Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare [PDF]

Zitiervorschau

M. BRAMANTI C. D. PAGANI S. SALSA

MATEMATICA CALCOLO INFINITESIMALE E ALGEBRA LINEARE seconda edizione

ZANICHELLI

INDICE

PREF'Ml'.:lON~;

CAPITOLO 1.

numeri

l

l. Ins iemi

2 . Som ma torie,

l progr~ i' me

g comf"trica, formula d i Ncwton

3. I n u meri raz ionali. Cam pi onlinati

4

•

4. I n .uneri reali

lO

5. !-.l assimo C minimo . Bstremo superiore ed est·remo inferiore 6 . Potenze e n u licali. E..'iponenzia li e logar itm i

13 15

7. Insiemi infi niti

18

.s.

20

L'umer i complessi

O. Fuu:l:Zi vettoriali

57

4 . l\'la trici c trasformazioni lint'.JU'i 5. S istemi lineari

7l 94

CAPITOLO 2. Elementi di geometria e algebra lineare

6. A utovett o ri ed a utovalori. Dill.gon o,1i7.za.:ionc

CAPITOLO 3 . Successioni e serie l . S uccessioni

2. Serie numeriche CAPITOLO 4. Funzio ni di una variabile, limiti e continuità l. F\ul1.io ui nUUlt' riçbe. GeneTfllit.i1.

109 123

123 1.38 15 1 1[, 1

vi

Indv:I'

~--"

2 _ Liln it i. continu ità, ;L~i ll lot i

3 . Funziun i clprn entad

155 15Q

4 . Fun z io n i com p ostf' e inver"e

17G

5 . F u n zion i co n ti n ue

I S ,'l

o.

189

li c a lcolo d e i limiti

CAPITOLO 5 . Calcolo difTerem-:iale per funzioni di una v ariabile

203

1. Int.rod U7.io nc a l c alcolo di ffere n zia.le

2lJ::S

2_ Derivata d i u n a funzi o n e

206

3. RCfZplc di calcolo d e Ee d e rivale

2 17

4. Il t eor ema d e l va lo r medio e If-'

~ll e

GonS sig nifi ca "implica".

(0. 8> O se a:5 b allora ne :5 be Thtt.e le regole ben nole del calcolo algebrico der ivano dalle proprietà Rio R'l , ~ ' Un insieme con tali proprietà si dice campo ontmato . Un insieme con le proprietà R 1 , R 2 s i d ice campo.

4.

I NUMERI REALI

La st.ruttura di campo ordinato dei razionali assolve alla maggior parte degli scopi pratici del calcolo, n el senso che si può espr im ere con un numero raziooa1e la misura di ogni grandezza con sufficiente precisione. Thttavia è noto che ci sono grandezze che non SODO commensurabili tra lo ro: l'esempio classico è dato dalla diagonale e dal Ialo di un quadrat.o. Con riferimento o.lla figura 2 , se il Jato misura l , l'ascissa d che misura la d iago nale non è un nwncro razionale. La dim06trazione è elementare e la riportiamo come esempio di dim06trazione per assurdo . TI procedimento è il seguente: si vuoi dim06trare che il numero d t.aJe che cP = 2 non è razionale; si assume che lo sia e si arriva a una palese contraddizione; s i conclude che d non può CS$Cre razionale. Sia d = ': con m e n primi tra loro (cioè privi d i fattori comuni) e cP =;;; = 2. Allora TT1 2 = 2n2 ; dunque m 2 è pari e perciò auche 'I7l è pari. Sia TT1 = 2k ( k intero), m 2 = 4~; dovrà essere 4k'l = 2n 2 , cioè n 2 = 2k'l; dunq ue n 2 è pari c perciò anche n è pari. I due interi m e n sono entrambi pari , in contraddiz.ione con l'ipotesi che siano primi tra loro.

4 _ fRame.... r'Oll.

11

I/D

o

d

Dunque il punto d sulla retta non è il rappresentante di alcun numero razionale. Ciò significa che, dopo aver "'occupato" i punti della. retta con i numeri razionali, su di essa rimangono ancora dei posti vuoti. Sorge spontanea la domanda.: è possibile ampliare l' insieme dei razionali in modo da avere ancora un campo ordinato, i cui elementi (numeri) siano in corrispondenza btunivoca con i punti della retta euclidea? D'altronde, l'idea dell'ampliamento si presenta spontanea anche considerando la rappresentazione dci razionali oome allineamenti decimali periodici: è possibile strutturare come campo ordinat.o l'insieme di tuttI gli allineamenti decimali? La risposta è positiva. Definiamo numero reale un qualsiasi allineament.o decimale (periodico o non) con segno; l'insieme di tali allineamenti sarà indicato con IR.; CQ è un sottoinsieme p roprio di 1Ft. l numeri reali Don razionali si dicono numen. uTunonalì. Sull 'insieme m. si estendono le operazioni di somma e prodotto con le proprietà Rl e R1. e l'ordinamento oon le proprietà R3 sopra riportate. Valore assoluto. D isuguaglianza triangolare

Si dice tlalo~ assoluto del nWllero reale a (o modulo di o) il numero non negativo così definito:

lal- {

se se

a -a

02:0 0edule d a l c a mpo d l:li razion ali, presenta u na nuova p ro p rietà che è d i im!lort a n z a rondamentale per tutto il successivo sviluppo d e ll ' Analisi. Per illus t rar e questa prop riet à. dobbiamo introdurre un nuovo concet l o. Con s ideriamo u n insie m e n umerico E . T a.le insi~ H1 e si dice limitato se esisto n o d ue numeri, tn ~ .\1 , tali ch e o gni el~ment n x E b' ;!od d isfa. le disugu aglianzp. m~x :$ ;'vf

Si d ir à limitato 811periormente St' , per ogn i e lfl lnCn t o x E E, ris.ulta. x ~ lvl e limitato inferiorment e se rL..u lta x '2': m. Introduc iamo o ra. il COnCE!tlO di e lemento ma.ssimo (minimo) di u n insieme. Di re mo che Ull e lerut:lnto

i)

xE

xè

mass imo peT E se:

E

ii) x:::; X

VxEE

A naloga definizionc per illlLiuilll.o L È evid e nte l~hc, affinché 11 m assimo (minimo) esist a, l'insieIllc dcve es!'if'.r~ s u peTÌorm ente (in ferio rmen te) lim itat o .

I I I I I I I I I I I I I I

14

Cap d oto l. I nurnen

@

S!J.-08-CITII4T 8

Esempi 5.1.

r Insieme E

M~

Min

I)

IN

non, esiste

O

Il)

Numeri pari relativi

flon esiste

non esiste

l

non esiste

•

. ..

m)

I {1.~,~, ... -n

IV)

{nEE'I: n-l} n +1

non esfste

-1

V)

3 {XEIR:x ?27}

non esiste

3

VI)

{XE !ll;x2::0,x ideriamo l'esempio VI; si intuisce che il sup dovrebbe essere un numero il cui quadrato è 2 ; ma in ~ un tale numero non esist e ; esiste però in ffi.: ..;2. Questa circostanza non è casuale, ma illustra precisament.e la differenza tra l'insieme IQ dei numeri razionali e l 'insieme lR dei numeri reali. Enunciamo questa proprietà nella forma: • ~ . Ogni insieme E C lR non vuoto e limitato superiormente ( inferionnente) possiede estremo super iore (inferiore) . Possiamo enunciare la proprietà R4 in una forma equivalente.

@

88.03--0 n47. 8

6. Potenze e radu:all. E8pOnennali e loyantml

'"

Sia {A , B} una partizione di IR (cioè A e B sono insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione è IR); essa si chiama sezione se: Va E A e'V b E B risulta a < b. Allora s i dimostra che:

• R~ . Per ogni se-.t.ione {A , B} di IR esiste un unico nume ro reale s (detto elemento separatore) tale che 'VaE A ,VbE B (tale elemento scparatore a ltro non è che sup A = inf B ). Nella presentazione assiom atica dei numeri reali , la proprietà R4 prende il nome di assioma dl Dedekmd (o di completezza o dt connnuità) o a nche proprietà dell 'estremo superiore. Pensando alla rappresentazione geometrica d e i nume r i sulla retta, osserviamo che l'assioma di Dedekind è l'analogo del postulato dl contmm.tà della retta in Euclide. 6.

POTENZE E RADICALI . ESPONENZIALI E LOGARITMI

In conseguenza della proprietà ~ possiamo eseguire, nel campo reale, operazioni c he sono solo occasionalmente possibili nel campo razionale, come l'estrazione di radice o l'elevamento a potenza. 6.1.

Radici n-esime aritmetiche

T e orema 6 .1 - Sia y E rn., y > O e n intero POSttivo x tale che x" = y .

~

1. Esiste un unico numero reale

Tale numero si chiama radice n-esima antmet.,:ca dl y e si indica. con uno dei simboli v'fi oppure yl/". fo.r[ostriamo , con un esempio, come si può costruire la rappresentazione d ecimale della radice n -esima. Cerchiamo l'allineamento decimale di \1'2; questo numero, non essendo razionale, sarà rappresentato da un allineame nto infinito (non periodico). Si procede così: si costruisce una classe di numeri razionali della forma 0 < ao , ao, al ao , al G2 !t;

l ,

rea~_

Quando s i dice "non esiste i n IR" s i intende che n o n è possibile definire t-ale operazione in modo da mantenere valide le usuali regole di calcolo. Quak.osa di più sull 'argoment.o sarà dett.o nel p aragrafo 8, parla n d o dei numcri complessi. le espressioni (lb, quando sono studiat.e con ba..-;e fL Yl'l.riabi le ed esponéllte b fisso Bi chiamano potenzG, quand o la. bus,", è fi=a e l'eti p OIllo'Ilt.e vH.r iabilc si chiarn{l' lO esponenziali _ Le lo ro proprictà princip 0

E,

(ab)~

aO

Ve:

=

'rtr.:

be"

(le .

(o" )" = ab, ::le

Es 6.3 .

c

~ a~

< d

§: ad se a ~ 1

-;- a'

O < a::;b

$ /)~

\>'c>O

Logaritmi

Consideriamo l'equazione a-"

=

a>O

y

Anzitut.to, :'le f1 = 1, e!lS8 è soddisfatta solo se y = l (e in tal ca&l ogn i n umer o rell.le x è soluzione) . S ia dunque a -I- 1. Se y ~ O essa n o n ha alcu na soluzione (cfr . Ed . 11 segueut·e teorema. ci dice che essa. hu una sola soluzione per ogni N > O. Teorema 6 .2 - Sia (l'" = y.

rl

>

0 , u #- l . Y >

Q.

Esiste 1m umco numero reale x tale che

T a le numero prende il nome di loyuritmo iu baRe a · di y e si indica. col s imbolo log.. y. L e VTopriet6 dei 10 garitIIlÌ , che si d educono d a. quelle degli etipon enz iali ,

.

!!OliO:

. stano x, y, a reali pos Itivi. a

t

1

L,

log" xy = log" x

L,

x log.. - = loga x - log.. y y

L,

log" x!x EIR., x ol() :

Vx E II1, Il E IR, xy > O i ii ) ]og.,(xy )

G)

I I I I I I

Capit%

=

10g .. x

+ log" Il

iv) log,, (xy) = log"

.' Ix l +

!xl

!oga fy ;

Usando u n a normale calcola t rice t ascabi l" ta d ell' i nclus ione lI.. ha '"'più elt! m en ti" d i N ( nel sen~ che ha. tut,ti gli elementi d i IN p i ù a lt r i), g li i n s ie m i h anno 1& stessa car dinalità. (s i d ice anche e he sono equipotenti). ln questo senso, qui ndi, vanno p e n!'8. ti corne 1.I.gualT1H~nte numerosi. In generale , s i d ice nurnembile u n insieme che h a. la stessa cardina lit à di IN. Ad esempio , 7L. è nume ra.b ile . Si p u ò d i mostr are ch e anch e sere negativo (perché sono quadrat.i) , e quest o è assurdo (perché tra a e - a uno dev'essere negativo, se a of O) . Concludiamo che ([: non è un campo ordinato.

