Matematici Economice [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITATEA ECOLOGICĂ DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

Lect. univ. dr. SANDRA TEODORESCU

MATEMATICI ECONOMICE - sinteză-

„Şi în ştiinţă ca şi în altele: mai mândru e cine o poartă decât cine o face.” Nicolae Iorga

BUCUREŞTI 2006 1

CUPRINS 1. ALGEBRĂ LINEARĂ 1.1. Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor algebrice lineare 2. SPAŢII VECTORIALE 2.1. Definiţia unui spaţiu vectorial. Exemple 2.2. Subspaţii vectoriale 2.3. Combinaţii lineare. Dependenţă şi independenţă lineară 3. APLICAŢII LINEARE 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 5. PROGRAMARE LINEARĂ 6. CALCUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 6.1. Funcţii de mai multe variabile 6.2. Funcţii omogene. Relaţia lui Euler. 6.3. Derivate parţiale şi diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile 6.4. Derivate de ordin superior 7. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 7.1. Definiţia probabilităţii 7.2. Evenimente independente 7.3. Probabilităţi condiţionate. Formula probabilităţii totale 7.4. Scheme probabilistice clasice 7.4.1. Schema binomială generalizată Poisson 7.4.2. Schema binomială Bernoulli 7.4.3. Schema hipergeometrică 7.5. Variabile aleatoare discrete 7.5.1. Operaţii cu variabile aleatoare discrete 7.5.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete 7.5.3. Media şi dispersia unei variabile aleatoare discrete 8. PLĂŢI EŞALONATE ANUAL 8.1. Valoarea finală a unor depuneri anuale 8.2. Valoarea actuală a unor plăţi anuale constante

34 34 35 38 40 40 45 48 50 50 52 54 56 56 59

Bibliografie

61

2

3 3 8 8 11 11 16 20 24 28 28 29 30 32

CAPITOLUL 1. ALGEBRĂ LINEARĂ

1.1. Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice lineare Metoda lui Gauss (metoda eliminării complete) este o metodă directă de rezolvare a sistemelor de ecuaţii lineare, adică după un număr finit de operaţii logice şi aritmetice, metoda dă soluţia exactă a sistemului. Avantajele acestei metode sunt: se poate programa, se foloseşte la calculul inversei unei matrici, calculul rangului, aflarea soluţiilor unui sistem de ecuaţii lineare de dimensiuni mari, etc. Rezolvarea sistemelor Cramer Se consideră sistemul de ecuaţii algebrice lineare:

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2   ............................................ a n1 x1 + a n 2 x2 + ... + a nn x n = bn

(1)

în care presupunem că matricea A = ( aij ) i , j =1,n este nesingulară (are determinantul nenul), unde

 a11  a A =  21 ...   a n1

a12 a 22 ... an 2

... a1n   ... a 2 n  este matricea sistemului, ... ...   ... a nn 

3

 x1    x  X =  2  este vectorul soluţiei sistemului, ...    xn   b1    b  b =  2  este vectorul termenilor liberi. ...    bn  Sistemul (1) se mai poate scrie matriceal astfel: AX = b

(2)

X = A −1b

(3)

sau, dacă det A ≠ 0

Se construieşte tabelul de mai jos care se completează pe prima coloană cu elementele matricei A , iar a doua coloană cu termenii liberi. După exact n paşi se obţine în stânga jos, matricea unitate, iar în dreapta jos, soluţia sistemului.

A

b

.

.

.

.

.

.

In

X

Algoritmul de determinare a soluţiilor unui sistem de ecuaţii lineare folosind metoda Gauss-Jordan Pornim cu primul element al matricei A, pe care îl vom numi pivot (în cazul în care elementul este nul, putem schimba două linii sau două coloane între ele astfel încât primul element să fie nenul ). Elementele de pe diagonala matricii A vor deveni pe rând pivoţi (în tabel el va apărea subliniat), coloana lui se va numi coloana pivotului iar linia lui, linia pivotului.

4

Regula de transformare a elementelor este următoarea:


Elementele de pe linia pivotului se împart la pivot (astfel că, elementul pivot se va înlocui cu 1; )


Elementele de pe coloana pivotului devin 0;
Restul elementelor din tabel se calculează cu regula dreptunghiului: Este vorba despre minorul de ordinul doi care are pe diagonala principală elementul care trebuie înlocuit şi elementul pivot:

a

b

c

d

a

b

c

d

→ d'=

ad − bc a

→ b' =

cb − ad c

sau

unde, elementul subliniat este pivotul. Se observă că întotdeauna înmulţirea începe cu pivotul.


Se continuă următoarea iteraţie luând drept pivot următorul element nenul de pe diagonală.

Observaţie: În cazul în care unul din pivoţi este nul, se pot efectua permutări de linii sau coloane.

Exemplul 1. Să se determine soluţia sistemului de mai jos, folosind metoda lui Gauss-Jordan:

 2 x1 − x2 − x3 = 2   x1 + 4 x2 − 2 x3 = 10  x − 2 x + 2 x = 10 2 3  1 Rezolvare: Calculăm determinantul matricei sistemului:

2

−1

−1

1 4 − 2 = 18 ≠ 0 1 −2 2

5

În acest caz, putem aplica metoda, sistemul are soluţie unică. Construim tabelul şi îl completăm conform regulilor de mai sus:

A

b

2 −1 −1 1 4 −2 1 −2 2

2 10 10

Elementele care sunt pe linia pivotului se împart la pivot iar cele de pe coloana pivotului devin 0. Elementele care nu sunt nici pe linia nici pe coloana pivotului se transformă conform regulii dreptunghiului astfel:

Linia 2:

2 ⋅ 4 − 1 ⋅ (− 1) 9  devine =  4 → 2 2  ( ) ( ) 2 ⋅ − 2 − 1 ⋅ − 1 3 − 2 devine → =−  2 2  2 ⋅ 10 − 1 ⋅ 2  devine =9 10 → 2

Linia 3:

2 ⋅ (− 2 ) − 1 ⋅ (− 1) 3  devine =− − 2 → 2 2  ( ) 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ − 1 5  2 devine → =  2 2  2 ⋅ 10 − 1 ⋅ 2  devine =9  10 → 2

Astfel, înlocuind în tabel, obţinem: 1 −1 −1 2 2 9 3 0 − 2 2 3 5 0 − 2 2

6

1 9 9

În continuare, scriem prima coloană neschimbată, iar pivotul va fi următorul element nenul de pe diagonală, adică 9 . Aplicînd aceleaşi reguli de calcul, rezultă la următorul 2 pas: 1 0 −2 3 0 1 −1 3 0 0 2

2 2 12

Pentru cel de-al treilea pas şi ultimul, pivotul va fi al treilea element nenul de pe diagonală, adică 2. Primele două coloane rămîn neschimbate, linia pivotului se împarte la pivot, coloana pivotului se completează cu 0, iar pentru restul elementelor se aplică regula dreptunghiului:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

6 4 6

I3

X

Prin urmare, am obţinut pe prima coloană, matricea unitate, iar pe poziţia în care iniţial au fost termenii liberi, soluţia sistemului:

 x1 = 6   x2 = 4 x = 6  3

7

CAPITOLUL 2. SPAŢII VECTORIALE 2.1. Definiţia unui spaţiu vectorial. Exemple. Fie V o mulţime nevidă şi K un corp nevid (de exemplu, mulţimea numerelor reale sau complexe) cu 0 K şi 1K elementul zero şi respectiv elementul unitate din K. Definim următoarele operaţii: a)

adunarea "+" a două elemente din V astfel: dacă x, y ∈ V ⇒ x + y ∈ V (operaţie

internă) b)

înmulţirea cu un scalar "•" a unui element din V astfel: fiecărui element x ∈ V şi

α ∈ K i se poate asocia un element din V notat cu α ⋅ x ∈ V , sau simplu, αx . (operaţie externă) În acest context, pe K îl vom numi corpul scalarilor iar elementele sale, numite scalari, se notează de obicei cu litere greceşti.

Definiţia 2.1.1. Cvartetul (V , K ,+,⋅) se numeşte spaţiu vectorial dacă cele două operaţii de la a) şi b) sunt

definite şi satisfac următoarele axiome:

v1 )

x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , ∀x , y , z ∈ V

v2 )

∃0V ∈ V astfel încât 0 K ⋅ x = 0V , ∀x ∈ V

v3 )

1K ⋅ x = x, ∀x ∈ V

v4 )

α ( βx ) = (αβ ) x, ∀α , β ∈ K , ∀x ∈ V

v5 )

α ( x + y ) = α x + α y , ∀α ∈ K , ∀x , y ∈ V

v6 )

(α + β ) x = αx + βx, ∀α , β ∈ K , ∀x ∈ V

8

Observaţie: Dacă K=R, corpul numerelor reale, atunci V se numeşte spaţiu vectorial real, iar dacă K=C, corpul numerelor complexe, atunci V se numeşte spaţiu vectorial complex.

Observaţie: Elementele lui V se numesc vectori, şi se notează de obicei cu litere latine.

Observaţie: Adunând doi vectori obţinem tot un vector, iar înmulţind un scalar cu un vector rezultatul este tot un vector.

Exemplul 1. Primul şi cel mai important exemplu de spaţiu vectorial este spaţiul R n .

Rezolvare: Fie R n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ R} . Corpul K este R, corpul numerelor reale. Egalitatea a doi vectori este definită astfel : x = (x1 , x2 ,..., xn ) şi y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) sunt egali dacă şi numai dacă xi = yi , ∀i = 1, n . Definim acum cele două operaţii:

a)

dacă x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R n şi y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈ R n atunci adunarea vectorilor

x + y se defineşte astfel: x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) ∈ R n

b)

înmulţirea unui scalar cu un vector se defineşte astfel: α x = (α x1 , α x2 ,..., α xn ) ∈ R n

Acum esate uşor să verificăm cele 5 axiome din definiţia 1.

9

v1 )

Fie x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R n , y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈ R n , z = ( z1 , z2 ,..., zn ) ∈ R n

trei

vectori din R n Asociativitatea adunării se scrie astfel:

x + ( y + z ) = ( x1 , x2 ,..., x n ) + [( y1 , y 2 ,..., y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n )] = = ( x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1 + z1 , y 2 + z 2 ,..., y n + z n ) = (x1 + ( y1 + z1 ), x2 + ( y 2 + z 2 ),..., xn + ( y n + z n )) = = (( x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y 2 ) + z 2 ,..., (x n + y n ) + z n ) = ( x1 + y1 , x2 + y 2 ,..., xn + y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n ) =

[(x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1 , y 2 ,..., y n )] + (z1 , z 2 ,..., z n ) = ( x + y ) + z v2 )

Vectorul nul 0V este evident vectorul cu toate componentele egale cu zero:

0 R n = (0,0,...,0) Dacă înmulţim vectorul x ∈ R n cu scalarul 0 K = 0 ∈ R obţinem: 0 ⋅ x = 0(x1 , x2 ,..., xn ) = (0 ⋅ x1 ,0 ⋅ x 2 ,...,0 ⋅ xn ) = (0,0,...,0 ) = 0 R n

v3 )

Dacă înmulţim vectorul x ∈ R n cu scalarul 1K = 1∈ R obţinem: 1 ⋅ x = 1( x1 , x2 ,..., xn ) = (1 ⋅ x1 ,1 ⋅ x 2 ,...,1 ⋅ xn ) = (x1 , x 2 ,..., x n ) = x

v4 )

Fie α , β ∈ R şi x ∈ R n . Atunci:

α ( βx ) = α (βx1 .βx 2 ,..., βxn ) = (α (βx1 ), α (βx 2 ),..., α (βxn )) = ((αβ )x1 , (αβ )x2 ,..., (αβ )xn ) = (αβ ) x v5 )

Fie α ∈ R şi x, y ∈ R n . Atunci:

α ( x + y ) = α (x1 + y1 , x2 + y 2 ,..., x n + y n ) = (α ( x1 + y1 ), α (x 2 + y 2 ),..., α ( xn + y n )) = = (αx1 + αy1 , αx2 + αy 2 ,..., αxn + αy n ) = (αx1 , αx2 ,..., αxn ) + (αy1 , αy 2 ,..., αy n ) = αx + αy v6 )

Fie α , β ∈ R şi x ∈ R n . Atunci:

(α + β ) x = ((α + β )x1 , (α + β )x2 ,..., (α + β )xn ) = (αx1 + βx1 , αx2 + βx2 ,..., αx n + βxn ) = (αx1 , αx2 ,..., αxn ) + (βx1 , βx2 ,..., βx n ) = αx + βx

10

Am verificat cele 5 axiome ale spaţiului vectorial deci, spaţiul R n este spaţiu vectorial peste R.

