +...+ il,ac, 1 = O o lor; atunci pentru orice r = 1, ... , m avem: il, a 11 + il2a 12 +...+ il,a 1, = O,

combinaţie liniară

il,aml + il"am2 +...+ il,amr = O. Dacă notăm

cuB, matricea (aii )1 V astfel încît f(e 1 ) = ej, ... , {(e,) = e~ şi scriem {(f!i3) = f!i3'. Anume, pentru orice

r;

n

x =

L x,e,

n

(unic), punem f(x) =

i=l

dacă g

L x,e;;

unicitatea lui l este imediată, căci

i=l

:V -'> V este un alt operator liniar astfel încît g(f!i3) = f!i3', atunci

(\f) x E V, f(x)

=

n

n

i=l

i=l

L xJ(e;) = L x,g(e;) = g(x)

deci

l = g.

Se spune că f!i3 se deformează continuu în [!(J' dacă există o familie ft:V -'> V de izomorfisme IR -liniare, t E [0,1], astfel încît lo = 1v, { 1 (f!i3) = [!(J' şi în plus fi variază continuu cut (aceasta înseamnă că elementele matricei lui fi sînt funcţii continue pe intervalul [0,1] ). Se poate arăta că baza f!i3 se deformează continuu în baza [!(J' dacă şi numai dacă determînantul matricei de trecere de la f!i3 la [!(J' este strict pozitiv. În limbaj de matrice aceasta revine la fapul că pentru orice matrice A E Mn (IR) cu det A > O, există o funcţie continuă y: [0,1) -'> Mn (IR) astfel încît y(O) = In şi y(1) = A (se mai spune că A poate fi unită cu In printr-un drum continuu). Ideea demonstraţiei este de a descompune A în produs de matrice de transformări elementare, aşa cum am văzut, a arăta că acestea se unesc cu In prin drumuri continue şi a deduce acelaşi lucru pentru A, [A9]. Două baze ordonate f!i3 şi [!(J' ale lui V se zic orientate la fel dacă determinantul matricii de trecere de la f!i3 la [!(J' este strict pozitiv.

ALGEBRA LINIARA

deci det T este

~

-1.

orientată

Aşadar,

iill

şi ~

nu sînt orientate la fel. Orice

la fel cu iill sau la fel cu

~. Aşadar,

bază

57

a lui V

bazele (ordonate) ale

V sînt împărţite în două clase. A fixa o orientare a lui V înseamnă a fjxa una din cele două clase. Dacă dim!R V ~ 1 şi B ~ {e} este o bază, atunci luînd i!ll' ~ {-e}, bazele ii/l şi i!ll' dau cele două orientări ale lui V. În practică orientarea dată de iill se fixează prin semiaxa pozitivă {ae 1 a > 0}. Dacă dimiR V~ 2, a da orientare a lui V înseamnă a fixa o bază {e1 ,e 2 },

spaţiului

orientare fiind dată de baza {e 2 , e1 }. În spaţiul fizic S tridimensional alegerea unei orientări concrete poate fi legată de particularităţile fiziologice ale omului; astfel, o bază ordonată (deci () orientare a spaţiului) este dată de "regula mîinii stîngi"'. O problemă fascinantă a fost găsirea unor procese pur fizice care să permită o orientare a spaţiului (neinvariantă deci la "reflexia în oglindă") şi a fost rezolvată afirmativ prin experimentul care a dovedit neconservarea parităţii în interacţiile slabe. cealaltă

2.5. Calcul vectorial clasic Fie S spaţiul geometric tridimensional definit cu axiomele lui Euclid (numit uneori şi spaţiul fizic). Vom stabili o legătură strînsă între punctele din S , vectori (elemente din V 3 ) şi tripletele de numere reale (elemente ale lui 1R 3 ). Vom considera cunoscute noţiunile de paralelism, perpendicularitate, unghi, distanţă (euclidiană), plan, dreaptă, semiplan etc. Mai întîi vom reaminti definiţia vectorilor liberi. Orice pereche ordonată (A, B) de puncte din S se numeşte segment orientat deci mulţimea segmentelor orientate este tocmai produsul cartezian S x S. Dacă A* B, atunci direcţia dreptei determinată de punctele A, B se numeşte direcţia segmentului (A, B); segmentele orientate (A, A) se numesc nule şi au direcţia nedeterminată. Segmentele orientate (A, B) şi (B, A) se numesc opuse şi, în cazul cînd A* B, ele sînt distincte. Lungimea unui segment orientat (A, B) este numărul real şi pozitiv care reprezintă distanţa euclidiană d(A, B) între punctele A, B (relativ la o unitate de măsură fixată).

58

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

segmente orientate (A, B) şi (C, D) sînt egale dacă şi numai dacă B A= C şi = D. Ele se numesc echipolente (sau echivalente) dacă segmentele orientate (A, D) şi (B, C) au acelaşi mijloc şi B '' scriem (A, B)qli(C, D). D '' Aşadar, pentru orice ' ' ,_._A, B E S avem Două

(A, A)ql/(B, B). A 'i'B, atunci (A, B)ql/,(C, D)

-- ----- ' '

Dacă

''

A dacă şi

numai dacă d(A, B) = d(C, D),

''

c

Figura 1.7.

ABIICD (paralelism extins)

şi AB,

CD au

parte a dreptei AC); vezi figura I. 7. Se verifică uşor că ql/ este o relaţie de

aceeaşi

orientare (B

echivalenţă şi

şi

D de

aceeaşi

se notează

Va = S x S/ql/. (A, B) a unui segment orientat (A, B) se numeşte vector liber (în spaţiu) şi se mai notează AB. Aşadar, AB este · colecţia tuturor segmentelor orientate echipolente cu (A, B). Deosebirea esenţială între segmente orientate şi vectori liberi este aceea că două segmente orientate (A, B) şi (C, D) sînt egale dacă şi numai dacă A= C, B = D, în timp ce vectorii liberi v = AB, w = CD sînt egali dacă şi numai dacă segmentele CA, B) şi (C, D) sînt echipolente. Vectorul AA se mai numeşte vectorul nul şi se notează O. Pe mulţimea V 3 se deB/------- E fineşte o operaţie algebriOrice

clasă

de

echivalenţă

1 1

că internă

"+":Va

x

Va ---> Va

1

1 1

astfel: dacă v = AB, 1 ... 1 w = CD atunci w CJC_..___.::::._..."D v + w = CE, (vezi figura 1.8), unde CE este Figura 1.8. diagonala paralelogramului CB'ED; (C,B') echipolent cu (A, B). Evident v + O = v pentru orice v E Va. Se verifică imediat că suma v + w nu depinde de reprezentanţii aleşi în clasele de echivalenţă respective. Pe V 3 se defineşte şi o operaţie algebrică externă "·":JR x Va -> Va astfel: fie v = AB

şi

A E IR; se pune

ALGEBRĂ LINIARĂ

i\v

~

59

i\ > O(unde A, B, C sînt coliniare , AC ş i AB au aceeaş i orientar e ş i d(A,C) ~ i\d(A,B))

AC

dacă

O

dacă

AD

dacă

i\

=O

i\ < O(unde A, B, D sînt coliniare , AD şi AB au orientări diferite şi d(D,A) = -i\d(A,B ))

Definire a riguroasă a lui AV se poate da numai o dată cu construcţia poate fi definit riguroasă a mulţimii lR a numerel or reale. Să ne gîndim că nv proprietăţile toate imediat numai apelînd la noţiunea de limită !. Se verifică din definiţia 2.1 şi ca atare V 3 admite o structură de spaţiu vectoria l real, nuinit spaţiul vectoril or liberi din S. Acesta este unul din primele exemple istorice de spaţii vectoriale şi stă la baza interpretărilor geometr ice ale algebrei liniare sau în mod dual, a raţionamentelor geometrice prin metode de algebră.

Studiul vectorilor a fost puternic impulsio nat de fizică (mecanică, electrom agnetism etc.) modelînd operaţiile cu forţe, viteze. Acest studiu este datorat deopotrivă eforturil or unor matemat icieni şi fizicieni ca W. R. HAMILTON (1805-1865), H. GRASSMANN (1809-1877), A. CAYLEY (1821-1895), J. C. MAXWELL (1831-1879) şi J. W. GIBBS (1830-1903). ptă Ox, Oy, Oz Fixăm în S un triedru ortogona l Oxyz şi pe fiecare semidrea încît astfel U respectiv , U , U punct un 3 cîte fixăm 2 1 Triedrul ). lungime de unitate o ales (s-a 1 ~ ) d(Q, U 1) ~ d(O, U2) ~ d(O, U 3 ortogonal Oxyz pe care s-au fixat punctele unitate Uv U2 , U 3 se va numi reperul ortogon al Oxyz. Vectorii i~OU 1 , j~OU2 , k~OU3 se numesc versori i axelor reperulu i. Vom arăta că fii! ~ {i, j, kl este bază în V 3. Fie v E V3 un vector oarecare ; există un unic punct M E S astfel încît v (vom mai scrie v =OM şi vom z numi acest vector vectoru l de de faţă M i poziţie al punctulu M, reperul Oxyz). Proiectăm punc'' tul M în punctul N din planul '' '', M xOy şi respectiv în punctele u, Mv M 2 , M 3 pe axele Ox, Oy, Oz (figura I.9). Avem: v~OM=ON + OM3 =0M1 + OM2 + OM3 şi OM1 ~xi, OM2 = yj, OM3 = zk. Rezultă că v =xi + yj + zk cu x, y,z E IR, X deci fii! este un sistem de generato ri. Să arătăm că fii! Figura I.9.

~

(0, MJ

y

60

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

este sistem liniar independent: fie Ari+ A'JÎ + A3k =O atunci k = -

~ i - Â:2 "-a "-a

presupunem

că

A3 *O;

j, deci orice reprezentant al clasei k, în particular

segmentul (0, U3 ) este paralel cu planul xOy, presupunem Az

şi

•:• (PARTEA 1)

* O şi atunci

j =-

~i Â2

contradicţie. Rezultă

A3 =O;

deci orice rep~ezentant al claseij, în

particular segmentul (0, U2 ) este paralel cu Ox, contradicţie. Rezultă A2 =O; dar atunci şi Ar = O. În concluzie, !?1! este bază în V 3 , deci dimiRV3 = 3. Din teorema 2.14 (a) rezultă că aplicaţia 8 :Va _, IRa , 8(v) = (x, y, z) este un izomorfism de spaţii vectoriale, unde v = xi + yj + zk, (x, y, z) fiind coordonatele lui v în baza !?1! = {i, j, k} (8 este numit şi izomorfismul lui Descartes). În reperul Oxyz tripletul (x, y, z) reprezintă coordonatele carteziene ale punctului M, al cărui vector de poziţie este OM= v. Vom nota cu v = llvll = d(O,M), lungimea segmentului OM şi o vom numi mărimea sau lungimea (sau norma) lui v. Fie D mulţimea dreptelor din spaţiul geometric S şi fie :J1I relaţia de echivalenţă de paralelism extins (adică d este paralel cu d' şi în cazul cînd d coincide cu d' ). Se numeşte direcţie în spaţiu orice clasă de echivalenţă din JD/:JII. Se numeşte vector director al unei direcţii 8 = d E JD/:JII orice vector nenul v avînd un reprezentant paralel cu d. Dacă Oxyz este un reper ortogonal fixat ca mai sus şi !?1! = {i, j, k}, atunci scriem v =li+ mj + nk cu l, m, n E IR. Tripletul (l, m, n) poartă numele de tripletul parametrilor directori ai direcţiei li. Dacă v 1 :" 11i + m,j + n 1k cu 11 , m 1 , n 1 E IR este un alt vector director al aceleiaşi direcţii li, atunci v 1 = a· v cu a E IR', deci avem 11 /l = m/m = n 1 /n =a. DEFINIŢIA 2.14. Fie v, w E V3 vectori nenuli; notăm cu 8 unghiul (mai mic decît 180°) dintre doi reprezentanţi ai lui v, respectiv w. Numim produsul scalar al celor doi vectori, numărul real v · w = v · w cos 8 (unde 8 E [O, n] ). Dacă unul din vectori, w, este nul nu se mai poate defini unghiul 8, dar punem v ·O = O. Obţinem astfel o funcţie (produsul scalar) (,):Va x Va _, IR,

(v, w)

= v · w, ale cărei proprietăţi sînt cuprinse în următorul rezultat:

PROPOZIŢIA

2.27. Produsul scalar are a) v · w = w · v, (It) v,w E Va. b) v · w

=O H

v

= O sau

w

=

proprietăţile:

O saue

=;

(vom scrievJ.w).

c) v · w = v pr. w(pr. w = proiecţia scalară a lui w pe v). d) v · (w 1 + w 2 ) = v · w 1 + v · w 2 , (It) v,w 1 ,w 2 E Va. e)

V • V ~

0

Şi V · V

=0

H

V

= 0.

ALGEBRA LINIARA f) v(AIV) = AV ·IV, (V) V, IV E '\/3 , (\i) A E

61

JR.

g) Funcţia produs scalar ( , ) :'\/3 x '\13

""""'

1R este liniară în fiecare

argument. DEMONSTRAŢIE.

a) Avem V·IV = vwcose = wvcose = IV·V. b) v·IV=vwcos0=0v=O sau w=O sau cos8=0 H v=O sau 1I

zp =o sau e = -. 2 c)Avem prviV=wcose, deciv·IV=vwcos8=vprviV. . v ·(IV ' +IV ) = v ·prv(IV +IV ) = v(prv IV +prv IV ) = d) Putem sene 1 1 1 2 2 2 = v·prv w 1 +v·prv w 2 = v·w 1 +v·w 2 . 2

e)V·V=V·VCOS0=V "0

şi

V·V=0

V=O. f) Pentru A> O avem: v · (AIV) = v(AIV)cose = AV ·IV; pentru A= O, v ·(Ow) =O= O(v ·IV); pentru A< O avem: v(Aw) = v( -Aw)cos(n- 8) = A(v ·IV). g) Din d) şi f) rezultă că funcţia ( , ) este liniară în al doilea argument. Din comutativitate a), rezultă că produsul scalar este liniar şi în primul argument. H

OBSERVAŢIE. Vom nota v=llvll=~ şi atunci lI::o:llvii·IIIVII (inegalitatea Cauchy- Schwarz), deoarece 1case 1::0:1. Fie 91! = {i,j,k} baza corespunzătoare unui reper ortogonal Oxyz; atunci avem i·j=O, i·k=O, j·k=O şi i·i=l, j·j=l, k·k=l. Dacă v = xi + yj + zk şi IV= x'i + y'j + z'k, atunci din propoziţia 2.27 obţinem expresia analitică a produsul scalar v · w = xx' + yy' + zz'. (notat şi v 2 ) este egal cu v 2 şi cu x 2 +

l

+2

2

1. Calculul lungimii vectorilor prin llvll = ~< v, v > = ~ x +

i

În particular,

V· v

Aplicaţii

ale produsului scalar 2

V= xi + yj + 2k. De exemplu, dacă v =Zi+ 3j- 2k, atunci li vii=

2. Calculul unghiului a doi vectori nenuli prin xx' + yy' +zz' < v, w> cos e . De exemplu, 2 2 2 2 2 x + +2 x' + y' + 2' llvii·IIIVII

J i

.

.J

W=j+k atunci =l, llvii=J2, IIIVII=J2

+ 2 2 , unde

.ffi.

dacă

v =i+j

şi

şi 8=2:.

3 3. Verificarea ortogonalităţii vectorilor nenuli v, IV prin v· IV= O. 4. Fie vE '\/3 , v ;t O; v =li+ mj + nk un vector director al unei direcţii S. Atunci direcţiei S îi corespund doi versori (vectori de lungime unu)

u = +~ = + li+ mj + nk Componentele scalare ale unuia dintre cei doi -llvll ~z2 +mz +nz.

62

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTEA 1)

versori

u=ai+bj+ck,

unde

, se numesc cosinuşii directori ai direcţiei S şi reprezin~ . tă cosinusurile unghiurilor pe care le face o cu cele trei axe Ox, Oy, Oz ale reparului. Într-adevăr, avem: i · u =a= cos a, j · u =b = cosf3 etc. 5. Expresia analitică a unui versor. Fie Oxyz un reper ortogonal de versori i, j, k. Dacă u este un versor făcînd unghiurile a, f3, y cu axele reperului, atunci este evident că u =cos ai+ cosf3j + cosy k. c=+

n

~l2+m2+n2

6. Teorema cosinusului. Fie un triunghi ABC AB = u, AC= v (figura LlO.). Atunci BC = v- u deci [[BC[[ 2 = BC· BC= (v-u) ·(v-u) = v·v-2u·v+u·u = llull2 +llvll 2 -2[[ull·llvllcos 9.

şi

Aşadar, [[BC[[=~u 2 +i-2uvcos9. fizică

se ştie că lucrul mecanic L efectuat în unitatea de timp de o forţă F asupra unei particule care se mişcă cu viteza v este tocmai produsul scalar: 7. Din

A

dL

-=F·v.

dt

B c un plan a şi o submulţime măsurabilă a lui a avînd aria Figura LlO A. Fie A un vector perpendicular pe a avînd mărimea numeric egală cu A. Presupunem că planul a se deplasează în spaţiu cu viteza v. Atunci este definit un cilindru avînd generatoarele paralele cu v şi volumul V al cilindrului în unitatea de timp (numit şi flux) va fi produsul scalar Figura !.11 A·v, deci

8.

Să

considerăm

dV - = A·v; figura I.ll. dt DEFINIŢIA

2.15. Fie v, w E '\/3 ; vom defini produsul vectorial v x w E '\/3

astfel:

Dacă v şi w sînt coliniari (w = ;\,v cu AE lR) atunci vxw~O,

63

ALGEBRA LINIARA

v şi w nu sînt coliniari, fie A= vwsin8 aria paralelogramului construit pe cei doi vectori (8 E (0, n) şi A"' O); direcţia perpendiculară pe planul paralelogramului are doi vectori directori de mărime A, anume t 1 , t 2 ; Dacă

91\"' {v, w, tJ (i = 1, 2) sînt

"t:

evident baze

şi

fie T; matricea de trecere !18----'.'Xi.', unde!IB={i,j,k}. Avem

în V3

detT2 = -detT1 . Presupunînd detT1 >0, definim vxw=t1 ,(aşadar, bazele g{J, f1Bî au aceeaşi orientare; aceasta este "regula burghiului", sau "regula mîinii stîngî", exprimată matematic riguros); vezi figura I.l2.

Figura I.l2

2.28. Produsul vectorial are proprietăţile: a) vxw=-wxv, (V) v,wEV3 • b) v x w =O H v, w sînt coliniari (liniar dependenţi). c) vx(w 1 +w 2 )=vxw1 +vxw 2 , (V)v,w 1 ,w2 EV3 . d) vx(f.w)=f.(vxw), (V)v,wEV3 şi (V) f.EIR. e) aplicaţia "x" : Va x Va ->Va este liniară în fiecare argument.

PROPOZIŢIA

a), b) şi d) rezultă direct din şi a). Demonstraţia lui c) are trei etape. I. Fie a, b EVa, nenuli, necoliniari şi b' proiecţia vectorială a lui b pe direcţia perpendiculară pe a. Atunci ax b =ax b'. Evident ax b şi ax b' au aceeaşi direcţie şi acelaşi sens (figura I.l3). Vom arăta că au şi aceeaşi mărime: iia x bll = ab sin 8 şi iia x b'll = DEMONSTRAŢIE.

=a· b' = abco{

definiţie.

e)

rezultă

din c), d)

1 1 1 1

-..:::;----b'

Figura I.l3.

~-8)= absin8 = [[axb[[, deci a xb =ax b'.

II. Fie cazul particular în care V este perpendicular pe planul paralel cu w 1 şi w 2 (cazul în care w 1 , w 2 sînt coliniari se reduce la punctul d)). Atunci v x w 1 este un vector (un reprezentant al său) situat în planul determinat de w 1 şi w 2 , obţinut din w 1 prin rotire cu 2:, de mărime 2 v·w 1 ; vxw2 este un vector situat în planul determinat de w1 şi w 2 , obţinut din w 2 prin rotire cu 2:, de mărime v · w 2 şi analog pentru v x (w1 + w 2 ). Dar 2 paralelogramele determinate de w 1 , w2 , respectiv de v x w 1 , v x w 2 sînt asemenea, iar w 1 +w2 , respectiv vx(w1 +w2 ) sînt diagonalele lor. În

64

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

paralelogramul determinat de v x w 1 , v x w 2 diagonala este v x w 1 + v x w 2 , deci este egală cu v x (w1 + w 2 ). III. În cazul general, fie w 1 , w 2 necoliniari şi wi, w2 proiecţiile vectoriale ale lui w 1 şi w 2 pe planul perpendicular pe v (pentru v =O formula este evidentă). Folosind faptul că proiecţia unui paralelogram este un paralelogram rezultă: vx(w1 +w2 )=vx(wi +w2)=vxwi +vxwz =vxw1 +vxw 2 . Fie g(J = {i, j, kl baza corespunzătoare unui reper ortogonal; atunci avem i X i = 0, j X j = 0, k X k = 0 Şi i X j = k, j X k = i, k X i = j. Dacă v = xi + yj + zk şi w = x'i + y'j + z'k, din propoziţia 2.28 obţinem expresia analitică a produsului vectorial i j k vxw=(yz'-zy')i+(zx'-xz')j+(xy'-yx')k = x y z x' y' z' pseudodeterminantul fiind dezvoltat după linia întîi. Aplicaţii

ale produsului vectorial

Reţinem că

produsul vectorial a doi vectori nenuli v, w este un vector pe planul determinat de ei, sensul dat de regula burghiului şi mărimea egală cu aria vw sin e, a paralelogramului construit pe v şi w. Indicăm cîteva aplicaţii geometrice şi fizice care utilizează produsele vectoriale: 1) verificarea coliniarităţii vectorilor v, w prin v x w =O.

v x w, avînd

direcţia perpendiculară

2) calculul ariei unui triunghi cr(ABC)

=

i IIAB

x Aq. De asemenea avem

BC =AC- AB şi înmulţind vectorial cu BC, rezultă AC x BC = AB x BC trecînd la mărimi se obţine teorema sinusurilor. 3) identitatea lui J. L. Lagrange (1736- 1813):

(v. w) 2 + (v xw) 2 = v 2 · w 2 ; într-adevăr, v ·W = vwcose deci 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (V· w) +(V X w) = v w cos 8 + v w sin 8 = v · w . 4) Fie d versorul direcţiei de propagare a unei unde electromagnetice plane în vid. Atunci vectorul - intensitate electrică E şi vectorul - inducţie magnetică B se află în planul normal la d şi sînt r0rpendiculari Între ei (figura I.14). Aşadar, E ·d =O, B·d =O, E·B =O şi d este coliniar cu 1 ExB; mai precis, d=--ExB. EB 5) Fie A un punct în spaţiu şi F = PQ o forţă cu

şi

şi

llv xwll = vwsine,

Figura I.14.

ALGEBRA LINIARA

65

punctul de aplicaţie în P. Se numeşte momentul în A al forţei F produsul vectorial M = AP x F între vectorul de poziţie al punctului P (de aplicaţie al forţei) şi forţa respectivă. Vectorul M este evident independent de P (presupus alunecător pe dreapta PQ), căci dacă F = P 1 Q1 şi P, Q, P,, Q, sînt coliniare, atunci AP x PQ = AP1 x P 1Q1 . ])EFINIŢIA 2.16. Fie a, b, cE V3 ; se numeşte produsul mixt al lor,

numărul real (a, b, c)[;_a · (b x c). Se obţine astfel o funcţie V3 x V3 x V3 -> IR. Fie a= x 1i + Yd + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k, c = x 3 i + y 3 j + z 3 k; atunci (a, b, c) =a· (b x c) = x1 (y 2 z 3 - y 3 z 2 ) + y 1 (x 3 z 2 - x 2 z 3 ) + z 1 (x 2y 3 - y 2 x 3 ) deci xl Y1 zl (a,b,c)= x 2 y 2 z 2 .

xs Ys zs PROPOZIŢIA

2.29. Produsul mixt are proprietăţile: a) Dacă schimbăm ordinea celor trei vectori cu o permutare pară, atunci produsul mixt nu se schimbă. b) Dacă schimbăm ordinea celor trei vectori cu permutare impară, atunci produsul mixt schimbă doar semnul. c) (a, b, c) =O H a, b, c sînt coplanari (liniar dependenţi). d) (a, b, c) = ± volumul V al paralelipipedului format cu cei trei vectori. DEMONSTRAŢIE. a) şi b) rezultă din proprietăţile determinanţilor. c) (a, b, c) =O dacă şi numai dacă o linie a determinantului este o combinaţie liniară de celelalte două, deci dacă şi numai dacă unul din vectori este combinaţie liniară de ceilalţi doi (adică sînt coplanari). d) Avem (conform figurii !.15): la· (b x eli= llall·llb x cll·lcos'O. Atunci unghiul 8 al celor două drepte se calculează astfel: 0= v,. vz. vl ·Vz

ALGEBRĂ LINIARĂ

71

Fie Do dreaptă de vector director v *O şi nun plan cu normala N *O. Dacă dreapta D este paralelă cu planul n (sau conţinută în planul n) unghiul dintre D şi n este zero. În cazul general unghiul e dintre D şi n este unghiul dintre D

şi proiecţia ei pe planul n. Avem evident sine ~ v · N

.

v·N

2.7. Roto

·translaţii

în plan

şi

în

spaţiu

Vom studia acum schimbarea coordonatelor unui punct cînd schimbăm reperul ortogonal. Fie Oxy, O' x'y' două repere ortogonale în plan şi presupunem că bazele {i, j), M {i', j'l sînt la fel orientate (matricea y' d.e trecere are determinant pozitiv). x' Fie (a, b) coordonatele lui O' faţă de y reperul Oxy şi fie 8 E [O, 2n) unghiul dintre semiaxele Ox, Ox' măsurat în sens trigonometric direct. Cu aceste elemente date, reperul O' x'y' este complet determinat (figura I.21). Fie M un punct oarecare din plan X cu coordonatele (x, y) în reperul Oxy şi cu coordonatele (x', y') în reperul Figura L21. O'x'y'. Avem: OM= 00' + O'M, deci

xi + yj ~ai+ bj + x'i' + y'j'. Înmulţim relaţia de mai sus scalar, cu i, respectiv j şi obţinem: X {

= a + x' COS e -

y' sin

e

y = b + x'sine + y'cose ·

Putem defini o funcţie f: JR -+ 1R 2 , f(x', y') = (x, y) (cu formulele de mai 2

sus), care poate fi privită ca o compunere

f

=

tor, unde t : 1R 2 -+ 1R 2 ,

t(x",y")~(x,y), x=a+x", y~b+y" este o translaţie şi r:IR 2 -+IR 2 , r(x', y') = (x", y" ), unde x" = x' cos 8- y' sin 8, y" = x' sin 6 + y' cos 8, este o

rotaţie de unghie. Se observă că rotaţia este o aplicaţie liniară : JR 2 -+ JR 2 , a

- . mat nce . . - .1n baze le canonrce . carer asocmta es t e Aplicaţia

M , = lcos . e sme

-sine)· case

f =tor se mai numeşte roto-translaţie.