8.2.

Coniugilto e modulo

Il numero complesso a - ib si dice il complesso coniugato di z = con z. Evidentemente si ha:

z+i Z -

=

2a

=

(l

+ ib e

si indica

2Rc(z )

2 = 2bi- = 2i lm(z)

L ' operazione d i coniugio ha le seguenti elementari proprietà rispetto alla somma e al prodotto:

,::5)

8. ,".'..1I1m

;;'~_ 0 5 _ 0 7S4"_ ;J

comf' l ~ ,~.~i

23

O sscrv ia n,o o ra che

zz '""'"' (a +ib )(a - ib)

=

0

2

-l? 2 O

S i chiama modulo di z = a + ib il numero reale no n negativo -/a 2 ; Ir , che si ind ica con ,zl. S e z = a è reale, iì suo rIlodulo si chiama valo re aS80Lu to e si indica sempre con la :, come detto nel para/-',Tafo 4. Valgono le seguenti proprietà: a)

Iz· ?

U

izl =

b)

ìzl =

ii i

c)

1Re(z)1 ::; Izi

e

O ~ z

=

! Imez) ! ::; Izj

cl )

O

Izl ::; ! Re (z) i + IIlll(z)!

(d isuguagliall7;a triangolare)

e)

(8.4)

(8 .5)

Le proprietà a )' b ), c) si verificano immediat.amentc_ Proviamo li), e) . Esse sono equivalenti alla seguente:

P onendo

21

=

a

+

ib, q =

C

-l-

id ot.tf'niamo:

Con calcoli elelnenl.ari qlle~;t.a dopp ia d isuguagli al lza. si riduce a

che è equivalente alla seguente:

Elewl.ndo a l quadrato ent.rambi i memb r i si arriva a :

ovvero a

che è vera per ogni a, b, c, d E IR. Geometricamente, Iz; rapp re~enta l a dist.a nzll del punto (o numero complesso) :: dall'origine; Z l - z ... 1 rappresenta la d i~tanza dei due punti 2:1 c 2:~ ; le disuguaglianze (8 .4) e (8 .5) t raducon o il noto t.eorema· sullt' lunghezze de i lati di un t r iangolo (vedi fig . 5).

24

Capiwlo 1. J nm7l"-n

,-:.,

,,

-kf~:::::~'G"!'7" -'--_

Utilizzando i ooucetti o ra lntrodo u .i, pOS5.iamo rappreselltarf' in forma alge bricA. .a+ il) Il rapporto d i due numen COmplf'B51 - --d bast a mo l~ i J.ll icare numcratore e rlenominat ore per r. - id ; abbiamo:

c+,

+ il>

(o. ..... tb)(c - id) c + id = lc + idl1

a

Vediamo come si può risolvere un'equazione nel campo complesso, quando q1lesta coinvolge l'incognita z = x + iy Rm;he at.traverso Rez, 1m z, "i, I:.::). Esempio 8.1.

Poniamo z =

:&

+ ìy, CO"

;1:.11 inco gn ile rr.ali, e t ra.çri vii\mo l'tXl uazionc a q uegto m odo

z , = (x

+ i1l) :I = x? -li..;.. 'li1." i lll1z= i 1l

2% = 2(x - iy) = 2x (X2 _ y'2

-I- 2i",V) ~

2 1~

(i li) -I (2x - 2iy) = O

O r a. , un numero complesso è zpTf).se e solo se la s ua. parte ro!a1e e parte immaginaria !!OIlO 1..ero. Pe rci o rue ttia ' lIo in evid'!lLLa III. parte rea le e la parte immaginaria cl..! pr in,,, me mbro 00 uguagliamo ennamh(l '" u :ro: ( X2 _II~

-+

2.1:) + i(2rrJ +II- 2y) =

O

x~ - y~ + 2x=O

{ 2xy - y=O Si è cooì t rasfo rmata l'oqun:.:io ne ; u una in!XJg ll ita comple5~ a in \I n 5i ~t"ma d i duo:: c'l u ll.2iu ni in due incagnite reali. R.iso lviamo il si~tcma. La seomda (,qu fI:Lione d à · y=o o x = :il

25

Per !J = O la prima

~,qua;r.ione

di \'ellta

che dà :L'

Per '"

.r = -2

O

=

~ la pr ima .X}uaziOl1(' d i~'enta

=

, - .11

5

+"1

=

[)

c.he. h a sohILioni

,,15

y = ± -

Quind i

It~

2

soluziolli "0"0: z = (J

l

z = ", 2

_.,15

"21-' - 2-

z =

l 2

"/ 5 - ,-2

L'equa:zion", ha 4 soluzioni .

Il metodo lli,çlo i n quest 'es em pio (passare alla parte reale e immagi naria dell 'equazio ne ) è applicabile in linea di principio a d ogni eq1lazimu: in 0 , i ndi vidua un b-eh d etermi nato punto d ci piano ; in vece un punto de l piano inJivid ua u nivocamente l a CDordi nata (J, ma l'angolo misurato in rad ianti, è determ inato solo a meno di multipli d i 271".

e,

b

" - ib

'"'

.''''. () =

arg (z)

a Figura li

D ato un numero cOIllple&io z, il suo modulo Izi coincide col raggio polare de l p Ulit o che n e è l'iun nagine s ul piano comp lCSbO. C h ialnialllo argoruf:n {.o d i z , e lo indich eremo Hm arg( z), u no qualsiw;i degli angoli (J relativi al punto z. I n Qu e sto Hlo(lo r tLrgOlnento d i Z !lon è ben de t e r m inat.o . Spesso questa inde t prminatezza

I I I I I I I I I I I I I I

2.

C ap ito lo J.

(ntl.lfIi prilllo no faeilmeJll e se >'Ii pone z = p(cosO i si" O), ovvero se s i nsa la forma trù;orwmdrù:a . Infatti: Z3

=

(co.s30

p3

+ isin 30 )

:z i .=...

+

p

c ' ·equa.ziòne è soddisfatta ..... , " =10 se i d u e membri hanno moduli uguali e argoment.; c h e

differiscono pt'r m u ltipli di 21\, ovvero (il ]o;(.'(:olldo me mbro h a argoment o U):

{

,=

P 38 = 2iPI"

l'

con k

(O

:il

,.

Capitolo 1, ! n 'lTIu~""-_ _ _ ___ ._ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ ,0"'c"~ '~,,,,'~'"~'~'~'::"~ "

L.L pr im a cq u a z io nt: dà. Il :..o O e p = l (atten z io ne: p dC\I "!.'ls" re ;;:: O J>CTclu.\ è il mod a ]" del n lLIller o complesso: po. in:iò p = -1 n on è a.ccett abile ); la sccond ~ dà: () ""' ~. S i t rova pertnuto: 210.1< _. 2k". ~ = c.()~ 3 ->- , s"' ""3 j H..'T k = 0.1 . 2 I::::splicitamente:

z.=o

l

vr:i

2

2

z = --- +i -

z = l

l 2

::: = -- -

_,,13 2

1 - '-

Le fo rmule d i Dc 1·Io ivre perme t t o no d i d a J:"e uTl ' inte Tpn~t aziolle ge.(m u; t1"ica al pr"Odot-to d i: n-ume6 (;OmpleIfIfJ. S ia z , p e r c:omìnd a re , un numero eom plc:...."O di

modulo 1, quindi dci ti po (cos O + i_sin O). Allo r n, moltiplicare un llU l1ltl r o per = sigTli fic a ;;QJ!1man:' () a l 1>\10 a rgomento , cioè esegui re una n,f.uzione di (ulgo lo O. Se z ha modulo p anzicbé 1. o lt re ad e...~gui r c una rotazion e si esegue u n a dtlataziortt: di coefficie nte p. A d esempio: m o ltip licar e p er 1 sign ifica ct;eglluc una rotazione d i ~; molt-ip licarc p er - 1 s ig n ifica eseguire U ll!j. rotazione d i ;or; m o lt.i p licare per ( l + i) slglli fica eseguire u nA. dilatazione d i n~Hì dc ntc une. T')t az;iooe di 7r/ 4 .

8.4 .

Radici n-eslm e

Dato un Tlurnero It) se ris u lta .z n =

çom pl e~

w, dircnlo che z P, una. radi ce

n - t:~,-i-rfw

(coml,Zessa) di

W.

T eorema 8.1 - Sia W E CC, w f- 0 , e ITldici n -c.sime complesse ZQ, ZlJ . Z k = Pk { COS Ok .:.. i sìn (h..) abbimrlO

IFl.tem 2: l . Rsistono preci.9amcnt c di w ; posto tc = r (c osy;t f- isin:p) e

n

11.

p, =

r 1/ n

6, -

'{J

':j

k = O, l ,

+ 2br n

(8. 14 )

OimO$tralione . I n u n h'r i %1: sono c .... id"'nt"mcntc rto COn>O sono le seguenti:

_. le funziuni f ; IN ..... IR, che si dicono SUCCf..~.çìon i: te stud ieremo nel capitolo 3, para.grnfo l ; - le fuu zioni f : IR -oR (funzioni reali di variabile reale), di cui ci occuperemo a. part.ire da.I ca.pitolo 4; le funzioni f ; 1R." -+ (t'" di tiro lineare, ùette andlC tTUsJ()rmaziolli lineari: le studieremo capitolo 2; - le funzioni f : IR" -4 IR'" (non necessariamente lineari), di cui ci occuperemo a partire da.l capitolo 9.

Infine, lIello studio del calcolo differenziale e jnt.egrah~: inçontreremo anche alcuni esempi di fuuz ioni definite tra insiemi che, a loro volta, hanno per elenlp.nti altre fun zioni. Come:si vede, il concetto di funzwne (come q1lello di insieme, introdotto nel paragrafo 1) fa attualmente »1Ute dci linguaMio di base della matematica, che unifica tra loro concetti e oggetti molto diversi.

2 1.

Elementi di geometria e algebra lineare

VETTORI NEL PIANO E NELLO SPAZIO

Il con cetto d i vettore, fonùament a le sia in matematic a ch e nelle a pplicazioni (fi s ic he ccc .), può esser e introd otto a vari l ivell i di a..'ltraz ionc . I n q u est a sezione ci occuperemo d i vettori nel piano e nello spazio: i n q u esto contesto, è poosibile d are u na d e fi n i7.ione gcoln et-rica e lementare di vettore; molte grandezze fis ic h e (come velocità, acceler azio n e , forza .. . )!;i r appre!òcn tan o in quest o m odo. I n seguito (par. 3) vedrem o come la nozione di vettore si p o ssa gen e ralizzar e i n t.er mini a.':!tratti , otten e n do u n concetto p iù fless ibi le . c he r i~uH.a rnolt o u tile p er l'algeb ra, il calcolo in fin it.esimalc c Le loro ap plicazion i.

1.1.

Operazioni fondamentali sui vettori

Un vettore n e l p ia n o o nello s p azio è in d ividu n.to assegn a ndo: a) u n n umero r eale sità;

UOII

negat ivo che l-'S primc la sua lun.q lu:zulo modulo o i nten -

b) una direzione , i ndividuata da u n a retta (rett e para lle le in d iv id u a n o la stessa d irezion e ) ; c) un

ver.~o .

