Matematica verde 2 [PDF]

Zitiervorschau

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.verde Algebra, Geometria, Probabilità

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2

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RISORSE ONLINE 䊳

INDICE

Esercitazioni guidate su Motori di ricerca, Elaborazione di testi, Presentazioni multimediali.

CAPITOLO

…che cosa indica questo segnale stradale?

8

1. Le coordinate di un punto 2. I segmenti nel piano cartesiano

58 esercizi in più 55 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 9 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 6 Mettiti alla prova 䊳 4 Test your skills 䊳 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

5 videolezioni esercizi interattivi

䊳2

…come scegliere il contratto più conveniente? fi La risposta a pag. 572

3. 4. 5. 6.

ESPLORAZIONE La nascita della geometria analitica L’equazione di una retta passante per l’origine L’equazione generale della retta Il coeiciente angolare Le rette parallele e le rette perpendicolari

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Lo dimostro io! 7. I fasci di rette 8. La retta passante per due punti 9. La distanza di un punto da una retta ■ Laboratorio di matematica Le rette con Excel ■ Matematica per il cittadino La corsa ■ Verifiche di fine capitolo

CAPITOLO

507 508

527 528

511 511 514 517 518

532 535 540 542

520 520 522 523

544 548 550 554 555 556

9

I sistemi lineari

1. I sistemi di due equazioni in due incognite 2. Il metodo di sostituzione

II

ESERCIZI

Il piano cartesiano e la retta

fi La risposta a pag. 524

RISORSE ONLINE

TEORIA

559 561

575 577

Indice

RISORSE ONLINE 57 esercizi in più 30 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 15 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 7 Mettiti alla prova 䊳 9 Test your skills 䊳 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

6 videolezioni esercizi interattivi

䊳4

3. 4. 5. 6. 7.

I sistemi determinati, impossibili, indeterminati Il metodo del confronto Il metodo di riduzione Il metodo di Cramer I sistemi di tre equazioni in tre incognite Sistemi lineari e problemi PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Bruciare metano

Problemi cinesi e sistemi Laboratorio di matematica I sistemi lineari con Derive Matematica per il cittadino I ciclisti Verifiche di fine capitolo ESPLORAZIONE

■ ■ ■

CAPITOLO

…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

Erone e la radice quadrata La proprietà invariantiva dei radicali La moltiplicazione e la divisione fra radicali La potenza e la radice di un radicale L’addizione e la sottrazione di radicali ESPLORAZIONE

58 esercizi in più 44 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 21 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 8 Mettiti alla prova 䊳 4 Test your skills 䊳 teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

6 videolezioni esercizi interattivi

䊳4

562 567 567 568 569

579 582 583 585 590 592

569 571 599 600 601

10

1. La necessità di ampliare l’insieme Q 2. Dai numeri razionali ai numeri reali 3. I radicali in R⫹0

䊳

ESERCIZI

I numeri reali e i radicali

fi La risposta a pag. 628

RISORSE ONLINE

TEORIA

4. 5. 6. 7.

Espressioni a confronto 8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione 9. I radicali quadratici doppi 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coeicienti irrazionali 11. Le potenze con esponente razionale 12. I radicali in R ■ Laboratorio di matematica I radicali con Wiris ■ Matematica per il cittadino Gli scorpioni irrazionali ■ Verifiche di fine capitolo PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

605 607 611

631 632 633

612 613 616 618 620

634 640 645 649

621 622 623

654 656

623 624 626

658 662 664 665 666 667

III

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CAPITOLO

…a quale distanza deve essere posto il proiettore ainché l’immagine che appare sullo schermo abbia la dimensione desiderata?

11

TEORIA

ESERCIZI

671 672

689 690

Le equazioni di secondo grado

fi La risposta a pag. 686

1. Le equazioni di secondo grado 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado RISORSE ONLINE 54 esercizi in più 74 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 15 Mettiti alla prova 䊳 11 Test your skills 䊳 teoria e 53 esercizi su I numeri complessi 䊳 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

4 videolezioni esercizi interattivi

䊳5

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Babilonia, anno 1000 a.C.

ESPLORAZIONE Il completamento del quadrato La somma e il prodotto delle radici La regola di Cartesio La scomposizione di un trinomio di secondo grado Le equazioni parametriche I problemi di secondo grado 7. La funzione quadratica e la parabola ■ Laboratorio di matematica Le equazioni di secondo grado con Excel ■ Matematica per il cittadino Lo spazio di frenata ■ Verifiche di fine capitolo

3. 4. 5. 6.

CAPITOLO

…perché il foglio di formato A4 ha i lati di 21 e 29,7 centimetri?

672 677 677 679 680 681 682

707 710 711 715 722 727 732 733 734

12

Complementi di algebra

fi La risposta a pag. 755

1. Le equazioni di grado superiore al secondo RISORSE ONLINE 157 esercizi in più 67 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 11 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 20 Mettiti alla prova 䊳 5 Test your skills 䊳 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

7 videolezioni esercizi interattivi

䊳3

IV

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

739

757

Per bisogno

o per curiosità ESPLORAZIONE La formula segreta 2. Le equazioni irrazionali 3. I sistemi di secondo grado 4. I sistemi simmetrici Sistemi e problemi ■ Laboratorio di matematica I sistemi di secondo grado con Excel ■ Matematica per il cittadino Mongolfiere ■ Verifiche di fine capitolo

743 747 748 751 752

771 779 786 789 793 794 795

Indice

TEORIA

ESERCIZI

1. Le disequazioni

799

817

I segni maggiore e minore 2. Le disequazioni di secondo grado intere 3. La risoluzione graica di una disequazione di secondo grado

802 802 807

821 824

809 810 811 812 812

830 833 837 841

CAPITOLO

…considerato un peso di 70 kg, per quali fasce di altezza possiamo ritenere una persona sottopeso, normale, sovrappeso o obesa?

13

Le disequazioni di secondo grado

fi La risposta a pag. 813

ESPLORAZIONE

RISORSE ONLINE 59 esercizi in più 50 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 13 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 7 Mettiti alla prova 䊳 5 Test your skills 䊳

4. 5. 6. 7. ■

BRAVI SI DIVENTA 4 videolezioni 䊳 3 esercizi interattivi 䊳

Se Rufini non funziona Le disequazioni di grado superiore al secondo Le disequazioni fratte I sistemi di disequazioni Applicazioni delle disequazioni Laboratorio di matematica Le disequazioni di secondo grado con Wiris Matematica per il cittadino Regali per tutti Verifiche di fine capitolo PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

䊳

■ ■

CAPITOLO

…l’esito di una sequenza di trasformazioni geometriche dipende dall’ordine in cui vengono eseguite?

12 esercizi in più 䊳 29 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 6 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 3 Mettiti alla prova 䊳 7 Test your skills 䊳

14

Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

fi La risposta a pag. 861

RISORSE ONLINE

845 846 847

1. Le isometrie

853

863

Musica e trasformazioni geometriche 2. Le omotetie 3. La composizione di due trasformazioni

856 857 859

870 871

Parallelo all’asse x Laboratorio di matematica Le trasformazioni geometriche con Derive Matematica per il cittadino I frattali Verifiche di fine capitolo

860

ESPLORAZIONE

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

■

■ ■

874 875 876

V

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CAPITOLO

…è più conveniente confermare oppure cambiare porta per ottenere il premio?

40 esercizi in più 33 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 9 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 8 Mettiti alla prova 䊳 7 Test your skills

1. Gli eventi e la probabilità 2. La probabilità della somma logica di eventi 3. La probabilità del prodotto logico di eventi

䊳

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

䊳

Positivo al test!

4. Fra probabilità e statistica Il gioco del lotto Laboratorio di matematica La probabilità con Excel Matematica per il cittadino Turista per caso Verifiche di fine capitolo ESPLORAZIONE

■ ■ ■

CAPITOLO

…perché le teste dei bulloni sono quasi sempre esagonali?

61 esercizi in più 24 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 27 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o Geogebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 8 Mettiti alla prova 䊳 7 Test your skills 䊳

VI

β1 β4 β8

β21 β25 β28

β13 β14

β31

β18 β34 β35 β36

G4

1. La circonferenza e il cerchio

䊳

ESERCIZI

La circonferenza, i poligoni inscritti e circoscritti

fi La risposta a pag. G137

RISORSE ONLINE

TEORIA

Introduzione alla probabilità

fi La risposta a pag. ␤19

RISORSE ONLINE

␤

2. 3. 4. 5. 6.

ESPLORAZIONE I cerchi nel grano I teoremi sulle corde Rette e circonferenze Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro Le tangenti a una circonferenza da un punto esterno I poligoni inscritti e circoscritti

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Sempre in ila (e non solo) 7. La piramide e i solidi di rotazione ■ Laboratorio di matematica La circonferenza con GeoGebra ■ Matematica per il cittadino Viaggio in Toscana ■ Verifiche di fine capitolo

G119

G141

G123 G123 G126 G128 G130 G130

G142 G143 G144 G145 G148

G132 G135

G150 G151 G152 G153

Indice

CAPITOLO

…come si fa a delimitare sul terreno un campo rettangolare?

1. 2. 3. 4.

L’estensione e l’equivalenza L’equivalenza di due parallelogrammi I triangoli e l’equivalenza La costruzione di poligoni equivalenti

…come si può misurare con un metro l’altezza di una piramide? fi La risposta a pag. G208

G173 G175 G176 G180

G167 G167

G180

Più di Pitagora G169 Laboratorio di matematica L’equivalenza delle superfici piane con GeoGebra Matematica per il cittadino Piastrelle Verifiche di fine capitolo

G185 G186 G187

Il tangram 5. I teoremi di Euclide e Pitagora PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

■

■ ■

CAPITOLO

G6

La misura e le grandezze proporzionali 1. Le classi di grandezze geometriche 2. Le grandezze commensurabili e incommensurabili

G191 G194

G212 G212

Atene, IV secolo a.C. 3. I rapporti e le proporzioni fra grandezze

G195 G197

G215

ESPLORAZIONE La proporzionalità che frena 4. Il teorema di Talete 5. Le aree dei poligoni La risoluzione algebrica di problemi geometrici 6. Le aree e i volumi dei poliedri ■ Laboratorio di matematica Le grandezze proporzionali con Cabri ■ Matematica per il cittadino Fusi orari e chat ■ Verifiche di fine capitolo

G201 G202 G203

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

RISORSE ONLINE 10 esercizi in più 22 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 16 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 9 Mettiti alla prova 䊳 6 Test your skills 䊳 䊳

ESERCIZI

G157 G162 G163 G166

ESPLORAZIONE

10 esercizi in più 䊳 13 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 15 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 6 Mettiti alla prova 䊳 2 Test your skills 䊳

TEORIA

L’equivalenza delle superfici piane

fi La risposta a pag. G171

RISORSE ONLINE

G5

G206

G217 G219 G220 G231 G234 G235 G236

VII

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CAPITOLO

…esistono parole che si possono leggere anche allo specchio?

1. Le isometrie

G239

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI 50 esercizi in più 䊳 15 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 16 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 4 Mettiti alla prova 䊳 6 Test your skills

TEORIA

ESERCIZI

Le trasformazioni geometriche

fi La risposta a pag. G250

RISORSE ONLINE

G7

䊳

ESPLORAZIONE

Il percorso più breve

Tassellare è un’arte

2. L’omotetia ■ Laboratorio di matematica Le trasformazioni geometriche con GeoGebra ■ Matematica per il cittadino Le isometrie nell’arte ■ Verifiche di fine capitolo

CAPITOLO

…che cosa accomuna le pesanti fortiicazioni di una città medievale, una mela e una leggerissima bolla di sapone?

G252

G245 G247 G248

G256 G258 G259 G260

G8

La similitudine

fi La risposta a pag. G280

1. 2. 3. 4. RISORSE ONLINE 55 esercizi in più 22 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 17 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 3 Mettiti alla prova 䊳 8 Test your skills 䊳 䊳

La similitudine e le igure simili I criteri di similitudine Applicazioni dei criteri di similitudine La similitudine nella circonferenza

ESPLORAZIONE Un numero d’oro 5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio Applicazioni dell’algebra alla geometria

Una cifra dopo l’altra Laboratorio di matematica La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio con Cabri Matematica per il cittadino Eurowheel Verifiche di fine capitolo PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

■

■ ■

Indice analitico

VIII

G263 G264 G265 G267 G271 G271 G273

G284 G285 G289 G290 G291 G294 G296

G275 G311 G312 G313

I1

CAPITOLOTEORIA

Il piano cartesiano e la retta

8

Discesa pericolosa Molte immagini quotidiane offrono indicazioni sulle proprietà geometriche degli oggetti e dell’ambiente che ci circonda. I cartelli stradali sono importanti per la circolazione e hanno il compito di avvertirci di ciò che troveremo sul nostro cammino… …che cosa indica questo segnale stradale?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 524

1. Le coordinate di un punto ■ Il riferimento cartesiano ortogonale I punti di un piano possono essere messi in corrispondenza biunivoca con coppie di numeri reali. Per creare tale corrispondenza consideriamo due rette orientate e tra loro perpendicolari. Per comodità, scegliamo la prima orizzontale e la seconda verticale. Chiamiamo tali rette assi del riferimento e il loro punto di intersezione O origine del riferimento. In questo modo abbiamo fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali. L’asse orizzontale è detto asse delle ascisse, o anche asse x; l’asse verticale è detto asse delle ordinate, o anche asse y. Fissata un’unità di misura su entrambi gli assi (spesso si usa la stessa), possiamo rappresentare un punto mediante una coppia ordinata di numeri reali. Per esempio, consideriamo la coppia (5; 3) e determiniamo il punto P a cui essa è associata (figura a lato). Sull’asse x segniamo il punto corrispondente a 5 e sull’asse y quello corrispondente a 3. Tracciamo le parallele agli assi passanti per questi punti. Il punto P cercato è il punto di intersezione delle due rette tracciate.

y P

3 1 O

1

5

507

x

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

I numeri della coppia vengono detti coordinate del punto; la prima coordinata viene detta ascissa, la seconda viene detta ordinata. Per esempio, P ha ascissa 5 e ordinata 3. Viceversa, se in un piano fissiamo un punto, possiamo fargli corrispondere una coppia di numeri reali mandando dal punto le rette parallele agli assi e considerando le loro intersezioni con gli assi stessi. A ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia di numeri; viceversa, a ogni coppia di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano. La corrispondenza è quindi biunivoca. In generale, per indicare che al punto P corrisponde la coppia di numeri reali (x; y) (e viceversa), si usa la scrittura P (x; y), che si legge: «Il punto P di coordinate x e y».

y II quadrante I quadrante (−; +) (+; +) O

Per esempio, A(⫺ 1; 4) indica il punto A di coordinate ⫺ 1 e 4. Gli assi dividono il piano in quattro angoli retti, detti quadranti (figura a lato). Le coordinate dei punti del piano sono positive o negative a seconda del quadrante in cui i punti si trovano.

x

III quadrante IV quadrante (−; −) (+; −)

■ La rappresentazione di punti particolari L’origine

I punti dell’asse x

y

I punti dell’asse y y

y

B (0; y) (0; 2) O (0; 0)

x

a. L’origine O è il punto di intersezione degli assi x e y: ha coordinate (0; 0). 䉱

O (0; 0) (1; 0)

A (x; 0) x

O (0; 0)

x

b. Tutti i punti dell’asse x hanno come c. Tutti i punti dell’asse y hanno come ascissa 0. Un generico punto ordinata 0. Un generico punto dell’asse y è quindi del tipo B (0; y). dell’asse x è quindi del tipo A (x; 0).

Figura 1

2. I segmenti nel piano cartesiano ■ La distanza fra due punti y A

B

2

A' 5

O

1

B' 3x

I punti hanno la stessa ordinata Consideriamo i punti A (⫺ 5; 2) e B (3; 2). Essi hanno la stessa ordinata e stanno quindi su una retta parallela all’asse x. Le parallele all’asse y passanti per A e per B incontrano l’asse x rispettivamente nei punti A′ e B ′ (figura a lato). Poiché A′B ′BA è un rettangolo, 苶苶 B ⫽A 苶苶′苶 B 苶′, e inoltre x A′ ⫽ x A ⫽ ⫺ 5 e x B ′ ⫽ x B ⫽ 3. Quindi nel risulta A nostro caso: A 苶苶 B ⫽A 苶苶B ′苶苶′ ⫽ 兩x B ′ ⫺ x A ′ 兩 ⫽ 兩x B ⫺ x A 兩 ⫽ 兩3 ⫺ (⫺ 5) 兩 ⫽ 8.

508

Paragrafo 2. I segmenti nel piano cartesiano

In generale, la distanza fra due punti A (x A ; y A ) e B (x B ; y B ) che hanno la stessa ordinata y A ⫽ y B è:

B

y 7

A

2

TEORIA

苶B A 苶 ⴝ 兩 xB ⴚ xA兩 . I punti hanno la stessa ascissa Se i punti di cui dobbiamo calcolare la distanza hanno la stessa ascissa, valgono considerazioni analoghe a quelle del caso precedente, ma riferite all’asse y: infatti i punti in questione si trovano su una retta parallela a questo asse. Quindi, con riferimento alla figura a lato:

O

3

苶苶 B ⫽ 兩y B ⫺ y A 兩 ⫽ 兩 7 ⫺ 2兩 ⫽ 5. A

1 x

In generale, la distanza fra due punti A (x A; y A ) e B(x B ; y B ) che hanno la stessa ascissa x A ⫽ x B è: 苶B A 苶 ⴝ 兩 yB ⴚ yA兩 . Il caso generale Studiamo ora il caso generale e determiniamo la distanza fra due punti che non abbiano necessariamente la stessa ascissa o la stessa ordinata. Consideriamo i punti: A(2; 3) e B(5; 7). Per calcolare la distanza fra A e B applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABH (figura a lato): A ⫹苶 苶苶 B ⫽ 兹A 苶H 苶 2苶 苶 BH 苶 苶2.

y 7

B

A

3

H

Poiché A 苶H 苶 ⫽ 兩5 ⫺ 2兩 ⫽ 3 e 苶 BH 苶 ⫽ 兩7 ⫺ 3兩 ⫽ 4, otteniamo: A 苶苶 B ⫽ 兹3苶2苶 4 苶2 ⫽ 兹9苶⫹ 苶苶6 1苶 ⫽ 兹25 苶 ⫽ 5, ⫹苶

ossia

A 苶苶 B ⫽ 5.

O

2

5

x

In generale, la distanza fra due punti A(x A; y A ) e B (x B ; y B ) è data da: 2 2 苶B A 苶 ⴝ 兹苶 (x苶 ⴚ苶x苶 ⴙ苶(苶 yA苶 ⴚ苶y苶 A苶 B)苶 B)苶.

◗ Questa formula comprende anche i due casi particolari precedenti.

■ Il punto medio di un segmento Il punto medio M di un segmento AB è tale che 苶 AM 苶⫽苶 MB 苶, cioè è quel punto che ha la stessa distanza dagli estremi A e B del segmento. I punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata Dati due punti A e B con la stessa ordinata, il segmento di cui sono estremi è parallelo all’asse x, quindi l’ordinata del punto medio M è la stessa di A e di B. Per ricavare l’ascissa di M, notiamo che:

y yA=yB

O

A

M

B

xA

xM

xB

⏐xM ⫺ xA⏐ ⫽ ⏐xB ⫺ xM⏐. Considerando, come nella figura a lato, xB ⬎ xA, possiamo scrivere le differenze senza valore assoluto: xM ⫺ xA ⫽ xB ⫺ xM → xM ⫹ xM ⫽ xA ⫹ xB → 2xM ⫽ xA ⫹ xB.

◗ Considerazioni analoghe si possono fare se xA ⬎ xB.

509

x

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

L’ascissa del punto medio di AB è pertanto:

y yB

B

yM

M

yA

A

O

xA= xB

xA ⴙ xB xM ⴝ ᎏᎏ. 2

x

Analogamente, si ricava che per due punti A e B con la stessa ascissa, l’ascissa del punto medio è la stessa di A e di B, mentre l’ordinata è: yA ⴙ yB yM ⴝ ᎏᎏ. 2 Il caso generale Consideriamo i punti A(xA; yA) e B (xB; yB). Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio del segmento AB.

䉴

Figura 2

y yA A' = yM M' = yB B'

y A

A M

M B

B

A" M" B" O

x

a. Dai tre punti A, B, M tracciamo le parallele all’asse x. Otteniamo così tre rette parallele tagliate da due trasversali: l’asse y e la retta passante per A e per B.

◗ Il teorema del fascio di rette parallele afferma che, dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.

O

x

x

xA xM xB

b. Dai tre punti A, B, M tracciamo le parallele all’asse y. Otteniamo tre rette parallele tagliate da due trasversali: l’asse x e la retta passante per A e per B.

Dopo aver tracciato le parallele agli assi passanti per i punti A, B e M , applichiamo il teorema del fascio di rette parallele. Se AM ⬵ MB, allora A′M ′ ⬵ M ′B ′ e A ″M ″ ⬵ M ″B ″. Applichiamo la formula del punto medio determinata nel caso precedente al segmento A″B ″: xA ⫹ xB x M ″ ⫽ ᎏᎏ ; 2

x M ⫽ x M ″.

Analogamente per il segmento A′B ′: yA ⫹ yB y M ′ ⫽ ᎏᎏ ; 2

y 4 3 2 O

M2

F

510

y M ⫽ yM′.

Dati A(x A; y A ) e B(x B ; y B ), il punto medio di AB ha quindi coordinate:

E

1 2 3 1+3 c. xM2 = –––– = 2; 2 2+4 = 3. yM2 = –––– 2

x

x

xA ⴙ xB x M ⴝ ᎏᎏ 2

yA ⴙ yB yM ⴝ ᎏᎏ 2

semisomma delle ascisse

semisomma delle ordinate

Paragrafo 3. L’equazione di una retta passante per l’origine

TEORIA

ESPLORAZIONE: LA NASCITA DELLA GEOMETRIA ANALITICA Cartesio René Descartes, in italiano Cartesio (1596-1650), nel suo Discorso sul metodo (1637), critica sia la geometria dei Greci, sia l’algebra dei suoi tempi. Il suo proposito è affrontare la matematica in modo unitario, unificando algebra e geometria in quella che oggi chiamiamo «geometria analitica». Ne La geometria, saggio pubblicato come appendice de Discorso sul metodo, egli scrive: «Non volevo, con questo, mettermi a imparare tutte quelle scienze particolari che son dette comunemente matematiche; […] pensai che, per meglio studiarle in particolare, dovevo raffigurarle in forma di linee, giacché non trovai niente di più semplice o che potessi più distintamente rappresentare alla mia immaginazione e ai miei sensi; e per ricordarle e per comprenderne molte insieme, dovevo invece esprimerle con qualche cifra tra le più brevi possibili. In questo modo avrei colto tutto il meglio dell’analisi geometrica e dell’algebra e corretto i difetti dell’una con l’altra». Fermat e Cartesio Anche Pierre de Fermat (1601-1665) utilizzò il metodo della geometria analitica. Tuttavia, i punti

di vista di Cartesio e Fermat, contemporanei, erano molto distanti. Mentre Cartesio criticò la tradizione greca e si propose di spezzarla in nome di un metodo universalmente applicabile, Fermat credette nella continuità con il pensiero greco. A Fermat si può ricondurre il principio fondamentale secondo cui «un’equazione in due incognite individua un luogo (retta o curva)». Poiché l’opera di Fermat (Varia opera matematica) fu pubblicata postuma, la geometria analitica apparve come una personale invenzione di Cartesio. È ora invece chiaro che i contributi dei due studiosi sono del tutto autonomi. IN DIECI RIGHE

Scrivi con il computer una relazione sulla vita di Cartesio e di Fermat, soffermandoti sul fatto che entrambi non erano matematici «di professione». Costruisci poi una linea del tempo in cui, oltre ai momenti significativi della loro vita, siano presenti i principali personaggi della loro epoca in campo scientifico, letterario, artistico e politico. Cerca nel web: Cartesio, Descartes, Fermat, geometria analitica, analytic geometry.

3. L’equazione di una retta passante per l’origine ■ Le equazioni delle bisettrici dei quadranti del piano cartesiano Consideriamo la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Ogni punto della bisettrice gode della proprietà di essere equidistante dai lati dell’angolo, cioè dagli assi cartesiani. Preso un punto generico P (x; y ) sulla bisettrice, l’ascissa e l’ordinata, prese in valore assoluto, rappresentano le distanze di P dagli assi. Quindi 兩y 兩 ⫽ 兩x 兩. Nel primo e terzo quadrante, d’altra parte, l’ascissa e l’ordinata di un punto hanno lo stesso segno, quindi: y ⴝ x.

y=x P

y y

−1

1 O −1

2

x x

䉱 Figura 3 Il punto (ⴚ 1; ⴚ 1) appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Il punto (2; 1) non appartiene alla bisettrice.

511

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

Questa uguaglianza è un’equazione nelle variabili x e y e caratterizza di fatto i punti della bisettrice del primo e terzo quadrante. Le sue infinite soluzioni (x; y) corrispondono a tutti e soli gli infiniti punti di tale bisettrice; se le coordinate di un punto non soddisfano l’equazione, il punto non appartiene alla bisettrice. ◗ Il punto (⫺1; 1) appartiene alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Con considerazioni analoghe, si ricava che alla bisettrice del secondo e quarto quadrante è associata l’equazione: y ⴝ ⴚ x. Tutti i punti di questa bisettrice, e soltanto essi, hanno le coordinate che sono numeri opposti.

䉲 Figura 4 I punti (ⴚ 2; ⴚ 4), (2; 4), ... appartengono alla retta AB; il punto (5; 1) non appartiene alla retta.

y

B

6

y = 2x

4 2 1 −2 O

A

Vedremo nei prossimi paragrafi che, data una qualsiasi retta del piano, le coordinate dei suoi punti, e soltanto esse, soddisfano un’equazione che chiamiamo equazione della retta.

■ L’equazione di una generica retta passante per l’origine Consideriamo i punti A (1; 2) e B (3; 6) e la retta passante per A e B. I due punti hanno l’ordinata uguale al doppio dell’ascissa; quindi la relazione che lega le coordinate (x; y) di ciascuno di essi è y ⫽ 2x. Si può dimostrare che ogni altra coppia di numeri che soddisfi l’equazione y ⫽ 2x corrisponde a un punto della retta AB e, viceversa, che ogni punto della retta ha coordinate che soddisfano tale equazione. Pertanto l’equazione della retta AB è:

1 2 3

5 x

y ⫽ 2x. Fra i punti della retta è compresa anche l’origine O, in quanto la coppia (0; 0) soddisfa l’equazione.

−4

Più in generale, se l’ordinata è m volte l’ascissa, l’equazione è y ⫽ mx. Osserviamo che ognuna di queste rette passa per l’origine. ◗ L’equazione y ⫽ mx non può rappresentare l’asse y, per nessun valore di m. Infatti, scelto un punto dell’asse y, per esempio (0; 3), dovrebbe valere la relazione 3 ⫽ m ⭈ 0, ma non esiste un numero m che moltiplicato per 0 dia 3.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

512

䉴 V27a

In generale, si può dimostrare che l’equazione di una retta passante per l’origine, purché diversa dall’asse y, è del tipo y ⫽ mx e che, viceversa, un’equazione del tipo y ⫽ mx rappresenta sempre una retta passante per l’origine, diversa dall’asse y. PROPRIETÀ

Equazione di una retta passante per l’origine Una retta passante per l’origine e diversa dall’asse y ha equazione del tipo y ⫽ mx.

y

O

x y = mx

Paragrafo 3. L’equazione di una retta passante per l’origine

■ Il coefficiente angolare Nell’equazione y ⫽ mx il numero m è chiamato coefficiente angolare. Esso esprime, per una retta passante per l’origine, il rapporto fra ordinata e ascissa di ogni punto della retta stessa, a eccezione dell’origine.

TEORIA

◗ Per x ⫽ 1, si ha y ⫽ m, dunque m è l’ordinata del punto di ascissa 1. y

yA yB yC yD ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ... ⫽ m xA xB xC xD

y = mx

m

o, in generale, ᎏyᎏⴝ m , con x, y⫽0. x y Se m è positivo, anche ᎏᎏ è positivo: i punti della retta hanno coordinate x entrambe positive o entrambe negative. Ciò significa che la retta appartiene al primo e terzo quadrante (figura 5). Inoltre, nel semipiano di ordinate positive la retta forma con la semiretta positiva dell’asse x un angolo acuto.

1

O

x

y = 3x

y

β

1x y=— 2

α

x

O

Figura 5 Al coefficiente maggiore, ossia 3, corrisponde l’angolo maggiore, cioè ␤.

䉴

y Se m è negativo, anche ᎏᎏ è negatix vo: i punti della retta hanno coordinate discordi. Ciò significa che la retta appartiene al secondo e quarto quadrante (figura 6).

Figura 6 A coefficien1 te maggiore, ossia ⴚ ᎏᎏ , 2 corrisponde angolo maggiore, cioè ␤. 䉳

y = −3x

y

β

1 y = − —x 2

Inoltre, nel semipiano di ordinate positive la retta forma con la semiretta positiva dell’asse x un angolo ottuso.

䉲

α O

y

x

■ Le equazioni degli assi cartesiani

( 1; 0) O (0; 0) (2; 0) x

a

Consideriamo i punti (⫺ 1; 0), (0; 0), (2; 0)... (figura 7a).

y (0; 2)

Essi, come tutti gli altri punti dell’asse x, godono della stessa proprietà: la loro ordinata è 0. Assumiamo allora come equazione dell’asse x l’uguaglianza y ⫽ 0. In modo analogo si ragiona per l’asse y, i cui punti hanno tutti ascissa 0 (figura 7b).

Figura 7

O (0; 0)

x

(0; 1)

b

513

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

PROPRIETÀ

Le equazioni degli assi

y

L’equazione dell’asse x è y ⫽ 0. L’equazione dell’asse y è x ⫽ 0.

y=0

y

x=0

y=0 O

x

O

x

L’equazione dell’asse x può essere vista come caso particolare dell’equazione y ⫽ mx, quando m ⫽ 0, mentre quella dell’asse y, come abbiamo già notato, non è del tipo y ⫽ mx.

4. L’equazione generale della retta

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V27b

Figura 8

䉲

I punti (⫺ 1; 3), (0; 3), (2; 3)... (figura 8a) appartengono a una retta parallela all’asse x e, come tutti gli altri punti di questa retta, godono della stessa proprietà: hanno l’ordinata uguale a 3. Per questo l’equazione della retta è y ⫽ 3.

y (–1; 3)

(0; 3)

(2; 3)

3 y=3

–1 O

x

2

■ L’equazione di una retta parallela a un asse

a

Analogamente, i punti (2; ⫺ 1), (2; 0), (2; 3)... (figura 8b) appartengono a una retta parallela all’asse y. Essi hanno l’ascissa uguale a 2, come tutti i punti della retta a cui appartengono. Questo ci fa capire che l’equazione della retta è x ⫽ 2. In generale vale la seguente proprietà.

y

PROPRIETÀ (2; 3)

3 x=2 O –1

(2; 0) x 2 (2; –1)

b

◗ Le lettere h e k indicano un qualunque valore reale. Al variare di k otteniamo tutte le rette parallele all’asse x, compreso l’asse x stesso per k ⫽ 0. Al variare di h, otteniamo tutte le rette parallele all’asse y. Per h ⫽ 0 l’equazione è quella dell’asse y.

514

Equazione di una retta parallela a un asse L’equazione di una retta parallela all’asse x è y ⫽ k. L’equazione di una retta parallela all’asse y è x ⫽ h.

y

y=k

y

x=h

y=k O

x

O

x

■ La forma esplicita y ⴝ mx ⴙ q Consideriamo la retta r passante per l’origine e di equazione y ⫽ 2x. Scegliamo su tale retta i due punti O (0; 0) e A(1; 2). Aumentando di 3 l’ordinata dei due punti, otteniamo i punti Q (0; 3) e B (1; 5).

Paragrafo 4. L’equazione generale della retta

䉳

y 5 Q 3 2

B

y 5

r

s B

TEORIA

Figura 9

r

Q 3 2

A

A

O

O 1

x

2

1

x

4 a. O (0; 0) e A (1; 2) sono punti della retta r ; l‘ordinata di Q è 3, l’ordinata di B è 5. Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma.

b. La retta s passante per Q e B è parallela alla retta r.

Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma, perché ha i lati opposti OQ e AB congruenti e paralleli; quindi la retta s passante per B e Q risulta parallela alla retta r. Le coordinate dei punti Q e B soddisfano l’equazione

◗ Una condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogramma è che abbia due lati opposti paralleli e congruenti.

y ⫽ 2x ⫹ 3. Se aumentiamo sempre di 3 l’ordinata di un qualsiasi altro punto di r , per esempio (⫺ 2; ⫺ 4), otteniamo il punto (⫺ 2; ⫺ 1) che appartiene alla retta s, perché le sue coordinate soddisfano l’equazione y ⫽ 2x ⫹ 3. In generale, data una retta passante per l’origine di equazione y ⫽ mx, una retta a essa parallela passante per il punto (0; q ) ha equazione y ⫽ mx ⫹ q . Viceversa, una retta qualsiasi del piano, che intersechi l’asse y nel punto di ordinata q, può essere associata a un’equazione del tipo y ⫽ mx ⫹ q. Tale equazione viene chiamata equazione esplicita della retta. PROPRIETÀ

Forma esplicita y ⴝ mx ⴙ q Ogni retta del piano, purché non parallela all’asse y, è rappresentata da un’equazione del tipo y ⫽ mx ⫹ q .

y q

O

y = mx + q y = mx

◗ L’aggettivo «esplicita» sottointende «rispetto alla variabile y» e significa che nell’equazione è messa in evidenza y in funzione di x.

x

Il coefficiente q si chiama termine noto oppure ordinata all’origine, perché rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. Il coefficiente m è detto, anche in questo caso, coefficiente angolare.

515

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

Due casi particolari 䉴

Figura 10 caso m = 0

caso q = 0

y y=q

y = mx

m

q O

y

x

a. Se nell‘equazione y = mx + q poniamo m = 0, otteniamo y = q, ossia l’equazione di una retta parallela all’asse x.

O

1

x

b. Se nell‘equazione y = mx + q poniamo q = 0, otteniamo y = mx, ossia l’equazione di una retta passante per l’origine.

■ L’equazione della retta in forma implicita L’equazione esplicita y ⫽ mx ⫹ q può rappresentare tutte le rette del piano, tranne l’asse y e le rette parallele a esso. Infatti non esistono valori di m e di q che, sostituiti nell’equazione, ci forniscano equazioni del tipo x ⫽ 0 oppure x ⫽ k. Un’equazione che rappresenti tutte le possibili rette del piano è della forma: ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0, dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli). In questo caso, si dice che l’equazione della retta è in forma implicita, nel senso che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in funzione dell’altra. PROPRIETÀ

Equazione generale della retta Ogni retta del piano è rappresentata da un’equazione lineare del tipo ax ⴙ by ⴙ c ⴝ 0, dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli). La forma implicita comprende tutti i casi già esaminati.

■ Dalla forma implicita alla forma esplicita È possibile trasformare un’equazione scritta in forma implicita nella sua equivalente scritta in forma esplicita ricavando y (purché sia b ⫽ 0): a c y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ . b b

a c Osserviamo che il coefficiente angolare è m⫽⫺ ᎏ e il termine noto è q⫽⫺ ᎏ . b b ESEMPIO

Scriviamo in forma esplicita l’equazione 6x ⫺ 2y ⫹ 1 ⫽ 0.

516

Paragrafo 5. Il coefficiente angolare

TEORIA

Ricaviamo y: ⫺ 2y ⫽ ⫺ 6x ⫺ 1

→

2y ⫽ 6x ⫹ 1

1 Il coefficiente angolare è 3, il termine noto ᎏᎏ . 2

→

1 y ⫽ 3x ⫹ ᎏᎏ. 2

5. Il coefficiente angolare Consideriamo la retta di equazione y ⫽ 3x ⫹ 2 e tre suoi punti A(1; 5), B (2; 8) e C (3; 11). Calcoliamo il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei punti A e B: yB ⫺ yA 8⫺5 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3. 2⫺1 xB ⫺ xA Eseguiamo poi lo stesso calcolo per B e C: yC ⫺ yB 11 ⫺ 8 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3. xC ⫺ xB 3⫺2 Osserviamo che in ambedue i casi il rapporto calcolato è uguale al coefficiente angolare della retta, che è 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato scegliendo una qualsiasi altra coppia di punti appartenenti alla retta. Interpretiamo questo risultato dicendo che il coefficiente angolare dà informazioni sulla «pendenza» della retta. Osserviamo a questo proposito la figura a lato. Per andare dal punto A(1; 5) a B(2; 8) e da B a C(3; 11) possiamo spostarci prima verso destra di 1 unità, poi verso l’alto di 3 unità. È come se salissimo una scala con gradini profondi 1 e alti 3, cioè alti quanto il coefficiente angolare. ESEMPIO

Consideriamo la retta di equazione y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 3 (figura 11) e i suoi due punti A(⫺ 2; 7) e B(1; 1). Osserviamo che anche in questo caso il coeffiy B ⫺ yA ciente angolare è dato dal rapporto ᎏᎏ : xB ⫺ x A yB ⫺ yA 1⫺7 ⫺6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽⫺ 2. xB ⫺ x A 1 ⫺ (⫺ 2) 3 In generale, dati due punti distinti A(xA; yA) e B(xB; yB) appartenenti alla retta di equazione y ⫽ mx ⫹ q, si può dimostrare che la formula che esprime il coefficiente angolare m in funzione delle coordinate dei due punti è: yB ⴚ yA m ⴝ ᎏᎏ. xB ⴚ xA

y 11

C y = 3x + 2

5

3

B

8

1 3

A 1

O 1 2 3

x

䉲 Figura 11 Quando l’ascissa aumenta di 1, l’ordinata aumenta di m. Poiché m ⴝ ⴚ 2, un aumento di ⴚ 2 equivale a una diminuzione di 2.

y = −2x + 3 y 1 7 A 2 1 2 1 2 B

1 −2

O

1

x

◗ Si può anche scrivere yA ⫺ yB m ⫽ ᎏᎏ, xA ⫺ xB in quanto, cambiando il segno a numeratore e a denominatore, il segno della frazione non cambia.

517

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

PROPRIETÀ

Coefficiente angolare e coordinate di due punti Il coefficiente angolare di una retta di equazione y ⫽ mx ⫹ q è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque distinti della retta.

B(xB; yB)

y yB − yA m = ——— xB − xA

A(xA; yA)

yB − yA

xB − xA

O

x

Casi particolari 1. Se due punti A e B hanno la stessa ordinata, yB ⫺ yA ⫽ 0 e yB ⫺ yA m ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0, xB ⫺ xA quindi il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse x è m ⫽ 0. 2. Se i punti A e B hanno la stessa ascissa, xB ⫺ xA ⫽ 0 e la frazione yB ⫺ yA ᎏᎏ perde di significato, quindi il coefficiente angolare di una xB ⫺ xA retta parallela all’asse y non esiste.

6. Le rette parallele e le rette perpendicolari BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V27d

■ Le rette parallele Poiché il coefficiente angolare indica la «pendenza» di una retta rispetto all’asse x, se due rette di equazioni y ⫽ mx ⫹ q e y ⫽ m′x ⫹ q′sono parallele, hanno lo stesso coefficiente angolare: m ⴝ m′.

◗ Il teorema non si applica alle rette parallele all’asse y, perché il loro coefficiente angolare non è definito.

TEOREMA

Rette parallele Due rette (non parallele all’asse y ) sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. ESEMPIO

◗ Verificalo disegnando il grafico delle rette.

518

Sono parallele le due rette di equazione: y ⫽ 2x ⫹ 4, y ⫽ 2x ⫺ 1.

Paragrafo 6. Le rette parallele e le rette perpendicolari

TEORIA

■ Le rette perpendicolari Consideriamo la retta r di equazione y ⫽ 3x e cerchiamo l’equazione della retta r ′ passante per l’origine e perpendicolare a r.

y

r

y 3

y = 3x

r

O

x r'

a. Tracciamo la retta r: y = 3x e la sua perpendicolare r' passante per l’origine.

1

Figura 12 Costruzione. r

y 3

A

A1 O

䉲

A

A1

B1 3 x r'

b. Scegliamo su r il punto A (1; 3) e chiamiamo A1 (1; 0) la sua proiezione sull’asse x. Consideriamo, ancora sull’asse x, il punto B1 (3; 0).

B1

1

O

3 x r' B c. Mandiamo da B1 la perpendicolare all’asse x. Chiamiamo B il punto di intersezione di questa retta con r'.

Si può dimostrare che i triangoli OA1A e OB1B sono congruenti e, quindi, che il punto B ha ordinata ⫺ 1. Poiché il punto B(3; ⫺ 1) appartiene alla retta r ′, passante per l’origine, il coefficiente angolare di tale retta è:

◗ Si utilizza il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

yB 1 m′ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . xB 3

1 I due coefficienti angolari m e m′ sono 3 e ⫺ ᎏᎏ , ossia sono l’uno l’oppo3 sto del reciproco dell’altro, ovvero l’uno l’antireciproco dell’altro. La proprietà di essere l’uno l’antireciproco dell’altro lega i coefficienti angolari di tutte le coppie di rette passanti per l’origine e perpendicolari fra loro. Se m è il coefficiente angolare della retta r, m′ quello della retta r ′ e le rette r e r ′ sono perpendicolari, allora vale la relazione: 1 m′ ⴝ ⴚ ᎏᎏ m

oppure

◗ Per dimostrarlo, basta applicare lo stesso procedimento dell’esempio precedente alla retta generica di equazione y ⫽ mx.

m ⭈ m′ ⴝ ⴚ 1.

Si può anche dimostrare che, viceversa, se due rette hanno coefficienti angolari legati dalla relazione m ⭈ m ′ ⫽ ⫺ 1, allora sono perpendicolari. Questa relazione vale anche se le rette r e r ′ non passano per l’origine. In tal caso, infatti, ci possiamo ricollegare al caso di rette per l’origine come segue: consideriamo le rette s e s′ per l’origine e parallele rispettivamente a r e r ′. È chiaro che r e r ′ sono perpendicolari se e solo se s e s′ lo sono. 1 Se r ha equazione y ⫽ mx ⫹ q e r ′ ha equazione y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ q ′, allora m 1 s ha equazione y ⫽ mx e s′ ha equazione y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x. Poiché s è perpenm dicolare a s′, anche r è perpendicolare a r ′.

y r' s' O

x

s

r

519

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

Vale dunque il seguente teorema. ◗ Il teorema non si applica alle rette parallele agli assi, poiché per le rette parallele all’asse y il coefficiente angolare non è definito.

TEOREMA

Rette perpendicolari Due rette (non parallele agli assi) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a ⫺ 1.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Lo dimostro io!

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari che sono uno l’antireciproco dell’altro. GIULIO: CARLA: GIULIO:

«Ho pensato una dimostrazione tutta mia!». «Guarda che in geometria analitica si calcola e non si dimostra!». «Non è vero: partiamo dal fatto che l’asse di un segmento è perpendicolare al segmento. E che ogni suo punto è equidistante dagli estremi del segmento».

䉴 Considera un segmento di generici estremi A(xA; yA) e B(xB; yB) e un punto P(x; y) sull’asse di AB. Applica la formula della distanza fra due punti un paio di volte…

7. I fasci di rette ■ Il fascio improprio Consideriamo una retta r del piano: l’insieme formato da r e da tutte le rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a r. ESEMPIO 䉴 Figura 13 Ogni retta del fascio è parallela alla retta base, passante per l’origine, y ⴝ 2x. A seconda del valore di q cambia l’intersezione della retta con l’asse y.

L’equazione

fascio improprio di equazione y = 2x + q y

y ⫽ 2x ⫹ q rappresenta, al variare di q, tutte le rette del piano che hanno coefficiente angolare 2, cioè è l’equazione di un fascio improprio di rette.

3

O

−4

x

Se q ⫽ 0, abbiamo la retta del fascio passante per l’origine: y ⫽ 2x.

Per disegnare altre rette del fascio basta attribuire dei valori a q e sostituirli, di volta in volta, nell’equazione del fascio: per q ⫽ 3 abbiamo la retta y ⫽ 2x ⫹ 3, per q ⫽ ⫺ 4 la retta y ⫽ 2x ⫺ 4 ecc.

520

Paragrafo 7. I fasci di rette

TEORIA

■ Il fascio proprio L’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P si chiama fascio proprio di rette per P. Il punto P comune a tutte le rette del fascio si chiama centro del fascio. ESEMPIO

Determiniamo l’equazione del fascio di rette di centro P (4; 3). Se una retta generica y ⫽ mx ⫹ q deve passare per P, occorre che le coordinate di P soddisfino l’equazione, ossia: 3 ⫽ m ⭈ 4 ⫹ q. Ricaviamo q : q ⫽ 3 ⫺ m ⭈ 4. Sostituendo tale espressione a q nell’equazione generica, otteniamo: y ⫽ mx ⫹ 3 ⫺ 4m. Così facendo, abbiamo ottenuto l’equazione in forma esplicita di una generica retta del fascio. Tuttavia la riscriviamo come segue:

y 11

fascio proprio di equazione y − 3 = m (x − 4) m=1

y ⫺ 3 ⫽ m(x ⫺ 4) per mettere in evidenza, nell’equazione, le coordinate (4; 3) del centro. Abbiamo trovato l’equazione del fascio di rette di centro P (4; 3). Per ogni valore reale che attribuiamo a m otteniamo una retta del fascio: ● ● ●

P

䉳 Figura 14 Nel fascio di rette y ⴚ 3 ⴝ m(x ⴚ 4), al variare di m otteniamo tutte le rette che passano per P(4; 3), tranne quella parallela all’asse y, perché per essa non c’è un corrispondente valore di m.

m=0

3 O −1

∃/ m

x

4 m = −2

per m ⫽ 1 abbiamo la retta y ⫺ 3 ⫽ x ⫺ 4, cioè y ⫽ x ⫺ 1; per m ⫽ ⫺ 2 la retta y ⫺ 3 ⫽ ⫺ 2x ⫹ 8, cioè y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 11; per m ⫽ 0 la parallela all’asse x, y ⫽ 3 e così via.

L’equazione della parallela all’asse y è x ⫽ 4, ma non esiste alcun valore di m che, sostituito nell’equazione del fascio, fornisca tale equazione. Pertanto, per avere tutte le rette del fascio proprio per P, dobbiamo aggiungere all’equazione del fascio l’equazione della parallela all’asse y per P: y ⫺ 3 ⫽ m(x ⫺ 4) (rette non parallele all’asse y ); x ⫽4

(retta parallela all’asse y).

In generale, dato un punto P di coordinate (x 1; y 1), il fascio di rette di centro P ha equazione: y ⴚ y1 ⴝ m(x ⴚ x1).

521

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

Al variare di m si ottengono tutte le rette del fascio passanti per P, tranne la parallela all’asse y , che ha equazione x ⫽ x 1. Pertanto, il fascio completo è descritto dalle equazioni: con

y ⴚ y 1 ⴝ m(x ⴚ x 1 ),

e

x ⴝ x 1.

8. La retta passante per due punti

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

m 僆R

䉴 V28a

Per due punti distinti passa una e una sola retta. In geometria analitica, questo si traduce così: date le coordinate di due punti distinti del piano, è possibile determinare l’equazione dell’unica retta passante per quei punti. Consideriamo due punti generici P (x 1; y 1 ) e Q (x 2; y 2 ) e determiniamo l’equazione della retta passante per essi. 1. Poiché la retta che cerchiamo passa per il punto P, essa deve appartenere al fascio proprio di rette per P, cioè deve avere un’equazione del tipo y ⫺ y 1 ⫽ m(x ⫺ x 1 ), in cui m assume un certo valore che ora determineremo. 2. Per calcolare m, utilizziamo la formula che dà il coefficiente angolare, note le coordinate di due punti della retta: ◗ Assumiamo per ipotesi che sia: x1 ⫽ x2.

y2 ⫺ y1 m ⫽ ᎏᎏ . x2 ⫺ x1 3. Nell’equazione del fascio di rette di centro P, sostituiamo a m l’espressione ottenuta: y2 ⫺ y1 y ⫺ y 1 ⫽ ᎏᎏ (x ⫺ x 1 ). x2 ⫺ x1 4. Infine, se y1 ⫽ y2, dividendo entrambi i membri per y 2 ⫺ y 1, riscriviamo tale formula nella seguente forma: y ⴚ y1 x ⴚ x1 ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ. y2 ⴚ y1 x2 ⴚ x1 Questa è l’equazione della retta passante per i punti dati.

B

y

ESEMPIO

6

Applichiamo la formula appena ricavata per determinare l’equazione della retta passante per A (2; ⫺ 5) e B (⫺ 4; 6): O2

4 5

x A

y⫹5 x⫺2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 6⫹5 ⫺4⫺2 →

→

⫺ 6y ⫺ 30 ⫽ 11x ⫺ 22

y⫹5 x⫺2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 11 ⫺6 →

6y ⫽ ⫺ 11x ⫺ 8.

11 4 L’equazione cercata è quindi: y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ . 6 3

522

→

Paragrafo 9. La distanza di un punto da una retta

y ⫺ y1 x ⫺ x1 Osservazione. Non si applica la formula ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ quando y2 ⫺ y1 x2 ⫺ x1 ●

x 1 ⫽ x 2 : l’equazione della retta si ottiene ponendo x ⫽ x 1;

●

y 1 ⫽ y 2 : l’equazione della retta si ottiene ponendo y ⫽ y 1.

TEORIA

◗ Per esempio, dati i punti A(1; 3), B(1; ⫺5), l’equazione della retta passante per i punti dati è x ⫽ 1. Se A(3; ⫺2) e B(⫺7; ⫺2), l’equazione è y ⫽ ⫺ 2.

9. La distanza di un punto da una retta Mandiamo da un punto P la perpendicolare a una retta r. Chiamiamo H il punto di intersezione fra la retta stessa e la perpendicolare. La misura del segmento di perpendicolare PH è la distanza del punto P dalla retta r (figura 15).

䉲

Figura 15 P r

ESEMPIO

H

Dato il punto P (2; 3) calcoliamo la sua distanza PH dalla retta di equazione 4x ⫹ 3y ⫺ 5 ⫽ 0 (figura 16). Tracciamo da P le parallele agli assi fino a incontrare la retta data nei y punti A e B. Individuiamo così il A (–1; 3) P (2; 3) triangolo rettangolo APB, di cui PH è l’altezza relativa all’ipotenusa. H Il punto A ha la stessa ordinata di P. x Sostituendola nell’equazione della B (2; –1) retta, possiamo determinare la sua ascissa: 4x ⫹3(3)⫺5⫽0, da cui x ⫽⫺1. In modo analogo, poiché l’ascissa di B è uguale a quella di P, si può ricavare l’ordinata di B, che è ⫺1. Otteniamo quindi: A(⫺1; 3), B (2; ⫺1). Il doppio dell’area di APB si può ottenere moltiplicando le misure dei due cateti AP e PB. Se dividiamo poi per la misura dell’ipotenusa AB, otteniamo l’altezza PH relativa all’ipotenusa, ossia la misura cercata: 苶 P苶 A⭈苶 P苶 B 3⭈4 12 苶 PH 苶 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . A B 5 5 苶苶

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉳

䉴 V28b

Figura 16

◗ La misura di AB si calcola con la formula della distanza fra due punti: 苶苶 B⫽ A ⫽ 兹(苶⫺ 苶苶⫺ 1苶2 苶)苶2苶(3 ⫹苶苶 ⫹苶) 1苶2 ⫽ 兹9 苶⫹ 苶苶6 1苶 ⫽ 兹25 苶 ⫽ 5.

In generale, si può dimostrare (con calcoli che omettiamo perché troppo laboriosi) che la distanza di un punto P (x0; y0) da una retta di equazione ax ⴙ by ⴙ c ⴝ 0 è data dalla formula: 兩 ax0 ⴙ by0 ⴙ c兩 d ⴝ ᎏᎏ . ⴙ苶 兹a 苶2苶 b2苶 ESEMPIO

La distanza del punto P (2; 3) dalla retta di equazione 4x ⫹ 3y ⫺ 5 ⫽ 0 risulta: 12 兩4 ⭈ 2 ⫹ 3 ⭈ 3 ⫺ 5兩 兩8 ⫹ 9 ⫺ 5兩 d ⫽ ᎏ2 ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 兹4苶苶 ⫹苶3苶 兹苶 25 5

◗ Calcoliamo la distanza già determinata nell’esempio precedente usando la formula appena enunciata.

523

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

TEORIA

Discesa pericolosa …che cosa indica questo segnale stradale?

In un qualunque manuale di scuola guida troviamo questo cartello: si tratta di un segnale che indica discesa pericolosa, e il codice della strada consiglia di rallentare l’andatura. Possiamo chiederci: di quanto scenderà la strada? Il valore indicato nel cartello rappresenta la misura della pendenza della carreggiata rispetto a un piano orizzontale. Tale pendenza è calcolata come rapporto percentuale tra il dislivello e l’avanzamento orizzontale corrispondente. In particolare, il valore 15% indica che la strada si abbassa di 15 m mentre si procede orizzontalmente per 100 m. 15 m

ripida. In una rampa del 10%, ogni 100 m che si percorrono in orizzontale, si sale di 10 m. Si può interpretare il concetto di pendenza secondo la geometria analitica del piano cartesiano. Se facciamo coincidere l’asse delle ascisse con un piano orizzontale, la direzione della strada può essere rappresentata da una retta. Il valore assoluto del coefficiente angolare di tale retta costituisce così la pendenza della carreggiata. In particolare, la discesa del 15% del cartello stradale è raffigurata dalla retta di equazione 15 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x. Il valore assoluto 100 del coefficiente angolare, cioè 15 ᎏᎏ , dà la misura della pen100 denza della discesa. y

100 m

Dal punto di vista geometrico la pendenza è il rapporto tra i cateti del triangolo rettangolo che ha come ipotenusa la strada. Si utilizza la stessa definizione di pendenza quando si ha a che fare con una carreggiata in salita, per la quale esiste il cartello corrispondente, salita

–䊳 Il quesito completo a pag. 507

15 x y = – ––– 100

15%

O

Viceversa, una salita del 10% è rappresentata dalla retta 10 y ⫽ ᎏᎏ x. 100

x

Notiamo che una salita del 100% non è quindi una parete verticale, come si potrebbe pensare, ma è inclinata rispetto all’asse delle ascisse come una retta di 100 coefficiente angolare ᎏᎏ , 100 cioè 1. Una retta di questo tipo è y ⫽ x, ovvero la bisettrice del primo e del terzo quadrante: la salita del 100% è quindi inclinata di 45° rispetto all’orizzonte. Dal punto di vista pratico, nella collocazione di un segnale di salita ripida o di discesa pericolosa, gli uffici competenti alla manutenzione delle strade eseguono il calcolo della pendenza misurando il dislivello (cateto verticale) tramite un altimetro. La misura dell’avanzamento orizzontale (cateto orizzontale) è compiuta indirettamente su carta topografica o spesso viene sostituita con la misura della lunghezza della strada stessa (ipotenusa). L’errore che si compie è trascurabile, tenendo conto che generalmente le pendenze stradali sono inferiori al 20%. Per tale pendenza, infatti, se il cateto orizzontale è 100 m, l’ipotenusa vale circa 102 m (teorema di Pitagora).

LA TORRE DI PISA Nel 1173 iniziò la costruzione della torre di Pisa. Nell’arco dei secoli questo edificio ha subìto una progressiva inclinazione, inizialmente verso nord e successivamente verso sud. È possibile compiere una misura approssimata dell’inclinazione della torre sapendo che la sua settima cornice sporge di circa 3,8 m rispetto alla prima e che il dislivello di tali cornici, misurato con un altimetro, è di 41,5 m. La pendenza rispetto al piano orizzontale è quindi: 41,5 p ⫽ ᎏᎏ ⯝ 10,92 ⫽ 1092%. 3,8 Questo valore non è molto significativo. Nel caso di una torre è preferibile calcolare la pendenza rispetto all’asse verticale. Per la torre di Pisa si ha: 3,8 pv ⫽ ᎏᎏ ⯝ 0,092 ⫽ 9,2%. 41,5

524

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

Il piano cartesiano e la retta 1. Le coordinate di un punto su un piano Il piano cartesiano è suddiviso dai due assi in quattro angoli retti chiamati quadranti. Ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri reali, detti coordinate. La prima coordinata si chiama ascissa e la seconda ordinata. L’origine O degli assi ha coordinate (0; 0).

II quadrante

y

2. I segmenti nel piano cartesiano La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) è data da: 2 2 苶苶 B ⫽ 兹(x 苶苶B 苶 ⫺苶xA苶)苶⫹ 苶苶y (苶苶⫺ yA苶)苶. A B 苶苶

Il punto medio del segmento AB è M(xM; yM) con: xA ⫹ xB xM ⫽ ᎏᎏ , 2

asse delle ordinate y

I quadrante coordinate

B 1 O (0; 0)

4 7 — 2 3

A (3; 2) ordinata ascissa

2

3

A

x asse delle ascisse

IV quadrante

Il punto B (–3; 0) sta sull’asse x, il punto C (0; 5) sta sull’asse y.

M

2 1

−1 III quadrante

B

5

5 C

−3

yA ⫹ yB yM ⫽ ᎏᎏ . 2

––

AB =

O

1

2

[3 − (−1)]2 + (5 − 2)2 √ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

=

x

3 2 2 4 +3 √ ⎯⎯⎯⎯

=5

7 perché x = ——– 3 − 1 = 1 e y = ——– 5+2 =— 7 M (1; —) M M 2 2 2 2

3. L’equazione di una retta passante per l’origine Una retta passante per l’origine, purché diversa dall’asse y, ha equazione y ⫽ mx, mentre l’asse y ha equazione x ⫽ 0. Il numero m dell’equazione y ⫽ mx è chiamato coefficiente angolare. In particolare: ● ● ●

se m ⫽ 0, otteniamo y ⫽ 0 (equazione dell’asse x); se m ⫽ 1, otteniamo y ⫽ x (equazione della bisettrice del I e III quadrante); se m ⫽ ⫺1, otteniamo y ⫽ ⫺x (equazione della bisettrice del II e IV quadrante).

y y = −x

x=0 y=x

1

y=0 −1

O

1

x

525

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

4. L’equazione generale della retta

5. Il coefficiente angolare

L’equazione generale di una retta è del tipo:

Il coefficiente angolare è dato dal rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti P(x1; y1) e Q(x2; y2 ) di una retta:

ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0

(forma implicita).

Se un punto appartiene a una retta, le sue coordinate soddisfano l’equazione della retta. Se una retta non è parallela all’asse y, l’equazione può essere scritta nella forma: (forma esplicita),

y ⫽ mx ⫹ q

in cui m è il coefficiente angolare e q è il termine noto. y

y2 ⫺ y1 m ⫽ ᎏᎏ . x 2 ⫺ x1 A seconda che il valore di m sia positivo o negativo, la retta forma col semiasse positivo delle x un angolo acuto oppure ottuso; se m ⫽ 0 la retta è parallela all’asse x. Il coefficiente angolare m non esiste se la retta forma un angolo retto con l’asse x; in tal caso la retta è parallela all’asse y.

4

ESEMPIO P(1; 4), Q(2; 6)

3

6⫺4 m ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2, 2⫺1

2 1

la retta passante per P e Q forma un angolo acuto col semiasse positivo delle x.

1 O

1

2

3

4

m ⬎ 0,

x

2

6. Le rette parallele e le rette perpendicolari

Forma implicita: 2x + y − 4 = 0 Forma esplicita: y = −2x + 4 coefficiente angolare

Due rette di equazioni y ⫽mx ⫹ q e y ⫽ m′x ⫹ q′ sono fra loro:

termine noto

Se una retta è parallela all’asse y, ha equazione del tipo

●

x ⫽ k. ●

Casi particolari della forma y ⫽ mx ⫹ q: q ⫽ 0 → y ⫽ mx (la retta passa per l’origine); m ⫽ 0 → y ⫽ q (la retta è parallela all’asse x);

y

q ⫽ 0 e m ⫽ 0 → y ⫽ 0 (la retta è l’asse x). x = −4

y = 2x + 5 y = 2x − 1

5 4

y

3 y = 2 (m = 0)

2

2 1

1 −4 −3 −2 −1 O

526

parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè m ⫽ m′; perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a ⫺ 1, cioè m ⭈ m′ ⫽ ⫺ 1.

1

x

O −1

1

1 +2 y = − —x 2

x

Paragrafo 1. Le coordinate di un punto

ESERCIZI

7. I fasci di rette

8. La retta passante per due punti

Data la retta r di equazione y ⫽ 2x ⫺ 1, l’insieme formato da r e da tutte le rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a r e ha equazione:

L’equazione della retta passante per due punti P(x1; y1) e Q(x2; y2) è: y ⫺ y1 x ⫺ x1 ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ . y2 ⫺ y1 x2 ⫺ x1

y ⫽ 2x ⫹ q. L’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso punto P(x1; y1) si chiama fascio proprio di rette e ha equazione: y ⫺ y1 ⫽ m(x ⫺ x1) 傼 x ⫽ x1.

Se y1 ⫽ y2, allora l’equazione è y ⫽ y1; se x1 ⫽ x2, allora l’equazione è x ⫽ x1.

9. La distanza di un punto da una retta

Il punto P è il centro del fascio. y 3

La distanza di un punto P(x0; y0) da una retta r di equazione ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0 è data dalla misura del segmento che ha per estremi il punto P e il piede della perpendicolare a r passante per P. Tale misura d si calcola come segue:

P

2 1 O

x

2

兩ax0 ⫹ by0 ⫹ c兩 d ⫽ ᎏᎏ . 兹a苶2苶 ⫹苶b2苶

fascio proprio di centro P(2; 3) y − 3 = m(x − 2) ∪ x = 2

–䊳

1. Le coordinate di un punto 1

Scrivi le coordinate dei punti indicati in ogni figura. y

y

y

D C

a

O O 1

A

A

AB

O 1 C

x

b

y M L I

B

B

2

Teoria a pag. 507

G

A

H

B

C O 1

x

D

F

O 1

x

C

x

E

c

D

E

d

G

F

D

Indica in quale quadrante può trovarsi un punto se: a) l’ascissa è negativa e l’ordinata positiva; b) le sue coordinate sono entrambe positive; c) le sue coordinate sono tali che xy ⬎ 0; d) le sue coordinate sono tali che xy ⬍ 0; e) le sue coordinate sono entrambe nulle; f) l’ascissa è uguale all’ordinata; g) il prodotto delle coordinate è nullo.

527

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

–䊳

2. I segmenti nel piano cartesiano

Teoria a pag. 508

■ La distanza fra due punti ESERCIZIO GUIDA

3

Calcoliamo le distanze A 苶苶B, A 苶C 苶eB 苶C 苶 fra i punti disegnati in figura.

y A

Le coordinate dei punti disegnati sono: A(⫺ 2; 1), B (⫺ 2; ⫺ 5), C(3; 1).

C

1 O

2

x

3

苶苶 B Calcoliamo A A(⫺ 2; 1) e B (⫺ 2; ⫺ 5) si trovano su una stessa retta verticale, infatti hanno la stessa ascissa. La loro distanza è data quindi dal valore assoluto della differenza delle ordinate: 5

B

苶苶 B ⫽ 兩y A ⫺ y B 兩 ⫽ 兩1 ⫺ (⫺ 5)兩 ⫽ 兩6兩 ⫽ 6. A Osserviamo che avremmo trovato lo stesso risultato sottraendo le ordinate in ordine inverso:

Calcoliamo 苶 BC 苶 I punti B (⫺ 2; ⫺ 5) e C(3; 1) non sono allineati né lungo una retta orizzontale, né lungo una retta verticale. Applichiamo allora la formula generale della distanza fra due punti:

苶苶 B ⫽ 兩y B ⫺ y A 兩 ⫽ 兩(⫺ 5) ⫺ 1兩 ⫽ 兩⫺ 6兩 ⫽ 6. A

苶苶 C Calcoliamo A A(⫺ 2; 1) e C (3; 1) si trovano su una stessa retta orizzontale, infatti hanno la stessa ordinata. La loro distanza è data quindi dal valore assoluto della differenza fra le ascisse:

苶 苶 ⫽ 兹(x 苶B苶⫺ 苶苶xC苶)苶2苶 ⫹苶y (苶B苶 ⫺苶yC苶)苶2 ⫽ BC 苶苶2苶 ⫺苶) 3苶2苶 ⫹苶⫺ (苶苶5苶 ⫺苶) 1苶2 ⫽ ⫽ 兹(⫺ ⫽ 兹(⫺ 苶苶) 5苶2苶 ⫹苶⫺ (苶苶) 6苶2 ⫽ 兹25 苶苶 ⫹苶6 3苶 ⫽ 兹61 苶 ⯝ 7,8.

A 苶苶 C ⫽ 兩x A ⫺ x C兩 ⫽ 兩⫺ 2 ⫺ 3兩 ⫽ 兩⫺ 5兩 ⫽ 5.

Calcola le distanze indicate fra i punti disegnati in ogni figura. 4

A

y

y C

O

D

a

C

A

B

1

y

B

1

x

1

O

x

1

E

E

1

A

O

C

B

1

D

D

––– ––– ––– ––– ––– AB, BC, DE, AD, CE

––– ––– ––– ––– ––– AC, OB, OC, OD, OE

b

––– ––– ––– ––– ––– AC, BC, BD, AD, DC

c

Calcola la distanza fra i punti indicati. 5

A(2; 4),

B (2; 7).

7

2 A ⫺ 4; ᎏᎏ , 3

6

A(⫺ 1; 3),

B (4; 3).

8

A (⫺ 3; ⫺ 4),

528

冢

冣

5 B ⫺ 4; ᎏᎏ . 2 1 B ᎏᎏ ; ⫺ 4 . 3

冢 冢

冣 冣

9

A(⫺ 4; 0),

10 A(2; 5),

B (6; 0). B (3; 7).

x

Paragrafo 2. I segmenti nel piano cartesiano

ESERCIZI

11 Determina il perimetro del triangolo i cui vertici sono A(⫺ 3; 2), B (0; 2), C (0; ⫺ 2).

[12]

12 Determina il perimetro del quadrilatero i cui vertici sono A(⫺ 6; ⫺ 10), B(⫺ 6; 11), C(⫺ 3; 15), D (9; 10). [64] 3 13 Verifica che il triangolo di vertici A(2; 2), B 6; ᎏᎏ , C(4; 5) è isoscele. 2

冢 冣

[sì]

14 Verifica se il triangolo ABC di vertici A (⫺ 2; 3), B (4; 5), C(3; ⫺ 2) è isoscele.

15 Verifica se il triangolo ABC di vertici A (1; ⫺ 2), B (⫺ 1; 2), C (⫺ 1; ⫺ 3) è un triangolo rettangolo (è sufficiente verificare se le misure dei lati soddisfano il teorema di Pitagora). [sì] 18

冤P 冢ᎏ5ᎏ; 0冣冥 5 5 Determina il punto P che ha ordinata uguale all’ascissa ed è equidistante da A(⫺ 3; 1) e B (4; 3). 冤P 冢ᎏᎏ; ᎏᎏ冣冥 6 6

16 Determina il punto P sull’asse x equidistante da A(⫺ 1; 2) e da B(4; 5). 17

■ L’area di triangoli e poligoni ESERCIZIO GUIDA

18 Determiniamo l’area del triangolo di vertici y 5

A (2; 1), B (5; 3),

y 5

C

C(3; 5). y 5

C

L

C T1

B

3

1 O

1

A 2

5

3

B

3

x

a. Disegniamo il triangolo ABC nel piano cartesiano.

O

1 3

5

b. Tracciamo le parallele all’asse x passanti per A e per C.

Calcoliamo l’area A(AHKL) del rettangolo AHKL (figura c):

O

x

T3 A 2

H 3

5

x

Calcoliamo l’area di T1:

苶H 苶⭈H 苶K 苶 A(AHKL) ⫽ A A苶H 苶 ⫽ 兩5 ⫺ 2兩 ⫽ 3,

LC 苶苶 ⫽ 兩3 ⫺ 2兩 ⫽ 1,

A ⫽ 3 ⭈ 4 ⫽ 12.

B

c. Tracciamo le parallele all’asse y passanti per A e per B. Le quattro parallele, incontrandosi, determinano un rettangolo AHKL. Il rettangolo è formato dal triangolo ABC e dai triangoli rettangoli T1, T2, T3. Quindi possiamo determinare l’area del triangolo ABC sottraendo all’area del rettangolo l’area dei tre triangoli T1, T2, T3.

苶C L 苶⭈L 苶A 苶 A T1 ⫽ ᎏᎏ 2

H 苶K 苶 ⫽ 兩5 ⫺ 1兩 ⫽ 4

T2

3

A 2

K

LA 苶苶 ⫽ 兩5 ⫺ 1兩 ⫽ 4

1⭈4 A T1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2. 2

529

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

AH 苶苶 ⫽ 兩2 ⫺ 5兩 ⫽ 兩⫺ 3兩 ⫽ 3,

Calcoliamo l’area di T2 : 苶K C 苶⭈K 苶B 苶 A T 2 ⫽ ᎏᎏ 2 C 苶苶 K ⫽ 兩5 ⫺ 3兩 ⫽ 2,

3 ⭈ Ⲑ2 AT3 ⫽ ᎏ ⫽ 3. Ⲑ2

K 苶苶 B ⫽ 兩5 ⫺ 3兩 ⫽ 2

Calcoliamo l’area del triangolo ABC:

⶿2 ⭈ 2 ⫽ 2. AT2 ⫽ ᎏ 2⶿

A (ABC) ⫽ A(AHKL) ⫺ (AT 1 ⫹ AT 2 ⫹ AT 3), ossia

Calcoliamo l’area di T 3 : AT3

A (ABC) ⫽ 12 ⫺ (2 ⫹ 2 ⫹ 3) ⫽ 12 ⫺ 7 ⫽ 5.

AH 苶 苶⭈苶 BH 苶 ⫽ ᎏᎏ 2

Calcola l’area dei triangoli che hanno i vertici indicati. 19 A(10; 0), 3 20 A ⫺ 4; ᎏᎏ , 2

冢

21 22 23

冣

BH 苶苶 ⫽ 兩3 ⫺ 1兩 ⫽ 2

Negli esercizi seguenti, dato il poligono che ha per vertici i punti indicati, determina la misura della sua area.

B (2; 3),

O(0; 0).

3 B 6; ᎏᎏ , 2

C(0; ⫺ 5).

24 A (1; 1),

B(5; 0),

C(4; 4),

D(2; 5).

C(7; ⫺ 9).

25 A (3; ⫺ 3),

B(6; ⫺ 2),

C(4; 4),

D(1; 3).

26 A (2; 0),

B(6; ⫺ 2),

C(10; 1),

D(10; 4),

冢 冣 5 A(⫺ 11; ⫺ 3), B 冢⫺ 11; ᎏᎏ冣, 3 1 9 B 冢5; ᎏᎏ冣, A 冢5; ⫺ ᎏᎏ冣, 2 2 3 3 A 冢ᎏᎏ ; ⫺ 4冣, B 冢ᎏᎏ ; 6冣, 2 2

C(⫺ 8; ⫺ 5). C(⫺ 10; ⫺ 5).

E (6; 6),

F(2; 4).

■ Il punto medio di un segmento ESERCIZIO GUIDA

27 Calcoliamo le coordinate del punto medio del segmento di estremi A (⫺ 3; ⫺ 5) e B (4; 1). Disegniamo il segmento. y

Calcoliamo l’ascissa del punto medio M, utilizzando la formula: xA ⫹ xB x M ⫽ ᎏᎏ ossia 2

1

⫺3⫹4 1 x M ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 2

3

Calcoliamo l’ordinata del punto medio, utilizzando la formula: ⫺5⫹1 ⫺4 y M ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 2. 2 2 1 Il punto medio del segmento AB è M ᎏᎏ ; ⫺ 2 . 2 yA ⫹ yB y M ⫽ ᎏᎏ 2

O 1 — 2 2 M

ossia

冣

冢

A

5

ESERCIZIO GUIDA

1 28 Conoscendo le coordinate del punto A ⫺ ᎏᎏ ; 6 e quelle del punto medio del segmento AB, 2 5 M ᎏᎏ ; ⫺ 2 , calcoliamo le coordinate di B. 2

冢

冢

530

冣

冣

B 4x

RIEPILOGO La distanza fra due punti e il punto medio

Disegniamo il segmento AM. Applichiamo le formule del punto medio: xA ⫹ xB x M ⫽ ᎏᎏ , 2

ESERCIZI

y

A

yA ⫹ yB y M ⫽ ᎏᎏ . 2

6

Sostituiamo le coordinate di M e di A: 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ x B 5 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , 2 2

6 ⫹ yB ⫺ 2 ⫽ ᎏᎏ . 2

1O −— 2

Ricaviamo x B e y B nelle due equazioni: 1 5 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ x B → 2 ⫺ 4 ⫽ ⫹ 6 ⫹ yB →

1 x B ⫽ 5 ⫹ ᎏᎏ 2 y B ⫽ ⫺ 10

−2

→ →

x

5 — 2

1

M

11 x B ⫽ ᎏᎏ , 2 y B ⫽ ⫺ 10.

11 Il punto cercato è B ᎏᎏ ; ⫺ 10 . 2

冢

冣

Determina le coordinate del punto medio M o dell’estremo incognito del segmento AB. 29 A(4; ⫺ 7),

B (8; ⫺ 7).

1 34 A ᎏᎏ ; ⫺ 5 , 2

B (3; 2).

30 A(⫺ 3; 2),

B (⫺ 3; ⫺ 8).

35 B (⫺ 2; ⫺ 5),

M(1; 3).

31 A(2; 4),

M(5; 7).

36 A(2; 7),

B (6; ⫺ 3).

32 A(⫺ 1; 3),

B (3; 7).

8 8 37 B ᎏᎏ ; ᎏᎏ , 5 5 2 1 38 A ᎏᎏ ; ᎏᎏ , 3 3

1 33 A ⫺ ᎏᎏ ; 3 , 2

冢

冣

冢

冢 冢

3 M ᎏᎏ ; 2 . 2

冢

冣

冣

冣 冣

M(0; 0). 1 1 B ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ . 3 3

冢

冣

39 Nel triangolo ABC, di vertici A (⫺ 2; 4), B (0; 2), C(4; 6), determina i punti medi dei lati e la misura delle [(⫺ 1; 3), (2; 4), (1; 5); 兹34 苶, 4, 兹10 苶] mediane.

RIEPILOGO

LA DISTANZA FRA DUE PUNTI E IL PUNTO MEDIO

40 Determina sull’asse y il punto equidistante dai due punti A (⫺3; 2) e B (⫺1; 3).

3

冤冢0; ⫺ ᎏ2ᎏ冣冥

41 Verifica che il quadrilatero di vertici A(⫺3; ⫺4), B (10; ⫺4), C (15; 8), D (2; 8) è un rombo. Determina la misura dell’area. [156] 1 42 Verifica che il triangolo di vertici A(⫺ 2; ⫺3), B 3; ⫺ ᎏᎏ , C(⫺8; 9) è rettangolo e poi verifica che la 2 mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa.

冢

冣

43 Verifica se il quadrilatero di vertici consecutivi I (⫺ 2; 3), L(1; ⫺2), M (6; 1), N(3; 6) è un rettangolo.

531

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

苶苶 B sia uguale a 44 Considerati i punti A(⫺2a; ⫺1) e B(a ⫺5; ⫺1), con a ⬎ 0, determina a in modo che la distanza A 7. Determina poi il punto C di ascissa 5, tale che l’area del triangolo ABC misuri 35. [a ⫽ 4; C 1(5; 9), C2 (5; ⫺11)] 45 Il quadrilatero di vertici A(2; 1), B(6; 5), C(4; 7), D(0; 3) è un rettangolo. Trova i punti medi di ciascun lato, congiungili e stabilisci di che quadrilatero si tratta. Calcolane poi perimetro e area. [4兹10 苶; 8] 46 Dato il triangolo ABC con A(1; 1), B(7; 3) e C(3; 5), stabilisci che esso è isoscele sulla base AB. Dopo aver determinato i punti medi M1 e M2 dei lati obliqui, verifica che il segmento M1M2 è uguale alla metà di AB. 47 Dato il rombo di coordinate A(⫺2; ⫺2), B(11; ⫺2), C(16; 10), D(3; 10), trova il perimetro. Determina poi i [52; 3兹13 苶] punti medi di AB e BC e calcola la lunghezza del segmento che li congiunge. 48 Il quadrilatero di vertici A(⫺1; ⫺3), B(3; ⫺7), C(7; ⫺3) e D è un quadrato. Determina le coordinate del punto D sapendo che il punto medio del segmento DC è M(5; ⫺1). Calcola poi perimetro e area del quadrato. 苶; 32] [D(3; 1); 16兹2 49 Sia ABCD un rombo con A(⫺2; 0), C(2; 0) e D appartenente all’asse y di ordinata 4. Siano inoltre noti i punti medi dei lati AB e BC, rispettivamente M1(⫺ 1; ⫺2) e M2(1; ⫺2). Determina le coordinate del punto B e calcola l’area del rombo. Trova poi le coordinate dei punti medi M3 e M4 dei lati DC e AD e determina il perimetro del quadrilatero M1 M2 M3 M4. Di che tipo di quadrilatero si tratta? Verifica inoltre che il perimetro del quadrilatero costruito è uguale alla somma delle diagonali del rombo. [B(0; ⫺ 4); 16; M3(1; 2); M4(⫺ 1; 2); 12]

–䊳

3. L’equazione di una retta passante per l’origine

Teoria a pag. 511

■ Il coefficiente angolare ESERCIZIO GUIDA

1 2 50 Determiniamo l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; verifichiamo 2 5 5 se i punti B ᎏᎏ; 1 e C(2; 5) appartengono a tale retta. 4

冢

冢 冣

冣

Poiché una retta passante per l’origine ha equazione del tipo y ⫽ mx, ci basta determinare il coefficiente angolare m. y Ricordiamo che la relazione m ⫽ ᎏᎏ lega le coordinate di tutti i punti della retta (esclusa l’origine). Sostix 1 2 tuiamo in tale relazione le coordinate del punto A ᎏᎏ ; ᎏᎏ e ricaviamo m : 2 5 2 y ᎏᎏ B 5 yA 2 4 1 m ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ 2 ⫽ ᎏᎏ . xA 5 5 1 A 2 ᎏᎏ — 5 2

冢

L’equazione della retta è dunque: 4 y ⫽ ᎏᎏ x. 5

532

冣

O

1 — 2

1 — 5 4

x

Paragrafo 3. L’equazione di una retta passante per l’origine

ESERCIZI

Verifichiamo se B appartiene alla retta (e quindi se le sue coordinate ne 4 soddisfano l’equazione). Sostituendo x B e y B nell’equazione y ⫽ ᎏᎏ x si ha: 5 4 5 1 ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ. 5 4 Poiché i due membri dell’equazione sono uguali, B appartiene alla retta. Verifichiamo se C appartiene alla retta: 4 5 ⫽ ᎏᎏ ⭈ 2. 5 I due membri dell’equazione non sono uguali e quindi C non appartiene alla retta. Scrivi l’equazione della retta, passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta trovata. 1 51 A ᎏᎏ ; 1 , 2

冢

冣

52 A(1; ⫺ 1),

B (⫺ 1; ⫺ 2).

[y ⫽ 2x; sì]

1 1 B ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 2 2

[y ⫽ ⫺ x; sì]

冢

冣

53 A(⫺ 2; 0),

B(⫺ 2; 10).

54 A(3; 2),

B(6; 4).

[y ⫽ 0; no] 2

冤y ⫽ ᎏ3ᎏ x; sì冥

I punti dei seguenti gruppi appartengono tutti a una stessa retta passante per l’origine, tranne uno. Scrivi l’equazione della retta e individua il punto che non le appartiene. 55 A(⫺ 1; ⫺ 5),

B (2; 10),

C (5; 10),

D(3; 15).

56 A(⫺ 3; 9),

B (⫺ 2; 6),

C (2; ⫺ 6),

D (1; 3).

[y ⫽ 5x; C ] [y ⫽ ⫺ 3x; D]

Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine avente il coefficiente angolare indicato e disegna la retta. 57 m ⫽ 2;

m ⫽ ⫺ 2.

58 m ⫽ 3;

m ⫽ ⫺ 3.

1 59 m ⫽ ᎏᎏ ; 3

1 m ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3

■ Dall’equazione al grafico e viceversa ESERCIZIO GUIDA

3 60 Disegniamo il grafico della retta d’equazione y ⫽ ᎏᎏ x. 4 Per disegnare una retta bastano due punti. Poiché la retta passa per l’origine, è sufficiente determinare un secondo punto. Tuttavia, disegniamone alcuni in più. Per x ⫽ 4,

y 6

3 y ⫽ ᎏᎏ ⭈ 4 ⫽ 3. 4

La retta passa per il punto (4; 3). Osserviamo che conviene assegnare a x valori multipli di 4, per evitare di fare calcoli con le frazioni. Per esempio, per x ⫽ 8, y ⫽ 6, mentre per x ⫽ ⫺ 4, y ⫽ ⫺ 3.

3 O 4

1

4

8x

3

533

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

Disegna le rette rappresentate dalle seguenti equazioni. 1 61 y ⫽ ᎏᎏ x; 2 3 62 y ⫽ ᎏᎏ x; 5 6 63 y ⫽ ᎏᎏ x; 7

2 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x. 3 5 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x. 4 8 y ⫽ ᎏᎏ x. 3

3 64 y ⫽ ᎏᎏ x; 8 1 65 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x; 3 11 66 y ⫽ ᎏᎏ x; 8

3 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x. 8 y ⫽ 3x. y ⫽ 11x.

Scrivi per ogni grafico una delle seguenti relazioni, riferite al coefficiente angolare della retta disegnata: m ⬎ 0, m ⴝ 0, m ⬍ 0, m non definito. Indica per ogni retta l’angolo che forma con la semiretta positiva dell’asse x nel semipiano delle ordinate positive. y

67

68

O

x

O

69

y

y

O

x

x

ESERCIZIO GUIDA

70 Dalle indicazioni date in figura ricaviamo l’equazione della retta disegnata.

y 6

O

2

x

Il rapporto fra le coordinate del punto indicato è il seguente: y 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 3. x ⫺2 Poiché la retta passa per l’origine, l’equazione richiesta è: y ⫽ ⫺ 3x. Dalle indicazioni date in ogni figura, ricava l’equazione della retta disegnata. 71

y

72

4

y

73

y

2

O

534

2

x

O

x

3

O

x

Paragrafo 4. L’equazione generale della retta

–䊳

4. L’equazione generale della retta

ESERCIZI

Teoria a pag. 514

■ L’equazione di una retta parallela a un asse ESERCIZIO GUIDA

74 Scriviamo le equazioni delle rette disegnate nei due grafici: a)

b)

y

y

1

O

O

3

x

x

a) Poiché la retta è parallela all’asse x, tutti i suoi punti hanno ascissa variabile e la medesima ordinata, uguale a 1. L’equazione della retta è: y ⫽ 1.

b) Poiché la retta è parallela all’asse y, tutti i suoi punti hanno la medesima ascissa, uguale a 3, e ordinata variabile. L’equazione della retta è: x ⫽ 3.

Per ogni grafico scrivi l’equazione della retta corrispondente. y

75

O

y

76

77

y

x 1

O

x

O x

6

3

Disegna le rette che hanno le seguenti equazioni. 78 x ⫽ ⫺ 2;

y ⫽ ⫺ 2;

x ⫽ 3;

3 y ⫽ ᎏᎏ ; 2

x ⫽ 1.

79 2x ⫺ 6 ⫽ 0;

⫺3y ⫽ 0;

3 ⫺ y ⫽ 0;

5 ⫺ 10x ⫽ 0;

2x ⫽ ⫺ 8.

■ La forma esplicita y ⴝ mx ⴙ q ESERCIZIO GUIDA

80 Dalle informazioni fornite dal grafico, ricaviamo l’equazione della retta r passante per l’origine e l’equazione della retta s parallela a r.

y

r

2

Ricaviamo l’equazione di r Poiché la retta passa per l’origine, la sua equazione è del tipo y ⫽ mx. Per determinare m consideriamo yA 2 il punto A(1; 2) e calcoliamo ᎏᎏ , ossia m ⫽ ᎏᎏ . xA 1 L’equazione di r è: y ⫽ 2x.

s

A

O 1

1 B

x

3

535

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

Ricaviamo l’equazione di s Il punto B(1; ⫺ 1) di s ha la stessa ascissa di A e ordinata diminuita di 3 unità: 2 ⫺ 3 ⫽ ⫺ 1. L’equazione di s si ottiene da quella di r aggiungendo al membro di destra il termine ⫺ 3, che nel grafico è l’ordinata del punto di intersezione di s con l’asse y. L’equazione di s è: y ⫽ 2x ⫺ 3. Dalle informazioni fornite da ogni grafico ricava l’equazione della retta r e l’equazione della retta s. s

y

81

6

y

82

r

B

s A

4

2 1

3

2 1

2 O

y

83

r

O

x

O

x r

■ Dall’equazione al grafico

1

x

4

s

Nel sito:

䉴 15 esercizi in più su Insiemi di punti

ESERCIZIO GUIDA

84 Rappresentiamo in un grafico cartesiano le seguenti rette: 1 a) y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 2; 5 b) y ⫽ 5. 1 a) y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 2. 5

y

Il termine noto 2 indica che la retta passa per il punto di coordinate (0; 2). Infatti se x ⫽ 0, sostituendo, si ha: 1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 0 ⫹ 2 ⫽ 2. 5

1 x+2 y=−— 5

2 O

x

10

Determiniamo ora un secondo punto assegnando a x un valore a piacere, per esempio 10. Per x ⫽ 10: 1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 10 ⫹ 2 ⫽ 0. 5 La retta passa per i punti (0; 2) e (10; 0). Segnati i punti nel sistema di riferimento cartesiano, tracciamo la retta. b) y ⫽ 5. La retta ha equazione del tipo y ⫽ k, quindi è parallela all’asse x e passa per il punto dell’asse y di ordinata 5. Disegniamo il grafico.

536

y 5

O 1

y=5

x

Paragrafo 4. L’equazione generale della retta

ESERCIZI

Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni. 85 y ⫽ 4x ⫺ 3

91 y ⫽ ⫺ 3x

86 y ⫽ ⫺ 3

92 y ⫽ ⫺ 3x ⫺ 2

87 x ⫽ ⫺ 3

93 y ⫽ ⫺ 5x ⫹ 7

88 y ⫽ 2x ⫹ 1 89 y ⫽ ⫺ x ⫹ 3

1 94 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 1 2 95 y ⫽ 2x ⫺ 6

90 y ⫽ ⫺ 1

96 x ⫽ ⫺ 2

4 97 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 2 5 5 98 x ⫽ ᎏᎏ 3 1 99 y ⫽ x ⫹ ᎏᎏ 4 100 y ⫽ 2 101 y ⫽ ⫺ 4x ⫹ 2 1 102 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 3 2

■ Dalla forma esplicita alla forma implicita e viceversa ESERCIZIO GUIDA

3 2 103 a) Data l’equazione della retta y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ , scriviamola in forma implicita. 4 3 b) Data la retta di equazione 3x ⫺ 4y ⫺ 1 ⫽ 0, scriviamola in forma esplicita, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto.

a) La forma implicita dell’equazione di una retta è del tipo ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0, dove a, b, c sono coefficienti reali. Pertanto, l’equazione considerata è già in forma implicita se la scriviamo così: 3 2 ᎏᎏ x ⫺ y ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0. 4 3

Tuttavia è preferibile avere coefficienti non frazionari. A questo proposito, «eliminiamo i denominatori», cioè moltiplichiamo l’equazione per il loro m.c.m., 12; otteniamo: 9x ⫺ 12y ⫺ 8 ⫽ 0.

b) La forma esplicita dell’equazione di una retta è del tipo y ⫽ mx ⫹ q, quindi dobbiamo ricavare y dall’equazione 3x ⫺ 4y ⫺ 1 ⫽ 0: 3x ⫺ 1 3 1 → y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ . ⫺ 4y ⫽ ⫺ 3x ⫹ 1 → 4y ⫽ 3x ⫺ 1 → y ⫽ ᎏᎏ 4 4 4 3 1 Il coefficiente angolare è ᎏᎏ e il termine noto è ⫺ ᎏᎏ . 4 4 Scrivi in forma implicita le seguenti equazioni. 104 y ⫽ 4x ⫹ 8;

y ⫽ 1 ⫺ 2x;

y ⫽ ⫺ 3x ⫺ 2.

1 105 y ⫽ x ⫺ ᎏᎏ ; 2 3 106 y ⫽ ᎏᎏ ; 5

4 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 3; 5 3 y ⫽ ᎏᎏ x; 5

1 y ⫽ ᎏᎏ ⫺ 2x. 4 1 2 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ . 5 3

Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto. 107 3x ⫺ y ⫹ 3 ⫽ 0;

4x ⫹ 2y ⫽ 0;

5x ⫹ 2y ⫽ 0.

108 ⫺ 2x ⫹ 5y ⫺ 1 ⫽ 0;

⫺ y ⫹ 2 ⫽ 0;

⫺ x ⫹ 3y ⫽ 0.

537

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

109 2x ⫹ 2y ⫽ 0;

x ⫺ y ⫽ 0;

x ⫹ y ⫺ 1 ⫽ 0.

Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni, indicando per ciascuna il coefficiente angolare e il termine noto. 110 x ⫺ 2y ⫽ 0;

6x ⫽ 0;

2y ⫺ 2 ⫽ 0;

y ⫽ 2x.

111 x ⫽ ⫺ 3y;

5 ᎏᎏ y ⫽ 0; 3

2y ⫽ ⫺ 4x ⫹ 3; 4x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0. 1 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ y ⫹ 1. 2

112 x ⫹ y ⫺ 3 ⫽ 0; 2x ⫹ 1 ⫽ 0; y ⫽ ⫺ 2;

113 ASSOCIA a ogni equazione il coefficiente angolare della retta corrispondente. 1. 2y ⫺ 3x ⫹ 1 ⫽ 0

2. 6x ⫹ 4y ⫺ 5 ⫽ 0

3 A. ⫺ ᎏᎏ 2

B. 0

2 3. y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 1 3 2 C. ᎏᎏ 3

4. 2x ⫺ 3y ⫹ 3 ⫽ 0

5. 2y ⫺ 3 ⫽ 0

3 D. ᎏᎏ 2

2 E. ⫺ ᎏᎏ 3

114 ASSOCIA a ogni retta la sua equazione. y

y

y

y

y 2

1

–2

O

1 O

x

O 1 – 2

O

x

1

x

2

1

x

–1 – 2

–1

O

x

a

b

c

d

e

1. y ⫽ 2x ⫹ 1

2. y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 2

1 3. y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 1 2

4. y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 1

1 5. y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 1 2

115 COMPLETA la seguente tabella, dove m indica il coefficiente angolare e q l’ordinata all’origine della retta di equazione assegnata. RETTA

y ⫽ ⫺ 5x ⫹ 2 2x ⫹ y ⫽ 1 x ⫹ 2y ⫺ 3 ⫽ 0 3y ⫽ 4x ⫹ 1 x⫽6 y⫺4⫽0 x ⫽ ⫺ 6y

538

m

q

116 VERO O FALSO? a) L’equazione x ⫽ 0 rappresenta l’asse delle ascisse. b) La bisettrice del secondo e quarto quadrante ha equazione y ⫹ x ⫽ 0. c) Il coefficiente angolare dell’asse y è nullo. d) Se nell’equazione y ⫽ mx ⫹ q è m ⫽ 0, allora si ottiene una retta parallela all’asse x.

V

F

V

F

V

F

V

F

Paragrafo 4. L’equazione generale della retta

ESERCIZI

■ L’appartenenza di un punto a una retta ESERCIZIO GUIDA

117 È data la retta di equazione 3x ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0. 2 1 a) Stabiliamo se i punti A ⫺ 2; ⫺ ᎏᎏ e B 1; ᎏᎏ vi appartengono. 3 3

冢

冣 冢 冣

b) Determiniamo le coordinate del punto C appartenente alla retta, sapendo che la sua ascissa è 3. c) Determiniamo le coordinate del punto D appartenente alla retta, sapendo che la sua ordinata è ⫺ 1. a) Un punto appartiene a una retta se e solo se le sue coordinate (x; y) soddisfano l’equazione della retta. Sostituiamo le coordinate di A alle variabili x e y che compaiono nell’equazione: 3x ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0 2 3(⫺ 2) ⫺ 6 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫽ 0 3 ⫺6⫹4⫹2⫽0 0⫽0 vero.

冢

冣

b) Sostituiamo a x il valore 3 nell’equazione della retta: 3x ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0 3 ⭈ 3 ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0 9 ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0 11 ⫺ 6y ⫽ 0 6y ⫽ 11 11 y ⫽ ᎏᎏ . 6 11 Il punto C ha coordinate: 3; ᎏᎏ . 6

冢

Il punto A appartiene alla retta. 1 Sostituiamo ora le coordinate di B, ossia 1; ᎏᎏ : 3 3x ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0 1 3(1) ⫺ 6 ᎏᎏ ⫹ 2 ⫽ 0 3 3⫺2⫹2⫽0 3⫽0 falso.

冢

冣

冢 冣

Il punto B non appartiene alla retta.

冣

c) Sostituiamo a y il valore ⫺ 1 nell’equazione della retta: 3x ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0 3x ⫺ 6 ⭈ (⫺ 1) ⫹ 2 ⫽ 0 3x ⫹ 6 ⫹ 2 ⫽ 0 3x ⫹ 8 ⫽ 0 8 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 8 Il punto D ha coordinate: ⫺ ᎏᎏ; ⫺ 1 . 3

冢

冣

Per ogni retta assegnata stabilisci se i punti A e B le appartengono. 118 y ⫽ 2x ⫺ 1,

1 A ᎏᎏ ; ⫺ 3 , 2

B (1; ⫺ 1).

1 119 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 2, 5

A (⫺ 5; 3),

B (10; 4).

120 2x ⫺ 6y ⫹ 3 ⫽ 0,

3 A ⫺ ᎏᎏ ; 0 , 2

1 B ⫺ 1; ᎏᎏ . 6

冣

[sì]

121 8x ⫹ 4y ⫺ 5 ⫽ 0,

A (1; ⫺ 3),

1 1 B ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 8 4

[no]

冢

冢

冣

冣

冢

冢

[no] [A no; B sì]

冣

122 Nella retta y ⫽ 1 ⫺ x determina il punto A di ascissa ⫺ 1 e il punto B di ordinata 7. [A(⫺ 1; 2), B(⫺ 6; 7)]

539

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

1 2 2 123 Determina nella retta y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ il punto A di ascissa ⫺ 2 e il punto B di ordinata ᎏᎏ . 2 3 3

冤A冢⫺ 2; ᎏ53ᎏ冣, B冢0; ᎏ23ᎏ冣冥

124 Trova la distanza tra i punti A e B della retta di equazione x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0, sapendo che xA ⫽ 7 e yB ⫽ 1. [4兹5苶] 125 Il punto P della retta di equazione y ⫽ 3x ⫺ 1 ha ordinata 5. Calcola la sua distanza dall’origine 0. 126 Trova per quale valore di k la retta di equazione y ⫽ 4x ⫹ k passa per il punto P(2; 5).

[⫺ 3]

127 Determina k in modo che la retta di equazione 2kx ⫹ y ⫺ k ⫹ 1 ⫽ 0 passi per il punto A(⫺ 2; ⫺ 3).

–䊳

5. Il coefficiente angolare

[兹29 苶]

冤⫺ ᎏ25ᎏ冥

Teoria a pag. 517

ESERCIZIO GUIDA

128 Determiniamo, quando è possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, CD, EF, conoscendo le coordinate dei punti A(⫺ 1; 3), B (2; 4), C(2; 3), D(5; 3), E (⫺ 2; 4), F (⫺ 2; ⫺ 1). yB ⫺ yA Calcoliamo m(AB), applicando la formula m ⫽ ᎏᎏ : xB ⫺ xA 4⫺3 1 m(AB) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 2 ⫺ (⫺ 1) 3 Calcoliamo m(CD), sempre mediante la stessa formula: 3⫺3 0 m(CD) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0; la retta è parallela all’asse x e la sua equazione è y ⫽ 3. 5⫺2 3 Calcoliamo m(EF) allo stesso modo: ⫺1⫺4 ⫺5 m(EF) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , ovvero il coefficiente angolare non esiste; ⫺ 2 ⫺ (⫺ 2) 0 la retta è parallela all’asse y e la sua equazione è x ⫽ ⫺ 2. Determina, quando è possibile, il coefficiente angolare della retta passante per ogni coppia di punti indicata. 129 A(1; 2),

B (4; 5).

131 C(5; ⫺ 3),

130 A(2; 4),

B (⫺ 4; 4).

1 1 2 3 132 A ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ , B ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ . 3 2 3 2

冢

D(7; ⫺ 2).

冣 冢

冣

133 E(0; 2),

F (0; ⫺ 2).

134 A(4; 0),

B (⫺ 2; 4).

Nei seguenti esercizi sono dati: il coefficiente angolare di una retta, le coordinate di un suo punto A e l’ascissa, oppure l’ordinata, di un altro suo punto, B. Determina la coordinata mancante di B. 135 m ⫽ 5,

A (1; 2),

B(2; ?).

[yB ⫽ 7]

138 m ⫽ ⫺ 4,

A(5; 9),

B (6; ?).

[yB ⫽ 5]

136 m ⫽ 3,

A (7; 2),

B(?; 8).

[xB ⫽ 9]

139 m ⫽ ⫺ 1,

A(8; 4),

B (11; ?).

[yB ⫽ 1]

137 m ⫽ 2,

A (4; 1),

B(7; ?).

[yB ⫽ 7]

140 m ⫽ 4,

A(⫺ 7; ⫺ 2), B (?; 6). [xB ⫽ ⫺ 5]

540

Paragrafo 5. Il coefficiente angolare

ESERCIZI

■ Dal grafico all’equazione ESERCIZIO GUIDA

141 Ricaviamo l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico.

y 2

La retta non è parallela all’asse y, quindi la sua equazione è del tipo y ⫽ mx ⫹ q.

A B 5

O

x

Calcoliamo q La retta interseca l’asse y nel punto A (0; 2), quindi q ⫽ 2. Calcoliamo m Applichiamo la formula: yB ⫺ yA m ⫽ ᎏᎏ. Abbiamo quindi xB ⫺ xA 0⫺2 2 m ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 5⫺0 5

L’equazione della retta è: 2 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 2 . 5

In ogni esercizio scrivi l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico. 142

y

y

y

4 2 3

O

O

x

a

O

x

2

b

143

y

x

c y

y

3

O

x

O

3 — 2

–1

x

O

x

5 a

b y

144

c y

y 4

(3; 1) O

x

O

(4; 1) O

x

x

(2; –1) a

b

c

541

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

6. Le rette parallele e le rette perpendicolari

–䊳 Nel sito:

Teoria a pag. 518

䉴 18 esercizi in più 䉴 12 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

2 145 Date le rette di equazione y ⫽ 3x ⫺ 2, ⫺ x ⫹ y ⫺ 4 ⫽ 0, y ⫽ ᎏᎏ x, x ⫺ y ⫺ 5 ⫽ 0, 2x ⫹ 6y ⫺ 1 ⫽ 0, 3 stabiliamo quali sono parallele e quali perpendicolari. Poiché due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare e perpendicolari quando

冢

冣

1 m ⭈ m⬘ ⫽ ⫺ 1 ovvero m ⫽ ⫺ ᎏᎏ , occorre calcolare i coefficienti angolari delle rette date. m⬘ r: y ⫽ 3x ⫺ 2.

Il coefficiente angolare è m ⫽ 3. ⫺a 1 s: ⫺x ⫹ y ⫺ 4 ⫽ 0. Il coefficiente angolare è m ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1. b 1 2 2 t: y ⫽ ᎏᎏ x. Il coefficiente angolare è m ⫽ ᎏᎏ. 3 3 u: x ⫺ y ⫺ 5 ⫽ 0. Il coefficiente angolare è m ⫽ 1. a 2 1 v: 2x ⫹ 6y ⫺ 1 ⫽ 0. Il coefficiente angolare è m ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ. b 6 3 Conclusione: ● ● ●

le rette r e v sono perpendicolari; le rette s e u sono parallele; la retta t non è perpendicolare o parallela a nessuna delle rette date.

Considera le rette di ciascuno dei seguenti gruppi, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci quali sono parallele e quali perpendicolari. 146 y ⫽ 2x ⫺ 3,

y ⫽ ⫺ 3x ⫹ 2,

1 147 y ⫽ x ⫹ ᎏᎏ , 3

1 y ⫽ ᎏᎏ x, 3

1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏx ⫹ 1, 2 1 1 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ , 3 3

148 3x ⫺ 2y ⫹ 1 ⫽ 0,

⫺ 6x ⫹ 4y ⫹ 7 ⫽ 0,

6x ⫺ 4y ⫺ 3 ⫽ 0.

149 5x ⫹ 8y ⫺ 3 ⫽ 0,

8x ⫺ 5y ⫹ 1 ⫽ 0,

20x ⫹ 32y ⫹ 15 ⫽ 0.

150 y ⫽ ⫺ 3x ⫹ 1,

6x ⫹ 2y ⫺ 5 ⫽ 0,

9y ⫺ 3x ⫽ 0,

y ⫽ ⫺ 3.

151 2x ⫺ y ⫺ 6 ⫽ 0,

2y ⫽ 4x ⫹ 1,

1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 6, 2

2x ⫺ 6 ⫽ 0.

y ⫽ 2x ⫹ 6. 1 y ⫽ ⫹ ᎏᎏ . 3

152 Scrivi le equazioni di tre rette parallele all’asse x e di tre rette parallele all’asse y. 153 Scrivi le equazioni di due rette parallele alla retta di equazione 2y ⫹ 5 ⫽ 0 e di due parallele alla retta di equazione 4x ⫺ 3 ⫽ 0. 154 Scrivi le equazioni di due rette perpendicolari alla retta di equazione y ⫹ 2 ⫽ 0 e di due perpendicolari alla retta di equazione x ⫺ 1 ⫽ 0.

542

Paragrafo 6. Le rette parallele e le rette perpendicolari

155 Scrivi le equazioni di due rette parallele alle rette: 1 a) y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 2; 3 b) 2x ⫺ y ⫽ 0. 156 Scrivi le equazioni di due rette perpendicolari alle 3 rette: a) y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 5; b) 4x ⫹ 3y ⫺ 1 ⫽ 0. 2

ESERCIZI

Per ogni retta scrivi l’equazione di una retta a essa parallela e l’equazione di una retta a essa perpendicolare. 157 y ⫽ x 158 y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 1 1 159 y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 3 3 160 4x ⫺ 2y ⫹ 1 ⫽ 0

ESERCIZIO GUIDA

161 1. Determiniamo per quale valore di a le due rette 2x ⫺ 3y ⫹ 1 ⫽ 0 e (a ⫺ 1)x ⫹ y ⫽ 2 risultano parallele. 2. Determiniamo per quali valori di k la retta di equazione (k ⫺ 2)x ⫹ 2ky ⫹ 3 ⫽ 0 risulta rispettivamente: a) parallela alla bisettrice del I e III quadrante; b) parallela all’asse x; 1 c) perpendicolare a y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 2; 4 d) parallela a x ⫽ ⫺ 5. 1. Scriviamo in forma esplicita entrambe le equazioni: 2x ⫺ 3y ⫹ 1 ⫽ 0 (a ⫺ 1)x ⫹ y ⫽ 2 3y ⫽ 2x ⫹ 1 y ⫽ ⫺ (a ⫺ 1)x ⫹ 2 2 1 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ 3 3 Poiché due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, dobbiamo imporre: 2 ᎏᎏ ⫽ ⫺ (a ⫺ 1). 3 Ricaviamo il valore di a: 2 ᎏᎏ ⫽ ⫺ a ⫹ 1 3 2 1 a ⫽ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 3 3 2. Scriviamo in forma esplicita l’equazione della retta: k⫺2 3 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ , con k ⫽ 0. 2k 2k a) La bisettrice del I e III quadrante, di equazione y ⫽ x, ha m ⫽ 1. Imponiamo l’uguaglianza dei coefficienti angolari: (k ⫺ 2) ⫺ ᎏᎏ ⫽ 1. 2k

Ricaviamo il valore di k : ⫺k ⫹ 2 ⫽ 2k

con k ⫽ 0 2 ⫺3k ⫽ ⫺ 2 → k ⫽ ᎏᎏ. 3 b) Il coefficiente angolare deve essere nullo: (k ⫺ 2) ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0 con k ⫽ 0 2k e quindi k ⫽ 2. c) Affinché le due rette siano perpendicolari dobbiamo imporre: (k ⫺ 2) ⫺ ᎏᎏ ⫽ 4, con k ⫽ 0. 2k Ricaviamo il valore di k : ⫺k ⫹ 2 ⫽ 8k

con k ⫽ 0

2 ⫺9k ⫽ ⫺ 2 → k ⫽ ᎏᎏ. 9 d) Poiché si richiede una retta parallela all’asse y, che ha equazione implicita in cui manca il termine con y, imponiamo: 2k ⫽ 0 → k ⫽ 0.

162 Stabilisci se la retta che passa per i punti A(2; ⫺ 7) e B(⫺ 1; 5) è parallela alla retta di equazione y ⫽ ⫺ 4x. [sì] 163 Dati i punti A(2; 3k), B(6; 1), C(8; 2), determina per quale valore di k il segmento AB è perpendicolare al segmento BC. Una volta sostituito il valore opportuno di k, trova l’area del triangolo ABC. [3; 10]

543

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

BRAVI SI DIVENTA

䉴 E29

d) perpendicolare alla retta di equazione 4x ⫺ 2y ⫹ 1 ⫽ 0. 1 a) k ⫽ 0; b) k ⫽ ⫺ 1; c) k ⫽ ⫺ ᎏᎏ; d) k ⫽ 1 3

164 Determina l’equazione della retta r pas-

冣 冢 冣

冢

9 1 sante per i punti A ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ 3 e B 2; ᎏᎏ e consi2 2 derata la retta s di equazione 2kx ⫺ (k ⫺ 1)y + + 4(k ⫺ 1) ⫽ 0: a) trova per quale valore di k le due rette sono parallele; b) calcola la distanza tra le due rette.

165 Determina per quali valori di k la retta di equazione kx ⫹ (k ⫹ 1)y ⫹ 2 ⫽ 0 risulta rispettivamente: a) parallela all’asse x; b) parallela all’asse y; c) parallela alla retta di equazione x ⫺ 2y ⫽ 0;

冥

冤

166 Determina per quali valori di a la retta di equazione (a ⫹ 1)x ⫹ (2a ⫺ 3)y ⫹ 2a ⫽ 0 risulta rispettivamente: a) parallela alla retta 3x ⫺ 1 ⫽ 0; b) parallela alla retta 2y ⫹ 5 ⫽ 0; c) perpendicolare alla retta 9x ⫺ 3y ⫹ 1 ⫽ 0; d) parallela alla retta y ⫽ ⫺ x ⫹ 2; e) parallela alla retta y ⫽ 2; f) perpendicolare alla retta y ⫽ ⫺ 1; 1 g) perpendicolare alla retta y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 2. 5 3 a) a ⫽ ᎏᎏ; b) b ⫽ ⫺ 1; c) a ⫽ ⫺ 6; d) a ⫽ 4; 2 3 14 e) a ⫽ ⫺ 1; f) a ⫽ ᎏᎏ; g) a ⫽ ᎏᎏ 2 11

冤

冥

167 VERO O FALSO? La retta di equazione 2x ⫺ 4y ⫹ 1 ⫽ 0: 5 a) passa per A 2; ⫺ ᎏᎏ . 4

冢

冣

1 b) è parallela alla retta di equazione y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 2. 2 c) ha ordinata all’origine uguale a 1. d) è perpendicolare alla retta di equazione 2x ⫺ y ⫹ 2 ⫽ 0.

–䊳

7. I fasci di rette ■ Il fascio improprio

Nel sito:

ESERCIZIO GUIDA

168 Scriviamo l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione 3x ⫺ y ⫹ 2 ⫽ 0 e disegniamo tre rette qualsiasi del fascio. y

y = 3x + q

q=2 q=0 q = −2

Il fascio di rette ha equazione y ⫽ 3x ⫹ q. Disegniamo le rette corrispondenti a tre valori di q, per esempio 0, 2, ⫺ 2. Le rette corrispondenti hanno equazioni: y ⫽ 3x; y ⫽ 3x ⫹ 2; y ⫽ 3x ⫺ 2.

544

2 O

x −2

F

V

F

V

F

V

F

Teoria a pag. 520

䉴 10 esercizi di recupero

Scriviamo l’equazione in forma esplicita, per ricavare il suo coefficiente angolare m: y ⫽ 3x ⫹ 2 ⇒ m ⫽ 3.

V

Paragrafo 7. I fasci di rette

ESERCIZI

169 Disegna cinque rette del fascio di equazione y ⫽ 2x ⫹ 1 ⫺ k. 170 Disegna cinque rette del fascio di equazione y ⫽ ⫺ 3x ⫹ k ⫺ 2. 171 Scrivi l’equazione del fascio improprio contenente la retta di equazione 6x ⫹ 2y ⫺ 12 ⫽ 0 e disegna tre rette del fascio. [y ⫽ ⫺ 3x ⫹ q] 172 Ripeti l’esercizio precedente con la retta di equazione 8x ⫺ 4y ⫹ 10 ⫽ 0.

[y ⫽ 2x ⫹ q]

173 Scrivi l’equazione del fascio di rette parallele alla retta di equazione y ⫽ ⫺ 4x ⫹ 5 e l’equazione del fascio di rette perpendicolari alle precedenti. Rappresenta alcune rette di ciascun fascio. 1 y ⫽ ⫺ 4x ⫹ q; y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ q 4

冤

1

冤y ⫽ ⫺ ᎏ2ᎏ x ⫹ q; y ⫽ 2 x ⫹ q冥

174 Ripeti l’esercizio precedente con la retta 2x ⫹ 4y ⫹ 1 ⫽ 0.

■ Il fascio proprio

冥

Nel sito:

䉴 10 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

1 175 Scriviamo l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P ⫺ 5; ᎏᎏ e disegniamo le rette del 3 fascio aventi rispettivamente coefficiente angolare m ⫽ 0, m ⫽ 1 e m ⫽ ⫺ 3.

冢

冣

Per trovare l’equazione del fascio utilizziamo l’equazione y ⫺ y 1 ⫽ m (x ⫺ x 1 ). 1 Nel nostro caso x 1 ⫽ ⫺ 5 e y 1 ⫽ ᎏᎏ , perciò: 3 1 y ⫺ ᎏᎏ ⫽ m [x ⫺ (⫺ 5)], 3 1 y ⫽ m(x ⫹ 5) ⫹ ᎏᎏ . 3 A tale fascio dobbiamo aggiungere la retta parallela all’asse y di equazione x ⫽ ⫺ 5. Per disegnare le rette del fascio aventi coefficiente angolare 0, 1 e ⫺ 3, determiniamo prima le loro equazioni: ●

●

●

1 se m ⫽ 0, y ⫽ ᎏᎏ ; 3 1 se m ⫽ 1, y ⫽ x ⫹ 5 ⫹ ᎏᎏ , 3 16 ossia y ⫽ x ⫹ ᎏᎏ ; 3 1 se m ⫽ ⫺ 3, y ⫽ ⫺ 3(x ⫹ 5) ⫹ ᎏᎏ , 3 1 ossia y ⫽ ⫺ 3x ⫺ 15 ⫹ ᎏᎏ 3 44 e y ⫽ ⫺ 3x ⫺ ᎏᎏ . 3

y = −3x − 44 — 3 m = −3

y = x + 16 — 3 y m=1 19 — 6 3 16 — 3

P −7

−5

1 y=— 3 1 — 3 m=0 O — 2 x 3

Poiché le tre rette passano per P, per disegnarle basta determinare un solo altro punto su ciascuna.

545

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato e disegna le rette aventi coefficiente angolare m ⫽ 0, m ⫽ 5, m ⫽ ⫺ 3. (Per brevità, nelle soluzioni non indichiamo l’equazione della retta parallela all’asse y.) [y ⫽ mx ⫹ m ⫹ 3]

176 A(⫺ 1; 3) 177 O(0; 0)

[y ⫽ mx]

178 B (5; 8)

[y ⫽ mx ⫺ 5m ⫹ 8]

179 C (⫺ 2; ⫺ 3)

[y ⫽ mx ⫹ 2m ⫺ 3]

180 D(6; ⫺ 4)

[y ⫽ mx ⫺ 6m ⫺ 4]

1 181 E ᎏᎏ ; ⫺ 2 2

1

冣

冢

冤y ⫽ mx ⫺ ᎏ2ᎏ m ⫺ 2冥

182 Tra le seguenti equazioni indica quali rappresentano un fascio di rette proprio e quali un fascio improprio. a) y ⫽ 2mx ⫹ m; b) ky ⫹ 2kx ⫺ 1 ⫽ 0;

c) my ⫹ (m ⫹ 1)x ⫺ 1 ⫽ 0; d) 2my ⫺ mx ⫺ m ⫽ 1;

e) y ⫺ kx ⫽ 0; f) y ⫹ 2x ⫺ 2 ⫽ k.

183 VERO O FALSO? a) L’equazione y ⫽ k rappresenta un fascio improprio. b) L’equazione mx ⫹ my ⫺ 1 ⫽ 0 rappresenta un fascio proprio. c) Nel fascio di equazione y ⫽ (k ⫹ 1) x ⫹ 3 la retta parallela all’asse x si ottiene per k ⫽ 1. d) L’equazione y ⫹ 3 ⫽ m(x ⫺ 6) rappresenta tutte le rette passanti per il punto P(6; ⫺ 3).

V

F

V

F

V

F

V

F

Equazione della retta passante per un punto, che soddisfa una condizione Scrivi l’equazione della retta che passa per il punto indicato e ha coefficiente angolare m che soddisfa le condizioni date. 184 A(⫺ 1; ⫺ 3) e m ⫽ ⫺ 2.

冢

冣

1 185 B ᎏᎏ ; ⫺ 1 2

e m ⫽ ⫺ 4.

186 C(1; 6)

1 e m ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3

187 D(⫺ 2; 3) e con lo stesso coefficiente angolare della retta di equazione 4x ⫺ 2y ⫺ 3 ⫽ 0.

冢

冣

1 188 E ⫺ ᎏᎏ ; 2 e con il coefficiente angolare della 2 retta che passa per i punti (0; 2) e (3; 5).

ESERCIZIO GUIDA

189 Determiniamo l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione: 2y ⫺ x ⫹ 6 ⫽ 0, passanti per A(1; 1). Scriviamo in forma esplicita l’equazione di r e ricaviamo il coefficiente angolare m: 1 1 2y ⫽ x ⫺ 6 → y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 3, dunque m ⫽ ᎏᎏ . 2 2 Scriviamo l’equazione del fascio di rette di centro A: y ⫺ 1 ⫽ m(x ⫺ 1). Fra tutte le rette del fascio, cerchiamo la parallela a r, cioè quella con il coefficiente angolare uguale a quello di r .

546

y

A

1 O −2 −3

1

r 2

x

1 y = —x − 3 2

Paragrafo 7. I fasci di rette

1 Imponiamo cioè che sia m ⫽ ᎏᎏ : 2 1 1 1 y ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ(x ⫺ 1) → y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ . 2 2 2 Cerchiamo ora, fra le rette del fascio di centro A, la perpendicolare a r, cioè la retta che ha come coefficiente angolare l’antireciproco di quello della retta r; imponiamo cioè m ⫽ ⫺ 2: y ⫺ 1 ⫽ ⫺ 2(x ⫺ 1).

ESERCIZI

y

1 1 x+— y =— 2 2

y = −2x +3 3 1 O

A 1

x

5

Scriviamo l’equazione in forma esplicita: y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 3.

Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare a essa e passanti per il punto A. 1 190 y ⫽ ᎏᎏ x, 3 7 191 y ⫽ ᎏᎏ x, 6 8 192 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x, 9

A (1; 1). A (⫺ 3; ⫺ 3). A (⫺ 1; 5).

1

2

冤y ⫽ ᎏ3ᎏ x ⫹ ᎏ3ᎏ; y ⫽ ⫺ 3x ⫹ 4冥 7 1 冤y ⫽ ᎏ6ᎏ x ⫹ ᎏ2ᎏ; 6x ⫹ 7y ⫹ 39 ⫽ 0冥 8 37 冤y ⫽ ⫺ ᎏ9ᎏ x ⫹ ᎏ9ᎏ; 9x ⫺ 8y ⫹ 49 ⫽ 0冥 1 冤y ⫽ ⫺ 3x ⫺ 2; y ⫽ ᎏ3ᎏ x ⫺ 2冥

193 y ⫹ 3x ⫹ 2 ⫽ 0,

A (0; ⫺ 2).

194 6x ⫺ 3y ⫺ 2 ⫽ 0,

A (⫺ 5; 2).

[y ⫽ 2x ⫹ 12; x ⫹ 2y ⫹ 1 ⫽ 0]

195 3x ⫺ y ⫺ 4 ⫽ 0,

A (0; ⫺ 4).

冤y ⫽ 3x ⫺ 4; y ⫽ ⫺ ᎏ3ᎏ x ⫺ 4冥

196 x ⫹ y ⫽ 0,

A (1; ⫺ 1).

[y ⫽ ⫺ x; y ⫽ x ⫺ 2]

1

197 Scrivi l’equazione della retta che passa per l’origine degli assi ed è parallela alla retta di equazione:

冤y ⫽ ᎏ23ᎏ x冥

2x ⫺ 3y ⫹ 2 ⫽ 0.

198 Determina il coefficiente angolare della retta r che passa per i punti P(1; 4) e Q(⫺ 2; 5). Scrivi poi l’equazione della retta passante per il punto A(3; 2) e perpendicolare a r. 1 ⫺ ᎏᎏ ; y ⫽ 3x ⫺ 7 3

冤

冥

199 Tra le rette parallele alla retta di equazione 2x ⫺ 8y ⫹ 1 ⫽ 0 trova quella che passa per il punto P(⫺ 4; 2). 1 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 3 4

冤

冥

200 Dati i punti A(⫺ 3; 2) e B(6; ⫺ 1), determina l’equazione dell’asse del segmento AB. (Suggerimento. L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio.) [y ⫽ 3x ⫺ 4] 201 Scrivi l’equazione dell’asse del segmento di estremi P(2; ⫺ 5) e Q(⫺ 8; 1).

冤y ⫽ ᎏ53ᎏ x ⫹ 3冥 547

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

202 Tra le rette parallele a quella di equazione 2x ⫺ 6y ⫹ 5 ⫽ 0, trova quella: a) passante per l’origine; b) passante per P(2; ⫺ 9); c) che ha ordinata all’origine 6; d) passante per il punto medio del segmento di estremi A(1; ⫺ 2) e B(⫺ 3; 4). 1 1 29 1 1 4 a) y ⫽ ᎏᎏ x; b) y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ; c) y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 6; d) y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ 3 3 3 3 3 3

冤

冥

203 Tra le rette del fascio di centro P(⫺ 2; 4) trova la retta: a) passante per A(1; ⫺ 3); c) parallela all’asse x; b) passante per l’origine; d) perpendicolare alla retta che passa per B(0; 2) e C(4; 0). 7 2 a) y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ; b) y ⫽ ⫺ 2x; c) y ⫽ 4; d) y ⫽ 2x ⫹ 8 3 3

冤

冥

204 Tra le rette del fascio di centro P (1; 2) determina quella che: a) passa per l’origine; b) è parallela alla bisettrice del II e IV quadrante; c) è perpendicolare alla bisettrice del I e III quadrante;

2 d) ha coefficiente angolare ᎏᎏ ; 3 e) è parallela all’asse x.

2 4 a) y ⫽ 2x; b) y ⫽ ⫺ x ⫹ 3; c) y ⫽ ⫺ x ⫹ 3; d) y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ; e) y ⫽ 2 3 3

冤

冥

205 Tra le rette del fascio di equazione kx ⫹ (k ⫹ 1) y ⫹ 2 ⫽ 0 determina quella che: a) è perpendicolare alla bisettrice del II e IV quadrante; b) è parallela alla retta 4y ⫺ 3 ⫽ 0; c) è perpendicolare alla retta 3x ⫺ 6y ⫹ 1 ⫽ 0; d) è parallela all’asse y. [a) x ⫺ y ⫺ 4 ⫽ 0; b) y ⫽ ⫺ 2; c) y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 2; d) x ⫽ 2]

–䊳

8. La retta passante per due punti Nel sito:

Teoria a pag. 522

䉴 12 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

206 Scriviamo l’equazione della retta passante per i punti: a) A (⫺ 1; 3), B (⫺ 4; 2);

7 1 b) A(⫺ 5; 2), B ⫺ 5; ᎏᎏ ; c) A(6; 3), B ⫺ ᎏᎏ; 3 . 2 2

冢

冣

冢

冣

a) Essendo x A ⫽ x B e yA ⫽ yB , applichiamo la formula: y ⫺ y1 x ⫺ x1 ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ . y2 ⫺ y1 x2 ⫺ x 1 Sostituiamo a (x 1; y 1) le coordinate di A e a (x 2 ; y 2 ) le coordinate di B: y⫺3 x ⫺ (⫺ 1) 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ → ⫺ (y ⫺ 3) ⫽ ⫺ ᎏᎏ (x ⫹ 1) → 2⫺3 (⫺ 4) ⫺ (⫺ 1) 3 1 10 L’equazione richiesta è y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ . 3 3 b) Poiché x A ⫽ x B , l’equazione della retta è x ⫽ ⫺ 5. c) Poiché y A ⫽ y B , l’equazione della retta è y ⫽ 3.

548

1 1 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫹ 3. 3 3

RIEPILOGO Problemi sulle rette

ESERCIZI

Scrivi l’equazione della retta passante per le seguenti coppie di punti. 3 213 Scrivi l’equazione della retta che passa per A(2; 1) y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 3 B (8; 0). 207 A (0; 3), 8 e B(4; ⫺ 1) e stabilisci se il punto C(⫺ 3; 6) è alli2 neato ai primi due. [y ⫽ ⫺ x ⫹ 3; sì] y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 2 B (0; ⫺ 2). 208 A (⫺ 5; 0), 5 B (⫺2; ⫺3). [x ⫽ ⫺ 2] Stabilisci se i punti delle seguenti terne sono allineati. 209 A (⫺ 2; 5),

冥 冥

冤 冤

210 A (7; 0),

B (6; ⫺ 4).

211 A (0; 0),

冢

冣

1 3 212 A ⫺ ᎏᎏ; ᎏᎏ , 2 4

[y ⫽ 4x ⫺ 28]

214 A(1; 2),

B(0; 3),

C(4; 1).

B (1; 1).

[y ⫽ x]

215 A(3; 0),

B(⫺ 3; 2),

C(6; 1).

冢 冣

冤y ⫽ ᎏ4ᎏ冥

216 A(1; 5),

B(⫺ 2; ⫺ 1), C(0; 3).

3 B 5; ᎏᎏ . 4

3

217 COMPLETA la seguente tabella. Punti P e Q

Equazione della retta r passante per P e Q

Coefficiente angolare di r

Ordinata all’origine di r

Equazione della retta parallela a r passante per O

P(2; 4) Q(⫺ 1; 2)

…

…

…

…

P(⫺ 3; …) Q(…; 6)

…

⫺1

4

…

冣

…

…

1

y ⫽ 4x

y ⫹ 3x ⫺ 1 ⫽ 0

…

…

…

冢

1 P ᎏᎏ ; … 2 Q(…; 2) P(2; …) Q(…; 4)

RIEPILOGO

PROBLEMI SULLE RETTE

ESERCIZIO GUIDA

218 Scriviamo l’equazione della retta che soddisfa le due condizioni seguenti: a) è parallela alla retta passante per A (1; ⫺ 2) e B (3; 2); b) passa per il punto C(⫺1; 1). La retta per A e B ha coefficiente angolare: yA ⫺ yB ⫺2⫺2 m ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2, xA ⫺ xB 1⫺3 che è lo stesso della retta parallela ad AB. Una generica retta per C ha equazione y ⫺ yC ⫽ m(x ⫺ xC) quindi la retta per C parallela ad AB ha equazione: y ⫺ 1 ⫽ 2(x ⫹ 1) → y ⫺ 1 ⫽ 2x ⫹ 2 → y ⫽ 2x ⫹ 3.

y

y = 2x + 3

5 3 2 C 1 −1 O −2

B 1

3

x

A

549

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

219 Scrivi l’equazione della retta che è perpendicolare alla retta passante per A(⫺ 2; ⫺ 5) e B(3; 1) e che passa per il punto C(2; ⫺ 3). [5x ⫹ 6y ⫹ 8 ⫽ 0] 220 Fra le rette parallele alla retta r di equazione x ⫹ 2y ⫺ 10 ⫽ 0 determina quella che passa per il punto P (4; ⫺ 3). [x ⫹ 2y ⫹ 2 ⫽ 0] 221 Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A (⫺ 2; ⫺ 2) e B (6; 10). Determina su tale retta un punto C la cui ascissa è la metà dell’ordinata. [3x ⫺ 2y ⫹ 2 ⫽ 0; C(2; 4)] 222 Fra le rette perpendicolari alla retta s di equazione 3x ⫺ 6y ⫹ 1 ⫽ 0 determina: a) la retta a che passa per il punto A(1; 3); b) la retta b che passa per l’origine. [a) 2x ⫹ y ⫺ 5 ⫽ 0; b) 2x ⫹ y ⫽ 0] 223 Fra le rette passanti per il punto P (1; 3) determina: a) l’equazione della retta che interseca l’asse x nel punto A(2; 0); b) l’equazione della retta che interseca l’asse y nel punto B (0; ⫺ 1). [a) y ⫽ ⫺ 3x ⫹ 6; b) y ⫽ 4x ⫺ 1]

226 I punti A(⫺ 3; 1), B (6; 3) e C (⫺ 1; ⫺ 5) sono i vertici di un triangolo. Determina: a) le equazioni delle rette contenenti i tre lati; b) le coordinate dei punti di intersezione della retta contenente BC con gli assi cartesiani.

冤a) 2x ⫺ 9y ⫹ 15 ⫽ 0, 8x ⫺ 7y ⫺ 27 ⫽ 0, 3x27⫹ y ⫹278 ⫽ 0; b) 冢0; ⫺ ᎏᎏ冣, 冢ᎏᎏ; 0冣冥 7 8 227 Dati la retta r di equazione 2x ⫹ y ⫺ 12 ⫽ 0 e il punto A (⫺ 2; ⫺ 1), scrivi: a) l’equazione della retta parallela a r e passante per A; b) l’equazione della retta perpendicolare a r e passante per A. [a) 2x ⫹ y ⫹ 5 ⫽ 0; b) x ⫺ 2y ⫽ 0] 228 Scrivi l’equazione della retta r perpendicolare alla retta s passante per i punti A (5; 0) e B (0; ⫺ 3) e passante per l’origine degli assi. [5x ⫹ 3y ⫽ 0] 229 Disegna il triangolo di vertici A (1; 4), B (⫺ 2; 1) e C (1; 1). Scrivi le equazioni delle mediane. [x ⫹ y ⫺ 2 ⫽ 0; 2x ⫺ y ⫹ 2 ⫽ 0; x ⫺ 2y ⫹ 4 ⫽ 0]

224 Fra le rette passanti per il punto Q (⫺ 2; 5) determina l’equazione della retta parallela alla retta passante per i punti A (⫺ 1; 0) e B (2; ⫺ 4). 4 7 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ 3 3

230 Scrivi le equazioni delle rette contenenti i lati del quadrilatero ABCD, con A (⫺ 3; 3), B (⫺ 3; ⫺ 1), C (2; ⫺ 2), D (2; 2). Verifica che il quadrilatero sia un parallelogramma. [x ⫹ 3 ⫽ 0; x ⫹ 5y ⫹ 8 ⫽ 0; x ⫽ 2; x ⫹ 5y ⫺ 12 ⫽ 0]

225 Scrivi l’equazione della retta r passante per A (⫺ 3; 0) e B (1; 2). Determina l’equazione della retta parallela a r passante per C (1; ⫺ 4) e della retta perpendicolare a r passante per D (6; 1). [x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0; x ⫺ 2y ⫺ 9 ⫽ 0; 2x ⫹ y ⫺ 13 ⫽ 0]

231 Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(3; 1) e B (6; 5). Determina su tale retta un pun1 to C la cui ascissa è ᎏᎏ dell’ordinata. 4 9 9 4x ⫺ 3y ⫺ 9 ⫽ 0; C ⫺ ᎏᎏ;⫺ ᎏᎏ 8 2

冤

冥

冤

9. La distanza di un punto da una retta ESERCIZIO GUIDA

232 Determiniamo la distanza del punto P( ⫺2; ⫺3) dalla retta d’equazione 6x ⫹ 8y ⫽ 0. La formula da applicare è: ⏐ax0 ⫹ by0 ⫹ c⏐ d ⫽ ᎏᎏ . ⫹苶b苶2 兹a苶2苶

550

冢

–䊳

冣冥

Teoria a pag. 523

RIEPILOGO La retta

ESERCIZI

Poiché abbiamo P(⫺2; ⫺3) e la retta di equazione 6x ⫹ 8y ⫽ 0, otteniamo: ⏐⫺12 ⫺ 24⏐ ⏐⫺36⏐ 36 18 ⏐6 ⭈ (⫺2) ⫹ 8(⫺3)⏐ d ⫽ ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 2 2 兹3苶6苶 ⫹苶64苶 兹苶 10苶 0 10 5 兹6苶苶 ⫹苶8苶 Calcola la distanza dei punti assegnati dalle rette con equazione indicata a fianco. 233 A (⫺ 2; 1),

3x ⫺ 4y ⫺ 1 ⫽ 0.

234 A (2; 4),

4 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 1. 3

235 A (0; 3),

6y ⫽ ⫺ 8x ⫹ 3.

236 A (1; 2),

5 y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 2. 12

237 A (⫺ 2; 3),

9x ⫺ 12y ⫽ 0.

238 A (3; ⫺ 1),

x ⫽ 4.

冤ᎏ151ᎏ冥 冤ᎏ15ᎏ冥 冤ᎏ32ᎏ冥 冤ᎏ4133ᎏ冥 冤ᎏ158ᎏ冥 [1]

冤ᎏ15ᎏ34 冥

1 239 Calcola la distanza di P (⫺1; 4) dalla retta che passa per i punti A(5; 2) e B ⫺1; ⫺ ᎏᎏ . 2

冢

冣

240 Considera il triangolo ABC di vertici A(⫺3; 3), B (2; ⫺1), C (3; 1). Determina l’altezza relativa al lato AB e l’area del triangolo.