Fie acum Oxyz, O'x'y'z' două repere ortogonale în spaţiu la fel orientate, (a, b, c) coordonatele lui O' faţă de Oxyz şi fie tabelul de cosinuşi directori care precizează poziţia axelor O'x', O'y', O'z' faţă de axele Ox, Oy, Oz:

72

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

j

a21

j'

k'

a22

a2a

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

k aal aa2 aaa ~

~

CI-t! =i-i' =coi{O:x,Ox'), CI-t 2 =i-/ =coi{O:x,Oy'), etc.... (în tabel suma pătratelor elementelor de pe fiecare linie sau coloană este 1, iar produsul scalar al oricăror două linii sau coloane este O, deci din 12 parametri rămîn 6 parametri ce precizează poziţia lui O'x'y'z' faţă de Oxyz). Fie M un punct oarecare în spaţiu, cu două seturi de coordonate (x, y, z); (x', y', z'). Avem: OM= 00' + O'M sau xi+ yj +zk = ai+bj +ck+x'i' + y'j' +z'k' (figura L 22). Înmulţim scalar relaţia succesiv cu i, j, k şi obţinem: M z' x = a+ a 11 x + a 12 y + a13 z y' (*): y = b + a 21 x' + a 22 y' + a 23 z'. z = c + a 31 x' + a 32 y' + a 33 z' ' d x n = a x , +a y +a z, N o t 1n (

1

l

'

1

1

11 12 y" = a21x' +a22Y' + a23z',

1

13

z" = a 31 x' + a 32 y' + a 33 z' putem

defini

f: IRa-; IRa,

f(x', y', z') = (x, y, z), care este o X

compunere f =tor, unde t : IR a ~ IRa " , t (X ... , y ", Z ") = (X, y, Z )

Figura L22.

este o translaţie şi r : IR 3 ~ IR 3 , r(x', y', z') = (x'', y", z") este o rotaţie în spaţiu; rotaţia este o aplicaţie liniară a cărei matrice asociată în bazele canonice este M, =

r=:: a31

::~

a32

=:: J a33

Este evident că Mr .MŢ =Ia deci matricea Mr este nesingulară şi 1

M; = M'[ (astfel de matrice se numesc ortogonale). Notînd X 0 =(a, b, X= (x, y,

zl,

X'= (x', y',

el,

z' l, relaţiile(*) se scriu matricea]

X= X 0 +Mr .x' şi inversînd, X'= M'[ ·(X -X0 ). Unghiurile lui L. EULER (1707-1783). Fie Sl'l={e1 , e2 , eal baza canonică a lui IRa, asociată cu reperul ortogonal Oxyz. Considerăm mai întîi o rotaţie în planul zOx (în jurul lui Oy), cu '-;~ghiul \lf. Trecerea de la reperul SI'!= Oxyz la reperul SI'!'= {{1 , { 2 , fa)= Ox' ,:Pz' se face după formulele de

( ALGEBRĂ LINIARĂ

73

rotaţie {1 =e 1 cos\jf+e3 sin\jf, { 2 =e 2 , { 3 =e 1 sin1jf-e3 cos\jf; notăm cu T 1 matricea de trecere respectivă. Se face apoi o rotaţie de unghi e în jurul axei Qz', obţinîndu-se reperul .'18" = (g1 , g 2 , g 3 ) = Ox 1 y'z' (cu matricea de trecere 'J'z) şi în fine o rotaţie în jurul axei Ox 1 cu unghiul y, trecînd (cu matricea T 3 )

]IJ. sitemul de coordonate Ox 1y 1z 1 identificat cu baza .'18' = {e;,

e;, e;)

a lui

IR

3

(figura I. 23). Avem:

1;

=

vr

cos O

[ sin

vr

O 1 O

-sin 1/fl _[cos iJ O , T2 - sm 8 cos

vr

O

o

- sin iJ cosiJ

cosy

O

siny

-s~nr] cosy

şi

compunerea celor trei schimbări de reper (adică trecerea de la .'18 la .'18*) corespunde produstiluimatricelor de trecere deci matricea de trecere de la .'18 la ~· va fi o matrice ortogonală, itnume T = T1 -T2 · T 3 . Unghiurile \jf, e, y se mai numesc unghiurile lui Euler. Matricea-coloană a coordonatelor unui punct X"'(x1 ,x 2 ,x 3 )EIR în baza .'18* este

T -1 (x1 x 2 x 3 )T =T T (x 1 x 2 x 3 )T .

y

x,

e,

X

ea

z Figura I.23.

2.8. Cîteva elemente de geometrie n-dimensională clasică Fixăm

~ 1. Numim puncte elementele lui lRn. Distanţa între două puncte x =(x1 , ... ,xn), y = (y 1 , ... , Yn) E IRn este

un întreg n

euclidiană

definită prin d(x,y) =

n

L (xk -

Yk) 2 . Pe mulţimea lRn se poate considera

k=l

structura de spaţiu vectorial definită în 2.1; cu această structură, lRn se mai notează uneori cu V n· Elementele lui V n se vor numi vectori n-dimensionali; un vector v E Vn este de forma v = (v 1 , ... , Vn) cu v1 , ... , vn numere reale. Doi vectori nenuli v = (v1 , ... , vn), w = (w1 , ... , wn) din Vn se numesc coliniari dacă există A. E lR astfel ca v = A.w. Remarcăm că dacă (e1 , ... ,en) este baza canonică a lui Vn=IRn, atunci aplicaţia O:IRn->Vn, x = (x1 , ... , xn)-> x1e 1 + ... + xn en este bijectivă (bijecţia lui Descartes).

74

MATEMATICI SPECIALE+ TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

Pentru orice două puncte x, y E IRn se defineşte vectorul xy =(y1 -x1 , ... , Yn -xn). De aceea, dacă x, y E fRn şi vE Vn, se va scrie y = x + v în loc de xy = v. Se observă că Ox = ()(x) este vectorul de poziţie al punctului x. Deoarece e este vectorul lui de poziţie Ox.

bijectivă,

punctul

X

poate fi identificat cu

Produsul scalar euclidian a doi vectori v, w E V n este prin n

Jarul =

~:Vkwk,

unde v=(v 1 , ... ,vn), w=(w1 , ... ,wn).

definiţie

Aşadar

sca-

asimi-

k=l

lînd aceşti vectori cu matrice 1 xn, rezultă < v, w > = v · wr. Dacă < v, w >=O, se spune că vectorii v şi w sînt ortogonali.

Lungimea unui vector vE Vn este prin

definiţie [[vii=~< v, v > = )i>i; k=l

distanţa euclidiană între două puncte x, y E IRn este deci d(x, y) = 11 xy 11· Dacă

v, w E V n sînt doi vectori nenuli, atunci unghiul lor este acel unic număr

eE [0, n] astfel încît case= .

[[v[[·flwfl Fie N=(A 1 ,A2 , ... ,An) un vector nenul din Vn- Se numeşte hiperplan trecînd prin punctul a= (a1, a 2 , ... ,an) şi avînd N ca vector normal mulţimea n

a,)= 0).

{x E IR"[< N,ax >=O) = {x = (x 1,... ,xn) E IR"[LA,(x,

Pentru

orice

1"'1

hiperplan H există o aplicaţie liniară f: IRn -; 1R şi un număr real a astfel încît

H = {x E JR"[f(x) =a).

Mulţimile

de

forma

{x E IR" [f(x) ···•xn)E JR"[x1 -a1 =...= xn -a"). vl vn Un concept mai general este cel de varietate liniară de dimensiune k în IRn (1 0:: k,:; n -1) trecînd prin punctul a E IRn, ca fiind o mulţime de forma L = a + T = {a + x 1x E T) unde T este un subspaţiu vectorial al lui Vn de dimensiune k. Se poate arăta că orice varietate liniară de dimensiune k în JRn este intersecţia a n - k hiperplane. Dacă

a, b E IRn, segmentul închis de capete a, b este mulţimea [a,b] = {(1- t)a + tb lo ,:; t ,:; !); o submulţime C c IRn se numeşte convexă dacă (lf) a, bEC, avem [a, b] c C. Hiperplanele, semispaţiile, varietăţile liniare sînt exemple de mulţimi convexe.

ALGEBRĂ LINIARĂ

care necesită cunoştinţe de geometrie multidimensională, este problema programării liniare: fiind dată o aplicaţie liniară f: 1Rn ---+ 1R (numită funcţie-scop) şi un sistem de inecuaţii l:iJtiare de forma a 11 x1 + ... +,a1nxnfn iJ:!, ... ,ak1x1 + ... +aknxnfn bk, numite restricţii liniare (in fiind unul din semnele$,=, ~),trebuie găsite punctele maxim sau minim ale lui {, cu aceste restricţii. În bibliotecile de programe există algoritmi de rezolvare a unor astfel de probleme (de exemplu ~lgoritmul simplex). 0

problemă

75

importantă,

de

§ 3. Valori şi vectori proprii; forme canonice ale

matricelot 3.1. Polinom caracteristic, polinom minimal Fie K un corp comutativ (de exemplu, K = 1R sau V un operator liniar. Subspaţiul W se numeşte {-invariant dacă f(W) c W, adică (It) x E W,

*

f(x) E W. OBSERVAŢIE. Dacă

W este un

subspaţiu

{-invariant al lui V, atunci

restricţia f 1 W poate fi considerată ca un operator al lui W, f 1 W : W -> W.

3.6. Fie f : V ->V un operator liniar. a) Pentru orice A E cr(fl, Vl. este un subspaţiu {-invariant al lui V. b) Dacă A1, A2 , ... ,APE cr(fl sînt valori proprii distincte două cîte două, atunci suma W = Vl. + Vl. + ... + v~. este directă. PROPOZIŢIA

1

DEMONSTRAŢIE.

2

p

a) Fie x

E Vl. deci ({- Alv )(x) = 0, adică f(x) =Ax. Deoarece AxE VĂ, rezultă că f(x) E Vl., deci VĂ este {-invariant. b) Procedăm prin inducţie după p. Pentru p = 2, folosind propoziţia 2.6, pentru a arăta că Vl. +VĂ este sumă directă este suficient să arătăm că

V). "v~. 1

2

=o.

1

2

Fie (It) X E v~. "V). ; atunci f(x) =Al X 1 2

şi

f(x)

=AzX,

deci

A1x = A 2x, de unde (Al- Az)x =O. Dar Al* Az implică x =O, deci Vi. n V, =O 1 A2 şi suma V1. + VJ., este directă. Presupunem afirmaţia adevărată pentru 1

ALGEBRA LINIARA

81

p -1?: 2 şi fie A1 , A:J, ... , AP E u(f) valori proprii distincte. Fie z = x 1 + x 2 +...+xP = y 1 + y 2 +... + Yp E V;_, +VA, +...+V. V un endomorfism şi $ o bază oarecare în V. Se numeşte polinom caracteristic al endomorfismului f polinomul caracteristic al matricei M'f', notat Pf' (acesta fiind independent de. baza 98, aşa cum arată Ierna 3.7). TEOREMA 3.8. În ipotezele anterioare, A E u(f) dacă şi numai dacă Pr(A)

= O.

DEMONSTRAŢIE.

Avem echivalenţele: A E u(f)

fismH Mf'_). 1v este singulară H

H

H

detM'f'-). 1v =O

f -A · lv nu este izomorH

det(M'f' -Mn) =O

H

Pr(A) = O (am ţinut seamă de legătura între aplicaţii liniare şi matrice).

Aşadar, A este o valoare proprie pentru f dacă şi numai dacă P/Xl este divizibil cu X - A. DEFINIŢIA 3.6 Fie A E u(f) şi Pr (X) = (X -A)"' · Q(X) cu Q(A) ;< O. Numărul nA,

se

numeşte

multiplicitatea

algebrică

a valorii proprii A.

82

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

Numărul r.l

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

= dimK v.~ se numeşte multiplicitatea geometrică a valorii

proprii A. PROPOZIŢIA

3.9. Pentru orice ).

DEMONSTRAŢlE.

Fie

9iJ.

E

a(f) avem r.l 5: n .l .

= {ui,u 2 ,... ,u,,} o bază în v~. care, fiind sistem

liniar independent îri V, se poate completa la o bază ga

a lui V: Pentru i = l, ... ,r.l avem f(u;)

= {u 1 ,... ,ur"

,vr.,+ 1 ,... ,v,)

=-tu,, deci matricea fîn baza 9'1 are

forma ).

o

o

).

o *

o

*

o

Mff!

).

f

o o o

...

...

*

o *

* ...

*

unde cu semnul * au fost însemnate elementele necalculate ale matricei. Avem Pr(X) = PM"'(X) =().-X)'' · T(X) dar Pr(X) =(X-).)"' · Q(X) f

şi

Q(A) >'O, deci r;, 5: n.~.

3.3. Proprietăţi de calcul ale valorilor şi vectorilor proprii o matrice pătraticăA E Mn(IC), A = (aii )I>i,J'O astfel încît x ·A T = }.x (notînd X= xT) H xT. A T = AXT H există un vector coloană nenul X astfel încît A· X= AX H sistemul liniar şi omogen (A- }Jn) ·X= O admite soluţii nebanale H det(A- }Jn) = O. Aşadar: 1. Un scalar ). E IC este valoare proprie pentru o matrice A E Mn(IC) dacă şi numai dacă A este rădăcină a ecuaţiei caracteristice det(A - }Jn) = O, adică au -).

ai2

ain

a2I

a22 -).

a2n

ani

an2

ann-

=0

A

ALGEBRĂ LINIARĂ

83

2. Dacă PA (X) = (-1)"(X- A-1 )"1 ••• (X- AP)"' unde il:t, ... ,AP E IC sînt distincte două cîte două şi dacă n 1,... ,nP sînt întregii• unde Pi : V-> V,

x-> xi.

OBSERVAŢIE. Reţinem următorul "algoritm de diagonalizare" : Fiind matriceA E Mn(K.), se parcurg următoarele etape: 1. Calculul lui PA(X) şi descompunere a în factori liniari PA (X) = (-1)" ·(X- A1 )"' ...(X- AP)"P.

dată

o

2. Pentru fiecare valoare proprie AE cr(A) se calculează VĂ şi dim v,~. Condiţia ca A să fie diagonalizabilă este ca dim V,~ = n,~ pentru orice A e;, cr(A). Presupunem îndeplinită această condiţie. 3. Se determină cîte o bază 9!J. în V. V un endomorfism. Spunem că f este triang;ulariza bil dacă există o bază fXJ a lui V astfel încît M să fie superior (sau inferior) triunghiulară.

'f

88

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

TEOREMA 3.11. (criteriul de triangularizare). Fie V un spaţiu vectorial peste K, dimK V = n, f: V -.. V un endomorfism pentru care polinomul caracteristic se descompune în factori liniari peste K, adică Pr(X) = (-1)"(X- A1 )"' ... (X- AP)"' E K[X], cu toţi Ai E K, unde n 1 + ...

+ np = n. Atunci f este triangularizabil.

DEMONSTRAŢIE.

Fie

A= A1 E cr(fJ;

{u 1) este sistem liniar independent a'l_ = {u 1 ,u2 ,... ,vn). Deoarecef(u 1) = Au 1 avem:

A a12 @,

A = Mr

O = ...

[

O

a22

...

··· a1nl ···

a2n

...

an2

l(A

= O

există

atunci

Mulţimea

şi

a12

u1 E

V~,,

u 1 * 0.

se poate completa la o

···

C

a12J

; cu

bază

CE M"_ 1 (K).

ann

Vom demonstra afirmaţia prin inducţie după n. Pentru n = 1 afirmaţia este evidentă. Presupunem afirmaţia adevărată pentru n - 1 ~ 1 şi calculăm