GeOlnetricanlente, possi a lno pensare ai vet t ori CO IlIC a segmenti oriental.i, con la precl!::ìa zionc che duc segme n ti orient.ati che p ossano attenersi l'uno d all'alt ro per traslazion e sono lo Bl.e.~so ~)ett(jre. Se nello spazio è fissat o u n s istema. d i ri fer imento cartesiano d i cui O è l'o rigine, pos.siamo a nche veder~ i vet tori come frecu uscenti d a O (fig. 1). A "

p

o --~_

A' Figura l

Vetto ,i com., fr"cc" u,""e ,ni do> O . pun ti di"e"" d e llo spazio.

0:4.., PQ

ra p p,,,s..ntano lo s t es.-.o ""tto !'ono allora

(jll f!ll i

i n d icati clalla ffec eia ra lin eaa:

8;;·"H_O"~47_ ~

PflT raggiungere lo scopo oceorre sce.gliet-e t'angolo lì i n m o d o tH k ehe l i -= V - v.; p u n ti m,Ila direzione positiva d"ll'a,s."" y . I l vetture u rappre:;ellta la w;oloGit à effett iva del la moto""-",, nella d irezione AB _Ora, si ha:

v = t!sin/.li-+ l' COSOj

w=- w i,

A ffi flChé u pnntj ne ll a direzione dcll'a.'
:;" (che, co me fii "·eri fica, non è altro che il piano passant" per l'origine di c q " a7.ioue X-.,- y+z = O), p roponiamoci di cos t ru ire un a ba---e or t ono r male d i V , H 'iSi .... d i Ol"tonorma liZ7,are la ba."e 1,'1 , 1-'2. I p,.",,>;; sono i ;';L l, '-'2,113 sono una ba.~c o rtononllale di 1Jl3 . i c u; primi due e lement i sono una b ase ortono rma le di V . L'e~ist enz a di una nozione di o rtogo na Lità e la con os(:enz,a di u na ba se o r t.o--nonna]e gioca un ruolo impo r tant.c Ln probicmi di a,ppros8imazionc. S i cOIlsid eri il seguent.e problema geomet rico:

assegnalo, nello spazio l-1'itli:rncnsionale. un pwno Jr pa."eTL'W a p pt!na s p iegHI.o . ,>;" eO lL dudiamo ch" " r)(J ,~ .,,: !rile ide"tif;':lln~ ""(I "n-t'l cla.s.~e di hU8fornl'1Z10rà. lù' rarj ' A,(j A ", (operazione di c a rattere a lgd:>rico) . Si osservi che. corne è cv idcatc dal sip;nifica to gcorrwtri ~o dell 'operazione, il prodot.t,o A;~ A ", P"T q1Je;----->

L

2

----->

JR."

L'l ( LIX).

In a l tre paro le , la trasforrnazionc composta è qUf'lla c he si o t t iene fac e ndo a gire le d ue t ra.'lformazioni una d o po l'altra, ossia applicand o la seconda al ri::;ultat.o dell a pr ima(".l l . È inunediat.o v crificare ch c L 2 o L 1 è a llch'essa una t. r asformazione li neare ; p er il Teo rema di rappresent.aziollf' , f'sistf'rà u na m a t r ice C. d i t.i po ( s, n ) che rapprese nta t ale trasformazione rispetto a lle s tesse ba.':ii. C h i è questa matrice C '! Scmplieelllcnt c ,

C=BA o s...,i a. la matrice rfl.ppresent.a t iva di L 2 o L l è il prodotto rig he per colonnf' dellc m a trici B , A che r appr csentano L 2 , L J, rispettivament e . Que;to risultat o è a nzi il motivo p rinc ipale p er cui è naturale definire il prodotto d i matrici propr io i n quel rn o d (j·- ~ eOJllp licat o" . L a. 'v er ifica di questo ffl.tto è imlnediata: scrivendo il vettore x come n - upla rispetto alla base fissa ta, si h a che

L 2 (L , x )

= B· (Ax) = (BA ) x

ossia BA rappresenta L 2 o LI ' Il d iscorso vale inalterato se a n zicl,é IR", Irt=, IR~ si con s ideran o t re s pazi -v ett oriali ljualsia.«i di d irl1cllsioni, r ispett iva m e nte, n , 111, s ,

4.3.

Determinante

uno d ei co ncetti ce n trali associat i ad una mat.rice (quad r at.a) è quello di determ.i nfInte, lfl. cui definiziollp g P ll f' ! ' H I f' , t. uf.r.llvi a., !lon P f' lellle ntare . D'alt r a par t e , noi ::.iam o inte res sati s opratt ut t o a l calcolo dei d eterminanti . Perciò , ado f.l .ando liTi attR.ggial ncnto "r icorsivo ", d efin irelno csplicita lllCllte il deterlllin alltc per matrici d i ord ine 11 = 1 e -n = 2 , i n dica ndo p o i Ct)In e s i otteng a il (2)QUOo't'to è un ca,;,o p a ,-t.icolan , di pplica

7l

v olte l a propri e tà d 2 :

.Iet (ÀA ) = dd

(

Àa,) ~ ~.2 À'

n

>." d e1. A

h . Supponi am o p er e s em pio .:h e A sia t ri angolare alta, e c a tentiamo d et A nle di ante la (4 .5 ), su lla p r i m a colo n na. A ll ora d et A = a •• A ll . ~I a a ndle 1ft UI ...trice d i cui A " è il dete r m ina nt-e è tria n go lare alLa , p t'rl-_ 2 ---:-.....

Sarru~ -::-~

TI sono sempre l inearment e d ipendenti. IotroduciaJuo a quest o punt.o il concetto d i 1'a ngo o r:fL1Tl tte ri.s t iea d i un a mat.rice . Dat.i Ulla nlatrice A d ì rn righe e n colonne ( con rn no n neccssariaInente u g n a le a n) e u n intero k ~ m i n (1n . n), s i dice minore d i o rdine 1.: est.ru tto dalla mutrir;e A , i l dete rm in ante di u rla· quaL~iasi matrice di ordine k otten uta con gli clernenii comuni (L k righe e k t:o!o nne di A .

~.

Matrici" tro...junna.zi(}ni li"':LI1,

89

Si definisce camtlerù;tÙ;Q. o IYHi.gO di A l'intero l' ? O t(ll~: che: esiste un mmorc est1"O.tto da A di orri·i.ne 1" non nullo e ogni miflore e.~tratt () dfl A di m'dme 7" + 1 è: nullo. D a l teorema 1 .2 segut:: subit o che

Il rango di una matrice ropl'l"eSenta il massimo numt:ro di righe lineanTlcnte indipendcntt. P er la determinl\Zione

(L~l

Q

d i r.olo,me

ra n go risulta u t.ilp. la seguente proposizion e.

Proposizione 4.3 (di Kn:lIl€l:kcr ) - Condizlone 1'l. cr:l~ ssaTW t; 8 1tffici.(;1i l ~; affi1iché una matrir..e abbia n:tngo k è che Ui'isla un m i nore di O1-dine k diverso df.J. .U~ 1r) e ~.ano nulli tutti t mmoTi dl ordine k + l otten'uti da. quello orland% con 'una lfUalun que altm riga o co lonna .

Esempio 4. 10 ..A.pplicbiamo il m etodo ind icato nella prol'OIl il:ioru:I 4.:.1 alla

,

A =

(~ ,

O

J1lu.t~ict':

3 3 (;

Considerialllo u na. mEl trke e"t ratta da A di ordill n l (.011 ,l,;tenui,,,.,,te di,·tJrSQ da l:eTO, si" A· = (1) "Orli .. "I0~ tale ma.trice, in tutti i m odi possib ili, finché si n tt.eng>:t lilla IIHI.t.rke del ordine co n determin a.nte non ntillo' A -- = ( ;

.,

~)

~:condo

d ClA-- = - 4 .

rupet e ndo il ragionamemo, "orlando'" cioè in t lltti i m(ll ii p06.Sibili la A-- ,

(~ ,O 2

Ai" = si

()ttt,~no ctl1l"

tt.... ..

2 O 4

matrici i c ui dctt::rm iuanlì sono n,,!Il. Il rang(' i, dunque :.1 in H.:c(mLo con i l

cma preç"dclltc .

P e r la determinazione dci r ango di A seguendo lo. defiuizionc avremmo dov uto calcolare quattro de t enuinant.i d el terzo ord in e. mentr e col metodo della. proposizioll@. 4.3 i determina.nti 3 x 3 da calcolaTe s i son o ridotti a due. Quanto più grandi SOIlO le dimensioni della matrice tanto più evide nti r isultano l vantaggi d el met.odo indicato nf':lIa propoobdone.

4 .5 .

Matrice inversa

S e a è un n1.lTllp.ro non nullo , esi:,"te un unico n u m e ro a ' l = l (il Tedpro("(J d i a) " t.ale chc (4 .8)

00

Cap ito lo 2 . E I"menli di y wme lria e aC"Ce~'",""~I"in"",n"n 'è________'@"'""&"""~,,,",".",::,, ~,

Se A è u n a matrice q u a dra t a (n,n), chiameremo tIlo.trice inversrl d i A la mat rice (se esis t e ) A - - 1 t a le che A_A- 1 =A-1·A=I ...

(4 .9 )

{d ove I n è la mat r ice idenc.ità ( 4 . 1)), i n perfetta analogia co n la (4 .8) . La condi zion e che garantisce l'esistenza d ella m a trice inver sa, a n a log a alla co n d izione a -F O per l'esistenza del r ec iproco di u n numero , è che sia d et A f O. 11 seguente t eor e ma p recisa q uesta affernla~i one, e in d ica un modo per calcolare A - I:

Teorema 4 .4 - C ondizione necessar ia e suffici ente affinché esista la mah'ice trlversa A- I è che A Hia non sin go la r e , cioè che d et A i= O. ( n tal caso 1m[e la Jo-rmula:

An l det A

A-,

C" .4:

21

A A ',n n )'

An

•.

(4.10)

A nn A n ' An' do ve T indica "trasposto" e gli A ii sono i complementi algebrici degli elementi aii d ella matrice A . I nfin e, d et( A - 1) = d;;tA.

,

Esempi 4 . 11. Us iamo la fo r m u la ( 4 .10) per calco lare [' inversa d ella m atrice

A= (g -~ ~) Essendo t r iangolare, det A = 1 - ( - l ) . '] = - 2

! -l

A" A"

I =

-I~ I

A"

O

~I =

-- 2.

3 ~ _ - 4. 2 : -

,

1, -;

;1=

A- l =

9.

~ -']

-#

O: q ui nd i A- l es iste. OSlSe rv iamo o ra c he:

3: A12= -I ~ 21= o,

A '3

=

16 ~ i = 2,

.·h~

= lo:1, ~I =

A .n

=

A:n =

An =-I ~) "3 ~I ~ - o.•

gr (g

( -2 O2 -1 - 4 9

"

2 - l

O

i l)

lo -11O

O

il

jo

-W2)

- 3 ' '1.

1/2

4. 12. Scri y iarno la mat r ice in vensa d e lla gener ic a ITla t ri ce d i onli ac 2:

nell' ipot.eo-;i d.rt. A = ad - be

#

O. S i ha:

(:1::

:~~~ ) (.~b =

-;.c)

~O

21~-1

-l

@

4.