14 ᎏ ; 7冥 冤ᎏ 兹苶 41

241 Determina, con la formula della distanza, l’area del triangolo di vertici A(2; 0), B (⫺1; 3); C (4; 4).

RIEPILOGO

LA RETTA

242 Verifica se i tre punti A (1; 2), B (⫺ 3; 4), C (2; ⫺ 1) sono allineati. [no] 243 Dati i punti A (⫺ 1; 2), B (3; ⫺ 1), C (2; 4), determina le equazioni dei lati del triangolo da essi individuato. [3x ⫹ 4y ⫺ 5 ⫽ 0; 5x ⫹ y ⫺ 14 ⫽ 0; 2x ⫺ 3y ⫹ 8 ⫽ 0] 244 Dato il triangolo ABC di vertici A (⫺ 2; ⫺ 4), B(6; ⫺ 2), C (2; 2), determina le equazioni delle sue mediane. [2x ⫺ 3y ⫺ 8 ⫽ 0; x ⫹ 6y ⫹ 6 ⫽ 0; x ⫽ 2] 245 Dato il triangolo ABC di vertici A (1; 2), B (6; 2), C (3; 8), determina le equazioni delle sue altezze. [x ⫽ 3; x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0; x ⫹ 3y ⫺ 12 ⫽ 0]

Nel sito:

[9]

䉴 11 esercizi di recupero

246 Dato il triangolo ABC di vertici A(2; 2), B (10; ⫺ 2), C (2; 6), determina le equazioni degli assi dei lati. [2x ⫺ y ⫺ 12 ⫽ 0; x ⫺ y ⫺ 4 ⫽ 0; y ⫽ 4] 247 Determina l’equazione della retta passante per A(⫺ 5; 4) e B (⫺ 5; ⫺ 6) e l’equazione della perpendicolare condotta per P(3; 2) alla retta AB. Determina l’area del triangolo ABP. [x⫽ ⫺ 5; y ⫽ 2; area ⫽ 40] 248 Verifica che il triangolo di vertici A (2; 1), B (6; 5) e C (⫺2; 9) è un triangolo isoscele e calcolane l’area. [24]

551

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

249 Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto, poi disegna il grafico delle tre rette. a) 2x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0; b) 3y ⫹ 5 ⫽ 0; c) x ⫺ 3y ⫹ 9 ⫽ 0. 250 Considera le rette le cui equazioni sono le seguenti e stabilisci quali sono parallele fra loro e quali perpendicolari. r: y ⫽ 2x ⫺ 1; s: x ⫹ 2y ⫹ 3 ⫽ 0; 1 1 t: 2x ⫺ y ⫺ 6 ⫽ 0; u: y ⫽ ᎏᎏ x; v: y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 3. 2 2 [r ⊥ s; r // t; u // v] 251 Scrivi l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione 2x ⫹ 3y ⫺ 1 ⫽ 0 e disegna tre rette qualsiasi del fascio. 2 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ q 3

冤

冥

252 Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per il punto P (⫺2; 3) e disegna le rette del fascio aventi coefficiente m ⫽ ⫺1, m ⫽ 1, m ⫽ 5. [y ⫽ mx ⫹ 2m ⫹ 3] 253 Data la retta di equazione (k ⫹ 1) x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0, determina k in modo che: a) la retta sia parallela alla retta y ⫺ 1 ⫽ 0; b) la retta sia parallela alla retta 2x ⫺ y ⫽ 0; c) la retta sia perpendicolare alla retta x ⫺ 3y ⫽ 0; d) la retta passi per il punto (2; ⫺ 1). 7 a) k ⫽ ⫺ 1; b) k ⫽ 3; c) k ⫽ ⫺ 7; d) k ⫽ ⫺ ᎏᎏ 2

冤

冥

254 Data la retta di equazione x ⫹ (a ⫹ 2) y ⫺ 1 ⫽ 0, con a ∈ R , determina a in modo che la retta: a) sia parallela all’asse x; b) sia parallela all’asse y; c) passi per l’origine. [a) non esiste; b) a ⫽ ⫺ 2; c) non esiste] 255 Dato il fascio di rette di equazione kx ⫺ 2ky ⫹ 1 ⫽ 0, a) stabilisci se si tratta di un fascio proprio o improprio; b) determina la retta del fascio passante per A (0; 1). [a) fascio improprio; b) x ⫺ 2y ⫹ 2 ⫽ 0]

552

256 Data la retta di equazione 2x ⫺ 3y ⫹ 2 ⫽ 0, scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto A(2; 3) perpendicolare e parallela alla retta data. [3x ⫹ 2y ⫺ 12 ⫽ 0; 2x ⫺ 3y ⫹ 5 ⫽ 0] 257 Dato il triangolo di vertici A(2; 2), B (⫺1; ⫺1) e C (6; 0), scrivi le equazioni dei suoi lati. 1 6 1 y ⫽ x; y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ; y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 3 7 7 2

冤

冥

258 Dato il quadrilatero ABCD di vertici A (4; 3), B (12; 9), C (13; 16), D (5; 10): a) verifica che ABCD è un parallelogramma; b) calcola l’altezza relativa al lato AB; c) determina l’area del parallelogramma. [b) 5; c) 50] 259 Scrivi le equazioni delle rette dei lati del triangolo di vertici A(⫺ 3; 1), B (4; ⫺ 1), C (4; 6) e determina la sua area. 49 2x ⫹ 7y ⫺ 1 ⫽ 0; x ⫽ 4; 5x ⫺ 7y ⫹ 22 ⫽ 0; ᎏᎏ 2

冤

冥

260 Il triangolo isoscele ABC ha la base AB di estremi A(⫺ 2; ⫺ 1) e B (6; 3) e il vertice C sull’asse y. Trova l’ordinata di C e l’area del triangolo. [yC ⫽ 5; 20] 261 Dato il triangolo di vertici A(⫺ 1; 2), B (2; ⫺ 3), C(5; 4), scrivi l’equazione della mediana AM e verifica che il punto G (2; 1) appartiene a tale retta e inoltre divide la mediana AM in due parti, una doppia dell’altra. [x ⫹ 3y ⫺ 5 ⫽ 0] 262 Nel triangolo di vertici A(2; 6), B (5; 1), C(⫺ 1; ⫺ 2): a) determina le lunghezze delle mediane e le equazioni delle rette a cui appartengono; b) verifica che tali rette passano tutte per il punto 5 D 2; ᎏᎏ . 3 13 兹85 苶 a) ᎏᎏ , x ⫽ 2; ᎏᎏ , 2x ⫹ 9y ⫺ 19 ⫽ 0; 2 2 兹2苶2 0苶 ᎏᎏ , 11x ⫺ 9y ⫺ 7 ⫽ 0 2

冢 冣 冤

冥

263 Verifica che il quadrilatero di vertici A(1; 1), B (5; 4), C (2; 8), D (⫺ 2; 5) è un quadrato e trova le equazioni delle sue diagonali. [7x ⫺ y ⫺ 6 ⫽ 0; x ⫹ 7y ⫺ 33 ⫽ 0]

RIEPILOGO La retta

ESERCIZI

264 Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A (⫺ 3; 1), B (2; 11), C (0; 27), D (⫺ 11; 5) è un trapezio rettangolo e determina la sua area. [160]

272 Determina l’equazione della retta passante per A(⫺5; 2) e B (3; 2). Dopo aver verificato se il punto P (5; ⫺3) appartiene a tale retta, calcola la 苶5苶] sua distanza dal punto A. [y ⫽ 2; 兹12

265 Dato il quadrilatero ABCD di vertici A (⫺ 1; 0), 1 B (0; ⫺ 1), C ᎏᎏ ; 0 , D (0; 3), verifica che si trat3 ta di un trapezio e determina la misura dell’altezza. 4 ᎏᎏ 兹10 苶

273 Data la retta r di equazione ax ⫹ 2y ⫹ a ⫹ 1 ⫽ 0, determina a in modo che: a) r sia parallela all’asse x; b) r sia parallela all’asse y; c) r passi per l’origine; d) r abbia coefficiente angolare positivo; e) r sia parallela alla retta passante per A (4; ⫺ 5), B (5; ⫺ 7). [a) a ⫽ 0; b) non esiste; c) a ⫽ ⫺ 1; d) a ⬍ 0; e) a ⫽ 4]

冢

冣

冤

冥

266 Determina l’equazione della retta r passante per P (1; 3) e avente per coefficiente angolare m ⫽ 2; calcola la misura dell’area del triangolo individuato dalla retta e dagli assi cartesiani. 1 2x ⫺ y ⫺ 1 ⫽ 0; area ⫽ ᎏᎏ 4

冤

冥

267 Dato il quadrilatero di vertici A (1; 1), B (9; 7), C (12; 3), D(0; ⫺ 6) verifica che è un trapezio e che il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma. 268 Determina l’equazione della retta parallela a 3x ⫺ 2y ⫹ 5 ⫽ 0 e passante per il punto medio del segmento di estremi A(3; 7) e B (⫺1; ⫺3). [3x ⫺ 2y ⫹ 1 ⫽ 0] 269 Disegna sul piano cartesiano la retta passante per l’origine degli assi e per A(3; 2). Calcola poi la distanza del punto P(5; ⫺1) da tale retta. [兹苶] 13 270 Disegna sul piano cartesiano la retta r di equazione y ⫽ 2x ⫺ 3. Determina le coordinate del suo punto di intersezione A con l’asse delle ordinate. Trova le equazioni delle rette s e t passanti per A, con s perpendicolare a r e t parallela all’asse x. [A(0; ⫺ 3); x ⫹ 2y ⫹ 6 ⫽ 0; y ⫹ 3 ⫽ 0] BRAVI SI DIVENTA

䉴 E28

271 Trova per quale valore di k la retta r passante per A(k ⫺ 3; 6) e B(3; ⫺ 2k ⫹ 2) è perpendicolare alla retta s passante per l’origine e per C(⫺ 2; ⫺ 1) e scrivi l’equazione della retta r.

274 Verifica che il quadrilatero di vertici A (⫺ 3; 0), B (⫺ 1; 4), C (5; 1), D(3; ⫺ 3) è un parallelogramma. Determina le misure dei lati e il punto di incontro delle diagonali. 1 苶; 兹45 苶; 1; ᎏᎏ 兹20 2

冤

冢 冣冥

275 Verifica che nel triangolo di vertici A (⫺ 2; 2), B (4; 3), C (1; 7) il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente a metà di questo. 276 Dopo aver determinato l’equazione della retta r passante per A(2; ⫺3) e B (1; 4), trova le coordinate del punto P ad essa appartenente di ascissa 3. Determina poi l’equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta r. [7x ⫹ y ⫺ 11 ⫽ 0; P(3; ⫺10); x ⫺ 7y ⫺ 73 ⫽ 0] 277 Dato il triangolo di vertici A (⫺ 1; 2), B (⫺ 9; 2), C (⫺ 5; ⫺ 1), verifica che è un triangolo isoscele e determina il suo perimetro, l’area e le coordinate del baricentro. (Suggerimento. Il baricentro è il punto d’incontro delle mediane e divide ogni mediana in due parti tali che una è doppia dell’altra.) [18; 12; (⫺ 5; 1)] 278 Determina l’equazione della retta parallela alla bisettrice del II e IV quadrante passante per A(3; 1). Rappresenta poi la retta sul piano cartesiano determinando per quali valori interseca in B l’asse delle ascisse e in C l’asse delle ordinate. Calcola area e perimetro del triangolo BOC. 苶] [x ⫹ y ⫺ 4 ⫽ 0; area ⫽ 8; perimetro ⫽ 8 ⫹ 兹32

553

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

Le rette con Excel ESERCITAZIONE GUIDATA

Determiniamo rispettivamente le equazioni delle rette s, passante per i punti M e N assegnati, e r, passante per un punto P noto e parallela alla retta s. Troviamo i risultati supponendo che M(⫺1; ⫺1), N(2; 5) e P(3; 4). Analizziamo il percorso risolutivo del problema Osserviamo che la soluzione non esiste se i due punti M e N coincidono. Abbiamo un caso particolare quando la retta s è parallela all’asse x e un caso limite quando P appartiene a s. Determiniamo altrimenti l’equazione di s con la formula della retta passante per due punti e l’equazione di r con la formula della retta passante per un punto e parallela a una retta data. Costruiamo il foglio corrispondente Apriamo il foglio elettronico Excel, inseriamo le didascalie per inserire i dati e leggere i risultati e mettiamo un bordo alle celle che richiedono i dati d’ingresso. ●

●

Per ottenere l’equazione della retta s digitiamo rispettivamente: in A11 in B11 in C11 in D11

⫽ SE(B6 ⫽ B4; SE (D6 ⫽ D4; “non esiste”; “x ⫽”); ”y ⫽”); ⫽ SE(B6 ⫽ B4; SE (D6 ⫽ D4; “”; B4); (D6-D4)/(B6-B4)); ⫽ SE(B6 ⫽ B4; “”;”* x ⫹”); ⫽ SE(B6 ⫽ B4; “”; - B11*B4 ⫹ D4). ●

Per ottenere l’equazione della retta r digitiamo rispettivamente: in A13 in B13 in C13 in D13

⫽ SE(B6 ⫽ B4; SE (D6 ⫽ D4; “non esiste”; “x ⫽”); ”y ⫽”); ⫽ SE(B6 ⫽ B4; SE (D6 ⫽ D4; “”; B8); B11); ⫽ SE(B6 ⫽ B4; “”;”* x ⫹”); ⫽ SE(B6 ⫽ B4; “”; - B13*B8 ⫹ D8). ●

䉱

Figura 1

Immettiamo le coordinate dei punti M, N e P e vediamo il foglio di figura 1.

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata con Excel 䉴 8 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Risolvi i seguenti problemi in modo analogo a quello dell’esercitazione guidata. 1

Determina l’equazione di una retta r sapendo che passa per il punto medio M del segmento AB di estremi noti e per l’origine. Casi proposti: a) A(3; 2) e B (⫺1; 4); b) A(3; ⫺2) e B(⫺ 3; 2); c) A(⫺ 3; 2) e B(3; 4). [a) y ⫽ 3x; b) la retta non esiste; c) x ⫽ 0]

554

2

Determina l’equazione della mediana AM del triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate note. Casi proposti: a) A(3; 1), B (1; 5), C (⫺2; 2); b) A(2; ⫺3), B (1; ⫺5), C (3; 5); c) A(2; 1), B (1; 5), C(2; 1). [a) AM: 5x ⫹ 7y ⫺ 22 ⫽ 0; b) AM: x ⫺ 2 ⫽ 0; c) il triangolo non esiste]

Matematica per il cittadino

ESERCIZI

Matematica per il cittadino LA CORSA

3. Completa il seguente grafico velocità-tempo in base ai dati disponibili. velocità (m/s) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

60

120

180

240

tempo (s)

4. Utilizzando il grafico nella figura sopra, valuta per quanto tempo la velocità di Marco è stata superiore a 3,5 m/s. Esprimi tale risultato in percentuale rispetto al tempo totale della corsa con un’approssimazione alla prima cifra decimale.

Durante un allenamento di atletica, Marco corre per 4 minuti esatti partendo da fermo; il suo allenatore annota i seguenti dati. ● 1° minuto: aumento uniforme della velocità, fino a 4 m/s; distanza percorsa: 120 m; ● 2° minuto: velocità costante; ● 3° minuto: diminuzione uniforme della velocità fino a 3 m/s; distanza percorsa nel minuto: 210 m; ● 4° minuto: aumento uniforme della velocità fino a 8 m/s; distanza percorsa nel minuto: 330 m.

B

37,5 m/s

C

2,75 m/s

D

7 6 5 4 3

1

2. Qual è stata la velocità media di Marco durante la corsa? 5 m/s

v (m/s) 8

2

1. Quale distanza totale ha percorso Marco?

A

5. In un’altra prova Marco, partendo da fermo, aumenta in modo uniforme la sua velocità e arriva a 6 m/s in quattro minuti. Roger parte un minuto dopo di lui e raggiunge la velocità di 7 m/s in tre minuti. Rappresenta nel seguente grafico le velocità dei due ragazzi e stabilisci, in modo approssimativo, dopo quanto tempo dalla sua partenza la velocità di Marco viene superata da quella di Roger.

0

60

120

180

240 t (s)

3,75 m/s

555

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Un punto A(p ; q) diverso dall’origine sta sulla bisettrice del II e IV quadrante. Quale delle seguenti relazioni è giusta? A

兩p兩 ⫽ 兩q 兩

D

p ⭈q ⬎0

B

p ⫽q 1 p ⫽ ᎏᎏ q

E

兩p兩 ⫽ 兩q兩

C

2

3

Nel sito:

6

Il coefficiente angolare della retta passante per i punti A(⫺ 3; 2) e B (1; 4) è: 1 1 1 A ᎏᎏ B 2 C ⫺2 D ⫺ ᎏᎏ E ⫺ ᎏᎏ 2 2 3

7

Sono noti i vertici A (⫺2; 2), B (2; 1) e C (6; 4) del parallelogramma ABCD. L’equazione del lato AD è:

Il punto medio del segmento di estremi A(⫺ 4; 3) e B (2; 5) è:

A B

A

M(6; 2)

D

M (⫺ 2; 8)

C

B

M(3; 1)

E

M (1; 4)

D

C

M(⫺ 1; 4)

E

Nella figura è rappresentato il triangolo di vertici A(⫺ 3; ⫺ 1), B (1; ⫺ 1) e C(⫺ 2; 4).

L’equazione della retta r è: 5x ⫹ y ⫺ 6 ⫽ 0. Quanto vale il coefficiente angolare di una retta perpendicolare a r ? 1 1 A 5 B ⫺5 C ᎏᎏ D ⫺ ᎏᎏ E ⫺1 5 5

9

I punti A(⫺ 2; ⫺ 2), B(3; 1) e C(4; 4) sono i vertici di un triangolo. L’equazione dell’altezza AH è:

4 3 2 1

−2 −1 O

−3

1 x

−1

A

B

A

5

⫺ 10

B

C

x ⫹ 3y ⫹ 8 ⫽ 0 5 16 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ 3 3 x ⫺y ⫽0

D

x ⫹y ⫹4⫽0

E

y ⫽ 3x ⫹ 4

A

La sua area è:

B

15 ᎏᎏ 2

C

20

D

6

E

10

Una delle seguenti rette è parallela all’asse delle ordinate. Quale? A

x ⫽y

C

y ⫽⫺2

B

2x ⫹ 7 ⫽ 0

D

x ⫽⫺y

E

1 ⫺ 3y ⫽ 0

L’equazione della retta passante per i punti A(3; 0) e B (0; 2) è:

x ⫹ 4y ⫺ 22 ⫽ 0 3x ⫺ 4y ⫹ 14 ⫽ 0 3x ⫺ 4y ⫺ 2 ⫽ 0 x ⫹ 4y ⫺ 6 ⫽ 0 4x ⫹ 3y ⫺ 4 ⫽ 0

8

y

C

4

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

10 L’equazione della retta passante per A(3; 1) e parallela alla bisettrice del I e III quadrante è: A

x⫺y⫺3⫽0

B

2x ⫺ y ⫺ 1 ⫽ 0

A

3x ⫹ 2y ⫽ 0

D

2x ⫺ 3y ⫽ 0

C

x⫺y⫺2⫽0

B

3x ⫹ 2y ⫺ 6 ⫽ 0

E

2x ⫹ 3y ⫺ 6 ⫽ 0

D

x ⫹y⫺2⫽0

C

2x ⫺ 3y ⫹ 6 ⫽ 0

E

y ⫽x

556

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ 11 Partendo dall’equazione y ⫽ mx ⫹ q, per quali valori di m e di q ottieni l’equazione dell’asse x? Esistono opportuni valori di m e di q per ottenere l’equazione dell’asse delle y? Perché? [m ⫽ 0, q ⫽ 0; no] 12 Per descrivere il fascio di tutte le rette passanti per l’origine, puoi usare l’equazione ax ⫹ by ⫽ 0, con a, b 僆 R. Perché?

13 Se nell’equazione della retta ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0 con a, b, c 僆 R, poni c ⫽ 0, ottieni l’equazione di una retta passante per l’origine. Perché? 14 Come puoi usare la formula della retta passante per due punti per verificare che i punti A (x1; y1), B (x2; y2) e C (x3; y3) sono allineati?

ESERCIZI

Nel sito:

15 Data la retta di equazione (k ⫺ 1) x ⫹ 3y ⫺2 ⫽ 0, determina k in modo che: a) la retta sia parallela alla retta y ⫹ 2 ⫽ 0; b) la retta sia parallela alla retta x ⫺ 3y ⫽ 0; c) la retta sia perpendicolare alla retta x ⫹ 2y ⫽ 0; d) la retta passi per P(⫺2; 1). 3 a) k ⫽ 1; b) k ⫽ 0; c) k ⫽ ⫺ 5; d) k ⫽ ᎏᎏ 2

冤

冥

16 Dato il quadrilatero di vertici A(⫺ 1; 0), B(0; ⫺ 3), C(6; ⫺ 1), D(1; 4), verifica che il poligono che si ottiene congiungendo i punti medi dei suoi lati è un parallelogramma. 17 Il segmento AB ha come estremo il punto A(⫺ 3; 4). Il punto medio di AB è M(1; 1). Determina: a) le coordinate di B; b) l’equazione della retta AB; c) l’equazione dell’asse del segmento AB. [a) B(5; ⫺ 2); b) 3x ⫹ 4y ⫺ 7 ⫽ 0; c) 4x ⫺ 3y ⫺ 1 ⫽ 0] 18 In un triangolo di vertici A(⫺ 2; 3), B(3; 2), C(1; ⫺ 2) calcola: a) la misura della mediana BM e dell’altezza BH; b) l’equazione di BM e quella di BH; c) l’area del triangolo. 兹苶 58 22 a) ᎏᎏ , ᎏᎏ ; 2 兹苶 34

冤

冥

b) 3x ⫺ 7y ⫹ 5 ⫽ 0, 3x ⫺ 5y ⫹ 1 ⫽ 0; c) 11

19 È dato il triangolo di vertici A(10; ⫺ 11), B(3; 13), C(⫺ 6; 1). a) Trova il perimetro. b) Verifica se il triangolo è rettangolo.

䉴 25 esercizi in più

c) Considera i punti medi M e N dei lati AC e CB e verifica che il segmento MN è metà del lato AB. d) Verifica che le rette MN e AB sono parallele. [a) 60] 20 Tra le rette del fascio di centro M(6; ⫺ 1) determina l’equazione della retta: a) passante per l’origine; b) parallela all’asse x; c) passante per P(2; ⫺ 5); d) parallela alla retta che passa per A(⫺ 1; 2) e B(4; 3). 1 1 11 a) y⫽⫺ᎏᎏx; b) y⫽⫺1; c) y⫽x⫺7; d) y⫽ᎏᎏx⫺ᎏᎏ 6 5 5

冤

冥

21 Tra le rette parallele a quella di equazione 6x ⫺ 8y ⫹ 1 ⫽ 0 trova quella che: a) passa per A(2; 0); b) ha distanza dall’origine uguale a 3; c) ha ordinata all’origine uguale a 3; d) passa per il punto di ascissa 5 della retta di equazione x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0.[a) 3x ⫺ 4y ⫺ 6 ⫽ 0; b) 3x ⫺ 4y ⫹ 15 ⫽ 0, 3x ⫺ 4y ⫺ 15 ⫽ 0; c) 3x ⫺ 4y ⫹ 12 ⫽ 0; d) 3x ⫺ 4y ⫹ 1 ⫽ 0] 22 Trova per quale valore di k le rette r e s di equazione, rispettivamente, (k ⫹ 1)x ⫺ 3y ⫹ 2 ⫽ 0 e 4x ⫹ 1 y ⫽ ᎏᎏ sono: 3 a) parallele; b) perpendicolari. Determina per quale valore di k la retta r passa per il punto di ascissa 5 della retta s. 13 14 a) 3; b) ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ 4 5

冤

冥

557

CAPITOLO 8. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

䉴 6 esercizi in più

23 Una retta r del piano cartesiano passa per A(⫺ 2; ⫺ 1) e ha coefficiente angolare m ⫽ ⫺ 1. La base AB del triangolo isoscele ABC appartiene a r ; inoltre B appartiene all’asse delle ordinate e C all’asse delle ascisse. Determina i tre vertici del triangolo e la sua area. [A(⫺ 2; ⫺ 1), B(0; ⫺ 3), C(1; 0); area ⫽ 4]

26 Dati due fasci di rette rispettivamente di centro A e B, quante sono le rette comuni a entrambi i fasci? Quale procedimento occorre seguire per determinare tali rette? Applica il procedimento considerando il fascio di rette rappresentato dall’equazione y ⫽ mx ⫺ 2m ⫹ 1 e il fascio di rette di centro (1; 2). [y ⫽ ⫺ x ⫹ 3]

24 Sono date due rette di equazioni: ax ⫹ 2y ⫺ 1 ⫽ 0 e 3x ⫺ by ⫹ 2 ⫽ 0. Determina i valori reali da assegnare ai parametri a e b affinché esse risultino perpendicolari e si intersechino sull’asse y. 8 a ⫽ ᎏᎏ ; b ⫽ 4 3

27

冤

冥

25 Siano M(3b ⫺ 2; ⫺2) e N (1; 1 ⫺ 3b) due punti del piano cartesiano con b 僆 R. Come devono risultare i punti M e N affinché le rette OM e ON siano parallele? Che valore assume b in questi casi? [se M, O e N allineati, allora b ⫽ 0; se M ⬅ N, allora b ⫽ 1]

TEST I vertici ABCD di un quadrilatero hanno coordinate A (0; 0), B (h; 0), C (h ⫹ k; l ), D (k; l ), ove h ⫽ 0 e l ⫽ 0. Allora ABCD è: A B C D E

un quadrato. un rettangolo. un parallelogramma. un rombo. un trapezio scaleno. (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1994)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

28 A square ABCD is drawn with A on the y-axis, B on the x-axis, and C at the point (13; 8). What is the area of the square? (USA Florida Atlantic University, Stuyvesant Alumni Mathematics Competition, 2000)

29 Determine whether the lines L1: x ⫺ 2y ⫽ 8

(USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)

32 Find the equation of the line through (2; 4) with slope 6. (CAN John Abbott College, Final Exam, 2000)

are parallel, perpendicular or neither parallel nor perpendicular. 30 H is the point of coordinates (⫺2; 5) and K is the point (⫺2; ⫺5). Show that the x-axis bisects the line segment HK. T is the point such that the origin is the centre of HT. Find the coordinates of T. Verify that the y-axis bisects the line segment KT. (IR Leaving Certificate Examination, Ordinary Level, 1992)

[T (2; ⫺5)]

axis: asse to bisect: dividere in due parti uguali to draw-drew-drawn: disegnare to lie-lay-lain: giacere

558

31 Find the value of y if (6; y) lies on the same line as (4; 6) and (0; 4).

L2: 2x ⫺ y ⫽ 3

GLOSSARY

䉴 4 esercizi in più

33 P and Q are two points having coordinates (⫺1; 3) and (5; ⫺1), respectively. Find: a) slope of PQ; b) K, the midpoint of PQ; c) the equation of the line through K which is perpendicular to PQ. Test if this line contains the point (4; 5). (IR Leaving Certificate Examination, Ordinary Level, 1992)

冤a) ⫺ ᎏ3ᎏ ; b) K (2; 1); c) y ⫽ 1,5x ⫺ 2; no冥

line: retta midpoint: punto medio point: punto respectively: rispettivamente

2

slope: pendenza square: quadrato through: attraverso whether: se

CAPITOLOTEORIA

I sistemi lineari

9 Internet Più della metà delle famiglie in Italia dispone di una connessione ADSL e il numero è in continua crescita. L’offerta di tariffe e tecnologie dei gestori telefonici è sempre più ampia… …come scegliere il contratto più conveniente?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 572

1. I sistemi di due equazioni in due incognite ■ Le equazioni lineari in due incognite Consideriamo l’equazione 3x ⫺ 5y ⫺ 4 ⫽ 0. Si tratta di un’equazione di primo grado in due incognite, ovvero di un’equazione lineare in due incognite. Una soluzione dell’equazione è una coppia di valori (x; y) che rende il primo membro uguale al secondo. 4 Per esempio, la coppia ordinata 0; ⫺ ᎏᎏ è una soluzione; per verificarlo 5 4 basta sostituire, nell’equazione, a x il valore 0, a y il valore ⫺ ᎏᎏ e control5 lare che l’uguaglianza risulti soddisfatta.

冢

冣

Per trovare altre soluzioni è sufficiente assegnare un qualsiasi valore a x e poi risolvere rispetto a y l’equazione così ottenuta. Per esempio, se poniamo x ⫽ 13, l’equazione diventa: 35 39 ⫺ 5y ⫽ 4 → ⫺ 5y ⫽ 4 ⫺ 39 → ⫺ 5y ⫽ ⫺ 35 → y ⫽ ᎏᎏ ⫽ 7. 5

559

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

Ricavando y, abbiamo ottenuto y ⫽ 7. La coppia ordinata (13; 7) è soluzione dell’equazione data.

◗ Dire che le soluzioni sono infinite non significa dire che qualunque coppia di numeri è soluzione dell’equazione. Per esempio, la coppia (1; 1) non è soluzione di 3x ⫺ 5y ⫺ 4 ⫽ 0.

Possiamo trovare altre soluzioni allo stesso modo, attribuendo diversi valori a x e ricavando i rispettivi valori di y . Poiché le coppie (x; y) che soddisfano l’equazione sono infinite, ogni equazione lineare in due incognite è indeterminata.

■ I sistemi di due equazioni lineari in due incognite Consideriamo, oltre all’equazione 3x ⫺ 5y ⫺ 4 ⫽ 0, la seguente equazione, sempre di primo grado in due incognite: x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 1. Ciascuna delle due equazioni considerate ha infinite soluzioni. Ma esistono soluzioni comuni a entrambe? Cioè, esistono coppie ordinate (x; y) di valori che soddisfano contemporaneamente le due equazioni? «Mettere a sistema» le due equazioni significa chiedersi esattamente questo. DEFINIZIONE

Sistema di equazioni Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni in cui compaiono le stesse incognite, per le quali ci chiediamo quali sono le soluzioni comuni. Per indicare un sistema, si scrivono le equazioni in colonna, racchiuse da una parentesi graffa: 3x ⫺ 5y ⫺ 4 ⫽ 0

x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 1

Le soluzioni comuni a tutte le equazioni sono le soluzioni del sistema. ESEMPIO

Il sistema 3x ⫺ y ⫽ 0

 4x ⫺ y ⫺ 1 ⫽ 0 ◗ La coppia (0; 0) non è soluzione del sistema, perché soddisfa la prima equazione ma non la seconda.

ha come soluzione la coppia di numeri (1; 3), perché per x ⫽ 1 e y ⫽ 3 sono soddisfatte tutte e due le equazioni.

■ Il grado di un sistema DEFINIZIONE

Grado di un sistema Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.

560

Paragrafo 2. Il metodo di sostituzione

TEORIA

ESEMPIO

Il sistema

◗ Il grado del sistema

3x ⫺ 2y ⫹ 1 ⫽ 0

4x ⫺ 5y ⫽ ⫺ 2

7x ⫺ xy ⫽ 0

3x 2 ⫺ 2xy ⫹ 3 ⫽ 0 3

è di primo grado, perché è formato da due equazioni di primo grado; il prodotto dei gradi è dunque 1 ⭈ 1 ⫽ 1.

è 6. Perché?

Così come un’equazione di primo grado è anche detta lineare, un sistema di primo grado è detto sistema lineare. Un sistema lineare è formato soltanto da equazioni di primo grado. Per il momento ci occupiamo solo di sistemi lineari.

■ La riduzione di un sistema lineare a forma normale Facendo uso dei princìpi di equivalenza delle equazioni, possiamo sempre scrivere un sistema lineare, equivalente a quello dato, in forma normale, cioè nella forma:

a x ⫹ b y ⫽ c

◗ Due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

ax ⫹ by ⫽ c 1

1

1

dove i valori a , a 1 e b , b 1 indicano, rispettivamente, i coefficienti delle incognite x e y , e dove c e c 1 indicano i termini noti delle due equazioni.

2. Il metodo di sostituzione

◗ a, a1, b, b1, c, c1 sono numeri reali.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V29a

Per risolvere un sistema lo si riduce solitamente in forma normale applicando i princìpi di equivalenza delle equazioni. Si utilizzano poi diversi metodi. Cominciamo esaminando il metodo di sostituzione. METODO DI SOSTITUZIONE PROCEDIMENTO

ESEMPIO

1. Ricaviamo un’incognita in funzione dell’altra, da una delle due equazioni:

2x ⫺ 4y ⫽ ⫺ 8 x ⫽ 3 ⫺ 5y 2x ⫺ 4y ⫽ ⫺ 8 x ⫽ 3 ⫺ 5y 2(3 ⫺ 5y ) ⫺ 4y ⫽ ⫺ 8

x ⫹ 5y ⫽ 3

2. Sostituiamo l’espressione trovata per l’incognita nell’altra equazione; ottieniamo un’equazione in una sola incognita: 3. Risolviamo l’equazione in una sola incognita: 4. Sostituiamo la soluzione trovata nell’espressione dell’incognita ancora da determinare; ricaviamo così la seconda incognita:

◗ La tabella riassume i passaggi che occorre svolgere, in generale, per trovare la soluzione di un sistema con il metodo di sostituzione. A fianco del procedimento da seguire, sono riportati i passaggi corrispondenti in un esempio.

x ⫽ 3 ⫺ 5y

y ⫽ 1 x ⫽3⫺5⭈1⫽⫺2 y ⫽ 1

561

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V30a

3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati ■ I sistemi determinati Un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni. Si dimostra che un sistema lineare determinato ha una sola soluzione.

◗ Osserviamo che il rapporto fra i coefficienti di x, 1 cioè ᎏᎏ , è diverso dal rap2 porto fra i coefficienti di y, 5 che vale ⫺ ᎏᎏ . 4

ESEMPIO

Il sistema dell’esempio precedente

x ⫹ 5y ⫽ 3

2x ⫺ 4y ⫽ ⫺ 8 è determinato e la sua soluzione è (⫺ 2; 1). Consideriamo un generico sistema scritto in forma normale:

a x ⫹ b y ⫽ c ax ⫹ by ⫽ c 1

◗ Questa affermazione può essere dimostrata, ma noi daremo solo una giustificazione grafica.

1

con a, a 1, b , b 1 ⫽ 0. 1

a Esso è determinato quando il rapporto fra i coefficienti di x, ᎏᎏ , è dia1 b verso dal rapporto fra i coefficienti di y , ᎏᎏ , ossia quando: b1 a b ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ . a1 b1 Interpretazione grafica Nel piano cartesiano, ogni equazione lineare in due incognite individua una retta. È quindi possibile dare un’interpretazione grafica anche dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite x e y.

Figura 1 Le rette di equazioni y ⴝ x ⴙ 1 e y ⴝ ⴚ2x ⴚ 2 si intersecano nel punto P(ⴚ1; 0): il sistema è determinato e la sua soluzione è la coppia (ⴚ1; 0) delle coordinate di P. 䉴

ESEMPIO SISTEMA DETERMINATO

Consideriamo il sistema



y ⫽x ⫹1 x⫽⫺1 → y ⫽ ⫺2x ⫺ 2 y ⫽0



Ciascuna equazione del sistema ha per soluzioni le coordinate (x; y) dei punti della retta che la rappresenta. (⫺1; 0), unica soluzione del sistema, è l’unico punto in comune alle due rette.

562

y = −2x − 2 y=x+1 y

y = −2x − 2

(−1; 0) P

y=x+1

1

−1 O −2

x

Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati

TEORIA

In generale, consideriamo il sistema ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0 1 1 1⫽0

retta r retta s

a x ⫹ b y ⫹ c

Esplicitiamo le due equazioni, supponendo che a, a1, b, b1 siano non nulli:



by ⫽ ⫺ ax ⫺ c

→

b 1y ⫽ ⫺ a1 x ⫺ c 1



a c y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ b b a1 c1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ b1 b1

◗ Le equazioni delle rette r e s sono scritte così in forma esplicita.

Le rette r e s si intersecano se non sono parallele, cioè se hanno coefficienti angolari diversi, ovvero se a a1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ. b b1 Dimostriamo che questa condizione equivale a quella di «sistema determinato». Poiché abbiamo supposto a1 ⫽ 0, è possibile moltiplicare entrambi i b membri per ⫺ ᎏᎏ : a1 a a1 b b ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ . b b1 a1 a1









Otteniamo proprio: a b ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . a1 b1

■ I sistemi impossibili Un sistema è impossibile quando non ammette soluzioni. ESEMPIO

Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione:



2x ⫺ 3y ⫽ 1

→

2x ⫺ 3y ⫽ 7

→

1 ⫹ 3y x ⫽ ᎏᎏ 2 1 ⫹ 3y ⫺ 3y ⫽ 7





1 ⫹ 3y x ⫽ ᎏᎏ 2 1 ⫹ 3y 2 ⭈ ᎏᎏ ⫺ 3y ⫽ 7 2

→

→

1 ⫹ 3y x ⫽ ᎏᎏ 2 0⭈y ⫽6



Poiché siamo giunti a un’equazione impossibile, il sistema non ha soluzione; quindi è impossibile.

◗ Osserviamo che nel sistema considerato il rapporto fra i coefficienti di x, 2 ᎏᎏ , è uguale al rapporto 2 ⫺3 fra i coefficienti di y, ᎏᎏ , ⫺3 mentre tale rapporto è diverso da quello fra i termi1 ni noti, ᎏᎏ . 7

563

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

Consideriamo un generico sistema scritto in forma normale:

a x ⫹ b y ⫽ c ax ⫹ by ⫽ c 1

◗ Giustificheremo graficamente anche questa affermazione.

1

con a, a 1, b, b 1 ⫽ 0. 1

a Esso è impossibile quando il rapporto fra i coefficienti di x, ᎏᎏ , è uguaa1 b le al rapporto fra i coefficienti di y, ᎏᎏ , e tale rapporto è diverso dal rapb1 c porto fra i termini noti, ᎏᎏ , ossia: c1 a b c ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ . a1 b1 c1 Interpretazione grafica

Figura 2 Le rette di 1 equazione y ⴝ ⴚ ᎏᎏ x ⴙ 1 2 1 e y ⴝ ⴚ ᎏᎏ x ⴚ 3 sono pa2 rallele e distinte, quindi non si incontrano in alcun punto: il sistema è impossibile.

䉴

ESEMPIO

SISTEMA IMPOSSIBILE 1 +1 y = − —x 2 1 −3 y = − —x 2

Consideriamo il sistema



1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 1 2 1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 3 2

1 +1 y y = − —x 2

Mediante interpretazione grafica possiamo dire che è impossibile. Infatti, le due equazioni individuano rispettivamente due rette con uguale coefficiente angolare e differente termine noto, ossia parallele, come abbiamo visto nel capitolo 8.

1 O 1 −3 y = − —x 2

2

x

−3

Per passare al caso generale, consideriamo di nuovo le rette di equazione:



a c y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ b b a1 c1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ b1 b1

retta r retta s

Le rette r e s sono parallele e distinte se hanno uguali i coefficienti angolari ma diversi i termini noti, cioè se: a a1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ b b1

e

c c1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . b b1

La prima condizione, come abbiamo visto, equivale a: a b ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. a1 b1

564

Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati

b Moltiplicando entrambi i membri della seconda condizione per ⫺ ᎏᎏ ed c1 eseguendo le semplificazioni, si ottiene:





c b ◗ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ b c1



c1 b ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ b1 c1

c b ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. c1 b1

TEORIA



Le due condizioni messe assieme danno: a b c ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. a1 b1 c1 Questa è proprio la condizione di «sistema impossibile».

■ I sistemi indeterminati Un sistema è indeterminato quando ha infinite soluzioni. ESEMPIO

Risolviamo il seguente sistema:



5x ⫺ 2y ⫽ 1

→

15x ⫺ 6y ⫽ 3



1 ⫹ 2y x ⫽ ᎏᎏ 5 → 1 ⫹ 2y 15 ⭈ ᎏᎏ ⫺ 6y ⫽ 3 5

◗ Osserviamo che nel sistema considerato i rapporti fra i coefficienti di x, quelli di y e fra i termini noti sono uguali: 5 ⫺2 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 15 ⫺6 3 ◗ In sintesi

→

1 ⫹ 2y x ⫽ ᎏᎏ 5 3 ⫹ 6y ⫺ 6y ⫽ 3



→



1 ⫹ 2y x ⫽ ᎏᎏ 5 0⭈y ⫽0

Il sistema ax + by = c a1x + b1y = c1 determinato se

Poiché siamo giunti a un’equazione indeterminata, il sistema ha infinite soluzioni; quindi è indeterminato.

b — b1

a — a1

Un generico sistema scritto in forma normale, impossibile se



ax ⫹ by ⫽ c con a, a 1, b, b 1 ⫽ 0, a 1x ⫹ b 1y ⫽ c 1

è indeterminato quando il rapporto fra a ᎏᎏ , è uguale al rapporto fra i coefficienti di y, a1 c termini noti, ᎏᎏ , ossia: c1 a b c ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ . a1 b1 c1

è

a — a1

b — b1

c — c1

i coefficienti di x, b ᎏᎏ , e al rapporto fra i b1 indeterminato se a — a1

b — b1

c — c1

565

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

Interpretazione grafica ESEMPIO

Consideriamo il sistema indeterminato:



y ⫽ 2x ⫹ 1

→

3y ⫽ 6x ⫹ 3



y ⫽ 2x ⫹ 1 3y 6x 3 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 3 3



→

y ⫽ 2x ⫹ 1 y ⫽ 2x ⫹ 1

Se scriviamo le due equazioni del sistema in forma esplicita, ci accorgiamo che coincidono. Figura 3 Le rette di equazione y ⴝ 2x ⴙ 1 e 3y ⴝ 6x ⴙ 3 coincidono: il sistema è indeterminato. Le sue soluzioni sono le infinite coppie costituite dalle coordinate dei punti della retta.

䉴

Pertanto coincidono anche le rette che tali equazioni individuano: le infinite soluzioni del sistema sono le coordinate degli infiniti punti in comune alle due rette.

SISTEMA INDETERMINATO y = 2x + 1 3y = 6x + 3 y

O

3y = 6x + 3

x

y = 2x + 1

In generale, consideriamo le equazioni delle rette r e s:



a c y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ b b a1 c1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ b1 b1

retta r retta s

Le due rette r e s coincidono se hanno lo stesso coefficiente angolare e lo stesso termine noto, cioè se a a1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ b b1

e

c c1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ , b b1

che diventa, con passaggi analoghi a quelli già visti: a b c ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. a1 b1 c1 Questa è la condizione di «sistema indeterminato».

566

Paragrafo 5. Il metodo di riduzione

4. Il metodo del confronto

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

Possiamo risolvere un sistema lineare anche utilizzando il metodo del confronto.

䉴 V29b

La seguente tabella riassume i passaggi che occorre svolgere, in generale, per trovare la soluzione di un sistema mediante questo metodo. METODO DEL CONFRONTO PROCEDIMENTO

ESEMPIO

5x ⫹ y ⫽ ⫺ 2

 2x ⫺ y ⫽ 16 y ⫽ ⫺ 2 ⫺ 5x  y ⫽ ⫺ 16 ⫹ 2x ⫺ 2 ⫺ 5x ⫽ ⫺ 16 ⫹ 2x  y ⫽ ⫺ 16 ⫹ 2x x ⫽2  y ⫽ ⫺ 16 ⫹ 2x x ⫽2  y ⫽ ⫺ 16 ⫹ 2 ⭈ 2 x ⫽2  y ⫽ ⫺ 12

1. Ricaviamo la stessa incognita da entrambe le equazioni: 2. Uguagliamo le due espressioni ottenute; ricaviamo così un’equazione nella quale compare solo l’altra incognita: 3. Risolviamo l’equazione in una sola incognita: 4. Sostituiamo il valore dell’incognita, trovato al punto 3, in una delle due equazioni iniziali: 5. Risolviamo l’equazione in un’incognita trovata al punto 4:

5. Il metodo di riduzione

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V31a

Il metodo di riduzione è anche detto metodo di addizione e sottrazione, perché per applicarlo è necessario sommare (o sottrarre) membro a membro le equazioni del sistema. La seguente tabella riassume i passaggi che occorre svolgere, in generale, per trovare la soluzione di un sistema con il metodo di riduzione. METODO DI RIDUZIONE PROCEDIMENTO

ESEMPIO

1. Moltiplichiamo una o entrambe le equazioni per fattori non nulli, in modo che i coefficienti di una delle variabili risultino uguali od opposti:

2x ⫹ 8y ⫽ ⫺ 14 2x ⫹ 8y ⫽ ⫺ 14

2. Se i coefficienti ottenuti al punto 1 sono uguali, sottraiamo membro a membro le due equazioni; se i coefficienti sono opposti, sommiamo membro a membro; otteniamo così un’equazione in una sola incognita: 3. Risolviamo l’equazione in una sola incognita: 4. Ripetiamo i passi 1, 2 e 3 per determinare l’altra incognita:

3x ⫺ 4y ⫽ 27

⫹

6x ⫺ 8y ⫽ 54

6x ⫺ 8y ⫽ 54

2x ⫹ 8y ⫽ ⫺ 14 8x

⫽ 40

40 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 5 8 ⫺

6x ⫺ 8y ⫽ 54

6x ⫹ 24y ⫽ ⫺ 42 ⫺ 32y ⫽ 96

→ y ⫽⫺3

567

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

6. Il metodo di Cramer

䉴 V32a

La soluzione del sistema

冦a x ⫹ b y ⫽ c ax ⫹ by ⫽ c 1

1

1

è data dalle formule: ◗ Questo risultato si può ottenere, per esempio, con il metodo di riduzione.

b1 c ⫺ bc1 x ⫽ ᎏᎏ ab1 ⫺ a1 b

e

ac1 ⫺ a1 c y ⫽ ᎏᎏ ab1 ⫺ a1 b

con

ab1 ⫺ a1 b ⫽ 0.

Esaminiamo ora un metodo semplice per ricordare queste formule. Utilizzeremo i determinanti. ◗ Ecco un esempio numerico di calcolo di determinante:

兩

2 3

1 5

兩

Chiamiamo determinante del sistema il numero D definito da:

兩

兩

D⫽ a a1

b ⫽ ab ⫺ ba . 1 1 b1

Analogamente possiamo scrivere altri due determinanti.

⫽ 2 ⭈ 5 ⫺ 1 ⭈ 3 ⫽ 7.

1. Determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo, nella prima colonna, i termini noti ai coefficienti di x: Dx ⫽

兩 cc

1

兩

b ⫽ cb1 ⫺ bc1. b1

2. Determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo, nella seconda colonna, i termini noti ai coefficienti di y: Dy ⫽

兩 aa

1

兩

c ⫽ ac1 ⫺ ca1. c1

Riscriviamo le soluzioni del sistema utilizzando i determinanti appena definiti: ◗ La soluzione Dx Dy ᎏᎏ ; ᎏᎏ D D esiste se D ⫽ 0 e il sistema è determinato.

冢

冣

Se D ⫽ 0, i casi sono due: ●

●

se D x ⫽ 0 e D y ⫽ 0, il sistema è indeterminato; se D x ⫽ 0 o D y ⫽ 0, il sistema è impossibile.

◗ Gabriel Cramer, matematico svizzero, utilizzò la regola che prende il suo nome verso il 1750.

568

c b 兩 c b 兩 b c ⫺ bc D x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ab ⫺ a b 兩 aa bb 兩 D 1

1

1

1

1

1

1

x

1

兩 兩

兩 兩

a c Dy a1 c1 ac1 ⫺ a1 c y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. a b D ab1 ⫺ a1 b a1 b1 Le frazioni che esprimono la soluzione (x; y) hanno senso, perché stiamo supponendo D ⫽ ab1 ⫺ a1 b ⫽ 0. Questo metodo per studiare le soluzioni di un sistema lineare determinato è noto come metodo di Cramer.

Paragrafo 7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite

TEORIA

METODO DI CRAMER PROCEDIMENTO

ESEMPIO

1. Calcoliamo il determinante del sistema:

3x ⫹ 2y ⫽ 7

2x ⫺ 5y ⫽ 11

2. Calcoliamo il determinante D x :

3. Calcoliamo il determinante D y:

4. Calcoliamo la soluzione:

D⫽

32



⫺5 ⫽ 4 ⫹ 15 ⫽ 19 2

Dx ⫽

711

⫺5 ⫽ 22 ⫹ 35 ⫽ 57 2



Dy ⫽

 23

11 ⫽ 14 ⫺ 33 ⫽ ⫺ 19 7



Dx 57 Dy ⫺ 19 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3 y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 1 D 19 D 19

7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Bruciare metano

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Combinando molecole di metano (CH4) con molecole di ossigeno (O2), si ottengono, per combustione, molecole di diossido di carbonio (CO2) e acqua (H2O) secondo la reazione CH4 ⫹ O2 → CO2 ⫹ H2O. Che relazione c’è tra le molecole di metano, ossigeno, diossido di carbonio e acqua coinvolte? FRANCESCO: MARIA:

«Basta leggere lo schema: una molecola di metano e una di ossigeno danno una di diossido di carbonio e una di acqua». «Non direi. Nella reazione ci sono tre elementi, C, H e O, cioè carbonio, idrogeno e ossigeno. Il numero di atomi di ognuno, in una molecola, è in basso a destra. La reazione va bilanciata: gli atomi che ci sono prima e dopo la combustione devono essere gli stessi».

䉴 Trova, utilizzando un sistema, quale coefficiente numerico assegnare a cia-

scuna molecola.

■ La risoluzione per sostituzione, per confronto, per riduzione I metodi risolutivi di sostituzione, del confronto e di riduzione possono essere applicati anche a sistemi di primo grado di tre (o più) equazioni in tre (o più) incognite.

569

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

Osserviamo che nel caso di un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x, y, z la soluzione è una terna di valori (x; y; z) che risolve contemporaneamente tutte le equazioni del sistema. ESEMPIO

Risolviamo il seguente sistema, usando in successione il metodo di sostituzione, di riduzione, e ancora di sostituzione:



2x ⫹ y ⫺ z ⫽ 5 3x ⫺ y ⫹ 4z ⫽ ⫺ 3 ⫺ x ⫺ y ⫹ 2z ⫽ ⫺ 5

Applichiamo il metodo di sostituzione. Ricaviamo y dalla prima equazione e sostituiamo l’espressione trovata nelle altre due equazioni:



y ⫽ 5 ⫺ 2x ⫹ z 3x ⫺ (5 ⫺ 2x ⫹ z) ⫹ 4z ⫽ ⫺ 3 ⫺ x ⫺ (5 ⫺ 2x ⫹ z) ⫹ 2z ⫽ ⫺ 5

La seconda e la terza equazione formano ora un sistema nelle incognite x e z: scriviamo questo sistema in forma normale e lo risolviamo con il metodo di riduzione:



y ⫽ 5 ⫺ 2x ⫹ z 5x ⫹ 3z ⫽ 2 x ⫹z ⫽0



y ⫽ 5 ⫺ 2x ⫹ z 2x ⫽ 2 x ⫹z ⫽0



y ⫽ 5 ⫺ 2x ⫹ z 5x ⫹ 3z ⫽ 2 ⫺ 3x ⫹ 3z ⫽ 0 2x ⫽2

⭈3

⎯→

→



y ⫽ 5 ⫺ 2x ⫹ z x ⫽1 1⫹z ⫽0

→



y ⫽ 5 ⫺ 2x ⫹ z x ⫽1 z ⫽⫺1

Sostituiamo nella prima equazione i valori trovati di x e z e determiniamo il valore di y:



y ⫽ 5 ⫺ 2 ⭈ 1 ⫹ (⫺ 1) ⫽ 2 x ⫽1 z ⫽⫺1

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

570

䉴 V33a

La soluzione del sistema è data dalla terna (1; 2; ⫺ 1).

ESPLORAZIONE Problemi cinesi e sistemi

TEORIA

ESPLORAZIONE: PROBLEMI CINESI E SISTEMI Non vogliamo qui esaminare il metodo utilizzato per la soluzione, ma soltanto presentare esempi di problemi. Consideriamo il seguente, dove il tou è l’unità di misura utilizzata. «Il rendimento di 2 covoni di grano buono, di 3 covoni di grano medio e di 4 di grano scarso è per ognuno meno di 1 tou. Tuttavia, se 1 covone di grano medio viene aggiunto al grano buono, o se 1 covone di grano scarso viene aggiunto al medio, o se 1 covone di grano buono viene aggiunto allo scarso, allora il rendimento di tutti è proprio 1 tou. Qual è il rendimento di 1 covone di ogni qualità?» Oggi noi risolveremmo il problema scegliendo tre incognite x, y, z, relative ai tre rendimenti, e scrivendo il sistema:

Anziano Han con il copricapo degli antichi mandarini. La dinastia imperiale Han governò dal 206 a.C. al 220 d.C. e diede in seguito il nome alla popolazione di etnia cinese, per differenziarla dalle numerose minoranze presenti in Cina. Oggi la popolazione Han costituisce circa il 90% della popolazione totale della Cina.



2x ⫹ y ⫽ 1 3y ⫹ z ⫽ 1 4z ⫹ x ⫽ 1

䉱

GAUSS

La paternità del metodo di riduzione è generalmente attribuita a Karl Friedrich Gauss, matematico tedesco che tra il 1803 e il 1809, per studiare l’orbita di un asteroide, si trovò a risolvere un sistema di sei equazioni lineari in sei incognite. Fu così che formulò le regole generali di quello che, da allora, è noto anche come metodo di eliminazione gaussiana. CHIU CHANG SUAN SHU

Senza nulla togliere alla genialità del giovane scienziato, le origini della tecnica risolutiva che ha preso il suo nome sono molto anteriori. Vanno infatti rintracciate nella matematica cinese, alcuni secoli prima della nascita di Cristo, al tempo della dinastia Han (202 a.C.). Nel libro Chiu Chang Suan Shu, ossia Nove capitoli sull’arte matematica, forse la più importante tra le opere matematiche dell’antica Cina, si trovano quasi 250 problemi, alcuni dei quali vengono risolti mediante sistemi di equazioni lineari.

con le condizioni 2x ⬍1, 3y ⬍ 1, 4z ⬍ 1. La soluzione del sistema è: 9 7 4 x ⫽ ᎏᎏ , y ⫽ ᎏᎏ , z ⫽ ᎏᎏ . 25 25 25 IN CINQUE SLIDE

Nell’ottavo dei Nove capitoli si trova il quesito seguente. «Ci sono tre tipi di granturco, di cui tre fasci del primo, due del secondo e uno del terzo fanno 39 misure. Due del primo, tre del secondo e uno del terzo fanno 34 misure e uno del primo, due del secondo e tre del terzo fanno 26 misure. Quante misure di granturco sono contenute in un fascio di ciascun tipo?» Risolvi il problema con un sistema, utilizzando il metodo che ritieni migliore. Cerca poi in Internet come il sistema è stato risolto nel Chiu Chang. Mostra ai tuoi compagni il tuo lavoro con una presentazione multimediale. Cerca nel web: sistemi lineari cinesi, “fanno 39 misure”, system of linear equations China, “make 39 measures”.

571

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

TEORIA

Internet …come scegliere il contratto più conveniente?

Molti contratti telefonici hanno questa struttura: l’utente deve pagare un costo fisso cf e una quota variabile, che dipende dal tempo di connessione t. Indicata con cu la quota per unità di tempo, si può esprimere il costo c di un collegamento come: c ⫽ cf ⫹ cu ⭈ t. Consideriamo l’offerta di due compagnie, A e B. A stabilisce una quota fissa (canone) di € 9 mensili, più un centesimo per ogni minuto di connessione; B invece chiede una quota fissa di un euro al mese e 3 centesimi per ogni minuto di connessione. Quindi: cA ⫽ 9 ⫹ 0,01 ⭈ t, cB ⫽ 1 ⫹ 0,03 ⭈ t, dove t è il tempo di connessione in un mese, espresso in minuti.

diamo di passare connessi alla rete, converrà scegliere la compagnia A o la B. Se, per esempio, pensiamo di stare collegati 3 ore in tutto il mese, il prezzo da pagare a ogni società sarà: cA ⫽ 9 ⫹ 0,01 ⭈ 3 ⭈ 60 ⫽ € 10,80, cB ⫽ 1 ⫹ 0,03 ⭈ 3 ⭈ 60 ⫽ € 6,40. Per un tempo così breve, B è il contratto più conveniente. Se però prevediamo di stare connessi 1 ora al giorno, 5 giorni la settimana, e quindi per un totale di 20 ore, i costi saranno: cA ⫽ 9 ⫹ 0,01 ⭈ 20 ⭈ 60 ⫽ € 21, cB ⫽ 1 ⫹ 0,03 ⭈ 20 ⭈ 60 ⫽ € 37. In tal caso, la compagnia più conveniente è la A.

Al tempo t ⫽ 400 minuti, equivalente a poco più di 6 ore e mezza, corrisponde un costo di € 13 per ciascuna delle due compagnie.

Troviamo l’intersezione delle due rette risolvendo il sistema lineare in c e t: c ⫽ 9 ⫹ 0,01t c ⫽ 1 ⫹ 0,03t Esso ha soluzione: t ⫽ 400 c ⫽ 13

Se pensiamo di stare collegati circa 6 ore e mezza al mese, i due contratti sono equivalenti e possiamo scegliere indifferentemente l’uno o l’altro. Se prevediamo un tempo di connessione inferiore, sceglieremo il contratto B; viceversa, opteremo per la compagnia A.



Rappresentiamo le due equazioni come due rette in un piano cartesiano che ha il tempo t in ascissa e il costo c in ordinata. A seconda del tempo che preve-

–䊳 Il quesito completo a pag. 559



c (€)

contratto B

contratto A

13 9 1 O

400

t (min)

VIAGGIARE IN MOTORINO O IN AUTOBUS? Supponiamo di possedere un motorino e di voler capire se conviene di più, dal punto di vista economico, spostarci con quello o usare i mezzi pubblici. Supponiamo che nella città in cui viviamo si usi il biglietto orario: con € 1 possiamo prendere per un’ora tutti i mezzi pubblici. Il costo del viaggio in autobus per un’ora è dunque: ca ⴝ 1 (in €). La spesa del viaggio in motorino per un’ora dipende invece dai kilometri x c (€) percorsi; se il motorino consuma un litro di benzina ogni 25 kilometri e quemotorino sta costa € 1,25 al litro, il costo del viaggio è: 1,25 cm ⴝ ᎏᎏ x → cm ⴝ 0,05x (in €). 25 1 mezzi cⴝ1 Risolvendo il sistema troviamo il punto di intersezione delle rette pubblici c ⴝ 0,05x



corrispondenti alle due equazioni, ovvero

xc ⴝⴝ 120

In conclusione, dal grafico notiamo che, se dobbiamo percorrere meno di 20 kilometri, ci conviene usare il motorino, mentre sarà più economico usare i mezzi pubblici per tragitti più lunghi.

572

O

20

x (km)

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I sistemi lineari 1. I sistemi di due equazioni in due incognite Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite. Il sistema è detto lineare se formato da equazioni di primo grado. Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono. La soluzione di un sistema è una soluzione comune a tutte le equazioni che lo compongono. ESEMPIO

Prima di applicare qualsiasi metodo risolutivo a un sistema lineare è bene ridurlo a forma normale, cioè: ax ⫹ by ⫽ c a1x ⫹ b1 y ⫽ c1

冦

2. Il metodo di sostituzione Lo schema risolutivo di un sistema lineare di due equazioni in due incognite con il metodo di sostituzione è il seguente:

冦

4x ⫹ y ⫽ 5 →

冦

y ⫽ 5 ⫺ 4x

y ⫽ 5 ⫺ 4x

3x ⫺ 2y ⫽ 12

Il sistema

2x ⫹ y ⫽ 0

冦6x ⫺ y ⫽ 8

ha come soluzione la coppia (1; ⫺ 2), mentre la coppia (0; 0) non è soluzione del sistema perché soddisfa solo la prima equazione.

3x ⫺ 2(5 ⫺ 4x) ⫽ 12 →

y ⫽5⫺4⭈2

冦x ⫽ 2

→

x ⫽2

y ⫽⫺3

冦x ⫽ 2

3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati Un sistema è determinato, impossibile o indeterminato a seconda che abbia una, nessuna o infinite soluzioni. a b determinato se ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; a1 b1 Il sistema

冦 aaxx⫹⫹byb y⫽⫽c c 1

1

è 1

a b c indeterminato se ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; a1 b1 c1 a b c impossibile se ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . a1 b1 c1

Se studiamo il problema in termini geometrici, le equazioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite sono le equazioni di due rette. Se il sistema è: ● determinato, le due rette si intersecano in un punto; ● indeterminato, le due rette sono coincidenti; ● impossibile, le due rette sono parallele.

573

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

y P

4 3

−3

y

y y=x+3

6

y=x+3

un punto di intersezione

O 1

3

le rette coincidono

3

x

−3

y=x+3

O 1

le rette sono parallele

3

x

O 1 2

−3

x

−2 y = −2x + 6

y=x−2

−x + y = 3

x=1

−x + y = 3

−x + y = 3

2x + y = 6

y=4

−3x + 3y = 9

−x + y = −2

P (1; 4)

4. Il metodo del confronto Lo schema risolutivo di un sistema lineare di due equazioni in due incognite col metodo del confronto è il seguente:

冦3x ⫺ 2y ⫽ 12 4x ⫹ y ⫽ 5

3x ⫺ 12 y ⫽ ᎏᎏ 2

y ⫽ 5 ⫺ 4x

3x ⫺ 12 ᎏᎏ ⫽ 5 ⫺ 4x 2 x ⫽2

y ⫽⫺3

冦x ⫽ 2 5. Il metodo di riduzione

Lo schema risolutivo di un sistema lineare di due equazioni in due incognite col metodo di riduzione è il seguente: ⭈2

Eliminiamo y

冦 3x ⫺ 2y ⫽ 12 4x ⫹ y ⫽ 5

冦

Eliminiamo x

⭈4

冦

8x ⫹ 2y ⫽ 10 ⫹ 3x ⫺ 2y ⫽ 12 ᎏᎏ 11x ⫽ 22 x ⫽2

12x ⫹ 3y ⫽ 15 ⫺ 12x ⫺ 8y ⫽ 48 ᎏᎏᎏ 11y ⫽ ⫺ 33 y ⫽⫺3

冦x ⫽ 2

y ⫽⫺3

574

⭈3

Paragrafo 1. I sistemi di due equazioni in due incognite

ESERCIZI

6. Il metodo di Cramer Per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite si può applicare anche il metodo di Cramer.

冦3x ⫺ 2y ⫽ 12 4x ⫹ y ⫽ 5

Dx ⫽

兩cc bb 兩 ⫽ 兩125 1

1

兩

兩

兩

兩

4 1 D ⫽ 3 ⫺ 2 ⫽ ⫺ 8 ⫺ 3 ⫽ ⫺ 11.

a b Poiché D ⫽ a b ⫽ ab1 ⫺ ba 1, 1 1

兩

1 ⫽ ⫺ 10 ⫺ 12 ⫽ ⫺ 22, ⫺2

Dy ⫽

●

Dx Dy se D ⫽ 0, il sistema è determinato: x ⫽ ᎏᎏ ; y ⫽ ᎏᎏ ; D D

●

se D ⫽ 0

兩aa cc 兩 ⫽ 兩43 125兩 ⫽ 48 ⫺ 15 ⫽ 33. 1

1

冣

冢

Dx ⫽ 0 e quindi anche Dy ⫽ 0, il sistema è indeterminato; Dx ⫽ 0 (e quindi Dy ⫽ 0), il sistema è impossibile. ⫺ 22 33 Nel nostro esempio, D ⫽ 0: il sistema è determinato e le soluzioni sono x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 e y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 3. ⫺ 11 ⫺ 11

7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite Per risolvere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite possiamo utilizzare i metodi di sostituzione, confronto e riduzione opportunamente combinati fra loro.

䊳 1. I sistemi di due equazioni in due incognite –

Teoria a pag. 559

■ Le equazioni lineari in due incognite Per ogni equazione nelle incognite x e y verifica se le coppie di numeri scritte a lato sono soluzioni. 1 2 3

2x ⫹ 6y ⫺ 5 ⫽ 0 1 1 5y ⫹ ᎏᎏ x ⫺ 1 ⫽ ⫺ 4y ⫺ ᎏᎏ x 2 2 y ⫺x x ⫺y ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 5 3

冢1; ᎏ2ᎏ冣, 1 冢2; ᎏ9ᎏ冣,

冢ᎏ2ᎏ ; 0冣. 1 冢2; ⫺ ᎏ9ᎏ冣.

(1; 2),

(⫺ 6 ; ⫺ 6).

1

(0; 1), (1; 0), (0; 0),

5

[no; sì; sì] [sì; no; sì] [sì; no; sì]

■ Le soluzioni di un sistema Verifica se la coppia scritta di fianco a ogni sistema è soluzione del sistema oppure no. 4

冦 x ⫺ 2y ⫽ 1

(3; 1)

5

冦 6x ⫺ 9y ⫽ 2

(5; ⫺ 2)

5x ⫺ 3y ⫽ 12

3x ⫹ 2y ⫽ ⫺ 1

[sì]

6

冦 x ⫹ 5y ⫽ 6

[no]

7

冦 6x ⫹ 3ay ⫽ 6a

3y ⫽ x ⫹ 2

x ⫹ y ⫽ 2a

2

(1; 1)

[sì]

(0; 2a)

[sì]

575

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

8

La coppia (1; ⫺ 2) è soluzione di un solo sistema fra i seguenti. Quale?

冦

冦

y ⫺1 ᎏᎏ ⫽ 2x ⫹ 6 5 x ⫹1 y ⫺2 ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 5

冦

y ⫹2 ᎏᎏ ⫽ x ⫺ 1 6 1 1⫺x ᎏᎏ y ⫹ 1 ⫽ ᎏᎏ 2 2

4y ⫺ 3 1⫺x ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 8 5 8y ⫹2 ᎏᎏ ⫽ ⫺ x ⫺ 1 3

ASSOCIA a ogni sistema la relativa coppia soluzione.

9

冦x ⫺ y ⫽ 7

10

冦 4x ⫹ 9y ⫽ 5 冦 4x ⫹ 9y ⫽ 1 冦 4x ⫹ 9y ⫽ ⫺ 5

11

冦

x ⫹ 3y ⫽ ⫺ 1

冦 x ⫹ 2y ⫽ 11 冦 ⫺ 5x ⫹ y ⫽ ⫺ 1 2x ⫺ y ⫽ 2

3x ⫹ 2y ⫽ ⫺ 2

2x ⫺ 6y ⫽ ⫺ 1 2x ⫺ 6y ⫽ ⫺ 3

5x ⫺ y ⫽ 2 3x ⫽ 4

冦

x ⫹ 2y ⫽ 2 4x ⫹ 3y ⫽ 2

2x ⫺ 6y ⫽ 1

冦

1 16 ᎏᎏx ⫺ y ⫽ ᎏᎏ 2 5 6 3x ⫺ y ⫽ ᎏᎏ 5

(0; ⫺ 1),

(5; ⫺ 2),

(3; 4).

冢⫺ ᎏ2ᎏ ; ᎏ3ᎏ冣 , 冢⫺ ᎏ2ᎏ ; ⫺ ᎏ3ᎏ冣 , 冢ᎏ2ᎏ ; ᎏ3ᎏ冣 . 1

1

1

1

1

1

冢⫺ ᎏ5ᎏ ; ᎏ5ᎏ冣 , 冢ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ冣 , 冢⫺ ᎏ5ᎏ ; ⫺ ᎏ5ᎏ冣 . 2

6

4

14

4

18

■ Il grado di un sistema Fra i seguenti sistemi indica quelli di primo grado.

12 a)

冦

冦

1 7x ⫺ ᎏᎏ y ⫹ 1 ⫽ y 3 b) 4xy ⫺ 2 ⫽ 0

2x ⫺ y ⫽ 0 x 2 ⫺ 2xy ⫽ 0

c)

冦

3x ⫹ y ⫽ 1 ⫺ 2y

2y ⫹ 2 ⫽ 1 ⫺ x

Scrivi il grado di ciascuno dei seguenti sistemi.

13 a)

14 a)

冦

x⫽y ⫹2 4x ⫺ 3y ⫽ 2y ⫹ 2 ⫺ 5x

b)

冦

y ⫽ 4x 2 ⫺ 2x ⫹ 1 x2⫹y2⫽9

b)

冦

xy ⫽ ⫺ 7 x ⫽⫺y2⫹9

c)

冦

x 3 ⫺ 3x 2y 2 ⫽ 0 x 2y ⫺ 2 ⫹ 3xy ⫽ y

冦

x 2 ⫺ y 2 ⫽ 4xy ⫺ 8 2x ⫺ 3y ⫹ 1 ⫽ 0

c)

冦

xy 2 ⫽ 1 x⫹y ⫽2

15 COMPLETA i seguenti sistemi scrivendo un’equazione nelle incognite x e y in modo che il sistema formato dalle due equazioni abbia il grado indicato di fianco.

a)

冦

x ⫺y ⫹1⫽0

. ...........................

576

secondo grado

b)

冦

3x ⫺ 2y ⫽ 5 primo grado ............................

Paragrafo 2. Il metodo di sostituzione

ESERCIZI

■ La riduzione di un sistema lineare a forma normale ESERCIZIO GUIDA

16 Riduciamo a forma normale il seguente sistema:

冦4y ⫹ 2x ⫺ 1 ⫽ 0 2x ⫺ 5 ⫽ 7y

Dobbiamo scrivere le due equazioni nella forma ax ⫹ by ⫽ c, in cui compaiono le due incognite a primo membro e il termine noto a secondo membro. Il sistema ridotto a forma normale è:

冦

2x ⫺ 7y ⫽ 5

2x ⫹ 4y ⫽ 1

Fra i seguenti sistemi, indica quelli scritti in forma normale e riduci poi gli altri alla stessa forma. 17 a)

冦 x ⫽y ⫹1

b)

冦 6x ⫺ y ⫽ ⫺ 1

c)

冦 ⫺ 2x ⫹ 7y ⫽ ⫺ 2

18 a)

冦 2x ⫹ 3y ⫺ 1 ⫽ 0

b)

冦 8y ⫹ 7x ⫽ ⫺ 5

c)

冦 3x ⫽ ⫺ 2y ⫹ 6

2x ⫺ y ⫺ 3 ⫽ 0

x ⫺y ⫽0

y ⫽ 2x ⫹ 1

6x ⫺ y ⫽ 4

8x ⫹ 3y ⫽ 6

4x ⫽ y ⫹ 1

Riduci a forma normale i seguenti sistemi. 19

冦 x ⫹ 4y ⫺ 10 ⫽ ⫹ 14 ⫹ 1 ⫺ 3x ⫺ 6y 2x ⫺ 3y ⫺ 14 ⫽ 9 ⫺ 3x ⫹ y

20

冦 4(x ⫺ y) ⫹ 2(3x ⫺ y) ⫽ 14 9(x ⫹ y) ⫺ 8(x ⫺ y) ⫽ 19

–䊳

2. Il metodo di sostituzione

Teoria a pag. 561

ESERCIZIO GUIDA

21 Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione:

冦2(x ⫺ 1) ⫽ 3(1 ⫺ 2y) ⫹ 19 2y ⫺ 5 ⫽ ⫺ 2x ⫺ 6 ⫹ y

Riduciamo il sistema a forma normale:

冦2x ⫺ 2 ⫽ 3 ⫺ 6y ⫹ 19

2x ⫹ 2y ⫺ y ⫽ ⫺ 6 ⫹ 5

→

冦 2x ⫹ 6y ⫽ 22 ⫹ 2 2x ⫹ y ⫽ ⫺ 1

→

冦 2x ⫹ 6y ⫽ 24

2x ⫹ y ⫽ ⫺ 1

→

冦 x ⫹ 3y ⫽ 12

2x ⫹ y ⫽ ⫺ 1

577

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

Ricaviamo y dalla prima equazione, perché ha il coefficiente uguale a 1, quindi il calcolo è più semplice:

冦 x ⫹ 3y ⫽ 12

y ⫽ ⫺ 1 ⫺ 2x

Sostituiamo l’espressione a y nella seconda equazione:

冦 x ⫹ 3(⫺ 1 ⫺ 2x) ⫽ 12 y ⫽ ⫺ 1 ⫺ 2x

Risolviamo la seconda equazione:

冦 x ⫺ 3 ⫺ 6x ⫽ 12 y ⫽ ⫺ 1 ⫺ 2x

冦 ⫺ 5x ⫽ 15

y ⫽ ⫺ 1 ⫺ 2x

→

→

冦x ⫽ ⫺ 3

y ⫽ ⫺ 1 ⫺ 2x

Sostituiamo il valore di x nella prima equazione:

冦x ⫽⫺3

y ⫽ ⫺ 1 ⫺ 2(⫺ 3)

冦x ⫽ ⫺ 3 y ⫽5

→

La soluzione del sistema è (⫺ 3; 5).

Risolvi col metodo di sostituzione i seguenti sistemi. 22

冦x ⫹ y ⫽ 9

[(6; 3)]

30

冦 2(x ⫹ 1) ⫺ 3(y ⫺ 1) ⫽ 0

23

冦 x ⫺ 3y ⫽ 1

[(16; 5)]

31

冦 x ⫹ y ⫽ 40

24

冦 5x ⫹ 7y ⫽ 20

[(4; 0)] 32

冦x ⫹ y ⫽ 6 ⫺ 8

[(⫺6; 4)]

冦

33

冦

34

冦

25

x ⫺y ⫽3

2x ⫺ 5y ⫽ 7

5x ⫹ y ⫽ 20

x ⫺ 6y ⫹ 5 ⫽ 3 ⫺ 7y ⫹ 10 ⫹ 2x ⫹ 2

26

冦

2x ⫺ 4 ⫽ 3y 4y ⫺ 1 ⫽ 2x

27

冦

3x ⫺ 1 ⫽ 0 4x ⫹ 2y ⫽ 0

28

冦

2x ⫺ y ⫽ 7 4x ⫹ 3y ⫽ 4

29

冦

5(5x ⫺ 2) ⫽ 20x ⫺ 2(y ⫺ 3) 2(x ⫺ 5) ⫺ 12y ⫽ 21(1 ⫺ y)

578

冤冢

冣冥

19 ᎏᎏ; 5 2

冤冢ᎏ31ᎏ; ⫺ ᎏ32ᎏ冣冥 冤冢

冣冥

5 ᎏᎏ; ⫺2 2

35 [(2; 3)]

3(x ⫺ 1) ⫹ 2(y ⫹ 1) ⫺ 6 ⫽ 5

[(2; 3)]

8(x ⫺ y) ⫹ 6(x ⫹ y) ⫺ 96 ⫽ 144

[(20; 20)]

y x x ⫺ 2 ⫽ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ 3 2 5x ⫹ 3y 2x ⫺ y 7 ᎏᎏ ⫺ 3 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 6 4 12

冦

[(4; 3)]

3(x ⫺ 1) ⫺ 2(y ⫺ 1) 2 ⫽ 5 ⫺ 2y 2 6x(y ⫺ 1) ⫹ 3y(4 ⫺ 2x) ⫽ 0

x ⫺2 2y ⫺ 1 x ⫹y ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 5 3 15 1 ᎏᎏ x ⫺ 2y ⫽ 1 3 BRAVI SI DIVENTA

[(2; 1)]

[(⫺27 ; ⫺ 5)] 䉴 E30

3 1 ᎏᎏ (x ⫹ 1) ⫹ 4(x ⫺ y) ⫽ 3x ⫹ ᎏᎏ 2 3 7 2 x(1 ⫺ x) ⫹ (y ⫺ 2) ⫽ ᎏᎏ ⫹ (y ⫺ x)(x ⫹ y) 3

Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati

36

冦

(x ⫺ 2)2 ⫹ (y ⫺ 1)(y ⫹ 1) ⫽ x 2 ⫹ y 2 ⫹ 3 (x ⫺ 3y)(x ⫹ 3y) ⫺ x 2 ⫹ 3y ⫽ 4 ⫺ 9y 2 ⫺ 2x

37

冦

(x ⫺ 2y)(x ⫹ y) ⫹ 3y ⫽ x 2 ⫺ 2y 2 ⫺ xy ⫹ x 2x ⫺ 1 1 y⫹1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 2 6

ESERCIZI

冤冢0; ᎏ34ᎏ冣冥 [(0; 0)]

–䊳 Teoria a pag. 562

3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati ESERCIZIO GUIDA

38 Stabiliamo se ognuno dei seguenti sistemi è determinato, indeterminato o impossibile senza risolverlo. Interpretiamo poi graficamente i sistemi. a)

冦 3x⫺ 4y ⫽ 2 x ⫹ 2y ⫽ 4

b)

冦 4x ⫺ 2y ⫽ 2 2x ⫺ y ⫽ 1

c)

冦 ⫺ 3x ⫹ 6y ⫽ ⫺ 12 x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 2

a I tre sistemi sono scritti in forma normale, quindi confrontiamo in ognuno di essi i rapporti ᎏᎏ fra i coefa1 c b ficienti di x, ᎏᎏ fra i coefficienti di y e ᎏᎏ fra i termini noti. c1 b1 a)

冦

1x ⫹ 2y ⫽ 4

a 1 b 2 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . a1 3 b1 ⫺4 2

3x ⫺ 4y ⫽ 2

I due rapporti sono diversi, quindi il sistema è determinato. Le equazioni x ⫹ 2y ⫽ 4 e 3x ⫺ 4y ⫽ 2 sono rappresentate nel piano cartesiano da due rette. Troviamo alcuni punti mediante tabelle e disegniamo le rette. x x ⫹ 2y ⫽ 4 → y ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 y 2 3 3x – 4y = 2 x ⫺2 0 2 2

y

3

2

1

3 1 3x ⫺ 4y ⫽ 2 → y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ 4 2 x ⫺2 0 2 y

b)

冦

1 ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ 2

2x ⫺ 1y ⫽ 1 4x ⫺ 2y ⫽ 2

1

–2

O

–1 – 2

2

x x + 2y = 4

1 –2

c a 2 1 b ⫺1 1 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . c1 a1 4 2 b1 ⫺2 2 2

I tre rapporti sono uguali, quindi il sistema è indeterminato.

579

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

Rappresentiamo graficamente il sistema.

y

2x ⫺ y ⫽ 1 → y ⫽ 2x ⫺ 1 x

⫺1

0

1

y

⫺3

⫺1

1

2x –y = 1 4x –2 y = 2

1

–1

O

x

1

4x ⫺ 2y ⫽ 2 → y ⫽ 2x ⫺ 1

c)

冦

x

⫺1

0

1

y

⫺3

⫺1

1

–3

1x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 2

1 1 ⫺2 1 c ⫺2 1 a b ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . ⫺ 3 3 6 3 c ⫺ 1 2 6 a1 b1 1

⫺ 3x ⫹ 6y ⫽ ⫺ 12

a b c ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, quindi il sistema è impossibile. a1 b1 c1 Interpretiamolo graficamente. x x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 2 → y ⫽ ᎏᎏ ⫹ 1 2 x

⫺2

0

2

y

0

1

2

y 2 1 –2

x

⫺2

0

2

y

⫺3

⫺2

⫺1

2

O

x

–1

x y ⫽ ᎏᎏ ⫺ 2 2

⫺ 3x ⫹ 6y ⫽ ⫺ 12 →

x –2 y =–2

–3x +6x =–12 –2 –3

Per ogni sistema stabilisci se esso è determinato, impossibile o indeterminato, senza risolverlo. Se il sistema è determinato, risolvilo con il metodo di sostituzione. Interpreta poi graficamente il sistema. 39

冦 6x ⫹ 4y ⫽ 14

40

冦 x ⫹ 3y ⫽ 1

3x ⫹ 2y ⫽ 7

2x ⫺ y ⫽ 0

[indeterminato]

冤determinato, 冢ᎏ7ᎏ ; ᎏ7ᎏ冣冥 1

2

41

冦 18x ⫺ 6y ⫽ ⫺ 1

[impossibile]

42

冦 ⫺ 2x ⫹ y ⫽ ⫺ 2

[impossibile]

6x ⫺ 2y ⫽ 5

580

4x ⫺ 2y ⫽ 1

43

44

45

冦

冦 冦

y ⫺ 3x ⫽ 1 1 1 x ⫺ ᎏᎏ y ⫽ ⫺ ᎏᎏ 3 3 1 2x ⫹ ᎏᎏ y ⫺ 3 ⫽ 0 6 1 1 ᎏᎏ y ⫺ ᎏᎏ x ⫽ 1 2 2 1 1 ⫺ 4y ⫺ ᎏᎏ x ⫽ 0 3 2 1 ᎏᎏ x ⫹ 8y ⫽ ⫹ ᎏᎏ 3 2

[indeterminato]

冤determinato, 冢ᎏ1ᎏ3 ; ᎏ1ᎏ3 冣冥 16

42

[impossibile]

Paragrafo 3. I sistemi determinati, impossibili, indeterminati

ESERCIZI

Determina per quali valori di k i seguenti sistemi sono determinati, senza risolverli. 46

冦 2x ⫹ 3y ⫽ 6 kx ⫺ y ⫽ 1

冤k ⫽ ⫺ ᎏ23ᎏ冥

冦 2x ⫹ y ⫽ 2 x ⫺ 3y ⫽ k

47

Trova per quali valori di k i seguenti sistemi sono impossibili, senza risolverli.

[∀ k 僆 R]

48

冦 4x ⫹ 2y ⫽ 1

冦 ⫺ 2x ⫹ y ⫽ 1

冤k ⫽ ⫺ ᎏ14ᎏ冥

52

冦 x⫺ 2y ⫽ ⫹ 4

50

冦 6kx ⫹ 4y ⫽ 1

[k ⫽ ⫺ 2]

53

冦 3ax ⫹ 3y ⫽ ⫺ 9

51

冦 2x ⫺ 8y ⫽ 3

[k ⫽ 1]

54

冦 2ax ⫺ 4y ⫽ 3

3x ⫺ y ⫽ 5

kx ⫺ (k ⫹ 3)y ⫽ 1

冤k ⫽ ⫺ ᎏ15ᎏ冥

Trova per quali valori di a i seguenti sistemi sono indeterminati.

49

x ⫹ 2ky ⫽ 2

(k ⫹ 1)x ⫺ 2ky ⫽ k

2ax ⫹ y ⫽ ⫺ 2

冤a ⫽ ⫺ ᎏ14ᎏ冥

ax ⫹ ay ⫽ ⫺ 3

[a ⫽ 1]

⫺x ⫹y⫽2

[∃ / a 僆 R]

■ Sistemi e geometria analitica 55 ASSOCIA a ogni grafico il sistema di equazioni che lo rappresenta. y

y

3

3 1

1 O

x 2

2.

冦 x2y⫽⫽6x⫺⫹2y2

冦

x

x

–2 O

6

3.

1

1

x

b

冦 x6 ⫽⫽ 2y6y ⫺⫺ 23x

y

3

–2 O

6

a

1.

y

–6

c

O

2

d

2y ⫹ x ⫽ 2 1 y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 3 2

4.

冦 2yx ⫽⫽26⫺⫺2yx

Determina le coordinate degli eventuali punti di intersezione delle seguenti coppie di rette. 56 3x ⫺ y ⫹ 7 ⫽ 0;

2x ⫹ y ⫹ 3 ⫽ 0.

[(⫺ 2; 1)]

57 y ⫽ 4x ⫺ 7;

x ⫹ y ⫹ 2 ⫽ 0.

[(1; ⫺ 3)]

58 2x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0;

y ⫽ 2x ⫺ 3.

[nessun punto di intersezione]

59 3x ⫺ y ⫹ 9 ⫽ 0;

y ⫽ 2x ⫹ 6.

[(⫺ 3; 0)]

60 y ⫽ 3x ⫹ 1;

2y ⫺ 8 ⫽ 0.

[(1; 4)]

61 2x ⫺ 3y ⫺ 2 ⫽ 0;

6x ⫺ 9y ⫺ 6 ⫽ 0.

[rette coincidenti: infiniti punti di intersezione]

62 2x ⫹ y ⫹ 4 ⫽ 0;

2y ⫹ 5 ⫹ x ⫽ 0.

[(⫺ 1; ⫺ 2)]

63 2x ⫺ 6y ⫺ 12 ⫽ 0;

1 y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 2. 3

[rette coincidenti: infiniti punti di intersezione]

581

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

3 64 y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 1; 2

4x ⫹ 3y ⫺ 2 ⫽ 0.

65 y ⫽ 3x ⫺ 2;

3x ⫺ y ⫺ 1 ⫽ 0.

冤冢ᎏ1ᎏ7 ; ⫺ ᎏ1ᎏ7 冣冥 2

10

[nessun punto di intersezione]

66 Trova le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazioni x ⫺ 3y ⫺ 13 ⫽ 0, 4x ⫺ y ⫺ 8 ⫽ 0, 3x ⫹ 2y ⫺ 17 ⫽ 0 e calcolane l’area. [(3; 4), (1; ⫺ 4), (7; ⫺ 2); area ⫽ 22]

triangolo rettangolo. Calcola poi l’area del triangolo e le coordinate del circocentro D. 15 1 area ⫽ ᎏᎏ; D 1; ⫺ ᎏᎏ 4 2

67 Trova perimetro e area del triangolo individuato dalle rette di equazioni y ⫹ 2 ⫽ 0, 3x ⫺ 4y ⫹ ⫺ 11 ⫽ 0, 3x ⫹ 4y ⫺ 19 ⫽ 0, verificando che è un triangolo isoscele. [perimetro ⫽ 18; area ⫽ 12]

70 Di un parallelogramma ABCD sono noti l’equazione del lato AB, y ⫽ ⫺3x ⫹ 6, il vertice C (⫺1; 1), l’ascissa ⫺4 del vertice D e l’ascissa ⫺6 del vertice A. Determina le coordinate mancanti dei vertici A, B, D. [A (⫺6; 24); B (⫺3; 15); D (⫺4; 10)]

68 Scrivi l’equazione della retta r passante per P (0; 4) parallela alla retta 2x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0 e calcola l’area del quadrilatero limitato dalle due rette e dagli assi cartesiani. 15 2x ⫺ y ⫹ 4 ⫽ 0; area ⫽ ᎏᎏ 4

冤

冥

69 Date le rette y ⫺ x ⫽ 0, x ⫹ y ⫺ 3 ⫽ 0, x ⫺ 4y ⫺ 3 ⫽ 0, verifica che esse determinano un

冤

71 Determina per quale valore di k le rette (k ⫹ 1)x ⫹ y ⫺ 4 ⫽ 0 e kx ⫹ (k ⫺ 1)y ⫹ 2 ⫽ 0 si intersecano sull’asse delle ordinate. 1 k ⫽ ᎏᎏ 2 72 Determina per quale valore di k le rette (k ⫺ 2)x ⫹ ky ⫺ 1 ⫽ 0 e 2x ⫺ ky ⫹ 2 ⫽ 0 si incontrano sull’asse delle ascisse. [k ⫽ 1]

冤

䉴 14 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

73 Risolviamo col metodo del confronto il seguente sistema, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato:

冦3(x ⫹ 1) ⫹ 11 ⫽ 2(5 ⫺ 6y) 3y ⫺ 2x ⫹ 1 ⫽ 0

Riduciamo il sistema a forma normale:

冦3x ⫹ 3 ⫹ 11 ⫽ 10 ⫺ 12y ⫺ 2x ⫹ 3y ⫽ ⫺ 1

冦 3x ⫹ 12y ⫽ ⫺ 4

⫺ 2x ⫹ 3y ⫽ ⫺ 1

→

⫺2 3 Poiché ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , il sistema è determinato. 3 12 Poiché nessuno dei coefficienti di x o y è uguale a 1, è indifferente ricavare da entrambe le equazioni una variabile o l’altra. Ricaviamo y: 2x ⴚ 1 2x ⫺ 1 y ⴝ ᎏᎏ y ⫽ ᎏᎏ 3y ⫽ ⫺ 1 ⫹ 2x 3 3 → → ⴚ 3x ⴚ 4 2x ⴚ 1 ⴚ 3x ⴚ 4 12y ⫽ ⫺ 4 ⫺ 3x y ⴝ ᎏᎏ ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ 12 3 12

冦

582

冦

冥

–䊳 Teoria a pag. 567

4. Il metodo del confronto Nel sito:

冣冥

冢

冦

Paragrafo 5. Il metodo di riduzione

冦

2x ⫺ 1 y ⫽ ᎏᎏ 3

→

4 (2x ⴚ 1) ⴝ ⴚ 3x ⴚ 4

冦

2 ⴢ 0ⴚ 1 y ⴝ ᎏᎏ 3 x⫽0

→

冦

2x ⫺ 1 y ⫽ ᎏᎏ 3

→

8x ⴚ 4 ⴝ ⴚ 3x ⴚ 4

冦

1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ 3. x ⫽0

冦

ESERCIZI

2x ⫺ 1 y ⫽ ᎏᎏ 3

11x ⴝ 0

冢

冣

1 La soluzione del sistema è 0; ⫺ ᎏᎏ . 3

Risolvi con il metodo del confronto i seguenti sistemi, dopo aver stabilito se ognuno di essi è determinato, impossibile o indeterminato. 74

冦x ⫹ y ⫽ 5

75

冦

x ⫹ 4y ⫽ 4 1 y ⫽ ⫹ ᎏᎏ(x ⫺ 1) 2

冦

6x ⫽ 1 ⫺ 2y

76

77

3x ⫺ y ⫽ ⫺ 1

[(1; 4)]

冤冢2; ᎏ2ᎏ冣冥 1

冤冢

3 5x ⫹ y ⫽ ⫺ ᎏᎏ 2

冣冥

7 ⫺ 1; ᎏᎏ 2

冦

1 ᎏᎏ x ⫹ 4y ⫽ 5 3 1 5 ⫺ x ⫹ ᎏᎏ y ⫽ ⫺ ᎏᎏ 2 2

78

冦 3x ⫽ 6y ⫺ 4

79

冦 12x ⫹ 17 ⫽ 7y

80

冦

81

冦 3(y ⫺ 1) ⫹ 2[x ⫺ (x ⫺ 1) ] ⫽ ⫺ 2 ⫺ 2x(x ⫺ 2)

⫺ 3x ⫹ 6y ⫽ 4

[indeterminato]

(2x ⫺ 1)(y ⫹ 3) ⫹ 5y ⫹ 1 ⫽ 2x (y ⫹ 4) ⫹ x [(⫺ 2; ⫺ 1)]

3y ⫹ 24 ⫹ (y ⫺ 2) 2 ⫹ 4y ⫽ 4x ⫹ y 2 ⫹ 4 3x ⫹ 2y ⫽ 1 [(3; ⫺ 4)] 3x ⫹ 2(y ⫺ 4) 2 ⫽ 36 ⫹ 2y 2 ⫺ 15y ⫹ 2x 2

[(3; ⫺ 1)] 82

冦 5(y ⫺ x) ⫽ 1

83

冦

[(3; 1)]

5(x ⫺ y)[1 ⫹ (x ⫹ y)] ⫹ 5y 2 ⫽ 5x 2 ⫺ 6 [impossibile] 2(8 ⫺ 2x) ⫺ y ⫺ (y ⫹ 1) 2 ⫽ 3(y ⫺ x) ⫺ y 2 ⫺ 1 ⫺24⫹4(4⫺y)⫽x ⫺24⫹2y [indeterminato]

5. Il metodo di riduzione Nel sito:

–䊳 Teoria a pag. 567

䉴 8 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

84 Risolviamo i seguenti sistemi, già ridotti in forma normale, con il metodo di riduzione: a)

冦 4x⫺ 5y ⫽ ⫺ 1

⫺ 2x ⫹ 3y ⫽ 1

b)

冦 5x ⫹ 2y ⫽ 3

2x ⫺ 3y ⫽ 5

⫺2 3 a) Poiché ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, il sistema è determinato. 4 ⫺5 Eliminiamo x, moltiplicando i termini della prima equazione per 2 e sommando membro a membro: ⭈2

⫹

冦

⫺ 4x ⫹ 6y ⫽ 2 ⫹ 4x ⫺ 5y ⫽ ⫺ 1 y ⫽1

583

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

Sostituendo y ⫽ 1 in una delle due equazioni, per esempio la prima, si ha: ⫺ 2x ⫹ 3 ⭈ 1 ⫽ 1 → ⫺ 2x ⫽ 1 ⫺ 3 → → ⫺ 2x ⫽ ⫺ 2 → x ⫽ 1.

⭈2

⫹ ⭈3

冦

15x ⫹ 6y ⫽ 9

19x x

Il sistema ha come soluzione la coppia (1; 1). 2 ⫺3 b) Poiché ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , il sistema è determinato. 5 2 Eliminiamo y moltiplicando i termini della prima equazione per 2 e quelli della seconda per 3 e sommando membro a membro:

4x ⫺ 6y ⫽ 10

⫽ 19 ⫽1

Sostituiamo x ⫽ 1 nella seconda equazione: 5 ⫹ 2y ⫽ 3 → 2y ⫽ 3 ⫺ 5 → 2y ⫽ ⫺ 2 → y ⫽ ⫺ 1. La soluzione del sistema è (1; ⫺ 1).

Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione, dopo aver stabilito, per ciascuno, se è determinato, indeterminato o impossibile. y 1 x ⫺y ⫽4 x ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ ᎏᎏ ; ⫺ 2 [(5; 1)] 4 85 93 2 x ⫹ 3y ⫽ 8 2x ⫹ y ⫽ ⫺ 1

冦

冦

86

冦 4x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 3

87

冦 y ⫺ 2x ⫽ ⫺ 4

88

89

冤冢⫺ ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ冣冥 1

3x ⫹ 7y ⫽ 2

y ⫽ 6 ⫺ 3x

冦 7x ⫺ y ⫽ 1 2x ⫺ y ⫽ 3

2

x ⫽ 4y ⫹ 1

冦 2y ⫹ x ⫽ 1

91

冦

3x ⫺ 4 ⫽ 5y

冦

95

冦

(x ⫹ 2) 2 ⫺ 1 ⫽ x 2 ⫺ 5y 4x ⫺ 1 ⫽ ⫺ y

96

冦

x(x ⫹ y) ⫺ 3 ⫽ x ⫹ x 2 ⫹ xy ⫺ 2y 3(x ⫺ y) ⫹ 2 ⫽ 0

97

冦 6x ⫹ 7y ⫽ 9

[(2; 0)]

冦 4x ⫺ 16y ⫽ 3

90

94

1

冤冢⫺ ᎏ5ᎏ ; ⫺ ᎏ5ᎏ冣冥

y 5 x ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 3 3 3 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ y ⫽ 1 2 8

x⫹3 ᎏᎏ ⫽ 2 ⫺ y 3 3x ⫺ y ⫽ 4

冤冢ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ冣冥 3

冦

584

3x ⫺ 8y ⫽ ⫺ 12 1 ᎏᎏ x ⫹ 4y ⫽ ⫺ 3 2

冤冢

1

冤冢ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ冣冥 5

冤冢ᎏ13ᎏ ; 1冣冥

冣冥

冣冥

98

1 ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ 4 3

9 3 ⫺ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ 2 16

冣冥

99

7

10(x ⫺ 1) ⫹ 7y ⫺ (x ⫹ 1)(x ⫺ 1) ⫽ x (1 ⫺ x) ⫹ 1

冦

1 ⫹ 3(2x ⫺ 2)(1 ⫹ x) ⫺ 6x 2 ⫹ 3 ⫽ 2y ⫺ 6x ⫹ 4 x ⫺ 3y ⫹ 2 ⫽ 0 11 9 ᎏᎏ ; ᎏᎏ 8 8

冤冢

BRAVI SI DIVENTA

92

1

冤冢ᎏ2ᎏ ; ⫺ 1冣冥

13 1 ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ 11 11

冤冢

冣冥

19

[impossibile]

冤冢

冤冢

冦

冣冥

䉴 E31

2 x⫺5 3 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ y ⫽ x ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ y 5 3 5 2 (y ⫹ 1) ⫺ 6x ⫹ y(x ⫹ 1) ⫽ 10 ⫹ y (y ⫹ x ⫹ 1) ⫺ x

Paragrafo 6. Il metodo di Cramer

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. 568

6. Il metodo di Cramer ■ Il calcolo dei determinanti ESERCIZIO GUIDA

100 Calcoliamo il determinante

兩

2

4

3

⫺1

兩

Poiché, in generale:

nel nostro caso abbiamo:

兩

兩

a

b

c

d

兩

⫽ ad ⫺ bc,

2

4

3

⫺1

兩

⫽ 2 ⭈ (⫺ 1) ⫺ 4 ⭈ 3 ⫽ ⫺ 2 ⫺ 12 ⫽ ⫺ 14.

Calcola i seguenti determinanti.

⏐

[⫺1]

104

⏐

3 5

⏐

[1]

105

⏐

5 3

⏐

[22]

⏐

[0]

106

⏐

1

⏐

[1]

101

⏐

0 1

102

⏐

1 0

0 1

103

⏐

1 1

⫺1 ⫺1

1 0

⫺2 4 4 ⫺2

1 ᎏᎏ 2 ⫺3

⫺4

■ Il metodo di Cramer

⏐

1 ᎏᎏ 2 107 ⫺6

⏐

[⫺22]

108

109

Nel sito:

1 ⫺ ᎏᎏ 3 8

⏐

[2]

⏐

2a 2

⫺ 3a 3

⫺ 5a

4a 2

⏐

a ⫹b

2a ⫹ 2b

⏐

[⫺7a4]

⏐

a⫺b

3a ⫺ 3b

[a2⫺b2]

䉴 8 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

110 Utilizzando il metodo di Cramer, risolviamo il seguente sistema:

冦

2 x ⫺3 y ⫽ 1 4 x ⫹ 7 y ⫽ 15

Calcoliamo il determinante D, formato dai coefficienti di x e di y: 2 ⫺3 D⫽ 4 ⫽ 14 ⫹ 12 ⫽ 26. ⫹7

⏐

⏐

Calcoliamo Dx , ottenuto da D sostituendo la prima colonna dei coefficienti di x con i termini noti:

⏐

⏐

1 ⫺3 ⫽ 7 ⫹ 45 ⫽ 52. Dx ⫽ 15 ⫹ 7

冦 4x ⫹ 7y ⫽ 15 2x ⫺ 3y ⫽ 1

Calcoliamo Dy , ottenuto da D sostituendo la seconda colonna dei coefficienti di y con i termini noti:

⏐ ⏐

Dy ⫽

2 1 ⫽ 30 ⫺ 4 ⫽ 26. 4 15

Calcoliamo la soluzione: Dx 52 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2; D 26

Dy 26 y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1. D 26

La soluzione del sistema è (2; 1).

585

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

Risolvi i seguenti sistemi, usando il metodo di Cramer. 111

冦 3x2x ⫺⫹ y3y⫽⫽18

114

[(1; 2)] 115

冦 2x2x ⫺⫺ 43y⫹⫽y 8⫽ y (y ⫺ 3) ⫹ 16 2

112

113

冦

3x ⫹ 2y ⫹ 4 ⫽ 0 x (2x ⫺ 1) ⫺ x 2 ⫹ y ⫽ x 2 ⫹ 2y ⫹ 3

[(7; 2)]

[(2; ⫺ 5)]

116

冦 94x(2⫹⫺5yx)⫹⫹23y ⫹⫽70⫽ ⫺ 9

[(3; ⫺ 7)]

3 ᎏᎏ x ⫹ y ⫽ ⫺ 2 4 4 x ᎏᎏ y ⫹ x ⫽ 2 ⫺ ᎏᎏ 5 2

[(4; ⫺ 5)]

2 1 ᎏᎏ y ⫹ ᎏᎏ x ⫽ 5 3 5 5 2x ⫺ ᎏᎏ y ⫹ 3 ⫽ 8 6

[(5; 6)]

冦 冦

BRAVI SI DIVENTA

117

冢

䉴 E32

冣

1 2 9 x⫺ᎏᎏ ⫹y(x⫺8)⫽x(1⫹y)⫺(2⫺x)(x⫹2)⫹ᎏᎏ 2 4 3(y ⫹ 1) ⫺ x x 7y ⫺ x ⫺ 4 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 3 6

冦

RIEPILOGO

LA RISOLUZIONE DEI SISTEMI

118 VERO O FALSO? a) Il sistema

c) Il sistema

冦 axx ⫹⫹4y8y⫽⫽36

per a ⫽ 2 è impossibile. b) Il determinante

兩

Nel sito:

V

2 2

k ⫺1 0

F

兩 V

冦 x2x⫽⫹y2y⫺ ⫽1 0 rappresenta

nel piano cartesiano due rette parallele, quindi è impossibile. d) Il sistema

vale zero se k ⫽ 1.

䉴 13 esercizi in più

F

V

F

V

F

冦 yx ⫽⫺ ⫺3yx⫽⫹15

è equivalente a

冦 xy ⫽⫹ xy ⫽⫺ 53

■ I sistemi numerici interi Risolvi i seguenti sistemi lineari, utilizzando per ciascuno il metodo che ritieni più opportuno.

119

120

121

冦 冦 冦冢

586

1 2(2y ⫺ 1) ⫽ ⫺ ᎏᎏ x 3 x ⫹ 3y ⫺ 1 1 ᎏᎏ ⫽ 2 ᎏᎏ x ⫺ y 3 3 1 1 1 ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ y ⫺ ᎏᎏ 3 2 3 1 2 3 ᎏᎏ (x ⫺ y) ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x 2 3 2 5 4 (x ⫺ y) ⫽ y ⫺ ᎏᎏ 4 1 11 4 x ⫹ ᎏᎏ y ⫽ ᎏᎏ ⫺ 2y 2 2

冢

冢

冣

冣

冣

冤冢 冣冥 1 2; ᎏᎏ 3

冤冢

1 2 ᎏᎏ ; ᎏᎏ 2 3

冤冢

5 3 ᎏᎏ ; ᎏᎏ 8 4

冣冥 冣冥

122

123

124

冦冢 冢 冦 冦冤

冢

冣

5 3 1 4 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ y ⫽ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ 11 6 5 2 5 ⫺ ᎏᎏ 1; 1 9 2 x ⫹ y ⫹ ᎏᎏ ⫽ y ⫹ 1 9 1 y 2 1 (x ⫹ y) ᎏᎏ ⫹ y ⫺ xy ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ y ⫹ y 2 15 5 5 15 2y x 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ [(⫺ 3; 3)] 15 5

冣

冤冢

冣冥

冣

y ⫹3 ⫺ (x ⫹ 1)(x ⫺ 1) ⫹ x (x ⫹ 1) ᎏᎏᎏᎏ ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ 4 2 1 y ⫺1 ᎏᎏ (x ⫺ 1) ⫺ ᎏᎏ ⫽ 1 [indeterminato] 2 2

冥

RIEPILOGO La risoluzione dei sistemi

125

126

127

128

1 x (x ⫺ 1) 1 1 ᎏᎏ [3x ⫺ 4y ⫺ (2x ⫺ 7)] ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x 2 ⫽ ᎏᎏ y 6 4 4 2 x ⫺ 2y 3x ⫹ y 3⫺y ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 3 3

冦 冦

ESERCIZI

14

4

冤冢⫺ ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ冣冥

y (y ⫺ x)(1 ⫹ x) ⫺ x (y ⫺ x) ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ 4 6 10 x y2⫺x2 (y ⫺ x)(y ⫹ x) ⫺ (x ⫺ y) ᎏᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 6 ⫹ ᎏᎏ 4 2 2

[(16; 36)]

冦

2 3 ᎏᎏ ⫺ xy ⫽ ᎏᎏ ⫹ (1 ⫺ y)(x ⫺ 1) 15 5 (x ⫹ y)(4 ⫺ x) ⫹ x 2 ⫹ 2x ⫽ 2 ⫺ xy ⫹ y

冤冢ᎏ1ᎏ5 ; ᎏ5ᎏ冣冥

冦

1 2 x2 y ⫺x ᎏᎏ (x ⫹ 2y)(x ⫹ 1) ⫺ ᎏᎏ xy ⫺ 5 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 3 3 4 2(x ⫺ 8) ⫺ y y ⫹4 ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 7 3

[(35; ⫺ 37)]

2

2

■ I sistemi numerici fratti ESERCIZIO GUIDA

129 Risolviamo il seguente sistema fratto:

冦

y ⫺1 ᎏᎏ ⫽ 2 x⫺1 5 18 ⫺ 6x 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ y y

Calcoliamo le C.E.: x ⫽ 1 ∧ y ⫽ 0 e riduciamo il sistema a forma normale, moltiplicando la prima equazione per x ⫺ 1 e la seconda per y : y ⫺1 ᎏᎏ ⭈ (x ⫺ 1) ⫽ 2 ⭈ (x ⫺ 1) x⫺1 5 18 ⫺ 6x 1 ⫺ ᎏᎏ ⭈ y ⫽ ᎏᎏ ⭈ y y y

冦冢

冣

y ⫺ 1 ⫽ 2x ⫺ 2

冦 y ⫺ 5 ⫽ 18 ⫺ 6x ⫺ 2x ⫹ y ⫽ ⫺ 1

2x ⫺ y ⫽ 1

⫹

2x ⫺ y ⫽ 1

冦6x ⫹ y ⫽ 23 8x

⫽ 24

24 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3. 8 Sostituiamo x ⫽ 3 a una delle due equazioni, per esempio alla prima:

冦 6x ⫹ y ⫽ 23

冦 6x ⫹ y ⫽ 23

Utilizziamo il metodo di riduzione e sommiamo membro a membro le due equazioni per eliminare y:

x ⫽3

x ⫽3

x ⫽3

x ⫽3

冦2x ⫺ y ⫽ 1→ 冦6 ⫺ y ⫽ 1 → 冦⫺ y ⫽ ⫺ 5 → 冦y ⫽ 5 (forma normale)

2 Poiché ᎏᎏ ⫽ ⫺ 1, il sistema è determinato. 6

Poiché abbiamo ottenuto per x un valore diverso da 1 e per y un valore diverso da 0, la soluzione (3; 5) è accettabile.

587

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

Risolvi i seguenti sistemi di equazioni fratte.

130

冦

2 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0 x y 8x ⫺ 1 ⫽ ⫺ 15y

131

冦

y ᎏᎏ ⫽ 4 x⫺2 x ᎏᎏ ⫽ y ⫹ 8 2

冦

x⫹1 ᎏᎏ ⫽ 2 y⫺3 x⫹1 ᎏᎏ ⫽ y ⫺ 3 2

冦

1 1 3 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x y x 3 x ⫺ y ⫽ ⫺ ᎏᎏ 2

冤冢⫺3; ⫺ ᎏ2ᎏ冣冥

冦

x⫺y ᎏᎏ ⫽ 2 x⫹4 x⫹5 ᎏᎏ ⫽ ⫺ 1 y⫹3

[indeterminato]

冦

2(1 ⫺ 2x) ᎏᎏ ⫽ ⫺ 1 6 ⫺ 3y x⫹y⫽3

132

133

134

135

136

137

138

冦 冦

冦

588

冦

140

冦

y ⫹ x2 x 2 ⫹ 3x ⫹ 9 ᎏᎏ ⫺ 2x ⫽ ᎏᎏ x ⫺3 3 ⫺x ⫺ y ⫹ 9 ⫽ 3x

141

冦

2x ⫺ 8y 6x ⫹ 1 2(4y ⫺ 1) ᎏᎏ⫽ᎏᎏ⫹ᎏᎏ x⫺ 2 3(x ⫺ 2) 2⫺ x [impossibile] 3x 6 ᎏᎏ ⫺ 1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ y⫺1 1⫺y

142

冦

1 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫹4 y ⫺1 1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0 3y ⫹ 1 5x

143

冦

2⫹x x⫹1 x2 ᎏ ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫺ ᎏᎏ 1⫹x y y ⫹ xy x⫽1⫹y

144

冦

3x ⫺ y (1 ⫺ 2x) ⫽ 2(1 ⫹ xy) 1 2x ⫹ 3 (x ⫺ 1) ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ 3 y y

145

冦

1 x 2 2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ y xy ⫺ 2y x⫹1 x⫺2 [impossibile] y⫺x⫽⫺1

146

冦

1 ⫹y y ᎏ ᎏ⫽ᎏ ᎏ 2 2 x ⫺4 x ⫺ 4x ⫹ 4 y ⫹ x ⫽ 4(1 ⫹ x)

3

[(⫺ 1; 4)]

冤冢ᎏ2ᎏ ; 2冣冥 1

14 10 13 25 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x y 2x 2xy y ⫺ 3x ⫽ 0

冢

冢

冤冢ᎏ3ᎏ; ⫺1冣冥 [(⫺ 3; 18)]

1

[(⫺ 1; ⫺ 2)]

[(⫺2; ⫺3)]

冤冢ᎏ3ᎏ ; 2冣冥 4

冣

[(1; 3)]

y (2x ⫹ 1) x (2 ⫺ y) ᎏᎏ ⫺ 3y ⫽ ᎏᎏ x⫺ 1 x⫺1 x 4 2y 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ x y ⫺ ᎏᎏ 2 x

冣

[(0; ⫺ 8)]

139

[indeterminato]

1 2 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x y xy x⫹2 y⫹2 3 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ xy x y

冢

[(2; ⫺ 1)]

y⫹1 1 ⫺ 2x x⫺y ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 6 ⫺ 4x 2x ⫺ 3 12 ⫺ 8x 4 x ⫺ y ⫽ ᎏᎏ 3

冣

[(4; 2)]

冤冢⫺ ᎏ1ᎏ3 ; ⫺ ᎏ1ᎏ3 冣冥 18

2

RIEPILOGO La risoluzione dei sistemi

■ I sistemi letterali interi

Nel sito:

ESERCIZI

䉴 15 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

147 Risolviamo e discutiamo il seguente sistema letterale nelle incognite x e y al variare del parametro a in R:

冦

2x ⫹ y ⫽

2a (a ⫹ 1)x ⫹ ay ⫽ 2a

Il sistema è ridotto in forma normale. Applichiamo il metodo di Cramer. a ⫹ 1 ⫽ 5 D, Dx, Dy . Calcoliamo i determinanti (a ⫹ 2 ⫺ ⫽ 1 ⫽ 2a ⫺ (a ⫹ 1) ⫽ 2a ⫺ a ⫺ 1 ⫽ a ⫺ 1. D⫽ 2 a⫹1 a a (a2a⫹ 12 1 ⫽ 2a 2 ⫺ 2a ⫽ 2a(a ⫺ 1). Dx ⫽ 2a a

⏐

⏐

⏐ ⏐ ⏐ ⏐

2 2a ⫽ 4a ⫺ 2a(a ⫹ 1) ⫽ 4a ⫺ 2a 2 ⫺ 2a ⫽ 2a ⫺ 2a 2 ⫽ 2a(1 ⫺ a). a ⫹ 1 2a 5 a 5 a 1 (a ⫹ 2 a Il sistema è determinato se D ⫽ 0, cioè se a ⫺ 1 ⫽ 0 → a ⫽ 1. Dy ⫽

冦

●

Dx 2a(a ⫺ 1) x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2a D a⫺1 Se a ⫽ 1 si ha Dy 2a(1 ⫺ a) ⫺ 2a(a ⫺ 1) y ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 2a D a⫺1 a⫺1

●

Se a ⫽ 1 si ha D ⫽ 0, Dx ⫽ 0 e Dy ⫽ 0, quindi il sistema è indeterminato.

→

冦

x ⫽ 2a y ⫽ ⫺ 2a

Risolvi e discuti i seguenti sistemi letterali. 148

冦 x ⫹ 2y ⫽ 2(a ⫹ 1)

149

冦 2x ⫹ 4y ⫽ 0

150

冦x ⫹y ⫽3

151

3x ⫺ y ⫽ 6a ⫺ 1

[(2a; 1)]

x ⫹ y ⫽ 3a

冦 3x ⫹ 5y ⫽ ⫺ 7a 2x ⫹ y ⫽ 0

冦 xx ⫹⫹3y4y ⫽⫽2aa

153

冦

ax ⫹ ay ⫽ a ax ⫹ (a ⫹ 1)y ⫽ 2a

冦 xx ⫹⫺ 3yy ⫽⫽5a

a ⫹ 15 a ⫺ 5 ᎏ ; ᎏᎏ冣冥 冤det., 冢ᎏ 4 4

155

冦

冤

156

冦 x ⫺ 3y ⫽ a ⫺ 12

157

冦2ax ⫺ 4y ⫽ 24a

[(6a; ⫺ 3a)]

3ax ⫹ 5ay ⫹ 2a ⫽ ⫺ a

152

154

冤 a ⫽ 0, indet. 冥 a ⫽ 0, (9; ⫺ 6);

[(a; ⫺ 2a)] [(5a; ⫺a)]

冤

bx ⫹ b ⫺ by ⫽ 4b 2bx ⫺ b ⫹ by ⫽ 0

a ⫽ 0, det., (1 ⫺ a; a); a ⫽ 0, indet.

冥

158

冢

冤a ⫽ 2, indet. 冥

2x ⫺ 3ay ⫽ ⫺ 10a

3ax ⫹ 4y ⫽ ⫺ 4a

冦

冤

冥

冣

4 5 b ⫽ 0, det., ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ ; 3 3 b ⫽ 0, indet.

a ⫽ 2, (a; 4);

冤a ⫽ 0, indet. 冥 a ⫽ 0, (4; ⫺ 4a);

冢

冣

冥

a⫺ 1 1⫺ a ax ⫹y⫹1⫽a⫺x a⫽0, det., ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; a a x ⫺ay⫹y ⫽a⫺1 a ⫽ 0, indet.

589

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

159

160

161

162

冦

k (x ⫹ y) ⫺ (x ⫺ y ⫹ 5) ⫽ k kx ⫹ 2ky ⫹ k ⫽ 15

冦 冦 冦

x ⫺ 2ay ⫽ 1 x y 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3a 2 a

冤

冤

冢

冣冥

15 4 a ⫽ 0, ᎏᎏ ; ᎏᎏ 7 7a

3x ⫺ y ⫽ 3b x y 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2b b 2

163

[b ⫽ 0, (b; 0)]

1 2y 1 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫹ ᎏᎏ 4 3b 6 2bx ⫺ y ⫽ 3b

冢

冣

冥

3k ⫹ 5 5 ⫺ 2k k ⫽ 3 e k ⫽ 0, determinato, ᎏᎏ; ᎏᎏ ; k k k ⫽ 3, indeterminato; k ⫽ 0, impossibile

164

[b ⫽ 0, (2; b)]

166 Trova per quali valori di a il sistema letterale

冢

165

冦 冦 冦

2x ⫺ 3y ⫽ 5a 1 7 ᎏᎏ (x ⫹ y) ⫽ ᎏᎏ 5a 3

冤a ⫽ 0, 冢8a; ᎏ3ᎏ冣冥 11a

5x ⫺ by ⫽ 3b y 10x ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1 2 3b

冤b ⫽ 0, 冢ᎏ7ᎏ b ; ⫺ ᎏ7ᎏ冣冥

3x y ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 3 2ab a 2x ⫺ by ⫽ ab

冤a, b ⫽ 0, 冢ᎏ7ᎏ ; ᎏ7ᎏ a冣冥

冦 (a6ax⫹⫺1)x2y⫺⫽3ya ⫽ 2a

3

8ab

6

9

risulta determinato. Calcola poi il

冣

冤a ⫽ ᎏ18ᎏ ; a ⫽ ᎏ19ᎏ冥

1 1 valore di a per cui ammette la soluzione ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 2 9

冦 x5x⫺⫹4yay⫽⫽b1 è impossibile. Stabilisci se il sistema è determinato, in1 1 determinato o impossibile per a ⫽ ⫺ 10 e b ⫽ ᎏᎏ . a ⫽ ⫺ 20, b ⫽ ᎏᎏ ; determinato冥 冤 5 5

167 Trova per quali valori di a e b il sistema

168 Calcola per quali valori di a e b il sistema

⫹ by ⫽ 6 冦 3ax (a ⫺ 1)x ⫹ 2y ⫽ 3

è indeterminato. Stabilisci se il sistema è de-

terminato, indeterminato o impossibile per a ⫽ 2 e b ⫽ 12.

[a ⫽ ⫺ 2, b ⫽ 4; impossibile]

䊳 7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite – Nel sito:

䉴 14 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

冦

3x ⫺ 2y ⫹ z ⫽ 0 169 Risolvi il seguente sistema: x ⫺ y ⫹ z ⫽ 0 4x ⫹ 2y ⫺ 3z ⫽ 5 Osserviamo che si può applicare il metodo di riduzione alla prima e seconda equazione per eliminare z.

590

⫺

冦 x⫺

3x ⫺ 2y ⫹ z ⫽ 0 y ⫹z⫽0 2x ⫺ y ⫽0

Teoria a pag. 569

Paragrafo 7. I sistemi di tre equazioni in tre incognite

Sostituiamo la prima equazione del sistema con l’equazione equivalente ottenuta. Si ottiene:

冦

Ricaviamo y dalla prima equazione e procediamo per sostituzione:

冦

y ⫽ 2x x ⫺ 2x ⫹ z ⫽ 0 4x ⫹ 4x ⫺ 3z ⫽ 5

Dalla seconda equazione ricaviamo z e procediamo ancora per sostituzione:

冦

2x ⫺ y ⫽ 0 x⫺y⫹z⫽0 4x ⫹ 2y ⫺ 3z ⫽ 5

→

冦

ESERCIZI

y ⫽ 2x z⫽x → 8x ⫺ 3x ⫽ 5

冦

y ⫽ 2x z⫽x 5x ⫽ 5

→

冦

y⫽2 z⫽1 x⫽1

La soluzione del sistema è data dalla terna di numeri (1; 2; 1).

y ⫽ 2x ⫺x⫹z⫽0 8x ⫺ 3z ⫽ 5

Risolvi i seguenti sistemi mediante il metodo di sostituzione o quello di riduzione.

170

171

172

173

174

175

176

冦 冦 冦

x ⫹y⫹z ⫽3 2x ⫺ y ⫹ z ⫽ 2 4x ⫹ 2y ⫺ z ⫽ 5 2x ⫹ y ⫺ 3z ⫽ 1 x ⫹ y ⫹ 4z ⫽ 4 x ⫹ 2y ⫽ 41 x ⫹y⫺z ⫽6 x ⫹y ⫽3 x⫹z⫽0

冦

2x ⫹ 3y ⫺ z ⫽ 0 x ⫺y ⫹z ⫽1 3x ⫹ 2y ⫹ 4z ⫽ ⫺ 3

冦 冦

冦

[(1; 1; 1)]

[(⫺ 17; 29; ⫺ 2)]

冦

[impossibile]

178

冦

[(5; 1; 2)]

179

冦

[(3; 0; ⫺ 3)]

[(1; ⫺ 1; ⫺ 1)]

y⫽x⫹2 x ⫺z ⫽4 y ⫽ z⫺1

[impossibile]

x ⫽z⫹3 y⫽x y ⫺ z ⫽3

[indeterminato]

x ⫹ z⫺1 ⫽ 0 z y ⫹ ᎏᎏ ⫹ 1 ⫽ 0 2 2x ⫽ ⫺ z

177

180

181

[(⫺1; ⫺ 2; 2)]

182

3x ⫺ 2y ⫽ 1 2x ⫹ y ⫺ 3z ⫽ 2 4x ⫽ 6z ⫺ 2y ⫹ 1

13 ⫺ 3y x ⫽ ᎏᎏ 2 3y ⫽ z ⫹ 1 2x ⫹ 4y ⫹ z ⫽ 16 x ⫺ 2z y ⫹ ᎏᎏ ⫽ 2 3 x ⫺ 3y ⫽ 2z ⫺ 6

冤冢⫺ 1; 2; ⫺ ᎏ2ᎏ冣冥 1

z ⫺ y ⫹ 2x 3 ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ 3 2

冦

2(x ⫺ y) ⫹ 3(z ⫹ 2) ⫽ 24 5x ⫺ y ⫽ z ⫹ 3 4(y ⫹ 3x) ⫹ 4 ⫽ 2z

冦 冦

3(z ⫺ x) ⫽ y ⫹ 3(x ⫺ 3) 2(x ⫹ y) ⫺ 3 ⫽ z 5x ⫺ 4(y ⫹ z ⫹ 1) ⫽ ⫺ 4 2(x ⫺ 2y ⫹ z) ⫽ 5x ⫹ 1 3x ⫺ 4y ⫽ 1 ⫺ 4z 5 ⫺ 3x ⫹ 2y ⫽ 2(y ⫹ z) ⫹ 2

[(1; ⫺ 2; 4)]

[(4; 0; 5)]

[(⫺ 1; 2; 3)]

591

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

183

184

185

冦 冦

3(x ⫹ z) ⫺ 2(y ⫺ 4) ⫽ ⫺ 5 [(⫺ 2; ⫺ 1; ⫺ 3)] x ⫺ 3y ⫽ 4(4 ⫹ z) ⫺ 3 z ⫹ 3 ⫽ 2y ⫺ x 2(x ⫺ 3y ⫹ 2z) ⫽ 5 ⫺ 5x 7x ⫺ 3(x ⫺ y ⫹ 2) ⫽ z 2(x ⫹ 3y) ⫹ 1 ⫽ 3(2y ⫹ z)

冦

186

[(1; 1; 1)]

2 1 ⫺ ᎏᎏ (x ⫹ y) ⫹ 2(z ⫹ 1) ⫽ ᎏᎏ 3 3 1 3 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ z ⫽ y ⫺ 1 3 2 3(x ⫺ z) ⫽ x ⫹ y

冤冢

3 1 ᎏᎏ ; 2; ᎏᎏ 2 3

187

冣冥

冦 冦

2 ᎏᎏ (x ⫹ y) ⫽ z ⫺ 1 3 7 1 ᎏᎏ (z ⫺ x) ⫽ ᎏᎏ (y ⫹ 1) ⫹ 1 4 2 3 z ⫹ y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 1 2

冤冢1; ᎏ2ᎏ ; 2冣冥 1

4 2 ᎏᎏ y ⫺ 2x ⫽ z ⫺ ᎏᎏ 3 3 3 2 ᎏᎏ x ⫹ z ⫹ ᎏᎏ ⫽ 3y 2 3 x ⫽ 2(y ⫺ z)

冢

冤冢ᎏ32ᎏ ; 1; ᎏ32ᎏ冣冥

冣

Sistemi lineari e problemi ■ Problemi vari in due incognite ESERCIZIO GUIDA

188 Hai a disposizione € 5,00 per acquistare penne e quaderni. Se compri 4 quaderni e 3 penne, ti mancano € 0,25; se compri 3 quaderni e 3 penne, ti avanzano € 0,65. Quanto costa un quaderno e quanto una penna? 1. Richieste: Costo di un quaderno Costo di una penna

3. Relazioni: Costo di 4 quaderni ⫹ costo di 3 penne ⫽ 5 ⫹ 0,25 Costo di 3 quaderni ⫹ costo di 3 penne ⫽ 5 ⫺ 0,65

2. Incognite: x ⫽ costo di un quaderno (in euro) y ⫽ costo di una penna (in euro)

4. Sistema risolvente: 4x ⫹ 3y ⫽ 5,25 3x ⫹ 3y ⫽ 4,35 Condizioni: x ⬎ 0, y ⬎ 0, perché rappresentano il prezzo di due oggetti.

冦

5. Risoluzione: Poiché i coefficienti di y nelle due equazioni sono uguali, risulta semplice utilizzare il metodo di riduzione. Sottraiamo membro a membro:

冦

4x ⫹ 3y ⫽ 5,25 → ⫺ 3x ⫹ 3y ⫽ 4,35 ᎏᎏᎏ x ⫽ 0,9

冦 x ⫽ 0,9

4 ⭈ 0,9 ⫹ 3y ⫽ 5,25

→

冦 x ⫽ 0,9

3y ⫽ 5,25 ⫺ 3,6 ⫽ 1,65

La soluzione del sistema è (0,9; 0,55). Controllo: La soluzione è accettabile perché entrambi i valori sono numeri positivi. 6. Risposta: Un quaderno costa € 0,90, una penna costa € 0,55.

592

→

冦x ⫽ 0,9

y ⫽ 0,55

Sistemi lineari e problemi

189 Un automobilista percorre 615 km in due giorni. Sapendo che il tragitto del primo giorno è doppio di quello del secondo giorno, trova quanti km ha percorso ogni giorno. [410 km; 205 km] 190 Una scatola contiene forchette a 2 e a 3 punte. Sapendo che le forchette in totale sono 22 e che le punte in totale sono 54, calcola quante sono le forchette a 2 punte e quante quelle a 3. [12; 10] 191 Lucia e Elena sono sorelle. La somma delle loro età è 31 e Lucia è nata tre anni prima di Elena. Quanti anni ha ciascuna? [17; 14] 192 Possiedo € 30,00. Con questo denaro acquisto alcune magliette da € 6,50 ciascuna e alcuni fazzoletti da € 3,50 ciascuno. Sapendo che il numero di magliette coincide col numero di fazzoletti, calcola quante sono. [3] 193 Carlo e Laura possiedono due somme di denaro. Complessivamente potrebbero acquistare 6 confezioni di caramelle da € 0,35 ciascuna. Se Carlo regala € 0,20 a Laura, giungono ad avere la stessa somma di denaro. Quanto possiede Carlo e quanto Laura? [€ 1,25; € 0,85] 194 Un fruttivendolo compera una cesta di mele a € 0,45 al kg e un sacco di patate a € 0,10 al kg, spendendo in tutto € 6,40. Trova il peso delle mele e quello delle patate, sapendo che la cesta di mele costa il quintuplo del sacco di patate, più € 0,40. [12 kg; 10 kg] 195 Il proprietario di un ristorante ha comperato 300 bottiglie di vino e 50 di liquore, spendendo € 450,00. Ora compera 600 bottiglie della stessa qualità di vino e 120 bottiglie di liquore, spendendo € 960,00. Trova il costo di una bottiglia di vino e il costo di una bottiglia di liquore. [€ 1; € 3] 196 10 sacchi di frumento e 8 di mais pesano 1646 kg; 30 sacchi di frumento e 12 di mais, rispettivamente uguali ai precedenti, pesano 3894 kg. Quanto pesa ciascun sacco di frumento e ciascun sacco di mais? [95 kg; 87 kg] 197 Un bibliotecario vuole disporre in ordine dei libri di storia sugli scaffali di una libreria. Se mette 8

ESERCIZI

libri su ogni scaffale, ne rimane vuoto uno; se invece mette 6 libri su ogni scaffale, riempie la libreria ma gli restano fuori 2 libri. Quanti libri deve sistemare il bibliotecario? [32] 198 Determina due numeri naturali sapendo che la loro somma divisa per la loro differenza dà per 1 quoziente 3 e resto 4 e che la somma di ᎏᎏ del 6 2 maggiore e di ᎏᎏ del minore vale 7. 5 [18; 10] 5 199 Sommando ai ᎏᎏ della somma di due numeri i 6 3 ᎏᎏ della loro differenza, si ottiene 37. Sapen4 3 do che sommando i ᎏᎏ del minore al maggiore si 7 ottiene 26, determina i due numeri naturali. [7; 23] 200 Il rapporto tra la differenza di due numeri e la 1 somma aumentata di 6 è ᎏᎏ . Aggiungendo 3 3 al numero minore e togliendo 6 al maggiore, si ottiene lo stesso risultato. Determina i due numeri naturali. [6; 15] 201 La differenza delle età di due fratelli vale la metà 5 dell’età del minore, la loro somma vale i ᎏᎏ del3 l’età del maggiore. Determina le due età. [indeterminato] 202 In un negozio di alimentari vi sono 23 scatole di cioccolatini. Alcune contengono 3 cioccolatini e altre 10. Sapendo che complessivamente ci sono 111 cioccolatini, calcola quante sono le scatole da 3 cioccolatini e quante quelle da 10. [17; 6] 203 Due numeri naturali sono rispettivamente proporzionali ai numeri 3 e 5. Aggiungendo 2 al minore e togliendo 5 al maggiore, si ottengono due 7 numeri il cui rapporto è ᎏᎏ . Trova i due nu10 meri. [33; 55] 204 In una classe prima elementare sono iscritti 18 alunni. Sapendo che alcuni di questi hanno 5 anni e altri 6, e che l’età complessiva degli iscritti è 100 anni, calcola quanti sono i bambini di 5 anni e quanti di 6. [8; 10]

593

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

BRAVI SI DIVENTA

䉴 E33

205 In un trapezio isoscele che ha il perimetro uguale a 128 cm, il rapporto tra la base maggiore 9 e la base minore è ᎏᎏ . Trova l’area del trapezio 7 4 sapendo che i ᎏᎏ del lato obliquo superano di 5 2 19 cm i ᎏᎏ della base minore. 3 206 Determina due numeri naturali sapendo che, dividendo il primo per il secondo, si ottiene 3 per quoziente e 1 per resto e che il primo è 3 volte il secondo aumentato di 1. (Suggerimento. Se dividiamo a per b con quoziente q e resto r si ottiene a ⫽ bq ⫹ r.) [indeterminato] 207 In un numero di due cifre la somma delle cifre è 11. Dividendo il numero per la cifra delle decine si ottiene per quoziente 14 e resto 1. Trova il numero. [29] 208 L’età di una madre supera di 5 il quintuplo dell’età del figlio. Tra 7 anni l’età della madre sommata a quella del figlio darà per risultato 55. Trova le due età. [35; 6] 209 Due serbatoi hanno capacità rispettivamente proporzionali a 7 e 4. Il serbatoio maggiore contiene tanto liquido quanto quello minore più i 3 ᎏᎏ di quest’ultimo. Determina le capacità. 4 [indeterminato]

210 In un parcheggio ci sono 20 tra automobili e camion. Sapendo che i camion hanno 6 ruote, invece di 4 come le automobili, e che ci sono complessivamente 86 ruote, calcola quante sono le automobili e quanti i camion. [17; 3] 211 Trova due numeri sapendo che dividendo il doppio del maggiore per il minore si ottiene per quoziente 2 e resto 10 e aumentando il maggiore di 11 si ottiene il doppio del minore. [16; 21] 212 In un numero di due cifre la cifra delle decine è doppia di quella delle unità. Scambiando le due cifre si ottiene un nuovo numero che è minore del primo di 36. Determina il numero di partenza. (Suggerimento. Se x è la cifra delle decine e y quella delle unità il numero è 10 ⭈ x ⫹ y.) [84] 213 Angela investe un capitale di € 40 000 in banca, in parte al tasso annuo d’interesse al 5% e il rimanente al 3%. Se dopo un anno il guadagno della prima quota supera di € 300 quello della seconda, a quanto ammontava ciascuna delle due quote investite? Quali sono i due guadagni? [€ 18 750, € 21 250; € 937,50, € 637,50]

■ Problemi di geometria in due incognite ESERCIZIO GUIDA

2 214 Un rettangolo ha il perimetro di 48 cm. Sapendo che il doppio dell’altezza è i ᎏᎏ della base, quali sono le 3 lunghezze della base e dell’altezza? 1. Richieste: Lunghezza di AB (in cm) Lunghezza di BC (in cm) 2. Incognite: x ⫽A  B y ⫽ B C

3. Relazioni: Perimetro ⫽ 48 cm 2 2⭈ B C ⫽ ᎏᎏ ⭈ A  B 3 D

4. Sistema risolvente: 2x ⫹ 2y ⫽ 48 2 2y ⫽ ᎏᎏ x 3

冦

C y

A

594

x

B

Condizioni: x ⬎ 0, y ⬎ 0, poiché sono misure di lunghezza.

