Matematica verde 5 [1 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

1 2 3 4 5

Idee per il tuo futuro

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

5

Matematica.verde con Maths in English

INTEGRALI Integrali immediati delle funzioni fondamentali

y xa dx

xa  1  c, con a !  1 a1

y cos x dx

y 1x dx

ln x  c

y cos12 x dx

tg x  c

y e x dx

ex  c

y sen12 x dx

 cotg x  c

y a x dx

ax c ln a

y sen x dx

y

sen x  c

1 dx 1  x2

y 1 1 x2 dx

 cos x  c

arcsen x  c arctg x  c

Integrali la cui primitiva è una funzione composta

6 f (x)@a  1  c, con a !  1 a1

y 6 f (x)@a f O(x) dx f O(x) dx f (x)

ln f (x)  c

y f O(x) e f (x) dx

e f (x)  c

y

tg f (x)  c

O

y senf 2(fx()x) dx y

 cotg f (x)  c

f O(x) dx 1  6 f (x)@2 O

y 1 f6 (fx()x)@2 dx

a f ( x) c ln a

y f O(x) a f (x) dx

O

y cosf 2(fx()x) dx

arcsen f (x)  c arctg f (x)  c

f O(x) dx a 2  6 f (x)@2

y f O(x) sen f (x) dx

 cos f (x)  c

y

y f O(x) cos f (x) dx

sen f (x)  c

y a2 f 6(fx()x)@2 dx

O

arcsen

f (x) 1  c, arctg a a

Integrazione per sostituzione e per parti

La formula di integrazione per parti:

y f (x) g O(x) dx

f (x) $ g (x)  y f O(x) g (x) dx .

Il metodo di sostituzione: effettuando il cambiamento di variabile x

y f (x) dx

y f (g (t)) $ g O(t) dt.

f (x)  c, con a ! 0 a

g (t) , otteniamo

con a ! 0

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.verde con Maths in English

5

Copyright © 2012, 2013 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [9961] www.zanichelli.it I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.

Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi) Corso di Porta Romana, n. 108 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web www.clearedi.org L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/

Realizzazione editoriale: – Coordinamento redazionale: Marinella Lombardi – Redazione: Isabella Malacari, Elena Meucci – Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Parma – Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini – Progetto grafico: Byblos, Faenza – Progetto grafico delle pagine XVII-XXIV e C90-C104: Roberto Marchetti – Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna – Ricerca iconografica e realizzazione delle aperture di capitolo, di Realtà e modelli e di Maths in English: Byblos, Faenza – Disegni: Graffito, Cusano Milanino – Correzione di bozze: T2, Bologna Contributi: – Idee per il tuo futuro: Laura Mancuso (testi), Barbara Di Gennaro (redazione), Miguel Sal & C., Bologna (progetto grafico e impaginazione), Sara Colaone (disegni) – Stesura delle aperture: Andrea Betti (La matematica al servizio della legge), Daniela Cipolloni (La torre Eiffel, Una vela svizzera, Bloccare le email di spam), Daniele Gouthier (Il decadimento radioattivo, Scrivere 1 con infinite cifre, Il prezzo del petrolio) – Stesura delle schede di Esplorazione: Daniele Gouthier (I paradossi di Zenone), Ilaria Pellati (Archimede e gli integrali ante litteram, Prede e predatori, Matematica… tirando i dadi) – Stesura dei testi e degli esercizi del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia – Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti – Revisioni dei testi e degli esercizi: Chiara Ballarotti, Silvana Calabria, Francesca Ferlin, Luca Malagoli, Elisa Menozzi, Monica Prandini – Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Emilia Liviotti, Luca Malagoli, Francesca Anna Riccio – Risoluzione degli esercizi: Silvano Baggio, Francesco Benvenuti, Davide Bergamini, Angela Capucci, Elisa Capucci, Lisa Cecconi, Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato, Francesca Incensi, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Elisa Menozzi, Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Daniele Ritelli, Elisa Targa, Ambra Tinti – Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci, Davide Bergamini, Cristina Bignardi, Francesco Biondi, Silvana Calabria, Lisa Cecconi, Chiara Cinti, Paolo Maurizio Dieghi, Daniela Favaretto, Francesca Ferlin, Rita Fortuzzi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Mario Luciani, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Armando Magnavacca, Elisa Menozzi, Luisa Morini, Monica Prandini, Tiziana Raparelli, Laura Recine, Daniele Ritelli, Antonio Rotteglia, Giuseppe Sturiale, Renata Tolino, Maria Angela Vitali, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago, Lorenzo Zordan – Stesura dei problemi di Realtà e modelli: Daniela Boni, Maria Falivene, Paolo Maurizio Dieghi, Nadia Moretti Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc. Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp Cabrì-Géomètre è un marchio registrato della Texas Instruments L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone. Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini, Enrico Bergamini e Lisa Cecconi.

Realizzazione eBook: Coordinamento editoriale: Giulia Laffi Redazione: Valentina Franceschi, Isabella Malacari, Elena Meucci Coordinamento: Maria Chiara Montani (chiara comunicazione, Parma) Realizzazione: bSmart srl Revisione: Giulia Tosetti Stesura e revisione Prove di verifica: Luca Malagoli Realizzazione lezioni in Power Point: Piero Chessa ZTE Stesura dei feedback e inserimento: Claudia Piesco Correzione: Francesca Incensi, Francesca Anna Riccio, Claudia Piesco Revisione: Giulia Tosetti Videolezioni In pratica Progettazione: Christian Biasco, Piero Chessa Stesura dei testi: Anna Baccaglini-Frank, Isabella Buono, Matteo Dalle Luche, Valentina Franceschi, Dany Maknouz, Irene Matuonto, Elena Meucci, Erika Meucci, Ivano Moschetti Interpretazione: Anna Baccaglini-Frank, Enrico Bergianti, Isabella Buono, Matteo Dalle Luche, Erika Meucci, Ivano Moschetti Revisione: Piero Chessa, Roberta Fulci, Erika Meucci Realizzazione: formicablu srl, Bologna Videolezioni Classroom Language Interpretazione: Jacopo Castelletti Regia: Francesco Agostini Testi: Francesco Agostini, Eleonora Anzola Registrazione: studio Corrado Frignani, Parma Maths in English e Maths Talk Stesura testi, revisione e recitazione audio: Anna Baccaglini-Frank Realizzazione audio: Marco Boscolo Copertina: – Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna – Realizzazione: Roberto Marchetti – Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna Prima edizione: gennaio 2013

L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B. Zanichelli garantisce che le risorse digitali di questo volume sotto il suo controllo saranno accessibili, a partire dall’acquisto dell’esemplare nuovo, per tutta la durata della normale utilizzazione didattica dell’opera. Passato questo periodo, alcune o tutte le risorse potrebbero non essere più accessibili o disponibili: per maggiori informazioni, leggi my.zanichelli.it/fuoricatalogo File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo: [email protected] Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicate nel sito www.zanichelli.it/aggiornamenti Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008

SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

IDEE PER IL TUO FUTURO Che cosa farò da grande Come funziona l’Università Test di ammissione Dove si studia la matematica Verso il lavoro Curriculum vitae e lettera di accompagnamento Il colloquio e lo stage

IX X XI XII XIII XIV XVI XVII

Modelli di crescita e caos

XXI

La matematica indispensabile

CAPITOLO 19 GLI INTEGRALI 1. 2. 3. 4. 5. 6. Perché l’ingegnere Gustave Eiffel diede alla sua opera più famosa proprio quella forma?  La risposta a pag. 1393

L’integrale indefinito Gli integrali indefiniti immediati L’integrazione per sostituzione L’integrazione per parti L’integrazione di funzioni razionali fratte L’integrale definito ESPLORAZIONE

7. 8. 9. 10. 11. 12.

Archimede e gli integrali ante litteram

Il teorema fondamentale del calcolo integrale Il calcolo delle aree di superfici piane Il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione La lunghezza di un arco di curva e l’area di una superficie di rotazione Gli integrali impropri Applicazioni degli integrali alla fisica LABORATORIO DI MATEMATICA

1354 1357 1362 1363 1364 1370 1375 1376 1380 1383

1401 1402 1412 1418 1420 1432

1386 1388 1391

1449 1450 1454 1394

1434 1440 1447

Gli integrali definiti

■ Realtà e modelli

1456 1457 1463

■ Verso le competenze ■ Didattica su misura

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

III

SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

1466 1468 1469 1472 1473 1476 1482

1491 1492 1494

CAPITOLO 20 LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI Le equazioni differenziali del primo ordine 2. Le equazioni differenziali del tipo y l = f (x) 3. Le equazioni differenziali a variabili separabili 1. Come si fa a stimare la vita di una scoria radioattiva?  La risposta a pag. 1485

ESPLORAZIONE

Prede e predatori

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine Le equazioni differenziali del secondo ordine 6. Applicazioni delle equazioni differenziali alla fisica 4.

5.

LABORATORIO DI MATEMATICA

1498 1501 1510

Le equazioni differenziali

1486

con Derive

■ Realtà e modelli

1513 1514 1518

■ Verso le competenze ■ Didattica su misura

CAPITOLO 21 L’ANALISI NUMERICA La risoluzione approssimata di un’equazione 2. L’integrazione numerica 1.

ESPLORAZIONE

Qual è stato il segreto della barca a vela Alinghi?  La risposta a pag. 1538

Matematica… tirando i dadi

LABORATORIO DI MATEMATICA

1522 1532 1537

1544 1551 1539

L’integrazione numerica

■ Verso le competenze

1556 1559

■ Didattica su misura

CAPITOLO 22 LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI 1. 2. 3. Come si possono bloccare le e-mail di spam?  La risposta a pag. 1578

4. 5. 6.

La probabilità della somma logica di eventi La probabilità condizionata La probabilità del prodotto logico di eventi Il problema delle prove ripetute Il teorema di Bayes I giochi aleatori LABORATORIO DI MATEMATICA

Il calcolo della probabilità

■ Realtà e modelli ■ Verso le competenze ■ Didattica su misura

IV

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1562 1564 1567 1569 1571 1575

1581 1583 1585 1588 1589 1595 1579 1596 1597 1599

SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

1602 1609 1613 1617 1619

1629 1633 1637 1640 1641 1645 1625

CAPITOLO 23 LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ 1. 2. Come si può riconoscere se una dichiarazione dei redditi non è veritiera?

3. 4. 5.

 La risposta a pag. 1624

Le variabili casuali discrete e le distribuzioni di probabilità I valori caratterizzanti una variabile casuale discreta Le distribuzioni di probabilità di uso frequente Le variabili casuali standardizzate Le variabili casuali continue Applicazioni delle distribuzioni in campo tecnologico LABORATORIO DI MATEMATICA

Le distribuzioni di probabilità

■ Verso le competenze

1651 1653

■ Didattica su misura

CAPITOLO 24 GEOMETRIA SOLIDA EUCLIDEA Punti, rette, piani e solidi 2. Le aree dei solidi notevoli 3. L’estensione e l’equivalenza dei solidi 4. I volumi dei solidi notevoli 1.

Che tipo di figure si ottengono sezionando un cubo con un piano?  La risposta a pag. 1677

LABORATORIO DI MATEMATICA

1658 1665 1671 1675

1682 1683 1686 1687 1678

Problemi di geometria solida

■ Realtà e modelli

1692 1693 1695

■ Verso le competenze ■ Didattica su misura

CAPITOLO 25 LA STATISTICA INFERENZIALE 1. Ma se il campione non è ben formato?  La risposta a pag. 1732

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

La popolazione e il campione I parametri della popolazione e del campione La distribuzione della media campionaria Particolari distribuzioni campionarie Gli stimatori e le loro proprietà La stima puntuale La stima per intervallo della media La stima per intervallo della differenza fra due medie La stima per intervallo di una percentuale La verifica delle ipotesi ESPLORAZIONE

Statistica inferenziale e medicina

LABORATORIO DI MATEMATICA

1698 1700 1702 1706 1711 1713 1717 1722 1724 1725 1731

1739 1741 1743 1745 1750 1752 1753 1755 1757 1758

Le distribuzioni campionarie

1733

con Excel

■ Realtà e modelli

1769 1760 1771

■ Verso le competenze ■ Didattica su misura

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V

SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

CAPITOLO 1 LE SERIE NUMERICHE Che cos’è una serie numerica Serie convergenti, divergenti, indeterminate 3. Le proprietà delle serie 1. 2.

Quale significato ha la scrittura del numero 1 come numero periodico 0,9999…?  La risposta a pag. f25

ESPLORAZIONE

4. 5. 6. 7. 8.

■ ■

I paradossi di Zenone

Il criterio generale di convergenza Le serie a termini positivi Le serie a termini di segno qualunque L’addizione e la sottrazione di due serie Il calcolo approssimato della somma di una serie Problemi con le serie Verso le competenze Didattica su misura

f2 f3 f7

f29 f30 f34

f10 f11 f13 f19 f22 f24

f35 f38 f44 f48 f49 f50 f53 f55

CAPITOLO 2 LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE 1. Perché il prezzo del petrolio non può crescere «esponenzialmente»?  La risposta a pag. f91

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Le successioni di funzioni Che cos’è una serie di funzioni La convergenza uniforme di una serie di funzioni I teoremi sulle serie uniformemente convergenti Che cos’è una serie di potenze Le serie di potenze convergenti La convergenza uniforme di una serie di potenze Le formule di Taylor e di Maclaurin Lo sviluppo in serie Applicazioni degli sviluppi in serie Le serie di potenze nel campo complesso LABORATORIO DI MATEMATICA

f100 f100 f103 f105 f110 f110 f114 f118 f120 f125 f129

f92

f92

Le serie di Taylor e di Maclaurin

con Derive

VI

f58 f59 f62 f64 f68 f68 f72 f75 f78 f85 f87

■ Verso le competenze

f131

■ Didattica su misura

f134

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SOMMARIO

TEORIA

ESERCIZI

CAPITOLO C3 COLLEGAMENTI ■ INTERMEZZI DI STORIA DELLA MATEMATICA

Com'è possibile ospitare un nuovo cliente in un albergo al completo, senza mandar via i clienti già presenti?  La risposta a pag. C92

Numeri e infinito Dai numeri alle strutture algebriche Le geometrie Riflettere sui fondamenti

C90 C93 C97 C101

■ GLI ALGORITMI

Che cos’è un algoritmo 2. Le strutture degli algoritmi 3. Dall’algoritmo al programma 1.

LABORATORIO DI MATEMATICA

C105 C108 C118

C123

Il metodo delle secanti

C122

con Python

MATHS IN ENGLISH Platonic Solids Isaac Newton 3. Archimedes and the Area of a Parabolic Segments 1. 2.

MATHS TALK

E2 E4 E6

Let’s read the equations

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VII

E3 E5 E7 E8

FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI XVII: Dmitriy_Shironosov/Shutterstock; XX (a): Jean-luc/Shutterstock; XX (b): Neo_Edmund/Shutterstock; 1353, 1393: Jurie Maree/Shutterstock; 1375: La scuola di Atene, Raffaello; 1456 (a): Cinnamon; 1456 (b): Sekulovski Emilijan /Shutterstock; 1465, 1485 (a): Natalia Lukiyanova/Shutterstock; 1485 (b): Rot Beverly/Shutterstock; 1472: Daniel Hebert/Shutterstock; 1513 (a): Maksymilian Skolik/Shutterstock; 1513 (b): Dudarev Mikhail/Shutterstock; 1513 (c): Danshutter/Shuttestock; 1513 (d): Joachim Wendler/ Shutterstock; 1521,1538 (a) e (b): Team Alinghi, 2005; 1538 (c) e (d): Alfio Quarteroni, Cmcs – Modelling and Scientific Computing; 1561, 1578 (a): Alexey Stiop/Shutterstock; 1596 (a): Kiselev Andrey Valerevich/Shutterstock 1596 (b): Zentilia/Shutterstock 1601, 1624 (a): Marc Dietrich/Shutterstock, Xavier Gallego Morelli/Shutterstock; 1657, 1677 (a): Peter Kirillov/Shutterstock; 1692 (a): Algecireno/Shutterstock; 1692 (b): ChaosMaker/Shutterstock;

1697, 1732 (a): Dean Mitchell/Shutterstock; 1732 (b): il dottor Benijamin McLane Spock visita Karen Anderson, con i suoi 5 gemelli (ottobre 1974). Fonte AP; 1768 (a): www.earthwatch.org; 1768 (b): Risteski Goce/Shutterstock; C89, C92 (a): Rozbyshaka/Shutterstock; C89, C92 (b), (c): Lasse Kristensen/Shutterstock; C94: pcandweb.myblog.it; C95 (a): Frans Hals, Cartesio. ca. 1649-1700. Parigi, Musée du Louvre; C95 (b): mathdl.maa.org; C95 (c): Klaus Wohlfahrt, owpdb.mfo.de; C96: Vasilij Kandinskij, Improvvisazione 33, 1913. Amsterdam, Stedelijk Museum; C97: Picsfive/Shutterstock; C100: Bianka Hagge/Shutterstock; C101: Joan Mirò, Painting, 1927. Parigi, Musée National d’Art Moderne; C102: Curva del Dragone, iterazione 16. Alexis MonnerotDumaine, 2006; C103: www.paintermagazine.co.uk; C104 (a): Sashkin/Shutterstock; C104 (b): Giulia Laffi, 2004; E1: www.piper-verlag.de; E5: www.joedodgy.com.au.

ICONE DELLE COMPETENZE Le Linee guida per gli Istituti Tecnici e Professionali sottolineano alcune competenze importanti al cui raggiungimento concorre la matematica. Nel libro, abbiamo indicato con icone alcune sezioni che possono essere utilizzate per il raggiungimento di tali competenze. Di seguito indichiamo, per ogni icona, la competenza associata. Utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative.

METODI

Utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici per affrontare situazioni problematiche, elaborando opportune soluzioni.

PROBLEMI

Utilizzare i concetti e i modelli delle scienze sperimentali per investigare fenomeni sociali e naturali e per interpretare dati.

MODELLI

Utilizzare le reti e gli strumenti informatici nelle attività di studio, ricerca e approfondimento disciplinare. STRUMENTI

STORIA

Correlare la conoscenza storica generale agli sviluppi delle scienze, delle tecnologie e delle tecniche negli specifici campi professionali di riferimento.

VIII

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

Idee per il tuo futuro CHE COSA FARÒ DA GRANDE

www.ideeperiltuofuturo.it

Sei alla fine del tuo percorso scolastico. Che cosa fare adesso? Iscriversi a un corso universitario? Fare uno stage o un corso professionalizzante? Cercare di entrare subito nel mondo del lavoro? Studiare e al contempo lavorare? Per aiutarti nella scelta ti proponiamo alcuni dati relativi al 2009-2011. È impossibile dire come saranno le cose tra qualche anno, i tempi recenti ci hanno abituati a cambiamenti anche repentini. La laurea “paga”. Una recente ricerca Isfol 1 ha mostrato che chi è laureato ha più possibilità di trovare un’occupazione e in media riceve uno stipendio più alto rispetto a chi possiede soltanto un diploma. Dal momento che i diplomati entrano nel mondo del lavoro prima dei laureati, inizialmente il tasso di occupazione per i primi è superiore rispetto a quello dei secondi, ma già prima del compimento dei 30 anni chi possiede una laurea ha più possibilità di trovare lavoro, per arrivare nella fascia 34-44 anni, dove il tasso di occupazione dei laureati supera del 7% quello dei diplomati. In media tra 25 e 64 anni è occupato il 73,1% dei diplomati e il 79,2% dei laureati. Secondo uno studio OCSE del 2011 i giovani laureati subiscono di più gli effetti della recente crisi economica rispetto ai loro coetanei con istruzione secondaria inferiore2. Quali lauree valgono un lavoro? Le lauree “brevi” servono? Le lauree triennali si rivelano molto utili ai fini dell’occupazione: a un anno dal termine degli studi il 42,1% dei laureati triennali lavora, con picchi dell’81,7% per le professioni sanitarie. Tirocini e stages sono determinanti per formare e inserire questi laureati nel mondo del lavoro. I tassi di occupazione più alti si hanno tra i medici, seguiti dai laureati in chimica farmaceutica e ingegneria. In generale sono le discipline di tipo scientifico – sia a livello di diploma sia a livello di laurea – le più spendibili nel mondo del lavoro, mentre le discipline umanistiche condannano a una difficile collocazione sul mercato, anche a fronte di un eccesso di offerta di laureati in questi ambiti. A Nord c’è più lavoro, ma… A livello nazionale il tasso di disoccupazione è 7,8%, che sale a 27,4% se si considerano solo i giovani (15-24 anni): più alto al Sud (39,2%), meno al Centro (25,3%), più basso al Nord (19,0%). La situazione per le ragazze è più critica: il tasso della disoccupazione femminile, nella fascia 15-24 anni, supera di circa 8 punti percentuali quello maschile (32,3% per le donne, 23,9% per gli uomini), forbice che si mantiene simile nelle diverse zone geografiche: al Nord il tasso è 22,7% per le donne e 16,4% per gli uomini; al Centro è 34,8% per le donne e 18,7% per gli uomini e a Sud è di 44,0% per le donne e 36,0% per gli uomini. Tuttavia i dati della disoccupazione giovanile non devono scoraggiare chi cerca lavoro: se la disoccupazione giovanile è del 27,4%, vuol dire che una parte non piccola dei giovani che hanno cercato lavoro (il 72,6%) lo ha trovato3. Inoltre i dati variano molto da luogo a luogo e anche all’interno di una stessa regione può esservi una grande varietà di situazioni. L’Emilia-Romagna è tra le regioni in cui la disoccupazione giovanile incide meno, ma con grandi differenze tra le province: se Bologna nel 2010 raggiunge un tasso di disoccupazione di 29,2%, a Piacenza il valore è più che dimezzato (13,6%)4.

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1 Tutti i dati sono tratti da una ricerca Isfol con dati relativi al 2010, (l’Isfol, Istituto per lo Sviluppo della Formazione Professionale dei Lavoratori è un ente pubblico di ricerca), e ISTAT del II Trimestre 2011. 2 Rapporto OCSE Education at a Glance 2011. 3 Dati ISTAT del II Trimestre 2011. 4 Dati Confartigianato Imprese EmiliaRomagna, 2010.

IX

COME FUNZIONA L’UNIVERSITÀ L’Università italiana offre corsi di studio organizzati in tre cicli:

POSSO ISCRIVERMI ALL’UNIVERSITÀ? Per iscriversi all’Università è necessario il diploma di maturità quinquennale oppure quello quadriennale con un anno integrativo o, in alternativa, un obbligo formativo aggiuntivo da assolvere durante il primo anno di corso.

Quanto costa l’Università? www. ideeperiltuofuturo.it

Il mio diploma è riconosciuto in Europa? http://www.enicnaric.net/

Vorrei studiare negli USA www. ideeperiltuofuturo.it

laurea, di durata triennale (180 crediti formativi in un massimo di 20 esami), al termine della quale si consegue il titolo di Dottore; ad esempio laurea in Tecniche di radiologia medica o in Scienze del comportamento e delle relazioni sociali. Laurea magistrale, di durata biennale (120 crediti in un massimo di 12 esami), al termine della quale si consegue il titolo di Dottore magistrale; ad esempio laurea in Biotecnologie mediche o in Psicologia clinica. Dottorato di ricerca e Scuola di specializzazione. Esistono anche corsi di laurea magistrali a ciclo unico, della durata di 5 (300 crediti in un massimo di 30 esami) o 6 anni (360 crediti in un massimo di 36 esami); ad esempio Medicina e Chirurgia. Per approfondire gli studi si può accedere a master di 1° e di 2° livello e ai corsi di alta formazione. I crediti formativi universitari (CFU) misurano il carico di lavoro dello studente (1 CFU = 25 ore di impegno; 60 CFU = 1 anno di impegno universitario), compresi lo studio individuale ed eventuali esperienze di apprendistato5. Sono stati introdotti per facilitare il confronto tra i sistemi e i programmi di differenti corsi e Atenei italiani ed europei, e quindi il passaggio da un corso di studio a un altro, oppure da un’Università a un’altra, anche straniera: i CFU sono trasferibili in ECTS (European Credit Transfer and Accumulation System) e quindi riconosciuti nelle Università di tutta Europa. Tramite i CFU è possibile valutare ai fini della laurea anche esperienze quali stages e tirocini. Infine i CFU permettono di semplificare la determinazione dei piani di studio individuali (PSI) che ciascuno studente può modulare su se stesso. In alcuni casi è possibile personalizzare il proprio percorso di studi, inserendo nel piano degli esami da sostenere alcuni corsi non previsti dal piano di studi istituzionale. Quando si presenta il PSI bisogna rispettare il minimo di crediti obbligatori per ciascun ambito disciplinare previsti dal proprio corso di laurea. Vorrei studiare in Europa. I cittadini dell’Unione europea (UE) possono studiare, dalla scuola primaria al dottorato di ricerca, in uno dei paesi UE. Per facilitare questi scambi è stato creato Ploteus, il portale delle opportunità di apprendimento (www.europa.eu/ploteus): programmi di scambio, borse di studio, descrizioni dei sistemi di istruzione e apprendimento dei vari paesi europei, nonché indicazioni dei siti web degli istituti di istruzione superiore, i database dei corsi di formazione, le scuole... Attraverso Ploteus è possibile anche avere notizie pratiche, ad esempio su come raggiungere la località e dove alloggiare, sul costo della vita, le tasse, i servizi cui si può accedere.

5 Regolamento recante norme concernenti l’autonomia didattica degli atenei, Decreto Ministeriale 3 novembre 1999, n.509

X

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TEST DI AMMISSIONE L’accesso ad alcuni corsi di laurea è filtrato da una prova di ammissione, per iscriversi alla quale occorre versare un contributo: sono Medicina e Chirurgia, Odontoiatria e Protesi Dentaria, Medicina Veterinaria, le lauree a ciclo unico finalizzate alla formazione in altre Professioni Sanitarie e in Architettura. Le prove di ammissione comprendono 80 quesiti: una parte di cultura generale e ragionamento logico, una parte sulle materie caratterizzanti i diversi indirizzi universitari. Ad esempio, per essere ammessi a Medicina bisogna rispondere a 40 quesiti di cultura generale e ragionamento logico, 18 di biologia, 11 di chimica e 11 di fisica e matematica. Il tempo a disposizione è di 2 ore (15 minuti in più per Architettura); ogni risposta corretta fa guadagnare 1 punto, le risposte sbagliate fanno perdere 0,25 punti, mentre le risposte non date valgono 0. Altre facoltà come Ingegneria, Economia e Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali hanno una prova d’ingresso che può essere orientativa («sono pronto ad affrontare questa facoltà?») o richiedere il superamento di un punteggio minimo; in alcuni casi, lo studente che non la superi può avere dei debiti formativi da recuperare entro il primo anno dall’immatricolazione. Se in una sede universitaria il numero di posti disponibili è minore del numero degli iscritti, il test può diventare selettivo. Nel caso del test d’ingresso a Ingegneria, circa un terzo dei quesiti a risposta chiusa è di matematica. Gli argomenti presenti sono: aritmetica, algebra, logica, probabilità e statistica, geometria euclidea, geometria analitica, funzioni, trigonometria. L’analisi non è prevista. Esistono poi delle prove anticipate di verifica delle conoscenze per gli studenti degli ultimi anni delle superiori, che hanno così l’opportunità di avere dei crediti nel momento dell’accesso all’università nelle materie scientifiche. Puoi metterti alla prova risolvendo i quesiti proposti.

Qui trovi tante informazioni in più e le prove assegnate negli ultimi anni http:// accessoprogrammato. miur.it

Qui trovi tante informazioni in più e degli esempi di test www.cisiaonline.it

Per saperne di più www.progetto laureescientifiche.eu www.testingresso scienze.org

Ingegneria

01

In un piano cartesiano, quale dei seguenti punti è interno al triangolo racchiuso tra le tre rette r1 : y = 0 , r2 : y = 2x , r3 : y = - x + 7 ?

a

d

b

e

P = (3;5) P = (4;4) c P = (1; -3)

P = (3;3) P = (-3;2)

03 a

A parità di tutte le altre condizioni (materiale, rugosità, stato di pulizia, etc.) serve meno quantità di pittura per tinteggiare:

a

un cono (circolare retto) di altezza 1 metro e base di raggio 1 metro. una sfera di raggio 1 metro. un cubo di lato 1 metro. una piramide avente tutte le facce che sono triangoli equilateri (tetraedro) di lato 1 metro. un cilindro (circolare retto) di raggio 1 metro e di altezza 1 metro.

b

(Prova di ammissione 2007)

b

(Prova di ammissione 2007)

02

L’equazione senx = - x:

ammette infinite soluzioni. se h 2 0 è una soluzione, allora anche x = h + r lo è. c non ammette soluzioni.

d e

ammette soltanto una soluzione. ammette esattamente due soluzioni. (Prova di ammissione 2007)

c d e

04 a

Il resto della divisione del polinomio 2x3 - 3x + 2 per il polinomio x - 2 è: 8.

b -1.

c 12.

d -8.

e -12.

(Prova di ammissione 2007)

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XI

DOVE SI STUDIA LA MATEMATICA La matematica non si studia solo nel corso di laurea in Matematica, ma la puoi trovare anche a: Ingegneria,

Chimica Industriale,

Economia,

Architettura,

Scienze Statistiche,

Farmacia,

Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Agraria,

(ad esempio nei corsi

Scienze della Formazione.

di Astronomia, Informatica, Scienze Biologiche),

Puoi metterti alla prova risolvendo gli esercizi proposti.

01

Disegna il grafico della funzione definita da r y = 2 sena 2 x - k . 6

04

1 f ^x h = * a arctan x + b sen 2x

(Esame di Matematica, Corso di laurea specialistica in Farmacia, Università Sapienza di Roma, 2007)

02

per x 1 0 per x $ 0

risulta: (i) continua nell’origine; (ii) derivabile nell’origine.

Un investimento mi ha fruttato il 5% di interessi. Decido di spendere il 30% di questi interessi per comprare un computer del valore di 300 euro. A quanto ammonta il mio investimento? (Esame di Matematica, Corso di laurea in Scienze Biologiche, Università di Pisa, 2011)

Stabilire per quali valori di a e b la funzione

(Esame di Analisi Matematica 1, Corso di laurea in Matematica (e Fisica), Università di Milano-Bicocca, 2003) :(i) b = r a; (ii) a = - 2, b = - rD 2

05

[200 000 euro]

Dopo aver determinato il campo di esistenza della funzione f ( x) = arctan( 1 - x 2 ) , trovarne massimi e minimi relativi e assoluti.

03

(Esame di Istituzioni di Matematica 1, Corso di laurea in Scienze Ambientali, Università di Bologna-Ravenna, 2004)

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: f (x) =

1 + x 6 e-x ,

[ x = 0 p.to max assoluto;

g (x) = - 2x 4 + 3 x ln x ,

x = - 1 e x = 1 p.ti min assoluti]

h (x) = x sen x .

(Esame di Istituzioni di Matematica, Corso di laurea in Biologia, Università di Milano-Bicocca, 2003) x5 e- x ^6 - x h

; 2 ^ 1 + x6h e- x g l^ x h = - 8x3+ 3ln x + 3;

sen x l hl^ x h = x senx bcos x ln x+ x

XII

Calcolare il seguente integrale:

yln2

ln3

1 ln( e 2t - 1) dt et

(si consiglia la sostituzione x = et ).

[

[

f l^ x h =

06

(Esame di Istituzioni di Matematica 1, Corso di laurea in Scienze Ambientali, Università di Bologna-Ravenna, 2004) :ln b 3 4

3 lD

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VERSO IL LAVORO Vorresti trovare lavoro? Nelle pagine che seguono trovi informazioni su come e dove cercare lavoro, cos’è lo stage, come scrivere un curriculum e una lettera di accompagnamento, come sostenere un colloquio. Sul sito www.ideeperiltuofuturo.it trovi tante informazioni utili e dettagliate in più per aiutarti nella tua ricerca in Italia e all’estero: i centri per l’impiego e i Career days, siti internazionali, una panoramica dei contratti di lavoro e altro ancora.

Vuoi cercare lavoro all’estero? www. ideeperiltuofuturo.it

La ricerca di lavoro in Italia. Per mettere in contatto domanda e offerta di lavoro esistono in Italia numerosi soggetti, sia pubblici sia privati, autorizzati dallo Stato a svolgere servizi di intermediazione e collocamento. Sono i Centri per l’impiego (CIP), le Agenzie per il lavoro, la Borsa continua nazionale del lavoro (BCNL) e il portale «Cliclavoro». Anche le scuole secondarie di secondo grado, le Università, i comuni, le associazioni dei datori di lavoro e dei lavoratori, i patronati, i gestori di siti internet possono svolgere attività di intermediazione, purché non abbiano fini di lucro. Cercare lavoro tra le pagine dei giornali. Un canale tradizionale ma sempre valido per chi cerca annunci di lavoro è rappresentato da supplementi e inserti delle maggiori testate a diffusione nazionale e dai giornali specializzati; ne segnaliamo alcuni fra i principali: il supplemento «Tutto Lavoro» del lunedì de «La Stampa»; le pagine dedicate al lavoro il giovedì da «la Repubblica»; il supplemento «Corriere lavoro», con la sezione «Trovo Lavoro», del «Corriere del la Sera» del venerdì; il supplemento «Carriere&Lavoro» de «Il Sole 24 ore» del venerdì tocca temati che relative al nuovo mercato del lavoro attraverso inchieste e dossier, e fornisce strumenti e notizie utili per cambiare mestiere e migliorare la propria carriera. Fra i giornali specializzati: il settimanale «Trova Lavoro» con annunci dall’Italia e dall’estero e una selezione dei concorsi tratti dalla Gazzetta Ufficiale; «Walk on Job» , un bimestrale distribuito gratuitamente in 41 città italiane, che dà spazio al mondo del lavoro e della formazione, con inchieste, interviste, notizie e opportunità prima e dopo la laurea; il mensile «Bollettino del Lavoro». Cercare lavoro online. Accanto alla versione cartacea dei supplementi dei giornali, si trova anche la versione online, col vantaggio di consentire un aggiornamento continuo degli annunci, l’inserimento immediato del proprio curriculum in apposite banche dati, di inviare direttamente la propria candidatura in risposta alle offerte di lavoro, di ricevere gli annunci sulla propria e-mail. Tra le versioni online segnaliamo «Job24» de «Il Sole 24 ore» e «MioJob» de «la Repubblica». Tra i più importanti (e seri) siti per la ricerca di lavoro indichiamo Monster (www.monster.it) e Infojobs (www.infojobs.it). Da consultare è anche il sito www.concorsi.it, che informa sui concorsi pubblici banditi in Italia. Per quanto riguarda i social network professionali si segnalano Linkedin (www.linkedin.com) e Xing (www.xing. com) che, oltre a funzionalità come “find job” offrono la possibilità di entrare a far parte di gruppi di discussione utili alla crescita professionale.

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LA TOP TEN DEI LAVORI IN ITALIA Non hai un’idea precisa di cosa vorresti fare? Alcune figure professionali sono molto ricercate in Italia, ecco la top ten dei profili lavorativi più ricercati in Italia nel 2011, secondo il quotidiano “Il Sole 24 Ore”. 1) Farmacista 2) Progettista settore metalmeccanico 3) Infermiere 4) Addetto consulenza fiscale 5) Sviluppatore software 6) Progettista meccanico 7) Educatore professionale 8) Addetto logistica 9) Disegnatore tecnico Cad-Cam 10) Fisioterapista (Fonte: Union CamereExcelsior 2011)

XIII

CURRICULUM VITAE E LETTERA DI ACCOMPAGNAMENTO

Scarica il CV Europass www.europassitalia.it

Il Curriculum Vitae. Quando si è alla ricerca di un lavoro, prima o poi arriva il momento di inviare (per posta ordinaria o per e-mail) il proprio Curriculum Vitae (CV) e una lettera di accompagnamento alle aziende per le quali si desidera lavorare, sperando di essere chiamati per un colloquio. Il CV è la carta di identità professionale del candidato e deve indicare l’iter formativo, le conoscenze e le competenze di chi si propone per ottenere un impiego. Si comincia sempre dai dati anagrafici, per un’inquadratura iniziale, e dai contatti (indirizzo, numero di telefono, cellulare, e-mail...), per poi passare in rassegna le precedenti esperienze lavorative e le varie tappe della propria istruzione/formazione, dalla più recente alla più lontana nel tempo. Altre informazioni indispensabili riguardano la padronanza di una o più lingue straniere e le competenze tecniche; conviene anche mettere in rilievo le capacità relazionali e organizzative, se si posseggono. Per quanto riguarda altre informazioni personali, è meglio inserire solo quelle che possono essere apprezzate dalla specifica azienda cui è indirizzato il CV. Infine, non bisogna mai dimenticare di autorizzare il trattamento dei dati personali, facendo riferimento al d. lg. 196/2003. Un CV efficace sarà completo, chiaro e soprattutto breve (due pagine di solito sono sufficienti): bisogna tenere conto che chi lo legge è abituato a valutarne decine tutti i giorni e apprezzerà il fatto di trovare subito le informazioni che gli interessano. Meglio selezionare solo le aziende che più si avvicinano al proprio profilo professionale e scrivere per ciascuna una lettera di accompagnamento mirata. I portali che si occupano di selezione del personale solitamente danno la possibilità di compilare CV online, secondo modelli prestabiliti; oppure si può preparare da soli il CV e poi caricarlo sul sito su cui ci si vuole proporre. La L lettera di accompagnamento (o cover letter ) va preparata con molta t attenzione perché serve a convincere il selezionatore a prendere in considerazione l’offerta di lavoro e quindi a esaminare il CV. La forma deve essere curata e corretta, per dimostrare un buon livello di istruzione. La lettera di accompagnamento è una e-mail (o una lettera) dalla quale devono emergere in maniera sintetica (dieci righe al massimo) le motivazioni del candidato, le competenze, i titoli, le esperienze che rendono la persona adatta per quel posto di lavoro. Sintetici sì, ma non vaghi o generici: l’impegno nello scrivere la lettera sta proprio nel risultare sinceri, con le idee chiare ma anche aperti a varie possibilità. La lettera deve far capire che si conosce, anche se dal di fuori, l’azienda e che se ne comprendono le necessità. Per f avere queste informazioni è necessario visitarne il sito internet ma anche, ad esempio, cercare e, se si può, sperimentare i prodotti di quell’azienda. In questo modo sarà più facile mettersi dal punto di vista dell’azienda stessa, p ccapire quali competenze potrebbero essere utili e puntare su quelle.

XIV

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CURRICULUM VITAE E LETTERA DI ACCOMPAGNAMENTO

Le possibilità di essere valutati crescono se la busta che contiene lettera e CV, o l’email, è indirizzata al direttore del settore nel quale vorremmo lavorare e non genericamente all’impresa o, ad esempio, all’ufficio delle risorse umane. In questo caso bisogna fare accurati controlli per essere certi di scrivere correttamente il nome, il titolo di studio, la posizione che ricopre la persona a cui indirizziamo la lettera ed essere sicuri che effettivamente lavori ancora lì.

Una lettera di accompagnamento. Carla è diplomata in Servizi per l’agricoltura e lo sviluppo rurale. Ha sfruttato un periodo di lavoro part-time in un call center per avere il tempo di cercare un corso di formazione che faccia al caso suo. Dopo ha frequentato un corso della Regione di 180 ore in Sicurezza alimentare. Nel frattempo visita i siti di varie aziende della zona in cui abita e ne individua alcune cui decide di inviare il CV. [email protected] La ditta dove vorrebbe lavorare è “La a Mozzarella”, che produce latte e derivaOfferta di collaborazione ti. Nel sito si insiste sulla qualità dei prodotti unita al rispetto dell’ambiente. Egr. dott. Biancolatte, A chi vuole lavorare per “La Mozho frequentato l’Istituto professionale per i Servizi per l’agricoltura e lo sviluppo rurale di A… diplomandomi con 96/100. Di recente ho seguito un corso di specializzazione zarella” è richiesta personalità, grinta a della Regione B… in Sicurezza alimentare, che verteva sulle moderne tecniche di analisi e condivisione dei valori dell’azienda. degli alimenti. Con una telefonata Carla verifica che il Il vostro nome, che conosco sin da piccola, per me è sinonimo di serietà e af¿dabilità responsabile della sicurezza alimentare e condivido l’obiettivo di puntare sulla qualità e la sostenibilità della produzione e sul rispetto per l’ambiente; mi è sempre piaciuta l’idea di lavorare nell’area della è il dott. Biancolatte. produzione e del controllo alimentare, e in particolare nella produzione dei latticini Ecco la lettera di accompagnamento che apprezzo molto, pertanto vi chiedo gentilmente di informarmi riguardo alla vostra scritta da Carla. disponibilità. Le porgo i miei più cordiali saluti, Carla Bianchi

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XV

IL COLLOQUIO E LO STAGE

E se mi fanno una domanda assurda? www. ideeperiltuofuturo.it

Il colloquio. La strategia per la buona riuscita di un colloquio di lavoro comincia nel momento in cui si viene contattati. Innanzitutto è importante rispondere subito e con gentilezza alla convocazione (che sia arrivata per telefono, lettera o e-mail) e presentarsi puntuali all’appuntamento. Per evitare ritardi, conviene informarsi bene su come raggiungere la sede del colloquio e partire con largo anticipo, così da non arrivare trafelati all’incontro. Il successo di un colloquio dipende anche da una serie di informazioni che sarà stato possibile raccogliere sull’azienda e utilizzare a proprio vantaggio. Ad esempio, per decidere quale sia l’abbigliamento più adatto, uno sguardo allo stile dell’azienda è consigliato. Basterà poi adattare questo stile al proprio e alla posizione alla quale si aspira. Se, ad esempio, cerchiamo lavoro in banca potrebbe essere una buona idea non mettere i jeans, se si tratta di un’azienda di grafica che ha uno stile giovane e casual i jeans andranno benissimo. Conoscere l’azienda per la quale si desidera lavorare è importante anche per mostrare in maniera mirata le competenze di cui si dispone, nonché interesse e sintonia con quella specifica linea imprenditoriale. Quando ci si trova di fronte alla persona incaricata della selezione bisogna mostrarsi sicuri e determinati senza essere spavaldi o sbruffoni. Non conviene mentire a proposito delle esperienze lavorative precedenti o essere disonesti riguardo alle proprie capacità: prima o poi si verrà scoperti, magari nel momento meno opportuno... È invece importante mostrarsi positivi, disponibili a imparare e a risolvere problemi. I reclutatori rivolgono al candidato una serie di domande, a volte prevedibili, che possono riguardare la sfera personale (ad esempio: “Da quanto tempo cerca lavoro?”...) o la sfera professionale: sia sulle esperienze passate (ad esempio: “Mi parli del suo curriculum”, “Perché ha scelto proprio quel corso di studi?”...), sia sul lavoro per cui si è a colloquio (ad esempio: “Cosa sa della nostra azienda?”, o anche “Perché dovremmo assumerla?”). Alcune aziende preparano un colloquio di gruppo, per osservare in che modo i candidati interagiscono tra loro, collaborano, affrontano alcune situazioni critiche che simulano quelle reali. In questi casi il consiglio è di non essere eccessivi: la cosa migliore è mostrare senso pratico e capacità di mediare e partecipare o guidare il gruppo verso la soluzione del problema. Lo stage (tirocinio formativo o internship). Si tratta di un’esperienza professionale utile per chi si avvicina al mondo del lavoro per la prima volta, per accrescere le proprie competenze e arricchire il Curriculum Vitae, anche perché è difficile trovare un impiego senza avere precedenti esperienze. Lo stage non rientra nelle tipologie di lavoro subordinato poiché è obbligatoria per il tirocinante solo un’assicurazione in caso di infortunio (e non lo stipendio). Per quantificare l’utilità dello stage è stato creato il sistema dei crediti formativi, ossia un punteggio che il giovane studente guadagna nel corso del suo tirocinio e che può spendere ai fini formativi: di diploma, per gli studenti del quinto anno di scuola media superiore; di esame o di laurea, per gli universitari. Un’esperienza di stage può anche arrivare a sostituire un esame universitario: è sufficiente certificare che l’esperienza svolta durante lo stage va a integrare le conoscenze acquisite nell’arco degli studi, completandole e arricchendole.

XVI

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Modelli di crescita e caos

?

Può una formula matematica nascondere una situazione caotica?

Quanti batteri?

S

iamo in un laboratorio di biologia e stiamo coltivando una colonia di batteri. Come varia il numero di batteri al passare del tempo? Per costruire un modello che risponda alla domanda, facciamo l’ipotesi semplificatrice che il tasso netto di crescita della popolazione batterica sia costante e positivo. Un modello di questo tipo è detto malthusiano. In tal caso, la variazione Dn del numero di batteri nel tempo Dt è direttamente proporzionale al numero n di batteri presenti, con costante di proporzionalità il tasso netto k di crescita: Dn = kn, con k costante. Dt Il tasso netto di crescita è la differenza tra il tasso di natalità e quello di mortalità.

Fissato un intervallo di tempo Dt costante, determiniamo il numero di batteri dopo 1, 2, 3… intervalli Dt dall’istante iniziale. Possiamo così «contare» anche il tempo e il numero di batteri con i numeri naturali, cioè in modo discreto. Così nella formula precedente Dt = 1; chiamato nt il numero di batteri all’istante t, abbiamo nt+1 - nt = knt " nt+1 = nt + knt " nt+1 = (1 + k) nt e, se conosciamo n0, possiamo trovare la successione n1, n2, n3, … La successione del numero dei batteri è ottenuta in modo ricorsivo, ossia fornendo il primo termine e la legge che dato un termine fornisce il suo successivo.

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XVII

Modelli di crescita e caos Attività Per studiare il modello malthusiano, in un foglio elettronico inserisci: nella cella A1 l’etichetta tempo e in B1 l’etichetta popolazione; in E2 il numero n0 di batteri presenti all’istante iniziale; in F2 il valore di k; in A2 il numero 0 e in A3 la formula A21, da copiare fino a A22; in B2 la formula E2 e in B3 la formula (1$F$2)*B2, copiandola fino alla cella B42. Rappresenta graficamente i dati relativi alle due colonne ottenute. Per ottenere il grafico della figura, abbiamo considerato n0 = 1000 e k = 0,5. La crescita è di tipo esponenziale: alla ventesima osservazione il numero di batteri ha già superato i 3 000 000. Modificando i parametri contenuti nelle celle E2 e F2 ottieni altre successioni e quindi simulazioni di crescita di diverse popolazioni.

● Risorse limitate L’ipotesi che è alla base del modello di crescita malthusiana può aver senso fin quando il numero di individui di una popolazione è piccolo rispetto alle risorse messe a disposizione dall’ambiente. Una popolazione di batteri può però raggiungere dimensioni tali da far sì che fattori limitanti, come per esempio la scarsità di sostanze nutritive nell’ambiente circostante, non possano essere più trascurate. Modifichiamo allora il nostro modello, avanzando l’ipotesi, più realistica, che il sovraffollamento dia luogo a carenze di cibo e spazio vitali, tali da provocare un aumento delle morti proporzionale al numero di individui presenti. Detto m il tasso di mortalità e n il numero di individui presenti, abbiamo: m = p $ n, con p costante. Ricordando che k è la differenza tra il tasso di natalità (che indicheremo con r) e quello di mortalità m = p $ n, la legge di formazione di nt+1 diventa: nt+1 = (1 + k)nt " nt+1 = (1 + r - p $ nt)nt " nt+1 = (1 + r )nt - p $ nt2 Il modello di crescita che si ottiene, detto di crescita logistica, fu proposto dal biologo e matematico belga Pierre Verhulst nel 1837.

Attività Per studiare il modello logistico, costruisci un foglio elettronico analogo a quello dell’Attività precedente, ma in F2 inserisci il valore di r, in G2 quello di p e in B3 la formula (1+$F$2)*B2-$G$2*B2^2. Per ottenere il grafico della figura, abbiamo posto: n0 = 10, r = 0,8, p = 0,006. La curva ha un andamento «a S» e si stabilizza piuttosto velocemente sul valore di 133 individui.

XVIII

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● Se il modello è continuo Finora abbiamo ragionato pensando sia il tempo sia il numero di batteri come variabili discrete. Ma se il numero n0 di batteri inizialmente presenti è molto grande, possiamo sostituire la variabile discreta n con la variabile continua x, scrivendo l’equazione differenziale: dx = kx , dt dx è la derivata della funzione x = x(t). Se la condizione iniziale è in cui dt x(0) = n0 e k è costante, con gli strumenti che imparerai a usare in questo anno di studio sarai in grado di trovare la soluzione: kt

x(t) = n0 $ e , una funzione esponenziale il cui andamento ricalca pienamente quello del grafico che abbiamo ottenuto per il modello (discreto) malthusiano. Se il modello è logistico, la funzione continua è più complessa e il suo andamento r dipende dal rapporto , legato alla potenzialità riproduttiva della popolazione e p alle cause che ne determinano la mortalità all’aumentare del numero di individui. r Riportiamo il grafico nel caso in cui 2 2n0 . Puoi osservare che, all’aumentare p r del tempo, la curva tende a coincidere con la retta di equazione y = . p Anche in questo caso, c’è corrispondenza con i risultati che abbiamo ottenuto nel modello discreto logistico. In particolare, 133 è proprio il numero naturale che 0, 8 r = = 133, 33... meglio approssima il rapporto fra r e p: p 0, 006

modello logistico continuo batteri r y = p–

tempo

O

● Piccole variazioni, strani cambiamenti Se esaminassimo più a fondo il modello continuo di crescita logistica, potremmo osservare che l’evoluzione del numero di individui della popolazione sarebbe sempre caratterizzata da un valore asintotico ben preciso anche quando la condir zione 2 2n0 non è soddisfatta. p Ci aspetteremmo qualcosa di simile anche nel discreto, ma le cose non stanno così.

Attività Nel foglio che hai costruito per il modello logistico discreto fai alcune prove facendo variare il valore di r tra 1 e 3, aumentando anche il numero di osservazioni, per esempio copiando le formule fino alle celle A102 e B102. Qui di seguito abbiamo riportato le figure che si ottengono rispettivamente per r = 2; r = 2,5; r = 2,9; r = 3.

Notiamo che fino a determinati valori di r è possibile individuare regolarità significative, ma al tendere di r a 3, l’evoluzione della popolazione è sempre più caotica.

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XIX

Modelli di crescita e caos ● Caos deterministico Nell’attività precedente, abbiamo osservato che: ● per variazioni molto piccole di un parametro, si sono ottenuti cambiamenti molto grandi dei risultati; ● un’equazione, con caratteristiche di non linearità ma comunque ben determinata e non necessariamente complicata, può generare dei risultati con caratteristiche di disordine. In casi simili si è soliti parlare di caos deterministico. La ricerca matematica in questo campo si basa sull’ipotesi che se da un lato i comportamenti caotici di certi fenomeni pongono limitazioni evidenti alla loro prevedibilità, dall’altro fenomeni complessi e apparentemente disordinati, come l’andamento delle azioni in Borsa o il tempo meteorologico, potrebbero essere descritti da leggi deterministiche.

Farfalle e tornadi

U

n sistema caotico è caratterizzato dalla proprietà di avere un’evoluzione particolarmente sensibile alla variazione dei valori dei suoi parametri significativi: due sistemi caotici che partono da condizioni iniziali che differiscono anche di pochissimo possono evolvere in modo completamente diverso. Il metereologo e matematico Edward Lorenz diede di questo fatto un’immagine suggestiva. Il titolo di una sua conferenza del 1972 suonava così: «Il battito di ali di una farfalla in Brasile può essere causa di un tornado in Texas?». Da allora, per i fenomeni caotici, si parla anche di effetto farfalla e la metafora è sfruttata nei giornali, nei libri e nei film.

Attività Caos deterministico e modelli dinamici. Affronta questo tema con una breve presentazione multimediale.

Da leggere: ● ● ● ●

Gian Italo Bischi e altri, Sulle orme del caos, Bruno Mondadori, Milano, 2004. Ian Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri, Torino, 2010. James Gleick, Caos, Rizzoli, Milano, 2000. Angelo Vulpiani, Determinismo e caos, Carocci, Roma, 2004.

Cerca nel Web: caos deterministico, modelli dinamici discreti, effetto farfalla

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LA MATEMATICA INDISPENSABILE

TEST

LA MATEMATICA INDISPENSABILE anche per entrare all’Università Dati, informazioni e consigli sull’Università e il mondo del lavoro nel sito: www.ideeperiltuofuturo.it 1

La derivata della funzione f (x) = 5x + 2 ln x (con ln logaritmo in base e) è: 2 A 5 + 2x . . D 5+ x 2 . B E nessuna delle risposte x precedenti. 2 C 5 + b l ln x . x

5

A B C D

(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 1997) 2

La funzione y = Ax B , con A e B numeri positivi, è equivalente alla funzione: A y = AB log x . ln (x) . B y= AB 1 C y = AB ln b l . x D log y = log A + log x + log B . E nessuna delle risposte precedenti è corretta. (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 1997)

3

E

(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 2002) 6

7

Quale delle seguenti affermazioni è sbagliata? A Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa. B Una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine. C Una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse delle y. D Alcune relazioni sono funzioni. E La funzione logaritmica è iniettiva.

Il treno che effettua l’ultima corsa della metropolitana è costituito da tre vagoni e trasporta in tutto tre passeggeri. Se i passeggeri hanno scelto il proprio vagone in maniera del tutto casuale, con quale probabilità nessuno dei vagoni è vuoto? 2 1 1 1 1 A B C D E 9 4 3 2 9 (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 1999)

In una classe 10 ragazzi praticano il calcio, 10 la pallacanestro e 10 il nuoto. Si sa che un solo ragazzo pratica i tre sport, mentre tutti gli altri ne praticano uno solo. Da quanti ragazzi è formata la classe? A 30 B 29 C 28 D 27 E 32 (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 1999)

(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 2001) 4

x2 + y2 + a = 0 con a, b ! R x-y = b ha sempre due soluzioni. ha infinite soluzioni per ogni valore di a e di b. ha soluzioni solo se a e b sono positivi. ha soluzioni solo se a e b sono negativi. può avere soluzioni se a è negativo.

Il sistema )

Trovare l’affermazione che nega il seguente enunciato: «Ogni numero pari più grande di 2 è somma di due numeri primi». A I numeri dispari non sono somma di due primi. B Ci sono numeri dispari che non sono somma di due numeri primi. C Sommando due numeri composti, non si ottengono numeri pari. D Sommando due numeri primi, non sempre si ottiene un numero pari. E Esiste un numero pari maggiore di 2 che non si può scrivere come somma di due numeri primi. (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 1999)

8

Data f (x) =

x + 3x - 1 , f (2x) vale:

2 x + 6x - 1 . 2 x + 6x - 2 . x + 3x - 1 . C 2

A

D

B

E

2x + 3x - 1 . 2 2 x + 6x - 1 .

(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 2004)

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XXI

TEST

LA MATEMATICA INDISPENSABILE

9

Data la funzione y = x 4 - x2 - 1, si può affermare che: A la variabile indipendente è y. B la funzione è fratta. C la funzione è intera e di sesto grado. D la funzione è intera e di quarto grado. E y = (x 2 - 1) 2 .

14

A

B

Si consideri una corona circolare di raggio R esterno R e raggio interno r = , e sia A la sua 3 area. Se il raggio esterno rimane invariato e il raggio interno raddoppia, l’area della corrispondente corona circolare è uguale a: 5A 3A . . A D 8 8 3A A . . B E 4 4 A . C 2 Se la diagonale di un quadrato è uguale al diametro di un cerchio, dividendo l’area del cerchio per l’area del quadrato si ottiene: r r . . A D 2 3 r . B E r. 3 r . C 2 1 L’equazione log 1 x = ha soluzione: 4 16 1 1 . A x =- . D x= 2 4 1 . B x = 4. E x= 2 C x = 2. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

13

Una sfera con raggio di 2 cm e un cilindro circolare retto con raggio di base di 2 cm hanno lo stesso volume. Allora l’altezza del cilindro è di: 8 cm. A 4 cm. D 3 2 cm. B E 6 cm. 3 4 cm. C 3 (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

XXII

h

A

O

h

h

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 2000) 15

1 l50 è uguale a: 2 25 1 1 25 A b l . D b l . 4 2 51 49 1 1 B b l . E b l . 2 2 50 1 C b l . 4

La metà di b

(Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2006) 16

(Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 2007) 12

E

h

A

O

(Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001) 11

A

O

h

A

O

C

D

A

O

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 1998) 10

Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h e con base costante, è dato da:

Qual è il più piccolo tra i seguenti numeri? 1 A 2- 10 C 10- 2 E 20 1 2 B D 2000 1000 (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2006)

17

Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la retta r di equazione 2x + 1 . y= -3 La retta passante per il punto di coordinate (1; 1) e perpendicolare a r ha equazione: 2x + 1 3x - 1 . . A y= D y= 3 2 2x - 5 3x + 1 . . B y= E y= -3 2 2x - 5 . C y= 3 (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

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LA MATEMATICA INDISPENSABILE

18

2x - 3 La funzione inversa di f (x) = è espresx sa dall’equazione: - 2y + 3 3 . . A x= D x= -y 2-y B

x=

y . 2y - 3

C

x=

3 - 2y . y

E

x=

3 . y-2

22

45 Due numeri hanno somma 7 e prodotto . 4 Quanto vale la somma dei loro quadrati? 53 53 37 A B C D 104 E 44 2 4 2 (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 2000)

23

Indicare tutti e soli i valori del parametro reale a per i quali il seguente sistema ammette soluzioni reali nelle incognite x e y.

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 2004)

* 19

Un triangolo rettangolo, avente cateti di lunghezza rispettivamente 1 cm e 2 cm, viene fatto ruotare di un giro completo una volta intorno al cateto minore, generando un cono C1, e una volta intorno al cateto maggiore, generando un altro cono C2. Quale delle seguenti affermazioni è esatta? A

Il volume di C1 è il doppio del volume di C2.

B

Il volume di C1 è la metà del volume di C2.

C

Il volume di C1 è il quadruplo del volume di C2.

D

Il volume di C1 è uguale al volume di C2.

E

Il volume di C1 è un quarto del volume di C2. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

20

x = arcsen y . 1 . B x= sen y C

D

x =- sen y .

E

x = sec y .

24

25

x =- arcsen y .

Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, quale delle seguenti è l’equazione di una circonferenza?

A

a$5

D

a25

B

a21

E

Ogni valore di a.

C

a$1

La curva di equazione y =fico contenuto nel: A

1° e 3° quadrante.

B

1° e 2° quadrante.

C

2° e 3° quadrante.

D

3° e 4° quadrante.

E

1° e 4° quadrante.

Quale fra gli insiemi seguenti rappresenta il 1 - ex dominio della funzione y = ? ln x A

Insieme dei numeri reali.

B

Insieme dei numeri razionali.

C D

?0; 15 , ?1; +35 . ?- 3; 05 .

E

Insieme vuoto.

(Test di Ingresso, Facoltà di Odontoiatria, MIUR 2002) 26

Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico simmetrico rispetto all’origine degli assi? 1 A y = x5 $ 3 3x 2 7 1 x - x5 $ 2 + B y= 5 6 C y = x 4 - 7x 2 + 1

A

x 2 + y 2 - 2xy - 1 = 0

B

(x - 1) 2 - (y - 2) 2 - 1 = 0

C

x2 + y2 + 1 = 0

D

4x2 - 3x + 4y 2 - 5y - 1 = 0

D

y=

x2 + x + 4

E

x4 + y4 - 1 = 0

E

y=

x2 + x + 4

(Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

7 +1 ha il grax

(Test di Ingresso, Facoltà di Odontoiatria, MIUR 2000)

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 2004) 21

2 x + y = a-1 x -3 y = 2

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 2008)

Data la funzione y = sen x ristretta all’intervalr r lo :- ; D , la funzione inversa è: 2 2 A

TEST

(Test di Ingresso, Facoltà di Odontoiatria, MIUR 2004)

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XXIII

TEST

LA MATEMATICA INDISPENSABILE

27

Essendo x e y due variabili reali, la funzione y= x -1 A B C D E

32

La funzione reale di variabile reale y = f (x) sia derivabile nel punto x0. Allora: A f(x) è continua in x0. B f(x0) è diversa da 0. C il limite per x che tende a x0 di f(x) è diverso da 0. D la tangente al grafico di f(x) nel punto x0 non è orizzontale. E nessuna delle precedenti risposte è corretta.