A-X

o

a1nj

~~~

o

=(A-X)·Pc(X}

ann-

Rezultă că P c IR 4, g(x, y, z, t) = (x- y, x- y, EXEMPLE.

x -y +z, t).

92

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTEA 1)

Matricea lui fîn baza canonică este

o o -1 o o -1 1 o o o 1 -1

A

o[j

Avem Ker A~ {x IA ·x ~OI~ {a· uT

la E IRI, unde u ~ (1, 1, O, 0); apoi

o o o o]

2~0000

A

1 -1 1 O

ro

o o

1

şi KerA 2 ~ {(a,b,-a+b,O)Tia ,bE IRI. DeoareceA 3 ~A 2 , nucleul stabil al lui g este K(g) ~ Ker A 2 ~ Ker g 2 ; în mod similar, imaginea stabilă este l(g) ~ Im g 2 ~ {(0, O, u, vJTiu, vE IRI.

2) Fie D : IR 2 [XJ -> IR 2 [XJ operatorul de derivare; avem Ker D ~ !P E IR 2 [XJI P' ~ OI ~ IR (polinoame de gradul zero), Ker D2 ~ {PE IR 2 [XJ 1 P"(XJ ~OI (polinoame de gradul întîi) şi în final, K(D) ~ IR 2 [XJ, l(D) ~ 101. 3) Dacă g este un operator nilpotent (adică (3) r ,, adică V = V., +...+ V;t, , incluziunea cealaltă fiind evidentă. Rămîne

de demonstrat că suma este directă, deci că scrierea este unică. + ... + xP : : : y 1 + ... + Yp, cu xi, Yi E V'\, i = 1, 2, ... ,p; obţinem (x 1 -y 1) + ... + (xP- Yp) =O, deciz 1 +z2 + ... +zP =O, dacă notăm zi = xi- Yi E VA,, i = 1, 2, ... ,p. Presupunem de exemplu z 1 *O şi scriem z 1 = -z2 - ... - zP. Atunci Q1 (f)(z1 ) = -Q1 (f)(z2 ) - ...- Q1 (f)(z P). Fie v

= x1

Dar Q1 (f)(z2 ) = ((-1)"([

-'.3 1v)"' o...o({-Âp1v)"'(f-- '.2 1v)"'(z2 )) =O,

deoarece z 2 E V;t 2 = Ker(f - .ri liniar independenţi, deci o bază în Vi. (dimx~ = m) (faptul că sînt independenţi este o consecinţă a modului în care au fost aleşi vectorii completarea bazelor şi a folosirii sumelor directe). :Re:ma1rc:iim că, luînd subspaţiile lui ~ generate de vectorii de pe fiecare coJd;tnă din diagrama de mai sus, în ordinea coloanelor, obţinem pe ~ ca sumă i!lrectă de subspaţii ciclice, şi anume: p subspaţii ciclice de dimensiune s, 1 pz- p 1 subspaţii ciclice de dimensiune s- 1, p 3 - p 2 subspaţii ciclice de dimens~une s- 2, etc, ... ,p,- p_,_ 1 subspaţii ciclice de dimensiune 1, deci în total p~';Pz- p 1 + ... + p_,- P.,-! =P., =d1 subspaţii ciclice (atîtea cît multiplicitatea goom~trică).

'';YS,:~:nd matricea lui{; în baza e!J( de mai sus, aranjată în ordinea parcur-

g~rl.i"coloanelor (adică e?J; = {u"g(u 1 ), ... ,g•-1(u 1); Ufli, ... ,g

1

8 -

Pl"?poziţiei

(UP 1 ); Up +l, ... ,g 1

3.13 pentru

8 -

2

u 2 , g(u 2 ),

... ,

ciclice,

obţinem

Jord.;tn: A. 1 A. 1

o

Mm;{,

o

o

'0

()

1 ). A. 1 A. @ 1

-

o

o o

o 1 ). ).

cv1

.•. ;

şi aplicînd corolarul un bloc Jordan cu celule

(up + 1 ); ... ;uPe-t+ 1 , ... ,uP..D 1

subspaţii

g'-'(u 2 ),

o ). ).

102

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

Deci în M~; sînt p 1 celule Jordan de ordinul s, p 2 - p 1 celule Jordan de ordinul s -1, ... ,p,- p,_ 1 celule Jordan de ordinul1; dacă Pk =p._ 1 atunci nu apar celule de ordinul s + 1- k. TEOREMA 3.20. Fie V un spaţiu vectorial peste K, dimKV = n şi f: V_, V un endomorfi sm cu polinomul caracteris tic descompu s în factori liniari peste K: P (X) = (-1)"(X- A. 1 )"1 (X- /" 2 )"2 ... (X- A.pl"' E K[X), 1

unde n 1 + n 2 + ... + nP = aibă formă canonică

n.

Atunci există o bază !3IJ în V astfel încît Mf să

Jordan.

Conform teoremei 3.16 de descompun ere primară avem că V= V" 1 El V"' El ... El V"'. Conform teoremei 3.19 există în fiecare V"• cîte o bază YB, astfel încît M~' să fie bloc Jordan cu scalarul A.,, i = 1, 2, ... ,p. DEMONSTRAŢIE.

Atunci din teorema 3.14 rezultă

că

în baza !3IJ = !31J1 u !31J2 u ... u YBP avem

o

o formă canonică

Jordan.

COROLAR. Fie A E Mn(K) o matrice pătratică pentru care polinomul

caracteris tic se descompu ne în factori liniari peste K, p

PA(X) = (-1)n

IJ (X- "-J', cr(A) = {A,l> ... , A.P) şi n

1+

... + np = n.

i=l

Atunci există o matrice nesingulară TE Mn(K) astfel încît r-'·A·T = J, unde J este o matrice sub forma canonică Jordan. DEMONSTRAŢIE. Fie f: K" _, K" endomorfis mul asociat lui A în baza canonică YB, din K" (deci fix) = x . A T). Fie T matricea de trecere de la baza Yil, la baza !3IJ din teorema 3.20. Atunci ? 1AT = Mf = J. A jordaniza o matrice A E Mn(K) ca mai sus, înseamnă a indica o matrice 1 nesingulară TE Mn(K) astfel încît ? ·A · T = J (forma canonică Jordan). OBSERVAŢII. 1) Forma canonică Jordan este unică pînă la o permutare a celulelor Jordan. 2) Demonstraţiile teoremelor 3.19 şi 3.20 sînt constructive , deci ne oferă un algoritm de aducere la forma canonică Jordan. 3) Teorema 3.20 nu are loc dacă K = IR şi P/.Xl nu are toate rădăcinile reale. Pentr.u aceste cazuri dăm cîteva definiţii:

ALGEBRĂ LINIARĂ

Definiţia 3.13. Fie n =X:- a,_ 1X:?)vâţi.onilc (primul coeficient= 1). Matricea

1

- ... -

a 1X- Uo E K[X] un polinom

a0

O

O O O

103

o o o 1 o

1

c, =

1 a,_ 1

O O O

companion ul matricial al polinomul ui n. Polinomul !;&racteristic al lui C, este (-1)'n. ).;.,0Fie P = r!', nE K[X], k;, 1, n monic şi ireductibil peste K, grad n = r. }4('tricea numeşte

o

c, o N c,

J,= n

o

N

E

o

N

M,.(K)

c,

Jordan (peste KJ ataşată polinomul ui r!', unde matricea NE M,(KJ are toate elementele nule cu excepţia lui n 1,, egal cu 1. Teorema Jordar~are loc şi în acest caz, doar că celulele Jordan sînt ca licelea definite mai sus. În cazul K = lR, dacă n =X- A E lR[X] şi p = r!', atunci O A O 1 A

se

numeşte celulă

J nk =

o

1

1 A

O ~-

/

a celulei Jordan. Dacă [deoarece C, = (.\) şi N = (1)], adică forma 2 1t:_x2- I3X- y E lR[X] cu f3 + 4y < O (n ireductibil peste lR) şi P = r!', atunci avem: anterioară

î

J,= "

[H::

o 1 o o o 1

o

o y

p

o o

o

y

1

p

104

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

1)

o· Prezentarea algoritmului de jordanizare Presupunem că este rului teoremei 3.20. ETAPA I-A.

dată

o matrice A

E

Mn(K) satisfăcînd condiţiile corola-

Se calculează polinomul caracteristic

PA (X)= (-1)"

fi (X -'A;)"' i"'l

şi

spectrul cr(A) = {'A 1, ETAPA A

(matricea

... ,

'AP), n 1 + ... + nP

= n.

o valoare proprie 'A= 'A 1 E cr(A) şi fie B =A- 'A ,In operatorului g = f- 'A 1 1v dacă A este asociată lui {J. Se ascendent al nucleelor, staţionar după un număr finit de

Il-A.

Fixăm

asociată

calculează şirul paşi:

V,, = Ker B c Ker B 2 c ... c Ker B''-1 c Ker B'' = K(B) = VJ., (reamintim că dim V,_ ,= multiplicitatea geometrică, iar dim

v"• = n 1 =

multiplicitatea algebrică ale lui 'A,).

ETAPA A III-A. Alegem vectori-coloană liniar independenţi u" ... , up, E Ker B' 1 Ker B'-1 astfel încît Ker B'-1 $ [u 1, ... , up, }- = Ker B''. Aceştia vor constitui prima linie a tabelului de mai jos: u , ... , uPJ 1 Se calculează vectorii Bu1 , ... , Bup, care aparţin lui Ker B'- 1 1 Ker B''-2 şi

alegem vectori liniar independenţi up,+1 , ... ,up,

E

KerB'-1 \KerB''- 2 astfel

încît Ker B 8 - 2 EB {Bu 1 , ... , BuP 1 , up 1 +1 , ..• , uP

2

}-

=

Ker B8 - 1 .

Se poate scrie atunci o a doua linie de vectori a tabelului (*)

Se

calculează

apoi prin înmulţirea acestora cuB, vectorii

şi se aleg vectori liniar independenţi up,+!, ... , up, din Ker B'-2 1 Ker B''-3 ast-

fel încît

Ker Bs-S EB {B 2u1 , ... , B 2uP 1 , Bup 1 +1 , ... , BuPz' upz+l' ... , UP }3 În final se completează următorul tabel:

=

Ker Bs-Zetc.

ALGEBRĂ LINIARĂ

B

,_,

u1 ,

•.. ,

B,q-1

uP, 1

Bs-2

uP +1 , 1

... ,

B,~-2

uP , ... ,uP 2

~-1

105

+1 , ... ,uP

.
: 1; astfel se calculează puterile naturale ale oricărei matrici (reducîndu-le la puterile lui J, care se efectuează pe celule). Vom vedea mai tîrziu că sistemele diferenţiale liniare de ordinul I cu coeficienţi constanţi se rezolvă folosind jordanizarea, care în plus permite "decuplarea" sistemelor respective, în subsisteme mai mici, asociate unor celule Jordan. 1

§ 4. Metode numerice în algebra liniară 4.1. Rezolvarea sistemelor liniare

Fie un sistem liniar AX= B, cu A E Mn(IR) matrice nesingulară. Atunci sistemul admite o soluţie, unică. Pentru rezolvarea lui efectivă se pot aplica metode directe (Gauss) sau metode iterative (acestea din urmă recomandabile pentru n mare). Regula lui Cramer este nepractică şi are doar o însemnătate principială. Într·-adevăr, aplicarea ei conduce la calculul an + 1 determinanţi de ordin n. Dar calculul unui determinant de ordin n revine la a calcula o sumă de n! termeni, fiecare termen fiind produsul a n factori. Aşadar, pentru a aplica efectiv regula lui Cramer, trebuie efectuate cel puţin N = (n + 1) · (n!) operaţii. Deoarece n! > nne-n pentru orice n ~ 1, rezultă N > (n+l) · nn · e-n; de exemplu, pentru n = 30, rezultă N > 1025 . Astfel, dacă se efectuează 108 operaţii pe secundă, rezolvarea unui sistem liniar de 30 de ecuaţii şi 30 de necunoscute prin regula lui Cramer ar necesita cel puţin 109 ani!

ALGEBRĂ LINIARĂ

109

a) Metoda lui Gauss (K. F. Gauss, 1777-1855) Fie un sistem liniar n _Laijxj f:l

::=

1 :S: L :S n

ai,n+l;

k'){scris matricea! A· X= B), unde se presupune că detA *O. Prezentăm pe metoda Gauss. Să presupunem că au *O (ceea ce se obţine printr-o renumerotare a •. v•o•- nenul). Atunci (1) - U,j (2 < . < (1} (1) -J-n+ 1) . --und ea 11 nxn -al,n+l' x 2 + ... +a 1(1) x 1 +a 12 au ·> frtntulj;inctaici cu 1 pentru i = 2, ... , n, scăzînd din ecuaţia a i-a şi punînd (l) ai 1 (2 $ z.. $ n, 2 ':SJ. $ n + 1) , au(l) ::= aij - a 11

a,

~(1)_{1) - ai,n+l pentru

L.,;aij x 1 j=o2

._

L-

2, ... , n.

2 S!!''constată că am efectuat n + 1 + (n + 1)(n- 1) = n + n operaţii. Aşadar

&istemul iniţial (1) este echivalent cu sistemul (1)

(1)

Xr

+arzXz + ... +alnxn =

(1)

al,n+l

:eresupunînd că a~~ *O (ceea ce se obţine renumerotînd necunoscutele) şi repetînd procedeul anterior se obţine sistemul echivalent cu (1) (1)

Xl

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

+ a12 Xz + ~3 X3 + ··· + aln xn :;;;:; al, ntl

Xz + a23 Xs + ... + azn xn = az, n+l

am indicat numărul de ordine al etapei în care se calculează 9oeficienţii respectivi). Iterînd procedeul, se va obţine în final un sistem triunghiular echivalent cu {1), anume ~)a. exponent

110

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

(2)

Xz + a23 X3

(2)

+ ··· + azn xn

APLICAŢII

(2)

= az, n+l

(3)

X3

•!• (PARTEA 1)

(3)

+ ... +aanxn = a3,n+l

(2)

+ Xn-1

Acest sistem se operaţii este

rezolvă

(n-1)

"de jos în sus". Se

n

LA.~, ... ,Am, ~1' M2' ... , ţln E IR, atunci

~~i~):f~~e]pe!n acest capitol cu

m

n

m

n

(2),x,, LJ.l;Y;)= LLÂ;J.l;(x.,Y;l· i"'l

j=d

i=lj=l

Punînd Â. = -1 în PS.3, rezultă = - pentru orice x, y e V. Doi vectori x, y E V se numesc ortogonali dacă =O şi se scrie x .L y. 'Relaţia de ortogonalitate este, conform PS.l, simetrică. Deoarece = = + = - =O, J:~2:ult:ă că u .L O pentru orice u E V. De asemenea, observăm că dacă u .L u, u =O conform PS.4. Pentru orice x E V notăm llxll = ,j< x, x >; evident, t9.nforln PS.4, llxll ~O şi llxll =O dacă şi numai dacă x =O. Numărul llxll se

118

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

numeşte

norma lui x; vom vedea norme pe V

că într-adevăr

APLICAŢII

se

•!• (PARTEA 1)

verifică proprietăţile

unei

Va cu produsul scalar uzual al vectorilor: pentru orice v, w E Va, v = x 1i + x,j + xak şi w = y 1i'+ y,j + Yak

EXEMPLE. 1) V=

avem =x 1y 1 +X!!Yz +X!!Ya·

Va este astfel un

spaţiu

euclidian (deoarece au loc evident proprietăţile PS.1- PS.4). 2) Fie V= IR". Pentru orice x, y E IR", x = (x 1, ..• , xn), y = (y 1, .•• , Yn), punînd n

= x 1y 1 + ... + XnYn = _Lx,y,, se obţine un produs scalar numit euclidian. i=l

Dacă identificăm spaţiile

vectoriale reale Mn,l (IR) şi IR", atunci este evident că se poate exprima produsul scalar euclidian în scriere matriceală astfel: =xr-Y, unde X, respectiv Y, este matricea-coloană a coordonatelor lui x, respectiv y, în baza canonică. Spaţiul V= IR" cu produsul scalar de mai sus este "prototipul" spaţiului euclidian real, într-un sens care va fi precizat mai departe. Mai general, pe spaţiul vectorial real Mm,n (IR) se poate defini produsul scalar următor: pentru orice A, B E Mm n(IR), se pune =urma matricii AT · B; aşadar, dacă A= (au), B = (b,), ~tun ci m

=

n

L Laij bij. ico:l }=!

Acesta este de fapt produsul euclidian în spaţiul Mm,n(IR)"' IRm". 3) Fie V= Cr0a,bJ (spaţiul vectorial real al funcţiilor continue [a, b]->IR); se poate considera pe V produsul scalar defmit prin b

< f, g > =

ff(x)g(x) dx, (\t)f, g

E

C[~. bJ"

a

spaţiu

V este un

prehilbertian real (infinit dimensional).

TEOREMA 1.1. Fie V un spaţiu prehilbertian real.

(a) Pentru orice x, y E V are loc relaţia 1< x, y > 1sllxii·IIYII (inegalitatea lui H. A. Schwartz, 1843-1921). (b) V este spaţiu vectorial normat, relativ la norma V --7 IR, x ->llxll; (c) (It) x, y lui).

2

E

2

V, !x + Y! + 1/x -· Yll = 2(llxll 2 + !IYII

DEMONSTRAŢIE. a) Dacă y =O, atunci evidentă. adică

deci

2

:

(regula paralelogramu-

IIYII =O, =O şi relaţia este Presupunem y ,o O şi fie A E IR. Atunci conform PS.4, ;o, o, + 2A + A2 llxll este o normă pe V şi V devine un spaţiu vectorial normat. c) Pentru orice x, y E V avem 2 2 2 llx + Yll = < x + y, x + Y > = llxll + 2 < x, Y > +IIYII ' 2 2 2 llx-y!l = = llxll -2 +IIYII • şi .adunînd aceste relaţii, se obţine relaţia dorită. OBSERVAŢII. Pentru orice x E V (spaţiu prehilbertian real), norma llxll se numeşte lungimea vectorului x; dacă X, y E V numărul real d(x, y) = llx- Yll se numeşte distanţa între x şi y; iar dacă x, y sînt nenuli, ''~tunci conform inegalităţii lui

mai

. Sehwartz

~~·L~ E [ -1, 1) şi

nu-

mim unghi al vectorilor x, y nu•· mărul reale E [0, n] astfel încît

8 cos = llxll IIYII , Deoarece orice spaţiu prehilbertian V este un spaţiu metric .. relativ la distanţa d(x, y) = llx- Yll, ţii) x, y E V, se poate vorbi de u\!onvergenţa şirurilor de elemente "din V.

-X

Figura II.l.

1.2. Se numeşte spaţiu Hilbert real orice spaţiu prehilbertian ·real, care este complet (DAVID HILBERT, 1862-1943). 1) V= IR" este un spaţiu Hilbert real. 2) V= C1°a, 61 nu este complet, deci nu este spaţiu Hilbert. DEFINIŢIA

1.3. Un spaţiu vectorial complex V se numeşte prehilbertian complex dacă există o aplicaţie V x V--> IC, (x, y)--> , astfel încît pentru !lrice x, y, z E V şi pentru orice A. E IC să fie îndeplinite proprietăţile: DEFINIŢIA

120

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

- , = + , =Â ;

în plus numărul real (real deoarece< x, x > = < x, x >) este pozitiv şi este nul dacă şi numai dacă x =O. Aplicaţia V x V-+ IC, (x, y) -+ , se numeşte produs scalar complex; spaţiile prehilbertiene complexe finit dimensionale se mai numesc spaţii euclidiene complexe (sau spaţii unitare). Produsul scalar complex are aceleaşi proprietăţi ca şi cel real şi demonstraţiile sînt aproape identice. Deoarece inegalitatea lui Schwartz se obţine puţin diferit de cazul real, vom da argumentul: pentru y =O la fel; fie y O şi A E IC. Atunci

*

(X+ Ay,

X+ Ay) 2: o,

adică

Dacă +flxlfz 2: O. y> =O, inegalitatea Schwartz este evidentă.

Dacă *O, alegem A= t l < x, y > l, cut E IR, şi obţinem

IIYII

2

+ 2t 1 l+ilxf[2 2: O, (\f)t E IR. Din regula semnului trinomului de gradul doi obţinem t

2

1 12 - llxrniYII2 "o, adică

1 1o>llxiiiiYII·

În cazul spaţiilor prehilbertiene complexe se definesc analog ortogonalitatea, norma, distanţa, dar nu se defineşte unghiul a doi vectori. Un spaţiu prehilbertian complex complet se numeşte spaţiu Hilbert complex. EXEMPLE. 1) Fie V= IC". Pentru orice x, y E IC", x ... , Yn), punînd

= (xl> ... , xn),

y = (y 1,

n

=x1Y1 + ... +xnYn

=

Lx3;t,

se obţine un produs scalar complex. V= IC" cu acest produs scalar este "prototipul" spaţiului euclidian complex; el este şi spaţiu Hilbert. Analog putem exprima produsul scalar în scrierea matriceală: = XT · Y. 2) Fie V= { f: [a, b]-+ IC 1 f continuă), spaţiul vectorial complex al funcţiilor continue [a, b] -+ IC, cu produsul scalar complex. b

J

< f, g > = f(x)g(x)dx, (\/){, g

E V.

a

Se un

obţine

spaţiu

un spaţiu prehilbertian complex infinit dimensional, care nu este Hilbert (deoarece nu este complet).

DEFINIŢIA 1.4.

Fie V un sp;1ţiu prehilbertian real sau complex. Un sistem (finit sau numărabil) de vectori nenuli {e 1, e2 , ... , e,, ... 1 se numeşte sistem

GEOMETRIE LINIARĂ

121

;f~"i~~~~::·~ de vectori dacă = O pentru orice i * j. El se numeşte ;

ortonormal de vectori

dacă

(\t)i,),=81, =

"

o {1

pentru i

*j

pentru i = j

lledl

i)ff)#;}';îŞa-
+ ... + ak = ;~1 .deci, a" < e;,, e, > = O, de unde rezultă CI.;., = O; contradicţie. b) Din punctul anterior rezultă că fiii este sistem liniar independent şi conform corolarului teoremei I.2.3., fiii avînd n = dim V vectori, rezultă că este '~iti;i). în V. "TEoREMA

1.3.

(ortogonaliz area

Gram-Schmi dt;

1.

P.

Gram,

':ţŞS0-1916; E. Schmidt, 1876-1959). Fie V un spaţiu prehilbertian real 'l!"')l: .complex, L = !vv v2 , ... , vk, ...) un sistem liniar independent de ·~~tori şi

fie, pentru orice k;:, 1, Wk subspaţiul generat de {v , v2 , ... , vk). 1 '~pnci există un sistem ortogonal de vectori L' = {e , e , ... , ek, ... ) astfel 1 2 :}~~îtsubspaţiul w; generat de lev e2, ... , ek) să coincidă cu w., pentru •(Ji-;'c'e k = 1, 2, ....

'1i#f:•:fiJi;llfONSTRAŢIE. Inducţie după k; )'~~~"'?sistem ·= O, pentru orice i = 1, 2, ... , k. Obţinem + ai · = O, deci < vk+l' ei> lhll 2 a,=

şi determinăm

e,

W,_"

ceea ce nu se poate, căci din (avem !le, li* O deoarece ifo O; altfel w, = ipoteza L sistem liniar independent, rezultă dim W,_ 1 = i - 1 < i = dim W,J. =Wk şi din definiţia lui ek+l> rezultă că ek+l E Wk+l• deci Din ipoteza

w;

k

w;+l c

wk+l;

dar

vk+l

=

ek+l- :L,aiei i=l

EW{+l deci avem şi

wk+l

c w;+l' adică

w;+l = wk+l·

COROLARUL 1. În orice spaţiu euclidian real sau complex există

baze ortonormale . K =IR (respectiv C). Fie fiil = !v 1 , v2 , ..• , un} o bază oarecare în V (n = dimKV). În particular fiil este sistem liniar independent şi putem aplica teorema anterioară: există L'={e~,e;, ... ,e~} sistem ortogonal DEMONSTRAŢIE. Notăm

de vectori astfel încît subspaţiul generat de L' să coincidă cu subspaţiul generat de fiil, adică cu V. Rezultă că L' este bază în V şi luăm

L = {e,. e2 , ... , en}, unde e, = : ;

,

i

=1, 2, ... , n. Atunci L este o bază ortonorma-

11

11

2

lă în V deoarece = lle,ll = 1; fig. II.2.c, pentru n=2. OBSERVAŢIE.

fiil = {e 1, e 2 ,

••• , en}

Fie V un spaţiu euclidian real sau complex şi o bază ortonormală în V. Pentru orice x, y E V avem: n

n

X= 'L,xiei, Y = L,yJeJ xi, Yj io:ol n n

E

K, i,j = 1, 2, ... , n şi

J=l n

n

n

= L,·L,x,y1·= L,L,x,y/iii =L,x,y, =XT·Y, i=l i=l )=1

i=l J=l

într-o bază ortonormală orice produs scalar admite scrierea "standard" (dacă V este real, atunci Y = Y). COROLARUL 2. Fie V un spaţiu euclidian real sau complex, dimKV = n (K = IR sau C) şi fie W c V un subspaţiu vectorial cu dimKV = r, 1,:; r,:; n- 1. Atunci există un unic subspaţiu U c V cu pro· adică

GEOMETRIE LINIARĂ

123

W (!) U = V şi W .l U (adică (V) X E W şi (V) y E U, avem x .l y ), ;b1rrtictdar, reztdtă că dimKU = n - r şi că U = {u E V 1 u .L WJ [u .L W u .l x, (V) X E WJ, 1 bs11 aţiul U se mai notează W şi se numeşte complementul ortogonal bspaţittlui W. fEn[OINS'TRAŢIE. Fie {w 1, ..• , w,} o bază în W, pe care o completăm la o bază ... , wr, vr+V ... , un} a lui V. Din rezultatele anterioare rezultă că există E'>i~.ortotlorm:•lă lev ... , e,, e,;- 1, ... , en} în V astfel încît subspaţiul generat de să coincidă cu W. Luăm atunci U subspaţiul generat de {e,+l' ... , en} dim~ =n - r. Evident W n U ={0}; altfel am obţine alel+ ... + a,.er = ar+ler+l + ... + anen :eu.pe1 puţin un a,* O, ceea ce contrazice liniar independenţa vectorilor en}. Rezultă atunci relaţia W (!) U =V. (dimJ!W (!) U) = r + n- r = n). '

Avem apoi W .L U: (V) x = ,La;e; E W şi (V)y =

j=r+l

i=l

L ,La,a>=0 (căcii,.j). n

'

=

n

Ia jej,

i=l j=r+l

acum unicitatea lui U. Fie subspaţiul U1 c V astfel încît W(!) U1 =V şi W .L U 1• Fie u 1 E U1 oarecare; atunci u 1 = w + u, w E W şi U)E> U1 deci =O, adică O= + = . Rezultă w =O, d,ed . u 1 = u E U, adică U1 cU. Schimbînd rolurile lui Uşi U1 rezultă analog u c ul, deci u, = u. Evident pentru orice u E u avem u j_ W; reciproc, dacă ~ţ,L W, atunci raţionamentul anterior ne arată că u E U, deci Q;;{uE V lu.L W]. Să arătăm

1.2.

Funcţionale

liniare,

spaţiul

vectorial dual.

vectorial peste un corp comutativ K Se numeşte funcţională liniară pe V orice aplicaţie liniară F: V -7 K 'Mulţimea funcţionalelor liniare, HomJ!V, K), este un spaţiu vectorial peste K; numit spaţitd vectori al dual al lui V şi notat cu V (sau cu V'). Fie tiiJ = lev e 2, ... , e.l o bază în spaţiul vectorial V de dimensiune n. Se ştie că orice aplicaţie liniară este complet determinată de valorile ei pe vectorii l1:nei baze. Defmim pentru i = 1, 2, ... , n funcţionalele liniare e' pe V prin DEFINIŢIA 1.5.

e'(e) =

Fie V un

spaţiu

oij.

1.4. Fie V un spaţiu vectorial peste corptd K, dimKV = n, 2 tiiJ = {e1 , e 2 , ... , e.} o bază în V şi ge' = {e', e , ... , e"} c V. Atunci ge' este o bază în V (numită baza duală lui tiiJ ). PROPOZIŢIA

l

1 DEMONSTRAŢIE. Fie a1e + a 2

1

2

+ ... + ane" =O cu a, ·

E n

K; atunci avem

a 1e Ce)+ aze (e) + ... + af"Ce) + ... + a"e Ce)= O,

124

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

deci aj =O pentru oricej = 1, 2, ... , n, adică m• este sistem liniar independent de vectori. Se ştie că dimKv" = n · 1 = n (teorema 2.17, cap. 1), deci m• este bază.

LEMA 1.5. Fie V un spaţiu vectorial peste K şi dimKV = n. Dacă F, G: V-> K sînt funcţionale Iiniare cu Ker F = Ker G, atunci F =leG, cu AE K. DEMONSTRAŢIE. Dacă F = O atunci Ker F = V= Ker G, deci G = O şi orice  E K verifică relaţia F =leG. Fie F" O şi fie x E V cu F(x )" O. Atunci 1 1 Im F" {O}, deci Im F = K şi alegem x 0 E V astfel încît F(x 0 ) = 1. Pentru orice x E V avem: F(x) -F(x) ·1 =O sau F(x)- F(x) · F(x 0 ) =O, deci F(x- F(x)x 0 ) =O, adică x -F(x)x0 E Ker F = Ker G, de unde G(x- F(x)x 0 ) =O sau G(x) = G(x0 ) · F(x). Dar G(x 0 )" O [căci altfel G(x) =O pentru orice x E V, deci G = F.= O, contradicţie]. Atunci putem scrie F(x) = /..G(x), (V)xE

1 G(x0 )

V (t..=--).

Pentru F" O scalarul A. este unic. Într-adevăr, fie F = /.. 1G cu /.. 1 E K; atunci =O şi cum G(x0 )" O, rezultă A= A. 1. Obţinem următoarea caracterizare a funcţionalelor liniare pe spaţii euclidiene: TEOREMA 1.6. (F. Riesz, 1880-1956). Fie V un spaţiu euclidian real sau complex. Pentru orice funcţională liniară F : V-> K există şi este unic x 0 E V astfel încît F(x) = pentru orice x E V. DEMONSTRAŢIE. Fie W = Ker F; dacă F = 0 (adică W =V), atunci luăm x 0 =O şi avem O= F(x) = , pentru orice x E V. Fie F" O (adică W" V); atunci IrnF = K, deci dimKW = n- 1 şi aplicînd corolarul 2 al teoremei 1.3, rezultă că există un unic U c V astfel încît WEB U =V, W j_ U (dimKU = 1, U = W~ complementul ortogonal al lui W). Fie {u} c U (u " O) o bază a lui Uşi considerăm funcţionala liniară G(x) = . Atunci avem: Ker G = {x E V lx j_ u} = {x E V lx j_ U} = U~. Aplicînd din nou corolarul pentru U obţinem Ker G = u~ = W = Ker F. Din Ierna anterioară rezultă că există A E K astfel încît F(x) = /..G(x), pentru orice XE V, adicăF(x)=A= . Luînd x 0 = Âu, obţinem pentru orice x E V: F(x) =. Să arătăm unicitatea lui x 0 ; fie x1 E V cu F(x) = pentru orice x E V. 1 Atunci =, deci =O, (V) x E V. Alegînd x = x 0 - x 1 obţinem =O, deci x 0 - x 1 =O, adică x = x . 1 0 EXEMPLE. 1) Fie V = bl spaţiul vectorial real al funcţiilor continue pe [a, b ]; aplicaţia (/..- /.. 1)G

cta,

b

I: V->

IR: cp-> Jcp(t)dt, a

GEOMETRIE LINIARĂ

125

a integralei, este o funcţională liniară pe V (În acest caz dim~ V==). Pentru orice funcţională liniară f: IR"-> IR şi pentru orice x E IR", n

"''""····-,, ... , xn), avem x = ~x;e; ({el> ... , enl fiind baza canonică în IR") deci i=l

n

''"''·-'= ~xf(e;l; notînd c;=f(e),

lSiSn, rezultă căfeste bine determinată

i""l n

vectorul c =(el> ... , cn) E IR" şi anume f(x) = ~C;X; = < c, x > (produsul ,i=l

scalar euclidian). Aceasta este de fapt demonstraţig teoremei lui Riesz în cazul V= IR", K = IR. În cadrul analizei funcţionale sînt caracterizate funcţionalele liniare (şi ·t'ontinue) pe spaţii înzestrate cu diverse structuri.

§ 2. Clase de operatori pe

spaţii

euclidiene

2.1. Adjunctul unui operator, operatori

autoadjuncţi

PROPOZIŢIA

2.1. Fie V un spaţiu euclidian real sau complex şi un operator liniar. Atunci există un unic operator liniar V-> V cu proprietatea că = = = pentru orice x E V Obţinem atunci o funcţie (:V-> V, y-> x 0 = ((y), care este operator liuiar. Într-adevăr, pentru(' + = = = = = =, deci, ca mai sus, rezultă că (/og)' =g' o(.

c) Pentru (V) x, y

V avem:

E

--

= = < f(y),x > =, deci if')' = f. d) Pentru (V) x, y E V avem: ==< Laijei, ek >:::::: L.aij = Laij. oik = ak1 ; dar i=l

i=l

i=l

n

n

n

BSERV~ l; (c) Matricea M ;Mf, în orice bază ortonorrnală eli, este inversa·

;,,,,,,~,JI••,~· are proprietatea MT; ~ 1 . DEMONSTRAŢIE.

(a)--> (b). Fie le 1, e2, ... , e"l o bază

ortonormală n

n

Pentru (It) x, y

în V.

V avem scrierea unică x; :Ex,e, şi y; LYJeJ, deci

E

i=l n

n

j=l

n

n

n

< x, y > = < Lxiei, L,y1e1 > = .L,xiyJ = _2.:xiy/SiJ = ,L.xiyi. f~l

i=l

'i>•C,!nfiorrn ipotezei lf\e 1), f(e 2 ), n

i,j=l

... ,

i,j=l

/(e")) este bază

n

i=l

ortonorrnală. Calculăm:

n

n

f(x); r; J'~.f)tru (It) X, z E V, deci (adjunctul lui j') şi atunci ~~; MT, unde M "2 Mf cu eli bază ortonormală. V se numeşte operator unitar dacă transformă orice bază ortonormală într-o bază ortonormală.

Se demonstrează analog

TEOREMA 2.8. Fie V un

spaţiu

euclidian complex dimcV= n

f: V-> V un operator liniar. Sînt atunci echivalente

şi

afirmaţiile:

(a) f este operator unitar; (b) f conservă produsele scalare; (c) Matricea M = M'Jl , în orice bază ortonormală .9l'l, are proprie ta· tea MT =M-

1

.

O matrice A E Mn(IC) se numeşte matrice unitară dacă A· AT =In, adică A este inversabilă şi A-l = AT. Mulţimea matricelor unitare este un subgrup al grupului multiplicativ GL(n, IC), numit grupul unitar, notat U(n). EXEMPLE. 1) Fie V= IRn, înzestrat cu produsul scalar euclidian (deci pentru orice X, y E IRn "'M,, n(IR), =X . yT.

Exemplul tipic de operator liniar autoadjunct f: V-> V este cel asociat unei matrici A simetrice (în baza canonică); într-adevăr, avem f(x) = x ·A pentru orice x E IRn şi = x ·A · yT = x(yA{ = , pentru orice X, y E lRn. 2) Fie V= cn, cu produsul scalar euclidian < z, w >= z · ul. Exemplul tipic de operator liniar autoadjunct f: V-> V este cel asociat unei matrici hermitice A(A=AT,), anume f(z) =z ·A, (\f)z E ICn. Dacă AE Mn(IC) ar fi unitară (adică A· AT =In), atunci operatorul f: cn-> cn, f(z) = z ·A ar fi unitar (conform teoremei 2.8). A, B E Mn(IC) sînt matrice unitare, atunci matricele Z), A, B şi A" · Bq (p, q E Z) sînt de asemenea unitare.

Dacă

(m E

GEOMETRIE LINIARA

131

.""3) Se numeşte transformare Galilei (G. Gali!ei, 1564-1642) orice ~plicaţie bijectivă F: IR 4 --> IR 4 pentru care există o aplicaţie liniară f: IR 4 --> IR 4 llstfel încît (lf) a, b E IR', f(b -a)= F(b)- F(a), lla- b/1 = IIF(a)- F(bJII (pentru :ililcrma euclidiană în !R 4 ) şi p 1(b- a)= p 1(F(b)- F(a)), unde p 1 : IR 4 --> !R, (t! ;o:, y, z)--> t (proiecţia întîi). Pentru orice vE IR, aplicaţia i. o; f, : IR4 --> IR 4, (t, x, y, z) ---7 (t, x + vt, y + vt, z + vt) ~!!te o transformare Ga!ilei (numită mişcarea uniformă în spaţiu cu viteza v). Pentru orice sE IR, a= (ai> a 2, a 3 ) E IR 3 aplicaţia 'ts,a: JR 4 ---+ JR 4 , (t, x,y, z) ~ (t+s, x+av y+a , z+a 3) 2