Sistemi lineari e problemi

ESERCIZI

5. Risoluzione: ⬊2 ⬊2

冦

x ⫹ y ⫽ 24 1 y ⫽ ᎏᎏ x 3

→

冦

1 x ⫹ ᎏᎏ x ⫽ 24 3 → 1 y ⫽ ᎏᎏ x 3

冦

4 ᎏᎏ x ⫽ 24 3 1 y ⫽ ᎏᎏ x 3

→

冦

3 x ⫽ 24 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 18 4 1 y ⫽ ᎏᎏ ⭈ 18 ⫽ 6 3

La soluzione del sistema è (18; 6). Controllo: La soluzione è accettabile poiché 18 e 6 sono entrambi positivi. 6. Risposta: Il rettangolo ha la base di 18 cm e l’altezza di 6 cm. 215 Calcola la lunghezza di due segmenti, sapendo che la loro somma è 19 m e la loro differenza è 5 m. [12 m; 7 m] 216 Calcola l’area e il perimetro di un rettangolo, sapendo che le due dimensioni sono tali che la loro somma è 10 cm e che, aggiungendo 1 cm alla minore e togliendo 1 cm dalla maggiore, si ottiene un quadrato. [24 cm 2; 20 cm] 217 Calcola l’area di un rombo, sapendo che il rap5 porto tra le diagonali è ᎏᎏ e che la differenza fra 2 la maggiore e il doppio della minore vale la metà [indeterminato] della minore. 218 Calcola le lunghezze dei lati di un parallelogramma, sapendo che il perimetro vale 34k e che il maggiore è uguale al doppio del minore più 2k. [12k; 5k] 219 Calcola le lunghezze delle basi di un trapezio, sapendo che l’area è 32 cm 2, l’altezza è 4 cm e la differenza delle basi è 4 cm. [10 cm; 6 cm] 224

220 Calcola la lunghezza delle diagonali di un rom1 bo, sapendo che la somma di ᎏᎏ della maggio10 1 re e ᎏᎏ della minore è 19 m e che, diminuendo 9 la maggiore di 10 m e aumentando di 9 m la minore, le due diagonali diventano congruenti. [100 m; 81 m] 221 Calcola la lunghezza dei lati di un rettangolo, sapendo che il suo perimetro è 68 m e che il doppio della dimensione minore è uguale alla dimensione maggiore diminuita di 4 m. [24 m; 10 m] 222 Calcola i raggi di due circonferenze concentriche, sapendo che la loro differenza è 4 cm e che il raggio minore è la metà di quello maggiore aumentato di 1 cm. [6 cm; 10 cm] 223 In un trapezio rettangolo, la differenza tra le basi 8 vale 12k. La base maggiore è uguale agli ᎏᎏ del5 la base minore. Sapendo che l’altezza è 5k, calcola area e perimetro. [130k 2; 70k]

In una città si è costruita una aiuola quadrata tenuta a prato con al centro una fontana, anch’essa quadrata, disposta come in figura. Per i contorni, sia interno sia esterno, sono stati usati 176 m di bordo in marmo. Per il contorno esterno però sono serviti 112 m in più che per il contorno interno. Quanto è grande [1296 m2; 1232 m2] l’aiuola? Quanti m2 sono rimasti per il prato?

225 In un rettangolo la base supera di 3a il doppio dell’altezza. Costruisci esternamente al rettangolo quattro triangoli isosceli, aventi per basi i lati del rettangolo e le altezze, relative a essi, di lunghezza 8a. Sapendo che l’area dell’ottagono così ottenuto supera di 168a2 l’area del rettangolo dato, determina il perimetro del rettangolo e dell’ottagono. [42a; ⯝ 78a]

595

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

226 Calcola l’ampiezza dei due angoli acuti di un triangolo rettangolo, sapendo che la somma dei 3 5 ᎏᎏ del maggiore e del minore vale i ᎏᎏ del mi7 2 nore. [70°; 20°] 227 Determina le ampiezze di due angoli, supplementari, sapendo che essi diventano congruenti sottraendo 20° al maggiore e sommando 20° al minore. [110°; 70°] 228 Calcola la lunghezza della diagonale di un rettangolo, sapendo che il perimetro è 14 m e che l’altezza supera la base di 1 m. [5 m] 229 Calcola l’area di un trapezio isoscele, sapendo che le basi differiscono di 6 m, che la base maggiore è uguale al doppio della minore diminuito di 3 m e che il lato obliquo è 5 m. [48 m 2 ] 230 Calcola l’area di un triangolo isoscele, sapendo che il perimetro è 16a e che il doppio del lato obliquo è uguale alla base aumentata dei suoi 2 [12a 2 ] ᎏᎏ . 3 231 Calcola il perimetro di un rombo, sapendo che le sue diagonali differiscono di 2a e che la loro semisomma è il doppio della minore diminuito di 5a. [20a] 232 Calcola l’area di un rettangolo, sapendo che il perimetro è 26 cm e che, se si tolgono 2 cm alla dimensione maggiore e si aggiungono 3 cm alla dimensione minore, quest’ultima diventa superiore di 4 cm rispetto all’altra. [42 cm 2 ] 233 Due circonferenze sono tangenti. La distanza tra i centri vale il doppio del raggio minore più 4 2 cm. Il raggio maggiore, sommato ai ᎏᎏ del rag3 gio minore, vale 9 cm. Calcola le aree dei due cerchi. [9␲ cm 2; 25␲ cm 2 ] 234 Calcola le lunghezze dei lati di un rettangolo, sapendo che il maggiore supera di 4 cm il minore e che, aumentando di 2 cm il maggiore e diminuendo di 1 cm il minore, l’area diminuisce di [8 cm; 4 cm] 2 cm 2.

596

■ Problemi in tre incognite 235 Cinque ragazze fanno colazione al bar prendendo: 2 caffè, 3 bicchieri di latte, 4 brioche. Alla richiesta del conto il barista Lorenzo, con fare scherzoso, risponde: «Un caffè e un bicchiere di latte fanno € 1,00, un bicchiere di latte e una brioche fanno € 1,15, un caffè e una brioche fanno € 1,35. Quanto mi dovete?». [€ 5,40] 236 In un triangolo ABC, un terzo dell’ampiezza del^ ^ l’angolo A supera di 5° l’ampiezza dell’angolo B . Determina le ampiezze dei tre angoli, sapendo 3 ^ ^ [105°; 30°; 45°] che C è ᎏᎏ di B . 2 237 La settimana scorsa ho comprato 3 litri di latte e 2 pacchi di biscotti, spendendo € 4,70. Qualche giorno fa ho comprato 2 litri di latte e 6 uova e ho speso € 2,60. Oggi, comprando un pacco di biscotti e 12 uova, ho speso € 2,05. Trova il prezzo di ciascun prodotto. [€ 1; € 0,85; € 0,10] 238 Fabrizio è 20 cm più alto di Aldo e 13 cm più di Antonio. La media delle altezze di Fabrizio, Aldo, Antonio è 174 cm. Determina le altezze dei tre. [185 cm; 165 cm; 172 cm] 239 Tre numeri naturali hanno somma 78. Il primo diviso per il secondo dà quoziente 3 e resto 11, diviso per il terzo dà quoziente 2 e resto 9. Trova i tre numeri. [47; 12; 19] 240 La media delle età di Giorgio, Luigi, Marco è 20. L’età di Giorgio sta all’età di Luigi come 2 sta a 1. Dividendo l’età di Marco per l’età di Luigi, si ottiene per quoziente 1 e per resto 8. Determina l’età dei tre. [26; 13; 21] 241 Tre numeri naturali sono tali che il secondo è la somma degli altri due aumentata di 7. La differenza tra il secondo e il primo è tre volte la metà del terzo, mentre la differenza tra il terzo e il dop2 pio del primo è i ᎏᎏ del secondo. Trova i tre nu13 meri. [5; 26; 14] 242 In un trapezio isoscele, la base maggiore è inferiore di 1 cm al doppio della base minore, che è i 3 ᎏᎏ del lato obliquo. Sapendo che il perimetro è 4 16 cm, determina le lunghezze dei lati. [4 cm (lato obliquo); 3 cm (base minore); 5 cm (base maggiore)]

Sistemi lineari e problemi

243 In un parallelepipedo i perimetri dei rettangoli individuati da ciascuna faccia sono rispettivamente 26 cm, 24 cm, 18 cm. Determina il volume del parallelepipedo. [160 cm 3 ] 3 244 In un triangolo la lunghezza di ᎏᎏ di un lato è 4 uguale a quella di un altro lato aumentata di 1 cm; il terzo lato è la semisomma dei primi due, mentre il perimetro del triangolo è 9 cm. Determina la lunghezza dei tre lati. [4 cm; 2 cm; 3 cm] 245 Un quadrilatero avente due lati congruenti tra loro ha il perimetro uguale a 13 cm. Tali lati insieme sono lunghi come un terzo lato, il quale è 1 cm in meno del quarto lato. Trova la lunghezza dei quattro lati del poligono. [2 cm; 2 cm; 4 cm; 5 cm] 246 In un trapezio rettangolo, la base maggiore supera la minore di 2 cm. Il rettangolo avente come lati la base minore e l’altezza del trapezio avrebbe perimetro 14 cm, mentre il triangolo avente come lati le basi e l’altezza del trapezio avrebbe perimetro 12 cm. Determina l’area del trapezio. [16 cm 2 ] 247 Il perimetro di un triangolo isoscele è uguale a 4 quello di un rombo, il cui perimetro è i ᎏᎏ della 3 somma dei due lati congruenti del triangolo. La somma dei due perimetri è 32 cm. Determina le lunghezze dei lati dei due poligoni. [4 cm; 6 cm; 4 cm] 248 Due triangoli isosceli hanno la stessa base. Il perimetro del primo è 11 cm, quello del secondo è 7 cm, mentre quello del quadrilatero individuato dai due lati congruenti di ciascun triangolo è 12 cm. Determina le lunghezze dei lati dei due triangoli. [3 cm; 4 cm; 2 cm] 249 In un trapezio la base maggiore, doppia della 4 2 base minore, è i ᎏᎏ di un lato obliquo e i ᎏᎏ 3 3 dell’altro. Il perimetro del trapezio è 15 cm. Determina le lunghezze dei lati del poligono. [6 cm; 3 cm; 4 cm; 2 cm] 250 Tre chiodi di 6 cm, 9 cm e 7 cm vengono piantati alla parete. La somma delle porzioni conficcate è 17 cm e le porzioni esterne sono uguali per i pri-

ESERCIZI

mi due, un centimetro in meno per il terzo. Calcola di quanto affonda ciascun chiodo nel muro. [4 cm; 7 cm; 6 cm] 251 Tre metri di stoffa rossa e due di stoffa blu sono costati a Silvia € 42,50. Essendo avanzati due metri di stoffa rossa, Silvia è tornata al negozio per restituirli e, per cinque metri di stoffa verde, ha dovuto pagare ancora € 15. È tornata infine per un altro metro di stoffa blu e due metri di stoffa verde, pagando € 22. Determina il costo delle tre stoffe al metro. [€ 7,50; € 10; € 6] 252 La somma delle cifre di un numero di 3 cifre è 12. La somma della cifra delle decine e di quella delle centinaia è doppia della cifra delle unità. Diminuendo di 3 la cifra delle decine e aumentando di 3 la cifra delle unità, si ottiene un numero dove, rispetto al numero iniziale, risultano scambiate decine e unità. Determina il numero. [174] 253 Sono andata in pasticceria e ho comprato 10 paste, 6 cioccolatini e 15 caramelle; ho speso € 9,00. Se avessi comprato 5 paste in meno avrei speso € 6,00. Un mio amico, che ha comprato 5 paste e 10 cioccolatini, ha speso € 5,50. Determina il costo unitario di paste, cioccolatini e caramelle. [€ 0,60; € 0,25; € 0,10] 254 Due triangoli isosceli hanno egual base. Il perimetro del primo è 19 cm, quello del secondo 11 cm; inoltre la differenza tra uno dei lati congruenti e la base del primo triangolo è pari alla misura di uno dei lati congruenti del secondo diminuito di 1 cm. Determina le lunghezze dei lati dei due triangoli. [5 cm; 7 cm; 3 cm] 255 La somma delle diagonali di un rombo è pari alla lunghezza del perimetro di un quadrato; la diagonale minore ha la lunghezza del lato del quadrato aumentata di 1 cm, mentre la diagonale maggiore è lunga quanto la somma della diagonale minore e del lato del quadrato. Determina la lunghezza delle due diagonali del rombo e del lato del quadrato. [5 cm; 3 cm; 2 cm] 256 Il perimetro di un triangolo isoscele è pari al perimetro di un quadrato aumentato di 1 m. La base del triangolo è lunga quanto il lato del quadrato, mentre la somma dei due lati congruenti è pari al quadruplo della base diminuito di 4 m. Trova le lunghezze dei lati dei due poligoni. [5 m; 5 m; 8 m]

597

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

■ Problemi in due o tre incognite

266 Se il sistema

2ax ⫹ by ⫽ 4 ha come solu冦 ⫺bx ⫹ 3ay ⫽ ⫺ 26

257 In un rettangolo il perimetro è 80 cm. La base supera l’altezza di 10 cm. Trova le dimensioni del rettangolo. [25 cm; 15 cm]

zione x ⫽ ⫺ 2, y ⫽ 4, quali sono i valori di a e b? [⫺2; ⫺1]

258 Due lati di un triangolo stanno tra loro come 3 sta a 4, il terzo lato è pari alla loro somma diminuita di 2 cm, mentre il perimetro è 26 cm. Trova i tre lati del triangolo. [6 cm; 8 cm; 12 cm]

267 In un cortile si contano, tra gatti, cani e galline, 17 teste e 54 zampe. Il numero dei gatti supera di 2 quello dei cani. Determina quanti sono gli animali di ciascun tipo. [6; 4; 7]

259 Per coprire una spesa di € 30,00, Anna, Giorgio e Giuseppe decidono quanto segue. Anna pagherà 1 ᎏᎏ della somma pagata complessivamente da 5 3 Giorgio e Giuseppe, Giorgio pagherà i ᎏᎏ della 7 somma pagata da Giuseppe. Determina l’importo pagato dai tre. [€ 5,00; € 7,50; € 17,50]

268 Le case di tre amiche si trovano sui vertici di un triangolo. Anna va a trovare Carla, passando da Barbara, e percorre in tutto 3 km. Se Carla va a trovare Barbara, e torna a casa, dopo essere passata da Anna, percorre 5,5 km. Quando Barbara va da Carla, dopo essere stata a prendere Anna, percorre 4 km. Calcola le distanze tra le case delle tre amiche. [1,5 km; 1,5 km; 2,5 km]

260 Determina una frazione, sapendo che il denominatore è il doppio del numeratore aumentato di 1 e che, diminuendo di 1 il numeratore e aumentando di 1 il denominatore, si ottiene la frazio1 5 ᎏᎏ ne ᎏᎏ . 3 11

 

261 In una fabbrica ci sono 2 macchine, la prima produce 10 pezzi all’ora, la seconda 7 pezzi all’ora. Le due macchine hanno prodotto in tutto 191 pezzi lavorando complessivamente 23 ore. Determina il numero dei pezzi prodotti dall’una e dall’altra macchina. [100; 91] 262 Una retta di equazione y ⫽ mx ⫹ q passa per A(2; ⫺ 1) e B(4; 3). Trova m e q. [2; ⫺ 5] 3

263 Il polinomio ax ⫹ bx ⫹ 2 ha come zeri i valori x ⫽ ⫺ 1 e x ⫽ 2. Trova a e b. [⫺ 1; 3] 264 Il polinomio P(x) ⫽ x3 ⫹ ax2 ⫺ 2x ⫹b è divisibile per (x ⫹ 1) e per (x ⫺ 2). Trova a e b. [⫺1; 0] 265 Trova per quali valori di a e b i due polinomi A(x) ⫽ (a ⫹ b)x 2 ⫹ 2bx ⫹ 2 e B(x) ⫽ 3ax 2 ⫹ (a ⫹ 6)x ⫹ 2 sono identici. [2; 4]

598

269 Un giovane imprenditore vuole iniziare una nuova attività. Una legge per l’imprenditoria giovanile gli consente di scegliere fra due diversi regimi fiscali: nel primo caso le tasse sono pagate a percentuale fissa, pari al 25% dei guadagni, e nel secondo caso le tasse sono pagate a fasce di reddito, cioè sui primi 20 000 euro di guadagno deve pagare il 10%, sulla parte eccedente deve pagare il 35%. Rappresenta graficamente la situazione e stabilisci qual è il regime più conveniente a seconda delle previsioni di guadagno. [fino a un guadagno di € 50 000 conviene il secondo regime fiscale] 270 Un gestore di telefonia mobile A offre ai propri clienti la tariffa di € 0,10 per ogni minuto di conversazione, con in più lo scatto alla risposta che addebita € 0,10 all’inizio della conversazione. Il secondo gestore B offre invece la tariffa di € 0,01 ogni 4 secondi di conversazione, senza scatti alla risposta. Rappresenta la situazione in un grafico cartesiano e stabilisci, sulla base di esso, quale delle due tariffe è la più conveniente in relazione all’uso che si intende fare del telefonino. [fino a 120 secondi conviene il gestore B]

LABORATORIO DI MATEMATICA I sistemi lineari con Derive

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

I sistemi lineari con Derive ESERCITAZIONE GUIDATA

Troviamo le coordinate del punto Q, sapendo che appartiene all’asse y e che è equidistante dai punti R e P. Il 1 15 punto R ha coordinate (5; 0) e il punto P è l’intersezione fra le rette u di equazione y ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ e v di 2 2 3 19 equazione y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ . Tracciamo il grafico dei dati e dei risultati. 2 2 Per risolvere il problema svolgiamo i seguenti passi: troviamo le coordinate del punto P; ● scriviamo  QP e QR  in funzione dell’ordinata di Q, sapendo che l’ascissa di Q vale 0; ● determiniamo l’ordinata di Q. ●

Entriamo in ambiente Derive. Risolviamo il sistema delle equazioni delle rette u e v. ● Immettiamo la formula della distanza fra due punti. ● Con Semplifica_Sostituisci variabili, applicato alla formula precedente, ricaviamo Q R  in funzione dell’ordinata di Q. ● Operiamo in modo simile per Q P . ● Con Risolvi_Espressione risolviamo l’equazione  QR 2 ⫽   2, trovando l’ordinata di Q. QP ● Dopo aver immesso le coordinate, ora note, dei punti P, Q e R attraverso la matrice [1, 8; 0, 5/2; 5,0], con gli strumenti di Derive tracciamo i grafici dei dati e dei risultati. ● ●

䉱

Nel sito:

Figura 1

䉴 1 esercitazione guidata con Derive 䉴 14 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Risolvi i seguenti problemi in modo analogo a quello dell’esercitazione guidata. 1

Trova la distanza fra i punti P e Q, sapendo che P è l’intersezione con l’asse x della retta r di equazione 1 [PQ  ⫽ 1] y ⫽ 2x ⫺ 4 e Q è l’intersezione fra le rette s e t rispettivamente di equazione y ⫽ 3x ⫺ 7 e y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x. 2

2

Determina le coordinate del punto medio M del segmento AB, sapendo che A ha coordinate (4; ⫺1) e B è l’intersezione fra la retta r, passante per P(3; 3) e parallela alla retta p di equazione y ⫽ ⫺ 2x ⫹ 2, e la retta s di equazione y ⫽ ⫺ 4x ⫹ 13. [M(3; 2)]

3

Determina l’equazione della retta r, sapendo che passa per M, punto medio del segmento A(2; ⫺1) e B(4; ⫺5), e per N, punto d’incontro fra le rette s e t rispettivamente di equazione 4y ⫹ 3 ⫽ 0 e 2x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0. [3x ⫹ 7y ⫹ 12 ⫽ 0]

599

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

Matematica per il cittadino I CICLISTI

Due amici ciclisti percorrono, a velocità costanti diverse, una pista circolare di 330 metri. Se partono insieme dallo stesso punto e pedalano nello stesso verso, si incontrano ogni 7 minuti e mezzo; se viaggiano in versi opposti, si incrociano ogni 18 secondi. 1. Indicati con s, t e v rispettivamente lo spazio percorso da un ciclista, il tempo impiegato a percorrerlo e la velocità costante dell’andatura, stabilisci quali relazioni sono vere. 1. v ⫽ s ⭈ t

v 4. t ⫽ ᎏᎏ s

7. t ⫽ v ⭈ s

2. s ⫽ v ⭈ t

s 5. v ⫽ ᎏᎏ t

s 8. t ⫽ ᎏᎏ v

t 3. s ⫽ ᎏᎏ v

v 6. s ⫽ ᎏᎏ t

2. VERO O FALSO? I due amici partono contemporaneamente dallo stesso punto e, dopo una breve accelerazione iniziale, viaggiano ciascuno a velocità costante nello stesso verso. Se in un dato momento, successivo alla partenza, un ciclista sorpassa l’altro, si può affermare che: a) i due ciclisti viaggiano alla stessa velocità. b) i due ciclisti hanno percorso lo stesso spazio. c) dalla partenza al momento dell’incontro è passato per entrambi lo stesso tempo. d) ha compiuto almeno un giro in più.

V

F

V

F

V

F

V

F

3. Indicate con vA e vB le velocità dei due ciclisti (vA > vB), sulla base delle informazioni fornite imposta un sistema per determinare a quale velocità viaggiano i due sportivi. 4. Calcola i valori di vA e vB e specifica in quale unità di misura sono espressi.

5. Sulla base della seguente tabella, stabilisci che tipo di ciclisti sono i due amici. A Sono professionisti in allenamento su ANDATURA VELOCITÀ (km/h) strada piana. da passeggio 15-25 B Sono ciclisti amatori ben allenati. amatoriale 25-50 agonistica su strada piana

50-65

agonistica in volata su strada piana

65-75

agonistica in discesa

75-100

600

C

Sono ciclisti in passeggiata.

D

Sono professionisti in volata su strada piana.

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Nel sito:

Il sistema

5

冦

x ⫺ 2y ⫹ z ⫽ 0 3x ⫹ y ⫺ z ⫽ 1 2x ⫺ y ⫹ 3z ⫽ ⫺ 2

è di grado: 3. 6. 1.

A B C

2

E

Fra i seguenti sistemi di due equazioni nelle incognite x e y, due sono lineari. Quali? 1.

3. A B C

3

9. 0.

D

px ⫺ q 2 ⫹ 2y ⫽ 0 qx ⫺ 3y ⫽ 1 ⫺ p

冦

冦2x ⫹ 3y ⫽ 1 5x ⫺ xy ⫽ 0

2.

4.

p ⫺ q ⫹ 2y ⫽ x 2 p ⫹q ⫺x ⫽y

冦

冦 5x ⫹ y ⫽ p

x ⫺ 3y ⫽ q

1e2 1e4 2e3

6

2 2

E

B C D E

3x ⫹ y ⫽ 12

A

冦 2x ⫹ y ⫽ 0

B

冦 2x ⫹ y ⫽ 0

C

冦 5x ⫺ 2y ⫽ 1 ⫹ 2x

3x ⫺ y ⫽ 1

冦x ⫹y ⫽b

E

冦 3x ⫺ 4y ⫽ 1

4x ⫺ 5y ⫽ 2

Dei tre sistemi 1.

冦3x ⫺ 9y ⫽ 3

3.

冦6x ⫺ 2y ⫽ 4

x ⫹ 3y ⫽ 1

B C D

una sola coppia ordinata di numeri reali. tutte le coppie ordinate di numeri reali. un numero finito. infinite. due.

x ⫺y ⫽2

D

4x ⫺ 3y ⫽ 2

A

Le soluzioni di un’equazione lineare in due incognite sono: A

Il determinante dei coefficienti di uno dei seguenti sistemi è uguale a 1. Quale?

2.

冦 21x ⫺ 9y ⫽ ⫺ 60 7x ⫺ 3y ⫽ ⫺ 2

4x ⫺ y ⫽ 2

possiamo dire che:

3e4 2e4

D

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

E

7

1 è impossibile e 2 indeterminato. 1 e 2 sono indeterminati. 1 e 3 sono determinati. è determinato solo il terzo. 2 e 3 sono indeterminati.

Del sistema

冦

2x ⫹ 3y ᎏᎏ ⫽ ⫺ 1 x⫺3 x ⫹ 4y ᎏᎏ ⫽ 0, 3y ⫹ 1

possiamo dire che: 4

La coppia (1; ⫺3) è soluzione di uno dei seguenti sistemi. Quale? 3x ⫹ 5y ⫽ ⫺ 12 ⫺ 2y ⫽ 9 ⫺ 3x

A

冦

B

冦 2x ⫹ 5y ⫽ 0

C

冦 3x ⫺ y ⫽ 0

3x ⫺ y ⫽ 1 y ⫽⫺3

3x ⫹ y ⫽ 0 x ⫺y ⫽⫺4

D

冦

E

冦 5x ⫺ 2y ⫽ 1

2x ⫹ 3y ⫽ 2

A B C

D

E

è impossibile. è indeterminato.

冢 冢

冣 冣

4 1 ammette la sola soluzione ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ . 3 3 1 4 ammette la sola soluzione ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 3 3 4 1 1 4 ammette le soluzioni ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 3 3 3 3

冢

冣冢

冣

601

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

8

B

È dato il sistema letterale nelle incognite x e y ax ⫺ y ⫽ 1

冦 4ax ⫺ 2ay ⫽ 4.

C

Possiamo affermare che:

D

冢

冣

1 è determinato con soluzione ᎏᎏ ; 0 per tutti a gli a.

A

E

è impossibile per a ⫽ 0, indeterminato per a ⫽ 2 e determinato per gli altri valori di a. è indeterminato per a ⫽ 2 e determinato per gli altri valori di a. è impossibile per a ⫽ 0 e determinato per gli altri valori di a. è indeterminato per a ⫽ 0, impossibile per a ⫽ 2 e determinato per gli altri valori di a.

SPIEGA PERCHÉ 9

Cosa puoi concludere analizzando il sistema seguente? Qual è l’interpretazione grafica?

冦

3x ⫹ 4y ⫽ 1 ⫺ 2x ⫹ y ⫽ 3 x ⫺ 2y ⫽ ⫺ 3

10 Cosa si intende per sistema letterale? Esistono valori di a 僆 R per i quali il sistema seguente è determinato? Perché? 3ax ⫺ 4y ⫽ 1

冦y ⫽ 2

11 Un sistema letterale composto da due equazioni equivalenti è sempre indeterminato? Perché?

12 Sono date le seguenti equazioni: a) 2x ⫺ 3y ⫹ 1 ⫽ 0; b) 2x ⫹ 2y ⫽ 0; c) ⫺ 2x ⫹ 3y ⫹ 2 ⫽ 0; d) 4x ⫺ 6y ⫹ 2 ⫽ 0. Puoi costruire con due di esse un sistema impossibile? E un sistema indeterminato? [impos. con a) e c), c) e d); indet. con a) e d)] 13 Come cambia il valore del determinante di un sistema lineare di due equazioni in due incognite se vengono scambiate le righe? E se si scambiano le colonne? E se si scambiano contemporaneamente righe e colonne? 14 Puoi affermare che il metodo del confronto è un caso particolare del metodo di sostituzione? Perché?

ESERCIZI

Nel sito:

䉴 15 esercizi in più

Risolvi i seguenti sistemi con i metodi più opportuni. 15

冦 3x(x ⫹⫹2)y ⫽⫹1 1 ⫽ x ⫹ 5y

16

冦

17

冦

18

冦

2

2

x⫹y x ⫺ 2y ᎏᎏ ⫹ 3 ⫽ ᎏᎏ 3 6 2(4y ⫺ 5x) x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1 9 3(y ⫺ 1) ⫽ ⫺ 3(x ⫹ 2) 5x ⫺ 3y ⫽ 1

[(0; 1)]

602

1 y⫹1 x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 2 1⫺y ᎏᎏ ⫺ 2x ⫺ 3 ⫽ 0 3

冣冥

20

冦

1 3 ⫺ ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ 4 4

冣冥

21

x ⫹ 3 ⫹ (y ⫹ 1) ⫽ y 冦 3(x ⫹ 2y) ⫽ 2

2x ⫹ y ⫹ 4 ⫽ 0

3x ⫹ y 2y ⫺ x 2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ x ⫹ ᎏᎏ 3 5 5

冦

3 ⫺15; ⫺ᎏᎏ 4

冤冢 冤冢

19

3x ⫹ y y⫹7 1 ᎏᎏ ⫽ x ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5 10 2 y ⫺x 2x ⫹ y 4 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ y ⫹ ᎏᎏ 2 3 9

22 [(⫺2; 0)]

2

冦

冤冢4; ᎏ3ᎏ冣冥 4

[(⫺1; ⫺2)]

2

x⫺y y⫹2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 2y ⫺ 8 4 7 8x ⫺ 3y 9y ⫺ 5x 3y ⫹ 4 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 4

[impossibile]

[(9; 5)]

Verifiche di fine capitolo

23

24

25

26

27

冦

1

1 (y ⫺2)(y ⫹3)⫹5⫽y (y ⫺3)⫹2(x ⫺y)⫹ᎏᎏ 4 [indeterminato]

冦 冦冢

28

冦

29

冦

30

冦(1ax⫺⫺a)x3y ⫽⫹2ay ⫽ ⫺ 1

1

冢x ⫺ ᎏ2ᎏ冣冢x ⫹ ᎏ2ᎏ冣 ⫺ x (x ⫹ 2) ⫹ 6y ⫽ 1

2 1 3 ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x2⫺y2 x⫺y 4(x ⫹ y) 4 x (3 ⫺ y) ᎏᎏ ⫺ x ⫽ ᎏᎏ ⫹ 1 [(1; 1), non accettab.] y y 1 y⫹1 y⫺1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 2 x⫹1 x⫺1 x ⫺1 y⫺1 y ⫺ 6x 1 ᎏᎏ ⫹ 2x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 4 2 4

冣

冦

2x ⫹ y 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x⫺1 3 3x ⫹ y ⫹ 1 ⫽ 0

冦

x 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ y ⫹1 5 1 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x⫺1 3y ⫹ 1

冤

冥

冢⫺ ᎏ2ᎏ ; ⫺ 4冣, 7

accettabile

1

1

[impossibile]

Problemi 33 In un rettangolo il perimetro è 34 cm e il doppio della base supera l’altezza di 10 cm. Determina l’area del rettangolo. [72 cm2] 34 Determina due numeri sapendo che la somma tra il minore diminuito di 4 e il maggiore diminuito di 1 è 24 e, inoltre, la loro somma è pari al doppio del minore aumentato di 5. [12; 17] 35 In un rombo la diagonale maggiore supera la mi3 nore di 6 cm, inoltre la somma tra i ᎏᎏ della mag7 1 giore e ᎏᎏ della minore è 30 cm. Determina le 3 [36 cm; 42 cm] diagonali del rombo. 3 36 La base di un rettangolo è i ᎏᎏ del suo perimetro, 8 4 3 mentre i ᎏᎏ della base superano di 3 cm i ᎏᎏ 7 2 dell’altezza. Determina la lunghezza dei lati del rettangolo. [42 cm; 14 cm] 37 Determina due numeri sapendo che la loro diffe2 renza è 1 e che se si aggiungono ai ᎏᎏ del mag5 3 giore i ᎏᎏ del minore si ottiene 5. [(5; 4)] 4

3x ⫹ y ⫺ z ⫽⫺ 2 5y ⫹ 3z ⫽ ⫺ 1 7x ⫺ 2z ⫽ 1

[(1; ⫺2; 3)]

x ⫺ y ⫹ 2z ⫽ 6 4x ⫹ 2y ⫹ 2z ⫽ 0 x ⫹y ⫹z ⫽⫺1

[(1; ⫺ 3; 1)]

冤se a ⫽ ᎏ32ᎏ, ( ⫺ 1; ⫺ a); se a ⫽ ᎏ32ᎏ, indeterminato冥 31

冤冢⫺ ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ冣冥

ESERCIZI

冦 x(a⫹⫹ay1)⫽x ⫹⫺ ay3 ⫽ 2 ⫺ 3a ⫺ 5 ᎏ冣; se a ⫽ 0, impossibile冥 冤se a ⫽ 0, 冢ᎏ54ᎏ ; ᎏ a 2

32 Determina per quali valori del parametro k il seguente sistema è indeterminato. (k ⫹ 2)x ⫹ 3y ⫽ ⫺ k 冦 14x ⫹ 6y ⫽ ⫺ 10

[k ⫽ 5]

38 A una festa di beneficenza sono presenti 275 persone fra uomini, donne e bambini. Il nume3 ro complessivo delle donne e dei bambini è i ᎏᎏ 2 di quello degli uomini. Il biglietto di ingresso costa € 5 per gli uomini, € 2,50 per le donne e € 1,50 per i bambini. Trova il numero degli uomini, delle donne, dei bambini presenti alla festa, sapendo che l’incasso totale è di € 882,50. [uomini ⫽ 110, donne ⫽ 85, bambini ⫽ 80] 39 In un numero di due cifre la differenza tra la cifra delle decine e quella delle unità è 4. Dividendo la cifra delle decine aumentata di 3 per la cifra delle unità, si ottiene per quoziente 4 e resto 1. Trova il numero. [62] 40 In due villaggi dell’Amazzonia la popolazione 5 dell’uno era i ᎏᎏ della popolazione dell’altro. Una 6 grave epidemia costrinse a emigrare 70 abitanti di ciascun villaggio, per cui attualmente il primo vil4 laggio ha i ᎏᎏ degli abitanti del secondo. Quanti 5 abitanti ha oggi ciascun villaggio? [280 e 350]

603

CAPITOLO 9. I SISTEMI LINEARI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

41 Trova per quali valori di a e di b i seguenti sistemi sono equivalenti:

冦 2x ⫹ y ⫽ 5 ; 冦 bx ⫺ ay ⫽ 2 x ⫺ 4y ⫽ 7

ax ⫺ 2by ⫽ ⫺ 1

44

.

TEST Un secchio pieno di sabbia pesa complessivamente kg 9, riempito per metà di sabbia pesa kg 5. Quanto pesa il secchio vuoto? A B

[a ⫽ ⫺ 1, b ⫽ 1]

C

42 Consideriamo due automobili: D con il motore diesel e B a benzina. Per l’auto D si paga una tassa annua di € 450 e l’auto percorre in media 22 km con un litro di gasolio. Per l’auto B la tassa annua è di € 120 e si percorrono 16 km con un litro di benzina. Sapendo che il gasolio costa € 1,21 al litro e la benzina € 1,32 al litro calcola il numero di kilometri percorsi in un anno per i quali si spende la stessa somma usando le due automobili. Per un numero di kilometri maggiore quale delle due auto è più conveniente? [12 000; D] 43 Riempiendo di terra una carriola e ponendola su una bilancia si rilevano complessivamente 45 kg. Dimezzando la quantità di terra, il tutto pesa 33 kg. Quanto pesa da sola la carriola? [21 kg]

D E

kg 0,5 kg 1 kg 2 kg 2,5 Il peso del secchio non può essere determinato. (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1996)

45

TEST Il prezzo della mascotte delle Olimpiadi di Matematica è dato dalla somma del prezzo delle materie prime e del prezzo della lavorazione. L’anno scorso la mascotte costava 10 euro. Quest’anno il costo delle materie prime è raddoppiato; di conseguenza quest’anno la mascotte costa 11,80 euro. Quanto incide quest’anno il prezzo delle materie prime sul prezzo finale del prodotto? A B C

Meno di 1 euro. Tra 1 e 2 euro. Tra 2 e 3 euro.

Nel sito:

冤 冥

47 TEST Mr. Reiter drives from home to work at an average speed of 45 mph. His average speed from work back home is 50 mph. What is his average speed for the round-trip from home to work and back? 900 A 47.5 mph. C ᎏᎏ mph. 18 900 900 B ᎏᎏ mph. D ᎏᎏ mph. 19 17

D E

Tra 3 e 4 euro. Più di 4 euro.

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2000)

TEST YOUR SKILLS 46 On a test, the average score for the girls in the class is 91, and the average score for the boys in the class is 85. If the average score for the class is 89, what fraction of the class are boys? 1 (USA Rice University Mathematics Tournament, 2005) ᎏᎏ 3

䉴 7 esercizi in più

䉴 9 esercizi in più

48 Jeff, Gareth and Ina all share the same birthday. Gareth is one year older than Jeff, and Ina is two years older than Gareth. This year the sum of their ages is 118. How old is Gareth? (CAN Canadian Open Mathematics Challenge, 2003)

[39] 49 One cup of half-and-half cream contains 28 g of fat and 7 g of protein, while one cup of low-fat milk contains 5 g of fat and 8 g of protein. How many cups of half-and-half cream and how many cups of low-fat milk should be combined to get a mixture containing 71 g of fat and 38 g of protein? (USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)

[2; 3]

(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1997)

GLOSSARY

average: media to drive-drove-driven: guidare fat: grasso

604

round-trip: viaggio di andata e ritorno score: punteggio

to share: condividere speed: velocità sum: somma

CAPITOLOTEORIA

I numeri reali e i radicali

10 Il problema di Delo Una leggenda narra che nell’anno 400 a.C. la città di Atene fu colpita da una terribile epidemia di peste. Una delegazione di ateniesi si diresse a Delfi per consultare l’oracolo, nella speranza che potesse indicare un modo per porre fine all’epidemia. Questo fu il responso dell’oracolo: «Ateniesi, per far cessare la peste, dovete duplicare l’altare consacrato ad Apollo nell’isola di Delo»… …come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 628

1. La necessità di ampliare l’insieme Q ■ L’estrazione di radice non è un’operazione interna in Q La sottrazione, operazione inversa dell’addizione, è diventata operazione interna introducendo i numeri interi. Analogamente, con l’introduzione dei numeri razionali, è stato possibile rendere interna la divisione, operazione inversa della moltiplicazione. Vedremo ora che l’operazione inversa della potenza, l’estrazione di radice, non è interna nell’insieme dei numeri razionali. Questo indurrà ad ampliare l’insieme Q. Per semplicità limitiamoci a considerare solo l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato, ossia la radice quadrata, e consideriamo solo numeri positivi o nulli. DEFINIZIONE

Radice quadrata La radice quadrata di un numero razionale positivo o nullo è quel numero, positivo o nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.

√ ⎯a = b

◗ a si legge radice quadrata di a.

se

a = b

2

(a

0, b 0)

605

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

ESEMPIO

9 ⫽ 3, perché 32 ⫽ 9; 0 ⫽ 0, perché 02 ⫽ 0. Nell’insieme dei numeri razionali positivi o nulli, che indichiamo con Q⫹0 , la radice quadrata non è un’operazione interna, perché esistono numeri la cui radice quadrata non è un numero razionale. Dimostriamo, per esempio, che 2 non ha per radice quadrata un numero razionale, facendo vedere che non esiste alcun numero razionale che, elevato al quadrato, dia come risultato 2. a ◗ ᎏᎏ è una frazione appab rente se a è multiplo di b. 6 Per esempio, ᎏᎏ ⫽ 3 è ap2 1 7 parente; ᎏᎏ e ᎏᎏ non sono 2 2 apparenti.

Suddividiamo a tale scopo l’insieme dei razionali positivi, compreso lo zero, in due sottoinsiemi: uno contenente le sole frazioni apparenti, cioè i numeri naturali, e l’altro contenente tutte le altre frazioni. Procediamo in questi due insiemi alla ricerca di un numero il cui quadrato sia uguale a 2. 1. Nessun naturale ha come quadrato 2. Infatti, associando a ogni naturale il suo quadrato, si può vedere che fra i quadrati il numero 2 non compare. n 0 1 2 3 4 5 … n 2 0 1 4 9 16 25 … 2. Nessuna frazione non apparente ha come quadrato 2. Supponiamo che a esista una frazione non apparente ᎏᎏ , ridotta ai minimi termini, il cui b quadrato sia uguale a 2, ossia tale che:

冢 冣 a ᎏᎏ b

◗ In una frazione non apparente ridotta ai minimi termini il numeratore e il denominatore sono primi fra loro. Se eleviamo al quadrato la frazione, ancora numeratore e denominatore sono primi fra loro, perché sono dati dagli stessi fattori, ripetuti due volte. Per esempio: 5 ⭈5 5 2 52 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 7 72 7 ⭈7

冢 冣

606

2

⫽ 2.

a Se ᎏᎏ non è una frazione apparente, significa che a non è multiplo di b. b a 2 a⭈a Ma allora neanche la frazione ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ può essere apparente. b b⭈b a 2 pertanto non può essere vera l’uguaglianza tra la frazione ᎏᎏ non b apparente e il numero naturale 2, che è una frazione apparente.

冢 冣

冢 冣

Possiamo concludere che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2; pertanto l’operazione di radice quadrata non è interna in Q⫹0 .

■ Punti di una retta e numeri razionali Nella rappresentazione dei numeri razionali su una retta, a ogni numero razionale corrisponde un punto della retta. Viceversa, è vero che a ogni punto della retta corrisponde un numero razionale?

Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali

TEORIA

Possiamo rispondere che non è vero con un esempio. Consideriamo la retta orientata r. Costruiamo sul segmento AB unitario un quadrato (figura 1a), indicando con d la misura della diagonale AC (figura 1b), e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ABC:

ESEMPIO

2

2

◗ Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

2

d ⫽ 1 ⫹ 1 ⫽ 2. Il segmento AE (figura 1c) misura d, con d 2 ⫽ 2. Al punto E della retta r non può quindi corrispondere un numero razionale.

D

C

D

C d

A

r

B

0

1

a. Costruiamo sul segmento unitario il quadrato ABCD.

A

2

0

1

D

C

A

B

1

r

B 1

2

b. Tracciamo la diagonale AC.

0

1

r 2

E

c. Riportiamo AC col compasso sulla retta, ottenendo il segmento AE.

Abbiamo così mostrato che esiste un punto sulla retta r a cui non corrisponde nessun numero razionale.

䉱

Figura 1

2. Dai numeri razionali ai numeri reali ■ Le successioni approssimanti 5 Consideriamo la frazione ᎏᎏ, che corrisponde al numero decimale perio6 dico 0,83. Questo numero può essere approssimato al numero di cifre decimali che si vuole, per difetto o per eccesso.

◗ Abbiamo già visto che ogni numero razionale si può scrivere in forma decimale limitata o illimitata periodica e viceversa.

Le approssimazioni per difetto all’intero e a una, due, tre... cifre decimali sono le seguenti: 0

0,8

0,83

0,833

0,8333 ...

Le approssimazioni per eccesso sono: 1

0,9

0,84

0,834

0,8334 ...

5 In prima approssimazione possiamo dire che ᎏᎏ è compreso fra 0 e 1, in 6 5 seconda approssimazione che ᎏᎏ è compreso fra 0,8 e 0,9 e così via. 6 5 Più aumentano le cifre decimali, più ci si avvicina al valore ᎏᎏ . 6

607

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

Ogni numero decimale periodico può essere associato a due successioni di numeri decimali finiti che lo approssimano sempre meglio.

■ I numeri decimali illimitati non periodici Vediamo ora se è possibile applicare il procedimento delle approssimazioni alla radice quadrata di 2, 2, che come abbiamo dimostrato non è un numero razionale. Cerchiamo ora due successioni di numeri decimali, tali che i loro quadrati approssimino il numero 2, per difetto e per eccesso. Prima approssimazione. Sappiamo che: (1) 2 ⬍ 2 ⬍ (2 )2. Seconda approssimazione. Calcoliamo tutti i quadrati dei numeri con una cifra decimale, compresi fra 1 e 2, e controlliamo fra quali di questi numeri si trova il numero 2: (1,1)2 ⫽ 1,21

(1,2)2 ⫽ 1,44

(1,4)2 ⫽ 1,96

(1,5)2 ⫽ 2,25

(1,3)2 ⫽ 1,69

Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri richiesti: 1,96 ⬍ 2 ⬍ 2,25

ossia

(1,4)2 ⬍ 2 ⬍ (1,5)2.

Terza approssimazione. Con un procedimento analogo calcoliamo i quadrati dei numeri con due cifre decimali, compresi fra 1,4 e 1,5, controllando fra quali di essi si trova il 2. (1,41)2 ⫽ 1,9881

(1,42)2 ⫽ 2,0164.

Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri fra cui è compreso 2: 1,9881 ⬍ 2 ⬍ 2,0164

ossia

(1,41)2 ⬍ 2 ⬍ (1,42)2.

Ulteriori approssimazioni. Questo procedimento può continuare per la terza cifra decimale, la quarta e così via. Le due successioni che approssimano per difetto e per eccesso 2 sono: ●

S 1:

1;

1,4;

1,41;

1,414;

1,4142;

1,41421;

...

●

S 2:

2;

1,5;

1,42;

1,415;

1,4143;

1,41422;

...

I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda decrescenti. La differenza fra un termine della seconda successione e il corrispondente della prima successione va via via diminuendo: 2 ⫺ 1 ⫽ 1;

1,5 ⫺ 1,4 ⫽ 0,1;

1,42 ⫺ 1,41 ⫽ 0,01…

tuttavia non si giunge mai a uno stesso numero decimale finito o periodico. In tal caso, infatti, avremmo trovato un numero razionale il cui quadrato è 2, cosa esclusa in precedenza.

608

Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali

TEORIA

■ I numeri irrazionali Così come la scrittura 0,833333... è collegata alle due successioni che ap5 5 prossimano ᎏᎏ e rappresenta ᎏᎏ in forma decimale, possiamo pensare 6 6 che anche 1,41421... sia la scrittura decimale di un numero. Si tratta di un numero non razionale, al quale associamo il simbolo 2. 2 ⫽ 1,41421... 2, pur avendo infinite cifre decimali, non è periodico. Un numero di questo tipo è detto numero decimale illimitato non periodico.

◗ Se usi la calcolatrice per calcolare 2, trovi un numero decimale finito che è una sua approssimazione.

In modo analogo potremmo far vedere che ogni volta che un’estrazione di radice non ha come risultato un numero razionale, esiste un procedimento per associare alla radice un numero decimale illimitato non periodico. Diamo allora la seguente definizione. DEFINIZIONE

Numero irrazionale Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico. I numeri irrazionali sono infiniti. Per esempio, 3, 5,  2 ,  7 sono numeri irrazionali. Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall’estrazione di radici: per esempio, il numero ␲ ⫽ 3,14159... 3

5

■ I numeri reali Per ampliare l’insieme dei numeri razionali, consideriamo un nuovo insieme, quello dei numeri reali, che è l’unione dell’insieme dei numeri razionali e di quello degli irrazionali. DEFINIZIONE

⺢

Numero reale Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

√ ⎯2

⺡ ⺪

Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali, mentre R⫹0 è l’insieme dei numeri reali positivi o nulli. Nei numeri reali non negativi l’operazione di estrazione della radice è interna. Inoltre si potrebbe dimostrare che, nella corrispondenza fra numeri e punti di una retta, a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa.

■ Le operazioni tra numeri reali e le approssimazioni Dal punto di vista teorico sarebbe possibile definire in modo rigoroso le operazioni fra numeri reali e studiarne le proprietà.

π

⺞

⎯2 –√ 3

◗ Si può dimostrare che R è un ampliamento di Q: le operazioni fra numeri reali conservano le proprietà formali delle operazioni nei numeri razionali.

609

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

Noi ci limiteremo a osservare che, per svolgere i calcoli, si devono utilizzare le approssimazioni decimali di tali numeri. Cerchiamo di capire che cosa questo comporta. Consideriamo 31  e 67 , limitandoci, per semplicità, alle approssimazioni con due cifre decimali: 31  è approssimato per difetto da 5,56 e per eccesso da 5,57, ossia 5,56 ⬍ 31  ⬍ 5,57;  è approssimato per difetto da 8,18 e per eccesso da 8,19, ossia 67 8,18 ⬍ 67  ⬍ 8,19. ◗ Le calcolatrici forniscono approssimazioni per difetto.

Notiamo che le approssimazioni per difetto forniscono sempre cifre certe, ossia cifre che sarebbero senz’altro presenti se considerassimo approssimazioni con più di due cifre decimali. In altre parole siamo sicuri di poter scrivere:  ⫽ 5,56... 31

67  ⫽ 8,18...

 e 67  per eccesso e per difetto. Calcoliamo ora la somma di 31  ⫹ 67 ⫽ 31

5,56 ⫹ 8,18 ⫽ 13,74

(per difetto)

5,57 ⫹ 8,19 ⫽ 13,76

(per eccesso)

Poiché il risultato è compreso fra 13,74 e 13,76, non si può dire con certezza quale sia la seconda cifra decimale della somma considerata. L’unica cifra decimale certa è la prima, quindi possiamo solo scrivere:  ⫹ 67  ⫽ 13,7... 31 La somma è nota con una incertezza maggiore di quella dei suoi addendi. Questa «propagazione dell’incertezza» è ancora più evidente se eseguiamo la moltiplicazione.  ⭈ 67 ⫽ 31

5,56 ⭈ 8,18 ⫽ 45,4808

(per difetto)

5,57 ⭈ 8,19 ⫽ 45,6183

(per eccesso)

Nel prodotto sono comparse quattro cifre decimali, ma non per questo il risultato è più preciso. Infatti, poiché il prodotto è compreso fra 45,4808 e 45,6183, l’incertezza è già presente nella prima cifra decimale, quindi possiamo scrivere: ◗ È facile comprendere che, se invece di un’operazione eseguiamo i calcoli relativi a un’espressione con più operazioni, l’incertezza si propaga di operazione in operazione, rendendo sempre meno attendibile il risultato.

610

31  ⭈ 67  ⫽ 45,... Il prodotto è noto con un’incertezza maggiore di quella dei fattori. Questi due esempi forniscono un’idea dei problemi che sorgono quando si opera con approssimazioni di numeri irrazionali. Per evitare questi problemi, si preferisce non operare con i numeri reali in forma approssimata, ma definendo le operazioni con i radicali. Per  ⭈ 67  ⫽ 31 ⭈67  ⫽ 20 77 . esempio, impareremo che 31

Paragrafo 3. I radicali in R⫹0

3. I radicali in R⫹0 Abbiamo visto che la radice quadrata è l’operazione inversa della potenza con esponente 2. Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica come operazione inversa della potenza con esponente 3 e così via. In generale la radice n-esima (si legge «ennesima») è l’operazione inversa della potenza con esponente n.

TEORIA

◗ I radicali in R⫹0 si chiamano anche radicali aritmetici. 3

◗ Per esempio,  27 ⫽ 3, 4 5 62 5 ⫽ 5,  32 ⫽ 2…

DEFINIZIONE

Radice di un numero positivo o nullo Dati un numero naturale n, diverso da 0, e un numero reale a, positivo o nullo, la radice n -esima di a è quel numero reale b, positivo o nullo, la cui potenza con esponente n è uguale ad a.

naturale diverso da 0 n

√⎯a = b

bn = a

reali maggiori o uguali a 0

◗ La radice n -esima di a si indica con il simbolo n

 a.

ESEMPIO 3 3 12 5 ⫽ 5 perché 5 ⫽ 125.

Nell’insieme dei numeri reali non negativi l’operazione di radice è interna, perché si può dimostrare che la radice n-esima di un numero reale positivo o nullo esiste sempre ed è unica.

■ Casi particolari Applicando la definizione puoi verificare che, per ogni n naturale diverso da 0 e per ogni a reale non negativo si ha: 1. a ⫽ a; 2. 0 ⫽ 0; 3. 1 ⫽ 1. 1

n

n

◗ 2 ⫽ 2; 0 ⫽ 0; 1

2

1 ⫽ 1. 2

Non si attribuisce alcun significato alla radice con l’indice uguale a 0: a non ha significato. 0

■ Un po’ di terminologia

◗ 2 non ha significato perché nessun numero elevato a 0 dà 2. 0

La scrittura a viene detta radicale. n

Il numero n viene detto indice del radicale; il numero a si chiama radicando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l’esponente di tale potenza si chiama esponente del radicando. Per la radice quadrata l’indice del radicale può essere omesso: 5 è un 2 modo diverso di scrivere 5. I radicali con indice 2 vengono detti radicali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.

indice 4

√⎯ 35

esponente del radicando

radicando

611

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

■ Le condizioni di esistenza dei radicali in R⫹0 La definizione di radice impone che il radicando sia un numero reale positivo o nullo. Se il radicando è un’espressione letterale bisogna porre la condizione che essa sia maggiore o uguale a 0. ESEMPIO

Affinché esista il radicale in R⫹0 ⫺1  x 3

dobbiamo porre la condizione x ⫺ 1 ⱖ 0, ossia: C.E.: x ⱖ 1.

ESPLORAZIONE: ERONE E LA RADICE QUADRATA L’algoritmo di Erone è un procedimento che permette di calcolare la radice quadrata di un numero. Possiamo spiegarlo meglio con un esempio, utilizzando un’interpretazione geometrica. Cerchiamo di calcolare 8. 8 può essere intesa come la misura del lato di un quadrato di area 8. Vediamo come costruire tale quadrato operando per approssimazioni successive. Scegliamo un numero b ⬍ 8, per esempio 5, e il 8 8 numero h ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1,6. Costruiamo il rettanb 5 8 golo di lati 5 e ᎏᎏ, che è equivalente al quadrato 5 perché ha area 8. I valori di b e h approssimano la misura del lato del quadrato, uno per eccesso e l’altro per difetto. Calcoliamo ora il valore medio b1 b⫹h 5 ⫹ 1,6 fra b e h: b1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3,3 e conside2 2 8 8 riamo poi h1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2,42… b1 3,3 8

della misura del lato del quadrato, mentre h1 è un valore approssimato per difetto. Poiché b1 è il valore medio fra b e h, b1 approssima 8 meglio di b. b1 ⫹ h1 8 Possiamo ora considerare b2 ⫽ ᎏᎏ e ᎏᎏ , e 2 b2 procedere poi in questo modo quante volte vogliamo: le dimensioni dei rettangoli forniranno approssimazioni sempre più precise di 8, una per eccesso, l’altra per difetto. Dalla tabella (in cui i valori decimali sono approssimati) possiamo notare che con questo procedimento giungiamo piuttosto rapidamente a un valore di 8 con una buona approssimazione. Infatti, se calcoliamo 8 con una calcolatrice, otteniamo 8 ⫽ 2,828… b

8 h ⫽ ᎏᎏ b

b⫹h ᎏᎏ 2

5

1,6

3,3

3,3

2,4242

2,8621

2,8621

2,7951

2,8286

…

…

…

h1 2,42

IN DIECI RIGHE h=1,6

b1 =3,3

b =5

Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurino b1 e h1. Anche in questo caso l’area del rettangolo vale 8, b1 è un valore approssimato per eccesso

612

Erone non è stato il solo ad affrontare il problema dell’estrazione della radice quadrata. Descrivi altri metodi in una relazione redatta con il computer. Cerca nel web: metodi calcolo radice quadrata, Archita, Bombelli, Newton.

Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali

TEORIA

4. La proprietà invariantiva dei radicali Per dimostrare i prossimi teoremi utilizzeremo spesso la seguente proprietà, che ci limitiamo a enunciare. PROPRIETÀ

Dati due numeri reali a e b, non negativi, e un numero naturale n, diverso da 0, se a e b sono uguali, sono uguali anche le loro potenze n-esime e viceversa.

naturale diverso da 0

a = b

an = bn

reali maggiori o uguali a 0

◗ La proprietà non vale in generale se a ⬍ 0 o b ⬍ 0: per esempio, (⫺ 5) 2 ⫽ (⫹ 5) 2, ma ⫺ 5 ⫽ 5!

■ La proprietà invariantiva TEOREMA

Dato un radicale, si può ottenere un radicale equivalente moltiplicando per uno stesso numero naturale (diverso da 0) sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando.

p

√⎯am n

=

m p √⎯a⎯⎯

n p

p

◗ Due radicali sono equivalenti se rappresentano lo stesso numero reale, positivo o nullo. Per esem6  sono equipio, 4 e 64 valenti perché 4 ⫽ 2 e 6 64  ⫽ 2.

DIMOSTRAZIONE n ⴢp

m ⭈p   indicano numeri posiPer la definizione di radicale in R⫹0 , am e a tivi o nulli. Eleviamo i due radicali allo stesso esponente n ⭈ p. n

Primo membro

Secondo membro n ⴢp

(am ) n ⭈p ⫽

(am⭈p)n⭈p ⫽

n

Per la terza proprietà delle potenze: m n p

⫽ [(a) ] ⫽ n

Per la definizione di radice: ⫽a

m ⭈p

.

◗ Terza proprietà delle potenze: (a n)m ⫽ a n⭈m

Per la definizione di radice: ⫽ [a m ] p ⫽ Per la terza proprietà delle potenze: ⫽ a m⭈p. Le potenze dei due radicali forniscono lo stesso risultato, pertanto scriviamo: n ⴢp

(am ) n⭈p ⫽ (am ⭈p) n ⭈p. n

613

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

Essendo le basi delle potenze due numeri positivi o nulli, per la proprietà a ⫽ b ⇔ a n ⫽ b n abbiamo: nⴢp

m ⭈p am ⫽ a  . n

ESEMPIO 2ⴢ3

3ⴢ5

10 1. 2 ⫽ 23 ⫽ 8. 2. a2 ⫽ a2⭈5  ⫽ a. 2

6

3

15

■ La semplificazione di radicali :p m p √⎯a⎯⎯

n•p

•

=

√⎯am n

:p

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, possiamo anche scrivere la proprietà invariantiva nel modo seguente: n ⴢp

m ⭈p m  ⫽ a. a n

Dato cioè un radicale, si ottiene un radicale equivalente dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un divisore comune. In questo caso si dice che si è semplificato il radicale. ◗ È sbagliato semplificare così: 6

 23 ⫹53 ⫽ 2⫹  5.

ESEMPIO 9

9:3

3

6:2

2 ⬊2 2 1. 56 ⫽  56⬊3  ⫽ 5. 2.  a 4 ⫽ a4 ⫽  a . 6

3

n :n

n⬊n In particolare, a n ⴝ a. Infatti an ⫽  a  ⫽ a1 ⫽ a. n

n

1

DEFINIZIONE

◗ Non è sempre possibile semplificare un radicale. Per esempio, il radicale 5 a2 non si può semplifi care, perché 5 e 2 non hanno divisori comuni, tranne l’unità.

Radicale irriducibile Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo indice e l’esponente del radicando sono primi fra loro. ESEMPIO

3

54 è un radicale irriducibile, perché 3 e 4 sono primi fra loro.

Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile, occorre: a) cercare il M.C.D. fra indice ed esponente del radicando; b) dividere l’indice e l’esponente per il loro M.C.D. BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V34a

ESEMPIO

12 Rendiamo irriducibile il radicale 7. 20

a) M.C.D. (20; 12) ⫽ 4; b) dividiamo per 4 l’indice e l’esponente del radicando: 20:4

12 12⬊4 3 7 ⫽ 7  ⫽ 7. 20

614

5

Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali

TEORIA

■ La semplificazione e il valore assoluto 4

Per semplificare il radicale  (⫺) 52 non possiamo scrivere: 2⭈2

4

4

2

) 52 ⫽ (⫺ ) 52 ⫽ ⫺  5 (⫺ perché, essendo il radicando negativo, il secondo membro non rappresenta un numero reale. Tuttavia la semplificazione è possibile perché l’esponente del radicando è pari, e perciò possiamo scrivere (⫺ 5)2 ⫽ (⫹ 5)2, considerando quindi il valore assoluto di ⫺ 5: 4

4

◗ Osserva che  (⫺) 52 è un radicale perché l’esponente 2 è pari e dunque (⫺ 5)2 ⬎ 0. Non è invece un radicale, per esempio, 15 9 (⫺ ) 5, perché (⫺ 5)9 ⬍ 0.

4

) 52 ⫽ (⫹ ) 52 ⫽    ⫺ 5 2 ⫽ 5 . (⫺ In generale, se a ⬍ 0 e mⴢ p è pari, risulta: nⴢp

ⴢp a m ⴝ   a. m

◗ In particolare:

n

4

8

a 2 ⴝ  a.

4

2) 2 ⫽ ⏐ ⫺ 2 . Per esempio: (⫺ ⏐ ⫽ 2

■ La riduzione di radicali allo stesso indice Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o più radicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare si può ridurli a radicali che abbiano il minimo comune indice. I passaggi necessari sono due: a) cercare il m.c.m. fra gli indici; b) trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il m.c.m. trovato. ESEMPIO

3 Riduciamo al minimo comune indice i radicali  2a 2 e  a . 5

4

a) m.c.m. (5; 4) ⫽ 20; b) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice; nel nostro caso, 20 ⬊ 5 ⫽ 4 e 20 ⬊ 4 ⫽ 5. 5ⴢ4

20

4ⴢ5

20

2 4 8 15 2a 2 ⫽ (2 a  ) ⫽ a 16,  a 3 ⫽ (a 3)5 ⫽  a . 5

4

■ Il confronto di radicali Si dimostra che fra due radicali con lo stesso indice è maggiore quello che 5 5 ha il radicando maggiore. Per esempio, 28  ⬎ 12 , poiché 28 ⬎ 12. Per confrontare radicali con indici diversi bisogna ridurli prima a radicali che abbiano lo stesso indice. Confrontiamo i due radicali 5 e 8. Riduciamoli allo stesso indice: 4

ESEMPIO

6

5 ⫽ 53 ⫽ 12 5, 8 ⫽ 82 ⫽ 64 . 4

12

12

6

12

12

Poiché 64 ⬍ 125, anche 64  ⬍ 12 5, quindi 8 ⬍ 5. 12

12

6

4

615

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V35a

◗ In particolare, per i radicali quadratici: a  ⭈ b ⫽ a b.

■ La moltiplicazione fra radicali Si possono moltiplicare due o più radicali se questi hanno lo stesso indice. Vale infatti il seguente teorema. TEOREMA

Teorema del prodotto Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia  ⴢ b ⴝ a b ⭈ a n

n

n

con a e b reali, a ⱖ 0, b ⱖ 0 e n naturale, n ⫽ 0. DIMOSTRAZIONE

Eleviamo i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente n. Otteniamo: Primo membro

Secondo membro

n n n ( a ⭈ b) ⫽

◗ Quarta proprietà delle potenze: (a ⭈ b)n ⫽ a n ⭈ b n

n n ( ab ⭈ ) ⫽

Per la quarta proprietà delle potenze: n

n

⫽ a ⭈ b.

Per la definizione di radice: ⫽ a ⭈ b. Poiché le potenze n-esime di a ⭈ b e di ab ⭈  forniscono lo stesso risultato a ⭈ b, concludiamo che sono uguali anche le loro basi, quindi: n

◗ Con a e b non negativi: a n ⫽ b n ⇔ a ⫽ b.

Per la definizione di radice:

n

⫽ (a) ⭈ (b) ⫽ n

n

n

a ⭈ b ⫽ ab ⭈ . n

n

n

ESEMPIO 4

4

4

4

2 ⭈ 5 ⫽ 2⭈5 ⫽ . 10 In particolare, moltiplicando un radicale quadratico per se stesso si ottiene il radicando: 3 ⭈ 3 ⫽ 32 ⫽ 3. Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli al loro minimo comune indice.

616

Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali

TEORIA

ESEMPIO 3

6

6

6

6

6

2 ⭈ 5 ⫽  2 3 ⭈  5 2 ⫽  2 3⭈ 5 2 ⫽ 8⭈5 2 ⫽ 0 20.

■ Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice Riprendiamo l’uguaglianza: a ⭈ b ⫽ ab ⭈ , n

n

n

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V36a

con a ⱖ 0 e b ⱖ 0.

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo scrivere: ab ⭈  ⫽ a ⭈ b, n

n

n

che significa: la radice n-esima del prodotto a ⭈ b è uguale al prodotto della radice n-esima di a per la radice n -esima di b. In altre parole: un radicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale al prodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i diversi fattori. Questa proprietà permette di trasportare fuori dal segno di radice i fattori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n. ESEMPIO

3

2 1. Consideriamo il radicale a9⭈ b , con a ⱖ 0. 3

Applichiamo il teorema del prodotto e poi la proprietà invariantiva: 2 a9⭈ b 2 ⫽ a9 ⭈ b2 ⫽ a 3 ⭈ b. 3

3

3

3

◗ Nel radicale 23 ⫹ 5 non si può portare fuori 2 perché 23 è un addendo e non un fattore del radicando.

Il fattore a 9 è stato portato fuori dalla radice cubica ed è diventato a 3. 13 con a ⱖ 0. 2. Semplifichiamo il radicale a, 13 Il fattore a è una potenza con esponente maggiore dell’indice, ma non multiplo. Esso si può scrivere come prodotto a 12 ⭈ a. Pertanto: 3

13 12 12 a ⫽ a a ⭈  ⫽ a ⭈ a ⫽ a 4 ⭈ a. 3

3

3

3

3

m con a ⱖ 0 e m ⱖ n, e indicati a , In generale, considerato il radicale  con q il quoziente della divisione m ⬊ n e con r il resto, poiché vale la relazione m ⫽ n ⭈ q ⫹ r, si ha: n

n⭈q ⫹r n⭈q n⭈q  a  ⫽  a ⭈ a r ⫽  a  ⭈  a r ⫽ a q  a .r a m ⫽  n

n

n

n

n

n

◗ Notiamo che la divisione 13 ⬊ 3 ha come quoziente 4 e resto 1.

13 3⭈4⫹1 ◗ a ⫽ a  ⫽ 3

3

3⭈4 ⫽ a ⭈ a 1 ⫽ 3

Quando si vuol portare fuori radice un fattore di cui non si conosce il segno, si scrive tale fattore in valore assoluto.

3⭈4 ⫽ a  ⭈ a1 ⫽ a 4 ⭈ a . 3

3

3

ESEMPIO

2⭈a ( ⫺) b 2 ⫽  a ⫺ b  ⭈ 2.

617

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V35b

◗ Per i radicali quadratici:

■ La divisione fra radicali TEOREMA

Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi. a ⬊ b  ⴝ  a ⬊, b con a e b reali, a ⱖ 0 e b ⬎ 0, n naturale, n ⫽ 0. n

n

a  ⬊ b  ⫽ a⬊. b

n

La dimostrazione è analoga a quella del teorema del prodotto. Anche per le divisioni valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le moltiplicazioni. ESEMPIO 5

5

5

5

1. 8 ⬊ 2 ⫽ 8⬊2 ⫽ 4. 2. a ⬊ b ⫽ a4 ⬊ b3 ⫽ 3

4

12

12



12

a4 ᎏᎏ (con a ⱖ 0 e b ⬎ 0). b3

6. La potenza e la radice di un radicale ■ La potenza di un radicale ◗ Nei radicali quadratici: m (a )m ⫽ a.

TEOREMA

La potenza m-esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza m -esima del radicando, ossia m con n e m naturali, n ⫽ 0 e m ⫽ 0, e a reale, a ⱖ 0. (a) m ⴝ a , n

n

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo a n entrambi i membri dell’uguaglianza. Primo membro n m n [( a) ] ⫽ 

Per la terza proprietà delle potenze: n m ⭈n ⫽ ( a) ⫽

Secondo membro n m n (  a ) ⫽

Per la definizione di radice: ⫽ a m.

Per la stessa proprietà: n n m ⫽ [( a) ] ⫽ Per la definizione di radice: ⫽ a m. I due membri sono uguali alla stessa espressione a m e quindi sono uguali n n m a m fra loro. Poiché le potenze n-esime delle due espressioni (a) e  sono uguali, concludiamo che sono uguali anche le espressioni stesse.

618

Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale

TEORIA

ESEMPIO 4

5

5

5

3 4 ⫽ . 1. (3) ⫽  81 5

15 2. ( a 3) ⫽ (a 3)5 ⫽  a ⫽ a 3 ⭈  a 3 (con a ⱖ 0). 4

4

4

n

4

n

3

◗ (2) ⫽ 23 ⫽ 2.

In particolare, ( an ⫽ a. a ) ⫽ 

3

n

3

■ La radice di un radicale TEOREMA

La radice m-esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici m ⭈ n e per radicando lo stesso radicando. mⴢn

 a ⴝ a,  m

n

con m e n naturali, n ⫽ 0 e m ⫽ 0, e a reale, a ⱖ 0. DIMOSTRAZIONE

Eleviamo entrambi i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente m ⭈ n. Primo membro

Secondo membro mⴢn

a ) m ⭈n ⫽ ( m

( a) m ⭈n ⫽

n

Per la terza proprietà delle potenze:

Per la definizione di radice:

⫽ [(  a) ] ⫽ m

m n

n

⫽ a.

Per la definizione di radice: ⫽ [a] n ⫽ a. n

I due membri sono entrambi uguali ad a e quindi sono uguali fra di loro. Poiché le potenze di esponente m ⭈ n dei due radicali   a e a sono uguali, concludiamo che sono uguali anche i radicali stessi. m

n

mⴢn

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m ⭈ n ⫽ n ⭈ m, e si ha:

  a ⫽  a ⫽  a ⫽   a. m

n

mⴢn

nⴢm

n

m

Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può rendere più immediata la semplificazione di un radicale. ESEMPIO

 a3 ⫽  a3 ⫽ a (con a ⱖ 0). 3

4

4

3

4

■ Il trasporto di un fattore dentro al segno di radice Dato il radicale 3 ⭈ 5, è possibile portare il fattore 3 sotto segno di radi4 4 ce, tenendo presente che 3 ⫽  3 . 4

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V36c

3 4 ⭈ 5 ⫽  3 4⭈. 5 Possiamo scrivere: 3 ⭈ 5 ⫽  4

4

4

4

619

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

In generale, se a ⱖ 0, n an ⭈ b ⫽ a⭈ , b b ⫽  a ⭈  n

n

◗ 2 b a b  ⫽ a2 b ⫽a (con a, b ⱖ 0).

n

n

cioè, per trasportare dentro radice un fattore non negativo, occorre elevarlo all’indice del radicale. ESEMPIO

◗ Il valore assoluto di ⫺ 3 è 3.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V37a

3

3

3

3

3 6 a 2) 27. b ⫽ a b 2. 3a 2 b ⫽ (3

1. 27 ⫽  2 3⭈7 ⫽ . 56 3

◗ Possiamo portare dentro radice (3a 2 ) 3, perché è sempre 3a 2 ⱖ 0.

3

Osservazione. I fattori negativi non vengono portati dentro la radice: il segno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto elevato all’indice del radicale. ESEMPIO

⫺ 35 ⫽ ⫺ 9⭈5 ⫽ ⫺ 45 .

7. L’addizione e la sottrazione di radicali Non sempre è possibile semplificare espressioni che contengono somme o differenze di radicali. ESEMPIO

◗ Analogamente,

4 ⫹ 9 non è 4⫹ 9 ! Infatti

9 ⫺ 4 non è 9⫺ ! 4

4 ⫹ 9 ⫽ 2 ⫹ 3 ⫽ 5, mentre 4⫹ 9 ⫽ 13 .

Infatti, 9 ⫺ 4 ⫽ 3 ⫺ 2 ⫽ 1, mentre 9⫺  4 ⫽ 5.

◗ Si opera in analogia con quanto si farebbe con i monomi 2a e 5a, ponendo a ⫽ 3: 2a ⫹ 5a ⫽ (2 ⫹ 5)a ⫽ 7a 2a ⫺ 5a ⫽ (2 ⫺ 5)a ⫽ ⫺ 3a.

In generale: a  ⫹ b  ⫽ a  ⫹b

e

a  ⫺ b  ⫽ a  ⫺. b

Però, date le espressioni 2 ⭈ 3 e 5 ⭈ 3, si può eseguire l’addizione o la sottrazione raccogliendo a fattore comune 3: 23 ⫹ 53 ⫽ (2 ⫹ 5)3 ⫽ 73 23 ⫺ 53 ⫽ (2 ⫺ 5)3 ⫽ ⫺ 33 . DEFINIZIONE

Radicali simili Due radicali irriducibili si dicono simili quando hanno lo stesso indice, lo stesso radicando e possono essere diversi solo per il fattore che li moltiplica, detto coefficiente del radicale.

620

⎯ 3√

⎯ è simile a 15 √

Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali

TEORIA

ESEMPIO 5

5

9 ⭈ 2 e 7 ⭈ 2 sono simili, perché i due radicali hanno lo stesso indice 5 e lo stesso radicando 2. A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portando fuori dalla radice alcuni fattori.

◗ I radicali 5 ⭈ 2 e 7 5 ⭈ 2 non sono simili, perché le due radici hanno indici diversi, 9 e 7. 9

ESEMPIO 5 I radicali b 2 ⭈ b 3 e b , con b ⱖ 0, non sono simili.

3

Portiamo fuori radice i fattori: b 2 ⭈ b 3 ⫽ b 2 ⭈ b ⭈ b  ⫽ b 3 ⭈ b 

◗ I radicali a ⭈ b e 3 b 2 non sono simili, a ⭈  perché le due radici hanno radicandi diversi, b e b 2.

b 5 ⫽ b 2 ⭈ b .

I radicali ottenuti b 3 ⭈ b  e b 2 ⭈ b  sono simili. DEFINIZIONE

Somma algebrica di radicali simili La somma algebrica di due o più radicali simili è il radicale, simile ai dati, che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

⎯ 3√

⎯ + 2√

= 5√ ⎯

ESEMPIO 3

3

3

1. 4 a ⫹ 2 a ⫽ 6 a (con a ⱖ 0).

2. a2 ⫹ 2 ⫽ (a ⫹ 1)2 .

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Espressioni a confronto

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

 2 3  2  ⫹ 3  È maggiore ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ o ᎏᎏ ? 8 12 10 FRANCESCO:

CHIARA:

FRANCESCO:

«Nessuna delle due: sono uguali! Ho fatto il calcolo approssimato, sapendo che 3 è circa 1,7 e 2 è circa 1,4: entrambe le espressioni danno 0,3». «Forse hai usato un’approssimazione eccessiva. Inoltre, anche se due espressioni hanno lo stesso valore approssimato con un numero grande di cifre, non è detto che siano uguali. Posso farti degli esempi». «Giusto. E poi, perché tanti calcoli? Usiamo l’algebra!».

䉴 Per il confronto, utilizza le regole sui radicali e quelle sulle disuguaglianze.

621

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò risulta utile, per esempio, nella somma di frazioni. Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da 0. Esaminiamo i casi più comuni. 1. Il denominatore è un unico radicale ESEMPIO

Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale stesso. ◗ 2 ⭈ 2 ⫽ 4 ⫽ 2.

6 6 2 6 ⭈ 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3 ⭈ 2 . 2 2 2 2 Il risultato 3 ⭈ 2 non contiene radicali al denominatore. In generale, supposto a ⬎ 0, se il radicale al denominatore non è quadratico, si razionalizza nel seguente modo: n ⫺m n⫺m n ⫺m n ⫺m a  1 a a   a  ⫽ᎏ ⫽ᎏ ⫽ᎏ ⫽ ᎏᎏ . ᎏ ᎏ ᎏ n ᎏ n n n n ᎏ m n ⫺m n m m⫹(n ⫺m) a a a a a a  n

n

n

n

ESEMPIO

21 7 3 21 21 21  73 5 3 ⫽ ⫽ ⭈ ⫽ ᎏ ᎏ ⫽ 3 7 . ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ 5 5 5 5 2 2 3 7 49 7 7      7 5

5

2. Il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico ESEMPIO

8 ᎏᎏ . 7 ⫹ 2 ◗ Se al denominatore c’è una differenza, dobbiamo invece moltiplicare per la somma dei due termini.

622

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la differenza 7 ⫺ 2 , in modo da applicare il prodotto notevole (a ⫹ b)(a ⫺ b) ⫽ a 2 ⫺ b 2. 8(7 ⫺ 2) 8 (7 ⫺ 2) 7 ⫺  2) 8( ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. (7)2 ⫺ (2)2 7 ⫹ 2 7 ⫺ 2 5

Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali

TEORIA

9. I radicali quadratici doppi Si chiama radicale quadratico doppio un’espressione del tipo:

 a⫹  b 

oppure

a⫺  b .

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differenza di due radicali semplici solo quando l’espressione a 2 ⫺ b è il quadrato di un numero razionale o di una espressione che non contiene radicali. In tal caso valgono le due uguaglianze che consideriamo di seguito: ⫹  b⫽ a 



⫺  b⫽ a 



⫺ b a ⫹ a2 ᎏᎏ ⫹ 2

a ⫹ a2 ⫺ b ᎏᎏ ⫺ 2

a ⫺ a2 ⫺ b ᎏᎏ , 2

a ⫺ a2 ⫺ b ᎏᎏ , 2

con a, b, a 2 ⫺ b ⱖ 0. ESEMPIO Trasformiamo il radicale doppio  8 ⫺  15 nella differenza  fra due radicali semplici. Ciò è possibile poiché 8 2 ⫺ 15 ⫽ 64 ⫺ 15 ⫽ 49 ⫽ 7 2.

  15 ⫽  8⫺ ⫽







8 ⫹ 49  ᎏᎏ ⫺ 2

8 ⫺ 49  ᎏᎏ ⫽ 2

ᎏ 2ᎏ ⫺ ᎏ 2ᎏ ⫽ ᎏ 2ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ . 8 ⫹7

8 ⫺7

15

1

◗ Il radicale doppio:

3 ⫹ 2 non è trasformabile in una somma o differenza di radicali semplici, in quanto 3 2 ⫺ 2 ⫽ 7 non è il quadrato di un razionale.

10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali Le proprietà finora esaminate vengono utilizzate anche quando si devono risolvere equazioni, disequazioni e sistemi con coefficienti irrazionali. ESEMPIO

Risolviamo l’equazione

(2 ⫹ 1)(x ⫹ 1) ⫽ 2 (2 ⫺ x).

623

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

Svolgiamo i calcoli: 2 x ⫹ 2 ⫹ x ⫹ 1 ⫽ 4 ⫺ 2x. Portiamo i termini con l’incognita al primo membro, gli altri al secondo: 2 x ⫹ x ⫹ 2x ⫽ 4 ⫺ 2 ⫺ 1. Sommiamo i termini simili: 3x ⫹ 2x ⫽ 3 ⫺ 2. Raccogliamo l’incognita x:

(3 ⫹ 2 ) x ⫽ 3 ⫺ 2. Dividiamo per 3 ⫹ 2:

(3 ⫹ 2) x 3 ⫺ 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ.

3 ⫹ 2 3 ⫹ 2 Razionalizziamo il denominatore: 9 ⫹ 2 ⫺ 6 2  11 ⫺ 6 2  3 ⫺ 2 3 ⫺ 2 (3 ⫺2) x ⫽ᎏᎏ ⭈ᎏᎏ⫽ᎏᎏ⫽ᎏᎏ⫽ᎏᎏ. 7 7 9 ⫺2 3 ⫹ 2 3 ⫺ 2 2

11 ⫺ 6 2 La soluzione è x ⫽ ᎏᎏ . 7

11. Le potenze con esponente razionale È possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estendere il concetto di potenza al caso in cui l’esponente sia un numero razionale. DEFINIZIONE

Potenza con esponente razionale ◗ Nel caso in cui sia m ⬍ 0, supponiamo a ⬎ 0.

La potenza con esponente razionam le ᎏᎏ di un numero reale a, positin vo o nullo, è la radice n-esima di a m.

n

m

m

an =

a

ESEMPIO 1

◗ La scrittura (⫺ 4) ᎏ2 non ha significato, perché nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.

624

1 ᎏ

4

2 ᎏ

3

3 ᎏ

1. 1 4 ⫽ 1 ⫽ 1;

0 2 ⫽ 03 ⫽ 0.

2. 5 3 ⫽  5 2 ⫽ ; 25 3

4 ⫺ᎏ 5

2

⫽ 2⫺4 ⫽ 5

 ᎏ2 ᎏ  ⫽ ᎏ1 ᎏ6 . 5

1

4

5

1

(a

0)

Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale

TEORIA

La definizione data permette di estendere alle potenze con esponente razionale le proprietà delle potenze con esponente intero. PROPRIETÀ

ESPRESSIONE m

n

CON

m⫹n

1. Prodotto di potenze di ugual base

a ⭈a ⫽a

2. Quoziente di potenze di ugual base

a m ⬊ a n ⫽ a m⫺n

3. Potenza di una potenza

(a m)n ⫽ a m ⭈n

4. Prodotto di potenze di ugual esponente

a n ⭈ b n ⫽ (a ⭈ b)n a an ᎏᎏ n ⫽ ᎏᎏ b b

冢 冣

5. Quoziente di potenze di ugual esponente

a ⫽0

n

b ⫽0

(⫺ a)d ⫽ ⫺ a d (⫹ a)d ⫽ ⫹ a d (⫾a) p ⫽ ⫹ a p

6. Segno di una potenza

7. Potenza con base frazionaria ed esponente negativo

冢ᎏbᎏ冣 a

⫺n

d numero dispari d numero dispari p numero pari

b n bn ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ a an

冢 冣

a ⫽0 ∧ b ⫽0

Le proprietà delle potenze con esponente razionale possono essere dimostrate mediante le proprietà dei radicali. Per esempio, dimostriamo che: a

m ᎏ n

p ᎏ

⭈a q ⫽a

p m ᎏ⫹ᎏ n q .

Infatti:

a

m ᎏ n

p ᎏ

nq

nq

nq

m np np ⭈ ap ⫽ amq ⭈ a ⫽ amq⭈ a ⫽ ⭈ a q ⫽ a q

n

nq

np ⫽ amq⫹  ⫽a

mq⫹np ᎏ nq

mq np ᎏ ⫹ᎏ nq

⫽ a nq

⫽a

p m ᎏ⫹ᎏ n q

.

Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamo operare con le potenze.

ESEMPI DI ESPRESSIONI IRRAZIONALI SEMPLIFICAZIONE

ADDIZIONE

con i radicali

8⬊4 78 ⫽ 7  ⫽ 72

con le potenze

7 12 ⫽ 7 12⬊4 ⫽ 7 3

12

8 ᎏ

12⬊4

8⬊4 ᎏ

3

2 ᎏ

3

POTENZA 3

3

3

2 a2 ⫹ 5 a2 ⫽ (2 ⫹ 5) a2 ⫽ 7 a2

2a

2 ᎏ 3

⫹ 5a

2 ᎏ 3

⫽ (2 ⫹ 5)a

2 ᎏ 3

⫽ 7a

2 ᎏ 3

7

7

7

3 2 ) ⫽ a6  (a3 ) 2 ⫽ (a

3 ᎏ

(a 7 )2 ⫽ a

3 ᎏ ⭈2 7

⫽a

6 ᎏ 7

625

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

12. I radicali in R Estendiamo la definizione di radice a tutto l’insieme dei numeri reali. ◗ La definizione estende il concetto di radicale anche al caso di radicando negativo. Se il radicando è positivo o nullo, non ci sono variazioni rispetto a quello che abbiamo finora studiato.

DEFINIZIONE

Radice

nⴝ0

a

a

Dati il numero naturale n diverso da zero e il numero reale a, la radice n-esima di a è quel numero reale b, se esiste, avente lo stesso segno di a e tale che b n ⫽ a.

dispari

⫹

⫹

dispari

⫺

⫺

pari

⫹

⫹

pari

⫺

∃/

n

Se l’indice della radice è pari, la radice esiste soltanto quando il radicando è positivo o nullo, non esiste se il radicando è negativo. ESEMPIO 6

64  ⫽ 2, perché 26 ⫽ 64. 8

0 ⫽ 0, perché 08 ⫽ 0. 2

⫺ 5 2 non esiste, perché non esiste un numero b tale che b2 ⫽ ⫺ 25. Se l’indice della radice è dispari la radice esiste sempre. ESEMPIO 3

1. ⫺  8 ⫽ ⫺ 2, perché (⫺ 2)3 ⫽ 8. 3

2. 12 5 ⫽ 5, perché 53 ⫽ 125.

■ Le condizioni di esistenza ◗ Se l’indice della radice è dispari, non dobbiamo porre condizioni di positività del radicando.

Se l’indice della radice è pari e il radicando è un’espressione letterale, dobbiamo porre la condizione di esistenza che il radicando sia positivo o nullo. ESEMPIO

◗ Possiamo anche trasformare il radicale iniziale nel seguente modo: 3

3

 ⫺8 ⫽ ⫺ 8. E applicare poi la proprietà invariantiva:

■ La proprietà invariantiva La proprietà invariantiva vale per le radici con radicando negativo?

3

3

 ⫺8 ⫽ ⫺ 8⫽ 3⭈2

⫽ ⫺82 6

⫽ ⫺ 64  ⫽ ⫺ 2.

626

3 6 4x  ⫺ 3 esiste soltanto se 4x ⫺ 3 ⱖ 0, da cui C.E.: x ⱖ ᎏᎏ . 4

ESEMPIO 3⬊3

Dato il radicale ⫺ 8, possiamo scrivere ⫺ 8 ⫽ ⫺ 23 ⫽ 3

3

3⭈2

3

⫽ ⫺ 23⬊ 3 ⫽ ⫺ 2, mentre non possiamo scrivere (⫺ 8) 2 ⫽  64 ⫽ 2. 6

Paragrafo 12. I radicali in R

TEORIA

In generale, se n è dispari e a un numero reale positivo, vale la relazione: ⫺  a ⫽ ⫺ a. n

n

■ La semplificazione e il valore assoluto Per semplificare una radice con radicando scomponibile in fattori negativi basta introdurre il valore assoluto quando l’indice della radice è pari. Quando l’indice è dispari si procede al solito modo. ESEMPIO 2

1. (⫺ 5) 2 ⫽  ⫺ 5 ⫽ 5. 12⬊2

6

10 10⬊2 3)  ⫽ (⫺ 3)   ⫽  ⫺ 3 5. 2. (⫺ 12

3. (⫺ 2) 3 ⫽ ⫺ 2. 3

In generale, valgono le seguenti uguaglianze: a se n è dispari n an ⴝ  a  se n è pari



■ La riduzione di radicali allo stesso indice La proprietà invariantiva permette di trasformare due o più radicali allo stesso indice. ESEMPIO

Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali: ⫺  a 2 1 ⫺; 3

a 4 1 ⫹.

a) Trasformiamo il primo radicale, rendendo positivo il radicando: ⫺  a 2  (a 2 1 ⫽ ⫺ a2 1 ⫺1 ⫽ ⫺ ⫹) ⫹; 3

3

3

b) m.c.m. (3; 2) ⫽ 6; c) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice: 2 ⫺ a 2 ⫹1 ⫽ ⫺ (a 2 ⫹) 1; 3

6

3 a4 ⫹1 ⫽ (a 4 ⫹) 1. 6

Per le operazioni di moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione e l’elevamento a potenza valgono per i radicali in R le stesse proprietà incontrate nei paragrafi precedenti per i radicali in R⫹0 . Nel sito:

䉴 teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari

627

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

TEORIA

Il problema di Delo …come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

L’altare di Apollo, famoso in tutta la Grecia, aveva una forma particolare: era, infatti, un cubo. Si trattava di costruire un nuovo altare di uguale forma ma con volume doppio. La leggenda narra che per prima cosa gli ateniesi, di ritorno da Delfi, si recarono sull’isola di Delo e costruirono un nuovo altare, col lato doppio del precedente.

V ᐉ

V' 2ᐉ

Se l era il lato dell’altare originale, il suo volume era V ⫽ l 3, mentre il volume del nuovo altare valeva: V′ ⫽ (2l)3 ⫽ 8l 3 ⫽ 8V. Chiaramente la peste non cessò: gli ateniesi avevano infatti costruito un altare non due, ma otto volte più grande di quello iniziale. Resisi conto dell’errore, si rimisero al lavoro e costruirono un nuovo altare, mettendo sopra a quello vecchio un altro cubo delle stesse dimensioni. Anche que-

sta volta, la peste non terminò: il volume era quello richiesto, ma l’altare non era più un cubo.

ᐉ

V V ᐉ

Analizziamo il problema dal punto di vista algebrico. Per costruire un altare cubico di volume doppio rispetto a quello originale deve essere V′ ⫽ 2V → l′3 ⫽ 2l 3, e quindi: 3

l′ ⫽  2 ⭈ l. In conclusione, bisogna poter 3 misurare un lato pari a  2 ⭈ l; se per semplicità assumiamo l ⫽ 1, si tratta di costruire un segmento a cui corrisponda il 3 2. numero  Le regole fondamentali delle costruzioni della geometria euclidea, applicate nell’antica Grecia, permettono il solo utilizzo di riga e compasso. Tali strumenti sono ben diversi da quelli odierni: per esempio, la riga euclidea non ha unità di misura e tacche utili per misurare, ma è una semplice asta che serve solo a tracciare segmenti di retta.

–䊳 Il quesito completo a pag. 605 Oggi sappiamo, tramite dimostrazione algebrica, che con tali mezzi è impossibile ottenere un 3 2. segmento di lunghezza  Il problema di Delo della duplicazione del cubo costituisce una delle questioni più discusse della Grecia classica. Molti matematici del tempo, come Ippocrate di Chio, Archita di Taranto e Menecmo, riuscirono a risolvere il problema attraverso metodi diversi, abbandonando comunque le regole geometriche di riga e compasso. È importante osservare che il segmento ottenuto attraverso questi procedimenti, 3 2, corrispondente al numero  risulta una grandezza incommensurabile rispetto al segmento di misura 1, cioè non esiste un segmento sottomultiplo comune. 3 2 non è Questo significa che  un numero razionale, ovvero non esiste alcun razionale che elevato al cubo sia uguale a 2. Si tratta quindi di un numero irrazionale. La leggenda narra che la peste terminò quando gli ateniesi si rivolsero al filosofo Platone, che spiegò finalmente la risposta dell’oracolo: il dio non aveva bisogno di un altare dal volume duplicato, ma voleva far capire ai Greci che trascuravano lo studio della matematica e in particolare della geometria.

LA QUADRATURA DEL CERCHIO Un altro dei problemi celebri della geometria classica che coinvolge i numeri irrazionali è quello della quadratura del cerchio. Dato un cerchio, bisogna costruire un quadrato di area pari a quella del cerchio. Dal punto di vista algebrico, indicati con r il raggio del cerchio e con l il lato del quadrato da trovare, vale la relazione: ␲r2 ⫽ l 2 → l ⫽ ␲  ⭈ r. . Nel 1882 venne dimostrata l’impossibilità di tale Assunto per semplicità r ⫽ 1, si tratta di costruire un lato di misura ␲ costruzione attraverso le regole euclidee di riga e compasso. Abbandonando tali regole è possibile ottenere la sua rap3 presentazione attraverso vari metodi. Il numero ␲  è, come  2 , un numero irrazionale.

628

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I numeri reali e i radicali 1. La necessità di ampliare l’insieme Q La radice quadrata di un numero è quel numero positivo o nullo che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato. L’estrazione di radice non è un’operazione interna in Q. Per esempio, 2 non ha per radice quadrata un numero razionale.

Al simbolo a, con a ⱖ 0, si dà il nome di radicale. I radicali con indice 2 si chiamano radicali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici. n

indice

2. Dai numeri razionali ai numeri reali Ogni numero razionale può essere approssimato mediante due successioni di numeri decimali: una che lo approssima per eccesso, l’altra che lo approssima per difetto. ESEMPIO 2 0 ⬍ 0,2 ⬍ 0,22 ⬍ … ⬍ ᎏᎏ ⬍ ... ⬍ 0,23 ⬍ 0,3 ⬍ 1 9

a meno di 0,01 a meno di 0,1

radicando

4. La proprietà invariantiva dei radicali Proprietà invariantiva dei radicali: dato un radicale, moltiplicando l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente. È possibile ottenere un radicale equivalente anche dividendo indice ed esponente per un loro divisore comune.

a meno di 1

•

I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati non periodici. Possono essere approssimati per difetto e per eccesso da due successioni di decimali. I numeri reali sono tutti i numeri razionali e irrazionali.

3. I radicali in R⫹0 Dati un numero naturale n diverso da 0 e un numero reale a positivo o nullo, la radice n-esima di a è quel numero reale b, anch’esso non negativo, la cui potenza con esponente n è uguale ad a. naturale diverso da 0 n

√ ⎯a = b

bn = a

esponente del radicando

4

√ ⎯ 35

p

0

√ ⎯am

m p √ ⎯a⎯⎯

n p

n

•

p

(a

0)

0

Applicando la proprietà invariantiva è possibile semplificare un radicale oppure ridurre allo stesso indice più radicali. semplificazione

riduzione allo stesso indice

:2 6

√ ⎯710

2

•

= :2

3

√ ⎯75

6

√ ⎯a5

12

√ ⎯a10

= 2

•

3

•

4

reali maggiori o uguali a 0

√ ⎯a3

12

√ ⎯a9

= 3

•

629

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Nella semplificazione, se il radicando è letterale e non se ne conosce il segno, occorre scrivere il radicando in valore assoluto. ESEMPIO

a 2 ⫽ ⏐a⏐,

an ⫽ ⏐a⏐. n

6. La potenza e la radice di un radicale La potenza m-esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza m-esima del radicando. m

n

5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi.

n

4

)√⎯ 3 ) = √⎯(3⎯ ) = √⎯3

)√⎯ a ) = √⎯a

7

m

2

7

7

2 4

8

La radice m-esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici m ⭈ n e per radicando lo stesso radicando. prodotto degli indici

ESEMPIO

3 ⭈ 7 ⫽ 21. m

Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è sufficiente ridurli al loro minimo comune indice.

2

3

6

6

√ ⎯16 • √ ⎯125 ⎯

=

6

√ ⎯2000 ⎯⎯

=

riduciamo allo stesso indice

prodotto dei radicandi

Considerazioni analoghe valgono per il quoziente di radicali. ESEMPIO 10

3

10

4 5

3 2

Un fattore del radicando, scritto sotto forma di potenza con base non negativa, può essere portato fuori dal segno di radice, se il suo esponente m è maggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattore esterno ha per esponente il quoziente della divisione fra m e n, quello interno ha per esponente il resto della divisione.

√ ⎯514

630

=

4 3+2 √ ⎯5⎯⎯ •

=

3

3

√ ⎯⎯54 3 • √ ⎯52 •

= 54

3

=

√ ⎯2

21

2 5 3  ⫽ 52 ⭈ 3 ⫽ 5 ⭈ 3 ⫽ 7 5. 2

2

Due radicali irriducibili sono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. La somma di due radicali simili è un radicale simile ai dati avente per coefficiente la somma dei loro coefficienti. radicali simili

4 resto

quoziente 3

√ ⎯2

ESEMPIO

3

14 3 2 4 3

√ ⎯a

7. L’addizione e la sottrazione di radicali

2 ⬊ 2 ⫽  (2) ⬊  (2) ⫽ 10 10 5 20 6 14 7 ⫽ 2⬊2 ⫽  2 ⫽  2. 5

4

=

7

m•n

Un fattore non negativo può essere portato dentro il segno di radice, diventando fattore del radicando, se lo si eleva alla potenza che ha per esponente l’indice del radicale.

stesso indice

⎯5 √ ⎯4 • √

√ ⎯a n

3

•

√ ⎯52

√ ⎯2

+ 5

stessa parte radicale 3

√ ⎯2

=

3

9

√ ⎯2 somma algebrica dei coefficienti

Paragrafo 1. La necessità di ampliare l’insieme Q

8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione È possibile razionalizzare il denominatore (in cui compaiono radicali) di una frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore diverso da 0. ESEMPIO

2 2 2 22 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2. 2 2 2 2

ESEMPIO

4 4 2 2  x ⫽ 4 → x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ 2 2 . 2 2 2

11. Le potenze con esponente razionale È possibile scrivere i radicali sotto forma di potenze con esponenti razionali.

9. I radicali quadratici doppi Il radicale doppio a ⫹  b può essere trasformato nella somma algebrica di due radicali semplici solo se a2 ⴚ b è il quadrato di un numero razionale o di un’espressione che non contiene radicali.

a ⫾  b⫽ ⫽

  a ⫹  a 2  ⴚb ᎏᎏ ⫾ 2

a ⫺  a2  ⴚ b ᎏᎏ . 2

10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali È possibile risolvere equazioni, sistemi e disequazioni a coefficienti irrazionali.

ESERCIZI

m

an =

n

√ ⎯ am (a

5

0)

4

74 =

√ ⎯75

12. I radicali in R Dati un numero naturale n ⫽ 0 e un numero reale a, si chiama radice n-esima del numero a il numero reale b, se esiste, avente lo stesso segno di a, la cui potenza con esponente n è uguale ad a. n Viene indicata con il simbolo a. nⴝ0

a

a

dispari

⫹

⫹

dispari

⫺

⫺

pari

⫹

⫹

pari

⫺

∃/

1. La necessità di ampliare l’insieme Q

n

–䊳

Teoria a pag. 605

1

Con considerazioni analoghe a quelle fatte per 2 , dimostra che 3  non è un numero razionale.

2

. Come nell’esercizio precedente, ma per 5

3

Come nell’esercizio precedente, ma per 2  ⭈ 3 .

4

Utilizzando il teorema di Pitagora costruisci i segmenti di lunghezza (in centimetri) 3, 5, 6.

631

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

–䊳

2. Dai numeri razionali ai numeri reali

Teoria a pag. 607

Scrivi i primi 4 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri razionali. 5

1,

1 ᎏᎏ , 4

14 ᎏᎏ . 5

7

1 ᎏᎏ , 3

3 ᎏᎏ , 7

24 ᎏᎏ . 11

6

2 ᎏᎏ , 4

3 ᎏᎏ , 8

8 ᎏᎏ . 9

8

1 ᎏᎏ , 6

4 ᎏᎏ , 5

2 ᎏᎏ . 13

Nei seguenti esercizi, vengono forniti un intervallo di approssimazione e delle coppie di numeri formate da un numero decimale e da una frazione. Indica se il numero decimale è l’approssimazione della frazione e, in caso affermativo, se lo è per difetto o per eccesso. 9

Approssimazione a meno di 0,1. 2 0,2; ᎏᎏ. 9

0,85;

5 ᎏᎏ . 6

10 13 ᎏᎏ . 43

3,3;

Approssimazione a meno di 0,1. 0,58;

4 ᎏᎏ . 7

0,6;

6 ᎏᎏ . 9

4,9;

5 ᎏᎏ . 1

Scrivi i primi 5 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri irrazionali. 11 3, 5

7, 11 

12 5,12122122212222...

13 2 ⫹ 3

15 23

14 2 ⭈ 3

16 5 ⫹ 2

Indica quale dei seguenti numeri è razionale e quale irrazionale. Per ciascun numero razionale indica se è decimale finito oppure periodico. 3 17 ᎏᎏ ; 8

5 ᎏ; 冢ᎏ23ᎏ冣 ; ᎏ14ᎏ ; ᎏ2 9 2

18 5,2323323332…;

7;

81 ;

⫺ 2,79813;

2,61777…;

11 ;

⫺ 49 ;

1,123456… 6 32 ᎏ ; ᎏ ᎏ. ᎏ1   9 4

Sottolinea nel seguente gruppo di numeri quelli irrazionali. 19 2,84;

⫺ 36 ;

20 3 ⭈ 8;

3,6444;

7,5252…;

5 ᎏᎏ ; 9

7,5252;

4 ⭈ 2. 7 ⫺ ᎏᎏ ; 25

21 COMPLETA inserendo i simboli ⬎, ⬍ , ⫽ . 1 1 4,12 … 4,12, ⫺ ᎏᎏ … ⫺ ᎏᎏ , 3 4 5 ᎏ … 2,51, ᎏ2 4

632

2 ᎏᎏ … 0,2, 9

22 5. 5 7 … ᎏᎏ , 2

ᎏ16ᎏ … 0,408.

Paragrafo 3. I radicali in R⫹0

ESERCIZI

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali. 6,2;

22 6,2;

6,21;

27 23 ᎏᎏ ; 8

6,12.

6,223;

35 ᎏᎏ ; 6

41 ;

6,2.

8,71;

24 COMPLETA inserendo un numero reale compreso fra i numeri di ciascuna delle seguenti coppie. 1 2 36 …… 52 , ⫺ ᎏᎏ …… ⫺ ᎏᎏ , 5 5

7 …… 8, 12,8 …… 12,81,

1 1 ␲ ᎏᎏ …… ᎏᎏ , ᎏᎏ …… ␲ ⫺ 2. 6 7 2

1 Calcola con l’approssimazione a meno di ᎏᎏ il risultato delle seguenti operazioni. 100 25 2 ⫹ 7,31

27 4,3 ⭈ 7

 29 6 ⭈ 15

26 6,72 ⫺ 4,561562 …

28 5 ⬊ 2,14

 ⬊ 2,5 30 10

–䊳

3. I radicali in R⫹0

Teoria a pag. 611

■ Le potenze e le radici aritmetiche 31 COMPLETA, quando è possibile, inserendo la base mancante nelle seguenti potenze.

32 COMPLETA inserendo l’esponente mancante nelle seguenti potenze.

(. . . . . ) 5 ⫽ 32;

(. . . . . ) 2 ⫽ ⫺ 9;

(2) ⫽ 64;

(. . . . . ) 3 ⫽ ⫺ 8;

(. . . . . ) 4 ⫽ 625.

(5) ⫽ 625;

...

(3) ⫽ 27;

...

...

(4) ⫽ 64.

...

a ⫽ b ⇔ b n ⫽ a. 33 COMPLETA applicando la definizione di radice n-esima:  n

5 ᎏ ⫽… ᎏ2 9

4

 16 ⫽ …

3

27 ⫽…

26 ⫽ …

4

81 a4 ⫽ …

4

x8 ⫽ …

16 a6 ⫽ …

34 Determina, quando è possibile, le radici quadrate dei seguenti numeri. 25;

36;

⫺ 81;

49;

⫺ 144;

121.

CACCIA ALL’ERRORE

Operando con radicali in R⫹0, indica quali delle seguenti scritture non sono corrette, spiegando il perché. 4

) 94 ⫽ ⫺ 9; 35 (⫺ (⫺ ) 52 ⫽ 5; 6

3

 8  ⫽ 2; 36 ⫺

37 ⫺ 4 ⫽ 2;

3

⫺ ⫺ 8 ⫽ 2;

3

⫺ ⫺ 4 ⫽ 2;

3

⫺ 8 ⫽ ⫺ 2.

⫺  4 3 ⫽ 4;

(⫺ ) 26 ⫽ ⫺ 2;

⫺ 7 2 ⫽ ⫺ 3;

72 ⫽ 7. ⫺

5 12 ⫽ 5.

3

3

633

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

■ Le condizioni di esistenza dei radicali in R⫹0 ESERCIZIO GUIDA 3

4 5  b ; 38 Determiniamo le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in R⫹0: a) 6a 4 5 a) 6a  b Il radicando è il prodotto di tre fattori e deve essere positivo o nullo: 6 è un numero positivo; a 4 è sempre positivo o nullo, indipendentemente dal segno di a, poiché il suo esponente è pari; b 5, avendo esponente dispari, assume il segno di b, quindi, affinché b 5 sia positivo o nullo, occorre che sia b ⱖ 0. Pertanto C.E.: b ⱖ 0.

b)  a ⫺. 2

3

a b)  ⫺2 Il radicando è il binomio a ⫺ 2, che non si scompone in fattori. Dobbiamo porre a ⫺ 2 maggiore o uguale a 0, ossia a ⫺ 2 ⱖ 0, da cui a ⱖ 2. Quindi: C.E.: a ⱖ 2.

Determina le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in R⫹0. 3

4

2 5 2  ; a ;  a ;  2x . 39 a 3

45

4

3 2 2 b ;  b  b ;  2a  3a . 40 a

. ᎏ a⫹1ᎏ 1 ; ᎏ (a ⫺2ᎏ 2 ) ; 1⫺  x ⫹ x. ᎏx1ᎏ ; ᎏ ⫺1ᎏ x  x ⫺3 ; ᎏ  2xᎏ  ; ⫺.x 3

4 ) a; 47 (⫺

5

48

3

b ⫺; 1 1⫺ a 2; a  ⫹. 1 43  3

2

3

a ⫺; 3 x  ⫹; 2  2x  ⫹. 4 42  4

4

3 2 5 4 ⫺) x;  (⫺) a; ⫺ y. 46 (⫺

2 3 5 2 2 3 b ; 2a b ; 6a x . y    41 5a 3

(1 ⫺ 2x) 3ᎏ  ; x ⫹;1 ⫺1⫺.x ⫺ᎏ

4

 ⫹; 3  x ⫹; 5  2x  ⫺. 1 44 3a

49

2

2

4

3

–䊳

4. La proprietà invariantiva dei radicali

Teoria a pag. 613

■ La proprietà invariantiva ESERCIZIO GUIDA

50 Indichiamo fra le seguenti coppie di radicali (con a, b ∈ R⫹0 ) quelle equivalenti, applicando la proprietà invariantiva: 6

4

4 12 3 b  a) 2a , 8a b ;

3 9 2 b  b; b) a , a

3

6

2 ⫺a c)  a ⫺, b  a 2 2 b ⫹ b , 2ⴢ2

6

4 12 3 a) 2a  8a b . Infatti otteb è equivalente a  niamo il secondo radicale dal primo moltiplicando l’esponente del radicando e l’indice per 3: 2⭈3

6

6

4 4 1⭈3 4 3 12 3  (2) a ) 8a b . b ⫽a b⫽(2 b⫽ 2a 4

3 9 2 b non è equivalente a  b . Infatti, se  a b)a si moltiplicano per 2 l’esponente del radicando e l’indice, si ottiene:

634

con a ⱖ b. 4

4

3 3 1⭈2 3 2 6 2 a  (a) (a) a b ⫽  b ⫽  b ⫽  b 4

9 2 b . e non  a 6

3

2 ⫺a ⫺ b è equivalente a  a 2 2 b⫹  b . Infatti, c)  a moltiplicando per 2 indice ed esponente, otteniamo: 3ⴢ2

3

6

 a ⫺ b ⫽  (a  ⫺) b1⭈2  ⫽  (a  ⫺) b 2 ⫽ 6

2 2 b ⫹ b . ⫽  a 2 ⫺a

Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali

ESERCIZI

Fra le seguenti coppie di radicali indica quali sono quelle equivalenti, applicando la proprietà invariantiva. (Supponi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali.) 4

12

4

3 6 32 ; 36 4 ⭈5,  245 ⭈ ; 51 , 12

3

9

3

ᎏ12ᎏ07 , ᎏ130ᎏ. 3

9

6

2

12

2 ; 25 , ; 5 81 , 3. 52 8,  18

6

4

3

6

3

3

3 3 3 2a bc ,  6a  bc ; 6

3 3 3 6 a  bc ,  3a  bc .

6

 ⫹, 1  x 2 2  ⫹; 1 ⫹x 53 x 2 2 2a ,  4a  b ; 54 b

8

6

2 6 3 b ,  b ;  9a  55 3a

3 1⫺ , x 1⫺  x .

5

10

5 10 2 a 32, 64b ; b a

6

3 3 2a ,  6a c . c

10

10  ⫺, 1  a  ⫺1 ; 56 a

ᎏ29ᎏ(2a⫺5), ᎏ92ᎏ(2a⫺5) . 6

3

ESERCIZIO GUIDA

57 Applicando la proprietà invariantiva, determiniamo il radicale equivalente a quello dato, indicando anche le condizioni di esistenza dei radicali. 4

12

5  2a ... . b ⫽ .. n⭈p

m⭈ p La proprietà invariantiva dice che xm ⫽ x  . Dobbiamo risolvere un problema del tipo n

n⭈p

xm ⫽ ... .. , dove n ⫽ 4 e n ⭈ p ⫽ 12, ossia 4p ⫽ 12, da cui p ⫽ 12 ⬊ 4 ⫽ 3. Pertanto: n

5 5 12 ⬊ 4 5 3 15 3  2a  b ⫽ (2 b ⫽ (2 b ⫽  a ) a ) 8a b . 4

12

12

12

quoziente degli indici

Per l’esistenza dei radicali basta porre: ab ⱖ 0. Infatti, se ab ⱖ 0, è anche: a5b ⫽ a4(ab) ⱖ 0 e a15b3 ⫽ a14b2(ab) ⱖ 0.

COMPLETA applicando la proprietà invariantiva e determina il radicale equivalente. Scrivi anche le condizioni di esistenza dei radicali. 6

.. ; 58 8 ⫽... 6

... ; a4 ⫽ .. 59 b 3

4

 1 ⫽ .. ... ; 60 a⫹ 6

b3 ⫽ .. ... ; 61 2a

5

15

27 ⫽ .. ... ; 4

3a 3 ⫽ .. ... ; 4

2a b2 ⫽ .. ... ; 5

10

c 3a ⫽ ... .. ;

12

243 ⭈ 3 ⫽ ... .. . 6

2b 4 ⫽ .. ... . 3

3ab 2 ⫽ .. ... .

  a 6b 3 ᎏᎏ ⫽ 4

4

a 6b 3 ᎏᎏ . .....

635

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

■ La semplificazione di radicali La semplificazione di radicali con radicandi non negativi ESERCIZIO GUIDA 9

64 62 Semplifichiamo i radicali: a) ,

6

3 6 b) 27 xy  (con x ⱖ0, y ⱖ 0).

a) Scriviamo il radicando come potenza e dividiamo per 3 (che è il M.C.D. tra 9 e 6) l’indice di radice e l’esponente del radicando: 9

9

3

3

64  ⫽  26 ⫽  22 ⫽  4. b) Scriviamo il radicando come una potenza e dividiamo per 3 l’indice di radice e l’esponente del radicando: 6

6

6

3 6 3 6 2 27y  ⫽ x 33y  ⫽ xy (32)3 ⫽ 3x y. x

63 VERO O FALSO? 9

3

a) 27  ⫽  3 3 3 3 b) a ⫹b ⫽ a ⫹ b c) (1  ⫹ 2 )2 ⫽ 1 ⫹ 2

V

F

V

F

V

F

6

3

8 4 d) ab  ⫽ b a42 8 e) 34 ⫹54 ⫽ 3⫹  5 8 4 f) 16  ⫽ 8.

V

F

V

F

V

F

Indica quali dei seguenti radicali non si possono semplificare. 3

32 64 ; 65

7

5

28 ;



a4 ᎏ ᎏ; a2 ⫹ b2

4

2 a10y; 3

9a 3;

5 22;

6

2  x 2 ⫹y;

9

6 21. 4

2 4( x⫹ ) y;

ᎏ a⫹624ᎏ a ⫹1 . 8

2

Semplifica, se possibile, i seguenti radicali supponendo non negativi tutti i fattori letterali che eventualmente compaiono (anche nei risultati). . 25

6

[2; 3; 5]

; 16

10

5 12.

6

[2; 4; 5]

23 ᎏᎏ . 27





ᎏ18ᎏ ; ᎏ58ᎏ ; ᎏ23ᎏ

7 365⭈ᎏ  ; ᎏ614ᎏ . ᎏ

10; ᎏ65⭈ᎏ7 ; ᎏ18ᎏ

9;

3

67 8; 68

4

10

32 66 ;

 8

1 ᎏᎏ ; 8

6

00 ; 69 10

6

25 ᎏᎏ ; 64

6

2

4

8

 42 ⫹32;

3 6 27 b ; 71 a

6

5 5 b . a 32

4 6  b ; 72 a

2 4 a  b ;

212; 70 

636

8

4

6

4

 132 ⫺52.

10

3

5

8

3

4

2

3

[8;  5 ; 12 ] 2 [3a b ; 2a b ]

3

6 9  a b .

[a 2b 3; ab 2; a 2b 3]

Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali

80



[2a b;  2a] b

81

ᎏ xa⫹⫹42ᎏ ax⫹⫹41

ᎏ ax⫹⫹ᎏ12 

ᎏ3ᎏ⫹a

82





5ᎏ 

ᎏ

83

x ⫹ᎏxaᎏ⫹2a

ᎏ

ᎏ b ⫹ 1

84

ᎏ (a ⫺a1⫺)(ᎏ a1⫹1 )

6

(2⫺ a 2a a 4  ⫹) 4 73 

[a(a  ⫺) 2] 3

9

8 ⫹a 62⫹ 2a 1 a 3⫹ 74  6

10

b ; 4a 75 

ᎏ91ᎏ⫹a ⫹ᎏ32ᎏa

77



78 79

4

3

4 2

76

6

[ a ⫹] 2

4a b.

2 12

2(2b ⫹ 1)

(a ⫺ 1 )2 ᎏ ᎏ b2 ⫹ 2b ⫹ 1

3

4a b ᎏ4caᎏ ; ᎏ cᎏ  . 2

6

2

1

3

 6

5

6

2

4(2b ⫹ 1) 2 ᎏᎏ 25

10

4

3

a⫺1

5

2

6

4

6

ᎏ2ᎏx 

x3 ⫺ 2x 2 ᎏᎏ 16x ⫺ 32 2

3

2

9

8a6 ᎏ ᎏ a3 ⫹ 3a2 ⫹ 3a ⫹ 1

3

2

2

2

2

6

2

2a2 ᎏᎏ a⫹1

a ⫹x ᎏ

ᎏ x

4

a ᎏ ; ᎏ

ᎏ2c 2cᎏb 

2 2

ESERCIZI

3

2

ᎏ (a ⫹1ᎏ 1 )  3

2

a

3

La semplificazione dei radicali con la discussione sul segno dei radicandi ESERCIZIO GUIDA

85 Semplifichiamo i radicali: 4

2 4 y ; b)  x

6

4

4:2

6 a) (⫺ ) 5;

2 c) x ⫺ x 4  ⫹. 4

a) (⫺ ) 56 ⫽ (⫺ ) 56⬊2 ⫽ 6⬊2 Poiché (⫺ 5) ⫽ (⫺ 5) 3 è negativo, dovendo essere il radicando sempre positivo, occorre introdurre il valore assoluto: ⫽ ⫺  5 3 ⫽ 12 5. b) C.E.: ∀x 僆 R, ∀y 僆R. Infatti il radicando è positivo o nullo per qualsiasi valore attribuito a x o a y. 3

Ⲑ6

6

3

Ⲑ1 2 4 2  x y2) 2 ⫽ x y . y  ⫽ (x

Per avere il radicando non negativo, dopo la semplificazione occorre introdurre il valore assoluto di x. 2⫺ x 4  ⫹4 ⫽ (x  ⫺) 22 ⫽ c) x

C.E.: ∀x ∈ R, perché l’esponente del radicando è pari.

⫽ x ⫺ 2, perché un radicale deve essere non negativo.

86 VERO O FALSO? a) (⫺ 9) 2 ⫽ 9

V

F

V

F

V

F

V

F

e) (⫺ 27 ) ⫽ ⫺ 27 

V

F

f)  a ⫽ a è vera per ∀a 僆 R e ∀n 僆 N.

V

F

b) (1  ⫺ 3 ) ⫽  1⫺  3  4

2

6

c)  a3 ⫽ a 4

d) (2 x⫺ ) 32 ⫽ 2x  ⫺ 3 12 n

6

n

637

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Semplifica, se è possibile, i seguenti radicali dopo aver indicato le condizioni di esistenza.

ᎏ4xaᎏ .

9

3

6

4 10 64 xy .

4

4 (a a2 ⫹) 3.

2 (a  ⫺) 1; 89 16

 6

8a3 ᎏᎏ ; b6

10

2 5 [a ⱖ 0, ab 2;  8xy ⏐ ⏐]

5

6

2 [4a 1 a⏐ ⫹) 3] ⏐⫺ ⏐ ;  ⏐(a

3

a ⬎ 0, b ⫽ 0, ᎏ2baᎏ ; ⏐x ⫺ 3⏐

x2 6⫹ . 9 ⫺x

4

2

8

6 a4; 91 b

4

2

4

6 a3; 88 b

90

⏐ ᎏ

x ⱖ 0, 3x; x ⫽ 0, ᎏ 2⏐xa

2

8

x3; 87 27

4

a2 ⫺a 2⫹ . 1

[a2⏐  b⏐3; 4a 1 ⏐⫺ ⏐] BRAVI SI DIVENTA

92

24(x ⫹ 4x ⫹ 4x ) ᎏᎏᎏ  54b (a ⫹ 6a ⫹ 9)

93



94

 

8

12

6

6

4

6

䉴 E34

4

2



4x 2 ⫹ 4y2 ᎏᎏ ; a4

8

x 2 ⫹ 2x ⫹ 1 ᎏ ᎏ; 4x 2 ⫹ 4x ⫹ 1



a4(a ⫺ 4)4 ᎏ ᎏ. a2 ⫹ 4a ⫹ 4

6

a ⫽ 0, non semplif.; a ⫽ ⫺ 2,



27a6 ᎏᎏᎏ . x3 ⫹ 3x2 ⫹ 3x ⫹ 1

1 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ , 2

 4

   3

a2(a ⫺ 4)2 ᎏᎏ ⏐a ⫹ 2⏐

x⫹1 ᎏᎏ ; x ⬎ ⫺ 1, 2x ⫹ 1

 3a2 ᎏᎏ x⫹1

95 Per quali valori di x si ha: 2 ⫽ 2x, a) 4x 1 ⫹5 2 ⫽ 5 ⫺ x ? ⫺0x b) x2

[a) x ⱖ 0; b) x ⱕ 5]

■ La riduzione di radicali allo stesso indice ESERCIZIO GUIDA

96 Riduciamo allo stesso indice i seguenti radicali, supponendo verificate le C.E.: 5

a)  3;

3

2;

4

2.

6

b)  2a2,

3 3a b,

4 b a2. 3

a) Calcoliamo il minimo indice comune, ossia il m.c.m. fra gli indici: m.c.m. (5, 3, 2) ⫽ 30. Applichiamo la proprietà invariantiva per passare dai radicali dati a radicali equivalenti con indice 30. Eleviamo cioè ogni radicando al rapporto fra il m.c.m. e l’indice di partenza: ⭈6 5

⭈10 30

3

⭈15 30

3 ⫽ ;  3  2 ⫽ 2; 6

10

2

30

 2 ⫽ 215.

b) Calcoliamo il minimo indice comune: m.c.m. (4, 6, 3) ⫽ 12. Applichiamo la proprietà invariantiva: ⭈3 4

⭈2 12

12

6

⭈4 12

12

3

12

12

2 4 4 8 16  2a ⫽ a b  ⫽  b ) ⫽  b . (2) ⫽  8a; 3a b ⫽ (3 a  b ) ⫽  9ab;  a (a a

638

2

2 3

6

3

3 2

2 6

2 4

Paragrafo 4. La proprietà invariantiva dei radicali

ESERCIZI

Riduci allo stesso indice i seguenti radicali. (Qui e in seguito, se non vengono date indicazioni diverse, supponi verificate le C.E.) 3

97 3,

4

[72 9; ; 81 ] 27

6

[4; ; 27 5]

3

3,

3.

3

3,

5.

52 99 ,

12

6,

100 5,

7,

98 2,

12

12

[; 52 6 21; 01 24]

4

a.

[; 25  7 ;  a 2]

3

2a 2.

4

y 3x.

6

a  ⫹, b

 a ⫹. b

3 4 25 b , 104 a

15

2 3a b,

, 2 105 a⫹

 5

x⫺1 ᎏᎏ , y⫹1

12

12

4

4

12

12

[a9;  a 4; a 6412 ]

3

2 3 3 6 4 4 y ;  y ; x y ] [ 3x  8x  81

3

2 3 2 [ (a  ⫺) b;  (a  ⫹) b;  (a  ⫹) b]

5

3 4 5 10 6 3 b ; 3a b ; 5a b ] [a 25 24 12

4

6 8 9 [ (a ⫹) 2;  (a ⫹) 2;  (a ⫹) 2]

3

b 5a 2.

⫹a  a 2 4⫹ , 4

3

3 (a  ⫹) 2.





a ⫹b ᎏᎏ , 3

12

4

2 y 2x,

106

6

7.

12

2  ⫺) b, 103 (a

6

4

 a,

2 3 3x  y , 102 

12

6

4

3 101 a,

12

10

12

6

15

12

12

12

6

6

15

15

12

12

  ᎏ zz⫺⫹ᎏtt 

z⫺ t ᎏᎏ . z⫹t

10

(x ⫺ 1) 2 ᎏᎏ ; (y ⫹ 1) 2

10

(a ⫹ b) 5 ᎏᎏ ; 35

10

■ Il confronto di radicali ESERCIZIO GUIDA

107 Confrontiamo i radicali 4 3 6 3, 3, 7. Riduciamo allo stesso indice: 4

12

27 ⬍ 49 ⬍ 81 Mettiamo i radicali nello stesso ordine dei radicandi:

12

3 3 ⫽  27 3 ⫽  3 12 12 4 3 ⫽  3  ⫽  81 6 12 12 2 7 ⫽  7  ⫽  49

Confronta i seguenti radicali. 3

108 2,

5,

, 109 90

, 80

110

5

ᎏ32ᎏ , ᎏ43ᎏ , 3

3

111 3,

2,

6

4

3

3 ⬍ 7 ⬍ 3.

Disponi in ordine crescente i seguenti radicali dopo averli ridotti allo stesso indice.

6

6

. 12 10

3

[2 ⬍  12 ⬍ 5] 10

6

5

5.

10 ,

4

25 ,

6,

113 8,

14 ,

4

7.

6

28 .

5

0 12. [0 12 ⬍  80 ⬍ 90 ] 4.

3

112 5,

ᎏ3ᎏ ⬍ ᎏ4ᎏ ⬍ 4 2

5

3

3

3

6

3

[5 ⬍ 2 ⬍ 3]

114 Disponi in ordine crescente i numeri reali: 4

27 ,

2,2,

5,

3

18 .

639

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali

–䊳

Teoria a pag. 616

■ La moltiplicazione fra radicali ESERCIZIO GUIDA

115 Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni fra radicali: a)

   3

5 ᎏᎏ ⭈ 3

3

9 ᎏᎏ ⭈ 25

3

5 ᎏᎏ; 2

b)

  2a ᎏᎏ ⭈ b

3

ab2 ᎏᎏ . 6

a) Poiché gli indici dei radicali sono uguali, è sufficiente applicare il teorema del prodotto ⭈b a ⭈ b ⫽ a: n

n

n

5 93 5 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ 3 25 2

    ᎏ23ᎏ . 3

5 ᎏᎏ ⭈ 3

9 ᎏᎏ ⭈ 25

3

5 ᎏᎏ ⫽ 2

3

3

3

b) Poiché i radicali hanno indici diversi, li riduciamo allo stesso indice: b . ᎏ2bᎏa ⫽ ᎏ8baᎏ e ᎏa6bᎏ ⫽ ᎏa3ᎏ 6 b ⫽ ᎏ2bᎏa ⭈ ᎏa6bᎏ ⫽ ᎏ8baᎏ ⭈ ᎏa3ᎏ 6 3

6

2

3

6

2 4

3

2

3

3

6

2 4

6

3

Il prodotto è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi: ⫽

⶿

 ⶿ Ⲑ 6

2

8a 3

⭈

b3

a 2 ⭈ bⲐ4 ⫽ 36 9

 6

2a 5b ᎏᎏ . 9

Esegui le seguenti moltiplicazioni fra radicali e semplifica i risultati. 3

 ⭈ 3; 116 48 5

5

3

3 ⭈  9; 5

32  ⭈ 2. 6

 36  18 ; 117 12

6

[12; 3; 8]

6

2 8 32 .

[6; 8]

118

ᎏ56ᎏ ⭈ ᎏ43ᎏ25 ⭈ 2;

ᎏ43ᎏ ⭈ ᎏ28ᎏ7 ⭈ 6.

2; ᎏ3ᎏ

119

ᎏ45ᎏ ⭈ ᎏ38ᎏ0 ⭈ 6;

ᎏ15ᎏ2 ⭈ ᎏ28ᎏ5 ⭈ ᎏ13ᎏ2 .

2; ᎏ3ᎏ0 

120

ᎏ2axᎏb ⭈ ᎏzbᎏ ⭈ ᎏzbᎏx ;

9 y y ᎏ ⭈ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ . ᎏx 3 x x

121

ᎏ2xᎏ7 ⭈ ᎏx8yᎏ ⭈ ᎏy1ᎏ ;

b ᎏ 4(a5⫺aᎏ b) ⭈ ᎏ 122(a5a⫺ᎏ b) .

5

5

5

3

2

2

640

6

6

4

5

6

2

6

4

6

1

6

6

2

2

4

5

2 2 [2a z;  3x y] 2

4

3 y 3a(a5bᎏ

ᎏ2ᎏᎏxᎏ; ᎏ ⫺ b) 2

2

Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali

6

3

4

3; 122 3 ⭈ 3 ⭈  6

6

3

4

7 ⭈  7 ⭈ 7.

3

5

2 123 a ⭈ a3 a;

3 [3; 7]

10

3

x  x3 x.

7 [a; x]

124

  

125

     ᎏ a⫺1ᎏb

15

3

27a ᎏᎏ ⭈ 8b3

2b ᎏᎏ ⭈ 3a

5

1 ᎏᎏ ⭈ x⫹y

3

  

a ᎏᎏ ; 2b

x⫹y ᎏᎏ ⭈ x⫺y

3

x2 ⫺ y2 ᎏᎏ ; x⫹y

9b ᎏᎏ ⭈ 10a

6

ESERCIZI

4a2 ᎏᎏ ⭈ 81b

 

3a ᎏᎏ . 2b2

a2 ⫺ 2ab ⫹ b2 ᎏᎏ ⭈ a2

15

a4 ᎏᎏ ⭈ a⫺b

4

a3 ᎏᎏ ; 32b 5

6

6

27a3 ᎏᎏ 200b5

4

[x⫹ ; y (a a4 ⫺) b ]

■ La divisione fra radicali ESERCIZIO GUIDA

126 Eseguiamo le divisioni fra radicali: 4 4 1 3 1 a) ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ; b) a 24 b 2 ⬊ 2b . 2 2

 

a)

  4

1 ᎏᎏ ⬊ 2

3

    ⫽ 1 ᎏ ⫽ 2. ⫽ ᎏ 2 

1 ᎏᎏ ⫽ 2

⫽

Portiamo allo stesso indice: ⫽

12

ᎏ21ᎏ ⬊ ᎏ21ᎏ ⫽ 3

12

4

12

12

⫽

12

1 ᎏᎏ 2

3 ⫺4

12

4

4

4

4

4

24 b 2⬊b 42 ⫽ 6a . ⫽ a

b a ⬊ b ⫽ a⬊: n

⫺1

4

b) a b 2 ⬊ 2b  ⫽ a 24 b 2 ⬊ (2 b) 2 ⫽ 24

Applichiamo il teorema del quoziente: n

1 3 1 ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 2 2

n

Esegui le seguenti divisioni fra radicali.

ᎏ34ᎏ .

3; ᎏ5ᎏ ; 6



a; ᎏbᎏ ; xy

127 9 ⬊ 3;

7 ⬊ 5;

8 ⬊

2 ⬊ a ; 128 a

a  ⬊ b ;

x 3 ⬊

 32 ⬊  2 6 .

129 2 ⬊

ᎏ58ᎏ ;

ᎏ23ᎏ ⬊ ᎏ23ᎏ ;

⬊ 130 5

ᎏ82ᎏ15 ;

2 ⬊

4

4

4

4

131 4 : 8;

⬊ 132 x

 4

x5 ᎏᎏ ; y4

3

3

3

ᎏ98ᎏ ;

7

x2 ᎏᎏ . y

7

1⫹ᎏ53ᎏ ⬊ ᎏ54ᎏ .

12

7

a

ᎏ4ᎏ ; 1; ᎏ2ᎏ 4

3

 a⬊

4

 12

1

12

2; 72 

8

a3 ᎏᎏ . b2

7

[3; ; 18 2]

ᎏ :  ᎏ.  5 25 23 ⭈ 3

5

4

4

 4

y4 12 2 ᎏᎏ ; a b x3



641

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

■ Espressioni con moltiplicazioni e divisioni Semplifica le seguenti espressioni contenenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali. 5 ⬊ 133 12

ᎏ56ᎏ ⭈ 6

[30]

 8 ᎏᎏ 3

) ⬊ (24  ⭈ 6) 134 (8 ⭈ 48 3

2 ⬊ 135 16 3

ᎏ2ᎏ ⭈ 432 3

6

2

3

[ a b] 6

3

3

6

4

15 11

6

[a b ]

2

4

7

4 [c 12]

145

ᎏ x 2⫹ᎏ y y ⫹1 ⭈ ᎏ 2xx⫹⫹ᎏ 32yy ⬊ ᎏ xx⫹⫹ᎏ 3yy ⬊ x ⫹y

146

b ⫺b ⫺2 b⫹1 ᎏ ᎏ b ⫺ᎏ 1  ⭈ ᎏbb⫹⫹ᎏ12 ⬊ ᎏ ⫺ b 4

147

  ᎏaa⫹⫺ᎏ12 .

ᎏxᎏ

x2 ᎏᎏ ⭈ z

3a b2 ᎏᎏ ⬊ c

z

2

9b2 ᎏᎏ ⭈ c

3

143

 

144

3 (x ⫺ 3) ⬊ ᎏ x ⫺ᎏx9ᎏ ⬊ ᎏx2⫹ᎏ   2ᎏ x  x 3

3

4

4

1

8

(b ⫺ 2)4(b ⫹ 1)

6

2 [ (a ⫹) 2a ⭈ (⫹ ) 1]

Nel sito:

3

3

4

4

b)  ⭈  ⫽ 28 ⭈  2 ⫽ 22 ⭈ 2 ⫽ 42. 29 ⫽ 282 3 3 1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3. ᎏ13ᎏ6 ⫽ ᎏᎏ  16 4 4

8 b ⫽ 32⭈  a 8⭈ b ⫽ 32 ⭈ a 8 ⭈ b  ⫽ 3 ⭈ a 4 ⭈ b . d) 9a

642

6

[8( x⫹ ) 3]

3

a)  24 ⫽ 8⭈3 ⫽ 23⭈3 ⫽ 23 ⭈ 3 ⫽ 2 ⭈ 3.

c)

3

6



4

3

2(x ⫹ᎏ 3

ᎏ y) 

a2 ⫹ a ⫺ 2 ᎏ ᎏ⭈ a2 ⫺ 1

3

x

6

6

䉴 17 esercizi di recupero

148 Trasportiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili nei seguenti radicali: 3 3 4 3 9 a) ; 24 b) 2; c) ᎏᎏ; d) 9a 8; a5 34 33 a2 (a ⱖ ⫺ 1). b e)  ⫹a ⫹a ⫹ 16

4

(x⫺ᎏ 1) 

ᎏ

3

1  x 2 1 ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ x x ⫺1

1 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ x2

ESERCIZIO GUIDA

3

2

ᎏᎏ 

 (b ⫺ 1) (b ⫹ 2)

■ Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

3

x2 ⫺ 16 ᎏᎏ x2

x⫺4 ᎏᎏ ⬊ x

2

3

a

   x⫺xᎏ 16 

ᎏ x2 ⫺4x ᎏᎏ ⭈ x2 ⫺8x⫹16

6

2

a2 ⫺ 4 ᎏᎏ ⬊ a⫹1

ᎏ3ᎏ

8

8

2

x ᎏᎏ ⬊ y

2

4

2 c ⬊ 2b 12  ⭈  4c 3 139 b

4

142

5 9 c ] [9a 72

 a c ac  b ⬊  b ⭈  138 a 3

  ᎏ3aᎏ

9

2 c ⬊ a 3a 27 ⭈  9c 2 137 

2 3

141

6

2

9

  ᎏyxᎏ

[18 ]

a  ⬊ ab  ⭈ ab 136 b 6 7

140

Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali

ESERCIZI

3

⫹a ⫹a ⫹ e)  a 5 34 33 a 2 ⫽ Raccogliamo a 2: 3

32 3 ⫹) 1 ⫽ (3 ⫹a ⫹a ⫽  a 2a Riconosciamo il cubo di un binomio: 3

⫽  ⫹) 13 ⫽ (  a 2a Scriviamo la radice come prodotto di due radici: 3

3

(a ⫹) 13 ⫽ a 2 ⭈ ⫽  Poiché per ipotesi a ⱖ ⫺ 1, il fattore (a ⫹ 1) non è negativo: 3

2 ⫽ (a ⫹ 1)  a .