2.2. Subspaţii vectoriale Definiţia 2.2.1. O submulţime W ⊂ V nevidă, se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă i)

∀x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W

ii)

∀x ∈ W , ∀α ∈ K ⇒ αx ∈ W

Observaţie: Cele două condiţii i) şi ii) se pot exprima într-o formă echivalentă: iii)

∀x, y ∈ W , ∀α , β ∈ K ⇒ αx + βy ∈ W

Exemplul 1.

{

}

Fie R 3 = ( x1 , x2 , x3 ) xi ∈ R , ∀i = 1, 3 şi fie W = {( x1 , 0, x3 ) x1 , x3 ∈ R} ⊂ R 3 o submulţime. Arăt că W este subspaţiu vectorial al lui R 3 . Într-adevăr avem îndeplinite cele două condiţii: i)

(x1 ,0, x3 ) + ( y1 ,0, y3 ) = (x1 + y1 ,0, x3 + y3 ) ∈ W

ii)

αx = α ( x1 ,0, x3 ) = (αx1 ,0, αx3 ) ∈ W

2.3. Combinaţii lineare . Dependenţă şi independenţă lineară. Definiţia 2.3.1. Fie (V , K ,+,⋅) un spaţiu vectorial. i)

Dacă α1 , α 2 ,..., α n sunt n scalari din K, şi v1 , v2 ,..., vn sunt n vectori din V atunci

vectorul α1v1 + α 2 v 2 + ... + α n vn se numeşte combinaţie lineară a vectorilor v1 , v2 ,..., vn cu scalarii α1 , α 2 ,..., α n .

11

ii)

Dacă v ∈ V şi există α1 , α 2 ,..., α n ∈ K astfel încât v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n v n se

spune că v este combinaţie lineară de vectorii v1 , v2 ,..., vn . Fie (V , K ,+,⋅) un spaţiu vectorial şi S = {v1 , v2 ,..., vn }un sistem de vectori din V.

Definiţia 2.3.2. Se spune că sistemul de vectori S este linear dependent dacă există n scalari

α1 , α 2 ,..., α n ∈ K , nu toţi nuli, astfel încât α1v1 + α 2 v2 + ... + α n v n = 0V (1) Observaţie: Relaţia (1) se numeşte relaţie de dependenţă.

Definiţia 2.3.3. Se spune că sistemul de vectori S este linear independent dacă din orice combinaţie lineară de forma

α1v1 + α 2 v2 + ... + α n v n = 0V rezultă că toţi scalarii α1 , α 2 ,..., α n ∈ K sunt nuli.

Propoziţia 1. Sistemul de vectori S = {v1 , v2 ,..., vn } este linear dependent ⇔ cel puţin unul dintre vectori este combinaţie lineară de ceilalţi vectori.

Demonstraţie: " ⇒" Dacă sistemul S = {v1 , v2 ,..., vn } este linear dependent atunci există scalarii

α1 , α 2 ,..., α n ∈ K nu toţi nuli pentru care este adevărată relaţia de dependenţă (1). Fie α k ≠ 0 K . Multiplicând relaţia (1) cu

1

αk

şi izolând v k în membrul stâng, obţinem:

12

vk = − Notăm cu β i = −

α1 α α v1 − 2 v 2 − ... − n vn αk αk αk

αi ∈ K , ∀i = 1, n, i ≠ k . Atunci, relaţia de mai sus devine: αk n

v k = β1v1 + β 2 v2 + ... + β n v n ⇔ vk = ∑ β i vi i =1 i≠k

adică cel puţin unul dintre vectori este combinaţie lineară de ceilalţi vectori. " ⇐" Fie v j o combinaţie lineară de ceilalţi vectori din S astfel: n

v j = ∑ α i vi i =1 i≠ j

sau altfel spus: v j − α1v1 − α 2 v2 − ... − α n vn = 0 iar scalarii 1,−α1 ,−α 2 ,...,−α n nu sunt toţi nuli, deci sistemul de vectori S = {v1 , v2 ,..., vn } este linear dependent.

Exemplul 1. Fie vectorii e1 = (1, 0, 0 ) , e2 = ( 0,1, 0 ) , e3 = ( 0, 0,1) ∈ R 3 . Stabiliţi dacă sistemul de vectori

{e1 , e2 , e3 } este linear independent. Rezolvare: În acest caz, relaţia de dependenţă (1) este:

α1e1 + α 2 e2 + α 3e3 = 0 R

3

Înlocuind vectorii obţinem:

α1 (1,0,0) + α 2 (0,1,0) + α 3 (0,0,1) = 0 R ⇔ 3

(α1 , α 2 , α 3 ) = (0,0,0) ⇔ α1 = 0  α 2 = 0 α = 0  3

ceea ce înseamnă că sistemul de vectori {e1 , e2 , e3 } este linear independent.

13

Observaţie: Considerăm în spaţiul vectorial K n peste corpul K, mulţimea de vectori {e1 , e2 ,..., en }, unde e1 = (1,0,0,...,0,0) e2 = (0,1,0,...,0,0) ........................... en = (0,0,0,...,0,1) Analog se arată că această mulţime formează un sistem de vectori linear independent.

Exemplul 2. Fie vectorii v1 = (1,1, 0 ) , v2 = ( 2, −1,1) , v3 = ( −1, 5, 4 ) ∈ R 3 . Stabiliţi dacă sistemul de vectori

{v1 , v2 , v3 } este linear independent. Rezolvare: În acest caz, relaţia de dependenţă (1) este:

α1v1 + α 2 v2 + α 3v3 = 0 R

3

Înlocuind vectorii obţinem:

α1 (1,1,0) + α 2 (2,−1,1) + α 3 ( −1,5,4) = 0 R ⇔ 3

(α1 + 2α 2 − α 3 , α1 − α 2 + 5α 3 , α 2 + 4α 3 ) = (0,0,0) ⇔ α1 + 2α 2 − α 3 = 0  α1 − α 2 + 5α 3 = 0  α + 4α = 0 2 3 

astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Calculând determinantul sistemului se obţine:

1

2

1 −1 0 1

−1 5 = −18 ≠ 0 4

În acest caz sistemul are soluţie unică şi pentru că sistemul este omogen, soluţia este nulă:

α1 = α 2 = α 3 = 0 adică sistemul {v1 , v2 , v3 } este linear independent.

14

Observaţie: Subsistemul {v1 , v 2 } este deasemenea independent. În general vorbind, un subsistem al unui sistem de vectori linear in dependent este deasemenea linear independent. Dacă adăugăm la acest subsistem încă un vector, natura sistemului s-ar putea schimba.

Exemplul 3. Fie vectorii v1 = ( 2, −1, 3) , v2 = (1,1, −1) , v3 = ( −2, −2, 2 ) ∈ R 3 . Stabiliţi dacă sistemul de vectori {v1 , v2 , v3 } este linear independent.

Rezolvare: În acest caz, relaţia de dependenţă (1) este:

α1v1 + α 2 v2 + α 3v3 = 0 R

3

Înlocuind vectorii obţinem:

α1 ( 2,−1,3) + α 2 (1,1,−1) + α 3 ( −2,−2,2) = 0 R ⇔ 3

(2α1 + α 2 − 2α 3 ,−α1 | +α 2 − 2α 3 ,3α1 + α 2 + 2α 3 ) = (0,0,0) ⇔  2α1 + α 2 − 2α 3 = 0  − α1 + α 2 − 2α 3 = 0  3α + α + 2α = 0 2 3  1

astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Calculând determinantul sistemului se obţine:

2

1

−2

−1 1 − 2 = 0 3 −1 2 În acest caz, sistemul este compatibil (fiind omogen) şi nedeterminat. Un minor principal este : 2

1

−1 1

=3≠0

care corespunde primelor două ecuaţii din sistem şi necunoscutelor α1 , α 2 . În acest caz not

vom considera α1 , α 2 necunoscute principale şi α 3 = t ∈ R necunoscută secundară . Cum

15

t este arbitrar şi α1 , α 2 se vor calcula în funcţie de t ⇒ există cel puţin un

α i ≠ 0, ∀i ∈ {1,2} ⇒ sistemul de vectori {v1 , v2 , v3 } este linear dependent. Pentru a stabili relaţia de dependenţă rezolvăm sistemul:

 α1 = 0  2α1 + α 2 = 2t  ⇒ α 2 = 2t ⇒ 0v1 + 2tv2 + tv3 = 0   − α 1 + α 2 = 2t α =t  3 Cum t este arbitrar, fie t=1, deci relaţia de dependenţă va fi: 0v1 + 2v2 + v3 = 0 .

Observaţii: 1) Dacă un sistem de vectori, conţine vectorul nul, sistemul este linear dependent. 2) Dacă S este un sistem de vectori linear dependent şi S ⊂ S ' atunci sistemul S’ este deasemenea linear dependent.

CAPITOLUL 3. APLICAŢII LINEARE 3.1. Aplicaţii lineare Definiţia 3.1.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K . Aplicaţia A : V → W se numeşte aplicaţie (transformare) lineară ⇔ sunt îndeplinite condiţiile: 1) A( x + y ) = A( x) + A( y ), ∀x, y ∈ V (aditivitate) 2) A(α x) = α A( x), ∀x ∈ V , ∀α ∈ K (omogenitate) sau 3) A(α x + β y ) = α A( x) + β A( y ), ∀x, y ∈ V , ∀α , β ∈ K .

16

Observaţie: Aplicaţia A : V → V se numeşte operator ,iar dacă A este şi liniară atunci se numeşte operator liniar. Aplicaţia A : V → K se numeşte funcţională sau formă iar dacă A este

şi liniară atunci se numeşte funcţională liniară. Exemplul 1. Să se verifice dacă aplicaţia A : R2 → R 3

A( x1 , x2 ) = (3x1 , x2 , x1 − x2 ) este aplicaţie liniară.