este o transformare Galilei (numită mişcarea de translaţie de timp s şi vector a). În fine, dacă G E Ma(IRJ este o matrice ortogonală, atunci aplicaţia Pa: JR 4 ---+ IR 4 , (t, x, y, z)---+ (t, x', y', z'), unde

~fte

o transformare Galilei, numită mişcarea de rotaţie asociată lui G. Se poate arăta că orice transformare Galilei este o compunere de mişcări uniforme, translaţii şi rotaţii.

§ 3. Aplicaţii biliniare, forme pătratice 3.1. Aplicaţii biliniare, matrice asociate

Fie V un spaţiu vectorial real şi dimilV= n. DEFINIŢIA

h(i,y), h 1)

3.1. Se

numeşte aplicaţie biliniară

: V x V--> lR cu proprietăţile:

pe V orice

aplicaţie

h(x 1 +x 2 ,y)=h(x 1 ,y)+h(x2 ,y)

şi h(x,y 1 +y 2 )=h(x,y 1 )+h(x,y2 ), (lf) X, y, x" x 2 , Yv y 2 E V. 2) h(Âx, y) = Ah(x, y) şi h(x, Ay) = Ah(x, y), (lf) x, y E V şi (lf) A E !R. Aşadar,

h este

liniară

în fiecare din cele

două

argumente. De exemplu

aplicaţia h : IR 2 -"" IR, h(x, y) = xy este biliniară, fără a fi liniară. În cazul complex, o aplicaţie biliniară h : V x V ---7 IC are proprietăţi

similare, doar

că

h(x, Ay) = Ăh(x, y), (lf)x, y E V şi (lf) A E IC.

O aplicaţie

biliniară h : V

x V--> lR se numeşte

simetrică dacă

h(x, y) = h(y, x), (lf) x, y E V.

O aplicaţie biliniară h : V x V--> IC se 1822-1901) dacă

numeşte hermitică

h(x, y) = h(y, x), (lf)x, y E V.

(Ch. Hermite,

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

132

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

h : V x V-> 1R se numeşte pozitiv -semită dacă este podefinită dacă h(x, x) ~O, (\;/) x E V şi pozitiv-defini (În cazul zitiv-semidefinită şi, în plus, h(x, x) =O dacă şi numai dacă x =O. rezultă x), h(x, = x) h(x, din e complex definiţiile sînt similare , deoarec

O

aplicaţie biliniară simetrică

h(x, x)

E

IR).

e biliniară EXEMPLE. 1) Orice produs scalar complex este o aplicaţi

hermitică pozitiv-definită şi simetrică pozitiv-definită. 2) Fie E = 1R 2 ; aplicaţia

orice produs scalar real este o

aplicaţie biliniară

h : E x E-> IR, h((x 1 , y 1), (x 2 , y 2 )) = XJY 2 + x,y> 1 este biliniară simetrică, care nu este pozitiv definită; aplicaţia k : E x E-> IR, k((x 1, y 1), (x 2 , y 2 )) = x 1x 2 - Y 1Y2 este biliniară, dar nesimetrică. de clasă 3) Fie U cIR" o mulţime deschisă şi f(xv ... , x"), f: U-> 1R o funcţie liniară C2(U). Pentru orice punct a E U se poate consider

... ,

s")->

i of

(a)s,

i=l dxi

d 2f(a): IR" x IR"-> IR,

aplicaţia biliniară

şi

ca

(numită diferenţiala întîi a lui fîn

)s,~ i; i; .}!1_(a dxJJx J

(si> ... , s";

(numită diferenţiala a doua a lui fîn a).

i=I J=l

Reamin tim

că

numeşte

punctu l a se

critic pentru f

dacă

df(a) =O

adică

l!L(a) =O, 15 i 5 n.

ax,

2 Din analiza matematică se ştie că dacă a este critic şi dacă d f(a) este poziun punct de minim tiv-definită (respec tiv negativ-definită), atunci a este (respec tiv maxim) local pentru f e Fie h : V x V-> 1R o aplicaţie biliniară şi eB = [el> e 2 , ... , e"} o bază oarecar fixată în V Pentru orice x, y E V avem scrierea unică

"

"

i=l

)"'1

x = L,xiei, y=}2y iei,

deci

n

n

n

n

h(x, y) = h(}2x,e ,, LY;e) = }2x;.l) h(e,, e) = }2a1,x,y1 , i=l

i,}=l

i,j::e:.l

f:::l

unde

'

a 1i-:=h(ei ,e).

Eviden t, dacă baza eB este fi.xată, atunci h determină matrice a A= (a,) 1si,f fill'. Atunci, dacă A este fuatricea asociată lui h în baza fill şi C este matricea asociată lui h în -T

'\.

b.aza fill', avem C = P AP.

~;'"DEMONSTRAŢIE. Fie C = (c,), A= (a,), P=(pu) E n

h(e;, e~.), e~- = LPsje.~ şi

f?i3 ={el' ... ,

Mn(IC), unde a1, = h(e,, e1 ),

e,), a3 = {e~, ... , e~. }. 1

S'='!

n

n

k=l

.~.:e:l

n

Calculăm: c1; =h(e;,ejJ=h(l:,ph,ek,"f,p,1e,)= LPkiP.,/I.(ek,e,)= k,s=l

-T

n_T

n_n

"f,p,1("f,a,kp 1,;)= "f,CP )J.,(AP),; =(P AP)ji,pentru('d)i,j= 1, 2, ... ,n, s"'l

s""l

k=l

.

-T

dec1 C=P AP. CoROLAR. Rangul matricei asociate depinde de baza aleasă.

aplicaţiei

biliniare h nu

DEMONSTRAŢIE. Din teoremă rezultă că matricele lui h în oricare două baze sînt echivalente, deci au acelaşi rang (corolarul teoremei 1.2.22). OBSERVAŢII. 1) Pentru aplicaţii biliniare pe spaţii vectoriale reale concluzia teoremei rămîne valabilă şi se scrie sub forma C = pTAP. 2) Dacă aplicaţia biliniară h este hermitică avem: a 1i = h(ei, e1 ) = h(e1 ,e) = aiJ,

4~~i matricea asociată A verifică relaţia A T =A (adică A este hermitică) . . Dacă aplicaţia biliniară h este simetrică (cazul real) avem a1, =au, deci )natricea asociată A verifică relaţiaAT =A (adică este simetrică). n

3) Relaţia h(x,y) = "f,ai,xiyi se scrie matricea! sub forma echivalentă i,j=l

'h(x, y) = yT AX, unde X, Y sînt vectorii-coloană ai coordonatelor lui x, y.

3.2. Forme pătratice Fie V un

spaţiu

vectorial real sau complex, dimKV = n (K = IR sau IC) .

.. DEFINIŢIA 3.2. Fie h : V x V--+ IC o aplicaţie biliniară hermitică (sau, în "Cazul real, simetrică). Se numeşte formă pătratică asociată lui h funcţia 6

q: V--+ IR, q(x)=h(x, x), (li) x E V. Forma pătratică q se numeşte ,~ste pozitiv-definită.

pozitiv-definită dacă aplicaţia biliniară

h

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

134

OBSERVAŢII.

APLICAŢII

... , en} o bază oarecare fixată n X;e; E V. x =

1) Fie ffi= {e 1, e2 ,

matricea lui h în această bază şi

•:• (PARTEA 1)

în V, A

L

n

Atunci avem: q(x) = h(x,x) = LaiJxixj; sau, sub formă matricială: i,j-::=1

q(x)=XT AX.

din V, forma de mai sus =A), atunci există o unică aplicaţie biliniară h : V x V___, 0) dacă orice pentru q(x) > O Figura II.3. x E lR" \ {O}; q este pozitiv semidefinită (q :2: O) dacă q(x) :2: O pentru orice x E lR". O imagine sugestivă este cuprinsă în figura II.3. De exemplu, q: 1R 2 ___, lR, q(x, y) = 2x 2 + y 2 este pozitiv-definită, iar q 1 : 1R 2 ___, lR, q 1(x,y) = 2x2 este pozitiv-semidefinită. Imaginea pentru forme pătratice care sînt respectiv negativ-definită, (q(x) 'k+l = ... = Yn =O x 1 = ... = xr =O, care sînt în număr de n -! + r < n. Obţinem sistemul liniar omogen:

şi

PnY1 + P12Y2 + ··· + P11Yz =O

+ P,2Y2 + ··· + PriYz =O, în care numărul de necunoscu te l este mai mare decît numărul de ecuaţii r, deci sistemul are şi soluţii nebanale. Rezultă că pentru acei vectori x E V care satisfac condiţiile de mai sus avem relaţia: P,1Y1

2

2

2

2 q (x) = -xr+l - .. · - xk = Yr + · · · + Yt '

ceea ce reprezintă o contradicţie. Prin urmare l nu se .schimbă nici el (k - r).

= r şi

atunci indexul

n~~~at:iv ,îl!

GEOMETRIE LINIARĂ

141

Fie V un spaţiu vectorial real, dim!RV= n şi q : V-> 1R o ,;ţlil'lrtă pătratică. Atunci q este pozitiv definită dacă şi numai dacă ',:*'~ngul k al lui q este egal cu n şi indexul pozitiv al lui q este n [deci >~aexul negativ este zero şi signatura (n, 0)]. ., ''ff:LDEMONSTRAŢIE. Dacă k = n şi indexul pozitiv este tot n într-o bază canoni;Câ• atunci avem: q(x) = x~ +x~ + ... +x;, (\l)x E V ,deci q(x);:, O şi ~;;CoROLARUL 1.

= O x = O, iar q este pozitiv definită. Reciproc, fie q pozitiv definită şi !?Il = le 1, e2 , ... , en} o bază canonică a sa. ::::--;\:--p~~tru orice i = 1, 2, ... , n avem q(e) = h(ei, ei)= aii= di >O, deoarece ei i:- O; :(f~f ifdexul pozitiv este n şi evident, k = n. &!;ciCOROLARUL 2. Fie q : IR"-> 1R o formă pătratică şi A matricea ~(:>:)

sîntetrică asociată.

a) q > O toate valorile proprii ale lui A sînt strict pozitive; b) q < O toate valorile proprii ale lui A sînt strict negative; c) q;:, O valorile proprii ale lui A sînt;:, O; d) q S O valorile proprii ale lui A sînt S O; e) q are semn nedefinit există valori proprii ale matricei A de semn contrar. Se foloseşte observaţia de după corolarul teoremei 3.2, împreună cu .corolarul1 (eventual pentru -q). OBSERVAŢIE. Evident, q < 0 -q > 0; q S 0 -q;:, O. Uneori pentru o ~~~rice simetrică A E M"(IR) se scrie A> O în cazul cînd forma pătratică 'l(x) = xT ·A · x este pozitiv definită. Prezentăm acum un criteriu pentru ca o formă pătratică să fie pozitiv O, d 2 >O, ... , dk >O.

i=l

A., 1X2 + I., 2Y2 + bZ =

II.

2

III.

>.,,)(2 + A2 Y + d

IV.

1., 1Y'

+ bX = O

V.

1., 1)(2

+d =O.

=

o

O

*

În cazul I, dacă d O şi dacă 1.,1, 1.,2 , 1.,3 (care vor fi tocmai valorile proprii ale matricei formei pătratice asociate) au acelaşi semn (opus lui d), atunci se un elipsoid, avînd o ecuaţie de tipul

xz -

a

2

yz

z'

+---1 =O (a> O, b >O, c >O constante). +b2 c 2

Relativ la coordonatele X, Y, Z admite planele de coordonate ca de simetrie şi are imaginea ge O date) este un parabolaeliptic (figura II.9). ;{.·>·"'-'"•·· ' 3) Cuadrica z = xy este un parahiperbolic (deoarece prin ro~aţia cu 45' în jurul axei Oz: . =

,fi (x' -y') y = ,fi (x' +y') z = z'

2 ' 2 ,. se obţine x' 2 - y' 2 = 2z').

147

a

b'

y 2

(E): X

'

2

X + y -1=0 2a2c 2b 2c z=c, c>O

1

Figura II.9

§ 4. Metode numerice în algebra

liniară

(continuare)

Indicăm cîteva alte metode numerice care utilizează noţiunile studiate în acest capitol- produse scalare, norme, aplicaţii biliniare etc.

4.1. Pseudoinversa unei matrice Vom asocia oricărei matrice, dreptunghiulare sau pătratice singulare, o matrice, cu proprietăţi remarcabile, numită pseudoinversă. Definiţia şi Ş.tJ).diul acestei noţiuni sînt datorate matematicianului englez R. Penrose. y.. Fie A E Mm,n(IR) o matrice oarecare şi cp: IR" _. IRm aplicaţia liniară ll;ŞOCiată, cp(x) = xAT. Vom defini o nouă aplicaţie liniară, notată cp•: IRm _. IR" ~§e citeşte "diez"), în modul următor: pentru orice u E IRm se consideră acel !i~;tic vector v E Im cp astfel încît llu- vii = minim. Deoarece v E Im cp, există altă

o zo

Figura II.lO. z E IR" astfel încît v = cp(z); acest z nu este neapărat unic şi alegem acel z 0 unic 1\.stfel încît v = cp(z 0 ) şi llzoll = minim. Prin definiţie, se pune cp• (u) = z0 . Aplicaţia cp•: IRm _. IR", u _. z 0 astfel defmită se dovedeşte a fi liniară şi se llOtează cu A•, matricea din Mn m(IR) asociată. Matricea A# se numeşte PSeudoinversa lui A. (Unii autori,noteazăA+ în loc deA•).

148

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTEA 1)

a intra în detalii, [recomandăm V. Voevodin - "Algebră liniară" (1. rusă), Ed. Nauka, 1980] indicăm o listă de proprietăţi: 1) Orice matrice dreptunghiulară (sau pătratică, singulară sau nesingulară) are o pseudoinversă unică. 1 2) Dacă m = n şi A este nesingulară, atunci A• =A- (un rezultat liniştitor); 3) Pentru orice A E M"' ,.(IR), A· A• şi A•· A sînt simetrice şi în plus , (A•)•=A,A A•A=A. Fără

4) Dacă D = diag('A 1,

... ,

"-nl este o matrice dacă

diagonală şi notăm

'A,"' O 'A,= O,

dacă

1 ~ i ~ n,

atunci n• = diag(~ 1 , ... , ~"). Dacă există o matrice ortogonală U astfel încît A= uT. D · U (cu D diagonală), atunci A'= UT D'· U. 5) Dacă rangul matricei A este maxim (adică p(A) = min(m, n)), atunci (AT·Ar'·A T

A• =

A- 1

jAT(A·ATr '

dacă

m>n

dacă

m=n

dacă

m IR , (x, y ) = v d ec1. 4 x + y = -p +- q Şl. - acum t o,t'1 vect oru . •>•' C.ons1'deram 5 2 or multiplicatoril metoda folosind ~minim; i + x care pentru ·····;·.~~~gem pe acela p+ 2q 4p+8q , y = - - ; ca atare, nu JJ'tgrau.ge, rezulta x = 85 . 85 qJ

Determinăm

p+2q) •c p, ql=(4p+8q 85 ' 85 .

acum pseudosoluţia sistemului liniar nedeterminat

4x+ y =k { 8x + 2y ~ 2k,

Aceasta este

CJ= A' {:k )=

1

85 (:

Trebuie remarcat că acest punct ţ!edre,ap1:a 4x + y = k.

k real dat.

:r:k)= t

reprezintă

7 ( :)

deci x =

coordonatele

~~ Y=1~· •

proiecţiei

originii

150

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

5) Sistemul

GJ A• ·GJ =

APLICAŢII

•!• (PARTEA 1)

3 {xx+y= + y = este evident incompatibil. Pseudosoluţia lui este 2

unde A=

G~}deoarece A•

=

(~! ~!}rezultă x = y =~.Se

observă că punctul ( ~, ~) este situat pe segmentul perpendicularei dusă din pe dreptele paralele x + y = 3, x + y = 2, "mediind" între acestea. acum eram obişnuiţi să rezolvăm doar sisteme liniare de forma A· X= B cu A matrice pătratică nesingulară de ordin n. Astfel de sisteme apar în multe consideraţii practice, unde se cer valorile a n mărimi şi bineînţeles se recomandă să se facă exact n măsurători (dacă se fac prea puţine sistemul devine în general nedeterminat, iar dacă se fac prea multe determinări, sistemul devine incompatibil!). Apăreau astfel restricţii supărătoare. Pseudosoluţia există pentru orice sistem liniar, ea "mediază" între ecuaţiile sistemului şi astfel nu mai respingem sistemele incompatibile. origină

OBSERVAŢIE. Pînă

4.2. Metoda Ritz-Galerkin Fie V un spaţiu vectorial real. Presupunem că sînt definite o aplicaţie biliniară h: Vx V-'> IR şi o aplicaţie liniară l~FINI1f!A 1.1. Se numeşte graf orientat G o pereche de mulţimi (V, A), •···.•.f[t!pireu1nă cu o pereche de aplicaţii (i, t) unde V este mulţimea vîrfurilor, A mulţimea arcelor, i: A-> V este aplicaţia de luare a iniţialului şi >ttlt•-'> V aplicaţia de luare a terminalul ui. Se mai scrie G =(V, A, i, t). 'P \, P,ent:ru orice arc a E A, vîrful a a. a''"'" încît pentru orice alt vîrf v E V există şi este unic un drum care şi v. În figura III.5 sînt indicate exemple de arbori. G; (V, A, i, t) un graf orientat. Se numeşte graf parţial al lui G un aceeaşi mulţime de vîrfuri ca şi G şi se reţin o parte A 1 cA din arG, iar aplicaţiile i, t se restrîng la A 1 . Un subgraf al lui G se obţine renunţînd la o parte din vîrfuri şi păstrînd arcele între vîrfurile răma­ exemplu, dacă G este reţeaua rutieră a ţării noastre, un subgraf al lui constituit de exemplu de reţeaua rutieră a judeţului Olt şi un graf parG se obţine reţinînd de exemplu numai drumurile europene. G se numeşte cu legături simple dacă mulţimea V a vîrfurilor cu o etichetare fixată V; {v 1 , ... , un} şi orice pereche de vîrfuri pot prin cel mult un arc. În acest caz, se poate considera o matrice binară numită matricea asociată lui G unde dacă vîrful v; este unit cu v1 1 { în caz contrar. aiJ::::: O De exemplu, pentru graful din figura III.6 matricea este

asociată

111] [o o o

A; 1 O 1 .

1.2.

Noţiunea

de automat

1.3. Se numeşte automat simplu (sau maşină abstractă) un • ''~iP't€t de mulţimi nevide CK, Y, S), împreună cu două aplicaţii li :X x S--* S, ,&:.A," S--* Y. Se mai notează M =(X, Y, S, o, A). Mulţimea X (respectiv Y) se ,!lţ)l)l;eşte mulţimea intrărilor (respectiv a ieşirilor), iar S este multimea ~~~I,'ilor automatului M; li se numeşte functia de tranzitie a stărilor,' iar A. ' ' ~i~ţuncţia de ieşire. este finită. Dacă stărilor a S multimea dacă finit numeşte se ;;:Automatul M ' ,~:'i'1Y•r B, automatul se numeşte binar. Pentru orice pereche (x, s) E X x S se Ji!~ţg spune că M este în starea s şi "primeşte" intrarea x; în această situaţie ~y,s) este un element din S numit starea în care trece automatul, iar A.(x, s) ~.$te un element din Y numit ieşirea emisă de automat, dacă el s-a aflat în !!;ţarea s şi a primit intrarea x. M; (X, Y, S, S, A.) şi M'; (X, Y, S', o', A.') sînt două automate (avînd ,::îl~, ... , xn), f: 13" -713 o funcţie booleană. a) Dacă fto O şi Pv P 2, ... , PP sînt punctele din 13" unde {ia valoarea 1, atunci f(xl> ... , xn) =

) B dacă producerea lui A atrage după sine producerea lui 8. Atunci E este o mulţime. ordonată relativ la relaţia de implicaţie => şi în plus, 'dA, 8 E E există inf IA, B) =evenimentul-producere sîfuultană a lui A şi B; sup {A, B) =evenimentul-producere a cel puţin unuia d!ÎI. ~venimentele A şi B. '' 'Aşadar, E este ln mod natural o latice. 3) Fie E o mulţime oarecare şi L mulţimea tuturor funcţiilor f': E-> [0, 1); iiîtl'oducem pe L relaţia de ordine (f$g) H 'd x EE, f(x) Sg(x). Pentru orice 'fi>gE L există funcţiile u, u: E-> [0, 1), u = inf {{, g) şi u = sup lf, g), definite ,Ptîn u(x) = min (f(x), g(x)), v(x) = max (f(x), g(x)). Aşadar, L este o latice, :numită laticea mulţimilor vagi. Mulţimea n(E) a propoziţiilor peste E (def. 1.3), cu ordinea dată de ,~~plicaţie, este o latice relativ la conjuncţia 1\ şi disjuncţia v. ''''''TEOIIEMA 1.3. Fie (L, $) o latice oarecare. Atunci pentru orice cEL avem 1°. a 1\ a =a, a va =a (idempotenţă); ll,e~tru

MATEMATICI SPECIALE+ TEORIE, EXEMPLE,

162

APLICAŢII

•:• (PARTEA 1)

2°. a A b =bA a, a v b = b va (com utati vitat e); iativi tate) ; 3°. (a A b) Ac= a A (bAc ), (a v b) v c =a v (b v c) (asoc 4°. a A (a v b) =a, a v (a A b) =a (absorbţie); 5°. a $ b H a A b = a H a v b = b. a= inf la, al şi a= sup la, al, ceea DEMONSTRAŢIE. 1°. Avem de arătat că ce rezultă direct din definiţia lui "inf' şi "sup". 2°. Fie c =a A b; atunc i c = inf la, bl = inf lb, al = b A a. 3°, 4° se probează similar. b şi dacă c $a, c $ b, 5°. Fie a$ b; atunc i inf ia, bl =a deoarece a$ a, a$ u a} b. Dacă a A b = a, atunci a ~ cJ adică a este cel mai mare mino rant pentr b, atunc i sup ia, bl = b deci rezultă direc t că a$ b. În mod simila r, dacă a$ a $ b. b = a v b, iar dacă b = a v b, rezultă b = sup la, b l deci v c) = (a A b) v (a A c) şi (b A a dacă vă O latice (L, 5) se numeşte distributi ea (L, $)se numeşte a v (b 1\ c) =(a v b) A (a v c), pentr u orice a, b, cE L. Latic şi a ~ b, rezultă că modulară dacă din faptu l că a, b E L a

A

(b

V C)

=b

V

(a

AC).

şi modu lare. Latic ele din exemplele date anter ior sînt distri butiv e [într-adevăr, dacă Este evide nt că orice latice distributivă este modulară deoarece a 1\ b = b, 1\ c) = b v (a Ac), a~ b, atunc i a A (b v c) =(a 1\ b) v (a aşa cum arată rată, adevă conform teore mei 1.3, 5°]. Afirmaţia inversă nu este exem plul următor. orien tat (V, A, i, t) în care EXEMPLU. Orice latice (L, 5) defineşte un graf i x, y E L sînt unite vîrfur ile sînt eleme ntele lui L adică V= L şi două vîrfur y) E L x L ly $ x}, {(x, A= print r-un arc dacă şi numa i dacă y $ x, adică anum ite grafu ri este i: A --7 V, (x, y) --7 x şi t: A --7 V, (x, y) --7 y. Pentr u grafu l adevărată şi afirmaţia inversă; astfel ,

?ra'>. b --7 v =al\ b= a Ac= bAc --7 u = vb a ve= =a bvc "" c ?r v }. Se verifică uşor că L este o latice defineşte o latice finită L = {a, b, c, u, Ac)= v v v = v =a A b deci L nu ară. Dar a A (b v c) =a, iar (a A b) v (a

modul

este o latice

distributivă.

un cel Fie (L, $,A, v, O, 1) o latice distributivă care admit e se latice de astfel E L. O mai mic eleme nt OE L şi un cel mai mare eleme nt 1 L E a ră Bool e) dacă pentr u orice numeşte latic e booleană (sau algeb se a A =o şi a V = 1; există şi este unic un eleme nt EL astfel încît tat remar cabil, dator at lui M. STONE numeşte comp leme ntul lui a. Un rezul cu o latice de mulţimi, (n. 1903), afirmă că orice latice booleană este izomorfă unei mulţimi. La.tic:ele ceea ce arată rolul de model jucat de latice a părţilor a mulţimilor vagi nl)! din exem plele 1, 2, 4 de mai sus sînt booleene. Dar latice t). (funcţia constantă 1/2 nu are comp lemen DEFINIŢIA 1.6.

a

a

a a

ELEMENTE DE MATEMATICĂ DISCRETĂ

163

Circuite logice Circuitele logice elementare sînt: inversorul x-'> x, conjunctorul disjunctorul (x, y) -'> x v y, precum constantele O şi 1. Un ~iiz·.s·.·~~ir•cuit logic este un graf orientat unde în vîrfuri sînt circuite elementare, un singur terminal iar arcele sînt conductori. Mulţimea circuitelor ··~·~&!fl)gio-

~ ::::::[)--

XAy

(conjunctorul)

:::::L>-

xvy

(disjunctorul)

~

~ ::::::[)-remarcabilă că

~

orice circuw

:::::L>-

YfXitlom.c se poate construi folosind NAND-uri [Într-adevăr, >WP••w suficient să observăm că

xAy=xvy(NAND)

xvy = XAY

(NOR)

Figura III.ll.

x= [O, 1] definită pe ulj;imLea părţilor lui X Submulţimile Ac X se numesc evenimente şi orice eveniment A numărul P(A) E [O, 1] este numit probabilitatea În plus se presupun îndeplinite următoarele condiţii: P(X) = 1 şi P(0) =O; P(w), seria fiind presu2) Pentru orice eveniment Ac X, avem P(A) = că şi

L

weA la mulţimi

formate dintr-un Evenimentele (w) corespund element şi se numesc evenimente elementare. Probabilitatea unui 'eniimEX

weX

weX

asemenea D(ai;) = M(a/;) 2 - (M(ai;)) 2 = M(a 21;2) - (aM/;) 2 = a2M1;2 b) M (/;1]) =

-

a 2(Mi;) 2 = a 2 · Dl;.

L (/;l])(w )P(w) = L i;(w) ·l](W )P(w) = L (L'i;(w) ·l](W )P(w )). WEX

WEX

Suma L* se face după acele evenimente w pentru care /;(w) =a; = b1. Atunci M(/;1]) = L ahP(w)) = L;a,bj P(w).

L:'

eL:'

ai,bj

Dar

w

a,,bi

ro

L• P(w) = P(i; =a,, '1 = b1) = P(i; = a;)·P(l] = b) w

intervine ipoteza relativ la independenţa lui 1; şi 1]).

Aşadar,

M(/;1]) = L;a,b1P(i;= a)· P(l] = b) = L;a,P(i;= a)· L;b1P(l] = bJ = (Mi;)(Ml]). ~~

i

j

şi

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •!• (PARTEA 1)

170

2 2 Să observăm acum că V ~ E L (X, P) avem D~ = M(~- M~) , deoarece

tînd M~ = m , avem 2 M(ţ -Mţ) 2 = M(ţ -m)

c((a)

= M(ţ 2 - 2mţ +m 2 ) =

M(ţ 2 )- 2mMţ +m 2 = M(1; 2 )-m

2

= Dţ.

Atunci

2 2 D(~ + TJ) = M(~ + TJ- M(~ + TJ)) = M((~- M~) + (TJ- MTJ)) = 2 = M(ţ- M~) 2 + M(TJ - MTJ) + 2M(~- M~) · (TJ - MTJ) = D~ + DTJ + 2 cov(~, TJ),

unde am notat cov(ţ, TJ) = M((ţ- Mţ) · (TJ- MTJ)) variabilelor aleatoare ţ şi TJ).

(număr

numit

Notînd M~ = k 1, MTJ = k 2 , avem cov(ţ,

covarianţa

cf(a)

TJ) = M((ţ- k 1)(TJ - k 2)) = M(~TJ - k 1TJ - k 2s + k 1k 2 ) =

cf(a)

= M(sTJ)- k1MTJ- k,Ms + k1k 2 = M(sTJl- k 1k 2 = M(sTJl- (M~)(Mil) =O, deoarece ~ şi 11 sînt independente. Aşadar, D(ţ + TJ) = D~ + DTJ şi teorema este demonstrată.

2 Reţinem totodată că V ~. 11 E L (X, P), cov(~, lll = M(sTJl- (M~)(Mill şi că 2 V ~ E L (X, P), cov(ţ, ~) = Dţ. În cazul cînd cov(ţ, Il) =O, se spune că ţ şi TJ sînt necorelate. Evident, orice variabile aleatoare independente sînt necorelate (dar nu şi reciproc). Mulţimea L 2(X, P) este în mod natural un spaţiu prehilbertian (definiţia 1.1, cap. 2), relativ la produsul scalar = M(ţ · lll. Faptul că produsul ţ · TJ are medie rezultă din inegalitatea

~·Il~

s' +2 11' .

2 Să notăm cuN mulţimea variabilelor aleatoare din L (X, P) avînd media 2 nulă. Pentru orice ţ E L (X, P) avem~= M~ + (ţ- Mţ) şi evident ţ- Mţ E N şi 2 Mţ E IR. Are loc descompunere a ca sumă directă L (X, P) = N EB 1R şi adeseori

în

raţionamente

ne putem reduce la cazul unor variabile aleatoare cu media

nulă.

TEOREMA 3.2. (inegalitatea lui P. L. Cebîşev, 1821-1894). Fie (X, un cîmp de probabilitate discret. Pentru orice variabilă ~ E L 2(X, P) şi pentru orice o> O avem

c8J

P-

'i!sifi±'Se scrie /:, 0

proh.

C, dacă 1'; 0

C,

-

O. Ca o aplicaţie a inegalităţii

prob.

'""'""'" se poate demonstra următorul: CoROLAR (legea lui J. Bernoulli (1654-1705) a numerelor mari). Fie 2 un şir de variabile aleatoare din L (X, P). Presupunem că ele independente două cîte două, au aceeaşi medie m şi toate CillÎSJ>eJ,siile lor sînt majorate de aceeaşi constantă. Atunci

.._+_C,_"n"- _.EP'.::cobe.c._" m. .:f;ccl_+_._ ... n

Deci MC,k = m şi există o SA, pentru orice k ~ 1. Să notăm C,, +... +C,n 'lo =

constantă

A

~

O astfel încît

.

n

Atunci conform teoremei 3.1, avem M11o =.!.(Mf;1 + ... +M/:,0 )= mn =m n n .. A-n A 1 ·.··.. ~·SD'ln = 2(Df;1 + ... + Df;0 ) $ -2- =- dec1 hm D11n =O. Conform inegalităţii

6i,g" P( 1'1 0 - M11n 1 ~ E) $ _p--

Cebîşev, { €

şi

n-1-""'

avem pentru orice E > O,

D11n deci Iim P( 1'ln - M11 0 l ~ E) =O

adică

n--h

prob.

'ln -="'-'*m.

Legea numerelor mari

arată că,

pentru n

-7

.probabil ca mediile aritmetice 1:,, + · · · + C,n , să se ,-,_ -

n

=, este din ce în ce mai

puţin

abată de Ia media teoretică.

~'~. Termenul "numere mari" se referă la faptul că se face media aritmetică a \~ulicient de multe variabile aleatoare (n-'> =).

172

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTEA 1)

3.2. Legi discrete de repartiţie Fie (X, P) un cîmp discret de probabilitate şi ~ :X --7 IN o aleatoare cu valori numere naturale, avînd matricea de repartiţie 0 1 2 ... n ... ~ ,t."Pn ~ 1. ( Po P1 P2 ... Pn ... unde Pn?: O şi n~o

J

DEFINIŢIA 3.3. Se spune că ~ este repartizată Poisson (8. D. rIs:sm>,j 1781-1840), cu parametrul 'A('A >O fixat) dacă pentru orice întreg n?: avem

Pn

X'

=-,e n.

-Â

În acest caz, 1 ~ 'A" -Â_ -Â~ 'A" o -Â~ 'A"o.-1-~An _o -Â Â_o M?ţ_- ~n·-e -e LI Ae LI /\K L;--Ae ·e -1\., n~1 n! ""1 (n -1)! noi (n -1)! ""o n! Se verifică uşor că D~ ~'A deci o variabilă aleatoare repartizată roisE:onl~ aparţine spaţiului L 2(X, P). DEFINIŢIA 3.4. Fixăm un număr natural n şi un număr p E [O, 1]; notH>n 1!4 q ~ 1 - p. O variabilă aleatoare ~ :X --7 IN avînd doar cele n + 1 O, 1, ... , n se zice repartizată binomial cu parametrul p dacă matricea o 1 2 ... de repartiţie este ( PoP1P2"'Pn , unde pk ~ c: · pk · q"-k. În acest caz,

nJ

n

n

k=O

k=l

M~ ~ :Lkpk ~ :Lkc~pv-k.

Considerînd dezvoltarea binomială n

n

(px+q)" ~ :Lc!robabili~ăţile (*)sînt egale cu P(X(k + 1) = sk+ 1 IX(k) = sk), ,-,..···~ starea sistemului la momentul viitor k + 1 depinde de stările trecute ... , k doar prin prezent (starea la momentul k). În continuare prezentăm npleom.en~., a analitică (studiul varietăţilor analitice reale sau complexe), a devenit edificiu impresionant pentru cunoaştere şi totodată un domeniu de mare res pentru fizician şi inginer. 1.2.

Spaţiile

IRn

şi

rn

Fixăm

un întreg n ;o: 1. Spaţiul aritmetic IR" se consideră cu structura de metric şi elementele lui se numesc puncte (cu această structură el se mai numeşte spaţiu afin n - dimensional). Înzestrată cu structura de spaţiu vectorial real, mulţimea IR" se notează cu 'Y" şi elementele ei se numesc vectori n - dimensionali. Dacă {e 11 ... , en} este baza canonică a lui ~' spaţiu

n

atunci orice x

E

~ se scrie unic x = Lxiei cu xv ... , xn

E

fR coordonatele

i=l

(componentele) lui x. Aplicaţiile pr1 : coordonate (1 ,; i,; n). Aplicaţia x1 se numesc funcţiile de n

r", X= (x"

... , xn)-'>

X=

2;xiei este bijectivă şi identifii=l

că

punctul x cu vectorul său de poziţie x = cp(x), sau cu matricea X= (x 1 , ... , xnl a coordonatelor lui x. Pentru orice x, y E !Rn, vectorul y - x se mai notează cu xy. Deci Ox =x-O= x = cp(x), unde O este elementul zero din IR". Se mai spune că pentru orice X x, y E IR", vectorul xy = y - x "uneşte" punctele x, y. Evident, '1 x E IR", v E 'Y" există şi este unic y E IR" astfel încîtxy = v. Este utilă următoarea convenţie de scriere: dacă a, b E fRn şi v E ~~ o atunci vom scrie b = a + v H ab = v Figura IV.l (adică v uneşte a şi b). Dacă p = (c; u" ... , un} este un reper în IR", coordonatele unui punct x E IR" relativ la p sînt componentele vectorului cx relativ la bazau" ... , un. Cele spuse mai sus constituie generalizarea unor fapte binecunoscute în cazul 3-dimensional, unde am stabilit legătura între spaţiul aritmetic IR 3 , spaţiul vectorilor 73 şi spaţiul fizic S, legătură care necesită fixarea unui reper Oxyz (versorii căruia formau o bază a lui '73). Geometria afină studiază legătura între puncte (elementele lui 8), vectori (elementele lui 73J şi

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

179

asociate vectorilor (oricărui vector v i se asociază translaţia S-> S, unicy astfel încîtxy = v). În cele spuse mai sus privind spaţiile IR" şi adoptat tot punctul de vedere afin. Dacă se apelează la structuri l'nent11re (de exemplu, produsul scalar) se capătă posibilitatea descrierii proprietăţi ale obiectelor, ajungîndu-se la alte tipuri de geometrii. un punct a E IR". Pentru orice v E 'Y" se spune că perechea (a, v) vectorul v aplicat în a; mulţimea Ta(R") = {a) x 'Y" a acestor notată uneori şi 'Y"(a) se numeşte spaţiul tangent la IR" în punctul (a,v) + (a,w) =(a, v+w); A(a,v) = (a,Av), pentru orice v, w E Y "' obţine o structură de spaţiu vectorial real pe Ta(IR") = 'Y"(a) . .Jline,în·ţel·es, avem izomorfismele 1R - lrniare 'Y"(a)-> 'f';,, (a, v)-> v şi 'Y"(a)-> 'Y"(b), (a, v)-> (b, v). CJ.l,emnir1tiln că dacă 1n spaţiul vectorial Yn este fixat un produs scalar, se spune că spaţiul afin IR" este euclidian; în fiecare spaţiu Yn(a) este mod automat definit cîte un produs scalar, punînd =, cel mai important îl constituie produsul Exemplul Yn. orice v, w E n