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. (Supponi che i fattori da trasportare non siano negativi.) ; 149 18 150

ᎏ13ᎏ6 ;

; 151 40 3

ᎏ83ᎏ ; 3

ᎏ45ᎏ ;

ᎏ22ᎏ7 ;

ᎏ58ᎏ.

4 ⭈ ᎏ31ᎏ ; ᎏ21ᎏ 5; ᎏ31ᎏ 2; 2 ᎏ51ᎏ

24 3;

12 5;

. 16

3

4

[2 ; 12 3 3; 2 ; 20 3 3]

ᎏ88ᎏ1 ;

ᎏ136ᎏ30 .

4

3

2  b; 156 2a

6  3b ;

3

3

3

3

3  a 6x ⫺) y. ( 

2 2 x ⫹ y; 158 x

2 4⫹ b 4;

3 3 ⫺x 2b  ⫹b6 ; 159 x6



1

3

6

4

2

3

3

5 40.

4

1

3

1

33

3

4

4

[4 5; 5 3; 2 7; 3 5]

ᎏ82ᎏ1 x  . 12

4

8 3 a 16 b .

6a ᎏᎏ x 2

a c 5b; bc ; 3 4

2

1

3

3

4

3

4

3 [a 2b ; b 2 3; 2a 2  b ]

[a ⫹ 1; a 2 (x ⫺ y)] 2 x  ⫺x 32 . y

2 [x 1⫹ ; y 2 1⫹  b ; x y  ⫺] 3

3a 2 ⫺ 18a ⫹ 27 ᎏᎏ . 9b 2x

3 8( x5 ⫺x 64 ⫹x 9) .

4

ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ ; ᎏ5ᎏ 2; ᎏ3ᎏ ᎏ3ᎏ ; ᎏ2ᎏ ᎏ2ᎏ0 

3

4

3

3

32 3  ⫹; 1 ⫹a ⫹a a 3 157 

5

4

ᎏ27ᎏ52 ;

3 6 c ; b 6a

4

[2 10 ; 9 3; 5 5; 2 2]

3 24.

2 11;

3

3

0 32; 3

3

3

; 81

5 37;

; ᎏ (aa⫺⫹ᎏ 33 )

3

[3 2; 2 3; 3 2; 2 5]

8 2 b; c 155 5a

160

3

. 40

3

32; 154 0

3

; 54

3

96 152 ; 153

3

12 ;

x

3

a ⫺3 ⫺ b 3; ᎏᎏ b

ᎏ31ᎏx 

1 a⫹3 ᎏ  ᎏ ᎏ ; 2x(x ⫺ 3) 2x 

ᎏ a⫺3 a ⫺ 3 4

643

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Fattori trasportati fuori dal segno di radice e discussione ESERCIZIO GUIDA

161 Trasportiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili nei seguenti radicali: 3

6 a) ab ;

3

3 b b) 5a 12;

3 9 2 bc; c)  8a

⫺a d) 2a 2 4 ⫹. 2 3

6 a) C.E. di ab  : b ⱖ 0.

3b9c2 : ab ⱖ 0. c) C.E. di 8a 3

6  . b ⫽ a 3  b a

Infatti, affinché l’uguaglianza sia vera, occorre che sia a 3 ⱖ 0, ma le C.E. non lo garantiscono.

3

I valori assoluti non occorrono, perché le C.E. garantiscono che ab 3 ⱖ 0, essendo: ab3 ⫽ ab ⭈ b2 ⱖ 0.

3

3 12 b) C.E. di 5a b : ab ⱖ 0.

d) C.E. di 2a ⫺a 2 4⫹  2⫽

3

3

3

2 3 3 9 2 3b9c2 ⫽ 2 a bc  ⫽ 2ab 3 c. 8a

3

(a 2 2 ⫹) 1 ⫽ 2 (a  ⫺) 12 : ∀a ∈ R. ⫺a ⫽ 2

3 3 53 b . 12 b ⫽ a b ⫽ 5 a   5a

(a  ⫺) 12 ⫽ a ⫺ 1 2. 2

Occorre infatti che il radicando b sia ⱖ 0, ma le C.E. non lo assicurano. Inoltre, affinché sia vera l’uguaglianza, deve essere anche a ⱖ 0 (e neppure questo è assicurato dalle C.E.).

Infatti le C.E. non garantiscono che sia a ⫺ 1 ⱖ 0.

COMPLETA. Nelle seguenti uguaglianze sono stati trasportati fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili

senza mettere i necessari valori assoluti. Aggiungili dove mancano. 162 x2 ⫽ x;

x3 ⫽ x ⭈ x;

ab 2 ⫽ ba.

3

4 ⫽ x 2; x 5 ⫽ x 2 ⭈ x ;  a6 ⫽ a 2. 163 x 3

167 2⭈ b ⫽ a b ; 164 a

2a 4b2 ⫽ a 2 ⭈ b ⭈ 2;

4

 4

16a 4b 2a 4 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ  b; 8 c c2

 3

27a3 3a ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 6 bc b2

ᎏ1cᎏ . 3



4a2d 2a ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ d . 4 c c2

2 (a  ⫺) 1b  ⫽ 3(a ⫺ 1) b ; 168 9

b ⫽ 3a b  . 9a 4

3

3 3 b ⫽ 2ac  8a c b; 166 

2

(  a 2b ⫺) 12 ⫽ 4a (b ⫺ 1). 16

4

4 8 c ⫽ ab 2  c; 165 ab

5

5

5 b ⫽ 2a  a 32 b;

6

6

12 6 c ⫽ a 2b  c. a b 

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. 3

3 2 x 12 y .

3

5 4 x 10 y .

4 b ; c 169 16

2 12 6 a 27 ; b x

2 2⫹ ) 1b ; ⫺a 170 (a

2 3 6  6x  y c ;

3

2 2 [4b 2 c; 3b 4x 2  a ; x y 12]

3

5

2 4 [a ⫺ 1 b ; yc 2  6x ; x y 10]

3

BRAVI SI DIVENTA

171

ᎏ x⫹96ᎏ x ⫹9 ⭈ ᎏ 9(xx⫺ᎏ 9) ⬊ ᎏ x⫺3ᎏ 3x

644

6

3

2

2

4

3

2

3

5

䉴 E35

Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale

3

ESERCIZI

3

2 ⫹ x a 2 a; 172 12

⫹ x 153 x 5.

2 [a  12  ⫹; x x  15 ⫹ x ]

2 c ; 173 4x

6 12 2 y c; x 81

2 2 2  4; b ⫹b 174 a

4 a b 3 b ; ⫺

a 2b 2  ⫹) 1; (2 ⫺b 175 16

2 16 (a  ⫹a 2 x ⫹) x. x

3

2 2 2 b a . a  ⫹ b

3

a 273 2. ⫹7

3

2 2 [2 x  c; 3x 2y 4  3c ; a  b  ⫹ b ]

3

3

[b  a 2 4 b  a  ⫺ b ; 3  a 3 1 ⫹; ⫹] [4 a (b ⫺ 1); 4 a ⫹ 1  x ]

■ Moltiplicare e portare fuori dal segno di radice Trova le condizioni di esistenza dei radicali e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni indicate, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili; metti il valore assoluto dove necessario.  ⭈ 30 ; 176 24 4

3 3 9 ᎏ ; ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ .  ᎏ45ᎏ ⭈ ᎏ1 25 2 4 3

5 c b3 ⭈  3b3c;

4

6

2 3 7 9 b  ⭈  b ; a a 177 

178 179 180

125; ᎏ1ᎏ0 3; ᎏ2ᎏ 1

3

6

5

5

4

3 4 3 3 y  ⭈ x y .  2x  16

3

6

5

2 [a 2b 3 a; bc3; 2xy  xy ]

14az ᎏ53xᎏy ⭈ ᎏ295yᎏ x  ; ᎏ 2caᎏ b ⭈ ᎏ4baᎏc ; ᎏ tᎏ ⭈ ᎏ8azᎏt . ᎏyxᎏ ᎏ53xᎏy ; ᎏ2cbaᎏ ᎏ2cᎏa ; ᎏatᎏ ᎏ4z7ᎏt  y  y a 2 ; ᎏᎏ ᎏᎏ ; 2 ᎏᎏ  ᎏx6ᎏy ⭈ ᎏ94yᎏx ; ᎏxy4ᎏ ⭈ ᎏ2xyᎏ ; ᎏ8baᎏ ⭈ ᎏ4abᎏ . 3x2ᎏ

ᎏ⏐xᎏ⏐ ᎏ y x x  b x⫺3 x ⫺y x ⫹ xy ⫹ y x ⫺ 2x ⫹ 1 1 1 ⏐x ⫺ 1⏐ 1 ᎏ ᎏ ᎏ ⭈  ᎏ ᎏ ;  ᎏ ᎏ ⭈  ᎏ ᎏ . ᎏᎏ x  ⫺3 ; ᎏᎏ ⭈  ᎏ ᎏ ᎏ                     x⫹ y x ⫺y x ⫹ 2xy ⫹ y x x x ⫹y x x  2

3

8

3

7

3

2

4

5

5

6

3

3

4

6

8

3

2

2

3

3

2

4

2

4

2

6

6

2

2

4

2

2

2

2

3

3

8

4

2

2

7

4

6

2

3

6

4

3

2

3

6

2

2

6. La potenza e la radice di un radicale

–䊳

Teoria a pag. 618

■ La potenza di un radicale ESERCIZIO GUIDA

181 Calcoliamo le seguenti potenze di radicali: 3 5 3 5 3 2 a) (2) ; b) (y 2x2) ; c) ( a ⫹3) . Applichiamo in tutti i casi il teorema della potenza: n n m ( a) m ⫽ a. 3

5

3

3

3

2 5 ⫽ 2  2 2 ⫽ 2 4. a) (2) ⫽  5

3

5

5

5

3 9 xy 3)3 ⫽  8x  8x3y4. y  ⫽ y b) (y 2x3) ⫽ (2 3

2

3

2 c) ( a ⫹3) ⫽  (a  ⫹) 3.

Calcola le seguenti potenze di radicali. 182

(3) 3;

(6 2) 3;

(5 2) 2;

(4 3) 2.

[3 3; 2; 4; 3]

183

3 (12 ) ;

(3 9) 6;

10 2 ( 7) ;

(5 3) 2.

[24 3; 81; 7; 9]

5

5

5

645

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

184

3 (10 ) ;

(3 2) 5;

(15 ) 2;

15 5 ( 3) .

185

3 b) ; (2a 5

4 2 y) ; (3  3x 

3 4 ( bc) .

186

2 [3  (x  ⫹y) 3(x  ⫺) y] ;

( 2x ⫺y 3) 2.

187

4 (3  2a ⫺ b) ;

冢 .

188

[(x ⫹ 2) 3 ] 2;

3

3

[10 10 ; 2 4; 15; 3]

6

2 2 y ; c 2 [2 a 7b 2a b; x 2  9x  b 2]

3

3

2 2 [ (x  ⫹y) 32x ⫺) y; (2 x  ⫺y) 3] ( 

3a ⫺ x ᎏᎏ a⫹b

3

3

3

2a  ⫺; b ᎏᎏ  ᎏ a⫹ᎏ b 

(2a ⫺ b)  a⫹b

3

3a ⫺ x

3

[(3x ⫺ y) a ] 3.

3a ⫺ x

[3(x ⫹ 2)2; aa(3x ⫺ y)3]

■ Espressioni con potenze di radicali Semplifica le seguenti espressioni con potenze di radicali. 189

6 ᎏ ; ᎏ19ᎏ6  ⭈ ᎏ1 3

190

(4 a) 2 ⭈ (3  a2 ) 3 ⭈ a ;

191

  ⬊ ᎏx ⫹ᎏy

192

  

193

(a⫺aᎏ b)   ⬊ ᎏ

2

3

6

3

3

2

3

x ⫺ 3y 1 ⫺ ᎏᎏ ⭈ x ⫹y

a b ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ 1 ⬊ b a

x ⫺y ᎏᎏ 4y

6

3

a2 b2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺2⬊ 2 b a2

2

3

3

a ⫺ 2b

2

1

2

⬊

3

a b 2 ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ b a

[x⫺ ] y

a3 ⫺ b 3 ᎏ ᎏ a2 ⫺b2

2

6

[a3; 3a 2(a ⫺ 2b)]

2

3

6

[ 9 ;  5 ; 3 24]



(a ⫺ 2b) ⬊ ᎏ3aᎏ

1 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ a b 3

ᎏ13ᎏ ⬊ ᎏ217ᎏ

3

) 2 ; (5) 3 ⬊ (25

2

[1]

ᎏabᎏ

4

3

3

1

2

■ La radice di un radicale ESERCIZIO GUIDA

5. 194 Eseguiamo la radice di radicale:  3

 ⫽ a . La radice che otteniamo ha come indice Applichiamo il teorema della radice di una radice:  a il prodotto degli indici delle singole radici: 2 ⭈ 3 ⫽ 6. m

n

m⭈n

 5 ⫽ 5. 3

6

Esegui le seguenti radici di radicali.

2; 195  3

646

 3;  6. 5

6

10

4

[2; 3; 6]

7; 196  3

 3;  3. 6

3

3

6

12

9

[7; 3; 3]

Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale

2a ;  197  3

2 3 b .   3a 

2 3 b ] [; 2a  3a 

2 b.   9a 

2 b [x 6a;  9a ]

3

 6a x; 198  3

6

5

6

6

10

199

   a5  b3 ;     a3 b6 .  3

x2 ; 200  5

■ Il trasporto di un fattore dentro il segno di radice

Nel sito:

8

3 [b a5; ab 2]

10  2a   .

5

ESERCIZI

8

25

6

[ x 2; 2a 10 ]

䉴 9 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

201 Trasportiamo dentro il segno di radice un fattore: 1 a) ⫺ ᎏᎏ 12 ; 3

b) a ⫹ 2

ᎏ83ᎏ ; 4

c) (a ⫺ 6) a⫺ , 1 a ⱖ 6.

a) Poiché non possiamo portare dentro il segno 1 di radice fattori negativi, portiamo dentro ᎏᎏ, 3 mentre il segno ⫺ rimane fuori.

b) Il fattore da trasportare è soltanto 2: a ⫹2

ᎏ31ᎏ⭈4⭈ 3 ⫽ 4 1 3 ⫽ ⫺ ᎏᎏ . ⫽ ⫺  ᎏ ⭈ 4⭈ Ⲑ 3 3Ⲑ 1 ⫺ ᎏᎏ 12 ⫽⫺ 3

ᎏ ⫽ a ⫹ 6 . ᎏ83ᎏ ⫽ a ⫹ 2Ⲑ⭈ 2Ⲑ 4

4

3

41

4

3

c) Il fattore da trasportare è a ⫺ 6, che, per la condizione posta, non è negativo:

2

2 (a ⫺ 6) a⫺  1 ⫽ (a  ⫺) 6(a  ⫺) 1.

2

Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi. 202 32;

 4 9 ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ ; 3 8 2 ᎏ ᎏ; a 4

ᎏ55ᎏ4 ;

2

3

; 205 3 a 1 3 2 b ; 206 ⫺ ᎏᎏ a 2

a ⫺ 2 ab ;

207 aa;

3 x 2 x;

⫺; 1 208 2a

1 5 3 ᎏᎏ 3a ; a

209 (x ⫺ 1)5;

a2b ab2;

211

6

3

3 2

3

2

3 ⫹ 23;

ᎏ32ᎏ ; 1 a ⫺ ᎏᎏ ᎏ ᎏ;   2 2b

⫺3

5

b 2 ⫺ 2  b 2 .







3

3

[18 ; 48 ; ⫺ ; 16 ] 81

⫺ ᎏ13ᎏ 18. [⫺28; 3; 3 ⫹ 12; ⫺2] 2 25 ᎏᎏ  ᎏ ᎏ.

ᎏ120ᎏ7 ; ⫺2; ⫺6; ᎏ12ᎏ 5 8 2 a ᎏᎏ 18 a . 9a ;  2a; ⫺ ᎏ ᎏ ; 8a    3 8b 64; b ⫺ b 32

⫺ᎏ a8bᎏ ; a ⫺ ab 3

3

⫺ x2x .

2

2

6

2

5

2

3 3 [a3; x7; 2a ; ⫺ 2x ]

4(a⫺)1; ᎏa3ᎏ ; ⫺a 5

3

2

3

a2a2 ⫺. 1

2 5 [5( x⫺ ) 1;  a 7b;  a 6a 1] (2 ⫺)

2

(2 ⫹ a)

3

3 3.

2 a2 ᎏᎏ ; a a ⫺ ᎏᎏ 4a . 2

7 ᎏ ; 2 ⫹ a ᎏ ᎏ a ⫹1ᎏ 2a . 1 8a b (a ⫺ 2) ᎏ a⫺41ᎏ a ⫹4 ;

210 3ab

3

⫺ 22;

1 2 1 ⫺ ᎏᎏ ; 4

203 (⫺ 2)7; 204 2

3

43;

a ⫹1ᎏ 2a . ᎏ 2

3

ᎏ ; 2 ⫹ ᎏ

ᎏ27 a⫹aᎏ2  a

a⫺;2 ᎏ 2⫹aᎏa  3

647

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Trasporto di un fattore dentro il segno di radice e discussione ESERCIZIO GUIDA

212 Trasportiamo dentro il segno di radice un fattore di cui non conosciamo il segno: (a ⫺ 4) a ⫺. 3 C.E.: a ⫺ 3 ⱖ 0, ossia a ⱖ 3. Quando il fattore da portare dentro la radice è letterale, se non conosciamo il segno del fattore, bisogna distinguere due casi: fattore positivo o nullo, oppure fattore negativo: Primo caso: a ⴚ 4 ⱖ 0. Deve essere a ⱖ 3 per le C.E. e a ⫺ 4 ⱖ 0, ossia a ⱖ 4: quindi, se a ⱖ 4: 2  ⫺3 ⫽ (a  ⫺) 4(a  ⫺) 3 . (a ⫺ 4) a

Secondo caso: a ⴚ 4 ⬍ 0. Per la C.E. deve essere a ⱖ 3, inoltre deve essere a ⬍ 4: quindi, 3 ⱕ a ⬍ 4. Scriviamo a ⫺ 4 come ⫺ [⫺ (a ⫺ 4)]: in questo modo ⫺ (a ⫺ 4) risulta positivo. Se 3 ⱕ a ⬍ 4: 2  ⫺3 ⫽ ⫺ [⫺ (a ⫺ 4)] a  ⫺3 ⫽ ⫺ [⫺ a (⫺ )] 42a ) 3 ⫽ ⫺ (a  ⫺) 4(a  ⫺) 3 . (a ⫺ 4) a (⫺

Dopo aver determinato le C.E., trasporta i fattori (di cui non conosci il segno) dentro alla radice. 213 (a ⫺ 1)

ᎏ a⫺1ᎏ1 ;

2⫺x



ᎏ 2⫺1ᎏx ; a ᎏa1ᎏ . 2

3

2

; 1 se 0 ⱕ x ⬍ 2, 2 ⫺ se a ⬎ 1, a⫺





x2 3 se x ⬍ 0, 2 ⫹ ᎏᎏ ; se a ⫽ 0, a4 2⫺x





1 y ᎏᎏ ; y

214 (x ⫹ 3)2;



x2 ᎏᎏ , 2⫺x

1 3 (2 ⫺ b) ᎏᎏ . (b ⫺ 2)2 3

3

2 2 [se x ⱖ ⫺ 3, 2( x⫹ ) 3, se x ⬍ ⫺ 3, ⫺ 2( x⫹ ) 3; se y ⬎ 0, y; se b ⬎ 2, ⫺ ⏐ 2⫺ b⏐ , se b ⬍ 2,  2⫺ ] b



1 ; 2 (a ⫹ 5) ᎏᎏ ; 215 aa⫺ 3a



(⫺ se a ⬎ 2, a2a ) 2 ;

b3⫹ . b se a ⬎ 0,



(a ⫹ 5)2 ᎏᎏ ; 3a

(⫹ (⫹ se ⫺ 3 ⱕ b ⬍ 0, ⫺ b23 ) b, se b ⱖ 0, b23 ) b

■ La radice di un radicale con trasporto di un fattore dentro radice ESERCIZIO GUIDA

216 Poniamo sotto forma di unico radicale i seguenti radicali: a)

5 ᎏ53ᎏ0 ; 3



b) (x  ⫺1) x⫹   1.

3 a) 5 ᎏᎏ ⫽ 50 Trasportiamo il fattore 5: 3

⫽

648

  3

53 ⭈ 3 ᎏᎏ ⫽ 2 ⭈ 52

3

Semplifichiamo la frazione e moltiplichiamo gli indici dei radicali, applicando il teorema della radice di un radicale: 6 15 ⫽ ᎏᎏ . 2



b)  (x ⫺1) x⫹   1⫽ 3

 (x  ⫺1)3 (x  ⫹1) ⫽ ⫽ 3

6

⫺) 13 (x  ⫹) 1. (x  ⫽



Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali

ESERCIZI

Poni sotto forma di un unico radicale.

3; 217 2 3

218

2 4;

2 2.

3

2 4 2 ; 33 9 ; 3

3

3

  3

1 ᎏᎏ 4

42 .

5; 220 2

3 9;

3  12.

x x ; 221 

a  a ;

a. a 

3

4

3

3

18

[ x29]

x ᎏ1xᎏ ⭈ x ᎏx1ᎏ ⭈ ᎏ1xᎏ

224



225



7

5

35

[ x]

3

5

6

3

4

3

223

2 ⭈ (3  3) 3 .

 ⭈ 2 4; 42 219  3

x x ⭈  x x ⭈  x x . 222 

3

3

3

4

3

1 ᎏᎏ  a3 ⫺a2 a

3

4

[ a⫺ ] 1

ᎏ x⫹1ᎏ3 

1 ᎏᎏ x⫹  3 x⫹3

7. L’addizione e la sottrazione di radicali

6

–䊳

Teoria a pag. 620

ESERCIZIO GUIDA

226 Calcoliamo le seguenti somme algebriche di radicali: ⫺ 7 12  ⫹ 75  ⫺ 98 ; a) 5 18 1 b) 3 a  ⫺ 2 b ⫹ 2 a  ⫹ ᎏᎏ b ; 2 c) 3 a 3 22 ⫺ a 3 62 1  ⫺8 ⫺a ⫺a ⫹2a

(a ⱖ 2).

a) 5 18  ⫺ 7 12  ⫹ 75  ⫺ 98 ⫽

Calcoliamo la somma:

Scomponiamo in fattori i radicandi e portiamo fuori dal segno di radice:  ⭈ 3 ⫺ 72 ⭈3 ⫹ 3  ⭈ 5 ⫺ 2  ⭈ 7 ⫽ ⫽ 5 2 ⫽ 15 2 ⫺ 14 3 ⫹ 5 3 ⫺ 7 2 ⫽ 2

2

2

Dopo aver segnato allo stesso modo i radicali simili, calcoliamo la somma algebrica: ⫽ 8 2 ⫺ 9 3. b) Segniamo i radicali simili:

1 3 a  ⫺ 2 b  ⫹ 2 a  ⫹ ᎏᎏ b ⫽ 2

Raccogliamo i radicali facendo precedere ogni parentesi dal segno ⫹ : 1 ⫽ (3 ⫹ 2) ⭈ a  ⫹ ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⭈ b ⫽ 2





2





3  ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⭈ b ⫽ ⫽ 5 ⭈ a 2 Togliamo le parentesi: 3  ⫺ ᎏᎏ ⭈ b . ⫽ 5 ⭈ a 2 c) Scomponiamo in fattori entrambi i radicandi: 3 a 2a ⫺) 2 ⫺ (a  ⫺) 23 ⫽ ( La condizione a ⱖ 2 garantisce che i fattori da portare fuori non siano negativi:  ⫺2 ⫺ (a ⫺ 2) a  ⫺2 ⫽ ⫽ 3a a Sommiamo i radicali, visto che sono simili:  ⫺2 ⫽ ⫽ [3a ⫺ (a ⫺ 2)] a  ⫺2 ⫽ ⫽ (3a ⫺ a ⫹ 2) a ⫽ (2a ⫹ 2) a  ⫺2.

649

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Calcola le seguenti somme algebriche di radicali, considerando non negativi gli eventuali fattori da portare fuori dal segno di radice. 227 32 ⫹ 52 ⫺ 72; 3

3

3

3 ⫺  3 ⫹ 2 3; 228 6

23 ⫺ 3

[2; 3]

229 5 3 ⫹ 3 7 ⫺ [2 3 ⫺ (4 7 ⫺ 3 3)]; 3

4

4

3

54 ⫺ 3 24 ⫹ 3  48 ⫺ 0 25; 230 2   ⫹ a  ⫹ a ; 231 a

b  ⫺ b ;

 ⫹ 3 18  ⫺ 2 12  ⫺ 2 50 ; 232 75 3 ⫺ 3 a ; 233 a

3

11 5 ⫹ 6 2 ⫺ (8 5 ⫹ 3 2)

2

[7 3 ; 3 (5 ⫹ 2)]

3 48  ⫹ 2 32  ⫹ 98  ⫺ (4 27  ⫹ 45 0)

ᎏ28ᎏ7 ⫹ 5 ᎏ53ᎏ0 ⫹ 7 ᎏ92ᎏ87 ⫺ 5 ᎏ154ᎏ07

a  ⫺ 2 a 

3

4

[2 ⫹ 3 3; 0] [3 a ; 0; ⫺ a ]

3 12 8 ⫺ 2 72  ⫺ (2 50  ⫹ 8)

[3 ⫺ 2; 0]

x⫺  1 ⫹ 3x⫺  1 ⫺ 2x⫺  1

[(a ⫺ 3) ⭈ a ; 2x⫺ ] 1

5 1 3 2 ᎏᎏ a  ⫺ ᎏᎏ b  ⫹ ᎏᎏ b  ⫺ ᎏᎏ a  4 2 4 8

5 ⫺ 3a 2 a  ⫹ 2a 2 a ; 234 a

[7 7; 0]

1 [0; a  ⫹ ᎏᎏ b ] 4

2 7  ⫺ ᎏᎏ x  ⫹ y ⫺ ᎏᎏ x  235 2 x 3 3 1 1  ⫹ 2 a  ⫺ 3b  ⫺ ᎏᎏ a  ⫹ 2 b  236 ⫺ ᎏᎏ a 3 2 1 1 2  ⫺ ᎏᎏ a  ⫹ ᎏᎏa  b ⫹ ᎏᎏ a  b 237 ⫺ 5 a 2 3 3

[⫺ x  ⫹ y ]

ᎏ6ᎏ a ⫺ b 11

⫺ ᎏ2ᎏ a ⫹ ab 7

3 y ⫺ 9x  ⫺ 4x  y3 238 (2x ⫹ 3y) xy 3

3

[0]

3

3

3 a ⫺ b ⫺ a ⫺ ⫺ b ⫹  a 4 a b 3 b 4 239 

[(1 ⫹ a ⫺ b) a ⫺] b

a  ⫹8b 4 ⫹ 18 a  ⫹7b 2 ⫺ 50 a  ⫹5b 7 240 32 4

3

8

[2 2a  ⫹b 3] 3

3 b 4 a4 ⫹  a 3 a  a 2 2 ⫺ a 1⫹ b ⫹b ⫹ b ⫺ 1⫹ ⫹a 241  4 2 4 2   ⫺ a  ⫺a 2 b ⫹ b ⫺ a  ⫹a 2 ⫹b b ⫹ 2 b b b b 242 a

4

[(b ⫺ 1)  a ⫹] 1

(b ⱖ 0)

[(2 ⫺ a) b ]

(a ⱖ 1)

Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli semplifica le seguenti espressioni. 243 (2 ⫹ 3)(1 ⫹ 3);

(3 ⫺ 1)(3 ⫹ 1);

244 3(2 ⫹ 6);

3 5(1 ⫹ 5).

245 5 2 (3 ⫹ 2);

2 3(3 ⫹ 2 5).

246 (2 3 ⫺ 2)(2 ⫹ 1);

(3 5 ⫺ 3)(2 ⫺ 1). [2 6  ⫹ 2 3  ⫺ 2 2  ⫺ 2; 3 10  ⫺ 6  ⫺ 3 5  ⫹ 3 ]

 ⫹ 2)(x  ⫹ 3); 247 (x

(x  ⫺ 4)(x  ⫹ 1).

 ⫹ 1)(x  ⫺ 5); 248 (x

(x  ⫺ a)(x  ⫹ 2a).

249 (1 ⫺ 2)(1 ⫹ 2);

(1 ⫺ 3)2.

[⫺ 1; 4 ⫺ 2 3]

250 (1 ⫹ 2)2 ;

(a  ⫹ 2)2.

[3 ⫹ 2 2; a ⫹ 4a  ⫹ 4]

251 (3 ⫺ 2)(3 ⫹ 2);

(1 ⫹ 2)3.

[1; 7 ⫹ 5 2]

650

(5 ⫹ 2)2.

[5 ⫹ 33; 2; 9 ⫹ 45] [6 ⫹ 36; 3 5 ⫹ 15] [15 2 ⫹ 10; 6 3 ⫹ 4 15 ]

[x ⫹ 5 x  ⫹ 6; x ⫺ 3 x  ⫺ 4] [x ⫺ 4 x  ⫺ 5; x ⫹ a x  ⫺ 2a 2 ]

RIEPILOGO Le espressioni con i radicali

ESERCIZI

 ⫹ 2)(a  ⫺ 2); 252 (a

(1 ⫺ 3)3.

[a ⫺ 4; 10 ⫺ 6 3]

 ⫹ c)2 ; 253 (3a

(3 ⫹ 3) 2.

[3a ⫹ 2 3a c ⫹ c ; 12 ⫹ 6 3]

254 ⫺ 22(3 ⫺ 1) ⫹ (6 ⫹ 1)2

[7 ⫹ 22]

 255 (2 ⫺ 3)(2 ⫹ 3) ⫹ (3 ⫺ 2)2 ⫹ 48

[6]

⫺ ᎏ12ᎏ

 256 [(32 ⫺ 2)(32 ⫹ 2) ⫺ (2)3 ⫺ 14] ⬊ 32

2 257 (5 ⫺ 2)2(5 ⫹ 2)2 ⫺ [(3 ⫺ 22)(3 ⫹ 22)]2 ⫹ 2 3

RIEPILOGO

LE ESPRESSIONI CON I RADICALI

[2]

Nel sito:

䉴 12 esercizi di recupero

VERO O FALSO?

258 a) La radice terza del triplo di a è uguale ad a.

V

F

b) Il doppio della radice quadrata di a è uguale alla radice quadrata del quadruplo di a.

V

F

c) La radice terza del cubo di a è uguale ad a.

V

F

d) La radice quarta di 16 è 2.

V

F

e) La radice cubica di 27 è 9.

V

F

V

F

b) Dati due numeri reali positivi, il quoziente delle loro radici quadrate è uguale alla radice quadrata del loro quoziente.

V

F

c) Dati due numeri reali positivi, la somma delle loro radici cubiche è uguale alla radice cubica della loro somma.

V

F

d) Dato un numero reale positivo, la radice quadrata della sua radice cubica è uguale alla radice cubica della sua radice quadrata.

V

F

e) La somma di due radicali simili è un radicale che ha la stessa parte letterale dei radicali dati.

V

F

259 a) La radice cubica di 2 è la metà della radice cubica di 8.

Semplifica le seguenti espressioni considerando non negativi gli eventuali fattori da portare fuori dal segno di radice. 3 ⫺ b  260 b 5

10

[(b ⫺ 1) ⭈ b ]

 10

2

2 b ⬊  2a ⭈ b 3a a 261 

3 ⫺ b 3 ⫹ 2 a  ⫹ b  262 a 2 7  ⫺ ᎏᎏ x  ⫹ y ⫺ ᎏᎏ x  263 3 x 3 3 1 4  ⫺ ᎏᎏ b  ⫺ a  ⫹ 0,4 ⭈ b  264 ᎏᎏ a 2 5

243a 8b 7 ᎏᎏ 2

[(a ⫹ 2) a  ⫹ (1 ⫺ b) b ] [y ]

⫺ ᎏ2ᎏ a ⫺ ᎏ5ᎏ b 1

2

651

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

4

4

3

3

3

4

16 ⫺  32 ⫹ 5  16 ⫺  54 ⫹ 0 25 265 2

3

[2 ⫹ 12 2]

266 (4 ⫹ 2)2 ⫺ (22 ⫺ 1)2 ⫺ 3(42 ⫹ 2)

[3]

267 [(2 5 ⫹ 1)(2 5 ⫺ 1) ⫺ (5 ⫺ 1)2 ⫺ (5 ⫺ 4)2] ⬊ 2

[5 5 ⫺ 4]

 b ⫺ 3 a  ⫺ 7 a  b ⫹ 2 a  ⫹ 9 b  ⫹ a  268 6 a 269

  ᎏ3aᎏ

270

  

3ab2 ᎏᎏ ⬊ c

3

2x 2 ᎏᎏ ⬊ 3y

[⫺ a  b ⫹ 9 b ]

9b2 ᎏᎏ ⭈ c

x ᎏᎏ ⭈ y

(a  ⫺) b ⭈ 271 2

6

ᎏ3ᎏ a



xy 2 ᎏᎏ 3

6

4a ⫺1ᎏ 4b ᎏ

6

3

2 [ 2 (a  ⫺) b ]

(2  x ⫹3)3 ⬊  2x  ⫹3 272  6

12

7 [(2 x  ⫹) 3]

273



274

  ᎏ ax⫺⫹ᎏ 2yb

275

⭈ ᎏ ⫹ 8x ⬊  x⫹  4  ⭈ x⫹  4 x (x ᎏ ⫺1 (x ⫹ᎏ 4 ᎏ ) )

276

  

277

  

278

  

279

  

280

x x (x ⫹ y) x 1 ⬊ ᎏᎏ ᎏ ⭈ ᎏ ᎏ (x ⫹yᎏ y) ⬊ ᎏ yᎏ  ⭈ ᎏ ᎏ y x ⫹ y (x ⫹y )  x

3

4

(1 ⫺ y) 2 3 ᎏᎏ  x ⫺y y



x 1 3 3 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹  xy 3 y 4 ⫺  8x  ⫺y 8 3 2 y y a 2 ⫺b 2 ᎏ ᎏ⭈ x 4 ⫺y 4

(a ⫺ b)3 ᎏᎏ ⭈ (x ⫺ y)3

4



ᎏ ᎏ ᎏ

 ᎏ x ⫺ y   ( x (a  ⫺2 b)  ⫹y ) a ⫺b

4

a ⫹b

4

2

BRAVI SI DIVENTA 2

x ⫹ 3x ⫺ 4

4

a3 ⫹ 2a2 ⫹ a ᎏ ᎏ⫹ a2 ⫹ 6a ⫹ 9 a2 ⫺1 ᎏ ᎏ⬊ a2 ⫹ a ⫺2

3

䉴 E36

6

2

6

a3 ᎏ ᎏ a 2 ⫹ 6a ⫹ 9

6

64a6 ᎏ ᎏ⫹ x 2 ⫺ 2x ⫹ 1 3

6

 6

3x 2 ⫺ 6xy ⫹ 3y 2 ᎏ ᎏ x3 ⫺x 2

6

(a ⫹ 1)3 ᎏ4ᎏ (a ⫹ 2) (a ⫺ 2)2

y2 ⫺ ᎏᎏ x(x ⫺ y)



a12 3 ᎏ ᎏ ⫺1  x 2 x ⫺ 2x ⫹ 1

3

4

4

2

⫹xy x ⫹ xy xy⫹ y 2 ᎏ yᎏ  ⫺ ᎏx⫹xᎏy ᎏᎏ xy  3

ᎏx ⫺3ᎏ1  [(1 ⫹ a )2 ]

4

[ y (x  ⫹) y ]

2

ᎏ

⫺ ᎏ x  ⫹y

  



652

2

[a ⱖ 0; a ]

a⫹2 ᎏ ᎏ 2 a ⫹ 2a ⫹ 1

6x 2 ⫺ ᎏᎏᎏ (2x ⫺ 2)(x 2 ⫺ 2xy ⫹ y 2)

1 ᎏ ᎏ⫹ 2 x ⫺ 2x ⫹ 1

6

6

a3 ⫹ 4a2 ⫹ 4a ᎏ ᎏ⫺ a2 ⫹ 6a ⫹ 9

a2 ⫺ 4 ᎏᎏ ⭈ a⫹1

12x ⫹ 12 ᎏ ᎏ⫺ x2 ⫺ 1

6

3

2

2

2

y  x 281 ᎏᎏ x ⫹y 282

x

3

4x 2y 3 ᎏᎏ 27

2

2

a⫹b a⫺b ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ a⫺b a⫹b

a⫺b ᎏᎏ ⫺ 1 ⭈ a⫹b

6

(b ⫺ a) 2 ᎏᎏ 2a

y

6

4a2 ᎏᎏ b ⫺a

Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali

ESERCIZI

■ Scomposizioni in fattori con i radicali ESERCIZIO GUIDA

283 Scomponiamo in fattori le seguenti somme algebriche: a) 3 2  ⫹ 2;

b) x ⫺ 2;

c) a ⫹ 2 ab  ⫹ b;

d) 6 ⫹ 2 5 .

a) 3 2 ⫹ 2 ⫽ 3 ⭈ 2 ⫹ 2 ⭈ 2 ⫽ 2 ⭈ (3 ⫹ 2). In generale, possiamo scrivere: n ⫽ n  ⭈ n . b) Possiamo scrivere x ⫽ (x)2 e 2 ⫽ (2)2, pertanto: x ⫺ 2 ⫽ (x ) 2 ⫺ (2) 2 ⫽ Applichiamo la regola della differenza di due quadrati: ⫽ (x  ⫺ 2) (x ⫹ 2). c) a ⫹ 2 a  b ⫹b⫽ ) 2 e b ⫽ (b ) 2, riconosciamo il quadrato di un binomio: Poiché a ⫽ (a ⫽ (a  ⫹ b ) 2. d) 6 ⫹ 2 5 ⫽ 25 è il doppio prodotto di 1 per 5. Riconosciamo anche in questo caso il quadrato di un binomio, infatti: ⫽ 1 ⫹ 5 ⫹ 2 5 ⫽ (1 ⫹ 5) 2.

Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche. 284 6 ⫹ 2;

5 ⫹ 10 .

 ⫹ 2; 285 14

4 2 ⫹ 2 5.

286 x2 ⫺ 5;

x 4 ⫺ 4.

287 x 2 ⫹ 2 2 x ⫹ 2;

a 2 ⫺ 4 3a ⫹ 12.

288 5 ⫹ 5;

2 ⫺ 2.

289 3 ⫺ 2 6;

3 6 ⫹ 15 .

 ⫺ 2b a  ⫹ a; 290 a a

x ⫺ x.

291 a 2 ⫺ 2 3 a ⫹ 3;

2a 2 ⫹ 2 2a ⫹ 1.

292 3 ⫹ 2 2;

3 ⫺ 2 2.

293 3 ab2 ⫺ 3 3a;

x 3 ⫺ 3x.

[2 (3 ⫹ 1); 5 (1 ⫹ 2)] [2 (7 ⫹ 2); 2 (2 2 ⫹ 5)] [(x ⫹ 5)(x ⫺ 5); (x 2 ⫹ 2)(x ⫺ 2)(x ⫹ 2)] [(x ⫹ 2)2; (a ⫺ 2 3)2] [5 (1 ⫹ 5); 2 (2 ⫺ 1)] [3 (1 ⫺ 2 2); 3 (3 2 ⫹ 5)] [a  (a ⫺ 2b ⫹ a ); x(x ⫺ 1)] [(a ⫺ 3)2; (2a ⫹ 1)2)] [(1 ⫹ 2)2; (1 ⫺ 2)2] [3 a(b ⫹ 3)(b ⫺ 3); x(x ⫹ 3)(x ⫺ 3)]

653

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

■ La semplificazione di frazioni algebriche Dopo aver scomposto opportunamente in fattori, semplifica le seguenti frazioni. 2 ⫹ 10  294 ᎏᎏ ; 2

5 ⫹ 5 ᎏᎏ ; 1 ⫹ 5

36 ⫹ 3 ᎏᎏ . 3

7 ⫹ 7 295 ᎏᎏ ;  7

18  ᎏᎏ ; 6 ⫹ 2

a2 ⫺ 3 ᎏᎏ . 2a ⫺ 12 

 14 ⫹ 2 296 ᎏᎏ ; 7 ⫹ 7

2 10  ⫹ 3 ᎏᎏ ; 45 ⫹ 9 

3 ⫹ 22 ᎏᎏ . 1 ⫹ 2

a ⫺ a 297 ᎏᎏ ;  a

a⫺b ᎏᎏ ; a ⫹ b

x2⫺a ᎏᎏ . 2x ⫹ 4a 

[5 ⫹ 1; 5; 32 ⫹ 1]

7 ⫹ 1; ᎏ32ᎏ (3 ⫺ 1); ᎏ12ᎏ (a ⫹ 3) 14  2 ᎏ ; ᎏᎏ ; 2 ⫹ 1

ᎏ 7 3 x ⫺ a ᎏ

1 ⫺ a; a ⫺ b; ᎏ 2

8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione

–䊳

Teoria a pag. 622

ESERCIZIO GUIDA

298 Razionalizziamo i denominatori delle seguenti frazioni: 3 a) ᎏᎏ;  3

1 b) ᎏ ; 3  25

a⫹b c) ᎏᎏ con a ⬎ ⫺ b ; ⫹ a  b

a⫹ b d) ᎏᎏ con a ⬎ 0, b ⬎ 0. a ⫹ b

a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la radice presente nel denominatore: 3 3  3 3 ᎏᎏ ⫽ 3 ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ⫽ 3 . 3 3 3 ⭈ 3 3

3

3

1 1 2 2 2 ⫽ ᎏ3ᎏ ⫽ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. b) ᎏ3 ᎏ 3 3 5 2 2  2 2  2 2  2 ⭈  2 2⭈2 4 Infatti: 3

3

3

3

3

 22 ⭈ 2 ⫽  222 ⭈  ⫽  22⫹1  ⫽  23 ⫽ 2. c) Il denominatore è un unico radicale che ha per radicando un binomio; moltiplichiamo per tale radicale: (a ⫹ b) ⭈ a⫹  b (a ⫹ b) a⫹  b a⫹b ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ a  ⫹. b a   ⫹  b ⭈ a   ⫹  b a ⫹ b ⫹ a  b d) Quando al denominatore compare la somma di due termini di cui almeno uno è una radice quadrata, moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per la differenza dei due termini. Se compare una differenza moltiplichiamo per la somma, in modo da poter utilizzare in entrambi i casi il prodotto notevole (x ⫹ y)(x ⫺ y) ⫽ x 2 ⫺ y 2. (a ⫹ b)(a ⫺ b) (a ⫹ b)(a ⫺ b) a⫹b ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏᎏ . (a  ⫹ b  )(a  ⫺ b  ) a⫺b a ⫹ b

654

Paragrafo 8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione

ESERCIZI

Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni. 2

3

1 299 ᎏᎏ; 2

3 ᎏᎏ;  27

2 ᎏᎏ. 3

ᎏ2ᎏ; ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ 3

2

20 300 ᎏᎏ;  10

5 ᎏᎏ; 2

6 ᎏᎏ. 8

1 301 ᎏᎏ ; 42

3 ⫹ 3 ᎏᎏ ; 5 3

7 ᎏᎏ . 27

2 10; ᎏ2ᎏ 2; ᎏ2ᎏ 2 3 ⫹ 1 7 ᎏ ; ᎏᎏ

ᎏ8ᎏ2 ; ᎏ 5 2

4 ; 302 ᎏ 3 4

2 ᎏ ; 3 6

12 ᎏ . 5 8

4 303 ᎏ3 ᎏ; 2

3 ᎏ5 ᎏ; 3

2x ᎏ4 ᎏ. x

1 304 ᎏᎏ; x

2x ᎏᎏ;  3x

2x ᎏᎏ.  xy

ab2 305 ᎏᎏ; x  ab

2x 2y ᎏᎏ; 3 y  x

2a3 ᎏᎏ. ab  18

x 306 ᎏᎏ ; 32x 

1 ᎏᎏ ; 2a3a 

2a  ⫹ 2 ᎏᎏ . 2a x

x⫺1 307 ᎏᎏ ; 1 ⫺ x 

a2 ⫺ 4 ᎏᎏ ; a  2 ⫹

3y ⫹ 9 ᎏᎏ . 3 y⫹ 

[x⫺ ; 1 (a ⫺ 2)a⫹ ; 2 3y⫹ ] 3

1 308 ᎏᎏ ; a  ⫹b

a 2 ⫹ 2ab ⫹ b 2 ᎏᎏ ;  a ⫹ b

x⫺y ᎏᎏ . ⫺ x  y

 ⫹; b x⫺  y ⫹ b ; (a ⫹ b) a

ᎏ a

xy 309 ᎏ 3 ᎏ;  xy 2

2ab ᎏ 5 ᎏ; 4 2  a b

4 x 2y ᎏ ᎏ. 7 5 2  8x  y

2 3 2 5 [ x ; b ; 2x x 16 y 2 a y ]

5

3

3

36  5 22; ᎏᎏ ; 64 3



3

3

5



4

3 [2 4; ; 81 2  x ]

x

2

2

ᎏxᎏ; ᎏ3ᎏ 3x; ᎏyᎏ xy b a2 ᎏᎏ a ; bx 2 xy ; ᎏᎏ 2a b  x 3b



 2x   3a ax (a ⫹) 1 ᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ

ᎏ 6 6a ax 2

a⫹  b

3

5

7

7 ⫺ 1

1 310 ᎏ ᎏ ; 2 ⫺ 1

3 ᎏᎏ ; 7 ⫹ 1

5 ᎏᎏ . 6 ⫺ 1

2 ⫹ 1; ᎏ2ᎏ ; 6 ⫹ 1

4 311 ᎏ ᎏ ; 5 ⫹ 1

3 ᎏᎏ ; 5 ⫺ 2

10 ᎏᎏ . 3 ⫺ 1

[5 ⫺ 1; 5 ⫹ 2 ; 5 (3 ⫹ 1)]

x⫺y 312 ᎏᎏ ;  x ⫹ y

x ᎏᎏ ; x ⫺ x

x2 ⫺ 4y ᎏᎏ . x ⫺ 2 y

a ⫺ 4b 2 313 ᎏᎏ ;  a ⫺ 2b

a ᎏᎏ ; a ⫺ a b

a ⫹ 2 b ᎏᎏ . a ⫺ 2 b

5 314 ᎏᎏ ; 7 ⫺ 2 6

3 ⫺  2 ᎏᎏ ; 3 ⫹ 2

5 ⫹ 1 ᎏᎏ . 5 ⫺ 1

ᎏ5ᎏ ; 5 ⫺ 2 6; ᎏ2ᎏ

5 315 ᎏᎏ ; 4 ⫺ 2 3

10 ⫺ 2 ᎏᎏ ; 5 ⫹ 2

7 ⫺ 2 ᎏᎏ . 7 ⫹ 2

ᎏ2ᎏ (2 ⫹ 3); ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ

17   15 316 ᎏᎏ ; 2 5 ⫹ 3

15 ᎏᎏ ; 5 3 ⫺ 3 5

22  3 ᎏᎏ . 3 3 ⫹ 4

10 3 ⫺ 3 5; ᎏ2ᎏ ; 18 ⫺ 8 3

⫺1 317 ᎏᎏ ;  1 ⫹  2

3⫺a ᎏᎏ ; 2 ⫺ ⫹ a  1

x2⫺1 3 2 ᎏ ᎏ . [1⫹  2 (1 ⫺ 2); 2 ⫹ a⫹ ; 1 (x ⫺ 1) (x ⫹) 1] 3 1 ⫹ x 

 x ⫹1

ᎏ ; x ⫹ 2 y

x ⫺ y; ᎏ x⫺ 1  a ⫹ b (a  ⫹ 2 b)2

ᎏ; ᎏᎏ

a ⫹ 2b ; ᎏ a⫺b a ⫺ 4b 2

7 ⫹ 2 6

5

7 2 ⫺ 4 5

3 ⫹ 5

11 ⫺ 4 7

5 3 ⫹ 3 5

655

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

318 ASSOCIA a ogni frazione l’espressione equivalente ottenuta dopo aver razionalizzato. 2 ⫹ 1 1. ᎏᎏ 2 2 2. ᎏᎏ 2 ⫺ 1 1 3. ᎏᎏ 2 ⫹ 1 7 4. ᎏᎏ 22 ⫹ 1

A. 22 ⫹ 2 2 ⫹ 2 B. ᎏᎏ 2 C. 22 ⫺ 1 D. 2 ⫺ 1

–䊳

9. I radicali quadratici doppi

Teoria a pag. 623

319 Indica quali fra i seguenti sono radicali doppi. 3 ⫹ 5;

 7 ⫹ 4;

 a⫹   3;

6⫺  11 ; 

2 5.

ESERCIZIO GUIDA

320 Trasformiamo il seguente radicale doppio nella somma o differenza di due radicali semplici:

4⫹   7.   b: ⫽  Utilizziamo la formula  a⫾

⫺ ⫺ a ⫹ a b b a ⫺ a ᎏᎏ ⫾  ᎏᎏ .  2 2 2

2

  2

4 ⫹ 16  ⫺ 7 4 ⫺ 16  ⫺7 ⫽ 4⫹   7 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2

    4 ⫹ 9 ᎏᎏ ⫹ 2

4 ⫺ 9 ᎏᎏ ⫽ 2

7 ᎏᎏ ⫹ 2

1 ᎏᎏ . 2

La formula è utile solo nel caso in cui a 2 ⫺ b sia un quadrato perfetto. Trasforma i seguenti radicali doppi nella somma di due radicali semplici.

 48 ;  321 8⫺

 3⫺  8 ;

6⫹ 2 5.

[6 ⫺ 2; 2 ⫺ 1; 5 ⫹ 1]

 12 ;  322 4⫹

 11 ⫺ 40 ; 

7⫹ 2 6.

[3 ⫹ 1; 10  ⫺ 1; 6 ⫹ 1]

 24 ;  323 5⫺

 8⫺  60 ; 

8⫺ 2 7.

[3 ⫺ 2; 5 ⫺ 3; 7 ⫺ 1]

 32 ;  324 6⫺

 6⫺  11 ; 

4⫹ 2 3.

1 ᎏ ⫺ ᎏ

2 ⫺ 2; ᎏ1 12ᎏ; 3 ⫹ 1 2

RIEPILOGO

LE ESPRESSIONI IRRAZIONALI

Nel sito:

䉴 18 esercizi in più

Semplifica le seguenti espressioni. 3 ⫹ 2 2 2 ⫺ 1 325 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 ⫹ 2 2 6 ⫺ 2 2 10  326 ᎏ ᎏ ⭈ ᎏᎏ 7 ⫺ 4 3 3 ⫹ 2

656

 1 ᎏᎏ 2

[⫺ 2 5]

7 ⫹ 2 6 4 327 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ  2 2 ⫹ 2 3

[2(1 ⫹ 6)]

RIEPILOGO Le espressioni irrazionali

7x2 8 ⫹ 2 7 328 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 7 ⫹ 1 7 x

ESERCIZI

[7 x (7 ⫹ 1)]

329 [(3 2 ⫹ 2 3)(3 ⫹ 2) ⬊ 6](5 ⫺ 2 6) ⫺ 1

[0]

2  6 ⫺ 6⫺   11 ⭈ 6⫹   11  330 (6 ⫺ 1) 7⫹

[0]

331

 7 5 ⫺ 2 ⫹ ᎏ 5 ⫹ 2

5 ⫺ 2 ⬊ ᎏᎏ ⫺  11 ⫺2  30 7 ⫺ 1

[5]

x2 ⫹ 2 3 x ⫹ 3 2 x ⫺ 6 ᎏ ⭈ ᎏᎏ 332 ᎏ 2 x2 ⫺ 3 2  3

ᎏ3ᎏ

x ⫹ 2

ᎏ2ᎏ

3

x ⫹ 3

333

ᎏ ⬊ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ᎏ x ⫺ 2 2 x ⫺ 2  6

334

 

335

ᎏ ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏxᎏ ⬊ ᎏ4ᎏx ⭈ ᎏ x ⫹ 2 3

336

ᎏxᎏ ⫹ ᎏyᎏ ⫺ 2 ⬊ (x ⫺ y)

337

  ᎏ21ᎏx ⫺ᎏ41xᎏ

2

1

2

a 2 ⫺ 2ab ⫹ b 2 2a ⭈ ᎏᎏ ᎏ ᎏ 2 2 a ⫺b a ⫹b

2a ᎏᎏ ⫺ 1 ⫺ a ⫹b 3

x

5

[0]

ᎏ5ᎏ 4

2

2

y

x

 xy

ᎏxyᎏ

2

4x2 ⫺ 1 ᎏ ᎏ⫹ 18x3 ⫹ 9x2

2x ⫺ 1 ᎏᎏ ⫹ 36x 2

2x  ⫺1

ᎏxᎏ

2

2x ⫹ y  y  2x 338 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2x ⫺ y 2  x ⫹ y 2x  ⫺ y

BRAVI SI DIVENTA

3

2

4

3

2

⫹ ⫹1 ⫺ a ⫹a ⫹a ⫹1 6 a 4 ⫹ a 2 6 34 32 340 a 341

䉴 E37

a ⫹ 4a ⫹ 4 aᎏ  ᎏa⫹aᎏ2 ⭈ ᎏ ⫹ 2 ᎏaaᎏ  ⭈ ᎏ a9⫺ᎏ1 ⭈ ᎏ a⫺a2ᎏ 1 a⫹ 4

2

339

[0]

 a

 b

4

3

[0]

ᎏᎏb ⫺ ᎏᎏa  [(b a ⫹ ab)(a ⫹ b) ⫺ 2ab] 6

3

2 2 4 4 b  ⭈ a b  ⫺ 2a2b2 a b ⬊ a b ⭈  a 342 1 ⫹ 

[1 ⫺ a2b 2]

x ⫹ 3 x ⫹ 3 3 x 2 ⫹ 3x ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏ ᎏ ᎏ ⬊ 3 x x2 ⫺ 3 x ⫺ 3

343





344

ᎏxᎏ



345

ᎏ ⫹ ᎏ ᎏ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏxᎏ ⬊ ᎏxᎏ ⫹ ᎏᎏ2  ⭈ ᎏ x ⫹ 6 x ⫺ 6

1

2

1 1 (1 ⫺ 2x) 2 3 2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 4 x   ⫹  1 ⫹ 16 x   6x 1   ᎏ ᎏ ⫹ ⬊ x x2 x 3

x





2

1

1

 

[a 2 ⫺ b 2]

1



1 xy xy  ⫺ ᎏᎏ ⭈ xy  ⫹ ᎏᎏ 346 ᎏᎏ ⭈ xy xy x ⫺  xy x ⫹  xy

[x  ⫹] 1 2 x

ᎏ

ᎏ x⫹2 ᎏ

ᎏ x ⫺y  x ⫺ 4y

657

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

347

冢ᎏabᎏ ⫹ ᎏᎏ 冣 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏbᎏ ab 

348

ᎏ ᎏaᎏ⫹ᎏbᎏ ⫹ 2 a⫹b ⫹ ab ⫹ab ⭈ ᎏ (ab ⫹ 1)

a  b ⫺ a b  1

2

ab

a ⫹ b

1

2

2

4 2

ᎏᎏ b  b ⫹2

a

ab

2 4

䊳 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni – con coefficienti irrazionali Nel sito:

2 ⫹ [a 2 b ]

2

2

Teoria a pag. 623

䉴 6 esercizi di recupero

■ Le equazioni ESERCIZIO GUIDA

2x ⫺ 3 2  x ⫺3 4x 349 Risolviamo l’equazione ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 3 3 2 x(2 ⫺ 2) 6 2 6 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ → x ⫽ ᎏᎏ . 2 ⫺ 2 2 ⫺ 2 2 ⫺ 2

Il m.c.m. fra i denominatori è 3 2. Eliminiamo i denominatori:

Razionalizziamo il denominatore:

3(2x ⫺ 32) ⫺ 2(x ⫺ 3) ⫽ 4x.

6 2 2 ⫹ 2 12 2 ⫹ 12 x ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 ⫺ 2 2 ⫹ 2 4 ⫺2

Eseguiamo i calcoli: 6x ⫺ 9 2 ⫺ x 2 ⫹ 3 2 ⫽ 4x 6x ⫺ x 2 ⫺ 4x ⫽ 6 2 2x ⫺ x 2 ⫽ 6 2.

12( 2 ⫹ 1) ⫽ ᎏᎏ ⫽ 6 ⭈ (2 ⫹ 1). 2 La soluzione è:

Raccogliamo x:

x ⫽ 6 ⭈ (2 ⫹ 1).

x(2 ⫺ 2) ⫽ 6 2 Risolvi le seguenti equazioni.  350 3x ⫽ 12 351 5x ⫽ 2 ⫺ x 352 8x ⫺ 2x ⫽ 4 353 2x ⫺ 1 ⫽ 3x ⫹ 3 x ⫽ 2 354 2x ⫺ 4 ⫹ 18 2x 355 6 ⫺ x ⫽ ᎏᎏ 2 356 3(2 ⫺ x) ⫽ 2(3 ⫺ x)

658

[2] 5 ⫺ 1 ᎏᎏ 2





[22] [33 ⫹ 5]

ᎏ14ᎏ(1 ⫹ 22)

1⫹x 357 x ⫺ 2 ⫽ ᎏᎏ 2 x⫺1 x⫹3 x 358 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 32 62 2

[3(2 ⫹ 1)] 2 ⫹ 1 ᎏ

ᎏ 3

3 ⫹ 2 3 ᎏᎏ 9 3 360 (3x⫺1)2 ⫹(x ⫺3)(x ⫹3)⫽4x 2 ⫺ᎏᎏ 3 359 3x 3 ⫺ 2 ⫹ 3 ⫽ 2 3





 

[6(2 ⫺ 1)]

361 (x ⫺3)(x ⫹6)⫹32 ⫽x(x ⫹6)⫺3 [3]

[0]

362 2 (x ⫹ 2) ⫹ 5 (x ⫺ 5) ⫽ 0 [5 ⫺ 2]

Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali

ESERCIZI

7

ᎏ6ᎏ (7 ⫺ 1)

363 (7 x ⫺ 2)2 ⫹ 7 x(3 ⫺ 7 x) ⫽ x ⫺ 3 ) ⫺ 10 5(1 ⫹ 5x) ⫺ 5(2 ⫺ 10) ⫽ 0 364 5 2 (x ⫹ 10

[1]

x ⫹  3 (3 ⫺ 1)x 365 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ 3 ⫺ 1 3 ⫺ 1 3 ⫹ 1 x⫹2 x ⫺ 2 366 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 1 ⫺  2 4 x 2x ⫹ 5 367 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ 4 2 25

⫺ 23 ⫺ 1 ᎏ

ᎏ 3 32 ⫺ 16 ᎏ

ᎏ 7 [95(2 ⫹ 5)]

Risolvi le seguenti equazioni fratte. 1 2 3 368 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫺ 3 x x

3 ᎏ

ᎏ 2 ⫺1

4 x ⫹ 2 x ⫺ 2 ᎏ 369 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ 2 x ⫺ 2 x ⫹ 2 x ⫺2

ᎏ2ᎏ2 

2 2 ⫹ 1 2 ⫹ 1 ᎏ ⫽ ᎏᎏ 370 ᎏᎏ ⫹ ᎏ 2 2x ⫺ 1 2 x ⫹ 1 2x ⫺ 1

[6 ⫹ 4 2]

23  3 x ⫹ 1 3 ⫺ 3 x ᎏ⫺ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ 371 ᎏ 2 2 x x ⫹  3 x x ⫺ 3 x

[impossibile]

3 ⫺ 1 x ⫹ 2 3 2 x ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫺ ᎏᎏ 372 ᎏᎏ ⫺ ᎏ 2 x ⫹  3 x ⫺3 3 3(x ⫺ 3)

12 ⫹ 7 3

ᎏ2ᎏ

■ I sistemi lineari ESERCIZIO GUIDA

373 Risolviamo il seguente sistema:  x ⫺ 3y ⫽ 6  2 2x ⫺ 2  y ⫽ 3  Utilizziamo il metodo di riduzione: Eliminiamo y

⭈ 2 ⭈3

⫺

 2x ⫺ 2 y ⫽ 3 2 x ⫺ 3y ⫽ 6

Eliminiamo x

⭈2 ⭈ 2

 y ⫽ 2 3 2x6x ⫺⫺ 33 2 2 y ⫽ 3 3

⫺

x ⫺ 6 y ⫽ 2 6 22 2 2 x ⫺ 2y ⫽ 6 ⫺ 4y ⫽ 6 6 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ 4

⫺ 4x ⫽ ⫺ 3 3 x ⫽ ᎏᎏ 4 1 1 La soluzione del sistema è ᎏᎏ 3; ⫺ ᎏᎏ 6 . 4 4

冢

冣

659

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Risolvi i seguenti sistemi.

374

⫺1  xx ⫺⫹ yy ⫽⫽ 3 3

冤冢3 ⫺ ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ冣冥

377

x  yx ⫽⫽ 1⫺⫺33 y ⫺ 3

[(3; ⫺ 2)]

375

  xx ⫹⫹ 2yy ⫽⫽⫺22 2

[(⫺ 42; 32)]

378

x ⫺ y ⫽ 3 10   2 3x ⫹ 2 y ⫽ 4 5

[(2 5; ⫺ 10 )]

376

x ⫹ y ⫽ 0  2 ⫺ x ⫹ 2y ⫽ 2

379

x ⫹y ᎏᎏ ⫽ 1 x ⫺ 5 x ⫹ 5 ᎏᎏ ⫽ ⫺ 3 y

[(2 5; ⫺ 5)]

1

1

冤冢⫺ ᎏ3ᎏ2 ; ᎏ23ᎏ冣冥



380

⫽ 2 3 x ⫺ y ⫺ 4 3  2x2 3⫺(x3⫺y3  y) ⫽ ⫺ 3y

[(3; 2 3)]

381

x ⫹ 7y ⫽ 5  43 33(x ⫺ 2y) ⫽ 63 ⫺ 1 ⫺ 10y

[(3; ⫺ 1)]

382



3 (y ⫹ 2 x) ⫺ 6 x ⫽ 6 2 2 3 1 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ y ⫽ ᎏᎏ [4 3 y ⫺ (6 3 ⫺ 2 2 x)] 2 3 6

[(⫺ 3 6; 2 3)]

■ Le disequazioni ESERCIZIO GUIDA

383 Risolviamo la disequazione: x (x ⫹ 1) ⫹ 1 ⫹ 2  ⬎ x 2 ⫹ 2 (x ⫹ 1). Svolgiamo i calcoli e utilizziamo la regola di cancellazione: x 2 ⫹ x ⫹ 1 ⫹ 2 ⬎ x 2 ⫹ 2x ⫹ 2. Trasportiamo al primo membro i termini con x e al secondo membro i termini noti: x ⫺ 2x ⬎ ⫺ 1. Raccogliamo x nel primo membro: x (1 ⫺ 2) ⬎ ⫺ 1. Dividiamo entrambi i membri per 1 ⫺ 2 e, poiché 1 ⫺ 2 ⬍ 0, invertiamo il verso:

660

1 x ⬍ ⫺ ᎏᎏ . 1 ⫺ 2 Razionalizziamo il denominatore: 1 1 1 ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫺ 2 1 ⫺ 2 1 ⫹ 2 1 ⫹ 2 1 ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫹ 2. 1⫺2 ⫺1 Il risultato della disequazione è: x ⬍ 1 ⫹ 2.

Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali

ESERCIZI

Risolvi le seguenti disequazioni. 384 2x ⫺ 3 ⬎ x

[x ⬎ 3(2 ⫹ 1)]

385 ⫺ 3x ⫹ x ⬍ 3 ⫹ 1

[x ⬎ ⫺ 2 ⫺ 3]

386 5x ⫺ 5 ⬎ 5

[x ⬎ 1 ⫹ 5] 3 ᎏ

x ⬍ ᎏ 13  ⫺4

387 3x ⫺ 3 ⫹ 1 ⬎ (33 ⫹ 2)x 388 2(2x ⫺ 6) ⱖ (3 ⫺ 2)2 ⫺ 2(x ⫺ 2) ⫹ 3

[x ⱖ 2]

5 2 x 3 3 6 x 389 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ 2 3 6 2

3

x ⬎ ⫺ ᎏ4ᎏ 2(4 3 ⫹ 3)

x ⬍ ᎏ3ᎏ

390 (3 ⫹ 3)(x ⫺ 2) ⬍ 2 ⫹ 3x

3 ⫹ 3

x ⫹2 x 391 ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 1 ⫺ 3 1 ⫹ 3

x ⬍ ⫺ ᎏ3ᎏ 2(3 5 ⫺ 1)

x ⬍ ᎏ11ᎏ

392 (3 ⫺ 5)(x ⫹ 2) ⬎ 5 x 3 x ⫹ 1 ⫺ 3 2 3 x 393 ᎏᎏ ⱕ ᎏᎏ 3 ⫺ 2  3 ⫺ 1

■ I radicali e il piano cartesiano

3 ⫺ 1

x ⱖ ᎏ3ᎏ Nel sito:

䉴 16 esercizi in più

2 2 ⫹y Calcola la distanza fra le seguenti coppie di punti. (Ricorda che A B ⫽ (x ⫺ x (A ⫺y  A  B) B).)

394 A(⫺ 2; 2),

B (2 2; 2).

395 A(⫺ 8; ⫺ 5),

B (⫺ 2; ⫺ 5).

), 396 A(0; ⫺ 32

B (0; 2).

397 A(⫺ 1; 5),

B (⫺ 1; 20 ).

[3 2] [2] [5 2] [5]

398 Verifica che il triangolo di vertici A(⫺2; 0), B (2; ⫺2), C (4; 7) è isoscele e calcola il perimetro e l’area.  ⫹ 85 ), 20] [2(5 399 Dato il triangolo di vertici A (⫺ 3; 1), B (2; 2), C(1; ⫺ 6), calcola le misure del suo perimetro e delle tre mediane. 24 3 17 1 17 1 13 (2 ⫹ 25); ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ 2 2 2





9 400 Calcola la misura del perimetro e dell’area del triangolo di vertici A(⫺ 1; 3), B ᎏᎏ ; 5 , C (6; 3) e infine cal2 cola la misura della mediana relativa al lato BC.

冢

冣

19 ⫹ 13 7

61 4

冤ᎏ2ᎏ ; 7; ᎏ4ᎏ 661

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

–䊳

11. Le potenze con esponente razionale

Teoria a pag. 624

■ Dalle potenze alle radici ESERCIZIO GUIDA

m ᎏᎏ

m 401 Scriviamo sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale, ricordando che a n ⫽ a:

5 ᎏᎏ

4 ᎏᎏ 3

9 b) ᎏᎏ 4

冢 冣

a) 16 4 ; 5 ᎏᎏ

4

2 ⫺ ᎏᎏ 3

;

c) 125

4

冢

d) 49x 8 y 2

;

4

a) 16 4 ⫽  165 ⫽ (2 4)5 ⫽ (2 5)4 ⫽ 25 ⫽ 32. 4 ᎏᎏ 3

冢 冣 

9 b) ᎏᎏ 4

2 ⫺ ᎏᎏ 3

c) 125

3

⫽

9 4 9 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 4 4

冣

2 ᎏᎏ 8 2 3

49x y 







⫽ 7 2x 8y 2

2 ᎏᎏ 3

3

2 8 2 2 x y ) ⫽ ⫽ (7 

3

3

4 16 4 x. x y ⫽ 7 x 5y  7y ⫽ 7

1 ⫽ (1 25 )⫺2 ⫽  53⭈( ⫺ 2)  ⫽ 5⫺2 ⫽ ᎏᎏ. 25 3

2 ᎏᎏ 3.

d) Mettiamo sotto un unico segno di radice e poi portiamo fuori i fattori possibili:

9 ᎏᎏ . 4

3

n

3

Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale e semplifica, quando è possibile. 3 ᎏᎏ

4 ᎏᎏ

1 ⫺ ᎏᎏ 3

3 ⫺ ᎏᎏ 2

402 25 2 ; 27 3 ; 8 403 64

; 4 2 ᎏᎏ 3

3

5 ᎏᎏ 3

; 2 ;

y

;

3 ᎏᎏ

;

3 ᎏᎏ 4

(2a) ;

2 ⫺ ᎏᎏ 3

406 (4a 6b 4) 2 ; 3 ⫺ ᎏᎏ 2

  9 ᎏᎏ 4

ᎏ811ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ 2

405 x ;

3 ᎏᎏ

; 16 4 .

⫺ ᎏ1ᎏ 2

7) ; 404 ( 1 ᎏᎏ 2

2 ⫺ ᎏᎏ 3

. 1 ᎏᎏ 6

125 ;

1 ᎏᎏ 3

ᎏ3ᎏ2 

x4 ᎏᎏ y2

3 ᎏᎏ 2

(9a 4b 8) 27x 3 ᎏᎏ y6

407

  

408

a

;

;

3 ⫺ ᎏᎏ 2



;

3 ⫺ ᎏᎏᎏ 2

(8a 3b 6) 8a 6 ᎏᎏ 27

.

3 ⫺ ᎏᎏ 4

 

.

.

3 ᎏᎏ 4

2a .

3 ᎏᎏ 2

 (2

1 ᎏ1ᎏ ⫺2 ⫺4 ⫺6 ⫺ ᎏ3ᎏ 2 a b ) .

5 3 ᎏᎏ ᎏᎏ 2

b 6 c4 ;



■ Dalle radici alle potenze ESERCIZIO GUIDA

409 Scriviamo sotto forma di potenze con esponente razionale i seguenti radicali, poi applichiamo, quando è possibile, le proprietà delle potenze: 4

2 5 a)  a b ;

4

3

3 b)  a 2 b ; ⫹

1 ᎏᎏ

2 5 ᎏᎏ ᎏᎏ

c) y⫹   y2 ;  4

3

1 5 ᎏᎏ ᎏᎏ

2 5 b  ⫽ (a 2b 5) 4 ⫽ a 4 b 4 ⫽ a 2 b 4 . a)  a 3

1 ᎏᎏ

⫹ b 3 ⫽ (a 2 ⫹ b 3) 3 a 2 b) 

Poiché i termini a 2 e b 3 sono sommati, non è possibile applicare alcuna proprietà delle potenze.

662

5

d)  a 2 2  ⫹. 1 ⫹a 1 ᎏᎏ

2 1 ᎏᎏ ᎏᎏ

2 4   y2 ⫽ (y ⫹   y ) ⫽ (y ⫹ y 3 ) 4 c) y⫹ 4

3

3

La presenza della somma impedisce di procedere ulteriormente. 5

5

2 ᎏᎏ

d)  a 2 2  ⫹1 ⫽  (a  ⫹) 12 ⫽ (a ⫹ 1) 5 . ⫹a

Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale

ESERCIZI

Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali, poi applica, quando è possibile, le proprietà delle potenze. 7

410 3; 3

411 9; 412

3 3;

5

3 3 3 ;

3

3

2

4

3

2

3

5

1

1

3

3

1

5

2

4

1

1

1

3

2

1

(a ⫹ 2)ᎏ2ᎏ; (a3 ⫹ b3)ᎏ3ᎏ; (x ⫹ 1)ᎏ2ᎏ 1

4

2 ab2; a a(⫹ ) b; x2 yz ; x   ⫺. y 416 a 2b  5

2

a ᎏ2ᎏb ᎏ2ᎏc ᎏ2ᎏ; a ᎏ3ᎏb ᎏ3ᎏc ᎏ3ᎏ; a ᎏ2ᎏb ᎏ4ᎏc ᎏ4ᎏ; a ᎏ5ᎏb ᎏ1ᎏ0 

5

3

2

1

⫹; 2  a 3 x2 ⫹x 2⫹ . 1 ⫹b3;  415 a 3

1

xᎏ2ᎏ; aᎏ3ᎏ; yᎏ5ᎏ; a⫺ᎏ2ᎏ

3 5 2 4 2 3  b a a c a2  b. c ;  b; c  b;  414 a 3

1

7



; y3

3

3ᎏ8ᎏ; 2ᎏ6ᎏ; 2⫺ᎏ12ᎏ

1 ᎏᎏ . a

5

; a2

1

3ᎏ3ᎏ; 2ᎏ5ᎏ ⭈ 7ᎏ5ᎏ; 2ᎏ4ᎏ; 2⫺ᎏ3ᎏ

1 ᎏᎏ . 4

1 3 ᎏ ⭈  4.  2 2

2 8;

3

413 x;

1



2 2;

 2 ⭈ 7; 2

3ᎏ2ᎏ; 4ᎏ7ᎏ; 3ᎏ5ᎏ; 2⫺ᎏ2ᎏ

1 ᎏᎏ . 2

5

4;

3

1

1

a ᎏ3ᎏb ᎏ3ᎏ; a ᎏ3ᎏ(a ⫹ b)ᎏ3ᎏ; x ᎏ5ᎏy ᎏ1ᎏ0 z ᎏ1ᎏ0 ; (x ⫺ y)ᎏ3ᎏ 7

5

1

2

2

1

1

1

■ Espressioni ed esponenti razionali Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze. 1 ᎏᎏ

3 ᎏᎏ

1 ᎏᎏ

417 2 2 ⭈2 4 ; 3 ᎏᎏ 10

1 ᎏᎏ

418

 

419

3  ⭈ 3

420



421

 

25

5 ⫺ᎏᎏ 6;

1 ⫺ᎏᎏ 2 2

1 3 ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ 4 ⭈3 4⬊ 1 ᎏᎏ 6

1 1 ᎏᎏ ᎏᎏ 2

52

⬊2

1 ᎏᎏ

  24

1 ⫺ᎏᎏ 3.

⭈ 16 ⭈ 2

2

1 ᎏᎏ

5ᎏ2ᎏ 3

1 ᎏᎏ

1 ᎏᎏ

1 ᎏᎏ

1 ⫺ᎏᎏ 2

422 2⫺1[(2 2 ⫹ 3 2 )⫺1 ⫹ (3 2 ⫺ 2 2 )⫺1] ⬊ (3)

[3]

1 1 2 ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ

423 x ⫺2 {x 6 [x (x ⫺3) 3 ] 9 } 3 1 9 ᎏᎏ ᎏᎏ

  1 ⫺ᎏᎏ 3

⫺3

3 2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3⭈

a 2b

[x 2 ]

1 3 9 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 4 2 3

424 [(2 3 a 2 b 3c ⫺2) 3 ] 2 ⭈(2 425

13

2⫺ᎏ74ᎏ

1 ⫺ᎏᎏ 2



⭈ 23

3 ⫺ᎏᎏ 4

1 1 ᎏᎏ ᎏᎏ

5

[3⫺2]

⭈ 52 ⬊ 5 1 ᎏᎏ

5

26; 3ᎏ3ᎏ; 2ᎏ3ᎏ

32

1 ⫺ᎏᎏ 4



2⫺1 ⭈ 2⫺2

1 8 ᎏᎏ ᎏᎏ 3

 

32 ⭈ 3 4

5

3 3 ⬊ 3⫺1.

3 2 ᎏᎏ ᎏᎏ 9;

;

2ᎏ4ᎏ; 2ᎏ2ᎏ; 3ᎏ3ᎏ

2 ᎏᎏ

2 3 ⭈8 ⭈ 2

a

b

1 4 ⫺ ᎏ5ᎏ ⫺ᎏᎏ a 4 b 3

 

c)

[1] 1 ᎏ1ᎏ ᎏ1ᎏ ⫺ᎏᎏ a 4 b 3 3





663

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

1 1 1 3 ⫺ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ᎏᎏ 2 3 2 5 3

426 (2

2ᎏ2ᎏx ᎏ1ᎏ2 y ⫺ᎏ1ᎏ0 z

7 3 6 2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ 10 5 3

z ) ⬊(2⫺3x 8 y

x y

1

z )

5

13

3

1 (a 2 ⫹ a) ᎏ2ᎏ ⭈ a ⫺3 ⭈ (a 2 ⫺ a)2 2 ᎏ2ᎏ ⭈(a ⫹a ) 427 ᎏᎏᎏ 1 [(a 2 ⫺ 1) ᎏ2ᎏ] 4 1 1 ᎏᎏ ᎏᎏ

5 1 ᎏᎏ ᎏᎏ

428 {[(x ⭈ x 3 ) 3 ⭈ (x ⫺2x 3 ) 3 ] 6 }

1 ⫺ ᎏᎏ 2

[a]

x ᎏ2ᎏy ᎏ2ᎏ

2 3 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 4

⭈ [(x 3y)

1

]

–䊳

12. I radicali in R

1

Teoria a pag. 626

Stabilisci se le seguenti radici esistono in R. In tal caso, calcolale. 4

3

6

[8; ⫺ 7; ∃/ ; ∃/ ; 1; 0]

4

4

; 7 ⫺ ; 2 ⫺ ; 1 1;  0. 429 8; ⫺ 5

; 1 430 ⫺ 431

3

2;

⫺ ; 8

4

4

. 32

ᎏ12ᎏ65 ⫺1; 2⫺ᎏ24ᎏ76 ; 3

3

[⫺1; 2; ⫺2; 22]

2n

; 3n

ᎏ34ᎏ ; ᎏ23ᎏ ; 3; 2

3n

. 8n

CACCIA ALL’ERRORE

Ognuna delle seguenti uguaglianze contiene almeno un errore. Trovalo e correggilo (x e y sono reali positivi). 8

4

3

4

) 52 ⫽ ⫺ 5 432 (⫺

 x 6 ⭈  ⫺ x 8 ⫽ (⫺ x 2) ⭈ (⫺ x 2) ⫽ x 4 435 ⫺

(x 2⫹  y 2) 433 (x ⫹ y) 3 ⫽ 3

y ⫽  xy x ⭈  436 

 ⫹ y 3 ⫽ 2x ⫹ y 2x  ⫹y 434 2x

5 ⭈ ⫺ 3 ⫽ 15  437 ⫺

3

4

12

Indica le condizioni di esistenza e semplifica i seguenti radicali in R. 4

2 4 ; 438 ab 6

2  ⫺) 1; 439 (a

440

 12

3

x2;

(x ⫹ y)6 ᎏᎏ ; x3

. x3

[⏐b⏐ a⏐ ⏐x⏐; x] ⏐;

9

8

3 (a  ⫹) 3;

3

x a42.

4

6 2 16 a(b  ⫹) 2;

3

4

[ 1 (a ⫹) 3;  a2 x⏐ ⏐a⫺ ⏐ ;  ⏐]



a4 ⫹ 9a2 ⫹ 6a3 ᎏ ᎏ. x 2 ⫹ 2x ⫹ 1

 4



(x ⫹ y)2 a(a ⫹ 3) (⫹ ᎏᎏ ; 2⏐a3b ) 2; ⏐ ᎏᎏ x x⫹1



Trova le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R e trasporta fuori dalla radice i fattori possibili. 3

x4 441 ; 3

3 4 ; 442 ab

Nel sito:

664

3 x;

3

(x  ⫺) 12 .

2 4 (a  ⫹) 2b x;

[xx; ⏐x⏐x; ⏐x ⫺ 1⏐] 3

⫺ a3y4.

䉴 teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari

3

3

[ab b ; b2⏐a ⫹ 2⏐x; ⫺ ayy]

LABORATORIO DI MATEMATICA I radicali con Wiris

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

I radicali con Wiris ESERCITAZIONE GUIDATA

3 ⫺  7 a) Con Wiris semplifichiamo la seguente espressione irrazionale: ᎏᎏ . 4 ⫹ 7 b) Con Wiris risolviamo e svolgiamo la verifica della seguente equazione: 3 5 3 5 27 ᎏᎏ ⭈ z ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 4 2 2

 

Entriamo in ambiente Wiris. Digitiamo l’espressione del punto a e usiamo su di essa gli operatori che vediamo in figura 1. ● Facciamo clic sul pulsante Calcola. ● Osserviamo i risultati per renderci conto di quale funzionalità dobbiamo attenderci dagli operatori del sistema sui radicali. ● Usiamo l’operatore risolvere sull’equazione del punto b (figura 2). ● Semplifichiamo l’espressione ottenuta sostituendo a z, nel primo membro dell’equazione, la soluzione dataci da Wiris. Per far ciò, usiamo opportunamente le combinazioni di tasti ctrl-C (copia) e ctrl-V (incolla). ● ●

Nel sito:

䉱

Figura 1

䉱

Figura 2

䉴 1 esercitazione guidata con Derive 䉴 20 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Semplifica le seguenti espressioni sul quaderno. Poi, con il computer, approssima sia l’espressione iniziale sia la sua semplificazione. 1

(2 ⫺ 1)2 ⫹ (3 ⫺ 4)(2 ⫹ 3) [⫺ 6 2 ⫹ 3 3 ⫹ 6 ⫺ 9  ⫺ 9,84]

2

1 ⫺ 2 3 2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 ⫹ 1 2 ⫺ 1

3

(3 ⫹ 1)2 1 ⫺  3 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 ⫹ 3 3 ⫺  3

4

(2 ⫺ 1)3 ⫺ (2 ⫹ 1)2

3

3

[⫺ 2 ⫺ 9  ⫺ 10,41] 2 3 ᎏᎏ ⫹ 1  2,15 3

3



Determina sul quaderno il radicale z che rende valida l’uguaglianza, poi verifica con il computer. 5

12 5 ⭈ z ⫽ 25

6

 27 ⭈ z ⫽ 3

7

4 ⭈ z ⭈ 2 ⫽ 2

8

9 ⭈ z ⭈ 3 ⫽ 3

4

[5] 4

[3]

5

5

[ 4]

5

3

3

[1]

3

[2 ⫺ 4 4  ⫺ 5,09]

665

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

Matematica per il cittadino GLI SCORPIONI IRRAZIONALI

La vita quotidiana è piena di numeri, a partire da quanti biscotti mangiamo a colazione fino al canale della televisione su cui ci sintonizziamo la sera. I numeri naturali ci circondano in maniera più evidente, ma anche i numeri irrazionali si nascondono nella realtà e c’entrano con triangoli, quadrati, spirali e… scorpioni!

1. Considera i quadrati che hanno come misura dei lati i primi 7 numeri naturali. Completa la seguente tabella inserendo i valori delle loro aree. lato (u)

1

2

3

4

5

6

2. Considera i quadrati che hanno, come area, i primi 7 numeri naturali. Completa la seguente tabella determinando la lunghezza dei loro lati.

7

area (u2) 1

area (u2)

2

3

4

5

6

7

1u

1u

lato (u)

3. Dato un quadrato di lato 1 u, disegna un quadrato di area doppia (potrebbe essere utile tracciare una diagonale del quadrato). Quanto è lungo il suo lato?

1u 1u

4. Nella figura a lato la costruzione a spirale è composta da triangoli rettangoli aventi un cateto di lunghezza 1 u e l’altro lungo come l’ipotenusa del triangolo precedente. Partendo dal triangolo iniziale, che ha entrambi i cateti lunghi 1 u, completa la tabella inserendo le lunghezze mancanti. Esponi le tue considerazioni riguardo alla successione delle lunghezze delle ipotenuse.

1u 1u

1u

1u 1u

1u 1u

1u 1u 1u

1u

1u

1u

Triangolo

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

11°

12°

13°

14°

15°

16°

1° cateto (u)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2° cateto (u)

1

ipotenusa (u)

5. Disegniamo ora la coda di uno scorpione. Nella figura a fianco, a partire dal quadrato di lato unitario, abbiamo costruito alternativamente: ● ●

un triangolo rettangolo isoscele che ha come cateto il lato del quadrato antecedente; un quadrato che ha come lato l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele.

Completa la figura, calcola le lunghezze dei lati e le aree dei quadrati e inseriscile nella tabella. Esprimi le tue considerazioni sulla successione ottenuta con i valori delle superfici. Quadrato

1°

2°

lato (u)

1

2

1

2

2

area (u )

666

3°

4°

5°

6°

7°

8° 1u 1u

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo

TEST 1

3

Considera il radicale  a ⫹. 3 Per quali valori del numero reale a esiste? A B C D E

2

Nel sito:

Solo per a ⱖ 0. Per ogni valore di a. Solo per a ⬎ ⫺ 3. Solo per a ⱖ ⫺ 3. Solo per a ⱖ 3.

6

B C

7

8

B C D E

4

4, 2, 4 4, 4, 2,

C

12

4 (⫺ ) 6,

8

6. 3 ⫺ . 6 3 ⫺ . 6 3 6. 3 6.

B C

, 10 A B C D E

4

3

 35

è:

B C 4

A B

E

3

25 5. 5.

B C

E

25

. 10 nessuno dei precedenti.

0. 1. a.

D E

a 0. non è definita.

3

4 ) 5. (⫺ 3 . 54 3 (兩⫺ 兩 5 )4.

non è definita. 5 )4. (3 ⫺

D E

1

a ⫽ a, a ⬎ 0  1 0 ⫽ 0 2 1 ⫽ 1 0  a ⫽ 0, a ⬎ 0 2 ( a)2 ⫽ a, a ⬎ 0

11 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? A

2

⫺ . 9 ⫺ 9. ⫺ 3.

C

C D

D

10 Quale delle seguenti uguaglianze è falsa?

 9 è uguale a: (⫺) A

B

E

3

25. 3 5 5. 3 25 5 .

5

. 10 10 . 10 25 . 21

(⫺ 5) 3 è uguale a:

D

5

10 , 9, . 35 3 5 9, , 35 10 . 3 5 9, 10 . , 35 3 5 10 , 9. , 35 nessuno dei precedenti.

5 62 è uguale a: A

5

5

9,

5

4 ᎏᎏ

9

L’ordinamento crescente dei radicali 3

E

10

2 34. nessuno dei precedenti.

0

A

3

D

a è uguale a: Se a ⱖ 0, allora  A

3

5, 5, 5, 4 , 25 5,

10

2 3 2 35 . 30 ⭈ 227 ⭈ . 3 10 3 6. 5

B

, 54

3

Il risultato di 3 ⫹ 7 è: A

si ottiene rispettivamente: A

5

3 ⭈ 2 ⭈  27 è uguale a: A

Riducendo i radicali 28 ( 4)7,

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

B D E

3. nessuno dei precedenti.

C D E

6

3

3) 2 ⫽ ⫺ 3 (⫺ 6 3 2 (⫺ 3)  ⫽ 3 6 4 (⫺ 3) 2 ⫽ 3 6 4 (⫺ 3) 2 ⫽ ⫺ 3 6 3 2 (⫺ 3)  ⫽ ⫺ 3

667

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ 4

 ⫺) 34 ⫽ x ⫺ 3 non è vera ∀x 僆 R. Spiega perché. 12 L’uguaglianza (x 4

2 7 12 a bc e supponi che b ⱖ 0. Quali fattori possono essere portati fuori dal segno di 13 Considera il radicale  radice? E quali di essi vanno scritti in valore assoluto? Motiva la risposta.

z, con z ⬎ 0, è falsa ? Correggila in modo che diventi vera. 14 Perché l’uguaglianza ⫺7 z ⫽ 49 4  possono essere trasformati in radicali simili? Motiva la risposta. 15 I radicali ᎏᎏ e 45 5 ESERCIZI

Nel sito:

Semplifica i seguenti radicali, determinandone le condizioni di esistenza. 6

9 6 6 27 bc  16 a

17 18 19

3 2 2 bc ] [C.E.: a ⱖ 0; 3a 

⫺ 1) ᎏ 9(3x4ᎏ  C.E.: ∀ x ∈ R; ᎏ 33x2ᎏ ⫺1  a ⫹ 81 ᎏ a⫺18aᎏ  C.E.: a ⫽ 0; ᎏ aa⫺ᎏ 9  a b ᎏ ᎏ 3a ⫹1 a ⫹3a⫹ 4

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. 20

2

4

4

2

21

2

4

2

22

6 12

3

3

2





a 2b 4 C.E.: a ⬎ ⫺ 1; ∀ b ∈ R; ᎏᎏ a ⫹1

䉴 24 esercizi in più

23

    5

4

32a5 ᎏ ᎏ x 22y 12 a 4 b 2 ⫹ a4 ⫺ 2a 4 b ᎏᎏ 4b 3 x4 ⫹ 16 ᎏ4ᎏ x y4 b4x3 ᎏ ᎏ 2 b ⫹ 1 ⫺ 2b

a 1 ᎏ ᎏ ᎏx2ᎏ   y x y  a  b ⫺ 1 1 ᎏ ᎏᎏ ᎏ 2b b  5

4 2

2 2

2

ᎏx1yᎏ x ⫹61 bx ᎏ x ᎏ b ⫺1 4

4

2

Semplifica i seguenti radicali. 24



25



9

3

C.E.: x ⬎ ⫺ 1; ᎏ x(x1⫹ᎏ 1) 

x 3 ⫹ 3x 2 ⫹ 3x ⫹ 1 ᎏ ᎏ (x 2 ⫹ x)6

3

2

y xz ⭈ ᎏ ᎏ ᎏ3x2ᎏ 4(a ⫺b ) 3

27x 4y 9 z ᎏᎏ 32a ⫺ 32b

3

Esegui le seguenti operazioni.

11 ⫹ ᎏ23ᎏ 2

1  ⫹ 8 ⫹ ᎏᎏ 50  26 (2 ⫺ 3)2 ⫹ 18 2 x ⫺1 27 ᎏᎏ ⭈ a 28 29 30

 ᎏx ⫺aᎏ1 ⬎ 0

4

a2b2x ⫺ a2b2 ᎏᎏ x3 ⫺ 3x2 ⫹ 3x ⫺ 1

     1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ y x

4

x ⫺y ᎏ ᎏ 2 x y ⫹ xy2

2

⭈

x 5y 5 ᎏᎏ x ⫺y

[x 2 y 2 x  ⫹] y

  ᎏxyᎏ ⫺ xy x ⫺9 x ⫹ 3x ᎏ 2ᎏ ⭈ ᎏx⫺xᎏ3 ⬊ ᎏ 2ᎏ  (con x ⬎ 3)

668

4

6

x 2 y2 ⫹ x 2 y ᎏᎏ ⭈ x ⫹y 2

3

4

x 2 y2 ⫹ x 3 y ᎏᎏ ⫹ y ⫹1 3

2

2

3

ᎏ (x⫺aᎏ 1)b  ᎏ1xᎏ ᎏyxᎏ

ᎏ x 2⫺ᎏ9  6

2

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

31 Trova le condizioni di esistenza e, dopo aver eseguito le operazioni, trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

   a ⫹2 ᎏᎏ ⬊ 2

a2 ᎏᎏ ⭈ 4

3



4 ᎏᎏ a ⫹2

C.E.: a ⬎ ⫺ 2, a ⫽ 0;

Semplifica le seguenti espressioni. 32 33 34

x ⫹ 1 1

1 x ⫺1

ᎏ

(x ⫹  2)  ᎏxᎏ  ⬊ ᎏxᎏ  ⬊ ᎏ ⫹x  x 2 ᎏ xx⫹⫺ᎏyy ⭈ ᎏ xx⫺⫹ᎏyy ⬊ ᎏ xx⫺⫹ᎏyy x ⫹2

x ⫹2

3

3

1

4

3

4

3

3

[x (x  ⫹) 2 ]

2

x⫺ᎏy  ᎏ 6

12

37

x⫺y ᎏ  3x ⫹ 2a;   x⫹y

5

3

5

6

 1 ᎏᎏ x

3

4

ᎏ xx⫺⫹ᎏyy ⭈ ᎏ xx⫹⫺ᎏyy .

12

x⫹y

a ⫹ b  ⭈ ᎏ (aa⫹⫺ᎏ bb)

4

4 2 2 4 b ⫹ b 2⫺  b 2) ⬊  a 6⫺  b 6⫺ a 3 a 3 35 (a ⫹ b)2 ⭈ (a

x⫹ a) 23]4; 36 [(3

(a ⫹ 2)4 ᎏᎏ 2a 4

 x ⫺x ᎏ ᎏ x 1 ⫹ 



3 (x ⫺ 1) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺  x x

4

 6

ᎏx1ᎏ

1 4 ᎏᎏ x3 x

8

3

 ⫹ 2 18  ⫺ 3 50  ⫹ 3 98  38 32

[16 2]

39 2 3 ⭈ (4 2 ⫺ 3) ⫹ 2 (8 ⫺ 3 3)

[5 6 ⫺ 2]

Razionalizza i denominatori. a⫺3 40 ᎏ2ᎏ ;  a ⫺ 9





a2 ⫺ 9 3 ᎏᎏ ; b 2a2 ; 2 3 ⫺ 2 a⫹3

10 ᎏᎏ . 2 3 ⫹ 2

2ab ᎏ ᎏ ; 3 2  4a b

Semplifica le seguenti espressioni e razionalizza i risultati. 2 4 2  10 4 10  ⫺ 3 2 41 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ 4 4 5 ⫺ 1 5 ⫹ 1





3 a ⫺ 1 3 a ⫹ 1 42 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ 2 a ⫹ 1 a ⫺ 1

8a ᎏ ᎏ a ⫺1 

Semplifica le seguenti espressioni. 4 1 3 1 1 ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ᎏ2ᎏ 3 4 2 2 3 ⭈a ⭈b⭈b ⭈

43



 3

44

2

1 ᎏᎏ 3

⬊ 3

1 ⫺ᎏᎏ 3

⫹3

⫺1

⬊a b

1 1 4 ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ 6 ⭈ a2 ⭈ b 3 ⭈ b 3

[3ab] 3

⭈ 6 ⬊ 1 ⫹ 6 ⭈ 3 ⫹ 2

2 ⫺ᎏᎏ 3

⫹2

1 2 ᎏ3ᎏ

⫺1

1 ⫺ᎏᎏ 3

2 ᎏᎏ 3

[1]

Risolvi.

5 2 2 5x ⫹ 2 ᎏ [2 ⫺ 2] 45 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x2 ⫺ 2 x ⫺ 2 x ⫹ 2 [(5 ⫹ 2)2] 46 5(x ⫺ 1) ⫽ 2(x ⫹ 1) 47 3 (x ⫺ 2) ⫹ 3 ⬎ 3x ⫺ 1

3

x ⬍ ⫺ ᎏ3ᎏ

48

3 3 ⫺ 1 11 ⫺ 3  ⫹1)x ⫹2y ⫽3 ᎏᎏ;ᎏᎏ   4x(3⫺(3 10 10  ⫺1)y ⫽1 

49

 3x ⫹ 2y ⫽ 6

2 3x ⫹ 2y ⫽ 3

 ⫺ 3; ᎏ92ᎏ 2  669

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

TEST

50

ti affermazioni è certamente vera?

C D E

a ⱖ 0. b ⱖ 0. a ⬎ 1.

A B

è un numero: B

TEST Se a 2 ⫹ 1 ⫽ b, quale delle seguen-

51

1 ᎏᎏᎏᎏᎏ (3 ⫹ 2)(2 ⫹ 3)(3 ⫺ 2)(2 ⫺ 3) A

intero. razionale positivo, ma non intero. razionale negativo, ma non intero. irrazionale positivo. irrazionale negativo.

䉴 8 esercizi in più

C

D E

b ⱖ a2 ⫹ 1. Nessuna delle precedenti. (Olimpiadi della matematica, 2004)

TEST Qual è il numero più piccolo?

52 A

0,0000001

C

B

9⫺8

D

(Olimpiadi della matematica, 2003)

(0,1)0,1 00 00 1 0,

E

(0,0001)2

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1997)

 3⫹1 53 Senza utilizzare la calcolatrice, stabilisci qual è l’intero che meglio approssima il numero ᎏᎏ .  3 ⫺1 x 2 ⫺ 2  7x ⫹ 7 54 Dimostra che la seguente espressione: ᎏᎏ ⭈ (x ⫹ 7) ⫺ x 2 ⫹ 14 è uguale a 7. 7 x ⫺  TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

24  55 TEST What percentage of ᎏᎏ is 3 A

25%

D

66,6%

B

33,3%

E

150%

C

50%

ᎏ287ᎏ ?

䉴 4 esercizi in più

57 Perform the following operations. Write all answers in simplified form (including rationalizing denominators). Assume that variables represent non-negative numbers. 3

3

a)  2x ( x ⫺ x 105) b) ⫺ 3b5 ⫹ bb3 ⫹ b2

56 Simplify each of the following. Do not give decimal answers.

3

3

[a) 2x 2 ⫺ x 220 ; b) b ⫺ 2b2b] 58 TEST If x ⫽ 1 ⫺ 23, then x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ⫽ A B

a) 24  ⫹ 654 

3

(USA Tacoma Community College, Review for Test, 2002)

(USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th Annual Mathematics Contest, 1995)

⫺ 16 8 8 ⫹ 43

D E

8 ⫺ 43 8 ⫺ 83

C (USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th Annual Mathematics Contest, 1995)

b) (10  ⫺ 7)(210  ⫹ 37) c) 48 y ⫹ 5x27 x2 y (assume x, y ⱖ 0) d) 515  ⫺ 43 (CAN John Abbott College, Final Exam, 2001)

[a) 206; b) 70  ⫺ 1; c) 19x3y ; d) 3]

59 Express as a rational number:

4 ⫹2  3 ⫺  28 ⫹1 0 3 ᎏᎏᎏᎏ 15

670

⫺ ᎏ14ᎏ5 

(USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)

GLOSSARY

answer: risposta following: seguente; seguenti

[4]

percentage: percentuale to perform: compiere, svolgere

to simplify: semplificare variable: variabile

CAPITOLOTEORIA

Le equazioni di secondo grado

11 Home Cinema I proiettori si usano comunemente nelle sale cinematografiche, ma, da quando la tecnologia lo permette, molte persone scelgono di godersi la visione dei film nella propria casa, disponendo di un apparecchio ottico per la proiezione e di uno schermo bianco… …a quale distanza deve essere posto il proiettore affinché l’immagine che appare sullo schermo abbia la dimensione desiderata?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 686

1. Le equazioni di secondo grado Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi di equivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrivere nella forma, detta forma normale: ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0,

con a ⫽ 0.

Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; c è anche detto termine noto. ESEMPIO

L’equazione

5x 2 ⫺ 2x ⫺ 1 ⫽ 0 è di secondo grado in forma normale, e i tre coefficienti sono: a ⫽ 5;

b ⫽ ⫺ 2;

c ⫽ ⫺ 1.

⫺ 1 è il termine noto. Se, oltre ad a ⫽ 0, si hanno anche b ⫽ 0 e c ⫽ 0, l’equazione si dice completa. Per esempio, l’equazione 2x 2 ⫺ 5x ⫹ 6 ⫽ 0 è completa.

671

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

Se invece l’equazione è incompleta, abbiamo i seguenti casi particolari. EQUAZIONI INCOMPLETE COEFFICIENTI

FORMA NORMALE 2

NOME

ESEMPIO

b ⫽ 0, c ⫽ 0

ax ⫹ bx ⫽ 0

equazione spuria

2x 2 ⫺ 5x ⫽ 0

b ⫽ 0, c ⫽ 0

ax 2 ⫹ c ⫽ 0

equazione pura

2x 2 ⫹ 6 ⫽ 0

b ⫽ 0, c ⫽ 0

ax 2 ⫽ 0

equazione monomia

2x 2 ⫽ 0

◗ Come vedremo, le soluzioni di un’equazione di secondo grado possono essere al massimo due; le cercheremo nell’insieme R dei numeri reali.

Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.

ESEMPIO

L’equazione x 2 ⫺ 5x ⫹ 6 ⫽ 0 ha per soluzioni i numeri 2 e 3. Infatti, sostituendo a x il numero 2 e poi il numero 3, si ottiene (2) 2 ⫺ 5(2) ⫹ 6 ⫽ 0; (3) 2 ⫺ 5(3) ⫹ 6 ⫽ 0.

BRAVI SI DIVENTA Videolezioni Videolezioni

䉴 V38a 䉴 V39a

2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Babilonia, anno 1000 a.C.

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Humbaba e Gamesh, studenti della Casa delle Tavolette, chiedono all’amico Nabu spiegazioni sul problema che avevano come compito a casa: moltiplicando un numero per se stesso e aggiungendo il doppio del numero, si ottiene 24; qual è il numero? Nabu non ha dubbi: «Il numero è 4. Aggiungete la metà di 2 a 24, cioè 25. Prendete la radice quadrata, cioè 5, e poi...». (Liberamente tratto da Ian Stewart, L’eleganza della verità, Einaudi, 2008)

CRISTINA: LUCA:

«Come ha fatto Nabu a trovare subito il numero?». «A me il quadrato di un numero e il suo doppio ricordano il quadrato di un binomio».

䉴 Scrivi l’equazione relativa al problema. Cerca di risolverla trasformando uno dei due membri nel quadrato di un binomio.

672

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

■ Il metodo del completamento del quadrato Per cercare le soluzioni dell’equazione completa ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0

(a ⫽ 0, b ⫽ 0, c ⫽ 0),

applichiamo il metodo del completamento del quadrato. ●

Dividiamo tutti i termini per a (che abbiamo supposto ⫽ 0): 3 x x2 ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 2

b Scriviamo il termine ᎏᎏ x come doppio prodotto di due fattori, cioè nella forma 2 ⭈ p ⭈ q: a 1 3 x2 ⫹ 2 ⭈ x ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 4 2

b c x 2 ⫹ 2 ⭈ x ⭈ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ. 2a a ●

b 2 Aggiungiamo ai due membri il termine ᎏᎏ . Si ottiene così al primo 2a membro lo svolgimento del quadrato di un binomio, nella forma p2 ⫹ 2pq ⫹ q2:

 

b b 2 c b 2 x 2 ⫹ 2 ⭈ x ⭈ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ . 2a 2a a 2a

 

●

2x2 ⫹ x ⫺ 3 ⫽ 0

2x2 ⫹ x ⫽ 3

b c x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ. a a ●

◗ Di fianco ai passaggi nel caso generale, scriviamo quelli di un esempio numerico.

Portiamo a secondo membro il termine noto: ax 2 ⫹ bx ⫽ ⫺ c.

●

TEORIA

 

b Il trinomio al primo membro è il quadrato del binomio x ⫹ ᎏᎏ ; quindi: 2a b 2 c b2 b 2 b 2 ⫺ 4ac x ⫹ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ → ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ . 4a 2 2a a 4a 2 2a









1 1 x2 ⫹ 2 ⭈ x ⭈ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 4 16 1 3 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏ ᎏ 16 2

24 ⫹ 1 ᎏ 冢x ⫹ ᎏ14ᎏ冣 ⫽ ᎏ 16 2

L’espressione al primo membro è un quadrato; quindi è sempre positiva o nulla. Affinché l’equazione ammetta soluzioni reali, anche la frazione al secondo membro deve essere non negativa. Poiché il denominatore della frazione è sempre positivo, il numeratore deve essere non negativo, cioè b 2 ⫺ 4ac ⱖ 0. Se b 2 ⫺ 4ac ⱖ 0, ci sono due valori, uno l’opposto dell’altro, che soddisfano l’equazione. Li otteniamo estraendo la radice quadrata: b 兹b苶2苶 ⫺苶ac 4苶 x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫾ ᎏᎏ . 2a 2a

1 兹25 苶 x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫾ ᎏᎏ 4 4

Isoliamo la x: 2 b 兹b 苶2苶 ⫺苶a 4苶苶c ⫺ b ⫾ 兹b苶苶 ⫺苶a 4苶苶c x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫾ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2a 2a 2a

1 5 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫾ ᎏᎏ 4 4

673

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

Le soluzioni dell’equazione sono: 1 5 3 x1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ 4 4 2 1 5 x2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1 4 4

2 ⫺ b ⫹ 兹b苶苶 ⫺苶a 4苶苶c x 1 ⫽ ᎏᎏ ; 2a

b2苶 ⫺ b ⫺ 兹苶 ⫺苶a 4苶苶c x 2 ⫽ ᎏᎏ . 2a

ⴚ b ⴞ 兹苶b2苶 ⴚ苶a 4苶苶c L’espressione x ⴝ ᎏᎏ 2a viene detta formula risolutiva dell’equazione di secondo grado. ESEMPIO

Calcoliamo le radici dell’equazione 4x 2 ⫺ 7x ⫺ 2 ⫽ 0.

Applichiamo la formula risolutiva, sostituendo a ⫽ 4, b ⫽ ⫺ 7, c ⫽ ⫺ 2. 7 ⫾ 兹7苶2苶 ⫺苶4苶4 ⭈ 苶苶⫺ ⭈ (苶苶) 2苶 x ⫽ ᎏᎏᎏ ⫽ 2⭈4 7⫹9 16 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 8 8 7 ⫾ 兹苶 49苶 ⫹苶2 3苶 7 ⫾ 兹81 苶 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 8 8 7⫺9 2 1 ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ 8 8 4 1 Le radici dell’equazione sono x 1 ⫽ 2 e x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ. 4

■ Il discriminante e le soluzioni ◗ Discriminante deriva dal latino discrimen che significa «ciò che serve a distinguere». Con il discriminante possiamo distinguere se le soluzioni reali di un’equazione di secondo grado sono due, una o nessuna.

Chiamiamo discriminante, e indichiamo con la lettera greca ⌬ (delta), l’espressione che nella formula risolutiva è sotto radice, cioè: ⌬ ⴝ b 2 ⴚ 4ac. Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado è sufficiente calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzioni reali. ESEMPIO

x 2 ⫺ 3x ⫹ 5 ⫽ 0

(a ⫽ 1,

b ⫽ ⫺ 3,

c ⫽ 5);

⌬ ⫽ (⫺ 3) 2 ⫺ 4(1)(5) ⫽ 9 ⫺ 20 ⫽ ⫺ 11. Poiché ⌬ ⬍ 0, non esistono soluzioni reali. In generale, risolvendo l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0, possono presentarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante: 1. ⌬ ⬎ 0: l’equazione ha due soluzioni reali e distinte: ⫺ b ⫹ 兹⌬ 苶 x 1 ⫽ ᎏᎏ , 2a

674

⫺ b ⫺ 兹⌬ 苶 x 2 ⫽ ᎏᎏ ; 2a

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

2. ⌬ ⴝ 0: l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti:

TEORIA

◗ Se ⌬ ⫽ 0: ⫺ b ⫾ 兹0苶 x1 ⫽ x2 ⫽ ᎏᎏ . 2a

b x 1 ⫽ x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; 2a

Si dice anche che la soluzione è doppia.

3. ⌬ ⬍ 0: l’equazione non ha soluzioni reali.

■ La formula ridotta Quando nell’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 il coefficiente b è un numero pari, è utile applicare una formula, detta formula ridotta. Ricaviamola. Nella formula generale, raccogliamo 4 sotto il segno di radice:

冪莦冢莦莦莦莦莦冣

冪莦莦莦莦莦

b2 b2 ⫺ b ⫾ 2 ᎏᎏ ⫺ ac ⫺ b ⫾ 4 ᎏᎏ ⫺ ac 4 4 x ⫽ ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏᎏ . 2a 2a Dividiamo per 2 il numeratore e il denominatore:

冪冢莦莦莦冣 莦莦莦

冪冢莦莦莦冣 莦莦莦

b b 2 ⌬ b b 2 ⴚ ᎏᎏ ⴞ ᎏᎏ ⴚ ᎏᎏ ⴚ ᎏᎏ ⴞ ᎏᎏ ⴚ ac 2 2 4 2 2 x ⴝ ᎏᎏᎏ ⴝ ᎏᎏᎏ . a a Per utilizzare questa formula, invece di ⌬ ⫽ b2 ⫺ 4ac dobbiamo calcolare b 2 ⌬ ᎏᎏ ⫺ ac che si ottiene dividendo ⌬ per 4 e si indica con ᎏᎏ . 2 4

冢 冣

ESEMPIO

◗ Si legge delta quarti.

Risolviamo l’equazione x 2 ⫺ 2x ⫺ 35 ⫽ 0.

Poiché b ⫽ ⫺ 2, applichiamo la formula ridotta. 7 苶⫽1⫾6⫽ x ⫽ 1 ⫾ 兹36 ⫺5

⌬ 4

◗ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫺ 1(⫺ 35).

■ Casi particolari Le equazioni pure: ax2 ⴙ c ⴝ 0 ESEMPIO

1. Risolviamo l’equazione 5x 2 ⫺ 20 ⫽ 0. Invece di applicare la formula generale, isoliamo il termine con l’incognita, portando al secondo membro il termine noto: 5x 2 ⫽ 20. Dividiamo entrambi i membri per 5: x 2 ⫽ 4 → x ⫽ ⫾ 兹4苶 ⫽ ⫾ 2 → x 1 ⫽ ⫺ 2,

x 2 ⫽ 2.

675

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

2. Risolviamo l’equazione 3x 2 ⫹ 27 ⫽ 0. →

3x 2 ⫹ 27 ⫽ 0

3x 2 ⫽ ⫺ 27

→

x 2 ⫽ ⫺ 9.

Poiché nessun numero reale ha quadrato negativo, l’equazione non ha soluzioni reali.

In generale, un’equazione di secondo grado pura, del tipo ax 2 ⫹ c ⫽ 0, con a e c numeri reali discordi, ha due soluzioni reali e opposte: x1⫽⫹

冪⫺莦莦ᎏaᎏ莦 ; c

x2⫽⫺

冪⫺莦莦ᎏaᎏ莦 . c

Se a e c sono concordi, l’equazione non ha soluzioni reali. Le equazioni spurie: ax2 ⴙ bx ⴝ 0 ESEMPIO

Risolviamo l’equazione 6x 2 ⫺ 5x ⫽ 0.

Raccogliamo x: x (6x ⫺ 5) ⫽ 0. Per la legge di annullamento del prodotto: x ⫽0

oppure

6x ⫺ 5 ⫽ 0

→

5 x ⫽ ᎏᎏ. 6

L’equazione ha due soluzioni: x1⫽0

5 x 2 ⫽ ᎏᎏ . 6

e

In generale, un’equazione di secondo grado spuria, del tipo ax 2 ⫹ ⫹ bx ⫽ 0, ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla: x 1 ⫽ 0, ◗ La soluzione è doppia.

b x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ . a

Le equazioni monomie: ax2 ⴝ 0 ESEMPIO

Risolviamo l’equazione 2x 2 ⫽ 0.

2x 2 ⫽ 0

→

x2⫽0

→

x 1 ⫽ x 2 ⫽ 0.

In generale, un’equazione di secondo grado monomia, del tipo ax 2 ⫽ 0, ha sempre due soluzioni reali coincidenti: x 1 ⫽ x 2 ⫽ 0. Nel sito:

676

䉴 teoria e 53 esercizi su I numeri complessi e le equazioni di secondo grado

Paragrafo 3. La somma e il prodotto delle radici

TEORIA

ESPLORAZIONE: IL COMPLETAMENTO DEL QUADRATO Vediamo un esempio di come utilizza il metodo del completamento del quadrato il matematico persiano al-Khuwarizmi, vissuto nel IX secolo d.C. C’è da risolvere il problema:

fare la radice quadrata sottrarre la metà delle radici

苶⫽8 兹64 8⫺5⫽3

Come si vede, il metodo è proprio quello che utilizziamo ancora oggi. Noi scriveremmo così:

Un quadrato e dieci radici sono uguali a 39 unità.

x2 ⫹ 10x ⫽ 39 → x2 ⫹ 10x ⫹ 25 ⫽ 39 ⫹ 25 →

Al-Khuwarizmi dice di:

→ (x ⫹ 5)2 ⫽ 64 → x ⫹ 5 ⫽ 8 →

prendere la metà delle 10 radici moltiplicarla per se stessa aggiungere 39

10 ⬊ 2 ⫽ 5 5 ⭈ 5 ⫽ 25 25 ⫹ 39 ⫽ 64

→ x ⫽ 8 ⫺ 5 ⫽ 3. Gli Arabi non consideravano la soluzione negativa.

Seguiamo ora al-Khuwarizmi nella risoluzione geometrica del problema. Tracciamo un quadrato che ha per lato x. La sua area è x2.

Sui lati del quadrato costruiamo quattro rettangoli, ciascuno di lunghezza 10 –– = 2,5. 4

Completiamo il quadrato con quattro quadrati di lato 2,5. 6,25 2,5

2,5

2,5

x2 2,5x x

x

x

In questo modo, con i quattro rettangoli, abbiamo aggiunto un’area di 4 ⭈ 2,5 ⭈ x ⫽ 10x e sappiamo che x2 ⫹ 10x ⫽ 39. A 39 abbiamo poi aggiunto l’area dei quattro quadratini: 4 ⭈ (2,5)2 ⫽ 4 ⭈ 6,25 ⫽ 25. Otteniamo così un quadrato di area 39 ⫹ 25 ⫽ 64 e quindi di lato 8. D’altra parte, il lato misura 2,5 ⫹ x ⫹ 2,5, quindi: 5 ⫹ x ⫽ 8 → x ⫽ 3. IN CINQUE SLIDE

Descrivi i tipi di equazioni di secondo grado risolti da al-Khuwarizmi e i passaggi algebrici utilizzati nel suo testo Hisab al-jabr w’al-muqabala in una presentazione multimediale. Cerca nel web: al-Khuwarizmi, al-jabr, w’al-muqabala.

3. La somma e il prodotto delle radici Data l’equazione di secondo grado ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0, con ⌬ ⱖ 0, è possibile trovare delle relazioni che legano la somma e il prodotto delle sue radici ai coefficienti a, b e c.

■ La somma delle radici Calcoliamo la somma delle due radici: 2 2 b苶 b苶 b ⫺ b ⫹ 兹苶 ⫺苶a 4苶苶c ⫺ b ⫺ 兹苶 ⫺苶a 4苶苶c ⫺2b x 1 ⫹ x 2 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 2a 2a a 2a

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V40a

◗ Le radici dell’equazione sono: ⫺ b ⫾ 兹苶 b2苶 ⫺苶ac 4苶 x ⫽ ᎏᎏ. 2a

677

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

La somma s delle radici di un’equazione di secondo grado a discriminante non negativo è uguale al rapporto, cambiato di segno, fra il coefficiente di x e quello di x 2. b s ⴝ ⴚ ᎏᎏ . a

■ Il prodotto delle radici Calcoliamo il prodotto delle due radici: 2 2 ⫺ b ⫹ 兹苶 b苶 ⫺苶a 4苶苶c ⫺ b ⫺ 兹苶 b苶 ⫺苶a 4苶苶c x 1 ⭈ x 2 ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ 2a 2a

b 2 ⫺ (b 2 ⫺ 4ac ) b 2 ⫺ b 2 ⫹ 4ac 4ac c ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 2 2 4a 4a 4a a

◗ Applichiamo al numeratore la regola (a ⫹ b)(a ⫺ b) ⫽ a2 ⫺ b2.

Il prodotto p delle radici di un’equazione di secondo grado a discriminante non negativo è uguale al rapporto fra il termine noto e il coefficiente di x 2. c p ⴝ ᎏᎏ . a Data l’equazione 5x 2 ⫺ 9x ⫺ 2 ⫽ 0, calcoliamo la somma e il prodotto delle radici:

ESEMPIO

◗ Per verifica ricava le radici con la formula risolutiva e poi calcola la loro somma e il loro prodotto.

⫺9 9 ⫺2 b c x 1 ⫹ x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; x 1 ⭈ x 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 5 5 5 a a b c Le relazioni x 1 ⫹ x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ e x 1 ⭈ x 2 ⫽ ᎏᎏ servono a risolvere problemi a a inerenti alle radici di un’equazione senza risolvere l’equazione stessa. Data l’equazione 2x 2 ⫺ 13x ⫹ 15 ⫽ 0, sapendo che una radice è 5, calcoliamo l’altra senza risolvere l’equazione.

ESEMPIO

Calcoliamo la somma delle radici: b ⫺ 13 13 x 1 ⫹ x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . a 2 2 ◗ Esegui la verifica risolvendo l’equazione.

Poiché una radice è 5, l’altra sarà: 13 3 ᎏᎏ ⫺ 5 ⫽ ᎏᎏ . 2 2

■ La somma e il prodotto delle radici e l’equazione in forma normale Se scriviamo un’equazione di secondo grado in forma normale, è quindi possibile mettere in relazione i coefficienti a, b e c con la somma s e il prodotto p delle radici.

678

Paragrafo 4. La regola di Cartesio

TEORIA

Data l’equazione in forma normale ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0, possiamo dividere i due membri per a, poiché a ⫽ 0:

b ◗ Scriviamo ᎏᎏ come a b ⫺ ⫺ ᎏᎏ . a

b c x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0. a a b c x 2 ⫺ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0. a a 2 x ⫺ sx ⫹ p ⫽ 0.

冢

冢 冣

冣

b s ⫽ ⫺ ᎏᎏ , a c p ⫽ ᎏᎏ . a

In un’equazione di secondo grado ridotta a forma normale, in cui il primo coefficiente sia 1, il secondo coefficiente è la somma s delle radici cambiata di segno e il termine noto è il prodotto p delle radici. x2 ⴚ sx ⴙ p ⴝ 0, ovvero x2 ⴚ (x1 ⴙ x2)x ⴙ x1x2 ⴝ 0. Il problema inverso Dati due numeri qualunque, scrivere l’equazione di secondo grado che ha come radici quei due numeri. ESEMPIO

◗ Data l’equazione x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ⫽ 0: x 1 ⫹ x 2 ⫽ 2; x 1 ⭈ x 2 ⫽ ⫺ 3.

Scriviamo l’equazione che ha come radici i numeri 3 e 7.

Poiché s ⫽ 3 ⫹ 7 ⫽ 10 e p ⫽ 3 ⭈ 7 ⫽ 21, l’equazione richiesta è:

◗ Per fare la verifica, risolvi l’equazione.

x 2 ⫺ 10x ⫹ 21 ⫽ 0.

4. La regola di Cartesio È possibile conoscere il segno delle radici reali di un’equazione completa di secondo grado senza risolverla. Per farlo, introduciamo i concetti di variazione e di permanenza relativi al segno dei coefficienti dell’equazione.

■ Le permanenze e le variazioni Dato un polinomio ordinato secondo una variabile, ●

●

si ha una permanenza quando i coefficienti di un termine e del suo successivo sono concordi; si ha una variazione quando sono discordi.

䉳 Figura 1 Nel polinomio ordinato in x:

5x 3 ⴙ 2x 2 ⴚ x ⴙ 3,

permanenza

variazione

variazione

5x3

2x2

x

3

partendo da sinistra, abbiamo: una permanenza (ⴙⴙ), una variazione (ⴙⴚ), una variazione (ⴚⴙ).

679

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

■ La regola di Cartesio REGOLA

In un’equazione di secondo grado completa scritta in forma normale ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0, con ⌬ ⱖ 0, a ogni permanenza corrisponde una radice negativa e a ogni variazione una radice positiva. Se le radici sono discordi, la radice con valore assoluto maggiore è positiva se la variazione precede la permanenza, è negativa nel caso contrario.

◗ Nell’esempio consideriamo un caso in cui si ha a ⬎ 0. Se a ⬍ 0, basta cambiare il segno a tutti i termini: il numero e l’ordine delle variazioni e delle permanenze non cambiano.

ESEMPIO

Data l’equazione

9x 2 ⫺ 6x ⫹ 1 ⫽ 0, determiniamo il segno delle radici, senza risolvere l’equazione. Poiché b ⫽ ⫺ 6 è pari, calcoliamo

冢

冣

⌬ 6 2 ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 9 ⭈ 1 ⫽ 9 ⫺ 9 ⫽ 0. 4 2 Essendo il discriminante nullo, esiste una radice doppia e, poiché sono presenti due variazioni, la radice è positiva.

5. La scomposizione di un trinomio di secondo grado È dato un trinomio di secondo grado: ax 2 ⫹ bx ⫹ c. ◗ x1 e x2 sono anche detti zeri del trinomio.

Se ⌬ ⬎ 0, l’equazione associata ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 ha due soluzioni, x 1 e x 2; il trinomio può essere scomposto in fattori mediante la relazione: ax2 ⴙ bx ⴙ c ⴝ a (x ⴚ x 1 )(x ⴚ x 2 ). DIMOSTRAZIONE

Raccogliamo a:

冣

冢

b c ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ a x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ . a a b c Utilizzando le relazioni ⫺ ᎏᎏ ⫽ x 1 ⫹ x 2 e ᎏᎏ ⫽ x 1 ⭈ x 2, scriviamo: a a

冢

冣

b b ◗ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ⫺ ᎏᎏ . a a

冤

冢

冣

冥

b c a x 2 ⫺ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ a a ⫽ a [x 2 ⫺ (x 1 ⫹ x 2 ) x ⫹ x 1x 2 ] ⫽ a [x 2 ⫺ x 1x ⫺ x 2x ⫹ x 1x 2 ] ⫽

680

Paragrafo 6. Le equazioni parametriche

TEORIA

All’interno della parentesi quadra, raccogliamo x fra i primi due termini e x 2 fra gli altri due termini: ⫽ a [x (x ⫺ x 1 ) ⫺ x 2 (x ⫺ x 1 )] ⫽ Raccogliamo (x ⫺ x 1 ), giungendo alla scomposizione voluta: ⫽ a (x ⫺ x 1)(x ⫺ x 2 ). ●

Se ⌬ ⴝ 0, il trinomio ha solo uno zero, perché x 1 ⫽ x 2 ; quindi la scomposizione è la seguente: ax2 ⴙ bx ⴙ c ⴝ a (x ⴚ x1 )(x ⴚ x1 ) ⴝ a (x ⴚ x1 ) 2.

●

Se ⌬ ⬍ 0, il trinomio non ha zeri reali e non si può scomporre in fattori reali, cioè è irriducibile.

Riassumendo: a (x ⫺ x 1) (x ⫺ x 2) a (x ⫺ x 1)2 irriducibile

ax 2 ⫹ bx ⫹ c

se ⌬ ⬎ 0 se ⌬ ⫽ 0 se ⌬ ⬍ 0

ESEMPIO SCOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO TRINOMIO 2

EQUAZIONE ASSOCIATA 2

⌬

RADICI

SCOMPOSIZIONE

5(x ⫺ 3)(x ⫹ 2)

5x ⫺ 5x ⫺ 30

5x ⫺ 5x ⫺ 30 ⫽ 0

625 ⬎ 0

x1 ⫽ 3, x2 ⫽ ⫺ 2

4x 2 ⫺ 12x ⫹ 9

4x 2 ⫺ 12x ⫹ 9 ⫽ 0

0

3 x1 ⫽ x2 ⫽ ᎏᎏ 2

2x 2 ⫹ 3x ⫹ 4

2x 2 ⫹ 3x ⫹ 4 ⫽ 0

⫺ 23 ⬍ 0

∃ in R

6. Le equazioni parametriche Quando in un’equazione letterale si richiede che il valore di una lettera (ovviamente non l’incognita) sia tale da rendere vera una condizione, allora la lettera prende il nome di parametro e l’equazione si chiama parametrica. Esaminiamo un paio di esempi di equazioni parametriche di secondo grado. ESEMPIO

冢

冣

3 4 x ⫺ ᎏᎏ 2

2

∃ in R

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V41a

◗ Puoi trovare altri esempi negli esercizi guida.

1. Determiniamo il valore di k per cui l’equazione in x, x 2 ⫹ (2k ⫺ 1) x ⫹ k 2 ⫺ 1 ⫽ 0, ha due soluzioni reali distinte. Deve essere: ⌬ ⫽ (2k ⫺ 1) 2 ⫺ 4(k 2 ⫺ 1) ⬎ 0 ⫺ 4k ⫹ 5 ⬎ 0

→

4k ⫺ 5 ⬍ 0 5 Essa è verificata per k ⬍ ᎏᎏ . 4

→

4k 2 ⫺ 4k ⫹ 1 ⫺ 4k 2 ⫹ 4 ⬎ 0 5 → k ⬍ ᎏᎏ . 4

◗ Un’equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte se ⌬ ⬎ 0.

681

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

2. Nell’equazione parametrica (k ⫺ 3)x 2 ⫺ 2(k ⫹ 1)x ⫹ k ⫽ 0, determiniamo il valore di k affinché una radice sia uguale a 3. ◗ Poiché b ⫽ 2(k ⫹ 1) è un numero pari, calcoliamo ⌬ ᎏᎏ . 4

●

Calcoliamo per quali valori di k si hanno soluzioni reali, cioè ⌬ ⱖ 0: ⌬ ᎏᎏ ⫽ (k ⫹ 1) 2 ⫺ k (k ⫺ 3) ⱖ 0 4 5k ⫹ 1 ⱖ 0 → 5k ⱖ ⫺ 1

→

k 2 ⫹ 2k ⫹ 1 ⫺ k 2 ⫹ 3k ⱖ 0 1 → k ⱖ ⫺ ᎏᎏ . 5 1 Quindi si hanno soluzioni reali per k ⱖ ⫺ ᎏᎏ . 5 ●

Sostituiamo x ⫽ 3 nell’equazione data: (k ⫺ 3)3 2 ⫺ 2(k ⫹ 1)3 ⫹ k ⫽ 0 9k ⫺ 27 ⫺ 6k ⫺ 6 ⫹ k ⫽ 0

→

4k ⫽ 33

→

33 k ⫽ ᎏᎏ . 4

33 1 Poiché ᎏᎏ ⬎ ⫺ ᎏᎏ , il valore di k è accettabile. 4 5 33 Per k ⫽ ᎏᎏ l’equazione parametrica ha una radice uguale a 3. 4

7. La funzione quadratica e la parabola ■ La funzione y ⴝ ax 2 ◗ Diciamo anche che y ⫽ ax 2 è l’equazione di una parabola.

Una funzione quadratica del tipo y ⴝ ax 2 (con a ⫽ 0) ha per grafico una curva chiamata parabola. Per esempio, rappresentiamo nel piano cartesiano la funzione: y ⫽ 2x 2,

◗ Poiché i punti di ascissa opposta hanno la stessa ordinata, possiamo scrivere la tabella anche così: x y 0 0 1 1 ⫾ ᎏᎏ ᎏᎏ 2 2 ⫾1 2 ⫾2 8 Figura 2 La parabola di equazione y ⴝ 2x 2. 䉴

682

determinando le coordinate di alcuni suoi punti e scrivendole nella tabella a fianco. Osserviamo che i punti della parabola sono a due a due simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. In generale, ogni parabola ha un asse di simmetria. Il punto in cui la parabola si interseca con il suo asse è detto vertice. Per parabole di equazione y ⫽ ax 2 il vertice è l’origine O(0; 0).

y x

y

0 0 1 — 1 −— 2 2 1 — 1 — 2 2 −1 2 1 2 −2 8 2 8

y = 2x2 8

2 1 −2 −1 1 O 1 1 −— — 2 2

2

x

Paragrafo 7. La funzione quadratica e la parabola

TEORIA

Il segno di a e la concavità Tutti i punti della parabola diversi da O hanno: ●

●

ordinata positiva se a ⬎ 0: diciamo che la parabola volge la concavità verso l’alto; ordinata negativa se a ⬍ 0: diciamo che la parabola volge la concavità verso il basso.

ESEMPIO

x

y

0

0

±2

1

±4

4

±6

9

y 9

4 1

– 6 –4 –2 O 2

4

x

y

0

0

±2

–1

±4

–4

±6

–9

y – 6 – 4 – 2O 1

2

4

䉳 Figura 3 La concavità di una parabola dipende dal segno di a.

6 x

4

9

6x

1 b. Parabola di equazione y = − — x 2; 4 1 a = − — < 0. 4

1 a. Parabola di equazione y = — x 2; 4 1 a = — > 0. 4

Il valore di a e l’apertura della parabola Disegniamo per punti le parabole di equazione: 1 y ⫽ ᎏᎏ x 2, y ⫽ x 2, y ⫽ 3x 2; 3 poi confrontiamo i rispettivi grafici disegnandoli su uno stesso riferimento cartesiano.

x

y

0

0

±1

1 — 3 4 — 3 3

±2 ±3

y 9 1 x2 y=— 3 3 4 1 — — 3 3 -3 -2-1O 1 2 3 x

1 a. Grafico di y = — x2. 3

y 9

y = x2

x

y

0

±0

0

±1

1

±1

3

±2

4

4 ±— 3 5 ±— 3

16 — 3 25 — 3

x

y

0

±3

9

4 1 -3 -2-1O 1 2 3 x

b. Grafico di y = x2.

2 y y = 3x 9 25 — 3 16 — 3 3

-1O1 x 4— 4 5 −— — 3 3 3 c. Grafico di y = 3x2.

Se a è negativo, l’apertura della parabola diminuisce all’aumentare del valore assoluto di a. Possiamo confrontare anche parabole che hanno coefficienti a di segno opposto: l’apertura diminuisce al crescere di 兩 a 兩. Confronta, per esempio, y ⫽ x 2 e y ⫽ ⫺ 4x 2.

䉲 Figura 4 Se a ⬎ 0, l’apertura della parabola diminuisce all’aumentare di a.

y a=3 a=1 1 a=— 3 O

x

d. All’aumentare di a le parabole si «stringono» attorno al proprio asse.

◗ Confronta le parabole di equazioni: 1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x 2, 4 y ⫽ ⫺ x 2, y ⫽ ⫺ 4x 2.

683

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

■ La funzione y ⴝ ax2 ⴙ bx ⴙ c Si può dimostrare che una funzione quadratica del tipo y ⴝ ax 2 ⴙ bx ⴙ c (con a ⫽ 0) ha per grafico una parabola che: b ● ha per asse di simmetria la retta verticale di equazione x ⴝ ⴚ ᎏᎏ ; 2a b b2 ⴚ4ac . ● ha vertice V di coordinate V ⴚ ᎏᎏ ; ⴚ ᎏ ᎏ 4a 2a

冢

冣

ESEMPIO

Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione: Figura 5 Il grafico della parabola di equazione y ⴝ x 2 ⴙ 6x ⴙ 5.

y ⫽ x 2 ⫹ 6x ⫹ 5.

䉴

◗ In alternativa è possibile calcolare l’ordinata del vertice utilizzando la formula b2 ⫺ 4ac y V ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 4a 36 ⫺ 20 y V ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 4. 4

x

L’equazione dell’asse di simmetria b 6 è x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 3. 2a 2⭈1 Inoltre ⫺ 3 è anche l’ascissa del vertice, cioè x V ⫽ ⫺ 3. Sostituendo tale valore nell’equazione della parabola, ricaviamo l’ordinata del vertice y V ⫽ (⫺ 3) 2 ⫹ 6(⫺ 3) ⫹ 5 ⫽ ⫺ 4.

y

y

x = –3

–3 –4 0 5 –6 5 –2 –3 –4 –3

5

–3 –6

–4

–2

O

x

y =x2 +6x +5 –3

Compiliamo una tabella per determinare le coordinate di altri punti della parabola (figura 5).

–4

La concavità e l’apertura della parabola Si può dimostrare che, come per la parabola con vertice nell’origine, anche per la parabola di equazione y ⫽ ax 2 ⫹ bx ⫹ c: ●

y

●

y = ax2 + c V (0; c) O

x

a

la concavità dipende solo dal segno del coefficiente a: se a ⬎ 0 la concavità è rivolta verso l’alto, se a ⬍ 0 verso il basso; l’apertura dipende dal valore assoluto di a: all’aumentare di 兩a 兩 diminuisce l’apertura della parabola, ossia la parabola si «stringe» attorno al proprio asse.