Rezolvare: Verific condiţiile 1) şi 2) din definiţia 1. Fie x = ( x1 , x2 ) ∈ R 2 şi y = ( y1 , y2 ) ∈ R 2 1) A( x + y ) = A( x) + A( y ), ∀x, y ∈ R 2 . Încep cu membrul drept al egalităţii:

A( x) = (3 x1 , x2 , x1 − x2 ) A( y ) = (3 y1 , y2 , y1 − y2 )

⇒

⇒ A( x) + A( y ) = (3x1 , x2 , x1 − x2 ) + (3 y1 , y2 , y1 − y2 )

= ( 3x1 + 3 y1 , x2 + y2 , x1 − x2 + y1 − y2 ) . Evaluez membrul stâng al egalităţii. Pentru aceasta e necesar să determin componentele vectorului x + y :

x + y = ( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 ) ⇒ A( x + y ) = (3( x1 + y1 ), x2 + y2 , x1 + y1 − x2 − y2 )

= (3 x1 + 3 y1 , x2 + y2 , x1 − y1 + x2 − y2 ) = A( x) + A( y ) . 2) A(α x) = α A( x) , ∀x = ( x1 x2 ) ∈ R 2 , ∀α ∈ R .

α A( x) = α (3x1 , x2 , x1 − x2 ) = (3α x1 ,α x2 , α x1 − α x2 ). Vectorul α x are componentele:

α x = α ( x1 , x2 ) = (α x1 ,α x2 )

17

⇒ A(α x) = (3α x1 ,α x2 ,α x1 − α x2 ) = α A( x) . Cum condiţiile 1) şi 2) sunt îndeplinite ⇒ aplicaţia A este liniară.

3.2. Matricea ataşată unei aplicaţii lineare Fie Vn , Wm două spaţii vectoriale peste corpul K de dimensiuni n şi respectiv m, şi B = {e1 , e2 ...en } şi B = {w1 , w2 ...wm } câte o bază în fiecare din spaţiile date. Atunci, se

poate dovedi că există şi este unică o aplicaţie liniară definită pe Vn cu valori în Wm dată de relaţia: m

A(ei ) = ∑ aij w j , i = 1, n

(1)

j =1

unde aij sunt coordonatele vectorilor A(ei ) în baza B . Matricea A = ( aij ) i =1, n se numeşte j =1, m

matricea ataşată aplicaţiei liniare A .

Dacă notăm cu

 A(e1 )   w1      A(e) =  M  şi W =  M  relaţia (1) se va transcrie matriceal astfel:  A(e )  w  n    m A(e) = A t ⋅ W

(2)

Dacă A : Vn → Wm este o aplicaţie liniară şi x ∈ Vn care se scrie n

x = ∑ xi ei , i =1

unde xi sunt coordonatele lui V în baza B , şi dacă y ∈ Wm admite scrierea m

y = ∑ y j w j în baza B j =1

atunci avem următoarea corespondenţă: n

y j = ∑ aij xi ,

j = 1, m .

i =1

18

(3)

Relaţia (3) exprimă legătura dintre coordonatele vectorului x şi imaginea acestui vector prin aplicaţia A.

 y1   x1      Dacă notăm cu y =  M  şi x =  M  , relaţia (3) are următoarea transcriere matriceală:  ym   xn      (4)

y = A⋅x

Exemplu rezolvat: Să se scrie matricea ataşată aplicaţiei liniare A : R 3 → R 3

A( x) = (2 x1 , x1 − x2 , x1 + x2 + 3 x3 ) .

Rezolvare: Fie {e1 , e2 ...en } baza canonică din R 3 .

⇒ A(e1 ) = (2,1,1) = 2e1 + e2 + e3 A(e2 ) = (0, −1,1) = 0 ⋅ e1 − e2 + e3 A(e3 ) = (0, 0, 3) = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 3e3

 A(e1 )   2 1 1  e1  2 0 1        ⇒ A(e) =  A(e2 )  =  0 −1 1  e2  ⇒ A =  1 −1 0   A(e )   0 0 3  e   1 1 3 3     3    sau: A( x) = y,

y = ( y1 , y2 , y3 ) ⇒ y1 = 2 x1

y2 = x1 − x2 y3 = x1 + x2 + 3 x3

 2 0 0   ⇒ A =  1 −1 0  .  1 1 3  

19

CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 4.1. Valori şi vectori proprii ai unui endomorfism Fie V spaţiu vectorial peste K , K = RVC şi A : V → V un endomorfism ( aplicaţie liniară şi injectivă).

Definiţia 4.1.1. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie a endomorfismului A dacă există cel puţin un vector v ∈ V \ {0v }

a.î. A(v) = λ (v) .

Definiţia 4.1.2. Orice vector v ∈ V \ {0v }

care satisface relaţia de mai sus se numeşte vector propriu al

endomorfismului A .

Definiţia 4.1.3. Mulţimea

valorilor

proprii

ale

unui

endomorfism

A

se

numeşte

spectrul

endomorfismului A .

Exemplu rezolvat. Dacă A : R 2 → R 2 1.1)

A( x, y ) = ( y, x) , atunci A(1,1) = 1 ⋅ (1,1) , deci λ1 = 1 este valoare proprie iar

v1 = (1,1) este vector propriu al endomorfismului A . 1.2)

A(−1,1) = (1, −1) = (−1)(−1.1) deci λ2 = −1 este valoare proprie iar v2 = (−1,1)

este vector propriu al endomorfismului A .

20

Proprietatea 1. p1) Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie . p2) Dacă v este vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ , atunci toţi vectorii

k ⋅ v, k ≠ 0 , sunt vectori proprii corespunzători acestei valori proprii.

Demonstraţie: p1) Reducere la absurd. Presupunem că unui vector propriu îi corespund două valori proprii λ1 , λ2 , λ1 ≠ λ2 ⇒

 A(v) = λ1v ⇒ λ1v = λ2 v ⇒ (λ1 − λ2 )v = 0v   A(v) = λ2 v dar v ≠ 0v ⇒ λ1 = λ2 ⇒ presupunerea e falsă. p2) Avem

A(kv)

=

aplicatie liniara

kA(v)

=

v vector propriu

k ⋅ (λ v) = λ (kv) ⇒ kv ≠ 0v ⇒ kv este vector k ≠0

propriu pentru endomorfismul A .

Consecinţă (la p2) Unei valori proprii λ îi pot corespunde o infinitate de vectori proprii.

Definiţia 4.1.4. Mulţimea S (λ ) = {kv / A(v) = λ v, λ este valoare proprie, k ∈ K } se numeşte subspaţiu

propriu generat de A . ( este mulţimea tuturor vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ ).

Proprietatea 2. Subspaţiile proprii, corespunzătoare valorilor proprii distincte sunt distincte.

Demonstraţie: Fie λ1 ≠ λ2 şi presupunem că subspaţiile proprii nu sunt distincte, adică

S (λ1 ) = S (λ2 ) ⇒ A(v) = λ1v şi A(v) = λ2 v ⇒ λ1v = λ2 v ⇒ (λ1 − λ2 )v = 0v ⇒ v = 0v λ1 ≠ λ2

⇒ ∀v ≠ 0v avem S (λ1 ) ≠ S (λ2 ) pentru λ1 ≠ λ2 .

21

Fie

Vn s.v.K , un spaţiu de dimensiune n , şi fie o bază a sa B = {e1 , e2 ,..., en } . Fie

endomorfismul A : Vn → Vn , despre care am văzut că i se poate ataşa o matrice A , unică, în baza B .

Definiţia 4.1.5. Prin valori şi vectori proprii ai matricii A , înţelegem valori şi vectori proprii ai endomorfismului A .

Definiţia 4.1.6. Matricea A − λ I n ∈ Mn ,n (K ) se numeşte matricea caracteristică ataşată matricii A ∈ Mn ,n (K ) , iar determinantul det( A − λ I n ) se numeşte determinantul caracteristic al

matricii A .

Observaţie: Dacă dezvoltăm determinantul de mai sus, obţinem un polinom de gradul n , de forma:

Pn (λ ) = det( A − λ I n ) = c0 λ n + c1λ n −1 + ... + cn ,

ci ∈ K , i = 1, n .

Definiţia 4.1.7. Polinomul Pn (λ ) se numeşte polinom caracteristic ataşat matricii A .

Definiţia 4.1.8. Ecuaţia det( A − λ I n ) =0 se numeşte ecuaţie

caracteristică ataşată matricii A , iar

rădăcinile ecuaţiei carcateristice se numesc rădăcini caracteristice ale matricii A .

Proprietatea 3. Un scalar λ ∈ K este valoare proprie a matricii A ∈ Mn (K ) ⇔ verifică ecuaţia caracteristică: det( A − λ I n ) =0.

22

Observaţie: Mulţimea valorilor proprii, ale matricii A , coincide cu mulţimea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, iar subspaţiile proprii corespunzătoare fiecărei valori proprii în parte sunt formate de soluţiile ecuaţiilor matriceale.

Exemplul 1. Să se determine valorile şi vectorii proprii corespunzători matricei A ∈ M2 (R),

1 2  A = .  4 −1 

Rezolvare: Rezolvăm ecuaţia caracteristică:

1 2  λ 0  1 − λ det( A − λ I 3 ) = 0 ⇔ det   −  = 0 ⇔ det     4   4 −1   0 λ   ⇔

1− λ

2

4

−1 − λ

2  =0 −1 − λ 

= 0 ⇔ −(1 − λ )(1 + λ ) − 8 = 0 ⇔ 1 − λ 2 = −8 ⇔ λ 2 = 9

⇔ λ1 = 3, λ2 = −3 sunt valorile proprii pentru A . Determinăm vectorii proprii corespunzători fiecărei valori proprii în parte:

a Pentru λ1 = 3 căutăm vectorul v1 ∈ R 2 , v1 =   a. î. b  1 2  a  a a + 2b = 3a −2a + 2b = 0 A v1 = λ1v1 ⇔  ⇔   = 3   ⇔   4 −1 b  b  4a − b = 3b  4a − 4b = 0 ⇔ a −b = 0 ⇒ a = b.

a a Deci v1 =   ⇔ v1 =   , b a S (3) = {( a, a ) a ∈ R} = {a (1,1) a ∈ R} . Unul din vectorii proprii corespunzători valorii proprii λ1 = 3 este (1,1) (pentru a = 1 ).

23

Pentru

λ2 = −3

căutăm

un

vector

a v2 ∈ R 2 , v2 =   a.î. b

 1 2  a  a a + 2b = −3a 4a + 2b = 0 A v2 = λ2 v2 ⇔  ⇔   = −3   ⇔   4 −1 b  b  4a − b = −3b 4a + 2b = 0 ⇔ 4a + 2b = 0 ⇒ b = −2a .

a  a  Deci v2 =   ⇔ v2 =  , b  −2a  S (−3) = {( a, −2a ) a ∈ R} = {a (1, −2 ) a ∈ R} . Unul din vectorii proprii corespunzători valorii proprii λ2 = −3 este (1, −2 ) (pentru a = 1 ).