88 · 0II- "T~4T-g

.Ilfatrici e trasfo::nazivn' lineari

91

e q Uilldi A- 1 =

A l italo d'e«erc izio, s i

f'>;

+n,

O

~·1

A B . BA, B ''' , A -I (&e- esist e ' ),

Siano A

Calcola re A " {cioè A , A · , . . A 7. volt.e) pe r ogni ,u t e ro Il . Lo

~t.,.t'!:c .

Scr iver e l a mau i" '!isLcma di '2 equazio ni in '2 incognitI::; 2:.:+311= l { x - 2y= 2

Dtstitu ia m Q il

~'to caso ItOl sol u:.don i del mcndo, Rubiamo dimostrato il:

~ i $tern6

omogeneo

~no

infin ite.

R iassu·

Teorema 5 .1 - Il sisf_f'ma vmng f:nco di n elJllfl zirm i in n incogmte

•

Ax = O

ha soLo La .soluzione banale (x = O ) se e solo .se d et: A #- O; ha almeno mlfl soluzione non banale (e in qw;.:;to MU ne ha infinite) se e solo u! d et A = O. Cosa 8u cccdc invece a l Si::itt:m a non omogeneo quando del A = O';' A questo rispondere mo completamente nel parag rafo 5.3 çul Teorema d i Roudlé-Capelli . Possiamo fin d'or a fare per ò la :>egucntc ORser vazione . Sup pollialUO che Xo sia una soluzio ne dci s istema omogeneo, o::;:; ia. AXo = 0, t::: Xl sia una soluzione del sis~rna no n omogeneo, AXI = b. Allora A.nd l€ X:o + X l è soluzioue d e l s i.c;tema non o mogeneo, infatti:

A (XI -r Xo) = AXI

+ A Xo = b + 0 = b

Se d e tA = O ::;appiam o che il sisi.e rna omogeneo h a sell lprc infin ite soluzioni. ~ tJ conclu difl.m o che: Se det A = O e il sistc.ma n on omoge.neo Ax = b ha u na soluzione, alluro. n e ha. i·, .,finlte. l n altre parole, quando d et A = 0 , per il .,;l.lJtema 'IOn omog eneo 1.'icne necessaria.mente a cadcf'f! O l'f! .~i.~ tctua Q l'lmicità della solu.zio ne; il s istema e impossibile o indetennmato . Ved remo in seguito r:Oflle si pu ò p revedere se accad e l'una l'altra cosa.

°

5.2.

Immag ine e nucleo di una trasformazione lineare da IRn a IR m

Per affron t a r e lo studio dci sii. t emi linear i d i n equazioni in ", incognite è ut ile p ri ma studia re qualche altra prop riet à d d le t ra.::;formazio [) i lineari . Se C. è lineare da IR" a IR·.. , s i dl l ama immaginc (3) di C. l'insieme dei vett o ri di IR.'" c he sono i trasformati d i qualche veCLore Iii IR n . T a.le insieme s i indica. con

Im(C) Se Y E Im(C) d eve essere y = C (x ) p er q\ti'Llehe x E ffi n . L e propriet à p rincip a li d ell'immagine sono cspr~ d al geguent c: (3) È "Il caso par t icolare della. deti n i", ione di im m agine di una fl..lW:;01ll1 q llAisjasi, data nel capitolo 1 , paragrafo 9.

5 _ Sis t emi lineu,":

@N!_I)i!._O,. ",4 ,._5

101

Teorema 5.2 1) L 'insi emE Im{L ) è un sottospaz-io Fe ttori()Ù: d i. JR"'. 2 ) F i.88ate le ù(J_C p er IIl" . Se x è un g enerico vettore d i JR" si p uò perciò M:rivere

x=cq w ,+ · Esse ndoL(w,) =O, Vj = 1,2, . .

C (x ) =

, k,~ib a: et",

_,.c ( U ~+ I )

+ .. . + o"L( u ,.. )

per cu i l 'in~i"me de i vettori V"+l ~ C( u~ +!) . v " = CC u ,. ) risulta un s istema di generatori di I rn(L) " qu in d i dimlm (L) .'S T I - k _ Facciamo vedere ehe, in realtà, i vetto ri Vk.Ll,_ , Vfi 801 10 itluip endent i , P('l' c u i d im I m ( L) = n - k e la formula (5_12) è rl irno!;t1'3ta. Se fo~!"ero linearme nte di p.,,,d enLi >oli avrebbe O = 1'1,,+ ] Vk ~ l + - - - + .3 " v "

= /h ~ l L ( u ~

I ,)

+ . .. ---'- {Jfi C ( Un) nucleo, noc.ciolo_

= L (8,,+ ) ll~ + I

+ --- + /3" u ,,)

.02

Capitolo E. E lernt!nti di qwmr:fT"ia e a lyelYm l ineare

@1

R isol.metria c (ll'l~,.bc"c"cc'cmcoo=c~'--_______-,@~'!ifo rmazio ne lineare d i le" in sé; in c ntranlbi i casi ci s i può ch iedere se la matrice A è diagonalizzabile. Ora, può a.ccadere, come vedremo, che A sia. d ia gonalizzab ile su C ma non s u IR. P e r u n a m a trice a e lemen ti reali , dunque, le due nozioni di d iago nalizzabilità vanno d istinte.

6 .2 .

Autovalori ed autovettori di una matrice

Ch iediamoci ::;e esist ono ....e tto ri (non n u lli) d i JF( " ch e venp;ono t-n u,forr nA.ti da A in vetto ri p aralleli. Se v E IK" è 1Jn t.a le \re t t o re , dovr à ris~ ltare

Av

~

>.V

(6.2 )

,0""","· ~,,,,·"","'"'"'c·o "

_________ "G~,

A"toViam o rberivere l'equazione ( 6.2) nella fo r ma

( A - ..\I 71 )v = O In questa equazione i l vettore v (come lo scalare .A) è incognit o : le c omponenti del vettore soddisfano perciò un s istema lineare omogeneo n x n . Sappiamo che, p en.:hé esistano vettori v ( non nulli) che risolvono la (6 .2), dovrà ~s.-;e.re

D ( À)

~

!A - .\In l

~

O

(6.3)

P er esempio, per n = 2,

IUn -

.\

a:a

L'equfl.7.ione (6 .3) è un 'equazione a.1g~hrica in ,x , di grado H, detta equazione carot t er ù;tica. della matrice A j il p o li nornio D (.\) è detto poli-nomio cd mttcristico della matrice A . QUeb"'t.o polinornio dipend e solo dalla trasformazione lineare, e non dal riferimento in cui quest a è degc ritt.a_; i n a ltri t ermini, non varia se si sostituisce alla mat r icc A un' altra matricc ad es.."lR equivalente. Infatti si può scrive r e S- l AS _ .\1 = S- I (A - \I)S e qui ndi, usando le proprietà d el d etermin a n te:

IS- ' AS - .\I!

~

IS- ' (A - \I ) S!

~ I ~ II A -

),Il iS I

~ D ( À)

Chiamerelno atltovalore della mat rice A (o della trasfor mazione dle la matrice A rappresenta) qualsiasi numero). E C sodd i sfi l'equazi one caratteristica; chiam en rClllO autovettore (corri::lpondente all'autovalore À) ogni vettore v t=- O Cv E IK ) che r isolva l'equ azione ( 6 .2). :\:ot.iamo ljllbito che, Incutre un autovettore C":) =

c p,~rciò abbiruno

i

l

l - .\ O

=

[)

,~i" {

=

D, Se

1/+Z - 0 :r = (J

X -;- O

solu'",io n i d a t e d a

{

" ~ O ?J = - c

z = t:

COI! C p a rametro arbi trario_ QU {";t.~; SolU7ion i r appresellUUlo "",' vt_t ori, tutti paralle li t-nl di lo ro. Uno q uals i= i d i eb~i s i o th:rril dan d o a c u n panico lar" VaIOTf' , p er esem p io c = 1 _ Il

vettore (

~~)

è jwrc iò '1Il auto,'ettor c della luatri ce A corrispondenti; «Il 'a u tovalor" L.

S e ..\ = - l , iL s is t ema diventa

x + y+z =o {

x

+ 2y

x

+

=

cioè

O

--- !:

{, -, y

~

~

2z --'- O


Y+' x ~ y = O

{

:J; ~z= O

=

()

y _ X o. = 2 .

2 . Determiniamo gli auoovetto ri relati vi agli autovAl ori trovati. Ciò signHk.a r;soh 'ere, per ciascun autova lore, il sistem a omogneo:

1(

(J

l ) (X)~ll

À

2 - >.

11

Per À = l:

{ y=o y ~ O

p e ..ciò gli autovdt.ori "0[10 (x, O) ; uno di essi è (l , D). P".. ..\ = 2 :

-x +y = o { 0=0 perciò gli a.u tovettori sono (x,x) ; uno di ess i è (l , l ). 3 . Osserviamo ora che i due aut(wcttQri ( L O), ( l , 1) sono indipendenti, pere:i':) SOIlO una baH> di R? Pertanto A è d iago nali z::Lutovetto l'Ì di A. O

,

Capitolo 2. E lementi di gromfOt,-ia " a/g ,, /'m ImetH'' '

116

Dal teorem a pTtX,edcnte seh'"Ue in p a rticolare che Si'- una filatri ce reale ha tuUi yli autavalo rt rea li " .~emplt ci, è dùtyonaltzz abile su lR ; ~t; ha t-utti gli (lUto lialof'l s emplici (ma n 0 1/ t utti reaH) è diagonalizz ablle .ilt -C

F issato E > O. b asterà scegliere lI! = (2 + E)/E (o uguale al p rimo in t e ro > (2 soddisfare la c o ndi z io ne rich iest a dall a de fini z ione d i limUe , 1 .4.

P er m ostrare che 2 ' / '-'

--+

1 per n

--+

oc, ~ i stud iu cccs:,:ione Cflnon in \ {n} dt~gli in wrì n at ural i evi d c nttnncnt-c di\-crgt> a --. x: (;OI'iì p ure la ~ìJcccssìon c {:ln}. Infine ossp-r vian lo 4.:hc ci sono Sll(:("e;.'Sioni dII! non I-j("adon o in lI~un a dl'lk1 clJtegorie p recedenti, cioè non sono con\-ergenti né d i\"l~rgenti: per C'SCmpio la sur:ccs..Gonc {( __ l )" } oppure {(-2}"} (~i Iloti ch", 11.\ prima è limitata c la St::col lda no). T ali sllccessio n i si diralln o in'CflolaTi () indetcn1lùHlte.. P er ~se l'op erazione di Iirnit.e n o n è d efin ita. ovvero il lor o limite UO I I ~b,c .

• Insiemi non limitati. E comod o adot t a re la c-ol1vef1 7;ionc inr.rodott;:l per i limit.i anche per il sup e per l'in f, t:>_;;ten df'ndo la detinizion c d i qlU!l:'t c qua.mit.il nel modo seguente: se {'insieme F:

ç 1R. n01l è lim-i_iato

supe,..iormellt~

::-upE = ;-00

(inf E

( inft:1'ior-me1Ite )

or

diT~mo

che

-=:.:.o)

Jn questo modo la p rop r if'ltà R.1 d e i numcri reali può t:!S::Icrc enunciat.a

,lr-emo s'u pcriore e infenore; Imp E (inf E ) è un Tlu:m e ro s e E è limitato 5upenormentc (ill!P-TiorTnenf.e ), flftdnumf.i è +00 ( - x-) . • 171fimitc5imi f: Infin iti. lina succ~iolLt' a" tcndcn te a ~t'ro si dk~ infimte.'Jimll. A d escmpio , sono infinitesilll€' le SHCCf'l5Sioni {!;}, { * }, ... Il concetto di infinit csimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale il. uche per avere u n 'immagine intu 'i tiva corretta 00 efficace d c i concetti dci calcolo illfinitt:!$imale. Vedremo nel capi t olo 4 che il concetto di infi nitcsi mo n el uccession e fan} s i d ir à:

monutona, cre~cente St:l o" :5 Trtonotonu dccrescente se (I.• , ;:::

0 ,,+1; fl." _ l;

c;resoentc M! a" < {l" . I ';/n -itT?::ttarnen te decrescente :se G" > a.,_1 "t ti . 1 In s uccet;Sion l:! è m onotona "«,,.;c:ente, illi m itata superio r mente. S(" q _ l !f. successiollf' i l (;oHtante. Se () < q < l, la 5u ,:{:e!;E io flf! ~', m~mot o na d~er

~

q

-

se

< q
O oppo rtu n o. P e r q u esto f: si ha du n que ch e, definit ivam e n te ~ :5 l

C

+ '2 < (1- E) +

E

2'

+ ~.