■ Casi particolari della funzione y ⴝ ax 2 ⴙ bx ⴙ c 1. Se b ⴝ 0, l’equazione diventa y ⫽ ax 2 ⫹ c. La parabola ha vertice V (0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y (figura a a lato).

y

y = ax2 + bx O

b2 −— 4a

冢

b −— 2a x V

2. Se c ⴝ 0, l’equazione diventa y ⫽ ax 2 ⫹ bx. b b2 La parabola ha vertice V ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ e passa sempre per l’origine 2a 4a O(0; 0);

冣

infatti le coordinate (0; 0) soddisfano l’equazione (figura b a lato). 3. Se b ⴝ 0 e c ⴝ 0, l’equazione diventa y ⫽ ax 2, parabola già studiata.

b

684

Paragrafo 7. La funzione quadratica e la parabola

TEORIA

ESEMPIO 䉳

y O −1 V

y

1 2 + 3x y = —x 2

x 2 2−1 y = −—x 5

−3

−6

O

x

9 −— 2

V b=0

Figura 6

c=0

■ Gli zeri della funzione quadratica Cerchiamo gli zeri di una funzione quadratica y ⫽ ax 2 ⫹ bx ⫹ c, ossia i valori di x per cui il valore y della funzione è zero. Da un punto di vista grafico ciò equivale a cercare le intersezioni di una parabola con l’asse x, ossia i punti con y ⫽ 0. Sostituendo nell’equazione della parabola, otteniamo l’equazione di secondo grado: ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0. ESEMPIO

Cerchiamo gli zeri della funzione: y ⫽ x 2 ⫹ 6x ⫹ 5. Deve essere:

䉲

Figura 7

◗ Riprendiamo un esempio precedente.

y ⫽ 0, da cui: x 2 ⫹ 6x ⫹ 5 ⫽ 0.

y y = x2 + 6x + 5

L’equazione ha come soluzioni: x 1 ⫽ ⫺ 5, x 2 ⫽ ⫺ 1, che sono gli zeri della funzione.

–5

–1

O

x

Da un punto di vista grafico, diciamo che la parabola di equazione y ⫽ x 2 ⫹ 6x ⫹ 5 ha per punti di intersezione con l’asse x quelli di ascisse ⫺ 5 e ⫺ 1 (figura 7).

685

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

Home Cinema …a quale distanza deve essere posto il proiettore affinché l’immagine che appare sullo schermo abbia la dimensione desiderata? 䊳 Il quesito completo a pag. 671

–

Al cinema il proiettore si trova a una certa altezza in fondo alla sala, in una posizione ottimale per illuminare bene il grande schermo su cui scorrono le immagini dei film. A casa è possibile ricreare un effetto cinematografico avendo a disposizione un ambiente abbastanza ampio, un telo bianco e un apparecchio ottico per la videoproiezione. A seconda della distanza alla quale si colloca il proiettore, le dimensioni dell’immagine riprodotta sullo schermo cambiano. È facile notare che, allontanando lo strumento, l’immagine si ingrandisce, mentre avvicinandolo avviene il contrario. Per semplicità, immaginiamo il proiettore come una sorgente luminosa puntiforme che illumina lo schermo attraverso un piccolo foro circolare e consideriamo il corrispondente cono di luce. Indichiamo con x la distanza del proiettore dallo schermo e con A l’area della superficie circolare che vogliamo illuminare. Considerata l’altezza del cono, se compiamo una qualunque sezione lungo tale direzione per-

pendicolare allo schermo, otteniamo un cerchio. Il suo raggio varia al variare della distanza della sezione dalla sorgente. Assumiamo che il raggio di luce l abbia una pendenza p rispetto all’altezza. Indicato con r il raggio del cerchio illuminato sullo schermo, per la definizione di pendenza di una retta vale: r r ᎏᎏ ⫽ p → x ⫽ ᎏᎏ . x p Eleviamo al quadrato entrambi i membri della relazione: r2 . x2 ⫽ ᎏᎏ p2 A Essendo A ⫽ ␲r 2, si ha r 2 ⫽ ᎏᎏ, ␲ e sostituendo possiamo scrivere: A x2 ⫽ ᎏᎏ . ␲ ⭈ p2 Poiché A e p sono costanti, si tratta di un’equazione di secondo grado pura in x. La sua soluzione positiva indicherà a quale distanza bisogna porre la sorgente di luce dallo schermo per illuminare un cerchio di area A.

Se, per esempio, abbiamo un proiettore con p ⫽ 0,2 e vogliamo illuminare sullo schermo un cerchio di area A ⫽ 2 m2, risulta: 2 50 x2 ⫽ ᎏᎏ → x2 ⫽ ᎏᎏ . 2 ␲ ⭈ 0,2 ␲ Risolvendo, accettiamo solo la soluzione positiva: x⫽

冪ᎏ莦5␲0ᎏ莦 ⯝ 3,99.

In conclusione, dovremmo disporre il proiettore a una distanza di circa 4 m dallo schermo. In generale, ci sono altri fattori da considerare per scegliere la posizione di un proiettore rispetto a uno schermo. Infatti, se da un lato allontanando il proiettore dal piano si ottiene il vantaggio di immagini più grandi, dall’altro si ha lo svantaggio di immagini meno luminose. La quantità di luce emessa è sempre la stessa: se questa si concentra in un’area piccola, lo schermo è più illuminato. Viceversa, man mano che ci si allontana, il fascio luminoso si distribuisce in superfici più ampie e la luce che raggiunge lo schermo è via via meno intensa.

A

ᐉ r sorgente

proiettore

686

x

schermo

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

Le equazioni di secondo grado 1. Le equazioni di secondo grado Un’equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale: ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0, con a ⫽ 0. Sono presenti un termine di secondo grado (ax 2), uno di primo grado (bx) e un termine noto (c). Se entrambi i coefficienti b e c sono diversi da 0, l’equazione è completa, altrimenti è spuria se b ⫽ 0 e c ⫽ 0, pura se b ⫽ 0 e c ⫽ 0, monomia se b ⫽ 0 e c ⫽ 0. ESEMPIO

4x 2 ⫹ 3x ⫺ 5 ⫽ 0 è un’equazione di secondo grado completa; 2x 2 ⫽ 0 è monomia; 5x 2 ⫺ 3 ⫽ 0 è pura; 7x 2 ⫹ x ⫽ 0 è spuria.

2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado Il discriminante dell’equazione completa ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 è ⌬ ⫽ b 2 ⫺ 4ac. SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE SEGNO DEL DISCRIMINANTE

SOLUZIONI

ESEMPIO

due radici reali e distinte:

x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ⫽ 0

⫺ b ⫹ ⌬  x 1 ⫽ ᎏᎏ 2a ⫺ b ⫺ ⌬  x 2 ⫽ ᎏᎏ 2a

⌬ ⫽ 4 ⫹ 3 ⭈ 4 ⫽ 16 2 ⫹ 16 2 ⫹4 x 1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3 2 2 2 ⫺ 16 2 ⫺4 x 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 1 2 2

⌬⫽0

due radici reali e coincidenti: b x 1 ⫽ x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 2a

⌬⬍0

non esistono soluzioni reali

4x 2 ⫺ 4x ⫹ 1 ⫽ 0 ⌬ ⫽ 16 ⫺ 4 ⭈ 4 ⫽ 0 4 1 x 1 ⫽ x 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 8 2 2x 2 ⫹ 3x ⫹ 3 ⫽ 0 ⌬ ⫽ 9 ⫺ 4 ⭈ 2 ⭈ 3 ⫽ ⫺ 15

⌬⬎0

Se il coefficiente di x, cioè b, è divisibile per 2, per risolvere l’equazione si può applicare la formula ridotta.

冪莦莦

冪莦莦

b ⌬ b ⌬ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⌬ b 2 2 4 2 4 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ac; x 1 ⫽ ᎏᎏ , x 2 ⫽ ᎏᎏ . 4 2 a a

冢 冣

SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE TIPO DI EQUAZIONE

pura (b ⫽ 0, c ⫽ 0)

EQUAZIONE

SOLUZIONI

2

ax ⫹ c ⫽ 0

x1 ⫽

ESEMPIO

冪ᎏ莦⫺莦aᎏ莦c ; x ⫽ ⫺ 冪莦ᎏ⫺莦aᎏ莦c 2

le radici sono reali solo se a e c sono discordi.

6x 2 ⫺ 5 ⫽ 0 5 x 1 ⫽ ᎏᎏ ; x 2 ⫽ ⫺ 6

冪莦莦

冪莦ᎏ65ᎏ莦

687

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

TIPO DI EQUAZIONE

EQUAZIONE 2

spuria (c ⫽ 0, b ⫽ 0)

ax ⫹ bx ⫽ 0

monomia (b ⫽ c ⫽ 0)

ax 2 ⫽ 0

SOLUZIONI

ESEMPIO

b x 1 ⫽ 0; x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ a

4x 2 ⫹ 3x ⫽ 0

x1 ⫽ x2 ⫽ 0

25x 2 ⫽ 0 x1 ⫽ x2 ⫽ 0

3 x 1 ⫽ 0; x2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 4

3. La somma e il prodotto delle radici

5. La scomposizione di un trinomio di secondo grado

Se l’equazione di secondo grado ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 ha come radici reali x 1 e x 2, posti s ⫽ x 1 ⫹ x 2 e p ⫽ x 1 ⭈ x 2 , si ha: b c p ⫽ ᎏᎏ . s ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; a a Pertanto l’equazione è equivalente a: x 2 ⫺ sx ⫹ p ⫽ 0.

Dato il trinomio ax 2 ⫹ bx ⫹ c, se l’equazione associata ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 ha soluzioni reali, tali soluzioni (x 1 e x 2) sono anche zeri del trinomio. Il trinomio è: ● scomponibile in fattori se ⌬ ⬎ 0: ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ a(x ⫺ x 1)(x ⫺ x 2), ⌬ ⫽ 0: ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ a(x ⫺ x 1) 2; ● irriducibile in R se ⌬ ⬍ 0.

4. La regola di Cartesio

ESEMPIO

La regola di Cartesio permette di conoscere il segno delle radici senza calcolarle: se l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 ha radici reali, a ogni permanenza nei segni dei coefficienti corrisponde una radice negativa, a ogni variazione una radice positiva.

Il trinomio 4x 2 ⫹ 11x ⫺ 3 ha l’equazione associata 4x 2 ⫹ 11x ⫺ 3 ⫽ 0, con ⌬ ⫽ 169 ⬎ 0. 1 Le radici dell’equazione sono x 1 ⫽ ᎏᎏ e x 2 ⫽ ⫺ 3. 4 Questi valori sono anche gli zeri del trinomio che è scomponibile: 1 4x 2 ⫹ 11x ⫺ 3 ⫽ 4 x ⫺ ᎏᎏ (x ⫹ 3). 4

2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3 ⫽ 0 presenta: ● una variazione ⫹ ⫺ (a ⫽ ⫹ 2, b ⫽ ⫺ 5), quindi una radice è positiva; ● una permanenza ⫺ ⫺ (b ⫽ ⫺ 5, c ⫽ ⫺ 3), quindi una radice è negativa.

冣

冢

ESEMPIO

6. Le equazioni parametriche Un’equazione parametrica è un’equazione letterale in cui si richiede che il valore di una lettera, detta parametro, soddisfi una condizione.

7. La funzione quadratica e la parabola Le funzioni quadratiche hanno per grafici delle parabole. y

y y = ax2

b x = –––– 2a y =ax2 +bx +c

1 O

vertice asse di simmetria

688

x

O

x

(

b ; –––––––– b2 –4ac V –––– 2a 4a

)

Paragrafo 1. Le equazioni di secondo grado

–䊳

1. Le equazioni di secondo grado

ESERCIZI

Teoria a pag. 671

■ Le equazioni di secondo grado 1

Segna con una crocetta le equazioni di secondo grado, dopo averle ridotte in forma normale. x ⫽ x 2;

x 2 ⫽ 1;

2

x 3 ⫽ 0; 3

4x (x ⫹ 1) ⫽ 2x ⫹ 4x ; 2

2

2

2x 2 ⫺ 2 ⫽ 0;

x (x ⫺ 1) ⫺ x ⫽ 0;

2

(x ⫺ 1) ⫽ 0;

3x 2 ⫺ x ⫹ 1 ⫽ 0; 3

2

2x ⫺ 1 ⫽ x (x ⫺ 1);

2

2 x ⫹3 ⫽x .

Sottolinea le equazioni di secondo grado nell’incognita x. kx 2 ⫽ 0;

ax 2 ⫺ 1 ⫽ 0;

a 2x ⫹ b ⫽ 0; 3

x 2 ⫺ 2x ⫽ 0;

a 2x ⫺ 5 ⫽ 0;

x ⫺ a 2 ⫽ 0;

2a 2x ⫺ b 2 ⫽ 0;

x ⫺ a 3 ⫹ b 3 ⫽ 0;

x 2 ⫹ y ⫺ 1 ⫽ 0;

k 2 ⫺ 3y ⫽ 0;

kx 2 ⫺ 3 ⫽ 0.

Sottolinea le equazioni di secondo grado nell’incognita y. 2y ⫺ 3y 2 ⫹ 1 ⫽ 0;

x ⫺ y 2 ⫽ 0;

y 2 ⫺ 2xy ⫹ 2 ⫽ 0;

k ⫺ 3y 2 ⫽ 0.

Nelle seguenti equazioni di secondo grado, scritte in forma normale a meno dell’ordine, individua e scrivi il primo coefficiente a, il secondo coefficiente b e il termine noto c. Per esempio, se l’equazione è 2 ⴚ x ⴙ 3x 2, si ha a ⴝ 3, b ⴝ ⴚ 1, c ⴝ 2. 4

⫺ x 2 ⫹ 2x ⫹ 3 ⫽ 0;

⫺ x 2 ⫹ 1 ⫽ 0;

2x ⫺ 3x 2 ⫽ 0.

5

1 ⫺ 5x 2 ⫽ 0;

2 ⫹ 7x 2 ⫺ 3x ⫽ 0;

4x 2 ⫺ 3x ⫹ 2 ⫽ 0.

6

1 ⫺ ᎏᎏ x 2 ⫺ 2x ⫽ 0; 2

x2 1 ᎏᎏ ⫹ 3x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0; 5 2

5 x ⫺ x 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0. 6 2

7

2x 2 ⫺ 5 ᎏᎏ ⫽ 0; 4

(1 ⫹ 2)x 2 ⫺ x ⫹ 2 ⫽ 0;

x ⫹ 2 ⫹ 3x 2 ⫹ 3 ⫽ 0.

Per ogni terna di coefficienti a, b, c, scrivi l’equazione di secondo grado corrispondente, nell’incognita x, in forma normale. Per esempio, se a ⴝ 3, b ⴝ ⴚ 1, c ⴝ 2, l’equazione è 3x 2 ⴚ x ⴙ 2 ⴝ 0. 8

13 a ⫽ 1 b ⫽ ⫺ 1 c ⫽ ⫺ 2; a ⫽ 2 b ⫽ 3 c ⫽ ⫺ 20; a ⫽ 1 b ⫽ ᎏᎏ c ⫽ 1. 6

9

a ⫽ 5 b ⫽ 0 c ⫽ 9; a ⫽ 2 b ⫽ 0 c ⫽ 0; a ⫽ 2k b ⫽ ⫺ k ⫺ 2 c ⫽ 1.

Trasforma le seguenti equazioni nell’incognita x in forma normale; verifica quindi che siano di secondo grado e scrivine i coefficienti. 10 x (x ⫺ 2) ⫹ x 2 ⫺ 2x ⫹ 6 ⫽ 3x 2.

12 (3 ⫹ 1)(x ⫺ 3) ⫽ x (x ⫺ 3).

11 4x (1 ⫺ x) ⫺ 2(x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫽ 2x.

13 ax (x ⫺ 2a) ⫺ 3a (x 2 ⫺ 2) ⫽ x 2.

689

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

14 Indica, per ognuna delle seguenti equazioni nell’incognita x, se l’equazione è completa, spuria, pura o monomia. a) ax 2 ⫹ a ⫺ 2ax ⫽ 0; b) 9x 2 ⫹ 2x ⫽ 0; c) 2x 2 ⫽ 8;

d) x 2 ⫹ 6x ⫽ ⫺ 2; e) 2x 2 ⫹ 4x ⫹ 3 ⫽ 0; f) kx 2 ⫹ 2x ⫹ k ⫽ 0;

g) ax 2 ⫹ 4ax ⫽ 0; h) (3 ⫹ 1)x 2 ⫽ 0; i) x 2 ⫹ 2x 2 ⫺ 2 ⫽ 0.

■ Le soluzioni 15 Indica quali di questi valori sono soluzioni dell’equazione nell’incognita x scritta a fianco. 1 1 1 ᎏᎏ , 2, ⫺ 1, 0; 4x 2 ⫺ 8x ⫽ 0. a, ⫺ a, 2a, 0; x 2 ⫺ 3ax ⫹ 2a2 ⫽ 0. 2, ⫺ ᎏᎏ , 0, ᎏᎏ ; 9x 2 ⫺ 6x ⫹ 1 ⫽ 0. 2 3 3 COMPLETA le seguenti equazioni che hanno per soluzioni i valori indicati a fianco, inserendo un numero al po-

sto dei puntini. 16 3x 2 ⫹ … x ⫽ 0,

0 e ⫺ 3.

2 17 … x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫽ 0, 3

3 0 e ᎏᎏ . 4 2 ⫾ ᎏᎏ . 3

18 9x 2 ⫹ … x ⫺ 4 ⫽ 0,

19 … x 2 ⫺ 9 ⫽ 0,

3 ⫾ ᎏᎏ . 5

20 5x 2 ⫺ … ⫽ 0,

⫾ 2.

21 … x 2 ⫺ 1 ⫽ 0,

x ⫽ ⫾ 2.

–䊳

2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado ■ Il discriminante

Nel sito:

Teoria a pag. 672

䉴 8 esercizi di recupero

In ognuno degli esercizi seguenti sostituisci nella formula ⌬ ⴝ b2 ⴚ 4ac i valori indicati e calcola il risultato. 22 a ⫽ ⫺ 2;

b ⫽ ⫺ 3;

c ⫽ 0.

[9]

25 a ⫽ 1;

b ⫽ ⫺ 3k;

c ⫽ 2k2.

23 a ⫽ 1;

b ⫽ ⫺ 2;

c ⫽ 3.

[⫺ 10]

26 a ⫽ k;

b ⫽ ⫺ k ⫺ 1;

c ⫽ 1.

24 a ⫽ 2;

b ⫽ 0;

c ⫽ ⫺ 5.

[40]

27 a ⫽ 3 ⫺ 1; b ⫽ 23;

[a 2] [(k ⫺ 1) 2]

c ⫽ 3 ⫹ 1.

[4]

Date le seguenti equazioni, calcola ⌬ e indica se le soluzioni sono reali. 28 3x 2 ⫺ x ⫹ 1 ⫽ 0 29 2x 2 ⫹ 3x ⫺ 2 ⫽ 0

[⫺ 11] [25]

1 30 ᎏᎏ x 2 ⫹ 2x ⫺ 12 ⫽ 0 4 31 4x2 ⫺ 12x ⫹ 9 ⫽ 0

[16] [0]

32 Senza calcolare le soluzioni, indica se le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e distinte, soluzioni reali coincidenti o non ammettono soluzioni reali. 3x 2 ⫺ 2x ⫹ 1 ⫽ 0; 4x 2 ⫹ 25 ⫺ 20x ⫽ 0; x 2 ⫽ 3 ⫺ 2x; 1 ᎏᎏ x 2 ⫹ 9 ⫹ 3x ⫽ 0; 2x 2 ⫹ 3x ⫺ 2 ⫽ 0; 6x 2 ⫹ 2 ⫽ 3x. 2

690

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

ESERCIZI

33 COMPLETA la seguente tabella. EQUAZIONE 2

2x ⫹ 3x ⫺ 1 ⫽ 0

a

b

c

⌬

…

…

…

…

2

⫺2

1

…

…

3

…

5

…

1

…

17

…

…

…

…

2

…x …x…⫽0 2

x …x…⫽0 2

…x …x⫹4⫽0 2

x ⫹ 16 ⫽ 0

■ Le equazioni numeriche intere

Nel sito:

䉴 9 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

34 Risolviamo le seguenti equazioni: a) 10x 2 ⫺ 2 ⫽ x;

b) 49x 2 ⫹ 126x ⫹ 81 ⫽ 0;

a) 10x 2 ⫺ 2 ⫽ x Scriviamo l’equazione in forma normale: 10x 2 ⫺ x ⫺ 2 ⫽ 0 Calcoliamo il discriminante ⌬ ⫽ b 2 ⫺ 4ac: ⌬ ⫽ (⫺ 1) 2 ⫺ 4 ⭈ 10 ⭈ (⫺ 2) ⫽ 1 ⫹ 80 ⫽ 81. Poiché ⌬ ⬎ 0, l’equazione ha due soluzioni reali distinte. Usiamo la formula risolutiva: ⫺ b ⫾ ⌬  x ⫽ ᎏᎏ : 2a

1⫹9 10 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 0 2 0 ⫺ (⫺ 1) ⫾ 81  x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 ⭈ (10) 1⫺9 ⫺8 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 20 20 Le due soluzioni distinte sono: 10 1 ⫺8 2 x 1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ e x 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 20 2 20 5 b) 49x 2 ⫹ 126x ⫹ 81 ⫽ 0 L’equazione è già in forma normale. 3 ⫾ 9⫹ 2 3 35 TEST Mediante la formula x ⫽ ᎏᎏ, quale delle seguenti equazioni risolvi? 4 A

2x 2 ⫹ 3x ⫹ 4 ⫽ 0.

B

x 2 ⫺ 3x ⫹ 32 ⫽ 0.

C

4x 2 ⫺ 3x ⫺ 2 ⫽ 0.

D

2x 2 ⫺ 3x ⫺ 16 ⫽ 0.

E

2x 2 ⫺ 3x ⫺ 4 ⫽ 0.

c) x 2 ⫺ 2x ⫹ 2 ⫽ 0. Calcoliamo: ⌬ ⫽ (126) 2 ⫺ 4 ⭈ 49 ⭈ 81 ⫽ 15 876 ⫺ 15 876 ⫽ 0. Poiché ⌬ ⴝ 0, l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti. b Calcoliamo le soluzioni con la formula x ⫽ ⫺ ᎏᎏ : 2a 63 9 ⫺ 126 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ 49 7 2 ⭈ (49) Le soluzioni coincidenti sono: 9 x 1 ⫽ x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 7 c) x 2 ⫺ 2x ⫹ 2 ⫽ 0 Scriviamo i coefficienti: a ⫽ 1;

b ⫽ ⫺ 2;

c ⫽ 2.

Calcoliamo il discriminante: ⌬ ⫽ (⫺ 2) 2 ⫺ 4 ⭈ (1) ⭈ (2) ⫽ ⫺ 4. Poiché ⌬ ⬍ 0, l’equazione non ha radici reali. Risolvi le seguenti equazioni. 36 6x 2 ⫹ 13x ⫹ 7 ⫽ 0; 4x 2 ⫺ 8x ⫹ 3 ⫽ 0.

37 x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ⫽ 0; 9x 2 ⫺ 12x ⫹ 4 ⫽ 0.

冤⫺ 1, ⫺ ᎏ6ᎏ ; ᎏ2ᎏ , ᎏ2ᎏ冥 7

1

3

冤⫺ 1, 3; ᎏ3ᎏ doppia冥 2

691

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

38 x 2 ⫹ 3x ⫺ 10 ⫽ 0;

12x 2 ⫹ x ⫺ 6 ⫽ 0.

39 2x 2 ⫺ 3x ⫹ 20 ⫽ 0;

6x 2 ⫹ 13x ⫹ 8 ⫽ 0.

40 x 2 ⫺ 4x ⫺ 32 ⫽ 0; 41 x 2 ⫹ 3x ⫺ 4 ⫽ 0;

冤⫺ 5, 2; ⫺ ᎏ4ᎏ , ᎏ3ᎏ冥 3

[impossibile; impossibile]

冤⫺ 4, 8; ⫺ ᎏ3ᎏ , ⫺ ᎏ3ᎏ冥 5 冤⫺ 4, 1; ᎏ6ᎏ doppia冥

2 x 2 ⫹ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0. 9 5 25 x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0. 3 36

42 x 2 ⫺ 3x ⫹ 2 ⫽ 0;

x 2 ⫺ 9x ⫹ 33 ⫽ 0.

43 x 2 ⫺ 2x ⫺ 4 ⫽ 0;

x 2 ⫺ 43x ⫺ 36 ⫽ 0.

44 2x 2 ⫺ 22x ⫹ 1 ⫽ 0;

3x 2 ⫺ 3x ⫹ 3 ⫽ 0.

45 21x 2 ⫺ 10x ⫹ 1 ⫽ 0;

x 2 ⫺ 6x ⫺ 16 ⫽ 0.

46 18x 2 ⫺ 21x ⫺ 4 ⫽ 0;

2x 2 ⫺ 13x ⫺ 7 ⫽ 0.

47 3x 2 ⫽ 5 ⫹ 14x;

4x (3x ⫹ 1) ⫽ 5.

48 x (2x ⫹ 13) ⫽ 24;

x 2 ⫽ 4(x ⫹ 3).

2

2

1

[1, 2; impossibile] [⫺ 2, 22; ⫺ 23, 63]  2

冤ᎏ2ᎏ doppia; impossibile冥 1 1 冤ᎏ7ᎏ , ᎏ3ᎏ ; ⫺2, 8冥 1 4 1 冤⫺ ᎏ6ᎏ , ᎏ3ᎏ ; ⫺ ᎏ2ᎏ , 7冥 1 5 1 冤⫺ ᎏ3ᎏ , 5; ⫺ ᎏ6ᎏ , ᎏ2ᎏ冥 3 冤⫺8, ᎏ2ᎏ ; ⫺2, 6冥

49 ASSOCIA a ogni equazione le sue soluzioni. 1. x2 ⫺ x ⫺ 12 ⫽ 0 A. 3; ⫺ 4. B. 4; 4. 2. x 2 ⫹ x ⫺ 12 ⫽ 0 C. ⫺3; 4. 3. ⫺x 2 ⫺ 4x ⫹ 12 ⫽ 0 D. 2; ⫺6. 4. x 2 ⫺ 8x ⫹ 16 ⫽ 0

La formula ridotta ESERCIZIO GUIDA

50 Risolviamo l’equazione: x 2 ⫹ 6x ⫺ 7 ⫽ 0. Scriviamo i coefficienti: a ⫽ 1, b ⫽ 6, c ⫽ ⫺ 7. Poiché b è pari, possiamo utilizzare la formula ridotta: b ⌬ ⫺ ᎏᎏ ⫾ ᎏᎏ 2 4 x ⫽ ᎏᎏ : a b 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3. 2 2 ⌬ b 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ac ⫽ 3 2 ⫺ (1) ⭈ (⫺ 7) ⫽ 9 ⫹ 7 ⫽ 16. 2 4

冪莦莦

冢 冣

692

⌬ Poiché ᎏᎏ ⬎ 0, l’equazione ha due soluzioni reali distinte. 4 Calcoliamo le due soluzioni con la formula ridotta: ⫺ 3 ⫾ 16  x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1

⫺3⫹4⫽⫹1 ⫺3⫺4⫽⫺7

Le soluzioni sono x 1 ⫽ 1 e x 2 ⫽ ⫺ 7.

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado, applicando la formula ridotta. 51 x 2 ⫹ 8x ⫺ 9 ⫽ 0

[⫺ 9; 1]

52 10y 2 ⫹ 8y ⫹ 5 ⫽ 0

[impossibile]

53 x 2 ⫺ 10x ⫺ 75 ⫽ 0

[⫺ 5; 15]

54 3y 2 ⫺ 2y ⫹ 4 ⫽ 0

[impossibile]

冤

冤 冤

56 9 ⫹ 16x 2 ⫹ 24x ⫽ 0 57 3x 2 ⫹ 23x ⫺ 3 ⫽ 0 58 x 2 ⫹ 42x ⫹ 8 ⫽ 0

冥 冥 冥

1 13 ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ 2 2 3 ⫺ ᎏᎏ doppia 4  3 ⫺ 3; ᎏᎏ 3

55 24t ⫹ 13 ⫺ 4t 2 ⫽ 0

[⫺ 22 doppia]

59 x(x ⫺ 2) ⫽ 15

[⫺ 3; 5]

冤⫺ ᎏ13ᎏ ; 1冥

1 60 x 2 ⫽ ᎏᎏ (2x ⫹ 1) 3 61 x(10 ⫺ x) ⫽ 21

[7; 3]

冤ᎏ13ᎏ ; ᎏ15ᎏ冥

62 15x 2 ⫺ 8x ⫹ 1 ⫽ 0 63 TEST Sull’equazione 3x 2 ⫹ 14x ⫹ 8 ⫽ 0, puoi affermare che: A B C D

E

è equivalente all’equazione 8x 2 ⫹ 14x ⫹ 3 ⫽ 0. il discriminante è uguale a 10. non è possibile applicare la formula ridotta. ha lo stesso discriminante dell’equazione 8x 2 ⫹ 14x ⫹ 3 ⫽ 0. 2 l’insieme delle soluzioni è S ⫽ ᎏᎏ , 4 . 3

冦

冧

Equazioni il cui discriminante è riconducibile a un quadrato di binomio ESERCIZIO GUIDA

64 Risolviamo l’equazione: 3x 2 ⫺ 4 3  x ⫹ 2x ⫹ 3 ⫺ 2 3  ⫽ 0. Riduciamo in forma normale: 3x 2 ⫺ (4 3 ⫺ 2)x ⫹ 3 ⫺ 2 3 ⫽ 0 3x 2 ⫺ 2(2 3 ⫺ 1)x ⫹ 3 ⫺ 2 3 ⫽ 0. Scriviamo i coefficienti: a ⫽ 3;

b ⫽ ⫺ 2 (2 3 ⫺ 1);

c ⫽ 3 ⫺ 2 3.

Poiché b è divisibile per 2, possiamo applicare la formula ridotta, ponendo: b t ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ (2 3 ⫺ 1). 2 ⌬ Calcoliamo ᎏᎏ: 4 ⌬ ᎏᎏ ⫽ [⫺ (2 3 ⫺ 1)]2 ⫺ 3 ⭈ (3 ⫺ 2 3) ⫽ 12 ⫹ 1 ⫺ 4 3 ⫺ 9 ⫹ 6 3 ⫽ 4 ⫹ 2 3. 4 Possiamo considerare 2 3 come doppio prodotto: 2 3 ⫽ 2 ⭈ (1 ⭈ 3). Allora 4 ⫹ 2 3 può derivare dal quadrato di 1 ⫹ 3. Proviamo: ⌬ (1 ⫹ 3)2 ⫽ 1 ⫹ 2 3 ⫹ 3 ⫽ 4 ⫹ 2 3, pertanto ᎏᎏ ⫽ (1 ⫹ 3)2 ⬎ 0. 4

693

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Calcoliamo le soluzioni dell’equazione di partenza con la formula ridotta: 2 3 ⫺ 1 ⫹ 1 ⫹ 3 3 3 ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3 3 3 2 3 ⫺ 1 ⫾  (1 ⫹  3 )2 ᎏᎏᎏ x⫽ ⫽ 3 2 3 ⫺ 1 ⫺ 1 ⫺ 3 3 ⫺ 2 ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 3

Le soluzioni sono: 3 ⫺ 2 x 1 ⫽ 3 ; x 2 ⫽ ᎏᎏ. 3 Risolvi le seguenti equazioni. 65 x 2 ⫹ 2x ⫺ 22 ⫺ 2 ⫽ 0

[⫺ 2 ⫺ 2; 2]

66 2x 2 ⫺ 4x ⫺ 1 ⫹ 22 ⫽ 0

冤ᎏ2ᎏ; ᎏ2ᎏ冥

 2 4 ⫺ 2

67 x 2 ⫺ x ⫽ 3 ⭈ (x ⫺ 1)

68 x 2 ⫺ 23x ⫺ 2 ⫺ 26 ⫽ 0 [⫺ 2; 23 ⫹ 2] 69 x(x ⫺ 2) ⫽ 43(2 ⫺ x)

[⫺ 43; 2]

[1; 3]

Le equazioni pure ESERCIZIO GUIDA

70 Risolviamo le seguenti equazioni: a) 2x 2 ⫺ 1 ⫽ 0;

b) x 2 ⫹ 1 ⫽ 0.

a) a ⫽ 2, c ⫽ ⫺ 1: i coefficienti sono discordi, pertanto l’equazione ha due soluzioni reali opposte. Ricaviamo x 2:

1 2x 2 ⫺ 1 ⫽ 0 → 2x 2 ⫽ 1 → x 2 ⫽ ᎏᎏ . 2 Estraiamo la radice quadrata: 1 1 2 x ⫽ ⫾ ᎏᎏ ⫽ ⫾ ᎏᎏ ⫽ ⫾ ᎏᎏ . 2 2 2

2 2 Le soluzioni sono: x 1 ⫽ ᎏᎏ , x 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 2 2 b) a ⫽ 1, c ⫽ 1: i coefficienti sono concordi, pertanto l’equazione non ha radici reali. Infatti:

冪莦莦

x 2 ⫹ 1 ⫽ 0 → x 2 ⫽ ⫺ 1. Non esiste un numero reale che, elevato al quadrato, dia un numero negativo.

Risolvi le seguenti equazioni. 71 3x 2 ⫺ 2 ⫽ 0;

⫺ 6x 2 ⫹ 216 ⫽ 0;

5x 2 ⫹ 125 ⫽ 0.

72 3x 2 ⫹ 1 ⫽ 0;

⫺ 5x 2 ⫺ 5 ⫽ 0;

2x 2 ⫹ 3 ⫺ 5 ⫽ 0.

73 1 ⫺ x 2 ⫽ 0;

2 ⫺ x 2 ⫽ 0;

4 ⫹ 3x 2 ⫽ 0.

74 ⫺ 3x 2 ⫽ ⫺ 12;

⫺ 4x 2 ⫽ 36;

16x 2 ⫽ 1.

75 4 ⫺x 2 ⫽ 0;

1 ᎏᎏ x 2 ⫺ 18 ⫽ 0; 2

25 ⫽ 9x 2.

694

 6

冤⫾ ᎏ3ᎏ ; ⫾ 6; impossibile冥 [impossibile; impossibile; ⫾ 1] [⫾ 1; ⫾ 2; impossibile]

冤⫾ 2; impossibile; ⫾ ᎏ14ᎏ冥 冤⫾ 2; ⫾ 6; ⫾ ᎏ53ᎏ冥

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

76 2x 2 ⫹ 1 ⫽ 0

[impossibile] 4

77 2x 2 ⫺ 2 ⫽ 0

[⫾  2]

冤⫾ 冪ᎏ莦2ᎏ莦冥 4

79 3x 2 ⫺ 3 ⫽ 0

[⫾ 3]

80 (x ⫹ 4) 2 ⫹ 1 ⫽ 8x

[impossibile]

冢x ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⫺ x (2x ⫺ 1) ⫽ 0 1

1

4

78 4x 2 ⫺ 2 2 ⫽ 0

81

ESERCIZI

冤⫾ ᎏ2ᎏ冥 冤⫾ ᎏ13ᎏ冥 1

2

82 18x 2 ⫺ 2 ⫽ 0 83 3x 2 ⫹ 8 ⫺ 5 2 ⫽ 0

[impossibile]

84 Quanto vale il ⌬ delle equazioni 2x 2 ⫺ 7 ⫽ 0 e x 2 ⫹ 9 ⫽ 0? In generale, il discriminante di un’equazione pura [56, ⫺36; no…] può essere nullo? 85 5(x 2 ⫺ 1) ⫹ 1 ⫽ x 2

[⫾ 1]

3 5⫺x (2x ⫺ 1)5 x (x ⫹ 1) 86 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 12 6 4

[impossibile]

87 11x ⫹ (x ⫺ 2) 2 ⫹ (2x ⫹ 1)(x ⫺ 3) ⫽ (x ⫹ 1) 2 ⫺ 14

[impossibile]

Le equazioni spurie ESERCIZIO GUIDA

88 Risolviamo la seguente equazione: 4(x 2 ⫹ 1) ⫹ 4(x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫽ 7x. Riduciamo in forma normale: 4(x 2 ⫹ 1) ⫹ 4(x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫽ 7x 4x 2 ⫹ 4 ⫹ 4(x 2 ⫺ 1) ⫺ 7x ⫽ 0 4x 2 ⫺ 7x ⫹ 4x 2 ⫺ 4 ⫹ 4 ⫽ 0 8x 2 ⫺ 7x ⫽ 0

Raccogliamo x: x (8x ⫺ 7) ⫽ 0 Per la legge di annullamento del prodotto:

7 8x ⫺ 7 ⫽ 0 → x ⫽ ᎏᎏ 8 7 Le soluzioni dell’equazione sono: x 1 ⫽ 0 e x 2 ⫽ ᎏᎏ . 8 x ⫽0

oppure

Risolvi le seguenti equazioni. 89 4x 2 ⫺ 8x ⫽ 0;

⫺ 2x 2 ⫹ x ⫽ 0;

6x 2 ⫹ 12x ⫽ 0.

90 9x 2 ⫺ 12x ⫽ 0;

⫺ 3x 2 ⫹ 6x ⫽ 0;

7x ⫺ 5x 2 ⫽ 0.

91 2x(x ⫺ 11) ⫽ 0;

4x 2 ⫽ 25x;

6x 2 ⫺ 4x ⫽ 0.

冤0, 2; 0, ᎏ2ᎏ; 0, ⫺ 2冥 4 7 冤0, ᎏ3ᎏ ; 0, 2; 0, ᎏ5ᎏ冥 25 2 冤0, 11; 0, ᎏ4ᎏ ; 0, ᎏ3ᎏ冥 1

695

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

冤0, 6; 0, ᎏ5ᎏ ; 0, ᎏ3ᎏ冥

1 92 ᎏᎏ x 2 ⫺ 2x ⫽ 0; 3

1 1 ᎏᎏ x 2 ⫽ ᎏᎏ x; 4 5

8 2x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫽ 0. 3

1 93 ᎏᎏ x(3x ⫺ 2) ⫽ 0; 2

3 4 ᎏᎏ x 2 ⫽ ᎏᎏ x; 4 3

1 ᎏᎏ x ⫽ x2. 2

冤0, ᎏ3ᎏ ; 0, ᎏ9ᎏ ; 0, ᎏ2ᎏ冥

94 x 2 ⫺ x 8 ⫽ 0;

x(x ⫺ 4) ⫽ 0;

6x ⫽ 2x 2.

[0, 22; 0, 4; 0, 3]

95 x 2 ⫺ 3x ⫹ 2x ⫽ 0 96 2x 2 ⫺ 2x ⫺ 3x ⫽ 0

[0, 3 ⫺ 2] 2 ⫹ 3

冤0, ᎏ2ᎏ冥

4

2

16

99 x 2 ⫺ 22x ⫽ 0

4 1

[0, 22]

冢

1 100 x (x ⫹ 3) ⫹ 1 ⫽ (1 ⫹ x) 2 ⫺ 2x 1 ⫹ ᎏᎏ x 2

冣

[⫺ 3, 0]

97 6x ⫺ 3x 2 ⫹ 3x ⫽ 0

[0, 33]

101 (2x ⫹ 3) 2 ⫽ (x ⫺ 3) 2

[⫺ 6, 0]

98 2x 2 ⫹ x ⫽ 0

冤⫺ ᎏ2ᎏ , 0冥

5 102 ᎏᎏ (2x ⫺ 3)(x ⫹ 1) ⫽ 10x ⫺ 5 3

冤0, ᎏ2ᎏ冥

1

7

Le equazioni monomie Risolvi le seguenti equazioni. 103 9x 2 ⫽ 0;

6x 2 ⫽ 0.

[0 doppia; 0 doppia]

1 104 ᎏᎏ x 2 ⫽ 0; 2

3x 2 5 ⫽ 0.

[0 doppia; 0 doppia]

105 2x 2 ⫽ 0

[0 doppia]

3 x⫹2 3⫺x 106 3x 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ (1 ⫹ x 2) 2 2 2

[0 doppia]

107 (x ⫹ 7) 2 ⫹ (x ⫺ 7) 2 ⫽ 98

[0 doppia]

108 2(x 2 ⫺ 3x) ⫹ 3 ⫽ 3(1 ⫺ 2x)

[0 doppia]

109 (x ⫺ 3)(x ⫹ 3) ⫽ 3x(x ⫺ 1) ⫹ 3x ⫺ 9

[0 doppia]

110 2(x 2 ⫺ 6x) ⫹ 5 ⫽ ⫺ 2x ⫹ 5(1 ⫺ 2x)

[0 doppia]

111 3x ⫹ (4x ⫺ 1) 2 ⫽ (x ⫺ 4)2 ⫺ 3(5 ⫺ x)

[0 doppia]

Nel sito:

696

䉴 teoria e 53 esercizi su I numeri complessi

RIEPILOGO Le equazioni numeriche intere

RIEPILOGO

ESERCIZI

LE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE 113 TEST Esamina le tre equazioni:

112 VERO O FALSO? a) L’equazione 4x 2 ⫽ 7x è pura.

V

F

b) Se c ⬍ 0, l’equazione 3x 2 ⫹ c ⫽ 0 ha due soluzione reali e opposte.

V

F

c) Per risolvere l’equazione 5x 2 ⫺ 2x ⫽ 0 si può applicare la legge di annullamento del prodotto.

V

F

d) Le equazioni 2x 2 ⫽ 18 e 2(x ⫺ 3)(x ⫹ 3) ⫽ 0 sono equivalenti.

V

F

e) Le soluzioni dell’equazione ⫺4x 2 ⫽ 0 sono ⫹ 2 e ⫺ 2.

V

F

1. 2x 2 ⫹ 5x ⫽ 0;

2. 7x 2 ⫽ 0;

3. 3 x 2 ⫽ 0.

Quali di esse sono fra loro equivalenti? A

Tutte e tre.

B

1 e 2.

C

1 e 3.

D

2 e 3.

E

Nessuna è equivalente alle altre.

114 CACCIA ALL’ERRORE Trova gli errori commessi nel risolvere le seguenti equazioni. a) x2 ⫹ 16 ⫽ 0 → x2 ⫽ ⫺ 16 → x ⫽ ⫾ 4. b) 4x(x ⫺ 1) ⫽ 0 → x ⫽ ⫺ 4, x ⫽ 1. c) (x ⫺ 6)(x ⫺ 3) ⫽ 1 → x ⫺ 6 ⫽ 1 ∨ x ⫺ 3 ⫽ 1 → x ⫽ 7 ∨ x ⫽ 4. d) ⫺9x2 ⫽ 0 → x2 ⫽ 9 → x ⫽ ⫾ 3. Risolvi le seguenti equazioni.

116 4x 2 ⫺ 4x ⫹ 1 ⫽ 0 2

117 x ⫺ x ⫹ 2 ⫽ 0 2

冤⫺ ᎏ2ᎏ; 3冥

124 x 2 ⫺ 32x ⫹ 4 ⫽ 0

[2; 22]

冥

125 x 2 ⫹ 3 3 x ⫹ 6 ⫽ 0

[⫺ 2 3; ⫺ 3]

126 2x 2 ⫺ 3 2x ⫺ 4 ⫽ 0

冤⫺ ᎏ2ᎏ; 2 2冥

1

115 2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3 ⫽ 0

冤

1 ᎏᎏ doppia 2

[impossibile]

118 x ⫹ 5x ⫹ 6 ⫽ 0

[⫺ 3; ⫺ 2]

119 x 2 ⫹ 5x ⫹ 7 ⫽ 0

[impossibile]

120 x ⫺ 5 2 x ⫹ 12 ⫽ 0 2

127 x 2 ⫽ 4(x ⫺ 1)

[2 doppia]

5(x  5 ⫺ 1) 128 x 2 ⫽ ᎏᎏ 4

 5

冤ᎏ4ᎏ; 5冥

129 6x 2 ⫺ 6x ⫽ 2(1 ⫺ 2x) ⫺ 2 ⫺ x(2 ⫺ x)

[0; 0]

130 2(3x ⫺ 1) 2 ⫺ 3x(5x ⫹ 1) ⫽ 2 ⫺ 3x

[0; 4]

[22; 3 2]

2 1 121 x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0 3 12

冤

122 20x 2 ⫺ 41x ⫹ 20 ⫽ 0

冤ᎏ5ᎏ ; ᎏ4ᎏ冥

8 16 123 x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0 5 25

 2

冥

1 1 ᎏᎏ ; ᎏᎏ 6 2 4

5

冤⫺ ᎏ5ᎏ doppia冥 4

2x 1 131 ᎏᎏ ⫺ x 2 ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0 3 3 132 (5x ⫺ 1)x ⫹ (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫽ 0 133 x(x ⫹ 2) ⫹ 9 ⫽ 8x ⫹ 1

 3

冤ᎏ3ᎏ doppia冥 1 1 冤⫺ ᎏ3ᎏ; ᎏ2ᎏ冥 [2; 4]

697

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

134 (2x ⫹ 1) 2 ⫺ x 2 ⫺ (x ⫺ 1) 2 ⫽ (2x ⫹ 3)(2x ⫺ 3) ⫹ 1

[⫺ 1; 4]

135 (2 ⫺ 3x)(x ⫺ 2) ⫹ 3(x ⫺ 1) 2 ⫽ (x ⫺ 1)(x ⫹ 3)

[⫾ 2] 5 ⫾ 3 5

x2 ⫺ 3x ⫹ 7 136 (1 ⫺ x) 2 ⫽ 2x ⫹ ᎏᎏ 2 2 1 1 x 137 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ x(x ⫹ 2) ⫺ 5x ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ (x ⫺ 5) 3 2 6 3

冤ᎏ2ᎏ冥 [5 ⫾ 2 6]

138 (2 ⫺ 3x) 2 ⫺ (2x ⫹ 1) 2 ⫽ 4(2 ⫺ 4x)

[⫾ 1]

冤0; ⫺ ᎏ2ᎏ冥 25 冤0; ᎏ3ᎏ冥

1 3⫺x 139 x ⫺ (2x ⫺ 1) 2 ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ (3x ⫺ 1)(x ⫺ 2) 2 2

3

140 (3x ⫺ 4) 2 ⫺ 3x 2 ⫽ 2(8 ⫹ 13x) 141 x(x ⫹ 2 2) ⫹ 2 3x(1 ⫹ 2) ⫽ 2x(3 ⫹ 2) 142

[0; ⫺ 2 6] 2  2

冢x ⫹ ᎏ3ᎏ冣冢x ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ 2x (x ⫺ 1) ⫽ 2 冢x ⫺ ᎏ3ᎏ冣 2

2

冤⫾ ᎏ3ᎏ冥

2

143 x(1 ⫺ 5x) ⫹ 3 ⫽ [5 ⫺ (2 ⫹ 5x)]x ⫺ 2(x ⫹ 1) ⫺ (x 2 ⫺ 6)

[⫾ 1]

144 2(x 2 ⫹ 2) ⫺ 2(x ⫹ 3)(x ⫺ 3) ⫺ 4 ⫽ 7x 2 ⫺ (3x ⫹ 4) 2 ⫹ 34

[0; ⫺ 12]

145 2x (x ⫺ 5) ⫺ (2x ⫺ 3)(x ⫹ 1) ⫽ x (2 ⫺ x) ⫺ 15

[2; 9]

146 (x ⫹ 3)(3x ⫺ 1) ⫺ 2[2x 2 ⫺ x(x ⫺ 2)] ⫹ 6 ⫽ 0

[⫺3; ⫺1]

冤⫺ ᎏ15ᎏ2 ; 4冥

147 x(x ⫺ 1)(x ⫺ 2) ⫺ (x ⫹ 2)(x2 ⫺ 4) ⫹ 2(x ⫹ 20) ⫽ 0 148 (x ⫺ 3)2 ⫹ 6(x ⫹ 2) ⫽ (2x ⫺ 1)(x ⫹ 4) ⫹ 37

[⫺3; ⫺4]

149 (x ⫺ 4)(x ⫹ 8) ⫹ 20 ⫽ 0

[⫺ 6; 2]

150 x(4 ⫺ x) ⫺ (5 ⫺ x)(x ⫹ 5) ⫽ x(x ⫹ 1)

[impossibile]

冤1; ᎏ176ᎏ冥

151 (x ⫹ 3)(2x ⫺ 1) ⫺ 3[2x 2 ⫹ x(x ⫺ 6)] ⫽ 13 152 (x ⫹ 2)3 ⫺ (x ⫺ 2)3 ⫽ 1 ⫹ (4x ⫹ 1)(4x ⫺ 1) x x  3 3 153 ᎏᎏ (2x ⫹ 3) ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0 2 2 4 x ⫺1 2 1 154 x ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ (3 ⫺ x) ⫹ ᎏᎏ 2 3 3

冢

冣

[⫾ 2]  3

冤⫺ ᎏᎏ2 doppia冥 7 冤2; ⫺ ᎏ3ᎏ冥

155 (x ⫺ 6)(x ⫹ 1) ⫺ (2 ⫺ x)(x ⫹ 3) ⫽ 36

[⫺ 4; 6] BRAVI SI DIVENTA

2x ⫺ 3 6 156 ᎏᎏ ⫹ 2x ⫽ (2x ⫺ 1)(1 ⫹ 3x) ⫺ ᎏᎏ  3  3

698

䉴 E38

RIEPILOGO Le equazioni numeriche intere

(3x ⫺ 1)(3x ⫹ 2) ⫺ 6x ⫹ 10 157 ᎏᎏ⫺ (x ⫺ 4)2 ⫹ 3(1 ⫹ x) ⫽ ᎏᎏ 2 2 2(3x ⫹ 10) 3x ⫹ 1 158 ᎏᎏ ⫺ x 2 ⫽ ᎏᎏ 6 3 6 ⫺ 3x x2 ⫹ 2 4 ⫺ x2 159 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ x ⫽ ᎏᎏ 15 5 3 (x ⫺ 2)(x ⫹ 2) 11 4 ⫺ 2x 160 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ 3 9 9 161 (x ⫺ 1)3 ⫽ x2(x ⫺ 1) ⫺ (x ⫹ 3)(x ⫺ 2) ⫺ 19 162 (x ⫹ 1)[2(3x ⫺ 1) ⫺ (4 ⫹ 5x)] ⫽ 2(x ⫺ 1)(x ⫹ 2) ⫹ 4

164 (x ⫺ 2)(x2 ⫹ 2x ⫹ 4) ⫹ (x ⫺ 5)2 ⫽ x2(x ⫺ 1)

1 166 (3x ⫹ 1)(x ⫹ 3) ⫽ ᎏᎏ (1 ⫺ x)(7x ⫹ 9) 3 1 1 167 2 x ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ 1) ⫽ 3(x ⫹ 1) x ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 2 3 2x x2 ⫹ x (x ⫹ 2)(x ⫹ 1) 168 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 15 6 10 2 5 3 ⫺ 5x 1 169 2(x ⫺ 1) ⫺ ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ ⫺ 2 ᎏᎏ x ⫺ 1 4 4 2 2x ⫺ 3 x⫺5 3⫺x x⫹4 55 ⫺ 3x 170 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫽ x 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 4 2 2 2 8 2 6⫹x x⫺3 (x ⫺ 2)2 x 1 171 ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 2 4 12 3 6 1 x 1 172 ᎏᎏ(5x ⫺ 3)(2 ⫹ x) ⫺ x ᎏᎏ ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ(x ⫹ 3)(2 ⫺ 3x) 3 3 2

冢

冢

冢

冣

冢 冣

冣冢 冣

冢

冣

冣

173 3x (x ⫺ 2) ⫺ 2x (2x ⫺ 3) ⫽ (3 ⫺ x)(x ⫺ 1) ⫺ 6 ⫺ (2x ⫺ 3) 2 ⫹ 18

冢

38

[⫾ 3 ] [0; 4] [impossibile] [⫺2; 6] [⫺6; ⫺1]

[impossibile]

冤⫺3; ᎏ157ᎏ冥

165 (x2 ⫺ x)(x2 ⫹ x) ⫽ (x2 ⫺ 3)2 ⫹ 2x ⫹ 42

冣

冤⫺ ᎏ7ᎏ ; 1冥

冤2; ᎏ136ᎏ冥

1 1 2 163 ᎏᎏ (x ⫺ 4)2 ⫹ ᎏᎏ (x ⫺ 6) ⫽ ᎏᎏ 2 3 3

冢

ESERCIZI

冣

(2 ⫺ x)(3x ⫺ 1) x 2x ⫹ 1 2 2(3 ⫺ x)x 1 5x ⫺ 13 174 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ 6 4 2 3 3 12 (x ⫹ 1)3 ⫺ (x ⫺ 2)3 x2 ⫺ 4 x ⫹ 7 ⫺ 3x2 175 (x ⫺ 2)(x ⫹ 3) ⫹ ᎏᎏ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 4 2 4 3 176 (x ⫺ 1)3 ⫹ ᎏᎏ [x(x ⫹ 6) ⫹ 1] ⫽ (2 ⫹ x)3 2 x ⫹ 2 x2 ⫺ 2 ⫹ 2  2 ⫺x 177 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 2 2 178 (3x ⫺ 1) 2 ⫺ 3(6x ⫹ 1) ⫽ x(3 ⫹ x) ⫺ 3(1 ⫹ 6x) 179 (4 ⫺ 3x) 2 ⫺ (x ⫹ 2)(2x ⫹ 3) ⫺ 6 ⫽ 1 ⫺ x (1 ⫹ x) ⫺ 18x ⫺ 12x

[⫺ 2; 0] [⫺ 5; 0] [⫾ 3 ]  6

冤⫾ ᎏ2ᎏ冥 [0; 11] [⫺2; 12]

冤⫺3; ᎏ1107ᎏ冥 [0; 4] [⫾ 1]

冤0; ᎏ2ᎏ冥 1

[impossibile] [0; 2 ⫹ 1] 3 3 ⫾ 19 

冤ᎏ4ᎏ冥 [impossibile]

699

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

■ Le equazioni numeriche fratte

Nel sito:

䉴 8 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

x 2x 3x ⫺ 2 . 180 Risolviamo l’equazione ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ 3 ⫺ ᎏᎏ x ⫹1 1 ⫺x 2 x⫺1 Scriviamo le condizioni di esistenza: x ⫺ 1 ⫽ 0 → x ⫽ 1; x ⫹ 1 ⫽ 0 → x ⫽ ⫺ 1;

1 ⫺ x 2 ⫽ 0 → (1 ⫺ x)(1 ⫹ x) ⫽ 0 → → x ⫽ 1 ∧ x ⫽ ⫺ 1. C.E.: x ⫽ 1 ∧ x ⫽ ⫺ 1.

Riduciamo i due membri allo stesso denominatore: (3x ⫺ 2)(x ⫹ 1) x (x ⫺ 1) ⫺ 3(x 2 ⫺ 1) ⫹ 2x ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏᎏ . (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore comune e riduciamo a forma normale: (3x ⫺ 2)(x ⫹ 1) ⫽ x (x ⫺ 1) ⫺ 3(x 2 ⫺ 1) ⫹ 2x 3x 2 ⫹ 3x ⫺ 2x ⫺ 2 ⫽ x 2 ⫺ x ⫺ 3x 2 ⫹ 3 ⫹ 2x 5x 2 ⫺ 5 ⫽ 0. Risolviamo l’equazione di secondo grado incompleta: x 2 ⫺ 1 ⫽ 0 → x 2 ⫽ 1 → x ⫽ ⫾ 1 ⫽ ⫾ 1. Le soluzioni sono x 1 ⫽ ⫺ 1 e x 2 ⫽ ⫹ 1. Esse non sono compatibili con le condizioni di esistenza; pertanto l’equazione data è impossibile. Risolvi le seguenti equazioni. 1 4 [1 doppia] 181 ᎏᎏ ⫹ 1 ⫽ ᎏᎏ x x⫹1 3 3x [2; ⫺ 1] 182 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x x⫹2 3x ⫹ 1 2 4 ᎏ 183 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x x⫹1 x2 ⫹ x [⫺ 1 ⫺ 2 ; ⫺1 ⫹ 2] 1 1⫹x 184 ᎏᎏ ⫺ 3 ⫽ ᎏᎏ x x⫺2 x x⫹2 4 185 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5 x⫺2 5 1 1 1 186 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x 10 x⫹5

x 4 21 ⫺ x ᎏ 194 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺3 x⫹3 x2 ⫺ 9 x⫹3 x⫺2 4 ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 195 ᎏ 2 x ⫺ 2x ⫹ 1 x⫺1 (x ⫺ 1)2

冤ᎏ12ᎏ ; 1冥 [⫺ 3; 6] [⫺10; 5]

2 1 3 6 [5; ⫺2] 187 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x 2 x x⫺1 1 1 ⫺ 1; ᎏᎏ 188 ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽ 3x x 3 1 [1 doppia] 189 ᎏᎏ ⫽ 2 ⫺ x x x  3 [impossibile] 190 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x⫺1 x (x ⫹ 1)2 9(x ⫹ 1) [3; ⫺7] 191 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 2 ⫺ x x⫺1 4 x2 ⫺ x ⫹ 1 1 [0; 1 non accettabile] 192 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x⫺1 x⫺1 4x2 2 5 ⫺ 4x3 1 1 ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ᎏ 193 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫹2 x⫺2 x2 ⫺ 4 2 4

冤

冤

700

冥

[⫾ 3 non accettabili: impossibile] [3; 1 non accettabile] BRAVI SI DIVENTA

3 1 2 1 ᎏ 196 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ 2 2x ⫹ 4 1 ⫺ 2x x ⫹ 2x x

冥

䉴 E39

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

x 3 15 ⫹ 7x ᎏ 197 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺5 2x 2x2 ⫺ 10x 3 x 2 12 ⫺ 11x ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 198 ᎏ 2 x ⫺9 x⫺3 3⫹x 9 ⫺ x2 9 x⫺2 1 ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 199 ᎏ 2 x ⫹6x 2x ⫹ 12 2x 2 2 2 1 200 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3(x ⫹ 2) x⫹2 3x 3 x 4 8 ᎏ 201 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺2 x⫹2 x2 ⫺ 4 x 1 x⫹1 202 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2x ⫹ 2 3x ⫹ 3 2 2x 3 8x2 ⫹ 3 ᎏ ⫽ ᎏᎏ 203 ᎏᎏ ⫺ ᎏ 2 2x ⫺ 1 2x ⫹ 1 4x ⫺ 1 x 1 1 x ⫽ᎏ ᎏ 204 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x x⫺1 x ⫺ x2 x2 ⫺ x 2 ⫺ 2 ⫺ 2x 205 2x ⫹ 2 ⫽ ᎏᎏ 2x ⫹ 2 3x ⫺ 1 2x ⫺ 3 13 206 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2x ⫹ 8 4(x ⫹ 1) 40 3⫹x x2 3x ⫺ 2(x ⫹ 3) 207 ᎏᎏ (x ⫺ 2) ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x⫹1 x⫺3 3⫺x 7x 2 3 5x(x ⫺ 1) ⫹ 6 ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 208 ᎏᎏ ⫹ ᎏ x⫹1 x2 ⫺ 1 2x ⫺ 2 2x2 ⫺ 2 2 x⫹7 12x ⫹ 1 58x ⫺ 14x2 ⫹ 67 ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 209 ᎏ 2 x ⫺4 x⫺2 4x ⫹ 8 4x2 ⫺ 16

■ Le equazioni letterali

ESERCIZI

[impossibile] [impossibile] [⫺3; 4] [2; 2] [0; 2 non accettabile] [0; ⫺ 2] [0; ⫺ 1] [⫾ 2] 1 ⫺ 2

⫺ 2 ⫺ 2

冤ᎏ2ᎏ ; ᎏ2ᎏ冥 16 ᎏ 冤 9ᎏ ; 1冥 [⫺ 3; 2]

冤ᎏ3ᎏ doppia冥 1 1 冤⫺ ᎏ2ᎏ ; ᎏ3ᎏ冥 1

Nel sito:

䉴 13 esercizi di recupero

210 È data l’equazione 3x 2 ⫺ (5a ⫺ 1) x ⫹ a 2 ⫺ 4 ⫽ 0 nell’incognita x. Per quali valori di a l’equazione è: a) pura? b) monomia? c) equivalente all’equazione x 2 ⫺ 3x ⫽ 0?

冤a) a ⫽ ᎏ51ᎏ ; b) ∃/ a 僆 R; c) a ⫽ 2冥

211 COMPLETA la seguente tabella, dove A, B, C sono i coefficienti della forma normale Ax 2 ⫹ Bx ⫹ C ⫽ 0. L’incognita è x. EQUAZIONE

(a ⫺ b)x 2 ⫺ 3b ⫹ (a ⫹ b)x ⫽ 0

A

B

C

a⫺b

a⫹b

⫺ 3b

ax 2 ⫺ 2a3 ⫺ 2a2 b ⫽ 0 2ax ⫺ 1 ⫹ ax2 ⫽ 0 bx2 ⫹ ab ⫺ 2ax ⫽ 0 (a2 ⫺ b2)x2 ⫺ x(a ⫺ b) ⫽ 0 5k ⫹ 3k2 x 2 ⫺ 4x(2k ⫺ 1) ⫽ 0 k2 ⫺ 2x(k ⫺ 2) ⫹ 2x 2 k ⫺ 4 ⫽ 0

701

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

212 Risolviamo le equazioni a coefficienti letterali, nell’incognita x ed eseguiamo la discussione delle soluzioni al variare della lettera in R. a) 2x2 ⫺ ax ⫺ 3a2 ⫽ 0;

b) kx2 ⫺ 2x(k ⫹ 1) ⫹ 4 ⫽ 0.

a) Scriviamo i coefficienti, indicandoli con lettere maiuscole per non fare confusione: A ⫽ 2; B ⫽ ⫺ a; C ⫽ ⫺ 3a 2. Calcoliamo ⌬ ⫽ B 2 ⫺ 4AC : ⌬ ⫽ (⫺ a)2 ⫺ 4 ⭈ 2 ⭈ (⫺ 3a 2) ⫽ a 2 ⫹ 24a 2 ⫽ 25a 2. Poiché ⌬ ⱖ 0, l’equazione ha due soluzioni reali, che calcoliamo con la formula risolutiva: a ⫾  a 252 a ⫾ 5a x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2⭈2 4

6a 3 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ a 4 2 4a ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ a 4

3 Le soluzioni dell’equazione sono x 1 ⫽ ᎏᎏ a e x 2 ⫽ ⫺ a. Esse sono distinte se a ⫽ 0, mentre sono coinci2 denti se a ⫽ 0 (x 1 ⫽ x 2 ⫽ 0). Infatti, per a ⫽ 0, il discriminante si annulla. b) Poiché il coefficiente di x 2 è letterale, esaminiamo due casi. ●

Se k ⫽ 0, sostituendo nell’equazione otteniamo: 0 ⭈ x 2 ⫺ 2x(0 ⫹ 1) ⫹ 4 ⫽ 0,

⫺ 2x ⫹ 4 ⫽ 0,

x ⫽ 2.

⌬ Se k ⫽ 0, calcoliamo il ᎏᎏ : 4 ⌬ 2 ᎏᎏ ⫽ (k ⫹ 1) ⫺ 4k ⫽ k 2 ⫹ 2k ⫹ 1 ⫺ 4k ⫽ k 2 ⫺ 2k ⫹ 1 ⫽ (k ⫺ 1)2. 4 ⌬ ⌬ Discutiamo i due casi: ᎏᎏ ⫽ 0, ᎏᎏ ⫽ 0. 4 4 ⌬ – Se ᎏᎏ ⫽ 0, ossia k ⫽1, l’equazione ha due soluzioni distinte: 4 k⫹1⫹k⫺1 ᎏᎏ ⫽ 2 k ⫹ 1 ⫾ (k ⫺ 1) k x ⫽ ᎏᎏ ⫽ k⫹1⫺k⫹1 2 k ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. k k ⌬ – Se ᎏᎏ ⫽ 0, ossia k ⫽1, l’equazione ha due soluzioni coincidenti. 4 k⫹1 1⫹1 x1 ⫽ x2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2. k 1 In sintesi: ● Se k ⫽ 0, l’equazione ha una soluzione x ⫽ 2. ● Se k ⫽ 1, l’equazione ha due soluzioni coincidenti x1 ⫽ x2 ⫽ 2. ●

●

2 Se k ⫽ 0 ∧ k ⫽ 1, l’equazione ha due soluzioni distinte: x1 ⫽ 2 e x2 ⫽ ᎏᎏ. k

213 Considera l’equazione nell’incognita x, ax2 ⫹ (1 ⫺ a)x ⫽ 1. Discuti e trova le soluzioni quando a assume i seguenti valori: a ⫽ 0, a ⫽ ⫺ 1, a ⫽ 3 ⫺ 1, a ⫽ 2, a ⫽ 2. 1 1  2 1; 1 doppia; ⫺ ᎏᎏ (3 ⫹ 1), 1; ⫺ ᎏᎏ , 1; ⫺ ᎏᎏ , 1 2 2 2

冤

702

冥

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado

ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x eseguendo la discussione quando è necessaria. 214 x 2 ⫹ xb ⫺ 6b 2 ⫽ 0

[⫺ 3b; 2b]

215 x 2 ⫺ kx ⫺ 20k 2 ⫽ 0

[⫺ 4k; 5k]

216 x 2 ⫹ kx ⫹ k 2 ⫽ 0 217 5a 2x 2 ⫺ 20a 3x ⫽ 0

[k ⫽ 0 : 0 doppia; k ⫽ 0: impossibile] [a ⫽ 0 : indet.; a ⫽ 0 : 0; 4a]

218 2x 2 ⫺ 11ax ⫹ 14a 2 ⫽ 0

冤2a; ᎏ2ᎏ a冥

219 5mx 2 ⫽ 0 (m ⫽ 0)

[0 doppia]

7

220 x 2 ⫺ 2ax ⫺ 2x ⫽ 0

[0; 2(a ⫹ 1)]

221 x 2 ⫺ 10ax ⫹ 25a 2 ⫽ 0

[5a doppia]

222 2kx 2 ⫹ kx ⫺ x ⫽ 0, (k ⫽ 0) 223 ⫺ 4x 2 ⫺ 12ax ⫺ 9a 2 ⫽ 0 224 x 2 ⫺ 12kx ⫹ 36k 2 ⫽ 0

冤0; ᎏ2ᎏ k 冥 3 冤⫺ ᎏ2ᎏ a doppia冥 1⫺k

[6k doppia]

225 x 2 ⫹ 3k 2 ⫽ 0

[impossibile]

2 a 226 ᎏᎏ a 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫺ x 2 ⫽ 0 9 3

冤⫺ ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ a冥

227 x 2 ⫺ 2kx ⫺ 3k 2 ⫽ 0

2

a

[⫺ k; 3k]

228 4ax 2 ⫺ a 3 ⫽ 0 (a ⫽ 0)

冤⫾ ᎏ2ᎏ冥

229 (a ⫺ 2)x 2 ⫽ 0 (a ⫽ 2)

[0 doppia]

2

b 5bx 230 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ x 2 ⫽ 0 6 6 231 2a2x 2 ⫽ 0 (a ⫽ 0) 232 2x 2 ⫺ 4bx ⫹ 3b2 ⫽ 0 233 3x 2 ⫺ 8ax ⫹ 4a 2 ⫽ 0 234 36x 2 ⫹ 6ax ⫽ 0 235 2a 2 ⫺ ax ⫺ x 2 ⫽ 0 236 x 2 ⫹ 8a 2x ⫹ 15a 4 ⫽ 0

a

冤ᎏ3ᎏ ; ᎏ2ᎏ冥 b

b

[0 doppia] [b ⫽ 0, impossibile; b ⫽ 0, 0 doppia]

冤ᎏ3ᎏ a; 2a冥 a 冤0; ⫺ ᎏ6ᎏ冥 2

[a; ⫺ 2a] [⫺ 3a 2; ⫺ 5a 2]

703

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

237 a 2x 2 ⫺ 3ax ⫹ 2 ⫽ 0 238 5k 2x 2 ⫺ 125k 3 ⫽ 0 239 x 2 ⫹ 3ax ⫺ 1 ⫺ 3a ⫽ 0 240 6b 2x 2 ⫺ 3bx ⫽ 0 241 4ax 2 ⫽ 0 242 k 2x 2 ⫺ kx ⫺ 6 ⫽ 0 243 bx 2 ⫹ 9 ⫺ x 2 ⫺ 9b ⫽ 0 244 ax 2 ⫺ (a ⫺ 6)x ⫺ 6 ⫽ 0 (a ⫽ 0) 245 a 2x 2 ⫺ 2ax ⫹ a 2x ⫹ 1 ⫺ a ⫽ 0 246 9x 2 ⫹ a 2 ⫽ 0 247 3ax 2 ⫺ 12a 3x ⫽ 0 248 3x 2 ⫹ 5ax ⫽ 0 249 bx 2 ⫺ b 3 ⫽ 0 250 5bx 2 ⫹ 2bx ⫹ b ⫽ 0 251 2x 2 ⫹ 2kx ⫹ 5(k ⫹ x) ⫽ 0 252 2x 2 ⫹ 4ax ⫹ 3x ⫹ 6a ⫽ 0 253 x 2 ⫺ 6a(x ⫺ 4) ⫹ 8(2 ⫺ x) ⫹ 9a 2 ⫽ 0 254 a 2x(x ⫺ 1) ⫽ 9x ⫺ 9 (a ⫽ 0) 255 ax(x ⫹ 1) ⫺ x(x ⫹ a) ⫽ 4a ⫺ 4

冤a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: ᎏaᎏ, ᎏaᎏ冥 1 2

[k ⫽ 0: indet.; k ⬎ 0: ⫾ 5k; k ⬍ 0: impossibile] 2 2 [a ⫽ ⫺ ᎏᎏ: 1, ⫺ (3a ⫹ 1); a ⫽ ⫺ ᎏᎏ: 1 doppia] 3 3 1 b ⫽ 0: indet.; b ⫽ 0: 0, ᎏᎏ 2b

冤

冥

[a ⫽ 0: indet.; a ⫽ 0: 0 doppia]

冤k ⫽ 0: impossibile; k ⫽ 0: ⫺ ᎏkᎏ, ᎏkᎏ冥 2 3

[b ⫽ 1: indet.; b ⫽ 1: ⫾ 3]

冤1; ⫺ ᎏaᎏ冥 1 1⫺a 冤a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: ᎏaᎏ, ᎏaᎏ冥 6

[a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: 0 doppia] [a ⫽ 0: indet.; a ⫽ 0: 0; 4a 2]

冤0; ⫺ ᎏ3ᎏ冥 5a

[b ⫽ 0: indet.; b ⫽ 0: ⫾ b] [b ⫽ 0: indet.; b ⫽0: impossibile]

冤⫺ k; ⫺ ᎏ2ᎏ冥 3 冤⫺ 2a; ⫺ ᎏ2ᎏ冥 5

[3a ⫹ 4 doppia]

冤1; ᎏaᎏ冥 9

2

[a ⫽ 1 : indet.; a ⫽ 1 : ⫾ 2]

256 4(x 2 ⫺ 2) ⫽ a ⫺ x 2(a ⫹ 4)

[a ⫽ ⫺ 8 : indet.; a ⫽ ⫺ 8 : ⫾ 1]

257 ax (x ⫹ a) ⫽ ⫺ 2x (x ⫺ 2)

[a ⫽ ⫺ 2 : indet.; a ⫽ ⫺ 2 : 0; ⫺ a ⫹ 2]

258 x(x ⫺ 1) ⫺ a(x ⫺ a) ⫽ a(x ⫺ 1) ⫹ 2

704

[a ⫹ 2; a ⫺ 1]

Paragrafo 2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado BRAVI SI DIVENTA

ESERCIZI

䉴 E40

2

x 2 ( a ⫺ 2)x ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 259 ᎏ a a⫺4 a 2 ⫺ 4a 260 ax 2 ⫹ (a ⫺ 1)(a ⫹ 1)(x ⫹ 2) ⫽ x(a 2 ⫺ 1) ⫺ 2 ⫹ 2a 2 (a ⫽ 0)

[0 doppia]

(x ⫺ 7a)x ax x (4a ⫹ x) 261 ᎏᎏ ⫺ 5a 2 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 6 6 3

[⫾ a 10 ]

262 (x ⫺ 3a)(x ⫹ 3a) ⫺ (x 2 ⫹ 4a 2) ⫹ ax ⫽ x 2 ⫺ 13a 2

[0; a]

1 8 263 ᎏᎏ x 2 ⫺ 2a 2 ⫽ ᎏᎏ ax ⫺ 10a 2 ⫹ (2a ⫺ x)(4a ⫹ x) 3 3

冤0; ᎏ2ᎏ冥

264 x 2(a ⫹ 1) ⫹ 2a 2 ⫽ ax(x ⫹ 3)

[a; 2a]

265 x 2 ⫺ (2b ⫹ 1)x ⫹ b 2 ⫹ b ⫽ 0

[b; b ⫹ 1]

a

冤

冥 冥

3 3 1 a ⫽ ⫺ ᎏᎏ : 0; a ⫽ ⫺ ᎏᎏ : 0; ᎏᎏ 2 2 2a ⫹ 3 3 3 3⫺a a ⫽ 0: 3; a ⫽ ᎏᎏ : 3 doppia; a ⫽ 0 ∧ a ⫽ ᎏᎏ : 3; ᎏᎏ 4 4 a

266 (2a ⫹ 3)x 2 ⫺ x ⫽ 0

冤

267 2ax 2 ⫺ 2(2a ⫹ 3)x ⫺ (6a ⫺ 18) ⫽ 0 268 x 2 ⫺ 6kx ⫹ 9k 2 ⫽ 0

[3k doppia]

冤a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0: indet.; a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0: 0; a ⫽ 0: 0; ᎏaᎏ冥 a ᎏ 冤a ⫽ b ⫽ 0; indet.; a ⫽ b ⫽ 0: 0; a ⫽ b: 0; ᎏ b ⫺a 冥 a ⫹b

269 ax 2 ⫽ (a ⫹ b )x 270 ax (x ⫹ 1) ⫽ bx 2

冢

冣

2 3 1 ⫹2⫽0 (a ⫽ 0) 271 x 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ 3 x ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ a a a2 2x ⫹ 1 x ⫺ 2a 1 272 x 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ x 2x ⫺ ᎏᎏ 3 a a x2 x ⫽ x ⫺ ᎏᎏ 273 ᎏᎏ 2 a a x 2 x2 ⫺ ax ⫺ 12 x⫺2 ᎏ ⫹ ᎏᎏ 274 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ 3⫺a a⫺3 a⫹3 a2 ⫺ 9 6bx ⫹ b2 3b2 275 2x ⫺ b ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ 2b x x 2 (x ⫹ k)k k 276 ᎏᎏ ⫺ 2k ⫽ ᎏᎏ (k ⫺ 2x) x x (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫹ x ⫺ 2a 1 1 1 277 ᎏᎏᎏ ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2ax 2a x 2ax x (x ⫺ 2) ⫹ b (2 ⫺ x) 1 ⫽ ᎏᎏ 278 ᎏᎏᎏ 2b 2 ⫺ 2x 2 b⫹x x 2 k (k ⫺ 2) 279 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ k x kx

冢

冣

冤⫺ ᎏaᎏ ; ᎏaᎏ冥 5 冤a ⫽ 0: ⫺ ᎏ3ᎏ , 1冥 2a ⫺ 1

1⫺a

[a ⫽ 0: 0; a 2 ⫺ a] [a ⫽ ⫾ 3: 0; ⫺ a]

冤ᎏ2ᎏ ; ⫺ 2b, b ⫽ 0冥 b

[k ⫽ 0: indet.; k ⫽ 0: impossibile] [0 non accettabile; 2a] [b ⫽ 0: impossibile; b ⫽ 0: 0, b non accettabile] [k ⫽ 0: ⫾ k]

705

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

2x (2a ⫺ a) 2a ax x 2 ⫹ 22 ⫽ ᎏᎏ 280 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ a ᎏᎏ 2 x2 ⫺ 2 x ⫺ 2 x ⫹ 2 2⫺x

[indeterminata se x ⫽ ⫾ 2]

2x x ⫺ 3a 2x2 ⫺ 5ax ⫹ 4a2 ᎏ 281 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 2 ⫺ ᎏ 2x ⫺ a 2x ⫹ a a2 ⫺ 4x2

[impossibile]

x⫹b 3b 4b2 ⫺ bx ⫺ 11x2 ᎏ 282 ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺b 4(x ⫹ b) 4b2 ⫺ 4x2

[⫺ b non accettabile; ⫺ 3b, b ⫽ 0]

3x (x ⫺ k 2) 2x k (4 ⫺ x) ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 283 ᎏᎏ kx ⫺ k 3 k x⫺k2

[k ⫽ ⫾ 2: ⫾ 4 non accettabile; k ⫽ 0 ∧ k ⫽ ⫾ 2: ⫾ 2k]

a2 2x a ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 284 ᎏ 2 2 a ⫺x x⫺a x⫹a

冤a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: 0; ⫺ ᎏ2ᎏ a冥 3

3b x 4bx ⫺ 3b 2 285 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x⫹b x⫺b x2 ⫺ b2

[b ⫽ 0 impossibile; b ⫽ 0, 0 doppia]

1 x x⫺1 ᎏ 286 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x x⫺k x2 ⫺ kx

[k ⬎ 1: ⫾ k⫺ ] 1

x⫹b x ⫺ 2b 2 bx ⫹ 11b2 ᎏ 287 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏ x⫺b x⫹b 3x2 ⫺ 3b2 3

[b ⫽ 0: impossibile; b ⫽ 0: 0; b non accettabile]

冤k ⫽ ᎏ14ᎏ : indet.; k ⬎ ᎏ14ᎏ : imposs.; k ⬍ ᎏ14ᎏ : ⫾ 1⫺k4冥

288 16k 2 ⫺ 8k ⫹ 4kx 2 ⫹ (1 ⫺ x 2 ) ⫽ 0

冤k ⫽ 0: 0; k ⫽ 0 ∧ k ⫽ ⫾ 1: k, ᎏkᎏ; k ⫽ 1: 1 doppia; k ⫽ ⫺ 1: ⫺ 1 doppia冥 1

289 kx 2 ⫺ x(1 ⫹ k 2) ⫹ k ⫽ 0

冤a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0: indet.; a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0: 0 doppia; a ⫽ 0: 0; ⫺ ᎏ2ᎏa 冥 5b

290 2ax 2 ⫹ 5bx ⫽ 0

1

1

1

冤k ⫽ ᎏ4ᎏ : indet.; k ⬎ ᎏ4ᎏ : ⫾ 4k⫺1 ; k ⬍ ᎏ4ᎏ : impossibile冥

291 ⫺ 16k 2 ⫹ 8k ⫹ 4kx 2 ⫺ 1 ⫺ x 2 ⫽ 0 x2 2x ⫽ x 2 ⫺ ᎏᎏ 292 ᎏᎏ 2 a a2

ᎏ 冤a ⫽ 1 ∨ a ⫽ ⫺ 1: 0; a ⫽ 0 ∧ a ⫽ ⫾ 1: 0; ᎏ a ⫺1冥 2

2

k (1 ⫺ kx) 2x k ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 293 ᎏ k2x2 ⫺ 1 kx ⫹ 1 kx ⫺ 1

1 ⫺ k2 1 ⫺ k2 k ⫽ 0: 0; k ⫽ ⫾ 2: 0, ᎏᎏ non accettabile; k ⫽ 0 ∧ k ⫽ ⫾ 2: 0, ᎏᎏ k k

冤

冥

3 1 x⫹m 8mx ⫺ x2 ⫹ 11m2 ᎏ 294 2m ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺m x ⫹ 2m x ⫹ 2m x2 ⫺ m2

冢

295

冣

ᎏ ⫹ ᎏᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏᎏ冣 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 冢ᎏ x⫹a a⫺x x⫹a 10

706

a⫺x

x⫹a

a⫺x

13

[impossibile]

冤a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: ⫺ ᎏ3ᎏ a, 5a冥 2

Paragrafo 3. La somma e il prodotto delle radici

3. La somma e il prodotto delle radici

–䊳

ESERCIZI

Teoria a pag. 677

296 VERO O FALSO? a) La somma delle radici dell’equazione 2x2 ⫺ 4x ⫺ 1 ⫽ 0 è 2.

V

F

V

F

V

F

d) Se nell’equazione ax ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 la somma delle radici è uguale al loro prodotto, allora b ⫽ c.

V

F

e) In un’equazione pura la somma e il prodotto delle soluzioni valgono sempre 0.

V

F

2

b) Il prodotto delle radici dell’equazione 3x ⫺ x ⫺ 2 ⫽ 0 è 2. 2

c) Nell’equazione x ⫺ 6x ⫽ 0 la somma e il prodotto delle radici valgono rispettivamente 6 e 0. 2

ESERCIZIO GUIDA

297 Senza risolvere le equazioni, calcoliamo per ognuna la somma e il prodotto delle radici, specificando se le radici sono reali oppure non lo sono: a) 3x 2 ⫺ 2x ⫺ 8 ⫽ 0; b) x 2 ⫺ x ⫹ 1 ⫽ 0. b c a) Applichiamo le due formule s ⫽ ⫺ ᎏᎏ e p ⫽ ᎏᎏ, tenendo presente che a ⫽ 3, b ⫽ ⫺ 2, c ⫽ ⫺ 8: a a ⫺2 2 ⫺8 8 s ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ ; p ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 3 3 3 Controlliamo se le radici sono reali, ossia se ⌬ ⱖ 0. In questo caso, poiché b è un numero pari, calcoliamo ⌬ b 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ac: 4 2 ⌬ ᎏᎏ ⫽ (⫹ 1)2 ⫺ 3 ⭈ (⫺ 8) ⫽ 1 ⫹ 24 ⬎ 0. 4 2 8 Le radici sono reali; la loro somma è ᎏᎏ, il loro prodotto è ⫺ ᎏᎏ. 3 3 ⫺1 1 b) s ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫹ 1, p ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1, ⌬ ⫽ (⫺ 1)2 ⫺ 4 ⫽ ⫺ 3 ⬍ 0. 1 1 Le radici non sono reali; la loro somma e il loro prodotto sono entrambi uguali a 1.

冢 冣

Senza risolvere le equazioni seguenti nell’incognita x, calcola per ognuna la somma e il prodotto delle radici, specificando se le radici sono reali. 298 x 2 ⫹ 3x ⫹ 2 ⫽ 0;

1 ⫺ 3x ⫺ 4x 2 ⫽ 0.

299 x 2 ⫹ 2x ⫺ 15 ⫽ 0;

7x 2 ⫺ 10x ⫹ 3 ⫽ 0.

300 ⫺ x 2 ⫹ 5x ⫺ 6 ⫽ 0;

11 2x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 3 ⫽ 0. 2

301 4x 2 ⫹ 8x ⫹ 3 ⫽ 0;

⫺ 2x 2 ⫺ 7x ⫺ 5 ⫽ 0.

302 3x 2 ⫺ 5x ⫹ 3 ⫽ 0;

7x 2 ⫹ 48x ⫺ 7 ⫽ 0.

303 x 2 ⫹ 3ax ⫹ 2a 2 ⫽ 0

冤s ⫽ ⫺ 3; p ⫽ 2; s ⫽ ⫺ ᎏ4ᎏ ; p ⫽ ⫺ ᎏ4ᎏ冥 10 3 冤s ⫽ ⫺ 2; p ⫽ ⫺ 15; s ⫽ ⫹ ᎏ7ᎏ ; p ⫽ ᎏ7ᎏ冥 11 3 冤s ⫽ ⫹ 5; p ⫽ 6; s ⫽ ᎏ4ᎏ ; p ⫽ ᎏ2ᎏ冥 3 7 5 冤s ⫽ ⫺ 2; p ⫽ ᎏ4ᎏ ; s ⫽ ⫺ ᎏ2ᎏ ; p ⫽ ᎏ2ᎏ冥 5 48 冤s ⫽ ᎏ3ᎏ; p ⫽ 1, radici non reali; s ⫽ ⫺ ᎏ7ᎏ ; p ⫽ ⫺ 1冥 3

1

[s ⫽ ⫺3a; p ⫽ 2a 2]

707

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

3k k2 s ⫽ ᎏᎏ ; p ⫽ ᎏᎏ , radici non reali se k ⫽ 0 8 8 7 ⫹ 2 1 s ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; p ⫽ ⫺ ᎏᎏ 12 12

冤

304 8x 2 ⫺ 3kx ⫹ k 2 ⫽ 0

冤

305 12x 2 ⫹ 7x ⫽ 1 ⫺ 2 x

冥 冥

306 ASSOCIA a ogni equazione la somma s e il prodotto p delle soluzioni. 1. x2 ⫺ 6x ⫹ 4 ⫽ 0 A. s ⫽ 6, p ⫽ 2. 1 2. 2x 2 ⫺ 12x ⫹ 1 ⫽ 0 B. s ⫽ 6, p ⫽ ᎏᎏ. 2 3. x 2 ⫹ 6x ⫹ 4 ⫽ 0 C. s ⫽ 6, p ⫽ 4. 1 4. ᎏᎏ x 2 ⫺ 3x ⫹ 1 ⫽ 0 D. s ⫽ ⫺ 6, p ⫽ 4. 2 Determina quanto richiesto, note le seguenti informazioni per l’equazione ax 2 ⴙ bx ⴙ c ⴝ 0. 307 c ⫽ 4

e

x 1 ⭈ x 2 ⫽ 20.

a ⫽?

308 a ⫽ 3

e

x 1 ⭈ x 2 ⫽ 12.

c ⫽?

x 1 ⫹ x 2 ⫽ 21.

b ⫽?

1 309 a ⫽ ⫺ ᎏᎏ e 3

■ Dalle radici all’equazione ESERCIZIO GUIDA

310 Scriviamo l’equazione di secondo grado in forma normale che ha come radici: 1 x 1 ⫽ ⫺ 2 e x 2 ⫽ ᎏᎏ . 3 Calcoliamo la somma s e il prodotto p delle radici: 1 5 1 2 s ⫽ ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ; p ⫽ ⫺ 2 ⭈ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ. 3 3 3 3 L’equazione di secondo grado avente come somma delle soluzioni s e come prodotto p è x 2 ⫺ sx ⫹ p ⫽ 0; quindi: 5 2 x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0 → 3x 2 ⫹ 5x ⫺ 2 ⫽ 0. 3 3 Per ogni coppia di valori scrivi l’equazione di secondo grado in forma normale che ha questi valori come radici. 311 1; 2.

⫺ 3; ⫺ 1.

2; ⫺ 5.

1; 1.

1 312 3; ⫺ ᎏᎏ . 3

1 ᎏᎏ ; ⫺ 6. 2

3 ᎏᎏ ; ⫺ 1. 2

313 a; 2a.

⫺ a; ⫺ a.

1 314 2; ⫺ ᎏᎏ. 2

2 2 ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ . 3 3 3 1 ᎏᎏ a; ⫺ ᎏᎏ a. 2 5

⫺ 2; ⫺ 3.

708

5; 5.

2; 3. a ⫹ b ; a ⫺ b.

Paragrafo 3. La somma e il prodotto delle radici

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

 e come prodotto p ⫽ 16. 315 Determiniamo i due numeri che hanno come somma s ⫽ 6 2 Scriviamo l’equazione x 2 ⫺ sx ⫹ p ⫽ 0: x 2 ⫺ 6 2 x ⫹ 16 ⫽ 0.

x ⫽ 3 2 ⫾ 2 ⫽

Risolviamo l’equazione (infatti le radici sono i numeri richiesti): ⌬ ᎏᎏ ⫽ (⫺ 3 2)2 ⫺ 1 ⭈ 16 ⫽ 18 ⫺ 16 ⫽ 2 4

3 2 ⫺ 2 ⫽ 2 2 3 2 ⫹ 2 ⫽ 4 2

I numeri richiesti sono 2 2 e 4 2.

Determina, se possibile, due numeri reali, conoscendo la loro somma s e il loro prodotto p. 316 s ⫽ 0,

p ⫽ ⫺ 16.

[⫾ 4]

317 s ⫽ 0,

p ⫽ ⫺ 12.

318 s ⫽ 0,

p ⫽ ⫺ 2a 2.

319 s ⫽ 2,

p ⫽ 0.

[0; 2]

1 320 s ⫽ ᎏᎏ , 3

p ⫽ 0.

冤0; ᎏ3ᎏ冥

321 s ⫽ 6,

p ⫽ 13.

[⫾ 2 3]

322 s ⫽ 2a,

p ⫽ a 2 ⫺ 1.

[⫾ a 2]

323 s ⫽ 1,

2 p ⫽ ᎏᎏ . 9

324 s ⫽ 2a ⫹ 2,

p ⫽ a 2 ⫹ 2a ⫹ 1.

[a ⫹ 1; a ⫹ 1]

325 s ⫽ 1,

p ⫽ 2 ⫺ 2.

[2; 1 ⫺ 2]

1

[impossibile] [a ⫺ 1; a ⫹ 1]

冤ᎏ3ᎏ ; ᎏ3ᎏ冥 1

2

326 Scrivi l’equazione di secondo grado che ha per soluzioni i valori opposti delle soluzioni di 2x 2 ⫺ 5x ⫺ 1 ⫽ 0, senza risolvere questa equazione. Puoi generalizzare il risultato per l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0? Motiva la risposta. [2x 2 ⫹ 5x ⫺ 1 ⫽ 0; sì] 327 Senza risolvere l’equazione 2x 2 ⫺ 3x ⫺ 2 ⫽ 0 scrivi l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono doppie rispetto a quelle dell’equazione data. [x 2 ⫺ 3x ⫺ 4 ⫽ 0]

■ Da una soluzione all’altra ESERCIZIO GUIDA

328 Data l’equazione 2x 2 ⫹ 3x ⫺ 20 ⫽ 0, calcoliamo una radice sapendo che l’altra vale ⫺ 4, senza utilizzare la formula risolutiva. 20 Calcoliamo il prodotto delle radici: p ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 10. 2 Se x 1 ⭈ x 2 ⫽ ⫺ 10 e x 1 ⫽ ⫺ 4, allora: ⫺ 10 5 ⫺ 4 ⭈ x 2 ⫽ ⫺ 10 → x 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . ⫺4 2 5 La radice cercata è ᎏᎏ . 2

709

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Per ognuna delle seguenti equazioni in x è indicata una soluzione: calcola l’altra, senza applicare la formula risolutiva. 329 x 2 ⫹ x ⫺ 6 ⫽ 0;

x ⫽ ⫺ 3.

[2]

333 4 ⫺ 3x ⫺ x 2 ⫽ 0;

x ⫽ ⫺ 4.

330 x 2 ⫺ 8x ⫹ 15 ⫽ 0;

x ⫽ 5.

[3]

331 2x 2 ⫹ 3x ⫹ 1 ⫽ 0;

1 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 2

3 5 334 ⫺ 2x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ ; 4 2

[⫺ 1]

332 x 2 ⫹ 2ax ⫺ 3a 2 ⫽ 0;

x ⫽ ⫺ 3a.

[a]

1 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 2 5 x ⫽ ᎏᎏ . 2 1 x ⫽ ᎏᎏ b . 2

335 16x ⫺ 4x 2 ⫺ 15 ⫽ 0; 336 2x 2 ⫹ bx ⫺ b2 ⫽ 0;

[1]

冤⫺ ᎏ4ᎏ冥 3 冤ᎏ2ᎏ冥 3

[⫺b]

337 COMPLETA la seguente tabella. EQUAZIONE

SOMMA DELLE RADICI

PRODOTTO DELLE RADICI

x1

x2

…

…

…

⫺2

⫺9

…

…

…

…

… 1 ⫺ ᎏᎏ 6 ⫺2

…

…

…

…

…

…

⫺24 1 ᎏᎏ 3 ⫺2

…

…

…

…

…

…

2

x ⫺ 2x ⫺ 35 ⫽ 0 2

3x ⫺ x ⫺ 2 ⫽ 0 …x2 ⫹ x ⫺ 1 ⫽ 0 … …x2 ⫺ 7x ⫹ 2 ⫽ 0

…

…

0

338 VERO O FALSO? a) L’equazione 2x2 ⫺ 3x ⫺ 3 ⫽ 0 ha la somma delle soluzioni uguale al loro prodotto.

V

F

b) Nelle equazioni spurie il prodotto delle soluzioni è sempre uguale a zero.

V

F

c) Se la somma delle soluzioni è zero, un’equazione di secondo grado è pura.

V

F

V

F

2

d) Se la somma delle soluzioni vale 4, nell’equazione ax ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 si ha b ⫽ ⫺ 4.

–䊳

4. La regola di Cartesio Nel sito:

Teoria a pag. 679

䉴 18 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

339 Determiniamo il segno delle radici dell’equazione 7x 2 ⫹ 12x ⫹ 3 ⫽ 0 senza risolverla. Controlliamo se le radici sono reali, calcolando il discriminante. ⌬ Poiché b è pari, calcoliamo ᎏᎏ: 4 ⌬ ᎏᎏ ⫽ 62 ⫺ 3 ⭈ 7 ⫽ 36 ⫺ 21 ⬎ 0. 4

710

La sequenza dei segni è: ⫹

⫹

⫹

permanenza permanenza

Per la regola di Cartesio, si hanno due radici negative. L’equazione 7x 2 ⫹ 12x ⫹ 3 ⫽ 0 ha due soluzioni reali negative.

Paragrafo 5. La scomposizione di un trinomio di secondo grado

ESERCIZI

Determina il segno delle radici di ogni equazione senza risolverla. 340 x 2 ⫺ 12x ⫹ 4 ⫽ 0

346 7x 2 ⫺ x ⫺ 1 ⫽ 0

341 2x 2 ⫺ 2x ⫹ 5 ⫽ 0

347 3x 2 ⫺ 4x ⫹ 1 ⫽ 0

342 3x 2 ⫺ 2x ⫺ 1 ⫽ 0

348 6x 2 ⫺ 3 3 x ⫹ 2 ⫽ 0

343 5x 2 ⫹ 6x ⫺ 1 ⫽ 0

349 2 x 2 ⫺ 6x ⫹ 2 2 ⫽ 0

344 2x 2 ⫹ 3x ⫺ 2 ⫽ 0

350 3 x 2 ⫹ 2x ⫺ 3 ⫽ 0

345 2x 2 ⫺ 3x ⫹ 1 ⫽ 0

351 2x 2 ⫺ 6 2x ⫹ 9 ⫽ 0

5. La scomposizione di un trinomio di secondo grado

–䊳

Teoria a pag. 680

ESERCIZIO GUIDA

352 Scomponiamo in fattori, se è possibile, i seguenti trinomi di secondo grado: a) 3x 2 ⫹ 14x ⫺ 5; b) 4x 2 ⫺ 12ax ⫹ 9a2; c) 2x 2 ⫺ 6x ⫹ 15. Il polinomio di secondo grado ax 2 ⫹ bx ⫹ c è scomponibile in a(x ⫺ x 1)(x ⫺x 2 ), dove x 1 e x 2 sono le eventuali soluzioni reali dell’equazione associata al polinomio, cioè di ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0. a) L’equazione associata a 3x 2 ⫹ 14x ⫺ 5 è: 3x 2 ⫹ 14x ⫺ 5 ⫽ 0. Risolviamo l’equazione; poiché b ⫽ 14 è pari, applichiamo la formula ridotta: ⌬ ᎏᎏ ⫽ 72 ⫺ 3 ⭈ (⫺ 5) ⫽ 49 ⫹ 15 ⫽ 64 ⬎ 0; l’equazione ha due radici reali distinte. 4 ⫺7⫺8 ᎏᎏ ⫽ ⫺ 5 3 ⫺ 7 ⫾ 64  x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3 ⫺7⫹8 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 3 Il trinomio dato si può scomporre così: 1 3x 2 ⫹ 14x ⫺ 5 ⫽ 3(x ⫹ 5) x ⫺ ᎏᎏ ⫽ (x ⫹ 5)(3x ⫺ 1). 3

冢

冣

b) L’equazione associata a 4x 2 ⫺ 12ax ⫹ 9a 2 è: 4x 2 ⫺ 12ax ⫹ 9a 2 ⫽ 0. Risolviamo l’equazione; poiché il secondo coefficiente B ⫽ ⫺ 12a è pari, applichiamo la formula ridotta: ⌬ ᎏᎏ ⫽ (⫺ 6a)2 ⫺ 4 ⭈ 9a 2 ⫽ 36a 2 ⫺ 36a 2 ⫽ 0; l’equazione ha due radici reali coincidenti. 4 6a 3 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ a. 4 2

711

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Nel caso di radici coincidenti, la formula di scomposizione diventa: Ax 2 ⫹ Bx ⫹ C ⫽ A(x ⫺ x 1)(x ⫺ x 1) ⫽ A (x ⫺ x 1)2 Il trinomio dato si può scomporre così: 3 2 2x ⫺ 3a 2 4x 2 ⫺ 12ax ⫹ 9a 2 ⫽ 4 x ⫺ ᎏᎏ a ⫽ 4 ᎏᎏ ⫽ (2x ⫺ 3a)2. 2 2

冢

冣

冣 冢

c) L’equazione associata al trinomio 2x 2 ⫺ 6x ⫹ 15 è: 2x 2 ⫺ 6x ⫹ 15 ⫽ 0. Risolviamo l’equazione: ⌬ ᎏᎏ ⫽ (⫺ 3)2 ⫺ 2 ⭈ 15 ⫽ 9 ⫺ 30 ⫽ ⫺ 21 ⬍ 0. 4 ⌬ Poiché ᎏᎏ ⬍ 0, l’equazione non ha radici reali; pertanto il trinomio dato è irriducibile. 4 Scomponi in fattori, quando è possibile, i seguenti trinomi.

冤冢

冣冥

353 x 2 ⫹ x ⫺ 6

[(x ⫹ 3)(x ⫺ 2)]

4 362 5x 2 ⫹ 4x ⫹ ᎏᎏ 5

354 x 2 ⫹ 6x ⫹ 5

[(x ⫹ 1)(x ⫹ 5)]

363 4a2 ⫺ 4a ⫺ 3

355 2x 2 ⫺ 4x ⫹ 5

[irriducibile in R]

364 x2 ⫺ 42x ⫹ 8

356 x 2 ⫺ ax ⫺ 2a 2

[(x ⫹ a)(x ⫺ 2a)]

365 3b2 ⫺ 5b ⫺ 2

[(b ⫺ 2)(3b ⫹ 1)]

357 4x 2 ⫹ 9k 2

[irriducibile in R]

366 2a2 ⫹ 9a ⫺ 5

[(a ⫹ 5)(2a ⫺ 1)]

358 2x 2 ⫺ 3ax ⫹ a 2

[(x ⫺ a)(2x ⫺ a)]

367 3x2 ⫺ 2x ⫺ 8

[(3x ⫹ 4)(x ⫺ 2)]

359 3x 2 ⫺ 8ax ⫹ 7a 2

[irriducibile in R]

368 9x2 ⫺ 24ax ⫹ 16a2

360 3x ⫺ 2 ⫺ x 2

[⫺ (x ⫺ 1)(x ⫺ 2)]

369 2x2 ⫹ (1 ⫺ 23)x ⫺ 3

361 6x 2 ⫹ x ⫺ 1

[(2x ⫹ 1)(3x ⫺ 1)]

370 ax2 ⫹ (1 ⫺ 2a)x ⫺ 2a

371 VERO O FALSO? Le seguenti affermazioni si riferiscono al trinomio ax 2 ⫹ bx ⫹ c . a) Può essere scomposto in fattori solo se l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 è completa. b) Può essere scomposto in fattori se a ⬎ 0.

712

V

F

V

F

2 5 x ⫹ ᎏᎏ 5

2

[(2a ⫺ 3)(2a ⫹ 1)] [(x ⫺ 22)2]

[(3x ⫺ 4a)2] [(x ⫺ 3)(2x ⫹ 1)] [(x ⫺ 2)(ax ⫹ 1)]

c) Non può essere scomposto in fattori se ⌬ ⬍ 0. d) Può essere scomposto in fattori se ⌬ ⫽ 0. e) Può essere scomposto in fattori se l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 non ammette radici reali.

V

F

V

F

V

F

Paragrafo 5. La scomposizione di un trinomio di secondo grado

ESERCIZI

372 TEST Se le radici dell’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 sono ⫺3 e 2 e a ⫽ 5, qual è la scomposizione in fattori del trinomio ax 2 ⫹ bx ⫹ c ?

C

5(x ⫺ 3)(x ⫹ 2) 1 ᎏᎏ (x ⫹ 3)(x ⫺ 2) 5 5(x ⫹ 3)(x ⫺ 2)

D

5(x ⫺ 5)(x ⫹ 3)(x ⫺ 2)

E

Non si può determinare.

A B

■ La semplificazione di frazioni algebriche ESERCIZIO GUIDA

373 Semplifichiamo la seguente frazione algebrica: 3x ⫺ 9 ᎏ ᎏ. 2x2 ⫺ 5x ⫺ 3 Scomponiamo il trinomio al denominatore, risolvendo l’equazione corrispondente: 2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3 ⫽ 0

1 ⫺ ᎏᎏ 2

5 ⫾ 25  ⫹4 2 5⫾7 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 4 4

冢

3

冣

1 2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3 ⫽ 2 x ⫹ ᎏᎏ (x ⫺ 3) ⫽ (2x ⫹ 1) (x ⫺ 3). 2 Le condizioni di esistenza della frazione algebrica sono: 1 C.E.: x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ∧ x ⫽ 3. 2 Semplifichiamo la frazione algebrica: 3(x ⫺ 3) 3 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . (2x ⫹ 1) (x ⫺ 3) 2x ⫹ 1

Semplifica le seguenti frazioni algebriche, esplicitando le condizioni di esistenza. 6x2 ⫹ 2x 374 ᎏᎏ 2 ⫹ 6x 24x ⫺ 18 ᎏ 375 ᎏ 8x2 ⫺ 6x

冥

8x2 ⫺ 2a2 ᎏ 379 ᎏ 2a2 ⫹ 8x2 ⫺ 8ax

冥

30 ⫹ 3x ⫺ 6x2 ᎏ 380 ᎏ 6x2 ⫺ 9x ⫺ 15

冥

a2 ⫺ 3a ⫺ 4 ᎏ 381 ᎏ 2a2 ⫺ 11a ⫹ 12

冤 冤

3 3 ᎏᎏ , x ⫽ 0 ∧ x ⫽ ᎏᎏ x 4

冤

4x ⫺ 12 ᎏ 376 ᎏ 2 2x ⫺ 12x ⫹ 18 2x2 ⫹ 3x ⫺ 9 ᎏ 377 ᎏ 4x2 ⫺ 9

冥

8b2 ⫺ 8bx 378 ᎏᎏ 4b ⫺ 4x

1 x, x ⫽ ⫺ ᎏᎏ 3

2 ᎏᎏ , x ⫽ 3 x⫺3

冤

3 x⫹3 ᎏᎏ , x ⫽ ⫾ ᎏᎏ 2 2x ⫹ 3

[2b, x ⫽ b] ᎏ , x ⫽ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 2x ⫺ a 2 2x ⫹ a

a

ᎏ , x ⫽ ⫺ 1 ∧ x ⫽ ᎏᎏ冥 冤⫺ ᎏ x⫹1 2 3 a⫹1 ᎏ , a ⫽ 4 ∧ a ⫽ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 2 2a ⫺ 3 x⫹2

5

713

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

6x ⫺ 12 ᎏ 382 ᎏ 6x2 ⫺11x ⫺ 2

1 ᎏ , x ⫽ 2 ∧ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 6x ⫹ 1 6

x3 ⫺ 6x2 ⫹ 9x ᎏ 385 ᎏ 2x2 ⫺ 5x ⫺ 3

4x2 ⫹ 4x ⫹ 1 ᎏ 383 ᎏ 4x2 ⫹ 2x

2x ⫹ 1 1 ᎏ , x ⫽ 0 ∧ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 2x 2

8x2 ⫺ 6ax ⫹ a2 ᎏ 386 ᎏ 2x2 ⫹ ax ⫺ a2

6

x(x ⫺ 3) 1 ᎏ , x ⫽ 3 ∧ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 2x ⫹ 1 2 4x ⫺ a a ᎏ , x ⫽ ⫺ a ∧ x ⫽ ᎏᎏ冥 冤ᎏ x⫹a 2

4ax2 ⫹ 8ax ᎏ 387 ᎏ a2x2 ⫺ 4a2x ⫺ 12a2

b3 ⫺ b ᎏ 384 ᎏ 2b3 ⫺ b2 ⫺ b b⫹1 1 ᎏ , b ⫽ 1 ∧ b ⫽ ⫺ ᎏᎏ ∧ b ⫽ 0冥 冤ᎏ 2b ⫹ 1 2

ᎏ , x ⫽ ⫺ 2 ∧ x ⫽ ⫹6 , a ⫽ 0冥 冤ᎏ a(x ⫺ 6) 4x

Un’applicazione: le equazioni fratte di secondo grado ESERCIZIO GUIDA

388 Risolviamo l’equazione: x⫹7 3⫺x ᎏ ᎏ ⫹ 2 ⫽ ᎏᎏ . 2 3x ⫺ 7x ⫹ 2 x⫺2 Per calcolare il denominatore comune, scomponiamo 3x 2 ⫺ 7x ⫹ 2 in fattori. Determiniamo gli zeri del polinomio: 1 ᎏᎏ 7 ⫾ 4  9  ⫺ 4 2  7 ⫾ 5 3 3x 2 ⫺ 7x ⫹ 2 ⫽ 0 → x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 6 6 2 Quindi:

冢

冣

1 3x 2 ⫺ 7x ⫹ 2 ⫽ 3 x ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ 2) ⫽ (3x ⫺ 1)(x ⫺ 2). 3 Ritornando all’equazione di partenza abbiamo: 1 1 C.E.: x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0 → x ⴝ ᎏᎏ ; x ⫺ 2 ⫽ 0 → x ⴝ 2. 3 3 Utilizzando il m.c.m. dei denominatori, l’equazione diventa: x⫹7 2(3x ⫺ 1)(x ⫺ 2) (3 ⫺ x)(3x ⫺ 1) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. (3x ⫺ 1)(x ⫺ 2) (3x ⫺ 1)(x ⫺ 2) (3x ⫺ 1)(x ⫺ 2) Eliminando il denominatore comune e svolgendo i calcoli nei numeratori, otteniamo: x ⫹ 7 ⫹ 6x2 ⫺ 14x ⫹ 4 ⫽ 9x ⫺ 3 ⫺ 3x2 ⫹ x 9x2 ⫺ 23x ⫹ 14 ⫽ 0 23 ⫾ 52 9⫺ 04 5 23 ⫾ 25  23 ⫾ 5 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 18 18 18 Viste le C.E., le radici dell’equazione sono entrambe accettabili: 14 x1 ⫽ 1; x2 ⫽ ᎏᎏ . 9

714

18 ᎏᎏ ⫽ 1 18 28 14 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 18 9

Paragrafo 6. Le equazioni parametriche

ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x. x2 ⫺ 2x ⫹ 5 x⫹3 x⫹2 ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 389 ᎏ 2 x ⫺ 5x ⫹ 6 x⫺2 x⫺3

[0; 2 non accettabile]

2 1 5 ⫺ x2 ᎏ 390 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺3 x⫹2 x2 ⫺ x ⫺ 6 3x 4 2 ⫺ 16x 391 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽ ᎏᎏ x⫺2 x⫹3 6 ⫺ x2 ⫺ x

[1; ⫺ 4]

[2 non accettabile; 3]

2⫹x 1 ⫹ 2x 3x ᎏ ⫹ ᎏᎏᎏ ⫽ᎏ ᎏ 392 ᎏ 2 2 2 x ⫺ 2x ⫺ 3 x ⫺ 5x ⫹ 6 (x ⫺ 2)(x ⫺ 2x ⫺ 3)

[impossibile]

2x 3 30 ⫹ 5x2 ⫺ 36x ᎏ 393 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ 4 ⫽ ᎏ x⫺4 x⫺3 x2 ⫺ 7x ⫹ 12 2x ⫺ 3 x⫹2 2x(1 ⫺ x) ⫺ 9 ᎏ 394 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫹2 1⫺x x2 ⫹ x ⫺ 2 10 ⫺ 2x 4 ⫺ 3x 1 x2 ⫺ 40x ⫹ 31 ᎏ 395 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏ 3 ⫺ 3x 1 ⫺ 2x 3 3(2x2 ⫺ 3x ⫹ 1) 1 3x ⫺ 1 4x 4x ⫺ 2 25x ⫺ 2x2 ⫹ 5 ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏ ᎏ 396 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏ 2 12x ⫺ 36 3x ⫹ 3 4x ⫺ 8x ⫺ 12 3 12(x2 ⫺ 2x ⫺ 3)

[⫺ 2; ⫺ 3]

冤ᎏ3ᎏ ; 1 non accettabile冥 8

[⫺ 1; ⫹ 1 non accettabile]

[0; 3 non accettabile]

x ⫺ 3a 2x ⫹ 4a x2 ⫹ a2 ⫺ 12ax ᎏ 397 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ 2x ⫺ a x ⫺ 3a 2x2 ⫺ 7ax ⫹ 3a2

[⫾ a 3, a ⫽ 0]

17a2 ⫺ 2x2 x ⫺ 2a x⫺a ᎏ 398 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ 1 ⫹ ᎏ x⫹a x ⫺ 2a x2 ⫺ ax ⫺ 2a2

[5a; ⫺ 2a, a ⫽ 0]

x ⫹ 9a 9ax ⫹ 72a2 2a ⫺ 8x 69a2 ⫽ ᎏ ᎏ ⫹ ᎏ ᎏ 399 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 3a 4ax ⫺ 3a2 ⫺ x2 x⫺a x2 ⫺ 4ax ⫹ 3a2

6. Le equazioni parametriche Nel sito:

[0, se a ⫽ 0; a non accettabile]

–䊳

Teoria a pag. 681

䉴 13 esercizi di recupero

400 VERO O FALSO? Data l’equazione 2x 2 ⫺ x ⫺ 21 ⫽ 0: a) la somma delle soluzioni è 1. b) le radici sono reali. c) una soluzione è 3. d) il prodotto delle radici è maggiore di ⫺11. 1 e) la somma dei reciproci delle radici è ᎏᎏ . 21

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

715

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

401 COMPLETA la tabella utilizzando le informazioni indicate, relative all’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0. a

b

c

INFORMAZIONE

3

4

…

x1 ⫽ x2

…

10

5

1 x1 ⫽ ᎏᎏ x2

1

…

⫺ 12

x1 ⫽ ⫺ 3

1

…

⫺4

x1 ⫹ x2 ⫽ 0

2

…

…

1 x1 ⫽ ᎏᎏ e x1 ⫹ x2 ⫽ ⫺ 3 x2

…

⫺4

…

x1 ⫹ x2 ⫽ 2 e x1 x2 ⫽ 6

ESERCIZIO GUIDA

402 Data l’equazione di secondo grado nell’incognita x: (k ⫺ 1)x2 ⫹ (2k ⫺ 5) x ⫹ k ⫹ 1 ⫽ 0, determiniamo per quali valori del parametro k sono soddisfatte le condizioni: a) le soluzioni sono reali distinte; b) le soluzioni sono reali coincidenti; c) non esistono soluzioni reali; d) una radice è nulla. Affinché l’equazione sia di secondo grado, deve essere k ⫺ 1 ⫽ 0 → k ⫽ 1. a) La condizione da imporre è ⌬ ⬎ 0. Calcoliamo ⌬: ⌬ ⫽ (2k ⫺ 5)2 ⫺ 4(k ⫺ 1)(k ⫹ 1) ⫽ 4k 2 ⫺ 20k ⫹ 25 ⫺ 4(k 2 ⫺ 1) ⫽ ⫽ 4k 2 ⫺ 20k ⫹ 25 ⫺ 4k 2 ⫹ 4 ⫽ ⫺ 20k ⫹ 29. Imponiamo la condizione ⌬ ⬎ 0: 29 ⫺ 20k ⫹ 29 ⬎ 0 → ⫺ 20k ⬎ ⫺ 29 → 20k ⬍ 29 → k ⬍ ᎏᎏ . 20 b) Dobbiamo imporre la condizione ⌬ ⫽ 0: 29 ⫺ 20k ⫹ 29 ⫽ 0 → k ⫽ ᎏᎏ . 20 c) Dobbiamo imporre la condizione ⌬ ⬍ 0: 29 ⫺ 20k ⫹ 29 ⬍ 0 → 20k ⬎ 29 → k ⬎ ᎏᎏ . 20 d) Sostituiamo a x il valore 0: (k ⫺ 1) ⭈ 02 ⫹ (2k ⫺ 5) ⭈ 0 ⫹ k ⫹ 1 ⫽ 0 k ⫹ 1 ⫽ 0 → k ⫽ ⫺ 1.

716

Paragrafo 6. Le equazioni parametriche

ESERCIZI

Per ogni equazione di secondo grado nell’incognita x determina per quali valori del parametro k sono soddisfatte le condizioni indicate a fianco. [k ⫽ 2 ∨ k ⫽ 3]

403 x 2 ⫺ 2kx ⫹ 5k ⫺ 6 ⫽ 0;

soluzioni reali coincidenti.

404 6x 2 ⫹ (2k ⫺ 3)x ⫺ k ⫽ 0;

soluzioni reali.

405 (k ⫺ 2)x 2 ⫹ 2(2k ⫺ 3)x ⫹ 4k ⫹ 2 ⫽ 0, con k ⫽ 2;

x 1 ⫽ 0.

1 406 (2k ⫺ 1)x 2 ⫹ (k ⫺ 3)x ⫹ 3k ⫺ 1 ⫽ 0, con k ⫽ ᎏᎏ; 2

x 1 ⫽ ⫺ 2.

407 kx 2 ⫹ (4k ⫺ 1)x ⫹ 4k ⫽ 0, con k ⫽ 0;

soluzioni reali distinte.

408 6kx 2 ⫺ (5k ⫹ 2)x ⫹ 9 ⫺ k 2 ⫽ 0, con k ⫽ 0;

x 1 ⫽ 0.

[k ⫽ ⫾ 3]

1 409 (8k ⫺ 2)x 2 ⫺ (1 ⫺ 2k)x ⫹ 2 ⫺ 5k ⫽ 0, con k ⫽ ᎏᎏ; 4

x 1 ⫽ ⫺ 1.

[k ⫽ ⫺ 1]

410 9x 2 ⫺ 2(3k ⫹ 1)x ⫺ 1 ⫹ k 2 ⫽ 0;

soluzioni reali.

411 (1 ⫹ m 2 )x 2 ⫹ (m ⫹ 1)x ⫹ 10m ⫺ 3m 2 ⫺ 5 ⫽ 0;

x 1 ⫽ ⫺ 3.

412 x 2 ⫺ 2(k ⫹ 1)x ⫹ 4k ⫽ 0;

non esistono soluzioni reali.

[∀ k ∈ R]

冤k ⫽ ⫺ ᎏ2ᎏ冥 1 冤k ⫽ ⫺ ᎏ9ᎏ冥 1 冤k ⬍ ᎏ8ᎏ冥 1

冤k ⱖ ⫺ ᎏ3ᎏ冥 1 冤m ⫽ ⫺ ᎏ6ᎏ ∨ m ⫽ ⫺ 1冥 5

[∃ / k ∈ R]

Condizioni che riguardano la somma delle radici ESERCIZIO GUIDA

413 Nell’equazione di secondo grado nell’incognita x: kx2 ⫹ (4k ⫺ 1)x ⫹ 4k ⫽ 0 con k ⫽ 0, 9 determiniamo il valore del parametro k tale che la somma s delle radici sia ⫺ ᎏᎏ . 2 Dobbiamo porre due condizioni: 1. ⌬ ⱖ 0, affinché le radici siano reali; b 9 2. s ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ, affinché sia soddisfatta la a 2 condizione richiesta su s. 1. Calcoliamo ⌬: ⌬ ⫽ (4k ⫺ 1)2 ⫺ 4 ⭈ k ⭈ 4k ⫽ ⫽ 16k 2 ⫺ 8k ⫹ 1 ⫺ 16k 2 ⫽ ⫺ 8k ⫹ 1. Poniamo ⌬ ⱖ 0: 1 ⫺ 8k ⫹ 1 ⱖ 0 → ⫺ 8k ⱖ ⫺ 1 → k ⱕ ᎏᎏ . 8

b 2. Calcoliamo la somma delle radici s ⫽ ⫺ ᎏᎏ: a 4k ⫺ 1 s ⫽ ⫺ ᎏᎏ . k 9 Poniamo s ⫽ ⫺ ᎏᎏ : 2 4k ⫺ 1 9 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ → 2(4k ⫺ 1) ⫽ 9k k 2 8k ⫺ 2 ⫺ 9k ⫽ 0 → ⫺ k ⫺ 2 ⫽ 0 → k⫽ ⫺ 2. 1 Poiché ⫺ 2 ⬍ ᎏᎏ, il valore trovato per k è accetta8 bile.

717

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Per ogni equazione di secondo grado nell’incognita x determina i valori del parametro k tali che sia soddisfatta la condizione scritta a fianco riguardante la somma s delle radici.

冤k ⫽ ⫺ ᎏ12ᎏ冥

414 kx 2 ⫹ (4k ⫹ 2)x ⫹ 4k ⫹ 5 ⫽ 0;

radici opposte (x 1 ⫽ ⫺ x 2 ).

1 415 5kx 2 ⫺ 2(k ⫺ 1)x ⫹ ᎏᎏ k ⫽ 0, con k ⫽ 0; 5

radici opposte.

416 (4k ⫺ 1)x ⫺ 4x 2 ⫺ k 2 ⫽ 0;

5 s ⫽ ⫺ ᎏᎏ. 4

417 x 2 ⫺ 2(k ⫹ 1)x ⫹ 4k ⫽ 0;

s ⬎ 10.

418 x 2 ⫺ 4(k ⫺ 3)x ⫹ 4(k 2 ⫺ 2k) ⫽ 0;

s ⬎ 8.

[k ⬎ 5 non accettabile]

1 419 (9k ⫺ 1)x 2 ⫺ 12(k ⫺ 2)x ⫹ 3 ⫹ 4k ⫽ 0, con k ⫽ ᎏᎏ ; 9

s ⫽ 4.

冤k ⫽ ⫺ ᎏ6ᎏ冥

Condizioni che riguardano il prodotto delle radici ESERCIZIO GUIDA

420 Data l’equazione parametrica di secondo grado nell’incognita x (k ⫺ 1) x2 ⫺ 2kx ⫹ k ⫹ 3 ⫽ 0,

con k ⫽ 1,

determiniamo i valori del parametro per i quali l’equazione ha: a) le radici reciproche; 1 b) il prodotto p delle radici uguale a ᎏᎏ . 2 ⌬ Calcoliamo per quali valori di k le radici sono reali, ponendo ᎏᎏ ⱖ 0: 4 ⌬ ᎏᎏ ⫽ k 2 ⫺ (k ⫺ 1) (k ⫹ 3) ⫽ k 2 ⫺ k 2 ⫺ 3k ⫹ k ⫹ 3 ⫽ ⫺ 2k ⫹ 3 4 ⌬ 3 ᎏᎏ ⱖ 0 ⇒ ⫺ 2k ⫹ 3 ⱖ 0 → 2k ⱕ 3 → k ⱕ ᎏᎏ 4 2 1 a) Le radici sono reciproche se x 1 ⫽ ᎏᎏ , ossia x1 ⴢ x2 ⴝ 1, cioè: p ⫽ 1. x2 c Poniamo p ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1: a k⫹3 ᎏᎏ ⫽ 1 → k ⫹ 3 ⫽ k ⫺ 1 → 3 ⫽ ⫺ 1 impossibile. k⫺1 Non esiste alcun valore di k tale che le radici siano reciproche. c 1 b) Poniamo p ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ : 2 a k⫹3 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ → 2(k ⫹ 3) ⫽ k ⫺ 1 → 2k ⫹ 6 ⫽ k ⫺ 1 → k ⫽ ⫺ 7. k⫺1 2 3 Poiché ⫺ 7 ⱕ ᎏᎏ , il valore trovato per k è accettabile. 2

718

[k ⫽ 1 non accettabile] [k ⫽ ⫺ 1] [k ⬎ 4]

5

Paragrafo 6. Le equazioni parametriche

ESERCIZI

Per ogni equazione parametrica nell’incognita x, determina i valori del parametro affinché le radici siano reali e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto. Il prodotto delle radici è indicato con p. 421 x 2 ⫺ kx ⫹ 4k ⫽ 0; a) radici reciproche; b) p ⫽ 12. 422 (k ⫺ 2)x 2 ⫺ 2kx ⫹ k ⫺ 3 ⫽ 0; a) radici reciproche; b) p ⫽ ⫺ 1.

冤a) k ⫽ ᎏ4ᎏ non accettabile; b) k ⫽ 3 non accettabile冥 1

(k ⫽ 2)

冤a) ∃⁄ k ∈R; b) k ⫽ ᎏ2ᎏ冥 5

423 x 2 ⫺ 8x ⫹ 4m ⫺ 5 ⫽ 0; a) p ⫽ ⫺ 5; b) p ⬎ 1.

冤a) m ⫽ 0; b) ᎏ2ᎏ ⬍ m ⱕ ᎏ4ᎏ冥 3

424 3x 2 ⫺ (2k ⫺ 3)x ⫺ 2k ⫽ 0; 1 a) x 1 ⫽ ᎏᎏ ; x2 2 b) p ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 425 2x 2 ⫺ 7x ⫹ 4k ⫽ 0; a) radici reciproche; b) radici concordi (Suggerimento. p ⬎ 0); c) p ⫽ ⫺ 10.

21

冤a) k ⫽ ⫺ ᎏ2ᎏ ; b) k ⫽ 1冥 3

冤a) k ⫽ ᎏ2ᎏ ; b) 0 ⬍ k ⱕ ᎏ32ᎏ ; c) k ⫽ ⫺ 5冥 1

49

Alcune applicazioni di somma e prodotto delle radici ESERCIZIO GUIDA

426 Data l’equazione parametrica nell’incognita x: 4x2 ⫺ 2(k ⫹ 2)x ⫹ 2k ⫽ 0, determiniamo i valori di k per i quali sono soddisfatte le seguenti condizioni: a) la somma dei reciproci delle radici sia uguale a 6; b) la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 10. Imponiamo che le radici siano reali: ⌬ ᎏᎏ ⱖ 0 → (k ⫹ 2) 2 ⫺ 8k ⫽ 4 ⫽ k 2 ⫹ 4k ⫹ 4 ⫺ 8k ⫽ k 2 ⫺ 4k ⫹ 4 ⫽ ⫽ (k ⫺ 2) 2 ⱖ 0 è vero ∀k ∈ R. a) La somma dei reciproci delle radici è: 1 1 x2 ⴙ x1 s ᎏᎏ ⴙ ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ ⴝ ᎏᎏ . x1x2 x1 x2 p

k⫹2 k s ⫽ ᎏᎏ ; p ⫽ ᎏᎏ. 2 2 s Poniamo ᎏᎏ ⫽ 6, con p ⫽ 0 ossia k ⫽ 0. p k⫹2 ᎏᎏ s k⫹2 2 k ⫹2 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 6 k p 2 k k ᎏᎏ 2 2 k ⫹ 2 ⫽ 6k → 5k ⫽ 2 → k ⫽ ᎏᎏ . 5

719

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

b) La somma dei quadrati delle radici è:

Poniamo la condizione s 2 ⫺ 2p ⫽ 10:

冢

k⫹2 ᎏᎏ 2

x12 ⫹ x 22. Poiché: (x 1 ⫹ x 2 ) 2 ⫽ x12 ⫹ x 22 ⫹ 2x 1 x 2 possiamo scrivere:

冣

2

k ⫺ 2 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 10 2

k2 ⫹ 4k ⫹ 4 ᎏᎏ ⫺ k ⫽ 10 4 k 2 ⫹ 4k ⫹ 4 ⫺ 4k ⫽ 40

x12 ⴙ x12 ⴝ (x 1 ⴙ x 2)2 ⴚ 2x 1 x 2 ⴝ s2 ⴚ 2p.

k 2 ⫽ 36 →

k ⫽ ⫾ 6.

Per ogni equazione parametrica nell’incognita x, determina i valori del parametro affinché le radici siano reali e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto. 427 Data l’equazione parametrica: (k ⫺ 1) x 2 ⫺ 2(k ⫹ 1) x ⫹ k ⫹ 2 ⫽ 0, con k ⫽ 1, determina il valore di k in modo che: a) la somma delle radici sia nulla; 7 a) k ⫽ ⫺ 1; b) k ⫽ ⫺ ᎏᎏ b) la somma dei reciproci delle radici sia uguale a 8. 3

冤

428 Data l’equazione kx 2 ⫹ 2(1 ⫺ k)x ⫺ 3 ⫹ k ⫽ 0, con k ⫽ 0, determina k in modo che: a) la somma delle radici sia ⫺ 4; b) la somma dei reciproci delle radici sia 3. 429 Data l’equazione x 2 ⫺ 2(k ⫹ 1)x ⫹ 4k ⫽ 0, determina k in modo che: a) la somma dei reciproci delle radici sia nulla; b) la somma dei quadrati delle radici sia 12.

冥

冤a) k ⫽ ᎏ3ᎏ ; b) k ⫽ 7冥 1

] [a) k ⫽ ⫺ 1; b) k ⫽ ⫾ 2

3 430 Data l’equazione (2m ⫺ 3)x 2 ⫺ 4mx ⫹ 2m ⫺ 1 ⫽ 0, con m ⫽ ᎏᎏ , 2 determina m in modo che: a) la somma dei reciproci delle radici sia uguale a 4; b) la somma dei reciproci delle radici sia nulla.

[a) m ⫽ 1; b) ∃⁄ m ∈R]

431 Data l’equazione 3mx 2 ⫺ 2(3m ⫺ 1) x ⫺ 3(1 ⫺ m) ⫽ 0, con m ⫽ 0, determina m in modo che: 1 a) la somma dei reciproci delle radici sia ᎏᎏ ; 3 1 7 b) la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2. a) m ⫽ ᎏᎏ ; b) m ⫽ ᎏᎏ 5 15

冤

RIEPILOGO

LE EQUAZIONI PARAMETRICHE

Nel sito:

冥

䉴 11 esercizi in più

Per ogni equazione parametrica nell’incognita x, determina i valori del parametro relativi alle condizioni poste. 432 (b ⫺ 3)x 2 ⫺ 2bx ⫹ b ⫺ 1 ⫽ 0, con b ⫽ 3; 1 a) una radice è uguale a ᎏᎏ; 2 b) le due radici sono reali coincidenti. 433 3x 2 ⫺ 2(3k ⫹ 2)x ⫹ 8k ⫽ 0; a) le soluzioni sono reali e distinte; b) una radice è uguale a 1.

720

冤a) b ⫽ 7; b) b ⫽ ᎏ4ᎏ冥 3

冤a) k ⫽ ᎏ3ᎏ; b) k ⫽ ᎏ2ᎏ冥 2

1

RIEPILOGO Le equazioni parametriche

434 (9k ⫺ 2)x 2 ⫺ (6k ⫹ 1)x ⫹ k ⫽ 0, a) una radice è uguale a ⫺ 2; 1 b) la somma delle radici vale ᎏᎏ . 3

ESERCIZI

2 con k ⫽ ᎏᎏ ; 9

冤a) k ⫽ ᎏ49ᎏ ; b) k ⫽ ⫺ ᎏ9ᎏ non accettabile冥 6

435 x 2 ⫺ 2(m ⫺ 1) ⫽ 0; a) radici reciproche; b) p ⫽ 0; c) radici concordi.

5

冤a) m ⫽ ᎏ2ᎏ non accettabile; b) m ⫽ 1; c) m ⬍ 1 non accettabile冥 1

436 (k ⫺ 1) x 2 ⫺ 2(k ⫹ 1) x ⫹ k ⫹ 2 ⫽ 0; a) la somma delle radici è positiva; b) il prodotto delle radici è negativo; c) la somma dei reciproci delle radici è uguale a 8.

冤a) ⫺ 3 ⱕ k ⬍ ⫺ 1 ∨ k ⬎ 1; b) ⫺ 2 ⬍ k⬍ 1; c) k ⫽ ⫺ ᎏ3ᎏ冥 7

437 kx 2 ⫺ (2k ⫺ 1)x ⫹ k ⫺ 3 ⫽ 0, con k ⫽ 0; a) la somma delle radici è minore di 2; b) il prodotto delle radici è uguale a 4.