CAPITOLUL 5. PROGRAMARE LINEARĂ Se consideră m resurse materiale (materii prime, materiale, forţă de muncă, investiţii de capital) notate prin R1 , R2 , ..., Rm ce se utilizează pentru a produce n produse notate prin C1 , C 2 ,..., C n . Se cunosc cantităţile disponibile de resurse, notate prin b1 , b2 ,..., bm ; beneficiile unitare obţinute prin realizarea produselor, notate prin c1 , c2 ,..., cn ; coeficienţii tehnologici, notaţi prin aij , ce reprezintă cantitatea din resursa Ri , i = 1, m , ce se consumă (utilizează) pentru a se realiza unitatea de produs C j , j = 1, n. Scopul acestui proces economic constă în determinarea cantităţii din fiecare produs, ce trebuie produsă pentru a se obţine beneficiul total maxim. În vederea construirii modelului matematic datele problemei se reprezintă în următorul tabel:

24

Obiective ... C n

Disponibil

C1

C2

.... C j

R1

a11

a12

.... a1 j

.

.

.

.... .

... .

.

.

.

.

.... .

... .

.

Ri

ai1

ai 2

.... aij

...

. .

.

.

.... .

... .

.

.

.... .

... .

Rm

am1

am 2

c1

c2

Resurse ... a1n

.... amj

.... c j

ain

... amn

B1

Bi . . Bm

... cn

Beneficii Tabel 1.

Fie x j , j = 1, n cantitatea ce trebuie realizată din produsul C j , j = 1, n .

Problema de programare lineară (pe care o vom nota prescurtat cu p.p.l.) optimizează (maximizează sau minimizează) o funcţională lineară, numită “funcţie obiectiv” şi o mulţime de egalităţi şi/sau inegalităţi lineare numite “restricţii”.

Exemplul 1. O firmă produce matase de două tipuri : A şi B. Profitul la un balot de matase de tipul A este de 20 € iar unul de tipul B este de 16 €. Firma are un stoc de 1400 kg de mătase roşie, 1500 kg de mătase neagră şi 1800 kg de mătase verde. Pentru un balot de matase de tipul A sunt necesare 4 kg de mătase roşie, 5 kg de mătase neagră şi 2 kg de mătase verde. Cantităţile corespunzătoare pentru un balot de mătase de tipul B sunt respectiv: 4 kg, 3kg, 6 kg. Cîte baloturi de mătase de tipul A respectiv B trebuie să producă firma pentru a-şi maximiza profitul?

Formularea matematică a problemei Vom nota cu x1 numărul baloturilor de tipul A şi cu x2 numărul baloturilor de tipul B. Aceste variabile le vom numi variabile de decizie.

25

Profitul total realizat de x1 şi x2 este : 20 x1 +16 x2 . Funcţia obiectiv reflectă obiectivul problemei: maximizarea profitului total. Una din restricţii referitoare la stocul de mătase roşie este că acesta nu trebuie să depăşească 1400 kg: 4 x1 +4 x2 ≤1400. Analog, restricţiile referitoare la stocul de mătase neagră: 5 x1 +3 x2 ≤1500, şi la stocul de mătase verde: 2 x1 +6 x2 ≤1800, şi bineînţeles cerinţele minime: x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 . Problema se poate scrie astfel:

max( f ) = 20 x1 + 16 x 2  4 x + 4 x ≤ 1400 1 2   5 x1 + 3 x2 ≤ 1500   2 x1 + 6 x 2 ≤ 1800  x1 ≥ 0  x2 ≥ 0  Observaţii: 1.

Funcţia obiectiv f (x ) şi restricţiile sunt expresii lineare ale variabilelor de decizie.

2.

3.

Restricţia poate fi: -

inegalitate: “mai mic sau egal” (≤), “mai mare sau egal” (≥)

-

egalitate: (=)

Toate variabilele unei p.p.l. sunt nenegative. Această proprietate reflectă faptul că programarea lineară este folosită în probleme reale (variabilele negative fiind ilogice).

Definiţia 5.1.1. În general p.p.l. este definită astfel:

min( f ) sau max( f ) = c1 x1 + c2 x 2 + ... + cn xn  a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ( ≤, =, ≥ )b1   a 21 x1 + a 22 x2 + ... + a 2 n xn ( ≤, =, ≥ )b2  .....................................................   a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn xn ( ≤, =, ≥ )bm  x j ≥ 0, ∀j = 1, n 

26

(1)

unde c j , bi , aij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n , sunt constante care se determină din datele problemei iar x j sunt variabilele de decizie. Pentru fiecare restricţie este valabilă doar una din inegalităţile: ≤, =, ≥ . Restrâns, problema se poate scrie astfel: n  opt ( f ) = cjxj ∑  j =1 n  ∑ aij x j (≤, =, ≥ )bi , ∀i = 1, m  j =1  x j ≥ 0, ∀j = 1, n  

(2)

unde -

prima relaţie opt(f) reprezintă max(f) sau min(f);

-

a doua relaţie reprezintă sistemul de restricţii;

-

a treia relaţie reprezintă condiţiile de nenegativitate (pozitivitate) impuse variabilelor modelului matematic.

Problema de programare lineară se poate rezolva cu metoda Simplex, care este o tehnică iterativă care pleacă de la o soluţie admisibilă şi prin calcule algebrice această soluţie se îmbunătăţeşte succesiv, în mai mulţi paşi. Metoda simplex investighează toate soluţiile de bază posibile. Astfel, există două condiţii numite condiţia de admisibilitate şi

condiţia de optimalitate, care selectează soluţia optimă. Numărul maxim de iteraţii din rezolvarea unei p.p.l. prin metoda simplex nu poate depăşi numărul soluţiilor de bază. O simplă greşeală de calcul într-o iteraţie oarecare poate duce la un rezultat eronat, deşi studentul respectiv a înţeles corect mecanismul algoritmului.

27

CAPITOLUL 6. CALCUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 6.1. Funcţii de mai multe variabile Funcţiile de mai multe variabile sunt întâlnite adesea în modelarea activităţilor economice. De exemplu: o firmă exportă 3 produse în cantităţile x1, x2 , x3 la preţul pieţei,

p1, p2 , p3 . Să se scrie funcţia care cuantifică nivelul încasărilor dacă: a) indiferent de cantităţile cumpărate, preţul rămîne p1, p2 şi respectiv p3 . b) se face o reducere de preţ de 1% pentru produsul 2, o reducere de 1,5% pentru produsul 1 şi o reducere de 2% pentru produsul 3, în raport cu cantităţile cumpărate.

Rezolvare: a)

y = f ( x1, x2 , x3 ) = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3

b)

(

) (

)

(

)

y = f ( x1, x2 , x3 ) = p − 0,015 p x1 + p − 0,01 p x2 + p − 0,02 p x3 1 1 2 2 3 3 = 0, 985 p1 x1 + 0,99 p2 x2 + 0,98 p3 x3

Definiţia 6.1.1. Fie I ⊂ R n . O funcţie f : I → R n se numeşte funcţie reală de n variabile reale. Valoarea funcţiei f într-un punct x = (x1 , x2 ,..., xn ) ∈ I se notează cu

f ( x1 , x2 ,..., xn ) .

28

6.2. Funcţii omogene Definiţia 6.2.1. Fie I ⊂ R 2 o mulţime cu proprietatea că ∀( x, y ) ∈ I şi ∀t ∈ R \ {0} rezultă (tx, ty ) ∈ I . O funcţie f : I → R se numeşte omogenă de grad m dacă

f (tx, ty ) = t m f ( x, y ) , ∀t ∈ R \ {0}.

Definiţia 6.2.2. Fie I ⊂ R n o mulţime cu proprietatea că ∀( x1 , x 2 ,..., xn ) ∈ I şi ∀t ∈ R \ {0} rezultă (tx1 , tx2 ,..., txn ) ∈ I . O funcţie f : I → R se numeşte omogenă de grad m dacă

f (tx1 , tx2 ,..., txn ) = t m f ( x1 , x2 ,..., xn ) , ∀t ∈ R \ {0}.

Teorema 1. (Teorema lui Euler) Dacă f ( x, y ) este omogenă de grad m şi diferenţiabilă pe mulţimea I, atunci:

xf x' + yf y' = m ⋅ f ( x, y ) .

Analog, pentru o funcţie de trei variabile, teorema sună astfel:

Teorema 2. (Teorema lui Euler) Dacă f ( x, y , z ) este omogenă de grad m şi diferenţiabilă pe mulţimea I, atunci:

xf x' + yf y' + zf z' = m ⋅ f ( x, y , z ) . Exemplul 1. Să se arate că funcţia f ( x, y ) = 5 x 3 + y 3 − 3 xy ( x + y ) este omogenă şi să se verifice pentru ea relaţia lui Euler.

Rezolvare: Înlocuim cele două variabile x şi y, în ordine, cu tx, ty :

29

f (tx, ty ) = 5(tx ) 3 + (ty ) 3 − 3txty (tx + ty ) = t 3 ⋅ f ( x. y ) ⇒ funcţia este omogenă de grad m=3. f x' = 15 x 2 − 6 xy − 3 y 2

f y' = 3 y 2 − 3x 2 − 6 xy

[

]

xf x' + yf y' = 3 5 x 3 + y 3 − 3xy ( x + y ) = 3 ⋅ f ( x, y ) = m ⋅ f ( x, y ) , deci relaţia lui Euler este verificată.

6.3. Derivate parţiale şi diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile Fie I ⊂ R 2 , f : I → R 2 şi un punct interior mulţimii I.

Definiţia 6.3.1. Funcţia f ( x, y ) admite în punctul (a,b) derivată parţială în raport cu variabila x dacă există şi e finită limita:

lim x →a x ≠a

f ( x , b ) − f ( a , b) . x−a

În acest caz ea se notează cu f ' x ( a , b) sau

∂f (a , b) ∂f  ∂f  sau   sau ∂x ∂x  ∂x  (a ,b )

( a ,b )

.

Definiţia 6.3.2. Funcţia f ( x, y ) admite în punctul (a,b) derivată parţială în raport cu variabila y dacă există şi e finită limita: lim y →b y ≠b

f ( a , y ) − f ( a , b) y −b

În acest caz ea se notează cu f ' y (a , b) sau

∂f  ∂f  ∂f (a , b) sau   sau ∂y ∂y  ∂y  (a ,b )

Observaţia 1.

30

( a,b)

.

Derivatele de mai sus sunt derivate parţiale de ordinul I în raport cu cele două variabile. Din definiţiile de mai sus se observă imediat că atunci când calculăm derivata parţială lui

f în rapot cu variabila x, considerăm variabila y, ca fiind constantă, iar atunci când calculăm derivata parţială lui f în rapot cu variabila y, considerăm variabila x, ca fiind constantă.

Observaţia 2. Pentru o funcţie de trei variabile, f ( x, y , z ) pot exista trei derivate parţiale de ordinul I în punctul (a,b,c):

•

derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila x f x' ( a , b, c ) = lim x →a x ≠a

•

derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila y f y' ( a , b, c ) = lim y →b y ≠b

•

f ( x, b, c ) − f ( a , b, c ) x−a

f (a , y , c) − f ( a , b, c ) y−b

derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila z f z' ( a , b, c ) = lim z →c z ≠c

f ( a , b, z ) − f ( a, b, c ) . z−c

Definiţia 6.3.3. Fie I ⊂ R n şi o funcţie f : I → R n de n variabile reale. Funcţia f este derivabilă în punctul ( a1 , a 2 ,..., a n ) ⊂ I în raport cu variabila xi dacă lim

xi →ai xi ≠ ai

f ( a1 ,..., ai −1 , xi , ai +1 ,..., a n ) − f ( a1 ,..., ai −1 , ai , a i +1 ,..., a n ) xi − ai

există şi este finită. În acest caz derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila xi se notează cu:

f x'i ( a1 , a 2 ,..., a n ) .