= 1

c quind i

Per confront o con la. !;el'ie )l;eornet ric a convergente :C~= l ( 1 - ~ )n, la serie di par~ t e ll zh conve rge .

146

Capitolo 3. Sw::ce.UWI'U

",ene

II:

Se ora, invece, è 1im

n_+oo

~= l

> 1

con un ragionamento simile si deduce che an >

definitivamente, per un certo

(l + ~r

e > O. Dunque a., -

+00, e la. serie diverge.

O

• Dimostrazione del criterio del rapporto (pag. 144). È simile alla precedente. Supponiamo prima che sia;

,m

\'

a,,+1 l --~

,,_+00 Un

< 1

Ragionando come nella dimostrazione precedente, si ha che: a...+l«1_~)

a.

definitivamente, per qualche e

a .. +l


~)

2

Q. Ciò implica, ragionando iterativamente, che:

an
l: - ' -00

lim:co. = +oc:: :>o-o·

Ricordiamo ch e l'ope razio ne di elevamento ti p OI.enza è bl"..J1 d efinita per qualunque se la batlc è p O::; itiva, ma può eS8ere defi n it A. anch e con base negat.iva se l'C'Sponente è un intero oppure u n razionale (fra.;-:ionc) con den o m inato re di s p a ri . Ciò sign ifica rhe le funzioni poten z a. p n8so no, in altllni c a "i, essere esteRe a n che per x < O. L a fu uzione x"' / " co n n intero d L"lp ari è defin ilA. anche per x < O cd. è pA.ri se TfI è un intero pari, d ispari IòC m è un inter o dispari. llicapit o liamo i vari casi possib ili dal punto di vista dei grafici d i q u este fun 'z ioni. Cominciamo dalle potenze ad ESponente razionale:

~s poncnte

f(x) = :r:,,/n Tn,n interi ridotti a.i minilni t ermini. L e s it uazio n j qllali t at ivaroellt~ di\'erse, nel caso in cui l'csponellt e ~ posit-iyo , WllU se I)Ono schema tir.zate dagl i esempi seguenti:

\

'~

,

Il

~

:I; - . "

Fig~a

;r - 21>

•

16

P er le funzion i potenza. (~ CS1Xm€'ftle reale (ma n on razionale) la c8.'3istica si semplifica, perché l ex) nOli è definita per x < Q . Le sit,ua:.:ioni possi b ili sono le seguenti:

• 3.5

.•• T'- .

~

" :> l

3 -

,,!

I: ~ (),,~

" "-, -, 3.2 .

!f. .l ) ..

J

ro

:t>O n > U

, !

,

!

I

'J

3

4

Gra d ino di Heaviside ; imllUlso unit a rio (di durata e )

La funzione gradino di Heamnd#'., H :

m.

H (x) = {

~

IR, è a.%egnala dalla fo rmula x ::: O

x< O

08 !:I!:I -US_O T 5 47_8

3 . .Fu.nzioni e/".mentan

165

È mono t ona no n dP(Tcsr:ent.e con una discontinui tà a salto nel punto x

= 0 , nel quale t u ttav i a è c o nti n u a dalla destra ( figur a 2 1a ). L a fUTl:t.ion e di Heavb;ide (o un s u o mult.iplo a H (x)) b en sì p res t a a modelliz_ zare bruschi carn biamenti d i rcg im e in fenomen i evo l utiv i. S i pensi , pcr e5Cm pio , fl H (x) com e a un'i n t e n siti'ì l urn i llo "a: fino fI. un determinato istant e (x = O) l' intensi tà è. n u lla e ist antancanlent c d iven ta u n it aria. L'impulso unitario d i durata E (E> O) , I~ : n-t I-------' TR , è dat o da

se

x.Ì d i funzioni d eriva d a l far.w che else sono in un c erto ::;p.nso i p rototi p i uti l i descrivere d u e corri spon denti t:',Tuppi di f~_,llomeni frequentissirni i n natu ra : i fe n OIne ni di dec.ad iIIle n to (o, al c:ontrario, di crescita) c i fcno rnenÌ p e riod ici. E sempi di feu Oineni del p rlJl10 ti p o sono : i.l rlecadinl ento

'l

Capitalo 4 _ FUnzioni rl , una ,_'",-i"bile . limiti e cu n tim.n:tà

166

radio i'lttivo, il proce;.-;o di ratIrcddtullf'n t o di IlH corpo, il diflo ndef s i d i un' i nfezione o i l moit i p l iCt3Ts i d i una colonia di b a tteri. E sempi d i fenomen i del secondo tipo sono: il moto dci p ianet.i. l a propagazione di onde ( meccaniche o elet.trolIlagnetiche) . il mot.o di u n pendolo, cen.i andUlncn'ti d i ~alattic influcnt;ali d i cara ttere stagionale , ccc. Ora, accad e che spesso le fUl1z ioni ei'poIlen:dali ser vano a d l-"Scriver e i fenomeni d el p ri mo ti p o ment.re q ud le t rigo nometriche s ia no utili a d escrive re q ue lli dci secondo tipo . Il motivo profondo di que..st o fa tt.o sarà 1IIf:'_'60 in luce nello st.udio d elle equtì:.' ioni d ifferenzia li (cap. 7 ) . Se a è un numero real e positivo e di t'er::;o da L la funz ione f: IR+

!-------->

ili.

si chiama fu n :l ione logaritmo i u base a , nlentre l a fu n :.-_ione

q: IR

0-----------+

g(x ) = a"

IH.-+

s i chiama flll12_ione csponenzialf:: i n oose a, Le funz ion i .f e .fI sono legat e dalla rela:r. io ne fondamentale

(r > D, a> o,u ;il )l y = log., x

equ ivale a

.'

(3.2 )

(33)

:l = ali

Pm-i-kolarmentc freq ue n t.e € il c a so i n cui la base a della f UIII;io n€ espon enziale o logaritmiea sia il numer o e di Nepcro, incont rato nel capi tolo :~ . Ot.tenianlO C001 le funz ion i f'-" e l n x o logx (quando la b ase è e , v iene sotto in tetia) . Confron t ando invece le funzioni pot.cnz.a (introdotte nel paragrafo 3.1 ) eon II" funzioni ff>ponenz ia li , notiaIno ch e 18 s t es..-:;a o peHl.Zione a lgebrica di elevamento a potenza nel campo real e , a h, è alla base della defi ni zio ne d i queste due class i d i fu n zioni: - se l'esponente b è fissato e la b ase è variabile a bbia Tllo le funzioni p o t enztl_:

x tiC

I----->

XO

l a base a è fissata e l'espon ente è va riabi le abbhmo le funzioni

e~poncllzi ali:

x __..., al:

3,1. Se [II I I indica la co ncEn tra,., io ne d i i" n i idrogeno (=- " " mEr o d i moli/cm" :) in uua soluzione . si definisce COn", miHlnl. de lla :;ua acidità la q u anti t à.

pH

P oiché pc r l'a",,1'''' p ur a 'H~ J equ i valente a 3ùluziOlw neut ra b as ica_

=

- IOglO[ H -J- j

10 -' , il corr ispondente p H è p a r i a - log", Hr ~

Se pII > 7 la soluzione i , acida,

:;e

,.

pH ;ge1.t.o. f (x ).- l og ;. x dom in io: (O, ~); im m agir:ie : R ' .'.'"

~D.tinua. in

contiriuid :z't ' (O;~)

I

a O e cioè per x> Q. Poich é log;:r; = O, se x = 1 si ha log(x - a) = O p er x - a = 1 e cioè 3:: = a+ 1. I n al tri ter mini il f{f l1.fico di YI s i ottiene d a q u ello d i y con una tm.slilzione d i a unità a destra se Il > 0 , a sin istra se Il < Q .

,.,

,, =log (x -I l

y =log (x+2} Fig,,~..

•

,

21 G ra fici d i :li = lùg (:l: - 1 ) e y = Iog(x

+

2 ).

Il grafico d i Y2 si ottiene d a quello d i

f

m o lti p licand o per k t u tt.c le ordinate

I (x) . I n p ar ticol a re se k = -1 le o r d in ate son o semp l icem e nte cambiare d i

~egno ,

cosicché i l grafico d i V'l. f. simme t r ico , rispetto all' a.sse :1:, a q uello d i f . P er ese mpio , sia l (x ) = s inx. I grafici d i y = 3 s in x, y = ~ sin x , y = - ~1Il X sono i segu enti:

t

3-..-

1

y = 3sinx

y =-s;nx

fI, = ~sinx

,,

,,

,

,,

/"-,

,

I

",

-I t

I

F;gur ... 28 G ... l ic::; di 11 = 3 Rin:r, 11 =

! ...In x

e Il = - .. in x .

O sserviamo che ~ k > 1, il grafico s i "stira" nella d irezio ne vertica l e , d ilataIld o ver so l'al to le o r d in a te p osit.ive c ve rso il basso quelle nega tive. A l c o n t.rario, se O < k < 1 il g r afico si. con trae, semprc i n d irezio n c v erticale.

_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _c"".-'C F"n"n""zioni dcn'e"tan'

175

• 11 g r afico di Y3 si ott ien e d a quello di f(x) con un camb iamento d i sca la s u ll' asse :1.'. Se k > J , k ;c t:rcscc più r a pidam ente di :T e p erciò il b'Tafico d i Y3 tiarà ::;i m ile iL quello d i f U la con oscillazioni pift rapide, ovvero sarà "co mpre~~" in dirf~zione orizzont a l e , d i un fatttlre l /k. Analoga uH' n tc s e O < k < l i l g r afico ap p ari r à "d il a t ato" i n direzione orizzont a le , c o n osci ll azi oni più d o lci. Ad cseIllj ,io, s i eonfrQntino i g rafici di si nx.~ i Jl2.T : s in ~ s u [0. 211 ]:

,

-- - - - ..... _,

,-

sin

L

sin x / 2

o.,

!;i .. ~.:r ._~ .