33

La funzione reale di variabile reale x2 - 1 y= x+1

non è definita per - 1 1 x 1 1. è definita solo per x $ 1. è definita solo per x # 1. è sempre definita e positiva. è positiva in ogni punto del suo dominio.

(Test di Ingresso, Facoltà di Odontoiatria, MIUR 2004) 28

29

L’equazione x 2 + 2x + 2 = 0 : A ammette due soluzioni reali distinte. B non ammette né soluzioni reali né soluzioni complesse. C ammette una sola soluzione reale. D ammette due soluzioni complesse coniugate. E ammette una soluzione reale e una soluzione complessa. Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, siano c e cl le due circonferenze di equazioni x2 + y2 = 9 e (x - 1) 2 + y 2 = 1, rispettivamente. Quante sono le rette tangenti comuni a c e cl ? A Due. D Nessuna. B Infinite. E Più di due, ma in numero finito. C Una.

A B C D E

34

31

La retta tangente al grafico della funzione y = 3x3 - 1 1 nel punto di ascissa x = ha pendenza 3 1 . A 3. B C 1. D - 1. E 0. 3 Se una funzione f(x) è definita e continua in tutti i punti di un intervallo chiuso [a; b], allora, per x appartenente ad [a; b]: A f(x) assume almeno una volta tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). B f(x) assume una sola volta tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). C f(x) non può assumere valori non compresi tra f(a) e f(b). D f(x) si annulla in almeno un punto dell’intervallo [a; b]. E nessuna delle risposte precedenti è corretta.

XXIV

Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, l’insieme delle soluzioni (x; y) del sistema

)

(Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 1999) 30

è definita per tutti i numeri reali. in x =- 1 ha un asintoto verticale. per x che tende a - 1 non ammette limite finito. per x che tende a - 1 ammette limite diverso da 0. per x che tende a + 3 tende a un limite finito.

xy 2 1 x=y

A

è formato da due soli punti.

B

è una retta.

C

è una coppia di semirette.

D

è una semiretta.

E

è un segmento. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

35

Se la derivata della funzione reale y = f(x) nel punto x0 è nulla, allora: A nel punto x0 la funzione f(x) ammette un massimo relativo. B nel punto x0 la funzione f(x) ammette un minimo relativo. C nel punto x0 la funzione f(x) è nulla. D nel punto x0 la funzione f(x) non può ammettere né un massimo né un minimo relativi. E nel punto x0 la tangente al grafico di f(x) è orizzontale.

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CAPITOLO

19

[numerazione araba]

[numerazione devanagari]

[numerazione cinese]

GLI INTEGRALI

MODELLI

LA TORRE EIFFEL È il simbolo di Parigi, uno dei monumenti più romantici e conosciuti del mondo. Fu costruita per l’Esposizione universale del 1889 in commemorazione del centenario della Rivoluzione francese. La sua struttura in ferro forgiato è alta 312 metri e fino al 1930 è stata la costruzione più alta del mondo.

Perché l’ingegnere Gustave Eiffel diede alla sua opera più famosa proprio quella forma?

La risposta a pag. 1393

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TEORIA

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

1. L’INTEGRALE INDEFINITO Le primitive Sappiamo che l’operazione di derivazione, quando è possibile, associa a una funzione un’altra funzione, la sua derivata, che è unica.

● Se F (x) = x2, allora

Fl(x) = f (x) = 2x.

Vogliamo ora affrontare il problema inverso della derivazione: data una funzione, esiste una funzione la cui derivata sia uguale alla funzione data? Per esempio, data f(x) = 2x, ci chiediamo se esiste una funzione F(x) la cui derivata è 2x. Una funzione di questo tipo viene detta primitiva di f(x). DEFINIZIONE

Primitiva di una funzione Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f (x) definita nell’intervallo [a; b ] se F(x) è derivabile in tutto [a; b ] e la sua derivata è f(x). La primitiva di una funzione non è unica. Poiché F(x) = x 2 ha come derivata 2x, 1 allora x 2 è una primitiva di 2x. Osserviamo però che anche x 2 + 1, x 2 - e in ge8 2 nerale x + c (con c costante reale) hanno come derivata 2x, quindi esistono infinite primitive di 2x.

y = x2 y = x2 + 1 1 y = x2  –– 8 ...

derivata

 Figura 1 Ogni funzione del tipo y = x 2 + c ha per derivata 2x, quindi è una primitiva di y = 2x.

y = 2x

y = x2 + c infinite primitive

In generale, se una funzione f (x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F (x) + c, con c numero reale qualunque. Infatti, poiché la derivata di una costante è nulla: D [F (x) + c] = F l(x) = f (x), 6c ! R . Viceversa, se due funzioni F (x) e G(x) sono primitive della stessa funzione f (x), allora le due funzioni differiscono per una costante, D [F (x) - G (x)] = F l(x) - Gl(x) = f (x) - f (x) = 0 , ● Per un corollario del teorema di Lagrange, se una funzione ha come derivata 0 in un intervallo, allora, in tale intervallo, è costante.

e perciò F(x) - G(x) = c. Concludiamo quindi che: se F(x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F(x) + c, con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x).

1354

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PARAGRAFO 1. L’INTEGRALE INDEFINITO

TEORIA

● Poiché tutte le primitive di una funzione f (x) sono funzioni del tipo F(x) + c, geometricamente sono rappresentate da infinite curve piane ottenute dal grafico di F(x) mediante una traslazione verticale di vettore v (0; c); a ogni g valore di c corrisponde una curva.  Figura 2 Funzioni i cui grafici sono

y c3 )+ F(x c 2 + ) F(x c 1 )+ ) x ( F F(x

O

x

traslati di un vettore del tipo (0; c). Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.

x

c1

L’integrale indefinito Riprendiamo l’esempio della funzione f (x) = 2x. Diamo all’insieme delle sue primitive x2 + c, con c numero reale qualunque, il nome di integrale indefinito di f(x) = 2x e usiamo questa scrittura:

y 2x dx = x2 + c . DEFINIZIONE

Integrale indefinito Si chiama integrale indefinito della funzione f(x ), e si indica con y f (x) dx, l’insieme di tutte le primitive F (x ) + c di f (x ), con c numero reale qualunque.

● Il simbolo

y f (x) dx si

legge «integrale indefinito di f (x) in dx».

f(x) dx = F(x) + c

● La primitiva F (x ) che si ottiene per c = 0 si chiama primitiva fondamentale.

D[F(x) + c] = f(x)

Nella scrittura y f (x) dx la funzione f(x) è detta funzione integranda e la variabile x variabile di integrazione. ESEMPIO

L’integrale indefinito di cos x è l’insieme delle primitive di cos x, cioè sen x + c. Scriviamo:



 Figura 3

cos x dx = sen x + c D[senx + c] = cosx

y cos x dx = sen x + c . ● Dalla definizione precedente, poiché

DF(x) = f (x), segue che D 9 y f (x) dx C = f (x) . Questo significa che l’integrazione indefinita agisce come operazione inversa della derivazione.

 Figura 4 L’integrazione

derivazione primitiva di f’(x)

f(x)

derivata

f’(x) di f(x)

di una funzione agisce come operazione inversa della derivazione.

integrazione

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1355

TEORIA

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Una funzione che ammette una primitiva (e quindi infinite primitive) si dice integrabile. Quali sono le funzioni integrabili? Si può dimostrare che è valido il seguente teorema. TEOREMA

● Sappiamo invece che non sempre una funzione continua è derivabile. Per esempio, ci sono funzioni continue con punti angolosi, e in tali punti non sono derivabili.

Condizione sufficiente di integrabilità Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso intervallo. Tuttavia, non è sempre facile determinare primitive anche di funzioni continue sen x abbastanza semplici. Per esempio, l’integrale y dx , con x ! 0 , non è calcox labile con i metodi che esamineremo in questo capitolo.

Le proprietà dell’integrale indefinito PROPRIETÀ

Prima proprietà di linearità L’integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni:

y 6 f (x) + g (x)@ dx = y f (x) dx + y g (x) dx . Infatti, se deriviamo entrambi i membri, otteniamo rispettivamente: D : y 6 f (x) + g (x)@ dx D = f (x) + g (x); D : y f (x) dx + y g (x) dx D = D : y f (x) dx D + D : y g (x) dx D = f (x) + g (x). I due membri hanno la stessa derivata, quindi rappresentano le primitive della stessa funzione. ESEMPIO

y (3x2 + cos x) dx = y 3x2 dx + y cos x dx = x3 + c1 + sen x + c2 . Si è soliti scrivere una sola costante c = c1 + c2, per non appesantire la notazione. Pertanto:

y (3x2 + cos x) dx = x3 + sen x + c . PROPRIETÀ

● Per brevità, useremo

spesso il termine «integrale» al posto di «integrale indefinito».

1356

Seconda proprietà di linearità L’integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:

y k $ f (x) dx = k $ y f (x) dx .

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PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

TEORIA

Infatti, se deriviamo entrambi i membri, otteniamo rispettivamente: D : y k $ f (x) dx D = k $ f (x); D :k $ y f (x) dx D = kD : y f (x) dx D = k $ f (x). I due membri hanno la stessa derivata, quindi rappresentano le primitive della stessa funzione. ESEMPIO

y 4 cos x dx = 4 $ y cos x dx = 4 sen x + c . ● Le proprietà di linearità si possono esprimere in un’unica formula:

y[c1 f (x) + c2 g (x)] dx = c1 y f (x) dx + c2 y g (x) dx . Si dice anche che l’integrale è un operatore lineare. ● Non esistono proprietà riguardanti l’integrale di un prodotto o di un quoziente di funzioni, quindi è necessario studiare per tali casi altri metodi risolutivi.

2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

● Occorre ricordare sempre che

y f (x) g (x) dx ! ! y f (x) dx $ y g (x) dx e y f (x) dx . y gf ((xx)) dx ! y g (x) dx

Dalle regole di derivazione delle funzioni elementari ricaviamo gli integrali indefiniti fondamentali.

L’integrale di x a ( a ! -1) ESEMPIO

y x2 dx =

3x3 - 1 x3 x3 + cE = = x2 . + c . Infatti, derivando, abbiamo: D ; 3 3 3

In generale:

y xa dx =

xa + 1 + c, con a ! - 1. a+1

Infatti, derivando, abbiamo D ;

xa + 1 1 + cE = $ (a + 1) xa + 1 - 1 = xa . a+1 a+1

● Per a = - 1 la regola non può essere applicata, in quanto il denominatore della frazione sarebbe 0.

Casi particolari

•

y dx = x + c ;

•

y x dx =

•

y

x2 + c; 2

x dx =

infatti

y

infatti y dx = y1 $ dx = y x0 dx = x + c ;

2 3

x3 + c ;

x dx =

y

1 x2

1

+1

x2 2 3 2 dx = +c = x2 +c = 1 3 3 +1 2

x3 + c .

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1357

TEORIA

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Con la regola appena enunciata e le proprietà del paragrafo precedente possiamo calcolare gli integrali delle funzioni polinomiali o di potenze della x con qualsiasi esponente (purché diverso da - 1). ESEMPIO

1. Calcoliamo y (2x5 - 4x + 3) dx . Applichiamo la prima proprietà di linearità:

y (2x5 - 4x + 3) dx = y 2x5 dx - y 4x dx + y 3 dx . Applichiamo la seconda proprietà di linearità:

y 2x5 dx - y 4x dx + y 3 dx = 2 $ y x5 dx - 4 $ y x dx + 3 $ y dx = x6 x2 x6 -4$ +3$x+c = - 2x 2 + 3x + c . 6 2 3 1 2. Calcoliamo y dx . x = 2$

Scriviamo 1 1 1 = 1 =x 2, x x2 quindi:

y

-

L’integrale di ● Nell’argomento del loga-

ritmo utilizziamo il valore assoluto perché vogliamo avere una regola valida per 1 tutto il dominio di e x quindi anche per valori di x negativi.

1

+1

1

1 1 1 x 2 x2 + c= + c =2 $ x 2 + c =2 $ x + c. dx = y x 2 dx = 1 1 x - +1 2 2

1 x

Consideriamo ora il caso in cui l’esponente di x sia -1, cioè x- 1 =

y 1x

dx = ln x + c .

1 perché: x 1 se x 2 0, D ln x = D ln x = ; x Infatti D [ln x + c] =

se x 1 0, D ln x = D ln (- x) =

1 1 $ (- 1) = . (- x ) x

ESEMPIO

Calcoliamo 2

2

y 3x x+ 2

y 3x x+ 2

2 dx = y b3x + l dx = x

= 3 y x dx + 2 y

1358

dx .

1 3 dx = x2 + 2 ln x + c . x 2

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1 . Si ha: x

PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

L’integrale della funzione esponenziale

y e x dx = e x + c ; y a x dx =

infatti D[ex + c] = ex.

TEORIA

● Studieremo più avanti l’integrale del logaritmo di x, perché non è immediato.

1 1 1 $ a x + c ; infatti D ; $ ax + cE = $ a x $ ln a = a x . ln a ln a ln a

ESEMPIO

Calcoliamo y (2e x + 5 x) dx . Applichiamo le proprietà di linearità:

y (2e x + 5 x) dx = 2 y e x dx + y 5 x dx = 2e x +

1 $ 5x + c . ln 5

L’integrale delle funzioni seno e coseno

y sen x dx =- cos x + c ; y cos x dx = sen x + c ;

infatti D[-cos x + c] = - (-sen x) = sen x.

● Studieremo più avanti l’integrale della tangente e quello della cotangente di x, perché non sono immediati.

infatti D[sen x + c] = cos x. 1 . cos2 x

y cos12 x

dx = tg x + c ; infatti D [tg x + c] =

y sen12 x

dx =- cotg x + c ; infatti D [- cotg x + c] =

1 . sen2 x

ESEMPIO

Calcoliamo y c3 sen x -

4 m dx . cos2 x

Applichiamo le proprietà di linearità:

y c3 sen x - cos42 x m dx = 3 y sen x dx - 4 y cos12 x

dx =

= 3 $ (- cos x) - 4 $ tg x + c =- 3 cos x - 4 tg x + c .

L’integrale delle funzioni le cui primitive sono le funzioni inverse circolari Poiché D [arcsen x] =

y

1 , si ha: 1 - x2

1 dx = arcsen x + c . 1 - x2

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● Utilizzando invece l’arcocoseno:

1 dx = 1 - x2 1 dx = = - y1 - x2 = - arccos x + c.

y

1359

TEORIA

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Poiché D [arctg x] = ● Utilizzando invece l’arcocotangente:

y 1 +1 x2 dx =

y 1 +1 x2

1 , si ha: 1 + x2

dx = arctg x + c .

ESEMPIO

1 = - ydx = 1 + x2 = - arccotg x + c.

Calcoliamo y c

2 7 + m dx . 1 + x2 1 - x2

Applichiamo le proprietà di linearità: 2 7 + m dx = 2 y 2 1 + x2 1-x

yc

1 1 dx + 7 y dx = 2 1 + x2 1-x

= 2 arcsen x + 7 arctg x + c .

L’integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta Cerchiamo ora di applicare le formule precedenti nel caso di funzioni composte. ● Scriviamo la potenza del seno in questo modo, invece di scrivere sen4 x, per evidenziare che è una funzione composta, in cui il seno è la funzione più «interna» e l’elevamento alla quarta è la più «esterna».

Per esempio, cerchiamo di calcolare y (sen x) 4 dx . Pensando alla regola 5 a+1 y xa dx = ax + 1 + c , potremmo ipotizzare che il risultato sia (sen5 x) + c . Derivando questa funzione dovremmo ottenere (sen x)4. Abbiamo invece: D;

5 (sen x) 4 (sen x) 5 + cE = $ cos x = (sen x) 4 $ cos x . 5 5

Quindi y (sen x) 4 dx non può essere calcolato mediante la regola di y xa dx . Dalla precedente uguaglianza deduciamo la seguente:

y (sen x) 4 $ cos x dx =

(sen x) 5 + c. 5

Pertanto, per integrare la potenza di una funzione (che è una funzione composta) applicando la regola della potenza, è necessario che la funzione integranda sia moltiplicata per la derivata della funzione più «interna» nella composizione: [ f (x)] a + 1 E= a+1 = [ f (x)] a $ f l(x) .

● D;

● D [ln f (x) ] =

f l(x) . f (x)

● D [e f (x)] = f l(x) e f (x) . ● D;

a f (x) E = f l(x) a f (x) . ln a

● D [- cos f (x)] =

= f l(x) sen f (x) . ● D [sen f (x)] =

= f l(x) cos f (x) .

1360

a

y 6 f (x)@

f l(x) dx =

6 f (x)@a + 1 a+1

+ c,

con a ! - 1.

Si procede analogamente anche per calcolare integrali di altre funzioni composte riconducibili a regole di integrazione diverse:

y

f l(x) dx = ln f (x) + c . f (x )

y f l(x) e f (x) dx = e f(x) + c . y f l(x) a f (x) dx =

a f (x) + c. ln a

y f l(x) sen f (x) dx =- cos f (x) + c . y f l(x) cos f (x) dx = sen f (x) + c .

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PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

l

y cosf 2(fx()x) dx = tg f (x) + c .

● D [tg f (x)] =

l

y

=

f l(x) dx = arcsen f (x) + c . 1 - 6 f (x)@2 l

y 1 +f (fx()x) 2

f l(x) . sen 2 f (x)

● D [arcsen f (x)] =

=

f l(x) . 1 - [f (x)] 2

● D [arctg f (x)] =

dx = arctg f (x) + c .

@

6

f l(x) . cos 2 f (x)

● D [- cotg f (x)] =

y senf 2(fx()x) dx =- cotg f (x) + c .

=

f l(x) . 1 + [ f (x)] 2

Le ultime due formule si possono generalizzare:

y

f (x) f l(x) dx = arcsen + c. 2 a a - 6 f (x)@

=

l

y a2 +f (fx()x) 2 @

6

dx =

f (x) F= a f l(x) . 2 a - [f (x)] 2

● D H 2 1 -2 x - +1 3 3 -2 3 3 = 3 z +3 2. z

z

H

z

3

= 73 x A- 2 =

-2

 Figura 26 La regione colo-

Calcoliamo lim- F (z):

rata non è limitata, ma la sua area è finita.

y

z"0

3

3

3

3

lim (3 z + 3 2 ) = 3 2 .

z " 0-

1 è integrax2 bile in senso improprio nell’intervallo [- 2; 0] e vale: 0 y- 2 3 1 2 dx = 3 3 2 . x La funzione f (x) =

1 y= — 3 x2

3

x

O

–2

Se la funzione f(x) è continua in tutti i punti dell’intervallo ]a; b], possiamo definire l’integrale

b

ya f (x) dx in modo analogo.

Considerato z ! ]a; b], se esiste finito il limite della funzione F (z) = quando z tende ad a da destra, cioè se esiste lim+ F (z),

yz

b

f (x) dx

z"a

allora si dice che la funzione f(x) è integrabile in senso improprio in [a; b] e si definisce: b

ya

f (x) dx = lim+ z"a

yz

b

● Prova a dimostrare che

1 non x è integrabile in senso improprio in [0; 1]. la funzione f (x) =

f (x) dx.

Se la funzione ha un punto di discontinuità in un punto c interno all’intervallo [a; b],

integrali

b

ya f (x) dx può essere definito, in senso improprio, come la somma degli b c ya f (x) dx e yc f (x) dx , se esistono. Tali integrali sono calcolati mediante

l’integrale

 Figura 27

=

le definizioni precedenti: b

ya

f (x) dx = limt"c

t

ya f (x) dx + zlim y "c z +

y

O

a

b

c

b

x

O

b

b

#a c f (x) dx + #c

f (x) dx =

b

f (x) dx.

L’integrale improprio può essere utilizzato con tutte le specie di discontinuità.

f (x) dx. y

y

a

#a

a

c

b

x

O

a

c

b

c

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1389

x

TEORIA

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

In modo analogo la definizione di integrale può essere estesa al caso di una funzione con un numero finito di punti di discontinuità.

L’integrale di una funzione in un intervallo illimitato Consideriamo una funzione f (x ) continua in tutti i punti di [a; + 3[. Comunque si scelga un punto z interno all’intervallo [a; + 3[, esiste l’integrale

ya

z

f (x) dx il cui valore è un numero reale, quindi possiamo costruire anche in

questo caso la funzione integrale: F (z) =

ya

z

f (x) dx ,

definita in [a; + 3[. Se esiste finito il limite della funzione F (z ) quando z tende a + 3, cioè se esiste lim F (z),

z "+3

allora si dice che la funzione f (x ) è integrabile in senso improprio in [a; + 3[ e si definisce: +3

ya ● Se il limite considerato è

f (x) dx = z lim "+3

ya

z

f (x) dx.

Anche in questo caso si dice che l’integrale

infinito, si dice che l’integrale

+3

ya

f (x) dx è di+3

ya

grale improprio nell’intervallo [a; +[ nel caso di una funzione positiva. La regione compresa tra il grafico di f (x) e l’asse x, tra 1 e +, non è limitata, ma la sua area è finita.

f (x) dx

è indeterminato. In entrambi i casi diciamo che la funzione f (x ) non è integrabile in senso improprio in [a; + 3[.

f (x) dx è convergente.

 Figura 28 Significato geometrico dell’inte-

y

vergente. Se il limite non esiste, l’integrale

+3

ya

O

1

x

z

In modo del tutto analogo, se una funzione è continua in ]- 3; a] e se esiste finito il limite z lim "-3

yz

a

f (x) dx , diciamo che la funzione f (x) è integrabile in senso

improprio in ]- 3; a] e definiamo: a

y- 3 f (x) dx = zlim y "-3 z

y 1 y=— x2

O

1

f (x) dx.

ESEMPIO

x

1 Calcoliamo, se esiste, l’integrale improprio della funzione f (x) = 2 nell’inx tervallo [1; +3[. Determiniamo la funzione F (z) con z appartenente a [1; +3[: F (z) =

1390

a

y1

z

z 1 ; 1 E =- 1 + 1. 2 dx = - x z x 1

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PARAGRAFO 12. APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA

Calcoliamo z lim F (z): "+3 lim b-

z "+3

f (x ) =

1 + 1l = 1. z

1 è integrabile in senso improprio in [1; +3[ e x2

y1

+3

1 dx = 1. x2

12. APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA Gli integrali definiti non sono utilizzati solo in ambito geometrico, ma trovano larga applicazione anche in fisica. Vediamo un esempio. Lo spazio e la velocità In un moto rettilineo sappiamo che, se s(t) è la posizione, cioè l’ascissa di un punto materiale all’istante t, allora la velocità e l’accelerazione del punto in quell’istante sono:

v (t) = sl(t) a (t) = vl(t) = sm(t)

velocità; accelerazione.

Quindi possiamo dedurre che la velocità v(t) è una primitiva dell’accelerazione a(t) e che la posizione s(t) è una primitiva della velocità v(t). Pertanto, nota l’accelerazione in funzione del tempo t, per determinare la velocità e la legge del moto, basta integrare successivamente a(t) applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale: v (t) - v (t0) =

t

yt a (z) dz

v (t) = v (t0) + y a (z) dz ;

"

s (t) = s (t0) + y v (z) dz .

0

s (t) - s (t 0) =

t

yt v (z) dz

t

"

0

t0 t

t0

ESEMPIO

Determiniamo la legge del moto di un punto che si muove lungo una retta con accelerazione a (t) =- 3t 2 + 1, sapendo che per t = 2 s lo spazio percorso è 4 m e la velocità è 2 m/s. Possiamo applicare le formule precedenti prendendo t0 = 2: t

t

v (t) = v (2) + y (- 3z 2 + 1) dz = 2 + 6- z3 + z @2 =- t3 + t + 8 ; 2 t

s (t) = s (2) + y (- z3 + z + 8) dz = 2

t

= 4 + ;-

z4 z2 t4 t2 + + 8z E =- + + 8t - 10 . 4 2 4 2 2

Il lavoro di una forza Consideriamo una forza avente per direzione costante una retta r e intensità variabile al variare del punto di applicazione, per esempio la forza di richiamo di una molla oppure la forza gravitazionale tra due corpi. Supponiamo che il punto di

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1391

TEORIA

TEORIA

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

applicazione si muova lungo la retta orientata r e indichiamo con x la sua ascissa. Esprimeremo perciò l’intensità della forza come funzione F(x) dell’ascissa del punto di applicazione. Δx1 Δx2 …

Δxn

r

0 a b Δx1 = Δx2 = … = Δxn

● Il lavoro di una forza

costante di intensità F relativo a uno spostamento Dx nella direzione della forza stessa è dato da L = F $ Dx .

Per determinare in modo approssimato il lavoro compiuto dalla forza per uno spostamento da un punto di ascissa a a un punto di ascissa b, possiamo suddividere l’intervallo in n parti, Dx 1, Dx 2, …, Dx n, all’interno delle quali si possa ritenere l’intensità della forza approssimativamente costante, con valori F(c 1), F (c 2), … e calcolare il lavoro nel modo seguente: Ln = Dx1 F (c1) + Dx2 F (c2) + f + Dxn F (cn). Ln è un valore che dipende dalla suddivisione e varia al variare di n; si ha quindi una successione. Facendo tendere n all’infinito, se la successione Ln ammette limite, tale limite è l’integrale da a a b di F (x) e coincide con il lavoro della forza, ossia: L=

b

ya F (x) dx .

ESEMPIO

● In generale, una forza F,

legata allo spostamento x dalla legge F = - kx, si dice forza elastica.

Determiniamo il lavoro compiuto dalla forza elastica di una molla che sposta il suo punto di applicazione dal punto di ascissa x 0 = 0 al punto di ascissa 1 x 1 = 6, sapendo che la forza varia con la legge F (x) =- x . 4 Utilizzando la formula precedente, otteniamo: L=

yx

x1

F (x) dx =

0

6

y0 - 14 x dx =- 14 y0 x dx =- 14 ; 12 x2E0 =- 92 . 6

6

La quantità di carica L’intensità di una corrente è la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore nell’unità di tempo. Per calcolare l’intensità della corrente che circola nel conduttore all’istante t, ossia l’intensità istantanea, si utilizza la derivata della funzione q(t), che lega la quantità di carica al tempo:

i(t ) = q l(t ). Possiamo dedurre che la quantità di carica q (t) è una primitiva dell’intensità di corrente i(t ). Se vogliamo determinare la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore, in un intervallo di tempo che va da t 0 a t 1, basta allora calcolare il seguente integrale: Q=

t1

yt i (t) dt . 0

ESEMPIO

Calcoliamo la quantità di carica che attraversa la sezione di un circuito nel primo secondo dopo la sua chiusura, sapendo che l’intensità di corrente varia con la legge i (t) = k(1 - e-ht), con k e h costanti. Utilizzando la formula precedente, poniamo t 0 = 0 e t 1 = 1, quindi scriviamo: 1 1 1 1 1 1 Q = y k (1 - e- ht) dt = y k dt - k y e- ht dt = k y dt + y - he- ht dt = h 0 0 0 0 0 1 k k = k 5 t ?10 + 6e- ht @0 = k + (1 - e- h). h h 1392

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RISPOSTA AL QUESITO

TEORIA

LA TORRE EIFFEL MODELLI

Perché l’ingegnere Gustave Eiffel diede alla sua opera più famosa proprio quella forma? Il quesito completo a pag. 1353

Chiunque sia salito in cima alla Torre Eiffel a Parigi ne è rimasto impressionato. A colpire non è solo la straordinaria visuale della Ville Lumière (o città delle luci) dall’alto, ma anche il sensibile ondeggiamento di tutta la struttura sotto la spinta del vento.

sovrastante la sezione stessa (in blu nella figura).

y

y=1 – A(x) 2

A(h)dh

Viene da chiedersi come la Torre possa restare in piedi senza crollare Era ciò che si domandava anche l’ingegnere Gustave Eiffel alla fine dell’Ottocento mentre progettava la Torre per l’Expo di Parigi. A costo di togliere un po’ di magia, il profilo del monumento è stato dettato, più che da ragioni estetiche, da considerazioni di fisica e di matematica. La cosa sorprendente è che esiste un’equazione dalla quale si può ricavare la sagoma della Torre Eiffel. È stata trovata nel 2004 da due ricercatori statunitensi, Patrick Weidman e Iosif Pinelis, che dopo quasi 120 anni hanno svelato il segreto dell’eleganza e della perfezione di quest’opera architettonica. Dimestichezza con i numeri Anche i modelli di calcolo dell’ingegnere Eiffel si sono rivelati esatti: la Torre, nonostante sia alta più di 300 metri, è in grado di sopportare un vento che soffia fino a 800 km/h, una velocità irrealistica anche se un ciclone si abbattesse sulla capitale francese. Il monumento ha una base quadrata di 125 metri di lato da cui si innalzano quattro pilastri che confluiscono in un’unica colonna, via via più sottile e concava al crescere dell’altezza. Eiffel studiò la sagoma sezione dopo sezione, calcolando per ciascuna il peso che la struttura doveva reggere. Trascurando l’effetto del vento, per ogni sezione questo peso coincide con quello della porzione di edificio

x

O

H

x

y

Se ρ è la densità del ferro e A(h) l’area della sezione quadrata alla quota generica h, allora il volume infinitesimale di uno strato di altezza dh è A(h)dh (in giallo nella figura). Essendo g l’accelerazione di gravità, il peso della parte compresa fra x e l’altezza H della Torre è

yx

H

t $ g $ A (h) dh

e, considerato il peso massimo che la struttura sottostante può reggere, vale l’equazione

yx

H

t $ g $ A (h) dh = P $ A (x) ,

dove P è la pressione massima che può essere sopportata. Risolvendo l’equazione, si ottiene A(x), che è una funzione esponenziale. A(x) indica come varia la sezione orizzontale al variare dell’altezza e permette di ricavare il profilo della struttura, che può essere descritto dalla funzione del semilato y della sezione al variare della quota, ossia 1 dalla funzione y = A (x ) . 2

La sagoma della Torre Eiffel però non è esattamente esponenziale, anche se il suo profilo assomiglia a una curva esponenziale decrescente. Questo perché l’ingegnere Eiffel non trascurò la presenza del vento. Una questione di equilibrio La pressione che il vento esercita sulla Torre è un fattore molto importante per l’equilibrio del sistema. Come hanno determinato i due matematici statunitensi, che hanno studiato a fondo gli schizzi originali di Eiffel depositati presso la Società francese di ingegneria civile, affinché la struttura della Torre resti in equilibrio è necessario che la pressione del vento sia controbilanciata dalla tensione tra gli elementi della costruzione. Questo si traduce in un’equazione integrale non lineare abbastanza complessa, le cui soluzioni forniscono precisamente la sagoma della struttura, esponenziale a tratti, con due differenti esponenti. Lo studio, pubblicato sulla rivista dell’Accademia francese delle scienze Comptes Rendus Mécanique, ha spiegato anche perché la base della torre è così estesa: Eiffel non era proprio sicuro dei suoi calcoli (all’epoca non c’era l’aiuto dei computer) e preferì allargare la base esagerando un po’, in modo da essere certo che, una volta eretta la Torre, il vento non l’avrebbe buttata giù.

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1393

TEORIA

STRUMENTI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

LABORATORIO DI MATEMATICA GLI INTEGRALI DEFINITI ESERCITAZIONE GUIDATA

Costruiamo un disegno di GeoGebra che permetta di assegnare un valore ai coefficienti a, b e c della parabola di equazione q (x) = ax2 + bx + c e che mostri, in corrispondenza, l’area dell’eventuale superficie finita di piano compresa fra le q e la parabola di equazione p (x) =- x2 + 4 . Proviamo il disegno con q (x) = x2 - 4x + 4 . • Entriamo in ambiente GeoGebra e diamo a tre slider i nomi a, b e c (figura 1). g • Immettiamo la parabola fissa scrivendo nella riga di inserimento p(x) = - x^2 + 4 seguita dal tasto invio. • Operiamo in modo simile per la parabola variabile: q(x) = a*x^2 + b*x + c. • Con Intersezione di due oggetti applicato a p e a q troviamo e rendiamo noti al sistema gli eventuali punti A e B.  Figura Figura 1

• Digitiamo nella riga di inserimento Integrale[p, q, x(A), x(B)], il comando di GeoGebra per il calcolo dell’area compresa fra due curve. • Con invio rendiamo attivo il comando, che mette in evidenza la superficie compresa fra le due curve e ne calcola l’area. • Usiamo quindi le tre slider in modo da costruire la parabola proposta. GeoGebra mostrerà l’area sia nel disegno sia nella finestra algebrica (figura 1).

Nel sito:

 1 esercitazione guidata  12 esercitazioni in più

Esercitazioni Con lo strumento informatico a tua disposizione risolvi i seguenti problemi e poi traccia il grafico, corredato da didascalie, di tutti gli elementi coinvolti. 1 Determina i coefficienti delle parabole y =ax2 +bx + c , sapendo che, incontrando la parabola y = x 2 - x - 4 1 2 nei suoi punti di ascissa - 2 e 2, formano con essa una superficie finita di piano di area 16. [y =- x 2 - x + 2; y = 2x 2 - x - 10] 2

4 Determina il valore del parametro k in modo che la retta y = k formi con la curva di equazione f (x)= 2 x +1 una superficie finita di piano di area 2(r - 2). [k = 2]

1394

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LA TEORIA IN SINTESI

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI GLI INTEGRALI 1. L’INTEGRALE INDEFINITO  Funzione primitiva: F(x) si dice primitiva di f(x) nell’in-

tervallo [a; b] se F(x) è derivabile in [a; b] e F l(x) = f (x). ESEMPIO:

integrale

 f(x) dx = F(x) + c

F (x) = x è una primitiva di f (x) = 1 perché D [x] = 1.

f(x)

F(x) + c derivata

Se f (x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F (x) + c , con c ! R .

 Integrale indefinito della funzione f(x): è l’insieme di tutte le primitive F (x) + c , con c ! R . Si indica con

y f (x) dx . La funzione f(x) è detta funzione integranda e x variabile d’integrazione. ESEMPIO: y 1dx = x + c perché D [x + c] = 1.

 Condizione sufficiente di integrabilità

Se una funzione è continua in un intervallo, allora ammette primitive in tale intervallo.  Proprietà di linearità

Se f e g ammettono integrale indefinito, allora •

y 6 f (x) + g (x)@dx = y f (x) dx + y g (x) dx

prima proprietà;

•

y k $ f (x) dx = k $ y f (x) dx

seconda proprietà.

ESEMPIO:

Prima proprietà: y (5x 4 + 4x3) dx = y 5x 4 dx + y 4x3 dx = x5 + x 4 + c .

Seconda proprietà: y 6e x dx = 6 y e x dx = 6e x + c .

2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI Riportiamo nelle tabelle le primitive delle funzioni più usate. Integrali immediati delle funzioni fondamentali

y xa dx =

xa + 1 + c, con a ! - 1 a+1

y 1x dx = ln

x +c

y cos12 x dx = tg x + c y sen12 x dx =- cotg x + c

y e x dx = e x + c y a x dx =

y cos x dx = sen x + c

ax +c ln a

y

y sen x dx =- cos x + c

1 dx = arcsen x + c 1 - x2

y 1 +1 x2 dx = arctg x + c

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1395

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Integrali la cui primitiva è una funzione composta

y 6 f (x)@a f l(x) dx = y

6 f (x)@a + 1 + c, con a ! - 1 a+1

l

f l(x) dx = ln f (x) + c f (x)

y senf2 ((xf ()x)) dx =- cotg f (x) + c

y f l(x) e f (x) dx = e f (x) + c y f l(x) a f (x) dx =

l

y cosf 2(fx()x) dx = tg f (x) + c

y

f l(x) dx = arcsen f (x) + c 1 - 6 f (x)@2 l

y 1 +f6 (fx()x)@2 dx = arctg f (x) + c

a f (x) +c ln a

f l(x) f (x) dx = arcsen + c, 2 a a - 6 f (x)@

y f l(x) sen f (x) dx =- cos f (x) + c

y

y f l(x) cos f (x) dx = sen f (x) + c

y a2 +f 6(fx()x)@2 dx =

ESEMPIO:

2

l

f (x) 1 + c, arctg a a

con a ! 0 con a ! 0

y cos xesen x dx = esen x + c ; y (5x + 1) 3 dx = 15 y 5 (5x + 1) 3 dx =

(5x + 1) 4 1 (5x + 1) 4 $ +c = + c; 5 4 20

x

y sene 2 e x dx =- cotg e x + c ; y x2 cos x3 dx = 13 y 3x2 cos x3 dx = y

1 dx = 1 - 16x 2

y

1 sen x3 + c ; 3 1 1 4 1 dx = y dx = arcsen 4x + c . 4 4 1 - (4x) 2 1 - (4x) 2

3. L’INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE  Metodo di sostituzione

Per calcolare l’integrale

y f (x) dx :

• si pone x = g (t), e quindi t = g- 1 (x), dove g (t) è invertibile, con g l (t) continua e diversa da 0; • si calcola il differenziale dx, oppure dt; • si sostituisce nell’integrale dato, in modo da ottenere un integrale nella variabile t; • si calcola, se possibile, l’integrale rispetto a t; • ritornando alla variabile x, si ha il risultato cercato. ESEMPIO:

Calcoliamo y (3x 2 - 4) $ 6x dx .

• Poniamo: t = 3x2 - 4; • Calcoliamo il differenziale: dt = 6x dx. • Sostituiamo nell’integrale dato: y t dt . t2 + c. 2 • Sostituiamo 3x2 - 4 al posto di t nella soluzione: 2 2 y (3x2 - 4) $ 6x dx = (3x 2- 4) + c .

• Calcoliamo l’integrale rispetto a t: y t dt =

1396

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LA TEORIA IN SINTESI

ESERCIZI

4. L’INTEGRAZIONE PER PARTI  Formula di integrazione per parti:

y f (x) g l(x) dx = f (x) $ g (x) - y f l(x) g (x) dx .

Calcoliamo y x $ cos x dx . Scegliamo gl(x) = cos x e f (x) = x. ESEMPIO:

• y cos x dx = sen x + c , quindi g (x) = sen x . • Calcoliamo f l(x) = 1. • Applichiamo la formula: y x $ cos x dx = x $ sen x - y1 $ (sen x) dx = x $ sen x + cos x + c . 1 ESEMPIO: y ln x dx = y 1 ln x dx = x ln x - y x $ dx = x ln x - x + c . x

5. L’INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE  Primo caso

Nell’integrale

y DN ((xx)) dx il grado del numeratore N(x) è minore del grado del denominatore D(x): ci si riconduce

a uno dei modelli che seguono. f l(x) dx = ln f (x) + c . f (x) 1 1 • Il denominatore è di primo grado: y dx = ln ax + b + c . ax + b a px + q • Il denominatore è di secondo grado (l’integrale è del tipo y 2 dx ) e: ax + bx + c a)  2 0, si cercano i valori A e B che rendono vera l’identità: px + q A B , essendo ax 2 + bx + c = a (x - x1) (x - x 2); = + 2 a (x - x1) x - x2 ax + bx + c • Il numeratore è la derivata del denominatore:

y

b)  = 0, si cercano i valori A e B che rendono vera l’identità: px + q A B , essendo ax 2 + bx + c = a (x - x1) 2 ; = + a (x - x1) ax 2 + bx + c ]x - x1g2 c)  1 0, un integrale del tipo: 1 • y 2 dx si trasforma in modo da utilizzare la formula: ax + bx + c l y k2 +f 6(fx()x)@2 dx = 1k arctg f (kx) + c ; px + q 2ax + b 1 dx + s y 2 dx , • y 2 dx si trasforma nella somma r y 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c dove gli integrali si risolvono con i metodi precedenti.  Secondo caso

Nell’integrale

y DN ((xx)) dx il grado del numeratore N(x) è maggiore o uguale al grado del denominatore D(x): si

N (x) R (x) ritorna ai casi precedenti mediante la divisione , dove R(x) è il resto della divisione e quin= Q (x) + D (x) D (x) di ha grado minore di D(x).

6. L’INTEGRALE DEFINITO  Sia f(x) una funzione continua su [a; b]; dividiamo [a; b] in n intervalli chiusi di ampiezza arbitraria mediante i

punti x0, x1, x2, x3, …, xn, con a = x0 1 x1 1 x2 1 x3 1 … 1 xn = b; scegliamo i generici punti c1 ! [a; x1], c2 ! [x1; x 2], c3 ! [x 2; x3], … e consideriamo la somma S .

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1397

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

S = f (c1) $ Dx1 + f (c 2) $ Dx 2 + f (c3) $ Dx3 + f + f (cn) $ Dxn , con Dx1 = x1 - a, Dx2 = x 2 - x1, Dx3 = x3 - x 2, f, Dxn = b - xn - 1 .

y y = f(x)

Si chiama integrale definito di f esteso all’intervallo [a; b] il limite: lim S =

Dx max " 0

b

ya

f (x) dx .

Si pone inoltre: a

yb

b

f (x) dx =- y f (x) dx, se a 1 b; a

ya

a

x1 c2 c3 x3 x2 a c1

O

cn cn–1xn–1 b

x

f (x) dx = 0 .

 Proprietà dell’integrale definito

• Se a 1 b 1 c,

b

c

ya f (x) dx = ya

b

b

•

ya 6 f (x) + g (x)@dx = ya

•

ya k $ f (x) dx = k $ ya

b

b

f (x) dx +

f (x) dx +

c

yb f (x) dx .

b

ya g (x) dx .

f (x) dx .

• f (x) # g (x) & • •

b

ya

b

ya

b

ya

f (x) dx #

f (x) dx #

b

ya g (x) dx .

f (x) dx .

b

ya k dx = k (b - a).

7. IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE  Teorema della media

 Funzione integrale

Se f è una funzione continua su [a; b], allora 7 z ! [a; b] tale che: b

ya

F (x) =

f (x) dx = (b - a) $ f (z). y

Se f è una funzione continua su [a; b], si dice funzione integrale di f in [a; b] la funzione:

ya

x

f (t) dt, 6x ! 5a; b ? . y = f(x)

y

y = f(x)

C D F(x)

f(z) A O O

a

z

b

a

Se f è continua su [a; b], allora la sua funzione integrale F(x) è derivabile in [a; b] e

x

b

x F(x) =

x

 Teorema fondamentale del calcolo integrale

B

ax f(t) dt

y = f(x)

y

F l(x) = f (x), 6x ! [a; b]. F(x)

F è una particolare primitiva di f. O

a F(x) =



b

x

x f(t) a

dt

F'(x) = f(x)

1398

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x

LA TEORIA IN SINTESI

 Calcolo dell’integrale definito

Se { (x) è una primitiva qualunque di f(x) nell’intervallo [a; b], allora: b

ya

f (x) dx = 6{ (x)@ba = { (b) - { (a). 2 4

y2 4x dx = ;4 x2 4

ESEMPIO:

D = 52x2 ?24 = 2 $ 42 - 2 $ 22 = 32 - 8 = 24 . 2

8. IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE y

y = f(x)

y

S

+ O

a

S=

b

−

cx

O

a y = g(x)

ab f(x)dx − bc f(x) dx

a. Area S della parte di piano compresa tra la funzione e l’asse x.

x

b

S=

ab [f(x) − g(x)] dx

b. Area S della parte di piano compresa tra due funzioni f(x) e g(x), con f(x) > g(x).

9. IL CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI DI ROTAZIONE  Dato il trapezoide ABCD esteso all’intervallo [a; b],

y

delimitato dal grafico di y = f (x) (positiva o nulla), dall’asse x e dalle rette x = a e x = b, il volume del solido che si ottiene ruotando il trapezoide intorno all’asse x di un giro completo è: V = r$

b

ya

C D

f 2(x) dx .

O

A

B

x

D' C'

10. LA LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA E L’AREA DI UNA SUPERFICIE DI ROTAZIONE  Lunghezza di un arco di curva: sia y = f (x) derivabi-

le nell’intervallo [a; b]; la lunghezza della curva che rappresenta il grafico della funzione, limitata dalle rette di equazione x = a e x = b, è l=

b

ya

y

y = f(x)

1 + 6 f l(x)@2 dx . O

a

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

b

x

1399

ESERCIZI

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

 Area di una superficie di rotazione

y

Se la curva viene fatta ruotare con una rotazione completa attorno all’asse x, l’area della superficie di rotazione che si ottiene è: b

S = 2r y f (x) $ 1 + 6 f l(x)@2 dx .

O

a

a

11. GLI INTEGRALI IMPROPRI  Discontinuità in un estremo di integrazione b

Se f (x) è continua in [a; b [:

ya

Se f (x) è continua in ] a; b]:

ya

ya

f (x) dx = lim+

yz

z"b

b

z

f (x) dx = limz"a

b

f (x) dx . f (x) dx .

 Discontinuità in un punto interno all’intervallo di integrazione

Se f (x) è continua in [a; b] tranne che in c ! [a; b] punto di discontinuità: b

ya

f (x) dx = limz"c

ya

z

yz

f (x) dx + lim+ z"c

b

f (x) dx .

 Intervallo di integrazione illimitato +3

Se f (x) è continua in [a; + 3 [:

ya

Se f (x) è continua in ] - 3; a]:

y- 3 f (x) dx = z lim y "-3 z

f (x) dx = z lim "+3

a

ya

z

a

f (x) dx . f (x) dx .

12. APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA  Posizione, velocità e accelerazione t

• s (t) = s (t0) + y v (z) dz , t0

t

• v (t) = v (t0) + y a (z) dz, t0

dove s (t) è la posizione, v (t) la velocità e a (t) l’accelerazione in funzione del tempo.  Lavoro di una forza

• L=

b

ya

f (x) dx ,

dove f (x) è la forza in funzione dello spostamento.  Quantità di carica e corrente elettrica

• Q=

t

yt i (t) dt, 0

dove Q è la quantità di carica e i (t) la corrente in funzione del tempo.

1400

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

b

x

PARAGRAFO 1. L’INTEGRALE INDEFINITO

ESERCIZI

 Teoria a pag. 1354

1. L’INTEGRALE INDEFINITO Le primitive e l’integrale indefinito 1

ESERCIZIO GUIDA

Nella coppia di funzioni y = x - x2 - x3 e y = 1 - 2x - 3x2, una delle due è una primitiva dell’altra. Determiniamo quale e scriviamo la relazione che lega le due funzioni mediante un integrale indefinito. Calcoliamo la derivata delle due funzioni: 2

3

Osserviamo che la derivata della prima funzione è uguale alla seconda funzione: y = x - x 2 - x 3 è una primitiva di y = 1 - 2x - 3x 2. Scriviamo:

2

D [x - x - x ] = 1 - 2x - 3x , D [1 - 2x - 3x 2] = - 2 - 6x .

y (1 - 2x - 3x2) dx = x - x2 - x3 + c .

Nelle seguenti coppie di funzioni, una delle due funzioni è una primitiva dell’altra. Determina quale e scrivi, mediante un integrale indefinito, la relazione che lega le due funzioni. 2

—

y = 3x3 + x 2 - 3 ;

y = 9x2 + 2x.

4

y = sen x + 2x + 3 ;

x . x2 + 1 y = 2 sen x cos x + 2.

5

y = 1 + tg 2 x ;

y = tg x.

6

y = x5 + x 4 - 2x 2 - 6x ; y = 5x 4 + 4x3 - 4x - 6.

7

y=

8

y = 2 x ln 2 ;

1 . (x + 1) 2 y = 2x .

9

y =- e- x ;

y = e- x .

y = sen x + cos x ;

y = cos x - sen x.

3

— — — — — — —

10

—

11

—

x2 + 1 ;

y=

2

1 ; x+1

y=

15

16

—

17

—

18

—

19

—

2

y = cos x ;

f (x) = x 2 ,

F (x) = 3x3 + 2 .

- 2x

f (x) = e

, 2 f (x) = , (x + 1) 2

f (x) = 2 sen 2x , - 3x f (x) = 2 , x +1

- 2x

F (x) = e

21

y

22

y

—

f dx = x - 2x f 2 dx = x + c ex e

.

1 . x+1 1 F (x) =- sen2 x + 4 . 3 F (x) = ln (x 2 + 1).

F (x) =

y f sen 5x2 dx = cos 5x2 + c 2

y = ln (x2 + 1) .

13

y=

x+1 ; x-1

y =-

—

—

y =- 2 cos x sen x.

20

—

2x ; x2 + 1

y =-

COMPLETA —

y=

14

Sono date due funzioni, f(x) e F(x). Modifica F(x) in modo che sia una primitiva di f(x). —

12

—

x2 - 2x + c

2 . (x - 1) 2

- 3e x , la (e x + 2) 2 sua primitiva il cui grafico passa per il punto (0; 1) è: 1 2 9 + . - 1. A D 3 ex + 2 (e x + 2) 2 -3 3 + 2. . B E ex + 2 ex + 2 9 . C (e x + 2) 2 TEST

Data la funzione f (x) =

23

y f ln3 x dx = ln4 x + c

24

y 1 +1 x f dx = arctg

25

y f (x3 + 3x) 5 dx = (x3 + 3x) 6 + c

26

VERO O FALSO?

—

—

—

—

x +c

Ogni funzione continua ammette primitive. b) Ogni funzione derivabile è integrabile. c) Ogni funzione integrabile è derivabile. d) Se una funzione è integrabile e positiva, tutte le sue primitive sono crescenti. a)

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1401

V

F

V

F

V

F

V

F

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Le proprietà dell’integrale indefinito 27

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo l’integrale indefinito y (6x + 5 cos x) dx sapendo che F(x) = x 2 e G(x) = sen x sono primitive rispettivamente di f (x) = 2x e g(x) = cos x. Applichiamo la prima proprietà di linearità:

y (6x + 5 cos x) dx = y 6x dx + y 5 cos x dx . Applichiamo la seconda proprietà di linearità:

y 6x dx + y 5 cos x dx = 3 $ y 2x dx + 5 $ y cos x dx = 3x2 + 5 sen x + c . Calcola i seguenti integrali dopo aver verificato che F (x) e G(x) sono primitive rispettivamente di f(x) e g(x). 28

y (4x3 + 6x2) dx ;

F (x) = x 4 ,

G (x) = x3 ,

f (x) = 4x3 ,

g (x) = 3x 2 .

5 x 4 + 2x3 + c ?

29

y (2 cos x + 6x2) dx ;

F (x) = sen x ,

G (x) = x3 ,

f (x) = cos x ,

g (x) = 3x2 .

52 sen x + 2x3 + c ?

30

y b10x4 +

F (x) = x5 ,

31

y b 1x

32

yc 2 1x

1 1 , f (x) = 5x 4 , g (x) =- 2 . x x 1 2 1 G (x) = 2 , f (x) = , g (x) =- 3 . x x x 1 1 G (x) = x2 , f (x) = , g (x) = x . 2 2 x

33

VERO O FALSO?

—

—

—

—

—

—

+

2 l dx ; x2

4 l dx ; x3

F (x) = ln x ,

- x m dx ;

F (x) =

a)

D 9 y f (x) dx C = f (x) + c

b)

y f (x) dx =

c)

x,

G (x) =

:2x5 - 2 + c D x 2 ; ln x - 2 + c E x 1 : x - x2 + c D 2

V

F

V

F

y 63f (x) - g (x)@dx = 3 y f (x) dx - y g (x) dx

V

F

d)

y k dx = kx

V

F

e)

y f (x) $ g (x) dx = y f (x) dx $ y g (x) dx

V

F

V

F

2

f)

y x2

1 y x f (x) dx x

dx = x + c

2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI L’integrale delle potenze di x

y xa dx = 1402

xa + 1 + c, a+1

con a ! - 1;

y 1x dx = ln

x + c.

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 Teoria a pag. 1357

PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

34

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo l’integrale y b x 4 + 2x -

3

x2 +

1 + 3l dx . x2

Applichiamo le proprietà di linearità. y b x4 + 2x - 3 x2 + x12 + 3l dx = y x4 dx + 2 y x dx - y 3 x2 dx + y x12 dx + 3 y dx . Scriviamo il reciproco come potenza di x a esponente negativo e la radice come potenza di x a esponente razionale: 2

y x4 dx + 2 y x dx - y x 3 dx + y x- 2 dx + 3 y dx = Applichiamo la formula per l’integrazione delle potenze di x: 2

5

+1

x4 + 1 x1 + 1 x3 x- 2 + 1 x5 x3 = +2$ + + 3x + c = + x2 - x- 1 + 3x + c = 4+1 1+1 2 -2 + 1 5 5 +1 3 3 x5 3 3 2 1 2 = + x - x x - + 3x + c . 5 5 x Calcola i seguenti integrali. 35

y 6 dx ;

36

y 54

37

y 21x3 dx ;

y x4 dx ;

y- 23 x6 dx .

38

y

y8

y- x14 dx .

39

3 dx ; x2 y x- 2 dx ;

40

y (x - 5) dx ;

y

41

y (x2 + x + 10) dx

42

y (x3 - 3x2 - 8) dx

— — — — —

—

—

—

43

—

44

—

45

—

46

—

47

—

48

—

49

—

4

y 2x9 dx ; -3

y x3

x dx ;

3

y

y (4x4 - 2x2 + 5) dx

10 4 ;6x + c; x + c; x + c E 5 4 9 ; x 4 x + c; - 1 2 + c; x + c E 9 6x 1 2 7 ;- 2 + c; 4 ln x + c; x + cE 21 4x 16 1 ;9 3 x + c; x x + c; 3 + c E 3 3x 1 2 -7 ;- + c; x x + c; 4 + c E x 3 8x

y x3 dx . y x8 dx .

dx ;

x dx ;

x dx ; x 3 3 x dx ; x

y 27x5 dx . y 4 1x

2 ; x - 5x + c; 9 3 x + c; x + c E 2 2

dx .

3 2 ; x + x + 10x + c E 3 2

50

—

4 ; x - x3 - 8x + c D

4

5

3 ; 4x - 2x + 5x + c E 5 3

1 3 ;- 2 - + c E y b x13 + x32 l dx x 2x 4 6 ;- 3 + + c E y b x44 - x62 l dx x 3x 5 2 5 4 3 y b x4 - x3 + x2 l dx ;- 3x3 + x2 - x3 + c E 2 ; x + ln x + x + c D y b x + 1x + 1l dx 2 3 y b3x2 - 2x + x l dx 6 x3 - x2 + 3 ln x + c @ 3 y b x23 - x2 - 1x l dx ;- x12 - x3 - ln x + c E

51

—

y b x12 -

6 l dx x ;- 1 - 2x x + 6 ln x + c E x 3 y (3 x + 4 x3 ) dx :2x $ x + 74 x $ 4 x3 + c D

52

y(

53

y (2

—

—

54

—

55

—

56

—

x+

3

4

x + x - x ) dx : 2 x $ x + 3 x $ 3 x - 4 x $ 4 x + cD 3 4 5 3

x + x - x) dx 2 ; 4 x $ x + 3 x $ 3 x - x + cE 3 4 2 :4 x - 9 3 x2 + c D y c 2x - 33 m dx 2 x : 4 4 x3 - 5 5 x 4 + c D y c 41 - 54 m dx 3 x x : 2 x x + 4 x + cD y c x + 2x m dx 3

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1403

ESERCIZI

57

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo i seguenti integrali: 2x - 1 x3 + x - 2 dx ; dx . a) y b) y 2 6x 3 x Poiché il denominatore della frazione integranda è un monomio, possiamo scomporre la frazione in frazioni più semplici e applicare la prima proprietà di linearità: a)

y 2xx-2 1 dx = y 2xx2 dx - y x12 dx = 2 y 1x dx - y x- 2 dx = 2 ln

x +

1 + c; x

1

b)

y

x3 + x - 2 dx = 6x3 -

y

2 1 1 - 52 1 x2 x3 dx - y x- 3 dx = 3 dx = 6 y dx + 6 y x 3 dx + y 3 dx - y 3 6x 6x 6x

3

1 1 x 2 1 x- 2 1 1 1 = x+ $ - $ +c = x+ 2 + c. 6 6 3 3 -2 6 x 6 9x x 2 Calcola i seguenti integrali. + 2 - 4x x2 2 4 dx ; + ln x - x + c E 2 3 3 3x 2 x 1 x 2 + 4x + 1 ; + 2x + ln x + c D dx 4 2 2x 2 x + 2x 6 x + 2 ln x + c @ dx x2 x 4 + 2x2 + 2x - 1 dx 3x 4 2 ; x + x + 2 x - 1 ln x + c E 12 3 3 3

58

y 3x

59

y

60

y

61

y

— — — —

2

+ x3 - 2x - 4 x2 2 2 dx ; + x + + 2 + c E 3 x x 2 x 3 - x2 1 1 ;- 3 + + c E dx x x4 x 1+ x + 2x2 2 4 dx :2 x + x x + x 2 x + c D 3 5 x 2 (x - 1) (x + 2) x ; dx + x - 2 ln x + c D x 2 2 x2 - 9 ; x - 3x + c D dx 2 x+3

62

yx

63

y

64

y

65

y

66

y

— — — — —

4

L’integrale della funzione esponenziale

y e x dx = e x + c; 67

y a x dx =

1 $ ax + c . ln a

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo gli integrali: a)

y (2e x + 3 $ 5 x) dx ;

b)

x-1

y 105 x

dx .

a) Applichiamo le proprietà di linearità.

y (2e x + 3 $ 5 x) dx = 2 y e x dx + 3 y 5 x dx . Applichiamo le formule degli integrali delle funzioni esponenziali: 1 3 2 y e x dx + 3 y 5 x dx = 2e x + 3 $ 5 x + c = 2e x + $ 5x + c . ln 5 ln 5 b) In questo caso occorre semplificare la frazione integranda in modo da ricondurci a un unico esponenziale: x x-1 x y 105 x dx = y 105 x $ 10- 1dx = y b 105 l $ 101 dx = 101 y 2 x dx = 101 $ ln12 $ 2 x + c .

1404

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PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

ESERCIZI

Calcola i seguenti integrali. 68

—

69

—

70

—

71

—

72

—

: 4e x + 5 $ 3 x + c D ln 3 x 2 x x x x y (2 +2e +2 $ 4 ) dx ; ln 2 +2e + ln12 $ 4 x +c D 2 ; x + 7 $ 7x + cE y (x + 7 $ 7 x) dx 2 ln 7 1 65e x + ln x + c @ y b5e x + x l dx

y (4e x + 5 $ 3 x) dx

y (2 - e

x

x

73

y 79 x dx

74

y e x (1 - 2xe- x) dx

75

y (22x $ 3 x +

76

y 4 x - 1 $ 2- x + 2 dx

—

—

——

——

x

- 5 + x ) dx

;

1 9 x $ b l + cE ln 9 - ln 7 7

5e x - x 2 + c ?

1 2 x ) dx : $ 12 x + x x + c D ln 12 3

: 1 2x + cD ln 2

x ; 2x - e x - 5 + 2x x + c E ln 5 3

L’integrale delle funzioni seno e coseno

y sen x dx =- cos x + c ; 77

y cos x dx = sen x + c ;

y sen12 x dx =- cotg x + c ;

y cos12 x dx = tg x + c.

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo y b1 + 2 sen x - cos x -

4 l dx . sen2 x

Applichiamo le proprietà di linearità. y b1 + 2 sen x - cos x - sen42 x l dx = y1dx + 2 y sen x dx - y cos x dx - 4 y sen12 x dx = Applichiamo le formule degli integrali delle funzioni goniometriche: = x + 2 $ (- cos x) - sen x - 4 (- cotg x) + c = x - 2 cos x - sen x + 4 cotg x + c .