[a) k ⬎ 0; b) k ⫽ ⫺ 1 non accettabile] BRAVI SI DIVENTA

䉴 E41

438 (k ⫺ 3)x 2 ⫺ 2kx ⫹ k ⫹ 1 ⫽ 0; a) le soluzioni sono reali concordi; b) x1 ⫹ x2 ⬎ 4; 1 1 c) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 2. x 12 x 22 439 9ax 2 ⫺ 6ax ⫺ 3 ⫹ a ⫽ 0, a) radici reciproche; b) radici discordi; c) p ⱕ 3; d) x1 ⫽ ⫺ 1.

con a ⫽ 0;

冤a) a ⫽ ⫺ ᎏ8ᎏ non accettabile ; b) 0 ⬍ a ⬍ 3; c) a ⱖ 0; d) a ⫽ ᎏ16ᎏ冥 3

440 mx 2 ⫹ 2(3 ⫺ m)x ⫺ 12 ⫽ 0, a) le radici sono reali; b) le radici sono uguali; c) le radici sono opposte; d) le radici sono reciproche; e) una radice è nulla.

con m ⫽ 0;

441 (1 ⫹ k)x 2 ⫺ 2x ⫺ k ⫹ 1 ⫽ 0, a) radici reciproche; b) radici discordi; c) p ⫽ 8; d) s ⬎ 0.

con k ⫽ ⫺ 1;

3

[a) ∀ m ∈ R, m ⫽ 0; b) m ⫽ ⫺ 3; c) m ⫽ 3; d) m ⫽ ⫺ 12; e) ∃⁄ m ∈ R]

冤a) k ⫽ 0; b) k ⬍ ⫺ 1 ∨ k ⬎ 1; c) k ⫽ ⫺ ᎏ9ᎏ ; d) k ⬎ ⫺ 1冥 7

442 x 2 ⫺ 2(k ⫺ 2)x ⫹ k 2 ⫺ 3k ⫽ 0; a) soluzioni non reali; b) una radice nulla; c) somma positiva; d) prodotto negativo; e) x 12 ⫹ x 22 ⫽ 16. [a) k ⬎ 4; b) k ⫽ 0 ∨ k ⫽ 3; c) 2 ⬍ k ⱕ 4; d) 0 ⬍ k ⬍ 3; e) k ⫽ 0, k ⫽ 5 non accettabile]

721

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

443 (k 2 ⫺ 1)x 2 ⫺ 4 kx ⫹ 4 ⫽ 0, con k ⫽ ⫾ 1; a) radici reali e distinte; b) radici uguali; c) radici opposte; d) radici reciproche; e) somma dei reciproci delle radici uguale a 12. [a) ∀ k ∈ R, k ⫽ ⫾ 1; b) ∃⁄ k ∈ R; c) k ⫽ 0; d) k ⫽ ⫾ 5; e) k ⫽ 12] 444 x 2 ⫺ 2x ⫹ m ⫽ 0; a) radici uguali; b) radici reali e distinte; c) una radice uguale a 0; d) somma delle radici positiva;

e) prodotto delle radici positivo. [a) m ⫽ 1; b) m ⬍ 1; c) m ⫽ 0; d) m ⱕ 1; e) 0 ⬍ m ⱕ 1] 445 4kx 2 ⫺ 4kx ⫺ 1 ⫹ k ⫽ 0, con k ⫽ 0; a) radici reali; b) x 1 ⫽ 0; c) x 1 ⫽ ⫺ x 2; 1 d) x 1 ⫽ ᎏᎏ ; x2 1 1 e) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 8. a) k ⬎ 0; b) k ⫽ 1; c) ∃⁄ k ∈ R; x1 x2 1 d) k ⫽ ⫺ ᎏᎏ non accettabile; e) k ⫽ 2 3

冤

冥

I problemi di secondo grado Nel sito:

䉴 13 esercizi di recupero

■ Problemi di geometria ESERCIZIO GUIDA

446 Vogliamo piantare 21 bulbi di tulipano in un’aiuola rettangolare. Per disporli in file uguali e con la condizione che il numero dei bulbi in ogni fila superi di 4 il numero delle file, quante file di bulbi dobbiamo piantare? 1. I risultati: È richiesto il numero di file. 2. L’incognita: Poniamo x ⫽ numero di file. 3. Le relazioni: Il numero totale di bulbi è 21; i bulbi su ogni fila sono x ⫹ 4. Pertanto il numero totale di bulbi è x (x ⫹ 4). 4. L’equazione risolvente: x (x ⫹ 4) ⫽ 21 Le condizioni sono: x ⱖ 0, poiché non è pensabile un numero negativo di file. 5. La risoluzione: x (x ⫹ 4) ⫽ 21 x 2 ⫹ 4x ⫺ 21 ⫽ 0 ⌬ ᎏᎏ ⫽ 4 ⫹ 21 ⫽ 25 4

→ x ⫽ ⫺ 2 ⫾ 25 ⫽

6. La risposta: Dobbiamo piantare i bulbi su 3 file.

722

⫺ 2 ⫺ 5 ⫽ ⫺ 7 non accettabile ⫺2⫹5⫽3

I problemi di secondo grado

447 TEST Esamina il problema: «In un rettangolo la cui area vale 36 cm2, sottraendo al doppio di una dimensione l’altra, si ottiene come risultato 21 cm; calcola la lunghezza delle dimensioni del rettangolo». Quale delle seguenti equazioni risolve il problema? 72 A x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 21. x B C D

2x ⫺ (36 ⫺ x) ⫽ 21. 36 2x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 21. x 21 2x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 36. x

ESERCIZI

tra le misure dei due segmenti componenti è 6 volte la misura dell’intero segmento. Determina la lunghezza del segmento di partenza e quella delle due parti nelle quali esso risulta suddiviso. [25 cm; 15 cm; 10 cm] 456 In un triangolo rettangolo, un cateto misura 7 cm in più dell’altro cateto e l’ipotenusa 14 cm in meno della somma dei due cateti. Determina il perimetro del triangolo. [84 cm] 457 In un rettangolo il lato maggiore è pari al doppio del minore diminuito di 10 cm e la differenza dei quadrati dei due lati è 52 cm 2. Determina l’area del rettangolo. [168 cm 2 ]

448 Determina le lunghezze dei due lati di un rettangolo di area 15 cm2 e perimetro 16 cm. [3 cm; 5 cm]

458 L’area di un triangolo rettangolo è di 80 cm2. Determina l’ipotenusa, sapendo che un cateto è pari al doppio dell’altro cateto aumentato di 4 cm.  cm] [4 29

449 Dato un segmento AB di lunghezza 9 cm, determina su di esso un punto P, tale che AP sia medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte restante aumentata di 1 cm. [AP ⫽ 6 cm]

459 L’area di un triangolo rettangolo è di 120 cm2. Determina l’ipotenusa, sapendo che un cateto è pari alla metà dell’altro cateto aumentata di 2 cm.  cm] [4 34

E

2x ⫺ (18 ⫺ x) ⫽ 21.

450 Un rettangolo è equivalente a un quadrato di lato 10 cm. Determina il perimetro del rettangolo, sapendo che la metà della base sommata al doppio dell’altezza è 20 cm. [50 cm] 451 Un quadrato ha perimetro 24 cm. Un rettangolo ha lo stesso perimetro, mentre l’area è 3 pari ai ᎏᎏ di quella del quadrato. Determina le 4 [3 cm; 9 cm] dimensioni del rettangolo. 452 Un rettangolo di area 20 cm2 ha l’altezza minore della base di 1 cm. Calcola il perimetro del rettangolo. [18 cm]

460 Un rettangolo ha area di 40 cm2 e i suoi lati sono lunghi uno 3 cm in più dell’altro. Se si allungano entrambi i lati della stessa misura, si ottiene un rettangolo la cui area è 30 cm2 in più dell’area del rettangolo iniziale. Determina il perimetro del nuovo rettangolo. [34 cm] 461 Determina il perimetro di un triangolo rettangolo avente l’ipotenusa di 25 cm e l’area di 150 cm2. [60 cm] 462 In un trapezio rettangolo la base minore è lunga 4 cm in meno della maggiore e 1 cm in meno dell’altezza. Determina il perimetro del trapezio, sapendo che la sua area è di 12 cm2. [16 cm]

453 Un rettangolo ha le dimensioni di 5 cm e 2 cm. Vogliamo incrementare la base e l’altezza di una stessa quantità in modo da ottenere un secondo rettangolo che abbia l’area di 70 cm2. Determina tale quantità. [5 cm]

463 Considera un quadrato ABCD di area 144 cm 2 e determina sul lato CD un punto P tale che A 2 ⫹ P  B 2 ⫽ 378. P [PC ⫽ 3 cm oppure PC ⫽ 9 cm]

454 In un triangolo isoscele base e altezza stanno tra loro come 3 sta a 2, e il perimetro è 16 cm. Determina l’area. [12 cm 2 ]

464 Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto a una semicirconferenza di diametro  A D ⫽ 24 cm. Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in 1 P  ⫹ ᎏᎏ P B  ⫽ 17 cm. due parti CP e PB tali che C 2 Trova l’area del trapezio.

455 Un segmento è suddiviso in due parti, delle quali una risulta 5 cm più lunga dell’altra. Il prodotto

BRAVI SI DIVENTA

䉴 E42

723

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

3 465 In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 9 cm in meno dell’ipotenusa e l’altro cateto è i ᎏᎏ del primo. Deter4 mina l’area del triangolo. [486 cm 2 ] 466 Un trapezio è inscritto in una semicirconferenza di diametro 70 cm. La base minore supera di 14 cm il doppio [1323 cm 2 ] dell’altezza. Determina l’area del trapezio. 467 In un triangolo rettangolo, delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, la maggiore è pari al doppio della minore diminuito di 4 cm, mentre l’altezza relativa all’ipotenusa supera di 10 cm la differenza delle due proiezioni. Determina l’area del triangolo. [600 cm 2 ] 468 Un’antenna di 9 m è posta perpendicolarmente al pavimento di un terrazzo. Un forte vento la spezza in modo tale che la cima dell’antenna tocca il pavimento a 3 m dalla base della stessa. A quale altezza si è prodotta la rottura? [4 m] 469 In un quadrato di area 49 cm2 è inscritto un quadrato di area 25 cm2. Determina il perimetro di ciascuno dei triangoli individuati dal quadrato inscritto nel quadrato più grande. [12 cm] 470 Per abbellire una coperta rettangolare che ha la superficie di 5,72 m2 viene cucito sui quattro lati un pizzo lungo 9,6 m. Quali sono le dimensioni della coperta? [2,2 m; 2,6 m] 471 Andrea ha incollato la foto del suo gruppo musicale preferito su un pannello. La foto, che ha area uguale a 360 cm2, è di forma rettangolare, come il pannello che ha il perimetro di 438 cm e l’altezza di 105 cm. Determina le dimensioni della foto, sapendo che è stata incollata con i lati equidistanti da quelli del pannello. [15 cm, 24 cm] 472 La differenza tra i cateti di un triangolo rettangolo è 14 cm. L’ipotenusa è lunga 26 cm. Trova le lunghezze dei cateti. [24 cm, 10 cm] 473 Dato un segmento AB di lunghezza 17 cm, determina su di esso un punto P che lo divida in parti tali che il [AP ⫽ 9 cm, oppure AP ⫽ 8 cm] rettangolo avente per dimensioni le loro lunghezze abbia area 72 cm2. 474 L’area di un rombo è di 24 cm2 e una diagonale è più lunga dell’altra di 2 cm. Determina il perimetro del rombo. [20 cm] 475 Su una semicirconferenza di diametro AB ⫽ 12 cm, determina un punto P tale che, detta H la sua proiezione su AB, risulti: P  H2 ⫹ A  P2 ⫹ B  P 2 ⫽ 176. [AH ⫽ 4 cm, oppure AH ⫽ 8 cm] 476 Calcola l’area di un quadrato avente lo stesso perimetro di un rettangolo, sapendo che l’area di questo misu[289 cm2 ] ra 225 cm2 e la base è uguale al triplo dell’altezza diminuito di 2 cm. 477 In un triangolo rettangolo la differenza delle misure dei cateti è 8 cm e l’ipotenusa supera di 16 cm il cateto minore. Calcola il perimetro del triangolo. [96 cm] 478 Il punto C divide il segmento AB in due parti tali che AC ⬍ BC; inoltre il doppio della parte minore AC è 2 cm in più di BC e il prodotto delle loro misure supera di 3 cm2 il quadrato di AC. Tracciata per B la perpendicolare ad AB, determina su di essa un punto P tale che P  B2 ⫹ P  C2⫹P  A 2 ⫽ 92. [PB ⫽ 3 cm] 479 In un triangolo isoscele la base supera di 3 cm il lato obliquo e l’altezza è 12 cm. Determina il perimetro. [48 cm] 480 In un rettangolo la base supera di 4 cm il triplo dell’altezza e l’area è 480 cm2. Trova le dimensioni del rettangolo. [40 cm; 12 cm]

724

I problemi di secondo grado

ESERCIZI

336 481 Un rettangolo è inscritto in una circonferenza di raggio 12 cm e il suo perimetro è ᎏᎏ cm. Determina i lati del 5 rettangolo. 96 72 ᎏᎏ cm; ᎏᎏ cm 5 5

冤

冥

482 Diminuendo di 2 cm lo spigolo di un cubo, il suo volume diminuisce di 218 cm3. Trova la lunghezza dello spigolo. [7 cm] 483 Per fabbricare una lattina di aranciata di forma cilindrica occorrono 112 ␲ cm2 di alluminio. Se l’altezza supera di 2 cm il diametro di base, quanti millilitri di aranciata sono contenuti nella lattina? [160␲ ml] 3 484 In un parallelepipedo rettangolo la base ha le due dimensioni che sono una i ᎏᎏ dell’altra, mentre l’altez5 za supera di 3 cm la maggiore delle dimensioni di base. La superficie totale del parallelepipedo è 1134 cm2. [2430 cm3] Determina il volume. 485 Un parallelepipedo rettangolo ha per base un rettangolo in cui una dimensione supera l’altra di 8 cm. L’al[2272 cm2] tezza è lunga 28 cm. Sapendo che il volume è 6720 cm3, trova l’area della superficie totale. 486 In un cilindro circolare retto l’altezza supera di 12 cm il raggio di base. Se l’area della superficie totale è [425 ␲ cm3] 220 ␲ cm2, qual è il volume? 70 m

487

x

Il proprietario di un terreno deve cederne una parte (vedi figura) uguale a 416 m2 per la costruzione di una strada. Calcola la larghezza x della strada sapendo che il terreno rimasto ha i lati lunghi 30 m e 70 m. [x ⫽ 4 m]

30 m

x

x

488

supermercato

Si deve costruire un supermercato con il relativo parcheggio che ha la piantina in figura. Supposto che x sia minore della metà del lato del quadrato, come deve essere lungo x affinché il parcheggio occupi una superfi[x ⫽ 12 m] cie complessiva di 19 332 m2?

x

150 m x x

489

5 cm

parcheggio 150 m

L’area colorata in giallo vale 156 cm2. Qual è la lunghezza del lato del quadrato grande? Risolvi il problema in due modi, ponendo dapprima x uguale alla misura del lato del quadrato centrale e poi x uguale a quella del lato del quadrato grande. [17,8 cm]

725

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

490 Su una tavoletta babilonese, scritta a caratteri cuneiformi, si legge: «Larghezza e lunghezza. Io ho moltiplicato la lunghezza e la larghezza e ho ottenuto un’area. Inoltre ho aggiunto all’area l’eccesso della lunghezza sulla larghezza, essendo il risultato 82. Infine la somma della lunghezza e della larghezza è 18». Calcola la lunghezza, la larghezza e l’area. [10; 8; 80]  D ⫽ 32a. Prolunga 491 Disegna il triangolo ABC rettangolo in A, prolunga AC di un segmento CD tale che A  D ⫽ 45a. Sapendo l’ipotenusa BC di un segmento CE tale che CED sia un triangolo rettangolo in D e che E  B supera A C  di 7a, determina il perimetro dei due triangoli. [40a; 120a] che A 492 Nel quadrato ABCD di lato 12 cm trova su AD il punto P tale che: 2P C 2⫹P B  2 ⫽ 528 cm2.

[P D  ⫽ 4 cm]

3 493 In un trapezio rettangolo la base maggiore supera di 24 cm la minore. L’altezza è ᎏᎏ della base minore e l’area è 5 324 cm2. Determina la lunghezza delle basi. [18 cm; 42 cm] 494 Un triangolo isoscele ABC, di base AB, il cui lato è lungo 30 cm, è circoscritto a una semicirconferenza con 144 diametro DE ⫽ ᎏᎏ cm sul lato AB. 5 [96 cm, 24 cm; 108 cm, 18 cm] Trova il perimetro e l’altezza del triangolo. 3 ^ AB ⫹ AC  ⫽ 32a. 495 Nel triangolo ABC si sa che BAC ⫽ 30°, AB ⫽ ᎏᎏ AC e  5 Preso un punto P su AB, traccia l’altezza BD e da P la parallela a BD che incontri AC in H. Trova P in modo D  2 ⫹ 2A H  2 ⫽ 124a 2. [P H  ⫽ 4a] che: P 496 Data la semicirconferenza di diametro AB e centro O, sul prolungamento di AB dalla parte di B considera un punto P tale che O P  ⫽ 25 e traccia la tangente PT nel punto T alla semicirconferenza. Sapendo che PT 2 [60; 30 ⫹ 65] è i ᎏᎏ del diametro, calcola l’area e il perimetro del triangolo TBP. 3 497 Dato il triangolo ABC rettangolo in A, traccia l’altezza AH e disegna le proiezioni di H sui cateti AC e AB, 4 625 chiamandole rispettivamente D ed E. Sapendo che AE ⫽ ᎏᎏ HE e che l’area di ABC è ᎏᎏ , trova  AH . [10] 3 6

■ Problemi vari 498 Il doppio del quadrato di un numero intero è uguale a 50. Qual è il numero?

[⫹ 5 o ⫺ 5]

499 Sommando a 7 il triplo del quadrato di un numero intero si ottiene 55. Qual è il numero?

[⫹ 4 o ⫺ 4]

500 Il doppio aumentato di 9 del prodotto di un numero naturale con un altro, che lo supera di 4, è uguale a 3 volte il quadrato del primo. Determina i due numeri. [9; 13] 501 Ho depositato in banca € 20 000 in un conto corrente e ritiro oggi, dopo due anni, € 21 632. Quale tasso di interesse annuo costante è stato praticato? [4%] 502 In una frazione il denominatore supera di 5 il numeratore. Trova la frazione sapendo che sommandola 53 2 ᎏᎏ con la sua reciproca si ottiene ᎏ ᎏ . 14 7

冤 冥

726

Paragrafo 7. La funzione quadratica e la parabola

ESERCIZI

503 In una pizzeria è esposto questo cartello: «Pizza per una persona – diametro 25 cm – costo € 3,50. Pizza per due persone – diametro 36 cm – costo € 7». a) Quale scelta devono fare due amici per mangiare di più e spendere meno? b) Che diametro dovrebbe avere la pizza piccola affinché la scelta sia ugualmente conveniente per i due amici? [a) la grande; b) cm 25,46] 504 La divisione intera tra due numeri naturali dà quoziente 5 e resto 2, mentre la divisione intera tra i loro quadrati dà quoziente 29 e resto 4. Determina i due numeri. [27; 5] 505 Determina l’età di un ragazzo sapendo che il rapporto tra l’età che egli avrà tra 24 anni e quella che aveva un anno fa è uguale al rapporto tra il triplo della sua età di 6 anni fa e quella che egli avrà tra 4 anni. [26 anni] 506 In un numero di due cifre la cifra delle decine supera di 4 quella delle unità. Il triplo prodotto delle due cifre risulta pari al numero diminuito di 10. Determina il numero. [73]

–䊳

7. La funzione quadratica e la parabola

Teoria a pag. 682

■ La funzione y ⴝ ax 2 ESERCIZIO GUIDA

507 Tracciamo il grafico delle seguenti funzioni: 1 1 a) y ⫽ ᎏᎏ x 2; b) y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x 2. 4 2 Sono due funzioni quadratiche del tipo y ⫽ ax 2, quindi i grafici sono parabole con vertice nell’origine e asse di simmetria coincidente con l’asse y. La prima ha a ⬎ 0, quindi ha concavità rivolta verso l’alto; la seconda ha a ⬍ 0, quindi ha concavità verso il basso. Disegniamo le due curve, compilando una tabella con le coordinate di alcuni punti. y

y x

y

±1 ±2

1 – 4 1

±4

4

x

y ±1 –1– 2 ±2 –2 ±4 –8

1 2 y =–x 4 4 1 – 4 –4

–2 –1

a

–4

–2 –1

O1 2

4 x

–1– 2 –2

1 O1 2

4

–8

x

y = –1 –x2 2 b

Traccia nello stesso piano cartesiano i grafici delle seguenti funzioni. 508 y ⫽ x 2,

1 y ⫽ ᎏᎏ x 2 , 2

y ⫽ 4x 2.

509 y ⫽ ⫺ x 2,

y ⫽ ⫺ 2x 2,

y ⫽ ⫺ 4x 2.

727

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

510 Per quali valori di k la parabola di equazione y ⫽ (k ⫺ 3)x 2 rivolge la concavità verso l’alto? Disegna la parabola che si ottiene per k ⫽ 6. [k ⬎ 3]

513 Che equazione ha la parabola della figura? y

(

1 –– 3 A ––; 2 2

511 Verifica se i punti A(2; 1) e B(⫺ 3; 2) appartengono 1 alla parabola di equazione y ⫽ ᎏᎏ x 2. 4 512 Trova per quale valore di a la funzione y ⫽ ax 2 as1 sume valore 1 per x ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 [a ⫽ 9] Disegna il grafico relativo.

■ La funzione y ⴝ ax 2 ⴙ bx ⴙ c

O

Nel sito:

)

x

[y ⫽ 6x 2]

䉴 10 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

514 Tracciamo il grafico della funzione: y ⫽ ⫺ x 2 ⫺ 5x ⫺ 6. Il grafico è una parabola il cui asse di simmetria ha equazione: b ⫺5 5 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; 2a ⫺2 2 5 Il vertice V ha ascissa xV ⫽ ⫺ ᎏᎏ e ordinata 2 5 25 25 yV ⫽ f (xV) ⫽ f ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 6 ⫽ 2 4 2 ⫺ 25 ⫹ 50 ⫺ 24 1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 4 4 Compiliamo una tabella con le coordinate di alcuni punti e tracciamo il grafico.

冢

x –5 – 2 –1 –4 0 –5

y

y 1 – 4 –2 –2 –6 –6

y = –x2 – 5x – 6 –5 – 4

1 – 4 O –1

–5 – 2

x

–2

冣

–6 y = – –5 2

Traccia il grafico delle seguenti funzioni, determinando le coordinate del vertice e di almeno cinque punti. 515 y ⫽ x 2 ⫺ 4x 516 y ⫽ ⫺ x 2 ⫹ 2x ⫺ 1 517 y ⫽ x 2 ⫹ 3x ⫹ 2 1 518 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x 2 ⫹ x ⫺ 1 2

728

[V(2; ⫺ 4)] [V(1; 0)]

冤V 冢⫺ ᎏ32ᎏ ; ⫺ ᎏ14ᎏ冣冥 冤V 冢1; ⫺ ᎏ12ᎏ冣冥

519 y ⫽ 2x 2 ⫺ 8x ⫹ 3

[V(2; ⫺ 5)]

520 Indica quali dei seguenti punti appartengono alla parabola di equazione y ⫽ x2 ⫺ 5x ⫹ 4. 1 A(2; 2), B( ⫺ 1; 10), C ⫺ ᎏᎏ ; 3 , D(0; 4). 2

冢

冣

Paragrafo 7. La funzione quadratica e la parabola

521 Determina il valore di a per cui la parabola di equazione y ⫽ ax2 ⫹ x ⫺ 1 ha il vertice di ascissa 2. Rappresenta graficamente la parabola ottenuta.

冤

ESERCIZI

523 VERO O FALSO?

冥

1 a ⫽ ⫺ ᎏᎏ 4

a) La parabola di equazione y ⫽ 2x2 ⫹ 1 ha il vertice sull’asse y.

V

F

b) Il punto (1; 2) appartiene alla parabola di equazione y ⫽ ⫺ x2 ⫹ 2x ⫺ 3.

V

F

V

F

d) Se nell’equazione y ⫽ ax ⫹ bx ⫹ c si ha b ⫽ 0, la parabola associata ha il vertice nell’origine degli assi.

V

F

e) Tutte le parabole che hanno il vertice nell’origine hanno equazione del tipo y ⫽ ax2, con a ⫽ 0.

V

F

2

x

2

c) La parabola di equazione y ⫽ ⫺ 2x ⫹ x rivolge la concavità verso il basso.

522 Per ognuna delle parabole con le seguenti equazioni, indica l’equazione dell’asse di simmetria, le coordinate del vertice e se la concavità è rivolta verso l’alto o verso il basso. 1 c) y ⫽ ⫺ 2x 2 ⫹ 6x; a) y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x 2 ⫺ 4x; 2 b) y ⫽ x 2 ⫺ 2x ⫹ 4; d) y ⫽ 3x 2 ⫺ 2.

2

524 ASSOCIA a ogni parabola la relativa equazione. y

O

y

y

y

1

O

x

2

x 1

1 O

1 – 2

O

x –4

–4 V a

b

1 1. y ⫽ ᎏᎏ x 2 4

2. y ⫽ x 2 ⫺ 4x

c

3. y ⫽ 4x 2 ⫺ 4

525 Date le equazioni: y ⫽ x(x ⫺ 2) ⫹ 1, y ⫽ (x ⫺ 1)(x ⫹ 1), y ⫽ 2x 2 ⫺ 3, y ⫽ (x ⫺ 3)2, 3x 2 ⫺ x 3, quale di esse non è rappresentata da una parabola? 526 ASSOCIA a ogni equazione di parabola il relativo vertice. A. V 1(2; 5). 1. y ⫽ 2x 2 ⫺ 4x ⫹ 3 B. V 2(1; 1). 2. y ⫽ ⫺ x 2 ⫹ 4x ⫹ 1 C. V 3(⫺ 2; 0). 3. y ⫽ 2x 2 ⫹ 8x D. V 4(⫺ 2; ⫺ 8). 4. y ⫽ x 2 ⫹ 4x ⫹ 4 527 Trova per quale valore di c la parabola di equazione y ⫽ ⫺ 2x 2 ⫹ x ⫹ c passa per il punto A(1; 3). [4]

V d

4. y ⫽ 4x2

528 Quali delle seguenti parabole passano per l’origine? Quale parabola ha il vertice sull’asse x? c) y ⫽ x 2 ⫺ 4x; a) y ⫽ ⫺ x 2 ⫹ 2x; 2 d) y ⫽ x 2 ⫺ 4x ⫹ 4. b) y ⫽ 3x ⫹ x ⫺ 1; 529 Determina il valore di b per cui la parabola di equazione y ⫽ x 2 ⫺ 3bx ⫹ 1 ha il vertice sull’asse y e poi rappresenta il grafico della parabola. [b ⫽ 0] 530 Trova per quale valore di a la parabola di equa1 zione y ⫽ ax 2 ⫹ 2x ⫺ ᎏᎏ ha il vertice sull’asse x. 2 Rappresenta il suo grafico. [a ⫽ ⫺ 2]

729

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

531 Indica per quale valore di b la parabola di equazione y ⫽ 4x 2 ⫹ bx ⫹ 3 passa per il punto P(1; ⫺ 1).

[⫺ 8]

532 Trova per quali valori di a e b la parabola di equazione y ⫽ ax 2 ⫹ bx ⫹ 1 passa per A(⫺ 1; 1) e B(2; ⫺ 5). [⫺ 1; ⫺ 1]

■ Gli zeri della funzione quadratica 533 VERO O FALSO? La funzione quadratica y ⫽ x 2 ⫺ 4x ⫹ 12 rappresenta una parabola che: a) volge la concavità verso il basso.

V

F

b) passa per l’origine degli assi.

V

F

c) ha il vertice di ascissa 2.

V

F

d) passa per il punto (⫺ 1; 17).

V

F

e) ha come zeri x 1 ⫽ ⫺ 6 e x 1 ⫽ 2.

V

F

534 Rappresenta il grafico della parabola di equazione y ⫽ x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 e trova quali suoi punti hanno ordinata nulla. [x1 ⫽ 1, x2 ⫽ 3] 535 La parabola del grafico ha equazione: y ⫽ ⫺ x 2 ⫹ 2x ⫹ 8. Trova le coordinate dei punti A e B.

536 La parabola del grafico ha equazione: y ⫽ x 2 ⫺ 4x ⫹ 4. Trova le coordinate dei punti A e B.

y

y y = –x2 + 2x+ 8 y =x2 – 4x +4 B

A O

B

O

x

A

[A(⫺ 2; 0), B(4; 0)]

x

[A(2; 0), B(0; 4)]

537 Trova gli zeri della funzione quadratica y ⫽ x 2 ⫺ 4x. Cosa rappresentano graficamente i valori trovati? [x1 ⫽ 0, x2 ⫽ 4] 538 Disegna il grafico della parabola di equazione y ⫽ 2(x ⫹ 2)(x ⫺ 3), dopo aver determinato le coordinate del vertice e i punti di intersezione con gli assi cartesiani. 1 25 V ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ ; A(⫺ 2; 0), B(3; 0), C(0; ⫺12) 2 2 1 539 Data la parabola di equazione y ⫽ ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ 1)(x ⫺ 5), trova l’area del triangolo ABC che ha come vertici i 2 [5] punti di intersezione della parabola con gli assi.

冤冢

冣

冥

540 La parabola di equazione y ⫽ (x ⫺ 2)(x ⫺ 6) ha vertice V, mentre A e B sono le sue intersezioni con l’asse x. [4(5 ⫹ 1)] Determina il perimetro del triangolo AVB.

730

Paragrafo 7. La funzione quadratica e la parabola

y

541

ESERCIZI

Della parabola data in figura sappiamo che x 1 ⫹ x 2 ⫽ 4 e che x 1 x 2 ⫽ 3. Trova l’equazione della parabola sapendo anche che il coefficiente a di x2 è uguale a 2. Determina inoltre x1 e x2.

A

B

O x1

x2

x

[y ⫽ 2(x 2 ⫺ 4x ⫹ 3); x1 ⫽ 1, x2 ⫽ 3]

■ La funzione quadratica e i problemi x

542

A 4 cm

a) Utilizzando i dati della figura dimostra che l’area colorata vale: A ⫽ x 2 ⫺ 4x ⫹ 8. b) Rappresenta graficamente la funzione A. c) Trova per quale valore di x l’area misura 5 cm2. d) Esiste un valore di x per cui l’area è nulla? [c) 1; d) no]

2x 4 cm

Una lattina di aranciata ha forma cilindrica e altezza 12 cm. a) Dimostra che se il raggio di base è variabile e uguale a x il suo volume è V ⫽ 12 ␲ x 2. b) Rappresenta graficamente la funzione quadratica che hai ottenuto. c) Trova per quale valore del raggio la lattina contiene 600 cm3 di aranciata. d) Se raddoppia il raggio, la quantità di aranciata che può essere contenuta nella lattina raddoppia? [c) x ⫽ 3,99 cm; d) no]

543

12 cm

544 4 cm

Considera la scatola di cartone della figura. a) Trova l’area totale A della scatola in funzione di x e rappresenta la funzione ottenuta. b) Quanti cm2 di cartone sono necessari per costruirla se x ⫽ 3 cm? c) Quanto deve misurare x se A ⫽ 130 cm2? [a) A ⫽ 2x 2 ⫹ 16x; b) 66 cm2; c) 5 cm]

x x

545 Si deve costruire una piscina rettangolare di perimetro uguale a 32 m. a) Dimostra che l’area occupata è A ⫽ ⫺ x 2 ⫹ 16x, dove x è la lunghezza della piscina. b) Rappresenta graficamente la funzione A tenendo conto che x non può essere un numero negativo. c) Trova per quale valore di x si ha la piscina più grande possibile (con il perimetro invariato). d) Calcola in questo caso le sue dimensioni. [c) 8; d) 8,8] 546 Trova per quali valori di a la parabola di equazione y ⫽ ⫺ x 2 ⫹ (4a ⫹ 1)x ⫺ 4a2 interseca l’asse x in due punti distinti. 1 a ⬎ ⫺ ᎏᎏ 8

冤

冥

731

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

Le equazioni di secondo grado con Excel ESERCITAZIONE GUIDATA

1 In un rettangolo la misura h dell’altezza è data dalla differenza fra un valore g e ᎏᎏ della misura della base. 4 Costruiamo un foglio di Excel che permetta di inserire il valore g e l’area S del rettangolo e dia in uscita, se esistono, le lunghezze della base e dell’altezza. 1 Detta x la misura della base, abbiamo h ⫽ g ⫺ ᎏᎏ x e da S ⫽ bh ricaviamo: 4 1 1 S ⫽ x g ⫺ ᎏᎏ x , da cui otteniamo l’equazione di secondo grado ᎏᎏx2 ⫺ gx ⫹ S ⫽ 0. 4 4 Calcoliamo il discriminante: ⌬ ⫽ g2 ⫺ S. e Se ⌬ ⬎ 0, otteniamo le due soluzioni b1 ⫽ 2g ⫺ 2⌬  (se ⌬ e g sono positivi, b1 e b2 sono sempre positib2 ⫽ 2g ⫹ 2⌬ ve); se ⌬ ⫽ 0, troviamo la sola soluzione b0 ⫽ 2g; se ⌬ ⬍ 0, non abbiamo soluzioni. ● Attiviamo Excel e scriviamo le didascalie come in figura. ● Digitiamo quindi, basandoci sull’analisi svolta: ⫽ SE(E(C2⬎0; C3⬎0); “-⬎”; “I dati d’ingresso devono essere positivi”) in A4, ⫽ SE(A4⫽”- ⬎”; C2^2-C3; “”) in C5, ⫽ SE(A4⫽”- ⬎”; SE(C5⬍0; “quin-

冢

冣

di non vi sono soluzioni.”; SE(C5⫽0; “e vi è una soluzione:”; “e vi sono due soluzioni:”)); “”) in A6, ⫽ SE(A4⫽”- ⬎”; SE(C5⬎0; 䉱 Figura 1 2*C2-2*RADQ(C5); SE(C5⫽0; 2*C2; “⫽”)); “”) in A8, ⫽ SE(A4⫽”- ⬎”; SE(C5 ⬎ 0; 2*C2 ⫹ 2*RADQ(C5); “⫽”); “”) in C8, ⫽ SE(A4⫽”- ⬎”; SE(A8 ⫽ “⫽”; “⫽”; C3/A8); “”) in A10, ⫽ SE(A4⫽”- ⬎”; SE(C8⫽”⫽”; “⫽”; C3/C8); “”) in C10. ● Proviamo il foglio con i valori 50 di g in C2 e 1600 di S in C3.

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata con Excel 䉴 12 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Risolvi i seguenti problemi in modo analogo a quello dell’esercitazione guidata. Prova il foglio nei casi proposti. 1

In un triangolo isoscele ABC il perimetro 2p è di 100 m. Determina la misura x dell’altezza AH dopo aver assegnato la misura l del lato obliquo AC. Casi proposti: a) l ⫽ 24 m; b) l ⫽ 25 m; c) l ⫽ 26 m. Fai variare x e calcola l, la misura b della base BC e l’ampiezza S dell’area di ABC. / x; b) x ⫽ 0; c) x ⫽ 10] [a) ∃

732

2

In un rettangolo ABCD l’area S è di 36 m2, la misura x della base AB supera la misura h dell’altezza BC di g. Determina x dopo aver assegnato g. Casi proposti: a) g ⫽ 0 m; b) g ⫽ 9 m; c) g ⫽ 16 m. Fai variare x e calcola h e g. [a) x ⫽ 6; b) x ⫽ 12; c) x ⫽ 18]

Matematica per il cittadino

ESERCIZI

Matematica per il cittadino LO SPAZIO DI FRENATA

Lo spazio di frenata di un veicolo è la distanza che esso percorre da quando inizia l’azione dei freni fino all’arresto della vettura. Il ministero dei Trasporti fornisce un modello semplificato, ma abbastanza conforme alla realtà, secondo cui la formula per calcolare lo spazio di frenata sf , espresso in metri, è la seguente: v2 sf ⫽ ᎏᎏ , 250 ⭈ f dove v è la velocità del veicolo in km/h e f è un coefficiente dimensionale che dipende dalle condizioni del fondo stradale secondo la seguente tabella. CONDIZIONE DELLA STRADA

COEFFICIENTE DI ADERENZA f

strada asfaltata asciutta con fondo granuloso

0,8

strada asfaltata ruvida

0,6

strada asfaltata liscia

0,5

strada asfaltata bagnata

0,4

strada con fanghiglia

0,3

strada ghiacciata

0,1

1. Due motorini, A e B, viaggiano rispettivamente alle velocità di 60 km/h e di 30 km/h su una strada asfaltata liscia. Quanto vale il loro spazio di frenata? È giusto dire che lo spazio di frenata di A è doppio di quello di B? Perché? 2. A parità di velocità, che rapporto c’è tra lo spazio di frenata su una strada asfaltata ruvida e quello su una strada con fanghiglia?

VELOCITÀ SPAZIO (m), (km/h) f ⴝ 0,8

SPAZIO (m), f ⴝ 0,3

0 10 20 30

3. In un caso di tamponamento, la polizia stradale stabilisce che i segni lasciati dalle ruote durante la frenata su una strada asfaltata bagnata sono lunghi circa 92 m. A quale velocità procedeva l’automobile?

40

4. La tabella a lato mostra lo spazio di frenata in funzione della velocità per diversi valori del coefficiente di aderenza; completala approssimando i valori all’intero. Se vuoi, la puoi costruire con un foglio elettronico.

70

5. Rappresenta graficamente i valori della tabella a lato mettendo sull’asse delle ascisse le velocità, sull’asse delle ordinate gli spazi di frenata e sovrapponendo in un unico riferimento cartesiano i tre grafici relativi ai tre diversi valori di f.

SPAZIO (m), f ⴝ 0,5

50 60 80 90 100 110 120 130

733

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Delle equazioni: 3x 2 ⫺ 7 ⫽ 0 e 3x 2 ⫺ 7x ⫽ 0, possiamo dire che: A B C D E

2

B C D E

non ha soluzioni reali. ha due soluzioni reali coincidenti se c ⬍ 0. ha due soluzioni reali opposte se c ⬍ 0. ha due soluzioni reali opposte se a e c sono discordi. ha soluzioni reali coincidenti se a e c sono discordi.

B C D E

a e c sono concordi. b è negativo. b2 ⫺ 4ac ⬍ 0. il discriminante è nullo. b 2 ⬎ 4ac. 2

L’equazione 4x ⫺ bx ⫹ 9 ⫽ 0 ha due soluzioni reali coincidenti se: A B C

734

b ⫽ 0. ⌬ ⬍ 0. b ⫽ ⫾ 12.

D E

b ⬍ 0. b ⫽ ⫾ 6.

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

Il discriminante dell’equazione ax 2 ⫺ (a ⫺ 1)x ⫺ 1 ⫽ 0 A B C D E

6

è:

2

a ⫹ 1. (a ⫹ 1)2. 0. a 2 ⫺ 1. (a ⫺ 1)2.

Considera l’equazione x 2 ⫺ 3x ⫹ 2 ⫽ 0. Soltanto una delle seguenti affermazioni è vera. Quale? A B C D E

Il prodotto delle radici è uguale alla loro somma. L’equazione ha due radici negative. L’equazione non ha radici reali. L’equazione ha per radici due numeri irrazionali. L’equazione ha due radici positive.

7

Considera l’equazione 4x 2 ⫺ 5x ⫹ 1 ⫽ 0. La somma delle soluzioni è: 5 A ᎏᎏ . D 9. 4 5 B 4. E ⫺ ᎏᎏ . 4 1 C ᎏᎏ . 4

8

Considera l’equazione parametrica:

Soltanto una delle seguenti affermazioni è vera. Quale? L’equazione 3x 2 ⫺ 2x ⫹ 3 ⫽ 0 non ha soluzioni reali perché: A

4

sono incomplete e fra loro equivalenti.  21 ᎏᎏ è soluzione di entrambe. 3 la prima è spuria e la seconda è pura. nessuna ha soluzioni in R. sono equazioni incomplete e a coefficienti irrazionali.

5

È data l’equazione di secondo grado in x: ax 2 ⫹ c ⫽ 0. Soltanto una delle seguenti affermazioni è vera. Quale? L’equazione: A

3

Nel sito:

x 2 ⫺ (k ⫹ 2)x ⫹ k ⫹ 5 ⫽ 0. Per quali valori di k le soluzioni sono reali coincidenti? A

Soltanto per k ⫽ 4.

B

Soltanto per k ⫽ ⫺ 2.

C

Soltanto per k ⫽ ⫺ 5.

D

k ⫽ ⫾ 4.

E

In nessuno dei casi precedenti.

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ 9

Un’equazione di secondo grado pura può avere una soluzione uguale a zero? Perché?

10 Perché l’equazione nell’incognita x, x 2 ⫺ ax ⫹ a 2 ⫽ 0 con a ⫽ 0, non ammette soluzioni reali? 11 Perché puoi affermare che un’equazione di secondo grado ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 ha sicuramente soluzioni reali se a e c sono discordi? 12 Puoi affermare che la somma delle radici dell’equazione 5x 2 ⫺ 10x ⫺ 1 ⫽ 0 è 2, senza risolverla? Perché? x2 ⫺1 13 Perché l’equazione ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ è palesemente impossibile? x(x ⫹ 1) x⫹1 14 L’equazione di secondo grado del tipo (ax ⫹ b)2 ⫽ 0 ha il discriminante necessariamente nullo? Perché? 15 In che modo puoi utilizzare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, per risolvere l’equazione x 4 ⫹ 3x 2 ⫹ 2 ⫽ 0? 16 Se nell’equazione ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 i coefficienti b e c sono opposti, la somma delle radici è uguale al loro prodotto. Spiega perché.

ESERCIZI

Nel sito:

䉴 25 esercizi in più

Risolvi le seguenti equazioni. 33x ⫺ 1 1 17 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ (x ⫹ 1) ⫽ 4x (1 ⫺ x) ⫺ (2x ⫺ 3) 2 2 2 18 4(2 ⫺ x)(x ⫹ 2) ⫹ 20 ⫽ 36(x ⫹ 1) ⫺ x (2x ⫹ 7) 2(x ⫹ 1)(x ⫺ 1) (2x ⫹ 3)2 x2 ⫺ 3x ⫺ 6 19 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 12 4 3 1 x (3x ⫺ 2)(3x ⫹ 2) 3 20 ᎏᎏ(x ⫺ 2) ⫹ ᎏᎏ ⫺ x 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 6 3 3 2

冢

冣

21 [(x ⫹ 1) 2 ⫺ x 2](2x ⫺ 1) ⫺ x(x ⫺ 1) ⫽ 2(x 2 ⫺ x) ⫺ (1 ⫺ x) 1 1 4⫺x2 3 1 22 ᎏᎏ (x ⫹ 2) 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ 3 2 6 2 3

冢

冣

2

23 (x ⫺ 2 )(x ⫹ 2 ) ⫽ 4(x ⫺ 1)(x ⫹ 1) 3x ⫺ 2 (2 ⫹ x)(2 ⫺ x) 1 ⫹ x2 ⫹ 15x 24 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 5 3 15 25 5x ⫺ (x ⫹ 1) 2 ⫹ (2x ⫺ 1) 2 ⫽ 2 ⫺ (x ⫹ 3)(x ⫺ 2) 2 2 5 5 26 x x ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ (2x ⫹ 1) ⫹ ᎏᎏ ⫽ 0 3 3 3

冢

冣

[impossibile]

冤0; ⫺ ᎏ2ᎏ冥 29

3 ⫾ 5

冤ᎏ2ᎏ冥 3 冤0; ᎏ1ᎏ6 冥 [⫺ 2; 0]

冤0; ᎏ3ᎏ冥 1

冤⫾ 冪莦ᎏ3ᎏ莦冥 2

[0; 6] [⫾ 2] 5 ⫺ 2

冤5; ᎏ3ᎏ冥 735

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni. 3x 5x 2x ⫹ 1 ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ 2 27 ᎏᎏ ⫹ ᎏ 2 x ⫹1 x ⫺x⫺2 x⫺2 28

[⫺ 3; 1]

冤0; ᎏ3ᎏ冥 冤⫺ ᎏ23ᎏ ; 1冥 7 冤ᎏ9ᎏ ; 0 non accettabile冥

3x ⫹ 3 4x ⫹ 9 (x 2 ⫺ 6x ⫹ 9)(x ⫺ 1) ᎏᎏᎏ ⭈ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 x ⫺ 2x ⫺ 3 x⫹1 x ⫹1

16

x⫹3 1 2 2(4x ⫺ x 2 ⫺ 1) ᎏ ⬊ ᎏ ᎏ ⫹ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 29 ᎏ 9x 2 ⫹ 6x ⫹ 1 3x ⫹ 1 x⫺2 3x 2 ⫺ 5x ⫺ 2 1 9 29 1 ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ⫺ᎏ ᎏ 30 ᎏ x 2 ⫺ 3x 8x 2x 3 ⫹ 2x 2 ⫺ 24x x 2 ⫹ 4x 2x 1 1 ⫺x 2 ⫺ 2x ⫺ 3x2 ⫽ ᎏ ᎏ 31 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x⫺1 x ⫺ x2 x x2 ⫺ x 6 27 3x 2 ⫹ 4x ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 32 ᎏ 2x ⫺ 1 4 ⫺ 7x ⫺ 2x2 x 2 ⫹ 4x x⫹2 x⫺2 x⫺2 1 33 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ x ⫽ 0 x⫺2 x⫹2 x⫹2 2 5⫺x 2(11x ⫺ 24) 16 ⫽ ᎏᎏ ⫺ 3 ⫺ ᎏᎏ 34 ᎏᎏ x⫺8 12x ⫺ x2 ⫺ 32 x⫺4 3 ⫺ 16x 8x ⫺ 1 12x 3 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 35 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 2 8x ⫺ 4 4 ⫺ 16x 4 ⫺ 16x 8x ⫹ 4

冢

冣 冢

[impossibile]

冤⫺ ᎏ3ᎏ ; ᎏ2ᎏ non accettabile冥 1

冣

1

[impossibile]

冤ᎏ4ᎏ ; 12冥 2 冤 ⫾ ᎏ8ᎏ冥 3

Risolvi le seguenti equazioni letterali nella variabile x, discutendone i risultati.

冤se k ⫽ 0: ⫺ ᎏkᎏ , ᎏkᎏ ; se k ⫽ 0: impossibile冥 a 3 冤se a ⫽ 0: ⫺ ᎏ2ᎏ , ᎏaᎏ ; se a ⫽ 0: 0冥 1 a ⫺1 1 冤a ⫽ 0: ⫺ ᎏ3ᎏ, ᎏaᎏ; a ⫽ 0: ⫺ ᎏ3ᎏ冥 1

36 k 2x 2 ⫺ 4kx ⫺ 5 ⫽ 0 37 2ax 2 ⫺ 3a ⫽ 6x ⫺ a 2x 38 3ax 2 ⫺ (2a ⫺3)x ⫹ 1 ⫺ a ⫽ 0 a2 a x ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 39 ᎏ 2 x ⫺ ax x x ⫺a x ⫹b x ⫺b 10b 2 ⫹ bx ᎏ 40 ᎏᎏ ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏ x ⫺ 2b x ⫹ 2b 4b 2 ⫺ x 2 x ⫹ 2a 7a 8ax ⫹ 6a 2 5a 2 ᎏ ⫹ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏ ᎏ ⫹ ᎏ ᎏ 41 ᎏ x 2 ⫺ 9a 2 x ⫹ 3a x ⫺ 3a 9a 2 ⫺ x 2

5

[a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: ⫺ 2a] [b ⫽ 0: impossibile; b ⫽ 0: 3b; 2b non accettabile] [a ⫽ 0: impossibile; a ⫽ 0: ⫾ 4a]

Per ognuna delle seguenti equazioni in x è indicata una soluzione: calcola l’altra, senza applicare la formula risolutiva. 1 1 42 ᎏᎏ x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 2 ⫽ 0; 4 2

x ⫽ ⫺ 2.

[4]

43 3x 2 ⫹ 13x ⫺ 10 ⫽ 0;

x ⫽ ⫺ 5.

冤ᎏ23ᎏ冥

Scomponi, se è possibile, i seguenti trinomi. 44 6x 2 ⫹ x ⫺ 1

736

冤6冢x ⫹ ᎏ2ᎏ冣冢x ⫺ ᎏ3ᎏ冣冥 1

1

45 3x 2 ⫺ 5x ⫺ 2 ⫽ 0

冤3(x ⫺ 2)冢x ⫹ ᎏ13ᎏ冣冥

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Semplifica le seguenti frazioni algebriche, esplicitando le condizioni di esistenza. 8x2 ⫹ 4x ᎏ 46 ᎏ 12x2 ⫹ 26x ⫹ 10 47

ᎏ , x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ∧ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 3x ⫹ 5 3 2 2x

25x 2 ⫺ 4a 2 ᎏᎏᎏ 15x 2 ⫹ 31ax ⫹ 10a 2

5

1

ᎏ , x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ∧ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ冥 冤ᎏ 3x ⫹ 5a 3 5 5x ⫺ 2a

5a

x2 ⫹ kx ⫺ 3k ⫹ 1 x⫺1 ᎏ , semplificata, risulta uguale a ᎏᎏ ? 48 Per quale valore di k la frazione ᎏ 2 x ⫺ 2x ⫺ 8 x⫺4

2a

[k ⫽ 1]

Per ogni equazione nell’incognita x, determina i valori del parametro in modo che siano soddisfatte le seguenti condizioni. con k ⫽ ⫾ 2. 49 (4 ⫺ k2)x 2 ⫺ 4x ⫹ 1 ⫽ 0, a) due radici reali; b) radici uguali; c) radici opposte; d) una radice uguale a ⫺ 2; 5 e) somma dei reciproci delle radici uguale a 4. a) ∀k ∈R⫺{⫾2}; b) k ⫽0; c) ∃⁄ k; d) k ⫽⫾ᎏᎏ; e) ∀k ∈R⫺{⫾2} 2

冥

冤

con k ⫽ 0. 50 kx 2 ⫺ 2(k ⫹ 1)x ⫹ k ⫽ 0, a) radici reali; b) radici opposte; c) radici reciproche; d) somma delle radici uguale a 2 2 ; e) somma dei reciproci dei quadrati delle radici uguale a 2.

冤a) k ⱖ ⫺ ᎏ2ᎏ ; b) k ⫽ ⫺ 1 non accettabile; c) k ⱖ ⫺ ᎏ2ᎏ; d) k ⫽ 1 ⫹ 2; e) k ⫽ ⫺ ᎏ2ᎏ冥 1

1

1

Risolvi i seguenti problemi. 51 Per l’acquisto di un regalo del costo di € 87,50 due persone, tra quelle che inizialmente avevano aderito, si ritirano; la spesa per ciascuno dei restanti aumenta pertanto di € 5,00. Determina quante persone avevano aderito inizialmente. [7 persone] 52 Un triangolo rettangolo ha area di 24 cm2. Il triangolo rettangolo che si ottiene da esso, prolungando i due cateti dalla parte degli angoli non retti, entrambi di 2 cm, ha area di 40 cm2. Determina il perimetro del triangolo di partenza. [24 cm] Una fotografia è incollata al centro di un cartone rettangolare di area uguale a 352 cm2 e largo x cm. Sapendo che il margine è 2 cm:

53 2 cm

2 cm

2 cm

a) dimostra che l’area della fotografia è 1408 A ⫽ 368 ⫺ 4x ⫺ ᎏᎏ ; x b) trova x quando A ⫽ 216 cm2. [b) x ⫽ 16 cm, oppure x ⫽ 22 cm]

2 cm

737

CAPITOLO 11. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA 54

Nel sito:

TEST Quale numero diverso da 0 è tale che la sua decima parte eguagli dieci volte il quadrato del numero stesso? 1 1 1 A ᎏᎏ B ᎏᎏ C ᎏᎏ D 1 E 10 100 10 2

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1999)

55 Piegando un foglio di carta rettangolare, è possibile dividerlo in due parti rettangolari uguali fra loro e simili al foglio originario? Calcola, se è possibile, il rapporto fra i lati del foglio di carta. x  2 detti x e l i lati, ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ l 2 TEST Siano a, b, c numeri non nulli e si con56 sideri l’equazione di secondo grado ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0. Si dica se la somma dei reciproci delle radici di tale equazione è uguale a: b 2a 1 1 A ᎏᎏ . C ᎏᎏ . E ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ . c b a c b 1 1 B ⫺ ᎏᎏ . D ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ . c a b

冤

冥

䉴 15 esercizi in più

57 Determina per quali valori di a 僆 R le soluzioni dell’equazione x 2 ⫽ 2ax ⫹ 2x ⫺ 2a 2 rappresentano i lati di un rettangolo, poi calcola area e perimetro di tale rettangolo. Per quale valore di a il rettangolo diventa un quadrato? (Suggerimento. Utilizza la formula relativa a somma e prodotto delle radici.)

冤a ⬎ 0; 2p ⫽ 2(2a ⫹ 2); A ⫽ 2a 2; a ⫽ ᎏ2ᎏ2 冥 TEST Quale dei seguenti numeri non può

58

a b essere scritto nella forma ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ con a e b interi b a positivi? 25 17 A ᎏᎏ D ᎏᎏ 12 4 10 29 B ᎏᎏ E ᎏᎏ 3 10 7 C ᎏᎏ 3 (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1999)

(Olimpiadi della matematica, Gara Senior, 1990)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

59 A water rocket is launched upward with an initial velocity of 48 ft/s. Its height h, in feet, after t seconds, is given by h ⫽ 48t ⫺ 16t 2. When will the rocket be exactly 32 feet above the ground? (USA Tacoma Community College, Review for Test, 2002)

[t ⫽ 1 s; t ⫽ 2 s] 60 TEST If m is a positive real number, determine the sum of the roots of the equation

䉴 11 esercizi in più

61 The sum of four consecutive positive whole numbers is equal to the product of the smallest number and the largest number. What are the num(CAN John Abbott College, Final Exam, 2003) bers? [3, 4, 5, 6] 62 TEST For how many integer values of n does the equation x 2 ⫹ nx ⫺ 16 ⫽ 0 have integer solutions?

(2x ⫺ 3)2 ⫺ m ⫽ 0. A 1 B 3 C 5 D 7 E 9 (USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2003)

(Hint. Remember the relation between the solutions and the coefficients of the equation.) A

2

B

3

C

4

D

5

E

6

(UK Senior Mathematical Challenge, 2002)

GLOSSARY

ground: suolo height: altezza hint: suggerimento

738

integer: intero (numero) to launch: lanciare root: radice (soluzione)

upward: verso l’alto water rocket: razzo ad acqua whole number: numero intero

CAPITOLOTEORIA

Complementi di algebra

12 Formato A4 Il classico foglio di carta, il più utilizzato nelle stampanti o nelle fotocopiatrici, ha un formato standard in tutta Europa e dimensioni quantomeno insolite… …perché il foglio di formato A4 ha i lati di 21 e 29,7 centimetri?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 755

1. Le equazioni di grado superiore al secondo

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V43a

Come per le equazioni di secondo grado, esistono formule risolutive anche per le equazioni di terzo e di quarto grado ma non le esamineremo, perché troppo complesse. Non esistono invece procedimenti generali per risolvere equazioni di grado superiore al quarto. Noi forniremo soltanto i metodi per la risoluzione di alcuni tipi di equazione di grado superiore al secondo.

■ Le equazioni risolubili con la scomposizione in fattori Consideriamo l’equazione di terzo grado: 2x 3 ⫺ 3x 2 ⫹ x ⫽ 0. Raccogliamo x: x (2x 2 ⫺ 3x ⫹ 1) ⫽ 0. Applichiamo la legge di annullamento del prodotto: x ⫽0

∨

2x 2 ⫺ 3x ⫹ 1 ⫽ 0.

Otteniamo due equazioni, una di primo grado, l’altra di secondo. Abbiamo abbassato di grado l’equazione iniziale di terzo grado.

◗ Legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori.

739

CAPITOLO 12. COMPLEMENTI DI ALGEBRA

TEORIA

◗ 2x 2 ⫺ 3x ⫹ 1 ⫽ 0: ⌬⫽9⫺8⫽1 3⫾1 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 4

1 ᎏᎏ 2 1

Le soluzioni dell’equazione 2x 3 ⫺ 3x 2 ⫹ x ⫽ 0 sono date dall’unione delle soluzioni delle due equazioni. 1 La prima equazione ha per soluzione x ⫽ 0, la seconda x ⫽ ᎏᎏ e x ⫽ 1, 2 1 quindi le soluzioni dell’equazione di terzo grado sono 0, ᎏᎏ e 1. 2 In generale, se un’equazione è scritta nella forma P (x) ⫽ 0, dove P (x) è un polinomio di grado n, possiamo cercare di ottenere una o più soluzioni dell’equazione scomponendo il polinomio in un prodotto di polinomi di grado minore di n e applicando la legge di annullamento del prodotto.

■ L’uso della regola di Ruffini ◗ Ricorda che lo zero di un polinomio P(x) è la soluzione dell’equazione: P(x) ⫽ 0. Soluzione e radice di un’equazione sono sinonimi.

Dato un polinomio P (x) e uno zero x 1 del polinomio, la regola di Ruffini permette di calcolare il quoziente della divisione tra P (x) e il binomio x ⫺ x 1. Indicando con Q(x) il polinomio quoziente, si può scrivere: P (x) ⫽ (x ⫺ x 1 )Q(x), dove Q(x) è un polinomio che ha il grado di P (x) diminuito di 1. La regola è quindi utile in molti casi per ottenere l’abbassamento di grado di un’equazione, della quale, però, bisogna conoscere una radice x1. Per trovare una radice, bisogna controllare nell’equazione se il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a 1 oppure è diverso da 1. Primo caso. Il coefficiente del termine di grado massimo è 1. Risolviamo, per esempio, l’equazione di terzo grado: x 3 ⫺ 2x 2 ⫺ 5x ⫹ 6 ⫽ 0. Per trovare un’eventuale radice intera utilizziamo la seguente regola: se un polinomio a coefficienti interi ha il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, i suoi zeri, se esistono, sono divisori interi del termine noto. Nel polinomio P (x) ⫽ x 3 ⫺ 2x 2 ⫺ 5x ⫹ 6, i divisori interi di 6 sono: ⫹ 1, ⫺ 1, ⫹ 2, ⫺ 2, ⫹ 3, ⫺ 3, ⫹ 6, ⫺ 6.

◗ P (1) ⫽ (1) 3 ⫺ 2(1) 2 ⫹ ⫺ 5(1) ⫹ 6 ⫽ 0

740

Per x ⫽ 1 il polinomio assume il valore 0, quindi il numero 1 è uno zero del polinomio e P (x) è divisibile per x ⫺ 1.

Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo

TEORIA

Applichiamo la regola di Ruffini per calcolare il quoziente della divisione (x 3 ⫺ 2x 2 ⫺ 5x ⫹ 6) ⬊ (x ⫺ 1). 1 ⫺2 ⫺5 6 1 1 ⫺1 ⫺6 1 ⫺1 ⫺6 0 Il polinomio quoziente è Q(x) ⫽ x 2 ⫺ x ⫺ 6, quindi possiamo scrivere: x 3 ⫺ 2x 2 ⫺ 5x ⫹ 6 ⫽ (x ⫺ 1)(x 2 ⫺ x ⫺ 6). Pertanto l’insieme S delle soluzioni dell’equazione iniziale è dato dall’unione delle soluzioni di x ⫺ 1 ⫽ 0 e di x 2 ⫺ x ⫺ 6 ⫽ 0:

◗ x 2 ⫺ x ⫺ 6 ⫽ 0: ⌬ ⫽ 1 ⫹ 24 ⫽ 25

S ⫽ {1, ⫺ 2, 3}. Secondo caso. Il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da 1.

1⫾5 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2

⫺2 3

Esiste un teorema che permette di trovare le radici anche in questo caso, ma prima di enunciarlo forniamo un esempio studiando l’equazione: 6x 3 ⫹ 11x 2 ⫺ 3x ⫺ 2 ⫽ 0. Scriviamo in una tabella i divisori, positivi e negativi, del termine noto e del coefficiente del termine di grado massimo x 3. DIVISORI

divisori interi di ⫺2

1

⫺1

2

⫺2

divisori di 6

1

2

3

6

⫺1

⫺2

⫺3

⫺6

Si può dimostrare che una possibile radice dell’equazione è una frazione il cui numeratore è un divisore di ⫺2 (termine noto) e il cui denominatore è un divisore di 6 (coefficiente di x 3 ). In altri termini, se x 1 è soluzione dell’equazione, allora: divisore di 2 x 1 ⫽ ᎏᎏ . divisore di 6 L’insieme S delle possibili radici è: 1 1 1 1 1 1 2 2 S ⫽ 1, ⫺ 1, ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , 2, ⫺ 2, ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ . 2 2 3 3 6 6 3 3

冦

冧

741

CAPITOLO 12. COMPLEMENTI DI ALGEBRA

TEORIA

Non tutti gli elementi dell’insieme sono effettivamente radici dell’equazione; per trovare una radice, cerchiamo un valore per cui si annulla il polinomio P (x) ⫽ 6x 3 ⫹ 11x 2 ⫺ 3x ⫺ 2. Per tentativi, troviamo che: ◗ Verifica, per esempio, che P (1) ⫽ 0.

1 1 3 1 2 1 P ᎏᎏ ⫽ 6 ᎏᎏ ⫹ 11 ᎏᎏ ⫺ 3 ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽ 0, 2 2 2 2

冢 冣 冢 冣

冢 冣

冢 冣

1 quindi l’equazione di terzo grado ha come radice x ⫽ ᎏᎏ . 2 ◗ 1 ᎏᎏ 2

6

6

11 ⫺ 3 ⫺ 2 3

7

2

14

4

0

Per trovare le altre radici dell’equazione 6x3 ⫹11x2 ⫺ 3x ⫺ 2 ⫽ 0, abbassiamo di grado l’equazione applicando la regola di Ruffini. Il quoziente è Q (x) ⫽ 6x 2 ⫹ 14x ⫹ 4. L’equazione 6x 3 ⫹ 11x 2 ⫺ 3x ⫺ 2 ⫽ 0 è equivalente all’equazione 1 (6x 2 ⫹ 14x ⫹ 4) x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0, 2

冣

冢

le cui soluzioni si determinano risolvendo separatamente le equazioni ◗ 6x 2 ⫹ 14x ⫹ 4 ⫽ 0:

6x 2 ⫹ 14x ⫹ 4 ⫽ 0

3x 2 ⫹ 7x ⫹ 2 ⫽ 0 ⌬ ⫽ 49 ⫺ 24 ⫽ 25 ⫺7⫾5 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 6

⫺2 1 ⫺ ᎏᎏ 3

1 x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 0. 2

e

L’insieme delle soluzioni dell’equazione data di terzo grado è: 1 1 S ⫽ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ⫺ 2 . 2 3

冦

冧

Enunciamo ora il teorema che abbiamo applicato nell’esempio. TEOREMA

Zeri razionali di un polinomio N Se la frazione ridotta ai minimi termini ᎏᎏ è uno zero di un polinomio a D coefficienti interi, allora N è un divisore intero del termine noto e D è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo.

P (x) N P — D

( )

742

an xn an 0

1

xn

1

… a1 x N — D

a0

a0,a1 … an

divisore intero di a0 divisore intero di an

1

,an 僆 ⺪

Paragrafo 1. Le equazioni di grado superiore al secondo

TEORIA

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Per bisogno o per curiosità

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

«Il quinto grado presenta una specie di barriera che gli sforzi degli analisti non hanno ancora potuto superare […]. Determinare in numeri i valori delle radici è […] lo scopo della soluzione di tutti i problemi che i bisogni o la curiosità presentano da risolvere.» (Joseph Louis Lagrange, Lezioni elementari sulle matematiche, Giusti, Milano, 1839)

La mancanza di formule risolutive generali per equazioni di grado superiore al quarto ha condotto a sviluppare metodi di calcolo approssimato per determinare le soluzioni di un’equazione. Risolvi in modo approssimato x5 ⫹ x ⫹ 1 ⫽ 0 con un errore massimo di 0,2. STEFANIA: «Aiutiamoci tracciando per punti il grafico di P(x) ⫽ x 5 ⫹ x ⫹ 1.

Nell’intervallo [⫺ 1; 0] c’è una soluzione, nel punto dove P(x) ⫽ 0». GIACOMO: «E, negli estremi dell’intervallo, P(x) ha valori di segno opposto:

P(⫺ 1) ⫽ ⫺ 1, P(0) ⫽ ⫹ 1». 䉴 Cerca un metodo che sfrutti le osservazioni di Stefania e Giacomo.

■ Le equazioni binomie

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

DEFINIZIONE

䉴 V43b

Un’equazione binomia è riconducibile alla forma ax n ⴙ b ⴝ 0, dove n è un numero intero positivo e a e b numeri reali, con a ⫽ 0. Per n ⫽ 1 o n ⫽ 2 l’equazione è di primo o di secondo grado.

◗ Le equazioni binomie si chiamano così perché in esse il polinomio che viene uguagliato a 0 è un particolare tipo di binomio.

Negli altri casi, per risolvere l’equazione in R, basta ricavare x n e utilizzare la definizione di radice di un numero. Distinguiamo due casi. L’esponente n è dispari ESEMPIO

Risolviamo l’equazione:

x 5 ⫹ 32 ⫽ 0

→

→

x 5 ⫽ ⫺ 32

5

x ⫽ 兹⫺ 苶苶2 3苶 ⫽ ⫺ 2.

L’esponente n è pari ESEMPIO

Risolviamo l’equazione:

x 4 ⫺ 32 ⫽ 0 →

→ 4

→

x 4 ⫽ 32

4

x ⫽ ⫾ 兹苶 32

4

2 , x2 ⫽ ⫹ 2兹2苶. x1 ⫽ ⫺ 2兹苶

Invece l’equazione x 4 ⫽ ⫺ 32 non ha soluzioni reali.

→

◗ Se l’esponente n è pari, si hanno due radici opposte se xn è uguale a un numero positivo, mentre non ci sono radici se xn è uguale a un numero negativo, perché non esiste un numero reale che, elevato a esponente pari, dia un numero negativo.

743

CAPITOLO 12. COMPLEMENTI DI ALGEBRA

TEORIA

Possiamo riassumere i due casi con il seguente schema.

√m n

x= n dispari xn = m m≥0

n pari

m 0 –2 ]–; – 2[ 傼

–1 3 1–; + 3 

]

[

3x2 + 5x – 2 < 0 –2

–1 3

]–2; –13[

803

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

In generale, possiamo enunciare la seguente regola. REGOLA

Se l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 (con a ⬎ 0) ha  0, cioè ha due soluzioni reali distinte x 1  x 2 : ●

●

la disequazione ax 2  bx  c  0 è verificata dai valori esterni all’intervallo individuato dalle radici dell’equazione associata; la disequazione ax 2  bx  c  0 è verificata dai valori interni. a>0,Δ>0 ax + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

2

valori esterni

x1

x2

x1

x2

x < x1 ∨ x > x2

x1 < x < x2

x ∈]−; x1[ 傼 ]x2; +[

x ∈]x1; x2[

valori interni

IL SEGNO DEL TRINOMIO ax 2 ⴙ bx ⴙ c QUANDO ⌬  0 Se  0, l’equazione associata al trinomio ha due radici distinte x 1 e x 2 . Possiamo scrivere: ax 2  bx  c a(x  x 1)(x  x 2). Il segno del trinomio dipende dal segno dei tre fattori:

x1

Se a > 0 :

x2

segno di a segno di x – x1

0 0

segno di x – x2

a, (x  x 1), (x  x 2). Supponiamo x 1  x 2. Se a  0, basta studiare il segno di (x  x 1) (x  x 2). Otteniamo il quadro dei segni della figura. Il prodotto a(x  x 1)(x  x 2) è positivo, ossia concorde con a, per valori di x esterni all’intervallo che ha per estremi le radici, è negativo per valori interni.

segno di a (x – x1)(x – x2)

0

0

Studiando il caso di a  0, si trova che vale la stessa regola: il segno del polinomio è concorde con a (cioè negativo) per valori di x esterni all’intervallo delle radici.

L’equazione associata ha ⌬ ⴝ 0 Risolviamo la seguente disequazione: 4x 2  20x  25  0. L’equazione associata è 4x 2  20x  25 0, con 0. 10 5 L’equazione ha una radice reale doppia: x1 x2     . 4 2 5 2 Scomponiamo in fattori il trinomio: 4x 2  20x  25 4 x   . 2 5 2 La disequazione diventa: 4 x    0. 2

冢

冢

804

冣

冣

Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere

TEORIA

Studiamo il segno del primo membro (figura 5).

4

(x+ 52–) – 4(x+ 5 2)

2

2

冢

冣

5 2 Figura 5 4 x ⴙ ᎏᎏ è composto da 2 5 2 due fattori: 4 è sempre positivo; x ⴙ ᎏᎏ 2 è il quadrato di un binomio, quindi è positivo per ogni x reale, tranne che per 5 x ⴝ ⴚ ᎏᎏ , valore per cui si annulla. 2 Il trinomio 4x2 ⴙ 20x ⴙ 25 è quindi sempre 5 non negativo e si annulla solo per x ⴝ ⴚ ᎏᎏ . 2 䉳

–5 – 2

0 0

冢

冣

5 La disequazione 4x 2 ⫹ 20x ⫹ 25 ⬎ 0 è verificata per x ⫽ ⫺ ᎏᎏ , mentre la 2 disequazione 4x 2 ⫹ 20x ⫹ 25 ⬍ 0 non è mai verificata. In generale, possiamo enunciare la seguente regola. REGOLA

Quando l’equazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 (con a ⬎ 0) ha 0, cioè ha due soluzioni reali coincidenti x 1 x 2: ●

●

la disequazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⬎ 0 è sempre verificata per qualunque valore di x, escluso x 1; la disequazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⬍ 0 non è mai verificata. a > 0, Δ = 0 ax + bx + c 2

ax2 + bx + c

0

0

x1 ∀ x ∈ ⺢ − {x1}

∃x∈⺢

IL SEGNO DEL TRINOMIO ax 2 ⴙ bx ⴙ c QUANDO ⌬ ⴝ 0 Se ⌬ ⫽ 0, l’equazione associata ha una radice doppia x 1 ⫽x 2 . Possiamo scrivere: ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ a(x ⫺ x 1) 2 . Considerando a ⬎ 0, essendo (x ⫺ x 1) 2 ⱖ 0, il prodotto a(x ⫺ x 1) 2 risulta concorde con a (quindi positivo) per qualunque valore di x, escluso il valore x 1 in cui si annulla. Vale lo stesso risultato nel caso di a ⬍ 0, ossia a(x ⫺ x 1 )2 risulta concorde con a (quindi negativo) per qualunque valore di x ⫽ x 1. Se a > 0 :

Se a < 0 : x1

segno di a segno di (x – x1)2

segno di a(x– x1)2

+

x1

+

segno di a

−

−

0

segno di (x – x1)2

0

0

segno di a(x– x1)2

0

805

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

L’equazione associata ha ⌬ ⬍ 0 Risolviamo la seguente disequazione: 2x 2 ⫺ 12x ⫹ 19 ⬎ 0. L’equazione associata è: 2x 2 ⫺ 12x ⫹ 19 ⫽ 0, con ⌬ ⫽ 144 ⫺ 152  8  0. Poiché l’equazione non ha radici reali, non possiamo scomporre il trinomio in fattori. Utilizziamo allora il metodo del completamento del quadrato per trasformare la disequazione in un’altra a essa equivalente. Raccogliamo 2, in modo che il coefficiente di x 2 sia 1: 19 2 x 2  6x    0. 2 Il termine 6x può essere scritto come prodotto 2  x  3, cioè come doppio prodotto di x e di 3. Pertanto aggiungiamo e togliamo al primo membro della disequazione il quadrato di 3:

冢

冣

19 2 x 2  6x    9  9  0. 2

冥

冤

Il trinomio x 2  6x  9 è il quadrato del binomio x  3, quindi: 19 2 (x  3)2    9  0 2

冥

冤

1 2 (x  3)2    0. 2

冤

◗ L’addendo (x  3)2 può anche essere nullo, ma la somma è comunque positiva.

冥

Questa disequazione è equivalente a quella di partenza. La somma fra parentesi quadre risulta positiva per ogni valore reale di x, perché è la somma di un addendo positivo o nullo e di un addendo positivo. Pertanto la disequazione 2x 2  12x  19  0 è verificata per qualunque valore attribuito a x. Al contrario, la disequazione 2x 2  12x  19  0 non è verificata per alcun valore di x. In generale, vale la seguente regola. REGOLA

Quando l’equazione ax 2  bx  c 0 (con a  0) ha  0, cioè non ha soluzioni reali: ●

la disequazione ax 2  bx  c  0 è verificata per qualunque valore di x;

●

la disequazione ax 2  bx  c  0 non è mai verificata. a>0,Δ 0 appartengono alla parte della curva che «sta sopra» l’asse x. Tali punti hanno ascissa maggiore di 4 o minore di 2.

a. La parabola di equazione 1 2 − 3x + 4 interseca l’asse x y = —x 2 nei punti di ascissa 2 e 4.

◗ L’ipotesi a ⬎ 0 ci dice che la parabola volge la concavità verso l’alto.

2

2

V

4

x

c. I punti della parabola con y < 0 appartengono alla parte della curva che «sta sotto» l’asse x e hanno ascissa compresa tra 2 e 4.

Le soluzioni di ax2 ⴙ bx ⴙ c ⬎ 0 (a ⬎ 0) Per dare un’interpretazione grafica della disequazione di secondo grado ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⬎ 0, ● ● ●

si disegna la parabola di equazione y ax 2 ⫹ bx ⫹ c; si cercano gli eventuali punti di intersezione della parabola con l’asse x; si considera la parte di parabola che sta nel semipiano dei punti di ordinate positive (y ⬎ 0).

Le soluzioni della disequazione sono date dalle ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva. Si possono presentare tre casi diversi, ossia che la parabola y ax 2 ⫹ bx ⫹ c intersechi l’asse x in due punti, in un punto o in nessun punto (figura 7). Le soluzioni di ax2 ⴙ bx ⴙ c ⬍ 0 (a ⬎ 0) Nel caso della disequazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⬍ 0 si procede allo stesso modo scegliendo, però, la parte di parabola che sta nel semipiano delle y negative (figura 8).

808

Paragrafo 3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

ax2 + bx + c y

x1 x < x1

ax2 + bx + c y

0, Δ > 0

x2

x x∈⺢

a. La parabola interseca l’asse x in due punti: x1 e x2. Le soluzioni della disequazione sono x < x1 ∨ x > x2.

0, Δ < 0

x

x1 = x2

x > x2

V

ax2 + bx + c y

0, Δ = 0

x ∀x ∈ ⺢

x ≠ x1

b. La parabola interseca l’asse x in un solo punto, ossia è tangente all’asse x nel vertice; x1 e x2 sono coincidenti. La disequazione è verificata per ogni valore reale x ≠ x1.

c. La parabola non interseca l’asse x. Tutti i suoi punti hanno ordinata positiva. La disequazione è sempre verificata.

䉱

y ax2 + bx + c

x1

y ax2 + bx + c

0, Δ > 0

x2

x

y ax2 + bx + c

0, Δ = 0

x1 = x2

x1 < x < x2

b. La parabola interseca l’asse x in un solo punto, ossia è tangente all’asse x nel vertice. Poiché non ci sono suoi punti con ordinata negativa, la disequazione non è mai verificata.

Figura 7

0, Δ < 0

x

x

nessuna soluzione

a. La parabola interseca l’asse x in due punti: x1 e x2. Le soluzioni sono x1 < x < x2.

TEORIA

nessuna soluzione c. La parabola non interseca l’asse x. Non ci sono suoi punti con ordinata negativa: anche in questo caso la disequazione non è mai verificata.

䉱

Figura 8

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Se Ruffini non funziona

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Risolvi la disequazione x 3 ⫺ 5x 2 ⫹ 1 ⬎ 0. ALESSANDRO: VALERIA:

ALESSANDRO:

«Ho provato a scomporre con Ruffini, ma non riesco; non so proprio come risolvere questa disequazione». «Potremmo risolverla graficamente. Però noi sappiamo risolvere graficamente disequazioni di secondo grado. Questa è di terzo…». «Ma, se riusciamo a disegnare il grafico, il metodo mi sembra lo stesso».

䉴 Partendo dall’idea di Valeria, aiuta i due amici a risolvere la disequazione.

809

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

4. Le disequazioni di grado superiore al secondo Per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo del tipo P (x) ⬍ 0 o P (x) ⬎ 0 occorre prima scomporre il polinomio P (x) in fattori di primo o secondo grado, poi discutere il segno dei fattori. ESEMPIO

Risolviamo la disequazione di terzo grado

2x 3 ⫺ 7x 2 ⫹ 2x ⫹ 3 ⬍ 0. Per prima cosa dobbiamo abbassare di grado l’equazione associata: 2x 3 ⫺ 7x 2 ⫹ 2x ⫹ 3 ⫽ 0. I possibili zeri razionali del polinomio sono rappresentati dalle frazioni il cui numeratore è un divisore intero del termine noto e il denominatore è un divisore intero del coefficiente del termine di grado maggiore (x3). Sono quindi: 1 3 ⫾ 1, ⫾ 3, ⫾ ᎏᎏ e ⫾ ᎏᎏ . 2 2 Provando a sostituire il valore 1 all’incognita x troviamo che 1 è uno zero. Applicando la regola di Ruffini otteniamo: 2x 3 ⫺ 7x 2 ⫹ 2x ⫹ 3 ⫽ (x ⫺ 1)(2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3).

◗ 1

2 7 2 3 2 5 3 2 5 3

0

La disequazione iniziale è dunque equivalente a: (x ⫺ 1)(2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3) ⬍ 0. Studiamo il segno dei due fattori: ●

◗ La disequazione 2x 2  5x  3  0 è verificata per valori di x esterni all’intervallo che ha come estremi le radici 1 x 1   e x 2 3 2 dell’equazione associata.

䉴

●

x ⫺1⬎0 ⇔ 2x 2 ⫺ 5x ⫺ 3 ⬎ 0

x ⬎ 1; 1 ⇔ x    2 –1 – 2

∨

1

x–1

x  3. 3

0

2x2 –5x – 3

0

(x–1)(2x2 – 5x – 3)

0

−

0 0

0

Figura 9

La figura 9 mostra il quadro dei segni. La disequazione 2x 3  7x 2  2x  3  0 è quindi verificata per 1 ∨ 1  x  3, x    2 ossia l’insieme delle soluzioni è dato dall’unione di due intervalli: 1  ;   傼 ]1; 3[ . 2

冥

810

冤

Paragrafo 5. Le disequazioni fratte

5. Le disequazioni fratte

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V47a

Nelle disequazioni fratte compare l’incognita anche al denominatore. Possono essere sempre trasformate in disequazioni del tipo A (x ) ᎏᎏ ⬎ 0 B (x )

oppure

A (x ) ᎏᎏ ⬍ 0 B (x)

o in quelle analoghe con i segni ⱖ e ⱕ. Per risolvere una disequazione fratta, come per il prodotto di fattori, è necessario studiare il segno della frazione al variare di x. ESEMPIO

Risolviamo la disequazione fratta

x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ᎏᎏ ⬍ 0. 4x ⫺ x 2 C.E.: 4x ⫺ x 2 ⫽ 0 →

x (4 ⫺ x) ⫽ 0 →

x ⫽ 0 ∧ x ⫽ 4.

Studiamo il segno del numeratore, ponendo N x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ⬎ 0: ◗ Le radici dell’equazione x 2  2x  3 0 sono:

x 2 ⫺ 2x ⫺ 3 ⬎ 0, x 1

∨

x  3.

Studiamo il segno del denominatore, ponendo D 4x  x 2  0: 4x  x 2  0 → x 2  4x  0

x 12

1 3

◗ Le radici dell’equazione 4x  x 2 0 sono x1 0 e x2 4.

0  x  4. La figura 10 illustra il quadro dei segni. –1 x2 – 2x – 3

0

3

0

4x – x2

0 0

0

x2 – 2x – 3 –––––––– 4x–x2

4

0

0

䉳 Figura 10 Il segno della frazione x2 ⴚ 2x ⴚ 3  4x ⴚ x2 viene stabilito mediante le regole di segno della divisione (o moltiplicazione) fra numeratore e denominatore. Per x ⴝ 0 o per x ⴝ 4 la frazione non esiste, perché si annulla il denominatore.

La disequazione x 2  2x  3  0 4x  x 2 richiede che la frazione sia negativa; quindi, osservando il quadro dei segni, deduciamo che la disequazione è verificata per: x 1

∨

0x 3

∨

x  4.

811

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

TEORIA

6. I sistemi di disequazioni

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V48a

Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni nella stessa incognita. Le soluzioni del sistema sono quei valori reali che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni. ESEMPIO

Risolviamo il seguente sistema di disequazioni:

冦x

2x ⫺ 24 ⬍ 0 2 ⫺ 12x ⫹ 11 ⬎ 0

◗ Le soluzioni dell’equazione x 2  12x  11 0 sono: x 6  兹2 苶苶5 1 65

冦x ⬍ 1

x ⬍ 12 ∨

x ⬎ 11

Rappresentiamo gli intervalli delle soluzioni (figura 11). Coloriamo le parti che rappresentano le soluzioni comuni alle due disequazioni.

11 1

䉴 Figura 11 Nella rappresentazione dei valori sulla retta non è necessario rispettare le distanze fra i numeri, ma solo il loro ordine. Il sistema delle due disequazioni ha per soluzioni gli intervalli corrispondenti alle parti colorate in figura, ossia x  1 ∨ 11  x  12.

11

12

x < 12 x < 1 ∨ x > 11

Il sistema è soddisfatto per x ⬍1

∨

11 ⬍ x ⬍ 12,

ossia l’insieme delle soluzioni è dato da: ]  ; 1[ 傼 ]11; 12[.

7. Applicazioni delle disequazioni Negli esercizi esamineremo diversi esempi di applicazione delle disequazioni nelle: ● ● ● ●

812

condizioni di esistenza dei radicali; risoluzioni delle equazioni irrazionali; equazioni e disequazioni parametriche; risoluzioni dei problemi di geometria.

Body Mass Index

TEORIA

Body Mass Index …considerato un peso di 70 kg, per quali fasce di altezza possiamo ritenere una persona sottopeso, normale, sovrappeso o obesa? 䊳 Il quesito completo a pag. 799

–

In campo medico la valutazione della forma fisica di una persona viene compiuta tenendo conto di diversi parametri, quali il sesso, l’età, l’altezza, la massa, la muscolatura, la costituzione ossea e soprattutto la percentuale di massa grassa, costituita dai tessuti adiposi. L’indice di massa corporea (BMI, dall’inglese Body Mass Index) tiene conto del peso e della statura e costituisce una prima stima, seppur grossolana e semplicistica, della forma fisica di un individuo. Indicate con m la massa in kilogrammi e con h l’altezza in metri, si definisce: m . BMI ᎏᎏ h2 A seconda del valore di BMI, è stata prodotta la classificazione che appare in tabella. Valore BMI

Stato

Individuo

ⱖ 40

sovrappeso di 3° grado obeso grave

30-39,9

sovrappeso di 2° grado obeso

25-29,9

sovrappeso di 1° grado sovrappeso

18,5-24,9

normopeso

normale

⬍ 18,5

sottopeso

magro

Ora si supponga che una persona pesi 70 kilogrammi. È chiaro che l’ago della bilancia, da solo, dà poche informazioni sulla forma: fa molta differenza se si tratta di un giocatore di basket, alto più di un metro e ottanta, o di un bambino sotto il metro e cinquanta. Considerando la classificazione dei valori di BMI, ci si chiede per quali fasce d’altezza si può considerare una persona di 70 kilogrammi magra, normale, sovrappeso, obesa o gravemente obesa. Prendiamo come primo caso lo stato di sottopeso: BMI ⬍ 18,5. m e consideriaUtilizziamo la definizione BMI ᎏᎏ h2 mo m 70: 70 ᎏᎏ ⬍ 18,5 h2

→

70 h 2 ⬎ ᎏᎏ . 18,5

Si tratta di una disequazione di secondo grado in h. Risolviamola tenendo conto della condizione h ⬎ 0.

Risulta: h⬎

⯝ 1,95. 冪ᎏ 莦17莦80ᎏ莦 ,5

Pertanto un individuo di 70 kilogrammi più alto di un metro e 95 centimetri è sottopeso o magro. Con lo stesso procedimento si ottengono le disequazioni per gli altri stati di forma fisica, tenendo conto che h ⬎ 0. Per lo stato di normopeso: 70 70 70 ⱕ 24,9 → h 2 ⱕ ᎏᎏ ∧ h 2 ⱖ ᎏᎏ . 18,5 ⱕ ᎏᎏ h2 18,5 24,9 Le due disequazioni hanno soluzioni accettabili: hⱕ

70 ⯝ 1,95 ∧ h ⱖ 冪莦 ᎏ莦ᎏ ⯝ 1,68, 莦17莦80ᎏ莦 冪ᎏ ,5 24莦 ,9

cioè: 1,68 ⱕ h ⱕ 1,95. Pertanto un individuo che ha una massa di 70 kilogrammi è normale se ha un’altezza compresa tra 1,68 e 1,95 metri. Per lo stato di sovrappeso di 1° grado: 70 70 70 ⱕ 29,9 → h 2 ⱕ ᎏᎏ ∧ h 2 ⱖ ᎏᎏ . 25 ⱕ ᎏᎏ h2 25 29,9 Le disequazioni hanno le seguenti soluzioni accettabili: 70 70 0 ⬍ h ⱕ ᎏᎏ ⯝ 1,67 ∧ h ⱖ ᎏᎏ ⯝ 1,53, 25 29,9 cioè: 1,53 ⱕ h ⱕ 1,67. Si conclude che una persona di 70 kilogrammi è sovrappeso se ha un’altezza compresa tra 1,53 e 1,67 metri. Per lo stato di sovrappeso di 2° grado, si ottiene invece: 1,33 ⱕ h ⱕ 1,52. Una persona di 70 kilogrammi è obesa se ha un’altezza compresa tra 1,33 e 1,52 metri. Per lo stato di sovrappeso di 3° grado: 70 70 ᎏᎏ ⱖ 40 → h 2 ⱕ ᎏᎏ , cioè: 2 h 40 70 0 ⬍ h ⱕ ᎏᎏ ⯝ 1,32. 40 Un individuo di 70 kilogrammi è gravemente obeso se è più basso di 1 metro e 32 centimetri.

冪莦莦

冪莦莦莦

冪莦莦

813

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

Le disequazioni di secondo grado 1. Le disequazioni Una disequazione è una disuguaglianza tra espressioni letterali per la quale cerchiamo i valori delle lettere che la rendono vera. I valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni; due disequazioni che hanno lo stesso insieme di soluzioni si dicono equivalenti. Primo principio di equivalenza: da una disequazione si ottiene una disequazione equivalente aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero (o espressione). Secondo principio di equivalenza: se in una disequazione si moltiplicano o si dividono entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione): ● positivo, ● negativo e si cambia il verso della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente. Per studiare il segno di un prodotto di polinomi, si studia il segno di ogni polinomio fattore, poi si determina il segno del prodotto mediante la regola dei segni della moltiplicazione.

2. Le disequazioni di secondo grado intere Per risolvere le disequazioni ax2 ⴙ bx ⴙ c ⬎ 0 e ax2 ⴙ bx ⴙ c ⬍ 0 (con a ⬎ 0), si considera l’equazione associata ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0. Se ⌬ ⬎ 0, la disequazione: 2 ● ax ⫹ bx ⫹ c ⬎ 0 è verificata dai valori esterni all’intervallo individuato dalle radici dell’equazione associata; 2 ● ax ⫹ bx ⫹ c ⬍ 0 è verificata dai valori interni. Se ⌬ ⴝ 0, la disequazione: 2 ● ax ⫹ bx ⫹ c ⬎ 0 è sempre verificata tranne che per il valore della radice doppia dell’equazione associata; 2 ● ax ⫹ bx ⫹ c ⬍ 0 non è mai verificata. Se ⌬ ⬍ 0, la disequazione: 2 ● ax ⫹ bx ⫹ c ⬎ 0 è sempre verificata; 2 ● ax ⫹ bx ⫹ c ⬍ 0 non è mai verificata. a>0

Δ>0 ax2 + bx + c

x1 ax + bx + c 2

814

Δ=0 0

ax2 + bx + c

x2

x1 = x2

0

Δ 0)

0

y

y

O x 1

x2

x

O

x < x1 ∨ x > x2

y

x1 = x2

x

O

∀ x ∈ ⺢, x ≠ x1

x ∀x∈⺢

Analogamente, per ax 2 ⴙ bx ⴙ c ⬍ 0, le soluzioni sono date dalle ascisse dei punti della parabola aventi ordinata negativa.

ax2 + bx + c (a > 0)

y

0

y

O x 1

x2

x1 < x < x2

x

O

y

x1 = x2 ∃x ∈ ⺢

x

O

x ∃x ∈ ⺢

Quando una disequazione di secondo grado ha il coefficiente di x 2 negativo, può essere risolta in due modi: 1. considerando la parabola associata con la concavità rivolta verso il basso; 2. moltiplicando i due membri della disequazione per ⫺ 1 e invertendo il verso della disequazione stessa.

815

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

4. Le disequazioni di grado superiore al secondo La risoluzione delle disequazioni di grado superiore al secondo è a volte possibile se si riesce a scomporre in fattori il polinomio associato. In tal caso si studia il segno dei diversi fattori e si compila un quadro dei segni complessivo. Da questo quadro si determina il segno del polinomio iniziale mediante la regola dei segni della moltiplicazione.

5. Le disequazioni fratte

6. I sistemi di disequazioni Per risolvere un sistema di disequazioni si risolvono le singole disequazioni; quindi si determina in quali intervalli sono verificate contemporaneamente tutte le disequazioni. ESEMPIO Risolviamo il sistema:

冦

A(x) ⬎ 0 B(x) ⬍ 0 C(x) ⬎ 0

Supponiamo che le disequazioni siano verificate negli intervalli indicati in figura. Il sistema è allora verificato soltanto per x ⬎ x 2 .

Per risolvere una disequazione fratta, A(x) ᎏᎏ ⬎ 0, B(x) si studiano i segni del numeratore e del denominatore, poi si determina il segno della frazione mediante la regola dei segni. La frazione si annulla se e solo se il numeratore è 0; non esiste se il denominatore è nullo. ESEMPIO Risolviamo la disequazione fratta:

x4

x1

x3

x2 A(x)> 0

x < x1 ∨ x > x 2 x > x3

B(x)< 0 C(x)> 0

x > x4

A(x) ᎏᎏ ⬎ 0. B(x)

{

A(x)> 0 B(x)< 0 C(x)> 0

Supponiamo che x1 e x2 siano gli zeri di A(x), essendo A(x) di secondo grado, e che x3 sia l’unico zero di B(x), essendo B(x) di primo grado.

7. Applicazioni delle disequazioni

Sia x 1 ⬍ x 3 ⬍ x 2 . x1

A(x)

x2

0

0

ESEMPIO

⫹苶x 1. 兹x苶2苶 4苶⫹ 苶苶 3 ⫽ 1;

0

B (x) A(x) –––– B (x)

x3

Vi sono equazioni irrazionali ed equazioni e disequazioni parametriche per le quali le condizioni sulle soluzioni o sul parametro si traducono in disequazioni di secondo grado.

condizione sul radicando: 0

0

x 2 ⫹ 4x ⫹ 3 ⱖ 0.

2. x 2 ⫺ 2mx ⫹ 5m ⫺ 6 ⫽ 0; A(x) –––– > 0 B (x)

condizione: ⌬ ⬎ 0 ⇒ m 2 ⫺ 5m ⫹ 6 ⬎ 0.

816

Paragrafo 1. Le disequazioni

–䊳

1. Le disequazioni

ESERCIZI

Teoria a pag. 799

■ Le disequazioni lineari numeriche intere Risolvi le seguenti disequazioni lineari numeriche. 1

3x ⫺ 2 ⫹ 7x ⬍ 12x ⫹ 6

[x ⬎ ⫺ 4]

2

2(1 ⫺ 4x) ⱖ 3 ⫺ 5(x ⫺ 4)

[x ⱕ ⫺ 7]

3

2x ⫺ 4 ⱖ 3(1 ⫺ 2x)

冤x ⱖ ᎏ78ᎏ冥

4

6 ⫺ (2x ⫺ 3) ⬍ 6x ⫹ 2(9 ⫺ 4x)

[∀ x 僆 R]

5

1 1 x⫺1 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ(2 ⫺ x) ⬎ ᎏᎏ 2 3 6

6

x⫺2 1 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⱖ 3(x ⫺ 1) ⫺ ᎏᎏ 3 2 3

7

1 6⫺x 2 x ⫹ ᎏᎏ(1 ⫺ 2x) ⱕ ⫺ x ⫹ ᎏᎏ 2 2

冤x ⬎ ᎏ34ᎏ冥 冤x ⱕ ᎏ11ᎏ96 冥 冤x ⱕ ᎏ43ᎏ冥

8

x⫺1 2⫺x 4⫹x ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ ⫹ x 3 2 6

9

1 1 x⫹3 ᎏᎏ (x ⫹ 2) ⫹ ᎏᎏ ⬍ x ⫺ ᎏᎏ 4 3 6

冤

冥

冤

[x ⬍ 0]

冥

1 2⫺x x 10 ᎏᎏ 2(x ⫹ 1) ⫺ ᎏᎏ ⱕ 6(x ⫹ 1) ⫺ ᎏᎏ 2 2 4

冤

冥

2x ⫺ 3 1 1⫺x 1⫹x 9 11 4 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 3 2 3 2 4 1 12 (x ⫹ 1)(x ⫺ 1) ⬍ ᎏᎏ ⫹ x(x ⫺ 2) ⫺ 4 2 13 1 ⫹ [4 ⫺ (2x ⫺ 1)(x ⫹ 3)] ⱖ 6 ⫹ x(5 ⫺ 2x) ⫺ 9 14 (1 ⫺ 3x)2 ⫺ 2x(x ⫺ 1) ⬍ 7(x ⫹ 1)2 ⫹ 12

冢

冣冢

冣

1 1 15 ⫺ 2 ⫹ x ⫹ 2 x ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⬎ x(x ⫺ 6) ⫹ x 2 ⫹ 1 2 2 16 (3x ⫺ 1)2 ⫺ (3x ⫹ 1)2 ⱖ 2 ⫹ 3(x ⫺ 2) x 3 17 ᎏᎏ (8x ⫺ 3) ⫺ 2(x ⫹ 2)2 ⬎ ᎏᎏ 4 4 18 1 ⫺ (x ⫺ 2)(x ⫹ 3) ⫹ x ⫹ (5 ⫹ x)(x ⫺ 3) ⱖ ⫺ 2x 19 (3x ⫹ 5)2 ⫺ 9x(x ⫹ 4) ⱕ 3(3x ⫹ 2) ⫺ 5x ⫹ 1

冤x ⬎ ᎏ17ᎏ6 冥 冤x ⱖ ⫺ ᎏ19ᎏ1 冥 [x ⬎ 2]

冤x ⬍ ⫺ ᎏ54ᎏ冥 冤x ⱕ ᎏ11ᎏ10 冥 [x ⬎ ⫺ 1]

冤x ⬎ ᎏ12ᎏ冥 冤x ⱕ ᎏ14ᎏ5 冥 [x ⬍ ⫺ 1] [x ⱖ 2]

冤x ⱖ ᎏ59ᎏ冥 817

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

■ Le disequazioni lineari letterali intere ESERCIZIO GUIDA

20 Risolviamo la disequazione a(x ⫺ 1) ⬍ 2a ⫺ 3x e discutiamola al variare di a. Svolgiamo i calcoli: ax ⫺ a ⬍ 2a ⫺ 3x. Portiamo al primo membro i termini con x e al secondo quelli senza: ax ⫹ 3x ⬍ 3a. Raccogliamo x: (a ⫹ 3)x ⬍ 3a. ● Se a ⫹ 3 ⬎ 0, cioè a ⬎ ⫺ 3, dividendo per la quantità positiva a ⫹ 3, otteniamo: 3a x ⬍ ᎏᎏ . a⫹3 Se a ⫹ 3 ⫽ 0, cioè a ⫽ ⫺ 3, si ha 0x ⬍ ⫺ 9 → impossibile. ● Se a ⫹ 3 ⬍ 0, cioè a ⬍ ⫺ 3, dividendo per la quantità negativa a ⫹ 3, cambiamo il verso della disequazione e otteniamo: 3a x ⬎ ᎏᎏ . a⫹3 In sintesi, le soluzioni sono: 3a ● se a ⬎ ⫺ 3, x ⬍ ᎏᎏ ; a⫹3 ● se a ⫽ ⫺ 3, la disequazione è impossibile; 3a ● se a ⬍ ⫺ 3, x ⬎ ᎏᎏ . a⫹3 ●

Risolvi e discuti le seguenti disequazioni letterali di primo grado. 21 2a(x ⫺ 1) ⬍ 3 22 ax ⫺ 2 ⬍ x ⫺ 2a 23 2kx ⫺ (1 ⫺ k) ⬎ 3k ⫺ 1 24 2a2x ⱖ a3 ⫹ a2 25 (b ⫹ 2)x ⫺ 2b ⬍ 2x ⫹ b(2 ⫺ x)

2a ⫹ 3 2a ⫹ 3 ᎏ ; a ⫽ 0, ∀ x 僆 R; a ⬍ 0, x ⬎ ᎏᎏ冥 冤 a ⬎ 0, x ⬍ ᎏ 2a 2a [a ⬎ 1, x ⬍ ⫺ 2; a ⫽ 1, ∃ / x 僆 R; a ⬍ 1, x ⬎ ⫺ 2] [k ⬎ 0, x ⬎ 1; k ⫽ 0, ∃ / x 僆 R; k ⬍ 0, x ⬍ 1] a⫹1 ᎏ ; a ⫽ 0, ∀ x 僆 R冥 冤 a ⫽ 0, x ⱖ ᎏ 2 [b ⬎ 0, x ⬍ 2; b ⫽ 0, ∃/ x 僆 R; b ⬍ 0, x ⬎ 2]

26 (2 ⫹ a)x ⬍ 3(2 ⫹ x)a ⫺ 6

[a ⬍ 1, x ⬍ ⫺ 3; a ⫽ 1, ∃ / x 僆 R; a ⬎ 1, x ⬎ ⫺ 3]

2x ⫹ a 1 27 ᎏᎏ ⱕ ax ⫹ ᎏᎏ 2 2 x⫺a 28 ᎏᎏ ⱖ 0 2a bx ⫺ 5 29 ᎏᎏ ⬍ 2b ⫺ x 3 x 2⫺x 30 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⱕ 0 2a a

冤 a ⬎ 1, x ⱖ ᎏ12ᎏ ; a ⫽ 1, ∀ x 僆 R; a ⬍ 1, x ⱕ ᎏ12ᎏ冥

818

[a ⬎ 0, x ⱖ a; a ⫽ 0, disequazione priva di significato; a ⬍ 0, x ⱕ a] 6b ⫹ 5 6b ⫹ 5 ᎏ ; b ⫽ ⫺ 3, ∃ / x 僆 R; b ⬍ ⫺ 3, x ⬎ ᎏᎏ冥 冤 b ⬎ ⫺ 3, x ⬍ ᎏ b⫹3 b⫹3 [a ⬎ 0, x ⱖ 4; a ⫽ 0, disequazione priva di significato; a ⬍ 0, x ⱕ 4]

Paragrafo 1. Le disequazioni

ESERCIZI

■ Lo studio del segno di un prodotto La rappresentazione degli intervalli ESERCIZIO GUIDA

31 Scriviamo i seguenti intervalli (o unioni di intervalli) utilizzando le parentesi quadre e rappresentiamoli graficamente. a) x ⬎ 1;

b) 0 ⬍ x ⬍ 2;

d) x ⱕ 3 ∨ x ⱖ 5.

b) ] 0; 2 [

a) ] 1; ⫹ ⬁ [ 1

c) ⫺ 1 ⱕ x ⱕ 1;

d) x ⱕ 3 ∨ x ⱖ 5 è l’unione dei due intervalli x ⱕ 3 e x ⱖ 5:

0

+⬁

L’estremo 1 è escluso: abbiamo scritto ] 1; ⫹ ⬁ [; graficamente, 1 è rappresentato da un circoletto vuoto. Poiché ⫹ ⬁ non è un numero reale, ma un simbolo che rappresenta una quantità «più grande» di qualsiasi numero reale, abbiamo scritto ] 1; ⫹ ⬁ [.

2

] ⫺ ⬁ ; 3] 傼 [5; ⫹ ⬁ [

I due estremi sono esclusi: abbiamo scritto ] 0; 2 [ e i due circoletti sono vuoti.

3

−⬁

5

+⬁

c) [⫺ 1; 1] 1

1

Gli estremi ⫺ 1 e 1 sono inclusi: abbiamo scritto [⫺ 1; 1] e i due circoletti sono pieni.

Rappresenta i seguenti intervalli mediante le parentesi quadre e poi graficamente. 32 2 ⬍ x ⬍ 3;

x ⬎ 2;

1 x ⬍ ᎏᎏ . 2

33 ⫺ 2 ⬍ x ⬍ 5;

x ⱖ 1;

x ⱕ 0.

Correggi la notazione dei seguenti intervalli, scritti mediante parentesi quadre, in modo che siano corrispondenti alle disuguaglianze poste a fianco. 38 ] 1; ⫹ ⬁ ], x ⬎ 1;

] ⫺ ⬁ ; 2 [,

x ⱕ 2.

39 [ 3; ⫹ ⬁ [, x ⬎ 3;

[0; 1 [,

0 ⬍ x ⱕ 1.

34 ⫺ 1 ⱕ x ⱕ 1;

4 ⱕ x ⱕ 7.

1 35 ᎏᎏ ⱕ x ⬍ 1; 5 1 36 x ⬍ ⫺ ᎏᎏ ∨ x ⬎ 0; 2 10 37 x ⬍ 3 ∨ x ⱖ ᎏᎏ ; 3

3 ⫺ ᎏᎏ ⬍ x ⱕ 1. 4

40

x ⱕ 0 ∨ x ⬎ 1.

3 41 ] 1; ⫹ ⬁ [ 艛 ᎏᎏ ; ⫹ ⬁ , 2

冥 ᎏ4ᎏ ; ᎏ2ᎏ冥 , 3

1

1 3 ᎏᎏ ⱕ x ⬍ ᎏᎏ . 2 4

冥

冤

3 x ⬍ 1 ∨ x ⬎ ᎏᎏ . 2

x ⱕ ⫺ 1 ∨ x ⱖ 1.

Per ogni rappresentazione grafica scrivi il corrispondente intervallo sia mediante le parentesi quadre sia mediante le disuguaglianze. −6

42 a

43

b −3

a

1 — 2

4

1 — 4

−1 b

2

−2

c 5

d 2

c

3

7

−4

1 — 5

d

819

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Lo studio del segno di un prodotto ESERCIZIO GUIDA

44 Studiamo il segno del seguente prodotto: (x ⫹ 1)(5 ⫺ x). Dal risultato ottenuto, deduciamo il segno del polinomio quando la variabile x assume i valori: ⫺ 2, ⫺ 1, 0, 7. Studiamo il segno dei due fattori: –1

x ⫹ 1 ⬎ 0 → x ⬎ ⫺1. 5⫺x ⬎0 →

5

⫺ x ⬎ ⫺ 5 → x ⬍ 5. x+1

Compiliamo il quadro applicando la regola dei segni. Detto p il prodotto:

0 0

5 –x

per x ⬍ ⫺ 1 ∨ x ⬎ 5, per ⫺ 1 ⬍ x ⬍ 5, ● per x ⫽ ⫺ 1 ∨ x ⫽ 5, ● ●

p ⬍ 0; p ⬎ 0; p ⫽ 0.

(x+1)(5–x)

0

0

Quindi, in particolare, per x ⫽ ⫺ 2 e x ⫽ 7, p ⬍ 0; per x ⫽ ⫺ 1, p ⫽ 0; per x ⫽ 0, p ⬎ 0. Studia il segno dei seguenti prodotti. Dai risultati ottenuti, deduci il segno per i valori indicati a fianco. Verifica l’esattezza della deduzione, almeno in qualche caso. 45 x (x ⫹ 8),

x ⫽ ⫺ 3, 0, 3.

49 5(x ⫹ 3)(2x ⫺ 1),

x ⫽ ⫺ 4, 0, 4.

46 (x ⫺ 4)(6x ⫹ 1),

x ⫽ ⫺ 1, 0, 1.

50 ⫺ 7(2 ⫺ x)(1 ⫺ x),

1 3 5 x ⫽ ⫺ ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ . 2 2 2

x ⫽ ⫺ 1, 0, 1.

51 (x ⫺ 5)(x ⫹ 1)(x ⫺ 2),

x ⫽ 0, 3, 6.

x ⫽ ⫺ 7, ⫺ 1, 2.

52 (3 ⫺ 2x )(4x ⫺ 1)(2x ⫺ 3), x ⫽ 0, 1, 2.

47

冢x ⫹ ᎏ31ᎏ冣 (2x ⫺ 1),

48 (3x ⫹ 2)(x ⫹ 6), ESERCIZIO GUIDA

53 Risolviamo la disequazione (x ⫹ 2)(5 ⫺ x) ⱕ 0. Studiamo il segno di ognuno dei fattori, cercando i valori di x per i quali ciascun fattore è positivo: x ⫹2⬎0 →

x ⬎ ⫺ 2,

x+2

5⫺x ⬎0 →

⫺ x ⬎ ⫺ 5 → x ⬍ 5.

5– x

Compiliamo il quadro dei segni (figura a lato). Poiché si richiede che il prodotto sia negativo o nullo, le soluzioni della disequazione sono le seguenti: x ⱕ ⫺ 2 ∨ x ⱖ 5. 2

820

–2

5

(x+2)(5–x)

5

0 0

0

0

Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere

ESERCIZI

Risolvi le seguenti disequazioni. 54 (x ⫹ 2)(x ⫹ 4) ⬍ 0

[⫺ 4 ⬍ x ⬍ ⫺ 2]

55 (x ⫹ 3)(x ⫺ 5) ⬎ 0

[x ⬍ ⫺ 3 ∨ x ⬎ 5]

冤

冥 冥 冥

1 x ⱕ ⫺ ᎏᎏ ∨ x ⱖ 0 56 ⫺ x (3x ⫹ 1) ⱕ 0 3 3 x ⬍ ⫺ ᎏᎏ ∨ x ⬎ ⫺ 1 57 (2x ⫹ 3)(x ⫹ 1) ⬎ 0 2 1 x ⱕ ᎏᎏ ∨ x ⱖ 4 58 (4x ⫺ 16)(9x ⫺ 3) ⱖ 0 3

冤

冤

59 ⫺ 9x (3x ⫹ 18) ⬎ 0

60 x (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⬎ 0

[⫺ 1 ⬍ x ⬍ 0 ∨ x ⬎ 1]

61 (x ⫺ 3)(2x ⫹ 8)(5x ⫺1)⬍0

冤x ⬍⫺4 ∨ ᎏ51ᎏ ⬍x ⬍3冥

1 62 ᎏᎏ (x ⫹ 1)(2x ⫺ 3)(2 ⫺ x )x ⱖ 0 2 3 ⫺ 1 ⱕ x ⱕ 0 ∨ ᎏᎏ ⱕ x ⱕ 2 2

冤

冥

63 ⫺ 6x (5x ⫺ 2)(x ⫹ 4)(x ⫺ 2) ⬍ 0

冤x ⬍⫺4 ∨ 0⬍x ⬍ᎏ25ᎏ ∨ x ⬎2冥

[⫺ 6 ⬍ x ⬍ 0]

–䊳

2. Le disequazioni di secondo grado intere ■ Le disequazioni di secondo grado a coefficienti numerici

Nel sito:

Teoria a pag. 802

䉴 12 esercizi di recupero

Senza eseguire calcoli, indica le soluzioni delle seguenti disequazioni, giustificando la risposta. 64 x 2 ⫹ 8 ⬎ 0;

(x ⫹ 6)2 ⬎ 0;

4x 2 ⱕ 0;

⫺ 7x 2 ⬍ 0.

65 2x 2 ⫹ 9 ⬍ 0;

⫺ x 2 ⬍ 0;

⫺ x 2 ⫺ 3 ⬍ 0;

⫺ (x ⫹ 1)2 ⱕ 0.

66 VERO O FALSO? a) Se x 2 ⬍ 9, allora x ⬍ 3.

V

b) La disequazione x 2 ⫺ 6x ⫹ 9 ⬎ 0 è vera per ogni valore reale di x, purché x ⫽ 3.

V

F

F

c) Se nella disequazione x 2 ⬎ 6x si semplifica per x, si ottiene la disequazione equivalente x ⬎ 6.

V

F

d) Se x 2 ⱖ 0, allora x ⱖ 0.

V

F

V

F

2

2

e) Se ⫺ 4x ⱖ ⫺ 36, allora x ⱖ 9. ESERCIZIO GUIDA

67 Risolviamo le seguenti disequazioni: a) ⫺ 10x ⫺ 8x 2 ⫺ 3 ⬎ 0;

b) 4x 2 ⫺ 12x ⫹ 9 ⱖ 0;

a) Riscriviamo la disequazione ordinando il polinomio al primo membro: ⫺ 8x 2 ⫺ 10x ⫺ 3 ⬎ 0. Essendo il coefficiente del termine di secondo grado negativo, moltiplichiamo i due membri per ⫺ 1 e cambiamo il verso della disequazione: 8x 2 ⫹ 10x ⫹ 3 ⬍ 0.

c) 3x 2 ⫺ 2x ⫹ 1 ⬍ 0.

Risolviamo l’equazione associata: 8x 2 ⫹ 10x ⫹ 3 ⫽ 0 ⌬ ᎏᎏ ⫽ (⫹ 5) 2 ⫺ 8 ⭈ 3 ⫽ 25 ⫺ 24 ⫽ 1 4 3 ⫺ ᎏᎏ 4 ⫺5⫾1 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 8 1 ⫺ ᎏᎏ 2

821

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

Applichiamo la regola: se l’equazione ax 2 ⫹ ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 (con a ⬎ 0) ha ⌬ ⬎ 0, la disequazione ax 2 ⫹ bx ⫹ c ⬍ 0 è verificata dai valori interni all’intervallo delle radici dell’equazione. L’intervallo delle soluzioni di 8x 2 ⫹ 10x ⫹ 3 ⬍ 0 è: 3 1 ⫺ ᎏᎏ ⬍ x ⬍ ⫺ ᎏᎏ , ossia 4 2 3 — 4

冥

冤

3 1 ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ . 4 2

1 — 2

Possiamo riscrivere la disequazione così:

冢

3 4 ⭈ x ⫺ ᎏᎏ 2

冣

2

ⱖ 0.

La disequazione è verificata per ogni valore di x : ∀x 僆 R

ossia

] ⫺ ⬁ ; ⫹ ⬁ [.

Avremmo potuto dedurre la soluzione senza fare calcoli, riconoscendo che 4x 2 ⫺ 12x ⫹ 9 è il quadrato del binomio 2x ⫺ 3 e ricordando che un quadrato non può essere negativo. c) Calcoliamo il discriminante dell’equazione associata:

b) Calcoliamo il discriminante dell’equazione associata: ⌬ ᎏᎏ ⫽ 6 2 ⫺ 4 ⭈ 9 ⫽ 36 ⫺ 36 ⫽ 0. 4 L’equazione ha dunque una radice reale doppia: 3 x ⫽ ᎏᎏ. 2

3x 2 ⫺ 2x ⫹ 1 ⫽ 0, ⌬ ᎏᎏ ⫽ 1 ⫺ 3 ⫽ ⫺ 2 ⬍ 0. 4 Poiché il coefficiente di x 2, a ⫽ 3, è positivo e ⌬ ⬍ 0, la disequazione non è mai verificata. Scriviamo pertanto: ∃/ x 僆 R.

Risolvi le seguenti disequazioni. 68 x 2 ⫹ 3x ⫹ 2 ⬎ 0 69 x 2 ⫹ x ⫺ 6 ⬎ 0 70 x 2 ⫺ 2x ⫹ 10 ⬎ 0

[x ⬍ ⫺ 2 ∨ x ⬎ ⫺ 1] [x ⬍ ⫺ 3 ∨ x ⬎ 2] [∀x 僆 R]

79 9x 2 ⫹ 4 ⬎ 0

[⫺ 4 ⱕ x ⱕ ⫺ 2]

82 6x 2 ⫹ x ⫺ 1 ⬍ 0

冤⫺ ᎏ2ᎏ ⬍ x ⬍ ᎏ3ᎏ冥

72 x 2 ⫹ 4x ⫹ 5 ⬍ 0

[∃/ x 僆 R]

83 x 2 ⫺ 8x ⫹ 20 ⬎ 0

73 16x 2 ⫺ 24x ⫹ 9 ⬍ 0

[∃/ x 僆 R]

1 84 ᎏᎏ (x ⫺ 1) ⱕ x 2 ⫺ x 2

75 x(x ⫹ 3) ⱕ ⫺ 2x 76 ⫺ x 2 ⫹ 9 ⱕ 0 77 x 2 ⫹ 10x ⫹ 34 ⬍ 0 78 ⫺ x(x ⫺ 4) ⬍ 3

822

[⫺ 5 ⱕ x ⱕ 0] [x ⱕ ⫺ 3 ∨ x ⱖ 3] [∃/ x 僆 R] [x ⬍ 1 ∨ x ⬎ 3]

1

81 ⫺ x 2 ⫺ 6x ⫺ 8 ⱖ 0

[x ⬍ ⫺ 2 ∨ x ⬎ 4]

[1 ⬍ x ⬍ 2]

冤x ⫽ ⫺ ᎏ9ᎏ冥

80 81x 2 ⫹ 18x ⫹ 1 ⱕ 0

71 x 2 ⫺ 2x ⫺ 8 ⬎ 0

74 ⫺ x 2 ⫹ 3x ⫺ 2 ⬎ 0

[∀ x 僆 R]

85 9x 2 ⫺ 30x ⫹ 25 ⬎ 0

1

[∀x 僆 R]

冤x ⱕ ᎏ2ᎏ ∨ x ⱖ 1冥 5 冤∀x 僆 R ⫺ 冦ᎏ3ᎏ冧冥 1

86 ⫺x 2 ⫺ 3 ⱖ 0 7 15 87 x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⬎ 0 4 8 1 3 88 x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫹ 1 ⬍ 0 6 3 5 89 x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⱖ 0 4 8

1

[∃/ x 僆 R]

冤x ⬍ ⫺ ᎏ4ᎏ ∨ x ⬎ ᎏ2ᎏ冥 2 3 ᎏ ᎏ ⬍ x ⬍ ᎏ ᎏ 冤3 2冥 5 1 冤x ⱕ ⫺ ᎏ4ᎏ ∨ x ⱖ ᎏ2ᎏ冥 3

5

Paragrafo 2. Le disequazioni di secondo grado intere

4 90 3x 2 ⫹ 4x ⫹ ᎏᎏ ⬎ 0 3 5 3 91 ⫺ x 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⬍ 0 2 2

冤∀x 僆 R ⫺ 冦⫺ ᎏ3ᎏ冧冥 3 冤x ⬍ ⫺ ᎏ2ᎏ ∨ x ⬎ ⫺ 1冥 2

92 4x 2 ⫺ 48x ⫹ 145 ⬎ 0

[∀x 僆 R]

112 (x ⫺ 3)2 ⱕ 4

[1 ⱕ x ⱕ 5]

[∃/ x 僆 R] [x ⬍ ⫺ 6 ∨ x ⬎ 6] [∃/ x 僆 R] [⫺9 ⱕ x ⱕ 0]

冤⫺ ᎏ35ᎏ ⬍ x ⬍ ᎏ35ᎏ冥

101 9x 2 ⬍ 25 102 x 2 ⫺ 4x ⫹ 4 ⬎ 0

[∀x 僆 R ⫺ {2}]

103 8x ⫺ x 2 ⬎ 0

[0 ⬍ x ⬍ 8]

冤 x ⫽ ᎏ32ᎏ冥 冤 ⫺ ᎏ14ᎏ ⬍ x ⬍ ᎏ14ᎏ冥

104 ⫺ 4x 2 ⫹ 12x ⫺ 9 ⱖ 0 1 105 2x 2 ⫺ ᎏᎏ ⬍ 0 8 1 2 106 ⫺ ᎏᎏ x ⬎ 0 9 1 2 107 ᎏᎏ x ⫺ 4x ⬍ 0 5

[∀ x 僆 R ⫺ {⫺ 1}]

[∃/ x 僆 R] 9

100 x 2 ⫹ 9x ⱕ 0

110 ⫺ 4(x ⫹ 1)2 ⬍ 0

冥

冤∀x 僆 R ⫺ 冦ᎏ4ᎏ冧冥 1 冤x ⱕ ᎏ2ᎏ ∨ x ⱖ 2冥

99 9x 2 ⫹ 25 ⬍ 0

[x ⱕ ⫺ 兹7苶 ∨ x ⱖ 兹7苶]

109 7 ⫺ x 2 ⱕ 0

冤 x ⱕ ⫺ 1 ∨ x ⱖ ᎏ12ᎏ冥

3 7 ⫺ ᎏᎏ ⱕ x ⱕ ᎏᎏ 2 2

98 x 2 ⫺ 36 ⬎ 0

[4 ⱕ x ⱕ 5]

111 2x 2 ⫹ x ⱖ 1

冤

21 93 2x 2 ⫺ 4x ⫺ ᎏᎏ ⱕ 0 2 8 16 94 x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⬍ 0 5 25 8 1 95 2x 2 ⫺ 9x ⫹ ᎏᎏ ⬎ 0 8 5 96 ⫺ x 2 ⫹ ᎏᎏ x ⫺ 1 ⱕ 0 2 9 97 ⫺ 4x 2 ⫺ 3x ⫺ ᎏᎏ ⬎ 0 16

108 9x ⫺ x 2 ⫺ 20 ⱖ 0

ESERCIZI

[∃ / x 僆 R] [0 ⬍ x ⬍ 20]

113 x 2 ⫺ 10x ⫹ 21 ⱕ 0

[3 ⱕ x ⱕ 7]

114 x 2 ⫺ 7x ⫹ 10 ⬎ 0

[x ⬍ 2 ∨ x ⬎ 5]

冤x ⫽ ⫺ ᎏ3ᎏ冥 冤ᎏ31ᎏ ⬍ x ⬍ ᎏ21ᎏ冥 5

115 9x 2 ⫹ 30x ⫹ 25 ⱕ 0 116 6x 2 ⫺ 5x ⫹ 1 ⬍ 0 117 x 2 ⫹ 2x ⫹ 5 ⬍ 0

[∃/ x 僆 R]

17 118 2x 2 ⫺ x ⫹ ᎏᎏ ⱕ 0 8

[∃/ x 僆 R]

冤∀x 僆 R ⫺ 冦ᎏ32ᎏ冧冥

119 ⫺9x 2 ⫹ 12x ⫺ 4 ⬍ 0 120 ⫺x 2 ⫹ 4x ⫹ 12 ⬎ 0 40 121 x 2 ⫺ x ⫺ ᎏᎏ ⱖ 0 9 122 25x(1 ⫺ x) ⫺ 6 ⬍ 0 123 4 ⱖ 9x(x ⫹ 1) 1 124 x 2 ⬎ ᎏᎏ (x ⫹ 1) 2

[⫺ 2 ⬍ x ⬍ 6]

冤x ⱕ ⫺ ᎏ3ᎏ ∨ x ⱖ ᎏ3ᎏ冥 2 3 冤x ⬍ ᎏ5ᎏ ∨ x ⬎ ᎏ5ᎏ冥 4 1 冤⫺ ᎏ3ᎏ ⱕ x ⱕ ᎏ3ᎏ冥 1 冤x ⬍ ⫺ ᎏ2ᎏ ∨ x ⬎ 1冥 5

8

125 ASSOCIA alle seguenti disequazioni l’insieme di soluzioni corretto. 1. x 2 ⱖ 4

2. 4 ⱖ x 2

3. x 2 ⬍ 4

4. ⫺ x 2 ⱕ 4

A. ∀ x 僆 R

B. x ⱕ ⫺ 2 ∨ x ⱖ 2

C. ⫺ 2 ⬍ x ⬍ 2

D. ⫺ 2 ⱕ x ⱕ 2

冣

冢

1 126 Risolvi la disequazione 6 x 2 ⫺ ᎏᎏ ⱖ ⫺ x. 3 Senza eseguire ulteriori calcoli scrivi l’intervallo di soluzioni delle seguenti disequazioni: a) 6x 2 ⫹ x ⫺ 2 ⬍ 0;

b) ⫺ (6x 2 ⫹ x ⫺ 2) ⬍ 0; c) 6x 2 ⫹ x ⫺ 2 ⬎ 0. 2 1 2 1 2 1 2 1 x ⱕ ⫺ ᎏᎏ ∨ x ⱖ ᎏᎏ; a) ⫺ ᎏᎏ ⬍ x ⬍ ᎏᎏ; b) x ⬍ ⫺ ᎏᎏ ∨ x ⬎ ᎏᎏ; c) x ⬍ ⫺ ᎏᎏ ∨ x ⬎ ᎏᎏ 3 2 3 2 3 2 3 2

冤

冥

823

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

■ Le disequazioni di secondo grado letterali

Nel sito:

䉴 15 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

127 Risolviamo la disequazione, nella variabile x, 4x 2 ⫹ 4ax ⫺ 3a 2 ⬎ 0, con a ⬎ 0. Calcoliamo il discriminante dell’equazione associata: 4x 2 ⫹ 4ax ⫺ 3a 2 ⫽ 0 ⌬ ᎏᎏ ⫽ 4a 2 ⫺ 4(⫺ 3a 2) ⫽ 4a 2 ⫹ 12a 2 ⫽ 16a 2. 4 Calcoliamo le radici:

3 ⫺ ᎏᎏ a 2

⫺ 2a ⫾ 4a x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 4

1 ᎏᎏ a 2

3 1 Poiché a ⬎ 0, ⫺ ᎏᎏ a è negativo, mentre ᎏᎏ a è posi2 2 tivo; allora: 3 1 ⫺ ᎏᎏ a ⬍ ᎏᎏ a. 2 2 Poiché il coefficiente di x 2 è 4 ⬎ 0 e ⌬ ⬎ 0, la disequazione 4x 2 ⫹ 4ax ⫺ 3a 2 ⬎ 0 è verificata per valori esterni all’intervallo delle radici: 3 1 x ⬍ ⫺ ᎏᎏ a ∨ x ⬎ ᎏᎏ a. 3 1 2 2 —a —a a

Risolvi le seguenti disequazioni in x. 128 x 2 ⫺ 4bx ⫹ 4b 2 ⱖ 0

[∀x 僆 R]

129 x 2 ⫺ 4a 2 ⬎ 0 (a ⬎ 0)

2

2

0

冤 ᎏa2ᎏ ⱕ x ⱕ a冥 冢ᎏ25aᎏ ⫺ x冣 ⬎ 0 (a ⬍ 0) 冤 ∀ x 僆 R ⫺ 冦ᎏ25aᎏ冧冥 x(2x ⫺ k) ⬍ k (k ⬎ 0) 冤 ⫺ ᎏ2kᎏ ⬍ x ⬍ k冥 6 16bx ⫺ 12b ⫺ 5x ⱖ 0 (b ⬍ 0) 冤2b ⬍ x ⬍ ᎏᎏ b冥 5

132 3ax ⱖ a 2 ⫹ 2x 2 (a ⬎ 0) 2

[x ⬍ ⫺ 2a ∨ x ⬎ 2a]

133

冤 ∀ x 僆 R ⫺ 冦ᎏ3kᎏ冧冥 2a a 2a (3x ⫺ a)冢x ⫺ ᎏᎏ冣 ⬍ 0 (a ⬎ 0) 冤 ᎏᎏ ⬍ x ⬍ ᎏᎏ冥 3 3 3

130 9x 2 ⫹ 6kx ⫹ k 2 ⬎ 0

134

131

135

2

2

2

冤x ⬍ ᎏ2ᎏ ∨ x ⬎ 5b冥

1 1 136 ᎏᎏ x(11b ⫺ x) ⫺ ᎏᎏ (x 2 ⫹ 5b 2) ⬍ 0 (b ⬎ 0) 2 2 3 137 ⫺ x 2 ⫺ x ⫹ b 2 ⫺ 3b ⫹ 2 ⬍ 0 b ⬎ ᎏᎏ 2

b

冣

冢

[x ⬍ 1 ⫺ b ∨ x ⬎ b ⫺ 2]

–䊳

3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

Teoria a pag. 807

Nei seguenti grafici sono rappresentate alcune parabole. Per ognuno di essi indica per quali valori di x i punti della parabola hanno ordinata positiva, per quali valori hanno ordinata negativa, per quali hanno ordinata nulla. y

y

y

138 3 2

O 4

O

a

824

1

3

5

O

x b

2

x

c

2

x

Paragrafo 3. La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

ESERCIZI

■ Risolviamo ax 2 ⴙ bx ⴙ c ⬎ 0 oppure ax 2 ⴙ bx ⴙ c ⬍ 0 ESERCIZIO GUIDA

139 Risolviamo graficamente le seguenti disequazioni: a) x 2 ⫹ 3x ⫹ 2 ⬎ 0;

b) x 2 ⫺ 2x ⫹ 1 ⬎ 0;

c) x 2 ⫹ 1 ⬍ 0;

d) ⫺ x 2 ⫹ 2x ⬎ 0.

a) Associamo la disequazione alla parabola di equazione y ⫽ x 2 ⫹ 3x ⫹ 2. 3 1 La parabola ha vertice in V ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ , la concavità rivolta verso l’alto (il coefficiente a è positivo) e 2 4 interseca l’asse y nel punto P (0; 2). y Le ascisse dei punti di intersezione con l’asse x y x2 3x 2 sono le soluzioni dell’equazione:

冢

冣

x 2 ⫹ 3x ⫹ 2 ⫽ 0 x2

⫺ 3 ⫾ 兹1苶 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2

3x + 2

2

0

⫺2 2

⫺1

x−1

∨

ossia x 1 ⫽ ⫺ 2, x 2 ⫽ ⫺ 1. I punti della parabola che hanno ordinata positiva sono quelli disposti «sopra l’asse x», sono cioè quelli che hanno ascissa minore di ⫺ 2 o maggiore di ⫺ 1. La disequazione è verificata per: x ⬍ ⫺ 2 ∨ x ⬎ ⫺ 1. b) Associamo la disequazione alla parabola di equazione y ⫽ x 2 ⫺ 2x ⫹ 1. La parabola ha vertice in V (1; 0), la concavità rivolta verso l’alto (il coefficiente a è positivo) e interseca l’asse y nel punto P(0; 1). La parabola è quindi tangente all’asse x nel vertice e si trova interamente «al di sopra» di esso: per ogni valore di x diverso da 1 le ordinate dei punti della parabola sono positive. La disequazione è soddisfatta ∀x 僆 R, x ⫽ 1.

y y = x2 − 2x + 1

x2

2x

1>0

1 0

1

∀x ∈ ⺢, x ≠ 1

x

825

CAPITOLO 13. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

c) Associamo la disequazione alla parabola di equazione y ⫽ x 2 ⫹ 1. Tale parabola ha vertice in V (0; 1), che appartiene all’asse y: l’asse della parabola coincide con l’asse y. Inoltre, essa ha la concavità rivolta verso l’alto e, poiché l’ordinata del vertice è 1, non interseca l’asse x in alcun punto. La parabola si trova interamente «al di sopra» dell’asse x, quindi non c’è alcun punto della parabola che abbia ordinata negativa, pertanto la disequazione non è mai verificata per alcun valore reale di x.

y = x2 + 1

y

x2

x2 + 1 < 0

Non esistono soluzioni reali della disequazione.

1 O

0

x

∃/ x ∈ ⺢

y

d) Associamo la disequazione alla parabola di equazione y ⫽ ⫺ x 2 ⫹ 2x. Questa parabola ha vertice in V(1; 1), ha concavità rivolta verso il basso e interseca l’asse x in (0; 0) e (2; 0). I punti con ordinata positiva sono quelli con ascissa compresa fra 0 e 2. Quindi le soluzioni della disequazione sono: 0 ⬍ x ⬍ 2.

1

V(1; 1) –x2 + 2x > 0

O 0Ꮾ

Figura 4 Se Ꮽ′, che è una parte di Ꮽ, è equivalente a Ꮾ, diciamo che Ꮽ è maggiore di Ꮾ, oppure che Ꮾ è minore di Ꮽ. 䉱

Possiamo anche dire che Ꮾ è minore di Ꮽ, o che Ꮾ è suvvalente ad Ꮽ.

■ Le figure equivalenti ed equiscomponibili Nei prossimi paragrafi studieremo l’equivalenza fra i poligoni considerandoli come somme o differenze di poligoni fra loro congruenti. Consideriamo i poligoni Ꮽ e Ꮾ della figura 5. ESEMPIO

䉴

Figura 5

Ꮾ

Ciascuna delle superfici può essere Ꮾ1 Ꮾ3 Ꮽ pensata come la somma di quelle di altri poligoni: Ꮽ è la somma di Ꮽ 1, Ꮾ2 Ꮽ Ꮽ Ꮽ Ꮽ 2, Ꮽ 3 , mentre Ꮾ è la somma di 1 2 3 Ꮾ 1, Ꮾ 2 e Ꮾ 3 . Se sappiamo che Ꮽ 1  Ꮾ 1, Ꮽ 2  Ꮾ 2 e Ꮽ 3  Ꮾ 3, possiamo affermare che i poligoni Ꮽ e Ꮾ sono fra loro equivalenti. Infatti: ●

●

se Ꮽ 1  Ꮾ 1, Ꮽ 2  Ꮾ 2, Ꮽ 3  Ꮾ 3, allora Ꮽ 1 ⬟ Ꮾ 1, Ꮽ 2 ⬟ Ꮾ 2, Ꮽ 3 ⬟ Ꮾ 3, perché superfici congruenti sono equivalenti; i poligoni Ꮽ e Ꮾ risultano somme di poligoni equivalenti, quindi sono equivalenti in virtù del postulato che abbiamo enunciato.

In generale, diciamo che due poligoni sono equicomposti (o equiscomponibili) se sono somme di poligoni congruenti. Il risultato dell’esempio si generalizza mediante il seguente teorema. TEOREMA

Due poligoni equicomposti sono equivalenti. Possiamo fare considerazioni analoghe a quelle relative alla somma di poligoni anche per le differenze tra poligoni: due poligoni sono equivalenti se sono differenze di poligoni congruenti.

G

160

Paragrafo 1. L’estensione e l’equivalenza

TEORIA

L’ESTENSIONE E L’EQUIVALENZA DEI SOLIDI L’ESTENSIONE DEI SOLIDI

IL PRINCIPIO DI CAVALIERI

Il concetto di estensione spaziale deriva dalle nostre esperienze concrete. Siamo abituati a considerare un oggetto grande o piccolo a seconda che occupi più o meno spazio o, come spesso diciamo, sia più o meno voluminoso. Se consideriamo poi due solidi di forma diversa ma realizzati con lo stesso materiale e dello stesso peso, diciamo che hanno la stessa estensione. Anche la capienza di un recipiente è collegata alla sua estensione nello spazio. Due solidi che hanno la stessa estensione si dicono equivalenti. Indichiamo l’equivalenza con il sim. bolo ⴝ. L’equivalenza tra solidi gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, quindi è una relazione di equivalenza. ᏼ = ᏼ' ᏼ

ᏼ'

Tale relazione determina una partizione nell’insieme dei solidi. Da ciò nasce il concetto di volume. volume B volume A

volume S

Data la relazione di equivalenza tra solidi, definiamo volume di un solido la classe di equivalenza alla quale il solido appartiene. Per la somma e la differenza di solidi valgono considerazioni analoghe a quelle fatte a proposito della somma e della differenza di superfici. In particolare, due solidi si dicono equicomposti (o equiscomponibili) se sono scomponibili in solidi rispettivamente congruenti. Si può dimostrare che due solidi equicomposti sono equivalenti.

a

b

Consideriamo due pile di fogli a forma di parallelepipedo rettangolo (figura a), formate dalla sovrapposizione dello stesso numero di fogli: i solidi che li rappresentano sono congruenti e quindi equivalenti. Possiamo far scorrere i fogli di uno di questi parallelepipedi in modo che la sua forma cambi (figura b). L’intuizione ci dice che l’estensione dei due solidi rimane la stessa e quindi essi sono ancora equivalenti. Potremmo anche ripetere le considerazioni dell’esperienza precedente prendendo, al posto di pile di fogli uguali, pile di fogli che abbiano a due a due la stessa area ma forma diversa. Passando dal mondo concreto alla geometria, possiamo pensare i fogli sostituiti dalle sezioni ottenute intersecando i solidi con piani tutti paralleli a uno scelto come riferimento. Possiamo così comprendere il seguente principio, che assumiamo come postulato.

Principio di Cavalieri Due solidi che possono essere disposti in modo che ogni piano parallelo a un altro fissato, scelto come riferimento, li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti.

161

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

TEORIA

2. L’equivalenza di due parallelogrammi D

TEOREMA

C

A

Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti, allora sono equivalenti.

BH N

M

I

L

K

Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma; 2. ILMN è un parallelogramma; 3. CH è altezza di ABCD relativa ad AB; 4. MK è altezza di ILMN relativa a IL; 5. AB  IL; 6. CH  MK. Tesi

ABCD ⬟ ILMN.

DIMOSTRAZIONE Disegniamo il parallelogramma ABPO congruente a ILMN e avente base AB. Poiché ABPO ha la stessa altezza di ABCD, la retta OP coincide con la retta DC. Si possono presentare i tre casi a, b e c della figura 6. 䉴

Figura 6 Costruzione. D

O

C

P

A B a. I segmenti CD e OP hanno una parte in comune.