,, Figura 2 9

•

Gra fici di li '-" " in", . 1/ =

~in ~

Per disegna re i l g r afico di y

e 11

~

s in 2:r

= IJCx) 1ricord iamo se se

che

f (x) ;::: O f (x} < O

D unque n el p a.::;~arc dal gra fico d i f iL q uello d i II I i punt.i a o r dinata n 011 nega tiva rimangoIlo inal terati ment re que lli a o r dinat.a negat.i va vengono tra.sformati n e i loro s immetric i r ispetto a ll'a.%e x . Il gra fico di II I si o tt ie ne p erciò da quello d i I " ri b a l t a ndo" sim metTicament.e r ispetto a ll 'asse d e lle (l..."lCisse la parte del grafico d i f che si t ro ....a n el scmipiano in fe r iore e lasciando in alterat o il resto . P e r e;;empio, per le funzioni y = x e y = sinx::;i b a:

~

1 / Y - i ~'

-~

11 . ._---

I FigtJr3

30

D a l g rafi co d i

f "

q u e llo d i

III ·

=1s in ''' I

176

•

I nfine, per tra.c.c i O x E I

Se succ.:ede che per ogni uscita y E 1(1) csbte u n soio i n gresso 3 ; E ! tale che J (::: ) = y, a llora. f l:'i d ice i1werf,ibile e reil.lizza una corrispondenza bi univoca. tra I cd J (I). La funzion e che associa a ogni ll~~ ita y E 1 (1) l'u nico i ngresso x E 1 t-ale ehe J (x ) = y si chiall1a funz i one int'ersa di f e si irldica COl i il s imbo lo i -l. I n sintesi " ~ r'(y) y ~ J(x ) (4 .3 ) equivfl.le a { y E J (1) { :t: E I

Cap itolo 4. Fun zioni di u rw uariab-ile, limiti e contùmilà

178

La ~C:1I.tola. nera d ì seguen te

x

f-)

lavora a ri t roso rii:ìpe t t o a quella di

f

J

secondo l o i:ìchema

Parti r e da x e ritornare d o p o un giro in x equivale a r-llf ex )] = x per og n i x E 1: p a rtire da y c t amare in y equ iva.le a J[ f - l(y) ] = y , p er ogni y E f(I).

y

/

La cond izione di invertibi lit à equivale a richiedere che il f:,'Tafico d i f s ia in terseca to a l massimo in un punto da ogni retta parallela a ll 'asse delle &:;cissc.

b) Figura 32

iO) Fl.I n zicne non in v .. rt ibile; ;oll'usciu y corri5pondono 3 ingre"", _ b) F unz ir>l'! invert ibi le _

La funz-ioll € i n figura 321ì. IlOIl è invertibile in q uanto per il valore di y ind icato esist ono tre punti X I,X 2' X;; c he hanno immagine y. La funzi one in figur a 32b è invece invertibile in quant o ogni r etta p arallela all'asse delle ascisse o non interseca il grafico di f o lo interseca esattamente i.n un p unt.o. O sservi amo che:

f : (a , b) O, w no invertibili c le funzio ni. inverse x = y l / o. SOIIO a ncora pot enze (con espon ente reciproco di que llo della. fun zione d tl.ta) . L o s tude n t e c ontrolli que:ì t u affcrrrlll.zionp. s ulla fa.rniglì a d ei grafici d i xO . O sserviamo anche c h e le p oten zp. pari : x:2 .. (n = 1,2, .. . ) 7!O n SOno invcrtibili su tutta la retta, ma solo ~m lla se.D.lirett lL x :::: 0 , lnentre le potenze d isp a ri : X 2 t\ +1 e le p o tenze xJ>i q con q d ispa ri essendo m o notone s t re ttament e c r es(:ent.i sono invertihili da. -00 a +;:)0 . 4.3.

le funzioni trigonomQtriche inverliQ

Essend() period iche, le funz ioni t rig onomctr ichf! non possono p.s.':;p.re i nver tib ili. Iufatt-i, per esempio, l'cqua:c:io nf! Ril.l X

=

Y

h a infìnice 9OIuzion i se -1 :S y :::; l ( l' u!'iCila y COrrltiponùe a i n finiti n p p u rc n n n h a soluzion i reali se Iyl > 1.

ingT ~ss i )

'8l r çç oo

(2", - l)

I... fu u:àollc Sh r. , M:r ivcrc la fun ",ione io ,-cr-

.s. FUnzioni 5.

cont1flue

1 8llO

FUNZIONI CONTINUE

Come ::!obbia.mo \t i~t o fif'1 paragrafo 3 , le fU llzioni e lementari deIrA.nal b i loal·ematica so no continue nel lor o in s.if'JlU' d i definizione. Valgono in o ltre le segue uti propr ietà (su cui ritorne remo nel par8gr a fo 6 ì:

Teore ma 5.1 - Sr;;. f e 9 sono continue in xo , allom f Tg , f ·[I sono corlti n ue in x o . Ino ltre,

~upponclldo

che l:'S ista 9 o

Teo rema 5.2 - S e. f f conttmw in c.ompo.~ t({ go f è co1lti nua in L O'

Xo

f

i II UII

p.

t;

f j 9 (se !l Cx o) #- O)

intorno di Xo:

!I è continua in [ (x o), allora la fmu:ione

::\"e l'l eh'l.!e che tutte le fllllz ioni elle si p ossono o ttenere (."on somrnll. prodot t o. q uoz il\ntc e composizioni da funzioni elem cntari sono contin ue nel loro ins ieme di dcfi ll i~ i onc . R isulta.no p ert.anto cont.inui: i p olinomi

le fu n zioni razim lali (rapporli di polin o mi) funzion i (~omf':

log" ( 1 + (t.g x)"") , ... Quindi , per e::;t:!n1p io:

Hmo v'sin x = v'sin 7f ,_

=

O

p Oiché, per le flm~ io ni cominuc, se IO è un punto del d o m in io, il limite l'i calcola scm p lict'rnc nte sosti tllendo T,u n ell'espressione a nalitica della. fu n z.io ne.

5 .1 .

Funzioni continue su un intervallo c hiuso e limitato

fa,bI

L e funzi o ni continue in un inte rvallo [a, bI (per gli estremi, si intenùe continue da de:;tra i l( (1 e da sinistra in b) hanno important i p ro priet à. L a prima., c.he c h iamiam o tEorem a degli zel'i, riguarda la riwluzio ne di un'equazione del tipo

I (x )

~

O

(5.1)

Quando J è un polinornio d ì gr ru:lo ::; 4 esistono for mule che fornUicono le sol u:t;ioni d ella. (5.1) mt'llia.ute r adica.J i. Se p e rò f è un polinomio d i g n'l.d o > 4 o una funzione p iù l:ompliça.t.a, s a lvo casi particolarmente fort unati, IlOrl esistono furm nlc per le wluzioni. Goolll.t-t rieame nte, risolvere la (5. 1) signi6ca determi.nare le ascisse dd pUllti d i intcrsezi.)tlc t.ra il gr t1.tico d i y = [ (x ) e ] 'a..%C delle ascisse. Naturalmente POSS() Il Q e&erci infini t e ::io luzioni , 1m n UHlt"ro finito d i so luzio n i, nessuna soluzione . O gn i soluzionc si chiama zero d i f .

Capitolo 4 . Funzioni di unil rariabik, [imdi " contin uità

t

Figun 38 L' equ.,zIone I(x )

=

O h" 4 soluziorl i. ossia 1 h a 4 ze ri

Il teorema. degli zeri dà ulcune semplici con dizioni l;Otto le quali esiste di f e anche un modo pe r calcolarlo,

UllO

Teorema 5.3 (degli zeri.) - Sia:

i) f continua in [a, ii) fra)

bi

f(b) < O

A llora esiste c E (a. b) tale che i {e ) = Q , i è anche tJtrettamente monotona, lo zero è unICO.

Se

Dimostrazione. Costruialno una sU(T 110

iO. 1 j. ma (l On è cont irm O, g ( x;.l ) = [(xz ) - >.. = m - ). < O. Dal teorema degli zen, Cbiste l tale che 9 (l) = O e cioè [ (l) = )..

t

~

M

.:;J b

-. I . I

.~

~ ' _"'---_--:-•

m

I .) Figur a 40 a ) L' i m m"~i ,, e di [a, b; è l' interv" lI o [m , Al]. b) Un.~ fu ..... ione c he nO 0, allo ra f(x) > O d efiniti vamente pet 7: - . I O (in a ltre p arole: esiste un in torno di X (J in cui j (x) > 0 ) _

_ A lgebra dò li miti. Se:

per I _ Xo, f Cx ) - II f(x ) ± 9 (:r;) - li == h ; f (x).rJ (:.t') ---4 1ll2;

p.

g (:r ) -. il (il, h E .U1.), ....llora per x -----'

f(X )/9 (;:c) ---;. lli' l l ( pllfl.:hé fJ (:1: ) . h f (X)9(~) 1;2 (putchl! f ( z ),l i > O) -----4

I=-

O)

IO

si h a:

'"0

Ca piwlo 4. FlI. u ;z;" n i di. u na variabil e, lim. iti e co ntinuità

@

f

O, s i ha:

---+

±x e q uindi

r ->"" oo

P er esemp io :

_

Hm r _+ segu e l l - . l . s in x $ 2 2

l

2

l . tg:.t

os:sia.


1; esempi d i funzioni con crescita oottolincarc per x ----> +oc suno i loga.r itmi log" x e le pot.emo:e x a con O < a < 1. Es empio 6.13. La fun zione

per x ~ + = è asi n t ot ica a e "'; perta n t o tende a + ex:> "O" crescit a ,,;u!-,ral i neare ; per x -. è a.s intoti ca a Z:z:; per ta.nto te",!" >l - = li"narmente ; poich{,

lim la f un" ioHc ha asintot o obl iquo y = 2x

+

[I ( x ) -

2xi ~

l per x

~ -

l .

ex:> _

-

?Co

Capitolo

200

4.

Ftmz1(m i d, Im a v ariabi le , lùnih e

Esercizi

~mltinU!tà

»

~

Sulla defirLihone di lim-ik .

e

Di,oostrare che

fl)

D imostrare che

eX,

p.,r

X --+

±.'X', t ende CL b'c, O (rispettivamente) .

li m

:rsinx

~_+ '.X_

non esiste ( né finito , n é infinito) .

f%)

S ia

f(X) ={~ Dimostrare d ,c

e

f

5e X

iJ razionale

Re X

è irrazional"

è discont in ua in ogn i punto_

Pro~'a rc mediante la defi nì ,.;" ",., d i limi te che li", log x =

- 00

", _ 0 purre : -:- ~ = l

+ E ( x)

x log ( ~) ~

con 5 ( x) infinit e!Sima; quin di.

lim

I- ' ; "'-'

Suggerimento: dUl/endo calcolare il limite d i una fuazione dc i t iJ--lo j(x)·,,(r) du~ dà Ulla fon na di illdeterminazio" e del ti po [l C,], ri ~crin,da nella form a j (x) 9( r )

0-=

( , 9,. ,. jl",,! ( "j

e co miIlc iare a c a lcolare il limite dell 'espuncnte (c h" è ora u na fanna di indetermina.zione cld ti p o [00 . DJ. Per far q u esto, segui r" il !'.ugge rimento dd l'C8 0 , d elle fUTl7.ioni: tgx, cotg:r, arl r.ui la fun zio ne ,0;1 ",.nu lla e /JU'anjimto , p revedere l 'andam ento della !",uion e nell'intorno di luli T'" "ti.

,

~

:lo' tJ;-..!

~

""' ± ~x

~

~ ~, ,, - I

~

~

(iD

».tctg ( ~ : ~)

~

:r arctg

G>

1xe-

-

\P

x~e - Iz i

~

xc - l /," I

(Ii)

~ + '

~

x e ""i"T')

~

log(3.:;~~ )

~ xlog(h~) i"'"+,, ~ 1

i-

~

~ln, ;,,1

1"",Iz-.,-1j

' impedcn 7.