Calcola i seguenti integrali. 78

y sen x - 2 3 cos x dx

;- cos x +

79

y b sen3 x

80

y b- x23 + sen x -3 cos x l dx

:- cos x - 5 sen x + c D 3 x + sen x 1 cos ; 2 + cE 3 x

81

y b cos12 x

— — — —

82

—

83

——

84

——

85

——

- 5 cos x l dx

2 + 3 sen x l dx sen 2 x y b sen22 x + 1x - sen x l dx sen 2x dx y - 2cos x 2 x-4 dx y 2 sen sen2 x + 2 sen 2x dx y 5 sen xsen x -

86

y tg2 x dx

87

2x dx y 4cos cos2 x

—— ——

3 sen x 2

+ cE

6 tg x + 2 cotg x - 3 cos x + c @

6- 2 cotg x + ln x + cos x + c @ 5 4 cos x + c ?

62x + 4 cotg x + c @ 55x + 4 sen x + c ?

6 tg x - x + c @

: 1 x - 1 tg x + c D 2 4

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1405

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

L’integrale delle funzioni le cui primitive sono le funzioni inverse circolari

y 88

1 dx = arcsen x + c =- arccos x + c ; 1 - x2

y 1 +1 x2 dx = arctg x + c =- arccotg x + c .

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo gli integrali: 2 5 + m dx ; 1 + x2 1 - x2

a)

yc

a)

yc

b)

y 1 6+x x2 dx = 6 y x 1++1x-2 1 dx .

b)

2

y 1 6+x x2 dx .

2 5 1 1 + dx + 5 y dx . m dx = 2 y 1 + x2 1 + x2 1 - x2 1 - x2 Applichiamo le formule degli integrali delle funzioni inverse circolari: 1 1 2y dx + 5 y dx = 2 arcsen x + 5 arctg x + c . 1 + x2 1 - x2 2

2

Ora possiamo spezzare la frazione integranda nella somma di due frazioni di cui l’integrale è noto: 1 x2 + 1 x2 + 1 - 1 6y dx - 6 y dx = 6 y dx - 6 arctg x + c = 6 (x - arctg x) + c . dx = 6 y 2 1 + x2 1 + x2 1+x Calcola i seguenti integrali. 89

—

90

—

91

—

92

—

93

——

y c 1 +12x2 -

4 m dx 1 - x2 y b1 + 1x + 1 +1 x2 l dx 2 1 + m dx 62 arcsen x + 2 x + c @ x 1 - x2 x y c2 x - 114- x2 m dx ; ln2 2 + 14 arccos x + c D 2 [- x + arctg x + c] y 1-+xx2 dx

yc

612 arctg x + 4 arccos x + c @

6 x + ln x + arctg x + c @

94

y b 4 +14x2 + 1 +2 x2 l dx

95

yc

96

y

——

——

——

1+x + 1-x 1 + 2x 2 dx 1 + x2

1-x m dx 1+x

: 9 arctg x + c D 4 [2 arcsen x + c] [2x - arctg x + c]

L’integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta 97

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo y 3x2 (x3 - 2) 4 dx . Osserviamo che D [x3 - 2] = 3x2 . Possiamo applicare la formula y 6 f (x)@a f l(x) dx =

y (x3 - 2) 4 $ 3x2 dx =

1406

6 f (x)@a + 1 + c , ponendo f (x) = x3 - 2 e a = 4 : a+1

(x3 - 2) 4 + 1 (x3 - 2) 5 +c = + c. 4+1 5

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PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

ESERCIZI

Calcola i seguenti integrali. 98

y 2x (x2 - 1) 3 dx

99

y (3x - 2)

— —

4

dx

100

y 14 (7x - 5) 3 dx

101

y x (4 - 3x2) 5 dx

102

y (x2 +2x -1) 5 (x +1) dx

103

y cos x sen x

104

y 6 sen5 x cos x

105

yx

— — — — — —

114

3

2 4 ; (x - 1) 4 (3 x 2) 5 ; 15 4 ; (7x - 5) 2 (4 3x 2) 6 ;36 2 + - 1) 6 ( x 2 x ; 12 4 ;- cos x 4

+ cE + cE + cE + cE + cE + cD

[sen6 x + c] (x2 + 1) 3 + cE 3

;

x2 + 1 dx

106

y

107

y e2x

108

y (xx3 ++3x1) 3 dx

109

y (x2 3+x 1) 3 dx

110

——

y

——

111

y

——

112

y

113

y

— —

4x + 1 dx 5 + e2x dx 2

— —

——

;

(4x + 1) 3 + cE 6

:1 3

(5 + e 2x) 3 + c D

1 + cE 6 (x3 + 3x) 2 3 + cE ;4 (x2 + 1) 2 63 3 x 4 + 1 + c @

;-

4x3 dx (x 4 + 1) 2 cos 3x : 1 sen 3x + c D dx 3 2 sen 3x 6x + arcsen 4 x arcsen5 x E 2 dx ;- 6 1-x + +c 2 5 1-x 2 3 x 2 + ln2 x ; x + ln x + c E dx x 2 3 3

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo

y 2x122 +x 1 dx .

Osserviamo che il numeratore è un multiplo della derivata del denominatore: D [2x2 + 1] = 4x . Applichiamo la seconda proprietà di linearità e la regola

y

f l(x) dx = ln f (x) + c : f (x)

y 2x122 +x 1 dx = 3 y 2x42 x+ 1 dx = 3 ln (2x2 + 1) + c . Calcola i seguenti integrali.

: 1 ln 2x - 5 + c D 2 : 1 ln x3 + 2 + c D 3

115

y 2x 1- 5 dx

116

y x3x+ 2 dx

117

x dx y x48+ 1

118

1 dx y x2 +x + 2x - 3

—

2

—

3

— —

123

62 ln (x 4 + 1) + c @

: 1 ln x 2 + 2x - 3 + c D 2

2

119

y 3xx3 ++24xx2 ++ x1 dx

120

y cossenx +x 2 dx

121

y 1 + tgln xcos x dx

122

x dx y 7x +1 +arctg x2

— — —

3

——

6 ln x3 + 2x2 + x + c @ 6- ln (cos x + 2) + c @

7- ln 1 + ln (cos x) + c A 4 ; 7 ln (1+ x2)+ arctg x + c E 2 4

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo y e x

2-x

(4x - 2) dx .

Raccogliamo 2 e applichiamo la seconda proprietà di linearità:

y e x - x (4x - 2) dx = 2 y e x - x (2x - 1) dx . Applichiamo la regola y f l(x) e f (x) dx = e f (x) + c , essendo D [x2 - x] = 2x - 1: 2 y e x - x (2x - 1) dx = 2e x - x + c . 2

2

2

2

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1407

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Calcola i seguenti integrali. 1

1

124

x y (e- x + 2x) dx y ex2 dx

125

y e3x + 1dx

126

y ex

127

y ecosx sen x dx

128

y e x sen x (sen x + x cos x) dx

—

—

—

—

—

134

2

5- e- x + x2 + c ? : 1 e3x + 1 + c D 3 2 : 1 ex + cD 2

$ x dx

5- ecosx + c ? 5e x sen x + c ?

1

ex dx x2 e x dx x 3 lnx dx x

129

y

130

y

131

y

132

y e x 52e dx

133

y 2 x - x (6x2 - 4x) dx

—

—

——

——

——

7- e x + c A 62e

+ c@

lnx

; 3 + cE ln 3 x

2e ; 5 + cE 2 ln 5

x

3

x

;2

2

x3 - x2 + 1

ln 2

+ cE

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo

y senxln x dx .

Scriviamo l’integrale nella forma: y 1x sen ln x dx . 1 è la derivata dell’argomento del seno, cioè di ln x. Il fattore x Applichiamo la regola y f l(x) sen f (x) dx =- cos f (x) + c : y 1x sen ln x dx =- cos ln x + c . Calcola i seguenti integrali. 135

y cosxln x dx

136

y sen x x

137

y (x + 2) cos (x2 + 4x) dx

2 ; sen (x + 4x) + c E 2

138

y cos2x(x+2 +2 4x) dx

: 1 tg (x 2 + 4x) + c D 2

—

—

—

—

143

5sen ln x + c ? 6- 2 cos x + c @

dx

139

y sen2 (24xx2++1x +3) dx

140

y x cos12 (ln x) dx

141

y sene xe

142

y sec2 b2x + r4 l dx

—

——

-x

——

——

6- cotg (2x2 + x +3)+c @

dx

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo

y x + x1ln2 x dx .

Raccogliendo x al denominatore, l’integrale diventa: y 1x $ 1 +1ln2 x dx . Essendo D [ln x] =

y 1x 1408

$

1 , applichiamo la regola x

y f l(x) 1 + 1f 2 (x) dx = arctg f (x) + c :

1 dx = arctg ln x + c . 1 + ln2 x

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6 tg (ln x) + c @

5cos e- x + c ? r

> tg b2x + 4 l + c H 2

RIEPILOGO GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

ESERCIZI

Calcola i seguenti integrali di funzioni composte la cui primitiva è una funzione inversa circolare. x

144

y 1 +e e2x dx

[arctg e x + c]

145

y 1 +x x4 dx

: 1 arctg x2 + c D 2

146

y

147

y

— — —

——

ex dx 1 - e2x 1 dx x +x x

[arcsen e x + c] 72arctg x + c A

152

2 arctg 6 f (x)@ + c 4 occorre che f (x) sia uguale a:

TEST

B C 153

154

——

TEST

B C D E

157

=

——

149

y

——

150

y

151

y

——

155

——

D E

3

; arc sen x 3 1 : arc sen 5x 5 3 1 2x : arctg 3 3 1 cos x :- arctg 2 2

a

A B

D

y2

E 156

——

L’integrale y x 2a - 3 dx è uguale a: 1 x 2a - 4 + c , 2a - 3 1 x2a - 2 + c , 2 (a - 1) 1 x2a - 4 + c , 2a - 4 1 x2a - 3 + c , 2 (a + 1) 1 x2a - 3 + c , 2a - 4

con a !

3 . 2

con a ! 1.

b

dx =-

f (x) =

2) 3)

f (x) =

+ cD + cD + cD

3 + x 2 - 2x3 + c ? x

a = 4/b = 5 a = 3/b = 5 a = 2/b = 4 a = 3/b = 4 Nessuna delle precedenti.

TEST Sia f (x) una funzione continua e derivabile, tale che f l(x) = 3x, allora si può scrivere: A

y x f (x) dx = f 2 (x) + c .

B

y 3x f 2 (x) dx = f 3 (x) + c .

C

y 2x f (x) dx = 3f 2 (x) + c .

D

y x f 2 (x) dx =

E

y 6x f 5 (x) dx = f 6 (x) + c .

1 3 f (x) + c . 9

6a ! R . con a ! - 1. con a ! 2 .

ASSOCIA alle seguenti funzioni f(x) le corrispondenti primitive F(x). 1)

+ cE

TEST Che valori devono assumere gli esponenti reali a e b affinché sia vera l’uguaglianza

C

L’uguaglianza

x2 dx 1 - x6 1 dx 9 - 25x2 2 dx 9 + 4x 2 sen x dx 4 + cos2 x

y 3 + 2xx2- 6x

2x . 2 2 . 2x

1 dx = f (x) + c è f (x) generalmente falsa. Tuttavia vale per una delle seguenti funzioni. Quale? A f (x) = sen x D f (x) = e x B f (x) = 3x E f (x) = x 2 C f (x) = x + 28 TEST

A

——

y x2dx+ 8

2 x. 8 x . 2 2 4 . 2x

A

—

Affinché

——

y

Gli integrali indefiniti immediati

RIEPILOGO

—

148

4x - 6 x2 - 3x

1 2 (x - 3x) 3 + c 3

a)

F (x) =

f (x) = (2x - 3) (x 2 - 3x) 2

b)

F (x) = ln (x 2 - 3x) 2 + c

4x - 6 (x2 - 3x) 2

c)

F (x) =

2 +c 3x - x2

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1409

ESERCIZI

CAPITOLO 19. GLI INTEGRALI

Calcola i seguenti integrali. 158

y (6x5 + 5x4 - 4x3 + 2x) dx

159

y b 23

160

y b x13 +

— — —

161

—

162

—

163

—

164

—

165

—

166

—

167

—

168

—

169

—

170

—

171

—

172

—

173

—

174

—

175

—

x + 3x 2 - 3l dx

2 + x + 1l dx x2 4 3 2 y b x + x -3x + x - 1 l dx 3 2 y x + x x+3 x + 1 dx 4 2 y b x +4 x + x - 4l dx y b- x3 + x x l dx 3 2 y b x -2 x + x -3 1 l dx 2 4 y c x44 + x32 + x3 + x4 m dx y b x2 + 1x + 3 x l dx y c 5 1 3 - x + x12 m dx x 4 3 y b x - 5 x4 + x12 l dx y c 1x5 + 3 1 5 - 4 3 7 m dx x x 2 1 y b2x2 - x l dx y (4x - 1) b 12 x + 2l dx 2 y b x + x22 l dx 2 y c x - 1x m (x + 1) dx y (1 + x2x) (1 - x) dx

176

y sen2 x cos x dx

177

y lnx x dx

178

x + sen x dx y cos sen x - cos x

179

yx

180

y

181

y

182

y

183

y

—

3

— — —

—

— — —

5 x 6 + x5 - x 4 + x 2 + c ? 6 x x + x3 - 3x + c @ 2 ;- 1 2 - 2 + x + x + c E x 2 2x 5 4 x x x3 x2 x ; + + - + cE 15 12 9 6 3 1 1 ; x + ln x - - x2 + c E x 2 5 3 x x x2 ; + + - 4x + c E 20 12 2 2 ;- 3 ln x + 2x $ x + c E 5 4 3 2 x x x x ; + - + cE 8 6 6 3 3 5 4 3 x x ;- 3 - + + + cE 9 20 x 3x 3 ;2 ln x + 2 x + 3x $ x + c E 4 2 5 2 5 x 1 ; x - + cE 2 2 x 5 4 4 5 1 4 3 : x $ x - x $ x - + cD 7 9 x 2 3 4 - 3 2 + 4 3 + cF

a) A =

2 7 , tg a =- ; b) A = 6 85

F R - k2 P , tg a = ; 2 kQ R 2 Q + b - kP l k

, F c) la soluzione generale dell omogenea associata contiene fattori esponenziali decrescenti 2 H R Q + b - kP l k 2

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1519

ESERCIZI

14

——

CAPITOLO 20. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Un corpo di massa m è agganciato a una molla di costante elastica k e si muove in traiettoria rettilinea orizzontale. Il corpo è soggetto a una forza di attrito dinamico proporzionale al peso e alla velocità istantanea, con coefficiente n noto. Dal secondo principio della dinamica sappiamo che l’equazione del moto è la seguente equazione differenziale del secondo ordine lineare: - kx - nmg

dx d2 x =m 2 , dt dt

dx la forza di attrito dinamico. dt a) Discuti la soluzione generale in funzione dei coefficienti k, n, m e delinea in modo qualitativo il corrispondente moto. b) Nel caso in cui l’equazione caratteristica associata abbia D = 0, determina la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali: dove g è l’accelerazione di gravità, - kx la forza elastica, - nmg

)

x (0) = 0 v (0) = v0

v è la velocità

c) Se l’attrito è nullo (n = 0) , come diventa l’equazione? Quali sono la soluzione generale e il tipo di moto corrispondente? 1

1

- ( ng + D ) t - (ng - D ) t 4k ;a) D = n2 g 2 - 4k ; se ng 2 , x = c1 e 2 + c2 e 2 , moto aperiodico smorzato; m m k l 1 -b t - ngt 4k 4k m , moto aper. smorz.; se ng 1 se ng = , x = (c1 + c2 t) e , x = (c1 cos ~t + c2 sen ~t) e 2 m m k l 2 t -b -D m ; c) m d x + kx = 0; con ~ = , moto oscillatorio smorzato; b) x = v0 te 2 dt 2 k x = c1 cos ~0 t + c2 sen ~0 t = A cos (~0 t + z), con ~0 = , moto oscillatorio periodico (armonico semplice)E m

TEST YOUR SKILLS 15

—

Given the equation 4y m + 3y l - y = 0 and its solution y = emt, what are the values of m?

18

—

y m + 2y l + 5y = 2 sin x .

(USA Rice University Mathematics Tournament, 2006) 16

—

Show that the function y = ae x + be- 2x + ce3x satisfies the (differential) equation d3 y d2 y dy 3 -2 2 - 5 dx + 6y = 0 dx dx

(CAN University of New Brunswick, Final Exam, 2006) 19

—

for all values of the constants a, b and c.

17

Find the solution of each differential equation: dy a) = 3x 2 (y 2 + 1); y (0) = 0; dx dy b) + y = 2e- x; dx c) y m - 2y = 0; d) 2y m - y l + y = 0.

Solve the initial value problem: dy xy = ln x, dx y (1) = 2. (CAN University of New Brunswick, Final Exam, 2001)

(CAN University of New Brunswick, Final Exam, 1997)

—

Use undetermined coefficients to find the general solution to the differential equation:

20

—

Find y (x) if

dy = y + 2xy and y (0) = 3 . dx

(CAN University of New Brunswick, Final Exam, 1998) GLOSSARY

coefficient: coefficiente constant: costante to find-found-found: trovare

to satisfy: soddisfare undetermined: indeterminato value: valore

(CAN University of New Brunswick, Final Exam, 2005)

1520

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CAPITOLO

21

[numerazione araba]

[numerazione devanagari]

[numerazione cinese]

L’ANALISI NUMERICA

MODELLI

UNA VELA SVIZZERA Nel 1851, in occasione dell’Expo di Londra, venne organizzata una regata attorno all’isola di Wight. Il New York Yacht Club, con una goletta chiamata America, vinse la fantastica coppa in palio. Proprio questa vittoria di America ha fatto in modo che la regata di vela più famosa del mondo prendesse il nome di America’s Cup. Da allora la coppa è rimasta nelle mani degli americani fino al 1983, quando furono gli australiani a vincere. Nelle edizioni del 2003 e del 2007 il primato è toccato ad Alinghi, una barca svizzera.

Qual è stato il segreto della barca a vela Alinghi? La risposta a pag. 1538

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TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

IN PRATICA 

Videolezione 71

1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE Introduzione Quando è possibile trovare le soluzioni di un’equazione, si dice anche che esiste un metodo di risoluzione esatta dell’equazione. Per esempio, sappiamo che esiste la risoluzione esatta per le equazioni algebriche di primo e di secondo grado. Possono essere risolte in modo esatto anche le equazioni di terzo e quarto grado. Tuttavia, la risoluzione esatta di un’equazione non è sempre possibile. Per esempio, ci sono equazioni algebriche di grado superiore al quarto per le quali non esiste un procedimento di risoluzione esatta.

● Le equazioni trascendenti sono le esponenziali, le logaritmiche, le goniometriche e le miste.

Anche per le equazioni trascendenti non esistono formule risolutive e soltanto alcune di esse si possono risolvere mediante un numero finito di operazioni elementari. È dunque importante lo studio dei procedimenti di risoluzione approssimata, o numerica. Ogni equazione a una incognita può essere scritta nella forma: f (x) = 0. Trovare le radici, ossia le soluzioni, dell’equazione equivale a ricercare gli zeri della funzione y = f (x ), ossia le intersezioni del grafico con l’asse delle ascisse.

● Un’iterazione è un procedimento che si ripete più volte.

I metodi di risoluzione numerica di un’equazione si basano sulla costruzione di una successione di numeri reali che converga alla soluzione esatta. I termini della successione sono valori approssimati della soluzione e, mediante iterazioni successive, possiamo ottenere un valore approssimato vicino quanto vogliamo alla soluzione. La ricerca delle soluzioni approssimate è composta da due fasi: 1. la separazione delle radici, ossia la determinazione di intervalli che contengono soltanto una radice; 2. il calcolo di un valore approssimato con la precisione voluta.

La separazione delle radici Per separare una radice dell’equazione f(x) = 0 dobbiamo essere certi che esista almeno un intervallo [a; b ] in cui la f abbia soltanto uno zero. A questo scopo richiamiamo alcune proprietà delle funzioni continue. TEOREMA

Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f (a) $ f (b) 1 0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, ossia:

y f(b) y = f(x) O

a c

f(a)

7 c ! @a; b6 tale che f (c) = 0.

1522

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b x

PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

TEORIA

Questo teorema assicura l’esistenza di almeno una soluzione dell’equazione f (x)= 0 nell’intervallo [a; b], ma non ne garantisce l’unicità. Vediamo allora due condizioni sufficienti per l’unicità della soluzione. TEOREMA

Primo teorema di unicità dello zero Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso, derivabile con derivata prima diversa da 0 nei suoi punti interni e, inoltre, f (a) $ f (b) 1 0, allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, ossia:

y f(b) y = f(x) a c

O

b

x

f(a) f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x)  0 & ∃! c ∈]a; b[ ⎪ f(c) = 0

7! c ! @a; b6 tale che f (c) = 0.

● Il simbolo 7! significa esiste uno e un solo.

● In particolare, il teorema è valido se f l(x) 1 0 oppure f l(x) 2 0, quindi se la funzione è

monotòna.

● Ricorda che, se

f l (x) 2 0 , la funzione è crescente, se f l (x) 1 0 , la funzione è decrescente.

ESEMPIO

Consideriamo la funzione f (x) = x ln x - 4 con x ! [2; 4]. Essa è continua nell’intervallo considerato, perché è data dal prodotto di funzioni continue. La sua derivata prima è: 1 f l(x) = ln x + 1 ! 0 se ln x ! - 1 " x ! , quindi f l(x) ! 0 6 x ! ]2; 4[. e Infine f (2) = 2 ln 2 - 4 1 0 e f (4) = 4 ln 4 - 4 2 0. La funzione verifica tutte le ipotesi del y y = x ln x –4 teorema e quindi si annulla soltanto una volta in [2; 4]. 2

4

x

–4

 Figura 1 Il grafico della funzione

f(x) = x ln x - 4.

Se invece f l( l(x)) = 0 in un punto d di ]]a; b[ b[, ossia f(x) non è monotòna, l’equazione f(x) = 0 ammette ancora un’unica radice in [a; b] se la concavità è rivolta verso l’alto in ogni punto di [a; b], oppure rivolta verso il basso, ossia se f m(x) ha segno costante in [a; b]. y f''(x) < 0

y = f(x)

f(b)

f(b) a

O f(a)

 Figura 2

y

c3

a c

b

x

O f(a)

c1

c2

b

x

y = f(x)

a. Le condizioni f(a) f(b) < 0 e f ''(x) < 0 b. Se f ''(x) cambia di segno, la funzione ∀ x ∈ [a; b] assicurano l’esistenza di uno può avere più di uno zero anche se f(a) f(b) < 0. zero soltanto.

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1523

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

TEOREMA

Secondo teorema di unicità dello zero Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b], derivabile due volte nei suoi punti interni, e se f(a) $ f (b) 1 0 e, inoltre, f m(x) 2 0, oppure f m(x) 1 0, 6x ! ]a; b[, allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, ossia: 7! c ! @a; b6 tale che f (c) = 0. ESEMPIO

Verifichiamo che, nell’intervallo [0; 2], la funzione y =x 5 - 3x - 1 presenta soltanto uno zero. ● Verifica che con le con-

dizioni poste in questo esempio non è possibile applicare il primo teorema di unicità.

La funzione è continua in tutto l’intervallo e ammette derivata prima e seconda in tutti i suoi punti: y l = 5x 4 - 3,

y m = 20x 3.

Inoltre risulta: ym 2 0 6 x ! ]0; 2[,

y y =x 5 – 3x –1 O –1

2

x

–1

y(0) = - 1 1 0 e y(2) = 25 2 0.  Figura 3 Il grafico della

funzione y = x 5 - 3x - 1.

Per il secondo teorema di unicità la funzione y si annulla una sola volta nell’intervallo [0; 2]. La separazione delle radici di una funzione può essere facilitata da uno studio grafico preventivo. Attraverso il grafico possiamo renderci conto del numero di radici contenute in un intervallo e quindi individuare gli intervalli in cui la funzione soddisfa uno dei teoremi di unicità. ESEMPIO

Separiamo le radici dell’equazione ln x - x 2 + 2 = 0. Scriviamo l’equazione nella forma ln x = x 2 - 2 e confrontiamo i grafici delle funzioni g (x) = ln x e h(x ) = x 2 - 2.

 Figura 4

1524

Le intersezioni delle due curve rapy presentano gli zeri della funzione h(x) = x2 – 2 f (x) = ln x - x 2 + 2, cioè le soluzioni dell’equazione data. Dal grafico (figura 4) vediamo che g e h hanno due punti di intersezione, x1 quindi l’equazione ha due soluO 1 x2 2 x zioni, x 1 e x 2 . Possiamo notare che 6 @ x1 appartiene all’intervallo 0; 1 , 2 mentre x 2 a 6 2 ; 2@ e lo verifichiamo applicando i teoremi di esisteng(x) = ln x za e unicità. Osserviamo però che la funzione f (x) non è definita in x = 0 , quindi consideriamo l’intervallo [0,1; 1]. id i l’i ll [0 1 1] In tale intervallo f (x) è continua, negli estremi assume valori di segno opposto, cioè f (0, 1) $ f (1) 1 0 , pertanto, per il teorema di esistenza degli zeri, ammette almeno una soluzione.

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PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

TEORIA

Calcoliamo la derivata di f (x): f l(x) =

1 1 - 2x 2 - 2x = . x x

Tale derivata non si annulla mai nei punti interni di [0,1; 1], quindi, per il primo teorema di unicità, la soluzione è unica. In modo analogo si procede per x2 .

Il metodo di bisezione Vediamo ora in che modo calcolare un valore approssimato di una radice. Consideriamo l’equazione x 3 - x + 1 = 0. Cerchiamo eventuali soluzioni con un’approssimazione inferiore a 0,3. Separiamo le radici dell’equazione x3 - x + 1 = 0 . Scriviamo l’equazione nella forma x3 = x - 1 e rappresentiamo i grafici di g (x) = x3 e h (x ) = x - 1 . Le due curve si intersecano in un solo y g(x) = x3 punto di ascissa c, appartenente all’intervallo 6- 2; 0@, che rappresenta l’unica soluzione dell’equazione x3 - x + 1 = 0, come si può confermare con i teoremi di h(x) = x – 1 c esistenza e unicità. x O –2 Il procedimento di separazione delle radici ci ha permesso di identificare un intervallo, in questo caso [-2; 0], a cui appartiene l’unica soluzione dell’equazione. Indichiamo gli estremi di questo intervallo con a0 e b0.

Il punto medio dell’intervallo è m0 = mato della soluzione c.

● Questo metodo si chiama anche dicotomico o del dimezzamento.

● In 5- 2; 0? la funzione

f (x) = x3 - x + 1 è continua e f (- 2) f (0) = (- 5) (1) 1 0 . È inoltre derivabile con f m (x)= 6x1 0 , 6x ! 5- 2; 0?.

 Figura 5

a0 + b0 =- 1: esso è un valore approssi2

Il grado di approssimazione corrisponde alla quantità m0 - c , che non possiamo b - a0 . Assumiamo il numero podeterminare ma che è certamente minore di 0 2 b0 - a0 come stima del grado di approssimazione. sitivo f0 = 2 Poiché f0 = 1 2 0,3 , ricerchiamo un’approssimazione migliore. Dato che f (-1) = 1 2 0, per il teorema di esistenza degli zeri la soluzione esatta è contenuta nell’intervallo [a 1 ; b 1 ] = [-2; -1]. Procedendo come prima otteniamo il seguente valore approssimato per la soluzione m1 =

a1 + b1 3 =- =- 1, 5 , 2 2

a cui corrisponde un’approssimazione f1 =

b1 - a1 1 = = 0, 5 . 2 2

Anche in questo caso f1 2 0,3, quindi proseguiamo la ricerca.

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1525

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

Poiché f (-1,5) = - 0,875 1 0, la soluzione esatta è compresa nell’intervallo [a 2 ; b 2 ] = [-1,5; -1]. Ripetendo il procedimento, otteniamo il seguente valore approssimato: b - a2 a + b2 1 5 =- =- 1, 25 , con f2 = 2 = = 0, 25 . m2 = 2 2 4 2 4 In questo caso f2 1 0,3, pertanto terminiamo il calcolo perché abbiamo ottenuto un’approssimazione inferiore a quella richiesta. Diciamo che il valore approssimato della soluzione è -1,25 con un’approssimazione di 0,25.  Figura 6

a0 –2

m0 c –1

f (b 0) 1 0 si risolve in modo simile.

● Gli intervalli che si ottengono nelle iterazioni successive hanno ampiezza b -a fn = 0 n + 1 0 e ognuno di 2 essi contiene la soluzione esatta. Poiché n lim fn = 0 , "+3 la successione delle soluzioni approssimate tende alla soluzione esatta. fn è anche l’approssimazione raggiunta con l’n-esima iterazione. ● Questo metodo è detto anche di Lagrange o delle parti proporzionali.

–2

0

a

● Il caso in cui f (a 0) 2 0 e

a1

b0

a2

m1

b1 c –1 3 –– 2

b

–3 – 2

m2 c 5 –– 4

b2 –1

c

Riassumiamo in modo più generale il procedimento appena illustrato. Data l’equazione f (x) = 0, cerchiamo un intervallo [a 0 ; b 0 ] tale che f (a 0 ) $ f (b 0 ) 1 0 (per esempio f (a 0 ) 1 0 e f (b 0 ) 2 0) e in cui la funzione f si annulla soltanto una volta. Successivamente eseguiamo i seguenti passi. a + b0 1. Determiniamo il punto medio dell’intervallo [a 0 ; b 0 ], m0 = 0 , poi calco2 liamo f (m 0 ). 2. Se f (m 0 ) = 0, allora m 0 è la soluzione cercata e il procedimento è concluso. 3. Se invece f (m 0 ) ! 0, allora m 0 è un valore approssimato della soluzione a meno b - a0 . della quantità f0 = 0 2 4. Se l’approssimazione f0 è minore o uguale a quella voluta, il calcolo è terminato; in caso contrario proseguiamo. 5. Scegliamo il semintervallo contenente la radice ponendo: a 1 = m 0, a 1 = a 0,

b1 = b0 b1 = m 0

se f (m 0 ) 1 0; se f (m 0 ) 2 0.

6. Ritorniamo al punto 1 e ripetiamo il procedimento per l’intervallo [a 1 ; b1].

Il metodo delle secanti Consideriamo l’equazione: f (x) = 0

● Il caso in cui f (a 0) 2 0 e

e supponiamo che ammetta una sola radice c nell’intervallo [a 0 ; b 0 ], quindi f (a 0 ) $ f (b 0 ) 1 0 (per esempio supponiamo f (a 0 ) 1 0 e f (b 0 ) 2 0).

f (b 0) 1 0 si risolve in modo simile.

Siano A e B i punti del grafico della funzione y = f (x) di ascissa a 0 e b 0 . Tracciamo la corda AB, indicando con x 1 il suo punto di intersezione con l’asse delle ascisse.

1526

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PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

● Per determinare la retta AB, utilizziamo la formula della retta per due punti: y - f (a0) x - a0 . = f (b 0) - f (a0) b0 - a0

Ora eseguiamo i seguenti passi. 1. Calcoliamo f (x 1 ). 2. Se f (x 1 ) = 0, allora x 1 è la soluzione esatta dell’equazione. 3. Se f (x 1 ) ! 0, proseguiamo ponendo: a 1 = x 1, a 1 = a 0,

b 1 = b0 b1 = x1

se f (x 1 ) 1 0, se f (x 1 ) 2 0,

TEORIA

perché c ! ]x 1 ; b 0 [; perché c ! ]a 0 ; x 1 [.

4. Tracciamo la retta che congiunge i punti (a 1 ; f (a 1 )) e (b 1 ; f (b 1 )). Indichiamo con x 2 il punto di intersezione con l’asse delle ascisse e ripetiamo il procedimento dall’inizio applicandolo all’intervallo [a 1 ; b 1 ].

Per calcolare la sua intersezione x1 con l’asse x, poniamo y = 0 . Otteniamo: - (b0 - a0) f (a0) x1 = + a0 . f (b 0) - f (a 0)

y

y B x2

x3

A

y = f(x)

a0 x1 O

x

c b0

A

a0

O

x1 b0

x3

x2

B

x

c

y = f(x)  Figura 7 Rappresenta-

a. Caso f(a0) < 0, f(b0) > 0.

zione grafica del metodo delle secanti.

b. Caso f(a0) > 0, f(b0) < 0.

Otteniamo la successione x 1 , x 2 , …, x n , …, che contiene valori approssimati della soluzione c dell’equazione. Arresteremo la ricerca quando la differenza  x n - x n -1  fra due soluzioni approssimate successive è minore della precisione f che ci siamo prefissati. Se la funzione y = f (x) mantiene costante il segno della derivata seconda, cioè la concavità (figura 8), il metodo diventa più semplice, perché la successione x 1 , x 2 , …, x n , … è monotòna, e si dimostrano le seguenti formule di ricorrenza. f(a0)

yA

f(a0)

 Figura 8

yA A1

x3 x2 x1

b0

b0 x

O a0 c B2

B

a. f ''(x) e f(a0) sono concordi.

Se la concavità e il valore della funzione in a 0 sono concordi, ossia f (a 0) $ f m(x) 2 0:

n+1

= xn -

x

x1 x3

B

b. f ''(x) e f(a0) sono discordi.

a 0 - xn $ f (xn) f (a 0) - f (xn)

● Nel caso di funzioni la cui concavità non cambia, le secanti partono tutte dall’estremo la cui ordinata è concorde con il segno di f m.

Se la concavità e il valore della funzione in a 0 sono discordi, ossia f (a 0) $ f m(x) 1 0: x0 = a0

x0 = b0

*x

O a0

x2 B1

A2 c

*x

n+1

= xn -

b 0 - xn $ f (xn) f (b 0) - f (xn)

Quando la successione x 1, x 2, …, x n, … è decrescente, i suoi numeri sono approssimazioni per eccesso della radice c; quando invece è crescente, i suoi elementi sono valori approssimati per difetto.

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● Queste formule di ricorrenza sono valide quando la concavità della funzione non cambia nell’intervallo [a 0 ; b0], cioè quando il segno di f m(x ) è costante su [a 0 ; b0].

1527

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

ESEMPIO

Esaminiamo ancora l’equazione x 3 - x + 1 = 0 e consideriamo l’intervallo [a 0 ; b 0 ] = [-2; 0]. ● Applicando la formula

della retta per due punti, otteniamo y+5 x+2 , = 1+5 2 e quindi y = 3x + 1. y

y=x3 –x+ 1

B x2 –2

A

Indicati con A e B i punti di ascissa - 2 e 0 , tracciamo la retta AB, che ha equazione y = 3x + 1. Tale retta interseca l’asse delle ascisse in: x1 =-

1 =- 0, 333f 3

Posto f (x) = x3 - x + 1, poiché nell’intervallo considerato è valida la condizione f (a 0) $ f m (x) =- 5 $ 6x 2 0 , per calcolare i valori approssimati della soluzione utilizziamo la prima formula di ricorrenza: xn + 1 = xn -

1 x1 O

x

–5

2 + xn - 2 - xn $ f (xn) = xn $ f (xn). 5 + f (xn) - 5 - f (xn)

2 + x1 $ f (x1) e quindi, sostituendo x1 =- 0, 3333 , si ha 5 + f (x1) x2 = 0, 6764706 . Applichiamo di nuovo la formula, costruiamo la tabella e vediamo che i valori approssimati della soluzione sono decrescenti. Inoltre, dall’undicesimo in poi comincia a essere stabile la cifra dei millesimi. Pertanto la soluzione approssimata, a meno di 10- 3 , è -1,324. Se n = 1, è x2 = x1 -

x1

-0,3333333

x5

-1,2422589

x9

-1,3218915

x2

-0,6764706

x6

-1,2885322

x10

-1,3235181

x3

-0,9606186

x7

-1,3091422

x11

-1,3242089

x4

-1,1444253

x8

-1,3180706

x12

-1,3245021

● Mentre il metodo di bisezione è semplice e intuitivo, ma richiede numerose iterazioni per ottenere una buona precisione, con il metodo delle secanti possiamo ottenere una precisione migliore con un minor numero di iterazioni. ● Il metodo delle tangenti si chiama anche metodo di Newton-Raphson.

Il metodo delle tangenti Questo metodo si applica quando, in un intervallo [a 0; b 0], la derivata seconda della funzione f è continua e mantiene costante il suo segno. Cominciamo determinando la retta tangente al grafico della funzione y = f (x) nell’estremo la cui ordinata è concorde con f m(x).

 Figura 9 La successione

degli zeri approssimati di f dedotta con il metodo delle tangenti.

● x1 non coincide con c

perché x1 appartiene alla tangente, mentre c appartiene al grafico di f(x). Poiché in [a0; b0] la concavità non cambia, il grafico di f è tutto al di sopra o tutto al di sotto della tangente e non può intersecarla in due punti.

1528

Nell’esempio in figura abbiamo:

y

f m(x) 2 0 6x ! [a 0; b 0] e f (b0) 2 0.

B y = f(x)

L’equazione della tangente in B è: y - f (b 0) = f l(b 0) $ (x - b 0). Tale tangente interseca l’asse delle x nel punto di ascissa:

f(x1) f(x2)

a0

O

c x3 x2

A

f (b0) x1 = b0 , f l(b0) x 1 è un valore approssimato della radice c.

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x1 b0 x

PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

TEORIA

Ora calcoliamo f (x 1 ) e determiniamo la tangente alla funzione in (x 1 ; f (x 1 )): y - f (x 1 ) = f l(x 1 ) $ (x - x 1 ). Determiniamo nuovamente il punto di intersezione della tangente con l’asse delle x: x 2 = x1 -

f (x1) . f l(x1)

Reiterando il procedimento, otteniamo la seguente formula di ricorrenza: xn + 1 = xn -

f (xn) . f l(xn)

La successione x 1, x 2, …, x n, … è monotòna (in questo caso decrescente) e converge a c. I suoi termini sono valori approssimati (in questo caso per eccesso) di c. Il procedimento sarà arrestato quando la differenza x n - x n -1  è minore della precisione richiesta (in pratica, quando comincia a stabilizzarsi la cifra decimale da noi stabilita). ESEMPIO

Analizziamo di nuovo l’equazione x3 - x + 1 = 0 in [a 0 ; b 0 ] = [-2; 0]. Il punto di partenza è il primo estremo della curva, cioè (-2; -5), perché: f (-2) = - 5 1 0

e

f m(x) = 6x 1 0,

● La formula di ricorrenza si applica quando f m(x) è continua e ha segno costante in [a0; b0] e il punto di partenza della successione approssimante è l’estremo dell’intervallo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda. ● Se la successione x 1, x 2, …, x n, … converge, allora xn - xn - 1 tende a 0 per n tendente a + 3 .

6x ! [-2; 0[.

Utilizzando la formula di ricorrenza, compiliamo una tabella. n

xn

f (x n) = x3n

xn + 1

f ’(xn) = 3x 3x2n

0

-2

-5

11

1

-1,545454545

-1,145755071

26,165289256

2

-1,359614916

-0,153704934

24,545658159

3

-1,325801345

-0,004624917

24,273247619

4

-1,324719049

- 4, 65772 $ 10- 6

24,26464168

5

-1,324717957

- 4,74043 $ 10- 12

24,264632999

6

-1,324717957

- 2,22044 $ 10- 16

24,264632999

1

Osserviamo che i valori approssimati della soluzione sono crescenti. Inoltre, dal sesto in poi sono stabili otto cifre decimali. Pertanto, la soluzione approssimata a meno di 10- 8 è -1,32471795.

● Tutti i numeri della colonna «x n», tranne il primo, sono calcolati con la formula di ricorrenza.

● Avendo usato 9 cifre decimali, nulla si può dire sull’ultima cifra.

● Il metodo di Newton è molto efficiente se f l(xn ) è grande (in valore assoluto); lo è poco se

f l(xn ) è piccola, cioè se f interseca l’asse delle ascisse con una pendenza piccola. In ogni caso, la convergenza è più rapida con il metodo delle tangenti che con il metodo delle secanti. Tuttavia, poiché richiede due valutazioni di funzione (una per la funzione f stessa e una per la sua derivata), il metodo delle tangenti «costa» il doppio del metodo delle secanti. ● Uno svantaggio del metodo di Newton è quello di dover calcolare la derivata della funzione f.

Quando f è definita da una formula semplice, questo non è un problema, ma nelle applicazioni reali può diventarlo. Il metodo delle secanti risolve questo problema. Le iterazioni del metodo delle secanti si ottengono, infatti, dalle iterazioni del metodo di Newton, in cui alla retta tangente sia stata sostituita la retta secante.

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1529

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

● Si può dimostrare che, se il metodo delle secanti fornisce un valore della soluzione approssimato per difetto, il metodo delle tangenti ne fornisce uno per eccesso, e viceversa. Per questo l’uso congiunto dei due metodi permette di fare una valutazione sicura dell’errore. Per esempio, se a è un’approssimazione per difetto e b la è per eccesso, l’errore non supera b - a .

Il metodo iterativo o del punto unito Si può dimostrare che un’equazione f (x) = 0 può essere trasformata in un’altra equivalente del tipo: ● Se a è soluzione dell’equazione, allora g (a) = a. Il numero a è detto punto unito di g perché coincide con la propria immagine. Da qui il nome del metodo.

x = g (x). Questa equazione può essere trasformata nel seguente sistema equivalente: )

y=x y = g (x)

In questo modo la ricerca delle soluzioni dell’equazione data coincide con la determinazione dei punti di intersezione della funzione g con la bisettrice del primo e terzo quadrante del piano cartesiano. L’idea su cui si basa questo metodo è quella di individuare un percorso a spezzata che si avvicini indefinitamente a uno di tali punti. Si procede nel seguente modo. 1. Scegliamo un’approssimazione iniziale x 0 sull’asse delle x. 2. Da qui mandiamo la retta parallela all’asse delle y, di equazione x = x0 , fino a incontrare il grafico della funzione y = g (x) nel punto P 0 (x 0 ; g(x 0 )). 3. Da P 0 tracciamo la retta parallela all’asse delle x, di equazione y = g (x 0), fino a intersecare la bisettrice nel punto Q1 (x1; g (x 0)): poiché x = y , allora x1 = g (x 0). 4. Da Q1 tracciamo la retta di equazione x = x1 fino a intersecare la curva y = g (x) nel punto P 1 (x 1 ; g(x 1 )). 5. Ritorniamo al punto 3 e ripetiamo il procedimento a partire da P 1 .

 Figura 10 La rappresenta-

zione grafica del metodo del punto unito.

y

O

y = g(x)

g(x0)

P0

g(x2) g(α) g(x1)

Q1

g(x0) g(x1) g(x2) g(α)

y

y=x

Q2 P1

y=x

P0

Q1 P 2 Q3 P3 Q2

y = g(x)

P1

P2 α x2

x1

a. La successione x1, x2, ..., xn, ... è monotòna.

x0

x

O

x0 x 2 α x3

x1

x

b. La successione x1, x2, ..., xn, ... non è monotòna.

Ripetendo le iterazioni otteniamo la seguente successione di numeri: x 1 = g (x 0 ), x 2 = g(x 1 ), …, x n = g (x n -1 ), … Se questa successione è convergente, il suo limite è soluzione dell’equazione data. A volte la successione è monotòna (figura 10a), a volte è oscillante attorno al limite (figura 10b). 1530

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PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

TEORIA

È possibile dimostrare la seguente condizione sufficiente di convergenza. TEOREMA

Data un’equazione della forma x = g (x), se è possibile determinare un intervallo [a; b] in cui g è derivabile, ed esiste un numero m, con 0 1 m 1 1, tale che  gl(x ) # m 6x ! [a; b], allora: a) la successione x 1 = g (x 0 ), x 2 = g (x 1 ), …, x n = g (x n -1 ), … converge qualunque sia il punto iniziale x 0 ! [a; b]; b) il limite a = n lim x è l’unica soluzione dell’equazione data, nell’inter"+3 n vallo [a; b ].

● La verifica delle condizioni di convergenza è laboriosa, mentre risulta più agevole l’applicazione del metodo. Per questo, in genere, non si controllano le condizioni, ma si applica il metodo, verificando empiricamente la convergenza.

ESEMPIO

Determiniamo un valore approssimato, a meno di 10-3, della radice della seguente equazione:

 Figura 11 I grafici delle

y y=x–1 y = e–x

e- x - x + 1 = 0 .

funzioni y = e- x e y = x - 1 si intersecano in un unico punto P la cui ascissa è contenuta nell’intervallo [1; 2].

P

Per separare la radice scriviamo l’equazione nella forma e -x = x - 1 e disegniamo i grafici delle funzioni y = e- x e y = x - 1.

1

2

x

Per applicare il metodo del punto unito, scriviamo l’equazione nella forma: x = e- x + 1. Osserviamo che la funzione g (x) = e- x + 1 è derivabile su tutto R e inoltre 1 g l(x) = e- x # 1 1, 6x ! [1; 2]; pertanto, nell’intervallo [1; 2], il procedie mento di iterazione determina una successione convergente. Scegliamo x 0 = 1 come primo valore approssimato e calcoliamo i successivi con la formula: xn = 1 + e- xn - 1 . n

1 + e- xn - 1

0

xn

1,3679

1

1,3679

1,3679

2

1,2546

1,2546

3

1,2852

1,2852

4

1,2766

1,2766

5

1,2790

1,2790

6

1,2783

1,2783

7

1,2785

1,2785

La tabella mostra che dalla sesta iterazione in poi i valori approssimati della soluzione differiscono meno di 10- 3 . Dunque la soluzione approssimata, a meno di 10- 3 , è 1,278.

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1531

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

IN PRATICA 

Videolezione 72

L’integrazione numerica di una funzione f (x ) è un modo approssimato per calcolare un integrale definito di f.  Figura 12 L’integrale b

ya f (x) dx rappresenta l’area della superficie colorata A1 B1 BA, quando f(x) $ 0.

● Il calcolo numerico di un integrale si chiama anche quadratura numerica; le formule che si impiegano nel calcolo sono dette formule di quadratura.

Il calcolo numerico di un integrale definito si basa sul suo significato geometrico. Sappiamo che l’integrale definito di una funzione su un intervallo [a; b] rappresenta, quando f (x) $ 0 in [a; b], la misura dell’area del trapezoide corrispondente.

y

B y = f(x) A

abf(x) dx

Ognuno dei metodi che studieremo non è x O B1 A1 altro che un modo approssimato di calcolare l’area del trapezoide. Per semplicità, noi considereremo l’integrazione numerica soltanto nel caso di una funzione continua e derivabile in un intervallo limitato e chiuso. La continuità è condizione sufficiente per l’esistenza dell’integrale b

ya f (x) dx ; se inoltre la f è derivabile più volte, è possibile anche la stima dell’errore commesso.

Il metodo dei rettangoli Consideriamo una funzione f continua nell’intervallo [a; b] e, per semplicità, sia f (x) $ 0 in [a; b]. Dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti di uguale ampiezza b-a , mediante i punti di suddivisione: h= n x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h, …, x n = a + nh = b. Ai punti di suddivisione corrispondono i seguenti valori della funzione: y 0 = f (a), y 1 = f (x 1 ), y 2 = f (x 2 ), …, y n -1 = f (x n -1 ), y n = f (b). ● Ciascuna delle figure che otteniamo si chiama plurirettangolo.

 Figura 13

x x0=a x1 x2 x3 ... ... ... xn–2 xn–1 xn=b

Sui segmenti di suddivisione disegniamo i rettangoli che hanno ciascuno: • per base un intervallo di suddivisione; • per altezza il segmento determinato dal valore di f calcolato nel primo estremo di tale intervallo oppure nel secondo. b-a Otteniamo così due figure costituite da n rettangoli la cui base è h = . n

y

y

f(a) y1 y2 y3 ... ... ... yn–2 yn–1 f(b)

yn–1 y1

O x0 x1 x2 a

a. Nella tabella sono riportati i valori della funzione che hanno per ascissa un punto della suddivisione.

1532

y

b–a –––– yn–1 n

b–a –––– y1 n

b–a –––– f(b) n

b–a –––– y2 n f(b) y2

Sn'

Sn xn–1 xn x b

b. I rettangoli hanno come misura dell’altezza l’ordinata della funzione calcolata nel primo estremo degli intervalli di suddivisione.

O

x0 x1 x2 a

xn–1 xn x b

c. I rettangoli hanno come misura dell’altezza il valore della funzione calcolata nel secondo estremo degli intervalli di suddivisione.

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PARAGRAFO 2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

TEORIA

Se prendiamo sempre il primo estremo degli intervalli di suddivisione, l’area del plurirettangolo, cioè la somma delle aree dei rettangoli, è data dalla formula: Sln =

b-a b-a f (a) + y1 + y 2 + f + yn - 1@ = n 6 n

n-1

/ f (xi).

i=0

Se invece prendiamo sempre il secondo estremo degli intervalli, l’area del plurirettangolo è: Sn =

b-a b-a 6 y1 + y2 + f + yn - 1 + f (b)@ = n n

n

/ f (xi).

i=1

Queste somme costituiscono due valori approssimati dell’integrale della funzione e sono dette formule dei rettangoli. ● Se la funzione ammette derivata prima continua, si dimostra che l’errore En commesso è minore o uguale alla quantità:

fn =

(b - a) 2 $ M , dove M è il massimo di f l (x) in [a; b]. 2n

● Poiché la funzione è integrabile, queste somme convergono allo stesso limite per n tendente a 3; quindi, la loro differenza si può rendere piccola a piacere aumentando opportunamente il numero degli intervalli di suddivisione.

ESEMPIO

Con le formule dei rettangoli calcoliamo due valori approssimati dell’integrale 3

y2 x3 dx , valutiamo l’errore commesso e confrontiamo i risultati ottenuti con quello esatto. Dividiamo l’intervallo in 10 intervalli di ampiezza h = scriviamo i valori della funzione in una tabella. xi y

x3i

3-2 = 0,1 e quindi 10

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

8

9,261

10,648

12,167

13,824

15,625

17,576

19,683

21,952

24,389

27

Ora calcoliamo le due somme: Sln = 0,1 $ (8 + 9,261 + 10,648 + … + 24,389) = 15,3125; S n = 0,1 $ (9,261 + 10,648 + … + 24,389 + 27) = 17,2125. I due valori approssimati dell’integrale sono pertanto: 3

y2 x3 dx - 15, 3125

e

3

y2 x3 dx - 17, 2125 .

Osserviamo che la derivata f l(x) = 3x 2 è continua nell’intervallo [2; 3] e il suo massimo è M = max 3x 2 = 27 ; possiamo quindi valutare l’errore com62; 3@

messo mediante la relazione: E10 # f10 =

● Indichiamo con

max 3x 2 il massimo del 52; 3?

modulo della derivata prima nell’intervallo [2; 3].

(3 - 2) 2 $ 27 = 1, 35 . 2 $ 10

I due risultati hanno, pertanto, un’approssimazione minore o uguale a 1,35. Calcolando l’integrale in modo esatto, otteniamo 16,25. Le differenze fra questo valore e quelli approssimati sono Sln - 16, 25 = 0, 9375 e Sn - 16, 25 = = 0,9625, quindi entrambe minori di 1,35.

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●

4 3

y2 x3 dx = ; x4 3

E = 2

1 = $ (81 - 16) = 16, 25 . 4

1533

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

● Questo metodo è anche detto di Bézout.

Il metodo dei trapezi Consideriamo una funzione f (x) continua nell’intervallo [a; b] e dividiamo [a; b] b-a , mediante i punti di suddivisione in n parti di uguale ampiezza, h = n x 0 = a, x 1 = a + h, …, x n = a + nh = b. Il metodo dei trapezi consiste nel sostituire, in ogni intervallo di suddivisione, il grafico della funzione y = f (x) con la corda sottesa (cioè il segmento che congiunge i punti del grafico di f (x) corrispondenti al primo e al secondo estremo dell’intervallo). Otteniamo così n trapezi rettangoli aventi tutti uguale altezza h.

● Mentre con il metodo dei rettangoli la funzione integranda viene sostituita con una funzione costante a tratti, con il metodo dei trapezi si utilizza una funzione lineare a tratti.

yi+1

y

f(b) yn–1

y = f(x)

yi

f(a)

altezza del trapezio

 Figura 14

xi

xi+1

y = f(x)

y1

basi del trapezio

O

y

x

a. Il trapezio che si ottiene per ogni intervallo ha come misure delle basi le ordinate corrispondenti al primo e secondo estremo e come misura dell’altezza l’ampiezza dell’intervallo.

O

b–a –––– n a

x1

xn–1

b

x

b. Il trapezoide è costituito dalla somma di n trapezi rettangoli aventi altezza uguale a: b–a h = –––––. n

Possiamo così determinare un valore approssimato dell’integrale calcolando la somma delle aree dei trapezi. Tale area è espressa dalla seguente formula dei trapezi: f (a) + y1 y + y2 y + f (b) +h$ 1 + f + h $ n-1 = 2 2 2 b - a ; f (a) + f (b) = + y1 + y 2 + f + yn - 1E . 2 n

b

ya f (x) dx - h $

● Se la funzione ammette derivata seconda continua, si dimostra che l’errore En commesso è minore o uguale alla quantità:

fn =

(b - a) 3 $ M , dove M è il massimo di f m (x) in [a; b]. 12n 2

ESEMPIO

Consideriamo nuovamente l’integrale dell’esempio precedente. Con la formula dei trapezi ripetiamo il calcolo approssimato dell’integrale

3

y2 x3 dx , valu-

tando l’errore commesso e confrontando il risultato ottenuto con quello esatto. Dividiamo l’intervallo ancora in 10 parti uguali e utilizziamo la tabella dell’esempio precedente per calcolare la somma delle aree dei trapezi. Otteniamo così il seguente valore approssimato dell’integrale: 3

y2 x3 dx b 1534

3 - 2 b 8 + 27 + 9, 261 + f + 24, 389l = 16, 2625 . 10 2

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PARAGRAFO 2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

TEORIA

Osserviamo che la derivata seconda f m(x) = 6x è continua nell’intervallo [2; 3] e il suo massimo è M = max 6x = 18 ; possiamo quindi valutare l’errore 62; 3@

commesso mediante la relazione: E10 # f10 =

(3 - 2) 3 $ 18 = 0, 015 . 12 $ 102

Il risultato ottenuto ha dunque un’approssimazione minore o uguale a 0,015. Infatti, confrontandolo con il valore esatto dell’integrale, abbiamo:  16,25 - 16,2625  = 0,0125 1 0,015. Notiamo, infine, che con la formula dei trapezi abbiamo ottenuto un risultato più preciso rispetto a quello ottenuto con il metodo dei rettangoli. ● Questo metodo è anche detto di Cavalieri-Simpson.

Il metodo delle parabole Il metodo delle parabole consiste nell’approssimare il grafico della funzione con archi di parabola opportunamente scelti. Ciascun arco è individuato da tre punti del grafico e il valore approssimato dell’integrale si determina calcolando la somma delle aree dei trapezoidi delimitati da tali archi. y y = f(x)

O

a=x0 x1

x2

...

x x2n–1 b=x2n  Figura 15 La somma delle aree dei trapezoidi

delimitati dagli archi di parabola rappresenta un valore approssimato dell’integrale della funzione. TEOREMA

L’area S di un trapezoide avente come base l’intervallo [x 0 ; x 2 ] e delimitato dal grafico di una parabola passante per i punti (x 0 ; y 0 ), (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ), dove x + x2 x1 = 0 2 è il punto medio dell’intervallo, è data dalla seguente formula: h S = $ (y0 + 4y1 + y2), 3 dove h = x 1 - x 0 = x 2 - x 1 .

y1 y2

y

y0

O

S

x0 h

x1 h

x2

x

Per applicare il metodo delle parabole procediamo nel modo seguente: b-a , median• dividiamo l’intervallo [a; b] in 2n parti uguali di ampiezza h = 2n te i punti x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x 2n = b ;

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● Il numero delle parti deve essere pari, perché si utilizza una parabola ogni due intervalli.

1535

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

• calcoliamo i corrispondenti valori della funzione: f (a), y 1 , y 2 , …, y 2n -2 , y 2n -1 , f (b); • consideriamo gli intervalli [a; x 2 ], [x 2 ; x 4 ], …, [x 2n -4; x 2n -2 ], [x 2n -2 ; b] e i corrispondenti centri x 1 , x 3 , …, x 2n -3 , x 2n -1 ; • applichiamo a ciascuno di essi la formula del teorema precedente, e calcoliamo così le aree delimitate dagli archi di parabola passanti per ciascuna terna di punti (x i ; y i ), (x i+1; yi+1), (x i+2; yi +2 ): h h $ [f (a) + 4y1 + y2], $ (y2 + 4y3 + y 4), f, 3 3 h $ [y2n - 2 + 4y2n - 1 + f (b)]; 3 • infine, determiniamo in modo approssimato l’integrale calcolando la somma delle aree precedenti: b

ya f (x) dx -

h $ f (a) + f (b) + 2 $ (y 2 + y 4 + f + y 2n - 2) + 3 6 + 4 $ (y1 + y3 + f + y 2n - 1 )@.

Questa formula si chiama formula di Cavalieri-Simpson. ● Se la funzione ammette derivata quarta continua, si dimostra che l’errore En commesso è minore o uguale alla quantità:

● È possibile valutare l’errore commesso senza calcolare derivate, utilizzando il metodo di Runge o del raddoppiamento del passo, che vedremo negli esercizi.

fn =

(b - a) 5 $ M , dove M è il massimo di f (4) (x) in [a; b]. 2880n 4

ESEMPIO

Consideriamo ancora l’integrale

#2

3

x3 dx . Con la formula di Cavalieri-Sim-

pson determiniamo un valore approssimato, valutiamo l’errore e confrontiamo il risultato ottenuto con quello esatto. Utilizziamo sempre la suddivisione in 10 parti uguali e riorganizziamo la tabella: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

b

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

f (a )

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

f (b )

8

9,261

10,648

12,167

13,824

15,625

17,576

19,683

21,952

24,389

27

Ora applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson: 2 $ 68 + 27 + 2 $ (10, 648 + f + 21, 952) + 4 $ (9, 261 + f + y2 x3 dx - 33 $ 10 3

+ 24, 389 )@ = 16, 25. ● La formula di CavalieriSimpson non fornisce sempre il valore esatto; tuttavia, tale formula fornisce in generale il valore più vicino a quello esatto.

1536

Osserviamo che la derivata quarta f (4) (x) è nulla per ogni x ! [2; 3] e quindi anche l’errore commesso è nullo. Il risultato ottenuto, infatti, coincide con il valore esatto dell’integrale trovato in precedenza. La formula di CavalieriSimpson ha dunque permesso di ottenere la migliore precisione.

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ESPLORAZIONE MATEMATICA... TIRANDO I DADI

ESPLORAZIONE MODELLI

Matematica... tirando i dadi Il metodo Monte Carlo

Monte Carlo e gli integrali Una delle applicazioni del metodo Monte Carlo alla matematica è il calcolo di integrali, in particolare di quelli difficili da calcolare per via analitica. Sia f (x) una funzione continua positiva nell’intervallo [a; b]. Vogliamo calcolare l’area m del trapezoide racchiuso dal grafico della funzione, dall’asse delle q ascisse e dalle rette di equazioni x = a e x = b. L’area è data dall’integrale m =

 Casinò di Montecarlo.