n

euclidian

= L.xiyi definit pentru orice

X,

y

E "f/n, X=

L.xiei, i=l

i=l n

LYiei; el este notat şi x· y. Reamintim că norma euclidiană (lungimea) ~i=1

n

lxl = .J x · x =

2: (xi ) 2 , notată şi llxll,

euclidiană între punctele x, y E IR" este d(x, y) = 1 xy 1 şi că unnenuli x, y este acel număr eE [O, n] astfel încît vectori doi a ;,o;'o;+j!llHH x·y cose=--· lxi·JyJ' se mai scrie (x, y) = e. Geometria bazată în plus şi pe disponibilităţile produscalar, permiţînd extinderea tuturor rezultatelor din geometria element;!ră, se mai numeşte geometrie euclidiană. Se mai impune un mic comentariu. Calificativul "euclidian" este legat de postulatul lui Euclid ("în planul afin, printr-un punct care nu aparţine unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă"). Acest enunţ nu este de origine experimentală ci intuitivă şi foarte tîrziu, Lobacevski şi Bolyai au demonstrat independenţa lui de celelalte axiome ale lui Euclid. În vorbirea curentă, "euclidian" înseamnă ceva în conformitate cu postulatul lui Euclid, dar sensul dat de matematica modernă este mult mai restrictiv. Geometria euclidiană foloseşte toate proprietăţile afine la care se adaugă cele care decurg din existenţa unui produs scalar - ortogonalitate, teorema lui Pitagora etc. În fond un produs scalar este asociat cu o formă pătratică pozitiv definită. Vom vedea că dacă

180

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTEA 11)

fixăm

o formă pătratică nedefinită, vom obţine o geometrie pseudo-euclidiaIar Riemann a avut ideea elaborării unor geometrii care doar local sînt euclidiene, de o mare însemnătate pentru fizică şi astronomie. nă.

1.3. Spaţii pseudoeuclidiene Să fixăm

acum o aplicaţie biliniară simetrică h : Y" x Y" -'> 1R şi fie q : Y"-'> IR, q(x); h(x, x) forma pătratică asociată. Daca A este matricea lui h relativ la o bază 3iJ; {a 1, ... , an) a lui "~'n• deci A; (a,) 1Si,js:n• unde a,J; h(a,, a), atunci pentru n

n

orice vectori x = _Lxiai, y i::ol

h(x, y);

=

_Ly;aJ din ~avem j-=1

L a,jxixj; xr AX.

~:;aijxiyj ; xT AY şi q(x); l'5.i, j::fn

!S.i,j:Sn

Să presupunem acum că forma pătratică q este nedegenerată, cu signatura (r> s), unde r 2: 1, s 2: 1, r + s = n. Atunci ştim că există o bază!?d ={al' ... , an} în Y" relativ la care matricea lui h este de forma

-1~

o

-1

1~

o

1 Pentru orice x, y E Y" definim X·y;h(x,y)şi lxl 2 ;x·x;h(x,x);q(x). Aşadar,

-1 dacă i;j-5,s

a.t ·aJ ;h(a,, a); J şi

1

dacă

i;J':2:s+1

O

dacă

iif'j

1

-1 dacă i;j5,s a.· a.; (Forma pătratică q nefiind pozitiv { ' ' 1 dacă i ; j Iintită condiţia vectorul nenul u ~a,+ a1 (i:;; s, j ~ s + 1), avem 2 2 2 ~-1+2·0+1~0 lal +2aa.+ ~ lal )·(a.+a.) J J~ l .l. ul ~u·u~(a.+a. J ~ J t iar as+l' ... , an imaginari 1 u 1 =O. Vectorii av ... ,as se zic versorii ~ex·sorii reali ai bazei , iar vectorii din Y" cu "norma" nulă se zic izotropi. biliniară, simetrică,

1.1. Se numeşte spaţiu pseudo-eucl idian de tip (s, r) cu 1, s ~ 1, r + s ~ n, spaţiul afin !R", în care se fixează o aplicaţie biliniară •~.,t.;eii h : Y" x Y" -7 lR cu signatura (r, s). P.mt·rn a sublinia faptul că este fixată o nouă structură, vom nota cu IR~,r pseudo-euclid ian de tip (s, r). Ca mulţime de puncte acesta este !R", avem în plus un produs pseudo-scalar X· y ~ h(x, y), verificînd PS1-PS3, o 2 seutdo-n IR cu signatura (1,1) şi există o bază !JIJ ; {a 1 , a 21relativ la care matricea lui h este

(-~ ~}

a,. a 1 ; -1, a 2· a 2 ; 1, a,. a 2 ; O. 2 2 2 Orice vector x E 12 se scrie unic x; x 1a 1 + x 2a 2 şi 1x 1 ; -(x 1) + (x2) • Deoarece pseudo-distanţa dintre două puncte x, y E 1Rf.1 , x; (x" x2), 2 2 2 2 y; (y" y 2) este d (x, y); lxy 1 ; -(y 1 - x 1) + (y 2 - x 2 ) , proprietăţile metrice ale planului pseudo-eu clidian diferă de cele ale planului euclidian uzual. De exemplu, cercul pseudo-eu clidian cu centrul în origine şi rază 1 este 2 2 2 !u E IRÎ 1 1 d (u, O); 11; {(x, y) E IR l-x + y"; 1} Aşadar,

privit în planul euclidian, este o hiperbolă. elementa r evenimen t Orice e ; (t, x) constă din abscisa poziţiei x Xz şi momentu l t la care este măsurată (asociat de exemplu cu o particulă care se deplasează rectiliniu) ; evenimentul e se asimilează cu punctul (x1 , x2 ) E IRÎ 1 , punînd x 1 ; ct, x 2 ; x. În acest caz, conul viitorului (cu vîrful în e) este şi

C,; le' 1 d 2(e, e'),; 0} evenimen teFigura IV.2. lor fizic conectabi le cu e. Aşadar, 2 2 5 0}; {(xi, x;) Il x; - x 21,; 1x{ - x111 + (x2 C, ; {(xi, x;) J-(x 1 şi în planul euclidian are următoarea reprezent are:

şi reprezintă mulţimea

x; )

x; )

1.4.

Interpretări

fizice

O aplicaţie F: IR"--> IR" se numeşte afină dacă există o aplicaţie liniară f: Y.--> Y. astfelincî t F(x + v); F(x) + 1\v), pentru orice x E IR", vE 'Y.· Aceasta este echivalen t cu faptul că (V) x E IR", aplicaţia 'Y.(x)--> 'Y.(F(x)), (x, v)--> (F(x), f\v)) este 1R -liniară. Este evident că aplicaţia f este unic determinată de F şi se numeşte partea omogenă a lui F. Dacă {e 1, ... , enl este baza canonică in Y., atunci (V) V :;::::_x 1e 1 + ...

+ xnen,

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

183

n

+ f(v) = F(O) + ~>1{(e )·

F(v) = F(O)

j=l

n

F(O) = (cv ... , c") şif(e) = ~:aiJe; şi punîndF(v) = (yv ... ,y") rezultă i"'l n

Yi= LaiJxj +ci, l~iSn. j=l

n

f(v) =

n

n

L:c~>iJx)e; = L(Y; -c)e;. i=l J=l

i=l

Dacă

F: IR"--> IR" este afină, avînd partea omogenă un izomorfism şi dacă /W', " " ... , a"J este un reper, atunci {F(b); f(a 1), ... , f(a")J este de asemenea un ;'~.0,/:~ep•er. Evident, cf. teoremei 2.7, cap. 2, o aplicaţie afină este o mişcare în JR;,, se numeşte mişcare partea ei omogenă f ;,.':·,;(l!Ldic'ă f(x) · f(y) = x · y pentru orice x, y E Y,;~. dacă

conservă

produsele scalare,

Considerăm cazul n = 2, r = 1, s = 1 al planului pseudo-euclidian şi Ieterrnii1ă1n mai întîi mişcările F : IRÎ, 1 --> IRÎ, 1 care conservă originea adică

•",;iC,,~{fV! =O. Notăm cu iJil = la 1 , a 2 1 baza lui IRÎ, 1 considerată anterior şi cu

= (:

~ Jmatricea lui fîn baza iJil

f(a 1) = aa 1 + ca 2 , f(a 2) = ba 1 + da 2 . Faptul că F este o mişcare revine la aceea că au loc relaţiile f(a 1) · f(a 1) = a 1· a 1 = -1, f(a 1) · f(a 2 ) = a 1 · a 2 =O şi f(a 2 ) · f(a 2 ) = CJ2 · a 2 = +1 Aşadar,

(aa 1 +ca 2 )·(aa1 +ca 2 )

= -1

(aa 1 +ca2 Hba 1 +da 2 ) = O (ba 1 +da2 )·(ba 1 +da 2 )=+1.

PLE, APLICAŢII •Z• (PARTEA 11) MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEM

184

Evid ent, a* O, d *O

Să notăm şi !'.. = !!_, a d 2 2

cu k valo area

comună

a aces tor

2 2 2 2 · a = -1, -k · d + d = 1, de unde rapo arte deci c = ka, b = kd. Atun ci -a + k k 2 < 1 şi 1 1 c=k a, b=k d. , d=+ ~· a=+ 2 2 k v1k ~1d unor mişcări, F(XJ =A ·X ale Ave m deci patr u matr ice A care core spun din ele, anum e plan ului pseu do-e ucld ian lRÎ 1 . Fixăm una

A=

h(~

:}

se obţine după această mişcare Pen tru orice punc t x E lRÎ, 1 , x = (x!> x 2 ), punc tul y E lRÎ 1 , y = (y 1,y 2 ) astfe l încît x1 +kx2 (

~:) = A(::) deci

l

y,= ~

k;, k:

-+ 2 Yz- ~1-kz . _

y 1 = ct, y 2 = x. Cu aces te Să pune m x 1 = c · t~ x 2 = x'; ante rioa re devi n ' k ' kct' +x' +~x

notaţii,

relaţiile

t

t= ~1-kz; x= ~1-kz

şi

prin inversare,

k t-- x

lui

-kct +x

(2) ~1-k 2 ~1-k 2 ' originea repe re p = {0; t, x}, p' = {m; t', x'} astfe l încît

t':::::: Să considerăm două p' să fie asimilată cu

,

(1)

' X

deci x' = O; un mobil m aflat în repa os (rela tiv la p')

t'

t (p)

(p')

V

o

X

m

x'

Figu ra VI.3.

reprezir.tă tocm ai vitez a lui m în ""'"M " conf orm (2), rezultă kct = x. Dar v = ::_ t iv la p', atun ci v reprezintă toc:m>n cu repe rul p şi cum m este în repa os relat ceea prec eden te, rezultă k = ~, c vitez a lui p' în rapo rt cu p; din relaţiile ului k. Form ulele (2), (1) devi n ă semnificaţia fizică a para metr arat

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

x (;g, f;g, x;g; g t' + _!J_x'

t- 2V

vt+x'

2

2

2

2

1R 2

-vt+x

(3)

V

V

V

x'

185

1R 2 , ,!:_____ L-l

2

(x, t)---> (x', t').

Dacă v IR , t-> r(t) = (x(t), y(t), z(t)), parametrizare) definită pe un interval I şi astfel încît funcţiile x(t), z(t) să fie de k ori derivabile pe I cu derivate continue. Un astfel de drum 11ote1tză pe scurt (l, r = r(t)) şi se mai spune că are ecuaţiile parametrîce ;Noţiunea

x

=

x(t)

y = y(t) [

1~ IR 3 , t--'> a+ t v are ca suport aceeaşi dreaptă ca mai sus, este distinct de drumul anterior (de exemplu este singular în punctul Iată că două drumuri diferite pot avea acelaşi suport. :x.E:MJ>LJ~. 1)

188

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE. EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTEA 11)

3 2) Fie a, b şiR> Oconstante reale; drumul r: [O, 2n] --7 JR , r(t); (a + R cost, b + R sint, O) este nesingula r şi suportul lui este cercul 2 2 2 (x- a) + (y- b) ; R , z; O (situat în planul xOy) parcurs pozitiv o singură dată (fig. IV.4).

y

@

a+Rcost, b+Rsint)

z

t - - --

(a,b)

o

X

0~----y

X

Figura IV.4. 3) Drumul r: lR --7 JR 3 , t~(acost, asint, bt) unde a, b sînt constante pozitive este de asemenea nesingula r; suportul lui se numeşte elice

z

-

---

(a cost, a sint, bt)

cilindrică.

Distanţa de la y punctul r(t) la axa (a cost, a sint, O) Oz este 2 Ja 2 cos 2 +a 2 sin t :::::a x deci suportul este cilindrul pe situat Figura IV.5. circular drept cu raza a, de axă Oz (fig. IV.5). Din exemplele anterioare rezultă că suporturi le drumurilo r pararne1tri'mtE modelează ideea intuitivă de curbă, de linie. De altfel în mecanică un parametr izat ca mai sus se interpretează ca o lege de mişcare a unui anume, la orice moment tE I, mobilul se află în punctul r(t), are viteza iar suportul drumului este traiectori a mobilului. zatJ DEFINIŢIA 2.2. Fie(!, r ; r(t)) şi (J, r ; r 1 (u)) două drumuri oarmnetri: 1

de clasă Ck(k ;" 1). O funcţie  : I --7 J,

t --7 u ; Â(t)

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

189

pe I de k ori cu 'A'(t) # O pentru orice tE I şi încît r = r 1 o A [adică r(t) = r 10.(t)), (V) tE 11 se numeşte schimbare de Dacă există o astfel de funcţie, se spune că drumurile respective It Eicbtiv:alca este falsă, aşa cum arată exemplul drumurilor (IR, r =a+ tu), a + t"u ), Remarcăm de asemenea că pe două drumuri parametriz ate vectorii-viteză în puncte care se corespund sînt diferiţi (deşi bijectivă, derivabilă

r'(t)

= r{(J..(t)) ·'A'(t).

drum parametriz at (!, p = p(s)) se zice cu parametri zare naturală (V) sE J, 1 p'(s) 1 = 1; în acest caz, vectorul-viteză are lungimea 1 în punct. Parametrul s se mai numeşte natural. 1 ..Dl~FINI1riA 2.3. Fie un drum parametriz at (!, r = r(t)) de clasă C Pentru t 2 E l, numărul real şi pozitiv L,1, 12 =IJ;'IIr'(t)lldtl 1

nu:meşte lungimea drumului între t, şi tz . 3 .li)XE:MJPLJE. 1) În cazul unei drepte r : IR ~ IR , t ~ a + tu ca mai sus, avem

L11 ,t2

= J,"llvlldtl = t2 - t1 l·llvll. 1

1

1

ce corespunde intuiţiei. Pentru un cerc 3 r : 1R ~ IR , t ~ (R cost, R sint, 0), r'(t) = -R sint e 1 + R cost e 2 , llr'(t)ll = R şi L 11 • 12 = R ·lt2 - t1 l ,n r(l) să fie bijectivă, cu inversa continu

homeomorfism).

c I

Figura IV.6. Pe scurt, C este local suportu l unui drum parame trizat; (!, r ~ r(t)) se atea lui a. numeşte o param etrizar e locală a curbei C în vecinăt O curbă C se numeşte simplă dacă există o parame trizare locală ca sus astfel încît r(l) ~ C. EXEMPLU. O dreaptă D c IRa avînd ecuaţiile x-a 1 y-a 2 z-a 3 --~--~--

v,

este o curbă

simplă,

Va

deoarece putem alege parame trizarea

l ~ IR, r: 1R __,IRa, t __,a+ tv şi evident D ~ r(l).

2.1. a) Fie C o curbă în IRa. Dacă a E C şi V este un de•ochi în IRa conţinînd a, atunci orice două parametrizări locale (J, r ~ (J, r ~ r 1(u)) astfel încît r(l) ~ r 1(J) ~ C n V sînt echiva lente. TEORE MA

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

b)

191

(l, r ~ r(t)) este un drum parametrizat nesingular (în fiecare atunci (V) t 0 E I există o vecinătate W cI a lui t 0 astfel încît

Dacă

r(WJ să fie o curbă simplă.

/DE!I1[0~1S1'IU•ŢIE. a) Fie /.. ~ r1- 1 o r deci /.. :I ---'---7 r(I) ~ r1 (J) ---''"'--'-->J. A este o schimbare de parametru. Evident, /.. este bijectivă şi r 1 o/... Rămîne să arătăm că funcţiile/.. şi ~c- 1 sînt derivabile. Fie (V) t 0 EI ~ "A(t 0 ). Deoarece drumul (J, r ~ r 1(u)) este nesingular, rezultă r',(u 0 ) tc O de exemplu x'(u 0 ) *O. Notînd x(u 0 ) ~ x 0 , conform teoremei aplicaţiei inverse, vecinătăţi U 0 c J şi X 0 ale punctelor u 0 şi x 0 şi o funcţie bijectivă -tU0 cu f,Ţ 1 derivabile şi x~x(u)Bu~f(x). Atunci r 1 (f(X0 ))~r 1 (U0 ) intersecţia lui C cu o vecinătate a punctului (x(u 0 ), y(u 0 ), z(u 0 )). Deoarece Arătăm că

J .....-. .....-.....-.. Z

X

~(x(u),y(u),z(u)),

(\f)u E J,

rezultă

(V)xE X 0 ,

r 1 (f(x))~(x,y,z)

deci

y, z) ~ f(x). 1 Aşadar, în vecinătatea r- 1(r 1(f(X0 ))) a lui t 0 , funcţia ACt)~ r1- ± =, y finit): nu exist = Jiml' ., n = lim( y- mx): mi Asim ptote oblice x-'> ± =, y = mx + n cu m X există.

Graf icul este indic at în figur a IV. 7. Ca un alt exem plu, să stabi lim Să ecuaţiile para metr ice ale cicloidei. se care considerăm un cerc de rază R axa rostogoleşte fără alun ecare pe semi iniţi­ ia poziţ din înd încep Ox pozitivă, ală C0 . În poziţia iniţială, "spiţa verti e care cală" este w00. După o rosto golir îl aduc e în poziţia C,, "spiţa" respectivă ~

ocupă poziţia

ufM (und e Aw' M = t)

y

'1 1 1

t-'>0

1

t>O

1 1 1

1 1

1 1

----~1----0~--~~1-----x~~ 1

şi

Figu ra IV. 7.

~

OA= AM= Rt.

Atun ci coor dona tele lui M vor fi x = OA - R cos( t- ~) = Rt - R sin

'

y

t

2

y = w'A + R sin( t-%) = R -R cost.

tutur or punc telor M ("cap ete de spiţe") este o curbă plană care se numeşte cicloidă. Ecuaţiile ei para metr ice sînt Mulţimea

Figu ra IV.S.

x = R(t- sint) ; y = R(1 -cos t), t ;o, O.

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

tPro

(3nR,2R)

(2nR,O)

X

(4nR,O)

Figura IV.9.

Reprezentarea explicită. Fie f: l--> 1R o funcţie derivabilă pe un inGraficul ei G = {(x, f(x)) 1 x E !} este o curbă simplă, cu parametrizarea t, y = f{t); tE I. Aceste curbe au fost studiate în liceu. Reprezentarea implicită. Fie U c 1R 2 o mulţime deschisă şi F : U--> 1R de clasă C 1 pe U. Mulţimea C = {(x, y) E U IF(x, y) =O} nu este în o curbă. Dar dacă într-un punct (x 0 , y 0 ) E C avem

(~~)*O sau(~)* O.

( ~~)~o atunci conform teoremei uJ

r

funcţiilor

implicite,

există

o

fut,ătEtte W cU a lui (x 0 , y 0 ) şi o funcţie de clasă C 1 , y = O, deci p creşte indefinit cu 8; += 4n 2n e o p'

+

p

o

+ 7'

2nk

7'

+ 4nk

+

+ =

7'

Graficul este de forma indicată IV.lO. figura în curba similar, mod În p ~a sin 38 (a > 0) este definită pentru acei 8 pentru care sin 38 ~ O deci

eE[o, !:Ju[2n 3 3 , 5n] 3 , n]u[4n 3 (mod 2n). "Spirala lui Arhimede" Figura IV.lO.

n

O O (respectiv 'A' < 0), atunci reperele Frenet în puncte t, u care se corespund sînt aceleaşi (respectiv T, f3 sînt înlocuiţi prin opuşii lor). [Într-adevăr, originile reperelor coincid deoarece r(t) = r 1('A(t)) = r 1(u) şi am văzut deja că vectorii-curbură coincid. Din relaţia r'(t) = r{(A(t)) · 'A'(t), rezultă că dacă 'A' > O, atunci şi versorii-tangentă coincid]. derivatele fiind calculate în t 0 .

Dacă

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

Introducînd orientată

DEFINIŢIA

noţiunea

201

de orientare, se poate defini reperul Frenet pentru o

oarecare.

2.8. Numim reper Frenet al lui C în punctul a E C, reperul

în t 0 al unei parametrizări locale (!, r = r(t)) a lui C în vecinătatea 1 pentru care r(t 0 ) =a. Definiţia este independentă de parametrizarea aleasă. Axele reperului se \Ull';sc: tangentă {a; t), normală principală {a, v) şi binormală {a; Pl la C în punctul a. Planele reperului sînt: planul osculator {a; t, v), pla· normal {a; v, Pl şi planul rectifiant {a; t, Pl .

'.ttnctulU1 t0 E

. EXEMI'UJ. Fie curba C avînd ecuaţiile parametrice x = t cost, y = t sint, t. Determinăm ecuaţiile axelor şi planelor reperului Frenet în punctul Punctul corespunzător de pe curbă este a = (-n, O, n). Apoi, r(t) = (t cost, t sint, t); r'(t) =(cost- t sin t)e 1 +(sint+ t cos t)e 2 + e , 3 r''(t) = (-2 sint- t cos t)e 1 + (2 cost- t sin t)e 2 r'(n) =

-e1 - ne2 + e3 şi r''(n) = ne 1 - 2e 2 •

,~•tab,ililm

acum formulele lui Frenet, care expnma mişcarea, mai precis de variaţie a versorilor reperului Frenet în raport cu parametrul. Fie(!, r = r(t)) un drum parametrizat biregulat, de clasă C8 Atunci versorii p ai reperului Frenet vor fi funcţii de t de clasă C1 şi calculăm derivatele

,,". 1......~

TEOREMA 2.3. Pentru orice t E J, au loc relaţiile: a) 't'(t) = v(t) · k(t) v (t);

b) v'(t) = -v(t) · k(t) t(t) ~~~l;!l~le X(t)

+ v(t) x(t) p(t);

c) WCt) = -v(t) · X(tl v(t). este un scalar (numit torsiunea în punctul t).

DEMONSTRAŢIE.

Reamintim că v(t) = [[vCtl[[ şi v(t)

Deoarece v · v = v2,

rezultă că

= r'(t) este vectorul-vite-

2v · v' = 2vv' deci v' = v · v'. Apoi V

' r " ·v-r ,V·V -'t'(t) =

de

altă

--;;--.!LV-

vz

1 ' (r' " r" -1 -3r ·r ) .

v

parte, conform teoremei 2.2, (2),

v

t

= r' V

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

202

APLICAŢII

•:• (PARTEA 11)

v(t) · k(t) v(t) ~

" 1 " 1 r '( r , ·r) r" v li , "li v(t )~ V vx2r"ll[ li r ,xr "llr '] ~-r "llr " - v· lr'i r ,· xr v - 2v

1

~2 v r xr

formul a a). Apoi din formul a [l ~ t x v,

şi rezultă

rezultă

f3' = 't' X V+ 't X V'= vk V X V + 't X v' = 't X V'. vector ul [\' este perpen dicula r pe t. Din relaţia [l · [l ~ 1 rezultă colinia r cu [\' · [l ~O deci [\' este perpen dicula r şi pe [l. Ca atare, [\' este şi rezultă [l x t ~ v deci există un scalar x, depinz înd de t, astfel încît [\' ~ -vxv formul a c). În fine, derivîn d în raport cut relaţia v ~ [l x t, rezultă v' = [\' x t + [l x 1' = -v X v x t + [l x vkv ~ v(-kt + xf\l, deci b). r = r(s)), COROLAR. Pentr u un drum cu param etriza re naturală (l, avem v(s) = 1 pentr u orice sE I şi formu lele a), b), c) devin t'(s) ~ k(s)v(s); v'(s) ~ -k(s)t( s) + x(s)[l(s); [\'(s) ~ -x(s)v(s) lui Frene t). lele (aceste a fiind numite formu Aşadar,

Fie C: r = r(s) un 2 drum plan de clasă C , param etrizat natura l. Se numeşte evolventă a lui C o curbă c' astfel încît normalele (în orice punct M' la c'J să fie tangen te (în M) la C; figura IV.15. Avem r' ~ r(s) + A(s)t, deci APLICAŢIE.

dr' dr ds ~ ds + f.'(sh + A(s)'t'(s) = ~

t + f.'(sh + f.(s)k(s)v(s).

o Figura IV.15.

Dar dr' _L 1 deci 1 + f.'(s) ~O şi ds ea f.(s) = -s + k (k ~ consta nt). Evolve ntele lui C au param etrizar r' ~ r(s) + (k- s)t(s). că Stabili m acum modul de calcul al torsiun ii. Mai întîi să observăm ~fl parmne· de drumu ri biregu late echiva lente şi orienta te la fel (schim barea tor·siu.ni este strict crescătoare) au, în puncte care se coresp und, aceeaşi două drumu ri, [Într-adevăr, dacă (l, r ~ r(t)) şi (J, r ~ r 1(u)) sînt cele , v , [3 schimb area de param etru u ~ f.(t) şi dacă t, v, fl respec tiv 1 1 1 1 ştim versor ii repere lor Frenet în puncte care se coresp und, atunci [l 1(u)

~

[l(t); v 1(u)

~

v(t).

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

203

Dar r'(t) ~ r{(u)A.'(t) şi (3'(t) ~ (3~ (u)A.'(t). Conform formulei Frenet (teorema va rezulta -vxv ~ -v 1x1v1A.' şi cum v ~ v 1 ·A.', se obţine x(t) ~ X1(u)].

''''I'EORE:MA 2.4. Fie (l, r .

~ r(t))

un drum parametrizat biregulat, de

"

r' · (r" X rm)

a) Torstunea m punctul curent t E 1 este X ~ Suportul drumului este X(t) ~ 0 pentru orice t E J.

2

llr' x r"ll într-un plan dacă

conţinut

şi

numai

DI:MN!lTElAl'IE. a) Considerăm mai întîi cazul unui drum parametrizat (J, p = p(s)). În acest caz, avem egalităţi de vectori

1"(3 =-;;P 1 ,xp "

1

t~p,

v~kp,

punct sE J). Din corolarul teoremei 2.3, rezultă (3'.v = -x. Dar 1 xp +-p 1 xp = -1 )' p xp 1 xp (3 ' = (-1 )/ . p xp +-p +-p k k k k k atare egalităţile de produse scalare A' 1 " 1 , ( ,, '") x=- (3 ' ·v=-,_,·kP ~k 2 P·P xp. 1

fi

U

lf

1

NI

(

1

N

1

III

În cazul general, pentru un drum (l, r ~ r(t)) ca în enunţ, alegem unul natural, echivalent şi orientat la fel (J, p = p(s)), cu schimbarea ~,p,~rametru s = A,(t). Am văzut că .r~·mpt.ri•Ht.

x(t)

~ XI(s) = ~p' . (p" X p"'). k(s)

r'(t) ~ p'(s) · A,'(t), r" ~ p" · J.' 2 + p' ·A.",

r

lfl

1 =p ·r. + 3p ·r. ·r. +p ·r.î III

"\ 13

11

') 1

lf

1

1!1

' ( " xr /11) =r. î t6 1 ( " xp'") . r·r ·p·p .Deoarece r'(t) = p'(s) · A,'(t) deci 1r'(t) 1 = A,'(t), adică A,'= v, rezultă X(t) =

l

k(s) 2 v

6

r' · (r" X r"').

fine, deoarece k(s) = -;.llr' x r"ll (conform teoremei 2.2., (2)), V

rezultă

r' · (r" x r"')

X(t) = llr' X r"ll2 Dacă

r(J) este situat într-un plan P, atunci vectorii r', r" sînt coplanari P (deoarece r'(t) = Iim r(t + h)- r(t) şi la fel pentru r''(t)). Atunci h-;0 h x r"(t) J. P, deci (3(t) J. P pentru orice tE 1. Aşadar P va coincide cu planul în orice punct deci (3(t) =constant. Prin urmare, (3' =O şi conform a treia a lui Frenet, X= O.

A 11) MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTE

204

Reciproc, dacă x=O, atunci W=O, deci J}(t)=A, constan t. Dar ~>llr'xr" deci r' .LA adică (r ·A)'= O. Aşadar, r ·A= a, constan t. Atunci, notînd r = xe 1 + ye2 + ze3 , A= a 1e 1 + aze 2 + a 3e 3 , satisfac ecuaţia rezultă că toate punctel e (x, y, z) ale suportu lui curbei a 1x + azr + aa2 = a şi ca atare aparţin unui acelaşi plan. EXEMPLU. Fie C o curbă şi A un punct fixat; pentru orice punct M E C şi cu x(M) torsiun ea notăm cu d(M) distanţa de la A la planul osculat or în M curbei în M · C se

ca (relativ la A) dacă raportu l numeşte curbă Titei ' '

x(M)

d(M) 2

1873-1939). în detaliu curbele din spaţiu. Teoria precedentă studiat OBSERVAŢIE. Am se poate dezvolt a şi pentru cazul curbelo r în IR" (sau în spaţii mai generale). Acest studiu nu este doar un joc matema tic ci există motivaţii adînci ale t sale. De exempl u, dacă -~ este un sistem dinamic şi dacă la fiecare momen a r: I-> IR", tE I el are parame tri de stare x 1(t), ... , xn(t), atunci aplicaţi timpI. De de lul interva t-> (x 1(t), ... , xn(t)) determină evoluţia sistemului~ pe , asemen ea prezintă interes studiul curbelo r în spaţiul pseudo euclidia n IR{, 3

este constan t (Gh.

Ţiţeica,

incluzîn d reperel e Frenet. (De exempl u, particu lele elemen tare se pe "curbe temporale").

deplasează

§ 3. Suprafeţe 3.1.

Noţiunea

de

suprafaţă;

modur i de reprez entare

au apărut în conştiinţa noastră ca frontier e ale unor corpuri materia le; de exempl u, suprafeţele plane, cilindrice, sferice etc. ele fiind 2.1, obiecte geomet rice esenţiale pentru cunoaştere. În analogi e cu definiţia Suprafeţele

fixăm

3 C1 o DEFINIŢIA 3.1. Se numeşte pînză parametrizată în IR de clasă

aplicaţie

3 r: U-> IR , (u, v)-> r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

2 *O în definită într-un domeni u U c IR (deschis conex) şi astfel încît r" xr,

. punct d"lll once

u(ru

=

ar ' rv = ar) au au

că O astfel de pînză se mai notează pe scurt (U, r = r(u, v)) şi se mai spune

are

ecuaţiile

param etrice x = x(u,v) y = y(u,v) [

Mulţimea r(U)

,(u,v)E U.

z = z(u,v)

= ((x(u, v ),y(u, v ),z(u, v ))

suport ul) pînzei r.

1(u,v) E

U} se numeşte urma

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

205

2 Două pînze (parametr izate) (U, r), CV, r 1 ) cu U, V domenii din !R se zic :Cb.iv:al (x, y) să fie un difeomorfism. Aplicaţia r : U -7 W fiind un difeomorfism, r(A) este o vecinătate a lui vecinătate deschisă Ac

3 c = r(u 0 , v0 ) deci există o vecinătate V1 a lui c în IR astfel încît 3 2 r(A) = V1 n S = V1 n W. Fie acum p : IR ---> IR , (x, y, z)---> (x, y) proiecţia pe 1 planul xOy. Deoarece p o riA = cp, rezultăp(r(A)) c B deci r(A) cp- (B). Notînd V= V1 np- 1(B), rezultă r(A) =V n S =V n W şi se poate considera 1 1 aplicaţia F = cp- o p fv: V ---tA. Evident, F este de clasă e . Rămîne să arătăm relaţia din enunţ. Fie (\l)(x,y,z) E W n V, (x,y,z) E r(A). Atunci există şi este 1 unic un punct (u,v) E U astfel încît (x,y,z) = r(u,v) deci (u,v) = r- (x,y,z). În fine, 1 1 F(x,y,z) = cp- (p /v(x,y,z)) = cp- (x,y) = (u,v), ultima relaţie decurgînd din faptul că cp(u,v)=p(r~(u,v))=p(x,y,z)=(x,y). Aşadar, r-llwnv=F~nv· Lema este

demonstrată.

Fie acum (U,r), (U1,r 1) parametrizări ale lui S ca în enunţ şi W = r(U) = r 1(U1). Aplicaţiile r: U---> W, r 1 : U 1 ---> W fiin homeomorfisme (adică bijective, continue, cu inversele continue), rezultă că aplicaţia 1 'A= r1- 1 or: U---> U 1 , este un homeomorfism. Rămîne să arătăm că 'A şi 'A- sînt de clasă e 1. Fie (\1) (u 0 , v 0 ) E U fixat. Aplicînd !ema pentru punctul c = r 1('A(u 0, v 0 )), 1 3 există o vecinătate deschisă V a lui c în !R şi o aplicaţie F: V---> U 1 de clasă e 1 astfel încît r1- 1 1wnv = Flwnv şi fie Z = r- (W n V). Mulţimea Z este o vecinătate 1 a lui (u 0 , v0 ) şi 'Aiz = (rl-l or)lz = (F or)lz adică 'A b este o funcţie de clasă e 1 1 1 (compunere de aplicaţii e ). Aşadar, 'A este e şi similar se arată că 'A- este

el

Putem presupune că · · - o vecina" exista · !!Cite, t eoremm· f uncţ"l r ccDc;.(f'-'' n or 1mp --:;:: g'-C) ( u0 , v0 ) ::f::. O d ec1· con1orm b) Fie r(u, v)

= (j(u, v),g(u, v), h(u, v)).

D(u, v)

tate V a lui (u 0 , v 0 ) şi o vecinătate V1 a lui (x0 , y 0 ) = (j(u 0 , v0 ), g(u 0 , v0 )) astfel X

încît F: V

y

~~

-7

V1, (u, v)---> (f(u, v), g(u, v))

să

fie un difeomorfism.

Avem F(u 0 , v0 ) = (x0 , y 0 ). 3 Aplicaţia r lv: V---> JR este injectivă, deoarece F = p o r lv şi F este injectivă. Atunci r 1v: V---> r(V) este bijectivă şi continuă; cum F = p o r !y, rezultă (r iyr1 = Y 1 o p deci (r iyr1 este continuă. Am arătat astfel că r(V) este o suprafaţă (confocm definiţiei 3.2). Teorema 3.1 este demonstrată.

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

3.2. Drumuri pe o

suprafaţă.

211

Plan tangent, normală, orientare

Fie S o suprafaţă. Se spune că un drum parametrizat CI, p = p(t)) S este situat pe S dacă (V) tE /, /1....--(...J;(r_P_(t'-')...._ c_ p(t) E S adică suportul drumului p(l) este conţinut in S. t Un caz particular important îl ' constituie drumurile situate in suI porturi de parametrizări locale ale Figura IV.22. lui S. Fie (U, r = r(u, v)) o parametri.zaJ~e a lui S deci r: U--'> r(U) este un homeomorfism. Atunci a da un drum (!, p = p(t)) de clasă C\ aflat în r(U), revine la a da un drum >;ţfesin,gular (!, p1 = p (t)) unde p =ro p . 1 1 p1 are ecuaţiile parametrice

Pgij(x)= gx(!",

Ou;

vui

217

lC:,i,jC:,2

netede; funcţiile g,;(x) se numesc componentele metricii Riemann g la parametrizarea considerată]. Aşadar, în fiecare spaţiu tangent TaS fixat cîte un produs scalar gaJ matricea acestui produs scalar relativ la

ar } fiind (g,;(a)) 1 acel unic E ~astfel

-+

încît Op = ii(a) (figura. IV.27).

z ->

n(a)

p

o

y

X

Figura IV. 2 7. : l'>fJWCa11a y este netedă deoarece pentru orice a E S, alegind o parametriza, r = r(u, u)) a lui S compatibilă cu orientarea, avem

218

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

(y

o

r)(u, v)

APLICAŢII

•!• (PARTEA 11)

= y(r(u, v)) = li~ x~ll ru Xrv

C 1•

Pentru orice a E S, putem considera aplicatia şi aceasta este de clasă IR-liniară y'(a) : TaS--> Ty(al:;, Dar Ty(a);; = TaS (ca spaţii vectoriale), deoarece normalele lor sînt paralele. Pentru orice punct a E S, endomorfismu] y(a) : TuS--> TuS este numit operatoru l fundamen tal al suprafeţei S în punctul a. Dacă

(U, r = r(u, v)) este o parametriz are a lui S în

vecinătatea

lui

a = r(u, v) compatibilă cu orientarea, atunci (y

o

r)(u, v) = y(r(u, v)) =

deci(\/) h E TuS, h = h/u + h F," 2

_,

avem