O)

ax""-l

6.:Z:" (o: E: n ,x> O)

14 . log" :z: (a > 0, a '" 1)

l -:z: log -~

15.8h

Chz

16 . Chx

Shx 1 V l ...::z::J

17. arcsinx

8. cosx

_ si n :z:

18. arceos:z:

lO. cotgx

-(1

+ CO t~ x)

l

(cosx)2 l

= --.-Slll~ X

"

a" tog a

=x l+tg2:r=

,

13, a" (a. > O)

7. smx

9. t,x

l' e"

19. 8.fctgx

l v'l l

x'

1, +X2

2. DenvaLa d, una funnone

2"

La 1 è immediata; 2 , 3,4, 5 sono casi particolari di 6, chc abbiamo scritto esplicitamente perché si incontrano così frequentemente che meritano di essere ricordate. Proviamo ad esempio la:

If(x) ~ x' , l'(x) ~ 2x I

3.

Si ha:

I(x

+ h) - I(x)

-

+ h)2 _ X2

(x

=2x+h

h h che tende a 2x per h _ O; da qui, la formula.

If(x) ~ x"; l'(x) ~ ax" 'I

6.

Sia x > O. Scriviamo:

(x +h )"- xO

=xo

(1

+ !!)" '"

- l

h h dove a bbiamo usato il limit.e notevole ( 1 + é(h) c(h) = h/x (cfr. la (6.8) del cap. 4 ).

7 , 8.

!/(x)-sinx ,I'Cx)-cosx l

y' -

1 ....., ne (h) per h _ O, con

I/cx) - cosx , l'(x) - - sinxl

Si ha, utilizzando le formule di addizione sin(x

+ h)

- sin x

h

=

sinxcosh + sin hcosx - sin x h sinh . c_os="hi---=l + --cosx_cosx Sin x h

h

h~O

dove abbiamo usato i limiti not.evoli 8;~ h _ l e

cosh-l",_~h2 =-~h-O h 2 h 2 Analogamente si mostra la seconda formula. Omettiamo i dettagli.

If(x) ~ c', nx) ~ e' I

lO. Si h a:

f(x

+ h)

- f(x)

h essendo eh;:l _ 1 per h --;. O (limite notevole). Dalla formula si ricava che la funzione x 0-----0 eX soddisfa l'equazione y'

Il.

[f(X) ~ lo" x ,

f'(x)

~~[

=

y.

212

Capitolo 5. Ca lcolo d i[f"",,,ziale per l"llzioni di Una t'aria /u lo.'

(913&-''''-'' 7''''''-6

Abbiamo:

f(x

+ h)

log(l.' -+- Il) h

- I (x )

- log ,1 :

log ( l

+ h/x)

Il

1

l

h l. x x Il d ove abbiamo usato la (ti.8) dci capito lo 4. Le formule g , l O e 13- 1 9 potr a nno essere d iIllost rutc u tilizzando le r egole che vedremo nel pros.'li mo p aragrafo . Le equazioni differenziali soddi sfatte dafle funzioni esponenziali e trigonometriche

Osserviam o un f a t to n otevole che riguarda le funzioni esponenzia li c trig ono m e t riche. La 13 p uò ~s"er e rilet.ta dicendo che le fu n z iOl li f (:J:) = a X soddisfano l'e.quazione differenziale

l' (x)

~

ki (x)

con k costant.e opportun a . LIl legge esponenziale governa q u i ndi i fenomeni in cui la velocitii di crescita (o diminuzione) di una grandezza è p roporzionale a lla gran dezza stesso. Quest:a semplice legge si ritrova in molt.e leggi fisiche e ques t o è cert.ament.c uno d e i motivi a CHi le fun zioni esp onenz ia li d e 'VollO la lor o i m port.anza. La 7 e la 8 ci dicollo invece ehe , p osto f (x ) = sin x ,

-d'! (x) = - d dX2 d.:r

(di) dx

(x ) = -dd (cosx) = - s in x = - f(x ) J;

Perciò la funz ione s inx (e, co me si vede COli p assaggi a nalog h i, a n che la fUllz io n e cos :r) soddisfa l'e q u azione differenzi.ale

f"(x)

~

- I (x )

Pertanto le funzioni sinusoida li govern a no i fenoTveui in cui l'accelel'Gzione con cui varia una grnndezza è uguo.le alla grandezza $tc.crt.anto s i otti""e per la retta taltgente, l'equ a.L.i" "c Y = 12 ( 2 )

+

f~ ( 2)(:1: -

2) = 8

+

12{.T - 2)

Ri portiamo in figura 7 i grafì ci dellp dne funz ioni, con le rispettive r e tte tangenti perx = 2 :

'"

,

•

lO:

, ,

W

5 > "

2

:1 -

-

,,

12 ,

"

- 5~

,,

14 '-

,

,,

2

O.:,

15 '

15

,

V i

Figur3' 1

2.4.

Punti angolosi. cuspidi. flessi a tangente verticale

S e u na funzione.f è d erivab ile in un p unto Xo , n e l p unt o d i coordinate (xo, f (xo» il grafico 1.& lIna r etta tangellte b en d efi n ita. Che CO$il. succed e qua ndo f n on è < de rivab ile i n un p unto? Vediamo alcuni esempi. Punti angolosi

S ia f (x ) = Ix !. E·&-rendo f (x ) = x per x > O e f(x) = - x per x < 0 , s i h a t'ex) = + 1 se x> U e 1'(:1..') = -1 p e r J; < O, a"vend o-i' il s ign ifica to d i coefficiente angola r e. Nell'o r ig i ne:1; = 0, occo rre usn.rc la defi nizione . Ora

I (h) - 1(0 )

Ihl

h

h

c qu in d i, ~e h ---;- O... . Il i = h c il l im i te uel rappo rto i nereIIlent.l:\.l e è I. ment re se h ---+ 0 - . !h l ~ - ·h e i l li mite è - l. S i conducle c he , Ho n esistendo il li mite d ci rap por t o i.n crerne n t a le, f n.on è deri va.bile i n x ~ O. D 'altra p ar t e, rko rd a ndo il gr a fico d i f (x) = ·x : s i vede clIC la t.a n g e nte n ell'origi ne H O ll è bell defini.ta.

Capitolo 5 . C (Ùçolo dtDercnzl u./e per fum:i o nt d i Ima tlariabuc

" t,

I{x l

=

-.:1: ,

O' Fi&ura 8 La f ,mz ione Il:1 'O(nl è de..ivilb ile in

::t:

= O.

Tuttavia i lim iti de;;t To e s inistro d e l rappo rto incTcm e nla le d i in (O, O) il g r a fico prP.lienta "u n angolo" . La cirCf"JSl anzll merita. una defin izione. Siano Hm

h_O -

f : (a , b) -

In..

n;t·I.ht 1(%0» )

IO E

a llo ra.

(n , b) . Se esiste fi nito

Ixl esisto n o

finit i e

~

lim

j ("'o +h )- n" ol

11_0+

"

( o ppure

f si dice derivabi le vllllr, destro (o ppure dalla sini~tnl); .

il limit e si chiama d ~rivata des tro (opp u re simstra) e si in dica con il si mbo lo f :" (x o) (oppure I~ (x o )). Xe. 1 caso i n cui f s ia continua e deri vab ile da destra c da sinistra (ma non d erivabile ) in Xo s i d ice c he I ba un punto angolo.90 i n x = xo. Dunq u e , Ixl ha un punto angoloso in x = o. Vale la. pen a r ico rdarc la form u la che esprime !iintctie amentc la d erivaLa dellu fu nzion e ...-alore olLO 1.a. regola , insie me alle altre d ell 'a lgebr a d elle derivate, occorre imp arare a 1led ~ rc una funzio ne co mplicata come co mpOb-lzionc su ccessiva d i funz ioni p iù ~lOp l i ci . P e r ind iv id u are le comp onent i p uò essere utile immaginare come si calcola la fumdone composta mediante una ca lcolatrice tascabile: Esempi 3.5. Si .... oglia d erivare

w (x ) "" (si nz )" Per o:;aknlnr la, o("o:;orr-e in...::rirc: il v.. lo~ d i :r., ':lÙc:ola re sin I e poi elevare t utt., a l o:;ubo:

Posto

J(x) = sinx, g (S' ) "" ,/

si ha " Il ota

IL'

(x )

=

9

Cf ( x »

. PertD..tll.Q:

w' (x )

=

"Usando la (3. i) "i scriverebbe y = si n x , dm = dw . Cgtlellt.~ esempio mette in lu ce le possi b ilità di calcolo c on nesse con la fOrluul a della catena.

Esempio 3 . 11. Un j;o n tenit o re cilindri.)!) COli r1\ggio di I>AAC R = l Hl e altezza 3 m è pieno d'acq ua.. Da un rubinetto p OlStO in p r(If,i,illl ità d ci Co nd o vengono prele....ati lO litri a l m inut o, (fig. 13 ). C o n quale veloci tà.l· .... l t.(~"l!fI. llcll 'n.cq ua decresço:: S ia h l' a ltezza (in dccìmcui ) d d l" "l>lonna O·n.cqua ~ V il 0;"0 voillme (in dm 3 ). Vogli amo t rovare dh/,h . .snpc.,; ioni ad aver e questa proprietà.

3.3 .

=

Derivata di funzione inversa

Siallo f : (a , b) ..---> (c , d) , invcrtibile e 9 -= 9 sono legate dalle due identi t à.

g (f(x ))

~

J- l

la sua inversa. R icordiamo che

x

Vx E (fl., b)

!(g(y)) = y

'ty E (c., d)

f

e

c

Se f è derivabile nel plUItu x c f'(x) i=- O allora vale la jO'1""fnvù,

,I

l TW

9 y) ~

OSS€rviamo elle, assumendo la derivabil it à dì x ., dalla regola. della calena:

f

1,

I -l

è derivabile in y

J(x) c

(3.9)

la (:U l) segne subito dall' identi t à 9(f (x ») =

9'(f(:1:) ) ' l' ( x )

=

da. cui , se l'(x) cf- O, I" (3 .9).

1

D

La ( 3.9) ha u n semplice s ignificato geometrico, ricord ando ehe i gra6ci d i f e 9 = j - l sono si.mmet.rici r ispetto a lla bisett.rice y =:r ( 6g. 16) . Con l a notazion e di Leihnb-: , posto y = ! (x ), x = y(y), ( 3.9) :;, scr ive nell a forma

dr dy

l

dy d.T

(' )

Cap iwlo .'i. Ga1.r:olo diJfr.nmz lUl" per /unzim .i di -una l'QT'1 abil"

224

@

i S-U8- 0TII4T..,s

" - hZ!:

_ _ __ Figur. 16 Gli a ngol i

l' ( x ) =

(>

~;II )

4 "'+: +

4D

2" 2.... ,,..

G)

log 213.r '

G')

xr ioo< x

Q

log !logxl

225

D illloo trare la regol a d i =Icolo (3.5); d edurre poi la (3.3) d o (:1.2) c (3.':'). SCI11lf~

ED

e

1'€q tw-2ion'-

! (:1')

dell(~

= i>iu x, Xo =

.-.cita t ... 'lJlc.r.le al gro.ftco di y

"i

=

f

(:r.) nd

p U flt O

(zo , f (.:ro ») :

tI)

J (:r: },.,. (x log IxiJ 3 , 2:0

=-)

I

(x) =- 37.~ "'2x+ 1, ::t:1) = 2

o

I

~

I

{x }

ED

I (x ) = e' , Xo

G)

! ( x)...= a~ , Xo = 2

f ( x )"" e-I .."

m

o

Q ua l è il tasso di wl.l"iaO".io ne dc i vol ume di u m .. .q[t,..a r Lsp" U o al >;u o r aggio? E rispetto

=

lo@, x , 7. 0

=-:

l

(x) = CffllngT.,

.,

X I)

=~;.