31

6.4. Derivate de ordin superior Definiţia 6.4.1. Fie I ⊂ R 2 şi o funcţie f : I → R de 2 variabile reale pentru care există f x' şi f y' pe I . Dacă pentru funcţiile de două variabile f x' ( x, y ) şi f y' ( x, y ) există derivatele lor parţiale, atunci ele se numesc derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei f(x,y).

f x''2 = ( f x' )x

sau

∂  ∂f  ∂ 2 f  = ∂x  ∂x  ∂x 2

f xy'' = ( f x' )y

sau

∂  ∂f  ∂ 2 f  = ∂y  ∂x  ∂x∂y

f yx'' = ( f y' )x

sau

∂  ∂f  ∂ 2 f  = ∂x  ∂y  ∂y∂x

f y''2 = ( f y' )y

sau

∂  ∂f  ∂ 2 f  = ∂y  ∂y  ∂y 2

'

'

'

'

Observaţia 1: Derivatele parţiale de ordinul trei sunt derivatele parţiale ale celor de ordinul doi.

Observaţia 2: O funcţie de trei variabile, f(x,y,z) pate avea 9 derivate de ordinul doi.

Criteriul lui Young Dacă f(x,y) are f x' şi f y' pe o vecinătate V a punctului (a,b) şi sunt diferenţiabile în

(a,b) ⇒ există derivatele mixte de ordinul doi în (a,b) şi f xy'' ( a, b) = f yx'' (a, b) .

Criteriul lui Schwarz Dacă f(x,y) are f xy' şi f yx' pe o vecinătate V a punctului (a,b) şi sunt continue în

(a,b) ⇒ derivatele mixte de ordinul doi în (a,b) sunt egale: f xy'' ( a, b) = f yx'' (a, b) .

32

Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia de două variabile f : I ⊂ R 2 → R este dată de formula:

df =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

sau

df = f x' dx + f y' dy

Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia de trei variabile f : I ⊂ R 3 → R este dată de formula:

df =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

sau

df = f x' dx + f y' dy + f z' dz

Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia de două variabile f : I ⊂ R 2 → R este dată de formula:

d2 f =

∂2 f 2 ∂2 f ∂2 f dx + 2 dxdy + dy 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

sau

d 2 f = f x''2 dx 2 + 2 f xy'' dxdy + f y''2 dy 2 Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia de trei variabile f : I ⊂ R 3 → R este dată de formula:

d2 f =

∂2 f 2 ∂2 f 2 ∂2 f 2 ∂2 f ∂2 f ∂2 f dx + dy + dz + 2 dxdy + 2 dydz + 2 dzdx ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂y∂z ∂z∂x

sau

d 2 f = f x''2 dx 2 + f y''2 dy 2 + f z'2' dz 2 + 2 f xy'' dxdy + 2 f yz'' dydz + 2 f zx'' dzdx

33

CAPITOLUL 7 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 7.1. Definiţia probabilităţii Se consideră E multimea evenimentelor ataşate unei experienţe cu un număr finit de rezultate posibile. Evenimentele din E se deosebesc între ele şi prin posibilitatea de apariţie sau gradul de realizare, adica unele au grad de realizare mai mare în comparaţie cu altele ţinându-se seama şi de numărul evenimentelor elementare ce le implică. Pentru a masura gradul de realizare al unui eveniment din E se defineşte noţiunea de probabilitate în sens clasic.

Definiţia 7.1.1. Daca ţinem cont că evenimentele elementare din E au acelasi grad de realizare, se numeşte probabilitate în sens clasic a unui eveniment A din E numărul

P ( A) =

m n

unde n este numarul total de evenimente elementare din E, iar m este numarul evenimentelor elementare care îl implica pe A. Altfel spus definiţia de mai sus poate fi exprimată astfel : probabilitatea realizarii

evenimentului A este raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor total posibile.

Observaţie: Probabilitatea, se poate considera ca o funcţie P:P( Ω ) → [0,1] având proprietăţile: a)

P( ∅ )=0;

b)

P( Ω )=1;

c)

P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A I B);

d)

P(A-B)=P(A)-P(B), daca B ⊂ A;

e)

P(A-B)=P(A)-P(A I B);

34

f)

P(A U B)=P(A)+P(B), daca A I B= ∅ ;

Proprietatea f) se extinde imediat: P(A 1 U A 2 U … U A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ), daca A 1 ,A 2 ,…,A n sunt disjuncte două câte două (incompatibile) ; g)

P(CA)=1-P(A);

Definiţia 7.1.2. Se numesc evenimente echiprobabile, evenimentele care au aceeaşi probabilitate.

7.2. Evenimente independente Definiţia 7.2.1. Două evenimente A si B sunt independente ⇔ P(A I B)=P(A)P(B); Generalizând,

evenimentele A1 , A2, ..., An sunt

independente ⇔ probabilitatea

oricarei

intersectii de evenimente diferite din cele n este egala cu produsul probabilitatilor evenimentelor intersectate.

Exemplificare: 1)

Se considera experimentul care consta în aruncarea a doua monezi si fie

evenimentele: A: obtin cap pe prima moneda; B: obtin pajura pe a doua moneda; În acest caz realizarea evenimentului A nu depinde de realizarea evenimentului B, deci evenimentul A este independent de evenimentul B. 2)

Se considera o urna care contine 4 bile albe si 3 bile negre. Doua persoane extrag

fiecare câte o bila din urna. Fie evenimentele: A: prima persoana a extras o bila alba B: a doua persoana a extras o bila alba 4 Atunci, în absenta informatiilor asupra lui B , P(A)= . 7

35

Daca A s-a realizat ⇒ P(B)=

3 1 = , deci evenimentul B depinde de evenimentul A. 6 2

Daca A nu s-a realizat, în acest caz, evenimentul B depinde de evenimentul A.

Concluzie: Evenimentul B îsi modifica probabilitatea în functie de realizarea sau nerealizarea evenimentului A. Este natural sa spunem ca A si B sunt evenimente dependente.

Exemplul 1. Doi tragatori trag simultan asupra unei tinte, câte un foc fiecare. Probabilitatile de nimerire a tintei sunt: 0,8 pentru primul tragator si 0,6 pentru al doilea tragator. Sa se determine probabilitatea ca tinta sa fie atinsa de cel putin un tragator.

Rezolvare: Fie evenimentele: A: primul tragator nimereste tinta B: al doilea tragator nimereste tinta C: cel putin un tragator nimereste tinta

⇒ C=A U B

⇒ P(C)=P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A I B)

⇒ P(C)= P(A)+P(B)-P(A)P(B) ⇒ P(C)=0.8+0.6-0.8•0.6 ⇒ P(C)=0.92 Deci probabilitatea ca tinta sa fie atinsa de cel putin un tragator este de 92%.

Exemplul 2. Într-o tinta trag simultan, în aceleasi conditii 3 arcasi. Probabilitatile ca ei sa nimereasca tinta sunt 0,9 pentru primul arcas, 0,5 pentru al doilea arcas si 0,8 pentru al treilea arcas. Sa se determine probabilitatile : a.

de nimerire a tintei;

b.

de nimerire a tintei de cel putin 2 arcasi.

Rezolvare:

36

Fie evenimentele: Ai: arcasul i nimereste tinta; i = 1,3 . Evenimentele Ai sunt independente si compatibile. Fie A si B evenimentele ale caror probabilitati se cer la a) si b). Atunci: a)

3

3

i =1

i , j =1 i< j

P ( A) = P ( A1 U A2 U A3 ) = ∑ P ( Ai ) − ∑ P ( Ai I A j ) + P ( A1 I A2 I A3 ) = 0,9 + 0,5 + 0,8 − 0,9 ⋅ 0,5 − 0,9 ⋅ 0,8 − 0,5 ⋅ 0,8 + 0,9 ⋅ 0,5 ⋅ 0,8 = 0,99.

b)

P ( B ) = P[( A1 I A2 I CA3 ) U ( A1 I CA2 I A3 ) U (CA1 I A2 I A3 ) U ( A1 I A2 I A3 )] = 0,9 ⋅ 0,5 ⋅ 0,2 + 0,9 ⋅ 0,5 ⋅ 0,8 + 0,1 ⋅ 0,5 ⋅ 0,8 + 0,9 ⋅ 0,5 ⋅ 0,8 = 0,85.

Exemplul 5. Se notează cu p ( x, y ) probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani. Presupunem că avem două persoane în vârstă de 35 ani şi respectiv 50 ani. Care este probabilitatea ca peste 20 ani : a. ambele persoane să fie în viaţă; b. nici unul să nu fie în viaţă; c. cel puţin unul să fie în viaţă.

Rezolvare: Dacă p ( x, y ) reprezintă probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, atunci putem nota cu q ( x, y ) probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să nu fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, de unde rezultă că

p ( x , y ) + q ( x, y ) = 1 . Notăm evenimentele cu: A: prima persoană se află în viaţă peste 20 ani; B: a doua persoană se află în viaţă peste 20 ani; Cele două evenimente A şi B sunt compatibile şi independente. a) P ( A I B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) = p (35,55) ⋅ p (50,70) b) P (CA I CB ) = P (CA) ⋅ P (CB ) = q (35,55) ⋅ q (50,70) , deoarece şi evenimentele CA şi CB sunt independente

37

c) P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A I B ) = p (35,55) + p (50,70) − p (35,55) ⋅ p (50,70)

Exemplul 6. Se notează cu p ( x, y ) probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani. Presupunem că avem trei persoane în vârstă de 20 ani, 31 ani

şi respectiv 48 ani. Care este probabilitatea ca peste 30 ani : d. toate persoane să fie în viaţă; e. nici unul să nu fie în viaţă; f. cel puţin unul să fie în viaţă g. unul să fie în viaţă.

Rezolvare: Dacă p ( x, y ) reprezintă probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, atunci putem nota cu q ( x, y ) probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să nu fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, de unde rezultă că

p ( x , y ) + q ( x, y ) = 1 . Notăm evenimentele cu Ai: persoana i se află în viaţă peste 30 ani; i = 1,3 . Cele trei evenimente sunt compatibile şi independente. a) P ( A1 I A2 I A3 ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅ P ( A3 ) = p (20,50) ⋅ p (31,61) ⋅ p (48,78) b)

P (CA1 I CA2 I CA3 ) = P (CA1 ) ⋅ P (CA2 ) ⋅ P (CA3 ) = q (20,50) ⋅ q (31,61) ⋅ q (48,78) ,

deoarece şi evenimentele CA1, CA2 şi CA3 sunt independente c)

P ( A1 U A2 U A3 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) − P ( A1 I A2 ) − P ( A1 I A3 ) − P ( A2 I A3 ) + + P ( A1 I A2 I A3 ) = ......

d) P[( A1 I CA2 I CA3 ) U (CA1 I A2 I CA3 ) U (CA1 I CA2 I A3 )] = ......

7.3. Probabilităţi condiţionate. Formula probabilităţii totale Sa începem prin a da câteva consideratii cu privire la probabilitatea conditionata . Se considera doua evenimente A={2, 4, 6} si B={1, 2}.

