Matematica verde 1 [PDF]

Zitiervorschau

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.verde multimediale Algebra, Geometria, Statistica

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1

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INDICE

RISORSE ONLINE 䊳

Esercitazioni guidate su Motori di ricerca, Elaborazione di testi, Presentazioni multimediali.

Strette di mano Risolvere problemi Calcolare Dimostrare Ricercare Imparare a imparare

CAPITOLO

…perché le cicale preferiscono i numeri primi?

82 esercizi in più 86 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 20 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 12 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 17 Mettiti alla prova 䊳 12 Test your skills 䊳 tabella con le cifre nel mondo 䊳 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

10 videolezioni esercizi interattivi

䊳3

II

1

TEORIA

ESERCIZI

I numeri naturali e i numeri interi

fi La risposta a pag. 29

RISORSE ONLINE

IX X XII XIII XIV XVI

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Che cosa sono i numeri naturali Le quattro operazioni I multipli e i divisori di un numero Le potenze Le espressioni con i numeri naturali Le proprietà delle operazioni Le proprietà delle potenze Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

1 2 5 6 6 8 11 14

33 34 35 36 36 42 43 46

i numeri primi? 9. I sistemi di numerazione

16 17

48

ESPLORAZIONE I numeri maya 10. Che cosa sono i numeri interi 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

19 19 22

50 50

ESPLORAZIONE I quadrati magici 12. Le leggi di monotonia ■ Laboratorio di matematica I numeri naturali con Derive ■ Matematica per il cittadino I meli ■ Verifiche di fine capitolo

23 27

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Ma quanti sono

61 62 63 64

Indice

CAPITOLO

…perché nella bicicletta si usano i rapporti?

80 esercizi in più 34 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 14 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 4 Mettiti alla prova 䊳 6 Test your skills 䊳 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

8 videolezioni esercizi interattivi

䊳4

1. 2. 3. 4. 5.

95 98 100 115 119

ESPLORAZIONE Numeri e musica 6. Le frazioni e le proporzioni

83 83

122

39 esercizi in più 17 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 17 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris sugli insiemi 䊳 34 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris sulla logica 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 18 Mettiti alla prova 䊳 14 Test your skills 䊳 teoria e 14 esercizi su I sillogismi 䊳 teoria e 15 esercizi su I circuiti elettrici e i connettivi logici 䊳

Dalle frazioni ai numeri razionali Il confronto tra numeri razionali Le operazioni in Q Le potenze con esponente intero negativo Le percentuali

Il problema delle parti 7. I numeri razionali e i numeri decimali 8. Il calcolo approssimato ■ Laboratorio di matematica I numeri razionali con Excel ■ Matematica per il cittadino La ricetta ■ Verifiche di fine capitolo

85 85 89

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

CAPITOLO

123 126 129 130 131

3

Gli insiemi e la logica

fi La risposta a pag. 162

䊳

ESERCIZI

69 75 77 81 82

…esistono donatori universali? E riceventi universali?

RISORSE ONLINE

TEORIA

I numeri razionali

fi La risposta a pag. 92

RISORSE ONLINE

2

1. Che cos’è un insieme 2. Le rappresentazioni di un insieme 3. I sottoinsiemi 4. 5. 6. 7.

ESPLORAZIONE Insiemi ininiti Le operazioni con gli insiemi L’insieme delle parti e la partizione di un insieme Le proposizioni logiche I connettivi logici e le espressioni PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

8. Forme di ragionamento valide 9. La logica e gli insiemi 10. I quantiicatori

Cavalieri e furfanti

137 139 140

165 166 168

142 143 149 150 151

170 177 178 178

153 157 159 161

187 187 189

III

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TEORIA ■ ■ ■

Laboratorio di matematica Gli insiemi con Wiris Matematica per il cittadino Partita di pallone Verifiche di fine capitolo

CAPITOLO

…di quanto si deve aumentare il diametro di una conduttura per dimezzare il tempo di svuotamento di un certo volume d’acqua?

ESERCIZI

191 192 193

4

Le relazioni e le funzioni

fi La risposta a pag. 226

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Le relazioni binarie Le relazioni deinite in un insieme e le loro proprietà Le relazioni di equivalenza Le relazioni d’ordine Le funzioni Le funzioni numeriche PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

RISORSE ONLINE 37 esercizi in più 䊳 13 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 7 Mettiti alla prova 䊳 6 Test your skills 䊳

…come si può calcolare a mente 632? fi La risposta a pag. 289

IV

■

5, 6, 7, … miliardi Laboratorio di matematica Le funzioni numeriche con Excel Matematica per il cittadino Albero genealogico

■

Verifiche di fine capitolo

ESPLORAZIONE

CAPITOLO

230 234 237 238 240 246

216 217 221

251 256

Alberi in più,

alberi in meno 7. Particolari funzioni numeriche 8. Le funzioni goniometriche ■

201 204 208 209 210 215

225 258 259 260

5

I monomi e i polinomi

1. Che cosa sono i monomi 2. Le operazioni con i monomi

265 267

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Un campo da rifare 3. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra monomi

269 270

293 294

312

Indice

TEORIA

ESERCIZI

䊳

4. Che cosa sono i polinomi 5. Le operazioni con i polinomi 6. I prodotti notevoli

272 274 276

313 316 326

279 280 282 284 286 287

䊳

ESPLORAZIONE Il padre dei polinomi 7. Le funzioni polinomiali 8. La divisione fra polinomi 9. La regola di Ruini 10. Il teorema del resto 11. Il teorema di Ruini ■ Laboratorio di matematica I monomi con Wiris ■ Matematica per il cittadino Taxi a New York

RISORSE ONLINE 113 esercizi in più 56 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 8 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 11 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 9 Mettiti alla prova 䊳 8 Test your skills 䊳

BRAVI SI DIVENTA 13 videolezioni esercizi interattivi

䊳7

■

CAPITOLO

…che cosa ha di speciale un numero così?

54 esercizi in più 䊳 58 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 11 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 9 Mettiti alla prova 䊳 5 Test your skills

352

6

La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche

fi La risposta a pag. 371

RISORSE ONLINE

Verifiche di fine capitolo

1. La scomposizione in fattori dei polinomi

䊳

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

15 videolezioni esercizi interattivi

䊳8

…ino a che quota può volare una mongoliera? fi La risposta a pag. 447

Ragionar con lettere

2. Il M.C.D. e il m.c.m. fra polinomi 3. Le frazioni algebriche 4. Il calcolo con le frazioni algebriche ■

BRAVI SI DIVENTA 䊳

337 339 344 347 348 350 351

■ ■

ESPLORAZIONE L’algebra sincopata Laboratorio di matematica Le frazioni algebriche con Derive Matematica per il cittadino La botte di vino Verifiche di fine capitolo

CAPITOLO

359

374

360 364 365 366

393 394 395

370 415 416 417

7

Le equazioni e le disequazioni lineari

1. Le equazioni 2. I princìpi di equivalenza 3. Le equazioni numeriche intere

423 425 428

451 453 456

V

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TEORIA

Il principe e il messaggero 430 431

464

433 433 434

472 477

435 436 437 441

483 484 486

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Pensieri e parole 442 10. Le disequazioni fratte 444 11. I sistemi di disequazioni 446 I problemi e le disequazioni linerari ■ Laboratorio di matematica Le equazioni lineari con Excel ■ Matematica per il cittadino La palestra ■ Verifiche di fine capitolo

490 492 495 497 498 499

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

4. Equazioni e problemi ESPLORAZIONE Il papiro di Ahmes 5. Le equazioni numeriche fratte 6. Le equazioni letterali

RISORSE ONLINE 71 esercizi in più 䊳 80 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 3 schede di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 15 Mettiti alla prova 䊳 10 Test your skills 䊳

BRAVI SI DIVENTA 䊳

10 videolezioni esercizi interattivi

䊳5

ESERCIZI

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Occhio al trucco!

7. Le disuguaglianze numeriche 8. Le disequazioni di primo grado 9. Le disequazioni numeriche intere

CAPITOLO

…è vero che è più facile vincere una partita in casa che in trasferta?

α

Introduzione alla statistica

fi La risposta a pag. ␣20

RISORSE ONLINE 13 esercizi in più 䊳 26 esercizi di recupero 䊳 30 test interattivi 䊳 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 8 Mettiti alla prova 䊳 9 Test your skills 䊳

VI

α1 α7

α22 α25

Il fumo fa male? 3. Gli indici di posizione centrale

α10 α11

α26

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Tasse 4. Gli indici di variabilità ■ Laboratorio di matematica La statistica con Excel ■ Matematica per il cittadino I furti ■ Verifiche di fine capitolo

α12 α15

1. I dati statistici 2. La rappresentazione graica dei dati ESPLORAZIONE

α29 α35 α36 α37

Indice

…riusciresti a trovare il Nord usando solo un comune orologio da polso e il Sole?

CAPITOLO

G1

TEORIA

ESERCIZI

La geometria del piano

fi La risposta a pag. G20

RISORSE ONLINE 14 esercizi in più 16 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 12 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 3 Mettiti alla prova 䊳 5 Test your skills 䊳 䊳

…come si fa a calcolare a quale distanza si trova una stella?

1. Oggetti geometrici e proprietà

G1

G23

ESPLORAZIONE Matematica e democrazia 2. Appartenenza e ordine

G4 G4

G24

G5 G6 G12

G25 G26

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Mettere in bolla

3. Gli enti fondamentali 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli ■ Laboratorio di matematica La geometria del piano con GeoGebra ■ Matematica per il cittadino Taxi in città ■ Verifiche di fine capitolo

CAPITOLO

G37 G38 G39

G2

I triangoli

fi La risposta a pag. G54

RISORSE ONLINE 38 esercizi in più 15 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 11 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 7 Mettiti alla prova 䊳 4 Test your skills 䊳 䊳

1. Considerazioni generali sui triangoli

G43

G57

ESPLORAZIONE Triangoli sulle porte 2. I criteri di congruenza dei triangoli

G46 G47

G58

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Triangoli e SMS

3. Le proprietà del triangolo isoscele 4. Le disuguaglianze nei triangoli 5. Che cosa sono i poligoni ■ Laboratorio di matematica I triangoli con Cabri ■ Matematica per il cittadino La forza del triangolo ■ Verifiche di fine capitolo

G48 G48 G51 G53

G61 G62 G62 G63 G64 G65

VII

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CAPITOLO

…perché le falene sono attratte dalla luce artiiciale?

G3

1. Le rette perpendicolari 2. Le rette parallele Geometria per gli occhi Le proprietà degli angoli dei poligoni I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli Il parallelogramma Il rettangolo, il rombo, il quadrato Il trapezio Le corrispondenze in un fascio di rette parallele ESPLORAZIONE

61 esercizi in più 27 esercizi di recupero 䊳 20 test interattivi 䊳 38 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 䊳 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 䊳 20 Mettiti alla prova 䊳 8 Test your skills 䊳 䊳

3. 4. 5. 6. 7. 8.

G69 G71

G100 G101

G76 G78 G80 G81 G83 G85 G86

G104 G105 G106 G108 G110 G110

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il metodo del falegname G87 9. Rette, piani, poliedri G88 ■ Laboratorio di matematica I parallelogrammi e i trapezi con GeoGebra ■ Matematica per il cittadino I binari ■ Verifiche di fine capitolo

Indice analitico

VIII

ESERCIZI

Perpendicolari e parallele. Parallelogrammi e trapezi

fi La risposta a pag. G94

RISORSE ONLINE

TEORIA

I1

G111 G112 G113 G114

Strette di mano Stringersi la mano serve per presentarsi e anche per dimostrare la propria amicizia.

䡲 Nelle prossime pagine ti proponiamo occasioni per stringere la mano ai tuoi compagni e all’insegnante che ti seguirà, oltre che a noi autori del libro. 䡲 È un modo per conoscerci e riflettere su cosa pensiamo della matematica, su cosa sappiamo e su cosa studieremo. 䡲 È anche un modo per andare alla scoperta del libro, capire che cosa offre e come utilizzarlo al meglio.

Iniziamo con un problema in tema! Quante strette di mano diverse si possono scambiare gli studenti di una classe? Naturalmente stiamo pensando che tutti gli studenti si stringano la mano e ogni coppia di studenti se la stringa una volta sola. Prima di leggere la soluzione che proponiamo nelle righe seguenti, chiudi il libro e prova a cercarne una insieme ai tuoi compagni, magari cogliendo l’occasione per stringere loro la mano davvero!

Soluzione

佡 Il numero di strette di mano varia in base al numero dei componenti della classe o, più in generale, del gruppo di persone che le stringono.

佡 Per cercare la soluzione generale, concentriamoci prima su un esempio con un numero ridotto di persone in modo da poter costruire uno schema grafico. Nello schema della figura abbiamo pensato a 5 ragazzi.

佡 Notiamo che ogni ragazzo stringe la mano ai 4 rimanenti; quindi, essendo i ragazzi 5, possiamo pensare a 5  4 strette di mano.

佡 Ma in questo modo abbiamo contato ogni stretta di mano 2 volte, corrispon-

?

denti alle 2 punte di freccia che ci sono nello schema per ogni linea. Le punte sono 20, le linee 10. 54 佡 Quindi le strette di mano sono: ———  10 . 2 Pensiamo ora a n persone che si stringono la mano (con n indichiamo un numero generico). Il ragionamento è del tutto simile a quello precedente: ognuno stringe la mano a n − 1 persone. n  (n − 1) Le strette di mano sono quindi: ———————  2

Allora, quante strette di mano sono possibili nella tua classe? IX

Risolvere problemi «I prezzo scontato di un «Il computer è di 400 euro. co Sapendo che lo sconto è stato Sa del 25%, posso affermare che de prima dello sconto il computer pr costava 500 euro.» co

i 25% d o t n o sc 40 4 00 0 eu e ro!

È giusto g questo ragionamento? ■

Prima d dii ris rispondere

PERCENTUALI CH CHE INGANNANO «Sono soddisfatto delle azioni che ho comprato. In questo giornale, per ogni mese, è riportata la percentuale pe di aumento o diminuzione del valore rispetto all’inizio del mes mese. È vero che in un mese le azioni hanno perso il 40% del loro valore, ma il mese dopo hanno guadagnato il 50%. Quindi in due mesi il loro valore è aumentato del 10%. Non male!» È giusto questo ragionamento? Supponiamo che all’inizio del primo mese un’azione avesse valore 100. Dopo un mese il suo valore è diminuito del 40% e quindi è sceso a 60. Alla fine del secondo mese si è avuto un aumento del 50% rispetto al valore di inizio mese, quindi un aumento di: 50 ———  60  30. 100

䊳

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Usa l’indice per cercare il paragrafo della teoria sulle percentuali. In corrispondenza c’è anche un paragrafo con esercizi guida ed esercizi.

Il valore finale è quindi: 60  30  90. Rispetto a due mesi prima, il valore è calato del 10% e non aumentato del 10%! Come vedi, con le percentuali è molto importante fare attenzione a quale quantità si riferiscono. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

UP TO YOU

Trovi due problemi sulle percentuali anche nella sezione Test your skills degli esercizi del capitolo 1.

«Qualcuno dice che sto cercando di guadagnare troppo. È falso! L’anno scorso guadagnavo il 20% rispetto al prezzo dei prodotti che vendevo, quest’anno il 22%. Un guadagno di appena il 2% in più: non è poi tanto!» È giusto questo ragionamento?

?

Ora risolvi il problema iniziale

Nel sito: 䊳 Scheda di lavoro

Per approfondire

Sconti su sconti «Il supermercato dove faccio spese ha molti prodotti in offerta “Prendi due, paghi uno”. In più, alla cassa, viene dato un buono pari al 20% dell’importo pagato, da utilizzare in una spesa successiva. Se compero soltanto prodotti in offerta, è come se avessi lo sconto del 70%.» È giusto questo ragionamento?

X

A quale velocità ci muoviamo con la Terra intorno al Sole?

■

Prima di rispondere

QUARANTA ALL’ORA Un ciclista ha percorso 50 km di circuito pianeggiante mantenendo una velocità di 40 km/h. Quanto tempo ha impiegato? Un problema presenta, in genere, una situazione che contiene dati e richieste. Per risolverlo è necessario trovare come le richieste sono legate ai dati. I dati del nostro problema sono lo spazio percorso (50 km) e la velocità costante mantenuta dal ciclista (40 km/h). La relazione che lega fra loro dati e richieste afferma che lo spazio s percorso in un tempo t da un corpo che si muove a velocità costante v è dato dal prodotto fra la velocità e il tempo. In simboli: s  v  t. Quindi, nel nostro caso, abbiamo l’equazione 50  40  t. Ci chiediamo qual è quel numero t che moltiplicato per 40 dà 50. Per la definizione di quoziente di due numeri, ciò equivale a dire che 䊳

5—  1,25 ore, ossia 1 ora e 15 minuti. ——  — t  —50 40 4

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

C’è un sottoparagrafo intitolato «Che cos’è un’equazione». Cerca «equazione» con l’indice analitico.

UP TO YOU

?

Se un ciclista percorre 180 km in 5 ore, qual è la sua velocità media?

Ora risolvi il problema iniziale Nel sito: 䊳 Esercitazione guidata su Motori di ricerca

䊳 Esercitazione guidata su Elaborazione di testi

In dieci righe

Foreste di carta Riciclare la carta è importante per ridurre la velocità della deforestazione. Quanti fogli di carta si ricavano da un albero? Per rispondere alla domanda fai una ricerca in Internet, poi realizza con il computer una sintetica relazione che spieghi come si possa calcolare una stima del numero di fogli formato A4 ricavabili da un pino di circa 10-15 metri. Dai anche informazioni relative alla deforestazione e ai suoi effetti. Cerca nel web: fogli, carta, albero, deforestazione, effetti.

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Elaborare informazioni e sintetizzare è un tipo di esercizio che spesso ti proporremo all’interno delle Esplorazioni.

XI

Calcolare Come si può calcolare a mente, con rapidità, 29  8?

■

Prima di rispondere

CALCOLI E PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI Come si calcola a mente 42  6? Per eseguire mentalmente moltiplicazioni fra numeri interi, è importante conoscere, oltre alle tabelline, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Questa aferma: quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo della somma e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia. Con le lettere: a  (b  c)  a  b  a  c. Per esempio: 5  (2  3)  5  2  5  3  10  15  25. Utilizziamo questa proprietà per calcolare: 42  6. Consideriamo 42 come 40  2: 42  6  (40  2)  6 Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: 42  6  40  6  2  6. Eseguiamo le moltiplicazioni: 42  6  240  12. Eseguiamo l’addizione: 42  6  252. 䊳

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Trovi la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, per esempio, nella Teoria in sintesi del primo capitolo.

UP TO YOU

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione si trova in una nota nel colonnino della teoria del capitolo 1. Anche nel colonnino ci sono informazioni importanti!

?

1. Esegui mentalmente le seguenti moltiplicazioni: a) 67  8; b) 123  20; c) 12  23. Giustificale mediante la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e quella associativa della moltiplicazione. 2. La proprietà distributiva della moltiplicazione vale anche rispetto alla sottrazione. Applicala per calcolare mentalmente: a) 28  3; b) 190  4; c) 15  28. Spiega i tuoi passaggi.

Ora rispondi alla domanda iniziale

Nel sito: 䊳 Scheda di lavoro

Per approfondire

Uno strano calcolo Per calcolare 43  47 procediamo come nella figura: al 4 di 47 aggiungiamo 1: 4  1  5; moltiplichiamo il 4 di 43 con il 5 ottenuto: 4  5  20; moltiplichiamo il 3 di 43 con il 7 di 47: 3  7  21; il risultato è: 2021.

•

43 • 47 = 2021

+1 5 •

Giustifica il metodo usato, mediante le proprietà delle operazioni. Ci sono delle condizioni che ci dicono rapidamente quando possiamo applicare questo metodo?

XII

Dimostrare Nel trapezio ABCD della figura il punto P è tale che i segmenti DP e CP sono congruenti. Come sono gli angoli APˆD e BPˆC? Perché?

D

C

? A

■

Prima di rispondere ?

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

E ? A

C

D

Che cosa possiamo dire dei segmenti DE e EB? Perché? Se osservi con attenzione la figura, forse puoi giungere alla conclusione che i segmenti DE ed EB sono congruenti. Per conferma potresti provare a misurarli: se la loro misura è uguale, allora i segmenti sono congruenti. Tuttavia, queste prove e osservazioni non consentono di essere sicuri che la congruenza dei segmenti continui a essere vera per tutti i triangoli ABC che è possibile considerare, né consentono di capire perché la proprietà è sempre vera. Per soddisfare queste due esigenze serve una dimostrazione. Dimostriamo che DE ed EB sono congruenti utilizzando queste proprietà: a) Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora i due lati del triangolo che i due angoli non hanno in comune sono congruenti (il triangolo è isoscele); b) Se due rette sono parallele, tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti. c) Se x è congruente a y e y è congruente a z, allora x è congruente a z (proprietà transitiva della congruenza). ˆC; Ipotesi 1. BD è bisettrice di AB Tesi ED e BE sono congruenti. 2. DE è parallela a BC. 䊳

UP TO YOU Nel trapezio di basi AD e BC della figura, i lati AB e AD sono congruenti. Che cosa possiamo dire degli angoli ˆD e DB ˆC? Perché? Utilizza le proprietà b e c viste priAB ma e questa: in un triangolo isoscele i due angoli alla base sono congruenti.

Cerca queste proprietà e le definizioni dei termini utilizzati con l’indice e con l’indice analitico. Confronta i due tipi di ricerca.

Ora risolvi il problema iniziale

Nel sito: 䊳 Esercitazione guidata su Motori di ricerca 䊳 Esercitazione guidata su Presentazioni multimediali

In cinque slide

B

C ?

?

A

Trovi problemi sulle rette parallele nella Matematica per il cittadino del capitolo G3.

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Dimostrazione ˆD è congruente a DB ˆC, perché, per ipotesi, BD è bisettrice L’angolo EB ˆ dell’angolo ABC. ˆC è congruente a BD ˆE, perché angoli alterni interni formati dalle Ma DB parallele ED e BC tagliate dalla trasversale BD (proprietà b). ˆD è congruente a BD ˆE per la proprietà transitiva della Quindi anche EB congruenza (proprietà c). Allora, per la proprietà a il triangolo EBD è isoscele e BE è congruente a ED.

?

B

B

LA BISETTRICE E LA PARALLELA In un triangolo qualsiasi ABC, chiamiamo D il punto di incontro tra la bisettrice dell’angolo in B e il lato AC. Da D tracciamo la retta parallela al lato BC e chiamiamo E il suo punto di incontro con AB.

? P

Il teorema di Pitagora Con una presentazione multimediale, spiega che cosa dice il teorema di Pitagora e illustra diversi modi per dimostrarlo.

D

Cerca nel web: teorema, Pitagora, dimostrazione.

XIII

Ricercare Sono di più i numeri naturali o i numeri interi?

■

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Sugli insiemi puoi svolgere le esercitazioni con il computer del Laboratorio di matematica del capitolo 3.

Prima di rispondere

UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI Per confrontare la numerosità di due insiemi A e B con un numero inito di elementi, basta contarli. Veriichiamo che l’insieme A dei divisori di 10 ha lo stesso numero di elementi dell’insieme B dei divisori di 8. Elenchiamo gli elementi degli insiemi:

䊳

Nel sito: 䊳 Esercitazione guidata su Motori di ricerca 䊳 Esercitazione guidata su Elaborazione di testi

In dieci righe

A  {1, 2, 5, 10}, B  {1, 2, 4, 8}.

Una ricerca infinita In matematica ci sono concetti oggetto di incessante indagine e ricerca. Il matematico tedesco David Hilbert affermò che nessun altro concetto ha mai scosso così profondamente lo spirito umano come quello di infinito. Scrivi una relazione con il computer descrivendo il paradosso dell’infinito in cui si imbatté Galileo e i risultati ottenuti in seguito. Descrivi poi almeno un paradosso dell’infinito riguardante la geometria. Per esempio, i punti di una semiretta sono di più di quelli di un suo segmento? Cerca nel web: paradosso, quadrati, paradosso Grand Hotel. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Trovi informazioni nell’Esplorazione «Insiemi infiniti». Cercala nell’indice.

? XIV

A e B hanno entrambi 4 elementi; si dice anche che hanno la stessa cardinalità. Possiamo arrivare alla stessa conclusione costruendo una corrispon1 1 denza come quella della igura. 2 Poiché a ogni elemento di A corri4 sponde uno e un solo elemento di B 5 e, viceversa, a ogni elemento di B 10 corrisponde uno e un solo elemento di A, i due insiemi hanno la stes- A B sa cardinalità, ossia hanno lo stesso numero di elementi.

INFINITI ELEMENTI Che cosa succede se gli insiemi hanno ininiti elementi? Per esempio, consideriamo C insieme dei numeri naturali e D insieme dei numeri naturali maggiori di 0. Poiché D si ottiene da C privandolo dello 0, si direbbe che il numero di elementi di D è minore di quello degli elementi di C. Ragioniamoci sopra. In questo caso non possiamo contare gli elementi di C e di D: non iniremmo mai! Allora cerchiamo di creare una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi, come quella dell’esempio precedente. Associamo al numero 0 dell’insieme C il numero 1 dell’insieme D, al numero 1 di C il numero 2 di D e così via: al numero n appartenente a C associamo il numero n  1 appartenente a D. Poiché a ogni elemento di C corrisponde uno e un solo elemento di D e, viceversa, a ogni elemento di D corrisponde uno e un solo elemento di C, i due insiemi hanno la stessa cardinalità, ossia lo stesso numero di elementi.

UP TO YOU Sono di più i numeri naturali o i numeri pari?

Ora rispondi alla domanda iniziale

2

8

Il rettangolo ABCD ha base lunga 2 cm e altezza 2 cm. Ai lati AB e CD togliamo e ai lati AD e BC aggiungiamo segmenti congruenti, in modo da ottenere il rettangolo ABⴕCⴕDⴕ. Quale deve essere la lunghezza di questi segmenti per fare in modo che il nuovo rettangolo abbia area massima? ■

C

B

C'

B'

A

D

D'

Prima di rispondere

UN PROBLEMA DI MASSIMO

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

Fin dai tempi dei Greci, i concetti di massimo e minimo costituiscono un importante strumento di ricerca del pensiero scientifico, tanto da far dire al matematico Eulero (1774): «nel mondo non avviene nulla senza che si osservi una regola di minimo o di massimo».

Esercizi di scrittura di aree e perimetri con espressioni algebriche sono nel paragrafo «Le operazioni con i polinomi». Cercalo.

Dimostriamo che fra tutti i rettangoli di perimetro 40 cm, quello che ha area massima è il quadrato di lato 10 cm. L’area del quadrato è 100 cm2. Notiamo poi che ogni rettangolo di perimetro 40 cm si può ottenere dal quadrato, togliendo un segmento da due lati paralleli del quadrato e aggiungendo un segmento di uguale misura agli altri due lati. Se chiamiamo x questa misura, una dimensione del rettangolo è 10  x, l’altra è 10  x, quindi la misura A dell’area del rettangolo è: A  (10  x)  (10  x). Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: A  (10  x)  (10  x)  (10  x)  10  (10  x)  x   10  10  10  x  10  x  x  x  102  x2  100  x2. L’area del rettangolo è quindi sempre minore di quella del quadrato. Possiamo anche vedere questa proprietà mediante un grafico x A cartesiano della funzione A  100  x2, dove i valori relativi ai ⴞ30 100 91 rettangoli sono soltanto quelli con x  0. Notiamo che il valore ⴞ5 75 51 massimo di A è in corrispondenza di x  0, ossia quando con- ⴞ7 ⴞ9 19 ⴞ10 0 sideriamo il quadrato. 䊳

x 10 + x 10 – x

10

10

x

ALLA SCOPERTA DEL LIBRO

La rappresentazione di una funzione mediante una tabella e un grafico è trattata nel paragrafo «Le funzioni numeriche». y 100 91

A = 100 – x2

75

UP TO YOU

?

In un paese, piazza Garibaldi ha lo stesso perimetro di piazza Mazzini, ma area maggiore. Che cosa possiamo dire dei loro lati?

19

Ora rispondi alla domanda iniziale Nel sito: 䊳 Scheda di lavoro

51

–10 –9 –7 –5 –3

0

3

5

7

Per approfondire

Un perimetro infinito È possibile racchiudere una regione finita di piano con una linea di lunghezza infinita?

XV

910 x

Imparare a imparare Alcuni matematici sono uccelli, altri sono rane. Gli uccelli volano alto nell’aria e scrutano le vaste distese della matematica, spingendo lo sguardo ino all’orizzonte. Prediligono i concetti che uniicano i nostri modi di pensare e partendo da punti diversi del paesaggio riuniscono una molteplicità di problemi. Invece le rane vivono nel fango e vedono solo i iori che crescono nei pressi. Preferiscono osservare i singoli oggetti nei loro minuti particolari e risolvono i problemi uno alla volta. Freeman Dyson, Uccelli e rane: la matematica come metafora, in Il club dei matematici solitari del Prof. Odifreddi, Mondadori, 2009.

■

Imparare a imparare è una delle competenze chiave che l’Unione Europea ha individuato per i cittadini della società della conoscenza. Implica: l saper cercare e controllare le informazioni; l individuare collegamenti e relazioni; l progettare la propria attività; l comunicare e collaborare con gli altri; l risolvere problemi della vita reale.

Essere rana

Nello studio della matematica sarai soprattutto una rana: afronterai i problemi uno alla volta e cercherai di capire i particolari. Ma non dimenticare di «vedere i iori». La matematica è nella realtà Può essere diicile vederla, ma ci circonda e serve nella vita di tutti i giorni. Scoprilo nei problemi di Matematica per il cittadino. La matematica è cultura È una delle discipline che più si prestano al collegamento con le altre ed è necessaria per afrontare i problemi del sapere in campi anche molto diversi fra loro. Puoi vederlo nelle Esplorazioni e La matematica ha un linguaggio specifico nelle prime pagine di ogni capitolo. al quale devi fare attenzione nelle definiLa matematica è palestra Una palestra per la mente. La comprensiozioni e nelle parole che mettiamo in evine di ogni nuovo concetto e l’esercizio giornaliero allenano ad afdenza. Nei Test your skills hai un’occasione per imparare il lessico matematico in infrontare i problemi in modo razionale. glese. Ma non accontentarti degli esercizi di allenamento: nei Mettiti alla prova, gioca le tue partite!

■

Essere falco

Nello studio è importante anche avere una visione d’insieme. Per darti una mano a essere falco, ti proponiamo di inquadrare quello che farai mediante quattro competenze fondamentali, indicando dove le incontrerai prevalentemente. Competenza

Dove si trova nel libro

Per esempio

Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico e algebrico

Capitoli 1, 2, 5, 6, 7

Le espressioni con i razionali, pag. 112 Il calcolo con i polinomi, pag. 316

Rappresentare e analizzare figure geometriche

Capitoli G1, G2, G3

I criteri di congruenza dei triangoli, pag. G47 Le proprietà dei parallelogrammi, pag. G81

Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

Problemi, ragionamenti, deduzioni in tutti i capitoli

Il problema delle parti a pag. 85 I problemi con le percentuali e le proporzioni, pag. 120 I problemi in cui si applica l’algebra alla geometria, pag. 464

Capitoli 1, 2, 3, 7, alfa Rilevare, analizzare e interpretare dati

XVI

Capitoli 3, 4, alfa

La proporzionalità diretta, pag. 217 La frequenza nei dati statistici, pag. 3

CAPITOLOTEORIA

I numeri naturali e i numeri interi

1 Cicale e numeri primi In alcune zone degli Stati Uniti vivono due specie di cicale, Magicicada septendecim e Magicicada tredecim, con cicli vitali di 17 e 13 anni: ogni 17 anni le une, ogni 13 le altre, dopo una lunga «infanzia» passata sottoterra, emergono in massa per riprodursi e quindi morire. Naturalmente non è vantaggioso per le due specie competere per le risorse ambientali emergendo dal terreno negli stessi anni… …perché le cicale preferiscono i numeri primi?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 29

1. Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... I numeri naturali hanno un ordine. Dati due numeri naturali qualunque e diversi fra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è minore del secondo o viceversa. Per indicare questa relazione usiamo i simboli < (minore) e > (maggiore). Per esempio, 0 < 5, 8 > 3.

Il simbolo

Di ogni numero naturale, escluso lo 0, esistono il precedente e il successivo. Per esempio, il precedente di 7 è 6, il successivo di 7 è 8.

significa

⬍

minore

⬎

maggiore

ⱕ

minore o uguale

ⱖ

maggiore o uguale

⫽

uguale

⫽

diverso

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con la lettera N.

■ La rappresentazione dei numeri naturali Poiché i numeri naturali sono ordinati, si possono rappresentare su una semiretta orientata, cioè su una semiretta sulla quale fissiamo, a partire dal punto origine O, un verso di percorrenza, che indichiamo con una freccia, e un’unità di misura.

◗ Orientato qui significa «che ha un verso».

1

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

䉴 Figura 1 Fissata una unità di misura, è possibile far corrispondere ai numeri naturali determinati punti di una semiretta orientata.

O

A

B

C

D

E

F

0

1

2

3

4

5

6

u

I punti della semiretta sono molti di più di quelli che corrispondono ai numeri naturali. Per esempio, fra B e C vi sono infiniti punti che non rappresentano numeri naturali. Per indicarlo si dice che N è un insieme discreto.

2. Le quattro operazioni ■ Gli operatori, gli operandi, il risultato

◗ Per la moltiplicazione useremo di solito il simbolo ⭈ invece del simbolo ⫻.

Nell’insieme N si possono eseguire le quattro operazioni: addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione. I simboli usati per le operazioni (⫹, ⭈ , ⫺, ⬊) si chiamano operatori. Ogni operatore agisce su due numeri che si chiamano operandi e produce un risultato. Vediamo i loro nomi in ogni operazione. OPERANDI E RISULTATO

OPERAZIONE

1° OPERANDO

2° OPERANDO

RISULTATO

addendo

addendo

somma

addizione

ESEMPIO 2° addendo 1° addendo somma 8

moltiplicazione

fattore

fattore

prodotto

2° fattore 1° fattore prodotto 8

sottrazione

minuendo

sottraendo

4 = 12

4 = 32

differenza

sottraendo differenza minuendo

quoziente

4 = 4 divisore dividendo quoziente 8

divisione

dividendo

divisore

8

4 = 2

■ L’addizione e la moltiplicazione ◗ La sottrazione e la divisione sono definite rispettivamente in base all’addizione e alla moltiplicazione e agiscono in modo contrario rispetto a queste; per tale motivo sono anche chiamate operazioni inverse.

2

Fra le quattro operazioni solo l’addizione e la moltiplicazione danno sempre come risultato un numero naturale. Per questo si dice che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N, oppure che N è chiuso rispetto a tali operazioni.

■ La sottrazione e la divisione La differenza fra due numeri è quel numero che, addizionato al sottraendo, dà come somma il minuendo.

Paragrafo 2. Le quattro operazioni

TEORIA

ESEMPIO

5 ⫺ 3 ⫽ 2,

perché

2 ⫹ 3 ⫽ 5.

Non sempre esiste in N il risultato della sottrazione: il risultato di una sottrazione è un numero naturale se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve sempre essere diverso da 0.

◗ La sottrazione non è un’operazione interna in N: 4⫺9⫽? Non esiste in N il risultato di 4 ⫺ 9, perché non esiste un numero naturale n tale che n ⫹ 9 ⫽ 4.

ESEMPIO

1. 18 : 3 ⫽ 6, perché 6 ⭈ 3 ⫽ 18. 2. 18 : 0 è un’operazione impossibile, perché non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0, dia 18. Anche con il divisore diverso da 0, non sempre esiste per la divisione il risultato in N, cioè la divisione non è un’operazione interna in N. Per esempio, il risultato di 15 ⬊ 6 non esiste in N, perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 6, dia 15.

Figura 2

䉲

dividendo

Nei numeri naturali è sempre possibile eseguire la divisione non esatta (con resto). In questo caso fra dividendo, divisore, quoziente e resto vale la relazione:

15 12

divisore 6 2

3

dividendo ⫽ divisore ⭈ quoziente ⫹ resto (figura 2).

quoziente resto 15 = 6 ⴢ 2 + 3

Solo se il resto è 0, ritorniamo al caso della divisione esatta.

DAI NUMERI ALLE LETTERE In matematica le lettere offrono la possibilità di parlare non di un numero particolare, ma di un numero generico. Il doppio di 4 è 2 ⭈ 4, il doppio di 100 è 2 ⭈ 100. Se indichiamo con n un generico numero naturale, il suo doppio è 2 ⭈ n. L’espressione 2 ⭈ n ha un valore diverso a seconda del valore attribuito a n:

● ●

se n ⫽ 4, se n ⫽ 100,

2⭈n 2⭈n

diventa diventa

2 ⭈ 4 ⫽ 8; 2 ⭈ 100 ⫽ 200.

Quando vogliamo indicare un numero generico, usiamo quindi una lettera dell’alfabeto. A tale lettera viene dato il nome di variabile numerica (o, più brevemente, variabile); nell’esempio precedente n è una variabile.

■ Il numero 0 Addizione e sottrazione Lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso. Ciò è vero indifferentemente quando 0 è il primo addendo o il secondo. Per questo motivo 0 è detto elemento neutro dell’addizione. Non è invece possibile in N la sottrazione con il minuendo uguale a 0.

◗ Se utilizziamo la variabile n, possiamo scrivere: n ⫹ 0 ⫽ 0 ⫹ n ⫽ n, ∀ n 僆 N, dove il simbolo ∀ significa «per ogni» e 僆 significa «che appartiene».

3

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

ESEMPIO

8 ⫹ 0 ⫽ 0 ⫹ 8 ⫽ 8. 0 ⫺ 6 non ha risultato in quanto in N non esiste un numero che, sommato a 6, dia 0. ◗ 7 ⫺ 7 = 0 perché 0 ⫹ 7 ⫽ 7.

La somma di due numeri naturali è 0 soltanto se entrambi i numeri sono 0. Invece, quando la sottrazione dà come risultato 0, significa che il minuendo e il sottraendo sono uguali. Moltiplicazione e divisione Nella moltiplicazione basta che lo 0 compaia una sola volta tra i fattori per annullare il prodotto. Lo 0 è quindi un numero che, moltiplicato per qualsiasi numero, dà come risultato se stesso. Per questo lo 0 viene detto elemento assorbente della moltiplicazione.

◗ In generale: n ⭈ 0 ⫽ 0 ⭈ n ⫽ 0, ∀ n 僆 N.

◗ È necessario significa che se il prodotto è 0, almeno uno dei fattori deve essere 0. È sufficiente significa che se uno dei fattori è 0, anche il prodotto è uguale a 0.

ESEMPIO

7 ⭈ 0 ⫽ 0 ⭈ 7 ⫽ 0;

5 ⭈ 4 ⭈ 0 ⭈ 200 ⫽ 0.

Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori. Nella divisione, quando il dividendo è 0, il quoziente è 0. ESEMPIO

0 ⬊ 4 ⫽ 0 perché 0 ⭈ 4 ⫽ 0. ◗ Anche la divisione 0 ⬊ 0 non viene definita. Infatti ogni numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0: la divisione non potrebbe quindi avere un unico risultato. In casi come questo si dice che l’operazione è indeterminata. ◗ Esempio: 5 ⭈ 1 ⫽ 1 ⭈ 5 ⫽ 5. In generale: n ⭈ 1 ⫽ 1 ⭈ n ⫽ n, ∀ n 僆 N.

Non è possibile la divisione con il divisore uguale a 0. 6 ⬊ 0 non ha significato. Infatti non è possibile trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 6. ESEMPIO

In casi come questo si dice che l’operazione è impossibile.

■ Il numero 1 Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero stesso, indifferentemente quando 1 è il primo fattore o il secondo. Per questo 1 è detto elemento neutro della moltiplicazione. Nella divisione, quando il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo. Se la divisione ha quoziente 1, il dividendo e il divisore sono uguali. ESEMPIO

16 ⬊ 1 ⫽ 16 perché 16 ⭈ 1 ⫽ 16. 8 ⬊ 8 ⫽1 perché 1 ⭈ 8 ⫽ 8.

4

Paragrafo 3. I multipli e i divisori di un numero

TEORIA

3. I multipli e i divisori di un numero Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo dà come resto 0. Attraverso la moltiplicazione possiamo trovare per ogni numero diverso da 0 infiniti multipli: basta moltiplicare il numero per 0, 1, 2, 3, 4, ... (il numero 0 ha invece come unico multiplo se stesso). Un numero naturale diverso da 0 è divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0. ESEMPIO

6 è divisore di 18, perché 18 ⬊ 6 ⫽ 3 con resto 0;

7 non è divisore di 18, perché 18 ⬊ 7 ⫽ 2 con resto 4.

◗ I multipli di 8 sono: 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... Per indicarli sinteticamente possiamo scrivere: 8 ⭈ n, ∀ n 僆 N. I multipli di 2 sono i numeri pari e si indicano con: 2 ⭈ n, ∀ n 僆 N.

Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono un numero finito. ESEMPIO

I divisori di 40 sono:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. CRITERI DI DIVISIBILITÀ UN NUMERO È DIVISIBILE PER

QUANDO

ESEMPIO DI NUMERO DIVISIBILE

ESEMPIO DI NUMERO NON DIVISIBILE

2

l’ultima cifra è pari

5 679 254

60 018 841

5

l’ultima cifra è 0 o 5

279 640; 310 065

9 111 008

4

il numero formato dalle ultime due cifre a destra lo è, oppure queste cifre sono 00

295 264; 310 500

917 426

157 275; 98 200

784 040

la somma delle cifre è divisibile per 3

74 391

32 723

(7⫹4⫹3⫹9⫹1⫽24⫽3 ⭈ 8)

(3⫹2⫹7⫹2⫹3⫽17)

la somma delle cifre è divisibile per 9

65 682

15 747

6 ⫹ 5 ⫹ 6 ⫹ 8 ⫹ 2 ⫽ 27 ⫽ 9 ⭈ 3

1 ⫹ 5 ⫹ 7 ⫹ 4 ⫹ 7 ⫽ 24

25 3

9

11

sommando le cifre di posto dispari e poi quelle di posto pari, la differenza fra il risultato maggiore e quello minore è 11 oppure un multiplo di 11

6 150 914

122 333

(4 ⫹ 9 ⫹ 5 ⫹ 6) ⫺ (1 ⫹ 0 ⫹ 1) ⫽ ⫽ 24 ⫺ 2 ⫽ 22

(3 ⫹ 3 ⫹ 2) ⫺ (3 ⫹ 2 ⫹ 1) ⫽ ⫽8⫺6⫽2

5

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

4. Le potenze Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali. Per esempio, 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2. ◗ Usando le lettere:

再

an ⫽ a ⭈ a ⭈ a ⭈ … ⭈ a n volte

Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione, la potenza: 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 si scrive 27 (si legge «2 alla settima»). Il numero 2 è la base e il numero 7 è l’esponente della potenza. La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica il numero di fattori uguali. Dunque: se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base. È ragionevole pensare che l’esponente sia maggiore o uguale a 2, per avere almeno una moltiplicazione, ossia due fattori. Tuttavia vogliamo dare un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente 0. Per definizione:

◗ 1. Potenze con esponente 0: 20 ⫽ 1; 20080 ⫽ 1; 10 ⫽ 1.

●

elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1: a0 ⴝ 1 se a ⴝ 0;

●

elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso: a1 ⴝ a.

0

0 non ha significato. 2. Potenze con esponente 1: 21 ⫽ 2; 20081 ⫽ 2008; 11⫽ 1; 01 ⫽ 0.

Non viene invece definita la potenza con base ed esponente 0: 00 non ha significato.

5. Le espressioni con i numeri naturali Se vogliamo eseguire una sequenza di operazioni con i numeri naturali risolviamo un’espressione. Per esempio, 34 ⫹ 2 ⭈ 52 ⫺ 3 ⫹ 20 ⬊ 22. Le operazioni vanno eseguite con un ordine ben preciso: prima vengono calcolate le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui sono scritte, infine le addizioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte. Ciò significa che alcune operazioni hanno la precedenza rispetto ad altre. Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza, così come addizioni e sottrazioni. ESEMPIO

◗ 10 ⫹ 2 ⭈ 3 ⫽ 12 ⭈ 3 ⫽ 36 è sbagliato!

6

10 ⫹ 2 ⭈ 3 ⫽ 10 ⫹ 6 ⫽ 16. La moltiplicazione ha priorità sull’addizione e va quindi svolta per prima.

Paragrafo 5. Le espressioni con i numeri naturali

TEORIA

Semplificare un’espressione significa sostituirla con una più semplice che abbia lo stesso valore. ESEMPIO

Semplifichiamo l’espressione 34 ⫹ 2 ⭈ 52 ⫺ 3 ⫹ 20 ⬊ 22.

34 ⫹ 2 ⭈ 52 ⫺ 3 ⫹ 20 : 22 ⫽ Calcoliamo le potenze: ⫽ 81 ⫹ 2 ⭈ 25 ⫺ 3 ⫹ 20 ⬊ 4 ⫽ Eseguiamo la moltiplicazione e la divisione: ⫽ 81 ⫹ 50 ⫺ 3 ⫹ 5 ⫽ Eseguiamo nell’ordine in cui le incontriamo le addizioni e la sottrazione: ⫽ 133.

■ Le espressioni con le parentesi A che cosa servono le parentesi in un’espressione? Ad alterare la priorità delle operazioni, cioè a modificare l’ordine con cui devono essere svolte.

◗ Se abbiamo

Occorre eseguire prima i calcoli presenti all’interno delle parentesi tonde, poi quelli all’interno delle quadre e infine quelli all’interno delle graffe.

eseguiamo prima la potenza:

ESEMPIO

Se abbiamo

20 ⬊ 22 ⫽

⫽ 20 ⬊ 4 ⫽ 5. (20 ⬊ 2)2 ⫽

{25 ⫺ [152 ⫺ (20 ⬊ 2)2 ⭈ 2]} ⭈ 5 ⫽ ⫽ {32 ⫺ [225 ⫺ 102 ⭈ 2]} ⭈ 5 ⫽

eseguiamo prima la divisione:

⫽ {32 ⫺ 25} ⭈ 5 ⫽ 7 ⭈ 5 ⫽ 35.

⫽ 102 ⫽ 100.

LE ESPRESSIONI E LE LETTERE Con le variabili possiamo scrivere espressioni letterali, per esempio: 2 ⭈ a ⫺ b ⫹ 3 ⭈ a 2. Il simbolo di moltiplicazione fra variabile e numero, o fra variabili, può essere sottinteso. Per esempio, l’espressione precedente può essere scritta: 2

2a ⫺ b ⫹3a . Quando una variabile compare più volte nella stessa espressione, essa rappresenta sempre lo stesso numero.

Possiamo calcolare il valore di un’espressione per particolari valori attribuiti alle lettere. Per esempio, prendendo a ⫽ 5 e b ⫽ 10, sostituendo i valori alle lettere, otteniamo per l’espressione precedente: 2 ⭈ 5 ⫺ 10 ⫹ 3 ⭈ 52 ⫽ 75. Invece, se: a ⫽ 2 e b ⫽ 3, l’espressione vale: 2 ⭈ 2 ⫺ 3 ⫹ 3 ⭈ 22 ⫽ 4 ⫺ 3 ⫹ 3 ⭈ 4 ⫽ 1 ⫹ 12 ⫽ 13.

7

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

6. Le proprietà delle operazioni Le proprietà che ora studieremo vengono dette proprietà formali delle operazioni. Esse valgono indipendentemente dai particolari numeri ai quali scegliamo di applicarle.

■ La proprietà commutativa PROPRIETÀ

Proprietà commutativa dell’addizione

=

In un’addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

b =

a

b + a

ESEMPIO

5 ⫹ 4 ⫽ 4 ⫹ 5. PROPRIETÀ

◗ La proprietà commutativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. Per esempio, 15 ⫺ 3 ⫽ 12, mentre 3 ⫺ 15 non è nemmeno un numero naturale.

Proprietà commutativa della moltiplicazione

ⴢ

In una moltiplicazione, se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

=

a ⴢ b =

ⴢ

b ⴢ a

ESEMPIO

4 ⭈ 2 ⫽ 2 ⭈ 4.

■ La proprietà associativa PROPRIETÀ

Proprietà associativa dell’addizione La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine.

( (a

) b)

=

c = a

( (b

) c )

ESEMPIO

(3 ⫹ 6) ⫹ 4 ⫽ 3 ⫹ (6 ⫹ 4). La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di addizioni, possiamo sostituire a due addendi consecutivi la loro somma: il risultato non cambia.

8

Paragrafo 6. Le proprietà delle operazioni

ESEMPIO

5 ⫹ 7 ⫹ 3 ⫹ 2 ⫽ 5 ⫹ 10 ⫹ 2. PROPRIETÀ

Proprietà associativa della moltiplicazione Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine.

( ⴢ )ⴢ = ⴢ ( ⴢ ) (a ⴢ b) ⴢ c = a ⴢ ( b ⴢ c )

TEORIA

◗ Leggendo l’uguaglianza da destra a sinistra, possiamo anche dire che la somma di due o più numeri naturali non cambia se sostituiamo a un suo addendo due numeri naturali che abbiano per somma tale addendo.

ESEMPIO

(6 ⭈ 4) ⭈ 5 ⫽ 6 ⭈ (4 ⭈ 5). La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di moltiplicazioni, possiamo sostituire a due fattori consecutivi il loro prodotto: il risultato non cambia. ESEMPIO

3 ⭈ 7 ⭈ 2 ⭈ 5 ⫽ 3 ⭈ 7 ⭈ 10. In una sequenza di addizioni (o moltiplicazioni), applicando le proprietà commutativa e associativa più volte, è sempre possibile spostare in qualunque posizione uno o più addendi (o fattori). ESEMPIO

◗ Leggendo l’uguaglianza da destra a sinistra, possiamo anche dire che il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se sostituiamo a un suo fattore due numeri naturali che abbiano per prodotto tale fattore.

(5 ⫹ 3) ⫹ 7 ⫽ (7 ⫹ 3) ⫹ 5.

Infatti, per la proprietà associativa dell’addizione:

◗ La proprietà associativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. Infatti:

(5 ⫹ 3) ⫹ 7 ⫽ 5 ⫹ (3 ⫹ 7) ⫽ Per la proprietà commutativa:

(10 ⫺ 3) ⫺ 1 ⫽ 10 ⫺ (3 ⫺ 1);

⫽ 5 ⫹ (7 ⫹ 3) ⫽ (7 ⫹ 3) ⫹ 5.

(24 ⬊ 4) ⬊ 2 ⫽ 24 ⬊ (4 ⬊ 2).

■ La proprietà distributiva PROPRIETÀ

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia.

ⴢ ( aⴢ (b

)=

ⴢ

c )= a ⴢ b

ⴢ aⴢ c

◗ Non è valida la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione. 7 ⫹ (2 ⭈ 5) ⫽ ⫽ (7 ⫹ 2) ⭈ (7 ⫹ 5). Infatti: 7 ⫹ (2 ⭈ 5) ⫽ 17; (7 ⫹ 2) ⭈ (7 ⫹ 5) ⫽ 108.

9

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

ESEMPIO

5 ⭈ (4 ⫹ 2) ⫽ 5 ⭈ 4 ⫹ 5 ⭈ 2. Abbiamo formulato la proprietà in modo che il fattore venga distribuito verso destra. In tal caso si parla di proprietà distributiva a destra. Poiché la moltiplicazione è commutativa, la proprietà distributiva vale anche a sinistra. ESEMPIO

(3 ⫹ 4) ⭈ 5 ⫽ 3 ⭈ 5 ⫹ 4 ⭈ 5.

◗ In simboli: a ⭈ b ⫹ a ⭈ c ⫽ a ⭈ (b ⫹ c); b ⭈ a ⫹ c ⭈ a ⫽ (b ⫹ c) ⭈ a.

Leggendo le uguaglianze dei due esempi precedenti da destra verso sinistra, si può ricavare la regola del raccoglimento a fattore comune: quando in una somma tutti gli addendi presentano un fattore in comune, esso può essere raccolto moltiplicandolo per la somma degli altri termini. ESEMPIO

9 ⭈ 8 ⫹ 9 ⭈ 2 ⫽ 9 ⭈ (8 ⫹ 2). ◗ Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione

La proprietà distributiva della moltiplicazione e il raccoglimento a fattore comune valgono anche rispetto alla sottrazione.

a ⭈ (b ⫺ c) ⫽ a ⭈ b ⫺ a ⭈ c, con b ⱖ c.

PROPRIETÀ

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione ◗ La proprietà distributiva della divisione è vera anche rispetto alla sottrazione. Per esempio: (20 ⫺ 4) ⬊ 2 ⫽ 20 ⬊ 2 ⫺ 4 ⬊ 2.

◗ La proprietà vale solo a sinistra (la divisione non è commutativa).

Quando si deve dividere una somma per un numero, si può dividere ciascun addendo per quel numero e poi sommare i quozienti ottenuti, e il risultato non cambia. ESEMPIO

(20 ⫹ 4) ⬊ 2 ⫽ 20 ⬊ 2 ⫹ 4 ⬊ 2. La proprietà può essere espressa in lettere: (a ⫹ b) ⬊ c ⫽ a ⬊ c ⫹ b ⬊ c,

con c ⫽ 0 e a ⫹ b, a, b multipli di c.

■ La proprietà invariantiva PROPRIETÀ

Proprietà invariantiva della sottrazione In una sottrazione, se si aggiunge o si toglie uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia.

10

Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze

TEORIA

In lettere: a ⫺ b ⫽ (a ⫹ c) ⫺ (b ⫹ c),

con a ⱖ b;

a ⫺ b ⫽ (a ⫺ c) ⫺ (b ⫺ c),

con a ⱖ b ⱖ c.

ESEMPIO

15 ⫺ 8 ⫽ (15 ⫹ 2) ⫺ (8 ⫹ 2).

PROPRIETÀ

Proprietà invariantiva della divisione In una divisione, se si moltiplica o divide per uno stesso numero, diverso da 0, sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia. ESEMPIO

60 ⬊ 15 ⫽ (60 ⭈ 2) ⬊ (15 ⭈ 2);

60 ⬊ 15 ⫽ (60 ⬊ 3) ⬊ (15 ⬊ 3).

◗ La proprietà invariantiva non vale né per l’addizione né per la moltiplicazione. Infatti, per esempio:

con b ⫽ 0, n ⫽ 0 e a multiplo di b; con b ⫽ 0, n ⫽ 0 e a multiplo di b e a, b multipli di n.

10 ⫹ 2 ⫽ (10 ⫹ 3) ⫹ (2 ⫹ 3);

In lettere: a ⬊ b ⫽ (a ⭈ n) ⬊ (b ⭈ n), a ⬊ b ⫽ (a ⬊n) ⬊ (b⬊n),

◗ Se dividiamo il dividendo e il divisore per uno stesso numero, questo deve essere un divisore di entrambi.

15 ⭈ 9 ⫽ (15 ⬊ 3) ⭈ (9 ⬊ 3).

7. Le proprietà delle potenze ■ Il prodotto di potenze di uguale base

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

Consideriamo la seguente moltiplicazione:

䉴 V01a

42 ⭈ 43. ◗ Poiché 00 non ha significato, in tutte le proprietà delle potenze che esaminiamo, l’esponente e la base di una stessa potenza non possono essere contemporaneamente nulli.

Applichiamo la definizione di potenza, 42 ⭈ 43 ⫽ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⫽ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⫽ 45, 2 volte

3 volte

5 volte

ossia: 42 ⭈ 43 ⫽ 42 ⫹ 3. PROPRIETÀ

Prima proprietà delle potenze Il prodotto di potenze di uguale base è una potenza con la stessa base avente come esponente la somma degli esponenti.

ⴢ

=

am ⴢ an = am⫹n

◗ La definizione data per le potenze con esponente 1 o 0 è tale da verificare la prima proprietà. 64 ⭈ 60 ⫽ 64 ⭈ 1 ⫽ 64; 64 ⭈ 60 ⫽ 64⫹0 ⫽ 64.

11

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

■ Il quoziente di potenze di uguale base

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V01b

Consideriamo la divisione 47 ⬊ 43. Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 43, dia come prodotto 47. 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⫽ ……?…… ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 7 volte

3 volte

4⭈4⭈4⭈4⭈4⭈4⭈4⫽4⭈4⭈4⭈4⭈4⭈4⭈4 7 volte

(7 ⫺ 3) volte

3 volte

Il numero cercato è 44; quindi possiamo scrivere: 47 ⬊ 43 ⫽ 47 ⫺ 3. PROPRIETÀ

◗ Se gli esponenti sono uguali, si ha, per esempio, 7

7

7 ⫺7

4 ⬊4 ⫽4

0

⫽ 4 ⫽ 1,

e in generale: am ⬊ am ⫽ am⫺m ⫽ a0 ⫽ 1.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V01c

Seconda proprietà delle potenze Il quoziente di potenze di uguale base (con l’esponente della seconda minore o uguale all’esponente della prima e con la base diversa da 0) è una potenza con la stessa base che ha come esponente la differenza degli esponenti.

=

am

an = am⫺n con m ≥ n, a ≠ 0

■ La potenza di una potenza Consideriamo 42 come base di un’altra potenza con esponente 3: (42)3. Per definizione di potenza: (42)3 ⫽ 42 ⭈ 42 ⭈ 42. Per la prima proprietà delle potenze: 42 ⭈ 42 ⭈ 42 ⫽ 42 ⫹ 2 ⫹ 2 ⫽ 42 ⭈ 3. Quindi: (42)3 ⫽ 42 ⭈ 3. PROPRIETÀ

Terza proprietà delle potenze La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

12

(

) = n

ⴢ

( am ) = am⭈n

Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze

■ Il prodotto di potenze di uguale esponente

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA

Dato un prodotto fra potenze con lo stesso esponente, per esempio 42 ⭈ 62, cerchiamo di scriverlo in altro modo, utilizzando proprietà note.

Videolezione

䉴 V01d

Per la definizione di potenza: 42 ⭈ 62 ⫽ 4 ⭈ 4 ⭈ 6 ⭈ 6. Applichiamo le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione: 4 ⭈ 4 ⭈ 6 ⭈ 6 ⫽ (4 ⭈ 6) ⭈ (4 ⭈ 6). Per la definizione di potenza: (4 ⭈ 6) ⭈ (4 ⭈ 6) ⫽ (4 ⭈ 6)2. Quindi: 42 ⭈ 62 ⫽ (4 ⭈ 6)2. PROPRIETÀ

Quarta proprietà delle potenze Il prodotto di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

ⴢ

=

(

)

ⴢ

n

an ⴢ bn = ( a ⴢ b )

■ Il quoziente di potenze di uguale esponente

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

Consideriamo un quoziente fra potenze con lo stesso esponente:

䉴 V01e

122 ⬊ 42. Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 42, dia come prodotto 122. Mostriamo che quel numero è (12 ⬊ 4)2, cioè che: (12 ⬊ 4)2 ⭈ 42 ⫽ 122. Per la quarta proprietà delle potenze: (12 ⬊ 4)2 ⭈ 42 ⫽ [(12 ⬊ 4) ⭈ 4]2 ⫽ 122. Quindi: 122 ⬊ 42 ⫽ (12 ⬊ 4)2. PROPRIETÀ

Quinta proprietà delle potenze Il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

=

an

(

n b = (a

) b)

n

con b ≠ 0

13

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

Osservazione. Le cinque proprietà delle potenze si basano sul fatto che la potenza è una moltiplicazione ripetuta, quindi riguardano solo la moltiplicazione e la sua inversa, la divisione. Per l’addizione e la sottrazione di potenze non si può ricavare alcuna proprietà. ◗ Analogamente puoi verificare che: 25 ⫺ 23 ⫽ 25 ⫺ 3; 2

2

2

4 ⫹ 6 ⫽ (4 ⫹ 6) ;

ESEMPIO

42 ⫹ 43 ⫽ 42⫹3. Infatti 42 ⫹ 43 ⫽ 4 ⭈ 4 ⫹ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⫽ 16 ⫹ 64 ⫽ 80, mentre 42 ⫹ 3 ⫽ 45 ⫽ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⭈ 4 ⫽ 1024.

122 ⫺ 42 ⫽ (12 ⫺ 4)2.

8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo ■ La scomposizione in fattori primi Si dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e da 1, che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi. ESEMPIO

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ..., 53, ..., 941, ..., 1987, ... sono divisibili solo per se stessi e per 1, quindi sono numeri primi. ◗ La scomposizione in fattori primi di 60 è: 60 ⫽ 2 ⭈ 2 ⭈ 3 ⭈ 5. Scriviamo anche: 2

60 ⫽ 2 ⭈ 3 ⭈ 5.

Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti i fattori sono numeri primi. ESEMPIO

20 ⫽ 2 ⭈ 2 ⭈ 5.

20 è scomposto in fattori primi.

60 ⫽ 3 ⭈ 4 ⭈ 5.

60 non è scomposto in fattori primi.

La scomposizione di un numero in fattori primi viene anche chiamata fattorizzazione in numeri primi.

■ Il massimo comune divisore Consideriamo i numeri 30 e 40. I divisori di 30 sono: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. I divisori di 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 30 e 40 hanno in comune i divisori 1, 2, 5, 10. 10 è il più grande e viene perciò chiamato massimo comune divisore e indicato con M.C.D. Possiamo scrivere: M.C.D.(30, 40) ⫽ 10.

14

Paragrafo 8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

TEORIA

DEFINIZIONE

Massimo comune divisore Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni. Il M.C.D. di due o più numeri è il prodotto dei soli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo. ESEMPIO

Scomponiamo 30 e 40, mettendo in colonna i fattori uguali. 30 ⫽ 2 ⭈ 3 ⭈ 5 40 ⫽ 23 ⭈

5

→

Il M.C.D. è 2 ⭈ 5, cioè 10.

◗ Le colonne «piene» individuano i fattori comuni 2 e 5; bisogna prendere ciascuno con l’esponente più piccolo.

Se il M.C.D. di due numeri è 1, significa che essi non hanno divisori comuni, tranne il numero 1. In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro. Per esempio 8 e 9 sono primi tra loro.

■ Il minimo comune multiplo Consideriamo di nuovo i numeri 30 e 40 e i loro multipli diversi da 0. I multipli di 30 sono: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ... I multipli di 40 sono: 40, 80, 120, 160, 200, 240, ... Il più piccolo multiplo che i numeri 30 e 40 hanno in comune è 120; esso viene perciò chiamato minimo comune multiplo e indicato con m.c.m. Possiamo scrivere: m.c.m.(30, 40) ⫽ 120. DEFINIZIONE

Minimo comune multiplo Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0. Il m.c.m. di due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più grande. Il m.c.m. di due numeri primi fra loro è il loro prodotto. Per esempio: m.c.m.(8, 9) ⫽ 72. ESEMPIO

Riprendiamo le scomposizioni dell’esempio precedente: 30 ⫽ 2 ⭈ 3 ⭈ 5 3

40 ⫽ 2 ⭈

5

→

Il m.c.m. è 23 ⭈ 3 ⭈ 5, cioè 120.

15

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI UNA CONGETTURA E LA SUA VERIFICA

All’interno di un campo di ricerca, i matematici affrontano uno dei problemi non ancora risolti o inventano nuovi problemi, per la soluzione dei quali formulano spesso delle congetture, ossia supposizioni ritenute vere. Consideriamo, come esempio, la congettura di Goldbach, formulata nel 1742: «Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi». Verifichiamo la congettura: 4⫽2⫹2 6⫽3⫹3

8⫽3⫹5 10 ⫽ 3 ⫹ 7

12 ⫽ 5 ⫹ 7 …

Ma è sufficiente verificare una congettura una, due, tre, … tante volte per poter affermare che è vera? LA VERIFICA NON BASTA…

Pierre de Fermat, matematico vissuto nella prima metà del Seicento, affermò che la formula Fn ⫽ 22 ⫹ 1, n

con n numero naturale, generava soltanto numeri primi. Proviamo a vedere se aveva ragione: F1 ⫽ 22 ⫹ 1 ⫽ 5, F0 ⫽ 21 ⫹ 1 ⫽ 3, 4 F2 ⫽ 2 ⫹ 1 ⫽ 17, F3 ⫽ 28 ⫹ 1 ⫽ 257, F4 ⫽ 216 ⫹ 1 ⫽ 65 537. 3, 5, 17, 257, 65 537 sono effettivamente numeri

primi. Ma anche Fermat, come noi, si fermava a n ⫽ 4, perché ai suoi tempi il calcolo dei valori successivi era difficile e non si conoscevano metodi per stabilire in tempi accettabili se numeri grandi fossero primi o no. Infine, nel 1732, Eulero riuscì a dimostrare che F5 ⫽ 4 294 967 297 è divisibile per 641 e che quindi non è primo. Dunque la congettura di Fermat era falsa! Inoltre, fino a oggi, non si è ancora trovato un numero generato dalla formula di Fermat per n ⱖ 5 che sia primo! …È NECESSARIO DIMOSTRARE Esempi come questo fanno capire che una congettura che riguarda infiniti casi non può essere accettata come vera sulla base di un numero finito, anche se molto grande, di verifiche. Infatti non si può escludere di trovare un caso in cui la proprietà non è verificata, ossia un controesempio. Se lo si trova, si dice che la congettura è stata confutata, se invece si riesce a dimostrarla, diventa un teorema. Fino a oggi nessuno è riuscito a dimostrare la congettura di Goldbach. TOCCA A TE

In ogni capitolo troverai un problema. Discutine con i tuoi compagni e formula congetture per trovare strategie risolutive. Sostienile con ragionamenti e deduzioni. Ecco il problema di questo capitolo.

Ma quanti sono i numeri primi?

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Man mano che si procede nella successione dei numeri naturali, è sempre più raro incontrare numeri primi. Chi garantisce che, prima o poi, non troveremo il più grande numero primo? I Greci hanno risolto questo problema: «Esistono sempre numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi (Euclide, Elementi, Libro IX, Proposizione 20, III secolo a.C.) si vogliano proporre». ANDREA: LUISA:

«È ovvio che i numeri primi sono infiniti: fanno parte dei numeri naturali, che, come si sa, sono infiniti». «Non mi sembra che basti quello che dici! Facciamo così: se consideriamo i numeri primi 2 e 3, troviamo un nuovo numero primo calcolando: 2 ⭈ 3 ⫹ 1 ⫽ 7 …».

䉴 Quella di Andrea è una buona giustificazione? A che cosa porta l’osservazione di Luisa?

16

Paragrafo 9. I sistemi di numerazione

TEORIA

9. I sistemi di numerazione ■ Il sistema a base dieci Il nostro modo di scrivere i numeri si basa sull’uso di dieci simboli diversi, le cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. I primi dieci numeri naturali sono indicati da una sola cifra, mentre per scrivere i successivi utilizziamo una combinazione di cifre. Consideriamo il numero 222. Leggendolo da destra, il primo 2 indica le unità, il secondo 2 le decine, il terzo 2 le centinaia. Le cifre assumono un valore diverso a seconda della posizione in cui si trovano. Per questo il nostro sistema è di tipo posizionale. Ogni numero può essere scritto in forma polinomiale, come somma di prodotti costituiti da un numero di una cifra e una potenza di 10. ESEMPIO

4637 ⫽ 4000 ⫹ 600 ⫹ 30 ⫹ 7 ⫽ 4 ⭈ 103 ⫹ 6 ⭈ 102 ⫹ 3 ⭈ 101 ⫹ 7 ⭈ 100. Il numero 10 assume un ruolo particolare e viene detto base. Il nostro sistema di numerazione è chiamato a base dieci o decimale.

■ I sistemi con altre basi Un sistema di tipo posizionale può avere come base un numero qualsiasi. È sufficiente raggruppare le unità non secondo le potenze di dieci, ma secondo quelle della nuova base. ESEMPIO Scriviamo 7 in base tre. Questo significa che possiamo utilizzare solo tre simboli come cifre: 0, 1, 2.

Il numero 7 si può pensare come costituito di 2 gruppi da 3 unità e di 1 da 1 unità. Perciò il numero 7 (in base dieci) scritto in base tre diventa 21 (si legge: «due-uno»). In forma polinomiale:

䉳

Figura 3

3 1 3

7 ⫽ 2 ⭈ 31 ⫹ 1 ⭈ 30. 7

=

2ⴢ3

1

Con il simbolo 21 in base tre indichiamo un numero diverso da quello che lo stesso simbolo indica in base dieci (ossia ventuno). Per non creare confusione, conveniamo di scrivere i numeri in base diversa da dieci fra parentesi,

17

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

indicando in piccolo la base. Nell’esempio precedente scriviamo quindi: 7 ⫽ (21)3. Scriviamo una tabella dei primi cinque numeri diversi da 0 scritti nelle basi da 2 a 5. NUMERO

1 2 3 4 5

BASE 2

BASE 3

BASE 4

BASE 5

1 10 11 100 101

1 2 10 11 12

1 2 3 10 11

1 2 3 4 10

Lo stesso simbolo 10 (uno-zero) indica il 2 in base due, il 3 in base tre e così via. Il simbolo 100 (uno-zero-zero) indica la potenza con esponente 2 della base e così via. Inoltre, scelta una base, essa ci indica anche quanti simboli (cifre) sono necessari per rappresentare tutti i numeri; per esempio, in base due sono necessari solo due simboli, 0 e 1, in base tre sono necessari i simboli 0, 1 e 2 e così via. Il sistema di numerazione in base due si chiama anche sistema binario.

◗ Se la base è maggiore di 10, servono altri simboli oltre alle dieci cifre che conosciamo. Di solito si usano le lettere maiuscole. Per esempio, in base dodici il numero 10 viene indicato con A e il numero 11 con B. In base sedici (molto usata in informatica) i numeri da 10 a 15 sono indicati con le lettere da A a F.

■ Da una base qualsiasi a base dieci e viceversa Nella scrittura di un numero possiamo passare da una base prescelta a base dieci utilizzando la forma polinomiale. ESEMPIO

(1011)2 ⫽ 1 ⭈ 23 ⫹ 0 ⭈ 22 ⫹ 1 ⭈ 21 ⫹ 1 ⭈ 20 ⫽ 8 ⫹ 2 ⫹ 1 ⫽ 11; (232)5 ⫽ 2 ⭈ 52 ⫹ 3 ⭈ 51 ⫹ 2 ⭈ 50 ⫽ 50 ⫹ 15 ⫹ 2 ⫽ 67; (1A)12 ⫽ 1 ⭈ 121 ⫹ 10 ⭈ 120 ⫽ 22.

䉲

Per passare invece da base dieci a una base qualsiasi possiamo utilizzare un procedimento di divisioni successive che hanno come divisore la base. Scriviamo 22 in base tre.

Figura 4

1

1

22 1

3 7

a. Dividendo 22 per 3 otteniamo quoziente 7 e resto 1: in 22 ci sono 7 gruppi da 3 e 1 unità.

18

1

2

22 1

3 7

3

1

2

b. Dividendo 7 per 3 otteniamo quoziente 2 e resto 1: dai 7 gruppi da 3 si ottengono 2 gruppi da 32 e 1 gruppo da 3 isolato.

22

3

1

7

3

1

2

c. Il numero in base tre si legge nella direzione della freccia: (22)10 = (211)3.

Paragrafo 10. Che cosa sono i numeri interi

TEORIA

ESPLORAZIONE: I NUMERI MAYA Un antico sistema di numerazione posizionale è quello dei Maya.

Consideravano poi come unità di ordine superiore il gruppo da 360. Si aveva quindi:

Questa è la rappresentazione maya dei numeri fino a 19. 0

5

10

15

1

6

11

16

2

7

12

17

3

8

13

18

4

9

14

19

359

1 x 20

20

0x1

6 x 20

127

7x1

1 x 20

32

12 x 1

4 x 20 0x1

80

360 19 x 1

Per i numeri successivi la scrittura posizionale era verticale e, nei numeri con due «cifre», la cifra sopra indicava i gruppi da 20, quella sotto le unità. Ecco alcuni esempi.

IN CINQUE SLIDE

Illustra ai tuoi compagni, con una presentazione multimediale, i sistemi di numerazione dell’antichità presso gli Egizi, i Greci, i Babilonesi, i Romani, gli Arabi, i Cinesi. Sfidali poi a scrivere alcuni numeri alla maniera degli antichi. Per esempio come si scrivono i numeri 75, 64, 28, 374, 420, 722 con la numerazione maya? Cerca nel web: sistemi di numerazione, contare, simboli numerici. 䉲 Figura 5 La temperatura si misura di solito in gradi °C. Lo 0 corrisponde alla temperatura del ghiaccio che fonde (b). Per indicare temperature minori di 0 si usano numeri con segno ⴚ (a). Per temperature maggiori di 0 si usano numeri con segno ⴙ (c).

10. Che cosa sono i numeri interi I numeri naturali non sono adatti per risolvere tutti i problemi. Conosci senz’altro situazioni in cui vengono usati numeri diversi. Per misurare la temperatura di un ambiente, di solito utilizziamo un termometro nel quale troviamo, oltre lo 0, dei numeri dotati di segno.

+25

+25

+25

+20

+20

+20

+15

+15

+15

+10

+10

+10

+5

+5

+5

0

0

-5

-5

-5

-10

-10

-10

b

0x1

Il numero 360, legato ai giorni dell’anno, doveva esercitare un fascino particolare sui Maya, visto che rappresentava l’unica eccezione, e l’unità di ordine superiore, 7200, che è uguale a 20 ⭈ 360, tornava a considerare 20 gruppi da 360 (e non 18).

La cosa particolare è che, arrivati al numero 359, i Maya cambiavano base, passando da base venti a base diciotto.

a

20 x 18

17 x 20

0

c

19

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

Quando siamo «sopra zero», la temperatura viene indicata con un numero preceduto dal segno ⫹, per esempio ⫹ 20; quando siamo «sotto zero», la temperatura è espressa con un numero preceduto dal segno ⫺, per esempio ⫺ 5. In pratica, da ogni numero naturale diverso da 0 si sono ricavati due numeri, per mezzo dei due segni ⫹ e ⫺. Per esempio, da 5 si ottengono ⫹ 5 e ⫺ 5. I numeri con il segno ⫹ si chiamano positivi, quelli con il segno ⫺ si chiamano negativi.

■ L’insieme Z Indichiamo con Z l’insieme costituito dai numeri: ◗ 0 è l’unico numero intero senza segno. Indichiamo con Z ⫹ l’insieme degli interi positivi e con Z⫺ l’insieme degli interi negativi. ◗ Il valore assoluto si chiama anche modulo.

…, ⫺ 4, ⫺ 3, ⫺ 2, ⫺ 1, 0, ⫹ 1, ⫹ 2, ⫹ 3, ⫹ 4, … Questi numeri si chiamano interi relativi o, più semplicemente, interi. I numeri che hanno lo stesso segno si chiamano concordi, quelli che hanno segno diverso discordi. Per esempio, ⫺ 3 e ⫺ 7 sono concordi, ⫺ 3 e ⫹ 7 sono discordi. Il valore assoluto di un numero è il numero considerato senza il segno che lo precede. Per indicarlo si usa il simbolo ⏐ ⏐. Il valore assoluto di ⫹ 5 è 5: ⏐⫹ 5⏐⫽ 5. Il valore assoluto di ⫺ 6 è 6: ⏐⫺ 6⏐⫽ 6.

ESEMPIO

◗ Il numero 0 può essere considerato opposto di se stesso.

Due numeri interi si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto e sono discordi. Per esempio, sono opposti i numeri ⫺ 1 e ⫹ 1, ⫺ 2 e ⫹ 2, ⫺ 3 e ⫹ 3, …

■ L’insieme Z come ampliamento dell’insieme N Che relazione c’è fra l’insieme dei numeri naturali e quello degli interi? ◗ Dati due insiemi A e B, B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche elemento di A. B si dice sottoinsieme proprio di A se esistono elementi di A che non sono elementi di B.

Consideriamo il sottoinsieme di Z formato da 0 e da tutti gli interi positivi, che indichiamo con Z⫹0 : Z⫹0 ⫽ {0, ⫹ 1, ⫹ 2, ⫹ 3, ⫹ 4, …}. Associamo allo 0 di Z⫹0 lo 0 di N, a ⫹ 1 il numero naturale 1, a ⫹ 2 il numero naturale 2 e così via.

⺪

⺞

–4 +

⺪0 –267

0

2

⺪ +0

䉴

20

0

+5 +2

Figura 6 Gli insiemi Zⴙ0 e N sono in corrispondenza biunivoca: a ogni numero intero di Zⴙ0 associamo il numero naturale che si ottiene da esso privandolo del segno ⴙ e viceversa. Allo 0 di Zⴙ0 associamo lo 0 di N.

5

–5

⺪ = {…, –4,–3,–2,–1,0,+1,+2,+3,+4,…} ⺞=

{0, 1, 2, 3, 4,…}

Paragrafo 10. Che cosa sono i numeri interi

Fra i due insiemi Z⫹0 e N abbiamo creato una corrispondenza biunivoca. Questo è il primo passo per riuscire a pensare l’insieme dei naturali come un sottoinsieme proprio di quello degli interi, ma non è sufficiente. Per poter identificare del tutto ⫹ 5 con 5, ⫹ 2 con 2 e così via, è anche necessario che per i numeri interi positivi si conservino i risultati ottenuti con i loro corrispondenti naturali confrontandoli o eseguendo operazioni fra loro.

TEORIA

◗ Una corrispondenza biunivoca fra due insiemi A e B associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e viceversa. Per questo motivo la corrispondenza è del tipo «uno a uno».

Per esempio, essendo 5 ⬎ 2 in N, il confronto in Z deve operare in modo che si ottenga ⫹ 5 ⬎ ⫹ 2; inoltre, poiché 3 ⫹ 7 ⫽ 10, allora (⫹3) ⫹ (⫹7) deve avere come risultato ⫹10 ecc. Per le operazioni poi devono continuare a valere le stesse proprietà formali valide nell’insieme dei numeri naturali. Nel definire le operazioni fra numeri interi rispetteremo queste condizioni, in modo tale da identificare del tutto i numeri naturali con i numeri interi positivi (incluso lo 0).

◗ Per esempio, per l’addizione e per la moltiplicazione devono ancora valere le proprietà commutativa, associativa e distributiva.

Quando si opera in questo modo nel passaggio da un insieme numerico a un altro, si dice che si costruisce un ampliamento dell’insieme di partenza. In questo caso, Z è un ampliamento di N. In generale, per avere un ampliamento di un insieme numerico è necessario: ●

●

●

creare un nuovo insieme numerico e dare una legge che a ogni numero del vecchio insieme faccia corrispondere uno e un solo numero del nuovo; definire nel nuovo insieme il confronto e le operazioni in modo che si conservino i risultati ottenuti nel vecchio; mantenere le proprietà formali relative al confronto e alle operazioni.

⺪

–4 –5

–20

⺞

5 2 0

■ La rappresentazione dei numeri interi su una retta Abbiamo già visto come rappresentare i numeri naturali su una semiretta. Consideriamo ora la retta a cui appartiene la semiretta dei naturali. Poiché abbiamo identificato N con Z⫹0 , abbiamo subito la rappresentazione di Z⫹0 . Per rappresentare i numeri negativi, associamo a ⫺ 1 il punto che dista una unità da 0 verso sinistra, a ⫺ 2 il punto che dista una unità da ⫺ 1 verso sinistra ecc.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

0

+1

+2

+3

+4

⺞

⺪

䉳 Figura 7 La rappresentazione di N e di Z su una retta orientata. Osserva che sulla retta orientata i numeri opposti sono equidistanti da 0.

u

21

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

■ Il confronto fra numeri interi Rappresentare i numeri interi sulla retta dà la possibilità di visualizzare un ordinamento fra essi. Poiché abbiamo fissato sulla retta l’orientamento in senso crescente, ogni numero risulta minore di tutti quelli che stanno alla sua destra e maggiore di quelli che stanno alla sua sinistra. Per esempio, ⫺ 6 è minore di ⫺ 5, ⫺ 1 è minore di 2 ecc. In generale: ◗ Per esempio: ● ⫹ 5 ⬎ ⫹ 3 perché 5 ⬎ 3; ● ⫺ 7 ⬎ ⫺ 9 perché 7 ⬍ 9; ● ⫹ 5 ⬎ ⫺ 10; ● ⫺ 7 ⬍ 0 e 0 ⬍ ⫹ 8.

●

●

● ●

fra due numeri positivi, il maggiore è quello che ha valore assoluto maggiore; fra due numeri negativi, il maggiore è quello che ha valore assoluto minore; ogni numero positivo è sempre maggiore di ogni numero negativo; il numero 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo.

Dunque, dati due numeri interi a e b, si verifica una e una sola delle seguenti situazioni: a ⫽ b, oppure a ⬍ b, oppure a ⬎ b. Diciamo perciò che l’insieme Z è un insieme ordinato. ◗ Per esempio, il precedente di ⫺ 5 è ⫺ 6, il successivo di ⫺ 3 è ⫺ 2.

Anche nell’insieme Z, come in N, è sempre possibile conoscere il precedente e il successivo di un numero. Per ogni numero intero x, x ⫺ 1 è il precedente di x, x ⫹ 1 è il successivo di x. Inoltre, sulla retta che rappresenta Z, fra un numero intero e il successivo non vi sono altri numeri interi. Per questo motivo anche l’insieme Z, come N, è un insieme discreto. Di conseguenza, fra due numeri interi qualsiasi vi è sempre, al più, un numero finito di numeri interi.

11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V02a

■ L’addizione DEFINIZIONE

Somma di numeri concordi La somma di due numeri concordi è un numero che ha: ● ●

22

per valore assoluto la somma fra i valori assoluti dei due numeri; per segno lo stesso dei due numeri.

ESPLORAZIONE I quadrati magici

TEORIA

ESEMPIO

◗ Più in breve: (⫹ 4) ⫹ (⫹ 5) ⫽ ⫹ 4 ⫹ 5; (⫺ 3) ⫹ (⫺ 7) ⫽ ⫺ 3 ⫺ 7.

(⫹ 4) ⫹ (⫹ 5) ⫽ ⫹ (4 ⫹ 5) ⫽ ⫹ 9; (⫺ 3) ⫹ (⫺ 7) ⫽ ⫺ (3 ⫹ 7) ⫽ ⫺ 10. DEFINIZIONE

Somma di numeri discordi La somma di due numeri discordi è un numero che ha: ●

●

per valore assoluto la differenza fra il maggiore e il minore dei valori assoluti; per segno quello del numero che ha valore assoluto maggiore.

ESEMPIO

◗ Più in breve: (⫺12)⫹(⫹40)⫽⫺12⫹40; (⫺20) ⫹ (⫹4) ⫽ ⫺20 ⫹ 4.

(⫺ 12) ⫹ (⫹ 40) ⫽ ⫹ (40 ⫺ 12) ⫽ ⫹ 28; (⫺ 20) ⫹ (⫹ 4) ⫽ ⫺ (20 ⫺ 4) ⫽ ⫺ 16. L’operazione di addizione è interna in Z. Puoi verificare, inoltre, che anche per l’addizione fra interi valgono le proprietà commutativa e associativa, e che lo 0 è l’elemento neutro. Abbiamo anche una nuova proprietà collegata all’esistenza dell’opposto di ogni numero: per ogni numero ne esiste un secondo (il suo opposto) tale che la loro somma è 0, ossia l’elemento neutro dell’addizione. Per esempio, (⫺ 9) ⫹ (⫹ 9) ⫽ 0.

ESPLORAZIONE: I QUADRATI MAGICI Quello che segue è un esempio di quadrato magico ed è stato inserito in un’incisione di Albrecht Dürer dal titolo Melancholia I. Ai tempi di Dürer quadrati come questo venivano associati ai sentimenti e considerati dei portafortuna. 16

3

2

13

5

10 11

8

9

6

7

12

4

15 14

1

Puoi notare che se sommiamo i numeri di una riga, o di una colonna, o di una delle due diagonali, otteniamo lo stesso numero, detto anche costante magica. In questo caso la costante magica è 34.

Di quadrati magici di quattro righe e quattro colonne, ossia di ordine 4, con costante magica 34, ce ne sono tanti. Dürer ha scelto quello in cui si legge l’anno di esecuzione della sua opera: 1514. I quadrati magici sono di solito composti con i numeri naturali da 1 a n2, dove n è l’ordine, ma si possono realizzare anche con gli interi. Se facciamo corrispondere ai numeri naturali da 1 a 16 i

numeri interi da ⫺8 a 8, escluso lo 0, il quadrato di Dürer diventa: 8 ⫺6 ⫺7 5 ⫺4 2

3 ⫺1

1 ⫺3 ⫺2 4 ⫺5 7

6 ⫺8

Con gli interi la costante magica diventa 0 ed è evidente la disposizione simmetrica, rispetto al centro del quadrato, dei numeri opposti. IN CINQUE SLIDE

Costruisci un quadrato magico di ordine 3 con i numeri naturali. Questo quadrato era un simbolo sacro nell’antica Cina, dove era chiamato Lo Shu. Realizza una presentazione multimediale sull’argomento. Cerca nel web: quadrati magici, magic squares, Lo Shu.

23

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V02b

■ La sottrazione DEFINIZIONE

Differenza fra interi La differenza di due numeri interi è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo.

◗

ESEMPIO

minuendo

(⫹ 14) ⫺ (⫹ 3) ⫽ (⫹ 14) ⫹ (⫺ 3) ⫽ ⫹ 11;

(⫹14) ⫺ (⫹3) ⫽ ⫹ 11. sottraendo

a ⫺ b ⫽ a ⫹ (⫺ b)

differenza

(⫺ 4) ⫺ (⫺ 6) ⫽ (⫺ 4) ⫹ (⫹6) ⫽ ⫹ 2. Più in breve, eliminiamo le parentesi del sottraendo, cambiando il suo segno:

◗ Proprietà invariantiva: a ⫺ b ⫽ (a ⫹ c) ⫺ (b ⫹ c); a ⫺ b ⫽ (a ⫺ c) ⫺ (b ⫺ c). Esempio: (⫹5) ⫺ (⫺3) ⫽ ⫽ (⫹5 ⫹ 3) ⫺ (⫺3 ⫹ 3) ⫽ ⫽ ⫹ 8 ⫺ 0 ⫽ ⫹ 8. ◗ L’operazione 4 ⫺ 7 può essere vista sia come un’addizione: (⫹ 4) ⫹ (⫺ 7), sia come una sottrazione: (⫹ 4) ⫺ ( ⫹ 7).

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V02c

(⫹ 19) ⫺ (⫺ 4) ⫽ ⫹ 19 ⫹ 4 ⫽ ⫹ 23. Anche per la sottrazione fra interi vale la proprietà invariantiva. L’operazione di sottrazione è interna in Z, mentre non lo è in N. Per esempio, l’operazione 4 ⫺ 9 non ha risultato in N; invece in Z otteniamo: 4 ⫺ 9 ⫽ (⫹ 4) ⫺ (⫹ 9) ⫽ (⫹ 4) ⫹ (⫺ 9) ⫽ ⫺ 5. Pertanto, nell’eseguire una sottrazione, non dobbiamo più porre la condizione che il minuendo sia maggiore o uguale al sottraendo. Poiché la sottrazione fra numeri interi è riconducibile all’addizione, è possibile parlare più semplicemente di addizione algebrica, senza specificare addizioni e sottrazioni.

■ La moltiplicazione DEFINIZIONE

Prodotto di due interi Il prodotto di due numeri interi è un intero che ha: ● ●

per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; per segno il segno positivo se i fattori sono concordi, il segno negativo se i fattori sono discordi.

ESEMPIO

24

(⫹ 6) ⭈ (⫹ 8) ⫽ ⫹ 48;

(⫺ 5) ⭈ (⫺ 7) ⫽ ⫹ 35;

(⫺ 3) ⭈ (⫹ 5) ⫽ ⫺ 15;

(⫹ 9) ⭈ (⫺ 2) ⫽ ⫺ 18.

Paragrafo 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

Spesso, per comodità, il simbolo ⭈ di moltiplicazione viene omesso: (⫺ 3) ⭈ (⫹ 7) equivale a (⫺ 3) (⫹ 7). Se si moltiplicano più numeri, per determinare il segno del prodotto, basta contare il numero dei fattori negativi: ● ●

se essi sono presenti in numero dispari, il prodotto è negativo; se essi sono presenti in numero pari, il prodotto è positivo.

ESEMPIO

(⫺ 3) (⫹ 5) (⫹ 2) (⫺ 1) ⫽ ⫹ 30,

2 fattori negativi.

(⫺ 1) (⫺ 1) (⫺ 1) (⫺ 1) (⫺ 1) ⫽ ⫺ 1,

5 fattori negativi.

TEORIA

◗ Se si omette il simbolo ⭈, occorre sempre scrivere i fattori tra parentesi, per non sbagliare operazione. Per esempio, (⫹ 5) (⫺ 7) significa (⫹ 5) ⭈ (⫺ 7) e non può essere scritto eliminando tutte le parentesi: ⫹ 5 ⫺ 7 non è una moltiplicazione ma un’addizione! È accettabile invece la scrittura: ⫹ 5 (⫺ 7).

Moltiplicare un numero per ⫺ 1 equivale a cambiargli il segno, ottenendo come risultato il suo opposto. ESEMPIO

(⫹ 5) (⫺ 1) ⫽ ⫺ 5. La moltiplicazione è un’operazione interna in Z. Inoltre valgono tutte le proprietà già esaminate in N: commutativa, associativa, distributiva rispetto all’addizione, esistenza dell’elemento neutro (⫹ 1).

■ La divisione

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

DEFINIZIONE

䉴 V02d

Quoziente di due interi Il quoziente di due numeri interi, quando il primo è multiplo del secondo e il secondo è diverso da 0, è un intero che ha: ● ●

per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti dei due numeri; per segno quello dato dalle regole di segno della moltiplicazione.

ESEMPIO

(⫹ 45) ⬊ (⫹ 9) ⫽ ⫹ 5;

(⫺ 12) ⬊ (⫺ 6) ⫽ ⫹ 2;

(⫹24) ⬊ (⫺ 4) ⫽ ⫺ 6;

(⫺ 15) ⬊ (⫹ 5) ⫽ ⫺ 3.

Nella divisione valgono la proprietà invariantiva e la distributiva a destra rispetto all’addizione. ESEMPIO

Proprietà invariantiva:

⫺ 45 ⬊ 9 ⫽ (⫺ 45 ⬊ 3) ⬊ (9 ⬊ 3). Proprietà distributiva a destra:

◗

dividendo

⫺15 ⬊ (⫹5) ⫽ ⫺ 3. divisore

quoziente

◗ Non vale invece, come in N, la proprietà distributiva a sinistra: 30 ⬊ (3 ⫹ 2) non è uguale a: 30 ⬊ 3 ⫹ 30 ⬊ 2.

(15 ⫹ 9) ⬊ (⫺ 3) ⫽ 15 ⬊ (⫺ 3) ⫹ 9 ⬊ ( ⫺ 3).

25

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

Anche in Z, come in N, la divisione non è un’operazione interna. Per esempio, (⫺ 20) ⬊ (⫹ 3) non ha risultato in Z. Casi particolari ● ● ● ● ●

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

䉴 V02e

a ⬊ 1 ⫽ a; a ⬊ a ⫽ 1, 0 ⬊ a ⫽ 0, a ⬊ 0 è impossibile, 0 ⬊ 0 è indeterminata.

con a ⫽ 0; con a ⫽ 0; con a ⫽ 0;

■ La potenza DEFINIZIONE

Potenza di un intero con esponente naturale La potenza di un numero intero è un intero che ha: ● ●

◗ Il segno di una potenza è una conseguenza di quanto abbiamo detto per il segno del prodotto di più numeri.

再 再

Per esempio: (⫺ 5)4 ⫽ ⫹ 625 perché in (⫺ 5)4, cioè (⫺ 5)(⫺ 5)(⫺ 5)(⫺ 5),

再

⫹ ⫹ c’è un numero pari di segni ⫺. (⫺ 5)3 ⫽ ⫺ 125 perché in (⫺ 5)3, cioè (⫺ 5)(⫺ 5)(⫺ 5), ⫹ ⫺ c’è un numero dispari di segni ⫺.

per valore assoluto la potenza del valore assoluto; per segno il segno negativo se la base è negativa e l’esponente è dispari, il segno positivo negli altri casi.

Se a è il valore assoluto della base, p un numero naturale pari e d uno dispari: (⫹a)p ⫽ ⫹ ap; (⫹a)d ⫽ ⫹ ad; (⫺a)p ⫽ ⫹ ap; (⫺a)d ⫽ ⫺ ad. ESEMPIO

(⫹ 3) 2 ⫽ ⫹ 9;

(⫺ 3) 2 ⫽ ⫹ 9;

(⫹ 3) 3 ⫽ ⫹ 27;

(⫺ 3) 3 ⫽ ⫺ 27.

L’operazione di potenza ha la precedenza rispetto al segno. In altre parole, quando una potenza è scritta senza le parentesi, significa che è riferita solo al numero (in valore assoluto) e non al segno che la precede. ESEMPIO

⫺ 3 2 ⫽ ⫺ 9, mentre (⫺ 3) 2 ⫽ ⫹ 9. Casi particolari ● ● ● ●

a1 ⫽ a; a0 ⫽ 1, con a ⫽ 0; 00 non è definita; 0n ⫽ 0, con n 僆 ⺞ e n ⫽ 0.

Per le potenze in Z valgono le stesse proprietà delle potenze valide in N.

26

Paragrafo 12. Le leggi di monotonia

TEORIA

12. Le leggi di monotonia Le uguaglianze e le disuguaglianze fra numeri naturali e interi godono di due proprietà fondamentali, una relativa all’addizione, l’altra alla moltiplicazione. Queste proprietà vengono dette leggi di monotonia. PROPRIETÀ

Prima legge di monotonia Un’uguaglianza o una disuguaglianza resta valida se aggiungiamo ai due membri uno stesso numero.

a

> a = b < > c = b
b ⴢ c

se c > 0 se c < 0

è falsa, mentre la relazione (5 ⫹ 3) ⭈ 0 ⫽ 10 ⭈ 0 è vera.

27

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

TEORIA

ESEMPIO

Data la disuguaglianza 12 ⬍ 20, se moltiplichiamo i due membri per ⫺ 1, essa si trasforma nella disuguaglianza di verso contrario fra gli opposti dei numeri: ⫺ 12 ⬎ ⫺ 20.

◗ Le leggi di cancellazione possono essere viste come leggi di monotonia per la sottrazione e per la divisione.

Sono vere anche le inverse delle leggi di monotonia, dette anche leggi di cancellazione. ESEMPIO

Prima legge di cancellazione 10 ⫹ Ⲑ8 ⫽ 6 ⫹ 4 ⫹ Ⲑ8 → 10 ⫽ 6 ⫹ 4; 5 ⫹ Ⲑ7 ⬍ 13 ⫹ Ⲑ7 → 5 ⬍ 13. Seconda legge di cancellazione 10 ⭈ Ⲑ3 ⫽ (6 ⫹ 4) ⭈ Ⲑ3 → 10 ⫽ 6 ⫹ 4; 5 ⭈ Ⲑ2 ⬍ 13 ⭈ Ⲑ2 → 5 ⬍ 13.

I NUMERI NEL MONDO Oggi, per scrivere i numeri, si usa quasi dovunque il sistema decimale posizionale. Nonostante la scrittura araba si scriva da destra a sinistra, i numeri si scrivono da sinistra a destra, come in Europa e in India. In mongolo anche i numeri si scrivono in verticale, dall’alto verso il basso: la cifra che rappresenta le unità è quindi quella più in basso, quella delle decine è immediatamente sopra ecc. La scrittura cinese è un po’ più complicata: quando si scrive in verticale, si usa la notazione posizionale dall’alto verso il basso, utilizzando le cifre elencate nell’ultima riga della tabella che mettiamo a disposizione nel sito. Se invece si scrive in orizzontale, si usa un sistema differente, che combina le cifre da uno a nove con simboli che rappresentano gli ordini di grandezza (decine, centinaia, migliaia ecc.). I simboli per dieci, cento, mille sono , , . Per scrivere, per esempio, ventuno (2 ⫻ 10 + 1), si disegnano i simboli due – dieci – uno;

28

per scrivere tredici, dieci – tre. La scrittura giapponese è analoga a quella cinese (anche se cambiano i nomi di tutti i numeri). LEGGERE NUMERI ●

Questa è la targa di una locomotiva della ferrovia dell’Hegiaz (Siria e Giordania); grazie alla tabella puoi decifrare i simboli arabi: 130-755.

●

Utilizzando la tabella, leggi questi numeri.

Nel sito:

䉴 tabella con le cifre nel mondo

Cicale e numeri primi

TEORIA

Cicale e numeri primi …perché le cicale preferiscono i numeri primi?

Le cicale americane Magicicada tredecim e Magicicada septendecim vivono in gruppi geograficamente ben distinti, condividendo lo stesso periodo di latenza, rispettivamente di 13 e 17 anni, per poi uscire dal sottosuolo per accoppiarsi, deporre le uova e infine morire. Non sembra un caso che tali cicli vitali siano rappresentati da due numeri primi. Se consideriamo due cicli di n e m anni, che iniziano nello stesso momento, essi si ritroveranno a coincidere ogni numero di anni uguale al minimo comune multiplo di n e m. Per esempio, se n ⫽ 4 e m ⫽ 6, ogni 12 anni l’inizio dei due cicli vitali combacerà (vedi figura in alto). Nel caso in cui n e m siano primi tra loro, tali coincidenze si verificano solo una volta ogni n ⭈ m anni. Per i due tipi di cicale americane ciò avviene ogni 13 ⭈ 17 ⫽ 221 anni.

n=4 0 m=6

12

Questo permette di diminuire notevolmente la possibilità di ibridazione con conseguente indebolimento della specie e allo stesso tempo di ridurre le occasioni di competizione per le stesse risorse ambientali. Osserviamo che con cicli entrambi più lunghi, ma non primi tra loro, la frequenza delle coincidenze potrebbe aumentare: per esempio, con cicli di 15 e 18 anni l’incontro avverrebbe ogni 90 anni. Il fatto che, oltre a essere primi tra loro, 13 e 17 siano anche singolarmente due numeri primi, riduce al minimo anche la frequenza degli incontri con eventuali predatori che abbiano cicli vitali più brevi. Pensiamo per esempio allo svantaggio che comporterebbe per la cicala un ciclo

–䊳 Il quesito completo a pag. 1 24

di 12 anni in presenza di predatori con cicli di 2, 3 o 4 anni. Il matematico Marcus du Sautoy parla delle cicale americane e di altre curiosità legate ai numeri primi nel suo recente libro The Music of the Primes (edito in Italia con il titolo L’enigma dei numeri primi).

I NUMERI PRIMI IN NATURA In diversi fenomeni la natura sembra scegliere i numeri primi. Se proviamo a sezionare una banana, il frutto all’interno appare diviso in 3 parti, mentre se tagliamo una mela a metà nel senso trasversale possiamo osservare 5 logge, che contengono i semi del frutto, disposte secondo una simmetria a stella. Il numero 5 ricorre spesso: basta pensare alle dita degli arti dei mammiferi, alle stelle marine, ai petali di fiori come la rosa canina, la petunia, il gelsomino, alle foglie della vite o del platano. Sette sono i giorni della settimana: dato che tra una fase di luna piena e la successiva intercorrono circa 29 giorni (anch’esso un numero primo), il numero 7 permette una pratica suddivisione del mese in 4 gruppi di 7 giorni. Ma questi sono solo alcuni esempi; guardandoti intorno, puoi scoprire tanti numeri primi anche tu!

29

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I numeri naturali e i numeri interi 1. Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali 0, 1, 2, 3, ... servono per contare gli elementi di un insieme; indicano cioè la cardinalità di un insieme. I numeri naturali hanno un ordine e possono essere rappresentati su una semiretta orientata. L’insieme dei numeri naturali si indica con N. 0

1

2

3

4

5

6 ⺞

u

somma

1° fattore

= 2° addendo minuendo

differenza

= sottraendo

a1 ⫽ a. Qualunque numero diverso da 0 elevato a 0 dà come risultato 1: a0 ⫽ 1. L’espressione 00 non ha significato.

5. Le espressioni con i numeri naturali In un’espressione, le operazioni devono essere svolte in questo ordine:

2. Le quattro operazioni 1° addendo

Qualunque numero elevato a 1 dà come risultato se stesso:

prodotto

= 2° fattore dividendo

quoziente

= divisore

Il divisore deve essere diverso da 0. Delle quattro operazioni, solo l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N.

3. I multipli e i divisori di un numero Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo dà come resto 0. Un numero naturale (diverso da 0) è divisore di un altro se la divisione del secondo per il primo dà come resto 0.

1. elevamento a potenza; 2. moltiplicazione e divisione, nell’ordine in cui sono scritte; 3. addizione e sottrazione, nell’ordine in cui sono scritte. Inoltre, le operazioni scritte tra parentesi hanno la precedenza.

6. Le proprietà delle operazioni PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE PROPRIETÀ

ESPRESSIONE

commutativa

a⫹b⫽b⫹a

associativa

(a ⫹ b) ⫹ c ⫽ a ⫹ (b ⫹ c)

PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE PROPRIETÀ

ESPRESSIONE

4. Le potenze

commutativa

a⭈b⫽b⭈a

Una potenza con esponente maggiore di 1 è una moltiplicazione della base per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente:

associativa

(a ⭈ b) ⭈ c ⫽ a ⭈ (b ⭈ c)

distributiva a destra rispetto all’addizione

a ⭈ (b ⫹ c) ⫽ a ⭈ b ⫹ a ⭈ c

distributiva a sinistra rispetto all’addizione

(a ⫹ b) ⭈ c ⫽ a ⭈ c ⫹ b ⭈ c

再

an ⫽ a ⭈ a ⭈ a ⭈ … ⭈ a n volte

30

La teoria in sintesi

ESERCIZI

PROPRIETÀ DELLA SOTTRAZIONE PROPRIETÀ

ESPRESSIONE

CON

invariantiva

a ⫺ b ⫽ (a ⫹ n) ⫺ (b ⫹ n)

a≥b

a ⫺ b ⫽ (a ⫺ n) ⫺ (b ⫺ n)

a≥b≥n

PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE PROPRIETÀ

ESPRESSIONE

CON

invariantiva

a ⬊ b ⫽ (a ⭈ n) ⬊ (b ⭈ n)

b ⫽ 0, n ⫽ 0, a multiplo di b

a ⬊ b ⫽ (a ⬊ n) ⬊ (b ⬊ n)

b ⫽ 0, n ⫽ 0, a multiplo di b, a e b multipli di n

(a ⫹ b) ⬊ c ⫽ a ⬊ c ⫹ b ⬊ c

c ⫽0, a ⫹ b, a e b multipli di c

distributiva a sinistra rispetto all’addizione

7. Le proprietà delle potenze PROPRIETÀ DELLE POTENZE PROPRIETÀ a

ESPRESSIONE m

n

CON

m⫹n

1 : prodotto di potenze di uguale base

a ⭈a ⫽ a

2a: quoziente di potenze di uguale base

am ⬊ an ⫽ am⫺n

3a: potenza di una potenza

(am )n ⫽ am⭈n

4a: prodotto di potenze di uguale esponente

an ⭈ bn ⫽ (a ⭈ b)n

5a: quoziente di potenze di uguale esponente

an ⬊ bn ⫽ (a ⬊ b)n

m ⱖ n, a ⫽ 0

b ⫽ 0, a multiplo di b

Le lettere della tabella indicano numeri naturali qualsiasi. La base e l’esponente di una stessa potenza non possono essere contemporaneamente nulli.

8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo Un numero naturale (maggiore di 1) è primo quando è divisibile soltanto per 1 e per se stesso. Ogni numero naturale non primo si può scomporre nel prodotto di fattori primi. Il M.C.D. di due o più numeri, diversi da 0, è il più grande dei divisori comuni ed è dato dal prodotto dei soli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo.

ESEMPIO

M.C.D.(18, 48) ⫽ M.C.D.(2 ⭈ 32, 24 ⭈ 3) ⫽ 2 ⭈ 3 ⫽ 6. Il m.c.m. di due o più numeri naturali diversi da 0 è il più piccolo dei multipli comuni ed è dato dal prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta con l’esponente più grande. ESEMPIO

m.c.m.(12, 20) ⫽ m.c.m.(22 ⭈ 3, 22 ⭈ 5) ⫽ ⫽ 22 ⭈ 3 ⭈ 5 ⫽ 60.

31

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

9. I sistemi di numerazione Il nostro sistema di numerazione è posizionale a base dieci: ogni numero viene rappresentato mediante dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) che assumono valore diverso a seconda della posizione che occupano.

10. Che cosa sono i numeri interi L’insieme degli interi è ordinato e può essere rappresentato su una retta orientata.

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3 ⺪

Il valore assoluto di un numero intero è il numero considerato senza il segno che lo precede. Due numeri interi sono concordi quando hanno lo stesso segno, sono discordi quando hanno segno diverso, sono opposti quando hanno lo stesso valore assoluto ma sono discordi.

La differenza di due interi è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo: a ⫺ b ⫽ a ⫹ (⫺b). ESEMPIO (⫺ 4)  (⫹ 6) ⫽ (⫺4)  (⫺ 6) ⫽ ⫺10.

Il prodotto di due interi ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti, segno positivo se i fattori sono concordi, segno negativo se i fattori sono discordi. ESEMPIO (⫺ 3) ⭈ (⫺ 6) ⫽ ⫹ 18;

(⫺ 3) ⭈ (⫹ 6) ⫽ ⫺ 18. Il quoziente di due interi, di cui il primo multiplo del secondo, ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti, segno positivo se dividendo e divisore sono concordi, segno negativo se dividendo e divisore sono discordi. ESEMPIO (⫺ 18) ⬊ (⫺ 3) ⫽ ⫹ 6;

11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

(⫹ 18) ⬊ (⫺ 3) ⫽ ⫺ 6.

La somma di due interi concordi è un intero che ha come valore assoluto la somma dei valori assoluti degli addendi e come segno il segno comune agli addendi. ESEMPIO ( 44)  ( 4) ⫽ ⫺ (44 ⫹ 4) ⫽ ⫺ 48.

La somma di due interi discordi è un intero che ha come valore assoluto la differenza fra il maggiore e il minore dei valori assoluti degli addendi e come segno il segno dell’addendo che ha valore assoluto maggiore. ESEMPIO (⫺ 19) ⫹ (⫹ 9)⫽ ⫺ (19  9) ⫽ ⫺ 10.

La potenza di un intero, con esponente naturale, ha per valore assoluto la potenza del valore assoluto e segno negativo se la base è negativa e l’esponente è dispari, segno positivo altrimenti. ESEMPIO (⫺ 2) 3 ⫽ ⫺ 8;

(⫺ 2) 4 ⫽ ⫹ 16. L’operazione di potenza ha la precedenza rispetto al segno. In Z valgono le stesse proprietà delle operazioni e delle potenze che valgono in N.

12. Le leggi di monotonia LEGGI DI MONOTONIA SE

PRIMA LEGGE

SECONDA LEGGE

a⫽b

a⫹n⫽b⫹n

an ⫽ bn (n ⫽ 0)

a⬍b

a ⫹ n ⬍ b⫹n

an ⬍ bn se n ⬎ 0; an ⬎ bn se n ⬍ 0

a⬎b

a ⫹ n ⬎ b⫹n

an ⬎ bn se n ⬎ 0; an ⬍ bn se n ⬍ 0

Le lettere a, b, n rappresentano numeri interi qualunque.

32

Paragrafo 1. Che cosa sono i numeri naturali

–䊳

1. Che cosa sono i numeri naturali ■ L’ordinamento dei numeri naturali 1

2 3

COMPLETA inserendo fra le seguenti coppie di numeri il simbolo di minore () o di maggiore ( ) al posto dei puntini:

4 . . . . . 7;

8 . . . . . 10;

0 . . . . . 12;

15 . . . . . 13;

15 . . . . . 0;

14 . . . . . 7;

1 . . . . . 2;

3 . . . . . 2.

Scrivi quanti numeri naturali sono compresi fra i numeri delle coppie precedenti. COMPLETA le seguenti frasi, mettendo il numero

giusto al posto dei puntini. Il successivo di 7 è . . . . . . . . . . . . . Il precedente di 10 è . . . . . . . . . . . . . Il successivo di Il precedente di 4

............. .............

è 500000.

7, 8:

5

6 è precedente a 7. 7 è il precedente di 8. 8 è il successivo di 6. 7 è successivo a 8.

V V V V

F F F F

Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri: 6; 10; 2; 114; 38; 100.

6

Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri: 28; 0; 129; 14; 99; 237.

7

COMPLETA inserendo il segno , , ⫽.

8

12 . . . . . 4 ⫹ 8;

32 . . . . . 6;

45 . . . . . 48;

15 . . . . . 49;

0 . . . . . 2;

99 . . . . . 98;

25 . . . . . 0.

10 Traduci le seguenti frasi usando i simboli ⬍, ⱕ, ⬎, ⱖ, ⫽ , ⫽. 7 è minore di 9;

a è uguale a 21.

x è maggiore o uguale a 2; b è maggiore di 9;

10 è diverso da 3.

x è minore o uguale a 4.

9 è maggiore di 7 e minore di 11; a è diverso da b. 11 Scrivi tutti i numeri naturali n, se esistono, che verificano le relazioni indicate. n ⱕ 4;

n ⬍ 2;

1 ⬍ n ⱕ 5;

6 ⬍ n ⬍ 7;

4 ⱕ n ⬍ 8;

1 ⱕ n ⬍ 6.

■ La rappresentazione dei numeri naturali 12 VERO O FALSO? Nella rappresentazione dei numeri naturali su una semiretta orientata: a) il punto che dista dall’origine 5 unità corrisponde al numero 5.

V

F

b) a ogni punto corrisponde un numero naturale.

V

F

c) i punti corrispondenti a due numeri dispari successivi distano tra loro due unità.

V

F

0; 1; 10; 2; 5; 15; 3.

6 . . . . . 21;

14 Rappresenta su una semiretta orientata i numeri: 0; 100; 250; 10; 50.

VERO O FALSO?

8⬍8 0⬍7 7⬍5 1⫽2 9⫽8 0ⱖ0 2⬍5

Di uno dei numeri naturali 1, 4, 0 non esiste il precedente. Quale?

13 Rappresenta su una semiretta orientata i numeri:

27 . . . . . 21;

a) b) c) d) e) f) g)

Teoria a pag. 1

è 2001.

VERO O FALSO? Tra i seguenti numeri naturali 6,

a) b) c) d)

9

ESERCIZI

V V V V V V V

F F F F F F F

Puoi scegliere come unità di misura la stessa dell’esercizio precedente? Motiva la risposta. 15 Rappresenta su una semiretta orientata i numeri naturali n, se esistono, che verificano le relazioni indicate. n ⱕ 3;

n ⬍ 5;

2 ⬍ n ⬍ 4;

6 ⬍ n ⬍ 7;

6 ⱕ n ⱕ 7;

2 ⱕ n ⬍ 5.

33

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

–䊳

2. Le quattro operazioni ■ Gli operandi e il risultato 16 COMPLETA la tabella scrivendo il nome dell’operando o del risultato indicato nella seconda colonna.

Teoria a pag. 2

20 La somma di due numeri naturali consecutivi (cioè due numeri di cui uno è successivo dell’altro) è 27. Trova i due numeri.

■ Le operazioni interne in N

OPERAZIONE

NUMERO

NOME

5  10 ⫽ 15

5

addendo

7⫺5⫽2

5

5 ⭈ 4 ⫽ 20

4

3 ⫹ 5;

7 ⫺ 3;

4 ⫺ 18;

5 ⬊ 5;

10 ⬊ 2 ⫽ 5

5

12 ⬊ 9;

3 ⬊ 6;

4 ⭈ 9;

0 ⬊ 1.

7⫺2⫽5

5

8 ⫹ 5 ⫽ 13

13

4⫺1⫽3

3

3 ⫺ 4;

4 ⫺ 4;

5 ⫺ 4;

4 ⬊ 3;

6⬊2⫽3

6

4 ⬊ 4;

4 ⬊ 8;

8 ⬊ 4;

8 ⬊ 8.

15 ⭈ 2 ⫽ 30

30

■ L’addizione, la moltiplicazione, la sottrazione e la divisione

21 Indica quali delle seguenti operazioni sono possibili in N.

22 Elimina con una crocetta le operazioni non possibili in N.

23 Scrivi alcuni dei numeri che rendono possibili in N le seguenti operazioni. .....

⫺4

.....

⫺1

.....

⫺ 10

3 ⬊ .....

4 ⬊ .....

13 ⬊ . . . . .

10 ⬊ . . . . .

.....

⬊2

17 Scrivi il numero mancante al posto dei puntini e indica quale operazione hai eseguito per ottenere quel numero. . . . . . ⭈ 7 ⫽ 21; 5 ⫹ . . . . . ⫽ 18; 329 ⫹ . . . . . ⫽ 742; 32 ⭈ . . . . . ⫽ 2368.

24 L’insieme formato dai numeri 0, 1, 2, 3 è chiuso rispetto all’addizione? E rispetto alla moltiplicazione?

18 Nelle uguaglianze seguenti il simbolo 䉬 rappresenta sempre la stessa operazione. Quale?

26 L’addizione è interna nell’insieme dei numeri pari? E la moltiplicazione?

9 䉬 3 ⫹ 4 ⫽ 10 (15 䉬 9) ⭈ 3 ⫽ 18 20 䉬 (2 ⭈ 5) ⫽ 10 (30 ⬊ 5) 䉬 6 ⫽ 0 19 Nelle uguaglianze seguenti il simbolo 夹 n rappresenta la stessa operazione seguita dallo stesso numero. Quali?

34

25 L’insieme costituito dai numeri 0 e 1 è chiuso rispetto all’addizione? E rispetto alla moltiplicazione?

27 L’addizione è interna nell’insieme dei numeri dispari? E la moltiplicazione?

■ Il numero 0 e il numero 1 28 COMPLETA le seguenti uguaglianze, quando è possibile. 2⬊..... ⫽1 ⬊4⫽4

.....

⬊3⫽0

3⬊0⫽.....

(25 夹 n) ⫹ 15 ⫽ 48

.......

(4 夹 n) ⭈ 2 ⫽ 24

3⭈ ..... ⫽0

(26 夹 n) ⫺ 10 ⫽ 24

.....

⭈ 0⫽0

.....

(52 夹 n)⬊ 6 ⫽ 10

.....

⫹0⫽0

7⫺..... ⫽7

2⫹..... ⫽2 ⭈1⫽1

Paragrafo 3. I multipli e i divisori di un numero

29 Spiega perché non sono possibili le seguenti divisioni. 4 ⬊ 0;

10 ⬊ 0;

500 ⬊ 0;

31 VERO O FALSO?

0 ⬊ 0.

30 Scrivi i risultati delle seguenti operazioni, quando esistono. 3 ⬊ 1 .....

0 ⬊ 3 .....

3 ⭈ 0 .....

3 ⬊ 3 .....

3 ⬊ 0 .....

3 ⭈ 1 .....

0 ⬊ 5 .....

0 ⭈ 0 .....

a) La differenza fra due numeri consecutivi è 1.

V

F

b) Se il prodotto di due numeri naturali è 0, ogni fattore è 0.

V

F

c) Se si considera l’insieme dei naturali escluso lo 0, la divisione è operazione interna in tale insieme.

V

F

d) Dati due numeri (il primo maggiore del secondo), se si addiziona al secondo la differenza fra il primo e il secondo, si ottiene il primo.

V

F

–䊳

3. I multipli e i divisori di un numero 32 Scrivi alcuni multipli di ciascuno dei seguenti numeri: 3; 7; 8; 11; 13; 21; 25. 33 Scrivi tutti i divisori di ciascuno dei seguenti numeri: 6; 15; 18; 21; 24; 25; 27; 28; 30; 60. 34 «8 è divisibile per 4». Quale delle seguenti espressioni si può sostituire a «divisibile per» senza alterare il significato della frase? divisore di; multiplo di; fattore di; sottomultiplo di; maggiore di. 35 «3 è divisore di 6». Quale delle seguenti espressioni si può sostituire a «divisore di» senza alterare il significato della frase? divisibile per; multiplo di; minore di; sottomultiplo di; quoziente di.

ESERCIZI

Teoria a pag. 5

37 Scrivi il numero 60 mettendo in evidenza che è un numero: a) multiplo di 5; b) pari; c) quadruplo di 15; d) multiplo di 3; e) divisibile per 15. 38 VERO O FALSO? a) Se un numero è divisibile per 8, lo è anche per 4. b) Se un numero è divisibile per 4, lo è anche per 8. c) Se un numero è divisibile per 2 e per 3, lo è anche per 6. d) Se un numero è divisibile per due numeri, lo è anche per il loro prodotto.

V

F

V

F

V

F

V

F

39 COMPLETA la seguente tabella applicando i criteri di divisibilità. a

è divisibile per

2

3

5

10

11

25

45

36 VERO O FALSO? a) 0 è divisore di ogni numero.

V

F

60

b) 0 è multiplo di ogni numero.

V

F

171

c) 0 è divisibile per qualsiasi numero.

V

F

506

d) 1 è divisore di ogni numero.

V

F

e) Il divisore di un numero non è divisore di un suo multiplo.

V

1625 2304

F

4950 5400

35

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

–䊳

4. Le potenze 40 Scrivi le potenze di 5 comprese fra 0 e 11. 41 Quale numero ha come potenza solo se stesso? 42 Quale numero non ha fra le sue potenze 1? 43 Indica fra i seguenti numeri quelli che sono potenze di 3. 3; 6; 9; 0; 1; 12; 27; 30; 33; 81; 121; 99.

Teoria a pag. 6

COMPLETA, quando è possibile, mettendo il numero giusto al posto dei puntini.

48

.....

2

⫽ 0;

.....

3

⫽ 27;

.....

0

⫽ 2;

.....

1

⫽ 8.

49 0. . . ⫽ 1;

5. . . ⫽ 10;

7. . . ⫽ 1;

4. . . ⫽ 16.

50 3. . . ⫽ 6;

2. . . ⫽ 8;

1. . . ⫽ 2;

5. . . ⫽ 0.

6. . . ⫽ 37;

.....

51

.....

2

⫽ . . . . . ; 0. . . ⫽ 0;

52 06 ⫽ . . . . . ;

160 ⫽ . . . . . ; 3. . . ⫽ 243;

.....

2

⫽ 225.

2

⫽ 1.

53 VERO O FALSO? Calcola il valore delle seguenti potenze. 2

3

4

5

6

2

3

4

5

44 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 . 3 ; 3 ; 3 ; 3 . 45 23; 34; 52; 71; 80. 46 93; 42; 25; 04; 35. 8

7

6

6

3

47 1 ; 10 ; 2 ; 3 ; 5 .

a) Ogni numero naturale elevato a 0 dà 1.

V

F

b) Ogni numero naturale elevato a 1 dà se stesso.

V

F

c) L’esponente di una potenza indica quante moltiplicazioni si devono eseguire per ottenere il risultato.

V

F

0

d) 0 ⫽ 0.

V

F

1

V

F

e) 0 ⫽ 0.

5. Le espressioni con i numeri naturali

–䊳

Teoria a pag. 6

■ Dalle parole alle espressioni ESERCIZIO GUIDA

54 Scriviamo le espressioni relative alle seguenti frasi: a) «Sottrarre da 12 il quoziente fra 4 e 2»; b) «Dividere per 2 la differenza fra 12 e 4». Traduciamo nell’ordine le parole in espressioni: a) «Sottrarre da 12…» si traduce con: 12 ⫺ …… «… il quoziente tra 4 e 2» si traduce con: 4 ⬊ 2. Pertanto l’espressione equivalente è: 12 ⫺ 4 ⬊ 2.

b) «Dividere per 2…» si traduce con: …… ⬊ 2. «… la differenza tra 12 e 4» si traduce con: 12 ⫺ 4. Scrivendo l’espressione 12 ⫺ 4 ⬊ 2, poiché la divisione si esegue prima della sottrazione, verrebbe diviso per 2 solamente il 4. La frase invece dice di dividere per 2 la differenza…; quindi bisogna scrivere 12 ⫺ 4 tra parentesi. L’espressione richiesta è (12 ⫺ 4) ⬊ 2.

Scrivi le espressioni relative alle seguenti frasi e calcolane il risultato. 55 Sottrarre 9 dal prodotto di 8 per 2.

36

56 Moltiplicare per 3 la differenza tra 12 e 7.

57 Dividere 15 per la differenza tra 9 e 4 e poi sommare 2.

Paragrafo 5. Le espressioni con i numeri naturali

ESERCIZI

58 Moltiplicare 3 per la somma di 9 e del quoziente di 14 e 2.

60 Dividere 18 per la differenza tra 9 e il prodotto di 3 per 2.

62 Dividere per 5 la differenza tra 15 e il prodotto di 5 per 2.

59 Sottrarre 3 al risultato della divisione di 12 per la differenza tra 5 e 1.

61 Sottrarre a 17 la differenza tra il prodotto di 8 per 2 e 9.

63 Moltiplicare per 7 la differenza tra 10 e 8; sottrarre al risultato 14.

■ Dalle espressioni alle parole ESERCIZIO GUIDA

64 Traduciamo in parole le seguenti espressioni: a) 12 ⫹ 3 ⭈ 5; b) (12 ⫹ 3) ⭈ 5. Sostituiamo mano a mano le parole alle espressioni, facendo attenzione alla presenza delle parentesi. a) Dato che non ci sono parentesi, la moltiplicab) La parentesi ci dice che, al momento dello zione si esegue prima dell’addizione: svolgimento, bisogna eseguire prima l’addizione e poi la moltiplicazione: … 3⭈5 si traduce in: «… il prodotto di 3 per 5»; 12 ⫹ 3 si traduce in: «La somma tra 12 e 3»; 12 ⫹… si traduce in: «Aggiungere a 12 …» … ⭈ 5 si traduce in: «Moltiplicare … per 5». La frase corrispondente alla nostra espressioLa frase corrispondente alla nostra espressione è: ne è: «Aggiungere a 12 il prodotto di 3 per 5». «Moltiplicare la somma tra 12 e 3 per 5». Scrivi a parole le seguenti espressioni. 65 12  6 ⬊ 3

68 (15 ⫺ 10) ⭈ 3 ⫹ 2

71 8 ⭈ (12 ⬊ 6 ⫺ 2) ⫹ 1

66 15  7 ⭈ 3

69 (15 ⬊ 5 ⫺ 2) ⫺ 1

72 6 ⫺ [15 ⬊ (2 ⫹ 3)]

67 (12 ⫹ 6 ⬊ 3) ⬊ 7

70 [4 ⬊ (15 ⬊ 3 ⫺ 3)] ⫹ 2

73 7 ⫹ 12 ⭈ [7 ⫺ (4 ⫹ 3 ⭈ 1)]

■ Espressioni e diagrammi ad albero ESERCIZIO GUIDA

74 Nei seguenti esempi utilizziamo diagrammi ad albero per rappresentare delle espressioni e per comprendere l’ordine di esecuzione delle operazioni. 1.

3⭈4

2.

Un’operazione si rappresenta come nella figura. L’ordine con cui sono scritti i termini va da sinistra a destra.

5⭈7⫹3

3.

La prima operazione da eseguire è in basso, l’ultima in alto.

3 3

4 5

7

5 ⭈ (7 ⫹ 3)

L’introduzione della parentesi cambia l’ordine delle operazioni, «legando» diversamente i numeri dell’espressione.

5 7

3

37

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

Rappresenta con diagrammi ad albero le seguenti espressioni.

■ Dai problemi alle espressioni ESERCIZIO GUIDA

75 4  6 ⭈ 9;

(4 ⫹ 6) ⭈ 9.

76 7 ⫺ 3 ⫹ 2;

7 ⫺ (3 ⫹ 2).

77 5 ⭈ 6 ⬊ 2 ⫹ 1;

5 ⭈ (6 ⬊ 2) ⫹ 1.

78 10⫺4⭈2⫹3;

10⫺4⭈(2⫹3).

79 15⫹20⬊4⫺2;

15⫹20⬊(4⫺2).

88 Scriviamo l’espressione che fornisce la soluzione del seguente problema. Giorgia ha 10 euro. Compra 4 quaderni che costano ognuno 1 euro. Al suo ritorno la madre le regala 2 euro. Quanto ha in tasca Giorgia? Possiamo costruire l’espressione in questo modo: 1⭈4 10 ⫺ 1 ⭈ 4 10 ⫺ 1 ⭈ 4 ⫹ 2.

Scrivi le espressioni relative ai seguenti diagrammi ad albero. 80

84

Scrivi le espressioni che forniscono le soluzioni dei seguenti problemi e calcolane i valori.

2

7

89 Anna riceve dalla madre 8 euro e va ad acquistare 2 scatole di colori del costo di 3 euro l’una. Al ritorno si ferma dalla nonna che le regala 5 euro. Con quanto denaro arriva a casa Anna? [7 euro]

4

5

9

3 15

81

3

85 6

7

15

5

9

2

82

3

91 Una cuoca possiede 4 sacchetti di farina del peso di 1 kg ciascuno. Deve fare 7 dolci: nei primi 3 occorrono 350 g di farina per ciascuno e negli altri, 600 g di farina per ciascuno. Alla fine quanta farina rimane alla cuoca? [550 g]

86 7

40

12

8

2

7 4 3

83

1

87 2 7

40

38

8

2 2

90 Luca e suo fratello Andrea vanno al cinema ricevendo 10 euro ciascuno dai genitori. Il costo di un biglietto è di 5 euro; Luca acquista prima di entrare al cinema una bibita del costo di 2 euro, mentre Andrea compera 2 pacchetti di patatine da 2 euro l’uno: complessivamente con quanto denaro tornano a casa i due fratelli? [4 euro]

3

15

5

92 Una nonna ha 5 nipotini e 25 torroncini. Decide di dare 3 torroncini al primo nipotino e uno in più a ciascuno degli altri nipotini. Quanti torroncini le rimangono? [6] 93 In uno stabilimento tessile, in una settimana (6 giorni lavorativi), si producono 26 304 m di tela. La tela viene suddivisa in pezze da 32 m ciascuna. Quanti giorni lavorativi occorrono per fabbricare 1233 pezze? [9]

Paragrafo 5. Le espressioni con i numeri naturali

■ Le espressioni con le quattro operazioni

Nel sito:

ESERCIZI

䉴 27 esercizi in più 䉴 11 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

94 Calcoliamo il valore della seguente espressione: [(916)⭈ (3⭈ 4⫺2)]⬊{10⭈ 2⫺[4⭈ (5⫹1⫺3)]}. Svolgiamo i calcoli all’interno delle parentesi tonde: ⫽ [(4) ⭈ (10)] ⬊ {10 ⭈ 2 ⫺ [4 ⭈ (3)]} ⫽

Eliminiamo le parentesi quadre e svolgiamo i calcoli all’interno delle parentesi graffe: ⫽ 40 ⬊ {20 ⫺ 12} ⫽ 40 ⬊ 8 ⫽

Eliminiamo le parentesi tonde ed eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi quadre:

Scriviamo il risultato: ⫽ 5.

⫽ [40] ⬊ {10 ⭈ 2 ⫺ [12]} ⫽ Calcola il valore delle seguenti espressioni. 95 5 ⫹ 4 ⭈ 6 ⫺ 18 ⬊ 3 ⫹ 1

[24]

100 [4 ⭈ (7 ⫺ 3) ⫹ 5 ⭈ (6 ⫺ 2)] ⫺ (3 ⭈ 10)

[6]

96 15 ⫺ [17 ⫺ (15 ⫹ 1) ⬊ 8]

[0]

101 (12 ⫹ 8 ⫺ 5) ⬊ 5 ⫺ (6 ⫹ 4 ⫺ 9 ⫹ 1)

[1]

97 [(27 ⫹ 2) ⫺ 4 ⬊ (3 ⫹ 1)] ⫺ 20

[8]

102 [(2 ⭈ 4 ⫹ 7) ⫹ (2 ⫹ 8 ⬊ 2) ⭈ 5] ⫺ (6 ⫹ 2) ⭈ 5

[5]

98 [17 ⫺ (15 ⫺ 3) ⬊ 4] ⭈ 2 ⫺ [(3 ⫹ 4) ⭈ 4]

[0]

103 {[20 ⬊ (2 ⫹ 2)] ⭈ [(8 ⫺ 3) ⭈ 2]} ⬊ [10 ⫹ (3 ⭈ 5)]

[2]

99 4 ⫹ 3 ⭈ [15 ⬊ (3 ⫹ 1 ⭈ 2) ⫺ 1]

[10]

104 {[2 ⭈ (4 ⫹ 8)] ⬊ [16 ⫺ (4 ⭈ 2)]} ⫹ 3 ⭈ (5 ⫺ 2)

105 [12⫺(3⫹2)]⭈ 2⫺[(2⫹3)⭈2 ⫺ 4 ⫹(3 ⫹ 1) ⭈ 2 ⫺ 5 ⫹ 1]

[12]

[4]

106 {[10⭈(3⫹2)]⬊[16⫹3⭈3]}⫹3 ⭈ (2 ⫹1)

[11]

107 [20 ⬊ (3 ⭈ 2 ⫺ 2) ⫹ 4] ⬊ (6 ⫺ 3 ⭈ 2 ⫹ 3)

[3]

108 {[12⫹2 ⭈ (3⫹1)] ⬊ (3⫹2)}⫺(3 ⫹1)

[0]

109 {12 ⭈ [(5 ⫹2) ⭈ 3 ⫺19]} ⬊ [(3 ⫹1) ⭈ (2 ⫹1)]

[2]

110 {15 ⫺ [13 ⫹ (2 ⫹ 14) ⬊ (2 ⫹ 2 ⭈ 3) ⫺ 3]} ⬊ [(2 ⫹ 7) ⬊ 3]

[1]

111 {(2⫹7⫺3⭈2)⭈[4⫺(1⫹2)]}⬊[4⫺(2 ⭈ 2 ⫺ 1)]

[3]

112 {[(10 ⫺ 7 ⫹ 3 ⫹ 2 ⫺ 5) ⭈ (25 ⬊ 5) ⫺ 2] ⭈ [(30 ⫺ 5 ⫹ 1 ⫺ 16) ⬊ (30 ⬊ 15) ⫹ 10 ⫹ 7 ⫺ 20]} ⬊ 2

[13]

113 13 ⫺ {8 ⭈ 15 ⫺ [(7 ⭈ 5 ⫹ 5) ⬊ 8 ⫹ 20 ⬊ (28 ⬊ 4 ⫺ 3)]} ⬊ 11

[3]

114 (22 ⫺ 5 ⭈ 4) ⬊ 2 ⫹ {[36 ⬊ 2 ⫹ 7 ⭈ 3 ⫺ 1 ⫺ (2 ⭈ 8 ⫹ 6)] ⫺ 23}

[9]

115 (20 ⭈ 30 ⫹ 8) ⬊ 3 ⫹ [32 ⫺ (21 ⫹ 4) ⬊ 2] ⫹ (24 ⫹ 2) ⬊ 32

[11]

116 [(4 ⫹ 32 ⫺ 1) ⬊ 22 ⫹ 45 ⬊ 32] ⬊ 22 ⫹ (21 ⭈ 3) ⬊ 9 ⫹ 10

[10]

39

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

117 {[(32  11) ⬊ 22]2 ⬊ 5  1} ⭈ 23 ⫺ [72 ⬊ (2 ⭈ 3 ⫹ 1) ⫹ 23 ⫹ 100]

[16]

118 {[(60 ⫹ 2 ⭈ 52 ⫺ 11) ⬊ 23 ⫹ 8] ⫺ 20} ⬊ 4 ⫹ (7 ⫺ 4) ⭈ 2 ⫹ 32 ⭈ 2

[27]

119 [(243 ⬊ 81 ⫹ 43 ⬊ 4 ⫺ 3) ⬊ (5 ⫺ 30) ⫹ 125 ⬊ 25] ⭈ 22 ⬊ 3

[12]

Indica se lo spostamento o l’eliminazione delle parentesi non influisce sul risultato delle seguenti espressioni. Verifica le tue indicazioni calcolando il valore delle espressioni. 120 (5 ⫹ 7) ⫹ 8;

5 ⫹ 7 ⫹ 8.

123 5 ⫹ (3 ⫹ 9);

5 ⫹ 3 ⫹ 9.

121 7 ⫹ (2 ⭈ 3);

7 ⫹ 2 ⭈ 3.

124 20 ⬊ (5 ⫺ 4);

20 ⬊ 5 ⫺ 4.

122 (3 ⫹ 2) ⭈ 11;

3 ⫹ 2 ⭈ 11.

125 24 ⫹ 6⬊3;

(24 ⫹ 6)⬊3.

■ Le espressioni e le lettere ESERCIZIO GUIDA

126 Calcoliamo il valore dell’espressione 3a 2 ⫺ 2b, per a ⫽ 2 e b ⫽ 5. Operiamo la sostituzione mettendo al posto delle lettere i valori scritti tra parentesi: 3 a 2⫺2 b 5 ↓ ↓ 2 3 (2) ⫺ 2 (5) ⫽ ⫽ 3 ⭈ 4 ⫺ 10 ⫽ ⫽ 12 ⫺ 10 ⫽ ⫽ 2. Dopo un po’ di pratica puoi evitare l’uso delle parentesi, avendo cura di scrivere i segni di moltiplicazione: 3a 2 ⫺ 2b, se a ⫽ 2 e b ⫽ 5, è uguale a 3 ⭈ 2 2 ⫺ 2 ⭈ 5. 2

Negli esercizi seguenti, calcola il valore delle espressioni (quando esiste) per i valori delle lettere scritti di fianco. 130 a 2 ⫺ b 2

127 5x 2y ab a⬊b

x ⫽ 50. y ⫽ 32. a ⫽ 9, a ⫽ 0,

b ⫽ 8. b ⫽ 3.

128 a ⫺ b a⫹b 2a ⫺ 5b 3a ⫺ 2b

a ⫽ 10, a ⫽ 3, a ⫽ 8, a ⫽ 4,

b ⫽ 7. b ⫽ 6. b ⫽ 3. b ⫽ 5.

129 2ab a2 3a 2b 3ab 2 a3

a ⫽ 7, a ⫽ 12. a ⫽ 4, a ⫽ 1, a ⫽ 4.

b ⫽ 8.

40

b ⫽ 3. b ⫽ 2.

a 2 ⫹ b2 ab (2a) b 131 (a ⫺ b)3 ⫺ 3ab 2ab 2 ⫺ (a ⫹ b)2 2a 2 ⫹ b 2 ⫺ 2(a ⫺ b)2

a ⫽ 1, a ⫽ 3, a ⫽ 6, a ⫽ 1, a ⫽ 5, a ⫽ 2,

b ⫽ 1; b ⫽ 2; b ⫽ 5. b ⫽ 4. b ⫽ 2. b ⫽ 3.

a ⫽ 7, a ⫽ 2, a ⫽ 9,

b ⫽ 3. b ⫽ 3. b ⫽ 1. [1; 11; 35]

Paragrafo 5. Le espressioni con i numeri naturali

ESERCIZI

132 (a  b)2  4a 2b 3  7b 2  7a 3

a ⫽ 4, b ⫽ 2.

[40]

133 a 3 ⫹ b 3 ⫺ 2a 2 ⫺ (a ⫹ b ⫺ 4)3

a ⫽ 5, b ⫽ 3.

[38]

134 a 3 ⬊ b 2 ⫺ (a ⫺ b)2 ⫺ (a ⫺ b ⫺ 2)3

a ⫽ 8, b ⫽ 4.

[8]

135 (a ⬊ b)2 ⫺ 4a 2 ⬊ b 3 ⫹ a(a ⫺ b)2 ⬊ b 5

a ⫽ 36, b ⫽ 4.

[36]

136 (a ⫹ b)2 ⬊ 3a 2 ⫹ (b 2 ⫺ a 2) ⬊ (2a 2)

a ⫽ 2, b ⫽ 10.

[24]

137 (1 ⫹ a 3) ⬊ b 2 ⫹ 49(b 3 ⫹ 1) ⬊ (a ⫹ 2b)2

a ⫽ 3, b ⫽ 2.

[16]

138 (a ⫺ 2b ⫹ 1)3 ⬊ (a ⫹ b ⫺ 5)2 ⫹ (a ⫹ 2b)2 ⬊ (a ⫺ b)

a ⫽ 8, b ⫽ 2.

[29]

139 (a ⫺ b)3 ⬊ 3b ⫹ 2a 3 ⬊ (4b) ⫺ b(a ⫹ b)2 ⬊ (2a ⫺ 3)2

a ⫽ 6, b ⫽ 3.

[36]

■ Dalle parole alle espressioni Nel sito:

145 Sottrai dal quintuplo di a il triplo di b; a ⫽ 1, b ⫽ 0; a ⫽ 7, b ⫽ 9.

䉴 11 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

140 Traduciamo in espressione la frase: «Aggiungi al quadrato di a il quadrato di b e sottrai il doppio prodotto di a con b», poi calcoliamo il valore dell’espressione per a ⫽ 9 e b ⫽ 5. «quadrato di a» → a 2; «quadrato di b » → b 2; «prodotto di a con b » → ab; «doppio prodotto» → 2ab. L’espressione è: a 2 ⫹ b 2 ⫺ 2ab Sostituiamo a ⫽ 9, b ⫽ 5: 92 ⫹ 52 ⫺ 2 ⭈ 9 ⭈ 5 ⫽ ⫽ 81 ⫹ 25 ⫺ 90 ⫽106 ⫺ 90 ⫽ 16 .

Negli esercizi seguenti, traduci le frasi in espressioni letterali e calcola il loro valore per i numeri indicati.

146 Sottrai b dal prodotto del triplo di a col doppio di b; a ⫽ 3, b ⫽ 5; a ⫽ 2, b ⫽ 10. 147 Dividi la somma di a con b per la differenza fra a e b; a ⫽ 5, b ⫽ 4; a ⫽ 8, b ⫽ 6. 148 Moltiplica il doppio di a per il quadrato di b; a ⫽ 5, b ⫽ 3; a ⫽ 2, b ⫽ 1. 149 Moltiplica la somma di a e b per il doppio di a e poi aggiungi il triplo di b; [(a ⫹ b) ⭈ 2a ⫹ 3b; 15] a ⫽ 2, b ⫽ 1. 150 Dividi il doppio di a per la differenza tra a e b; [2a ⬊ (a ⫺ b); 3] a ⫽ 3, b ⫽ 1. 151 Sottrai al quintuplo di a la somma tra il doppio di b e a; a ⫽ 3, b ⫽ 2. [5a ⫺ (2b ⫹ a); 8]

141 Somma ad a il suo successivo; a ⫽ 10; a ⫽ 7.

Scrivi il precedente e il successivo dei numeri indicati dalle seguenti espressioni. Calcola le espressioni ottenute per a ⫽ 2, b ⫽ 5, c ⫽ 1, n ⫽ 3, x ⫽ 4.

142 Somma ad a i due consecutivi di a; a ⫽ 4; a ⫽ 9.

152 a; 2a; a 2; a ⫹ 1; b ⫹ 1; c 2.

143 Somma ad a il suo precedente; a ⫽ 1; a ⫽ 5. 144 Somma al triplo di a il doppio di b; a ⫽ 7, b ⫽ 0; a ⫽ 9, b ⫽ 4.

153 c ⫺ 1; 2c ⫹ 1; 2n ⫹ 1; n ⫺ 4; 2n ⫹ 5. 154 n 2 ⫹ 1; 2x 2; 2x 2 ⫺ 1; x 3; (a ⫹ b) 2.

41

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

Traduci in espressione letterale e calcola per i valori indicati. 155 Il successivo del doppio di un numero; 7.

■ Dalle espressioni alle parole ESERCIZIO GUIDA

163 Scriviamo la frase corrispondente alla seguente espressione.

156 Il doppio del successivo di un numero; 7.

2a (a ⫹ b) 2.

157 Il precedente di un numero; 3.

Poiché a e b indicano due numeri, nella frase traduciamo le due lettere a e b proprio con la parola «numeri». Facciamo una traduzione analitica:

158 Il quadrato del precedente di un numero; 4.

2a è il doppio di un numero;

159 Il doppio prodotto di un numero per un altro; 2; 9.

a ⫹ b è la somma di quel numero con un altro; (a ⫹ b) 2 è il quadrato della somma di quel numero con un altro. Fra 2a e (a ⫹ b) 2 è sottintesa una moltiplicazione. La frase richiesta è la seguente: «Il prodotto del doppio di un numero per il quadrato della somma di quel numero con un altro».

160 Il triplo prodotto del quadrato di un numero; 5. 161 La somma di due numeri per la loro differenza; 6; 1. 162 La differenza fra i quadrati di due numeri; 3; 5.

Traduci ogni espressione in parole. Calcola il valore delle espressioni per a ⫽ 1, b ⫽ 6; a ⫽ 5, b ⫽ 2. 164 2a; 3a; b 2; 2ab; 3a 2; 3a 2b.

166 a ⫺ b; (a ⫹ b)(a ⫺ b); a 2 ⫺ b 2; a 3 ⫺ b 3.

165 a ⫹ 1; x ⫺ 1; b ⫹ 2; 2a ⫺ 1; a ⫹ b.

167 a 3 ⫹ b 3; (a ⫹ b) 2; (a ⫺ b) 2; (a ⫹ b) 3; (a ⫺ b) 3.

Nel sito:

䉴 18 esercizi in più su Dalle immagini alle espressioni

6. Le proprietà delle operazioni

–䊳

Teoria a pag. 8

Ciascuna delle seguenti uguaglianze fornisce un esempio di applicazione di una delle proprietà formali delle operazioni. Indica di quale proprietà si tratta. 168 24  31 ⫽ 31 ⫹ 24; 7 ⫹ 2 ⫹ 4 ⫽ 7 ⫹ 6.

174 15 ⫹ 9 ⫽ 9 ⫹ 15; 7 ⭈ 3 ⫽ 3 ⭈ 7.

169 (3 ⫹ 1) ⫹ 4 ⫽ 3 ⫹ (1 ⫹ 4); (5 ⫹ 2) ⫹ 3 ⫽ 3 ⫹ (5 ⫹ 2).

175 15 ⬊ [3 ⭈ 1] ⫽ 15 ⬊ [1 ⭈ 3]; 3 ⭈ (1 ⫹ 2) ⫽ 3 ⭈ 1 ⫹ 3 ⭈ 2.

170 (18 ⫹24) ⬊ 3 ⫽ 18 ⬊ 3 ⫹ 24 ⬊ 3; (64 ⫺ 16) ⬊ 4 ⫽ 64 ⬊ 4 ⫺ 16 ⬊ 4.

176 (15 ⫹ 2) ⫹ 4 ⫽ 15 ⫹ (2 ⫹ 4); (3 ⭈ 6) ⭈ 1 ⫽ 3 ⭈ (6 ⭈ 1).

171 4 ⭈ (2 ⫹ 3) ⫽ 4 ⭈ 2 ⫹ 4 ⭈ 3; (2 ⫹ 3) ⭈ 4 ⫽ 4 ⭈ (2 ⫹ 3).

177 17 ⫺ (4 ⭈ 3) ⫽ 17 ⫺ (3 ⭈ 4); (2 ⫹ 4) ⭈ 6 ⫽ 2 ⭈ 6 ⫹ 4 ⭈ 6.

172 18 ⫺ 6 ⫽ (18 ⫹ 4) ⫺ (6 ⫹ 4); 27 ⫺ 12 ⫽ (27 ⫺ 2) ⫺ (12 ⫺ 2).

178 17 ⫺ 3 ⫽ (17 ⫹ 3) ⫺ (3 ⫹ 3); (17 ⫹ 2) ⭈ 3 ⫽ 17 ⭈ 3 ⫹ 2 ⭈ 3.

173 180 ⬊ 15 ⫽ (180 ⭈ 2) ⬊ (15 ⭈ 2); 120 ⬊ 15 ⫽ (120 ⬊ 5) ⬊ (15 ⬊ 5).

179 (15 ⫹ 75) ⬊ 15 ⫽ (15 ⬊ 15) ⫹ (75 ⬊ 15); (7 ⫹ 3) ⫹ 2 ⫽ 7 ⫹ (3 ⫹ 2).

42

Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze

180 12  4 ⫽ (12 ⫺ 2) ⫺ (4 ⫺ 2); 80 ⬊ 40 ⫽ (80 ⬊ 10) ⬊ (40 ⬊ 10). 181 Fra le seguenti uguaglianze indica quali sono vere e qual è la proprietà applicata.

ESERCIZI

182 COMPLETA scrivendo di fianco a ogni uguaglianza la proprietà delle operazioni su cui è basata. Scegli fra le seguenti: commutativa, associativa, distributiva, raccoglimento, invariantiva. 5⫹7⫹9⫽9⫹5⫹7

a) (127 ⫹ 3) ⫹ 8 ⫽ 127 ⫹ (3 ⫹ 8);

5 ⭈ 8 ⭈ 9 ⫽ 5 ⭈ 72

b) 12 ⬊ (4 ⫹ 2) ⫽ 12 ⬊ 4 ⫹ 12 ⬊ 2;

...............................................

15 ⫺ 8 ⫽ 16 ⫺ 9

c) (6 ⫹ 9) ⭈ 3 ⫽ 3 ⭈ (6 ⫹ 9);

.....................................

..............................................

d) (70 ⫺ 12) ⫺ 8 ⫽ 70 ⫺ (12 ⫺ 8);

3⭈2⫹6⭈2⫹5⭈2⫽ (3⫹6⫹5)⭈2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) 4 ⭈ (20 ⬊ 2) ⫽ (4 ⭈ 20) ⬊ (2 ⭈ 20);

20 ⬊ 4 ⫽ 10 ⬊ 2

f) 10 ⫺ 8 ⫽ 15 ⫺ 13;

5 ⫹ 5 ⭈ 2 ⫹ 5 ⭈ 3 ⫽ 5 ⭈ (1 ⫹ 2 ⫹ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) 36 ⫺ 12 ⫽ 6 ⭈ (6 ⫺ 2);

18 ⫺ 5 ⫽ 15 ⫺ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h) 36 ⬊ 12 ⫽ (36 ⬊ 6) ⬊ (12 ⬊ 6).

60 ⬊ 30 ⫽ 6 ⬊ 3

................................................

–䊳

7. Le proprietà delle potenze Applica, quando è possibile, le proprietà delle potenze e indica la proprietà applicata.

................................................

195 2 4 ⭈ (.....) 4 ⫽ 16 4;

(5 ...) 4 ⫽ 57.

196 3 ... ⬊ 3 3 ⫽ 3 3;

2 ... ⬊ 2 8 ⫽ 2 5.

183 2 4 ⭈ 2 2 ⭈ 2;

(2 4) 3;

2 3 ⭈ 5 3.

184 (34) 2 ⭈ 37;

24 ⭈34;

(53)5 ⭈ 215.

197 2 4 ⭈ 2 ... ⫽ 2 7;

8 4 ⬊ (....) 4 ⫽ 2 4.

185 32 ⭈ (34)2 ;

(10 2 )5 ⬊ 210;

34 ⬊ 32.

198 15 2 ⬊ (....) 2 ⫽ 5 2;

(4 ...) 5 ⫽ 4 10.

186 (84⬊24)⭈43;

(22⬊21)4;

(32)3⭈26.

199 2 3 ⭈ (....) 3 ⫽ 16 3;

(5 ...) 3 ⫽ 5 15.

187 (72 ⭈ 22) ⬊ 72;

(43)2 ⬊ 26;

24 ⭈ 34.

200 4 3 ⭈ 4 ... ⫽ 4 5;

2 4 ⭈ (....) 4 ⫽ 6 4.

188 6 5 ⬊ 2 5;

(4 5) 2;

2 3 ⭈ 2 4 ⭈ 2 1.

201 52 ⭈ 5 ... ⫽ 5 10;

5 3 ⬊ (....) 3 ⫽ 5 3.

189 4 3 ⭈ 2 3;

(5 2 ) 4;

8 3 ⬊ 2 3.

202 VERO O FALSO?

190 2 2 ⭈ 5 2;

3 3 ⬊ 3 2;

12 4 ⬊ 4 4.

191 (2 4) 2;

3 2 ⭈ 3 5;

6 2 ⭈ 2 2.

192 3 2 ⭈ 2 2;

10 4 ⬊ 5 4;

3 6 ⬊ 3 3.

193 (5 2 ) 2;

3 2 ⬊ 3 0;

4 1 ⭈ 4 3.

COMPLETA quando è possibile.

194 2 5 ⭈ 2 ... ⫽ 2 10;

7 2 ⭈ ..... ⫽ 7 8.

Teoria a pag. 11

a) La somma dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato della loro somma.

V

F

b) La somma di due potenze è una potenza che ha per base la somma delle basi e per esponente la somma degli esponenti.

V

F

c) Il prodotto dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato del prodotto dei due numeri.

V

F

d) Il prodotto di due potenze uguali è uguale al quadrato della potenza.

V

F

43

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

203 CACCIA ALL’ERRORE Le seguenti uguaglianze sono false. Correggi l’errore.

206 Scrivi i prodotti mediante potenze, come nell’esempio svolto.

29 ⬊ 23 ⫽ 23,

(50)2 ⫽ 52.

2 ⭈ 4 ⭈ 7 ⫽ 2 ⭈ 22 ⭈ 7 ⫽ 23 ⭈ 7.

43 ⫹ 42 ⫽ 45,

45 ⭈ 35 ⫽ 1210.

9 ⭈ 2 ⭈ 81 ⭈ 8,

5 ⭈ 3 ⭈ 125 ⭈ 9.

(23)2 ⫽ 25,

43 ⫹ 23 ⫽ 63.

6 ⭈ 4 ⭈ 9,

24 ⭈ 3 ⭈ 8.

83 ⭈ 82 ⫽ 86,

54 ⭈ 53 ⭈ 52 ⫺ 53 ⫽ 56.

10 ⭈ 25 ⭈ 100,

40 ⭈ 12 ⭈ 5 ⭈ 9.

204 L’insieme delle potenze di 2, ovvero 1, 2, 2 2, 2 3, …, è chiuso rispetto all’operazione di addizione? E a quella di moltiplicazione? Giustifica le tue risposte. 205 VERO O FALSO? 3

4

a) 5 ⫹ 5 ⫽ 5

7

V

F

4

V

F

c) 2 3 ⭈ 2 6 ⫽ 2 9

V

F

d) 6 2 ⭈ 6 4 ⫽ 6 8

V

e) 10 2 ⬊5 2 ⫽ 2 2

V

5

b) 3 ⫺ 3 ⫽ 3

207 ASSOCIA a ogni espressione il proprio risultato. 1. (54)2 ⭈ 5

A. 57

2. (52)4 ⬊ 5 3

2

B. 6 2

3. (5 ⫹ 5 ) ⬊ 5

C. 100

4. (23 ⭈ 53) ⬊ 10

D. 59

208 VERO O FALSO? a) 5 4 ⭈ 5 2 ⫽ 5 6

V

F

F

b) 5 4 ⫹ 5 2 ⫽ 5 6

V

F

F

c) (2 2) 3 ⫽ 2 5

V

F

V

F

8

4

4

f) 3 5 ⫹ 7 5 ⫽ 10 5

V

F

d) 2 ⫽ 2 ⫹ 2

g) (4 2) 3 ⫽ 4 5

V

F

e) 3 9 ⫽ 3 5 ⭈ 3 4

V

F

h) (10 2) 3 ⫽ 1 000 000

V

F

f) 2 8 ⫽ (2 2 ) 4

V

F

i) 2 4 ⭈ 3 4 ⫽ 6 8

V

F

g) 2 2 ⭈ 3 2 ⫽ 6 2

V

F

V

F

h) 3 2 ⭈ 3 2 ⫽ 9 4

V

F

i) 2 6 ⬊ 2 0 ⫽ 2 6

V

F

l) 20 2 ⬊ 4 2 ⫽ 5 2

V

F

m) 20 5 ⬊ 4 2 ⫽ 5 3

V

F

3

3

l) 8 ⫺ 3 ⫽ 5

3

Proprietà delle operazioni e proprietà delle potenze Per ogni uguaglianza indica quale proprietà è stata applicata. Verifica le uguaglianze per i valori indicati. 209 a4b ⫽ ba4. c 3 ⫹ d 3 ⫽ d 3 ⫹ c3 .

a ⫽ 3, b ⫽ 2. c ⫽ 4, d ⫽ 1.

210 (a2 ⫹ b 2) ⫹ c ⫽ a 2 ⫹ (b 2 ⫹ c). a ⫺ b 2 ⫽ (a ⫹ c 3) ⫺ (b 2 ⫹ c 3).

a ⫽ 1, b ⫽ 2, c ⫽ 3. a ⫽ 3, b ⫽ 1, c ⫽ 2.

211 a4 ⬊ b4 ⫽ (a ⬊ b)4. a4 ⬊ b4 ⫽ (a 4d ) ⬊ (b 4d).

a ⫽ 20, b ⫽ 5. a ⫽ 6, b ⫽ 2, d ⫽ 3.

212 c3 ⭈ c7 ⭈ c2 ⫽ c12. (a 2 ) b ⫽ a 2b.

c ⫽ 2. a ⫽ 2, b ⫽ 3.

44

Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze

213 (1  a4 )b ⫽ b ⫹ a4b. 2

a ⫽ 2, b ⫽ 7.

2

2a(b ⫺ c) ⫽ 2ab ⫺ 2ac. 214 a2b2c2 ⫽ (abc)2. 3 3

a ⫽ 9, b ⫽ 3, c ⫽ 6. a ⫽ 2, b ⫽ 3, c ⫽ 2.

3

8a b ⫽ (2ab) .

a ⫽ 3, b ⫽ 1.

215 10 ⫺ 3a ⫽ 4 ⫺ (3a ⫺ 6). 2

x(1 ⫹ x) ⫽ x ⫹ x .

a ⫽ 3. x ⫽ 1.

216 (3a ⫹ 2b) ⬊ c ⫽ 3a ⬊ c ⫹ 2b ⬊ c.

a ⫽ 4, b ⫽ 7, c ⫽ 2.

c

a ⫽ 3, b ⫽ 2, c ⫽ 3.

b

b⫹c

(2a) ⭈ (2a) ⫽ (2a)

.

217 20n ⬊ 4n ⫽ 5n. x

y

x⫹y

5 ⭈5 ⫽5

n ⫽ 2. .

x ⫽ 3, y ⫽ 2.

218 2(a 2 ⫺ 1) ⫽ 2a 2 ⫺ 2. 3a ⬊ 3b ⫽ (3a ⬊ 3) ⬊ (3b ⬊ 3). 219 a ⫺ 10 ⫽ (a ⫹ 2) ⫺ 12. x ⬊ y ⫽ 6x ⬊ 6y.

a ⫽ 12. a ⫽ 21, b ⫽ 7. a ⫽ 15. x ⫽ 30, y ⫽ 5.

220 (2x)3 ⬊ (2x) 2 ⫽ 2x. 2

ESERCIZI

2

x ⫽ 3. 3

(a ⫹ x)x ⫽ ax ⫹ x .

a ⫽ 5, x ⫽ 2.

■ Espressioni e proprietà delle potenze

Nel sito:

䉴 10 esercizi in più 䉴 12 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

221 Applicando le proprietà delle potenze, calcoliamo: 24 ⭈ 54 ⬊ (302 ⬊ 32) ⫺ 100. Nella moltiplicazione 24 ⭈ 54 i fattori hanno lo stesso esponente: per la quarta proprietà, il prodotto ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente: 24 ⭈ 54 ⫽ (2 ⭈ 5)4. Nella divisione 302 : 32 il dividendo e il divisore hanno lo stesso esponente: per la quinta proprietà, il quoziente ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente: 302 ⬊ 32 ⫽ (30 ⬊ 3)2. Qualunque numero diverso da 0 elevato a 0 dà come risultato 1, perciò: 100 ⫽ 1. Otteniamo dunque: 24 ⭈ 54 ⬊ (302 ⬊ 32) ⫺ 100 ⫽ (2 ⭈ 5)4 : (30 ⬊ 3)2 ⫺ 1⫽ 104 ⬊ 102 ⫺ 1. Nella divisione 104 : 102 il dividendo e il divisore hanno la stessa base: per la seconda proprietà, il quoziente ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti: 104 ⬊ 102 ⫺ 1 ⫽ 10(4⫺2) ⫺ 1 ⫽ 102 ⫺ 1 ⫽ 100 ⫺ 1 ⫽ 99.

45

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni. 222 2 5 ⬊ 2 4  2 ⭈ 2 2 ⫺ 2 0

[9]

224 4 2 ⭈ 4 0 ⫺ 3 5 ⬊ 3 3 ⫹ 5 0

[8]

226 2 6 ⭈ 3 6 ⬊ (18 4 ⬊ 3 4)

[36]

223 (3 4 ⬊ 3 3) 4 ⭈ 3 5 ⬊ (3 2 ) 4

[3]

225 5 3 ⬊ 5 1 ⭈ 2 2 ⬊ 5 2

[4]

227 (2 2 ⭈ 3 2 ) 4 ⬊ 6 4 ⬊ 3 4

[16]

228 (32) 3 ⬊ (32)2 ⭈ {(34)3 ⬊ (32)6}

[9]

231 (4 2 ⬊ 2 2 ) 3 ⭈ 2 2 ⬊ (6 6 ⬊ 3 6)

[4]

229 (2)3 ⭈ (22 ⭈ 23)3 ⬊ {[(24)3] ⭈ (22)2}

[4]

232 (6 3 ⭈ 6 0 ) 2 ⬊ 3 6 ⫺ (2 3) 2

[0]

230 35 ⬊ (32)2 ⭈ [(32)3] ⬊ [(33)2] ⭈ (3)2

[27]

233 [6 6 ⭈ 46 ⬊ (32 ⭈ 82)] ⬊ 84

[81]

234 [(3)2 ⭈ (3)3] ⬊ (3)2 ⫹ [(2)5 ⬊ (2)3]2 ⬊ (22)2

[28]

235 (4 2 ⭈ 2 2 ) ⬊ 2 2 ⫺ 5 2 ⬊ 5 1 ⫹ (2 2 ⭈ 3 2 ) 3 ⬊ 6 5

[17]

236 (34 ⭈ 24 ⭈ 74) ⬊ (33 ⭈ 23 ⭈ 73) ⫺ 25 ⫺ [(32)2]2 ⬊ 36

[1]

237 7 ⭈ 4 ⫹ (2 6 ⬊ 2 4) 0 ⫺ 25 2 ⬊ 5 2 ⫹ (7 ⭈ 3 ⫺ 5 ⭈ 4) ⭈ (5 3 ⬊ 5 2 )

[9]

238 15⭈ [(122 ⬊32)⬊22]⫺[(2)2]2 ⫹ 7 ⭈ 3 ⫺ (204 ⬊ 54)0 ⫺ 15 3 ⬊ 5 3

[37] BRAVI SI DIVENTA

䉴 E01

239 8 2 ⭈ 28 ⭈ 164 ⬊ (4 3)4 ⫹ (155 ⫺ 154) ⬊ 154 ⫹ (28)0 ⭈ 2 ⫹ (394 ⬊ 134)2 ⬊ 94 240 [(22)3 ⬊ (22)2] ⫹ {(34 ⭈ 32)3 ⬊ [(32)3]2} ⬊ (32 ⭈ 33) ⫺ 6

[1]

241 {[(23 ⫹ 22) ⬊ 22 ⫺ 30]2 ⫺ 1}3 ⫺ {(82 ⬊ 42 ⫺ 1) ⭈ [(33)4 ⬊ (34)3]5}2

[18]

242 (74 ⬊ 7)2 ⬊ (72)2 ⫺ [(32 ⭈ 30 ⭈ 33)2 ⬊ (33)3 ⫹ 20 ⫹ 22 ⫺ 31] ⫹ 52

[69]

243 [(103 ⬊ 23) ⭈ 53] ⬊ (53)2 ⫹ {[(40 ⭈ 44)3 ⬊ (42 ⭈ 43)2 ⫺ 23] ⫹ 90}

[10]

8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo ESERCIZIO GUIDA

244 La seguente scomposizione non è in fattori primi: 2 ⭈ 5 ⭈ 6. Modifichiamola in modo che ogni fattore sia primo. 2 ⭈ 5 ⭈ 6 ⫽ 2 ⭈ 5 ⭈ 2 ⭈ 3. Scriviamo la scomposizione sotto forma di potenze di numeri primi: 2 ⭈ 5 ⭈ 6 ⫽ 22 ⭈ 3 ⭈ 5.

46

–䊳

Teoria a pag. 14

Paragrafo 8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

ESERCIZI

Le seguenti scomposizioni non sono in fattori primi. Modificale in modo che ogni fattore sia primo e scrivi la scomposizione in potenze di numeri primi. 245 5 ⭈ 15;

4 ⭈ 3;

4 ⭈ 8;

21 ⭈ 3.

248 2 ⭈ 6 ⭈ 8;

3 ⭈ 6 ⭈ 9;

3 ⭈ 33 ⭈ 21;

26 ⭈ 22 ⭈ 34.

246 4 ⭈ 9;

4 ⭈ 10;

5 ⭈ 25;

6 ⭈ 6.

249 153 ⭈ 32;

132 ⭈ 26;

144 ⭈ 13;

58 ⭈ 2.

247 2 ⭈ 3 ⭈ 9;

7 ⭈ 8 ⭈ 3;

2 ⭈ 10 ⭈ 14;

2 ⭈ 15 ⭈ 6.

ESERCIZIO GUIDA

250 Scomponiamo in fattori primi il numero 980 e il numero 360. Cerchiamo il più piccolo divisore primo di 980; è 2, poiché l’ultima cifra è pari. Scriviamo: 980 2 Calcoliamo 980 ⬊ 2, riportiamo il quoziente sotto 980 e ne cerchiamo il più piccolo divisore primo: 980 2 490 2

Procediamo in questo modo fino a ottenere come quoziente 1: 980 2 490 2 245 5 49 7 7 7 1

La scomposizione in fattori primi di 980 è: 2⭈2⭈5⭈7⭈7⫽22 ⭈5⭈72. Possiamo seguire anche un metodo più veloce, ma meno automatico: con il calcolo mentale operiamo delle scomposizioni parziali, come negli esercizi da 241 a 243 precedenti, poi applichiamo le proprietà delle potenze. Scomponiamo in fattori primi il numero 360: 360 ⫽ 10 ⭈36 ⫽ 2 ⭈5 ⭈ 62 ⫽ 2 ⭈5 ⭈(3 ⭈ 2)2 ⫽ ⫽ 2 ⭈5 ⭈32 ⭈22 ⫽ 23 ⭈ 32 ⭈ 5.

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. 251 6; 15; 18; 21; 24.

253 69; 70; 121; 125; 144.

255 320; 660; 740; 850; 1000.

252 25; 27; 28; 30; 35.

254 40; 42; 75; 225; 300; 405.

256 1500; 2000; 3300; 4800; 5000.

257 Fra i numeri 121, 37, 14, solo due sono scomponibili in fattori primi. Quali? 258 VERO O FALSO? a) Ogni numero primo è dispari. Nel sito:

V

F

b) Ogni numero dispari è primo. c) Ogni numero pari si scompone in fattori primi. d) Ogni numero scomposto in fattori primi non è primo.

V

F

V

F

V

F

䉴 9 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

259 Mediante la scomposizione in fattori primi, determiniamo il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri: 60, 15, 18. Scomponiamo ciascun numero in fattori primi, incolonnando i fattori uguali: 60 ⫽ 22 ⭈ 3 ⭈ 5 15 ⫽

3 ⭈ 5 2

18 ⫽ 2 ⭈ 3

Il M.C.D. è il prodotto dei fattori comuni, ciascuno preso con l’esponente più piccolo: M.C.D.(60, 15, 18) ⫽ 3 Il m.c.m. è il prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni, ciascuno preso con l’esponente più grande: m.c.m.(60, 15, 18) ⫽ 22 ⭈ 32 ⭈ 5 ⫽ 180.

47

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri.

Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri.

260 6, 8;

21, 24;

20, 30;

5, 6.

263 3, 4;

30, 40;

300, 400.

261 4, 20;

6,18;

20, 60;

5, 10.

264 15, 20;

25, 30;

56, 72;

8, 12.

262 12, 18, 24;

8, 20, 16; 10, 20, 30.

265 7, 14;

9, 27;

6, 18;

22, 44.

Mediante la scomposizione in fattori primi determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri. 266 12, 4, 6.

269 14, 24, 22.

272 528, 18, 24.

267 12, 8.

270 63, 168.

273 63, 9, 25.

268 90, 30, 150.

271 28, 18.

274 10, 45, 90.

275 VERO O FALSO? a) b) c) d) e) f) g)

Il M.C.D. di due numeri esiste sempre. Il M.C.D. di due numeri primi è 0. Il M.C.D. di due numeri primi tra loro è 1. Il M.C.D. di due numeri è divisibile per entrambi i numeri. Dati due numeri, ognuno è divisore del loro m.c.m. Il m.c.m. di due numeri primi non esiste. Il m.c.m. di due numeri primi fra loro è uguale al prodotto dei numeri.

–䊳

9. I sistemi di numerazione ■ Il sistema a base dieci

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Teoria a pag. 17

■ I sistemi con altre basi

Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri.

280 Scrivi i primi venti numeri naturali in base due.

276 138;

427;

3321;

1000.

281 Scrivi i numeri che vanno da 9 a 27 in base tre.

277 1010;

1001;

1100;

2222.

282 Scrivi i numeri che vanno da 20 a 40 in base cinque. Scrivi i seguenti numeri in forma polinomiale.

Scrivi i numeri a cui corrispondono le seguenti espressioni senza svolgere i calcoli.

283 (1) 2 ;

(1) 3 ;

(1) 4 ;

(1) 5 .

284 (10) 2 ;

(10) 3 ;

(10) 4 ;

(10) 6 .

285 (11) 2 ;

(11) 3 ;

(111) 2 ;

(111) 3 .

286 (1101) 2 ;

(1001) 2 ;

(1111) 2 ;

(1000) 3.

287 (1231) 3 ;

(1000) 4;

(1222) 3 ;

(200) 4.

3

278 2⭈10 ⫹5⭈10⫹7; 5 ⭈ 104 ⫹ 9⭈103 ⫹8⭈102 ⫹2⭈10⫹1. 279 3 ⭈ 10 2 ⫹ 2 ⭈ 10 3 ⫹ 5 ⫹ 9 ⭈ 10; 1 ⭈ 10 ⫹ 2 ⫹ 7 ⭈ 10 2.

48

Paragrafo 9. I sistemi di numerazione

ESERCIZI

■ Operazioni in altre basi ESERCIZIO GUIDA

288 Dopo aver costruito le tabelle di addizione e moltiplicazione in base tre, calcoliamo: (211) 3 ⫹ (122) 3; (212) 3 ⭈ (21) 3. Le tabelle cercate sono: base tre

Eseguiamo i calcoli utilizzando le tabelle e la tecnica del riporto. 0

1

2

0

0

0

0

10

1

0

1

2

11

2

0

2

11

0

1

2

0

0

1

2

1

1

2

2

2

10

Dopo aver costruito le tabelle di addizione e moltiplicazione in base due, esegui i seguenti calcoli (i numeri sono espressi in base due). 289 1101  111;

1001  1110;

290 110  10110;

1000  1010  1011.

291 110 ⭈ 11;

1010 ⭈ 100;

111  111.

11

base tre

211 ⫹ 122 1110

212 ⭈ 21 212 1201– 12222

Trasforma i seguenti numeri in base dieci nella base indicata, a mente o aiutandoti con uno schema grafico. 300 Trasforma in base due: 5; 8; 16; 15; 17; 64; 66.

1110 ⭈ 1101.

301 Trasforma in base tre: 4; 9; 12; 13; 15; 30; 32; 81; 80.

Calcola i risultati delle seguenti operazioni fra numeri espressi in base tre. 292 201 ⫹ 111;

101 ⫹ 220;

222 ⫹ 111.

293 212 ⫹ 100;

1011 ⫹ 2112;

2001 ⫹ 2212.

294 21 ⭈ 12;

21 ⭈ 100;

21 ⭈ 22.

295 122 ⭈ 110;

12 ⭈ 200;

10 ⭈ 212.

296 Costruisci le tabelle di addizione e moltiplicazione in base cinque.

■ Da una base qualsiasi a base dieci e viceversa Scrivi nel sistema decimale i seguenti numeri. 297 (101) 2; (1110) 2; (10000) 2; (10111) 2. 298 (10) 3;

(100) 3;

(2012) 3;

(222) 3.

299 (10) 5;

(100) 5;

(222) 5;

(314) 5.

302 Trasforma in base cinque: 5; 10; 15; 16; 20; 19; 50; 56. Nei seguenti esercizi scrivi nella base indicata i numeri espressi in base dieci, mediante il metodo delle divisioni successive. 303 Trasforma in base due: 10; 15; 26; 37; 48. 304 Trasforma in base tre: 100; 204; 327; 412. 305 Trasforma in base quattro: 64; 88; 137; 1600. 306 Trasforma in base cinque: 1712; 350; 427; 1000.

49

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

–䊳

10. Che cosa sono i numeri interi 307 VERO O FALSO? a) Due numeri interi con lo stesso valore assoluto sono uguali. b) Due numeri interi opposti hanno lo stesso valore assoluto. c) Tra due numeri negativi il minore è quello che ha valore assoluto maggiore. d) 兩 5兩  兩 6兩. e) Ogni numero intero ha un precedente. f) Il successivo di  1 è  1.

Teoria a pag. 19

312 Scrivi tutti i numeri interi che hanno valore assoluto minore di 4. V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

a)  4  2.

V

F

b)  6   3.

V

F

c)  5   2.

V

F

d) 0   4.

V

F

308 VERO O FALSO?

309 Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri.  3,  7,  4,  2, 0,  1,  6. 310 Scrivi gli opposti dei numeri dell’esercizio precedente e rappresentali sulla stessa retta. Che proprietà geometrica hanno due punti corrispondenti a numeri opposti? 311 Scrivi il valore assoluto dei numeri degli esercizi 309 e 310.

313 Scrivi cinque numeri di cui tre positivi e due negativi. Considerandoli a coppie, quante sono le coppie di numeri concordi e quante di numeri discordi? 314 Scrivi due numeri interi discordi che abbiano lo stesso valore assoluto. Come sono i due numeri? 315 Scrivi due numeri interi discordi il cui valore assoluto sia maggiore di 16. 316 Scrivi quattro numeri interi, concordi con 1, il cui valore assoluto sia compreso fra 4 e 11. COMPLETA con i segni  o .

317 兩 2兩…  兩2兩;

 4…兩 9兩;

0…兩 6兩.

318  5…  7; 0…  2;  6…  3;  21…  4. 319 Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri.  6,  9,  1,  7,  2,  4. 320 Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri.  8,  3, 0,  5,  4,  11. 321 Quanti sono gli interi compresi fra  3 e  9? E fra  25 e  2? E fra  21 e  1? E fra  27 e  26?

11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

–䊳 Teoria a pag. 22

322 VERO O FALSO? a) La differenza di due numeri opposti è 0. b) La somma dei valori assoluti di due numeri opposti è 0. c) La somma di due numeri discordi è un numero negativo. d) Se la somma di due numeri interi è zero, allora i due numeri sono discordi. e) Per la sottrazione di numeri interi vale la proprietà commutativa.

50

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Paragrafo 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

ESERCIZI

■ L’addizione e la sottrazione Per ciascuna delle seguenti coppie di numeri interi, scrivi l’addizione fra i due numeri e calcola la somma. 323  5,  8;

 5,  8;

 5,  8;

 5,  8;

0,  2;

 2, 0.

324  4,  4;

 4,  4;

 4,  4;

 4,  4;

 36,  6;

 36,  6.

325  42,  8;

 25,  7;

 128,  35;

 462,  384;

 625,  427;

 877,  322.

326 COMPLETA la seguente tabella. a

5

b

7

2

8

5

6

5

6

ab

3

7 1

2

4

0

 14  12

4

9

4

5

327 Scrivi tre coppie di numeri interi concordi che abbiano come somma  7 e tre coppie che abbiano come somma  15. 328 Scrivi tre coppie di numeri interi discordi che abbiano come somma  8 e tre coppie che abbiano come somma  11. Per ciascuna delle seguenti coppie di numeri interi, scrivi la sottrazione fra i due numeri e calcola la differenza. 329  3,  8;

 2,  6;

 3,  9;

 11,  14;

 6,  6;

 6,  6.

330 0,  4;

 4, 0;

 5,  5;

 2,  2;

 8,  1;

 8,  1.

331 COMPLETA la seguente tabella. a

5

0

b

5

4

ab

2 0 0

8

 12

8

0

4

0 0  21

0

6

8

0

 15

■ Espressioni con addizioni e sottrazioni ESERCIZIO GUIDA

332 Calcoliamo il valore delle seguenti espressioni: a) ( 4)  ( 3)  ( 12  8  4)  ( 3  14);

b)  7  ( 3  5  4).

a) ( 4)  ( 3)  ( 12  8  4)  ( 3  14) ⫽ Eliminiamo le parentesi. Le parentesi precedute dal segno ⫹ si eliminano lasciando invariati i segni che figurano dentro parentesi: ⫽ ⫺4 Ⲑ ⫹ 3 ⫹ 12 ⫺ 8 ⫹4Ⲑ ⫹ 3 ⫺ 14 ⫽ Cancelliamo gli opposti e sommiamo i numeri concordi: ⫽ 18 ⫺ 22 ⫽ ⫺ 4.

51

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

b) Possiamo procedere in due modi: Primo modo  7  ( 3  5  4) ⫽ Calcoliamo il valore della somma fra parentesi e poi eseguiamo la sottrazione: ⫽ ⫹ 7 ⫺ (⫹ 2) ⫽ ⫹ 5.

Secondo modo ⫹ 7 ⫺ (⫹ 3 ⫺ 5 ⫹ 4) ⫽ Eliminiamo le parentesi cambiando di segno a ogni termine in esse contenuto, poi eseguiamo le addizioni: ⫽ ⫹ 7  3  5  4 ⫽ ⫹ 5.

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 333 (3)(7)(8)(21) 334 (4)(59)(26) ( 12  19)

[ 17] [ 3]

335 (15 9)  (16 8 11) (13  2 30 7)

[ 19]

336  15  ( 12  5  6  10)  ( 3  7  11)

[ 25]

337  5  ( 7  3  5  6)  ( 12  5  6  7)

[ 10]

338 10(1586)(12  15  3)  ( 7  3  12)

[ 5]

339 17(675)(12  16  1)  (1  7  15)

[ 27]

340 [15(732)][15 ( 6  7  1)]  ( 1  6  2)

[ 19]

341 12[13(1578)]  [20  (15  7  12)]

[ 13]

342 (74  85)  [( 35)  (42  51  1)  6]  [23  (14  8  2)]

[ 37]

343 ( 28  37)  {( 25  11)  [1  (36  44)]  ( 9)}  1

[ 20]

344 (25){(37)[49(6820)(137)]} ( 80)

[ 3]

■ Problemi con addizioni e sottrazioni Risolvi i seguenti problemi, scrivendo un’espressione con i numeri interi. 345 Parto da un certo punto di una scala e procedo come segue: salgo 7 gradini, scendo 5 gradini, salgo 13 gradini, scendo 20 gradini. In che punto mi trovo rispetto a quello di partenza? [ 5, cioè 5 gradini al di sotto] 346 Mettendo un corpo alla temperatura di  17 °C vicino a un altro corpo più caldo, la temperatura del primo aumenta di 70 °C. Successivamente si pone il corpo iniziale in frigorifero: la sua temperatura diminuisce di 4 °C. Qual è attualmente la temperatura del corpo? [49 °C]

52

Paragrafo 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

ESERCIZI

347 Ho ottenuto un prestito di 75 euro senza interessi. Dopo un certo tempo ho restituito al creditore 37,50 euro, poi ho preso in prestito altri 42,50 euro. Oggi, dopo aver restituito altri 25 euro, qual è la mia situazione con il creditore, considerando positivamente i crediti e negativamente i debiti? [55 euro] 348 Un automobilista parte con il serbatoio contenente 50 l di benzina, percorre un primo tragitto consumando 17 l di carburante, un secondo tratto consumando 13 l, poi si ferma a un distributore dove fa rifornimento di 36 l di benzina. Quanto carburante ha nel serbatoio prima di ripartire? [56 l] 349 Giocando a carte con tre avversari, effettuo due partite che terminano nel modo seguente: 1. vincita di 40 punti con il primo giocatore; perdita di 170 punti con il secondo giocatore; vincita di 10 punti con il terzo giocatore; 2. vincita di 60 punti con ciascun giocatore. Qual è la mia situazione attualmente?

[60 punti]

■ La moltiplicazione e la divisione 350 VERO O FALSO? a) Il prodotto di un numero per la somma di due opposti è 0.

V

F

b) Il quoziente di due numeri concordi è un numero positivo.

V

F

c) Il prodotto degli opposti di due numeri è uguale all’opposto del loro prodotto.

V

F

d) Il quoziente di due numeri interi è zero se il divisore è zero.

V

F

e) Se si moltiplica per  1 un qualunque numero intero a, si ottiene un risultato negativo.

V

F

351 Nella moltiplicazione ( 3) ⭈ (⫺ 2) ⭈ (⫹ 5) è possibile eliminare le parentesi di ⫺ 3? E le parentesi di ⫺ 2? E quelle di ⫹ 5?

352 Le seguenti scritture vogliono indicare moltiplicazioni fra due o tre interi. Segna le moltiplicazioni scritte in modo corretto e spiega perché le altre sono sbagliate. (⫺ 3) ⭈ (⫺ 5); ⫹ 7 ⭈ (⫺ 8); ⫹ 6 ⭈ ⫺ 4; ⫺ 2 ⫹ 1; ⫺ 2 (⫹ 1); (⫺ 4) ⭈ (⫺ 1); (⫺ 5) ⫺ 8; ⫺ 5 (⫺ 8); ⫺ 3 (⫺ 2); 3 ⭈ 2; (⫹ 3) 2; ⫹ 3 (⫺ 5); ⫹ 4 (8) (⫺ 2); (⫹ 4) ⭈ 8 ⭈ (⫺ 2); ⫹ 4 (8) ⭈ ⫺ 2; ⫹ 48 (⫺ 2).

Calcola i seguenti prodotti. 353 (⫹ 3) (⫹ 4); (⫺ 1) (⫹ 7);

(⫺ 5) (⫺ 2); (⫹ 8) (⫺ 6).

354 (⫹ 9) (⫺ 11); (⫹ 15) (⫹ 6);

(⫺ 12) (⫹ 7); (⫺ 13) (⫺ 5).

355 (⫹ 2) (⫺ 12) (⫺ 5);

(⫺ 2) (⫹ 2) (⫺ 2) (⫺ 2) .

356 COMPLETA la seguente tabella. a

⫹2

⫺5

b

⫺3

⫺7

ab

⫹3

⫹4

⫺8 ⫺6

⫺15

⫹36

⫹13 ⫺11

⫺7

⫹33

⫺21

⫺11

⫺7 ⫹1 ⫹1

0

53

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

Calcola in due modi diversi il valore delle seguenti espressioni, indicando la proprietà applicata.

363 Nell’insieme {⫺ 1, 0, ⫹ 1} l’addizione è operazione interna? E la moltiplicazione?

357 (⫺ 4) (⫺ 3) (⫹ 5);

(⫺ 3) (⫺ 7) ⫹ (⫹ 8).

358 (⫹5⫺4)(⫺6);

(⫺4)(⫹3⫺3).

364 (⫹ 15) ⬊ (⫹ 3); (⫺ 15) ⬊ (⫹ 3);

(⫹ 15) ⬊ (⫺ 3); (⫺ 15) ⬊ (⫺ 3).

359 ⫺ 8 (⫹ 6 ⫺ 4 ⫺ 2);

(⫹ 3 ⫺ 7) ⭈ (⫹ 5).

365 (⫺8)⬊(⫹4); (⫺8)⬊(⫹8);

(⫺8)⬊(⫺8); 0⬊(⫺5).

366 (⫺ 21) ⬊ (⫺ 7); (⫹ 1) ⬊ (⫺ 1);

(⫺ 7) ⬊ (⫹ 21); ⫺ 7 ⬊ 0.

Calcola i seguenti quozienti, quando esistono in Z.

360 (5 ⫺ 2 ⫹ 8) ⭈ (⫺ 11); (10 ⫺ 20 ⫺ 3) ⭈ (⫹ 2). 361 (⫺3)(⫺2)(⫺8)⭈[(⫹5)⫺(⫹6)];

(⫺ 45) ⬊ (⫹ 9); 367 0 ⬊ (⫹ 1368); (⫺ 1215) ⬊ (⫺ 27).

[(⫺ 6) ⫹ (⫺ 4) ⫹ (⫺ 5)] ⭈ (⫹ 2) (⫺ 3)(⫺ 1). 362 Nell’insieme {⫺ 2, 0, ⫹ 2} l’addizione è operazione interna? E la moltiplicazione?

368 ⫹ 54 ⬊ (⫺ 3); ⫹ 1964 ⬊ 0.

⫹ 1232 ⬊ (⫺ 22);

369 COMPLETA la seguente tabella. ⫺ 24

a b

⫹2

a⬊b

⫺6

⫺ 30

⫺ 20

⫺8

⫺3 ⫹2

⫹6

0

a ⬊ (⫺ b)

⫹ 28 ⫹7

⫺1

⫺1

⫹ 25

⫹5

⫺4 ⫺ 10

(⫺ a) ⬊ (⫺ b)

⫺4

⫹6

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 370 (⫺ 72) ⬊ (⫺ 6) ⬊ (⫹ 2); (⫺ 72) ⬊ [(⫺ 6) ⬊ (⫹ 2)].

371 (⫺ 7) ⭈ (4)⬊ (⫺ 2); (15) ⭈ [(⫹ 18)⬊ (⫺ 6)].

373 [( 12) ⭈ (⫺ 3)]⬊ [(⫹ 2) ⭈ (⫺ 3)]; (⫺ 63)⬊ {[(3) ⭈ (⫺ 4)]⬊ (4)}.

372 (⫺ 6)⬊ [(⫹ 18)⬊ (⫺ 3)]; (⫺ 24)⬊ [(2) ⭈ (⫺ 3)].

374 {(⫺ 30)⬊ [(⫺ 2) ⭈ (3)]}⬊ [(⫺ 1) ⭈ (⫹ 5)]; (⫺ 32)⬊ [(⫹ 4) ⭈ (⫺ 2)].

Raccogli il fattore comune agli addendi delle seguenti espressioni e poi calcolane il valore. Svolgi ogni esercizio raccogliendo il fattore sia con il segno ⫹ sia con il segno ⫺. 375 ⫺ 15 ⫹ 20 ⫺ 10 ⫹ 35 ⫽ ⫹ 5 (⫺ 3 ⫹ ... ⫺ ... ⫹ ...); ⫺ 15 ⫹ 20 ⫺ 10 ⫹ 35 ⫽ ⫺ 5 (⫹ ... ⫺ 4 ⫹ ... ⫺ ...). 376 ⫹ 7 ⫺ 21 ⫹ 14;

⫺ 27 ⫺ 9 ⫺ 12.

■ Le espressioni con le quattro operazioni

377 ⫹ 42 ⫺ 30 ⫺ 48 ⫹ 54;

⫺ 34 ⫹ 42 ⫹ 66

378 ⫺ 75 ⫺ 15 ⫹ 100;

⫹ 30 ⫺ 40 ⫺ 50 ⫹ 60

Nel sito:

䉴 11 esercizi di recupero

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 379 ⫺ 7⭈ (⫹ 6⫺ 4⫺ 7⫹ 2)⫺ 15 ⫹ 5⭈ (⫺ 12⫹ 7⫹ 3)

54

[⫺ 4]

Paragrafo 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

380  15  6⭈ (15 ⫺ 6 ⫺ 5) ⫺ 5⭈ (⫺ 3 ⫹ 2) ⫹ 7 ⫺ (⫹ 6⭈ 4 ⫺ 16)

ESERCIZI

[⫺ 5]

381 13 ⫺ 2⭈ (6 ⫺ 3 ⫹ 2) ⫺ 15⭈ (2 ⫺ 3) ⫹ 7⭈ (7 ⫺ 5 ⫺ 2)

[⫹ 18]

382 ⫹ 6 ⫺ 4 ⭈ 2 ⫹ 15 ⬊ 3 ⫺ 7 ⭈ 3 ⫹ 8

[⫺ 10]

383 ⫺ 7 ⫺ 5 ⭈ 2 ⫹ 16 ⬊ 8 ⫺ 5 ⫹ 6 ⫺ 18 ⬊ 3

[⫺ 20]

384 (⫺ 15) ⬊ 3 ⫺ 6 ⫹ 18 ⬊ (⫺ 6) ⫺ (⫹ 7 ⭈ 3 ⫺ 10) ⫹ 7 ⭈ 2

[⫺ 11]

385 (15⫺7)⬊(⫺4)⫺(7⫺3⭈2⫹4) ⬊ (⫺ 5) ⫺ (6 ⫺ 3 ⭈ 4)

[⫹5]

386 15 ⬊ (3 ⫺ 2 ⫹ 4) ⫺ (7 ⫺ 3 ⫹ 5 ⭈ 2) ⫹ 7 ⭈ (3 ⫺ 2 ⭈ 4) ⭈ (2 ⭈ 2 ⫺ 4)

[⫺ 11]

387 [3 ⭈ (2 ⫺ 4) ⫺ 5] ⭈ (⫺2) ⫺ [15 ⫹ 3 ⭈ (⫺ 4) ⫺ (⫺ 6 ⫹ 2)] ⫹ 5

[⫹20]

388 [3⭈ 2⭈ (10 ⫺ 7 ⫹ 4)⭈ (7 ⫺ 2 ⫹ 3) ⫺ 2⭈ 3 ⫺ 2] ⫺ [(8 ⫹ 7 ⫺ 18) ⫺ (7 ⫹ 10 ⫺ 15) ⫹ 13 ⫺ 17] ⫺ 300

[⫹ 37]

389 [(81 ⫺ 3 ⫹ 2 ⫺ 79 ⫹ 41 ⫹ 50) ⫹(⫺ 27 ⫹ 30 ⫹ 5 ⭈ 10 ⫺ 58) ⫹ 9] ⫺ [87 ⫹ 3 ⫺ 37 ⫺ 43 ⫺ (7 ⫹ 2 ⫹ 10 ⫺ 8)] [⫹ 97] 390 5⭈ 4 ⫹ 3⭈ [18 ⫹ 2 ⫺ 37 ⫹ (44 ⫺ 36 ⫹ 39)⭈ 3 ⫺ 130] ⫹ [17 ⫹ 1 ⫺ 2⭈ (3 ⫺ 4 ⫹ 5 ⫺ 9)⭈ (4 ⫹ 6 ⫺ 12)]

■ Le potenze

[0]

Calcola le seguenti potenze di numeri interi.

391 VERO O FALSO? a) Se il risultato di una potenza è negativo il suo esponente è dispari. b) Se il risultato di una potenza è positivo il suo esponente è pari. c) (⫺ 2)4 ⫽ (⫹ 2)4 d) 00 ⫽ 0 e) (⫺ 1)0 ⫽ 1

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

392 (⫺ 2) 3;

(⫹ 2) 2;

(⫺ 2) 4;

(⫹ 2) 5.

393 (⫺ 1) 5;

(⫹ 2) 1;

(⫺ 3) 2;

(⫺ 2) 0.

394 (⫺ 1) 4;

(⫺ 5) 0;

(⫺ 10) 2;

(⫺ 4) 3.

395 ⫺ 17;

(⫺ 1) 7;

⫺ 16;

(⫺ 1) 6.

COMPLETA

396 (…)3 ⫽ 27; (⫺ …)4 ⫽ … 16.

397 012 ⫽ …;

■ Le proprietà delle potenze

⫺ (⫺ 1)5 ⫽ ….

Nel sito:

398 ⫺ 35 ⫽ …;

(…)3 ⫽ ⫺ 125.

䉴 17 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

399 Calcoliamo: a) (⫺ 3) 9 ⬊ (⫹ 3) 6;

b) (⫹ 2) 8 ⬊ (⫺ 2) 5.

55

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

a) (⫺ 3) 9 ⬊ (⫹ 3) 6 ⫽ ⫺ (⫹ 3) 9 ⬊ (⫹ 3) 6 ⫽ ⫽ ⫺ (⫹ 3) 9 ⫺ 6 ⫽ ⫺ (⫹ 3) 3 ⫽ ⫺ 27.

b) (⫹ 2) 8 ⬊ (⫺ 2) 5 ⫽ (⫺ 2) 8 ⬊ (⫺ 2) 5 ⫽ ⫽ (⫺ 2) 8 ⫺ 5 ⫽ (⫺ 2) 3 ⫽ ⫺ 8.

Calcola il valore delle seguenti espressioni, applicando le proprietà delle potenze. 400 (⫺ 6) 9 ⬊ (⫺ 6) 3;

(⫺ 2) 2 ⭈ (⫺ 2) ⭈ (⫺ 2) 4;

(⫺ 24) 2 ⬊ (⫹ 6) 2.

401 [(⫺ 6) 3] 2 ⬊ (6) 5;

[(⫺ 6) 2 ⭈ (6) 3 ](6) 4;

[(⫺ 5) 4 ⭈ (4) 4] ⬊ (⫺ 20) 3.

402 [(⫺ 15) 3 ⬊ (⫹ 3) 3] 2;

[(⫺ 2) 2 ⭈ (2) 3] ⬊ (⫺ 2) 2;

[(⫺ 4) 2 ⭈ (4) 3] 2 ⬊ (⫺ 4) 9.

403 [(7) 3 ⭈ (⫺ 6) 3] 2 ⬊ (⫺ 21) 6;

[(⫹ 2) 4 ⭈ (⫺ 2) 3] ⬊ (⫺ 2) 5;

[(⫺ 6) 4 ⬊ (3) 4] 2 ⭈ (2) 4.

404 [(2) 3 ⭈ (5) 3] 2 ⬊ (⫺ 10) 3;

(⫺ 2) 4 ⭈ (2) 3 ⬊ (⫺ 2) 2;

[(⫹ 7) 4] 2 ⬊ (7) 6.

405 [(⫺ 2) 3 ⬊ (2) 2] 3 ⬊ (⫺ 2) 2;

[(⫺ 10) 6 ⬊ (⫹ 5) 6 ] 4 ⬊ (⫺ 2) 20;

{[(⫺ 4) 2 ] 3 ⬊ (⫺ 2) 6 } ⭈ (2) 2. BRAVI SI DIVENTA

4

3 3

3 2

5

5

5 3

6

5

6

5 2 6

䉴 E02

5

406 [⫺ 8 ⬊ (⫺ 8) ] ⬊ [(⫺ 2) ] ⫹ 2 ⫹ [(⫺ 12) ⬊ 4 ] ⬊ 9 ⫺ [(⫺ 3) ⭈ 3 ⬊ (3 ) ] ⬊ 3 407 [(611 ⫹ 610) ⬊ (⫺ 65)2] ⭈ (⫺ 74)2 ⬊ (⫺ 7)6

[⫹ 343]

408 ⫺[(125)4 ⭈ (⫺ 5)8] ⬊ [(⫺ 25)2]5 ⫹ (⫺ 5)9 ⬊ (625)2

[⫺ 6]

409 (179 ⫺ 178) ⬊ 178 ⭈ [(⫺ 2)4]3 ⬊ [(⫺ 24) ⭈ (⫺ 2)6]

[⫺ 64]

410 {[304 ⬊ (⫺ 6)4 ⬊ (5)3]2 ⭈ [(⫺ 5)3]3} ⬊ [(⫺ 15)5 ⬊ (3)5]2

[⫺ 5]

411 ASSOCIA a ciascuna espressione il suo risultato. 2

2

1. 23

2. ⫺ [(⫺2)3]2

3. ⫺ 23

4. (⫺ 23)2

A. ⫺29

B. 26

C. 29

D. ⫺26

COMPLETA

412 (⫹ 3) 20 ⬊ (⫹ 3) 4 ⫽ (⫹ 3)…;

[(⫺ 6) 3]8 ⫽ …6…;

(⫹ 5)4 ⭈ (⫺ 5)3 ⫽ …5….

413 (⫺ 2) 8 ⭈ (⫺ 2) ⫽ …2…;

(⫺ 30) 4 ⬊ (⫹ 5) 4 ⫽ (…)4;

(⫺ 4) 10 ⭈ … ⫽ ( ⫹ 20)10.

414 (⫺ 6) 5 ⭈ (⫺ 9) 5 ⫽ (⫹ 54)…;

(…) 7 ⬊ (⫺ 8) 7 ⫽ ⫺ 1;

[(⫺ 3) …]6 ⫽ (⫹ 3)42.

415 [(…) 3]2 ⫽ 0;

43 ⫽ 4…;

2

COMPLETA usando le proprietà delle potenze.

416 [ (2)4]2 ⫽ … ;

(⫺2)6 ⭈ (⫹2)5 ⭈ (⫺2) ⫽ …

417 (⫺24) ⭈ (⫺25) ⫽ … ;

⫺24 ⭈ (⫹2)3 ⫽ …

56

[(⫺ 3) 2]3 ⫽ …;

(⫺ 32) 3 ⫽ … .

Scrivi, quando è possibile, il risultato come un’unica potenza di b, applicando le proprietà delle potenze. 418 (⫺b2)3 ⭈ b4;

b4 ⫺ b3.

419 ⫺b8 ⬊ b4;

b2 ;

3

(b2)3.

Paragrafo 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

■ Espressioni con numeri interi

Nel sito:

ESERCIZI

䉴 17 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

420 Calcoliamo il valore della seguente espressione: [15  (13 ⭈ 2 ⫺ 10)] 3 ⫹ [(⫺ 3) 2 ⭈ (⫺ 2) 2 ⬊ 18] 5 ⬊ (⫺ 2) 4 ⫺ 2. Svolgiamo i calcoli dentro le parentesi e applichiamo la proprietà del prodotto di potenze con esponente uguale [a n ⭈ b n ⫽ (ab) n ]: ⫽ [15 ⫺ (26 ⫺ 10)] 3 ⫹ {[(⫺ 3) ⭈ (⫺ 2)] 2 ⬊ 18} 5 ⬊ (⫺ 2) 4 ⫺ 2 ⫽ ⫽ [15 ⫺ 16] 3 ⫹ {6 2 ⬊ 18} 5 ⬊ (⫺ 2) 4 ⫺ 2 ⫽ ⫽ [⫺ 1] 3 ⫹ {36 ⬊ 18}5 ⬊ (⫺ 2) 4 ⫺ 2 ⫽ ⫺ 1 ⫹ 2 5 ⬊ (⫺ 2) 4 ⫺ 2 ⫽ Poiché l’esponente è pari, si ha (⫺ 2) 4 ⫽ 24: ⫽ ⫺ 1 ⫹ 25 ⬊ 24 ⫺ 2 ⫽ Possiamo applicare la proprietà del quoziente di potenze con uguale base (a n ⬊ a m ⫽ a n ⫺ m ): ⫽ ⫺ 1 ⫹ 2 5  4 ⫺ 2 ⫽ ⫺ 1 ⫹Ⲑ2 ⫺2 Ⲑ ⫽ ⫺ 1.

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 421 12 ⫹ 3 ⫺ 4 ⭈ 2 2 ⫺ 4 2 ⬊ 4 ⫺ 15 ⬊ 3 ⫺ 6

[⫺ 16]

422 10 ⫺ (15 ⬊ 5 ⫺ 3 2 ⬊ 3) ⫹ 4 ⭈ (2 2 ⫺ 3 2 ) ⫹ 7 ⭈ 2

[⫹ 4]

423 (10 ⭈ 2 ⫺ 6) ⬊ (3 2 ⫺ 2) ⫹ 7 ⭈ (4 ⭈ 2 ⫺ 5) ⫺ 6 ⬊ 3 ⫹ (2 2 ) 3 ⫺ 50

[⫹ 35]

424 (10 ⫹ 6 ⭈ 2 2 ) ⬊ (2 3 ⬊ 2 2 ) ⫺ 15 ⭈ 2 ⫹ (7 ⫺ 4 ⭈ 6) ⫺ (4 ⫹ 3 ⫺ 7 2)

[⫹ 12]

425 [17⫺(15 ⭈ 2⫺13)] 3 ⫹[(⫺7) 2 ⬊ 7] 0 ⫺ [15 ⫹ 6 ⭈ (4 ⭈ 3 ⫺ 6 ⭈ 2)] ⫹ 7

[⫺ 7]

426 15 ⫺ (⫺ 2) 3 ⭈ (2 2) ⫹ 17 ⭈ 2 ⫺ 15 ⭈ 4 ⫺ [(4) 2 ] 3 ⬊ (2) 4 ⫹ 200

[⫺ 35] BRAVI SI DIVENTA

䉴 E03

427 {16 ⬊[⫺ 3 (6 ⫺ 23) ⫹ 2 (⫺ 5)]} 3 ⬊(⫺ 2)4 ⫺ (⫺ 3)2 [5 ⫺ (2 ⫺ 6 ⫹ 1)] 428 {[2 ⫺ 7 ⭈ (4 ⫺ 6)] ⬊ (⫺ 2) ⫺ (⫺ 23 ⫹ 22)} ⬊ (⫺ 2) ⫹ [⫺ (⫺ 2 ⫹ 7) ⭈ (⫺ 4)]

[⫹ 22]

429 [(6 ⫺ 22) ⬊ (⫺ 2)3 ⫹ (11 ⫺ 13) ⭈ (⫺ 7 ⫹ 4)] ⭈ (8 ⫺ 11) ⫹ (⫺ 2 ⭈ 3 ⫹ 4 ⭈ 9)

[⫹ 6]

430 (⫺ 4 ⫹ 2)3 ⭈ 4 ⫺ {[(5 ⫺ 7) ⭈ (4 ⫺ 1) ⫹ 3] ⬊ 3⫺ (⫺ 5) ⫹ 2(⫺ 4)}

[⫺ 28]

431 {⫺ (⫹ 7) ⫺ [⫺ 3(⫺ 3)]} ⫹ {[⫺ 6 ⭈ (⫺ 1)] ⫺ [⫺ (⫺ 2)]} ⫺ {⫺ [⫺ (⫺ 5)] ⫺ [(⫺ 1) ⭈ (⫺ 3)]}

[⫺ 4]

432 (3 ⭈ 5 ⫺ 40 ⬊ 2) ⫺ {5 ⭈ 2 ⫺ [3 ⭈ (⫺ 2) ⫺ (⫺ 15) ⬊ 3] ⫹ [( ⫺ 12) ⬊ (⫺ 3) ⫺ (⫺ 6) ⭈ (⫺ 2)]} ⬊ [(⫺ 5) ⭈ 4 ⫹ 17]

[⫺ 4]

57

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

433 {[(⫺ 4)3 ⭈ (⫺ 4)4 ⭈ (⫺ 4)2 ] ⬊ [(⫺ 4)3 ⭈ (⫺ 4)1 ]} ⬊ [⫺ (4)3 ⭈ (⫺ 4)0 ]

[⫹ 16]

434 {[(⫺ 7)4 ⭈ (⫺ 3)4 ]2 ⬊ [(21)3 ⭈ (21)2 ]} ⬊ {[(⫺ 7)2 ] 2 ⬊ 7}

[⫹ 27]

435 [7 ⭈ 9 ⬊ (47 ⫺ 5 ⭈ 8)] ⬊ [(⫺ 4 ⭈ 8) ⫹ 29] ⭈ {5 ⭈(⫺ 4) ⫺ [⫺ 5 ⫹(⫺ 4 ⭈ 7 ⫹ 4) : 2] ⫹ 1}

[⫹ 6]

436 {16 ⬊[18 ⫺ 5 ⭈ (3 ⫺ 2 ⫹ 1)]} 3 ⬊(⫺ 2) 2 ⫹ 6 ⭈ [4 ⫺ (3 ⭈ 2 ⫹ 1)] ⫺ 15

[⫺ 31]

437 {(⫺ 2)4 ⫺ [(⫺ 2)2 ⫹ 34 ⬊ (⫺ 3)2 ⭈ (23 ⬊ 22 )2 ] ⬊ [(⫺ 22 )1 ⭈ (20 )]} ⭈ 2 ⫺ (⫺ 4)2

[⫹ 36]

438 {[(18 ⫺ 4 ⭈ 5) ⭈ (⫺ 2)2 ]3 ⬊ [(⫺ 2)2 ]3} ⫺ [7 ⭈ (5 ⫺ 3)]2 ⬊ [(2)5 ⫺ (⫺ 5)2 ]2

[⫺ 12]

439 {[(24 ⫺ 7 ⭈ 3)4 ⬊ (⫺ 3) 2 ] 3 ⬊ (3) 6} ⭈ [15 ⫺ (16 ⫹ 6)] 2 ⫺ 43 ⫹ 7

[⫹ 13]

440 [(⫺ 3)7 ⬊ (⫹ 3)4 ⭈ (⫹ 3)2] ⭈ (⫺ 2)5 ⬊ [ ⫺ (⫹ 7)2 ⭈ (⫺ 7)3 ⬊ (⫺ 72)2 ⫺ 1]4 ⫺ 64 ⬊ [(⫹ 2)3 ⭈ (⫺ 3)3]

[⫹ 12]

441 {[(⫺ 3)6 ⭈ (⫺ 3)2] ⬊ (⫺ 3)5}2 ⬊ [(⫺ 3) ⭈ (⫺ 3)2]2 ⫹ [(⫹ 2)3 ⭈ (⫹ 2)4] ⬊ [(⫺ 2)3]2

[⫹ 3]

442 {[⫺ 24 ⭈ (⫹ 2)3] ⭈ [(⫹ 3)2 ⭈ (⫺ 3)5]} ⬊ (⫹ 6)5 ⫺ 32 ⫹ (⫺ 3)2 ⬊ (⫹ 3) ⫺ 70

[⫹ 29]

443 (⫹ 42)3 ⭈ {[(⫺ 2)3]2 ⭈ [(⫹ 2)2]4} ⬊ {[(⫺ 4)3]2}2 ⫹ (⫺ 4)2 ⭈ (⫹ 4)3 ⬊ (⫺ 4)4

[⫹ 8]

444 {(⫺ 7)6 ⭈ (⫹ 2)6 ⬊ [(⫹ 14)3]2 ⭈ (⫺ 14)}7 ⬊ {[(⫺ 21)2]3 ⬊ (⫹ 3)6} ⬊ (⫺ 2)4

[⫺ 56]

445 {[⫺ 10 ⭈ (⫹ 10)3 ⭈ 107]5 ⬊ [(⫺ 10)5]9} ⬊ {[(⫹ 5)7 ⭈ (⫺ 5)3]3 ⬊ [(⫺ 5)4]5}

[⫺ 8]

446 (⫺ 2)2 ⫺ (23 ⫹ 22) ⬊ 22 ⫹ {23 ⭈ [⫺ 52 ⬊ (⫺ 5)]3} ⬊ [(⫺ 6)3 ⬊ (⫺ 2)3 ⫺ 32 ⫺ 23] ⫺ 50

CACCIA ALL’ERRORE

447 17  (3  4  7) ⫽ 17 ⫺ 3 ⫹ 4 ⫺ 7 ⫽ 11 448 (⫺ 6) 2 ⬊ (3) 2 ⫹ 7 ⫺ 14 ⫽ ⫺ 4 ⫹ 7 ⫺ 14 ⫽ ⫺ 11 449 17 ⫹ (3 ⭈ 2) ⫺ 16 ⫹ 2 2 ⫽ ⫽ (17 ⫹ 3) ⭈ (17 ⫹ 2) ⫺ 16 ⫹ 4 ⫽ ⫽20⭈ 19⫺16⫹4⫽ ⫽180⫺16⫹4⫽ 168 450 (18) 2 ⬊ (⫺ 6) 2 ⫹ (⫺ 2) 3 ⭈ 2 2 ⫺ 16 ⫹ 1 ⫽ ⫽ (⫺ 3) 2 ⫹ (⫺ 2) 1 ⫺ 16 ⫹ 1 ⫽ ⫽ 9 ⫺ 2 ⫺ 16 ⫹ 1 ⫽ ⫺ 8 451 (15 ⬊ 3 ⫺ 4) 2 ⫹ 5 ⫺ 3 ⭈ (⫺ 3) 2 ⫺ 2 ⫽ ⫽(5 ⫺ 4) 2 ⫹ 5 ⫹ 27 ⫽ 1 ⫹ 5 ⫹ 27 ⫽ 33

58

[⫹ 100]

452 (14 ⬊ 7 ⫺ 4) 0 ⫹ 6 ⫺ (13 ⫹ 7 ⫺ 6) ⫽ ⫽(2 ⫺ 4) 0 ⫹ 6 ⫺ 13 ⫺ 7 ⫹ 6 ⫽ ⫽ ⫺ 2 ⫹ 6 ⫺ 13 ⫺ 7 ⫹ 6 ⫽ ⫺ 10 453 (2 2 ) 3 ⫺ 4 ⫹ 6 ⫹ 15 ⫺ 7 ⫹ (2) 2 ⬊ (⫺ 2) 1 ⫽ ⫽ 2 5 ⫺ 4 ⫹ 6 ⫹ 15 ⫺ 7 ⫺ 2 ⫽ ⫽ 32 ⫺ 4 ⫹ 6 ⫹ 15 ⫺ 7 ⫺ 2 ⫽ 40 Cambia le parentesi o inseriscine di nuove in modo che il risultato sia corretto. 454 ⫺ 2 ⫹ 4 ⭈ (⫹ 3) ⫽ 6; ⫺ 12 ⬊ (⫺ 6) ⬊ (⫺ 2) ⫽ ⫺ 4. 455 16 ⫺ 4 ⭈ 2 ⫽ 24;

15 ⫺ 16 ⫹ 2 ⫽ ⫺ 3.

Paragrafo 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi

ESERCIZI

■ Le espressioni letterali in Z 456 COMPLETA la tabella, sostituendo ad a i valori riportati nella prima colonna. a

 2a

a

a2

 ( a)

 a2

( 3a) 2

 3a 2

1 3 5 2

457 COMPLETA la tabella, sostituendo ad a e a b i valori riportati nelle prime due colonne. a

b

2

3

7

3

2

6

1

1

 ( a)

 ( b)

a b

 (b  a)

(a  b) 2

(b  a) 2

Calcola il valore delle seguenti espressioni dopo aver sostituito alle lettere i valori scritti a fianco. 458 3x

x ⫽ 0, ⫺ 1, ⫹ 5, ⫺ 3.

459 2y

y ⫽ ⫺ 1, ⫺ 2, ⫹ 6, ⫺ 8.

463 2ab

a ⫽ ⫺ 3, b ⫽ ⫺ 4; a ⫽ ⫺ 10, b ⫽ ⫹ 5.

464 a 2 ⫺ b 2

a ⫽ ⫹ 5, b ⫽ ⫺ 4; a ⫽ ⫺ 3, b ⫽ ⫹ 7.

460 3 ⫺ x

x ⫽ 0, ⫺ 1, ⫹ 5, ⫺ 3.

461 a ⫺ b

a ⫽ 10, a ⫽ 0,

b ⫽ ⫺ 8; b ⫽ ⫹ 3.

465 3a 2b

a ⫽ ⫺ 1, b ⫽ ⫹ 2; a ⫽ ⫹ 6, b ⫽ ⫺ 3.

462 3a ⫹ 2b

a ⫽ ⫺ 1, a ⫽ ⫺ 2,

b ⫽ ⫹ 2; b ⫽ ⫺ 3.

466 (a ⫹ b)(a ⫺ b)

a ⫽ ⫹ 5, b ⫽ ⫺ 4; a ⫽ ⫺ 3, b ⫽ ⫹ 7.

ESERCIZIO GUIDA

467 Calcoliamo il valore dell’espressione ⫺ a 2 ⫹ 2ab ⫺ 3b 2 per a ⫽ ⫺ 3, b ⫽ ⫹ 2. Per eseguire la sostituzione, scriviamo le lettere a e b fra parentesi: ⫺ (a) 2 ⫹ 2 ⭈ (a) ⭈ (b) ⫺ 3 ⭈ (b) 2. Sostituiamo: ⫺ (⫺ 3) 2 ⫹ 2 ⭈ (⫺ 3) ⭈ (⫹ 2) ⫺ 3 ⭈ (⫹ 2) 2 ⫽ ⫽⫺ (⫹ 9) ⫹ 2 ⭈ (⫺ 6) ⫺ 3 ⭈ (⫹ 4) ⫽ ⫽⫺ 9 ⫺ 12 ⫺ 12 ⫽ ⫺ 33. Calcola il valore delle seguenti espressioni dopo aver sostituito alle lettere i valori scritti a fianco. 468 a ⭈(a ⫺b)⫺a 2 ⫹2a ⫹ab

a⫽⫺1, b⫽⫹2.

[⫺2]

469 ⫺ 3[a ⫹ b (a ⫺ 2b) ⫺ 6ab] ⫺ 15ab

a⫽⫹4, b ⫽⫺3.

[⫹42]

59

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

470 a(b ⫹ a) ⫹ b 2 ⫺ a 3 ⫹ b (b ⫹ 2a)

a ⫽ ⫺ 2,

b ⫽⫹3.

[⫹ 12]

471 a (b ⫹ a) ⫺ a 2 ⬊ a ⫺ b 3 ⫹ b (a ⫹ b)

a ⫽ ⫹7,

b ⫽ ⫹4.

[⫹ 50]

472 ab ⫺ 7a (b ⫹ a) ⫺ 4b 2 ⭈ (b ⫺ a) ⫹ 3b

a ⫽ ⫺ 1,

b ⫽ ⫹ 3.

[⫺ 124]

■ Dalle parole alle espressioni numeriche ESERCIZIO GUIDA

473 Traduciamo in espressione la frase «Moltiplica per ⫺ 6 la somma di ⫹ 5 e ⫺ 2, poi aggiungi al risultato l’opposto del quoziente fra ⫹ 72 e ⫺ 4», e calcoliamo il valore dell’espressione. Facciamo una traduzione analitica: «la somma di ⫹ 5 e ⫺ 2» → ⫹ 5 ⫹ (⫺ 2); «l’opposto del quoziente fra ⫹ 72 e ⫺ 4» → ⫺ (⫹ 72) ⬊ (⫺ 4). L’espressione richiesta è la seguente: ⫺ 6 ⭈ [⫹ 5 ⫹ (⫺ 2)] ⫺ (⫹ 72) ⬊ (⫺ 4). Calcoliamo il risultato: ⫺ 6 ⭈ (⫹ 3) ⫺ (⫺ 18) ⫽ ⫺ 18 ⫹ 18 ⫽ 0. Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcolane il valore. 474 Sottrai alla somma di 7 e del prodotto di 2 per 3 la differenza tra 15 e il prodotto di 7 per 2, aggiungi poi al risultato il quoziente di 16 per ⫺ 2. [4] 475 Sottrai a 17 il prodotto di 4 per la somma di 3 e del prodotto di 2 per ⫺ 1, aggiungi poi al risultato il prodotto di 8 per ⫺ 2. [⫺ 3] 476 Moltiplica per ⫺ 3 la differenza tra 4 e il prodotto di 2 per 3, sottrai poi al risultato il quoziente della divisione di 15 per la somma tra 2 e 3. [3]

■ Dalle parole alle espressioni letterali

Nel sito:

䉴 15 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

477 Traduciamo in espressione la frase «Dati due numeri a e b, sottrai dal quadrato della somma del triplo di a con il quintuplo di b la differenza fra il quadrato di a e il quadrato di b», poi calcoliamo il valore dell’espressione per a ⫽ ⫺ 2 e b ⫽ ⫺ 3. Facciamo una traduzione analitica: «triplo di a» → 3a; «quintuplo di b» → 5b; «somma del triplo di a con il quintuplo di b» → 3a ⫹ 5b; «quadrato della somma del» → (3a ⫹ 5b) 2; «sottrai dal quadrato» → (3a ⫹ 5b) 2 ⫺;

60

Sostituiamo: [3 ⭈ (⫺ 2) ⫹ 5 ⭈ (⫺ 3)] 2 ⫹ L’espressione richiesta è la seguente: ⫺ [(⫺ 2) 2 ⫺ (⫺ 3) 2 ] ⫽ 2 2 2 (3a ⫹ 5b) ⫺ (a ⫺ b ). ⫽ (⫺ 6 ⫺ 15)2 ⫺ [⫹ 4 ⫺ (⫹ 9)] ⫽ Per sostituire i valori, riscriviamo ⫽ (⫺ 21) 2 ⫺ (4 ⫺ 9) ⫽ l’espressione mettendo fra parentesi ⫽ ⫹ 441 ⫺ (⫺ 5) ⫽ le lettere: ⫽ ⫹ 441 ⫹ 5 ⫽ ⫹ 446. [3 ⭈ (a) ⫹ 5 ⭈ (b)] 2 ⫺ [(a) 2 ⫺ (b) 2 ].

«la differenza fra il quadrato di a e il quadrato di b» → a 2 ⫺ b 2.

Paragrafo 12. Le leggi di monotonia

ESERCIZI

Essendo a e b due numeri interi, traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola il valore delle espressioni per i valori indicati. 478 Aggiungi il quadruplo di b alla differenza tra il triplo di a e b ;

a ⫽ 3, b ⫽ 2.

[15]

479 Somma al doppio di a il quadrato della differenza tra b e il triplo di a;

a ⫽ ⫺ 2, b ⫽ 1.

[45]

480 Dividi la somma di sette volte a e il cubo di b per la somma di a e b;

a ⫽ 5, b ⫽ ⫺ 2.

[9]

481 Sottrai a 2 la differenza tra il triplo di a e la somma tra b e il doppio di a;

a ⫽ 1, b ⫽ ⫺ 5.

[⫺ 4]

482 Moltiplica la somma del quadruplo di a e del triplo di b per la somma del doppio di a e del triplo di b ; a ⫽ ⫺ 3, b ⫽ 2.

[0]

483 Somma il prodotto di b per la somma tra b e il doppio di a alla differenza tra il quadrato di b e il cubo di a; a ⫽ ⫺ 2, b ⫽ 3.

[14]

–䊳 Teoria a pag. 27

12. Le leggi di monotonia COMPLETA

484 La seguente tabella è formata da quattro colonne: nella prima ci sono uguaglianze e disuguaglianze vere; nella seconda viene indicata l’operazione che devi eseguire sui due membri. Riscrivi nella terza colonna l’uguaglianza (o la disuguaglianza) dopo aver trasformato entrambi i membri secondo l’operazione indicata. Nella quarta colonna scrivi se la (dis)uguaglianza che hai scritto nella terza colonna è vera o falsa. (DIS) UGUAGLIANZA

OPERAZIONE

(DIS)UGUAGLIANZA

⫺4⫺3⫽⫺7

aggiungi 3

⫺4⫽⫺7⫹3

⫺4⬍⫺1

moltiplica per ⫺ 1

8 ⭈ (⫺ 9) ⬎ ⫺ 75

aggiungi 75

(⫺ 3) ⭈ (⫺ 8) ⫽ 2 ⭈ 12

dividi per 2

(⫺ 4) ⭈ (⫺ 8) ⫽ 2 ⭈ 16

dividi per ⫺ 2

(⫺ 3) ⭈ 8 ⱕ 2 ⭈ 12

dividi per ⫺ 2

(⫺ 3) ⫺ (⫺ 8) ⬎ ⫺ 2

sottrai 2

8 ⬎ 2 ⭈ (⫺ 3)

moltiplica per ⫺ 4

5⭈8⬎0

moltiplica per 2

5⭈8⬎0

moltiplica per ⫺ 2

5⭈8⬎0

sottrai ⫺ 2

3 ⫺ 4 ⬍ 3 ⫺ (⫺ 4)

aggiungi 4

VERO/FALSO

V

485 Applica alle seguenti uguaglianze e disuguaglianze le leggi di cancellazione. 5⫹3⫽1⫹4⫹3

.............................................................

48 ⫺ 12 ⫽ 6 ⭈ (4 ⫹ 2)

.............................................................

6⫹5⬍8⫹2⫹5

.............................................................

20 ⫺ 4 ⬎ 2 ⭈ 5 ⫺ 4

.............................................................

7 ⭈ 3 ⫽ (5 ⫹ 2) ⭈ 3

.............................................................

1⫺2⫽2⭈5⫺2

.............................................................

3⭈4⬍9⭈4⭈5

.............................................................

3 ⭈ 8 ⫺ 2 ⬍ 30 ⫺ 2

.............................................................

61

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

I numeri naturali con Derive ESERCITAZIONE GUIDATA

Con l’aiuto di Derive troviamo il M.C.D. e il m.c.m. fra 2250 e 1050. Attiviamo Derive. Inseriamo e scomponiamo i due numeri in fattori primi con il comando Semplifica_Fattorizza. ● Dalla tastiera impostiamo il calcolo del massimo comune divisore inserendo i fattori comuni con il minimo esponente. ● Svolgiamo il prodotto con Semplifica_Sviluppa e otteniamo il massimo comune divisore. ● Operiamo similmente per ottenere il minimo comune multiplo, scegliendo i fattori comuni con il massimo esponente e i non comuni. ● Per verifica applichiamo le funzioni di Derive GCD per il massimo comune divisore e LCM per il minimo comune multiplo. ● Effettuiamo un’altra verifica sfruttando la proprietà che dice che dividendo il prodotto di due numeri per il loro massimo comune divisore ottieni il loro minimo comune multiplo. ● ●

䉴

Nel sito:

Figura 1

䉴 1 esercitazione guidata con Derive 䉴 19 esercitazioni in più 䉴 1 esercitazione guidata e 11 esercitazioni con Excel

■ Esercitazioni Verifica le proprietà delle potenze controllando la validità o meno delle seguenti uguaglianze. Quando l’uguaglianza è falsa, correggi il secondo membro in modo da ottenere l’uguaglianza vera e verifica di nuovo. 1

[(33 ⬊ 3)3 ⬊ 32]2 ⫽ 39 ?

2

(⫺10)6 ⬊ (⫺103) ⬊ (⫺ 10)2 ⫽ 10?

3

{[(54 ⬊ 5)2 ⬊ 55 ]2 ⭈ 5} ⬊ 53 ⫽ 5?

4

Sul quaderno applica i criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9, 11 ai seguenti numeri: 565, 692, 725, 781, 1143, 2342, poi opera con il computer la scomposizione in fattori e controlla i tuoi risultati.

62

5

I numeri triangolari sono: T1 ⫽ 1, T2 ⫽ 1 ⫹ 2, T 3 ⫽ 1 ⫹ 2 ⫹ 3, T 4 ⫽ 1 ⫹ 2 ⫹ 3 ⫹ 4, … I numeri quadrati sono: Q 1 ⫽ 1, Q 2 ⫽ 22, Q 3 ⫽ 32, Q 4 ⫽ 42, … Verifica con il computer la proprietà che dice che il numero quadrato di posto n è uguale alla somma del numero triangolare di posto n e di quello di posto n ⫺ 1, assegnando a n i valori 10, 32, 580.

6

Verifica con il computer le seguenti proprietà: a) 13 ⫹ 23 ⫹33 ⫹ … ⫹ n 3 ⫽ (1 ⫹ 2 ⫹ 3 ⫹… ⫹n)2 sostituendo a n 12, poi 27, poi 112; b) 1 ⫹ 3 ⫹ 5 ⫹ … ⫹ (2n ⫺ 1) ⫽ n 2 sostituendo a n i valori che vanno da 1 a 10.

Matematica per il cittadino

ESERCIZI

Matematica per il cittadino I MELI

Un agricoltore pianta nel suo terreno dei meli in modo da formare un quadrato. Per proteggere questi alberi dal vento, il contadino dispone delle conifere intorno al frutteto. Nella figura è rappresentata la disposizione dei meli e delle conifere per n filari di meli, nei casi n ⫽ 1, n ⫽ 2, n ⫽ 3 e n ⫽ 4. I simboli «•» e «⫻» indicano rispettivamente un melo e una conifera.

n=1

n=2

n=3

1. Completa la tabella inserendo nei riquadri i valori corretti. n

1

2

3

4

5

numero di meli

n=4

5. Ipotizziamo che i meli siano disposti in modo da formare un triangolo isoscele la cui altezza contiene n meli (nella figura seguente è rappresentato il caso n ⫽ 4).

numero di conifere n

2. Se n è il numero dei filari, come puoi esprimere il numero di meli nella disposizione a quadrato? 3. Qual è l’espressione del numero totale di piante di conifere? 4. Supponiamo che i meli siano piantati in modo da formare un rettangolo con l’altezza doppia della base e che la base contenga n meli. Come puoi esprimere il numero totale dei meli?

Qual è l’espressione del numero totale dei meli? A

(1 ⫹ 2 ⫹ 3 ⫹ … ⫹ n) ⭈ 2

B

1 ⫹ 3 ⫹ 5 ⫹ … ⫹ 2n

C

n2 (2n ⫺ 1) ⭈ n ᎏᎏ 2

D

63

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

2

Solo in una delle seguenti uguaglianze è stata applicata la proprietà invariantiva della divisione. Quale?

A

(7 ⫺ 4) ⫹ 5

D

9 ⫺ (7 ⫺ 5)

B

(7 ⫺ 5) ⫺ 3

E

(9 ⫺ 7) ⫹ 5

B

36  12 ⫽ 24  1

C

(7 ⫹ 5) ⫺ 9

C

36  12 ⫽ 9  3

D

36  12 ⫽ 3 ⭈ 1

E

36  12 ⫽ 2 ⫹ 1

D E

B

66.

C

30.

D

3.

2n ⫹ 1.

B

2(n ⫹ 1) ⫺ 1.

E

2n.

C

2(n ⫹ 1).

E

22.

C

A B

D E

E

⫺ 8  (⫺ 4) (⫺ 4)  (⫺ 8)

⫺ 36. 36. ⫺ 34.

D E

34. 310.

10 ⫺ 7 ⫹ 2 ⫽ 3 ⫹ 2 10 ⫺ 7 ⫹ 2 ⫽ 10 ⫺ (7 ⫹ 2) 10 ⫺ 7 ⫹ 2 ⫽ (10 ⫺ 7) ⫹ 2 10 ⫺ 7 ⫹ 2 ⫽ 10 ⫺ 5 10 ⫺ 7 ⫹ 2 ⫽ 10 ⫺ (7 ⫺ 2)

11 Moltiplicando per ⫺ 1 i due membri della disuguaglianza ⫺ 5 ⬎ ⫺ 10, otteniamo:

D

a ⫹ b. a ⭈ b. 10a ⫹ b.

E

a ⫹ 10b. a ⭈ 10b.

2

n ⭈ (n ⫺ 1) . n ⭈ (n ⫺ 1)2. n 2 ⭈ (n ⫺ 1).

D E

A B C

5 ⬎10. ⫺ 5 ⬎10. ⫺ 5⫺ 1 ⬎⫺ 10⫺ 1.

D E

⫺ 5⫺ 1 ⬍ ⫺ 10⫺ 1. 5 < 10.

12 Fra le seguenti uguaglianze, una sola è vera. Quale? (a 僆 Z)

Il prodotto del numero n, maggiore di 1, per il quadrato del suo precedente è: B

D

La scrittura (⫺ 3)8  32 è equivalente a:

C

In base 10 un numero naturale è formato da a decine e b unità. Il numero è:

A

(⫺ 1)  3 1  (⫺ 3) 9  (⫺ 2)

10 In quale delle seguenti uguaglianze non è stata applicata correttamente la proprietà associativa?

D

2

9

C

n ⫹ 1.

C

C

B

A

B

B

A

Il successivo del numero 2n ⫺ 1 è:

A

64

(12 ⭈ 6) ⫹ 3 ⫽ 36 ⭈ 18 (12  6) ⫹ 1 ⫽ 13  6 (12 ⫹ 6) ⭈ 2 ⫽ 24 ⫹ 12 (12 ⫺ 6) ⫹ 2 ⫽ 14 ⫺ 8 (12 ⭈ 6)  2 ⫽ 24  3

8.

Fra le seguenti divisioni una sola è possibile in Z. Quale? A

Nel sistema decimale, il numero (22)3 equivale a: A

6

8

Solo in una delle seguenti uguaglianze è stata applicata in modo corretto la proprietà distributiva. Quale?

C

5

Delle seguenti operazioni solo una è eseguibile in Z e non in N. Quale?

36  12 ⫽ 34  10

B

4

7

 questi test interattivi  30 test interattivi in più

A

A

3

Nel sito:

2

n ⭈n ⫺1 . n ⭈ n 2 ⫺ 1.

A B C D E

⫺ a 2 ⭈ (⫺ a)5 ⫽ ⫺ a 7 (⫺ a)2 ⭈ a 5 ⫽ a 7 (⫺ a)2 ⭈ (⫺ a)5 ⫽ a 7 a 2 ⭈ (⫺ a)5 ⫽ a 7 ⫺ a2 ⭈ a5 ⫽ a7

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ Spiega perché sono valide le seguenti affermazioni. 13 Il prodotto fra due numeri consecutivi è sempre un numero pari. 14 Se M.C.D.(a, b) ⫽ a, allora b è multiplo di a.

17 Discuti la validità delle seguenti affermazioni. a) «L’uguaglianza a : 1 ⫽ 0 è vera per qualunque valore di a naturale». b) «0 : a ⫽ 0 è vera per ogni numero a naturale».

15 Il m.c.m. di due numeri primi fra loro è uguale al prodotto dei due numeri.

18 La somma dei valori assoluti di due numeri opposti può essere nulla?

16 Il M.C.D. di due numeri è divisore del m.c.m.

19 Perché il M.C.D. fra due numeri primi tra loro è 1?

20 Se n è un numero naturale, scrivi la legge di formazione della successione 1, 6, 11, 16, 21, … Qual è la legge di formazione della successione opposta? 21 Per quali valori di n l’espressione (n ⫺ 5)  3 rappresenta un numero naturale? 22 Dimostra che la somma o la differenza di due numeri dispari qualunque sono sempre pari. 23 Dimostra che, se a ⬍ b e c ⬍ d, allora a ⫹ c ⬍ b ⫹ d. (Suggerimento. Applica le leggi di monotonia sommando c nella prima disuguaglianza…) ESERCIZI

Nel sito:

 10 esercizi in più

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 24 {(6 ⫺ 12) ⫹ (⫺ 8 ⫹ 6) ⭈ (4 ⫹ 3) ⫹ [2 ⭈ (⫺ 2)]}  (⫺ 8 ⫹ 2) ⫹ [(⫺ 3) ⭈ (⫺ 2) ⫹ 4]  (⫺ 5)

[⫹ 2]

25 {[(⫺ 2) ⭈ (⫺ 4) ⫹ (8 ⫹ 4)  (⫺3) ⫹ 2]  [2 ⭈ (⫺ 6) ⫺ 36  (⫺ 12) ⫹ 7]} ⭈ (⫺ 1) ⫺ 5

[⫺ 2]

26 {5 ⭈ [10 ⫺ 2 ⭈ (3 ⭈ 7 ⫺ 5 ⭈ 4)] ⭈ 8}  80 ⫹ [(4 ⫹ 3 ⭈ 5)  (3 ⫹ 2 ⭈ 8)] 27 ⫺3 ⭈ (⫺4) ⫹ 80 ⫹ (⫺2) ⫹ (⫺8) ⭈ (⫹5) ⫹ 5 ⭈ [⫺7 ⫺ 1 ⭈ (⫹4) ⫺ 3] ⫹ 3 ⭈ (⫺4) ⭈ (⫺4)

[5] [28]

28 {⫺ (⫹5) ⫺ [⫺ (⫺1)]} ⫺ {[⫺ (⫹5)] ⫺ [⫺ (⫺7)]} ⫺ {⫺ [⫺ (⫺3)] ⫺ [⫺ (⫺6)]}

[⫹ 15]

29 (⫺ 6) ⭈ (⫺ 3) ⫹ 30 ⫹ (⫺ 8) ⫹ (⫺ 4) ⭈ (⫹ 5) ⫹ 7 ⭈ [⫺ 5 ⫺ 1 ⭈ (⫹ 4) ⭈ 3] ⫹ 6 ⭈ (⫺ 4) ⭈ (⫺ 2)

[⫺ 51]

30 [(⫺ 3) ⭈ (⫺ 9) ⫹ 49  (⫺ 7)]  [(⫹ 12)  (⫺ 6) ⫹ (⫺ 2)] ⫹ 96  {9 ⫹ [(⫺ 5) ⫹ 2 ⭈ (⫺ 11) ⭈ 2]  (⫺ 7) ⫺ 4}

[⫹ 3]

31 {[(10 ⫺ 6)2 ⫹ 3 ⭈ 10]  (6  3)} ⫹ 4 ⫹ 32 ⫺ (24 ⫺ 1)

[21]

32 (4 ⫹1)3 ⫺ 6 ⭈ 42 ⫹ [(4 ⫺ 2)2  4 ⫹6] ⫺ 20 ⭈ 33  9

[33]

33 7 ⭈ 5 ⫹ 2 ⭈ [2 ⭈ 5 ⫹ 2(5 ⫺ 1)]  2 ⫺ 52 ⫺ (3 ⭈ 23  4 ⫹ 32 ⭈ 2) 34 [(24 ⫹ 23)  (82  42)] ⫹ [32 ⭈ 22  (63  62)]

[4] [12]

65

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

35 [(63 ⭈23  33)  (104  54 ⫺ 8) ⭈ 23]  (23)2

[1]

36 [(48  44)2 ⭈ (47  42)]  411 ⫹ 14 ⫺ (22 ⭈ 3 ⫹ 1)

[4]

37 (63  6 ⭈ 62)2  (4 ⭈ 32)3 ⫺ [(23)4  44 ⫹ 20 ⭈ 22] ⫹ 33  3

[25]

38 [(54 ⭈ 24)3  (105)2 ⫺ 52 ⭈ 2]  [(52)2  52] ⫹ 22 ⫹ 23

[14]

39 {[(⫺ 6)3 ⭈ (⫺ 3)3]  182}  (⫺ 18) ⭈ (⫺ 2)

[⫹ 2]

40 (32 ⭈ 22)  (⫺ 6)2 ⫹ (⫺ 2)5  (2)2 ⫹ 12 ⫺ 1

[⫹ 4]

41 {24  [32 ⭈ 22 ⫺ 3(33  3) ⫺ 24  23 ⫹ 22 ⫺ 3] ⫹ 3}2

[⫹ 25]

42 [12 ⫺ (7 ⭈ 3 ⫺ 10)]3 ⫹ [(⫺ 3)2(⫺ 4)2  48]4  (3)3 ⫺ 2

[⫹ 2]

43 {[(24⫺7 ⭈ 3) 6 (⫺3) 2 ] 3 (3) 6}  [13⫺(16⫹6)] 2 ⫺ 43 ⫹ 7

[⫺ 27]

44 [(⫺ 32)3 ⭈ (⫺ 3)4]  [(⫺ 33)2 ⭈ (⫺ 3)2]

[⫺ 9]

45 [73  7 ⫺ (13 ⫹ 1)2  7]  [(73)2  75] ⫹ (26 ⭈ 36)  65 ⫹ 62

[45]

46 (⫺ 10)5  [(⫺ 25  5)2 ⭈ (⫺ 5)3]  (⫺ 22)2 ⫹ [33 ⭈ (⫺ 2)3  (⫺ 6)2]2

[⫹ 38]

47 {[32 ⭈ (12 ⫺ 9)3]  (9 ⫺ 6)3}  (⫺ 3) ⭈ {[(⫺ 6)2]2  24}  34 ⫹ (⫺ 2)3

[⫺ 11]

48 {[(18 ⫺ 4 ⭈ 5) ⭈ (⫺ 2)2 ]4  [(⫺ 2)2 ]3} ⫹ [7 ⭈ (5 ⫺ 3)]3  [(2)5 ⫺ (⫺ 5)2 ]2

[⫹ 120]

49 {[(⫺3)5 ⭈ (⫺3) ⭈ (⫺3)3]  [(⫺3)4  (⫺3)0]}  (⫺3)3

[⫹ 9]

50 {⫹12 ⫺ [⫹2 ⫹ 23  (⫺2)2 ⭈ (24  23)2]  [(⫺22)2  23]} ⭈ 3 ⫹ (⫺3)3

[⫺ 6]

51 (22)5 ⭈ (⫺ 2)3  {[⫺ (⫺ 2)2 ]3 ⭈ [⫺ (⫺ 2)2]2} ⭈ (⫺ 22)  (⫺ 2)4

[⫺ 2]

52 {[⫺ (⫺ 3)3]5 ⭈ [(⫺ 3)5]2}  {⫺ (⫺ 3)3 ⭈ (⫺ 3)7 ⭈ [(⫺ 3)2]7} ⫹ 30

[⫺ 2]

Traduci in espressioni le seguenti frasi e poi calcola i valori delle espressioni per i valori di a e b indicati a fianco. 53 «Somma a con il doppio di b, dividi per la differenza tra a e b e poi somma il triplo di a». a ⫽ ⫺ 1, b ⫽ ⫺ 2. [(a ⫹ 2b)  (a ⫺ b) ⫹ 3a; ⫺ 8] 54 «Moltiplica a elevato alla quarta potenza per b elevato alla stessa potenza, poi sottrai la differenza tra a e b, [a 4 ⭈ b4 ⫺ (a ⫺ b)4; 0] elevata alla quarta potenza». a ⫽ 2, b ⫽ ⫺ 2. 55 «Dividi il cubo del doppio prodotto di a con b per il quadrato della differenza tra a e b e poi sottrai il cubo di b». a ⫽ 3, b ⫽ ⫺ 3. [(2a ⭈ b)3  (a ⫺ b)2 ⫺ b3; ⫺ 135] 56 «Moltiplica il doppio di a per b e poi sottrai a».

a ⫽ 3, b ⫽ 2.

57 «Aggiungi al quadrato di a il cubo di b e poi sottrai il triplo di a».

[2ab ⫺ a; 9] a ⫽ 2, b ⫽ 3.

[a 2 ⫹ b3 ⫺ 3a; 25]

58 «Al successivo di a aggiungi il precedente di b moltiplicato per la differenza fra a e b». a ⫽ 3, b ⫽ 1. [a ⫹ 1 ⫹ (b ⫺ 1)(a ⫺ b); 4]

66

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Calcola il valore delle seguenti espressioni per i valori delle lettere indicati. 59 2a 3 ⫹ b 2 ⫺ a ⭈ (2a ⫺ 3b)

a ⫽ ⫺2, b ⫽ 4.

[⫺ 32]

60 3 ⫺ a 3 ⫺ 2b 2 ⫹ a 2 ⭈ (a ⫺ b)

a ⫽ 2, b ⫽ ⫺ 2.

[⫹ 3]

61 2a(b ⫹ 1) ⫺ 6ab

a ⫽ 3, b ⫽ 0.

[6]

62 3ab ⫺ 5a 2 ⫹ 3a ⫺ 1

a ⫽ 2, b ⫽ 8.

[33]

63 2a 2 ⫹ b2 ⫺ a(1 ⫹ 2b)

a ⫽ ⫺ 3, b ⫽ 4.

[61]

64 a 3  a ⫹ (b ⫺ 1)  a ⫹ 2

a ⫽ ⫺ 2, b ⫽ 13.

[0]

65 (a ⫹ b)(a ⫺ b) ⫹ ab ⫺ a 2

a ⫽ 6, b ⫽ ⫺ 3.

66 4b ⫹ 3(a ⫹ b) ⫹ (b2 ⫺ a 2)2  (a ⫹ 1)3

a ⫽ 3, b ⫽ 5.

67 (x 2 ⫹ a)x ⫺ a(x ⫺ 1)  (x ⫹ 1) ⫹ 4a

x ⫽ 1, a ⫽ ⫺ 9.

[⫺ 27] [48] [⫺ 44]

Problemi 68 Pensa un numero Proponi a un tuo compagno di pensare un numero. Fagli aggiungere i tre numeri successivi a quello pensato, poi digli di comunicarti la somma. Ora cerca di indovinare il numero che ha pensato! (Suggerimento. Indica con n il numero. I tre successivi sono ..... La somma è ..... Per ottenere il numero n devi solo usare le operazioni inverse: togli ........... e dividi per ..........) 69 Un attraversamento pedonale è verniciato a strisce alternativamente bianche e gialle: ogni striscia bianca è larga 35 cm, mentre ogni striscia gialla è larga 22 cm. Sapendo che all’estremità della strada ci sono due strisce bianche e che le strisce gialle sono 15, calcola quanto è larga la strada. [890 cm] 70 Le ampiezze di due angoli consecutivi sono rispettivamente di 30° e 40°. Calcola l’ampiezza dell’angolo formato dalle loro bisettrici. Variando l’ampiezza dei due angoli, in modo però che la loro somma sia sempre 70°, varia l’ampiezza dell’angolo formato dalle loro bisettrici? [35°; no] 71 Per accedere a un sito internet, ti è stata assegnata una password di 8 numeri. Ne ricordi solo i primi 7, e precisamente 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, ma ricordi che i numeri sono legati fra loro da una

relazione matematica. Qual è la cifra che hai dimenticato? (Suggerimento. Ogni numero è uguale al doppio del precedente…) [129] 72 Qual è il più piccolo numero divisibile sia per 12, sia per 14, sia per 35? [420] 73 Tre amici, Andrea, Barbara e Carlo, si incontrano nella stessa paninoteca ogni volta che pranzano per un rientro pomeridiano a scuola. Andrea ha un rientro ogni 12 giorni, Barbara ogni 8 e Carlo ogni 20 giorni. Se l’ultima volta si sono incontrati tutti e tre il 9 settembre, quando si ritroveranno di nuovo Andrea e Carlo? E quando Barbara e Carlo? Quando invece si rivedranno tutti e tre? [8 novembre; 19 ottobre; 7 gennaio] 74 È dato il seguente numero: (520 ⭈ 25)3  (542 ⭈ 2k) ⭈ 274. Si desidera che valgano 0 le ultime tre cifre, ma non la quartultima. Quanto deve valere k? [12] 75 A lettera uguale corrisponde cifra uguale. Determina le cifre incognite. a b ⭈ c ⫽ 1 e f ⫹ ⫺ ⫺ 1 1 1  3 ⫽ 3 c 1 3 h ⫺ b ⫽ 1 3 1 [a ⫽ 2; b ⫽ 4; c ⫽ 7; e ⫽ 6; f ⫽ 8; h ⫽ 5]

67

CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA 76

Nel sito:

TEST Sulla lavagna si trova scritto il numero 1. La sola mossa permessa è cancellare il numero scritto sulla lavagna e sostituirlo o con il suo doppio o con il suo quadrato. Qual è il numero più grande che si può ottenere in 8 mosse? A 28 B 47 C 88 D 264 E 2128

79 TEST In un gioco bisogna contare da 1 a 100 e applaudire ogni volta che si incontra o un multiplo intero di 3 o un numero che termina per 3. Quante volte si dovrà applaudire? A

30

TEST Quanti sono i numeri naturali n,

con 1 ⱕ n ⱕ 1995, che non sono divisibili né per 2 né per 5? A 399 B 599 C 798 D 898 E 997 (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1995)

78

80

33

C

36

D

39

E

43

TEST Oggi è mercoledì 13 dicembre 1995. Qual è stata l’ultima volta in cui il 13 dicembre è caduto di mercoledì? A Nel 1967. D Nel 1989. B Nel 1984. E Nel 1990. C Nel 1988.

Dati (34)

B

(Gare Kangourou di matematica, 2002)

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1997)

77

 17 esercizi in più

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1995) (42)

(23)

(32)

(33)

a⫽2 ,b⫽3 ,c⫽4 ,d⫽4 ,e⫽3 , qual è il numero più piccolo e quale il più grande? (Suggerimento. Scrivi i numeri come potenze di 2 o di 3. Confronta le potenze con lo stesso esponente o con la stessa base.) (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1995)

81 Dimostra che per moltiplicare un qualsiasi numero naturale per 12, basta moltiplicarlo per 10 e sommargli il suo doppio. Analogamente dimostra che per quadruplicare un qualsiasi numero naturale basta raddoppiarlo due volte. Quali proprietà hai usato?

[a ⬎ e ⬎ b ⬎ d ⬎ c] TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

82 Find the sum of the integer numbers from ⫺ 50 to ⫹ 52, including ⫺ 50 and ⫹ 52. (USA Bay Area Math Meet, Bowl Sampler, 1997)

[103] 83 TEST If 24 ⭈ 38 ⫽ n ⭈ 64, then n ⫽ A 12 B 24 C 27 D 54

E

81

(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2003)

84 TEST Which of the following numbers is a perfect square? A 445566 D 465465 4 6 5 B 456 E 465564 C 455466 (USA, AMC 12, 2002) Le gare American Mathematics Contest 12 (AMC 12) sono rivolte a ragazzi americani del secondo biennio superiore.

 12 esercizi in più

85 TEST Which of the following numbers is equal to the sum 88 ⫹ 88 ⫹ 88 ⫹ 88 ⫹ 88 ⫹ 88 ⫹ 88 ⫹ 88? A 88 B 89 C 648 D 864 E 6464 (USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2002)

86 TEST Think of a number, double it, then add 3. Multiply your answer by 4 and take away 5. Now take away the number you first thought of. No matter what the first number was, your answer will be a multiple of: A 2 B 3 C 5 D 7 E 11 (UK Intermediate Mathematical Challenge, 2003)

87 Find two consecutive integers whose product is five less than the square of the smaller. (USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)

[⫺ 5; ⫺ 4]

GLOSSARY

to add: aggiungere to double: raddoppiare first: primo following: seguenti

68

integer: intero less: meno, minore no matter what: qualunque square: quadrato

sum: somma, addizione to take-took-taken away: sottrarre, portar via time: volta

CAPITOLOTEORIA

I numeri razionali

2

1870: nasce la bicicletta! Certo il velocipede, questo il suo nome, era un po’ diverso dalle biciclette di oggi: ruota anteriore enorme, ruota posteriore minuscola e un non trascurabile rischio di cadere. Simpatico ma pericoloso, fu soppiantato definitivamente in una ventina d’anni da un nuovo biciclo, in tutto simile a una bicicletta moderna… …perché nella bicicletta si usano i rapporti?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 92

1. Dalle frazioni ai numeri razionali Abbiamo visto che la divisione non è un’operazione interna né in N né in Z. L’esigenza di renderla sempre possibile ci porterà a considerare l’insieme dei numeri razionali, che studieremo in questo capitolo e che sono un ampliamento dell’insieme dei numeri interi. Per fare questo, cominciamo introducendo le frazioni. DEFINIZIONE

Frazione Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, di cui il secondo è diverso da 0.

numeratore

n — d

linea di frazione denominatore (con d 苷 0)

Mettiamo il primo numero, detto numeratore, al di sopra della linea di frazione e il secondo, detto denominatore, al di sotto.

69

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

Abbiamo così definito la frazione in modo formale e faremo altrettanto con le operazioni tra frazioni. Tuttavia, nel corso del capitolo vedremo anche che una frazione rappresenta il quoziente tra due numeri naturali, os3 sia il loro rapporto. Per esempio, la frazione ᎏᎏ avrà lo stesso significato 4 di 3  4. In questo modo avremo un ampliamento dell’insieme dei numeri naturali. n Una scrittura del tipo ᎏᎏ è priva di significato, non indica una frazione: 0 non esistono frazioni con denominatore 0. 1 25 1234 Le scritture ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , … non indicano delle frazioni 0 0 0 perché, per definizione, sono prive di significato.

ESEMPIO

Le frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore vengono dette proprie, quelle con numeratore maggiore del denominatore improprie, quelle con numeratore multiplo del denominatore apparenti. ESEMPIO

2 5 10 ᎏᎏ è propria, ᎏᎏ è impropria, ᎏᎏ è apparente e impropria. 5 2 2

■ Le frazioni equivalenti DEFINIZIONE

Frazioni equivalenti ◗ I prodotti della figura, ad e bc, si chiamano prodotti in croce.

Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima per il numeratore della seconda.

a — b ad =

Indichiamo l’equivalenza con il simbolo ⬃: a c a c ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ si legge: ᎏᎏ è equivalente a ᎏᎏ . b d b d 3 6 Le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ sono equivalenti. 5 10 Infatti i prodotti in croce risultano uguali. 3 ⭈ 10 ⫽ 30 6 3 ᎏᎏ ᎏᎏ 10 5 ⭈ 6 ⫽ 30. 5

ESEMPIO

5 7 ◗ Le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ non 6 9 sono equivalenti, perché 5 ⭈ 9 ⫽ 45 è diverso da 6 ⭈ 7 ⫽ 42.

70

c — (con b, d ≠ 0) d bc

Paragrafo 1. Dalle frazioni ai numeri razionali

TEORIA

■ La proprietà invariantiva PROPRIETÀ

Proprietà invariantiva Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da 0 sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente. Allo stesso modo si possono dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da 0, purché sia divisore di entrambi.

a — b a — b

a c —— b c a d —— b d

(con b, c ≠ 0)

(con b, d ≠ 0)

ESEMPIO

2⭈3 2 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ 5⭈3 5 Infatti 2 ⭈ (5 ⭈ 3) ⫽ 5 ⭈ (2 ⭈ 3), quindi: 6 2 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 15 5 Non possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per 0, perché ot0 terremmo ᎏᎏ , che non ha significato, né possiamo dividere per 0. 0

◗ Numeratore e denominatore devono essere moltiplicati (o divisi) per lo stesso numero. Per esempio, 2 ᎏᎏ non è equivalente a 5 2⭈3 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 5⭈2 10

■ La semplificazione di frazioni Data una frazione, quando applichiamo la proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero, diciamo che semplifichiamo la frazione. Se semplifichiamo il più possibile una frazione, giungiamo alla frazione ridotta ai minimi termini, nella quale numeratore e denominatore non hanno più divisori in comune diversi da 1. Per ridurre una frazione ai minimi termini è sufficiente dividere il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. ESEMPIO

24 ᎏᎏ non è ridotta ai minimi termini. 40 Per ridurla calcoliamo il M.C.D.(24, 40) ⫽ 8 e poi dividiamo per 8 numeratore e denominatore: 24 24  8 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ , 40 40  8

quindi

24 3 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 40 5

◗ Si può anche procedere scomponendo numeratore e denominatore in fattori e dividendo per i fattori comuni: 24 3⭈8 3 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 40 5⭈8 5

71

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

■ La riduzione di frazioni a denominatore comune «Ridurre a denominatore comune» due frazioni significa trovare altre due frazioni aventi lo stesso denominatore, ciascuna equivalente a una delle frazioni date. ◗ Date le frazioni 5 4 ᎏᎏ e ᎏᎏ , 6 15 applicando la proprietà invariantiva troviamo infinite riduzioni a denominatore comune. Per esempio: ⭈ 15 5 75 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ , 6 90 ⭈ 15

⭈6 4 24 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 15 90 ⭈6

90 non è però il minimo denominatore comune.

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trovare infinite soluzioni a questo problema. Per semplicità di calcolo, fra tutti i possibili denominatori comuni si sceglie il più piccolo, cioè il m.c.m. fra i denominatori: si parla allora di riduzione al minimo denominatore comune. ESEMPIO

5 4 Riduciamo le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ al minimo denominatore co6 15

mune. Calcoliamo il m.c.m.(6, 15) ⫽ 30.

5 ? Applichiamo la proprietà invariantiva: ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 6 30 Cerchiamo il numero che, moltiplicato per 6, dà 30, ossia 30  6 ⫽ 5: 5 5⭈5 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ ; 6 6⭈5 4 ? applichiamo ancora la proprietà invariantiva: ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 15 30 Il fattore di moltiplicazione è 30  15 ⫽ 2: 4 4⭈2 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ . 15 15 ⭈ 2 5 4 Le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ, ridotte al minimo denominatore comune, diventano: 6 15 25 8 ᎏᎏ e ᎏᎏ . 30 30

■ I numeri razionali assoluti Supponiamo di voler dividere tre tavolette di cioccolata in parti uguali fra quattro amici.  Figura 1 Frazioni equivalenti rappresentano la stessa parte rispetto all’intero.

72

1 Possiamo dividere ogni tavoletta in – 4 4 parti uguali e darne 3 a ogni ra3 – gazzo, ma possiamo anche dividere 4 le tavolette in 8 parti e darne 6 a 6 – ogni ragazzo, oppure in 12 e darne 8 9 ecc. Ciascuna di tali quantità può 1 – 8 essere espressa mediante una fra3 6 9 3 6 9 zione, nell’ordine: ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ . Osserva che ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ : un proble4 8 12 4 8 12 ma risolto con l’uso di una frazione in realtà è risolto anche con le altre infinite frazioni a essa equivalenti.

Paragrafo 1. Dalle frazioni ai numeri razionali

TEORIA

3 Possiamo pensare di raggruppare tutte le frazioni equivalenti a ᎏᎏ in un 4 2 «cassetto», tutte quelle equivalenti a ᎏᎏ in un altro «cassetto» e così via 3 per tutte le altre frazioni. Non accade mai, in questo modo, che una frazione appartenga a due 12 — 21 6 16 «cassetti» diversi. In matematica que9 — — — 18 4 6 9 12 14 sti cassetti sono particolari insiemi — — — 6 8 12 chiamati «classi di equivalenza». Per comodità scegliamo come rap7 2 3 — — — presentante di ogni classe la frazio6 3 4 ne ridotta ai minimi termini. 3 6 9 12 In questo modo, ᎏᎏ è la frazione che rappresenta ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ ecc. 4 8 12 16 Tutte le frazioni di una stessa classe sono scritture diverse che rappresentano una stessa classe, che chiamiamo numero razionale assoluto.

 Figura 2 Per rappresentare graficamente le classi di equivalenza possiamo utilizzare dei «cassetti». Ogni «cassetto» contiene tutte e sole le frazioni equivalenti tra loro.

DEFINIZIONE

Numero razionale assoluto 3n — 2n 3d — 2d

Un numero razionale assoluto è una classe di frazioni fra loro equivalenti.

n — d 2 6 Per esempio, ᎏᎏ e ᎏᎏ sono due modi diversi di rappresentare lo stesso 3 9 2 4 6 8 numero razionale assoluto, che è ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , … . 3 6 9 12 2 6 Possiamo scrivere allora ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , nel senso che le due frazioni indivi3 9 duano lo stesso numero razionale assoluto. L’insieme dei numeri razionali assoluti si indica con Qa.

冦

◗ Assoluto significa in questo caso «senza segno»: infatti abbiamo definito finora frazioni di numeri naturali, che non hanno segno.

冧

◗ Per questo, in seguito, utilizzeremo il simbolo ⫽ invece del simbolo ⬃.

■ I numeri razionali È possibile estendere il concetto di frazione anche al caso in cui numeratore e denominatore sono numeri interi (con il denominatore diverso da 0): ⫺3 15 0 ⫺4 ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , … 4 ⫺7 ⫺2 1 Anche la definizione di frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva si possono estendere alle frazioni di numeri interi.

73

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

◗ Per rappresentare la prima classe di frazioni 6 usiamo la scrittura ⫺ ᎏᎏ , 7 5 per la seconda classe ⫹ ᎏᎏ , 3 3 per la terza ⫺ ᎏᎏ . 4

ESEMPIO

⫺6 6 1. ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ perché (⫺ 6) ⭈ (⫺ 7) ⫽ 7 ⭈ 6. 7 ⫺7 5 ⫺5 2. ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ perché (5) ⭈ (⫺ 3) ⫽ 3 ⭈ (⫺ 5). 3 ⫺3 6 ⫺3 3. ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ perché 6 ⭈ 4 ⫽ (⫺ 8) ⭈ (⫺ 3) . ⫺8 4 Se facciamo precedere una frazione che rappresenta un numero razionale assoluto dal segno ⫺, stiamo scrivendo una frazione negativa; se la facciamo precedere dal segno ⫹, stiamo scrivendo una frazione positiva. DEFINIZIONE

Numero razionale Un numero razionale è una classe di frazioni equivalenti in cui numeratore e denominatore sono numeri interi (con il denominatore diverso da 0).

3n — 2n 3d — 2d

n — d

3n +— 2n 3d +— 2d

n +— d

L’insieme dei numeri razionali si indica con Q. ◗ La definizione di ampliamento si trova nel paragrafo 10 del capitolo 1.

Figura 3 Nell’insieme Q le frazioni con denominatore 1 corrispondono ai numeri interi.

Per fare in modo che Q sia un ampliamento di Z, a ciascuna frazione con denominatore 1 di Q facciamo corrispondere un numero intero. 5 3 Per esempio, la frazione ⫹ ᎏᎏ si identifica con il numero intero ⫹ 5, ⫺ ᎏᎏ 1 1 si identifica con ⫺ 3 .





 –4

4 –— 1 2 +— 0 1 — 1

+2

… – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 ,+ 1 ,+ 2 ,+ 3 ,+ 4 ,… 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … – — , – — , – — , – — , — ,+ — ,+ — ,+ — ,+ — , … 1 1 1 1 1 1 1 1 1

74

0

Paragrafo 2. Il confronto tra numeri razionali

TEORIA

2. Il confronto tra numeri razionali Consideriamo due frazioni con lo stesso denominatore positivo: diciamo che la frazione maggiore è quella che ha numeratore maggiore. ESEMPIO

5 4 1. Confrontiamo ᎏᎏ e ᎏᎏ . 6 15 Riducendo al minimo denominatore comune, otteniamo, nell’ordine: 25 8 ᎏᎏ e ᎏᎏ . 30 30 4 5 2. Poiché 25 ⬎ 8, concludiamo che ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ . 15 6

1 1 2. Confrontiamo ora le frazioni ⫺ ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ. 2 3 Riducendo allo stesso denominatore positivo 6, otteniamo, nell’ordine: 3 2 1 1 ⫺ ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ. Poiché ⫺ 3 ⬍ ⫺ 2, abbiamo ⫺ ᎏᎏ ⬍ ⫺ ᎏᎏ. 2 3 6 6 Date due frazioni positive, possiamo confrontarle anche in un altro modo: utilizzando il prodotto in croce. Chiamiamo diagonale principale quella su cui si trova il numeratore della prima frazione, diagonale secondaria l’altra. Se il prodotto sulla diagonale principale è minore di quello sulla diagonale secondaria, la prima frazione è minore della seconda; in caso contrario la prima frazione è maggiore della seconda. ESEMPIO

2 7 Confrontiamo ᎏᎏ e ᎏᎏ . 9 12

2 7 Poiché 2 ⭈ 12 ⬍ 9 ⭈ 7, cioè 24 ⬍ 63, abbiamo ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ . 9 12 Infatti, per la proprietà invariantiva: 2 2 ⭈ 12 24 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 9 9 ⭈ 12 108

7 7⭈9 63 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 12 12 ⭈ 9 108

2 — 9 24

7 — 12 63

 Figura 4 Il segno di disuguaglianza tra i due prodotti coincide col segno di disuguaglianza tra le frazioni.

Con frazioni negative la regola precedente è ancora valida se si attribuisce il segno ⫺ ai numeratori delle frazioni. Possiamo così ricondurci al caso del confronto di frazioni con denominatore positivo uguale. 1 2 ⫺1 ⫺2 Confrontiamo ⫺ ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ, cioè ᎏᎏ e ᎏᎏ . 2 3 2 3 Poiché (⫺ 1) ⭈ 3 ⬎ (⫺ 2) ⭈ 2, la prima frazione è maggiore della seconda.

ESEMPIO

75

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

■ La rappresentazione dei numeri razionali su una retta Anche i numeri razionali possono essere rappresentati su una retta orientata (figura 5).  Figura 5 Per rappresentare sulla retta orientata un numero razionale espresso con una frazione, dividiamo il segmento unità di misura u in tante parti quante sono indicate dal denominatore e prendiamo poi tante parti quante sono indicate dal numeratore.

5 –1 – — 6

0

4 +— 3

+1

+2

u

1u — 3 1u — 6

Tutte le frazioni tra loro equivalenti corrispondono allo stesso punto sulla retta (figura 6). Ciò equivale a dire che la costruzione della figura 5 fa corrispondere a ogni numero razionale un solo punto della retta. Figura 6 Le frazioni equivalenti 2 4 ⴙ ᎏᎏ e ⴙ ᎏᎏ corrispondono allo stesso 3 6 punto sulla retta. 

2 +— 3 4 +— 6

0

+1

Q È DENSO NELLA RETTA Come sono distribuiti i numeri razionali sulla retta orientata? Per rispondere, prendiamo un punto P qualsiasi sulla retta e, partendo dall’origine, iniziamo a ri1 portare segmenti lunghi ᎏᎏ consecutivamente 10 l’uno all’altro, finché uno di questi segmenti contiene il punto P: A P A’ 0

1 — 10

7 8 — —

1

10 10

Ciascun estremo del segmento contenente il punto P corrisponde a un numero razionale: A corrisponde a 7 8 ᎏᎏ e A′ a ᎏᎏ . 10 10 1 Questi due punti distano non più di ᎏᎏ da P. 10 Quindi, esistono punti corrispondenti ai razionali 1 che al massimo distano ᎏᎏ da P. 10

76

Possiamo ripetere la stessa costruzione con seg1 1 menti lunghi ᎏᎏ , poi ᎏᎏ e così via: 100 1000 A 7 71 — —– 10 100

B P B’

A’

74 75 —– —–

8 —

100 100

10

In questo modo è possibile trovare punti che corrispondono a razionali vicini quanto si vuole a un qualsiasi dato punto della retta. Per esempio, B e B′ 1 distano al massimo ᎏᎏ da P. 100 Per esprimere questo fatto si dice che Q è denso nella retta. I punti che corrispondono a razionali sono infinitamente vicini a qualunque punto della retta. Ci poniamo allora questa domanda: esistono punti della retta che non corrispondono a numeri razionali? Affronteremo questo problema più avanti, ma possiamo anticipare che la risposta è sì.

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

TEORIA

3. Le operazioni in Q ■ L’addizione e la sottrazione Consideriamo due numeri razionali espressi da frazioni con lo stesso denominatore.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V03a

DEFINIZIONE

Somma e differenza di numeri razionali La somma (o la differenza) di due numeri razionali espressi da frazioni con lo stesso denominatore è il numero espresso dalla frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori.

a — b

c — b

=

a c —— b

(con b ≠ 0)

ESEMPIO

2 4 2⫹4 6 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 5 5 5 5 5 1 5⫺1 4 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 3 3 3 3 Se i numeri razionali sono espressi da frazioni che hanno denominatori diversi, si utilizza la definizione precedente dopo aver ridotto le frazioni al minimo denominatore comune. ESEMPIO

Determiniamo la somma:

1 2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ . 6 15

◗ La somma (o differenza) non cambia se i due numeri razionali sono espressi da due frazioni equivalenti a quelle date. Per esempio, se conside15 5 riamo ᎏᎏ invece di ᎏᎏ e 9 3 3 1 ᎏᎏ invece di ᎏᎏ, si ha: 9 3 15 3 15 ⫺ 3 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 9 9 9 12 4⭈3 4 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 9 3⭈3 3

Riduciamo al minimo denominatore comune, che è il m.c.m.(6, 15) ⫽ 30: 1 5 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 6 30

2 4 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 15 30

Ricadiamo nel caso di frazioni con lo stesso denominatore: 5 4 9 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 30 30 30 5⫹4 9 In forma abbreviata possiamo scrivere: ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 30 30 La definizione di addizione in Q è tale che, sommando due razionali con denominatore uguale a 1, si ottiene il numero razionale corrispondente alla somma in Z dei due numeri interi corrispondenti agli addendi.

77

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

ESEMPIO

冢

冣

5 7 5 ⫹ (⫺ 7) ⫺2 ᎏᎏ ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ nell’insieme Q. 1 1 1 1

5 ⫹ (⫺ 7)

⫽

⫺2

nell’insieme Z.

L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne in Q. In Q valgono tutte le proprietà dell’addizione (commutativa, associativa, esistenza dell’opposto) e della sottrazione (invariantiva) e vale la prima legge di monotonia sia per le uguaglianze, sia per le disuguaglianze. Inoltre, l’elemento neutro per l’addizione in Q è 0, come già si verificava nell’insieme dei numeri interi Z.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V03b

■ La moltiplicazione DEFINIZIONE

Prodotto di numeri razionali Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni è il numero espresso dalla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. ◗ Il risultato non cambia se i due numeri razionali sono espressi da due frazioni equivalenti a quelle date. Per esempio: 3 20 60 ᎏᎏ ⭈ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏ ᎏ ⫽ 6 12 72 5 ⭈ 12 5 ⫽ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ . 6 ⭈ 12 6

a — b

=

a c —— b d

(con b, d ≠ 0)

ESEMPIO

1 5 1⭈5 5 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 2 3 2⭈3 6 Anche la definizione di moltiplicazione è tale da fornire gli stessi prodotti della moltiplicazione fra interi corrispondenti. ESEMPIO

5 7 5⭈7 35 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ nell’insieme Q. 1 1 1⭈1 1

5⭈ 7

⫽

35 nell’insieme Z.

La moltiplicazione è un’operazione interna in Q.

78

c — d

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

TEORIA

Sono ancora valide le proprietà della moltiplicazione: commutativa, associativa, distributiva rispetto all’addizione, esistenza dell’elemento neutro 1, esistenza dell’elemento assorbente 0, legge di annullamento del prodotto. Vale inoltre la seconda legge di monotonia sia per le uguaglianze, sia per le disuguaglianze. Per la moltiplicazione in Q esiste anche una proprietà analoga all’esistenza dell’opposto nell’addizione. n Chiamiamo reciproco del numero razionale espresso dalla frazione ᎏᎏ il d d numero espresso dalla frazione ᎏᎏ , che si ottiene scambiando numeraton re e denominatore.

reciproco

n — d

d — n

ESEMPIO Figura 7 Il reciproco n d di ᎏᎏ è ᎏᎏ . d n 

7 2 1 2 3 Sono reciproci ᎏᎏ e ᎏᎏ, 3 e ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ. 2 7 3 3 2 Poiché per definizione non esistono frazioni con denominatore 0, il 0 numero 0 ⫽ ᎏᎏ non ha reciproco. 1

冢

冣

La moltiplicazione di un numero razionale per il suo reciproco dà sempre come prodotto 1. ESEMPIO

5 4 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ 1; 4 5

3

7

1 9 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 1 . 9

冢⫺ ᎏ7ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫽ 1;

Di ogni numero razionale, escluso 0, esiste il reciproco; il prodotto di un numero per il suo reciproco è uguale all’elemento neutro della moltiplicazione, cioè 1.

■ La divisione

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

DEFINIZIONE

 V03c

Quoziente di numeri razionali

a — b

Il quoziente di due numeri razionali, di cui il secondo diverso da 0, è uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo.

4 12 4 21 ⫺ ᎏᎏ  ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 1; 7 21 7 12 2 2 15 3 4 ⫺ ᎏᎏ  ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ. 5 15 5 4 2

冣

冢

d — c

(con b, c, d ≠ 0)

ESEMPIO

冢

a c = — — d b

冣

4 ◗ Osserva che ⫺ ᎏᎏ e 7 12 ⫺ ᎏᎏ rappresentano lo 21 stesso numero razionale; quindi il loro quoziente è uguale a 1.

79

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

5 ◗ Si dice anche che ᎏᎏ è il rapporto fra 5 e 7. 7

1 — 8  Figura 8 Le frazioni risolvono problemi pratici di divisione per i quali non bastano i numeri naturali. Supponiamo di dividere 1 torta in 8 parti uguali: non sappiamo scrivere un numero naturale che corrisponda a una delle fette, perché in N non è possibile calcolare 1: 8. Per indicare una delle 8 parti uguali in cui la torta viene divisa 1 usiamo la frazione ᎏᎏ . 8 Analogamente, per indicare 2 due fette di torta usiamo ᎏᎏ 8 e così via.

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V03d

La definizione di quoziente permette di effettuare sempre la divisione in Q, escluso il caso in cui il divisore è 0. In particolare, in Q possiamo eseguire anche le divisioni che non era possibile eseguire in Z. Per esempio, 57

non ha risultato in Z,

5 7 5 1 5 ᎏᎏ  ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 1 1 1 7 7

ha risultato in Q.

5 Possiamo quindi identificare la scrittura 5  7 con la scrittura ᎏᎏ . 7 Pertanto la divisione è un’operazione interna in Q. Per la divisione in Q continuano a valere la proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a destra rispetto all’addizione. Negli interi la divisione (quando è possibile) fornisce sempre un numero minore del dividendo. Nei razionali questa caratteristica non è sempre verificata. 1 ESEMPIO Il quoziente di 4  ᎏᎏ non 2 8 volte è un numero minore di 4. 1 Infatti 4  ᎏᎏ ⫽ 4 ⭈ 2 ⫽ 8. 2 1 Ciò significa che ᎏᎏ sta otto volte 2 nel 4.

0



1 — 2

1

4 1 — =8 2

4

Figura 9

■ La potenza Anche in Q vogliamo che la potenza di una frazione assuma il significato di una moltiplicazione ripetuta. Per esempio: 3 2 3 3 3⭈3 32 9 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 4 4 4 4⭈4 4 16

冢 冣 冢 冣冢 冣

Pertanto diamo la seguente definizione. DEFINIZIONE

Potenza di una frazione

◗ Anche in Q il risultato di una potenza è negativo solo in caso di frazione negativa ed esponente dispari. Per esempio:

冢

冣

2 3 8 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 27

80

Dato un numero naturale n, la poa tenza n-esima di una frazione ᎏᎏ è b la frazione che ha per numeratore a n e per denominatore b n.

n

(—ba )

(con b ≠ 0)

ESEMPIO

2 ⫺ ᎏᎏ 5

冢

3

⫺2 ⫽ ᎏᎏ 5

冣 冢

冣

3

an = —n b

(⫺ 2)3 ⫺8 8 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 5 1 25 125

Paragrafo 4. Le potenze con esponente intero negativo

4. Le potenze con esponente intero negativo

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V04a

Vogliamo dare significato anche a potenze con esponente intero negativo. Per farlo consideriamo la divisione di due potenze di uguale base con l’esponente della prima minore di quello della seconda e applichiamo la seconda proprietà delle potenze. Per esempio, 3 4  3 6 ⫽ 3 4 ⫺6 ⫽ 3⫺2. Qual è il significato di 3⫺2 ? Scriviamo la precedente divisione sotto forma di frazione e semplifichiamo: 3⭈3⭈3⭈3 1 . 3 4  3 6 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3⭈3⭈3⭈3⭈3⭈3 32 Se vogliamo che la seconda proprietà delle potenze sia valida anche in questo caso, deve essere vera l’uguaglianza: 3

⫺2

◗ In generale, se a ⫽ 0, 1 n 1 a ⫺n ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. a an

1 1 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ . 32 3

冢 冣

冢 冣

Diamo allora la seguente definizione. DEFINIZIONE

Potenza con esponente negativo La potenza di un numero razionale, diverso da 0, con esponente intero negativo è una potenza che ha per base il reciproco del numero dato e per esponente l’opposto dell’esponente.

a — b

–n

b = — a

n

( ) ( )

b a ◗ ᎏᎏ è il reciproco di ᎏᎏ . a b

(con a, b ≠ 0)

ESEMPIO

1 7 1 5 ⫺7 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 57 5 3 ⫺2 4 2 16 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 4 3 9

冢 冣 冢 冣 冢 冣

L’esponente ⫺1 permette di scrivere la frazione reciproca di una frazione data mediante una potenza. ESEMPIO

2 ᎏᎏ 5

⫺1

冢 冣

5 ⫽ ᎏᎏ ; 2

1 ᎏᎏ 2

⫺1

⫽2;

冢 冣

2 ⫺ ᎏᎏ 3

冢

冣

⫺1

3 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; 2

1 9 ⫺1 ⫽ ᎏᎏ . 9

81

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

5. Le percentuali

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V05a

 Figura 10 Diagramma a torta.

Le percentuali sono un modo diverso per scrivere le frazioni con denominatore 100. Per esempio, consideriamo la percentuale 25% (si legge: «venticinque per cento»). 25 Essa equivale alla frazione ᎏᎏ , ossia possiamo scrivere: 100 25 1 25% ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 100 4 A volte per visualizzare le percentuali si usa un diagramma detto «a torta», perché utilizza un cerchio suddiviso in settori simili alle fette di una torta. L’intera «torta» rappresenta cento 100 «fette» su cento, cioè ᎏᎏ ⫽ 100%. 100 1 Il 25% è rappresentato da ᎏᎏ della 4 torta. Diagrammi di questo tipo vengono anche detti areogrammi.

25%

Per risolvere problemi con percentuali basta ragionare in termini di frazioni. Il prezzo di un prodotto è stato portato da € 50 a € 53. Determinare il suo aumento in percentuale. Nella figura 11 rappresentiamo con un diagramma a torta il vecchio prezzo del prodotto (la torta intera corrisponde a € 50). L’aumento assoluto è: € 53 ⫺ € 50 ⫽ € 3. Nel diagramma a torta, a quale frazione corrisponde una fetta da € 3? 3 La frazione corrispondente alla fetta è ᎏᎏ . 50 Poiché la torta rappresenta la percentuale del 100%, per avere la percen3 tuale corrispondente alla frazione dobbiamo trasformare ᎏᎏ in una fra50 zione con denominatore 100, usando la proprietà invariantiva. 3 3⭈2 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 50 50 ⭈ 2 100 L’aumento in percentuale è del 6%. ESEMPIO



Figura 11

3 euro

50 euro 6%

100% 3 — 50

30 ⭈ 2 6 = —— = —— 50 ⭈ 2 100

In sintesi, per trasformare una frazione in percentuale, basta scrivere la frazione a essa equivalente con denominatore 100. Osservazione A volte la percentuale è espressa in millesimi. 2‰ (si legge «due per mille») significa: 2 2‰ ⫽ ᎏᎏ . 1000

82

Paragrafo 6. Le frazioni e le proporzioni

TEORIA

ESPLORAZIONE: NUMERI E MUSICA Nella musica, per dare il nome agli intervalli fra le note, si contano sia la prima sia l’ultima nota. Per esempio, fra un do e il do successivo c’è un’ottava, perché fra i due do c’è la sequenza di otto note: do, re, mi, fa, sol, la, si, do. Allo stesso modo, fra un mi e un la c’è una quarta, perché fra le due note c’è la sequenza mi, fa, sol, la. I Pitagorici studiarono le relazioni fra le lunghezze delle corde vibranti e le note prodotte nella vibrazione. Scoprirono che, considerate corde tese in modo uguale e dello stesso spessore, se una corda produce un do, una corda lunga la metà produce il do più acuto e una corda lunga il doppio il do più grave, con un’ottava come intervallo. Nel primo 1 caso le lunghezze hanno rapporto ᎏᎏ , nel secondo 2 2 hanno rapporto ᎏᎏ . 1 2 3 Analogamente i rapporti ᎏᎏ e ᎏᎏ sono collegati a 3 2 3 4 quinte e i rapporti ᎏᎏ e ᎏᎏ a quarte. 4 3 I numeri 1, 2, 3, 4, così strettamente legati alla musica, avevano grande importanza per i Pitagorici, che erano abituati a giurare sulla tétraktys, rappre-

sentazione del numero 10 mediante quella dei primi quattro numeri. la MONADE: il numero 1, «padre» di tutti gli altri, individua il punto la DIADE: il numero 2 individua la linea la TRIADE: il numero 3 individua la superficie il numero 4 individua lo spazio  La TÉTRAKTYS rappresenta la successione delle tre dimensioni che caratterizzano l’universo fisico. A essa corrisponde la somma 1 ⴙ 2 ⴙ 3 ⴙ 4 ⴝ 10, la DECADE, base della maggioranza dei sistemi di numerazione.

IN DIECI RIGHE

Nella scala temperata i rapporti corrispondenti ai diversi intervalli sono leggermente diversi da quelli pitagorici. Scrivi con il computer una relazione su questa scala e sul suo collegamento con un particolare numero. È razionale? Cerca nel web: scala temperata, tempered scale.

6. Le frazioni e le proporzioni Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti. Quindi un’uguaglianza tra due frazioni equivalenti è una proporzione. ESEMPIO

10 8 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ si può scrivere 10  5 ⫽ 8  4. 5 4 Nella figura 12 riassumiamo la terminologia relativa a una proporzione. antecedente conseguente

7

14

antecedente

conseguente

25

50

=

 Figura 12 La proporzione della figura si legge: «7 sta a 14 come 25 sta a 50».

medi estremi

83

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V05b

PROPRIETÀ

Proprietà fondamentale delle proporzioni In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

◗ La proprietà discende dalla definizione di frazioni equivalenti. Per definizione di frazioni equivalenti, consideriamo i prodotti in croce.

a b= c d

bc = ad

ESEMPIO

Scriviamo 2  5 ⫽ 6  15 come uguaglianza tra frazioni: 2 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ → 2 ⭈ 15 ⫽ 5 ⭈ 6. 5 15 PROPRIETÀ

◗ Giustifichiamo la proprietà con un esempio. 4  7 ⫽ 12  21 → 4 12 → ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ → 7 21 4 12 → ᎏᎏ ⫹ 1 ⫽ ᎏᎏ ⫹ 1 → 7 21 4 ⫹7 12 ⫹ 21 → ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ → 7 21 → (4 ⫹ 7)  7 ⫽ ⫽ (12 ⫹ 21)  21.

IL MEDIO PROPORZIONALE Il medio proporzionale x fra due numeri a e b è quel numero, se esiste, per cui vale la proporzione: a  x ⫽ x  b.

Proprietà del comporre In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma dei due restanti termini sta al terzo (o quarto) termine.

Proprietà dello scomporre In ogni proporzione, la differenza fra i primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la differenza fra i due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine.

Il numero positivo il cui quadrato vale 64 è 8, pertanto: x ⫽ 8.

84

d

(a b) a = (c d) c (a b) b = (c d) d

a

b= c

d

(a b) a = (c d) c (a b) b = (c d) d

PROPRIETÀ

Proprietà del permutare Data una proporzione, è ancora una proporzione quella che si ottiene scambiando fra loro i medi (o gli estremi).

2  x ⫽ x  32.

x 2 ⫽ 64.

b= c

PROPRIETÀ

Per esempio: Applicando la proprietà fondamentale:

a

a

b= c

d

a d

c = b b= c

d a

a

b= c

d

b

a=d

c

PROPRIETÀ

Proprietà dell’invertire Data una proporzione, si ottiene ancora una proporzione se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente.

Paragrafo 7. I numeri razionali e i numeri decimali

ESEMPIO

È data la proporzione: Se componiamo: Se invece scomponiamo: se permutiamo i medi, otteniamo: se invertiamo i termini, otteniamo:

3  2 ⫽ 12  8. (3 ⫹ 2)  2 ⫽ (12 ⫹ 8)  8; (3 ⫺ 2)  2 ⫽ (12 ⫺ 8)  8; 3  12 ⫽ 2  8; 2  3 ⫽ 8  12.

TEORIA

BRAVI SI DIVENTA Videolezione

 V05c

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Il problema delle parti

Nel sito:

 Scheda di lavoro

A e B giocano a testa o croce con una moneta non truccata. Vince chi per primo indovina 6 esiti. La partita viene interrotta sul 5 a 3 per A. Come devono essere suddivisi i 24 denari in gioco, in modo che la suddivisione possa essere accettata sia da A sia da B? (Da un problema di Luca Pacioli in Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità, 1494)

MARTINA: LUCIO:

«Ma è semplice: basta suddividere la posta in parti direttamente proporzionali a 3 e 5». «Se fossi A, forse non accetterei, perché 5 è molto vicino alla vincita. Potremmo provare a vedere che cosa accadrebbe partendo da altri punteggi…».

 Pensi che Martina abbia ragione o condividi l’idea di Lucio?

7. I numeri razionali e i numeri decimali ■ Le frazioni e i numeri interi Se una frazione è apparente, le può essere associato un numero intero. ESEMPIO

12 ᎏᎏ ⫽ 4; 3

22 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ 11; 2

5 ᎏᎏ ⫽ 1. 5

■ Le frazioni e i numeri decimali finiti Le frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10 (con esponente un naturale diverso da 0) vengono dette frazioni decimali. ESEMPIO

2357 ᎏᎏ , 100

2 ᎏᎏ , 10

49 ᎏᎏ , 1000

81 ᎏᎏ sono frazioni decimali. 100

Per le frazioni decimali possiamo utilizzare la rappresentazione decimale, che si basa sulla scrittura posizionale e sull’uso della virgola.

85

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

Consideriamo una frazione decimale e trasformiamola così: 2357 2000 300 50 7 2000 ⫹ 300 ⫹ 50 ⫹ 7 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 100 100 100 100 100 100 5 7 1 1 ⫽ 20 ⫹ 3 ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 2 ⭈ 10 ⫹ 3 ⭈ 1 ⫹ 5 ⭈ ᎏᎏ ⫹ 7 ⭈ ᎏᎏ . 10 100 10 100 La frazione può essere vista come la somma di 2 decine, 3 unità, 5 decimi e 7 centesimi, ed essere indicata con la scrittura sintetica 23,57. Le cifre assumono un diverso valore a seconda della posizione in cui si trovano (come nella scrittura dei numeri naturali); la virgola serve per separare la parte intera da quella decimale. ◗ Le frazioni 2 6 8 10 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 5 15 20 25 4 sono equivalenti a ᎏᎏ , 10 perciò sono tutte rappresentate da 0,4.

Con la scrittura decimale possiamo rappresentare non solo le frazioni decimali, ma anche tutte quelle a esse equivalenti. In questo modo a ogni numero razionale rappresentabile con una frazione decimale viene fatto corrispondere un numero decimale finito, ossia un numero decimale che ha un numero finito di cifre decimali. Data una frazione, il numero decimale corrispondente si può ottenere dalla divisione fra il numeratore e il denominatore della frazione. ESEMPIO

3 ᎏᎏ ⫽ 3  4 ⫽ 0,75 . 4

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA E L’ORDINE DI GRANDEZZA DI UN NUMERO 51,2 ⭈ 10⫺2 ⫽ 5,12 ⭈ 10 ⭈ 10⫺2 ⫽ 5,12 ⭈ 10⫺1,

I numeri molto grandi e i numeri molto piccoli si possono scrivere in forma abbreviata utilizzando le potenze di 10.

42 000 ⫽ 4,2 ⭈ 10 000 ⫽ 4,2 ⭈ 104.

Si dice notazione scientifica di un numero q la sua rappresentazione attraverso il prodotto di un numero decimale compreso tra 1 e 10 e di una potenza di 10: q ⫽ ⫾ a ⭈ 10r con a  Q (1 ⱕ a ⬍ 10) e r  Z.

La notazione scientifica è molto utile quando occorre confrontare due numeri. Per esempio, dati i numeri 9,1 ⭈ 104 e 2,3 ⭈ 107, basta confrontare le potenze di 10 per affermare che il secondo è maggiore del primo di 1000 volte. Infatti 107  104 ⫽ 103.

Per esempio, i numeri 2,3 ⭈ 10⫺4, 9 ⭈ 108, 6,75 ⭈ 106 sono numeri scritti in notazione scientifica. Invece i numeri 0,7 ⭈ 104 e 51 ⭈ 108 non sono scritti in notazione scientifica perché 0,7 è minore di 1 e 51 è maggiore di 10. Per esprimere un numero qualsiasi in notazione scientifica dobbiamo trasformare il numero usando opportunamente le potenze di 10. Per esempio: 270,1 ⫽ 2,701 ⭈ 100 ⫽ 2,701 ⭈ 102, 1 1 0,00092 ⫽ 9,2 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 9,2 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 9,2 ⭈ 10⫺4, 10 000 104

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza del 10 più vicina al numero.

86

Per esempio, l’ordine di grandezza di 1,9 ⫻ 105 è 105, mentre quello di 9,4 ⫻ 102 è 103. In generale, per determinare l’ordine di grandezza di un numero si procede così: ●

●

si scrive il numero in notazione scientifica cioè nella forma ⫾ a ⭈ 10r con a  Q (1 ⱕ a ⬍ 10) e r  Z; se a ⬍ 5, l’ordine di grandezza è 10r; se a ⱖ 5, l’ordine di grandezza è 10r⫹1.

Paragrafo 7. I numeri razionali e i numeri decimali

TEORIA

■ Le frazioni e i numeri decimali periodici Non tutti i numeri razionali sono rappresentabili mediante frazioni decimali; infatti, lo sono soltanto quelli corrispondenti a frazioni che, ridotte ai minimi termini, hanno il denominatore che contiene come fattori primi solo il 2 e il 5. ESEMPIO

1 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0,2; 5 10

3 75 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0,75; 4 100

31 775 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0,775. 40 1000

3 Invece, per esempio, non è possibile trasformare la frazione ᎏᎏ in frazio7 ne decimale, applicando la proprietà invariantiva. Quando non è possibile trasformare una frazione in frazione decimale, significa che essa corrisponde a un numero decimale periodico, ossia a un numero le cui cifre decimali sono infinite e, da un certo punto in poi, si ripetono a gruppi sempre uguali. Il gruppo di cifre ripetute si chiama periodo; l’insieme delle cifre comprese fra la virgola e il periodo si chiama antiperiodo. Per comodità di scrittura indicheremo il periodo soprassegnandolo. ESEMPIO

35 ᎏᎏ ⫽ 5,83333... ⫽ 5,83苶. 6 Il periodo è 3, l’antiperiodo 8.

◗ Se esegui 4  3 con una calcolatrice trovi un numero decimale finito, per esempio 1,333333333. Questo non è il valore di 4 ᎏᎏ, ma solo una sua ap3 prossimazione.

DALLA FRAZIONE AL NUMERO DECIMALE Per trasformare una frazione in un numero decimale eseguiamo la divisione fra numeratore e denominatore. I casi che si possono presentare sono due. 1. Troviamo, dopo un certo numero di passaggi, un resto uguale a 0. In questo caso il quoziente è un numero decimale finito. 2. Troviamo resti sempre diversi da 0, ma che si ripetono con regolarità. In questo caso le cifre del quoziente, da un certo punto in poi, si ripetono, generando un numero decimale periodico.

Siamo sicuri che la ripetizione deve avvenire, perché ogni possibile resto parziale deve essere minore del divisore; quindi i resti fra loro diversi sono in numero finito. Per esempio, nella divisione della figura, poiché il divisore è 7, i resti diversi fra loro (e diversi da 0) possono essere solo 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dopo sei divisioni (al 17 7 30 massimo) siamo sicu2, 4 2 8 5 7 1 4 2… 20 ri di trovare un resto 60 40 già incontrato, che fa 50 10 ripetere il procedi30 mento di divisione. 20 …

Un numero razionale può sempre essere rappresentato da un numero decimale finito o periodico.

87

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

■ Le frazioni generatrici Esiste una regola che permette di scrivere ogni numero decimale periodico sotto forma di frazione, detta frazione generatrice del numero decimale. Si può dimostrare che la frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene considerando la frazione avente: ●

●

come numeratore il numero, scritto senza virgola, diminuito del numero costituito da tutte le cifre che precedono il periodo; come denominatore il numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

ESEMPIO

Il numero 0,73苶 ha come frazione generatrice:

73 ⫺ 7 66 11 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 90 90 15 Come caso particolare, anche i numeri interi possono essere considerati come numeri decimali periodici. Per esempio: 3 ⫽ 2,9苶,

29 ⫺ 2 27 infatti 2,9苶 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3. 9 9

Quindi, a ogni numero razionale corrisponde un numero decimale, o finito o periodico e viceversa.

■ I numeri reali Ci sono procedimenti matematici, quale per esempio quello di estrazione di radice, che portano a numeri decimali illimitati e non periodici. Si può dimostrare che la radice di 2 ha come risultato un numero decimale che ha come prime cifre 1,41421… Il numero è decimale illimitato e inoltre, se si determinano altre cifre decimali, si nota che non si arriva mai a ottenere una sequenza periodica. ESEMPIO

◗ Abbiamo visto che un qualsiasi numero razionale corrisponde a un numero decimale finito o periodico.

Ci sono dunque numeri decimali che non corrispondono a numeri razionali. Questo porta ad ampliare l’insieme dei numeri razionali con l’introduzione dei numeri irrazionali. DEFINIZIONE

Numero irrazionale Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico. 3

4

6

Sono numeri irrazionali: 兹3苶, ⫺ 兹5苶, 兹苶4, 兹苶, 13 ⫺ 兹苶7 .

88

Paragrafo 8. Il calcolo approssimato

Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall’estrazione di radici: per esempio, il numero ␲ (pi greco) che è il rapporto fra la misura di una circonferenza e del suo diametro: ␲ ⫽ 3,1415926… Per ampliare l’insieme dei numeri razionali, consideriamo l’insieme dei numeri reali, che indichiamo con R.

TEORIA

⺢

√2



π



– √2 3

DEFINIZIONE

Numero reale Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

8. Il calcolo approssimato Molti numeri razionali nella forma decimale sono rappresentati da un numero elevato di cifre, per esempio 1947251,23 o 21,37苶苶6. Nelle operazioni di calcolo, e in particolare nel calcolo mentale, spesso è conveniente operare con un numero limitato di cifre. L’azione da compiere è di approssimare i numeri in gioco. Ciò comporta valori più leggibili e maneggevoli, ma anche inevitabili errori di valutazione e perdita di informazioni.

◗ Operare con un numero limitato di cifre permette di avere subito la stima del valore del risultato ed è utile per il controllo dei risultati delle operazioni svolte con la calcolatrice.

■ L’approssimazione di un numero Per approssimare procediamo mediante arrotondamento. Consideriamo il valore della prima cifra trascurata e: ● se tale valore è maggiore o uguale a 5, aumentiamo di 1 l’ultima cifra considerata; ● se è minore di 5, lasciamo invariata l’ultima cifra considerata. Per esempio, se approssimiamo a meno di 10⫺2, ossia ai centesimi, il numero 21,2381, scriviamo 21,24, poiché la prima cifra trascurata (quella dei millesimi) è 8, che è maggiore di 5. L’approssimazione è per eccesso. Se invece vogliamo approssimare a meno di 10⫺1, ossia ai decimi, il numero 21,2381, allora scriviamo 21,2, poiché la prima cifra trascurata è 3, che è minore di 5. L’approssimazione è per difetto.

◗ Dato un numero che vogliamo approssimare a meno di 10r, con r  Z, la prima cifra trascurata occupa la posizione corrispondente a 10r⫺1. ◗ 21,24 ⬎ 21,2381.

◗ 21,2 ⬍ 21,2381.

DEFINIZIONE

Approssimazione per eccesso, approssimazione per difetto Dati un numero q e la sua approssimazione a, se a ⬎ q, si dice che a è un’approssimazione per eccesso di q; se a ⬍ q, si dice che a è un’approssimazione per difetto di q.

■ L’errore assoluto e l’errore relativo Con un’approssimazione si compie inevitabilmente un errore. Possiamo calcolare l’errore commesso considerando la differenza tra il numero e il suo valore approssimato. Se al posto di 78,2718 usiamo 1 la sua approssimazione a meno di ᎏᎏ , cioè 78,27, l’errore è: 100 78,2718 ⫺ 78,27 ⫽ 0,0018.

◗ Per esempio, approssimando per difetto otteniamo un valore minore del numero di partenza.

89

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

In generale, vale la seguente definizione. DEFINIZIONE

Errore assoluto

◗ Consideriamo il valore assoluto perché quello che interessa è lo scostamento fra valore approssimato e valore esatto indipendentemente dal fatto che l’uno o l’altro sia il più grande.

Dati un numero q  Q e un suo valore approssimato a, si chiama errore assoluto dell’approssimazione, e si indica con e, il valore assoluto della differenza tra il numero e il suo valore approssimato: e ⫽ ⏐q ⫺ a⏐. Riprendendo l’esempio precedente, dove e ⫽ 0,0018, osserviamo che l’errore si ha dalla terza cifra decimale in poi. Poiché questo valore è minore 1 di ᎏᎏ , a meno del quale era stata fatta l’approssimazione, si può arro100 tondare l’errore assoluto: e ⯝ 0,002. L’errore assoluto non è sempre adeguato a valutare l’approssimazione compiuta. Le approssimazioni 1324,52 ⯝ 1324,5 e 1,52 ⯝ 1,5 hanno lo stesso errore assoluto e ⫽ 0,02, ma la prima è sicuramente più precisa della seconda: un errore di 0,02 su un numero che arriva alle migliaia è molto più piccolo dello stesso errore su un numero che si ferma alle unità. Per dare una stima della precisione è conveniente calcolare il rapporto tra l’errore assoluto e il valore assoluto del numero approssimato. DEFINIZIONE

◗ L’errore relativo dà una misura della precisione con cui è compiuta l’approssimazione.

Errore relativo Dati un numero q  Q e un suo valore approssimato a, si chiama errore relativo e si indica con er il rapporto tra l’errore assoluto e il valore assoluto di a: e ⏐q ⫺ a⏐ er ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . ⏐a⏐ ⏐a⏐ Riprendiamo le approssimazioni sopraindicate e calcoliamo i rispettivi errori relativi: ESEMPIO

◗ Nell’esempio gli errori relativi sono stati arrotondati. Confrontando i rispettivi errori relativi, si può concludere che la prima approssimazione è più precisa della seconda.

◗ Nell’esempio precedente gli errori percentuali sono 0,002% e 1%.

90

1324,52 ⯝ 1324,5, e ⫽ 0,02, 0,02 2 1 er ⫽ ᎏᎏ ⯝ 0,00002 ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 2 ⭈ 10⫺5; 1324,5 100 000 100 000 0,02 1 1 1,52 ⯝ 1,5, e ⫽ 0,02, er ⫽ ᎏᎏ ⯝ 0,01 ⫽ ᎏᎏ ⫽ 1 ⭈ ᎏᎏ ⫽ 1 ⭈ 10⫺2. 1,5 100 100 Osservazione. Spesso gli errori relativi vengono espressi mediante percentuali: dire, per esempio, che un’approssimazione è affetta da un errore relativo del 3% significa che il rapporto tra errore assoluto e valore asso3 luto del numero approssimato è uguale a ᎏᎏ . 100

Paragrafo 8. Il calcolo approssimato

■ Le operazioni con i numeri approssimati Eseguire un calcolo tra numeri approssimati porta a un risultato affetto da errore. Esso risente infatti delle singole approssimazioni e del numero delle operazioni compiute in una sorta di propagazione degli errori. Ciò è materia di uno studio complesso che prende il nome di teoria degli errori. Dati due numeri p e q, siano a e b i rispettivi valori approssimati, e1 ed e2 gli errori assoluti, er1 ed er2 gli errori relativi. Si dimostrano le seguenti affermazioni. TEOREMA

TEORIA

◗ Noi ci limiteremo ad accennare ad alcuni dei risultati della teoria degli errori, analizzando le quattro operazioni fondamentali e vedendo come, noti gli errori di approssimazione degli operandi, si possa calcolare l’errore commesso nell’intero procedimento.

Propagazione degli errori ●

●

●

●

Somma degli operandi. Il valore massimo dell’errore assoluto della somma a ⫹ b è uguale alla somma degli errori assoluti dei due addendi: e ⫽ e1 ⫹ e2. Differenza degli operandi. Il valore massimo dell’errore assoluto della differenza a ⫺ b è uguale alla somma degli errori assoluti del minuendo e del sottraendo: e ⫽ e1 ⫹ e2. Prodotto degli operandi. Il valore massimo dell’errore relativo del prodotto a ⭈ b è uguale alla somma degli errori relativi dei due fattori: er ⫽ er1 ⫹ er2. Quoziente degli operandi. Il valore massimo dell’errore relativo del a quoziente ᎏᎏ è uguale alla somma degli errori relativi del dividendo e b del divisore: er ⫽ er1 ⫹ er2.

◗ Poiché le approssimazioni possono compiersi per eccesso o per difetto o attraverso l’arrotondamento, si esegue una stima dell’errore assoluto valutando il massimo valore che l’errore può assumere.

ESEMPIO Vogliamo sommare i due numeri 12 165 e 6137 dopo averli arrotondati a meno di 102.

Arrotondiamo: 12 165 ⯝ 12 200,

6137 ⯝ 6100.

Calcoliamo la somma dei valori arrotondati, che indicheremo con s′: s′ ⫽ 12 200 ⫹ 6100 ⫽ 18 300. Troviamo gli errori assoluti per i singoli addendi: e1 ⫽ 12 165 ⫺ 12 200 ⫽ ⫺ 35⫽ 35,

e2 ⫽ 6137 ⫺ 6100 ⫽ 37.

Determiniamo l’errore assoluto da associare a s′: e ⫽ e1 ⫹ e2 → e ⫽ 35 ⫹ 37 ⫽ 72. Poiché s′ ⫽ 18 300 ha un errore massimo pari a 72, possiamo dire che il valore esatto s della somma è compreso fra 18 300 ⫺ 72 ⫽ 18 228 e 18 300 ⫹ 72 ⫽ 18 372. Confrontando questi ultimi valori si osserva che le cifre certe sono quindi soltanto 1 e 8.

◗ La somma s dei valori di partenza è: s ⫽ 12 165 ⫹ 6137 ⫽ ⫽ 18 302.

91

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

TEORIA

1870: nasce la bicicletta! …perché nella bicicletta si usano i rapporti?

Nei velocipedi di una volta la ruota davanti era direttamente collegata ai pedali, proprio come succede nell’attuale triciclo da bambino: a ogni giro di pedali corrispondeva un giro della ruota e quindi un avanzamento pari alla lunghezza della sua circonferenza. Maggiore era il diametro d della ruota, più grande era la distanza percorsa per ogni giro (d ⭈ ␲). È per questo che i velocipedi avevano ruote anteriori molto grandi. Per esempio, se il diametro era pari a 2 m, con un giro si avanzava di 2 ⭈ ␲ ⯝ 6,3 m; se si pedalava al ritmo di un giro al secondo, in un’ora si compiva un tragitto di circa 22,7 km. Poiché il velocipede risultava comunque scomodo e pericoloso a causa della ruota anteriore troppo grande, in breve tempo fu trovata una soluzione alternativa, che vediamo ancora oggi nelle nostre biciclette: il sistema a ruote dentate e catena. Il meccanismo base consiste in due ingranaggi dentati, A e P, uno collegato ai pedali e l’altro, più piccolo, collegato alla ruota posteriore, connessi da una catena che trasmette il movimento: scopo del sistema è aumentare il numero di giri che la ruota posteriore compie in corrispondenza di ogni pedalata.

P

A

In generale, se l’ingranaggio A esegue un certo numero di giri in un determinato intervallo di tempo, nello stesso intervallo, l’ingranaggio P, collegato alla ruota posteriore, compie un numero di giri maggiore. Più precisamente, il rapporto tra i numeri di giri è uguale al rapporto tra il numero di denti a dell’ingranaggio anteriore e quello p dell’ingranaggio posteriore: numero giri di P a ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . numero giri di A p In particolare, se consideriamo il tempo di una sola pedalata (cioè il numero giri di A è pari a 1), l’ingranaggio P e la ruota posteriore a esso collegata coma piono ᎏᎏ giri. p Se, per esempio, supponiamo che l’ingranaggio collegato ai pedali abbia 54 denti e quello posteriore ne abbia invece 18, risulta: numero giri di P 54 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 3. pedalata 18 Ciò vuol dire che per ogni pedaE IN MOTO?

Nelle moto bisogna risolvere il problema opposto a quello affrontato nella bicicletta: il motore, infatti, gira troppo veloce (anche 10 000 giri al minuto); è quindi necessario diminuire il numero di giri effettuati dalla ruota in corrispondenza di un giro del motore. Questo si realizza molto semplicemente invertendo il meccanismo visto nelle biciclette, ovvero collegando al motore l’ingranaggio più piccolo e alla ruota quello più grande.

92

–䊳 Il quesito completo a pag. 69 lata la ruota posteriore compie 3 giri e dunque, presa una ruota standard del diametro di 70 cm, per ogni pedalata il ciclista avanza di 0,7 ⭈ ␲ ⭈ 3 ⯝ 6,6 m. Molto spesso si trovano delle biciclette dotate di cambio: si tratta, nel caso più comune (cambio a deragliatore), di una semplice evoluzione del meccanismo base illustrato sopra. Questa è ottenuta mettendo al posto di ogni ingranaggio un sistema di più ingranaggi coassiali di diversa grandezza (si veda la figura) e sfruttando un meccanismo, il deragliatore, che consente alla catena di scivolare da un ingranaggio all’altro, collegando sempre tra loro un ingranaggio anteriore e uno posteriore. Nelle biciclette da città di solito troviamo un solo ingranaggio collegato ai pedali e 9 ingranaggi collegati alla ruota posteriore, per un totale di 9 rapporti possibili. Nelle mountain bike e nelle bici da corsa gli ingranaggi connessi al pedale sono invece tre, in modo tale da poter ottenere ben 27 rapporti diversi: questo consente al ciclista di scegliere il rapporto più adatto al percorso.

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I numeri razionali 1. Dalle frazioni ai numeri razionali Le frazioni FRAZIONE

⫺2 7

n ∈ ⺞, d ∈ ⺞ e d ≠ 0

linea di frazione denominatore

n

d frazione propria

n

d frazione impropria

Le frazioni equivalenti

a — a c b — ∼— ⇒ b d ad = 12 16

ESEMPIO ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ,

perché

perché (⫺ 2) ⭈ (⫺ 7) ⫽ 7 ⭈ 2. Le frazioni prece2 denti si indicano anche con ⫺ ᎏᎏ. 7 Ripartiamo l’insieme delle frazioni di numeri interi in classi di frazioni equivalenti: ogni classe d’equivalenza individua un numero razionale. Come rappresentante della classe si sceglie la frazione ridotta ai minimi termini.

n multiplo di d frazione apparente

3 4

2 ⫺7

ESEMPIO ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ ,

numeratore

n — d

I numeri razionali Anche per le frazioni formate da numeri interi relativi si può dare la stessa definizione di equivalenza.

c — d

ESEMPIO

冦ᎏ21ᎏ, ᎏ42ᎏ, ᎏ63ᎏ, ...冧 è il numero razionale

1 rappresentato da ᎏᎏ. 2

bc 3 ⭈ 16 ⫽ 4 ⭈ 12.

1 2 3 Possiamo perciò scrivere: ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 2 4 6

L’insieme dei numeri razionali si indica con Q. La proprietà invariantiva

2. Il confronto tra numeri razionali n — d

2n —— 2d 3 4

3⭈4 4⭈4

3n —— 3d

…

12 16

Per confrontare due numeri razionali espressi da frazioni si può usare il «prodotto in croce». 5 7

ESEMPIO ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .

n La frazione ᎏᎏ è ridotta ai minimi termini se n e d d sono primi fra loro.

3 4

ESEMPIO ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ perché 5 ⭈ 4 ⫽ 20 ⬍ 7 ⭈ 3 ⫽ 21.

5 — 7 20

3 — 4 21

–6 — 7 – 66

– 10 — 11 – 70

93

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

3. Le operazioni in Q

PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI Proprietà

Addizione e sottrazione: m.c.m.(b,d) m.c.m.(b,d) a⭈ᎏ ᎏ ⫾c⭈ᎏ ᎏ a c b d ᎏᎏ⫾ᎏᎏ⫽ ᎏᎏᎏᎏ , b d m.c.m.(b,d)

fondamentale

ad ⫽ bc

del comporre

(a ⫹ b) ⬊ a ⫽ (c ⫹ d) ⬊ c (a ⫹ b) ⬊ b ⫽ (c ⫹ d) ⬊ d

dello scomporre

con b, d ⫽ 0.

冢 冣

a n an con b ⫽ 0, n 僆 N. Potenza: ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, b bn Valgono tutte le proprietà viste in Z. a b Il reciproco di ᎏᎏ, con a, b ⫽ 0, è ᎏᎏ. b a

del permutare

4. Le potenze con esponente intero negativo

冢 冣 冢 冣

b n bn con a, b ⫽ 0. ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, a an

冢 冣

2 ESEMPIO ᎏᎏ 5

⫺3

冢 冣

5 3 53 125 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 3 2 2 8

a⬊c⫽b⬊d d⬊b⫽c⬊a

dell’invertire

b⬊a⫽d⬊c

7. I numeri razionali e i numeri decimali La rappresentazione decimale di un numero si basa sulla scrittura posizionale e sull’uso della virgola.

Il prodotto di un numero per il suo reciproco è 1, cioè l’elemento neutro della moltiplicazione.

⫺n

(a ⫺ b) ⬊ a ⫽ (c ⫺ d) ⬊ c (a ⫺ b) ⬊ b ⫽ (c ⫺ d) ⬊ d

a c a⭈c Moltiplicazione: ᎏᎏ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, con b, d ⫽ 0. b d b⭈d a c a d a⭈d Divisione: ᎏᎏ⬊ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ, con b, c, d ⫽ 0. b d b c b⭈c La divisione è interna in Q.

a ᎏᎏ b

a ⬊ b ⴝ c ⬊ d se e solo se

1 10

ESEMPIO 28,104 ⫽ 2 ⭈ 10 1 ⫹ 8 ⭈ 10 0 ⫹ 1 ⭈ ᎏᎏ ⫹

1 1 ⫹ 0 ⭈ ᎏᎏ ⫹ 4 ⭈ ᎏᎏ. 100 1000

Ogni numero razionale non intero è rappresentato da un numero decimale finito o periodico.

8. Il calcolo approssimato I numeri decimali si possono approssimare per difetto e per eccesso. ESEMPIO 120,71 approssima 120,7129 per difet-

to, 120,72 per eccesso.

5. Le percentuali Le percentuali sono un modo per rappresentare frazioni con denominatore 100. 3 100

ESEMPIO 3% ⫽ ᎏᎏ;

75 3 75% ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 4 100

6. Le frazioni e le proporzioni Una proporzione è un modo per scrivere l’uguaglianza di frazioni equivalenti.

94

Errore assoluto: e ⫽ ⏐q ⫺ a⏐, dove q è il numero dato e a il suo valore approssimato. e Errore relativo: er ⫽ ᎏᎏ. ⏐a⏐ La propagazione degli errori Dati due numeri approssimati: ●

●

nella somma e nella differenza di essi l’errore assoluto massimo è uguale alla somma degli errori assoluti; nel prodotto e nel quoziente l’errore relativo è uguale alla somma degli errori relativi.

Paragrafo 1. Dalle frazioni ai numeri razionali

–䊳

1. Dalle frazioni ai numeri razionali 1

ESERCIZI

Teoria a pag. 69

Indica la frazione corrispondente alla parte colorata delle figure nei riquadri. 1

1 1 — 3

1

2

Colora la parte indicata dalla frazione.

3

Scrivi le frazioni che corrispondono ai punti A, B, C, D, E. A O

BC

D

Fissata un’unità di misura (per esempio un segmento di opportuna lunghezza), rappresenta le seguenti frazioni, indicando se sono proprie, improprie, apparenti. 5 1 4 5 4 8 12 7 ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ . 8 3 2 3 5 3 4 2

5

Rappresenta sul segmento AB le frazioni indicate a fianco.

3 – 4

4 – 5

5 – 8

4

E 1

A

B

O

1

A O

6

B 1

2

3

1 1 1 3 3 ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ 2 3 4 4 8 1 3 7 5 9 ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ . 4 2 4 2 4

VERO O FALSO?

a) Ogni coppia di numeri naturali individua una frazione.

V

F

b) Ogni coppia di numeri naturali individua un solo numero razionale diverso. a c) Considerare la frazione ᎏᎏ dell’unità significa dividere l’unità in b parti uguali e prenderne a. b a d) In una frazione ᎏᎏ, a deve essere multiplo di b. b e) Le frazioni apparenti hanno il denominatore multiplo del numeratore.

V

F

V

F

V

F

V

F

f) In una frazione, se il numeratore è il successivo del denominatore, la frazione è impropria.

V

F

g) Ogni frazione apparente è impropria, ma non è vero il viceversa.

V

F

95

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

■ Le frazioni equivalenti Utilizzando la definizione, stabilisci se le seguenti coppie di frazioni sono fra loro equivalenti. 4 8 6 10 0 2 ᎏᎏ, ᎏᎏ; ᎏᎏ,ᎏᎏ. 7 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 5 10 2 4 15 30 12 4 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 3 1

8

1 2 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 8 9

0 0 ᎏᎏ, ᎏᎏ. 20 40

COMPLETA, se possibile, le seguenti uguaglianze, utilizzando la definizione di frazioni equivalenti. 3 ..... 6 ..... 10 ..... ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 9 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 8 14 3 4 15 21

5 2 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 5 .....

20 ..... 10 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 22 11

0 1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 4 .....

2 4 11 Perché le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ sono equivalenti? 3 6 12 VERO O FALSO? 15 ⫺ 2 15 a) La frazione ᎏᎏ ridotta ai minimi termini è ᎏᎏ . 7⫺2 7 1 3 b) Le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ sono equivalenti. 15 5 2 2⭈3 c) Applicando la proprietà invariantiva, si può scrivere ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 3 3⭈2 8 8⬊2 d) Applicando la proprietà invariantiva, si può scrivere ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 6 6⬊2

V

F

V

F

V

F

V

F

■ Applicazioni della proprietà invariantiva ESERCIZIO GUIDA

13 Cerchiamo, se è possibile, una frazione equivalente a una data e avente un certo denominatore. 3 a) Scriviamo la frazione equivalente a ᎏᎏ avente denominatore 14. 7 3 b) Scriviamo la frazione equivalente a ᎏᎏ con denominatore 12. 5 3 ... a) ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ 7 14 Il numero 14 si ottiene da 7 moltiplicando per 2 (14 ⬊ 7 ⫽ 2). Applichiamo la proprietà invariantiva

delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per 2: 3 3⭈2 6 ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 7 7⭈2 14

Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni scrivi, quando è possibile, le frazioni equivalenti alle seguenti, in modo che abbiano, nell’ordine, denominatori 9, 10, 12, 14, 15, 18, 21, 35, 60, 84. 1 2 4 5 5 14 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. 5 3 3 6 7 3 15 ᎏᎏ, 4

96

2 ᎏᎏ, 9

1 ᎏᎏ, 2

4 ᎏᎏ, 5

6 ᎏᎏ . 11

3 ... b) ᎏᎏ ⬃ ᎏᎏ 5 12 Non è possibile ottenere la fra3 zione equivalente a ᎏᎏ , perché 5 12 non è multiplo di 5.

16 COMPLETA trasformando il numero dato nelle frazioni indicate. .....

.....

.....

.....

6 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 3 5 6 17 Scrivi tre frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti. 7 2 0 1 11 8 ᎏᎏ, ᎏᎏ , ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ . 4 1 7 9 12 10

Paragrafo 1. Dalle frazioni ai numeri razionali

■ La semplificazione di frazioni Cancella le frazioni che non sono equivalenti alla prima; fra quelle rimaste, cerchia la frazione ridotta ai minimi termini. 4 18 ᎏᎏ , 10 16 ᎏᎏ , 21

2 ᎏᎏ, 9 16 ᎏᎏ , 40

6 2 ᎏᎏ, ᎏᎏ , 10 5 15 ᎏᎏ . 35

6 ᎏᎏ , 15

30 19 ᎏᎏ , 70 6 ᎏᎏ , 14

15 15 10 3 ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ, 35 30 7 7 7 31 ᎏᎏ , ᎏᎏ . 14 71

7 ᎏᎏ, 3

80 20 ᎏᎏ , 12 20 ᎏᎏ, 3

21 ᎏᎏ, 4 100 ᎏᎏ, 15

40 60 ᎏᎏ, ᎏᎏ, 6 9 120 ᎏᎏ . 20

60 ᎏᎏ, 27

10 ᎏᎏ, 15

4 21 ᎏᎏ, 8 9 ᎏᎏ , 17

3 2 5 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, 7 4 9 7 16 ᎏᎏ , ᎏᎏ . 15 32

1 ᎏᎏ, 2

8 ᎏᎏ , 16

4 22 ᎏᎏ, 6 6 ᎏᎏ , 24

8 5 2 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, 9 7 3 16 32 ᎏᎏ , ᎏᎏ . 24 48

8 4 ᎏᎏ , ᎏᎏ , 12 24

16 ᎏᎏ , 20

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni, qualora non lo siano già. 12 23 ᎏᎏ , 25

15 ᎏᎏ , 18

12 ᎏᎏ , 27

9 ᎏᎏ . 16

Trasforma il numero intero dato nelle frazioni indicate. .....

.....

.....

.....

.. ...

.. ...

33 ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 5 ⫺6 8 ⫺ 25 .. ...

34 ⫺ 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 12 16 ⫺ 18 ⫺ 25 .....

... ..

.....

60 ᎏᎏ , 15 150 ᎏᎏ , 180 900 ᎏᎏ , 495 9 ⭈ 16 ᎏ ᎏ, 33 ⭈ 25

20 ᎏᎏ , 8 441 ᎏᎏ , 112 84 ᎏᎏ , 294 24 ⭈ 32 ᎏ ᎏ, 42 ⭈ 23

63 ᎏᎏ . 21 3036 ᎏᎏ . 1515 510 ᎏᎏ . 68 53 ⭈7 ᎏᎏ. 25 ⭈ 74

■ La riduzione di frazioni a denominatore comune Riduci le frazioni di ognuno dei seguenti minimo comune denominatore. 7 3 1 3 1 1 3 28 ᎏᎏ, ᎏᎏ; ᎏᎏ, ᎏᎏ; ᎏᎏ, ᎏᎏ; ᎏᎏ, 2 5 2 5 6 2 8 6 5 29 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 5 6

2 3 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 3 2

7 1 3 30 ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ ; 15 30 10 3 21 ᎏᎏ, 2 , ᎏᎏ . 7 49

5 4 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 4 5

gruppi al 1 ᎏᎏ. 4

1 2 ᎏᎏ, ᎏᎏ. 2 3

4 9 11 ᎏᎏ, ᎏᎏ , ᎏᎏ ; 6 10 30

1 5 3 1 4 2 8 31 ᎏᎏ, ᎏᎏ, 3 , ᎏᎏ; ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ; 2 6 8 27 81 9 3 0 4 12 , ᎏᎏ, 1 , ᎏᎏ. 3 25 Semplifica le frazioni dei seguenti gruppi e poi trova il loro minimo comune denominatore. 3 5 2 4 20 25 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ; 32 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ; 21 20 42 30 24 60 8 9 15 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. 90 20 30 ESERCIZIO GUIDA

■ I numeri razionali .....

24 24 ᎏᎏ , 26 200 25 ᎏᎏ , 120 336 26 ᎏᎏ , 42 22 ⭈ 5 27 ᎏᎏ, 3 ⭈ 2 ⭈ 52

ESERCIZI

.....

35 8 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 ⫺4 8 20

36 Utilizzando il segno ⫺, scriviamo in alcuni 1 3 modi possibili le due frazioni ⫺ ᎏᎏ e ᎏᎏ. 5 4 1 ⫺1 1 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 5 5 ⫺5 3 ⫺3 3 ⫺3 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 4 ⫺4 ⫺4 4

97

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

Utilizzando il segno ⫺, scrivi in tutti i modi possibili le seguenti frazioni. 1 1 3 ⫺3 3 8 37 ⫺ ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ, ᎏᎏ. 2 2 5 5 7 ⫺5 6 4 ⫺4 6 15 ⫺9 38 ᎏᎏ, ᎏᎏ , ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ, ᎏᎏ , ᎏᎏ. ⫺5 3 3 5 14 2 13 ⫺ 13 24 ⫺ 12 39 ⫺ ᎏᎏ , ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ. 25 ⫺ 25 ⫺ 25 13

41 Suddividi le seguenti frazioni in insiemi, in modo che ogni insieme individui la classe di frazioni che corrisponde a un certo numero razionale. Per ogni insieme, indica di quale numero razionale si tratta utilizzando la frazione ridotta ai minimi termini. 3 14 30 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ, 9 12 8 35 16 1 ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ, ᎏᎏ, 63 16 3 ⫺ 40 7 8 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, 100 6 24

40 Scrivi l’opposto di ciascuno dei seguenti numeri razionali. 3 1 ⫺4 2 7 ⫺ ᎏᎏ , ⫹ ᎏᎏ , ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ᎏᎏ . 5 2 7 ⫺3 ⫺ 13

4 15 5 4 ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ, ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ, 10 ⫺ 4 9 4 8 6 10 ⫺ 8 ⫺ ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, 20 18 18 8 20 2 22 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. ⫺ 5 ⫺ 22 36

42 VERO O FALSO? a) I numeri razionali si ottengono utilizzando tutte le coppie ordinate di numeri interi.

V

F

b) Nell’insieme Q le frazioni con denominatore 1 corrispondono ai numeri naturali.

V

F

2 4 6 c) Il numero ᎏᎏ rappresenta anche le frazioni ᎏᎏ e ᎏᎏ. 5 10 15

V

F

2 1 1 43 Tra le frazioni ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ e ᎏᎏ, solo una rappresenta un numero razionale assoluto. Perché? 3 5 10 1 1 0 44 Tra le frazioni ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ e ᎏᎏ , solo una rappresenta sia un numero razionale assoluto sia un numero razio5 3 4 nale relativo. Quale?

2. Il confronto tra numeri razionali Confronta le seguenti coppie di frazioni mediante i prodotti in croce. 5 2 45 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 7 8 3 2 46 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 8 7 1 3 47 ⫺ ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ; 2 4

1 1 ᎏᎏ, ᎏᎏ; 3 5 11 6 ᎏᎏ , ᎏᎏ; 12 7 2 7 ⫺ ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ; 5 8

5 3 ᎏᎏ, ᎏᎏ. 6 4 8 14 ᎏᎏ, ᎏᎏ . 9 15 8 3 ⫺ ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ. 9 8

COMPLETA inserendo uno dei simboli ⬍, ⬎, ⫽.

7 5 3 5 11 17 5 13 48 ᎏᎏ … ᎏᎏ ; ᎏᎏ … ᎏᎏ ; ᎏᎏ … ᎏᎏ ; ᎏᎏ … ᎏᎏ . 4 3 7 8 4 6 14 20 7 5 11 7 29 8 49 ⫺ ᎏᎏ … ⫺ ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ … ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ … ᎏᎏ . 8 6 20 9 33 15

98

–䊳

Teoria a pag. 75

Scrivi i seguenti insiemi di frazioni in frazioni aventi lo stesso denominatore, e indica la maggiore. 5 11 7 ᎏᎏ , ᎏᎏ . 50 ᎏᎏ , 4 12 6 3 7 5 51 ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ . 10 25 6 Scrivi in ordine crescente le seguenti frazioni. 3 4 8 7 15 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ. 52 ᎏᎏ, 2 8 3 7 4 1 11 9 3 6 4 53 ⫺ ᎏᎏ, ⫹ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ, ⫹ ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ, ⫹ ᎏᎏ. 3 6 8 2 5 3 Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni. 1 2 15 2 54 ⫺ 2, ⫹ ᎏᎏ , ⫺ 5, ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ⫹ ᎏᎏ. 3 7 8 7

Paragrafo 2. Il confronto tra numeri razionali

ESERCIZI

1 2 3 4 2 5 55 ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ⫹ ᎏᎏ , ⫹ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ⫹ ᎏᎏ . 4 3 4 5 5 3 56 Determina tre frazioni che siano comprese fra le seguenti coppie. 1 7 3 4 1 1 ᎏᎏ, ᎏᎏ; ᎏᎏ, ᎏᎏ; ᎏᎏ, ᎏᎏ. 3 3 5 5 2 3 57 Determina fra quali interi è compresa ognuna delle seguenti frazioni. 1 1 3 36 43 7 26 47 ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ, ⫺ ᎏᎏ , ⫺ ᎏᎏ. 2 4 2 7 8 9 5 5

■ La rappresentazione dei numeri razionali su una retta ESERCIZIO GUIDA

7 2 58 Rappresentiamo su una retta orientata le due frazioni ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ. 5 7

–2

2 –— 7

–1

0

7 +— 5

+1

u

+2

u

Fissiamo sulla retta orientata i punti corrispondenti a ⫺ 2, ⫺ 1, 0, ⫹ 1, ⫹ 2, scegliendo il segmento unita7 rio piuttosto grande. Per rappresentare ᎏᎏ dobbiamo dividere il segmento unitario in 5 parti uguali e, par5 1 tendo da 0, percorrere verso destra la retta, fermandoci dopo 7 passi (ciascun passo è lungo ᎏᎏ del seg5 2 mento unitario). Per rappresentare la frazione ⫺ ᎏᎏ , dividiamo il segmento unitario in 7 parti uguali e 7 1 procediamo verso sinistra, fermandoci dopo 2 passi (ciascun passo è lungo ᎏᎏ del segmento unitario). 7 Rappresenta su una retta orientata le seguenti frazioni, indicando per ogni frazione se è propria, impropria o apparente. 1 59 ᎏᎏ, 2

3 ᎏᎏ, 4

1 ᎏᎏ, 3

1 ⫺ ᎏᎏ, 2

8 ᎏᎏ, 5

7 ᎏᎏ . 8

5 60 ⫺ ᎏᎏ, 6

3 ᎏᎏ, 2

5 ᎏᎏ, 4

8 ⫺ ᎏᎏ, 9

3 ᎏᎏ, 3

9 ᎏᎏ . 5

4 61 ⫺ ᎏᎏ, 3

5 ⫹ ᎏᎏ, 2

11 ⫺ ᎏᎏ, 6

7 ⫺ ᎏᎏ, 2

7 ⫹ ᎏᎏ, 6

5 ⫹ ᎏᎏ . 4

Determina i numeri razionali rappresentati dai punti segnati sulla retta orientata della figura. A

62 –2

B –1

C 0

D

E 1

A

63 2

–3

B –2

C –1

D 0

E 1

F 2

3

4

99

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

64 VERO O FALSO? 1 1 a) ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 2 3 1 4 b) ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 3 12 7 1 c) ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 14 2 d) Tra due frazioni con lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha il denominatore minore.

65 Solo in una delle relazioni V

F

V

F

V

F

4 5 ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ , 15 6 1 1 ⫺ ᎏᎏ ⬎ ⫺ ᎏᎏ , 2 3 2 7 ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ , 9 12 il segno di confronto è errato. Quale? Perché?

V

F

–䊳

3. Le operazioni in Q

Teoria a pag. 77

■ L’addizione e la sottrazione ESERCIZIO GUIDA

7 3 4 66 Calcoliamo le seguenti somme algebriche: a) ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ; b) 3 ⫺ ᎏᎏ . 2 5 5 a) Determiniamo il m.c.m.(2, 5) ⫽ 10. Applichiamo la proprietà invariantiva: 7 7⭈5 35 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 2 2⭈5 10 3 3⭈2 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 5 5⭈2 10 Sommiamo le frazioni con lo stesso denominatore: 35 6 29 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 10 10 10 In forma abbreviata: 7 3 35 ⫺ 6 29 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 5 10 10

b) Scriviamo 3 come frazione di denominatore 5: 3 3⭈5 15 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 1 1⭈5 5 Sommiamo le frazioni con lo stesso denominatore: 15 4 11 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 5 5 5 In forma abbreviata: 4 3 4 15 ⫺ 4 11 3 ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 5 1 5 5 5

Calcola le seguenti somme algebriche. 1 3 5 7 67 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 2 2 2

2 5 2 5 70 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 3 3 3

4 6 20 68 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5 5 5

1 3 1 2 1 1 71 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ; ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ; ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ. 2 5 5 3 6 2

23 1 3 7 69 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 12 12 12 12

3 1 7 1 3 72 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ; ᎏᎏ⫺ᎏᎏ; ᎏᎏ ⫹ 1 . 8 4 8 2 2

100

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

2 3 73 ᎏᎏ⫺ᎏᎏ; 3 2

5 4 ⫺ᎏᎏ⫺ᎏᎏ; 4 5

4 5 ⫺ᎏᎏ⫹ᎏᎏ. 5 4

1 74 4 ⫺ ᎏᎏ; 3

4 ᎏᎏ ⫹ 5; 5

1 1 ⫺ ᎏᎏ. 2

7 75 ⫺ 5 ⫺ ᎏᎏ; 8

1 9 ⫹ ᎏᎏ; 6

1 2 ⫺ ᎏᎏ; 4

1 2 ⫹ ᎏᎏ. 4

2 1 76 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 1; 3 8

3 6 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ; 5 7

3 1 ᎏᎏ ⫺ 4 ⫹ ᎏᎏ; 4 2

1 1 1 ᎏᎏ⫹ᎏᎏ⫹ᎏᎏ⫹1. 2 3 4

8 2 77 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 5 ⫺ ᎏᎏ ; 3 5

5 3 ᎏᎏ ⫹ 3 ⫺ ᎏᎏ; 2 8

1 1 12 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ; 3 9

2 1 3 ᎏᎏ⫺ᎏᎏ⫹ᎏᎏ⫺6 . 5 4 2

ESERCIZI

COMPLETA le seguenti tabelle.

78 a

5 ⫹ ᎏᎏ 3

2 ⫹ ᎏᎏ 3

4 ⫺ ᎏᎏ 5

1 ⫺ ᎏᎏ 7

2 ⫹ ᎏᎏ 5

0

12 ⫺ ᎏᎏ 20

⫹4

⫺1

⫺5

b

6 ⫹ ᎏᎏ 3

3 ⫹ ᎏᎏ 4

6 ⫹ ᎏᎏ 8

1 ⫺ ᎏᎏ 11

3 ⫹ ᎏᎏ 20

1 ⫹ ᎏᎏ 4

3 ⫹ ᎏᎏ 5

1 ⫹ ᎏᎏ 4

1 ⫹ ᎏᎏ 3

15 ⫹ ᎏᎏ 3

a⫹b

a⫺b

b⫺a

79 a

3 ⫹ ᎏᎏ 4 4 ⫹ ᎏᎏ 5

b

a⫹b

2 ⫹ ᎏᎏ 7

⫹1

0

7 ⫺ ᎏᎏ 3

0

8 ⫹ ᎏᎏ 7

⫹2

0 5 ⫺ ᎏᎏ 7

2 ⫹ ᎏᎏ 11

14 ⫺ ᎏᎏ 3

12 ⫺ ᎏᎏ 13

⫹2

1 ⫹ ᎏᎏ 5

3 ⫹ ᎏᎏ 9

7 ⫺ ᎏᎏ 9

2 ⫹ ᎏᎏ 3

⫹1

⫺a⫺b

⫺a⫹b

101

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

■ Le espressioni contenenti somme algebriche

Nel sito:

䉴 11 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

80 Calcoliamo il valore della seguente espressione:

冤 冢

冣

冥 冢

冣

1 2 1 1 1 2 ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 2 3 2 4 3 Sviluppiamo i calcoli dentro le parentesi tonde:

冤 冢

冣

冥 冢

冤 冢 冣

冥 冢

冣

Sviluppiamo i calcoli dentro le parentesi quadre:

冤

冣

3 ⫺ 4 ⫹ 12 1 3⫺4 ⫽ 2 ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 6 2 12

冥

冤

11 1 ⫺1 ⫽ 2 ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 6 2 12

冤

冥

6 ⫺ 11 ⫺ 3 1 ⫽ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 6 12 8 1 8 1 ⫽ 2 ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 6 12 6 12 9 24 ⫺ 16 ⫹ 1 3Ⲑ ⭈ 3 3 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ. 12 3Ⲑ ⭈ 4 12 4

冥

11 1 1 ⫽ 2 ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 6 2 12

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

冤

冢

1 3 1 6 81 3 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 4 5 10

冤

冣冥 ⫺ 1;

冢

1 3 5 2 82 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 6 ⫺ 7 ⫺ ᎏᎏ 10 5 2 10

冤

冢

1 1 2 1 ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 3 4 5

冣冥 ⫺ 冢ᎏ56ᎏ ⫹ 3冣 ;

冤

冢

冣 冢

冢

冣 冤

冣 冥

1 3 5 2 1 1 5 1 5 84 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 9 2 6 3 9 2 9 6 3

冢

85

1

冤

冣

2

1

冢

1

1

5

冣

冥

1

1

2

冣冥 冢

[0]

冣

[⫺ 1]

1 8 3 1 4 7 87 ⫺ 2 ⫺ ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 11 11 3 5 15

冣

冢

88 7 ⫺

冤

冢

冣冥

3

2

3

1

6

7

1 1 1 23 3 1 5 1 4 89 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 9 12 8 9 8 3 2 6 9

冢

冣 冤

冢

2 1 90 4 ⫺ 2 ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ⫺ 4 ⫹ ᎏᎏ 3 5

冤 冢

102

[1]

冤冢3 ⫹ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ ⫺ 2冣 ⫺ 冢ᎏ5ᎏ ⫺ 6 ⫹ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣冥 ⫹ ᎏ5ᎏ ⫺ 冢ᎏ2ᎏ0 ⫹ ᎏ2ᎏ0 冣 1

冣 冢

冣

冣冥

冤⫺ ᎏ3ᎏ冥

11 3 3 1 1 1 1 86 ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 30 5 10 2 5 3 2

冣 冢

22

[0]

冢ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏ5ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ 冤冢⫺ ᎏ1ᎏ5 ⫹ ᎏ6ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏ5ᎏ冣冥 冤 冢

37

冤ᎏ2ᎏ0 ; ᎏ1ᎏ5 冥

5 2 5 1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 7 ⫺ 4 ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 6 ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ . [⫺ 1; 2] 4 3 2 12 6

1 1 5 4 1 5 1 83 ⫺ (1 ⫹ 2) ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 12 2 2 3 6 4 3

冢

冣冥 ⫹ 2.

冥

1

1

[2] [0]

2

冣冥 ⫹ 冤7 ⫺ 冢6 ⫹ ᎏ1ᎏ5 冣 ⫺ ᎏ5ᎏ冥

8

冤⫺ ᎏ5ᎏ冥

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

ESERCIZI

■ La moltiplicazione ESERCIZIO GUIDA

12 10 2 91 Calcoliamo i prodotti: a) ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ; b) 3 ⭈ ᎏᎏ . 25 9 5 12 10 12 ⭈ 10 120 8 a) ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 25 9 25 ⭈ 9 225 15 applichiamo la definizione

riduciamo ai minimi termini la frazione ottenuta

Per evitare di scrivere un passaggio, si possono anche «semplificare» i fattori al numeratore e denominatore, dividendoli per uno stesso numero: 4

2

5

3

8 12 ⭈ 10 ᎏ ⫽ ᎏᎏ . 15 25 ⭈ 9 (abbiamo diviso per 3 il 12 e il 9 e per 5 il 10 e il 25). 2 3 2 6 2 3⭈2 6 b) 3 ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . Oppure, più brevemente: 3 ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 5 1 5 5 5 5 5 Calcola i seguenti prodotti. 4 9 92 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ; 3 8 93

1

1 10 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ; 5 2

冢

25

冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ ᎏ7ᎏ ;

12 21 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ; 3 35

27

冣

冢

100 14 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ; 7 1000

冣

冢

1 3 2 94 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ; 4 8 6

冢

冣

冣冢

15 ⫺3 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ; 4 20

冣

冢

1 2 10 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ; 2 5 4

冢

39

冢⫺ ᎏ2ᎏ6 冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ8ᎏ冣 ; 冣冢

冢

5 7 ⭈ ᎏᎏ; 25

4 ⫺ 3 ⭈ ᎏᎏ ; 9

9 ⫺ 9 ⭈ ᎏᎏ . 81

5 96 ᎏᎏ ⭈ (⫺ 7); 6

2 ᎏᎏ ⭈ 11; 33

5 ᎏᎏ ⭈ (⫺ 2); 10

21 ᎏᎏ ⭈ (⫺ 3); 7

3 ⫺ ᎏᎏ ⭈ 2. 18

冢

1 5 (⫺ 27) ⭈ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ; 9 6

冣

冢

冣

冣

9

36

冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ1ᎏ2 冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣.

3 5 ⭈ ᎏᎏ; 7

10 6 97 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ (⫹ 13); 169 5

冣冢

8

冣

3 95 (⫺ 1) ⭈ ᎏᎏ; 2

冢 冣

⫺1 8 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ . 4 ⫺7

冣 冢

2 10 25 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ; 5 8 6

冣

22 3 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ. 33 2

冢 冣

8

125

冢⫺ ᎏ25ᎏ冣 ⭈ (⫺ 3) ⭈ 冢⫺ ᎏ6ᎏ冣.

98 COMPLETA la seguente tabella. a

2 ᎏᎏ 3 1

b a⭈b

4 ᎏᎏ 9

1

4 ᎏᎏ 9

2 ᎏᎏ 3

4 ᎏᎏ 9 2 ᎏᎏ 3 4 ᎏᎏ 9

2 ᎏᎏ 3

4 ᎏᎏ 9

⫺1

0 0

⫺1

2 ᎏᎏ 3

1 4 ᎏᎏ 9 4 ᎏᎏ 9

1

103

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

■ Espressioni con somme algebriche e moltiplicazioni ESERCIZIO GUIDA

99 Calcoliamo il valore della seguente espressione:

冢1 ⫺ ᎏ21ᎏ冣 ⫺ 冤冢ᎏ27ᎏ4 ⫹ ᎏ43ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ51ᎏ ⫹ ᎏ27ᎏ5 冣 ⫺ 1冥 ⫽ Svolgiamo i calcoli dentro le parentesi tonde: 7 ⫹ 18 5⫹7 1 25 12 ᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 1冥 ⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ 冤冢ᎏᎏ冣 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ 1冥 ⫽ 冣 冤冢ᎏ 24 冣 冢 25 冣 2 24 25

冢

2⫺1 ⫽ ᎏᎏ ⫺ 2

Eseguiamo prima la moltiplicazione: 1

1

冤

冥

冤

冥

冤

冤

冥

冥

1 1 1 1 1⫺2 1 1 1 1 25 12 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏ ⭈ ᎏ ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 25 2

1

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 1 3 100 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ 1 ; 5 2

2 1 2 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ; 3 4 6

冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ1ᎏ3 ⫹ 3冣 .

冤⫺ ᎏ2ᎏ ; ᎏ1ᎏ8 ; ᎏ1ᎏ2 冥

3 1 2 101 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ; 2 6 3

4 5 1 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ; 5 2 4

2 7 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 . 5 2

冤ᎏ4ᎏ ; ⫺ ᎏ5ᎏ ; ⫺ 1冥

冢

冣

冢

冢 冢

冣

2 2 1 4 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ; 5 3 2 3

2

冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ1ᎏ1 ⫺ 3冣 .

103

冢ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ5ᎏ ⫺ 2冣 ;

104

冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢2 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ;

105

冢ᎏ2ᎏ ⫹ᎏ3ᎏ ⫺ᎏ3ᎏ冣⭈ 冢ᎏ2ᎏ ⫺ᎏ5ᎏ ⫺ᎏ2ᎏ冣⫺ᎏ3ᎏ ⫹ᎏ3ᎏ

2

2

7

1

4

7

3

1

2

1

5

7

11

冢ᎏ5ᎏ⫺ᎏ6ᎏ冣⭈ 冢ᎏ7ᎏ⫺5冣; 8

3

3 2 1 4 3 1 106 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 3 ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ 7 2 5 3 3 2 3

冢

109

1

冣冢

2

冣

1

冣

冢ᎏ3ᎏ⫹1冣⭈ 冢2⫺ᎏ5ᎏ冣;

1

8

冣冢

4

1

1

冢

冣冢

1

2

1

2

22

冤ᎏ3ᎏ冥 16

3

9

冣

冤

12

2

1

13

5

冤⫺ ᎏ8ᎏ ; ⫺1; ⫺ ᎏ4ᎏ冥

1

3

2

1

107

冤ᎏ2ᎏ ⭈ᎏ9ᎏ ⫹ 冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ ᎏ2ᎏ冥 ⫹ 冢ᎏ3ᎏ ⫺ 4 ⫺ ᎏ3ᎏ0 冣 [⫺ 1]

108

冦冤ᎏ4ᎏ ⫺ 冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ1ᎏ1 ⫺ 3冣冥 ⭈ ᎏ5ᎏ冧 ⫹ ᎏ5ᎏ 冤⫺ ᎏ5ᎏ冥

3

1

1

2

12

16

31

1

3

1

冦冤冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ 冢3 ⫹ ᎏ2ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ6ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ7ᎏ ⫺ 4冣冥 ⭈ ᎏ3ᎏ冧 ⫺ 冢ᎏ1ᎏ2 ⫹ ᎏ4ᎏ冣

冤ᎏ6ᎏ冥

Per ogni numero, scrivi il reciproco. 110 ⫺ 4 , ⫹ 6 ,

104

⫺ 2 , ⫹ 1 , ⫺ 11.

冥

冤ᎏ2ᎏ ; 3; 1冥

1

10

37

2 9 ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ ; 1 9 2

冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢3 ⫹ ᎏ2ᎏ冣 .

[0]

1

3

冣

2 15 2 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ . 5 4 3

冣 冢

1

2

4 1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 4 ; 3 6 7

冢

1

1

冢

冣

102

冣冢

4

冣

5 111 ⫺ ᎏᎏ, 4

6 ⫹ ᎏᎏ, 7

1 ⫺ ᎏᎏ, 5

3 ⫺ ᎏᎏ, 11

1 ⫹ ᎏᎏ. 8

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

ESERCIZI

112 Scrivi il reciproco del risultato delle seguenti espressioni.

冤⫺ 4; ᎏ1157ᎏ ; ⫺ ᎏ32ᎏ冥

1 3 4 1 2 1 3 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ; ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ . 2 4 3 5 3 6 2 113 VERO O FALSO? a) Se il prodotto fra due numeri è 1, i due numeri sono sempre uno reciproco dell’altro.

V

F

b) Se un numero è negativo, il suo reciproco è positivo.

V

F

c) Il prodotto dei reciproci di due numeri è uguale al reciproco del prodotto.

V

F

d) Se a ⬍ b, il reciproco di a è minore del reciproco di b.

V

F

e) Dato un qualsiasi numero razionale, esiste sempre il suo reciproco.

V

F

■ La divisione Calcola i seguenti quozienti. 114

2 1 ᎏᎏ⬊ ᎏᎏ; 4 2

12 4 ⫺ ᎏᎏ⬊ ⫺ ᎏᎏ ; 25 5

4 8 ᎏᎏ⬊ ⫺ ᎏᎏ ; 9 27

36 6 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ. 35 5

115

4 3⬊ ⫺ ᎏᎏ ; 3

2 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 4 ; 5

5 ⫺ ᎏᎏ⬊ (⫺ 30) ; 6

1 ᎏᎏ ⬊ (⫺ 2). 2

116

(⫺ 3)⬊ 2 ;

2⬊ (⫺ 3) ;

5⬊ (⫺ 1) ;

(⫺ 1)⬊ (⫺ 5).

117

1⬊ (⫺ 6) ;

3 ᎏᎏ⬊ (⫹ 2) ; 4

3 2⬊ ⫹ ᎏᎏ ; 4

6 6 ⫺ ᎏᎏ⬊ ⫺ ᎏᎏ . 5 5

118

3 2 ᎏᎏ⬊ ⫹ ᎏᎏ ; 2 3

冢⫹ ᎏ3ᎏ冣⬊ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ;

1 ᎏᎏ⬊ (⫺ 1) ; 2

1 1⬊ ᎏᎏ. 2

119

1 1⬊ ᎏᎏ ; 3

1 1 ⬊ ᎏᎏ ; 4

2 1 ⬊ ᎏᎏ ; 3

5 1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ . 4

冢

冢

冣

冢 冣

冣

2

冢

冣

冢 冣

2

冢 冣

冢

冣

120 COMPLETA la seguente tabella.

a

1 ᎏᎏ 2

1 ᎏᎏ 2

1 ᎏᎏ 2

1 ᎏᎏ 2

1

a ⬊ (⫺ b)

b

2 ᎏᎏ 3

3 ᎏᎏ 2

1 ᎏᎏ 2

2

3 ⫺ ᎏᎏ 7

b ⬊ (⫺ a)

a⬊b

a⬊b⬊a

b⬊a

b⬊a⬊b

105

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 121 122 123 124

1

1

冢⫺ 2 ⫹ ᎏ3ᎏ冣⬊ 冢ᎏ5ᎏ ⫹ 1冣 ; 2

3

1

3

1

3

9

14

冤⫺ ᎏ1ᎏ8 ; ⫺ ᎏ2ᎏ冥

25

2

冤ᎏ5ᎏ ; ᎏ3ᎏ冥 12 1 ᎏ 冤 5ᎏ ; ᎏ3ᎏ冥

冢ᎏ3ᎏ ⫹ ᎏ4ᎏ冣⬊ 冢ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣.

7

冢ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⬊ 冢3 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ; 3 4 3 3⫺ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ⫺ᎏᎏ ; 冢 11 冣 冢 2 11 冣 4 1 11 冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ6ᎏ冣⬊ 冢ᎏ1ᎏ8 ⫺ 1冣 ;

1

11

冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⬊冢ᎏ6ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 . 1 2 3 ᎏ ᎏ⫺ᎏ ᎏ ⬊ ᎏ 冢 5 3 冣 冢 5ᎏ⫺2冣. 3 3 2 1 冢ᎏ4ᎏ ⫹ ᎏ2ᎏ冣⬊冢ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣.

125 (⫺ 5) ⭈ (⫺ 8) ⬊ (⫹ 3) ;

(⫺ 5) ⬊ (⫺ 3) ⭈ (⫺ 8).

126 (⫹ 7) ⬊ (⫹ 3) ⭈ (⫺ 5) ;

(⫹ 7) ⬊ [(⫹ 3) ⭈ (⫺ 5)].

a

1

1 ᎏᎏ 2

4

1 ᎏᎏ 3

1 ᎏᎏ 2

b

2

1 ᎏᎏ 3

1 ᎏᎏ 2

6

1 ᎏᎏ 3

2

1 ᎏᎏ 2

3

a ⬊b ⬊c a ⬊ (b ⬊ c) a⬊b⭈c a ⬊ (b ⭈ c) a⬊c⭈b a ⬊ (c ⭈ b) a ⭈c⬊b

106

冤⫹ ᎏ430ᎏ ; ⫺ ᎏ430ᎏ冥 7 冤⫺ ᎏ335ᎏ ; ⫺ ᎏ15ᎏ冥 冤⫹ ᎏ725ᎏ ; ⫹ ᎏ32ᎏ冥

■ Espressioni con le quattro operazioni

128 COMPLETA la seguente tabella.

c

7

[⫺ 3; 15]

127 (⫺ 225) ⬊ (⫺ 15) ⬊ (⫹ 2) ⭈ (⫹ 5) ; (⫺ 225) ⬊ (⫺ 15) ⬊ [(⫹ 2) ⭈ (⫹ 5)].

1 ᎏᎏ 4

13

5

Nel sito:

䉴 12 esercizi di recupero

129 VERO O FALSO? b ⭈a b a) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ a ⭈c c

V

F

a ⭈b a b b) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ c ⭈d c d

V

F

a ⫹b a c) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ b ⫹c c

V

F

a b a ⭈d d) ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ c d c⭈ b

V

F

a c a⭈c e) ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ b b b

V

F

a ⫹b a b f) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ c ⫹d c d

V

F

a c a ⫹c g) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ b b b

V

F

h) a ⬊ b ⬊ c ⫽ a ⬊ (b ⬊ c)

V

F

i) a ⬊ b ⭈ c ⫽ a ⬊ (b ⭈ c)

V

F

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

130 Calcoliamo il valore della seguente espressione:

冤冢ᎏ31ᎏ ⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ61ᎏ ⫺ ᎏ32ᎏ冣 ⫹ ᎏ32ᎏ冥 ⭈ 冢ᎏ61ᎏ ⫺ ᎏ25ᎏ冣 ⫽ Svolgiamo i calcoli dentro le parentesi tonde: ⫽

Svolgiamo i calcoli dentro le parentesi quadre:

2⫺9 1⫺4 2 1 ⫺ 15 ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫽ 冤冢ᎏ 6 6 3 6

冤

1

冢

冣

7

冥冢

冤

冥冢

3

1

冢

冣

冢

冣

9 7 7 ⫽ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⶿3 ⭈ ⫺ ᎏ ⫽ ⫺ 7. 3 3 ⶿3

冣

7 2 14 ⶿3 ⶿ ⫽ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏ 6 3 6⶿ ⶿6 3

2

冣

7 2 7 ⫽ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 3 3 3

1

1

1 2 7 7 ⫽ ⫺ ᎏ ⭈ (⫺ 2⶿) ⫹ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ 3 3 6⶿

冥冢

冤

冣

3

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 131

1 1 1 25 7 1 1 冤冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⬊ 冢3 ⫺ ᎏ7ᎏ冣冥 ⭈ 冤冢ᎏ2ᎏ8 ⭈ ᎏ2ᎏ冣 : ᎏ8ᎏ冥 冤⫺ ᎏ2ᎏ冥

133

冤冢ᎏ61ᎏ ⫺ 4冣 ⬊ 冢ᎏ32ᎏ ⫺ 2冣冥 ⭈ 冤ᎏ24ᎏ3 ⬊ 冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ52ᎏ冣冥

132

冤冢ᎏ61ᎏ ⫺ ᎏ52ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ32ᎏ ⫺ 1冣冥 ⬊ 冤冢ᎏ11ᎏ0 ⬊ ᎏ43ᎏ冣 ⭈ ᎏ21ᎏ冥 冤ᎏ22ᎏ1 冥

134

冤冢ᎏ61ᎏ ⫹ ᎏ42ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ45ᎏ冣冥 ⬊ 冤ᎏ94ᎏ ⬊ 冢ᎏ32ᎏ ⫺ 2冣冥 冤ᎏ38ᎏ冥

135

冤冢ᎏ52ᎏ ⫺ ᎏ21ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ61ᎏ ⫺ ᎏ32ᎏ冣冥 ⭈ 冤冢ᎏ61ᎏ ⬊ ᎏ31ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ23ᎏ冣冥

冤⫺ ᎏ11ᎏ5 冥

2 1 4 1 2 1 4 1 1 13 4 136 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5 3 3 5 15 3 3 4 3 5 5

冤 冢

冣 冥

[5]

10

冣冥

冤⫺ ᎏ9ᎏ冥

1 4 1 2 1 12 1 1 3 1 137 ᎏᎏ⫹ᎏᎏ⫺ ᎏᎏ⫹ᎏᎏ⫹ 1⫹ᎏᎏ ⭈ᎏᎏ ⭈ᎏᎏ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 3 2 3 4 5 3 9 4 27

冣

冤ᎏ9ᎏ冥

138

冦冤冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ7ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冥 ⬊ 2冧 ⭈ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ ⫹ 1

冤ᎏ3ᎏ冥

139

冦冤冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ6ᎏ冣 ⭈ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冥 ⫺ ᎏ5ᎏ ⭈ 冤15 ⭈ 冢2 ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ ᎏ3ᎏ冥冧 ⫹ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ ⫹ 4

140

冦冤⫺ ᎏ5ᎏ ⭈ 冢ᎏ2ᎏ ⫹ 1冣 ⫹ ᎏ2ᎏ冥 ⬊ ᎏ4ᎏ ⫹ 冢3 ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ7ᎏ冣冧 ⬊ ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ2

141

1 1 1 1 2 1 1 1 1 27 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 6 8 2 3 3 6 4 5 10 5

冤

1

4

2

1

1

冦冤冢

冢

2

3

3

冣冢

冤 冢 冢

冣 冥

1

3

1

2

1

3

5

1

2

1

5

2

冣 冥

1

冧

5

1

1

2

2

4

1

冢

冣

1 7 2 1 2 1 4 1 1 2 142 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 ⭈ᎏᎏ⫹8 14 11 3 6 4 3 5 5 7 3

冤

冢

冣 冥 冤

冢

冣冥

7

冤⫺ ᎏ1ᎏ2 冥 1

冤⫺ ᎏ3ᎏ冥 [5] 1

冤⫺ ᎏ6ᎏ冥 107

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

1

4

3

1

2

4

1

3

1

9

14

冤ᎏ3ᎏ冥

143

冤冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ ᎏ7ᎏ ⫺ 冢ᎏ3ᎏ ⫹ ᎏ5ᎏ冣冥 ⫹ 冤ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ ⫹ 冢 ⫺ ᎏ3ᎏ冣冥 ⬊ ᎏ2ᎏ0 ⫹ ᎏ1ᎏ5

144

冦冤冢3 ⫺ ᎏ1ᎏ1 冣 ⬊ 冢ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ1 冣冥 ⫺ ᎏ5ᎏ冧 ⭈ ᎏ3ᎏ ⫺ 冢ᎏ3ᎏ ⬊ ᎏ3ᎏ ⫺ 4 ⫹ ᎏ5ᎏ冣

16

冤⫺ ᎏ1ᎏ5 冥

145

冦冤冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ1ᎏ3 ⫹ 3冣 ⫺ ᎏ1ᎏ2 冥 ⬊ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冧 ⭈ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ ⫹ 1

冤ᎏ5ᎏ冥

13

4

4

3

1

3

2

8

30

4

7

1

2

3

8

2

2

■ Frazioni a termini frazionari 146 Trasforma le frazioni in divisioni e risolvi. 2 ᎏᎏ 5 ᎏ, 6 ᎏᎏ 25

1 ᎏᎏ 4 ᎏ, 3 ⫺ ᎏᎏ 16

3 ᎏ, 9 ᎏᎏ 10

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

1 ᎏᎏ 2 ᎏ. 4

3 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 16 4 148 ᎏᎏ ; 1 2 ⫺ ᎏᎏ 8

150

冣

冢

3 (⫺ 4) ⭈ ⫺ ᎏᎏ 8 149 ᎏᎏ ; 5 ᎏᎏ 24

147 Trasforma le divisioni in frazioni. 9 16 4 8 ᎏᎏ ⬊ 3 , ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ , (⫺ 2) ⬊ ᎏᎏ , 5 7 49 9

1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 8 6 ᎏ. 1 ᎏᎏ 6

冢⫺ ᎏ356ᎏ冣 ⬊ ᎏ16ᎏ .

冤ᎏ310ᎏ ; ⫺ ᎏ14ᎏ冥

1 2 ⫺ ᎏᎏ 3 36 3 ᎏᎏ . ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ 5 5 5 5 ⭈ ⫺ ᎏᎏ 9

冢

冣

冤

冥

冢1 ⫺ ᎏ21ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ43ᎏ冣

冢ᎏ41ᎏ ⫺ ᎏ51ᎏ冣 ⭈ (⫺ 60) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏᎏ 2 4 ⫺ ᎏᎏ 冢⫹ ᎏ21ᎏ ⫺ 5冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ12ᎏ07 冣 3 冢

冣 冢 冣

3 4 1 ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 5 7 5 2 151 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 1 ; 1 2 1 9 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 14 7 4

冢

冣

冢

[⫺ 2]

冣 冢 冣

冢 冣

1 2 5 1 ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ᎏᎏ ⫹ ⫺ ᎏᎏ 3 5 6 3 . ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 5 3 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ 4 12 5 3

8

冢 冣

1 1 2 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ ⫹ ᎏᎏ 3 2 3 3 152 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏᎏ 3 2 1 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 3 ⫺ ᎏᎏ ⬊ (⫺ 4) 2 3 9 3

冤⫺ ᎏ59ᎏ冥

冢 冣 冢 冣

冢ᎏ71ᎏ ⫺ 1冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ32ᎏ ⫹ ᎏ45ᎏ冣

2 3 1 2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 4 10 21 153 ᎏᎏᎏ ⫹ ᎏ ⬊ ᎏᎏ 3 4 7 11 2 7 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 9 9 12 3 4

冤⫺ 4冥

■ La potenza 154 Senza eseguire il calcolo, indica il segno del risultato delle seguenti potenze. (⫺2)4,

108

⫺24,

冢

冣

7 3 ⫺ ᎏᎏ , 2

⫺73,

5

冤ᎏ5ᎏ ; ⫺ ᎏ2ᎏ冥

⫺ (⫺7)3,

冢 冣

4 0 ⫺ ᎏᎏ , 3

冢

冣

1 0 ⫺ ᎏᎏ . 4

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

ESERCIZI

COMPLETA

155

冢ᎏ35ᎏ冣 ⫽ ᎏ…3ᎏ ,

冢⫺ ᎏ32ᎏ冣 ⫽ … ᎏ…2ᎏ ,

156

0 ⫽ …, 冢ᎏ250ᎏ 3 冣

冢ᎏ27ᎏ冣

2

2

125 ᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ , 冢… ᎏ… …冣 8

4

625

1

…

冢⫺ ᎏ12ᎏ冣

3

4

冢 冣

2 ⫺ ᎏᎏ 7

⫽ 1,

…

⫽ ⫺ 1,

…

冢ᎏ3ᎏ冣 ⫽ …, 4

1 ⫽ ⫹ ᎏᎏ . 64

冢⫺ ᎏ7ᎏ冣 ⫽ … . 5

0

0

Calcola il valore delle seguenti potenze. 1 2 ᎏᎏ ; 2

2 2 ⫺ ᎏᎏ ; 3

5 2 ⫺ ᎏᎏ ; 6

冢 冣 冢

158

冢ᎏ2ᎏ冣 ; 冢⫺ ᎏ6ᎏ冣 ; 冢⫺ ᎏ1ᎏ0 冣 ; 冢⫺ ᎏ6ᎏ冣 .

1

冣 冢

2 3 ⫺ ᎏᎏ . 5

157

12

3

2

冣 冢

冣

4

2

3

4

1 3 1 ⫺ ᎏᎏ ; 2

3 3 ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ; 2

159

冢

冢

160

冢ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ;

冣

5

4

2

4 5 2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ . 5 4

冢

冣

7

冣

3

1

冢⫺ ᎏ8ᎏ ⫹ 2冣 ; 冢⫺ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 . 3

3

161 COMPLETA la seguente tabella. a0

a

a1

a2

a3

ⴚ a2

(ⴚ a) 2

ⴚ a3

(ⴚ a) 3

1 ⫺ ᎏᎏ 5 3 ⫹ ᎏᎏ 2 ⫺1 1 ⫹ ᎏᎏ 5 3 ⫺ ᎏᎏ 2

162 Quale delle seguenti espressioni vale ⫺ 1?

冢

冣

冢 冣

2 0 ⫺ ᎏᎏ ; 5

20 ⫺ ᎏᎏ ; 5

2 1 ⫺ ᎏᎏ ; 5

冢 冣

2 0 ⫺ ᎏᎏ . 5

2 ⫺ ᎏᎏ; 50

Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate in ciascuna delle seguenti uguaglianze. 2 3 2 4 2 7 27 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ; 3 3 3 37

163

冢

164

冤冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⫽ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⫽ ⫹ ᎏ2ᎏ ;

165

冣 冢

1

3 2

冣 冢 1

冣

1

6

6

1 2 5 (⫺ 3) 3 ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫹ ᎏᎏ 2 2

冤

冢

冣 冢

4 6 4 4 4 2 42 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ . 5 5 5 52

冣冥

3

冢 1

冣 冢

冣 冢

3

2

冣

1

3

冤冢⫹ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ (⫹ 7)冥 ⫽ 冢⫹ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ (⫹ 7) .

1 6 5 3 ⫽ (⫺ 3) 9 ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫹ ᎏᎏ ; 2 2

冢

冣 冢

冣

2

2

3 2 3 3 3 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 4 4 4

2

5

冢 冣 冢 冣 冢 冣 3 ᎏᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 冢 3 4冣 冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 4

6

109

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

166 CACCIA ALL’ERRORE Trova l’errore commesso in ognuna delle seguenti espressioni.

冣 冢

冢

冣 冢

冣 冢

冣 冢

冣

1 2 1 3 1 2 1 3 1 a) ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ 3 3 3 3 3

6

b) (⫹6)2 ⭈ (⫺6)5 ⫽ (⫹6)2 ⭈ (⫹6)5 ⫽ (⫹6)7

冢 冣 冢

冣

冣 冢⫺ ᎏ32ᎏ冣 ⫽ ⫺ 冢⫺ ᎏ32ᎏ冣 ⫽ ⫹ 冢ᎏ32ᎏ冣

冢

3 5 3 3 3 c) ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ⫺ ᎏᎏ 2 2 2

冣冥 冢

冤 冢

2 d) ⫺ ⫺ ᎏᎏ 5

2 3

5

3

冣 冢

8

冣 冢

冣 冢

8

冣

2 2 6 2 2 ⬊ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ ⬊ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ 5 5 5 5

5

e) [⫺ (⫺2)3]3 ⬊ (⫺2)2 ⫽ (⫹2)9 ⬊ (⫺2)2 ⫽ (⫺2)9 ⬊ (⫺2)2 ⫽ (⫺2)7 167 ASSOCIA a ogni espressione il proprio risultato.

冣 冢 冣

冢

1 3 1 1. ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 2

冢 冣 冢

冣

1 7 1 2. ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ 2 2

2

1 A. ⫺ ᎏᎏ 64

冣冥

冤 冢

1 3. ⫺ ⫺ ᎏᎏ 2

2

1 B. ⫺ ᎏᎏ 32

1 C. ⫹ ᎏᎏ 64

■ Espressioni e proprietà delle potenze

Nel sito:

冣冥

冤 冢

1 4. ⫺ ⫹ ᎏᎏ 2

3 2

2 3

1 D. ⫹ ᎏᎏ 32 䉴 11 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

168 Calcoliamo, applicando le proprietà delle potenze, il valore della seguente espressione:

冦冤冢⫺ ᎏ21ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ21ᎏ冣 冥 ⬊ 冢ᎏ25ᎏ冣 冧 ⬊ 冢⫺ ᎏ51ᎏ冣 ⭈ 10 ⫽ 2

3 2

10

6

Applichiamo la proprietà del prodotto di potenze di uguale base: 1 5 1 冦冤冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⬊ 冢ᎏ2ᎏ冣 冧 ⬊ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 10 ⫽ 5 2

⫽

10

6

冤冢

冣 冢 冣冥 冢

1 ⫺ ᎏᎏ 2

10

5 ⬊ ᎏᎏ 2

10

1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ 5

冣 ⭈ 10 ⫽ 6

4

Applichiamo la proprietà del quoziente di potenze di uguale esponente e calcoliamo il quoziente delle basi:

冢

冣 冢

1 5 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 2 2

110

10

1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ 5

冣

6

4

⭈ 10 ⫽

1

冢

1 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏⲐᎏ Ⲑ2 5

冣 冢 10

1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ 5

冣 ⭈ 10 ⫽ 6

4

1

4

Applichiamo la proprietà della potenza di una potenza: ⫽

4

冢

1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 5

冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ51ᎏ冣 ⭈ 10 ⫽ 10

6

4

Applichiamo la proprietà del quoziente di potenze di uguale base:

冣 ⭈ 10 ⫽

冢

1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 5

4

4

Applichiamo la proprietà del prodotto di potenze di uguale esponente: 1 2 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 10 Ⲑ Ⲑ5

冢

1

冣 ⫽ (⫺2) ⫽ 16. 4

4

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

ESERCIZI

Calcola, applicando le proprietà delle potenze, il valore delle seguenti espressioni. 169

1

1

冤冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ4ᎏ冣冥 3

2 2 3 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 3 8

170

冤冢 冣 冢 冣 冥 ⭈ 2

171

1 2 1 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 25 25

冤冢

172

冤冢ᎏ1ᎏ5 冣 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ冣 冥 ⭈ 5

173

1 3 2 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 2 7

1

冤ᎏ1ᎏ6 冥

4

25 ⭈ ᎏᎏ 3

3

3

3 2

冣 冢

4 ᎏᎏ 3

3

6

[1]

5 ⬊ ᎏᎏ 7

3 6 1 ⭈ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 2 2

冤冢ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 冥 ⬊ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣

4

2

1 ᎏᎏ 2

冣

[1]

4

3 2

2 ⭈ ᎏᎏ 3

6

1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ 3

冦冤冢 冣 冥 冢 冣 冧 冢 4 3

12

1 3 ⫺ ᎏᎏ ⭈ 2

1 ⫺ ᎏᎏ 2

3

5

冣 冤冢

冤ᎏ125ᎏ冥

3

175

4

1

冣冥 冢 冣 3

冤冢 冣 冥 冢 冣 冢 2 3

冤 冥

5

174

176

1 ᎏᎏ 243

冣 冢 冣冥 冢 冣

2

冤冢

2 2

1

冤ᎏ256ᎏ冥

2

16

8

冤ᎏ2ᎏ5 冥

冣

冤ᎏ9ᎏ冥

1

10

1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ 2

冦冢

178

冤冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 冢⫹ ᎏ9ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 冥 ⬊ 冤冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 冥 4

冣冥冧 冢

1

177

3 2

1

4

1 6 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ 4 2

冣 冢

冣

冤ᎏ4ᎏ冥

7

1

7

1 4 1 ⬊ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 2

1

冤⫺ ᎏ3ᎏ冥

5 2

1

冣冥 冢 冣 冢 冣

179

冤冢

180

冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫹ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣

2

2

3

1 2 2 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 4 5

6

2

2

1 ᎏᎏ 5

冤ᎏ2ᎏ冥

2

2

4

2

3

2 6 1 ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 3 3

0

[1]

181

冦冤冢 冣 冢 冣 冥 冤冢 冣 冥 冧 冤冢 冣 冢 冣 冥

182

冦冤冢ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ4ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ5ᎏ冣 冧 ⬊ 冤冢ᎏ2ᎏ5 冣 ⭈ ᎏ3ᎏ冥

183

冤冢1 ⫹ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ 冢2 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ冣 ⬊ 冤冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ冣 冥

冤ᎏ287ᎏ冥

184

冢ᎏ35ᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ25ᎏ冣 ⭈ 冤冢2 ⫹ ᎏ12ᎏ冣 ⭈ ᎏ52ᎏ冥 ⫺ 1

冤ᎏ189ᎏ冥

185

冢2 ⫺ ᎏ194ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⫺ 冢2 ⫺ ᎏ53ᎏ冣 ⬊ ᎏ217ᎏ ⫺ ᎏ29ᎏ

冤⫺ ᎏ19ᎏ冥

186

冢1 ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ3ᎏ冣 ⫹ 冤冢ᎏ2ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ 3 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ 1 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⫹ 1冥

1

1

2

2 3

⬊

4

3 2

2 3

⭈

3

10

6

[1]

1

5

1

冤ᎏ9ᎏ冥

3

1

1

3

8

3

5 2

5

2

1

2

2

8

3

7

2

2

2

3

2

4

7

2

1

3

5

4

冤⫺ ᎏ49ᎏ冥 111

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

■ Espressioni con i razionali

Nel sito:

䉴 31 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

187 Calcoliamo il valore della seguente espressione: 7

11

2

1

2

1

2

2

2

1

2

5

冦冢ᎏ1ᎏ1 冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ1ᎏ4 冣 ⫺ 冤冢ᎏ2ᎏ冣 ⫹ 冢ᎏ3ᎏ冣 冥冧 ⬊ 冤冢ᎏ3ᎏ冣 ⫹ ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ9ᎏ冥 ⫽ Prima di calcolare le potenze, controlliamo se ci sono moltiplicazioni e divisioni di potenze che hanno la stessa base o lo stesso esponente. Nella prima moltiplicazione applichiamo la proprietà del prodotto di potenze con lo stesso esponente: 1

冦冤

⫽

1

⶿7 ⭈ ⫺ 11 Ⲑ 2 ⫺ ᎏ1ᎏ ⫹ ᎏ1ᎏ ⬊ ᎏ4ᎏ ⫹ ᎏ1ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ ⫽ 11 Ⲑ 冢 14 ⶿ 冣冥 冢 4 9 冣冧 冤 9 3 9 冥 1

⫽

冦冤

2

1 2 9⫹4 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 36

冥 冢

1

4⫹3⫺5

1

13

2

9 ⫺ 13

2

冣冧 ⬊ 冤ᎏ9ᎏ冥 ⫽ 冢ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ36ᎏ冣 ⬊ ᎏ9ᎏ ⫽ 冢ᎏ36ᎏ冣 ⬊ ᎏ9ᎏ ⫽

1

1 4 9 ⫽ ⫺ ⶿ ⭈ ⶿ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 2 36 ⶿ 2

⶿9 1

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 23 31 29 11 72 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 4 8 6 3 33

188

冢

189

冤冢ᎏ6ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⬊ 冢2 ⫺ ᎏ8ᎏ冣冥 ⭈ 3 ⫺ ᎏ4ᎏ

冣 冢

7

35

冣冢 冣

3

1

冤ᎏ1ᎏ2 冥

3

2

5

冤ᎏ4ᎏ冥

1 2 2 13 1 3 1 190 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫹ ᎏᎏ 9 3 6 2 2

冢 冣

191 192

7 3 ᎏᎏ ⬊ 4

4

冤冢

2

冣 冢

15

1

冣 冥 ⫹ ᎏ9ᎏ 3

[1]

17

冢 冣 冤冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ ᎏ8ᎏ冥 ⫺ ᎏ1ᎏ6

[2]

2 1 5 2 3 2 4 3 ⫹ ᎏᎏ ⬊ 2 ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ2 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 5 8 2 3 3 9

冤冢

冣冢

冣冥

冤冢 冣 冢 冣冥

[2]

1 3 2 1 2 4 3 75 193 ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 2 2 12 3 15 28

[2]

5 9 5 58 2 3 2 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 4 10 3 45 4 2

冤⫺ ᎏ4ᎏ冥

冢 冣

194 195

冤冢

1 ᎏᎏ ⫹ 3

冦

112

冤冢

冥

5

冥 冢 冣

冣

2 2 2 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 3 3

冣

2 ⬊ ᎏᎏ 3

3 1 2 ⭈ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 7 4 3

冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣 冧 冢 冣 4 2

10

31 ⫺ ᎏᎏ 84

冤

冥

Paragrafo 3. Le operazioni in Q

BRAVI SI DIVENTA

196

1

1

1

1

2

7

56

1

3

冢

冣冤 冢 冣 冦冤冢 冣 冣 冢 冣 冥 冤冢

冢 冤冢

1

2

1

1

冣冥 冥 冤冢 冣 冣 冢 冣冥

2

4

27

冤ᎏ8ᎏ冥 22 冤ᎏ1ᎏ5 冥 2 冤ᎏ3ᎏ冥

2

冥 冧 ⫹ ᎏ5ᎏ 2

4

冤冢2 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⫹ 冢⫺ 2 ⫹ ᎏ3ᎏ冣 ⫹ 冢4 ⫺ ᎏ6ᎏ冣 ⫺ 1冥 ⬊ 2 ⫺ ᎏ3ᎏ ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 12 1 1 3 冦冤(⫺ 2) ⫹ (⫺ 3) ⫺ 冢ᎏ5ᎏ冣 冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⫺ ᎏ2ᎏ5 冧 ⭈ ᎏ4ᎏ 1 1 3 1 1 19 1 1 ⫹ ⬊ᎏ ⫺ ᎏ ᎏ ⭈ 1 ⫹ 1 ⫹ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ ᎏ ⫺ ᎏ ᎏ ⫹ 1 ⬊ ᎏ ᎏ ⫹ 1 ⫺ ᎏ ᎏ 冦 2 冤 冢 2冣 2冥 冢4 2 冣冧 冢2 冣 4 2

201

䉴 E04

冤冢1 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ3ᎏ ⫺ 5冣 ⫹ ᎏ6ᎏ冥 ⫹ 冤冢ᎏ9ᎏ ⫺ ᎏ15ᎏ ⫹ ᎏ5ᎏ冣 ⬊ᎏ33ᎏ冥 ⭈ (⫺ 3 ) ⫺ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⫹ 冢4 ⫹ ᎏ3ᎏ ⬊ᎏ9ᎏ冣 3

3 3 13 3 197 (⫺ 2 ⫹ 5) 3 ⬊ (5 ⫺ 2) 2 ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⭈ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 4 7 4 2 4 7 1 2 1 1 3 198 ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ 10 ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⭈ (⫺ 1) 5 5 2 5 25 50 5 5 3 1 7 3 2 6 8 3 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫹ 1 199 4 8 4 5 5 5

200

2

ESERCIZI

0

3

2

3

4

冤ᎏ3ᎏ冥

2

2

9 ᎏᎏ 4

冤 冥

2

3

3 33 4 1 1 3 5 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ 3 ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 5 15 3 2 6 27 202 ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 2 1 3 25 1 3 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 4 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 6 4 8 32 2 2

冢

冣 冢

冢

冣

冣

冢

冣

Calcola il valore delle seguenti espressioni assegnando alle lettere i valori indicati a fianco. 1 1 y ⫽ ⫺ ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ 203 (x ⫹ y)2 ⫺ (x 2 ⫹ y 2) 2 3 2 2 a⫹b a ⫺b 1 ⬊ ᎏᎏ a⫽⫺1 b ⫽ ᎏᎏ 204 ᎏ2ᎏ 2 2 ab a 4 3 1 a ⫽ ᎏᎏ b ⫽ ⫺ ᎏᎏ 205 (2a ⫹ b) ⬊ (4a 2 ⫺ b 2) 2 2 1 1 4a 3 a ⫽ ⫺ ᎏᎏ 206 a ⫺ ᎏᎏ ⭈ a ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ a a 3 2 1 1 1 ᎏ ⫹ ᎏᎏ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ 207 ᎏ x2 ⫹ x x⫹1 4 1 1 y ⫽ ᎏᎏ 208 ᎏᎏ ⫹ y ⫹ 2 y⫺2 3

冢

冣冢

[3]

冣

1

冤⫺ ᎏ3ᎏ冥 64 冤⫺ ᎏ5ᎏ冥 2 ᎏ 冤 7ᎏ冥 65 冤⫺ ᎏ18ᎏ冥 [⫺ 4] 26

冤ᎏ15ᎏ冥

■ Dalle parole alle espressioni letterali ESERCIZIO GUIDA

209 Traduciamo in espressione la seguente frase: 2 2 «Ai ᎏᎏ della differenza fra la metà di a e i ᎏᎏ di b, aggiungi la terza parte della somma fra il quadrato 5 3 3 di a e i ᎏᎏ di b». 2 5 3 Calcoliamo poi il valore dell’espressione per a ⫽ ⫺ ᎏᎏ e b ⫽ ⫺ ᎏᎏ. 2 2

113

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

Eseguiamo la traduzione per gradi: 2 « ᎏᎏ della differenza fra …» 5

→

«la metà di a»

→

2 «i ᎏᎏ di b » 3

→

«aggiungi la terza parte della somma fra …»

→

«il quadrato di a» 3 «i ᎏᎏ di b » 2 L’espressione è dunque la seguente: 2 1 2 1 3 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ a ⫺ ᎏᎏ b ⫹ ᎏᎏ ⭈ a 2 ⫹ ᎏᎏ b . 5 2 3 3 2 Sostituiamo: 2 1 5 2 3 1 5 ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5 2 2 3 2 3 2

冢

冤 冢

冣

冣

冢

冢

→ →

2 ᎏᎏ ⭈ (… ⫺ …); 5 1 ᎏᎏ ⭈ a; 2 2 ᎏᎏ ⭈ b; 3 1 ⫹ ᎏᎏ ⭈ (… ⫹ …); 3 a 2; 3 ᎏᎏ ⭈ b. 2

冣

冣冥

冤冢

3

2

3

冣 ⫹ ᎏ2ᎏ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣冥 ⫽ …

37 Lasciamo a te il compito di svolgere i calcoli. Il risultato è ᎏᎏ. 30 Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola poi il loro valore, con i dati assegnati. BRAVI SI DIVENTA

210 Moltiplica la somma del doppio di a e della terza parte di b per la differenza tra il doppio di a e la terza parte di b, sottrai poi al risultato la somma del quadruplo del quadrato di a e del doppio di c; 3 15 a ⫽ 1, b ⫽ ᎏᎏ, c ⫽ ⫺ 2. ᎏᎏ 2 4 1 5 211 Sottrai ᎏᎏ di b ai ᎏᎏ di a, somma poi al risultato 8 8 3 il prodotto dei ᎏᎏ di c per la somma di 1 e di a; 5 1 1 1 ⫺ ᎏᎏ a ⫽ ᎏᎏ, b ⫽ 3, c ⫽ ᎏᎏ. 5 3 100 1 4 212 Sottrai ᎏᎏ di a ai ᎏᎏ di c, dividi poi il risultato 8 5 3 1 per i ᎏᎏ del quadrato di b; a ⫽ 3, b ⫽ ⫺ ᎏᎏ, 8 5 1 65 c ⫽ ᎏᎏ . ⫺ ᎏᎏ 16 3 2 213 Moltiplica la somma dei ᎏᎏ di b e a per la diffe5 renza tra la metà di b e c, somma poi al risultato 1 2 il quoziente tra ᎏᎏ di a e la differenza tra i ᎏᎏ di 4 5 5 1 ᎏᎏ b e 2; a ⫽ 2, b ⫽ ᎏᎏ, c ⫽ 1. 2 4

冤 冥

冤

冥

冤

冥

冤 冥

114

䉴 E05

4 214 Moltiplica la differenza tra i ᎏᎏ di a e b per 3 il quadrato della somma di a e b e al risultato sottrai il quoziente tra il cubo di a e la differenza tra 1 i quadrati di a e b; a ⫽ ⫺ ᎏᎏ , b ⫽ 2. 2 2 215 Moltiplica la differenza tra i ᎏᎏ di a e la metà di 5 b per il doppio di c, somma poi al risultato il 1 quoziente tra ᎏᎏ di a e la differenza tra il dop4 13 5 3 pio di b e 1; a ⫽ ᎏᎏ, b ⫽ 2, c ⫽ ᎏᎏ. ⫺ ᎏᎏ 3 4 36 4 216 Sottrai i ᎏᎏ di a al quadrato della somma del dop9 3 pio di c e del prodotto dei ᎏᎏ di b per la differenza 2 2 4 5 85 ᎏᎏ tra i ᎏᎏ di c e a; a ⫽ 1, b ⫽ ᎏᎏ , c ⫽ ᎏᎏ. 5 9 6 81

冤

冥

冤 冥

217 Calcola il quadrato della somma di 2b e del ri2 sultato della divisione della somma dei ᎏᎏ di b e 3 1 1 di ᎏᎏ di a per la differenza tra ᎏᎏ di c e a, sottrai 5 4 3 5 3 1 ⫺ ᎏᎏ poi i ᎏᎏ di a; a ⫽ ᎏᎏ, b ⫽ ᎏᎏ, c ⫽ 2. 5 2 4 2

冤

冥

Paragrafo 4. Le potenze con esponente intero negativo

ESERCIZI

Problemi con le frazioni 5 218 Ho portato in banca i ᎏᎏ di una somma guadagnata e ho trattenuto il resto per spese immediate che am8 [€ 2440] montano a € 915. Quale somma avevo guadagnato? 2 219 Paolo deve acquistare uno scooter che costa € 2760, ma possiede solo i ᎏᎏ della somma. 3 Quanto manca per effettuare la spesa?

[€ 920]

2 220 Un numero aumentato dei suoi ᎏᎏ dà come risultato 495. Qual è il numero? 7

[385]

221 Prima di partire per un viaggio si fa il pieno di gasolio in un’automobile che ha un serbatoio della capacità di 3 3 64 l. Nella prima tappa del viaggio si consumano i ᎏᎏ del gasolio, nella seconda i ᎏᎏ del rimanente. Facendo 8 4 7 una sosta al distributore vengono introdotti i ᎏᎏ del gasolio consumato. Quanto gasolio viene introdotto 9 [42 l] nella sosta? 222 In un centro commerciale Andrea acquista un set di valigie che sono in sconto. Se spende € 123 e lo sconto 9 [€ 150] è uguale ai ᎏᎏ del prezzo iniziale, quanto costavano le valigie? 50 5 223 Un triangolo con il perimetro di 27 cm ha un lato di 5 cm, mentre gli altri due sono uno i ᎏᎏ dell’altro. 6 Quanto misurano i due lati? [10 cm; 12 cm] 6 224 Roberta acquista un’automobile che costa € 16 500. Al momento dell’acquisto versa i ᎏᎏ del prezzo e il re11 sto a rate mensili. Quanto deve versare ogni mese se vuole estinguere il pagamento in 30 rate? [€ 250]

4. Le potenze con esponente intero negativo –䊳

Teoria a pag. 81

ESERCIZIO GUIDA

225 Calcoliamo le seguenti potenze con esponente negativo. 3⫺2 a) (⫺ 3)⫺2; b) ⫺ 3⫺2; c) ᎏᎏ . 5 a) (⫺ 3)

⫺2

1 2 1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫹ ᎏᎏ . 3 9

冢

冣

In questo caso l’esponente riguarda solo il numeratore:

b) ⫺ 3⫺2 ⫽ Poiché non ci sono parentesi, il segno ⫺ non fa parte della potenza: 1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ 3

冢 冣

3⫺ 2 c) ᎏᎏ ⫽ 5

2

1 ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 9

1 2 1 ᎏᎏ ᎏᎏ 3 9 1 1 1 ⫽ ᎏ ⫽ ⫹ ᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 5 5 9 5 45

冢 冣

115

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

Calcola le seguenti potenze con esponente negativo. 226 2 ⫺3 ; 227

1 ᎏᎏ 2

(⫺ 2) ⫺3 ;

冢 冣

1 ⫺3 ⫺ ᎏᎏ ; 2 1 ⫺1 ᎏᎏ ; 5 4 ⫺2 ᎏᎏ ; 7

;

3 ⫺ ᎏᎏ 5

冢

冣

3 ⫺2 ⫺ ᎏᎏ ; 2 9 ⫺1 ᎏᎏ ; 5 1 ⫺3 ᎏᎏ ; 3

冢 冣 冢 冣 冢 冣

⫺4

228 (⫺ 2) ⫺1 ; 229

2 ⫺2 ;

⫺2

;

冢 冣 冢 冣 冢 冣

(⫺ 2) ⫺2 ;

⫺ 2 ⫺2 ;

2 ⫺1 .

3 ⫺2 ⫺ ᎏᎏ ; 2 2 ⫺1 ⫺ ᎏᎏ ; 5

1⫺ 4 ᎏᎏ ; 2

4 ᎏ⫺2 ᎏ. 3 5⫺1 ⫺ ᎏᎏ . 6

3 ⫺3 ;

1⫺7;

冢

冣

(⫺1)⫺1;

⫺ 1⫺7.

230 COMPLETA le seguenti uguaglianze: 7 … 冢ᎏ3ᎏ冣 ⫽ 冢ᎏ…ᎏ冣 ; 1 冢ᎏ…ᎏ冣 ⫽ ⫺ 1;

冢 冣

冢ᎏ23ᎏ冣

… 2 6⫺2 ⫽ ᎏᎏ ; … ⫺… 1 ⫽ 25; ᎏᎏ 5

3

⫺3

27 ⫽ ᎏᎏ ; 8 12 1 ⫺1 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ; 2 … 3

冢 冣

3

1 3… ⫽ ᎏᎏ ; 81 8 5… ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 25 23

…

冢 冣

冢⫺ ᎏ27ᎏ冣 ⫽ 冢ᎏ72ᎏ冣 4 7 ᎏᎏ ⫽ 冢ᎏᎏ冣 . 7 2

…

⫺4

冢 冣

⫺1

;

;

⫺1

…

231 VERO O FALSO?

冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ12ᎏ冣 ⫽ ⫺ 32

冢

1 a) ⫺ ᎏᎏ 2

冤冢⫺ ᎏ13ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ13ᎏ冣 冥 2 5 e) 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫽ 冢⫺ ᎏᎏ冣 5 2 1 f) 6 ⫽ 冢⫺ ᎏᎏ冣 6

2

⫺3

V

F

V

F

V

F

2

d)

3 ⫺2

冢 冣 冢 冣

1 6 1 c) ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 4 4

⫺2

冢 冣

1 ⫽ ᎏᎏ 4

4

冣

10

V

F

V

F

V

F

3

⫺3

b) (⫺ 3)3 ⭈ (⫺ 3)⫺3 ⬊ (⫺ 3)2 ⫽ (⫹ 3)4

冢

1 ⫽ ⫹ ᎏᎏ 3

3

⫺3

Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. 232 3 2 ⭈ 3⫺5 ⭈ 3 4 ⭈ 3⫺1;

冤1; ᎏ41ᎏ冥

2⫺5 ⬊ 2⫺3.

234

1 2 1 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 5 5

1 ⭈ ᎏᎏ 5

冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣 3 2

2 ᎏᎏ 3

⫺1 2

3

2

2

;

1

2

237

冦冤冢ᎏ5ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ5ᎏ冣 冥 ⬊ 冢ᎏ5ᎏ冣 冧 ⬊ 冢ᎏ2ᎏ冣

238 239

3

⫺1

3 2 3 ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 2 2

3 ⫺2

1 3 2 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 4 3

3 ⫺1

1 ⭈ ᎏᎏ 2

1

1 3 ⭈ ᎏᎏ . 3

;

15

2 ⫺1

4 ⭈ ᎏᎏ 9

2

1 ⭈ ᎏᎏ 6

4 ⫺1

2

2 ⬊ ᎏᎏ 3

2

5 4

16

2

3 ⫺1

⬊ 5 4.

1

125

冤ᎏ6ᎏ; ᎏ12ᎏ8 冥 25 8

冤ᎏ2ᎏ7 冥

⫺1

1 3 2 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 4 5

冤1; ᎏ2ᎏ5 冥

8

⭈ ᎏᎏ .

⫺2

1

冤ᎏ125ᎏ; ᎏ3ᎏ冥

冤ᎏ2ᎏ冥

⫺1

冦冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣 冧 冤冢 冣 冢 冣 冥 ⬊

⫺3 ⫺2

冦冤冢ᎏ5ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ5ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ5ᎏ冣 冧

⫺3

冦冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣 冧 冢 冣

116

⫺2

冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣

冦冤冢ᎏ4ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ9ᎏ冣 冧 ⬊ 冢ᎏ6ᎏ冣 3

⫺1 2

5 2 5 ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 4 4

236

⫺2

6

冤冢 冣 冥 冢 冣 冢 冣

⫺7

235 [(2 2 ⭈ 2⫺3) ⫺1 ⭈ 2⫺ 4]⫺1 ⬊ 2 3; 3

冤⫺ ᎏ41ᎏ0 ; ᎏ41ᎏ ; ᎏ31ᎏ冥

[(⫺ 3) 2]⫺3.

233 4⫺1 ⭈ 5⫺1 ⭈ (⫺ 2)⫺1; 8⫺2 ⬊ 4⫺2;

3 0

[6]

Paragrafo 4. Le potenze con esponente intero negativo

BRAVI SI DIVENTA

冢4 ⫹ ᎏ12ᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ19ᎏ冣 ⫹ (⫺ 2)

241 242

⫺4

⫺3

1 ᎏᎏ 5

冦冤冢 冣

⫺2

冤冢⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ94ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⫺ ᎏ25ᎏ冥 ⫺ 冢⫺ ᎏ52ᎏ冣

2

⫺2

240

⭈ 53

1 ⭈ ᎏᎏ 5

⫺

1 [(3 2) ⫺ 1] 2 ⬊ ᎏᎏ 3

2 2 ⬊ ᎏᎏ ; 15

冥 冢 冣 冧 冢 冣 冦 ⫺1

⫺4 2

1 [(3 2 ⬊ 3⫺3 ) 2 ⬊ 3 8] ⫺1 ⭈ ᎏᎏ 3

冦

7

⫺2

⫺3

2 2 15 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 5 2

2 2 5 ⭈ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 5 6

1 2 6 (⫺ 2) ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 2

⭈

2

5 ⬊ ᎏᎏ 2

4

冤ᎏ2ᎏ5 冥

1 3 1 3 2 ⫹ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 12 2 2 3

冢 冣 冢 冣

冥 冦

5

244

冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⫺ 冦冤冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⫹ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ1ᎏ0 冣 ⫺ 1 ⫹ ᎏ2ᎏ冧 ⭈ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣

245

冤冢1 ⫺ ᎏ21ᎏ冣 冢2 ⫺ ᎏ21ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ43ᎏ冣

5

2

2

2

2

1

2 ⫺1

⫺2

⫺1

冤 冢

4

冤

冢

248 249 250 251 252

3 ⫺ ᎏᎏ 2

冢

冣

冣 冦

冢

⫺3

⫹

冦冤冢

2 3 2 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 3 2

冣

1 1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 11 33 3

冢

冣 冦冢

冣

⫺2

2

冣

5 4 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ 6 3

冣 冦冢

冢

冣 冢

5 ⫺ 15 ⫺ 2 ⫹ ⫺ ᎏᎏ 3

冤 冢

冥 冢

4 ⭈ ᎏᎏ 27

Nel sito:

5

冣

⫺3

1

2

7

1

冣

⫺1

冣

冥 冤冢

[1] [1]

7

41

9 ⫺ ᎏᎏ 23

3 ⭈ ⫺ ᎏᎏ 2

冣 冢 冣 冥 冢 ⫺3 ⫺1

冤ᎏ4ᎏ0 冥 1

冥 冢 冣 冧 ⫹ ᎏ6ᎏ

⫺1

2

冢 冣 冥冤 ⫺2

⫹1

3

32 (1 ⫺ 5) 2 ( ⫺ 2) 2 ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 6 6 6

253 5 2 7 ᎏᎏ ⫺ 2 ⫺ ᎏ ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 752 3 9

冢

冤⫺ ᎏ1101ᎏ89 冥

⫺2

冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ2ᎏ ⫹ 1 ⫺ ᎏ5ᎏ冣冥冧 ⫺ 1 ⫺1

冣冢

⫺1

冤

冣

冣 冧 ⭈ 冢2 ⫹ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏ2ᎏ冣 ⫹ ᎏ5ᎏ ⫺2

冣 冤 冢

8 ⫺ ᎏᎏ 3

⫺2

冤⫺ ᎏ4ᎏ冥

冧 冢

4 1 11 13 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 2 ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 9 4 6 6

冣 冦冤

冤ᎏ1400ᎏ09 冥

⫺2

1

⫺1

冣

4 2 1 1 13 5 2 ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 5 3 12 12 9

冢

5

2

7 1 3 1 ⬊ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 6 2 2

3 2 3 5 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ 10 ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ 2 5 50 4

冦冤冢

1

冤ᎏ3ᎏ冥

冣 冢 冣 冥冧 ⫺ ᎏ1ᎏ0

冢 冣冥 冢

1 ⫺ ᎏᎏ 3

2

1 1 1 ⫺ 1 ⭈ (⫺ 2)2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ 2 4 3

冢

冤

冣冥冧 ⫹ ᎏ3ᎏ

7

2

2 3 5 1 2 8 246 1 ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⬊ ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 3 3 9

247

9

2

243

⫺2

⭈ 5⫺1

冤ᎏ4ᎏ ; 243冥

2

冢 冣 冧 冦冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣 冧 ⫺1 2

䉴 E06

⫺2

冢 冣 冧 冤冢 冣 冢 冣 冥. ⫺3 ⫺1

ESERCIZI

⫺1 3

冥冧

冣

10

1

冤ᎏ9ᎏ冥 9

冤⫺ ᎏ1ᎏ0 冥 20

冤⫺ ᎏ9ᎏ冥

䉴 12 esercizi in più

■ I numeri razionali e le leggi di monotonia 253 Applica la prima legge di monotonia alle seguenti uguaglianze e disuguaglianze. 1 2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ 1; 3 3

2 1 ⫺ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ; 5 2

7 ⫹ 1 ⫽ 10 ⫺ 2;

7 ⫹ 5 ⬍ 7 ⭈ 5.

254 Applica la seconda legge di monotonia alle uguaglianze e alle disuguaglianze precedenti, moltiplicando sia per un numero positivo che per un numero negativo.

117

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

Per ognuna delle seguenti uguaglianze e disuguaglianze, scrivi la nuova relazione che ottieni, applicando una legge di monotonia o di cancellazione, trasformando entrambi i membri come è indicato a fianco. Specifica quale legge hai utilizzato. 5 9 1 257 ᎏᎏ ⫹ 2 ⫽ ᎏᎏ, aggiungi ⫺ ᎏᎏ; 255 ⫺ 4 ⫺ 3 ⫽ ⫺ 7, aggiungi 3; 2 2 2 7 10 ⫺ 4 ⬍ ⫺ 1, moltiplica per ⫺ 1. ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ, dividi per ⫺ 2. 4 3 1 1 1 258 6 ⫺ ᎏᎏ ⬍ 7 ⫺ ᎏᎏ, aggiungi ᎏᎏ; 256 (⫺ 3)(⫺ 8) ⫽ 2 ⭈ 12, dividi per 2; 4 4 4 3 1 5 5 ⫹ 3 ⬎ 6, sottrai 2. 5 ⫹ ᎏᎏ ⬎ ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ, aggiungi ⫺ ᎏᎏ. 5 2 7 259 Nella seguente tabella, alle uguaglianze o disuguaglianze scritte nella prima colonna è stata applicata una delle due leggi di monotonia. Scrivi di quale legge si tratta e quale operazione è stata introdotta. a⫹b⫽b⫹a

a⫹b⫹1⫽b⫹a⫹1

ab ⫽ ba

3ab ⫽ 3ba

a⫺b⬎0

a⫺b⫹b⬎b

a⫺1⬎0

a⫺1⫹1⬎1

2 3

a a ⫽a

5

Prima legge; è stato aggiunto 1 ai due membri

a 2a 3 ⫺ a ⫽ a 5 ⫺ a

a⫺b⬍a⫹b

2a ⫺ 2b ⬍ 2a ⫹ 2b

a ⫹ a ⫽ 2a

a ⫹ a ⫹ a ⫽ 3a

4(a ⫺ 1) ⫽ 4a ⫺ 4

a⫺1⫽a⫺1

6a ⫹ 2 ⫽ 4b ⫹ 2

6a ⫽ 4b

13a ⫺ 5 ⬎ b ⫺ 5

13a ⬎ b

a⬍b⫹c

⫺2a ⬎ ⫺ 2b ⫺ 2c

a⬍b⫹c

a⫺c⬍b

■ Applicazioni delle leggi di monotonia: come ricavare una variabile numerica ESERCIZIO GUIDA

260 a) Nella formula s ⫽ 2a ⫹ 3b, ricaviamo b.

s b) Dalla formula v ⫽ ᎏᎏ, ricaviamo prima s e poi t. t

a) Per ricavare b occorre «eliminare» tutto ciò che si trova nello stesso membro in cui si trova b, ossia 2a e il coefficiente di b, 3. Per «eliminare» l’addendo 2a, si può sottrarre la stessa quantità 2a dai due membri, applicando la prima legge di monotonia: s ⫺ 2a ⫽ 2a ⫹ 3b ⫺ 2a ossia: s ⫺ 2a ⫽ 3b. Per «eliminare» il fattore 3 basta dividere i due membri per 3 (seconda legge di monotonia): s ⫺ 2a 3b s ⫺ 2a ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ᎏᎏ ⫽ b 3 3 3 s ⫺ 2a oppure, leggendo da destra a sinistra: b ⫽ ᎏᎏ . 3

118

Paragrafo 5. Le percentuali

ESERCIZI

b) Se si considera una frazione, risulta conveniente utilizzare la regola del prodotto in croce per avere un’uguaglianza scritta in forma intera: v s ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ vt ⫽ s. 1 t In questo modo abbiamo già ricavato s: s ⫽ vt. Ricaviamo t. Nell’espressione vt ⫽ s, applichiamo la seconda legge di monotonia, dividendo i due membri per v : vt s s ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ t ⫽ ᎏᎏ . v v v Dalle seguenti formule ricava la lettera indicata fra parentesi. 261 s ⫽ a ⫹ b

(a);

s ⫽ a ⫹ 2b

(a).

268 y ⫺ 1 ⫽ m(x ⫹ 3) (y);

262 y ⫽ 3x ⫹ 2

(x);

x ⫽ 2y ⫹ 1

(y).

263 d ⫽ a ⫺ b

(a);

t⫽x⫺y

(y).

264 3a ⫺ b ⫽ 9

(b);

3c ⫽ a ⫺ b

(b).

k 269 V ⫽ ᎏᎏ p 1 2 s ⫽ ᎏᎏ at 2

265 y ⫹ 2 ⫽ 3x ⫹ 4

(x);

2y ⫹ 6 ⫽ 8x ⫹ 10

(y).

266 4y ⫹ 1 ⫽ 5x

(y);

3x ⫹ 2y ⫽ 0

(y).

267 ax ⫽ c

(x);

ax ⫹ b ⫽ c

(x).

a c 270 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ b d 2 1 ᎏᎏ a ⫽ ᎏᎏ 3 5b

y⫺6⫽m(x⫺3) (m). F k ⫽ ⫺ ᎏᎏ x 3 y ⫽ ᎏᎏ x

(k, p); (a);

a 6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 b b⭈h a ⫽ ᎏᎏ 2

(a, d ); (a, b);

–䊳

5. Le percentuali Scrivi sotto forma di percentuali le seguenti frazioni. 1 271 ᎏᎏ; 2

1 ᎏᎏ; 5

1 1 ᎏᎏ; ᎏᎏ; 4 10

1 1 ᎏᎏ; ᎏᎏ . 50 25

3 272 ᎏᎏ; 2

2 ᎏᎏ; 5

7 9 ᎏᎏ; ᎏᎏ; 10 4

3 5 ᎏᎏ; ᎏᎏ . 50 25

(F, x); (x). (a, b); (b).

Teoria a pag. 82

Scrivi sotto forma di frazioni ridotte ai minimi termini le seguenti percentuali. 273 50%;

90%;

2%;

40%;

274 15%;

10%;

1%;

2,5%; 1,50%.

275 4‰;

25‰; 150‰; 200‰; 250‰.

20%.

276 Scrivi per ogni figura la percentuale che rappresenta la parte colorata.

25%

1

119

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

■ Calcolo di percentuali ESERCIZIO GUIDA

277 Calcoliamo il 15% di 1720. Trasformiamo la percentuale 15% in una frazione ridotta ai minimi termini: 15 3 15% ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 100 20 3 Per calcolare i ᎏᎏ di 1720 dobbiamo moltiplicare 20 la frazione per il numero. Calcola le seguenti percentuali. 278

Calcoliamo: 3

86

ᎏᎏ ⭈ 1720 Ⲑ ⫽ 3 ⭈ 86 ⫽ 258. 2Ⲑ0 1

Il 15% di 1720 è il numero 258.

281 Nella tua classe, qual è la percentuale rappresentata da un singolo studente?

15% di 62; 30% di 200;

10% di 125; 5% di 20.

279

15% di 160; 20% di 60;

21% di 300; 0,1% di 28.

282 Calcola la percentuale degli assenti della tua classe in un giorno della settimana. Calcola inoltre la percentuale dei presenti durante il compito di matematica.

280

12% di 150; 3,5% di 10 000;

121% di 38; 10% di 142,7.

283 Scrivi la percentuale dei tuoi compagni e compagne di classe che hanno lo scooter.

■ Problemi con le percentuali

Nel sito:

䉴 22 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

284 Sull’etichetta di una confezione di cioccolato da 600 g c’è scritto: Ingredienti: cacao 70% latte in polvere 25% Ci domandiamo: a) Qual è la percentuale degli ingredienti diversi dal cacao e dal latte? b) Quanti grammi di cacao contiene la cioccolata? c) Quanti grammi di latte in polvere? a) La somma di tutti gli ingredienti è il 100%. Poiché il cacao e il latte sono in tutto il 70% ⫹ 25% ⫽ 95%, gli ingredienti non dichiarati sono il 100% ⫺ 95% ⫽ 5%. b) Trasformiamo la percentuale 70% in frazione: 70 7 70% ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 100 10 7 Calcoliamo ᎏᎏ di 600 g: 10 7

60

ᎏᎏ ⭈ 600 Ⲑ g ⫽ 420 g. 1Ⲑ0

120

c) Trasformiamo anche 25% in frazione: 25 1 25% ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 100 4 1 Calcoliamo ᎏᎏ di 600 g: 4 1 ᎏᎏ ⭈ 600 g ⫽ 150 g. 4 Quindi, la cioccolata contiene 420 g di cacao e 150 g di latte in polvere.

Paragrafo 5. Le percentuali

BRAVI SI DIVENTA

Risolvi i seguenti problemi.

ESERCIZI

䉴 E07

285 Un blocco costituito da una lega di zinco e rame pesa complessivamente 2 kg. Si sa che in esso il 45% è costituito da zinco. Calcola quanto zinco e quanto rame sono stati necessari per produrlo. [900 g; 1100 g]

294 Una ditta produce cinture, di cui il 44% è in pelle. Fra quelle in pelle, il 75% è costituito da cinture nere. Su 800 cinture prodotte, quante sono in pelle nera? Se, invece, le cinture in pelle nera sono 594, quante cinture in totale ha prodotto la ditta?

286 Su un cartone di latte da 500 ml c’è scritto: «Latte parzialmente scremato. Grasso max 1,8%». Quanti ml di grasso contiene il cartone di latte? Se un bicchiere medio contiene 200 ml di latte, quanti ml di grasso contiene? [9 ml; 3,6 ml]

295 Un negoziante, rivendendo un cappotto che aveva acquistato per € 125, ha guadagnato € 26. Che percentuale di guadagno ha realizzato? [20,8%]

287 In pizzeria, con gli amici, ricevi il seguente conto: «4 pizze: 20 euro. Bibite: 5 euro. 2 dessert: 4 euro. Servizio: 15% (sul totale)». Quanto dovete pagare in tutto? [33,35 euro] 288 Tre persone decidono di fondare una società in cui è richiesto un capitale complessivo di 200 000 euro. La prima persona versa il 25%, la seconda il 35% e la terza la parte rimanente. Calcola quanto versa ciascun socio. [50 000 euro; 70 000 euro; 80 000 euro] 289 Un paese contava 12 000 abitanti all’inizio del 1996. Durante l’anno i nati sono l’1,7% del totale degli abitanti e i morti sono il 2%. Calcola quanti sono i nati e quanti i morti nel 1996. Calcola inoltre qual è la popolazione all’inizio del 1997. [204; 240; 11 964] 290 Due persone ereditano 25 000 euro. Una delle due ha diritto al 25% dell’eredità. A quale percentuale ha diritto la seconda persona? Qual è la somma ricevuta da ciascuna? [75%; 6250 euro; 18 750 euro] 291 Due negozi espongono due articoli uguali. In uno l’articolo costa 14,25 euro, nell’altro costa 16,95 euro, ma il negozio pratica alla cassa uno sconto del 20%. Dove andresti a comprare l’articolo, per risparmiare? [nel secondo negozio] 292 Un rettangolo ha l’altezza lunga 14 cm; essa corrisponde al 70% della lunghezza della base. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo. [68 cm; 280 cm 2] 293 Un libro oggi costa € 12,50. Se il suo prezzo viene aumentato del 3%, quanto costerà dopo l’aumento? [€ 12,88]

296 In un anno € 30 000 producono in banca un interesse di € 650. Che tasso pratica la banca? Quanto potrei guadagnare in un anno impiegando altri € 15 000? [2,17%; € 975] 297 Un agronomo ha compiuto l’analisi di un terreno. Dal referto di laboratorio risulta che il campione era formato da: 50% sabbia; 20% limo; 19% argilla; 7% scheletro; il restante è formato da sostanze organiche. Sapendo che il campione esaminato era di 4,5 kg, determinare il peso delle varie parti. [2250 g; 900 g; 855 g; 315 g; 180 g] 298 Un corpo di metallo è stato scaldato e la sua lunghezza è aumentata di 7 mm. Sapendo che l’allungamento equivale al 2% della lunghezza iniziale, calcola quest’ultima. [35 cm] 299 Giovanna porta in banca € 36 000. Ne impiega 1 ᎏᎏ al 2,1% annuo e il resto al 3%. Quale interesse 3 potrà riscuotere in un anno? [€ 972] 300 Sapendo che il latte contiene panna per circa l’11% del suo peso e che la panna produce burro per il 27% del suo peso, calcola quanti kilogrammi di burro si possono ricavare da 125 kilogrammi di latte. [3,7125 kg] 301 Nella banca A, se si investono € 27 000, dopo un anno si ha un guadagno netto di € 729. Nella banca B si guadagnano € 1092 investendo € 42 000 per un anno. In quale banca è meglio investire? [banca A]

121

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

–䊳

6. Le frazioni e le proporzioni

Teoria a pag. 83

ESERCIZIO GUIDA

302 Risolviamo alcune proporzioni. a) 3 ⬊ 8 ⫽ x ⬊ 20;

1 1 c) ᎏᎏ ⫹ x ⬊ x ⫽ ᎏᎏ ⬊ 2. 3 5

冢

b) 12 ⬊ x ⫽ x ⬊ 3;

冣

1 1 c) ᎏᎏ ⫹ x ⬊ x ⫽ ᎏᎏ ⬊ 2 3 5

冢

a) 3 ⬊ 8 ⫽ x ⬊ 20 Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi): 8 ⭈ x ⫽ 3 ⭈ 20. Applichiamo la seconda legge di monotonia, dividendo i due membri per 8:

冣

Applichiamo la proprietà dello scomporre: 1

1 9 ᎏᎏ ⬊ x ⫽ ⫺ ᎏᎏ ⬊ 2 3 5 9 1 ⫺ ᎏᎏ ⭈ x ⫽ ᎏᎏ ⭈ 2. 5 3 Applichiamo la seconda legge di monotonia, divi9 dendo i due membri per ⫺ ᎏᎏ: 5 2 9 10 x ⫽ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . 3 5 27

5

15 2Ⲑ0 x ⫽ 3 ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 2 Ⲑ8 2

b) 12 ⬊ x ⫽ x ⬊ 3 x 2 ⫽ 12 ⭈ 3; considerando il numero x positivo: x ⫽ 兹36 苶 ⫽ 6.

冢

Risolvi le seguenti proporzioni, applicando le proprietà necessarie. 2 1 1 303 6 ⬊ 16 ⫽ x ⬊ 40 310 ᎏᎏ ⫹ x ⬊ x ⫽ ᎏᎏ⬊ ᎏᎏ 3 2 3 304 5 ⬊ x ⫽ 10 ⬊ 20 1 1 1 311 ᎏᎏ⬊ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ x ⬊x 2 3 6 305 x ⬊ 7 ⫽ 28 ⬊ 4

冣

冢

1

冤冢ᎏ3ᎏ ⫹ x冣 ⫺ x冥 ⬊ x ⫽ 冢ᎏ5ᎏ ⫺ 2冣 ⬊ 2

冢

3

冣

1

1

冢ᎏ5ᎏ ⫺ x冣⬊ x ⫽ ᎏ3ᎏ⬊ ᎏ5ᎏ

冣

315 x ⬊ 3 ⫽ (2 ⫹ x) ⬊ 4 316 x ⬊ 6 ⫽ (x ⫹ 5) ⬊ 9 317 15 ⬊ x ⫽ 2x ⬊ 120

306 35 ⬊ 5 ⫽ 70 ⬊ x

312

307 4 ⬊ x ⫽ x ⬊ 4 308 4 ⬊ x ⫽ x ⬊ 36

5 1 1 313 ᎏᎏ⬊ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ x ⬊ x 6 12 2

318 45 ⬊ 3x ⫽ x ⬊ 60

309 x ⬊ 75 ⫽ 3 ⬊ x

314 (x ⫹ 6) ⬊ 6 ⫽ x ⬊ 3

319 (x ⫹ 3) ⬊ 6 ⫽ x ⬊ 3

冢

冣

320 Calcola il medio proporzionale fra i numeri 2 e 8; 4 e 100; 3 e 12; 48 e 75.

[4, 20, 6, 60]

321 Aggiungendo 4 a tutti i termini di una proporzione si ottiene ancora una proporzione? E moltiplicandoli per 4? Risolvi i seguenti problemi, utilizzando le proporzioni. 322 Per preparare 720 g di marmellata di pesche occorrono 1,8 kg di pesche e 360 g di zucchero. Se vogliamo preparare 2,5 kg di marmellata, quanti kilogrammi di pesche e quanto zucchero occorrono? [6,25 kg, 1250 g]

122

Paragrafo 7. I numeri razionali e i numeri decimali

323 Due soci si dividono gli utili della loro società nel rapporto di 5 a 7. Se il secondo riceve 5850 euro più del primo, quali sono gli utili dei due soci? [14 625 euro, 20 475 euro] 324 La distanza tra i punti A e B sta alla distanza tra i punti B e C come 4 sta a 5. Sapendo che BC ⫽ 15 cm, calcola AB. [12 cm]

ESERCIZI

Volendo fare la pizza a 7 tuoi amici, quali sono le nuove dosi per l’impasto? [1,166 kg; 70 g; 105 g; 2,3 dl] 9 329 Il rapporto tra le aree di due rettangoli è ᎏᎏ . 16 Trova l’altezza del secondo rettangolo sapendo che ha la base di 20 cm e che il primo rettangolo ha i lati lunghi 15 cm e 6 cm. [8 cm]

325 L’altezza di un armadio sta all’altezza del soffitto come 7 sta a 10. Sapendo che il soffitto è alto 3 metri, calcola l’altezza dell’armadio e la lunghezza della parete che rimane scoperta. [210 cm; 90 cm]

330 La pianta di un appartamento è in scala 1 : 200

326 Determina due numeri, sapendo che la loro diffe13 [78; 24] renza è 54 e il loro rapporto è ᎏᎏ . 4

nella piantina le dimensioni del bagno sono 1,2 cm e 1,7 cm, quali sono le sue lunghezze reali? [2,4 m; 3,4 m]

327 La somma di due numeri è 156 ed essi stanno tra loro come 5 sta a 8. Trova i due numeri. [60; 96] 328 Una tua amica ti dà la seguente ricetta per l’impasto della pizza per 3 persone: 500 g di farina tipo 0 30 g di lievito 45 g di olio 1 dl di acqua tiepida sale q.b.

冢ossia il rapporto fra una distanza sulla 1pianta e quella corrispondente nella realtà è ᎏᎏ冣. Se 200

331 Nella pianta del progetto di un edificio è scritto: scala 1 : 150. A quanti metri corrispondono 6 cm? Se il giardino ha le dimensioni di 12 m e 8,4 m, quali sono le sue lunghezze nella rappresentazione in scala? [9 m; 8 cm; 5,6 cm] 332 In un trapezio rettangolo l’altezza è media proporzionale tra le due basi, che misurano 75 cm e 12 cm. Trova l’area e il lato obliquo del trapezio. [1305 cm2; 69,7 cm]

7. I numeri razionali e i numeri decimali Scrivi sotto forma di numeri decimali le seguenti frazioni. 1 1 1 1 1 ᎏᎏ; ᎏᎏ; ᎏᎏ; ᎏᎏ . 333 ᎏᎏ ; 2 3 4 5 6 1 1 1 1 2 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 334 ᎏᎏ ; 7 8 9 10 10 3 2 8 9 11 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 335 ᎏᎏ ; 2 3 5 4 220

–䊳

Teoria a pag. 85

Scrivi a quale tipo di numero decimale (finito o periodico) danno origine le seguenti frazioni, senza eseguire la divisione. 1 336 ᎏᎏ ; 5

2 ᎏᎏ ; 3

5 7 337 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; 21 28

11 ᎏᎏ ; 10

1 4 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; 7 25

3 ᎏᎏ ; 50

5 ᎏᎏ . 26

3 ᎏᎏ ; 30

4 5 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; 7 22

8 ᎏᎏ ; 23

32 ᎏᎏ . 3

■ Dai numeri decimali alle frazioni ESERCIZIO GUIDA

338 Trasformiamo i seguenti numeri decimali in frazioni: a) 1,04; 苶; b) 2,8 c) 1,4583 苶.

123

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

a) 1,04 è un numero decimale finito. Al numeratore scriviamo il numero senza virgola. Al denominatore scriviamo 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola, e semplifichiamo: 104 26 1,04 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 100 25

Al denominatore scriviamo tanti 9 quante sono le cifre del periodo: 28 ⫺ 2 26 2,8苶 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ. 9 9 c) 1,4583苶 è un numero decimale periodico con antiperiodo. Al numeratore scriviamo la differenza tra il numero senza virgola e le cifre che precedono il periodo.

b) 2,8苶 è un numero decimale periodico senza antiperiodo. Al numeratore scriviamo la differenza tra il numero senza virgola e le cifre che precedono il periodo.

Al denominatore scriviamo tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo, poi semplifichiamo: 14 583 ⫺ 1458 13 125 35 1,4583苶 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 9 000 9 000 24

Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.

349 (0,1)2;

339 3,7;

123,22;

0,04;

⫺ 3,005; 10,01.

350 0,5 ⭈ 0,01; 3500 ⬊ 104; 7,5 ⭈ 102 ⭈ 0,1; 2,6 ⬊ 0,01.

340 5,2苶;

⫺ 0,3苶;

0,6苶;

2,3苶;

341 3,1苶苶4;

3,14苶;

⫺ 3,5;

3,14苶苶1.

342 4,32苶苶1;

0,025;

0,2苶苶1苶6;

0,216苶.

⫺ 3,4苶.

2 ᎏᎏ … 0,4苶, 5

0,62苶 … 0,622, 5,02 … 5,02苶, 2 ᎏᎏ … 0,222, 9

122 12,1 … ᎏᎏ , 10 15 ᎏᎏ … 7,5, 2

0,0018 … 0,0018苶, 6,37苶 … 6,3777.

Trasforma i numeri decimali in frazioni e calcola il risultato delle seguenti operazioni. 344 5,7 ⭈ 0,04; 2

21,25 ⭈ 0,01.

345 (0,1) ⭈ 3,2;

4,9 ⭈ 0,5.

346 (0,4) 2 ⭈ (1,8) 2;

(3,5) 2 ⬊ (0,1) 2.

347 0,5 ⫺ 0,5苶;

0,1 ⫹ 0,1苶.

124

531 ⬊ 103;

0,1 ⬊ 103.

3,2;

0,00073;

0,002;

885.

352 15,2 ⭈ 104; 0,009; 3201 ⭈ 105; 123 ⭈ 10⫺3; 82 ⭈ 107. Esegui le seguenti operazioni dopo aver scritto i numeri in notazione scientifica. 353 (42,7 ⭈ 102) ⭈ 0,02; 0,0061 ⭈ 4500.

1,4 ⭈ (81,3 ⭈ 10⫺3);

354 0,42 ⭈ 10⫺4 ⬊ 0,00021; (31 ⭈ 108) ⭈ (0,6 ⬊ 0,0083); 415 000 ⭈ (2,3 ⭈ 10⫺6) ⭈ 0,71. 355 1,3 ⭈ 103 ⫹ 4,5 ⭈ 105;

621 ⭈ 10⫺4 ⫹ 0,25 ⭈ 10⫺6.

Determina l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. 356 250 000; 357 892;

Senza trasformare i numeri decimali in frazioni, esegui le seguenti operazioni. 348 16,3 ⭈ 10; 1,2 ⬊ 100;

0,1 ⭈ 100;

Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri. 351 1 275 000;

343 COMPLETA inserendo uno dei simboli ⬍, ⬎, ⫽. 2,3苶 … 2,33,

(0,1) ⭈ 0,01;

6,2 ⬊ 103.

721,3 ⭈ 10⫺2;

3227,6;

0,003 ⭈ 105.

51,3 ⭈ 10⫺4.

■ Espressioni con i numeri decimali Calcola il valore delle seguenti espressioni. 1 358 3,5 ⫺ ᎏᎏ ⭈ 1,9苶 2

5

冤ᎏ2ᎏ冥

RIEPILOGO Le espressioni con i numeri razionali

41

冤⫺ ᎏ9ᎏ冥 333 冤ᎏ3ᎏ5 冥

359 2,4苶 ⫺ 3,5 ⬊ 0,5 7 360 9,5 ⫹ (0,1) 2 ⬊ ᎏᎏ 10

冢 冣

1 361 (2 ⭈ 4,5) 2 ⫹ (⫺ 2) 3 ⭈ (0,1) ⫺1 ⫹ (10 ⫺ 5,6)⬊ ᎏᎏ [9,8] 2 362 0,16苶 ⬊ 0,75 ⫹ 0,7苶

366 367

41 363 (0,3苶 ⫹ 0,35) ⬊ ᎏᎏ ⫹ 0,1苶 20 1 2 364 0,875⭈ 7⫹ᎏᎏ⫺ᎏᎏ⫹6⫺17⫹1,5 7 14

冢

365 [(0,25)2 ⭈ (0,6苶)2]2 ⬊ (0,16苶)3

冣

ESERCIZI

4

冤ᎏ9ᎏ冥 [⫺ 2] 1

冤ᎏ6ᎏ冥

[1]

冤冢0,16苶 ⫹ ᎏ32ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ34ᎏ ⫺ 2冣冥 ⭈ 冤1,3苶 ⬊ 冢0,2 ⫺ ᎏ32ᎏ冣冥 1 2 2 1 ⫺ (0,8 ⫺ 0,6苶) ⫹ 冤ᎏᎏ ⫺ 冢ᎏᎏ ⫹ 0,06苶冣冥 ⫺ 冤ᎏᎏ ⫹ 冢ᎏᎏ ⫺ 0,3冣冥 2 3 5 6 RIEPILOGO

冤ᎏ27ᎏ5 冥 19 冤⫺ ᎏ3ᎏ0 冥

LE ESPRESSIONI CON I NUMERI RAZIONALI

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 7 5 10 5 368 0,25 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 5 ⫺ 0,5 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 12 ⫹ 6 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 3 3 12 1 2 1 1 2 1 369 3 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫺ 2 ⫹ 3 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1,6苶 ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 0,83苶 4 3 2 3 3 4 1 4 4 1 1 370 0,4 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ 0,3苶 ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 3 7 3 7 5 7 2 4 371 [(0,26苶)3 ⬊ (0,4)3]2 ⬊ ᎏᎏ 3 2 4 4 4 2 372 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ 1 ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⬊ 0,5 ⫺ ᎏᎏ 3 5 3 5 3 2 1 1 1 1 1 5 373 0,625 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 4 2 48 16 24 24 2 2 1 1 3 1 2 3 1 374 ᎏᎏ ⫺ 0,25 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 12 4 2 4 6 3 4 12 3 2 2 1 1 4 375 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 0,125 ⫺ 5 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 4 ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ 1 4 3 3 6 8 3

冣

冢 冢

冣 冤

冢 冢

冣 冢 冣冥 冢 冣

冣

冢 冣 冣 冢 冣冥 冤冢 冣 冢 冣冥 冢 冣 冤 冢 冣冥 冢 冣 冤 冢 冣冥 冤 冢 冣 冥 冤 冢 冣冥 冣冥 冤 冢

冤冢

376 {[(0,8)3 ⭈ (0,5苶)3] ⭈ (0,6)6} ⭈ 5 4 1 3 2 2 377 0,4 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2,3苶 ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ 11,25 ⫺ ᎏᎏ 5 4 3 3 13 10 11 3 1 1 3 4 378 ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ⭈ ᎏᎏ ⫹ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ᎏᎏ ⫹ᎏᎏ ⫹ 10 ⫹ 13 2 3 4 8 2 2 2 5 2 ⫺1 3 1 1 3 3 8 2 ᎏᎏ 379 2 3 ⬊ ᎏᎏ ⬊ 2 3 ⭈ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 2 2 2 7 10 1 8 7 3 8 3 7 3 2 380 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ⫺ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 0,083苶 ⫹ ᎏᎏ 3 2 3 3 2 5 2 3 4 3

冢

冣冢

冣 冢 冣冢 冣 冦冤 冢 冣 冥 冧 冦冤冢 冣 冢 冣 冥冢 冣 冧 冣冢 冣 冥 冤 冢

29

冤⫺ ᎏ6ᎏ冥 [⫹ 2] 88

冤⫺ ᎏ3ᎏ5 冥 4 冤ᎏ9ᎏ冥 冤⫺ ᎏ11ᎏ2 冥 8 冤ᎏ3ᎏ冥 5 冤ᎏ4ᎏ冥 3 冤⫺ ᎏ4ᎏ冥 64 冤ᎏ2ᎏ5 冥 34 冤⫺ ᎏ1ᎏ5 冥 [5] 36 ᎏᎏ 49 1 ᎏᎏ 3

冤 冥 冤 冥 125

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

381 382 383 384 385 386 387 388 389 390

2

3

4

10

冦冤5 ⭈ 冢ᎏ1ᎏ5 冣 冥 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ冣 冧 ⬊ 冤冢ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ9ᎏ冣 冥 1 2 1 4 2 2 1 4 2 冦冤冢ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ3ᎏ ⫺ 3冣 ⫹ 冢ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣冥 ⭈ 3冧 ⭈ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ2 ⫹ 1 2 3 1 2 1 1 2 4 7 4 冦冤冢ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ7ᎏ冣冥冧 ⭈ ᎏ3ᎏ ⫺ 1 ⭈ 2 ⫺ ᎏ5ᎏ 1 2 8 2 1 ᎏᎏ ⫹ 冢ᎏᎏ冣 ⬊ ᎏᎏ ⫺ 0,75 ⫹ 冢ᎏᎏ ⫹ 0,1 ⫹ ᎏᎏ冣 ⬊ (1,6苶) 6 5 35 5 3 1 2 1 3 2 3 3 冦冤冢ᎏ7ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⭈ 冢3 ⫹ ᎏ2ᎏ冣冥 ⬊ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冧 ⭈ ᎏ2ᎏ ⫹ 1 ⫺ ᎏ4ᎏ 4 5 1 3 3 1 冦冤ᎏ5ᎏ⭈ 冢⫺ ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏ4ᎏ冣 ⫺ ᎏ5ᎏ冥 ⬊ ᎏ5ᎏ ⫹ 2冧 ⬊ 3 ⫺ ᎏ1ᎏ2 ⫹ 2 1 4 1 11 3 1 2 3 冦冤冢ᎏ3ᎏ ⫺ ᎏ6ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ1ᎏ8 ⫺ 1冣 ⫹ 2 ⫺ ᎏ4ᎏ冥 ⬊ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冧 ⭈ ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ5 ⫹ 2 冦冤冢ᎏ32ᎏ ⫺ ᎏ83ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ32ᎏ ⫺ ᎏ43ᎏ冣 ⫺ ᎏ45ᎏ冥 ⬊ ᎏ21ᎏ ⫹ ᎏ23ᎏ冧 ⬊ 冢⫺ ᎏ38ᎏ冣 ⫺ 0,5 ⫺ 冢ᎏ11ᎏ6 ⫹ 1,875冣 4 1 2 1 4 1 3 7 1 16 1 ⫺ 冦ᎏᎏ ⭈ 冤ᎏᎏ ⭈ 冢2 ⫺ ᎏᎏ冣 ⫺ ᎏᎏ冥 ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ冧 ⫺ 冤ᎏᎏ ⬊ 冢2 ⫺ ᎏᎏ冣冥 ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 5 3 4 3 5 5 3 4 45 2 1 1 5 1 3 1 3 冤(⫺ 3) ⫺ 冢ᎏ3ᎏ冣 ⫺ 冢⫺ ᎏ3ᎏ ⫹ ᎏ2ᎏ ⫹ 1 ⫺ ᎏᎏ6 冣 ⬊ 冢1 ⫹ ᎏ6ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⬊ 冤⫺ ᎏ3ᎏ ⫺ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 2

2 ⫺2

⫺2 ⫺1

⫺1

2

⫺1 ⫺2

3

3

⫺2

2

3

2

⫺3

9

冤ᎏ1ᎏ6 冥 13 冤ᎏ1ᎏ2 冥 9 冤⫺ ᎏ1ᎏ0 冥 冤ᎏ41ᎏ03 冥 13 冤⫺ ᎏ4ᎏ冥 5 冤ᎏ4ᎏ冥 17 冤⫺ ᎏ3ᎏ0 冥 冤ᎏ19ᎏ6 冥 1 冤ᎏ1ᎏ2 冥 2 1 5 ⬊ ᎏᎏ ⫹ ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 冢 冣冢 9 9 3 冣冥 2 冤⫺ ᎏ1ᎏ1 冥

17 11 (2 ⫺ 1,6) ⭈ ᎏᎏ ⫺ 0,1 ⫹ ᎏᎏ ⭈ 0,3苶苶9 45 13 391 ᎏᎏᎏᎏ ⭈ 0,45 ⫹ 0,2 2 37 1 0,7苶 ⫺ ᎏᎏ ⬊ᎏᎏ ⫹ 1 ⫹ 0,2 苶 63 49 7 5 3 5 3 7 13 8 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 2 ⭈ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 6 12 2 4 4 5 6 3 4 392 ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 6 8 13 4 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 5 15 8 3 4

冢

冢

冢

冣

4

冤ᎏ1ᎏ5 冥

冣

冣

冤 冢 冤冢 冣 冢

冣 冢 冣冥

冣 冥

7 ᎏᎏ 64

冤 冥 –䊳

8. Il calcolo approssimato

Teoria a pag. 89

■ L’approssimazione di un numero 393 VERO O FALSO? a) Un valore approssimato per difetto è sempre minore del valore esatto.

V

F

b) Un valore arrotondato è sempre maggiore del valore esatto.

V

F

c) Il valore approssimato per eccesso a meno di 10

V

F

d) 4100 è il valore arrotondato di 4125,342 a meno di 10 .

V

F

e) 375,47 è il valore approssimato per difetto di 375,485 a meno di 10⫺1.

V

F

⫺4

di 3,141593 è 3,1416. ⫺2

126

Paragrafo 8. Il calcolo approssimato

ESERCIZI

Arrotonda i seguenti valori numerici a meno della potenza di 10 a fianco indicata. 394 3,24792, 10⫺2;

194 725,7, 104;

48,34苶5苶, 10⫺4.

395 681,7845, 10⫺1;

3 274 227, 103;

0,0001苶6苶5苶, 10⫺7.

396 467,925, 100;

3228,4, 10;

0,08苶, 10⫺5.

[3,25; 190 000; 48,3455] [681,8; 3 274 000; 0,0001652] [468; 3230; 0,08889]

397 Arrotonda i seguenti valori numerici a meno della potenza di 10 scritta a fianco e indica in quali casi l’approssimazione è per eccesso o per difetto. ⫺2,7194, 10⫺2;

0,00371, 10⫺3;

⫺45 380, 102.

[⫺2,72; 0,004; ⫺45 400]

398 Arrotonda a meno di 10⫺2 i seguenti valori numerici. 884 3126 7 5 7 ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ⫺ ᎏᎏ . 1000 500 3 6 8

[0,88; 6,25; 2,33; 0,83; ⫺0,88]

■ L’errore assoluto e l’errore relativo 399 Arrotonda i seguenti numeri a meno della potenza di 10 a fianco indicata e calcola l’errore assoluto compiuto nell’approssimazione. 12 94,4684, 10⫺2; 29 682 166, 104; ᎏᎏ , 10⫺3. [0,0016; 2166; 0,0000苶9苶] 11

Calcola l’errore assoluto commesso nel considerare i seguenti numeri al posto dei numeri scritti a fianco di ciascuno di essi.

Determina l’errore relativo per i seguenti valori approssimati conoscendo l’errore assoluto scritto a fianco di ciascuno di essi.

1 400 0,16, ᎏᎏ ; 6

1 0,167, ᎏᎏ ; 6

5 0,833, ᎏᎏ . 6

402 2,715, 0,8;

5246,1, 3,2.

401 1,3, 1,3苶;

1,34, 1,3苶 ;

1,333, 1,3苶 .

403 ⫺0,058, 0,062;

7,5 ⭈ 10⫺2, 3 ⭈ 10⫺3.

404 Arrotonda i seguenti numeri a meno della potenza di 10 a fianco indicata e calcola l’errore relativo compiuto nell’approssimazione. 5 [0,04; 0,0001; 2166; 0,000002] 312 000 000, 108; 0,45714571, 10⫺4; ᎏᎏ , 10⫺5. 3 405 Dati i seguenti numeri e i loro corrispondenti valori arrotondati, determina in percentuale l’errore relativo dell’approssimazione. 31,5,

30;

2160,

2000;

30 378,

30 000;

1,6苶,

1,667.

⫺0,24,

⫺0,2; [5%; 8%; 20%; 1,26%; ⯝ 0,02%]

406 Dati i seguenti valori approssimati e i rispettivi errori relativi, calcola gli errori assoluti di approssimazione. 0,1,

er ⫽ 0,08;

3,25,

er ⫽ 0,14;

⫺15 800,

er ⫽ 0,5%;

100 000,

er ⫽ 3%.

[0,008; 0,455; 79; 3000]

127

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

407 Arrotonda il numero 45,67837 alla seconda cifra decimale e verifica che l’errore assoluto è minore di 10⫺2. Trova inoltre l’errore relativo. [45,68; e ⫽ 0,00163; er ⯝ 0,000036] 408 Arrotonda il numero 106 829 alla cifra di posto ⫹3 e verifica che l’errore assoluto è minore di 103. Determina inoltre l’errore relativo. [107 000; e ⫽ 171; er ⯝ 0,0016]

■ Il calcolo approssimato ESERCIZIO GUIDA

409 Calcoliamo l’errore relativo del prodotto tra i due numeri 3452 e 619 dopo averli arrotondati a meno di 102. Determiniamo il corrispondente errore assoluto e valutiamo le cifre certe. Arrotondiamo i valori numerici a meno di 102: 3452 ⯝ 3500,

619 ⯝ 600.

Calcoliamo il prodotto dei valori approssimati che indichiamo con p′:

Determiniamo l’errore relativo massimo da attribuire all’approssimazione p′: er ⫽ er1 ⫹ er2 → er ⯝ 0,0137 ⫹ 0,0317 ⫽ 0,0454. Calcoliamo il corrispondente errore assoluto: e ⫽ er ⭈ p′ → e ⯝ 0,0454 ⭈ 2 100 000 ⫽ 95 340.

p′ ⫽ 3500 ⭈ 600 ⫽ 2 100 000. Troviamo gli errori relativi per i singoli fattori: ⏐3452 ⫺ 3500⏐ er1 ⫽ ᎏᎏ ⯝ 0,0137, 3500 ⏐619 ⫺ 600⏐ er2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0,0316苶 ⯝ 0,0317. 600

Essendo il valore esatto compreso fra 2 100 000 ⫺ 95 340 ⫽ 2 004 660 e 2 100 000 ⫹ 95 340 ⫽ 2 195 340, possiamo valutare che l’unica cifra certa è 2.

Calcola l’errore assoluto massimo delle seguenti operazioni dopo aver arrotondato gli operandi a meno della potenza di 10 a fianco indicata. Valuta le cifre certe del valore approssimato. 410 12 525 ⫹ 23 402, 104. 411 0,03521 ⫹ 0,09754, 10⫺3.

[e ⫽ 5927]

412 827 402 ⫺ 275 988, 103.

[e ⫽ 414]

[e ⫽ 0,00067]

413 0,0751 ⫺ 0,0124, 10⫺2.

[e ⫽ 0,0073]

Calcola l’errore relativo massimo delle seguenti operazioni dopo aver arrotondato gli operandi a meno della potenza di 10 a fianco indicata. Determina l’errore assoluto e valuta le cifre certe del valore approssimato. 414 62,592 ⭈ 4,325, 10⫺1.

[er ⯝ 0,00594; e ⯝ 1,6]

415 0,3453 ⭈ 0,4185, 10⫺1.[er ⫽ 0,19725; e ⫽ 0,02367]

416 12 426 ⬊ 12, 10.

[er ⯝ 0,2003; e ⯝ 248,9729]

417 15,7251 ⬊ 0,324, 10⫺2.

[er ⯝ 0,0128; e ⯝ 0,629]

Attraverso un calcolo mentale rapido determina una stima dei risultati delle seguenti operazioni. Valuta l’errore commesso e indica le cifre certe. 418 375 ⫹ 291;

243 ⭈ 39.

420 0,0291 ⫺ 0,0049;

89 ⭈ 43.

419 32 569 ⫹ 48 704;

2539 ⬊ 47.

421 0,365 ⫺ 0,043;

467 ⬊ 22.

128

LABORATORIO DI MATEMATICA I numeri razionali con Excel

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

I numeri razionali con Excel ESERCITAZIONE GUIDATA

Dopo aver registrato, nei giorni di una settimana, gli alunni presenti in una classe di N studenti, stabiliamo per ogni giorno le frazioni corrispondenti ai presenti e agli assenti e le percentuali di presenti e di assenti. Risolviamo il problema per una classe (la III B) di 24 alunni in una settimana, che ha presentato la situazione registrata in tabella.

Presenti lunedì

22

martedì

20

mercoledì

24

giovedì

18

venerdì

23

sabato

24

Attiviamo il foglio elettronico Excel. Prepariamo la tabella con alcune didascalie, scriviamo i giorni della settimana, digitando lunedì nella cella A5 e copiandola sino alla A10. ● Immettiamo i dati del problema: il numero degli studenti e quello dei presenti. ● Ricaviamo il numero degli assenti, digitando ⫽ $D$1 ⫺ B5 in C5 e copiandola sino alla C10. 䉱 Figura 1 ● Per ottenere i dati scritti sotto forma di frazione, evidenziamo la zona D5:E10, diamo il comando Formato Cella, selezioniamo Numero e nella finestra di dialogo facciamo clic su Frazione e scegliamo la frazione sino a tre cifre. ● Calcoliamo poi le frazioni corrispondenti ai presenti e agli assenti, scrivendo ⫽ B5/$D$1 in D5, ⫽ 1 ⫺ D5 in E5 e copiando la zona D5:E5 sino alla riga 10. ● Per ottenere le percentuali evidenziamo la zona F5:G10 e dichiariamo con Formato Cella Numero Percentuale il formato percentuale. Digitiamo poi ⫽ D5 in F5 e ⫽ E5 in G5, evidenziamo la zona C5:G5 e la copiamo sino alla riga 10. ● ●

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata con Excel 䉴 13 esercitazioni in più

■ Esercitazioni 1

Costruisci un foglio elettronico che riceva in celle separate il numeratore e il denominatore di due frazioni e calcoli rispettivamente la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente, dia i risultati in celle separate e li riduca ai minimi termini. (Suggerimento. Per la riduzione ai minimi termini usa l’operatore MCD.) Prova con i seguenti dati: 8 5 7 1 c) ᎏᎏ e ⫺ ᎏᎏ ; a) ᎏᎏ e ᎏᎏ ; 15 8 2 3 3 4 6 d) ⫺ ᎏᎏ e ⫺ 2. b) ᎏᎏ e ᎏᎏ ; 4 7 5

2

In un triangolo isoscele ABC, la lunghezza del lato obliquo AB supera di s metri quella della 1 1 base BC, e ᎏᎏ del lato obliquo è uguale a ᎏᎏ 5 4 della base. Costruisci un foglio elettronico che, dopo aver letto il valore di s, determini le misure del lato obliquo e della base. Prova con s variabile da 1 m a 10 m con passo 1 m.

3

Tre soci investono in un affare rispettivamente 5120 euro, 4500 euro, a euro. Costruisci un foglio che, dopo aver letto il valore di a, stabilisca le percentuali di partecipazione di ogni socio all’affare.

129

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

Matematica per il cittadino LA RICETTA

La ricetta per un dolce all’arancia contiene le seguenti indicazioni riguardo agli ingredienti. DOSI PER 4 PERSONE

farina

160 g

zucchero

200 g

uova

2

latte

100 cc

burro

90 g

succo d’arancia diluito (3 parti di succo per 7 parti d’acqua)

130 cc

1. Volendo preparare un dolce per 7 persone, quanta farina si dovrebbe aggiungere a quella indicata nella ricetta? A 70 g B 120 g C 280 g D 150 g 2. Potendo disporre di succo d’arancia diluito al 50%, quanto di questo succo e quanta acqua si devono mescolare per ottenere 130 cc di succo alla diluizione richiesta dalla ricetta? Succo d’arancia: A 78 cc B 46 cc

C

70 cc

D

52 cc

Acqua: A 84 cc

C

60 cc

D

78 cc

B

52 cc

3. Di seguito sono riportati i valori energetici degli ingredienti del dolce in kilocalorie per grammo. Ingrediente Valore energetico (kcal/g)

farina

zucchero

uova

latte

burro

succo d’arancia diluito

2,5

12

1,3

0,6

15

1,5

Qual è all’incirca l’apporto calorico di 100 g di dolce? Si tenga conto che un volume di succo o di latte pari a 1 cc pesa circa 1 g. Un uovo medio ha massa pari a 50 g. A

4535 kcal

B

454 kcal

C

581 kcal

D

32,9 kcal

4. Se 800 g di dolce vengono cucinati in uno stampo circolare, quante kilocalorie sono contenute in una fetta ampia circa 30°?

130

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Una sola di queste relazioni è falsa. Quale? A B C

2

3

4

Nel sito:

3 4 ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ 7 9 3 4 ⫺ ᎏᎏ ⬎ ⫺ ᎏᎏ 7 9 2 4 ⫺ ᎏᎏ ⬍ ⫺ ᎏᎏ 7 9

D E

4 2 ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 9 7 3 2 ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 7 7

1 Sottrarre il quadrato di a al cubo di ⫺ ᎏᎏ, con 2 a ⫽ ⫺ 3. Il risultato è: A B C

Tra le seguenti uguaglianze una sola è esatta. Quale? A

3 2 2 ⫺ᎏᎏ ⭈ ⫺ᎏᎏ ⫽ᎏᎏ 5 3 5

冢 冣冢 冣

D

1 2 1 ᎏᎏ⭈ ⫺ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 15 5 3

B

冢⫺ ᎏ43ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ34ᎏ冣 ⫽ 1

E

3 3 ᎏᎏ ⬊ 0 ⫽ ᎏᎏ 4 4

C

15 3 ᎏᎏ ⬊ 5 ⫽ ᎏᎏ 20 4

7

冢 冣

8

冢 冣 冢 冣

3 ⫺4 3 ⫺2 È data la divisione ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ . 2 2 Una sola, fra le seguenti espressioni, non è equivalente alla divisione data. Quale? 3 ⫺4 3 2 2 4 2 2 A D ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 2 3 3 ⫺4 2 4 3 2 2 3 2 B E ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 3 3 2 2 4 2 2 C ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 3 3

冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣

Quale delle seguenti espressioni è equivalente a: 3 ⫺2 3 ⫺3 3 0 ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ? 4 4 4 ⫺5 3 3 4 3 A ᎏᎏ B ⫺ ᎏᎏ C ᎏᎏ D 0 E ᎏᎏ 4 4 3 4

冤冢 冣 冢 冣 冥 冢 冣 冢 冣

71 ᎏᎏ. 8 73 ⫺ ᎏᎏ. 8 70 ᎏᎏ. 8

D E

73 ᎏᎏ. 8 71 ⫺ ᎏᎏ. 8

Le seguenti operazioni sono tutte eseguibili in Q ma solo una lo è in Z. Quale? 4 2 A 3 ⬊ (⫺ 2) D ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 3 3 4 9 B (⫺ 12) ⬊ (⫺ 5) E ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ 3 4 C (⫺ 12) ⬊ 3

冢

Quale fra i seguenti valori è il risultato della potenza (⫺ 3)⫺2 ? 2 1 1 A ᎏᎏ B ⫺ ᎏᎏ C ⫺9 D 9 E ᎏᎏ 3 9 9

冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣

5

6

 questi test interattivi  30 test interattivi in più

冣

Se x ⬊ y ⫽ 5 ⬊ 2 e x ⫹ y ⫽ 14, allora: A B C

9

冣冢

x ⫽ 10 e y ⫽ 4. x ⫽ 5 e y ⫽ 2. x ⫽ 7 e y ⫽ 7.

D E

x ⫽ 2 e y ⫽ 5. x ⫽ 4 e y ⫽ 10.

Devi calcolare il 25% di 36. Come fai? 100 A 25 ⭈ 100 ⭈ 36 D 25 ⭈ ᎏᎏ 36 100 25 1 B 36 ⭈ ᎏᎏ E ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 25 36 100 25 C 36 ⭈ ᎏᎏ 100

10 Una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale? (x 僆 Q) A B C D E

Il 60% del 10% di x è minore del 10% di x. Il 15% di x è maggiore del 15% del 41% di x. 3 Il 75% di x è uguale ai ᎏᎏ di x. 4 Il 38% di x è uguale a 0,38x. Il 32% del 27% di x è diverso dal 27% del 32% di x.

131

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ Spiega perché sono vere le seguenti affermazioni. 11 Il 20% del 30% equivale al 6% del totale. 12 Il 3‰ è equivalente allo 0,3%. 13 Data la proporzione a ⬊ b ⫽ c ⬊ d, da essa è possibile dedurre c ⬊ a ⫽ d ⬊ b, mentre non è possibile ricavare la proporzione c ⬊ b ⫽ a ⬊ d. 1 4 14 Se si eleva alla potenza ⫺ 1 il quadrato di 25, si ottiene ᎏᎏ . 5

冢 冣

15 VERO O FALSO? 4 8 a) ᎏᎏ e ᎏᎏ sono frazioni equivalenti. 7 14 4 4 b) ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ . 5 7 p r ps ⫹ rq c) ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . q s qs 3 3 3⭈3 9 d) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . 4 4⭈3 12

冢 冣

e) 33 ⭈ 43 ⫽ 123. 2

f) 4 ⬊ 8 ⫽ 2.

冢 冣

1 4 g) [(25)2]⫺1 ⫽ ᎏᎏ . 5 h) Se 4 ⬊ 3 ⫽ 12 ⬊ 9, allora 7 ⬊ 3 ⫽ 21 ⬊ 9. 4 i) ᎏᎏ è un numero decimale periodico. 5

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

x 16 Di una frazione ᎏᎏ , dove x e y sono numeri naturali, si sa che: y x ● 1 ⬍ ᎏᎏ ⬍ 2; y ● xy ⫽ 24. Quali sono i due numeri? Motiva la risposta. [6; 4] 17 Aumentando di 1 sia il numeratore sia il denominatore, entrambi positivi, di una frazione, la frazione aumenta o diminuisce? Che cosa succede se la frazione è uguale all’unità? Spiega perché. (Suggerimento. Considera i due casi: frazione propria e frazione impropria.)

ESERCIZI

Nel sito:

 15 esercizi in più

Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri. 18 ⫺ 2,5; 19 ⫺ 0,6;

1 4 1 ⫹ ᎏᎏ; ⫹ ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ; ⫹ 3,5; ⫺ 2,6; 4 5 3 2 3 ᎏᎏ; ⫺ ᎏᎏ; ⫺ 3; 0,3苶; 0,23苶. 3 2

2 ⫹ ᎏᎏ; 3

2 ⫺ ᎏᎏ; 8

⫹ 1,4;

3 ⫺ ᎏᎏ. 5

Calcola il valore delle seguenti espressioni. 20

冤冢ᎏ47ᎏ ⫹ ᎏ21ᎏ冣 ⫺ 冢3 ⫹ ᎏ41ᎏ冣 ⫹ 冢ᎏ34ᎏ ⫺ 3冣冥 ⫹ 冢ᎏ61ᎏ ⫺ 1冣 冢

冣 冢

冣 冢

冣 冢

1 3 2 1 1 5 1 2 21 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ 6 2 3 5 6 6 2 3

132

冤⫺ ᎏ27ᎏ冥 冣

冤ᎏ3ᎏ0 冥 41

Verifiche di fine capitolo

冣

冢

冤

冢

1 4 2 1 5 7 22 3 ⫹ ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2 15 15 2 4 2

冣冥

ESERCIZI

冤ᎏ23ᎏ0 冥

23

冤冢ᎏ61ᎏ ⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⭈ ᎏ32ᎏ ⫺ ᎏ31ᎏ冥 ⫺ ᎏ41ᎏ冤12冢ᎏ21ᎏ ⫹ ᎏ31ᎏ冣 ⫺ ᎏ34ᎏ冥 ⫹ ᎏ31ᎏ ⫺ ᎏ23ᎏ ⫹ 6

冤ᎏ19ᎏ3 冥

24

冦冤冢ᎏ81ᎏ ⫺ ᎏ61ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ31ᎏ ⫺ ᎏ21ᎏ冣 ⫺ ᎏ23ᎏ冥 ⬊ ᎏ41ᎏ ⫺ ᎏ61ᎏ冧 ⭈ 2 ⫺ ᎏ41ᎏ ⫺ 冢ᎏ61ᎏ ⫺ ᎏ14ᎏ5 冣

[⫺ 7]

4 25 ᎏᎏ ⭈ 11

冤冢⫺ ᎏ83ᎏ ⫹ 3冣 ⬊ 冢⫹ ᎏ43ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ65ᎏ ⬊ ᎏ23ᎏ0 冣 ⫺ 冢ᎏ28ᎏ7 ⬊ ᎏ43ᎏ冣 ⫹ ᎏ81ᎏ冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ31ᎏ冣

冤⫺ ᎏ26ᎏ23 冥

冦

冤冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ31ᎏ冣 ⫹ 3 ⫺ 冢ᎏ17ᎏ2 ⫹ ᎏ41ᎏ冣冥 ⫺ 1冧

冤ᎏ23ᎏ冥

冦

冤冢ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ6ᎏ冣 ⫹ 2 ⫺ 冢1 ⫺ ᎏ1ᎏ2 冣冥 ⫺ ᎏ3ᎏ冧

冤ᎏ43ᎏ冥

7 1 26 ⫺3 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 3 6

5 2 27 ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 3

1

5

7

2

28

冦ᎏ1ᎏ0 ⫹ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⭈ 冤⫺ 冢ᎏ5ᎏ ⫹ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ0 冣 ⫹ ᎏ6ᎏ冥冧 ⬊ 冤⫺ ᎏ4ᎏ ⫹ 冢⫺2 ⫹ ᎏ3ᎏ冣 ⭈ ᎏ4ᎏ冥

冤⫺ ᎏ21ᎏ冥

29

冦冤冢ᎏ15ᎏ2 ⫺ ᎏ61ᎏ冣 ⫺ 冢1 ⫹ ᎏ21ᎏ冣 ⫹ ᎏ31ᎏ2 (⫺ 6)冥 ⬊ 冢⫺ ᎏ14ᎏ9 冣 ⫺ 1冧

冤⫺ ᎏ81ᎏ冥

30

冦冤冢

3

6

3

1

2

1

5

1

2

冣 冢

5

3

冣 冢 冣

冥 冢

冣

4 1 2 3 1 2 5 2 1 17 3 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 9 3 5 3 3 2 27 4

2 3 5 1 2 8 31 1 ⫺ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⬊ ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 3 3 9

冣 冦

冢

9

冤

2

3

9

4

冤ᎏ11ᎏ6 冥

1

5

冣 冢 冣 冥冧 ⫺ ᎏ1ᎏ0

冢

3

冧

2

⫺1

冤⫺ ᎏ4ᎏ冥

3

32

⫺ ᎏᎏ冣 ⭈ 冢1 ⫹ ᎏᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫹ ᎏᎏ冣 冢 7 5 5 ᎏᎏᎏᎏᎏ 1 1 2 1 3 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 冢⫹ ᎏᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏᎏ冣 3 2 5 5

33

1 1 1 1 1 1 ᎏᎏ ⫺ 2 ⭈ 1 ⫺ ᎏᎏ 2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫺ ᎏᎏ 3 4 5 3 5 5 ᎏᎏᎏ ⫺ ᎏᎏᎏᎏ 1 1 9 1 1 ᎏᎏ ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⭈ (⫺3) ᎏᎏ ⭈ 1 ⫺ ᎏᎏ ⭈ 10 ⫹ ᎏᎏ 6 2 11 12 5

34

2 3 1 1 1 2 3 ᎏᎏ ⫹ 2 ⭈ 1 ⫺ ᎏᎏ 3⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5 4 4 3 4 3 2 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏᎏᎏ 3 1 2 1 3 8 ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 1 ⭈ 9 ⫹ ᎏᎏ 2 5 3 2 8 5

35

2 3 1 2 2 32 25 77 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫺ 4 ⭈ ᎏᎏ 3 2 3 135 3 3 ⫺ 13 ᎏᎏᎏᎏᎏ 2 2 2 1 1 2 ᎏᎏ ⫹2 ⭈ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ 3 3 3 4 4

36

冤冢2 ⫺ ᎏ5ᎏ ⬊ 2,25冣 ⬊ 冢0,07苶 ⫹ ᎏ1ᎏ5 冣冥 ⭈ ᎏ10ᎏ8 ⫹ 0,03苶 ⬊ 冤冢1,6苶 ⫺ ᎏ7ᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫹ ᎏ7ᎏ冣冥

3

⫺2

⫺3

冤

冣

冢

冢

3

冣

冢

冣

冤

冣冢 冣

冢

冢

冣 冢 冣冥 冣冢 冣

冤⫺ ᎏ49ᎏ冥

冢 冢

冣冢 冣冥 冣冢 冣

冤⫺ ᎏ17ᎏ5 冥

冢

冧 冥 冢 冣冥

冦冤冢 冣 冢 冣 冤冢 冣 3

15

冤⫺ ᎏ2ᎏ冥

2

1

5

17

冤ᎏ3ᎏ冥 1

25

59

冤ᎏ9ᎏ0 冥 133

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

3

6

2

37

冤冢0,83苶 ⫺ ᎏ7ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ7ᎏ ⫹ 0,2苶冣 ⫺ (0,36苶 ⫺ 0,2苶) ⬊ (0,5 ⫹ 0,51苶)冥 ⬊ 冤冢0,1苶 ⫹ ᎏ2ᎏ1 冣 ⬊ (0,3 ⫹ 1)冥

38

ᎏᎏ ⫺ 0,03 苶 ⭈ ᎏᎏ ⫹ (2,4苶 ⫺ 1,2) ⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 冢ᎏᎏᎏᎏᎏ 冣 43 4 7 5 4 ⫹ ᎏᎏ 0,2苶 ⫹ 1,2 2,3 ⫺ 2,1苶苶5 8 3 1 ᎏ ⭈ 冢5 ⫹ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ冥 ⬊ 冢1 ⫹ ᎏᎏ冣 冤ᎏ 0,2 ⫹ 1,3 苶 49 4 4

39

冦冤ᎏ1ᎏ7 ⫹ 0,2苶苶7 ⭈ (0,5苶 ⫺ 0,25) ⬊(1 ⫹ 0,13苶)冥 ⬊ 冢0,3 ⫹ ᎏ1ᎏ7 冣冧 ⭈ (61 ⭈ 0,03苶苶6) ⫹ ᎏ2ᎏ

3

3

9

117

冤ᎏ8ᎏ0 冥

8

5

229 ᎏᎏ 80

冤 冥

1

1

61

冤ᎏ2ᎏ2 冥

Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. 40

冢⫺ ᎏ81ᎏ冣 ⬊ 冦冢ᎏ41ᎏ ⫺ ᎏ31ᎏ冣 ⭈ 冤冢ᎏ41ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ31ᎏ冣 冥冧

41

冦冤冢ᎏ25ᎏ冣

5 5 ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 2

42

冤冢

冣 冢

43

冦冤冢ᎏ34ᎏ ⫺ ᎏ61ᎏ冣 ⬊ 冢2 ⫹ ᎏ41ᎏ ⫺ ᎏ21ᎏ冣 冥 ⫹ 冢⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⫹ 1冧 ⬊ 冤冢ᎏ51ᎏ ⫹ ᎏ13ᎏ0 冣 ⭈ 冢ᎏ11ᎏ0 ⫹ ᎏ23ᎏ冣 ⫺ 1冥

44

冢

45

冦冤⫺ 冢ᎏ54ᎏ冣 冥 冧 ⬊ 冤冢ᎏ54ᎏ冣 冥 ⭈ 冦冤冢⫺ ᎏ23ᎏ冣 冥 冧 ⬊ 冤冢ᎏ53ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ53ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ53ᎏ冣 冥

46

冦冤冢ᎏ32ᎏ冣 冥 冧 ⬊ 冤冢⫺ ᎏ32ᎏ冣 冥 ⬊ 冤冢ᎏ32ᎏ冣 冥 ⭈ 冤冢⫺ ᎏ43ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ43ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ43ᎏ冣 冥 ⬊ 冢ᎏ21ᎏ冣

冤ᎏ69ᎏ4 冥

冤冢2 ⫹ ᎏ21ᎏ冣 ⭈ 冢3 ⫺ ᎏ34ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ 1 ⫺ ᎏ51ᎏ冣 冥 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ54ᎏ冣 ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ 1 1 1 3 3 5 ᎏᎏ ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 冢ᎏᎏ冣 ⭈ 冢1 ⫺ ᎏᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏᎏ冣 ⫺ ᎏᎏ 2 3 4 8 5 2

冤ᎏ3ᎏ冥

3

2

⫺2

2

冥冢 冣

⫺4

2 2

冣 冢 冣 冥 ⫺ ᎏ52ᎏ

2 6 2

4 3

2

2

⫺2

2

冣冥

4 3 1 ᎏᎏ ⭈ 1 ⫹ ᎏᎏ 9 8

6 2

3 2

2 3 2

2 3

⫺2

冤ᎏ55ᎏ4 冥

2

冢 冣

1 ⫹ 1 ⫹ ᎏᎏ 2 2

3

4

2

2 ⫺1

2

冤ᎏ145ᎏ冥

4 2

3

冣 冢 冣 冤冢 冣 冢

2 3 4

冤ᎏ1326ᎏ5 冥

⫺1 ⫺1

5 2 5 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 2 2

2

1 3 1 2 1 4 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⬊ 2 2 2

47

冣 冢 冣 冧

5 2 ⭈ ᎏᎏ ⬊ 2

2

冣 冢

冢

2 2 2 ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ 5 5

冣 冥 冢 冣 冤冢

1 4 1 2 ⫹ ᎏᎏ ⭈ 3 ⫺ ᎏᎏ 2 2

冤⫺ ᎏ81ᎏ冥

2

3

[1] 6

3

[212] 4

2

1

2

Traduci in espressioni le seguenti frasi e poi calcola i valori delle espressioni per i valori delle lettere indicati. 3 9 3 7 48 «Esegui la divisione tra i ᎏᎏ di a e la differenza fra i ᎏᎏ del quadrato di b e i ᎏᎏ del cubo di c». a ⫽ ⫺ ᎏᎏ, 7 14 8 12 7 2 3 3 9 1 b ⫽ ᎏᎏ, c ⫽ ⫺ ᎏᎏ. ᎏᎏa ⬊ ᎏᎏ b2 ⫺ ᎏᎏ c3 ; ⫺ ᎏᎏ 3 3 7 14 8 6

冤

冢

冣

冥

3 3 49 «Moltiplica i ᎏᎏ di a per la differenza tra il doppio di a e i ᎏᎏ di b, e poi aggiungi il quoziente tra il quadrato 5 2 5 2 3 3 3 di a e b». a ⫽ ᎏᎏ, b ⫽ ⫺ ᎏᎏ. ᎏᎏa ⭈ 2a ⫺ ᎏᎏ b ⫹ a 2 ⬊ b; ⫺ ᎏᎏ 2 3 5 2 8

冤

134

冢

冣

冥

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

50 «Aggiungi al triplo del cubo di a il quadrato della semisomma di a e b, e poi somma la potenza che ha per 3 9 1 3 base il quoziente tra i ᎏᎏ di a e i ᎏᎏ di b e per esponente ⫺ 1». a ⫽ ⫺ ᎏᎏ, b ⫽ ᎏᎏ. 2 4 2 2 3 9 ⫺1 37 3 3a ⫹ [(a ⫹ b) ⬊ 2]2 ⫹ ᎏᎏa ⬊ ᎏᎏ b ; ⫺ ᎏᎏ 2 4 8 3 14 4 51 «Dividi il cubo dei ᎏᎏ di a per il cubo dei ᎏᎏ di b poi moltiplica per i ᎏᎏ di b elevati al numero intero ⫺ 2.» 4 3 7 2 1 3 3 14 3 4 ⫺2 1 a ⫽ ⫺ ᎏᎏ , b ⫽ ᎏᎏ . ᎏᎏ a ⬊ ᎏᎏ b ⭈ ᎏᎏ b ; ⫺ ᎏᎏ 9 4 4 3 7 7

冤

冢

冤冢 冣 冢

冣

冥

冣 冢 冣

冥

Problemi Risolvi i seguenti problemi con le frazioni. 2 52 Alcuni alunni della tua scuola partecipano ai giochi sportivi; precisamente ᎏᎏ partecipano alle gare di atle31 1 tica e ᎏᎏ alle partite di pallavolo. Sapendo che i partecipanti sono complessivamente 98, calcola quanti sono 9 gli alunni che non partecipano ai giochi sportivi. [460] 3 53 La differenza tra la base e l’altezza di un triangolo è 21,6 cm. Sapendo che l’altezza è i ᎏᎏ della base, deter5 mina l’area del triangolo. [874,8 cm2] 54 Disegna tre segmenti AB, CD ed EF tali che CD sia il doppio di AB ed EF sia il triplo di CD. Calcola la somma dei tre segmenti, assumendo come unità di misura prima AB, poi CD e infine EF. 9 AB; ᎏ9ᎏ CD; ᎏ3ᎏ EF 2 2 1 1 55 Luigi ha collezionato ᎏᎏ delle carte di una raccolta. Quando ne avrà trovate altre 10 possiederà ᎏᎏ della 5 3 [75] raccolta. Determina di quante carte è composta la raccolta.

冤

冥

56 Un ragazzo riesce a montare un computer in 6 ore, mentre un suo amico ne impiega 3. In quanto tempo riescono ad assemblare 5 computer, lavorando insieme? [10 ore] 57 Due amici abitano su uno stesso viale, ma da parti opposte. Dopo essersi chiamati col cellulare, escono da 2 casa per incontrarsi. Trascorso un certo tempo, il primo ragazzo ha percorso i ᎏᎏ della strada e il secondo 5 3 [3,5 km] i ᎏᎏ e la loro distanza è di 600 m. Quanto è lungo il viale? 7 Risolvi i seguenti problemi con le percentuali. 58 Maria vende un immobile al prezzo di € 84 000, superiore del 5% rispetto al prezzo che aveva pagato per acquistarlo. Quanto era costato l’immobile? [€ 80 000] 59 In una svendita ho acquistato un pullover al prezzo di € 70. So che è stato scontato del 30%. Qual era il prezzo originario e a quanto ammonta lo sconto? [€ 100; € 30] 60 Una scatola da 1 kg di tonno sott’olio contiene il 4% di olio, mentre una scatoletta da 250 g di tonno sott’olio ne contiene il 18%. Quale delle due confezioni di tonno contiene una minor quantità di olio? Perché la scatoletta da 250 g abbia la stessa quantità di olio della confezione da 1 kg, quale deve essere la sua percentuale di olio? [quella da 1 kg; 16%]

135

CAPITOLO 2. I NUMERI RAZIONALI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

61 Un imbianchino per dipingere una parete di colore verde deve utilizzare, per ogni 10 m2 di su1 perficie, ᎏᎏ l di vernice bianca, 2 dl di colorante 4 giallo e 3 dl di colorante blu per ogni litro di vernice bianca. Sapendo che le pareti della casa misurano complessivamente 252 m2 e che quelle di 5 colore verde devono essere i loro ᎏᎏ, determina i 9 m2 di parete verde e le quantità di vernice bianca, di colorante giallo e blu necessarie per pitturarli. [140 m2; 3,5 l; 7 dl; 10,5 dl]

62 Un numero razionale è tale che il successivo del suo reciproco vale 3,23苶. Determina tale numero. 30 ᎏᎏ 67

冤 冥

63 Come deve essere il numero naturale k, affinché 53 ⭈ 33 ⫹ k la frazione ᎏᎏ risulti apparente? [dispari] 2 64 Ordina in senso crescente i seguenti sei numeri razionali, poi scrivi il quarto numero. 1 1 (0,2)2; 0,2; 0,2苶; (0,2苶)2; ᎏᎏ ; ᎏᎏ . 0,2 0,2苶 [0,2苶]

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

65 If prices go down by 20%, by what percentage does your purchasing power increase? («Purchasing power» means the amount of goods that you can purchase for a fixed amount of money.)

 4 esercizi in più

 6 esercizi in più

68 A car has a price of $ 8640. For trading in his old car, Tom will get 30% off. Find the price of the car with the trade in. (CAN John Abbott College, Final Exam, 2001)

[$ 6048]

(USA Lehigh University: High School Math Contest, 2001)

[25%] 66 An operation «⌬» is defined by a a ⌬ b ⫽ 1 ⫺ ᎏᎏ , b ⫽ 0. b What is the value of (1 ⌬ 2)⌬(3 ⌬ 4)?

69 Attendance at a concert was 480. The ratio of adults to students was 5 to 3. How many adults attended? (USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)

[300]

(CAN Canadian Open Mathematics Challenge, 2000)

[⫺ 1] 67 At a party, there were 200 people, of whom 5% wore one earring and, of the other 95%, half wore no earrings and half wore two earrings. How many earrings were worn at this party? (USA Bay Area Math Meet, BAMM, Bowl Sampler, 1997)

[200]

70 Multiply and write scientific notation for the answer: (2.4 ⫻ 105)(5.4 ⫻ 10⫺16). (USA Tacoma Community College, Review for Test, 2002)

[1.296 ⫻ 10⫺10] 71 Write 2.3 ⫻ 10⫺2 ⫹ 3.5 ⫻ 10⫺3 as a decimal number. Say if this number is greater than or less than 0.02. (IR Leaving Certificate Examination, Ordinary Level, 1994)

[0.0265, greater] GLOSSARY

amount: ammontare attendance: pubblico, spettatori decimal: decimale earring: orecchino goods: beni di consumo

136

greater: maggiore to increase: accrescere, aumentare less: meno, minore percentage: percentuale price: prezzo

purchasing power: potere d’acquisto ratio: rapporto to trade in: farsi ritirare l’usato to wear-wore-worn: indossare

CAPITOLOTEORIA

Gli insiemi e la logica

3

I gruppi sanguigni Le trasfusioni e i trapianti di organo non sono sempre possibili: è indispensabile che vi sia compatibilità tra il gruppo sanguigno del donatore e quello del ricevente… …esistono donatori universali? E riceventi universali?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 162

1. Che cos’è un insieme Una squadriglia di aerei, un branco di pesci, un mazzo di fiori, un gruppo qualsiasi di oggetti danno un’idea del concetto di insieme. I matematici hanno costruito una vera e propria teoria degli insiemi, il cui linguaggio viene utilizzato nella matematica moderna per la sua particolare semplicità. Fra gli insiemi è possibile definire operazioni che godono di proprietà simili a quelle delle operazioni fra numeri. Un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme in senso matematico se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. ESEMPIO

Sono insiemi i seguenti raggruppamenti: ● i giocatori di calcio che hanno segnato più di 5 reti nel campionato italiano di serie A 2006/07; ● i pianeti del sistema solare; ● i numeri naturali maggiori di 1000.

137

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

◗ Che cosa significa più severi? Un insegnante può essere ritenuto severo da uno studente ma non da un altro. E cosa vuol dire 1 più ascoltati?  è una 1000 frazione molto piccola?

Non sono insiemi, invece: ● i dischi più ascoltati durante l’estate del 2007; ● i professori più severi; ● le frazioni molto piccole. Infatti, in questi ultimi casi, le informazioni fornite non sono sufficienti per stabilire con certezza se certi «oggetti» fanno parte del raggruppamento considerato.

■ Gli elementi di un insieme ◗ Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole, mentre useremo generalmente lettere minuscole per indicare gli elementi.

Gli oggetti che formano un insieme sono chiamati elementi dell’insieme. Un insieme è finito se contiene un numero finito di elementi, in caso contrario si dice infinito. ESEMPIO

L’insieme dei granelli di sabbia contenuti in un recipiente è un insieme finito; l’insieme dei numeri naturali multipli di 3 è un insieme infinito.

■ Gli insiemi numerici Per gli insiemi numerici utilizziamo le seguenti lettere: N insieme dei numeri naturali; Z insieme dei numeri interi; P insieme dei numeri naturali pari;

Q insieme dei numeri razionali;

D insieme dei numeri naturali dispari; R insieme dei numeri reali.

■ L’insieme vuoto Fra i vari insiemi si considera anche l’insieme che non ha elementi, che si chiama insieme vuoto. Per indicare l’insieme vuoto si utilizza il simbolo . L’insieme vuoto è uno solo. Gli insiemi seguenti sono lo stesso insieme, cioè l’insieme vuoto: ● ● ●

◗ In matematica la negazione relativa a un simbolo si esprime barrando il simbolo stesso. Per esempio, usiamo i simboli  (uguale) e  (non uguale).

138

l’insieme dei numeri dispari divisibili per 2; l’insieme delle consonanti della parola «io»; l’insieme dei triangoli aventi quattro lati.

■ Appartenenza a un insieme Per indicare che un elemento appartiene a un insieme si usa il simbolo 僆. Per indicare che un elemento non appartiene a un insieme si usa il simbolo 僆 Ⲑ. Si scrive x 僆 A e si legge «x appartiene ad A»; si scrive y 僆 Ⲑ A e si legge «y non appartiene ad A».

Paragrafo 2. Le rappresentazioni di un insieme

TEORIA

ESEMPIO

5 僆 N significa: 5 appartiene all’insieme N; 3 3  僆 Ⲑ N significa:  non appartiene all’insieme N. 4 4

2. Le rappresentazioni di un insieme Possiamo descrivere gli insiemi in tre modi diversi: ● ● ●

rappresentazione grafica; rappresentazione per elencazione; rappresentazione mediante la proprietà caratteristica.

■ La rappresentazione grafica Si utilizzano i diagrammi di Eulero-Venn, nei quali gli elementi degli insiemi sono racchiusi dentro linee chiuse. A

V

a

0

3

e

i

1 2

Insieme dei naturali minori di 4

o

u

Insieme delle vocali

䉳 Figura 1 Esempi di diagrammi di Eulero-Venn. Questi diagrammi prendono il loro nome da quello di due matematici. Lo svizzero Leonhard Euler (1707-1783) utilizzava diagrammi fatti con dei cerchi in problemi di logica. Essi vennero anche detti «cerchi di Eulero». L’inglese John Venn (1834-1925) usò anche altre linee chiuse.

■ La rappresentazione per elencazione Gli elementi vengono elencati, racchiusi fra parentesi graffe e separati da virgole. Gli elementi non devono essere ripetuti e non ha importanza l’ordine con cui sono scritti.

◗ La rappresentazione per elencazione viene anche chiamata rappresentazione tabulare.

ESEMPIO

La rappresentazione per elencazione dell’insieme delle lettere della parola «aristogatti» è: L  {a, g, i, o, r, s, t}. Se l’insieme è costituito da infiniti elementi, dopo aver elencato un numero di elementi sufficiente a identificarlo, si può ricorrere ai puntini. ESEMPIO

Numeri naturali, numeri pari, numeri dispari: N  {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, P  {0, 2, 4, 6, ...}, D  {1, 3, 5, 7, ...}.

139

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

■ La rappresentazione mediante la proprietà caratteristica L’insieme è definito enunciando la proprietà che caratterizza in modo oggettivo e univoco ogni suo elemento. ESEMPIO

Osserviamo la scrittura I  {x 僆 N兩x è multiplo di 3}: ●

◗ La rappresentazione mediante la proprietà caratteristica degli elementi di un insieme risulta utile soprattutto quando l’insieme contiene molti elementi.

● ●

il simbolo 兩 significa «tale che»; la lettera x indica un elemento generico dell’insieme; «è multiplo di 3» è la proprietà di cui gode x, ossia ogni elemento dell’insieme.

La scrittura I  {x 僆 N 兩 x è multiplo di 3} si legge nel modo seguente: «I è l’insieme dei numeri naturali x tali che x è multiplo di 3».

3. I sottoinsiemi DEFINIZIONE

Sottoinsieme Si dice che l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A.

B

A

B⊆A

Si scrive B ⊆ A e si legge «B è sottoinsieme di A», o «B è incluso in A», o «B è contenuto in A». A 1

Consideriamo A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B  {0, 3, 6, 9}.

3 B

ESEMPIO

2

0

5

4 6 9

7

8 B⊆A

䉱 Figura 2 Nell’insieme dei numeri naturali minori di 10 (insieme A), consideriamo i multipli di 3 (insieme B). Ogni elemento di B è anche elemento di A.

140

L’insieme B è un sottoinsieme di A e scriviamo B ⊆ A. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi. Si scrive A ⴝ B. Per dire che «A e B non sono uguali» scriviamo invece A  B. ESEMPIO

A  {a, e, i, o, u}, B  {x兩x è una vocale della parola «aiuole»} sono insiemi uguali, perché hanno gli stessi elementi.

Paragrafo 3. I sottoinsiemi

TEORIA

Per stabilire che A  B, è sufficiente controllare che sia A ⊆ B e B ⊆ A. Infatti, se A ⊆ B, tutti gli elementi di A sono elementi di B e se B ⊆ A, anche tutti gli elementi di B sono elementi di A, perciò A e B hanno gli stessi elementi. È vero anche il contrario, cioè se A  B, allora A ⊆ B e B ⊆ A.

■ L’inclusione stretta DEFINIZIONE

Inclusione stretta Si dice che l’insieme B è strettamente incluso nell’insieme A quando ogni elemento di B è anche elemento di A, ma esistono elementi di A che non sono elementi di B.

A

6

B

12

3 9

15

B ⊂A

Si scrive B ⊂ A e si legge «B contenuto strettamente in A», oppure «B è incluso strettamente in A»: B ⊂ A se B ⊆ A e B  A. ESEMPIO

1. P ⊂ N, perché tutti i numeri pari sono naturali, ma esistono naturali che non sono pari. 2. {x兩x è un gatto siamese} ⊂ {x兩x è un gatto}, perché tutti i gatti siamesi sono gatti, ma esistono gatti che non sono siamesi.

◗ Se B ⊂ A, allora B ⊆ A, mentre non è vero il contrario: se B ⊆ A, non è detto che B ⊂ A. ◗ Osservazione. Nell’utilizzo dei simboli ⊂ e 僆 è sbagliato scrivere 2 ⊂ N e {8} 僆 N. Correggi tu.

■ I sottoinsiemi propri e impropri Per qualunque insieme A vale la relazione  ⊆ A. Infatti, poiché l’insieme vuoto non ha elementi, possiamo sempre affermare che ogni elemento dell’insieme vuoto è anche elemento dell’insieme A. Inoltre è vero che A ⊆ A. Pertanto, dato un insieme, l’insieme stesso e l’insieme vuoto sono sempre suoi sottoinsiemi e si dicono sottoinsiemi impropri. ESEMPIO

1. L’insieme A delle consonanti della parola «aia» è un sottoinsieme improprio dell’insieme delle consonanti, perché A  . 2. L’insieme B delle vocali della parola «aiuole» è un sottoinsieme improprio dell’insieme V delle vocali, perché B  V. Ogni sottoinsieme non vuoto strettamente incluso in un insieme si dice sottoinsieme proprio dell’insieme.

◗ L’insieme delle vocali è un sottoinsieme proprio di quello delle lettere dell’alfabeto.

141

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

ESPLORAZIONE: INSIEMI INFINITI GALILEO

Intuitivamente siamo portati a pensare che ogni insieme debba essere più numeroso di un suo sottoinsieme proprio. Tale convinzione, supportata dall’esperienza diretta, è certamente vera ed evidente nel caso degli insiemi finiti. Quando però si considerano gli insiemi infiniti, le cose cambiano e l’affermazione secondo cui «l’intero è maggiore della parte» perde validità. Il primo ad accorgersene fu Galileo (1564-1642). Nel suo trattato Discorsi e dimostrazioni matematiche attorno a due nuove scienze (1638), egli riconobbe la possibilità di stabilire una corrispondenza biu-

nivoca tra gli interi positivi e i loro quadrati, sebbene questi ultimi siano solo un sottoinsieme di Z. Galileo considerò paradossale questa situazione, giungendo alla conclusione che non fosse opportuno confrontare insiemi infiniti. 1

2

3

4

5

6

7

8

...

1

4

9

16

25

36

49

64

...

䉱 C’è corrispondenza biunivoca fra gli interi positivi e i loro quadrati, quindi i due insiemi sono «ugualmente numerosi».

DEDEKIND

Nel XIX secolo questa posizione venne superata da Dedekind (1831-1916), il quale riconobbe che il paradosso scoperto da Galileo era per gli insiemi infiniti una proprietà caratteristica, tanto che, nel

1872, la utilizzò per la loro definizione: un insieme è infinito se e soltanto se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

CANTOR

Cantor (1845-1918), contemporaneo e amico di Dedekind, si spinse oltre. Studiò a fondo il problema di quali insiemi infiniti avessero la stessa «numerosità». Definiti equipotenti due insiemi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca, chiamò potenza del numerabile quella di tutti gli insiemi equipotenti ai numeri naturali. Nel 1874 giunse alla scoperta sensazionale che l’insieme dei numeri razionali è numerabile. Lo schema della figura a lato fa comprendere su quale idea è basata la sua dimostrazione. Cantor provò inoltre che esistono insiemi che non hanno la potenza del numerabile. È il caso, per esempio, dell’insieme dei punti di una retta. D’altra parte tale insieme è in corrispondenza biunivo-

ca con l’insieme dei numeri reali. Ciascuno dei due insiemi possiede una potenza superiore a quella del numerabile. Cantor la chiamò potenza del continuo. 1 – 1

2 – 1

3 – 1

4 – 1

...

1 – 2

2 – 2

3 – 2

4 – 2

...

1 – 3

2 – 3

3 – 3

4 – 3

...

1 – 4

2 – 4

3 – 4

4 – 4

...

1 – 5 ...

2 – 5

3 – 5

4 – 5

...

䉳 Seguendo le frecce è possibile ordinare tutte le frazioni positive, in modo da contarle e quindi metterle in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

IN DIECI RIGHE

Georg Cantor è considerato il padre della teoria degli insiemi. Ai suoi tempi, però, il suo lavoro non ebbe soltanto apprezzamenti... Scrivi con il computer una sintetica biografia di Cantor, mettendo in evidenza la sua amicizia con Dedekind e l’opposizione incontrata da parte di Kronecker. Cerca nel web: Cantor, Dedekind, Kronecker, teoria, insiemi, set theory.

142

Paragrafo 4. Le operazioni con gli insiemi

TEORIA

4. Le operazioni con gli insiemi ■ L’intersezione di due insiemi DEFINIZIONE

Intersezione

A

B

Si dice intersezione di due insiemi A e B l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B. A

B

Si scrive A 艚 傽 B e si legge «A intersezione B » o «A intersecato B ». In simboli: A 艚 B  {x兩x 僆 A e x 僆 B}. ESEMPIO C

M

C

L T

M

m

c

l

a

C

M ⊂ M, C

a

o

t o

a

l

r

t

t e

M⊂ C

B

A

L

a

i

T

b

u i o

c

v

b

L

TⴝL

c

A

Bⴝ∅

Figura 3 a) C e M hanno alcuni elementi in comune, ma non tutti: la loro intersezione è un sottoinsieme proprio sia di C sia di M. b) L è sottoinsieme di T: l’intersezione è sottoinsieme improprio di L, poiché coincide con L. c) A e B non hanno elementi in comune e la loro intersezione è l’insieme vuoto, cioè un sottoinsieme improprio di entrambi. 䉱

Consideriamo gli insiemi della figura 3. a) C  {x兩x è una lettera della parola «cioccolata»} e M  {x兩x è una lettera della parola «marmellata»}. Gli elementi in comune sono a, l, t; quindi C 傽 M  {a, l, t}. b) L  {x兩x è una lettera della parola «lato»} e T  {x兩x è una lettera della parola «tavolo»}. L’insieme L è sottoinsieme di T e si ha: L 傽 T  {l, a, t, o}  L. c) A  {x兩x è una lettera della parola «auto»} e B  {x兩x è una lettera della parola «bici»}. I due insiemi non hanno elementi in comune, quindi A 傽 B  .

143

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

DEFINIZIONE

◗ Per esempio, sono disgiunti l’insieme dei mammiferi e quello degli uccelli, perché non esiste alcun uccello che sia mammifero.

Insiemi disgiunti A

Se due insiemi non hanno elementi in comune, si dicono disgiunti.

B

A e B disgiunti

In generale, sull’intersezione possiamo affermare che: ● ●

se A ⊆ B, allora A 傽 B  A; se A e B sono disgiunti, allora A 傽 B ⴝ ⵰ .

■ L’unione di due insiemi DEFINIZIONE

◗ La congiunzione «o» è usata qui come nella frase: «Per farsi capire in Germania bisogna conoscere il tedesco o l’inglese». È chiaro che può farsi capire sia chi conosce il tedesco, sia chi conosce l’inglese, sia chi conosce entrambe le lingue. Questo uso della proposizione «o» si chiama «inclusivo», per distinguerlo dall’uso «esclusivo». Ecco un esempio di «o» esclusivo: «Questo treno va fino a Napoli o termina la sua corsa a Roma?».

Unione

A

B

Si dice unione di due insiemi A e B l’insieme degli elementi che appartengono ad A o a B.

A

B

Si scrive A 僔 B e si legge «A unione B » o «A unito B ». In simboli: A 傼 B  {x兩x 僆 A o x 僆 B}. ESEMPIO Figura 4 Consideriamo gli stessi insiemi della figura 3. Nell’unione ci sono tutti gli elementi dei due insiemi e soltanto essi. Gli elementi in comune vengono scritti una sola volta (l’insieme unione è colorato in giallo). 䉲

C

c

a

144

r

o

t e

a

t

t

TⴝT

B o

b c i

v L

u

a

l

b

B

A L

a l

o

A

T

M

m

i

T

L

M

C

c

Paragrafo 4. Le operazioni con gli insiemi

TEORIA

■ Le proprietà dell’intersezione e dell’unione Le operazioni di intersezione e di unione di insiemi godono di proprietà analoghe a quelle che abbiamo visto per la moltiplicazione e l’addizione dei numeri. PROPRIETÀ DELL’INTERSEZIONE

commutativa

A傽BB傽A

associativa

(A 傽 B ) 傽 C  A 傽 (B 傽 C)

distributiva rispetto all’unione

A傽(B傼C )(A傽B)傼(A傽C)

commutativa

A傼BB傼A

associativa

(A 傼 B ) 傼 C  A 傼 (B 傼 C)

◗ Fra i numeri non vale la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione:

distributiva rispetto all’intersezione

A傼(B傽C )(A 傼 B ) 傽 (A 傼 C)

4(25)(42)(45).

PROPRIETÀ DELL’UNIONE

L’uso dei diagrammi di Eulero-Venn permette di verificare con rapidità le proprietà dell’unione e dell’intersezione.

VERIFICA DELLA PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELL’UNIONE RISPETTO ALL’INTERSEZIONE Vogliamo verificare A 傼 (B 傽 C)  (A 傼 B ) 傽 (A 傼 C). Per ottenere A 傼 (B 傽 C), prima consideriamo B 傽 C e poi l’unione fra A e B 傽 C. (B

Per ottenere (A 傼 B) 傽 (A 傼 C), prima consideriamo A 傼 B e A 傼 C e poi la loro intersezione. Osserviamo graficamente che otteniamo lo stesso insieme.

C)

(A B

A

B)

A

B

C

A

(B

(A B

C

C)

A

B

C

C)

A

(A

C

B)

(A

A

C) B

C

145

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

■ La differenza tra due insiemi DEFINIZIONE

Differenza

A

B

Si dice differenza tra due insiemi A e B, considerati nell’ordine, l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. A

B

Si scrive A ⴚ B e si legge «A meno B». In simboli: A  B  {x兩x 僆 A e x 僆 Ⲑ B}. ESEMPIO 䉲 Figura 5 Consideriamo gli stessi insiemi visti per l’intersezione e per l’unione (l’insieme differenza è colorato in giallo). b) T – L = {v};

a) C – M = {c, i, o};

c) A – B = A.

Se i due insiemi sono disgiunti, la differenza coincide sempre con il primo insieme.

C c i

l

t

l

r

o

t o

a L

a

e

B

A

T

M

m

A

L

T

M

C

a

u o B

t

b

v

i c

a

b

c

La differenza fra insiemi non è commutativa. ESEMPIO

Consideriamo gli insiemi dell’esempio precedente (figura 5): M  C  {m, r, e} è diverso da C  M  {c, i, o}; L  T   ed è diverso da T  L  {v}; B  A  B ed è diverso da A  B  A. In generale:

146

●

se B ⊆ A, allora B  A  ;

●

se A 傽 B  , allora A  B  A.

Paragrafo 4. Le operazioni con gli insiemi

TEORIA

■ L’insieme complementare di un insieme DEFINIZIONE

A

Insieme complementare

B

Se B ⊆ A, l’insieme complementare di B rispetto ad A è A  B.

៮៮A. L’insieme complementare di B rispetto ad A si indica con B

– BA ⴝ A ⴚ B

ESEMPIO

1. Se A è l’insieme delle lettere di una parola e B quello delle sue consonanti, ៮B៮A è l’insieme delle vocali della parola. 2. Il complementare di un insieme può essere vuoto. Per esempio, è sem៮៮A  . pre vero che A

◗ Sai trovare l’insieme 苶  A?

Spesso gli elementi di uno o più insiemi vengono scelti fra quelli di uno stesso insieme più ampio, al quale viene dato il nome di insieme universo. In questo caso, se vogliamo indicare il complementare di A rispetto all’insieme universo, scriveremo semplicemente ៮៮ A. ESEMPIO

Se l’insieme universo è N, allora il complementare dell’insieme dei numeri pari è l’insieme dei numeri dispari: P 苶  D.

◗ Se l’insieme universo è Z, allora il complementare dell’insieme dei numeri naturali N è: N 苶 { 1,2, 3, 4, …}.

■ Il prodotto cartesiano In una classe, gli studenti sono seduti ai loro banchi disposti come in figura 6. Per determinare a caso uno studente da interrogare, un insegnante estrae due numeri: il primo indicherà in quale fila verticale si trova il banco dell’alunno sorteggiato, il secondo in quale fila orizzontale. Ogni studente è quindi individuato da una coppia di numeri. Figura 6 Nella pianta della classe la coppia (2; 3) non indica lo stesso studente della coppia (3; 2). Inoltre, mentre ha senso parlare della posizione (2; 4), il banco in posizione (4; 2) non esiste.

䉴

1; 4

2; 4

3; 4

1; 3

2; 3

3; 3

1; 2

2; 2

3; 2

1; 1

2; 1

3; 1

B A b.

147

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

Il primo numero viene scelto nell’insieme A  {1, 2, 3} e il secondo nell’insieme B  {1, 2, 3, 4}. Indichiamo ogni possibile coppia mediante i due numeri, separati da un punto e virgola, scritti fra parentesi tonde. In queste coppie di numeri è importantissimo l’ordine. Coppie come (2; 3) e (3; 2) non hanno lo stesso significato. L’insieme delle coppie viene indicato con A B e si chiama prodotto cartesiano degli insiemi A e B. DEFINIZIONE

Prodotto cartesiano Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B, considerati nell’ordine, l’insieme di tutte le coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo appartiene a B.

A

B

B

(

;

)

(

;

)

(

;

)

(

;

)

A

Si scrive A ⴛ B e si legge «A per B» o «A cartesiano B». In simboli: A B  {(x; y)兩x 僆 A e y 僆 B }. La rappresentazione cartesiana, o diagramma cartesiano, del prodotto cartesiano è una rappresentazione grafica che utilizza due semirette fra loro perpendicolari. Sulla semiretta orizzontale rappresentiamo gli elementi del primo insieme, su quella verticale gli elementi del secondo insieme. Da ogni elemento del primo insieme tracciamo una semiretta verticale; da ogni elemento del secondo insieme tracciamo una semiretta orizzontale. Queste semirette formano una griglia: i nodi della griglia rappresentano le coppie del prodotto cartesiano. 䉴 Figura 7 Nella rappresentazione cartesiana di A ⴛ B, gli elementi di A sono rappresentati su una semiretta orizzontale, gli elementi di B su una semiretta verticale, gli elementi di A ⴛ B sono i nodi della griglia.

B (

;

)

(

;

)

(

;

)

(

;

)

A

148

Paragrafo 5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme

TEORIA

Il prodotto cartesiano fra due insiemi non è commutativo: A B  B A. ESEMPIO

◗ Si può rappresentare A B anche con una tabella a doppia entrata.

Consideriamo gli insiemi: A  {1, 2, 3}, B  {a, b}. In A B ci sono le coppie: (1; a), (2; a), (3; a), (1; b), (2; b), (3; b).



a

b

Invece in B A ci sono (a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b; 3).

1

(1; a)

(1; b)

2

(2; a)

(2; b)

3

(3; a)

(3; b)

A B  B A perché, per esempio, (1; a)  (a; 1). È possibile eseguire il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso.

5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme

◗ Per esempio, se B  {a, b}, allora: B B {(a; a),(a;b),(b;a),(b;b)}.

■ L’insieme delle parti Consideriamo l’insieme A formato da due elementi, A  {1, 2}, e tutti i possibili sottoinsiemi di A, compresi il vuoto e A stesso. Essi sono: , {1}, {2}, A. L’insieme formato da questi quattro insiemi viene chiamato insieme delle parti di A. DEFINIZIONE

Insieme delle parti Si chiama insieme delle parti di A l’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di A.

A

ᏼ(A)

冦 冧冦 冧A

◗ Se in un insieme A ci sono n elementi, quanti sono gli elementi di ᏼ(A)?

Si scrive: ᏼ(A).

■ La partizione di un insieme Consideriamo l’insieme A degli animali vertebrati e l’insieme dei suoi sottoinsiemi: C  {pesci, anfibi, rettili, uccelli, mammiferi}. Esso gode delle seguenti proprietà: a) in ogni sottoinsieme c’è almeno un animale; b) lo stesso animale non appartiene mai a due sottoinsiemi diversi; c) nessun animale resta fuori dalla classificazione.

◗ Questa è la classificazione che di solito si usa nelle scienze biologiche.

Questo è un esempio di partizione di A.

149

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

◗ Suddividiamo, per esempio, l’insieme A delle automobili che circolano in Italia a seconda della marca. Otteniamo una partizione di A, in quanto sono soddisfatte le tre condizioni. Tale partizione non è l’unica possibile; sai trovarne altre?

DEFINIZIONE

Partizione A

Si chiama partizione dell’insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche: a) ogni sottoinsieme non è vuoto; b)tutti i sottoinsiemi sono disgiunti fra loro; c) l’unione di tutti i sottoinsiemi è A.

6. Le proposizioni logiche DEFINIZIONE

Proposizione logica ◗ Un enunciato è un insieme di parole o simboli dotato di senso. Per esempio, 苶苶 o苶 l苶 l苶 o uova», «兹p «Pape satàn aleppe» non sono enunciati; invece «Canti molto bene» o «a  b  c» sono enunciati.

Una proposizione logica è un enunciato che è o vero o falso. ESEMPIO

Sono proposizioni logiche: 1. Il Sole è una stella. 2. Parigi è la capitale dell’Olanda. 3. 15 è un numero primo.

Non sono proposizioni logiche: 1. L’hamburger è buonissimo. 2. Viva l’Italia! 3. Che cosa farai domani?

In generale non sono proposizioni logiche: ● ● ● ●

●

le domande; le esclamazioni; i comandi; le frasi del tipo «mi piace», «è bello», «è buona», «lo amo», «è bassa» ecc.: infatti esse sono vere per chi le esprime, ma non per tutti; le frasi con riferimenti al futuro del tipo «domani pioverà», «più tardi andremo al cinema» ecc.

■ Le variabili logiche Per indicare in modo generale un numero o un’espressione numerica, cioè una variabile numerica, si utilizzano le lettere dell’alfabeto. Esiste un tipo diverso di variabile: è la variabile logica, che rappresenta una proposizione. Anch’essa viene indicata con una lettera dell’alfabeto. DEFINIZIONE

Variabile logica Si chiama variabile logica ogni lettera utilizzata al posto di una proposizione. Per indicare che la lettera A rappresenta la proposizione «Il Po è il fiume più lungo d’Italia», scriveremo A: «Il Po è il fiume più lungo d’Italia».

150

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

TEORIA

ESEMPIO

A: «Il numero 5 non è primo»;

B: «Il numero 6 è multiplo di 3».

Attribuire un valore di verità a una proposizione significa affermare che essa è vera oppure falsa. Scriviamo brevemente la lettera «V» se la proposizione è vera, la lettera «F» se è falsa.

◗ Poiché i valori di verità sono due, per indicarli a volte si usano anche le cifre 0 e 1: 0 sta per «F», 1 per «V».

7. I connettivi logici e le espressioni Finora abbiamo considerato proposizioni semplici, dette anche elementari o atomiche perché sono costituite da una sola forma verbale (o predicato).

Soggetto

Predicato

Il bambino

è caduto

Le uova

sono fresche

In genere, però, un ragionamento non è formato da una singola proposizione semplice, ma da più proposizioni legate fra loro dai connettivi «e», «o», «non», «o... o...», «se... allora...», «se e solo se».

䉳 Figura 8 Le proposizioni semplici sono le frasi di senso compiuto più brevi e sono composte da soggetto e predicato. Il soggetto è ciò di cui parla il predicato. Il predicato è la parte che dice qualcosa del soggetto.

Consideriamo le due proposizioni elementari: A: «Vado alla stazione»; B: «Accompagno il mio amico in palestra». Con esse possiamo costruire altre proposizioni: C: «Vado alla stazione e accompagno il mio amico in palestra»; D: «O vado alla stazione o accompagno il mio amico in palestra»; E: «Non vado alla stazione e accompagno il mio amico in palestra»; F: «Se vado alla stazione, allora accompagno il mio amico in palestra»; G: «Vado alla stazione se e solo se accompagno il mio amico in palestra». Ogni proposizione risulta dalla composizione delle stesse proposizioni elementari, ma ha un significato diverso dalle altre. ESEMPIO

Due proposizioni legate da un connettivo danno come risultato una nuova proposizione. DEFINIZIONE

Proposizione composta Una proposizione è composta quando è formata da più proposizioni elementari legate da connettivi. I connettivi logici consentono di costruire proposizioni composte, dette anche espressioni logiche, effettuando operazioni tra le proposizioni elementari, così come le quattro operazioni permettono di operare con i numeri. Per stabilire il valore di verità di una proposizione composta si usano le tavole di verità.

◗ Una proposizione composta si dice anche molecolare. ◗ Come per le quattro operazioni, per i connettivi logici si usano delle regole di precedenza e per scrivere le espressioni logiche si possono utilizzare delle parentesi.

151

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

La tavola di verità è una tabella in cui si riportano le proposizioni elementari, le proposizioni composte e i relativi valori di verità possibili. Come si attribuisce il valore di verità a una proposizione composta conoscendo i valori di verità propri delle proposizioni elementari? Non è facile rispondere, perché il risultato dipende dal connettivo che si usa. Studieremo le regole valide per ciascuno dei connettivi.

■ La negazione: non ◗ Si scrive: A 苶, oppure ¬ A. Si legge: «non A».

DEFINIZIONE

Negazione di una proposizione

– se A È VERA allora A È FALSA

La negazione di una proposizione A è la proposizione «non A», che risulta vera se A è falsa e falsa se A è vera.

se A

È FALSA

– allora A

È VERA

Indichiamo col simbolo «A 苶 » la negazione. Per esempio, la negazione di A èA 苶 (si legge «non A»). ESEMPIO

A: «Rimini è una città di mare»

V;

A 苶: «Rimini non è una città di mare» A

A 苶

V F

F V

F.

Data una generica proposizione A, che può essere vera o falsa, riportiamo a lato la tavola di verità della negazione.

■ La congiunzione: e DEFINIZIONE

◗ Si scrive: A ∧ B. Si legge: «A e B», oppure (dal latino) «A et B», oppure (dall’inglese) «A AND B». ◗ Non tutte le «e» che incontriamo nella lingua italiana congiungono due proposizioni. Per esempio: 1. «Roma e Milano distano più di 400 km»; 2. «Io ho un gatto bianco e grigio». In entrambi i casi abbiamo una proposizione sola.

Congiunzione di due proposizioni La congiunzione di due proposizioni A e B è la proposizione «A e B». Essa è vera solo se le due proposizioni sono entrambe vere. In tutti gli altri casi è falsa.

se A È VERA e B

È VERA :

altrimenti:

B È VERA

A

B È FALSA

ESEMPIO

1. A: «La Terra è un pianeta»; B: «La Luna è un satellite della Terra»; A ∧ B: «La Terra è un pianeta e la Luna è un satellite della terra». La proposizione A ∧ B è vera, perché sono vere sia A sia B. 2. A: «10 è multiplo di 5»; B: «10 è un numero primo»; A ∧ B: «10 è multiplo di 5 ed è un numero primo». La proposizione A ∧ B è falsa, perché B è falsa.

152

A

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

Mediante la definizione costruiamo la tavola di verità della congiunzione. La prima riga della tavola si legge: «Se A è vera e B è vera, allora A ∧ B è vera»; la seconda riga si legge: «Se A è vera e B è falsa, allora A ∧ B è falsa» ecc. In una proposizione composta che utilizza i connettivi «non» ed «e» la negazione «non» ha la precedenza rispetto alla congiunzione «e».

TEORIA

A

B

A∧B

V V F F

V F V F

V F F F

ESEMPIO

Date le proposizioni A e B, scriviamo la proposizione composta A ∧ B 苶: A: «Marina gioca a pallavolo»,

B: «Marina gioca a tennis».

◗ Il connettivo «non» ha la precedenza rispetto a tutti gli altri connettivi.

苶: «Marina non gioca a tennis» e poi Si deve prima considerare B A∧B 苶: «Marina gioca a pallavolo e non a tennis».

■ La disgiunzione inclusiva: o PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Cavalieri e furfanti

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Nell’isola dei cavalieri e dei furfanti: 1) un abitante dell’isola dice la verità se e solo se è un cavaliere; 2) un abitante dell’isola mente se e solo se è un furfante; 3) non vi sono altri abitanti oltre ai cavalieri e ai furfanti. (Da un’idea di Raymond Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli, 1981)

GIOVANNI:

SILVIA:

«Quando visitai l’isola, parlando con due abitanti X e Y, il primo affermò: “Almeno uno fra me e Y è un furfante”. Non riesco proprio a capire che cosa fossero X e Y!». «Forse bisogna fare delle ipotesi. Per esempio, se X è un furfante...».

䉴 Continua il ragionamento di Silvia, cercando di scoprire se X e Y sono cava-

lieri o furfanti. DEFINIZIONE

Disgiunzione inclusiva di due proposizioni La disgiunzione inclusiva di due proposizioni A e B è la proposizione «A o B». Essa è falsa solo se le due proposizioni sono entrambe false. In tutti gli altri casi è vera.

se A È FALSA e B È FALSA : A

B È FALSA

altrimenti:

B È VERA

A

◗ Si scrive: A ∨ B. Si legge: «A o B», oppure (dal latino) «A vel B», oppure (dall’inglese) «A OR B».

ESEMPIO

1. La proposizione «2 è minore di 3 o maggiore di 10» è vera. Infatti essa è formata dalle due proposizioni: A: «2 è minore di 3»; B: «2 è maggiore di 10». Poiché A è vera, anche A ∨ B risulta vera, anche se B è falsa.

153

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

2. La proposizione «5 è minore di 3 o maggiore di 10» è falsa. Infatti risultano false sia A: «5 è minore di 3» sia B: «5 è maggiore di 10». A

B

A∨B

V V F F

V F V F

V V V F

Tavola di verità della disgiunzione inclusiva La tavola a lato si costruisce mediante la definizione.

■ La disgiunzione esclusiva: o... o... DEFINIZIONE

Disgiunzione esclusiva di due proposizioni . ◗ Si scrive: A ∨ B. Si legge: «o A o B», oppure (dal latino) «A aut B», oppure (dall’inglese) «A XOR B» (eXclusive OR).

◗ Aut in latino significa «o», ma, a differenza di «vel», veniva usato come disgiunzione esclusiva. «Hic vincendum aut moriendum est» (Livio): «Qui bisogna o vincere o morire».

◗ La disgiunzione inclusiva include tra i casi veri quello in cui le due proposizioni sono entrambe vere. Nella disgiunzione esclusiva questo caso è escluso.

La disgiunzione esclusiva di due proposizioni A e B è la proposizione «o A o B». Essa è vera solo se una proposizione è vera e l’altra è falsa.

se A È VERA e B È FALSA oppure :A se A È FALSA e B È VERA

冧

altrimenti:

A

•

•

B È VERA B È FALSA

ESEMPIO

1. La proposizione «10 o è minore di 100 o è maggiore di 100» è vera. Infatti essa è formata dalle due proposizioni: A: «10 è minore di 100»; B: «10 è maggiore di 100». Poiché A è vera e B è falsa, A ∨᝽ B risulta vera. 2. La proposizione «5 o è minore di 10 o è minore di 7» è falsa. Infatti risultano vere sia «5 è minore di 10» sia «5 è minore di 7». Tavola di verità della disgiunzione esclusiva A ∨᝽ B risulta falsa se le due proposizioni sono entrambe vere o entrambe false.

A

B

A ∨᝽ B

V V F F

V F V F

F V V F

■ L’implicazione materiale DEFINIZIONE

◗ Si scrive: A → B. Si legge: «A implica B», «Se A allora B», «Da A segue B».

A

B

A→B

V V F F

V F V F

V F V V

154

Implicazione materiale se A È VERA e B È FALSA : A B È FALSA L’implicazione materiale di due proposizioni A e B è la proposizione «se A, allora B» che risulta falsa altrimenti: A B È VERA solo se A è vera e B è falsa. In tutti gli altri casi è vera.

La tavola di verità di A → B è riportata a lato. A si chiama antecedente e B conseguente.

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

TEORIA

ESEMPIO

1. «Se 15 è un numero dispari, allora 15 è divisibile per 7» è una proposizione falsa. Infatti, essendo A: «15 è un numero dispari» vera e B: «15 è divisibile per 7» falsa, A → B risulta falsa. 2. «Se 4 è un numero pari, allora 4 è divisibile per 2» è una proposizione vera. Infatti essa è formata dalle due proposizioni: A: «4 è un numero pari»;

B: «4 è divisibile per 2».

Poiché A è vera e B è vera, è vera anche A → B.

■ La doppia implicazione DEFINIZIONE

Doppia implicazione La doppia implicazione di due proposizioni A e B è una proposizione vera se A e B sono entrambe vere o entrambe false. Negli altri due casi è falsa.

se A È VERA e B È VERA oppure se A È FALSA e B È FALSA altrimenti:

冧

:A

B È VERA

A

B È FALSA

La tavola di verità di A ↔ B è riportata a lato. ESEMPIO

La proposizione «Un triangolo è equilatero se e solo se è equiangolo» è vera. Infatti, essa è formata dalle due proposizioni: A: «Un triangolo è equilatero»,

◗ Si scrive: A ↔ B. Si legge: «A se e solo se B».

A

B

A↔B

V V F F

V F V F

V F F V

B: «Un triangolo è equiangolo».

Poiché A è vera e B è vera, è vera anche A↔B.

■ Le espressioni logiche Componendo più proposizioni con i connettivi esaminati finora e con quelli che esamineremo, si ottengono le espressioni logiche. ESEMPIO

(苶苶 A苶∧ 苶苶B 苶)苶, A ∧ B ∧ C 苶, A ∧苶 B ∧ C sono espressioni logiche.

Consideriamo quali sono le precedenze da rispettare sulle espressioni logiche con più connettivi: ● ●

se non ci sono parentesi, si deve seguire il seguente ordine: 苶 B, ∧, ∨, →, ↔; se ci sono parentesi, si usano le stesse convenzioni delle espressioni numeriche, cioè prima le parentesi tonde, poi le quadre, poi le graffe.

Se una negazione si riferisce a un’intera parentesi, occorre prima ottenere il valore di verità dentro la parentesi e poi effettuare la negazione.

155

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

ESEMPIO

Consideriamo l’espressione A ∧ 苶 B. Per costruire la tavola di verità di questa espressione si procede così: ● prima si compilano le colonne relatiA B 苶 B A∧苶 B ve ad A e a B ; V V F F ● poi si compila la colonna relativa a 苶 B; V F V V ● infine si compila quella relativa alla F V F F F F V F congiunzione di A e di 苶 B.

■ Le tautologie ◗ Il prefisso «tauto» deriva dal greco táutó e significa «lo stesso»; una tautologia in linguaggio non matematico è una proposizione in cui il predicato ripete il concetto già contenuto nel soggetto. Per esempio, «Il cantante canta».

Frasi del tipo «Una linea è retta oppure non lo è», «Un neonato o è maschio o è femmina», «Se son sveglio, allora non dormo» ecc. sono senza alcun dubbio sempre vere. DEFINIZIONE

Tautologia Una proposizione composta è una tautologia se risulta sempre vera, qualunque valore di verità si attribuisca alle proposizioni elementari di cui è composta. Nella proposizione «A pallavolo o si vince o si perde» poniamo A: «A pallavolo si vince». . Possiamo allora formalizzare la frase in esame con l’espressione A ∨ A 苶, che equivale a dire: «A pallavolo o si vince o non si vince». . Poiché A ∨ A 苶 risulta sempre vera, si tratta di una tautologia. ESEMPIO

◗ Tavola di verità:

A

A 苶

. A∨A 苶

V F

F V

V V

. 苶 riLa proposizione A∨ A sulta sempre vera, quindi è una tautologia.

■ Le contraddizioni Frasi del tipo «Q è un quadrato e ha cinque lati», «11 è un numero primo e ha tre divisori» ecc. sono senza alcun dubbio sempre false. DEFINIZIONE

Contraddizione Una proposizione composta è una contraddizione se risulta sempre falsa, qualunque valore di verità si attribuisca alle proposizioni elementari di cui è composta.

◗ Tavola di verità:

A

A 苶

A∧A 苶

V F

F V

F F

苶 riLa proposizione A ∧ A sulta sempre falsa, quindi è una contraddizione.

156

«11 è un numero primo e ha tre divisori». La frase può essere formalizzata con l’espressione A ∧ A 苶 in cui A è «11 è un numero primo». Infatti equivale a dire: «11 è un numero primo e non lo è». Poiché A ∧ A 苶 risulta sempre falsa, si tratta di una contraddizione. ESEMPIO

Paragrafo 8. Forme di ragionamento valide

TEORIA

■ L’equivalenza di espressioni logiche DEFINIZIONE

Espressioni logiche equivalenti Due espressioni logiche nelle stesse variabili si dicono equivalenti se hanno uguale la relativa colonna della tavola di verità.

◗ Consideriamo: A: «Monica va al cinema». Otteniamo:

Per esprimere l’equivalenza fra due espressioni logiche usiamo il simbolo .

A: «Monica non va al cine苶 ma».

ESEMPIO

苶 苶 A : «Non è vero che Monica non va al cinema».

Esaminiamo l’espressione (A ∧ B) ∨ A e calcoliamone i valori di verità. A

B

V V F F

V F V F

Nel sito:

∧B) ∨ A A ∧ B (A∧ V F F F

V V F F

I valori scritti nella prima colonna coincidono con quelli della quarta colonna. Possiamo affermare che le due proposizioni A e (A ∧ B) ∨ A sono equivalenti: A ⫽ (A ∧ B) ∨ A.

苶 A è equivalente ad A. 苶 Verificalo con le tavole di verità.

䉴 teoria e 15 esercizi su I circuiti elettrici e i connettivi logici

8. Forme di ragionamento valide ■ I ragionamenti logici Un ragionamento è un insieme di proposizioni che possiamo dividere in due parti: la prima parte contiene le premesse, cioè le proposizioni da considerarsi vere, la seconda parte contiene una o più proposizioni che rappresentano la conclusione. Un ragionamento è valido se ci assicura che da premesse vere giungiamo a una conclusione vera. In questo caso esso prende anche il nome di deduzione logica. Le forme di ragionamento valido sono molte, ma per il momento ne studiamo solo due: il modus ponens e il modus tollens.

■ Il modus ponens Se Alice è colpevole, allora anche Bruno è colpevole; Alice è colpevole, quindi Bruno è colpevole. Questo ragionamento contiene le proposizioni semplici A: «Alice è colpevole»,

B: «Bruno è colpevole»,

e l’implicazione A → B. Le premesse vere sono A → B e A; la conclusione è B.

157

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

◗ Sopra la riga scriviamo la premessa, sotto la riga la conclusione.

A

B

A→B

V V F F

V F V F

V F V V

Lo schema generale del ragionamento, detto modus ponens, è: e si legge: A→B A «Se A → B è vera ed è vera A, allora è vera anche B». B Analizziamo il ragionamento mediante la tavola di verità dell’implicazione. Le due premesse A → B e A sono entrambe vere solo nella prima riga della tavola a lato. In tale riga anche B risulta vera. Pertanto il ragionamento è valido. Poiché le due premesse A → B e A devono essere contemporaneamente vere, possiamo sostituirle con un’unica premessa formata dalla congiunzione delle due, ossia: (A → B) ∧ A.

◗ Si scrive: ⇒. Si legge: «da … si deduce logicamente che …».

Dalla congiunzione delle due premesse, il ragionamento conduce alla deduzione della conclusione. Utilizzando il simbolo ⇒ per indicare la deduzione, possiamo scrivere così il modus ponens: (A → B) ∧ A ⇒ B. Il simbolo ⇒ della deduzione non deve essere confuso con il simbolo → dell’implicazione materiale, in quanto la deduzione indica un ragionamento, mentre l’implicazione materiale è un connettivo.

■ Il modus tollens Esaminiamo il seguente ragionamento. Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti; il triangolo non ha due angoli congruenti, quindi il triangolo non è isoscele. In questo ragionamento sono presenti due proposizioni, A: «Un triangolo è isoscele», B: «Un triangolo ha due angoli congruenti», e l’implicazione A → B. Lo schema generale del ragionamento, detto modus tollens, è: A→B 苶 B 苶 A

oppure

(A → B) ∧ 苶 B⇒A 苶.

Analizziamo anche questo ragionamento con la tavola di verità, aggiungendo le due colonne 苶 BeA 苶. Le due premesse, che devono essere contemporaneamente vere, sono A → B e 苶 B. Solo nell’ultima riga della tavola le due premesse sono vere. In questa riga risulta vera anche A 苶; quindi il ragionamento è valido.

158

A

B

A→B

苶 B

A 苶

V V F F

V F V F

V F V V

F V F V

F F V V

Paragrafo 9. La logica e gli insiemi

TEORIA

9. La logica e gli insiemi ■ Enunciati aperti Consideriamo l’enunciato «x è un numero negativo», in cui x rappresenti un numero intero.

◗ Non è possibile dire se questo enunciato è vero o falso.

La lettera x è una variabile: al suo posto possiamo sostituire un particolare valore, scelto in un determinato insieme universo. Nel nostro esempio, possiamo scegliere come insieme universo Z. DEFINIZIONE

Enunciato aperto Un enunciato contenente almeno una variabile, il cui valore deve essere scelto in un insieme universo, viene chiamato enunciato aperto.

◗ Per semplicità, gli esempi che proporremo contengono una sola variabile.

Indichiamo un enunciato aperto con una lettera dell’alfabeto, seguita dalla variabile scritta fra parentesi, per esempio A(x), B(y ), P(z) ecc. A(x) si legge «A di x» e indica che A varia in funzione di x, in quanto il suo valore di verità ( V o F) dipende dal valore dato alla variabile x. ESEMPIO

B(y): «6 è divisore di y » (con y numero naturale pari); B(y ) è un enunciato aperto, perché contiene la variabile y; l’insieme dei numeri naturali pari è l’insieme universo.

■ Gli insiemi di verità DEFINIZIONE

Insieme di verità Si chiama insieme di verità di un enunciato aperto l’insieme di tutti i valori scelti in un insieme universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano l’enunciato in una proposizione vera.

U

insieme di verità

◗ Non è possibile attribuire un valore di verità a un enunciato aperto. Per rendere possibile tale operazione occorre trasformare tale enunciato in una proposizione, sostituendo alla variabile un elemento scelto nell’insieme universo. Per esempio: B(12): «6 è divisore di 12» è una proposizione con valore di verità V. B(20): «6 è divisore di 20» è una proposizione con valore di verità F.

x

……… vera U = ⺞ 0

I valori che trasformano l’enunciato in una proposizione falsa si trovano nell’insieme complementare rispetto all’universo U. ESEMPIO

P

2 5

Nell’universo N dei naturali consideriamo l’enunciato:

6

1

3 7

4

P(x): «x è un numero primo». L’insieme di verità di P(x) è P  {2, 3, 5, 7, 11, …}.

䉱

Figura 9

159

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

■ I connettivi logici e gli insiemi PROPOSIZIONE

Negazione e complementare U = ⺪ 0 1

P

– P

2

-1

4

3

-2

5 -3

䉱

Dato l’enunciato aperto P (x) in un insieme universo U, l’insieme di verità di 苶 P (x) è il complementare, rispetto a U, dell’insieme di verità di P (x).

Figura 10

Consideriamo U  Z e P(x): «x è positivo», chiamando P il corrispondente insieme di verità (figura 10). La negazione di P(x), (cioè 苶 P(x)), ha come insieme di verità il complementare di P rispetto a U, ossia l’insieme costituito da 0 e dai numeri negativi. ESEMPIO

PROPOSIZIONE

Congiunzione e intersezione Dati gli enunciati aperti A(x) e B (x), con lo stesso universo U, l’insieme di verità di A(x) ∧ B (x) è l’intersezione dei due insiemi di verità di A(x) e di B (x).

U

A

B

A(x) vera

B(x) vera A(x)

A

B 9

5

䉱

1 7

Nell’universo U  N consideriamo gli enunciati aperti: A(x): «x è un numero dispari»; B(x): «x è divisore di 14». L’insieme di verità di A(x) è A  {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}. L’insieme di verità di B(x) è B  {1, 2, 7, 14}. Congiungiamo i due enunciati: A(x) ∧ B(x): «x è dispari e divisore di 14». L’insieme di verità di A(x)∧B(x) è A  B{1, 7}. ESEMPIO

U = ⺞

3

2 14

Figura 11

◗ Prova a scrivere l’insieme di verità di A(x) ∨ B(x) dell’esempio precedente.

PROPOSIZIONE

Disgiunzione e unione Dati gli enunciati aperti A(x) e B (x), con lo stesso universo U, l’insieme di verità di A(x) ∨ B (x) è l’unione dei due insiemi di verità di A(x) e di B(x).

U

A

B

A(x) vera

B(x) vera A(x)

Nel sito:

160

B(x) vera

䉴 teoria e 14 esercizi su I sillogismi

B(x) vera

Paragrafo 10. I quantificatori

TEORIA

10. I quantificatori Esaminiamo nell’universo N l’enunciato aperto: «x è multiplo di 5». Abbiamo già visto che attribuendo a x un valore dell’insieme universo otteniamo una proposizione. Tuttavia possiamo trasformare un enunciato aperto in una proposizione anche in un altro modo. Consideriamo questi esempi: ● ● ● ●

«Esiste almeno un multiplo di 5»; «Esistono infiniti multipli di 5»; «Tutti i numeri sono multipli di 5»; «Non esiste alcun numero multiplo di 5».

Pur non avendo sostituito a x dei valori, siamo passati dall’enunciato aperto alle proposizioni. Le prime due sono vere, le altre due sono false. Le espressioni del tipo «esiste almeno un», «esistono dei», «tutti gli elementi di», «per ogni» si chiamano quantificatori. Utilizzeremo due quantificatori. Quantificatore esistenziale: afferma l’esistenza di almeno un elemento dell’insieme universo che ha la proprietà esaminata si scrive:

x

U

x

U

Figura 12

䉳

Figura 13

si legge: esiste almeno un elemento nell’insieme U o esiste

Quantificatore universale: afferma che ogni elemento dell’insieme universo gode della proprietà esaminata si scrive:

䉳

si legge: per ogni elemento nell’insieme U o per tutti

Un uso corretto dei quantificatori richiede sempre la specificazione dell’insieme universo nel quale la variabile deve assumere i suoi valori. ESEMPIO

Siano A  {1, 2, 3, 4, 6} l’insieme universo e P(x): «x è multiplo di 3». Possiamo trasformare l’enunciato aperto in una proposizione vera: ∃ x 僆 A⏐ x è multiplo di 3. Significato: esiste almeno un elemento x in A che è multiplo di 3. Nell’insieme A ci sono due multipli di 3 (3 e 6); quindi la proposizione è vera. Possiamo trasformare lo stesso enunciato aperto in una proposizione falsa: ∀ x 僆 A, x è multiplo di 3. Significato: comunque scegliamo un elemento in A, esso è multiplo di 3. Basta scegliere in A il numero 2 per vedere che tale proposizione è falsa.

161

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

TEORIA

I gruppi sanguigni …esistono donatori universali? E riceventi universali?

La popolazione mondiale può essere suddivisa, in base ai gruppi sanguigni, nei seguenti insiemi: A+, A–, B+, B–, AB+, AB–, 0+, 0–. Se due persone appartengono a insiemi diversi, prima di procedere a una trasfusione o a un trapianto è indispensabile controllare che siano compatibili i loro gruppi sanguigni, per non mettere in pericolo la salute del ricevente. Per comprendere la compatibilità del sangue, definiamo le caratteristiche di appartenenza a ciascun insieme. Le persone del gruppo A presentano sui globuli rossi l’antìgene A e producono anticorpi contro l’antìgene B (cioè capaci di distruggere i globuli rossi dei gruppi B e AB). Le persone del gruppo B, viceversa, presentano sui globuli rossi l’antìgene B e producono anticorpi contro l’antìgene A (cioè capaci di distruggere i globuli rossi dei gruppi A e AB).

162

Le persone del gruppo AB presentano sui globuli rossi sia l’antìgene A sia l’antìgene B e non producono anticorpi né contro A né contro B. Le persone del gruppo zero non presentano sui globuli rossi né A, né B e producono anticorpi diretti contro entrambi (cioè capaci di distruggere i globuli rossi dei gruppi A, B e AB). Lo scambio di sangue è possibile se e solo se il sangue della persona ricevente contiene gli stessi antìgeni presenti nel sangue del donatore. La condizione vale anche per il fattore Rh: per esempio, una persona Rhpositiva non potrà mai donare il sangue a una persona Rh-negativa. Queste regole ci permettono di stabilire l’insieme dei donatori universali (che possono donare il sangue a tutti, ma possono riceverlo solo dalle persone che appartengono al proprio insieme) e l’insieme dei riceventi universali (che possono ricevere il sangue da tutti, ma possono donarlo solo alle persone del proprio insieme).

●

●

●

P  {x è una persona 冨 x ha sangue in cui è presente l’antìgene A}; Q  {x è una persona 冨 x ha sangue in cui è presente l’antìgene B}; R  {x è una persona 冨 x ha sangue in cui è presente l’antìgene Rh}.

Q

P A

B

AB

U

AB A

B

0 R 0

Si può verificare che i donatori universali sono i soggetti del gruppo complementare all’insieme (P Q R), cioè U(P Q R). Si tratta dell’insieme 0– formato da coloro che sui globuli rossi non hanno né A né B né Rh e possono quindi donare a tutti. Il gruppo dei riceventi universali è invece l’insieme in cui si trovano tutte le sostanze di qualsivoglia donatore, ovvero è dato dall’intersezione di tutti gli insiemi: (P  Q  R), che corrisponde al gruppo AB+. In generale, seguendo gli stessi ragionamenti, è possibile costruire uno schema generale di compatibilità, come quello rappresentato nella tabella seguente. DONATORE

Nel diagramma di EuleroVenn sono rappresentati i seguenti insiemi:

RICEVENTE

Il gruppo sanguigno è una delle caratteristiche, come il colore degli occhi o dei capelli, determinate a livello genetico. Ne esistono otto tipi, distinti in base alla presenza o all’assenza di specifiche sostanze, dette antìgeni, sulla superficie dei globuli rossi. I primi gruppi sono stati identificati nel 1901 dal patologo austriaco Karl Landsteiner e appartengono al cosiddetto sistema AB0, formato da quattro insiemi diversi: il gruppo A, il gruppo B, il gruppo AB e il gruppo zero. Successivamente è stato scoperto anche il fattore Rh, che può essere presente (Rh+) o assente (Rh–), per ogni gruppo del sistema AB0.

–䊳 Il quesito completo a pag. 137

A+ A–

B+

B– AB+ AB– O+ O–

A+

sì

sì

no no no no

sì

sì

A–

no

sì

no no no no no

sì

B+

no no

sì

sì

no no

sì

sì

B–

no no no

sì

no no no

sì

sì

sì

sì

sì

sì

sì

sì

sì

sì

no

sì

no

sì

no

sì

O+

no no no no no no

sì

sì

O–

no no no no no no no

sì

AB+

AB– no

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

Gli insiemi e la logica 1. Che cos’è un insieme Un raggruppamento di oggetti è un insieme matematico se esiste un criterio oggettivo per stabilire univocamente se un oggetto fa parte del raggruppamento oppure no. Se un oggetto a fa parte di un insieme A, si dice che esso è un elemento che appartiene all’insieme e si scrive a僆A. L’insieme vuoto è l’insieme che non ha elementi; si indica con il simbolo .

2. Le rappresentazioni di un insieme Diamo tre tipi di rappresentazione di un insieme: grafica (con i diagrammi di Eulero-Venn), per elencazione, mediante proprietà caratteristica. Rappresentazioni di un insieme A = {0, 1, 2}

A 0

per elencazione 1

ESEMPIO

A  {p, a, n, e}, B  {v, i, n, o} AB  {p, a, n, e, v, i, n, o}, AB  {n}, A ⫺ B ⫽ {p, a, e}. Se B è sottoinsieme di A, il complementare di B rispetto ad A è A ⫺ B e si indica con B 苶A. ESEMPIO

A ⫽ {d, i, t, o}, B ⫽ {i, o} AB ⫽ {p, a, n, e, v, i, n, o}, B苶A ⫽ A ⫺ B ⫽ {d, t}. Il prodotto cartesiano di A e B si indica con A  B ed è costituito da tutte le coppie ordinate (a; b) con a 僆 A e b 僆 B. ESEMPIO A ⫽ {s, t}, B ⫽ {1, 2}

A⫻B ⫽ {(s; 1), (s; 2), (t; 1), (t; 2)}.

2

A = {x  x ∈ ⺞ e 0 ≤ x ≤ 2}

Il prodotto cartesiano non è commutativo.

grafica

proprietà caratteristica

5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme

3. I sottoinsiemi Se tutti gli elementi di un insieme B appartengono anche all’insieme A, B è un sottoinsieme di A (B ⊆ A). Se A è un sottoinsieme di B e B è un sottoinsieme di A, A e B sono insiemi uguali (A  B). Se B ⊆ A e B ⫽ A e B ⫽ ⭋, allora B è un sottoinsieme proprio di A (B ⊂ A). ⭋ e A stesso si chiamano sottoinsiemi impropri di A.

4. Le operazioni con gli insiemi L’intersezione di A e B (A  B) è l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B. L’unione di A e B (A  B) è l’insieme degli elementi che appartengono ad A o a B. Due insiemi sono disgiunti se non hanno elementi in comune. La differenza (A  B) fra A e B è l’insieme formato dagli elementi di A che non sono elementi di B.

L’insieme delle parti di A, ᏼ(A), è l’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A. ESEMPIO A ⫽ {a, b, c}

ᏼ(A) ⫽ {⭋, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}. Una partizione di A è un insieme di sottoinsiemi di A tale che: a) ogni sottoinsieme non è vuoto; b) tutti i sottoinsiemi sono disgiunti fra loro; c) l’unione di tutti i sottoinsiemi è A. ESEMPIO

A ⫽ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B ⫽ {2, 4, 8}, C ⫽ {3, 6}, D ⫽ {5, 7}; l’insieme {B, C, D} è una partizione di A.

163

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

6. Le proposizioni logiche Le proposizioni logiche sono enunciati tali che è possibile stabilire se essi sono veri o falsi, attribuendo loro un valore di verità.

7. I connettivi logici e le espressioni I connettivi logici «e», «o», «non», «o... o...», «se... allora», «se e solo se» legano fra loro due o più proposizioni, formando le proposizioni composte. La negazione, la congiunzione e la disgiunzione di due proposizioni A e B sono definite nella seguente tabella. CONNETTIVO

PROPOSIZIONE

IN SIMBOLI

negazione

non A: vera se A è falsa, falsa se A è vera.

苶 A

congiunzione

A e B: vera se e soltanto se A è vera e B è vera

A∧B

disgiunzione inclusiva

A o B: falsa se e soltanto se A è falsa e B è falsa

A∨B

disgiunzione esclusiva

o A o B: vera se A è vera e B è falsa, o viceversa

A ∨᝽ B

Questa è la tavola di verità di negazione, congiunzione e disgiunzione: A

B

A 苶

V V F F

V F V F

F F V V

⋅B A A∧ ∧B A A∨ ∨B B A A∨ ∨ B V F F F

V V V F

F V V F

Il connettivo implicazione di due proposizioni A e B è definito nella seguente tabella: CONNETTIVO

PROPOSIZIONE

implicazione materiale

se A allora B: falsa soltanto se A è vera e B è falsa

A→B

doppia implicazione

A se e solo se B: vera se A e B sono entrambe vere o entrambe false

A↔B

164

IN SIMBOLI

A

B

V V F F

V F V F

A→B A ↔ B V F V V

V F F V

Componendo più proposizioni (A, B, C, …) con i connettivi logici, si ottengono delle espressioni logiche. Il connettivo non ha priorità rispetto agli altri. Le tautologie sono proposizioni composte sempre vere; le contraddizioni sono proposizioni composte sempre false. ESEMPIO (A ∧ B) → A è una tautologia.

A

B

A∧B

(A ∧ B) → A

V V F F

V F V F

V F F F

V V V V

ESEMPIO A ∧ A 苶 è una contraddizione.

A

A 苶

A∧A 苶

V F

F V

F F

Due espressioni logiche sono equivalenti se hanno uguali tavole di verità.

8. Forme di ragionamento valide Il modus ponens e il modus tollens sono particolari forme di ragionamento valide. A→B A ᎏᎏ Modus ponens (A → B) ∧ A ⇒ B B A→B 苶 B 苶 Modus tollens (A → B) ∧ 苶 B⇒A ᎏᎏ A 苶

9. La logica e gli insiemi Un enunciato aperto è un enunciato che contiene almeno una variabile. Se alla variabile sostituiamo un elemento dell’insieme universo, l’enunciato aperto diventa una proposizione.

Paragrafo 1. Che cos’è un insieme

ESEMPIO L’enunciato aperto A(x): «x è diviso-

re di 12», con universo N, può diventare una proposizione mediante la sostituzione di un valore a x: A(4): «4 è divisore di 12» V; A(5): «5 è divisore di 12» F. Dato un insieme universo, a un enunciato aperto corrisponde un insieme di verità; l’insieme di verità è formato dagli elementi che, sostituiti alla variabile, rendono l’enunciato una proposizione vera. Agli enunciati che otteniamo con i connettivi logici corrispondono gli insiemi di verità che si ottengono con le operazioni fra insiemi. U

A

B

A

B A(x)

B(x) vera

x ∈U A(x): «x è rosso» B(x): «x è tondo» A(x) ∧ B(x): «x è rosso e tondo»

10. I quantificatori Un enunciato aperto diventa una proposizione anche se utilizziamo un quantificatore.

Quantificatore esistenziale: afferma l’esistenza di almeno un elemento dell’insieme universo che ha la proprietà indicata. Simbolo: ∃ (si legge: «esiste almeno un»). Quantificatore universale: afferma che la proprietà indicata è vera per ogni elemento dell’insieme universo. Simbolo: ∀ (si legge: «per ogni»). Un uso corretto dei quantificatori richiede sempre la specificazione dell’insieme universo nel quale la variabile deve assumere i suoi valori. ESEMPIO Sia Q l’insieme universo e P(x):

1 «x⫺2 ⫽ ᎏᎏ». x2 Passiamo alla proposizione: 1 ∃ x 僆 Q 冨 x⫺2 ⫽ ᎏᎏ. x2 Questa proposizione è vera, infatti esiste almeno un numero razionale che soddisfa l’uguaglianza 1 (in particolare, tutti i razionali eccetto x⫺2 ⫽ ᎏᎏ x2 lo 0, se sostituiti a x, verificano l’uguaglianza). Possiamo trasformare lo stesso enunciato aperto in una proposizione falsa: 1 ∀ x 僆 Q, x⫺2 ⫽ ᎏᎏ. x2 Il numero 0, infatti, non soddisfa l’uguaglianza. ESEMPIO Sia N l’insieme universo e P(x): «2x è

un numero pari». Questo enunciato aperto può diventare una proposizione vera: ∀ x 僆 N, 2x è un numero pari.

–䊳

1. Che cos’è un insieme 1

ESERCIZI

Teoria a pag. 137

Indica quali, fra i seguenti, sono insiemi matematici. a) Gli alunni molto alti della tua classe.

d) Le grandi capitali d’Europa.

b) I numeri naturali minori di 11.

e) I numeri pari divisibili per 7.

c) I treni partiti da Roma ieri.

f) I numeri razionali maggiori di 4 e minori di 5.

165

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

2

Quali fra i seguenti insiemi sono finiti? Quali sono vuoti? I numeri naturali compresi tra 2 e 12. Le consonanti della parola «aiuola». I multipli di 4. I numeri razionali compresi tra 1 e 2. I divisori di 12 compresi tra 8 e 10.

a) b) c) d) e) 3

4

VERO O FALSO? Dati gli insiemi A, B e C formati

5

e ∈ A. a ∉ B. x ∈ A. cammello ∉ B. fante ∈ C. cammello ∈ A.

a) 1 ∈ A.

V

F

d) (⫺2) ⭈ (⫺ 1) ∈ C.

V

F

b) 0 ∉ C.

V

F

V

F

c) 2, 4 ∈ B.

V

F

e) 3⭈5 ∈ A. 8 f) ᎏᎏ ∉ B. 4

V

F

COMPLETA con i simboli ∈ e ∉ le seguenti frasi,

in modo da renderle vere, considerando gli insiemi dell’esercizio precedente.

rispettivamente dalle lettere delle parole «cammello», «cavallo» ed «elefante», stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere. a) b) c) d) e) f)

VERO O FALSO? Dati gli insiemi A ⫽ {0, 1, 3, 5}, B ⫽ {2, 4, 6, 8}, C ⫽ {⫺ 2, ⫺ 1, 2, 3}, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere.

a) ⫺ 2 … C 1 7 c) ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ … B 2 2 e) 246 … B

b) 5 … B d) (⫺ 1) ⭈ 2 … C

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

puntini.

V

F

1 1 ⫺ 5 … N; ⫺ ᎏᎏ … Z; ⫺ ᎏᎏ … Q; ⫺ 6 … Z. 8 2

6

f) 3 ⫹ 5 … A

COMPLETA inserendo i simboli ∈ e ∉ al posto dei

2. Le rappresentazioni di un insieme ■ La rappresentazione grafica 7

–䊳

Teoria a pag. 139

8

Rappresenta graficamente gli insiemi A, B e C formati rispettivamente dalle lettere delle parole «rododendro», «giglio», «azalea».

9

Rappresenta graficamente gli insiemi: A ⫽ {2, 4, 6, 8}, B ⫽ {1, 2, 3, 4}, C ⫽ {1, 3, 5, 7}.

COMPLETA U A

B

1 — 2

0 1

2

3

4

2 — 3

3 — 2

4 — 3

3 — 4

8

■ La rappresentazione per elencazione ESERCIZIO GUIDA

冢1 ⫺ ᎏ2ᎏ冣 1

冢ᎏ3ᎏ ⫹ ᎏ3ᎏ冣 ∈ 4

2

3 1 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 2

.......

(4 ⭈ 3 ⫺ 4) ∉

166

B

(2 ⭈ 3 ⫺ 4)

.......

冢4 ⬊ ᎏ3ᎏ冣 ∈

.......

4

B

冢ᎏ2ᎏ ⬊ 2冣

.......

冢

1

.......

.......

.......

冣

A

1 2 ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ ∈ 2 3

B

.......

10 Rappresentiamo per elencazione l’insieme A delle consonanti della parola «libellula». Elenchiamo gli elementi di A fra parentesi graffe, separati da virgole: A ⫽ {b, l}. Ogni consonante ripetuta va considerata una volta sola.

Paragrafo 2. Le rappresentazioni di un insieme

11 Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi. a) I naturali non maggiori di 8. b) I naturali dispari compresi fra 30 e 40. c) I multipli pari di 7 minori di 40. d) I divisori di 42. e) I divisori primi di 42. f) I giorni della settimana che iniziano per «b». g) Le vocali della parola «farfalla». 12 Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi. a) L’insieme A dei numeri del tipo 3n, con n ∈ {0, 2, 4, 6}. b) L’insieme B dei numeri del tipo 2n ⫹ 1, con n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. c) L’insieme C dei numeri del tipo ⫺ 2n, con n ∈ {⫺ 2, ⫺ 1, 0, 1, 2}. 1 d) L’insieme D dei numeri del tipo ᎏᎏ n, 2 con n ∈ {⫺ 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 1 e) L’insieme E dei numeri del tipo ᎏᎏ , n con n ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}. 3n ⫹ 1 f) L’insieme F dei numeri del tipo ᎏᎏ , 3 con n ∈ {⫺ 3, ⫺ 2, ⫺ 1, 1, 2, 3}.

ESERCIZI

Scrivi la rappresentazione mediante la proprietà caratteristica degli insiemi seguenti. 14 a) A ⫽ {martedì, mercoledì}; b) B ⫽ {Nord, Sud, Est, Ovest}; c) C ⫽ {␣, ␤, ␥}; d) D ⫽ {a, e, i, o, u}. 15 a) A ⫽ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; b) B ⫽ {5, 7, 9, 11, 13}; c) C ⫽ {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}; d) D ⫽ {12, 16, 20, 24, 28, 32}. 1 1 1 1 1 1 e) E ⫽ ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ , ᎏᎏ . 2 3 4 5 6 7

冦

冧

16 a) A ⫽ {2, 4, 6, 8, 10, …}; b) B ⫽ {…, ⫺ 3, ⫺ 2, ⫺ 1, 0, ⫹ 1, ⫹ 2, ⫹ 3, …}; c) C ⫽ {…, ⫺ 20, ⫺ 19, ⫺ 18, ⫺ 17, ⫺ 16, ⫺ 15}; d) D ⫽ {9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …}. 17 Fornisci la rappresentazione mediante la proprietà caratteristica dei seguenti insiemi numerici. a) I razionali maggiori di 1000. b) I pari minori o uguali a 16. c) I naturali compresi fra 10 e 30.

■ La rappresentazione mediante la proprietà caratteristica ESERCIZIO GUIDA

13 Scriviamo la rappresentazione mediante la proprietà caratteristica dell’insieme A ⫽ {2, 3, 4, 5, 6}. L’insieme A è formato dai numeri naturali compresi tra 2 e 6. Indichiamo il generico numero naturale con x e scriviamo: A ⫽ {x ∈ N兩2 ⱕ x ⱕ 6}. Possiamo scrivere anche: A ⫽ {x ∈ N兩1 ⬍ x ⬍ 7}.

d) Gli interi negativi. 18 TEST Dato l’insieme A ⫽ {2, 4, 6, 8, 10}, indica la proprietà che caratterizza i suoi elementi: A B C D E

x 兩 x è un numero pari. x 兩 x è un numero pari minore di 10. x 兩 x è un numero pari maggiore di 2. x 兩 x è un numero pari minore di 10 e maggiore di 2. x 兩 x è un numero pari minore o uguale a 10 e maggiore o uguale a 2.

19 È possibile descrivere l’insieme vuoto mediante la proprietà caratteristica?

167

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

■ Dalla proprietà caratteristica alla rappresentazione per elencazione 20 Scrivi la rappresentazione per elencazione dei seguenti insiemi. a) A ⫽ {x兩x è una lettera della parola «avvocato»}; b) B ⫽ {x兩x è una vocale}; c) C ⫽ {x兩x è il nome di un mese che inizia con la lettera «g»}; d) D ⫽ {x兩x è un pianeta del sistema solare}; e) E ⫽ {x兩x è una provincia del Lazio}.

21 Descrivi a parole i seguenti insiemi e danne la rappresentazione per elencazione. a) A ⫽ {x 兩x ∈ N, x ⱕ 9}; b) B ⫽ {x 兩x ∈ D, x ⬎ 30}; c) C ⫽ {x 兩x ∈ P, 11 ⱕ x ⱕ 22}; d) D ⫽ {x 兩x ∈ Z, ⫺ 2 ⬍ x ⬍ 3}. 22 Fai cinque esempi di insiemi di numeri naturali con particolari caratteristiche. Per ognuno di essi fornisci la rappresentazione grafica, la rappresentazione per elencazione e quella mediante la proprietà caratteristica.

23 TEST L’insieme A ⫽ {x 僆 N 兩 3 ⬍ x ⱕ 11 e x è dispari} è rappresentato da: A A ⫽ {5, 7, 9, 11}. D A ⫽ {5, 7, 9}. B A ⫽ {3, 5, 7, 9, 11}. E A ⫽ {4, 5, 7, 9, 11}. C A ⫽ {3, 5, 7, 9}. 24 TEST Dato l’insieme A ⫽ {x 僆 N 兩 5 ⬍ x ⱕ 20}, indica quale tra le seguenti scritture è corretta: A 5 僆 A. B 10 僆 A. C 20  A. D 15  A. E 22 僆 A.

–䊳

3. I sottoinsiemi ■ I sottoinsiemi VERO O FALSO?

25 Dati gli insiemi A, B e C, formati rispettivamente dalle lettere delle parole «podio», «doppio» e «dopo», stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere. a) {d} A.

V

F

f ) C B.

V

F

b) {oppio} B.

V

F

g) A B.

V

F

c) {do, po} C.

V

F

h) B A.

V

F

d) C A.

V

F

i) {pio} A.

V

F

e) B A.

V

F

26 Dato l’insieme A ⫽ {3, 6, 9, 12, 15}, stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere. a) 9 A.

V

F

b) 12 ∈ A.

V

F

168

Teoria a pag. 140

c) {6} ∉ A.

V

F

d) {3, 6} A.

V

F

e) {12} A.

V

F

f ) {369} A.

V

F

g) {x兩x ∈ N, 3 ⱕ x ⱕ 15} A.

V

F

h) {x兩x ∈ N, x ⫽ 3n, n ⫽ 1, 2, 3, 4, 5} A.

V

F

i) {x兩x ∈ D, 3 ⱕ x ⬍ 15} A.

V

F

27 Indica, fra le seguenti affermazioni, quali sono vere e quali false. a) Ogni insieme è sempre sottoinsieme di se stesso.

V

F

b) L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.

V

F

c) Se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, B è un sottoinsieme di A.

V

F

d) Due insiemi con lo stesso numero di elementi sono uguali.

V

F

Paragrafo 3. I sottoinsiemi

28 COMPLETA inserendo correttamente i simboli ∈, ∉, , , , , ⫽ .

ESERCIZI

■ I sottoinsiemi propri e impropri 36 VERO O FALSO? Considera l’insieme A ⫽ {0, 1} e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Considera gli insiemi A ⫽ {x兩x ∈ N兩x è multiplo di 3}, B ⫽ {3, 6, 9, 12, …}, C ⫽ {4, 12}. {9} … A;

9 … C;

B … A;

C … B;

{4} … A;

{12} … C;

15 … A;

C … A.

29 CACCIA ALL’ERRORE Fra le seguenti scritture elimina quelle formalmente scorrette. ⭋ N;

⫺ 5 ∉ N;

P ∈ N;

{6} {12};

4 ∈ Z;

7 N;

6 12;

⭋ ∈ Z.

30 Considera i seguenti insiemi: A ⫽ {SERA}, B ⫽ ⫽ {S, E, R, A}, C ⫽ {A, R, S, E}, D ⫽ {R, E, S, A}, E ⫽ {RESA}. Quali sono uguali tra loro? 31 Scrivi tutti i sottoinsiemi dell’insieme A ⫽ {a, b, c}. 32 Fornisci tre esempi di insiemi formati da persone che hanno una caratteristica comune e, per ognuno, indica almeno un sottoinsieme. 33 Scrivi tre parole le cui lettere formino tre insiemi A, B, C, tali che A B C.

a) b) c) d) e) f) g) h)

⭋ A. ⭋ ⭋. 0 ∈ ⭋. {0} ⫽ ⭋. {0} A. {1} è un sottoinsieme proprio di A. {0, 1} è un sottoinsieme proprio di A. ⭋ {1}.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

37 VERO O FALSO? Sono dati i seguenti insiemi: A ⫽ {x ∈ N兩x ⫽ 3n, con n ∈N e n ⬍ 7}, B ⫽ {3, 6, 7}, C ⫽ {3, 6}. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. a) b) c) d) e)

21 ∈ A. 0 ∉A. B A. C B. C A.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

38 Dati gli insiemi A ⫽ {x兩x ∈ P, 2 ⱕ x ⱕ 10}, B ⫽ ⫽ {x兩x ∈ N, x ⱕ 12}, C ⫽ {x兩x ∈ Z, x ⬎ ⫺ 8}, scrivi cinque sottoinsiemi propri comuni ai tre insiemi. 39 Stabilisci se gli insiemi A, B, C sono sottoinsiemi (propri e impropri) dell’insieme D. a) A ⫽ {x ∈ N 兩x è multiplo di 5}, B ⫽ {x ∈ Z兩x ⱖ ⫺ 1}, C ⫽ {5, 10, 15}, D ⫽ N. b) A ⫽ {x ∈ N 兩4 ⱕ x ⬍ 8}, B ⫽ {x ∈ N兩x 2 ⫽ 5}, C ⫽ {x ∈ N兩3 ⬍ x ⬍ 9}, D ⫽ {x ∈ N兩4 ⱕ x ⱕ 8}.

34 Rappresenta graficamente gli insiemi N, P, D, Z, Q e indica le relazioni di inclusione stretta esistenti fra gli insiemi considerati.

c) A ⫽ {x 兩x è una lettera di «diario»}, B ⫽ {x 兩x è una lettera di «ardore»}, C ⫽ {x 兩x è una lettera di «orda»}, D ⫽ {x 兩x è una lettera di «radio»}.

35 Dati gli insiemi P, T, Q, R, E, I, formati rispettivamente dai poligoni, dai triangoli, dai quadrati, dai rettangoli, dai triangoli equilateri, dai triangoli isosceli, indica le relazioni di inclusione stretta esistenti fra tali insiemi.

40 Scrivi i sottoinsiemi impropri dell’insieme vuoto, dell’insieme A ⫽ {0, 1} e dell’insieme B ⫽ {0}. 41 Scrivi i sottoinsiemi propri dell’insieme vuoto, dell’insieme A ⫽ {1} e dell’insieme B ⫽ {a, b, c}.

169

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

–䊳

4. Le operazioni con gli insiemi ■ L’intersezione e l’unione

Nel sito:

Teoria a pag. 143

䉴 6 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

42 Dati gli insiemi A ⫽ {x ∈ N兩2 ⱕ x ⱕ 8} e B ⫽ {x ∈ N兩x è divisore di 24}, rappresentiamo per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi A  B e A B. Rappresentiamo per elencazione gli insiemi A e B: A ⫽ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; B ⫽ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

●

L’intersezione di A e B è l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. A  B ⫽ {2, 3, 4, 6, 8}.

●

L’unione di A e B è l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A oppure a B. Gli elementi comuni sono considerati una sola volta. A B ⫽ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}.

AB A

AB 1

2

5 7

3

4

8

6

B

5

24

B ⫽ {3, 5, 8, 11}.

1

2

12

Per ogni coppia di insiemi determina l’unione e l’intersezione, rappresentandole mediante un diagramma di Eulero-Venn. 43 A ⫽ {0, 1, 3, 5};

A

7

3

4

8

6

B 12

24

Determina l’intersezione e l’unione dei seguenti insiemi di persone A e B. 47 A ⫽ {x兩x ha statura superiore a 1,40 m}; B ⫽ {x兩x ha statura inferiore a 1,80 m}.

44 A ⫽ {x兩x ∈ N, 1 ⱕ x ⱕ 6}; B ⫽ {x兩x ∈ N, x divisore di 15}.

48 A ⫽ {x兩x ha più di 25 anni}; B ⫽ {x兩x ha meno di 25 anni}.

45 A ⫽ {x兩x ∈ Z, ⫺ 1 ⱕ x ⬍ 4}; B ⫽ {x兩x ∈ D, 1 ⱕ x ⱕ 7}.

49 Dati gli insiemi numerici A ⫽ {x兩x è multiplo di 3} e B ⫽ {x兩x è multiplo di 6}, che insieme è A  B? E A  B?

46 a) A ⫽ {x兩x è una lettera della parola «tegame»}; B ⫽ {x兩x è una lettera della parola «gomito»}. b) A ⫽ {x兩x è una lettera della parola «attesa»}; B ⫽ {x兩x è una lettera della parola «paese»}.

170

50 Se A ⫽ {x兩x è divisore di 8} e B ⫽ {x兩x è divisore di 16}, che insieme è A  B? E A  B? 51 Considera l’insieme A dei rettangoli e l’insieme B dei quadrati. Determina A  B e A  B.

Paragrafo 4. Le operazioni con gli insiemi

52 Fai tre esempi di insiemi A e B tali che A  B ⫽ B. 53 COMPLETA le tabelle considerando gli insiemi A ⫽ {a, b, c}, B ⫽ {a, b}, C ⫽ {a, c}. A

B

A

C

A

A

B

B

C

C

B

C

ESERCIZI

Dati gli insiemi A  {0, 1, a}, B  {1, 2, a, b} e C  {0, 2, 4}, calcola i risultati delle seguenti espressioni. 64 A  B  C 65 A  (B  C ) 66 (A  B)  (A  C ) 67 A  B  C

54 Fai tre esempi di insiemi A e B tali che A  B ⫽ B.

68 (A  B)  (B  C ) 69 (A  B)  (B  C )

55 Determina due insiemi A e B tali che

70 Sistema negli insiemi A, B e C della figura gli elementi a, b, c, d, e, f in modo tale che siano vere contemporaneamente le seguenti condizioni.

A  B ⫽ {1, 3, 5, 7, 9} e A  B ⫽ {5, 7}. Puoi trovare più coppie di insiemi valide? 56 Ricopia più volte sul quaderno la figura e colora i seguenti insiemi: A  B; B  C; (B  C)  A;

A  B ⫽ {a, b, c, d, f}; A  B ⫽ {a}; A  C ⫽ {c, d}; A  C ⫽ {a, b, c, d, e}. A

B

A  (B  C); (A  C)  B; (A  B)  (B  C). C

A

C B

57 Dati gli insiemi A ⫽ {0, 1, 2, 3}, B ⫽ {1, 3, 7} e C ⫽ {0, 1, 2, 8}, rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi: (A  C)  B; A  B  C; (B  C)  A;

71 Un’indagine di mercato compiuta su 90 famiglie ha evidenziato che 59 possiedono il robot da cucina, 80 hanno il forno a microonde o il robot da cucina e 24 possiedono entrambi gli elettrodomestici. Quante famiglie hanno solo il robot e quante solo il forno? Quante non possiedono nessuno di questi elettrodomestici? [35; 21; 10]

(A  B)  (A  C). Dati gli insiemi A  {1, 2, 3, 4, 5}, B  {3, 4, 5, 6, 7}, C  {2, 4, 6, 8}, calcola i risultati delle seguenti espressioni. 58 (A  B)  C

61 (A  B)  C

59 A  (B  C )

62 (A  B)  C

60 A  (B  C )

63 (A  B)  C

72 In una classe di 28 studenti, si vota per decidere dove andare in gita. Le città candidate sono tre: Roma, Vienna e Parigi. Nella scheda di valutazione si può esprimere anche più di una preferenza. Allo spoglio dei voti si raccolgono i seguenti dati: 5 persone hanno votato tutte e tre le città, 4 persone hanno votato solo Roma, 3 solo Vienna e 2 solo Parigi; 1 ha votato solo per Roma e Vienna e 3 hanno votato solo per Roma e Parigi. Calcola quanti hanno votato solo per Vienna e Parigi. Quale città ha raccolto più voti? [10; Parigi]

171

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

73 Dati gli insiemi A ⫽ {x 冷 x 僆 N e x è divisore di 24} e B ⫽ {x 冷 x 僆 N e 2 ⬍ x ⱕ 12}, determina A  B e A  B per elencazione. 74 Dati gli insiemi A ⫽ {x 冷 x 僆 Z e ⫺ 2 ⱕ x ⱕ 2} e B ⫽ {x 冷 x 僆 N e x ⬍ 5}, determina A  B e A  B per elencazione e mediante l’opportuno diagramma di Eulero-Venn. COMPLETA determinando, mediante un’espressione con l’unione e l’intersezione fra insiemi, la parte colorata

in ognuno dei diagrammi delle figure seguenti. 75

B

A A

……………………………………………

……………………………………………

C

…………………………………………… A

A

76

B

A

B

D

B

B

C

……………………………………………

77

B

A

…………………………………………… A

C

……………………………………………

B

C

……………………………………………

C

……………………………………………

A

B

C

……………………………………………

78 VERO O FALSO? a) Per ogni coppia di insiemi A e B, si ha: (A  B)  ⭋ ⫽ A  B

V

F

b) Per ogni coppia di insiemi A e B, si ha: (A  B)  ⭋ ⫽ ⭋

V

F

A

c)

(A

B)

d) Sono dati: A ⫽ {x兩x è multiplo di 2}; B ⫽ {x兩x è multiplo di 3}. Si ha: A  B ⫽ {x兩x è multiplo di 2 o di 3}.

C

V

F

V

F

V

F

e) Sono dati: A ⫽ {x兩x è divisore di 12}; B ⫽ {x兩x è divisore di 20}.

B C

172

Si ha: A  B ⫽ {1, 2}.

Paragrafo 4. Le operazioni con gli insiemi

ESERCIZI

79 VERO O FALSO? a) Sono dati:

d) Sono dati:

A ⫽ {0, 1, 2}; B ⫽ {0, 3}; C ⫽ {0, 2, 4}.

A ⫽ {x兩x è un triangolo rettangolo};

Si ha: A  B  C ⫽ {0}.

V

F

B ⫽ {x兩x è un triangolo isoscele}. Si ha: A  B ⫽ {x兩x è un triangolo scaleno}.

b) Sono dati: A ⫽ {1}; B ⫽ {2}; C ⫽ {1, 3}. Si ha: A  B  C ⫽ C.

V

F

F

V

F

e) Sono dati: A ⫽ {x兩x è un quadrilatero};

c) Sono dati:

B ⫽ {x兩x ha tutti gli angoli congruenti}.

A ⫽ {2, 4, 9}; B ⫽ {7}; C ⫽ {2, 7}. Si ha: A  B  C ⫽ {2, 7}.

V

V

F

Si ha: A  B ⫽ {x兩x è un quadrato}.

■ Le proprietà dell’intersezione e dell’unione ESERCIZIO GUIDA

80 Verifichiamo la proprietà associativa dell’intersezione con i seguenti insiemi: A ⫽ {1, 2, 3, 4, 5}; B ⫽ {1, 5, 7, 9, 11 }; C ⫽ {3, 5, 7, 10, 12}. L’uguaglianza da verificare è: (A  B)  C ⫽ A  (B  C ). Eseguiamo le operazioni al primo membro e quelle al secondo membro dell’uguaglianza in due colonne separate: (A  B)  C ⫽

A  (B  C) ⫽

⫽ {1, 5}  C ⫽

⫽ A  {5, 7} ⫽

⫽ {5}.

⫽ {5}.

I due membri forniscono lo stesso risultato; quindi l’uguaglianza è verificata.

81 Servendoti degli insiemi dell’esercizio guida, verifica le seguenti proprietà delle operazioni. a) Commutativa dell’intersezione. b) Associativa dell’unione. c) Distributiva dell’unione rispetto all’intersezione. Considera tre insiemi qualsiasi A, B, C e utilizza i diagrammi di Eulero-Venn per verificare la seguente proprietà.

COMPLETA le seguenti espressioni, tenendo presente che A e B sono insiemi generici. Se necessario, aiutati con un diagramma di Eulero-Venn.

84 A  A ⫽ …… A  A ⫽ …… A  ⭋ ⫽ …… A  ⭋ ⫽ …… 85 Se B A, allora: A  B ⫽ ……,

82 Proprietà associativa dell’unione.

A  B ⫽ ……,

83 Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione.

A  (A  B) ⫽ ……, A  (A  B) ⫽ …….

173

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

Calcola il risultato delle seguenti espressioni con A e B insiemi generici.

Dato B A, con A e B insiemi generici, calcola il risultato delle seguenti espressioni.

86 A  (A  A);

A  (A  ⭋).

89 (A  B)  A;

87 (A  B)  A ;

(A  B)  ⭋.

90 [(A  ⭋)  (A  B)]  A.

88 (A  A)  ⭋;

(A  B)  (A  ⭋).

91 [(A  B)  (A  ⭋)]  A.

(A  B)  B.

■ La differenza tra due insiemi ESERCIZIO GUIDA

92 Dati i due insiemi: A ⫽ {x兩x ∈P e x ⱕ 8}

e B ⫽ {x兩x ∈N e 0 ⱕ x ⱕ 4},

determiniamo i due insiemi differenza A ⫺ B e B ⫺ A. Poiché A e B hanno pochi elementi, è conveniente elencarli: A ⫽ {0, 2, 4, 6, 8}; B ⫽ {0, 1, 2, 3, 4}. A ⫺ B è l’insieme formato dagli elementi di A che non sono elementi di B, dobbiamo cioè togliere fra gli elementi di A quelli che sono presenti anche in B: A ⫺ B ⫽ {6, 8}. Analogamente: B ⫺ A ⫽ {1, 3}. 93 Dati i due insiemi

96 Dati gli insiemi A, B, C, formati rispettivamente dalle lettere delle parole «colore», «sapore», «odore», determina la differenza fra tutte le possibili coppie di insiemi.

A ⫽ {x兩x ∈ Z e 兩x兩 ∈ D e 兩x兩 ⱕ 3}, B ⫽ {x兩x ∈ Z e ⫺ 4 ⱕ x ⱕ 1}, determina i due insiemi differenza A ⫺ B e B ⫺ A. 94 Dati A ⫽ {x兩x è residente in Veneto} e B ⫽ {x兩x è residente a Venezia}, determina A ⫺ B e B ⫺ A. 95 Nel diagramma della figura indica mediante una operazione ognuno degli insiemi colorati (parti che hanno lo stesso colore costituiscono un unico insieme). A B

C

97 Determina A e B in modo che: A  B ⫽ {a, b, c, d, e, f, g, h}, A  B ⫽ {e, g}, A ⫺ B ⫽ {a, d, h, b}, B ⫺ A ⫽ {c, f}. Le informazioni fornite sono eccessive. Quante ne bastano? 98 Fornisci tre esempi del fatto che per la differenza fra insiemi non vale la proprietà commutativa. 99 Dati gli insiemi di numeri naturali A ⫽ {x兩x ⬍ 50}, B ⫽ {x兩 20 ⱕ x ⱕ 60}, C ⫽ {x兩 40 ⱕ x ⱕ 80}, determina A ⫺ (B ⫺ C ) e (A ⫺ B) ⫺ C.

174

Paragrafo 4. Le operazioni con gli insiemi

100 Ricopia più volte il diagramma della figura e colora gli insiemi elencati, indicando per ognuno l’operazione con cui si ottengono a partire dagli insiemi A, B, C. Considera l’insieme delle persone che praticano: a) il tennis e il nuoto; b) il calcio o il tennis;

ESERCIZI

101 Modifica il diagramma della figura precedente in modo da rappresentare la situazione in cui nessuno pratica tutti e tre gli sport e tutti coloro che giocano a calcio praticano anche il tennis.

■ L’insieme complementare e l’insieme universo Determina il complementare dei seguenti insiemi rispetto all’insieme U indicato.

c) il tennis ma non il nuoto; d) il calcio o il tennis, ma non entrambi; e) nessuno dei tre sport. Modifica poi il diagramma della figura in modo da rappresentare la situazione in cui nessuno pratica tutti e tre gli sport e tutti coloro che giocano a calcio praticano anche il nuoto. Persone che praticano... A

B

102 U ⫽ {x兩x è una lettera dell’alfabeto}; A ⫽ {x兩x è una vocale}. 103 U ⫽ {x兩x è un punto della superficie terrestre}; A ⫽ {x兩x è un punto delle terre emerse}. 104 U ⫽ {x兩x ∈ N e x è divisibile per 5}; A ⫽ {x兩x ∈ N e x ha come ultima cifra 5}. 105 U ⫽ {x兩x è un punto della retta che passa per i punti P e Q}; A ⫽ {x兩x è un punto della semiretta che ha origine P e passa per Q}. Descrivi ogni situazione con un diagramma, facendo riferimento a un insieme universo U.

...il nuoto

...il tennis C

...il calcio Nel sito:

106 B A苶; A苶 B. 107 A B苶; B苶 A.

䉴 13 esercizi in più su Insiemi e problemi

■ Il prodotto cartesiano

Nel sito:

䉴 6 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

108 Dati gli insiemi A ⫽ {x兩 x ∈ N, 1 ⬍ x ⱕ 4} e B ⫽ {x兩x ∈P, 5 ⬍ x ⬍ 10}, rappresentiamo il prodotto A ⫻ B per elencazione e con un diagramma cartesiano. Rappresentiamo A e B per elencazione. A ⫽ {2, 3, 4},

B ⫽ {6, 8}.

Il prodotto cartesiano A ⫻ B è l’insieme di tutte le coppie ordinate che hanno il primo elemento in A e il secondo in B: A ⫻ B ⫽ {(2; 6), (2; 8), (3; 6), (3; 8), (4; 6), (4; 8)}.

B 8 6

(2; 8)

(3; 8)

(4; 8)

(2; 6)

(3; 6)

(4; 6)

2

3

4

A

175

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

Per ogni coppia di insiemi A e B, scrivi la rappresentazione per elencazione di A  B e disegnane la rappresentazione cartesiana.

125 A ⫽ {x, y};

B ⫽ {x, y, 3}.

126 A ⫽ {a, b, c};

B ⫽ {1, 2, a}.

109 A ⫽ {a, b};

B ⫽ {4, 6}.

110 A ⫽ {0, 1, 2};

B ⫽ {3, 4}.

Dati A  {a, b, c}, B  {b, c}, C  {c}, calcola i risultati delle seguenti espressioni.

111 A ⫽ {x, y, z};

B ⫽ {0, 1}.

127 (A ⫺ B) ⫻ C;

112 A ⫽ {a, b, c, d};

B ⫽ {2}.

113 A ⫽ {Sara, Lia};

B ⫽ {Luca, Andrea, Paolo}.

(A ⫺ C ) ⫻ B.

128 (A ⫺ C ) ⫻ (B ⫺ C ); (A ⫻ B)  (B ⫻ C ).

114 A ⫽ {x兩x ∈ N, 4 ⱕ x ⬍ 7};

129 (A ⫻ B) ⫺ (B ⫻ C ); (A ⫻ C ) ⫺ (B ⫻ C ). 130 (A ⫻ C )  (B ⫻ C );

B ⫽ {x兩x ∈ D, 2 ⬍ x ⬍ 6}.

(A ⫺ C ) ⫻ (B ⫺ C )  (A ⫻ B).

115 A ⫽ {x兩x ∈ Z,⫺ 1 ⱕ x ⱕ 3};

131 C ⫻ (A  B);

B ⫽ {x兩x ∈ N, 3 ⬍ x ⬍ 6}. 116 A ⫽ {Milan, Inter, Reggina};

(B ⫻ C)  (A ⫻ C).

Ripeti gli esercizi precedenti con le seguenti terne di insiemi.

B ⫽ {Roma, Lazio, Juventus}. 117 Dei precedenti insiemi (esercizi da 109 a 116) rappresenta per elencazione il prodotto B ⫻ A e disegnane la rappresentazione cartesiana.

132 A ⫽ {⫺ 1, 0, 1};

B ⫽ {⫺ 1};

C ⫽ {0, 1}.

133 A ⫽ {a, b, c};

B ⫽ {1};

C ⫽ {2, 3}.

Per ogni coppia di insiemi A e B, nei seguenti esercizi determina A  B, B  A e (A  B)  (B  A).

134 A ⫽ {1, 2, 3};

B ⫽ {3};

C ⫽ {2, 3}.

118 A ⫽ {2, 4, 6};

B ⫽ {⫺ 2, ⫺ 1, 0}.

119 A ⫽ {a, b};

B ⫽ {1, 2, 3}.

120 A ⫽ {1, 3, 5};

B ⫽ {a, b, c, d}.

135 VERO O FALSO? Dati gli insiemi A ⫽ {a, b, c}, B ⫽ {1, a}, C ⫽ {2, 3},

Per ognuno dei seguenti insiemi determina il prodotto cartesiano dell’insieme per se stesso (per esempio, per l’insieme A determina A  A) e disegnane la rappresentazione cartesiana. 121 A ⫽ {1};

B ⫽ ⭋;

C ⫽ {a}.

122 D ⫽ {2, 4};

E ⫽ {1, 3};

F ⫽ {x, y, z}.

123 G ⫽ {⫺ 2, 2, 4};

H ⫽ {0, 6, 7, 8}.

Per ognuna delle seguenti coppie di insiemi determina A  A; A  B; B  A; B  B e disegnane la rappresentazione cartesiana. 124 A ⫽ {2, 4};

176

B ⫽ {1, a}.

fra le seguenti uguaglianze indica quelle vere e quelle false. a) (A  B) ⫻ C ⫽ (A ⫻ C)  (B ⫻ C)

V

F

b) A ⫻ (B  C ) ⫽ (A ⫻ B)  (A ⫻ C)

V

F

c) (A ⫺ B) ⫻ C ⫽ (B ⫺ A) ⫻ C

V

F

d) (A ⫺ B) ⫻ C ⫽ (A ⫻ C) ⫺ (B ⫻ C )

V

F

Dati i seguenti prodotti cartesiani, scrivi gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B. 136 A ⫻ B ⫽ {(✰; ❍), (✰; ◆), (♥; ❍), (♥; ◆)} 137 A ⫻ B ⫽ {(r; t), (e; r), (r; e), (e; t), (r; r), (e; e)} 138 B ⫻ A ⫽ {(1; a), (2; a), (1; b), (2; b)} 139 A ⫻ B ⫽ {(⫹; a), (⫹; b), (⫹; c), (⫺; a), (⫺; b), (⫺; c)}

Paragrafo 5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme

–䊳

5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme ■ L’insieme delle parti 140 Fai tre esempi di insiemi che hanno come elementi degli insiemi. 141 TEST Dato l’insieme A ⫽ {1, 2, 3}, quale fra i seguenti insiemi non fa parte di ᏼ(A)? A B C D E

⭋ {0} {1} {2} {3}

B C D E

Teoria a pag. 149

150 Se A ⫽ {x ∈ Z 兩⫺ 1 ⱕ x ⱕ 4}, quanti elementi ha l’insieme delle parti di A? [64] 151 Quanti sottoinsiemi ha l’insieme delle vocali della parola «guanto»? [8]

■ La partizione di un insieme 152 Determina una partizione di {x兩x ∈ N e 10 ⬍ x ⱕ 20}. 153 Determina una partizione di

142 TEST Se B è un insieme formato da n elementi, il suo insieme delle parti ᏼ(B) ha il seguente numero di elementi: A

ESERCIZI

2n. n2. 2n. n ⫹ 1. n ⫹ 2.

{x兩x ∈ Z e ⫺ 10 ⱕ x ⱕ 10}. 154 Se A è l’insieme delle lettere di una parola, l’insieme delle sillabe della parola costituisce una partizione di A? 155 Fai un esempio di partizione dell’insieme dei tuoi libri. 156 Fai un esempio di partizione dei fiumi italiani.

Per ognuno dei seguenti insiemi determina l’insieme delle parti.

157 Determina due partizioni dell’insieme di tutti i triangoli.

143 A ⫽ {1};

B ⫽ {0};

158 Dati gli insiemi della figura, indica una partizione di U mediante:

144 D ⫽ {⫺ 1, 0, 1};

E ⫽ {1, a, b, 2}; ⭋.

C ⫽ {a, b}.

145 Dato A ⫽ {x兩x ∈ D e x è un divisore di 18}, determina l’insieme delle parti di A. 146 Indica alcuni elementi dell’insieme delle parti di N.

a) quattro insiemi che si ottengono dagli insiemi di partenza con una o più operazioni; b) tre insiemi, ottenuti come nel punto a). U A

B

3 147 ᎏᎏ è un elemento dell’insieme delle parti di Q? 4 148 {0} è un elemento dell’insieme delle parti di Z? 149 Se A ⫽ {x兩x è residente a Firenze}, l’insieme di tutti gli insiemi i cui elementi sono persone residenti a Firenze è ᏼ(A)?

159 Se suddividi l’insieme delle motociclette circolanti in Italia a seconda della cilindrata, ottieni una partizione dell’insieme? Prova a fornire un esempio di una partizione dell’insieme considerato.

177

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. 150

6. Le proposizioni logiche Indica con una crocetta quali fra le seguenti frasi sono proposizioni logiche. 160 a) «W il Milan!» b) «Per favore, sedetevi». c) «Gli insegnanti della mia classe sono maschi». d) «La matematica è facile». e) «Non è vero che 2 ⫹ 2 fa 5». f) «Alcuni miei compagni vanno in vacanza a Taormina». g) «Quanto mi piace il dolce alle mandorle!» h) «Tutti gli insegnanti sono maschi». 161 a) «Sofia è alta 1,67 m». b) «Il rombo è una figura strana». c) «Questo bambino pesa poco». d) «Il rombo è un particolare parallelogramma». e) «Ciao!» f) «Questo bambino pesa 4,5 kg». g) «Giovanni è veloce nei calcoli». h) «4 è un numero dispari».

■ Valori di verità 162 Riscrivi sul quaderno solo le proposizioni logiche dell’esercizio precedente; poi attribuisci a ciascuna il suo valore di verità, scrivendo di fianco V se è vera, F se è falsa. 163 Attribuisci il valore di verità alle seguenti proposizioni. «Il numero 2 è l’unico divisore di 6». «Ogni trapezio è isoscele oppure rettangolo». «La Terra è un pianeta». «Marte non è un pianeta». «L’uguaglianza x ⫹ 2 ⫽ 0 è sempre verificata in N». f) «L’uguaglianza 2x ⫽ 0 non è mai verificata in N». 1 g) «L’uguaglianza ᎏᎏ ⫽ 1 non è mai verificata in x N». h) «L’uguaglianza x ⫹ 3 ⫽ 0 può essere verificata in Z». i) «Il minimo comune multiplo di due numeri pari è un numero pari». l) «La somma di due numeri dispari è un numero pari». m) «La somma di due interi discordi è sempre un intero negativo». a) b) c) d) e)

7. I connettivi logici e le espressioni

–䊳 Teoria a pag. 151

■ Proposizioni composte 164 Nelle seguenti proposizioni composte indica le proposizioni elementari e i connettivi che le legano. Tieni presente che le proposizioni possono essere unite da: «e», «o», «se... allora...». a) «Un triangolo avente due lati congruenti è isoscele oppure equilatero».

f) «Torino e Milano sono due capoluoghi di provincia».

b) «Il gatto è un mammifero e il topo è un roditore».

g) «Bologna è capoluogo dell’Emilia-Romagna e Firenze della Toscana».

c) «Se passi a prendermi, allora andiamo a passeggio insieme».

h) «Il cane è un mammifero o un quadrupede».

d) «O studi o vai a lavorare».

l) «Dante ha scritto la Divina Commedia ed è sepolto a Ravenna».

e) «Nel pomeriggio studio e ascolto musica».

178

i) «Se vengono i ladri, viene attivato l’allarme».

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

ESERCIZI

■ La negazione: non 165 Date le seguenti proposizioni, scrivi quali sono le eventuali coppie formate da una proposizione e dalla sua negazione.

166 Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni.

A: «Vedo nero». B: «Non vado al mare». C: «Non devi passare col semaforo rosso». D: «Ci si deve fermare col semaforo giallo». E: «Vedo bianco». F: «Non è vero che non vado al mare». G: «Si deve passare col semaforo verde». H: «Non vedo nero». I: «Vado in montagna». L: «Si deve passare col semaforo rosso». M: «Vado in vacanza». N: «Non si deve passare a nessun semaforo».

A: «10 è multiplo di 5». B: «Ieri non ho studiato». C: «Sai che non ho studiato». D: «Non uso la bicicletta». E: «Al cinema vado tutte le domeniche». F: «Non è vero che non ho giocato a carte». G: «Non è vero che sono entrati i ladri». H: «Non ho detto niente a mio padre». I: «Non ho ricevuto alcun regalo». L: «Non ho regalato nessun cane». M:«Oggi è sorto il sole». N: «Faccio tutti i compiti per non essere bocciato». O: «Le api non si posano su fiori che non profumano».

■ La congiunzione: e Dalle parole ai simboli e viceversa ESERCIZIO GUIDA

167 È data la proposizione composta: «Otto è il mio gatto e ha sette anni». Indichiamo ogni proposizione componente con una variabile e riscriviamo in forma simbolica la proposizione composta. Le proposizioni componenti sono: A: «Otto è il mio gatto»; B: «Otto ha sette anni». Riscriviamo la proposizione composta in forma simbolica: A ∧ B. 168 Date le seguenti proposizioni composte, indica ogni proposizione componente con una variabile e riscrivi la proposizione composta in forma simbolica. a) «D’estate lavoro e coi guadagni mi compro il motorino». b) «Mara suona e canta». c) «Marco canta e non balla». d) «Rosa e Gianni sono sposati e Luisa e Matteo non sono sposati». e) «100 è il risultato dell’operazione 80 ⫹ 2 ed è un quadrato perfetto». f) «Il quadrato è un rettangolo e un rombo». g) «Un triangolo equilatero è isoscele e rettangolo e scaleno».

179

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

169 Dati gli enunciati A e B, esprimi a parole le proposizioni indicate in forma simbolica. A: «Vado in palestra», B: «Esco con Luca», C: «Vado a comprare un paio di jeans». 苶苶∧ 苶苶B 苶; A ∧ C; A ∧ B; 苶 A ∧ C; A 苶 C ∧ B; (A ∧ B) ∧ C 苶; A 苶∧苶 B; B ∧ C. ESERCIZIO GUIDA

170 Date le tre proposizioni A: «3 è un numero primo»,

B: «3 è divisore di 11»,

C: «2 è un numero dispari»,

attribuiamo a ciascuna il suo valore di verità, poi stabiliamo il valore di verità delle seguenti proposizioni composte: A ∧ B;

A苶 ∧ B苶;

A ∧ C苶.

A è vera, B e C sono false. Attribuiamo alle proposizioni composte il loro valore di verità, costruendo la tavola di verità relativa. A

B

C

A∧B

៮A

៮B

៮A∧ ៮B

៮C

A ∧ ៮C

V

F

F

F

F

V

F

V

V

Date le proposizioni A: «30 è minore di 10», B: «30 è maggiore di 10», C: «30 è multiplo di 5», D: «30 è numero dispari», E: «30 è multiplo di 60», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ognuna il valore di verità.

■ La disgiunzione inclusiva: o 175 Date le seguenti proposizioni composte, indica ogni proposizione componente con una variabile e riscrivi la proposizione composta in forma simbolica. (Vedi esercizio guida 167.) a) «È nuvoloso o piove». b) «Vado al bowling con Mario o con Andrea».

171 A ∧ B;

A ∧ C;

D ∧ E;

A苶 ∧ B;

A 苶 ∧ B苶.

c) «Nelle prossime vacanze andrò in montagna o al lago».

172 A ∧ E;

B ∧ C;

C ∧ D;

C苶 ∧ D;

D ∧ E苶.

d) «Luisa lava i piatti o fa scorrere l’acqua calda o aggiunge detersivo nel lavandino».

Date le proposizioni A: «Roma è capitale d’Italia», B: «Milano è in Veneto», C: «La Sardegna è un’isola», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ognuna il valore di verità. 173 A ∧ C;

B苶 ∧ C;

C苶 ∧ A苶.

B; 174 A 苶苶∧ 苶苶苶

A苶 ∧ B;

A ∧ B苶;

180

e) «Non leggo quella pagina o la strappo o la brucio». f) «Leggo o mangio una mela o tengo in mano una penna». g) «7 è un numero primo o è pari». h) «Non esco o cucino o faccio una doccia». i) «Marco va a correre o in piscina o in palestra».

A苶 ∧ B苶.

l) «Aspetto Laura o prendo l’autobus o non vado alla festa».

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

176 Date le proposizioni A: «Oggi fa caldo», B: «Oggi vado al mare», traduci in simboli le seguenti proposizioni composte.

ESERCIZI

182 A: «Il quadrato è un parallelogramma»; B: «Il quadrato è un rettangolo»; C: «Il quadrato è un trapezio».

a) «Oggi fa caldo e vado al mare». b) «Oggi non fa caldo e vado al mare». c) «Oggi non fa caldo e non vado al mare». d) «Oggi fa caldo o vado al mare».

A ∨ B ∨ C;

A ∧ B ∧ C;

A ∨ C苶 ∨ B;

A 苶苶∧ 苶苶苶 B ∧ C;

A 苶 ∧ B ∧ C苶;

A 苶 ∨ B ∧ C苶;

A ∧ B苶 ∧ C苶;

A 苶 ∨ B ∨ C苶.

e) «Oggi non fa caldo o vado al mare». f) «Oggi non fa caldo o non vado al mare». 177 Date le proposizioni A: «C’è il sole», B: «Piove», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte. A 苶 ∨ B;

A ∨ B;

A ∧ B;

A ∨ B苶;

苶 ∨ B苶; A

A∨ 苶 B;

A 苶 ∧ B苶.

A 苶 ∧ B;

A ∨ B;

A ∨ C;

A ∨ E;

B ∨ C;

C ∧ D;

D ∨ E;

苶 ∨ B; A

A 苶∧B 苶;

C 苶 ∨ D;

D ∨ E苶.

Nei seguenti esercizi, dopo aver attribuito il valore di verità alle proposizioni semplici, attribuisci il corrispondente valore di verità alle proposizioni composte indicate. 179 A: «3 è un numero primo»; B: «3 è divisore di 11»; 苶; A∨C

b) «O mi aiuti o te ne vai». c) «Nelle prossime vacanze o andrò in montagna o farò un viaggio a Parigi». d) «O accendi la stufa a legna o farà un gran freddo». e) «Non so se andare a teatro o al cinema». f) «O la borsa o la vita». g) «O c’è il sole o non esco». 184 Date le proposizioni A: «Non studio», B: «Vado in discoteca», C: «Vado al cinema», D: «Esco con le amiche»,

C: «2 è un numero dispari». A ∧ B;

183 Date le seguenti proposizioni composte, indica ogni proposizione componente con una variabile e riscrivi la proposizione composta in forma simbolica. a) «O studi o sarai bocciato».

178 Date le proposizioni A: «100 è un numero pari», B: «100 è un numero primo», C: «100 è multiplo di 5», D: «100 è maggiore di 300», E: «100 è divisore di 200», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ognuna il valore di verità. (Vedi esercizio guida 170.)

A ∨ B;

■ La disgiunzione esclusiva: o… o…

A 苶苶∧ 苶苶苶 B;

A 苶 ∧ B ∧ C苶.

180 A: «6 è il doppio di 3»; B: «4 è pari»;

scrivi in forma simbolica le seguenti proposizioni composte: «O studio o vado al cinema».

C: «M.C.D. (3, 5) ⫽ 1».

«O vado al cinema o esco con le amiche».

苶 ∨ C苶; A 苶 ∨ B ∧ C苶; A ∨ B ∨ C苶; A 苶 ∨ B ∧ C苶; A

«O vado in discoteca o non vado al cinema».

A 苶 ∧ B ∨ C苶.

«O non esco con le amiche o studio». «O non studio o non esco con le amiche».

181 A: «5 è multiplo di 3»; B: «m.c.m. (2, 4) ⫽ 2»; C: «M.C.D. (3, 5) ⫽ 15».

苶苶苶∧ 苶苶苶 B; A

A 苶 ∨ B ∧ C苶;

A 苶 ∨ C苶 ∧ B;

A ∨ B ∧ C苶;

A ∨ B ∨ C苶;

A 苶 ∧ B ∨ C苶.

185 Date le proposizioni A: «Lavoro», B: «Non guadagno», C: «Mi diverto», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte. A ∨᝽ B;

A ∨᝽ C;

B ∨᝽ C;

B 苶 ∨᝽ C苶;

A苶 ∨᝽ B苶.

181

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

186 Date le proposizioni A: «Il pentagono è un poligono», B: «Il Pentagono è la sede del ministero della Difesa degli Stati Uniti», C: «Il pentagono è un parallelogramma», D: «Il pentagono ha cinque lati», E: «Il pentagono ha i lati congruenti», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valore di verità. A ∨᝽ B;

A ∨᝽ C; A ∨᝽ D; D ∨᝽ E; C ∨᝽ B ;

A 苶 ∨᝽ D;

B ∨᝽ C苶; D ∨᝽ E苶; C苶 ∨᝽ D; A 苶 ∨᝽ D 苶.

Dopo aver attribuito il valore di verità alle proposizioni A: «7 non è un numero pari», B: «7 è un numero primo», C: «7 è un numero dispari», attribuisci il valore di verità alle proposizioni composte indicate. 187 A ∨᝽ B;

A ∨᝽ C;

B ∨᝽ C.

A∨᝽ C 苶; 188 苶

A ∨᝽ (B 苶 ∨ C);

(A 苶 ∨᝽ B 苶 ) ∧ C.

189 A ∧ (B ∨᝽ C);

(A ∨ B) ∨᝽ C;

(A ∨᝽ B 苶; 苶) ∨ C

(A ∨᝽ B) ∨᝽ C.

Come negli esercizi precedenti, ma con le proposizioni: A: «4 è la metà di 10»; B: «4 è divisore di 10»; C: «m.c.m. (4, 10)  2». 190 A ∨᝽ B苶;

A 苶 ∨᝽ C;

B ∨᝽ C 苶.

苶 ∨᝽ C苶; 191 A

苶苶∨ 苶᝽苶 苶C 苶苶 ; A

A苶 ∨᝽ C;

192 A ∧ (B ∨᝽ C); (A ∧ B) ∨᝽ C;

苶苶 A ∨᝽ 苶 C.

(A ∧ B) ∨᝽ (A ∧ C).

■ L’implicazione materiale 193 Date le proposizioni A: «Pippo sta a casa», B: «Pippo passa col semaforo rosso», C: «Paperino è vestito a festa», D: «Paperino sgrida i tre nipotini», E: «Qui, Quo, Qua sono Giovani Marmotte», F: «Qui, Quo, Qua sono nipoti di Paperino», scrivi a parole le seguenti proposizioni composte:

182

A → B;

苶 → B; A

D → C;

F → E;

A→C 苶;

苶 D→ B;

(A 苶 ∧ B) → C;

E ∧ (F苶 → D).

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

194 È data la seguente proposizione composta: «Se piove o nevica, allora non esco». Indichiamo ogni proposizione componente con una variabile e riscriviamo la proposizione composta in forma simbolica. A: «piove»;

proposizioni

B: «nevica»; Se piove o nevica, allora non esco disgiunzione:

negazione:

C: «esco». –

implicazione:

Poiché l’antecedente dell’implicazione è «piove o nevica», nella rappresentazione simbolica racchiudiamo la disgiunzione fra parentesi. La proposizione composta è:

苶. (A ∨ B) → C

195 Date le seguenti proposizioni composte, indica ogni proposizione componente con una variabile e riscrivi la proposizione composta in forma simbolica. a) «Se sono promossa agli esami mi iscrivo a Medicina». b) «Se non studi, non prenderai la sufficienza». c) «Se un triangolo non ha tre lati congruenti, è scaleno o isoscele». d) «Se un parallelogramma è un quadrato, allora è un rombo e un rettangolo». e) «Se un trapezio ha due lati congruenti, allora è isoscele». f) «Se un trapezio è rettangolo, allora non è isoscele». g) «Se un numero è multiplo di 10, allora è pari ed è divisibile per 5». h) «Se il mare è calmo e Alessandro scrive romanzi, allora Giacomo scrive poesie».

■ La doppia implicazione 196 Date le seguenti proposizioni composte, indica ogni proposizione componente con una variabile e riscrivi la proposizione composta in forma simbolica. (Vedi esercizio guida 194.)

a) «Un parallelogramma è un quadrato se e solo se ha i lati congruenti e gli angoli retti». b) «La congiunzione di due proposizioni è vera se e solo se sono entrambe vere». c) «La disgiunzione di due proposizioni è falsa se e solo se sono entrambe false». d) «L’implicazione è falsa se e solo se l’antecedente è vera e la conseguente è falsa». e) «La doppia implicazione è vera se e solo se le due proposizioni sono entrambe vere o entrambe false». f) «Tom è un attore famoso se e solo se la bicicletta non inquina». 197 Attribuisci il valore di verità alle proposizioni A: «Il reciproco di 0 è 0», 1 B: «Il reciproco di 2 è ᎏᎏ», 2 1 C: «Il reciproco di 4 è ⫺ ᎏᎏ». 4 Stabilisci successivamente il valore di verità alle seguenti proposizioni composte: A ↔ B ; B ↔ C ; A ↔ C ; A ↔ (B ∧ C ); 苶 ); (A ∨ B) ↔ (B ∨ C); (A ∧ 苶 B) ↔ (B ∨ C A 苶 → ((B ∨ C) ↔ A).

183

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

■ Proposizioni e tavole di verità

Nel sito:

䉴 5 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

198 Costruiamo la tavola di verità della proposizione composta A ∧ (A ∧ B 苶), dove A e B sono due generiche proposizioni. Prepariamo la tavola di verità con le possibili combinazioni di V e F per le due proposizioni A e B:

Aggiungiamo la colonna con la negazione di B e calcoliamo il valore di verità dell’espressione A∧B 苶:

A

B

A

B

V V F F

V F V F

V V F F

V F V F

B 苶 F V F V

Calcoliamo il valore dell’espressione completa:

A∧苶 B F V F F

A

B

V V F F

V F V F

A∧苶 B A ∧ (A ∧ 苶 B)

B 苶 F V F V

F V F F

F V F F

Costruisci la tavola di verità delle seguenti proposizioni composte. B; (A ∧ A 199 A ∧ B苶; A 苶 ∧ B; A 苶 ∧ B苶; A ∧ 苶 苶) ∧ B苶; A ∧ (A 苶 ∧ B); A ∧ (B ∧ B苶); (A ∧ B) ∧ B苶. 200 A ∨ B苶;

A 苶 ∨ B;

A 苶 ∨ B苶;

A ∨苶 B.

苶; 苶苶∨ 苶 苶᝽ 苶苶B A

B) ∧ 苶 B; A 苶苶∨ 苶᝽苶 苶苶 B; 211 (A ∨᝽ 苶

苶苶∧ 苶苶苶 A B ∨᝽ 苶 B.

苶苶→ 苶苶苶B 苶苶苶B 苶 →苶 苶苶∧ B; A 苶苶→ 苶苶B 苶; A 苶; A B. B) ∧ 苶 212 (A → 苶 苶; A 苶苶∧ 苶 苶↔ 苶苶苶B 苶苶苶B 苶 ↔苶 B; A 苶苶↔ 苶苶B 苶; A B. B) ∧ 苶 213 (A ↔ 苶

苶 → B; A 苶 →苶 B; A → 苶 B. B; A 201 A → 苶 202 A ∨᝽ B苶;

■ Le tautologie e le contraddizioni

A 苶 ∨᝽ B; A苶 ∨᝽ B苶; A ∨᝽ 苶 B.

苶 苶∧ 苶苶苶B苶; A B; A B; A B. 203 (A ∧ B苶) ∧ 苶 苶苶∧ 苶苶苶 苶 苶苶∧苶苶 204 (A ∨ A 苶) ∨ B 苶;

A ∨ (A 苶 ∨ B);

A ∨ (B ∧ 苶 B);

A ∨ (A 苶 ∨᝽ B);

A ∨᝽ (B ∧ 苶 B);

(A ∧ B) ∨ 苶 B. B; 205 (A ∨᝽ A 苶) ∨᝽ 苶 (A ∧ B) ∨᝽ 苶 B.

苶; 214 A ∨ A

(A ∧ B) ∨ (A 苶 ∨苶 B).

B; 215 (A ∨ B) ∨ 苶

A∨A 苶苶苶 ∧ 苶苶 B;

(A ∨ B) ↔ (B ∨ A).

216 (A ↔ B) → (A → B);

苶) → 苶 B ; A ∨ (A 苶 → B); 206 (A ∨ A (A ∧ B) → 苶 B.

A → (B ∧ 苶 B);

A 苶苶∨ 苶苶苶 B;

苶 苶∨ 苶苶苶B 苶; A

[(A → B) ∧ (B → C )] → (A → C). 217 [(A → B) ∧ A] ⇒ B

苶 苶∧ 苶苶苶 苶A 苶苶; (苶A 苶 苶∧ 苶苶苶B苶)苶苶∧ 苶 苶A 苶. B)苶苶∧ 207 (苶A B; 208 (A ∨ B) ∧ 苶

Verifica, servendoti delle tavole di verità, che le seguenti espressioni sono tautologie.

(regola del modus ponens).

苶 (regola del modus tollens). B] ⇒ A 218 [(A → B) ∧ 苶 苶苶∧ 苶苶苶B ∨ B苶. A

B; A 苶 ↔ B; A 苶 ↔苶 B; A ↔ 苶 B. 209 A ↔ 苶

Verifica, servendoti delle tavole di verità, che le seguenti espressioni sono contraddizioni.

苶) ↔ 苶 B; (A ∨ B) ↔ (A ∧ B); 210 (A ∨ A

苶; 219 A ∧ A

(A ∨᝽ B) ↔ (A ∨ B);

184

(A ∧ B) ↔ (A ∨᝽ B).

(A ∧ B) ∧ A 苶;

苶 ∧苶 B); (A ∨ B) ∧ (A

(A ∧ B) ∧ 苶 B;

(A ∧ B) ∧ (A ∧ 苶 B).

Paragrafo 7. I connettivi logici e le espressioni

ESERCIZI

■ Le proprietà della congiunzione e della disgiunzione ESERCIZIO GUIDA

220 Verifichiamo la proprietà associativa della disgiunzione: A ∨ (B ∨ C ) ⫽ (A ∨ B) ∨ C. Calcoliamo (B ∨ C ) e poi A ∨ (B ∨ C), per il primo membro dell’uguaglianza (tabella a destra); calcoliamo (A ∨ B) e poi (A ∨ B) ∨ C, per il secondo membro.

Poiché le proposizioni sono tre, i casi possibili di combinazione vero/falso sono 2 3, cioè 8. Prepariamo la tavola di verità (tabella a sinistra); compiliamo poi le colonne successive, tenendo presente che prima si svolgono i calcoli dentro le parentesi. A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

B∨C V V V F V V V F

A ∨ (B ∨ C ) A ∨ B (A ∨ B) ∨ C V V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F F

I valori di verità di A ∨ (B ∨ C ) e di (A ∨ B) ∨ C coincidono; pertanto risulta verificata la proprietà associativa della disgiunzione.

221 Verifica la proprietà commutativa della congiunzione: A ∧ B ⫽ B ∧ A. 222 Verifica la proprietà commutativa della disgiunzione: A ∨ B ⫽ B ∨ A. 223 Verifica la proprietà associativa della congiunzione: A ∧ (B ∧ C ) ⫽ (A ∧ B) ∧ C. 224 Verifica le seguenti equivalenze (dette leggi di idempotenza della congiunzione e della disgiunzione): A ∧ A ⫽ A; A ∨ A ⫽ A. 225 Verifica le seguenti equivalenze (dette leggi di De Morgan): A 苶苶∧ 苶苶B 苶⫽A 苶∨苶 B; A 苶苶∨ 苶苶B 苶⫽A 苶∧B 苶.

Nel sito:

226 Verifica la proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione: A ∧ (B ∨ C ) ⫽ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). 227 Verifica la proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione: A ∨ (B ∧ C ) ⫽ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).

苶 苶∨ 苶 苶苶苶B 228 Verifica che le due proposizioni A ∧ B e A sono equivalenti. 苶 苶∧ 苶 苶苶苶B 229 Verifica che le due proposizioni A ∨ B e A sono equivalenti. 苶 ∧ B ). B ) ∨ (A 230 Verifica l’equivalenza A ∨᝽ B ⫽ (A ∧ 苶

䉴 16 esercizi in più su Le proposizioni composte

185

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

■ Verifica di equivalenze mediante le proprietà degli operatori LE PROPRIETÀ DEGLI OPERATORI LOGICI PROPRIETÀ

ESPRESSIONE

la doppia negazione legge di idempotenza della congiunzione

苶⫽A A A∧A ⫽ A

legge di idempotenza della disgiunzione

A∨A ⫽ A

commutativa della congiunzione

A∧B ⫽ B∧A

commutativa della disgiunzione

A∨B ⫽ B∨A

associativa della congiunzione

(A ∧ B) ∧ C ⫽ A ∧ (B ∧ C )

associativa della disgiunzione

(A ∨ B) ∨ C ⫽ A ∨ (B ∨ C )

distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

A ∧ (B ∨ C ) ⫽ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )

distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

A ∨ (B ∧ C) ⫽ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

leggi di De Morgan

A 苶苶苶 ∧苶B 苶⫽A 苶∨B 苶 A 苶苶苶 ∨苶苶B ⫽ A 苶∧B 苶

ESERCIZIO GUIDA

231 Dimostriamo, senza l’aiuto delle tavole di verità, la validità delle seguenti equivalenze: a) A ∧ (A ∨ B) ⫽ A ∨ (A ∧ B);

苶 苶∨ 苶苶苶 b) A B⫽ A∧B 苶.

a) Partendo dalla prima espressione, giungiamo alla seconda, utilizzando le proprietà della tabella riportata sopra: A ∧ (A ∨ B) ⫽ Per la proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione: ⫽ (A ∧ A) ∨ (A ∧ B) ⫽

b) Dimostriamo la seconda equivalenza:

苶苶苶 苶B⫽ A ∨苶 Per la seconda legge di De Morgan:

苶 ∧苶 ⫽A B⫽ Per la proprietà della doppia negazione: ⫽ A ∧苶 B.

Per la legge di idempotenza: ⫽ A ∨ (A ∧ B).

Dimostra la validità delle seguenti equivalenze senza l’aiuto delle tavole di verità. 232 A ∨ (A ∧ B) ⫽ A ∧ (A ∨ B)

苶苶苶 苶B 苶苶∧ 235 A ∨ B ⫽ A 苶

苶苶∧ 苶苶苶B 苶∨B 233 A 苶⫽A

苶∨A 苶苶∧ 苶苶苶 B⫽A 苶 ∨苶 B 236 A

苶苶苶B 苶 苶 苶∨ 234 A ∧ B ⫽ A

B ∧苶苶 A ∨苶 B ⫽A 苶 ∧苶 B 237 苶

Nel sito:

186

䉴 teoria e 15 esercizi su I circuiti elettrici e i connettivi logici

Paragrafo 9. La logica e gli insiemi

8. Forme di ragionamento valide

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. 157

ESERCIZIO GUIDA

238 Per ognuna delle seguenti forme di ragionamento, indichiamo se è stato applicato lo schema del modus ponens o del modus tollens. Se non è stato applicato nessuno dei due schemi, spieghiamo con un esempio perché il ragionamento non è valido. a) Se il treno va a Parigi, allora passa per Torino. Il treno va a Parigi. Il treno passa per Torino. b) Se dormi, allora non pigli pesci. Non pigli pesci. Dormi. a) Il ragionamento segue lo schema del modus ponens con: A: «Il treno va a Parigi»; B: «Il treno passa per Torino». b) Non sono applicati né il modus ponens né il modus tollens. È un ragionamento non valido, perché potremmo non pigliare pesci e, per esempio, studiare matematica invece di dormire. Indica se le seguenti forme di ragionamento sono o non sono valide. In caso affermativo, scrivi se è stato applicato lo schema del modus ponens o del modus tollens. 239 «Se manca la benzina, la macchina non parte». «La macchina non parte». «Manca la benzina». 240 «Se resti a cena da noi, mangi il pesce». «Non resti a cena da noi». «Non mangi il pesce». 241 «Se un numero è multiplo di 8, allora è pari». «Non è pari». «Non è multiplo di 8». 242 «Se Giorgio era a Parigi all’ora del delitto, allora Giorgio è innocente». «Giorgio era a Parigi all’ora del delitto». «Giorgio è innocente».

243 «Se il professore si accorge che copio, mi annulla il compito». «Il professore non mi annulla il compito». «Il professore non si accorge che copio». 244 «Se mi porti il DVD col film, restiamo in casa a guardarlo». «Mi porti il DVD col film». «Restiamo in casa a guardarlo». 245 «Se hai l’influenza, hai la febbre». «Hai la febbre». «Hai l’influenza». 246 «Se ti butti in mare, ti bagni». «Non ti butti in mare». «Non ti bagni».

–䊳 Teoria a pag. 159

9. La logica e gli insiemi ■ Gli enunciati aperti e gli insiemi di verità

Nei seguenti esercizi, per ogni enunciato, indica un insieme universo U e rappresenta la situazione di veritàfalsità con un diagramma di Eulero-Venn. Fornisci degli esempi di elementi di U che non rendono vero l’enunciato aperto. 247 A(x): «x è un monte delle Dolomiti»; B (x): «x è un fiume della Germania».

248 A(x): «x è un triangolo rettangolo»; B (x): «x è un triangolo rettangolo isoscele».

187

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

249 A(x): «x è un quadrato»;

250 A (x): «x è un numero intero negativo»;

B (x): «x è un trapezio».

B (x): «x è una frazione propria».

Nei seguenti esercizi, dopo aver fissato un insieme universo U, trasforma ognuno degli enunciati aperti in due proposizioni, una vera e una falsa, scegliendo due opportuni elementi di U. 251 A (x): «x è una frazione propria»;

253 G (x): «x è uno stato dell’Unione Europea»;

B (y): «y è negativo»;

H (y): «y è un mammifero»;

C(z): «z è maggiore di 7».

I (z): «z è un bipede».

252 D(t): «t è una frazione maggiore di 7»;

254 L(z ): «z è un lago»;

E(x): «12 è divisore di x»;

M (t): «t è un frutto»;

F (s): «s è divisore di 12».

N(x): «x è un vulcano».

■ I connettivi logici e gli insiemi ESERCIZIO GUIDA

255 Consideriamo gli enunciati aperti: A(x): «x è un triangolo isoscele»; B (x): «x è un triangolo rettangolo»; C (x): «x è un triangolo equilatero». Stabiliamo un insieme universo U e rappresentiamo con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme di verità dei tre enunciati aperti. Rappresentiamo poi, sempre con un diagramma di Eulero-Venn, l’insieme di verità dei seguenti enunciati: A 苶(苶x苶)苶; A(x) ∧ B(x). Stabiliamo che l’insieme U è l’insieme dei triangoli, A è l’insieme dei triangoli isosceli, B dei triangoli rettangoli, C dei triangoli equilateri. A 苶 ha come insieme di verità l’insieme complementare di A rispetto a U.

B

B C

A B: A(x) B(x) vera

C

– –––– A : A(x) vera

188

U = 再triangoli冎 A

U = 再triangoli冎 A

A ∧ B ha come insieme di verità l’insieme intersezione di A e di B.

– A

Osservazione. Se invece consideriamo A ∨ B, questo enunciato ha come insieme di verità l’insieme unione di A e B.

Paragrafo 10. I quantificatori

ESERCIZI

Negli esercizi seguenti, per ogni terna di enunciati aperti, stabilisci un insieme universo U e poi disegna l’insieme di verità dei tre enunciati A(x), B(x) e C(x). Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn l’insieme di verità dei seguenti enunciati composti:

苶; A

A ∧ B; A ∨ B; A ∨ 苶 B;

(A ∧ C) ∨ B.

256 A(x): «x è un quadrupede»; B (x): «x è un animale con gli zoccoli»; C(x): «x è un cavallo».

258 A(x): «x è un rettangolo»; B (x): «x è un rombo»; C(x): «x è un quadrato».

257 A (x): «x è un numero naturale che ha come ultima cifra 0 o 5»; B (x): «x è un numero primo»; C(x): «x è un numero divisibile per 5».

259 A(x): «x è sposato»; B (x): «x è padre»; C(x): «x è madre».

Nei seguenti esercizi rappresenta l’insieme di verità degli enunciati aperti A(x) e B(x) in un opportuno insieme universo U. Verifica poi con i diagrammi di Eulero-Venn la validità delle due leggi di De Morgan. 260 A(x): «x ha gli occhi azzurri»; B (x): «x è un maschio».

264 A(x): «x è un numero intero negativo maggiore di ⫺ 10»; B(x): «x è un numero intero compreso fra ⫺ 1 e 1».

261 A(x): «x è un mammifero»; B (x): «x è un cetaceo».

265 A(x): «x è divisore di 15»; B(x): «x è elemento neutro della moltiplicazione».

262 A(x): «x è un quadrato perfetto»; B (x): «x è pari». 263 A(x): «x è un triangolo isoscele»; B (x): «x è un triangolo ottusangolo». Nel sito:

䉴 teoria e 14 esercizi su I sillogismi

–䊳 Teoria a pag. 161

10. I quantificatori 266 VERO O FALSO? a) ∃ x ∈ Nx è un numero primo. b) ∀ x ∈ N, x è un numero primo. c) ∃ x ∈ Nx ⫽ 1 e x ⫽ M.C.D. (7, 9).

V

F

V

F

V

F

d) ∃ x ∈ Nx ⫽ m.c.m. (2, 3). e) ∀ x ∈ {2; 3}, x è divisore di 6.

V

F

V

F

ESERCIZIO GUIDA

267 Nell’insieme universo U degli animali consideriamo l’enunciato: A (x): «x è un rettile». Trasformiamo l’enunciato in proposizione, utilizzando prima il quantificatore ∀ (per ogni), poi ∃ (esiste). Indichiamo per ogni proposizione ottenuta il suo valore di verità.

189

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

Mediante il quantificatore universale otteniamo la proposizione: ∀ x ∈ U, x è un rettile. La proposizione ottenuta è falsa. Infatti non è vero che qualunque animale è un rettile. Mediante il quantificatore esistenziale otteniamo la proposizione: ∃ x ∈ U 兩x è un rettile. La proposizione ottenuta è vera. Infatti esiste almeno un animale che è un rettile. Trasforma i seguenti enunciati aperti in proposizioni, utilizzando i due quantificatori ∀ e ∃. Scrivi di fianco a ogni proposizione ottenuta il suo valore di verità. 268 a) U ⫽ N; B (x): «x è un divisore di 10». b) U ⫽ Z; C(x): «x è opposto di 5». c) U ⫽ N; D(x): «x è reciproco di 6». 269 a) U ⫽ {figure piane}; A(x): «x è un insieme di punti». b) U ⫽ {parallelogrammi}; R (x): «x è un quadrilatero». c) U ⫽ {rette di un piano}; P(x): «x è parallela a una retta data».

270 a) U ⫽ {città dell’Umbria}; F (x): «x è capoluogo di provincia». b) U ⫽ {fiumi d’Italia}; A(x): «x è più lungo del fiume Po». c) U ⫽ {stati della UE}; B (x): «x è uno stato europeo». 271 a) U ⫽ Q; H (x): «x è minore di 100». b) U ⫽ {numeri pari}; I(x): «x è divisibile per 3». c) U ⫽ N; L(x): «x è maggiore o uguale a 0».

ESERCIZIO GUIDA

272 Cambiamo l’insieme universo relativo all’enunciato a) dell’esercizio 268, in modo che le proposizioni che otteniamo mediante i due quantificatori ∀ e ∃ abbiano valore di verità diverso da quello che hanno con l’insieme U assegnato. B (x): «x è un divisore di 10». Se U ⫽ N, la proposizione che otteniamo mediante il quantificatore ∀ è falsa, quella con il quantificatore ∃ risulta vera. La proposizione che otteniamo mediante il quantificatore ∀ è vera se U ⫽ {2, 10}, perché qualsiasi elemento di questo insieme è un divisore di 10. La proposizione con il quantificatore ∃ risulta falsa se U ⫽ {numeri naturali maggiori di 1000}, in quanto in questo insieme non ci sono divisori di 10.

273 Per ognuno degli enunciati degli esercizi 268 e 269 cambia l’insieme universo, in modo che le proposizioni con i quantificatori ∀ e ∃ abbiano valori di verità diversi da quelli che hanno con gli insiemi U assegnati. 274 Come nell’esercizio precedente, ma per gli enunciati degli esercizi 270 e 271. 275 Inventa tre esempi di enunciati aperti, con i relativi insiemi universo, in cui le proposizioni con i quantificatori ∀ e ∃ siano entrambe false.

190

276 Come nell’esercizio precedente, ma con entrambe le proposizioni vere. 277 Come nell’esercizio 275, ma con la proposizione con i quantificatori ∀ vera e quella con i quantificatori ∃ falsa. 278 Come nell’esercizio 275, ma con la proposizione con i quantificatori ∀ falsa e quella con i quantificatori ∃ vera.

LABORATORIO DI MATEMATICA Gli insiemi con Wiris

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

Gli insiemi con Wiris ESERCITAZIONE GUIDATA

Dati gli insiemi A ⫽ {1, 2, 3}, B ⫽ {0, 1, 2} e U ⫽ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, con Wiris calcoliamo AB e, dopo aver controllato che A è contenuto in U, i complementari di A e di AB rispetto a U. Attiviamo Wiris. Inseriamo, assegnandoli contemporaneamente alle lettere A, B e U, i tre insiemi dati. ● Impostiamo e determiniamo l’intersezione fra gli insiemi A e B. ● Impostiamo ed eseguiamo il controllo che A sia un sottoinsieme di U. ● Impostiamo e determiniamo il complementare di A rispetto all’insieme U, scelto come insieme universo. ● Impostiamo e determiniamo il complementare di AB rispetto all’insieme U. ● ●

Nel sito:

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Figura 1

䉴 1 esercitazione guidata con Derive 䉴 16 esercitazioni in più 䉴 1 esercitazione guidata con Derive sulla logica 䉴 33 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Dati gli insiemi A  {4, 5, 6, 7}, B  {2, 3, 6, 7}, C  {1, 3, 5, 7} e UNIVERSO  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, verifica con il computer le seguenti equivalenze fra insiemi, svolgendo le varie operazioni partendo dalle parentesi più interne. Dove devi determinare il complementare di un insieme effettua la differenza fra l’insieme universo e l’insieme stesso. Fai la verifica dei risultati ottenuti mediante diagrammi di Eulero-Venn. 1

(A B) C ⫽ A (B C)

2

A (B  C) ⫽ (A B)  (A C)

3

苶苶苶 苶 B 苶 A B⫽A

4

(A B) ⫺ (A  B) ⫽ (A ⫺ B) (B ⫺ A)

5

A 苶苶苶 B⫺C ⫽A 苶苶苶

C B 苶苶苶

C

Una classe di una scuola dove si praticano tre sport è formata da 20 studenti. Riconosciuti dal numero progressivo di registro, praticano ● ● ●

il tennis: il calcio: la pallavolo:

1, 2, 3, 7, 9; 3, 4, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 18; 2, 3, 7, 12, 15, 18, 19, 20.

Con il computer definisci i tre insiemi e determina quanti sono gli studenti che praticano: 8

a) tutti e tre gli sport; b) solo il tennis; c) il calcio o il tennis, ma non la pallavolo.

9

a) il calcio e non il tennis; b) un solo sport; c) solo la pallavolo.

10 a) il calcio o la pallavolo, ma non il tennis; b) sia il calcio sia la pallavolo; c) solo il calcio.

6

(A B 苶 )  C ⫽ (A  C ) (C ⫺ B)

11 Trova quali sport praticano rispettivamente gli studenti 7, 8, 16.

7

(A  C B 苶苶苶

C ⫽ (A B) ⫺ C 苶) 苶

12 Determina tutte le possibili coppie di tennisti che si possono formare con i praticanti del tennis.

191

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

Matematica per il cittadino PARTITA DI PALLONE

Carlo e Marco giocano nella stessa squadra di calcio. Nei giorni precedenti un’importante partita discutono dell’incontro che li aspetta. Lunedì Carlo: «Domenica c’è la partita, vieni vero? Perché, se non ci sei tu, non vinciamo di certo!» Marco: «Spero di poter venire, ma non lo so; se domani la prof. di matematica mi restituisce il compito, possono esserci dei problemi. Mio padre mi ha detto che, se non è andato bene, o mi faccio interrogare nella settimana e prendo la sufficienza, o non esco domenica». Giovedì Carlo: «Ciao Marco, allora vieni alla partita?» Marco: «Non lo so ancora. La prof. mi ha reso il compito: ho preso 5 e non mi ha ancora interrogato». 1. Considera le due proposizioni: A: «Marco gioca la partita», B: «La squadra dei due amici vince». Formalizza, usando i connettivi logici, la considerazione fatta da Carlo lunedì: «Se non ci sei tu, non vinciamo di certo». 2. Supponiamo che l’affermazione fatta da Carlo, «Se non ci sei tu, non vinciamo di certo», sia vera. Stabilisci il valore di verità delle seguenti proposizioni. PROPOSIZIONE

V/F

Marco gioca e la sua squadra sicuramente vince la partita Marco gioca e la sua squadra può perdere la partita Marco gioca e la sua squadra può pareggiare la partita Marco non gioca e la sua squadra sicuramente non vince la partita Marco non gioca e la sua squadra vince la partita La squadra ha vinto, perciò Marco ha giocato La squadra ha perso, perciò Marco non ha giocato La squadra può perdere anche se Marco gioca Se Marco gioca, sicuramente la squadra vince 3. Considera l’affermazione fatta dal padre di Marco e identifica in essa le proposizioni logiche fondamentali. Formalizza l’affermazione legando le proposizioni con i connettivi. 4. Costruisci la tavola di verità della proposizione esaminata nella domanda precedente, tenendo conto di quanto Marco dice giovedì. 5. Domenica la squadra di Carlo e Marco vince la partita. Stabilisci il valore di verità delle seguenti proposizioni. PROPOSIZIONE

Marco ha preso la sufficienza nell’interrogazione e ha giocato Marco ha giocato, ma non è detto che sia stato interrogato Marco non è stato interrogato e non ha giocato Marco non ha preso la sufficienza nell’interrogazione e non ha giocato Marco non ha giocato, perciò non è stato interrogato

192

V/F

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Il risultato di (A 傽 A) 傼  è: A 苶.

D

B

.

E

C

A  A.

A

2

3

4

Nel sito:

A. nessuno dei precedenti.

A  B  {9}.

D

A  B  9.

B

A  B  {3}.

E

A  B  3.

C

A  B  .

Fra le seguenti affermazioni una sola è sicuramente vera. Quale? A (A 傽 B ) ⊂ (A B) 苶 傽苶 B (A 傼 B ) ⊂ (A B) 苶 傽苶 C (A 傼 B ) ⊂ A B 苶苶傽 苶苶苶 D A 傼 (A 傽 B)  A 傽 (A 傼 B) E (A  B ) ⊆ (A 傽 B)

7

Sono dati gli insiemi: A  {x兩x 僆 Q e x  4}; B  {x兩x 僆 Q e x  4}; C  {x兩x 僆 Q e x  4}.

La parte tratteggiata della figura è il risultato di una delle seguenti operazioni. Quale? A

A 傼B 傼C

B

A 傽B傽C

C

A 傼 (B 傽 C)

D

(A 傼 B ) 傽 C

E

(A 傽 B ) 傼 C

Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale? A C A 傼B D B ⊂C B A C B E B 傽C B C C 

C

A

B

8

L’insieme A  {(2; 5), (3; 5)} è il risultato di una delle seguenti operazioni. Quale? A {2, 3} 傼 {5} D {5}  {2, 3} B {2, 3} 傽 {2, 3, 5} E {2, 3} 傽 {3, 5} C {2, 3}  {5}

9

Se A  {2, 4, 6, 8, 10} e B  {0}, allora: A A  B  . B B  A  {(0; x)兩x 僆 A}. C B  A  {(0; 2), (0; 4), (0; 6), (0; 8)}. D (A  B )傽   {0}. E B  A  {(2; 0), (4; 0), (6; 0), (8; 0), (10; 0)}.

La parte colorata in figura è il risultato di una delle seguenti operazioni. Quale? B

C

A

5

6

Se A  {9} e B  {6}, allora: A

A

(C 傼 A)  B

D

(A 傽 C ) 傼 (B 傽 C )

B

(B 傼 C )  A

E

(A 傽 B)  C

C

(A 傼 C ) 傽 (B 傼 C )

Fra le seguenti relazioni una sola è falsa. Quale? A

(A 傼 B) 傽 A  A

B

(A 傽 B) 傼 A  A

C

(A 傽 B) 傽 A  A

D

(A 傽 B) 傽 (A 傽 B)  A 傽 B

E

(A 傽 B) 傼 (A 傼 B)  A 傼 B

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

10 Nella seguente tavola di verità compare un punto interrogativo. Cosa metteresti al suo posto? A A 苶 ∧B A B A 苶 ? B A 苶 ∨B V V F F C A 苶 →B V F F F D A∧B F V V V F F V F E A →B

193

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

11 Nella seguente tavola di verità compare un punto interrogativo. Cosa metteresti al suo posto? A A∨B A B ? B A∧B V V V C B 苶→A V F F D A F V V 苶∨B F F V E A 苶苶∨ 苶苶B 苶

15 Una fra le seguenti proposizioni è una tautologia. Quale?

12 Fra le seguenti equivalenze una sola è vera. Quale?

16 In quale delle seguenti alternative è applicato correttamente lo schema del modus ponens alla proposizione «Se Carlo è milanese, allora non è francese»?

A

(A → B ) ∧ (B → A)  A ↔ B

B

(A → B ) ∧ B  A

C

(A ∨ B ) ∧ 苶 B A

D

(A 苶苶∨ 苶苶B 苶)  A 苶∨B

E

A→B B →A

13 Fra le seguenti equivalenze una sola è falsa. Quale? A

A∧B B ∧A

D

A →B A B 苶 ∨苶

B

A 苶苶∧ 苶苶B 苶 苶 B ∨A 苶

E

A∨A B 苶  B ∨苶

C

A B  A →苶 B 苶 ∨苶

A

[(A → B ) ∧ 苶 B]→A 苶

B C

(A B ) ∧ (A ∧ B ) 苶 ∧苶 [A 苶 → (A ∧ B )] ∧ A 苶

D

苶苶→ A 苶苶(苶A 苶苶∨ 苶苶B 苶)

E

(A ↔ B ) ∧ B

A

Carlo è milanese Carlo non è francese

B

Carlo non è milanese Carlo è francese

C

Carlo è milanese Carlo è francese

D

Carlo è francese Carlo non è milanese

E

Carlo non è francese Carlo è milanese

14 Una fra le seguenti proposizioni è una contraddizione. Quale? A B C

A) A ∨ (B 苶 苶∧ 苶苶苶 (A ∨ B ) ∨ 苶 B (A → B ) ∨ A

D E

(A苶苶苶 ∧ B) ∨ (A 苶 ∨ B) (A B)∧B 苶 ∧苶

SPIEGA PERCHÉ 17 Sono dati i tre insiemi A, B e C, formati rispettivamente dai triangoli, dai quadrilateri e dai parallelogrammi. Perché possiamo affermare che C ⊂ B, mentre non è vero che A ⊂ B? 18 Fra i sottoinsiemi di A  {x  Z兩 ⫺ 8 x 8} c’è B  {x  N兩 x 4} ma non C  {x  Z兩 x 4}. Perché? 19 L’unione di due insiemi A e B coincide con A. Che cosa puoi affermare sull’insieme B? 20 È possibile fare una partizione dell’insieme dei cellulari venduti in Italia? Se sì, come? 21 La frase «Maria è una parola formata da cinque lettere» è una proposizione, mentre «Maria è una parola corta» non lo è. Perché? 22 Se A: «Giorgio va in moto» e B: «Giorgio ascolta musica», la proposizione «Se Giorgio va in moto, non ascolta musica» è espressa da A ∧ B 苶 oppure A 苶∨B 苶? Perché? 23 La negazione della proposizione «Ho i calzini bianchi» non è «Ho i calzini neri». Come mai? 24 Considera le seguenti proposizioni: A: «x e y sono numeri primi tra loro»; B: «x e y sono numeri primi». A → B è vera? E B → A? Perché?

194

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Nel sito:

ESERCIZI

䉴 10 esercizi in più

■ Gli insiemi 25 Dati gli insiemi A  {a, b, c, d, e, f }, B  {a, b, c}, ∅ e C  {e, r, a}, stabilisci quali sono i sottoinsiemi di A. 26 Dati gli insiemi A  {x 冷 x  N e x  10}, B  {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C  {x 冷 x  N e 2 x  8}, stabilisci se B e C sono sottoinsiemi di A. 27 Dato l’insieme A  {3, 5, 7}, scrivi i suoi possibili sottoinsiemi. 28 Dati gli insiemi A  {x 冷 x  N e x è divisore di 12} e B  {x 冷 x  N e x è divisore di 18}, rappresenta per elencazione gli insiemi A e B e determina A 傽 B e A 傼 B. 29 Dati gli insiemi A  {2, 4, 6, 8} e B  {2, 3, 6, 7, 9}, dà la rappresentazione per elencazione di A 傽 B e A 傼 B, mediante l’opportuno diagramma di Eulero-Venn. 30 Dati gli insiemi A  {c, d, 6, 7}, B  {5, 6, 7} e C  {c, 6, 7}, determina (A 傼 B) 傽 C e (A 傽 B) 傼 C. 31 Dati gli insiemi A, B, C, formati rispettivamente dai film italiani, western e quelli prodotti prima del 1950, descrivi a parole gli insiemi che risultano dalle seguenti operazioni: A 傽 B; A 傼 C; A  B; B  A; A 傽 (B  C ). 32 Dati gli insiemi A  {x 兩x è lettera della parola «informatica»}, B  {x 兩x è lettera della parola «amata»}, determina B苶A. 33 In ognuna delle seguenti figure, esprimi la parte tratteggiata usando le operazioni di unione e intersezione fra gli insiemi A, B e C assegnati. A

B

C

a

A B

b

C

A

c

B

C

34 Dati gli insiemi A  {a, b, c, d }, B  {b, d, e, f } e C  {c, d, e, g}, dimostra che: A  (B 傼 C )  (A  B) 傽 (A  C ). 35 Rappresenta graficamente gli insiemi A  {x兩x è lettera della parola «mamma»}, B  {x兩x è lettera della parola «palla»} e dai la rappresentazione per elencazione di: A  B, B  A, A  B. 36 Dati gli insiemi A  {a, b, c} e B  {4, 5}, rappresenta per elencazione gli insiemi A  B e B  A e poi disegnane la rappresentazione cartesiana. 37 È dato il prodotto cartesiano A  B  {(1; 3), (1; a), (1; b), (z; 3), (z; a), (z; b)}. Determina i due insiemi A e B. 38 Dato l’insieme A  {x, y, z, t }, determina il prodotto cartesiano A  A e disegna la rappresentazione cartesiana.

195

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

Dati gli insiemi A  {a, b, c}, B  {1, 2}, C  {2, 3}, D  {b, d}, determina il risultato delle seguenti espressioni. 39 A  (B 傽 C );

(A 傽 D)  C;

A  (B 傼 C).

40 (A  C ) 傽 (D  C );

(A  B) 傽 (A  C );

(A  B) 傽 (B  C ).

41 (A  C ) 傽 (D  B);

(B  A) 傽 (D  C ).

Con gli insiemi degli esercizi precedenti verifica la validità delle seguenti uguaglianze. 42 B  (A 傼 C )  (B  A) 傼 (B  C )

44 (A  D)  C  (A  C )  (D  C )

43 B  (A 傽 D)  (B  A) 傽 (B  D) Considera l’insieme universo U ⴝ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e gli insiemi A ⴝ {1, 2, 3, 4}, B ⴝ {2, 4, 6, 8}. Aiutandoti con un diagramma di Eulero-Venn, calcola il risultato delle seguenti espressioni. 苶 傼 B, 45 A

A傼B 苶,

A 苶 傽 B,

苶 苶傼 苶苶苶 B, 46 A

A傽B 苶.

47 Determina l’insieme delle parti di ciascuno dei seguenti insiemi. A  {x 兩x è lettera della parola «pasta»}; B  {1};

C  {x, y}.

A 苶傼苶 B,

A 苶 苶傽 苶苶苶 B,

A 苶傽苶 B.

49 Dato l’insieme A  {x 冷 x 僆 N e 2 x  20} e i sottoinsiemi A1  {x 冷 x 僆 A e x è divisibile per 2}, A2  {x 冷 x 僆 A e x è divisibile per 3}, A3  {x 冷 x 僆 A e x è divisibile per 5}, {A1, A2, A3} formano una partizione di A? Perché?

48 Dato l’insieme A  {x 冷 x 僆 N e 2 x 11}, stabilisci se {A1, A2, A3} è una partizione di A con A1  {x 冷 x 僆 N e 2 x 5}, A2  {x 冷 x 僆 N e 6 x  9}, A3  {x 冷 x 僆 N e 8  x 11}.

50 Dato l’insieme A  {a, b, c, d, e, f }, i sottoinsiemi A1  {a, b}, A2  {c}, A3  {d, e, f } formano una partizione di A? Stabiliscilo mediante un diagramma di Eulero-Venn.

51 VERO O FALSO? Dati gli insiemi A  {a, b, c, d} e B  {a, e}, quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false?

52 VERO O FALSO? Dati A e B insiemi qualsiasi, possiamo affermare che:

a) {a} 僆 A

V

F

a) se a 僆 A, allora {a} ⊆ A;

V

F

b) {b, a} ⊂ A

V

F

b) se B ⊆ A e A  B, allora B ⊂ A;

V

F

c) {a, e} ⊆ B

V

F

c) se A 傼 B  B, allora B ⊆ A;

V

F

d) a ⊆ A 傽 B

V

F

d) se A  B  B  A, allora A  B;

V

F

e) A 傼 B ha 6 elementi

V

F

e) se A  B, allora A  B  A;

V

F

f) A  B ha 2 elementi

V

F

g) B non è un sottoinsieme di A

V

F

f) la differenza fra insiemi è sempre possibile;

V

F

h) A ⊆ ᏼ(A)

V

F

g) A    ;

V

F

i) A ⊆ A  B

V

F

h) se B ⊂ A, allora B 僆 ᏼ(A);

V

F

j) A  B ⊆ A 傼 B

V

F

k) A  B ⊆ A 傼 B

V

F

i) se A 傽 B  , anche ᏼ(A) 傽 ᏼ(B)  .

V

F

196

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Problemi 53 In una classe di 28 ragazzi, tutti hanno un mezzo di trasporto. In particolare, 24 hanno il motorino e 9 la bicicletta. Quanti sono i ragazzi che hanno sia il motorino sia la bicicletta? [5] 54 In una compagnia di 25 ragazzi, 15 usano il cellulare per telefonare, 9 usano il cellulare per inviare SMS e 5 non usano il telefonino. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn: quanti insiemi disgiunti vedi? Quanti sono i ragazzi che telefonano con il cellulare e inviano SMS? [4]

56 Una società di assicurazioni auto e moto conta 635 iscritti. Di questi clienti, 462 assicurano la loro auto e 203 assicurano una motocicletta. Quanti clienti assicurano sia un’auto che una moto? Quanti solo la moto? [30; 173] 57 In un paesino con pochi abitanti c’è un gruppo di ragazzi tra i 14 e i 17 anni. D’estate, durante la settimana, vanno alla sala giochi, al bar oppure stanno nella piazza sotto i portici a parlare. Le loro abitudini possono essere così riassunte: ●

●

55 Un sondaggio mostra che al 63% dei ragazzi piacciono le scarpe di marca A e al 76% quelle di marca B. Ciascun ragazzo del gruppo esaminato esprime almeno una preferenza. Calcola la percentuale dei ragazzi ai quali piace sia la marca A sia la B e la percentuale di quelli a cui piace solo la A. [39%, 24%]

●

● ●

●

4 ragazzi vanno sia alla sala giochi, sia al bar, sia sotto i portici; uno solo sta al bar e va sotto i portici, ma non va alla sala giochi; 27 ragazzi stanno alla sala giochi, ma soltanto 10 vanno solo alla sala giochi; 14 ragazzi vanno al bar e alla sala giochi; 5 ragazzi preferiscono stare sempre sotto i portici; 20 ragazzi vanno al bar.

Da quanti ragazzi tra i 14 e i 17 anni è composto il gruppo esaminato? [38]

■ La logica 58 Indica quali tra le seguenti frasi sono proposizioni logiche e a queste attribuisci un valore di verità. a) «Il Monte Bianco è la cima più alta delle Alpi». b) «Cosa hai fatto ieri?». c) «6 è un numero dispari». 59 Indica quali, fra le seguenti frasi, sono proposizioni logiche e a queste attribuisci un valore di verità. A: «14 è la metà di 28».

61 Date le proposizioni A: «27 è cubo di 3», B: «27 è un numero pari», C: «27 è maggiore di 20», assegna i valori di verità ad A , B e C . Traduci poi in parole le seguenti proposizioni composte e assegna loro i corrispondenti valori di verità: A ∨ B , A ∧ B , A ∨ C, A苶苶苶 ∧ C, A ∨ (B 苶 ∧ C).

B: «I tortellini di Modena sono buoni». C: «Mi piacciono le fragole». D: «10 è uguale al quadrato di 3 più 1».

62 Date le proposizioni A: «5 è un numero dispari», B: «4 è divisore di 10»,

60 Date le proposizioni A: «Laura studia storia», B: «Marco fa i compiti», scrivi le proposizioni: A 苶; B 苶; A ∨ B; A ∧ B; A 苶 ∧ B; A ∨ B 苶; A 苶苶∧ 苶苶B 苶; A 苶苶∨ 苶苶B 苶.

C: «6 è un numero primo», attribuisci a ciascuna proposizione il suo valore di verità e poi stabilisci il valore di verità delle proposizioni: 苶∧B 苶; A ∧ C 苶. A ∧ B; A

197

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

63 Date le proposizioni A: «8 è multiplo di 3», B: «m.c.m. (6, 4)  12», C: «il quadrato è equilatero ed equiangolo», attribuisci a ciascuna proposizione il suo valore di verità e poi stabilisci il valore di verità delle proposizioni: A → B; B → C 苶; A ↔ B. Date le proposizioni A: «7 è un numero pari», B: «il trapezio è un parallelogramma», C: «il rettangolo ha le diagonali congruenti», attribuisci a ciascuna il suo valore di verità e poi stabilisci il valore di verità delle proposizioni: 苶 ∨ C; A 苶∨B 苶. 64 A ∨ B; A 苶苶∧ 苶苶C 苶). 65 A ∧ (A ∧ B 苶 ); A ∨ (B 苶 ∧ C); A ∨ (B 苶苶 苶苶∨᝽苶苶C 苶; 苶; A 66 (A ∨ B ) ∧ B

苶苶B 苶)苶苶∨ 苶 苶苶. (苶苶 C苶∧ ᝽苶 A

B ). 67 A → (B ∨ C); (A ∨ B ) → A 苶 ; (A ∨ B ) ↔ (A 苶 ∧苶 68 Date le proposizioni A: «16 è multiplo di 4», B: «16 è un numero dispari», C: «16 è maggiore di 10», assegna i valori di verità ad A, B e C. Poi traduci in parole ognuna delle seguenti proposizioni composte e assegna loro i corrispondenti valori di verità. A ∨ B, A ∧ B, A ∨ C, A 苶苶∧ 苶苶C 苶, A ∨ (B 苶 ∧ C). 69 Scrivi la tavola di verità delle proposizioni 苶A 苶苶B 苶 e A ∧苶 B 苶苶∨ e verifica che le proposizioni sono equivalenti. 70 Dimostra, senza l’ausilio delle tavole di verità, che: 苶苶∨ 苶苶苶B 苶A A 苶 ∧ B. 71 Scrivi la tavola di verità delle proposizioni 苶 ↔ B e (A ∨ B) ∧ (A 苶∨苶 B) A e verifica che le proposizioni sono equivalenti. Costruisci la tavola di verità di ciascuna delle seguenti proposizioni. 72 A ∧ (B ∨ A 苶 ); 苶 ᝽ ; 73 A 苶 ∨B

A ∨ (B 苶苶∧ 苶苶A 苶);

A ∨ (B 苶 ∧ A).

苶 (A ∨B) ᝽ 苶苶 ∧A ∧ B) 苶 ∨A ᝽ 苶. 苶; (A苶

᝽ →A ᝽ 74 A 苶 → B ∨ A; (A ∨B) 苶; (A ∧ B) ↔ (A 苶 ∨B).

198

Per ciascuna forma di ragionamento stabilisci se è o non è valida. In caso affermativo, scrivi se è stato applicato il modus ponens o il modus tollens. 75 Se guardi la televisione, allora non fai i compiti. Non fai i compiti. Guardi la televisione. 76 Se l’acqua è gelata, allora la temperatura è sotto zero. L’acqua è gelata. La temperatura è sotto zero. 77 Se il trapezio è isoscele, allora i lati obliqui sono congruenti. I lati obliqui non sono congruenti. Il trapezio non è isoscele. 78 Per ognuna delle seguenti forme di ragionamento indica se è o non è valida. In caso affermativo scrivi se è stato applicato lo schema del modus ponens o quello del modus tollens. a) «Se studio, prendo 9». «Non studio». «Non prendo 9». b) «Se mangio troppo, ingrasso». «Non ingrasso». «Non mangio troppo». c) «Se ho sete, bevo». «Ho sete». «Bevo». 79 Per ciascuna delle seguenti forme di ragionamento indica se è o non è valida. In caso affermativo scrivi se è stato applicato lo schema del modus ponens o quello del modus tollens. a) «Se esco, vado in piscina». «Esco». «Vado in piscina». b) «Se vado in vacanza, vado in montagna». «Non vado in montagna». «Non vado in vacanza». c) «Se piove, resto a casa». «Non piove». «Non resto a casa». 80 Considera gli enunciati aperti: A(x): «x è numero naturale pari, minore o uguale a 30»; B(x): «x è numero naturale divisore di 30». Scrivi l’insieme universo U e gli insiemi di verità di A, B , A ∧ B, e rappresentali con un diagramma di Eulero-Venn.

Verifiche di fine capitolo

81 Considera gli enunciati aperti: A(x): «x è numero naturale minore di 9»; B(x): «x è numero naturale primo minore di 20». Stabilisci l’insieme universo U e rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme di verità degli enunciati A, B , A ∧ B , A ∨ B . Trasforma i seguenti enunciati in proposizioni utilizzando i quantificatori ∀ e ∃. Scrivi a fianco di ciascuna proposizione il suo valore di verità. 82 Nell’insieme U  N considera l’enunciato: A(x): «x è multiplo di 5». 83 Nell’insieme U  {animali} considera l’enunciato: A(x): «x è un carnivoro». 84 Nell’insieme U  N considera l’enunciato: A(x): «x è un quadrato perfetto».

87 Scrivi sotto forma di equivalenza logica le seguenti affermazioni: «Il prodotto di due numeri razionali è negativo se e solo se uno dei due fattori è negativo» e «Il quoziente di due numeri razionali è positivo se e solo se il divisore è diverso da zero e dividendo e divisore hanno segni concordi». 88 Considera gli enunciati aperti P(x, y): «x 2y   16» e Q(x, y): «x  y  24», con x, y  N. Dopo aver scritto gli insiemi di verità dei due enunciati, determina l’insieme di verità della congiunzione di P(x, y) e Q(x, y). [P ∧ Q  {(12; 2), (4; 6)}] 89 Considera gli enunciati aperti P(a, b): «a è maggiore di b» e T(a, b): «Il reciproco di a è maggiore del reciproco di b», con a, b  Q0 (insieme dei numeri razionali diversi da zero). Qual è l’insieme delle coppie di razionali a, b per le quali è vero P(a, b) ∧ T(a, b)? Spiega la tua risposta. [{a, b  Q  a ⬎ 0 ∧ b  0}] 90 Sono dati gli enunciati aperti: P: {x  Qx  1,6 ∧ x  4,2};

85 Nell’insieme U  Z considera l’enunciato: A(x): «x è multiplo di 7».

Q: {x  Qx  2 ∨ x  3}. Individua l’insieme verità della loro congiunzione e stabilisci se appartengono a esso i seguenti numeri:  1,5; 1,9; 2,13. [{x  Q  1,6  x  2 ∨ 3  x  4,2}; no; sì; no]

86 Nell’insieme U  {parallelogrammi} considera l’enunciato: B (x): «x è un rettangolo». METTITI ALLA PROVA 91 L’intersezione di due insiemi A e B contiene 24 elementi, e la loro unione ne contiene 102. Sapendo che gli elementi che appartengono solamente ad A sono il doppio degli elementi che appartengono solo a B, determina quanti elementi stanno solo in A e quanti in B. [52 e 50] 92

TEST 100 delegati sono riuniti in congresso. Non tutti portano la cravatta, ma si sa che, comunque se ne scelgano due, almeno uno dei due la porta. Quanti sono i congressisti con cravatta? A

Almeno 2, ma possono essere meno di 50.

B

Esattamente 50.

C

Più di 50, ma non si può dire esattamente quanti.

D

La situazione descritta è impossibile.

E

Nessuna delle precedenti affermazioni è vera. (Olimpiadi della matematica, Gara provinciale, 1997)

ESERCIZI

Nel sito:

93

䉴 18 esercizi in più

TEST Anna, Barbara, Chiara e Donatella si sono sfidate in una gara di nuoto fino alla boa. All’arrivo non ci sono stati ex aequo. Al ritorno: Anna dice «Chiara è arrivata prima di Barbara»; Barbara dice «Chiara è arrivata prima di Anna»; Chiara dice «Io sono arrivata seconda». Sapendo che una sola di esse ha detto la verità: A si può dire solo chi ha vinto. B si può dire solo chi è arrivata seconda. C si può dire solo chi è arrivata terza. D si può dire solo chi è arrivata ultima. E non si può stabilire la posizione in classifica di nessuna. (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2000)

94 Semplifica, applicando le proprietà, la seguente proposizione logica composta, poi dimostra che si tratta di una tautologia: {Q 苶 ∧ [(P ∨ P 苶) ∧ Q ]} → P.

199

CAPITOLO 3. GLI INSIEMI E LA LOGICA

ESERCIZI

95

TEST Cinque persone non si trovano d’accordo sulla data.

Carlo dice che oggi è lunedì 16 agosto. Franco dice che oggi è martedì 16 agosto. Marco dice che oggi è martedì 17 settembre. Roberto dice che oggi è lunedì 17 agosto. Tullio dice che oggi è lunedì 17 settembre.

● ● ● ● ●

Uno ha ragione, ma nessuno ha «completamente» torto, nel senso che ciascuno dice correttamente almeno una cosa (o il giorno della settimana, o il giorno del mese, o il mese). Chi ha ragione? A B C

Carlo. Franco. Marco.

D E

Roberto. Tullio.

96

TEST Nel registrare le dichiarazioni dei tre imputati a un processo, il cancelliere è stato piuttosto trascurato, e dal verbale risulta quanto segue: Carlo: il colpevole è …ario. Dario: il colpevole è Dario. Mario: il colpevole è …ario. Sapendo che il colpevole ha mentito e almeno uno degli innocenti ha detto la verità, che cosa si può concludere? A

Il colpevole è Dario.

B

Non si può determinare il colpevole.

C

Carlo ha accusato Dario.

D

Mario ha accusato Dario.

E

Mario ha accusato Mario. (Olimpiadi della matematica, Gara provinciale, 2000)

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1996)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

䉴 14 esercizi in più

97 Mr. Day’s advisees consist of 16 students enrolled in algebra, 20 in geometry, and 12 in history. Six of this group are in both algebra and geometry, 4 are in both geometry and history, 5 are in both algebra and history, and 3 are enrolled in all three courses. Assuming that each of his advisees is enrolled in at least one of three classes, determine the number of Mr. Day’s advisees.

99 Politician A lies on Mondays, Tuesdays, and Wednesdays and tells the truth on the other days of the week. Politician B lies on Thursdays, Fridays, and Saturdays, and tells the truth on the other days of the week. One day both of them say: «Yesterday was one of my lying days». What day is it when they say this?

(USA Southeast Missouri State University: Math Field Day, 2005)

98 TEST There are 29 people in a room. Of these, 11 speak French, 24 speak English, and 3 speak neither French nor English. How many people in the room speak both French and English? A 3 D 8 B 4 E 9 C 6

[Thursday] 100 TEST Each of the following five statements is either true or false. 1. Statements 3 and 4 are both true. 2. Statements 4 and 5 are not both false. 3. Statement 1 is true. 4. Statement 3 is false. 5. Statements 1 and 3 are both false. How many statements (1-5) are true? A 0 B 1 C 2 D 3 E 4

(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2001)

(USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2001)

[36]

(USA Lehigh University: High School Math Contest, 2001)

GLOSSARY

advisees: studenti seguiti da at least: almeno both: entrambi to enroll: iscriversi

200

false: falso to lie-lied-lied: mentire politician: uomo politico statement: frase

true: vero truth: verità

CAPITOLOTEORIA

Le relazioni e le funzioni

4 Acqua ed energia Le centrali idroelettriche forniscono un quarto dell’elettricità prodotta nel mondo: sfruttano la potenza dell’acqua, raccolta a monte in un bacino grazie a una diga e poi fatta precipitare a valle all’interno di grosse tubature. Più acqua scorre all’interno delle condutture, maggiore è l’energia prodotta nell’impianto… …di quanto si deve aumentare il diametro di una conduttura per dimezzare il tempo di svuotamento di un certo volume d’acqua?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. 226

1. Le relazioni binarie Sono dati gli insiemi: A ⫽ {Irene, Cristina, Sara} e B ⫽ {Giovanni, Ugo, Marta}. Il loro prodotto cartesiano è: A  B ⫽ {(Irene; Giovanni), (Irene; Ugo), (Irene; Marta), (Cristina; Giovanni), ..., (Sara; Giovanni), ...}. Consideriamo l’enunciato aperto «a è madre di b». Se Irene è madre di Marta e Sara è madre di Ugo e di Giovanni, le coppie del prodotto A  B che soddisfano l’enunciato sono: {(Irene; Marta), (Sara; Ugo), (Sara; Giovanni)}. Queste coppie formano un sottoinsieme del prodotto cartesiano A  B. L’enunciato «a è madre di b» stabilisce una relazione fra gli insiemi A e B.

◗ Per indicare la relazione «x è madre di y», sarebbe più preciso dire: «x è in relazione con y se e solo se x è madre di y». Tuttavia, per semplicità, scriveremo le relazioni nel primo modo.

DEFINIZIONE

Relazione binaria Si dice relazione binaria fra gli insiemi A e B un qualunque sottoinsieme di A  B.

201

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

B

Indicheremo con ᏾, indifferentemente, sia il sottoinsieme di A  B, sia la relazione. Se a è in relazione con b, scriveremo

᏾

oppure

a᏾b

(a; b) 僆 ᏾

e diremo anche che b è immagine di a. ᏾ ⊆ A 

B

ESEMPIO

A

Dati i due insiemi A ⫽ {1, 3, 5} e B ⫽ {2, 4, 6, 8}, determiniamo le coppie della relazione «x è metà di y».

Figura 1

L’insieme ᏾ delle coppie in relazione è: ᏾ ⫽ {(1; 2), (3; 6)}.

◗ L’insieme ᏾ è un sottoinsieme di A  B.

■ La rappresentazione di una relazione Possiamo rappresentare le relazioni in quattro modi, tramite: ●

◗ L’aggettivo sagittale deriva dal latino sagitta che significa «freccia».

● ● ●

elencazione; rappresentazione sagittale (o diagramma a frecce); tabella a doppia entrata; grafico cartesiano.

Sono dati i due insiemi A ⫽ {2, 3, 4, 5, 6} e B ⫽ {1, 2, 3, 4} e la relazione «x è doppio di y». Possiamo rappresentare la relazione per elencazione, cioè scriviamo l’insieme delle coppie ordinate degli elementi che sono in relazione: ᏾ ⫽ {(2; 1), (4; 2), (6; 3)}. La figura 2 illustra le altre tre rappresentazioni. 

Figura 2 RAPPRESENTAZIONE SAGITTALE

A

B 1

2 4 6 5

3

A

B 2

2

3

TABELLA A DOPPIA ENTRATA 2

3

4

x

4

4

a. Nella rappresentazione sagittale ogni freccia parte dal primo elemento di una coppia della relazione e arriva al secondo.

B 4

3

3 2

x

1

5 6

202

1

GRAFICO CARTESIANO

x

b. Nella tabella a doppia entrata gli elementi del primo insieme vengono disposti in verticale, quelli del secondo in orizzontale. Le coppie in relazione vengono segnate con una crocetta.

2

3

4

5

6

A

c. Nel grafico cartesiano gli elementi del primo insieme vengono disposti sulla semiretta orizzontale e quelli del secondo insieme sulla semiretta verticale.

Paragrafo 1. Le relazioni binarie

TEORIA

■ Il dominio e il codominio DEFINIZIONE

Dominio e codominio Data una relazione definita in A  B, chiamiamo dominio l’insieme di tutti gli elementi di A che hanno almeno una immagine in B. Chiamiamo codominio l’insieme di tutti gli elementi di B che sono immagini di almeno un elemento di A. ESEMPIO

A

B

D

C

Consideriamo gli insiemi A

A ⫽ {2, 3, 4, 5, 6}, B ⫽ {4, 6, 8, 10, 12}, e la relazione

B 4

2

C

3 D

6

4

«x è la terza parte di y». Utilizziamo la rappresentazione sagittale (figura 3). Il dominio è D ⫽ {2, 4}, il codominio è C ⫽ {6, 12}.

5 6

8 10

◗ È sempre vero che D ⊆ A e C ⊆ B. Il dominio D è un sottoinsieme dell’insieme di partenza; il codominio C è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo.

 Figura 3 Da ciascun elemento del dominio parte almeno una freccia; a ciascun elemento del codominio arriva almeno una freccia.

12

«x è la terza parte di y»

■ La relazione inversa Data una relazione tra gli insiemi A e B, ne esiste un’altra tra B e A che si può ricavare dalla prima invertendo l’ordine in tutte le coppie e considerando le nuove coppie così ottenute. ESEMPIO

Consideriamo i due insiemi

5 4 B3 2 1

᏾

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A a. «a è quadrato di b».

A ⫽ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B ⫽ {1, 2, 3, 4, 5}, e la relazione «a è quadrato di b» (figura 4a). L’insieme ᏾ delle coppie in relazione è:

9 8 7 6 A 5 4 3 2 1

᏾ ⫽ {(1; 1), (4; 2), (9; 3)}. Se invertiamo gli elementi di ogni coppia, otteniamo il sottoinsieme ᏾′ di B  A dato da: ᏾′ ⫽ {(1; 1), (2; 4), (3; 9)}. Nell’insieme ᏾′ gli elementi delle coppie sono legati dalla relazione:

᏾′

1 2 3 4 5 B b. «b è radice quadrata di a».

«b è radice quadrata di a» (figura 4b). Questa è la relazione inversa della relazione di partenza. 

Figura 4

203

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

DEFINIZIONE

Relazione inversa

A

B

Data una relazione ᏾ definita in A  B, la sua relazione inversa è il sottoinsieme di B  A formato dalle coppie (b; a) tali che a ᏾ b.

᏾–1

᏾ (a;b) (b;a)

B

A ᏾⊆A B

A

᏾

B

᏾–1 ⊆ B A

Indichiamo con ᏾⫺1 la relazione inversa di ᏾. Per definizione, scriviamo: b ᏾⫺1 a se e solo se a ᏾ b. Nella rappresentazione sagittale, per ottenere la relazione inversa, basta tracciare una freccia in senso inverso per ogni freccia della relazione iniziale.

᏾–1 

Figura 5

2. Le relazioni definite in un insieme e le loro proprietà Se in una relazione l’insieme di partenza e l’insieme di arrivo coincidono con uno stesso insieme A, allora la relazione è definita in A  A. In tal caso diremo per semplicità che la relazione è definita in A. ESEMPIO

Se consideriamo l’insieme

A ⫽ {Carla, Aldo, Franco, Dino, Bruna, Emma}, in A  A può essere definita la relazione: «Durante un pranzo x versa da bere a y». Aldo Bruna Carla Dino Franco

Emma

 Figura 6 Il grafo descrive la relazione «Durante un pranzo x versa da bere a y». Chi si versa da bere da solo?

204

■ Il grafo Abbiamo, nel caso di una relazione definita in un insieme, un ulteriore modo di rappresentare la relazione. Disegniamo dei punti, detti nodi, che rappresentano gli elementi dell’insieme A una volta sola e senza racchiuderli in una linea chiusa (figura 6). Disegniamo poi una freccia per ogni coppia di elementi in relazione, che colleghi il primo elemento con il secondo. Una rappresentazione di questo tipo si chiama grafo. Se un elemento è in relazione con se stesso, si disegna un cappio intorno al nodo che lo rappresenta. Le relazioni definite in un insieme possono godere di varie proprietà.

Paragrafo 2. Le relazioni definite in un insieme e le loro proprietà

TEORIA

■ La proprietà riflessiva In un qualunque insieme di persone, la relazione «a ha la stessa età di b» ha una proprietà particolare: ogni persona ha la stessa età di se stessa. Quindi ogni elemento è in relazione con se stesso. DEFINIZIONE

Relazione riflessiva Una relazione in un insieme A è riflessiva quando ogni elemento di A è in relazione con se stesso: ∀ a 僆 A, a ᏾ a. ESEMPIO In un insieme di persone la relazione «a ha la stessa statura di b»

è riflessiva, mentre la relazione «a è più basso di b» non è riflessiva. La figura 7 illustra le rappresentazioni grafiche di una relazione riflessiva. GRAFO



TABELLA A DOPPIA ENTRATA b

a

c d

A a A a x b

GRAFICO CARTESIANO A

b

c

x

x

c

x

d

x

d

d c b a

x

a Ogni elemento è collegato con se stesso.

Figura 7

Tutte le caselle che si trovano sulla diagonale sono occupate.

b

c

d

A

Tutti i punti della bisettrice del quadrante sono evidenziati.

■ La proprietà simmetrica Nell’insieme degli studenti di una classe, consideriamo la relazione: «x è compagno di banco di y». Comunque si scelgano due studenti a e b, se «a è compagno di banco di b» , siamo sicuri che anche «b è compagno di banco di a». Questo non è sempre vero per tutte le relazioni. Per esempio, questa proprietà non vale per la relazione: «a siede davanti a b». DEFINIZIONE

Relazione simmetrica Una relazione in un insieme A è simmetrica quando per ogni elemento a che è in relazione con b, anche b è in relazione con a: se a ᏾ b, allora b ᏾ a.

205

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

ESEMPIO Nell’insieme delle rette di un piano, la relazione «a è perpendicolare a b» è simmetrica perché, se una retta è perpendicolare a una seconda retta, allora la seconda è perpendicolare alla prima.



La figura 8 illustra le rappresentazioni grafiche di una relazione simmetrica.

Figura 8 GRAFO

TABELLA A DOPPIA ENTRATA

GRAFICO CARTESIANO

b a

A a A a b

A b

c

x

x

x x

c c

d

d

d

x

x

d c b a a

Per ogni freccia che collega un elemento con un altro c’è anche la freccia che collega il secondo al primo.

Per ogni casella occupata è occupata anche la casella simmetrica rispetto alla diagonale.

b

c

d

A

Per ogni punto della relazione compare anche il punto simmetrico rispetto alla bisettrice.

■ La proprietà transitiva Stiamo ordinando per altezza un gruppo di bambini e abbiamo queste due informazioni: «Mario è più alto di Lucia»; «Lucia è più alta di Barbara». Allora, anche senza confrontare direttamente Mario e Barbara, possiamo anche affermare: «Mario è più alto di Barbara». Una relazione con queste caratteristiche gode della proprietà transitiva. DEFINIZIONE

Relazione transitiva Una relazione in un insieme A è transitiva quando, per tutti gli elementi a, b e c di A, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, anche a è in relazione con c: se a ᏾ b e b ᏾ c, allora a ᏾ c. In un qualunque insieme di persone la relazione «a è sorella di b » è transitiva. ESEMPIO

 Figura 9 La relazione rappresentata è transitiva.

a

b c

206

d

Ci sono relazioni che non godono della proprietà transitiva: per esempio, la relazione «a è madre di b» non è transitiva. Infatti se Sara è madre di Annalisa e Annalisa è madre di Giulia, Sara è la nonna di Giulia, non la madre. La rappresentazione grafica di una relazione transitiva si può fare in modo efficace solo con un grafo. Se ci sono due frecce che collegano tre elementi, il primo con il secondo e il secondo con il terzo, deve esserci anche la freccia che collega «direttamente» il primo elemento con il terzo.

Paragrafo 2. Le relazioni definite in un insieme e le loro proprietà

TEORIA

Le tabelle a doppia entrata e i grafici cartesiani non forniscono informazioni per capire immediatamente se una relazione è transitiva.

■ La proprietà antiriflessiva Consideriamo la relazione «a è più giovane di b», definita in un insieme di persone. Possiamo affermare che nessuna persona può essere in relazione con se stessa. DEFINIZIONE

Relazione antiriflessiva Una relazione in un insieme A è antiriflessiva quando nessun elemento di A è in relazione con se stesso: ∀ a 僆 A, a ᏾ Ⲑ a. In un qualunque insieme di persone, la relazione «a è nonno di b» è antiriflessiva, perché nessuno è nonno di se stesso.

ESEMPIO

Osservazione. Non è detto che una relazione non antiriflessiva sia riflessiva o viceversa.

a

b

■ La proprietà antisimmetrica

c

Abbiamo visto che la relazione «a è più giovane di b» è antiriflessiva. Essa gode anche di un’altra proprietà: se una persona è più giovane di una seconda, non è mai vero il contrario, cioè che la seconda è più giovane della prima.

 Figura 10 Relazione non riflessiva e non antiriflessiva.

DEFINIZIONE

Relazione antisimmetrica Una relazione in un insieme A è antisimmetrica quando, per ogni elemento a che è in relazione con b (b diverso da a), non è mai vero che b è in relazione con a: se a ᏾ b con a ⴝ b, allora b ᏾ Ⲑ a. Nell’insieme dei nomi degli studenti di una classe, la relazione «a precede b nell’elenco alfabetico del registro» è antisimmetrica.

ESEMPIO

d

Osservazione. Non è detto che una relazione non antisimmetrica sia simmetrica o viceversa. Per esempio, la relazione rappresentata nella figura 11 non è antisimmetrica e nemmeno simmetrica.

b

a

c

 Figura 11 Relazione non simmetrica e non antisimmetrica.

207

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

3. Le relazioni di equivalenza DEFINIZIONE

◗ La relazione «x è perpendicolare a y» non è riflessiva né transitiva, ma solo simmetrica: quindi non è una relazione di equivalenza.

Relazione di equivalenza Una relazione in un insieme è una relazione di equivalenza quando è riflessiva, simmetrica e transitiva. Nell’insieme delle rette di un piano, la relazione «x è parallela a y» è una relazione di equivalenza perché è riflessiva (due rette sono parallele anche quando coincidono), è simmetrica ed è transitiva. ESEMPIO

Alcune relazioni di equivalenza che possono essere definite in un insieme di persone sono: ● ● ●

«a è nato nello stesso anno di b»; «x abita nella stessa via di y»; «a è alto come b».

Mediante una relazione di equivalenza si può ottenere una delle possibili partizioni di un insieme.  Figura 12 Immagina di voler comunicare a una persona che non parla la tua lingua il concetto di «blu». Puoi ripartire un insieme di oggetti come nella figura. A questo punto, se prendi in mano un qualunque oggetto blu, il tuo interlocutore capisce che non vuoi riferirti a quell’oggetto particolare, ma alla proprietà caratteristica del sottoinsieme. Entrambi non vedete più un insieme di oggetti, ma un insieme di tre sottoinsiemi, ognuno collegato a un colore.

◗ Nell’esempio, il sottoinsieme degli oggetti blu è la «classe di equivalenza degli oggetti blu» e l’insieme quoziente è formato da tre elementi: il sottoinsieme degli oggetti rossi, quello degli oggetti gialli e quello degli oggetti blu.

208

ESEMPIO Consideriamo un insieme A di oggetti di colore rosso, giallo e blu (figura 12), e la relazione:

«a è dello stesso colore di b». Questa è una relazione di equivalenza, perché è riflessiva, simmetrica e transitiva, e permette di suddividere gli oggetti di A in base al colore. I sottoinsiemi ottenuti non sono vuoti, sono fra loro disgiunti e la loro unione coincide con A. In ogni sottoinsieme ci sono oggetti equivalenti, ossia tutti rossi o tutti gialli o tutti blu. Ogni oggetto appartiene a un sottoinsieme e a uno soltanto.

Ognuno dei sottoinsiemi che costituiscono la partizione si chiama classe di equivalenza e si può prendere come rappresentante di una classe uno qualsiasi dei suoi elementi. Ogni relazione di equivalenza, mediante la partizione in classi di equivalenza, permette di classificare gli oggetti in base a una loro proprietà. L’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza si chiama insieme quoziente. Dunque l’insieme quoziente è un insieme di sottoinsiemi.

Paragrafo 4. Le relazioni d’ordine

TEORIA

Il passaggio dall’insieme iniziale all’insieme quoziente avviene attraverso un procedimento di «astrazione». Vengono «dimenticate» le caratteristiche particolari di ciascun oggetto per considerare soltanto la proprietà individuata dalla relazione di equivalenza: in questo caso il «colore». ESEMPIO La relazione di parallelismo fra rette del piano permette di suddividere le rette in classi di equivalenza. In geometria si chiama «direzione» ciascuna classe di equivalenza. Figura 13 Tutte le rette di un piano possono essere suddivise in classi di equivalenza mediante la relazione «x è parallela a y». Ogni classe di equivalenza si chiama «direzione». L’insieme quoziente è l’insieme delle direzioni ed è un insieme con infiniti elementi.



,

,

, ...

direzioni

4. Le relazioni d’ordine ■ Ordine largo e ordine stretto DEFINIZIONE

Relazione di ordine largo Una relazione in un insieme è di ordine largo se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Nell’insieme N dei numeri naturali, la relazione «x è multiplo di y» è di ordine largo. Infatti è: ● riflessiva (ogni numero è multiplo di se stesso secondo il fattore 1); ● antisimmetrica (presi due numeri diversi x e y, se x è multiplo di y, allora y non può essere multiplo di x); ● transitiva (se x è multiplo di y e y è multiplo di z, allora x è multiplo di z; per esempio, se x ⫽ 2y e y ⫽ 3z, x ⫽ 2 ⭈ 3z ⫽ 6z).

ESEMPIO

DEFINIZIONE

Relazione di ordine stretto Una relazione in un insieme è di ordine stretto se è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva. ESEMPIO

◗ L’ordine è largo o stretto a seconda che valga la proprietà riflessiva o quella antiriflessiva.

Nell’insieme degli studenti di una classe, la relazione

«a corre più veloce di b» è una relazione d’ordine stretto. Infatti è: ● antiriflessiva (ogni studente non può correre più veloce di se stesso); ● antisimmetrica (se uno studente corre più veloce di un altro, non può succedere che quest’ultimo corra più veloce del primo); ● transitiva (se a corre più veloce di b e b corre più veloce di c, allora a corre più veloce anche di c).

209

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

◗ Nell’insieme N la relazione «a ⬍ b » è di ordine totale, perché è possibile confrontare tutti gli elementi tra loro. 2

3

4

9

36

……………………………

La relazione in N «a è divisore di b» è una relazione d’ordine parziale, perché, per esempio, 2 non è confrontabile con 9. 2 4 ……………… 3 9 … ……………

■ Ordine totale e ordine parziale Possiamo anche distinguere le relazioni a seconda della loro capacità di creare un ordine su un intero insieme o solo su una sua parte. DEFINIZIONE

Relazione d’ordine totale Una relazione d’ordine (largo o stretto) in un insieme è totale quando, comunque scelti due elementi distinti a e b nell’insieme, risulta sempre che a è in relazione con b oppure che b è in relazione con a. Una relazione d’ordine che non è di ordine totale si chiama relazione d’ordine parziale.

36

5. Le funzioni Consideriamo l’insieme dei nomi di alcuni amici che si incontrano in vacanza, A ⫽ {Silvia, Paola, Luigi, Andrea}, e l’insieme dei nomi di alcune città, B ⫽ {Bari, Forlì, Milano, Roma, Siena}. Rappresentiamo la relazione «x abita a y»

A

B Silvia

nella figura 14.

Figura 14 Da ogni elemento del primo insieme parte una e una sola freccia. 

Tale relazione gode di una particolarità: a ogni ragazza o ragazzo è associata una e una sola città. Una relazione di questo tipo si chiama funzione.

Bari Roma

Andrea

Milano Forlì

Paola Luigi

Siena

DEFINIZIONE

Funzione ◗ Poiché una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A un unico elemento di B, essa viene anche chiamata corrispondenza univoca.

Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

A

f

B

A B

L’espressione «uno e un solo» della definizione sottolinea che devono essere soddisfatte due condizioni: ● ●

per ogni elemento di A esiste un elemento di B associato; tale elemento è unico.

Se anche soltanto una di queste due condizioni non è verificata, la relazione non è una funzione (figura 15).

210

Paragrafo 5. Le funzioni

TEORIA

ESEMPIO A

B

A

B

 Figura 15 Esempi di relazioni che non sono funzioni.

b. La relazione non è una funzione, a. La relazione non è una funzione, perché c’è un elemento di A che non ha perché c’è un elemento di A a cui sono associati due elementi di B. corrispondente in B.

Per indicare una funzione si usa una lettera minuscola (spesso la lettera f ): f A → B,

che si legge «f è una funzione da A a B ».

Si può utilizzare una notazione simile anche per indicare che a un elemento x di A corrisponde un elemento y di B: f x 哫 y; A

y è detto l’immagine di x mediante la funzione f. B

f x

y C

dominio

codominio

L’insieme A è detto dominio della funzione, il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. Indichiamo il codominio con la lettera C. Vale la relazione C ⊆ B . Per indicare una funzione si utilizza anche la scrittura: y ⫽ f (x ), che si legge: «y uguale a f di x».

◗ Si dice che A è l’insieme di partenza della funzione e B l’insieme di arrivo. ◗ x è chiamato controimmagine di y.



Figura 16

■ Le funzioni suriettive, iniettive e biiettive DEFINIZIONE

Funzione suriettiva

A

B

Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

◗ In simboli: f è suriettiva se ∀y僆B∃x僆A tale che f(x) ⫽ y. a ogni elemento di B arriva almeno una freccia

In una funzione suriettiva il codominio coincide con l’insieme di arrivo. Il fatto che una funzione sia suriettiva o meno dipende da come viene scelto l’insieme di arrivo. È sempre possibile, infatti, rendere una funzione suriettiva restringendo l’insieme di arrivo all’insieme delle immagini (cioè al codominio).

211

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

ESEMPIO Figura 17 Rappresentazione della funzione f che a x associa 2x. a) f: N → N non è suriettiva. b) f: N → P è suriettiva. 

f

⺞ 1 3

2

f

⺞

1

0 2

0

4

◗ Se una funzione è iniettiva, non accade mai che a due elementi di A corrisponda uno stesso elemento di B.

⺞

7

6

1

3

3

9

8

⺞

0

5

4

⺠

4

2

6

4

0 2

8

1 5 7

3

9

f: «y è il doppio di x»

f: «y è il doppio di x»

a. La funzione f non è suriettiva, perché 1, 3, 5 ecc. non sono immagini di alcun elemento del dominio ⺞.

b. Restringendo l’insieme di arrivo al codominio ⺠, insieme dei naturali pari, la funzione risulta suriettiva.

DEFINIZIONE

Funzione iniettiva Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine al più di un elemento di A.

A

B

◗ In simboli: f è iniettiva se ∀ x1, x2 僆 A, x1 ⫽ x2 → f(x1) ⫽ f(x2). a ogni elemento di B arriva al più una freccia

A Ugo Sara Marco Pietro

B Anna Vera Chiara Laura

f : «x ha come madre y»  Figura 18 La funzione f non è iniettiva, perché Ugo e Sara hanno la stessa madre.

Consideriamo l’insieme di alcuni alunni di una classe e l’insieme dei numeri naturali. La funzione che associa a ogni alunno il suo numero d’ordine del registro è iniettiva. Infatti due alunni diversi non possono avere lo stesso numero. La funzione f è iniettiva perché ad ogni alunno è associato uno e un solo numero d’ordine. ESEMPIO



◗ Una funzione biiettiva viene anche chiamata biiezione o corrispondenza biunivoca fra A e B. In simboli: f A ↔ B. In una funzione biiettiva c’è una corrispondenza «uno a uno» fra gli elementi di A e quelli di B. Ogni elemento di B è l’immagine di uno e un solo elemento di A e viceversa.

212

Figura 19

alcuni alunni di 2ª C

numero d’ordine sul registro f

A Atti Neri Riva

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

f: «x ha come numero d’ordine sul registro y»

DEFINIZIONE

Funzione biiettiva (o biunivoca)

A

B

Una funzione da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva.

a ogni elemento di B arriva una e una sola freccia

Paragrafo 5. Le funzioni

TEORIA

ESEMPIO Figura 20 a) Funzione biiettiva. b) Funzione non biiettiva. 

A = {Paesi europei} B = {capitali}

Francia Spagna Italia

Parigi Madrid Roma

A = {squadre di calcio}

Bologna

Bologna Roma

Roma

Lazio

Vicenza

Vicenza

g: «y è la città di x»

f: «y è la capitale di x»

a. La funzione f è biiettiva, perché ogni Paese europeo ha una sola capitale.

B = {città che hanno una squadra di calcio}

b. g non è biiettiva, perché non è iniettiva. La Roma e la Lazio sono entrambe squadre di Roma.

■ La funzione inversa Una funzione è un particolare tipo di relazione e sappiamo già che per ogni relazione è possibile definire la relazione inversa. Ci chiediamo: la relazione inversa di una funzione è ancora una funzione? La risposta è affermativa solo se la funzione è biiettiva.

◗ Nella rappresentazione sagittale, la relazione inversa si ottiene rovesciando il verso di percorrenza delle frecce.

ESEMPIO Consideriamo l’insieme A delle automobili e l’insieme B delle relative targhe. La funzione f A → B associa a ogni automobile la sua targa.

Tale funzione è biiettiva, perché stabilisce una corrispondenza «uno a uno» fra automobili e targhe. La relazione inversa, da B ad A, è tale che ogni elemento di A è immagine di un elemento di B (poiché f è suriettiva) e uno solo (poiché f è iniettiva), quindi essa è una funzione.

A

B AB 482 ZX DD 006 FB

 Figura 21 A ogni automobile corrisponde un solo numero di targa e, viceversa, a ogni numero di targa corrisponde una sola automobile.

AB 075 SE

DEFINIZIONE

Funzione inversa Sia f A → B una funzione biiettiva. La funzione inversa di f è la funzione biiettiva f ⫺1 B → A, che a ogni y in B associa x in A tale che y ⫽ f(x).

f biunivoca

A x A

B y = f(x) B

f −1 x = f −1(y)

y

◗ Nota che f ⫺1 indica la funzione inversa di f e 1 non ᎏᎏ ! f

213

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

■ La composizione di due funzioni Consideriamo l’insieme A delle sigle dei capoluoghi di provincia, l’insieme B delle province e l’insieme C delle regioni e consideriamo la funzione f A → B che associa a ogni sigla la relativa provincia e la funzione g B → C che associa a ogni provincia la regione di appartenenza (figura 22).  Figura 22 L’insieme B è l’insieme di arrivo della funzione f (figura a) e al tempo stesso è il dominio della funzione g (figura b).

A

f

PD

B

B

Padova

SI

Siena

Siena

Lucca

f: «x è la sigla di z»

Se applichiamo una dopo l’altra le due funzioni f e g, otteniamo la funzione da A a C che associa a una sigla x la regione y corrispondente. La funzione ottenuta si dice funzione composta dalle due funzioni f e g.

Toscana

Lucca Palermo

Palermo

a

Veneto

Padova

LU PA

C

g

Sicilia

g: «z si trova in y»

b

g

f Palermo g f

PA

Sicilia

«x è la sigla di una provincia di y” y» gg • f: “x 

Figura 23

Date due funzioni, f A → B

e

g B → C,

comporre le due funzioni significa considerare una terza funzione, detta funzione composta mediante f e g, che associa a ogni elemento di A un elemento di C nel seguente modo: ◗ Se si compone una funzione f A → B con la sua inversa f ⫺1 B → A si ottiene la funzione identità, che associa a ogni elemento di un insieme se stesso. In simboli si scrive: f ⫺1 f A → A; f ⫺1 f x 哫 x. A x f–1 f

214

●

all’elemento x 僆 A corrisponde, mediante f , l’elemento f (x) 僆 B;

●

all’elemento f (x) 僆 B corrisponde, mediante g, l’elemento g ( f (x)) 僆 C.

La funzione composta viene indicata con la scrittura g f, che si legge «g composto f »: g f: A → C.

A

Tuttavia, spesso scriveremo

B

x

f z f–1

B

C y

f(x) g

y ⴝ g ( f (x )), che si legge «y uguale a g di f di x».

g f

f 

Figura 24

g(f(x))

Paragrafo 6. Le funzioni numeriche

TEORIA

6. Le funzioni numeriche Finora abbiamo parlato di funzioni in generale, considerando due insiemi generici A e B. Quando i due insiemi A e B sono numerici, allora le funzioni vengono dette funzioni numeriche. Consideriamo l’insieme R dei numeri reali e la funzione: f R → R x 哫 3x ⫺ 2. La funzione f è descritta da una legge, y ⫽ 3x ⫺ 2, che permette di associare a ogni numero reale x la relativa immagine y. Per esempio, per x ⫽ 5 il valore di y è 13, quindi l’immagine di 5 è 13. ESEMPIO

◗ Spesso una funzione numerica è esprimibile mediante una legge che contiene operazioni matematiche. Tale legge viene anche chiamata espressione analitica della funzione.

Il valore che assume y dipende da quello attribuito a x. Per questo motivo y prende il nome di variabile dipendente e x di variabile indipendente.

■ Il dominio naturale di una funzione Se la funzione f viene assegnata senza specificare il dominio e il codominio, si assume per convenzione che: ●

●

il dominio (D) è l’insieme di tutti i numeri reali per i quali le operazioni indicate nella legge che descrive la funzione si possono eseguire. In questo caso, il dominio si chiama dominio naturale o campo di esistenza; il codominio è l’insieme R o un suo sottoinsieme.

Consideriamo la funzione definita dalla legge: x ⫺2 y ⫽ ᎏᎏ. x Se sostituiamo a x il valore 0, la frazione perde di significato; diciamo che la funzione non è definita per x ⫽ 0 e scriviamo D: x ⫽ 0.

◗ Il dominio può anche essere chiamato insieme di definizione.

ESEMPIO

◗ Si può anche scrivere D ⫽ R ⫺ {0}.

■ La tabella e il grafico Poiché una funzione è una relazione, possiamo rappresentarla con un grafico cartesiano. In particolare vediamo più in dettaglio come si costruisce il grafico cartesiano di una funzione numerica quando è nota la sua espressione analitica y ⫽ f(x). Rappresentiamo, per esempio, la funzione y ⫽ 3x ⫺ 2. Innanzitutto compiliamo una tabella che riporti alcuni valori di x e i corrispondenti valori di y. Ogni riga della tabella è formata da un numero x del dominio e dal corrispondente valore y del codominio. Disegniamo poi due rette perpendicolari (una orizzontale e una verticale), che chiamiamo assi. Sugli assi fissiamo un’unità di misura e un verso di percorrenza, in modo da poter far corrispondere su ciascuna retta a ogni numero reale un punto di tale retta. L’asse orizzontale viene detto asse delle x o asse delle ascisse, l’asse verticale asse delle y o asse delle ordinate.

x

y

2

8

1

5

0

2

1

1

2

4

3

7

…

…

y=3 3−2=7

215

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

Rappresentiamo la prima coppia della tabella (x ⫽ ⫺ 2, y ⫽ ⫺ 8). Sulla retta orizzontale consideriamo il punto corrispondente a ⫺ 2, sulla retta verticale quello corrispondente a ⫺ 8.

y 7 4 11 2 O 1 2 3 2

x

5 8

Figura 25 Rappresentiamo tutte le coppie della tabella e congiungiamo i punti ottenuti. 

Mandiamo ora le parallele agli assi: esse si intersecano in un punto del piano che facciamo corrispondere alla coppia (⫺ 2; ⫺ 8). Diciamo che il punto ha coordinate cartesiane (⫺ 2; ⫺ 8). Si dice che ⫺ 2 è l’ascissa del punto, ⫺ 8 è l’ordinata. Ripetendo questo procedimento per ogni coppia di numeri reali, viene creata una corrispondenza biunivoca fra coppie di numeri e punti del piano. In particolare, alla coppia (0; 0) corrisponde il punto di intersezione degli assi, che è chiamato origine e indicato con O. Un piano su cui si introduca un sistema di coordinate cartesiane viene detto piano cartesiano. Ogni riga della tabella ricavata dalla funzione è una coppia di numeri (x; y) che rappresenta così un certo punto del piano cartesiano, cioè un punto del grafico della funzione (figura 25). Il grafico di una funzione f è l’insieme di tutte le coppie (x; y) del piano tali che x è un numero reale nel dominio di f e y ⫽ f (x) (cioè y si calcola sostituendo il valore di x nell’espressione di f ).

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Alberi in più, alberi in meno

Nel sito:

 Scheda di lavoro

Un impresario ha acquistato una piantagione di 5400 alberi da carta. Decide di tagliare, alla fine di ogni anno, il 30% degli alberi presenti per destinarli alla produzione di carta. Inoltre, per ripopolare la piantagione, stabilisce di piantare dopo ogni taglio 810 nuovi alberi. Nel tempo, gli alberi aumentano o diminuiscono? MARCELLO:

«Se ogni anno tagliano il 30% degli alberi, vuol dire che ne levano sempre la stessa quantità».

ALICE:

«A me non sembra: tagliano il 30% di una quantità che cambia...».

 Rappresenta il numero degli alberi in funzione degli anni, con una tabella e con un grafico.

■ La composizione di due funzioni numeriche Consideriamo le funzioni da R a R: f x 哫 x ⫹ 3

e

g x 哫 x 2.

La funzione f associa a un generico numero x di R il numero x ⫹ 3. Per esempio, a 2 associa 2 ⫹ 3 ⫽ 5.

216

Paragrafo 7. Particolari funzioni numeriche

TEORIA

Se a questo numero applichiamo la funzione g, otteniamo (x 3) 2. Nel nostro esempio: (2 3) 2 ⫽ (5) 2 ⫽ 25. In questo modo, applicando prima f e poi g, abbiamo ottenuto la funzione composta g ⴰ f : x 哫 (x ⫹ 3) 哫 (x ⫹ 3) 2, g ⴰ f x 哫 (x ⫹ 3) 2. f

g

◗ Possiamo anche scrivere: y ⫽ f (x) ⫽ x ⫹ 3, y ⫽ g (x) ⫽ x 2, y ⫽ g (f (x)) ⫽ (x ⫹ 3) 2.

Se invece applichiamo prima g e poi f, otteniamo una funzione diversa dalla precedente: g

f

x 哫 x 2 哫 x 2 ⫹ 3, f g x 哫 x 2 ⫹ 3. La composizione di due funzioni non è commutativa, cioè, in generale,

◗ Possiamo anche scrivere: y ⫽ f(g(x)) ⫽ x 2 ⫹ 3.

g f ⫽ f g.

7. Particolari funzioni numeriche ■ La proporzionalità diretta Consideriamo la funzione f R → R definita dalla legge y ⫽ 2x. Costruiamo la tabella della funzione e osserviamo che: ●

●

se x raddoppia anche y raddoppia, se x triplica anche y diventa il triplo ecc.; se si esclude la coppia (0; 0), per ogni coppia di punti, (1; 2), (2; 4), (3; 6) y ecc., il rapporto ᎏᎏ è sempre uguale a 2. x

DEFINIZIONE

Proporzionalità diretta

x

y

0 2 1 2 3 3 4 5 6 7 …

0 2 4 6 8 10 12 14 …

2 3

Una funzione si dice di proporzionalità diretta se può essere scritta nella forma y ⴝ kx, con k costante reale (k ⫽ 0). Le variabili x e y legate da una funzione di proporzionalità diretta si dicono direttamente proporzionali. Scrivendo la funzione y ⫽ kx nella forma y ᎏᎏ ⫽ k, x possiamo anche affermare che

◗ È preferibile la scrittura y ⫽ kx della funzione, pery ché la forma ᎏᎏ ⫽ k perde x significato quando x ⫽ 0.

due variabili direttamente proporzionali hanno rapporto costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è sempre rappresentato da una retta passante per l’origine degli assi (0; 0).

217

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

◗ La proprietà del grafico che abbiamo evidenziato ci dà un buon criterio per stabilire se una funzione è di proporzionalità diretta o meno.



ESEMPIO y = 2x

y = 2x

y 4

x

y 2 0 0 2 1 1 2 1 2 x 2 1 2 4 2 4 4 2 … … a. y = 2x è una funzione di proporzionalità diretta. Infatti la retta passa per (0; 0).

Figura 26

1

x

y

0 1 1 2 …

1 3 1 3 …

y 4 2 2 1 1 2 x 2 4

b. Anche la funzione y = 2x + 1 è rappresentata da una retta, tuttavia non è di proporzionalità diretta, infatti la retta non passa per (0; 0).

■ La proporzionalità inversa x

y

6 3 2 1 2 1 2 3 3 6 …

5 10 15 30 30 15 10 5 …

30 Studiamo mediante una tabella la funzione y ⫽ ᎏᎏ , D: x ⫽ 0. x Osserviamo che: ●

●

2 3

se leggiamo la tabella in verticale, quando x raddoppia y diventa metà, quando x triplica y diventa un terzo e così via; se leggiamo la tabella in orizzontale, per ogni coppia di punti, per esempio (1; 30), (2; 15), (3; 10) ecc., il prodotto x ⭈ y è sempre uguale a 30.

DEFINIZIONE

Proporzionalità inversa Una funzione si dice di proporzionalità inversa se può essere scritta nella k forma y ⴝ ᎏᎏ , con k costante reale (k ⫽ 0). x Le variabili legate da una funzione di proporzionalità inversa si dicono inversamente proporzionali. k Scrivendo la funzione y ⫽ ᎏᎏ nella forma x x ⭈ y ⫽ k, possiamo anche affermare che due variabili inversamente proporzionali hanno prodotto costante.

◗ Tutti i rettangoli evidenziati nel grafico hanno area che ha la stessa misura k , infatti x ⭈ y ⫽ k.

y 30 20 8

Figura 27 Il grafico della 30 funzione y ⴝ ᎏᎏ è un’iperx bole equilatera. La misura dell’area di ogni rettangolo è 30. 

218

y = 30 — x

7

6

5

4

3

2 10 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 20 30

Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è rappresentato da una particolare curva, detta iperbole equilatera. Ogni punto (x; y) di questa curva rappresenta il vertice di un rettangolo che ha il vertice opposto nell’origine, base x sull’asse delle ascisse e altezza y sull’asse delle ordinate.

Paragrafo 7. Particolari funzioni numeriche

TEORIA

■ La funzione lineare Studiamo mediante una tabella la funzione y ⫽ 3x ⫹ 2. Presi due punti, per esempio (1; 5), (2; 8), se calcoliamo la differenza delle loro ordinate e quella delle loro ascisse, troviamo rispettivamente i valori 5 ⫺ 8 ⫽ ⫺ 3 e 1 ⫺ 2 ⫽ ⫺ 1, il cui rapporto vale 3; analogamente, per i punti (⫺ 4; ⫺ 10), (⫺ 2; ⫺ 4), otteniamo ⫺ 6 e ⫺ 2, il cui rapporto è ancora uguale a 3. In generale, per ogni coppia di punti (x1; y1) e (x2; y2) si ha che:

x

y

4 3 2 1 0 1 2 3

10 7 4 1 2 5 8 11

y1 ⫺ y2 ᎏᎏ ⫽ 3. x1 ⫺ x2 Considerato un punto qualsiasi (x; y), con x ⫽ 0, e, per esempio, il punto (0; 2), il rapporto vale: y⫺2 ᎏᎏ ⫽ 3. x

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Moltiplichiamo entrambi i membri per x, con x ⫽ 0. Otteniamo y⫺2 ᎏᎏ ⫽ 3 → y ⫺ 2 ⫽ 3x → y ⫽ 3x ⫹ 2, x

Si può dimostrare che, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione lineare è sempre una retta e, viceversa, che ogni retta del piano cartesiano, che non sia parallela all’asse y, è rappresentata da un’equazione del tipo: y ⫽ ax ⫹ b. Il coefficiente a è detto coefficiente angolare, in quanto dipende dall’angolo che la retta forma con l’asse x. Se due rette sono parallele, hanno lo stesso coefficiente angolare. Il coefficiente b è detto ordinata all’origine e rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.

che è l’espressione analitica della funzione. Diamo la seguente definizione. DEFINIZIONE

Funzione lineare Una funzione si dice lineare se può essere scritta nella forma: y ⴝ ax ⴙ b,

con a e b costanti reali.

Dall’uguaglianza y ⫽ ax ⫹ b possiamo ottenere y ⫺ b ⫽ ax, che dice che le variabili x e y, legate da una funzione lineare, sono tali che, se a ⫽ 0, y ⫺ b è direttamente proy y = 3x + 2 porzionale a x secondo la costante 11 di proporzionalità a. Le variabili x e y sono quindi legate da una legge riconducibile a una proporzionalità diretta; il grafico di una funzione lineare è ancora una retta che però, diversamente dal caso della proporzionalità diretta tra x e y, non passa per l’origine. Nella figura 28 è riportato il grafico di y ⫽ 3x ⫹ 2.

y = 3x

8 5 2 – 4 –3 –2 –1 1

}2 1 –1 2 3 4

x

–4 –7 –10 

Figura 28

219

CAPITOLO 4. LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

TEORIA

Osserviamo che questo grafico si può ottenere da quello della retta che rappresenta la funzione di proporzionalità diretta y ⫽ 3x aggiungendo 2 all’ordinata di ogni suo punto.

3

x

y

0 2 1 2 3 1 2 …

0 2 8 18 2 8 …

■ La proporzionalità quadratica Studiamo mediante una tabella la funzione y ⫽ 2x 2. 4

9

Osserviamo che: ●

●

y = 2x2

y 8

se x raddoppia, y diventa quattro volte più grande; se x triplica, y diventa nove volte più grande; se x viene moltiplicato per n, allora y risulta moltiplicato per n 2; se si esclude la coppia (0; 0), per ogni coppia di punti (1; 2), (2; 8), y (3; 18), …, i rapporti del tipo ᎏᎏ sono sempre uguali a 2. x2

DEFINIZIONE

Proporzionalità quadratica Una funzione si dice di proporzionalità quadratica se può essere scritta nella forma y ⴝ kx 2, con k costante reale (k ⫽ 0).

4 3 2 1 2

1 O

1

2x

Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è rappresentato da una particolare curva che si chiama parabola. Il vertice della parabola si trova nell’origine (0; 0). Nella figura 29 è riportato il grafico della funzione y ⫽ 2x 2.

 Figura 29 Il grafico della funzione y ⴝ 2x 2 è una parabola il cui vertice è nell’origine degli assi (0; 0).

■ La funzione valore assoluto La funzione valore assoluto è definita nel seguente modo: y ⫽ 兩x 兩 ⫽

x

冦⫺ x

se x ⱖ 0 se x ⬍ 0

Per qualunque valore di x, il valore corrispondente di y è sempre positivo o nullo, quindi nel grafico della funzione tutti i punti hanno ordinata positiva o nulla.

 Figura 30 La funzione è rappresentata soltanto da punti con y positiva (o nulla), ossia da punti che si trovano tutti sopra l’asse x. Le due semirette y ⴝ ⴚ x per x ⬍ 0 e y ⴝ x per x ⱖ 0 hanno l’origine in comune nel punto (0; 0).

220

x5

x≤1

cerchietto vuoto: 5 non è soluzione

–⬁

⫹⬁

5 i valori della semiretta che non disegniamo non sono soluzioni

cerchietto pieno: 1 è soluzione 1

i valori di questa semiretta sono soluzioni

i valori di questa semiretta sono soluzioni

a

i valori della semiretta che non disegniamo non sono soluzioni

b 䉱

Figura 3

Spesso le soluzioni sono sottoinsiemi di R costituiti da tutti i valori che precedono un certo numero, o da quelli che lo seguono, o dai valori compresi fra due numeri. Insiemi di questo tipo vengono detti intervalli. Parleremo quindi di intervallo delle soluzioni. L’intervallo può essere indicato dalla coppia degli estremi, ordinati dal più piccolo al più grande, separati da un punto e virgola e racchiusi fra parentesi quadre. Per esempio, l’intervallo comprendente gli estremi a e b, con a ⬍ b, si indica [a ; b ]. L’orientamento delle parentesi indica se gli estremi sono inclusi o esclusi: [a ; b ] ]a ; b [ [a; b[ ]a; b]

estremi inclusi; estremi esclusi; estremo di sinistra incluso, estremo di destra escluso; estremo di sinistra escluso, estremo di destra incluso.

ESEMPIO

◗ ⫺ ⬁ e ⫹ ⬁ non sono numeri, quindi, come estremi di intervalli, vanno sempre esclusi. L’intervallo ]⫺ ⬁; ⫹ ⬁[ è l’insieme R.

L’intervallo x ⬎ 5 si può rappresentare così:

]5; ⫹ ⬁[. Infatti, sia 5 sia ⫹ ⬁ sono esclusi. Consideriamo, in ognuno degli esempi della figura 4, i tre modi di rappresentare le soluzioni della rispettiva disequazione.

䉲

1 x0

soluzioni della seconda disequazione

4−x>0

soluzioni comuni

Le due disequazioni sono soddisfatte contemporaneamente nell’intervallo aperto ]1; 4[. Diremo che i valori di x tali che 1 ⬍ x ⬍ 4 risolvono il sistema formato dalle due disequazioni. DEFINIZIONE

Sistema di disequazioni Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, in cui compaiono le stesse incognite, per il quale si cercano i valori da attribuire alle incognite che verificano contemporaneamente tali disequazioni. ◗ Nella rappresentazione dei sistemi, si usa una parentesi graffa per «legare» assieme le disequazioni.

䉴 Figura 10 Per trovare le soluzioni di un sistema si rappresentano le soluzioni di ogni disequazione in modo da poter individuare gli intervalli di soluzioni comuni a tutte le disequazioni.

Per risolvere il seguente sistema di tre disequazioni determiniamo le soluzioni di ognuna delle disequazioni: ESEMPIO

冦

2x ⫹ 4 ⬎ 0 x ⫺3ⱖ0 5⫺x ⬎0 −2

x>−2

冦

→

3

x ⬎⫺2 x ⱖ3 x ⬍5

5

−2 x>−2

3

5

x≥3

x≥3

x— 5 4 x−1

La soluzione è: ⫺ 1 ⬍ x ⱕ 2,

492

ossia

] ⫺ 1; 2].

冦

2 x ⱕ ᎏ7ᎏ 36 10x ⬎ ⫺ 10

→

冦

x ⱕ2 x ⬎⫺1

Paragrafo 11. I sistemi di disequazioni

ESERCIZI

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. 646

冦 xx ⫺⫺ 16 ⬎⬎ 00

冦 xx ⫹⫺ 51 ⱕ⬍ 00

647

冦 2x2x ⫺⫹ 41 ⱕ⬎ 00

冦 12x⫺⫹x3ⱖⱕ00

冤⫺ ᎏ12ᎏ ⬍ x ⱕ 2; x ⱕ ⫺ ᎏ32ᎏ冥

648

冦 6x ⱖ 0

冦 3x ⫺ 2 ⬎ 0

冤impossibile; ᎏ3ᎏ ⬍ x ⱕ 5冥

649

冦 x3x⫹⬍41⬍ 0

冦 27x⬍⫺6x14 ⱕ 0

冤x ⬍ ⫺ 4; ᎏ13ᎏ ⬍ x ⱕ 2冥

650

冦

x⫹1⬎0 ⫺ 2x ⱖ 0 3x ⫹ 2 ⬎ 0

651

冦

x⫺4⬍0 2⫺x⬎0 x⫹3⬎0

652

冦2x ⫺ 3 ⬎ x ⫹ 7

653

654

655

4x ⫹ 6 ⬍ 0

5⫺xⱖ0

2

[⫺ 3 ⬍ x ⬍ 2]

657

658

x ⫺ 6 ⫺ x(x ⫺ 1) ⬎ 2 ⫺ x 2 2x ⫺ 1 ⬍ 3

冦

1 1 ᎏᎏ (2 ⫹ x) ⫺ 1 ⬎ ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ 1) 2 3 1 1 ᎏᎏ (x ⫹ 10) ⬍ ᎏᎏ (x ⫹ 6) 5 3

662

冦

2x(x ⫺ 1) ⫺ x 2 ⫹ x ⫺ 3 ⱕ x(x ⫺ 2) ⫹ 7 [x ⬍ 6] 2x ⫹ 3 ⫺ x ⫹ x 2 ⬎ x(x ⫹ 2) ⫺ 3

663

冦

1 3 x⫹3 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ x ⬍ 8 ⫹ x ⫺ ᎏᎏ 2 4 3

664

冦

2x ⫹ (x ⫺ 1) 2 ⫹ x ⬎ x 2 ⫹ 3 6x ⫺ 3 ⬍ x ⫹ 2

冦

1 ᎏᎏ (9x ⫹ 12) ⫺ 10 ⬎ 12 3 4x(x ⫺ 1) ⫹ 10 ⬍ 4x(x ⫹ 1) ⫺ 6 2x(x ⫺ 1) ⫺ 2x ⫹ x ⬍ 2 ⫺ x

冦 7x ⫺ 1 ⫺ 6x ⬎ x ⫺ 3

665

冦 3x ⫺ 1 ⬎ x ⫹ 3

x⫹3 2 x⫺1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ ⫺ 1 2 3 6 2x ⫺ 2 ⬎ x ⫹ 1 3x ⫺ 5 ⬍ 2x ⫹ 4 5 ⫺ 4x ⬎ 2 ⫹ 8 x ⫺ ᎏᎏ ⫺ 6x 8

冣

冤

冥

[x ⬎ 7]

2

冤x ⬎ ᎏ5ᎏ冥

[impossibile]

冦

冢

冦

6x ⫺ 1 ⫹ 2x(x ⫺ 2) ⫺ x 2 ⱖ x 2 ⫹ 1 2x ⫺ 6 ⬎ x ⫹ 1

660

661

x ⫹ 7 ⫺ 3x ⱖ ⫺ x(x ⫹ 1) ⫹ x 2 ⫺ 3 ⫺ 2x 2x ⫹ 3 ⬍ 7 [⫺ 10 ⱕ x ⬍ 2]

冦 冦

冦

7x ⫺ 1 ⫹ x(x ⫺ 3) ⫹ 6 ⱕ x 2 ⫺ 7x ⫹ 1 4x ⫺ 7 ⬍ 8x ⫹ 2 9 4 ⫺ ᎏᎏ ⬍ x ⱕ ⫺ ᎏᎏ 4 11

659

[impossibile]

2

656

2

冤⫺ ᎏ3ᎏ ⬍ x ⱕ 0冥

3x ⫹ 9 ⫹ 2 ⬍ x ⫺ 1

冦

[x ⬎ 6; x ⱕ ⫺ 5]

[x ⬎ 6]

[∀x ∈ R]

666

冦

[impossibile] 1 x ⬍ ᎏᎏ 2

冤

冥

冦

[impossibile] 9

(2x ⫺ 1)(x ⫹ 2) ⫺ 2x 2 ⬍ x ⫹ 7

冤2 ⬍ x ⬍ ᎏ2ᎏ冥

(x ⫹ 2) 2 ⫺ x(x ⫹ 2) ⫺ 7 ⱕ 4 2x ⫺ 3 ⬎ 1

冤2 ⬍ x ⱕ ᎏ2ᎏ冥

BRAVI SI DIVENTA

667

[⫺ 1 ⱕ x ⬍ 12]

3x ⫹ 2 ⱖ 2x ⫹ 1

7

䉴 E27

(2x ⫺ 1)(2x ⫹ 1) 9 ᎏᎏ ⫺ (x ⫹ 2)2 ⱖ ᎏᎏ x 4 2 3x ⫺ 1 ᎏᎏ ⱕ 1 x ⫺4

493

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

668

冦

2x ⫺ 3 ⬍ (x ⫹ 1) 2 ⫺ x(x ⫺ 1) [⫺ 4 ⬍ x ⱕ ⫺ 1] x ⫹ 3 ⫺ 2x ⱖ 4 2

669

(x ⫺ 1) ⫹ 2x ⫺ 7 ⬍ 1 ⫹ x

2

冦 7x ⫹ 1 ⬍ 7 ⫹ x(x ⫺ 2) ⫺ x

2

⫹ 9x

[∀x ∈ R]

冦

x 2 ⫹ 6x ⫺ 3 ⬍ 2x(x ⫹ 2) ⫺ x 2 3 2 2 0 ⬍ x ⬍ ᎏᎏ (x ⫺ 2) ⫹ 3x ⫺ 3 ⬎ ⫺ 2x ⫹ 1 ⫹ x 2

671

冦

(x ⫹ 3) 2 ⫺ x 2 ⫺ 7 ⬍ x ⫹ 2 2x ⬎ x(x ⫹ 1) ⫹ 4 ⫺ x 2

672

冦

670

676

677

678

679

680

681

682

冤

(x ⫺ 5)(x ⫹ 3) ⬎ x 1 ᎏᎏ (8 ⫺ x) ⫹ 1 ⬍ 2 9

冥

674

[impossibile]

2

⫹ 2x ⫺ 5 [impossibile] 1 ᎏᎏ x ⫹ 1 3

675

冣

冢

冦 冦 冦

2 1 2 2 ᎏᎏ x ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ x ⬎ ᎏᎏ x ⫺ 1 5 2 5 1 x2 x 2 ⫹ x ᎏᎏ x ⫺ 4 ⬎ x(x ⫺ 2) ⫹ ᎏᎏ 3 3 [impossibile]

冤

冤

冥

冣

3 2 1 4 1 3 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬎ x(x ⫺ 1) ⫺ x 2 2 3 2 5 15 4 2 (2x ⫺ 1) ⫺ 4x(x ⫺ 1) ⫹ x ⬍ 1

冣

冢

冥

x⫺1 2x(x ⫹ 1) 1 ⫺ 2x2 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ ⫹ 1 2 3 3 2 1 1 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⱕ 1 ⫺ x 2 3 4 6

冣

1 ᎏᎏ (x ⫹ 2) 2 ⫺ 4 ⫺ x 4 ⬍ x 2 ⫺ 2x 4 3 2 1 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ x ⫹ 1 4 3 2

冥

2 1 1 (x ⫺ 2) ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 1 ⱕ x ⫺ 1 4 2 x⫹3 x⫺2 1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x 2 3 2 6

冢

冣

冥

冣

冢

1 1 x ⫺1 5 2x ⫺ ᎏᎏ 2x ⫹ ᎏᎏ ⫺ 3x 2 ⫹ ᎏ ᎏ ⱕ x 2 ⫹ ᎏᎏ 3 3 3 9 2x ⫹ 1 7x ⫹ 1 2 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬎ x ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x 3 2 3 4

冣冢

[x ⱕ 12]

9x ⫺ 15 ⫺ 2(x ⫹ 1) ⱖ ⫺ 2(x ⫺ 3) ⫺ 20 1⫺x 2 4 ᎏ ᎏ ⫹ 1 ⱖ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ 1 17 2 3 3 ᎏᎏ ⱕ x ⱕ ᎏᎏ 3 7

冣

冢

冣

冢

1 1 1 1 ⫺ x3 1 ᎏᎏ [1 ⫹ x(x 2 ⫺ 1)] ⫹ ᎏᎏ ⬎ 3 ⫹ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 4 4 2 4 2 1 5 3x ⫺ ᎏᎏ ⱖ x ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ 2 2 2 1 1 ᎏᎏ x(x ⫺ 1) ⫺ 2 ᎏᎏ x(x ⫺ 1) ⫹ 1 ⬍ ᎏᎏ ⫹ x 3 3 3 1 1 2x ⫹ ᎏᎏ ⱕ x ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 4 3

冦 冦 冢 冦 冤 冦 冦冢 冤 冦 冦

494

673

1 x x⫹3 4 ᎏᎏ x ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⱕ ⫺ ᎏᎏ 8 4 3 1 1 x⫺5 ᎏᎏ x ⫹ 2 ⬎ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫹ 1 3 2 6

冢

冣

1

冤0 ⱕ x ⬍ ᎏ3ᎏ冥 7

5

冤⫺ ᎏ3ᎏ ⬍ x ⱕ ᎏ1ᎏ2 冥 6

冤x ⬍ ᎏ4ᎏ3 冥 [impossibile]

[⫺ 11 ⬍ x ⱕ 0]

[impossibile]

[x ⱖ 0]

I problemi e le disequazioni lineari

683

684

685

686

冦 冦

1 11 1 ᎏᎏ ᎏᎏ (6x ⫺ 1) ⫺ 3 x ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2x ⬎ 11x 2 4 4 x 5(x ⫺ 7) ᎏᎏ ⫹ 3(x ⫺ 6) ⫺ x ⫹ 1 ⬎ ᎏᎏ 2 2

冢

冤

冣冥

1 x⫹5 x⫹4 x⫹3 ᎏᎏ x ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 3 2 5 4

冣

冢

4[(4x ⫺ 1) 2 ⫹ x] ⫹ (6x ⫺ 1) 2 ⱕ 4x ⫹ (10x ⫺ 1) 2

冦冢 冦

4

冤x ⬍ ⫺ ᎏ9ᎏ冥

冣

冣

冢

1

冤ᎏ6ᎏ ⱕ x ⬍ 1冥

1 x ⫹ 10 x⫹3 2x ⫹ 11 2x ⫹ 7 ᎏᎏ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⱕ ⫺ ᎏᎏ 2 3 4 6 3 2 3⫺x 2 1 x ⫺ ᎏᎏ ⬊ 2 ⬎ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ 3 10 3 2

冢

ESERCIZI

冣

3x ⫺ 1 1⫺x 2x ⫹ 1 3 ᎏᎏ ⫹ ᎏ ᎏ ⱖ ᎏᎏ ⫹ x ⫺ ᎏᎏ 4 2 4 2 2x ⫺ 3 ⬍ 5 ⫺ 3x

[x ⱕ ⫺ 5]

冤x ⱕ ᎏ56ᎏ冥

(x ⫺ 1)2 ⫹ x ⬎ (x ⫹ 2)(x ⫺ 3) ⫹ 2

I problemi e le disequazioni lineari Nel sito:

䉴 10 esercizi in più

ESERCIZIO GUIDA

687 La somma di tre numeri naturali dispari consecutivi è minore di 27. Determiniamo il massimo valore possibile dei tre numeri. ● ● ● ●

Indichiamo con x il minore di tre numeri dispari. Il secondo numero, dispari consecutivo di x, è: x ⫹ 2. Il terzo numero, dispari consecutivo di x ⫹ 2, è: x ⫹ 4. La somma dei tre numeri è minore di 27:

x ⫹ (x ⫹ 2) ⫹ (x ⫹ 4) ⬍ 27 → 3x ⫹ 6 ⬍ 27 → 3x ⬍ 21 → x ⬍ 7. Il più grande numero naturale dispari minore di 7 è 5; quindi i tre numeri richiesti sono 5, 7 e 9. Risolvi i seguenti problemi. 688 Aggiungendo alla somma di due numeri pari consecutivi il triplo del maggiore dei due numeri si ottiene una quantità maggiore di 108. Calcola quali sono i valori più piccoli che possono assumere i due numeri. [22; 24] 689 La somma di due numeri naturali, di cui uno è il quadruplo dell’altro, è minore di 75. Determina il massimo valore possibile dei due numeri. [14; 56] 690 La somma di due numeri dispari consecutivi è maggiore di 45. Trova quali sono i due numeri naturali più piccoli che soddisfano la relazione. [23; 25] 4x ⫺ 3 691 Per quali valori di x ∈ N la frazione ᎏᎏ diventa impropria? 3x ⫹ 2

[x ⬎ 5]

692 Nella risoluzione di quattro test, Simone ha riportato i seguenti punteggi: 78, 81, 79, 76. Quale punteggio deve riportare nel quinto test per avere complessivamente una media maggiore di 80? [punteggio ⬎ 86]

495

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

693 Luca ha guadagnato negli ultimi 3 mesi: € 700,00, € 800,00, € 550,00. Quanto deve guadagnare in questo mese per poter guadagnare mediamente nei quattro mesi almeno € 850,00? [x ⱖ 1350] 694 Il noleggio di un’automobile costa € 50,00 al giorno più € 0,075 per ogni kilometro percorso. Qual è il massimo di kilometri da percorrere giornalmente, per spendere non più di € 80,00 al giorno? [x ⱕ 400] 695 In una fabbrica di giocattoli, si producono pupazzi che vengono rivenduti a € 7,00 ciascuno. Sapendo che i costi fissi mensili ammontano a € 2100,00 e che il costo del materiale per ogni pupazzo è di € 3,50, determina quanti pupazzi devono essere prodotti perché il bilancio non vada in perdita. [x ⱖ600] 696 Quali sono quei numeri interi la cui metà è maggiore della terza parte del loro successivo? [x ⬎ 2] 697 Per telefonare in alcuni paesi esteri due compagnie telefoniche applicano, rispettivamente, le seguenti tariffe. A) € 1,20 per il 1° minuto di conversazione, € 0,90 per i successivi. B) € 1,00 per ogni minuto di conversazione. Quanti minuti deve durare una telefonata perché convenga la tariffa A? [x ⬎ 3]

698 Mi fermo al distributore per mettere nel motore della mia auto mezzo litro di olio, che costa € 17,6 al litro, e per fare benzina, che costa € 1,28 al litro. Quanti litri di benzina posso mettere al massimo nel serbatoio se ho soltanto € 28? [l ⱕ 15] 699 Andrea per andare in piscina può scegliere tra due diverse possibilità: a) € 140 di iscrizione annuale più € 2 per ogni ingresso. b) € 20 per la tessera di socio più € 8 per ogni ingresso. Per quanti ingressi risulta preferibile la seconda [x ⬍ 20] possibilità? 700 Per percorrere in autostrada 630 km voglio impiegare al massimo 6 ore con una sosta di 10 minuti. Quale velocità media dovrò almeno mantenere? [v ⱖ 108 km/h] 701 In una lotteria a premi ogni biglietto costa € 2. I premi in totale costano € 1580, le spese di organizzazione ammontano a € 260, inoltre a chi vende i biglietti viene dato un compenso di € 4 ogni 20 biglietti venduti. Quanti biglietti è necessario vendere perché ci sia un guadagno di almeno € 500? [b ⱖ 1300]

Applicazione delle disequazioni a problemi di geometria Risolvi i seguenti problemi. 702 Un’aiuola rettangolare deve essere costruita con un perimetro minore o uguale a 18 m. Sapendo che la lunghezza dovrà superare di 3 m la larghezza, determina quale può essere la larghezza [3 m] massima dell’aiuola. 703 I lati di un triangolo misurano in metri rispettivamente 2x, x ⫹ 2 e 8. Per quali valori di x il triangolo ha perimetro minore di 100 m? [0 ⬍ x ⬍ 30] 704 I lati di un rettangolo misurano in centimetri rispettivamente 2x e x ⫹ 1. Se il perimetro del rettangolo deve risultare maggiore di 42 cm, come 20 deve essere scelto il valore di x? x ⬎ ᎏᎏ 3

冤

496

冥

705 In un triangolo isoscele la lunghezza della base 1 è ᎏᎏ di quella del lato diminuita di 2 cm. 3 Quale valore deve assumere la misura x del lato affinché il perimetro sia minore di 19 cm? [6 ⬍ x ⬍ 9] 706 Sono dati due percorsi: il primo lungo un triangolo equilatero di lato (3x ⫹ 1) cm; il secondo lungo un triangolo isoscele di base 5 cm e lato (2x ⫹ 1) cm. Stabilisci per quale valore di x il primo percorso è 4 più lungo del secondo. x ⬎ ᎏᎏ 5

冤

冥

707 Le diagonali di un rombo sono lunghe rispettivamente (6x ⫺ 2) cm e (5x ⫹ 10) cm. Quali valori può assumere x affinché la prima diagonale sia maggiore della metà della seconda? [x ⬎ 2]

LABORATORIO DI MATEMATICA Le equazioni lineari con Excel

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

Le equazioni lineari con Excel ESERCITAZIONE GUIDATA

Tre artigiani compiono un lavoro. Il primo ha lavorato 16 ore e ha sostenuto spese di 5 euro per ogni ora di lavoro, il secondo ha lavorato 12 ore e ha sostenuto una spesa globale di 40 euro, il terzo ha lavorato 9 ore 5 2 senza spese. Le paghe orarie del secondo e del terzo artigiano sono i ᎏᎏ e i ᎏᎏ di quella del primo. 6 3 Desideriamo conoscere quale sia il guadagno orario del primo artigiano, corrispondente a diversi importi del ricavo totale del lavoro. Costruiamo, pertanto, una tabella, nella prima colonna della quale immettiamo i valori in euro degli eventuali ricavi che partono da 0 e aumentano con passo da inserirsi e nella seconda colonna i conseguenti importi delle paghe orarie del primo artigiano. Indichiamo con x la paga oraria del primo artigiano e con r il ricavo totale del lavoro. Scriviamo un’equazione dedotta dai dati del problema: 5 2 r ⫺ 136 16(x ⫹ 6) ⫹ 12 ⭈ ᎏᎏ x ⫹ 40 ⫹ 9 ⭈ ᎏᎏ x ⫽ r, da cui otteniamo x ⫽ ᎏᎏ. 6 3 32 ● Entriamo in Excel e per ottenere la tabella richiesta: – scriviamo le didascalie al dato e ai risultati; – indichiamo al sistema di considerare i valori in euro; – digitiamo 0 in A6, = A6 + $B$3 in A7 e la copiamo sino alla A16, per avere la colonna dei ricavi; – digitiamo = SE(A6-136 > 0; (A6-136)/32; “=”) in B6 e la copiamo sino alla B16 per avere la colonna delle paghe orarie. ● Inseriamo 200, l’incremento, in B3 e otteniamo la tabella richiesta.

Nel sito:

䉱

Figura 1

䉴 1 esercitazione guidata 䉴 12 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Dai dati di ognuno dei seguenti problemi deduci un’equazione nell’incognita x e risolvila. Costruisci poi con Excel una tabella, operando in modo analogo a quello dell’esercitazione guidata. 1

Per installare un pavimento in legno un montatore lavora per 12 ore a 30 euro all’ora e spende per collanti 150 euro; un levigatore lavora per 6 ore a 25 euro all’ora spendendo per usura macchinari x euro all’ora. Calcola x dopo aver assegnato la spesa totale r. Nella prima colonna immetti i valori di r che variano da 600 a 800 euro con passo 20 euro, nella seconda i valori di x.

2

In un triangolo ABC il lato AB è lungo 40 m, la misura del lato AC supera la misura x del lato BC di 2 m. Determina x dopo aver assegnato la misura del perimetro. Nella prima colonna immetti le misure in metri del perimetro, partendo da 60 sino a 120 con passo 5, nella seconda i valori di x, nella terza le misure di AC. Indica per quali misure del perimetro ottieni un triangolo isoscele.

497

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

Matematica per il cittadino LA PALESTRA

Sara ha deciso di frequentare una palestra tutti i giorni, esclusi il sabato e la domenica. Dopo aver consultato le palestre della zona, che rimangono chiuse la domenica, fissa l’attenzione sulle tre proposte che le sembrano più convenienti e che offrono un servizio equivalente. ●

La palestra Performance propone abbonamenti bimestrali, semestrali, annuali, rispettivamente a € 100, € 260, € 470. Richiede inoltre una quota annuale di € 60, comprensiva di tesseramento e assicurazione.

●

La palestra City gym ha una tariffa settimanale di € 23 (non è possibile considerare frazioni di settimana). A questa cifra vanno aggiunti € 50 di iscrizione e € 20 di assicurazione, che hanno durata annuale.

●

La palestra New fitness costa € 6 al giorno più un contributo forfetario di € 20. Se si presenta un amico, che si iscrive per un periodo superiore a 40 giorni, la palestra effettua uno sconto del 5% sulla tariffa giornaliera e regala 5 giorni di frequenza all’amico.

1. Volendo frequentare la palestra City gym per 38 giorni, quanto sarebbe il costo da sostenere? A € 216 B € 944 C € 248 D € 254 2. Supponendo per semplicità che ogni mese sia costituito da quattro settimane, quale palestra è più conveniente se Sara frequenta per due mesi? 3. Sara si accorge che mancano meno di due mesi alle vacanze estive. Al variare del numero dei giorni di frequenza varia anche il costo totale di ogni palestra. Per alcuni periodi complessivi è più conveniente scegliere una palestra, mentre per periodi differenti può convenire sceglierne un’altra. Individua questi periodi e completa la seguente tabella (il numero delle colonne potrebbe essere sovrabbondante) scrivendo la palestra più conveniente per una frequenza minore di due mesi. Periodo 1

Periodo 2

Periodo 3

Periodo 4

Giorni

da 1 giorno a …… giorni

da …… giorni a …… giorni

da …… giorni a …… giorni

da …… giorni a …… giorni

Palestra

………………….

……………………..

……………………..

……………………..

4. Se Sara ha a disposizione solo € 150, per quanti giorni al massimo può andare in palestra e quale palestra le conviene scegliere? 5. Sara ha convinto il suo amico Andrea ad andare insieme in palestra dall’inizio di gennaio alla fine di giugno. Pensando che non ci siano aumenti, quale palestra è più conveniente per lei?

498

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Solo una delle seguenti equazioni non ammette soluzioni in Z. Quale? 3 A 3x ⫽ ⫺ 6 D ⫺ ᎏᎏ x ⫽ 11 8 B C

2

Nel sito:

⫺ 12x ⫹ 4 ⫽ ⫺ 8 3 9 ⫺ ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ 8 4

E

6

B C

5x ⫽ ⫺ 10

⫺ 3x ⫽ 0

4 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫽ ᎏᎏ 3 5 x ⫺ 12 ᎏᎏ ⫽ 22 2

D

3x ⫹ 2 ⫽ 7

E

ax ⫽ 5 con a ⫽ 2

7

Un’equazione con infinite soluzioni si dice: A indeterminata. B determinata. C impossibile. D errata. E lineare.

4

Tra le seguenti equazioni una soltanto è equivalente a 3x ⫺ 4 ⫽ 5. Quale? A 6x ⫽ 18 D 1 ⫽ 3x B 3x ⫹ 4 ⫽ ⫺5 x E ᎏᎏ ⫹ 7 ⫽ 6 C 3x ⫺ 4 ⫽ 4 ⫺ 3x 3

5

Per ricavare x ⫽ 2 dall’equazione 3x ⫺ 4 ⫽ 2 dobbiamo applicare: A B C D E

tutti e due i princìpi di equivalenza. nessuno dei due princìpi di equivalenza. solo la regola del trasporto. la regola del cambiamento di segno. la regola di cancellazione.

Il triplo della somma di due numeri consecutivi vale 15. Quali sono i due numeri? A B

8 3

Le equazioni: 3x ⫺ 1 a) 5x ⫺ 3 ⫽ 7; b) ᎏᎏ ⫽ 1; 5 1 x⫺3 c) ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ . x⫺2 x⫺2 A sono tutte e tre equivalenti. B a) è equivalente a b) ma non a c). C a) è equivalente a c) ma non a b). D b) è equivalente a c) ma non ad a). E nessuna è equivalente a un’altra.

Solo una delle seguenti equazioni ammette soluzioni in N. Quale? A

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

9

1; 2. 4; 5.

C D

3; 5. 2; 3.

E

5; 6.

Le condizioni di esistenza 1 x ⫽ ⫺ 3 ∧ x ⫽ ᎏᎏ 2 sono necessarie per una delle seguenti equazioni. Quale? x ⫹3 A ᎏᎏ ⫽ 5 2x ⫺ 1 2x ⫺ 1 5 B ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 3 x⫹3 C 2x ⫺ 1 ⫽ x ⫹ 3 3 5 D ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2x ⫺ 1 x⫹3 3x ⫺ 2 4 E ᎏ ᎏ ⫽ ᎏᎏ 2x ⫺ 1 2x ⫺ 1 a L’equazione 3a ⫺ x ⫽ x ⫹ ᎏᎏ è: 2 A determinata solo per a ⫽ 0. B determinata solo per a ⫽ 2. C determinata solo per a ⫽ 3. D determinata ∀ a 僆 Q. E non è determinata per nessun valore razionale di a.

499

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

10 È data la disequazione: 5x ⫹ 3 ⬎ 2x ⫺ 4. Soltanto una delle seguenti non è equivalente a essa. Quale? 1 1 A 5x ⫹ 4 ⫹ ᎏᎏ ⬎ 2x ⫺ 4 ⫹ ᎏᎏ x x B 3x ⬎ ⫺ 7 C 5x ⫹ 3 ⫺ 2x ⬎ 2x ⫺ 4 ⫺ 2x D

E

5x ⫹ 3 2x ⫺ 4 ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ 5 5 5x ⫹ 3 ᎏᎏ ⬎ x ⫺ 2 2

11 L’intervallo ]⫺ 2; 1[ è soluzione di uno dei seguenti sistemi. Quale? 3x ⱖ ⫺ 6 5x ⬍ 5

A

冦

B

冦5x ⬍ 5

C

冦5x ⬍ 5

3x ⬍ 6

⫺ 3x ⱕ ⫺ 6 5x ⬍ 5

B

15 ⫺ 4 ⬍ x ⬍ ⫺ 2 ∨ 7 ⱕ x ⬍ ᎏᎏ . 2 è impossibile.

3x ⬍ 6

C

D

冦

E

冦5x ⬎ 5

D

B C

冤

⫺ 2x ⬍ 1 1 x ⬎ ⫺ ᎏᎏ 2

D

⫺ 2 ⬍ 4x

E

2x ⬍ ⫺ 1

14 L’intervallo indicato dal grafico non rappresenta l’insieme delle soluzioni di una sola delle seguenti disequazioni. Quale? 2

B C D E

500

E

x ⫺ 3 ⱖ ⫺5 ⫺x ⫹ 3 ⱖ 5 ⫺x ⫺ 5 ⱕ ⫺3 x ⫹5ⱖ3 5 ⱖ3⫺x

ha per soluzioni 3 15 ᎏᎏ ⬍ x ⱕ 3 ∨ 7 ⱕ x ⬍ ᎏᎏ . 5 2 ha per soluzioni 3 15 ᎏᎏ ⬍ x ⬍ 3 ∨ 7 ⬍ x ⬍ ᎏᎏ . 5 2 ha per soluzioni ⫺ 2 ⬍ x ⬍ 3 ∨ x ⱖ 7.

17 Il seguente grafico rappresenta le soluzioni di tre disequazioni. 0 2

x ⬎ ⫺ (x ⫹ 1)

13 È data la disequazione 3x ⫺ 2 ⬍ 7. Fra i seguenti valori uno solo non la soddisfa. Quale? 1 A 0 B ᎏᎏ C 2 D 1 E 4 2

A

⫺ 2 ⬍ x ⱕ 3 ∨ x ⱖ 7; 3 15 x ⬍ ⫺ 4 ∨ ᎏᎏ ⬍ x ⬍ ᎏᎏ . 5 2 Del sistema costituito da tali disequazioni possiamo dire che: ha per soluzioni

12 Quale, fra le seguenti disequazioni, non ha come 1 soluzione ⫺ ᎏᎏ ; ⫹ ⬁ ? 2 A

16 Due disequazioni hanno le seguenti soluzioni:

A

3x ⬎ ⫺ 6

冥

15 È data la disequazione ⫺3x ⫺ 5 ⱖ 3. Moltiplicando i due membri per ⫺1, si ottiene: A 3x ⫹ 5 ⱖ ⫺3. D ⫺3x ⫹ 5 ⱕ ⫺3. B 3x ⫹ 5 ⱕ ⫺3. E 3x ⫺ 5 ⱕ 3. C ⫺3x ⫺ 5 ⱕ 3.

1

Il sistema formato dalle tre disequazioni è: A B C D E

soddisfatto per x ⱕ ⫺2 ∨ ⫺1 ⬍ x ⬍ 0. soddisfatto per ⫺2 ⱕ x ⬍ 0. impossibile. sempre verificato. soddisfatto per x ⬎ 0 .

18 Due disequazioni hanno per soluzione: x ⬍ 0 ∨ 2 ⱕ x ⱕ 5 e ⫺1 ⬍ x ⬍ 1 ∨ x ⱖ 3. L’insieme delle soluzioni del sistema costituito da tali disequazioni è: A ]⫺1; 0[  [3; 5]. D ]⫺1; 3]. B [⫺1; 0]  ]3; 5[. E l’insieme vuoto. C ]0; 3].

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ 19 Per cambiare i segni a entrambi i membri di un’equazione si applica il secondo principio di equivalenza. Spiega perché. Questo vale anche se hai l’equazione ⫺ 2x ⫽ 0? Perché? 20 La disequazione ⫺ x ⬎ 0 è equivalente a x ⬍ 0? Perché? E la disequazione ⫺ 2x ⬍ 0 è equivalente a x ⬎ 2? 21 Se i membri di un’equazione A(x) ⫽ B(x), dove A(x) e B(x) sono espressioni che contengono l’incognita x, vengono moltiplicati per l’espressione C(x), l’equazione ottenuta non è sempre equivalente all’equazione data. Spiega perché. 22 Dimostra che per le equazioni la relazione «avere lo stesso insieme di soluzioni» è una relazione di equivalenza. 23 Due equazioni impossibili possono considerarsi equivalenti? Spiega perché. 24 Che cosa si intende per equazione indeterminata? Stabilisci se l’equazione letterale ax ⫹ 4 ⫽ 2ax ⫹ 6a risulta indeterminata per a ⫽ 0. 1 ⱕ ⫺ 1 è impossibile, senza effettuare alcun calcolo? 25 Perché puoi dire che la disequazione ᎏᎏ 2(3x ⫺ 1)2 N(x) 26 Le disequazioni ᎏᎏ ⬎ 0 e N(x) ⭈D(x) ⬎ 0 hanno le medesime soluzioni? Perché? D (x) 27 Che cosa si intende per disequazioni equivalenti? Stabilisci se sono equivalenti le disequazioni x⫺ 5 ᎏᎏ ⱕ 0 2x ⫹ 3

e

(x ⫺ 5)(2x ⫹ 3) ⱕ 0,

motivando la risposta. 28 Spiega perché una disequazione fratta è equivalente all’unione di due opportuni sistemi di disequazioni, fornendo un paio di esempi.

ESERCIZI

Nel sito:

䉴 18 esercizi in più

Risolvi le seguenti equazioni.

冤x ⫽ ᎏ21ᎏ冥

29 (x ⫹ 6) ⫺ (x ⫺ 1)2 ⫽ 6 ⫺ x (x ⫺ 1) 1 2 1 30 ᎏᎏ (x ⫺ 2)(x ⫹ 2) ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ 1) ⫽ x ᎏᎏ x ⫺ 3 2 3 2

冢

冣

冤x ⫽ ᎏ74ᎏ冥

(x ⫹ 1)2 x ⫺4 5x(x ⫹ 1) (x ⫹ 2)2 31 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 4 12 36 9

冤x ⫽ ᎏ65ᎏ冥

9 7 2 4 8 32 ᎏᎏ x ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫽ x ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x 5 5 3 3 5

[x ⫽ 3]

33 x ⫺ (x ⫺ 3)2 ⫺ 8 ⫽ 2(1 ⫺ x) ⫺ (x ⫺ 4)2

[x ⫽ 3]

501

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

34 x(x ⫹ 1) ⫺ 2(x ⫹ 4)(x ⫺ 3) ⫹ 2x ⫽ (2 ⫺ x)(x ⫹ 1)

冤

[impossibile]

2 ⫺ 6x x⫹1 1 ᎏ冣 ⫺ ᎏᎏ冥 ⫹ ᎏᎏ x 冢ᎏx3ᎏ ⫹ ᎏ 3 2 3 1 2x ⫹ 1 冣(1 ⫺ x) ⫹ 2冤3冢x ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ ᎏ2ᎏ冥 ⫽ 4x ⫺ 4

x 1 1⫺x 35 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ 3 2 3 4x ⫹ 2 36 x(1 ⫺ 2x) ⫺ ᎏᎏ 2

冢

37 (x ⫹ 1)3 ⫹ 2(x ⫺ 3) ⫽ x 2(3 ⫹ x) ⫹ 5(x ⫺ 1)

冦

冤

冢

冣

冢

冣冥冧 ⫽ 21x ⫹ ᎏ13ᎏ0

39 3 ⭈ (x ⫺ 1)2 ⫺ 2 ⭈ [(x ⫺ 2) ⭈ (x ⫹ 2) ⫺ 2x] ⫽ (3 ⫺ x)2 ⫺ 3 ⭈ (2x ⫺ 1) 40 (x ⫹ 1)3 ⫺ x 2 ⭈ (x ⫹ 3) ⫽ 3 ⭈ (x ⫹ 1)

冢

冣 冢

[indeterminata] [indeterminata]

4 1 5 1 38 ᎏᎏ ⭈ x ⫺ 3 ⭈ 1 ⫺ x ⫹ ᎏᎏ ⭈ x ⫺ ᎏᎏ ⫺ 2 ⭈ 2x ⫹ ᎏᎏ 3 3 2 2

1 1 41 2x ⭈ (x ⫹ 1) ⫹ (x ⫺ 2) ⭈ 2x ⫺ ᎏᎏ ⫽ 2x ⫺ ᎏᎏ 2 2

[x ⫽ 0]

[x ⫽ 0]

冤x ⫽ ᎏ11ᎏ0 冥 [impossibile]

冣 ⫺ ᎏ6ᎏ x 2

7

冤x ⫽ ⫺ ᎏ8ᎏ冥 9

Risolvi i seguenti problemi. 42 Determina due numeri naturali consecutivi sapendo che la differenza dei loro quadrati è 17.

[8; 9]

43 Trova un numero, sapendo che, sommando 2 alla sua metà, si ottiene il doppio del numero stesso diviso per 3. [12] 44 Un numero elevato al quadrato equivale al quadrato del suo successivo diminuito di 53. Qual è il numero? [26] 45 Marco e Andrea guardano un piccolo sciame di api che si è posato su un cespuglio fiorito. Una folata di vento ne fa volare via la metà, ma poi ne ritorna la metà di quelle volate via. Un rumore ne fa allontanare 5. Marco dice che ne sono rimaste 7. Quante erano le api sul cespuglio? [16] 46 Un ragazzo alle 17:50 vuole telefonare a un amico, ma ha solo € 1. La sua compagnia telefonica gli propone le seguenti tariffe: tariffa diurna dalle 8 alle 18, il primo minuto è gratis, poi paga € 0,01 ogni 4 secondi; tariffa notturna e festivi, € 0,01 ogni 10 secondi. Per parlare più a lungo gli conviene telefonare subito o aspettare le 18? Quanto tempo parlerebbe nei due [notturna; diurna, 7:40, notturna, 16:40] casi con le diverse tariffe? 47 Determina la misura del lato di un quadrato sapendo che aumentando di 3 cm la lunghezza del lato l’area aumenta di 51 cm2. [7 cm] 48 In un trapezio la somma delle due basi è 97 cm; la base maggiore supera la minore di 47 cm e l’altezza è la metà della base maggiore. Trova la misura dell’area del trapezio. [1746 cm2] 49 In un rettangolo la base supera l’altezza di 26 cm. Sapendo che la differenza tra il doppio della base e il triplo dell’altezza è 34 cm, trova la misura del perimetro e l’area del rettangolo. [124 cm; 792 cm2] 1⫺a 50 Data l’espressione 2 ⫺ x ⫺ a ⫹ 6x ⫹ ᎏᎏ , determina per quale valore di a l’espressione vale 6 quando x 2 vale ⫺ 1. 51 Calcola per quale valore di x le due espressioni (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫺ 6x e 3(x ⫺ 3) ⫹ x(x ⫺ 1) hanno lo stesso valore.

502

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni numeriche fratte. 5x x⫹3 x⫺3 ᎏ 52 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏ 2 x ⫺9 x⫺3 x⫹3

[x ⫽ 0]

x⫹1 2(x2 ⫹ 2) ᎏ 53 1 ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ x⫺2 x2 ⫺ 4

[x ⫽ 2, non accettabile]

1 1 1 ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 54 ᎏ 2 2 x ⫹ 2x ⫺ 3 (x ⫺ 2) ⭈ (x ⫹ 3) x ⫺ 3x ⫹ 2

[x ⫽ 6]

(x ⫺ 1)3 ⫹ 8 ⫺ 9x ⫹ 67 ᎏ ⫺ x ⫹ 1 ⫽ ᎏᎏ 55 ᎏ 2 (x ⫹ 7x ⫹ 6) x

[impossibile]

2x 2 ⫹ 4x ⫹ 7 x ⫹ 10 3x 2 ⫹ 16x ⫹ 8 ᎏ ⫹ 3x ⫹ 6 ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 56 ᎏ 2 x ⫹ 5x ⫹ 6 x⫹2 x ⫹3

[impossibile]

57

x⫹1 x⫺1 x⫺1 x⫹1 2x ᎏ ⫺ ᎏᎏ冣 ⬊ 冢ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ冣 ⫽ ᎏᎏ 冢ᎏ x ⫹1 x⫺1 x⫹1 x⫹1 x⫺1

[∀ x ⫽ ⫾ 1]

2

Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali. 58 ax ⫺ a ⫽ a2

[a ⫽ 0, indet.; a ⫽ 0, x ⫽ a ⫹ 1]

59 kx ⫺ x ⫽ k 2 ⫺ 1

[k ⫽ 1, x ⫽ k ⫹ 1; k ⫽ 1, indet.]

冤a ⫽ 1 ∧ a ⫽ 0, x ⫽ ᎏaᎏ ; a ⫽ 1, indet.; a ⫽ 0, imp.冥 1

60 a2x ⫺ ax ⫺ a ⫹ 1 ⫽ 0

61 (3x ⫹ 5 ⫹ 12b)(x ⫹ b) ⫽ 3(x ⫹ 2b) 2 ⫹ 3bx ⫹ 4(5b ⫹ x)

[x ⫽ 15b]

x x⫺1 1 ⫺x 1⫺a 62 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ a 2 1⫺a 2

[a ⫽ 0 ∧ a ⫽ 1, x ⫽ a]

63 3x(a ⫹ 1) ⫹ 3(a ⫹ 1) ⫺ 2(x ⫹ 1) ⫽ ⫺ (3a ⫺ 1)(3a ⫹ 1) 3x ⫹ a 6x 5x ᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 64 ᎏ 2 a ⫺4 a ⫺2 a ⫹2

冤a ⫽ ⫺ ᎏ3ᎏ , x ⫽ ⫺ 3a; a ⫽ ⫺ ᎏ3ᎏ , indet.冥 1

1

⫺a

ᎏ ; a ⫽ ⫺ 25, imp.冥 冤a ⫽ 2 ∧ a ⫽ ⫺ 2 ∧ a ⫽ ⫺ 25, x ⫽ ᎏ a ⫹ 25

3x a ⫺ x ⫹2 x ⫺ ᎏᎏ 65 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 2 3⫺a 3a ⫺ a a

1 [a ⫽ ⫺ 2 ∧ a ⫽ 0 ∧ a ⫽ 3, x ⫽ ᎏᎏ ; a ⫽ ⫺ 2, indet.] 2

x x2 2a ᎏ ⫽⫺ ᎏᎏ 66 ᎏᎏ ⫺ ᎏ 2 2 x ⫺ 2a x ⫺ 4a x ⫹ 2a

[a ⫽ 0, x ⫽ a; a ⫽ 0, indet.]

Risolvi le seguenti disequazioni.

冢

冣 冢

冣

冢

4 1 1 1 1 67 ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ ⬎ 3 x ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 5x ⫺ ᎏᎏ 3 3 3 3 3

冣

(3x ⫺ 1)2 x⫹3 2 ⫺ 7x 68 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬎ 3x (x ⫺ 1) ⫺ ᎏᎏ 3 6 4

[impossibile]

冤x ⬍ ᎏ7ᎏ冥 16

503

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

冤x ⱕ ᎏ49ᎏ冥 7 冤x ⬍ ⫺ ᎏ25ᎏ冥

69 (3x ⫹ 1)(1 ⫺ 3x ) ⫹ 2(1 ⫺ 3x) ⱖ (x ⫺ 1)3 ⫺ x2(6 ⫹ x) 2 2⫺x x ⫺1 1 70 ᎏᎏ ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ ⫹ x ⫺ (1 ⫺ x )2 4 8 2 2 x 10 2 2 71 2x x ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ᎏᎏ x ⫹ 4 ⬎ 1 ⫺ ᎏᎏ x 9 3 3 3 (x ⫺ 2)2 1⫺x 1 (3 ⫺ x)(3 ⫹ x) 72 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ ⬎ 0 4 2 4 4 1 9 x 2 x2 3x ⫺ 1 x⫺2 73 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫺ ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ 2 ⫹ ᎏᎏ 3 2 3 9 3 2 3 1 1 1 2 4(x ⫺ 2) 74 ᎏᎏ ⫹ (x ⫺ 1) x ⫺ ᎏᎏ ⱕ x ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 2x ⫹ ᎏᎏ 16 4 4 2 3 2 1 2 75 x ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ ⬍ 0 3 2 5

冤 冢 冣冥 冢 冣 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冤 冢 冣冥 冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣 冤 冢 冣冢 冣冢 冣

76 x (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⬎ 0 77 (x ⫺ 3)(2x ⫹ 8)(5x ⫺1)⬍0 1 78 ᎏᎏ (x ⫹ 1)(2x ⫺ 3)(2 ⫺ x )x ⱖ 0 2 79 ⫺ 6x (5x ⫺ 2)(x ⫹ 4)(x ⫺ 2) ⬍ 0

[impossibile] [x ⬍ 7]

冥

冤x ⬎ ᎏ73ᎏ冥 2 冤x ⱖ ⫺ ᎏ13ᎏ冥 冤x ⬍ ᎏ25ᎏ ∨ ᎏ12ᎏ ⬍ x ⬍ ᎏ23ᎏ冥 [⫺ 1 ⬍ x ⬍ 0 ∨ x ⬎ 1]

冤x ⬍⫺4 ∨ ᎏ51ᎏ ⬍x ⬍3冥 冤⫺ 1 ⱕ x ⱕ 0 ∨ ᎏ32ᎏ ⱕ x ⱕ 2冥 冤x ⬍⫺4 ∨ 0⬍x ⬍ᎏ25ᎏ ∨ x ⬎2冥

80 x 3 ⫺ 4x 2 ⱖ 4x ⫺ 16

[⫺ 2 ⱕ x ⱕ 2 ∨ x ⱖ 4]

81 x 4 ⫺ 5x 3 ⫹ 6x 2 ⬍ 0

[2 ⬍ x ⬍ 3]

82 3x(x 4 ⫺ 16) ⱖ (x 2 ⫺ 4)(x 2 ⫹ 4) 83 (x 2 ⫺ 1)(4x 2 ⫺ 6x) ⬍ 0 84 (x 4 ⫹ x 2)(x 2 ⫹ 8x) ⱖ 0 85 x 3 ⫹ 5x 2 ⫹ 2x ⬎ 8

冤⫺ 2 ⱕ x ⱕ ᎏ13ᎏ ∨ x ⱖ 2冥 冤⫺ 1 ⬍ x ⬍ 0 ∨ 1 ⬍ x ⬍ ᎏ32ᎏ冥 [x ⱕ ⫺ 8 ∨ x ⱖ 0] [⫺ 4 ⬍ x ⬍ ⫺ 2 ∨ x ⬎ 1]

Risolvi le seguenti disequazioni numeriche fratte. 2x ⫹ 1 86 ᎏᎏ ⬍ 0 x⫺ 5 3 ⫺ 2x 87 ᎏᎏ ⬎ 0 x⫹3 3x ⫺ 6 1 88 ᎏᎏ ⱖ ᎏᎏ x⫹3 2 (x ⫺ 3)(x ⫹ 6) ⫺ (x ⫺ 8) 89 ᎏᎏᎏ ⱖx ⫹1 x ⫹4 4 5x ⫺ 4 90 ᎏᎏ ⱖ 2 ⫺ ᎏᎏ x ⫺3 x⫺3

504

1

冤⫺ ᎏ2ᎏ ⬍ x ⬍ 5冥 3 冤⫺ 3 ⬍ x ⬍ ᎏ2ᎏ冥 [x ⬍ ⫺ 3 ∨ x ⱖ 3] 4 ⬍⫺4冥 冤⫺ᎏ13ᎏⱕx [x ⱕ ⫺ 2 ∨ x ⬎ 3]

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

冤冥⫺ ⬁;⫺ᎏ21ᎏ冤 [1;⫹⬁[冥

x⫺2 2 91 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⱖ 0 2x ⫹ 1 4x ⫹ 2 x 2 92 ᎏ4ᎏ ⬎ ᎏᎏ ⫺ 2 1⫺x x ⫺1

[ ]⫺2; 1[ ]

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. 93

x⫺1⬎3

冦 2x ⫺ 6 ⬍ 4

[4 ⬍ x ⬍ 5]

(2x ⫺ 1)2 ⬍ 2(2x ⫹ 1)(x ⫺ 3) (x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⬎ 2 ⫹ x 2 ⫺ 2(x ⫺ 1)

94

冦

95

冦 (x2x (x⫹ 1)⫺ 3)⫹⫹2(x(x ⫺⫹2)2)ⱕ⬎3(x5 ⫹⫹3x1)(x ⫺ 1)

冤x ⬍ ⫺ ᎏ2ᎏ冥

96

3x ⫺ (x ⫹ 1) 2 ⱖ 1 ⫺ (x ⫺ 2)(x ⫹ 2) 5x ⫹ 2 ⫺ x(1 ⫺ x) ⬍ (x ⫹ 2) 2 ⫺ 4

[impossibile]

97

98

99

2

2

2

冦

冦 冦 冦

[impossibile] 1

2

(x ⫹ 3)(x ⫺ 2) ⬍ (x ⫹ 1)2 ⫹ 1 3x ⫺ 1 6x ⫺ 2 3x ⫺ 1 1 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⬎ x ⫺ ᎏᎏ 9 6 6 3

冤⫺ 8 ⬍ x ⬍ ᎏ13ᎏ冥

x ⫺1 2x ⫹ 4 x ⫹ 1 ⱖ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 2 3 1 7x ⫺ 1 2x ⫺ 3 10x x ⫺ ᎏᎏ ⱖ ᎏᎏ ⫹ 10x 2 ⫺ 3 ⫹ ᎏᎏ 5 4 2

冢

[x ⱕ 1]

冣

4(x ⫺ 1) ᎏᎏ ⫺ 2x (x ⫺ 1) ⱖ ⫺ 2(x 2 ⫹ 3) 3 2 ᎏᎏ x ⫺ (1 ⫺ x)(1 ⫹ x) ⱕ x 2 ⫹ 1 3

冤⫺ ᎏ5ᎏ ⱕ x ⱕ 3冥 7

Risolvi i seguenti problemi. 100 Il noleggio di un’automobile costa € 60 al giorno più € 1 per ogni km percorso. Qual è il massimo di kilometri da percorrere giornalmente per spendere non più di € 180 al giorno? [120 km] 101 In un triangolo la base è lunga (2 ⫹ 4x) cm e l’altezza 20 cm. Determina x in modo tale che il triangolo ab[0 ⱕ x ⬍ 2] bia area minore di quella del quadrato che ha per lato la metà dell’altezza. 102 Nella soluzione di cinque test Mauro ha riportato i seguenti punteggi: 87, 69, 78, 71, 80. Che punteggio deve riportare nel sesto test per avere una media complessiva maggiore di 75? [x ⬎ 65] 103 Indicata con x la misura degli angoli congruenti di un triangolo isoscele, sapendo che l’angolo al vertice è maggiore di 30°, esprimi, attraverso una disequazione, quali valori può assumere x. [0° ⬍ x ⬍ 75°] 104 Le dimensioni di un rettangolo sono (5 ⫹ 9x) cm e 8 cm. Trova x, sapendo che l’area del rettangolo deve essere minore di quella di un quadrato di lato 20 cm. 5 ⫺ ᎏᎏ ⬍ x ⬍ 5 9 105 Sia x la misura in gradi di un angolo acuto di un triangolo rettangolo; sapendo che l’altro angolo acuto è maggiore del doppio di x, determina quali valori può assumere x. [0° ⬍ x ⬍ 30°]

冤

冥

505

CAPITOLO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI LINEARI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA 106

䉴 15 esercizi in più

TEST La nonna Lucia ha portato un cestino con 120 ciliegie ai suoi tre nipoti, Jacopo di 4 anni, Martino di 7 anni e Duccio di 9 anni. La nonna distribuisce tutte le ciliegie ai nipoti secondo questo criterio: dà a ciascun nipote un numero di ciliegie ottenuto moltiplicando l’età del nipote per un certo fattore, e questo fattore è lo stesso per tutti e tre i nipoti. Quante ciliegie vengono date a Jacopo? A

107

Nel sito:

20

B

21

C

22

D

23

E

24

Due candele della stessa altezza vengono accese simultaneamente. La prima si consuma completamente in 4 ore, la seconda in 3 ore. Supponendo che le candele brucino uniformemente, dopo quanto tempo, dal momento dell’accensione, la prima candela è alta il doppio della seconda? (Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1994)

[2 ore e 24 minuti]

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2005)

108 Date le due equazioni k(k ⫺ 2)x ⫽ 2k ⫹ k 2 e k 2x ⫺ 2kx ⫺ k ⫽ 0, determina per quali valori di k la differenza fra la soluzione della prima e quella della seconda equazione è minore o uguale a 2. [(k ⬍ 2 ∧ k ⫽ 0) ∨ k ⱖ 5] 109 La superficie totale di un cilindro misura 18␲ cm2. Il suo raggio r di base può misurare 4 cm? Quali valori può assumere r ? [no; 0 ⬍ r ⬍ 3]

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

110 Solve the inequality 3x ⫺ 7 ⬍ 2, x 僆 R, and indicate the solution set on the number line. (IR Leaving Certificate Examination, Ordinary Level, 1994)

What would her answer have been had she worked out the problem correctly? A

15

[x ⬍ 3] 111 Solve the given inequalities, graph the solution set on a number line, and write the solution in interval notation. a) 2x ⫺ 3 ⱖ 9 ⫹ 3x; b) 2x ⫹ 5 ⬎ 10 or 2x ⫹ 5 ⬍ ⫺ 10; c) ⫺ 3 ⱕ 4x ⫹ 1 ⬍ 5.

䉴 10 esercizi in più

B 34 C 43 D 51 E 138 (USA American Mathematics Contest 10, AMC 10, Sample Questions, 2002)

114 TEST Tim buys apples at three for $ 1. He resells them at five for $ 2. Assuming that he resells every apple that he buys, how many apples must Tim buy in order to make a profit of $ 10?

(USA Tacoma Community College, Review for Test, 2002)

A 75 B 150 C 225 D 300 E 375 (USA University of South Carolina: High School Math Contest, 2005)

冤a)]⫺⬁, ⫺12]; b) 冥⫺⬁, ⫺ ᎏ12ᎏ5 冤 冥ᎏ25ᎏ , ⫹⬁冤; c) [⫺1, 1[冥

115 The ages, in years, of a group of pupils in a school are as follows:

112 TEST If a ⬍ b and c ⬍ d, which of the following statements is ALWAYS true? A B

ac ⬍ bd a b ᎏᎏ ⬍ ᎏᎏ c d a⫹b⬍c⫹d

D

a⫺b⬍d⫺c

E

a⫹b⬎c⫹d

C (USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th Annual Mathematics Contest, 1995)

113 TEST Cindy was asked by her teacher to subtract 3 from a certain number and then divide the result by 9. Instead, she subtracted 9 and then divided the result by 3, giving an answer of 43.

506

14, 11, 13, 12, 11, x, 13, 14. If the average age of the group is 12.5 years, find the value of x. (IR Leaving Certificate Examination, Alternative-Ordinary Level, 1994)

[x ⫽ 12] GLOSSARY

age: età apple: mela average: media to buy: comperare to graph: rappresentare graficamente

inequality: disequazione pupil: alunno to resell: rivendere statement: enunciato to subtract: sottrarre

CAPITOLOTEORIA

Introduzione alla statistica

␣ Partite di calcio Il calcio è lo sport più seguito e amato in Italia. Le partite del campionato appassionano migliaia di tifosi, spesso disposti ad andare anche in trasferta pur di seguire la propria squadra del cuore… …è vero che è più facile vincere una partita in casa che in trasferta?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. ␣20

1. I dati statistici ■ La statistica induttiva e la statistica descrittiva Immagina di parlare con uno sconosciuto e di raccogliere informazioni sulle sue abitudini, i suoi gusti, il suo stato di salute. Potresti dedurre un ritratto significativo di questa persona.

◗ La statistica ha questo nome perché all’inizio essa studiava principalmente i dati utili al governo degli Stati.

Se raccogliessi le stesse informazioni per molte persone, diciamo mille, potresti fare, in qualche modo, un ritratto del gruppo? Può essere vantaggioso raggruppare e sintetizzare i dati: in questo modo si rinuncia a parte dell’informazione che essi contengono, ma si guadagna in leggibilità e facilità di interpretazione. In particolare si possono elaborare tanti dati relativi a individui singoli per trarne informazioni sulla popolazione nel suo complesso. A seconda poi di come questi dati vengono raggruppati è possibile studiare aspetti diversi del problema in esame.

◗ A volte anche molte informazioni possono essere inutili, se non sono ben organizzate.

La statistica si occupa proprio dei modi di raccogliere e analizzare dati relativi a un certo gruppo di persone (gli studenti di una scuola, gli abitanti di un quartiere, gli elettori di una regione ecc.) o di oggetti (le automobili, i dischi, i libri ecc.), per trarne conclusioni e fare previsioni.

1

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

Le fasi fondamentali di un’indagine statistica sono quindi: ● ●

◗ Il campione deve essere attendibile: per esempio, se si sta eseguendo un’indagine per verificare o meno il successo di una trasmissione televisiva, l’intervistato non deve essere qualcuno che lavora per quella trasmissione.

il rilevamento dei dati; l’elaborazione dei dati.

Il gruppo preso in considerazione viene anche detto popolazione o universo. Se la rilevazione dei dati viene effettuata su tutta la popolazione, si definisce censimento. Spesso viene presa in esame soltanto una parte della popolazione, detta campione, scelta in modo che rappresenti l’intero gruppo. La raccolta di tipo globale è più significativa di quella campionaria, ma può essere molto lunga e costosa nel caso di popolazioni numerose. Per questo la maggior parte delle raccolte dati è di tipo campionario. Le tecniche utilizzate per la raccolta dei dati possono essere l’intervista diretta o indiretta. Nel caso di intervista indiretta, si possono ottenere le informazioni volute facendo compilare un questionario che viene poi spedito o consegnato a un incaricato dall’intervistato (pensa, per esempio, al censimento). Si propongono di solito questionari anonimi con la sola richiesta dell’indicazione del sesso e dell’età. Una volta raccolti i questionari compilati, ●

●

● ● ●

li si conta per sapere il numero effettivo delle unità che costituiscono il campione; si contano le diverse risposte date a ciascuna domanda predisponendo tabelle di spoglio; si rappresentano graficamente i dati; si elaborano i dati con i metodi matematici più opportuni; si interpretano i dati e si traggono conclusioni che possano essere valide per tutta la popolazione.

I metodi per ottenere risultati soddisfacenti nel delicato procedimento di passaggio dal campione alla popolazione sono studiati da quella parte della statistica detta statistica induttiva (o inferenza statistica). In questo capitolo ci limiteremo a studiare alcuni degli strumenti matematici utilizzati per descrivere i dati relativi a un certo gruppo scelto come popolazione. In questo caso si parla di statistica descrittiva.

■ I caratteri qualitativi e i caratteri quantitativi Gli elementi di una popolazione si chiamano anche unità statistiche. È possibile studiare diverse caratteristiche di tali unità, e ogni caratteristica rappresenta un carattere della popolazione. Ogni carattere viene descritto mediante le modalità con cui esso si può manifestare. I caratteri possono essere di due tipi: ● ●

␣

2

qualitativi, se le loro modalità sono descritte da attributi; quantitativi, se le loro modalità sono descritte da numeri.

Paragrafo 1. I dati statistici

TEORIA

ESEMPIO

1. Il carattere «sesso» ha due modalità: «maschile» e «femminile». Si tratta di un carattere qualitativo. 2. Il carattere «mezzo di trasporto» ha più modalità: «treno», «autobus», «motorino», ... Si tratta di un carattere qualitativo. 3. Il carattere «età» ha più modalità: 14, 15, 16, ... (se espresso in anni). Si tratta di un carattere quantitativo.

DAI CENSIMENTI AI SONDAGGI D’OPINIONE L’utilizzo di dati statistici per ottenere informazioni utili per il governo degli Stati, quali il numero di abitanti, di soldati, di addetti ai vari mestieri ecc., risale ai popoli antichi, in particolare ai Cinesi e agli Egizi. Nella Bibbia sono descritti diversi censimenti fra gli Ebrei, tra i quali il più noto è quello di Mosè nel deserto del Sinai. Anche i Romani fecero diversi censimenti, uno di questi è quello durante il quale nacque Gesù. Un passo avanti nell’elaborazione statistica si ebbe in Inghilterra, intorno alla metà del Seicento, con l’«aritmetica politica», principalmente a opera del matematico John Graunt (1620-1674). A causa delle pestilenze a Londra venivano pubblicate settimanalmente le liste delle morti e quelle delle nascite. Graunt utilizzò quel materiale osser-

vando, attraverso il calcolo di percentuali, regolarità come il maggior numero di nascite maschili rispetto a quelle femminili, il legame fra suicidi e professioni, la diminuzione delle nascite nei periodi di carestia. Era la prima volta che venivano cercate relazioni fra i dati raccolti. Un altro momento importante nella storia della statistica si ebbe quando, nell’Ottocento, i matematici trovarono un collegamento con la probabilità. Infine, è dell’ultimo secolo lo sviluppo sempre più ampio della statistica come scienza matematica a sé stante. L’applicazione di tale scienza, mediante indagini a campione, investe i campi più diversi, dai fenomeni sociali a quelli meteorologici. L’Istituto nazionale di Statistica (ISTAT) è dal 1926 l’organo ufficiale italiano per le informazioni statistiche (www.istat.it).

■ Le tabelle di frequenza DEFINIZIONE

La frequenza di una modalità è il numero di volte in cui si presenta. ESEMPIO In un questionario abbiamo chiesto ai 28 studenti di una classe di indicare con le seguenti lettere i mezzi di trasporto con cui vanno di solito a scuola:

A: automobile; P: a piedi; B: autobus o pullman;

M: motorino o scooter; C: bicicletta.

Abbiamo ottenuto i seguenti risultati: A, B, M, M, P, A, A, B, P, B, C, A, B, B, B, C, P, B, A, C, C, A, M, B, M, B, A, C. Contiamo quante volte si presenta ciascuna modalità, ovvero la sua frequenza. Costruiamo la seguente tabella di frequenza.

3

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

䉴

Tabella 1

◗ L’insieme delle coppie ordinate di cui il primo elemento è la modalità e il secondo la frequenza corrispondente viene detto distribuzione di frequenza.

DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE MODALITÀ

FREQUENZA

automobile

7

a piedi

3

autobus/pullman

9

motorino/scooter

4

bicicletta

5

totale delle unità statistiche

28

Spesso interessa il valore della frequenza confrontato con il numero totale delle unità statistiche. Infatti siamo in situazioni diverse se, per esempio, la frequenza di una modalità è 7 rispetto a un totale di 28 o se, invece, è 7 rispetto a un totale di 280. Per questo motivo viene calcolata la frequenza relativa, di cui diamo la definizione. DEFINIZIONE

Frequenza relativa La frequenza relativa di una particolare modalità è il rapporto fra la frequenza della modalità stessa e il numero totale delle unità statistiche.

frequenza relativa

frequenza

F f = — T totale delle unità statistiche

Nell’esempio precedente la frequenza della modalità «automobile» è 7, ossia 7 studenti su 28 raggiungono la scuola in automobile; pertanto la frequenza relativa è 7 1 f ⫽  ⫽  ⫽ 0,25. 28 4 La frequenza relativa può essere espressa anche in percentuale, moltiplicandola per 100: la frequenza percentuale della modalità automobile è 25%. Questo significa che, in una distribuzione con le stesse caratteristiche di quella data, su un campione di 100 studenti 25 vanno a scuola in automobile. 䉴

Tabella 2

◗ Le frequenze relative percentuali delle tabelle sono approssimate alle unità.

DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE RELATIVE MODALITÀ

FREQUENZA

FREQUENZA RELATIVA

FREQUENZA RELATIVA PERCENTUALE

automobile

7

1/4

25%

a piedi

3

3/28

11%

autobus/pullman

9

9/28

32%

motorino/scooter

4

1/7

14%

bicicletta

5

5/28

18%

28

1

100%

totale

La somma delle frequenze relative alle diverse modalità è 1, in percentuale è 100%.

␣

4

Paragrafo 1. I dati statistici

■ Le classi di frequenza

䉲

Studiamo l’altezza di un gruppo di studentesse di 15 anni (tabella 3).

TEORIA

Tabella 3

GRUPPO A: ALTEZZA NUMERO D’ORDINE

MISURA ALTEZZA (in metri)

1

1,56

2

1,64

3

1,62

4

1,68

5

1,69

6

1,76

7

1,75

8

1,72

9

1,61

Di solito l’estremo inferiore di ciascuna classe viene considerato escluso dalla classe, mentre quello superiore incluso. Per esempio, nella tabella 4 il valore 1,60 è relativo alla classe 1,55-1,60 e non alla classe 1,60-1,65.

10

1,69

11

1,65

12

1,73

Il raggruppamento in classi fornisce meno informazioni (per esempio, non sappiamo quanto misurano esattamente le 7 altezze comprese fra 1,65 e 1,70 m), però fornisce una sintesi più leggibile del fenomeno.

13

1,68

14

1,67

15

1,66

Di ogni classe è spesso utile calcolare il valore centrale, che si ottiene dividendo per 2 la somma degli estremi della classe. Per esempio, il valore centrale della classe 1,60-1,65 è (1,60 ⫹ 1,65)/2, ossia 1,625.

16

1,60

17

1,64

18

1,67

19

1,74

In casi come questo, è utile raggruppare le modalità in classi, determinando la frequenza di ogni classe. Nella tabella seguente consideriamo cinque classi. 䉲

Tabella 4

CLASSI DI FREQUENZA CLASSE

FREQUENZA

FREQUENZA RELATIVA PERCENTUALE

1,55-1,60

2

11%

1,60-1,65

5

26%

1,65-1,70

7

37%

1,70-1,75

4

21%

1,75-1,80

1

5%

■ Dalle frequenze relative alle frequenze Se vengono forniti le frequenze relative f e il numero totale T delle unità statistiche, è possibile calcolare le frequenze F di ogni modalità: F ⫽ f ⭈ T. La frequenza di una modalità è il prodotto tra la frequenza relativa e il numero totale delle unità statistiche.

F ◗ Infatti, essendo f ⫽  , T conoscendo f e T, possiamo ricavare F . ◗ 27% ⫽ 27 : 100 ⫽ 0,27.

ESEMPIO Se sappiamo che, in un campione di 3500 persone, il 27% ha guardato una certa trasmissione televisiva, il numero delle persone del campione che ha guardato la trasmissione è 0,27 ⭈ 3500 ⫽ 945.

■ Le serie statistiche Le tabelle che riportano nella prima colonna le modalità di un carattere qualitativo vengono dette serie statistiche. Nella seconda colonna può comparire o il numero di volte in cui una modalità si presenta ( frequenza) o la sua misura (intensità). Anche l’intensità, infatti, può essere considerata come un tipo particolare di frequenza.

5

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

◗ La tabella 5 riporta, per ogni tipo di scuola, il numero di iscritti nell’anno scolastico 2006-2007 (frequenza). La tabella 6 riporta, per quattro famiglie, il reddito annuo nel 2008 (intensità).

PREZZO DI UN PRODOTTO

䉱

ANNO

PREZZO (€)

2006

5,81

2007

6,41

2008

6,61

2009

6,21

2010

6,81

Tabella 7

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA NUMERO FREQUENZA DIPENDENTI

䉱

2

2

3

8

4

6

5

2

totale

18

Tabella 8

䉴

Tabella 9

◗ Se vogliamo sapere quanti studenti hanno 7 in Tedesco e 8 in Inglese, leggiamo il valore che si trova all’incrocio fra la terza riga e la seconda colonna, ossia 1.

䉴

␣

6

Tabella 10

ESEMPIO NUMERO DI ISCRITTI PER SCUOLA (2006-2007)

REDDITO ANNUO PER FAMIGLIA (2008)

TIPO DI SCUOLA

NUMERO ISCRITTI

FAMIGLIA

Scuole materne

1 652 689

Rossi

27 000

Scuole elementari

2 820 150

Bruni

41 050

Scuole medie

1 730 031

Bianchi

37 820

Scuole superiori

2 735 135

Neri

29 400

䉱

Tabella 5

䉱

REDDITO (€)

Tabella 6

Un tipo particolare di serie statistiche è costituito dalle serie storiche. Le serie storiche mostrano la successione dei valori che un fenomeno assume in tempi successivi. Hai un esempio nella tabella 7.

■ Le seriazioni statistiche Le tabelle che riportano nella prima colonna un carattere quantitativo vengono dette seriazioni statistiche. Le modalità di un carattere quantitativo possono essere discrete (se possono assumere soltanto valori ben definiti) o continue (se possono assumere un qualsiasi valore all’interno di un intervallo preso nell’insieme dei numeri reali). Nella seconda colonna compare la frequenza, cioè il numero di volte in cui si presenta la relativa modalità. Hai un esempio nella tabella 8.

■ Le tabelle a doppia entrata Nella tabella 9 riportiamo il voto finale in Inglese e in Tedesco dei quindici alunni promossi di una classe. NUMERO D’ORDINE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

VOTO IN INGLESE

7 6 8 6 8 7 7 8 8

6

6

6

7

7

7

VOTO IN TEDESCO

8 6 6 6 6 7 8 7 9

6

7

6

7

6

8

Per interpretare l’andamento dei due voti possiamo procedere alla costruzione di una tabella che può essere letta sia nel senso delle righe sia nel senso delle colonne (tabella 10). Questa tabella a doppia entrata VOTO IN permette di conoscere quanti sono TEDESCO 6 7 8 9 gli alunni che hanno un determina- VOTO IN to voto in Inglese e in Tedesco, ma INGLESE 6 4 1 anche di leggere immediatamente quanti sono gli alunni che hanno un 7 1 2 3 certo voto in Tedesco e contempo8 2 1 1 raneamente un altro voto in Inglese.

Paragrafo 2. La rappresentazione grafica dei dati

TEORIA

Le tabelle a doppia entrata ci permettono l’osservazione delle unità statistiche sotto due modalità. Quando entrambe le modalità sono quantitative, come nell’esempio precedente, si hanno tabelle di correlazione. Se almeno una delle modalità è qualitativa, si hanno tabelle di contingenza.

2. La rappresentazione grafica dei dati ■ L’ortogramma

■ L’istogramma Per rappresentare la distribuzione della tabella 4, riportiamo sull’asse orizzontale i valori degli estremi delle classi, ottenendo così dei segmenti le cui lunghezze rappresentano le ampiezze degli intervalli (figura 2). Disegniamo poi dei rettangoli che hanno per basi tali segmenti e la cui area è proporzionale alla frequenza della classe. Otteniamo così una rappresentazione detta istogramma. Se le classi, come nel nostro esempio, hanno tutte la stessa ampiezza, anche in un istogramma, come in un ortogramma, è sufficiente prendere rettangoli con le altezze proporzionali alle frequenze. Se in un istogramma si congiungono i punti medi dei lati superiori dei rettangoli, si ottiene una spezzata, chiamata anche poligono delle frequenze (figura 3). Ogni vertice del poligono delle frequenze corrisponde al valore centrale di una classe.

bicicletta

motorino/ scooter

autobus / pullman

9 8 7 6 5 4 3 2 1

a piedi

numero di studenti (frequenza)

automobile

Riportiamo le frequenze della tabella 2 su un asse verticale. Sull’asse orizzontale segniamo tanti segmenti quante sono le modalità, tutti della stessa lunghezza. Per ogni segmento tracciamo un rettangolo che ha per altezza la corrispondente frequenza (figura 1). La rappresentazione che otteniamo è detta ortogramma. In esso a ogni frequenza corrisponde un rettangolo che ha l’altezza proporzionale alla frequenza stessa.

modalità di trasporto 䉱

Figura 1 Un ortogramma.

䉲

Figura 2 Un istogramma.

numero di studentesse (frequenza) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 misura dell’altezza (m) 䉳

Figura 3

numero di studentesse (frequenza) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

poligono delle frequenze

1,525 1,575 1,625 1,675 1,725 1,775 1,825

misura dell’altezza (m)

◗ Il termine «poligono», per indicare il poligono delle frequenze, è usato impropriamente, perché indica una spezzata aperta (e non chiusa).

7

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

◗ Per esempio, nell’istogramma della figura 3, consideriamo anche 1,525 e 1,825.

Se le classi hanno la stessa ampiezza, di solito si considerano come vertici della spezzata anche i punti corrispondenti ai valori centrali delle classi immediatamente precedenti e immediatamente successive a quelle per le quali la frequenza è diversa da 0. Queste classi hanno frequenza 0. Si può verificare che in tal modo la somma delle aree dei rettangoli dell’istogramma è uguale all’area delimitata dall’asse orizzontale e dal poligono delle frequenze (figura 4). 䉴 Figura 4 La somma delle aree dei rettangoli di un istogramma è uguale all’area sottostante il poligono delle frequenze.

8 7 6 5 4 3 2 1 0

■ L’areogramma Questo tipo di grafico, detto anche diagramma circolare o diagramma a torta, è particolarmente utile per rappresentare le frequenze relative percentuali. Un cerchio viene suddiviso in tanti settori circolari, ognuno dei quali corrisponde a una classe. Gli angoli al centro dei diversi settori hanno ampiezza proporzionale alle frequenze percentuali. 䉴 Figura 5 Frequenze relative percentuali dell’altezza delle studentesse.

Consideriamo le frequenze relative percentuali dell’altezza delle studentesse nella tabella 4. Per determinare l’ampiezza x del settore corrispondente alla frequenza 26% scriviamo la seguente proporzione:

ESEMPIO

x  360° ⫽ 26  100 → 360° ⭈ 26 → x ⫽  ⫽ 93,6°. 100

1,75 - 1,80

1,55 - 1,60 5% 11%

21%

93,6° 26%

37% 1,70 - 1,75

1,60 - 1,65

1,65 - 1,70

Il settore ha l’angolo al centro di 93,6°. Allo stesso modo si ricavano le ampiezze degli altri settori.

■ I diagrammi cartesiani Consideriamo la seguente distribuzione di frequenze, che descrive quante imprese artigiane, fra quelle scelte come campione, hanno un certo numero di dipendenti (tabella 11). Riportiamo sull’asse delle ascisse il numero dei dipendenti delle imprese artigiane e sull’asse delle ordinate le frequenze. Dopo aver segnato i punti, li colleghiamo, e la spezzata che otteniamo mette in risalto la forma della distribuzione delle frequenze.

␣

8

Paragrafo 2. La rappresentazione grafica dei dati

NUMERO DIPENDENTI IMPRESE ARTIGIANE

FREQUENZE

2

2

3

8

4

6

5

2

䉱

䉳 Figura 6 La spezzata descrive la forma della distribuzione delle frequenze.

frequenza 10

Tabella 11

TEORIA

8 6 4 2 0

0 1 2 3 4 5 6 numero dipendenti imprese artigiane

Con i diagrammi cartesiani si rappresentano spesso i fenomeni storici, dove la spezzata evidenzia l’andamento di un fenomeno nel tempo. ANNI

PREZZO (€)

2006

5,81

2007

6,41

2008

6,61

2009

6,21

2010

6,81

䉱

prezzo 7 6,5 6 5,5 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 anni

Tabella 12

䉳 Figura 7 La spezzata mette in evidenza l’andamento dei prezzi di un prodotto in tempi successivi.

■ Gli ideogrammi e i cartogrammi Gli ideogrammi utilizzano figure che richiamano il contenuto del fenomeno e ne danno una visione immediata. Le figure hanno dimensioni diverse, con aree proporzionali ai dati che rappresentano. Consideriamo la serie storica della tabella 13, che riporta il numero di automobili vendute da un concessionario. Possiamo così disegnare il seguente ideogramma. 䉳 Figura 8 Gli ideogrammi permettono una percezione immediata del fenomeno. Si nota subito che il numero di automobili vendute è stato sempre in aumento.

AUTOMOBILI VENDUTE ANNO

NUMERO AUTOMOBILI VENDUTE

2007

161

2008

194

2009

215

2010

257

䉱

Tabella 13

2007 2008 2009 2010

I cartogrammi sono grafici utilizzati per rappresentare dati relativi ad aree geografiche. Si costruiscono utilizzando una carta geografica del territorio considerato e segnando le varie aree con segni convenzionali o colori diversi. I cartogrammi sono frequentissimi sui libri di geografia e sugli atlanti. Ecco un esempio.

9

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

䉴 Figura 9 I colori (o i segni grafici) diversi indicano una diversa intensità o frequenza del fenomeno secondo una legenda convenzionale.

fino a 100 da 101 a 200 da 201 a 300 oltre 300

Numero di abitanti per kilometro quadrato

ESPLORAZIONE: IL FUMO FA MALE? Il fumo rappresenta uno dei principali fattori di rischio nell’insorgenza di numerose patologie cronico-degenerative che colpiscono in primo luogo l’apparato respiratorio e quello cardiovascolare. In chi smette di fumare, il rischio si riduce progressivamente fino ad avvicinarsi a quello dei non fumatori. Da un’indagine ISTAT (dicembre 2004 - marzo 2005) risulta che i fumatori sono il 22,3% della popolazione dai 14 anni in su. Sono il 28,5% dei maschi e il 16,6% delle femmine. Se il fumo non avesse nessuna incidenza sull’insorgenza del cancro al polmone, dovremmo aspettarci di trovare le stesse percentuali di fumatori e di non fumatori anche tra i morti per tumore al polmone. Osserviamo invece i dati riassunti nei grafici in basso. Tra le persone che muoiono ogni anno di cancro al polmone, i fumatori sono circa il 90%. Si può quindi dedurre che il fumo è un fattore di rischio che favorisce l’insorgenza di questa malattia. Popolazione totale

Morti per cancro al polmone 10%

22,3% 77,7%

fumatori non fumatori

90%

fumatori non fumatori

䉱 Percentuali di fumatori e non fumatori nella popolazione totale e tra i morti per cancro al polmone.

␣

10

IN CINQUE SLIDE

Il tabagismo è diffuso in maniera differente tra uomini e donne. Cerca dati in Internet, in particolare sulla mortalità per tumore al polmone nei malati di sesso maschile e in quelli di sesso femminile. Sintetizza le informazioni trovate in grafici da mostrare ai tuoi compagni in una presentazione multimediale.

Cerca nel web: diffusione fumo, uomini, donne, mappe mortalità, prevenzione.

Paragrafo 3. Gli indici di posizione centrale

TEORIA

3. Gli indici di posizione centrale In statistica si cerca di riassumere una serie di dati con un valore medio (compreso tra il minimo e il massimo valore della distribuzione) che possa esprimere sinteticamente il fenomeno. Esistono medie di calcolo, che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione (media aritmetica, media ponderata, media geometrica, media armonica e media quadratica), e medie di posizione, che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori (mediana e moda).

■ La media aritmetica Supponiamo di voler confrontare l’altezza del gruppo A di studentesse del paragrafo 1 con quella delle studentesse di un secondo gruppo (chiamiamolo gruppo B), di cui riportiamo i valori nella tabella 14. Affiancando le tabelle delle frequenze dei due gruppi (tabella 15), scopriamo che non è facile effettuare un confronto.

䉲

Tabella 14

GRUPPO B: ALTEZZA NUMERO MISURA D’ORDINE DELL’ALTEZZA IN METRI

1

1,77

2

1,69

3

1,69

4

1,73

5

1,62

6

1,70

7

1,68

8

1,64

9

1,76

Calcolando, invece, la media aritmetica relativa ai due gruppi di dati, otteniamo un’informazione sintetica della distribuzione dei dati.

10

1,68

11

1,72

DEFINIZIONE

12

1,75

13

1,68

14

1,77

15

1,73

16

1,66

䉲

Tabella 15

CONFRONTO DELLE FREQUENZE CLASSE

FREQUENZA GRUPPO B

FREQUENZA GRUPPO A

1,55-1,60

0

2

1,60-1,65

2

5

1,65-1,70

7

7

1,70-1,75

4

4

1,75-1,80

3

1

Media aritmetica La media aritmetica M di n numeri x 1, x 2 , ..., x n è il quoziente fra la loro somma e il numero n.

somma dei valori x1 + x2 + … + xn M = ———————— n media aritmetica

numero dei valori

La media aritmetica M A del gruppo A è 1,56 ⫹ 1,64 ⫹ 1,62 ⫹ ... ⫹ 1,64 ⫹ 1,67 ⫹ 1,74 M A ⫽  ⯝ 1,672, 19 mentre la media aritmetica dei dati del gruppo B è 1,77 ⫹ 1,69 ⫹ 1,69 ⫹ ... ⫹ 1,77 ⫹ 1,73 ⫹ 1,66 M B ⫽  ⯝ 1,704. 16

Poiché M B ⬎ M A, possiamo dire che le studentesse del gruppo B hanno mediamente un’altezza maggiore di quelle del gruppo A.

11

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

◗ La media aritmetica di n numeri è quel numero che, sostituito a ciascuno di essi, lascia invariata la somma totale.

La media aritmetica viene anche detta semplicemente media, in quanto è il tipo di media più semplice che si può definire. Negli esempi precedenti abbiamo utilizzato la media come valore di sintesi, ossia come un valore che riassume una caratteristica di un insieme di dati. Inoltre possiamo notare che, in questi esempi, la media si trova proprio nella zona della distribuzione dove si addensano maggiormente i risultati. Quando un valore di sintesi ha questa proprietà, diciamo che è un buon indice di posizione centrale. Come vedremo, non sempre la media è un buon indice di posizione centrale.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Tasse

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Le aliquote IRPEF determinano l’imposta progressiva sul reddito che un cittadino deve pagare all’erario. Nel 2004 il sistema di aliquote era: per il reddito fino a 15 000 euro, aliquota del 23%; da 15 001 a 29 000 euro, aliquota del 29%; da 29 001 a 32 600 euro, aliquota del 31%; da 32 601 a 70 000, aliquota del 39%; per i redditi superiori, aliquota del 45%. Quanto ha pagato all’erario un cittadino che nel 2004 ha guadagnato 40 000 euro? Qual è stata la sua aliquota media? BARBARA: ALDO:

«La prima domanda è davvero facile! Basta calcolare il 39% di 40 000 euro». «Ma perché allora parla di aliquota media?».

䉴 La soluzione proposta da Barbara non è equa. Mostralo con degli esempi. Com’è possibile rispondere alle domande proposte?

■ La media ponderata 䉲

Tabella 16

NUMERO DELLE RETI NELLE PRIME DUE GIORNATE DI CAMPIONATO

␣

RETI

FREQUENZA

0

2

1

0

2

7

3

3

4

4

5

2

6

2

12

Consideriamo la tabella 16, relativa al numero di reti per partita nelle prime due giornate di un campionato di calcio di serie A in cui si giocano 10 partite per ogni giornata. Calcoliamo la media: 0⫹0⫹2⫹2⫹2⫹2⫹2⫹2⫹2⫹3⫹3⫹3⫹4⫹4⫹4⫹4⫹5⫹5⫹6⫹6 M ⫽  . 20

Nel numeratore possiamo anche scrivere 0 ⭈ 2 ⫹ 2 ⭈ 7 ⫹ 3 ⭈ 3 ⫹ 4 ⭈ 4 ⫹ ⫹ 5 ⭈ 2 ⫹ 6 ⭈ 2: ogni numero di reti viene moltiplicato per la sua frequenza. La media è allora: 0⭈2⫹2⭈7⫹3⭈3⫹4⭈4⫹5⭈2⫹6⭈2 M ⫽  ⯝ 3,05. 2⫹7⫹3⫹4⫹2⫹2

Le frequenze rappresentano i diversi «pesi» che devono avere i singoli valori nel calcolo della media. Più grande è la frequenza di un valore, maggiore è l’influenza che esso ha sul valore medio.

Paragrafo 3. Gli indici di posizione centrale

TEORIA

La media calcolata in questo modo può essere considerata come caso particolare di un più generale tipo di media. DEFINIZIONE

Media aritmetica ponderata Dati i numeri x 1, x 2, ..., x n e associati a essi i numeri p 1, p 2, ..., p n, detti pesi, chiamiamo media aritmetica ponderata P il quoziente fra la somma dei prodotti dei numeri per i loro pesi e la somma dei pesi stessi.

somma dei prodotti dei valori per i loro pesi x1p1 + x2p2 + … + xnpn P = ——————————— p1 + p2 + … + pn

media aritmetica ponderata

◗ La media aritmetica è un caso particolare di media ponderata in cui tutti i pesi sono uguali a 1.

somma dei pesi

Se calcoliamo la media aritmetica ponderata nel caso di dati raggruppati in classi, possiamo assumere come valori x 1, x 2, ..., x n i valori centrali di ogni classe e come pesi le frequenze. In questo caso il valore ottenuto per la media aritmetica ponderata può essere diverso dalla media aritmetica dei dati. ESEMPIO

Calcoliamo la media aritmetica ponderata relativa alla tabella 15, gruppo A: 1,575 ⭈ 2 ⫹ 1,625 ⭈ 5 ⫹ 1,675 ⭈ 7 ⫹ 1,725 ⭈ 4 ⫹ 1,775 ⭈ 1 P ⫽  ⯝ 1,667. 2⫹5⫹7⫹4⫹1

Il valore ottenuto è diverso, anche se di poco, dalla media aritmetica 1,672, in quanto in ogni classe abbiamo sostituito ai valori della classe il valore centrale moltiplicato per la relativa frequenza.

◗ 1,672 si ottiene facendo la somma delle singole altezze e dividendo per 19.

La media ponderata tuttavia è particolarmente significativa quando i pesi servono per indicare l’importanza dei diversi valori. ESEMPIO

Ai cinque quesiti di una prova sommativa viene attribuita una diversa importanza. I punti ottenuti per ogni quesito da uno studente sono quelli della tabella 17, dove sono anche riportati i pesi da attribuire a ciascun quesito. Calcoliamo la media ponderata:

PUNTI OTTENUTI PESATI PUNTI

2 ⭈ 1 ⫹ 4 ⭈ 2,5 ⫹ 4 ⭈ 1 ⫹ 2 ⭈ 1 ⫹ 8 ⭈ 2,5 P ⫽  ⫽ 4,75. 1 ⫹ 2,5 ⫹ 1 ⫹ 1 ⫹ 2,5

Il valore che otteniamo è maggiore di quello della media aritmetica semplice (M ⫽ 4), perché i punteggi più alti sono stati conseguiti nei quesiti ai quali è stata data maggiore importanza.

䉱

PESO

2

1,5

4

2,5

4

1,5

2

1,5

8

2,5

Tabella 17

13

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

■ La mediana Consideriamo i sette valori seguenti: 8, 12, 7, 9, 4, 10, 55. Calcoliamo la media aritmetica: 8 ⫹ 12 ⫹ 7 ⫹ 9 ⫹ 4 ⫹ 10 ⫹ 55 M ⫽  ⫽ 15. 7 15 non è un buon indice di posizione centrale in quanto tutti i numeri, tranne 55, sono minori di 15. È proprio la presenza del numero 55, molto maggiore degli altri, che «sposta» il valore medio rispetto alla posizione centrale. Preferiamo allora scegliere un indice di posizione centrale nel seguente modo: ●

disponiamo i numeri in ordine crescente (o decrescente): 4, 7, 8, 9, 10, 12, 55;

◗ La mediana di una sequenza dispari di numeri suddivide la sequenza in due gruppi contenenti lo stesso numero di elementi.

●

scegliamo il valore 9, che sta al centro. Tale valore è detto mediana.

Si può determinare la mediana anche nel caso in cui il numero dei dati è pari. Cerchiamo, per esempio, la mediana degli otto valori seguenti: 36, 22, 41, 8, 33, 46, 38, 44. Dopo averli disposti in ordine crescente, 8, 22, 33, 36, 38, 41, 44, 46, prendiamo come mediana la media dei due valori centrali, 36 e 38. 36 ⫹ 38 La mediana è:  ⫽ 37. 2 DEFINIZIONE

Mediana Data la sequenza ordinata di n numeri x 1, x 2 , ..., x n , la mediana è: ● ●

il valore centrale, se n è dispari; la media aritmetica dei due valori centrali, se n è pari.

mediana 21 , 22 , 26 , 28 , 35 24

21 , 22, 26 , 28 mediana ↓ ↓ 22 + 26 ———— = 24 2

■ La moda Consideriamo i valori 3, 8, 2, 3, 5, 1, 7, 3, 5, 3, 15, 2, 10, 3, 12, 4 e ordiniamoli in senso crescente: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8, 10, 12, 15. Osserviamo che il 3 ha una frequenza molto maggiore rispetto agli altri e che vicino al 3 si trovano molti degli altri valori presenti. In questo caso si preferisce assumere come indice di posizione centrale tale numero, che viene chiamato moda.

␣

14

Paragrafo 4. Gli indici di variabilità

TEORIA

DEFINIZIONE

Moda Dati i numeri x 1, x 2, ..., x n , si chiama moda il valore a cui corrisponde la frequenza massima.

50 , 100 , 200 , 200 , 200 , 300 , 300 moda

La moda indica il valore più «presente» nella distribuzione. Ci sono serie di dati che hanno più di una moda. Consideriamo, per esempio, i risultati di un compito in classe riportati nella tabella 18. La distribuzione risulta bimodale, avendo per moda sia 5 sia 7. Ciò significa che nella classe si possono distinguere due gruppi di studenti: uno ha ben compreso gli argomenti del compito, l’altro ha bisogno di studiarli ancora! Questo tipo di informazione sarebbe andato perso se avessimo riassunto i risultati del compito con la media o la mediana, che, come puoi verificare, valgono entrambe 6.

VOTI DI UN COMPITO

4 5 6 7 8 FREQUENZA 2 9 3 9 1 VOTI

䉱

Tabella 18

◗ Bimodale significa «che ha due mode».

Possiamo calcolare la moda anche nel caso di distribuzioni di frequenze i cui valori sono raggruppati in classi. In tal caso si parla di classe modale.

4. Gli indici di variabilità Consideriamo due sequenze di valori: a. 12, 24, 32, 43, 56, 74, 88; b. 42, 43, 44, 46, 49, 52, 53. Esse sono costituite dallo stesso numero di valori e, per entrambe, la media è 47. Tuttavia, la distribuzione dei valori intorno al valore medio 47 è diversa per le due sequenze: i valori della seconda sequenza sono più vicini al valore medio, mentre quelli della prima sono più sparsi. In statistica, per indicare questo fatto, si dice che le due sequenze hanno diversa dispersione o variabilità. Per misurare la variabilità si usano indici di variabilità quali il campo di variazione, lo scarto semplice medio e la deviazione standard.

■ Il campo di variazione DEFINIZIONE

Campo di variazione Il campo di variazione di una sequenza di numeri è la differenza fra il numero maggiore e quello minore.

x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn xn − x1

campo di variazione

◗ Nella sequenza a il campo di variazione è 88 ⫺ 12 ⫽ 76, nella sequenza b è 53 ⫺ 42 ⫽ 11.

15

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

■ Lo scarto semplice medio Il campo di variazione non è un indice molto accurato, in quanto tiene conto soltanto del primo e dell’ultimo valore e non di quelli intermedi. Consideriamo altre due sequenze di numeri: c. 1, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 12; d. 1, 1, 1, 1, 2, 10, 10, 11, 11, 12. Esse hanno lo stesso numero di valori, lo stesso valore medio, 6, e lo stesso campo di variazione, 11. Tuttavia i valori della sequenza d sono più lontani dal 6 di quelli della sequenza c. Cerchiamo un indice che permetta di rilevare questa differenza. Per ogni valore di c calcoliamo lo scarto assoluto dalla media, che è la differenza in valore assoluto fra il valore stesso e la media. Indichiamo con S 1 il primo scarto, con S 2 il secondo e così via. S 1 ⫽ 兩 1 ⫺ 6兩 ⫽ 5,

S 6 ⫽ 兩6 ⫺ 6兩 ⫽ 0,

S 2 ⫽ 兩 4 ⫺ 6兩 ⫽ 2,

S 7 ⫽ 兩7 ⫺ 6兩 ⫽ 1,

S 3 ⫽ 兩 5 ⫺ 6兩 ⫽ 1,

S 8 ⫽ 兩7 ⫺ 6兩 ⫽ 1,

S 4 ⫽ 兩 5 ⫺ 6兩 ⫽ 1,

S 9 ⫽ 兩7 ⫺ 6兩 ⫽ 1,

S 5 ⫽ 兩 6 ⫺ 6兩 ⫽ 0,

S 10 ⫽ 兩12 ⫺ 6兩 ⫽ 6.

Calcoliamo ora la media aritmetica degli scarti, che chiamiamo scarto semplice medio. Lo indichiamo con S c , poiché è riferito alla sequenza c: 5⫹2⫹1⫹1⫹0⫹0⫹1⫹1⫹1⫹6 S c ⫽  ⫽ 1,8. 10 Il valore dello scarto semplice medio di 1,8 ci dice che, mediamente, i valori della sequenza si discostano di 1,8 dalla media. Ripetendo il procedimento per d, calcoliamo lo scarto semplice medio S d : 5⫹5⫹5⫹5⫹4⫹4⫹4⫹5⫹5⫹6 S d ⫽  ⫽ 4,8. 10 Osserviamo che S d è maggiore di S c : in d i valori sono mediamente più lontani dalla loro media. DEFINIZIONE

Scarto semplice medio Si chiama scarto semplice medio S di una sequenza di numeri x 1, x 2, ..., x n la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dei numeri stessi dalla loro media aritmetica M.

␣

16

⏐x1−M⏐ + ⏐x2−M⏐ + … + ⏐xn−M⏐ S = ——————————————— n scarto media dei semplice valori assoluti medio degli scarti

Paragrafo 4. Gli indici di variabilità

TEORIA

Osservazione. Gli scarti dalla media vanno presi in valore assoluto, perché ciò che interessa è lo scostamento di ogni dato dalla media e non se il dato è minore o maggiore del valore medio stesso. D’altra parte, la media aritmetica degli scarti, non considerati in valore assoluto, vale sempre 0. Infatti, indicati con x 1, x 2, ..., x n i diversi dati e con M la loro media aritmetica, la media degli scarti è: (x 1  M )  (x 2  M )  ...  (x n  M )  ⫽ n n volte

x 1  x 2  ...  x n  M  M  ...  M ⫽  ⫽ n x 1  x 2  ...  x n  nM x1 ⫹ x2 ⫹ ... ⫹ xn ⫽  ⫽  ⫺ M ⫽ n n ⫽ M ⫺ M ⫽ 0.

■ La deviazione standard Invece dello scarto semplice medio, si utilizza molto più spesso la deviazione standard, perché è un indice più sensibile del precedente, anche per piccole variazioni nella distribuzione dei dati intorno alla media. Consideriamo la sequenza di otto valori 4, 7, 9, 13, 14, 18, 21, 34, la cui media aritmetica è 15. Per ogni valore calcoliamo lo scarto e lo eleviamo al quadrato. I valori che si ottengono vengono detti scarti quadratici. (4 ⫺ 15) 2 ⫽ 121; (7 ⫺ 15) 2 ⫽ 64; (9 ⫺ 15) 2 ⫽ 36; (13 ⫺ 15) 2 ⫽ 4; (14 ⫺ 15) 2 ⫽ 1; (18 ⫺ 15) 2 ⫽ 9; (21 ⫺ 15) 2 ⫽ 36; (34 ⫺ 15) 2 ⫽ 361. Calcoliamo poi la media degli scarti quadratici, chiamata varianza:

◗ Si può dimostrare che la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è minima rispetto alla somma dei quadrati degli scarti da un qualsiasi altro numero.

121  64  36  4  1  9  36  361  ⫽ 79. 8 Otteniamo la deviazione standard eseguendo la radice quadrata della varianza. La indichiamo con la lettera greca ␴ (si legge «sigma»).   兹79 苶 ⯝ 8,8882. DEFINIZIONE

Deviazione standard La deviazione standard  di una sequenza di numeri x 1, x 2, ..., x n è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli scarti dei numeri stessi dalla loro media aritmetica.

(x1−M)2 + (x2−M)2 + … + (xn−M)2 σ = ——————————————— n deviazione media dei standard quadrati degli scarti

◗ La deviazione standard viene anche detta scarto quadratico medio.

17

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

■ La distribuzione gaussiana y

O

x

䉱 Figura 10 La curva di Gauss. Sull’asse x ci sono i valori, sull’asse y le relative frequenze.

◗ Per raggiungere il 99,99% si deve considerare 3,29 volte .

◗ In modo analogo si ricava che il 2,28% dei valori è maggiore di M  2 (o minore di M  2).

◗ È ovvio che il risultato va considerato in modo approssimato perché la popolazione non segue rigorosamente una distribuzione gaussiana, ma di solito ciò che si ottiene è abbastanza attendibile.

Consideriamo ancora la distribuzione relativa all’altezza di un gruppo di studentesse. Il suo poligono delle frequenze ha una forma particolare, detta anche «a campana». Se aumentassimo il numero dei risultati, prendendo in considerazione, per esempio, tutte le studentesse di una stessa scuola o quelle di più scuole, il poligono delle frequenze si avvicinerebbe sempre di più a una particolare curva teorica detta curva normale o gaussiana o di Gauss (figura 10). Il calcolo della deviazione standard assume particolare importanza nelle distribuzioni gaussiane, perché è collegato al modo con cui le frequenze si distribuiscono intorno al valore medio. Si può infatti dimostrare che se M è la media aritmetica di una distribuzione gaussiana e ␴ la sua deviazione standard, il 68,27% dei valori è compreso fra M ⫺ ␴ e M  , il 95,45% fra M  2 e M  2, e infine il 99,74% fra M  3 e M  3. Da queste informazioni, essendo la distribuzione simmetrica rispetto alla media, se ne possono ricavare altre. Per esempio, è vero che il 15,87% dei valori è maggiore di M  . Infatti, i valori maggiori di M   o minori di M   sono in percentuale 100  68,27, e quindi, per la simmetria della distribuzione, quelli maggiori di M   sono: 100  68,27   15,87. 2 La statura in una popolazione adulta composta da 24 000 000 di persone ha una distribuzione gaussiana. Sapendo che nella popolazione studiata la media è hM  1,75 m e la deviazione standard   0,05 m, quante persone hanno un’altezza compresa tra 1,70 m e 1,80 m? ESEMPIO

Poiché 1,70  1,75  0,05 e 1,80  1,75  0,05, la domanda chiede quante sono le persone con altezza compresa tra hM   e hM  ; sappiamo che sono il 68,27%: 68,27 24 000 000    16 384 800. 100

■ L’incertezza delle statistiche e l’errore standard Nella statistica induttiva con l’elaborazione dei dati di un campione si cercano informazioni su tutta la popolazione. In particolare, la media aritmetica campionaria, ossia la media aritmetica del campione, fornisce una stima appropriata della media aritmetica dell’intera popolazione, di cui è uno stimatore corretto. È intuibile che campioni estratti dalla stessa popolazione, anche se presi in modo da essere tutti rappresentativi, possano avere medie diverse. Questo è un esempio di come il passaggio dal campione alla popolazione comporti un’incertezza.

␣

18

Paragrafo 4. Gli indici di variabilità

TEORIA

Nel caso della media, questa incertezza è valutata con un indice di variabilità chiamato errore standard. La formula utilizzata per questo indice è: s sx ⫽  . 苶 兹n 苶苶 ⫺苶 1 ESEMPIO In

un magazzino, per un campione di 60 forme di ParmigianoReggiano si sono ottenuti, relativamente al peso in kilogrammi, i seguenti valori: 苶x ⫽ 21,4; s ⫽ 0,987. Calcoliamo l’errore standard sx : 苶 0,987 sx ⫽  ⯝ 0,128. 苶 兹5苶 9

Per stimare il valore della media della popolazione si può individuare un intervallo che lo contenga con una certa probabilità. Se al valore della media campionaria aggiungiamo e togliamo 3 volte il valore dell’errore standard, otteniamo un intervallo, detto intervallo di confidenza, che contiene il valore della media della popolazione con una probabilità del 99,74%. ESEMPIO

◗ Il simbolo s si usa per deviazioni standard di campioni, ␴ per quelle di intere popolazioni.

Nell’esempio precedente l’intervallo di confidenza è:

]21,4 ⫺ 3 ⭈ 0,128; 21,4 ⫹ 3 ⭈ 0,128[ ⫽ ]21,02; 21,78[. Nel magazzino, il valore medio del peso di una forma è compreso fra 21,02 e 21,78 kilogrammi con una probabilità del 99,74%. Si procede in modo analogo se si vuole stimare una percentuale di una caratteristica della popolazione. In questo caso, se f è la percentuale rilevata da un campione, l’errore standard è dato dalla formula: sf ⫽

◗ Indichiamo con 苶x la media aritmetica campionaria, con s la relativa deviazione standard e con n il numero di unità del campione.

莦f(1莦莦n⫺ 莦f )莦. 冪

◗ Si può dimostrare che le medie di tutti i campioni possibili hanno una distribuzione di tipo gaussiano. Se costruiamo l’intervallo con 2 volte l’errore standard, esso contiene il valore medio della popolazione con una probabilità del 95,45%; con 3,29 volte, la probabilità sale al 99,99%.

ESEMPIO Dopo lo spoglio dei voti in 800 seggi elettorali, un partito ha ottenuto il 12% dei voti e viene effettuata una proiezione sul risultato finale costruendo un intervallo di confidenza.

sf ⫽

⫺ 0,12) ⯝ 0,011, 莦0,1莦2莦⭈莦(莦810莦 冪 0 莦莦莦

]0,12 ⫺ 3 ⭈ 0,011; 0,12 ⫹ 3 ⭈ 0,011[ ⫽ ]0,087; 0,153[. È quindi molto probabile che la percentuale reale di voti per quel partito sia compresa fra l’8,7% e il 15,3%. Con il procedere dello spoglio, il numero dei seggi aumenta e, poiché nella formula dell’errore standard il numero di unità del campione è a denominatore, l’errore standard diminuisce, l’ampiezza dell’intervallo di confidenza si restringe e la percentuale diventa più attendibile.

◗ In casi come questo, per indicare l’intervallo di confidenza, si parla spesso di forbice. Per esempio, si dice: «La forbice è ancora troppo alta».

19

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

TEORIA

Partite di calcio …è vero che è più facile vincere una partita in casa che in trasferta?

–䊳 Il quesito completo a pag. ␣1

Per rispondere alla domanda osserviamo la tabella a doppia entrata relativa a un campionato di serie A a venti squadre.

Goal segnati dalla squadra che gioca in casa

Goal segnati dalla squadra ospite 0

1

2

3

4

5

6

7

totale

0

39

26

15

5

2

0

0

0

87

1

50

48

21

7

2

0

0

0

128

2

29

26

22

8

2

2

0

0

89

3

14

22

8

5

3

0

0

0

52

4

6

6

2

4

0

0

0

0

18

5

1

3

0

1

0

0

0

0

5

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1

0

0

0

0

0

0

0

1

140

131

68

30

9

2

0

0

380

totale

Sulla diagonale è riportata la frequenza delle partite finite in parità: per esempio, quelle finite 0-0 sono 39. Nel triangolo inferiore sono indicate le partite in cui ha vinto la squadra che giocava in casa, nel triangolo superiore quelle in cui ha perso. Calcoliamo le frequenze. ESITO PARTITA

parità vittoria in casa vittoria in trasferta totale partite

FREQUENZA

FREQUENZA RELATIVA PERCENTUALE

114 173 93 380

30,0 45,5 24,5 100,8

L’analisi statistica dice che nel campionato in esame le partite in casa hanno una percentuale di vittorie quasi doppia rispetto a quelle in trasferta. Si può fare di più: calcolare il numero medio di goal per partita delle squadre che giocano in casa e quello delle squadre ospiti. Consideriamo i totali di colonna e di riga della tabella a doppia entrata: i primi indicano la frequenza delle partite in base al numero di goal segnati dalla squadra che gioca in casa, i secondi quella in base ai goal segnati dalla squadra ospite (e quindi subìti dalla squadra di casa). Per esempio, 87 partite sono finite con 0 reti per la squadra di casa, 128 con una rete e così via. Per la squadra che gioca in casa, si ricava il numero medio Pg di goal segnati e quello Pr di goal subìti utilizzando la media ponderata: 566 0 ⭈ 87 ⫹ 1 ⭈ 128 ⫹ 2 ⭈ 89 ⫹ 3 ⭈ 52 ⫹ 4 ⭈ 18 ⫹ 5 ⭈ 5 ⫹ 6 ⭈ 0 ⫹ 7 ⭈ 1 Pg ⫽  ⫽  ⯝ 1,489; 87 ⫹ 128 ⫹ 89 ⫹ 52 ⫹ 18 ⫹ 5 ⫹ 0 ⫹ 1 380 403 0 ⭈ 140 ⫹ 1 ⭈ 131 ⫹ 2 ⭈ 68 ⫹ 3 ⭈ 30 ⫹ 4 ⭈ 9 ⫹ 5 ⭈ 2 ⫹ 6 ⭈ 0 ⫹ 7 ⭈ 0 Pr ⫽  ⫽  ⯝ 1,061. 380 140 ⫹ 131 ⫹ 68 ⫹ 30 ⫹ 9 ⫹ 2 ⫹ 0 ⫹ 0 Si osserva che in casa il numero medio di goal segnati è superiore a quello dei goal subìti.

␣

20

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

Introduzione alla statistica 1. I dati statistici Un carattere di una popolazione statistica è descritto mediante modalità che possono essere di tipo qualitativo o quantitativo. In una distribuzione di dati, la frequenza di una modalità è il numero di volte in cui si è presentata tale modalità. La frequenza relativa è il quoziente tra la frequenza e il numero totale delle unità statistiche. Essa può anche essere espressa in percentuale. ESEMPIO carattere

popolazione

Numero dei componenti del nucleo familiare degli studenti di una classe

FREQUENZA

FREQUENZA RELATIVA PERCENTUALE

2

3

11%

3

11

41%

10

37%

5

2

7%

6

1

4%

totale

27

100%

4

modalità

2. La rappresentazione grafica dei dati Esistono vari tipi di grafici per rappresentare i dati statistici e le loro frequenze, fra i quali l’ortogramma, l’istogramma, l’areogramma, il diagramma cartesiano. numero di studenti (frequenza)

ESEMPIO VOTI

FREQUENZA

FREQUENZA RELATIVA PERCENTUALE

4

3

30%

5

1

10%

6

2

20%

7

4

40%

4 3 2 1 4

5

6

7

voto

ORTOGRAMMA numero di studenti (frequenza)

55

4

10% 10% 66

3

44 30% 30%

4

2

40% 40%

1 0

4 b

5

6 7

ISTOGRAMMA

77

voto c c

numero di studenti (frequenza)

3

20% 20%

2 1

5

AREOGRAMMA AREOGRAMMA

3

4

5

6

7

8 voto

DIAGRAMMA CARTESIANO

21

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

3. Gli indici di posizione centrale Indici di posizione centrale sono la media, la mediana e la moda. La media aritmetica di n numeri è il quoziente fra la loro somma e il numero n. La media ponderata di n numeri è il quoziente fra la somma dei prodotti di ciascun numero per il proprio peso e la somma dei pesi. Se i numeri sono disposti in una sequenza ordinata, la mediana è il valore centrale quando n è dispari, o la media aritmetica dei due valori centrali quando n è pari. La moda è il valore a cui corrisponde la frequenza massima.

4. Gli indici di variabilità Il campo di variazione, lo scarto semplice medio, la deviazione standard sono indici di variabilità. Il campo di variazione di una sequenza di numeri è la differenza fra il maggiore e il minore. Lo scarto semplice medio è la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dei numeri dalla loro media aritmetica.

La deviazione standard è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli scarti dei numeri dalla loro media aritmetica. Per la stima della media di una caratteristica della popolazione per mezzo della media di un campione, si valuta l’incertezza mediante l’errore standard e l’intervallo di confidenza, che è l’intervallo in cui la media della popolazione è contenuta con una certa probabilità. Se n è la numerosità di un campione, x苶 la sua media e s la deviazione standard, l’errore standard sx è 苶 s sx ⫽  苶 兹n 苶苶 1 ⫺苶 e l’intervallo ]x苶 ⫺ 3 ⭈ sx; x苶  3 ⭈ sx[ contiene il valore 苶 苶 la probabilità del della media della popolazione con 99,74%. Per stimare la percentuale di una caratteristica della popolazione, se f è la percentuale relativa al campione, l’errore standard è sf ⫽

⫺ f)  . 冪 莦f莦⭈ (1莦莦 n 莦

–䊳 Teoria a pag. ␣1

1. I dati statistici ■ Popolazione, unità statistiche, carattere, modalità ESERCIZIO GUIDA

1

In una biblioteca viene effettuata un’indagine sulla durata del prestito dei libri. Quali sono la popolazione, le unità statistiche, il carattere e le modalità? Possiamo assumere come popolazione di questa indagine le persone che frequentano la biblioteca; quindi l’unità statistica è il singolo utente della biblioteca. Il carattere da rilevare è la durata di un prestito; tale carattere è di tipo quantitativo. Le modalità potrebbero essere: da 1 a 7 giorni, da 8 a 15 giorni, da 16 a 30 giorni, oltre 30 giorni.

In ognuna delle seguenti indagini statistiche indica quali sono la popolazione, le unità statistiche e il carattere. Indica, inoltre, se il carattere è di tipo qualitativo o quantitativo e fai esempi di modalità possibili. 2

␣

22

All’Università di Bologna è stata effettuata una rilevazione sui diversi tipi di scuola superiore da cui provenivano gli iscritti al primo anno.

3

A Milano è stata effettuata un’indagine sull’età delle persone che si sono recate allo stadio per il derby cittadino.

Paragrafo 1. I dati statistici

ESERCIZI

4

In una scuola viene svolta un’indagine sul peso degli studenti iscritti.

7

All’interno di un parco naturale viene fatta un’indagine sul tipo di uccelli presenti.

5

In un comune si svolge un’indagine sull’uso dei diversi mezzi di trasporto.

8

Un’indagine rileva il numero di partite pareggiate ogni anno nel campionato di calcio di serie A negli ultimi trent’anni.

6

In una provincia è stata effettuata una rilevazione sul numero delle abitazioni occupate dai rispettivi proprietari.

9

In un’azienda viene fatta un’indagine sul tipo di abitazione dei dipendenti.

■ Le tabelle di frequenza

Nel sito:

䉴 8 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

10 I dati che seguono si riferiscono all’età, in anni compiuti, di persone che hanno conseguito la patente presso un’autoscuola in un certo periodo. Compiliamo la tabella di frequenza e calcoliamo le frequenze relative, esprimendole anche in percentuale: 18, 20, 18, 19, 21, 24, 18, 30, 31, 24, 19, 20, 19, 18, 18, 18, 25, 22, 25, 24, 18, 19, 27, 21, 32, 28, 18, 21, 24, 23, 25, 30, 18, 23. Raggruppiamo i dati in tre classi (estremi inclusi): 18-22, 23-27, 28-32. Contiamo poi il numero delle persone per ogni classe e compiliamo la tabella. CLASSI

NUMERO DI PERSONE

18-22

19

23-27

10

28-32

5

totale

34

Ovviamente avremmo potuto anche scegliere classi diverse.

Per calcolare le frequenze relative, dividiamo il numero di persone di ogni classe per il numero totale. Otteniamo i seguenti valori (approssimati): età:

18-22:

19  ⫽ 0,56; 34

10  ⫽ 0,29; 34 5  ⫽ 0,15. 28-32: 34 Le frequenze percentuali si ottengono moltiplicando per 100 le frequenze relative appena calcolate: età: 18-22: 0,56 ⭈ 100 ⫽ 56%; 23-27: 0,29 ⭈ 100 ⫽ 29%; 28-32: 0,15 ⭈ 100 ⫽ 15%. 23-27:

Per ognuno dei seguenti esercizi raggruppa i dati in classi, compila la tabella di frequenza, poi calcola le frequenze relative e percentuali. 11 Statura di un gruppo di ragazzi iscritti a un corso di nuoto, espressa in centimetri: 160, 165, 165, 162, 163, 165, 168, 168, 166, 161, 162, 166, 168, 165, 165, 165, 163, 168, 162, 161, 163, 165, 165, 161, 168, 165, 163, 165. 12 Pioggia caduta quotidianamente nel mese di marzo in una certa località, espressa in millimetri: 2, 3, 3, 4, 6, 8, 5, 5, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 4, 0, 3.

23

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

13 Numero delle autovetture noleggiate quotidianamente da una società nel corso di un mese: 4, 10, 12, 25, 20, 22, 25, 13, 12, 12, 10, 20, 25, 25, 10, 10, 13, 10, 10, 22, 22, 20, 13, 12, 10, 14, 13, 2, 5, 8. 14 Altezze di un gruppo di giocatori di calcio, espresse in centimetri: 178, 180, 180, 181, 182, 175, 178, 176, 180, 180, 181, 184, 200, 181, 182, 173, 175, 176, 176, 177, 170, 170, 201, 200, 170. 15 Le età degli spettatori di una proiezione cinematografica sono: 17, 45, 34, 16, 33, 45, 17, 17, 12, 33, 42, 56, 45, 34, 71, 16, 45, 43, 57, 15, 71, 38, 40, 65, 23, 57, 72, 14. Raggruppa i dati in classi e compila la tabella delle frequenze relative e percentuali. Ripeti l’esercizio cambiando l’ampiezza delle classi.

COMPLETA le tabelle degli esercizi seguenti.

16 In una biblioteca sono presenti 1200 volumi. GENERE

18 Un negozio di abbigliamento ha venduto un modello di cappotto nelle varie taglie.

QUANTITÀ

PERCENTUALE

Gialli

…

30%

TAGLIA

NUMERO

PERCENTUALE

Fantascienza

180

…

46

…

10%

Narrativa

…

35%

48

15

25%

Avventura

240

…

50

21

…

52

…

…

17 Sulla rotta Milano-Londra nel 2006 sono transitati 1600 aerei di 4 compagnie. COMPAGNIA

NUMERO VOLI

PERCENTUALE

Fly 99

120

…

Eurotravel

…

22,5%

JKB

400

…

Big Jumbo

720

…

19 Consideriamo la lunghezza e il peso di 12 neonati. Si hanno le seguenti coppie ordinate di dati in cui il primo valore indica il peso in kg, il secondo la lunghezza in cm: (3,2; 48), (2,6; 51), (2,9; 49), (2,4; 47), (2,8; 50), (2,9; 49), (2,7; 48), (3,5; 52), (3,3; 52), (3,1; 51), (3,0; 49), (2,9; 47). Raggruppa i dati in classi e compila un’opportuna tabella a doppia entrata.

20 Fai almeno tre esempi di tabelle relative a serie statistiche. 21 Fai almeno tre esempi di tabelle relative a seriazioni statistiche. 22 VERO O FALSO?

␣

24

a) In una serie storica la successione degli anni è una modalità quantitativa.

V

F

b) La frequenza è il numero delle unità statistiche che sono raggruppate secondo un determinato carattere.

V

F

c) Se 396 consumatori, cioè il 33% del campione, hanno comprato il prodotto A, le unità statistiche esaminate sono 1800.

V

F

d) La frequenza cumulata del valore considerato è la somma delle frequenze di tutti i valori successivi a quello considerato.

V

F

e) Le tabelle a doppia entrata permettono anche l’osservazione delle unità statistiche sotto una sola modalità.

V

F

Paragrafo 2. La rappresentazione grafica dei dati

2. La rappresentazione grafica dei dati

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. ␣7

23 VERO O FALSO? a) Negli istogrammi l’altezza dei rettangoli è proporzionale alla frequenza.

V

F

b) Il poligono delle frequenze mette in risalto la forma della distribuzione del fenomeno.

V

F

c) I diagrammi cartesiani sono utilizzati solo per rappresentare seriazioni statistiche con modalità quantitative continue.

V

F

d) In un cartogramma le frequenze o le intensità di un fenomeno vengono fatte corrispondere a segni convenzionali o a colori diversi secondo una legenda convenzionale.

V

F

e) L’areogramma è utilizzato solo per rappresentare serie storiche.

V

F

In ognuno dei seguenti esercizi, dopo aver compilato la tabella di frequenza e calcolato le percentuali, rappresenta graficamente i dati. 24 Età dei partecipanti a un convegno di agenti di commercio: 38, 40, 41, 40, 43, 40, 40, 40, 42, 43, 45, 43, 48, 46, 45, 48, 50, 51, 40, 42, 40, 40, 42, 45, 43, 43, 46, 48, 48, 41, 50, 48, 46, 46, 43, 44, 44, 46. 25 La crescita di piante ornamentali, espressa in centimetri al mese: 10, 12, 11, 8, 9, 8, 8, 10, 11, 12, 15, 15, 8, 20, 20, 10, 16, 16, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 18, 18, 18, 9, 9, 15, 15, 16, 16, 15, 16, 16, 15, 16, 16, 16, 9, 9, 8, 11, 16, 12, 20, 18, 18, 18, 20, 22, 20. 26 Voti conseguiti nell’ultimo compito di matematica in una classe: 6, 7, 6, 7,5, 7, 4, 5, 5,5, 6, 8, 8,5, 3, 4, 4,5, 5, 6, 7, 7,5, 8, 5, 6, 7, 8, 9. 27 Le consonanti presenti nei nomi di 5 dei tuoi compagni di classe. 28 Le altezze di un gruppo di giocatori di pallacanestro, espresse in centimetri: 190, 185, 195, 190, 192, 195, 198, 186, 198, 197, 191, 200, 201, 192, 193, 195, 196.

Fai la rappresentazione grafica che ritieni più opportuna per i dati contenuti nelle seguenti tabelle. 29 Numero di abitanti di un quartiere suddivisi per titolo di studio. TITOLO DI STUDIO

NUMERO

Licenza elementare

350

Licenza di scuola media

620

Diploma di maturità

550

Laurea

102

30 Studenti di una classe suddivisi per statura. STATURA (cm)

STUDENTI

140-145

4

146-150

8

151-155

6

156-160

4

161-165

2

oltre 165

1

25

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

31 Produttori di vino di una provincia suddivisi per quantitativo prodotto. PRODUZIONE (hl)

PRODUTTORI

0-30

40

30-60

160

60-120

80

120-200

30

200 e oltre

10

32 Numero di contravvenzioni per eccesso di velocità effettuate su una strada di rilevante traffico nel corso di un anno, suddivise in base al mese in cui sono state notificate. gen.

feb.

mar.

apr.

15

18

30

20

mag.

giu.

lug.

N. CONTRAVVENZIONI

15

40

MESE

set.

N. CONTRAVVENZIONI

14

MESE N. CONTRAVVENZIONI MESE

33 COMPLETA la tabella seguente, dove sono riportate le risorse di un Paese; poi rappresenta i dati mediante un areogramma. ATTIVITÀ

PERCENTUALE

Industria

45%

Agricoltura

30%

Servizi

15%

Altro

10%

34 Rappresenta in un piano cartesiano i due grafici relativi ai dati della pressione sanguigna minima e massima di un paziente sotto osservazione medica per 4 giorni. GIORNO

PRESSIONE MINIMA (mmHg)

PRESSIONE MASSIMA (mmHg)

ago.

1

105

135

16

10

2

105

140

ott.

nov.

dic.

3

100

135

18

20

23

4

95

125

–䊳 Teoria a pag. ␣11

3. Gli indici di posizione centrale Nel sito:

AMPIEZZA DEL SETTORE

䉴 7 esercizi di recupero

■ La media aritmetica 35 Determina la media aritmetica delle seguenti sequenze di numeri. a) 6; 14; 8; 23; 4. d) 2; 0; ⫺2 ⫺3 ⫺2 b) 3 ⭈ 10 ; 5 ⭈ 10 ; 2 ⭈ 10 . e) ⫺ 2; ⫺ 1; c) 2,4; 1,3; 5,6; 4,9. f) ⫺ 7; 3;

2; 0; ⫺ 4;

0. 1; 2. ⫺ 1,3;

5,4;

6,3.

[a) 11; b) 1,83苶 ⭈ 10 ; c) 3,55; d) 1; e) 0; f) 0,4] ⫺2

36 Sono dati i seguenti numeri: 3, 6, 9, 12, 15. a) Calcola la media aritmetica, indicandola con M. b) Se ogni numero viene aumentato di 3, anche il valore di M risulta aumentato di 3? c) Che cosa succede alla media M se ogni numero viene diminuito di 3? [a) M ⫽ 9; b) sì, M ⫽ 12; c) M ⫽ 6] 37 Uno studente universitario ha ottenuto nei suoi primi esami i seguenti voti: 24, 28, 25, 29, 30, 18. a) Qual è la media dello studente? b) Quale voto avrebbe dovuto ottenere nell’ultimo esame affinché la media fosse 26? c) Quale voto dovrà ottenere nel prossimo esame per portare la media a 26? 苶; b) 20; c) 28] [a) 25,6

␣

26

Paragrafo 3. Gli indici di posizione centrale

ESERCIZI

38 Alcuni amici hanno conseguito nello scruti- ALUNNI ITALIANO STORIA MATEMATICA FISICA SCIENZE nio finale i voti riportati nella tabella a lato. Luca 7 6 8 6 5 a) Calcola la media aritmetica dei voti di Sara 4 5 6 6 5 ogni studente. 5 6 6 7 7 b) Calcola la media aritmetica dei voti per Marco ogni materia. Elisa 6 6 7 7 8

■ La media ponderata 39 La media aritmetica ponderata è applicata alle seriazioni statistiche o quando ai singoli valori si attribuisce un’importanza diversa. Perché? ESERCIZIO GUIDA

40 Due amici, che indichiamo con A e B, partecipano a un concorso sostenendo quattro prove. A ogni prova vengono assegnati un punteggio e un peso diverso, come indicato nelle tabelle seguenti. Per superare il concorso bisogna riportare una media ponderata superiore a 18. Quale dei due amici supera il concorso? A

PROVA 1 PROVA 2 PROVA 3 PROVA 4

Punteggio

27

22

25

16

2

4

1

3

Peso

Media ponderata del candidato A:

PROVA 1 PROVA 2 PROVA 3 PROVA 4

B

Punteggio

24

26

27

18

2

4

1

3

Peso

Media ponderata del candidato B:

27 ⭈ 2  22 ⭈ 4  25 ⭈ 1  16 ⭈ 3 MA ⫽  ⫽ 21,5. 2413

24 ⭈ 2  26 ⭈ 4  27 ⭈ 1  18 ⭈ 3 MB ⫽  ⫽ 23,3. 2413

Entrambi i candidati superano il concorso.

41 COMPLETA In ciascuna riga della tabella determina la media ponderata dei numeri, a fianco dei quali abbiamo scritto i rispettivi pesi. NUMERI

PESI

2; 7; 9; 1.

1; 4; 4; 1.

2; 7; 9; 1.

4; 1; 1; 4.

3; 6; 9; 12; 24.

8; 6; 4; 2; 1.

3; 6; 9; 12; 24.

1; 2; 4; 6; 8.

1; ⫺ 2; 2; 0; ⫺ 1.

3; 1; 7; 5; 2.

MEDIA PONDERATA

42 Un’azienda spende per gli stipendi del personale le seguenti quote mensili: 920 € per 12 operai, 1240 € per 8 tecnici, 1350 € per 4 impiegati e 1950 € per 2 dirigenti. Qual è lo stipendio medio pagato dall’azienda? [1163,85 €]

43 COMPLETA la tabella che segue e calcola la media ponderata per gli studenti di una classe suddivisi secondo il loro peso in kilogrammi. CLASSI DI PESO FREQUENZA VALORE CENTRALE

50-55

7

55-60

10

60-65

8

65-70

3

[58,75] 44 Sono dati i numeri 10, 12, 15, 13, 20 e i rispettivi pesi 1, 2, 3, 4, 5. a) Calcola la media ponderata. b) Aggiungi 20 a ogni numero, poi calcola nuovamente la media ponderata. c) Confronta le due medie ponderate. [a) 15,4; b) 35,4]

27

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

45 Dati i tre numeri 20, 25, 41: a) calcola la media ponderata attribuendo, nell’ordine, i pesi 2, 3, 4; b) calcola la media ponderata con i pesi dimezzati; c) confronta le due medie ponderate. [a) 31; b) 31]

■ Media, mediana, moda 53 Inventa una sequenza di numeri tali che abbiano media, moda e mediana tutte diverse tra loro e una sequenza in cui moda e mediana coincidano. 54 COMPLETA la seguente tabella. DATI

46 Ripeti l’esercizio precedente per i tre numeri generici x, y, z.

冤

冥

(2x 3y 4z) (2x3y  4z) a)  ; b)   9 9

■ La mediana 47 Determina la mediana dei seguenti gruppi di numeri: a) 4; 1; 4; 1; 3; 8; 10. b) 21; 3; 18; 7; 15; 12; 1. c) ⫺ 2; 3; ⫺ 5; 0; 1; 4; 7. d) 22; 28; 30; 40. [a) 4; b) 12; c) 1; d) 29] 48 Scrivi sei numeri tali che la loro media aritmetica sia 10 e la loro mediana 8.

␣

MEDIA

MODA MEDIANA

2, 4, 5, 7, 5, 3, 8 13, 15, 12, 13, 20, 9

55 Nella gara dei 100 metri maschili disputata durante le Olimpiadi di Sydney nel 2000, i finalisti hanno registrato i seguenti tempi (in secondi): 9,87, 9,99, 10,04, 10,08, 10,09, 10,13, 10,17. Calcola la media aritmetica e la mediana. [10,0529 s; 10,08 s] Per ognuna delle seguenti serie di dati, calcola la media aritmetica, la mediana e la moda. 56 Numero di biglietti venduti in un cinema nei diversi giorni della settimana: 250, 280, 300, 320, 250, 500, 600. [357,1; 300; 250]

49 Scrivi tre numeri tali che la loro media sia 8 e la loro mediana 10.

57 Numero di scooter venduti in ciascuna delle ultime dieci settimane da un concessionario: 10, 20, 6, 8, 4, 6, 6, 8, 10, 10. [8,8; 8; 10 e 6]

50 In una seriazione a classi di intervallo la mediana occupa il 32° posto e si trova all’interno della classe 10-25 avente come frequenza cumulata 41. Sapendo che la frequenza cumulata della classe precedente è 29, la mediana ha valore 13,75. Perché?

58 Tempo (in minuti) impiegato da alcuni ragazzi a percorrere un tracciato di corsa campestre: 10, 8, 8, 9, 9, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 8. [8,6苶; 9; 9]

■ La moda Determina la moda delle seguenti sequenze di numeri.

59 Considera la distribuzione relativa al numero di libri di testo che ogni studente della tua classe ha portato a scuola in un certo giorno. Calcola la media, la mediana e la moda. Confronta i tre valori e spiega a parole il loro significato.

51 a) 1; 4; 3; 1; 1; 2; 4; 1, 3; 5; 3. b) 21; 18; 16; 21; 19; 16; 18; 16; 21; 18; 16. [a) 1; b) 16]

60 Come nell’esercizio precedente, ma con il numero di quaderni che ogni studente ha portato a scuola in un certo giorno.

52 a) 18; 19; 21; 18; 19; 18; 17; 19; 20; 19. b) ⫺ 5; 0; 1; ⫺ 2; ⫺ 3; 0; 1; ⫺ 2; ⫺ 2. [a) 19; b) ⫺ 2]

61 Come nell’esercizio 59, ma con il numero di quaderni che tu hai portato a scuola nei 6 giorni della settimana.

28

Paragrafo 4. Gli indici di variabilità

ESERCIZI

62 Il resoconto mensile delle vendite di quattro negozi di elettrodomestici, facenti parte della stessa catena commerciale, è il seguente: NEGOZIO

LAVATRICI

LAVASTOVIGLIE

TELEVISORI

FORNI

A

25

15

20

8

B

5

10

15

2

C

12

18

12

10

D

18

8

32

6

Calcola la media aritmetica dei prodotti venduti: a) per ogni negozio; b) per ogni tipo di prodotto.

[a) 17; 8; 13; 16; b) 15; 12,75; 19,75; 6,5]

63 Gli stipendi di 20 dipendenti di un’azienda sono stati suddivisi in classi (tabella seguente). Rappresenta i dati attraverso un istogramma e determina la media ponderata. CLASSI DI STIPENDIO (€)

FREQUENZA

750-1000

6

1000-1250

8

1250-1500

4

1500-1750

2

[1150]

–䊳 Teoria a pag. ␣15

4. Gli indici di variabilità ■ Il campo di variazione 64 Determina il campo di variazione delle seguenti sequenze di numeri. a) 10; 4; 1; 7; 9; 6. d) ⫺ 5; ⫺ 7; ⫺ 1; ⫺ 2. b) 27; 12; 37; 48; 15. e) 4; 1; 3; 1; 3; 5. c) 0; 3; ⫺ 4; 5; ⫺ 8. f) ⫺ 5; ⫺ 5; ⫺ 5. [a) 9; b) 36; c) 13; d) 6; e) 4; f) 0]

65 Confronta, insieme ai tuoi compagni di classe, i campi di variazione dei voti degli ultimi tre compiti di matematica. 66 Come nell’esercizio precedente, ma per i voti dell’ultimo compito in classe di almeno tre materie diverse.

67 La quantità di mele (in kg) venduta in una settimana da un negoziante è la seguente: GIORNO

Lu

Ma

Me

Gi

Ve

Sa

kg DI MELE

18

23

28

25

25

38

Calcola il peso medio giornaliero di mele vendute e il campo di variazione.

■ Lo scarto semplice medio

Nel sito:

[26,16 苶 kg; 20 kg]

䉴 5 esercizi di recupero

68 Determina lo scarto semplice medio nelle seguenti sequenze di numeri. a) 2; 4; 7; 12; 21. c) 3; 3; 3; 3; 3; 3. e) ⫺ 20; ⫺ 12; ⫺ 5; 0; 2; 8; 34. b) 2; 0; 1; 1; 2; 0. d) ⫺ 1; ⫺ 2; ⫺ 4; 1; 5; 4. f) 3; 5; 3; 6; 3; 1. [a) 5,84; b) 0,6 苶; c) 0; d) 2,83 苶; e) 11,71; f) 1,3 苶]

29

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

69 Nelle seguenti sequenze di numeri, verifica che la media aritmetica degli scarti, non in valore assoluto, è uguale a 0. a) 5; 3; 4; 6; 8; 1. b) ⫺ 3; ⫺ 4; 1; ⫺ 7; 2; 9. 70 Calcola la media e lo scarto semplice medio del numero di viaggiatori che hanno utilizzato il treno nel corso di una settimana in un determinato tratto della linea ferroviaria. GIORNO

Lu

Ma

Me

Gi

Ve

Sa

Do

VIAGGIATORI

205

200

270

280

320

180

88

[220; 59,57]

71 Nella tabella seguente è riportata la distribuzione del numero dei figli dei dipendenti di un’impresa; calcola lo scarto semplice medio. FIGLI

0

1

2

3

4

FREQUENZA

5

18

11

4

2

[0,825] 72 Si è rilevato il consumo di pane in kg in un campione di 30 persone; calcola lo scarto semplice medio. CONSUMO PANE (kg) N. PERSONE

0-0,2

0,2-0,4

0,4-0,6

0,6-0,8

0,8-1

4

18

4

3

1

■ La deviazione standard

Nel sito:

[0,141 kg]

䉴 6 esercizi di recupero

73 Le deviazione standard è definita come la media quadratica degli scarti. Perché?

ESERCIZIO GUIDA

74 In un’impresa di confezioni si sono impiegati i seguenti tempi, espressi in minuti, per effettuare il controllo di qualità della produzione: 12, 14, 13, 10, 17, 11, 19, 15, 16, 18. Considerando i tempi impiegati, determiniamo: a) il tempo medio; b) il campo di variazione; c) lo scarto semplice medio; d) la deviazione standard. a) Il tempo medio è la media aritmetica M dei tempi impiegati: 145 12  14  13  10  17  11  19  15  16  18 M ⫽  ⫽  ⫽ 14,5. 10 10 Il tempo medio è di 14,5 minuti. b) Il campo di variazione è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo: 19 ⫺ 10 ⫽ 9.

␣

30

Paragrafo 4. Gli indici di variabilità

c) Per rispondere a questa domanda e alla successiva, disponiamo i dati nella prima colonna di una tabella, poi completiamo la tabella calcolando gli scarti, gli scarti in valore assoluto, i quadrati degli scarti. Lo scarto semplice medio è: 25 S ⫽  ⫽ 2,5. 10 d) La deviazione standard è: ␴⫽

冪莦莦莦莦

82,50 ᎏᎏ ⯝ 2,87. 10

TEMPO

SCARTO

SCARTO ASSOLUTO

SCARTO AL QUADRATO

12

⫺ 2,5

2,5

6,25

14

⫺ 0,5

0,5

0,25

13

⫺ 1,5

1,5

2,25

10

⫺ 4,5

4,5

20,25

17

⫹ 2,5

2,5

6,25

11

⫺ 3,5

3,5

12,25

19

⫹ 4,5

4,5

20,25

15

⫹ 0,5

0,5

0,25

16

⫹ 1,5

1,5

2,25

18

⫹ 3,5

3,5

12,25

totale 145

75 Calcola la deviazione standard delle seguenti sequenze di numeri: a) 5; 7; 9; 11. b) 0,3; 1,2; 3,2; 4,5; 6,3. c) 1; 1; 1; 1. d) 22; 25; 27; 30; 31. e) ⫺ 2; ⫺ 3; ⫺ 4; ⫺ 7. f) ⫺ 1; 1; ⫺ 2; 2; ⫺ 3; 3. [a) 2,24; b) 2,18; c) 0; d) 3,29; e) 1,87; f ) 2,16] 76 La distribuzione del tempo medio di vita delle batterie per macchine fotografiche è approssimativamente una gaussiana, con media tM ⫽ 1420 s e deviazione standard 192 s. Su un campione di 2500 batterie, per quante ci si aspetta una durata compresa tra 1228 s e 1612 s? In media quante di quelle batterie dureranno più di 1804 s? Quante meno di 844 s? [1706,8; 56,88; 3,38]

0

25

ESERCIZI

82,50

77 Durante una settimana di misurazioni, una stazione di monitoraggio del campo elettromagnetico situata a Bologna ha rivelato i seguenti dati (il valore di riferimento normativo è 6 V/m): VALORE MASSIMO MISURATO (V/m) FREQUENZA

0,67

0,68

0,78

0,69

1

4

1

1

Calcola la deviazione standard della distribuzione descritta dalla tabella. [0,0357 V/m] 78 Abbiamo rilevato il prezzo del pane di tipo comune in sei panetterie. I valori al kg, in euro, sono: 3,50, 3,45, 3,53, 3,48, 3,54, 3,51. Calcola la deviazione standard. [€ 0,03]

79 In occasione della finale dei 10 000 metri maschili dei Mondiali di Atletica 2007, si sono registrati i seguenti tempi a ogni passaggio ai 1000 metri: 2:44,15; 5:27,32; 8:12,93; 10:57,82; 13:42,98; 16:28,83; 19:12,74; 21:54,58; 24:35,57; 27:05,90. Calcola il tempo medio impiegato per percorrere 1000 metri e la deviazione standard. (Suggerimento. I tempi sono espressi in minuti:secondi,centesimi di secondo. Per svolgere i calcoli può esserti utile trasformare tutti i tempi in centesimi di secondo. Ricorda che in un secondo ci sono 100 centesimi e in un minuto ci sono 60 secondi.) [2:42,59; 0:04,35]

31

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

80 VERO O FALSO? a) Il campo di variazione di una sequenza di valori è la differenza fra l’ultimo numero e il primo. b) In una distribuzione gaussiana la media e il valore di ␴ permettono la costruzione di intervalli che contengono una percentuale delle frequenze prefissata. c) La media degli scarti dalla media ha valore nullo. d) La somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è minore rispetto alla somma dei quadrati degli scarti da qualsiasi altro valore. RIEPILOGO

V

F

V

F

V

F

V

F

GLI INDICI DI POSIZIONE CENTRALE E DI VARIABILITÀ

81 All’esame di maturità sei amici hanno ottenuto i seguenti risultati: 78, 91, 84, 98, 69, 90. a) Qual è la media dei punteggi? b) Quale punteggio avrebbe dovuto ottenere l’ultimo candidato affinché la media fosse 86? [a) 85; b) 96] 82 In un’azienda i valori relativi al numero di dipendenti per quattro anni successivi sono i seguenti: 178, 183, 185, 191. Calcola il tasso medio di variazione del numero di dipendenti. [2,36%] 83 Un capitale è stato investito per 6 anni ai seguenti tassi: 4% per il primo anno, 3% per ognuno dei due anni successivi e 5% per ciascuno degli ultimi tre anni. Calcola il tasso medio di investimento. [4,16%] 84 Nel campionato di calcio 2003/04 il Parma ha giocato 34 partite, realizzando 58 punti. I goal segnati sono stati 57, quelli subiti 46. a) Calcola la media dei punti a partita. b) Calcola la media dei goal segnati per partita e quella dei goal subiti. [a) 1,71; b) 1,68; 1,35]

85 La tabella illustra la ETÀ suddivisione per età 19 dei partecipanti a 20 un esame. 21

NUMERO

11 8 4

Calcola l’età media dei partecipanti e confrontala con la media dei valori delle età. [19,7; 20] 86 La tabella riporta STUDENTE i voti nelle prove A scritte di mateB matica di tre studenti. C

VOTI

4; 5; 7; 5,5 4,5; 6; 7; 6 7; 8; 6,5; 7

Calcola il campo di variazione e la media aritmetica per ogni studente. [A: 3; 5,375; B: 2,5; 5,875; C: 1,5; 7,125] 87 Abbiamo investito per quattro giorni consecutivi € 10 000 nell’acquisto di azioni della Società Alfa. Il costo di un’azione nei quattro giorni è stato di € 8,25, € 7,92, € 7,88 e € 7,95. Calcola il costo medio pagato per azione. [€ 7,997]

88 La seguente tabella riporta le variazioni della temperatura in gradi Celsius, relative ad alcuni giorni di una settimana, rispetto alla temperatura media stagionale. Calcola il valore della variazione media. GIORNI VARIAZIONE

Lunedì

Martedì

Mercoledì

Giovedì

Venerdì

⫺ 1,8

2,5

0,4

⫺ 2,1

⫺ 1,5

[1,81] 89 Dato il tasso di incremento percentuale del prodotto nazionale lordo (PIL) di un certo Paese, determina il tasso medio di incremento. ANNO TASSO INCREMENTO

␣

32

2003

2004

2005

2006

2007

2,3

2,1

2,9

2,6

2,9

[2,56%]

RIEPILOGO Gli indici di posizione centrale e di variabilità

90 COMPLETA la tabella che segue e calcola la media ponderata. Gli studenti di una classe sono suddivisi secondo la loro altezza in centimetri. CLASSE DI ALTEZZA

FREQUENZA

150-155

6

155-160

11

160-165

9

165-170

4

VALORE CENTRALE

95 Due tuffatori, che indichiamo con A e B, partecipano a una gara compiendo ciascuno quattro tuffi dal trampolino. A ogni tuffo vengono assegnati un punteggio e un peso diverso (in funzione della sua difficoltà), come indicato nelle tabelle seguenti. Per qualificarsi al turno successivo, bisogna riportare una media ponderata superiore a 7,5. Chi dei due supera il turno? A

苶] [159,3 91 Gli studenti di una classe sono stati suddivisi secondo il tempo settimanale dedicato allo sport. NUMERO ORE

NUMERO STUDENTI

0-2

6

2-3

8

3-4

6

4-5

2

oltre 5

2

ESERCIZI

TUFFO 1 TUFFO 2 TUFFO 3 TUFFO 4

Punteggio

8,5

9

7,5

6

Peso

4

1

2

3

B

TUFFO 1 TUFFO 2 TUFFO 3 TUFFO 4

Punteggio

9

7,5

8

9,5

Peso

2

1

4

3

[A: 7,6; B: 8,6; entrambi superano il turno]

Ponendo la chiusura dell’ultima classe a 7, calcola la media aritmetica, la mediana e la moda. [2,83; 2,8125; classe modale 2-3] 92 Scrivi l’età degli alunni della tua classe, poi determina il campo di variazione. 93 Il prezzo del gas GPL subisce piccole variazioni a seconda della compagnia che lo distribuisce: 0,616, 0,641, 0,640, 0,629, 0,639 (tutti i prezzi sono espressi in €/l). Calcola il costo medio del gas GPL al litro. [€ 0,633] 94 Data la seguente tabella, relativa ai voti di una classe ottenuti in un compito, determina il voto medio della classe. VOTO

4

5

6

7

8

FREQUENZA

2

7

8

3

2

[5,82]

96 Data la tabella, relativa all’andamento dei prezzi di un prodotto, determina il tasso medio di variazione. [4,31%]

ANNO

PREZZO (€)

2004

5,31

2005

5,66

2006

5,80

2007

6,45

2008

6,68

2009

6,22

2010

6,84

97 In una certa località, nel corso di una giornata estiva sono state rilevate le seguenti temperature in gradi Celsius: 19,0; 22,5; 26,0; 28,0; 26,0; 21,0; 24,0; 27,5; 28,0; 24,0. Determina: la temperatura media, il campo di variazione (escursione termica), lo scarto semplice medio, la deviazione standard. [24,6 °C; 9,0 °C; 2,5 °C; 2,91 °C] 98 Un «lunedì nero» in Borsa ha fatto registrare in chiusura le seguenti perdite in percentuale: Tokyo ⫺4,84%, Hong Kong ⫺3,60%, Parigi ⫺2,73%, Francoforte ⫺2,85%, Zurigo ⫺3,19%, Londra ⫺2,29%, Milano ⫺2,07%, New York ⫺1,30%. Determina il campo di variazione e la variazione media. [3,54%; ⫺ 2,86%]

33

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

■ L’incertezza delle statistiche e l’errore standard ESERCIZIO GUIDA

99 In un campione di 40 studenti, il tempo medio impiegato a raggiungere la scuola è di 15 minuti, con una deviazione standard s ⫽ 10. Inoltre, gli studenti che impiegano meno di 10 minuti sono 16. Determiniamo, al 99,74%, gli intervalli di confidenza relativi al tempo medio di tutti gli alunni della scuola e alla frequenza degli alunni che impiegano meno di 10 minuti. s Per l’errore standard relativo alla media utilizziamo la formula sx ⫽ ᎏᎏ : 苶 兹n 苶⫺ 苶1苶 10 10 sx ⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⯝ 1,6 苶 兹4苶0苶 ⫺苶 1 兹苶 39 e l’intervallo di confidenza risulta ]15 ⫺ 3 ⭈ 1,6; 15 ⫹ 3 ⭈ 1,6[ ⫽ ]10,2; 19,8[. È molto probabile che il tempo medio degli studenti dell’intera scuola sia compreso fra 10,2 e 19,8 minuti. f(1 ⫺ f ) Per l’errore standard della frequenza utilizziamo la formula sf ⫽ ᎏᎏ : n

冪莦莦莦莦莦

16 f ⫽ ᎏᎏ ⫽ 0,4 40

→

sf ⫽

⫺ 0,4) ⯝ 0,077. 冪ᎏ 莦0,4莦莦⭈ (1莦4莦ᎏ 0 莦莦莦

L’intervallo di confidenza è: ]0,4 ⫺ 3 ⭈ 0,077; 0,4 ⫹ 3 ⭈ 0,077[ ⫽ ]0,169; 0,631[. Nel campione la percentuale degli studenti che impiegano meno di 10 minuti per arrivare a scuola è del 40%, ma nella popolazione complessiva è un valore compreso fra circa il 17% e il 63%. Se si vuole avere un intervallo di confidenza più ridotto, bisogna aumentare il numero di studenti intervistati. 100 Viene effettuata una ricerca statistica per determinare per quante ore quotidianamente un bambino di 10 anni guarda la televisione. Un campione di 80 bambini ha permesso di calcolare una media di 1 ora e 45 minuti, con una deviazione standard di 30 minuti. Determina l’intervallo di confidenza della media al 99,74%. []1h35m; 1h55m[] 101 Viene ipotizzato che il 35% delle casalinghe utilizzi additivi anticalcare quando usa la lavatrice. Vengono intervistate 160 casalinghe e di queste 48 dichiarano di impiegare prodotti con quelle caratteristiche. Determina se la percentuale ipotizzata può essere accettata a un livello di confidenza del 99,74%. []0,192; 0,408[; accettabile] 102 Si vuole stimare il tempo medio di attesa in un ufficio postale. Un campione di 50 persone ha fornito un tempo medio di 8,4 minuti, con una deviazione standard di 5,04 minuti. Determina l’intervallo di confidenza della media al 99,74%. []6,24; 10,56[] 103 Un quotidiano afferma che il numero medio di automobili per ogni famiglia è 2,8. Da un campione di 250 famiglie si rileva che il numero medio di automobili per famiglia è 2,3, con una deviazione standard di 0,6. Determina se il campione conferma l’affermazione del quotidiano esaminando l’intervallo di confidenza al 99,74%. []2,19; 2,41[, no] 104 Dai 28 300 abitanti di un comune si è estratto un campione di 400 persone e di queste 162 hanno dichiarato che ogni sei mesi effettuano una visita di controllo da un dentista. Determina l’intervallo di confidenza al 99,74% degli abitanti del comune. []9381; 13542[] 105 Gli studenti iscritti in un’università sono 5430. Si estrae un campione di 500 studenti dal quale si rileva che l’età media è 22,6 anni con una deviazione standard di 3,5 anni. Determina l’intervallo di confidenza dell’età media di tutti gli studenti al 99,99%. []22,1; 23,1[]

␣

34

LABORATORIO DI MATEMATICA La statistica con Excel

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

La statistica con Excel ESERCITAZIONE GUIDATA

Costruiamo un foglio elettronico per: ● registrare le valutazioni, espresse in numeri interi compresi fra 1 e 100, di sei prove di un candidato a un concorso; ● calcolare ogni volta la media dei voti; ● indicare prima dell’ultima prova quale voto deve riportare il candidato per raggiungere una data media m; ● segnalare dopo l’ultimo voto se la media ipotizzata è stata raggiunta; ● tracciare l’istogramma dei voti e delle medie aggiornate. Usiamo il foglio nel caso che i primi cinque voti risultino 60, 70, 90, 70, 80, la media ipotizzata sia m ⫽ 75 e il sesto voto riportato sia 100. Entriamo in ambiente Excel e scriviamo le intestazioni alle colonne della tabella come in figura; immettiamo i numeri romani nella prima colonna; inseriamo i primi cinque voti nelle celle da B2 a B6 e la media ipotizzata in C11; digitiamo ⫽ SE(VAL.NUMERO(B2); MEDIA(B$2:B2); “”) in C2 e la copiamo sino alla C7 per mostrare la media aggiornata dei voti; digitiamo ⫽ SE(E(VAL.NU-

●

MERO(B6); VAL.NUMERO(C11)); SE(6*C11 - SOMMA(B2:B6) ⬍ 0; “è già raggiunta.”; SE(6*C11-SOMMA(B2:B6) ⬎ 100;”non è raggiungibile.”; “è raggiungibile con”));””) in A12 e ⫽ SE(A12 ⫽ “è raggiungibile con”; 6*C11-SOMMA(B2:B6); “”) in C12 per ottenere l’indicazione sul voto dell’ultimo esame; digitiamo ⫽ SE(O(VAL.VUOTO(B7); VAL.VUOTO(C11)); “”; SE(C11 ⬎ C7; “non è stata raggiunta.”; “è stata raggiunta.”)) in A15 per ricavare la segnalazione conclusiva.

In B7 immettiamo 100, il voto ottenuto nella sesta prova, e il foglio appare 䉱 Figura 1 come in figura 1. ● Per tracciare l’istogramma, evidenziamo la zona A1:C7 e facciamo clic sul menu di Excel Inserisci e poi sull’icona Istogramma. ●

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata con Excel 䉴 12 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Costruisci un foglio elettronico per soddisfare le richieste di ognuno dei seguenti problemi. 1

Determina il campo di variazione, la media aritmetica, la moda, la mediana, lo scarto semplice medio, la deviazione standard di dieci numeri interi casuali compresi nell’intervallo [1; 10]. Traccia l’istogramma dei dieci numeri.

2

Un candidato affronta cinque prove con valutazioni in trentesimi, di peso rispettivamente 4, 2, 3, 3, 5. Dopo aver sostenuto le prime quattro prove e registrato le valutazioni, desidera sapere il voto minimo che deve riportare nella quinta prova per raggiungere un’ipotetica media m. Prepara un prospetto che dia questa informazione.

3

In una gara di tuffatori, ognuno degli otto giudici dà una valutazione compresa fra 1 e 10 per ogni prestazione. Prepara un prospetto per registrare le valutazioni degli otto giudici, lo scarto dalla media di ognuno degli otto voti dei giudici, lo scarto semplice medio e la media calcolata dopo aver eliminato il voto maggiore e quello minore.

4

Prepara un prospetto per registrare il numero dei voti ottenuti alle elezioni scolastiche dalle tre liste A, B, C, le schede nulle e quelle bianche, e per calcolare le percentuali corrispondenti. Traccia l’areogramma corrispondente.

35

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

Matematica per il cittadino I FURTI

In una regione italiana, in due anni successivi, è avvenuto il seguente numero di furti: ANNO

NUMERO FURTI

2002

507

2003

515

Devi scrivere un articolo per un giornale sull’aumento dei furti. 1. Per comunicare con maggior efficacia i dati della tabella, decidi di inserire un grafico all’interno dell’articolo. Quale dei seguenti grafici è più opportuno utilizzare? anno 4000 3000 2000 1000

a

2003

2003 2002

c

515 507

0

b

numero di furti 516 514 512 510 508 506 504 502 500

●

●

507

2002

2003

tra il 2003 e il 2004 i furti sono diminuiti di 35 unità; nel 2005 e nel 2006 ci sono stati complessivamente 1012 furti; il numero di furti del 2006 è stato identico a quello del 2003.

Completa la seguente tabella, che sintetizza queste informazioni.

␣

36

numero di furti

515

2. Nell’articolo vengono forniti anche i seguenti dati: ●

2002

ANNO

NUMERO FURTI

2002

507

2003

515

2004

…

2005

…

2006

…

anno

d

600 500 400 300 200 100 0

507

2002

2003

anno

3. Utilizzando esclusivamente i dati della tabella precedente, determina quali fra le seguenti affermazioni sono vere e quali sono false. a) Nel quinquennio considerato, ogni anno sono avvenuti in media più di 500 furti. b) Il numero di furti aumenta ogni anno rispetto al precedente. c) Nel 2004 ci sono stati pochi furti perché i ladri che avevano rubato nel 2003 erano in prigione. d) Il numero di furti di ogni anno non si è mai discostato più del 5% dalla media del numero di furti del quinquennio.

V

F

V

F

V

F

V

F

4. Costruisci un grafico che rappresenti i dati relativi al numero di furti del quinquennio considerato, tenendo conto che il diagramma deve essere: ● coerente con i dati disponibili e sufficientemente preciso; ● facilmente leggibile.

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST

䉴 questi test interattivi 䉴 30 test interattivi in più

5

È data la serie di numeri ordinata: 1, 5, 5, 7, 8, 9. Il numero 6 rappresenta: A la moda. D la media ponderata. B la mediana. E nessuna delle precedenti. C la media aritmetica.

6

Dati due numeri generici x e y, attribuendo nell’ordine i pesi y e x, la media ponderata risulta: xy 2xy xy A ᎏᎏ . C ᎏᎏ . E ᎏᎏ . xy x y 2(x  y) xy xy B ᎏᎏ . D ᎏᎏ . xy 2

In una classe sono presenti 20 maschi e 5 femmine. Quale fra le seguenti affermazioni è vera? A Le frequenze, relativa e percentuale, dei maschi sono rispettivamente 0,8 e 0,2%. B Le frequenze, relativa e percentuale, delle femmine sono rispettivamente 0,2 e 20%. C La frequenza relativa dei maschi è uguale a quella delle femmine. D La somma delle frequenze percentuali dei maschi e delle femmine è 1. E La frequenza percentuale dei maschi è 20%, mentre quella delle femmine è 80%.

7

Della serie di dati 7, 5, 4, 2, 7, la media, la moda e la mediana sono rispettivamente: A 5, 5, 5. C 5, 7, 4. E 7, 5, 4. B 5, 7, 5. D 5, 5, 7.

8

La deviazione standard è: A il quadrato dello scarto semplice medio. B la somma dei quadrati degli scarti dalla media. C la radice quadrata dello scarto semplice medio. D la radice quadrata della varianza. E la radice quadrata della media.

3

In una stanza ci sono cinque persone che hanno un’età media di 32 anni. Se le età di quattro persone sono rispettivamente 25, 35, 40, 26, qual è l’età della quinta persona? A 26 B 30 C 34 D 38 E 42

9

4

Un esame consiste in una prova di laboratorio, una prova orale e una prova scritta. Ai voti delle tre prove vengono assegnati rispettivamente i pesi 2, 3, 5. Un candidato riceve 8 nella prova di laboratorio, 6 nella prova orale e 7 nella prova scritta. Quanto vale la media aritmetica ponderata dei voti? A 6,9 B 7,2 C 6,5 D 7,4 E 6,7

Nella serie di dati 10, 12, 15, 8, 5, 10, lo scarto semplice medio e la deviazione standard sono rispettivamente: A 2,34 e 2,38. D 2,33 e 3,12. B 3,12 e 2,34. E 2,33 e 3,11. C 2 e 3.

2

I risultati di un’indagine sul colore dei capelli, raccolti su un campione di 40 persone, sono riportati nel seguente ortogramma. Qual è la frequenza relativa del carattere «capelli biondi»? frequenza

A

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

B C D

18,59% 12% 40% 22,5% 9%

bianchi

rossi

castani

biondi

E

mori

1

Nel sito:

colore

10 Su un campione di 10000 persone, è stata fatta una ricerca statistica. Il peso delle persone intervistate è risultato una distribuzione gaussiana, il peso medio Mm ⫽ 52,5 kg e la deviazione standard ␴ ⫽ 0,5 kg. Quante persone del campione hanno un peso compreso tra 51,5 kg e 53,5 kg? A 9545 B 9973 C 6827 D 5254 E 9245

37

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ 11 In un areogramma a una frequenza relativa del 37,5% corrisponde un angolo al centro di 135°. Perché? 12 La media aritmetica è un buon indice di posizione centrale quando il suo valore è molto prossimo a quello della moda. Perché? 13 Data una sequenza di valori, oltre al valore medio, si prendono in esame gli scarti dal valore medio. Perché? 14 Perché nel calcolo dello scarto semplice medio si utilizzano i valori assoluti degli scarti? 15 Che cosa si intende per distribuzione gaussiana dei dati? Considerata una distribuzione gaussiana di 12 000 valori con media aritmetica M  80,5 e deviazione standard ␴ ⫽ 0,5, stabilisci quanti dati sono compresi fra M ⫺ ␴ e M ⫹ ␴. ESERCIZI

Nel sito:

䉴 13 esercizi in più

16 Un gruppo di 16 studenti è stato intervistato sulle attività sportive praticate. I risultati sono i seguenti: calcio, tennis, ciclismo, calcio, pallacanestro, ciclismo, tennis, pallavolo, ciclismo, pallacanestro, calcio, tennis, pallavolo, pallacanestro, ciclismo, tennis. Raggruppa i dati e compila la tabella di frequenza; poi calcola le frequenze relative e percentuali. 17 Osserva la seguente tabella e rappresenta graficamente i dati utilizzando un istogramma. COLORE DEL TAVOLO DA CUCINA FREQUENZA

Bianco

Noce

Faggio

Nero

5

7

3

2

18 Gli iscritti alla facoltà di scienze politiche provengono per il 40% dal liceo classico, per il 20% dal liceo scientifico e per la parte restante da altre scuole. Rappresenta graficamente la situazione utilizzando un areogramma. 19 Le preferenze sul formato della pasta di 10 persone intervistate sono state riportate nella seguente tabella. FORMATO FREQUENZA

Pasta lunga

Pasta corta

Pastina

50%

30%

20%

Rappresenta graficamente, utilizzando un ortogramma, la situazione emersa dai dati.

20 Calcola la media dei voti che uno studente ha riportato nello scrutinio finale: italiano: 8; storia: 6; matematica: 6; fisica: 7; educazione fisica: 9; scienze: 6; inglese: 7; diritto: 6. Che voto avrebbe dovuto prendere in matematica per avere la media del 7? [6,875; 7] 21 Un gruppo di operai è stato intervistato sul tempo impiegato per recarsi da casa al lavoro. I dati raccolti, espressi in minuti, sono: 30, 15, 10, 25, 30, 15, 20, 60, 15, 120, 30, 15, 60, 30, 30. Calcola la media, la moda e la mediana dei tempi. [33,67; 30; 30]

␣

38

22 Considera i mesi dell’anno non bisestile e a ogni mese associa il numero dei giorni. Determina la media, la moda e la mediana della sequenza di numeri così ottenuta. [30,42; 31; 31] 23 Considera i seguenti valori: 12, 17, 19, 8, 21, 14, 19, 12, 13. Calcola: a) la media aritmetica; b) il campo di variazione; c) lo scarto semplice medio e la deviazione standard. [a) 15; b) 13; c) 3,5 苶; 4]

Verifiche di fine capitolo

24 L’andamento della produzione di un’azienda è riepilogato nella seguente tabella. Calcola il campo di variazione della produzione e lo scarto semplice medio.

28 Le età dei giocatori titolari di una squadra di rugby sono le seguenti: 23, 24, 24, 25, 23, 22, 29, 24, 26, 28, 25, 26, 26, 22, 22. Determina: l’età media, il campo di variazione, lo scarto semplice medio, la deviazione standard. [24,6; 7; 1,71; 2,059]

ANNO

PEZZI PRODOTTI

2005

1500

2006

1750

2007

1600

2008

1550

NUMERO LIBRI

2009

1700

0-2

3

2010

1750

2-4

5

4-6

8

6-8

4

oltre 8

2

29 Gli studenti di una classe sono suddivisi secondo il numero di libri letti annualmente.

[250; 91,67] 25 La quantità di pioggia caduta nei diversi mesi dell’anno, espressa in mm, è: 12, 13, 10, 15, 15, 12, 9, 2, 5, 6, 9, 10. Calcola il campo di variazione, la media e la deviazione standard. [13; 9,8; 3,8] 26 Il numero di copie di un quotidiano vendute nei diversi giorni della settimana è, in migliaia: 250, 245, 310, 245, 250, 245, 260. Calcola il numero medio di copie vendute ogni giorno e la deviazione standard. [257,86; 21,9] 27 La seguente tabella riporta la produzione di grano e di mais, espressa in tonnellate, di tre aziende agricole nell’anno 2007. AZIENDA AGRICOLA

ESERCIZI

PRODUZIONE GRANO (t)

PRODUZIONE MAIS (t)

Belstare

85

45

Coltivatori

31

15

Naturasole

46

40

NUMERO STUDENTI

Calcola le frequenze relative percentuali e, ponendo la chiusura dell’ultima classe di frequenza a 10, la media aritmetica e la deviazione standard. [4,7苶3苶; 2,28] 30 Date le età dei genitori ai quali è nato il primo figlio nel 2007 in un Comune del Piemonte, si hanno le seguenti coppie ordinate, dove il primo dato è l’età della madre e il secondo l’età del padre: (25; 36), (29; 38), (27; 32), (24; 25), (27; 25), (23; 26), (32; 33), (18; 26), (33; 37), (24; 23), (28; 34), (22; 24), (27; 27), (27; 32), (32; 30). Raggruppa i dati in cinque classi e compila la relativa tabella a doppia entrata. Ricava da essa le seriazioni relative all’età delle madri e dei padri e calcola le medie aritmetiche e le deviazioni standard. [25,9, 29,5; 3,6, 4,7]

Effettua un’opportuna rappresentazione grafica che metta contemporaneamente in evidenza le due produzioni di cereali.

31 I voti riportati da uno studente universitario sono: VOTO

18

23

25

26

28

30

FREQUENZA

2

2

8

4

7

1

Determina tutti i possibili indici di variabilità.

[campo variazione  12; S  2; ␴ ⫽ 2,8]

39

␣

CAPITOLO ␣. INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

䉴 8 esercizi in più

32 Per determinare la varianza è possibile sottrarre dalla media dei quadrati dei termini la loro media al quadrato. Dimostra questa relazione nel caso di tre termini: (x1 ⫺ M )2 ⫹ (x2 ⫺ M )2 ⫹ (x3 ⫺ M )2 x 21 ⫹ x 22 ⫹ x 23 ᎏᎏᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ M 2. 3 3 33

TEST Michele si prepara all’ultimo compito in classe di matematica dell’anno; lo affronta con tranquillità, sapendo che se prenderà 10 avrà la media del 9, mentre prendendo 5 la media diverrà 8. Quanti compiti ha già fatto quest’anno Michele? A

2

B

3

4

C

D

5

I dati non sono sufficienti per dare la risposta.

E

(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2004)

34

Secondo una recente statistica, in Italia una persona ogni 76 è allergica alle fragole e, tra quelle che lo sono, 2 su 3 sono donne. Sulla base di queste informazioni, e supponendo che in Italia il numero di donne sia uguale a quello degli uomini, si può concludere che è allergico alle fragole un uomo ogni X uomini. Determi(Olimpiadi della matematica, Gara provinciale, 2004) nare X. [114] TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

䉴 9 esercizi in più

35 a) Define three measures of location of a set of data, and three essentially different measures of spread. b) Calculate all six measures you have defined in part a) for the following data, showing your working: 7, 8, 7, 12, 2, 5, 4. (UK University of Essex, First Year Examination, 2003)

[a) mode ⫽ 7, median ⫽ 7, mean ⫽ 6,43; b) range ⫽ 10, absolute deviation ⫽ 2,37, standard deviation ⫽ 2,97] 36 Thirty students were asked to attempt a maths problem. The time it took them to complete the problem (to the nearest second) is given in the table: SECS

0 ⱕ t ⬍ 10

10 ⱕ t ⬍ 15

15 ⱕ t ⬍ 20

20 ⱕ t ⬍ 30

30 ⱕ t ⬍ 50

3

7

10

6

4

STUDENTS

a) explain why representing these data on a histogram is appropriate; b) represent the data on a histogram. 37 TEST Johnny figures that since the final exam counts as two tests, he only needs a 28 to have a 70 average. Even if he makes a 100 he will still only have an 88 average. What is the lowest score Johnny can make on the final and still have an 80 average? A

65

B

66

C

68

D

70

E

72 (USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2002)

GLOSSARY

absolute deviation: scarto semplice medio to attempt: tentare, provare average: media data: dati

␣

40

to figure: calcolare, immaginarsi histogram: istogramma mean: media aritmetica measure of location: indice di posizione measure of spread: indice di variabilità

median: mediana mode: moda score: punteggio, voto table: tabella

CAPITOLOTEORIA

La geometria del piano

G1

Senza bussola Chi sa orientarsi è capace di riconoscere la propria posizione anche in un luogo inesplorato. Esistono varie tecniche di orientamento e forse quella più comune è l’uso della bussola. Non sempre però si ha a disposizione questo strumento… …riusciresti a trovare il Nord usando solo un comune orologio da polso e il Sole?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. G20

1. Oggetti geometrici e proprietà ■ Le definizioni Poniamo l’attenzione sugli «oggetti», gli enti, che si studiano in geometria. Per descriverli utilizzeremo delle definizioni. Una definizione è una frase nella quale viene associato un nome a un ente e ne vengono elencate le caratteristiche.

◗ Ente significa «ciò che esiste». Un ente geometrico è un oggetto studiato dalla geometria.

ESEMPIO

Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Per dare una definizione è necessario conoscere il significato di alcuni termini che vengono usati per formularla. Nell’esempio precedente, per stabilire che cos’è un parallelogramma si deve sapere che cosa significano le parole «quadrilatero», «lati», «opposti», «paralleli». Se i termini usati non sono conosciuti, si devono dare altre definizioni. Anche in queste saranno utilizzati altri enti che a loro volta dovranno essere definiti...

1

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

■ Gli enti primitivi Per interrompere questo procedimento non si può fare altro che supporre che alcuni enti non vengano definiti, ma vengano accettati come noti. Questi enti sono detti enti primitivi. In geometria consideriamo come enti primitivi: ● il punto; ● la retta; ● il piano. punto

retta

a. Il punto che disegniamo sul foglio è solo una rappresentazione dell’idea che abbiamo del punto. Il punto ideale non ha dimensione, mentre quello che disegniamo con la matita, per quanto piccolo, ha un’estensione! 䉱

Figura 1

◗ Teorema deriva dal greco e significa «ciò che scorgo». A differenza dei postulati, i teoremi sono enunciati la cui verità è tutta da dimostrare. affermazioni ipotesi deduzioni dimostrazione affermazioni tesi

2

c. Il piano ideale è illimitato in tutte le direzioni. Possiamo disegnarne sul foglio solo una parte che lo rappresenta.

■ Le figure geometriche

◗ Postulato deriva dal verbo latino postulare e significa «richiesto». Ciò che viene richiesto è accettare la verità dell’enunciato.

G

b. Anche la retta che disegniamo sul foglio è la rappresentazione dell’idea di retta. Quella che disegniamo è una parte di retta e ha per forza uno spessore, mentre la retta ideale è illimitata da entrambe le parti e non ha spessore.

piano

Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica; lo spazio è l’insieme di tutti i punti e contiene quindi tutte le figure. Una figura che appartiene a un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.

■ I postulati In geometria ci sono alcune proprietà alle quali affidiamo un ruolo simile a quello assunto dagli enti primitivi rispetto alle figure geometriche. Nella geometria razionale vogliamo ricavare, mediante deduzioni, delle proprietà da altre proprietà. In questo procedimento dobbiamo accettare che alcune proprietà vengano assunte come «primitive», ossia non siano dedotte ma accettate come vere. A queste proprietà viene dato il nome di postulati o assiomi.

■ I teoremi I teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai postulati o da altri teoremi. Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere a una nuova affermazione (tesi). In seguito scriveremo spesso l’enunciato dei teoremi mediante la struttura linguistica «Se..., allora...». La frase che segue il «se» è l’ipotesi, ossia ciò che supponiamo vero; quella dopo «allora» è la tesi, ossia l’affermazione da dimostrare.

Paragrafo 1. Oggetti geometrici e proprietà

ESEMPIO

Enunciato del teorema: «Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti». Ipotesi «Un triangolo è isoscele».

=

=

Tesi «(Il triangolo) ha due angoli congruenti».

Un triangolo è isoscele ipotesi

TEORIA

◗ La geometria razionale, fondata su definizioni, enti primitivi, postulati e teoremi, trovò la sua prima sistemazione nell’opera di Euclide, matematico greco del III secolo a.C.; per questo motivo si usa anche il termine geometria euclidea per indicare la materia oggetto del nostro studio.

Il triangolo ha due angoli congruenti tesi 䉳

Figura 2

Se in un teorema vengono scambiate l’ipotesi e la tesi, si ottiene la proposizione inversa che, se risulta valida, prende il nome di teorema inverso (o reciproco). ESEMPIO

Inverso del teorema precedente: «Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora esso è isoscele». Ipotesi «Due angoli di un triangolo sono congruenti».

Tesi «(Il triangolo) è isoscele».

Quando un teorema è l’immediata conseguenza di un altro teorema, viene chiamato corollario.

◗ Corollario deriva da «corolla». I corollari, in un certo senso, circondano i teoremi come i petali la parte centrale di un fiore.

NECESSITÀ DELLA DIMOSTRAZIONE Può capitare di studiare teoremi la cui verità appare così ovvia che ogni dimostrazione sembra del tutto inutile! Tuttavia valutazioni di questo tipo sono spesso frettolose, basate sull’osservazione di una figura disegnata e non su un ragionamento valido in generale. La sola osservazione e l’evidenza visiva possono dare delle sorprese...

a

Il segmento a sembra più lungo del segmento b, mentre in realtà hanno la stessa lunghezza. Il disco centrale di sinistra, circondato da dischi più grandi, appare più piccolo di quello centrale di destra. Invece le dimensioni dei due dischi sono uguali.

b

3

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

ESPLORAZIONE: MATEMATICA E DEMOCRAZIA La Scuola di Atene di Raffaello, 1509-1510, Vaticano, Stanza della Segnatura. Particolare: Euclide.

䉳

Proprio all’interno della logica si affermò il concetto di dimostrazione, intesa come deduzione necessaria di specifiche conclusioni (tesi) da particolari premesse (ipotesi).

Come mai il metodo dimostrativo è nato proprio in Grecia tra il VI e il V secolo a.C. e non presso gli Egiziani o i Babilonesi, che pur avevano prodotto tante conoscenze tecniche e scientifiche? Nelle poleis democratiche del VI e V secolo a.C., i politici dovevano conquistarsi il favore delle assemblee per essere eletti alle cariche pubbliche. Nacque così la retorica (arte della persuasione) e da essa la logica (arte del discorso). Mentre la retorica mirava a convincere l’uditorio con ogni mezzo (inclusa la tecnica di provocarne reazioni emotive e psicologiche), la logica utilizzava solo argomentazioni rigorosamente razionali e consequenziali.

Nelle civiltà degli Egiziani e dei Babilonesi, invece, il potere era accentrato interamente nelle mani del sovrano. Non era necessario che i politici convincessero i propri interlocutori e quindi, non a caso, non nacquero né le scuole di retorica, né il metodo dimostrativo matematico. I testi matematici si limitavano a esporre metodi, che erano insegnati sulla base del principio di autorità, senza cercare di convincere della correttezza dei procedimenti esposti. IN CINQUE SLIDE

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2. Appartenenza e ordine ■ I postulati di appartenenza Postulati di appartenenza della retta Il seguente postulato è fondamentale per poter tracciare linee rette nelle costruzioni di figure geometriche. Lo chiameremo postulato del passaggio di una retta per due punti. POSTULATO

Primo postulato ◗ Diciamo «una e una sola» per riassumere due concetti: ● esistenza: dati due punti esiste una retta che passa per quei punti («passa una retta»); ● unicità: la retta è unica («passa una sola retta»).

Per due punti distinti di un piano passa una e una sola retta. Precisiamo poi che la retta non può essere costituita da un solo punto. POSTULATO

Secondo postulato Su una retta ci sono almeno due punti. In modo analogo, con il prossimo postulato, vogliamo evitare che si possa pensare che il piano sia costituito soltanto da una retta.

G

4

Paragrafo 2. Appartenenza e ordine

TEORIA

POSTULATO

Terzo postulato Per ogni retta di un piano esiste almeno un punto, nel piano, che non le appartiene.

Esistono poi i postulati di appartenenza del piano. POSTULATO

◗ Punti allineati sono punti che stanno sulla stessa retta.

Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

POSTULATO

Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Mettere in bolla

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Su alcuni telefoni cellulari è installato un software che consente di utilizzarli come livelle a bolla, strumenti che verificano l’orizzontalità di un piano. Quando la livella è posta su un piano orizzontale, la bolla d’aria compare al centro di una zona prestabilita dello strumento. ANDREA: JESSICA:

«Ieri ho provato a usarla, l’ho messa su un tavolo inclinato e sono riuscito ugualmente a fare apparire la bolla al centro!». «Ma allora non funziona… Dai, non è possibile: avrai sbagliato qualche cosa!».

䉴 Secondo te, ha ragione Jessica oppure Andrea c’è riuscito davvero? Prova an-

che tu con una livella a bolla. Rifletti poi sui postulati che hai studiato e indica il procedimento per mettere un piano in orizzontale.

■ L’ordinamento sulla retta POSTULATO

La retta: 1. è un insieme ordinato di punti; A C 2. non esiste né un primo né un ultimo punto; 3. fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto.

B

5

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

A

C

B

D

C

B

AED

C

B

A

䉱

Figura 3

Dire che non esiste né un primo né un ultimo punto significa affermare che la retta è illimitata. Questo postulato, detto postulato dell’ordine, oltre a fissare un ordinamento su una retta, afferma in modo implicito che una retta è costituita da infiniti punti. Per esempio, prendiamo su una retta due punti A e B (figura 3). Il postulato afferma che fra A e B c’è un punto, che chiamiamo C. Fra A e C deve esserci un punto D, fra A e D deve esserci un punto E e così via. Gli infiniti punti che otteniamo sono compresi fra A e B. Dai postulati precedenti discendono due proprietà importanti, che non dimostriamo:

䉱 Figura 4 Fascio proprio di rette.

A 䉱

B

C

1. ogni piano contiene infiniti punti e infinite rette; 2. per un punto passano infinite rette. L’insieme delle rette passanti per un punto si chiama fascio proprio di rette (figura 4). Il postulato dell’ordine permette di assegnare a ogni retta un verso di percorrenza. Una retta su cui sia fissato un verso si dice retta orientata (figura 5). Se il verso è quello indicato in figura, possiamo dire che A precede B e C segue B. Diciamo anche che B è fra A e C.

Figura 5

3. Gli enti fondamentali ■ Le semirette DEFINIZIONE

◗ Possiamo indicare una semiretta, oltre che con una sola lettera minuscola, anche con un simbolo «misto» del tipo Oa, dove la lettera maiuscola indica l’origine della semiretta.

Semiretta Data una retta orientata e un suo punto O, chiamiamo semirette: ● l’insieme formato da O e dai punti che lo seguono; ● l’insieme formato da O e dai punti che lo precedono.

O O a

O b

Il punto O si chiama origine della semiretta. La definizione afferma che su una retta esistono due semirette opposte, aventi la stessa origine. L’origine è il solo punto che due semirette opposte hanno in comune. ◗ Osserva che lo stesso simbolo AB può indicare sia un segmento sia una retta. È bene quindi non indicare genericamente con AB una retta o un segmento, ma parlare del «segmento AB » oppure della «retta AB».

G

6

■ I segmenti DEFINIZIONE

Segmento Data una retta e due suoi punti, A e B, diciamo segmento AB l’insieme dei punti della retta formato da A, da B e dai punti compresi fra A e B.

A

B

Paragrafo 3. Gli enti fondamentali

TEORIA

I punti A e B si chiamano estremi del segmento, i punti compresi fra A e B sono i punti interni del segmento. Fissati due punti A e B possiamo anche pensare alla retta AB divisa in tre parti: il segmento AB, la semiretta di origine A che non contiene B e la semiretta di origine B che non contiene A. Queste due semirette vengono dette prolungamenti del segmento AB.

prolungamenti A

Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo; sono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

B B

C A

Un segmento è nullo se i suoi estremi coincidono, ossia se è privo di punti interni. Il segmento nullo è costituito da un solo punto. Dato il punto A, il segmento AA è nullo.

segmenti consecutivi segmenti adiacenti

■ Le poligonali

A

B

C

DEFINIZIONE

Poligonale

D

Si dice poligonale una figura costituita da un insieme ordinato di segmenti in cui ciascun segmento e il successivo sono consecutivi.

B C A

E

Una poligonale è chiusa se l’ultimo estremo coincide con il primo. In caso contrario la poligonale è aperta. Una poligonale è intrecciata se almeno due suoi lati (non consecutivi) si intersecano. B

C

B

D

◗ I segmenti di una poligonale si dicono anche lati della poligonale. B

C

E

A A≡F

A F ultimo estremo

primo estremo a. Poligonale aperta.

C

F

D D E

E b. Poligonale chiusa.

c. Poligonale intrecciata. 䉱

Figura 6

GLI INSIEMI E LA GEOMETRIA Spesso in geometria usiamo il linguaggio degli insiemi. Le figure geometriche sono infatti particolari insiemi che hanno come elementi i punti. In particolare, utilizziamo la relazione di appartenenza e l’operazione di intersezione. Nelle seguenti figure ci sono due esempi. b

A r B Un punto appartiene o non appartiene a una retta. A non sta su r, ossia A 僆 Ⲑ r; B sta su r, ossia B 僆 r.

P

a L’intersezione di due rette a e b è un punto P. P, e soltanto esso, appartiene sia ad a che a b, ossia {P} ⫽ a 傽 b.

7

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

■ I semipiani Il seguente postulato precisa il modo in cui la retta divide un piano. Lo chiameremo postulato di partizione del piano da parte di una retta. POSTULATO

Considerata una qualsiasi retta di un piano, essa divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni con le seguenti proprietà: ●

●

due punti qualsiasi appartenenti alla stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca la retta; due punti qualsiasi appartenenti a regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca la retta.

A

B

Q

P

DEFINIZIONE

Semipiano

semipiano

Data una retta di un piano, un semipiano è costituito dalla retta (detta origine del semipiano) e da una delle due regioni in cui il piano è diviso dalla retta stessa.

■ Gli angoli DEFINIZIONE

◗ I due angoli della figura hanno punti in comune?

◗ Osserva che con il sim^ bolo aOb indichiamo entrambi gli angoli individuati dalle due semirette.

G

8

Angolo Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due semirette.

angolo

angolo

O

Le due semirette sono i lati dell’angolo; il punto origine in comune è il vertice dell’angolo. I punti che appartengono all’angolo, ma non ai suoi lati, sono i punti interni dell’angolo. Per indicare un angolo di vertice O e con lati le semirette a e ^ ^ b, usiamo il simbolo aOb. Anche il simbolo AOB indica un angolo di vertice O, ma con un lato che passa per il punto A e l’altro per il punto B. Un angolo si può indicare con una lettera greca (per esempio, ␣, ␤, ␥).

Paragrafo 3. Gli enti fondamentali

TEORIA

Quando due angoli hanno in comune soltanto il vertice e un lato si dicono consecutivi. Due angoli consecutivi i cui lati non comuni appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti. ESEMPIO 䉳

Figura 7

c b

O

e

a

f

V

d

ˆ ed eVf ˆ sono adiacenti. a. Gli angoli aÔb e bÔc sono consecutivi. b. Gli angoli dVe

DEFINIZIONE

Angolo piatto, angolo giro, angolo nullo Un angolo è piatto quando i suoi lati sono due semirette opposte. L’angolo giro è l’angolo i cui lati sono semirette coincidenti e che coincide con l’intero piano. Un angolo è nullo quando i suoi lati sono due semirette coincidenti e non comprende altri punti oltre quelli dei lati.

angolo piatto O angolo giro O

O

angolo nullo

Un angolo piatto coincide quindi con un semipiano. Spesso lo indichere^ mo con P .

■ Le figure concave e le figure convesse DEFINIZIONE

Figura convessa – Figura concava

convessa

concava

Una figura è convessa se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento che è contenuto interamente nella figura stessa. Se una figura non è convessa si dice concava.

Il piano, le rette, le semirette, i segmenti, i semipiani sono figure convesse. Gli angoli possono essere sia figure concave sia convesse. Per decidere se un angolo è concavo o convesso, anziché ricorrere alla definizione precedente, possiamo considerare i prolungamenti dei suoi lati.

9

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

A

α O

O

β O

B

a. Se un angolo contiene al proprio interno i prolungamenti dei lati, allora è concavo. Infatti è possibile scegliere due punti in modo che il segmento che li unisce non sia contenuto interamente nell’angolo. 䉱

Figura 8

b. Se un angolo non contiene al proprio interno i prolungamenti dei lati, allora è convesso. Infatti, comunque scegliamo due punti, il segmento che li unisce è contenuto sempre interamente nell’angolo.

c. L’angolo piatto è convesso. Pˆ contiene il prolungamento dei suoi lati, ma non al proprio interno.

■ La congruenza delle figure

◗ Esempio mediana = altezza C AC ≅ BC

A

Pˆ

B

Nel triangolo isoscele ABC la mediana e l’altezza relative alla base sono uguali, perché coincidono, mentre i lati AC e CB sono congruenti.

Quando parliamo di movimento rigido intendiamo dire che nell’ambito della geometria euclidea si può pensare di spostare le figure senza deformarle. In geometria utilizzeremo la parola uguaglianza (e il simbolo ⫽) soltanto per indicare la coincidenza punto a punto di due figure. Useremo invece la parola congruenza (e il simbolo ⬵) per indicare la sovrapponibilità punto a punto di una figura su un’altra mediante un movimento rigido. Il concetto di movimento rigido deve essere considerato primitivo. I movimenti rigidi sono caratterizzati da postulati; noi presentiamo solo alcuni postulati fondamentali. POSTULATI ● ● ●

Tutte le rette sono fra loro congruenti. Tutte le semirette sono fra loro congruenti. Tutti i semipiani (e quindi anche gli angoli piatti) sono fra loro congruenti.

DEFINIZIONE

Figure congruenti ◗ Come abbiamo anticipato, per indicare la congruenza di due figure useremo il simbolo ⬵. Per esempio, scriveremo: Ᏺ ⬵ Ᏺ′.

Due figure sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto l’una sull’altra mediante un movimento rigido.

Assumiamo come postulato le seguenti proprietà della congruenza. POSTULATI ● ●

●

G

10

Proprietà riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa. Proprietà simmetrica: dalla congruenza tra la figura Ꮽ e la figura Ꮾ, si deduce la congruenza tra Ꮾ e Ꮽ. Proprietà transitiva: se la figura Ꮽ è congruente a Ꮾ e Ꮾ è congruente a Ꮿ, allora Ꮽ è congruente a Ꮿ.

Paragrafo 3. Gli enti fondamentali

Pertanto, la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza, cioè una relazione su un insieme che gode delle tre proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva.

◗ Verifica le tre proprietà con i triangoli della figura.

■ La lunghezza dei segmenti In particolare, la relazione di congruenza fra segmenti permette di ripartire l’insieme di tutti i segmenti del piano in classi di segmenti congruenti fra loro. La caratteristica comune ai segmenti appartenenti a una stessa classe si chiama lunghezza (figura 9). Ogni classe, costituita da segmenti congruenti, individua una e una sola lunghezza. In altre parole due segmenti congruenti hanno lunghezza uguale.

TEORIA

Ꮽ

Ꮾ ıı

ıı

b

a

Ꮿ ıı

ı

b

ı

a a lunghezza a

䉱

c

ı

b lunghezza b

c

c

lunghezza c

Figura 9

◗ Non bisogna confondere la lunghezza di un segmento, che è una classe di equivalenza, con la misura della lunghezza di un segmento, che è un numero.

■ Le linee piane Se disegniamo un punto su un foglio e muoviamo la matita, senza staccarla dal foglio, otteniamo una linea. Diremo che una linea piana è un insieme di punti ottenuti dal movimento continuo di un punto del piano. La retta può essere vista come un caso particolare di linea. Ogni linea che non sia una retta, una semiretta o un segmento viene detta linea curva o semplicemente curva. Un tratto di curva compreso fra due suoi punti viene detto arco, i due punti si chiamano estremi.

arco

estremi

Per due punti passano infinite curve, ma una sola retta. Da un punto di vista intuitivo, il segmento che ha per estremi i due punti rappresenta il percorso più breve per andare da un punto all’altro. DEFINIZIONE

Distanza La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti.

A

B

Ogni linea è percorribile in due versi opposti. Immaginiamo di percorrere una linea, partendo da un suo punto, sempre nello stesso verso. Se a fine percorso arriviamo nuovamente al punto di partenza, la linea è chiusa, in caso contrario la linea è aperta. Se poi, durante il percorso, incontriamo uno stesso punto più di una volta, allora la linea è intrecciata. In caso contrario è semplice.

Linea aperta intrecciata.

11

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

Ogni linea chiusa semplice divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni: una che contiene segmenti, ma non rette; l’altra che contiene anche rette. I punti della prima regione si dicono interni alla linea, quelli della seconda si dicono esterni.

punti interni punti esterni

Data una linea chiusa e due punti, uno interno e l’altro esterno, una linea che congiunga i due punti incontra la linea data almeno in un punto. Questa proprietà viene anche detta postulato di partizione del piano da parte di una linea chiusa.

Linea semplice chiusa.

Utilizzeremo molto spesso, nelle nostre costruzioni, gli archi di una particolare linea curva semplice e chiusa, la circonferenza. DEFINIZIONE

◗ Con il termine raggio indichiamo ognuno dei segmenti che hanno come estremi il centro e un punto della circonferenza, ma anche la lunghezza di questi segmenti (tutti congruenti), ossia la distanza dei punti della circonferenza dal centro.

Circonferenza Dati nel piano i punti O e A, la circonferenza di centro O e raggio OA è l’insieme dei punti del piano che hanno da O la stessa distanza di A.

A O

L’insieme dei punti di una circonferenza e dei punti interni a essa si chiama cerchio. Un arco è la parte di circonferenza compresa fra due suoi punti. Ammettiamo il seguente postulato della circonferenza. POSTULATO

◗ «Preso a piacere» equivale a dire «preso un qualsiasi».

Presi a piacere, in un piano, un punto e un segmento, esiste una e una sola circonferenza che ha per centro quel punto e per raggio quel segmento.

4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

P

■ Il confronto di segmenti O

B≡P

A≡O AB ≅ OP

a

D

Confrontare due segmenti significa stabilire se sono o non sono congruenti e, in quest’ultimo caso, quale dei due è maggiore. Per effettuare il confronto basta allineare i segmenti e sovrapporli in modo che uno dei loro estremi coincida. ● Se anche il secondo estremo coincide, i segmenti sono congruenti (figura a). Scriviamo: AB ⬵ OP.

C ●

A≡C AB

b

G

B

12

CD

D

Se il secondo estremo di un segmento risulta interno all’altro, i due segmenti non sono congruenti (figura b). Scriviamo: AB  CD (AB minore di CD), o CD  AB (CD maggiore di AB).

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

TEORIA

■ L’addizione fra segmenti Dati due segmenti adiacenti AB e BC, la loro somma è il segmento AC, che ha per estremi i loro estremi non comuni.

C

Scriviamo: AB ⫹ BC ⫽ AC. Per estendere questa definizione a due segmenti qualsiasi (figura 10) basta considerare due segmenti adiacenti che siano congruenti a quelli dati.

B A

L’addizione fra segmenti gode delle proprietà commutativa e associativa. Inoltre, esiste l’elemento neutro, che è il segmento nullo.

■ Multipli e sottomultipli di segmenti

D

E

F AB + CD = EF

䉱

Figura 10

Si chiama multiplo di un segmento a, secondo il numero naturale n ⬎ 1, un segmento b congruente alla somma di n segmenti congruenti ad a. Scriviamo: b ⫽ na. Se n ⫽ 1, possiamo estendere la definizione, considerando in questo caso, come multiplo di a, a stesso. Se n ⫽ 0, b è il segmento nullo. Nella relazione precedente possiamo anche dire che a è sottomultiplo di b secondo il numero n (con n ⫽ 0). b Scriviamo: a ⫽ ᎏᎏ n

oppure

a b

1 a ⫽ ᎏᎏ b. n

c b = 3a 1 a=—b 3 2 1 c = 2 — b = — b. 3 3

m Inoltre, con m numero naturale, la scrittura c ⫽ ᎏᎏ b (con n ⫽ 0) sin m b gnifica: c ⫽ ᎏᎏ b ⫽ m ᎏᎏ . n n

冢 冣

冢 冣

■ Il punto medio di un segmento DEFINIZIONE

Punto medio di un segmento

B

M

A

Il punto medio di un segmento è quel suo punto che lo divide in due segmenti congruenti. Accetteremo come postulato che esista sempre il punto medio di un segmento e che sia unico. Costruzione del punto medio di un segmento

䉲 Figura 11 Costruzione del punto medio di un segmento.

C =

C

A

B

A

B D

a. Tracciamo il segmento AB. Puntiamo il compasso in A e, con apertura maggiore della metà di AB, tracciamo un arco.

b. Con la stessa apertura di compasso, puntiamo in B e tracciamo un arco, in modo da intersecare l’arco precedente in due punti.

A

X

X

=

M

B

D

c. CD interseca AB nel punto medio M.

13

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

◗ I Greci furono i primi ad affrontare il problema di tracciare figure geometriche con il solo uso della riga non graduata e del compasso.

A

B

C

AC − AB = BC infatti AB + BC = AC

Questo è un primo esempio di costruzione con riga e compasso. La riga non è graduata e quindi non permette di misurare le grandezze. Non possiamo, per ora, giustificare completamente la costruzione. Perché congiungendo C e D otteniamo proprio il punto medio di AB? Vedremo che ciò è collegato alle proprietà del parallelogramma e del rombo.

■ La sottrazione fra segmenti Dati i segmenti AB e AC (con AC ⬎ AB o AC ⬵ AB), la differenza fra AC e AB è il segmento che, addizionato ad AB, dà come somma AC. Scriviamo: AC ⫺ AB ⫽ BC.

■ Il confronto di angoli Confrontare due angoli significa stabilire se sono o non sono congruenti e, in quest’ultimo caso, quale dei due è maggiore. Per effettuare il confronto basta sovrapporre un angolo all’altro, in modo che coincidano i due vertici e un lato.

α β≡α

Se anche il secondo lato risulta sovrapposto (figura a), i due angoli sono congruenti. Scriviamo: ␣ ⬵ ␤.

α≅β

a

Se il secondo lato di un angolo risulta interno all’altro (figura b), i due angoli non sono congruenti. Scriviamo: ␣ ⬍ ␤ (␣ minore di ␤)

␤ ⬎ ␣ (␤ maggiore di ␣).

Costruzione per disegnare un angolo congruente a un angolo dato Possiamo disegnare un angolo congruente a un angolo dato con la costruzione di figura 12.

α

α

Utilizziamo i postulati della circonferenza e del passaggio di una retta per due punti, che garantisce la possibilità di tracciare OD (figura 12d). Tuttavia, potremo essere sicuri che l’angolo costruito è congruente a quello dato solo dopo aver esaminato il terzo criterio di congruenza dei triangoli.

β

αα

b

oppure

b

b B

a

b B

a A

V

b B

a A

V

a A

V

V D

O

c

ˆ a. Dato l’angolo aVb, vogliamo disegnare l’angolo cÔd congruente a esso.

䉱

G

Figura 12

14

O

c

b. Puntiamo il compasso in V e, con apertura a piacere, tracciamo un arco che interseca a in A e b in B.

O

C

c

c. Con la stessa apertura di compasso, puntiamo in O e tracciamo l’arco che interseca c in C.

O

C

d

c

d. Con apertura di compasso pari ad AB, puntiamo in C. La semiretta d = OD è ˆ tale che cÔd ≅ aVb.

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

TEORIA

■ L’ampiezza degli angoli La relazione di congruenza fra angoli fa sì che si possa ripartire l’insieme di tutti gli angoli del piano in classi di angoli congruenti fra loro. La caratteristica comune agli angoli appartenenti a una stessa classe si chiama ampiezza. Ogni classe, costituita da angoli congruenti, individua una e una sola ampiezza. In altre parole, due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza.

■ L’addizione fra angoli ^

^

^

Dati due angoli consecutivi aV b e bV c, la loro somma è l’angolo aV c, che ha per lati i loro lati non comuni. ^

^

^

Scriviamo: aV b ⫹ bV c ⫽ aV c. Per estendere questa definizione a due angoli qualsiasi, basta considerare due angoli consecutivi che siano congruenti a quelli dati (figura 13). 䉳

Figura 13

b β

β βı

α

a. Disegniamo i due angoli α e β.

O

α a

b. Mediante la costruzione della figura 12, costruiamo un angolo consecutivo ad α e congruente a β: aÔb = α + β.

■ Multipli e sottomultipli di angoli

α

Si chiama multiplo di un angolo ␣, secondo il numero naturale n ⬎ 1, un angolo ␤ che sia la somma di n angoli congruenti ad ␣. Scriviamo: ␤ ⫽ n␣ (figura a lato). Se n ⫽ 1, possiamo estendere la definizione, considerando in questo caso, come multiplo di ␣, ␣ stesso. Se n ⫽ 0, ␤ è l’angolo nullo. Nella relazione precedente possiamo anche dire che ␣ è sottomultiplo di ␤ secondo il numero n (con n ⫽ 0). ␤ Scriviamo: ␣ ⫽ ᎏᎏ n

oppure:

1 ␣ ⫽ ᎏᎏ ␤. n

m Inoltre, con m numero naturale, la scrittura ␥ ⫽ ᎏᎏ ␤ (con n ⫽ 0) signin m 1 fica: ␥ ⫽ ᎏᎏ ␤ ⫽ m ᎏᎏ ␤ . n n

冢 冣

β γ

β = 3α 1 α=—β 3 2 1 γ = 2 — β = — β. 3 3

冢 冣

15

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

■ La bisettrice di un angolo DEFINIZIONE

Bisettrice di un angolo La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli congruenti.

bisettrice

Come per il punto medio di un segmento, per la bisettrice accetteremo, come postulato, che esista per qualsiasi angolo e sia unica. Costruzione della bisettrice di un angolo

b

B

b

B

b

B

E O

O A

A

a

ˆ b. a. Disegniamo un angolo aO Puntiamo il compasso in O con apertura a piacere e tracciamo un arco che interseca a in A e b in B.

䉱 Figura 14 Costruzione della bisettrice di un angolo. Per giustificare questa costruzione si usa il terzo criterio di congruenza dei triangoli che enunceremo nel paragrafo 2 del capitolo G2.

O A

a

b. Ora puntiamo il compasso in A con apertura a piacere, anche diversa dalla precedente, e tracciamo un arco. Con la stessa apertura puntiamo in B e tracciamo un arco che interseca il precedente.

a

c. Congiungiamo O e il punto di incontro E degli archi appena tracciati. Prolunghiamo il segmento: la semiretta OE è la bisettrice ˆ b. dell’angolo aO

Osservazione. Non tutte le costruzioni geometriche sono possibili usando solamente riga e compasso. Per esempio, non è possibile dividere un angolo in tre angoli congruenti con questi due soli strumenti.

■ La sottrazione fra angoli Dati gli angoli ␣ e ␤ (con ␣ ⬎ ␤ o ␣ ⬵ ␤), la differenza fra ␣ e ␤ è l’angolo che, addizionato a ␤, dà come somma ␣. Scriviamo: ␣ ⫺ ␤ ⫽ ␥. La differenza di due angoli congruenti è l’angolo nullo.

G

16

γ β

α

γ=α−β

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

TEORIA

LA MISURA DELLE LUNGHEZZE DEI SEGMENTI E DELLE AMPIEZZE DEGLI ANGOLI La misura delle lunghezze dei segmenti Date le lunghezze di due segmenti AB e CD, diciamo misura di AB rispetto a CD il numero raziom nale ᎏᎏ (se esiste) tale che n m AB ⫽ ᎏᎏ CD, n

La misura delle ampiezze degli angoli Date le ampiezze di due angoli ␣ e ␤, diciamo mim sura di ␣ rispetto a ␤ il numero razionale ᎏᎏ (se n esiste) tale che:

苶B 苶. e la indichiamo con A CD è detta unità di misura.

Di solito la indichiamo anch’essa con ␣. ␤ è detta unità di misura.

m ␣ ⫽ ᎏᎏ ␤. n

A C

D α

B

β

Con i segmenti disegnati in figura abbiamo: 2 2 苶B 苶 ⫽ ᎏᎏ . AB ⫽ ᎏᎏ CD → A 3 3 Come unità di misura delle lunghezze viene spesso usato il metro o la sua centesima parte, il centimetro. Per esempio, scriviamo: 苶F 苶 ⫽ 6,1. EF ⫽ 6,1 cm oppure E

Con gli angoli della figura abbiamo: ␣ ⫽ 3␤. La misura di ␣ è 3 rispetto a ␤. Come unità di misura delle ampiezze degli angoli viene spesso usato il grado sessagesimale, che è la 360a parte dell’angolo giro. Per esempio, scriviamo: ␣ ⫽ 30°.

■ Angoli retti, acuti, ottusi DEFINIZIONE

Angolo retto, acuto, ottuso Ogni angolo: ● metà di un angolo piatto è un angolo retto; ● minore di un angolo retto è un angolo acuto; ● maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è ottuso.

angolo retto

angolo acuto

angolo ottuso

1 ^ ^ Indicheremo l’angolo retto con ᎏᎏ P , o anche con R . 2 Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti, anche tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro.

17

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

◗ Possiamo vedere l’angolo giro come il doppio di un angolo piatto e indicar^ lo quindi con 2P.

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

■ Angoli complementari di uno stesso angolo α

TEOREMA γ

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, o di angoli congruenti, allora sono congruenti.

β

◗ Utilizziamo una di quelle leggi che Euclide chiama Nozioni comuni: «Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le differenze sono uguali».

Tesi ␣ ⬵ ␤.

Ipotesi 1. ␣ e ␥ sono complementari; 2. ␤ e ␥ sono complementari. ^

^

Per l’ipotesi 1: ␣ ⫹ ␥ ⬵ R , da cui ␣ ⬵ R ⫺ ␥. ^ ^ Per l’ipotesi 2: ␤ ⫹ ␥ ⬵ R , da cui ␤ ⬵ R ⫺ ␥. Poiché tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro e differenze di angoli congruenti sono congruenti, si deduce che ␣ ⬵ ␤. DIMOSTRAZIONE

LA TECNICA DEL DIMOSTRARE Mettiamo in evidenza i passaggi della dimostrazione di un teorema, mediante un elenco delle «cose da fare». 1. L’enunciato del teorema fa pensare subito a una figura geometrica che bisogna disegnare. 2. Nell’enunciato è necessario individuare l’ipotesi (i dati forniti dal testo del teorema) e la tesi (ciò che va dimostrato), che possiamo scrivere in modo sintetico su due righe (o due colonne) separate. 3. In qualche caso bisogna modificare la figura di partenza, con una particolare costruzione.

4. Si passa poi all’osservazione della figura, per cercare di comprendere quali proprietà possono essere dedotte dalle ipotesi, facendo anche riferimento a postulati, definizioni e teoremi già dimostrati. 5. Si esegue la dimostrazione, cioè si scrivono le deduzioni, tutte opportunamente motivate, collegate in modo tale da giungere alla tesi. 6. In ultimo, è opportuno scrivere una conclusione, ovvero una frase che indichi che siamo giunti a dimostrare quanto affermato nella tesi, qualora ciò non sia già evidente da quanto si è detto in precedenza.

■ Gli angoli opposti al vertice ◗ Se due angoli sono opposti al vertice, hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette.

DEFINIZIONE

Angoli opposti al vertice Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

■ Il teorema degli angoli opposti al vertice aı

b α a

G

18

O

TEOREMA

Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.

β bı

Ipotesi ␣ e ␤ opposti al vertice.

Tesi ␣ ⬵ ␤.

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

DIMOSTRAZIONE

䉲

γ

b

α

a

O

a'

α

β

b'

ˆ a. Indichiamo con γ l’angolo bOa'.

^

γ

b

O

a'

β

a

b. Osserviamo che α e γ sono ˆ supplementari: α + γ ≅ P.

γ

b

α

O

Figura 15 a'

β

a

b'

TEORIA

b'

c. Osserviamo che anche β e γ sono ˆ supplementari: β + γ ≅ P.

^

␣ ⫹ ␥ ⬵ P poiché adiacenti, quindi ␣ ⬵ P ⫺ ␥; ^ ^ ␤ ⫹ ␥ ⬵ P poiché adiacenti, quindi ␤ ⬵ P ⫺ ␥. Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti fra loro e differenze di angoli congruenti sono congruenti, si deduce che ␣ ⬵ ␤. Nel dimostrare il teorema precedente abbiamo anche dimostrato che angoli supplementari dello stesso angolo, o di angoli congruenti, sono congruenti, utilizzando uno schema analogo a quello del teorema degli angoli complementari di uno stesso angolo.

◗ Due rette che si intersecano dividono il piano in quattro angoli convessi, a due a due supplementari.

◗ Si può anche dimostrare che gli angoli esplementari dello stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

POSTULATI DELLO SPAZIO Come per il piano, ci sono anche postulati dello spazio. Esaminiamone i principali. Per prima cosa, richiamiamo due postulati che abbiamo già enunciato. 1. Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (figura a). 2. Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano (figura b).

α a

Abbiamo poi un postulato che garantisce che lo spazio non è costituito soltanto da un piano. 3. Per ogni piano dello spazio esiste almeno un punto, dello spazio, che non appartiene a tale piano.

r α

Infine abbiamo il postulato di partizione dello spazio (figura c). 4. Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni con le seguenti proprietà: ● ●

b A

B C

due punti qualsiasi della stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca il piano; due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano.

α c

E

F

D

19

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

TEORIA

Senza bussola …riusciresti a trovare il Nord usando solo un comune orologio da polso e il Sole?

–䊳 Il quesito completo a pag. G1

Da sempre il Sole rappresenta uno dei metodi più semplici e naturali di orientamento per trovare i punti cardinali all’orizzonte. Tutti sappiamo che sorge a Est, tramonta a Ovest e a mezzogiorno passa per il Sud. Se stiamo in piedi, l’ombra che proiettiamo a terra punta verso Nord. mezzogiorno

Sud

Est

Ovest tramonto

alba Nord

Un altro metodo per stabilire con maggiore accuratezza la direzione Nord-Sud, e quindi quella Est-Ovest, si basa sull’utilizzo di un comune orologio da polso. Posto il quadrante in orizzontale, se puntiamo la lancetta delle ore verso il Sole, cioè verso il punto dell’orizzonte in cui esso si proietta verticalmente, la direttrice Nord-Sud è data dalla bisettrice dell’angolo che la lancetta forma con la linea delle ore 12.

che si ottiene seguendo il movimento delle lancette dell’orologio, cioè andando in senso orario; esso può quindi essere anche maggiore di un angolo piatto. Questo procedimento permette di controllare l’orientamento durante le ore di luce. Come si spiega questa tecnica? Facciamo questa approssimazione: assumiamo che il Sole sorga a Est alle ore 6 circa, passi per il Sud alle ore 12, tramonti a Ovest alle ore 18 e si ritrovi non visibile all’orizzonte, in corrispondenza del Nord, alle ore 24. Immaginiamo un orologio il cui quadrante sia diviso non in 12 ore ma in 24, in modo che la lancetta delle ore faccia un solo giro al giorno, proprio come il Sole fa un giro completo apparente intorno a noi. Se collochiamo questo orologio in modo che la lancetta delle ore sia allineata con il Sole, tale lancetta si muoverà nel tempo, indicando sempre la posizione del Sole. In qualunque momento saremo sempre in grado di dire dove sono i punti cardinali, allineando la lancetta delle ore al Sole: la linea delle ore 6 segnalerà la direzione dell’Est, quella delle 12 il Sud, quella delle 18 l’Ovest e quella delle 24 il Nord.

Nord

Ovest

Est

Sud

Di orologi siffatti non ne esistono molti, normalmente il quadrante è diviso in 12 ore. La lancetta delle ore compie due giri completi al giorno, ovvero compie, nello stesso arco di tempo, un angolo doppio rispetto alla lancetta dell’orologio con 24 ore. Nella figura in basso confrontiamo l’utilizzo dei due orologi, dotati di quadrante con 24 ore e con 12 ore, per esempio alle ore 10. Dalla mezzanotte il primo orologio descrive un angolo orario di 150° (figura a) mentre il secondo un angolo doppio, di 300° (figura b). Osserviamo che per indicare la linea del Nord nel secondo quadrante è quindi necessario tracciare la bisettrice dell’angolo di 300°, formato dalla linea delle ore 12 e dalla lancetta delle ore puntata verso il Sole (figura c). Si verifica che tale metodo è valido per qualunque ora del dì. Nord

Nord

150°

300°

bisettrice

Est

Ovest

Nord

Sud Sud

Tale angolo, di cui si traccia idealmente la bisettrice, è quello

G

20

aa

b

c

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

La geometria del piano 1. Oggetti geometrici e proprietà

semiretta Aa A

La geometria si basa su enti primitivi (come il punto, la retta, il piano), che vengono accettati come noti. Tutti gli altri enti geometrici vengono descritti mediante definizioni. Una figura geometrica è un qualsiasi insieme di punti. Lo spazio è l’insieme di tutti i punti. Fra le proprietà geometriche alcune sono espresse mediante postulati, proprietà che accettiamo come vere. Le altre sono descritte da teoremi, ossia proposizioni che devono essere dimostrate. Nell’enunciato di un teorema distinguiamo l’ipotesi, ossia la parte che supponiamo vera, e la tesi, la parte da dimostrare. La dimostrazione è una sequenza di deduzioni logiche che permette di passare dall’ipotesi alla tesi.

a origine

Data una retta orientata e i suoi punti A e B, il segmento AB è l’insieme dei punti della retta formato da A, da B e dai punti compresi fra A e B. Due segmenti sono: consecutivi se hanno in comune solo un estremo; ● adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. ●

G segmento BC B

2. Appartenenza e ordine ●

2. Su una retta ci sono almeno due punti. 3. Per ogni retta di un piano esiste almeno un punto, nel piano, che non le appartiene. Postulati di appartenenza del piano 1. Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. 2. Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano. ●

E

F segmenti consecutivi

P

Q R segmenti adiacenti

Postulati di appartenenza della retta 1. Per due punti distinti passa una e una sola retta.

●

C estremi

Postulato dell’ordine La retta è un insieme ordinato di punti, non esiste né un primo né un ultimo punto, e fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto.

Una poligonale è una figura costituita da un insieme ordinato di segmenti in cui ciascun segmento e il successivo sono consecutivi. F A primo estremo

secondo estremo

D E C

B

poligonale

Data una retta di un piano, un semipiano è formato dalla retta e da una delle due regioni in cui la retta divide il piano.

3. Gli enti fondamentali Data una retta, su cui è stato fissato un verso, e un suo punto O, sono semirette: ● ●

l’insieme formato da O e dai punti che lo precedono; l’insieme formato da O e dai punti che lo seguono.

r

semipiano

retta origine

21

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due semirette. Due angoli sono: ● consecutivi se hanno in comune il vertice e un lato e giacciono da parti opposte rispetto al lato in comune; ● adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta.

4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli Per i segmenti è possibile fare il confronto ed eseguire le operazioni di addizione e di sottrazione. Inoltre definiamo multiplo del segmento a secondo il numero naturale n il segmento b: ● ● ●

Scriviamo: b ⫽ na.

b

a

lati V

somma di n segmenti congruenti ad a, se n ⬎ 1; uguale ad a, se n ⫽ 1; uguale al segmento nullo, se n ⫽ 0.

P vertice

ˆ angolo aVb

O angoli consecutivi

Se n ⫽ 0, possiamo anche dire che a è sottomultiplo b di b e scriviamo: a ⫽ ᎏᎏ. n

angoli adiacenti

Un angolo è piatto quando i suoi lati appartengono alla stessa retta. L’angolo giro è l’angolo che coincide con l’intero piano.

A

B

C

D

CD AB = —– 3

CD = 3AB

Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti. punto medio

A angolo piatto

A

B angolo giro

In una figura convessa, presi due punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è contenuto tutto nella figura. In una figura concava questa proprietà non è vera per almeno due punti. Due figure sono congruenti se sono sovrapponibili mediante un movimento che non le deforma, ossia un movimento rigido. La congruenza tra figure gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Fra le linee piane, oltre alle rette, alle semirette e ai segmenti, ci sono le linee curve, per esempio la circonferenza.

M

B

Anche per gli angoli è possibile fare il confronto ed eseguire le operazioni di addizione e di sottrazione. Inoltre definiamo multiplo dell’angolo ␣ secondo il numero naturale n l’angolo ␤: ● ● ●

somma di n angoli congruenti ad ␣, se n ⬎ 1; uguale ad ␣, se n ⫽ 1; uguale all’angolo nullo, se n ⫽ 0.

Scriviamo: ␤ ⬵ n␣. Se n ⫽ 0, possiamo anche dire che ␣ è sottomultiplo di ␤ e scriviamo: ␤ ␣ ⬵ ᎏᎏ. n a

b

c

La distanza fra due punti A e B è la lunghezza del segmento AB.

G

Dati nel piano i punti O e A, la circonferenza di centro O e raggio OA è l’insieme dei punti del piano che hanno da O la stessa distanza di A.

V

L’insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni si chiama cerchio.

ˆ cOd ˆ = —— aVb 4

22

O

d

ˆ = 4 aVb ˆ cOd

Paragrafo 1. Oggetti geometrici e proprietà

La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli congruenti.

Due angoli sono: ● ●

c

ESERCIZI

complementari se la loro somma è un angolo retto; supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

bisettrice

1 ˆ ˆ ≅— aOb P 2

b β

b

α O

A

a α e β sono complementari

a

L’ampiezza è la caratteristica comune a tutti gli angoli appartenenti a una stessa classe di equivalenza. Un angolo retto è la metà di un angolo piatto. Un angolo acuto è minore di un angolo retto. Un angolo ottuso è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

β α

α β ≅ Pˆ α e β sono supplementari

Teorema. Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, allora sono congruenti. Due angoli sono opposti al vertice se i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

α

V

β

Teorema. Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti. α e β sono opposti al vertice: α ≅ β

1. Oggetti geometrici e proprietà 1

Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una definizione o una proprietà. a) «Azimut è l’angolo compreso tra il circolo verticale di un astro e il meridiano del luogo di osservazione.» b) «Il cielo è azzurro.» c) «Il poliuretano è una materia plastica usata per le fibre sintetiche e nella preparazione di vernici e adesivi.» d) «L’epidiascopio è un proiettore di immagini stampate su carta non trasparente.»

2

–䊳 Teoria a pag. G1

Trasforma nella forma «Se…, allora…» i seguenti enunciati. a) «Per essere promosso devo avere la sufficienza in tutte le materie.» b) «Ogni corpo non vincolato cade verso il centro della Terra.» c) «Immergendo un corpo caldo in acqua fredda essa si riscalda.» d) «Una pallina lanciata verso l’alto ricade a terra.» e) «Toccando il fuoco ci si brucia.»

23

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. G4

2. Appartenenza e ordine ■ Postulati di appartenenza e modelli ESERCIZIO GUIDA

3

È possibile costruire dei modelli geometrici in cui piano, retta e punti hanno un significato diverso da quelli usuali e in cui valgono solo alcuni postulati. Scriviamo quali postulati di appartenenza della retta sono validi per il modello della figura, dove il piano è costituito da quattro punti disegnati in rosso. Gli insiemi evidenziati in giallo indicano le rette. Osserviamo che le rette sono costituite dalle seguenti coppie di punti: {A, B}, {B, C}, {C, D}, {A, D}.

A

B

D

C

Il primo postulato non vale. Infatti è vero che per due punti passa una sola retta (unicità), ma non è vero che dati due punti esiste sempre una retta che vi passa. Per esempio, per A e C non passa alcuna retta. Il terzo postulato è verificato: per ogni retta esiste almeno un punto che non le appartiene. Per esempio, considerata la retta che passa per A e B, essa non passa per C e per D; lo stesso vale per tutte le altre rette. Vale anche il secondo postulato, in quanto ogni retta è costituita da almeno due punti. Scrivi quali postulati di appartenenza della retta sono validi per ciascuno dei seguenti modelli dove i punti sono disegnati in rosso e gli insiemi gialli indicano le rette. 4

A

B

5

A

B

A

6

B

E

E

7

8

D

C

A

B

D

C

E

F

A

B

A

9

B

G

24

C

D

D

C

C

■ L’ordinamento sulla retta 10 COMPLETA le seguenti frasi, stabilendo l’ordine fra i punti indicati, specificando, cioè, se un punto precede o segue un altro punto (il verso di percorrenza della retta in figura è indicato dalla freccia). B

A

D

C

A

...................

B

B

....................

A

A

...................

D

D

...................

A

C segue . . . . . . . . . . . . . .

C

....................

A

C precede . . . . . . . . . .

D precede . . . . . . . . . .

B

...................

C

Paragrafo 3. Gli enti fondamentali

11 VERO O FALSO? Considera la seguente figura e scrivi di fianco a ogni affermazione se è vera o falsa (il verso di percorrenza della retta è indicato dalla freccia). B

■ Proprietà che derivano dai postulati di appartenenza e dell’ordine Cerca di giustificare mediante i postulati di appartenenza e dell’ordine ognuna delle seguenti affermazioni, aiutandoti anche con un disegno.

A C

ESERCIZI

E

D

a) C precede E

V

F

b) E precede D

V

F

c) D segue C

V

F

d) A precede C

V

F

e) B segue A

V

F

f) E segue B

V

F

g) D precede E

V

F

h) D segue B

V

F

i) D segue E

V

F

l) A precede E

V

F

12 Due rette distinte hanno al più un solo punto in comune. 13 Ogni piano contiene infiniti punti. 14 Ogni piano contiene infinite rette. 15 Per un punto passano infinite rette. 16 Date due rette, esiste almeno un punto che non appartiene a nessuna delle due.

–䊳 Teoria a pag. G6

3. Gli enti fondamentali

17 Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti: segmento, retta, semiretta, segmenti consecutivi, segmenti adiacenti, poligonale aperta non intrecciata, poligonale aperta intrecciata, poligonale chiusa non intrecciata, poligonale chiusa intrecciata. D

B

D

B E C O a

a

A b B

a

c

A

d B

D

C

A

D D

C

A

f

e

C

B

C

g

A

E

h

A

B

C

18 VERO O FALSO? a) b) c) d)

Due segmenti con un estremo in comune sono consecutivi. Due segmenti adiacenti sono consecutivi. Se due segmenti consecutivi appartengono alla stessa retta, sono adiacenti. Due segmenti che appartengono alla stessa retta sono adiacenti.

V

F

V

F

V

F

V

F

25

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

19 COMPLETA Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti (in alcuni casi ci sono più nomi che possono essere utilizzati nella stessa figura): piano, semipiano, angolo, angolo piatto, angolo giro, angolo nullo, angoli consecutivi, angoli adiacenti.

a

b

e

f

c

d

g

h

20 COMPLETA Per ogni figura, indica se è convessa o concava.

a

b

c

d

–䊳 Teoria a pag. G12

4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli Nel sito:

䉴 8 esercizi di recupero

■ Il confronto di segmenti 21 COMPLETA Utilizzando il compasso, confronta i segmenti della figura e completa l’esercizio, mettendo al posto dei puntini uno dei tre simboli ⬵, ⬎, ⬍. AB . . . . . . . . . . . . . CD AB . . . . . . . . . . . . . EF AB . . . . . . . . . . . . . MN AB . . . . . . . . . . . . . GH CD . . . . . . . . . . . . . EF CD . . . . . . . . . . . . . MN CD . . . . . . . . . . . . . GH EF . . . . . . . . . . . . . MN EF . . . . . . . . . . . . . GH G GH . . . . . . . . . . . . . MN B F

N

C

D E

A

G

26

M H

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

ESERCIZI

■ L’addizione fra segmenti 22 Facendo riferimento alla figura precedente, costruisci i segmenti somma. AB ⫹ MN ; GH ⫹ MN ;

CD ⫹ EF ; AB ⫹ GH ;

EF ⫹ GH ; CD ⫹ MN ;

CD ⫹ GH ; EF ⫹ MN .

■ Multipli e sottomultipli di segmenti 23 COMPLETA Scrivi le relazioni esistenti fra le seguenti coppie di segmenti. S

E

B

N

A

N

L K

Z

N

S

M

N

D

N

C

N

H N

T

F

a. CD = 2 AB

b. EF = .............................

c. HK = ..............

MN = ...........................

ST = ...............

AB = .......................

d. SZ = ........................... T

LT = ...........................

■ Il punto medio di un segmento 24 Utilizzando riga e compasso, costruisci, per ogni segmento disegnato in figura, il suo punto medio. N P

A

S

B O T

M

■ La sottrazione fra segmenti 25 Facendo riferimento alla figura dell’esercizio 21, costruisci i segmenti differenza. AB ⫺ CD ; AB ⫺ GH ;

EF ⫺ CD ; GH ⫺ MN .

■ Il confronto di angoli 26 COMPLETA le relazioni confrontando gli angoli in figura. ␣ ⬍ .....

␤ ⬍ .....

␻ ..... ␦

␣ ⫹ ␤ ⫽ .....

␤ ⫹ ␥ ⫽ .....

␦ ⬎ .....

␥

␻ ..... ␤

␻ ⫺ ␥ ⫽ .....

␦ ⫺ ␣ ⫽ .....

.....

␻

α γ

β δ ω

27

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

27 Con riga e compasso costruisci un angolo congruente a ogni angolo della figura.

28 COMPLETA Utilizzando riga e compasso, confronta gli angoli illustrati in figura e scrivi le relazioni esistenti fra essi mediante i simboli ⬵, ⬎, ⬍.

δ

...................................................... ......................................................

γ β

α

......................................................

■ L’addizione fra angoli 29 Facendo riferimento alla figura dell’esercizio precedente, costruisci gli angoli somma. ␣ ⫹ ␤;

␣ ⫹ ␥;

␣ ⫹ ␦;

␤ ⫹ ␥;

␤ ⫹ ␦;

␥ ⫹ ␦.

■ Multipli e sottomultipli di angoli COMPLETA scrivendo le relazioni esistenti fra le seguenti coppie di angoli.

32

β

β

α

β

α

α

......................................................

......................................................

33

......................................................

34

α ....................................

β ....................................

β

α ....................................

....................................

35 Disegna un angolo ␣ e costruisci con riga e compasso gli angoli congruenti a: 3␣; 4␣; 5␣.

G

N

31

N

30

28

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

ESERCIZI

■ La bisettrice di un angolo 36 COMPLETA Costruisci la bisettrice di ogni angolo in figura, utilizzando riga e compasso.

■ La sottrazione fra angoli 37 Facendo riferimento alla figura dell’esercizio 28, costruisci gli angoli differenza. ␤ ⫺ ␣;

␤ ⫺ ␥;

␣ ⫺ ␥;

␤ ⫺ ␦;

␣ ⫺ ␦;

␥ ⫺ ␦.

■ Le definizioni relative agli angoli 38 Disegna: a) un angolo acuto e un suo complementare; b) un angolo retto e un suo supplementare; c) un angolo ottuso e un suo supplementare. 39 VERO O FALSO? a) La differenza fra due angoli acuti è sempre un angolo acuto.

V

F

b) A volte due angoli acuti sono complementari.

V

F

c) A volte due angoli ottusi sono supplementari.

V

F

d) La somma di due angoli acuti è sempre un angolo acuto.

V

F

e) Se due angoli sono supplementari, uno è acuto e uno è ottuso.

V

F

40 COMPLETA Sotto ogni figura scrivi il termine relativo all’angolo considerato, scegliendolo fra i seguenti (più termini possono essere validi per la stessa figura): giro, retto, acuto, ottuso, convesso, concavo, angoli adiacenti, angoli consecutivi, angoli complementari, angoli supplementari.

a

e

b

f

c

g

d

h

29

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

41 Per ogni angolo indicato disegna un suo supplementare.

42 Per ogni angolo indicato disegna, se possibile, un suo complementare.

43 Per ogni angolo della figura disegna un angolo adiacente a esso e un angolo consecutivo ma non adiacente.

■ Dalla figura alla sua descrizione ESERCIZIO GUIDA

44 Dopo aver osservato la figura, cerchiamo di descriverla in modo che essa possa essere riprodotta da una persona che non la vede.

A

Per descrivere questa figura è necessario specificare che: ● c’è un segmento AB; ● il punto D sta sul segmento AB e AD è la quarta parte di AB; ● il punto C non appartiene alla retta AB ; ● sono tracciati i segmenti CD e BC, che risultano consecutivi e non adiacenti.

G

30

X

X

X

X

C

D

B

In modo sintetico possiamo scrivere: 1 D ∈ AB; AD ⫽ ᎏᎏ AB. 4 CD e BC sono segmenti consecutivi non adiacenti. Queste informazioni sono sufficienti per riprodurre non una figura identica alla precedente, ma una figura che abbia tutte le proprietà che ci interessano.

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

ESERCIZI

Negli esercizi seguenti per ogni figura proposta descrivi le proprietà presenti, in modo che possa essere riprodotta da un tuo compagno che non la vede. 48 A

M

D

50

b

C

=

45 B

c

= =

E

X

X

46 A

B

M

G

47

A

b

51

B b

X

49

=

a

c

A

B

C

D

0

X

X

X

0 E

F

A

a

a

■ Dal testo alla figura ESERCIZIO GUIDA

52 Tenendo presente la descrizione simbolica, disegniamo la figura corrispondente: 1 ^ ^ b) AB, BC, CD, DE sono segmenti; D ∈ AB; EDC ⫽ ᎏᎏ P . 2

^

a) aO b, A ∈ Oa;

b) Le informazioni ci permettono di dire che la figura è composta da quattro segmenti consecutivi, di cui gli ultimi due formano un angolo retto. L’estremo D del terzo segmento sta su AB. Poiché non è specificato che AD ⬵ DB, il punto D non si deve scegliere in modo particolare, ossia non deve essere il punto medio di AB. Allo stesso modo il segmento BC non deve essere adiacente ad AB. Le figure a e b, pur soddisfacendo alle condizioni poste, non sono accettabili in quanto sono presenti delle proprietà in più rispetto a quelle descritte.

a) La figura richiesta è: b

0 A a

La figura richiesta nel punto b) è: NO

NO

E

C

SÌ

C

E

E

A A

D

B

b

D

B

A

C

D B

c

a

31

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

Avvertenza. Che cosa non devi fare. In generale, quando si deve tradurre in rappresentazione grafica un testo fatto di parole o di simboli, è bene non disegnare mai i casi particolari, a meno che non siano proprio quelli richiesti. Esempi: b. «Disegna una semiretta interna all’angolo aÔb».

a. «Disegna un punto P sul segmento AB». A

P

b

B

X

X

O

P

a b

a

O

B

SÌ

SÌ

c

SÌ A

c. «Disegna un angolo aÔb». b

NO

b

NO

NO

c

Il punto P non deve essere il punto medio di AB.

a O La semiretta non deve essere la bisettrice dell’angolo.

a

O

a b O L’angolo non deve essere particolare, per esempio non deve essere retto o piatto.

NO

Negli esercizi seguenti, per ogni descrizione, disegna la figura corrispondente. 53 AB, BC, CD sono segmenti; D ∈ AB.

58 AB, BC, CD, AE sono segmenti; D ∈ AB; 3 E ∈ BC; AD ⬵ DB; BE ⫽ ᎏᎏ BC. 4 59 ABCDE è una spezzata chiusa e concava; AB ⬵ ED ; AE ⬵ BD. 1 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 60 aO b ⫹ bO c ⫹ cO d ⫽ P ; aO b ⫽ ᎏᎏ bO d. 2 ^ ^ ^ 61 aO b , bO c , cAd, A ∈ Oc, Ad non è interna ^ ad aO c.

54 AB, BC, CD, DE sono segmenti; E ∈ BC ; BE ⬵ EC. 55 AB è un segmento; Ca, C ∈ AB, BC ⫽ 2AC. 56 AB è un segmento; Ca, C ∈ AB, AB ⫽ 4BC; 1 ^ ^ AC a ⫽ ᎏᎏ P . 4 57 AB è un segmento; A ⫽ a 傽 s ; B ⫽ b 傽 t ; a, s, b, t sono rette.

^

^

62 aO b , Oa ∈ r, a ′ ∉ Oa, a′ ∈ r, Oc ∈ a′O b, ^ ^ a′O c ⬵ cO b.

CACCIA ALL’ERRORE Nelle figure seguenti è stata inserita una proprietà in più rispetto a quelle indicate nel testo relativo. Indica quale.

63 Sui lati a, b, c degli angoli ^ ^ congruenti aOb e bOc disegna, rispettivamente, tre punti A, B e C.

64 Sui lati di due angoli conse^ ^ cutivi aOb e bOc considera tre punti equidistanti da O.

c

B

=

A a

=

O

=

O

A

....................................

....................................................

C

a

X

32

c C

X

a

G

b D r

B

O

b

b

C

=

65 Sulla retta r, cui appartiene la ^ bisettrice dell’angolo aOb, considera due punti C e D in modo che CO ⬵ OD.

....................................

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

ESERCIZI

■ Teoremi sui segmenti ESERCIZIO GUIDA

66 Sulla retta r disegniamo nell’ordine tre punti A, B e C, e il punto medio M di BC. AC ⫺ AB Dimostriamo che BM ⫽ ᎏᎏ. 2 Disegniamo la figura:

Per la seconda legge di monotonia: AC ⫺ AB ᎏᎏ ⫽ BM. 2

r A

B

M

C

Scriviamo l’ipotesi e la tesi: Ipotesi 1. A, B, C, M ∈ r ; 2. BM ⬵ MC. AC ⫺ AB Tesi BM ⫽ ᎏᎏ. 2 Scriviamo la dimostrazione, giustificando ogni passaggio. Dimostrazione Per la definizione di somma di segmenti: AC ⫽ AB ⫹ BM ⫹ MC. Per l’ipotesi 2: AC ⫽ AB ⫹ BM ⫹ BM. Per la definizione di multiplo di un segmento: AC ⫽ AB ⫹ 2BM. Per la prima legge di monotonia: AC ⫺ AB ⫽ AB ⫺ AB ⫹ 2BM AC ⫺ AB ⫽ 2BM.

67 I segmenti AB e BC sono adiacenti. Indica con M il punto medio di AB e con N il punto AC medio di BC. Dimostra che MN ⫽ ᎏᎏ. 2 68 Disegna sulla stessa retta due segmenti congruenti AB e CD. Dimostra che anche AC e BD sono congruenti. (Suggerimento. Devi utilizzare la proprietà secondo la quale somme di segmenti congruenti sono congruenti.) 69 Disegna due segmenti adiacenti fra loro congruenti AO e OB e considera i loro punti medi D e C. Dimostra che DC ⫽ AD ⫹ CB.

Per la proprietà simmetrica della congruenza: AC ⫺ AB BM ⫽ ᎏᎏ . 2 Dimostrazione alternativa Invece di dimostrare la tesi data, per la definizione di multiplo e sottomultiplo di un segmento, è equivalente dimostrare la seguente tesi: Tesi AC ⫺ AB ⫽ 2BM. Osserviamo che: AC ⫺ AB ⫽ BC per la definizione di differenza fra segmenti; ● BC ⫽ BM ⫹ MC per la definizione di somma fra segmenti. ●

Dall’ipotesi 2 deduciamo BC ⫽ BM ⫹ BM e, per la definizione di multiplo di un segmento, BC ⫽ 2BM. Dalla prima relazione concludiamo che: AC ⫺ AB ⫽ BC ⫽ 2BM.

70 Considera tre segmenti adiacenti AB, BC e CD, con AB ⬵ CD. Dimostra che il punto medio M di BC è anche punto medio di AD. 71 Disegna sulla stessa retta due segmenti congruenti AB e CD. Dimostra che il punto medio di AD è anche punto medio di BC (devi utilizzare la proprietà secondo la quale differenze di segmenti congruenti sono congruenti). 72 Disegna due segmenti AB e CD, appartenenti alla stessa retta, uno interno all’altro, in modo che abbiano lo stesso punto medio. Dimostra che i due segmenti AC e BD sono congruenti.

33

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

73 Disegniamo un segmento AB e il suo punto medio M. Sul segmento MB fissiamo un punto C a piacere. Dimostriamo che la differenza fra AC e CB è il doppio di MC. Disegniamo la figura: A

Osserviamo che: M

C

B

Scriviamo l’ipotesi e la tesi: Ipotesi AM ⬵ MB. Tesi

AC ⫺ CB ⫽ 2MC.

Scriviamo la dimostrazione, spiegando i vari passaggi. Dimostrazione Disegniamo internamente ad AM il punto C ′, in modo che C ′M ⬵ MC. A

C'

M

C

B

1. C ′C ⬵ 2MC per costruzione e per la definizione di multiplo di un segmento. 2. AC ′ ⬵ CB perché sono differenze di segmenti congruenti (AC ′ ⫽ AM ⫺ C ′M, CB ⫽ MB ⫺ MC, AM ⬵ MB per ipotesi, C ′M ⬵ MC per costruzione). Pertanto, per la relazione 2: AC ⫺ CB ⫽ AC ⫺ AC ′ ⫽ Per la definizione di differenza: ⫽ C ′C ⫽ Per la prima relazione: ⫽ 2MC.

74 M è il punto medio del segmento AB. Sul segmento AM fissa un punto C a piacere e disegna il punto medio N del segmento AC. Dimostra che il doppio della distanza fra i due punti medi è uguale alla differenza dei due segmenti AB e AC. 75 Disegna un segmento AB e il suo punto medio M. Prolunga il segmento dalla parte di A e sul prolungamento fissa un punto P a piacere. Dimostra che il doppio della distanza di P da M è uguale alla somma delle distanze di P dagli estremi del segmento AB.

■ Teoremi sugli angoli ESERCIZIO GUIDA ^

^

76 Disegniamo due angoli aO b e cO d, il secondo interno al primo, in modo che entrambi abbiano la stessa bisettrice Os. ^ ^ Dimostriamo che aO c ⬵ dO b. Disegniamo la figura, indicando con ␣ l’angolo ^ ^ ^ aOs e con ␣′ l’angolo sOb, con ␤ l’angolo cOs e ^ ^ ^ con ␤′ l’angolo sOd, con ␥ aOc e con ␥′ dOb. b γ' α' O α

s

β γ a

G

34

c

Ipotesi 1. ␣ ⬵ ␣′; 2. ␤ ⬵ ␤′. Tesi ␥ ⬵ ␥′. Scriviamo la dimostrazione, spiegando i vari passaggi.

d

β'

Scriviamo l’ipotesi e la tesi:

Dimostrazione Eseguendo la sottrazione fra angoli risulta che: ␥ ⫽ ␣ ⫺ ␤ e ␥ ′ ⫽ ␣′ ⫺ ␤′. Le due sottrazioni hanno congruenti il minuendo, per l’ipotesi 1, e il sottraendo, per l’ipotesi 2, quindi ␥ ⬵ ␥′, perché differenze di angoli congruenti.

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

ESERCIZI

^

^

aO b ⫹ bO c 77 Disegna due angoli consecutivi aO b e bO c e le rispettive bisettrici Os e Ot. Dimostra che sO t ⫽ ᎏᎏ . 2 (Per le definizioni di multiplo e sottomultiplo di angolo è equivalente dimostrare che...) ^

^

^

^

^

^

78 Due angoli congruenti aO b e cO d hanno in comune l’angolo cO b. Dimostra che la bisettrice Os dell’angolo ^ ^ cO b è pure bisettrice dell’angolo aO d.

^

^

^

^

79 Disegna tre angoli consecutivi aO b, bO c e cO d, ^ ^ di cui aO b e cO d siano congruenti. Dimostra che ^ ^ la bisettrice di aO d è anche bisettrice di bO c. 80 Disegna due angoli consecutivi congruenti e le relative bisettrici. Dimostra che l’angolo formato dalle due bisettrici è congruente a uno dei due angoli consecutivi.

^

84 Disegna tre semirette Oa, Ob, Oc, in modo da formare tre angoli congruenti. Prolunga una delle tre semirette. Dimostra che tale prolungamento è la bisettrice dell’angolo formato dalle altre due semirette. (Utilizza la proprietà: angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.)

^

81 Nell’angolo aO b disegna la bisettrice Os e una semiretta Oc esterna all’angolo dalla parte di b. Di^ ^ aO c ⫹ bO c ^ mostra che cO s ⫽ ᎏᎏ . 2 ^ ^ ^ (È equivalente dimostrare che aOc ⫹ bO c ⫽ 2cOs. Costruisci, dalla parte di a, un angolo consecutivo a quelli dati e congruente a...) ^

^

83 Disegna tre angoli consecutivi aO b, bO c e cO d, ^ in modo che quello centrale (bO c) sia acuto e i ^ ^ due laterali (aO b e cO d) siano congruenti. Trac^ cia le due bisettrici Os e Ot degli angoli aO b e ^ ^ ^ cO d. Dimostra che sO t ⬵ bO d.

^

^

85 Due angoli retti aO b e cO d hanno in comune ^ ^ ^ l’angolo cO b. Dimostra che cO b e aO d sono supplementari. (Suggerimento. Costruisci, dalla parte di a, un angolo...)

^

82 Due angoli aO b e bO c sono adiacenti, come indicato nella figura. Dimostra che le loro bisettrici formano un angolo retto. (Considera ␦ ⫹ ␣ e ␥ ⫹ ␤...)

^

^

^

86 Nella figura gli angoli aO c, cO e e bO d sono retti. ^ Dimostra che l’angolo piatto aO e è diviso in quattro angoli a due a due congruenti. (Suggerimento. Utilizza la proprietà: angoli complementari di uno stesso angolo sono...)

b b

c

•

a

•

γ δ

O

β = =α

d

c a

O

e

■ Tre punti allineati ^

^

87 Le bisettrici Os e Ot dei due angoli consecutivi aO b e bO c sono perpendicolari. Disegna gli angoli e dimostra che due punti qualsiasi presi rispettivamente uno su Oa e l’altro su Oc sono allineati con O. 88 Disegna tre punti A, B e C allineati, con B interno al segmento AC. Nei due semipiani opposti individuati ^ dalla retta AC, individua rispettivamente un punto D e un punto E in modo tale che DB A sia congruente a ^ CBE. Dimostra che i punti D, B ed E sono allineati. 89 Disegna due angoli opposti al vertice e le relative bisettrici. Dimostra che le due bisettrici appartengono alla stessa retta.

35

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

RIEPILOGO

LA GEOMETRIA DEL PIANO

90 Su una retta considera, nell’ordine, i punti A, B e C in modo che sia AB ⫽ 2BC e disegna il punto medio M di AB. Dimostra che i segmenti AC e MB hanno lo stesso punto medio.

Nel sito:

93 Dimostra che, se le bisettrici di due angoli consecutivi formano fra loro un angolo retto, allora gli angoli sono adiacenti. ^

91 Sulla semiretta Oa disegna tre punti, A, B, C, in modo che sia OA ⬵ BC. Dimostra che: a) OB ⬵ AC; b) i segmenti OC e AB hanno lo stesso punto medio. 䊳 Caso particolare: se il punto A coincide con il

punto B, è ancora vera la prima tesi? Dove si trova, in questo caso, il punto medio di OC ? 92 Sulla semiretta di origine O scegli due punti, A e B, e disegna il punto medio M di AB. Dimostra che:

䉴 8 esercizi di recupero

^

94 I due angoli aO b e cO d hanno l’origine O in comune e sono tali che i lati a e c formano tra loro un angolo retto, così come i lati b e d. ^ ^ Dimostra che aO b e cO d sono congruenti o supplementari. 95 Disegna un segmento AB e, internamente a esso, un segmento EF. Costruisci il punto medio M di AE e il punto medio N di FB. Dimostra che la distanza fra i due punti medi è uguale alla semisomma dei due segmenti AF ed EB. (Suggerimento. È equivalente dimostrare: 2MN ⫽ AF ⫹ EB; 2MN ⫽ 2(ME ⫹ EF ⫹ FN ), per la proprietà distributiva si ha che...)

OA ⫹ OB OM ⫽ ᎏᎏ. 2

Proprietà geometriche e misure 96 COMPLETA, se è possibile, inserendo le misure delle ampiezze degli angoli indicati. ANGOLO

COMPLEMENTARE

SUPPLEMENTARE

ESPLEMENTARE

27°

…

…

…

…

40°

…

…

…

…

118°

…

…

…

…

278°

80°

…

…

…

…

…

70°

…

97 Determina le misure delle ampiezze degli angoli ␣, ␤, ␥ e ␦ della figura, sapendo che ␤ e ␤′ sono complementari e che ␣ e ␦ sono opposti al vertice. 22° β'

98 Determina le misure delle ampiezze di ␣, ␤ e ␦, sapendo che r è bisettrice di ␥ e che ␤ e ε sono opposti al vertice.

γ

β

δ

α

γ 148° r

G

36

α

β 20°

δ

ε 110°

LABORATORIO DI MATEMATICA La geometria del piano con GeoGebra

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

La geometria del piano con GeoGebra ESERCITAZIONE GUIDATA

Verifichiamo un teorema. Gli angoli opposti al vertice sono congruenti. Entriamo in ambiente GeoGebra e nascondiamo gli assi cartesiani. ● Poniamo nel piano un punto: GeoGebra gli dà il nome A, che cambiamo in V. ● Rappresentiamo una retta che passa per V, facendo clic su di esso e poi su un altro punto A. ● Tracciamo un’altra retta con un clic su V e su un altro punto B. ^ ● Per segnare l’angolo convesso BVA, facciamo clic nell’ordine sui punti B, V e A, facendo apparire l’angolo, il suo nome ␣ e la sua ampiezza. ● Evidenziamo un punto C sulla retta VA dalla parte opposta di A rispetto a V e un punto D sulla retta VB dalla parte opposta di B rispetto a V. ● Segniamo l’angolo opposto al vertice di ␣, cliccando nell’ordine sui punti C, V e D, ottenendo l’angolo ␤, il suo nome e la sua ampiezza. ● Vediamo, in figura 1, che i due angoli hanno la stessa ampiezza. ● Verifichiamo la tesi del teorema, selezionando una retta e spostandola. Osserviamo che essa continua a passare per il punto V e che gli angoli variano, ma hanno sempre ampiezze uguali tra loro (figura 2). ●

Nel sito:

䉱

Figura 1

䉱

Figura 2

䉴 1 esercitazione guidata con Cabri 䉴 11 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Disegna i segmenti secondo le seguenti indicazioni e determina la loro misura. Sposta poi il punto A e osserva la variazione delle misure. 1

Dato il segmento AB, costruisci il segmento BC, lungo il doppio di AB.

2

Dato il segmento AB, costruisci il segmento AD, lungo un quarto di AB.

3

Dati l’estremo A e il punto medio M del segmento AB, determina l’estremo B.

4

Traccia due segmenti adiacenti AB e BC. Determina anche la misura di AC.

Svolgi le seguenti costruzioni elementari, che coinvolgono gli angoli. Dopo averli disegnati determina la loro ampiezza. 5

Traccia un angolo piatto e la sua bisettrice.

6

Traccia due angoli consecutivi e determina la loro misura e quella dell’angolo somma. Sposta poi il lato comune e osserva la variazione delle ampiezze degli angoli.

7

Traccia due angoli adiacenti e determina la loro misura e quella dell’angolo somma. Sposta poi il lato comune e osserva la variazione delle ampiezze degli angoli.

37

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

Matematica per il cittadino TAXI IN CITTÀ

Un tassista lavora in una città statunitense in cui le vie sono tutte parallele e perpendicolari tra loro, formando un reticolo quadrettato come quello in figura. Per portare un turista dalla stazione alla piazza centrale non può seguire una linea retta, ma è costretto a transitare lungo uno degli altri percorsi indicati. La scelta dipende solo dalla previsione del traffico, perché la distanza, dal punto di vista del taxi, è sempre la stessa: 12 tratti (lati dei quadrati). Il tassista fa pagare la corsa contando i tratti da percorrere dal punto di partenza a quello di arrivo, in modo che la distanza complessiva sia minima; il percorso corrispondente a un tratto costa $ 2. 1. Nella figura la piantina della città viene semplificata: le strade formano il solito reticolo e i punti indicano alcuni luoghi della città. Trova il costo delle corse indicate e scrivi quanti sono i percorsi minimi possibili.

A

B D C

Da A a C : costo: ……; numero percorsi: ……; Da A a D : costo: ……; numero percorsi: ……; Da D a C : costo: ……; numero percorsi: ……. 2. Dati i punti R, S, T della figura, nella geometria del taxi possiamo dire che due dei segmenti di cui T sono estremi sono congruenti? Perché? R In realtà non c’è un solo S modo per disegnare tali segmenti; rappresentane almeno due.

G

38

piazza

stazione

3. Sai che la circonferenza è l’insieme dei punti equidistanti da un punto detto centro. Rappresenta nella città «a quadretti» una circonferenza di centro O e raggio 3. 4. Nella città bisogna costruire un parcheggio dei taxi che sia vicino alla stazione, al museo e al teatro. Museo Stabilisci in quale posizione è più conveniente Stazione collocarlo, in modo tale che la somma delle distanze dai tre obiettivi sia Teatro la minima possibile. 5. Osserva la figura e determina in quale posizione è bene situare il posteggio dei taxi, in modo tale che la somma delle distanze sia minima. Evidenzia tutte le possibili soluzioni.

Multisala Opera Stadio Stazione

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Nel sito:

Soltanto una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

4

䉴 questi test interattivi 䉴 20 test interattivi in più ^

^

La figura rappresenta gli angoli aOb e bOc. b

2

A

Tutte le semirette sono congruenti.

B

La somma di due segmenti è un segmento.

C

Il sottomultiplo di un segmento secondo il numero naturale n è un numero.

D

Due segmenti adiacenti sono consecutivi.

A

consecutivi e non adiacenti.

E

Il multiplo di un angolo secondo il numero naturale n è un angolo.

B

adiacenti e non supplementari.

C

adiacenti e complementari.

D

opposti al vertice.

E

consecutivi e supplementari.

A

La sottrazione fra segmenti non è un segmento.

B

Il multiplo di un segmento secondo il numero naturale n è un segmento.

C

La sottrazione fra angoli gode della proprietà commutativa.

D

I punti di due segmenti consecutivi sono allineati.

5

A

AB ⫹ CD ⬵ BC.

B

AB ⬵ BD ⫺ BC.

C

CD ⬵ BC ⫺ AB.

D C

E

E

D

6 I segmenti sono: A

BC e CD consecutivi, CD e DE adiacenti.

B

BC e CD adiacenti, CD e DE adiacenti.

C

AB e BC consecutivi, CD e DE adiacenti.

D

AB e BC consecutivi, BC e CD adiacenti.

E

AB e BC adiacenti, BC e CD adiacenti.

B

C

D

Se AB ⬵ CD, allora possiamo dire che:

Osserva la figura: A

c

Osserva la figura. A

La distanza fra due punti è un segmento.

B

O

Essi sono:

Soltanto una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

E

3

a

AB ⫹ CD BC ⬵ ᎏᎏ . 2 AC AB ⬵ ᎏᎏ . 2

Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale? A B C D E

Gli angoli opposti al vertice sono acuti. Le bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti sono perpendicolari. Angoli complementari fra loro sono acuti. Due rette incidenti formano coppie di angoli supplementari. I lati di un angolo piatto sono opposti.

39

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

7

Osserva la figura. Quale fra le seguenti relazioni è vera? A B C D E

A C

8

B

Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale? A

Un angolo ottuso è minore di un angolo piatto.

B

Un angolo retto è minore di un angolo ottuso.

C

Un angolo ottuso è doppio di un angolo retto.

D

Un angolo ottuso è convesso.

E

Un angolo acuto è convesso.

D

2 AB ⫽ ᎏᎏ . 3 4 AB ⫽ ᎏᎏ . 4 2 CD ⫽ ᎏᎏ AB. 3 2 AB ⫽ ᎏᎏ CD. 3 3 AB ⫽ ᎏᎏ CD. 2

SPIEGA PERCHÉ 9

Che cosa sono i postulati nella geometria euclidea? Che cosa sono i teoremi? È vero che ogni ente geometrico deve essere definito? Perché?

10 Spiega perché la proposizione «Un angolo è l’unione dei punti di due semirette aventi origine in comune» è falsa. 11 La somma di due angoli acuti è sempre un angolo acuto? È sempre un angolo convesso? 12 Perché non esiste l’angolo complementare di un angolo ottuso? 13 Considera le proposizioni: A: «Una circonferenza è una figura concava» e B: «Se due angoli hanno il vertice in comune sono opposti al vertice». Indica se sono vere o false e perché. 14 È vero che se due punti di un piano appartengono a una retta, allora anche la retta appartiene allo stesso piano? Perché? E se il punto è uno solo, l’affermazione è vera? 15 L’angolo piatto è concavo o convesso? Giustifica la risposta. 16 Quando due angoli si dicono supplementari? Se due angoli sono supplementari e uno è doppio dell’altro, a ^ quale frazione di P corrispondono i due angoli? 17 È vero che la somma di due segmenti si ottiene disponendo i due segmenti dati uno consecutivamente all’altro? E la somma di due angoli? 18 Le bisettrici di due angoli consecutivi ␣ e ␤ formano un angolo retto. Come sono gli angoli ␣ e ␤? Giustifica la risposta.

G

40

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Nel sito:

ESERCIZI

䉴 14 esercizi in più

19 Utilizzando i postulati di appartenenza e ordine, giustifica le seguenti affermazioni (eventualmente aiutandoti con un disegno). a) Una retta contiene infiniti punti. b) Per tre punti distinti e non allineati presi a due a due passano sempre tre rette. c) Se due segmenti hanno due punti distinti in comune, allora hanno infiniti punti in comune. 1 20 Due rette, a e b, si intersecano formando quattro angoli. Se uno di questi angoli ha un’ampiezza di ᎏᎏ di an6 golo piatto, qual è l’ampiezza degli altri angoli? 21 Dati i due segmenti AB e CD A

B

C

D

determina: a) il segmento somma AB ⫹ CD e il segmento differenza AB ⫺ CD; b) il segmento MN ottenuto congiungendo il punto medio M di AB con il punto medio N di CD, dopo aver disposto AB e CD uno adiacente all’altro; 1 2 c) il segmento ᎏᎏ AB ⫹ ᎏᎏ CD. 5 3 22 Dati due angoli ␣ e ␤, non nulli e acuti, determina: a) l’angolo somma ␣ ⫹ ␤ e l’angolo differenza ␣ ⫺ ␤; b) l’angolo che ha come lati le bisettrici di ␣ e ␤, dopo aver riportato l’angolo ␤ consecutivo ad ␣; 2 1 c) l’angolo ᎏᎏ ␣ ⫹ ᎏᎏ ␤. 5 2 23 Rispondi ai seguenti quesiti, motivando la risposta. a) L’angolo somma di due angoli acuti è un angolo concavo? b) Il complementare di un angolo acuto è un angolo convesso? c) Il supplementare di un angolo ottuso è un angolo convesso? 1 1 24 Due angoli consecutivi hanno, rispettivamente, ampiezza ᎏᎏ di angolo retto e ᎏᎏ di angolo retto. 3 4 Qual è l’ampiezza dell’angolo formato dalle loro bisettrici? 25 Dato un segmento AB e il suo punto medio M, dimostra che, scelto un qualunque punto P interno al segmento, la distanza di P da M è uguale alla semidifferenza delle distanze di P dagli estremi A e B. ^

^

26 Sia AO B un angolo acuto di vertice O e sia OC la sua bisettrice. Internamente all’angolo AO C conduci una ^ ^ ^ semiretta OD e dimostra che l’angolo DO C è congruente alla semidifferenza degli angoli BO D e AO D.

41

G

CAPITOLO G1. LA GEOMETRIA DEL PIANO

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA 27 TEST Osserva la figura. Se Os è la bisettrice ^ ^ di aO b e Ot di bO c , allora risulta: A B C D E

^

Nel sito:

䉴 3 esercizi in più ^

b

s

t c

^

aO s ⬵ bO c. a ^ ^ aO c ⬵ 3bO c. ^ ^ sO b ⬵ bO t. ^ ^ ^ aO c ⫹ bO c ⬵ 2cO s. ^ ^ sO b complementare di bO t.

O

29 Disegna un angolo retto xO y e due angoli acuti, ^ ^ aO b e cO d, diversi fra loro, con lo stesso vertice O, in modo che la semiretta Ox sia bisettrice dell’ango^ ^ lo aO b e la semiretta Oy sia bisettrice di cO d. Di^ ^ mostra che gli angoli aO c e bO d sono supplementari. (Costruisci dalla parte di d un angolo consecuti^ vo a quelli dati e congruente a cO b.) 30 TEST I segmenti MN e PQ della retta r hanno lo stesso punto medio C. Allora possiamo dire che:

28 Dati due segmenti AB e CD, con AB ⬎ CD, dimostra che: a) la differenza fra la loro somma e la loro differenza è congruente al doppio di CD; b) la somma fra la loro somma e la loro differenza è congruente al doppio di AB. TEST YOUR SKILLS

A B C D E

MP ⬵ PC MP ⬵ CQ MN ⬵ PQ. MP ⬵ CN MP ⬵ QN

e e

CQ ⬵ QN. PC ⬵ QN.

e e

QN ⬵ MC. PC ⬵ CQ.

Nel sito:

31 TEST Two given angles cannot be both: A congruent and complementary. B congruent and supplementary. C vertical and congruent. D adjacent and congruent. E vertical and adjacent. (USA Northern State University: 50th Annual Mathematics Contest, 2003)

32 Write the converse of the following statement and then state whether the converse is true or false: «If two angles form a linear pair, then they are supplementary angles».

䉴 5 esercizi in più

34 TEST Which of the following statements is not an axiom of Euclidean geometry? I. Given two distinct points in the plane, there is one and only one line passing through them. II. Given a line in the plane, there is at least one point in the plane not belonging to the line. III. Vertically opposite angles are congruent. IV. All lines are congruent. A I only. D IV only. B II only. E II and IV only. C III only.

33 How many lines are determined by five coplanar points, provided that no three of them are collinear?

35 TEST Into how many regions do 500 lines in a plane all passing through the same point divide that plane? A 499. C 501. E None of these. B 500. D 1000.

(USA University of Houston: High School Mathematics Contest, 2005)

(USA Northern State University: 51st Annual Mathematics Contest, 2004)

(USA University of Houston: High School Mathematics Contest, 2005)

[10] GLOSSARY

adjacent angles: angoli consecutivi axiom: assioma, postulato collinear: allineato complementary: complementare congruent: congruente converse: inverso

G

42

coplanar: complanare line: retta linear pair of angles: angoli adiacenti region: regione supplementary: supplementare vertical, vertically opposite: (angoli) opposti al vertice

CAPITOLOTEORIA

I triangoli

G2 Quanto distano le stelle? Nel 1838 Friedrich Wilhelm Bessel misurò, per la prima volta, la distanza di una stella dal Sole: era la stella 61 Cygni, distante 11,40 anni-luce. Oggi sappiamo che le stelle più vicine a noi sono Proxima Centauri e Alpha Centauri, distanti rispettivamente 4,22 e 4,36 anni-luce… …come si fa a calcolare a quale distanza si trova una stella?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. G54

1. Considerazioni generali sui triangoli ■ Le prime definizioni DEFINIZIONE

Triangolo Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni.

C

A

vertici

B

◗ Un triangolo può anche essere definito come intersezione di tre angoli convessi che hanno i vertici in tre punti non allineati.

I punti estremi dei tre lati si chiamano vertici del triangolo. Un vertice del triangolo viene detto opposto a un lato se non appartiene al lato stesso. Gli angoli individuati da ciascuna delle coppie dei lati del triangolo vengono detti angoli interni (o semplicemente angoli) di un triangolo e spesso ^ si indicano utilizzando solo la lettera relativa al vertice (per esempio A ). Essi hanno per vertice un vertice del triangolo e per lati le semirette che contengono i lati del triangolo.

43

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

TEORIA

Un angolo interno è compreso fra due lati quando i lati dell’angolo contengono i due lati del triangolo.

Figura 1

䉲

Un angolo interno è adiacente a un lato quando uno dei due lati dell’angolo contiene quel lato del triangolo. Per ogni lato di un triangolo ci sono due angoli adiacenti. angoli interni

a 䉴 Figura 2 Per disegnare un angolo esterno occorre prolungare uno dei due lati del triangolo che individuano l’angolo interno. L’angolo esterno è quello compreso fra il prolungamento e l’altro lato.

angolo compreso tra i lati AC e CB

C

A b

angoli adiacenti al lato AB

C

B

A

B

c

angoli esterni di vertice A

C

A

B

Gli angoli esterni di un triangolo sono quelli adiacenti agli angoli interni. Per ogni angolo interno di un triangolo ci sono due angoli esterni a esso corrispondenti.

■ Bisettrici, mediane, altezze DEFINIZIONE

Bisettrice relativa a un vertice In un triangolo ABC, la bisettrice relativa al vertice A è il segmento costituito dai punti della bisettrice dell’angolo in A che sono anche punti del triangolo.

C M

A

B

DEFINIZIONE

Mediana relativa a un lato In un triangolo ABC, la mediana relativa a un lato è il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a quel lato.

C

M

A

B

DEFINIZIONE

Altezza relativa a un lato In un triangolo ABC, l’altezza relativa a un lato è il segmento che, partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso (o il suo prolungamento) formando con esso due angoli retti.

G

44

C

A

H

B

Paragrafo 1. Considerazioni generali sui triangoli

Spesso si pone l’attenzione su un solo lato e sulla relativa altezza. In questo caso si è soliti disegnare quel lato in posizione orizzontale e chiamarlo base.

Figura 3 La costruzione si basa sul fatto che disegniamo un rombo CDEA e le sue diagonali CE e DA. Studieremo che le diagonali di un rombo, incontrandosi, formano quattro angoli retti.

䉲

Questo non deve farti dimenticare che le altezze di un triangolo, così come le bisettrici e le mediane, sono tre. Esaminiamo un procedimento per la costruzione di un’altezza.

C

C

B

D

A

a. Dato un triangolo ABC, vogliamo costruire l’altezza relativa al lato AB. Puntiamo il compasso in C e con apertura CA tracciamo un arco in modo che intersechi la retta AB in un punto D.

C

A

D

B

b. Puntiamo il compasso in A e, con apertura uguale alla precedente, tracciamo un arco.

A

TEORIA

C

B

D

E c. Sempre con la stessa apertura, puntiamo il compasso in D e tracciamo un altro arco, che interseca il precedente nei punti C ed E.

H

B

D

A

E d. Congiungiamo C con E e indichiamo con H l’intersezione tra CE e AB: il segmento CH è l’altezza cercata.

■ La classificazione dei triangoli rispetto ai lati Un criterio per classificare i triangoli è quello basato sulla congruenza dei lati. DEFINIZIONE

Triangolo equilatero

Triangolo isoscele

Triangolo scaleno

Un triangolo è equilatero quando ha i tre lati congruenti.

Un triangolo è isoscele quando ha due lati congruenti.

Un triangolo è scaleno se ha i tre lati fra loro non congruenti.

C

C lato

C lato

B A

B

A

base

B

A

AB ⬵ BC ⬵ AC

lati obliqui C

Nel triangolo isoscele ABC, con AC ⬵ BC, il lato non congruente AB vie^ ^ ne detto base e i due angoli a esso adiacenti AB C e CAB si chiamano angoli alla base. I lati congruenti, per la loro posizione rispetto alla base, vengono anche chiamati lati obliqui. Nel nostro caso si può anche dire: «Il triangolo isoscele di vertice C».

A

B

angoli alla base

45

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

TEORIA

■ La classificazione dei triangoli rispetto agli angoli Un altro criterio di classificazione dei triangoli è quello basato sugli angoli. DEFINIZIONE

Triangolo rettangolo

Triangolo ottusangolo

Triangolo acutangolo

Un triangolo rettangolo è un triangolo con un angolo retto.

Un triangolo ottusangolo è un triangolo che ha un angolo ottuso.

Un triangolo acutangolo è un triangolo con tutti gli angoli acuti.

C

C

C ipotenusa

cateto A

B

cateto

A

B

A

B

In un triangolo rettangolo, i due lati che formano l’angolo retto vengono chiamati cateti, il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa.

ESPLORAZIONE: TRIANGOLI SULLE PORTE triangolo di scarico

architrave

Il triangolo di scarico è una soluzione costruttiva ideata nella civiltà micenea (2000 a.C. circa) per risolvere un importante problema. Negli edifici in pietra, la realizzazione di un ingresso o di un’ampia finestra risultava molto difficile. Il peso della muratura sovrastante, infatti, gravando interamente sull’architrave, lo faceva crollare. Si pensò allora di realizzare un’apertura triangolare sopra l’architrave. In questo modo esso veniva liberato dal peso superiore dell’edificio che, mediante i lati obliqui del triangolo, si scaricava sulle colonne laterali della porta, gli stipiti. Nella Porta dei Leoni, ingresso principale della città di Micene, il triangolo di scarico è chiuso da una lastra su cui sono scolpiti due leoni rampanti. Il supporto con i due leoni, più leggero dei blocchi che lo circondano, fa sì che il peso sovrastante si scarichi in gran parte sugli stipiti e non sull’architrave. IN DIECI RIGHE

Quali strategie costruttive hanno sostituito il triangolo di scarico nella storia dell’architettura? Scrivi con il computer una relazione sull’argomento. stipiti 䉱

G

46

Micene, la Porta dei Leoni.

Cerca nel web: sistema trilitico, sistema ad arco, morfologie architettoniche, cemento armato.

Paragrafo 2. I criteri di congruenza dei triangoli

TEORIA

2. I criteri di congruenza dei triangoli Per affermare che due triangoli sono congruenti è necessario dimostrare che essi sono sovrapponibili punto a punto. Tuttavia esistono tre criteri, noti come criteri di congruenza dei triangoli, che permettono di stabilire la congruenza in modo «più economico », confrontando fra loro coppie di lati e coppie di angoli e non tutte le coppie di punti che si possono individuare nei due triangoli. Questi criteri mettono in relazione tre elementi del primo triangolo con i tre corrispondenti del secondo triangolo (figura a lato). Enunciamo i tre criteri senza dimostrarli.

B

lati corrispondenti B'

A

A' C

TEOREMA

Primo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso, allora sono congruenti. C

A

C' Ipotesi

1. AB ≅ A′B′; 2. AC ≅ A′C′; 3. α ≅ α′.

Tesi

ABC ≅ A′B′C′.

α α'

A'

B

B'

angoli corrispondenti

C'

◗ Ordinatamente significa «nello stesso ordine». Dobbiamo cioè esprimere nell’ordine gli elementi che si corrispondono nei due triangoli; se nel primo triangolo consideriamo AB, ^ AC e A, nel secondo triangolo consideriamo (nell’or^ dine) A′B ′, A′C ′ e A′.

Secondo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti, allora sono congruenti. C

α A'

A

α

β

C'

1. α ≅ α′; 2. β ≅ β; 3. AB ≅ A′B′.

Tesi

ABC ≅ A′B′C′.

B'

β'

B

Ipotesi

α' A'

Terzo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora sono congruenti. C A' C' A

B'

Ipotesi

1. AB ≅ A′B′; 2. BC ≅ B′C′; 3. AC ≅ A′C′.

Tesi

ABC ≅ A′B′C′.

B A'

◗ Il terzo criterio di congruenza permette di giustificare la costruzione di un angolo congruente a uno dato e la costruzione della bisettrice di un angolo (paragrafo 4 del capitolo G1).

47

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

TEORIA

◗ Esaminiamo un esempio di applicazione del secondo criterio. C

ESEMPIO ^

Nel triangolo ABC la bisettrice dell’angolo A interseca il lato BC in D. Si ^ ^ traccia da D la semiretta che interseca AB in E, in modo che EDA ⬵ ADC. Dimostriamo che CD e DE sono congruenti. ^

Ipotesi 1. AD è bisettrice di A ; ^ ^ 2. EDA ⬵ ADC.

D

Tesi CD ⬵ DE.

A

Consideriamo i triangoli ACD e AED. Essi hanno: E

B

^

^

^

DA C ⬵ DA E perché AD è bisettrice di A ; ^ ^ ADC ⬵ EDA per l’ipotesi 2; il lato AD in comune; quindi, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ACD e AED sono congruenti. In particolare, i triangoli hanno CD ⬵ DE.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Triangoli e SMS

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Disegna un triangolo. Quante e quali informazioni relative ai suoi elementi (angoli e lati) devi mandare in un SMS a un amico perché possa disegnare un triangolo congruente al tuo? ALBERTO: GIOVANNA:

«Se mi mandi la misura di due elementi, non basta». «Ma anche con tre elementi le cose non sono così semplici...».

䉴 Considera i casi possibili con due elementi e dimostra che Alberto ha ragione. Continua poi con tre. In quali casi il messaggio permette di riprodurre il triangolo?

3. Le proprietà del triangolo isoscele ■ Il teorema del triangolo isoscele TEOREMA

Teorema del triangolo isoscele Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti. C

C

α A

Ipotesi AC ⬵ BC.

G

48

B

Tesi ␣ ⬵ ␤.

A

β B

Paragrafo 3. Le proprietà del triangolo isoscele

DIMOSTRAZIONE

A

C

B

A

C

α

β

B

A

β' E

Figura 4 Costruzione.

䉲

C

F

a. Prolunghiamo i lati CA e CB e sui prolungamenti scegliamo due segmenti congruenti, AE ≅ BF.

E

F

b. Congiungiamo A con F e indichiamo l’angolo ABF ˆ con β'.

α

β

α' E

F

c. Congiungiamo B con E e indichiamo l’angolo EÂB con α'.

C

A

Osserviamo che i triangoli CAF e CEB (figura a lato) hanno: ● ●

C

B E

Anche i triangoli ABF e ABE (figura a lato) hanno tre elementi corrispondenti congruenti: ● ●

F

AC ⬵ BC per ipotesi; CF ⬵ EC perché somme di segmenti congruenti; ^ l’angolo C in comune;

quindi, sono congruenti per il primo criterio di congruenza. ^ ^ In particolare, nei triangoli considerati risulta: AF ⬵ EB, F ⬵ E .

●

B

β'

Osserviamo che ␣ e ␣′ sono supplementari, così come ␤ e ␤′: possiamo ^ ^ scrivere ␣ ⫽ P ⫺ ␣′ e ␤ ⫽ P ⫺ ␤′. Per provare che ␣ e ␤ sono congruenti è dunque sufficiente dimostrare che ␣′ ⬵ ␤′.

●

TEORIA

B

A

BF ⬵ AE per costruzione; AF ⬵ EB per la deduzione precedente; ^ ^ F ⬵ E per lo stesso motivo;

β' A

quindi, sono congruenti per il primo criterio. ^

E

^

In particolare, nei triangoli considerati risulta: AB F ⬵ EAB, cioè ␤′ ⬵ ␣′.

F

B α'

Dunque, poiché gli angoli ␣ e ␣′ sono supplementari, così come ␤ e ␤′, si ha anche ␣ ⬵ ␤. Concludiamo che il triangolo isoscele ABC ha gli angoli alla base congruenti. La dimostrazione ha messo in evidenza che nel triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base. C

■ L’inverso del teorema del triangolo isoscele Se nel teorema del triangolo isoscele scambiamo l’ipotesi con la tesi, otteniamo il teorema inverso, di cui omettiamo la dimostrazione. TEOREMA

Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.

α

β

A

B Ipotesi α ⬵ β Tesi AC ⬵ BC

49

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

TEORIA

I due teoremi precedenti si possono unificare nel seguente modo. TEOREMA

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti. C α⬵β α A

AC ⬵ BC

β B

CONDIZIONE NECESSARIA E CONDIZIONE SUFFICIENTE Condizione necessaria Affinché avvenga «una cosa», deve verificarsi (cioè è necessario che si verifichi) «una condizione». Per esempio, affinché «io possa avere la patente per guidare l’automobile», devo «essere maggiorenne». L’essere maggiorenne è condizione necessaria affinché io possa avere la patente. In altri termini, se non fossi maggiorenne, non potrei avere la patente.

Condizione necessaria e sufficiente In generale, non è detto che una condizione necessaria sia anche sufficiente.

Condizione sufficiente Affinché avvenga «una cosa», basta (è sufficiente) che si verifichi «una condizione».

Per esempio, se sono italiano, non è detto che io sia abruzzese.

Per esempio, affinché «io sia italiano», basta che «io sia abruzzese». L’essere abruzzese è condizione sufficiente affinché io sia italiano. In altri termini, se sono abruzzese, allora sono italiano.

Per esempio, perché una persona possa avere la patente, non basta che sia maggiorenne: deve anche aver superato l’esame. Non è neppure detto che una condizione sufficiente sia anche necessaria.

Può però capitare che una condizione sia insieme necessaria e sufficiente. Per esempio, «segnare più gol dell’avversario» è condizione necessaria e sufficiente per «vincere una partita di calcio». Infatti per vincere una partita basta (è sufficiente) segnare più gol. D’altra parte, per vincere la partita si devono (è necessario) segnare più gol.

■ Proprietà del triangolo equilatero Poiché un triangolo equilatero può essere visto come isoscele considerando come base ciascuno dei tre lati, dal teorema del triangolo isoscele si deduce la seguente proprietà. Corollario Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che abbia tutti gli angoli congruenti.

G

50

Paragrafo 4. Le disuguaglianze nei triangoli

TEORIA

■ La bisettrice nel triangolo isoscele TEOREMA

Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base. C

C

A

H

A

B

Ipotesi 1. AC ⬵ BC; ^ 2. CH è bisettrice dell’angolo C .

B

H

Tesi 1. CH è altezza; 2. CH è mediana.

La bisettrice di un angolo divide l’angolo in due parti ^ ^ congruenti, quindi AC H ⬵ HC B ; indicheremo questi due angoli rispettivamente con ␦ e ␦′. Osserviamo che i triangoli AHC e HBC hanno: DIMOSTRAZIONE

● ● ●

il lato CH in comune; AC ⬵ BC per l’ipotesi 1; ␦ ⬵ ␦′ per l’ipotesi 2;

●

β

α

AH ⬵ BH, cioè H è punto medio di AB, pertanto CH è mediana; ^ ^ AHC ⬵ CHB. ^

δ δ'

A

quindi, sono congruenti per il primo criterio. In particolare: ●

C

H

B

䉱 Figura 5 Costruzione. Immaginiamo di «tagliare» il triangolo ABC lungo la bisettrice CH. Otteniamo i triangoli AHC e HBC.

^

AHC e CHB sono adiacenti, quindi supplementari, ed essendo congruenti sono dunque entrambi angoli retti. Pertanto la bisettrice CH è anche altezza.

4. Le disuguaglianze nei triangoli ■ Il teorema dell’angolo esterno (maggiore) TEOREMA

Teorema dell’angolo esterno C

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti a esso.

Bˆ e

A

Ipotesi ABC è un triangolo.

^

◗ La struttura linguistica «Se…, allora…» di questo teorema diventa: «Se consideriamo un triangolo, allora ogni angolo esterno è maggiore…».

B

^

^

^

Tesi Be ⬎ A e Be ⬎ C .

51

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

TEORIA

DIMOSTRAZIONE

Figura 6 Costruzione.

䉲

C

C

C

E

M

M

A

B

A

a. Disegniamo il punto medio M del lato BC.

E M

B

b. Congiungiamo A con M e prolunghiamo il segmento AM di un segmento ME ≅ AM.

A

B

c. Congiungiamo E con B.

I triangoli AMC e BME sono congruenti per il primo criterio, poiché hanno: ● ● ●

C

E

In particolare deduciamo che: ^

M

● ●

A

BM ⬵ MC per costruzione; AM ⬵ ME per costruzione; ^ ^ gli angoli AMC e BM E opposti al vertice per costruzione, quindi congruenti;

B

^

MB E ⬵ C ; ^ ^ essendo la semiretta BE interna all’angolo Be , anche MB E è interno a ^ ^ ^ Be , quindi MBE ⬍ Be . ^

Concludiamo che nel triangolo dato l’angolo esterno B e è maggiore ^ dell’angolo interno C . Ripetendo la stessa costruzione a partire dal lato AB, anziché da BC, si ^ ^ ^ dimostra che vale la disuguaglianza B e ⬎ A . Pertanto l’angolo esterno B e ^ ^ risulta maggiore sia dell’angolo interno A sia dell’angolo interno C . Corollari 1. La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto. ^

^

^

^

1. Infatti, essendo Be angolo esterno, esso è maggiore di C, quindi C ⬍ B e . ^ 1. Aggiungendo ai due membri della disuguaglianza l’angolo interno B , ^ ^ ^ ^ la disuguaglianza si conserva. Risulta che C ⫹ B ⬍ Be ⫹ B . Poiché ^ ^ ^ ^ ^ ^ Be ⫹ B ⬵ P, abbiamo C ⫹ B ⬍ P . 2. Un triangolo non può avere due (o più) angoli retti, né due (o più) angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso. 3. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti. C

■ La relazione fra lato maggiore e angolo maggiore TEOREMA

A lato maggiore si oppone angolo maggiore B

A

Ipotesi 1. ABC è un triangolo; 2. BC > AC. Tesi

G

52

∧

∧

A > B.

In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore si oppone angolo maggiore.

Paragrafo 5. Che cosa sono i poligoni

TEORIA

Vale anche il teorema inverso del precedente. TEOREMA

In ogni triangolo non equilatero, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore.

◗ Corollario In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascun cateto.

■ Le relazioni fra i lati di un triangolo TEOREMA

In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. AC ⬍ AB ⫹ BC; AC ⬎ AB ⫺ BC.

C

A

◗ Le disuguaglianze della tesi di questo teorema vengono di solito chiamate disuguaglianze triangolari.

B

5. Che cosa sono i poligoni DEFINIZIONE

Poligono Un poligono è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni.

D

E

lato

C

A

B

Ogni triangolo è un poligono avente tre lati. Ai poligoni sono estendibili le definizioni già date per il triangolo relative ai vertici e ai lati. Mentre un triangolo è sempre una figura convessa, un poligono può essere concavo o convesso. Ai poligoni convessi sono estendibili anche le definizioni di angolo interno e angolo esterno date per i triangoli. Introduciamo il concetto di diagonale. Le diagonali di un poligono sono tutti i segmenti che hanno per estremi due vertici non appartenenti allo stesso lato.

vertice

◗ In seguito, se non ci sarà un riferimento esplicito, quando parleremo di un poligono intenderemo un poligono convesso.

diagonali

I poligoni hanno nome diverso a seconda del numero di lati: il triangolo ne ha 3, il quadrilatero 4, il pentagono 5, l’esagono 6, l’eptagono 7, l’ottagono 8, l’ennagono 9, il decagono 10. Un poligono è regolare quando ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Per esempio, un triangolo equilatero è un poligono regolare.

angolo interno angoli esterni

53

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

TEORIA

Quanto distano le stelle? …come si fa a calcolare a quale distanza si trova una stella?

–䊳 Il quesito completo a pag. G43

Uno dei metodi per calcolare la distanza tra la Terra e una stella si basa sull’osservazione dell’astro in due momenti diversi. Tale osservazione da parte di uno spettatore terrestre può essere paragonata a ciò che si registra quando guardiamo un oggetto, per esempio un dito, che si trova a pochi centimetri dai nostri occhi. Se chiudiamo prima un occhio e osserviamo la posizione del dito rispetto allo sfondo e poi facciamo altrettanto chiudendo l’altro occhio, ci sembrerà che il dito si sia mosso in relazione all’ambiente. E tanto più il dito sarà vicino agli occhi, tanto più ampio sembrerà lo spostamento. Questo fenomeno è chiamato parallasse. Astronomicamente parlando, a ogni occhio corrisponde la posizione della Terra in punti opposti nella sua orbita pressoché circolare intorno al Sole, al dito invece corrisponde l’astro di cui si vuole misurare la distanza. Se si osserva la stella, per esempio, nel mese di dicembre e nel giugno successivo, la sua posizione effettiva è, come si vede nella figura, il vertice di un triangolo isoscele, i cui vertici alla base sono la posizione della Terra nei due mesi presi in esame. La congiungente stella-Sole è dunque la mediana relativa alla base del triangolo. Ma in un triangolo isoscele tale mediana è anche la bisettrice dell’angolo al vertice, quindi l’angolo che in figura è denotato con p è la metà dell’angolo totale ed è chiamato parallasse (annua) della stella.

G

54

direzione in cui si vede la stella in giugno

direzione in cui si vede la stella in dicembre stella

A

angolo di parallasse p

d

Terra dicembre

Sole

S

Terra T giugno

Osserviamo che più una stella è vicina al Sole (cioè più il triangolo è schiacciato), più la parallasse è grande. Se invece la stella si allontana, il triangolo si assottiglia e la parallasse diminuisce: una stella è tanto più lontana quanto più la sua parallasse è piccola. Se indichiamo con d la distanza tra il Sole e la stella, si può dimostrare che la relazione tra d e la parallasse p è data dalla formula: 1 d  ᎏᎏ , dove la parallasse è p misurata in secondi d’arco e la distanza in parsec. Nella vita di tutti i giorni, gli angoli vengono normalmente misurati in gradi. Per esempio, un angolo retto misura 90°. In astronomia, dove gli angoli possono essere molto piccoli, conviene misurarli con sottomultipli del grado: un primo d’arco corrisponde a 1/60 di grado, un secondo d’arco corrisponde a 1/60 di un primo d’arco, cioè a 1/3600 di grado.

Le distanze sono invece veramente molto grandi e conviene misurarle in parsec: una stella ha una distanza di 1 parsec (1 pc) se la sua parallasse è di 1 secondo d’arco. 1 parsec corrisponde a circa 30 856 775 670 469 km. Per esempio, se una stella ha una parallasse uguale a 0,05 secondi d’arco, la sua distanza dal Sole è: 1 d  ᎏᎏ parsec  20 parsec. 0,05 In conclusione, per misurare la distanza di una stella dal Sole, basta osservarla col telescopio in due momenti distinti dell’anno (dicembre e giugno, nella figura), calcolare l’angolo di parallasse e dividere 1 per la misura di tale angolo. Noti la distanza d tra il Sole e la stella e il raggio dell’orbita terrestre, si può ricavare la distanza tra la stella e la Terra applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo STA. Purtroppo spesso ci sono dei problemi tecnici: ogni strumento ottico, compresi i nostri occhi, possiede un potere risolutivo, definito come la minima distanza angolare alla quale due oggetti devono trovarsi per essere riconosciuti come corpi distinti. Oggi il più potente telescopio da terra ha un potere risolutivo di 0,05 secondi d’arco, e quindi può servire per misurare la distanza delle stelle che distano al massimo 20 parsec dal Sole. Sfruttando telescopi orbitanti su satelliti, come per esempio il satellite Hipparcos, è possibile arrivare a circa 0,002 secondi d’arco (e quindi misurare distanze fino a 500 parsec).

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I triangoli 1. Considerazioni generali sui triangoli

angolo interno

Un triangolo è un sottoinsieme del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni.

C vertice B

In un triangolo sono segmenti particolari: angolo esterno lato A le bisettrici, le mediane, le altezze. Ogni bisettrice divide uno degli angoli del triangolo in parti congruenti; ogni mediana divide il lato in parti congruenti; ogni altezza è perpendicolare alla retta contenente il lato opposto al vertice dal quale essa parte. bisettrici

mediane

C

A

altezze

C

A

C

A B

B

B

I triangoli possono essere classificati rispetto ai lati. triangolo scaleno C

triangolo isoscele C

triangolo equilatero C

lati obliqui angoli alla base A A B Ha i lati non congruenti.

B

A

base Ha due lati congruenti.

B Ha i tre lati congruenti.

Rispetto agli angoli i triangoli sono così classificati: triangolo acutangolo

triangolo rettangolo C

C

triangolo ottusangolo B

B

cateti

A

B I tre angoli sono acuti.

ipotenusa

A Un angolo è retto.

A

C Un angolo è ottuso.

55

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

2. I criteri di congruenza dei triangoli

3. Le proprietà del triangolo isoscele

Due triangoli sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti. Teorema. La bisettrice, l’altezza e la mediana relative alla base di un triangolo isoscele coincidono. Corollario. Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che abbia i tre angoli congruenti.

Primo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso. 1° criterio A

R

C

B AB≅ ≅A'B' A'B' AB BC≅ ≅B'C' B'C' BC ˆ ˆ B' Bˆ Bˆ≅ ≅B'

A' C

ABC≅ ≅A'B'C' A'B'C' ABC

C' B'

H A B triangolo isoscele

Secondo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti. 2° criterio B

C AC ≅ A'C' ˆ ≅ A' ˆ A ˆ Cˆ ≅ C'

B' A

ABC ≅ A'B'C'

Q triangolo equilatero

4. Le disuguaglianze nei triangoli Teorema dell’angolo esterno. Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore dei due angoli non adiacenti. Teorema. In ogni triangolo, non equilatero, a lato maggiore si oppone angolo maggiore e viceversa. B

B

A'

β C'

AC ≅ A'C'

P

δ γ

C α

α

Terzo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 3° criterio B

C AB AB ≅≅ A'B' A'B' BC BC ≅≅ B'C' B'C' AC AC ≅≅ A'C' A'C'

B' A

ABC ABC ≅≅ A'B'C' A'B'C'

A

C

A δ>α δ>β

AB > BC

Teorema. In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

γ>α

B C

A

A' C'

AC < AB + BC AC > AB − BC

5. Che cosa sono i poligoni I triangoli sono particolari poligoni. Un poligono è un sottoinsieme del piano costituito da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni.

G

56

Paragrafo 1. Considerazioni generali sui triangoli

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. G43

1. Considerazioni generali sui triangoli ■ Le prime definizioni C

C

C

A A

a

B

A

B

b

B

c

C

C

C

A

B

d

e

A

B

f

B A

Per risolvere ciascuno dei quattro esercizi seguenti, utilizza le figure precedenti e procedi, a seconda della richiesta, con un colore diverso. 1

In ogni triangolo colora il lato opposto al vertice B.

2

In ogni triangolo colora gli angoli adiacenti al lato AB.

3

In ogni triangolo colora l’angolo compreso fra i lati AB e BC.

4

In ogni triangolo disegna un angolo esterno di vertice A.

5

Disegna un triangolo e mostra che a ogni angolo interno corrispondono due angoli esterni. Spiega perché essi sono congruenti.

■ Bisettrici, mediane, altezze 6

Per ogni triangolo della figura, costruisci la bisettrice relativa al vertice C.

Per ogni triangolo della figura, disegna la mediana relativa al lato BC e l’altezza relativa al lato AC. C

A

C

7

C

A

B

B

C

A

B

A

B

57

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. G47

2. I criteri di congruenza dei triangoli Nel sito:

䉴 7 esercizi di recupero

■ Il primo criterio ESERCIZIO GUIDA

Disegniamo un triangolo ABC. Prolunghiamo il lato AB di un segmento BE ⬵ AB e il lato CB di un segmento BF ⬵ CB. Congiungiamo E con F. Dimostriamo che AC ⬵ EF.

8

C

C

B

A

a. Disegniamo un triangolo ABC. Poiché il triangolo non ha particolarità, lo disegniamo scaleno e con angoli qualsiasi.

A

C

B

b. Il prolungamento del lato AB deve essere preso dalla parte di B, perché AB e BE hanno l’estremo B in comune.

Ipotesi 1. ABC è un triangolo; 2. AB ⬵ BE; 3. CB ⬵ BF . Tesi

AC ⬵ EF .

Osserviamo che i triangoli ABC e BFE hanno: 9

E

C

B

A

F c. Anche il prolungamento di CB è dalla parte di B, perché BC e BF hanno l’estremo B in comune.

E A

B

E

F d. Congiungiamo E con F. Otteniamo il triangolo BEF.

AB ⬵ BE, per l’ipotesi 2; CB ⬵ BF, per l’ipotesi 3; ^ ^ ● AB C ⬵ FBE, perché opposti al vertice; ● ●

quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. In particolare, essi hanno i lati AC ed EF congruenti.

Disegna un segmento AB e una qualunque retta passante per il punto medio M del segmento. Su tale retta scegli due segmenti congruenti, ME e MF, da parte opposta rispetto ad AB. Congiungi A con F e B con E. Dimostra che i triangoli AMF e MBE sono congruenti.

10 Nel triangolo ABC indica con M il punto medio del lato BC. Congiungi A con M e prolunga AM di un segmento ME ⬵ AM. Congiungi B con E. Dimostra che AC ⬵ BE. 11 Disegna due triangoli ABC e DEF che abbiano AB ⬵ DE, AC ⬵ DF e in cui l’angolo esterno di vertice A sia congruente a quello esterno di vertice D. Dimostra che i triangoli sono congruenti. ^

^

12 Nell’angolo aOb disegna la bisettrice Os. Sui lati dell’angolo aOb scegli due punti, rispettivamente A su Oa e B su Ob, in modo che risulti OA ⬵ OB. Congiungi un punto E della bisettrice con A e con B. Dimostra che ^ la semiretta Os è anche bisettrice dell’angolo AE B. ^

13 Dato l’angolo aOb, sul lato Oa fissa due punti, A e B, e sul lato Ob altri due punti, C e D, in modo che risulti OA ⬵ OC e OB ⬵ OD. Dimostra che i triangoli OCB e OAD sono congruenti. 14 Disegna due triangoli congruenti ABC e A′B ′C ′. Sui lati congruenti AB e A′B ′, considera i punti D e D ′ in ^ ^ modo che AD ⬵ A′D ′. Dimostra che gli angoli CDB e C′D ′B ′ sono congruenti.

G

58

Paragrafo 2. I criteri di congruenza dei triangoli

^

ESERCIZI

^

15 I triangoli isosceli ABC e ARS, di basi BC e SR, hanno in comune il solo vertice A e hanno BAC ⬵ RA S. Dimostra che i triangoli ABR e ACS sono congruenti. ^

16 Disegna un triangolo ABC e la bisettrice dell’angolo A. Su tale semiretta disegna il segmento AD ⬵ AB e il segmento AE ⬵ AC. Dimostra che i segmenti CD e BE sono congruenti.

■ Il secondo criterio ESERCIZIO GUIDA ^

17 Disegniamo un angolo aOb e la sua bisettrice Oc. Da un punto E della bisettrice tracciamo una retta che formi con la bisettrice stessa due angoli retti. Questa retta interseca i lati dell’angolo nei punti A e B. Dimostriamo che OA ⬵ OB. b

b B

c

c ˆ E R'

α' α O

a

ˆ e la sua bisettrice Oc. a. Disegniamo l’angolo aOb ˆ con α'. ˆ con α e cOb Indichiamo aOc

Ipotesi 1. ␣ ⬵ ␣′; ^ ^ 2. R ⬵ R ′ sono retti. Tesi

OA ⬵ OB.

α' α

Rˆ A

O

a

b. Tracciamo per E la retta che forma due angoli retti con ˆ Oc e individuiamo A e B. Chiamiamo Rˆ l’angolo retto OEA, ˆ ˆ l’angolo retto OEB. R'

I triangoli OAE e OEB hanno: OE in comune, per costruzione; ␣ ⬵ ␣′ per l’ipotesi 1; ^ ^ ● R ⬵ R ′ per l’ipotesi 2; quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. In particolare, hanno OA ⬵ OB. ● ●

18 Disegna i triangoli ABC e RST in modo che si abbia AB ⬵ RS e che siano congruenti gli angoli esterni di vertici A e R e quelli di vertici B e S. Dimostra che i triangoli sono congruenti. ^

19 Dato un triangolo ABC, sia K un punto della bisettrice dell’angolo A . Da K traccia una retta che formi due angoli retti con AK e che intersechi la retta AB in E e la retta AC in D. Dimostra che il triangolo ADE è isoscele. 20 Dati due triangoli congruenti ABC e A′B ′C ′, dimostra che le bisettrici di due angoli interni congruenti sono congruenti. 21 Dagli estremi di un segmento AB disegna due semirette Aa e Bb in modo che formino entrambe lo stesso angolo con AB e siano da parte opposta rispetto al segmento. Traccia una retta passante per il punto medio M di AB; tale retta incontra la semiretta Aa nel punto E e la semiretta Bb nel punto F. Congiungi E con B e A con F. Dimostra che: a) i triangoli AME e BMF sono congruenti; b) i triangoli AFM e BME sono congruenti.

59

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

■ Il terzo criterio 22 VERO O FALSO? a) Due triangoli equilateri sono sempre congruenti per il terzo criterio. b) Due triangoli isosceli aventi la base in comune sono congruenti per il terzo criterio. c) Due triangoli aventi ordinatamente congruenti i tre angoli sono congruenti. d) Due triangoli rettangoli aventi congruenti ipotenuse e cateti sono congruenti.

V

F

V

F

V

F

V

F

ESERCIZIO GUIDA

23 Dimostra che due triangoli, che hanno congruenti due lati e la mediana relativa a uno dei due, sono congruenti.

C

A

C’

x

B

A’

C

x

B’

Ipotesi 1. ABC, A′B ′C ′ triangoli; 2. AB ⬵ A′B ′; 3. AC ⬵ A′C ′; 4. CM mediana di AB (AM ⬵ MB) e C ′M ′ mediana di A′B′ (A′M′ ⬵ M′B ′); 5. CM ⬵ C ′M ′.

A

C’

M

B

A’

M’

B’

quindi sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli. In particolare, essi hanno ^ ^ CAM ⬵ C ′A′M ′. Osserviamo poi che i triangoli CAB e C ′A′B′ hanno: AB ⬵ A′B′ per l’ipotesi 2; AC ⬵ A′C ′ per l’ipotesi 3; ^ ^ ● BAC ⬵ B′A′C ′per precedente dimostrazione; ●

Tesi

ABC ⬵ A′B ′C ′.

Osserviamo che i triangoli ACM e A′C ′M′ hanno: AM ⬵ A′M′ per le ipotesi 2 e 4 (metà di segmenti congruenti sono congruenti); ● AC ⬵ A′C ′ per l’ipotesi 3; ● CM ⬵ C ′M′ per l’ipotesi 5; ●

●

quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

24 Dati due segmenti congruenti AB e DE, costruisci su di essi due triangoli equilateri, ABC e DEF. Dimostra che i triangoli sono congruenti. Puoi dimostrare ancora la congruenza se costruisci sui due segmenti due triangoli isosceli? 25 Dimostra che due triangoli isosceli, che hanno congruenti un lato e la base, sono congruenti. Se detti triangoli avessero congruenti i due lati obliqui, sarebbe ancora possibile dimostrare la congruenza? ^

26 Disegna un angolo aOb. Sul lato Oa fissa due punti, A e B, e sul lato Ob altri due punti, C e D, in modo che risulti OA ⬵ OC e OB ⬵ OD. Congiungi A con D e B con C, poi indica con E il punto di intersezione dei due segmenti ottenuti. Dimostra che il punto E appartiene alla bisettrice dell’angolo. (Suggerimento. Considera successivamente le coppie di triangoli OBC e OAD, E AB ed ECD, OEA e OEC.)

G

60

Paragrafo 3. Le proprietà del triangolo isoscele

3. Le proprietà del triangolo isoscele Nel sito:

ESERCIZI

–䊳 Teoria a pag. G48

䉴 8 esercizi di recupero

27 VERO O FALSO? a) La bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele forma due angoli retti con la base. b) Avere due angoli congruenti è condizione sufficiente affinché un triangolo sia isoscele. c) Un triangolo rettangolo non può essere isoscele. d) Se in un triangolo gli angoli adiacenti a uno stesso lato sono diversi, allora il triangolo non è isoscele. e) Un triangolo isoscele è equilatero se ha la base congruente ai lati.

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

■ Il teorema del triangolo isoscele 28 Dimostra che due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti l’angolo al vertice e un lato a esso adiacente. 29 Dimostra che due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti la base e un angolo a essa adiacente. 30 Disegna un triangolo isoscele di base AB e vertice C. Sui lati obliqui scegli due punti, S su AC e T su CB, in modo che risulti CS ⬵ CT. Dimostra che: a) i triangoli SBC e ACT sono congruenti; b) i triangoli ABT e ABS sono congruenti. 31 Congiungendo i punti medi dei tre lati di un triangolo isoscele si ottiene un nuovo triangolo. Dimostra che anche il triangolo ottenuto è isoscele. 32 Nel triangolo isoscele ABC, prolunga la base AB da ambo le parti dei segmenti congruenti AF e BE. Congiungi il vertice C coi punti E e F. Dimostra che il triangolo FEC è isoscele.

■ L’inverso del teorema del triangolo isoscele 33 Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, le bisettrici AE e BF degli angoli alla base si intersecano in M. Dimostra che ME ⬵ MF.

34 Sui lati congruenti del triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna due segmenti congruenti CE e CF. Congiungi E con B, poi A con F; indica con D il punto di intersezione dei segmenti BE e AF. Dimostra che anche il triangolo ABD è isoscele. 35 Nel triangolo ABC disegna la mediana CM e l’altezza CH. Prolunga CM di un segmento ME ⬵ CM e CH di un segmento HF ⬵ CH. Congiungi A con F e B con E, indicando con D il punto di intersezione del prolungamento di questi due segmenti. Dimostra che: a) i triangoli ACH e AFH sono congruenti; b) i triangoli ACM e MEB sono congruenti; c) il triangolo ABD è isoscele. 36 Nel triangolo ABC prolunga il lato AC di un segmento CE ⬵ CB e il lato BC di un segmento CF ⬵ CA. Congiungi A con F, poi indica con D il punto di intersezione dei prolungamenti di AB e di FE. Dimostra che il triangolo ADF è isoscele. 37 Disegna un triangolo ABC in cui la bisettrice AS è anche mediana. Dimostra che il triangolo ABC è isoscele. (Suggerimento. Prolunga la bisettrice AS di un segmento SE ⬵ AS e congiungi E con B. I triangoli ACS e BSE sono…, il triangolo ABE è…)

■ La bisettrice nel triangolo isoscele 38 Disegna due triangoli isosceli diversi fra loro, ABC e ABD, posti sulla stessa base AB, con i vertici C e D opposti rispetto alla base. Dimostra che il segmento DC divide a metà la base AB. 39 Nel triangolo isoscele ABC di base AB segna sull’altezza CH un punto P. La semiretta AP incontra BC nel punto E e la semiretta BP incontra ^ ^ AC nel punto F. Dimostra che PF C ⬵ PE C. (Suggerimento. Considera i triangoli APC e BPC…; ^ ^ gli angoli AP F e BP E sono congruenti perché…; considera poi i triangoli CPF e CPE…)

61

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

■ Le proprietà degli angoli del triangolo equilatero 40 Sui tre lati di un triangolo equilatero ABC disegna tre punti, R, S e T, in modo che risulti AR ⬵ BS ⬵ CT. Congiungi i tre punti. Dimostra che il triangolo RST è equilatero. 41 Prolunga i lati del triangolo equilatero ABC (nello stesso verso) rispettivamente dei segmenti AD, BE e CF congruenti fra loro. Dimostra che il triangolo DEF è equilatero.

42 Disegna un triangolo equilatero, poi traccia le mediane e dimostra che sono congruenti. 43 Dopo aver disegnato il triangolo equilatero ABC, costruisci sui tre lati, esternamente al triangolo, tre triangoli isosceli congruenti aventi per basi i lati di ABC. Dimostra che i loro vertici individuano un triangolo equilatero.

4. Le disuguaglianze nei triangoli Nel sito:

–䊳 Teoria a pag. G51

䉴 18 esercizi in più

■ Le relazioni tra gli angoli di un triangolo 44 VERO O FALSO? a) Un triangolo può avere due angoli ottusi e uno acuto. b) Un triangolo può avere tutti e tre gli angoli acuti. c) Un triangolo può avere due angoli acuti e uno retto. d) Un triangolo può avere due angoli acuti e uno ottuso.

e) Un triangolo non può avere più di un angolo esterno ottuso.

V

F

f) Un triangolo non può avere più di un angolo esterno retto.

V

F

V

F

g) Un triangolo non può avere tre angoli esterni ottusi.

V

F

V

F

h) Un triangolo non può avere i tre angoli esterni acuti.

V

F

V

F

i) Un triangolo rettangolo non può avere un angolo interno ottuso.

V

F

V

F

l) Un triangolo non può avere un angolo esterno ottuso.

V

F

5. Che cosa sono i poligoni

–䊳 Teoria a pag. G53

45 VERO O FALSO? a) Un pentagono ha cinque diagonali.

V

F

b) Ogni poligono convesso di n lati ha n angoli interni.

V

F

c) Esistono poligoni concavi con tre lati.

V

F

d) Dato un poligono convesso, qualsiasi diagonale lo divide in due poligoni convessi.

V

F

n(n ⫺ 3) 46 In un poligono di n lati, il numero delle diagonali è ᎏ. Dopo aver disegnato poligoni con tre, quat2 tro, cinque, sei, sette e otto lati, traccia tutte le diagonali e verifica che siano in numero corrispondente alla formula. 47 Disegna un poligono di cinque lati e traccia tutti i suoi angoli esterni. 48 Disegna un poligono di sei lati e per ogni lato indica gli angoli adiacenti.

G

62

LABORATORIO DI MATEMATICA I triangoli con Cabri

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

I triangoli con Cabri ESERCITAZIONE GUIDATA

Verifichiamo un teorema. Se in un triangolo sono congruenti due angoli, lo sono anche i lati a loro opposti. Con gli strumenti di Cabri costruiamo due angoli congruenti aventi i vertici negli estremi di un segmento AB, come primo lato il segmento stesso e come secondo lato rispettivamente le semirette a e b (figura 1). ^ ^ ● Con Visualizza_Segna un angolo facciamo risaltare gli angoli bBA e aAB. ● Con Misura_Misura dell’angolo inseriamo le misure dei due angoli, che, data la costruzione, risultano congruenti. ●

䉳

Figura 1

䉴

Figura 2

Proseguiamo con la realizzazione di un triangolo con due angoli congruenti: evidenziamo il vertice C, intersezione fra le semirette a e b, tracciamo i lati AC e BC e nascondiamo le figure servite per la costruzione, come vediamo in figura 2. ● Con Misura_Distanza e lunghezza inseriamo le lunghezze dei lati AC e BC e notiamo che risultano le stesse. ● Compiamo un’altra verifica con lo strumento Verifica_Equidistanti? applicato agli estremi dei due lati, ottenendo da Cabri il messaggio che vediamo in figura 2. ●

Nel sito:

䉴 1 esercitazione guidata con Cabri 䉴 10 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Nei seguenti esercizi, traccia, separatamente e liberamente, in una zona del disegno il lato AB e gli altri enti noti. Assemblali opportunamente per ottenere i triangoli richiesti. Illustra quali condizioni deve soddisfare il lato AB affinché esista il triangolo. Sposta il punto A e osserva che il triangolo scompare quando il lato esce dalle condizioni di esistenza. 1

Dati i lati AB, BC e AC, costruisci il triangolo ABC.

2

Dati il lato obliquo AB e l’angolo alla base ABC, costruisci il triangolo isoscele ABC.

3

Dati il lato obliquo AB e la base BC, costruisci il triangolo isoscele ABC.

Costruisci i seguenti disegni e verifica le proprietà indicate. Sposta poi un punto indipendente e osserva se le proprietà geometriche della figura rimangono invariate. 4

Disegna due triangoli, ABC e DEF, che abbiano AB ⬵ DE, AC ⬵ DF e in cui l’angolo esterno di vertice A sia congruente a quello esterno di vertice D. Verifica che i triangoli sono congruenti.

5

Disegna il triangolo ABC e indica con M il punto medio del lato BC. Congiungi A con M e prolunga AM di un segmento ME ⬵ MA e congiungi B con E. Verifica che AC ⬵ BE.

^

63

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

Matematica per il cittadino LA FORZA DEL TRIANGOLO

Durante un viaggio in autostrada, Claudia e Livio osservano i numerosi tralicci dell’alta tensione che sono distribuiti lungo il paesaggio. La struttura di queste costruzioni e la loro forma spesso ripetuta destano nei due amici diverse curiosità. 1. Perché tralicci, gru e ponti sono costruiti utilizzando principalmente il triangolo come modulo base? A Il triangolo è il poligono con il minor numero di lati. B Si usa meno materiale. C È più facile da costruire. D È una struttura rigida, le cui parti sono facilmente saldabili a elementi lineari.

2. Osservando i vari tipi di tralicci, Claudia nota che spesso sono formati da due catene di triangoli isosceli congruenti, aventi le basi adiacenti l’uno all’altro (figura seguente). I punti medi delle basi dei triangoli che formano la prima fila sono i vertici dei triangoli che costituiscono la seconda.

C

E

A

B

A

B

18 ⭈ 兹3苶 cm.

B

36 cm.

C

18 cm.

D

30,6 cm.

Poiché il tubolare di alluminio utilizzato ha una massa di 1,2 kg al metro, qual è la massa dell’elemento base?

P A

C

Sapendo che la lunghezza totale AB della struttura è 72 cm, qual è la sua altezza?

Q F

D

D

4.

E B

Considera i triangoli ABC e DEF e dimostra le seguenti proprietà. a) Nei triangoli ABC e DEF le altezze relative alle basi coincidono. b) I triangoli AFP e DBP sono congruenti tra loro. c) I triangoli APF, PDB, BEQ e QCF sono congruenti tra loro. 3. Livio ha cercato in Internet notizie sui tralicci e ha trovato che sono formati da triangoli anche quelli utilizzati per allestire stand fieristici e studi televisivi. In particolare, è largamente usato il triangolo rettangolo. Nella figura è rappresentato un elemento base; esso è formato da triangoli rettangoli aventi gli angoli acuti di ampiezza 30° e 60°.

G

64

A

C

D

Anche nelle gru i triangoli sono i poligoni maggiormente presenti. Considera nella figura i triangoli che si vengono a formare tra i bracci e i cavi d’acciaio che li sostengono. Tenendo conto che le posizioni dei punti A, C e D possono variare, individua i triangoli sicuramente rettangoli, gli acutangoli e gli ottusangoli. Indica anche quelli per i quali non si può fare una classificazione rigorosa.

Verifiche di fine capitolo

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

Nel sito:

Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale? A ogni vertice di un triangolo corrispondono:

2

3

䉴 questi test interattivi 䉴 20 test interattivi in più

B

Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.

C

Un triangolo ottusangolo non può essere isoscele.

A

tre angoli esterni.

B

due angoli esterni congruenti.

D

Un triangolo equilatero è sempre acutangolo.

C

due angoli esterni supplementari.

E

D

tre angoli esterni, due dei quali sono congruenti.

In un triangolo ottusangolo una delle bisettrici è esterna al triangolo.

E

tre angoli esterni adiacenti l’uno all’altro.

5

In un triangolo un angolo esterno è:

Un triangolo rettangolo può essere: A

scaleno o acutangolo ma non isoscele.

B

scaleno o isoscele ma non acutangolo.

A

maggiore di ogni angolo interno.

C

acutangolo ma non scaleno.

B

maggiore dell’angolo interno adiacente a esso.

D

isoscele e ottusangolo.

C

congruente all’angolo interno adiacente a esso.

E

equilatero ma non isoscele.

D

congruente a un angolo interno solo se il triangolo è rettangolo.

E

complementare dell’angolo interno adiacente a esso.

6

Una delle seguenti proposizioni sui triangoli è falsa. Quale?

Quale tra le seguenti proposizioni è vera? A

I triangoli acutangoli sono convessi, quelli ottusangoli no.

B

I triangoli ottusangoli sono isosceli e quelli rettangoli sono scaleni.

C

Tutti i triangoli sono figure convesse.

A

La bisettrice relativa a un vertice forma un angolo retto con la bisettrice degli angoli esterni corrispondenti.

D

In un triangolo equilatero l’altezza uscente da un vertice è maggiore della bisettrice uscente dallo stesso vertice.

B

Un angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente a esso.

E

In un triangolo equilatero mediane e bisettrici non sono congruenti fra loro.

C

In un triangolo ottusangolo una delle altezze incontra la base in un punto non compreso fra i suoi estremi.

D E

7

In un triangolo: A

Un angolo esterno è supplementare dell’angolo interno adiacente a esso.

B

La mediana relativa a un lato è una qualunque retta che passa per il suo punto medio.

C D

4

Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale? A

Un triangolo scaleno è sempre ottusangolo.

E

se gli angoli esterni corrispondenti a due vertici sono congruenti, esso è isoscele. l’angolo opposto al lato maggiore è sempre ottuso. se due angoli sono congruenti, il terzo è acuto. se due angoli sono congruenti, il terzo non può essere ottuso. se gli angoli esterni sono acuti, esso è ottusangolo.

65

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

8

Nel triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa AB, rappresentato in figura, l’angolo ester^ ^ no DAC, adiacente all’angolo CAB, soddisfa soltanto una delle seguenti relazioni. Quale? ^

^

A

DAC ⬵ ABC.

B

DAC ⬵ ACB.

^

C

^

^

^

^

^

^

^

C

DAC ⬵ 3 CAB.

D

DAC ⬵ 2 CAB.

E

DAC ⬵ 4 CAB.

D

A

9

Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale? A B C

B

D E

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascun cateto. In un triangolo un lato è minore della somma degli altri due. In un triangolo isoscele i lati obliqui sono maggiori della base. In un triangolo equilatero le bisettrici sono congruenti. In un triangolo equilatero le altezze dividono a metà le basi corrispondenti.

SPIEGA PERCHÉ 10 Da quale teorema discende il seguente corollario? «La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.» 11 Considera i seguenti teoremi: «In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice» e «In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana relativa alla base». Sono uno l’inverso dell’altro? Affermano la stessa tesi? 12 Quali criteri di congruenza puoi utilizzare per dimostrare che due triangoli equiangoli con un lato in comune sono congruenti? Giustifica la risposta. 13 Se un triangolo ha due angoli congruenti allora anche i lati opposti a essi sono congruenti. È vera questa proposizione? Che cosa afferma la proposizione inversa? Ed è vera anche quest’ultima? Di che triangolo si tratta? ESERCIZI 18 Disegna due triangoli isosceli ABC e ARS di basi BC e SR, aventi in comune il solo vertice A e con ^ ^ BAC ⬵ RAS. Dimostra, assumendo che A, B, R non siano allineati, che i triangoli ABR e ACS sono congruenti. 19 Sui lati congruenti AB e AC di un triangolo isoscele disegna, rispettivamente, i segmenti AM e AN, fra loro congruenti. Congiungi i punti M e N con il punto medio H della base BC. Dimostra che il triangolo MNH è isoscele.

G

66

14 Sulla base AB del triangolo isoscele ABC, prendi due punti P e Q in modo che la base resti divisa da tali punti in tre segmenti congruenti. Come risulta il triangolo PCQ ? Perché? 15 Disegna un triangolo rettangolo ABC retto in A. Prolunga il cateto AB, dalla parte di A, di un segmento AD tale che DB sia il doppio di AB. Come risulta il triangolo DBC ? Perché? 16 Disegna il triangolo ABC e prolunga la base BC di due segmenti, BE ⬵ AC e CF ⬵ AB. Unisci E e F con A. I triangoli EBA e ACF sono congruenti? Come deve essere il triangolo ABC affinché lo siano? Come risultano in tal caso i due triangoli? 17 In che modo il terzo criterio di congruenza fra triangoli permette di giustificare la costruzione della bisettrice di un angolo?

Nel sito:

䉴 20 esercizi in più

20 Sui due lati obliqui del triangolo isoscele ABC, di base AB, disegna, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri BCD e ACE. Congiungi A con D e B con E, poi indica con F il punto di intersezione dei segmenti ottenuti. Dimostra che: a) AD ⬵ BE; b) CF è bisettrice dell’angolo ACB. 21 Dimostra che due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un angolo, la sua bisettrice e un lato adiacente a tale angolo sono congruenti.

Verifiche di fine capitolo

22 Dimostra che due triangoli isosceli che hanno congruenti l’angolo al vertice e la mediana relativa alla base sono congruenti. 23 Dimostra che in un triangolo equilatero le bisettrici degli angoli interni coincidono con le mediane e le altezze. 24 Nel triangolo isoscele ABC di vertice A, traccia sui due lati congruenti AB e AC, rispettivamente, i punti M e N tali che AM ⬵ AN. Indica con H il punto di intersezione di MC con NB. Dimostra che il triangolo MNH è isoscele. 25 Disegna un segmento AC. Da parte opposta rispetto ad AC, scelta come base, costruisci due triangoli isosceli ABC e ADC. Dimostra che BD è ^ bisettrice dell’angolo AB C. 26 Dopo aver disegnato il triangolo isoscele ABC, prolunga la base AB da ambo le parti di due segmenti congruenti AF e BE. Dimostra che sono congruenti i triangoli AEC e BCF. 27 È dato il triangolo isoscele ABC di base AB. Sulla bisettrice CH fissa un punto D. Prolunga AD fino a incontrare BC nel punto E; allo stesso modo prolunga BD fino a incontrare AC in F. Dimostra che: a) AE ⬵ BF; b) CE ⬵ CF. ^

^

28 Nella figura gli angoli DAB ed EAC sono retti, i segmenti EA e AC sono congruenti. Anche gli ^ ^ angoli AED e ACB sono congruenti. Dimostra che i triangoli AED e ABC sono congruenti. D

29 Un segmento AB è la base di due triangoli congruenti ABC e ABC ′, costruiti dalla stessa parte di AB. Dopo aver indicato con D l’intersezione di AC ′ e BC, dimostra che: a) il triangolo ADB è isoscele; b) i triangoli ACD e DBC ′ sono congruenti. 30 Considera un segmento AB e traccia, da parti opposte rispetto a esso, due semirette r e s che formino angoli congruenti con AB. Prendi C e P su r ^ ^ e D e Q su s in modo che AC ⬵ BD e CBP ⬵ DAQ. Dimostra che AQ ⬵ PB. 31 Nel triangolo ABC la bisettrice dell’angolo B interseca il lato AC in D. a) Considerati sui lati AB e BC rispettivamente i ^ ^ punti E ed F, tali che EDB ⬵ BDF, dimostra che BE ⬵ BF. b) Prolungati i segmenti DE e DF rispettivamente dei segmenti EP e FQ, con EP ⬵ FQ, dimostra che PB ⬵ BQ. 32 Nel triangolo isoscele ABC di base AB, considera sul prolungamento della base i segmenti congruenti AD e BE. Sui lati obliqui AC e BC prendi i punti P e Q tali che AP ⬵ BQ. Dimostra che: a) PE ⬵ DQ; b) detto M il punto di intersezione di DQ con PE, il triangolo DME è isoscele; ^ c) M appartiene alla bisettrice di C . 33 Dato il triangolo scaleno ABC, prolunga il lato AB di un segmento BD ⬵ BC e il lato CB di un segmento BE ⬵ AB. Indicato con P il punto di intersezione delle rette AC e DE, dimostra che: a) il triangolo CPD è isoscele; ^ b) BP è bisettrice di ABE. ^

E

C

A

ESERCIZI

B

34 Disegna un angolo aOb e la sua bisettrice Oc. Sul lato Oa fissa un punto A e sul lato Ob un punto B in modo che risulti OA ⬵ OB. Sulla bisettrice scegli un punto E. Congiungi B con E, prolungando il segmento BE, finché incontra il lato Oa nel punto D. Congiungi A con E, prolungando il segmento AE, finché incontra Ob nel punto C. Dimostra che: a) i segmenti AE e BE sono congruenti; b) i segmenti DE e CE sono congruenti; c) i segmenti OD e OC sono congruenti.

67

G

CAPITOLO G2. I TRIANGOLI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA 35

Nel sito:

TEST Ricordiamo che due triangoli sono uguali se hanno tre lati di uguale lunghezza (per esempio il triangolo di lati 2, 15, 14 è uguale al triangolo di lati 2, 14, 15). Dire quanti sono i triangoli distinti aventi i lati di lunghezza intera e perimetro uguale a 31. A

6

B

24

C

30

D

55

E

125

(Olimpiadi della matematica, Gara Junior, 1990)

36

^

ra qui a fianco, quanto misura l’angolo ␣? 70°

B

75°

C

80°

37 Disegna un triangolo isoscele ABC, di base BC e ^ l’angolo A acuto. Traccia le altezze BH e CK relative ai lati AC e AB e prolunga tali altezze dei segmenti HB′ congruente a BH e KC ′ congruente a CK. Sia A′ il punto di intersezione della retta BC ′ con la retta B′C. Dimostra che: a) i triangoli ABC, AC ′B e AB′C sono congruenti; b) il triangolo A′B′C ′ è isoscele. 38 Dato l’angolo aO b, sul lato Oa fissa un punto A e sul lato Ob un punto B in modo che OA ⬵ OB. Preso sulla bisettrice dell’angolo il punto E, prolunga BE fino a incontrare Oa in D e AE fino a incontrare Ob in C. Preso un punto F su OE, dimostra che

TEST Nella figu-

A

䉴 7 esercizi in più

α

20° 10° 60°

^

50°

D

90°

E

Non può essere determinato con i soli dati forniti.

^

AFD ⬵ BFC.

(Olimpiadi della matematica, Gara biennio, 2005)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

39 TEST Which of the triples could not be the sides of a triangle? A 7, 7, 8. D 17, 18, 25. B 3, 4, 6. E 1023, 2168, 3040. C 2, 7, 11. (USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 2003)

40 Person 1 tells person 2 the lengths of two sides of a triangle. Person 2 then correctly concludes that the length of the third side can be any number between 2 and 10. What were the lengths of the first two sides?

䉴 4 esercizi in più

苶苶 B⫽A 苶苶 C and 41 TEST In the diagram below, A A 苶苶 D⫽ C 苶苶 D. How many of the following statements are true for the angles marked? w⫽x x ⫹ y ⫹ z ⫽ 180 z z ⫽ 2x A A All of them. y w C B Two. C One. D D None of them. E It depends on x. B

(USA Bay Area Math Meet, BAMM, Bowl Sampler, 1995)

x

[6, 4] (UK Junior Mathematical Challenge, 2003)

GLOSSARY

angle: angolo below: sotto length: lunghezza

G

68

to mark: contrassegnare side: lato

statement: espressione triple: terna

CAPITOLOTEORIA

Perpendicolari e parallele. Parallelogrammi e trapezi

G3

Il volo delle falene Ti sarà capitato, nelle sere d’estate, di notare come volano le farfalle notturne intorno alla luce emessa da un lampione o da una lampada in veranda: ruotano vicine alla fonte luminosa, accostandosi sempre di più, fino a bruciarsi le ali… …perché le falene sono attratte dalla luce artificiale?

䡲䡲䊳 La risposta a pag. G94

1. Le rette perpendicolari Abbiamo visto che per due punti passa una e una sola retta; di conseguenza se due rette hanno come intersezione due punti, allora coincidono. Pertanto due rette distinte possono intersecarsi in un solo punto. Due rette che si intersecano in un solo punto si dicono rette incidenti. Sappiamo che due rette incidenti dividono il piano in due coppie di angoli opposti al vertice congruenti. Se poi i quattro angoli sono tutti congruenti, ognuno è un angolo retto. Diamo allora la seguente definizione. DEFINIZIONE

Rette perpendicolari Due rette incidenti sono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti.

b

a

b

Per indicare che la retta a è perpendicolare alla retta b, si scrive: a ⬜ b. Due rette incidenti che non sono perpendicolari si dicono oblique.

a rette oblique

69

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

■ Il teorema di esistenza e unicità della perpendicolare TEOREMA

Esistenza e unicità della perpendicolare Per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare a una retta data. Ipotesi 1. P punto del piano; 2. r retta qualunque.

Tesi 1. Esiste una retta s ⬜ r passante per P; 2. la retta s è unica.

Omettiamo la dimostrazione. Tuttavia, osserviamo che si possono presentare due casi, illustrati nella figura 1. 䉴

Figura 1 s

P

r

P

r

s a. P appartiene alla retta r.

b. P non appartiene alla retta r.

Il punto in cui la perpendicolare interseca la retta data si chiama piede della perpendicolare.

■ Le proiezioni ortogonali La proiezione ortogonale, o più semplicemente proiezione, di un punto su una retta è il piede della perpendicolare condotta da quel punto alla retta (figura 2a). La proiezione ortogonale di un segmento su una retta è il segmento appartenente alla retta avente per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato (figura 2b). 䉲

Figura 2

P

B A r

H

a. H è la proiezione del punto P su r.

G

70

r Aı

Bı

, , b. A B è la proiezione del segmento AB su r.

Paragrafo 2. Le rette parallele

TEORIA

■ La distanza di un punto da una retta TEOREMA

Il segmento perpendicolare condotto da un punto a una retta è minore di ogni segmento obliquo condotto dallo stesso punto alla stessa retta. P

PH

H

A

◗ Per dimostrare il teorema si considera il triangolo APH, rettangolo in H perché PH è perpendicolare a r. PH è un cateto e PA è l’ipotenusa, quindi PH ⬍ PA.

PA

r

Il teorema precedente ci porta alla seguente definizione. DEFINIZIONE

◗ Se vuoi attraversare una strada, qual è il percorso più breve che puoi scegliere?

Distanza di un punto da una retta P

La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto stesso e il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta.

H

r

■ L’asse di un segmento DEFINIZIONE

Asse di un segmento Si chiama asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio.

asse di AB

A

B

2. Le rette parallele ■ Le rette tagliate da una trasversale Consideriamo nel piano due rette r e s e una terza retta t detta trasversale, che interseca le prime due. Le tre rette individuano nel piano otto angoli. Questi angoli vengono denominati a seconda della loro posizione rispetto alla trasversale e alle altre due rette. In particolare sono chiamati interni gli angoli compresi fra le due rette r e s, esterni gli altri (figura a).

esterni

t s interni r

a

esterni

71

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

t s

alterni r b

Gli angoli alterni sono da parti opposte rispetto alla trasversale t ma entrambi interni o esterni (figura b). Gli angoli corrispondenti sono dalla stessa parte della trasversale t, uno interno e l’altro esterno (figura c). Gli angoli coniugati sono entrambi interni (o esterni) dalla stessa parte della trasversale t (figura d). t In sintesi 2 1 s interni: (4; 6), (3; 5); 3 4 Alterni esterni: (1; 7), (2; 8).

冦

t s

corrispondenti r c

Corrispondenti: (1; 5), (2; 6), (4; 8), (3; 7). interni: (4; 5), (3; 6); Coniugati esterni: (1; 8), (2; 7).

6 5 7 8

冦

r

■ Le rette parallele t s

coniugati

DEFINIZIONE

Rette parallele

r

t≡u

s

Due rette sono parallele quando non hanno alcun punto in comune oppure quando coincidono.

r d

LA DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO Una dimostrazione per assurdo segue il seguente procedimento: ●

●

●

si suppone falsa la tesi, cioè si considera vera la sua negazione; sulla base di tale verità si fanno deduzioni come nelle dimostrazioni dirette; a un certo punto si giunge a un risultato contraddittorio, ossia alla negazione di qualche teo-

●

rema dimostrato in precedenza, o alla negazione di un postulato o della stessa ipotesi; risultato che, per questo motivo, chiamiamo assurdo; dalla contraddizione ottenuta è possibile dedurre che la tesi è vera.

La figura 3 illustra i passi logici della dimostrazione per assurdo. Useremo questo schema nella dimostrazione del prossimo teorema. 䉲

ipotesi

tesi

FALSA

negazione della tesi

teoremi già dimostrati o postulati

G

72

Figura 3

VERA

VERA

deduzioni

risultato assurdo

tesi

VERA

Paragrafo 2. Le rette parallele

TEORIA

■ Il teorema delle rette parallele TEOREMA

Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele.

t α≅β r

α β

r

s

s

Ipotesi ␣ ⬵ ␤.

Tesi r 兾兾 s. t

Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che la tesi sia falsa, cioè che le rette r e s non siano parallele ma si incontrino in un punto C.

DIMOSTRAZIONE

r

B

C

β

Osservando il triangolo ABC e applicando a esso il teorema dell’angolo esterno a un triangolo, concludiamo che ␤ è maggiore di ␣. Siamo giunti a contraddire l’ipotesi che diceva ␣ ⬵ ␤, dobbiamo quindi ritenere falsa la supposizione iniziale.

α s

A

Allora r e s non possono intersecarsi, esse pertanto risultano parallele. Più in generale, scriviamo il seguente criterio per il parallelismo. TEOREMA

◗ Una qualsiasi delle ipotesi è una condizione sufficiente per il parallelismo delle rette.

Se due rette, incontrandone una terza, formano: ● ● ●

angoli alterni (interni o esterni) congruenti, oppure angoli corrispondenti congruenti, oppure angoli coniugati (interni o esterni) supplementari,

allora le due rette sono parallele. Per la dimostrazione basta notare che in ogni caso possiamo ricondurci a quello degli angoli alterni interni (figura 4). 䉲

t r

t r

t r

α β'

s

a. Gli angoli alterni esterni e gli angoli alterni interni sono opposti al vertice: se sono congruenti i primi, lo sono anche i secondi.

s

β

Figura 4

α β

β'

s

b. Se gli angoli corrispondenti α e β c. Se gli angoli coniugati α e β sono sono congruenti, lo sono anche α e β', supplementari, α e β' sono congruenti: ˆ perché β e β' sono opposti al vertice. infatti α + β = Pˆ e β' + β = P.

73

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

Corollario. Due rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele.

r

Infatti, nella figura a lato, le due rette a e b formano con r angoli corrispondenti congruenti, in quanto retti, quindi le rette sono parallele.

a

b

䉲

■ La parallela per un punto a una retta L’esistenza di una parallela a una retta data e passante per un punto fissato è dovuta al fatto che è sempre possibile costruire una coppia di angoli alterni interni congruenti. Infatti, disegnato un angolo ␣, si può sempre costruire un angolo ␤, congruente ad ␣, alterno interno di ␣.

Figura 5 Costruzione. P

P

Q

P β

A

A

α

α

a. Dati una retta r e un punto P fuori di essa, tracciamo una qualsiasi retta obliqua a r passante per P. Chiamiamo A il punto di intersezione con r. Consideriamo l’angolo acuto α di vertice A.

A

B

α

B

r

r

b. Con apertura uguale a PA, disegniamo due archi, uno di centro P e uno di centro A. Quest’ultimo interseca la retta r nel punto B.

r

c. Con centro in A e apertura BP, tracciamo un arco che interseca nel punto Q l’arco di centro P e raggio PA. I due triangoli APQ e PAB sono congruenti per il terzo criterio, quindi α ≅ β; inoltre α e β sono alterni interni delle rette r e QP, tagliate dalla trasversale AP. Pertanto QP è la parallela a r cercata.

L’unicità della parallela per un punto a una retta data non si può invece dedurre dalle proprietà finora esaminate e deve essere accettata come postulato. Esso è storicamente noto come il quinto postulato di Euclide o postulato delle parallele. ◗ Per la precisione, questa formulazione del postulato va attribuita a Proclo (V secolo d.C.).

POSTULATO

Quinto postulato di Euclide Data una retta e un punto fuori di essa, è unica la retta passante per quel punto e parallela alla retta data.

s

P

r

■ L’inverso del teorema delle rette parallele Vale anche il teorema inverso del teorema delle rette parallele. TEOREMA

Se due rette sono parallele, formano con una qualunque trasversale due angoli alterni interni congruenti.

t

r

s

r

α β

α≅β

G

74

s

Paragrafo 2. Le rette parallele

TEORIA

IL QUINTO POSTULATO E LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE L’enunciato di Euclide, equivalente a quello di Proclo, con i termini da noi usati può essere scritto nella seguente forma: «Due rette tagliate da una trasversale si incontrano dalla parte dove si formano angoli coniugati interni la cui somma è minore di due angoli retti» (figura a). Questo postulato è diventato famoso perché nel corso dei secoli, vista l’impossibilità della sua dimostrazione, si è cercato di costruire una geometria indipendente da esso. Nella prima metà del secolo scorso alcuni grandi matematici (Lobacevskij, Bolyai, Riemann, Klein...) hanno dimostrato l’esistenza di più geometrie in cui sono validi tutti i

postulati di Euclide, tranne il quinto. Tali geometrie si chiamano, appunto, non euclidee. Vista la complessità dell’argomento, forniamo in questa scheda solo un’idea intuitiva della geometria di Lobacevskij, mediante un modello. Il piano è rappresentato dai punti interni a una circonferenza e le rette sono corde del cerchio (esclusi i punti estremi). Il quinto postulato in questo modello non è valido. Infatti per il punto P della figura passano infinite rette che non intersecano la retta r, quindi per un punto passano infinite parallele a una retta data (figura b). a

b

r β

P

α α + β < Pˆ

a

b

Più in generale, tenendo conto delle osservazioni fatte in precedenza, possiamo affermare che: TEOREMA

Se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale: ● ● ●

angoli alterni (interni o esterni) congruenti, e angoli corrispondenti congruenti, e angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

Corollario 1. Date due rette parallele, se una retta è perpendicolare a una di esse, è perpendicolare anche all’altra. Osservando la figura 6 è anche possibile dimostrare la seguente proprietà. Corollario 2. Due rette perpendicolari a due rette incidenti sono anch’esse incidenti. Figura 6 Le rette a e b si incontrano in C. Vogliamo dimostrare che le rette a esse perpendicolari, p e q, sono incidenti. Gli angoli ␣ e ␤ sono coniugati di p e q rispetto alla trasversale AB e sono acuti in quanto parti di angoli retti. La loro somma non è un angolo piatto, come è richiesto nel caso delle rette parallele, quindi p e q sono incidenti.

䉳

C p

a

A B

α

q

β

◗ Qui ragioniamo per assurdo: se le rette p e q fossero parallele, la somma di ␣ e ␤ sarebbe un angolo piatto. Poiché non lo è, le rette sono incidenti.

b

75

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

ESPLORAZIONE: GEOMETRIA PER GLI OCCHI colori), è evidente che anche un piccolo disturbo di questa zona comporta sensibili variazioni nella qualità della visione. È quindi importante poter disporre di tecniche adeguate alla rilevazione precoce di una malattia della macula, ossia di una maculopatia. Uno degli strumenti più utilizzati è il reticolo di Amsler: una griglia definita da un insieme di linee parallele e perpendicolari che formano tanti quadrati uguali tra loro. Il paziente deve indossare gli occhiali da lettura (se utilizzati), coprirsi un occhio e fissare il puntino al centro del reticolo da una distanza di 35 cm. 䉱

Come può contribuire la geometria alla salute degli occhi?

La retina è il tessuto nervoso che riveste la parte interna posteriore dell’occhio e che converte gli stimoli luminosi ricevuti in impulsi elettrici. Questi vengono trasportati lungo le fibre del nervo ottico fino al cervello, che li decodifica e fornisce la percezione dell’immagine. La zona centrale della retina è chiamata macula e permette di distinguere i dettagli più fini delle immagini. Le parti più esterne della retina, invece, sono responsabili della visione laterale o periferica e permettono di vedere tutto ciò che si trova intorno al punto che stiamo fissando, anche in condizioni di scarsa luminosità. Poiché dalla macula dipendono alcune abilità importanti (come la capacità di distinguere i volti, i caratteri della scrittura, i dettagli e le sfumature dei

䉱 Visione corretta del reticolo di Amsler.

䉱 Visione di un paziente affetto da maculopatia.

Se le linee circostanti non appaiono tutte diritte, o i quadrati non risultano tutti uguali, o in alcune zone manca la percezione del parallelismo, ci sono problemi alla macula.

IN CINQUE SLIDE

Triangolo di Kaniszka. Si tratta di 3 dischi neri privi di un settore circolare di 60 gradi. Il triangolo non c’è, ma si vede.

䉱

Non sempre la percezione della realtà è corretta e univoca. A volte «vediamo» quello che non c’è, altre volte «non vediamo» quello che c’è. Può capitare infine di guardare un’immagine e darle significati diversi. Questi «passi falsi» della visione, detti illusioni ottiche, non derivano da una patologia oculare, ma dal nostro modo di percepire gli oggetti. Cerca in Internet qualche esempio di illusione ottica collegato alla geometria e in particolare alle rette parallele. Realizza una presentazione multimediale.

䉱 Questa illusione ottica è chiamata «del muro del caffè», perché fu notata per la prima volta sul muro di un caffè di Bristol che aveva una parete decorata con mattonelle bianche e nere disposte in questo modo.

Cerca nel web: illusioni ottiche, rette parallele.

G

76

Paragrafo 2. Le rette parallele

TEORIA

■ La proprietà transitiva del parallelismo delle rette Enunciamo, senza dimostrarlo, il seguente teorema. TEOREMA

b

Due rette parallele a una terza retta sono parallele fra loro.

r

Dal teorema precedente si ricava che per le rette parallele vale la proprietà transitiva. Infatti, se è vero che a 兾兾 b e b 兾兾 c, le rette a e c sono entrambe parallele a b, quindi sono parallele fra loro, ossia a 兾兾 c. Corollario. Due rette a ′ e b′, che siano rispettivamente parallele a due rette a e b incidenti, sono anch’esse incidenti (figura 7).

a a // r b // r a // b

Figura 7 a e b sono incidenti. b′ è parallela a b, a′ è parallela ad a. b′ non può essere parallela ad a′, altrimenti si avrebbe a 兾兾 a′, a′ 兾兾 b′, b′ 兾兾 b, e quindi, per la proprietà transitiva, si avrebbe a 兾兾 b. Questa condizione è contro l’ipotesi, pertanto a′ e b′ sono incidenti.

䉳

a b a' b'

Con ragionamenti analoghi a quelli utilizzati per la proprietà transitiva del parallelismo, si dimostra che, date due rette parallele, se una terza retta incontra una delle due allora incontra anche l’altra.

RETTE PARALLELE E DIREZIONE Nell’insieme delle rette di un piano la relazione di parallelismo gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, quindi è una relazione di equivalenza. Suddividiamo allora l’insieme delle rette di un piano in classi di equivalenza. Ogni classe contiene tutte le rette parallele fra loro. L’insieme di tutte le rette appartenenti a una classe viene anche detto fascio di rette parallele o fascio improprio di rette. Come rappresentante di una classe scegliamo una retta qualunque di quella classe:

essa ha in comune con tutte le altre rette della stessa classe una caratteristica: la direzione. L’insieme quoziente è quindi l’insieme di tutte le possibili direzioni delle rette di un piano.

■ Le proprietà degli angoli con i lati paralleli DEFINIZIONE

Lati concordi, lati discordi In due angoli con i lati paralleli, si dicono concordi i lati paralleli che giacciono dalla stessa parte rispetto alla retta che congiunge i vertici. In caso contrario i lati si dicono discordi.

lati concordi V O

◗ Può accadere che due angoli abbiano due lati paralleli concordi e gli altri due discordi.

lati discordi

77

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

TEOREMA

Angoli con i lati paralleli Due angoli che hanno i lati paralleli possono essere congruenti o supplementari: ● sono congruenti se entrambi i lati paralleli sono concordi (oppure discordi); ● sono supplementari se due lati paralleli sono concordi e gli altri due discordi. 䉲

DIMOSTRAZIONE

Figura 8 d β

V O

b γ V

b γ

c α

a d b. Gli angoli hanno i lati paralleli discordi. α ≅ γ perché corrispondenti delle parallele a e c tagliate da b, γ ≅ β perché alterni interni delle parallele b e d tagliate da c; per la proprietà transitiva: α ≅ β. O

a a. Gli angoli hanno i lati paralleli concordi. α ≅ γ perché angoli corrispondenti delle rette parallele a e c tagliate dalla trasversale b, γ ≅ β perché corrispondenti delle parallele b e d tagliate da c; per la proprietà transitiva: α ≅ β.

V β

β

c α

b

d

α

γ a c c. Gli angoli hanno due lati paralleli e concordi (a e d) e due paralleli e discordi (b e c). β è supplementare di γ perché coniugati delle parallele a e d tagliate da c, γ ≅ α perché corrispondenti delle parallele b e c tagliate da a, quindi β è supplementare di α. O

3. Le proprietà degli angoli dei poligoni ■ Il teorema dell’angolo esterno (somma) TEOREMA

Teorema dell’angolo esterno In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti a esso. ^

Ipotesi 1. ABC è un triangolo; ^ 2. C e è l’angolo esterno di vertice C. Figura 9 Costruzione. Disegniamo la retta s passante per C e parallela alla retta r che contiene AB. La retta s divide l’angolo ^ ^ esterno C e nei due angoli C 1 ^ e C 2. 䉴

G

78

^

^

Tesi C e ⬵ A ⫹ B .

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo la costruzione di fi^ ^ gura 9. Gli angoli A e C 1 sono corrispondenti delle rette parallele r e s tagliate dalla trasversale AC, quindi essi sono congruenti per l’inverso del teorema delle rette parallele.

C

ˆ A A

Cˆ 1 Cˆ e

Cˆ 2

s

Bˆ B

r

Paragrafo 3. Le proprietà degli angoli dei poligoni

^

TEORIA

^

Gli angoli B e C 2 sono alterni interni delle stesse parallele tagliate dalla trasversale BC, quindi sono congruenti, ancora per l’inverso del teorema delle rette parallele. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Poiché C e ⬵ C 1 ⫹ C 2 , A ⬵ C 1 , B ⬵ C 2 possiamo dedurre che C e ⬵ A ⫹ B .

■ La somma degli angoli interni di un triangolo TEOREMA

La somma degli angoli interni di un triangolo La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è congruente a un angolo piatto. Corollario 1. In ogni triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari.

◗ Questo teorema è conseguenza diretta del teorema precedente, poiché ^ ^ ^ ^ Ce ⬵ A ⫹ B e Ce è supplementare dell’angolo inter^ no C.

Corollario 2. Ogni angolo di un triangolo equilatero è la terza parte di un angolo piatto. Corollario 3. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi. (Secondo criterio di congruenza dei triangoli generalizzato.)

C

^

Cı

X

^

^

^

^

^

^

^

A ⫹ B ⫹ C ⬵ P ⬵ A′ ⫹ B ′ ⫹ C ′, ^

^

dunque risulta B ⬵ B ′. Pertanto ABC ⬵ A′B′C′ per il secondo criterio.

B

X

A

^

Figura 10 Gli angoli congruenti C e C ′ non sono adiacenti ai lati (congruenti) AB e A′B′. Sappiamo però che

䉳

Aı

◗ In seguito, parlando di secondo criterio, ci riferiremo a questo enunciato. In questa forma generale, in cui non si richiede che gli angoli siano adiacenti al lato, il criterio risulta facilmente applicabile.

Bı

■ La somma degli angoli interni di un poligono convesso TEOREMA

In un poligono convesso di n lati, la somma degli angoli interni è congruente a (n ⫺ 2) angoli piatti.

2 1

3 4

6 lati a. Un poligono di 6 lati viene scomposto in 4 triangoli.

2

3

1

3 2

4 5

7 lati b. Un poligono di 7 lati viene scomposto in 5 triangoli.

4 5

1

䉳 Figura 11 Un poligono di n lati viene diviso dalle diagonali che partono da ogni vertice in n ⫺ 2 triangoli, quindi la somma degli angoli ^ interni è (n ⫺ 2)P .

6 8 lati

c. Un poligono di 8 lati viene scomposto in 6 triangoli.

79

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

■ La somma degli angoli esterni di un poligono convesso ◗ La somma degli angoli esterni non dipende dal numero dei lati del poligono considerato. In particolare, se il poligono è un triangolo, il teorema è ancora valido. In ogni triangolo la somma degli angoli esterni è congruente a un angolo giro.

TEOREMA

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è congruente a un angolo giro.

D

E

C

A

䉳 Figura 12 Ogni angolo esterno insieme al proprio angolo interno forma un angolo piatto. Quindi la somma degli angoli interni ^ ed esterni, essendo n i vertici, vale nP . Poiché ^ la somma degli angoli interni vale (n – 2)P, la somma degli esterni è n – (n – 2) = n – n + 2 = 2 angoli piatti.

B

ANGOLI ESTERNI E CAMBIO DI DIREZIONE Il teorema della somma degli angoli esterni di un poligono convesso è collegato alla vita quotidiana in modo molto immediato.

B

C

Immagina un’aiuola pentagonale convessa e poi prova a pensare di camminare attorno a essa, lungo il suo recinto. Se parti dal punto A, quando arrivi in B, per seguire il lato BC, devi cambiare direzione. Per fare ciò devi ruotare su te stesso di un angolo che è proprio l’angolo esterno di vertice B. Ogni angolo esterno rappresenta dunque il cambiamento di direzione necessario per seguire il percorso. Una volta tornato al punto di partenza, nella stessa posizione, cioè con direzione AB, hai ruotato complessivamente su te stesso di un angolo giro.

A

D E

4. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli ◗ Se due triangoli sono rettangoli, hanno senz’altro l’angolo retto congruente, pertanto è più facile stabilire se sono congruenti. Basta infatti trovare, oltre all’angolo retto, altri due elementi che siano rispettivamente congruenti (e non tre, come avviene per i triangoli in generale).

G

80

TEOREMA

Primo criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti. TEOREMA

Secondo criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente un cateto e un angolo acuto corrispondenti.

Paragrafo 5. Il parallelogramma

TEORIA

TEOREMA

Terzo criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l’ipotenusa e un angolo acuto.

a. Primo criterio. I triangoli hanno congruenti due lati (i cateti) e l’angolo fra essi compreso (l’angolo retto), quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

b. Secondo criterio. I triangoli hanno congruenti due angoli (uno acuto e l’altro retto) e un lato (il cateto), quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza.

c. Terzo criterio. I triangoli hanno congruenti due angoli (uno acuto e l’altro retto) e un lato (l’ipotenusa), quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. 䉱 Figura 13 I primi tre criteri di congruenza dei triangoli rettangoli.

Si può inoltre dimostrare il seguente teorema. TEOREMA

Quarto criterio Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l’ipotenusa e un cateto.

C

C'

B B'

A

A'

ABC ≅ A'B'C'

5. Il parallelogramma DEFINIZIONE

Parallelogramma

D

C

Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli.

◗ Parallelogramma è una parola composta che deriva dai termini greci parállelos (parallelo) e grammé (linea).

A B ABCD parallelogramma

■ Le proprietà dei parallelogrammi Nel teorema seguente esaminiamo cinque condizioni necessarie affinché un quadrilatero sia un parallelogramma.

81

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

TEOREMA

Condizioni necessarie Se un quadrilatero è un parallelogramma allora: ● ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti; ● i lati opposti sono congruenti; ● gli angoli opposti sono congruenti; ● gli angoli adiacenti a ogni lato sono supplementari; ● le diagonali si incontrano nel loro punto medio. D

C M

A

Ipotesi ABCD è un parallelogramma. Tesi 1. ABD ⬵ BCD e ABC ⬵ ACD; 2. AD ⬵ BC e AB ⬵ CD; ^ ^ ^ ^ 3. A ⬵ C e B ⬵ D ; ^ ^ ^ ^ ^ ^ 4. A ⫹ B ⬵ P e C ⫹ D ⬵ P ; 5. AM ⬵ MC e BM ⬵ MD.

B

D

C

A

Dimostriamo la tesi 1. Consideriamo il parallelogramma ABCD e tracciamo la diagonale BD (fi^ ^ gura a). Gli angoli AB D e BD C sono alterni interni delle rette parallele ^ ^ AB e CD tagliate dalla trasversale BD, quindi AB D ⬵ BD C.

B

a D

C

A

DIMOSTRAZIONE

B

^

^

Gli angoli AD B e DB C (figura b) sono alterni interni delle rette parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD, quindi sono congruenti. ^

b

^

^

^

I triangoli ABD e BCD hanno: AD B ⬵ DB C, AB D ⬵ BD C, il lato BD in comune; quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. Tracciando in modo analogo la diagonale AC deduciamo che anche i triangoli ACD e ABC sono congruenti. Dimostriamo la tesi 2. Dalla congruenza dei triangoli ABD e BCD deduciamo che AB ⬵ CD e AD ⬵ BC, pertanto i lati opposti del parallelogramma sono congruenti. Dimostriamo la tesi 3. ^ ^ I triangoli ABD e BCD sono congruenti, quindi A ⬵ C. ^ ^ Anche i triangoli ABC e ACD sono congruenti, quindi B ⬵ D . Pertanto gli angoli opposti del parallelogramma sono congruenti. D

C

A

B

c

D

C M

A d

G

82

B

Dimostriamo la tesi 4. ^ ^ Gli angoli A e B (figura c) sono coniugati interni delle rette parallele AD e BC, tagliate dalla trasversale AB, quindi sono supplementari. Un ragionamento analogo vale anche per gli altri angoli adiacenti ai lati, che pertanto risultano supplementari. Dimostriamo la tesi 5. Consideriamo i triangoli ABM e DCM (figura d ). Per essi si ha: ● AB ⬵ CD, per la tesi 2; ^ ^ ● BAM ⬵ MC D, alterni interni delle parallele AB e DC tagliate dalla trasversale AC;

Paragrafo 6. Il rettangolo, il rombo, il quadrato

^

TEORIA

^

ABM ⬵ MD C, per le stesse parallele tagliate dalla trasversale DB. Quindi sono congruenti per il secondo criterio. In particolare, hanno AM ⬵ MC e BM ⬵ MD, perciò nel parallelogramma le diagonali si intersecano nel loro punto medio. ●

Vale inoltre il seguente criterio per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma. Esso fornisce quattro condizioni sufficienti, e indipendenti fra loro, affinché un quadrilatero sia un parallelogramma. TEOREMA

Se un quadrilatero ha: ● i lati opposti congruenti, oppure ● gli angoli opposti congruenti, oppure ● le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, oppure ● due lati opposti congruenti e paralleli, allora è un parallelogramma.

6. Il rettangolo, il rombo, il quadrato ■ Il rettangolo DEFINIZIONE

Rettangolo

D

Un rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti.

A

C

B ABCD rettangolo

Poiché gli angoli adiacenti a un lato di un parallelogramma sono supplementari, ogni angolo di un rettangolo è un angolo retto. Di conseguenza, per affermare che un parallelogramma è un rettangolo è sufficiente dimostrare che ha un angolo retto.

◗ Se due angoli sono supplementari e congruenti, ognuno è un angolo retto.

Le proprietà del rettangolo TEOREMA

Un rettangolo ha le diagonali congruenti.

D

C

Il teorema precedente è invertibile, cioè vale il seguente criterio per stabilire se un parallelogramma è un rettangolo. TEOREMA

A

B

AC ≅ BD

Un parallelogramma avente le diagonali congruenti è un rettangolo. Ne deriva inoltre il seguente teorema. TEOREMA

In un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

83

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

D

■ La distanza fra rette parallele

C

A

B

H

K

Figura 14 AK e CH sono le altezze di ABCD.

Poiché si può dimostrare che, date due rette parallele, ogni punto di ciascuna retta ha la stessa distanza dall’altra, possiamo chiamare distanza fra due rette parallele la distanza di un qualsiasi punto di una retta dall’altra retta. In un parallelogramma, preso un lato come base, l’altezza è la distanza fra il lato opposto alla base e la retta contenente la base.

■ Il rombo

䉱

DEFINIZIONE

Rombo ◗ Rombo deriva dal termine greco rhómbos, che indicava una trottola a forma di rombo.

D

C

Un rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti.

ABCD rombo A

B

Per il rombo sono valide tutte le proprietà del parallelogramma. Con queste proprietà possiamo giustificare il procedimento (figura 11 nel paragrafo 4 del capitolo G1) per la determinazione del punto medio di un segmento. Esso si basa sulla costruzione di un rombo che ha una delle diagonali coincidente con il segmento, mentre l’altra interseca il segmento nel punto medio: infatti nel rombo, come in tutti i parallelogrammi, le diagonali si tagliano scambievolmente a metà. D

Le proprietà del rombo TEOREMA

A

M

C

B AC ⬜ BD; AC e BD sono bisettrici degli angoli.

Un rombo ha le diagonali che sono perpendicolari fra di loro e bisettrici degli angoli. Vale anche il seguente criterio per stabilire se un parallelogramma è un rombo. TEOREMA

Se un parallelogramma ha: ● le diagonali perpendicolari, oppure ● le diagonali che sono bisettrici degli angoli, allora è un rombo.

■ Il quadrato ◗ Dalla definizione si deduce che un quadrato è un rettangolo e un rombo.

G

84

DEFINIZIONE

Quadrato Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti.

D

C

ABCD quadrato A

B

Paragrafo 7. Il trapezio

TEORIA

Le proprietà del quadrato TEOREMA

Un quadrato ha le diagonali congruenti; esse sono perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli. Vale inoltre il seguente criterio per stabilire se un parallelogramma è un quadrato.

◗ Poiché il quadrato è sia un rettangolo, sia un rombo, per la dimostrazione di questo teorema basta fare riferimento alle proprietà di queste due figure.

TEOREMA

Se un parallelogramma ha: ● le diagonali congruenti e perpendicolari, oppure ● le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo, allora è un quadrato.

7. Il trapezio DEFINIZIONE

Trapezio Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati paralleli.

altezza

D

lato A

H

base minore C lato

B base maggiore

ABCD trapezio

I due lati paralleli si chiamano basi; una è la base maggiore, l’altra la base minore. I due lati obliqui, non paralleli, vengono anche chiamati semplicemente lati del trapezio. La distanza fra le due basi è l’altezza del trapezio.

◗ Gli angoli adiacenti a un lato del trapezio sono coniugati interni, quindi supplementari.

DEFINIZIONE

D

Trapezio isoscele Un trapezio isoscele è un trapezio avente i lati obliqui congruenti.

D

C

C

B A ABCD trapezio isoscele

A

B

DEFINIZIONE

Trapezio rettangolo Un trapezio rettangolo è un trapezio avente uno dei lati perpendicolare alle basi.

D

C

A B ABCD trapezio rettangolo

◗ Il lato perpendicolare alle basi rappresenta l’altezza del trapezio.

85

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

D

■ Il teorema del trapezio isoscele

C

TEOREMA

A a

K

H

D

C

B

In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti. Ipotesi 1. ABCD è un trapezio; 2. AD ⬵ BC.

^

^

Tesi 1. A ⬵ B ; ^ ^ 2. C ⬵ D.

Tracciamo le altezze CH e DK (figura a). Il quadrilatero KHCD ha, per costruzione, gli angoli retti, quindi è un rettangolo, pertanto DK ⬵ CH. DIMOSTRAZIONE

A b

c

K

H

D

C

A

B

B

◗ Corollario. In un trapezio isoscele, gli angoli opposti sono supplementari.

I triangoli rettangoli AKD e HBC (figura b) sono congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, in quanto: ● AD ⬵ BC per ipotesi; ● DK ⬵ CH per la deduzione precedente. ^ ^ In particolare, sono congruenti gli angoli A e B . ^ ^ ^ ^ L’angolo D è supplementare di A e l’angolo C è supplementare di B (figu^ ^ ra c), quindi i due angoli C e D , supplementari di due angoli congruenti, sono congruenti.

■ L’inverso del teorema del trapezio isoscele TEOREMA

Se in un trapezio gli angoli adiacenti a una delle basi sono congruenti, il trapezio è isoscele.

8. Le corrispondenze in un fascio di rette parallele DEFINIZIONE

◗ Per rappresentare un fascio improprio di rette, solitamente disegniamo tre o quattro rette parallele, anche se in realtà le rette del fascio sono infinite.

Fascio improprio di rette Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele a una retta data.

C

r

B

t C'

c

B' b

䉴 Figura 15 Sono corrispondenti i punti A e A′, B e B′, C e C′. I segmenti AB e A′B′, BC e B′C ′ sono corrispondenti.

G

86

A

trasversale

A' a

Una retta che interseca una retta del fascio le interseca tutte. Essa è detta trasversale del fascio. Quando le trasversali sono più di una, i punti in cui ogni retta del fascio interseca le trasversali sono detti corrispondenti. I segmenti corrispondenti sono quelli che hanno per estremi punti corrispondenti.

Paragrafo 8. Le corrispondenze in un fascio di rette parallele

TEORIA

Si possono dimostrare i seguenti teoremi.

■ Il teorema del fascio di rette parallele TEOREMA

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale. r C B A

s

r c

C' B'

b A' a

s

C

c

C'

B

b

B'

A' a

A

C c X

Corollario. Se in un triangolo tracciamo la retta passante per il punto medio di un lato e parallela a un altro lato, essa incontra anche il terzo lato nel suo punto medio. Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo

M

N b

X

B a

A

TEOREMA

Se in un triangolo si congiungono i punti medi di due lati, il segmento ottenuto è parallelo al terzo lato e congruente alla metà di esso.

C M A

N B

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

Il metodo del falegname

Nel sito:

䉴 Scheda di lavoro

Un falegname deve dividere un righello di legno in sette parti uguali e ha a disposizione solo una riga non graduata e un compasso. Come procede? GABRIELE: LUCIA: GABRIELE:

«Se chiedesse di dividerlo in 2 parti uguali, sarei capace…». «Certo, basterebbe costruire con riga e compasso il punto medio del segmento corrispondente». «Quindi saremmo anche in grado di dividere un segmento in 4, 8, 16, … parti congruenti. Ma sette, come si fa?».

䉴 Prendi un segmento AB e una semiretta Ar. Partendo da A, su r riporta 7 segmenti congruenti. Che cosa usi? Disegna poi delle rette parallele che permettano di sfruttare il teorema del fascio…

87

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

9. Rette, piani, poliedri ■ La posizione di due rette nello spazio Se due rette nello spazio appartengono a uno stesso piano, si dicono complanari; in caso contrario, si dicono sghembe.

rette sghembe

rette incidenti

Se le rette sono complanari, le posizioni possibili sono quelle già studiate nel piano, cioè le rette possono essere incidenti o parallele.

Figura 16 Le rette complanari possono essere incidenti o parallele. Rette che giacciono su piani diversi sono sghembe. 䉴

rette parallele

■ La posizione di due piani nello spazio Due piani distinti aventi in comune una retta si dicono incidenti (figura a). Due piani sono paralleli se non hanno punti in comune o se sono coincidenti (figura b). La relazione di parallelismo fra piani gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, come la relazione di parallelismo fra rette: ●

piani incidenti

●

a

●

proprietà riflessiva: ogni piano è parallelo a se stesso (␣ // ␣); proprietà simmetrica: se ␣ // ␤, è anche ␤ // ␣; proprietà transitiva: se ␣ // ␤ e ␤ // ␥, allora ␣ // ␥.

■ La posizione di una retta e di un piano nello spazio Dati una retta e un piano, sono possibili tre casi: ●

●

piani paralleli b 䉲

●

tutti i punti della retta appartengono al piano, ossia essa è giacente sul piano (o appartenente al piano) (figura 17a); la retta ha un solo punto in comune con il piano, ossia è incidente al piano (figura 17b); la retta non ha alcun punto in comune con il piano, ossia è parallela al piano (figura 17c).

Figura 17 r

r r P

B A α α艚r=r a. La retta r è giacente sul piano α.

G

88

α α 艚 r = {P} b. La retta r è incidente al piano α.

α α艚r=∅ c. La retta r è parallela al piano α.

Paragrafo 9. Rette, piani, poliedri

TEORIA

■ Le rette perpendicolari a un piano DEFINIZIONE

Retta perpendicolare a un piano

◗ Una retta incidente ma non perpendicolare a un piano si chiama obliqua.

r

Una retta è perpendicolare a un piano quando è incidente al piano e risulta perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto di incidenza.

α

◗ Il punto di incidenza si chiama piede della perpendicolare.

r α

䉲

r

r

P

Figura 18

s

r H P

K

H α

α

α

β a. Il punto P appartiene al piano.

b. Il punto P non appartiene al piano.

c

Si possono dimostrare le seguenti proprietà. ● Dati un piano ␣ e un punto P, esiste ed è unica la retta passante per il punto e perpendicolare al piano (figura 18a e 18b). ● Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele fra loro (figura 18c). ● Se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli (figura a a lato). ● Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele (figura b a lato).

A

α

B

β

r α // β

a γ

■ La distanza fra due piani paralleli Dati due piani paralleli, si dimostra che una retta perpendicolare a uno di essi è perpendicolare anche all’altro. Inoltre, scelte due rette perpendicolari a due piani paralleli, i segmenti intercettati dai piani su di esse sono congruenti. Definiamo allora come distanza fra due piani paralleli la lunghezza del segmento intercettato dai due piani su una qualunque retta a essi perpendicolare.

a

α β

b a // b

b H

β distanza fra α e β

K

α

䉳

Figura 19

89

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

DEFINIZIONE P

Distanza di un punto da un piano

H

Dati un piano e un punto, la distanza del punto dal piano è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e il piede della perpendicolare al piano passante per il punto. α

Se il punto appartiene al piano, la distanza tra il punto e il piano è nulla. distanza di P da α

■ I diedri e i piani perpendicolari diedro

diedro

Dati nello spazio due semipiani aventi la stessa retta origine, chiamiamo diedro ognuna delle due parti (compresi i semipiani) in cui essi dividono lo spazio. La retta origine dei semipiani si chiama spigolo del diedro e i semipiani si chiamano facce del diedro. DEFINIZIONE

Sezione di un diedro Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano che interseca il suo spigolo.

spigolo

γ

P

α

a

β

b Sezione del diedro

TEOREMA Ipotesi ␥ // ␥′. ^ ^ Tesi xC y ≅ x′C y′.

Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti. DIMOSTRAZIONE Sui lati dell’angolo di vertice C, intersezione fra il diedro e il piano ␥, disegniamo i segmenti CA e CB a piacere (figura 20). Sui lati dell’angolo di vertice C ′, intersezione fra il diedro e il piano ␥′, scegliamo A′ e B ′ in modo che γ' γ C risulti CA ⬵ C ′A′ e CB ⬵ C ′B ′. C' B α A

x 䉴

Figura 20

x'

A'

β

B'

y y'

Le rette CA e C ′A′ sono parallele perché sono le intersezioni del piano ␣ con i piani paralleli ␥ e ␥′.

CC ′A′A è un parallelogramma, in quanto ha i lati opposti congruenti e paralleli; quindi CC ′ è congruente e parallelo a AA′. Analogamente, si dimostra che CC ′B ′B è un parallelogramma; quindi CC ′ è congruente e parallelo a BB ′. Di conseguenza, anche AA′B ′B è un parallelogramma, poiché i lati AA′ e BB′, per la proprietà transitiva, sono paralleli e congruenti tra loro; quindi AB è congruente e parallelo ad A′B ′.

G

90

Paragrafo 9. Rette, piani, poliedri

TEORIA

Consideriamo ora i triangoli ABC e A′B ′C ′: sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, in quanto hanno tutti e tre i lati ordinatamente ^ ^ congruenti; di conseguenza, l’angolo AC B è congruente all’angolo A′C ′B ′. ^ ^ Concludiamo che xC y ⬵ x′C ′y′. Una conseguenza del teorema precedente è che, se intersechiamo un diedro con piani perpendicolari allo spigolo, gli angoli che otteniamo sui piani sono congruenti fra loro. Chiamiamo allora sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano perpendicolare al suo spigolo. Due diedri sono congruenti se sono congruenti le loro sezioni normali.

Sezione normale

Chiamiamo ampiezza di un diedro l’ampiezza della sua sezione normale. Un diedro si dice retto, acuto o ottuso a seconda che la sua sezione normale sia un angolo retto, acuto o ottuso. Possiamo ora dare nello spazio la definizione di piani perpendicolari, analoga alla definizione di rette perpendicolari nel piano.

α

DEFINIZIONE

Piani perpendicolari Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti.

β

α β

Sia r una retta incidente al piano ␣: un piano generico, che passa per r, interseca ␣ in un’altra retta (figura 21a). L’angolo formato dalle due rette dipende dalla scelta del piano variabile e risulta minimo quando il piano è perpendicolare ad ␣. In tal caso, si parla di angolo della retta r con il piano ␣ (figura 21b) e la retta r ′ è la proiezione di r su ␣. r

䉳

r

P

Figura 21

P r'

α

a. Consideriamo l’angolo formato da r con una retta qualsiasi del piano α, passante per P.

α

b. L’angolo della retta r con il piano α è il più piccolo fra gli angoli descritti con la costruzione in a: la retta r' corrispondente è la proiezione ortogonale di r su α.

■ I poliedri Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.

91

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

Poliedro vertice

L

I

F

H

G

Il prisma

E

DEFINIZIONE

D

A B faccia

I poligoni che limitano il poliedro sono detti facce, i lati dei poligoni spigoli, i vertici dei poligoni vertici del poliedro.

Prisma

C spigolo

Si chiama prisma un poliedro in cui due facce sono congruenti, parallele fra loro e con i lati rispettivamente paralleli e in cui le altre facce sono parallelogrammi.

Prisma base

spigolo di base

K

Le facce parallele e congruenti sono dette basi del prisma. Le altre facce sono dette facce laterali. La distanza fra i due piani paralleli su cui giacciono le basi è l’altezza del prisma. Ogni lato di base si chiama anche spigolo di base, gli altri lati dei parallelogrammi si chiamano spigoli laterali. I vertici dei poligoni vengono anche detti vertici del prisma.

β altezza H

α

faccia laterale

spigolo laterale

Le diagonali di un prisma sono quei segmenti che congiungono due vertici non appartenenti alla stessa faccia. Alcuni prismi particolari

Prisma retto

DEFINIZIONE

Prisma retto Un prisma si dice retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. In un prisma retto, le facce laterali sono dei rettangoli e l’altezza coincide con gli spigoli laterali. Un prisma retto si dice regolare quando le sue basi sono poligoni regolari. DEFINIZIONE

Parallelepipedo Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi.

Parallelepipedo

ᏼ c b a

G

92

Si possono dimostrare le seguenti proprietà. ● Le facce opposte di un parallelepipedo, ossia quelle che non hanno vertici in comune, sono congruenti e parallele. ● Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto che le divide in due segmenti congruenti. Un parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli si chiama parallelepipedo rettangolo. Le lunghezze dei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice si dicono dimensioni del parallelepipedo.

Paragrafo 9. Rette, piani, poliedri

TEORIA

Un cubo è un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni congruenti fra loro. Le sue sei facce sono dei quadrati.

■ Gli angoloidi Consideriamo un poligono e un puntoV non appartenente al suo piano. Chiamiamo angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono.

Angoloide V vertice spigolo

Le semirette passanti per i vertici del poligono sono dette spigoli dell’angoloide, l’origine V è il vertice dell’angoloide, gli angoli di vertice V e lati due spigoli consecutivi sono le facce dell’angoloide.

faccia

■ I poliedri regolari Dato un poliedro, a ogni suo spigolo associamo il diedro individuato dalle due facce che contengono quello spigolo; esso è un diedro del poliedro. A ogni vertice del poliedro associamo l’angoloide i cui spigoli contengono quelli del poliedro uscenti da quel vertice: è un angoloide del poliedro. DEFINIZIONE

Poliedro regolare Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti.

Nel piano i poligoni regolari possono avere un qualunque numero di lati. Si può invece dimostrare che nello spazio i poliedri regolari sono soltanto cinque. Il tetraedro regolare è racchiuso da 4 triangoli equilateri, l’ottaedro regolare da 8, l’icosaedro regolare da 20. Il cubo è anche chiamato esaedro regolare, perché è racchiuso da 6 quadrati (in greco héx significa «sei»). Il dodecaedro regolare ha 12 facce pentagonali. 䉲

tetraedro

ottaedro

icosaedro

cubo (esaedro)

Figura 22

dodecaedro

93

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

TEORIA

Il volo delle falene …perché le falene sono attratte dalla luce artificiale?

Per spiegare il comportamento, apparentemente folle, delle falene ci sono varie teorie. Secondo la spiegazione più tradizionale, le farfalle notturne confonderebbero la luce delle nostre lampade con quella della Luna. Per millenni, infatti, prima che l’uomo inventasse l’elettricità e illuminasse artificialmente le tenebre, le falene si sono orientate nei voli notturni solo grazie alla luce della Luna, così distante dalla Terra che i suoi raggi luminosi arrivano a noi come se fossero paralleli fra loro. Sfruttando questa proprietà, è facile per gli insetti volare seguendo una direzione rettilinea: basta tagliare i raggi sempre con lo stesso angolo. Ciò deriva dal fatto che l’inverso del teorema delle parallele afferma che, se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale angoli corrispondenti congruenti. Pertanto, mantenendo nel volo un angolo di incidenza costante con i raggi lunari, le falene potevano assicurarsi di seguire una traiettoria in linea retta, come mostrato nella figura.

–䊳 Il quesito completo a pag. G69

traiettoria rettilinea di volo angoli corrispondenti

Questo sistema «geometrico» di navigazione ha funzionato bene per un lunghissimo arco di tempo. Il problema è sorto quando sono arrivate lampade e lampioni a disturbare l’illuminazione naturale della notte. Infatti, la luce diffonde in tutte le direzioni e, se la sorgente è vicina, è ben evidente che i raggi si distribuiscono in maniera radiale intorno alla sua fonte. Possiamo considerare i raggi del Sole o della Luna paralleli solo in virtù del fatto che le sorgenti sono enormemente lontane da noi. Ma le falene, imbattendosi in una luce artificiale e scambiandola per la luce della Luna, adottano la stessa tattica, con risultati purtroppo infelici. Infatti, tagliando sempre con lo stesso angolo la luce, distribuita a raggiera, non procedono più in linea retta, bensì percorrono una traiettoria a spirale che le

porta ad avvicinarsi al centro, finché non colpiscono la lampada e si bruciano. raggi luminosi

traiettoria di volo a spirale

Le falene, quindi, non sono affatto attratte dalla luce artificiale, come potremmo credere osservando il loro comportamento. In realtà questa illuminazione, secondo questa teoria, rappresenta una trappola spesso fatale.

UNA TEORIA ALTERNATIVA Ci sono scienziati che hanno studiato molto attentamente il volo delle falene e alcuni di loro, negli ultimi anni, hanno proposto ipotesi alternative alla spiegazione che abbiamo qui presentato, considerata a lungo l’unica teoria ragionevole. Secondo alcuni ricercatori, le falene volerebbero verso la luce a causa di un’illusione ottica, un fenomeno noto come banda di Mach, comune a gran parte degli esseri vedenti: davanti a un’accecante sorgente di luce (come per noi può essere il Sole di mezzogiorno e per le falene una lampada) l’occhio percepisce una regione che circonda la luce apparentemente più scura rispetto a tutto il resto intorno. Le falene sono animali che amano l’oscurità, perciò tenderebbero a dirigersi verso questa zona buia finendo in realtà per fare esattamente il contrario. Non c’è ancora accordo unanime su quale sia la spiegazione più fondata.

G

94

La teoria in sintesi

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

Perpendicolari e parallele. Parallelogrammi e trapezi 1. Le rette perpendicolari

2. Le rette parallele

Due rette del piano sono incidenti quando hanno un solo punto in comune. Rette incidenti che, intersecandosi, formano quattro angoli retti sono perpendicolari, altrimenti sono oblique.

Due rette tagliate da una trasversale formano coppie di angoli che, a seconda della posizione, hanno nomi diversi.

rette incidenti

1 2 4 3

alterni

interni: (4; 6), (3; 5) esterni: (1; 7), (2; 8)

corrispondenti: (1; 5), (2; 6), (4; 8), (3; 7) 5 6 8 7 rette oblique

B r B'

proiezione di B proiezione di AB

A'

interni: (4; 5), (3; 6) esterni: (1; 8), (2; 7)

rette perpendicolari

Per proiettare un segmento AB su una retta si considera il segmento che ha per estremi le proiezioni di A e di B sulla retta, ossia i piedi delle perpendicolari condotte da A e da B alla retta stessa.

A

coniugati

proiezione di A

La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta.

Due rette sono parallele quando sono coincidenti o quando non hanno punti in comune. Se due rette formano con una trasversale: ● angoli alterni congruenti, oppure ● angoli coniugati supplementari, oppure ● angoli corrispondenti congruenti, allora sono parallele (teorema delle rette parallele e sue conseguenze). Se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale: ● angoli alterni congruenti; ● angoli coniugati supplementari; ● angoli corrispondenti congruenti (inverso del teorema delle rette parallele e sue conseguenze).

ESEMPIO Nella figura precedente, AA′ rappresenta

la distanza di A dalla retta r, BB′ la distanza di B da r.

95

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

r

r 2 b

4

8ˆ ≅ 2ˆ

b 5

a

8

r

b

4 5

6

4ˆ ≅ 6ˆ

1

2

a

a

7

a b

5ˆ + 4ˆ ≅ Pˆ 7ˆ + 2ˆ ≅ Pˆ

1ˆ ≅ 5ˆ

a b

a b

3. Le proprietà degli angoli dei poligoni Ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti a esso (teorema dell’angolo esterno).

β γ

α

γ≅α+β

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è congruente a (n ⫺ 2) angoli piatti. In particolare, in un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto.

C

A

B

ˆ +B ˆ + Cˆ ≅ Pˆ A

La somma degli angoli esterni di un qualsiasi poligono è congruente a un angolo giro.

4. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti: ● due cateti, oppure ● un cateto e un angolo acuto corrispondenti, oppure ● l’ipotenusa e un angolo acuto, oppure ● l’ipotenusa e un cateto.

G

96

1° AC ≅ A'C' AB ≅ A'B'

C

A C'

B

A'

B'

2° AC ≅ A'C' ˆ ≅ A'C'B' ˆ ACB ABC ≅ A'B'C' 3° CB ≅ C'B' ˆ ≅ A'B'C' ˆ ABC 4° CB ≅ C'B' AB ≅ A'B'

La teoria in sintesi

ESERCIZI

5. Il parallelogramma Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli.

D

In ogni parallelogramma: ● ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti; ● i lati opposti sono congruenti; ● gli angoli opposti sono congruenti; ● gli angoli adiacenti a ogni lato sono supplementari; ● le diagonali si incontrano nel loro punto medio.

C

O

A 1° AB ≅ DC BC ≅ AD ˆ ≅ Cˆ 2° A ˆ ≅D ˆ B

Dato un quadrilatero, esso è un parallelogramma se: i lati opposti sono congruenti, oppure ● gli angoli opposti sono congruenti, oppure ● le diagonali si incontrano nel loro punto medio, oppure ● due lati opposti sono congruenti e paralleli. ●

3° AO ≅ OC BO ≅ OD 4° AB ≅ DC AB DC

B

ABCD è un parallelogramma

6. Il rettangolo, il rombo, il quadrato Un rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti. Ogni angolo del rettangolo è un angolo retto. Le diagonali di un rettangolo sono congruenti. Se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti, allora il parallelogramma è un rettangolo. In un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà dell’ipotenusa. La distanza fra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una delle rette dall’altra retta. D

C ABCD è un parallelogramma

ABCD è un rettangolo

AC ≅ BD

A

B

In un parallelogramma, le altezze sono le distanze fra i lati opposti. D

A

C

H

B

DH rappresenta l’altezza relativa alla base AB, AK quella relativa a BC.

K

97

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

Un rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti.

C

D

In un rombo le diagonali sono: perpendicolari; ● bisettrici degli angoli. ●

Se in un parallelogramma le diagonali sono ● perpendicolari, oppure ● bisettrici degli angoli,

B

A ABCD è un parallelogramma

allora il parallelogramma è un rombo.

AC DB ABCD è un rombo

ˆ e di Cˆ AC bisettrice di A ˆ e di D DB bisettrice di B

Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro angoli e i quattro lati congruenti. In un quadrato le diagonali sono: ● congruenti; ● perpendicolari; ● bisettrici degli angoli. Se in un parallelogramma le diagonali sono ● congruenti e perpendicolari, oppure ● congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo, allora il parallelogramma è un quadrato.

ABCD è un parallelogramma

D

C

A

B

AC ≅ DB AC DB

ABCD è un quadrato

AC ≅ DB ˆ o di Cˆ AC bisettrice di A base minore C

D

7. Il trapezio lati obliqui

Un trapezio è un quadrilatero avente due soli lati paralleli.

A

Un trapezio isoscele è un trapezio avente i lati obliqui congruenti. Un trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti a ciascuna base congruenti. Viceversa è sufficiente che gli angoli adiacenti a una base siano congruenti affinché un trapezio sia isoscele.

D

C

A

B C DA DA

Un trapezio rettangolo è un trapezio in cui uno dei lati è perpendicolare alle basi. A

98

DC AB

AD ≅ BC ˆ ≅ Bˆ A ˆ ≅ Cˆ D

D

G

B

base maggiore

B

AB DC

La teoria in sintesi

ESERCIZI

8. Le corrispondenze in un fascio di rette parallele Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele a una retta data. Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti sull’una corrispondono segmenti congruenti sull’altra.

D C

D'

d

C'

c

B

B'

A

a b c d AB ≅ CD

b

A'

A'B' ≅ C'D'

a

In un triangolo, il segmento con estremi nei punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla metà di esso. C N

AM ≅ MB CN ≅ NB

A

M

●

Due rette nello spazio sono complanari (incidenti o parallele) se appartengono allo stesso piano, altrimenti sono sghembe.

●

incidente al piano, se ha un solo punto in comune con il piano; parallela al piano, se non ha alcun punto in comune con il piano.

Una retta incidente a un piano in un punto P è perpendicolare al piano quando è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per P. In tal caso, P è detto piede della perpendicolare.

rette sghembe

rette parallele

AC 1 AC MN ≅ — 2

B

9. Rette, piani, poliedri

rette incidenti

MN

Due piani nello spazio sono: rette complanari

Una retta nello spazio può essere: ● appartenente a un piano, se tutti i suoi punti appartengono al piano;

● ●

incidenti, se hanno in comune solo una retta; paralleli, se non hanno alcun punto in comune, oppure sono coincidenti.

La distanza fra due piani paralleli è la lunghezza del segmento intercettato dai due piani su una qualunque retta perpendicolare ai due piani.

99

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

rette incidenti al piano retta appartenente al piano

retta perpendicolare al piano P

piede della perpendicolare retta parallela al piano

Un prisma è un poliedro delimitato da due basi che sono poligoni congruenti posti su piani paralleli e da facce laterali che sono parallelogrammi. La distanza fra i piani delle basi è l’altezza del prisma; le diagonali sono segmenti che congiungono due vertici non appartenenti alla stessa faccia. Un prisma è retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi, è regolare quando è retto e le sue basi sono poligoni regolari. Un prisma è un parallelepipedo se anche le basi sono parallelogrammi. prisma

La distanza di un punto da un piano è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto stesso e il piede della perpendicolare al piano condotta da quel punto. distanza di P da ␣

parallelepipedo

P

distanza fra ␣ e ␤

α

prisma retto

β

Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni faccia non attraversi il solido.

Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli. Ha per dimensioni le lunghezze dei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice. Un cubo è un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni congruenti tra loro. Dato un poligono e un punto V non appartenente al suo piano, un angoloide è il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono. Un poliedro è regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi diedri e i suoi angoloidi sono congruenti.

–䊳

1. Le rette perpendicolari

Teoria a pag. G69

■ Le proiezioni ortogonali

■ La distanza di un punto da una retta

1

2

Disegna le proiezioni ortogonali dei tre segmenti AB, CD e GH sulle rette a e b. D

Per ognuno dei punti della figura, disegna un segmento che rappresenti la sua distanza da ognuna delle rette. E

C G H

b

b A

B

C

D

F a

a

B A c

G

100

Paragrafo 2. Le rette parallele

–䊳

2. Le rette parallele

ESERCIZI

Teoria a pag. G71

■ Le rette tagliate da una trasversale 3

Colora due angoli alterni interni in ognuna delle figure.

4

Ricopia ognuna delle figure precedenti e colora due angoli alterni esterni.

5

Ricopia ognuna delle figure precedenti e colora due angoli corrispondenti.

6

Ricopia ognuna delle figure precedenti e colora due angoli coniugati interni.

■ Il teorema delle rette parallele

Nel sito:

䉴 7 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

7

Date due rette incidenti nel punto O, consideriamo su una, da parti opposte rispetto a O, due punti A e B tali che AO ⬵ OB. Analogamente sull’altra consideriamo i punti C e D tali che CO ⬵ OD. Dimostriamo che la retta CA è parallela a BD. Ipotesi 1. AB e CD sono incidenti; 2. AO ⬵ OB; 3. CO ⬵ OD. Tesi CA 兾兾 BD. Dimostrazione I triangoli ACO e BDO hanno: ● AO ⬵ OB per l’ipotesi 2; ● CO ⬵ OD per l’ipotesi 3; ^ ^ ● AO C ⬵ BO D perché opposti al vertice. I triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza.

8

Dato il triangolo ABC, di base AB, prolunga la mediana AM del segmento MD congruente ad AM. Dimostra che: a) DB è parallela ad AC; b) AB è parallela a CD.

9

Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, dimostra che la bisettrice dell’angolo esterno di vertice C è parallela alla base. (Suggerimento. Traccia l’altezza CH, che è anche…)

^

^

Pertanto OCA ⬵ BDO. Questi angoli congruenti sono angoli alterni interni formati dalle rette AC e BD tagliate dalla trasversale CD, quindi, per il teorema delle rette parallele, AC e BD sono parallele. C O A

B D

10 Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. Dal vertice A, nel semipiano individuato dalla retta AB e che non contiene il triangolo, traccia una semiretta che formi con AB un angolo congruente all’angolo interno di vertice A. Dimostra che la semiretta è parallela a CB.

101

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

■ La parallela per un punto a una retta 11 COMPLETA. Per ogni retta della figura, disegna la retta passante per P a essa parallela. P P P

P P

P

■ L’inverso del teorema delle rette parallele Nelle seguenti figure, che rappresentano due rette parallele tagliate da una trasversale, scrivi i numeri relativi a tutti gli angoli congruenti all’angolo ␣. Motiva le tue affermazioni. 12

13 α

14 4

1 3 2

5

7 4 6 5

6

1 3

2 1 2 3

7 α

α

4 5 7 6

Nelle seguenti figure, che rappresentano due rette parallele tagliate da una trasversale, scrivi i numeri relativi a tutti gli angoli supplementari dell’angolo ␤. Motiva le tue affermazioni. 15

16 1 2 3

17 1 4

β

1

2

3 2

3

β β

7 4 6 5

G

102

7

5 6

7 4 6 5

Paragrafo 2. Le rette parallele

ESERCIZI

Applicazioni dell’inverso del teorema delle rette parallele ESERCIZIO GUIDA

18 Dagli estremi di un segmento AB tracciamo due rette parallele. Su tali rette e nei semipiani opposti individuati dalla retta AB consideriamo due punti C e D tali che CA ⬵ BD. Congiungiamo C con D e chiamiamo O il punto di intersezione fra CD e AB. Dimostriamo che O è il punto medio di AB e di CD. Ipotesi 1. CA 兾兾 BD; 2. CA ⬵ BD.

Tesi 1. AO ⬵ OB; 2. CO ⬵ OD.

Dimostrazione C O B

A D

I triangoli OAC e OBD hanno: CA ⬵ BD per l’ipotesi 2; ^ ^ ● ACO ⬵ ODB perché angoli alterni interni formati dalle rette parallele AC e BD tagliate dalla trasversale CD; ^ ^ ● CAO ⬵ DBO perché angoli alterni interni formati dalle rette parallele AC e BD tagliate dalla trasversale AB; quindi i triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e in particolare hanno AO ⬵ OB e CO ⬵ OD. ●

19 Confronta l’esercizio guida precedente con l’esercizio guida 7. Nota le analogie e le differenze. In quale dei due esercizi dalla congruenza di due angoli alterni interni si deduce il parallelismo fra rette? In quale dal parallelismo si deduce la congruenza degli angoli alterni interni? 20 Disegna due rette a e b fra loro parallele. Sulle due rette, scegli due segmenti congruenti AB e CD, AB su a e CD su b. Congiungi A con C e B con D. Dimostra che AC ⬵ BD. 21 Disegna un triangolo isoscele ABC e traccia la retta passante per il vertice C parallela alla base AB. Dimostra che tale retta è bisettrice dell’angolo esterno di vertice C. 22 Confronta l’esercizio precedente con l’esercizio 9. Nota le analogie e le differenze. 23 Dal vertice C del triangolo ABC traccia il segmento CE congruente e parallelo ad AB (con il punto E appartenente al semipiano di origine BC opposto a quello che contiene il punto A). Dimostra che il triangolo CBE è congruente ad ABC. 24 Disegna un triangolo isoscele ABC e poi traccia una retta parallela alla base AB, che incontra i lati obliqui nei punti E ed F. Dimostra che: a) il triangolo CEF è isoscele; b) l’altezza del triangolo ABC rispetto alla base AB e l’altezza del triangolo CEF appartengono alla stessa retta. 25 Dato un triangolo isoscele ABC, traccia una retta parallela alla base AB. Essa incontra il lato AC in E e il lato BC in F. Congiungi E con B e A con F. Dimostra che EB e AF sono congruenti. 26 Da ogni vertice del triangolo ABC traccia la retta parallela al lato opposto. Dimostra che i tre triangoli che si formano sono congruenti al triangolo ABC. 27 Date due rette parallele e tracciate le bisettrici di due angoli alterni interni, dimostra che esse sono parallele.

103

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

3. Le proprietà degli angoli dei poligoni

–䊳

Teoria a pag. G78

■ Il teorema dell’angolo esterno (somma) 28 Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base AB di un segmento BE ⬵ BC. Dimostra che l’angolo ^ ^ ^ ^ A è doppio dell’angolo BEC. (Suggerimento. Indica con ␣ l’angolo BEC. Nel triangolo BEC l’angolo ABC è esterno.) 29 Nel triangolo isoscele ABC prolunga la base AB di un segmento BE ⬵ BC. Congiungi E con C e prolunga ^ ^ tale segmento di un segmento CF scelto a piacere. Dimostra che l’angolo ACF è il triplo dell’angolo AEC. ^ (Suggerimento. Traccia la retta passante per C parallela ad AE, poi indica con ␣ l’angolo AEC.) ^

^

30 Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB in modo che l’angolo A sia doppio dell’angolo al vertice C. La ^ bisettrice AD dell’angolo A divide il triangolo dato in due triangoli, ADC e ABD. Dimostra che i due triangoli sono isosceli. ^

31 Nel triangolo isoscele ABC di base AB prolunga il lato CA di un segmento AE ⬵ AB. Dimostra che EBC è ^ triplo di CEB.

■ La somma degli angoli interni di un triangolo ^

^

32 Disegna un triangolo ABC. Dimostra che la somma dei complementari degli angoli A e B è congruente ^ all’angolo C. ^ ^

^

33 Nel triangolo acutangolo ABC, dimostra che la somma dei complementari degli angoli A, B e C è un angolo retto. 34 Disegna un triangolo isoscele ABC. Prolunga la base AB da ambo le parti e chiama ␣′ e ␤′ i due angoli esterni di ^ vertici A e B. Dimostra che la loro somma è congruente alla somma dell’angolo interno C con un angolo piatto. ^

^

^

^

35 Nel triangolo ABC l’angolo A è congruente alla somma di B e C. Dimostra che il triangolo è rettangolo in A. ^

36 Disegna un triangolo ABC e un punto E interno a esso. Dimostra che l’angolo convesso CE B è maggiore ^ dell’angolo A. 37 Nel triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, l’altezza CH relativa ad AB divide ABC in due triangoli rettangoli ACH e CHB. Dimostra che tali triangoli hanno gli angoli congruenti a quelli del triangolo ABC. ^ ^ (Suggerimento. Indica con ␣ l’angolo A e con ␤ l’angolo B. Tieni presente che ␣ e ␤ sono complementari.) 38 Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB e l’altezza AE relativa al lato obliquo BC. Dimostra che l’ango^ ^ lo EAB è metà dell’angolo C.

G

104

Paragrafo 4. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

ESERCIZI

4. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli –

䊳 Teoria a pag. G80

Nel sito:

䉴 6 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

39 Disegniamo un triangolo ABC e la mediana CM, prolungata oltre la base AB. Conduciamo dal vertice A il segmento AF e dal vertice B il segmento BE, entrambi perpendicolari a CM. Dimostriamo che AF ⬵ BE. Dimostrazione I triangoli AMF e BME hanno:

C

F

●

AM ⬵ MB per l’ipotesi 1;

●

AMF ⬵ BME perché opposti al vertice;

●

A

M

B E

^

^

^

^

AFM ⬵ BEF (per l’ipotesi 2 e 3 si formano due angoli retti).

I triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare hanno AF ⬵ BE.

Ipotesi 1. AM ⬵ MB (CM mediana di AB); 2. AF ⊥ CM ; 3. BE ⊥ CM. Tesi

AF ⬵ BE.

40 Dimostra che in ogni triangolo isoscele il punto medio della base ha la stessa distanza dai lati obliqui. 41 Disegna un triangolo ABC e l’altezza CH rispetto alla base AB. Prolunga CH di un segmento HE ⬵ CH. Dimostra che il triangolo AEC è isoscele. 42 Nel triangolo ABC le altezze AH e BK sono congruenti. Dimostra che il triangolo è isoscele sulla base AB. 43 Disegna un segmento AB e il suo punto medio M. Traccia per M una retta r qualunque. Proietta gli estremi del segmento sulla retta r e indica con C la proiezione di A, con E la proiezione di B. Dimostra che AC ⬵ BE. ^

44 Sui lati dell’angolo aOb scegli due segmenti congruenti OA e OB. Traccia per i punti A e B le rette perpendicolari ai lati a cui appartengono. Tali rette si incontrano nel punto E. Dimostra che il punto E appartiene alla bisettrice dell’angolo di partenza. 45 Disegna un triangolo isoscele di base AB e altezza CH. Indica con E un punto qualunque di CH. Dimostra che i triangoli AEC e BEC sono congruenti. 46 In un triangolo ABC di base AB, traccia la retta che congiunge i punti medi dei lati AC e BC. Proietta su tale retta i vertici del triangolo, ottenendo i segmenti AF, CH, BE. Dimostra che AF ⬵ CH ⬵ BE. Nel sito:

䉴 26 esercizi in più su Parallele e perpendicolari

105

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

–䊳

5. Il parallelogramma C

47 Disegna un parallelogramma ABCD, come nella figura a lato. ^ ^ Gli angoli A e B sono coniugati interni, come ^ ^ ^ ^ ^ ^ pure A e C , C e D , B e D. Per ogni coppia di angoli elencata, scrivi quali sono le rette parallele e la relativa trasversale.

ˆe D

Cˆ e

ˆe A

B

a) AB ⬵ AD b) AB ⬵ CD c) AC ⬵ BD d) AB ⬵ BD ^ ^ e) A ⬵ D ^ ^ f) A ⬵ C ^ ^ g) A ⬵ B e ^ ^ h) B e ⬵ De ^ ^ ^ i) A e ⫹ B e ⬵ P ^ ^ ^ l) A e ⫹ C ⬵ P

C

Bˆ e

A

D

A

48 VERO O FALSO? Nella figura è rappresentato un parallelogramma ABCD al quale sono riferite le congruenze elencate a lato. Indica se sono vere o false. D

Teoria a pag. G81

B

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Dimostrazioni ESERCIZIO GUIDA

49 Disegniamo un parallelogramma ABCD e le sue diagonali, che si incontrano in O. Consideriamo i punti E e F (E su OB e F su OD) in modo che OE ⬵ OF. Dimostriamo che i triangoli AEB e CFD sono congruenti. C

D

D

O A

O A

B

a. Disegniamo il parallelogramma ABCD e le sue diagonali, che si incontrano in O.

Osservazione. Poiché ABCD è per ipotesi un parallelogramma possiamo utilizzare nella dimostrazione tutte le proprietà dei parallelogrammi. Dimostrazione I triangoli AEB e CFD hanno: ● AB ⬵ DC perché lati opposti di un parallelogramma;

106

D

C F

E

O B

b. Prendiamo su OB un punto E.

Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma; 2. OE ⬵ OF. Tesi AEB ⬵ CFD.

G

C

A

E B

c. Prendiamo su OD il punto F, in modo che sia OF ≅ OE. Congiungiamo E con A e F con C.

EB ⬵ FD perché differenze di segmenti congruenti (OB ⬵ OD perché le diagonali di un parallelogramma si tagliano scambievolmente a metà; OE ⬵ OF per l’ipotesi); ^ ^ ● ABE ⬵ CDF perché angoli alterni interni delle rette parallele AB e DC (i segmenti AB e DC sono lati opposti del parallelogramma) tagliate dalla trasversale DB ; quindi i triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. ●

Paragrafo 5. Il parallelogramma

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

50 Disegniamo un segmento AC con gli estremi su due rette parallele a e c. Indichiamo con M il punto medio di AC, poi tracciamo una retta passante per M che interseca a e c rispettivamente nei punti B e D. Dimostriamo che ABCD è un parallelogramma. Ipotesi 1. a 兾兾 c; 2. AM ⬵ MC.

Tesi ABCD è un parallelogramma.

C

C c

c

M A

a

C

D c

A

M a

a. Disegniamo le rette parallele a e c. b. Congiungiamo A con C e indichiamo con M il punto medio Prendiamo su a il punto A e su c il di AC. punto C.

Osservazione. Nella figura «vedi» un parallelogramma, ma nella dimostrazione non puoi utilizzarne le proprietà. La figura, per corretta che sia, non fornisce ipotesi in più di quelle date. Solo a conclusione del ragionamento dirai che si tratta di un parallelogramma: avrai cioè dimostrato la tesi. In quel momento potrai dire che sono vere tutte le sue proprietà.

A

B

a

c. Tracciamo una retta passante per M. Indichiamo con B il suo punto di intersezione con a, con D quello con c. Congiungiamo B con C e D con A.

Dimostrazione I triangoli AMB e DMC hanno: ● ● ●

AM ⬵ MC perché M è punto medio di AC; ^ ^ AMB ⬵ DMC perché opposti al vertice; ^ ^ BAM ⬵ DC M perché alterni interni delle parallele a e c tagliate dalla trasversale AC.

I triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare BM ⬵ MD. ABCD ha le diagonali che si tagliano scambievolmente a metà, quindi è un parallelogramma.

51 Disegna due rette parallele, a e b, che intersecano la trasversale t rispettivamente nei punti A e B. Scegli sulle due parallele, dalla stessa parte rispetto a t, i segmenti congruenti AD e BC. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma. 52 Disegna un triangolo ABC e la mediana CM. Prolunga CM di un segmento ME ⬵ CM. Dimostra che il quadrilatero AEBC è un parallelogramma. 53 Nel triangolo ABC, prolunga il lato AC di un segmento CE ⬵ AC e il lato BC di un segmento CF ⬵ BC. Dimostra che il quadrilatero ABEF è un parallelogramma. 54 Nel parallelogramma ABCD traccia le perpendicolari da A e da B alla retta CD e chiama rispettivamente H e K i loro piedi. Dimostra che i triangoli AHD e BKC sono congruenti. 55 Nel parallelogramma ABCD considera su AB il punto E e su CD il punto F in modo che AE ⬵ CF. Dimostra che i triangoli ADF e EBC sono congruenti.

107

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

56 Nel parallelogramma ABCD, sui lati opposti AD e BC scegli due segmenti congruenti AF e CE. Dimostra che il quadrilatero BEDF è un parallelogramma. 57 Nel parallelogramma ABCD segna quattro punti, uno su ogni lato, E, F, M, N in modo che risultino congruenti i segmenti AE, BF, CM, DN. Dimostra che il quadrilatero EFMN è un parallelogramma. 58 Nel parallelogramma ABCD prolunga, sempre nello stesso verso, ogni lato in modo da ottenere i segmenti BM, CN, DE, AF congruenti fra loro. Dimostra che il quadrilatero EFMN è un parallelogramma. 59 Disegna un parallelogramma ABCD e un secondo parallelogramma, EFMN, inscritto nel primo, in modo che il vertice E stia sul lato AB, F su BC, M su CD ed N su DA. Dimostra che AE ⬵ CM e BF ⬵ DN. 60 Nel triangolo isoscele ABC di base AB, prolunga il lato AC e considera sulla bisettrice dell’angolo esterno di vertice C un punto E tale che CE ⬵ AB. Dimostra che ABEC è un parallelogramma. 61 a) Disegna due rette parallele a e b. Traccia la retta t, perpendicolare a entrambe, che incontra a nel punto A e b in B. Indica con M il punto medio del segmento AB. Disegna una retta passante per M, che interseca a in C e b in D. Dimostra che M è punto medio anche del segmento CD. b) Traccia per M la perpendicolare a CD, che incontra a in E e b in F. Dimostra che CEDF è un parallelogramma.

–䊳

6. Il rettangolo, il rombo, il quadrato

Teoria a pag. G83

■ Il rettangolo ESERCIZIO GUIDA

62 Disegniamo un triangolo rettangolo ABC, con l’angolo retto in A. Sull’ipotenusa scegliamo un punto P, tracciamo il segmento PH perpendicolare ad AB e poi PK perpendicolare ad AC. Dimostriamo che AHPK è un rettangolo. C

C

C P

A

A

B

a. Disegniamo il triangolo ABC rettangolo in A. ^

Dimostrazione PH e AC sono entrambi perpendicolari al cate-

108

B

b. Prendiamo sull’ipotenusa CB il punto P e tracciamo PH perpendicolare ad AB.

Ipotesi 1. ABC è rettangolo in A ; 2. P ∈ BC; 3. PH ⬜ AB; 4. PK ⬜ AC. Tesi AHPK è un rettangolo.

G

H

K

A

P

H

B

c. Tracciamo PK perpendicolare ad AC.

to AB (ipotesi 1 e 3), quindi PH 兾兾 AC. PK e AB sono entrambi perpendicolari al cateto AC (ipotesi 1 e 4), quindi PK 兾兾 AB. Il quadrilatero AHPK, avendo i lati opposti paralleli, è un parallelogramma. Inoltre gli angoli di AHPK sono retti, quindi esso è un rettangolo.

Paragrafo 6. Il rettangolo, il rombo, il quadrato

ESERCIZI

63 Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice C. Prolunga i lati AC e BC dei segmenti CE e CF congruenti a BC. Dimostra che ABEF è un rettangolo. 64 Disegna un triangolo rettangolo ABC, con l’angolo retto in A. Indica con AM la mediana relativa all’ipotenusa BC. Dimostra che AM è metà dell’ipotenusa. (Suggerimento. Prolunga AM di un segmento MP ⬵ AM e considera il quadrilatero ABPC.) 65 Nel parallelogramma ABCD disegna le bisettrici dei quattro angoli che, incontrandosi, determinano il quadrilatero EFGH. Dimostra che è un rettangolo.

■ Il rombo ^

^

66 Nel rombo ABCD l’angolo A è doppio dell’angolo B. Dimostra che la diagonale minore AC è congruente al lato del rombo. 67 Disegna un rombo ABCD e le sue diagonali. Traccia per ogni vertice la retta parallela alla diagonale opposta. Le quattro rette si incontrano a due a due nei punti M, N, E, F. Dimostra che: a) MNEF è un rettangolo; b) ogni vertice del rombo è punto medio dei lati del rettangolo. ^

68 Nel triangolo ABC l’angolo C ha bisettrice CD. Da D traccia le parallele ad AC e a BC. Indicate con E e F le intersezioni delle parallele tracciate con BC e AC rispettivamente, dimostra che DECF è un rombo. ^

69 Disegna un angolo aD b e la sua bisettrice Ds. Da un punto B della bisettrice traccia il segmento BA parallelo alla semiretta Db e il segmento BC parallelo alla semiretta Da. Dimostra che ABCD è un rombo. 70 Disegna un rombo ABCD con base il lato AB e traccia le sue diagonali. Prolunga poi il lato AB di un segmento BE ⬵ AB. Dimostra che: ^ a) BECD è un parallelogramma; b) l’angolo ACE è retto.

■ Il quadrato 71 Nel quadrato ABCD indica con M, N, E e F i punti medi dei lati. Dimostra che MNEF è un quadrato. Se M, N, E e F sono diversi dai punti medi dei lati, ma tali che AM ⬵ BN ⬵ EC ⬵ DF, si può ancora dire che MNEF è un quadrato? 72 Disegna un rettangolo ABCD. Su ogni lato costruisci, esternamente al rettangolo, quattro triangoli rettangoli isosceli, in modo che i lati del rettangolo siano ipotenuse dei triangoli. Indica con P, Q, R, S i vertici degli angoli retti. Dimostra che PQRS è un quadrato. 73 Nel quadrato ABCD prolunga AB di un segmento BE, BC di un segmento CF, CD di un segmento DG, DA di un segmento AH, tutti congruenti fra loro. Dimostra che EFGH è un quadrato. 74 Disegna un quadrato ABCD. Su ciascun lato costruisci, esternamente al quadrato, i triangoli equilateri ABP, BQC, CRD, DSA. Dimostra che PQRS è un quadrato. 75 Nel rombo ABCD le diagonali si incontrano nel punto O. Traccia le bisettrici degli angoli che formano le diagonali e siano P, Q, R, S i punti d’intersezione con i lati del rombo. Dimostra che PQRS è un quadrato. Nel sito:

䉴 8 esercizi di recupero su Parallelogrammi, rettangoli, rombi, quadrati

109

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

–䊳

7. Il trapezio Nel sito:

Teoria a pag. G85

䉴 6 esercizi di recupero

ESERCIZIO GUIDA

76 Dimostriamo che le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti. Ipotesi ABCD è un trapezio isoscele. Tesi AC ⬵ DB. D Dimostrazione Consideriamo i triangoli ABD e ABC. Essi hanno: A ● AB in comune; ● AD ⬵ BC per ipotesi; ^ ^ ● A ⬵ B per ipotesi; pertanto sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare, BD ⬵ AC.

C

B

77 Dimostra che gli angoli opposti di un trapezio isoscele sono supplementari.

81 Disegna un trapezio isoscele ABCD di base AB e le due diagonali AC e BD, che si incontrano nel punto O. Dimostra che AO ⬵ OB e OC ⬵ OD.

78 Disegna un trapezio isoscele ABCD e dimostra che le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti.

82 Le diagonali di un trapezio isoscele lo scompongono in quattro triangoli. Dimostra che solo due dei quattro triangoli sono congruenti, mentre gli altri due, pur essendo diversi, hanno gli angoli congruenti e sono isosceli.

79 In un trapezio ABCD le diagonali AC e BD, incontrandosi nel punto O, formano i triangoli isosceli ABO e CDO. Dimostra che il trapezio ABCD è isoscele. 80 Dimostra che se un trapezio ha le diagonali congruenti, è isoscele. (Suggerimento. Se la base minore è CD e la base maggiore è AB, traccia le altezze CH e DK e considera i triangoli CHA e DKB…)

83 Disegna il triangolo isoscele ABC di base AB e le altezze AH e BK. Dimostra che ABHK è un trapezio isoscele. 84 Disegna un trapezio isoscele con i lati obliqui congruenti alla base minore. Dimostra che le diagonali sono bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore.

8. Le corrispondenze in un fascio di rette parallele

–䊳

Teoria a pag. G86

85 Nel trapezio isoscele ABCD, indica con M e N i punti medi delle basi, con E ed F i punti medi dei lati obliqui. Dimostra che MENF è un rombo. 86 Nel parallelogramma ABCD, detto O il punto di intersezione delle diagonali, indica con E, F, G, H i punti medi dei segmenti OA, OB, OC, OD. Dimostra che EFGH è un parallelogramma. 87 Disegna un triangolo ABC, la mediana CM e il segmento LN che congiunge i punti medi dei lati AC e BC. Dimostra che tanto il segmento LN quanto CM vengono dimezzati dal loro punto d’intersezione P. (Suggerimento. Congiungi fra di loro due punti medi e considera i triangoli…) ^

88 Nel triangolo ABC, rettangolo in A , il cateto AC è metà dell’ipotenusa BC. Sull’ipotenusa, esternamente al triangolo, disegna il triangolo equilatero BEC. Prolunga i lati EC e BA finché si incontrano in F. Dimostra che: a) ABEC è un trapezio; b) A è punto medio di FB.

G

110

Paragrafo 9. Rette, piani, poliedri

–䊳

9. Rette, piani, poliedri

ESERCIZI

Teoria a pag. G88

ESERCIZIO GUIDA

89 Siano ␣ e ␤ due piani incidenti e r la loro retta intersezione. Scelti sul piano ␣ un punto A e sul piano ␤ un punto B, non appartenenti a r, determiniamo la posizione della retta AB rispetto a r. Dimostriamo che la retta AB e la retta r sono sghembe.

β

Ragioniamo per assurdo. Se le due rette non fossero sghembe, allora sarebbero complanari. Supponiamo che AB e r appartengano a uno stesso piano: questo dovrebbe contenere r e i due punti A e B. Poiché A  ␣ e B  ␤, i due piani ␣ e ␤ dovrebbero coincidere, contro l’ipotesi che ␣ e ␤ siano incidenti lungo una retta e quindi distinti. Pertanto, la retta AB è sghemba rispetto a r.

B

α

r

A

90 Disegna un piano ␣ e una retta r parallela ad ␣. Per r conduci un piano ␤ che interseca ␣ in una retta s. Dimostra che s è parallela a r. (Suggerimento. Ragiona per assurdo: se s non fosse parallela a r, avrebbe un punto in comune con r. Tale punto apparterrebbe non solo a r, ma anche al piano...) 91 Per un punto esterno a un piano disegna due rette parallele al piano. Dimostra che il piano individuato da tali rette è parallelo al piano dato. (Suggerimento. Utilizza l’esercizio precedente e ragiona per assurdo...)

■ Il prisma ESERCIZIO GUIDA

92 Dimostriamo che le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto che le divide a metà. D'

A' D

A

C'

B'

O

C

B

Ipotesi ABCDA′B′C′D′ parallelepipedo. Tesi

1. Le diagonali si incontrano in O; 2. O divide a metà le diagonali.

ADC′B′ è un parallelogramma perché ha i lati opposti congruenti, quindi le sue diagonali AC ′ e DB ′ si incontrano nel loro punto medio O. Analogamente anche ABC ′D ′ è un parallelogramma, quindi le sue diagonali AC ′ e BD ′ si incontrano nel loro punto medio, che, come nel caso precedente, è il punto O, in quanto la diagonale AC ′ è in comune ai due parallelogrammi e il punto medio di un segmento è unico. Anche A′D ′CB è un parallelogramma e le diagonali A′C e D′B si incontrano nel loro punto medio O, in quanto la diagonale D′B è in comune.

93 Dimostra che in un parallelepipedo retto le diagonali sono congruenti a due a due. 94 Dimostra che in un parallelepipedo rettangolo le diagonali sono congruenti. 95 Dimostra che, se un parallelepipedo ha le diagonali congruenti, allora è rettangolo.

111

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

LABORATORIO DI MATEMATICA

I parallelogrammi e i trapezi con GeoGebra ESERCITAZIONE GUIDATA

Verifichiamo una proprietà. Disegniamo un parallelogramma ABCD e le sue diagonali che si incontrano in O. Consideriamo i punti E e F (E su OB e F su OD) in modo che OE ⬵ OF. Verifichiamo che i segmenti AE e CF sono congruenti. Entriamo in ambiente GeoGebra e, dopo aver nascosto la finestra algebrica e gli assi cartesiani, realizziamo la figura 1: – disegniamo un parallelogramma generico; – segniamo i vertici e assegniamo loro i nomi A, B, C e D; – tracciamo i quattro lati sovrapposti alle quattro rette; – determiniamo il punto medio O del segmento BD; – tracciamo i segmenti OB e OD (che formano la diagonale BD) e il segmento AC (l’altra diagonale); – segniamo sul segmento OB un punto generico E; – ricaviamo il punto F su OD in modo che OE ⬵ OF. ● Dopo aver nascosto gli oggetti usati per la costruzione, congiungiamo A con E e C con F (figura 2) e mettiamo in evidenza le misure dei segmenti AE e CF, che vediamo coincidere. ● Spostiamo il punto E. Vediamo che scorre rimanendo sul segmento OB. Il punto F e i segmenti AE e FC, vincolati per la costruzione a E, si muovono e le misure si aggiornano, ma rimangono sempre uguali fra loro. ●

䉴

Nel sito:

䉱

Figura 1

Figura 2

䉴 2 esercitazioni guidate con Cabri 䉴 36 esercitazioni in più

■ Esercitazioni Verifica le seguenti proprietà anche mediante l’animazione della figura.

G

1

Disegna un quadrilatero, con i lati opposti congruenti, e verifica che hai ottenuto un parallelogramma.

3

Disegna un rettangolo, basandoti sulla sua definizione, e verifica che le sue diagonali risultano congruenti.

2

Disegna un segmento AC e due rette parallele passanti per A e per C, indica con M il punto medio di AC, poi traccia una retta passante per M che interseca le rette per A e C rispettivamente nei punti B e D. Verifica che ABCD è un parallelogramma.

4

Disegna un rombo ABCD e le sue diagonali, traccia per ogni vertice la parallela alla diagonale opposta. Le quattro rette si incontrano a due a due nei punti M, N, E, F. Verifica che MNEF è un rettangolo.

112

Matematica per il cittadino

ESERCIZI

Matematica per il cittadino I BINARI

Nella soffitta della sua casa di campagna, Luca trova una scatola con alcuni binari, vari scambi ferroviari, diverse carrozze e il locomotore di un vecchio modellino di treno. Con il materiale trovato riesce a costruire un plastico su cui far correre il trenino. 1. Ogni binario curvilineo è lungo 40 cm ed è 1 ᎏᎏ di una circonferenza (ovvero, montando 12 12 binari curvilinei uno dopo l’altro, si può costruire un circuito a forma di circonferenza). Quanto vale l’angolo che si ottiene unendo gli estremi di un binario con il centro della circonferenza? A

12°

B

30°

45°

C

D

In particolare, la strada che collega le due zone resi^ denziali taglia la ferrovia formando un angolo PQ R di 40°. Quanto valgono rispettivamente gli angoli ^ ^ OT U e HG F ?

60° O

P

2. I binari curvilinei descritti sono 18. Luca li usa tutti, ottenendo un percorso che ha la forma rappresentata in figura. I tratti curvilinei sono indicati con le lettere A, B, C, D, E. Calcola per ogni tratto quanti binari sono stati impiegati.

R

T

U

Q D G H

B

A

C D E

F

4. Come appare nella figura, la pavimentazione del quartiere Torretta è stata ottenuta utilizzando un rettangolo di plastica adesiva verde, avente le dimensioni WZ e ZU. W

3. Luca si diverte a completare il plastico con una stazione S e con numerose case e alberi. quartiere Torretta B

Z

quartiere Torretta

A

O

S

T

U

C D quartiere Giardino

E

Qual è l’ampiezza degli angoli del triangolo ottenuto come scarto? A B

90°, 30°, 60° 90°, 130°, 140°

C D

90°, 40°, 40° 90°, 40°, 50°

113

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

Verifiche di fine capitolo TEST 1

2

3

Sono dati un punto e una retta. Le rette passanti per il punto e perpendicolari alla retta data sono: A

una se il punto è esterno alla retta, più di una se il punto appartiene alla retta.

B

nessuna.

C

infinite.

D

infinite se il punto non appartiene alla retta, una se il punto appartiene alla retta.

E

una.

4

A

maggiore del segmento.

B

congruente al segmento se è perpendicolare alla retta.

C

sempre minore del segmento.

D

sempre congruente al segmento.

E

minore o congruente al segmento.

Il segmento di perpendicolare condotto da un punto a una retta data è unico.

B

Ogni segmento obliquo condotto da un punto a una retta data è maggiore del segmento di perpendicolare condotto dallo stesso punto alla retta.

C

Il segmento di perpendicolare condotto da un punto a una retta data è congruente ad almeno un segmento obliquo condotto dallo stesso punto alla retta.

E

114

I segmenti obliqui condotti da un punto a una retta data sono congruenti a due a due. La lunghezza del segmento di perpendicolare condotto da un punto a una retta data è la distanza del punto dalla retta.

H

Osserva la figura: nel triangolo C ABC, BH è l’altezza relativa al lato AC. Uno dei seguenti enunciati A è falso. Quale? A H è la proiezione ortogonale di BH su AC. B CH è la proiezione ortogonale di BH su AC. C AH è la proiezione ortogonale di AB su AC. D H è la proiezione ortogonale di B su AC. E CH è la proiezione ortogonale di BC su AC. La distanza di un punto da una retta è: A la lunghezza di un segmento. B un numero puro. C un punto. D lo spazio che c’è fra il punto e la retta. E nessuna delle precedenti risposte.

6

La figura rappresenta due rette non parallele a e b tagliate da una trasversale c. Quale delle seguenti relazioni è falsa? A B

Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale? A

䉴 questi test interattivi 䉴 20 test interattivi in più

5

La proiezione ortogonale di un segmento su una retta è:

D

G

Nel sito:

C

c a b

^

␤′ ⫹ ␦ ⬵ P ^ ␣′ ⫹ ␤′ ⬵ P ␣′ ⬵ ␦′

D E

B

α β γ δ α' β' γ' δ'

␤⬵␥ ␣ ⫹ ␥ ⬵ ␤′ ⫹ ␦′

7

Due rette perpendicolari a due rette incidenti sono: A parallele. B sempre perpendicolari. C incidenti e mai perpendicolari. D incidenti. E o parallele o perpendicolari.

8

Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale? Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti: A B C D E

l’ipotenusa e un cateto. i due cateti. l’ipotenusa. un cateto e un angolo acuto. l’ipotenusa e un angolo acuto.

Verifiche di fine capitolo

9

Un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari. Esso può essere: A B C D E

soltanto un rombo. un rettangolo ma non un quadrato. soltanto un quadrato. sempre un parallelogramma. un quadrilatero convesso qualsiasi. D

C' C

D' B' A A'

B C D E

un parallelogramma. un rettangolo. un rombo ma non un quadrato. un quadrato. un rombo.

11 La proposizione «un quadrilatero con due soli lati paralleli è un trapezio» è: A B C D E

I suoi lati sono prolungati rispettivamente dei segmenti congruenti AE, BF, CG, DH. Possiamo dire che il quadrilatero EFGH è: B C D E

B

ABCD è un rettangolo e AA′ ⬵ BB′ ⬵ CC ′ ⬵ DD′. Il quadrilatero A′B ′C ′D′ è: A

12 Nella figura è rappresentato il rettangolo ABCD .

A

10 Osserva la figura:

un teorema. un postulato. l’ipotesi di un teorema. una definizione. la tesi di un teorema.

ESERCIZI

G H

D

C

A

B

F

E

un rettangolo ma non un quadrato. un quadrato. un rombo ma non un quadrato. soltanto un parallelogramma. soltanto un quadrilatero convesso.

13 Le diagonali di un trapezio isoscele: A B C D E

si incontrano nel loro punto medio. sono sempre perpendicolari. sono congruenti. lo dividono in quattro triangoli congruenti. lo dividono in quattro triangoli isosceli.

14 Nel triangolo ABC il punto M è medio del lato AB e N del lato AC. Possiamo dire che: A B C

MN ⬵ AM. MN ⬵ AN. BC ⬵ AM ⫹ MN.

D E

A M

N

B

C

BC ⬵ 2MN. BC ⬵ AN ⫹ MN.

SPIEGA PERCHÉ 15 I segmenti AB e CD hanno per asse la stessa retta r ; come risultano tali segmenti? Perché? 16 Due triangoli, aventi congruenti due lati e un angolo non compreso fra essi, sono congruenti solo se sono rettangoli. È vera questa affermazione? Motiva la tua risposta. 17 Due rette parallele, tagliate da una trasversale, formano angoli di due sole ampiezze. Perché? 18 Perché in un triangolo equilatero ogni angolo esterno è il doppio dell’angolo interno a esso adiacente? 19 Se una diagonale di un quadrilatero lo divide in due triangoli congruenti, allora il quadrilatero è un parallelogramma? Motiva la risposta.

20 Due triangoli isosceli e congruenti, ma non sovrapposti, aventi la base in comune, formano un rombo? Perché? 21 Per affermare che un parallelogramma è un rombo, è sufficiente affermare che un angolo è diviso a metà dalla diagonale che passa per il suo vertice? Giustifica la risposta. 22 Di che natura è il triangolo che ottieni prolungando i lati obliqui di un trapezio rettangolo? Come dev’essere un trapezio affinché il triangolo sia equilatero? 23 Le altezze di un rombo sono congruenti. Perché?

115

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

ESERCIZI

䉴 35 esercizi in più

24 Date due rette parallele, tagliate da una trasversale, e tracciate le bisettrici di due angoli alterni esterni, dimostra che esse sono parallele.

33 Nel triangolo ABC, AH e BK sono le altezze relative ai lati BC e AC. Sia M il punto medio di AB. Dimostra che MHK è isoscele.

25 Date due rette parallele, tagliate da una trasversale, e tracciate le bisettrici di due angoli corrispondenti, dimostra che esse sono parallele.

34 Nel parallelogramma ABCD le bisettrici degli an^ ^ e B si incontrano in E. Dimostra goli interni A ^ che AEB è un angolo retto.

26 Dato il triangolo ABC, dal vertice B traccia la parallela ad AC e su di essa considera il punto D in modo che AD non intersechi BC e che BD ⬵ AC. Dimostra che AD è parallela a BC.

35 Disegna un quadrato ABCD. A partire dai vertici opposti A e C, traccia su ogni coppia di lati consecutivi i segmenti AE (su AB ), AH, CF (su BC ) e CG, fra loro congruenti. Dimostra che EFGH è un rettangolo.

27 Disegna un triangolo ABC in modo che l’angolo ␣′, esterno di vertice A, sia congruente alla som^ ^ ma degli angoli interni A e C. Dimostra che il triangolo ABC è isoscele. 28 Nel triangolo isoscele ABC di base AB prolunga il lato BC di un segmento CE ⬵ CB. Dimostra che ^ il triangolo ABE è rettangolo in A. 29 Nel triangolo isoscele ABC prolunga la base AB, da ambo le parti, di due segmenti congruenti AD e BE. Traccia la retta per D perpendicolare ad AB e indica con U il suo punto di intersezione col prolungamento del lato CA. Analogamente, traccia la retta per E perpendicolare ad AB e indica con F il suo punto di intersezione col prolungamento del lato CB. Dimostra che il triangolo CUF è isoscele. 30 Disegna due segmenti congruenti AB e CD appartenenti alla retta a e privi di punti in comune. Su una retta b, parallela ad a, disegna un segmento EF congruente ai due segmenti precedenti. Dimostra che i triangoli ACE e BDF sono congruenti. 31 Disegna un triangolo isoscele ABC. Scegli sul lato BC un punto E, poi prolunga il lato CA di un segmento AD ⬵ BE. Congiungi D con E e indica con F il punto di intersezione del segmento ottenuto con la base AB. Dimostra che F è punto medio di DE. 32 Nel triangolo ABC traccia la mediana CM. Dal punto M conduci le parallele ai lati AC e CB. Dimostra che i quattro triangoli che si vengono a formare nel triangolo ABC sono congruenti a due a due.

G

Nel sito:

116

36 Un trapezio isoscele ha i lati obliqui congruenti alla base maggiore. Dimostra che le diagonali sono bisettrici degli angoli adiacenti alla base minore. 37 Disegna un trapezio rettangolo ABCD in modo che: ^

^

a) gli angoli A e D siano retti; b) la base maggiore AB sia il doppio della base minore CD ; c) il lato BC sia congruente alla base maggiore. Traccia inoltre la diagonale AC. Dimostra che il triangolo ABC è equilatero. 38 Nel parallelogramma ABCD, traccia le diagonali e chiama O il loro punto di intersezione. Traccia per O una retta qualunque, che intersechi il lato AB nel punto E e il lato CD nel punto F. Dimostra che i trapezi AEFD ed EBCF sono congruenti. 39 Tracciata una retta qualsiasi parallela a uno dei lati di un parallelogramma, che intersechi il parallelogramma stesso, dimostra che questo viene diviso in altri due parallelogrammi. 40 Dimostra che se due parallelogrammi hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso, allora sono congruenti. 41 Due parallelogrammi che hanno ordinatamente congruenti una diagonale e gli angoli che essa forma con due lati consecutivi sono congruenti. 42 Se due parallelogrammi hanno ordinatamente congruenti le diagonali e un lato, allora sono congruenti.

Verifiche di fine capitolo

43 Nel parallelogramma ABCD prolunga la diagonale BD di due segmenti congruenti BE e DF. Dimostra che i triangoli ADE e BCF sono congruenti. 44 Nel parallelogramma ABCD indica con O il punto di intersezione delle due diagonali. Traccia per O una retta r, che incontra il lato AB in E e il lato CD in G; sempre per O, traccia una retta s, che incontra il lato BC in F e il lato AD in H. Dimostra che il quadrilatero EFGH è un parallelogramma. 45 Disegna un rettangolo ABCD e considera un punto E sulla diagonale AC. Conduci per E le parallele ai lati. Dimostra che il rettangolo viene suddiviso in quattro rettangoli e che la somma dei loro perimetri non dipende dalla posizione di E sulla diagonale. 46 Nel parallelogramma ABCD considera le proiezioni H e K, rispettivamente dei vertici A e C, sulla diagonale BD. Dimostra che AH ⬵ CK. 47 Disegna un trapezio ABCD con la base maggiore AB doppia della minore CD. Traccia la congiungente i punti medi dei lati obliqui AD e BC. Dimostra che tale congiungente è divisa in tre segmenti congruenti dalle diagonali del trapezio. ^

48 Disegna un angolo aOb e sulla semiretta Oa scegli un punto A. Traccia da A le rette r ed s perpendicolari ai lati dell’angolo. Traccia inoltre la ^ bisettrice dell’angolo rAs e indica con B il suo punto di intersezione con la semiretta Ob. Dimostra che il triangolo AOB è isoscele. (Suggeri^ mento. Indica con 2␣ l’angolo aOb e con 2␤ ^ l’angolo OAs.)

ESERCIZI

^

51 Disegna un angolo convesso A e la sua bisettrice, sulla quale fissi un punto O. Traccia per O la retta perpendicolare alla bisettrice, indicando con B e D i punti in cui tale perpendicolare interseca i lati dell’angolo. Per il punto B conduci la parallela ad AD e per D la parallela ad AB; queste si incontrano nel punto C. Dimostra che: a) i punti A, O, C sono allineati; b) ABCD è un rombo. 52 Disegna un triangolo ABC, isoscele sulla base BC e l’altezza CH relativa al lato AB. Scegli un punto M sulla base del triangolo e traccia il segmento MP, perpendicolare ad AB, e il segmento MQ, perpendicolare ad AC. Dimostra che la somma di MP con MQ è congruente a CH. 䊳 Caso particolare: se M è il punto medio di BC, che relazione sussiste fra i segmenti PM e CH? 53 Nel triangolo ABC indica con M il punto medio di AB. Traccia per C una retta r, esterna al triangolo. Conduci dagli altri due vertici le perpendicolari AH e BK a r. Dimostra che il triangolo HKM è isoscele. (Suggerimento. Traccia per M la retta s parallela a r.) 54 Dimostra che se due parallelogrammi hanno ordinatamente congruenti le diagonali e uno degli angoli che esse individuano intersecandosi, allora sono congruenti. (Suggerimento. Dimostra che i parallelogrammi hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti gli angoli.) 55 Dimostra il teorema illustrato nella figura. R

49 Nel triangolo ABC, prolunga il lato AC di un segmento CE ⬵ CB e il lato BC di un segmento CF ⬵ CA. Indica con D il punto di intersezione dei prolungamenti di AB e di FE. ^ Dimostra che CD è bisettrice dell’angolo ADF. (Suggerimento. Traccia l’altezza CH nel triangolo ABC e l’altezza CK nel triangolo CEF.)

D

S

C

B

A

Q

P

50 Con riferimento alla figura dell’esercizio 35, dai vertici A e C scegli su ogni lato del quadrato altri quattro segmenti AE ′, AH ′, CF ′ e CG ′, fra loro congruenti. Dimostra che HE ⫹ EF ⬵ H ′E ′ ⫹ E ′F ′.

Ipotesi 1. ABCD è un parallelogramma; 2. DR ⬵ BP; 3. DS ⬵ BQ. Tesi

PQRS è un parallelogramma.

117

G

CAPITOLO G3. PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI

ESERCIZI

METTITI ALLA PROVA

Nel sito:

䉴 20 esercizi in più

56 Nel triangolo isoscele ABC prendi, sulla base AB, due punti P e Q. Traccia da P le parallele ad AC e a CB; esse intersecano rispettivamente CB in E e AC in F. Analogamente conduci da Q le parallele ai lati; esse intersecano rispettivamente CB in R e AC in S. Dimostra che il perimetro di PECF è congruente al perimetro di QRCS. La lunghezza del perimetro dipende da come prendi P e Q? Motiva la risposta. ^

57 Nel triangolo ABC, di base AB, il lato BC è maggiore del lato AC. Traccia la bisettrice dell’angolo C e la perpendicolare al lato AB nel suo punto medio, e sia D il loro punto intersezione. E è la proiezione di D sulla ^ ^ retta CA e F la proiezione di D su BC. Dimostra che DBF ⬵ DAE. (Suggerimento. Indicato con M il punto medio di AB, considera i triangoli ADM e DBM, poi i triangoli CED e CDF, infine i triangoli EDA e DBF.)

TEST YOUR SKILLS

Nel sito:

^

58 TEST If BAD is an exterior angle of the triangle ABC, then: I. II. III.

^

^

BAD ⬎ BCA. ^ ^ BAD ⬎ ABC. ^ ^ ^ BAD ⫽ ABC ⫹ BCA.

Which of the above statements is true? A I only. B II only. C III only. D II and III only. E I, II and III. 59 In the given diagram, what is the value of x? 5x° 6x°

60 TEST Which of the following statements is not true? A A rectangle is a parallelogram with four right angles. B A rhombus is a parallelogram with four congruent sides. C The diagonals of a rhombus are perpendicular. D The diagonals of a rectangle are congruent. E None of these statements. (USA Northern State University: 52nd Annual Mathematics Contest, 2005)

(USA Northern State University: 50th Annual Mathematics Contest, 2003)

3x°

䉴 8 esercizi in più

2x°

4x° (CAN Canadian Open Mathematics Challenge, COMC, 2001)

[18]

61 TEST Each angle of a rectangle is bisected. Let P, Q, R, and S be the points of intersection of the pairs of bisectors adjacent to the same side of the rectangle. Then PQRS is a: A rectangle. B rhombus. C parallelogram with unequal adjacent sides. D quadrilateral with no special properties. E square. (USA University of North Carolina: Western Region State Mathematics Finals, 2003)

GLOSSARY

bisected: diviso in due parti uguali bisector: bisettrice diagram: grafico, schema exterior: esterno

G

118

property: proprietà rectangle: rettangolo rhombus: rombo right: retto

side: lato square: quadrato statement: enunciato, frase

INDICE ANALITICO • •

Le pagine evidenziate in neretto (per esempio, G46) sono quelle in cui un termine viene definito. I termini preceduti dal trattino indicano una sottovoce; quelli preceduti dal trattino e rientrati indicano una sotto-sottovoce. Per esempio: voce sottovoce («angoli adiacenti») sotto-sottovoce («angoli adiacenti a un lato»)

A acutangolo, triangolo, G46, G55 acuto – angolo, G17, G23 – diedro, G91 addizione – algebrica, 24 – di angoli, G15, G22 – di frazioni algebriche, 367-368 – di monomi, 267-268 – di numeri – interi, 22-23 – naturali, 2 – razionali, 77-78 – di polinomi, 274 – di segmenti, G13, G22 – proprietà dell’, 8, 9, 30, 22-23, 78 adiacenti – angoli, G9, G22 – segmenti, G7, G21 aerogramma, 82 Ahmes, papiro di, 433 al-Karaji, 279 al-Khuwarizmi, 427 al-Samawal, 279 alberi, piantagione di, 216 algebra, 427 – sincopata, 370 algebriche, frazioni, 365369, 373 altezza – di un parallelogramma, G84 – di un prisma, G92, G100 – di un trapezio, G85, G98 – di un triangolo, G44, G45 ampiezza – di un angolo, G15, G17 – di un diedro, G91 – di una classe, ␣7-␣8 Amsler, reticolo di, G76 analitica, espressione, 215 AND (v. congiunzione di due proposizioni) angolare, coefficiente, 219

angolo-i, G8-G9, G22 – acuto, G17, G23 – addizione fra, G15, G22 – adiacenti, G9, G22 – a un lato, G44 – alla base, G45 – alterni, G72, G95 – ampiezza degli, G15 – bisettrice di un, G16, G23 – complementari, G18, G23 – compreso fra due lati, G44 – con i lati paralleli, G77G78 – concavo, G10 – confronto di, G14 – congruente-i, G14, G22 – coniugati, G72, G95 – consecutivi, G9, G22 – convesso, G10 – corrispondenti, G72, G95 – coseno di un, 223 – differenza fra due, G16 – esplementari, G18, G19 – esterno-i, G71, G95 – di un poligono, G53, G80, G96 – di un triangolo, G44 – maggiore, teorema dell’, G51-G52, G56 – somma, teorema dell’, G78, G96 – formati da due parallele e una trasversale, G74G75, G95-G96 – giro, G9, G22 – interni, G71, G95 – di un poligono, G53, G79, G96 – di un triangolo, G43, G55, G79, G96 – misura degli, 221, G17 – multipli di, G15, G22 – nullo, G9, G22 – operazioni con gli, G14G16 – opposti al vertice, G18G19, G23

angolo-i (continua) – orientati, 221-222 – ottuso, G17, G23 – piatto, G9, G22 – retto, G17, G23 – seno di un, 223 – somma di due, G15, G22 – sottomultipli di, G15, G22 – sottrazione fra, G16 – supplementari, G18, G19, G23 – tangente di un, 223 – tra retta e piano, G91 angoloide, G93 annullamento del prodotto, legge di, 4, 79 antecedente – di una proporzione, 83 – proposizione, 154 antiperiodo, 87 antiriflessiva, relazione, 207, 227 antisimmetrica, relazione, 207, 227 aperta-o-i – enunciati, 159, 164-165 – intervallo, 440 – linea, G11 – poligonale, G7 apparenti, frazioni, 70, 93 appartenente a un piano, retta, G88, G99 appartenenza, postulati di, G4-G5, G21 approssimazione, 89-91, 94 Archimede, principio di, 447 arco-hi, G11 – origine degli, 222 areogramma, ␣8, ␣21 arrivo, insieme di, 211 arrotondamento, 89 ascissa-e, 215-216 assi cartesiani, 215-216 assiomi (v. anche postulati), G2 associativa, proprietà, 8-9, 23, 25, 30, 78, 79

angolo-i, G8-G9, G22 – adiacenti, G9, G22 – a un lato, G44

assoluto-i – errore, 90, 94 – numeri razionali, 72-73 – valore, 20, 32, 220 assorbente, elemento, 4 assurdo, dimostrazione per, G72 astrazione, 209 atomica, proposizione (v. proposizione semplice) aut (v. disgiunzione esclusiva di due proposizioni)

B base-i – di un prisma, G92, G100 – di un sistema di numerazione, 17 – di un trapezio, G85, G98 – di un triangolo, G45 – di una potenza, 6 – spigoli di, G92 Bessel, Friedrich Wilhelm, G43 bicicletta, 69, 92 biiettiva, funzione, 212-213, 228 bimodale, distribuzione, ␣15 binarie, relazioni, 201-204, 227 binomio – cubo di un, 278, 291, 361, 372 – potenza di un, 279 – quadrato di un, 277, 291, 361, 372 bisettrice – di un angolo, G16, G23 – di un triangolo, G44 – isoscele, G51, G56 biunivoca, corrispondenza (v. anche funzione biiettiva), 212 bolla, livella a, G5

Bombelli, Raffaele, 370 bussola, G1, G20

C Cabri-Géomètre, triangoli con, G63 calcio, ␣1, ␣20 calcolatrice, 265, 289 – e funzioni goniometriche, 223 calcolo – approssimato, 89-91, 94 – letterale, 360 – medie di, ␣11 – mentale, 265, 289 cambiamento di segno, regola del, 428, 441, 449 campionaria, media, ␣18 campione, ␣2 campo – di esistenza di una funzione, 215, 229 – di variazione, ␣15, ␣22 – superficie di un, 269 cancellazione, leggi di, 28, 427, 448 Cantor, Georg, 142 caratteri, ␣2-␣3, ␣21 caratteristica, proprietà, 140 cartesiana-o-e-i – assi, 215 – coordinate, 216 – diagramma o grafico, 148-149, ␣8-␣9, ␣21 – piano, 216 – prodotto, 147-149, 163 – rappresentazione, 202, 227 cartogrammi, ␣9-␣10 casa, vittorie in, ␣1, ␣20 cateti, G46 cavalieri e furfanti, 153 cellulare, livella a bolla e, G5 censimento, ␣2, ␣3 centrale idroelettrica, 201, 226

1

I

Indice analitico

cerchio, G12, G22 chiusa-o – insieme, rispetto a un’operazione, 2 – intervallo, 440 – linea, G11-G12 – poligonale, G7 cicale, 1, 29 cifre, 17 circolare, diagramma, ␣8 circonferenza, G12, G22 – goniometrica, 222 classe – di equivalenza, 73, 208209, 227 – di frazioni, 73 – di frequenza, ␣5 – modale, ␣15 codominio, 203, 211, 228 coefficiente – angolare, 219 – di un monomio, 266, 290 commutativa, proprietà, 8, 23, 25, 26, 30, 78, 79, 149 complanari, rette, G88, G99 complementare-i – angoli, G18, G23 – insieme, 147, 160, 163 completo, polinomio, 274, 291 comporre, proprietà del, 84, 94 composizione di due funzioni, 214, 216-217, 228 composta – funzione, 214, 228 – proposizione, 151-152, 155-157, 164 concava-o – angolo, G10 – figura, G9-G10, G22 – poligono, G53 conclusione-i – di un ragionamento, 157 – nella dimostrazione, G18 concordi – lati, G77 – numeri interi, 20, 32 condizione-i – di esistenza di una frazione algebrica, 366, 373 – necessaria, G50 – e sufficiente, G50 – sufficiente, G50 confidenza, intervallo di, ␣19, ␣22 confronto – tra angoli, G14 – tra frazioni, 75 – tra numeri – interi, 22 – naturali, 1 – razionali, 75, 93 – tra segmenti, G12, G14 congettura, 16 congiunzione di due proposizioni, 152-153, 164 – e intersezione tra insiemi, 160 congruenza – dei triangoli, G47-G48, G56, G79, G80-G81 – di figure, G10-G11, G22

I

2

coniugati, angoli, G72, G95 connettivi logici, 151-155, 164 – e operazioni tra insiemi, 160, 165 – priorità dei, 155-156 consecutivi – angoli, G9, G22 – segmenti, G7, G21 conseguente-i – di una proporzione, 83 – proposizione, 154 contingenza, tabelle di, ␣7 continuo, potenza del, 142 contraddizione, 156, 164 controimmagine, 211 controllo delle soluzioni – di un’equazione, 434 – in un problema, 431 convessa-o – angolo, G10 – figura, G9-G10, G22 – poligono, G53 coordinate cartesiane, 216 coppia-e, 147-148 – di numeri e punti del piano, relazione tra, 216 corollario, G3 correlazione, tabelle di, ␣7 corrispondenti – angoli, G72, G95 – punti, G86 – segmenti, G86 corrispondenza – biunivoca (v. anche funzione biiettiva), 212 – tra un insieme e un suo sottoinsieme proprio, 142 – univoca (v. funzione) coseno, funzione, 223-224, 229 cosinusoide, 224 costante – magica, 23 – prodotto, 218 – rapporto, 217 costruzione per dividere un segmento in parti congruenti, G87 criterio-i – di congruenza dei triangoli, G47-G48, G56, G79 – rettangoli, G80-G81, G96 – di divisibilità, 5 – per il parallelismo di rette, G73, G95-G96 – per stabilire se un parallelogramma è un – quadrato, G85, G98 – rettangolo, G83, G97 – rombo, G84, G98 – per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma, G83, G97 cubo-i, G93, G100 – di un binomio, 278, 291, 361, 372 – differenza di due, 288, 361, 372 – somma di due, 288, 361, 372

curva – gaussiana, ␣18 – linea, G11-G12, G22

D ⺔, insieme, 138 dati statistici, ␣1-␣2, ␣21 – rappresentazione grafica dei, ␣7-␣10, ␣21 decagono, G53 decimale-i – frazioni, 85-86, 94 – numeri, 85-88, 94 – rappresentazione, 85-88, 94 – sistema di numerazione, 17 Dedekind, Julius Wilhelm Richard, 142 deduzione-i – logica, 157-158 – nella dimostrazione di un teorema, G18 definizione, G1, G21 – insieme di, 215 democrazia, G4 denominatore, 69, 93 – comune, riduzione di frazioni a, 72 denso, insieme, 76 Derive, 62 – frazioni algebriche con, 415 – numeri naturali con, 62 descrittiva, statitistica, ␣2 determinata, equazione, 425, 429-430, 448, 449 deviazione standard, ␣17, ␣22 – di una distribuzione gaussiana, ␣18 diagonale-i – del quadrato, G85, G98 – del rettangolo, G83, G97 – del rombo, G84, G98 – di un poligono, G53 – di un prisma, G92 diagramma – a torta, 82, ␣8 – cartesiano (v. anche grafico), 148-149, ␣8-␣9, ␣21 – circolare, ␣8 – di Eulero-Venn, 139, 163 diedro-i, G90-G91 – ampiezza di un, G91 – congruenti, G91 – di un poliedro, G93 – sezione di un, G90 – sezione normale di un, G91 – spigolo di un, G90 difetto, approssimazione per, 89, 94 differenza – di due angoli, G16 – di due cubi, 288, 361, 372 – di due numeri – interi, 24, 32 – naturali, 2, 30 – razionali, 77, 91, 94

differenza (continua) – di due polinomi, 274275, 291 – di due quadrati, 276-277, 291, 361, 372 – di due segmenti, G14 – tra insiemi, 146, 163 dimensioni di un parallelepipedo, G92 dimostrazione di un teorema, G2-G3, G18, G21 – per assurdo (o indiretta), G72 dipendente, variabile, 215, 229 diretta – intervista, ␣2 – proporzionalità, 217-218, 229 direzione, 209, G77, G80 discordi – lati, G77 – numeri interi, 20, 32 discreto, insieme, 2, 22 discussione di un’equazione letterale, 434-436 disequazione-i, 437-586, 438, 450 – di primo grado (lineari), 438, 441-442, 450 – equivalenti, 440-441, 450 – fratte, 440, 444-445, 450451 – impossibile, 442 – indeterminata, 442 – intere, 440 – mai verificata, 442 – numeriche, 440 – fratte, 444-445, 450451 – intere, 441-442, 450 – princìpi di equivalenza delle, 441, 450 – sempre verificata, 442 – sistemi di, 446, 451 – soluzioni di una, 438-439, 450 – tipi di, 440 disgiunti, insiemi, 144, 163 disgiunzione di due proposizioni – esclusiva, 154, 164 – inclusiva, 153-154, 164 – unione tra insiemi e, 160 dispersione, ␣15 distanza – delle stelle, G43, G54 – di un punto – da un piano, G90, G100 – da una retta, G71, G95 – tra due piani paralleli, G89, G100 – tra due punti, G11, G22 – tra due rette parallele, G84, G97 distributiva, proprietà, 9-10, 25, 30, 79 distribuzione – bimodale, ␣15 – di frequenza, ␣4, ␣8-␣9 – forma della, ␣8

distribuzione (continua) – gaussiana. ␣18 – simmetrica, ␣18 disuguaglianza-e, 436-437, 450 – leggi di cancellazione per le, 28 – leggi di monotonia per le, 27-28, 78, 79 – nei triangoli, G51-G53, G56 – proprietà delle, 436-437, 450 – senso di una, 436 divisibile per un monomio, polinomio, 282, 292 divisibilità – criteri di, 5 – fra monomi, 270 – fra polinomi, 282-283 divisione – di un polinomio per un monomio, 282 – per il numero 0, 4 – per un fattore comune diverso da 0, regola della, 428, 449 – proprietà della, 10-11, 25, 31 – tra frazioni algebriche, 369 – tra monomi, 269-270 – tra numeri – interi, 25 – naturali, 3 – razionali, 79-80 – tra polinomi, 282-286, 283-284, 292 divisore di un numero, 5, 30 dodecaedro regolare, G93 dominio, 203, 211, 228 – naturale di una funzione, 215, 229 donatori universali, 137, 162 doppia – entrata, tabella a, 149, 202, 227, ␣6-␣7 – implicazione, 155, 164 Dürer, Albrecht, 23

E e (v. congiunzione di due proposizioni) eccesso, approssimazione per, 89, 94 elaborazione dei dati, ␣1-␣2 elementare, proposizione (v. proposizione semplice) elemento – assorbente, 4 – di un insieme, 138, 163 – neutro, 3-4, 23, 25, 78-79 ennagono, G53 enti geometrici, G1-G2 – primitivi, G2, G21 enunciato-i, 150 – aperti, 159, 164-165 – di un teorema, G18

Indice analitico

eptagono (o ettagono), G53 equazione-i, 423-436, 448 – determinata, 425, 429430, 448, 449 – di primo grado (lineari), 425, 428-430, 449 – lineari con Excel, 497 – di una retta, 219 – e problemi, 431-432, 449 – equivalenti, 425-428, 448 – fratta, 424, 433-434, 436 – grado di una, 425, 448 – impossibile, 425, 430, 448, 449 – indeterminata, 425, 429430, 448, 449 – intera, 424, 428-430, 449 – letterale, 424, 434-435, 449 – discussione di una, 434-436 – numerica, 424, 428-430, 433-434, 449 – risolvente, 432 – scritta in forma normale, 425, 448 – soluzioni di una, 424, 448 – tipi di, 424-425 equilatera-o – iperbole, 218 – triangolo, G45, G55 equipotenti, insiemi, 142 equivalenti – disequazioni, 440-441, 450 – equazioni, 425-428, 448 – frazioni, 70, 93 – algebriche, 366-367 – proposizioni, 157, 164 equivalenza – classe di, 208-209, 227 – delle disequazioni, princìpi di, 441, 450 – delle equazioni, princìpi di, 426-428, 448-449 – di espressioni logiche, 157 – relazione di, 208-209, 227 errore-i – assoluto, 90, 94 – propagazione degli, 91, 94 – relativo, 90, 94 – standard, ␣19, ␣22 esaedro regolare (v. anche cubo), G93 esagono, G53 esclusiva, disgiunzione, 144, 154, 164 esistenza – della parallela per un punto a una retta, G74 – di una frazione algebrica, condizione di, 366, 373 – e unicità della retta – passante per due punti, G4 – perpendicolare, G70, G89

esistenziale, quantificatore, 161, 165 esplementari, angoli, G18, G19 esponente di una potenza, 6 esponenziale, funzione, 225 espressione-i – analitica di una funzione numerica, 215 – con i numeri naturali, 67, 30 – logiche, 151, 155-157, 164 esterni, angoli, G71, G95 – di un poligono, G53 – di un triangolo, G44 estremi – di un arco, G11 – di un segmento, G7 – di una poligonale, G7 – di una proporzione, 83 et (v. congiunzione di due proposizioni) Euclide, G4 – quinto postulato di, G75 euclidea, euclidea, G3 Euler, Leonhard, 16, 139 Eulero-Venn, diagrammi di, 139, 163 Excel – equazioni lineari con, 497 – funzioni con, 258 – numeri razionali con, 129 – statistica con, ␣35

F facce – di un angoloide, G93 – di un poliedro, G92 – di un prisma, G92, G100 falegname, metodo del, G87 falene, G69, G94 falsa-o – posizione, 433 – quadrato, 288 fascio di rette – parallele (improprio), G77, G86-G87, G99 – proprio, G6 fattore-i – comune, raccoglimento a, 10, 360, 372 – primi, 14-15, 31 – scomposizione di un polinomio in, 359-364, 372 Fermat, Pierre de, 16 figura-e, G2, G21 – concava, G9-G10, G22 – congruenti, G10-G11, G22 – convessa, G9-G10, G22 – piane, G2 – solide, G2, G91, G93 – uguaglianza delle, G10 finito, insieme, 138 fondamentale-i – proprietà delle proporzioni, 84, 94 – relazioni trigonometriche, 223, 229

forma – della distribuzione, ␣8 – normale – equazione scritta in, 425, 448 – monomio ridotto a, 266-267, 290 – polinomio ridotto a, 272-273, 290 – polinomiale di un numero, 17, 32 frazione-i, 69-74, 93 – algebrica-he, 365-369, 373 – con Derive, 415 – equivalenti, 366-367 – operazioni con le, 367369, 373 – potenza di una, 369 – proprietà invariantiva per le, 367 – semplificazione delle, 367 – decimali, 85-86, 94 – e numeri – decimali finiti, 85-86, 94 – decimali periodici, 8788, 94 – razionali, 72-74, 93 – equivalenti, 70, 93 – generatrici, 88 – proporzioni e, 83 – proprietà invariantiva delle, 71, 93 – ridotta ai minimi termini, 71, 93 – studio del segno di una, 444 frequenza-e, ␣3-␣4, ␣5, ␣21 – classi di, ␣5 – distribuzione di, ␣4, ␣8␣9 – poligono delle, ␣7 – relativa, ␣4, ␣5, ␣21 – tabelle di, ␣3-␣4 fumo, effetti del, ␣10 funzione-i, 210-226, 210214, 228 – biiettiva, 212-213, 228 – e insiemi infiniti, 142 – campo di esistenza di una, 215, 229 – codominio di una, 211, 228 – composizione di, 214, 228 – composta, 214, 228 – coseno, 223-224, 229 – di proporzionalità – diretta, 217-218, 229 – inversa, 218, 229 – quadratica, 220, 229 – dominio di una, 211, 228 – dominio naturale di una, 215, 229 – esponenziale, 225 – goniometriche, 221-224, 223, 229 – triangoli rettangoli e, 224, 229

funzione-i (continua) – grafico di una, 216 – identità, 214 – iniettiva, 212, 228 – insieme di arrivo di una, 211 – insieme di definizione di una, 215 – insieme di partenza di una, 211 – inversa, 213, 214, 228 – lineare, 219-220, 229 – notazione per le, 211 – numerica-he, 215-220, 229 – composizione di, 216217 – con Excel, 258 – espressione analitica di una, 215 – grafico di una, 215-216 – polinomiali, 280-281, 292 – seno, 223-224, 229 – suriettiva, 211-212, 228 – tangente, 223-224, 229 – valore assoluto, 220

G Galilei, Galileo, 142 gaussiana, curva, ␣18 generatrice, frazione, 88 GeoGebra – geometria del piano con, G37 – parallelogrammi e trapezi con, G112 geometria – del piano, G1-G20 – con GeoGebra, G37 – dello spazio, G88-G93 – di Lobacevskij, G75 – euclidea, G3 – insiemi e, G7 – non euclideee, G75 – occhi e, G76 geometrici-he – enti, G1-G2 – figure, G2, G21 – problemi, 432 giacente su un piano, retta, G88, G99 giro, angolo, G9, G22 Goldbach, congettura di, 16 goniometrica-he – circonferenza, 222 – funzioni, 221-224, 223, 229 grado – del quoziente fra due polinomi, 283 – di un monomio, 267, 290 – di un polinomio, 273, 291 – di un’equazione, 425, 448 – sessagesimale, 221 grafica, rappresentazione di un insieme, 139, 163 grafico cartesiano – del prodotto cartesiano, 148-149

grafico cartesiano (continua) – di una funzione, 215-216 – di una relazione, 202, 205, 206, 227 grafo di una relazione, 204, 205-207 gruppi sanguigni, 137, 162

H Hardy, Godfrey, 371

I icosaedro regolare, G93 identità – dei polinomi, 281 – funzione, 214 ideogrammi, ␣9 idroelettrica, centrale, 201, 226 illusioni ottiche, G76 immagine, 202, 211, 227 implicazione – doppia, 155, 164 – materiale, 154-155, 164 – deduzione e, 158 impossibile – disequazione, 442 – equazione, 425, 430, 448, 449 improprio-e – fascio di rette, G77, G86G87 – frazioni, 70, 93 – sottoinsieme, 141, 163 incertezza delle statistiche, ␣18-␣19, ␣22 incidente-i – piani, G88, G99 – retta-e, G69, G88, G95 – a un piano, G88, G99 inclusione stretta, 141 inclusiva, disgiunzione, 144, 153-154, 164 incognita, scelta dell’, 423, 431, 438 indeterminata – disequazione, 442 – equazione, 425, 429-430, 448, 449 indici – di posizione centrale, ␣11-␣15, ␣22 – di variabilità, ␣15-␣17, ␣22 indipendente, variabile, 215, 229 indiretta – dimostrazione (v. dimostrazione per assurdo) – intervista, ␣2 induttiva, statistica, ␣2 inferenza statistica, ␣2 infinito, insieme, 138, 142 iniettiva, funzione, 212, 228 insieme-i, 137-150, 137138, 163 – appartenenza a un, 138

3

I

Indice analitico

insieme-i (continua) – chiuso rispetto a un’operazione, 2 – complementare, 147, 163 – negazione e, 160 – con Wiris, 191 – connettivi logici e, 160 – dei numeri interi ⺪, 2021, 32, 138 – come ampliamento dell’insieme ⺞, 20-21 – dei numeri naturali ⺞, 12, 138 – dispari ⺔, 138 – pari ⺠, 138 – dei numeri razionali ⺡, 74, 76, 93, 138 – come ampliamento dell’insieme ⺪, 74 – dei numeri reali ⺢, 138 – delle parti, 149, 163 – delle soluzioni – di una disequazione, 438-439, 450 – di una equazione, 424 – denso nella retta, 76 – di arrivo, 211 – di definizione, 215 – di partenza, 211 – di verità, 159, 165 – differenza tra, 146, 163 – discreto, 2, 22 – disgiunti, 144, 163 – elemento di un, 138 – equipotenti, 142 – finito, 138 – geometria e, G7 – gruppi sanguigni e, 162 – infinito-i, 138, 142 – intersezione di, 143-145, 163 – numerico, 138 – ampliamento di un, 20-21 – operazioni con gli, 143149, 163 – ordinato, 22 – partizione di un, 149150, 163, 208-209 – prodotto cartesiano di, 147-149, 163 – quoziente, 208-209, 227 – rappresentazioni di un, 139-140, 163 – uguali, 140-141, 163 – unione di, 144-145, 163 – universo, 147, 159 – vuoto, 138, 163 intensità, ␣5-␣6 interi, numeri, 20, 22-28, 32 interna-i – angoli, G71, G95 – di un poligono, G53 – di un triangolo, G43, G55 – operazione, 3, 23, 26, 30, 80 intersezione tra insiemi, 143-144, 145, 163 – congiunzione e, 160

I

4

intervallo, 439-440 – delle soluzioni, 439-440 – di confidenza, ␣19, ␣22 intervista, ␣2 intrecciata – linea, G11 – poligonale, G7 invariantiva, proprietà, 1011, 25, 31, 71, 78, 93, 367 inversa-o – funzione, 213, 214, 228 – operazione, 2 – proporzionalità, 218, 229 – relazione, 203-204, 227 – teorema, G3 invertire, proprietà dell’, 84, 94 iperbole equilatera, 218 ipotenusa, G46 ipotesi, G2-G3, G18 irrazionali, numeri, 88-89 irriducibile, polinomio, 359 isoscele – trapezio, G85-G86, G98 – triangolo, G45, G55 ISTAT, ␣3 istogramma, ␣7, ␣21

K Kaniszka, triangolo di, G76 Kronecker, Leopold, 142

L largo, ordine, 209, 228 laterali, spigoli, G92 lato-i – concordi, G77 – di un angolo, G8 – di un triangolo, relazioni fra, G53 – di una poligonale, G7 – discordi, G77 – obliqui – di un trapezio, G85, G98 – di un triangolo isoscele, G45 – origine di un angolo, 222 – termine di un angolo, 222 legge-i – di annullamento del prodotto, 4, 79 – di cancellazione, 28 – di monotonia, 27-28, 32, 78, 79 letterale, calcolo, 7, 360 linea-e – aperta, G11 – chiusa, G11 – curva, G11-G12, G22 – di frazione, 69, 93 – intrecciata, G11 – piane, G11-G12, G22 – semplice, G11 lineare-i – disequazioni, 438, 441442 – equazioni, 425, 428-430 – funzione, 219-220, 229

livella a bolla, G5 Lo Shu, 23 Lobacevskij, geometria di, G75 logica, 150-161, G4 logica-he-i – connettivi, 151-155, 164 – deduzione, 157 – espressioni, 151, 155-157, 164 – ragionamenti, 157-158, 164 – variabili, 150-151 luna, luce della, G94 lunghezza di un segmento, 432, G11, G17

M macula, G76 magico, quadrato, 23 mai verificata, disequazione, 442 massimo comune divisore (v. M.C.D.) materiale, implicazione, 154-155, 164 maya, sistema di numerazione, 19 M.C.D. – fra monomi, 271, 290 – fra numeri naturali, 1415, 31 – fra polinomi, 364-365, 373 m.c.m. – fra monomi, 271, 290 – fra numeri naturali, 15, 31 – fra polinomi, 364-365, 373 media-e, ␣11-␣12, ␣22 – aritmetica, ␣11-␣12, ␣22 – campionaria, ␣18 – degli scarti, ␣17 – di una distribuzione gaussiana, ␣18 – ponderata, ␣12-␣13, ␣22 – di calcolo, ␣11 – di posizione, ␣11 – scarto assoluto dalla, ␣16 mediana, ␣14, ␣22 – di un triangolo, G44 medio – di una proporzione, 83 – proporzionale, 84 – scarto quadratico, ␣17 – scarto semplice, ␣16␣17, ␣22 – valore, ␣11 Micene, G46 minimo-i – comune multiplo (v. m.c.m.) – termini, frazione ridotta ai, 71, 93 misura, 221, 432, G17 moda, ␣14-␣15, ␣22 modalità qualitativa, ␣2-␣3, ␣5, ␣6, ␣21

modus – ponens, 157-158, 164 – tollens, 158, 164 molecolare, proposizione (v. proposizione composta) moltiplicazione – di frazioni algebriche, 368 – di monomi, 268 – di numeri – interi, 24-25 – naturali, 2, 4 – razionali, 78-79 – di polinomi, 275-276 – di un monomio per un polinomio, 275 – di una disuguaglianza per un numero, 437, 450 – proprietà della, 8, 9-10, 24-25, 30, 79 mongolfiera, 423, 447 monomio-i, 265-271, 265267, 290 – con Wiris, 350 – divisione di un polinomio per un, 282 – grado di un, 267, 290 – M.C.D. fra, 271, 290 – m.c.m. fra, 271, 290 – nullo, 266 – operazioni con i, 267-270 – opposti, 268 – prodotto di un polinomio per un, 275 – ridotto a forma normale, 266-267, 290 – simili, 267-268, 290 monotonia – dell’addizione, 436, 450 – leggi di, 27-28, 32, 78, 79 motocicletta, 92 movimento rigido, G10 multipli – di un angolo, G15, G22 – di un numero, 5, 30 – di un segmento, G13, G22 musica, 83

N ⺞, insieme, 1-2, 138 naturale-i – dominio, 215, 229 – numeri, 1-15, 1-2, 30 necessaria, condizione, G50 – e sufficiente, G50 negativo – angolo orientato, 222 – esponente, 81, 94 – numero, 20 negazione di una proposizione, 152, 160, 164 neutro, elemento, 3-4, 23, 23, 78, 79 nodi di un grafo, 204 non (v. negazione) normale – curva, ␣18 – forma, 266-267, 272-273, 425 – sezione, G91

notazione – per le funzioni, 211 – scientifica, 86 note musicali, 83 notevoli, prodotti, 276-278, 291, 361, 372 nullo – angolo, G9, G22 – monomio, 266 – polinomio, 272 – segmento, G7 numerabile, potenza del, 142 numeratore, 69, 93 numerazione, sistemi di, 1719, 32 numerica-he-i – funzioni, 215-220, 229 – insiemi, 138 – problemi, 431 – variabile, 4 numero-i – approssimati, 89-91 – decimali – finiti, 86, 94 – periodici, 87-88, 94 – interi, 20, 22-28, 32 – operazioni nell’insieme dei, 22-26, 24-28, 32-32 – irrazionali, 88-89 – naturali, 1-15, 2, 30 – con Derive, 62 – espressioni con i, 6-7, 30 – operazioni nell’insieme dei, 2-4, 30 – negativo, 20 – pari, 5 – positivo, 20 – primi, 1, 14, 31, 16 – cicale e, 29 – tra loro, 15 – razionali, 72-80, 73-74, 93 – assoluti, 72-73 – con Excel, 129 – confronto tra, 75, 93 – frazioni e, 72-74, 93 – operazioni nell’insieme dei, 77-80, 94 – reali, 89 – scritto in forma polinomiale, 17, 32

O o (v. anche disgiunzione di due proposizioni), 144 obliqua-e-i – lati, G45 – retta-e, G69, G89, G95 occhio, G76 omogeneo, polinomio, 273, 291 operando, 2 operatore, 2 operazione-i – approssimazioni nelle, 91

Indice analitico

operazione-i (continua) – con gli angoli, G14-G16, G22 – con gli insiemi, 143-149, 163 – con i monomi, 267-270 – con i polinomi, 274-276 – con i segmenti, G12-G14, G22 – con le frazioni algebriche, 367-369, 373 – interna, 2, 23, 26, 80 – inversa, 2 – nell’insieme dei numeri – interi, 22-26, 24-28, 32 – naturali, 2-4, 30 – razionali, 77-80, 94 – proprietà delle, 8-11, 2223, 30-31 opposto-e-i – al vertice, angoli, G21G22, G23 – di un numero – intero, 23 – razionale, 78 – monomi, 268 – numeri interi, 20, 32 – polinomi, 274 – semirette, G6 OR (v. disgiunzione inclusiva di due proposizioni) ordinamento, G5-G6 ordinata-e – all’origine, 219 – asse delle, 215 – di un punto, 216 ordinato – insieme, 22 – polinomio, 274 ordine – di grandezza, 86 – in una coppia, 148 – largo, 209, 228 – nell’insieme dei numeri – interi, 22, 32 – naturali, 1-2, 30 – parziale, 210, 228 – postulato dell’, G5, G21 – relazioni di, 209-210 – stretto, 209, 228 – totale, 210, 228 orientamento, G1, G20 orientata-i – angoli, 221-222 – retta, 21, 32, 76, G6 – semiretta, 1-2, 30 origine – degli archi, 222 – di una semiretta, G6 – lato, 222 – ordinata all’, 219 ortogonale, proiezione, G70, G95 ortogramma, ␣7, ␣21 ottaedro regolare, G93 ottagono, G53 ottiche, illusioni, G76 ottusangolo, triangolo, G46, G55 ottuso – angolo, G18, G23 – diedro, G91

P ⺠, insieme, 138 Pacioli, Luca, 370 papiro di Ahmes, 433 parabola, 220 parallasse, G54 parallela-e-i – per un punto a una retta, G74-G75 – piani, G88, G99 – postulato delle (v. quinto postulato di Euclide) – rette, G71-G75, G72, G77-G78, G88, G95-G96 – a un piano, G88, G99 parallelepipedo, G92, G100 – rettangolo, G92, G100 parallelismo – tra piani, G88 – perpendicolari alla stessa retta, G89 – tra rette, G73, G74-G75, G77, G95-G96 – criterio per il, G73, G95-G96 – parallele a una stessa retta, G77 – perpendicolari a una stessa retta, G74 – perpendicolari allo stesso piano, G89 parallelogramma-i, G81G83, G81, G97 – altezza di un, G84 – con GeoGebra, G112 – proprietà dei, G81-G83 parentesi, espressioni e, 7 pari, numeri, 5 parsec, G54 parte-i – congruenti, divisione di un segmento in, G87 – insieme delle, 149, 163 – letterale di un monomio, 266, 290 – problema delle, 85 partizione – del piano da parte di – una linea chiusa, G12 – una retta, G8 – dello spazio da parte di un piano, G19 – di un insieme, 149-150, 163 – in classi di equivalenza, 208-209, 227 parziale – ordine, 210, 228 – raccoglimento, 361, 372 pentagono, G53 percentuale-i, 82-83, 94 – frequenza relativa, ␣4, ␣21 periodici, numeri, 87-88, 94 permutare, proprietà del, 84, 94 perpendicolare-i – a una retta, segmento, G71 – esistenza e unicità della, G70

perpendicolare-i (continua) – piani, G91 – piede della, G70, G89, G95, G99 – retta, G69-G71, G95 – a un piano, G89, G99 piano-i, G2 – angolo tra retta e, G91 – cartesiano, 216 – distanza di un punto da un, G90, G100 – e retta nello spazio, G88G89 – geometria del, G1-G20 – incidenti, G88, G99 – nello spazio, G88 – paralleli, G88, G99 – distanza fra due, G89 – perpendicolari, G91 – alla stessa retta, G89 – postulati di appartenenza del, G5, G21 – postulato di partizione del, G8 – proiezione di una retta su un, G91 piatto, angolo, G9, G22 poliedri, G91-G93, G100 – regolari, G93, G100 poligonale, G7, G21 poligono-i, G53, G56 – classificazione dei, G53 – delle frequenze, ␣7 – regolare, G53 polinomiale-i – forma, 17 – funzioni, 280-281, 292 polinomio-i, 272-317, 272274, 290-292 – completo, 274, 291 – divisibile per un monomio, 282, 292 – divisibilità fra, 282-283 – divisione tra, 282-286, 292 – grado di un, 273, 291 – identità dei, 281 – irriducibile, 359 – M.C.D. fra, 364-365, 373 – m.c.m. fra, 364-365, 373 – nullo, 272 – omogeneo, 273, 291 – operazioni con i, 274276, 282-284 – opposti, 274 – ordinato, 274, 291 – ridotto a forma normale, 272-273, 290 – riducibile, 359 – scomposizione in fattori di un, 359-364, 372 – uguali, 273 – zeri di un, 280, 292, 363, 364 ponderata, media aritmetica, ␣12-␣13, ␣22 popolazione, ␣2, ␣21 – mondiale, 225 positivo – angolo orientato, 222 – numero, 20

posizionale – scrittura, 86, 94 – sistema di numerazione, 17 posizione, medie di, ␣11 postulati, G2 – dell’ordine, G5, G21 – della circonferenza, G12 – delle parallele, G74-G75 – dello spazio, G19 – di appartenenza, G4-G5, G21 – di Euclide, quinto, G74G75 – di partizione – del piano, G8, G12 – dello spazio, G19 – sui movimenti rigidi e la congruenza, G10 potenza – con esponente – intero negativo, 81, 94 – naturale, 6, 26, 31, 32 – del continuo, 142 – del numerabile, 142 – di un binomio, 279 – di un monomio, 269, 290 – di una frazione, 80, 94 – algebrica, 369 – di una potenza, 12, 31 – proprietà delle, 11-14, 26, 31 predicato, 151 premessa, 157 primi – fattori, 14-15, 31 – numeri, 1, 14, 16, 31 – tra loro, 15 primitivi, enti, G2, G21 principe e messaggero, 430 principio-i – di Archimede, 447 – di equivalenza – delle disequazioni, 441, 450 – delle equazioni, 426428, 448-449 – di identità dei polinomi, 281 prisma, G92, G100 – retto, G92, G100 – regolare, G92, G100 probabilità, ␣3 problema-i – delle parti, 85 – equazioni e, 431-432, 449 prodotto-i – cartesiano, 147-149, 163 – costante, 218 – della somma di due monomi per la loro differenza, 276-277, 291, 361, 372 – di due frazioni algebriche, 368 – di due monomi, 268, 290 – di due numeri – interi, 24-25, 32 – naturali, 2, 30 – razionali, 78, 91, 94 – di due polinomi, 275276, 291

prodotto-i (continua) – di potenze, 11, 13, 31 – di un monomio per un polinomio, 275 – in croce, 75 – legge di annullamento del, 4 – notevoli, 276-278, 291, 361, 372 – studio del segno di un, 443 proiezione ortogonale, G70, G91, G95 prolungamenti di un segmento, G7 propagazione degli errori, 91, 94 proporzionale, medio, 84 proporzionalità – diretta, 217-218, 229 – inversa, 218, 229 – quadratica, 220, 229 proporzioni, 83-85, 94 proposizione-i – antecedente, 154 – atomica (v. anche proposizione semplice), 151 – composta, 151-152, 155157, 164 – congiunzione di due, 152-153, 164 – conseguente, 154 – disgiunzione esclusiva di due, 154, 164 – disgiunzione inclusiva di due, 153-154, 164 – elementare, 151 – equivalenti, 157, 164 – logica-he, 150-151, 164 – molecolare, 151 – negazione di una, 152, 164 – semplice, 151 proprietà – caratteristica, 140 – degli angoli con i lati paralleli, G77-G78 – della relazione di congruenza tra figure, G10 – delle disuguaglianze numeriche, 436-437, 450 – delle operazioni, 8-11, 22-23, 30-31 – delle potenze, 11-14, 26, 31 – delle proporzioni, 84, 94 – delle relazioni, 205-207 – invariantiva delle frazioni, 71, 93, 367 proprio, sottoinsieme, 141, 163 punto-i, G2 – allineati, G5 – coordinate di un, 216 – del piano e coppie di numeri, 216 – distanza da un piano di un, G90, G100 – distanza da una retta di un, G71, G95 – distanza fra due, G11, G22

5

I

Indice analitico

punto-i (continua) – esterni a una linea chiusa, G12 – interni – a una linea chiusa, G12 – di un angolo, G8 – di un segmento, G7 – medio di un segmento, G13-G14, G22

Q ⺡, insieme, 74, 76, 93, 138 quadratica-o – proporzionalità, 220, 229 – scarto, ␣17 – medio, ␣17 quadrato-i, G84-G85, G98 – di un binomio, 277, 291, 361, 372 – di un trinomio, 278, 291, 361, 372 – differenza di due, 276277, 291, 361, 372 – falso, 288 – magico, 23 – proprietà del, G85, G98 quadrilatero, G53 – con le diagonali perpendicolari, G84 qualitativi-e – caratteri, ␣2-␣3, ␣21 – modalità, ␣2-␣3, ␣5, ␣21 quantificatore-i, 161, 165 – esistenziale, 161, 165 – universale, 161, 165 quantitativi-e – caratteri, ␣2-␣3, ␣21 – modalità, ␣2-␣3, ␣6, ␣21 quinto postulato di Euclide, G74-G75 quoziente – di due frazioni algebriche, 369 – di due monomi, 270, 290 – di due numeri – interi, 25-26, 32 – naturali, 2, 3, 30, 70 – razionali, 79, 91, 94 – di due polinomi, 282-283 – di due potenze – di uguale base, 12, 31 – di uguale esponente, 13, 31 – insieme, 208-209, 227 – polinomio, 282-283

R ⺢, insieme, 138 raccoglimento – a fattore comune, 10, 360, 372 – parziale, 361, 372 radiante, 221 radice (v. soluzione) raggio-i, G12 – luminosi, G94 ragionamento, 157-158, 164 Ramanujan, Snrinivasa, 359, 371

I

6

rapporto-i, 69, 92 – costante, 217 rappresentazione – decimale, 85-88, 94 – dei numeri – interi, 21, 32 – naturali, 1-2, 30 – razionali, 76 – del prodotto cartesiano, 148-149 – della relazione inversa, 204 – delle soluzioni di una disequazione, 439-440 – di un insieme, 139-140, 163 – grafica, 139 – mediante la proprietà caratteristica, 140 – per elencazione, 139 – tabulare, 139 – di una classe dell’insieme quoziente, 208 – di una relazione, 202, 227 – cartesiana, 202, 227 – con tabella a doppia entrata, 202, 227 – sagittale (v. anche grafo di una relazione), 202, 227 – grafica dei dati, ␣7-␣10, ␣21 razionali, numeri, 72-80, 73-74, 93 reali, numeri, 89 reciproco-i – di numeri concordi, proprietà dei, 437, 450 – di un numero razionale, 79, 94 regolare – poliedro, G93, G100 – poligono, G53 relativa-o – errore, 90, 94 – frequenza, ␣4, ␣5, ␣21 relazione-i, 201-210 – antiriflessiva, 207, 227 – antisimmetrica, 207, 227 – binarie, 201-204, 201, 227 – rappresentazione delle, 202, 227 – definite in un insieme, 204-210 – di congruenza, G10 – di equivalenza, 208-209, 227, G77 – di ordine, 209-210 – largo, 209, 228 – parziale, 210, 228 – stretto, 209, 228 – totale, 210, 228 – fondamentali trigonometriche, 223, 229 – grafo di una, 204 – inversa, 203-204, 227 – riflessiva, 205, 227 – simmetrica, 205-206, 227 – tra i lati di un triangolo, G53 – tra lato maggiore e angolo maggiore, G52-G53 – transitiva, 206-207, 227

resto – divisione con, 3 – polinomio, 282-283, 285, 286 – teorema del, 286-287, 292 reticolo di Amsler, G76 retina, G76 retorica, G4 retta-e, G2 – angolo con un piano di una, G91 – appartenente a un piano o giacente su un piano, G88, G99 – complanari, G88, G99 – incidenti, G88 – parallele, G88 – distanza di un punto da una, G71, G95 – e piano nello spazio, posizione reciproca di, G88G89 – equazione di una, 219 – fascio proprio di, G6 – incidente-i, G69, G95 – a un piano, G88, G99 – complanari, G88 – nello spazio, G88 – posizione reciproca di due, G88 – obliqua-e, G69, G89, G95 – ordinamento su una, G5G6 – orientata, 21, 32, 76, G6 – parallela-e, G71-G75, G72, G77-G78, G95-G96 – a un piano, G88, G99 – a una stessa retta, G77 – distanza fra, G84, G97 – e direzione, G77 – fascio di, G77 – inverso del teorema delle, G74-G75 – teorema del fascio di, G87, G99 – teorema delle, G73, G95-G96 – per due punti, G4, G21 – perpendicolare-i, G69G71, G95 – a un piano, G89, G99 – a una stessa retta, G74 – allo stesso piano, G89 – postulati di appartenenza della, G4-G5, G21 – proiezione su un piano di una, G91 – sghembe, G88, G99 – tagliate da una trasversale, G71-G72, G95-G96 – trasversale, G71-G72, G86 rettangolo-i, G83, G97 – parallelepipedo, G92, G100 – proprietà del, G83, G97 – trapezio, G85, G98 – triangolo-i, G46, G55, 224, 229 retto – angolo, G17, G23 – diedro, G91 – prisma, G92, G100

riceventi universali, 137, 162 riducibile, polinomio, 359 riduzione – di frazioni – a denominatore comune, 72 – ai minimi termini, 71 – di un monomio a forma normale, 266-267 – di un polinomio a forma normale, 272-273, 290 riflessiva, relazione, 205, 227 rigido, movimento, G10 risolvente, equazione, 432 rombo, G84, G98 – proprietà del, G84, G98 Ruffini, Paolo, 284 – regola di, 284-286, 292, 362-364, 372 – teorema di, 287-288, 292, 362-364, 372

S sagittale, rappresentazione (v. anche grafo), 202, 227 sanguigni, gruppi, 162 scala musicale, 83 scaleno, triangolo, G45, G55 scarico, triangolo di, G46 scarto-i – assoluto dalla media, ␣16 – media artitmetica degli, ␣17 – quadratico-i, ␣17 – medio, ␣17 – semplice medio, ␣16␣17, ␣22 scientifica, notazione, 86 scomporre, proprietà dello, 84, 94 scomposizione in fattori – di un polinomio, 359364, 372 – primi di un numero naturale, 14, 31 scrittura posizionale, 86, 94 secondo grado, trinomi di, 362, 372 segmento-i, 432, G6-G7, G21 – addizione tra, G13, G22 – adiacenti, G7, G21 – confronto di, G12, G14 – congruenti, G12 – consecutivi, G7, G21 – corrispondenti, G86 – differenza di due, G14 – divisione in parti congruenti di un, G87 – lunghezza dei, G11, G17 – misura delle lunghezze dei, G17 – multipli di, G13, G22 – nullo, G7 – operazioni con i, G12G14, G22 – prolungamenti di un, G7

segmento-i (continua) – punto medio di un, G13G14, G22 – somma di due, G13, G22 – sottomultipli di, G13, G22 – sottrazione tra, G14 segno – del prodotto di numeri interi, 25 – di un prodotto, 443 – di una frazione, 444 – regola del cambiamento di, 428, 441, 449 semipiano, G8, G21 semiretta-e, G6, G21 – opposte, G6 – orientata, 1-2 semplice – linea, G12 – medio, scarto, ␣16-␣17, ␣22 – proposizione, 151 semplificazione – di frazioni, 71 – algebriche, 367 – di un’espressione, 7 sempre verificata, disequazione, 442 seno, funzione, 223-224, 229 seriazioni statistiche, ␣6 serie – statistiche, ␣5-␣6 – storica, ␣6 sessagesimale, grado, 221 sezioni di un diedro, G90G91 sghembe, rette, G88, G99 simili, monomi, 267-268, 290 simmetrica – distribuzione, ␣18 – relazione, 205-206, 227 sincopata, algebra, 370 sintesi, valore di, ␣12 sinusoide, 224 sistema – di disequazioni, 446, 451 – di numerazione, 17-19, 32 – maya, 19 SMS, triangoli e, G48 soggetto, 151 solide, figure, G2, G91, G93 soluzione-i – controllo delle, 431 – di un sistema di disequazioni, 446 – di una disequazione, 438, 439-440, 450 – di una equazione, 424, 448 somma – algebrica – di frazioni algebriche, 367 – di monomi, 268, 290 – di polinomi, 274, 291 – degli angoli di un poligono – esterni, G80, G96 – interni, G79, G96

Indice analitico

somma (continua) – di due angoli, G15, G22 – di due cubi, 288, 361, 372 – di due numeri – interi, 22-23, 32 – naturali, 2, 30 – razionali, 77, 91, 94 – di due segmenti, G13, G22 – e differenza di due monomi, prodotto della, 276277, 291, 361, 372 sottoinsieme, 140-141, 163 sottomultipli – di angoli, G15, G22 – di segmenti, G13, G22 sottrazione – di angoli, G17 – di frazioni algebriche, 367-368 – di monomi, 267-268 – di numeri – interi, 24 – naturali, 2-3 – razionali, 77-78 – di polinomi, 274-275 – di segmenti, G14 – proprietà della, 10-11, 24, 31, 78 sovrapponibilità, G10 spazio, G2, G88-G93 – postulati dello, G19 spigoli – di un angoloide, G93 – di un diedro, G90 – di un poliedro, G92 – di un prisma, G92 standard – deviazione, ␣17, ␣22 – errore, ␣19, ␣22 statistica-he, ␣1-␣20, ␣21 – con Excel, ␣35 – descrittiva, ␣2 – incertezza delle, ␣18-␣19, ␣22 – induttiva, ␣2 statistico-he-i – dati, ␣1-␣2, ␣21 – seriazioni, ␣6 – serie, ␣5-␣6 – unità, ␣2, ␣21 – universo, ␣2 stelle, G43, G54 storica, serie, ␣6 stretta-o – inclusione, 141 – ordine, 209, 228 studio del segno – di un prodotto, 443 – di una frazione, 444 sufficiente, condizione, G50 superficie di un campo, 269 supplementari, angoli, G18, G19, G23 suriettiva, funzione, 211212, 228

T tabagismo, ␣10 tabella-e – a doppia entrata, 149, ␣6␣7, 202, 205, 206, 227 – di contingenza, ␣7 – di correlazione, ␣7 – di frequenza, ␣3-␣4 tangente, funzione, 223224, 229 tangentoide, 224 tariffe, telegrammi e, 442 Tartaglia, triangolo di, 279 tasse, aliquote e, ␣12 tautologia, 156, 164 tavole di verità, 152, 153, 154, 155, 164 taxi, 359, 371 telegrammi, tariffe e, 442 temperata, scala, 83 teorema-i, 16, G2-G3, G21 – degli angoli – complementari di uno stesso angolo, G18, G23 – esplementari di uno stesso angolo, G19 – opposti al vertice, G18-G19, G23 – supplementari di uno stesso angolo, G19 – del fascio di rette parallele, G87, G99 – del parallelismo di rette – parallele a una stessa retta, G77 – perpendicolari a una stessa retta, G74 – del resto, 286-287, 292 – del segmento – con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo, G87, G99 – perpendicolare a una retta, G71 – del trapezio isoscele, G86, G98 – del triangolo isoscele, G48-G50, G56 – dell’angolo esterno – maggiore, G51-G52, G56 – somma, G78, G96 – della bisettrice del triangolo isoscele, G51, G56 – della congruenza di sezioni parallele di un diedro, G90-G91 – della distanza fra rette parallele, G84, G97 – della propagazione degli errori, 91, 94 – della relazione fra lato maggiore e angolo maggiore, G52-G53

teorema-i (continua) – della somma degli angoli interni – di un poligono convesso, G79, G96 – di un triangolo, G79, G96 – delle diagonali – del quadrato, G85, G98 – del rettangolo, G83, G97 – del rombo, G84, G98 – delle due rette parallele a una terza, G77 – delle relazioni fra i lati di un triangolo, G53 – delle rette parallele, G73, G95-G96 – inverso del, G74-G75 – di esistenza e unicità della perpendicolare, G70 – di Ruffini, 287-288, 292 – scomposizione mediante il, 362-364, 372 – dimostrazione di un, G2G3, G18, G21 – inverso (o reciproco), G3 termine-i – di un polinomio, 272 – lato, 222 – noto – di un polinomio, 274, 291 – di un’equazione, 425 tesi, G2-G3, G18 testa o croce, 85 tetraedro regolare, G93 tétraktys, 83 torta, diagramma a, 82, ␣8 totale, ordine, 210, 228 transitiva, relazione, 206207 trapezio, G85-G86, G98 – con GeoGebra, G112 – isoscele, G85-G86, G98 – rettangolo, G85, G98 trasferta, vittorie in, ␣1, ␣20 trasporto, regola del, 427, 441, 448 trasversale – del fascio, retta, G86 – rette tagliate da una, G71G72, G95-G96 triangolo-i, G43-G54, G55 – acutangolo, G46, G55 – altezza di un, G44 – bisettrice di un, G44 – classificazione dei, G45, G60 – con Cabri-Géomètre, G63 – congruenza dei, G47G48, G56 – di Kaniszka, G76 – di scarico, G46

triangolo-i (continua) – di Tartaglia, 279 – disuguaglianze nei, G51G53, G56 – equilatero, G45, G55 – proprietà del, G50 – isoscele, G45, G55 – inverso del teorema del, G49-G50 – proprietà del, G48G50, G56 – teorema del, G48-G49, G56 – teorema della bisettrice nel, G51, G56 – mediana di un, G44 – ottusangolo, G46, G55 – rettangolo, G46, G55 – congruenza dei, G80G81, G96 – funzioni goniometriche e, 224, 229 – scaleno, G45, G55 – SMS e, G48 – somma degli angoli interni di un, G79, G96 trigonometriche, relazioni fondamentali, 223, 229 trinomio-i – di secondo grado, scomposizione di, 362, 372 – quadrato di un, 278, 291, 361, 372

U uguaglianza-e – delle figure, G10 – leggi di cancellazione per le, 28 – leggi di monotonia per le, 27, 78, 79 uguali – insiemi, 140-141, 163 – polinomi, 273 unicità – del punto medio di un segmento, G13 – della bisettrice di un angolo, G16 – della parallela per un punto a una retta, G74G75 unione tra insiemi, 144, 163 – disgiunzione e, 160 – proprietà dell’, 145 unità statistiche, ␣2, ␣21 universale, quantificatore, 161, 165 universo – insieme, 147, 159 – statistico, ␣2 univoca, corrispondenza (v. funzione) uno, 3

V valido, ragionamento (v. anche deduzione), 157-158 valore-i – assoluto, 20, 32 – funzione, 220 – centrale, ␣5, ␣14 – di sintesi, ␣12 – di verità, 150-151, 164 – medio, ␣11 variabile-i, 159 – dipendente, 215, 229 – direttamente proporzionali, 227 – indipendente, 215, 229 – inversamente proporzionali, 218 – logiche, 150-151 – numerica, 3 variabilità, ␣15 – indici di, ␣15-␣17, ␣22 varianza, ␣17 variazione, campo di, ␣15, ␣22 vel (v. disgiunzione inclusiva di due proposizioni) velocipede, 69, 92 Venn, John, 139 verità – insiemi di, 159, 165 – tavole di, 152, 153, 154, 155, 156, 164 – valore di, 150-151, 164 vertice-i – del poligono, G53 – del triangolo, G43, G55 – di un angolo, G8 – di un angoloide, G93 – di un poliedro, G92 – di un prisma, G92 vuoto, insieme, 138, 163

W Wiris, 191 – insiemi con, 191 – monomi com 350

X XOR (v. disgiunzione esclusiva)

Z ⺪, insieme, 20-21, 32, 138 zero-i, 3-4 – di un polinomio a coefficienti interi, 363-364 – di una funzione polinomiale, 280, 292

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FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI II, 1, 29 (a): Dave Allen Photography/Shutterstock; III (a), 69, 92 (a): L’uomo a due ruote. Avventura, storia e passione, Electa, Milano, 1987; III (b), 137, 162: NCI/Photo Researchers, Inc.; IV (a), 201, 226 (a): Alexandru Chiriac/Shutterstock; IV (b), 265, 289 (a): Robert Doisneau, 1956; V (a), 359, 371 (a): Topical Press; V (b), 423, 447 (a): R. Gino Santa Maria/Shutterstock; VI, ␣1, ␣20: Comstock, Sports in motion, New York, 2001; VII (a), G1, G20: Theiss Heidolph; VII (b), G43, G54: Robin Kerrod, The Mirror on the Universe, Toronto, Firefly Books, 2003; VIII, G69, G94 (a): Corbis; IX (a), IX (b): Andresr/Shutterstock; X: Serp/Shutterstock; XI (b): Jocicalek/Shutterstock; XI (c): Willem Dijkstra/Shutterstock; XII: Rui Vale de Sousa/Shutterstock; XIII: M.E. Mulder/Shutterstock; XIV: Roland Rehak/Shutterstock; XVI (a): Yuri Arcurs/Shutterstock; XVI (b): Sascha Burkard/Shutterstock; XVI (c): Steve Byland/Shutterstock; 19 (a): E. Porter, 1979; 19 (b): Colin Monteath, 1996; 19 (c): G. Bearzi, 1991; 28 (a), 28 (c), 28 (d): Giuseppe Ferrari, 2006; 28 (b): Michael Whitehouse; 29 (c): Brand X Pictures, Complete Produce Library 1, Bruke/Triolo Productions, Culver City, CA, 2001; 29 (d): Zaichenko Olga/Shutterstock;

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