Montecarlo, come noto, è la sede di un famoso casinò. Altrettanto noto è il fatto che, in un casinò e nei giochi che vi si fanno, il caso è un elemento fondamentale. Il metodo Monte Carlo deve il suo nome proprio all’impiego di tecniche che utilizzano il caso. L’idea venne a Fermi durante i suoi studi sul processo di diffusione delle particelle atomiche. Egli notò che alcune grandezze termodinamiche potevano essere trattate come variabili casuali. Se si osserva il comportamento di un sistema di particelle facendo un grande numero di prove ripetute, esso presenta una regolarità tale da poter dire che la casualità viene praticamente eliminata. Fermi quindi applicò metodologie di derivazione stocastica allo studio di problemi che in realtà sono regolati da parametri di natura deterministica. Il metodo Monte Carlo venne utilizzato dagli scienziati di Los Alamos, nell’ambito del progetto Manhattan, per lo sviluppo della bomba atomica.

ya

b

y

f (x) dx .

h

y=f(x) Consideriamo un rettangolo di base [a; b] e altezza h non m inferiore al massimo di f (x) in [a; b]. Scegliamo a caso nel retx a b tangolo un punto di O coordinate: X = (b - a) R1 + a , Y = hR2 , dove R1 e R2 sono numeri presi in modo casuale (numeri random) nell’intervallo [0; 1]. Associamo al punto il valore 0 se Y 2 f (X), ossia quando il punto scelto a caso nel rettangolo cade fuori dal trapezoide, e il valore 1 se Y # f (X), quando cioè il punto cade nel trapezoide. Preso un numero n molto grande di questi «punti casuali» e considerata la somma Sn dei valori 0 e 1 a essi S associati, il rapporto n può essere considerato circa n uguale a quello fra l’area m del trapezoide e quella S del rettangolo, quindi: S S S m - n " m - n S " m - n (b - a) h . S n n n

Attività Ancora Monte Carlo ● Cerca in Internet altre applicazioni del metodo Monte Carlo, per esempio per il calcolo di r.

Cerca nel Web: STRUMENTI

metodo Monte Carlo, pi greco, Monte Carlo method, pi

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1537

TEORIA

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

UNA VELA SVIZZERA MODELLI

Qual è stato il segreto della barca a vela Alinghi?

Il quesito completo a pag. 1521

È sorprendente che una barca costruita in un Paese privo di tradizioni marinare come la Svizzera si sia aggiudicata l’America’s Cup per ben due volte consecutive, nel 2003 e nel 2007.

mica (per lo scafo) sono stati studiati dal matematico italiano Alfio Quarteroni, docente di analisi numerica al Politecnico di Milano e all’École Polytechnique Fédérale di Losanna.

Il suo segreto? La matematica Come e più del vento, è stata la scienza a spingere Alinghi al successo, rendendola imbattibile. La barca, infatti, è stata progettata sulla base di modelli computazionali estremamente sofisticati, che le hanno conferito i requisiti ottimali di leggerezza, velocità, resistenza e manovrabilità. Il problema è quello di disegnare la barca in tutti i dettagli: lo scafo, la chiglia, il bulbo, le alette, il timone, l’albero e le vele. Per esempio, lo scafo deve essere tale che, avanzando, generi le onde più basse possibili, minimizzando il dispendio di energia e massimizzando la velocità, mentre la forma delle vele deve essere tale che esse siano sempre abbastanza rigide per dare spinta alla barca. Questi e tutti gli altri aspetti di aerodinamica (per le vele) e di idrodina-

Il modello della barca perfetta Grazie alle equazioni di Navier-Stokes, è possibile descrivere il comportamento di un fluido, per esempio quando interagisce con lo scafo di una barca di cui si deve ottimizzare la forma. Si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali che non si possono risolvere esattamente, pertanto bisogna procedere per via numerica. Con i metodi di risoluzione approssimata, le quattro equazioni differenziali di Navier-Stokes sono state trasformate in milioni di equazioni algebriche risolubili, ciascuna relativa solo a una porzione del sistema fisico considerato. La risoluzione di questi imponenti sistemi di equazioni è stata affidata a computer che hanno lavorato in parallelo, implementando algoritmi di calcolo efficienti e veloci.

1538

Naturalmente, maggiore è la precisione nella descrizione dei dettagli della barca, maggiore è il numero delle equazioni da risolvere. Inoltre, tanto più accurata è l’approssimazione delle soluzioni, tanto migliore sarà il prototipo di barca. Infatti, come ha spiegato lo stesso Quarteroni, «se si migliorano dell’1% le soluzioni dell’equazione, si dà alla barca la possibilità di arrivare al traguardo con 30 secondi di vantaggio sull’avversario». 30 milioni di equazioni Nel 2003, il team di scienziati è riuscito a simulare al computer circa 100 imbarcazioni di forma diversa usando oltre 30 milioni di equazioni. Nel 2007, sono state simulate oltre 400 configurazioni di barche, calcolando il valore di oltre 135 milioni di incognite prima di costruire la barca migliore. Questo ha permesso di migliorare nettamente la performance di Alinghi, assicurando la vittoria della regata per la seconda volta.

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LABORATORIO DI MATEMATICA L’integrazione numerica

STRUMENTI

LABORATORIO DI MATEMATICA L’INTEGRAZIONE NUMERICA ESERCITAZIONE GUIDATA

x2 + 1 e assegnata una retta y = k, costruiamo un foglio elettronico che: x • riceva il valore del parametro k; • determini se la retta individua con il grafico della funzione una regione finita di piano; • calcoli l’area di tale regione con i metodi di Bézout e di Simpson. Proviamo il foglio con k = 2,5. Data la funzione f (x) =

Lo studio della funzione La f (x) è una funzione razionale fratta definita per ogni x diverso da 0, è simmetrica rispetto all’origine, presenta gli asintoti x = 0 e y = x, ammette un massimo nel punto M(-1; -2) e un minimo nel punto N(1; 2) e ha la concavità verso il basso per x 1 0 e verso l’alto per x 2 0. Essa presenta quindi un grafico come quello della figura 1, nel quale abbiamo tracciato anche una generica retta y = k. La regione finita di piano Deduciamo dal grafico che la regione finita esiste se la curva e la retta si incontrano. Mettiamo, pertanto, x2 + 1 y= x " x2 - kx + 1 = 0. a sistema: * y=k Calcoliamo il discriminante D = k2 - 4 e concludiamo che: • se D 2 0, la regione finita di piano esiste, le ascisse dei k- D k+ D punti di intersezione sono a = eb= e, 2 2 posto G (x) =

x2 + 1 - k , l’area è data dall’integrale x

b

ya G (x) dx ; • se D = 0, l’area vale 0; • se D 1 0, la regione finita di piano non esiste.

 Figura 1

I metodi di Bézout e di Simpson Scriviamo, per tradurle nel foglio, le formule per il calcolo dell’integrale sopraddetto: • la formula di Bézout,

IB =

n-1 h= G (a) + G (b) + 2 / G (xi)G ; 2 i=1

• la formula di Simpson,

IS =

n/2 n/2 - 1 h= G (a) + G (b) + 4 / G (x 2i - 1) + 2 / G (x 2i)G . 3 i=1 i=1

Decidiamo, poi, di porre n = 10 e quindi h =

b-a . 10

La traduzione delle formule Tenendo conto della cella che contiene il valore del parametro k, delle espressioni che restituiscono il valore del discriminante e le ascisse delle intersezioni fra la curva e la retta, della struttura delle formule relative ai metodi che calcolano con procedimenti numerici gli integrali, procediamo come indica la tabella.

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1539

TEORIA

TEORIA

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

Il caso proposto Inseriamo 2,5 in D3 e troviamo con Bézout 0,4817 in D27 e con Simpson 0,4885 in D28. Se calcoliamo 15 l’integrale con procedimento analitico, otteniamo - 2 ln 2, il cui valore decimale è 0,4887. 8 In

scriviamo la formula

D5

= D3^2 - 4

D7

= SE(D5 1 0; “non esiste”; SE(D5 = 0; “degenera in un punto”; “esiste”))

A9

= (D3 - RADQ(D5))/2

C9

= (D3 + RADQ(D5))/2

C11 = (C9 - A9)/10 A14 = A9 A15 = A14 + $C$11 e copiamo la A15 sino alla A24 B14 = ASS((A14^2 + 1)/A14 - $D$3) e copiamo la B14 sino alla B24 C14 = B14 C15 = 2*B15 e copiamo la C15 sino alla C23 C24 = B24 D14 = B14 D15 = 4*B15 D16 = 2*B16 e copiamo la D15:D16 sino alla D23

 Figura 2

D24 = B24 D27 = SOMMA(C14C24)*(C11/2) D28 = SOMMA(D14D24)*(C11/3)

Nel sito:

 1 esercitazione guidata  20 esercitazioni in più

Esercitazioni Nei seguenti problemi è nota la funzione f (x) ed è assegnata una retta attraverso il parametro in essa contenuto; sul quaderno studia la funzione e discuti le sue intersezioni con la retta. Opera poi come nell’esercitazione guidata e calcola l’area richiesta con i metodi di Bézout e di Simpson, provando con i valori dei parametri indicati. 1

f (x) =- x 2 + 2x,

y = k,

k = 0.

51, 3200, 1, 3333?

2

f (x) = x 2 - 2x + 1,

y = mx + 3,

m =- 1.

5 4, 4550, 4, 5000?

3

f (x) =

y = k,

k = 1.

y = 2x + q,

q=

4

2x 2 , x +1 x 2 - 3x f (x) = , x-1

1540

2

10 . 3

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51,1349, 1,1416? 511, 7582, 12, 0558?

LA TEORIA IN SINTESI

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI L’ANALISI NUMERICA 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE  Data l’equazione f (x) = 0, la risoluzione approssimata è composta da due fasi:

1. la separazione delle radici della funzione y = f(x), ossia la determinazione di intervalli che contengono soltanto una radice; 2. il calcolo di un valore approssimato con la precisione voluta.  Teorema di esistenza degli zeri

Se f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso e f(a) $ f(b) 1 0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] tale che f(c) = 0. Con le stesse ipotesi del teorema di esistenza degli zeri, valgono inoltre i seguenti teoremi.  Teoremi di unicità dello zero

Primo. Se la derivata f l(x) è non nulla in ogni punto di ]a; b[, la funzione ammette soltanto uno zero in ]a; b[. Secondo. Se f è derivabile due volte e la derivata seconda fm(x) ha segno costante in ]a; b[, la funzione ammette un unico zero in ]a; b[.  Il metodo di bisezione o dicotomico

Sia [a0 ; b0 ] un intervallo in cui l’equazione f(x) = 0 ammette una radice, e quindi f(a0) $ f(b0) 1 0 (per esempio f (a0) 1 0 e f (b0) 2 0): a + b0 1. calcoliamo il punto medio dell’intervallo [a0 ; b0 ]: m0 = 0 ; 2 2. calcoliamo f(m0); se f (m0) = 0, allora m0 è la soluzione esatta e il procedimento è concluso; b - a0 ; 3. se invece f (m0) ! 0, allora m0 è un valore approssimato della soluzione a meno della quantità f0 = 0 2 4. se l’approssimazione f0 è quella voluta, il calcolo è terminato, in caso contrario proseguiamo; 5. scegliamo il semintervallo contenente la radice confrontando f(m0) con f(a0) e f(b0) e poniamo: a 1 = m0 ,

b1 = b0

se f(m 0) 1 0,

a 1 = a 0,

b1 = m 0

se f(m 0) 2 0;

6. ritorniamo al punto 1 e ripetiamo il procedimento per l’intervallo [a1 ; b1 ]. Se l’ultimo intervallo è [a n; bn], allora l’approssimazione con cui abbiamo determinato la soluzione è fn =

b0 - a0 . 2n + 1

 Il metodo delle secanti o di Lagrange

Sia [a0; b0] un intervallo in cui l’equazione f(x) = 0 ammette una radice, e quindi f(a0) $ f(b0) 1 0 (per esempio f(a0) 1 0 e f(b0) 2 0): y - f (a0) x - a0 = : l’ascissa x1 del punto di intersezione con l’asse 1. tracciamo la retta AB di equazione f (b0) - f (a0) b0 - a0 delle ascisse fornisce un valore approssimato della soluzione; 2. se f(x1) = 0, allora x1 è la soluzione esatta dell’equazione; 3. se f (x1) ! 0, proseguiamo ponendo: a 1 = x1 , b1 = b0 se f(x1) 1 0, perché c ! ]x1 ; b0 [, se f(x1) 2 0, perché c ! ]a 0; x1 [; a 1 = a 0 , b1 = x1 4. tracciamo la retta che congiunge i punti (a1 ; f(a1)) e (b1 ; f(b1)): l’ascissa x2 del punto di intersezione con l’asse delle ascisse fornisce un valore approssimato della soluzione; 5. ritorniamo al punto 2 e ripetiamo il procedimento per il valore x2 e l’intervallo [a1 ; b1]. Proseguiamo così finché non raggiungiamo la precisione voluta.

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1541

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

L’approssimazione è data dalla quantità: fn = x n - x n-1  (x n e x n-1 sono gli ultimi due valori approssimati che abbiamo calcolato). Se y = f(x) mantiene costante il segno della concavità, valgono le seguenti formule di ricorrenza: a0 - xn $ f (xn); • se f m(x) e f (a0) sono concordi, ossia f (a0) $ f m(x) 2 0 , allora: x 0 = b0 e xn + 1 = xn f (a0) - f (xn) b0 - xn $ f (xn). f (b 0) - f (xn)

• se f m(x) e f (a0) sono discordi, ossia f (a0) $ f m(x) 1 0 , allora: x 0 = a0 e xn + 1 = xn  Il metodo delle tangenti (o di Newton-Raphson)

Si applica all’equazione f (x) = 0 se f m è continua e ha segno costante nell’intervallo [a; b]. 1. Tracciamo la tangente al grafico della funzione y = f(x) nell’estremo (x0; f(x0)) la cui ordinata è concorde con f m(x): y - f (x0) = f l(x0) $ (x - x0). 2. Tale retta interseca l’asse delle x nel punto di ascissa y f (x0) x1 = x0 : x1 è un valore approssimato delB f l (x0) y = f(x) la soluzione cercata. f(x1) 3. Ripetendo il procedimento per il punto (x1; f(x1)), otteniamo una successione di soluzioni approssif(x2) a0 c mate definite dalla seguente formula di ricorrenza: x O

f (xn) . xn + 1 = xn f l (xn)

x3

x2 x1 b0

A

Arrestiamo il procedimento quando l’approssimazione xn - xn - 1 è inferiore o uguale a quella richiesta.  Il metodo iterativo o del punto unito

Se scriviamo l’equazione f(x) = 0 nella forma x = g(x), le soluzioni sono rappresentate dalle intersezioni fra la retta di equazione y = x e il grafico della funzione y = g(x). 1. Sull’asse x scegliamo un punto di ascissa x0 . 2. Tracciamo la retta di equazione x = x0 fino a incontrare il grafico di g in P0 (x0; g(x0)). 3. Da P 0 tracciamo la retta y = g(x0) fino a incontrare la retta y = x nel punto Q1(x1; g(x0)). 4. Da Q1 tracciamo la retta x = x1 fino a intersecare la funzione g nel punto P1 (x1 ; g(x1)). 5. Ripetiamo il procedimento dal punto 3 per il punto P 1 . Otteniamo così la successione di numeri x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xn = g(xn-1), … Se tale successione è convergente, il suo limite è soluzione dell’equazione. y

y y=x

Q1

g(x0)

g(x0)

P0

g(x2) g(α) g(x1)

Q2

g(x1) g(x2) g(α) O

y = g(x)

P1 α

P2 x2

x1

x0

a. La successione x1, x2, ..., xn, ... è monotòna.

1542

x

O

y=x

P0

Q1 P2 Q 3 P3

y = g(x)

Q2 x0 x2 α x3

P1 x1

b. La successione x1, x2, ..., xn, ... non è monotòna.

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x

LA TEORIA IN SINTESI

ESERCIZI

2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA  Il calcolo numerico di un integrale definito si chiama anche quadratura numerica e le formule che si utilizzano

sono dette formule di quadratura. Ognuno dei metodi di quadratura approssima l’integrale

b

ya

f (x) dx mediante l’area di figure che approssimano il

trapezoide limitato dal grafico di y = f(x). Tali figure si ottengono suddividendo [a; b] in n parti di ampiezza b-a , mediante i punti di suddivisione x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, …, xn = a + nh = b, e disegnando h= n su ciascun intervallo una figura che dipende dal metodo scelto.  Metodo dei rettangoli

Sugli intervalli di suddivisione, disegniamo i rettangoli aventi per base l’intervallo stesso e per altezza il segmento determinato dal valore di f calcolato nel primo estremo di tale intervallo oppure nel secondo. Le aree dei due plurirettangoli così ottenuti determinano le formule dei rettangoli: b

ya

b

ya

f (x) dx -

b-a $ 6 f (a) + y1 + y2 + f + yn - 1@ ; n

f (x) dx -

b-a $ 6 y1 + y 2 + f + yn - 1 + f (b)@ . n

Se f ammette derivata prima continua, l’errore commesso è minore o uguale a fn = massimo di f l (x) in [a; b].

(b - a) 2 $ M, dove M è il 2n

 Metodo dei trapezi (o di Bézout)

Sugli intervalli di suddivisione, disegniamo i trapezi rettangoli aventi per altezza l’intervallo stesso e per basi i segmenti determinati dal valore di f calcolato nel primo estremo di tale intervallo e nel secondo. La somma delle aree dei trapezi così ottenuti è il valore approssimato dell’integrale ed è data dalla formula dei trapezi: b

ya

f (x) dx -

b - a ; f (a) + f (b) $ + y1 + y2 + f + yn - 1E . n 2

Se f ammette derivata seconda continua, l’errore commesso è minore o uguale alla quantità fn = dove M è il massimo di f m (x) in [a; b].

(b - a) 3 $ M, 12n2

 Metodo delle parabole (o di Cavalieri-Simpson)

Sugli intervalli di suddivisione, disegniamo i trapezoidi limitati da opportuni archi di parabola. Precisamente: b-a • dividiamo l’intervallo [a; b] in un numero 2n di parti uguali di ampiezza h = , mediante i punti x0 = a, x1 , 2n x2 , … , x2n = b; • calcoliamo i corrispondenti valori della funzione: f(a), y1 , y2 , …, y 2n-2 , y 2n-1 , f(b); • consideriamo gli intervalli [a; x2], [x2 ; x4], …, [x 2n-4 ; x 2n-2], [x 2n-2 ; b] e i corrispondenti centri x1 , x3 , …, x 2n-3, x 2n-1 ; • su ciascun intervallo disegniamo un trapezoide avente per base l’intervallo stesso [x i ; x i+2] e delimitato dal grafico della parabola passante per i punti (x i ; yi), (x i+1 ; yi+1), (x i+2 ; y i+2 ). La somma delle aree di questi trapezoidi fornisce il valore approssimato dell’integrale e si ottiene mediante la formula di Cavalieri-Simpson: b

ya

f (x) dx -

h $ 6 f (a) + f (b) + 2 $ (y 2 + y 4 + f + y 2n - 2) + 4 $ (y1 + y3 + f + y 2n - 1)@ . 3

(b - a) 5 Se f ammette derivata quarta continua, l’errore commesso è minore o uguale a fn = $ M, dove M è il 2880n 4 massimo di f (4) (x) in [a; b].

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1543

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

 Teoria a pag. 1522 IN PRATICA 

Videolezione 71

La separazione delle radici 1

—

VERO O FALSO?

Data una funzione f(x) continua in [a; b] e derivabile in ]a; b[: a)

se f l(x) 2 0 6x ! ]a; b[, allora f (x) = 0 ha una soluzione in ]a; b[.

V

F

b)

se f (a) $ f(b) 1 0 e f m(x) 2 0, allora f (x) = 0 non può avere una soluzione in ]a; b[.

V

F

c)

se f (a) $ f (b) 1 0, allora f (x) = 0 ha una sola soluzione nell’intervallo ]a; b[.

V

F

Applicando il primo o il secondo teorema di unicità dello zero, dimostra che le equazioni seguenti hanno una sola soluzione nell’intervallo indicato a fianco. 2

x 3 - 3x + 1 = 0,

[0; 1].

3

4x + cos x = 0,

[- 1; 1].

4

x 8 + 4x 2 - 1 = 0,

[0; 2].

8

ESERCIZIO GUIDA

—

—

—

5

x - 2 + ln x = 0,

[1; 4].

6

e x - 3 = x,

:- 1 ; 3D. 2

7

arcsen x = 1 - 2x,

[0; 1].

—

—

—

Data l’equazione

y

1 ln (1 + x ) - x - x - = 0 , 2 2

2

1 y = x2 + x + –– 2

separiamo le sue radici. Scriviamo l’equazione nella forma ln (1 + x2) = x2 + x +

P1

1 2

g (x) = ln (1 + x2) e h (x) = x 2 + x +

y = ln (1 + x2)

P2

e confrontiamo i grafici delle funzioni: 1 . 2

–2

–1

O

x

Le ascisse delle intersezioni delle due curve 1 , cioè le soluzioni dell’equazione data. 2 Dal grafico vediamo che g e h hanno due punti di intersezione, P1 e P2, quindi l’equazione ha due soluzioni, x1 e x 2 , che si trovano rispettivamente negli intervalli 5- 2; - 1? e 5- 1; 0? . sono gli zeri della funzione f (x) = ln (1 + x 2) - x 2 - x -

Lo confermiamo con i teoremi di esistenza e unicità. Nell’intervallo 5- 1; 0? la funzione f(x) è continua e 2x 1 1 - 2x - 1 si ha f (- 1) $ f (0) = b ln 2 - lb- l 1 0 . È inoltre derivabile con derivata f l (x) = 2 2 1 + x2 che si annulla in - 1, pertanto è diversa da 0 nei punti interni a 5- 1; 0? , come richiede il primo teorema di unicità. In modo analogo, si procede per l’intervallo 5- 2; - 1? .

1544

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PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

ESERCIZI

Aiutandoti con un grafico, separa eventuali radici di ciascuna delle seguenti equazioni. 9

—

10

—

ln (4 + x 2) + x 2 = 0

[nessuna radice reale]

1 + x2 = ln x

[nessuna radice reale]

11

ln (x 2 - x + 1) = x + 1

12

x3 - 2x -

13

xex - 4 = 0

14

2x ln x - 1 = 0

15

ex + x = 0

16

2x - sen x = 0

— — —

— — —

[una radice in [-1; 0]]

1 =0 2

[tre radici in [-2; -1], [-1; 0] e [1; 2]] [una radice in [1; 2]]

[una radice in [1; 2]] [una radice in [-1; 0]]

: una radice in :- r ; r DD 4 4

17

x3 + x + 1 = 0

18

1 3 x4 + x - 2 = 0 :due rad. in [- 2;-1] e : ; DD 2 2

19

x5 + x3 - 1 = 0

— —

——

[una radice in [-1; 0]]

[una radice in [0; 1]]

Il metodo di bisezione 20

ESERCIZIO GUIDA

Con il metodo di bisezione determiniamo la radice dell’equazione dell’esercizio 8 che si trova nell’intervallo [-2; -1], con un’approssimazione inferiore a f = 0,1. Sappiamo che l’equazione ln (1 + x2) - x2 - x -

y

1 =0 2

ha due radici localizzate negli intervalli [-2; -1] e [-1; 0]. Cerchiamo lo zero della funzione f (x ) = ln (1 + x 2) + 1 - x 2 - x - in 5- 2; - 1? : 2 f (- 2) = ln 5 -

5 1 0, 2

f (- 1) = ln 2 -

1 2 0. 2

–3 – 2 –2

– 11 –– – 5 – 8 4

–1

O

x

3 Il punto medio dell’intervallo è m0 =- , il grado di approssimazione corrisponde alla distanza di m 0 2 dagli estremi dell’intervallo: f0 =

-1 + 2 1 = = 0, 5 . 2 2

Non essendo soddisfatto il grado di approssimazione richiesto, cerchiamo un’approssimazione migliore. 3 13 5 - 1 0 , la soluzione dell’equazione è compresa nell’intervallo :- ; - 1D . 2 4 4 Procediamo come prima e otteniamo le iterazioni riportate nella tabella con le relative approssimazioni. Dato che f (m0) = ln

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1545

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

fn

n

an

bn

0

-2

-1

-

3 2

0,5

1

-

3 2

-1

-

5 4

0,25

2

-

3 2

-

5 4

-

11 8

0,125

3

-

3 2

-

11 8

-

23 16

0,0625

mn

23 è un valore approssimato della radice. L’errore Osservando la tabella, possiamo concludere che 16 commesso è minore di f3 = 0,0625. Dopo aver verificato che in ciascuno degli intervalli indicati ognuna delle seguenti equazioni ammette una sola radice, cerca di approssimarla mediante il metodo di bisezione con n = 4 passi di iterazione. Indica l’ultimo intervallo ottenuto e determina l’errore. 1 = 0, 2

21

x3 - 2x -

22

2x + e x = 0,

[-1; 0].

23

x 3 - x + 2 = 0,

[-2; -1].

24

x - sen x -

25

x 5 + x 3 - 1 = 0,

[0; 1].

26

ln (x 2 - x + 1) - x - 1 = 0,

[-1; 0].

27

(x 2 - 2x + 1) e -x - 2 = 0,

[-1; 0].

28

x - arctg 2x - 1 = 0,

[2; 3].

29

sen x - ln 2x = 0,

[1; 2].

— — — —

—— —— —— —— ——

[1; 2].

3 = 0, 2

[2; 3].

: x = 1, 531; : 3 ; 25 D; f = 2 16 3 : x =- 0, 344; :- ; - 5 D; f = 8 16 25 3 : x =- 1, 531; :; - D; f = 16 2

1 D 32 1 D 32 1 D 32

: x = 2, 281; : 9 ; 37 D; f = 4 16 : x = 0, 844; : 13 ; 7 D; f = 16 8 1 : x =- 0, 469; :- ; - 7 D; f = 2 16

1 D 32 1 D 32 1 D 32

: x =- 0, 219; :- 1 ; 4 : x = 2, 344; : 37 ; 16 : x = 1, 344; : 21 ; 16

1 D 32 1 D 32 1 D 32

3 D ;f = 16 19 D ;f = 8 11 D ;f = 8

Il metodo delle secanti 30

ESERCIZIO GUIDA

Con il metodo delle secanti determiniamo le prime tre cifre decimali delle radici dell’equazione: x 3 + 6x 2 + 11x + 9 = 0. L’analisi dell’andamento della funzione f (x) = x 3+ 6x 2 + 11x + 9 mostra l’esistenza di un punto di massimo relativo in x M - - 2,57735 e di un punto di minimo relativo in x m - - 1,42265. Gli estremi relativi sono: f (-2,57735) = 3,3849 (massimo),

f (-1,42265) = 2,6151 (minimo).

Quindi ƒ ha un solo zero, che si trova nel semiasse negativo. Essendo f (-4) = - 3 e f (-3) = 3, localizziamo la radice di ƒ in [a 0 ; b 0] = [-4; -3]. Osserviamo poi che

1546

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PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

ESERCIZI

in tale intervallo la derivata seconda di ƒ ha segno negativo. Pertanto, essendo verificata la condizione f (a 0 ) f m(x) = f (-4) f m(x ) 2 0, si utilizza la formula di ricorrenza, Zx = b 0 ] 0 [ a 0 - xn ] xn + 1 = xn - f (a ) - f (x ) $ f (xn) n 0 \

y

y = x3 + 6x2 + 11x + 9

che nel nostro caso assume la forma: x 0 = - 3, xn + 1 = xn =-

B

- 4 - xn $ (xn3 + 6xn2 + 11xn + 9) = - xn3 - 6xn2 - 11xn - 12

4xn2 + 8xn + 9 xn2 + 2xn + 3

yM ym

–4

x1 –3 xM

xm

x

O

.

n

xn

0

-3

1

-3,5

2

-3,63636

3

-3,66482

4

-3,67038

5

-3,67145

6

-3,67165

Eseguiamo l’iterazione mettendo i risultati in tabella. A partire da x 5 , comincia a essere stabile la cifra dei millesimi. Possiamo dire che la soluzione dell’equazione x3 + 6x2 + 11x + 9 = 0 è x =- 3, 671. Osserviamo che f (-3,671) = 0,00516529, quindi - 3, 671 non è la radice dell’equazione, ma ne rappresenta soltanto un valore approssimato.

Risolvi in modo approssimato le seguenti equazioni, determinando le prime tre cifre decimali delle soluzioni mediante il metodo delle secanti. 31

x3 + x - 2 = 0

32

x3 + x2 - 4 = 0

33

x 3 - 6x 2 + 11x - 3 = 0

34

x+

35

xe x - 5 = 0

36

x4 - x +

37

e x + 2x 2 - 5 = 0

[x 1 = - 1,547; x 2 = 1,041]

38

e x - ln (x + 3) = 0

[x 1 = - 1,825; x 2 = 0,132]

39

x arctg x - 1 = 0

[x 1 = - 1,162; x 2 = 1,162]

40

x 2 sen x + 1 = 0,

— — — —

—— —— —— —— —— ——

[x = 0,999] [x 1 = - 0,544; x 2 = 1,159] [x = 0,328]

1 - sen x = 0 2

[x = - 1,497] [x = 1,326]

1 =0 4

[x 1 = 0,254; x 2 = 0,896]

-4 # x # 4.

[x 1 = - 3,032; x 2 = - 1,068; x 3 = 3,237]

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1547

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

Il metodo delle tangenti 41

ESERCIZIO GUIDA

Utilizzando il metodo delle tangenti, determiniamo le prime otto cifre decimali delle radici dell’equazione: x 3 + 6x 2 + 11x + 9 = 0. La radice dell’equazione è già stata localizzata nell’esercizio 30 all’interno dell’intervallo [-4; -3]. In tale intervallo, la derivata prima di f (x) = x 3+ 6x 2 + 11x + 9 è f l(x) = 3x 2+ 12x + 11 e ha segno positivo, mentre f m(x) = 6x+ 12 è negativa in [-4; -3]. Inoltre, poiché f (- 4)1 0, è lecito applicare il metodo di Newton-Raphson utilizzando come ascissa iniziale x 0 = - 4. Dunque abbiamo: x0 =- 4

*x

n+1

f (xn) x3 + 6x 2 + 11xn + 9 2x3 + 6xn2 - 9 = 2n = xn - n 2 n f l (xn) 3xn + 12xn + 11 3xn + 12xn + 11

= xn -

n

xn

Riportiamo i passi dell’iterazione in una tabella.

0

-4

1

-3,727272727

2

-3,673691174

3

-3,671702570

A partire da x 3 comincia a essere stabile la cifra dei millesimi, mentre a partire da x 4 si stabilizzano le prime otto cifre decimali. Avendo utilizzato nove decimali nell’iterazione, non possiamo ottenere informazioni sulla stabilità dell’ultima cifra decimale.

4

-3,671699882

Osserviamo infine che

5

-3,671699882

6

-3,671699882

f (-3,67169988) = 1,22360433 $ 10-8.

Risolvi in modo approssimato le seguenti equazioni, determinando le prime cinque cifre decimali delle soluzioni mediante il metodo delle tangenti. 42

e x + 4x - 5 = 0

43

x+

1 - cos x = 0 2

[x = 0,41508]

44

x + sen x - 2 = 0

[x = 1,10606]

45

ln x + 2x = 0

[x = 0,42630]

46

x 3 + 12x 2 + 47x + 63 = 0

47

x 4 - x3 -

48

xe 2x - 3 = 0

49

e x - ln (x + 4) = 0

[x 1 = - 2,94604; x 2 = 0,39187]

50

x 2 + sen x - 2 = 0

[x 1 = - 1,72846; x 2 = 1,06155]

51

x 2 + sen x - cos x = 0

[x 1 = - 1,14955; x 2 = 0,56098]

— — — —

——

——

——

——

——

——

1548

[x = 0,73081]

1 =0 4

[x = - 5,67170] [x 1 = - 0,54493; x 2 = 1,16011] [x = 0,71620]

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

PARAGRAFO 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

ESERCIZI

Il metodo iterativo o del punto unito 52

ESERCIZIO GUIDA

Mediante il metodo del punto unito, cerchiamo una soluzione approssimata dell’equazione:

x=

4

x+2.

Cominciamo separando le eventuali radici dell’equazione.

y

Tracciando il grafico delle funzioni h (x) = x e g (x) =

4

4

y= x+2

x+2,

si può osservare che l’equazione data ha una soluzione nell’intervallo [0; 2].

O

–2

c

2

x

y=x

n

xn

0

0,18921

1

1,18921

2

1,33635

3

1,35151

4

1,35304

5

1,35319

6

1,35321

7

1,35321

n

xn

0

1,18921

1

1,31607

2

1,34945

3

1,35283

4

1,35317

5

1,35321

6

1,35321

7

1,35321

Applicando i teoremi di esistenza e unicità, possiamo affermare che la radice dell’equazione è unica. Essendo g l (x) = g l (x) =

1 , 4 4 (x + 2) 3

possiamo concludere che 6x ! [0; 2] si ha 1 g l (x) # g l (0) = 4 3 1 1. Allora possiamo applicare il me4 2 todo del punto unito, determinando le iterate x n+1 = g(x n) a partire da un qualsiasi punto dell’intervallo [0; 2]. Scegliamo, per esempio, x0 = 0. Otteniamo la tabella di iterazione a fianco. A partire dalla settima iterazione (n = 6), vediamo che le prime quattro cifre decimali degli iterati divengono stazionarie. Abbiamo così individuato le prime quattro cifre della soluzione cercata. Avendo utilizzato cinque cifre decimali, nulla si può dire sulla stabilità della quinta cifra. Se avessimo scelto di cominciare l’iterazione in un altro punto di [0; 2], avremmo ottenuto lo stesso risultato. Per esempio, se fissiamo come punto iniziale x 0 = 1, abbiamo la tabella a lato. L’iterazione si stabilizza questa volta sulla quarta cifra decimale a partire da n = 5. La ragione della maggiore rapidità dipende dal fatto che il punto iniziale dell’iterazione è, in questo caso, più vicino alla radice effettiva. Quindi possiamo concludere che una buona localizzazione accelera il processo iterativo.

Con il metodo del punto unito cerca, negli intervalli assegnati, le radici approssimate delle seguenti equazioni, eseguendo almeno 5 iterazioni a partire dal punto iniziale indicato. Compila la tabella e valuta l’accuratezza delle cifre decimali ottenute. 1 53 x= 0; [0; 1]; x 0 = 1. [x = 0,12313] — 8 (x2 + 1) 1 54 x1 + x + x2 = 0 ; [0; 1]; x 0 = 0. [x = 0,76] 2 —

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1549

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

55

x - 3 + ln x = 0;

56

x-

57

x+

— —

—

58

—

1 = 0; 2 (x2 + x + 1)

1 sen x - 1 = 0 ; 2 1 x - 2 - sen x = 0 ; 2

[2; 3];

x 0 = 2.

[x = 2,2]

[0; 1];

x 0 = 0.

[x = 0,34]

[0; 1];

x 0 = 1.

[x = 0,68]

[2; 3];

x 0 = 3.

[x = 2,35]

59

x - ln (x + 4) = 0;

[1; 2];

x 0 = 2.

[x = 1,749]

60

x ln (x + 1) - 4 ln x = 0;

[3; 4];

x 0 = 4.

[x = 3,26]

61

2x + x sen x = 1;

[0; 1];

x 0 = 1.

[x = 0,41]

——

——

——

La risoluzione approssimata di un’equazione

RIEPILOGO

Applicando due metodi diversi, determina eventuali radici delle seguenti equazioni, individuando tre cifre decimali corrette per ciascuna delle soluzioni approssimate. Compila le tabelle e individua quale fra gli algoritmi converge più rapidamente. 62

ex - x - 2 = 0

63

e 2x + x - 2 = 0;

x ! [0; 1].

[x = 0,273]

64

2e x - x - 3 = 0;

x ! [0; 1].

[x = 0,583]

65

x = cos 2x ;

x ! [0; 1].

[x = 0,514]

66

2 sen x + x = 1;

x ! [0; 1].

[x = 0,337]

67

x3 + x2 - x + 4 = 0

[x = - 2,241]

68

x5 - x + 3 = 0

[x = - 1,341]

69

x4 + x3 - x2 - 3 = 0

[x 1 = - 1,932; x 2 = 1,266]

70

x6 + x5 - x - 2 = 0

[x 1 = - 1,248; x 2 = 1,081]

71

x 3 + x + e x = 2;

x ! [0; 1].

[x = 0,414]

72

x 4 - x + e x = 2;

x ! [0; 1].

[x = 0,846]

73

x - ln (2 - x + x 2) = 0;

x ! [0; 1].

[x = 0,561]

74

x+1 =

x ! [0; 1].

[x = 0,401]

75

xe 3x - 1 - x = 0;

x ! [-2; -1].

76

e 3x + e x = 4;

x ! [0; 1].

77

sen2 x - x = 1;

x ! [-1; 0].

— — — — —

—— —— —— —— —— —— —— —— —— —— ——

1550

5

x+ 5;

[x 1 = - 1,841; x 2 = 1,146]

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

[x = - 1,045] [x = 0,321] [x = - 0,641]

PARAGRAFO 2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

ESERCIZI

 Teoria a pag. 1532

2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

IN PRATICA 

Il metodo dei rettangoli 78

Videolezione 72

ESERCIZIO GUIDA

Determiniamo due valori approssimati dell’integrale

2

y0

1 + x dx utilizzando le formule dei rettan-

goli, valutiamo l’errore commesso e confrontiamo i risultati ottenuti con l’integrale esatto. 2-0 = 0, 2 . Compiliamo una tabella con i pun10 ti di suddivisione dell’intervallo [0; 2] e i corrispondenti valori della funzione.

Dividiamo l’intervallo in 10 intervalli di ampiezza h =

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

1+x

1

1,095

1,183

1,265

1,342

1,414

1,483

1,549

1,612

1,673

1,732

Ora calcoliamo le somme: S ln = 0,2 $ (1 + 1,095 + 1,183 + … + 1,612 + 1,673) = 2,7232; S n = 0,2 $ (1,095 + 1,183 + … + 1,673 + 1,732) = 2,8696. I valori approssimati dell’integrale sono:

y0

2

1 + x dx - 2, 7232

e

y0

2

1 + x dx - 2, 8696 .

Ricordiamo che, se la funzione ammette derivata prima continua, l’errore commesso E n è minore o uguale alla quantità fn , ossia: En # fn =

(b - a) 2 $ M, 2n

dove M è il massimo di f l (x) in [a; b ].

1 1 è continua nell’intervallo [0; 2] e M = max = f l (0) = Poiché la derivata f l (x) = [0; 2] 2 1 + x 2 1+x 1 = = 0, 5 , possiamo valutare l’errore commesso: 2 1+0 (2 - 0) 2 $ 0, 5 = 0, 1. E10 # f10 = 2 $ 10 I due risultati hanno pertanto un’approssimazione minore o uguale a 0,1. Calcolando l’integrale in modo esatto, otteniamo:

y0

2

1 + x dx = :

2 2 (1 + x) 1 + x D - 2, 797 . 3 0

Le differenze fra questo valore e quelli approssimati sono Sln - 2, 797 = 0, 0738 e Sn - 2, 797 = 0, 0726 , entrambe minori di 0,1.

Utilizzando il metodo dei rettangoli, calcola due valori approssimati dei seguenti integrali e valuta, se possibile, l’errore commesso. (Suddividi l’intervallo nel numero n di parti indicato a fianco.) 3

79

y1 (x2 + 2) dx ,

80

y- 4

81

ye

—

—

—

-1

1 dx , x2

e+1

ln x dx ,

n = 10.

[11,88; 13,48; 1,2]

n = 12.

[0,643; 0,877; 0,75]

n = 10.

[1,149; 1,180; 0,018]

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1551

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

1

82

y0 2 e x + 1dx ,

83

y0

3

84

y2

33

85

y0 (sen x + cos x) dx ,

n = 6.

[2,478; 1,430; 1,163]

y0

n = 8.

[0,298; 0,396; 0,077]

—

—

—

—

86

—

2

n = 5.

[1,446; 1,523; 0,087]

1 + x3 dx ,

n = 10.

[6,717; 8,004; 1,148]

x - 2 dx ,

n = 10.

[0,687; 0,787; impossibile]

r

r 4

tg x dx ,

Calcola due valori approssimati dei seguenti integrali, utilizzando il metodo dei rettangoli, e confronta i risultati ottenuti con il valore esatto dell’integrale. 4

87

y2 (5x2 + 3x3) dx ,

88

y1 x ln x dx ,

89

y- rsen 2x dx ,

90

Utilizzando il metodo dei rettangoli, calcola due valori approssimati dell’integrale della funzione definita dalla seguente tabella, nell’intervallo preso in considerazione.

— — —

—

5

r

n = 10.

[250,96; 296,56; 273,33]

n = 10.

[12,53; 15,75; 14,12]

n = 12.

[0; 0; 0]

xi

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

yi

1

1,123

1,125

1,236

1,254

2,256

2,321

1,254

1,287

2,125

3

[1,498; 1,698]

Il metodo dei trapezi 91

ESERCIZIO GUIDA

Utilizzando la formula dei trapezi, calcoliamo un valore approssimato di rore commesso e confrontiamo il risultato con quello del calcolo esatto.

2

y0

1 dx, valutiamo l’er1 + x2

2-0 = 0, 2 . Compiliamo una tabella con i pun10 ti di suddivisione dell’intervallo [0; 2] e i corrispondenti valori della funzione.

Dividiamo l’intervallo in 10 intervalli di ampiezza h =

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

1 1 + x2

1

0,962

0,862

0,735

0,610

0,500

0,410

0,338

0,281

0,236

0,200

Applichiamo la formula dei trapezi:

y0

2

1 2 - 0 b 1 + 0, 2 + 0, 962 + 0, 862 + f + 0, 281 + 0, 236l - 1,1068 . dx 10 2 1 + x2

Ricordiamo che, se la funzione ammette derivata seconda continua, l’errore commesso E n è minore o uguale alla quantità fn , ossia: En # fn =

(b - a) 3 $ M, 12n 2

dove M è il massimo di f m (x) in [a; b].

Poiché la derivata seconda f m (x) =

1552

6x2 - 2 è continua nell’intervallo [0; 2] e, dal grafico, deduciamo che è (1 + x2) 3

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

PARAGRAFO 2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

M = max f m (x) = f m (0) = 2 , [0; 2]

M=2 y

possiamo valutare l’errore: E10 # f10=

M= 1 – 2

3

(2 - 0) $ 2=0, 01333f=0, 013 . 12 $ 100

–4

–3

–2

–1

O

ESERCIZI

 (1+x ) 

6x2 – 2 f”(x) = –––––– 2 3

1

2

3

x

4

Il risultato dell’integrale ha pertanto un’approssimazione minore o uguale a 0, 013 . –2

Calcolando l’integrale in modo esatto, otteniamo: 2 y0 1 +1 x2 dx = [arctg x] 02 = arctg 2 = 1,107 .

La differenza fra questo valore e quello approssimato è 1,1068 - 1,107 = 0, 0002 , minore di 0, 013 . Utilizzando la formula dei trapezi, calcola il valore approssimato dei seguenti integrali e valuta l’errore. (Suddividi l’intervallo nel numero n di parti indicato a fianco.) e+2

92

ye

93

y1 2 ln x dx ,

94

y0 2

95

y0

3

96

y3

5

97

y- rln (cos x + 2) dx , n = 10.

—

(1 + 2x) dx ,

n = 8.

[16,873; 0]

n = 5.

60, 1079; 4, 2 $ 10- 4 @

n = 5.

60, 4497; 3, 1 $ 10- 4 @

3

—

1

—

—

—

——

1 dx , 1+x 1 + 5x 2 dx ,

n = 10.

1 dx , 1 + x4

[10,772; 0,113] 60, 0097; 2, 7 $ 10- 4 @

n = 8.

r

[3,920; 0,21]

Utilizzando la formula dei trapezi, calcola il valore approssimato dei seguenti integrali e confronta il risultato con quello del calcolo esatto. (Suddividi l’intervallo nel numero n di parti indicato a fianco.) 5

98

y1 (x3 + 3x) dx ,

99

y- 1e x + 1 dx ,

100

y2 ln x dx ,

101

y0 4 sencosx +x 1 dx ,

—

—

—

0

3

n = 10.

[192,96; 192]

n = 10.

[1, 72; e - 1]

:0, 909; ln b 27 l - 1D 4

n = 5.

r

—

102

—

;0, 535; ln c

n = 6.

2 + 1mE 2

Utilizzando il metodo dei trapezi, calcola un valore approssimato dell’integrale della funzione definita dalla seguente tabella, nell’intervallo preso in considerazione. i

yi

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

10

12

11

13

14

15

12

11 [26,25]

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1553

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

Il metodo delle parabole 103

ESERCIZIO GUIDA

Determiniamo un valore approssimato di

2

y1 (x4 + 1) dx, utilizzando la formula di Cavalieri-Simpson.

Valutiamo l’errore e confrontiamo il risultato ottenuto con l’integrale esatto. Utilizziamo la suddivisione in 2n = 10 parti uguali e organizziamo la tabella: h=

2-1 = 0, 1. 10

a

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

b

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

f (a )

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

f (b )

2

2,46

3,07

3,86

4,84

6,06

7,55

9,35

11,50

14,03

17

Ora applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson: 2

y1 (x4 + 1) dx -

2-1 [2 + 17 + 2 (3, 07 + f + 11, 50) + 4 (2, 46 + f + 14, 03)] - 7, 20 . 30

Ricordiamo che, se la funzione ammette derivata quarta continua, l’errore commesso E n è minore o uguale alla quantità fn , ossia: En # fn =

(b - a) 5 $ M, 2880n 4

dove M è il massimo di f (4) (x) in [a; b].

f (4) (x ) = 24 per ogni x ! [1; 2], possiamo valutare l’errore: E10 # f10 =

(2 - 1) 5 $ 24 = 0, 000013 = 1, 3 $ 10- 5 . 2880 $ 5 4

Pertanto, il risultato dell’integrale ha un’approssimazione minore o uguale a 1,3 $ 10-5. Calcolando l’integrale in modo esatto, otteniamo: 5

y1 (x4 + 1) dx = ; x5 2

2

+ xE = 1

32 1 36 +2- -1 = = 7, 20 . 5 5 5

Il risultato approssimato coincide con il valore esatto dell’integrale: la formula di Cavalieri-Simpson ha permesso di ottenere un’ottima precisione. Utilizzando la formula di Cavalieri-Simpson, calcola il valore approssimato dei seguenti integrali e valuta l’errore. Confronta il risultato con quello del calcolo esatto quando richiesto. (Suddividi l’intervallo nel numero 2n di parti indicato a fianco.) 6

104

y3 (3x3 + 2x - 3) dx ,

105

y1 e- x dx ,

106

y1

2n = 10 (calcolo esatto).

[929,25; 0]

2n = 10 (calcolo esatto).

60, 318095; 6, 54 $ 10- 6 @

x dx ,

2n = 6 (calcolo esatto).

63, 5649; 8, 4 $ 10- 4 @

107

y1 ln x dx ,

2n = 10 (calcolo esatto).

6 4, 047; 3, 4 $ 10- 3@

108

y4

—

—

—

—

—

3

45

5

6

x 2 + 2 dx ,

1554

2n = 10.

610, 3971548; 2, 67 $ 10- 7 @

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

PARAGRAFO 2. L’INTEGRAZIONE NUMERICA

3

109

y0 cos x2 dx ,

110

y0 arcsen x dx ,

——

——

50, 870; 1, 033?

2n = 6.

1

ESERCIZI

2n = 10 (calcolo esatto).

[0,574; impossibile]

Il metodo di Runge (o del raddoppiamento del passo) 111

ESERCIZIO GUIDA

Consideriamo l’integrale

y0 1 + x1+ x2 dx . Per valutare l’errore commesso con la formula di Cavalieri1

Simpson, utilizziamo il metodo di Runge. Suddividiamo l’intervallo [0; 1] in 8 parti e compiliamo la tabella di calcolo. xi

0

0,125

0,25

0,375

0,5

0,625

0,75

0,875

1

yi

1

0,87671

0,7619

0,65979

0,57143

0,49612

0,43243

0,3787

0,33333

Applicando la formula di Cavalieri-Simpson, otteniamo:

y0 1 + x1+ x2 dx - 0, 604588889 = N1. 1

Per valutare l’errore utilizziamo il metodo di Runge, che non richiede il calcolo di derivate. Dimezziamo il numero di intervalli raddoppiando il passo, ossia l’ampiezza di ciascun intervallo. La tabella risulta così modificata: xi

0

0,25

0,5

0,75

1

yi

1

0,7619

0,57143

0,43243

0,33333

Applicando nuovamente la formula di Cavalieri-Simpson, otteniamo il seguente risultato:

y0 1 + x1+ x2 dx - 0, 604459444 = N2 . 1

L’approssimazione dei due risultati è, ovviamente, diversa. Si può dimostrare che l’errore di N 1 è valutabile mediante la seguente formula: E-

N1 - N2 0, 604588889 - 0, 604459444 = - 0, 000009 . 15 15

Utilizzando la formula di Cavalieri-Simpson, calcola il valore approssimato dei seguenti integrali e valuta l’errore con il metodo di Runge. (Suddividi l’intervallo in 8 parti.) 4

112

y2

113

y1 (ln x + x) dx

114

y0 e2x dx

115

y1

—

—

—

—

2

1

3

[3, 447714; 1,1 $ 10- 6]

x dx

1 dx x2

[1, 886292; 2,16 $ 10- 6] [3,1946; 6,7 $ 10- 5] [0, 6671; 2, 9 $ 10- 4]

0

x+2 dx x3 - 1

116

y- 2

117

y1

118

y0 ln (x2 + 1) dx

119

yr

—

—

—

—

3

x+1 dx x

4

r

2

sen x dx x2

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6- 1, 4564; 5, 77 $ 10- 4 @ 61, 83582; 8, 55 $ 10- 5 @ 65, 985; 1,77 $ 10- 3@ 60, 238294; 6,25 $ 10- 6 @

1555

ESERCIZI

METODI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

VERSO LE COMPETENZE TEST

1

—

2

—

Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it

Se f è una funzione definita nell’intervallo [a; b] e f (a) $ f (b) 1 0, allora: A

ammette sempre almeno uno zero.

B

ammette sempre soltanto uno zero.

C

non ammette mai alcuno zero.

D

non possiamo dire nulla di certo circa l’esistenza di zeri.

E

nessuna delle affermazioni precedenti è vera.

3

Data l’equazione f (x) = 0, x ! [a; b], il metodo delle secanti si può applicare: A soltanto se f è monotòna. B soltanto se f l e f m hanno segno costante e concorde. C soltanto se f l e f m hanno segno costante e discorde. D se f m ha segno costante e f (a) e f (b) sono discordi. E soltanto se f l ha segno costante e f (a) $ f (b) 1 0 .

4

Nel calcolo approssimato dell’integrale

—

Separare gli zeri di un’equazione significa: A

determinare gli intervalli contenenti almeno una soluzione per ciascuno.

B

determinare gli intervalli contenenti soltanto una soluzione per ciascuno.

C

dimostrare che l’equazione ammette soluzioni.

D

determinare tutte le soluzioni in modo esatto.

E

determinare almeno una soluzione in modo esatto.

—

b

ya

f (x) dx

mediante la formula di Cavalieri-Simpson: A si suddivide l’intervallo [a; b] utilizzando un numero dispari di punti. B si esclude il punto (b; f (b)). C si suddivide l’intervallo [a; b] in un numero dispari di intervalli uguali. D si esclude il punto (a; f (a)). E si suddivide l’intervallo [a; b] utilizzando un numero pari di punti.

QUESITI 5

Enuncia il teorema di esistenza degli zeri e porta un esempio che ne verifichi la validità. Mostra, con opportuni esempi, che la negazione di ciascuna delle ipotesi invalida l’enunciato.

6

Descrivi il metodo del punto unito. Fai un esempio di funzione che, in un opportuno intervallo, verifica la condizione sufficiente di convergenza.

7

Enuncia il primo teorema di unicità degli zeri di una funzione. Porta quindi un esempio di funzione che verifica le ipotesi del teorema. Costruisci infine una funzione che non le verifica.

8

Illustra un procedimento per calcolare un valore approssimato di un integrale con un numero prefissato di cifre decimali.

9

Come potresti applicare l’integrazione numerica a una funzione con un punto di discontinuità? Illustra il tuo pensiero con un esempio.

—

—

—

—

—

1556

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

VERSO LE COMPETENZE

ESERCIZI

ESERCIZI Calcola un valore approssimato dei seguenti integrali con l’approssimazione indicata a fianco. Utilizza i metodi che ritieni più opportuni e, di conseguenza, suddividi l’intervallo in un numero di parti adeguato. 4

x2 + 1 dx , x

f = 10- 4 .

[6,6931]

x+1 dx , ln x

f = 10- 3 .

[15,701]

ex dx , x+3

f = 10- 4 .

[1,0233]

13

y5

6

x dx , x+2

f = 10- 7 .

[0,8560964]

14

y0

2

sen x dx , cos x + 1

f = 10- 3 .

[1,231]

15

y1

f = 10- 5 .

[0,66004]

10

y2

11

y4

12

y1

16

Utilizzando il metodo dei rettangoli, calcola un valore approssimato di

—

—

—

—

8

2

—

—

—

2 arctg x

x

dx ,

3

y1 x

x2 + 6 dx , suddividendo l’in-

tervallo in 8 parti. Confronta il risultato ottenuto con il valore esatto dell’integrale. [12,086; 13,2] 17

—

Utilizzando il metodo dei rettangoli, calcola una coppia di valori approssimati di

1

y0 x 3 x2 + 1 dx , suddivi-

dendo l’intervallo in 8 parti. Confronta il risultato ottenuto con il valore esatto dell’integrale.

:0, 49208; 0, 64957; 3 4 18

—

19

—

20

—

Calcola un valore approssimato di metodo di Runge.

y0

2

21

2-

3D 8

x dx , scomponendo l’intervallo in 8 parti. Valuta l’errore con il 1 + x5 [0,61992; 0,0002]

x 4 + 2x dx , scomponendo l’intervallo in 8 parti e utilizzando il 3x + 1 [19,3217725; 7,9 $ 10-7] metodo delle parabole. Valuta l’errore con il metodo di Runge. Calcola un valore approssimato di

y2

4

Utilizza il metodo dei trapezi per calcolare un’approssimazione di

1

y0 ln (x + e) dx , valutando l’errore com-

messo nel considerare una suddivisione in 10 parti dell’intervallo dato.

—

3

Calcola due valori approssimati di

ye

[1,1647; 1,13 $ 10-4]

e+2

x2 ln x dx , utilizzando il metodo dei rettangoli e dei trapezi con una

scomposizione dell’intervallo in 8 parti. Con quale precisione puoi dire di aver determinato il valore dell’integrale? [34,851; 38,245] 22

—

Utilizzando il metodo dei trapezi, calcola in 6, 8 e 10 parti.

23

Calcola un’approssimazione dell’integrale tervallo in 8 parti.

24

Dato l’integrale

—

—

e

y1 ln3 x dx e confronta i risultati ottenuti suddividendo l’intervallo

[0,571; 0,568; 0,566]

y1

3

1 dx , utilizzando il metodo dei trapezi e dividendo l’inln x + 1 [1,26757]

4

y2 (x4 + 3x2 - 6) dx , con una scomposizione dell’intervallo in 16 parti, determina, utilizzan-

do le formule per la valutazione dell’errore, con quale metodo di approssimazione, fra quelli che conosci, si ottiene il risultato più preciso. [metodo delle parabole: 6,5 $ 10-5]

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1557

ESERCIZI

25

—

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

Utilizzando le formule per la valutazione dell’errore, stabilisci se è più preciso calcolare

y1

35

x2 dx con il me-

todo dei trapezi, scomponendo l’intervallo in 20 parti, o con il metodo delle parabole, utilizzando una scom[metodo delle parabole: 1,77 $ 10-5] posizione dell’intervallo in 10 parti. 1

y- 1(x + 2)

x + 3 dx, con 2n = 8 . [7,089546; 2,89 $ 10-6]

26

Utilizzando il metodo delle parabole, calcola un valore approssimato di Valuta l’errore commesso con il metodo del raddoppiamento del passo.

27

Calcola

28

Considera la curva c di equazione y = ax5 + bx3 + c . a) Calcola i coefficienti a, b, c in modo che passi per il punto (0; 2), abbia due estremi relativi per x = ! 3 e la tangente nel punto di ascissa 2 sia parallela alla retta 20x - y = 0. b) Separa i suoi zeri determinandone il numero. c) Con il metodo di bisezione determina un valore approssimato della radice maggiore fermandoti alla terza iterazione. 6a) a = 1, b =- 5, c = 2; b) I1 = [- 3; - 3 ], I 2 = 6- 3 ; 3 @, I3 = 6 3 ; 3@; c) 2, 049f 1 x 1 2, 207f@

—

—

——

29

——

30

——

31

——

32

——

2

y0 x3 ln (x + 5) dx con un’approssimazione di 10-2. Suddividi l’intervallo in 8 parti.

[7,54]

2 2 Considera la funzione f (x) = 4 cos x e la parabola di equazione y =- x2 + x . 3 3 a) Rappresenta le due curve sul piano cartesiano. b) Separa i punti di intersezione. 2 2 c) Con il metodo delle tangenti iterato tre volte risolvi l’equazione 4 cos x =- x 2 + x . 3 3 r : b) due punti con x1 ! : ; 2D, x2 ! 52; r ?; c) x1 = 1, 82398f, x 2 = 2, 98533fD 2 Data la funzione y = sen2 x - x + 2 : a) disegna il grafico; b) dimostra che ammette soltanto uno zero; c) applica il metodo di bisezione alla risoluzione dell’equazione sen2 x -x + 2 = 0 e determina una soluzio6c) x1 ! [2; 3]; 2, 375 1 x1 1 2, 4375@ ne approssimata (quattro iterazioni). x 4 + 2x : 3x + 1 a) esegui lo studio e disegna il grafico; b) calcola l’area della regione finita di piano delimitata dall’asse x, dal grafico di y, dalle rette di equazione x = 2 e x = 4, utilizzando il metodo di Cavalieri-Simpson (dividi l’intervallo di integrazione in 8 parti); c) con il metodo di Runge valuta l’errore commesso al punto precedente. [b) 19, 32177f; c) E = 7, 87 $ 10- 7] Data la funzione y =

a) Studia la funzione f (x) =

3

x 4 - 9 e disegna il grafico.

8 5

b) Con la formula di Cavalieri-Simpson calcola un valore approssimato dell’integrale y 8 f (x) dx , dividendo 5 l’intervallo in 8 parti. 6 b) I =- 6, 256226f; c) E = 0, 0039f 1 10- 2 @ c) Con il metodo di Runge valuta l’errore commesso.

1558

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DIDATTICA SU MISURA

ESERCIZI

DIDATTICA SU MISURA RECUPERO 1

ESERCIZIO GUIDA

1 - 2x + 2 ha soltanto uno zero nell’intervallo 51; 2 ? e troviax2 mo un suo valore approssimato con approssimazione inferiore a 0,2.

Dimostriamo che la funzione f (x) =

Dobbiamo dimostrare che l’equazione Scriviamo l’equazione nella forma

1 - 2x + 2 = 0 ha una sola soluzione. x2

1 1 = 2x - 2 e confrontiamo i grafici di y = 2 e y = 2x - 2 . x2 x

Essi si intersecano in un solo punto, la cui ascissa c si trova nell’intervallo 51; 2? .

y

Possiamo confermare ciò con i teoremi di esistenza e unicità. Infatti, la funzione f (x) è continua in 51; 2? e f (1) $ f (2) 1 0 , quindi, per il teorema di esistenza degli zeri, ammette almeno uno zero in 51; 2? . 2 Inoltre la sua derivata è f l (x) =- 3 - 2 ed è semx pre diversa da 0 nei punti interni di 51; 2? . Pertanto, per per il primo teorema di unicità dello zero, la soluzione c è unica.

1 y = –– x2 y = 2x – 2

O

1c

x

2

Troviamo il valore approssimato di c con il metodo della bisezione. 1+2 = 1,5 dell’intervallo. Questo è un valore approssimato di c. Calcoliamo il punto medio m0 = 2 Il grado di approssimazione è f0 =

2-1 = 0,5 2 0,2 . 2

Cerchiamo un’approssimazione migliore. Ripetiamo il procedimento, scegliendo l’intervallo [1; 1,5] perché f (1,5) = - 1,55 1 0 , e proseguiamo finché non troviamo l’approssimazione voluta. Riassumiamo i passaggi nella tabella. a

b

f(a)

f(b)

m

f

f(m)

1

2

1

-1,75

1,5

0,5

-1,55

1

1,5

1

-1,55

1,25

0,25

0,14

1,25

1,5

0,14

-1,55

1,375

0,125

f

Poiché f = 0,125 1 0,2 , allora assumiamo 1,375 come valore di c.