38

Definitia probabilitatii conditionate a evenimentului A în raport cu evenimentul B este construita astfel încât aceasta probabilitate sa dea o indicatie cantitativa privind aparitia evenimentului A, atunci când stim ca evenimentul B s-a realizat. Probabilitatea conditionata se noteaza P(A/B) si se defineste prin relatia P(A/B)=

P( AI B ) . P( B )

Pentru evenimentele considerate mai înainte, obtinem P(A/B)=

1 , adica probabilitatea ca 2

se realizeaza evenimentul care consta in aparitia unui numar par, când stim ca s-a realizat evenimentul dintre numerele 1 sau 2. Daca evenimentele A1 , A2 ,..., An formeaza o desfacere a evenimentului I in n evenimente n

(I= U Ai , A j I Ak = ∅ , j ≠ k), atunci pentru orice eveniment A avem egalitatea i =1

P(A)= ∑ P( Ai )P( A / Ai ) = ∑ P( AI Ai ) , egalitate cunoscuta sub numele de formula i

i

probabilitatii totale.

Exemplul 1. Trei urne identice contin: prima urna : 3 bile albe si 2 bile negre; a doua urna: 2 bile albe si 1 bila neagra; a treia: 4 bile albe si 5 bile negre. Se alege la întâmplare o urna si se extrage o bila. Sa se determine probabilitatea de a extrage o bila alba.

Rezolvare: Se noteaza urmatoarele evenimente:

Ai : se alege urna nr. i unde i=1,2,3 A :se extrage o bila alba. Avem P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) =

1 . 3

P( A) = P( A1 ) P( A / A1 ) + P( A2 ) P( A / A2 ) + P( A3 ) P( A / A3 ) unde

39

3 2 4 1 3 2 4 77 P( A / A1 ) = , P( A / A2 ) = , P( A / A3 ) = ⇒ P( A) = ( + + ) = . 5 3 9 3 5 3 9 135

Exemplul 2. Zece aparate de acelasi tip sunt date in exploatare astfel: 3 provenind de la uzina U1 , 5 provenind de la uzina U 2 , 2 provenind de la uzina U 3 . Aparatele sunt supuse unei probe de verificare. Cele care provin de la:

U1 trec de proba de verificare cu probabilitatea 0,9, U 2 trec de proba de verificare cu probabilitatea 0, U 3 trec de proba de verificare cu probabilitatea 0,85. Se alege la întâmplare un aparat. Care este probabilitatea ca aparatul sa treaca proba de verificare?

Rezolvare: Fie urmatoarele evenimente:

Ai :aparatul ales provine de la uzina U i , i=1, 2,3. A :aparatul ales trece proba de verificare. Avem P( A1 ) =

3 5 1 , P( A2 ) = , P( A3 ) = . si 10 10 5

P( A) = P( A / A1 ) P( A1 ) + P( A / A2 ) P( A2 ) + P( A / A3 ) P( A3 ) dar P( A / A1 ) = ⇒ P( A ) =

9 75 85 , P( A / A2 ) = , P( A / A3 ) = 10 100 100

3 9 5 75 1 85 163 ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 10 10 10 100 5 100 200

7.4. Scheme probabilistice clasice 7.4.1

Schema binomială generalizată (Poisson)

Dacă A1 , A2 ,..., An sunt evenimente independente, atunci probabilitatea să se realizeze k din cele n evenimente (şi să nu se realizeze n-k) este coeficientul lui x k din dezvoltarea

40

polinomului

( p1 x + q1 )( p2 x + q2 )…( pn x + qn )

unde

probabilitatea

pi = P ( Ai ), q i = 1 − p i , i = 1,2,3...n Cum scriem evenimentul A, a cărui realizare înseamnă realizarea a k din cele n evenimente? Pentru a se realiza A, trebuie să se realizeze k din evenimentele Ai (fie

Ai1 , Ai2 ,... Aik aceste evenimente) şi să nu se realizeze n-k : Aik +1 , Aik + 2 ,... Ain adică trebuie să se realizeze unul din evenimentele de forma: Ai1 I Ai2 I ... I Aik I A C ik +1 ... I A C in . Va rezulta că A este reuniunea evenimentelor incompatibile de aceasta formă: A= U ( Ai1 I Ai2 I ... I Aik I A C ik +1 ... I A C in )

unde

{ i1 , i2 ,... in }

parcurge

familia

submulţimilor de k elemente ale mulţimii de indici {1,2,…,n}.

Exemplul 1. Se dau 3 urne: prima conţine 2 bile albe şi 3 bile negre, a doua conţine 4 bile albe şi o bilă neagră, iar a treia conţine 3 bile albe şi două bile negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă. Care este probabilitatea ca două bile să fie albe şi una neagră?

Rezolvare: Considerăm evenimentele independente:

Ai :bila extrasă din urna i este albă ; cu i = 1,3 . Problema cere probabilitatea realizării a două din cele 3 evenimente. Suntem în cazul schemei lui Poisson cu n=3 ; k=2 ;

p1 = P( A1 ) =

2 ; 5

p2 = P( A2 ) =

4 ; 5

p3 = P( A3 ) =

3 . 5

2 3 4 1 3 2 Probabilitatea căutată este coeficientul lui x 2 din polinomul ( x + )( x + )( x + ) 5 5 5 5 5 5 adică

58 . 125

41

Observaţie: Dacă ni s-ar fi cerut probabilitatea ca cele trei bile extrase să fie negre atunci aceasta ar fi fost coeficientul lui x 0 din polinomul de mai sus adică

6 ; etc. 125

Exemplul 2. Trei trăgători trag asupra unei ţinte. Primul nimereşte ţinta cu probabilitatea cu

2 , al doilea 3

3 4 , iar al treilea cu . Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de 3 ori? Dar exact 4 5

de 2 ori? Dar să fie atinsă?

Rezolvare: Fie evenimentele independente:

Ai :trăgătorul i atinge ţinta; cu i = 1,3 . p1 = P( A1 ) =

2 1 ⇒ q1 = 3 3

p2 = P( A2 ) =

3 1 ⇒ q2 = 4 4

p3 = P( A3 ) =

4 1 ⇒ q3 = 5 5

Atunci polinomul va fi: 2 1 3 1 4 1 ( x + )( x + )( x + ) 3 3 4 4 5 5 Probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de 3 ori este coeficientul lui x 3 din polinomul de mai sus, adică

2 . 5

Probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de 2 ori este coeficientul lui x 2 din polinomul de mai sus, adică

13 . 30

Probabilitatea ca ţinta să fie atinsă va fi calculată astfel: ”ţinta este atinsă” înseamnă că ea poate fi atinsă o dată de 2 ori sau de 3 ori.

42

Notăm A: ţinta este atinsă ⇒ A C : ţinta nu este atinsă ⇒ P( A C )=coeficientul lui x 0 din polinomul de mai sus, adică

1 59 ⇒ P(A)=1-P( A C )= . 60 60

Exemplul 3. Trei trăgători trag asupra unei ţinte câte un foc fiecare. Probabilităţile de nimerire a ţintei sunt:

2 3 4 , şi pentru primul, al doilea şi al treilea ţintaş. 3 4 5

După trageri s-a constatat că ţinta a fost atinsă o singură dată. Care este probabilitatea ca ea să fi fost atinsă de primul trăgător?

Rezolvare: Ca în problema de mai sus, avem: fie evenimentele independente: Ai :trăgătorul i atinge ţinta; cu i = 1,3 cu probabilităţile:

p1 = P( A1 ) =

2 1 ⇒ q1 = 3 3

p2 = P( A2 ) =

3 1 ⇒ q2 = 4 4

p3 = P( A3 ) =

4 1 ⇒ q3 = 5 5

Atunci polinomul va fi: 1 3 1 4 1 2 ( x + )( x + )( x + ) 3 3 4 4 5 5 Fie evenimentul A: ţinta este atinsă de un trăgător. Dar nouă ni se cere probabilitatea ca ţinta să fi fost atinsă de primul trăgător ştiind că a fost atinsă de un singur trăgător, adică:

P ( A1 \ A) =

P ( A1 I A) , P ( A)

dar

P ( A) =

coeficientul lui x din descompunerea polinomului, adică

P ( A) = p1q 2 q 3 + p 2 q1 q3 + p3 q1 q 2 =

3 20

43

iar

P( A1 I A) = probabilitatea ca doar primul trăgător să nimerească ţinta, rezultă: P ( A1 I A) = P ( A1 I CA2 I CA3 ) = p1q 2 q 3 = Rezultă: P ( A1 \ A) =

1 . 30

P ( A1 I A) 1 20 2 = ⋅ = = 0, (2) . P ( A) 30 3 9

Exemplul 4. Un patron verifică lucrările a trei angajaţi. Aceştia lucrează corect în proporţie de 99%, 85% şi respectiv 97%. Se cere probabilitatea ca: a)

toate lucrările să fie bune;

b)

nici o lucrare să nu fie bună;

c)

două lucrări să fie bune;

d)

cel puţin două lucrări să fie bune;

e)

cel mult o lucrare greşită.

Rezolvare: Fie evenimentele Ai: angajatul i lucrează fără greşeală; i = 1,3 şi pi = P ( Ai ) iar

q i = P (CAi ) = 1 − p i . Astfel, avem: p1 = 0,99 ⇒ q1 = 0,01

p 2 = 0,85 ⇒ q 2 = 0,15 p3 = 0,97 ⇒ q3 = 0,03 Aplicăm schema lui Poisson iar polinomul va fi: ( p1 x + q1 )( p 2 x + q 2 )( p 3 x + q 3 ) Notăm cu A, B, D,F şi G evenimentele ale căror probabilităţi se cer la a), b), c), d), e). a)

P(A)=coeficientul lui x3= p1 p 2 p 3 =0,816

b)

P(B)=coeficientul lui x0= q1 q 2 q 3

c)

P(D)=coeficientul lui x2= p1 p 2 q 3 + p1 p3 q 2 + p 2 p 3 q1

44

d)

P(F)=coeficientul lui x2 +coeficientul lui x3=P(D)+P(A)

e)

Cel mult o lucrare greşită ⇔ cel puţin două lucrări bune ⇒ P(G)=P(F).

7.4.2

Schema binomială(Bernoulli)

Dacă

evenimentele

independente

A1 , A2 ,..., An

au

aceeaşi

probabilitate,

pi = p; qi = q( i = 1, n ) , atunci probabilitatea să se realizeze k din cele n evenimente este coeficientul lui x k din polinomul ( px + q ) n , adică este egală cu Cnk p k q n − k şi se notează cu Pn ( k ) .Se observă că schema lui Bernoulli este un caz particular al schemei lui Poisson.

Exemplul 5. Se aruncă două zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea să apară de 4 ori suma 7?