~~~u x~,~~- iî(u,v), ru xrv

_,

'( )(h)-h o(yor) h o(yor) - 1 ou + 2 ou

y a

În particular, y'(a)(i'al = ~~ = iiu

h oii h oii 1 ou + 2

iJv

(notaţie) şi y'(a)(i') = ~~=nu (notaţie).

2 TEOREMA 3.4. Dacă S este o suprafaţă de clasă C , orientabilă, atunci pentru orice a E S, operatoru l fundamen tal f = y'(a) : TuS--> TuS

este autoadjun ct (deci are valori proprii reale şi este diagonizab il). DEMONSTRAŢIE. Avem de arătat că (\/) p, q E TuS, f(p) · q = p · f(q). Să observăm mai întîi că f(i'u) · i'u =fu f(i'a) [într-adevăr, aceasta revine la iiu , Fu ::: Fu · iiv; dar ii · ~~ = O şi ii· ~t = O şi derivînd în raport cu u şi respectiv ii avem iiu . r;! +ii. fvu =o, iiu . fu +ii' fuv =o şi se ştie că ruu = rvu ], În mod similar f(i')i'u = i'" · f(i'0 ). Se ţine apoi cont că (\/) p, q E TuS există scalari Pv p 2 , q 1, q 2 astfel încît p = P!i'u + P2i'"' q = q1i'u + q2r, etc. Teorema este demonstrată. 2 DEFINIŢIA 3.8. Fie S o suprafaţă de clasă C , orientabilă. Pentru orice punct a E S considerăm aplicaţia biliniară (simetrică conform teoremei 3.4) cp:,Zl :TuS xTuS--> R, (p, q)--> -f(p) · q. 2 2 Familia de aplicaţii cp( l = lcp~ \es se numeşte a doua fundamentală a lui S. Funcţiile L =-fu· fiu, M =-fu· iiv =-Fu ·fiu, N = -Pv · iiv se numesc Cfjoefici·• enţii celei de a doua forme fundamen tale a lui S. Se observă că 2 2 - di' · diî = -(f0 du + i'0 dv Hiiadu + iiudv) = L du + 2M dudv + N dv (formă pătratică în du, du). Deoarece Fu _L ii, Tu l_ ii, rezultă O= (Fu ·ii)u = Fuu ·ii+Ft- ·fiu, 0=(1:;-u ·ii)v =fuv

·ii

+fu ·fiu,

O= (Fu ·iî)u = Fvu ·ii +fu ·fiu, O= (fu ·ii)v::::: fvv .fi +fu ·fiu,

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

L

'f',n,eu"""'"'" că

= ruu

(li) a E

219

·ii, M =fuv ·ii, N = fvv ·ii.

S, matricea lui : M -7 (O,+=), x1, f(x 1), 2x 1) _, x 1 este bijectivă; astfel x 1 apare ca o coordonată pe M, în

226

A 11) MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •:• (PARTE

sensul că pentru a determ ina un punct al lui M este suficien t de cunoscu t valoare a lui x 1 corespunzător. Se pot însă concepe mulţimi mai general e de tipul lui M şi aplicaţii

Y se numeşte continuă dacă pentru 1 se e, 1 continu sînt q:>q:>, şi ă bijectiv q:>- (V) este deschis în X. Dacă q:> este că q:> este un homeo morfis m. . Se numeşte DEFINIŢIA 4.1. Fie M un spaţiu topologic separat pe M orice nate) n-dimensională (sau sistem local de coordo fie deschis şi q:> : U-'> lR" definită pe un deschis U c M astfel încît q:>(U) să hartă se mai note"'" aplicaţia q:> : U-'> q:>(U) să fie homeomorfism. O astfel de pe scurt (U, q:>). 3 o pa:ran11~; EXEMPLU. Dacă S este o suprafaţă în 1R şi dacă (U, r) este 1 trizare a lui S, atunci pereche a (r(U), r- ) este o hartă 2-dimensională pe S. numesc cOIDJ>a1tibile: Două hărţi n-dime nsional e (U, q:>), (V, \jl) pe M se dacă aplicaţiile \jf

o

q:>- 1 : q:>(U n V)-'> \jf(U n V); q:>

sînt difeomorfisme de clasă C

1

o \j/-

1

: \jf(U

n V)-'> q:>(U n

(între deschişi din IR"'). Dacă Un V; 0,

M q:>(UnVJ

_J t 1

\jloQl 1 1 ...

1 Qlo\jl

-t

/ \ji(V)c lR"

Figura IV.30.

GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ

227

nve1mrn să considerăm hărţile respective compatibile (figura IV.30). (U, To(a;lR" = Y,.Ccp(a)). izomofismul 00 , bazei Baza spaţiului vectori"!! TaM care cores pund e, prin ... , a=}; aşadar s.ca.a) = ek, canonice le,, ... , enl, se numeşte baza mobilă !ala' Dacă

1 ue;,

1 ~J ~ 3.

i=l

Evident, tensorul T este simetric sau antisimetric după cum matricea Mr are această proprietate. Valorile şi vectorii proprii ai lui Mr se consideră ataşaţi tensorului T. Vectorii proprii determină direcţiile principale ale tensorului. Spaţiul vectorial L( 73l al tensorilor de ordinul 2 are dimensiunea 9 şi admite baza IT,,J 1

r ~OM~ xel + yez

al lui

y / _"

/

/

r/ /

- ar cf.(6) gl ~- ~ COS8e

1

ap

iffz

ar cf.(6)

~ ae

Evident,

~

g{j ~

/

.

-

+sm8ez

•

/

ŞI

o

- psineel + pcos8ez·

{g1 , g2 }

formează

o

e

bază

X

Figura IV.32.

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

234

APLICAŢII

•!• (PARTEA Il)

a lui 7'2 (mai precis pentru 'f'2(M) cu M E D); g1 este tangen t reciprocă ei curba 9 =cons tant, iar g2 la p =cons tant. Baza 2 , j 1 )

R oui RJ" oui .

În coordonate carteziene x 1 = x, x2 = y) x 3 = z avem (21)

În coordonate sferice: (22)

o)J

[a • o) +a (sme. o) +a- (-1- - - . L\= 2 1 - (r 2 smer sine or or ae ae oq> sine oq>

În coordonate cilindrice: (23)

L\ = .!.[_?_(P o) +_?_(.!. o) +_i_(P o )]· p ()p

()p

Ofjl p dfjl

dZ

dZ

.. Renunţînd la variabila z, din (23) rezultă laplacianul în coordonate polare in plan; anume pentru o funcţie (p, O) de clasă C2 avem (24)

L\ = .!.[_?_(P a) +_?_ (.!. o )] = a22 +.!. o +..!..2 az2 p op op ae P oe op P op p ae ·

Vom folosi ulterior aceste expresii.

Capitolul V

SISTEME DIFERENTIALE •

§ 1. Clase de ecuaţii şi sisteme diferenţiale 1.1. Noţiuni fundamentale in teoria sistemelor

diferenţiale

(ordinare) Teoria ecuaţiilor şi sistemelor diferenţiale reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii, cu largi aplicaţii în tehnică, ca de exemplu în mecanică, în studiul circuitelor electrice, al oscilaţiilor şi în teoria comenzii automate. Ea permite în esenţă să se studieze procesele de evoluţie deterministe, finit-dimensionale şi diferenţiale. Precizăm aceasta. O condiţie esenţială pe care trebuie să o îndeplinească un proces fizic pentru a fi "descris" de ecuaţii diferenţiale este aceea ca prezentul să conţină predicţia viitorului local, ca şi reconstituirea trecutului local; un proces fizic care satisface această condiţie se numeşte determinist. Un proces fizic este fi. nit-dimensional şi diferenţiabil dacă este descris de un număr finit de parametri de stare (mărimi dependente de timp a căror cunoaştere determină dinamica procesului), care sînt funcţii derivabile de variabila timp. În liceu s-au considerat doar ecuaţii de forma f(x) =O cu f funcţie reală; ecuaţiile algebrice, logaritmice, trigonometrice etc, erau de această formă. Se impune însă şi studiul unor ecuaţii în care necunoscuta este ea însăşi o func~ ţie (astfel de ecuaţii se mai numesc funcţionale). Printre acestea se află ecuaţiile diferenţiale ordinare (în care necunoscuta este o funcţie de o singură variabilă independentă), ecuaţiile

cu derivate parţiale, ecuaţiile cu diferenţe finite, ecuaţiile integrale etc. Istoriceşte, primele ecuaţii diferenţiale au apărut d.'n "probleme nevinovate"; de exemplu, problema găsirii tractricei: dacă stăpînul S 'merge" pe o axă, iar cîinele său C este ţinut cu zgarda întinsă, tangentă la curba y descrisă de cîine (S şi C fiind presupuşi

y

diferenţiale

s

-

o

Figura V.l.

axa

X

SISTEME DIFERENPIALE

245

materiale, se cere să se determine ecuaţia curbei y (numită tractrice). ,,;,!IJe,gî:tld un reper ortogonal XOY şi presupunînd că ecuaţia lui y este ,. -J'"" cuy funcţie derivabilă, ecuaţia dreptei SC va fi Y- y; y' ·(X- x) deci S va avea coordonatele ( x - ;,

,O} Condiţia ca distanţa IISCII să fie

~nstant:ă, egală cu lungimea la zgardei, revine la

:2 + y 2; l 2, egalitate care 2

De•SC O) rezultă dt

SISTEME DIFERENPIALE

dx = dt

247

12cE- U(x))

1} m

ce reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul I. Revenim acum la cazul general şi dăm cîteva

noţiuni

şi

definiţii

euclidian real IR" şi v : U---> IR" un cîmp t;: U---> IR este funcţie diferenţiabilă unde adică v = ({1 , ... , fn), nAlouu i = 1, 2, ... , n (se poate considera şi cazul în care fi, i = 1, ... , n, sînt doar continue). Relaţia

U un domeniu al

spaţiului

(1)

x=v(x), xEU,

sistem diferenţia! autonom (sau invariant în timp) definit cîmpul de vectori v. Domeniul U se numeşte spaţiul de faze (sau ~p•aţiul stărilor) sistemului diferenţia! (1). Dacă n = 1, atunci relaţia (1) :reJ>re,ziiltă o ecuaţie diferenţială autonomă de ordinul întîi. DEFINIŢIA 1.1. Se numeşte soluţie a sistemului diferenţia! (1) pe un intel"'•al 1, orice funcţie diferenţiabilă rp : 1---> U, care are proprietatea că numeşte

= v( U a sistemului diferenţia! (1)

aplicaţiei

DEFINIŢIA

;atiisf•we condiţia

iniţială

M, care se numeşte evoluţia la timpul t. Avem atunci g'., = g' o g·', (\f) t, sE IR, căci starea y =g'x în care trece x după timpul s, trece după timpul t în aceeaşi stare z = iY în care x trece după timpul t + s şi anume g'+·'x = z (procesul este determinist ). Dăm acum defini ţii riguroase: ·DEFINIŢIA 1.5. Se numeşte grup cu un parametru de transformări ale 1 mulţimii M, o familie (g } 1EIR de aplicaţii ale mulţimii M în ea însăşi, 0 1 g': M-> M, avînd proprietăţile: pentru orice t, s E IR, g +' = g' o g' şi g = lM. 1 DEFINIŢIA 1.6. Se numeşte curent (M, (g }) o pereche formată dintr-o 1 mulţime M şi un grup (g } cu un parametru de transformări ale acestei mulţimi.

M se numeşte spaţiul fazelor (stărilor) curentului. Pentru fiecare stare x E M definim aplicaţia (jl : IR -"'> M, 'i'Ct. = g'x, (\f) tE IR, care se numeşte mişcare a punctului x e,ub acţiunea curentului, iar imaginea acestei aplicaţii se numeşte orbită a curentului. Se numeşte poziţie de echilibru sau punct fix x E Mal unui curent orice punct care este orbită, adică pentru Mulţimea

care g'x

=

x, (\f) tE IR.

SISTEME DIFERENt:>IALE

249

numeşte spaţiul de faze extins al curentului (M, lg'}) mulţimea

M, iar graficul unei mişcări se numeşte curbă integrală a curentului . . yen1cru modelarea unui proces determinist, finit dimensional şi diferenţia!, următoarea noţiune:

1.7. Fie U c lR" un domeniu. Se lg 1} de difeomorfisme ale lui U o = g'x, (It) tE lR, (It) x E U, cu proprietăţile: g este o aplicaţie

numeşte

grup cu un

aplicaţie g:IRxU->U,

diferenţiabilă;

2) familia ig'J,eiR este un grup cu un parametru de transformări ale lui U. 0 iOBSERVAŢD~. Din relaţia gt+·' =g' o g' obţinem că g' o g·' =g = lu, deci g'

pentru orice tE R şi are ca inversă pe g·'. Din proprietatea 1) recă atît g' cît şi g·' sînt diferenţiabile, deci g' este un difeomorfism pentru tE JR. ÎJEFINIŢIA 1.8. Fie (U, lg'l) un curent definit de un grup cu un parametru :.difemorlisine ale domeniului U c lR". Se numeşte viteza v(x) a curentului ou.nctulx E U, vectorul viteză al mişcării punctului x, adică bijecţie

dgdt'xl

= v(x). t""O

următorul

rezultat: TIW!ffiii!A 1.1. Fie (U, lg'}) un curent definit de un grup cu un para· de difeomorfisme ale unui domeniu U c lR" şi v cîmpul vectori· vitezelor curentului. Orice mişcare

U, lR, (It) tE R, prin g 1x 0 = ek'x 0 .