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1559

ESERCIZI

CAPITOLO 21. L’ANALISI NUMERICA

Dimostra che le seguenti funzioni hanno un solo zero nell’intervallo indicato a fianco e trova un valore approssimato di tale zero con approssimazione inferiore a 0,2. x2 - 1, 4 2 x- , x

6

f (x) = xe x - x - 4 ,

51; 2?.

7

f (x) = sen x - 2x + 2 ,

51; 2?.

8

f (x) = x 4 - 2x - 4 = 0 ,

5- 2; - 1?.

9

f (x) = x5 + 2x + 2 ,

5- 1; 0?.

2

f (x) = x3 +

50; 1?.

—

3

f (x) =

51; 2?.

—

4

f (x) = e x + 3x ,

5- 1; 0?.

—

5

f (x) = ln (x + 3) - x ,

51; 2?.

—

— — — —

POTENZIAMENTO 10

——

a) Sia f (x) = e- x - x2 + 2 . Disegna il grafico probabile di f e dimostra che ammette un’unica intersezione x 0 con l’asse delle ascisse. b) Verifica che è possibile applicare il metodo delle tangenti e ricava, con 4 iterazioni, un valore approssimato di x 0. c) Posto F (x) =

11

——

y0

x

f (t) dt, separa gli zeri di tale funzione. 6a) x 0 ! 51; 2?; b) x 0 = 1, 491644f; c) x1 = 0, x 2 ! 52; 3?@

a) Data la retta di equazione y = mx e la funzione f (x) = x 2 ln x , studia f e traccia il suo grafico; b) studia il numero delle intersezioni della generica retta con la funzione, al variare di m; c) dimostra che l’equazione f (x) = x ha soltanto una radice, quindi determina un valore approssimato di tale radice con il metodo delle tangenti iterato quattro volte. 6 b) per - e- 1 # m 1 0 due intersezioni, per m $ 0 un’intersezione; c) in 51; 2? risulta x = 1, 76322f@

TEST YOUR SKILLS 12

—

xn is the n-th approximation to the positive root of x2 - 2 = 0 , and xn + 1 is the next approximation. Using the Newton-Raphson method, f (xn) xn + 1 = xn , show that: f l (xn) xn + 1 =

1 2 cx + m. 2 n xn

13

——

In the following sketch of an irregular shape k is the length AB. The shape had the area estimated as 400 m 2 , applying the Simpson’s Rule. Calculate the value of k.

A

If x0 = 1, find x2 correct to three places of decimals. (IR Leaving Certificate Examination, Higher Level, 1995)

5m

7m

4m

6m

9m

7m

B

(IR Leaving Certificate Examination, Ordinary Level, 1994)

5 x2 - 1, 416?

5 40 m ? GLOSSARY

to apply: applicare approximation: approssimazione to estimate: stimare

1560

rule: regola shape: forma sketch: schizzo, disegno

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CAPITOLO

22

[numerazione araba]

[numerazione devanagari]

[numerazione cinese]

LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

I FILTRI ANTISPAM Le e-mail indesiderate, o spam, sono una seccatura. Oltre a intasare le caselle di posta elettronica, causano un notevole dispendio di tempo ed energie.

Come si possono bloccare le e-mail di spam? MODELLI

La risposta a pag. 1578

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TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

1. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

IN PRATICA 

Videolezione 73

La somma logica o unione di due eventi E1 ed E2 è l’evento E1 , E2 che risulta verificato quando almeno uno degli eventi si verifica. L’evento somma logica si chiama anche evento totale. Consideriamo 12 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi: E 1 = «esce un numero pari»; E 2 = «esce un numero maggiore di 7». Osserviamo che gli eventi E 1 ed E 2 possono verificarsi contemporaneamente: per esempio, estraendo il dischetto col numero 10, otteniamo sia un numero pari che un numero maggiore di 7. In questo caso si dice che gli eventi sono compatibili. Consideriamo ora gli eventi: E 3 = «estrazione di un multiplo di 5»; E 4 = «estrazione di un multiplo di 3». Questi due eventi, invece, non possono verificarsi contemporaneamente: si dicono eventi incompatibili. In generale, due eventi E 1 ed E 2 , relativi allo stesso spazio di campioni, si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro, cioè E1 + E2 = Q . In caso contrario si dicono compatibili. Vale il seguente teorema. TEOREMA

U E1

E2

Probabilità della somma logica di due eventi La probabilità della somma logica di due eventi E 1 ed E 2 è uguale alla somma delle loro probabilità diminuita della probabilità del loro evento intersezione: p (E 1 , E 2) = p(E 1) + p (E 2) - p (E 1 + E 2). In particolare, se gli eventi sono incompatibili: p (E 1 , E 2) = p(E 1) + p (E 2).

E1 + E2

Se gli eventi sono incompatibili, si ha p (E1 + E2) = p (Q) = 0 . Nel caso di tre eventi la relazione del teorema diventa: U E2

E1

E3

1562

p (E 1 , E 2 , E 3) = p (E 1) + p(E 2 ) + p(E 3) - p(E 1 + E 2) + - p(E 1 + E 3) - p (E 2 + E 3) + p (E 1 + E 2 + E 3). In ogni caso è sempre opportuno effettuare la rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn e ricavare, osservando la figura, le probabilità da sommare o da sottrarre. Analogamente, si può generalizzare il teorema precedente al caso di n eventi; esso si riduce al seguente teorema quando gli eventi sono tutti incompatibili.

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PARAGRAFO 1. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

TEORIA

TEOREMA

Teorema della probabilità totale Dati n eventi a due a due incompatibili E1, E2, …, En, la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle loro singole probabilità: p (E 1 , E 2 , … , E n) = p(E 1) + p(E 2) + … + p (E n). ESEMPIO

1. Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. Calcoliamo la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi: a) un numero dispari o maggiore di 10; b) un numero minore di 6 o maggiore di 10; c) un numero minore di 6 o dispari o maggiore di 10. Gli eventi sono: E 1 = «esce un numero dispari»; E 2 = «esce un numero maggiore di 10»; E 3 = «esce un numero minore di 6».  Figura 1 Se il diagramma

U E1 , E2 , E3

E1

7 1

E3

2

5 3 4

12

11 13 15

9

6

14

è quello della figura, per ottenere p(E1 , E2 , E3) alla somma di p(E1), p(E2) e p(E3) dobbiamo sottrarre p(E1 + E2) e p(E1 + E3).

E2 10

8

Utilizzando il diagramma di Eulero-Venn possiamo calcolare la probabilità dell’evento somma: 8 5 3 10 2 + = = ; 15 15 15 15 3 10 2 = = ; 15 3 3 12 4 = = . 15 15 5

a) p (E1 , E2) = p (E1) + p (E2) - p (E1 + E2) = 5 5 + 15 15 8 5 5 3 c) p (E1 , E2 , E3) = + + 15 15 15 15

b) p (E3 , E2) = p (E3) + p (E2) =

2. Sempre dalla stessa urna estraiamo, ora, contemporaneamente due palline e consideriamo i seguenti eventi: E 4 = «escono due numeri pari»; E 5 = «escono due numeri dispari»; E 6 = «escono due numeri multipli di 3»; E7 = «escono due numeri pari o due numeri dispari»; E 8= «escono due numeri dispari o multipli di 3». L’evento E 7 si verifica quando l’esito dell’estrazione è un elemento dell’insieme unione E 4 , E 5.

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1563

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

Essendo E 4 + E5 = Q , p(E 7) = p(E 4 , E 5) = p(E 4) + p(E 5). Quindi: 7 8 e o c m 7 2 . + 2 = p (E7) = 15 15 15 c m c m 2 2 Essendo E5 + E6 ! Q ed E5 1 Y E6 , abbiamo: p (E 8) = p(E 5 , E 6) = p(E 5) + p(E 6) - p(E 5 + E 6). Gli esiti dell’estrazione che sono comuni ai due eventi sono tutte le coppie che si possono formare con i numeri 3, 9 e 15. Quindi: 3 5 8 c m c m c m 1 2 2 p (E8) = + - 2 = . 3 15 15 15 c m c m c m 2 2 2

2. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA Un’urna contiene 12 palline identiche numerate da 1 a 12. Sappiamo che lo spazio dei campioni è U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} U E 9 3

8 10 11

12 6

1 2 4 5 7

e l’evento E = «estrazione di una pallina con un numero divisibile per 3» ha pro4 1 = . babilità p (E) = 12 3 1. Consideriamo l’evento E 1 = «estrazione di una pallina con un numero maggiore di 7», per il quale p (E1) =

5 . 12

Valutiamo ora la probabilità di E quando sappiamo che l’evento E 1 si è verificato. Indichiamo questa probabilità con il simbolo p (E E1) che leggiamo probabilità di E condizionata (o subordinata) a E1 . In questa situazione abbiamo un’informazione in più. Gli esiti possibili non sono più 12, ma 5 (figura a), in quanto l’insieme universo si è ridotto a:

E + E1

U

U' = E1

E 6 3

9 12

8 10 11

1 2 4 5 7 a

1564

Ul = E 1 = {8, 9, 10, 11, 12}. I casi favorevoli sono i 2 elementi dell’insieme E + E 1 = {9, 12}. 1 2 La probabilità è p (E E1) = , che è un valore maggiore di p (E) = . 3 5 L’informazione supplementare ha aumentato la probabilità di E. I due eventi E ed E 1 si dicono correlati positivamente.

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PARAGRAFO 2. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

TEORIA

2. Consideriamo l’evento E 2 = «estrazione di una pallina con un numero pari», per il quale p (E2) =

6 1 = . 12 2

Valutiamo la probabilità di E, supponendo questa volta che sia verificato l’evento E 2 . Indichiamo la probabilità di E condizionata (o subordinata) a E 2 con il simbolo p (E E2). Anche in questa situazione abbiamo un’informazione in più. Gli esiti possibili non sono più 12 ma sono diventati 6 (figura b), in quanto l’insieme universo si è ridotto a Ul = E 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, e i casi favorevoli sono i 2 elementi dell’insieme E + E 2 = {6, 12}. La probabilità è p (E E2) =

E + E2

U E 3 6 2

2 1 1 = , che è uguale al valore di p (E) = . 6 3 3

In questo caso, l’informazione supplementare non ha mutato il valore della probabilità dell’evento E. I due eventi E ed E 2 si dicono stocasticamente indipendenti. 3. Consideriamo l’evento E 3 = «estrazione di una pallina con un numero minore di 8», 7 . per il quale p (E3) = 12

12

11 10

4

8 E2 = U'

b

● L’aggettivo stocastico deriva dal greco stochastikós e significa «congetturale»; è sinonimo di «casuale» o «aleatorio».

Valutiamo la probabilità di E supponendo che sia verificato l’evento E 3 . Indichiamo la probabilità di E condizionata (o subordinata) a E 3 con il simbolo p(E  E 3). Gli esiti possibili non sono più 12 ma sono 7 (figura c), in quanto l’insieme universo si è ridotto a U l = E 3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, e i casi favorevoli sono i 2 elementi dell’insieme E + E 3 = {3, 6}.

E + E3

U E3 = U' 1 2 4 5

2 1 La probabilità è p (E E3) = , che è minore del valore di p (E) = . 7 3 L’informazione supplementare in questo caso ha portato a un valore minore della probabilità. I due eventi E ed E 3 sono correlati negativamente. In generale, diamo la seguente definizione.

1 5 7

9

E 9

3 6 7

12 8 10 11

c

DEFINIZIONE

Probabilità condizionata Dati due eventi E 1 ed E 2 tali che E 1  U, E 2  U ed E 1 + E 2 ! Q, si dice probabilità condizionata (o subordinata) di E 1 rispetto a E 2 , e si indica p (E1 E2), la probabilità che si verifichi E 1 nell’ipotesi che E 2 sia verificato. Se p (E1 E2) = p(E 1), cioè le conoscenze ulteriori sul verificarsi di E 2 non modificano la probabilità di E 1 , si dice che gli eventi sono stocasticamente indipendenti. Se invece p (E1 E2) ! p(E 1), cioè le conoscenze ulteriori sul verificarsi di E 2 modificano la probabilità di E 1 , si dice che gli eventi sono stocasticamente dipendenti. Più precisamente: • se p (E1 E2) 2 p (E 1), i due eventi sono correlati positivamente;

● Nel valutare p(E1) si considera l’insieme U, mentre nel valutare p (E1 E 2) lo spazio dei campioni si riduce al sottoinsieme E2.

• se p (E1 E2) 1 p (E 1), i due eventi sono correlati negativamente.

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1565

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

U E1

E2

E1 + E2

Chiamiamo k il numero degli esiti favorevoli al verificarsi di E 2 e r quello degli esiti favorevoli al verificarsi di E 1 nell’ipotesi che E 2 si sia verificato, ossia il numero r . di elementi di E 1 + E 2. Per definizione, abbiamo: p (E1 E2) = k Dividendo numeratore e denominatore per n, numero dei campioni di U, otter p (E1 + E2) r n niamo: p (E1 E2) = = . = p (E2) k k n TEOREMA

La probabilità condizionata di un evento E 1 rispetto a un evento E 2 , non impossibile, è determinata dalla formula: ● È indifferente scrivere p(E 1 + E 2) o p(E 2 + E 1), perché l’intersezione gode della proprietà commutativa.

p (E1 E2) =

p (E1 + E2) , con p (E 2) ! 0. p (E2)

Analogamente: p (E2 E1) =

p (E2 + E1) , con p (E 1) ! 0. p (E1)

ESEMPIO

In un istituto ci sono 650 alunni, di cui 425 femmine e 225 maschi. Nella classe 5a B ci sono 24 alunni, di cui 11 femmine e 13 maschi. Si estraggono a sorte due alunni che partecipino a un sondaggio nazionale sulle conoscenze relative alla lingua inglese. Calcoliamo la probabilità che i due alunni estratti siano entrambi maschi, sapendo che sono stati estratti due alunni della 5a B. Chiamiamo: E1 = «sono stati estratti due maschi»; E2 = «sono stati estratti due alunni della 5a B». Calcoliamo p (E1 E2) applicando il teorema della probabilità condizionata. I casi possibili sono C650, 2 =

650 $ 649 = 210 925 . 2!

I maschi della 5a B sono 13, perciò: 13 $ 12 C13, 2 6 2 p (E1 + E2) = . = = C650, 2 210 925 16 225 La probabilità di estrarre due alunni della 5a B è: 24 $ 23 C24, 2 276 2 p (E2) = . = = 210 925 C650, 2 210 925 La probabilità di estrarre due alunni maschi, sapendo che sono stati estratti due alunni della 5a B è: p (E1 E2) =

1566

p (E1 + E2) 6 210 925 13 . = $ = p (E2) 16 225 276 46

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PARAGRAFO 3. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

3. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

TEORIA

IN PRATICA 

Videolezione 74

Il prodotto logico o intersezione di due eventi E 1 ed E 2 , tali che E 1 + E 2 ! Q, è l’evento E 1 + E 2 che risulta verificato se e solo se si verificano entrambi gli eventi. L’evento prodotto logico è anche detto evento composto. Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte. L’evento E = «esce un re nero» è formato dai due eventi: E 1 = «esce una carta con seme nero»;

E 2 = «esce un re».

Essendo E = {re picche, re fiori}, la probabilità del prodotto logico di E 1 ed E 2 è: p (E) = p (E1 + E2) =

2 1 = . 52 26

Questo risultato si può ottenere anche in un altro modo. Dalla relazione della probabilità condizionata, p (E2 E1) =

p (E1 + E2) , p (E1)

● Calcoliamo direttamente la probabilità del prodotto logico E 1 + E 2 come rapporto tra il numero degli esiti favorevoli e quello degli esiti possibili.

otteniamo: p (E1 + E2) = p (E1) $ p (E2 E1). Applichiamo questa relazione nel nostro esempio. Abbiamo p (E1) =

26 1 = . 52 2

Per l’evento E 2 condizionato a E 1, essendo uscita una carta nera, i casi possibili sono 26, mentre i casi favorevoli sono 2: p (E2 E1) =

2 1 = . 26 13

Pertanto, p (E1 + E2) = p (E1) $ p (E2 E1) =

1 1 1 $ = . 2 13 26

In generale, vale il seguente teorema.

● Abbiamo riottenuto il

valore calcolato precedentemente in modo diretto.

TEOREMA

Teorema della probabilità composta La probabilità dell’evento composto o prodotto logico degli eventi E 1 ed E 2 è uguale al prodotto della probabilità dell’evento E 1 per la probabilità dell’evento E 2 nell’ipotesi che E 1 si sia verificato: p (E 1 + E 2) = p(E 1) $ p (E2 E1). In particolare, nel caso di eventi stocasticamente indipendenti: p (E 1 + E 2) = p(E 1) $ p (E 2).

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● Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti,

p(E 2 E1 ) = p(E 2).

1567

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

Con il teorema della probabilità composta possiamo calcolare la probabilità degli eventi composti anche quando non è possibile effettuare il calcolo diretto. ESEMPIO

Da una rilevazione statistica è risultato che, al primo controllo dopo 2000 km, su 100 automobili 8 hanno rilevato difetti solo all’alimentazione e 3 solo ai freni. Calcoliamo la probabilità che una macchina presenti questi due difetti, che risultano indipendenti: E 1 = «avere difettosa l’alimentazione»,

p (E1) =

8 = 8% ; 100

E 2 = «avere difettosi i freni»,

p (E2) =

3 = 3% ; 100

p (E1 + E2) =

0, 24 8 3 24 $ = = = 0, 24% . 100 100 10 000 100

Se invece fra le 8 macchine che hanno difetti all’alimentazione 2 presentano anche difetti ai freni, non potremo più considerare i due eventi come indipendenti. In questo caso, la probabilità di avere difetti all’alimentazione e ai freni è: p (E1 + E2) = p (E1) $ p (E2 E1) =

8 2 2 $ = = 2% . 100 8 100

Il teorema della probabilità composta si può estendere a più eventi che si devono verificare uno dopo l’altro, considerando sempre quello precedente come verificato. Nel caso di tre eventi la formulazione è p (E) = p (E1 + E2 + E3) = p (E1) $ p (E2 E1) $ p (E3 (E1 + E2)), ● D’ora in poi, per brevità, nel parlare di eventi dipendenti o indipendenti tralasceremo il termine «stocasticamente».

che per eventi indipendenti si semplifica: p(E ) = p(E 1 + E 2 + E 3) = p (E 1) $ p (E 2) $ p (E 3).

Problemi con somma e prodotto logico insieme Consideriamo un esempio di problema che si risolve utilizzando congiuntamente la somma logica e il prodotto logico. ESEMPIO

● Nota che non è richiesto: «prima due nere e poi una bianca».

Da un’urna che contiene 4 palline nere e 6 bianche estraiamo consecutivamente tre palline. Calcoliamo la probabilità che le palline siano 2 nere e 1 bianca. L’evento si verifica nei casi in cui la sequenza delle palline uscite è una delle seguenti: (nera, nera, bianca) o (nera, bianca, nera) o (bianca, nera, nera), il cui numero è P(32) .

1568

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PARAGRAFO 4. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE

TEORIA

Considerando ogni possibile terna, applichiamo il teorema della probabilità composta. Utilizziamo poi il teorema della probabilità totale, sommando le probabilità relative alle possibili terne. a) Senza reimmissione: p=

4 3 6 4 6 3 6 4 3 $ $ + $ $ + $ $ . 10 9 8 10 9 8 10 9 8

Possiamo scrivere anche: p=

4 3 6 (2) 4 3 6 3 $ $ $P = $ $ $3 = ; 10 9 8 3 10 9 8 10

b) Con reimmissione: p=

4 4 6 4 6 4 6 4 4 $ $ + $ $ + $ $ ; 10 10 10 10 10 10 10 10 10

p=

36 4 4 6 4 4 6 . $ $ $ P(2) = $ $ $3 = 125 10 10 10 3 10 10 10

● Le estrazioni consecutive senza reimmissione e senza ordine prefissato corrispondono all’estrazione contemporanea:

4 c m$ 6 p= 2 . 10 c m 3 ● Direttamente potremmo impostare: Dl4, 2 $ Dl6, 1 (2) $ P3 . p= l ,3 D10

Osserviamo quindi che, sia con reimmissione che senza, la probabilità si può ottenere in questo modo: • calcoliamo la probabilità relativa a una qualsiasi delle sequenze favorevoli; • moltiplichiamo il valore ottenuto per il numero delle sequenze favorevoli.

4. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE Gettiamo un dado regolare e calcoliamo la probabilità che in cinque lanci consecutivi la faccia 1 si presenti soltanto la prima volta e poi non si presenti più nei lanci successivi. Siamo di fronte a un evento prodotto logico di una sequenza di cinque eventi indipendenti. 1 La probabilità dell’evento E = «esce la faccia 1» è p (E) = , mentre la probabi6 1 5 . lità dell’evento E = «non esce la faccia 1» è 1 - p (E) = 1 - = 6 6 La probabilità richiesta è: p =

1 5 5 5 5 1 5 4 54 $ $ $ $ = $b l = 5 . 6 6 6 6 6 6 6 6

Abbandoniamo ora la richiesta che la faccia 1 esca la prima volta e consideriamo il caso in cui la faccia 1 esca una volta sola, non importa in quale posizione della sequenza. Le possibilità sono 5, tutte incompatibili fra loro, ognuna con uguale valore di probabilità p. Dobbiamo applicare il teorema della somma logica di eventi sommando cinque volte il valore appena trovato, cioè moltiplicandolo per 5: p(1, 5) = 5 $

1 5 5 5 5 1 5 4 55 $ $ $ $ = 5 $ $b l = 5 . 6 6 6 6 6 6 6 6

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● Il simbolo p (1,5) indica la

probabilità che l’evento si verifichi una volta su cinque prove.

1569

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

5! 5! ; = 1!4! 1! (5-1) ! per la legge dei tre fattoriali possiamo scrivere: 5 5! = c m. 1! (5-1) ! 1 In generale: n n! =c m . P (nk, n - k) = k! (n - k) ! k ● P (51, 4) =

Il numero delle volte con il quale può presentarsi la sequenza non è altro che il numero di permutazioni di 5 elementi di cui uno ripetuto una volta e l’altro quattro volte: P(51, 4) . Può anche essere visto come il numero dei modi con cui un ele5 mento può occupare cinque posti a disposizione: c m . 1 Se l’evento «esce la faccia 1» si deve presentare due volte, abbiamo: 5 1 1 5 5 5 5 1 2 5 3 10 $ 53 . p(2, 5) = c m $ $ $ $ $ = c m $ b l $ b l = 6 6 2 6 6 6 6 6 2 65 Se le volte sono tre: 5 1 1 1 5 5 5 1 3 5 2 10 $ 52 . p(3, 5) = d n $ $ $ $ $ = d n $ b l $ b l = 6 6 3 6 6 6 6 6 3 65 E così via. Generalizziamo il problema. Abbiamo un evento E con probabilità costante p di verificarsi. L’evento contrario E ha probabilità di verificarsi q = 1 - p. Effettuiamo n prove e vogliamo calcolare la probabilità che l’evento E si verifichi k volte e (n - k) volte non si verifichi. Supponendo che l’evento accada nelle prime k prove e non accada nelle (n - k) successive, dobbiamo applicare il teorema della probabilità composta e abbiamo: p $ p $ p $ f $ p $ q $ q $ q $ f $ q = p k $ qn - k . 1 444 2 444 3 1 44 4 2 44 43 k volte

(n - k) volte

Poiché le k prove in cui l’evento si verifica si possono presentare con ordine diverso, dobbiamo applicare il teorema della somma logica di eventi e quindi moltiplicare il valore precedente per il numero delle possibilità che ci sono. Indichiamo il valore della probabilità con il simbolo p (k,n) . Abbiamo: n p(k, n) = d n p k $ qn - k . k TEOREMA

Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli) Dato un evento E, sottoposto a n esperimenti indipendenti ognuno con probabilità p costante di verificarsi, essendo q = (1 - p) la probabilità che ha l’evento di non verificarsi, la probabilità di ottenere k successi su n prove è: n p(k, n) = d n p k $ qn - k . k ESEMPIO

Una macchina produce pezzi che risultano difettosi con una probabilità del 3%. Prendiamo 8 pezzi e calcoliamo la probabilità che: a) nessuno sia difettoso; b) 3 siano difettosi;

1570

c) tutti siano difettosi; d) almeno 2 siano difettosi.

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PARAGRAFO 5. IL TEOREMA DI BAYES

Essendo p = 0,03 e q = 0,97: 8 a) p (0,8) = d n (0,03)0 $ (0,97)8 - 78,37%. 0 8 b) p (3,8) = d n (0,03)3 $ (0,97)5 - 12,98 $ 10-2%. 3 8 c) p (8,8) = d n (0,03)8 $ (0,97)0 - 6,56 $ 10-11%. 8 d) Per questo quesito utilizziamo l’evento contrario di «almeno due pezzi difettosi» che è: «nessun pezzo difettoso o uno solo difettoso»: 8 p = 1 - p (0,8) - p (1,8) - 1 - 0,7837 - c m (0,03)1 $ (0,97)7 - 2,24%. 1

5. IL TEOREMA DI BAYES

IN PRATICA 

Videolezione 75

Se l’evento deve accadere: la disintegrazione Abbiamo le seguenti due urne: • urna 1: 3 palline bianche e 2 nere; • urna 2: 4 palline bianche e 5 nere. Calcoliamo la probabilità che, scegliendo a caso un’urna ed effettuando l’estrazione di una pallina, questa sia bianca. Per la scelta dell’urna ci affidiamo al lancio di un dado: se viene un numero minore di tre, effettueremo l’estrazione dalla prima urna, altrimenti dalla seconda. Gli eventi relativi alla scelta dell’urna sono: E 1 = «faccia del dado con numero minore di tre»; E 2 = «faccia del dado con numero maggiore o uguale a tre». Questi due eventi sono incompatibili ed esauriscono tutte le possibilità del lancio del dado. 2 1 4 2 Essi hanno probabilità: p (E1) = = , p (E2) = = . 6 3 6 3 Colleghiamo gli eventi E 1 ed E 2 alle due urne con le palline bianche e nere considerando la rappresentazione della figura 2. Allora l’evento E = «estrazione di una pallina bianca»

 Figura 2

U E1

E2

E E2 + E

E

è un sottoinsieme di U = E 1 , E 2 ed è l’unione di due eventi incompatibili:

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E1 + E

1571

TEORIA

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

E 1 + E = «uscita della faccia del dado con un numero minore di tre ed estrazione di una pallina bianca dalla prima urna»; E 2 + E = «uscita della faccia del dado con un numero maggiore o uguale a tre ed estrazione di una pallina bianca dalla seconda urna». Gli eventi condizionati relativi all’estrazione della pallina bianca, avendo scelto l’urna, sono: E E1 = «estrazione pallina bianca avendo scelto la prima urna»; E E2 = «estrazione pallina bianca avendo scelto la seconda urna». p (E E1) =

Essi hanno probabilità:

3 , 5

p (E E2) =

4 . 9

Applicando il teorema della probabilità composta, abbiamo che gli eventi composti E 1 + E ed E 2 + E hanno rispettivamente probabilità: p (E1 + E) = p (E1) $ p (E E1) =

1 3 1 $ = ; 3 5 5

p (E2 + E) = p (E2) $ p (E E2) =

2 4 8 . $ = 3 9 27

Possiamo ora calcolare la probabilità dell’evento E, che è unione dei due eventi composti, E = (E 1 + E) , (E 2 + E): ● Essendo E 1 + E ed E 2 + E eventi incompatibili, la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle loro probabilità.

p (E) = p(E 1 + E) + p(E 2 + E) = p(E ) = p (E1) $ p (E E1) + p (E2) $ p (E E2) =

1 8 67 . + = 5 27 135

Possiamo sintetizzare tutto il procedimento nel modo seguente (figura 3).  Figura 3

● In un diagramma ad al-

bero i rami sono i segmenti che congiungono i nodi.

1 — 3

2 — 3

3 — 5

b

2 — 5

n

1 :— 3 =— 1 — 3 5 5

E1

4 — 9

b

2 :— 4 =— 8 — 3 9 27

E2 5 — 9

n

Partendo da sinistra, percorrendo i rami del diagramma ad albero, leggiamo la successione degli eventi che formano l’evento composto ed effettuiamo il prodotto delle probabilità. I rami uscenti da un nodo rappresentano eventi incompatibili e, sommando le probabilità segnate su di essi, otteniamo il valore uno. Addizionando le probabilità degli eventi prodotto dei percorsi, otteniamo la pro1 8 67 = babilità dell’evento considerato: p (E) = + . 5 27 135 1572

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PARAGRAFO 5. IL TEOREMA DI BAYES

In generale, un evento E si può esprimere come unione di eventi composti a due a due incompatibili nel seguente modo: E = (E 1 + E) , (E 2 + E) , … , (E n + E), dove E 1 , E 2 , …, E n costituiscono una partizione dello spazio dei campioni U, cioè sono n eventi: U

• non impossibili: Ei ! Q per i = 1, 2, 3, …, n; • incompatibili a due a due: Ei + E j = Q per i , j = 1, 2, 3, …, n e i ! j ; • tali che la loro unione E1 , E2 , … , En sia un evento certo.

● Questo procedimento è detto «di disintegrazione».

 Figura 4 Una partizione

dello spazio dei campioni U e dell’evento E.

En E1

TEORIA

E… E

E2

Applicando il teorema della probabilità totale, si ha p (E) = p (E + E1) + p (E + E 2) + f + p (E + En) e applicando il teorema del prodotto logico di eventi si ha la formula p (E) = p (E1) $ p (E E1) + p (E 2) $ p (E E 2) + f + p (En) $ p (E En), la cui applicazione risulta facilitata utilizzando i diagrammi ad albero.

● Questa formula è anche detta formula di disintegrazione.

Se l’evento è accaduto: il teorema di Bayes Consideriamo ancora l’esperimento relativo all’estrazione di una pallina bianca da due urne, la cui scelta è stabilita dal lancio di un dado. Supponiamo che si sia verificato l’evento: E = «estrazione di una pallina bianca». Proviamo a rispondere alla seguente domanda: «qual è la probabilità che la pallina estratta provenga dalla prima urna?». Siamo in una situazione completamente diversa da quella precedente. Infatti abbiamo sempre calcolato la probabilità di un evento che potrebbe accadere conoscendo le cause che stanno alla base del suo verificarsi. Ora siamo di fronte a un evento che si è verificato e vogliamo conoscere la probabilità da assegnare alla causa che può averlo prodotto. I valori della probabilità che abbiamo calcolato precedentemente sono: 1 p (E1 + E) = p (E1) $ p (E E1) = 5

e

67 p (E) = . 135

Dalla relazione della probabilità composta, p (E + E1) = p (E) $ p (E1 E), ricaviamo p (E1 E) e, dopo aver notato che p (E + E1) = p (E1 + E), sostituiamo i valori calcolati precedentemente, ottenendo che, avendo riscontrato l’uscita di una pallina bianca, la probabilità che essa provenga dalla prima urna è: 1 p (E + E1) p (E1 + E) 27 p (E1 E) = . = = 5 = p (E) p (E) 67 67 135

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● Nel problema esaminato: l’urna 1 contiene 3 palline bianche e 2 nere, l’urna 2 ne contiene 4 bianche e 5 nere; se la faccia del dado ha un numero minore di 3, l’estrazione avviene dalla prima urna, altrimenti dalla seconda.

● Usiamo ancora le notazioni:

E 1 = «uscita di una faccia del dado con un numero minore di tre»; E 1 + E = «uscita di una faccia del dado con un numero minore di tre ed estrazione di una pallina bianca dalla prima urna»; E E1 = «estrazione di una pallina bianca essendo uscita una faccia del dado con un numero minore di tre».

1573

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

Quindi, la probabilità della causa dell’evento che si è verificato si ottiene calcolando il rapporto tra la probabilità dell’evento, verificata la causa, e la probabilità totale dell’evento. Generalizziamo il problema. Sia U uno spazio di campioni ed E  U un evento che supponiamo sia verificato. Consideriamo una p partizione di U in n eventi E 1 , E 2 , …, E n . U En

E… E

E…

E

Ei + E E1

E2  Figura 5

Possiamo scrivere E = (E + E 1) , (E + E 2) , … , (E + E n), e la probabilità che l’evento E i sia stato la causa di E si ottiene come rapporto fra la probabilità di E i + E e la probabilità dell’evento totale E. Ciò conduce alla seguente formula, nota come teorema di Bayes. TEOREMA

● Thomas Bayes

(1702-1761), reverendo e matematico inglese, fu membro della Royal Society.

Teorema di Bayes La probabilità che, essendosi verificato un evento E, la causa che sta alla sua origine sia l’evento E i, con i = 1, 2, …, n, è p (Ei) $ p (E Ei) p (Ei E) = , p (E) dove p (E ) è la probabilità dell’evento totale: p(E) = p (E 1) $ p (E E1) + p (E 2) $ p (E E2) + … + p(E n ) $ p (E En). Il teorema di Bayes trova applicazioni nel campo del controllo della qualità, in medicina, in farmacia e ogni qualvolta è necessario valutare il «peso» di una causa di fronte al verificarsi di un evento. ESEMPIO

Un’industria utilizza tre macchinari: il primo produce 500 pezzi, il secondo 1250 e il terzo 750. I pezzi difettosi prodotti dai tre macchinari sono rispettivamente il 5%, l’8% e il 6%. Avendo prelevato un pezzo difettoso, qual è la probabilità che provenga dal primo macchinario? E qual è la probabilità che provenga dal secondo o dal terzo macchinario? M 1 = «produzione primo macchinario», M 2 = «produzione secondo macchinario», M 3 = «produzione terzo macchinario», D = «pezzo difettoso».

1574

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PARAGRAFO 6. I GIOCHI ALEATORI

0,05 1 — 5

1 — 2

D

1 : —— 5 = —— 1 — 5 100 100

D

1 : —— 8 = —— 4 — 2 100 100

D

3 : —— 6 = —— 18 — 10 100 1000

TEORIA

 Figura 6

M1 0,95

0,08 M2 0,92

3 — 10

0,06 M3 0,94

Calcoliamo la probabilità che prendendo a caso un pezzo esso sia difettoso: p(D) = 0,01 + 0,04 + 0,018 = 0,068. Rispondiamo al primo quesito. La probabilità che esca un pezzo difettoso dalla prima macchina è: p (D + M 1) = p(M 1) $ p (D M1) = 0,01. Calcoliamo la probabilità che, avendo preso un pezzo difettoso, esso provenga dalla prima macchina: p (M1) $ p (D M1) 0, 01 10 5 = = = p (M1 D) = . p ( D) 0, 068 68 34 Rispondiamo al secondo quesito. La probabilità che esca un pezzo difettoso dalla seconda o dalla terza macchina è: p(M 2) $ p (D M2) + p (M 3) $ p (D M3) = 0,04 + 0,018 = 0,058. Quindi, la probabilità che, avendo preso un pezzo difettoso, esso provenga dalla seconda o dalla terza macchina è: 0, 058 58 29 = = . 0, 068 68 34

6. I GIOCHI ALEATORI Una persona decide di partecipare al seguente gioco. Viene lanciato un dado. Se esce il numero 1 essa riceve € 7, se esce un numero pari riceve € 4, mentre in caso contrario deve pagare € 2. Vengono effettuati 8 lanci e alla fine si rileva che il numero 1 è uscito una volta, per 2 volte è uscito un numero pari e per 5 volte la persona ha dovuto effettuare il pagamento pattuito. Calcoliamo se a questa persona è convenuto o meno partecipare al gioco: € (7 $ 1 + 4 $ 2 - 2 $ 5) = € 5. Il guadagno totale è stato positivo e il guadagno medio è stato di € 0,625.

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● In un gioco d’azzardo le somme che i giocatori pagano costituiscono le poste. La posta di un giocatore, in caso di sua perdita al gioco, costituisce il guadagno positivo dell’altro o degli altri giocatori e per lui un guadagno negativo. La somma di tutte le poste costituisce il montepremi o piatto.

1575

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

Possiamo ottenere lo stesso valore scrivendo i calcoli nella forma 7$

1 2 5 + 4 $ =- 2 $ = 0, 625 , 8 8 8

cioè moltiplicando i guadagni positivi e negativi per le frequenze degli esiti favorevoli e sfavorevoli dei lanci del dado.

● Una variabile casuale è una variabile che può assumere i valori x1, x2, f, xn al verificarsi degli eventi E1, E2, f, En che costituiscono una partizione dell’universo. La distribuzione di probabilità di una variabile casuale X è la successione delle probabilità P1 associate ai valori x1 di X.

Se al posto delle frequenze empiriche (valori a posteriori) sostituiamo le probabi1 1 1 lità (valori a priori), abbiamo: 7 $ + 4 $ - 2 $ = 2, 5 . Il valore ottenuto rap6 2 3 presenta non la vincita media riscontrata, ma quella che il giocatore avrebbe potuto sperare di realizzare in media. Questo valore si chiama proprio speranza matematica. I vari guadagni (positivi e negativi) rappresentano i valori di una variabile casuale avente, come distribuzione di probabilità, le probabilità di vincita o di perdita. X P(X)

7 1 6

4 1 2

-2 1 3

Consideriamo la distribuzione di probabilità di una variabile casuale X, i cui valori sono i guadagni (positivi e negativi) di un gioco d’azzardo. X

S1

S2

S…

Sn

P(X)

p1

p2

p…

pn

DEFINIZIONE

Speranza matematica Si chiama speranza matematica M(X) di X la somma dei prodotti di ogni valore della variabile X per la rispettiva probabilità: M(X ) = S 1 $ p 1 + S 2 $ p 2 + … + S n $ p n . Se M(X ) = 0, si ha un gioco equo. Se M(X) 2 0, il gioco è favorevole (per il giocatore). Se M(X ) 1 0, il gioco è sfavorevole. Nel caso di due giocatori A e B, essendo SA e S B le somme che essi rispettivamente pagano in caso di vincita dell’avversario, la condizione di gioco equo è: SA $ p - S B $ q = 0, dove p è la probabilità di vincita di B e q = 1 - p la sua probabilità di perdita (o di vincita di A). Possiamo anche scrivere: SA $ p = S B $ q , cioè SA  S B = q  p. Quindi in un gioco equo le poste dei due giocatori sono proporzionali alla probabilità di vincita. Applicando la proprietà del comporre, si ha (SA + S B )  S B = (q + p)  p ; essendo (SA + S B ) = V, dove V è il piatto, cioè la somma delle poste, e (p + q) = 1, si ha: V  S B = 1  p, cioè S B = V $ p . Riprendiamo l’esempio precedente. La speranza matematica del giocatore è 2,5, quindi possiamo dire che il gioco gli è favorevole.

1576

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PARAGRAFO 6. I GIOCHI ALEATORI

TEORIA

Calcoliamo quanto dovrebbe essere la somma P (cioè la posta) che dovrebbe corrispondere affinché il gioco sia equo. Impostiamo la relazione della speranza matematica come equazione con incognita P: 7$

1 1 1 + 4 $ - P $ = 0 " P = 9, 5 . 6 2 3

Consideriamo ora lo stesso gioco con un’altra «organizzazione». Al giocatore viene chiesto un prezzo per partecipare al gioco gestito da un banco. Questo prezzo non è altro che la posta da pagarsi prima che il gioco inizi. In caso di esito favorevole il giocatore incasserà una vincita lorda di: • 16,5 euro se esce la faccia 1; • 13,5 euro se esce un numero pari. La posta P che il giocatore deve pagare, affinché il gioco sia equo, è la somma dei prodotti delle vincite lorde per le rispettive probabilità di vincita: P = 16, 5 $

1 1 + 13, 5 $ = 9, 5 . 6 2

Parliamo di vincita lorda perché, per ottenere il guadagno (ossia la vincita netta), alla somma vinta dobbiamo togliere la posta che viene pagata ogni volta che si gioca: 16,5 - 9,5 = 7

e

13,5 - 9,5 = 4.

● Confronta i due diversi modi di organizzare il gioco. Nel primo si hanno dei guadagni in caso di vincita, mentre in caso di perdita si paga una posta. Nel secondo ci sono soltanto vincite, ma ogni volta si paga la posta per partecipare al gioco.

DEFINIZIONE

Speranza matematica di una somma Si chiama speranza matematica di una somma S il prodotto dell’importo della somma per la probabilità p di ottenerla: S $ p. In un gioco dove si conseguono le vincite lorde V 1 , V 2 , …, Vn , con probabilità p 1 , p 2 , … , p n , si ha equità se la posta P è la somma delle speranze matematiche delle vincite lorde: P = V1 $ p 1 + V2 $ p 2 + … + Vn $ p n . ESEMPIO

In un gioco con un mazzo di 40 carte si estraggono contemporaneamente 2 carte. Se sono due figure, si vincono 52 euro, e se è una sola figura, si vincono 26 euro. Per partecipare al gioco viene richiesta una posta di 20 euro. 28 11 Le probabilità di vincita sono e . 130 65 Affiché il gioco sia equo, la posta dovrebbe essere la somma delle speranze 11 28 + 26 $ = 15, 6 . matematiche delle vincite lorde: P = 52 $ 130 65 Il gioco è sfavorevole essendo la posta richiesta superiore. Possiamo anche verificare che la speranza matematica dei guadagni, in base alla posta richiesta di 20 euro, è negativa, e il risultato è proprio la differenza fra la posta in caso di equità e la posta richiesta: M (X) = (52 - 20) $

11 28 63 + (26 - 20) $ - 20 $ =- 4, 4 . 130 65 130

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1577

TEORIA

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

I FILTRI ANTISPAM MODELLI

Come si possono bloccare le e-mail di spam?

Il quesito completo a pag. 1561

Si calcola che attualmente più del 50% delle e-mail che viaggiano nella rete sia costituito da messaggi di spam. Il fastidioso fenomeno, esploso alla fine degli anni Novanta, ha notevoli ripercussioni economiche: le energie complessivamente impiegate nel mondo per passare al vaglio e cancellare questi messaggi causano perdite per svariati miliardi di euro.

Di fronte alla fiumana di spam Molti fornitori di servizi internet hanno adottato dei filtri antispam che aiutano l’utente a scartare i messaggi di posta elettronica indesiderata. Si tratta di programmi informatici che determinano, ogni qual volta giunge una nuova e-mail, se il messaggio è legittimo, e quindi va recapitato, oppure spam, e quindi va cestinato. Il funzionamento di questi programmi del computer, alla cui scrittura i ricercatori hanno lavorato per diversi anni, si basa sulla teoria delle probabilità. I filtri antispam non fanno

altro che stimare automaticamente la probabilità che un messaggio e-mail in arrivo sia di spam o meno. Sulla base di una certa casistica, il programma informatico viene inizialmente istruito sulla probabilità che una parola sia contenuta in una e-mail buona o indesiderata. Per esempio, poniamo che il 90% delle e-mail di spam contenga la parola Viagra. Se il computer bloccasse qualunque messaggio e-mail contenente questa parola, si avrebbero molti «falsi positivi», ovvero finirebbero eliminati anche i messaggi assolutamente legittimi, contenenti la parola Viagra ed erroneamente classificati come spam. Ma non solo. Gli spammer imparerebbero ad aggirare il problema, alterando leggermente la grafia della parola e scrivendo, per esempio, Vi@gra o Vi*agra al posto di Viagra. Il programma antispam, quindi, non può cestinare un’e-mail solo perché contiene una parola altamente sospetta. Deve tener conto di tutte le altre parole presenti nell’e-mail. Ecco come funziona il filtro Il computer assume inizialmente che ciascun messaggio abbia una probabilità a priori del 50% di essere spam. Il filtro utilizza poi la formula di Bayes per calcolare la probabilità condizionata P che, data una certa parola, per esempio Viagra, il messaggio sia spam.

L’e-mail è spam 50% c’è Viagra 90%

non c’è Viagra 10%

c’è Viagra 2%

non c’è Viagra 98%

0,9 • 0,5 P = –––––––––––––––––––––––––– = 0,98 0,9 • 0,5 + 0,02 • 0,5

Combina poi queste probabilità in una probabilità complessiva che il messaggio sia spam, sulla base di tutti i vocaboli che compaiono. L’indice di spamicity Il risultato finale, ovvero la probabilità bayesiana a posteriori che il messaggio sia effettivamente spam, è un indice chiamato spamicity. Una volta calcolato il valore di spamicity, basta stabilirne la soglia (per esempio, superiore al 90% o 0,9), oltre la quale il computer smista il messaggio come spam e lo elimina. Il criterio descritto, che passa al vaglio le parole, può essere integrato anche con altri fattori, per esempio l’eventualità che intere righe del messaggio siano scritte in lettere maiuscole (opzione spesso preferita dagli spammer). Alcuni filtri molto avanzati sono addirittura in grado di eseguire calcoli personalizzati per ciascun utente, cioè di aggiornare i loro indici di probabilità sulla base delle e-mail ricevute presenti nella posta elettronica.

L’origine dello spam è in una scatoletta di carne SPAM è una marca di carne in scatola americana realmente esistente. Negli anni Settanta, spinti dall’invasiva politica pubblicitaria della casa produttrice di SPAM, i Monty Python, famoso gruppo di attori comici, proposero uno sketch di denuncia in cui la cameriera nevrastenica di un fast food proponeva, con tono sempre più fastidioso e incalzante, piatti esclusivamente a base di carne SPAM: uova e SPAM, uova, bacon e SPAM, uova, bacon, salsicce e SPAM. Spam è diventato così sinonimo di messaggio pubblicitario insistente e non desiderato.

1578

non è spam 50%

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LABORATORIO DI MATEMATICA Il calcolo della probabilità

STRUMENTI

TEORIA

LABORATORIO DI MATEMATICA IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ ESERCITAZIONE GUIDATA

Un sacchetto contiene t gettoni, di cui r rossi, g gialli, b blu. Costruiamo un foglio elettronico con Excel che riceva i numeri r, g, b e che mostri le probabilità delle possibili estrazioni di due gettoni, sia che il primo gettone estratto venga reimmesso nel sacchetto, sia che non venga reimmesso. Proviamo il foglio con r = 4, g = 2 e b = 3. • Prepariamo il foglio come in figura 1. In particolare, scriviamo le diverse coppie di colori date dalle combinazioni con ripetizione di tre oggetti presi a due a due, cioè nove. • Dichiariamo le celle adibite a mostrare le probabilità di estrazione in formato percentuale. Ricaviamo il totale dei gettoni digitando = C3 + C5 + C7 in C9. • Per mostrare le varie probabilità di estrazione, posto che c sia il numero dei gettoni di un colore e t c-1 c c e . La prima dà la probabilità di estrazione del priquello totale, applichiamo le formule , t t-1 t-1 mo o del secondo gettone con reimmissione, la seconda e la terza danno la probabilità di estrazione del secondo gettone senza la reimmissione, rispettivamente, se la coppia è di colore diverso o se è dello stesso colore. • Per ottenere le probabilità di estrazione delle coppie di gettoni, digitiamo = F3*H3 nella cella M3 e la copiamo sino alla M11 e = F3*J3 nella cella N3 e la copiamo sino alla N11. • Poniamo due controlli: = SOMMA(M3:M11) in M12 e = SOMMA(N3:N11) in N12. • Inseriamo i dati e otteniamo il foglio di figura 1.

 Figura 1

Nel sito:

 1 esercitazione guidata  4 esercitazioni in più

Esercitazioni Svolgi l’analisi dei seguenti problemi e costruisci un foglio elettronico che permetta l’ingresso dei dati, determini le probabilità degli eventi descritti e mostri i risultati nei formati decimale, percentuale e frazionario. Prova il foglio con i dati proposti. Realizza la simulazione richiesta nei problemi con 6000 estrazioni. 1

Una scatola contiene t palline, di cui r rosse, g gialle, b blu, v verdi. Supponendo l’estrazione di due palline, determina la probabilità delle uscite dei quattro colori, indipendentemente dall’ordine di estrazione, sia nel caso che la prima pallina sia rimessa nella scatola, sia che non vi sia rimessa. Simula l’estrazione di una pallina [10,00%; 10,53%] gialla e di una blu. Prova con r = 3, g = 4, b = 5, v = 8.

2

Supponi l’estrazione contemporanea di due numeri della tombola. Determina la probabilità che i due numeri siano, rispetto a un numero dato m, entrambi minori, entrambi maggiori, uno minore e l’altro maggiore, uno uguale e l’altro maggiore, uno uguale e l’altro minore. Prova con m = 30. Simula il caso in cui i due numeri estratti siano uno uguale e uno minore di m. [0,72%]

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1579

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

LA TEORIA IN SINTESI LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI 1. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI  Somma logica di due eventi: evento che si verifica quando almeno uno dei due eventi si verifica.  Due eventi E1 ed E 2 sono incompatibili se E1 + E 2 = Q oppure compatibili se E1 + E 2 ! Q .  p (E1 , E 2) = p (E1) + p (E 2) - p (E1 + E 2) . Se gli eventi sono incompatibili, allora p (E1 , E 2) = p (E1) + p (E 2) .  Teorema della probabilità totale

Dati n eventi E1, E2, … , En a due a due incompatibili: p (E1 , E2 , f , En) = p (E1) + p (E2) + f + p (En) .

2. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA  La probabilità condizionata di un evento E1 rispetto a un evento E2, non impossibile, è la probabilità di verifi-

carsi di E1 nell’ipotesi che E2 si sia già verificato e si indica con p (E1 E 2). Gli eventi si dicono: • stocasticamente indipendenti se p (E1 E2) = p (E1); • correlati positivamente se p (E1 E2) 2 p (E1); correlati negativamente se p (E1 E2) 1 p (E1).  Vale il teorema: p (E1 E2) =

p (E1 + E2) , con p (E2) ! 0 . p (E2)

3. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI  Prodotto logico di due eventi E1 + E 2 : evento che si verifica quando si verificano entrambi gli eventi.  Teorema della probabilità composta

• p (E1 + E2) = p (E1) $ p (E2 E1), se E1 ed E2 sono eventi dipendenti; • p (E1 + E2) = p (E1) $ p (E2), se E1 ed E2 sono eventi indipendenti.

4. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE  Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli): se p è la probabilità che un evento si verifichi e q = 1 - p la probabi-

n lità che non si verifichi, ripetuti n esperimenti la probabilità che l’evento si verifichi k volte è p(k, n) = c m pk qn - k . k

5. IL TEOREMA DI BAYES  Formula di disintegrazione: p(E) = p(E1) $ p (E E1) + p(E2) $ p (E E 2) + … + p(En) $ p (E En) .  Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità che un determinato evento (o causa) Ei abbia preceduto

l’evento E che si è verificato. La probabilità che l’evento Ei sia stato la premessa al verificarsi dell’evento E è: p (Ei E) =

p (Ei) $ p (E Ei) . p (E)

6. I GIOCHI ALEATORI  Speranza matematica della variabile casuale X avente per valori i guadagni (positivi o negativi) S1, S 2, f, Sn di un

gioco: M (X) = S1 $ p1 + S2 $ p2 + f + Sn $ pn . Se:

M (X) = 0 , il gioco è equo;

1580

M (X) 2 0 , il gioco è favorevole;

M (X) 1 0 , il gioco è sfavorevole.

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PARAGRAFO 1. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

1. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

ESERCIZI

 Teoria a pag. 1562 IN PRATICA 

Videolezione 73

Il teorema della somma logica di due eventi 1

ESERCIZIO GUIDA

In un sacchetto ci sono 16 gettoni: 7 di forma quadrata (3 rossi e 4 verdi) e 9 di forma circolare (4 rossi e 5 verdi). Qual è la probabilità di estrarre a caso un gettone rosso oppure tondo? Gli eventi E 1 = «estrazione di un gettone rosso» ed E 2 = «estrazione di un gettone tondo» sono compatibili; infatti, un gettone può essere contemporaneamente rosso e tondo. Calcoliamo p (E 1 ) e p(E 2 ), tenendo presente che i casi possibili sono 16: p (E1) =

7 ; 16

p (E2) =

9 . 16

Inoltre, per calcolare p (E 1 + E 2 ), teniamo presente che i casi favorevoli sono i gettoni rossi e tondi: p (E1 + E2) =

4 . 16

La probabilità che si estragga un gettone rosso oppure tondo è: p (E1 , E2) = p (E1) + p (E2) - p (E1 + E2) =

2

7 9 4 3 + = . 16 16 16 4

ESERCIZIO GUIDA

Un’urna contiene 4 palline rosse numerate da 1 a 4 e 6 palline nere numerate da 1 a 6. Si estraggono consecutivamente due palline, senza rimettere la pallina estratta nell’urna. Calcoliamo la probabilità: a) che le palline estratte siano di colore uguale; b) che le palline estratte siano rosse o rechino due numeri pari; c) che almeno una pallina estratta sia rossa.

a) Le palline estratte possono essere o due rosse o due nere. I due eventi sono incompatibili: p=

D 4, 2 D 12 30 42 7 + 6, 2 = + = = . D10, 2 D10, 2 90 90 90 15

b) Gli eventi «due palline rosse» e «due numeri pari» sono compatibili in quanto fra i 5 numeri pari 2 sono rossi e quindi vi sono due esiti {(2; 4), (4; 2)} che verificano entrambi gli eventi: p=

D 4, 2 D D 12 20 2 30 1 + 5, 2 - 2, 2 = + = = . D10, 2 D10, 2 D10, 2 90 90 90 90 3

c) L’evento è verificato quando le palline che escono sono o una rossa e una nera (e viceversa), o due rosse: p=

D 4$6$2 48 12 60 2 + 4, 2 = + = = . 90 90 90 3 D10, 2 D10, 2

Possiamo applicare anche il metodo dell’evento contrario. L’evento contrario è «nessuna pallina rossa»: D 30 1 2 = 1- = . p = 1 - 6, 2 = 1 D10, 2 90 3 3

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1581

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

3

In una busta sono contenute 28 figurine numerate da 1 a 28. Calcola la probabilità di estrarre a caso una figurina con numero dispari o multiplo di 4. :3D 4

4

Un cassetto contiene 18 calzini blu, 6 neri e 4 grigi. Calcola la probabilità che, estraendone uno a caso, esso sia blu o grigio. : 11 D 14

—

—

5

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, si verifichi almeno uno dei due eventi: E 1 = «numero dispari»; E 2 = «numero minore di 4». :2D 3

6

Su uno scaffale sono posati 12 DVD, 20 CD e 14 libri. Prendendo un oggetto a caso, qual è la probabilità di prendere un CD o un libro? : 17 D 23

7

Una scatola contiene cioccolatini, caramelle e liquirizie. Sapendo che i cioccolatini sono il doppio delle liquirizie e le caramelle sono i 3 delle liquirizie, calcola la probabilità di 2 prendere a caso un cioccolatino o una caramella. :7D 9

—

—

—

8

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero maggiore di 2 o pari. :5D 6

9

In una sacca sportiva ci sono 10 maglie numerate dall’1 al 10. Calcola la probabilità che, estraendo a caso una maglia, questa abbia un numero dispari o un numero maggiore di 5. :4D 5

—

—

10

—

Un’urna contiene i 90 numeri del lotto. Calcola la probabilità che, estraendo un numero: a) esca un numero dispari o multiplo di 4; b) esca un numero dispari o multiplo di 5. :a) 67 ; b) 3 D 90 5

1582

11

Un’urna contiene 30 palline numerate. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, esca: a) un numero dispari; b) un numero minore di 10; c) un numero dispari o minore di 10. :a) 1 ; b) 3 ; c) 19 D 10 30 2

12

Un’urna contiene 4 palline bianche e 8 nere. Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente tre palline, senza rimettere la pallina estratta nell’urna: a) siano dello stesso colore; b) siano due bianche e una nera o due nere e una bianca. :a) 3 ; b) 8 D 11 11

13

Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Calcola la probabilità che la carta: a) sia un re o un sette; b) sia un re o una carta di picche; c) sia un asso o una carta di picche o una figura. :a) 2 ; b) 4 ; c) 25 D 13 13 52

14

Abbiamo 9 biglietti per un parco divertimenti, 5 biglietti per un parco acquatico e 6 biglietti per un parco termale. Estraiamo consecutivamente due biglietti da assegnare come primo e secondo premio per un gioco. Calcola la probabilità che: a) siano biglietti per lo stesso parco; b) nessun biglietto sia per il parco acquatico; c) almeno un biglietto sia per il parco divertimenti; d) il primo biglietto sia per il parco termale e l’altro per il parco divertimenti o il parco acquatico. :a) 61 ; b) 21 ; c) 27 ; d) 21 D 190 38 38 95

15

Alle tre vincitrici di un concorso di bellezza spettano tre premi da scegliere estraendoli consecutivamente da una scatola contenente 6 braccialetti e 10 collane. Calcola la probabilità che i premi siano: a) tre braccialetti o tre collane; b) due braccialetti e una collana o un braccialetto e due collane. :a) 1 ; b) 3 D 4 4

—

—

——

——

——

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

PARAGRAFO 2. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

16

——

Un’urna contiene 4 palline gialle, 2 verdi e 7 bianche. Si estraggono consecutivamente due palline, senza rimettere la pallina estratta nell’urna. Calcola la probabilità che: a) siano dello stesso colore; b) nessuna sia bianca; c) almeno una sia verde; d) la prima sia gialla e l’altra o verde o bianca. :a) 14 ; b) 5 ; c) 23 ; 3 D 39 26 78 13

17

——

Si estraggono contemporaneamente tre carte da un mazzo da 40 carte. Calcola la probabilità che si presentino: a) tre figure o tre carte di due semi fissati; b) tre figure o tre re; c) tre carte di due semi fissati o tre sette; d) almeno due figure; e) almeno una figura. :a) 67 ; b) 11 ; c) 11 ; d) 517 ; e) 127 D 494 494 95 2470 190

2. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA 18

ESERCIZI

 Teoria a pag. 1564

ESERCIZIO GUIDA

Un’urna contiene 4 palline nere e 6 verdi. Si estraggono contemporaneamente due palline. Consideriamo i seguenti eventi: A = «almeno una pallina è nera»; B = «almeno una pallina è verde». Calcoliamo la probabilità dell’evento A condizionato a B. L’evento A si verifica quando l’esito è una delle seguenti combinazioni di colore: (nera, nera) o (nera, verde). L’evento B si verifica quando l’esito è una delle seguenti combinazioni di colore: (nera, verde) o (verde, verde). L’evento A + B si verifica quando l’esito è (verde, nera). I valori delle probabilità sono: 4 6 c m c m 4$6 6 24 30 2 4$6 24 15 39 13 2 , p (A) = + = + = = , p (B) = + 2 = + = = 10 10 45 45 45 3 10 10 45 45 45 15 c m c m c m c m 2 2 2 2 4$6 24 8 . p (A + B) = = = 45 15 10 c m 2 8 p (A + B) 8 15 La probabilità condizionata risulta: p (A B) = = = 1 p (A). p (B) 13 13 15 Gli eventi A e B sono stocasticamente dipendenti e sono correlati negativamente. 19

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero maggiore di 3, sapendo che è uscito un numero pari. :2D 3

20

Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa sia un re, sapendo che è uscita una figura. :1D 3

21

Un’urna contiene 22 palline numerate da 1 a 22. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi un numero multiplo di 3, sapendo che è uscito un numero dispari. : 4 D 11

—

—

—

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1583

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

22

Si hanno due mazzi di carte da 40. Si estrae da ciascun mazzo una carta. Calcola la probabilità che esse siano due re, sapendo che sono uscite due figure, e la probabilità che siano due figure, sapendo che sono usciti due re. : 1 ; 1D 9

23

Calcola la probabilità che, lanciando due dadi, la somma delle facce sia un numero dispari, sapendo che le facce portano numeri diversi. :3D 5

24

Si estraggono consecutivamente tre palline da un’urna contenente 20 palline numerate da 1 a 20, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Calcola la probabilità che le tre palline abbiano un numero dispari, sapendo che le prime due palline hanno un numero dispari. :1D 2

25

Da un mazzo da 52 carte si estraggono consecutivamente due carte senza rimettere la carta estratta nel mazzo. Calcola la probabilità che esse siano di cuori, sapendo che sono entrambe rosse. : 6 D 25

26

In una classe 8 alunni giocano a calcio, 6 a pallavolo e 7 a basket. Calcola la probabilità che, prendendo a caso tre alunni, essi giochino a pallavolo, sapendo che non praticano il calcio e che ognuno pratica un solo sport. : 10 D 143

27

Una macchina produce pezzi meccanici e, su una produzione di 400 pezzi, 20 sono difettosi per peso, 30 per lunghezza e 360 sono perfetti. Calcola la probabilità che, prendendo a caso un pezzo: a) sia difettoso; b) abbia entrambi i difetti; c) sia difettoso per peso, sapendo che anche la lunghezza non è corretta. :a) 1 ; b) 1 ; c) 1 D 10 40 3

28

In un’urna abbiamo 5 palline, ciascuna con un colore diverso e con probabilità di estrazione diversa. L’in1 per sieme dei possibili esiti è U = {rossa, gialla, nera, verde, bianca} e le probabilità di estrazione sono 7 2 per ciascuna delle palline verde e bianca. ciascuna delle palline rossa, gialla e nera e 7 Dati gli eventi A = {rossa, nera, bianca}, B = {nera, verde, bianca} e C = {gialla, nera}, calcola le seguenti probabilità:

—

—

—

—

—

——

——

p (A B),

p (B C),

p (C A ),

p (A C).