D

a

A O

A D

c

A

C

P

B D

b

O

P

C

B

A B b. I segmenti CD e OP hanno soltanto un estremo in comune.

P

D

CO

P

A B c. I segmenti CD e OP non hanno punti in comune.

● ●

AD  BC, perché lati opposti di un parallelogramma; AO  BP, per lo stesso motivo; ^ ^ DAO  CB P, poiché i loro lati sono paralleli e concordi.

Pertanto essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

B O

C≡O

I parallelogrammi ILMN e ABPO sono congruenti, quindi sono anche equivalenti. Poiché vale la proprietà transitiva dell’equivalenza fra superfici, invece di dimostrare l’equivalenza fra ABCD e ILMN, possiamo dimostrare l’equivalenza fra ABCD e ABPO. La dimostrazione è la stessa in ognuno dei tre casi. Facciamo quindi riferimento alla figura del primo caso. I triangoli AOD e BPC hanno (figura a): ●

C

D

P

Notiamo che il parallelogramma ABCD è la differenza fra il trapezio ABPD e il triangolo BPC (figura b), mentre il parallelogramma ABPO è la differenza fra lo stesso trapezio ABPD e il triangolo AOD (figura c). Poiché sono differenze di poligoni congruenti, i parallelogrammi ABCD e ABPO sono equivalenti. Corollario. Se un parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti le basi e le relative altezze, sono equivalenti.

G

162

Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza

TEORIA

3. I triangoli e l’equivalenza ■ L’equivalenza fra parallelogramma e triangolo TEOREMA

Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo. C

G

F

C

G

F

= A

H M

B

D

E

K

A

B

D

E

Ipotesi 1. ABC è un triangolo; 2. DEFG è un parallelogramma; 3. CH è altezza di ABC relativa ad AB; 4. FK è altezza di DEFG relativa a DE; 5. CH  FK; 6. AB  2DE. Tesi

ABC ⬟ DEFG.

Tracciamo la semiretta Ca di origine C e parallela alla base AB e indichiamo con M il punto medio della base AB. Da M conduciamo la parallela ad AC. Essa incontra BC in N e Ca in L. Il quadrilatero AMLC è un parallelogramma, perché ha i lati opposti paralleli per costruzione, ed è equivalente al parallelogramma DEFG, per il teorema di equivalenza dei parallelogrammi. DIMOSTRAZIONE

I triangoli MBN e CNL hanno (figura a): ● MB  CL, perché entrambi congruenti ad AM; ^ ^ ● MBN  NCL, perché sono angoli alterni interni formati dalle rette parallele AB e CL, tagliate dalla trasversale BC ; ^ ^ ● NMB  NLC, perché sono angoli alterni interni formati dalle stesse rette parallele, tagliate dalla trasversale ML. Pertanto i triangoli MBN e CNL sono congruenti per il secondo criterio. Il triangolo ABC può essere considerato come somma del trapezio AMNC e del triangolo MBN (figura b). Il parallelogramma AMLC può essere considerato come somma dello stesso trapezio AMNC e del triangolo CNL (figura c). Il triangolo ABC e il parallelogramma AMLC, essendo equicomposti, sono equivalenti. Il parallelogramma AMLC è equivalente a DEFG per il criterio di equivalenza dei parallelogrammi, quindi il triangolo ABC è equivalente al parallelogramma DEFG, per la proprietà transitiva.

C

L

a

N

A a

M

B

C

L

N

A b

M

B

C

L

N

A c

M

B

163

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

TEORIA

䉴 Figura 7 I triangoli ABC e DEF hanno AB ≅ DE e CH ≅ FK. Per il teorema precedente, il triangolo ABC è equivalente al parallelogramma ᏼ, che ha la base congruente alla metà di AB e altezza CH. Sempre per il teorema precedente, il triangolo DEF è equivalente al parallelogramma ᏼ′, che ha la base congruente alla metà di DE e altezza FK. Poiché i parallelogrammi ᏼe ᏼ′ sono equivalenti, anche i triangoli ABC e DEF sono equivalenti.

Corollario. Se due triangoli hanno congruenti le basi e le rispettive altezze, sono equivalenti.

C

A

ᏼ

H

BD

F

ᏼ'

EK

Vale anche il seguente teorema, di cui non forniamo la dimostrazione. TEOREMA

Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha base congruente a quella del triangolo e altezza congruente a metà altezza del triangolo.

■ L’equivalenza fra triangolo e trapezio TEOREMA

D

Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a quella del triangolo e la somma delle due basi è congruente alla base del triangolo.

C

AH

Ipotesi 1. ABCD è un trapezio; 2. EFG è un triangolo; 3. DH è altezza del trapezio;

B

G

Tesi

4. GK è altezza del triangolo; 5. DH  GK; 6. AB ⫹ CD  EF.

ABCD ⬟ EFG.

Prolunghiamo la base AB di un segmento BM  CD. Congiungiamo M con D: il segmento MD interseca BC in N.

DIMOSTRAZIONE E K D

F

I triangoli AMD ed EFG sono equivalenti, perché, per costruzione, hanno basi congruenti e altezze congruenti.

C N

A

B

M

a

D

C N

A

B

M

B

M

b D

C N

A c

G

164

Ora consideriamo i triangoli NCD e BMN (figura a). Essi hanno: ● DC  BM, per costruzione; ^ ^ ● CDN  NMB, perché sono angoli alterni interni formati dalle rette parallele DC e AM, tagliate dalla trasversale DM ; ^ ^ ● DC N  NBM, perché sono angoli alterni interni formati dalle stesse rette parallele, tagliate dalla trasversale BC. Pertanto sono congruenti per il secondo criterio. Il trapezio ABCD è la somma del quadrilatero ABND e del triangolo NCD (figura b). Il triangolo AMD è la somma dello stesso quadrilatero ABND e del triangolo BMN (figura c). Il trapezio ABCD e il triangolo AMD, essendo equicomposti, sono equivalenti. Poiché AMD è equivalente a EFG, il trapezio ABCD è equivalente al triangolo EFG, per la proprietà transitiva dell’equivalenza.

Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza

TEORIA

■ L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza TEOREMA

Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza.

◗ Il perimetro di un poligono è un segmento congruente alla somma di tutti i lati del poligono.

Dimostriamo il teorema per un poligono di cinque lati; la dimostrazione per un poligono circoscritto con un numero qualsiasi di lati è del tutto analoga.

D

N O

E

C L

A K

P

H Q

S

M

B

a. Congiungiamo il centro O della circonferenza con i vertici del poligono, che resta così scomposto in cinque triangoli.

b. Riportiamo consecutivamente su una retta i segmenti LP  AB, PQ  BC, QR  CD, RS  DE, SM  EA e congiungiamo gli estremi L e M con un punto N che dista dalla retta di un segmento NH  OK.

DIMOSTRAZIONE I triangoli ABO e LPN hanno basi congruenti (per costruzione) e altezze congruenti (perché congruenti al raggio), quindi sono equivalenti, ossia

ABO ⬟ LPN. Analogamente: BCO ⬟ PQN,

R

CDO ⬟ QRN,

DEO ⬟ RSN,

EAO ⬟ SMN,

ossia ogni triangolo del poligono è equivalente al corrispondente triangolo costruito su una parte del segmento LM.

䉱 Figura 8 Costruzione. Il poligono è scomposto in cinque triangoli, ognuno dei quali ha un vertice coincidente con il centro della circonferenza. Il lato opposto a tale vertice è tangente alla circonferenza, quindi l’altezza relativa è un raggio della circonferenza. Per esempio, l’altezza OK nel triangolo AOB è la distanza di O dalla retta tangente AB, ossia il raggio OK.

Il triangolo LMN è equivalente alla somma dei triangoli di cui è composto il poligono ABCDE, quindi il poligono e il triangolo sono equivalenti. Poiché un poligono regolare è sempre circoscrivibile a una circonferenza, vale il seguente corollario. Corollario. Un poligono regolare è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema.

165

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

TEORIA

4. La costruzione di poligoni equivalenti ◗ Il metodo che utilizziamo è indipendente dal numero dei lati del poligono considerato.

䉲

Figura 9 Costruzione. E

■ Da un poligono convesso a uno equivalente con un lato in meno Da ogni poligono convesso, che non sia un triangolo, possiamo ottenere con una costruzione un poligono equivalente con un lato in meno. Per esempio scegliamo un esagono convesso e costruiamo un pentagono a esso equivalente. ESEMPIO

E

D

F

E

D

C B

a. È dato l’esagono convesso ABCDEF. Tracciamo la diagonale EC.

D' A

C

A

B

b. Tracciamo la retta per D parallela alla diagonale EC, che incontra in D' il prolungamento di BC.

D

F

F

F

A

E

D

C

D'

B

c. Congiungiamo E con D'.

A

C

D'

B

d. Il pentagono ABD'EF è equivalente all’esagono ABCDEF.

Dimostriamo che il pentagono ottenuto è equivalente all’esagono dato. E

I triangoli ECD e ECD′ hanno (figura a):

D

H

F

●

C A a

D' H'

B E

A

L’esagono ABCDEF (figura b) è formato dal pentagono ABCEF e dal triangolo ECD.

D

C B

la stessa base EC; altezze congruenti DH  D′H′, perché distanze fra le rette parallele EC e DD′.

Pertanto sono equivalenti.

F

b

●

D'

Il pentagono ABD′EF è formato dal pentagono ABCEF e dal triangolo ECD′. L’esagono convesso ABCDEF e il pentagono ABD′EF risultano somme di superfici equivalenti, quindi sono equivalenti. Ripetendo più volte la costruzione precedente su un qualsiasi poligono convesso, si può giungere a un triangolo equivalente al poligono dato. Pertanto un qualsiasi poligono convesso è sempre equivalente a un triangolo.

G

166

Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora

TEORIA

ESPLORAZIONE: IL TANGRAM GIOCARE CON LA GEOMETRIA

7

3

In quale relazione sono fra loro i singoli pezzi tan? Il quadrato, il parallelogramma e il triangolo medio sono figure equivalenti. Tutti e tre possono essere ottenuti come unione dei due triangoli piccoli. I due triangoli grandi, invece, possono essere costruiti unendo i due triangoli piccoli a uno qualunque dei pezzi intermedi: equivalgono a 4 triangoli piccoli. Il concetto di equivalenza ritorna quando si costruiscono le figure tangram: sono figure equiscomponibili. Tante e diverse, ma con la stessa area complessiva, che è quella del quadrato di partenza.

6 2

5 4 1

IN CINQUE SLIDE

Il Tangram è un antico gioco cinese, divenuto popolare in Europa e in America a partire dal 1800. È una sorta di puzzle le cui tessere sono sette figure geometriche ottenute dalla scomposizione di un quadrato in: due triangoli grandi, due triangoli piccoli, un triangolo medio, un quadrato e un parallelogramma. Componendo in diversi modi questi pezzi base (detti tan), con la sola regola di usarli tutti e senza sovrapposizioni, è possibile dare forma a una grande varietà di figure rappresentanti oggetti, animali, persone e quant’altro.

Cerca esempi di figure tangram e poi divertiti a realizzarle, mettendo alla prova la tua abilità di giocatore! In Internet puoi trovare anche parecchi problemi geometrici con i tan. Risolvine alcuni e prepara una presentazione multimediale per mostrarli ai tuoi compagni. Cerca nel web: tangram, tan, problemi, figure tangram.

5. I teoremi di Euclide e Pitagora ■ Il primo teorema di Euclide TEOREMA

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa.

D C Q

E

A

H

B

= ᏾

Q=᏾ F

G

167

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

TEORIA

DIMOSTRAZIONE Figura 10 Costruzione.

䉴

N

N

E

M D

M D

D C

Q

A

C

E

H

B

A

H

E

C α' β A

B

α H

B

᏾

F

F

G

a. Dopo aver disegnato il quadrato ACDE e il rettangolo AFGH, prolunghiamo il lato ED.

M D C

E

␣

a

●

B

G

c. Indichiamo con α l’angolo CÂB, con α' l’angolo EÂM e con β l’angolo MÂC.

AC  AE, per costruzione (ACDE è un quadrato); ^ ^ C  E , retti per costruzione; ␣  ␣′, perché complementari dello stesso angolo ␤ 1

1

冢␣ ⫹ ␤ ⫽ ᎏ2ᎏ P e anche ␣′⫹ ␤ ⫽ ᎏ2ᎏ P 冣.

M D

A

^

AB  AM. B

N

Il quadrilatero ACNM è un parallelogramma, perché ha i lati opposti paralleli per costruzione. Il parallelogramma ACNM e il quadrato ACDE hanno la stessa base AC e la stessa altezza EA, quindi sono equivalenti (figura b).

M D

Il parallelogramma ACNM e il rettangolo AFGH hanno le basi congruenti AM  AF (perché entrambe congruenti all’ipotenusa) e la stessa altezza AH, quindi sono equivalenti (figura c).

C Q

A

^

Pertanto sono congruenti per il secondo criterio. In particolare hanno

C

E

E

● ●

N

b

b. Prolunghiamo i lati FA e GH del rettangolo AFGH fino a incontrare il prolungamento di ED rispettivamente nei punti M e N.

F

I triangoli ABC e AME (figura a) hanno:

␣⬘

A

G

H

B

Poiché ACDE ⬟ ACNM e ACNM ⬟ AFGH, per la proprietà transitiva dell’equivalenza, abbiamo anche ACDE ⬟ AFGH, ossia Q ⬟ ᏾.

᏾

F

c

G

168

G

In modo del tutto analogo, si può procedere eseguendo la costruzione sull’altro cateto.

Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora

TEORIA

■ Il teorema di Pitagora TEOREMA

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Q2

C Q1

B

A

DIMOSTRAZIONE

Tracciamo l’altezza CH e prolunghiamola in modo da scomporre il quadrato Q3 nei rettangoli ᏾1 e ᏾2 (figura 12):

Q3

Q 3 ⬟ ᏾ 1 ⫹ ᏾ 2. L’altezza CH individua sull’ipotenusa i segmenti AH e BH, proiezioni dei cateti. Inoltre AH e BH sono le basi di ᏾ 1 e ᏾ 2, che hanno i lati congruenti alla proiezione di un cateto e all’ipotenusa. Quindi, per il primo teorema di Euclide, abbiamo:

䉱

Figura 11 Q3 ⬟ Q1 ⫹ Q2.

Q 1 ⬟ ᏾ 1, Q 2 ⬟ ᏾ 2. Poiché somme di figure equivalenti sono equivalenti, risulta: ᏾1 ⫹ ᏾2 ⬟ Q 1 ⫹ Q 2.

Q2

C Q1

Essendo Q 3 ⬟ ᏾ 1 ⫹ ᏾ 2 e ᏾ 1 ⫹ ᏾ 2 ⬟ Q 1 ⫹ Q 2 , per la proprietà transitiva dell’equivalenza si ottiene:

A

Q3 ⬟ Q1 ⫹ Q2.

᏾1

B

H Q3

᏾2

Vale anche il teorema inverso, del quale non diamo la dimostrazione. TEOREMA

䉱

Figura 12

Un triangolo nel quale la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato è rettangolo.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Più di Pitagora

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Se ABC è un triangolo qualsiasi e se ABDE e ACFG sono parallelogrammi qualsiasi costruiti sui due lati AB e AC, allora è possibile costruire sul lato BC un terzo parallelogramma BCHI equivalente alla somma degli altri due. (Pappo, Collezioni matematiche, IV secolo d.C.)

CARLO: VALERIA:

«Più generale del teorema di Pitagora: ABC è un triangolo qualsiasi e non rettangolo». «E poi ci sono tre parallelogrammi e non tre quadrati. Ma come si dimostra?».

䉴 Per dimostrare il teorema, prolunga i lati DE e FG dei parallelogrammi ABDE e ACFG in modo che si incontrino in un punto K. Costruisci ora sul lato BC un parallelogramma avente due lati BI e CH paralleli e congruenti ad AK. Prolunga i segmenti BI, CH e AK…

169

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

TEORIA

■ Il secondo teorema di Euclide TEOREMA

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

C Q

A

B

H

= ᏾

Q=᏾

Disegniamo: il quadrato Q 1 di lato AC, il quadrato Q di lato CH; il rettangolo ᏾1 di base AH e altezza AD  AB, ossia il rettangolo ADEH (figura 13a). DIMOSTRAZIONE

䉲

Figura 13 Q C

Q1

C

C

Q1

Q1 Q

A F

᏾1

H Q2 G

B

A F

᏾ D a

Q2

H

B

A

G

D

H

B ᏾1

᏾

᏾

E

Q2

E

b

D

E

c

Consideriamo su AD il punto F tale che AF  AH e su HE il punto G tale che HG  AH. Chiamiamo Q 2 il quadrato AFGH. Poiché AD  AB e AF  AH, il rettangolo DEGF è ᏾. Il rettangolo ᏾1 è formato dal quadrato Q 2 e dal rettangolo ᏾. Vale cioè la seguente relazione: ᏾1 ⫽ Q 2 ⫹ ᏾. Applicando al triangolo AHC il teorema di Pitagora (figura 13b), otteniamo: Q 1 ⬟ Q ⫹ Q 2 → Q ⬟ Q 1 ⫺ Q 2. Applichiamo al triangolo ABC il primo teorema di Euclide (figura 13c): Q 1 ⬟ ᏾1 → Q 1 ⬟ ᏾ ⫹ Q 2 → ᏾ ⬟ Q 1 ⫺ Q 2. Essendo Q e ᏾ equivalenti entrambi a Q 1 ⫺ Q 2, sono equivalenti fra loro per la proprietà transitiva: Q ⬟ ᏾.

G

170

Annodando funi

TEORIA

Annodando funi …come si fa a delimitare sul terreno un campo rettangolare?

–䊳 Il quesito completo a pag. G157

La squadra, che potremmo usare per disegnare un rettangolo sul foglio, non è certo lo strumento adatto per risolvere lo stesso problema sul terreno. Se anche disponessimo di una squadra molto grande con un angolo perfettamente retto, sarebbe insufficiente per tracciare i confini di un campo da coltivare. Lo strumento adatto è molto più semplice: una lunga corda ad anello. Dividiamo la corda in 12 tratti di uguale lunghezza, segnalando gli estremi degli intervalli con 12 nodi (figura a). Fissiamo uno di questi nodi e individuiamo il terzo e il settimo nodo a partire da quello scelto: in altre parole, individuiamo sulla corda tre punti, a distanze 3, 4 e 5 (figura b). Quindi tiriamo la corda a forma di triangolo, coi vertici nei punti

segnati: il triangolo che otteniamo è un triangolo rettangolo, il cui angolo retto è compreso fra i lati più corti, di lunghezza 3 e 4 (figura c). Ce lo assicura il teorema di Pitagora, o meglio il suo inverso: se i lati di un triangolo hanno lunghezza 3, 4 e 5 (e quindi tali che il quadrato del lato più lungo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due), allora il triangolo ha un angolo retto. A questo punto, per ottenere un campo rettangolare, basterà ripetere lo stesso procedimento, ottenere un secondo triangolo e far coincidere le due ipotenuse (figura d). Non sappiamo se questo sia stato il procedimento effettivamente seguito dagli agrimensori dell’antichità. Quello che è certo è che si erano accorti, più di mille anni prima di Pitagora,

N2

N1 a

b

N2 c

a2 ⫹ b2 ⫽ c 2. Ne troviamo testimonianza, per esempio, nella tavoletta babilonese catalogata col nome di Plimpton 322, risalente a un periodo tra il 1900 e il 1600 a.C. Su di essa è incisa una tabella di quindici righe di numeri in forma sessagesimale che, «tradotti» in forma decimale, sono proprio terne pitagoriche.

Le prime righe sono:

N1

N3

dell’esistenza delle terne pitagoriche: quelle terne di numeri interi positivi (a; b; c) tali che

N3 d

120

119

169

3456

3367

4825

4800

4601

6649

13500

12709

18541

IL TEOREMA DI PITAGORA NELLA CULTURA CINESE Pare che il teorema di Pitagora fosse già noto anche in Cina, almeno mille anni prima della nascita del matematico greco. Sembra provarlo una figura che si trova nel Chou Pei Suan Ching (Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo), uno dei più antichi testi cinesi di matematica, scritto al tempo della dinastia Shang (1500-1000 a.C.). La figura rappresenta quattro triangoli rettangoli aventi i lati di lunghezza 3, 4 e 5, e un quadrato grande di lato 7. Essa consente di ricostruire una dimostrazione del teorema kou ku, nome cinese del teorema di Pitagora.

171

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

L’equivalenza delle superfici piane 1. L’estensione e l’equivalenza

3. I triangoli e l’equivalenza

Il concetto di estensione di una superficie è primitivo. Due superfici si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione. L’equivalenza fra superfici gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva ed è quindi una relazione di equivalenza. La caratteristica comune alle superfici che appartengono alla stessa classe di equivalenza è detta area della superficie. Due superfici congruenti sono sempre equivalenti. Le superfici ottenute come somme (o differenze) di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti.

Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà base del triangolo.

ESEMPIO ᏿ ⬟ ᏿′, ᐆ ⬟ ᐆ′ → ᏿ ⫹ ᐆ ⬟ ᏿′ ⫹ ᐆ′.

Due solidi aventi la stessa estensione sono equivalenti. Anche l’equivalenza fra solidi è una relazione di equivalenza. La caratteristica comune ai solidi che appartengono alla stessa classe di equivalenza è il volume. Principio di Cavalieri: due solidi sono equivalenti se possono essere disposti in modo che ogni piano parallelo a un altro fissato, scelto come riferimento, li tagli secondo sezioni equivalenti. Solidi equicomposti sono equivalenti.

L’equivalenza fra parallelogramma e triangolo

=

altezza base

Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha altezza congruente all’altezza del trapezio e base congruente alla somma delle basi del trapezio. L’equivalenza fra triangolo e trapezio base minore

L’equivalenza di due parallelogrammi

altezza

base maggiore

base

Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza.

ᐍ4

ᐍ5

ᐍ3

r

ᐍ2

=

ᐍ1

=

altezza

altezza base

Se un parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti le basi e le relative altezze, sono equivalenti.

172

=

altezza

Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze, relative a tali basi, allora sono equivalenti.

G

base

L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza

2. L’equivalenza di due parallelogrammi

base

altezza

ᐍ1 +

ᐍ2

+

ᐍ3

+

ᐍ4

+

ᐍ5

Paragrafo 1. L’estensione e l’equivalenza

4. La costruzione di poligoni equivalenti Da ogni poligono convesso, che non sia un triangolo, possiamo ottenere un poligono equivalente con un lato in meno mediante un’opportuna costruzione.

ESERCIZI

Il teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Teorema di Pitagora

Da un poligono convesso a uno equivalente con un lato in meno

D

Q2

Q1

E

ABCDE = AC'DE

C

Q3 = Q1 + Q2 Q3

C' A

B

5. I teoremi di Euclide e Pitagora Il primo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa.

Il secondo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Secondo teorema di Euclide

Primo teorema di Euclide

Q2

Q1

Q

oppure

᏾1

=

᏾2 Q1 Q2

= ᏾1 = ᏾2

=᏾

᏾

–䊳

1. L’estensione e l’equivalenza 1

Q

Teoria a pag. G157

Individua le coppie di figure equivalenti.

a

b

c

d

e

f

g

h

i

l

173

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

2

Dimostriamo la seguente equivalenza fra superfici, usando le ipotesi indicate. D

P

C

Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma; 2. QP  AD. ABCD ⬟ 2ABP.

Tesi A

Q

B

Dimostrazione ●

Per l’ipotesi 2 risulta QP  AD, per l’ipotesi 1 risulta AD  BC. Per la proprietà transitiva del parallelismo è anche vero che QP  BC .

●

I quadrilateri AQPD e QBCP, avendo i lati opposti paralleli, sono parallelogrammi.

●

Nel parallelogramma AQPD la diagonale AP individua due triangoli congruenti AQP e APD.

●

Allo stesso modo nel parallelogramma QBCP la diagonale PB individua i triangoli congruenti QBP e PBC.

D

A

P

●

●

Poiché: ABP ⬟ AQP ⫹ QBP, tenendo conto delle congruenze precedenti, si ha: ABP ⬟ APD ⫹ PBC . Il parallelogramma risulta scomposto nei triangoli APD, ABP, BCP : ABCD ⬟ ABP ⫹ APD ⫹ PBC. Ricordando che ABP ⬟ APD ⫹ PBC concludiamo che: ABCD ⬟ ABP ⫹ ABP, ossia ABCD ⬟ 2ABP.

C

Q

D

B

A

P

C

Q

B

Dimostra le seguenti equivalenze fra superfici usando le ipotesi indicate. F

3

E

D

C

4

Q

R M

D B

A

B

Ipotesi 1. AM  ME; 2. ED  AC. Tesi ACDE ⬟BCDF.

G

174

C

S P A

Ipotesi 1. DC  SQ  AB ; 2. DA  RP  CB. Tesi ABCD ⬟ 2PQRS.

Paragrafo 2. L’equivalenza di due parallelogrammi

5

D

S

C

M

A

M

N

P

QB

B

Ipotesi 1. DC  AB ; 2. SP ⬜ AB ; 3. RQ ⬜ AB; 4. AM  MD, CN  NB. Tesi ABCD ⬟ PQRS. A

6

9

E

D

Q B

N P

C

Disegna il parallelogramma ABCD e indica con P, Q, R, S i punti medi dei suoi lati. Dimostra che ABCD è equivalente al doppio del parallelogramma PQRS. (Suggerimento. Traccia i segmenti PR e QS.)

11 Disegna un parallelogramma ABCD e la sua diagonale BD. Su BD prendi un generico punto P. Da P traccia la parallela a BC e chiama R e S le sue intersezioni rispettivamente con AB e CD. Sempre da P traccia la parallela ad AB e chiama T e V le sue intersezioni con BC e DA, rispettivamente. Dimostra che i parallelogrammi ARPV e CSPT sono equivalenti. (Suggerimento. I due parallelogrammi possono essere visti come differenze di triangoli.)

Ipotesi 1. AE  BC ; 2. AB  DC; 3. AD  DE. Tesi ABCD ⬟ 2CDE. M

N

10 Utilizzando l’esercizio precedente, dimostra che un rettangolo è equivalente al doppio di un rombo avente le diagonali congruenti ai lati del rettangolo.

C

A

P

Ipotesi 1. ABC è un triangolo equilatero; 2. M, N, P sono i punti medi dei suoi lati. Tesi ABC ⬟ 4MNP.

B

D

7

A

8

R

C

Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma; 2. Q, P, N, M sono i punti medi dei suoi lati. Tesi QPN ⬟ QNM.

12 Sia AB il diametro di una circonferenza di centro O e sia T un qualunque punto della circonferenza distinto da A e B. Da T conduci la tangente t alla circonferenza e siano C e D i punti d’intersezione della retta t con le tangenti alla circonferenza condotte rispettivamente da B e da A. Dimostra che ABCD ⬟ 2DOC.

–䊳

2. L’equivalenza di due parallelogrammi

Teoria a pag. G162

Nelle seguenti figure indica quali sono i parallelogrammi che, avendo basi e altezze rispettivamente congruenti, sono equivalenti. Specifica opportunamente la congruenza tra basi e quella tra altezze. F

13

E

D

F

E

E B

F

A

B

C

D

C G

a

ESERCIZI

b

A

B

C

D

c

A

175

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

B

A

14

E

F

A

D

D

A F

D

B

C

c

C

B

C

H E a

G

E

b

15 Disegna il parallelogramma ABCD e conduci da C la parallela alla diagonale BD. Chiama E il punto di intersezione di tale parallela con il prolungamento del lato AB. Dimostra che i parallelogrammi ABCD e BDCE sono equivalenti. 16 Nel parallelogramma ABCD, sul prolungamento del lato AD, scegli un segmento PQ congruente ad AD. Dimostra che il quadrilatero convesso BCQP è equivalente ad ABCD. 17 In un parallelogramma ABCD, sul prolungamento del lato AD scegli un segmento PQ congruente ad AD e sul prolungamento del lato AB disegna un segmento MN congruente ad AB. Dimostra che i quadrilateri convessi ottenuti congiungendo i punti B, C, P e Q e i punti M, N, C e D sono equivalenti. 18 Da ciascun vertice di un triangolo ABC traccia la parallela al lato opposto. Le parallele condotte da A e B si intersecano in A′, quelle da B e C in B′, e quelle da C e A in C′. Dimostra che i quadrilateri convessi AA′BC, ABCC ′ e ABB′C sono equivalenti. 19 Dimostra che un parallelogramma la cui base è doppia dell’altezza è equivalente al doppio del quadrato il cui lato è congruente all’altezza. 20 Disegna un rettangolo ABCD e prolunga la base AB di un segmento BE minore di AB. Traccia la diagonale BD e manda, per E, la parallela a DB, che incontra il prolungamento di AD nel punto F. Costruisci sul segmento BE il rettangolo BENC e sul segmento DC il rettangolo DCMF. Dimostra che i due rettangoli costruiti BENC e DCMF sono equivalenti.

–䊳

3. I triangoli e l’equivalenza

Teoria a pag. G163

■ L’equivalenza fra parallelogramma e triangolo Spiega le equivalenze scritte sotto ogni figura, applicando i teoremi sull’equivalenza che conosci. 21

E

D

C

22

D

C

23

D

F E

O

A A

G

176

B ABD = ADE + BCD

B AOB = DOC AOD = BOC

A

B AED = ABC

C

Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza

ESERCIZI

Spiega le equivalenze scritte sotto ogni figura, applicando i teoremi e i corollari sulle equivalenze che conosci. C

24

A

25

C

26

O

A

M

B

B

M

C

1 BCA BMA = — 2

AMC = MBC

A

M

B

ABO = AMC

Dimostrazioni ESERCIZIO GUIDA

27 Sono dati due triangoli che hanno altezze congruenti. Dimostriamo che un triangolo con la stessa altezza dei triangoli dati e con la base congruente alla somma delle loro basi è equivalente alla somma dei due triangoli. Disegniamo la figura e scriviamo l’ipotesi e la tesi: C

F

R

Consideriamo su PQ il punto T tale che PT  DE e TQ  AB. Congiungiamo T con R. TQR ⬟ ABC perché sono triangoli che hanno basi e altezze congruenti.

A H

B D

E

K

P

L

Q

Ipotesi 1. CH, FK e RL sono altezze congruenti; 2. PQ  AB ⫹ DE. Tesi PQR ⬟ ABC ⫹ DEF.

A

F

B D

E

R

P

T

Sommando membro a membro: PTR ⫹TQR ⬟ ABC ⫹ DEF. Poiché inoltre: PQR ⬟ PTR ⫹ TQR, concludiamo che:

Dimostrazione C

Per lo stesso motivo PTR ⬟ DEF.

PQR ⬟ ABC ⫹ DEF.

Q

28 Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia la mediana AM. Dimostra che i triangoli AMB e AMC sono equivalenti. 29 Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia la mediana CM. Indica con P il punto medio di CM. Congiungi A e B con P. Dimostra che i quattro triangoli AMP, BMP, BCP e CAP sono tra loro equivalenti. 30 Un trapezio ABCD di basi AB e CD ha le diagonali AC e BD che si intersecano nel punto E. Dimostra che i triangoli AED e BCE sono equivalenti. 31 Disegna un parallelogramma ABCD e sia E un punto qualsiasi del lato CD. Dimostra che la somma dei due triangoli AED e BEC è equivalente a metà del parallelogramma ABCD. 32 Dimostra che un parallelogramma viene diviso dalle sue diagonali in quattro triangoli equivalenti. 33 Disegna il parallelogramma ABCD e traccia la diagonale AC. Su AC prendi due punti distinti E e F e dimostra che i triangoli EBF ed EDF sono equivalenti.

177

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

34 Disegna il triangolo rettangolo ABC e traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Dimostra che il rettangolo con i lati congruenti ai cateti AB e AC è equivalente al rettangolo con i lati congruenti all’ipotenusa BC e all’altezza AH. 35 Disegna un parallelogramma ABCD e indica con M e N i punti medi rispettivamente dei lati AB e AD. 1 Dimostra che il triangolo AMN è equivalente a  del parallelogramma stesso. (Suggerimento. Traccia 8 da N la parallela a un lato.)

■ L’equivalenza fra triangolo e trapezio COMPLETA le equivalenze scritte sotto ogni figura. E

36

D

E M

A

D

C

D

37

C

A

ACE = ……

B

F

E

b

D

C

O

A

ABCD = ……

a

C

O

M

B

F

E

B

A

AEFD = …… = …… a

B

ADF = …… = …… b

Dimostrazioni ESERCIZIO GUIDA

38 Disegniamo un trapezio ABCD. Scegliamo internamente a esso un punto E equidistante dalle due basi. Congiungiamo E con i vertici del trapezio. Dimostriamo che la somma dei triangoli AEB e DEC è equivalente alla somma dei triangoli AED e BEC. D

K C E

A

H

B

Dimostrazione I triangoli DEC e BEF hanno: ● base congruente, DC  BF per costruzione; ● altezza congruente, EK  EH, metà dell’altezza del trapezio, quindi sono equivalenti.

Ipotesi 1. ABCD è un trapezio; 2. HE  EK; 3. EK ⬜ DC ; 4. EH ⬜ AB. Tesi AEB ⫹ DEC ⬟ AED ⫹ BEC. Costruzione C E A B F a. Prolunghiamo la base AB di un segmento BF ≅ DC. D

K C E

H F A B b. Tracciamo per E la parallela alle basi e congiungiamo E con i punti B, C, D e F.

G

178

E A

D

K C

D

H

B

F

Il triangolo AFE è costituito dai due triangoli ABE e BEF ; poiché BEF ⬟ DEC per quanto appena dimostrato, possiamo scrivere: AFE ⬟ ABE ⫹ DEC. Inoltre il triangolo AFE, avendo la base congruente alla somma delle basi del trapezio e altezza congruente a metà di quella del trapezio, è equivalente a metà trapezio. 1 Se AEB ⫹ DEC ⬟  ABCD, allora 2 1 AED ⫹ BEC ⬟  ABCD. 2 Per la proprietà transitiva possiamo scrivere: AEB ⫹ DEC ⬟ AED ⫹ BEC.

Paragrafo 3. I triangoli e l’equivalenza

ESERCIZI

39 Disegna il trapezio ABCD e indica con M e N rispettivamente i punti medi dei lati paralleli AD e BC. Dimostra che i trapezi ABNM e MNCD sono equivalenti. 40 Nel trapezio ABCD indica con M e N i punti medi dei lati obliqui AB e CD. Da M e N conduci due rette fra loro parallele che incontrano le rette delle basi maggiore e minore rispettivamente nei punti H ed E per la parallela da M, nei punti G e F per la parallela da N. Dimostra che il trapezio ABCD e il parallelogramma EFGH sono equivalenti. 41 Disegna un trapezio avente base maggiore AB doppia della base minore CD. Traccia dal vertice C la parallela ad AD fino a incontrare AB in E. Dimostra che il trapezio ABCD è equivalente al triplo del triangolo ADE. 42 Disegna un trapezio isoscele ABCD di base maggiore AB e di altezza CH. Dimostra che l’estensione di ABCD è doppia di quella del triangolo ACH. 43 Disegna un trapezio rettangolo ABCD che ha per lato obliquo CD. Dimostra che il trapezio è equivalente a metà della somma dei due rettangoli aventi come basi le due basi del trapezio e come altezza il lato AB. 44 Disegna un trapezio ABCD di base maggiore AB e altezza CH. Sia M il punto medio di CH. Dimostra che ABCD è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti a CM e alla somma delle basi del trapezio. 45 Disegna un trapezio ABCD e conduci dai punti medi M e N dei lati obliqui AB e DC le perpendicolari alle basi. Tali perpendicolari intersecano le rette delle basi maggiore e minore rispettivamente in S e R per la perpendicolare da M, in P e Q per la perpendicolare da N. Dimostra che il rettangolo SPQR è equivalente ad ABCD. 46 Nel trapezio ABCD, M e N sono i punti medi dei lati obliqui AB e CD. Detto O il punto medio di MN, dimostra che un qualunque segmento avente gli estremi sulle due basi e passante per O divide il trapezio in due trapezi equivalenti. (Suggerimento. Utilizza l’esercizio precedente.)

■ L’equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza 47 Dimostra che un qualunque triangolo ABC è equivalente a un altro triangolo che ha base congruente al perimetro di ABC e altezza relativa congruente al raggio del cerchio inscritto in ABC. 48 Dimostra che ogni quadrato è equivalente a un triangolo che ha un lato e l’altezza a esso relativa congruenti rispettivamente al quadruplo e alla metà del lato del quadrato. 49 Dimostra che un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti al raggio della circonferenza e al semiperimetro del poligono. (Suggerimento. Ricorda l’equivalenza tra triangolo e rettangolo.) 50 Disegna un quadrilatero ABCD circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio OH. Dimostra che ABCD è equivalente a un parallelogramma che ha un lato congruente alla somma dei segmenti AB e CD e l’altezza congruente a OH. (Suggerimento. Ricorda che in un quadrilatero circoscritto a una circonferenza la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.) 51 Disegna un trapezio ABCD di basi AB e CD circoscritto a una circonferenza di diametro PQ. Dimostra che ABCD è equivalente a un triangolo che ha un lato congruente alla somma dei segmenti AD e BC e l’altezza a esso relativa congruente a PQ. (Suggerimento. Ricorda l’equivalenza tra triangolo e trapezio, vedi il suggerimento dell’esercizio 50.)

179

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

4. La costruzione di poligoni equivalenti

–䊳

Teoria a pag. G166

52 Per ogni quadrilatero convesso rappresentato in figura costruisci un triangolo a esso equivalente.

a

b

c

d

e

53 Per ogni poligono convesso rappresentato in figura costruisci un triangolo a esso equivalente eseguendo, in alcuni casi più volte, la costruzione descritta nella teoria.

a

b

c

d

e

–䊳

5. I teoremi di Euclide e Pitagora

Teoria a pag. G167

■ Il primo teorema di Euclide 54 In ognuno dei seguenti triangoli rettangoli riconosci le figure equivalenti, applicando il primo teorema di Euclide.

a

G

180

b

c

Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora

ESERCIZI

Dimostrazioni ESERCIZIO GUIDA

55 In una circonferenza di centro O e diametro AB disegniamo una corda CD, perpendicolare al diametro, che interseca il diametro stesso nel punto E. Tracciamo le tangenti alla circonferenza in A e in B e stacchiamo su di esse, dalla parte opposta a C rispetto al diametro, due segmenti AA′ e BB′ entrambi congruenti ad AE. Dimostriamo che il quadrilatero AA′BB′ è equivalente al quadrato costruito sulla corda AC. Ipotesi 1. AB è un diametro;

Tesi ᏾ ⬟ Q. C

2. CD ⬜ AB; 3. t 1 e t 2 sono tangenti in A e B; 4. AA′  BB ′  AE; 5. Q è il quadrato di lato AC; 6. ᏾ è il rettangolo AA′B ′B.

Q O A

E

B

᏾ B'

A' D

Dimostrazione Le tangenti t 1 e t 2 in A e in B sono entrambe perpendicolari ad AB (per il teorema della retta tangente a una circonferenza), quindi il quadrilatero AA′B ′B è un rettangolo, per le ipotesi 3 e 4. Congiungendo C con B otteniamo il triangolo ABC, inscritto in una semicirconferenza, quindi rettangolo in C. In tale triangolo, CE è l’altezza relativa all’ipotenusa. Nel triangolo rettangolo ABC, il segmento AE è la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa, quindi ᏾ è il rettangolo formato dall’ipotenusa e dalla proiezione di AC sull’ipotenusa. Pertanto: ᏾⬟Q per il primo teorema di Euclide.

56 Dimostra che in una circonferenza il quadrato costruito su una corda AB, non passante per il centro, è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti alla proiezione della corda sul diametro AC e al diametro stesso. 57 Disegna un rettangolo ABCD e traccia la diagonale AC. Da B traccia la perpendicolare BH ad AC. Dimostra che il quadrato costruito sul lato AB è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti ad AC e AH. 58 Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale minore perpendicolare al lato obliquo. Dimostra che il quadrato costruito sulla diagonale minore è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti alle basi del trapezio. 59 Dimostra che un quadrato è equivalente a un rettangolo avente i lati congruenti alla diagonale e alla semidiagonale del quadrato stesso. 60 Disegna un rombo ABCD e sia O il punto d’incontro delle diagonali. Dimostra che il quadrato costruito sulla diagonale BD è quadruplo del rettangolo i cui lati sono congruenti al lato del rombo e alla proiezione di BO sul lato del rombo. 61 Disegna un trapezio isoscele con le diagonali perpendicolari ai lati obliqui. Dimostra che il quadrato costruito su una diagonale è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti alla base maggiore e alla semisomma delle basi del trapezio.

181

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

■ Il teorema di Pitagora

Nel sito:

䉴 7 esercizi di recupero

62 In relazione alle seguenti figure, scrivi tutte le equivalenze possibili, applicando il teorema di Pitagora e il primo teorema di Euclide.

Q2 Q1

Q5 ᏾5

Q2

᐀1

Q3 ᏾1

Q1

Q4

᏾2

a

᐀1

᏾4

᏾2

Q1

᏾3

Q2 Q3

Q3

Q4

᏾1

b

c

Dimostrazioni ESERCIZIO GUIDA

63 Disegniamo un triangolo rettangolo ABC e prolunghiamo il cateto AB di un segmento a piacere BE. Congiungiamo E con C. Dimostriamo che la somma dei quadrati costruiti su AB e su CE è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su BC e su AE. Ipotesi 1. ABC è un triangolo rettangolo; 2. E appartiene alla retta AB; 3. Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, Q 5 sono quadrati costruiti su AB, CE, BC, AE, AC. Tesi

C Q2

Q 1 ⫹ Q 2 ⬟ Q 3 ⫹ Q 4.

A

Q1

Dimostrazione Applichiamo il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli AEC e ABC. Otteniamo: Q 2 ⬟ Q 4 ⫹ Q 5 e Q 3 ⬟ Q 1 ⫹ Q 5. Per la proprietà simmetrica dell’equivalenza possiamo scrivere Q 1 ⫹ Q 5 ⬟ Q 3 . Sommando membro a membro questa equivalenza con Q 2 ⬟ Q 4 ⫹ Q 5, otteniamo: Q 1 ⫹ Q 5 ⫹ Q 2 ⬟ Q 3 ⫹ Q 4 ⫹ Q 5. Sottraendo dai due membri dell’equivalenza il termine Q 5, otteniamo infine: Q 1 ⫹ Q 2 ⬟ Q 3 ⫹ Q 4.

G

182

B E

C Q3 Q5

A

B Q4

E

Paragrafo 5. I teoremi di Euclide e Pitagora

ESERCIZI

64 Disegna un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC. Sia D un punto qualunque di AB. Dimostra che la somma dei quadrati costruiti su AB e su CD è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su BC e su AD. 65 Dimostra che un quadrato è equivalente alla metà del quadrato costruito su una sua diagonale. 66 Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui la diagonale minore BD è perpendicolare al lato obliquo. Dimostra che il quadrato costruito sulla base maggiore BC è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri tre lati. 67 Dimostra che il quadrato costruito sull’altezza di un triangolo equilatero è equivalente al triplo del quadrato costruito su metà del lato. 68 Disegna un triangolo ABC in cui gli angoli in A e in B sono acuti e tali che l’angolo in A sia minore di quello in B. Traccia l’altezza CH relativa al lato AB. Dimostra che la differenza fra i quadrati costruiti sui lati AC e BC è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti sui segmenti AH e BH. 69 Disegna un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC. Siano P e Q rispettivamente due punti qualsiasi dei cateti AB e AC. Dimostra che la somma dei quadrati costruiti su BC e su PQ è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su PC e su QB.

■ Il secondo teorema di Euclide

Nel sito:

䉴 6 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

70 Disegniamo un triangolo rettangolo ABC e tracciamo l’altezza CH relativa all’ipotenusa AB. Determiniamo il punto medio M del cateto BC e da M tracciamo la parallela a CH, indicando con N l’intersezione di tale parallela con AB. Dimostriamo che la figura formata dal doppio dei quadrati costruiti su CM, MN e NB a cui viene sottratto il quadrato costruito su HB è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti ad AH e HB.

C

M

Q1 A

Q2

Q3 H

N

B Q4

᏾

Ipotesi Tesi 1. ABC è un triangolo rettangolo; 2 Q 2 ⫹ 2Q 3 ⫹ 2Q 4 ⫺ Q 5 ⬟ ᏾. 2. CM  MB; 3. CH ⬜ AB; 4. MN  CH ; 5. Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, Q 5 sono i quadrati costruiti su CH, CM, MN, NB, HB rispettivamente. 6. ᏾ è il rettangolo avente i lati congruenti ad AH e HB.

Q5 hi C

Dimostrazione Il triangolo MNB è rettangolo perché MN è parallela all’altezza CH. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo MNB; poiché CM  MB si ha:

Q2 M Q3

A

H

N

B Q4

Q 3 ⫹ Q 4 ⬟ Q (MB) ⬟ Q 2.

183

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

Nella somma 2Q 2 ⫹ 2Q 3 ⫹ 2Q 4, sostituendo Q 2 a Q 3 ⫹ Q 4, otteniamo: 2Q 2 ⫹ 2(Q 3 ⫹ Q 4) ⬟ 2Q 2 ⫹ 2Q 2 ⬟ 4Q 2. Quattro quadrati equivalenti a Q 2 sono equivalenti al quadrato costruito su BC, ossia 4Q 2 ⬟ Q(BC ).

C

Q2 M

A

H

B

Nel triangolo HBC, per il teorema di Pitagora, possiamo scrivere: Q (BC) ⫺ Q 5 ⬟ Q 1 e anche C

4Q 2 ⫺ Q 5 ⬟ Q 1. Per quanto dimostrato in precedenza, l’espressione 2Q 2 ⫹ 2Q 3 ⫹ 2Q 4 ⫺ Q 5 può essere scritta semplicemente come Q 1. Per il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo ABC, il rettangolo ᏾, avente lati congruenti alle due proiezioni, è equivalente al quadrato Q 1, ossia

Q1

M

A H

B Q5

Q 1 ⬟ ᏾. Dall’equivalenza 2Q 2 ⫹ 2Q 3 ⫹ 2Q 4 ⫺ Q 5 ⬟ Q 1 possiamo concludere che è valida la relazione: 2Q 2 ⫹ 2Q 3 ⫹ 2Q 4 ⫺ Q 5 ⬟ ᏾.

71 Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale minore perpendicolare al lato obliquo. Dimostra che il quadrato costruito sull’altezza è equivalente al rettangolo le cui dimensioni sono congruenti alla base minore e alla differenza delle basi del trapezio. 72 Disegna un rettangolo ABCD e traccia la diagonale AC. Da B traccia la perpendicolare BH ad AC. Dimostra che il quadrato costruito su BH è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti a CH e AH. 73 Disegna un rombo ABCD e sia O il punto d’incontro delle diagonali. Dimostra che il quadrato costruito sull’altezza del rombo è equivalente al quadruplo del rettangolo i cui lati sono congruenti alle proiezioni delle semidiagonali AO e BO su un lato del rombo.

G

184

74 Sia AB il diametro di una circonferenza di centro O e sia CD una corda perpendicolare ad AB che interseca AB nel punto H. Sulla tangente passante per A scegli un punto E in modo che AE sia congruente a BH. Da E traccia la parallela ad AB fino a incontrare il prolungamento di CD in F. Dimostra che il quadrato costruito su CH è equivalente al rettangolo AEFH. 75 Sia AB il diametro di una circonferenza di centro O e sia CD una corda perpendicolare ad AB che interseca AB nel punto H. Dimostra che il quadrato costruito su CD è quadruplo del rettangolo avente i lati congruenti a BH e AH. 76 Traccia una circonferenza di centro O e da un punto P esterno conduci le tangenti alla circonferenza. Indica con A e con B i punti di tangenza. Detto H il punto d’incontro dei segmenti PO e AB, dimostra che il quadrato costruito su AB è quadruplo del rettangolo i cui lati sono congruenti a PH e HO.

LABORATORIO DI MATEMATICA L’equivalenza delle superfici piane con GeoGebra

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

L’equivalenza delle superfici piane con GeoGebra ESERCITAZIONE GUIDATA

Dato un rettangolo di vertici ABCD, costruiamo il quadrato a esso equivalente. Disegnato il quadrato, verifichiamo l’equivalenza delle due figure. Per trovare il quadrato equivalente a un rettangolo costruiamo un triangolo rettangolo avente le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa congruenti alle dimensioni del rettangolo, in tal modo l’altezza del triangolo, in virtù del II teorema di Euclide, diventa un lato del quadrato equivalente al rettangolo. ● Con gli strumenti di GeoGebra disegniamo i lati del rettangolo ABCD (figura 1). ● Con Circonferenza di dato centro tracciamo la circonferenza di centro C e raggio CB e con Intersezione di due oggetti evidenziamo il punto F sulla retta DC. ● Con Punto medio ricaviamo G, con Circonferenza di dato centro tracciamo la circonferenza di centro G e raggio GD e con Intersezione di due oggetti evidenziamo il punto I sulla retta BC. Il triangolo IDF è il triangolo rettangolo desiderato. ● Costruiamo, pertanto, con gli strumenti di GeoGebra sul lato IC i lati del quadrato ICLK. ● Nascondiamo le linee usate per la costruzione e con Poligono sovrapponiamo il rettangolo ABCD e il quadrato CLKI ai loro lati già presenti nel disegno (figura 2). ● Nella finestra algebrica leggiamo che i due poligoni hanno la stessa area, poi spostiamo il punto B: il rettangolo e il quadrato cambiano estensione, ma mantengono la loro equivalenza.

䉱

Figura 1

䉳

Nel sito:

Figura 2

䉴 1 esercitazione guidata con Cabri 䉴 14 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Con il computer opera le seguenti costruzioni e controlla l’equivalenza delle figure.

3

Disegna un triangolo ABC e costruisci un triangolo isoscele equivalente, avente la stessa base AB.

1

Disegna un quadrato ABCD e costruisci un rettangolo equivalente, di base MN assegnata.

4

Disegna un triangolo ABC e costruisci un triangolo isoscele equivalente, di data base DE.

2

Disegna un triangolo ABC e costruisci un triangolo equivalente, di data base DE.

5

Disegna un triangolo ABC e costruisci un triangolo rettangolo equivalente, di cateto DE assegnato.

185

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

Matematica per il cittadino PIASTRELLE

Vuoi rivestire un piano di lavoro della cucina con piastrelle di ceramica. La superficie ha la forma e le dimensioni indicate in figura.

40 cm

20 cm

40 cm

20 cm

1. Non è detto che si riesca a rivestire il piano utilizzando solo piastrelle intere. Scegli fra i seguenti quale tipo di piastrella comporta il maggior numero di tagli.

10 cm

10 cm

10 cm 10 cm A

10 cm B

20 cm

10 cm

10 cm

20 cm C

D

10 cm

2. Scartando la tipologia di piastrella che richiede maggiori tagli, utilizza i tre tipi rimanenti per rivestire il piano da cucina e rappresenta con un disegno la disposizione che proponi. Per ogni tipo scrivi il numero di tagli necessari e il numero di piastrelle occorrenti. Piastrella

Tipo: ………

Tipo: ………

Tipo: ………

numero tagli numero piastrelle

3. Per ciascuna delle quattro tipologie, calcola la superficie minima che rimane non rivestita se non si fanno tagli, cioè se si utilizzano solo piastrelle intere. 4. Quale forma deve avere una piastrella per consentire il rivestimento del piano senza tagli? (È da escludere il caso di un’unica piastrella delle dimensioni del piano da rivestire.) 5. Utilizzando il tipo di piastrelle indicato nella risposta alla domanda precedente, qual è il numero minimo di piastrelle occorrenti?

G

186

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo

TEST 1

2

3

Nel sito:

Due figure si dicono equivalenti se: A

hanno la stessa estensione.

B

sono congruenti.

C

hanno lo stesso numero di lati.

D

sono poligoni regolari e hanno lo stesso numero di lati.

E

hanno la stessa forma.

4

congruenti.

B

somme di figure equivalenti.

C

equivalenti.

D

differenze di figure equivalenti.

E

somme di poligoni congruenti.

Osserva i quadrilateri nella figura. D A

Se un rombo e un quadrato hanno il lato congruente sono equivalenti.

B

Due parallelogrammi sono equivalenti se hanno congruenti le basi e le corrispondenti altezze.

C

D

E

Un triangolo è equivalente a un parallelogramma avente altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo. Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo con base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza. Un triangolo è equivalente a un rombo che ha le diagonali congruenti alla base e alla corrispondente altezza del triangolo.

C

N

H

M

F

E

I

L

Se AC  HF  IL e BD  EG  LM , allora: A ABCD è equivalente a EFGH.

5

B

ABCD è equivalente a ILMN.

C

EFGH è equivalente a ILMN.

D

nessun quadrilatero è equivalente a uno degli altri due.

E

i tre quadrilateri sono tutti equivalenti.

Una delle seguenti equivalenze riferite alla figura è falsa. Quale?

Uno solo dei seguenti enunciati è falso. Quale? A

G

B

Due poligoni si dicono equiscomponibili se sono: A

䉴 questi test interattivi 䉴 20 test interattivi in più

D

C

A

M

B

E

H

G

P

Q

F

AB ≅ EF CD ≅ HG AD ≅ PH

A B C D E

6

ADC è equivalente a QFG. ABC è equivalente a EPH ⫹ PFH. ADC è equivalente a EGH. AMCD è equivalente a PQGH. ABC è equivalente a EFG.

Quale delle seguenti equivalenze riferite alla figura è falsa?

C E

A

AEM è equivalente a BEC.

B

AEC è equivalente a BME.

C

AEC è equivalente a AME.

D

ABE è equivalente a AEC ⫹ BEC. ABE è equivalente a BEC.

E

A

M

187

B

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

7

8

D

Osserva la figura. Quale delle seguenti equivalenze è vera?

C

AED è equivalente a BEC.

B

AEB ⫹ DEC è equivalente a AED ⫹ BEC.

C

BEC è equivalente a AEB.

D

AED è equivalente a DEC.

E

AED ⫹ DEC è equivalente a AEB ⫹ BEC.

A

C B

G

C

A

ADC è equivalente a BDC.

B

B La somma dei quadrati costruiti A D su AB e CD è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su BC e AD. Il quadrato costruito su DC è equivalente al quadrato costruito su BC.

C

Osserva la figura.

E

A

Osserva la figura. Quale delle seguenti proposizioni è vera?

9

A

B

H

Se il triangolo ABC è equilatero e G è il suo baricentro, allora: A

il quadrato costruito sull’altezza CH è equivalente al rettangolo di lati AH e HB.

B

il quadrato costruito sull’altezza CH è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su AH e su HB.

C

ABC è equivalente al doppio di AGB.

D

Il quadrato costruito su DC è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su AD e DB.

D

il quadrato costruito su AB è equivalente al triplo del quadrato costruito su CG.

E

Il quadrato costruito su AC è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su AD e DB.

E

il quadrato costruito su GH è equivalente al rettangolo di lati AH e HB.

SPIEGA PERCHÉ 10 Se raddoppi il lato di un quadrato o il lato di un triangolo equilatero, la loro estensione quadruplica. Perché? 11 Perché è possibile trasformare qualunque poligono in un quadrato a esso equivalente? 12 In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente alla differenza fra il quadrato costruito su un cateto e il quadrato costruito sulla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa. Perché? 13 Descrivi in che modo è possibile passare da un qualsiasi poligono convesso a un rettangolo a esso equivalente.

G

188

14 Con riferimento alla figura Q1

᏾2

᏾1

Q2

᐀3

᐀4 ᏾

᐀1

spiega perché: a) ᏾ 1 ⬟ ᐀1 ⫹ ᐀2; b) ᏾ ⬟ Q1 ⫹ Q2.

᐀2

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI 15 Disegna un triangolo rettangolo ABC e sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti a BH e CH è equivalente al rettangolo che ha un lato congruente ad AC e l’altro lato congruente alla proiezione di AH su AC. 16 Dimostra che l’estensione di un quadrato circoscritto a una circonferenza è il doppio di quella del quadrato inscritto. 17 Disegna un triangolo ABC e la mediana BM relativa al lato AC. Conduci per M la retta parallela al lato BC, che interseca la base AB nel punto N. Dimostra che il triangolo NBM è equivalente alla quarta parte del triangolo ABC. 18 Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia l’altezza AH. Dimostra che il quadrato costruito su AC è equivalente alla somma del quadrato costruito su CH e del rettangolo avente i lati congruenti ad AB e alla proiezione di AH su AB. 19 Disegna un parallelogramma ABCD e un punto P interno a esso. Dimostra che la somma dei due triangoli APD e BPC è equivalente alla somma degli altri due triangoli ABP e DCP. 20 Disegna un quadrilatero ABCD con le diagonali perpendicolari. Dimostra che la somma dei quadrati costruiti sui lati AB e CD è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su BC e DA.

Nel sito:

ESERCIZI

䉴 10 esercizi in più

23 Dimostra che, congiungendo il baricentro di un triangolo con i vertici del triangolo stesso, si ottengono tre triangoli equivalenti. 24 Disegna un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza e dimostra che il quadrato costruito sul raggio è equivalente al rettangolo che ha per lati la metà delle basi. 25 Dimostra che se un triangolo isoscele ABC ha l’altezza AH congruente alla base BC, allora ABC è equivalente al triangolo rettangolo i cui cateti sono congruenti ad AB e alla proiezione di AH su AB. (Suggerimento. Dopo aver applicato il primo teorema di Euclide, ricorda l’equivalenza tra quadrato e triangolo, tra rettangolo e triangolo.) 26 Disegna un quadrato ABCD e traccia la diagonale AC prolungandola, dalla parte di C, di un segmento CP tale che AP sia il doppio di AB. Da P traccia la retta perpendicolare alla retta AB che incontra questa nel punto H. Dimostra che il triangolo AHP e il quadrato ABCD sono equivalenti. (Suggerimento. Traccia da P la perpendicolare ad AP fino a incontrare in K la retta AB.) 27 Disegna un triangolo rettangolo ABC e dal punto medio M del cateto AC conduci la perpendicolare MN all’ipotenusa BC. Dimostra che il quadrato costruito su BN è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su CN e su AB.

21 Dato un trapezio, costruisci un rettangolo a esso equivalente che abbia per base la somma delle basi del trapezio. Motiva la costruzione.

28 Dimostra che in un qualunque trapezio la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui lati non paralleli aumentata del doppio del rettangolo le cui dimensioni sono congruenti alle basi del trapezio.

22 In un parallelogramma ABCD conduci internamente all’angolo C una semiretta che interseca il lato AD nel punto M e il prolungamento della base AB nel punto N. Dimostra che i due triangoli ABM e MDN sono equivalenti.

29 Disegna due segmenti AB e CD, in modo che riAB sulti CD ⱕ  . Dividi il segmento AB in due 2 parti tali che il rettangolo che ha per lati queste due parti sia equivalente al quadrato che ha per lato CD. Motiva la costruzione.

189

G

CAPITOLO G5. L’EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

30 Due segmenti AB e CD sono fra loro congruenti e perpendicolari. Dimostra che il quadrilatero convesso ACBD è equivalente a metà del quadrato costruito su uno dei segmenti. (Suggerimento. Traccia le parallele…) 31 Da un punto P esterno a una circonferenza di centro O traccia le tangenti che incontrano la circonferenza nei punti A e B. H e K sono le intersezioni del segmento PO rispettivamente con la corda AB e con l’arco AB. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti a PH e OH è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti su KO e OH. 32 Disegna il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC e cateto minore AB. Sia M il punto medio di AB e H il piede della perpendicolare condotta da M a BC. Dimostra che il quadrato costruito su AC è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti su CH e BH. (Suggerimento. Traccia la mediana CM.)

33 Disegna un triangolo rettangolo ABC e dal punto medio M del cateto AB conduci la perpendicolare MH all’ipotenusa BC. Costruisci i quadrati sui segmenti CH e BH, in cui resta divisa l’ipotenusa. Dimostra che la differenza fra tali quadrati è equivalente al quadrato costruito sul cateto AC. 34 Disegna il triangolo ABC e indica con M e N i punti medi rispettivamente dei lati AB e BC. Dimostra che i triangoli AMC e ANC sono equivalenti. 35 Disegna un triangolo scaleno ABC e traccia le mediane AN e CM. Indica con P il loro punto di intersezione. Dimostra che i triangoli CPN e APM sono equivalenti e che il triangolo APC è equivalente al quadrilatero BMPN. Dimostra inoltre che il triangolo APC è equivalente al doppio del triangolo CPN. (Suggerimento. Osserva le figure come differenza di figure equivalenti. Ricorda la proprietà del baricentro.)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

36 TEST Triangle ABC has AB  AC with M and N midpoints and AX ⊥ BC. What is the ratio of the area of the yellow region to the area of triangle ABC? 5 A  A 8 3 B  8 3 M N C  4 1 D  2 B C X 7 E  8

䉴 6 esercizi in più

䉴 2 esercizi in più

37 TEST Betsy designed a flag using blue triangles, small white squares, and a red center square, as shown. Let B the total area of the blue triangles, W the total area of the white squares, and R the area of the red square. Which of the following is correct? A

B⫽W

B

W⫽R

C

B⫽R

D

3B ⫽ 2R

E

2R ⫽ W

(USA University of North Carolina: Western Region State Mathematics Finals, 1999)

GLOSSARY

to design: progettare flag: bandiera

G

190

midpoint: punto medio ratio: rapporto, proporzione

square: quadrato

CAPITOLOTEORIA

La misura e le grandezze proporzionali

G6

Che misure! La piramide di Cheope, nella piana di Giza, è una delle più grandi costruzioni realizzate dall’uomo. Ha un volume 30 volte superiore all’Empire State Building di New York; può contenere agevolmente al suo interno San Pietro e un altro paio di cattedrali europee. Con la sua pietra si potrebbe fare un’autostrada a 8 corsie da San Francisco a New York. Pesa 5 milioni e 273 mila tonnellate, ha i lati alla base lunghi 234 metri… …come si può misurare con un metro l’altezza di una piramide? 䡲䡲䊳 La risposta a pag. G208

1. Le classi di grandezze geometriche ■ Le lunghezze Consideriamo nel piano l’insieme S dei segmenti e la relazione di congruenza fra segmenti. Questa relazione permette di suddividere l’insieme S in classi di equivalenza. Ogni classe contiene segmenti fra loro congruenti.

lunghezza b

lunghezza a

a O B' omotetia diretta

|k|> 1 O

A'

|k|< 1 O rimpicciolimento

ingrandimento

B

A' Ᏺ' A

O

A' a

B'

A b

B

k< O A' omotetia inversa c

A

Ᏺ

Ᏺ

Ᏺ' d

251

G

CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. G239

1. Le isometrie ■ La traslazione 1

Nel sito:

Rappresenta il vettore somma dei vettori indicati nelle figure. → a

→ b

→ b → a

→ b

→ a a

2

䉴 4 esercizi di recupero

b

→ a

→ a

→ b

c

d

Verifica che l’addizione tra vettori è commutativa.

→ b → b

→ a

e

f

Verifica che l’addizione tra vettori è associativa.

3

ESERCIZIO GUIDA

4

Applichiamo al punto P della figura la traslazione t a→ e determiniamo il punto P′ corrispondente.

P

→ a

Disegniamo sul quaderno il vettore a→ con il primo estremo in P. Il secondo estremo del vettore indica il punto cercato.

P' → a t →a

P

5

6

Applica a ogni punto della figura la traslazione di vettore indicato e determina il punto corrispondente.

→ c

Q → a

P

→ b

R

Trasla ogni figura secondo il vettore indicato. → a O D

→ p

→ q

A B

a

7

F

b C

O

P

E → r

c

Trasla ogni figura secondo il vettore indicato.

O

R

→ c

→ b d

e

8

f

Applica a ogni figura la composizione di traslazioni t a→ ⴰ t b→ e poi t b→ ⴰ t a→. Si tratta della stessa trasformazione?

→ a

→ b → b

→ a a

G

252

b

→ b

→ a

→ c c

S

a

b

Paragrafo 1. Le isometrie

ESERCIZI

■ La rotazione ESERCIZIO GUIDA

9

Dati i punti A e O e l’angolo orientato  di 45° in figura, applichiamo al punto A la rotazione di angolo  e centro O. A

45°

O

Congiungiamo O con A e tracciamo un arco di centro O e raggio OA. ^ Determiniamo sull’arco il punto A′ in modo che l’angolo AOA′ sia di 45°. (Possiamo usare il goniometro.) Il punto A′ è il punto cercato.

A' A

O

10 In ogni figura applica al punto disegnato in nero la rotazione di centro O e angolo indicato. A

B

O

O O

D

C

O 90°

135°

30° a

b

180°

c

d

11 Applica ai segmenti e ai cerchi dati la rotazione di centro O e angolo indicato. O C A

B

O

O

D O

C

C 135° a

b

135°

90°

90° c

12 Ruota ogni figura di 90° in senso antiorario intorno a O.

d

13 Ruota ognuna delle figure seguenti di 90° in senso orario intorno a O. O

O O a

O

b

c O

a

b

O

c

253

G

CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESERCIZI

La composizione di rotazioni 14 Applica a ciascuna figura la composizione della rotazione r (O ; 90°) in senso antiorario con la rotazione r (O ; 180°) sempre in senso antiorario. Applica poi la trasformazione composta r (O ; 90°) ⴰ r (O ; 180°) . Le due composizioni danno la stessa trasformazione?

15 Applica la composizione della rotazione r (O ; 90°) in senso antiorario intorno a O con la rotazione r (O′; 45°) intorno a O′ sempre in senso antiorario al trapezio in figura. Applica poi la trasformazione composta r (O ; 90°) ⴰ r (O′; 45°) . Ottieni la stessa trasformazione? O'

O

a

O

b

O

c

O

■ La simmetria centrale ESERCIZIO GUIDA

16 Dati i punti A e O, determiniamo il punto A′ corrispondente di A nella simmetria centrale di centro O. Congiungiamo A con O e prolunghiamo il segmento AO di un segmento OA′ congruente al segmento AO. Il punto A′ è il punto cercato.

17 In ciascuna figura determina il simmetrico di ogni punto rispetto al punto O.

A' O A

19 Disegna per ogni figura la figura corrispondente nella simmetria centrale di centro O.

D A

B

O

O

O

C

C

A O B

D a

O a

b

18 Disegna il simmetrico di ogni segmento in figura rispetto al punto O.

O

b

c

20 Trasforma le due figure mediante la composizione di simmetrie s O ′ ⴰ s O . Trasformale poi mediante s O ⴰ s O ′. Ottieni le stesse figure trasformate? O'

B

O O

A

C

a

b

D

E

F

O O

c a

G

254

b

O'

Paragrafo 1. Le isometrie

■ La simmetria assiale

Nel sito:

ESERCIZIO GUIDA

21 Dati il punto A e la retta a, determiniamo il punto A′ simmetrico di A rispetto all’asse di simmetria a.

ESERCIZI

䉴 5 esercizi di recupero

22 In ciascuna figura determina il simmetrico del punto indicato rispetto alla retta disegnata. A

c

b

C a

a

a

B

b

c

A

23 Disegna il simmetrico di ogni segmento in figura rispetto all’asse a. Tracciamo per A il segmento AM perpendicolare all’asse. Prolunghiamo AM di un segmento MA′ congruente ad AM. Il punto A′ è il punto cercato.

a

a

A

C B

B

a b A

a

c

D

24 In ciascuna delle seguenti figure disegna il simmetrico del cerchio rispetto all’asse a. A

A'

a

a

M a

a a

b

c

25 Disegna per ogni figura la figura corrispondente nella simmetria assiale di asse a. a

a

a

b

26 Disegna gli assi di simmetria di ogni figura.

a

a

c

d

27 Disegna la figura trasformata di Ᏺ mediante la composizione delle due simmetrie ad assi perpendicolari s b ⴰ s a. Applica s a ⴰ s b . Si tratta della stessa trasformazione? a Ᏺ

a b O

b

Nel sito:

䉴 20 esercizi in più su Isometrie e dimostrazioni

255

G

CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. G248

2. L’omotetia

Nel sito:

䉴 6 esercizi di recupero

28 In ogni riquadro ci sono due figure omotetiche Ꮽ e Ꮽ′. Alla figura Ꮽ corrisponde la figura Ꮽ′. Stabilisci se l’omotetia, di centro O, è diretta o inversa e determina il rapporto k di omotetia.

?

Ꮽ'

?

Ꮽ'

a

O

Ꮽ' Ꮽ O

Ꮽ

O

Ꮽ

b

c

ESERCIZIO GUIDA

29 Dati i punti P e O determiniamo il punto P ′ corrispondente di P nell’omotetia di centro O e rapporto ⫺ 3. Poiché il rapporto di omotetia è negativo, il punto P ′ si trova da parte opposta a P rispetto a O. Pertanto congiungiamo P con O e prolunghiamo il segmento PO. → OP ′ → → P O Poiché →  ⫽ ⫺ 3, 兩OP ′ 兩 ⫽ 3 ⭈ 兩OP 兩, quindi costruiamo il segmento OP ′ OP triplo di OP. Il punto P′ disegnato in figura è il punto cercato. 30 Determina per ogni riquadro il punto corrispondente rispettivamente ad A, B e Q nell’omotetia di centro O e rapporto k indicati.

33 Nelle due figure un’omotetia di centro O trasforma A in A′, B in B′ e C in C′. Determina B′ e C. C'

O

A O k=2

a

B k = −5

b

Q c

O

B

1 k=— 3

A

31 Disegna il segmento corrispondente nell’omotetia di centro O e rapporto indicato.

A

B k = −2

a

O

B

a

3 k=— 2

c

256

O

A'

O

P

O

P'

P

k=2

k = −3

b

35 Nel triangolo ABC il segmento DE è parallelo ad AB. Individua il centro e il rapporto dell’omotetia che trasforma A in D e B in E. C

P'

P' b

c

D A

G

A

O

32 Il punto P ′ è omotetico di P nell’omotetia di centro O e di rapporto 3. Quale figura rappresenta in modo corretto l’omotetia? P

O

34 Disegna le figure omotetiche a quelle date nella omotetia di centro O e rapporto k indicati.

a

O

A'

B

k=3

b

O

C' B

O≡A

A

O

P'

E B

RIEPILOGO Le trasformazioni geometriche

RIEPILOGO

ESERCIZI

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

36 Riconosci le seguenti trasformazioni. A'

a

A

A

a A

A' O

B' B

C'

C

B B

a

C

C'

A

B'

O C'

C

B'

b

C'

B

A' c

C

B'

A'

d

37 Disegna tutti gli assi di simmetria di un triangolo equilatero, di un quadrato e di un esagono regolare. 38 Individua il centro e l’angolo della rotazione che fa corrispondere a Ᏺ la figura Ᏺ ′. B'

C

A' Ᏺ'

Ᏺ

Ᏺ Ᏺ'

Ᏺ' a

Ᏺ

b

c

39 Il punto P ′ è simmetrico di P rispetto al centro O. Quale figura rappresenta in modo corretto la simmetria?

A

C'

B

42 Individua in quali riquadri sono rappresentate in modo corretto una figura e la sua simmetrica rispetto al punto O.

P' P P a

O

P'

P

O

P'

b

c

O

40 Decomponi un quadrato in otto triangoli congruenti, usando i suoi assi di simmetria.

a

b

O

41 Individua le rotazioni che trasformano in sé un triangolo equilatero, un quadrato e un esagono regolare.

d

O

O

O

c

O e

O f

43 Scrivi le lettere dell’alfabeto dotate di un centro di simmetria. 44 Individua in quale dei riquadri seguenti sono rappresentate in modo corretto una figura e la sua simmetrica rispetto all’asse indicato.

a

b

c

d

257

G

CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

Le trasformazioni geometriche con GeoGebra ESERCITAZIONE GUIDATA

Verifichiamo con un esempio che la composizione di due simmetrie non sempre gode della proprietà commutativa. Applichiamo a un triangolo una simmetria assiale e al suo trasformato una simmetria puntuale e poi scambiamo l’ordine delle due trasformazioni. ● Attiviamo GeoGebra e nascondiamo gli assi cartesiani e la finestra algebrica. ● Tracciamo con Retta per due punti una retta r, con Nuovo Punto un punto P fuori di essa e con Poligono un triangolo ABC (figura 1). ● Applichiamo al triangolo ABC con Simmetrico rispetto a una retta una simmetria assiale con asse la retta r ottenendo il triangolo A′B′C′ e poi a questi una simmetria con centro il punto P con Simmetrico rispetto a un punto, facendo apparire il triangolo A″B″C″. ● Applichiamo al triangolo ABC con Simmetrico rispetto a un punto una simmetria con centro il punto P ottenendo il triangolo A′1B′1C′1 e poi a questi con Simmetrico rispetto a una retta una simmetria assiale con asse la retta r pervenendo al triangolo DEF. Vediamo che i triangoli trasformati non coincidono, quindi 䉱 Figura 1 concludiamo che in tal caso la composizione delle due simmetrie non gode della proprietà commutativa. Proviamo, poi, a portare il punto P sulla retta r e notiamo che i trasformati del triangolo secondo le due simmetrie vanno a coincidere.

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata con Cabri 䉴 15 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Usa il computer per svolgere le seguenti esercitazioni.

G

1

Applica a un quadrato ABCD quattro rotazioni di 30° attorno ai quattro vertici.

2

Applica a un pentagono ABCDE le cinque simmetrie centrali con centro i cinque vertici.

3

Applica a un ottagono ABCDEFGH le otto simmetrie assiali aventi i lati come assi.

4

Applica al triangolo ABC l’omotetia di rapporto 4 e centro il suo baricentro G. Verifica che il triangolo trasformato A′B ′C ′ rispetto all’originale ha i lati paralleli e di misura quadrupla, gli angoli corrispondenti congruenti e l’area che misura sedici volte l’area di ABC.

258

5

Applica a una circonferenza, di centro O, la composizione di due traslazioni, che hanno come vet→ → tori due raggi OA e OB, fra loro perpendicolari, e una traslazione di vettore la somma dei due vettori.

6

Applica a un triangolo isoscele ABC, di base BC, la composizione di due simmetrie: la prima di centro il vertice A, la seconda di centro il vertice B. Determina il vettore della traslazione equivalente.

7

Applica a un triangolo scaleno ABC la composizione di due trasformazioni: una simmetria centrale, di centro un punto O, e un’omotetia di centro O e di rapporto 2. Scambia le trasformazioni e indica se l’operazione di composizione è commutativa.

Matematica per il cittadino

ESERCIZI

Matematica per il cittadino LE ISOMETRIE NELL’ARTE

Durante un viaggio di istruzione, Elisa ha ammirato i bellissimi mosaici delle Domus dell’Ortaglia a Brescia e ha notato che molti fregi sono stati ottenuti utilizzando e componendo tra loro delle isometrie. Si consideri la figura seguente, dove le rette r e s sono perpendicolari; il poligono ABCDEFG ha i segmenti AB e GF, GA ed EF paralleli, e si ha GO ⫽ OQ.

2. Continuando a disegnare, Elisa ha ottenuto delle decorazioni sempre più complesse traslando più volte un nuovo modulo, ricavato a sua volta applicando delle isometrie all’elemento base.

r A A

B

Partendo dall’elemento base, sapresti costruire passo passo il modulo da traslare? (Utilizza al massimo due trasformazioni.)

C D

E s

Q G

F

O

1. Partendo da questo elemento base, Elisa ha disegnato delle greche, colorate a piacimento e rappresentate in figura.

A

B

B

Quali isometrie sono state applicate all’elemento base per ottenere le greche A e B?

3. Cominciando dall’elemento base, segui le istruzioni date e disegna un nuovo modulo da traslare. ● Simmetria centrale rispetto al punto O. ● Simmetria assiale rispetto alla retta r. ● Traslazione dei quattro elementi ottenuti secondo → un vettore AB . 4. Osserva che le isometrie considerate fin qui sono traslazioni di vettore parallelo alla direzione del fregio (data dalla retta s), simmetrie assiali rispetto a s e a r, simmetrie centrali rispetto a un punto appartenente a s, cioè rotazioni di 180°. Spiega il perché di questa scelta, considerando che l’obiettivo è quello di ottenere una decorazione che sia un fregio, cioè un disegno contenuto dentro una striscia e generato dall’iterazione di una traslazione base.

259

G

CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo

TEST 1

Nel sito:

I punti uniti di una trasformazione sono: A B C D E

4

punti appartenenti tutti a una stessa linea. punti che hanno per immagine uno stesso punto. punti che si corrispondono in una traslazione. punti che coincidono con i loro corrispondenti. nessuna delle definizioni precedenti.

䉴 questi test interattivi 䉴 20 test interattivi in più

È dato il rettangolo ABCD. b

D

C a

O

A

B

A esso viene applicata la trasformazione t tale che: t (A) ⫽ C, t(B) ⫽ D, t(C) ⫽ A, t(D) ⫽ B. Una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

2

Le proposizioni seguenti sono tutte vere tranne una. Quale? A B C D E

Le traslazioni, eccettuato il caso dell’identità, non hanno punti uniti. Le traslazioni sono isometrie. L’unica traslazione che ammette punti uniti è l’identità. Ogni traslazione ammette rette unite. → In una traslazione di vettore AB il rettangolo ABCD si trasforma in un parallelogramma.

A B C D E

5

t può essere una rotazione di centro O e angolo 180°. I lati del rettangolo sono segmenti uniti. t può essere la simmetria centrale di centro O. Il rettangolo ABCD è una figura unita. t può essere la composizione delle due simmetrie assiali di assi a e b.

La retta b della figura è omotetica della retta a nella omotetia di centro O e rapporto k. A

3

Quanti sono gli assi di simmetria dell’esagono regolare? A B C D E

O

a b

B

12. 6. 3. 0. Infiniti.

Se AB è triplo di OA allora k è uguale a: 1 A 4. C  . E 1. 3 1 B 3. D  . 4

SPIEGA PERCHÉ 6 7

G

Le parole SI e NON ammettono un asse di simmetria? E un centro di simmetria? Considera una semicirconferenza di diametro d e la simmetria assiale sd, rispetto al diametro d. La trasformazione sd ⴰ sd, applicata alla semicirconferenza, è involutoria?

260

8

Motiva le risposte ai seguenti quesiti. a) In una rotazione di 360° rispetto al proprio centro, un cerchio è una figura unita? b) I punti del cerchio trasformato in a) sono punti uniti?

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

9

Nel sito:

Considera la funzione t dal piano in sé che associa a un segmento AB una semicirconferenza di diametro AB. t è una trasformazione geometrica? Qual è l’immagine del punto medio di AB? E l’immagine di A?

→ a

B O

O

A

A

O 1 k=— 3

k = –2

a → c

䉴 30 esercizi in più

15 In ciascun caso disegna la figura corrispondente nell’omotetia di centro O e rapporto indicato.

10 Applica al punto P della figura la traslazione di → vettore dato dalla somma dei vettori a→ ⫹ b ⫹ c→. → b

ESERCIZI

b

B k=3

c

16 Due angoli con i lati paralleli discordi ammettono un centro di simmetria?

P

12 Disegna il simmetrico di ognuna delle seguenti figure rispetto al punto O.

↔

11 Dati due punti distinti A e B e un angolo , disegna le due rotazioni di angolo  che associano il punto A al punto B.

17 La cornice del quadro ha la stessa larghezza sui quattro lati. I due rettangoli che delimitano la cornice sono omotetici?

↔

↔ ↔

B

B

B A

A

O A

C

a

O

b

C

O c

13 Disegna una circonferenza di centro O e raggio r. Traccia poi un suo asse di simmetria. Ve ne sono altri? Quanti sono? Esegui la stessa operazione e rispondi alle stesse domande nel caso di un triangolo isoscele. 14 A partire dalla figura Ᏺ, disegna la figura che ottieni applicando due simmetrie assiali rispetto alle rette parallele a e b, cioè applicando s b ⴰ s a . Indica il tipo di trasformazione che si ha con s b ⴰ s a e descrivine le caratteristiche. a

19 Partendo dalla figura Ᏺ, disegna la figura che si ottiene mediante la composizione delle simmetrie assiali s b ⴰ s a . a b Ᏺ O

b d

Ᏺ

18 Disegna un parallelogramma ABCD di centro O. Traccia per A la parallela a BD e per D la parallela ad AC. Le due parallele si intersecano nel punto E. Determina le immagini dei punti A e D nella → traslazione di vettore EO.

20 Dopo aver disegnato un triangolo ABC di base AB, indica con E il punto medio del lato AC e con F quello di BC. Utilizzando le proprietà della simmetria di centro F, dimostra che il segmento EF è parallelo ad AB e che EF è la metà di AB.

261

G

CAPITOLO G7. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

21 TEST Quanti assi di simmetria possiede la figura? A B C D E

2. 4. 6. 8. Nessuna delle precedenti.

䉴 4 esercizi in più

22 Considera un sistema formato da un’asta OA che ruota intorno al punto O e da un’asta PQ che mantiene sempre la stessa direzione, fissata a OA per un suo punto, come in figura (pensa al tergicristallo di un’automobile). Qual è il luogo descritto dai punti P e Q al variare di A nella rotazione? Q A α

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2000)

P O

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

23 TEST The following is not an isometry: A B

a rotation. a reflection.

C D

a translation. a dilation.

(USA Northern State University: 52nd Annual Mathematics Contest, 2005)

25 TEST A quadrilateral that is central symmetric with respect to a point is always: A B C

24 TEST Which of the following statements is not true? A B C D

E

A reflection in a line is congruent to the original figure. Corresponding sides of a figure and its reflection in a line are parallel. Corresponding sides of a figure and its reflection in a line are congruent. The line of symmetry bisects a segment connecting corresponding points of a figure and its reflection. The line of symmetry is perpendicular to a segment connecting corresponding points of a figure and its reflection. (USA Northern State University: 52nd Annual Mathematics Contest, 2005)

䉴 6 esercizi in più

D E

a rectangle. a rhombus. a parallelogram. a square. a trapezoid.

26 How many different isometries transform a regular pentagon in itself ? [10] 27 TEST If the length of each side of a triangle is increased by 20%, then the area of the triangle is increased by: A B C D E

40%. 44%. 48%. 52%. 60%.

(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2001)

GLOSSARY

to bisect: dividere in due parti uguali dilation: dilatazione (omotetia) to increase: aumentare

G

262

isometry: isometria length: lunghezza reflection: riflessione (simmetria assiale)

rotation: rotazione statement: enunciato translation: traslazione trapezoid: trapezio

CAPITOLOTEORIA

La similitudine

G8 Quale forma per le mura? Nel Medioevo ai costruttori di fortificazioni spettava una decisione importante: stabilire quale forma dare alle mura di cinta di una città in modo che essa fosse meno vulnerabile agli attacchi dei nemici e che potesse delimitare una superficie sufficiente a dare alloggio a tutti i propri abitanti. In Europa furono molti a scegliere una forma circolare… …che cosa accomuna le pesanti fortificazioni di una città medievale, una mela e una leggerissima bolla di sapone? 䡲䡲䊳 La risposta a pag. G280

1. La similitudine e le figure simili DEFINIZIONE

Similitudine Una similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene dalla composizione di un’omotetia e un’isometria, o viceversa.

C"

C' O

C B A

B' A' omotetia

B"

A" isometria

similitudine

Due figure si dicono simili se si corrispondono in una similitudine. Per esempio, sono simili i triangoli ABC e A″B″C ″ della figura. Per indicare la similitudine utilizziamo il simbolo ⬇. Per esempio, per dire che ABC e A″B ″C ″ sono simili, scriviamo ABC ⬇ A″B″C ″. Due lati o due angoli che si corrispondono in una similitudine si dicono omologhi.

◗ In particolare, sono simili due figure congruenti: la similitudine che le fa corrispondere è la composizione di un’opportuna isometria con un’omotetia di centro qualsiasi e rapporto 1 (cioè l’identità).

263

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

La similitudine gode di tutte le proprietà delle omotetie. In particolare, se due poligoni sono simili, essi hanno gli angoli omologhi congruenti e i lati omologhi in proporzione, per le proprietà dell’omotetia. Il rapporto fra due lati omologhi si chiama rapporto di similitudine.

2. I criteri di similitudine I criteri di similitudine dei triangoli sono tre teoremi che forniscono condizioni sufficienti affinché due triangoli ABC e A′B ′C ′ siano simili. Esiste anche un criterio per stabilire se due poligoni con un numero qualsiasi di lati sono simili. Ci limitiamo a enunciare questi criteri.

■ Il primo criterio di similitudine TEOREMA

Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, allora sono simili. ABC ≈ A'B'C' C'

α ≅ α' γ ≅ γ' C' γ' α'

C γ

C

A'

A'

B'

B'

α A

A

B

B

■ Il secondo criterio di similitudine ◗ Dai criteri di similitudine deriva che: ●

●

●

G

tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro; due triangoli isosceli sono simili se hanno congruenti l’angolo al vertice oppure gli angoli alla base; due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto congruente oppure se hanno i cateti in proporzione.

264

TEOREMA

Se due triangoli hanno due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. γ ≅ γ'; AC : A'C' = BC : B'C'.

γ'

C γ

A

ABC ≈ A'B'C'

C'

A'

C A'

B'

B

C'

A

B'

B

Paragrafo 3. Applicazioni dei criteri di similitudine

TEORIA

■ Il terzo criterio di similitudine TEOREMA

Se due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione, allora sono simili. ABC ≈ A'B'C'

AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'

C'

C' C

C A'

A

B'

A'

B

A

B'

B

■ Un criterio di similitudine per i poligoni TEOREMA

Condizione sufficiente affinché due poligoni con lo stesso numero di lati siano simili è che abbiano angoli ordinatamente congruenti e lati ordinatamente in proporzione, tranne al più: ● ● ●

◗ Corollario. Se due poligoni regolari hanno lo stesso numero di lati, allora sono simili.

tre angoli consecutivi, oppure un lato e i due angoli a esso adiacenti, oppure due lati consecutivi e l’angolo compreso.

3. Applicazioni dei criteri di similitudine ■ La proporzionalità fra basi e altezze di triangoli simili TEOREMA

In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze. C

ABC

≈ A'B'C' C'

h A

H

b : b' = h : h'

h' b

B

A' H' b'

B'

◗ Poiché ABC ⬇ A′B ′C′, si ha: b ⬊ b′ ⫽ AC ⬊ A′C′, ^

^

A ⬵ A ′. Osserviamo che anche i triangoli rettangoli AHC e A′H′C′ sono simili (primo criterio), quindi: AC ⬊ A′C ′ ⫽ h ⬊ h′. Dalla proprietà transitiva dell’uguaglianza segue che: b ⬊ b′ ⫽ h ⬊ h′.

265

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

■ Il primo teorema di Euclide TEOREMA

◗ Abbiamo indicato con i l’ipotenusa, con c il cateto AC e con p la proiezione AH di questo sull’ipotenusa. Indichiamo allo stesso modo le rispettive misure.

In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa. C c

A

i:c= c:p p H

DIMOSTRAZIONE

◗ I triangoli sono simili perché sono rettangoli e ^ hanno l’angolo A in comune.

B

i

Nel triangolo ABC, CH è l’altezza relativa all’ipotenusa.

I triangoli ABC e AHC sono simili. Fra i lati omologhi AB e AC, AC e AH vale la proporzione: AB ⬊ AC ⫽ AC ⬊ AH . Passando alla proporzione fra le loro misure abbiamo: i ⬊ c ⫽ c ⬊ p → c2 ⫽ i ⭈ p

◗ Analogamente, considerando la proiezione HB di CB sull’ipotenusa, si dimostra che:

in cui c 2 è la misura dell’area del quadrato di lato c e i ⭈ p è la misura dell’area del rettangolo di dimensioni i e p. Abbiamo così ritrovato il primo teorema di Euclide espresso mediante la misura di aree.

AB ⬊ CB ⫽ CB ⬊ HB.

COME INDIVIDUARE I LATI OMOLOGHI Per individuare i lati omologhi di due triangoli simili, ricorda che essi sono i lati opposti ad angoli congruenti. Come esempio, riprendiamo la figura relativa al primo teorema di Euclide e consideriamo i triangoli ABC e ACH.

C

C

C H

A

H

B

a. Gli angoli AHˆ C e ACˆ B sono congruenti perché entrambi retti; i lati opposti AC e AB sono dunque corrispondenti.

G

266

A

H

B

b. Gli angoli ACˆ H e CBˆ H sono congruenti perché angoli complementari del medesimo angolo, CAˆ B.

A

H

BA

C

c. Per individuare facilmente i lati omologhi si può disegnare separatamente il triangolo AHC in modo che AC sia parallelo (o allineato) ad AB, e AH sia parallelo ad AC.

Paragrafo 4. La similitudine nella circonferenza

TEORIA

■ Il secondo teorema di Euclide TEOREMA

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. C

p1 : h = h : p2

h A p1 H

p2

B

DIMOSTRAZIONE Nel triangolo rettangolo AHC, ␣ è complementare di ␥. Quindi ␣′ ⬵ ␣ perché complementari dello stesso angolo.

I triangoli rettangoli AHC e BHC hanno un angolo acuto congruente, quindi sono simili. Fra i lati omologhi AH e CH, CH e BH vale la proporzione:

C

◗

γ α' α A

H

B

Indichiamo con ␣ l’angolo ^ ^ A ; l’angolo retto AC B è suddiviso dall’altezza nei due angoli ␥ e ␣′.

AH ⬊ CH ⫽ CH ⬊ BH. Passando alle misure: p1 ⬊ h ⫽ h ⬊ p2 → h2 ⫽ p1p2. Osserviamo che h 2 è la misura dell’area del quadrato di lato h e p 1 ⭈ p 2 quella del rettangolo di dimensioni p 1 e p 2. Ritroviamo così il secondo teorema di Euclide scritto mediante la misura di aree.

4. La similitudine nella circonferenza Enunciamo, senza dimostrarli, alcuni teoremi.

■ Il teorema delle corde TEOREMA

Se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione.

D B

E

AE : CE = ED : EB

A

C

267

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

■ Il teorema delle secanti

TEOREMA

Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in P e l’altro in ciascuno dei punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione.

P A

E

C

PF : PE = PA : PC

F

■ Il teorema della secante e della tangente TEOREMA

Se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente che ha per estremi P e il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi P e ciascuno dei punti di intersezione.

䉲

A

C

PF : PA = PA : PC

F

Alcuni suggerimenti per la dimostrazione di questi teoremi compaiono nella figura 1.

Figura 1 D β

B E

P

P A

A C

α A

P

E

β' γ

F C a. Teorema delle corde Osservando la costruzione in figura, si dimostra che α ≅ γ e β ≅ β', quindi i triangoli AED e BEC sono simili. Pertanto è soddisfatta la proporzione AE CE = ED EB.

G

268

C

b. Teorema delle secanti Poiché Eˆ ≅ Fˆ e l’angolo in P è comune ai due triangoli PCE e PFA, essi sono simili. Pertanto è soddisfatta la proporzione PF PE = PA PC.

F c. Teorema della secante e della tangente ˆ ≅ PFA ˆ e l’angolo APˆF è Poiché PAC comune ai due triangoli PFA e PCA, essi sono simili. Pertanto è soddisfatta la proporzione PF PA = PA PC.

Paragrafo 4. La similitudine nella circonferenza

TEORIA

■ La sezione aurea di un segmento DEFINIZIONE

Sezione aurea

sezione aurea

La sezione aurea di un segmento è quella sua parte che è medio proporzionale fra l’intero segmento e la parte di segmento rimanente.

A

S

B

AB AS = AS SB

Costruiamo la sezione aurea di un segmento.

䉲

Figura 2 Costruzione.

E

E

O

O

O

C A

M

B

a. Disegniamo un segmento AB, il suo punto medio M e un arco di centro B e raggio BM.

A

M

B

b. La perpendicolare per B al segmento AB interseca l’arco nel punto O. Tracciamo la semiretta AO.

A

M

C B

c. Tracciamo la circonferenza di centro O e raggio OB. Essa interseca la semiretta AO nei punti C ed E.

A

M S

B

d. Con centro in A e raggio AC, tracciamo un arco che interseca AB nel punto S. Il segmento AS è la sezione aurea di AB.

Per dimostrare che il segmento AS è la sezione aurea di AB, dobbiamo dimostrare che vale la proporzione: AB ⬊ AS ⫽ AS ⬊ SB. Per costruzione AB è tangente alla circonferenza di centro O e AE è secante. Applicando il teorema della secante e della tangente, otteniamo: AE ⬊ AB ⫽ AB ⬊ AC. Applichiamo la proprietà dello scomporre: (AE ⫺ AB) ⬊ AB ⫽ (AB ⫺ AC) ⬊ AC. Poiché AB ⬵ CE, risulta AE ⫺ AB ⬵ AC. Inoltre, AC ⬵ AS, AE ⫺ AB ⬵ AS e AB ⫺ AC ⬵ AB ⫺ AS ⬵ SB. Riscriviamo la proporzione sostituendo con queste espressioni: AS ⬊ AB ⫽ SB ⬊ AS.

269

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

Infine invertiamo i medi con gli estremi: AB ⬊ AS ⫽ AS ⬊ SB. Ciò dimostra che AS è la sezione aurea di AB.

LA SEZIONE AUREA NELL’ALGEBRA Se il segmento AS è la sezione aurea di AB vale la proporzione: AB ⬊ AS ⫽ AS ⬊ SB. Indichiamo con l la misura di AB e con x la misura di AS: la misura di SB è l ⫺ x. Determiniamo il valore di x in funzione di l. x A

S

⌬ ⫽ l 2 ⫹ 4l 2 ⫽ 5l 2 ⫺ l ⫾ 兹5 苶苶 l2 ⫺ l ⫾ l 兹5苶 x ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 2

x⫽

B

l ⬊ x ⫽ x ⬊ (l ⫺ x). Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: x 2 ⫽ l (l ⫺ x) x 2 ⫽ l 2 ⫺ lx. Ordiniamo l’equazione di secondo grado in x e risolviamola: x 2 ⫹ lx ⫺ l 2 ⫽ 0

⫺ l ⫹ l 兹5苶 l(⫺ 1 ⫹ 兹5 苶) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 2 l(兹5 苶 ⫺ 1) ⫽ ᎏᎏ 2

ᐍ

Nella proporzione sostituiamo ai segmenti le misure delle rispettive lunghezze:

⫺ l ⫺ l 兹5苶 ᎏᎏ NON ACCETTABILE 2

兹5苶 ⴚ 1 x ⴝ ᎏᎏ ⴢ l 2 AS 兹5 苶⫺ 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0,618033… AB 2 AB 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1,618033… AS 兹5 苶⫺ 1 AB Il rapporto ᎏᎏ fra un segmento e la sua sezione AS aurea viene chiamato numero aureo e indicato con ⌽.

■ Da un rettangolo aureo ad altri ancora Da un quadrato si può ottenere un rettangolo aureo, ossia un rettangolo i cui lati hanno per rapporto il numero aureo. Con la stessa costruzione si possono ottenere altri due rettangoli aurei e da essi altri ancora. 䉴 Figura 3 Costruzione. Gli archi di circonferenza tracciati hanno centro in O, O′ e O″, che sono rispettivamente i punti medi di AB, BS e FH.

A

O

B

E

A

B O' S

D

C

F

D

C

E

A

B

E

R F

D

C

F O"

G

G

270

H

Paragrafo 5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili

TEORIA

ESPLORAZIONE: UN NUMERO D’ORO 䉳

La conchiglia del nautilus.

quadrati e i rettangoli aurei di cui abbiamo già visto la costruzione.

La presenza del numero aureo ⌽ ⫽ 1,618… è stata considerata fin dall’antichità come caratteristica di armonia. Per questo il numero aureo è stato utilizzato nell’arte, nell’architettura, nella musica, ed è stato ricercato nei fenomeni naturali. Vediamo un esempio. Nella struttura della conchiglia del nautilus, un mollusco che popola da miliardi di anni le profondità degli oceani, si può riconoscere la presenza della sezione aurea. Per capire come si ottiene la forma a spirale del guscio osserviamo la figura, dove ritroviamo i

All’interno di ogni quadrato viene tracciato un arco di circonferenza. Gli archi successivi, collegati fra loro, formano una spirale, che riproduce la forma con cui il nautilus, crescendo, ingrandisce la propria conchiglia.

IN CINQUE SLIDE

Cerca esempi di utilizzazione della sezione aurea nell’arte e nell’architettura e realizza una presentazione multimediale. Cerca nel web: sezione aurea, arte, golden ratio, art.

5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili ■ Le aree di poligoni simili TEOREMA

Il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine. ᐀ ≈ ᐀' ᐀

h

᐀' b

b' = k — b

h'

A' = k2 — A

b'

271

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

◗ Indichiamo con A la misura dell’area del triangolo ᐀ e con A′ la misura dell’area del triangolo ᐀′.

DIMOSTRAZIONE

bh A ⫽ ᎏᎏ 2

e

b ′h′ A′ ⫽ ᎏᎏ . 2

b′ h′ Se k è il rapporto di similitudine dei due triangoli, si ha k ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , b h da cui:

b ′ ⫽ kb

e

h′ ⫽ kh.

Sostituiamo i valori b′ e h′ nella formula di A′: k2 ⭈ b ⭈ h A′ ⫽ ᎏᎏ 2

kb ⭈ kh A′ ⫽ ᎏᎏ → 2

→ A′ ⫽ k 2A

A′ → ᎏᎏ ⫽ k 2. A

Il teorema appena dimostrato si può estendere ai poligoni: il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine.

IL RAPPORTO FRA LE AREE DI QUADRATI I quadrati sono poligoni simili fra loro. Se il lato di Q 2 è doppio del lato di Q 1 , cioè k ⫽ 2, allora il rapporto fra le aree è k 2 ⫽ 4. Se il lato di Q 3 è il triplo del lato di Q 1 , allora il rapporto fra le aree è 32 ⫽ 9. Analogamente, se il rapporto fra i lati di Q 4 e Q 1 è 4, allora il rapporto fra le aree è 42. C' C A

B A'

B'

Q4 Q3 Q2 Q1

Consideriamo ancora due triangoli simili (figura a lato). Poiché il rapporto di similitudine k è uguale al rapporto fra due lati omologhi, possiamo scrivere: 2

A′ A 苶苶′苶 B 苶′ 2 A 苶苶′苶 B 苶′ ᎏᎏ ⫽ k 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 . A A 苶苶 B A 苶苶 B

冢

2

冣

2

苶苶′苶 B 苶′ e A 苶苶 B sono le misure delle aree dei quadrati di lato rispetA tivamente A′B ′ e AB, quindi, passando dalle misure alle grandezze: le aree di due triangoli simili (o di due poligoni simili) sono proporzionali alle aree dei quadrati costruiti su due lati omologhi.

■ I perimetri di poligoni simili TEOREMA

I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati omologhi. Dal teorema deduciamo che, in poligoni simili, il rapporto dei perimetri è uguale al rapporto di similitudine, così come accade per il rapporto dei lati omologhi.

G

272

Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio

TEORIA

6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio ■ La circonferenza rettificata Supponi di voler determinare sperimentalmente la lunghezza del bordo di un compact disc. Se fai coincidere un filo flessibile con il bordo del disco (figura 4) e poi lo tendi, puoi pensare a un segmento la cui lunghezza coincide con la lunghezza della circonferenza relativa al bordo del disco. Diciamo che quel segmento rappresenta la circonferenza rettificata.

◗ Naturalmente il filo non deve avere proprietà elastiche, ossia deve essere inestensibile.

Risulta più complesso giungere alla definizione matematica di circonferenza rettificata. Descriveremo i passi essenziali, omettendo le dimostrazioni dei relativi teoremi. Data una circonferenza, consideriamo due insiemi: quello dei poligoni regolari inscritti e quello dei poligoni regolari circoscritti alla circonferenza. Si può dimostrare che il perimetro di ogni poligono inscritto è minore del perimetro di ogni poligono circoscritto. In particolare, sono vere queste due proprietà:

䉱

Figura 4

1. il perimetro di ogni poligono regolare inscritto è sempre minore del perimetro del poligono circoscritto corrispondente (con lo stesso numero di lati); 2. aumentando il numero dei lati di un poligono regolare inscritto e del relativo poligono circoscritto, la differenza fra i loro perimetri diventa sempre più piccola. Queste due caratteristiche vengono anche riassunte dicendo che le lunghezze dei poligoni inscritti e quelle dei poligoni circoscritti costituiscono due classi contigue. Esiste una e una sola lunghezza che è maggiore di ognuno dei perimetri dei poligoni inscritti e minore di ognuno dei perimetri dei poligoni circoscritti. Gli elementi di questi due insiemi si avvicinano sempre di più a tale lunghezza, tuttavia essa, pur separandoli, non appartiene né all’uno né all’altro. Tale lunghezza viene chiamata lunghezza della circonferenza rettificata (o, in breve, lunghezza della circonferenza). 䉳 Figura 5 Dal punto di vista intuitivo, i perimetri del poligono inscritto e del poligono circoscritto tendono a identificarsi con la circonferenza man mano che il numero dei loro lati aumenta.

273

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

■ La lunghezza della circonferenza DEFINIZIONE

Lunghezza di una circonferenza La lunghezza di una circonferenza è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite dalle lunghezze dei perimetri dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti alla circonferenza.

◗ Questo teorema ci permetterà di giungere alla formula che mette in relazione la misura della lunghezza di una circonferenza e quella del suo raggio.

TEOREMA

Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle misure dei rispettivi raggi. Ꮿ Ꮿ'

r

◗ r e r ′ sono le misure dei raggi, c e c′ quelle delle circonferenze.

r'

c : c' = r : r'

O

O c

c'

Nella proporzione appena esaminata moltiplichiamo il secondo antecedente e il suo conseguente per 2: c ⬊ c ′ ⫽ 2r ⬊ 2r ′. Permutando i medi otteniamo: c ⬊ 2r ⫽ c ′ ⬊ 2r ′. Questa relazione dice che il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, 2r, è costante. Abbiamo già incontrato questa costante, che viene indicata con il simbolo ␲ ed è un numero irrazionale, il cui valore, approssimato a 6 cifre decimali, è 3,141592. REGOLA

Misura della lunghezza della circonferenza La misura della lunghezza di una circonferenza è uguale al prodotto della misura del diametro per ␲.

G

274

c 2r O c = 2 πr

Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio

TEORIA

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Una cifra dopo l’altra

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Ci sono filastrocche in diverse lingue per ricordare le prime cifre di ␲. Basta contare il numero di lettere delle parole. Ecco come inizia una in francese: Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages… (31415926535). Ma come si calcolano le cifre di ␲? Determina una procedura per ottenere approssimazioni sempre migliori di ␲. VALERIA: CLAUDIO:

«␲ è il rapporto fra la misura di una circonferenza e quella del suo diametro: potremmo partire da lì». «E la lunghezza di una circonferenza è approssimata sempre meglio dai perimetri dei poligoni regolari inscritti, all’aumentare del numero dei lati».

䉴 Considera poligoni regolari inscritti di 4, 8, 16, 32, … lati. Cerca una formu-

la che, noto il lato di uno di questi poligoni, permetta di calcolare quello del poligono che ha il doppio dei lati. Calcola poi i perimetri dei poligoni, a partire da quello del quadrato…

■ L’area del cerchio Dato un cerchio, consideriamo l’insieme A delle aree dei poligoni regolari inscritti e l’insieme B delle aree dei poligoni regolari circoscritti al cerchio. Si può dimostrare che tali insiemi sono classi contigue e che esiste ed è unico il loro elemento separatore.

◗ Per determinare l’area del cerchio procediamo in modo analogo a quello seguito per la lunghezza della circonferenza. 䉳 Figura 6 Dal punto di vista intuitivo, i poligoni inscritti e quelli circoscritti tendono a identificarsi con il cerchio man mano che il numero dei loro lati aumenta.

DEFINIZIONE

Area del cerchio L’area del cerchio è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite dalle aree dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei poligoni regolari circoscritti al cerchio.

◗ L’area del cerchio è maggiore di quella di un qualsiasi poligono inscritto e minore di quella di un qualsiasi poligono circoscritto.

Enunciamo inoltre il seguente teorema. TEOREMA

Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla circonferenza rettificata e altezza congruente al raggio.

◗ Il teorema permette di ricavare la relazione fra la misura dell’area del cerchio e quella del suo raggio.

275

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

Poiché la misura della lunghezza della circonferenza è 2␲r, la relazione che lega la misura c dell’area del cerchio a quella r del raggio è: 1 1 C ⫽ ᎏᎏ cr ⫽ ᎏᎏ 2␲r ⭈ r ⫽ ␲r 2. 2 2 ◗ Dalla regola consegue che le aree di due cerchi hanno come rapporto il quadrato del rapporto dei rispettivi raggi, ossia: C′ r′ 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . C′ r′

冢 冣

REGOLA

Misura dell’area del cerchio La misura dell’area di un cerchio è uguale al prodotto di ␲ per il quadrato della misura del raggio.

C O

r

C = πr2

■ La lunghezza di un arco Sia Ꮽ l’insieme degli archi di una circonferenza e Ꮾ l’insieme degli angoli al centro della stessa circonferenza. A ciascun arco di Ꮽ si può associare un angolo al centro di Ꮾ e tale corrispondenza è biunivoca. Al crescere dell’arco anche l’angolo al centro corrispondente cresce, anzi si può dimostrare che arco e angoli al centro sono grandezze direttamente proporzionali. O α

r

Quindi, se indichiamo con l la misura della lunghezza dell’arco e con ␣ quella del corrispondente angolo al centro in gradi, vale la proporzione: l ⬊ 2␲r ⫽ ␣ ⬊ 360

ᐉ

→

␣ l ⫽ ᎏᎏ ␲r. 180

■ L’area di un settore circolare ◗ Più in generale fra aree di settori circolari e angoli al centro corrispondenti esiste una proporzionalità diretta.

Se S è la misura dell’area di un settore, si può dimostrare che è soddisfatta la proporzione: S ⬊ ␲r 2 ⫽ ␣ ⬊ 360

→

␣ S ⫽ ᎏᎏ ␲r 2. 360

Dividendo membro a membro questa uguaglianza per quella relativa alla lunghezza dell’arco si ottiene: O α S

r

S 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ r l 2

→

1 S ⫽ ᎏᎏ l ⭈ r. 2

REGOLA

Area del settore circolare La misura dell’area di un settore circolare è uguale al semiprodotto delle misure dell’arco sotteso e del raggio.

G

276

O

ᐍ r

1 ᐍ•r S=— 2

Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio

TEORIA

Enunciamo alcune regole, utili nei problemi di applicazione dell’algebra alla geometria.

■ Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo REGOLA

La misura del raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto fra la misura dell’area del triangolo e la misura del suo semiperimetro.

C Ꮽ r=— p O r A

B

◗ Poiché la circonferenza è inscritta nel triangolo, essa risulta tangente ai lati del triangolo. Ogni raggio passante per un punto di tangenza è perpendicolare al lato relativo.

Infatti, poiché la circonferenza è inscritta nel triangolo, essa risulta tangente ai lati del triangolo. I raggi passanti per i punti di tangenza sono perpendicolari ai relativi lati, quindi sono le altezze dei triangoli OAB, OBC e OAC. L’area Ꮽ del triangolo ABC è la somma di quelle dei tre triangoli: 1 1 1 1 1 Ꮽ ⫽ ᎏᎏ ar ⫹ ᎏᎏ br ⫹ ᎏᎏ cr ⫽ ᎏᎏ r(a ⫹ b ⫹ c) ⫽ ᎏᎏ r2p ⫽ rp. 2 2 2 2 2

C

a b

r

r O c

A

■ Il raggio del cerchio circoscritto a un triangolo REGOLA

La misura del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo è uguale al prodotto delle misure dei lati diviso per il quadruplo dell’area del triangolo.

C R a

b

a•b•c R = ———– 4•Ꮽ

O

A

c

r B

Chiamiamo a, b, c le misure dei tre lati e 2p quella del perimetro di ABC.

◗ Indichiamo con a, b e c le misure dei lati e con R la misura del raggio.

B

Infatti, tracciata l’altezza CH e il diametro CD (figura a lato), ACD ⬇ CHB, quindi: a⭈b b ⬊ h ⫽ 2R ⬊ a → 2R ⫽ ᎏᎏ h ab abc a bc R ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, essendo hc il doppio dell’area Ꮽ. 2h 2hc 4Ꮽ

C

b O A

c

h

H

a

B

D

■ La formula di Erone Indicate con a, b e c le misure dei tre lati di un triangolo e con p la misura del semiperimetro, la misura dell’area Ꮽ del triangolo è: Ꮽ ⴝ 兹p 苶苶(p ⭈ 苶苶 ⫺苶) a苶苶p ⭈ (苶苶 ⫺苶) b苶苶p ⭈ (苶苶 ⫺苶) c苶

formula di Erone.

C a

b A

c

B

277

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

■ I lati di poligoni regolari La misura del lato di un poligono regolare inscritto in una circonferenza è legata in modo univoco alla misura r del suo raggio. Lo stesso vale per un poligono regolare circoscritto. Riassumiamo nella tabella 1 queste relazioni nel caso di un triangolo equilatero, un quadrato e un esagono regolare. 䉴

Tabella 1

LATI DI POLIGONI REGOLARI Poligono

Inscritto

Circoscritto

Triangolo equilatero

l3 ⫽ 兹3苶r

L3 ⫽ 2兹3苶r

Quadrato

l4 ⫽ 兹2苶r

L4 ⫽ 2r

l6 ⫽ r

2兹3苶 L6 ⫽ ᎏᎏ r 3

Esagono regolare 䉲

Figura 7 C

A

⎯2 r a. ᐍ4 = √

B

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABO si ottiene infatti –– –– –– AB2 = OB2 + OA2, cioè ᐍ42 = r 2 + r 2 = 2r 2 ⎯2 r. da cui ᐍ4 = √

䉲

ᐍ6

r

ᐍ4

ᐍ3

r

O

O r — H 2

A

B

E

b. ᐍ6 = r

⎯3 r c. ᐍ3 = √

In un esagono regolare inscritto in una circonferenza il lato è congruente al raggio, perché ciascun triangolo avente per base un lato dell'esagono e per terzo vertice il centro della circonferenza è equilatero.

Il triangolo AEC è rettangolo in A (inscritto in una semicirconferenza); AE è metà di AB, quindi AE è il lato dell’esagono regolare inscritto, ––2 –– –– –– ⎯CE ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cioè AE = r. Da AC = √ − AE 2 segue 2 2 − r2 = √ − r2 = √ ᐍ3 = √ ⎯(2r) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯4r⎯⎯⎯⎯ ⎯3r⎯2 = 3√ ⎯r.

Figura 8 C

L6 L4

O

O

r

r

L3

A

a. L4 = 2r L4 è uguale al diametro della circonferenza inscritta, da cui L4 = 2r.

278

B

2⎯ √3 r b. L6 = –––– 3 Il triangolo ABO è equilatero, con lato L6 e altezza congruente al raggio, da cui 2⎯ √3 r. L6 = –––– 3

G

O r A

H

B

c. L3 = 2⎯ √3 r Il centro della circonferenza inscritta è anche baricentro del triangolo, per cui CH = 3OH = 3r. 2•3 2 • CH = ––––– √3 r. L3 = –––––– r = 2⎯ ⎯√ 3 ⎯√ 3

Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio

TEORIA

■ Le aree e i volumi dei solidi di rotazione Conoscendo le formule relative alla lunghezza della circonferenza e all’area del cerchio, si possono ricavare quelle relative alle aree delle superfici e ai volumi dei solidi di rotazione. Cilindro Ab ⫽ ␲r

2

Al ⫽ 2␲r ⭈ h h r

At ⫽ 2␲r(h ⫹ r) V ⫽ ␲r2 ⭈ h

◗ Simboli per le misure: Ab area di base; Al area della superficie laterale; At area della superficie totale; V volume; h altezza del solido; a apotema; r raggio di base.

Cono Ab ⫽ ␲r2 h

Al ⫽ ␲ra

a

At ⫽ ␲r(a ⫹ r) 1 V ⫽ ᎏᎏ ␲r2 ⭈ h 3

r

Tronco di cono Un tronco di cono si ottiene considerando i punti di un cono che stanno fra un piano parallelo alla base e la base stessa. Il solido così ottenuto ha due basi parallele fra loro. Ab ⫽ ␲r2

r'

h r

A′b ⫽ ␲r′2 a

Al ⫽ ␲a(r ⫹ r′) At ⫽ Al ⫹ Ab ⫹ A′b 1 V ⫽ ᎏᎏ ␲h(r2 ⫹ r′2 ⫹ r ⭈ r′) 3

◗ Chiamiamo Ab e A′b le misure delle aree delle due basi, r e r′ quelle dei due raggi di base.

Sfera

r

A ⫽ 4␲r2 4 V ⫽ ᎏᎏ ␲r3 3

279

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

TEORIA

Quale forma per le mura? …che cosa accomuna le pesanti fortificazioni di una città medievale, una mela e una leggerissima bolla di sapone? 䊳 Il quesito completo a pag. G263

–

Per quanto robuste e alte fossero, le fortificazioni delle città medievali rimanevano la parte più esposta agli attacchi dei nemici. Se si considera inoltre che trasportare i pesanti massi con cui venivano issate le mura di cinta costava non poca fatica ai costruttori, si comprende che avere un giro di mura che fosse il meno lungo possibile diventava non solo un’esigenza per la sicurezza della città e dei suoi cittadini, ma anche un modo per risparmiarsi un lavoro gravoso. Non è tuttavia sulle dimensioni della città che i costruttori potevano decidere: queste dipendevano dal numero di famiglie e di abitanti da proteggere. L’unica possibilità diventava quindi quella di trovare come disporre le case all’interno della città in modo da avere il più piccolo perimetro possibile. Dato che il numero di case definisce una superficie fissata, il problema si può formulare così: tra tutte le figure geometriche con la stessa superficie, qual è quella con il perimetro minimo? La figura che risolve questo problema è la forma da dare alla città per renderla più sicura. Proviamo ora a calcolare il perimetro di alcune figure regolari

equivalenti (per comodità fissiamo l’area comune uguale a 1). 1. Nel caso del triangolo equilatero, indicato con l il lato e sapendo che l’altezza è pari a 兹苶 3 h ⫽ ᎏᎏ l, l’area risulta: 2 兹3苶 Aequilatero ⫽ ᎏᎏ l 2. 4 Ricaviamo l e sostituiamo Aequilatero ⫽ 1: 2兹A 苶苶 2 ui苶 lat苶 ero eq苶 l ⫽ ᎏ4 ᎏ → l ⫽ ᎏ4 ᎏ ⫽ 兹3苶 兹苶 3 4 2兹27 苶 ⫽ ᎏᎏ . 3 Il perimetro vale quindi: 4

苶 ⯝ 4,56. 2pequilatero ⫽ 2兹27 2. Nel caso del quadrato di area 1, quest’ultimo ha il lato pari a 1 e quindi il perimetro vale: 2pquadrato ⫽ 4. 3. Per l’esagono regolare di area 1, poiché esso è composto da sei 1 triangoli equilateri di area ᎏᎏ, il 6 lato, alla luce del primo caso, risulta: 1 2 ᎏᎏ 6 ⫽ lesagono ⫽ ᎏ 4 兹3苶

冪莦莦

⫽2⭈

1 ⫽ 2 ᎏᎏ ⫽ 莦3莦61ᎏ 莦 冪ᎏ ⭈3 兹10 苶苶 8 4

4

1 1 4 ᎏ ⫽ ᎏᎏ 兹2苶 ⭈ 兹3苶. ⫽2ᎏ 4 兹苶⭈ 4 苶7 2苶 3 Il perimetro è quindi: 4

3 ⯝ 3,72. 2pesagono ⫽ 2兹2苶 ⭈ 兹苶 Già da questi tre esempi si può notare che, man mano che il numero dei lati di un poligono regolare aumenta, esso assomiglia sempre più a una circonferenza e, parallelamente, diminuisce la misura del suo perimetro (a parità di area). Si può quindi concludere che la soluzione del problema dei costruttori è la circonferenza. Calcoliamo infatti il perimetro del cerchio equivalente ai tre poligoni precedenti. Essendo Acerchio ⫽ ␲r 2 ⫽ 1, il raggio risulta 兹␲ 苶 r ⫽ ᎏᎏ e il perimetro vale: ␲ 2pcirconferenza ⫽ 兹␲ 苶 ⫽ 2␲ ⭈ ᎏᎏ ⫽ 2兹␲ 苶 ⯝ 3,54. ␲ Tale valore è inferiore alle misure dei perimetri calcolati in precedenza. Ecco allora perché la pianta di molte città fortificate è di forma circolare.

BOLLE DI SAPONE E FRUTTA Le bolle di sapone si ritrovano a dover risolvere la versione tridimensionale del problema dei costruttori: a parità di volume (e cioè di aria soffiata all’interno della bolla), qual è il solido che ha una superficie minore? La soluzione al problema è esattamente la forma che la bolla assume: una sfera.

G

280

Molta frutta ha una forma somigliante a una sfera: essendo la buccia la parte più vulnerabile dagli insetti e dagli agenti atmosferici, è vantaggioso che la sua superficie sia ridotta al minimo e che il frutto abbia forma rotondeggiante.

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

La similitudine 1. La similitudine e le figure simili Due figure si dicono simili se l’una si può ottenere dall’altra mediante una similitudine, ossia la composizione di una omotetia e una isometria. Gli elementi (lati, angoli, …) di una figura che si corrispondono in una similitudine si dicono omologhi. Se due poligoni sono simili, gli angoli omologhi sono congruenti, i lati omologhi sono in proporzione.

A

similitudine oⴰt

C O

B

isometria t

C"

C' O'

B'

A'

B" A"

omotetia o

2. I criteri di similitudine Due triangoli sono simili se si verifica una delle seguenti condizioni: ● i triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti (primo criterio di similitudine); ● i triangoli hanno due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo compreso congruente (secondo criterio di similitudine); ● i triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione (terzo criterio di similitudine). I criteri di similitudine dei triangoli C'

C'

C

C B

A

C'

ABC

B

B' A

A' Primo criterio ˆ ≅ A' ˆ ˆ ≅ B' ˆ A B

C

A

A' Secondo criterio

ˆ ≅ A' ˆ A

ABC

≈ A'B'C'

Quando due triangoli sono simili le basi e le rispettive altezze sono in proporzione. Il rapporto, costante, fra le basi e le relative altezze è lo stesso rapporto che c’è fra lati omologhi, ossia il rapporto di similitudine.

≈ A'B'C'

b

b'

≈ A'B'C'

I teoremi di Euclide possono essere enunciati mediante proporzioni, invece che con l’equivalenza di figure. In un triangolo rettangolo:

p2

i

Secondo teorema di Euclide p1 : h = h : p2

h p1

Primo teorema di Euclide i : c1 = c1 : p1 i : c 2 = c 2 : p2

c2

c1

b : b' = h : h'

h'

A' Terzo criterio

ABC

p1

≈

B'

AB A'B' = AC A'C' = BC B'C'

AB A'B' = AC A'C'

3. Applicazioni dei criteri di similitudine

h

B

B'

p2

281

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

●

ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa (primo teorema di Euclide);

●

l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (secondo teorema di Euclide).

4. La similitudine nella circonferenza Teorema delle corde

Teorema della secante e della tangente

Teorema delle secanti P

P

A

A

D B

C

E

C

E A

C

F

F PF : PE = PA : PC

AE : CE = ED : EB

La sezione aurea di un segmento è la parte del segmento che è medio proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente. sezione aurea A S AB AS = AS SB

B

5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili

PF : PA = PA : PC

6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio Il rapporto fra le lunghezze di due circonferenze è uguale al rapporto fra i rispettivi raggi, mentre il rapporto fra le aree dei cerchi è uguale al quadrato del rapporto fra i raggi.

ᐍ α r

O

I perimetri di due triangoli simili (o di due poligoni simili) stanno fra loro come due lati omologhi; le aree stanno fra loro come quelle dei quadrati costruiti su due lati omologhi.

c = 2πr α ᐍ = —— πr 180

a. Misure della circonferenza (c) e dell’arco di angolo al centro α (ᐍ).

C C'

α O

A

ᐉ

B

A'

2p 2p' = ᐉ ᐉ' Ꮽ Ꮽ' = ᐉ2 ᐉ'2

G

282

ᐉ'

B'

r

C = πr2 1 α S = —— πr2 = — ᐍr 2 360

b. Misure dell’area del cerchio (C) e dell’area del settore circolare di angolo al centro α (S).

La teoria in sintesi

ESERCIZI

La misura del raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto fra la misura dell’area del triangolo e la misura del suo semiperimetro. La misura del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo è uguale al prodotto delle misure dei lati del triangolo diviso per il quadruplo dell’area del triangolo.

r

b

c

Ꮽ r = — p

abc R = —— 4Ꮽ

R a

a. Raggio del cerchio inscritto nel triangolo.

b. Raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Indicate con a, b, c le misure dei tre lati di un triangolo e con p quella del semiperimetro, la misura dell’area Ꮽ del triangolo è data dalla formula di Erone:

Ꮽ=

p ⭈ (p − a) ⭈ (p − b) ⭈ (p − c) C

a+b+c con p = ———— 2

⭈ (⫺ ) ap ⭈ (⫺ ) bp ⭈ (⫺ ) c. Ꮽ ⫽ pp

a B

b

c

A

Le aree e i volumi dei solidi di rotazione CONO

CILINDRO

h

Ab = πr2 Aᐉ = 2πr ⭈ h At = 2πr(h + r) V = πr2 ⭈ h

r

h

r

TRONCO DI CONO

SFERA

r' h r

a

Ab = πr2 Aᐉ = πra At = πr(a + r) 1 πr2 ⭈ h V=— 3

Ab = πr2 2 a A'b = πr' Aᐉ = πa(r + r') At = Aᐉ + Ab + A'b 1 πh(r2 + r'2 + r ⭈ r') V=— 3

r

A = 4πr2 4 πr3 V=— 3

283

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

–䊳

1. La similitudine e le figure simili

Teoria a pag. G263

ESERCIZIO GUIDA

Dati i triangoli simili della figura, scriviamo la catena di rapporti fra i lati che si corrispondono.

1

C E

F

Quando due triangoli sono simili, i lati che si oppongono ad angoli congruenti si ^ corrispondono nella similitudine. Per esempio, poiché l’angolo C è congruente ^ all’angolo E , il lato AB corrisponde al lato FD. Analogamente BC corrisponde a DE e AC corrisponde a FE. Perciò possiamo scrivere la seguente catena di rapporti:

D

A B

AB ⬊ FD ⫽ BC ⬊ DE ⫽ AC ⬊ FE.

ASSOCIA i triangoli simili, metti le lettere su ogni vertice e poi scrivi la catena di rapporti fra i lati che si corrispondono.

2

1

2

a

4

3

b

c

d

Negli esercizi che seguono sono indicate tre proporzioni; una sola è riferita ai lati corrispondenti dei due triangoli simili in figura. Quale? 3

4

C

5

E

C D

A

B

a) AB ⬊ DE ⫽ AC ⬊ AD b) AC ⬊ AD ⫽ BC ⬊ BE c) AC ⬊ DC ⫽ BC ⬊ CE

G

A

E

A

284

D

C

E B

D

a) AB ⬊ AD ⫽ BC ⬊ DE b) AB ⬊ BD ⫽ BC ⬊ DE c) AC ⬊ CE ⫽ AD ⬊ AB

F B

a) BD ⬊ EF ⫽ BE ⬊ BC b) BD ⬊ EF ⫽ BC ⬊ BE c) CD ⬊ CF ⫽ EB ⬊ BF

Paragrafo 2. I criteri di similitudine

–䊳

2. I criteri di similitudine Nel sito:

ESERCIZI

Teoria a pag. G264

䉴 7 esercizi di recupero

■ Il primo criterio di similitudine ESERCIZIO GUIDA

6

Dato il trapezio ABCD della figura, riconosciamo due triangoli simili tra i quattro in cui lo dividono le diagonali, e scriviamo le proporzioni fra i lati corrispondenti.

D

C O

A

I triangoli simili sono ABO e OCD. Infatti essi hanno: ●   ′, perché opposti al vertice; ●   ′, perché alterni interni di rette parallele tagliate dalla trasversale BD;

B

D

C β' α' O α

quindi i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine. Poiché ad angoli congruenti si oppongono lati corrispondenti, le proporzioni richieste sono: AB ⬊ CD ⫽ AO ⬊ OC; AB ⬊ CD ⫽ BO ⬊ DO; BO ⬊ DO ⫽ AO ⬊ OC.

β A

B

COMPLETA. Applicando il primo criterio di similitudine, riconosci i triangoli simili in ognuna delle seguenti figure, poi scrivi di fianco a ogni figura le proporzioni fra i lati corrispondenti.

A

7

A

A

D

B

E

E D

C

H

B C

a

B

b

M

K

O

D

M

c

A

A

8

C

A

F Q

B a

H

C b

B

E

C

B

P

C

c

285

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

■ Il secondo criterio di similitudine COMPLETA. Nelle figure che seguono sono rappresentati due triangoli e una proporzione. Colora l’angolo

9

compreso fra lati ordinatamente proporzionali. C

M

N

C

M

D

R

P L

B

C Q

A

F

B AC : LN = BC : MN

a

A

E DE : BM = FE : CM

b

B AB : QR = BC : PQ

c

ESERCIZIO GUIDA

10 Dimostriamo che nella figura a lato si possono individuare due triangoli simili, poi scriviamo la catena di rapporti fra lati corrispondenti.

C

B O

A

^

I triangoli OAB e OAC hanno l’angolo O in comune; inoltre: OA ⫽ 2 ⭈ OB e OC ⫽ 2 ⭈ OA, quindi il rapporto fra i primi due membri delle uguaglianze è uguale al rapporto fra gli ultimi due membri, cioè: OA ⬊ OC ⫽ OB ⬊ OA.

B

Pertanto i triangoli sono simili per il secondo criterio di similitudine. La catena di rapporti fra i lati corrispondenti è:

O

A A

OA ⬊ OC ⫽ BA ⬊ AC ⫽ OB ⬊ OA. Osservazione. Per individuare con maggior facilità i lati corrispondenti possiamo disegnare i triangoli OAB e OAC con i lati ordinatamente paralleli.

O

C

11 Usa i dati indicati nelle figure per riconoscere in ciascuna tutte le coppie di triangoli simili, poi scrivi la catena di rapporti fra lati corrispondenti.

C O

A

C' B

A'

B'

A H

A B

A' a

G

286

b

M

C

B'

M' C'

ipotesi: ABC e A'B'C' simili

B c

P

C

ipotesi: AP : AB = PH : BP

RIEPILOGO I criteri di similitudine dei triangoli

ESERCIZI

■ Il terzo criterio di similitudine 12 In ognuna delle figure che seguono compaiono due triangoli simili e una catena di rapporti. Individua gli angoli che si corrispondono e colorali. C C

E F

A a

B

C

D

D

E

H

A

AB : DE = AC : DF = BC : EF

b

B

A

AB : DC = AE : DE = BE : CE

AB : BH = AC : AH = BC : AB

c

C

13 I due triangoli della figura a lato sono simili e vale la proporzione AB ⬊ DE ⫽ BC ⬊ EF. Individua quale delle seguenti proporzioni è equivalente a quella data: a) AB ⬊ BC ⫽ DE ⬊ EF ; c) DE ⬊ AB ⫽ DF ⬊ AC. b) AB ⬊ DE ⫽ DE ⬊ BC;

F

A

B D

E

C

14 I due triangoli ABC e EFC della figura a lato sono simili. Quale delle seguenti proporzioni è errata? a) AB ⬊ EF ⫽ AC ⬊ CE; c) AB ⬊ BC ⫽ EF ⬊ FC; e) AC ⬊ BC ⫽ EC ⬊ CF. b) AB ⬊ AC ⫽ EF ⬊ EC; d) AC ⬊ AE ⫽ BF ⬊ FC;

RIEPILOGO

B

E

F

A

B

I CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI

15 VERO O FALSO? a) Due triangoli equilateri sono sempre simili.

V

F

b) Due triangoli isosceli non possono essere simili.

V

F

c) Due triangoli rettangoli isosceli possono essere simili o meno: dipende dall’angolo acuto.

V

F

d) Due triangoli rettangoli sono sempre simili.

V

F

e) Un triangolo isoscele e un triangolo ottusangolo non possono mai essere simili.

V

F

f) Un triangolo rettangolo e un triangolo isoscele possono essere simili.

V

F

16 COMPLETA

2,1

1,5 5,4

4,2

2,8

2,7 3

6

8,4

1,5

6 2

8 9

27 2

24

4

a. Simili? ........

b. Simili? ........

c. Simili? ........

d. Simili? ........

Criterio di similitudine: ........

Criterio di similitudine: ........

Criterio di similitudine: ........

Criterio di similitudine: ........

Rapporto di similitudine: ........

Rapporto di similitudine: ........

Rapporto di similitudine: ........

Rapporto di similitudine: ........

287

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

COMPLETA utilizzando i dati indicati nelle figure.

17

C PH = ... H

12

A

Area (HPB) = ...

P

B 16

18

C AH = ... 8

2p (AHB) = ...

H

Area (AHC) = ... A

B

6

CP = ... 20

KB = ... P

A

H

KB

20

C HB = ...

H 9

K

A

KH = ...

B

12

21 In un trapezio ABCD, le diagonali si intersecano in O. Dimostra che AO ⬊ CO ⫽ BO ⬊ DO. 22 Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, inscrivi nel triangolo un quadrato PQRS con il lato PQ appartenente ad AB. Dimostra che il lato del quadrato è medio proporzionale fra i due restanti segmenti sull’ipotenusa, AP e QB. 23 Dimostra che due triangoli aventi i lati a due a due paralleli sono simili.

288

26 Inscrivi un quadrilatero ABCD in una circonferenza. Dimostra che le diagonali AC e BD dividono il quadrilatero in quattro triangoli a due a due simili.

28 Disegna un triangolo ABC e traccia la bisettrice CP. Prolunga CP dalla parte di P fino a incontrare in Q la circonferenza circoscritta al triangolo. Dimostra che i triangoli ACP, QBP e QCB sono simili. 29 Disegna due triangoli simili ABC e A′B′C′ e traccia le mediane AM e A′M′. Dimostra che AM ⬊ A′M′ ⫽ BC ⬊ B ′C ′.

12

G

25 Disegna due semirette r e s aventi la stessa origine A. Da un generico punto M conduci le perpendicolari ad Ar e As e indica con B e con C i piedi di tali perpendicolari. Indica con D il punto di intersezione di s con MB e con E il punto di intersezione di MC con r. Dimostra che: 1. AB ⬊ AC ⫽ AD ⬊ AE. 2. MB ⬊ MC ⫽ ME ⬊ MD

27 Disegna due triangoli simili ABC e A′B ′C ′ e da due vertici omologhi traccia le bisettrici AP e A′P ′. Dimostra che AP e A′P′ stanno fra loro come due lati omologhi.

C

19

24 Disegna un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A. Traccia la bisettrice CP dell’angolo ^ BCA. Dal punto P traccia la perpendicolare a CP che incontra l’ipotenusa BC nel punto H. Dimostra che il segmento CP è medio proporzionale fra i segmenti CA e CH.