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE. EXEMPLE,

250

APLICAŢII

•:• (PARTEA 11)

1 1 Pentru (\f) t, s E 1R avem (g1 o g·')x0 ~ g'(g·'x0 ) ~ i'Cek·'x 0 ) ~ i '"' x0 ~ g'+·'x0, 1 0 1 (It) x 0 E IR, deci g o g·' ~ g'+·'. Evident g x 0 ~ x 0 , deci familia (g } 1EIR este un grup cu un parametru de transformări ale lui U ~ IR. În plus, aplicaţia g : 1R x 1R --'> IR, g(t, x) ~ g'x ~ ek'x, (\f) tE IR, (It) x E 1R este diferenţiabilă, deci curentul CIR, (g1}) este dat de un grup cu un parametru de difeomorfisme. 1 OBSERVAŢIE. Teorema 1.1 ne arată că un curent CU, (g }) definit de un grup cu un parametru de difeomorfisme ale unui domeniu U cIR", defineşte un sistem diferenţia! autonom, iar mişcările sub acţiunea curentului sînt soluţii ale acestui sistem diferenţia! asociat. În exemplul anterior am văzut că şi invers, plecînd de la soluţiile unei ecuaţii diferenţiale autonome, am definit un curent (IR, (g1}), printr-un grup cu un parametru de difeomorfisme. Reciproca teoremei 1.1 nu este adevărată, în general. În anumite conditii' cu ajutorul soluţiilor unui sistem diferenţia! autonom, se poate obţine doar un curent "local".

.

1.2. Ecuaţii

diferenţiale

integrabile prin metode elementare

2 Fie f(x, y), f: U--'> 1R o funcţie continuă pe un deschis U c IR ; atunci se poate considera ecuaţia diferenţiabilă de ordinul I asociată lui f, y' ~ f(x, y). Conform definiţiei 1.1, prin soluţie a acesteia pe un interval I se înlţel•age orice funcţie derivabilă (j) : I--'> 1R astfel încît (\f) x E J, Cx, qJ(x)) E U şi 1 qJ'(x) ~ f(x, qJCx)). Aici spaţiul stărilor este IR şi un proces descris prin ecllav•a y' ~ f(x, y) se consideră cunoscut dacă se ştie y ca funcţie de x; graficele de luţii se mai numesc curbe integrale. Problematica principală constă în terminarea soluţiilor prin metode exacte sau aproximative, precum şi în diul calitativ al soluţiilor. Mai general, dacă t;Cx, y 1, ... , y 0 ), 1 "'i "'n sînt n funcţii continue pe un chis U cIR"+', atunci se poate considera sistemul diferenţia! de ordin I at, anume y; ~ t;Cx, y 1 , ... , Yn), 1 "'i "'n. Considerînd funcţia F: U--'> IR", mul se scrie "vectorial" Y ~F(x, Y), unde Y ~ (y 1, ... , Y 0 ), Y' ~ Cy;, ... , y~). Punctul (y,. ... ,y0 ) din IR" este starea unui proces descris prin acest SlE IR este o

funcţie continuă

pe deschisul D P(x, y) Q(x, y)

ecuaţia

o

(1) se scrie P(x, y) dx + Q(x, y) dy =O, cu P, Q: D--> IR, Q *O pe D, astfel încît forma diferenţială (2) ro = P(x, y )dx + Q(x, y )dy

formă diferenţială exactă

C 1(D), cu proprietatea AtUJ1CI

se spune

există

=f(x,y) (y'=f(x,y))

JR 2. Presupunem că pentru orice punct (x, y) E D avem f(x, y) = şi

şi

pe D;

aşadar, există

că dF =ro sau, echivalent,

că ecuaţia diferenţială

(1) este o

o

funcţie

aF = P ax ecuaţie

şi

funcţii

F : D --> IR,

aF = Q. ay

cu

diferenţială

Î'EO}. Deoarece âP = aQ (= ex), sîntem în ây âx aplicării corolarului. Fixînd (x0 ,y 0) E D, rezultă F(x,y)=

1 1 ) 1 ---y0 ex JX( -z+y 0 ex dx+ JeYdy=-+yex J

xo

Orice

corrdiţrilil

X

Yo

soluţie verifică relaţia !

+ yex = C cu C

0 •

Xo

X

constantă arbitrară şi

X

Cx -l Se put ea ra ţ'wna t' · es t e y = --x-· genera1a- a ecua,rer xe

şr·

d'rrect,

ecuaţia dată:

-X\ dx + yexdy + exdy =O, - : de unde

!

X

+ yex

=

c

(folosind faptul

2

dx + d(yex) =O,

că dacă f

este o

df =O într-un deschis conex, atunci f' este constantă).

d(~ + yex) =O, funcţie

de. clasă C1

SISTEME ecuaţia diferenţială autonomă

~; f(y),

(5) orice y

E

cu f: J-> 1R de

253

DIFERENŢIALE

clasă e1 pe un interval J şi f(y) *O

1 -dy; O. Forma se scrie dx- -f(y) J. Ecuatia .

lă diferentia .

1 f(y)

w=1·d x--dy

(6)

evident închisă în domeniul simplu conex D = 1R x J deci orice (5) satisface, conform corolarulu i teoremei 1.2, relaţia y d X dx- f(~) = e, fiind o funcţie constantă oarecare.

J

J

xo

Yo

bOJ.up'.a care satisface x-x0 =

condiţia

y(x0 ) = y 0 cu x 0 E IR, y 0 E J

soluţie

satisface

a

relaţia

f f~~f Yo

forma

diferenţială

w = P(x, y) dx + Q(x, y) dy nu este

înmulţire cu o funcţie >tCx, y),

w D-> 1R

închisă

în D,

de clasă el, convenabilă

factor integran t), forma diferenţială !-lW = !-tP. dx + >tQ. dy (9) închisă şi ecuaţia !-tffi =O se rezolvă ca mai sus.

Aşadar,

este

verificată

condiţia

(10) ecuaţia

_i!_C!-t?l = _i!_C>tQ) în orice punct (x, y) ox ily cu derivate parţiale

(ll)

E

D,

Q il>t _ p il>t + ~"(ilQ _ ilP) =O. ily ily

ox

ox

metoda factorului integrant se aplică "încercînd" funcţii care numai de x sau numai de y. Fie ecuaţia diferenţială ydx + 2xdy; O în domeniul simplu şi D = {x >O}. Notînd P(x, y) = y, Q(x, y) = 2x, se observă că ilP ilQ ily ox nu este exactă. Căutăm un factor integrant de forma !J(x); ecuaţia

practică

*

p

~

Q

~

!J(x)y dx + 2x!J(x) dy =O

şi

punînd

condiţia

ilP ilQ ily = -ax-•

= 21J(X) + 2x)f(x), deci !J'(x) = _ _.!._, In 1iJ 1; _.!:_lnx +In 1e 1; se 2 2x !J(X) lua !J(x) =

}x.

Ecuaţia iniţială

devine

rezultă

observă că

exactă după înmulţirea

~:-~clx + 2.JX dy; O, adică d(~y.JX) =O şi soluţia generală

e 2

e

deci y = .JX . Din nou,

ecuaţia iniţială

putea fi

rezolvată

cu

este mai

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

254

APLICAŢII

•!• (PARTEA 11)

= -2 dy simplu (ceea ce nu se poate face totdeauna ), scriind-o sub forma dx y X

ş\

2 integrînd direct: ln x = -2ln ly 1 + ln 1C 1, xy = C etc. b) Ecuaţii cu variabile separate O ecuaţie diferenţială de forma

~ = f(x)·g(y),

(12)

unde f: I --7 R, g: J --7 R sînt funcţii continue, g *O, pe J, iar I =(a, b), J = (c, d) c R, se numeşte ecuaţie cu variabile separate . Forma

diferenţială

w = f(x)dx-

funcţiei F: D

--7

g~y) dy

este

exactă

pe D = I x J fiind

y d X ('1) (x,y) R, F(x, y) = JtO

kO

Yo>O

k=O (xo,Y0 )

o

X

o

o

X

y

y

o

o

X

X

X

k(x) 1 şi 'V' (x) ~ ~~ 'lf(x) 1 pentru orice x E

IR

şi că q>(2) ~ 1, 'lf(2) ~ 1.

Cauch y (o 3) În exemp lul care urmează arătăm rolul impor tant al datelo r ţială cu il!.cliinab:.re mică a datelo r poate avea efecte mari). Fie ecuaţia diferen • • eeh"1va1ent -dx = e X · s1nt, t ·, ecuat"1a se sene • separat e x> = eX · s1n dt . cos t 1 , C ~ sint dt şi prin integra re, -e -x ~ -cost - C deci x(t) ~ -ln 1 C + unica o constantă arbitrară. Eviden t, proble ma Cauch y x(O) ~O are unică soluţia are 3 -ln x(t) ~- In 1cost 1, iar proble ma Cauch y x(O) ~ inită în vecinătatea ~-In (2 +cost) ; în primul caz avem o soluţie nemărg

i) a lui t ~O, iar în cazul secund se obţine o soluţie mărginită pe întrea-

dr.em>tă reală.

c) Ecuaţii omog ene O ecuaţie

diferenţială

de forma

~ ~ r(;),

(x) a ecuaţiei (13) se obţine o soluţie u ~ q>(x) x (13') şi reciproc.

liniar e de ordin ul 1 diferenţială de forma

d) Ecuaţii O ecuaţie

diferenţiale

y' ~ P(x) · y + Q(x), funcţii contin ue (l ~(a, b) cIR) se numeşte sînt P, Q: I-'> IR ţială lliniar·ă neomogenă (de ordinu l întîi). Ecuaţia diferen (14)

ecuaţie

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, APLICAŢII •!• (PARTEA 11)

256

(15) se numeşte

y' = P(x) · y

ecuaţia liniară omogenă ataşată ecuaţiei

TEOREMA 1.3. Orice soluţie

ecuaţiei

a

(14). liniare omogene (15) are

forma

JP(t)dt

, (li) X E J, cu x 0 E f şi CE JR. y =Ce '" 2 DEMONSTRAŢIE. Fie D = l x (O,+=) c 1R . Pe domeniul D ecuaţia (15) este o

(16)

cu variabile separate şi orice soluţie a sa se scrie sub forma implicită: yd X P(t) dt = 2. + C1 unde x 0 E J, y 0 E (O,+=) şi C 1 E lR. Se obţine că

ecuaţie

Jy

J

Yo

x0

JP(t)dt

X

JP(t) dt-C1 = lnL, deci y = y 0 ·e-e, ·e '"

.

Yo

xo

fPct>dt

. Notînd y 0e-C1 = C >O, se obţine y =Ce '" Analog, pentru domeniul D 1 = I x (-=, 0), se

obţine că

orice

soluţie

JPct)dt

, unde x 0 E I şi CE !R, C < O. Observînd că (15) are forma y =Ce '" y =O (funcţia nulă pe l) este soluţie a ecuaţiei (15), rezultă că orice soluţie a ecuaţiei

f'PuJdt

, CE !R, x 0 E J. acesteia are forma y =Ce " Remarcăm că ori«1 ~oluţie a ecuaţiei liniare omogene este definită pe intervalul I de definiţie al funcţiei P. COROLAR. Fie S mulţimea soluţiilor pe I ale ecuaţiei omogene y' = P(x)y. Atunci S este un spaţiu vectorial real dimensiune 1. DEMONSTRAŢIE. Aşadar, S = [

lR 1

!R,

IR (I1 cI), Ricca ti. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a sa, genă efectu înd tunci ecuaţia Ricca ti se reduc e la o ecuaţie liniară neomo ecuaţia

stituţia Je fu~cţie

y

~ Yp + ~. z

Deriv înd

şi înlocu ind în ecuaţia (20) obţinem

y~-=~ ~P 2: rezultă că y tinde către l şi x tinde către C deci C 2 Ecuaţiile param etrice ale tractric ei vor fi

X= t(lntg i- +COSt) { y =!sint ,

tE ( 0,

n

y

Suport ul acestei curbe este indicat de Figura V.6. Simetr icul acesteia faţă de Oy are aceleaşi ecuaţii

-

param etrica, cu tE (~,re). Se adaugă şi

re

t=-.

2

punctu l (0, !),

obţinut

pentru Figura V.6.

X

SISTEME

DIFERENŢIALE

261

Este de remarcat că suprafaţă născută prin rotirea tractricei în jurul axei se numeşte pseudosfera de parametru /, care a constituit pimul model geometria lobacevskiană (hiperbolică), datorat lui E. Beltrami '·"'"r- ~''v'"· Precizăm pe scurt o proprietate interesantă a pseudosferei. Pentru a obţine ecuaţiile parametrice ale pseudosferei, considerăm în xOz tractricea

:: !

~sinu

Z = z(lntg%+COSU).

z

0 < U (t) a sistemului diferenţia!, cu condiţia iniţială q>(t0) = x 1, este funcţie dife· 1 renţială de clasă c··- şi de to· DEMONSTRAŢIE. Fie t = Ţ + t 0. Pentru 1 Ţ 1 suficient de mic t E I şi fie atunci v(Ţ, x,t0 ) = v( Ţ + t0 , x). Soluţia \lf(Ţ) a sistemului diferenţia! cu parametrul t 0 , :i: = îi(Ţ, x, t 0 ), care 1 verifică condiţia iniţială 'lf(O) = x" este funcţie diferenţială de clasă C'- de parametrul t 0. Dar funcţia q>(t) = 'lf(t - t 0) este soluţia sistemului diferenţia! :i: =v(t, x) cu condiţia iniţială q>(t0 ) =x" deci este funcţie diferenţială de clasă c'- 1 de parametrul to. OBSERVAŢIE. Ţinînd seama de observaţia anterioară, rezultă că, de fapt, soluţia sistemului diferenţia! este chiar funcţie de clasă C' în raport cu parametrii şi cu condiţiile iniţiale.

§ 2. Sisteme diferenţiale liniare 2.1. Sisteme

diferenţiale

liniare cu coeficienţi oarecare

Teoria ecuaţiilor liniare este utilă atît prin aplicaţiile ei directe în probleme liniare, cît şi în calitate de primă aproximaţie în studierea,[ problemelor neliniare. Această teorie are marele avantaj de a fi definitivă; de"i exemplu, ea permite rezolvarea tl!turor ecuaţiilor liniare autonome.

SISTEME

DIFERENŢIALE

271

şi pentru (V) tE 1 fie A(t) : IR" _, IR" ihPrat.onJl liniar definit de matricea A(t) = (a,/fll 1c;.;,jsn' unde aij: 1 _, R sînt , continue. Fie b(t) = (b,(t)) 1 5 i 5 "' unde b; : 1 _, 1R sînt funcţii continue. Sistemul diferenţia! cu spaţiul fazelor IR", dat de cîmpul de vectori = A(t)x + b(t), adică (1) i = A(t)x + b(t), numeşte sistem diferenţia! liniar neomogen (de ordinul întîi), cu coefi.ci,enţi variabili. Dacă b(t) =O, sistemul diferenţia! (2) i = A(t)x, numeşte sistem diferenţia! omogen, cu coeficienţi variabili. Sistemul diferenţia! (1) poate fi scris sub forma scalară

(1')

i

1

= a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x 2 + .. · + a1n (t)x" + b" (t)

i

2

= a 21 (t)x1 + a 22 (t)x 2 + · .. + a 2n (t)xn + b2 (t)

in = anl (t)x, + anz(t)xz + "' + ann (t)xn + bn (t).

În cazul sistemelor diferenţiale liniare se poate întări teorema 1.8 (de exisşi unicitate) în sensul că soluţiile sînt globale, definite pe tot intervalul (deci prelungibile la întreg l). TEOREMA 2.1. Pentru sistemul diferenţia! (1) există şi este unică o Şl>lu1tie l.,t.

(A-'A 1l") ... (A-'Akl") ... (A-'A"l") ('Ak -'A,) ... ('Ak---:-'Ak) ... ('Ak -'A")

k•l

(simbolul "~" semnifică eliminarea factorului respectiv). Într-adevăr, să alegem cîte un vector propriu vk pentru "-• E cr(A), 1 :0: k :0: n. Conform prop; 1 1 2.11, există a", a,. ... , a"_ 1 astfel încît etA = aJ" + a 1tA + ... + a"_ 1t"- A"- . Dar A · vk = 'Akvk deci U · vk = 'A~vk pentru orice întreg p 2 O şi ca atare e

tA

·Vk

~ ~ ţP AP = .LJ --vk = L.J p•O

p!

p•O

p

"A,tP

•

--·vk =

p!

e

).kt

·vk

.

1 1 Înmulţind relaţia etA = aJ" + a 1tA + ... + a"_ 1t"- A"- la dreapta cu v.,; 1 rezultă e).kt =a"+ a 1t'Ak + ... + a"_ 1t"-'Xr , 1 :0: k :0: n şi rezolvînd acest sistem:; relativ la a 0 , a" ... , a"_" se obţine formula anterioară(*).

Ca un exemplu, fie

A=(~ ~} atunci cr(A) = {1, 2} şi conform(*), avem

SISTEME

DIFERENŢIALE

287

e'A =e'. A-2!2 +e2'. A-!2 =(e' 2e2t ;,2e'J. e O 2-1 · 1-2 1 -1 -1] 2) Fie A= -3 -4 -3 . Conform exemplelor date în capitolul I, [ 4 7 6 Pnt.llre.aalgoritmului dejordanizare, avem crA = {-1, 2} şi luînd

după

pre-

-~ ~J avem T-1 AT=[-~ ~ ~]=diag(B1. B2), unde B =(-1) şi o 1 2 o -1 1

~).Conform teoremei 2.12 e, f, rezultă 7'""1 . eAt. T = diag (e-l' e821 ). Dar eBz'

=e 2'_{~ ~)deci.

eAt =T·

\

3) Fie

A=[=~ L~ ~]. o -1

T

= [

-1

1

[e-

l

1

O 1 21 O O -T- . O e O te2t e2t

Conform exemplelor amintite anterior crA = {1}

1] o -2 -2 o o1 -1 rezulta _

0 1 2 0 0021

-1

T AT = J

şi

o oo] . [11 1o o dec1 0 1 1 0 0001

=

o oo te' e' o o .r-'. t2 t 2e te e' o o o o e' e'

eAt =TeJt ·T-1

=

T

1

3) Să presupunem că o particulă materială se află la momentul t în !UrtctlJl (x 1(t), x 2(t)), astfel încît :i:1 = x1 + 2x2, :i:2 = 2x2, iar la momentul t =O se află în punctul (1, 7). Ne propunem să determinăm la ce moment ea se găsi pe dreapta x2 = 14. Aşadar, :i;

=Ax unde A=

(12) 0 2

Rezultă 7e 21 = 14 şi t = ~ln2,

deci x(t)

= etA · x(O) = (14e 2t - 13e,t 7e21)T .

momentul cerut.

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

288

2.4.

Ecuaţii diferenţiale

Se numeşte

X (ni_

•:• (PARTEA li)

de ordin superior

ecuaţie diferenţială

(1)

APLICAŢII

de ordinul n orice ecuaţie de forma

F(t ,X,X ' ,X " ,

.•. ,X

(n-1))

,

unde F: U ->IR este o funcţie diferenţiabilă (de clasă C', r?: 1) pe domeniul U c 1R''*1 Forma (1) se mai numeşte şi forma normală a ecuaţiei diferenţia­ le. Uneori se consideră ecuaţii diferenţiale de ordinul n şi sub formă implicită, adică

"'(t ,X,X ' ,X " , 'V

(2)

unde

1R este o funcţie D C JRn+2.

..• ,X (n-1) ,X (n))

diferenţiabilă

(de

clasă

= O, C',

r?: 1)

pe un domeniu

Se numeşte soluţie a ecuaţiei (1) o aplicaţie de clasă C", cp : I-> 1R definită pe un interval I ~(a, b) cIR, pentru care: 1 a) punctul (t, cp(t), cp'(t), ... , cp o şi notăm

r

constant), rezultă putem presupune

mi'= F; că

r

mişcarea fiind plană, = 1R compo nentele sale. Se numeşte ecuaţie pentru funcţia necunoscută parţiale de ordin ul întîi liniară omogenă u : u-> lR, u de clasă c', egalita tea (11)

n

OU

i:=l

axi

:Lv,(x, ' "'' xn )-(x, ' ... , Xn) =O, X= (x,, "., xn)

Eu.

1 (\i) x E U Funcţia u : U-> lR, de clasă C , care verifică relaţia (11) pentru legătură se numeşte soluţie a ecuaţiei (11) pe domen iul U. Există o strînsă între ecuaţia (11) şi sistem ul diferenţia! autono m (3) şi anume :

om (3) TEoREMA 3.7. Orice integrală primă pe U a sistem ului auton a U ecuaeste soluţie pe U a ecuaţiei (11) şi, recipr oc, orice soluţie pe ului (3). ţiei (11) este integrală primă pe U a sistem 1 integrală DEMONSTRAŢIE. Fie u : U-> 1R o funcţie de clasă C care este formul ele (2) şi (4) obţinem primă a sistem ului diferenţia! :i: = v(x), x E U. Din n au a ecuaţiei O= (L0 u)(x) = :L-(x ) · v,(x), (\i) x E U, deci funcţia u este soluţie i=taxi

cu deriva te parţiale de ordinu l întîi omogenă (11). U o Reciproc, fie u : U-> 1R o soluţie a ecuaţiei (11) şi fie ep : I-> (11): oareca re a sistem ului diferenţia! (3). Pentru (\i) tE I avem din n

soluţie

OU

:Lv,(e p(t))-( ep(t)) =O. axi i=l =O, (\i) t E I, sau Dar dep = v(ep(t)), deci rezultă relatia I,~(ep(t)) dep, dt i=l • dt d(uoep) . O, (\i) tE I, adică u o ep =constantă pe l, şi atunci funcţia dt echiva lent u este integrală primă a sistem ului diferenţia! autono m (3). ) *O din teorem a 3.6 rezulOBSERVAŢIE. Pentru orice punct x 0 E U cu v(x 0 le prime ale sistem ului tă că există o vecinătate W a lui x 0 în Uşi n - 1 integra orice soluţie a (3) {1, ... , { 0 _ 1 : W-> lR. Din teorem ele 3.6 şi 3.7 rezultă că 1 C de funcţiile clasă de ecuaţiei (11) pe domen iul W este dată de o funcţie fv ... , fn-1' v(x 1, x2 ) = (x,. x2) EXEMPLE. 1) Fie ecuaţia x 1 ou + x 2 ou =O. În acest caz, ox2 ax, dx, dx2 Deoare ce -=-este asocia t diferenţia! sistem ul şi Xz xl

ax,

ln

lx,l

=In

lx2 1+In Ici

rezultă că funcţia

f(x 1 ,x2 )=!:l x2

este o integrală

primă (în deschisu! x 1x 2 * 0). Soluţia generală a ecuaţiei date este u = w( =~) 1 cu E (avem orice t ~ 0). orice t

~O,

4.3. Stabilita tea poziţiilor de echilibru ale sistemel or autonom e (invarian te in timp) Considerăm sistemul diferenţia! autonom (1)

x = v(x), x E

U cIR",

unde v este un cîmp de vectori de clasă C' (r ~ 3) în domeniul U. Presupun em x E U) şi că sistemul (1) are o singură poziţie de echilibru x 0 în U (v(x0 ) =O, 0 sosă alegem coordonat ele x 1 astfel încît x 0 =O (efectuăm o translaţie). Atunci că e presupun Putem IR. tE (V) =O, q:>(t) este =O ) q:>(t iniţială luţia cu condiţia 0 şi t 0 =O E IR. DEFINIŢIA 4.2. Poziţia de echilibru x = O a sistemulu i diferenţia! autonom (1) se numeşte stabilă (in sens Poincare -Liapuno v) dacă pentru orice x E U E > O există li> O (care depinde numai de E) astfel încît, pentru orice 0 = x 0 se q:>(O) iniţială condiţia cu (1) i a sistemulu pentru care < E pen· prelungeşte pe întreaga semiaxă t > O şi satisface inegalitat ea

llxoll

tru orice t > O (figura V.16).

II'I'Ctlll

SISTEME

313

DIFERENŢIALE

t

u Figura V.l6. DEFINIŢIA 4.3. Poziţia

C!lsirncptotiic stabilă idefin:iţia 4.2 avem

dacă

de echilibru x = O a sistemului (1) se numeşte ea este stabilă şi în plus, pentru soluţia q>(t) din lim q>(t)=O. t~+

mai întîi cazul particular al sistemelor liniare omogene X= Ax, A: lR"-'> lR", X E lR", (2) un izomorfism. Atunci x = O este singurul punct este A să presupunem că al cîmpului u(x) =Ax, deci x =O este singura poziţie de echilibru a •sist••mului (2). TEOREMA 4.2. (Poincare-Liapun ov). Dacă toate valorile proprii ale >pEora.toru'lui liniar A : lR"-'> lR" au partea reală negativă, atunci po· de echilibru x = O a sistemului diferenţia! liniar omogen (2) este asimptotic. Dacă există ).. E cr(A) cu Re)..> O, atunci x =O este Să considerăm

Conform teoremei 2.13 q>(O) = x 0 E !R", este

DEMONSTRAŢIE.

..co,na.IFa iniţială

C" un operator liniar şi E > O. Atunci în C" supe• există o bază astfel încît matricea lui A în această bază să fie fie, să ei rior triunghiulară şi toate elemente le de deasupra diagonal în modul, mai mici ca E (o astfel de bază se numeşte bază "E- aproape proprie"). Din teorema !.3.11, rezultă că există o lwl> w 2 , ... , wn} în C" astfel încît matricea lui A în această bază să fie SUJ)er·Jor triunghiulară (desigur pe diagonală apar valorile proprii ale lui A). Atunci A(wk) = alkwl + azkwz + ... + ak-lkwk-1 + 'Akwk, (5) DEMONSTRAŢIE.

SISTEME ~

1, 2, ... , n, unde (aij)

E

M,J O astfel încît pentru orice punct de pe S să avem (8) a(x)?. a> O. Dacă 1 bkzl < E, atunci pe sfera S, avem

lb(x)l:o: flbkzlO pentru (It) x *O. DEMONSTRAŢIE. Deoarece valorile proprii ale lui A pot să nu aparţină lUi IR, este mai comod să demonstrăm afirmaţia în cazul complex: să presupunem că toate valorile proprii ale operatorului liniar A : O, cr1 >O astfel încît pentru orice x cu llxll < cr 1 avem 312 2 2 1L, r l : IR şi K: D----> R; funcţia K se va numi în cele ce urmează nucleu. DEFINIŢIA 5.1. (a). O egalitate de forma

t

b

a

X

q>(x) =A J K(x, t)q>(t)dt + f(t), x

(1)

E 1,

a

se numeşte ecuaţie integrală Volterra de tip II neomogenă cu parametrul A real şi cu funcţia necunoscută q> : 1----> IR. (b) Pentru{= O se obţine egalitatea

b

a

/ / /

X

I

Figura V.18.

X

(1')

q>(x) =A f K(x, t)q>(t)dt; x

E

1, A E IR,

a

care se numeşte ecuaţie integrală Volterra de tip II omogenă. (c) O egalitate de forma X

(2)

f K(x, t)q>(t)dt = f(x), x E J, a

se numeşte

ecuaţie integrală

Volterra de tip 1.

OBSERVAŢIE. În anumite condiţii, o ecuaţie Volterra I se poate transforma într-o ecuaţie Volterra IL De exemplu, dacă f este derivabilă pe 1, K este

pe D şi K(x, x) *O, (It) x E 1, atunci ecuaţia (2) se într-o ecuaţie de tipul (1). Într-adevăr, derivînd (2) obţinem: xaK J-(x, t)q>(t) dt + K(x, x)q>(x) = f'(x), diferenţiabilă

a

transformă

ax

deci q>(x)=f a

1 aK(x,t)q>(t)dt+ f'(x), K(x, x) K(x,x) ax

Volterra de tip II neomogenă. TEOREMA 5.1. În ipotezele de mai sus, pentru orice A E IR, ecuaţia integrală Volterra de tip II neomogenă are o unică soluţie q> : I----> IR, adică

o ecuaţie

integrală

continuă. DEMONSTRAŢIE. Notăm

Vom folosi metoda aproximaţiilor succesive a lui Picard.

cu

operatorul liniar \jf----> d\jf, unde X

(d\jf)(x) =

f K(x, t)\jf(t)dt, (It) X E 1, a

SISTEME

(3)

DIFERENŢIALE

321

1Jio; {, 1jfk; .91 1jfk-l, k E IN'.