Rezolvare: La o efectuare a experienţei, evenimentul “apariţia sumei 7” are probabilitatea

1 (6 6

cazuri favorabile din 36 posibile). Deci:

p=

1 5 1 5 ; q = ; n = 10; k = 4 ⇒ P10 ( 4 ) = C104 ( ) 4 ( ) 6 6 6 6 6

Exemplul 6. În medie din 3 vizitatori ai unei consignaţii ,2 cumpără şi unul nu. Care este probabilitatea ca din 10 persoane aflate în magazin: a) toate persoanele să cumpere? b) 3 să nu cumpere? c) cel puţin 6 să cumpere? d) cel puţin 4 să nu cumpere? e)

45

Rezolvare: Fie evenimentul A: “vizitatorul cumpără” ⇒ p = P( A) =

1 2 ; q = ; n = 10 3 3

2 1 2 a) k=10 ⇒ P10 (10 ) = C1010 ( )10 ( )0 = ( )10 3 3 3 2 1 b) 3persoane nu cumpără ⇒ 7 persoane cumpără ⇒ k=7 ⇒ P10 ( 7 ) = C107 ( ) 7 ( )3 3 3 10 2 1 c) cel puţin 6 cumpără înseamnă k ∈ {6,7,8,9,10} ⇒ P10 ( k ≥ 6 ) = ∑ C10k ( ) k ( )10− k 3 3 k =6

d) cel

puţin

4

nu

cumpără

înseamnă

cel

mult

6

cumpără

⇒

6 2 1 k ∈{0,1,2,3,4,5,6} ⇒ P10 ( k ≤ 6) = ∑ C10k ( ) k ( )10− k 3 3 k =0

Exemplul 7. Un pensionar şi-a stabilit nişte cote la consumul de energie electrică. El nu depăşeşte întro zi cota propusă cu probabilitatea de 80%. Să se afle probabilitatea ca într-o lună (30 zile) consumul de energie electrică să nu depăşească cotele stabilite pe 20 zile.

Rezolvare: Fie A evenimentul că într-o zi pensionarul nu depăşeşte cota stabilită, iar p=P(A)=0,8 şi q=P(CA)=0,2. 4

3

Fie B evenimentul a cărui probabilitate se cere. Atunci P( B) = C 74 (0,8) (0,2) .

Exemplul 8. În urma unei experienţe, un eveniment apare cu probabilitatea de 2%. a)

Care este probabilitatea ca, efectuând n=100 experienţe, evenimentul A să apară de

60 ori? b)

Câte experienţe trebuie făcute astfel ca probabilitatea de apariţie a evenimentului

A să nu fie mai mică decât 0,5?

46

Rezolvare: Conform schemei lui Bernoulli avem: a) b)

60 P100 (60) = C100 (0,02) 60 (0,98) 40

Probabilitatea evenimentului contrar adică în n experienţe evenimentul A să nu

apară niciodată este:

Pn (0) = C n0 (0,02) 0 (0,98) n = 0,98 n Probabilitatea ca evenimentul A să apară cel puţin o dată în cele n experienţe este 1 − 0,98 n . Numărul n se află din condiţia: 1 − 0,98 n ≥

1 , de unde, logaritmând se află n. 2

Exemplul 9. În urma unor verificări s-a constatat că 10% dintre călătorii transportului în comun nu achită contravaloarea călătoriei. Care este probabilitatea ca efectuând 10 verificări: a)

toţi călătorii să aibă bilete;

b)

toţi călătorii să fie prinşi fără bilete

c)

cel mult doi călători să fie prinşi fără bilete.

Rezolvare: Dacă 10% dintre călători nu achită contravaloarea biletului, înseamnă că 90% achită. Astfel, notăm cu:

p=0,90=probabilitatea ca un călător să aibă bilet q=1-p=0,10=probabilitatea ca un călător să nu aibă bilet n=10 a)

Fie A evenimentul “călătorul are bilet”, eveniment care apare cu probabilitatea de

90%. Atunci, probabilitatea, ca din 10 verificări toţi cei 10 călători să aibă bilete, este:

P10 (10) = C1010 (0,9)10 (0,1) 0 = (0,9)10 = 0,34 , adică 34%.

47

b)

Fie B=CA evenimentul “călătorul nu are bilet”, eveniment care apare cu

probabilitatea de 10%. Atunci, probabilitatea, ca din 10 verificări toţi cei 10 călători să nu aibă bilete sau 0 persoane au bilete, este:

P10 (0) = C100 (0,9) 0 (0,1)10 = (0,1)10 ≅ 0 ,adică este un eveniment imposibil. cel mult 2 călători fără bilete înseamnă cel puţin 8 persoane au bilete ⇒

c)

10

k ∈ {9,9,10} ⇒ P10 (k ≥ 8) = ∑ C10k (0,9) k (0,1)10− k k =8

7.4.3

Schema hipergeometrică (schema urnei cu bilă nerevenită)

Dintr-o urnă în care sunt a bile albe şi b bile roşii (a+b=N), se extrag n bile, n ≤ N, fără să se pună înapoi în urnă, după fiecare extragere, bila extrasă. Însemnăm prin α numărul de bile albe obţinut în n extrageri. Probabilitatea ca din n extrageri ,efectuate în modul pe care l-am arătat, să obţinem α bile albe este

Pn (α ) =

Caα Cbn−α CNn

Exemplul 10. Din 100 de bilete la un joc de televiziune, puse în vânzare într-o săptămână, 10 bilete sunt câştigătoare. La o agenţie LOTO se repartizează la întâmplare 100 bilete. Să se determine probabilitatea ca: a) 3 bilete din cele repartizate să fie câştigătoare; b) cel mult 2 bilete repartizate să fie câştigătoare; c) cel puţin 4 bilete să fie câştigătoare; d) nici un bilet să nu fie câştigător.

Rezolvare: Se aplică schema urnei cu bilă nerevenită în care parametrii au următoarele valori:

N=100.000, a=10, n=100;

48

a)

Fie evenimentul A: “3bilete dintre cele repartizate să fie câştigătoare” ⇒ parametrul α are valoarea 3 şi rezultă: 97 C103 C99990 P( A ) = 100 C100000

b)

Fie B evenimentul a cărui probabilitate se cere; atunci α ∈ {0,1,2} şi are loc: 100−α C10α C99990 100 C100000

2

P( B ) = ∑ α =0

c)

Fie C evenimentul a cărui probabilitate se cere; atunci α ∈ {4,...,10} şi are loc: 100−α C10α C99990 100 C100000

10

P( C ) = ∑

α =4

d)

Fie D evenimentul ca ici un bilet să nu fie câştigător; atunci α =0 şi are loc:

P( D ) =

100 C99990 100 C100000

Exemplul 11. O firmă particulară scoate la concurs 4 posturi. La concurs se prezintă 10 bărbaţi şi 8 femei. Care este probabilitatea ca: a) să fie aleşi 2 bărbaţi şi două femei? b) să fie aleşi numai bărbaţi? c) să fie alese şi femei?

Rezolvare: Aplicăm schema hipergeometrică şi notăm cu A, B, D evenimentele ale căror probabilităţi ne sunt cerute la a), b) şi c). a)

P ( A) =

C102 ⋅ C82 C184

b)

P( B) =

C104 ⋅ C80 C104 = 4 C184 C18

c)

C104 P ( D ) = P (CB ) = 1 − P ( B ) = 1 − 4 C18

49

7.5.Variabile aleatoare discrete Definiţia 7.5.1. Variabilele aleatoare care iau o mulţime finită sau numărabilă de valori se numesc

variabile aleatoare discrete. O variabilă aleatoare discretă, schematic, se reprezintă astfel:

 x1 X:  p1

. . . xn  , . . . pn 

x2 p2

unde, în primul rând al tabloului am trecut valorile posibile ale variabilei şi sub fiecare valoare, probabilitatea cu care X ia această valoare. Altfel spus, variabila aleatoare este o funcţie.

Observaţie: n

∑p

i

=1.

i =1

Tabloul de mai sus se numeşte repartiţia variabilei X.

Notaţie: Pentru simplitate vom nota de acum înainte variabila aleatoare cu v.a.

7.5.1

Operaţii cu variabile aleatoare discrete

A. Adunarea variabilelor aleatoare Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile:

 x1 X:  p1

x2 p2

. . . xn  , . . . pn 

 y1 Y:   q1

y2

. . .

q2

ym  , . . . qm 

Atunci se defineşte adunarea v.a. X şi Y astfel:

 x1 + y1 X + Y:   p11

x2 + y2 . . . xi + y j p12 . . . pij

50

. . . xn + ym  , . . . pnm 

unde pij ( i = 1, n, j = 1, m) este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor X = x i şi

Y = yj.

B.

Înmulţirea variabilelor aleatoare

Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile:

 x1 X:  p1

x2 p2

. . . xn  , . . . pn 

 y1 Y:   q1

y2

. . .

ym  , . . . qm 

q2

Atunci se defineşte produsul v.a. X şi Y astfel:

 x1 ⋅ y1 X ⋅ Y:   p11

x2 ⋅ y2 . . . xi ⋅ y j p12 . . . pij

. . . xn ⋅ ym  , . . . pnm 

unde pij ( i = 1, n, j = 1, m) este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor X = x i şi

Y = yj.

C.

Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare

Fie v.a.  x1 X :  p1

x2 . . . x n  . p2 . . . p n 

Se ridică la putere prima linie din repartiţia v.a. ,linia probabilităţilor rămânând neschimbată: x n X n : 1  p1

D.

x2 n p2

. . . xn n  . . . . pn 

Înmulţirea cu o constantă a unei variabile aleatoare

Fie v.a.:  x1 X :  p1

x2 . . . x n  . p2 . . . p n 

Se înmulţeşte doar prima linie din repartiţia v.a. cu constanta a ;linia probabilităţilor rămânând neschimbată:

51

 ax1 aX :  p1

E.

ax 2 . . . ax n  . p2 . . . pn 

Adunarea unei variabile aleatoare cu o constantă

Fie v.a. :  x1 X :  p1

x2 . . . x n  . p2 . . . p n 

Atunci variabila X+c are repartiţia: .

7.5.2

Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete

Definiţia 7.5.2. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia F: R → [0,1] dată de F(x)= P(X x n Graficul funcţiei de repartiţie este un grafic în trepte.

Exemplul 1.

− 2 −1 1 2 1 Fie variabila aleatoare discretă X:  1  9 9 9 repartiţie.

52

3 2 9

4 1  .Să se determine funcţia de  3

Rezolvare: Funcţia de repartiţie a acestei variabile aleatoare este 0, x ≤ −2   0, x ≤ −2  1 1 , −2 < x ≤ −1  9  9 , −2 < x ≤ −1  1 2  3  + , −1 < x ≤ 1  , −1 < x ≤ 1 9 9   1 2 1 F( x) =  =  94 + + ,1 < x ≤ 3  9 9 9  ,1 < x ≤ 3 1 2 1 2  9 x + + + , 3 < ≤ 4   6 ,3 < x ≤ 4 9 9 9 9   9  1 + 2 + 1 + 2 + 1 , x > 4  1, x 〉4 9 9 9 9 3

Exemplul 2.