30 Disegna un triangolo ABC e indica con L, M, N i punti medi dei lati. Dimostra che ABC e LMN sono simili. 31 Disegna tre semirette a, b, c aventi la comune origine O. Su a prendi due punti A e A′ e da essi conduci le perpendicolari AB, A′B ′, AC, A′C ′ rispettivamente alle semirette b e c. Dimostra che BC è parallela a B ′C ′. (Suggerimento. I triangoli OBC e OB ′C′ sono simili perché...) 32 Nel trapezio ABCD di base maggiore AB, indichiamo con O il punto di intersezione delle diagonali e con N il punto medio della base minore CD. Congiungiamo N con O e prolunghiamo NO fino a incontrare la base AB nel punto M. Dimostriamo che: 1. M è il punto medio di AB; 2. O divide MN in parti proporzionali alle basi del trapezio.

Paragrafo 3. Applicazioni dei criteri di similitudine

–䊳

3. Applicazioni dei criteri di similitudine

ESERCIZI

Teoria a pag. G265

■ La proporzionalità fra basi e altezze di triangoli simili COMPLETA le proporzioni che compaiono sotto le figure (le linee tratteggiate sono le altezze dei triangoli).

33

C

E

F E C

D

C

K

A

D A

B

H

H

AB : CD = EH : ?

K

E

B

H

a

C

D

K

c

R

C C

S

H

K P

A

BF AB : CH = FD : ?

b

34

A

? : FK = AB : DE

H

T

Q

A

B

B

AK : BC = ? : ? a

A

BC : ? = ? : BH ? : AC = AC : ? b

H AH : CH = ? : ? CH : ? = ? : CH

B

c

■ I teoremi di Euclide 35 Per ogni triangolo rettangolo in figura scrivi una proporzione che esprima il primo o il secondo teorema di Euclide, utilizzando come medio proporzionale il segmento colorato. C

A

C

C

H H A

B

A

H

B

B

289

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

–䊳

4. La similitudine nella circonferenza

Teoria a pag. G267

■ Il teorema delle corde ESERCIZIO GUIDA

36 Su una circonferenza fissiamo un verso di percorrenza (per esempio, in senso orario) e, nell’ordine, scegliamo quattro punti A, B, A′, B′, in modo che le corde AA′ e BB′ si intersechino in un punto E. Congiungiamo A con B e A′ con B′. Dimostriamo che vale la proporzione:

A' E

A

AB ⬊ A′B′ ⫽ AE ⬊ EB′.

Ipotesi 1. AA′ è una corda della circonferenza; 2. BB ′ è una corda della circonferenza; 3. E è il punto di intersezione di AA′ e BB ′.

B

B'

Tesi AB ⬊ A′B ′ ⫽ AE ⬊ EB ′.

Dimostrazione Per le ipotesi 1 e 2 possiamo applicare il teorema delle corde e ottenere la proporzione: AE ⬊ BE ⫽ EB ′ ⬊ EA′. Permutando i medi otteniamo la proporzione: AE ⬊ EB ′ ⫽ BE ⬊ EA′. I triangoli ABE e A′B ′E hanno: ● due lati ordinatamente in proporzione; ^ ^ ● l’angolo compreso AEB  A′EB ′, perché angoli opposti al vertice; quindi sono simili per il secondo criterio di similitudine dei triangoli. Pertanto vale la proporzione AB ⬊ A′B ′ ⫽ AE ⬊ EB ′.

37 Traccia due circonferenze che si intersecano in due punti A e B. Da un punto P della corda AB traccia una retta che incontri la prima circonferenza nei punti C e D e la seconda nei punti E e F. Dimostra che il rettangolo avente come lati i segmenti PC e PD è equivalente al rettangolo avente come lati i segmenti PE e PF. 38 Disegna un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza e chiama P il punto di intersezione delle diagonali. Dimostra che i triangoli ABP e CDP sono simili, così come i triangoli ADP e BCP. 39 Dimostra che, se due segmenti AB e CD si tagliano in un punto P tale che AP ⬊ CP ⫽ DP ⬊ BP, allora i punti A, B, C e D appartengono a una stessa circonferenza. (Suggerimento. Considera la circonferenza passante per tre punti e utilizza l’unicità della quarta proporzionale.) 40 In una circonferenza sono date due corde MN e M′N′ che si intersecano in un punto P tale che PM ⬊ PN ⫽ PM′ ⬊ PN′. Dimostra che le due corde sono congruenti.

G

290

Paragrafo 5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili

ESERCIZI

■ Il teorema delle secanti 41 Applicando il teorema delle secanti, scrivi una proporzione per ognuna delle figure seguenti. B

A

D

C

O

D

M

N

A

E

O

E

B

A B

B

a

C

b

D MC

C

A c

d

■ Il teorema della secante e della tangente 42 Applicando il teorema della secante e della tangente, scrivi una proporzione relativa a ogni figura. P D

T

A

D

B

P

E

C

B

F

C

B

B a

A

A

A

b

C

c

D

P

d

–䊳

5. Le aree e i perimetri dei poligoni simili

Teoria a pag. G271

43 Individua le coppie di rettangoli simili fra loro e scrivi il rapporto di similitudine, il rapporto fra le misure dei perimetri e quello fra le misure delle aree.

᏾3

᏾7

᏾1

᏾5 ᏾4

᏾2

᏾8

᏾6

44 Per ognuna delle seguenti figure scrivi una proporzione che coinvolga le misure dei perimetri e una che coinvolga le misure delle aree di due triangoli simili. C B

F B E A a

D

E

B

C

A b

D

F

K

C O

C

A c

B

A d

O B

A

H

C

e

291

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

45 In due triangoli simili, un lato del primo è lungo 24 cm e quello corrispondente del secondo 40 cm. Determina il rapporto tra i perimetri e quello tra le aree dei triangoli. 3 9 ᎏᎏ ; ᎏᎏ 5 25

冤

49 In un triangolo ABC di base AB, M e N sono rispettivamente i punti medi di AC e BC. Qual è il rapporto fra i perimetri dei triangoli MCN e ABC? E il rapporto fra le loro aree? Qual è il rapporto fra le aree del triangolo ABC e del trapezio AMNB? 1 1 4 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ 2 4 3

冥

冤

46 Un triangolo ABC ha base AB e altezza CH lunghe rispettivamente 18 cm e 8 cm. A′B′C′ è simile ad ABC e ha la base A′B′, omologa di AB, lunga 27 cm. Quanto misura l’area di A′B′C′? [162 cm2]

50 Dato il triangolo ABC, determina su AC un punAD 3 to D tale che ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . Traccia dal punto D la DC 4

47 La somma dei perimetri dei triangoli simili ABC e A′B′C ′ è 83,25 cm. Determina i perimetri dei due triangoli sapendo che AB ⫽ 16 cm e il suo corrispondente A′B′ ⫽ 20 cm. [37 cm; 46,25 cm]

parallela DE alla base. Calcola il rapporto fra le aree dei triangoli ABC e CDE. 49 ᎏᎏ 16

冤 冥

51 È dato un trapezio ABCD, di area 48 cm2, tale che 5 il rapporto fra le basi è ᎏᎏ . Calcola l’area dei 3 triangoli che si ottengono prolungando i lati non paralleli del trapezio. [27 cm2; 75 cm2]

48 La somma delle aree di due rettangoli simili è 915 cm2. Le due basi hanno lunghezza 25 cm e 30 cm. Determina le aree e i perimetri dei rettangoli. [375 cm2, 540 cm2; 80 cm, 96 cm]

RIEPILOGO

冥

LA SIMILITUDINE

Nel sito:

䉴 25 esercizi in più

Negli esercizi che seguono sono indicate tre proporzioni; una sola è riferita ai lati corrispondenti dei due triangoli simili in figura. Quale? F

52

C

53

C

B

54 C

E D

F

F

E

E

D A

A

B

a) AB ⬊ DE ⫽ AC ⬊ DF b) AC ⬊ DF ⫽ BC ⬊ EF c) AB ⬊ AC ⫽ EF ⬊ DE

A

B

a) AB ⬊ FE ⫽ BC ⬊ FD b) AC ⬊ ED ⫽ AB ⬊ FD c) AC ⬊ ED ⫽ EF ⬊ AB

D

a) AB ⬊ DF ⫽ BC ⬊ EF b) AB ⬊ DF ⫽ BC ⬊ DE c) AB ⬊ DF ⫽ DE ⬊ BC

55 Applicando il teorema delle corde, scrivi per ognuna delle seguenti figure tutte le possibili proporzioni che coinvolgono i segmenti disegnati. D A

B

E

E

P

M C

B

G

292

b

D

D

C

a

B

A

A

C

F

E c

RIEPILOGO La similitudine

56 COMPLETA le seguenti uguaglianze o proporzioni utilizzando la figura e applicando i teoremi delle corde, delle secanti, della secante e della tangente (AR è tangente alla circonferenza in R). DT ⬊ RT ⫽ … ⬊ …;  2 ⫽ A F  ⭈ …; AR TF ⬊ … ⫽ … ⬊ DT; AC  ⭈A B ⫽ AD  ⭈ …; AC ⬊ AR ⫽ … ⬊ AB; AB ⬊ AF ⫽ … ⬊ AC.

C A

B D

T

F

R

57 Disegna un triangolo ABC e indica con AH la proiezione di AC su AB e con AK la proiezione di AB su AC. Dimostra che AB ⬊ AC ⫽ AK ⬊ AH. 58 Nel triangolo isoscele ABC, di base BC, traccia le altezze AH e BK. Dimostra che AH ⬊ BK ⫽ AB ⬊ BC. 59 Disegna un triangolo ABC e conduci dal vertice B una retta che intersechi la retta AC nel punto D, ^ in modo che l’angolo CBD sia congruente all’an^ golo CA B. Dimostra che BC è medio proporzionale fra AC e CD. 60 Due circonferenze si intersecano in P e Q. Sulla retta PQ considera il punto A, esterno alle due circonferenze, e traccia le tangenti AB e AC alle circonferenze. Dimostra che il triangolo ABC è isoscele. 61 Dato un triangolo rettangolo ABC, da un punto P dell’ipotenusa BC conduci la perpendicolare all’ipotenusa stessa che incontra i cateti AB e AC, o i loro prolungamenti, rispettivamente nei punti M e N. Dimostra che PM ⬊ PB ⫽ PC ⬊ PN. 62 Un trapezio rettangolo ADCB ha il lato AB perpendicolare alle basi e le diagonali AC e BD fra loro perpendicolari. Indicato con O il punto di intersezione delle diagonali, dimostra che i triangoli BOC, AOB e AOD sono simili. 63 In una circonferenza di centro O, conduci due rette a e b, a essa tangenti e parallele, e una terza retta t tangente alla circonferenza in T. Siano A il punto di tangenza della retta a, B il punto di tangenza della retta b, R il punto di intersezione di a con t, S il punto di intersezione di b con t. Dimostra che il segmento OT è medio proporzionale fra i segmenti AR e BS. 64 Dimostra che una corda AB di una circonferenza è media proporzionale fra il diametro AC e la sua proiezione su AC.

ESERCIZI

65 Da un punto P di una circonferenza conduci la perpendicolare PH a un diametro AB. Dimostra che PH è medio proporzionale tra le parti in cui il diametro rimane diviso dal punto H. 66 Disegna un triangolo ABC con l’angolo in A acuto. Traccia la circonferenza di diametro BC e siano M e N le intersezioni con i lati AB e AC. Dimostra che i triangoli ABC e ANM sono simili. 67 Traccia una circonferenza di centro O e congiungi un punto P esterno alla circonferenza con O. Indica con A il punto di intersezione di PO con la circonferenza. Da P traccia una tangente alla circonferenza e indica con T il punto di tangenza. Dimostra che la differenza dei quadrati costruiti su PT e su PA è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti al raggio della circonferenza e al segmento AP. 68 Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e in D, le diagonali AC e BD sono fra loro perpendicolari. Dimostra che l’altezza del trapezio è media proporzionale fra le basi. 69 Disegna tre semirette a, b, c uscenti dalla stessa origine O, in modo che Oc sia contenuta nell’angolo acuto ^ aOb. Fissa su Oc due punti P e Q e da questi traccia due rette parallele che intersecano la semiretta Oa nei punti L e M, rispettivamente. Sempre da P e da Q traccia altre due rette parallele che intersecano la semiretta Ob nei punti N e R, rispettivamente. Dimostra che PL ⬊ QM ⫽ PN ⬊ QR. 70 In una circonferenza traccia due corde AB e BC e conduci per B la retta tangente a tale circonferenza. Dimostra che ogni retta parallela alla tangente taglia le corde AB e BC in due punti M e N tali che i triangoli ABC e NBM risultano simili. (Suggerimento. Utilizza le proprietà dell’angolo alla circonferenza.) 71 Nel triangolo ABC traccia l’altezza CD e la circonferenza circoscritta indicando con CE un suo diametro. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti ad AC e a BC è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti a CD e a CE. (Suggerimento. I triangoli CBD e CEA sono...) 72 Disegna il triangolo ABC e traccia le altezze AD e BE. Sia F l’intersezione delle rette AD e BE. Dimostra che il rettangolo con i lati congruenti ai segmenti AD e AF è equivalente al rettangolo con i lati congruenti ai segmenti AC e AE. (Suggerimento. Il quadrilatero CEFD è inscrivibile in una circonferenza...)

293

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

73 Nel triangolo isoscele ABC, l’angolo al vertice è la quinta parte di un angolo piatto. Dimostra che la base BC è la sezione aurea di uno dei lati congruenti. (Suggerimento. Traccia la bisettrice BD e dimostra che l’angolo ^ CB D è congruente all’angolo al vertice.)

6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio Nel sito:

–䊳

Teoria a pag. G273

䉴 7 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

74 Un quadrato ha il lato di 6 cm. Calcoliamo la lunghezza della circonferenza inscritta nel quadrato, di quella circoscritta e l’area della corona circolare fra esse compresa. Le due circonferenze hanno lo stesso centro O. Il raggio di quella inscritD C ta è metà del lato del quadrato, quello della circonferenza circoscritta è metà della diagonale. La misura c della circonferenza inscritta è:  ⫽ 6␲. c ⫽ 2␲ ⭈  OH H C ⫽A  B ⭈ 2 ⫽ 62. La misura della diagonale è: A O La misura c ′ della circonferenza circoscritta è:  ⫽ 2␲ ⭈ 32 ⫽ 6␲2. c′ ⫽ 2␲ ⭈  OC A B L’area della superficie richiesta è la differenza fra le aree dei due cerchi. La sua misura è: OH 2     2    (32 ) 2    32  9. S ⫽ ␲ ⭈ OC La lunghezza della circonferenza inscritta è 6 cm, quella della circonferenza circoscritta 6 2 cm, l’area della superficie fra esse compresa 9 cm 2. 75 Disegna due cerchi concentrici aventi i raggi che misurano R e r (R r). Determina la misura del contorno e l’area della corona circolare delimitata dalle due circonferenze. [2(R r); (R 2  r 2 )]

80 Il lato e la diagonale minore di un rombo misurano a. Calcola la misura dell’area del rombo e del cerchio inscritto in esso. 3 3 a 2  ;  a 2 2 16

76 Calcola la misura dell’area del cerchio inscritto e di quello circoscritto a un esagono regolare di 3 lato che misura l.   l 2; l 2 4 77 È dato un triangolo equilatero di lato 4 cm. Traccia le circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo. Calcola l’area della corona circolare delimitata dalle due circonferenze. [4 cm 2]

81 Su una circonferenza sono dati quattro punti consecutivi A, B, C e D che la dividono in quattro archi consecutivi AB, BC, CD e DA, lunghi rispettivamente 2 cm, 3 cm, 5 cm e 8 cm. Determina il raggio della circonferenza e le ampiezze degli angoli al centro corrispondenti ai quattro archi. [9 cm; 40°, 60°, 100°, 160°]

冤

冥

78 L’area di una corona circolare è 731 cm2. Determina le lunghezze dei raggi sapendo che il maggiore supera il minore di 17 cm. [30 cm; 13 cm] 79 Le basi di un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza sono lunghe 24 cm e 54 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza. [36 cm]

G

294

冤

冥

82 Il triangolo isoscele ABC, di base AB, lunga 32 cm, è inscritto in una circonferenza. La differenza fra il diametro e l’altezza relativa alla base è 4 cm. Determina l’area del triangolo e la lunghezza della circonferenza. [1024 cm2; 68 cm]

Paragrafo 6. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio

ESERCIZI

■ La lunghezza di un arco e l’area di un settore circolare ESERCIZIO GUIDA

83 Calcoliamo il raggio di un cerchio sapendo che l’area di un suo settore di ampiezza 11°15′ è 50 cm2. Indichiamo le misure dell’ampiezza del settore e della sua area con  e con S, quella dell’area del cerchio con A. Calcoliamo A:

A

A ⬊ 360  S ⬊ .

冢 冣

1 ° Trasformiamo 11°15′ in gradi. Tenendo presente che 1′   , risulta 60 1 ° 1 ° 15′  15     , e quindi: 60 4

冢

冣 冢 冣

冢 冣 冢

r α

S

冣 冢 冣

1 ° 1 ° 45 ° 11°15′  11°   11    . 4 4 4 Riscriviamo la proporzione, sostituendo i valori calcolati: 360  50 45 4 A ⬊ 360  50 ⬊  → A    360  50    1600. 45 4 45  4 Calcoliamo il raggio ricavando r dalla formula della misura dell’area del cerchio: A   r2 A A A A    r 2 →      →    r 2 → r 2   → r   .      Sostituendo otteniamo:

冪莦莦

r

1600 冪莦 莦 莦 → r  1600 → r  40.

 Lo stesso risultato si ottiene ricavando r dalla formula S   r 2 : 360° 360° S 360°  50  r    00   40.   16 45 °     4

冪莦莦莦莦

冑苳苳苳 冢 冣

Il raggio del cerchio è quindi di 40 cm. 165 84 La lunghezza di un arco appartenente a una circonferenza di raggio 135 cm è ᎏᎏ ␲ cm. Quanto misura il 2 rispettivo angolo al centro? [110°] 5 85 Un arco di circonferenza è lungo ᎏᎏ ␲ cm e l’ampiezza del rispettivo angolo al centro è 7°30′. Calcola la lun6 ghezza del raggio. [20 cm] 86 Sia MN una corda di una circonferenza di centro O e la sua distanza OH dal centro misuri 6 cm. Sapendo ^ che l’angolo HNO è di 30°, calcola la misura dell’area del settore circolare avente per angolo al centro l’ango^ lo MON. [48␲ cm2] 87 In un cerchio di raggio 2 cm è inscritto un quadrato. Determina l’area della regione del cerchio limitata dal lato del quadrato e dall’arco minore corrispondente. [(  2) cm2]

295

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

88 Disegna un cerchio di raggio r e inscrivi in esso un triangolo equilatero. Determina la misura dell’area della r2 regione del cerchio limitata dal lato del triangolo e dall’arco minore corrispondente. ᎏᎏ (4  3 3 ) 12

冤

冥

89 In un cerchio di raggio r inscrivi un esagono regolare. Determina la misura dell’area della regione del cerchio limitata dal lato dell’esagono e dall’arco minore corrispondente.  3 r 2    6 4

冤 冢

冣冥

90 Un triangolo rettangolo ha un angolo di 60° e l’ipotenusa misura 12a. Con centro nel vertice dell’angolo di 60° traccia un arco di circonferenza con raggio congruente al cateto minore, dividendo il triangolo in due parti. Determina l’area di tali parti.   6)a 2] [6a 2; (18 3 91 Disegna un quadrato e da due vertici opposti traccia due archi di circonferenza di raggio congruente al lato del quadrato e interni a esso. Sapendo che il lato del quadrato misura 2a determina le misure delle aree delle tre parti in cui resta diviso il quadrato. [a 2 (4  ); a 2(4  ); 2a 2(  2)]

Applicazioni dell’algebra alla geometria Nel sito:

䉴 8 esercizi di recupero

■ Problemi con triangoli simili aventi lati corrispondenti paralleli 92 DE è parallelo ad AB. Ricava le misure x e y incognite. C B

y

3 E 6

y A

C

C

D 2 3

a

D

x

E x

26 D

8

A

y

x

A

B

b

21

c

x

2a D

15

y

5a

12,5

5

C

E

E 8a

A

B

B 7a

d

ESERCIZIO GUIDA

93 Nel trapezio ABCD la base maggiore, la base minore e l’altezza sono lunghe rispettivamente 25 cm, 10 cm e 15 cm. I prolungamenti dei lati obliqui si incontrano nel punto E. Nel triangolo EDC determiniamo la lunghezza dell’altezza EH relativa a DC. Dati 1. A B   25;

2.  DC   10;

3.  HK   15.

Richiesta E H .

I triangoli AEB e DEC sono simili per il primo criterio di similitudine ^ ^ ^ ^ D ed EC D  EBA perché angoli corrispondenti formati dalle (EDC  EA parallele AB e DC con le trasversali EA ed EB). Possiamo allora scrivere la proporzione fra le corrispondenti basi e altezze: AB ⬊ DC  EK ⬊ EH Poniamo E H   x. La proporzione diventa: 25 ⬊ 10  (15 x) ⬊ x → 10(15 x)  25x 150 10x  25x → 150  25x  10x → 150  15x → x  10. EH è lunga 10 cm.

G

296

E

D

A

H

K

C

B

Applicazioni dell’algebra alla geometria

94 Un triangolo acutangolo ABC, di area 4,5 dm2, ha un’altezza congruente alla relativa base. Inscrivi nel triangolo un quadrato avente un lato sulla base. Calcola il perimetro del quadrato. [6 dm] 95 Nel triangolo isoscele ABC la base AB e i lati sono lunghi rispettivamente 36 cm e 30 cm. Sulla base AB, considera il punto D e la sua proiezione E su CB. Determina la lunghezza di DB sapendo che la somma delle lunghezze di EB e DB è 24 cm. [15 cm] 96 Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo  cm. Traccia una retta perpendicolare a tale 2 2 cateto, in modo che il triangolo risulti suddiviso in due poligoni equivalenti. Calcola la lunghezza delle due parti in cui il cateto è suddiviso dalla  ⫺ 1) cm] retta. [2 cm; 2(2 97 Disegna un triangolo di base AB e altezza CH. Dal punto medio dell’altezza traccia la parallela

ESERCIZI

alla base, ottenendo un trapezio. Sapendo che l’area del trapezio è 13,5 cm2 e che l’altezza del triangolo è 6 cm, calcola la lunghezza delle due basi del trapezio. [6 cm; 3 cm] 98 Un rettangolo ABCD ha la base AB lunga 16a e l’altezza BC lunga 12a. Prolunga la base AB di un 1 segmento BE ⫽ ᎏᎏ AE e dal punto E traccia la 5 semiretta perpendicolare ad AE, dalla stessa parte del rettangolo. Indica con F il punto di intersezione di tale semiretta col prolungamento della diagonale AC. Calcola perimetro e area del trapezio BEFC. [36a; 54a 2] 99 Del trapezio ABCD rettangolo in A e in D si conoscono le lunghezze 45a, 24a e 28a delle basi AB, CD e dell’altezza AD. Indicata con E l’intersezione dei prolungamenti dei lati non paralleli, determina la lunghezza dei lati e l’area del triangolo DBE. (Maturità magistrale 1966/67) [53a; 32a; 75a; 720a 2]

■ Problemi con triangoli simili che non hanno i lati corrispondenti paralleli ESERCIZIO GUIDA

100 Nel triangolo ABC indicato in figura la base AB è lunga 63 cm e l’altezza CH 20 cm. Il punto H divide AB in due parti, tali che la parte maggiore 12 supera di 12 cm i ᎏᎏ della minore. Indichiamo con HK l’altezza del 5 triangolo CBH relativa al lato CB. Determiniamo il perimetro del triangolo CHK.

Dati 1. A  B ⫽ 63; 2. C  H ⫽ 20; 12  ⫽ 12 ⫹ ᎏᎏ A  H. 3.  HB 5 Richiesta Perimetro (CHK ).  HeH B . 1. Calcoliamo A Poniamo: 12  H ⫽ x, quindi  HB  ⫽ 12 ⫹ ᎏᎏ x. A 5

 B in funzione di x: Esprimiamo anche A 12 17 A  B ⫽ x ⫹ 12 ⫹ ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ x ⫹ 12. 5 5  B e ricaviamo x: Uguagliamo a 63 il valore di A 17 ᎏᎏ x ⫹ 12 ⫽ 63 → x ⫽ 15. 5

C

K

20 A

B

H 63

Si ricava:

12  H ⫽ 15,  HB  ⫽ 12 ⫹ ᎏᎏ ⭈ 15 ⫽ 48. A 5

 applicando il teorema di Pitagora al Calcoliamo  CB triangolo CHB: C B 2 ⫽ C H 2 ⫹  2 HB 2 2 2   ⫽ 20 ⫹ 48 ⫽ 2704 CB B  ⫽ 52. C 2. Calcoliamo il perimetro del triangolo CHK. C α

K

β' β A

H

B

297

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

I triangoli rettangoli CHB e CHK sono simili per il primo criterio perché hanno l’angolo  in comune e  congruente a ′ perché complementari dello stesso angolo . Poiché in due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi, vale la proporzione: ⬊C H . 2p(CHB) ⬊ 2p(CHK) ⫽  CB Essendo 2p(CHB) ⫽ 20 ⫹ 48 ⫹ 52 ⫽ 120, otteniamo: 120 ⬊ 2p(CHK) ⫽ 52 ⬊ 20 20 ⭈ 120 600 2p(CHK) ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 52 13 600 Il perimetro di CHK è ᎏᎏ cm. 13

101 Nel trapezio rettangolo ABCD congiungi il punto medio M della base minore CD con gli estremi della base maggiore AB. Supponi che il triangolo ABM sia rettangolo in M. Calcola l’area del trapezio sapendo che le basi misurano rispettivamente 25a e 18a. [258a 2] 102 Un trapezio rettangolo è circoscritto a un cerchio di raggio 6a. Calcola l’area del trapezio sapendo che il perimetro è 50a. [150a 2]

B ⫽ 20r fissa un punto P e traccia la tangente in B alla semicirconfe103 Su una semicirconferenza di diametro A renza. Congiungi A con P e prolunga fino a incontrare la tangente in E. Determina A P  in modo che PE risul9 [16r] ti ᎏᎏ di AE. 25 104 In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga a e la proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa supera di 6a la proiezione del cateto minore. Calcola il rapporto fra le aree dei triangoli rettangoli che l’altezza determina. ] [19 ⫹ 610 ^

105 Nel triangolo ABC si ha: AB ⫽ 20 cm, AC ⫽ 18 cm, BC ⫽ 16 cm. Traccia la bisettrice dell’angolo B e indica con E il suo punto di intersezione con AC. Conduci dal vertice C la parallela ad AB, che interseca il prolungamento della bisettrice BE nel punto F. Calcola CF, AE, EC. [8 cm; 10 cm; 16 cm] 106 In un triangolo rettangolo ABC di cateti 3a e 4a traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC e la bisettrice AK dell’angolo retto. Calcola l’area del triangolo AKH. 72 ᎏᎏ a 2 175

冤

冥

107 Le diagonali di un trapezio rettangolo sono perpendicolari. Sapendo che l’altezza è 9 cm e la base maggiore è 12 cm, determina la lunghezza delle diagonali. 45 15 cm; ᎏᎏ cm 4

冤

^

冥

108 Nel triangolo ABC, rettangolo in A, la bisettrice dell’angolo C incontra il cateto AB nel punto H. Traccia da H la perpendicolare HK all’ipotenusa BC. Calcola il perimetro del triangolo BHK sapendo che AB ⫽ 12 cm e che BC ⫹ AC ⫽ 24 cm. [18 cm]

G

298

Applicazioni dell’algebra alla geometria

ESERCIZI

■ Il teorema delle corde ESERCIZIO GUIDA

109 Utilizzando i dati forniti in figura, determiniamo la misura del segmento ED. Applicando il teorema delle corde ricaviamo la proporzione:

D

Poniamo E  D ⫽ x. Otteniamo:

4 C

A

x ⫽ 3.

da cui:

B

2 E

6

12 ⫽ 4x

E  ⬊E C ⫽E  D⬊E  B, A

?

 D ⫽ 3. La risposta è dunque E

E  ⭈E  B⫽ EC ⭈E  D. A

Mediante i dati forniti in ogni figura, determina le misure dei segmenti incogniti. 110 x 6

4

24

x

9 x 16 O

6x

x

a

1

10x

1x — 3

16

2x

3

3

b

c

d

[9; 15; 2; 12] 111 x

x

4

y 3

20

M

24 x

a

5

x

44 5 28

b

17

E

c

O

O

x

65

d

16 —x 25

25

x

M

[20; 6, 12; 39; 75] 112 Il diametro AB di una circonferenza interseca la corda CD nel punto E. Tale punto dista 25 cm dal centro O, 33 cm dall’estremo C e 63 cm dall’estremo D. Determina il raggio della circonferenza, senza far uso del teorema di Pitagora. [52 cm] 113 In un cerchio una corda CD lunga 48k è perpendicolare al diametro AB nel punto E. Sapendo che AE è lunga 32k, determina la lunghezza del raggio del cerchio e la lunghezza della circonferenza. [25k ; 50␲k] 114 Il diametro AB di una circonferenza è diviso da una corda CD in due parti che misurano 6a e 84a. La misura 9 della corda è i ᎏᎏ della parte minore in cui la corda stessa è divisa dal diametro. Determina la misura del2 la corda CD e dell’area del triangolo COD. [54a; 972a 2] 115 Disegna una circonferenza e due corde, AB lunga 27 cm e AC lunga 12 cm. Una terza corda CD taglia AB nel 7 3 punto E in modo che il segmento AE sia i ᎏᎏ di AB e CE i ᎏᎏ di AE. Determina il perimetro dei triangoli 9 7 AEC e BED. Verifica che il rapporto fra i due perimetri è uguale al rapporto di similitudine. [42 cm; 12 cm]

299

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

■ Il teorema delle secanti ESERCIZIO GUIDA

116 Utilizzando i dati forniti in figura, determiniamo la misura della secante CE. Per il teorema delle secanti: E  ⬊C E  ⫽ DE  ⬊ BE  → C E  ⭈ DE ⫽A E  ⭈ BE . A Se indichiamo con x la misura di CD, allora C E  ⫽ 10 ⫹ x, pertanto: 10(10 ⫹ x) ⫽ 11(11 ⫹ 6) 100 ⫹ 10x ⫽ 187 → 10x ⫽ 87 x ⫽ 8,7. La misura della secante CE è 8,7.

A 6 C

B

11 E

x D

10

117 Usando i dati forniti in ogni figura, determina la misura del segmento incognito.

x

25

a

5

x 8

3

16

x

–1 2–x x

10

x

9

5 6

1x –– 7

b

c

d

冤19; 2; 14; ᎏ3ᎏ冥 10

118 È data una circonferenza di centro O e raggio 5 cm. Un punto P dista 9 cm dal centro O. Una secante uscente da P incontra la circonferenza in due punti tali che la parte esterna della secante è sette volte la corda di estremi quei punti. Determina la lunghezza di tale corda e la sua distanza dal centro. 3 1 cm; ᎏᎏ 11  cm 2

冤

冥

 cm disegna una corda AB tale che AB sia il lato del quadrato inscritto. Pro119 Nella circonferenza di raggio 6 lunga AB di un segmento BC lungo 3  cm e traccia un’altra secante per C, la cui parte esterna sia congruente al raggio. Determina la lunghezza dell’intera secante. 3 6 ᎏᎏ cm 2

冤

冥

120 Disegna una circonferenza di diametro AB ⫽ 2r e prolunga AB di un segmento BC uguale al raggio. Dal punto C traccia una secante in modo che determini una corda EF uguale al raggio, con F dalla parte di C. Congiungi F con O. Calcola il perimetro del triangolo OCF in funzione del raggio. 5 ⫹ 13  ᎏᎏ r 2

冤

冥

121 In una circonferenza di raggio 10 cm, e centro O, traccia la corda AB, lato del triangolo equilatero inscritto, e la corda CD, lato dell’esagono regolare inscritto. Prolunga la corda AB dalla parte di B. Tale prolungamento incontra il prolungamento di CD in un punto E tale che l’area del triangolo AEO è 75 3  cm2. Determina DE.  ⫺ 1) cm] [5(73

G

300

Applicazioni dell’algebra alla geometria

ESERCIZI

■ Il teorema della secante e della tangente ESERCIZIO GUIDA

122 Usando i dati forniti in figura, determiniamo la misura del segmento di tangente PT. Per il teorema della secante e della tangente: T

 A⬊  PT ⫽ PT ⬊P B →  PT 2 ⫽ P A ⭈ PB . P

x

Tenendo presente che P  A ⫽ 16 ⫹ 9 ⫽ 25 e ponendo   ⫽ x, otteniamo: PT

16

9

A

2

x ⫽ 25 ⭈ 9 ⫽ 225 x ⫽ 15.

B

P

 ⫽ 15. Pertanto  PT 123 Dai dati forniti in ciascuna figura, determina la misura del segmento incognito.

24

x

x 25

16

3

a

x

x

6

56 18

b

c

5

d

[9; 8; 45; 12] 124 Una circonferenza di centro O ha il diametro AB di 16 cm. Prolunga AB di un segmento BC lungo 9 cm e dal punto C traccia una tangente CD alla circonferenza. Determina il rapporto fra l’area del triangolo equilatero costruito sulla tangente CD e l’area del quadrato inscritto nella circonferenza. 225 ᎏᎏ 3  512

冤

冥

125 In una circonferenza di centro O e diametro AB, il raggio è 10 cm. Traccia per A la perpendicolare al diametro e su questa scegli un punto C in modo che OC sia 26 cm. Traccia per C la retta perpendicolare a OC, che incontra il prolungamento di AB nel punto D. Determina il rapporto fra il perimetro del triangolo ACD e il perimetro del triangolo AOC. 12 ᎏᎏ 5 25 126 Data una circonferenza di centro O e raggio 12 cm, scegli un punto A distante dal centro ᎏᎏ del raggio. 24 Traccia da A una tangente AB alla circonferenza e da B la perpendicolare BC ad AO. Calcola il rapporto fra 625 l’area del triangolo AOB e quella del triangolo ACB. ᎏᎏ 49

冤 冥

冤 冥

127 In una circonferenza di centro O il diametro AB è 8a. Sul prolungamento di AB scegli un punto C in modo che BC sia un quarto del raggio. Da C traccia una tangente CE alla circonferenza e da B la perpendicolare al diametro; indica con F il punto in cui queste due rette si incontrano. Calcola il perimetro del triangolo BCF e l’area del quadrilatero OBFE. 16 4a; ᎏᎏ a 2 3

冤

冥

301

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

■ Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo e del cerchio circoscritto ESERCIZIO GUIDA

128 In un triangolo ABC la base AB misura 4a e l’altezza a essa riferita 2a 6 . Sapendo che la somma delle misure degli altri due lati è 12a e la loro differenza è 2a, calcoliamo il raggio del cerchio inscritto nel triangolo e il raggio del cerchio circoscritto.

C

6 2 a√ r

A

4a

H

B

Dati 1. A  B ⫽ 4a; 2.  CH  ⫽ 2a 6; 3. A  C⫹ BC  ⫽ 12a; 4. A  C⫺B C  ⫽ 2a. Richieste Raggio del cerchio inscritto; raggio del cerchio circoscritto. Calcoliamo l’area del triangolo mediante b⭈h la formula Ꮽ ⫽ ᎏᎏ : 2 4a ⭈ 2a 6 Ꮽ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 4a 2 6. 2 Per determinare il raggio del cerchio inscritto Ꮽ utilizziamo la formula r ⫽ ᎏᎏ , dove p indica la p misura del semiperimetro. Per calcolare il semiperimetro, dobbiamo trovare A C  e B C.

C  ⫽ x e B C ⫽ y. Poniamo A Usando i dati 3 e 4 ricaviamo il sistema:

x ⫺ y ⫽ 2a

x ⫹ y ⫽ 12a

Risolviamo usando il metodo di riduzione:

x ⫺ y ⫽ 2a

x ⫹ y ⫽ 12a

2x ⫽ 14a, da cui x ⫽ 7a e y ⫽ 12a ⫺ 7a ⫽ 5a. Pertanto risulta: AC   ⫽ 7a e  B C ⫽ 5a. Calcoliamo il semiperimetro: (A B ⫹ AC ⫹ BC ) p ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 (4a ⫹ 7a ⫹ 5a) ⫽ ᎏᎏ ⫽ 8a. 2 Ꮽ Sostituendo questo nella formula r ⫽ ᎏᎏ , otteniamo: p 4a 2 6 a 6 r ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 8a 2 abc Il raggio del cerchio circoscritto è: R ⫽ ᎏᎏ . 4Ꮽ Sostituendo, otteniamo: 35a 6 4a ⭈ 7a ⭈ 5a 35a ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . R ⫽ ᎏᎏ 2 24 4 ⭈ 4a  6 4 6

129 Le misure dei lati di un triangolo sono espresse da tre numeri consecutivi e il perimetro è 42 cm. Sapendo che l’altezza relativa al lato di lunghezza intermedia è 12 cm, calcola la misura del raggio del cerchio inscritto nel triangolo. [4 cm] 130 In un triangolo ABC la base AB è lunga 36 cm e il piede dell’altezza CH la divide in parti proporzionali ai numeri 5 [8 cm] e 7. Calcola la lunghezza del raggio del cerchio inscritto nel triangolo, sapendo che CH è 20 cm.

G

302

Applicazioni dell’algebra alla geometria

ESERCIZI

3 131 In un triangolo rettangolo il rapporto fra i due cateti è ᎏᎏ e la lunghezza della circonferenza inscritta nel 4 triangolo è 18 cm. Calcola la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa. Dal punto medio dell’ipotenusa traccia le parallele ai cateti, che determinano due triangoli. Calcola le lunghezze dei raggi dei cerchi inscritti [21,6 cm; 4,5 cm] nei due triangoli. 17 132 In un triangolo ABC la base AB è lunga 10,5 cm e l’altezza CH 4 cm. Il rapporto fra gli altri due lati è  e 10 4 l’altezza CH è i  del lato minore. Calcola la lunghezza del raggio del cerchio inscritto e quella del raggio 5 [1,75 cm; 5,3125 cm] del cerchio circoscritto al triangolo. 133 Le lunghezze dei lati di un triangolo sono proporzionali ai numeri 4, 5 e 7 e il perimetro è 48 cm. L’altezza relativa al lato minore è 6 6  cm. Calcola: a) la lunghezza delle altre due altezze; b) la lunghezza del raggio del cerchio inscritto nel triangolo; c) la lunghezza del raggio del cerchio circoscritto. 24 24 3 35  cm,  6  cm; b)  6  cm; c)  6  cm a)  6 5 7 2 8

冥

冤

134 In un triangolo scaleno la differenza fra il lato maggiore e quello minore è 22 cm, mentre il terzo lato supera il minore di 14 cm. Il perimetro del triangolo è 96 cm e l’altezza relativa al lato minore è 33,6 cm. Calcola l’area della corona circolare delimitata dal cerchio circoscritto al triangolo e dal cerchio inscritto. [1264,69 cm2]

■ La formula di Erone ESERCIZIO GUIDA

135 I lati di un triangolo sono proporzionali ai numeri 4, 3 e 6 e il perimetro è 65 cm. Calcoliamo l’area del triangolo. Consideriamo un triangolo di vertici A, B e C. Dati 1. A  C⬊ BC ⬊A  B  4 ⬊ 3 ⬊ 6; Richiesta Area (ABC). 2. 2p  65. Indichiamo con x la misura di un sottomultiplo comune dei tre lati: AC    4x,  BC   3x,

A  B  6x.

La misura del perimetro in funzione di x è:

 C BC A  B  4x  3x  6x  13x. 2p  A Uguagliamola a 65: 65 13x  65 → x    5. 13 Calcoliamo le misure dei lati:

C   4x  4  5  20 A    3x  3  5  15 BC

 B  6x  6  5  30. A

Calcoliamo la misura dell’area Ꮽ con la formula di Erone: p )( ap )( bp ) c . Ꮽ  p( 65 Per il dato 2 si ha p   , quindi: 2

冪莦6莦25 莦625 20 625 15 625 30    62522532552  455   5  2  245 455

Ꮽ

4

4

25 L’area del triangolo è  45 5 cm2. 4

303

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

136 I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l’area del triangolo e l’altezza relativa a 15 5 ogni lato. 157 k 2; ᎏᎏ7 k; 37 k ; ᎏᎏ7 k 4 2

冤

冥

137 Il perimetro di un triangolo è 16 cm. Due lati differiscono fra loro di 1 cm, mentre il terzo lato è di 2 cm più lungo del più grande dei due. Calcola l’area del triangolo e i raggi dei cerchi inscritto e circoscritto. 6 35 4 6  cm2; ᎏᎏ cm; ᎏᎏ6  cm 2 24

冤

冥

138 Un triangolo ABC ha il perimetro di 130 cm. Uno dei lati è 40 cm e gli altri due sono uno doppio dell’altro. Calcola l’area del triangolo. Supponiamo che il lato di 40 cm sia AB: chiamiamo M il suo punto medio, tracciamo la parallela al lato AC passante per M e chiamiamo N il punto in cui questa interseca il lato BC. Determina i raggi delle circonferenze inscritte nei triangoli ABC e MNB. Verifica infine che il rapporto fra i raggi è 2. 5 cm2] [2545 139 In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è 12 cm e la proiezione di un cateto sull’ipo4 tenusa è ᎏᎏ del cateto stesso. Calcola l’area del triangolo in tre modi diversi. L’altezza relativa all’ipotenusa 5 suddivide il triangolo in altri due triangoli, in ciascuno dei quali viene inscritto un cerchio. Determina il rapporto fra i raggi dei due cerchi. 4 150 cm2; ᎏᎏ 3

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■ I triangoli con angoli di 30°, 60°, 45° ESERCIZIO GUIDA

140 Dato un triangolo equilatero di lato che misura 6a, mandiamo dal punto medio M della base AB la perpendicolare al lato BC. Indichiamo con N il piede della perpendicolare. Calcoliamo M N . La perpendicolare MN individua un triangolo rettangolo MNB che, avendo un angolo di 60°, ha l’altro angolo acuto di 30°.

C 60°

Congiungiamo M con C e troviamo un altro triangolo rettangolo, MBC, anch’esso con gli angoli di 60° e 30°.

6a ?

60° A

I due triangoli MNB e MBC sono simili, quindi vale la proporzione:

N 60° B

M

C

 B⬊C  B⫽M  N⬊M  C. M  C mediante il teorema di Pitagora applicato al Possiamo calcolare M triangolo rettangolo MBC:

K 60° N 30° 30° 60°

 C2 ⫽  C2 ⫺ M  B2 → M  C2 ⫽ (6a) 2 ⫺ (3a) 2 ⫽ 27a 2 B M M C  ⫽ 3a 3

3 3a ⬊ 6a ⫽ M N  ⬊ 3a 3 → M N  ⫽ ᎏᎏ a 3. 2

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304

A

M

B

Applicazioni dell’algebra alla geometria

Osservazione. Per calcolare M N  possiamo applicare anche la formula dell’altezza del triangolo equilatero applicata al triangolo MBK, cioè:

ESERCIZI

C

3 N ⫽M  B ᎏᎏ , M 2

6a

30°

e, poiché M  B ⫽ 3a, risulta ancora:

N

3 3 N  ⫽ 3a ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ a 3. M 2 2

60° A

M

B

141 In un trapezio isoscele ABCD è inscritta una circonferenza di raggio r. Calcola il perimetro del trapezio sa] pendo che il lato obliquo forma con la base maggiore un angolo di 45°. [8r 2 142 Disegna un triangolo equilatero ABC e la bisettrice dell’angolo esterno di vertice C. Traccia da B la perpen18 dicolare al lato AB, che interseca la bisettrice nel punto E. L’area del quadrilatero ABEC è ᎏᎏ cm2. Calcola il peri3 [2(5 3 metro di ABEC. ) cm]  cm. Cal143 Un triangolo ABC ha gli angoli alla base di 45° e 60°. Il raggio del cerchio a esso circoscritto è 8 6 cola il perimetro del triangolo. [6(1 2  3 ) cm]  cm2. Calcola il perimetro del triango144 Un triangolo isoscele ha l’angolo al vertice di 120° e l’area di 400 ⭈ 3 lo e il raggio della circonferenza inscritta. (Suggerimento. Indica con x la misura dell’altezza del triangolo.)  2) cm; 20(2 3  ⫺ 3) cm] [40(3 ^

145 Un parallelogramma ABCD ha BC lungo 2 cm, AB doppio di BC e l’angolo A di 60°. Fissa su CD un punto P e su AB un punto Q in modo che DP sia la metà di AQ. Determina la lunghezza di AQ sapendo che la somma delle aree dei quadrati di lati DQ e BP è di 12,8 cm2. [0,8 cm, oppure 3,2 cm] 146 In un triangolo AOP la base AO misura 2l e l’angolo in O è di 30°. Traccia da O la semiretta perpendicolare al lato OP, giacente nello stesso semipiano del triangolo rispetto alla retta AO. Su tale perpendicolare considera un punto B tale che OB sia lungo l. Calcola la misura del segmento OP, sapendo che vale la seguente relazione: P A 2 B P  2 ⫽ 5l 2. [l 3 ]

■ Le aree e i volumi dei solidi di rotazione 23 147 L’altezza di un cilindro circolare retto è ᎏᎏ del diametro di base e la superficie totale è equivalente alla su8 4 23 perficie di una sfera di raggio 6 cm. Determina il raggio e l’altezza del cilindro. ᎏᎏ 6  cm; ᎏᎏ 6  cm 3 3

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148 Un cubo ha la superficie totale di 216 cm2. Determina l’area della superficie della sfera inscritta e quella della sfera circoscritta al cubo. [36␲ cm2; 108␲ cm2] 5 149 L’apotema di un cono è i ᎏᎏ della sua altezza. Sapendo che l’area della superficie laterale misura 60␲ cm2, 4 calcola l’area della superficie totale del cono. [96␲ cm2]

305

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CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

150 Il raggio e l’altezza di un cono circolare retto sono rispettivamente 10 cm e 24 cm. Determina di quanto 28 si deve diminuire il raggio affinché l’area della superficie totale diventi ᎏᎏ di quella data. [3 cm] 45 5 151 In un triangolo rettangolo, il rapporto fra l’ipotenusa e un cateto è ᎏᎏ e l’area della superficie del solido otte3 nuto da una rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa è 420␲ m2. Determina il perimetro del triangolo. [60 m] 152 Il raggio di base di un cilindro è 6 cm e l’altezza 9 cm. Determina sull’asse un punto V tale che sia 4 il rapporto fra i volumi dei due coni aventi per basi le basi del cilindro e per vertice il punto V. 36 9 ᎏᎏ cm oppure ᎏᎏ cm 5 5 4 153 In un cilindro, la superficie laterale è equivalente ai ᎏᎏ di quella totale. Sapendo che l’altezza del cilindro 7 è 12 cm, determina il volume della sfera che ha raggio congruente alla metà del raggio di base del cilindro. 243 ᎏᎏ ␲ cm3 2

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154 Un solido è costituito da un cilindro sulle cui basi sono state sovrapposte due semisfere aventi i cerchi massimi coincidenti con le basi del cilindro. Sapendo che l’altezza del cilindro è 7 cm e che l’area della superficie totale del solido è 44␲ cm2, calcola il volume del solido. 116 ᎏᎏ ␲ cm3 3

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冥

155 Un triangolo rettangolo ha un cateto di 9 cm. La somma dei volumi dei due solidi ottenuti dalla rotazione completa del triangolo attorno a ciascuno dei suoi cateti è 756␲ cm3. Calcola l’area del triangolo dato. [54 cm2] 15 240 156 In un triangolo rettangolo, un cateto è ᎏᎏ dell’altro e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga ᎏᎏ cm. Ruo8 17 ta il triangolo di 360° attorno all’ipotenusa e calcola l’area della superficie e il volume del solido così ottenuto. 11 040 38 400 ᎏᎏ ␲ cm2; ᎏᎏ ␲ cm3 17 17 5 157 In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa è lunga ᎏᎏ cm. Il rapporto fra i volumi dei due solidi ottenuti dalla 2 3 rotazione completa del triangolo attorno prima all’uno e poi all’altro cateto è ᎏᎏ . Calcola il perimetro del 4 triangolo. [6 cm]

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RIEPILOGO

LA SIMILITUDINE. LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

Nel sito:

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䉴 20 esercizi in più

158 Un quadrilatero ABCD, con le diagonali perpendicolari, è inscritto in una circonferenza e la diagonale AC 12 coincide col diametro. L’area del quadrilatero è 312k 2 e il rapporto tra le diagonali è ᎏᎏ . Calcola l’area del cer13 chio. [169␲k 2] 159 Il diametro di una circonferenza è diviso da una corda a esso perpendicolare in due parti il cui rapporto è 9 ᎏᎏ ; la lunghezza della corda è 24 cm. Determina la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio. 16 625 25␲ cm; ᎏᎏ ␲ cm2 4

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306

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RIEPILOGO La similitudine. La circonferenza e il cerchio

160 In una corona circolare il raggio della circonfe2 renza interna è i ᎏᎏ del raggio della circonferenza 5 esterna; inoltre la metà del primo raggio è uguale alla terza parte del secondo, diminuita di 2k. Calcola l’area della corona circolare data. [189␲k 2 ] 161 Disegna un circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze. [16a; 25a] 162 Disegna tre circonferenze di raggio r, tangenti a due a due, e indica con A, B e C i punti di tangenza. Calcola l’area della superficie compresa fra i tre cerchi e la lunghezza del contorno di tale su␲ perficie. r 2 3  ⫺ ᎏᎏ ; ␲r 2

冤冢

冣 冥

7 163 Il raggio maggiore di una corona circolare è i ᎏᎏ 3 1 del minore e si sa che la differenza fra ᎏᎏ del pri4 1 mo e ᎏᎏ del secondo è 3 cm. Calcola l’area della 3 corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore. 73 640␲ cm2; ᎏᎏ 8

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164 In un triangolo rettangolo un cateto supera di 2a il doppio dell’altro cateto e l’ipotenusa supera di a il cateto maggiore. Calcola l’area del triangolo e il raggio del cerchio inscritto. [30a 2; 2a] 165 Disegna un triangolo equilatero e, con centro in ciascuno dei tre vertici e apertura congruente al lato, traccia tre archi, in modo che ogni arco sia sotteso da un lato del triangolo. Sapendo che il  cm, calcola l’area lato del triangolo è lungo 6 3 della superficie racchiusa dai tre archi. ) cm2] [54 (  3  b 2 e il raggio del 166 L’area di un triangolo è 246 4  b. I lati, ordinati seconcerchio inscritto è 6 3 do lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera il primo di 2b e il terzo supera il secondo

ESERCIZI

ancora di 2b. Determina i lati del triangolo e il raggio del cerchio circoscritto. 35  10b ; 12b ; 14b ;  b 6 12

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167 In un triangolo il lato maggiore è doppio di quello minore; il lato di lunghezza intermedia supera di 2 cm il minore. Sapendo che il perimetro è 42 cm, calcola l’area del triangolo e i raggi dei cerchi inscritto e circoscritto al triangolo. 21 3 2001 23 1 cm2;  cm;  cm 323 7 231

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168 In un triangolo equilatero ABC di lato che misura l disegna, con centro sulla base AB, una semicirconferenza che interseca AC in A ed E, AB in A e  D2 D B2 B C 2 E C 2  D. Sapendo che: E 48  l 2 determina il raggio della circonferenza. 25 3 9  l oppure  l 10 20

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169 In una circonferenza siano AB una corda e CD il diametro a essa perpendicolare. Sapendo che AB 24 è i  di CD e che la loro differenza è 6 cm 25 determina: a) la lunghezza della circonferenza; b) l’area del cerchio; c) l’area del quadrilatero convesso ABCD. [a) 150 cm; b) 5625 cm2; c) 10 800 cm2] 170 Un diametro AB di un cerchio interseca una corda in un punto P che divide la corda in due parti lunghe 12 cm e 20 cm. Sapendo che PB è la quarta parte di AP, calcola l’area del cerchio. [375 cm2] 171 Il raggio di una circonferenza è lungo 10 cm. Calcola la misura dei raggi di due circonferenze concentriche interne a essa, tali che la superficie del cerchio limitato dalla prima circonferenza rimanga diviso in tre parti equiestese. 10 3  10 6   cm;  cm 3 3

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172 Disegna una circonferenza di centro O e raggio 2r. Disegna un’altra circonferenza tangente esternamente alla prima nel punto P, di centro O′ e raggio r. Traccia nella circonferenza di centro O una corda PA e nella circonferenza di centro O′ una corda PB, entrambe nello stesso semipiano

307

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CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

rispetto alla retta OO′ e tali che PA  2PB. Sup^ poni inoltre che BPO′ sia 30°. Determina: a) PA e PB; b) il perimetro del triangolo PBA. , r 3 ; b) 3r3  r 21 ] [a) 2r 3 173 Data una circonferenza di centro O e raggio r, traccia una corda AB e le tangenti alla circonferenza nei punti A e B che si intersecano nel punto C. Determina la distanza della corda AB dal centro affinché il rapporto fra l’area del triangolo ABC e l’area del rettangolo di lato AB inscritto 3 1 ᎏᎏ r nella circonferenza sia ᎏᎏ . 4 2

冤 冥

174 Inscrivi una circonferenza in un triangolo isoscele di area 1680 cm2, avente l’altezza uguale ai 10 ᎏᎏ della base. Determina il raggio della circon21 ferenza. [16,8 cm] 175 In una circonferenza la cui lunghezza misura 50␲a è inscritto un trapezio ABCD, contenente il centro O. La base maggiore AB misura 48a e la distanza della base minore CD dal centro O misura 20a. Determina la misura dell’area della superficie compresa fra la circonferenza e il trapezio. [(625  1053)a 2] 176 Il raggio maggiore di una corona circolare è 50 cm. Conduci per un punto P sulla circonferenza di raggio maggiore le tangenti alla circonferenza di raggio minore e indica con A e B i punti di tangenza. Sapendo che AB è 48 cm, calcola l’area della corona circolare. [1600 cm2] 177 In un triangolo rettangolo il cateto minore è 6a. La somma del doppio della proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa con il triplo dell’altra proiezione è uguale a 23,6a. Calcola il perimetro del triangolo e i raggi del cerchio inscritto e del cerchio circoscritto. [24a; 2a; 5a] 178 Sia AB una corda di una circonferenza di centro O. Per i punti A e B si traccino le tangenti alla circonferenza e sia C il loro punto d’incontro. Sapendo che AB è 24 cm e che l’area di ACBO è 300 cm2, calcola l’area del cerchio. [225 cm2 oppure 400 cm2]

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308

179 Due circonferenze di centri O e O′ sono tangenti esternamente nel punto T. Una retta tangente a entrambe tocca la prima circonferenza nel punto R e la seconda nel punto R′. La distanza fra i centri è 17 cm e il segmento RR ′ è 15 cm. Calcola le aree dei due cerchi e l’area del quadrilatero OO′R′R. 625 81 255   cm2;   cm2;  cm2 4 4 2

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180 In un triangolo rettangolo ABC i cateti AB e AC sono lunghi rispettivamente 15 cm e 5 cm. Traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa e, sul segmento CH, fissa un punto E. La perpendicolare da E all’ipotenusa interseca AC nel punto F. Determina CE in modo che sia soddisfatta la relaE E C E F 2. zione B 10   cm 2

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181 Sia MN una corda di una circonferenza di centro O e la sua distanza OH dal centro sia 6 cm. Per i punti M e N conduci le tangenti alla circonferenza e sia P il loro punto d’incontro. Sapendo che la ^ misura dell’ampiezza dell’angolo HN O è 30°, calcola l’area del quadrilatero MONP e il rapporto fra il perimetro di MONP e la circonferenza data. (3  1) 144 3  cm2;  

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182 Un rettangolo di perimetro 28 dm è inscritto in un triangolo di base AB  16 dm e altezza CH  12 dm. Calcola le dimensioni del rettangolo. [8 dm; 6 dm] 183 Un trapezio rettangolo ABCD ha la base maggiore AB di 20 dm, l’area di 150 dm2 e l’altezza uguale alla differenza delle basi. Calcola il perimetro del trapezio. Sulla diagonale AC determina un punto Q tale che la somma delle distanze da ) dm. ciascun lato sia (15 52 [10(4 2) dm; AQ  QC ] 184 In un triangolo ABC il rapporto fra i lati AC e BC 10 4 è  e l’altezza CH è  del lato AC. Il raggio 17 5 del cerchio circoscritto al triangolo è 10,625 cm. Calcola il raggio del cerchio inscritto. [0,875 cm]

RIEPILOGO La similitudine. La circonferenza e il cerchio

ESERCIZI

185 In un triangolo ABC, rettangolo in A, la proiezio18 ne BH del cateto AB sull’ipotenusa è ᎏᎏ della 25 mediana AM. Sapendo che il perimetro misura 240k, determina la misura della circonferenza circoscritta. [100␲k]

N. Sulla retta passante per M e N scegli un punto P non appartenente a MN dalla parte di M e tale che MP sia lungo 18 cm, e traccia i segmenti PR e PS tangenti alle due circonferenze. Sapendo che OO′ è lungo 42 cm, determina la misura del perimetro del pentagono PROO ′S. [156 cm]

186 Un segmento circolare ha per basi due corde parallele e congruenti rispettivamente al lato del triangolo equilatero inscritto e al lato del quadrato inscritto. Le due basi sono situate dalla stessa parte rispetto al centro O della circonferenza. Sapendo che il raggio misura 2k, calcola la misura dell’area del segmento circolare. k2 ᎏᎏ (6   3 3 ) 3

193 Un rettangolo ABCD è inscritto in una circonferenza di raggio r. Sapendo che l’area è 1,92 r 2 determina: a) il perimetro del rettangolo; b) l’area del quadrilatero formato dalle tangenti alla circonferenza nei vertici del rettangolo. Dimostra infine che il quadrilatero è un rombo. 25 a) 5,6r ; b)  r 2 6

187 Da un punto esterno a un cerchio di area 225 cm2, situato a una distanza di 25 cm dal centro, conduci le tangenti. Calcola la misura dell’area del triangolo determinato dalle tangenti e dalla retta del diametro perpendicolare alla congiungente il punto dato con il centro. 1875  cm2 4

194 L’area di un trapezio isoscele è 242 cm2. La base maggiore supera la minore di 4 cm e la somma 7 della base maggiore e dell’altezza è uguale ai  4 della base minore. Calcola l’altezza del triangolo che ottieni prolungando i lati obliqui, avente per base la base minore del trapezio. [55 cm]

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188 Un trapezio isoscele di area 16a 2 e circoscrivibile a una circonferenza ha gli angoli alla base di 60°. Determina il raggio del cerchio inscritto nel tra a] pezio. [6 189 Il diametro della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo è 6 cm. Determina il perimetro del triangolo sapendo che il diametro della circonferenza circoscritta è 17 cm. [40 cm] 190 Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC . Sulla biche misurano rispettivamente b e b 3 ^ settrice dell’angolo B determina un punto Q tale che la somma delle distanze di Q dall’ipotenusa e b 3 b 3 dal vertice A misuri  .  QB   2 3

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191 Un trapezio isoscele ABCD è circoscritto a una circonferenza. Sapendo che il perimetro del trapezio misura 100a e la base minore 18a, determina la misura dell’area del cerchio inscritto. [144a 2] 192 Due circonferenze di centro O e O′ e di lunghezza 68 cm e 40 cm si intersecano nei punti M e

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195 Dato il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa 3 AB  3,5 cm e un cateto i  dell’altro, traccia da 4 un punto P del cateto minore la parallela all’ipotenusa. Sapendo che AP ⬊ PC  5 ⬊ 2, calcola il perimetro e l’area del triangolo ABC e del trapezio ottenuto. [8,4 cm; 2,94 cm2; 8 cm; 2,7 cm2] 196 Dato un triangolo equilatero di lato 3k, determina le basi dei rettangoli inscritti in esso, aventi la 2 diagonale uguale ai  del lato del triangolo. 3 11 k ;  k 7

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197 Disegna una circonferenza di centro O e prolunga un diametro AB dalla parte di A di un segmento AP tale che, conducendo da P una secante alla circonferenza, determini con questa una corda CD, con C dalla parte di P, lunga come il raggio r. La somma delle distanze di P da A e da C è uguale alla lunghezza del lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza. Determina: a) il perimetro del triangolo PCO; ^ b) l’ampiezza dell’angolo CPA. ); b) 30°] [a) r(2 3

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CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

198 I lati di un triangolo, ordinati in senso crescente, differiscono ciascuno dal successivo di 2 cm. L’area del triangolo è 336 cm2 e il raggio del cerchio in esso inscritto è 8 cm. Calcola le lunghezze dei tre lati. Una retta parallela a un lato interseca i prolungamenti degli altri due lati in modo da formare un nuovo triangolo. Sapendo che il raggio del cerchio inscritto in tale triangolo è lungo 12 cm, calcola l’area di quest’ultimo. [26 cm; 28 cm; 30 cm; 756 cm2] 199 L’area di un triangolo è 234 cm2. Un lato, di 52 cm, è diviso dall’altezza a esso relativa in due par3 ti che sono una i ᎏᎏ dell’altra. Calcola la misura 10 del raggio del cerchio inscritto nel triangolo. Traccia due rette parallele al lato di 52 cm, distanti da esso 3 cm, in modo che una parallela intersechi gli altri due lati del triangolo e l’altra intersechi i loro prolungamenti. Calcola il rapporto fra i raggi dei cerchi inscritti nei due nuovi trian13 1 goli. ᎏᎏ cm; ᎏᎏ 3 2

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16 200 La base BC di un triangolo isoscele ABC è i ᎏᎏ 15 dell’altezza AH e il lato è lungo 17 cm. Disegna la circonferenza inscritta nel triangolo e traccia la retta tangente a essa, parallela alla base del triangolo. Indica con M e N i punti in cui tale retta interseca i lati AB e AC del triangolo. Determina: a) l’area del triangolo ABC; b) la lunghezza della circonferenza; c) il perimetro del triangolo AMN; d) il rapporto fra l’area del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza e l’area del quadrato inscritto. 48 33 a) 120 cm2; b) ᎏᎏ␲ cm; c) 18 cm; d) ᎏᎏ 5 8

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201 Si considerino due circonferenze di centri A e A′ rispettivamente di raggi 9 e 1, tangenti esternamente nel punto O. Sia r la tangente comune in O e s una retta tangente a entrambe le circonferenze nei punti B e B′. Detto C il punto d’intersezione delle rette r e s, si dimostri che i triangoli ACA′ e BOB′ sono rettangoli e si calcoli il rapporto delle 25 loro aree. (Maturità scientifica, 1990/91) ᎏᎏ 9

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202 Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB e AC rispettivamente di 45 cm e 24 cm. Sia D il punto dell’ipotenusa che la divide in due segmenti BD e CD proporzionali ai numeri 1 e 2. Conduci da D la perpendicolare DE ad AB e dal punto E la perpendicolare EF all’ipotenusa BC. Calcola: a) l’area del poligono AEDC; b) il perimetro del triangolo DEF; c) la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio inscritto nel triangolo EBF. 320 90 2025 a) 480 cm2; b) ᎏᎏ cm; c) ᎏᎏ ␲ cm, ᎏᎏ ␲ cm2 17 17 289

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203 In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa BC è 3 lunga 253  cm e il cateto AB è i ᎏᎏ di AC. 4 a) Calcola la lunghezza della bisettrice BE del^ l’angolo B . b) Disegna l’altezza AH relativa all’ipotenusa e ^ traccia la bisettrice AF dell’angolo CAH. Dimostra che le due bisettrici BE e AF sono perpendicolari e calcola la distanza del vertice A dalla bisettrice BE. 15 15 a) ᎏᎏ cm; b) 315  cm 2

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204 Nel triangolo rettangolo ABC l’altezza AH divide l’ipotenusa BC in due parti, di cui la minore è lunga 18 cm. La circonferenza di diametro AH interseca il cateto AB nel punto E e il cateto AC nel punto F. Dimostra che il quadrilatero AEHF è un rettangolo. Le dimensioni di tale rettangolo sono 14,4 cm e 19,2 cm. Calcola il rapporto fra i raggi delle circonferenze circoscritte ai triangoli 16 CHF e HBE. ᎏᎏ 9

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205 In una circonferenza di raggio r inscrivi un triangolo isoscele e un quadrato. Sapendo che il lato 4 obliquo del triangolo è i ᎏᎏ del lato del quadrato, 3 calcola: a) il perimetro del triangolo; b) l’altezza relativa alla base del triangolo; c) il raggio del cerchio inscritto nel triangolo. 32 16 4 a) ᎏᎏ r2 ; b) ᎏᎏ r; c) ᎏᎏ r 9 9 9

冤

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LABORATORIO DI MATEMATICA La lunghezza della circonferenza… con Cabri

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio con Cabri ESERCITAZIONE GUIDATA

Calcoliamo l’area della corona circolare compresa fra le circonferenze inscritta e circoscritta a un quadrato, con il lato prima lungo 4 cm, poi 3 cm. Attiviamo Cabri e costruiamo un quadrato di lato 4. ● Con Visualizza_Numeri immettiamo il numero 4, con Punti_Punto il punto A, con Disegna_Compasso, applicato ad A e al numero 4, otteniamo una circonferenza di raggio 4 sulla quale evidenziamo il punto B (figura 1). ● Con Rette_Segmento tracciamo il segmento AB, con gli strumenti di Cabri realizziamo il quadrato di lato AB e nascondiamo le linee della costruzione. ● Con Costruisci_Punto medio, evidenziamo rispettivamente i punti O e M che permettono di ricavare con Curve_Circonferenza le circonferenze circoscritta e inscritta al quadrato (figura 2). ● Con Misura_Area determiniamo l’area del cerchio circoscritto al quadrato e quella del cerchio inscritto. ● Con Misura_Calcolatrice attiviamo la calcolatrice e facciamo clic, di seguito, sul dato di un’area, sul segno meno, sul dato dell’altra area e sull’uguale, ottenendo la loro differenza. ● Stacchiamo il risultato dalla calcolatrice, lo portiamo nella zona del disegno e a fianco di esso scriviamo: La corona circolare:. ● Per cambiare la lunghezza di AB, facciamo clic sul numero 4 e digitiamo 3, ottenendo 7,07 cm2 per l’area della corona circolare. ●

Nel sito:

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Figura 1

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Figura 2

䉴 1 esercitazione guidata con Cabri 䉴 16 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Risolvi i seguenti problemi con il computer. 1

Il raggio di una circonferenza è lungo 6 cm. Costruisci il triangolo equilatero inscritto e calcola la misura dell’area compresa fra la circonferenza e il triangolo. Incrementa la lunghezza del raggio di 2 cm e poi di altri 2 cm e calcola in corrispondenza l’area indicata.

3

Costruisci un esagono regolare con il lato di 5 cm. Calcola la misura dell’area compresa fra la circonferenza circoscritta e l’esagono e quella compresa fra l’esagono e la circonferenza inscritta. Calcola poi le medesime aree con il lato posto a 4 cm, poi a 3 cm.

2

Il lato e la diagonale minore di un rombo sono lunghi rispettivamente 10 cm e 12 cm. Costruisci il rombo e la circonferenza inscritta. Determina la differenza delle misure delle loro aree. Poni la lunghezza della diagonale a 10 cm e poi a 8 cm e determina le differenze delle misure delle aree corrispondenti.

4

Costruisci una circonferenza con il diametro AB di lunghezza 10 cm. Determina la misura del lato del pentagono regolare inscritto nella circonferenza. Decrementa la lunghezza del diametro di 3 cm e poi di altri 3 cm e calcola le misure dei lati corrispondenti.

311

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

Matematica per il cittadino EUROWHEEL

Al parco di Mirabilandia, fra Rimini e Ravenna, si trova la ruota panoramica più alta d’Europa. Costruita nel 1999, è una delle attrazioni simbolo del complesso. Il suo raggio è di 42 m. Il viaggio a bordo di una delle 50 cabine dura 11 minuti. 1. Considerando l’approssimazione ␲  3,14, qual è la lunghezza in metri dell’arco tra due cabine successive? A

2,64

B

263,76

C

5,28

D

1,68

E l’area in m2 del settore circolare relativo?

G

A

110,78

B

2,64

C

5538,96

D

35,28

312

2. Sapendo che ogni cabina trasporta 8 persone e supponendo che tutte le cabine siano sempre a pieno carico, calcola il numero massimo di persone che possono essere trasportate in 3 ore e 40 minuti. A

1000

B

400

C

800

D

8000

3. Supponi che la ruota panoramica giri con moto circolare uniforme, cioè a velocità costante. In questo caso, si chiama velocità scalare v di una cabina il rapporto fra un arco di circonferenza percorso e il tempo impiegato a percorrerlo; mentre si definisce velocità angolare il rapporto fra l’angolo al centro spazzato dal raggio (che unisce il centro e la cabina) e il tempo impiegato a spazzarlo. Calcola la velocità scalare e quella angolare di una cabina, esplicitando i passaggi delle operazioni compiute. 4. Se sei in coda e hai davanti circa 1300 persone, quanti minuti dovrai aspettare prima di salire sulla ruota panoramica?

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo

TEST 1

Nel sito:

Nel trapezio rettangolo ABCD le diagonali sono perpendicolari; allora risultano simili i triangoli: A B C D E

D

5

C E

䉴 questi test interattivi 䉴 20 test interattivi in più

Il quadrato PQRS, illustrato nella figura, è inscritto nel triangolo rettangolo ABC. C S

soltanto CDE e ABE. soltanto ADE e BCE. ADE, ABE, CDE. BCE, ABE, CDE. CDE e BCE.

A

A P

Nel triangolo ABC in figura il segmento CM è mediana e il segmento PQ è parallelo alla base AB.

B

C P

R

Q M

A

C B

D

Soltanto una delle seguenti relazioni è falsa. Quale? A B C D E

3

E

PR RQ CR ⬊ RM ⫽ PR ⬊ AM PQC  ABC CR ⬊ CM ⫽ PQ ⬊ AB Area PQC ⬊ AreaABC ⫽  CR 2 ⬊  CM 2

Nel triangolo ABC in figura i segmenti AH e CK sono le altezze relative ai lati BC e AB.

6

C H K

A

B

B C D E

4

B

il triangolo ACK è simile al triangolo ABH AB ⬊ BC ⫽ CK ⬊ AH AH ⬊ BC ⫽ CK ⬊ AB ACK  ACH AB ⬊ BC ⫽ AH ⬊ CK

I cerchi Ꮿ1 e Ꮿ2 hanno rispettivamente raggi r 1 e r 2. Se l’area di Ꮿ2 è doppia dell’area di Ꮿ1 allora: 1 A r 2 ⫽r1 D r 2 ⫽  r 1 2 1 B r 2 ⫽  r 1 E r 2 ⫽ 4r 1 2 C r 2 ⫽ 2  ⭈ r1

AP ⬊ PQ ⫽ PQ ⬊ QB Il triangolo QBR è simile al triangolo RCS. Il triangolo APS è simile al triangolo RCS e il rapporto di similitudine è 1. Il triangolo APS è simile al triangolo BRQ. Il triangolo APS è simile al triangolo ABC.

Se l’area della corona circolare è uguale a quella del cerchio di raggio minore, possiamo dire che: A

r2 ⫽2r1

C

r 1 ⫽ 2r 2

B

 2 r 1 ⫽  r 2 2

D

1 r 2 ⫽  r 1 2 

r1

E

r2

1 r 2 ⫽  r 1 2

7

Un pentagono regolare è inscritto in una circonferenza di raggio 2. Qual è la lunghezza dell’arco che sottende uno dei lati? 2 5 4 A  ␲ C  ␲ E  ␲ 5 4 5 5 1 B  ␲ D  ␲ 2 5

8

In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo equilatero di lato l, altezza h e area S. Quale fra le seguenti uguaglianze è falsa ?

Allora possiamo dire che: A

Q

Soltanto una delle seguenti relazioni è falsa. Quale? A

2

R

B

A B C

l ⫽3 ⭈r 3 S ⫽  3 ⭈ r 2 4 3 h ⫽  r 2

D E

4S ⫽ 3 ⭈ l 2 2 r ⫽  l 3

313

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ 9

Perché il rapporto fra l’area del cerchio circoscritto e l’area del cerchio inscritto in un triangolo equilatero è uguale a 4?

10 Perché in un triangolo equilatero di lato l, area A e semiperimetro p vale l’uguaglianza: l3 A 2 ⭈  ⫽  ? 4⭈A p 11 L’area di un poligono regolare circoscritto a una circonferenza aumenta all’aumentare dei lati? Giustifica la tua risposta.

12 Scrivi la relazione che sussiste tra i cateti di un triangolo rettangolo avente un angolo di 30°. Dimostra tale relazione e utilizzala per calcolare il perimetro di un triangolo di questo tipo, avente l’ipotenusa che misura 2a. 13 Scrivi la formula dell’area di un settore circolare in funzione del raggio e dell’arco sotteso. Se la misura dell’area del settore e la misura della lunghezza dell’arco sono espresse dallo stesso numero, quanto vale il raggio?

ESERCIZI

Nel sito:

14 Considera il trapezio rettangolo ABCD della figura, in cui le diagonali sono perpendicolari. Applicando i criteri di similitudine, riconosci che i triangoli ABC e ABD sono simili, poi scrivi le proporzioni fra i lati corrispondenti. A

D

䉴 10 esercizi in più

17 Disegna un triangolo ABC, rettangolo in A. Scegli un punto D sull’ipotenusa e da esso traccia la retta perpendicolare a BC. Indica con E e F rispettivamente i punti di intersezione con le rette AC e AB. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti a DF e DE è equivalente al rettangolo con i lati congruenti a DC e DB. 18 Qual è il rapporto fra le aree dei triangoli AEB e CED della figura? Motiva la tua risposta.

B

C

C

15 Nella figura seguente vale la proporzione OA ⬊ OE ⫽ OB ⬊ OF ⫽ OC ⬊ OG. Stabilisci quali triangoli sono simili, specificando il criterio di similitudine applicato.

D E

E

O G

A

A

F B

C

16 Per ciascuno dei triangoli rettangoli in figura scrivi una proporzione che esprima il primo teorema di Euclide e una proporzione che esprima il secondo teorema di Euclide. A

H

B

G

314

C

C

A

B

H

B

19 I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente 30 cm e 40 cm. Determina la lunghezza della circonferenza a esso circoscritta e l’area del cerchio inscritto nel triangolo. [50␲ cm; 100␲ cm2 ] 20 In un triangolo rettangolo ABC, il cateto AB è lungo 45 cm e il cateto AC 22 cm. Sul cateto AB scegli un punto E e traccia la parallela EF al cateto AC. Determina la distanza del punto E dal vertice A, in modo che l’area del triangolo EBF sia [15 cm] 220 cm2.

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

21 Disegna due circonferenze con i raggi uno doppio dell’altro e su esse considera due archi di uguale lunghezza. Determina il rapporto fra i due angoli al centro corrispondenti. 1  2

 

22 In un trapezio isoscele le basi sono lunghe 60 cm e 132 cm e l’altezza è 40 cm. Le diagonali si intersecano formando due coppie di segmenti congruenti. Determina la lunghezza di tali segmenti. [32,5 cm; 71,5 cm] 23 In una circonferenza di centro O e raggio r inscrivi un rettangolo ABCD. Traccia per A e per B le tangenti alla circonferenza e indica con E il loro punto di intersezione. Sapendo che l’area del triangolo ABE 1 è  dell’area del rettangolo ABCD, determina la distanza di O dalla corda AB. 21  3  r 7





24 I lati di un triangolo sono proporzionali ai numeri 5, 6, 7 e il perimetro è 54 m. Determina la lunghezza dei lati. [15 m; 18 m; 21 m] 25 Nel quadrilatero ABCD un angolo misura 40° e gli altri tre sono proporzionali ai numeri 1, 7 e 8. Determina l’ampiezza dell’angolo minore e quella del maggiore. [20°; 160°] 2 26 Il perimetro di un triangolo è 50 cm. Un lato è  del secondo e aggiungendo 2 cm al secondo si ottiene il 3 terzo. Calcola la lunghezza dei tre lati. [12 cm; 18 cm; 20 cm] 27 Osserva la figura e completa la tabella.

P

A

B

O

AO

PA

PC

11  CD 6

3 cm

4 cm

6AO

4  PA 3 9 3a

5a C

CD

6a 3 3a

D

28 Una circonferenza di raggio 2a è inscritta in un triangolo isoscele. La distanza del vertice del triangolo dal centro della circonferenza è 3a. Determina i lati del triangolo isoscele. [4a 5; 3a 5] 13 29 In un triangolo rettangolo un cateto è  della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo che l’ipotenusa è lun5 ga 26 cm, calcola la lunghezza dei cateti, il perimetro e l’area del triangolo. [10 cm; 24 cm; 60 cm; 120 cm2] 8 30 La diagonale maggiore di un rombo è  del lato. Sapendo che il perimetro del rombo misura 60a, calcola 5 36 la distanza tra il punto di incontro delle diagonali e un lato del rombo. a 5





31 In un trapezio rettangolo il lato obliquo misura 6 cm e forma un angolo di 30° con la base maggiore. Determina l’area del trapezio sapendo che il perimetro è 3 (13 ⫹ 3) cm. 9(10 ⫹ 3)  cm2 2





32 In un trapezio rettangolo la diagonale minore forma con la base maggiore un angolo di 45° e la base minore 3 è  della maggiore. Calcola la misura delle basi del trapezio, sapendo che la sua area è 48 m2. [6 m; 10 m] 5

315

G

CAPITOLO G8. LA SIMILITUDINE

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA 33

Nel sito:

Si scelgano i punti H, K, M sui lati di un triangolo ABC in modo tale che AH sia un’altezza, BK sia una bisettrice e CM sia una mediana. Si indichi con D l’intersezione tra AH e BK, e con E l’intersezione tra HM e BK. Sapendo che KD  2, DE  1, EB  3: 1. si dimostri che HM è parallelo ad AC; 2. si dimostri che AB  AC; 3. si dimostri che AB  BC. (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2000)

34

Calcolare l’area della figura tratteggiata sapendo che la circonferenza esterna e i 4 archi all’interno hanno raggio R.

35

In una carta geografica con scala 1⬊100 000 la distanza fra due città è 10 cm. Qual è la distanza fra le stesse due città su una carta con scala 1⬊250 000? A 2,5 cm D 25 cm B 4 cm E 40 cm C 6,25 cm (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1995)

36

La figura è costituita da due cerchi che si secano e hanno raggi che misurano rispettivamente 1 e 3. Sapendo che l’area della regione co mune è , si dica qual è l’area totale della 2 figura tratteggiata.

A

4  2 R 2  2

B

)) 2R 2(2(22

C

R 2(2  2)

B

D

R 2(4  )

C

E

4R 2(  2)

D





A

E

10 19  2 8. 17  2 9

(Olimpiadi della matematica, Gara provinciale, 1996)

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1994)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

37 TEST Given two similar triangles one of which has twice the perimeter of the other, by what factor is the area of the larger triangle bigger than the smaller?  A 2 D 22 B 4 E none of these  C 2

䉴 3 esercizi in più

䉴 8 esercizi in più 

39 TEST Given the triangle ABC, one has: AB  20, BC  7, and CA  15. Side BC is extended to   point D so that DAB is similar to DCA. What is DC ? D

C

(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2004)

A

38 Jack walks around a circle of diameter 24 feet. Jill walks around a square of side 19 feet. Who has walked farther? (USA Bay Area Math Meet, BAMM, Bowl Sampler, 1995)

[Jill]

A

9

B

B

10

C

11

D

12

GLOSSARY

circle: cerchio diameter: diametro to extend: prolungare

G

316

factor: fattore feet: piedi side: lato

E

13

(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2005)

square: quadrato twice: doppio, due volte to walk: camminare

INDICE ANALITICO • •

Le pagine evidenziate in neretto (per esempio, 739) sono quelle in cui un termine viene definito. I termini preceduti dal trattino indicano una sottovoce; quelli preceduti dal trattino e rientrati indicano una sotto-sottovoce. Per esempio: voce sottovoce («asse di simmetria») sotto-sottovoce («asse di simmetria di una figura»)

A A4, fogli, 739, 755 abbassamento di grado di un’equazione, 739-742, 756 addizione – di ampiezze, G192 – di angoli, G192 – di enti geometrici, G193 – di radicali, 620-621, 627 – di vettori, G241 – e sottrazione, metodo di (v. metodo di riduzione) ADSL, 559, 572 agrimensori, G157, G171 al-Khuwarizmi, 677 aleatorio-e-i – esperimento, ␤2, ␤20 – evento-i, ␤1, ␤3, ␤20 – variabili discrete, ␤14, ␤21 algoritmo di Erone, 612 altezza – delle piramidi, misura dell’, G208 – di un cilindro, G136 – di un cono, G136 – di una piramide, G135, G140 – e peso corporeo, 799, 813 ambigrammi, G249 ampiezza-e, G192 analitica, geometria, 511 angolare, coefficiente, 513, 516, 517-518, 525, 526 angolo-i – addizione tra, G192 – al centro, G121-G122, G128-G129, G139 – alla circonferenza, G128G129, G139 – ampiezza di un, G192 – bisettrice di un, G120 – che si corrispondono in un’omotetia, G249 – confronto tra, G192 – omologhi, G264, G281 – orientato, G192

angoloide, G135 anidride carbonica, 569 annullamento del prodotto, legge di, 739-740 antecedenti, G198 apotema – di un cono, G136 – di un poligono regolare, G134, G140 – di una piramide retta, G135, G141 approssimazioni nei calcoli fra numeri reali, 609-610 arco-hi, G121 – lunghezza di un, G276 – somma di due, G122 area-e, G158, G172, G192G193, G209 – dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, G275 – del cerchio, G275-G276, G282 – con Cabri-Géomètre, G311 – del parallelogramma, G204 – del quadrato, G204 – del rettangolo, G203 – del rombo, G204 – del trapezio, G204 – del triangolo, G204, G277, G283 – della superficie – di poliedri, G206G207, G211 – di solidi di rotazione, G279, G283 – di un poligono – circoscritto, G204 – regolare, G205, G211 – di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, G204, G211 – di un settore circolare, G276 – unità di misura delle, G195 aritmetici, radicali, 611-615, 611-623, 629

arpedonapti, G157, G171 ascissa-e, 507-508, 525 – asse delle (v. anche asse x), 507, 508, 525 asse-i – cartesiano-i, 507, 513514 – retta parallela a un, 514 – dei lati, poligoni inscritti e, G131, G139 – di simmetria, 854, G245 – di una figura, G246 – di una parabola, 682, 684, 688 – di un segmento, G119, G138 – x (delle ascisse), 507, 508, 513-514, 525 – y (delle ordinate), 507, 508, 513-514, 525 assiale, simmetria, 854-855, 862, G245-G247, G251 associativa, proprietà, G159 assoluto, valore, 615, 620, 627 aurea, sezione, G269-G270, G282 ausiliaria – equazione, 744-745 – variabile, 753 azzardo, giochi di, ␤17

B babilonese, matematica, 672 Bach, Johann Sebastian, 856 baricentro, G131-G132, G140 base-i – di un cilindro, G136 – di una piramide, G135, G140 – spigoli di, G135 – superficie di, G206, G279 biiettiva, funzione, G239 binomie, equazioni, 743744, 756

asse-i – di simmetria, 854, G245 – di una figura, G246

binomio, quadrato di un, 672 biquadratiche, equazioni, 745, 756 bisettrice-i – degli angoli, poligoni circoscritti e, G131, G139 – dei quadranti, 511-512, 855, 862 – di un angolo, G120 – di un triangolo, teorema della, G202-G203, G210 BMI (Body Mass Index), 799, 813 bolle di sapone, G280 bullone, G119, G137

C Cabri-Géomètre – area del cerchio con, G311 – grandezze proporzionali con, G234 – lunghezza della circonferenza con, G311 calcolo delle probabilità, ␤1-␤17, ␤20-␤21 campo rettangolare, delimitazione di un, G157, G171 canone, 856 Cardano, Gerolamo, 747 cartesiana-o-i – geometria (v. geometria analitica) – ortogonale, riferimento, 507-508 Cartesio, 511 – regola di, 679-680, 688 caso-i – favorevoli, ␤2, ␤20 – legge empirica del, ␤15␤16, ␤21 – possibili, ␤2, ␤20 – ugualmente possibili, ␤2 catena di rapporti, G199 Cavalieri, principio di, G161, G172

C.E. (v. condizione di esistenza) centimetro, G195 – quadrato, G195 centrale, simmetria, 855856, 858, 862, G243G245, G249, G251 centro – angolo al, G121-G122, G128-G129, G139 – di omotetia, 858, G248 – di rotazione, 857 – di simmetria, 856, G244 – di un fascio di rette, 521 – di un poligono regolare, G134, G140 cerchio-hi, G120, G138 – area del, G275-G276, G282, G311 – equivalenza tra un triangolo e un, G275-G276 – nel grano, G123 – parti del, G121-G122 – quadratura del, 628 – raggio del – circoscritto a un triangolo, G277 – inscritto in un triangolo, G277, G283 Cheope, piramide di, G191 cilindro, G136, G141 – altezza di un, G136 – area della superficie di un, G279, G283 – basi di un, G136 – equilatero, G136 – volume di un, G279 cinese, matematica, 571, G171 circocentro, G131, G132, G232 circolare – segmento, G122 – settore, G122, G276 circonferenza-e, G120G130, G138 – angolo alla, G128-G129 – circoscritta, G130, G134

1

I

Indice analitico

circonferenza-e (continua) – come luogo geometrico, G120, G138 – con GeoGebra, G151 – concentriche, G128 – esterne, G127-G128, G139 – inscritta, G130, G134 – interne una all’altra, G127-G128, G139 – lunghezza della, G273G274, G282, G311 – parti della, G121 – per tre punti, esistenza e unicità della, G120-G121, G138 – posizioni di una retta rispetto a una, G126-G127, G139 – punti in comune tra retta e, G126 – rettificata, G273 – secanti, G127-G128, G139 – similitudine nella, G267G268, G282 – tangenti, G127-G128, G139 circoscritta-o-i – circonferenza, G130 – poligono-i, G130-G131, G139, G165 circoscrivibili, quadrilateri, G134, G140 città, mura di una, G263, G280 classe-i – contigue, G273-G275 – di grandezze geometriche, G193, G209 coefficiente-i – angolare, 513, 516, 517518, 525, 526 – di un’equazione di secondo grado, 671 – irrazionali, 623-624, 631 coincidenti, soluzioni, 675 combustione, 569 commensurabili, grandezze, G194-G195, G209 commutativa, proprietà, G159 compatibili, eventi, ␤6-␤8, ␤20 completa-o – equazione di secondo grado, 672, 687 – fascio di rette, 522 – rotazione, G136 completamento del quadrato, 673-674, 677 componenti di un vettore, 853-854 comporre, proprietà del, G199 composizione – di due rotazioni, G243 – di due simmetrie – assiali, G246-G247 – centrali, G244-G245 – di due traslazioni, G242 – di trasformazioni geometriche, 859-860, 862

I

2

composizione (continua) – di un’omotetia e un’isometria (v. anche similitudine), G263 – di una simmetria assiale con se stessa, G246 concavità, 683, 684 concentriche, circonferenze, G128 conchiglia, G271 condizionata, probabilità, ␤8-␤10, ␤20-␤21 condizione-i – controllo delle soluzioni di un’equazione irrazionale mediante, 750-751, 757 – di esistenza dei radicali, 612, 626 confronto – metodo del, 567, 569, 574 – tra angoli, G192 – tra enti geometrici, G193 – tra espressioni, 621 – tra lunghezze, G192 – tra radicali, 615 – tra superfici, G160 congruenza – tra angoli, G192 – tra segmenti, G191 – tra superfici, G158 cono, G136, G141 – apotema di un, G136 – area della superficie di un, G279, G283 – equilatero, G136 – tronco di, G279 – volume di un, G279 conseguenti, G198 contatto, punto di, G127 contigue, classi, G273-G274, G275 continua, proporzione fra grandezze, G198 contratti telefonici, 559, 572 coordinate, 507-508, 525 – di due punti e coefficiente angolare, 518, 526 corda-e, G120, G121 – teoremi sulle, G123G125, G138, G267, G282 Cramer, Gabriel, 567 – metodo di, 568-569, 575 criterio-i di similitudine dei triangoli, G264-G265, G281 crop circles, G123 cubici, radicali, 611 cubo – area della superficie di un, G207, G211 – duplicazione del, 628 – spigolo di un, G207 – volume di un, G207

D De Zolt, postulato di, G160 decimali illimitati, numeri, 608-609 Del Ferro, Scipione, 747

Delo, problema di, 605, 628 delta (v. discriminante) denominatore di una frazione, razionalizzazione del, 622, 631 Derive – sistemi lineari con, 599 – trasformazioni geometriche con, 874 Descartes, René (v. Cartesio) determinante, 568-569 determinati, sistemi, 562563, 565, 568, 573-574, 575, 752 diagonale e lato di un quadrato, G196 diametro, G120 – teoremi sul, G123-G124, G138 Diavolo Mietitore, G123 difetto, approssimazione per, 608, 610 differenza – di superfici, G159 – e somma – di solidi, G161 – di superfici equivalenti, G159 dilemma di Monty Hall, ␤1, ␤19 dimensioni dei fogli da stampa, 739, 755 dipendenti, eventi, ␤9, ␤20␤21 diretta-o – canone, 856 – omotetia, 859, 862, G248, G251 – proporzionalità, G199G200 direttamente proporzionali, grandezze, G200, G209 direzione di un vettore, G241 discesa pericolosa, 507, 524 discrete, variabili aleatorie, ␤14, ␤21 discriminante, 674-675, 687 disequazione-i, 799-800, 799-812, 814 – cambio di segno dei termini di una, 800 – con coefficienti irrazionali, 623 – di grado superiore al secondo, 809, 810, 816 – risoluzione grafica di una, 809 – di secondo grado – con coefficiente di x2 negativo, 802 – con segno ≥ o ≤, 807 – con Wiris, 845 – forma normale di una, 802 – intere, 802-809, 814815 – risoluzione algebrica di una, 802-806, 815 – risoluzione grafica di una, 807-809, 815

disequazione-i (continua) – equivalenti, 799-800 – fratte, 811, 816 – incognite di una, 799 – insieme delle soluzioni di una, 799 – intere, 800 – lineare, 800 – numerica, 800 – sistemi di, 812, 816 – trasporto di un termine da un membro all’altro di una, 800 disfide matematiche, 747 distanza – dei centri di due circonferenze, G128, G139 – di un punto da una retta, 523, 527 – di una retta dal centro di una circonferenza, G126G127, G139 – fra due punti nel piano cartesiano, 508-509, 525 – aventi la stessa ascissa, 509 – aventi la stessa ordinata, 508-509 distinte – radici, 681 – soluzioni, 674 distribuzioni di probabilità, ␤14-␤15, ␤21 disuguaglianze, 799 divisione fra radicali, 618, 627 doppia-i – radicali quadratici, 623, 631 – soluzione, 675 due, radice quadrata di, 606, 629 duplicazione del cubo, 628

E eccesso, approssimazione per, 608, 610 Eiffel, torre, G119 elemento-i – di un triangolo rettangolo, misure degli, G205 – notevoli di un poligono regolare, G134, G140 – separatore di due classi contigue, G274, G275 elevamento – a potenza – dei membri di un’equazione, 749 – di un radicale, 618619, 630 – al cubo dei membri di un’equazione, 749 – al quadrato dei membri di un’equazione, 749 empirica, legge del caso, ␤15-␤16, ␤21 equazione-i – abbassamento di grado di una, 739-742, 756

equazione-i (continua) – associata, 802-806, 814 – ausiliaria, 744-745 – binomie, 743-744, 756 – con esponente n dispari, 743 – con esponente n pari, 743-744 – biquadratiche, 745, 756 – come particolari equazioni trinomie, 745 – con coefficienti irrazionali, 623-624, 631 – degli assi cartesiani, 513514 – della bisettrice – del primo e del terzo quadrante, 511-512 – del secondo e del quarto quadrante, 512 – di grado superiore al secondo, 739-746, 756 – risoluzione approssimata di, 743 – scomposizione in fattori e, 739-742 – di secondo grado, 671682, 671-672, 687-688 – completa, 672-675, 674, 687 – con Excel, 732 – forma normale di una, 671-672, 687 – formula risolutiva dell’, 674, 687 – incompleta, 672, 675676 – monomia, 672, 676, 687-688 – parametriche, 681682, 688 – prodotto delle radici di una, 678-679, 688 – pura, 672, 675-676, 687 – segno delle radici di una, 679-680, 688 – soluzioni di una, 672 – somma delle radici di una, 677-679, 688 – spuria, 672, 676, 687688 – di un fascio di rette – improprio, 520 – proprio, 521-522 – di un’omotetia, 858, 862 – di una retta – esplicita, 514-516, 526 – implicita, 516, 526 – parallela a un asse, 514 – passante per due punti, 522-523, 527 – passante per l’origine, 511-514, 512, 525 – di una rotazione, 857, 862 – di una simmetria – assiale, 855, 862 – centrale, 856, 862 – di una trasformazione geometrica composta, 860

Indice analitico

equazione-i (continua) – di una traslazione, 854, 862 – elevamento a potenza dei membri di una, 749 – equivalenti, 748-751 – irrazionali, 748-751, 757 – lineari – in due incognite, 559560 – in tre incognite, sistemi di tre, 569-570, 575 – reciproche, 745-746, 756 – sistema di, 560-561, 573 – trinomie, 744-745, 756 equicomposti – poligoni, G160 – solidi, G161, G172 equilatero – cilindro, G136 – cono, G136 – triangolo, G264, G278 equipollenti, segmenti orientati, 854, G241 equivalenti – disequazioni, 799-800 – equazioni, 748-751 – radicali, 613-614 – solidi, G161, G172 – superfici, G157-G160, G158 equivalenza – delle disequazioni, princìpi di, 800, 814 – tra parallelogrammi, G162, G172 – tra poligoni, G160 – tra solidi, G161, G172 – tra superfici piane, G157G170, G157-G160, G172 – congruenti, G158 – GeoGebra e, G185 – relazione di, G158, G193 – somma o differenza di superfici equivalenti, G159, G172 – tra triangoli, G164 – tra un cerchio e un triangolo, G275-G276 – tra un parallelogramma – e un rettangolo, G162 – e un triangolo, G163G164, G172 – tra un triangolo – e un poligono circoscritto, G165, G172 – e un poligono regolare, G165 – e un trapezio, G164, G172 equo, gioco, ␤17, ␤21 Erone – algoritmo di, 612 – formula di, G277, G283 esagonale, testa di un bullone, G137 esagono regolare, G278 Escher, Maurits Cornelius, G247 esperimento aleatorio, ␤2, ␤20

esplicita, equazione di una retta, 514-516, 526 esponente – del radicando, 611, 629 – intero, potenze con, 625 – razionale, potenze con, 624-625, 631 espressioni – con i radicali, confronto tra, 621 – irrazionali, 625 estensione – dei solidi, G161 – di una superficie, G157, G172 esterna-e – a una circonferenza, retta, G126-G127, G139 – circonferenze, G127G128, G139 estrazione di radice – come operazione interna in ⺢+0 , 611 – come operazione non interna in ⺡+0 , 605-606, 629 – di un radicale, 619, 630 estremi – di un arco, G121 – di una proporzione, G198 Euclide – primo teorema di, G167G168, G173, G205, G211, G266, G281 – secondo teorema di, G170, G173, G205, G211, G267, G281 Eudosso-Archimede, postulato di, G193 evento-i, ␤1-␤4, ␤20 – aleatorio-i, ␤1, ␤3, ␤20 – certo-i, ␤1, ␤3, ␤20 – compatibili, ␤6-␤8, ␤20 – teorema della somma per, ␤7-␤8, ␤20 – dipendenti, ␤9, ␤20-␤21 – teorema del prodotto per, ␤11-␤12, ␤20␤21 – impossibile, ␤1, ␤3, ␤20 – incompatibili, ␤7-␤8, ␤20 – teorema della somma per, ␤6-␤7, ␤20 – indipendenti, ␤9, ␤20␤21 – teorema del prodotto per, ␤10-␤11, ␤20␤21 – intersezione, ␤5, ␤20␤21 – probabilità dell’, ␤10␤12, ␤20-␤21 – probabilità di un, ␤2-␤4, ␤20 – prodotto logico di due, ␤5, ␤20-␤21 – somma logica di, ␤4-␤5, ␤20 – unione, ␤4-␤5, ␤20 – probabilità dell’, ␤6␤8, ␤20

Excel – equazioni di secondo grado con, 732 – probabilità con, ␤34 – rette con, 554 – sistemi di secondo grado con, 793

F fascio di rette – completo, 522 – improprio, 520, 527 – proprio, 521-522, 527 favorevoli, casi, ␤2, ␤20 Fermat, Pierre de, 511 Ferrari, Ludovico, 747 figura-e – asse di simmetria di una, G246 – centro di simmetria di una, G244 – con perimetro minimo a parità di area, G280 – corrispondenti in una circonferenza, G122, G138 – immagine di una (v. trasformato) – simili, G263-G264, G281 – trasformato di una, G240 – unite, G242, G243, G244, G355 Fior, Antonio Maria, 747 fogli A4, 739, 755 fondamentale, proprietà delle proporzioni, G199 formula – di Erone, G277, G283 – di Waring, 754, 757 – risolutiva – dell’equazione di secondo grado, 674, 675, 687 – delle equazioni di terzo grado, 747 Fra Martino, canone, 856 frazione – razionalizzazione del denominatore di una, 622, 631 – studio del segno di una, 811 frenante, impianto, G201 frutta, forma della, G280 funzione – biiettiva, trasformazione geometrica come, G239 – quadratica, 682-685, 688

G Gauss, Karl Friedrich, 571 GeoGebra – circonferenza con, G151 – equivalenza delle superfici piane e, G185 – trasformazioni geometriche con, G258 geometria analitica, 511

geometrico-he – grandezze, G191-G201 – luogo, G119-G120, G136, G138 – trasformazioni, G239G249, G251, G258 gioco-hi – d’azzardo, ␤17 – del lotto, ␤18 – equo, ␤17, ␤21 grado – abbassamento di, 739742, 756 – di un sistema, 560-561, 573, 751, 757 grandezza-e – commensurabili, G194G195, G209 – direttamente proporzionali, G199-G200, G209, G234 – geometriche, G191-G201 – classe di, G193, G209 – misura delle, G191G207 – incommensurabili, G195G197, G209 – media proporzionale, G198 – multiplo di una, G193 – omogenee, G193, G197G200 – rapporto fra, G197, G209 – proporzioni fra, G198G199, G209-G210 – sottomultiplo di una, G193

H Harriot, Thomas, 802 Home Cinema, 671, 686

I identità – come caso particolare di omotetia, G249 – trasformazione geometrica, 858, G240, G251 idraulico, torchio, G201 immagine-i – di un punto o di una figura (v. trasformato) – proiezione di, 671, 686 impianto frenante, G201 impossibile-i – evento-i, ␤1, ␤3, ␤20 – sistemi, 563-565, 568, 573-574, 575, 752 improprio, fascio di rette, 520, 527 incentro, G131, G140 incertezza nelle operazioni tra numeri reali, 610 incommensurabili, grandezze, G195-G197, G209 incompatibili, eventi, ␤7␤8, ␤20

incompleta, equazione di secondo grado, 672, 687 indeterminati, sistemi, 565566, 568, 573-574, 575, 752 indice-i – di massa corporea, 799, 813 – di un radicale, 611, 626, 629 – minimo comune, 615 – scambio degli, 619 indipendenti, eventi, ␤9, ␤20-␤21 ingrandimento-i, 859, 862 – di un’immagine, 686 inscritta-o-i – circonferenza, G130 – poligono, G130-G131, G139 – quadrilateri, G132-G133 inscrivibili, quadrilateri, G133, G140 insieme-i – dei numeri – interi ⺪, 609 – naturali ⺞, 609 – razionali ⺡, 605-607, 629 – reali positivi o nulli ⺢+0 , 609, 611 – reali ⺢, 609-610 – delle soluzioni di una disequazione, 799 – di grandezze direttamente proporzionali, G200, G209 insistere, G122, G129 interi – numeri, 609 – zeri di un polinomio, 740 interne una all’altra, circonferenze, G127-G128, G139 intersezione, evento, ␤5, ␤20-␤21 intervallo, 799 – delle radici dell’equazione associata, 803-804 invarianti di una trasformazione geometrica, G240, G251 inversa-o – canone, 856 – omotetia, 859, 862, G248, G251 invertire, proprietà dell’, G199 involutoria, trasformazione geometrica, G245 irrazionali – coefficienti, 623-624, 631 – equazioni, 748-751, 757 – espressioni, 625 – numeri, 609-610, 629 irriducibile – radicale, 614 – trinomio, 681 isometrie, 853-857, 862, G240-G247 isoscele, triangolo, G26

3

I

Indice analitico

L laterale-i – spigoli, G135 – superficie, G206, G279 lato-i – di poligoni regolari, misure dei, G278 – e diagonale di un quadrato, G196 – omologhi, G264, G267, G281 legge – di annullamento del prodotto, 739-740, 756 – empirica del caso, ␤15␤16, ␤21 lettere simmetriche, G249 lineare-i – disequazione, 800 – sistemi, 559-570, 561, 573 logica-o – prodotto, ␤5 – somma, ␤4-␤5, ␤20 lotto, gioco del, ␤18 lunghezza-e – confronto di, G192 – della circonferenza, G273-G274, G282, G311 – di un arco, G276 – di un segmento, G191G192, G209 – operazioni sulle, G192 – somma, G192 – unità di misura delle, G195 luogo geometrico, G119G120, G138

M maggiore – simbolo, 802 – superficie, G160 matematiche, disfide, 747 media proporzionale, grandezza, G198 metano, 569 metro, G195 – quadrato, G195 mezzi pubblici, 572 minima-o – comune indice, 615 – lunghezza, spezzata di, G245 – perimetro, G280 minore – simbolo, 802 – superficie, G160 misura-e – dell’altezza delle piramidi, G208 – di grandezze geometriche, G191-G207 – omogenee, rapporto fra le, G197, G209 – proporzione fra le, G198

I

4

misura-e (continua) – di una grandezza rispetto a un’altra – a essa commensurabile, G194-G195, G209 – a essa incommensurabile, G197 – unità di, G195 modulo di un vettore, G241 moltiplicazione fra radicali, 616-617, 627, 630 monomia, equazione di secondo grado, 672, 676, 687-688 multiplo-i – di una grandezza, G193 – proprietà dei due, G199 mura di una città, forma ideale delle, G263, G280 musica e trasformazioni geometriche, 856

N ⺞, insieme, 609 n-esima, radice di un numero reale, 611, 626, 629, 631 nautilus, conchiglia del, G271 navigatore satellitare, 853, 861 non – periodici, numeri decimali, 608-609, 629 – reali, soluzioni, 675 noto, termine, 515 nulla-o – rotazione, G243 – traslazione, G242 – vettore, G241 numero-i – aureo, G270, G271 – decimali illimitati non periodici, 608-609, 629 – interi, 609 – irrazionali, 609-610, 629 – naturali, 609 – razionali, 605-607 – reale-i, 609-610, 629 – operazioni fra, 609610 – potenza con esponente razionale di un, 624625, 631 – radice n-esima di un, 611, 626, 629, 631

O ombra, G208 omogenee, grandezze, G193, G197-G200 omologhi – angoli, G264, G281 – lati, G264, G267, G281 omotetia, 857-859, 862, G248-G249, G251, G263 – centro di, 858, G248

omotetia (continua) – diretta, 859, 862, G248, G251 – equazioni di una, 858, 862 – inversa, 859, 862, G248, G251 – proprietà dell’, G249 – punti uniti di una, 859 – rapporto di, 858, G248, G251 operazioni, approssimazioni nelle, 609-610 opposto, vettore, G241 ordinata-e, 507-508, 525 – all’origine, 515 ordine in una sequenza di trasformazioni geometriche, 853, 861 orientata-o – angolo, G192 – retta, 507 – segmento, 854, G240G241 origine, 507 – omotetia con centro nell’, 858 – ordinata all’, 515 – rotazione con centro nell’, 857 – simmetria centrale rispetto all’, 856, 862 ortocentro, G131, G132, G140 ortogonale riferimento cartesiano, 507-508

P ␲ (v. pi greco) palindromi, G239, G249 Pappo, G169 parabola, 682-685, 688, 807809, 815 – e risoluzione di una disequazione di secondo grado, 807-809 parallela-e – a un lato di un triangolo, teorema della retta, G202 – rette, 518, 526 parallelepipedo rettangolo – area della superficie di un, G207, G211 – area della superficie totale di un, G207, G211 – volume di un, G207 parallelogramma-i – area del, G204, G210 – equivalenza tra due, G162, G172 – equivalenza tra un rettangolo e un, G162 – equivalenza tra un triangolo e un, G163-G164, G172 parametriche, equazioni di secondo grado, 681-682, 688 parole simmetriche, G239, G249 Partenone, G271

parti di una superficie, G159 pendenza, 524 pericolosa, discesa, 507, 524 perimetro-i – dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, G273-G274 – di poligoni simili, rapporto dei, G272, G282 – minimo a parità di area, figura con, G280 permanenza, 679-680, 688 permutare, proprietà del, G199 perpendicolari, rette, 519520, 526 peso corporeo, 799, 813 pi greco, 609, G275 piane, superfici limitate, G157 piano cartesiano, 507-510, 507-508, 525 piramide, G135, G140G141 – di Cheope, G191 – regolare, G135, G141 – retta, G135, G141 – apotema di una, G135, G141 – area della superficie di una, G207, G211 – tronco di, G207 – volume di una, G207 Pisa, torre di, 524 Pitagora, teorema di, G169, G173, G205, G211 pitagoriche, terne, G171 Plimpton 322, tavoletta, G171 poliedro – superficie di un, G206 – volume di un, G206 poligono-i – aree dei, G203-G205, G210-G211 – circoscritto a una circonferenza, G130-G131, G139 – area di un, G204, G211 – equivalenza tra un triangolo e un, G165, G172 – equicomposti o equiscomponibili, G160 – equivalenti – costruzione di, G166, G173 – inscritto in una circonferenza, G130-G131, G139 – regolare-i, G134, G140 – area di un, G205, G211 – elementi notevoli di un, G134, G140 – equivalenza tra un triangolo e un, G165 – inscritti e circoscritti, aree dei, G275 – inscritti e circoscritti, lunghezze dei perimetri dei, G273-G274 – misure dei lati di, G278

poligono-i (continua) – simili, G271-G272 – aree di, G272, G282 – perimetri di, G272, G282 polinomio – scomposizione di un, 810 – zeri di un, 740, 742, 756 positività a un test diagnostico, probabilità di, ␤13 posizione reciproca – di due circonferenze, G127-G128, G139 – di una retta e una circonferenza, G126-G127, G139 possibili, casi, ␤2, ␤20 postulato – dell’equivalenza tra superfici congruenti, G158 – della somma e differenza di superfici equivalenti, G159 – di De Zolt, G160 – di Eudosso-Archimede, G193 potenza-e – con esponente razionale, 624-625, 631 – di due numeri reali non negativi uguali, 613 – di un radicale, 618-619, 627, 630 – proprietà delle, 625 prevalente, superficie (v. superficie maggiore) primitivo, concetto, G157 principio-i – di Cavalieri, G161, G172 – di equivalenza delle disequazioni, 800, 814 prisma retto – area della superficie di un, G206, G211 – volume di un, G206 probabilità, ␤1-␤17, ␤2, ␤20-␤21 – a posteriori, ␤16 – a priori, ␤16 – con Excel, ␤34 – condizionata, ␤8-␤10, ␤20-␤21 – dell’evento – intersezione, ␤10-␤12, ␤20-␤21 – unione, ␤6-␤8, ␤20 – della somma logica di eventi, ␤6-␤8, ␤20 – di positività a un test diagnostico, ␤13 – di un evento, ␤2-␤4, ␤20 – aleatorio, ␤3, ␤20 – certo, ␤3, ␤20 – impossibile, ␤3, ␤20 – distribuzioni di, ␤14␤15, ␤21 – e giochi d’azzardo, ␤17 – statistica, ␤16-␤17, ␤21 problema-i – di Delo, 605, 628 – sistemi lineari e, 571, 572

Indice analitico

prodotto – delle radici di un’equazione di secondo grado, 678-679, 688 – di radicali, 616, 630 – logico di due eventi, ␤5, ␤20-␤21 – studio del segno di un, 801, 802, 814 – teorema del – per eventi dipendenti, ␤11-␤12, ␤20-␤21 – per eventi indipendenti, ␤10-␤11, ␤20-␤21 proiettore, 671, 686 proporzionale, media, G198 proporzionalità – diretta, G199-G200, G209 – rapporto di, G200 proporzione-i – fra grandezze, G198G199, G209-G210 – continue, G198 – proprietà delle, G199 – fra misure, G198 – fra numeri, G198 proprietà invariantiva dei radicali, 613-614, 626627, 629-630 proprio, fascio di rette, 521522, 527 pubblici, mezzi, 572 punto-i – del piano, coordinate di un, 507-508, 525 – di contatto, G127 – di tangenza, G127 – distanza da una retta di un, 523, 527 – distanza fra due, 508-509, 525 – esterno-i – a una circonferenza, G120 – tangenti a una circonferenza da un G130, G139 – immagine di un (v. trasformato) – in comune tra retta e circonferenza, G126 – interni a una circonferenza, G120 – medio di un segmento, 509-510, 525 – notevoli di un triangolo, G131-G132, G140 – trasformato di un, G240 – uniti, 855-857, 859, G240, G242-G245, G251 pura, equazione di secondo grado, 672, 675-676, 687

Q ⺡, insieme, 605-607, 629 ⺡+0 , insieme, 605-607 quadranti, 508, 525 – bisettrici dei, 511-512 quadrata, radice, 605-606, 611, 629

quadratica-i – funzione, 682-685 – radicali, 611 quadrato – area del, G204, G210 – circoscritto, lato del, G278 – di un binomio, 672 – inscritto, lato del, G278 – lato e diagonale di un, G196 quadratura del cerchio, 628 quadrilateri – circoscritti, G133 – circoscrivibili, G134, G140 – con le diagonali perpendicolari, area di un, G204, G211 – inscritti, G132-G133 – inscrivibili, G133, G140 quarta proporzionale, teorema della, G199 quarto grado, equazioni reciproche di, 746 quoziente di due radicali, 618, 630

R ⺢, insieme, 609-610 – radicali in, 626-627, 631 ⺢+0 , insieme, 609, 611 – radicali in, 611-615, 611623, 629 radicale-i, 611-627, 629, 611-615 – come potenze, 624-625, 631 – con Wiris, 665 – condizione di esistenza dei, 612, 626 – confronto di, 615 – cubici, 611 – doppi (v. radicali quadratici doppi) – equivalenti, 613-614 – in ⺢, 626-627, 631 – in ⺢+0 (aritmetici), 611615, 611-623, 629 – irriducibile, 614 – operazioni con i, 616621, 627, 630 – potenza di un, 618-619, 627, 630 – prodotto di due, 616, 630 – proprietà invariantiva dei, 613-614, 626-627, 629-630 – quadratici, 611 – doppi, 623, 631 – quoziente di due, 618, 630 – radice di un, 619, 630 – riduzione allo stesso indice di, 615, 627, 629 – semplificazione di, 614615, 627, 629-630 – simili, 620-621, 630 – somma algebrica di, 621, 630

radicando, 611, 629 radice-i – dell’equazione associata, intervallo delle, 803-804 – di un radicale, 619, 630 – di un’equazione (v. anche soluzione), 672 – di secondo grado, segno delle, 679-680, 688 – di secondo grado, somma e prodotto delle, 677-679, 688 – ricerca di una, 740-742 – n-esima di un numero reale, 611, 626, 629, 631 – quadrata, 605-606, 611, 629 raggio, G120 – del cerchio – circoscritto a un triangolo, G277, G283 – inscritto in un triangolo, G277, G283 – della sfera, G136 – di base, G136 – di un poligono regolare, G134, G140 – di una circonferenza, G274, G282 rapporto – di omotetia, 858, G248, G251 – di proporzionalità, G200 – di similitudine, G264, G271, G272, G281 – fra grandezze omogenee, G197, G209 – fra i perimetri di due poligoni simili, G272, G282 – fra le aree – di due poligoni simili, G272, G282 – di due triangoli simili, G271-G272, G282 – di quadrati, G272 – fra le misure di due grandezze omogenee, G197, G209 – fra vettori paralleli, G247 razionali, numeri, 605-777 razionalizzazione del denominatore di una frazione, 622, 631 reali – numeri, 609-610, 629 – radici, 674-675, 681 reciproche, equazioni, 745746, 756 Recorde, Robert, 802 regola – di Cartesio, 679-680, 688 – di Ruffini, 740-742, 756, 809, 810 regolare-i – esagono, G278 – piramide, G135, G141 – poligoni, G134, G140, G278 retta-e, 511-517, 518-523 – che si corrispondono in una traslazione, G242

retta-e (continua) – con Excel, 554 – distanza di un punto da una, 523, 527 – e circonferenza, punti in comune tra, G126 – equazione di una – in forma esplicita, 514516, 526 – in forma implicita, 516, 526 – esterna a una circonferenza, G126-G127, G139 – orientata, 507 – parallela-e, 518, 526 – a un asse, 514 – a un lato di un triangolo, teorema della, G202 – e coefficiente angolare, 518, 526 – passante per due punti, 522-523, 527 – passante per l’origine, equazione di una, 511514, 512, 525 – perpendicolari, 519-520, 526 – e coefficiente angolare, 520, 526 – secante una circonferenza, G126-G127, G139 – tangenti a una circonferenza, G126-G127, G139 – da un punto esterno, G130, G139 – tronco di piramide, G207 – unite di una simmetria centrale, G244 retta-o – piramide, G135, G141, G207 – prisma, G206 rettangolo-i – area del, G203, G210 – aurei, costruzione di, G270 – equivalenza tra un parallelogramma e un, G162 – parallelepipedo, G207 – triangolo, G264 rettificata, circonferenza, G273 ridotta, formula risolutiva dell’equazione di secondo grado, 675, 687 riduzione-i, 859, 862 – di radicali allo stesso indice, 615, 627, 629 – di un sistema lineare a forma normale, 561 – metodo di, 567, 569, 571, 574 riferimento cartesiano ortogonale, 507-508 riflessiva, proprietà, G158 rombo, area del, G204 rotazione, 857, 862, G242G243, G251 – completa, G136 – con centro nell’origine, 857

rotazione-i (continua) – con lo stesso centro, composizione di, G243 – equazioni di una, 857, 862 – nulla, G243 – punti uniti di una, 857, G243 – solidi di, G136, G141 Ruffini, regola di, 740-742, 756, 809, 810

S sapone, bolle di, G280 satellitare, navigatore, 853, 861 scambio degli indici nella radice di un radicale, 619 scomporre, proprietà dello, G199 scomposizione in fattori – di un polinomio, 739742, 810 – di un trinomio di secondo grado, 680-681, 688 secante-i – circonferenze, G127G128, G139 – teorema della tangente e della, G268, G282 – teorema delle, G268, G282 – una circonferenza, retta, G126-G127, G139 segmento-i – asse di un, G119, G138 – che si corrispondono in un’omotetia, G249 – circolare, G122 – lunghezza di un, G191G192, G209 – nel piano cartesiano, 508510, 525 – punto medio di un, 509-510, 525 – orientati, G240-G241 – equipollenti, G241, 854 – sezione aurea di un, G269-G270, G282 segno – del primo coefficiente e concavità di una parabola, 683, 684 – delle radici di un’equazione di secondo grado, 679-680, 688 – di un trinomio di secondo grado – quando l’equazione associata ha Δ > 0, 804 – quando l’equazione associata ha Δ < 0, 807 – quando l’equazione associata ha Δ = 0, 805 – studio del – di un prodotto, 801, 802, 814 – di una frazione, 811 semicerchio, G121

5

I

Indice analitico

semicirconferenza, G121 semplificazione di radicali, 614-615, 627, 629-630 – e valore assoluto, 615, 627 sequenza di trasformazioni, ordine in una, 853, 861 settore circolare, G122 – area di un, G276 sezione aurea di un segmento, G269-G270, G282 sfera, G136, G141 – come luogo geometrico, G136 – raggio della, G136 – volume di una, G279, G283 sferica, superficie, G136 – area della, G279, G283 simboli di disuguaglianza, 802 simili – figure, G263-G264, G281 – poligoni, G271-G272 – radicali, 620-621, 630 similitudine, G249, G263G272, G263-G264, G281 – dei poligoni, G271-G272 – dei triangoli, G264-G265 – criteri di, G264-G265, G281 – di due triangoli – equilateri, G264 – isosceli, G264 – rettangoli, G264 – nella circonferenza, G267-G268, G282 – rapporto di, G264, G271, G272, G281 simmetria-e – asse di, G245, 854 – assiale-i, 854-855, 862, G245-G247, G251 – equazioni di una, 855, 862 – punti uniti di una, 855 – rispetto a un asse parallelo a uno degli assi, 855, 862 – rispetto alle bisettrici dei quadranti, 855, 862 – centrale, 856, 862, G243G245, G251 – come caso particolare di omotetia, G249 – composizione di due, G244-G245 – equazioni di una, 856, 862 – figura unita di una, G244 – punti uniti di una, 856, G244 – rette unite di una, G244 – centro di, 856 simmetrica-i-he – lettere, G249 – parole, G249 – proprietà, G158 – sistemi di secondo grado, 752-754, 757 – soluzioni, 753

I

6

sistema-i – con coefficienti irrazionali, 623 – determinante del, 568569 – determinato, 562-563, 565, 568, 573-575, 752 – interpretazione grafica di un, 562-563, 574 – di assi cartesiani ortogonali, 507 – di disequazioni, 812, 816 – di due equazioni lineari in due incognite, 560-569 – di equazioni, 560-561, 573 – di secondo grado, 751752, 757 – con Excel, 793 – di due equazioni in due incognite, 751-752 – simmetrici, 752-754, 757 – di tre equazioni lineari in tre incognite, 569-570, 575 – grado di un, 560-561, 573, 751, 757 – impossibile, 563-565, 565, 568, 573-574, 575, 752 – interpretazione grafica di un, 564-565, 573 – indeterminato, 565-566, 565, 568, 573-574, 575, 752 – interpretazione grafica di un, 566, 573 – lineari, 559-570, 561, 573 – con Derive, 599 – e matematica cinese, 571 – e problemi, 571, 572 – soluzione del, 560, 573 solido-i – di rotazione, G136, G141 – superficie di un, G279 – volume di un, G279 – equicomposti, G161, G172 – equivalenza tra, G161, G172 – equivalenti, G161, G172 – estensione dei, G161 – somma e differenza di, G161 – volume di un, G161, G172 soluzione-i – del sistema, 560, 573 – di un sistema di disequazioni, 812 – di una disequazione – insieme delle, 799 – rappresentazione delle, 800, 801 – di una equazione – di secondo grado, 672 – irrazionale, controllo delle, 750-751, 757 – lineare in due incognite, 559-560

soluzione-i (continua) – discriminante e, 674-675 – doppia, 675 – non reali, 675 – reali – coincidenti, 675 – distinte, 674 – simmetriche, 753 somma – algebrica di radicali simili, 621, 630 – delle radici di un’equazione di secondo grado, 677-679, 688 – di archi, G122 – di numeri reali, incertezza della, 610 – di superfici, G159, G172 – di vettori, G241 – e differenza – di solidi, G161 – di superfici equivalenti, G159 – logica di eventi, ␤4-␤5, ␤20 – probabilità della, ␤6␤8, ␤20 – lunghezza, G192 – teorema della – per eventi compatibili, ␤6-␤7, ␤7-␤8, ␤20 – per eventi incompatibili, ␤20 sostituzione, metodo di, 561, 569, 573 sottendere, G121, G129 sottomultiplo di una grandezza, G193 sottrazione di radicali, 620621, 627 spezzata di minima lunghezza, G245 spigoli – di base di una piramide, G135 – di un cubo, G207 – laterali di una piramide, G135 spuria, equazione di secondo grado, 672, 676, 687688, stampa, dimensioni dei fogli da, 739, 755 statistica, probabilità, ␤16␤17, ␤21 studio del segno – di un prodotto, 801, 814 – di una frazione, 811 successioni approssimanti, 607-608, 629 suddivisione del terreno, G157, G171 superficie-i – area di una, G158, G172, G192-G193, G209 – confronto di, G160 – congruenti, equivalenza tra, G158 – di base – di un poliedro, G206 – di un solido di rotazione, G279

superficie-i (continua) – differenza di, G159 – equivalenti, G157-G160, G158, G172 – postulato della somma e differenza di, G159 – estensione di una, G157, G172 – laterale – di un poliedro, G206 – di un solido di rotazione, G279 – maggiore di un’altra superficie, G160 – minore di un’altra superficie, G160 – parti di una, G159 – piane – equivalenza delle, G157-G170, G157G160, G172 – limitate, G157 – prevalente (v. superficie maggiore) – sferica, G136 – come luogo geometrico, G136 – somma di, G159, G172 – suvvalente (v. superficie minore) – totale – di un poliedro, G206 – di un solido di rotazione, G279 superiore al secondo, grado – disequazioni di, 809, 810, 816 – equazioni di, 739-746 suvvalente, superficie (v. superficie minore) sviluppo della superficie di un poliedro, G206

T Talete, G208 – teorema di, G202, G210 tangente-i – a una circonferenza – da un punto esterno, G130, G139 – retta, G126-G127, G139 – circonferenze, G127G128, G139 – teorema della secante e della, G268, G282 tangenza, punto di, G127 tangram, G167 Tartaglia, Niccolò Fontana detto, 747 tassellazione, G247 telefonici, contratti, 559, 572 teorema-i – degli angoli – alla circonferenza e al centro corrispondenti, G128-G129, G139 – che si corrispondono in un’omotetia, G249

teorema-i (continua) – dei punti in comune tra retta e circonferenza, G125 – dei segmenti che si corrispondono in un’omotetia, G249 – del baricentro di un triangolo, G132, G140 – del diametro – e delle corde non passanti per il centro, G123, G138 – per il punto medio di una corda, G124 – perpendicolare a una corda, G124 – del prodotto – per eventi dipendenti, ␤11-␤12, ␤20-␤21 – per eventi indipendenti, ␤10-␤11, ␤20-␤21 – del rapporto – dei perimetri di poligoni simili, G272, G282 – fra due grandezze omogenee e fra le rispettive misure, G197 – fra le aree di due poligoni simili, G272, G282 – fra le aree di due triangoli simili, G271G272, G282 – dell’elevamento – a potenza dei membri di un’equazione, 749 – al cubo dei membri di un’equazione, 749 – al quadrato dei membri di un’equazione, 749 – dell’equivalenza – tra due parallelogrammi, G162, G172 – tra due triangoli, G164 – tra poligoni equicomposti, G160 – tra un cerchio e un triangolo, G275-G276 – tra un parallelogramma e un triangolo, G163-G164, G172 – tra un triangolo e un poligono circoscritto a una circonferenza, G165, G172 – tra un triangolo e un trapezio, G164, G172 – dell’incommensurabilità di lato e diagonale di un quadrato, G196 – della bisettrice di un angolo interno di un triangolo, G202-G203, G210 – della distanza dal centro di corde congruenti, G125 – della proporzionalità tra basi e altezze di triangoli simili, G265, G281

Indice analitico

teorema-i (continua) – della proporzione fra grandezze e fra le rispettive misure, G198 – della quarta proporzionale, G199 – della retta parallela a un lato di un triangolo, G202 – della secante e della tangente, G268, G282 – della somma – per eventi compatibili, ␤7-␤8, ␤20 – per eventi incompatibili, ␤6-␤7, ␤20 – delle corde, G267, G282 – aventi distanze dal centro diverse, G125 – aventi la stessa distanza dal centro, G125 – delle secanti, G268, G282 – delle tangenti a una circonferenza da un punto esterno, G130, G139 – di esistenza e unicità della circonferenza per tre punti, G120-G121, G138 – di Euclide – primo, G167-G168, G173, G205, G211, G266, G281 – secondo, G170, G173, G205, G211, G267, G281 – di Pitagora, G169, G173, G205, G211 – generalizzato, G169 – di Talete, G202, G210 – sui quadrilateri – circoscritti, G133G134 – circoscrivibili, G134 – inscritti, G132-G133 – inscrivibili, G133 – sulla distanza di una retta dal centro e la sua posizione rispetto alla circonferenza, G126-G127 – sulla posizione reciproca di due circonferenze e le distanze dei loro centri, G128 – sulle corde, G123-G125 – sulle figure corrispondenti in una circonferenza, G122, G138 termine-i – di una disequazione – cambio di segno dei, 800

termine-i, di una disequazione (continua) – trasporto da un membro all’altro di un, 800 – noto, 515, 671 terna-e, 570 – pitagoriche, G171 terreno, suddivisione del, G157, G171 test diagnostico, ␤13 testa di un bullone, G137 torchio idraulico, G201 torre Eiffel, G119 totale, superficie, G206, G279 transitiva, proprietà, G158 trapezio – area del, G204, G211 – equivalenza tra un triangolo e un, G164, G172 trasformato di un punto o di una figura, G240 trasformazione-i geometrica-he, 853-860, 862, G239-G249, G251 – come funzione biiettiva, G239 – composta, 860, 862 – equazioni di una, 860 – con Derive, 874 – con GeoGebra, G258 – identità, G240, G251 – invarianti di una, G240, G251 – involutoria, G245 – musica e, 856 traslazione-i, 853-854, 862, G240-G242, G251 – come composizione di due simmetrie centrali, G244 – composizione di due, G242 – equazioni di una, 854, 862 – nulla, G242 trasporto – di un fattore dentro al segno di radice, 619-620, 630 – di un fattore fuori dal segno di radice, 617, 630 – di un termine da un membro all’altro di una disequazione, 800 triangolo-i – area del, G204, G210 – equilatero-i – lato del, G278 – similitudine di due, G264

triangolo-i (continua) – equivalente a un poligono convesso assegnato, costruzione di un, G166 – equivalenza tra due, G164 – equivalenza tra un cerchio e un, G275-G276 – equivalenza tra un parallelogramma e un, G163G164, G172 – equivalenza tra un poligono circoscritto e un, G165, G172 – equivalenza tra un poligono regolare e un, G165 – equivalenza tra un trapezio e un, G164, G172 – isosceli, similitudine di due, G264 – punti notevoli di un, G131-G132, G140 – raggio del cerchio – circoscritto a un, G277, G283 – inscritto in un, G277, G283 – rettangolo-i – con angoli di 30° e 60°, relazioni tra le misure degli elementi di un, G205, G211 – con angoli di 45°, relazioni tra le misure degli elementi di un, G205, G211 – relazioni tra le misure degli elementi di un, G205 – similitudine di due, G264 – simili – proporzionalità tra basi e altezze di, G265, G281 – rapporto fra le aree di due, G271-G272, G282 – similitudine dei, G264G265 – teorema della bisettrice di un angolo interno di un, G202-G203, G210 – teorema della retta parallela a un lato di un, G202 trinomie, equazioni, 744745, 756 trinomio – associato a una disequazione di secondo grado, 802

trinomio (continua) – di secondo grado – scomposizione di un, 680-681, 688 – segno di un, 804, 805, 807 – zeri di un, 680 – irriducibile, 681 tronco – di cono, G279 – area della superficie di un, G279, G283 – volume di una, G279 – di piramide retta, G207 – area della superficie di un, G207, G211 – volume di un, G207

U uguale, simbolo, 802 unione, evento, ␤4-␤5, ␤20 unità di misura, G195 – delle aree, G195 – delle lunghezze, G195 unite-i – figure, G242, G243, G244, G355 – punti: 854, 856, 857, 858, G240, G242, G243, G244, G245, G251 – rette, G244

V valore-i – assoluto – semplificazione di radicali e, 615, 627 – trasporto di un fattore dentro al segno di radice e, 620 – del primo coefficiente e concavità di una parabola, 683, 684 – della probabilità, ␤3 variabile-i – aleatorie discrete, ␤14, ␤21 – ausiliaria, 753 variazione, 679-680, 688 verifica, controllo delle soluzioni di un’equazione irrazionale mediante, 750-751, 757 verso di un vettore, G241 vertice – di una parabola, 682, 684, 688

vertice (continua) – di una piramide, G135, G140 vettore-i, 857-858, G240G241 – addizione fra, G241 – applicato, 854 – componenti di un, 853854 – direzione di un, G241 – modulo di un, G241 – nel piano cartesiano, 853854 – nullo, G241 – opposto, G241 – paralleli, rapporto tra, G247 – somma di due, G241 – verso di un, G241 volume – di un cilindro, G279, G283 – di un cono, G279, G283 – di un cubo, G207, G211 – di un parallelepipedo rettangolo, G207, G211 – di un poliedro, G206 – di un prisma retto, G206, G211 – di un solido, G161, G172 – di rotazione, G279 – di un tronco – di cono, G279, G283 – di piramide, G207 – di una piramide retta, G207, G211 – di una sfera, G279, G283 Vos Savant, Marilyn, ␤19

W Waring, formule di, 754, 757 Wiris – disequazioni di secondo grado con, 845 – radicali con, 665

Z ⺪, insieme, 609 zeri – di un polinomio, 740, 742, 756 – di un trinomio di secondo grado, 680 – di una funzione quadratica, 685

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FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI II (a), 507, 524 (a): Roberto Marchetti, 2006; II (b), 559, 572: Yuri Arcurs/Shutterstock; IV (b), 739, 755: Photodisc, Just Documents 12, Seattle, WA, 1995; V (a), 799, 813: Elena Bacchilega, 2006; V (b), 853, 861: Radian-Alexandru Olaru/BigStockPhoto; VI (a), ␤1, ␤19: David Meharey/IStockphoto; VI (b), G119, G137: PhotoAlto, I. Rozenbaum/F. Cirou, CD 7 Paris, The City, Paris, 1996; VII (a), G157, G171: Fedorov Oleksiy/Shutterstock; VII (b), G191, G208: Vladimir Korostyshevskiy/Shutterstock; VIII (a), G239, G250: Norbert Kaiser, 2006; VIII (b), G263, G280 (a): Beato Angelico, Pala di Santa Trinita (particolare dell’anta di destra), Firenze, Museo di San Marco; 524 (b): Digital Stock, World Travel 97, Encinitas, CA, 1998; 555: Comstock, Sport in motion, New York, 1999;

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571: Daniele Pellegrini, 1988; 600: Comstock, Sport in motion, New York, 1999; 666: Stanislav Bokach/Shutterstock; 733: www.hecklerspray.com, gennaio 2006; 794: www.duffergeek.com, gennaio 2006; 846: Photodisc, Backgrounds and Objects 8, Seattle, WA, 1993; ␤18 (a): Massimo Mastrorillo, 1994/Magnus Edizioni S.p.A., Udine; ␤35: Annie Griffith Belt, 2000 (National Geographic, August 2000); G167: www.klangspiel.ch; G201 (b): www.RSportsCars.com; G235: Image Source, Teen Matters, London/Cologne; G247: M.C. Escher Works © 2003 Cordon Art-Holland; G259: Allestimento dello studio Tortelli-Frassoni; G312: Sandro Damiano, www.unafotoalgiorno.it.