:3; 1; 1; 1D 5 2 3 2

29

Calcola la probabilità che, lanciando quattro monete, la faccia testa esca due volte, sapendo che è uscita almeno una volta. :2D 5

30

Si svolge un’indagine statistica sui 575 alunni di un istituto tecnico commerciale diplomatisi negli ultimi cinque anni. Di essi 305 sono donne e 270 uomini. Inoltre, 215, di cui 140 donne e 75 uomini, hanno proseguito gli studi; 234, di cui 94 donne e 140 uomini, hanno trovato impiego presso aziende private; 126, di cui 71 donne e 55 uomini, lavorano presso enti pubblici. Si scelgono a caso due persone, perché possano essere intervistate dagli attuali alunni della scuola. Calcola la probabilità che: a) siano due studenti; b) abbiano trovato un impiego, sapendo che sono uomini; c) non lavorino presso un ente pubblico, sapendo che sono due donne.

——

——

Come sono tra loro gli eventi «aver trovato un impiego» e «essere uomini»? [a) 14%; b) 52%; c) 59%; dipendenti]

1584

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PARAGRAFO 3. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

3. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI 31

ESERCIZI

 Teoria a pag. 1567 IN PRATICA 

Videolezione 74

ESERCIZIO GUIDA

Sono stati fatti due investimenti A e B della stessa durata. La probabilità di insolvenza di A è del 5%, mentre la probabilità di insolvenza per B è del 2%. I due investimenti sono indipendenti. Calcoliamo la probabilità che alla scadenza: a) entrambi gli investimenti risultino insolventi; b) entrambi gli investimenti risultino esigibili; c) uno solo dei due investimenti risulti insolvente; d) almeno un investimento risulti insolvente. a) p =

5 2 1 $ = = 0, 1% . 100 100 1000

b) p = b1 c) p =

5 l b 2 l 95 98 9310 $ 1= $ = = 93, 1% . 100 100 100 100 10 000

5 b 2 l b 5 l 2 5 98 95 2 680 $ 1+ 1$ = $ + $ = = 6, 8% . 100 100 100 100 100 100 100 100 10 000

(Notiamo che questi primi tre eventi esauriscono tutte le possibilità; la loro somma è 100%.)

d) Applichiamo l’evento contrario (nessuno risulti insolvente) e sfruttando il risultato precedente 9310 690 abbiamo: p = 1 = = 6, 9% ; 10 000 10 000 oppure, analizzando i vari casi: insolvente A e non B o solvente A e insolvente B o insolventi entrambi: p=

5 98 95 2 5 2 690 $ + $ + $ = = 6, 9% ; 100 100 100 100 100 100 10 000

oppure, infine, applicando il teorema della somma logica p (A , B) = p (A) + p (B) - p (A + B) : p=

5 2 5 2 690 + $ = = 6, 9% . 100 100 100 100 10 000

32

Due impianti nuovi, che funzionano in modo separato uno dall’altro, hanno la probabilità di guastarsi, nel periodo della garanzia, rispettivamente del 5% e del 4%. Calcola la probabilità che in un certo momento: a) uno solo sia guasto; b) siano guasti entrambi; c) nessuno sia guasto; d) almeno uno sia guasto. [a) 8,6%; b) 0,2%; c) 91,2%; d) 8,8%]

33

La probabilità che un tiratore colpisca un bersaglio è del 20% e la probabilità che lo colpisca un altro tiratore è del 60%. I due tiratori sparano contemporaneamente. Calcola la probabilità che: a) il bersaglio venga colpito da entrambi; b) almeno uno colpisca il bersaglio. [a) 12%; b) 68%]

34

Devono essere interrogati 5 studenti, 3 maschi e 2 femmine. Calcola la probabilità che, scegliendo a caso, i maschi si alternino alle femmine. : 1 D 10

—

—

—

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1585

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

35

In una delegazione di 4 studenti devono essere presenti 2 maschi e 2 femmine. Calcola la probabilità che, scegliendo a caso, vi sia alternanza tra maschi e femmine. :1D 3

36

Uno scaffale contiene 8 CD di musica classica, 9 CD di musica rock e 7 CD di musica leggera. Si prendono consecutivamente e a caso due CD. Calcola la probabilità che siano: a) entrambi di musica rock; b) uno di musica classica e uno di musica leggera. :a) 3 ; b) 14 D 23 69

37

Nel portamonete di Luca ci sono 6 monete da 1 euro, 4 monete da 50 centesimi, 5 monete da 20 centesimi. Prendendo a caso tre monete, una dopo l’altra, calcola la probabilità che siano: a) tre monete da 50 centesimi; b) la prima moneta da 1 euro e la seconda e la terza da 20 centesimi; c) la prima moneta da 1 euro, la seconda da 50 centesimi, la terza da 20 centesimi. :a) 4 ; b) 4 ; c) 4 D 455 91 91

—

—

—

Problemi con somma e prodotto logico insieme 38

ESERCIZIO GUIDA

Un’urna contiene 5 palline bianche e 4 nere. Si effettuano estrazioni consecutive nelle due situazioni: (i) reimmissione ogni volta della pallina estratta, (ii) non reimmissione della pallina estratta. Calcoliamo la probabilità che, estraendo consecutivamente tre palline: a) esse siano prima due bianche e poi una nera; b) esse siano due bianche e una nera; c) almeno una sia bianca. Nel caso (i) siamo in presenza di eventi indipendenti, in quanto la composizione dell’urna non cambia, mentre nel caso (ii) gli eventi sono dipendenti, in quanto la non reimmissione della pallina estratta fa cambiare la composizione dell’urna e pertanto la probabilità di ogni evento è condizionata ed è calcolata nell’ipotesi che l’evento precedente si sia verificato.

a) Abbiamo un evento composto da una sequenza ordinata di eventi, quindi moltiplichiamo fra loro le probabilità dei singoli eventi: (i) p =

5 5 4 100 ; $ $ = 9 9 9 729

(ii) p =

5 4 4 80 10 $ $ = = . 9 8 7 504 63

b) L’evento può verificarsi con tre modalità diverse incompatibili fra loro: bbn o bnb o n b b. (i) p =

5 5 4 5 4 5 4 5 5 100 100 $ $ +$ $ $ +$ $ $ = $3 = ; 9 9 9 9 9 9 9 9 9 729 243

(ii) p =

5 4 4 5 4 4 4 5 4 10 $ $ + $ $ + $ $ = . 9 8 7 9 8 7 9 8 7 21

Nel caso in cui l’ordine non è stabilito si può moltiplicare la probabilità di una sequenza «base» per il numero di volte col quale gli eventi componenti l’evento si possono presentare.

1586

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PARAGRAFO 3. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

ESERCIZI

c) Abbiamo varie possibilità per il numero di volte con cui la pallina bianca può uscire. L’evento si verifica quando la pallina bianca: esce una volta: bnn nbn nnb o due volte: bbn nbb bnb o tre volte: bbb Non essendo stato fissato l’ordine di uscita, occorre tenere conto di tutti i modi in cui ogni possibilità può presentarsi: (i) p =

5 4 4 5 5 4 5 5 5 80 100 125 665 ; $ $ $3+ $ $ $3+ $ $ = $3+ $3+ = 9 9 9 9 9 9 9 9 9 729 729 729 729

(ii) p =

5 4 3 5 4 4 5 4 3 60 80 60 480 20 . $ $ $3+ $ $ $3+ $ $ = $3+ $3+ = = 9 8 7 9 8 7 504 504 9 8 7 504 504 21

Possiamo calcolare tale probabilità anche usando l’evento contrario «esce sempre la pallina nera»: 4 4 4 64 665 4 3 2 24 480 20 (i) p = 1 - $ $ = 1 = ; (ii) p = 1 - $ $ = 1 = = . 9 9 9 729 729 9 8 7 504 504 21

39

Un’urna contiene 8 palline rosse e 4 gialle. Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente due palline senza rimettere la pallina estratta nell’urna, esse siano: a) due palline rosse; c) la prima rossa e la seconda gialla; b) due palline gialle; d) una pallina rossa e l’altra gialla. :a) 14 ; b) 1 ; c) 8 ; d) 16 D 33 11 33 33

40

Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente due palline, senza rimettere quella estratta nell’urna, esse siano: a) due palline con un numero pari; c) due palline con un numero primo. b) una con un numero pari e l’altra con un numero dispari; :a) 9 ; b) 10 ; c) 14 D 38 19 95

41

Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente due carte da un mazzo di quaranta, senza rimettere quella estratta per prima nel mazzo, esse siano: a) la prima una figura e la seconda non una figura; :a) 14 ; b) 4 D b) una figura e un sette. 65 65

42

Si estrae una carta da ciascuno di due mazzi di carte da 40. Calcola la probabilità che: a) le due carte siano due re; c) almeno una delle due carte sia un asso. b) le due carte siano due figure; :a) 1 ; b) 9 ; c) 19 D 100 100 100

43

Un commesso ha mescolato i barattoli di legumi sullo scaffale di un supermercato. Sappiamo che ci sono 7 barattoli di piselli, 9 barattoli di fagioli e 6 barattoli di lenticchie. Si prendono consecutivamente 3 barattoli. Calcola la probabilità che: a) siano tutti barattoli di piselli; b) uno sia di piselli e due di fagioli; c) ce ne sia uno per tipo; d) non ci sia alcun barattolo di lenticchie. :a) 1 ; b) 9 ; c) 27 ; d) 4 D 44 55 110 11

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1587

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

44

Tre amici giocano a bowling. In base ai risultati delle partite precedenti, si stabilisce che il primo ha probabilità 0,6 di fare strike, il secondo ha probabilità 0,45, il terzo ha probabilità 0,5. Calcola la probabilità che: a) tutti e tre i giocatori facciano strike; c) almeno un giocatore faccia strike. b) nessun giocatore faccia strike; [a) 0,135; b) 0,11; c) 0,89]

45

Si hanno due urne. La prima contiene 4 palline bianche e 6 rosse, la seconda ne contiene 3 bianche e 5 rosse. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina da ciascuna urna, esse siano: a) entrambe bianche; c) una bianca e una rossa. b) bianca dalla prima urna e rossa dalla seconda; :a) 3 ; b) 1 ; c) 19 D 20 4 40

46

Si hanno due urne. La prima contiene 4 palline bianche e 6 rosse, la seconda ne contiene 3 bianche e 5 rosse. Si estrae una pallina dalla prima urna e la si inserisce nella seconda, e poi si estrae una pallina dalla seconda urna. Calcola la probabilità che le palline estratte siano: a) entrambe bianche; c) una bianca e una rossa. b) bianca dalla prima urna e rossa dalla seconda; :a) 8 ; b) 2 ; c) 19 D 45 9 45

47

Uno studente affronta una prova a risposte multiple su un argomento e non ha studiato. Le domande sono 5 e ogni domanda ammette quattro alternative. Calcola la probabilità che, rispondendo a caso, lo studente: a) risponda esattamente a tre domande ottenendo la sufficienza; :a) 45 ; b) 243 D b) risponda in modo errato a tutte le domande. 512 1024

—

——

——

——

 Teoria a pag. 1569

4. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE 48

ESERCIZIO GUIDA

Un’urna contiene 15 palline numerate. Si estrae per 8 volte consecutive una pallina, rimettendo ogni volta la pallina nell’urna. Calcoliamo la probabilità che: a) per 5 volte esca un numero minore di 6; c) almeno una volta esca un numero pari. b) per 3 o 4 volte esca un numero pari;

a) L’evento «esce un numero minore di 6» ha probabilità p = probabilità q = 1 -

5 1 = , mentre l’evento contrario ha 15 3

n 1 2 = . Applichiamo la relazione p(k, n) = c m pk qn - k . Abbiamo: 3 3 k

8 1 5 2 3 56 $ 23 p(5, 8) = c mb l b l = . 3 5 3 38

b) L’evento «esce un numero pari» ha probabilità p = q = 1-

7 , mentre l’evento contrario ha probabilità 15

7 8 . = 15 15

Dobbiamo applicare la relazione sia per il caso in cui l’evento si verifichi 3 volte, sia per il caso in cui si verifichi 4 volte e quindi applicare il teorema della somma logica:

1588

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PARAGRAFO 5. IL TEOREMA DI BAYES

ESERCIZI

8 7 3 8 5 8 7 4 8 4 56 $ 73 $ 85 70 $ 7 4 $ 8 4 938 $ 73 $ 8 4 + = p = p(3, 8) + p(4, 8) = c mb l b l + c mb l b l = . 8 8 15 15 15 15 3 4 15 15 158

c) Calcoliamo la probabilità dell’evento «il numero pari non esca mai» (o «esca sempre il numero dispa ri»), evento contrario di quello di cui si chiede la probabilità. Essendo la probabilità di uscita di un 8 , la probabilità che in 8 estrazioni nelle stesse condizioni il numero pari esca alnumero non pari 15 8 8 8 88 158 - 88 . meno una volta è: p = 1 - c m b l = 1 - 8 = 8 15 15 158

49

—

Si lancia 10 volte una moneta. Calcola la probabilità che: a) la faccia testa esca 4 volte; b) la faccia croce esca 6 volte; c) esca sempre croce; d) almeno una volta esca testa. 210 1 210 - 1 E ;a) 210 10 ; b) 10 ; c) 10 ; d) 2 2 2 210

52

Un farmaco ha la probabilità dell’85% di essere efficace. Viene somministrato a 12 ammalati. Calcola la probabilità: a) che tutti gli ammalati guariscano; b) che ne guariscano 10. [a) 14,22% circa; b) 29,24% circa]

53

Una rilevazione statistica ha messo in evidenza che 7 persone su 10 utilizzano in un mese surgelati di pesce. Calcola la probabilità che, scegliendo a caso 4 persone, almeno una abbia nel corso del mese consumato questo tipo di prodotto. [0,9919]

54

Un virus intestinale che provoca febbre ha la probabilità del 60% di colpire una persona. Calcola la probabilità che in un ufficio su 6 impiegati se ne ammalino la metà. [0,27648]

55

La probabilità che ha un uomo di 70 anni di essere in vita dopo un anno, secondo la tavola demografica relativa al censimento del 1960, è del 95,7%. Calcola la probabilità che hanno tre uomini di quella età di essere tutti ancora in vita l’anno seguente. [87,65% circa]

—

—

50

Si lancia per 5 volte un dado. Calcola la probabilità che: a) per 2 volte esca un numero maggiore di 4; b) per 4 volte esca un numero pari. :a) 80 ; b) 5 D 243 32

51

Un’urna contiene 2 palline bianche e 3 nere. Calcola la probabilità che, estraendo per 7 volte consecutive una pallina, rimettendo quella estratta nell’urna, la pallina bianca si presenti: a) solo la prima volta; d) sempre; b) una volta; e) mai; c) 5 volte; f) almeno una volta. 6 6 27 ;a) 2 $ 73 ; b) 14 $73 ; c) 6048 7 ; d) 7 ; 5 5 5 5 7 7 5 - 37 E 3 e) 7 ; f ) 57 5

—

—

—

—

 Teoria a pag. 1571

5. IL TEOREMA DI BAYES Se l’evento deve accadere: la disintegrazione 56

IN PRATICA 

Videolezione 75

ESERCIZIO GUIDA

Un’urna contiene 6 palline bianche e 10 nere e una seconda urna 8 bianche e 2 nere. Si sceglie a caso un’urna e si estrae una pallina. Calcoliamo la probabilità che essa sia bianca.

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1589

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

Le probabilità relative alla scelta dell’urna sono: 3 — bianca 1 8 p (E1) = p (E2) = . 2 E1 1 — Indichiamo con B l’evento «estrazione pallina 2 5 — nera bianca». Le probabilità di estrarre una pallina 8 bianca avendo fissato l’urna sono: 4 bianca — 6 3 8 4 5 1 p (B E1) = = , p (B E2) = = . — 16 8 10 5 2 E2 La probabilità di estrarre una pallina bianca sce1 — nera 5 gliendo a caso un’urna è: 1 3 1 4 3 2 47 p (B) = $ + $ = + = . 2 8 2 5 16 5 80 Possiamo rappresentare la situazione con il diagramma ad albero della figura sopra. 57

—

58

—

Abbiamo due urne. La prima contiene 4 palline bianche e 2 nere e la seconda 6 bianche e 4 nere. Si sceglie a caso un’urna estraendo una carta da un mazzo di 40. Se la carta estratta è una figura, si sceglie la prima urna, altrimenti la seconda. Dopo aver scelto l’urna si estrae una pallina. Calcola la probabilità di estrarre una pallina nera. : 19 D 50 Due macchine producono lo stesso pezzo meccanico. La prima produce il 40% di tutto il quantitativo e il 98% della sua produzione è senza difetti. La seconda macchina ha un tasso di difettosità del 5%. Calcola la probabilità che, estraendo a caso un pezzo, questo sia difettoso. [3,8%]

59

Gli eventi U1 e U2 sono complementari con probabilità rispettivamente di 0,8 e 0,2. Un evento A è condizionato a essi con probabilità rispettivamente di 0,05 e di 0,06. Calcola la probabilità che ha l’evento A di non realizzarsi. [94,8%]

60

Il 60% di un gruppo di persone sofferenti di una malattia alla tiroide è stato sottoposto alla cura di un nuovo farmaco che ha sostituito il precedente, e il 30% ha ottenuto un miglioramento. Delle persone non sottoposte al trattamento del nuovo farmaco, e che hanno continuato la cura con quello precedente, ha ottenuto un miglioramento il 20%. Calcola la probabilità che, scegliendo una persona a caso, questa abbia avuto un miglioramento. [0,26]

—

—

61

—

Un automobilista arriva a un bivio. Sa che una strada è esatta e l’altra è sbagliata. Vi sono due persone A e B al bivio. A dice la verità quattro volte su dieci e B invece sette volte su dieci.

1590

62

—

3 — 16

5 — 16 2 — 5

1 — 10

L’automobilista chiede informazioni a caso a una di esse e ne segue l’indicazione. Calcola la probabilità che ha quella persona di percorrere la strada esatta. : 11 D 20 In una classe il 40% dei ragazzi è figlio unico. Possiede lo scooter il 20% dei ragazzi che sono figli unici e il 50% dei ragazzi che non sono figli unici. Scelto a caso un ragazzo, calcola la proba[0,38] bilità che abbia lo scooter.

63

Due dispositivi hanno la probabilità di funzionare del 90% e del 70%. Se ne sceglie uno a caso. Calcola la probabilità che vi sia un mancato [20%] funzionamento.

64

Un’impresa intende pubblicizzare un suo prodotto in tre piazze diverse distribuendo campioni omaggio. Nella prima piazza distribuisce 5000 campioni, nella seconda 15 000 e nella terza 20 000. Nella prima piazza il prodotto ha la probabilità dell’80% di essere apprezzato, nella seconda il 50% e nella terza il 20%. Calcola la probabilità che il prodotto sia nel complesso apprezzato. : 31 D 80 Abbiamo due urne. La prima urna contiene 4 palline rosse e 6 bianche e la seconda urna 3 palline rosse e 2 bianche. Si lancia un dado e, se esce un numero minore di tre, si sceglie la prima urna, altrimenti la seconda. Calcola la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano:

—

——

65

——

a) due rosse; b) due bianche; c) una rossa e una bianca.

:a) 11 ; b) 8 ; c) 26 D 45 45 45

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PARAGRAFO 5. IL TEOREMA DI BAYES

ESERCIZI

Se l’evento è accaduto: teorema di Bayes 66

ESERCIZIO GUIDA

Abbiamo due urne. La prima contiene 4 palline bianche e 6 nere e la seconda 5 bianche e 4 nere. Si sceglie a caso un’urna estraendo una carta da un mazzo di 40. Se la carta è una figura viene scelta la prima urna, altrimenti la seconda. Sapendo che la pallina estratta è nera, calcola la probabilità che essa provenga dalla seconda urna. Le probabilità relative alla scelta dell’urna sono: p (E1) =

12 3 = , 40 10

p (E2) =

7 . 10

Le probabilità di estrarre una pallina nera avendo fissato l’urna sono: p (E E1) =

6 3 = , 10 5

p (E E 2) =

4 . 9

Essendo p (E) = p (E1) $ p (E E1) + p (E2) $ p (E E2) " p (E) = la probabilità che, avendo estratto una pallina nera, essa provenga dalla seconda urna è data da: p (E2 E) =

3 — 10

p (E 2) $ p (E E 2) = p (E)

7 4 $ 10 9 = 14 $ 450 = 140 . = 221 45 221 221 450

7 — 10

Possiamo rappresentare la situazione con il diagramma ad albero a fianco.

67

—

68

—

Si hanno due urne. La prima contiene 5 palline bianche, 2 nere e 3 rosse e la seconda 4 bianche, 2 nere e 4 rosse. Si sceglie a caso un’urna lanciando un dado e quindi si estrae una pallina. Se viene una faccia con il numero minore di 3, si sceglie la prima urna, altrimenti la seconda. Viene estratta una pallina rossa. Calcola la probabilità che essa provenga dalla seconda urna. : 8 D 11 In una classe il 40% dei ragazzi è figlio unico. Possiede lo scooter il 30% dei ragazzi che sono figli unici e il 50% dei ragazzi che non sono figli unici. Calcola la probabilità che ha un ragazzo con lo scooter di essere figlio unico. :2D 7

3 3 7 4 9 14 221 , $ + $ = + = 10 5 10 9 50 45 450 3 — 5

E

2 — 5

E

4 — 9

E

5 — 9

E

3 :— 3 =— 9 — 10 5 50

E1

7 :— 4 = 14 — — 10 9 45

E2

69

In un gruppo di 30 persone 20 sono donne. Sono 15 le donne che conoscono la lingua inglese, mentre solo 4 degli uomini conoscono la lingua inglese. Calcola la probabilità che, scelta a caso una persona che conosca la lingua inglese, essa sia uomo. : 4 D 19

70

Gli eventi U1 e U2 sono complementari con probabilità rispettivamente di 0,7 e 0,3. Un evento A è condizionato a essi con probabilità rispettivamente di 0,05 e di 0,06. Essendosi verificato l’evento A, calcola la probabilità che esso abbia come causa U2 . : 18 D 53

—

—

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1591

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

71

Il 70% di un gruppo di ammalati di gastrite è stato sottoposto alla cura di un nuovo farmaco che ha sostituito il precedente e il 60% ha ottenuto un miglioramento. Fra le persone non sottoposte al trattamento del nuovo farmaco ha ottenuto un miglioramento il 30%. Calcola la probabilità di efficacia del nuovo farmaco. : 14 D 17

72

Abbiamo tre urne. La prima contiene 2 palline bianche e 3 rosse, la seconda 5 bianche e 3 rosse e la terza 4 bianche e 2 rosse. Scegliamo a caso un’urna ed estraiamo una pallina. Viene estratta una pallina bianca. Calcola la probabilità che la pallina estratta provenga dalla seconda urna. : 75 D 203

—

——

73

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74

——

75

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Due macchine producono lo stesso pezzo meccanico. La prima produce il 40% di tutto il quantitativo e il 98% della sua produzione è senza difetti. La seconda macchina ha un tasso di difettosità del 7%. Avendo preso a caso un pezzo e avendo accertato che è difettoso, calcola la probabilità che esso provenga dalla seconda [84%] macchina. La prova del palloncino, che indica la presenza di alcol, ha esito positivo per il 4% delle persone controllate. L’esperienza ha mostrato che, con questa prova, il 98% delle persone con risultato positivo era effettivamente ubriaca e che il 98% delle persone con esito negativo non è in stato di ebbrezza. Calcola la probabilità che, essendo una persona ubriaca, essa sia segnalata con la prova del palloncino. : 49 D 73 Due processi produttivi A e B producono rispettivamente il 40% e il 60% della produzione totale. Durante un controllo si rileva che i pezzi difettosi di A sono il 5% e quelli di B sono il 3%. Calcola la probabilità che un pezzo non difettoso immesso sul mercato provenga dal primo processo produttivo. : 190 D 481

RIEPILOGO 80

—

76

Abbiamo due urne. La prima contiene 4 palline nere e 6 verdi e la seconda 7 palline nere e 3 verdi. Si sceglie la prima urna se lanciando contemporaneamente tre monete si hanno tre facce uguali, altrimenti la seconda. Sapendo che abbiamo estratto contemporaneamente tre palline verdi, calcola la probabilità che esse provengano dalla seconda urna. : 3 D 23

77

Abbiamo due mazzi di carte, uno da 40 e l’altro da 52. Se lanciando due dadi si ottengono due valori uguali, si procede a estrarre consecutivamente due carte senza reimmissione dal primo mazzo, altrimenti dal secondo. Sono state estratte una figura e un asso. Calcola la probabilità che siano state estratte dal mazzo di 40 carte. 17 : D 67

78

Abbiamo tre urne uguali che contengono ciascuna 7 palline numerate da 1 a 7. Si estraggono consecutivamente tre palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna, scegliendo un’urna a caso gettando un dado. Se esce un numero pari si sceglie la prima urna, se esce il numero 1 la seconda, altrimenti la terza. Sapendo che i tre numeri estratti sono tutti dispari, calcola la probabilità che provengano dalla prima urna. Puoi verificare che, essendo i contenuti delle urne uguali, la probabilità cercata è quella relativa alla scelta dell’urna lanciando il dado. :1D 2

79

Si sceglie un’urna fra tre gettando contemporaneamente due dadi. Se escono due numeri primi si sceglie la prima urna, se escono due numeri uguali (escluso il caso in cui siano entrambi primi) la seconda urna, altrimenti la terza. La prima urna contiene 6 palline numerate da 1 a 6, la seconda 7 palline numerate da 1 a 7, la terza 8 palline numerate da 1 a 8. Si estraggono consecutivamente, senza rimettere la pallina estratta nell’urna, 4 palline. Sapendo che sono state estratte due palline con numero pari e due palline con numero dispari, calcola la probabilità che esse provengano da ciascuna delle urne. : 7 ; 2 ; 16 D 25 25 25

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——

——

Il calcolo della probabilità

Un’urna contiene 5 palline rosse e 3 verdi. Si estraggono consecutivamente 4 palline senza rimettere quella estratta nell’urna. La probabilità che le prime due siano rosse e le altre due verdi è: 1 1 15 15 75 . . . . . A B C D E 14 28 28 112 128

TEST

1592

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RIEPILOGO IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ

81

——

In un elaborato di matematica il 6% ha errato la determinazione del dominio di una funzione, il 12% la derivazione e il 3% entrambe. La probabilità che, scegliendo a caso uno studente, esso abbia errato uno solo dei due procedimenti è:

TEST

A

15%.

C

18%.

B

12%.

D

21%.

E

50%.

82

——

ESERCIZI

Un’impresa sottopone a due controlli consecutivi i propri prodotti. La probabilità che un difetto sia rilevato al primo controllo è del 90% e che sia rilevato solo al secondo controllo è del 99%. La probabilità che un pezzo difettoso sfugga a entrambi i controlli è:

TEST

A

10,9%.

C

1%.

B

9,9%.

D

0,1%.

E

0,01%.

83

Da un’indagine di mercato si è rilevato che il 24% usa l’ammorbidente «Stella» e il 40% l’ammorbidente «Morby». Si è anche rilevato che il 54% usa il primo o il secondo. Calcola la probabilità che prendendo una persona a caso: a) usi il primo e il secondo prodotto; b) usi il prodotto «Stella» sapendo che usa anche «Morby»; c) usi il prodotto «Stella» e non usi il prodotto «Morby». [a) 10%; b) 25%; c) 14%]

84

Si lanciano contemporaneamente tre dadi. Calcola la probabilità che i numeri usciti: a) siano tutti e tre uguali o almeno due dei tre siano il 4; b) siano tutti e tre uguali o almeno uno dei tre sia il 4; c) siano tutti e tre uguali o tutti e tre dispari. :a) 7 ; b) 4 ; c) 5 D 72 9 36

85

Una casalinga è indecisa sull’acquisto di un detersivo. La probabilità che compri il detersivo del tipo A è del 12%, del tipo B è del 15% e del tipo C del 73%. Entrata in un supermercato e avendo accertato che il detersivo C non era in vendita, qual è la probabilità che abbia acquistato il detersivo A? :4D 9

86

Un candidato deve sostenere un esame di ammissione a un corso universitario. Vi sono due commissioni che esaminano i candidati. Si è rilevato che la prima commissione boccia con una percentuale del 30% e la seconda del 40%. Calcola la probabilità che ha un candidato, scegliendo una commissione a caso, di essere [65%] ammesso al corso universitario.

87

Una maestra ha rilevato che il 20% dei suoi alunni non sa riconoscere le parole accentate e il 25% non usa correttamente la lettera h. Ritenendo i due tipi di errori indipendenti, calcola la probabilità che ha un alunno [0,05; 0,4] di commettere entrambi gli errori e quella di commettere il primo o il secondo.

88

In un gruppo di persone il 40% è andato in vacanza al mare, il 25% in montagna e il 7% sia al mare che in montagna. Scelto a caso un individuo, calcola la probabilità che: a) sia stato in vacanza; b) sia stato in vacanza solo al mare; c) non sia stato in vacanza. [a) 58%; b) 33%; c) 42%]

89

Tre lotti di merce presentano pezzi difettosi. La percentuale di difettosità del primo lotto è del 5%, quella del secondo lotto del 9% e quella del terzo lotto del 10%. Calcola la probabilità che, prendendo un pezzo da un [0,08] lotto scelto a caso, questo risulti difettoso.

90

Una compagnia di assicurazioni ha classificato gli automobilisti da essa assicurati in tre categorie. La categoria A comprende il 30% degli assicurati, la categoria B il 50%, la categoria C il 20%. Le rispettive probabilità di commettere incidenti nel corso dell’anno sono dell’1%, del 3% e del 10%. Calcola la probabilità che un automobilista commetta un incidente nel corso dell’anno. Calcola inoltre la probabilità che, avendo un automobilista commesso un incidente, l’automobilista appartenga alla categoria C. :3, 8%; 10 D 19

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1593

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

91

Due «geni» che indichiamo con A e a si combinano insieme e determinano un carattere in una popolazione. Ognuno dei due «geni» ha la stessa casualità di combinarsi e il «gene» A ha carattere dominante. Calcola la probabilità degli incroci AA, Aa, aa e la probabilità che la popolazione abbia il carattere dominante A. :1; 1; 1; 3D 4 2 4 4

92

Calcola la probabilità che in una famiglia con tre figli, supponendo equiprobabile la nascita di un maschio o di una femmina, i figli: a) siano tutte femmine; b) siano tutti maschi, sapendo che il primo è un maschio; c) siano tutti maschi, sapendo che almeno uno è maschio. :a) 1 ; b) 1 ; c) 1 D 8 4 7

93

Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente due carte da un mazzo da 40, senza rimettere la carta estratta nel mazzo, esse siano due carte di bastoni o due figure. Calcola la probabilità anche nel caso in cui la prima carta estratta venga rimessa nel mazzo. : 9 ; 47 D 65 320

94

Due giocatori tirano a un bersaglio. Per il primo giocatore la probabilità che ha di fare centro è 0,7, mentre per il secondo è 0,5. Calcola la probabilità che: a) entrambi colpiscano il bersaglio; b) nessuno colpisca il bersaglio; c) solo uno colpisca il bersaglio. [a) 0, 35; b) 0, 15; c) 0, 5]

95

Sono state messe a confronto due classi con uguale numero di alunni e lo stesso problema di matematica nella prima classe è stato risolto dall’80%, mentre nella seconda classe dal 60%. Scelto a caso un alunno che ha risolto il problema, calcola qual è la probabilità che sia un alunno della seconda classe. :3D 7

96

Si svolge il seguente gioco. Tre persone estraggono una dopo l’altra, senza reimmissione, una pallina da un’urna che ne contiene 3 bianche e 4 rosse. Vince colui che per primo estrae una pallina bianca e il gioco continua finché uno vince. Calcola la probabilità di vincere della prima, della seconda e della terza persona. : 18 ; 11 ; 6 D 35 35 35

97

Una macchina produce il 10% di merce con difetti. Tutta la merce viene sottoposta a un controllo e si è rilevato che, se non è difettosa, ugualmente il 2% della merce viene scartato, mentre se è difettosa viene scartato il 99%. Calcola la probabilità che: a) una merce sia scartata; c) una merce non difettosa sia scartata; b) una merce difettosa sia accettata; d) avendo appurato che una merce è accettata, essa sia priva di difetti. [a) 0,117; b) 0,001; c) 0,018; d) 99,89% circa]

98

Abbiamo tre bussolotti contenenti dei gettoni. Nel primo ci sono 20 gettoni rossi e 10 verdi, nel secondo 0 gettoni rossi e 30 gettoni verdi, nel terzo 15 gettoni rossi e 15 verdi. Scegliamo una carta da un mazzo di 40. Se esce una figura estraiamo un gettone dal primo bussolotto, se esce un asso estraiamo un gettone dal secondo, se esce un’altra carta estraiamo un gettone dal terzo. Qual è la probabilità che estraiamo un gettone verde? Se abbiamo estratto un gettone verde, qual è la probabilità che esso fosse nel primo bussolotto? :1; 1D 2 5

99

In una partita di calcio che termina ai rigori i cinque calciatori A, B, C, D, E sono scelti per i tiri. Si sa che essi hanno le seguenti probabilità di segnare: p (A) = 0, 6 , p (B) = 0, 7 , p (C) = 0, 5 , p (D) = 0, 9 , p (E) = 0, 8 . Calcola la probabilità che: a) uno solo segni; b) tutti e cinque segnino; c) nessuno segni; d) due segnino. [a) 0,0214; b) 0,1512; c) 0,0012; d) 0,1274]

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1594

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PARAGRAFO 6. I GIOCHI ALEATORI

 Teoria a pag. 1575

6. I GIOCHI ALEATORI 100

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

Un giocatore partecipa a un gioco organizzato e paga un prezzo di 4 euro. Il gioco consiste nell’estrarre consecutivamente senza reimmissione due carte da un mazzo di 40: se sono due figure dello stesso seme, il giocatore vince 45 euro, mentre se hanno lo stesso valore vince 17 euro. a) Verifichiamo che il gioco non è equo e determiniamo la posta corretta affinché lo sia. b) Lasciando immutata la posta modifichiamo l’importo della prima vincita affinché il gioco sia equo. 2 10 . Calcoliamo il valore della posta in caso di gioco equo e 130 130 applicando la relazione della speranza matematica delle vincite lorde:

a) I valori delle due probabilità sono

P = 45 $

2 10 + 17 $ = 2. 130 130

Essendo il prezzo inferiore alla posta richiesta, il gioco è sfavorevole.

b) Per rispondere al secondo quesito impostiamo la seguente equazione, sempre relativa alla speranza matematica della vincita lorda x$

2 10 + 17 $ = 4, 130 130

da cui:

x = 175. 101

—

102

—

103

—

104

—

Si partecipa a un gioco estraendo contemporaneamente tre carte da un mazzo di 52 carte. Se le carte estratte sono dello stesso seme, viene corrisposta la somma di 78 euro. Determina la posta da pagare affinché il gioco sia equo. 5 4, 26 euro circa ? Per partecipare a un gioco si pagano 20 euro. Si vince se vengono estratte contemporaneamente tre palline di colore uguale da un’urna che ne contiene 7 bianche e 3 nere. Calcola la somma corrisposta in caso di vincita se il gioco è equo. 566, 67 euro circa ? Un giocatore estrae contemporaneamente 2 palline da un’urna che ne contiene 13 bianche e 5 rosse e guadagna 44 euro se sono di colore diverso. Se il gioco è equo, determina la posta che dovrà pagare in caso di perdita al gioco. 532, 5 euro? Determina quale posta, in caso di gioco equo, deve pagare un giocatore al banco se estraendo un numero, tra i 90 del lotto, vince 50 euro quando esso è dispari o multiplo di 10. 530 euro?

105

Un giocatore punta 40 euro e vince se, estraendo un numero tra i 90 del lotto, esce un numero dispari o multiplo di 3. Calcola il guadagno in 520 euro? caso di vincita se il gioco è equo.

106

In un gioco di carte il piatto è di 60 euro. Il giocatore A vince se, estraendo una carta da un mazzo di 40 carte, essa è una figura o un sette; in caso contrario, vince il giocatore B. Determina le poste dei due giocatori A e B quando il 5 A: 24 euro; B: 36 euro? gioco è equo.

107

Si lanciano due dadi e si vincono 30 euro se escono due numeri uguali, altrimenti si pagano 8 euro. Stabilisci se il gioco è equo. 6 no; si dovrebbero pagare 6 euro@

108

Un’urna contiene 9 palline rosse, 5 bianche e 6 nere. Un giocatore vince 5 euro se esce una pallina nera, 10 euro se esce una pallina bianca e perde 12 euro se esce una pallina rossa. Verifica che il gioco non è equo e determina quale deve essere la seconda vincita affinché il gioco sia 515, 6 euro? equo.

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1595

ESERCIZI

PROBLEMI

1

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

MODELLI

REALTÀ E MODELLI

NEL SITO  Scheda di risoluzione guidata

I Babbi Natale In vicinanza del Natale, Andrea, Luca, Matteo e Stefano decidono di vestirsi da Babbo Natale e di consegnare doni ai 28 bambini di un asilo nido. I regali sono tutti confezionati e quindi non è possibile scegliere tra giochi per bambina o bambino; si sa solo, però, quanti di questi sono contenuti nella sacca di ognuno (i dati sono riportati in tabella). Andrea

Luca

Matteo

Stefano

Giochi bimbo

12

10

13

8

Giochi bimba

16

18

15

20

Calcola:  la probabilità che, scelti a caso due doni dalla sacca di Andrea, questi siano: 1. entrambi per bambino; 2. entrambi per bambina; 3. misti;  la probabilità che, scelta a caso una sacca e in essa due doni, questi siano uno per bimbo e uno per bimba;  la probabilità che, scelto a caso un dono e verificato che sia per bimbo, esso appartenga alla sacca di Stefano. 2

Università o lavoro? Rossella deve decidere se iscriversi all’università o se cominciare a lavorare. Sa che tra i giovani che lavorano il 30% è laureato, mentre tra i disoccupati è il 20% a essere laureato. Secondo le statistiche nazionali, inoltre, la probabilità che un giovane trovi lavoro entro un breve periodo è pari all’80%.  Quale scelta conviene a Rossella su basi puramente statistiche?

3

Quale porta aprire? In un gioco televisivo americano al concorrente vengono mostrate tre porte chiuse. Dietro a una c’è un’automobile, dietro alle altre una capra: il giocatore vincerà il contenuto della porta prescelta. Dopo che il giocatore ha fatto la sua scelta, il presentatore, che sa dove si trova l’automobile, apre una delle altre porte e mostra una capra; a questo punto chiede al concorrente se vuole cambiare la sua scelta.  Se il concorrente decide di cambiare la scelta, migliora la probabilità di vincere l’automobile?

4

Il sondaggio In previsione di un’elezione amministrativa Uomini Donne Totale comunale viene posta a un campione di Favorevoli 22 29 51 100 persone la seguente domanda: «È favorevole, Contrari 8 7 15 contrario o senza opinione riguardo al cambiamento Non sa 20 14 34 della linea politica nelle prossime elezioni?». Le risposte sono raccolte nella tabella. Totale 50 50 100  Calcola la probabilità che, scegliendo a caso una risposta, essa appartenga al gruppo dei contrari o a quello di coloro che non hanno espresso un’opinione.  Calcola la probabilità che, scegliendo a caso una risposta, essa appartenga al gruppo di quelle date dagli uomini o a quello di chi è contrario al cambiamento.  Calcola la probabilità che, dopo aver estratto una risposta «favorevole al cambiamento», essa sia stata data da una donna.

1596

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ESERCIZI

VERSO LE COMPETENZE

METODI

VERSO LE COMPETENZE TEST

1

—

È stato lanciato un dado per 60 volte e la faccia contrassegnata con il numero tre è uscita 16 volte e quella col numero sei 8 volte. Valuta la probabilità che, lanciando detto dado, si ottenga un numero divisibile per 3: A B

2

—

Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it

2 . 5 3 . 5

C D

1 . 3 8 . 15

E

Dati gli eventi E1 ed E2 , che sono indipendenti, 2 1 se p (E1) = e p (E2) = , quale delle seguen5 4 ti affermazioni è esatta? 1 . 4 2 . B p (E 2 E1) = 5 3 . C p (E 2 - E1) = 20

A

4 . 15

Due macchine indipendenti compiono lo stesso lavoro. La probabilità che si guasti la macchina A è del 30%, mentre la probabilità che si guasti la macchina B è del 20%. La probabilità che si guasti la macchina B e non la macchina A è: A

4

—

5

—

0,14. B 0,24. C 0,44. D 0,5. E 0,56.

3

Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. La probabilità che essa sia una figura o una carta nera è: A B

11 . 13 19 . 26

C D

1 . 2 7 . 26

E

6

—

8 . 13

D E

1 . 2 3 p (E1 + E2) = . 10 p (E1 , E2) =

In un sacchetto vi sono 7 gettoni numerati da uno a sette. Si estrae un gettone e se reca un numero dispari viene lasciato fuori dal sacchetto, altrimenti viene reinserito. La probabilità che, effettuando l’estrazione successiva, esca un numero pari è: A

—

p (E1 E2) =

25 . 49

B

23 . 49

C

1 . D 2

2 . 7

E

3 . 7

Una classe quinta è formata da 15 maschi e 10 femmine. Il 70% dei maschi e l’80% delle femmine hanno la patente. La probabilità che, prendendo a caso un individuo con la patente, questo sia una ragazza è: A

16 . B 37

37 . C 50

8 . D 25

21 . E 50

21 . 37

QUESITI 7

—

8

—

Cosa si intende per probabilità condizionata di un evento? Spiega come si effettua il suo calcolo. Calcola la probabilità che una carta estratta da un mazzo di 52 carte sia un cinque, sapendo che è uscita una carta che non è una figura. : 1 D 10 Esponi il significato che assume il teorema di Bayes nel calcolo della probabilità. Una persona è in ritardo. Se prende la metropolitana la probabilità di arrivare in orario è del 70%, mentre con un taxi la probabilità è dell’80% ed evita un percorso a piedi. Getta un dado per la scelta: se esce un numero divisibile per tre prende il taxi, altrimenti la metropolitana. Sa-

pendo che è arrivato in ritardo, calcola la probabilità che abbia preso il taxi. :1D 4 9

—

Esponi il concetto di eventi indipendenti e dipendenti. Dati i seguenti eventi relativi all’estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte, determina quali sono indipendenti e quali dipendenti: A = «estrazione di una figura»; B = «estrazione di una carta di cuori»; C = «estrazione di una carta nera maggiore di 6». [A e B indipendenti; A e C dipendenti; B e C indipendenti]

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1597

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

ESERCIZI 10

Un fiorista ha tre vasi che contengono 14 rose l’uno, 10 gerbere un altro e 12 tulipani il terzo. Prendendo due fiori a caso, calcola la probabilità che siano: a) due rose; b) una gerbera e un tulipano. :a) 13 ; b) 4 D 90 21

11

Un pullman di linea arriva in ritardo 4 volte su 10. Calcola la probabilità che in una settimana (6 giorni) sia: a) sempre puntuale; c) almeno una volta in ritardo; b) sempre in ritardo; d) almeno 5 volte in ritardo. :a) 729 ; b) 64 ; c) 14 896 ; d) 128 D 15 625 15 625 3125 15 625

12

Una fabbrica di giocattoli ha rilevato che il 9% delle automobiline prodotte di un certo tipo ha difettoso il contatto delle pile e il 4% ha le ruote poco scorrevoli. Sapendo che le automobiline che hanno entrambi i difetti sono il 2%, calcola la probabilità che un’automobilina: a) abbia un difetto o l’altro; b) sia difettosa nel contatto con le pile sapendo che è poco scorrevole; c) abbia solo il difetto del contatto elettrico; d) non abbia difetti. [a) 0,11; b) 0,5; c) 0,07; d) 0,89]

13

Si hanno due urne. La prima contiene 10 palline bianche e 5 rosse, mentre la seconda 5 palline bianche e 20 rosse. Si vincono 30 euro se si estrae una pallina rossa da entrambe le urne e 10 euro se hanno colore diverso. 514 euro? Calcola l’importo che si deve pagare per poter partecipare al gioco, che si suppone equo.

14

Su un aereo viaggiano 130 passeggeri italiani, 45 inglesi, 25 cinesi. Si estraggono a sorte tre nomi per assegnare tre buoni premio. Calcola la probabilità che siano: a) due italiani e un cinese o un italiano e due cinesi; b) un italiano, un inglese e un cinese. [a) 19% ; b) 11%]

15

Estraiamo una carta da un mazzo di 40. Se viene una carta di denari, scegliamo un gettone dalla scatola A, contenente 12 gettoni rossi, 10 gialli, 12 verdi, 8 blu. Se viene un’altra carta scegliamo un gettone dalla scatola B, contenente 6 gettoni rossi, 10 gialli, 4 verdi, 12 blu. Per ogni gettone colorato, indica qual è la probabilità, se è uscito, che si trovasse nella scatola B. : 63 ; 63 ; 21 ; 189 D 95 79 37 221

16

Un’impresa costruisce frullatori che possono presentare difetti nel circuito elettrico con probabilità del 5%, nella parte meccanica con probabilità del 7% ed entrambi i difetti con probabilità del 2%. Calcola la probabilità che: a) prendendo a caso un frullatore esso sia difettoso; b) su 5 frullatori due siano difettosi; c) su 5 frullatori tutti siano perfetti. [a) 0,1; b) 0,0729; c) 0,59049]

17

Il reparto A di un’industria ceramica produce il 60% di piastrelle, il reparto B il 40%. La qualità della produzione del reparto A è: il 60% di prima, il 35% di seconda, il 5% da scartare. La qualità della produzione del reparto B è: il 66% di prima, il 30% di seconda, il 4% da scartare. Qual è la percentuale di produzione di piastrelle rispettivamente di prima, di seconda qualità e da scartare dell’industria? Se prendiamo una piastrella a caso di prima qualità, qual è la probabilità che essa sia stata prodotta dal reparto A? :62, 40%; 33, 00%; 4, 60%; 15 D 26

—

—

—

—

——

——

——

——

1598

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DIDATTICA SU MISURA

ESERCIZI

DIDATTICA SU MISURA RECUPERO 1

ESERCIZIO GUIDA

In uno scatolone ci sono 6 magliette bianche, con stampati i numeri da 1 a 6, e 4 magliette blu, con stampati i numeri da 7 a 10. Si estraggono consecutivamente due magliette, senza rimettere la maglietta estratta nella scatola. Calcoliamo la probabilità che: a) le magliette estratte siano entrambe bianche; b) le magliette estratte siano entrambe blu o rechino entrambe un numero pari; c) le magliette rechino due numeri dispari, sapendo che sono state estratte una maglietta bianca e una blu. a) I casi possibili sono u = D10, 2 = 10 $ 9 = 90 ; i casi favorevoli sono f = D6, 2 = 6 $ 5 = 30 . Dunque: f 30 1 p (E) = = = . u 90 3 È possibile risolvere il problema anche utilizzando il teorema del prodotto logico; l’evento considerato può essere infatti visto come il prodotto degli eventi: E1 = «la prima maglietta è bianca»; Dunque: p (E1 + E2) = p (E1) $ p (E2 E1) =

E2 = «la seconda maglietta è bianca». 6 5 1 $ = . 10 9 3

b) L’evento considerato può essere visto come unione dei due eventi: E1 = «si estraggono due magliette blu»;

E2 = «si estraggono due magliette con numeri pari».

Questi due eventi sono compatibili, poiché ci sono 2 magliette blu e con numero pari. Dunque: D D D 4$3 5$4 2 30 1 + = = . p (E1 , E2) = p (E1) + p (E2) - p (E1 + E2) = 4, 2 + 5, 2 - 2, 2 = D10, 2 D10, 2 D10, 2 90 90 90 90 3 c) In questo caso è possibile applicare il teorema della probabilità condizionata, ponendo: E1 = «le magliette estratte recano due numeri dispari»; E2 = «le magliette estratte sono una bianca e una blu». p (E1 + E2) 6 90 1 p (E1 E2) = = $ = . p (E2) 90 24 4 2

Su un vassoio di un bar ci sono 12 brioche, di cui 7 con la crema e 5 con la marmellata, e 8 krapfen, di cui 5 con la crema e 3 con la marmellata. Si sceglie a caso un dolce. Calcola la probabilità di prendere una brioche oppure un dolce con la marmellata. :3D 4

3

Su uno scaffale di una libreria ci sono 24 libri di autori italiani, di cui 10 sono romanzi e 14 saggi, e 35 libri di autori americani, di cui 15 sono romanzi e 20 saggi. Si prende a caso un libro; calcola la probabilità che sia un saggio, sapendo che è stato scelto un libro di un autore americano. :4D 7

4

Si deve inserire nel sistema antifurto di una casa un codice formato da quattro lettere, scelte in un insieme che contiene le cinque vocali e cinque consonanti. Si estraggono le quattro lettere consecutivamente, senza reimmissione delle lettere estratte. Calcola la probabilità che il codice: a) contenga almeno una vocale; b) contenga vocali e consonanti alternate tra loro. :a) 41 ; b) 10 D 63 42

—

—

—

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1599

ESERCIZI

CAPITOLO 22. LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI

POTENZIAMENTO 5

Si estraggono consecutivamente tre carte da un mazzo di 40, rimettendo ogni volta nel mazzo la carta estratta. Calcola la probabilità che le carte siano: a) tre figure o tre sette; b) tre figure o tre carte di uno stesso seme; c) tre carte diverse. :a) 7 ; b) 281 ; c) 741 D 250 3200 800

6

Due dispositivi indipendenti hanno una probabilità di funzionare rispettivamente del 90% e del 70%. Calcola la probabilità che: a) entrambi funzionino; c) uno solo non funzioni; b) almeno uno funzioni; d) scelto uno a caso, non funzioni. [a) 0,63; b) 0,97; c) 0,34; d) 0,2]

7

Al gioco del lotto lo Stato paga 250 volte la posta per un ambo, 4250 volte la posta per un terno, 80 000 volte la posta per una quaterna e 1 000 000 di volte la posta per una cinquina. Dopo aver verificato che il gioco non è equo, ma favorevole allo Stato, determina quante volte lo Stato dovrebbe pagare la posta in caso di 5 4005; 117 480; 2555190; 43949268? gioco equo.

——

——

——

TEST YOUR SKILLS 8

—

A bag contains 10 nuts and 5 bolts. Four items are taken at random (without replacement) from the bag. Find the probability that the selection contains: a) exactly 3 bolts; b) at least one bolt.

10

——

(UK University of Essex, First Year Examination, 2003)

:a) 20 ; b) 11 D 273 13 9

——

A ball is removed at random from an urn which has 10 white and 10 black balls, and not replaced in the urn. This process is repeated 4 times. What is the probability that the third ball was white? (USA Bay Area Math Meet, Bowl Sampler, 1997)

:1D 2

There are ten prizes, five A’s, three B’s, and two C’s, placed in identical scaled envelopes for the top ten contestants in a mathematics contest. The prizes are awarded by allowing winners to select an envelope at random from those remaining. When the eighth contestant goes to select a prize, what is the probability that the remaining three prizes are one A, one B, and one C? (CAN Canadian Open Mathematics Challenge, 1998)

:1D 4 11

——

Two points are picked at random on the unit circle x 2 + y 2 = 1. What is the probability that the chord joining the two points has length at least 1? 1 1 1 2 3 A B C D E 4 3 2 3 4

TEST

(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1997)

GLOSSARY

to allow: permettere at least: almeno to award: assegnare bag: borsa, sacchetto ball: palla, biglia bolt: bullone chord: corda

1600

contestant: concorrente eighth: ottavo envelope: involucro, busta identical scaled: dello stesso formato item: pezzo nut: dado di bullone to pick: prendere, scegliere

prize: premio random: a caso replacement: rimpiazzo, reimmissione selection: selezione urn: urna winner: vincitore

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CAPITOLO

23

[numerazione araba]

[numerazione devanagari]

[numerazione cinese]

LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

MODELLI

LA MATEMATICA AL SERVIZIO DELLA LEGGE Nel 1992 il matematico statunitense Mark Nigrini propose un metodo, utilizzato ancora oggi, per stanare gli evasori fiscali.

Come si può riconoscere se una dichiarazione dei redditi non è veritiera?

La risposta a pag. 1624

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TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

1. LE VARIABILI CASUALI DISCRETE E LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Nel corso di un mese si è rilevato che il prezzo di un certo prodotto al kilogrammo ha assunto i seguenti valori per il numero dei giorni indicati: Prezzo al kg in euro Numero giorni ● Grandezza è la caratteristica di un fenomeno che può essere descritta con un numero. ● La frequenza relativa è il rapporto fra il numero delle volte in cui ogni valore si è presentato (frequenza assoluta) e il numero totale delle rilevazioni effettuate. Per esempio, la frequenza del prezzo 4,70 è

9 3 = . 9 + 6 + 12 + 3 10 La somma delle frequenze relative è 1. ● Le probabilità che la pallina verde esca 0, 1, 2 e 3 volte sono rispettivamente: 4 3 2 1 p0 = ; $ $ = 10 9 8 30 6 4 3 3 ; p1 = 3 $ $ $ = 10 9 8 10 6 5 4 1 p2 = 3 $ $ $ = ; 10 9 8 2 6 5 4 1 p3 = $ $ = . 10 9 8 6

1602

5,25

4,98

4,80

9

6

12

3

Il prezzo è una grandezza che ha assunto più valori nel corso del mese, risultando variabile in seguito a eventi casuali avvenuti nel mercato del prodotto. Diciamo allora che il prezzo è descritto da una variabile casuale. Possiamo associare a ogni valore del prezzo la sua frequenza relativa: Prezzo Frequenza relativa

4,70

5,25

4,98

4,80

3 10

1 5

2 5

1 10

Abbiamo descritto una variabile casuale empirica che deriva da una rilevazione statistica. Essa assume valori, dovuti al caso, che hanno una determinata frequenza relativa. È empirica in quanto abbiamo rilevato i valori dopo che si sono verificati. Infatti non avremmo potuto sapere in precedenza il valore che il prezzo avrebbe assunto, né per quanti giorni si sarebbe mantenuto. Consideriamo un’altra situazione. Abbiamo un’urna contenente 6 palline verdi e 4 gialle. Estraiamo senza reimmissione 3 palline e valutiamo quante volte potrebbe uscire la pallina verde. Essa può non uscire mai, oppure una volta, o due, o tre volte. Il numero delle volte è una variabile casuale teorica, perché a ogni suo valore possiamo associare un valore di probabilità calcolato teoricamente. Indichiamo con X la variabile e con P(X) la successione delle probabilità corrispondenti ai valori di X: X P(X)

● Sono esempi di variabili casuali: a) il ricavo di un negozio dalla vendita, nei giorni della prossima settimana, di un certo numero di articoli di un bene; b) il numero di pezzi difettosi all’interno di una certa quantità di merce prodotta; c) il prezzo della benzina nei prossimi dodici mesi.

4,70

0 1 30

1 3 10

2 1 2

3 1 6

Gli eventi si escludono a vicenda e, fra i valori considerati, uno si deve sicuramente verificare, quindi la somma delle probabilità è 1. La successione delle probabilità viene detta distribuzione di probabilità della variabile X. DEFINIZIONE

Variabile casuale (o aleatoria) discreta Una variabile casuale discreta X è una variabile che può assumere i valori x 1, x 2, …, x n corrispondenti a eventi aleatori E 1, E 2, …, E n , non impossibili, che si escludono a vicenda e tali che sicuramente uno di essi si verifichi.

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PARAGRAFO 1. LE VARIABILI CASUALI DISCRETE E LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

Ogni valore x i , che una variabile casuale può assumere, è accompagnato dalla probabilità p i dell’evento corrispondente E i . Diciamo quindi che p i è la probabilità che la variabile X assuma il valore x i e la indichiamo anche con P(X = x i ). Per 1 esempio, nel caso precedente, P (X = 3) = . 6 U E1

E2

…

En

X

x1

x2

…

xn

P(X)

p1

p2

…

pn

 Figura 1 A ogni evento Ei corrispondono un valore xi della variabile casuale X e la probabilità pi di verificarsi. Gli insiemi E1, E2, …, En sono disgiunti e la loro unione è U, quindi tali insiemi costituiscono una partizione di U.

● La definizione precedente si può estendere al caso di un’infinità numerabile di valori x 1, x 2, …, x n, … Per esempio, se nel lancio di una moneta ci chiediamo qual è la probabilità che testa esca per n volte consecutive, la variabile casuale discreta ha gli infiniti valori: 1, 2, 3, … ai quali sono associate le probabilità: 1 1 1 , , ,f 2 4 8

Abbiamo che: 0 # p i # 1. Gli eventi relativi a una variabile casuale costituiscono una partizione dell’universo U dei possibili esiti di un esperimento. Poiché gli eventi sono incompatibili e la loro unione coincide con lo spazio dei campioni U, si ha:

● Più eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è vuota.

p 1 + p 2 + … + pn = 1. DEFINIZIONE

Distribuzione di probabilità Data una variabile casuale discreta X, con valori x 1 , x 2 , …, x n , la successione delle probabilità p 1 , p 2 , …, pn a essi associate si chiama distribuzione di probabilità della variabile X. Possiamo rappresentare la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta per mezzo di un istogramma o di un diagramma cartesiano. ESEMPIO

Abbiamo un’urna con tre palline numerate da 1 a 3. Estraiamo consecutivamente due palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Costruiamo la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = «somma dei due numeri estratti». Le possibili coppie di palline che si possono avere dall’estrazione sono: somma dei numeri estratti

(1, 1) (1, 2); (2, 1) (1, 3); (3, 1); (2, 2) (2, 3); (3, 2) (3, 3)

2 3 4 5 6

dove ogni coppia ha probabilità

1 . 9

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TEORIA

1603

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

Quindi la variabile casuale X può assumere i valori 2, 3, 4, 5, 6, a cui corrispondono le probabilità: ● La probabilità relativa al

P (X = 2) = P (X = 6) =

valore x è data dalla somma delle probabilità delle coppie di numeri la cui somma vale x.