1 Variabila aleatoare are repartiţia X:  2 p

2 3 7 1 p 4 3

4 1  . Se cere P(X ≤ 3).  6

Rezolvare: Cum X este variabilă aleatoare , suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1: 7 1 1 p + + = 1 ⇒ 12 p 2 + 21 p − 6 = 0 ⇒ ∆ = 441 + 48 ⋅ 6 = 729 ⇒ ∆ = 27 ⇒ 4 3 6 − 21 + 27 6 1 − 21 − 27 − 48 1 p1 = == = , p2 = 24 = = −2 ⇒ p = ⇒ 24 24 4 24 24 4  1 2 3 4 ⇒ X :  1 7 1 1  ⇒ { X ≤ 3} = { X = 1} U { X = 2} U { X = 3} ⇒  6 16 3 6  p2 +

P( X ≤ 3) = P( X = 1) + P( X = 2 ) + P( X = 3) = sauP( X ≤ 3) = 1 − P( X = 4 ) = 1 −

1 5 = 6 6

53

1 7 1 5 + + = 16 16 3 6

7.5.3

Media şi dispersia unei variabile aleatoare discrete  x1  p1

Fie v.a. discretă X :

x2 . . . x n  ; p2 . . . p n 

Definiţia 7.5.3.1 Se defineşte media lui X sau valoarea medie a lui X ca fiind: n

M ( X ) = ∑ x i pi = x1 ⋅ p1 + x 2 ⋅ p2 +...+ x n ⋅ pn i =1

Definiţia 7.5.3.2 Se defineşte dispersia lui X ca fiind: D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X )

Definiţia 7.5.3.3 Se defineşte abaterea medie pătratică ca fiind σ ( X ) =

D( X ) .

Observaţie: Întotdeauna dispersia trebuie să fie strict pozitivă.

Exemplul 3.  −2 1 Fie v.a. X cu repartiţia  2 p   7

3  1. 7 

a) Să se calculeze p; b) Să se calculeze media,dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei X; c) Să se calculeze P(X ≥ 1 ).

Rezolvare: a)

Cum X este variabilă aleatoare , suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1: 2 1 4 + p + =1⇒ p = 7 7 7

54

Astfel, repartiţia lui X devine:  −2 1   2 4   7 7

b)

3  1 7 

2 4 1 3 M ( X ) = (−2) ⋅ + 1⋅ + 3 ⋅ = ; 7 7 7 7

2 4 1 21 M ( X 2 ) = (−2)2 ⋅ + 12 ⋅ + 32 ⋅ = = 3; 7 7 7 7 2

Atunci, D( X ) = M ( X ) − M

2

2

3 9 147 ( X )= 3−  = 3− = 7 49 49  

, iar σ ( X ) = D ( X ) =

Exemplul 4.

a Se dau variabilele independente X :  1 3

1

2 1 a +1  şi Y :  1 2  p q −q  3 3

Să se calculeze a astfel încât variabila X-Y să aibă dispersia egală cu

Rezolvare: Cum X şi Y sunt variabile aleatoare discrete ⇒ trebuie să avem:  1  3 + p +q =1 , 1 2  + −q+ p =1 3 3 1 sistem care prin rezolvare dă soluţia: p = q = . 3 Deci, variabilele X şi Y au repartiţiile:

 a 1 2  a + 1 1 2    1 1 1 1 1 1 . X:  şi Y :    3 3 3  3 3 3 Din ipoteză ştim că D(X-Y)=

4 , iar din teorema dispersiei ştim că: 9 D(X-Y)=D(X)+D(Y)

55

2  p . 4 . 9

147 49

.

D(X)= M ( X 2 ) − M 2 ( X ) D(Y)= M (Y 2 ) − M 2 (Y ) 1 1 1 a a Dar, M(X)= a ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ = + 1 ⇒ M 2 ( X ) = ( + 1)2 ; 3 3 3 3 3 a2 X :  1 3 2

1 4 a2 5 2a 2 2a 2 1 1 ⇒ M ( X 2 ) = + ⇒ D X = − + ( )  3 3 9 3 3  3 3

Analog se calculează D(Y ) = Din egalitatea D(X)+D(Y)=

2( a + 1) 2 2( a + 1) 2 − + ; 9 3 3

4 ⇒ a=1. 9

CAPITOLUL 8 PLĂŢI EŞALONATE ANUAL 8.1. Valoarea finală a unor depuneri anuale Se pune problema calculării sumei acumulate după un număr de ani, în cazul în care se depune anual aceeaşi sumă S, luând în calcul şi dobânda. Ca de obicei, notăm cu u = 1 + i = 1 +

p factorul de fructificare. În funcţie de 100

momentul depunerii putem avea: depuneri anticipate (la începutul anului) sau depuneri posticipate (la sfârşitul anului).

I Depuneri anticipate Definiţia 8.1.1. Se numesc anuităţi anticipate, operaţiunile de plată efectuate în condiţiile următoare: 1.

anual, la începutul anului;

56

2.

prin anuităţi (rate) egale sau nu de la un an la altul;

3.

un anumit număr de ani bine precizat;

4.

cu procent anual constant sau nu de la un an la altul.

Observaţie: Vom presupune în continuare că sumele depuse sunt constante, S, şi că rata anuală de dobândă este constantă.

Notaţii: n = numărul de plăţi (anuale) S = valoarea ratei i = dobânda

plătite în anul k, k = 1,..., n

anuală unitară din anul k, k = 1,..., n

S n( A ) = valoarea finală a operaţiunii de plăţi eşalonate desfăşurate în regim de dobândă compusă, în cazul depunerilor anticipate În cazul depunerilor anticipate, suma S , depusă în primul an, la începutul anului devine, la sfârşitul celor n ani, Su n , cea depusă în al doilea an, tot la început, devine Su n−1 ,

ş.a.m.d. Rezultatul final va fi:

)

(

S ( A) = Su n + Su n−1 + ... + Su = 1 + u + u 2 + ... + u n−1 ⋅ Su = Su ⋅ n

u n −1 u n −1 = S ⋅u ⋅ u −1 i

II Depuneri posticipate Definiţia 8.1.2. Se numesc anuităţi posticipate, operaţiunile de plată efectuate în condiţiile următoare: 1.

anual, la sfîrşitul anului;

2.

prin anuităţi (rate) egale sau nu de la un an la altul;

3.

un anumit număr de ani bine precizat;

4.

cu procent anual constant sau nu de la un an la altul.

57

Observaţie: Vom presupune în continuare că sumele depuse sunt constante, S, şi că rata anuală de dobândă este constantă.

Notaţii: n = numărul de plăţi (anuale) S = valoarea ratei i = dobânda S

( P) = n

plătite în anul k, k = 1,..., n

anuală unitară din anul k, k = 1,..., n

valoarea finală a operaţiunii de plăţi eşalonate desfăşurate în regim de dobândă

compusă, în cazul depunerilor posticipate În cazul depunerilor posticipate, suma S , depusă la sfârşitul primului an, devine la sfârşitul celor n ani, Su n−1 , cea depusă în al doilea an, tot la sfârşit, devine Su n−2 ,

ş.a.m.d. Se obţine deci:

)

(

S ( P) = Su n−1 + Su n −2 + ... + Su + S = 1 + u + u 2 + ... + u n−1 ⋅ S = S ⋅ n

un −1 un −1 =S⋅ u −1 i

Exemplul 1. Se depune anual suma de 10.000 u.m. cu procentul de 8% anual. Ce sumă se acumulează după 15 ani în cazul depunerilor: a)

anticipate

b)

posticipate

Rezolvare: a)

b)

S

( A) = Su u n − 1 = 10.000 1 + 0, 08 1, 0815 − 1 = 293.243 u.m. ( )

15

( P ) = S u − 1 = 10.000 1, 08 − 1 = 271.521 u.m. sau

15

S

15

n

S

0, 08

i

i

0, 08

58

S

( P) =

15

( A)

15

u

8.2. Valoarea actuală a unor plăţi anuale constante Se cunoaşte că dacă se depune la bancă suma S, după un număr de ani n ea devine Su n . Se pune însă următoarea problemă: ce sumă S0 trebuie depusă la momentul de faţă

pentru ca după n ani să devină S? Din relaţia S0 u n = S ⇒ S0 = Su n−1 se numeşte valoarea actuală a plăţii S efectuată peste un număr de n ani. Pentru a calcula valoarea actuală a unui şir de n plăţi anuale de aceeaşi sumă S, distingem două cazuri, după cum plăţile se fac la începutul sau la sfârşitul anului.

I Plăţi anticipate de sumă constantă Notaţii: n = numărul de plăţi (anuale) S = valoarea ratei i = dobânda

plătite în anul k, k = 1,..., n

anuală unitară din anul k, k = 1,..., n

An( A) = valoarea actuală sau actualizată, a n plăţi,efectuate la începutul anului ( A) n

A

= S + Su −1 + ... + Su −( n −1) = S ⋅

1 − u −n 1 − u −n = S ⋅u ⋅ i 1 − u −1

II Plăţi posticipate de sumă constantă Notaţii: n = numărul de plăţi (anuale) S = valoarea ratei i = dobânda ( P) = n

A

plătite în anul k, k = 1,..., n

anuală unitară din anul k, k = 1,..., n

valoarea actuală sau actualizată, a n plăţi,efectuate la sfîrşitul anului (P) n

A

= Su −1 + Su −2 + ... + Su − n = S ⋅ u −1 ⋅

59

1 − u −n 1 − u −n =S⋅ i 1 − u −1

Exemplul 1. Se presupune că achitarea unor datorii a fost stabilită pentru 5 ani, cu plata anuală anticipat (posticipat) astfel: anual câte 10.000 u.m. cu procent de 5% anual Să se determine în fiecare caz valoarea actuală.

Rezolvare: a)

cazul anticipat

S=10.000 u.m.; i=0,05; n=5 ani; Suntem în cazul în care procentul şi ratele sunt egale ( A)

A

n

= S ⋅u ⋅

Atunci, A5( A) = 10.000 ⋅ 1,05 ⋅ b)

1 − (1 + i )− n 1 − u −n = S ⋅ (1 + i ) ⋅ i i

,

1 − 1,05 −5 = 45.495,5u. m. 0,05

cazul posticipat ( P)

A

n

Atunci, A( P ) = 10.000 ⋅ 5

=S⋅

1 − (1 + i ) − n 1 − u −n =S⋅ i i

1 − 1, 05−5 = 43.294, 7 u.m. 0, 05

Exemplul 2. Plasând la fiecare început de an, timp de 15 ani suma de 200.000 u.m. cu un procent anual de 5%, atunci la sfârşitul ultimului an la ce valoare se va ridica fondul acumulat? Dar valoarea actuală a întregii operaţiuni?

Rezolvare: S15( A) = 200.000 ⋅ 1,05 ⋅

1,0515 − 1 = 4.531.598,394u.m. 0,05

A15( A) = 200.000 ⋅ 1,05 ⋅

1 − 1,05 −15 = 2.179.729u.m. 0,05

60

BIBLIOGRAFIE

1.

Ciucu, G., Oaru, V., Săcuiu, I., -Probleme de teoria probabilităţilor, Bucureşti, Editura Tehnică 1974

2.

Fătu, I., Dinescu, C., -Matematici pentru economişti; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995

3.

Popa, I. –Analiză matematică-Calcul diferenţial, Editura Matrix Rom, Bucureşti 2000

4.

Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993

5.

Trandafir, R., -Introducere în teoria probabilităţilor, Bucureşti, Editura Albatros, 1970

6.

Matei, P., -Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Agir, Bucureşti, 2000

7.

Teodorescu, S., -Matematici aplicate în economie, Editura Bren, 2003

8.

Teodorescu, S., -Probleme de probabilităţi şi statistică matematică, Editura Bren, 2004

9.

Teodorescu, S., -Matematici pentru economişti, Editura Bren, 2004

10.

Teodorescu, S., -Matematici financiare. Culegere de probleme, Editura Bren, 2004

61