Construim acum şirul de funcţii {O> 'Pn E cJ; n

'Pn;1Jio+:LX'1Jfk·

(4)

k:=l

Notînd cu

A; suplf(x) 1 ,M; sup IK(x, t) j xEl

(x,t)eD

ob1;in = L,xiyi, pentru orice x = (xv ... , xn), i:l

y = (y" ... , Yn). Generalizarea directă, infinit dimensională, o constituie spaţiul 12 al şirurilor x = (xn)n ~ 0 de numere reale sau complexe astfel încît seria

L 1xn1 2 să fie convergentă. De exemplu, şirul {1, .!_, ... , .!._, ... } aparţine lui 12 2

n:O:O

dar

şirul

n

{1, ]z, .Ja .... ,l···} nu aparţine lui 1 Două şiruri x=(xn)n~o· 2•

y = (yn)n ~ 0 se consideră egale dacă xn = y n pentru orice n ~ O. Se definesc suma x + y = (xn + y n)n ~ 0 şi produsul "Ax = (Î.Xn)n ~ 0 unde "A este un scalar. Din

inegalitatea

evidentă

1XnYnl

o> ~(1 x l + IYl ),

rezultă că dacă

x, y

E

12, atunci

seria LXnYn este absolut convergentă (deci şi convergentă); în plus, rezultă n = ~:XnYn, se obţine un produs scalar complex. Se arată că n::o:O

spaţiul 12

este chiar un

spaţiu

Hilbert

(adică

este complet). Un alt exemplu

TEHNICI DE SPAPII HILBERT

335

lmoo:rta.nt de spaţiu Hilbert îl constituie spaţiul L 2(G) al funcţiilor de pătrat ';ab;ohtt integrabil

L2 (G) = {f:G-> C măsurabilă

1

J jf(x)j 0

2

dx
C este o funcţională liniară şi continuă pe H, attm(Ji este un produs scalar, în sensul că există şi este unic un ve,~to>r v E H astfel încît (li) w

E

H, (w) =

(teorema lui F. Riesz de reprezentare a funcţionalelor pe spaţii Hilbert). 4) Pentru orice operator liniar şi continuu f: H _, H al lui H există este unic adjunctul lui f, adică un operator liniar şi continuu : H _, H astfel încît

H, = = f1 p(x)P~ (x)P: (x) dx = 8mn pentru orice m, n;:, O. I = [- 1, 1] şi p 1, se obţin polinoamele Legendre Dacă (A. M. LEGENDRE, 1752-1833), notate P .(x). Pentru I = (- 1, 1) şi

=

p(x) =

h

2

se

obţin polinoamele Cebîşev (P.

1-x notate Tn(x); pentru I

=(0, =)

şi

p(x)

=e~,

se

L.

obţin

CEBÎŞEV,

1821-1894),

polinoamele Laguerre 2

pentru l = (- =, =), p(x) =e-x , se pun în evidenţă polinoamele Hermite Hn(x) (CH. HERMITE, 1822-1901). Aceste sînt numite uneori polinoame ortogonale clasice. Teoremele 1.1 şi 1.2 se pot aplica în fiecare din aceste cazuri. Astfel, pentru orice funcţie

Ln(x) (E. N. LAGUERRE, 1834-1886)

1

u: [- 1, 1]--> 1R cu

Ju(x) 2 dx < = -1

polinoame

Legendre

-

şi

există o dezvoltare a lui u în serie de

u = ~:CnP,,,

convergentă

în

L 2 (p),

p = 1,

unde

n=O 1

cn

= < u, Pn > = Ju(x)Pn (x) dx,

n;:, O reprezintă

şirul

coeficienţilor Fou-

-1

rier-Legendre ai lui u (sau în altă terminologie, spectrul discret Legendre al semnalului u). Deoarece polinoamele P n sînt cunoscute, se pot folosi

340

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• {PARTEA 11)

n

aproximări de tipul u"' LckPk cu n ~O ales convenabil. În mod similar se k=O obţin dezvoltări

în serii de polinoame Cebîşev, Laguerre, Hermite şi spectre discrete corespunzătoare {folosite de exemplu în filtrarea semnalelor). Dăm acum o listă de proprietăţi generale ale polinoamelor ortogonale relativ la o funcţie pondere p: I--. lR, notate P.{x), n ~O obţinute prin ortogonalizare {nu ortonormalizar e!) Gram-Schimid t pornind de la şirul 1, x, x 2, ... Şi presupuse monice {deci avînd coeficienţul termenului de grad superior egal cu 1). Vom nota Nn = [[Pn[[ 2 = J p(x)Pn (x) 2 dx. Se subînţelege că identificăm 1 polinoamele cu funcţiile polinomiale asociate (şi că Pn nu este aici polinomul Legendre în grad n). 1) Fiecare polinom Pn este de grad n deci Pn E lR"[X]. Într-adevăr, procedeul Gram-Schmid t dă P 0 1; apoi P =X+ a şi 1 parametrul a se determină din condiţia P 1 _!_ P 0 adică p(x)(x +a) dx =O; 1 P 2 = x 2 + i3x + y unde coeficienţii 13 şi y se determină din condiţiile P _!_ P , 2 0 P 2 _!_ P 1 etc. 2) Polinoamele P0 , P,. ... , Pn sînt liniar independent e (deci formează o bază pentru spaţiul vectorial!Rn[X]). Într-adevăr, fie UoPo + a1P1 + ... + anPn =o cu a, E lR; deoarece Pn = x" + Qn_ 1(x) cu Qn_ 1 polinom de grad,; n- 1, rezultă că an= O; apoi din relaţia aaFo+ a 1P 1 + ... + an_ 1Pn_ =O rezultă an_ =O etc. 1 1 3) Pentru orice n ~ 1 polinomul Pn este ortogonal cu orice polinom Q E JRn-1[XJ, Conform proprietăţii 2 există constante reale a0 , ... , U.- 1 astfel încît

=

n-1

n-1

J

n-l

Q= LaJl deci =

=Lai =0. i=D

i=l

4) Să notăm ck = J xk · p(x) dx, k ~O. Atunci pentru orice întreg n ~O 1 există o constantă reală An astfel încît

(*) Pn (x) =An ·

DEMONSTRAŢIE.

cn-l

cn

1

X

c2n-1 •••

Deoarece P n are gradul n,

Xn

există

constante reale bin'

n

O,; i,; n astfel încît Pn (x) = Lbinx' deci i""O n

n

n

< xm, Pn (x) > = L,bin < xm, xi > = _L.binflxm+ip(x) dx:;::; Lbinci+m. i=O

.

i""O

i=O

TEHNICI DE SPAPII HILBERT proprietăţii

Conform '~vin~i+m

=O. Aceste

rezultă

3

relaţii

că

341

pentru m = O, 1, ... , n - 1 avem

definesc un sistem liniar omogen de n

+ 1 necunoscute b0n, b 1n, ... , bnn· Rezultă -bln bon c, Cz cn cn 1 co cz

ecuaţii

cu

(-1)"bnn co

c,

Cn-1

cz

Cg

cn+l

c,

Cg

Cn+l

c,

Cz

cn

Cn

Cn+l

C2n-1

Cn-1

Cn+l

C2n-l

Cn-l

Cn

C2n-2

notînd cu An valoarea comună a acestor rapoarte şi înlocuind coeficienţii bin expresia iniţială a lui Pn(x), se obţine formula din enunţ. OBSERVAŢIE. Din proprietatea 4 rezultă că funcţia pondere (care permite explicit al coeficienţilor ck) determină în mod univoc toate polinarnele P" (mai întîi pînă Ia o constantă multiplicativăA", dar reamintim polinoamele sînt monice). ExEMPLE. 1) Considerăm cazul polinoamelor Legendre. În acest caz,

dacă kestepar

ck = Jxk dx= xk+ll' =jk! 1 -1 k + 1 -1 O

Aşadar, c0 = 2, c1 =O, c 2 = ~,

c0 c1 c2

(x) = A 2 • c1 c2 1

Fiind monice,

rezultă

!N)licra1tă că P3 (x) = x 3 - ~x,

X

·

2

rezultă că

·le; ~ /= A1 ~~ ~~ = 2A x, 1

2

c3 = A 2

X

k este impar.

c3 =O etc. Aplicînd formula(*)

P 0(x) = A 0c0 = 2A0 , P1 (x) = A 1

P2

dacă

O 2/3

O 2/3

O = A2

1

x-

?

X

.i(x2 _.!:.) 3

.!:..

P0 = 1, P 1(x) = x, P2 (x) = x 2 3

3

De asemenea, se

P4 (x) = x 4 - .§.x 2 + Jl... etc. 5 7 35 2) În cazul polinoamelor Cebîşev, avem .': 1

xk

ck=J~dx -1

c0 = rr, c1 =O, c2 =

1t

3

1-x

1

-

=

2

Jsinktdt n 2

, c3 =O etc. Va rezulta T0 =1, T 1(x) = x,

"~'"'·"!=x 2 -i, T3 (x)=x 3 -~x, n ~

x=sint

4

T 4 (x)=.x -x

-

2

+i

etc. Vom vedea

1, T" (x) = "_1 Tn (x), unde Tn (x) = cos(narccosx). 2

că

342

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•!• (PARTEA 11)

3) Primele polinoame Laguerre sînt L 0 = 1, L 1 = x- 1, L 2 = x 2 - 4x + 2, L 3 =x 3 - 9x 2 + 18x- 6, L 4 =x 4 - 16x3 + 72x 2 - 96x + 24 etc., iar polinoamele Hermite sînt H 0 =1, H 1 =x, H 2 =x 2

-l., 2

H 3 =x 3 -!!..x, H 4 =x 4 -3x 2 +2. 2

etc.

4

Continuăm

Să

lista de proprietăţi generale. observăm că pentru orice n?. O, polinomul Pn+ (x) 1

~

xPn(x) are gra.

n

du!,; n deci Pn+ 1(x)- xPn (x) = LakPk (x). Atunci pentru orice O,; m,; n avem k=O

şi

pe de

altă

parte, n

= Lak =am ·IIPmllz· k"O

Deoarece xPm are gradul m + 1, rezultă că Pn> =O deci am= O pentru m + 1 < n, adică m,; n - 2. Pentru m = n - 1 avem

Dar xPn_ 1 = Pn + Q cu Q polinom de grad,; n- 1 deci .

< xPn-1• pn > = < pn +Q, pn > = IIPnll şi

2

ca atare a"_ 1 este un număr real strict negativ. Am dovedit în acest mod de recurenţă: 5) Pentru orice n?. 1 are loc o relaţie de forma

următoarea relaţie

adică

6) Pentru orice întreg n?. 1, polinomul Pn are n situate în intervalul I.

rădăcini

simple,

DEMONSTRAŢIE.

Fie u" ... , um rădăcinile reale distincte ale lui Pn care sînt situate în I şi au ordinul de multiplicitate impar. Să considerăm polinomul Q(x) = (x- u 1) ... (x- um) de grad m. În cazul cînd nu există rădăcini ca mai sus, considerăm că m =O şi luăm Q 1. Dacă m < n, atunci A2~

În cele ce urmează, vom nota (3)

(acesta

diferă

multiplicativă).

Pn (x) = ~[(x 2 -1)nJ(n), 2 ·n!

n2O

de polinomul monic Legendre doar printr-o

constantă

344

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA Il)

TEOREMA 1.3. a) Polinoamele Cebîşev y = Tn(x), n;;, O verifică ecuatia diferenţială (1- x 2 )y"- xy' + n 2y =O. ' b) Polinoamele Legendre y = P n(x), n;;, O verifică ecuaţia diferenţială (1- x 2 )y"- 2xy' + n(n + 1)y =O. DEMONSTRAT• IE. a) Deoarece Tn(x) = __!__, cos(narccosx), 2nT;(x) =

2

:_1 sin(narccosx)·

b

rezultă

1-x

şi prin calcul direct avem (l-x 2 )T;\x) -xT~(x) +n 2Tn(x) =O pentru orice XE (-1, 1). b) Notăm u(x) =(x 2 - 1)" deci (x2 - 1)u'(x) =2nxu(x). Derivînd această rela. ţie de n + 1 ori, se obţine conform regulii lui Leibniz,

[(x 2 - 1) · u'(x)](n+l)

=2nx · u(n+lJcx) + 2n(n + 1) · u(n)(x),

deci (x 2 - 1)u(n+2 )(x) + 2(n + 1)xu(n+l)(x) + n(n + 1)u(n)(x) = = 2nx · u(n+l)(x) + 2n(n + 1) · u(n\x),

de unde (x2 - 1) · (u("\x))" + 2x(u(n)(x))'

Deoarece Pn (x) = +u(n)(x), Azn

=n(n + 1)u(n)(x) =O.

rezultă

(x 2 -1) · P~'(x)

+ 2xP~ (x)- n(n + 1)Pn (x) =O, deci relaţia căutată. COROLAR. Să notăm V= lRMxl spaţiul vectorial real al funcţiilor polinomiale cu coeficienţi reali de grad :5 N ( N;;, 1 fiind fixat). Atunci: d2 d a) operatorul IY= (x 2 - 1 ) - +x-deci 1'7: V_, V, dx 2 dx g'(y) = (x 2 - l)y" + xy' admite vectorii proprii Tn(x), cu valorile proprii n 2 pentru orice n =O, 1, ... , N.

d2 d b) operatorul .L = (x 2 - 1 ) - + 2x-;-d deci .L: V_, V, 2

dx x .L(y) = (x - 1)y" + 2xy', admite vectorii proprii P w cu valorile proprii n(n + 1) pentru orice n =O, 1, ... , N. Afirmaţia corolarului este o altă reformulare a teoremei 1.3, deoarece 2

21(Tn) = (x 2 -1)T~' + xT~

teor.1.3

=

n 2Tn, pentru orice O :5 n :5 N; în mod similar,

.L (P,,) = (x 2 -1)P~' + 2xP; = n(n + 1)P," pentru O :5 n :5 N. OBSERVAŢIE. Dacă se pune problema determinării unei soluţii y = y(x) analitice mărginite pe intervalul [- 1, 1] a ecuaţiei Legendre (1 - x 2 )y" 2xy' + Ay = O cu A parametru real, atunci se poate demonstra că în mod necesar A este de forma A = n(n + 1) cu n E lN şi soluţiile mărginite corespunzătoare sînt de forma y = aPn(x) cu a E IR constant. Rezultatul este ne banal.

TEHNICI DE

SPAŢII

HILBERT

345

Fie I un interval pe dreapta reală şi V o vecinătate a originii. O funcţie r),{: Ix V--> 1R se numeşte funcţie generatoare pentru un şir de funcţii " 0 definite pe I dacă pentru orice x E I, în vecinătate punctului r =O loc o dezvoltare de forma f(x,r) = LQ"(x)r". n:=O

TEOREMA 1.4. a)

Funcţia

f(x, r)

=

1 , x E [-1, 1] este gene· 1 ;n-111 ,n d.

2n+1 pentru n = 2, 3, ... , k

3

SPAŢII

şi înmulţindu-le, obţinem

2 2 dx =% deci IIP·II = 2k + 1 pentru orice k:;:

o.

b)

dacă

n,;O

dacă

n =0

APLICAŢIL

1) Polinoamele .

sînt strîns legate de problema "celei mai bune

Cebîşev

Fixăm

un întreg n

:i:

O. Am

văzut că

Tn(x) =

2,~_ 1 cos(narccosx) M(x) de gra-

un polinom manie şi arătăm că pentru orice polinom monic n, avem sup ITn (xll ~ sup IMCxll deci dintre toate polinoamele monixE[~l,l]

xE[-1,11

de grad n, polinomul intervalul [- 1, 1].

Cebîşev

Tn(x) are cea mai mică normă- sup

Într-adevăr, să observăm mai întîi că extremele lui Tn(x) sînt atinse

\'litpe:o.tr·u

T~ (x) =O adică

n arccos x = krr deci în punctele xk =cos krr, n

atunci Tn(xk) = ,;_1 coskrr = (-,;}1k 2 2 de

arătat că

sup 1 M(x) xE[-1,1]

1 :i:

2

şi ca atare

sup 1 Tn(x) 1 = xE[ ~ 1,1]

O~ k ~ n;

2,~_ 1 . Avem deci

,;_ 1 .

Presupunem prin absurd

că

'd x

E [-

1, 1] am avea 1 M(x) 1 < ,;_ 1 . Atunci 2

~gn(Tn(xk)- M(xk)) = sgn( ~n1}; - M(xk)) = (-1)k pentru orice O~ k ~ n.

polinomul Tn- M care este de grad n- 1 ar avea n schimbări de 1, 1] deci ar avea cel puţin n rădăcini. Atunci Tn- M =O intervalul[pe semn adică Tn = M, ceea ce este absurd, deoarece ar rezulta Aşadar,

L,,

absurd. 2 2) Sintetizăm acum într-un tablou principalele caracteristici numerice şi proprietăţi de calcul cu polinoame ortogonale. Formula generală de recurenţă stabilită la punctul 1.3 poate fi scrisă sub forma: IM(xkli=IT"Cx.JI=

('d) n :i: 1, anPn+ 1(x) = (bnx- cn) · Pn(x)- dn · Pn_ 1(x).

348

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•:• (PARTEA 11)

Se poate demonstra apoi că oricare polinom Pn(x) (relativ la ponderea p pe intervalul !) verifică o ecuaţie diferenţială liniară omogenă de ordin II cu coeficienţi variabili, de forma:

!fcrCxl·p(xJP,;CxJ]+D"p(x)P,,(x)=O, xE !. Tipul

Le gen dre

Laguerre

n! r(a+ n + 1)

2n + 1

3)

f(t) =

Determinăm 1

ti.

Aşadar,

Iti=

spectrul discret Legendre al semnalului f: [- 1, 1]-> IR,

LCn ·Pn(t) şi trebuie să aflăm şirul k.in. n=O

relaţiilor

de ortogonalitate avem

Jltl·Pm(t)dt= -1

f

Cm

m""O

Conform teoremei 1.6, a),

cm

JPm(t)·Pn(t)dt=cm/lf>mll

2 •

-1

rezultă

2m+1 =- Jll t 2

1

·Pm (t) dt, m;-,0.

-1

3t 2 -1 5t 3 - 3t Deoarece P0 (t) = 1, P1 (t) = t, P2 (t) = - , P3 (t) = etc. se determină 2 2

TEHNICI DE

SPAŢII

HILBERT

349

§ 2. Caract eristici statisti ce ale variabi lelor aleatoa re 2.1. Cîmpuri arbitrar e de probabil itate

şi

variabile aleatoar e

DEFINIŢIA

2.1. Fie Q o mulţime nevidă. Se numeşte familie de evenio colecţie X de submulţimi ale lui Q astfel încît: 1o. $, Q aparţin lui X; 2'. Dacă A E X, atunci CA= Q \A E X; 3°. Pentru orice şir (A este un 1 de evenimen te, 0

)

0

UAn

"

n~l

pereche (Q, .X) cu proprietăţile 1°, 2°,3° se mai numeşte spaţiu măsu­ iar mulţimile Ac Q care aparţin lui X deci .evenimentele se mai numulţimi măsurabile.

A, B E X, atunci Au B, An B şi A 1B aparţin lui X[aplicăm 3°, 2° că A nB = C(CA u CB),A \B =An CB]. Apoi dacă {An)n" sînt eve1

n.A. lna j UCAnJ va fi un eveniment. este un

(Îm•ent.e, atunci evident

=

n.O!l

Dacă (Q,

.X)

robabil.iti[ţii

orice

spaţiu măsurabil,

aplicaţie

se numeşte P: X-; [O, 1] astfel încît:

funcţie

de luarea

4'. P() =O, P(Q) = 1;

5°. Dacă {An)n" 1 este un şir de evenimen te două cîte două disjuncte (incompatibile), atunci seria LP(A") este convergentă şi în plus,

{QA,, J ,ţ,P(.A"). =

Proprieta tea 5° se mai numeşte aditivita tea cel mult numărabilă a P. Pentru orice A E X, numărul P(A) se numeşte probabil itatea

s!':'""l''~'

Orice triplet de forma (Q, X, P) cu proprietăţile 1o - 5° se numeşte cîmp probabil itate. Această definiţie axiomatică aparţine matemati cianului A. Kolmogorov (1903-1986), elaborată într-un memoriu celebru din 1933. EXEMPLE.

1) Orice cîmp discret de evenimen te (X, P) este şi un cîmp de probabilit ate, Q =X şi X= gzxX). De altfel toate proprietăţile probabilităţilor stabilite punctul 3.1 din cap. 3 se extind la cazul unui cîmp oarecare de pro:babi!itatte. În cazul discret numai evenimen tele sigure aveau probabilit atea 1. În cazul unui cîmp oarecare (Q, X, P) de probabilit ate, dacă A E X şi = 1, nu rezultă neapărat A =Q. Se spune atunci că A este un evenimen t ltiJ•roape sigur.

350

MATEMATICI SPECIALE •TEORIE, EXEMPLE,

APLICAŢII

•!• (PARTEA 11)

2) Fie Q = [0, 1) şi X cea mai mică colecţie de părţi ale lui Q conţinînd toate subinterval ele lui [O, 1], stabilă la complementară şi la reuniune cel mult numărabilă. Elementele lui X se mai numesc submulţimile măsurabile ale lui [0, 1). Pentru orice ro E [0, 1) se pune P(ro) =O şi pentru orice interval [a, b] c [O, 1), P([a, b]) = b a. Apoi orice M E X se defineşte P(M) = inf 'i.PUal, unde "inf' este marginea inferioară a sumelor indicate, na după toate şirurile de intervale In c [0, 1] astfel încît M c Uin. Se verifică u. X, P) este un cîmp de probabilitat e. Eveniment ul A = {punct din Q ce reprezintă un număr iraţional} are probabilitatea 1 deci este aproape sigur, dar totuşi nu este sigur. DEFINIŢIA 2.2. Fie (Q, X, P) un cîmp de probabilitat e. O funcţie !;,(ro), ţ : Q _, IR se numeşte variabilă aleatoare (relativ la acest cîmp) dacă pentru orice cE IR, mulţimea 12, ={ro E Q 1 !;,(ro)$ c}, notată şi li;$ c}, este un eveniment, adică aparţine lui X Se numeşte vector aleator n - dimensiona l pe cîmpul considerat orice funcţie 1;,: Q-'> IRa, !;(ro)= (ţ 1 (ro), ... , Sa(ro)), ale cărei componente sînt variabile aleatoare. O variabilă aleatoare Q _, a}= CQ.a E

X Apoi

ţ x + t.x) . Fs(x + t.x)-F,(x) , . hm p= I,~c,jjw,JJ •

< 1Jf, · de

Notînd

această

2

altă

parte, conform teoremei spectrale, rezultă

i"' =< \jf, I,~c,w, >= < wJ(\jl) >. În general, dacă f şi g sînt doi operatori autoadjuncţi ai unui spaţiu Hilbert compusul f o g (numit şi produsul fg) nu este în general autoadjunct, g of* f o g. Dacă însă f şi g comută între ei, atunci 'df>ORmf>P (f o g)'; g' o g este autoadjunct; în particular, pentru orice operator autoadjunct : H -.H, operatoriif 2 =fo fşif- a· 1H, a E lR, sînt autoadjuncţi. Revenind la modelul lui John von Neumann, dacă f este observabilă 2 . (i 1, unde

(este comutatorulluifşig. DEMONSTRAŢIE. Notăm ( 1 = f- jo/ ·1H, g 1 = g- g ·1H. Atunci

C = ff,g] =fog- g

o

(f1 ,g1 ]={1 og1 -g1 of1 =({-jo/ ·1H)o(g-go/ ·1H)-(g- go/ ·1H)o(f- jo/ ·1H) = ({ og- go/ -(g of- jo/

o

g- go/ of+ go/

C = ff1, g 1] deci =

o

-f- jo/ ·g+ jo/ ·go/)-

jo/) = fog- go f =[{,g].

Aşadar,

=

= < g, (\jf),

=

, rezultă< C(i!f), i1f >= u- = 2iimu deci 1 1 = l2i Im u 1 = 2 1Im u 1 :0: 2 1u 1 = = 2 1 1 " 2llg, (i!flllllf,(ilf)ll· conform inegalităţii lui Schwartz. În fine, să observăm că llr, ('lflll =

~< r, (i!f), r, (i!f) > = ~< (,2(\lf), \lf > = Jct,2 \;

=ilo/

şi la fel

llg 1 (i!flll = t{go/. Aşadar, 1IS:2t.fo/·6io/. Două observabile 1; g care nu comută între ele se zic nemăsurabile si· multan. Ele se numesc canonic conjugate dacă ff, g] = ih1H (h fiind constanta lui Planck); în acest caz,

2

şi

= '"'cN)

LM(yf- 2c,y, +cf) = = LM(y, -c)2 =i=M+l i=M+l

N

=

L (Myf - 2c,My, + cf). io:=M+l

Aşa

cum am spus, coeficienţii

c, optimali corespund

minimizării

lui

d!l

>t(cM+l• ... , cN). Atunci în mod necesar, conform teoremei lui Fermat, -=O,

M + 1 5 i 5: N. Deoarece

;!lc,

ac,

= -2My, + 2c,,

rezultă

TEHNICI DE

HILBERT

SPAŢII

365

N

Pe de altă parte, avem X= LYjTj şi înmulţind scalar cuT,, rezultă )=1

N N N < T,, X>=< T;, LYjTj > = LYj < T;,Tj > = LY}iij = Y; j-==1

i""l

i""l

conform (3), c, = My, = M = = C astfel încît + iQ (adică P =Ref)? Răspunsul la această problemă depinde de mulţi­ iVi IC, numită potenţialul complex al lui v, astfel încît Q = Im f deci f = P + iQ, atunci conform condiţiilor Cauchy-Rie-

Dacă

rezultă ~; =- ~: = -v2 şi ~; = ~~ = v1. Curbele Q(x, y) = k, k con.st2mt sînt linii de cîmp pentru v (deoarece în orice punct al unei astfel de avem

v·grad Q = v1 ~; + v2 ~; = v1 ( -v2 ) + v2 · v1 = O,

deci

v este tangent

curbă).

Curbele P(x, y) = k şi Q(x, y) = k 1 , sînt evident ortogonale deoarece · gradQ = v·gradQ =O. Am văzut cum se determină potenţialul complex al lui v. Este utilă şi leinversă, adică recuperarea lui v din cunoaşterea potenţialului său ionnp:lex Pentru aceasta, vom identifica orice vector plan ai+ b] cu numărul "u'"l''~" a+ bi; ţinînd cont de teorema 1.3, rezultă că

aP aQ 1 -w . , de un de f'( z J =v +w. ==v17L +v J~ =v. f '( z J =-+L:;-=v 1 2 2 2 ux

ox

Aşadar, (lf) z = (x, y) E D,

v = f'(z)

şi

llvll = lrczJI = lf'(z) 1.

EXEMPLE. 1)Dacăf\z) = az, a= a 1 + ia 2 fiind o constantă complexă, atunci = (a 1 + ia 2)(x + iy), deci P =Ref= a 1x- Oi)' şi Q = a 1y + OzX. Cîmpul este

= ((z) = â = a 1 - ia2 "'a1i- a 2] şi liniile sale de cîmp sînt dreptele +al)'= k; în plus

2)

Dacă f(z)

cîmpul

=

llvll = lf'(z) 1=la 1.

Az + m cu A, m reale strict pozitive, atunci z

corespunzătvr

este

v=f'(z)=[ A Liniile de cîmp ale lui v sînt curbele Ay

my

xz + y2

k, k

E

1R. Pentru

adică 1 z 1 2 = x 2 + J'-> =, ii tinde către Ai şi aceasta justifică de ce .constm1ta.A se mai notează v_.

382

MATEMATICI SPECIALE • TEORIE, EXEMPLE, complexă; funcţia

1.3. Exponenţiala

APLICAŢII

•!• (PARTEA III)

argument

este un şir de numere complexe, se pot forma sumele parţiale an= a 0 + a 1 + ... +an, n:? O. Reamintim că seria Lan este convergentă, cu Dacă {a" }"~ 0

n: