Matematica discreta. Esercizi 8871923065, 9788871923062 [PDF]

Zitiervorschau

Indice Alberto Alzati Mariagrazia Bianchi Massimo Cariboni Notazioni

vii

Introduzione

xi

Avvertenze

Matematica discreta Esercizi

----PEARSON

Education

xiii

Insiemi, relazioni, applicazioni

1

2 Numeri interi, congruenze lineari

23

3 Gruppi

37

·4 Anelli e campi

53

5 Anelli di polinomi

69

6 Grafi, calcolo combinatorio

89

7 Matrici, determinanti e sistemi lineari

103

8 Spazi vettoriali

123

9 Omomorfismi (applicazioni lineari)

137

1O Spazi euclidei

155

11 Autovalori e autovettori

165

12 Geometria dello spazio

179

viii

Notazioni

Nota zioni

congruenza lineare

e e n u

a [b

l'elemento a divide l'elemento b

af b

N

l'elemento a non divide l' elemento b monoide degli interi naturali

inclusione stretta

z

anello degli interi

intersezione

Q

campo dei razionali

unione appartenenza

~

campo dei reali

(S) e sia {X } la sua classe di equivalenza rispetto ad R. Costruiamo l' applicazione 1/! : '!JìJ (S) / R ---+ :y.> (A ) siffatta: 1/! ({X I) = X n A; i/f è davvero un'applicazione in quanto non dipende dalla sce lta del rappresentante X della classe (X}, in fatti se Y RX, ossia se {Y} {X}, abbiamo 1/! ( {Y}) = Y n A , m a essendo Y R X è Y n A = X n A. Quindi si tratta di dimostrare che 1/1 è bi univoca; 1/1 è iniettiva: infatti se 1/f ({X }) = 1/f ((Y}) significa che X n A = Y n A quindi X RY cioè {X } =:= I Y); i/f è suri ettiva: sia A un sottoinsieme di A, ossia un elemento di :'.f'>(A) , A è anche un sottoinsieme di S, ossia un elemento di Pi\ S); consideriamo la classe di equivalenza (A } rispetto ad R; risulta

=

1/!({A})

= AnA = A

(essendo A

quindi 1/1 è anche suriettiva. Di conseguenza i/f è biunivoca. 3. Le class i d i equivalenza di R sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di : Jll(A) per il punto precedente. ~ (A ) = {0, {a}, {b), A= (a, b)).

Abbiamo così 4 classi

=

I): II): III): IV) :

0, {a), {b},

{a, b},

{b }, (a. e), {b, e), {a, b, c },

(d },

{c , d )

{a, d),

{a ,c, d )

{b,d ),

{b, c , d )

{a, b , d}:

{a , b , e, d )

Esercizio 1.5 Sia S un insieme non vuoto e sia A un suo sottoinsieme. I . Si verifichi che la relazione R definita pone ndo: X RY

X

nA=

Y

nA

per ogni X ç S, Y ç S

è una rela zione d'equivalenza nell'insieme :J>(S).

2. Si dimostri che l'insieme quoziente '.'JP(S)/ R è in corrispondenza biunivoca con l'insieme :Jl(A) dei sotloinsiemi di A.

ç A)

la prima è costituita da tutti quegli X ç S tali che X la seconda da quegl i X ç S tali che X n A = {a} la terza da quegl i X~ S tal i che X n A= {b } la quarta da quegli X ç S tali che X n A = {a ; b) .

n A = Vl

Esercizio 1.6 Sia S = (1, 2, 3) un insie me di 3 elementi.

a) Si elenchino tutte le relazioni di equivalenza che si possono definire su S .

Insiemi. relazioni. applicazioni

5

6

Capito lo l

2

b) Si elenchùw tutte le rela zioni d 'ordine che si possono definire su S. e) Quaflle sono le relazioni che si possono definire su S?

3

Svolgimento: a) Ogni relazione di equivale nza definita su S corrisponde ad una partizione di tale insieme e viceversa. Si tratta quindi di elencare tutte le possibili partizioni di S. Indichiamo con le parentesi graffe le classi di equivalenza in cui si ripartisce S di volta in volta: I)

2) 3)

4) 5)

{ l} ( 1, 2) { 1, 3)

(2)

{ l} {1, 2, 3}

(2, 3}

{3}

{3)

{2}

2

•

2

.,I., 3

3

2

Se supponiamo che un elemento sia confrontabi le con gli altri due, ma questi ultimi non lo siano fra di loro abbiamo ancora 6 casi: 2

l

3 2

3

3

2

e) Una relazione su S è un sottoinsieme del prodotto cartesiano S x S che è costituito da 32 = 9 elementi . U n insieme di 9 ele menti ha esattamente 29 sottoinsie mi , tale è dunque il numero dell e relazioni che si possono de fin ire su s.

Detti N e .Z gli insiemi dei numeri naturali e. rispettivamente, dei numeri interi relativi dire se le seguenti relazioni sono o meno relazioni d 'ordine:

=

I. a R 1b {::::::::} M.C.D.(a , b) l in N\ {0} 2. a R2b ~ M.C.D. (a , b) = a in N\{O} 3. a R3b ~ a - b è positivo o nullo in Z 4. a R4b ~ a = 3b in N

Svolgimento: I. R 1 no n è riflessiva perchè a ,R 1a, infatti M.C.D.(a, a ) = a mentre dovrebbe essere M.C.D. (a, a ) = 1\fa E N\{O}. Pertanto R 1 non è relazione d 'ordine. 2. R 1 è riflessiva: M.C.D. (a , a) = a \fa E N\{O}. R2 è antisimmetrica in quanto se a R 2 b si ha M.C.D.(a , b) a , se bR 2 a si ha M .C.D. (b, a) = b quindi a = b (essendo M.C.D. unico in N\{0}). R2 è transitiva: se a R2 b si ha M.C. D.(a , b) = a ossia a lb ; se b R2 c si ha M .C.D.(b, e) = b ossia b [c; dal fatto che a [b e b [c si ha a [c, oss ia M.C.D.(a, e) = a, ossia a R2 c. Quindi R2 è relazione d' ordine . 3. R3 è relazione d 'ordine in quanto aR3 b A 2

8.

B: A n B' = 0 ==> A S 11 .

A n B = 0. A U B = X.

A'= X \ A. ( A \ 8)' 2 B. [(A \ B ) U (B \ A)J' 2 A ( A n B)' S A U B.

n B.

A : A U 8 SA x B . B : Se A ha 10 elementi A x B ha almeno 11 elementi. C: Se A ha un numero finito di elementi anche A x B ha un nnmero finito di elementi .

13 Sia D la differenza simmetrica di due sottoinsiemi A e B di un fissato insieme X : ossia D = (A \ B) U (8\ A).

A: Può essere D = 0 anche se A ,P 0 e 8 t= 0, A t= 8 . B: fl complementare di D in X ha più elementi di D. C: Può essere D =X anche se A -:f X e B f. X .

A: Per ogni A , 8 C: Per ogni A, 8

A: (B \A) ne "'0. B: A' n et= 0.

e

A: B: C: D:

E

B: Per ogni A , B E

8 Siano A, 8. C sottoinsiemi di un insieme X fissato; per ogni sottoinsieme Y di X sia Y' il suo complementare in X.

A: A

~ ~

14 Sia U l'insieme delle rette di un piano.

7 Siano A e B due sottoinsiemi di un insieme X fissato. A : Se (A U B) B: Se (A n B) C: Se (A n B)

C: A n B' = 0 n B' = 0

D: A

12 Siano A e 8 due insiemi e sia A x B il loro prodotto cartesiano.

5 Sia "!?/'(S) l' insieme delle parti di un fissato insieme S, e siano A . 8, C E 9'>(S). A: A u (B B: A U (8

Capito lo l

11 Siano A e B due sonoinsiemi di un insieme X fissato, e sia Y' il complemento di ooni sottoinsieme Y di X. "'

S

Be B ( B) = 2P( A n 8). B: . ~(A) U "!.f> (B) = ~(A U 8). C: '.o/>( Y'[ '.~(0)]} contiene 4 elementi.

17 Sia R una relazione su un insieme X; R' la relazione trasposta di R . A: Se R è antisimmeuiea non può essere simmetrica. B: Se R è simmetrica non può essere antisimmetrica. C: Se R è simmetrica e transitiva è anche riflessiva. D: Se R è antisimmetrica anche R' lo è. E: R è transitiva se R U R' ç R.

Insiemi. relazioni. applicazioni

17

18 Si consideri l'insieme X = {x1, x2 , x3 . x4} e si indichino rispettivamente con I la relazio ne identica su X e con R la relazione con X così definita:

A:

[~ ! ~ ~] 1

Capitolo l

B: R2 è una relazione d 'equivalenza. C : R3 è una relazione d 'equivalenza.

24 Sia U un insieme, sia X= 9D(U). Si consideri (X, ç;). A: (X, ç;) è un insieme ordinato. B: (X , ç;) è un insieme totalmente ordinato. C: Ogni coppia di cleme nti di X ammette estre mo superiore ed inferiore.

è la matrice d i incidenza R U / .

o o

1 B: R U I è una relazione transitiva. C: R è un' applicazione da X ad X.

25 Sia U un insieme, sia X = r!P(U) . Si consideri (X, ç;). A: Per ogni coppia di elementi A , B E X sup(A, B ) =A U B. B: Per ogni coppia di elementi A, B E X sup( A, 8) = X \(A U B ). C: 0 è il minimo de ll'insieme X. D : X non ammette massimo.

19 Sia S un insie me e Runa re lazione definita in S, sia no a, b E S. A: Sia S = N\(0}; aRb se e solo se alb è una relazione di equivalenza in N\ {O}. B: Sia S lf:; fl Rh se e solo se )a I lbl è una relazione di equivalenw in C. C: Sia S = C; a Rb se e solo se a 2 = b 3 è una relazione d i equivalenza in C.

=

18

=

a e 20 SiaQ l'insieme dei numeri razionali. Perogni b e d

E Qsi ponga

a

è un numero intero. A: R è riflessiva in Q. B: R non è transitiva in Q. C: R è di equivale nza in Q. D: R è antisimmetrica in Q.

la sua malrice di inc idenza.

A : R è rine ssiva. B : R è antisimmetrica. C: R è di equivalenza.

22 Sia R una relazione su un insieme X = {x 1. x2, x3) e sia

la sua matrice di incidenza. A : R è rinessiva. B: R è simmetrica. C : R è di equivale n1..a.

23 Sia Z l'insieme degli interi; per ogni a , b E Z si ponga:

A: R1 è una relazione d'equivalenza.

a

(1 707) = (3) O, b >O. 2. Verifichiamo in primo luogo che R è una relazione d'equivalenza. Sia 2a31> un elemento di S allora (2a3b) R (2a3b) poiché a + b a + b ed R è riflessiva. Siano 2a i3bi e 2ai 3bi due e lementi di S tali che (2a 1 3b1 )R(2a2 3b2 ) a llora a , +bi = a 2 + b2 ossia a2 + b2 = a 1 + b 1 e quindi (2a2 3b2 )R(2a 13"1) ed R è anche simmetrica. Siano ora 2ai3b1, ia13h1 , 2ai3b3 tre elementi di S ta li che (2"13b1)R(2a2 3b2 ) e (2"2 3b2 ) R(2a3 3h3 ), allora a 1 + b 1 = a 2 + b2 e a2 + b2 = a 3 + b 3 quindi a 1 + b 1 = a 3 + b 3 ossia (2" 13bi) R(2"3 3b3 ) ed R è transitiva. Mostriamo ora che R è una congruenza in S. Siano 2"' 3b1 ,2°23b2 , 2"33b3, 2a• 3h• quattro elementi di S tali che (2a, 3b1 )R(2a231>2) e (2°3 3b3 )R(2"4 3b4 ) quindi a i +b1 = a2 + b2 e a3 + b3 = {l4 + b4; consideriamo h = 2°1 3b 1 • 2a3 3b3 = 2" 1 +u3 • 3hi+b3 e k = 2a2 3"2 • 2"4 3b4 = 2a1 +a4 • 3bi+b4 ; dobbiamo mostrare che

=

=

e)

[I]

[l ) [2] [3]

[0] [O] [O] [O] [O] [O]

Svolgimento:

ove [I] indica la classe contene nte la parola vuota l e (aa ] la classe in cui stanno tutte le parole di lung hezza almeno 2. b) Mostriamo, ora, che R è una congruenza in @ A, cioè R è compatibile con il prodotto (concatenazione) di 2 parole . Sia

w1

[O]

Sia (N.-) il monoide moltiplicativo dei numeri naturali.

Le classi di equ ivalenza sono dunque

q uind i o

La tavola di composizione di (Z5 ,.) è

Esercizio 3.3 W1R w3

e allora { l(wi) 2:

w2 = w 3

39

= [xy]R

40

Gruppi

Capitolo 3

h Rk cioè c he a1 + a3 + b 1 + b3 = a 2 + a 4 + b 2 + b4 , ma ciò è vero dato che a1 + b1 = a2 + b1 e a3 + b3 = a4 + b4 • pertanto R risulta una congruenza in S. Determiniamo ora [l]R = {2x3.r E Sj(2'T")R(2°3°)), dovrà essere x + y = O + O = O con x ::;: O e y ::;: O, ciò è possi bile se e solo sex = y = O; pertanto [l]R = {I}. Poiché 3 = 2° · 3 1 abbiamo [3]R = {2x3Y E Si(2x3Y )R(2°3 1)), dovrà essere x + y = O + 1 = 1 ed essendo x ::;: O e y ::;: O può essere solo x =O, y = l oppure x = I , y =O quindi [3]R = [3, 2). Poiché 4 = 2 2 . 3o abbiamo [4]R = [2x3" E S i(2x3Y )R(2 2 . 3°)}, dovrà essere x + y = 2 +O = 2 ed essendo x ::;: O ed y :::_ O restano solo queste possibilirà: x = O, y = 2; x = 1, y = I ; x = 2, y = O; quindi [4]R = {9, 6, 4}. Analogamente [8]R = {27, 18, 12, 8} [1 2)R . 3. Costruiamo un omomorfismo s ur;iettivo u·a (S, o) e (Z0 , + ) in questo modo: per ogni elemento 2xy di S poniamo: F(2x3-") = x + y . F è un'applicazione tra Se Zo chiaramente suriettiva, infatti ad ogni elemento 2x3.r di S è associato un solo numero intero positivo o nullo: x + y che sta in Z0 essendo x, y interi , x :'.: . O, y :'.::. O. Scelto comunque z E Z 0 esiste l'elemento 2z3o di S tale che F(2~3°) z +O= z. Inoltre F è un omomorfismo di monoidi poiché F(2°3°) = O+O =O. J = 2°3° è l'unità di S, sottomonoide di Ne O è la uni tà di (Z0 , +);scelti comunque 2x3v E Se 2z3t E S si ha:

=

=

F[(2xY) · (2z3t)] = F(2x+zy +t) = y +

=

F (2x3Y)

z+ y

+

f =X

+ y + z +I =

41

Svolgimento:

Se ab = ba consideriamo (ab) 2 = (ab)(ab) = a(ba)b = a(ab)b = a 2b 2• Viceversa sia (ab) 2 = a 2b2, cioè (ab)(ab) = a 2 b 2 , poiché in un gruppo valgono le leggi di cancellazione si ha

abab

= a 2b 2 ==> bab = ab 2

==>ba = ab

Esercizio 3.6 Sia da10 un gruppo G di urdi11e pari. Provare che esiste in G un elemento h , diverso dall 'unità le, tale che h 2 = l e. Svolgimento:

=

Basta mostrare che esiste in G un e lemento h f:. le tale che h h- 1 e quindi h 2 = l e . Se nessun e lemento diverso da I e coincidesse col suo inverso, accoppiando ogni elemento col suo inverso, si otterrebbero 2k elementi che, aggiunti all'unità, darebbero 2k + I elementi, cioè un numero dispari di elementi contro l'ipotesi che G abbia ordine pari.

Esercizio 3.7 Per ogni h reale non nullo, si consideri l'applicazione fi1 : JR --'> lit tale che f i,(x ) = hx per ogni x di R Si dimostri che l'insieme delle applicazioni f1i al variare di h . è un gruppo rispetlo al prodotto di applicazioni.

+ F(2' 3t); Svolgimento:

pertanto F è un omomorfismo suriettivo di monoidi. La congruenza R è la congruenza RF associata ad F, in fa tti dati 2xy e 2'3 ' E S si ha (2,.3Y)RF(2Z3') se e solo se F(2x 3Y) = F(2'31 ) se e solo sex+ y = z + t se e solo se (2,.3Y) R(2' 3'): quindi R = RF. In base all e proprietà della congruenza RF e tenendo conto che F è un omomorfismo surie1tivo, possiamo allora affermare che esiste un isomorfismo F tra (S / R, o) e (Zo, + ), pertanto questi due monoidi risultano essere fra loro isomorfi.

Ricordiamo che un gruppo è un monoide in cui ogni elemento è invertibile. Pertanto cominciamo col mostrare che il prodotto di due applicazioni fi,, fk con h , k reali non nulli è ancora un'applicaz ione dello stesso tipo. Infatti qualunque sia x E R si ha:

0) di F, che coincide con l'identità di S? c) Siano G : X --+ X e H : X --. X le applicazioni definite ponendo

G _

-

(13 26 35 42 5l 64)

H _ -

Si consideri il gruppo G=G L2( R)= {[:

~]

E

G.

~] la,b, c,dEIR;

i) Si dimostri che, per ogni intero n :'.".: O, si ha A" = [

(A ) [~ ~] coincide con il laterale sinistro [~ ~](A). Si considerino i gruppi (26, +) delle classi di resti (mod.6) e (S3, o) delle permutazioni su 3 oggetti. I . Quale fra le applicazioni F; : 26 --+ 53 sotto indicate sono omomorfismi'?

5

-t

( 132)

O -r I

O -t I

0-r I

1 -r I 2---+ ( 132)

I 2 3 4 5

I - (23) 2-+( 123)

3 - (132) 4 -4 (123) 5 - t ( 123)

FJ

Sì, sì , x 2 = 1.

9

F1, F1; no .

3

No, no.

-t (13) -t I -t (1 3)

--+ I - t (13)

1 Sia ( G , ·) un gruppo, siano a , b, e e lementi di G , u la sua unità. A: Daac = be segue a= b. B: Ogni equazione ax = b ammette infinite soluzioni in G. C: Se a - 1ba = b allorn ba = ab. {==}

a=a -

1•

A: Se ogni elemento di G coincide con il proprio inverso allora G è abel iano. B: Se G è abeliano ogni elemento di G coincide con il proprio inverso. C: Se per ogni a , b E G si ha: ab= (ba)- 1 a llora G è abeliano.

3 Sia (G, ·) un gmppo.

9

F2

2

2 Sia (G,-) un gruppo.

[,~ ~l

iii) Indicato con (A) il sottogruppo ciclico generato da A si dica se il laterale destro

( 123) ( 132) T (123)

No, sì, no.

D: a 2 =u

~ ~l

ii) Si deduca che, per ogni intero relativo m, si ha A"' =

I2 -4 F1 3 -r 4 -t

5

QUIZ ad - bc;60 }

•

0 -r I

No, sì.

214563.

delle matrici non singo lari 2 x 2, ad elementi reali, rispetto a l prodotto righe per colonne, e sia A = [:

4

(1 2 3 4 5 6)

Si scriva ciascuna delle applicazioni G, H , Go H come prodotto di cicli disgiunti e se ne determini il periodo.

8

Sì, sì, no; no, no, sì; no, no, no.

F4

3 - ( 12) 4 -t ( 132) 5-->(13).

2. Esistono isomorfismi tra i due gruppi?

10 Sia :(X) si ponga: A* B = (A u 8) \(A n 8) I. Si verifichi che* è un'operazione binaria commutativa e associativa in fl> (X ). 2. Si verifichi che ( 9'-'(X), *l è un gruppo abeliano ne l quale ogni elemento ha periodo minore od uguale a 2. 3. Si scriva la tavola di composizione di ( !'.f' (X) , *) nel caso in cui X sia l' insieme {I , 2, 3}.

A: G contie ne sempre almeno due sottogruppi. B: Se H e G è un sottogruppo di G allora H è c hiuso rispetto al prodo tto . C: Un sottoinsieme non vuoto H di G è un sottogruppo di G se e solo se per ogni a,bEG ab- 1 EH .

4 Sia (G .·) un gruppo. A: Se C ha un nume ro fi nito di elementi allora G è c iclico. B : Se G ha 1 1 e lementi allora G è ciclico. C: Esistono gruppi c iclici infiniti.

5 S ia F : G --> G ' un omomorfismo di gmppi, siano l e e l o ' . le unità, rispettivame nte di GeG' .

A: F (lo) = 10 1 • B: Per ogni g E G F(g- 1 ) F- 1(g). C: Il nucleo di F è un sottogruppo normale di G .

=

6 Sia G il gruppo moltiplicativo delle matric i quadrate reali di ordine 2 non singolari e sia H il sottoinsieme di .e delle matrici del tipo: [ A: H B: H C: H D: H

è un sottog ruppo di G . ha infi niti elementi. non è abeliano. è un sottogruppo normale di G.

~ a~ 1

J.

a, b E Ra ;6 O.

Gruppi 50

51

Capitolo 3

14 Sia G L(n , JR) il gruppo mo ltiplicativo delle matrici quadrnte d i ordine n con determinante non nullo.

7 Si dica se le seguenti affermazioni so no vere o false. A: L' insieme dei numeri razionali strettamente positivi è un gruppo rispetto all ' usuale prodotto. B: L' insieme dei numeri interi è un gruppo rispetto all' operazione di sonrazione. C: L' insieme dei numeri complessi di mudulo I è un gruppo rispetto a ll ' usuale prodotto (di numeri complessi). 8 Siano 'li,*=

Q l'insieme dei numeri razionali, Q*

z \ (0}.

= Q\

A: Il sottoinsieme delle matrici di determinante uguale ad I è un sottogruppo di G L(n,JR). B: Il sottoinsieme delle matrici di determinante uguale a 3 è un sottogruppo normale di GL(n , JR). C: Il sottoinsieme delle matrici di detemlinante uguale a 5 è un sottogruppo di G L (n , JR).

15 Sia (JR*, -) il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli : {O} , Z l' insieme degli interi e

A: (Q. -) è un gruppo. B: (Q*, -) è un gruppo. C: (Z*, ·) è un sottogruppo di (Q* , ·).

= 2x è un omomorfi smo di (JR*, ·) in sé. B: L'applicazione G : JR* --+ JR* definita ponendo G(x) = x 3 è un omomorfismo di (JR*, -) in sé. C: L'applicazione H : JR* --+ JR* definita ponendo H (x) = ex è un omomorfismo di (JR*, ·) in sé. A: L' applicazione F : JR* --+ JR* definita ponendo F(x)

9 Nell' insieme Mat2(Z) delle matrici 2 x 2 ad elementi interi si consideri il sottoinsieme 16 In un gruppo (G,-) si consideri l'applicazione a : G --+ G defi nita ponendo a(x) = x - 1 per ogni x E G.

A: S è un gruppo rispetto alJa somma de!Je matrici. B: S è un gruppo rispetto al prodotto delle matrici. C: S è un monoide rispetto al prodotto delle matrici. 10 Si dica se le seg uenti affermazioni sono vere o false. A: Ogni sottogruppo di un gruppo infinito è infinito. B: Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è abeliano. C: Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico. D : Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è ciclico. E: Ogn i sottogruppo di un gruppo ciclico è abeliano. F: Ogni sottogruppo di un gruppo non abeliano è non abeliano. 11 Sia S9 il gruppo simmetrico su 9 elementi e sia a E S9 la seguente permutazione: 123) o (56) o (36) o (89) o (94).

01

=(

A: 01 è un' applicazione inietti va e suriettiva. B: 01 è un isomorfismo. C: a è un isomorfismo se e solo se G è abel iano. 17 Sia (R*, ·) il gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli e sia gruppo dei reali positivi:

=

A: L'applicazione f : JR* --+ JR* definita ponendo f(x) lxi, per ogni x E JR*, è un omomorfismo di OR*, ) in sé. B: L'applicazione g : JR* --+ JR* definita ponendo g(x) = - x, per ogni x E JR*, è un omomorfismo di (JR*, ) in sé. C: L' applicazione h : JR* --+ JR* definita ponendo h (x) = Jx, per ogni x E IR~. è un o momorfi smo di (IR+ . ) in sé.

Soluzione dei quiz A

B

e

D

V

F

V

V

2

V

F

3

V

4

A

B

e

D

E

F

10

F

V

V

F

V

F

V

11

V

V

V

V

V

F

12

F

V

F

F

V

V

13

V

F

V

s

V

F

V

14

V

F

F

6

V

V

V

15

F

V

F

7

V

F

V

16

V

F

V

8

F

V

F

17

V

F

V

9

F

F

V

=

A: Ol- 1 (498) o (16532). B: a 2 = ( 13625) o (849). C: a si decompone in un numero pari di scambi. 0 : OI E A9.

12 Nel gruppo simmetrico S9 delle permutazioni su 9 elementi . A: [( 1432) o (25W 1 = ( 1234) o (25). B: ( 12345) 2 ha periodo 5. C: (123456) 2 ha periodo 6.

13 Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o fa lse. A: La permutazione (123) o (246) o (543 1) E 56 è dispari. B: Un ciclo di lunghezza pari è una permutazione pari. C: Un ciclo di lunghezza dispari è una permutazione pari.

OR+. -) il sotto-

F

E

F

54

4

Capit olo 4

Siano a = [

~ b]e b = [b :Jdue elementi di tale anello; si ha:

Anelli e campi

a+ b =

[~

6] + [6 !] =

un

(a+b) 2 = [~ ~][: n = [~

1];

mentre

= [oI o [O l o - o

b2

=

Avvertenza: Ogni anello co11siderato nel testo è da ritenersi dotato di unità rispetto al prodotto.

Esercizio 4.1

ab= [~

Sia A un anello comm11tarivo dotato di unità. Dimosrrare che se a E A è un elemento tale che a 2 = Oallora I + a è inverribile. li risultaro è vero se A non è commutativo ?

Svolgimento: Consideriamo l'elemento I - a , abbiamo: (I

+ a)(I

2

=

Esercizio 4.2 In generale, in un anello qualsiasi, l'identità 2

= a 2 + 2ab + b2

(4 . 1)

non vale. Si f ornisca un esempio.

Svolgimento: In un anello (a + b) 2 ·= (a + b)(a + b) = a 2 + ab+ ba + b 2 tale elemento è diverso da a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + ab+ ab + b 2 in quanto ab=!= ba in generale. Per dare un esempio d i anello nel quale l'identità (4.1) non vale basterà quindi scegliere due e lementi non permutabili di un anello qualsiasi (non commutativo). Sia per esempio A l' anello delle matrici quadrate di ordine due ad elementi in ~;

lilJe anello non è commutativo.

6][6 :] = [~

[b ~] +2 [~

J

:]

:] +[6

n n:J. =

Esercizio 4.3

essendo a 2 = O. Pertanto 1 +a è invertibile ed il suo inverso è I - a; (si noti che di certo I + a =!= O e I - a =!= O perchè se fosse I + a O sarebbe a = -1 e non potrebbe essere a 2 = O ecc.). La dimostrazione precedente vale in un qualunque anello anche non commutativo.

(a+ b)

2

a +2ab + b =

- a) = I - a + a - a 2 = L - a 2 = I

1] 1] -[I O ] [6 :J [6 ~J = [6 n

a2

Sia A = {z E Ciz = a+ ib ; a , b E Z } l'insieme dei numeri complessi con parte reale e parte immaginaria intere. I . Si provi che A è un anello rispetto alle restrizioni della somma e del prodotto definite

mC 2 2. Posto N (z) = a + b2 per ogni z = a +i b

·

A si verifichi che per ogni z 1, z2 e A s i ha N( z 1z 2) = N(zi) · N(zi). Se ne deduca che un elemento z di A è invertibile se e solo se N(z) = l. Si concluda che gli elementi invertibili di A sono solo: I - 1 i -i. 3. Si consideri in A l 'ideale principale ( I + i). Si dica quali dei seguenti el;men~i di A appartengono all'ideale (I+ i ): I + 3i, 2 + i, 2 + 4i. 4. Si provi che l 'idea~e (I+ i) consiste di tutti e soli gli elementi di A della forma a + ib con a e b entrambi pare od entrambi dispari. E

Svolgimento: I. Proviamo che. (A ,+) è un gruppo abeliano. Basta dimostrare che (A , +) è un sott~gruppo,d1 (C: + ). Siano a , b, e, d E Z, la differenza degli elementia+ib, ~+ id E A e a+ tb- (e+ id) = a - e + i (b - d ) che appartiene ancora ad A m quanto a~ e~ Z e b - d E. Z. Pertanto (A, + ) è un sottogruppo di (C, + ). li prodotto dt. C e una legge di_compo~izione in A poiché A è chiuso rispetto al prodotto: siano a + 1b, e+ 1d E A , ti loro prodotto

(a + ib)(c + id)= ac + iad + ibc +i 2bd = ac - bd + i(ad +be) poiché ac - bd

E

Z e ad + be

E

Z.

E

A

Anelli e campi

55 56

Chiaramente il prodotto di A è un legge di composizione associati va, commutativa e per cui valgono le leggi distributive rispetto alla somma in quanto queste proprietà sussistono per il prodotto di C. Infine l'eleme nto neutro del prodotto, il numero 1, sta in A ; si può così concludere che A è un anello rispetto alla somma ed al prodotto di C. 2. Siano z1 =a + ib, z2 =e+ id due elementi di A; si ha:

= (ac -

bd) 2 +(ad+ bc) 2

2 2

2 2

+ a d + b c + 2adbc • N(z1 ) = a 2 N(z2) = c N( z1 ) · N(z2)

2

= a 2c 2 + b 2d 2 -

= a 2 c2 +

b2 d 2

2acbd+

+ a 2 d 2 + b 2c 2 .

+ b2 + d2

= (o 2 + b2)(c 2 + d 2 ) =

a 2c 2 + a 2d 2 + b 2c 2

+ b 2d 2 .

Sia ora z un elemento invertibile di A , esiste allora w E A tale che zw = 1 allora N( l) = N( zw) = N(z) · N(w) ossia 1 = N(z) N(w) ; N(z) è un intero positi vo, N(w) pure, poiché N(z) N(w ) = 1 si ha necessariamente N (z ) = N (w) I. Viceversa sia z = a+ ib un elemento di A tale che N (z ) = I , allora a 2 + b 2 = I , a 2 e b2 sono due interi positivi o nulli la cui somma è ·1, ciò è possibile se e solo se a 2 = I , b 2 = Ooppure a 2 = O, b 2 = 1; quindi a = ± 1 b = O, a = O b= ± I. Quindi se N(z) = I può essere soltanto z = 1, z = - 1, z = i , z = -i; tali ele menti sono effetti vamente invertibili: 1 · 1 = I ; (-1 )(- l) = 1; i (-i) = -i 2 = I ; di conseguenza z è invertibile se e solo se N (z) = I se e solo se := 1, - 1,i, - i . 3. L'elemento l + 3i sta in (I + i) se e solo se esiste a + ib E A tale c he 1+ 3i =(a + ib) (I +i) =a + ia + ib - b = a - b + i(a + b).Devono cioè esistere a, b E Z tali che

=

l = a - b {3 = a + b

b=a- 1 { 3 =a +a -1

2a = 4 { b=a - 1

In questo caso 1 + 3i = (2 + i)(l + i) e quindi I+ 3i

E

4. Abbiamo precedentemente osservato che tutti e soli gli elementi di ( l + i ) sono del tipo (a+ ib)( I +i) = a - b + i(a + b) a, b E Z . Un numero z = x+iy E A sta in ( I +i) se e solo se esistono due interi a. b E Z tali chex = a -b, y = a + b . Quindi se z E (I + i) si ha z x+iy , x = a - b, y = a+ be x - y =a - b - (a+ b) = - 2b ciò implica x = y (mod. 2) ossia x , y entrambi pari o e ntrambi dispari. Viceversa sia z E A , z = z + iy con x, y entrambi pari o entrambi dispari allora y x mod. 2, ossia y - x = 2k, k E Z, )' =X + 2k. Poniamo a x + k, b = k abbiamo x =a - b, y = a + be, per quanto detto prima, z E ( I + i). In conc.lusione z E (1 + i) se e solo se z = x + iy con x = y (mod. 2) .

=

=

z1z2 = (a c - bd) + i(ad +be) N(z1z2)

Capitolo 4

=

Esercizio 4.4 Sia IC l'insieme dei numeri complessi e sia z E IC z=(k- l ) + ik,

i) Per quali valori di k E lR. z è un numero reale? ii) Per quali valori di k E R, z è 1111 immaginario puro? i i i) Posto k = 1 si scriva z in forma trigonometrica ed esponenziale.

iv) Si calcolino le radici cubiche ,{/Z quando

i) z è un numero reale se è nullo il coefficiente della parte immaginaria nella sua scrittura algebrica, quindi nel nostro caso, se e solo se k = O ii) z è immaginario puro se è null o il coefficiente della parte reale cioè se e solo se k - I = O, k = I. iii) Per k = l z =i quindi lzl = 1 e argz trigonometrica di z è data da

z=

I ( cos

{l = a+b

b=a- 2 { l=a+ a - 2

2a = 3 { b=a-2

tale sistema non è risolubi le in Z.

7r

2

= ~· sicchè la scrittura in fom1a

• ;r) + i sm 2

quella esponenziale da

z = I e;i .

Per quanto riguarda 2 + i abbiamo:

2 =a -b

z ~il numero complesso del punto iii).

Svolgimento:

a = 2 {b = 1. (1 + i ).

conk elR.

iv) Dobbiamo calcolare ;/i. Ricordando che se z = p(cos() + i sin ()) è

l[

vnC (O) = O e ( .I ) = l poiché gli ele menti neutri delle d ue operazioni de vono essere conservati dag li omomorfismi. Consideriamo ora 2 E Z 6 , qua nte possono essere le immagini di 2 tramite un omomorfi smo di a nelli ? Abbiamo (2) = (I + 1) = (I) + (I ) = I + I = 2 poiché è in particolare un omomorfismo di gruppi additivi. Siamo dunque costretti a mandare [2)6 in [2h. Analogame nte (3) = (2 + 1) = (2) + cJ>(I) = 2 + I = 3 = O in 2 3 quindi (3) =O. Po i è: (4) = (3 + 1) = (3) + {l ) = O + 1 = 1; (5) = (4 + 1) = (4) + (I)= 1 + I =2. Qui ndi la deve essere così costruita: (l ) = (4) = l ;

(0) = cJ> (3) = O;

(2) = (5)

=

2

in altre parole:

([xfo) = [xh

X=

O, I, . . . ' 5.

L'applicazione cJ> così costruita è dunque l' unico omomorfismo possibile tra Z 6 e 2 3. Verific hi amo c he è effettivamente un omomorfismo di anelli ; V[x fo , [y] 6 E 2 6 si ha: ([xfo + [y]6) = ([.x + y ]6) = [x + yh = [xh + [y h = ([x fo) + ([x]6); ([x l6 · fy]6) = ([xy]6) = [xyh = [xh · [y h = ([x )6) · ([y ]6); ([ 1]6) = [ l b. Si conclude così c he esiste un unico omomorfismo di anelli tra 2 6 e Z 3 , quello realizzato dalla .

Esercizio 4.9

=

{ [~ ~][g

Svolgimento: I . G li elementi di I sono tutte e sole le matrici del tipo

[~c 1

0

db] [

6]}

al variaredi

[~ ~] in A

(a,b,c,d e Q).

1

0

o oJ - [o a.e]

al variare di a , b. e, d in Q

O ssia si tratta di tutte e sole le matric i de l tipo

[g ;J

al vari are di x , y

E

IQ.

De lle quattro matric i indicate solo la seconda appartiene ad l. 2. Gli e lementi invertibili di A sono le matrici con determinante diverso da zero. Poiché le matrici di I sono tutte del tipo [

g ; Jesse hanno tutte determinante

nullo e quindi sono tutte non invertibili.

Esercizio 4.1O Si considerino i due campi Q C R. e /'elemento ~E JR. Si determi11i in Q [x J il polinomio minimo di :y"j e, detto I /'ideale da esso generato in Q[x], si provi che Q [x ]/ / è in campo. Tale campo è il campo di spezzamento del poli11omio minimo di :y"j?

Svolgimento: Poiché ~ it Q il polinomio minimo di ~ it Q non può essere di primo grado. li polinomio x 3 - 7 E IQ[x] è monico, di terzo grado, e ammette ~ fra le sue radici. Nessun polinomio monico di IQ[x], di secondo grado x 2 + ax + b ammette fi fra le sue radici, infatti comunque scelti a, b E Q si ha che ffe9 + a.fi + b :I O. Quindi il polinomio minimo di .fi è.x 3 - 7. Posto I = (x 3 - 7), è noto che Q [.x]/ I è un campo purché x 3 - 7 sia irriducibile in Q [x], ma ciò è ovvio in quanto x 3 - 7 ha grado 3 e non ha radici in Q . Tale campo non è il campo di spezzamento di x 3 al campo IQ ( ~) e in Q (

x

Sia A Mat2(Q ) l'anello delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi razionali e sia I il sottoins ieme di A così definito: l =

2. Quali sono gli elementi invertibili di A ? I contiene qualche elemento invertibile di A ?

3

-

n

-fi) [x ] si ha c he: = (x 3

-

7)

-

7, infatti esso è isomorfo

(r + n x+ (n ) 2

2 )

ma questo ultimo polinomio di secondo grado non è ulteriormente fattorizzabi le in Q(~)[x ] in quanto non ammette radic i in Q(~).

Ane lli e c o mp i

61 62

Cap itolo 4

Esercizio 4. 11 s i ha:

Si provi che il campo Q (J2) non è isomorfo al campo Q (J'.3).

(h p)aP-kbk = p(ha P- kb*) = p c = O

Svolgimento: Q( ./2) è costituito da tulli e soli i numeri reali del tipo a + b./2 con a, b E Q . Q(J°3) è costicuito da tutti e soli i numeri real i del tipo e + dJ3 con e, d E Q . S upponiamo per assurdo che esista un isomorfis mo : iQ(./2) ~ iQ(J°3), avre mmo : (./2) = x + y J3 per opportuni x . y E Q. Ca lcoliamo ora:

e la caratteristica di K è p . Q uind i

(J2) (~) =

Esercizio 4.13

[ (

Jz)2] = (2) = ( I + I )= (l) + (l ) == I + I = 2

(a+ b)P = oP

Sia K un campo finito di caratteristica p, p primo, p ~ 2, e sia f : K __,. K /'appli cazione definita ponendo f (x) = x P per ogni x E K . Si provi che f è automorfismo di K.

Svolgimento: O ccorre, anzitutto , provare che l'applicazione S ia no, pertanto, x , y E K .

Esercizio 4. 12

si ha:

Sia K u11 campo finito di caratteristica p primo e siano a , b E K . Si provi che:

f

(xy) = (x y)P = x PyP =

E

f (x + y ) =

N.

Nel caso n

+ b ) = a" + (':) a "- 1b + · · · + ( ~) a"- kbk +

=

11

· · · + b".

p, fissata l' atte nzione sul coefficiente binomiale

(p) k

= p(p - 1) . . . (p - k + I ) k (k - I) ... 2 · I

+ y)P =

x"

conserva somma e prodotto.

+ yP

poiché K è un campo di caratteristica p .

L'applicazione f da K e K è iniettiva in quanto il nuc leo di f è un ideale di K , ma un campo non possiede ideaii propri e ker f :/= K quindi kerf = {O) . Poic hé K ha un numero fi nito di e le menti f è anche suriettiva e dunque è un automorfismo di K .

Svolgimento: È noto che Vn ::: O lo sviluppo del binomio di Newton è: (a

(x

f

f (x)f (y )

(a

Va

+ bP.

In maniera ana loga s i prova c he (a+ b )P" =a""+ b"" .

(si ricordi che ogni isomorfismo fra campi trasforma necessariame nte l' unità rispetto al prodotto del pri mo campo ne ll'unità ri spello al prodotto del secondo campo, nel caso in esame il numero 1 fun ge da unità rispetto al prodotto in entrambi i campi). D unque dovrebbe essere : 2 = (x + yJ3) 2 = x 2 + 2xy J3 + 3y 2 ; po ic hé x, y E IQ ciò è possibile solo sexy = O cioè solo sex = O oppure y = O. Se x = Osi avrebbe 2 = 3y2: assurdo ! Se y ==O si avrebbe 2 = x 2 : assurdo! Quindi non può esistere .

+ b)" = a" + bP (a+ b)l'u = aPa + bP"

poiché e E K

O< k < p

sappiamo che esso è un intero divisibile per p , quindi

Pertanto per gli adde ndi de llo sviluppo di (a+ b )" , che, e scluso il primo e l'ultimo, sono del tipo

ESERCIZI PROPOSTI 1 Determi nare i divisori dello zero, gli elementi invertibili. gli clementi nilpotenti (tali cioè che una loro potenza è zero) dell 'anello 2 18 • classi di resto modulo 18.

2

Si consideri l' anello 2 12 delle classi di resti modulo 12.

I. Si indic?ino gli elementi _di tale anello che sono divisori dello zero c si indichino gli elemenli che ammettono mverso prec isando tale inverso. 2. Si determinino gH ideali di Z 12 e si dica quali sono massimali. 3 Sia A un anello commutativo e d un suo elemento tale che d 2 elementi I - d ed I + d sono inverti bili.

= O. Si mostri che gli

4 Sia/\ un anello ove per ogni x E A si ha x 2 = x . Si dimoslri che in un tale anello vale anche. per ogni elemento x, la uguag li anza x = - x.

Anelli e compi

63

Sia A un anello e siano a, b due suoi e lementi . Si calcoli (a + b) 3 . Sia A un anello e x un suo elemento 110 11 nullo tale che x 3 = O. Si dimostri che non può essere I - x 2 = O.

5

.6 Sia Z l'anello degli interi. Si consideri l' ideale principale generato da 39. Si mostri che esistono due inte ri x ed y tali che x I. C: x6 + l è riducibile in I, il polinomio x 11 - x E Z 11 [x] han radici in Zn. 11 Nell' anello Z2[x] si consideri il polinomio f(x) = x"

+ x" - 1 +

17 S ia K un campo e siano a(x) e b(x) due diversi polinomi non nulli di K[ x ] e non esista k E K tale che b(x) = k · a(x). A: Se a(x ) è irriducibile M.C.D .[a(x ), b (x) ] = I. B: Se a(x) è riducibile M.C.D. [a(x), b(x) ] i= I. C: Se a (x) e b(x) sono irriducibili M .C.D.[a(x) , b(x) ] = l.

I con n '.'.:: 2.

A : f (x) non ha radic i in Zz . B: f (x ) - I no n ha radic i in Z2 diverse da x = O. C: [f (x)] 2 ha 2 radici in Zz.

12 Nell 'anello Z3[x ] si co nsideri il polinomio f(x)

A: M .C.D .[a(x), b (x ) ] esiste sempre ed è unico. B: M .C.D.[a (x ), b(x) ] è un multiplo di a(x) e di b(x). C: Se M.C.D. [a(x ), b(x)] = 1 non si può divide re a(x) per b(x). D: Se M.C. D.[a(x) , b (x) ] = I K [x ] è generato da a(x) e da b(x).

18 Sia K un campo e sia I l'ideale di K[x] generato dal polinonùo non nullo a(x) di K[x].

= ax"+bx + I con n

A : Per ogni n E N, f (x) ha la radice x = I se a = 2 e b = O. B: Per ogni n E N, f (x ) ha la radice x = - I se a = 1 e b = 2. C : Pe r ogni n E N, f(x ) ha la radice x = - l se a= l, b = 2, n è pari.

E N ; a, b E Z3.

A: O gni ele mento di K [x] / I è invertibile. B: O gni elemento I + b(x) di K [x] / l è invertibile se e solo se M .C.D.[a(x), b (x ) ] = I . C: L'e leme nto I + a (x) di K[x] / I è divisore dello zero. D: Poiché K è un campo K [x ]/ I non ha divisori dello zero. E: Un elemento I + b(x ) di K[x] / l è un d ivisore dello zero se e solo se M .C.D.[a(x) , b(x)] i= I.

88

Capitolo 5

19 Sia K un campo e

f

6

(x) un elemento di K[x ] di grado n ~ l.

A: f (x) han radici in K. B: Se K = C ogni radice d i f(x) è multipla. C: La molteplicità di una radice di f(x) non è mai n. D: Se f (x) ha la_ r~dice x =a allora x - a divide f (x). E : Se (x - a)' d1v1de f(x) allora a è una radice di molteplicità r per

Grafi, calcolo combinatorio f

(x) .

20 Sia K un campo, si consideri K[x ]. A: Se d ue polinomi di K[x] h anno le stesse radici essi coincidono. B: Se K è algebricamente chiuso ogni polinomio di K [x ] ha almeno una radice in K. C: Se f (x) E K[x ) ha grado n la somma delle molteplicità delle radici di f (x) in K non supera n . D: Se f (x) E_ K[~ J. non ha radici in K può averne in un altro campo K' X2--'>

Yi YI

f4: Xi Y2 Xz --+ Y1

h: X1 -+ X2 -

.li : X i X2

--+ --+

Yi

f3:

Y2

Xi

fs : X1 - Y2

!6: X1

Y2

X2

X i---+

Y3

fs : X 1 -

Y3

Y1

X2 -

Y2

--+

X2 -

f9:

--+ --+

I ---+ 1 2 ---+ 2 3---+ 3

1 ---+ I 2---+ 3

3-

2

I --'> 2 2 -+ I 3---+ 3

1 --+ 2 2-+ 3 3 --'> l

I-+ 3

1--'>3

2- 2

2- 1

3 --+ I

3 --+ 2.

Yi Y3

Esercizio 6.15

Y2 YJ

X1 - Y3 Xz--'> Y3·

Esercizio 6. 12 Siano S un insieme fin ilo con k oggetti e T un insieme finii o con 11 ~ k oggetti. Si dimoslri che il numero delle applicazioni inieuive di S in T è: n (n - l ) ... (n - k + I ).

Svolgimento: Siano x 1 , x 2, ... , xk gli e lementi di S. Procede ndo come nell' esercizio 6. I O occorre osservare che la condizione di iniettività richiede che elementi distinti x; i= x 1 (i i= j) abbiano immagini di sti nte f (x;) i= f (xJ). Pertanto f (x1) può essere scelto in n modi diversi e fatta la prima scelta rimarranno (n - I ) c lementi di T tra i quali scegliere f (x2 ), una volta fatta anche questa seconda sce lta rimarranno a di sposizione (n - 2) elementi di T tra i quali sceglie re f (x3) e così via fi no al k-esimo ed ultimo elemento di S per la cui immagine f (xk) saranno a disposizione n - (k - I ) = n - k + I elementi di T. Pertanto si potranno costruire n(n - l)(n - 2) ... (n - k + l ) applicazioni in iettive di stinte Ira Se T. (Il lettore osservi che detto numero rappresenta tutte le possibili disposizioni semplici, cioè senza ripetiz ioni, di 11 oggetti di classe k ). Esercizio 6.13 De1ermi11are quanle sono le applicazioni bieuive (permutazioni) di un insieme S in sé, ove S è un ir1siemefini10 di n oggetti.

Svolgimento:

È noto (cfr. esercizio 1.9) che le applicazioni inietti ve di S in sé sono anche biettive (IS I = n < oo) e quindi il loro numero è dato dalla formula dell 'esercizio 6.1 2) con k = n cioè: n(n - l)(n - 2) . . . (n - n + I)= n(n - I) ... 3 . 2. l = n!

Sia T un insieme di n oggelli e si fissi un inlero k con 1 dei soltoinsiemi Udi T aventi k elementi è

~

k

~

n. Si dimostri che il numero

(~).

Svolgimento: Introduciamo l'insieme S = (I , 2, ... , k} e osserviamo che ogni applicazione iniettiva f : S --'> T ha per immagine un sottoinsieme U = f (S) con IV I = k. Viceversa YU s; T con IUI = k è immagine di S tramite una qualche applicazione inieltiva. Però due distinte applicazioni iniettive da S a T possono avere come immagine lo stesso U, infatti, fissato U , le applicazioni inietti ve f con f (S) = U sono tante quante le applicazioni iruettive tra Se U cioè k! Qui ndi detto x il numero dei sottoinsiemi di T aventi K elementi, si ha che il numero delle applicazioni iniettive di Sin T è: x · k! D'altro canto, in base all'esercizio 6.1 2 sappiamo che tale numero è: n(n - l)(n - 2) ... (n - k + I), qui ndi: x · kl = n(n - l )(n - 2) .. . (n - k + I).

Da cui: x

= n (n -

l) . .. (n - k + I) k~

= __,_il__ = ('kl)· k!(n - k)!

Esercizio 6. 16 Sia M una matrice ad m righe ed 11 colo11ne, ad elementi nel campo reale, co11 I :; m :; Si de1enni11i il numero delle so1tomatrici quadrate di o rdine k di M con I S k :; m.

11 .

Svolgimento: Ogni sottomatrice quadrata di ordine k di M è ottenuta considerando i k 2 elementi di M che stanno negli incroci di k righe e di k colonne di M . Poiché una qualunque scelta di k righe diverse, fra le m disponibili, e di k colonne diverse, fra le n disponibili , conduce a sottomatrici diverse si ha che il numero di tali sottomatrici

è dato dal prodotto di(';) per

G)

ossia ( : ) ·

G).

96

Grafi, calcolo combinatorio

Capitolo 6

97

Esercizio 6. 19

Esercizio 6. 17

Si risolva /'analogo problema nel caso in cui l'anello abbia m indeterminate.

Sia M u11a matrice ad m righe ed n colonne, ad elememi nel campo reale, con I < m < n. Sia N una sotlomatrice quadrata di ordine k di M con I ~ k < m tale che d~ N ~ O. Quanre altre sottomatrici quadrate di M occorre considerare per poter affermare che la caratteristica di M è k?

Svolgimento: Ragionando allo stesso modo si prova che la dimensione cercata è:

Svolgimento:

In forza del teorema di Kronecker è necessario e sufficiente considerare tutte le sottomatrici quadrate di M di ordine k + I, k + 2, ... , m che contengano N (e controllare che tutte esse abbi ano determinante nullo) . Ogni sottomatri ce quadrata di ordine k + J contenente N si ottiene sceglie ndo una qualunque riga fra le m - k non coinvolte da N e una qualunque colonna fra le n - k non coinvolte da N. Tali sottomatrici sono pertanto in numero di (m - k)(n - k). Ogni sottomatrice quadrata di ord ine k + 2 (se ve ne sono) s i ottiene scegliendo due qualunque righe fra le m - k non coinvolte da N e due qualunque colo nne fra le n - k non coinvolte

da

N al . ; t·

1

. . sono pertanto .m numero di sottomatnc1

(m -k)(n -k) 2

2

e così via.

Alla fine il numero richiesto è

È noto che l'insieme dei polinomi di IRfx. y, z] aventi lo stesso grado n > l costituisce uno ~pazio vettoriale su ~ che ammette come base il sottoinsieme dei monomi omogenei distinti di grado minore od uguale ad 11. Che dimensione ha tale spazio? Svolg imento :

È sufficiente contare il numero di tali monomi ; per ogni j con O _:::: j _:::: n i monomi omogenei distinti di grado j di IR[x, y, z] sono

I: ("' ~ k)(n-_ k). J= I

Esercizio 6.20

j

e ~ 2). quindi il numero che

ci interessa è:

j

Esercizio 6.18 È noto che l'insieme dei polinomi omogenei di lR[x, y, z] aventi lo stesso grado n ::;: I costituisce uno 5pazio vettoriale sul campo JR che amme11e come base il solloinsieme dei monomi distinti di grado n. Che dimensione ha tale .1pazio vettoriale? Svolgimento:

Poiché la dimens ione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi di una sua qualunque base è sufficiente contare quanti sono i monomi distinti omogenei di grado n in IR[x, y, z ]. Ognuno di tali monomi è del tipo x 0 ybzc con a+ b + e= n che possiamo anche scrivere così:

Esercizio 6.21 Si risolva l'analogo problema nel caso in cui l'anello abbia m indetermi11a111e: x i, x2, . . ., Xm .

Svolgime nto: È sufficiente contare il numero dei monomi omogenei distinti di JR[x 1, •• • , x,,, ] aventi grado mi~ore od uguale a n. Per ogni j con O _:::: j _:::: n i monomi omogenei

d.· ·d· d .d.TT])[ 1stmt1 1gra o J

1~

x 1• •.. ,

Xm

] (m+j-J) j , sono

h ··

·1 1 numero c e c1 m teressa

è pertanto: XX • . • X '--.-"' a volte

yy . . . y '--,,.--'

b

volte

t(m + ~ - 1)·

~e

volte

j=O

Il numero di tali monomi è dunque il numero delle combinazioni , con ripeti zioni , dei 3 oggetti x, y, z scelti n ad n. In base al calcolo combinatorio tale numero è:

J

Esercizio 6 .22 Si dimostri che per ogni coppia di interi 11, m co1111

(n

+ 2)(n + l) 2

~

I, m

~

I si ha che

98

Capitolo 6 Grafi. c alcolo combinatorio

99

Svolgimento:

In base a quanto visto nei precedenti esercizi ìl numero a sinistra è il numero di tutti i monomi omogenei distinti di JR[x 1 , ••. , x"'] aventi grado minore od uguale ad ~· Il numero a destra è_ invece il numero di tutti i monomi omogenei di grado n d1 ~[x,, ... , Xm+J ]. Tait due numeri sono ovviamente uguali perché ogni monomio omogeneo di grado n di 1R[x 1 , ••• , Xm+il è il prodotto di (xm+ i)k per un monomio omogeneo di ~[x 1 , • • • , x,,,] di grado n - k con O.::::: k.::::: n .

3

Si considerino i 3 seguenti alberi e si stabilisca quali tra essi sono isomorfi .

4

Si

ESERCIZI PROPOSTI Si consideri il grafo G i cui vertici sono le principali stazioni ferroviarie, delle Ferrovie dello Stato, nel nord Italia e i cqi spig oli sono costituiti dalle linee ferroviarie stesse. Tale grafo si può ottenere facilmente consultando un qualunque orario ferroviario del nord Italia, trascurando l'intera rete a sud delle regioni Liguria ed Emilia-Romagna e troncando ogni linea all'ultima stazione prima del confine di stato o di regione, quando occorre. a) Per ciascun capoluogo di provincia, vertice di C, se ne determini il grado. b) Si consideri il sonografo G' di G costituito dalle so le linee principali (quelle in grassetto) e si stabilisca se G ' è Euleriano e/o Hamiltoniano. c) Sia G" il sottografo di G otienuto considerando solo le stazioni del Piemonte e le linee che le collegano fra loro: si determinino tutti i cammini, con un numero di spigoli minore od ug uale a 5, che uniscono Torino a Novara. Si calcoli poi la di ~tanza tra Cuneo e Domodossola. d ) Determinare tutti i sottoalberi massimali di G" aventi Torino come radice. e) Si consideri il g rafo planare G"' ottenuto da G" eliminando tutti i vertici e g li spigoli di G" che non fanno parte di alcun circuito di G" . Si verifichi la formula di Eulero per G"' e se ne diseg ni il duale. f) Si stabilisca se G', G" , G'" sono grafi bipartiti. g) Si determinino in G tutti i cammini che uniscono Milano a Genova ritenendo distinti due cammini che non hanno nessun vertice in comune.

2

Si consideri il grafo G:

dimo~tri

che i due seguenti grafi sono isomorfi

e per ciascuno spigolo si determini no tutti i circuiti del grafo che lo contengono. 5 Si disegnino tutti i grafi non isomorfi aventi 3 e 4 vertici. Quali di essi sono alberi? Quanti alberi, non isomorfi , esistono con 5 vertici?

6

Consideriamo nel piano 7 punti a 3 a 3 non allineati.

i) Quante rette vangono determinate da detti punti? ii) Quanti triangoli vangono determinati da detti punti? In un ufficio lavorano 9 donne e 3 uomini . Si vuole cercare una rappresentanza 7 sindacale di 4 persone. ln quanti modi può essere scelta? Quante conterranno almeno un uomo?

8 Una classe è costituita da LO maschi e 6 femmine. Nel programmare un'interrogazione vengono scelti a caso 3 dei 16 studenti: qual è la probabilità che siano tutti maschi? 9 In quanti modi 3 bambini e 2 bambine possono mettersi in fila per ricevere un premio? In quanti modi possono mettersi in fi la se i maschi si mettono l' uno dopo l'altro e così le fe mmine?

Soluzione di alcuni degli esercizi proposti

e si stabilisca se G è planare. G è Euleriano? È Hamiltoniano? È bipartito?

2 Sì, no, sì, sì.

8 3/ 14.

6

21 ; 35.

9

7

495; 396.

120 ; 24.

100

Capitolo 6

G rafi, calcolo combinatorio

QUIZ

A: G è un grafo planare.

l Sia G il grafo in cui i vertici rappresentano le squadre di calcio del campionato di serie A e in c ui gli spigoli rappresentano gli incontri fra le squadre durante il girone di andata.

B: G è isomorfo a G' . C: G' è un grafo planare. D: G è isomorfo al duale di G'.

101

A: G è un grafo completo.

B: G è un grafo bipartito. C: G è un grafo Eule riano. D: i circuiti di lunghezza minima in G hanno lunghezza 3. 2 Si consideri la seguente mappa rappresentante un fiume e tre isole. Senza uscire dalla mappa

5 Quante sono le possibili colonne vincenti in una schedina del Totocalcio? A: 133 . B: 3 13 C:

(1;).

6 Giocando al Totocalcio un sistema con d ue triple e quattro do ppie su quante colonne vincenti in e ffe tti si scommette? A: 48.

B: 144. C: 1.008.

7 Se da un mazzo di 40 carte se ne estraggono due a caso, q ua l è la probabilità che entrambe siano dello stesso seme?

A: 1/ 20. B: 3/ 208. C: 3 / 13. A: è possibile andare da A a B percorrendo una sola volta tutti gl i 8 ponti. B: è possibile anda re da A a C percorre ndo una sola volta tutti gli 8 ponti . C: è possibile andare da B a C percorrendo una sola vo lta tutti gli 8 ponti.

8 Se da un mazzo di 40 c arte se ne estraggono tre a caso. q ual è la probabilità che almeno due di esse siano nere? A: 5/ 13.

3 È possibile andare da Aosta a Trieste attraversando una e una sola volta tutti i confi ni

B: 3/ 20.

fra le region i del nord Italia (escludendo c ioè tutte le regioni a sud di Liguria e d Emilia Romagna) e restando ovviamente all ' interno dei confini naziona li?

C: 5/ 208.

9 In uno scompartimento ferroviario a sei posti entrano tre uomini e d ue donne. In quanti

A: sì.

modi differenti possono sedersi?

B: no. C: solo se si esclude la Liguria.

A : I O. B: 120 . C: 720 .

4 Si considerino i due grafi G e G' :

Soluzione dei quiz

G

G'

A

B

e

D

1

V

F

F

V

2

V

F

3

V

F

4

V

V

V

5

F

V

F

A

B

e

6

F

V

F

F

7

F

F

V

F

8

V

F

F

9

F

F

V

F

D

104

Capitolo 7

Esercizio 7.2

7

Calcolare i determinanti delle seguenti matrici:

Matrici, determinanti e sistemi lineari

I.

A=[~ ~] •

2. B =

3.

[! ~ I

e=[

I

~].

2

~ : o~

- 1 5

Esercizio 7. 1

Svolgimento:

Stabilire q«ali dci seguenti prodotti sono definiti ed eseguirli.

I. Risulta

-~]I . -2

det A = I · O - 2 · 3 = - 6. 2. Calcoliamo det B: poiché è b22 alla 2 colonna. ove

A = [~ ~]

B=

[~ b -~l

det B = - 2 det [

= -2(8 Svolgimento:

A è di tipo 2 x 2, B di tipo 2 x 3; quindi A' è ancora di tipo 2 x 2. 8 1 di tipo 3 x 2.

Det C

+ Odet [ BB' =

B' B =

13 2 -6] [ o 2

I

-6

B' A'

= - Odet [; 5

Risulta

O ;

4

o]

2 i AB= [ 10 2 - 4 ;

(AB )' =

[~

[l

l

163

-~Ol

2 IO] 2 .

= [I

o

-4

Osserviamo che risulta ( AB)' = B 1 A' , e questa proprietà si dimostra comunque siano scelte A e B (purché conformabili). Inoltre il prodotto di una matrice qualsiasi per la sua trasposta è sempre una matrice simmetrica.

j ~J+ Odet [: ~ J- l det [! ~J = 5) - I (5 - 12)

= - 6 +7 =

I.

3. Allo stesso modo procediamo per il calcolo di det C, utilizzando ad esempio la seconda riga, che contiene due elementi nulli

Allora sono definiti

AA' , A 1 A, BB', B' B, AB, (AB )' , B' A' .

= O usiamo il teorema di Laplace relativamente

~

o

~ ~

- i]+I del[ - 2 -1

2~ O] ~ ~ = - I

- 2 { i det [

= l · 2(-2 -

~

-iJ-

o

-3]=~J- [i

[ I

I · 2 det - I

3 det [

~

~

-i] - 2det[ ; -2 - 1 5

-i]+ - 2

-2

2 der

-n} =

3) - 2t(- 2 - 5) - 3(- 4 + 15) - 1(2 + 3)\ = 80.

Osserviamo che il calcolo di det C si poteva semplificare usando le proprietà dei determinanti, perché risulta, raccogliendo la costante 2 nella terza colonna

det C

= 2det

oI

2 O-3 o]

l l 3 1 1 1 -I 5 O -2

[

= 2detC/

sostituendo poi nella matrice C ' al posto della seconda colonna, la seconda colonna meno la terza colonna, risulta

Matrici. dete rminanti e sistemi lineari

105 106

det C

= 2detC' = 2det [ = - 2 { - 3 det [;

=-

~ ~ f -~] = - 1 5

o

=~] -

1det [ _

2{- 3(-4 + 15) - (5

2(- l )det

-2

[_~I 5~ -~]2 =

Capitolo 7

C non è una matrice quadrata, quindi non è defi nita la sua inversa. D è matrice quadrata di ordi ne 3 e risulta

det D = h(h - 1) (2 - h).

-

~ ; J} =

Esiste quindi D- 1 per h ::fa O, h ::fa l , h ::fa 2. Per lutti gli altri valori di h si può dunque calcolare

+ 2) } = 80.

D11= (- l )det [h-1 0 2

2

_5 h

J =(h -

v - 1• Risulta

1)(2-h)

Esercizio 7.3 Calcolare, per i valori di h per cui esiste, la matrice inversa delle seguenti matrici:

D12

= (- 1)3det [g 4

D13 = (- 1) det

(~

[I

D 21 = (- 1) 3 det O

svolgimento: Risulta det A = 2, quindi A ha determinante non nullo per qualsiasi valore di h , esiste cioè A- 1 per ogni h. R isulta

D 22

= (-

D 23

=

4

1) det

[~

(- 1) 5det[~

e quindi 4

D 3 1 = (- 1) det [ h 5

D32 = ( - l) det

]

J = h(2 -

h)

6] = 0 ~ l ~] =

5 - 2h

+2 =

7 - 2h

[~ ~] = - 5h

D33 =(-1)6det[~ h ~ l] =h(h- 1).

Osserviamo che ri sulta I

2 .: h

}

det ( A - ) = - = - 2 detA

=

=

e infatti per il teorema di Bi net det (AA- 1 ) det I = I det A det ( A- 1). 1 Risulta det B = h (2 - h ). Esiste quindi s- per tutti i valori di h, esclusi h = Oe h 2. Risulta

Ricordando che det D

= h (h -

1 )(2 - h ) e che 0 - 1 = [ Dk; ] risulta

detD

=

8 1I

e quindi

= 2 - h,

81 2

= -1 ,

8 21

=O,

822

-

= h,

h

o -1

= o

o

7 - 2h h(h - 1) l h- 1

o

h(h - 1)(2 - h )

-5 (h - 1)(2 - h) 1

2- h

Matrici, determinanti e sistemi lineari

107

Esercizio 7.4

108

Capitolo 7

Gli eleme nti della matri ce X sono le soluzioni del sistema:

Determinare i valori di k per cui sono invertibili le matrici:

k 1 k+ l] A= k- 1 2 k+I , [ 2k 3 2k+3

l I + l] =[ k-

B

3 4

3b = 3

k

k

I

I

3k

a+ 7b = 7

.

6b + 3d = 2 1

12a + 14b +e+

Senza svolgere il prodotto AB, stabilire per quali valori di k è invenibile.

Svolgimento: Le due matrici sono invertibili se hanno determinante non nullo, quindi A non è mai invertibile, poiché il suo determinante è identicamente nullo rispetto a k, B , 1 invece è invertibile per k =I= 1 e k =I= - . Poiché il determinante di un prodotto è il

5

prodotto dei determinanti, AB è sempre singolare, quindi non invertibile.

Questo secondo metodo è chiaramente più lungo e meno comodo, ma a volte è l' unico possibile, ad esempio se fosse stato det A= O o det B = O. Esercizio 7.6 Risolvere 1'equazione matriciale A 3 X BA

[15I

A -

Esercizio 7.5

-

Determinare, se esiste, una matrice X raie che sia AX B B =

Svolgimento: I modo. Risulta det A = 1, del B 1 • Allora A- 1 e

n-

1[2 -3]

A- 1 AXB = A- 1 8 2

XB = A- 18 2

X= 4 O

Assegnata la matrice A

= [~ ~] detenninare due matrici X e Y tali che sia: A- 1(X

X = A - 1 8.

Il modo. Posto X = [

[-~ ~l risu lta X = [~ ~J

~ ~] risulta

[21 o]1 [ac db] [o371] -_[o371] [o371] [2a: e ~ b][~ ~] = [;, 2b

3b [ 6b + 3d 2a

a+ 1b

+e+

I 4b + 7d

J = [213

2.

Esercizio 7.7

xnn- 1 = A- 1n2 n- 1 1

224] 15

Svolgimento: Risulta det A = I quindi esiste A- 1 • Moltiplicando a sinistra per (A - 1) 3 e a destra per A- 1 entrambi i membri , l'equazione diviene X B = I , quindi è X = B- 1 cioè

B ammettono matrici inverse

A - 1(AXB) = A- 1 8 2

Poiché si ricava A- =

= A4, ove

= 8 2 ove

[~ ~l

= - 3 quindi sia A che

1d = 52.

{

+ Y)A =

AX - Y = O.

Svolgimento: Risulta Y = AX, da cui X=(/+ A) - 1, c ioè

X =

2I [-

1

I

O ] l

e quindi

Esercizio 7.8 Calcolare il rango (caratteristica) della matrice

I

Motrici. determinanti e sistemi lineari

109

Svolgimento: Usiamo la regola di Kronecker. Un_a sottomatrice ~i ordine 1 a determinante non nullo esiste, poiché A non è la matrice nulla. Cerchiamo una sottomatrice di ordine 2 a detenninantc diverso da zero.

Ad esempio è

dee[~

6] =

-1 2 -::/= O. (L a sottomatrice è ottenuta soppri-

110

Capitolo 7

A che contengono C:

D=[~

3h

l 2 3] [3 o 3

3

2

Risulta, a comi fatti, det D = - 3h 2

mendo la prima riga. la terza e la quarta colonna). Le sottomatrici di ordine 3 che contengono questa sottomatrice sono

B=

h~ I] ,

i

detE

= 6h

2

-

+ I lh - 8 = 6h = 6h(h -

- (h - l)(3h - 8) I) .

.

8

3. det E= O per h = O eh =

Risulta all ora det D =O per h = l e per h =

2 4 6 ,

Concludendo:

I.

• per lz = I sono nulli s ia det D che det E , quindi tutte le sotto matrici di ordine 3 contenenti e hanno Ùt:lt:rminante nullo e quindi

Risulta: det B =O det C

(poiché la seconda riga è il doppio della prima) ,

= - 2 det [ ~ ~ J+ 4 det [ ~ ~J =

6

C ha determinante diverso da zero. Poiché non esistono in A sottomatrici di ordine 4 (A è di tipo 3 x 4) 3 è il massimo ordine di una sottom atrice a determinante non nullo e quindi il rango di A è 3.

per h = I • Per h

il rango di A è 2.

8 = O e per h = J' una delle due sottornatrici contenente C ha detenni-

nante nullo ma non l'altra sottomatrice. Per h #O e per h #

~ nessuna delle

due matrici ha detenninante nullo, quindi per ogni h

-:f.

1 il rango di A è 3.

Esercizio 7. 9 Calcolare, in fun zione del parametro reale h, il rango della matrice h A= 2 [ 3h

Esercizio 7. 1O Determinare le eventuali soluzioni del sistema lineare:

2

2h

I 3

h - 1 2

x+ 2y = 3

X+ 2z = 2

l

2x

Svolgimento: Usiamo la regola di K.ronecker. La matrice A non è nulla e quindi il rango di A è almeno l. Se si considera la sottomatrice di ordine 2 B

= [~

i]

c-[2 -

l

2h lt - l

J

ri sulta det e = 2h - 2 - 2h = -2 -::/=o per ogni h , quindi si può affermare c he il rango di A è alme no 2 per ogni valore di h. Consideriamo le due sottomatrici di

I.

Svolgimento:

I modo. Con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. La matrice completa è [

è det B = h - 4 # O per h # 4 e bisogna subito cominciare a disting uere i casi h = 4 eh # 4. Se invece si considera la sottomatrice

+ 2y + z =

1 2 o 3 ] 1 2 2 .

o

2 2 I

I

Operiamo con le regole ammesse, cercando di determinate una matrice il più possibile simile alla matrice del tipo

[ ~O zO ~l ~] e . d. . ch e d are bb e 1mme iatamente la so1uzwne x

a = -, y h

b

e

= - ,z= -. k I

Motrici. determinanti e sistemi lineari

111

Sottraendo aJla seconda riga la prima e alla terza riga due volte la prima si ottiene

112

C apitolo 7

Esercizio 7. 11 Delerminare, se esistono. le soluzioni del sistema lineare

3 ] 1 2 o O -2 2 - I . [ O -2 I - 5

2x+y-z =l

X+ 3z =

1+ 3x

Sottraendo alla terza riga la seconda si ottiene

[

l 2

o o

-2

o

3]

o2

- l -4

- 1

2 1 - I

-~O -I~ -=~4 ] . [6 O

1 ·O

[ 3

l

2.

I

I ]

3 O 2

.

2

Procedendo come nell 'eserc izio precedente, moltiplichiamo la seconda riga per 2 e sottraiamole la prima riga; moltiplichiamo la terza riga per 2 e sottraiamole tre volte la prima riga. Si ottiene

x=-6 , il sistema ha quindi l'unica soluzione

-2y = -9 -z = - 4

Q

+ 2z =

Svolgimento: Usiamo il metodo di Gauss-Jordan. La matrice completa è

.

Ora sommando alla seconda riga il doppio della terza e alla prima riga la seconda s i ha

Il sistema equivalente è

y

2

I

O - I [ O - I

-1 I] 7 - I

7

.

I

Sottraendo ora alla terza riga la seconda si ha

z =4.

- 6,

X =

2

II modo. Il sistema dato è di tre equazioni in tre incognite; vediamo se sono verificate le

2 O]

ipotes i del teorema di Cra[7 er

I O 2 = 2 =fa O quindi le ipotesi sono soddis fatte e 2 2 I si può usare la regola di Cramer ottenendo le soluzioni : Risulta dee A = dee

det

x=

2

detA det

y=

~]

=

- 12

2

=-6,

[l n 2' 3 2

9

1

detA

det

z=

[~

2

o

U

2

o 2

detA

=

n

=

8

2 =4.

[

l

O - 1

-I I] 7

o o o

- I

.

2

Osservando ora però la terza riga, si osserva che l'equazione a cui questa riga si riferisce è "scomparsa" o meglio è diventata Ox + Oy + Oz = 2 e questa equazione non è soddisfatta per nessun valore di x, y, z, quindi il sistema non ammette soluzioni. Il sistema dato è ancora un s istema di 3 equazioni in 3 incognite, ma non soddisfa le ipotesi del teorema di Cramer, perché il determinante della matrice dei coeffic ienti vale zero. La non esistenza delle so luzioni si poteva provare utilizzando il teorema di Rouché-Capelli. La matrice A dei coefficienti ha determinante zero, quindi ha rango minore di 3; il rango di A è però due, visto che è dee[;

~J =

-I =fa Oe cioè esiste una

sottomatrice di C di ordine 2, a determinante diverso da zero. Calcoliamo il rango dell a matrice completa usando la regola di Kronecker. Consideriamo le sottomatrici di ordine 3 contenenti C. Tali sottomatrici sono A, che come già visto ha determinante zero e

Motrici. determinanti e sistemi lineari

113

Rjsulta del B = - 1, quindi il rango della matrice complela è 3, mentre il rango de lla matrice dei coefficienti è 2. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema non ammette soluzioni .

114

Capitolo 7

la matrice completa è

h h ~\ h O

2

[A lh] = [

Esercizio 7. 12

- 1 h-1

] .

2- h

Si risolva ciascuno dei seguenti sistemi:

7 2 X+ 3y + - z - - t - I l = o 3 3 3x + z + t - 6 =O

I

X+ y + Z - 5 = 0 {2x - y + t=I

3y + 2z - t - 9 =O.

Si dica se i due sistemi sono equivalenti e se i due sistemi omogenei associati sono equivalenti.

Calcoliamo il rango di A. Le sDttomatrici di ordine 2 di A sono

l B = [h

J

- 1] h- 1 '

-1 h-4 '

ed èdet B = 2h -4, detC = h - 2, det D = h 2 - 4. Per h di ordine 2 con determinante diverso da zero, quindi

Svolgimento:

-f= 2c'è una sottomatrice

il rango di A è 2 se h =/:- 2, oppure 1 se h

= 2.

Le soluzioni del primo sistema sono Determiniamo ora il rango di [A lb]. Risulta det[A lh] = -h(h - 2) 2 , quindi, poiché nessuna delle souomatrici di ordine 2 di [A lb] ha determinante diverso da zero per h = 2. Si trova che:

il rango di [Alh] vale

Le soluzioni del secondo sistema sono e sattamenle le stesse quindi i due sistemi sono equivalenti, e anche le soluzioni dei sistemi omogenei associati sono ug uali tra loro, e sono

l

i 2

3

seh=2 se h = O se h =/:- 2, h

=I O.

Es istono quindi soluzioni del sistema solo per h = 2 o per h = O. Bisogna quindi determinare le soluzioni de i due sistemi

l

x - y = O

2x - 2y =O =0

- X+ y

Esercizio 7. 13

Determinare i valori di h per cui esistono soluzioni del sistema lineare

x - y=h - 2 hx + (h - 4)y = O

!

- x

+ (h -

l )y = 2 - h

e calcolar/e.

II primo sistema ha infinite soluzioni , tutte proporzionali al vettore [ ~

· · I · [-2]

ammette un unica so uz1one

0

J,il secondo

.

Esercizio 7.14

Svolgimento:

Ricerchiamo i valori di h per cui esistono soluzio ni , usando il teorema di RouchéCapelli. La matrice dei coefficienti è

A=

I

- l ]

[ -1

h- 1

h h-4

Determinare per quali eventuali valori del parametro reale h il seguente sistema ammette una sola soluzione, nessuna soluzione o infinite soluzioni e, nel caso in cui esistano, determinarle. x+ hy - 2z = I 2x + 3(h + l )y - 4z = h + l - x + (h + 6)y + 2z = 2.

l

Matrici. determinanti e sistemi lineari

115

116

Svolgimento: Per detenninare se esistono soluzioni utilizziamo il teorema di Rouché-Capelli. La matrice completa è l

h

-2

-4 h

2

l

+l

]

Il

=L

k= l

.

2

BA =

=

La matrice dei coefficienti ha rango 1 per h -3 e 2 per ogni altro valore di h. Per h = -3 la matrice completa ha rango 2, quindi il sistema non ammette soluzioni.

~ la matrice completa ha rango 3, quindi ancora il sistema non 2 5 ammette soluzioni. Esistono soluzioni (e sono infinite), solo ne l caso h = ; le Per h -:p

tl m

m~ [

Svolgimento: AB = [ t a;kbkj ] , quindi tr(A B )

2 3(h + l) [ -I h+6

,o(u,ion; O per cui è

Si consideri la matrice ad elementi in Z 9 A = invertibile, detenninare l'inversa.

Svolgimento: La matrice A si può scrivere, riportando gli elementi nelle rispettive classi di resti

A = [~

~ J. Il determinante della matrice A vale quindi 6 -

h. Un elemento di

è invertibile se è primo con 9, quindi se non è divisibile per 3, dunque dalla forma del determinante si deduce che h non deve essere divi sibile per 3. ~

Esercizio 7.15 Stabilire per quali valori del parametro reale m il sistema

li più piccolo h positivo è quindi h mx+ y + z = l x +my + z =m x + y+mz =m

!

..

[ 3·2 -I2 ·. 2]2 =[67 47] .

Svolgimento: Per m 'I I, m 'I - 2 la matrice del sistema è non singolare, quindi il sistema ammette una e una sola soluzione. Per m = 1 il sistema si riduce all' unica equazione x + y+z = 1, che ammette una doppia infinità di soluzioni. Per m = -2 la matrice completa ha rango 3, mentre la matrice dei coefficienti ha rango 2, quindi per il teorema di Rouché-Capelli il sistema non ammette soluzioni.

Si consideri il sistema lineare

tr(AB)

= tr(BA)

tsi ricordi che La traccia di una matrice quadrata A è la somma degli elementi che occupano la diagonale principale).

~]

matnce mversa è _ 1 . 2 Esercizio 7. 18

Siano A e B due matrici quadrate di ordine n ad elementi reali. Dimostrare che

1; in questo caso la matrice è [ ~

e ha determinante 5. L' inverso di 5 in Zg è 2, infatti 2 · 5 = IO = I, quindi la

ammette una, nessuna o infinite soluzioni.

Esercizio 7. 16

=

2x+3y-z=0 X

+ 2y+_2z = 2

13x - 4z -

2.

Si determinino le soluzioni di tale sistema 1. quando il campo dei coefficienti è IQ! 2. quando il campo dei coefficienti è '1t7. 3. quando il campo dei coefficienti è Zs.

Svolgimento: Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan può essere utilizzato in tutti e tre i casi, pur di fare attenzione a non moltiplicare mai per un numero multiplo di 5 o di 7. Nel caso in cui ciò si rendesse necessario bisogna studiare separatamente il sistema, a seconda del campo a cui appartengono i coefficienti.

Matrici. determinanti e sistemi lineari

117

La matrice completa (scambiando la prima con la seconda equazione in modo da avere il coefficiente a 11 = l) è

l 2 2 2] [32 o3 -1- 3 o2 .

118

4

Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro h

A= [-i

Toglia mo alla seconda riga il doppio della prima e alla terza riga il triplo della prima, ottenendo:

-~].

_; [io -i -6 -9

Capitolo 7

5

1 1 2 ] [ h 2+h l-h22-h,B = 1 2 -h 1 1 -h h + 2

[

o o

o

- 1

o

-4

=~21 =~] . 20

A=

6

A questo punto l'elemento a 33 è un multiplo di 7, ma la matrice è triangolare, quindi la soluzione, se esiste, si ricava facilmente. Distinguiamo i vari casi. Se i coefficienti sono in 'll.7 risulta 2 1 O mod. 7, quindi la terza equazione non ha soluz ione e in tal caso il sistema non è risolubile. Se i coefficienti sono in Z5 risulta 21 1 mod. 5, quindi la terza equazione ha solu zione z. =O, da cui si ricava che la seconda ha come soluzione y = 4 e la primax = -6 = 4 mod 5. 20 Se i coeffici enti infine sono in Q, la terza equazione ha soluzione z. = . da 21 160 34 100 16 cui x = -6 + = - e y = 4- = --. 21 2.1 21 21

a)

A=

2

1

- I

3

- 1

o]

1 ,

B=

[ O - 1 O

Determinare una matrice X per cui AX + X

[

s o]

3 2

o

= 8 2 ove:

1

= I ove A =

7

o

1l

-b]e . O

b)

x-2y-z=O 3y - z =o 2x + y-3z = O

l

Determinare tutte le soluzioni del sistema

x+ y-z - u =O 2x - y+z+u =l y- u = 2.

l 8

Dato il sistema lineare

kx+3y+kz =O 2x+4y= l 4x +6y +kz = 2

o

[i

l

ammettono una e una sola soluzione e determinarla. Stabilire se esistono dei campi numerici a cui appartengano i coefficienti in cui le soluzioni sono infi nite oppure non esistono.

7 O .

- 1

O a - a. O [ b -e

2x + y - z =0 3x - y + 2z = l X - 2y + z = Q

ESERCIZI PROPOSTI Determinare la matrice X che soddisfa all'equazione matriciale AX

2

2 h -1

Dimostrare che i sistemi lineari a coefficienti real i

= =

h ] [h h - 1 , C= ~

Determinare il rango della matrice A al variare di a, b, e in JR.

Aggiungiamo alla prima riga il doppio della seconda e togliamo alla terza 6 volte la seconda, si ha: 1

2 1 h

E ~-

l : ] ed I è la matrice

identica.

si discuta l'es istenza e l'unicità delle soluzioni al variare del parametro reale k e si 2. determinino le soluzioni per k

3 Ricordando la defi nizione di matrice inversa di una matrice A, determinare i valori di k per cui sono eventualmente invertibili la matrici

9 Determinare, in funzione del parametro reale h , res istenza e eventualmente l'un icità delle soluzioni dei sistemi lineari

A=

=

u

I

k- 1

~].

B=[kiil

2k] D =[i o ' k

E=

I

2

2k - l]

2k-4 • 3 6k -3

[i

k- 1 k 1

e=[i

k ] -2 3k -4

k- 1 k

k+ I

~]

r+h,_,_,

a)

=O

hx + y x+y= l

b)

r+y+h,_ , + X+ hy Z = 1 hx + y + z = J

c)

r++2yH-0 =O hx y X+ 2hy + (h

+ J)z =

0

M o trici, de term inanti e sistemi lin eari

119

8

Soluzione degli esercizi proposti Risulta detA invertibile e

=

I , quindi A è

o

r ' All ora X =

=[i o -~l I

13 2

[ 35

Risulta 'cA + / ) X = / , e poiché (A +I) è invertibile si ha X = (A+ 1) - 1 =

i[-~

campo 22 o al campo 25, quindi in questo caso, se la soluzione es iste, tale soluzione non è unica. Per vedere se esistono so1uzioni a ppl ichiamo il teorema di Ro uchéCapelli, consideriamo la matrice che ha le prime due colonne (che sono indipendenti) della m atr ice data e so stitui amo l'ultima colonna con la colonna dei te rmini noti. Da A

2

-n

=

[~ I

-i].

_;

detA

- 2

=

10;

1

otteniamo

A' =

[

;2

= 21

06]

con

detA'

= 5.

k

i= ~ ·E è invertibile per k i=

lek

i= ~ -

4 A ha per ogni h rango almeno 2; ha rango 2 per h = - l ; rango 3 per gli altri valori di h . B ha per ogni h rango almeno 2; ha rango 2 per h = 2 e rango 3 per gli altri valori di h. e ha rango 3 per ogni valore di h.

5 Risulta det A = O, indipendentemente dai valori di a, b, c . Se almeno uno dei tre parametri è non nullo, il rango di A è 2, altrimenti è O. 6 Il sistema a) ha una e una sola soluzione in JR perché il determinante della matrice dei coefficienti vale 10, quindi è non nullo. La soluzione è:

Dunque se il campo è 22 il sistema non ha soluzioni perché il rango della matrice è aumentato , mentre ha infinite soluzioni se il campo è 25 perché il rango è due sia per la matrice di partenza che per la matrice or lata. li sistema b) ammette soluzione unica poiché il determinante della matrice dei coefficienti vale 2, e quindi non è nullo. Essendo il sistema omogeneo, l' unica soluzio ne è il vettore nullo. li determinante della matrice è non nullo anche se i coeffici enti appartengono ad ogni altro campo, ad esclusione di 22, quindi si ha sem pre la sola soluzione nulla. Se i coeffic ienti app artengono a 22 esiste la soluzio ne

Ul 7 Le soluzioni sono infinite, dipendenti da un parametro reale k: I

3 2+k 7 Essendo il determinante 10, la matrice è singolare se i coeffi cienti appartengono al

C a pitolo 7

Ri sulta detA = O per k = O e per

k = 2; S per ogni. aItro k 1·1 sistema . ammette una e una sola sol uzione . Per k = O il siste5 ma ammette in fi nite soluzioni, per k 2

per h i= I e h i= - 2. Per h = - 2 non ammette soluzioni, per h = I ammette una doppia infinità di soluzioni:

a, b E JR.

li sistema c) ammette sempre almeno la soluzione nulla, poiché è omogeneo. Ammette soluzioni non nulle solo per h = O; tali 9 li sistema a) ammette soluzioni solo • [ per h = O: x = I , y = O. soluzioni sono O , a ER Il sistem a b) ammette una sola soluzione - a

a]

QUIZ 1 Siano A e B due matrici quadrate d i ordine n a coefficienti reali .

3

A e D non sono invertibili perché non sono quadrate . B , C, E lo sono se hanno determinante non nullo, quindi B non è invertibile per alcun valore, C per k -:/= I e

120

3 k

A: Se A B = O è det A = O e det B = O. B: dct[(A + B )2 ] = det (A 2 ) + 2det A det B + det (8 2 ) . C: Se det(AB) =O o è A = O o è B = O.

D: (A B)" =A" Bn. E: det[(A B)"] = (det A)11 (det B )".

2 A: Esiste una matrice A 3 x 3 a coefficienti reali tale che sia A2 = - ! ? B: E se A fosse 2 x 2? 3 Siano A e B sono due matrici quadrate invertibili

A:(AB) - 1 = A- 18 - 1• B : A - Be A + B sono invertibili.

4 Sia A una matrice di ordine n e B la matrice ottenuta da A cambiando segno a tutti gli elementi di due righe. Allora det A = det B. 5 Si consideri una matrice quadrata A di ord ine n e sia C la matrice ottenuta da A cambiando segno a tutti g li elementi della prim a riga e B la m atrice ottenuta da C cambiando segno a tutti gli elementi della prima colonna. Allora è: A: del A = det B , qualunque sia l'ordine n. B: del A = - det B , q ualunque sia l'ordine n . C:det A = (- l)"det B .

6 Sia A = [aij ] una matrice quadrata di ordine 3 e sia B la matrice il cui generico elemento biJ è così definito: bij = a ;J se i A: è det 8 =del A. B: èdet B = - det A

+j

è pari; biJ = - a;1 se i + j è dispari.

Motrici. d eterminanti e sistemi lineari

121

7 Sia M una matrice quadrata di ordine n ad elementi reali e sia k un numero reale non nullo; quale proposizione è vera? A: det(kM) B: det(k M ) C: det(kM ) D: det(kM)

= k2 det M .

= (-l )"kn det M .

A: se det B = Oallora il rango di A è 2. B: se det B 1Oallora il rango di A è 3. C: se det B =..O allora il rango di A non supera 2. O: se det B 'I=- O allora il rango d i A è almeno 3.

A: è sufficiente che una sua sottomatrice di ordine 3 abbia determinante nullo. B: è sufficie nte che ogni sua sottomatrice di ordine 3 abbia determinante nullo. C: è necessario che ogni sua sottomatrice di ordine 3 abbia determinante nullo. D: è necessario che una sua sottomatrice di ordine 2 abbia determinante non nullo.

A : Se Ax = b non ammette soluzion i, allora car[Alb] = car A+ l. B: Se Ax b ammette un 'unica soluzione, al lora car[A lh] n. C: Se car[Al h) è minore di n le equazioni del sistema non sono indipendenti. . O: Qualunque sia b, no n si può dire se ammette soluzioni se non si conosce il rango dt A. E: Se il rango A è m tale sistema ammette sempre soluzioni . F : Se è omogeneo ammette sempre almeno una soluzione. G : Se il sistema omogeneo Ax = Oha infinite soluzioni, allora anche il sistema Ax b ha infinite soluzioni, per ogni b. . . H: Se il rango (caratteristica) della matrice A è n, il sistema Ax = b ha sempre soluz10n1. I: Se il sistema Ax =O ha soluzioni non banali, allora m < n.

=

=

A: si moltiplica una riga per una costante negativa. B: si moltiplica la matrice per un'altra a determinante non nullo. C: si eliminano due righe, se una delle due è multipla dell' altra. O: si scambiano tra loro la prima e l'ultima colonna. E: si cambia segno agli elementi d i una colonna. F: si sostituisce una colonna con una combinazione lineare delle altre. 11 Se un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite ha soluzione, allora il rango della matrice dei coefficienti è 3.

= b un sistema lineare di 5 equazioni in 7 incognite.

A: Se la matrice A ha rango 5, allora il sistema ha soluzione per ogni valore di b. B: Se il sistema ammette sol uzione, tale soluzione non è unica. C: Se la matrice A ha rango minore di 5, il sistema non ha mai soluzio ne. D: Se il siste ma ammette soluzione, tale soluzione dipende da 2 parametri. E: Se la matrice A ha rango massimo. esiste una soluzione dipendente da 2 parametri.

= b. Se il sistema è

= b un sistema lineare di n equazioni in k incognite avente una sola soluzione.

A

B

e

D

E

F

F

F

F

V

2

F

V

3

F

F

4

V

5

F

V

6

V

F

7

F

V

F

F

8

F

F

F

V

9

F

F

V

V

10

V

V

F

V

V

11

F

12

V

V

F

F

V

F

G

H

F

F

F

13

F

A: il rango di A è n. B: il rango di A è k.

14

F

V

F

F

C:n =k.

15

V

V

F

F

16

V

F

V

O: n = k e det A 'I=- O.

= O ammette solo la

A: se il rango di A è n. B: se la matrice A ha rango massimo. C: se per qualche b il sistema Ax = h ammette un' unica soluzione.

Soluzione dei quiz

1O Il rango di una matrice no n cambia se:

14 Sia Ax Allora:

15 Sia A x = b un siste ma di m equazioni lineari in 11 incognite.

16 Il sistema di m equazioni lineari omogenee in n incognite Ax soluzione banale

9 Affinché una matrice di tipo 3 x 4 abbia rango 2,

13 Si consideri il sistema lineare di m equazioni in n incognite Ax risolubile e se è m = 11 , la soluzione è unica.

Capitalo 7

=

= k det M . = k"detM .

8 Sia A una matrice 4 x 5 e B una sottomatrice di A di ordine 3. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

12 Sia Ax

122

V

V

V

F

124

Capitolo 8

n

b) Dato che per T la condizione necessaria è verificata, bisogna usare il criterio.

8

Si,no V

Spazi vettoriali

= [;] e w = [

e m +n - p + q

due vettori di T' percui risulta a +b - e+ d

=o

= O. Àa

Il vettore ÀV + µw =

+ µm] n + ~P

)..b + Àc

[

. appartiene a T?

>..d + µq È (Àa + µm) + (>..b + µn ) - (Àc + µp) + (Àd + µq) = À(a + b - e + d) + µ(m + n - p + q ) = W +µO= Oquindi Tè sottospazio. c) U non è sottospazio, infatti non soddisfa ]a condizione necessaria poiché il vettore nullo non appartiene ad U. d) Per V la cond.i zione necessaria è verificata. Bisogna usare il criterio.

Esercizio 8. 1· Siano dati i seguenti sottoinsiemi:

Siano v =

[~] e w =

[ ; ] due vettori di V, quindi risulta a 2

-

b2 = O e

m 2 - n 2 =O. Il vettore >..v

+µw =

+ µm ] Àb + µn appartiene a V se risulta >..c+µp

Àa [

(Àa

+ µm) 2 -

(Àb

+ µn) 2 =O

cioè

quindi

ì-.20 + µ 2 0 + 2}...µ(am Stabilire quali di essi sono sottospazi del relativo spazio vettoriale.

Svolgimento: ln ognuno dei casi, prima di utilizzare il criterio che caratterizza i sottospazi, verifichiamo la condizione (necessaria ma non sufficiente), che il sottoinsieme contenga il vettore nullo.

a) S non è sottospazio di R 4 poiché non è soddisfatta la condizione necessaria, infatti il vettore nullo O = condizione

[I]

Questa condizione non è verificata per ogni possibile scelta di a, b, m, n quindi V non è sottospazio. e) Per W la condizione necessaria è soddisfatta, infatti la matrice nulla è individuata da a= b =O.

[a

[mmn ] = [ha +0 km

b] k . . n.su1ta h Per .i 1cnteno, 0 a + 0

hb ++ kknm ] che e, ha

ancora dello stesso tipo. f) Per X la condizione necessaria è soddisfatta, infatti 0+0- 0 = O. Per il criterio,

risulta che h

[~] + k [~] = [~~: ~~] E X se soddisfa la condizione, ma e

nnn apportiene ad $ poicOé non soddisfa I•

a 2 + b2 + c2 + d 2 = 1.

+ bn) =O.

p

h c +kp

è ha + km +hb +kn - hc + kp = h(a +b-c) +k(m+n - p) = h ·O + k·O = O

125

Spazi vettoriali

Esercizio 8.2 vel/oriale JR.2 [x]

Si consideri lo spazio dei polinomi, di grado non superiore al secondo a coefficienti reali, nella variabile x. Si considerino i seguenti sottoinsiemi:

126

Capitolo 8

Svolgimento: Per la condizione necessaria perché un sottoinsieme sia sottospazio, il vettore nullo deve appartenere ad S, e questo accade solo se t 2 - 1 = O, cioè se t = ±1. Per tali valori utilizziamo il criterio .

= jp (x) = ax 2 + bx +e: x = I sia radice di p(x) =O} T = {p(x) = ax 2 + bx +e : p (x) =O abbia radici reali e coincidenti).

[~] e [ ; ] due vettori generici di S (allora è a + b + e

S

Siano

Quali di essi sono sottospazi di IR.2 [x)?

m

Svolgimento: La condizione che individua S è che sia p(l) = Oe si può esprimere dicendo che è a + b +e = O. La condizione necessaria perché il sottoinsieme S sia sottospazio è soddisfatta; bisogna usare il criterio. Siano p(x) = ax 2 + bx + e e q (x) = mx 2 + nx + h due vettori di S (con a + b +e = O e m + n + h = O). Allora per il criterio

+ µq(x ) =

Àp(x)

(Àa

+ µm)x 2 +

(Àb

+ µn)x + (ÀC + µh )

+

n

+

p

=

[a] + [m] = [Àa +++

0). Risulta che À b

+ µm +

Àb

+ µn + Àc + µh

= À(a

+ µq(x) =

(Àa

+ µ,m)x 2 +

(Àa

+ µm) + (Àb + µn) + (Àc + µp)

(Àb

+ µn ) 2

= ì. (b

2

-

- 4 (Àa

4ac)

~

+ µn)x + (Àc + µh).

= - 2˵(b11 +2ah

4mh) - 2ì.µ(bn

E

R

6] + ~] b[

-1

quindi questi due vettori generano S e sono anche una base per S, poiché sono indipendenti: infatti, se consideriamo la loro combinazione lineare uguagliata a zero h [

6] + ~]

-1

k [

-1

= [

~

-h- k

]

=o

se ne deduce che devono necessariamente essere nulli i due coefficienti h e k.

Si considerino i sottoinsiemi S di JR3 costituiti da tutti i vettori le cui componenti a, b, e soddisfino una delle condizioni seguenti:

+ 2ah + 2mc) =

I)

+ 2mc) =O.

Poiché questa condizione non è verificata per ogni p(x ), q(x) sottospazio .

3) 5) E T, T

non è

Determinare per quali valori reali del parametro t il soltoinsieme S di JR3 , costituito dai

[~] le cui componenti a, b, e soddisfano la relazione a+ b + e = t 2 -

sottospazio di JR3. Per tali valori determinare un sistema.finito di generatori per S.

7)

a+ b- 3c =O a+2c=b = 0 a= b, e= I a+ rrb - c =O

2) 4) 6) 8)

2a - b + e= J a-b= IO a = -c, b = O a - ./2b =O.

In ognuno dei casi precedenti, stabilire se S è sottospazio di ~3 . In caso affermativo determinare due basi distinte di S.

Esercizio 8.3

l'ettori

+ b +e) + µ(m + n + p) =O.

Esercizio 8.4

+ µm)(Àc + µ,h) =

+ µ, 2 (11 2 -

µm µn ] apparti ene ad µp

- a - b

[ - a - b] = a [ -1

Risulta 2

= À(a

% ] con a , b

I vettori di S hanno quindi la fonna [

+ b +e)+ µ(m + n + h) =O

(Àb

Àb ÀC

Si può porre

quindi S è sottospazio. La condizione che individua T è che sia b2 - 4a c = O. La condizione necessaria è soddi sfatta (il vettore nullo Ox 2 + Ox +O soddisfa la condizione). Siano, come nel caso precedente, p(x) = ax 2 +bx+c e q(x) = mx 2 +11x+h due vettori di T (e quindi b 2 - 4ac = O, 11 2 - 4mh = 0). Consideriamo Àp(x)

n p

S per ogni À e µ poiché

risulta Àa

µ

C

= Oe

I, è

Svolgimento: Si verifica dapprima che il vettore O E S , se tale condizione è soddisfatta si applica il criterio.

Spazi vettoriali

127

128

Capitolo 8

Si determinano due basi distinte assegnando valori particolari ai parametri.

1) basi : (

3) basi :(

[-lJ.[fl I

e(

Consideriamo altri vaJori per a e per b.

GJ .[-nI

2) non è sottospazio.

[_~] I e ( [ _g] I

4) non è sottospazio.

5) non è sottospazio.

7) basi

Ad osempio ponendo a

[-fl I [_~]I I[f] .ml

6) basi :(

ml [!] HLl J.[~-J I I]

8) b'5i

e(

b

~

2 si ottiene

~

I eb

~

1 si ottieo"

[i]

mentre pec a

~

1e

m

Questi due vettori sono indipendenti, infatti

e

\[f]f:JI Esercizio 8.5 Detenninare due basi disrinte per il sof/ospazio S di Il~ costituito dai vettori della forma

l :-b

se e solo k = h = O. Basterebbe questo per dire che questi due vettori sono una base, infalli poiché S ha dimensione 2 (si è trovata prima una base costituita da due vettori), due qualsiasi vettori indipendenti di S costituiscono una base; dimostriamo però direttamente che i due vettori generano S ricavando i coefficienti h e k con cui il generico vettore di S si scrive come combinazione lineare dei due veuori. È

b

[

a +b .

Ri solvendo il sistema in h e k

Svolgimento: Il generico vettore di S si può scrivere nel modo seguente:

a= h + k b = h + 2k a +b = 2h+3k

l

a - b = 6k

I due vettori sono ottenuti ponendo per il primo vettore a = I e b = O, per il secondo vettore, a = O, b = I; essi costituiscono una base, infatti generano S dal momento che il generico vettore di S si può scrivere come loro combinazione lineare, e inoltre sono linearmente indipendenti , poiché

si ottiene h = 2a + 6b, k = 6a + b. Tali coefficienti sono le componenti del generi co vettore di S nella nuova base, per cui

l] [I] [ 2a2a+6b+ + 6b +l 6a +b ] I 2 2a +2b (2a +6b) 2 + (6a+b) 3 = 4a + 12b+18a+3b [ O 6 36a + 6b 8a ++1b 14a 8b ] = [ 22a + I 5b 36a + 6b

ha come soluzione: a= b = O.

[

ba

=a +b a- b

=

]

·

Spazi vettoriali

129

130

Capitolo 8

Esercizio 8.6

Esercizio 8.8

Stabilire per quali valori del parametro razionale h il ve/lare v appartiene alto spazio generato da a, b, e, ove

In IR3 si considerino i due sottospazi Se T definiti nel modo seguente:

v

=[il Gl a=

b=

h [

+ I

l]

,

2

Dopo aver determinato una base per S, determinare una base di S n T.

Svolgimento: Calcolando il determinante della matrice ottenuta accostando i tre vettori si trova che lo spazio generato da a, b, e ha dimensione 2 per h

=

1 oh

=

-1 ±

Svolgimento: Il vettore generico di S può essere scritto, tenuto conto della relazione, nella forma

v'l7

, 2 (di c ui solo il primo è razionale) e 3 altrimenti. Se la dimensione:: è 3 sicuramente il vettore v appartiene a tale spazio; per h = 1 i due vettori a e b risultano indipendenti, ma v non ri sulta loro combinazione lineare.

quindi una base per S è costituita, ad esempio, dai vettori

ponendo a = 1, b = O per il primo vettore e a = I, b = 1 per il secondo vettore). Risulta dim S = 2 e dim T = 2. La formula di Grassmann dice che

Esercizio 8.7

dim (S

Si considerino in JR 3 i ve/lori

u=

Gl

V =

[~l

w

=

[~l

z=

Gl

dim S + dim T - dim(S n T ).

~

[ a + 2b

] = h[

6] +

-1

k

[i] [h k2k] =

O

+

- h

cioè

Svolgimento: Per verificare che i tre vettori assegnati formano una base, basta verificare che sono linearmente indipendenti, pertanto il determinante della matrice ottenuta accostando i tre vettori deve essere diverso da zero. Infatti è

2 1 3] [

det 1 O l = - 4 1 I O

f:.

a = h + 2k b= k a + 2b = -h

l

quindi si ricava b = k, a = O, h = - 2b = -2k. I vettori appartenenti all' intersezione sono quindi

v

O.

Le componenti del vettore assegnato nella base u, v, w sono i tre coefficienti della combinazione lineare a u + bv + c w = z. Bisogna quindi risolvere il sistema

+ b + 3c =O a+c= l a + b= I

+ T) =

Poiché al mass imo dim(S + T) = dim lR3 = 3, l'intersezione non è costituita dal solo vettore nullo. Cerchiamo i vettori di S che appartengano anche a T (e che quindi stanno nell ' intersezione). Deve essere:

. ta l e Dop o aver mostrato che u , v, w sono una base di JR3, determinare l.e componenti. m base del vettore

[~l [1] (ottenuti

=

[rJ

m ultipli del vettore

che è una base di S n T .

Esercizio 8.9 Si considerino in R4 i vetto ri:

2a

1

che am mette come soluzioni

a = 2, b = - I , e = -1. e siano X il sottospazio generato dai vettori a e b, Y il sottospazio generato dai vettori e e d.

132 Spazi vettoriali

3 Si determinino i valori del parametro reale dai vettori:

Determinare la dimensione e una base di X , Y , X n Y , X + Y . Determinare un sottospazio comp lementare di X in R4 .

Svolgimento: Si ha dim X = 2, dim Y

[

=

2, dal momento che i generatori dati sono line armente indipende nti e quindi costituiscono una base. Determiniamo per quali valori di h e k il generico vettore di Y : k c + hd appartiene ad X . Calcoliamo il rango della matrice associata

2 1

h h ] h +k .

o

+

wno "n' ''""" "n oomplomentare d; X, m• ogn; po" ibilooompletamonto

2

[fl

E

~ibk!k]

b + a +kc

n T.

S è generato da [

fl

e [-

~] , e Tè il sottospazio dei vettori [

Determinare la dimensione ed una base per S , T , S n T , S

6

Si consideri il sottospazio

di R 2

fl

tali che a - b

+ 2c = O.

+T.

così definito:

Quale relazione lega le componenti y 1 , y2 dei vettori di S rispetto alla base B costituita

l [~]?

In W siano date le due basi

u 1, u 2 , u 3

e

vi , v 2 , V3 ,

e la trasform azio ne tra le due

basi:

Ricordando la condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme di vettori sia sottospazio vettoriale, si chiede se costituiscono un sottospazio vettoriale di IR.3 i seguenti sottoinsiemi

S = {

formato

Si consideri lo spazio vel1 ori ltle JR 3 e due suoi sottospazi Se T così defi niti:

7

ESERCIZI PROPOSTI

3

In JR3 siano S e T i sottospazi generati rispettivamente da

4

dai vettori [ :

dà luogo a un diverso complementare.

kper cui il sottoinsieme Sdi iR.

è sottospazio di IR.3 , e per tali valori se ne determini la dimensione e una base.

5

Il rango vale 2 se h = - k , quindi e - d genera X n Y e pertanto è una sua base. Per la formula di Grassmann: dim X + dim Y = dim(X n Y) + dim(X + Y), risulta dim( X Y) = 3. Una base si ottiene completando opportunamente una base dell' intersezione co n un vettore di X indipendente dal vettore e - d base dell ' intersezione, ad esempio a, e con un vettore di Y indipendente da e - d, ad esempio c. Poiché un sottospazio e ogni suo complementare devo no avere intersezione ridotta al solo vettore nullo, m entre la somma deve esaurire tutto JR4 , una base di un complementare si può ottenere comple tando la base di X ; ad esempio i vettori e

~]

a

Determinare la dimensione e una base per S

-h

2

e[

Capit olo 8

131

3

2

IR : a+ 3b - c = O}

T

[fl

={

E

3

IR : a + 3b - 197c

=o} .

[h~ 1] , h+ I

In dipendenza dai valori reali di h determinare la dimensione del sottospazio di JR3 da essi generato.

=2u 1 - u2

Determinare i vettori di

R3

- u 3,

V3

= 2u z + U 3.

che hanno le stesse componenti rispetto alle due basi.

Soluzione degli esercizi proposti S sì, T no. .2

In IR.3 si considerino i vettori

[il

vi

h

=

una base di S è

La dimensione è 3, salvo che per 7 , per cui è 2. 2eh

=2

3 O E S solo per k = O; per ogni al- 4 dim S = 2, dim T = 2; poiché t 1 è tro k E S no n è sottospazio. Per k = O indipendente da s 1 e s2, dim(S + T ) = 3, bisogna usare la definizione e si trova quindi dim(S n T ) = 1. Una base di S n T che S è sottospazio e ha dimensione 2; si detemtina imponendo che h t 1 + kt 2 E S;

Spazi vettoriali

133

134 si ottiene h

= - k, da cui

[~] è la base richiesta.

5 Tè

dirn S

= 2, d im T = 2; una base di

[l]'[~]. 5

Una base di S.n T è [

~ ] , quindi

6

4y1 + 9y2 =o.

7

La condizione richiesta è

sostituendo le relazioni si ottiene la relazione au 1+(- a+ 2b

+ 2c) u 2 + ( - a) u 3 =O;

da cui si ricava a = O, b = e; quindi tutti i vettori della forma

dim(S + T ) = 3.

Gl

Ca p itolo 8

12 Siano u, v, w E ~ 3 le tre colonne di una matrice quadrata A con det A matrice avente per colonne v , 3u , v + w. Allora

= L. S ia B la

A: det B = -3. B: detB = 3 . C: det B = (-3) 3. D: del B può assumere valori diversi, a seconda di u , v, w.

13 In uno spazio vettoriale di dimensione IOsi considerino i vettori u, v, w , x , y , z non nulli e a due a due distinti. Sia S il sottospazio generato d a u, v, w, z e sia T il sottospazio generato da u, v , x , y . Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A: dim(S + T) = 6. B: dim (S + T) ::;: 6. C: dim(S + T) ::O 6.

14 Sia (a , b , e, d } una base di uno spazio vettoriale W . Una sola delle seguenti affermazioni è vera.

QUIZ

1 In ~ 2 il sottoinsieme dei vettori a componenti intere è sottospazio. 2 Sia V uno spazio vettoriale generato da k vettori. Non esiste nessun sistema di generatori d i V form ato da n < k vettori. 3 Se V è uno spazio vettoriale di d imensione 5 , comunque si fissino 3 vettori vi . v2. v3 linearmente indipendenti in V , esiste una base di V che contiene v1 , v 2. V3. 4 In uno spazio vettoriale reale V si consideri u n sotto spazio S generato da tre vettori u , v, w non nulli. u, v, w è una base per S se e solo se è base per S u, v + 2u, w - 2v. 5 Siano u, v, w, z q uattro vettori di uno spazio vettoriale V. Il sottospazio vettoriale generato da u + v , v - w, u + w, z coincide con il sottospazio generato da u + v, u + w,

A: (e - b , a B: {e - b, a C: i vettori e D: i vettori e -

b, a b, a b, a b, a -

e, d } è un sistema di generatori di W ma non è una base. e, d i è una base di W. b, a - e, d generano un sottospazio di W di dimensione 3. b , a - e, d generano un sottospazio di W di dimensione 2.

15 Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in t a coefficienli real i, dì grado non superiore a 2. A: I polinomi I, I - l, t + I sono linearmente indipendenti. B: Esiste una base di V contenente i poli nomi (t - l )(t + l) et - 1. C: I polinomi t, t - I, t + I, t 2 generano V . D: I polinomi che si annullano per t = I costituiscono un sottospazio di d imensione I . E: I polinomi t - 9, t + 3, t - 3, t (t - 3), t (t + 3) generano lo spazio. F: I due polinom i t - 2 et + 2 sono dello stesso grado, quindi dipendenti.

U + V + Z.

6 Siano u , v. w vettori di uno spazio vettoriale V. Allora il sottospazio generato d a u . v, v + w co incide con quello generato da 11 , v, v - w. 7 Siano x , y , z tre vettori di stinti e non nulli di uno spazio vettoriale di dimensione 3. Se x è combinazione lineare di y e z. il sottospazio generato dai tre vettori ha dimensione 2. 8 L'i ntersezione di due sottospazi di uno spazio vettoriale V è sempre sottospazio di V, l'unione non lo è mai. 6

9 In R esistono due sottospazi V e W di dimensione 4 tali che dim( V

n W ) = I.

IO Siano u, v, w tre vettori di stinti e non nulli di uno spazio vettoriale V di dimensio ne 3 e sia X il sottospazio generato d a u e ve Y il sottospazio generato da w. A: Se dirn (X + Y) = 2, u e v sono dipendenti. B: Se V è somma di X e Y allora X ha dimensione 2. 11 S ia A una matrice ad m righe ed n colonne. Le colonne di A possono essere vettori indipendenti solo se n non supera m .

16 Siano u, v , w , t quattro vettori di uno spazio vettoriale V di dimensione 3.

A: Se u, v, t sono linearmente indipendenti, allora w è loro combinazione lineare. B: Se w è combinazione lineare di u, v, t allora u, v, t costituiscono una base di V . C: Se 11 e v generano un sottospazio U di V , allora t appartiene al sottospazio generato da U e da w.

17 Siano u , v, w tre vettori di uno spazio vettoriale V di dimensione 3. A : u e v fanno parte di qualche base. B: Se 11 , v, w generano V allora sono linearmente indipendenti. C: Se w appartiene al sottospazio generato da u e v, allora il sottospazio generato da 11, w , v ha dimensione 3. 18 Siano u, v, w tre vettori di uno spazio vettoriale V . A: Se 11 , v, w sono li nearmente indipendenti lo sono anche 11 e v. B: Se u, v, w sono linearmente dipendenti lo sono anche u e v. C: u , v, w generano V ma non sono una base, u e v generano V .

135

Spazi vettoriali

9

19 Siano u , v, w tre vettori li nearmente indipendenti di uno spazio veltoriale V .

A: I vettori u - v, v - w, w - u sono linearmente indipendenti. B: Se i vettori u , u + v, u + v + w generano V , allora dim V = 3. C: Se dim V = 3, allora u + v, u - v, u - w fonnano una base di V . O: Esistono o pportuni scalari a, b tali che w = au + bv. E: 1 vettori u - v , v - w , w - u sono linearmente dipendenti. F: Esiste una base di V contenente due dei tre vetto ri dati.

Omomorfismi (applicazioni lineari)

20 Sia

V uno spazio vettoriale reale , e siano u 1, u 2, . .. , u n n vetto ri d i V. L'affennazione " V è generato da u 1, u 2, .. . , Un " equivale a dire che

A: ogni combinazione lineare au 1 + bu2 + ... + cu 11 è un elemento di V (a, b, ... , e E

Esercizio 9.J

JR). B: la dimensione di V è n. C: ogni elemento di V è una combinazione lineare di 2u 1. 2u2, ... , 2un.

Stabilire quali tra le seguenti applicazioni sono omomorfismi. 2

3

I.

f : JR

2.

f : lR2 -+ IR 3

-+ JR

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

F

11

V

2 3

F

12

V

F

F

V

13

F

F

V

4

V

14

F

F

V

F

5

V

15 F

V

V

F

V

16

V

F

F

7

F

17

F

V

F

8

F

18

V

F

F

9

F

19

F

10

F

V F

V V

20 F

F

2

6

V

E

f

[~J= [: ~

ove

f

[a] - [ a; ] b - 2b + 5a

4.

V

F

V

V

f: JR2 -+

I f

6.

F

2

3. / : IR -+IR [x]

F

JR3

R' - R

i zj -

ove

1

1 [~]=a+2b+bx+3ax 2

ove

f [:]

"'

f [:

3

Zl

:J

ove

Soluzione del quiz

=

[a!

b]

l ~ [~'.]

o~ i[:] ~ [~:]

Svolgimento:

1. La condi zione necessaria è so ddis fatta: f (0) =O. Applichiamo la definizio ne : f è un o momorfismo se per ogni coppia À, µ E JR ed ogni coppia di vettori u , v E IR2 ri sulta f(Àu questo caso è:

[e]= a] [e]) f f ([ + V

À

a] [b

b

+µf

µ d

d

À.

=

[ a + b] a

+µ

a- b

[e+

+ µ v ) = AJ(u) + µf (v) . In

+

d] [ À(a b) +µ(e+ d )] e = Àa +µe À(a - b) +µ (e - d ) e- d

[ Àa + µe ] [ (Àa + 1,1,c) + (>..b + µd) ] Àb + d = Àa + µe . µ (Àa +µ e) - (Àb + µd )

Poiché i due vettori ottenuti sono uguali ,

f è un o mo m orfismo.

Omomorfismi (applicazioni lineari) 138

139

Capitolo 9

2.

f [

3.

f

gJ= (gJquindi f

Esercizio 9 .2 Stabilire per quali valori del parametro reale h è un omomorfismo /'applicazione J : IR3 ~ IR3 definita da

non è un omomorfismo.

(0) = O. Usiamo la definizione.

Àf

f

[% J+ µf [ ~ J=À(a +2b +bx +3ax ) +1,1,(c +2d + dx+ 3cx 2

f 2

)

(Àb

f

4.

f

[g]= [b].

5.

f

(0) =O. Usiamo la defi nizione.

quindi

ha+ b

]

( I - h)b 2 +e (1 - h 2 ) +a

Svolgimento:

+µ c+2Àb+ 2µ,d+ +µd) x +3(Àa+µc)x

I due vettori sono uguali, quindi

b

e

(À [~J +µ [~]) =t [~~:~~] = = Àa

[a]= [

.

,

Verifichiamo la condizione necessaria /(0) =O. E 2

•

è 'un omomorfismo.

f non è un omomorfismo.

f quindi può essere un omomorfismo solo se h questi valori lo sia. Per h = 1 è

= ± 1, ma non è detto che per

Risulta:

a] [m] [a+b] [m +n] [Àa +Àb + + µn ] + µm µp [e + µ f np = ae + µ mp = Àa+ µm Àa +µm ] [Àa+µ~ ++µpÀb +µn ] . f Àb + µn = [J...c + µp Àa + µm

)..f1 b

À

1

ÀC

Àl

1

I due vettori non sono uguali, se non per particolari valori di À e µ e per particolari vettori, quindi f non è lineare. 6. L'eventuale omomorfi smo è simile al precedente, ma con coefficienti in un campo diverso. Risulta f (O) = O. Usiamo la definizione.

Quindi

f 1 è un omomorfismo. Proviamo h = Àf- i

[a~]

=

- 1

[-a +b] 2b a+ e 2

:p [À(2b +~~~~;;n +p) [a~] [m] [-a+b] [-m+n]

Àf- 1

+µf-1 ;

f- 1

= À

2

2b a+c +µ 2n

2

Àa+Àb+ µm+µn 2 2

]

=

Àa + µm ] = [ 2()..b Àa + + Àb + + µn ) + )..c +µp. [Àb+µn + µp Àa + µm µ,m 1

µ,n ]

ÀC

in questo caso la relazione è soddisfatta, per la particolarità del campo dei coefficienti.

La seconda componente dei due vettori è in generale diversa, quindi omomorfismo. La f è dunque un omomorfismo solo per h = 1.

f- 1non è un

140

Capitolo 9 Omomorfismi (applicazioni lineari)

141

Esercizio 9.3 Determinare la dimensione e una base per / 'immagine e per il nucleo dell'omomorfismo f: IR 3 - ne [x] cosi defi11ito:

f

[fl =

(a - 2b - c)x

2

+ (2a + 2c)x + b +c.

Accostando le tre colonne e calcolando il determinante della matrice otLenuta si ottiene O, quindi i tre vettori sono dipendenti (e se lo sono i vettori delle componenti lo sono anche i vettori di partenza), e la matrice ha rango 2, quindi i due vettori sono linearmente indipendenti. Per il teorema di nullità più rango risulta: dim (Kerf)

Svolgimento: Determiniamo come prima cosa un sistema finito di generacori per l'i mmagine, costruendo i trasformati dei vettori di una base del dominio. 3

Cons ideriamo in R la base

lrnJ

=

2 X

+2x =

U,

stand~rd { [~] , [~] , [~]I· È

1[~] = - 2x + 1 2

= V.

2

Dobbiamo quind.i stabilire se i tre vettori u , v, w sono linearmente dipendenti ono. Poniamo au + bv + cw = O, cioè:

a(x 2 + 2x)

+ b(- 2x 2 + 1) + c(-

x2

+ 2x + 1) = Ox2 + Ox +O = O

da cui:

(a - 2b - c)x2

+ (2a + 2c)x + (b +e) = O

identicamente rispetto ad x. Questo comporta:

l

e quindi dim(Ker f) + 2 = 3. Il nucleo ha quindi dimensione 1. I vettori del nucleo sono i vettori di JR3 che hanno per immagine il polinomio nullo di R 2[x]. Dal sistema già studiato si ricava che i vettori del nucleo sono i multipli del vettore [ _

1 [~] = -x +2x+ 1 = w .

a - 2b-c =O 2a + 2c = O b +c = O.

Poiché il sistema è soddisfatto per a = - e, b = -e (quindi ad esempio per a = I , b = l , e = - 1), i tre vetto ri sono dipendenti. Sono invece indipendenti i due vettori u e v, infatti da À(x 2 +2x) + µ,(-2x 2 + I)= O si ricava À - 2µ, = o { 2À = o cioè>..=µ, = O. Quindi questi due vettori costitui scono una base per l' immagine, c he ha dime ns ione 2. ln altro modo, s i potevano determinare le componenti de i vettori u , v, w nella base canonica {x 2 , x , I} dello spazio IR2 [x); tali componenti sono

+ d im(f (!R3)) = dim !R3

~].

Esercizio 9.4 Sia dato / 'omomo1jismo

f : Q2 - Q2 così definito: f [ab ]

Stabilire per quali valori di li

f

= [ (h -a+l)ahb+ 2bJ·

è iniettiva.

Svolgimento: Ricordiamo che una applicazione è iniettiva se e solo se la ctirnensione dell' immagine coincide con la ctimensione del dominio (che in questo caso è 2). I generatori dell ' immagine sono i trasformati dei vettori di una base del dominio, ad esempio la base standard. Si ha

f

[~] =

[ ;].

Vediamo se esistono valori cti h per cui i due generatori sono indipendenti . 1 valori richiesti sono quelli per cui dc t [ h

~ 1 ~J;i: O;

quindi I è inietti va per tutti i valori di h , esclusi h = 2 e h = - 1.

Esercizio 9.5 Stabilire la dimensione e una base per L'immagine e il nucleo dell 'omomorfismo 2/ ove

J : JR2 - nt3 2

g:nt -

nt

3

l

~J= [a~ b

è 1ale che

f [

è1a1eche

8 [~J = [~J. 8 [~J = rnJ.

-

g,

Omomorfismi (applicazioni lineari)

142

143

Capitolo 9

Esercizio 9 .6

Svolgimento: I modo. Ri sulta

Si consideri /"omomorfismo f di JR.3 in sé (endomorfismo), definito da:

a] [ka - 3b - 2kc] [c = 2ab ++ c2b .

f b

Per i valori di k per cui no11 è biunivoco, determinarne il nucleo.

Per la definizione di combinazione lineare di applicazioni, si ricava:

Il generico vettore dell' immagine è quindi un multiplo di w

=

rnJ.L' immagine

ha pertanto dimensione I e w ne è una base. Ne deduciamo che anche il nucleo ha dimensione 1, poiché dim[ker(2/ - g) ] Una base del nucleo è

[b]

+ dim(2/ -

2

g)(JR

infatti (2/ - g)

[~]

)

Svolgimento: La matrice di f rispetto alla base standard è

-2k] o

k -3 2 2 [O I

I

che ha determinante nullo solo per k = 3. Per tale valore il nucleo è generato dal solo vettore

[-i].

f

non è un biunivoca e

= dim JR. = 2. 2

Esercizio 9.7

= O (come si deduce dalla

equazione generale dell 'applicazione).

II modo. Individuiamo le matrici associate ad f e a g nelle basi standard di JR 2 ed IR3 . È

•al"h' ;/ nud•o ,,. g•ma m, ogni base di V contiene almeno un vettore del nucleo di f.

C. Se m < n esiste una base d1 V con n - m vettori nel nucleo di f. D: 11,.nucleo.d1 f è sottospazio vettoriale di V solo se f è un omomorfismo. E: L 1mmagme f (V) può essere sottospazio vettoriale di W anche se f non è un omomorfismo. F: f può essere inicttiva solo se è un omomorfismo.

18 ~ia v. uno sp~zi? v~ttoriale di ~imc~sione s. e sia f un endomorfi smo di V. Se, cons1derat1 4 vetton d1 V md1pendent1, essi hanno immagini indipendenti, f è iniettivo.

= [xiJe y = [.Y l]· Stabilire quali degli assiomi di prodotto scalare sono x2 .Y2 soddisfatti dalla fun zione JR 2 x R 2 - JR definita ponendo (x, y ) = 5x 1YI + 3xzyz. Jn R2 siano x

Svolgimento:

Soluzione dei quiz D

E

F

G

H

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

Bisogna verificare che:

A

B

V

V

2

F

3

F

4

V

5

F

6

F

7

V

8

V

9

F

10

F

F

V

11

F

F

V

V

12

F

F

V

V

F

13

V

V

F

14

V

F

V

V

V

15

F

V

V

16

V

F

V

F

V

V

Quali degli assiomi di prodotto scalare sono verificati dalla fun zione IR x 1R

F

V

F

V

F

definita da (x, y )

17

F

18

F

C

Esercizio 10.l

l. (X, y ) = (y , X ) infatti è

+ µ,y, z) infatti è

2. (Àx

= À(x, z ) + µ, (y, z)

{Àx

+ µ,y , z ) = S(h1 + µ,yi) z1 + 3(h2 + µ,y2)z2 = 5À1X 1Z1 + 5µ,y1 z1 + 3ÀX2Z2 + 3µ,y2z2 = À(5x1z1 + 3x2z2) + µ(5y 1z1 + 3y2z2) = À(x, z) + µ (y, z).

3. (x , x) > Oe (x , x) = Oseesolosex =O e infatti (x , x ) = + > O poiché è somma di quadrati, è zero solo se lo sono entrambi gli addendi.

sx; 3xi

La funzione assegnata è un prodotto scalare. Esercizio 10.2 2

= S(x1 -

y1)(x2- yz ) ove x = [~~] e y = [;~] ?

2

-+

JR

156

Spazi euclidei

Capitolo 10

Svolgimento: Bisogna verificare che:

Esercizio l0.5

I. (x, y ) = (y , x )

spazio di !R3 costituito dai vetto ri della forma [ a : b+2a base ortogonale per S.

In IR3 sia definito l 'usuale prodotto scalare (x , y ) = x i YI

=

E

JR. Determinare una

Svolgimento: Una base di S si può ricavare, ad esempio, ponendo

l membro:

S(J..x1

+ x2y2 + x3y3. Sia S il sotto-

2b] con a , b

Risulta 5(x1- Y1)(xi - Y2) = 5(y1 - x, )(Y2 - x2), qui ndi l'assioma è verificato. 2. (Àx + µy, z) >..(x, z) + µ(y, z ) Risulta

157

+ µ,y l

- z1 )(J..x2

+ J.lY2 -

+ ˵(x1 Y2 + Y1X2) -

À(x, z2

z2) = 5[J.. 2x1x2 + µ, 2y 1y2

+ x2z1) -

J.l(Y1Z2

+ z 1z2 + + Y2Z 1)

a= l { b=O

n membro:

= 5[À(X1X2 +

Si ottengono i vettori v 1 =

+ µ,(5(y1

- z1)(y2 - z 2)) = Z1Z2 - X1Z2 - x2z 1) + µ(Y1Y2 + Z1Z2 - Y1Z2 - Yzz i)]

J..[S(x1 - z1Hx2 - z2)]

I due membri dell'eguagJjanza sono diversi, quindi il secondo assioma non è verificato. 3. (x , x ) > O e {x , x ) =O se e solo sex = O. Risulta {x, x ) = 5(x1 - x1)(x2 - x 2) = O per ogni vettore x , quindi anche questo assioma non è soddisfatto.

a= O { b = l.

e

Ul

v2 =

[~] Tale base non è ortogonale, infatti

(v 1,V2) = 4. Sostituiamo allora uno dei due vettori, ad esempio v 1, con un'altra vettore, sempre di S, che sia ortogonale a v 1• Detto v il generico vettore di S, risulta:

(v, v2 )

= 2 (a + 2b) + l{b + 2a) =

5b

+ 4a.

Allora {v, v 2) = O se si pone nella relazione precedente, ad esempio, b = 4 e a = - 5. Si ottiene di conseguenza il vettore

Esercizio 10.3 2

L'applicazione (,) : IR x IR 2 -+ IR data da (x , y ) = x 1 y 1 + X2Jz scalare? Motivare la risposta.

+ x2y 1 è un proda/lo

Svolgimento: No, poiché verificando gli assiomi, si trova che sicuramente è {x , y ) -:f= {y , x ). Esercizio l 0.4

I due vettori v e v2 sono ortogonali (avendolo imposto), quindi sono linearmente indipendenti. Poiché S ha dimensione 2 (infatti v 1 e v2 costituiscono una base per S) i due vettori v e v2 sono una base ortogonale per S.

Si verifichi che la funzione(,) : JR2 x IR 2 -+ iR definita ponendo

Esercizio l0.6 In JR.2 si consideri il segue111e prodotto scalare:

{~J,U]> = 2xz + xt + yz + 3yt

J

è un prodotto scalare e si determini una base ortogonale (rispetto a tale prodono) in

comenente il vettore [ ~

ne

e sia v , w un.a base ortonormale per JR2 in tale prodotto scalare. Si de/ermini una nuova coppia di vettori ortonormali in cui il primo vetto re sia proporzionale a v - w.

~'(~~~e(\'\~\.~,

'La ~1mos\raz1one òèl'la prima pane è una banàle verihca òeììe propneià òeì prodotto scalare. La base richiesta è [

X l+ X Z I ) = xz + y t + - - [{] , [z] 2

( ~

b] ,[- ~].

Svolgimento: Qualunque sia la base ortonormale, il prodotto scalare di due vettori si ottie ne face ndo la somma dei prodotti de lle componenti corrispondenti nella base data. Quindi v - w ha componenti l e - 1 nella base {v, w}, e ha modu lo h.

158

Spazi euclidei

Capitolo l O

Un vettore ortogonale è v + w (infatti (v - w, v + w) = (v, v) - (w , w} 2 - 2 = 0). v + w ha anch'esso modulo ./2. La base richiesta è dunque

159

Inoltre

quindi tanto v 1 che V2 hanno norma 1, dunque costituiscono una base ortonormale di IR 2 . Sia ora v =

Esercizio 1O.7 Si consideri uno spazio euclideo di dimensione 2 e sia v, w una sua base ortonormale. Si dica quali dei seguenti insiemi sono basi ortogonali:

{v+ w ,v- w),

{v-w,v+2w),

{v - 2w, 2v+w),

[-~] = a 1v1 + a2V2.

Siccome la base data è ortonormale, risulta, a 1 = (v, vi ), a2 = (v, Vz} , quindi

{3v+4w ,4v-3w).

Qualcuna di queste basi è ortonormale ?

Svolgimento: Per ipotesi è (v, v ) = (w, w } = I, (v, w ) = (w, v} =O.

e infatti la sostituzione dei valori (semplice ma noiosa) lo confenna.

Consideriamo il primo insieme.

È (v + w, v - w ) = {v, v} + (v, w} - (w , v) - (w, w } = l + O- O- l =O, quindi la base è ortogonale; ma è (v + w, v + w) = 2, quindi la base non è ortonormale. Allo stesso modo si verifica,che: il secondo insieme è una base, non ortogonale; il terzo insieme è una base ortogonale, non ortonormale; il quarto insieme è una base ortogonale, non ortonormale.

Esercizio 1O.9 Siano X

e

y

=

[fn

due vettori di JR3, e si consideri la funzione* così definita: x

Esercizio 10.8 In R 2 , con l'usuale prodotto scalare, si considerino i due vettori

= [;~]

* Y =I X1YI

I+ I X2Y2 I + I x3 y3 I .

1. Si dimostri che tale funzione non è un prodotto scalare. 2. Si mostri che x y =O implica (x, y ) = O, ove (x, y ) è il prodotto scalare euclideo. Sex , y, z sono tre vettori non nulli e vale x y = y z = x z =O allora i tre vettori, a meno dell'ordine, sono multipli dei vettori della base standard.

*

*

*

*

Svolgimento:

Dopo aver verificato che v 1 e Vz costituiscono una base ortonormale per JR2, determinare le componenti, in tale base, del vettore v = [ -

~J.

Svolgimento:

Risulta ( V1

'

V2)

=

quindi v 1 e v 2 sono ortogonali.

~ · ,J3 + ,J3 (-~) = 0 2 2 2

2

1. Per mostrare che non è un prodotto scalare basta un controesempio. Risulta ( - 2x) * y = 2(x * y) mentre per gli assiomi dovrebbe essere (- 2x ) y = - 2(x

* y).

*

La relazione x * y = O comporta che i tre moduli siano singolarmente nulli, quindi (x, y } = O; chiaramente non è vero il viceversa. 2. La condizione è:

poiché, come detto sopra, la somma di più moduli è nulla solo se sono singolarmente nulli tutti gli addendi. Il ragionamento può procedere in questo modo: se x 1 i= O, deve essere y 1 = z1 = O.

160

Capito lo 10 Spazi euclidei

Non p uò ora essere anche x 2 -# O, perché la conclusione porterebbe a y 2 = z2 = O, quindi y e z sarebbero proporzionali, e così pure per x 3 -:p O. Continuando in questo modo si ha l'asserto.

6

161

Nello spazio euclideo reale JE3 si consideri il sottospazio

Esercizio 1o. 1O

S

= {V EJE3: V = rn~J

, ElR } . t

In JR3 determinare due vettori o rtogonali che generino il sottospazio di equazione 2x

Determinare 5.1 e una base di 5.1 tale che con la base di Sformi un sistema ortogonale di vettori.

+ y + z =O.

Soluzione degli esercizi proposti

Svolgimento: Un generico vettore che soddi sfa alla

rela~ione è [ ~

Si venfi ca immediatamente che valgono gli assiomi.

] .

- 2a - b

Preso, ad esempio, il vettore [

_~J un vettore ad esso ortogonale è [-~}

per ogni scelta del primo vettore, il secondo è fissato a meno di multipli.

2

No, non vale la positività.

3

No, non vale la positività.

4

li prodotto è semplicemente,

ESERCIZI PROPOSTI

(x , y } = 2

2

Verificare se la fu nzione!R x JR -+ JR così definita:

2

2

Verificare se la funzione JR x JR2 -+ JR definita da ( [

Siano x

= [~

J.

~J,[~J) = ad -

;, [il Jio [-il

be è un

y

= [~Jvettori di JR 2 . Stabi lire se la funzione JR2

x JR 2 -+ JR

definita da (x , y } = (a - b)(c - d) è un prodotto scalare. Nel caso in cui no n lo fosse, elencare quali assiomi no n sono soddisfatti.

4

Siano x

= [;~

6

5 S ha dimensione 2 poiché il terzo vettore è dipendente dai primi due. Una base ortonormale di S è

prodotto scalare.

3

2x1 y1+2x2y2

che è u n prodotto scalare.

è un prodotto scalare.

J

y =

[;~ J vettori di JR2 . Stabilire se la funzio ne JR2 x

(x , y }

= L (x; + y;) 2 - L:x?- L Y1

R2

-

2

2

2

i=i

i= I

i= I

è un prodotto scalare.

Sl. = {

[fl

E lR 3 : 2x + 3y+5z=0 };

una base di s.1 è

[-~J L!~J .

QUIZ Si consideri l'applicazione {, ) : IR 2 x IR2 -+ R definita da

{~J [~]i = 4ac + (2k)ad + (k + 5)bc + 3hd ,

JR

definita da

T ha dimensione 3 e una sua base ortonormale è

k

E

lR

A: L' applicazione sopra definita è un prodotto scalare per ogni k E JR. B: L'applicazione sopra defìnjta è un prodotto scalare per k = 5. C: L' applicazione sopra definita non è un prodotto scalare per ogni k E JR.

2 Sia V uno spazio vettoriale euclideo d i dimensione 2. con prodotto scalare

Dete rminare una base ortonormale dei sottospazi S e T di JR4 generati rispettivamente da

5

[tl mtil

A: I due vettori [:]. di 60 °.

[~]

formano, rispetto al prodotto scalare assegnato, un angolo

Spazi euclidei

162

B: I due vettori [

J[~]

6

9 Siano u , v , w , ti vettori di una base ortonormale di uno spazio vettoriale e uclideo V. formano, rispetto al prodotto scalare assegnato, una base

ortonormale

C:JI vettore

[~] fa parte di una base ortonormale.

3 S ia V uno spazio eucl ideo dotato del prodotto scalare{,}. Se ve w sono due vettori di V tali che {u , v} = {u , w } per ogni vettore u E V, allora v = w. 4 Se {v, w} è una base ortonormale di JR 2, i vettori 2v - w e v + 2w sono ortogonali.

5 In JR3 siano u e v due vettori e suppo niamo che rispetto ad un certo prodotto scalare il vettore w

i= Osia ortogonale sia a v che a u . Si può concludere:

A: che w è ortogonale anche a u + v, qualsiasi sia il prodotto scalare. B: che w è ortogonale a u + v se il prodotto scalare è quello euclideo, altrimenti non è detto. C: che w non è mai ortogonale a u + v.

6 Si consideri in JR2 il prodotto scalare così definito:

C: Rispetto a tale prodotto.i vettori [ -

A : In V esistono tre vettori linearmente indipendenti ortogonali ad V.

B: I vettori ortogonali ad U costituiscono un sottospazio di V. C: Ogni base ortonormale di V contiene una base di U. 11 Siano x,

y,z tre vettori di uno s pazio vettoriale euclideo

e

V di dimensione 3.

A: Sex, y . :z sono una base o rtogonale, anche x - y , x + y . -z costituiscono una base ortogonale. B: (x + y , x - y } =O se e solo se Il x 11=11Y Il C: Sex , y, z sono una base ortonormale, r + y e y + z formano un angolo di 60° .

12 I n IR2 si consideri il prodotto scalare:

( [~J, [~}=oc+ 4bd A: I vettori ortogonal i a [ :

(ad + be)

Jcostituiscono il sottospazio generalo da [ 6J.

sono ortogonali .

formano tra loro un angolo di

[-:J

~·

B: Nessuna base ortonormale di JR2 può contenere il vettore [

l

6

Soluzione dei quiz e s ia T il sottospazio di IR. 3 genera-

JJ

Indicato con y .1 il complemento ortogonale di Y rispetto al prodolto scalare standard, si ha: A: y .l

2

[

Determinare autovalori e au/ovettori di

f.

da cui

1 11 1 O 1 2

l

[-~e] = e [ - ~

=

b

e

-1 sono le soluzioni del sistema

I

O

con e E

~.

Svolgimento:

La matrice associata a

f

rispetto alla base standard è

La matrice A è quindi simile alla matrice

1

1

[

Gli autovalori di A sono le soluzioni dell' equazione caratteristica

det (A - H) = det [ '

ossia (1 - ì..)(ì..

2

-

À -

i

À

[~ ~ ~] e la matri.ce diagona-

0 o - 1 lizzante è quella costituita dall'accostamento degli autovettori:

o]

1 l 1 o 1

[o 1

o

= a2a++bb+c =O b + 2c = O.

- À

1

1J

o - I

1 1 I

Esercizio 11.2

Stabilire se è diagonalizzabile la matrice

2) = O, cioè (I - ì..){À - 2)(À +I)=

o.

Gli autovalori sono quindi À 1 = l , À 2 = 2, À3 = -1 . Gli autovettori relativi a ÀJ = 1 sono le soluzioni del sistema (A - ì..1 /)x = O cioè

b = [o O] => [oOI - 111 oO1] [a] e O

Si ottengono q uindi gli autovettori

Io

b a -= b+c = O

b = O.

[_~]=a [ _ ~l che sono i multipli di [ _ ~l

e in caso affermativo trovare la matrice B diagonale simile e la matrice diagonalizzante. Svolgimento:

Gli autovalori della matrice A si ottengono come radici dell'equaz ione caratteristica det(A - H ) =O e quindi sono À 1 = 2, e À2 = l (di molteplicità 2). Essendo la matrice data una matrice triangolare alta, gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale. Poiché i tre autovalori non sono tutti distinti, per stabilire se A è diagonalizzabile bisogna determinare se gli autovalori sono regolari , cioè se risulta: rango (A - À11) = 2

rango ( A -

À 2 /)

=I

Autova lori e autovettori

167 168

La prima condizione è ovviamente verificata, poiché ogni autovalore semplice è regolare, ed è verificata anche la seconda condizione, infatti è A - 1·1 =

O I 3] [oO o1 3, o

da cui rango (A - l) = I

B =

(La prima colon na infatti è l'autovettore relativo al primo autovalore, la seconda e terza colonna devono essere costitu ite da due qualsiasi autovettori indipendenti che generino l'autospazio relativo al secondo autovalore). Esercizio 11.3 Stabilire per quali valori del parametro k è diagona/iz(,(lbi/e la matrice

qui ndi A è diagonalizzabile. Una matrice diagonale simile ad A è

2

Capitolo l l

o o]

O l O.

[o

o

o o]

k

A= 5 2-k [k o

l

O . 3

e in questi casi determinare una matrice diagonale simile ad A. 1

Per determinare la matrice P tale che 8 = p - A P bisogna dete rmi nare gli autovettori dell'endomorfismo rappresentato da A . Ri sulta, per À 1 = 2

Svolgimento: Calcoliamo gli aucovalori di A . Risulta (la matrice t: triangolare::)

= (À -

det(A - H )

k)(À - 2

+ k)(À -

3)

=O

per À 1 = k, À1 = 2 - k, ÀJ = 3. A è senz'altro diagonalizzabile se ammette autovalori distinti (condizione s uffic iente per la diagona li zzabilità): A è quindi diagonalizzabile se Per À1 = l

ki=2 - k

cioè

k"I= 1, ki=3, 2-ki=3

cioè

k"l= -1

e una matrice diagonale simi le ad A è in questi casi,

[

Come previsto, I' autospazio relativo a À 1 ha dimensione l , quello relativo a dimensione 2 . Risulta che la matrice diagonalizzante può essere P=

II O1 -3O],

[o

o

l

ottenuta accostando y , x 1 e x 2 o anche, scambiando di posto x 1 e x 2,

À2

ha

ok

o oo].

2-k

o o

3

Esaminiamo ora gli altri casi. Per k = 1, k = 3, k = - I la matrice Ak prende rispettivamente la forma A1 =

I O O] [5I OI O3 ,

A3

= [ 53

3

A 1 ammette lautovalore doppio

À

rango (A 1 - I

o o]

- I

o

O ,

3

A- 1=

-I OO] [- 5I O3 O3

= .I . Risulta

· /)=rango [~ ~ ~] = 2

quindi A 1 non è diagonalizzabile. AJ ammette l'autovalore doppio À = 3. Risulta o ancora, considerando y , x 1 + x2 e x 1 rango(A 3

-

3/)

= rango [~ -~ ~] = 2

quindi anche A 3 non è diagonalizzabile.

Autovalo ri e autovettori

A_1 ammette l'autovalore doppio

À

169

= 3. Risulta

rango(A _ 1 - 3/) =rango [

=~ g ~] = 1

170

Ca p itolo 11

La matrice del cambiamento di base (dalla base standard a quella degli autovettori) è ottenuta accostando i tre autovettori

[-1 oI l] l

2

J

I

quindi A_ 1 è diagonali zzabile, e una matrice simile è

Essa è una matrice diagonalizzante, ma non è ortogonale, dato che la base di a utovettori è ortogonale ma non ortonormale. Risulta infatti (ponendo h =k = t = I ), llx 1 li =.J3, Ilx2ll = ./2, llx3l I= ../6. Una matrice ortogonale diagonal izzante si ottiene considerando ogni componente di ogni autovettore diviso per la norma dell'autovettore; quindi si ha:

o o]

-1 [

- I

o 3 o . o o 3

I

1

Esercizio 11.4

1

,J3 ./2

Considerata la matrice simmetrica

I

../6 2

o

,J3 1

../6 l

1

,J3 ./2

../6

si determini una ma trice ortogonale che porti A informa diagonale.

Svolgimento: Calcoliamo, innanzitutto, gli autovalori e gli autovettori di A. Risulta det(A - J.. /) = J..(l - J..)(J.. - 3) =O

Esercizio 11.5 Stabilire per quali valori di k la matrice

A= G ~

per Àt = O, À2 = I , À3 = 3. Gli autovettori relativi sono le soluzioni dei sistemi

fl

è diagonalizzabile e per tali eventuali valori. determùwre una matrice simile ad A.

Ax =0;

(A - l)x = O;

ro

Si ottengono i tre sistemi :

ra +b-0 + 2b - c = O

a +b -c= O -b =0

-b + e= O

(A - 3/)x = 0.

{"2a+ h=0 a-b - c=O

Svolgimento: Gli autovalori sono O (semplice e quindi regolare) e 2 (doppio). L'autospazio relativo all' autovalore 2 ha dimensione 2 quando rango (A - 2/) = l ~ cioè solo per k = O che è il valore richiesto. Una matrice diagonale simile è:

- b- 2c =O

X1=k[ - f] .

X2 = h

[fl,

X3= t[_~J.

Notiamo che, come prevedibile, i tre autovettori formano una base ortogonale, rispetto al prodotto scalare canonico, infatti x 2) = - I · 1 +O · l + 1 · l =O (X 1. X 3) - 1 . l + l . 2 + l . (-I ) =

(x

=

(x2 , X 3)

= ]·l +

O· 2 + I · (- 1) = 0

Esercizio 11.6 Stabilire per quali valori del parametro reale k è diagonalizzabile la matrice:

o o 3 [ k

k

1,

o

~ ~l

rn

e quindi

o

oo ] . 2-k

Per /ali valori indicare una matrice diagonale simile alla data.

Autovalori e autovettori

171

Svolgimento: Se k = O la matrice è già diagonal e. Gli autovalo ri sono k , 3, 2- k; se sono di stinti (cioè per k -:j:. 3, k -:j:. I, k -:j:. - 1) la matrice è certamente diagonali zzabile; ma potrebbe essere di agonalizzabile anche per qualcuno de i valori esclusi, visto che la condizione usata è solo sufficiente. Studiamoli singolarmente. Per k = 3, l' autovalore doppio è 3 e la dimensione dell' autospazio relativo a tale autovalore è 2, q uindi la matrice è diagonalizzabile , così pure per k -1; invece non è diagonalizzabile per k = I. La matrice diagonale simi le è

172

Capitolo 11

Svolgimento: Nessuna mat.rice è simile alla matrice identica, se non lei stessa, dato che p - 1 / P= I .

Esercizio 11 .9 Si considerino le matrici seguenti A e 8 :

=

o o3 o o

oo ] .

k [

1]

o o [o 1 o

A= 1 O O ,

2- k

Determinare autovalori e autovettori di A. Stabilire se A è simile a B e a quale campo devono appartenere i suoi elementi perché sia diagonalizz.abile.

Esercizio 11. 7 Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una base ortonormale di aurovellori della matrice

Per tali valori determinare detta base.

Svolgimento: Si potrebbe procedere nel modo usuale , verificando che la matrice ammette l' autovalore O semplice e l' autovalore 5 doppio, che risulta regolare solo se k = O, ma si può fare una osservazione che rende la soluzione molto più agevole: esiste una base ortonormale di autovettori per una matrice se e solo se la matrice è simmetrica, cioè se k = O. La base richiesta è

o 2 •

Svolgimento: Risulta A = B' quindi A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico I - À.3 =O, che ha una sola radice intera (quindi sia razionale che reale); le altre due radici sono complesse coniugate. A è simile a B ed entrambe sono diagonalizzabili nel campo complesso, poiché hanno autovalori d istinti. Nel campo reale o razionale A ha solo un autospazio di dimensione l. generato da

[ll

Esercizio 11. 1O Si consideri /'endomorfismo f di IR4 tale che

o I

./5

./5

l

2

./5

./5

Si osservi che, pur essendo la matrice simmetrica, e quindi essendo possibile determinare una base ortonormale d i autoveLtori, non ogni base di autovettori è ortogonale (oltre che ortonormale), poiché un autovalore non è semplice.

f

a]b [ 3ac ] [~ = -3b +dc + 3d .

Determinare autovalori e autovellori di f e, se esiste, una base in cui f sia esprimibile informa diagonale.

Svolgimento: Gli autovalori d i f sono 3 (doppio), 1 e -1. Gli autovettori relativi sono

Esercizio 11 .8 Si chiede se la matrice ad elememi raziu1U1li

A= [~

ln

è simile alla matrice identica. Giustificare la risposta.

La matrice è quindi diagonalizzabile poiché gli autovalori sono regolari , e la base richiesta è quella formata dag li autovettori.

Autovalori e autovettori

173

Soluzione degli esercizi proposti

Esercizio 11. 11 Si considerino le matrici del tipo

[a

Per ogni h, visto che è simmetrica e ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile.

O.]

A= b

(a, b , reali).

a '

Si de/ermi11ino gli eventuali valo ri di a e b per i quali A è diagonalizzabile.

Svolgimento: Se b = O tali matrici sono già diagonali; per nessun altro valore di a o di b le matrici date sono diagonalizzabili , poiché hanno tutte l'autovalore a doppio, e risulta rango (A - a l ) = O solo per b = O.

ESERCIZI PROPOSTI Determinare i valori di h per cui è diagonalizzabile la matrice [ ~ 2

3

hI ].

I

O

2 [- 1

1 1

2]

l

3 ' -3

2

~]'

-2

B= O I [ o 4 - 1

2 I

oo]. 1

Si determinino i valori del parametro reale h per cui sono diagonali zzabili le matrici 2h

2+h

4

Determinare, se esiste, una matrice ortogonale C, in modo tale che matrice diagonale, essendo

Se h

=j=.

O, h =j=. 3, h =j=.

3

l

la matrice

A è sicuramente diagonalizzabile perché ha autovalori distinti; studiamo separatamente gli altri casi. Se h = O l' autovalore doppio è Oed è non regolare; se h = 3 l'autovalore doppio è 3 ed è regolare, se h =

4 La prima matri ce non è simmetrica, quindi la matrice C no n esiste. La seconda è simmetrica e la matrice ortogonale diagonalizzante è

C=

[1 _1] v'2

v'2

5 Entrambe le matrici hanno gli stessi autovalori con la stessa molteplicità algebrica. L'autovalore 2 è semplice per entrambe, lautovalore I , doppio, è regolare per la prima e lo è anche per la seconda se k = Ook = 2; per questi valori sono simili. 6

La condizione è

23 l' autovalore doppio è 3 ed è non

regolare; quindi, concludendo, A è diagonal izzabi le

o ].

A= [ ~

2 La matrice A è diagonalizzabile perché i suoi autovalori sono O, 2, - 3 e quindi distinti. La matrice B ha autovalori - l (semplice) e I, d oppio ma non è regolare, q uindi non è diagonalizzabile. La matrice C ha autovalori 2 (semplice) e 1, d oppio e regolare quindi è diagonalizzabile. 3

Stabilire se sono diagonalizzabili le matrici

A=

C a pitolo 11

174

per h

c- 1 A C sia una

oppure

=j=.

O, h

3

f l.

Procediamo analogamente per B: se h =j=. 6, h =j=. 4 la matrice B è diagonalizzabile perché ha autovalori distinti. se h = 6 l'autovalore d oppio è 6 e non è regolare; se h = 4 l'autovalore doppio è 6 ed è regolare, quindi B è diagonalizzabile per h =j=. 6.

Si deduce che

A = [-~ ~]. 6

2 •

5

5

QUIZ

5

Determinare per quali valori reali di k sono simili le due matrici:

I O 43] '

[oo ol

2

o oo]. 1

k- 2

I

6 Si determini la matrice associata all ' endomorfismo f : IR 2 , sapendo chef ammette gli autovalori k 1 = 1 e k1 = - 2 a cui corrispondono gli autovettori

l Siano A e B due matrici quadrate . A: Se A e B sono simili, hanno lo stesso poli nomio caratteristico. B: Se A è simile alla trasposta di B, risulta det A = del B C: Se A è simile all' inversa di B risulta AB = I (matrice identica) D: O è autovalore di AB se e solo se è autovalore sia di A che d i B. I: Se entrambe sono diagonalizzabili e hanno gli stessi autovettori, allora AB = B A. F: Se hanno gli stessi autovalori, con le stesse molteplicità algebriche, allora sono simili. G: Se A è simile alla trasposta di B, risulta det A = det B.

Autovalori e autovettori

175

2 Sia f un endomorfismo di uno spazio vettoriale reale V, avente 12 + l come po li nomio caratteristico.

è diagonalizzabile, esiste una base ortonormale di autovettori.

B: Se fè simmetrico è un isomorfismo.

C: Se f è diagonali zzabile ha autoval ori distinti. D : Se due autovalori di f sono uguali, f non è diagonali zzabile. E: Se O non è a utovalore pe r f, allora il rango di f è n. F: Se f è simmeu·ico, ogni matrice rappresentativa A di f è diagonale. G: f + i d è diagonali zzabile se e solo se lo è f - id Vd isomorfis mo identico d i IR" ). H: Se f no n a mmette Ocome autovalo re, f è iniettivo. I: f è diagonalizzabile se e solo se ammette n autovalori distinti.

4 Si considerino le matrici reali M

= [~

A: Autovettori corrispondenti ad a utovalori distinti sono ortogonali B: Se due autovettori di A sono ortogonal i, essi corrispondono ad a utovalori distinti. C: Se de t A I e se A ammette un autovalore k > I allora A ammette anche un autovalore lt < I.

~l

(a, b E IR)

5 Sia f un endomorfismo d i IR 3 e sia u , v, w una base di R3

f

un e ndomorfi smo simme-

A: Ogni vettore non nullo di V è autovettore per f. B : Se f (x ) = kx al lora k =O. C: Ogni base di a utovettori per f è ortonormale.

11 Sia f un e ndomorfismo d i uno spazio vettoriale V. A: Se x è autovettore per f relativo all'autovalore h e y è autovettore relativo all'autovalore k, allora x + y è autovettore relativo ali' autovalore h + k. B: Se f è un endomorfismo s imm etrico d i IR", è diagonalizzabile e quindi è un automorfismo. C: Oè un autovalore di f se e solo se dim (lm f) < 11.

12 Sia no f e g due endomorfismi di uno spazio vettoriale V di dimensione 11. Se ha un autovalore nullo, anc he g o f ha un a utovalore nullo .

f

o

g

13 Ogni endomorfismo di !R 5 ha almeno un autospazio (spazio di autovetlori).

A: Esiste un 'unica ma trice M che abbia I e 2 come a utovalori. 8: Pe r a = b = O M è di agonalizzabile C: Pe r ogni scelta di a e b, M ha a utovalori distinti .

14 La matrice

non è diagonalizzabile. .

A : Se f(u ) = u , j (v) = u + v , f ( w) = u + v - w, allora f è un a utomorfismo. B: Se f (u ) = O allora dim (ker f) = 2. C: Se f (u ) = u , /(v) = v, f (w) = w allora f non amme tte Ocome autovalore.

6 Sia f un e ndomorfismo d i JR" e sia A la· matrice ad esso associata. A: Se A è d iagonalizzabile lo è anc he A'. B: f am men e autovettori ortogonali solo se A è s immetrica. C: Se A non è singolare. allora è diagonal izzabile.

7 Sia f

9 Sia A una m atrice reale simmetrica di ordine n maggiore o ug uale a 2.

1O Sia V uno spazio vettoriale euclideo d i dimensione 11 ed trico di V.

3 Sia f un e ndomorfi smo di Rn .

f

Capitolo 11

=

A: f è un automo rfismo. B: f è simmetrico. C: f è rappresentabile con una ma trice diagonale.

A: Se

176

15 Se due matrici A e B di ord ine 2 hanno la stessu traccia e lo stesso determinante, allora sono simi li .

16 Se A è una matrice si mmetrica, allora O non può es e re autovalore per 1·

17 Le matrici

[~ ~]

e

[~ ~]

sono simili pe r ogni valore dei parametri reali a , b, c.

18 Le due matrici

un e ndomorfism o di JR 2 .

A: Se f non è iniettivo, allora amme tte l'autovalore nullo. 8: Se ogni autovalore di f è reale, allora f è diagonalizzabile. C: Se f è iniettivo, allora è diagonali zzabile

sono simi li per qualsiasi valore di be d.

19 Se A è una matrice ortogonale, non ammette Ocome autovalore. 20 Sia A una matrice 2 x 2. Se det A = I o det A

8 Sia A una q ualunque matrice ortogonale di ordine 2.

A: A è d iagonalizzabile sul campo reale. B: del A = l. C: Le colonne d i A forman o una base ortonormale di JR2 .

= - I allora A è ortogonale.

21 Una matrice triangolare è sempre diagonalizzabile. 22 Gl i autovalori d i una matrice triangolare sono gli eleme nti dell a diagonale principale.

Autova lori e autovettori

177

23 Esiste una matrice A simmetrica 2 x 2 con due autovalori diversi tra loro, tale che

[~J,[~Jsiano una base di autovettori per A. 24 Sia A una matrice 5 x 5. Se A è diagonalizzabile, allora ha 5 autovalori a due a due diversi tra loro. 25 Se A e B sono matrici ortogonali, allora A: A + B è una matrice ortogonale. B: La matrice prodotto AB è una matrice ortogonale.

Soluzione dei quiz

A

B

e o

E

F

G

1

V

V

F

F

V

F

V

2

V

F

F F

V

F

V

3

F

F

F

4 5

F

V

V

V

F

V

6

V

F

F

7 8

V

F

F

F

F

V

9

V

F

V

10 F

F

F

11

F

F

V

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

V

V V

F F F

V V

F F V

H

V

F

178

Capitolo 11

A

B

23 F 24 F 25 F

V

C

D

E

F

G

H