1 ; 9

P (X = 3) = P (X = 5) =

2 ; 9

P (X = 4) =

3 1 = . 9 3

Abbiamo una variabile casuale X con la seguente distribuzione di probabilità: 2 1 9

X P(X)

3 2 9

4 1 3

5 2 9

6 1 9

 Figura 2 Rappresentazioni

grafiche della distribuzione di probabilità della variabile X = «somma dei due numeri estratti da un’urna contenente tre palline numerate da 1 a 3».

P 1 __ 3

P 1 __ 3

2 __ 9

2 __ 9

1 __ 9

1 __ 9

O

2

3

4

5

6

a. Diagramma cartesiano della distribuzione di probabilità di X.

X

0

2

3

4

5

6

X

b. Istogramma della distribuzione di probabilità di X.

La funzione di ripartizione Riprendiamo il problema in cui estraiamo senza reimmissione 3 palline da un’urna contenente 6 palline verdi e 4 gialle e consideriamo la distribuzione di probabilità relativa all’uscita di palline verdi: X P(X)

● Con F (X) indichiamo sinteticamente la successione dei valori corrispondenti a quelli di X.

1604

0 1 30

1 3 10

2 1 2

3 1 6

Ci domandiamo qual è la probabilità che le palline verdi escano al massimo una volta, oppure al massimo due volte ecc. Per il teorema della probabilità totale, a questa domanda possiamo rispondere associando a ciascun valore della variabile casuale la somma cumulativa delle probabilità, ossia la somma delle probabilità dei valori che lo precedono e della probabilità del valore stesso. X 0 1 2 3 Per esempio, nella tabella 1 3 1 1 a fianco, P (X) 30 10 2 6 1 1 5 1 1 3 5 1 1 F(X) 1 = + , = + . 30 3 6 3 30 10 6 3 2

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PARAGRAFO 1. LE VARIABILI CASUALI DISCRETE E LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

TEORIA

 Figura 3 Utilizziamo un

La funzione che a ogni valore di X fa corrispondere la relativa somma cumulativa di probabilità è chiamata funzione di ripartizione. A essa corrisponde la rappresentazione qui a fianco.

F 1 5 __ 6

istogramma per rappresentare i valori di F corrispondenti ai quattro valori che assume X. È invece usuale utilizzare il diagramma cartesiano quando si definisce F in tutto R (figura 4).

1 __ 3 1 __ 30 0

1

2

3

X

DEFINIZIONE

Funzione di ripartizione Si chiama funzione di ripartizione di una variabile casuale X la funzione F (x ) che fornisce la probabilità che X assuma un valore non superiore a un valore prefissato x: i

F (xi) = P (X # xi) = p1 + p 2 + f + pi =

/ pk .

k=1

X

x1

x2

x…

xn

P (X)

p1

p2

p…

pn

F(X)

p1

p 1 + p 2 p 1 + p 2 + … p1+ p2 +f+ pn

Possiamo utilizzare la funzione di ripartizione per calcolare, per esempio, la probabilità che le palline verdi si presentino più di una volta: la probabilità 1 che sia estratta al più una pallina verde è F (1) = P (X # 1) = ; allora la pro3 babilità cercata è quella dell’evento contrario, cioè: 1 - F (1) = 1 -

1 2 = . 3 3

● Invece dell’insieme dei valori di X, come dominio della funzione di ripartizione si può prendere tutto R. In questo caso: Z0 se x 1 x1 ] ] i F (x) = [ / p k se xi # x 1 xi + 1 ]k = 1 ]1 se x $ xn \  Figura 4 L’andamento della funzione

F(x) 1 5 — 6 1 — 3 1 — 30 O

1

2

3

x

di ripartizione, con dominio R, nel caso dell’esempio precedente. La funzione è definita per casi: Z0 se x 1 0 ] ] 1 ] 30 se 0 # x 1 1 ]] 1 F (x) = [ se 1 # x 1 2 ]3 ]5 se 2 # x 1 3 ]6 ] se x $ 3 \1

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● F (x) = F (x1) per x1 # x 1 x2, F (x) = F (x2) per x2 # x 1 x3, … ● Abbiamo un andamento «a gradini» in quanto, per valori di x compresi fra due dei valori di X, la funzione ha lo stesso valore di quello che assume per il primo fra i due. Per esempio, per x = 2,4, 5 F (2, 4) = F (2) = , 6 in quanto la probabilità che X assuma un valore non superiore a 2,4 si ottiene sommando le probabilità che assuma valori 0, 1 e 2.

1605

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

Operazioni sulle variabili casuali Operazioni tra una variabile e delle costanti Un’urna contiene 12 palline, di cui una pallina con il numero 3, quattro palline con il 4, due con il 7 e cinque con il 9. Estraiamo una pallina. Consideriamo la variabile casuale X = «numero della pallina estratta» e la sua distribuzione di probabilità: ● Calcoliamo le probabilità applicando la definizione classica: è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili (12 palline).

X P(X)

3 1 12

4 1 3

7 1 6

9 5 12

Da questa variabile casuale possiamo ottenerne altre, i cui valori sono distribuiti con le stesse probabilità dei valori di X, moltiplicando e/o sommando delle costanti ai suoi valori. Per esempio, se moltiplichiamo i valori di X per 5, otteniamo la variabile casuale, indicata con 5X, avente distribuzione di probabilità: 5X P(5X)

15 1 12

20 1 3

35 1 6

45 5 12

Se invece ai valori della variabile X aggiungiamo 3, otteniamo la variabile casuale, indicata con X + 3, avente distribuzione di probabilità: X+3 P( ● Combinando queste due operazioni possiamo ottenere altre variabili casuali. Vedremo qualche esempio negli esercizi guida.

3)

6 1 12

7 1 3

10 1 6

12 5 12

In generale, date una variabile casuale X e una costante h, si denota con: • hX la variabile casuale i cui valori sono dati dal prodotto di h per i valori della variabile X; • X + h la variabile casuale i cui valori sono dati dalla somma dei valori della variabile X con h. Per entrambe queste variabili, i valori assunti hanno le stesse probabilità dei corrispondenti valori di X. Somma di due variabili I) Prendiamo ora anche una seconda urna. Questa contiene due palline con il numero 1 e tre con il 2. Estraiamo una pallina. Consideriamo la variabile casuale Y = «numero della pallina estratta dalla seconda urna» e la sua distribuzione di probabilità: Y

● In generale, date due

variabili casuali discrete X e Y, la loro somma è la variabile casuale X + Y i cui valori sono dati dalla somma di ogni valore di X con ogni valore di Y.

1606

P(Y)

1 2 5

2 3 5

Estraiamo una pallina dalla prima urna e una pallina dalla seconda. Consideriamo la variabile casuale «somma dei due numeri estratti». Indichiamo questa variabile con la notazione X + Y e diciamo che è la somma delle variabili casuali X e Y.

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PARAGRAFO 1. LE VARIABILI CASUALI DISCRETE E LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

Per determinare la distribuzione di probabilità di X + Y, costruiamo la tabella in cui le righe corrispondono ai valori della X e le colonne corrispondono a quelli della Y. All’interno della tabella, ogni casella contiene la probabilità di estrazione di due palline aventi rispettivamente il valore x i e yj , corrispondenti alla riga i e alla colonna j che individuano la casella. Tale probabilità è la probabilità congiunta del prodotto di due eventi indipendenti:

Y

1

2

3

1 30

1 20

4

2 15

1 5

1 15 1 6

1 10

X

7 9

1 4

A i = «estrazione del numero x i dalla prima urna»

i = 1, 2, 3, 4;

B j = «estrazione del numero y j dalla seconda urna»

j = 1, 2.

La variabile casuale X + Y ha per valori le possibili somme tra i valori delle due variabili X e Y. La probabilità di ogni valore z i di Z = X + Y è uguale alla somma delle probabilità (contenute nella tabella) delle possibili coppie di numeri la cui somma è uguale a z i ; infatti tali coppie corrispondono a eventi incompatibili e z i corrisponde al loro evento unione. Per esempio, la somma 5 si ottiene con (4 e 1) o (3 e 2), quindi: P (Z = 5) =

P(

)

4 1 30

2 1 11 + = . 15 20 60 5 11 60

6 1 5

8 1 15

9 1 10

10 1 6

1 1 1 + = , che è P (X = 3) . 30 20 12 Notiamo poi che le probabilità congiunte sono il prodotto di quelle marginali.

Y

1

2

P(X)

3

1 30

1 20

1 12

4

2 15

1 5

1 3

1 15 1 6

1 10 1 4

1 6 5 12

2 5

3 5

1

7 9 P (Y)

● Dati due eventi indipendenti A e B, si ha: p(A + B) = p (A) $ p (B). Per esempio, nella tabel1 la, il valore , relativo 20 alla probabilità che escano 3 e 2, si ottiene con: 1 3 1 $ = . 12 5 20

● Dati due eventi incompatibili A e B, si ha: p (A , B) = p(A) + p(B).

11 1 4

● Possiamo verificare l’indipendenza degli eventi in questo modo. Controlliamo che le somme dei valori delle probabilità delle righe e delle colonne, chiamate rispettivamente probabilità marginali della X e della Y, coincidano con le probabilità delle singole variabili casuali. Per esempio,

X

TEORIA

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● Quindi, le probabilità marginali della X sono le somme dei valori delle singole probabilità contenute in ogni riga e le probabilità marginali della Y sono le somme dei valori delle singole probabilità contenute in ogni colonna.

1607

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

II) Consideriamo ancora l’urna contenente una pallina con il numero 3, quattro con il 4, due con il 7 e cinque palline con il 9 e la variabile casuale X = «numero della pallina estratta». 3 1 12

X P(X)

4 1 3

7 1 6

9 5 12

Estraiamo consecutivamente due numeri senza reimmissione. Indichiamo con Y la variabile casuale relativa alla seconda estrazione. ● Dati due eventi dipendenti A e B, si ha: p (A + B) = p (A) $ p^B Ah . Per esempio, nella tabella, 2 , relativo alla il valore 33 probabilità che esca prima 4 e poi 7, si ottiene con: 1 2 2 $ = . 3 11 33

Vogliamo determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X + Y = «somma dei due numeri estratti». I due eventi A = «estrazione di un numero dall’urna», BA = «estrazione di un numero dall’urna essendosi verificato A» sono dipendenti, quindi le probabilità congiunte sono calcolate moltiplicando la probabilità dell’estrazione del primo numero per quella del secondo nell’ipotesi che il primo numero sia uscito: Y

3

4

7

9

3

0

1 33

1 66

5 132

4

1 33

1 11

2 33

5 33

7

1 66

2 33

1 66

5 66

9

5 132

5 33

5 66

5 33

X

La distribuzione di probabilità della variabile casuale X + Y si ottiene procedendo in modo analogo al caso precedente: X P(

● Se di due variabili casuali X e Y conosciamo le probabilità congiunte, possiamo ottenere addizionando righe e colonne le probabilità marginali. Se le probabilità congiunte non sono il prodotto delle probabilità marginali, allora le variabili casuali sono dipendenti.

1608

Y )

7 2 33

● Le somme dei valori delle probabilità delle righe e delle colonne, cioè le probabilità marginali della X e della Y, coincidono con le probabilità delle singole variabili casuali, ma le probabilità congiunte non sono il prodotto delle probabilità marginali.

8 1 11

10 1 33

11 4 33

Y

12 5 66

13 10 33

14 1 66

16 5 33

18 5 33

3

4

7

9

P (X)

3

0

1 33

1 66

5 132

1 12

4

1 33

1 11

2 33

5 33

1 3

7

1 66

2 33

1 66

5 66

1 6

9

5 132

5 33

5 66

5 33

5 12

P (Y)

1 12

1 3

1 6

5 12

1

X

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PARAGRAFO 2. I VALORI CARATTERIZZANTI UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA

TEORIA

2. I VALORI CARATTERIZZANTI UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA Il valore medio Un’urna contiene 4 palline con il numero 50, 5 palline con il 54, 8 con il 58 e 3 con il 62. Effettuiamo 50 estrazioni di una pallina nelle stesse condizioni, cioè rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Otteniamo la seguente tabella: Valore

Frequenza assoluta

50 54 58 62

10 12 24 4

Se calcoliamo la media aritmetica, otteniamo: M=

50 $ 10 + 54 $ 12 + 58 $ 24 + 62 $ 4 = 55, 76 . 50

Avremmo anche potuto scrivere la media nella forma: M = 50 $

10 12 24 4 + 54 $ + 58 $ + 62 $ = 55, 76 , 50 50 50 50

● La media calcolata è la media aritmetica ponderata, in quanto ogni valore è moltiplicato per il numero delle volte (peso) in cui si presenta.

dove compaiono le frequenze relative. Se accompagniamo ogni valore con la relativa probabilità, otteniamo la seguente distribuzione: 50 1 5

X P(X)

54 1 4

58 2 5

62 3 20

La somma dei prodotti di ogni valore per la sua probabilità dà un valore medio che ha carattere di previsione: M (X) = 50 $

1 1 2 3 + 54 $ + 58 $ + 62 $ = 56 . 5 4 5 20

Il valore ottenuto, n = 56 , esprime in modo sintetico la variabile casuale ed è un valore teorico che, fra l’altro, nel nostro esempio non può mai essere ottenuto. DEFINIZIONE

Valore medio Data la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X: X P(X)

x1 p1

x2 p2

x... p...

xn pn

il valore medio M (X ) di X è la somma dei prodotti di ogni valore assunto dalla variabile casuale per la corrispondente probabilità:

● n è la dodicesima lettera dell’alfabeto greco. La leggiamo mu . Con n indicheremo spesso il valore di M (X). ● Il valore medio è chiamato anche valore atteso oppure speranza matematica.

n

M (X) = x1 $ p1 + x 2 $ p2 + f + xn $ pn = / xi $ pi . i=1

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1609

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

● Se consideriamo un numero elevato di prove relative a un esperimento aleatorio, per la legge empirica del caso la frequenza relativa di un evento approssima la sua probabilità. Pertanto, se consideriamo le frequenze relative degli eventi corrispondenti ai valori della variabile casuale discreta X che descrive l’esperimento, abbiamo che la media aritmetica ponderata approssima il valore medio di X. Quindi possiamo dire che il valore medio permette di fare una previsione teorica sul risultato dell’esperimento aleatorio quando il numero di prove è molto grande. Esaminiamo un esempio. Una ditta produce sedie da giardino e deve stabilire la quantità da produrre per la prossima stagione estiva, in relazione alla probabilità di vendita. La distribuzione di probabilità che esprime il numero di sedie che si venderanno è data da:

X

1500

1800

2000

2100

2500

P(X)

0,30

0,35

0,15

0,12

0,08

Il numero di sedie che si prevede di vendere durante la prossima stagione estiva è dato da: M (X) = 1500 $ 0,30 + 1800 $ 0,35 + 2000 $ 0,15 + 2100 $ 0,12 + 2500 $ 0,08 = = 450 + 630 + 300 + 252 + 200 = 1832 .

La varianza e la deviazione standard

IN PRATICA 

Videolezione 57

Sono date le seguenti variabili discrete e le relative distribuzioni di probabilità: X

9

12

15

18

21

P(X)

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

Y

3

9

15

21

27

P(Y)

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

Esse hanno la stessa media M(X ) = M (Y ) = n = 15 . Tuttavia, osserviamo le rappresentazioni grafiche delle distribuzioni di probabilità.  Figura 5

P

P

0,4 0,3 0,2 0,15

0,2 0,1 O

9 12 15 18 21

X

a. Grafico della distribuzione di probabilità di X.

O

3

9

15

21

27 Y

b. Grafico della distribuzione di probabilità di Y.

Vediamo che caso i valori più medio, V di h nell primo i l i risultano i l iù vicini i i i all valore l di pertanto c’è una minore dispersione. Per misurare questa dispersione possiamo considerare gli scarti di ogni valore dal valore medio, creando così la variabile casuale X - M (X), che chiamiamo variabile casuale scarto, con la seguente distribuzione di probabilità: X P[

1610

M( ) (X))]

-6

-3

0

3

6

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

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PARAGRAFO 2. I VALORI CARATTERIZZANTI UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA

TEORIA

Osserviamo che il valore medio della variabile casuale scarto è nullo: M[X - M (X )] = - 6 $ 0,1 - 3 $ 0,2 + 3 $ 0,2 + 6 $ 0,1 = 0. Allo stesso risultato si giunge se si opera in modo analogo con la variabile Y. Il valore medio dello scarto non è quindi adatto per esprimere la dispersione. Consideriamo allora i quadrati degli scarti dal valore medio, cioè la variabile [X - M(X)]2 : [

(X))] 2

P ([[X - M ( ))] 2)

36

9

0

9

36

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

Assumiamo come indice della dispersione il valore medio della variabile casuale quadrato degli scarti, che chiamiamo varianza e indichiamo con var (X):

● In generale, la variabile casuale X 2 ha come valori i quadrati dei valori di X e la stessa distribuzione di probabilità.

var (X ) = 36 $ 0,1 + 9 $ 0,2 + 9 $ 0,2 + 36 $ 0,1 = 10,8. Possiamo anche considerare, come indice della dispersione, la radice quadrata della varianza, detta deviazione standard v(X ): v (X) =

var (X) = 10, 8 - 3, 29 .

● La lettera greca v si legge sigma.

Per la seconda variabile casuale Y abbiamo i seguenti valori: Y [

M( ) (Y)))] 2 P

-12 144 0,15

-6 36 0,2

0 0 0,3

6 36 0,2

12 144 0,15

var (Y ) = 144 $ 0,15 + 36 $ 0,2 + 36 $ 0,2 + 144 $ 0,15 = 57,6; v (Y) = 57, 6 - 7, 59 .

● Qui e in seguito, per brevità, indichiamo una distribuzione di probabilità soltanto con la lettera P, senza precisare la variabile a cui si riferisce, che è quella che la precede immediatamente nella tabella.

Questi valori confermano la maggiore dispersione che avevamo rilevato. Generalizziamo. DEFINIZIONE

Variabile casuale scarto Data una variabile casuale discreta X, si chiama variabile casuale scarto di X la variabile casuale che ha per valori le differenze fra i valori di X e il valore medio M (X ), cioè è la variabile X - M(X). Questa variabile non è molto significativa perché il suo valore medio è sempre nullo. Per avere informazioni riguardo alla dispersione dei valori di una variabile X, si considera allora la variabile casuale quadrato dello scarto di X. DEFINIZIONE

Varianza Data la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X: X P

x1 p1

x2 p2

x... p...

xn pn

con valore medio M (X ) = n, si chiama varianza var (X) di X il valore medio della variabile casuale quadrato dello scarto di X: var (X) = (x1 - n) 2 $ p1 + (x2 - n) 2 $ p2 + f + (xn - n) 2 $ pn = n

= / (x i - n ) 2 $ p i . i=1

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● Il parallelo con la statistica è immediato. Ricordiamo che la somma degli scarti dalla media aritmetica è nulla e che la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è minima rispetto a qualunque altro valore diverso da essa. Nella statistica ci troviamo in situazioni reali che cerchiamo di interpretare, qui siamo in situazioni teoriche delle quali conosciamo l’origine e che utilizziamo per interpretare la realtà.

1611

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

La varianza ci dice quanto sono concentrati i valori della variabile X attorno al valore medio n. La varianza si può anche indicare con v2 (X ). DEFINIZIONE

● La deviazione standard viene anche detta scarto quadratico medio.

Deviazione standard Si chiama deviazione standard v(X) di una variabile casuale X la radice quadrata della varianza di X: v (X) =

var (X) .

Noi possiamo, attraverso il valore di sintesi n e il valore di dispersione v2, individuare le caratteristiche di una variabile casuale. Si può inoltre dimostrare che vale il seguente teorema. TEOREMA

Sia X una variabile casuale, allora la varianza di X è uguale alla differenza tra il valore medio della variabile X 2 e il quadrato del valore medio di X: var (X) = M (X 2 ) - [M (X)]2.

Le proprietà del valore medio e della varianza Il valore medio di una variabile casuale gode delle seguenti proprietà. ● Combinando la seconda e la terza proprietà, otteniamo: M (k $ X + h) = = k $ M(X) + h.

PROPRIETÀ

Siano X e Y due variabili casuali discrete e k, h due costanti numeriche. 1. Se X è costante, cioè assume sempre uno stesso valore a, allora M(X) = a; 2. M(k $ X) = k $ M (X); 3. M(X + h) = M(X) + h; 4. M(X + Y) = M(X ) + M (Y). La varianza ha le seguenti proprietà.

● Combinando le prime due proprietà, otteniamo: var (k $ X + h) = = k 2 $ var (X). La costante additiva h non incide sulla varianza. ● La covarianza di due variabili casuali discrete è un indice di variabilità che lega le due variabili.

● Se le variabili sono indi-

pendenti, sappiamo che var (X + Y) è uguale a var (X) + var (Y), quindi la differenza al secondo membro è 0.

1612

PROPRIETÀ

Siano X e Y due variabili casuali discrete e k, h due costanti numeriche: 1. var (k $ X ) = k 2 $ var (X); 2. var (X + h) = var (X); 3. se le variabili sono indipendenti, var (X + Y ) = var (X) + var (Y ). La semidifferenza tra var (X + Y) e [var (X) + var (Y)] viene detta covarianza di X e Y e si indica con cov (X, Y): var (X + Y) - 6var (X) + var (Y)@ cov (X, Y) = . 2 È significativo parlare di covarianza solo per le variabili dipendenti, poiché la covarianza di variabili indipendenti è nulla. La covarianza può anche essere calcolata direttamente (senza conoscere le varianze) nel seguente modo: • si determinano gli scarti dei valori della variabile X;

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PARAGRAFO 3. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI USO FREQUENTE

TEORIA

• si determinano gli scarti dei valori della variabile Y; • si calcola la somma dei prodotti degli scarti per le rispettive probabilità congiunte. Si noti che, quando conosciamo la covarianza di due variabili casuali X e Y, possiamo ricavare la varianza della loro somma dalla formula precedente: var (X + Y) = var (X) + var (Y) + 2cov (X, Y ).

3. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI USO FREQUENTE ● Per ogni fenomeno speci-

La distribuzione uniforme discreta Consideriamo la seguente distribuzione di probabilità relativa a una variabile casuale X 1 e la corrispondente funzione di ripartizione. X1

3

5

7

9

11

P

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

F

1 5

2 5

3 5

4 5

1

P

O

● Nei grafici delle distribuzioni di probabilità, pur essendo le variabili casuali discrete, congiungiamo i valori delle probabilità con una spezzata soltanto per visualizzare meglio il loro andamento.

F 1 4 __ 5 3 __ 5 2 __ 5 1 __ 5

1 __ 5 3

5

7

9

11

X

a. Grafico della distribuzione di probabilità di X1.

O

fico si può costruire una sua variabile casuale. Lo statistico ha il compito di esaminare i fenomeni e di classificarli, andando oltre l’apparente diversità, per ricondurli a quelle «regolarità» che li descrivono.

3

5

7

9

11

x

b. Grafico della funzione di ripartizione di X1.

 Figura 6 Grafici che descri-

vono una distribuzione uniforme.

1 . 5 In questo caso la distribuzione di probabilità è detta uniforme e il suo grafico ha un andamento rettilineo (figura 6a). Osserviamo che tutti i valori della variabile hanno la stessa probabilità

DEFINIZIONE

Distribuzione uniforme discreta Si dice che una variabile casuale discreta ha una distribuzione di probabilità uniforme se tutti i suoi valori hanno la stessa probabilità.

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1613

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

Se i valori di una variabile casuale X sono 1, 2, 3, …, n e tutti hanno probabilità 1 p = , si può dimostrare che: n n2 - 1 n+1 e var (X) = . M (X) = 2 12 Per esempio, se per la variabile casuale X si hanno i valori 1, 2, 3, 4, 5, tutti con 1 probabilità , si ha: 5 5+1 52 - 1 n= = 3, v2 = = 2, v = 2. 12 2 Consideriamo di nuovo X 1 . I suoi valori si possono ottenere dai valori 1, 2, 3, 4, 5 di una variabile X moltiplicando questi ultimi per 2 e aggiungendo 1 al prodotto. Pertanto X 1 è la variabile casuale 2 $ X + 1 e quindi applicando le proprietà del valore medio e della varianza otteniamo: n1 = M(2X + 1) = 2M(X) + 1 = 2 $ 3 + 1 = 7; v12 = var (2X + 1) = 22 var (X) = 22 $ 2 = 8; v1 = 2 2.

La distribuzione binomiale

IN PRATICA 

Videolezione 76

Un’urna contiene 8 palline nere e 24 bianche. Si estraggono consecutivamente cinque palline rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Consideriamo l’evento «uscita della pallina nera». 1 Abbiamo un evento, con probabilità costante p = , sottoposto a 5 prove tutte 4 nelle stesse condizioni. Consideriamo la variabile casuale X corrispondente al numero delle volte in cui l’evento può verificarsi. La sua distribuzione di probabilità è data dalla legge 5 1 x 3 5-x P (X = x) = b lb l b l x 4 4

● Nello schema delle prove ripetute, la probabilità che un evento E, di probabilità costante p, si verifichi k volte su n prove è: n p(k, n)=c m p k (1- p) n-k . k

 Figura 7 Grafici che descri-

vono una distribuzione binomiale con 1 p= e n = 5. 4

1614

e deriva dal modello probabilistico delle prove ripetute. Questa distribuzione viene detta binomiale o bernoulliana: 0 1 2 3 4 5 0,237305 0,395508 0,263672 0,087891 0,014648 0,000977 0,237305 0,632813 0,896484 0,984375 0,999023 1

X P F

F 1

P 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 O

0,8 0,6 0,4 0,2 1

2

3

4

a. Grafico della distribuzione di probabilità di X.

5

X

O

1

2

3

4

5

x

b. Grafico della funzione di ripartizione di X.

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PARAGRAFO 3. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI USO FREQUENTE

TEORIA

DEFINIZIONE

Distribuzione binomiale (o di Bernoulli) Si dice che una variabile casuale discreta X, con valori x = 0, 1, 2, …, n, ha una distribuzione di probabilità binomiale di parametri n e p se: n P (X = x) = d n p x (1 - p) n - x . x Una variabile casuale con distribuzione binomiale descrive il numero di volte che si può verificare un evento aleatorio di probabilità p su n prove. Supponiamo di effettuare una sola prova. Abbiamo la seguente distribuzione di probabilità: 0 q

X P

● q = 1 - p e quindi

1 p

p + q = 1.

Allora il valore medio di X è M (X ), = 0 $ q + 1 $ p = p e la varianza vale: var (X) = p 2 q + (1 - p)2 p = p 2 q + q 2 p = pq (p + q) = pq. Se consideriamo n prove, esse corrispondono alla somma di n variabili casuali indipendenti e pertanto si hanno i seguenti valori: M(X) = np

(valore medio)

var(X) = npq = np(1 - p)

(varianza)

v (X) = npq =

(deviazione standard)

np (1 - p)

ESEMPIO

Una macchina di precisione produce pezzi di ricambio per elettrodomestici con una percentuale del 2% di pezzi difettosi. Calcoliamo il numero medio di pezzi difettosi che si possono prevedere su una produzione giornaliera di 400 pezzi e la deviazione standard. Essendo n = 400, p = 0,02 e q = 0,98, otteniamo: n = 400 $ 0,02 = 8

e

v=

400 $ 0, 02 $ 0, 98 = 2, 8 .

La distribuzione di Poisson Un evento ha probabilità p = 0,005. Calcoliamo la probabilità che su 800 prove, effettuate nelle stesse condizioni, l’evento si verifichi 6 volte. Per calcolare la probabilità richiesta dobbiamo applicare lo schema delle prove ripetute: p(6, 800) = b

800l $ 0, 0056 $ 0, 995794 - 0, 10433 . 6

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● Siméon Denis Poisson (1781-1840), matematico francese.

n k

● p(k, n) = c m p k qn - k .

1615

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

TEORIA

Quando, come in questo caso, n è elevato e p piccolo, per ottenere un valore approssimato del precedente si può utilizzare la seguente distribuzione di probabilità dovuta a Poisson: P (X = x) =

● e = 2,718281828… è la

base dei logaritmi naturali che sono indicati con ln sulle calcolatrici tascabili.

mx - m $e , x!

con m = np .

Utilizzando questa formula, otteniamo m = 800 $ 0,005 = 4 e: P (X = 6) =

46 - 4 e - 0, 104196 , 6!

P 0,2

che è una buona approssimazione del valore precedente. Si può provare che l’approssimazione diventa migliore al crescere di n.

0,15 0,1 0,05 O

1 2 3 4 5 6X

 Fi Figura 8 G Grafico fi d della ll di di-

stribuzione di Poisson con m = 4.

● Essendo utilizzata per eventi con valori della probabilità piccoli, si usa indicare la distribuzione di Poisson come distribuzione degli eventi rari.

Al variare di x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, otteniamo la seguente distribuzione di probabilità: 0 1 2 3 4 5 6 0,018316 0,073263 0,146525 0,195367 0,195367 0,156293 0,104196

X P

DEFINIZIONE

Distribuzione di Poisson Si dice che una variabile casuale discreta X, con valori x = 0, 1, 2, …, n, ha una distribuzione di probabilità di Poisson di parametro m se: mx - m $e , P (X = x) = x! dove m è il numero medio di eventi per intervallo di tempo. La distribuzione di probabilità di Poisson è un modello teorico che rappresenta importanti fenomeni in fisica (decadimento radioattivo), in medicina (malattie rare), in campo economico (file di attesa). La distribuzione di probabilità di Poisson, definita per valori interi non negativi, è illimitata ed è utilizzata per semplificare e approssimare la distribuzione binomiale di parametri n e p, ponendo m = np, quando n è grande e p è piccolo. Il parametro m di una distribuzione di Poisson assume particolare interesse perché si può dimostrare che, per una variabile casuale discreta X con questa distribuzione di probabilità, esso coincide con il valore medio e la varianza della variabile:

 Figura 9 Grafici della

distribuzione di probabilità di una variabile di Poisson di parametro m = 0,5, 1, 4, 10.

P 0,7 0,6 λ = 0,5 0,5 0,4 λ = 1 0,3 λ=4 0,2 0,1 O

5

λ = 10 10

15

M(X) = var(X) = m. 20 X

Confrontiamo i valori della distribuzione per m = 0,5, 1, 4, 10.

Osserviamo che all’aumentare del valore di m la distribuzione della probabilità tende a diventare simmetrica attorno al valore medio. 1616

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PARAGRAFO 4. LE VARIABILI CASUALI STANDARDIZZATE

TEORIA

ESEMPIO

A uno sportello bancario arrivano in media 30 persone all’ora. Calcoliamo la probabilità che in 5 minuti: • arrivino 4 persone; • arrivino meno di 3 persone. Calcoliamo in media quante persone arrivano nell’unità di tempo, cioè in 5 minuti: m = 2, 5 .

● m si può calcolare mediante una proporzione. Essendo 30 le persone e 60 i minuti in un’ora: 30 : 60 = x : 5 , da cui: m = x = 2,5 .

La distribuzione di probabilità è P (X = x) = 0

X P F

2, 5 x - 2, 5 e . x! 1

2

0,082085 0,205212 0,082085 0,287297

3

4

0,256516 0,213763 0,133602 0,543813 0,757576 0,891178

Pertanto P (X = 4) - 0, 133602 . La probabilità che arrivino meno di 3 persone è P (X # 2) = F (2) - 0, 543813 .

4. LE VARIABILI CASUALI STANDARDIZZATE Le seguenti variabili casuali discrete mostrano il punteggio di due test sottoposti ai 23 alunni di una classe, in momenti successivi. I test si differenziano per il numero dei quesiti, e quindi per il punteggio massimo ottenibile, e per le difficoltà: X1 P X2 P

0 2 23

1 2 23

2 3 23

0 2 23

1 4 23

3 6 23

4 3 23 2 5 23

5 3 23 3 5 23

6 2 23

7 1 23 4 4 23

8 1 23 5 3 23

Le due variabili casuali hanno rispettivamente valori medi: n1 - 3,478

e

n2 - 2,609.

Consideriamo un alunno che ha conseguito 4 punti nel primo test e 3 nel secondo e calcoliamo gli scarti dalle medie dei suoi punteggi: 4 - n1 - 0,522;

3 - n2 - 0,391.

Potremmo concludere che l’alunno ha avuto un peggioramento, in quanto con il primo test ha uno scarto positivo, rispetto alla media della classe, maggiore di quello del secondo test.

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

1617

TEORIA

CAPITOLO 23. LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

La differenza con la media non è però sufficiente a valutare la situazione, in quanto non tiene conto della diversa difficoltà dei test. La difficoltà è misurata dalla variabilità dei risultati, e pertanto rapportiamo le differenze dal valore medio con le deviazioni standard, cioè misuriamo gli scarti dai valori medi in unità di v. v1 - 2,061

Essendo:

e v2 - 1,496,

4 - n1 - 0, 253 e v1

si hanno:

3 - n2 - 0, 261. v2

Dobbiamo concludere che, per il secondo test, l’alunno ha conseguito un miglioramento rispetto alla situazione complessiva della classe. Se operiamo la stessa trasformazione per tutti i valori della variabile casuale X 1 , otteniamo una nuova variabile casuale Z1, detta standardizzata, che ha la stessa distribuzione di probabilità: Z1 = Z1 P

X1 - n 1 X - 3, 478 . - 1 2, 061 v1

-1,688 -1,202 -0,717 -0,232 0,253 2 23

2 23

3 23

6 23

3 23

0,738

1,224

1,709

2,194

3 23

2 23

1 23

1 23

● Effettuando la standar-

DEFINIZIONE

dizzazione di una variabile casuale si possono fare confronti tra fenomeni descritti da grandezze diverse, cioè da variabili aventi unità di misura diverse, in quanto la variabile Z è indipendente dall’unità di misura.

Variabile casuale standardizzata Data una variabile casuale X con valore medio n e deviazione standard v, si chiama standardizzata di X la variabile casuale: X-n . Z= v I valori assunti dalla variabile standardizzata Z di una variabile casuale X vengono chiamati punti zeta e hanno la stessa distribuzione di probabilità di X. Applicando le proprietà del valore medio osserviamo che M (Z) = M c

X-n m 1 1 1 = M (X - n) = [M (X) - n] = (n - n) = 0 v v v v

e ● Ricordiamo che per la

var (Z) = M(Z 2 ) - [M (Z)]2 =

varianza vale il seguente teorema: var (X) = M(X 2) - [M(X)]2.

= M / f 2 p(- 2) n xn ; D- 1 ; 1 DH 2 2 n=0 n +3 n (- 1) =/ x2n ; R F ( 2 n 1 )! + n=0

+3

326

xn + 2 ; RF n!

+3

1 y= (1 + x) 2 arctg x y= x2

322

——

sen 3 2n cos 3 = / (- 1) n ; x + x2n + 1E; R F (2 ) ! + 1) ! n (2 n n=0

n=0

x 2n + 1 ; RF (2n + 1)!

Utilizzando gli sviluppi di Maclaurin delle principali funzioni, scrivi un polinomio del grado richiesto a fianco che approssima le seguenti funzioni trascendenti. 331

y = sen 3x 2 ,

332

y = e2 ,

n = 4.

333

y = ln (1 + x2),

n = 4.

—

1

—

—



122

x2

n = 6.

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:3x2 - 9 x6 D 2 1 1 :1 + x2 + x 4 D 2 8 1 : x2 - x4 D 2

PARAGRAFO 9. LO SVILUPPO IN SERIE

3 2l x , 2

334

y = cosh b

335

y=

ex ,

n = 2.

336

y = esenx ,

n = 2.

337

y = ln (cos x),

n = 2.

338

y = 1 + sen x ,

n = 3.

339

y = ln (1 + sen2 x),

n = 4.

340

y = ln

—

—

——

——

——

——

——

3

:1 + 9 x 4 D 8 :1 + 1 x + 1 x2 D 3 18 :1 + x + 1 x 2 D 2 1 :- x 2 D 2 :1 + 1 x - 1 x2 - 1 x3D 2 8 48 : x2 - 5 x4 D 6 : x + 1 x3 + 1 x5 D 3 5

n = 4.

1+x , 1-x

ESERCIZI

n = 5.

La somma di una serie di potenze 341

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo la funzione somma delle seguenti serie, utilizzando gli sviluppi di Maclaurin notevoli. +3

a)

/ (- 1) n

n=0

x2n ; n!

+3

b)

n

/ (- 1) n n (nx- 1) .

n=2

a) Possiamo riscrivere la serie +3

2n

/ (- 1) n xn!

+3

=

n=0

/

n=0

(- x2) n n!

e notare che si tratta di una serie esponenziale dove invece di x abbiamo - x2 . Quindi la somma della serie è: con x ! R .

2

e- x ,

b) Riscriviamo la serie: +3

n

/ (- 1) n n (nx- 1)

n=2

+3

=

n+1

/ (- 1) n + 1 n (xn + 1) .

n=1

Deriviamo il termine generico della serie: D ;(- 1) n + 1

n n xn + 1 E = (- 1) n + 1 x = (- 1) n - 1 x . n (n + 1) n n

La derivata ottenuta è il termine generico dello sviluppo di ln (1 + x) quando x ! ?- 1; 15 ; pertanto, grazie al teorema di integrazione, la serie data converge a una primitiva di ln (1 + x). Poiché

y ln (x + 1) dx = (x + 1) ln (x + 1) - x + k , +3

n

/ (- 1) n n (nx- 1)

con k ! R ,

= (x + 1) ln (x + 1) - x + k ,

abbiamo:

per qualche k ! R .

n=2

Questa uguaglianza deve valere per tutti gli x ! ?- 1; 15 , in particolare per x = 0 ; determiniamo quindi il valore di k sostituendo x = 0 : +3

0=

/ (- 1) n n (n0- 1)

= (0 + 1) ln (1) - 0 + k = k .

n=2

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123



ESERCIZI

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

Quindi: +3

n

/ (- 1) n n (nx- 1)

= (x + 1) ln (x + 1) - x .

n=2

Calcola la funzione somma delle seguenti serie, indicando anche l’intervallo di convergenza. +3

342

—

n=0 +3

343

—

/

n=0 +3

344

—

345

—

x2n + 1 n!

/

(- 1) n n x (2n) !

/

xn n3n

+3

xn 3n n!

n=1

6 xe x2 ; R @

/

n=0

6cos x ; [0; + 3[@ : ln

3

[ e x ; R]

+3

346

—

2n

/ (- 1) n ((22xn)) !

—

—

——

/

n=0

/

n=1

(1 + x) n n!

——

——

——

/

n=0

/

n=1 +3

353

——

2n + 1

;

n=0

+3

352

1

: 1 xe 2 ; R D 2

/ (- 2) n (2nx + 1) !

+3

351

[e1 + x; R]

nxn 2n n!

+3

350

: ln (1 + 4x); D - 1 ; 1 DD 4 4

n=1

+3

349

n n

/ (- 1) n + 1 4 nx

+3

348

[cos 2x; R]

n=0 +3

347

/

n=0

——

(- 1) n x2n + 3 (2n + 1) !

[x 2 sen x; R]

xn + 1 (n - 1) !

[x2 e x; R]

(- 1) n n x n+1

: 1 ln (1 + x); ]- 1; 1[D x

/ (- 1) n x2n + 1

——

/

n=0 +3

356

——

/

n=0

(- 1) n + 1 n x (n + 1) !

——

——



(- 3) n 2n x 2n + 1

/

n=0 +3

358

/

n=0

x ; ]- 1; 1[E x2 + 1

: 1 (e- x - 1); R D x

(- 1) n 4n x (2n) !

+3

357

;

n=0 +3

355

6cos x 2 ; R @

;

3 arctg 3x

(- 1) n 2n x (2n + 2) !

124

x

2 sen ( 2 x); R E 2

+3

354

3 ; [- 3; 3[D 3-x

3 x ; ;;

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3 3 EE ; 3 3

1 - cos x ; RE x2

PARAGRAFO 10. APPLICAZIONI DEGLI SVILUPPI IN SERIE

ESERCIZI

La somma di una serie numerica 359

ESERCIZIO GUIDA

n

+3 1 1 Calcoliamo la somma della serie / b- l , utilizzando uno fra gli sviluppi in serie di Maclau3 n+1 n 0 = rin noti.

Fra gli sviluppi di Maclaurin che conosciamo, vediamo se c’è una funzione che presenta fra i suoi ad1 n 1 . Per esempio, lo sviluppo del logaritmo naturale di 1 + x è: dendi un termine simile a b- l 3 n+1 +3

ln (1 + x) =

/

n=1

(- 1) n - 1 n x . n

Pertanto, scriviamo la serie data nel modo seguente e ne calcoliamo la somma richiesta. +3

n

/ b- 13 l

n=0

+3 +3 (- 1) n 1 n + 1 (- 1) n - 1 1 n 1 b l = 3/ b l = 3 ln b1 + 1 l = ln 64 . =3/ n+1 3 n 3 3 27 n=0 n + 1 n=1

Calcola la somma delle seguenti serie numeriche, utilizzando gli sviluppi in serie di Maclaurin notevoli. +3

360

—

361

—

362

—

363

—

364

—

365

——

+3

/

1 n!

/

(- 1) n n!

/

1 2n n

5 ln 2?

/

1 2n n!

6 e@

/

(- 1) n 2n + 1

/

(- 1) n r2n + 1 $ n 2 4 (2n + 1) !

n=0 +3 n=1 +3 n=1 +3 n=0 +3 n=0 +3 n=0

5e ?

: 1 - 1D e

:rD 4 51?

366

——

367

——

368

——

369

——

370

——

371

——

/

(- 1) n n+1

/

2n n n!

n=1 +3 n=1 +3

52e2 ? n

/ b- 19 l

n=0 +3

5 ln 2 - 1?

$

r2n (2n) !

:1D 2

/

1 (2n) !

:e + 1 D 2 2e

/

(- 1) n n (n - 1)

52 ln 2 - 1?

/

1 b 1 ln 2n + 1 3

n=0 +3 n=2 +3 n=0

10. APPLICAZIONI DEGLI SVILUPPI IN SERIE

;

3 E r 6

 Teoria a pag. f85

Il calcolo di limiti 372

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo lim x"0

e x - cos x , utilizzando gli sviluppi in serie. sen x

0 Il limite da studiare è indeterminato, del tipo , quindi scriviamo gli sviluppi in serie delle funzioni e x, 0 cos x e sen x : ex = 1 + x +

x2 x3 x2 + f; cos x = 1 + f; sen x = x +f 2 6 2

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125



ESERCIZI

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

Sostituendo nel limite, otteniamo: 2 x2 b1 - x + fl + f e - cos x 2 2 = = lim lim x"0 x"0 sen x x3 +f x6 x + x2 + f 1+x+f = 1. = lim = lim x"0 x"0 x3 x2 +f +f x16 6

1+x+

x

Calcola i seguenti limiti utilizzando gli sviluppi in serie. 373

—

374

—

375

—

376

—

377

—

ln (x + 1) - x +

lim

x - sen x

x"0

lim

x"0

x2 2

1 - cos x2 1 - cos2 x

50?

3x

e -1 sen 2x

lim

x"0

:3D 2

x arctg x cos x - 1

lim

x"0

lim x ln b

x "+3

52?

5- 2?

388

x "+3

389

lim+

bSuggerimento. Sostituisci y = 1 fl x 378

379

—

lim

x"0

(cos x - 1) sen x 3x 2 ln (1 + x) x - sen x x (1 - cos x)

lim

x"0

—

lim

x"0

ex (x + 1) x - 1

391

lim

(cos x - 1) 3 sen x 2

50?

392

lim

x"0

earctg x - x - cos x x"0 x2 tg x lim x " 0 ln (1 + x)

394

lim

x 2 esen x ln (1 + x) - x

395

lim

x 2 ln (1 + x) - x3 2 (e x - 1) 2

——

——

x"0

x"0

lim

5 sen x cos x - 1 - x

382

lim

1 - cos x arcsen x

383

lim

384

lim

385

lim+

—

—

x"0

x"0

3

——

x"0

——

386

——

387

——



x"0

1 + 2x - 1 1 - esen x

e x - cos x sen2 x

x"0

510? 50?

2

——

ln (cos x) x 2 arcsenx

3 arctg x - 3x + x3 lim x " 0 x (cos 2x - 1 + 2x 2)

sen x 1 - cos x

397

lim

e1 - cos x - cos x x ( 1 + x - 1)

398

lim

sen x 1 + x 2 x3

399

lim

e x sen x - 1 1 - cos x

400

lim b

401

lim (cos x) x

ln x ex - 1 - 1 (Suggerimento. Sostituisci y = x - 1f)

——

——

:- 2 D 3

——

:3D 2

——

5+ 3?

——

: 9 D 10

402

x"1

51?

x " 0+

x"0

x"0

x"0

x"0

1 1 l x sen x x2 1

51? 51? 5- 2?

:- 1 D 2 6 2@ 52? 5+ 3?

52?

:- 1 D 6 51?

x"0

lim+

——

x"0

403

lim

——

lim

126

lim

396

——

381

5+ 3?

51?

393

5+ 3?

2

x - ln (1 + sen x) 1 - cos x

x"0

2

380

- e 1-x x sen2 x

lim

51?

:1D 3

1 + x2

390

——

——

:- 1 D 6

e

:- 4 D 5

x"0

—— —

1 5x cos - 1l x 2b

——

——

x+1l x

2

lim

——

x"0

xx sen x

5+ 3?

2 - x2 tg x 2x

bSuggerimento. tg x = sen x fl cos x

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51?

PARAGRAFO 10. APPLICAZIONI DEGLI SVILUPPI IN SERIE

ESERCIZI

Il calcolo approssimato dei valori di una funzione 404

ESERCIZIO GUIDA

3 , utilizzando lo sviluppo in serie opportuno fino alla ridotta 2 di indice 5, e stimiamo l’errore commesso.

Calcoliamo il valore approssimato di

Possiamo scrivere 4

1+x =

3 = 2

4

+3

1

n=0

n

4

1+

4

1 , quindi consideriamo la serie binomiale: 2

/ f 4 px n .

La ridotta di indice 5 è: 1 1 3 1 1 3 7 1 1 3 7 11 1 x + b- l x2 + b- l b- l x3 + b- l b- l b- l x 4 + 4 4 4 2! 4 4 4 3! 4 4 4 4 4! 1 3 7 11 15 1 + b- l b- l b- l b- l x5 = 4 4 4 4 4 5! 1 3 2 7 3 77 4 231 5 = 1+ xx + x x + x . 4 32 128 2048 8192 1 Sostituiamo a x il valore : 2 4 3 1 1 3 1 7 1 77 1 231 1 - 1+ $ $ + $ $ + $ = 2 4 2 32 4 128 8 2048 16 8192 32 1 3 7 77 231 = 1+ + + . 8 128 1024 32768 262144 s5 (x) = 1 +

Determiniamo l’errore D. I termini della serie hanno segno alterno e, in valore assoluto, sono decrescenti. Per il criterio di Leibniz, l’errore è minore del primo termine trascurato, ossia: 1 $ 3 $ 7 $ 11 $ 15 $ 19 b 1 l6 65835 $ = - 3, 49 $ 10- 4 . 2 188743680 46 6! Il fattore 10- 4 indica che l’errore riguarda la quarta cifra dopo la virgola, quindi le prime tre sono esatte. Possiamo dunque scrivere il risultato con tre cifre decimali: D #

4

405

——

3 - 1, 107. 2

la seguente tabella, in cui devi approssimare la funzione fa (x) = (1 + x) a , corrispondente alla serie binomiale, con il polinomio di Maclaurin di terzo ordine e calcola l’errore commesso, a seconda del valore di a. COMPLETA

a

Funzione

Polinomio di Maclaurin di terzo ordine

Errore

-1

1 1+x

1 - x + x 2 - x3

D # x4 = x4

1 2 1 3 -

1 2

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127



ESERCIZI

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

Calcola il valore approssimato dei seguenti numeri reali, facendo uso degli appropriati sviluppi in serie, arrestandoti alla ridotta di grado 5, poi scrivi l’errore commesso. 3 5

406

——

407

3

50, 7747 ?

7

——

1

3 f Suggerimento. La serie binominale converge soltanto in ?- 1; 15, ma si può scrivere 7 =

408

ln 5 - ln 3

409

sen

—— ——

410

——

411

——

3

. 51, 6933? 6 p 7 50, 520165?

1-

r 5 2 cos r 7 1 arctg 3

50, 58 779? 50, 624 206? 50, 321811?

Il calcolo approssimato di integrali 412

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo

r

y0

sen x dx , utilizzando il teorema di integrazione per serie. x

Sviluppiamo la funzione

sen x in serie di Maclaurin: x

+3 sen x x 2n = / (- 1) n . x (2n + 1) ! n=0

Dal momento che la convergenza della precedente serie è uniforme in tutto R, possiamo applicare il teorema di integrazione e scambiare il simbolo di integrale con quello della serie, cioè:

y0

r

sen x dx = x

+3

2n

+3

r y0 / (- 1) n (2nx+ 1) ! dx = / n=0

n=0

(- 1) n (2n + 1) !

r

+3

y0 x2n dx = /

n=0

(- 1) n r2n + 1 . (2n + 1) (2n + 1) !

Calcola i seguenti integrali, utilizzando il teorema di integrazione per serie. 2

413

y0 e- x dx

414

y0 ln 1 -1 t dt

—

—

415

—

1

y0

r

417

y0 x

418

y0

——

419

——



=/

n=1

1

128

xn + 1 ; x 1 1F n (n + 1) =/

n=0

(- 1) n F (2n + 1) 2

r 3n + 1 F ( 2 n + 1) ! n=0 +3 1 >/ f 2 p 1 H n+2 n=0 n +3 n (- 1) =/ F ( 4 n + 1) (2n + 1) ! n=0 +3

= / (- 1) n

r x g dx

1 + x dx

sen x 2 dx x2 1 y0 ln (x +x1) - x dx 1

(- 4) n F (2n + 1) n!

+3

arctg x dx x

y0 cos ]

—

n=0

+3

x

416

—

+3

=/ 2

2

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+3

=/

n=1

(- 1) n F (n + 1) 2

PARAGRAFO 11. LE SERIE DI POTENZE NEL CAMPO COMPLESSO

420

——

421

——

422

y0 y0

2 x et -

t 1 2

+3

1

=/

dt

2

n=1

+3

+3

——

423

y0

424

y0 ln (1 + t) t dt

——

n=1

r 2

y0

——

= /
/ f 3 pb 2 l H 3 n=1 n

1 x dx 3

+3

x

=/

n=0

(- 1) n xn + 3 F (n + 1)(n + 3)

2 2

1 x

425

y1

426

y- 1 x

——

1

——

2

ESERCIZI

x 2n - 1 F (2n - 1) $ n!

(- 1) n + 1 1 FG + n 2 n $ n! 4 2n (2n) ! n

(- 1) n [n (r + 2) + r + 4] r n + 1 b l F 2 (n + 1) (n + 2) (2n) ! 2

+3 1 1 2- n -1 H 1+ x 2 dx >- ln 2+ / f 2 p 2 2n n=1 n

+3 (- 1) n (n + 1) +1 F arctg x dx =8 / 2 x n = 0 (2n + 1) (2n + 3)

Calcola i valori dei seguenti integrali, usando l’integrazione per serie e approssimando a meno del valore indicato a fianco. 427

y0

428

y0

—

—

r 6 2

sen x2 dx ,

10- 4 .

[0,047]

sen x , x

10- 4 .

[1,605]

1

430

y0

431

y0

432

y0

——

1

——

1

429

—

y0 2 e- x dx , 2

10-4 .

[0,461]

x sen x dx , arctg x dx , x

13

——

1 + x2 dx ,

10- 3 .

[0,36]

10- 3 .

[0,91]

10- 3 .

[1,09]

 Teoria a pag. f87

11. LE SERIE DI POTENZE NEL CAMPO COMPLESSO 433

—

434

—

Scrivi i seguenti numeri complessi in forma algebrica. 3 1 ;- l 4 2

a) (0; 0)

b) b

f) (3; - 4)

g) (0; 1)

c) (- 1; 0)

d) (- 1; - 1)

e) (1; 1)

h) (2; - 3 )

i) (2; - 3)

j) c

3 2 m ; 3 2

Determina il modulo di ogni numero complesso dell’esercizio precedente. ;a) 0 ; b) 13 ; c) 1; d) 2 ; e) 2 ; f ) 5 ; g) 1; h) 7 ; i) 13 ; j) 4

5E 6

Tenendo presente che i2 =- 1, scrivi le potenze dei seguenti numeri complessi fino al grado n. 435

i,

n = 6.

5i ; - 1; - i ; 1; i ; - 1?

436

1 + i,

n = 6.

51 + i ; 2i ; 2i - 2 ; - 4 ; - 4 - 4i ; - 8i ?

437

2 - 3i ,

n = 4.

52 - 3i ; - 5 - 12i ; - 46 - 9i ; - 119 + 120i ?

438

1 - 2i , 2

n = 3.

: 1 - 2i ; - 15 - 2i ; - 47 + 13 i D 2 4 8 2

2 i, 3

n = 4.

:1 - 2 i; 5 - 4 i; - 1 - 46 i; - 119 - 40 i D 3 9 3 3 27 81 27

— — — —

439

—

1-

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129



ESERCIZI

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

Fra le seguenti serie di potenze riconosci quelle che hanno coefficienti complessi. +3

440

—

+3

/ (iz) n

[sì]

n=0

/ (i - 2) n zn

443

—

+3

441

—

+3

/ (iz) 2n

[no]

n=0

444

—

—

446

i n z / i 11 + -i

[no]

n=0

/

(1 - i) (1 + 3i) n z (2 + i) n!

+3

n+i n z n-i

n=0

+3

442

[sì]

n=0

/

445

—

n=0

[no] [sì]

ESERCIZIO GUIDA +3

Determiniamo il raggio di convergenza della serie rapporto.

/

n=0

in n z , con z ! C , utilizzando il teorema del n2

an+ 1 = l ; per il teorema del rapporto, la serie data risulterà convergente per tutti i an 1 numeri complessi che appartengono al disco aperto centrato nell’origine e con raggio r = . l Dobbiamo innanzi tutto calcolare il modulo del termine generico:

Calcoliamo n lim "+3

an =

in 1 = 2. n n2

E pertanto: l = n lim "+3

an+ 1 n2 n2 = n lim = 1; 2 = n lim 2 " + 3 " + 3 (n + 1) n + 2n + 1 an

r=

1 = 1. l

Possiamo concludere che la serie data converge in #z ! C z 1 1- . Determina il raggio di convergenza delle seguenti serie, utilizzando il teorema del rapporto. +3

447

——

/

n=0 +3

448

——

449

——

450

——

(1 + i) n n z n2

; n

/

( 2 - 7 i) n z n (n + 1)

+3

/

n=0

n2 zn (1 + 2i) n

+3

n

n=0

2 E 2

:1D 3 6 5@

:1D 2

/ b 2i z l

n=0

+3

451

——

/ (3 + 2i) n (1 + i) n zn

n=0

n

+3

452

——

- 2i l n z / b 13 + 3i

——

——

n

3i l n z / b 53 + 5i

/

n=0

n2 + 1 n z (7 - i) 2n

550?

Applica le due proprietà della funzione esponenziale complessa per verificare le seguenti uguaglianze. 455

e x + iy e x - iy = e 2x

456

——

(eiy + x) iy - x e x

2 + y2

=1

457

——

ei (x + iy) e- i (x - iy) = e- 2y

Verifica le seguenti uguaglianze, utilizzando le formule di Eulero. 458

2i sen 3x = e3ix - e- 3ix

459

2 cos 2x = e2ix + e- 2ix

460

cos x = cos (- x)

— —

——



130

461

sen (- x) =- sen x

462

(cos x + i sen x) 3 = cos 3x + i sen 3x

—— ——

463

——

10 D 13 51?

L’esponenziale complesso e le formule di Eulero

—

1 E 26

n=0 +3

454

:

n=0 +3

453

;

eix = 1

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ESERCIZI

VERSO LE COMPETENZE

METODI

VERSO LE COMPETENZE TEST

Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it +3

1

—

L’insieme di convergenza della serie è: A x 2 0. B x $ 0. C x 1 0. D x # 0. E x = 0.

/

n=1

e- 2nx n

5

—

+3

A

2

B C

—

/ (3x + 5) n ,

(3x + 5) n + 1 è: 3n + 3 n=0 4 6x ! :- 2; - : . 3

/ (3x + 5) n ,

6x ! R .

/ (3x + 5) n ,

6x ! R .

/ (3x + 5) n ,

6x ! :- 2; -

La derivata della serie +3

A

n=1 +3

B

n=1 +3

C

n=0 +3

D

n=0 +3

E

/ (3x + 5) n ,

n=0

4

—

D

n

+3

E

A B C D E

D- 5 ; 2 D- 3 ; 2 :- 3 ; 2 5 :- ; 2 D- 3 ; 2

5: . 2 7: . 2 7D . 2 5D . 2 7D . 2

/ x2n ,

x ! ] - 1; 1 [ .

/ (- 1) n x2n,

x ! ] - 1; 1 [ .

/ (- 1) n x2n ,

x ! [- 1; 1].

n=0

6

L’intervallo di convergenza della serie +3 n -1 n x è: / (- 1) n 32n + 4 n=0 3 3 2 2D . A D- ; : . D :- ; 2 2 3 3 2 2 B D- ; : . E ] - 1; 1 [ . 3 3 3 3D . C :- ; 2 2

7

Mediante lo sviluppo in serie di e x deduciamo +3 1 che la somma della serie / è: n ! $ 5n n=2 6 5 5 e. e- . A D 5 1 1 5 . e- . B E 5 e5 5 e - 1. C

8

Per determinare l’integrale

—

——

4D . 3 4 6x ! :- 2; - : . 3

/ b 2n + 1 l (x - 1) n è: n = 0 5n - 1

x ! ] - 1; 1 [ .

n=0 +3

/

L’intervallo di convergenza della serie

/ xn ,

n=0 +3

+3

3

x ! [- 1; 1].

n=0 +3

1 Considera la serie / 2n : una delle sen=1 1 + x guenti affermazioni è falsa. Quale? La serie è: A convergente per x 2 1. B convergente uniformemente per 2 # x # 3. C convergente per x 1 - 1. D indeterminata per x # - 1. E divergente per -1 # x # 1.

/ x2n ,

n=0 +3

+3

—

Una delle serie seguenti è lo sviluppo della fun1 zione f (x) = . Quale? 1 - x2

——

1

y0 e- x dx 2

con un

errore di 0,001 è sufficiente arrestare il calcolo al termine di grado: A 9. B 6. C 7. D 5. E 4. 9

——

Il raggio di convergenza della serie +3 / nnn! (x - 2) n è: n=0 1 . A 2. D e B 1. e. E C e.

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131



ESERCIZI

10

——

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

Vogliamo calcolare 17 con un errore minore di 10- 4 usando lo sviluppo in serie di 1 + x , di punto iniziale x0 = 15 . Qual è il numero minimo di termini che dobbiamo considerare? A 5 D 1 B 4 E 2 C 3

11

——

Mediante lo sviluppo in serie di e x deduciamo +3 (- 1) n 2n che la somma della serie / è: n! n=1 2 1-e . A D e2 . e2 1 . B E e 2 - 1. e2 e2 - 1 . C e2

QUESITI 12

—

Indica la differenza tra convergenza puntuale, convergenza totale, convergenza uniforme di una serie di funzioni.

13

+3 x Enuncia il criterio di Weierstrass e dimostra che la serie / è uniformemente convergente in ogni n ( n + 1) n=1 intervallo chiuso [a; b]  R, ma non in tutto R.

14

Dimostra che l’insieme di convergenza della serie

15

In una serie convergente di funzioni continue la somma è sempre una funzione continua?

16

Può una serie di potenze convergere nel solo punto x = 0 ? E in tutto R? Fai degli esempi.

17

Perché per le serie di potenze è sempre possibile applicare il teorema di integrazione per serie in ogni intervallo interno all’insieme di convergenza?

18

Spiega perché in una serie di potenze

—

+3

— — — —

/

n=1

1 è l’insieme vuoto. x+n

+3

——

/ an xn , applicando il teorema del rapporto, se n lim "+3

n=0

con l ! 0 , allora il raggio di convergenza è

1 . l

an + 1 = l, an

ESERCIZI Determina l’insieme di convergenza delle seguenti serie. +3

19

—

/

n=1

x3 (n + x) (n + x + 1)

[R - Z-]

+3

20

—

/ (4 x - 4) n

+3

21

—

22

—

[log 4 3 1 x 1 log 4 5]

n=0

/

n x- n n+1

+3

n (x2 - 1) x+2

n=1

/ e-

[x 1 - 1 0 x 2 1] [- 2 1 x 1 - 1 0 x 2 1]

n=1 +3

23

——

/ xn ln xn

+3

24

——

——



5

/ sen b nx l

n=1 +3

25

[0 1 x # 1]

n=1

/

n=1

132

[R]

x x 2 + cos n nx

[x 2 1]

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ESERCIZI

VERSO LE COMPETENZE

Calcola la somma delle serie seguenti utilizzando, eventualmente, la derivazione e l’integrazione per serie. +3

26

—

/

n=1

(- x) n ; -n

- 1 1 x # 1.

+3

27

—

/ xn - 1 ln xn;

x !:

n=1

1 D ;1 . 3

——

n=1

/

r 1 cosn n 4

29

x-

x3 x5 x7 x9 + + - f; 3 5 7 9

x ! :-

(- 1) n - 1 (x - 1) n ; n

x !:

+3

28

——

+3

30

——

/

n=1

[ln (1 + x)]

;

ln x E (1 - x) 2

6 ln (2 + 2 )@ 1 1D ; . 2 2

[arctg x]

1 D ;1 . 2

[ln x]

Mediante opportuni sviluppi in serie calcola i seguenti limiti. [0]

e x - cos x sen x + ln (1 + x)

:1D 2

lim c

32

lim

——

——

33

——

x"0

x"0

lim

3

1 1 m sen x tg x

31

ln (1 - x 2) + b x 2 + 1 - cos x

x"0

3

1 4l x 2

:- 2 D 3

34

——

lim

e x - 1 - 2x3 ln (1 + x3)

x"0

——

x " 0+

lim

sen x x- x

36

lim+

1 - e x - arctg x x ln (1 + x)

35

——

x"0

[- 1] [0] [- 3]

Determina la somma delle seguenti serie utilizzando gli sviluppi in serie notevoli.

/

(- 1) n r 2n b l (2n) ! 6

/

5n lnn 7 n!

/

x2n 2n

+3

37

——

38

——

39

——

n=0 +3 n=0 +3 n=1

;

3 E 2 [75]

:- 1 ln (1 - x2), con - 1 1 x 1 1D 2

Facendo uso della tabella degli sviluppi delle funzioni elementari, calcola la serie di Taylor delle seguenti funzioni e il corrispondente intervallo di convergenza. 40

—

41

—

42

——

n=0

f (x) =

1 3 - x2

=

1 3

+3

/

n=0

+3

=/

n=0

f (x) = arcsen ( 2 x)

44

f (x) = cosh (- 2x)

(2n - 1) !! < $ (2n) !!

1 1 1x1 F 3 3

(2n - 1) !! x2n $ n ;- 3 1 x 1 (2n) !! 3

f (x) = 3 x + 1

43

——

+3

= / 3n xn; -

f (x) = (1 - 3x) - 1

2

2n + 1 2n + 1

x 2n + 1

;-

3xn n ln 3; R F n!

2 2 F #x# 2 2 +3

——

45

——

3F

=/

n=0

22n x 2n ; RF (2n) !

Calcola lo sviluppo in serie della seguente funzione: f (x) =

y0

x

1 dt . 1 + t5

+3

= / (- 1) n n=0

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x5n + 1 ; - 1 1 x 1 1F 5n + 1

133



ESERCIZI

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

DIDATTICA SU MISURA RECUPERO 1

ESERCIZIO GUIDA

Utilizzando gli sviluppi notevoli, sviluppiamo la funzione f (x) = ln (2 - 3x) x in serie di potenze e determiniamo l’intervallo di convergenza. Innanzi tutto troviamo il dominio della funzione: 2 2 - 3x 2 0 " x 1 . 3 Scriviamo la funzione in un’opportuna forma equivalente: 3 3 ln (2 - 3x) x = x ln (2 - 3x) = x ln :2 $ b1 - x lD = x ln 2 + x ln b1 - x l . 2 2 3 2 Poniamo z = x e scriviamo lo sviluppo di ln b1 - x l utilizzando quello di ln (1 - z) : 2 3 +3 1 1 1 zn , con - 1 # z 1 1. ln (1 - z) =- z - z2 - z3 - f - zn - f =- / 2 3 n n=1 n Pertanto: +3 3 3 1 3 2 1 3 3 1 3 n 3n n ln b1 - x l =- b x l - b x l - b x l - f - b x l - f =- / x , 2 2 2 2 3 2 n 2 n $ 2n n=1 2 2 3 con - 1 # x 1 1, ossia - # x 1 . 3 3 2 Lo sviluppo in serie della funzione e il corrispondente intervallo di convergenza sono: +3 +3 3n n 3n n + 1 2 2 ln (2 - 3x) x = x ln 2 - x / , con x ! :- ; : . n x = x ln 2 - / n x 3 3 n 2 n 2 $ $ n=1 n=1 Utilizzando gli sviluppi notevoli in serie di Maclaurin, sviluppa le seguenti funzioni e determina l’intervallo di convergenza. +3 +3 (- 1) n n (- 1) n - 1 2n =/ x ; [- 1; 1]F 2 5 f (x) = ln (1 + x2) = / f (x) = cos x x ; [0; + 3[F n — — n=1 n = 0 (2n) ! 3

—

4

—

x x +1 arctg x f (x) = x f (x) =

2

+3

= / (- 1) n + 1 x 2n - 1; ]- 1; 1[F n=1

+3

=/

n=0

6

—

f (x) = ln

n

(- 1) 2n x ; [- 1; 1]F 2n + 1

7

—

f (x) =

ln (1 + x) x +3

8

——

9

——

10

——

11

——



=serie ciclom. z =- 3x: /

f (x) = arctg (- 3x)

n=0

f (x) = xe- x

+3

1 1-x

=/

n=1

+3

=/

n=0

(- 1) n n x ; ]- 1; 1]F n+1

(- 1) n + 1 32n + 1 2n + 1 1 1 x , :- ; DF 2n + 1 3 3 +3

=serie esp. z =- x 2: /

2

n=0

f (x) =

134

sen x x2

(- 1) n 2n + 1 x , RF n!

+3

x f (x) = 1 + x2 2

xn ; [- 1; 1[F n

=serie geom. z =- x 2: / (- 1) n x 2n + 1, ]- 1; 1[F n=0

2

c f (0) = lim sen2x = 1m x"0 x

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+3

=/

n=0

(- 1) n x 4n , RF (2n + 1) !

DIDATTICA SU MISURA

ESERCIZI

POTENZIAMENTO +3

12

——

n

n 2 x . / 2 sen n n=1 a) Dopo averla trasformata, con un opportuno cambiamento di variabile, in serie di potenze, deduci l’intervallo di convergenza con centro in x = 0 . b) Determina la serie derivata e il suo intervallo di convergenza. c) Determina la funzione s(x) somma della serie data. +3 1 d) Deduci la somma della serie numerica / . n n=1 n 2 +3 n r r r r 1 1 =a) sen x = z, #z1 , - # x 1 ; b) / 2 cos x $ ] 2 sen x g , - 1 x 1 ; 4 4 4 4 2 2 n=0

È data la serie

c) s (x) =- ln (1 - 2 sen x); d) ln (2 + 2 ) H 13

——

Considera la funzione f (x) =

y0

x

1 dz . 1 + z4

a) Dimostra che, nell’intervallo ?- 1; 15 , si può rappresentare con la seguente serie di potenze: +3 4n + 1 / (- 1) n 4xn + 1 . n=0 b) Dimostra che la serie converge anche negli estremi dell’intervallo di convergenza. c) Stima l’errore commesso se si calcola l’integrale

14

——

y0

1 2

1 dx arrestando la serie al termine di indice 5. 1 + x4 [b) serie armoniche di segno alterno; c) 10- 9 ]

1 - cos x . x a) Scrivi il suo sviluppo in serie di Maclaurin.

Considera la funzione f (x) =

b) Determina la serie per il calcolo approssimato dell’integrale

r

y0 2 f (x) dx .

+3 (- 1) n $ (2r) 2n c) Determina la serie derivata; dimostra che la serie numerica / è convergente e trova la n = 0 2 (n + 1) $ (2n) ! sua somma.

>a)

+3

/

n=1

15

——

È data la funzione f (x) =

r

+3 +3 (- 1) n + 1 ; x 2n E 2 (- 1) n $ x 2n (- 1) n + 1 2n - 1 x ; c) / , 0H ; b) serie integr. / 2n 0 (2n) ! (2n) ! n=1 n = 0 2 (n + 1) $ (2n) !

ln (1 - x 2) , x ! ]- 1; 1[ . x

a) Dimostra che 6x ! ]- 1; 1[ l’integrale b) Verifica che la funzione F (x) = +3

/

n=1

y0

x

y0

x

f (t) dt è convergente.

f (t) dt ammette il seguente sviluppo in serie di potenze:

(- 2) $ x2n , 6x ! ? - 1; 15 . (2n) 2

c) Dimostra che l’integrale

r , stima l’errore commesso y0 f (x) dx è finito; sapendo che il suo valore è - 12 1

2

arrestando la serie al quinto termine. [c) 0,09...]

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135



ESERCIZI

CAPITOLO 2. LE SERIE DI FUNZIONI E LE SERIE DI POTENZE

TEST YOUR SKILLS 16

—

Find the radius of convergence of the following power series: 3 n n / 2 nx . n=1

21

——

3

/

n=1

:1D 2 17

Given that x 2 0 , use the ratio test to decide the conditions for convergence of: 3 3 xn ; b) / 3n xn . a) / n = 1 2n n=1

(CAN University of Toronto, Final Exam) 22

——

Find the Taylor series of e x about x = 1. (Note that it is about x = 1, not about x = 0 .) Your answer should go up to at least the (x - 1) 3 term.

1 2 B 1 1 C 6

TEST

23

——

3

n=1

[- 1; 5) B [- 1; 1] C [1; 3]

Every function differentiable infinitely many times at x = 0 is equal to the sum of its Taylor series at x = 0 . T

F

Suppose that the Taylor series for a function f has an infinite radius of convergence. Then the function is equal to the sum of its Taylor series for all x ! R . T

F

c)

(1; 3) E (- 1; 5]

D

(USA University of Akron, Review for Exam, 2008) 3

24

——

——

Prove that the following series 3

/

n=1

3

F

(USA University of Notre Dame, Practice Exam, 2007) 20 18

E

Justify your answer. a) Every function differentiable infinitely many times at x = 0 is equal to the sum of its Taylor series near x = 0 . T b)

(x - 2) n . n3n

A

0

TRUE OR FALSE?

Find the interval of convergence of:

/

D

(USA University of Notre Dame, Practice Exam, 2007)

:e + e (x - 1) + e (x - 1) 2 + e (x - 1) 3 f + 2! 3! e + (x - 1) n + fD n! 19

ln (1 - x6) + x6 . sin (x 4) - x 4

A

(USA University of Arizona, Sample Exam, 2005)

——

Use series to compute:

x"0

:a) conv. on (0; 1); b) conv. on b0; 1 lD 3 18

TEST

lim

(UK Manchester Metropolitan University: Centre for Mathematics Education, Question Bank)

—

1 sin (3n x) 2n

converges on (- 3; 3) and that its sum is a continuous function of x.

(USA University of Arizona, Sample Exam, 2005)

—

Prove that the series

If

/ an xn

is a power series with a0 = 1 and

n=0

an - 1 for all n 2 0 , find its radius of conn vergence and interval of convergence. an =

n2 + x4 n4 + x2

converges to a continuous function f : R " R .

(USA Washington University in St. Louis, 2005)

6r = 3; (- 3; + 3)@

(USA University of California, Final Exam, 2005) GLOSSARY

at least: almeno to compute: calcolare to converge: convergere differentiable: differenziabile



136

to go up to: salire fino a, arrivare a infinitely: in numero infinito interval: intervallo to justify: giustificare, motivare

power series: serie di potenze radius of convergence: raggio di convergenza ratio test: criterio del rapporto

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CAPITOLO

C3

[numerazione araba]

[numerazione devanagari]

[numerazione cinese]

COLLEGAMENTI

PROBLEMI

SIAMO AL COMPLETO? In un albergo tutte le stanze sono occupate. Arriva un nuovo cliente. L’addetta alla reception gli dice: «Non si preoccupi! Faccio in modo di trovare un posto!».

Come’è possibile ospitare un nuovo cliente in un albergo al completo, senza mandar via i clienti già presenti?

La risposta a pag. C92

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

Numeri e infinito

?

I numeri razionali sono di più dei numeri naturali? E i numeri reali?

Il paradosso dei quadrati In Discorsi e dimostrazioni matematiche attorno a due nuove scienze (1638), Galileo Galilei considera l’insieme dei «numeri quadrati», cioè quelli che si ottengono dalla moltiplicazione dei numeri per se stessi. «Salviati: […] se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così? Simplicio: Non si può dire altrimenti. Salviati: Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con verità rispondere, loro esser tanti quante son le proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo quadrato, né quadrato alcuno ha più d’una sola radice, né radice alcuna più d’un quadrato solo. Simplicio: Così sia. Salviati: Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è un numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri […]». Galileo considera paradossale questa situazione e conclude: «Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl’infiniti, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate».

Una definizione per gli insiemi infiniti In termini moderni, la proprietà scoperta da Galileo si può formulare dicendo che c’è corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i loro quadrati (figura 1), cioè fra un insieme e una sua parte. 1

2

3

4

5

6

7

8

…

1

4

9

16

25

36

49

64

…

Dedekind (1831-1916) utilizzò questa proprietà per definire gli insiemi infiniti.

C

90

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

La potenza del numerabile Detti equipotenti due insiemi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca, Georg Cantor, nel 1874, dimostrò che l’insieme dei numeri razionali è equipotente a quello dei numeri naturali, utilizzando uno schema come quello della figura 2. 1 — 1

2 — 1

3 — 1

4 — 1

…

1 — 2

2 — 2

3 — 2

4 — 2

…

1 — 3

2 — 3

3 — 3

4 — 3

…

1 — 4

2 — 4

3 — 4

4 — 4

…

1 — 5 …

2 — 5

3 — 5

4 — 5

…

Cantor chiamò potenza del numerabile quella di tutti gli insiemi equipotenti ai numeri naturali.

Attività ● Dimostra che l’insieme dei numeri interi ha la potenza del numerabile.

La potenza del continuo Cantor ha anche dimostrato che i numeri reali non hanno la potenza del numerabile. Per farlo basta considerare i numeri reali dell’intervallo ]0; 1[ e far vedere che non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali.

● Dimostrazione Supponiamo per assurdo che ciò sia possibile. Allora potremmo ordinarli tutti in una lista, come in figura 3, ognuno in corrispondenza con un numero naturale. Consideriamo un numero reale compreso fra 0 e 1 che abbia la prima cifra decimale diversa da a1, la seconda diversa da b2, la terza da c3, e così via. Questo numero è, per costruzione, diverso da ognuno di quelli della nostra lista e quindi esiste un reale compreso fra 0 e 1 che non è nella corrispondenza biunivoca che abbiamo ipotizzato con i numeri naturali. 1

0, a1 a2 a3 a4 a5 …

2

0, b1 b2 b3 b4 b5 …

3

0, c1 c2 c3 c4 c5 …

4

0, d1 d2 d3 d4 d5 …

5

0, e1 e2 e3 e4 e5 … …

L’insieme dei numeri reali ha allora potenza superiore a quella del numerabile. Cantor la chiamò potenza del continuo.

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91

C

Numeri e infinito SIAMO AL COMPLETO? PROBLEMI

Come’è possibile ospitare un nuovo cliente in un albergo al completo, senza mandar via i clienti già presenti? Il quesito completo a pag. C89

Naturalmente in un albergo del mondo reale il problema non ha soluzione: se l’albergo è al completo, non si può far altro che non accettare un nuovo cliente. Ma diversa è la situazione se l’albergo ha infinite stanze. In questo caso, l’albergatore chiede a ognuno dei clienti di spostarsi nella camera con il numero successivo: il cliente della camera 1 va nella camera 2, quello della 2 nella 3 e così via. In questo modo si libera la camera 1 e il nuovo cliente viene sistemato. Un albergo come questo viene anche detto Hotel di Hilbert, perché il matematico tedesco David Hilbert (1862-1943) ha usato questo esempio scherzoso nelle sue conferenze, per far comprendere come gli insiemi infiniti abbiano caratteristiche diverse da quelli finiti. Infinito potenziale e infinito attuale Il concetto di infinito appare molto presto nella storia del pensiero scientifico e filosofico, così come nella vita di ogni individuo, probabilmente fin da quando ci si accorge che è possibile andare avanti quanto si vuole a contare: giunti al numero n, è sempre possibile passare al successivo. L’idea di cui stiamo parlando è quella di infinito potenziale, già nota a Zenone di Elea, che propose alcuni paradossi relativi all’infinito, fra cui il più famoso è quello di Achille e la tartaruga: «Achille, piè veloce, è sfidato dalla lenta tartaruga a una corsa e le concede un po’ di vantaggio. Riuscirà Achille a raggiungere la tartaruga? Prima di raggiungerla dovrà passare per la posizione iniziale occupata dalla tartaruga che, nel frattempo, si sarà spostata ancora di un po’. Ripetendo questo ragionamento per ogni successiva posizione e tenendo conto del fatto che un segmento è divisibile all’infinito, si deve concludere che Achille non raggiungerà la tartaruga». Il paradosso di Zenone si basa sulla convinzione che la somma di infiniti termini non può che essere infinita. Invece, esistono

1

1

1

1

somme di infiniti termini che sono un numero finito. Per esempio, si dimostra che 1 + + + + … + n +… 2 4 8 2 è uguale a 2. Parlare della somma degli infiniti termini di una successione richiede di poter considerare una collezione infinita come un oggetto e ciò introduce un’altra idea di infinito, quella di infinito attuale. Un insieme costituisce un infinito attuale se, oltre a non essere finito, può essere considerato a tutti gli effetti come un oggetto su cui compiere, eventualmente, operazioni. Mentre Aristotele, per risolvere i problemi posti dai paradossi di Zenone, aveva negato l’esistenza dell’infinito attuale, con Cantor tale esistenza si ripropone. Nel dibattito successivo, una parte dei matematici, gli intuizionisti, continuò tuttavia a non considerare lecito l’infinito attuale.

Attività I paradossi dell’infinito. Approfondisci questo tema affrontando i suoi aspetti più divertenti, o quelli legati ai fondamenti della matematica, o, ancora, il collegamento con i modelli dell’Universo, come propongono, nell’ordine, i testi seguenti.

Da leggere: ● Raymond Smullyan, Satana, Cantor e l’infinito e altri inquietanti rompicapi, Bompiani, 1994. ● Stefano Leonesi, Carlo Toffalori, Matematica, miracoli e paradossi, Bruno Mondadori, 2007. ● Jean-Pierre Luminet, Marc Lachièze-Rey, Finito o infinito? Limiti ed enigmi dell’Universo, Raffaello Cortina Editore, 2006.

Cerca nel Web: infinito matematica paradossi universo, piccolo teatro infinities, albergo Hilbert.

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Dai numeri alle strutture algebriche

?

Le proprietà delle operazioni fra numeri possono essere estese a enti diversi? 1

Algebra: non solo numeri 120°

● Le trasformazioni del triangolo equilatero in sé Consideriamo un triangolo equilatero di vertici 1, 2, 3 e il suo centro G, punto di intersezione degli assi (figura 1). Muoviamo il triangolo con una rotazione antioraria R1 di 120° intorno a G: il vertice 3 si sposta nel vertice 1, il vertice 1 in 2 e 2 in 3 (figura 2). R1 trasforma il triangolo equilatero in sé e può essere indicata mediante la permutazione dei vertici che la caratterizza con la scrittura:

G

2

3

 Figura 1 3

G

1 2 3 n. R1 = d 2 3 1 1

Consideriamo ora tutte le trasformazioni geometriche che mutano il triangolo equilatero in sé: ● S1 = simmetria rispetto all’asse del lato 2-3; ● S2 = simmetria rispetto all’asse del lato 3-1; ● S3 = simmetria rispetto all’asse del lato 2-1; ● R1 = rotazione in senso antiorario di 120° intorno a G; ● R2 = rotazione in senso antiorario di 240° intorno a G; ● I = identità (o rotazione di 360° intorno a G).

2

 Figura 2

Le sei trasformazioni corrispondono alle sei permutazioni dei vertici del triangolo equilatero. Il concetto di permutazione non riguarda soltanto i numeri, ma si può definire per oggetti qualsiasi. Le permutazioni di n oggetti distinti sono tutti i possibili ordinamenti di quegli oggetti.

Attività Con un cartoncino realizza un triangolo equilatero come quello delle figure 1 e 2 e fai un po’ di pratica nell’ottenere le trasformazioni elencate. Scrivi poi la permutazione relativa, nella forma che abbiamo utilizzato per quella di R1. Per esempio, verifica che c

1 2 3 m corrisponde a R2. 3 1 2

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Dai numeri alle strutture algebriche ● Un’operazione fra trasformazioni Consideriamo l’operazione di composizione ° tra le trasformazioni elencate. Indichiamo con T l’insieme delle sei trasformazioni. È possibile verificare che ° è un’operazione interna: comunque si compongano due elementi di T, si ottiene ancora un elemento di T.

Attività Considera ancora il triangolo di figura 1 ed esegui prima la simmetria S1 e poi applica al triangolo ottenuto la rotazione R2, ossia esegui R2 ° S1. R2 ° S1 è uguale a un’altra delle sei trasformazioni. Quale? Completa la tabella dell’operazione °.

°

I

R1

R2

S1

S2

S3

I

I

R1

R2

S1

S2

S3

R1

R1

R2

R2

R2

S1

S1

S2

S2

S3

S3

● La struttura di gruppo Dato un insieme A e una legge di composizione interna #, definita fra gli elementi di A, si dice che (A, #) è una struttura di gruppo se: a) # è associativa, cioè (a # b) # c = a # (b # c) per ogni a, b, c di A; b) esiste in A l’elemento neutro e di # tale che a # e = e # a = a per ogni a di A; c) per ogni a di A esiste l’elemento inverso a-1 di A tale che a # a-1 = a-1 # a = e.

Attività ● Verifica che ( , +), dove è l’insieme dei numeri interi e + l’operazione di addizione, è una struttura di gruppo. In particolare: qual è l’elemento neutro? Assegnato un numero intero a, qual è il suo inverso?

● Verifica che la struttura (T, °), dove T è l’insieme delle trasformazioni del triangolo equilate-

ro in sé e ° la loro legge di composizione, è una struttura di gruppo. In particolare, determina l’elemento neutro della struttura e, per ogni trasformazione, la sua inversa. Per esempio, l’inversa di S3 è ancora S3, perché S3 ° S3 = I.

Il cubo di Rubik può essere studiato matematicamente. Chiamiamo mossa base la rotazione di 90° in senso orario di una faccia: le mosse base sono in totale sei. Si può passare da una all’altra delle 43 252 003 274 489 856 000 permutazioni possibili del cubo mediante la composizione di un numero finito di mosse base. In questo caso si dice che le mosse base generano l’insieme M di tutte le possibili mosse del cubo. L’insieme delle mosse M e l’operazione di composizione fra mosse costituiscono una struttura di gruppo.

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Una matematica in evoluzione I Greci Per i Greci l’algebra aveva senso soltanto se era interpretabile geometricamente. Ecco come Euclide (vissuto intorno al 300 a.C.) scrive l’identità (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, che noi interpretiamo geometricamente come nella figura 3: «Se si taglia a caso una linea retta, il quadrato del tutto è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo contenuto dalle parti».

 Figura 3

b

ab

b2

a

a2

ab

a

b

Gli Arabi Insieme ai Cinesi e agli Indiani, gli Arabi hanno dato un grosso contributo allo sviluppo dell’algebra. Al-Khuwarizmi (vissuto nel IX secolo d.C.) ha fornito una trattazione dettagliata delle equazioni di secondo grado e l’uso sistematico di passaggi algebrici nel suo testo Hisab al-jabr w’al-muqabala. Come vedi dal titolo dell'opera, la parola algebra è proprio di origine araba. Altri contributi sono di Al-Karaji (953-1029) e Al-Samawal (duecento anni dopo), che si dedicarono, in particolare, allo studio dei monomi e dei polinomi. Gli Italiani Importante è anche il contributo degli algebristi italiani del Cinquecento e in particolare di Girolamo Cardano e Nicolò Tartaglia, che affrontarono la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, e di Raffaele Bombelli, che contribuì alla diffusione dell’algebra sincopata (un’algebra con parole abbreviate al posto delle variabili e delle operazioni). Cartesio Solo con Cartesio (1596-1650) l’algebra inizia ad affrancarsi dall’interpretazione geometrica, riuscendo, in tal modo, a dare nuove idee alla stessa geometria. Cartesio scrive che, volendo studiare le matematiche, si rese conto che per «studiarle in particolare» doveva «raffigurarle in forma di linee», ma per «comprenderne molte insieme» doveva invece «esprimerle con qualche cifra fra le più brevi possibili». Peacock Nel XIX secolo, il matematico inglese Peacock afferma che l’algebra non deve essere ridotta a una semplice generalizzazione dell’aritmetica: «Nell’algebra aritmetica le definizioni delle operazioni determinano le regole; nell’algebra simbolica le regole determinano il significato delle operazioni». Questa impostazione apre definitivamente la strada all’algebra come scienza astratta. Noether e van der Waerden Nel 1930 il matematico van der Waerden, allievo di Emmy Noether, scrive il libro Modern Algebra in cui afferma che «l’indirizzo astratto, formale o assiomatico, cui l’algebra deve il suo rinnovato sviluppo, ha condotto a una serie di concetti nuovi e alla considerazione di nuove connessioni e di fecondi risultati».

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Dai numeri alle strutture algebriche Bourbaki Lo sviluppo delle conoscenze matematiche nel secolo XX è stato talmente imponente che alcuni matematici hanno avvertito il bisogno di cercare di individuare concetti unificanti che potessero aiutare a gestire la complessità e l’eccessiva ricchezza dei diversi campi di ricerca. Proprio quell’idea espressa da van der Waerden, ossia la considerazione di «nuove connessioni» fra le varie teorie, porta, intorno agli anni ’30 del secolo XX, un gruppo di giovani e brillanti matematici, che si presentano con lo pseudonimo collettivo di Bourbaki, a individuare nel concetto di struttura uno strumento per trattare in modo unitario le conoscenze matematiche. Capire la matematica vuol dire, secondo i bourbakisti, coglierne il suo aspetto strutturale: la ricerca matematica diventa quindi ricerca di strutture nascoste, sempre più generali e astratte.

N «

el XX secolo anche altre discipline hanno percorso la strada dello studio delle relazioni indipendenti dagli oggetti descritti. Un giorno, a Monaco, racconta Kandinskij,

aprendo la porta dello studio, vidi dinnanzi a me un quadro indescrivibilmente bello. All’inizio rimasi sbalordito, ma poi mi avvicinai a quel quadro enigmatico, assolutamente incomprensibile nel suo contenuto e fatto esclusivamente di macchie di colore. Finalmente capii: era un quadro che avevo dipinto io e che era stato appoggiato al cavalletto capovolto […] Quel giorno mi fu perfettamente chiaro che l’oggetto non aveva posto, anzi era dannoso per i miei quadri .

»

Vasilij Kandinskij, Improvvisazione 33, 1913.

Attività Il concetto di struttura in matematica e le sue applicazioni in altre discipline: sviluppa questo tema, realizzando, come sintesi, una presentazione multimediale. Le forme dei cerchioni delle ruote delle automobili possono essere studiate mediante i concetti di simmetria e di gruppo. Puoi trovare esempi come quello della figura in www.matematita.it.

Da leggere: ● Giuliano Spirito, Matematica senza numeri, Newton Compton, 2004. ● Ian Stewart, L’eleganza della verità, Einaudi, 2008. ● Keith Devlin, Il linguaggio della matematica, Bollati Boringhieri, 2002; capitolo: La matematica della bellezza.

Cerca nel Web: algebra astratta, strutture algebriche, algebra Boole, Klein programma Erlangen, gruppo rosoni, cristalli

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Le geometrie

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Ci sono diversi modi per affrontare un problema di geometria? In geometria, che cosa garantisce la verità?

Una geometria, due approcci Negli Elementi di Euclide (vissuto intorno al 300 a.C.), i postulati erano le proposizioni poste a fondamento della teoria e non oggetto di dimostrazione e avevano l’obiettivo di garantire, con la loro evidenza, la verità e l’esistenza dei contenuti della geometria, che aveva il compito di descrivere il mondo reale. Le dimostrazioni facevano poi discendere logicamente dai postulati proposizioni, dette teoremi, in modo tale da portare l’interlocutore ad accettarne la verità. Questa concezione subisce, dal punto di vista metodologico, una profonda modifica nel XVII secolo. Cartesio, Torricelli, Pascal e altri contestano agli antichi di non chiarire quasi mai come sono arrivati alle dimostrazioni. In particolare, Arnauld e Nicole, esponenti di quella corrente nota come Logica di Port Royal, nella Logica o arte di pensare, del 1662, lamentano che gli antichi si preoccupavano «più di convincere che di illuminare lo spirito». Essi ricordano che vi sono due modi di produrre una dimostrazione: ● il primo è quello tipico delle dimostrazioni euclidee e avviene per sintesi; ● il secondo avviene per analisi, ossia per scomposizione del problema in sottoproblemi sempre più semplici a partire dall’oggetto da determinare. L’analisi consente di seguire passo passo la dimostrazione o la risoluzione del problema, in modo tale che chi la segue ha l’impressione di averla trovata egli stesso. Per i matematici del XVII secolo, Cartesio in primis, l’analisi è preferibile alla sintesi, perché permette di sviluppare metodi che aiutano a risolvere problemi e a scoprire proprietà.

N

el Discorso sul metodo, del 1637, Cartesio descrive quattro regole, trovate utilizzando la matematica, per abituare la «mente a nutrirsi di verità e a non accontentarsi di false ragioni». A noi interessano soprattutto la seconda e la terza, che parlano di analisi e sintesi. Consistono nel:

dividere ogni problema preso in esame in tante parti quanto fosse « ● possibile e richiesto per risolverlo più agevolmente;

● condurre ordinatamente i […] pensieri cominciando dalle cose più semplici e facili da conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, sino alla conoscenza delle più complesse .

»

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Le geometrie Attività Com’è possibile determinare la circonferenza circoscritta a un triangolo?

Il metodo sintetico Dato il triangolo ABC, disegna gli assi di AB e AC, tracciati per i loro punti medi D ed E, che si incontrino in F (figura 1). Il punto F può trovarsi, a seconda di come è fatto il triangolo, all’interno o all’esterno del triangolo, oppure sul lato BC . Considera soltanto il caso di F interno (negli altri la dimostrazione è analoga). Dimostra che F è il centro della circonferenza circoscritta.

A E

S D F

C

S

 Figura 1

B Il metodo analitico Nel piano cartesiano, considera il triangolo di vertici A(0; 2), B(-2; 0) e C(4; 0), come in figura 2.

y

A

B

O

C x  Figura 2

Dimostra che una circonferenza, indicato con P(x; y) un suo generico punto e detti G(xG; yG) il suo centro e r il suo raggio, ha equazione: (x - xG)2 + (y - yG)2 = r2. Per trovare l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo, puoi ora procedere in due modi diversi. 1. Determina: • le coordinate del centro G(xG; yG) come punto di incontro degli assi di due dei lati del triangolo, per esempio BC e AC; per farlo, scrivi le equazioni dei due assi e poi mettile a sistema determinando le coordinate di G; • la misura del raggio r, che è la distanza di G da uno dei vertici, per esempio GC. 2. Imponi che le coordinate dei vertici soddisfino l’equazione della circonferenza. Ottieni tre equazioni nelle incognite xG, yG e r. Risolvi il sistema.

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Tante geometrie ● Le geometrie non euclidee Nella prima metà del XIX secolo, János Bolyai e Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, occupandosi del quinto postulato di Euclide, che afferma l’unicità della parallela a una retta condotta da un punto esterno, giunsero a negarlo, costruendo una geometria in cui per un punto esterno a una retta data passano almeno due parallele. In seguito Bernhard Riemann considerò una geometria nella quale per un punto esterno a una retta data non passa alcuna parallela. La costruzione di modelli di tali geometrie dimostrava che, almeno dal punto di vista logico, le geometrie non euclidee avevano lo stesso diritto di quella euclidea di esistere e di essere studiate.

Spazio fisico e geometria

L

e geometrie non euclidee minavano alla Stella base l’idea di Euclide che i postulati, per poter essere considerati tali, dovessero essere evidenti. I matematici continuavano, però, a considerare la geometria euclidea come l’unica adatta a descrivere lo spazio fisico. Stella apparente Nei primi anni del XX secolo Albert Einstein utilizzò i risultati di Riemann per realizzare la sua idea di spazio collegata alla relatività generale, descritto da una geometria variabile, determinata dalla presenza e dalla distribuzione di masse. In tal modo i postulati della geometria euclidea persero non TERRA SOLE solo la proprietà dell’evidenza, ma anche quella di essere le uniche proposizioni a descrivere realmente com’è fatto lo spazio fisico. Secondo la relatività generale, la presenza di una massa modifica la geometria dello spazio-tempo che, metaforicamente, si incurva, come suggerisce il reticolato presente nell’immagine, dove è rappresentata la deviazione dalla linea retta dei raggi luminosi provenienti da una stella dovuta alla presenza del campo gravitazionale del Sole. G.B. Shaw, in un pranzo in onore di Einstein, si espresse in questi termini nei confronti della relatività generale:

inventò una linea retta, e così fu la legge di gravitazione. [...] Per 300 anni noi credemmo «[…]Newton in quell’universo newtoniano. [...] Poi venne un giovane professore. Disse un sacco di cose e noi lo chiamammo un blasfemo. [...] che il mondo non è un mondo rettilineo; è un mondo curvo. I corpi celesti si muovono lungo curve perché quello è per loro il modo naturale di procedere, e così l’intero universo newtoniano crollò e fu sostituito dall’universo di Einstein .

»

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Le geometrie ● Hilbert e il formalismo Abbiamo visto che per Euclide una dimostrazione è un ragionamento che partendo dai postulati, ossia da premesse vere perché evidenti, arriva a conclusioni ancora vere. Le geometrie non euclidee portano all’esigenza di liberare gli enti geometrici dal loro tradizionale significato. David Hilbert, uno dei più grandi matematici del secolo XX, è il principale esponente di una nuova corrente di pensiero che prende il nome di formalismo. Nel 1899, in Grundlagen der Geometrie (Fondamenti di Geometria), Hilbert sostituisce la teoria di Euclide con un sistema formale molto diverso da un punto di vista concettuale: gli enti primitivi sono indefiniti e le loro proprietà sono caratterizzate esclusivamente dalle relazioni fra essi stabilite dagli assiomi. Per Hilbert la verità degli assiomi e l’esistenza degli enti geometrici è garantita non dall’evidenza, ma dalla non contradditorietà degli assiomi stessi e degli enunciati che da essi si ricavano mediante le regole logiche. Si racconta che Hilbert, in una discussione con altri matematici in una sala d’aspetto di una stazione, abbia spiegato il suo punto di vista dicendo: «Si deve poter dire ogni volta al posto di “punti, rette, piani”: “tavoli, sedie, boccali di birra”». Lo scrittore Raymond Queneau si è divertito, nel suo Fondamenti della letteratura secondo David Hilbert del 1976, a sostituire «punti, rette, piani» con «parole, frasi, paragrafi», e a vedere quali frasi del linguaggio parlato potevano soddisfare gli assiomi. Per esempio, una frase costituita da una sola parola, come «Sì» oppure «Pstt», non soddisfa l’assioma «In una frase ci sono almeno due parole», che corrisponde a quello di Hilbert «Su una retta ci sono almeno due punti». Prova a riformulare il quinto postulato di Euclide delle parallele alla maniera di Queneau.

Attività La nascita delle geometrie non euclidee e le loro caratteristiche: sviluppa questo tema e riassumi i risultati della tua ricerca in una presentazione multimediale.

Da leggere: ● Dario Palladino, Claudia Palladino, Le geometrie non euclidee, Carocci, 2008; ● Renato Betti, Lobacˇevskij. L’invenzione delle geometrie non euclidee, Bruno Mondadori, 2005; ● Herbert Meschkowski, Mutamenti nel pensiero matematico, Bollati Boringhieri, 1999, seconda edizione.

Cerca nel Web: geometrie non euclidee, quinto postulato, geometria spazio fisico, geometria sferica

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Riflettere sui fondamenti

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Che cosa c’è nelle fondamenta del complesso edificio matematico?

Per incominciare… giocando Il gioco MU è stato proposto da Douglas Hofstadter nel suo libro Gödel, Escher, Bach, Adelphi, 1984. Riguarda un sistema formale, dove i teoremi sono stringhe, ossia sequenze, di lettere dell’alfabeto. Ha queste caratteristiche. a) L’alfabeto è composto da tre soli elementi: M, I, U. b) C’è un solo assioma: MI. c) È caratterizzato da quattro regole di inferenza. R1. Se esiste un teorema che termina con una I, si può aggiungere una U alla fine. R2. Se esiste un teorema Mx, allora si può includere Mxx nella collezione dei teoremi. R3. Se in un teorema compare III, allora si può sostituire U a III. R4. Se all’interno di un teorema c’è UU, allora si può eliminare UU. Dimostriamo, come esempio, il teorema MUI, facendo vedere che MUI si ottiene dall’assioma MI mediante le regole di inferenza. Da MI, per la regola R2, otteniamo MII. Da MII, ancora con R2, otteniamo MIIII. Con R3, da MIIII, passiamo a MUI: come volevasi dimostrare! Dimostriamo ora MUIIU. Partiamo da MUI, già dimostrato, e applichiamo R1, ottenendo MUIU. Applicando poi R2 a MUIU, otteniamo MUIUUIU a cui applichiamo R4, arrivando così a MUIIU.

Attività ● ● ● ●

Dalla stringa MU si può ricavare MIII? Dimostra che MIUIU è un teorema del sistema M, I, U. Spiega perché MU non può essere un teorema del sistema M, I, U. Dimostra che MUU si ottiene da MU. MUU è un teorema nel sistema M, I, U?

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Riflettere sui fondamenti Alcune divergenze Intorno ai primi anni del secolo XX i matematici avvertirono la necessità di una profonda e sistematica riflessione sui fondamenti della propria disciplina. In queste pagine esaminiamo brevemente alcuni degli stimoli che furono alla base di tale necessità e i principali approcci seguiti.

● La ricerca del rigore in analisi I metodi di calcolo dell’analisi infinitesimale, fondati da Newton e Leibniz, si erano dimostrati, fin dalla loro nascita, assai potenti, ma anche molto disinvolti. Per esempio, utilizzando la simbologia e la terminologia che adottiamo in questo libro, possiamo dire che nella derivazione della funzione f(x) = x2 Newton calcolava il rapporto incrementale (x + h) 2 - x2 2xh + h2 = = 2x + h h h dividendo i termini della frazione per h, poi trascurava l’incremento h affermando che si trattava di un infinitesimo e concludeva che la derivata di f(x) = x2 è fl(x) = 2x. La critica del vescovo George Berkeley a questo modo di procedere era molto precisa: o h è uguale a 0, e allora non si può semplificare il rapporto incrementale, oppure è diverso da 0, e allora 2x + h è diverso da 2x. Per rispondere alle critiche come quella di Berkeley, i matematici avviarono un profondo lavoro di riflessione, che aprì la strada a un processo di aritmetizzazione dell’analisi, iniziato da Weierstrass e proseguito da Dedekind e Cantor, mediante il quale si cercava di ricondurre l’analisi all’aritmetica. In questa ricerca si incontrarono oggetti apparentemente paradossali, come per esempio le curve ovunque continue e non derivabili in alcun punto, definite da alcuni matematici veri e propri mostri della ragione e dalle quali il matematico Hermite affermava di «ritrarsi con spavento e orrore».

● Le geometrie non euclidee L’edificio euclideo aveva retto per più di duemila anni come esempio paradigmatico di rigore, bellezza e certezza del sapere matematico. Nella prima metà del secolo XIX si iniziò a pensare a sistemi assiomatici diversi da quello euclideo, che all’unicità della parallela per un punto a una retta data come postulato sostituivano l’esistenza di più parallele (geometria iperbolica) o nessuna (geometria sferica e geometria ellittica).

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● Le antinomie Qui sotto riportiamo un esempio di antinomia, ossia di una contraddizione, di tipo logico. LA FRASE ROSSA È VERA LA FRASE BLU È FALSA Ci troviamo di fronte a una situazione paradossale, in quanto ogni frase è vera soltanto se è falsa. All’inizio del secolo XX, la nascita di diversi paradossi creò preoccupazione e sconcerto nei matematici. Nel 1925 David Hilbert affermava: «Per generale riconoscimento, la nostra posizione attuale di fronte ai paradossi è insostenibile. Ma ci pensate, le definizioni e i metodi deduttivi che tutti imparano, insegnano e usano in matematica, in questa pietra di paragone di ogni sicurezza e di ogni verità, portano a delle assurdità! Se non sono nel pensiero matematico, dove trovare verità e certezza?».

Diversi approcci ● Il logicismo La scuola logicista si ispirò al programma del logico tedesco Gottlob Frege. L’obiettivo di Frege era quello di ridurre i numeri e le loro leggi alla sola logica; secondo Frege nulla era più certo e sicuro delle leggi della logica per fondare gli oggetti matematici. Questa convinzione lo portò a formulare il principio di comprensione, secondo il quale il solo fatto di poter pensare una proprietà autorizza a dichiarare l’esistenza dell’insieme degli elementi che godono di quella proprietà. Poco prima che Frege mandasse alle stampe il suo Grundgesetze der Arithmetik (Leggi fondamentali dell’aritmetica), Russell gli comunicò l’antinomia che minava alla base l’edificio di Frege. In seguito, tuttavia, fu proprio Russell che tentò di proseguire il programma di riduzione della matematica alla logica, cercando gli opportuni rimedi per evitare contraddizioni.

● L’intuizionismo La posizione della scuola intuizionista, che ebbe in Luitzen Brouwer il suo maggior esponente, fu diametralmente opposta a quella logicista. Brouwer rifiutava ogni possibile fondazione della matematica su basi logiche, ritenendo gli enti di questa disciplina costruzioni mentali, accessibili solo attraverso l’introspezione. In particolare, la matematica intuizionista rifiuta il principio del terzo escluso e quindi le dimostrazioni per assurdo, nelle quali si nega la tesi, si trova una contraddizione, si rifiuta allora la negazione della tesi e, infine, per il principio del terzo escluso, si afferma la tesi. La matematica intuizionista richiede, invece, per l’esistenza di un oggetto matematico, una sua costruzione diretta.

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Riflettere sui fondamenti ● Il formalismo Per Hilbert e per la scuola formalista la fondazione della matematica coincide con la formulazione di teorie di cui è necessario dimostrare la coerenza, cioè la non contraddittorietà. Ciò richiedeva, innanzitutto, non solo una profonda riflessione sui concetti di dimostrazione, assioma, teorema, ma anche una loro definizione precisa, non soggetta alle ambiguità della lingua naturale. Ecco il motivo della costruzione di linguaggi formali, specifici per parlare di oggetti matematici, senza alcuna interferenza con la polisemia della lingua naturale. Il secondo passo, altrettanto delicato, era la scelta delle regole logiche accettate per realizzare dimostrazioni: poiché il valore del risultato della coerenza di un sistema formale sarebbe dipeso dall’affidabilità delle regole inferenziali scelte, i formalisti optarono per regole accettate anche dai matematici intuizionisti e logicisti. Dopo essere riuscito a dimostrare la coerenza relativa tra geometria e analisi (ossia che la geometria euclidea è coerente se e solo lo è l’analisi matematica), Hilbert tracciò esplicitamente il suo programma: dimostrare la coerenza assoluta dell’aritmetica formalizzata e poi, su tale risultato, dimostrare la coerenza assoluta di tutte le altre teorie matematiche.

Una svolta inaspettata Il programma di Hilbert, nonostante le grandi speranze e il favore con cui venne accolto, era destinato a fallire. Nel 1931 Kurt Gödel dimostrò che in ogni sistema formale per la teoria dei numeri esiste una proposizione indecidibile, cioè una proposizione che non è dimostrabile e la cui negazione non è dimostrabile. Da ciò egli ricavò poi che la coerenza di un sistema formale per la teoria dei numeri non può essere dimostrata entro il sistema stesso.

Attività La crisi dei fondamenti della matematica. Approfondisci questo tema e sintetizza i risultati delle tue ricerche in una presentazione multimediale.

Da leggere: ● Gabriele Lolli, Da Euclide a Gödel, Il Mulino, 2010. ● Marco Borga, Dario Palladino, Oltre il mito della crisi, Editrice la Scuola, 1997.

● Umberto Bottazzini, Storia della matematica moderna e contemporanea, UTET, 1990.

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Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

PARAGRAFO 1. CHE COS’È UN ALGORITMO

TEORIA

GLI ALGORITMI 1. CHE COS’È UN ALGORITMO Un algoritmo è la descrizione del percorso risolutivo di un problema per giungere dai dati iniziali ai risultati finali. Scriviamo l’algoritmo pensando di rivolgerci a un esecutore, capace di svolgere azioni descritte da istruzioni, scritte in un particolare linguaggio. Ipotizziamo poi che l’esecutore sia a disposizione di un utente (non necessariamente chi ha scritto l’algoritmo) che si serve dell’esecuzione dell’algoritmo. SUPPONIAMO CHE L’ESECUTORE SAPPIA COMPRENDERE ED ESEGUIRE

Istruzioni di

per

input

ricevere dati (numeri, espressioni, testi....)

output

mandare messaggi e comunicare risultati

assegnazione

memorizzare un dato associandolo al nome di una variabile

calcolo

svolgere operazioni fra dati

ESEMPIO

1. Un modo di comunicare a un esecutore un possibile algoritmo relativo al calcolo del perimetro di un rettangolo, note le misure b della base e h dell’altezza, è il seguente. Inizia; acquisisci il valore di b e quello di h; calcola il doppio di b e assegnalo a D1; calcola il doppio di h e assegnalo a D2; somma i valori di D1 e D2 e assegna il risultato a P; rendi noto il valore di P; hai finito. 2. Una possibile descrizione dell’algoritmo per ottenere la misura di un cateto c in un triangolo rettangolo, conoscendo quelle dell’ipotenusa a e dell’altro cateto b, è la seguente. Inizia; acquisisci a e b; controlla se a è maggiore di b: se è vero calcola a 2 - b2 , assegna il valore dell’espressione a c e comunica il suo valore, se è falso scrivi un messaggio di errore; hai finito. 3. Algoritmo per trovare il massimo fra quattro numeri. Inizia; leggi il primo numero e memorizzalo nella variabile M; ripeti queste istruzioni per 3 volte: [leggi un numero e memorizzalo nella variabile N, se N è maggiore di M, assegna il valore di N a M]; comunica M; hai finito. Abbiamo scritto gli algoritmi precedenti nel linguaggio di tutti i giorni, ma è opportuno utilizzare un linguaggio convenzionale, che elimini le possibili ambiguità del linguaggio comune e metta in evidenza la struttura degli algoritmi.

Il linguaggio di progetto Esaminiamo gli algoritmi degli esempi precedenti, scritti in un linguaggio di progetto.

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TEORIA

CAPITOLO C3. COLLEGAMENTI: GLI ALGORITMI

ESEMPIO

1. Calcolo del perimetro di un rettangolo  Figura 1

Inizio SCRIVI “Fornisci la misura della base” LEGGI b SCRIVI “Fornisci la misura dell’altezza” LEGGI h D1 := 2 $ b D2 := 2 $ h P := D1 + D2 SCRIVI “La misura del perimetro è” SCRIVI P Fine Notiamo che: • il simbolo := indica l’assegnazione; • con le istruzioni del tipo SCRIVI “f” chiediamo all’esecutore di rivolgersi all’utente; • le tre istruzioni di assegnazione possono essere sostituite da un’unica istruzione, P : = 2 $ b + 2 $ h , se l’esecutore sa utilizzare le espressioni. In questo algoritmo le istruzioni sono da eseguire sempre e una sola volta, nell’ordine in cui si presentano. Una struttura come questa è detta sequenza. 2. La misura di un cateto  Figura 2

Inizio SCRIVI “Dai la misura dell’ipotenusa” LEGGI a SCRIVI “Dai la misura di un cateto” LEGGI b SE a 2 b ALLORA c := a 2 - b2 SCRIVI “L’altro cateto misura” SCRIVI c ALTRIMENTI SCRIVI “Errore” Fine In questo algoritmo l’istruzione c : = a 2 - b2 è eseguita soltanto se la condizione a 2 b è vera, l’istruzione SCRIVI “Errore” solo se la condizione è falsa. Una struttura come questa è detta selezione.

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PARAGRAFO 1. CHE COS’È UN ALGORITMO

TEORIA

3. Il massimo fra quattro numeri Possiamo scrivere l’algoritmo in due modi diversi. Inizio SCRIVI “Fornisci il primo numero” LEGGI m cont := 1 MENTRE cont 1 4 FAI cont := cont + 1 SCRIVI “Fornisci un altro numero” LEGGI n SE n 2 m ALLORA m := n FINE MENTRE SCRIVI “Il massimo è” SCRIVI m Fine

Inizio SCRIVI “Fornisci il primo numero” LEGGI m cont := 1 RIPETI cont := cont + 1 SCRIVI “Fornisci un altro numero” LEGGI n SE n 2 m ALLORA m := n FINCHÉ cont = 4 SCRIVI “Il massimo è” SCRIVI m Fine a

b

Notiamo che: h • RIPETI istruzioni FINCHÉ condizione continua a far eseguire le istruzioni fintanto che la condizione è falsa; quando la condizione diventa vera l’esecutore prosegue con l’istruzione successiva alla riga di FINCHÉ; • MENTRE condizione FAI istruzioni FINE MENTRE continua a far eseguire le istruzioni fintanto che la condizione è vera; quando la condizione diventa falsa l’esecutore non esegue le istruzioni, ma passa all’istruzione successiva alla riga di FINE MENTRE; • cont ha la funzione di variabile contatore: assume i valori 1, 2, 3, 4. Una struttura descritta da RIPETI… FINCHÉ… o da MENTRE… FAI… FINE MENTRE, in cui una o più istruzioni vengono eseguite in modo ciclico, viene detta iterazione. In linguaggio di progetto lo stesso algoritmo può anche essere scritto come nella figura 4.

 Figura 3

 Figura 4

Inizio SCRIVI “Fornisci il primo numero” LEGGI M PER i CHE VA DA 1 A 3 CON PASSO 1 FAI SCRIVI “Fornisci un altro numero”, LEGGI N SE N 2 M ALLORA M := N PROSSIMO i SCRIVI “Il massimo è” SCRIVI M Fine

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TEORIA

CAPITOLO C3. COLLEGAMENTI: GLI ALGORITMI

In questo caso supponiamo che l’esecutore abbia la capacità di gestire un contatore in modo autonomo. Una struttura descritta da PER… CHE VA DA… A… CON PASSO… è detta iterazione enumerativa.

2. LE STRUTTURE DEGLI ALGORITMI In generale, abbiamo le seguenti strutture. Sequenza

Inizio

f Fine Selezione

SE ALLORA

ALTRIMENTI

dove il blocco viene eseguito se è vera, il blocco viene eseguito se è falsa. È possibile anche la seguente struttura di selezione in cui non è presente ALTRIMENTI: SE ALLORA

Iterazione

RIPETI

FINCHÉ ● Nella struttura RIPETI… FINCHÉ… il blocco viene eseguito almeno una volta, anche se è già vera all’inizio del ciclo.

dove si esegue il blocco , se è vera si esce dal ciclo, se invece è falsa si continua il ciclo, tornando a eseguire e così via. MENTRE FAI

FINE MENTRE dove se è vera si esegue , se invece è falsa si esce dal ciclo. Per comprendere meglio la differenza delle due strutture puoi farne un confronto nel seguente esempio.

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PARAGRAFO 2. LE STRUTTURE DEGLI ALGORITMI

TEORIA

ESEMPIO

RIPETI mangia un biscotto FINCHÉ sei sazio

 Figura 5

MENTRE non sei sazio FAI mangia un biscotto FINE MENTRE

PER CHE VA DA A CON PASSO FAI

PROSSIMO dove la variabile indicata in , partendo dal valore espresso in , aumenta della quantità per ogni ciclo; quando supera il valore indicato da , si esce dal ciclo.

I diagrammi a blocchi Un altro modo per descrivere gli algoritmi è quello, di tipo grafico, dei diagrammi a blocchi. Qui di seguito vediamo le forme convenzionali dei blocchi.

L’apertura dell’algoritmo

La chiusura dell’algoritmo

La lettura dei dati d’ingresso (input)

La comunicazione dei messaggi e/o dei risultati (output)

L’assegnazione dei dati e/o lo svolgimento dei calcoli

Inizio

Fine

Leggi

Scrivi

Assegna

Le tre strutture fondamentali degli algoritmi possono essere descritte così con i diagrammi a blocchi. I blocchi vengono rappresentati uniti da frecce, che indicano il flusso di esecuzione dell’algoritmo. Sequenza I blocchi di apertura e chiusura dell’algoritmo hanno una sola sola freccia, rispettivamente uscente ed entrante, mentre i blocchi intermedi hanno generalmente una freccia entrante e una uscente (figura 7).

Il controllo del valore di verità di una condizione

Condizione

 Figura 6

Inizio

Istruzioni

Fine

 Figura 7

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TEORIA

CAPITOLO C3. COLLEGAMENTI: GLI ALGORITMI

Selezione Il blocco di controllo, nel caso più semplice, ha una freccia entrante e due uscenti, corrispondenti ai due valori di verità della condizione che viene valutata (figura 8). SE... ALLORA... ALTRIMENTI...

Falso

SE... ALLORA...

Vero

condizione

Vero

condizione

Falso istruzioni 2

istruzioni

istruzioni 1

a

b

 Figura 8

Iterazione

 Figura 9

MENTRE... FAI... FINE MENTRE

RIPETI... FINCHÉ...

istruzioni condizione

PER i DA a A b PASSO p FAI...

i := a

Falso

Vero Falso

condizione

i=b

istruzioni

Vero

Falso istruzioni

i := i + p

a

C

b

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c

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Vero

PARAGRAFO 2. LE STRUTTURE DEGLI ALGORITMI

TEORIA

Costruiamo i diagrammi a blocchi degli esempi precedenti. ESEMPIO

1. Il perimetro di un rettangolo  Figura 10

Inizio

Leggi b

Leggi h

P := 2 • b + 2 • h

Scrivi P

Fine

2. La misura di un cateto  Figura 11

Inizio

Leggi a, b

Vero

c :=

a>b

Falso

a2 – b2 Scrivi “Errore”

Scrivi c

Fine

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CAPITOLO C3. COLLEGAMENTI: GLI ALGORITMI

3. Il massimo fra quattro numeri MENTRE... FAI... FINE MENTRE

RIPETI... FINCHÉ... Inizio

Inizio

Leggi m

Leggi m

cont := 1

cont := 1

cont := cont + 1

cont < 4

Falso

Vero Leggi n

cont := cont + 1

Vero

n>m

Leggi n

Falso

m := n n>m

Falso

Vero

Falso m := n

cont = 4 Vero

Scrivi n

Scrivi m

Fine

Fine

a

b

 Figura 12

L’algoritmo di Euclide Nell’insieme dei numeri naturali, cerchiamo il massimo comune divisore fra due numeri m e n che indichiamo con M.C.D.(m, n). Possiamo sfruttare il seguente teorema. TEOREMA

Supposto m $ n , se m e n hanno un divisore d comune, d è divisore anche di m - n . DIMOSTRAZIONE

Poiché d è divisore sia di m sia di n, abbiamo che m = kd e n = hd. La differenza m - n è allora: m - n = kd - hd.

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PARAGRAFO 2. LE STRUTTURE DEGLI ALGORITMI

TEORIA

Raccogliamo d al secondo membro: m - n = d(k - h). Quindi anche m - n ha d come divisore. Per il teorema precedente, i divisori comuni a m e n sono gli stessi comuni a m - n e n e quindi: M.C.D.(m, n) = M.C.D.(m - n, n). Possiamo allora determinare il M.C.D. fra due numeri per sottrazioni successive. Iniziamo confrontando i due numeri, se il primo è più piccolo scambiamo il primo con il secondo, quindi eseguiamo la sottrazione fra i due numeri. Confrontiamo poi il secondo numero con la differenza, se è necessario li scambiamo, eseguiamo la sottrazione… Proseguiamo ottenendo una sequenza di numeri che hanno il medesimo M.C.D. e, per come sono calcolati, sono numeri naturali sempre più piccoli. Giungiamo quindi a 0 e a quel punto, essendo M.C.D.(0, n) = n, diciamo che il numero precedente è il M.C.D. cercato. Scriviamo questo algoritmo per la ricerca del M.C.D. con le sottrazioni successive in linguaggio di progetto, sia con RIPETI… FINCHÉ… sia con MENTRE… FAI.

a

Inizio SCRIVI “PRIMO NUMERO:” LEGGI m SCRIVI “SECONDO NUMERO:” LEGGI n RIPETI SE m 1 n ALLORA temp := m m := n n := temp m := m - n FINCHÉ m = 0 SCRIVI n Fine

b

 Figura 13

Inizio SCRIVI “PRIMO NUMERO:” LEGGI m SCRIVI “SECONDO NUMERO:” LEGGI n MENTRE m 2 0 FAI SE m 1 n ALLORA temp := m m := n n := temp m := m - n FINE MENTRE SCRIVI n Fine

Osserva che: • per effettuare lo scambio fra i numeri m e n abbiamo bisogno di una terza variabile che chiamiamo temp; • l’istruzione m := m - n richiede il calcolo della differenza fra m e n e la memorizzazione del risultato in m. Il precedente valore di m va perso. La tavola di traccia Per capire meglio quali azioni fa compiere un algoritmo e in quale sequenza, possiamo compilare la tavola di traccia, cioè una tabella dei valori assunti dalle variabili e dei risultati dei test logici legati alle condizioni, percorrendo l’algoritmo passo a passo.

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CAPITOLO C3. COLLEGAMENTI: GLI ALGORITMI

Compiliamo la tavola di traccia dell’algoritmo precedente, utilizzando la versione con RIPETI… FINCHÉ…, e commentiamola.  Tabella 1

Passo

m

n

m1n

1 2 3 4

15 6 3 3

9 9 6 3

Falso Vero Vero Falso

temp

6 3

m

9 6

n

m := m - n

m=0

M.C.D.

6 3

6 3 3 0

Falso Falso Falso Vero

3

Passo 1 Partiamo con i numeri m = 15 e n = 9. La condizione m 1 n è falsa, quindi calcoliamo la differenza e l’assegniamo a m. La condizione m = 0, è falsa, quindi ripetiamo le istruzioni del ciclo. Passo 2 La condizione m 1 n è vera, pertanto scambiamo i valori di m e di n. Effettuiamo la differenza e l’assegniamo a m. Poiché m è diverso da 0, ripetiamo il ciclo. Passo 3 Proseguiamo in modo simile. Passo 4 Troviamo che m vale 0, quindi usciamo dal ciclo e scriviamo il valore contenuto in n, che è il M.C.D. cercato. L’algoritmo di Euclide con il diagramma a blocchi Se usiamo un diagramma a blocchi, l’algoritmo delInizio le differenze successive è quello rappresentato nella figura 14. Leggi m, n

m