= log 2

Xo = -1

;;rr'arcl' d ell a ~;u a !:>uperficie?

flD

I II lU ' Lr iangolo Ì-f;ooscele A DC (v. fi r;ura) il ve rtke C s i muove per pen d i{;ole.rmen t.e wla b wre A.B iII modo c h e 1'''.H'a del tria u golo crCS z

(abbiamo applicato il teorcmi!. dc lla perman enoo;a d",1 !jCgno, (;ap. 4, par. z

Essendo

J

>

x

=

fV) - f(:r. ) < () z

derjy;u della retta tangent e al g r afico di f nel punto ( c . f (c )) . La (4 .1) esprime d unque il fa tto che nel punto

Cc, f(c)}

ItL tangente al grafico d i

f

è p ara llela al\ll. retto. AB. In figura 20 csist orlo due di t a li pun ti , di ascissa Cl. C:t.

Capitolo S . C a kolo d iff"-"1""nziaIc pt' 1' fun z ion i d i a n a variabile

230

Dimostrazione del teore.-na del ..,alar medio. O sservi«.fflo c h e la retta A B h a equazion p

f(a ) -'-- f (b) - 1 (a ) (x _ a ) b a e com;ider;arno la funzione

w(x)

t.:

=

! (x ) - [ f«z ) -l !(b) - /(a ) (x -

b- a

fac ile ve rificare che: w (a) = w ( b) Poiché

al]

O. w è cont inu a in [a, hl e .u è d"wi va b il e in (o, bl.

=

=

u , ' (x)

f '(x ) _ l (" ) - f (u) b a

la ( 4.1 ) equi val e a di m ostrare che c;;Ìstc c E (a , li) t ale c he w ' (c) = O. E ssen do W c o ntinua in ~a, l' Cl' il t eor en18 di \ \'e ierstrass e s istono du e p u nti

ò:.

Xl

C

X :;..

in

[a, bi t a li che ! ( XI ) =

m assimo d i

f(x ,, ) =

m ini m o

•.

f in ['L, bi = Iv!

= fJl quind i U"(x ) = 0 ,

di f in [a , bI

Se lvI = m aJlon' w(x ) " . ,,-"" tan te , Vx E [a , b] e Vx E [a,b]. Se II·! > 111-, a lm e no UnO d e i due p u nti Xl , x~ n on;;; trova agl i estre mi dell 'interva llo , essend o w ( a) = w(l» = O. Il !.corema. d i Ferma t imp lic a a llora cloe nel pun to di m n.." "im o o min im o c he ri,,; ul ta i.ntern o (eventu ahnent e en tr ambi) la derivata di w s i a nnull a e il teorema è ('" (lSÌ d imost.rato . D Esempi 4 . 1. Sia fe z) = X2. Allo ra l' ( x } = 2x e il t. .. orc ma affe r ma che in ogni intervallo [a , bI esiste 'u! Iltunero C t ale c he

o

da c u i

(; =

I

_+b 2 - =.

-

,1

. d u:a . dI. (~ e b ,Tj.ed fa (:ln.trn

I

B

;'

,l'''

!

Cioè: ogni corda A B della p arabo la y = X2 io purall cla .... ll a. t angente n e l p unto di ascissa u g uak alla m edia aritmetica d e lle ll..'lCi..'1\ r isposta i, n o: s i p uò solo afflT!U"'.rc che è costa n t" su ci&"-Cuno dei due inte r valli ( U, ....:-cx.;) c ( - 00,0). P er sapere quanto ..aie , è s u fficiE'llte calcolare f in Un p unto '" comodo " d i ciascun inter vallo, per '>SC Iup io :

J (I)

=

an;t g 1

+ l.

prima " i direbbe che

x =

l

~

v 2

. ..,

l'unL()

d.

1 IlI>\.SSÌmo locale;

;:t;

=

i:I punto d i m in imo 10""..1 O

(Ora la variabile x non" un intero, ma u" llUm€rO r">l.l" I). Calco liamo:

f' ( x ) ~ l - Io$';x :s o x~

per x

2':

c

Xe S€gl '" che f € dcen,,,ceIlte p e r x 2': c ; di l la successione a" alm ello per n 2': 3 ( il primo illt e ro > c) .

f (n) è d€Cre""" flte

236

Cap ito lo 5, Calc%

d iffen;;ltzialt; per funzioni di

L' n 'appli

la

~cg uellt ..,_

una ~}U-ri{lhile

,~ &_ "H_07 :S47'· 1I

Si vog lia " tt,di ilTe il c a rat. tere d e lla 6< >-

~ ( - l )" lo~ n

L.-

n

"""

S i t.ratt a di una serie a segni a ltenIi: poid", U n = '\ ," ,; p 0.5 it iva , illfì lli t es i rna "' , per qu ant o appena dim05trato, m onotona deere."Cent.c, per il criterio d i l ,ei bnitz la "erie cO llvergc . Senza d i m ol.zio n e .

• lnscrivcrc in u n cono circola re J""etto d i a lt ez:L.ft il e r a g gio di b a..egmenti AP R . L 'eq uazione d ella ret t a AP è y~

l

- -(x -a) 2- a

S e a > 2 , la retta interReCa il ~rniasse p osi ti\'(l delle y n el puuto B La lungnezza del segment o A D , ria. minimizzare, è data a llor a da:

.'

!- (o ) =

V

a2

"-a---,

+ (0::"-

2)

P oiché la rad ice quadra ta è u na funzionI'! crescent e bas terà min im iz:>:ar c il su o a rgomento

a> 2

@

8!l-03_0T ~47_ S

4 . Il teorema d el '." , Ior TTlnlù) e le

8""

241

CO/l.5l /lgue1l.""

S i ha

T/ ( a) = O p e r (a - 2 )3 '= 2 cioè a =- -Y2 + 2 . che è p n nto d i minimo come f acilmente si veri fica. La lunghe7.7.a m i nima è qu ind i

Es.. 4 , il t ubo può p assare.

Il teorema di de l' Hospital

C na notevo le applicazione d el calco lo d ifferenz iale si ha nel calcolo dej limiti c he si present.ano nelle fo rme d i indecisione [g] e [ ~ J . P recisament.e s i ha: Teorema 4.5 (di de l ' Hospi tal) - Sia no / , 9 funzioni derivabili m un inler'"l)(lllo (a,b) con g.!!' f=- O in (a , b) . Se

i)

hm 1(;1:) x ---+ " I

ii)

Hm

=

=

lilll [I (x)

O

0< 4 " i

f' (x )jg' (x) = L C

m"

"'---+a+

A llom l illl f Cx) , ___." i- g(x) 11 t eorema continua a 'Ina.lere ~ a = (anzic hé p er x _ a- ), con b :S +00.

:x;;

=

L

op pure s e s i col1bidera il li rnite per

;1;

-4

b-

Dimostrazione. ;'-;cl calSo f (x ) g (r ) ---+ (l. 1)3 r.,mo p ri ma un 'idea in tu itiva. ( m a no n conclud ent e ) de lla dimostra" ione, e p,o i mostrerem o CO me la s i pOSlO8. ren d ere rigorOEa . S ia x" una "accessio n e tenden t e ad a-t-; prolungh iamo per con t in uità f E' 9 in (L ponendo f (a ) = g (a ) = O. A llora

f( x n ) g (x" )

f {x ,,) - f (a ) g(7,,) g(a) -

(4.5 )

Se a ppli chiamo a f. ,q separatament e il t eom ma di L agrallg;e sull' intervallo [a. , x" ì, otteniamo c h e l ' ultimo quoz iente scritt o i; uguale a,

f'(t")(x,, - a) a) ,Q 'U :", )(x n dove L" , t;' :;ono due pu n t. i op p o rtuni cl!{~ cadon o Il ell' in terv-d.llo (a, In ) . P o içh é q uan d o In ---+ O anche t" e t;' ~ 0, "',mbl:l. "ragi o nevole" che il limite del quozie n te d i t' l g' s i a nguale al liIT\;t e dd quoziente //.q , Tu t.t- ;.vi", q Uffito non xi può atkrn >are rigorosament.. , pe rché le E,uce,,",sioni t", t;' &Ono a pr io ri d iverse lr a loro. P er aggirare il pmblema occorre 1l1odificare leg;germentc l'argoment.az ione scg;u it.a . R iprendialTlo du n q u e la dimostr az io Jle dalla ( 4 .5\, " d e fin iamo lI{x) _ JC :",, )y{ x ) - g i x .,)f{x )

CapitolQ .5. Calcolo d.Dtnm",ial f'. per funzwnI di 1.i n:l,y ,,+, ... (x· s in r )'

. J) m

~

Ii I"

l - col';Z:

----

"'_+.,.,. 1 +

COSX

2'4 S e conclllflcssimo che il limite d i parten:.:a n on ~istl:!. di r en mlO il ffl.lso (q u d limite val ... I). Il pu nt-o è ,-,h(, se Hm I); J nO! , (~iste (Jlé finit o né infini t o) , cade ""ti, delle ipo tesi del teorema,

"' ~ ·"'H ~

C iII b'L'1C ad esso no n si p uò :'!Cm plice mcllu, coucludl:! re nuUa .

Esen::izì Dopo al..~" $tabiliw l 'insieme di d~fini.zione d e lle se!Jtienti funzion i, dl'tr.rminarn., i p1mli d l m.a.ssimo " .ruuimo e tra=tal-n,e .!'t)mmaritJmenle il grflfiço.

CD

""2,,.

:ione geolllCt rica. della convessità, che p otren w dhnosb n rc in seguito (par. 7.4) coinvo lg e le r €ttc t.mgenti a l g r afico della funzio ne :

Un afun::ionc .f( x) i; conllt'ssa (oJncava) in (a , b) se e S% He cOTnunqW'; 8i scdg(). un pun l-o IO E ((l,b) si h a che il grafico d~ 1(:1:) s i man tiulC in tutto (a,b) s opra ( sot/.o) il gmfi-co dd la HllU T"CUU ta ngente in ( :1:0 , f ( x o »·

248

Capi tola 5 . Glllcolo dijJernuiale p"r f! O per:t > 0, la funzione è cre;cenl.C per x > 0 ,

dL'CTescellt e per x < Q e Ila. U 1I jl1mt.o d i ~in imo in :z: = Q. l " (x ) = j 2x~ 2: Q l"M.: r ogni x, q " indi la fu nzi

/ / /

,

/

x

5 + "'-:;1

/

..

/ /

Fisura 38

Esercili Stud"'rr. /",

_~egue"h

}1.m.rioni, utilizzando i stl..qgerime•• ti f orn i ti, e tracciarne il grafico .

-,_,/X+:l e

V a:_2

Sl.Jggerimenl-O . Ci a.~ pcttin m o: fI~ a tangente v erti ca le do,'c 0;; annulla il n u.J i" ... ndo, Il.Ilint Oto vertical.. d ove s ì 8.1luull n il dellOlll inatore.

X? --:-- X- 2 2x+ 3

I

i l

S!.ygerimento. Ci 8.'Ipcttiamo: punti angolosi dm·-e " j anllulla il numc raton' ; asintoto vertica le dove si "",,,,Ila il denomiTlu t oT(:. Con .... iene st u diare la fum:lon ~ senza mod"l" e poi ...

Nei pUIni 111 c u i lo. fuDziom: rum è d e finit a ma ha limite (d Htòt ro o s inistro) fi

0 0

+

(x

2

+~x

;r. .- l

-4)

, 2 .- -'"-1 ~ -"

~ -- t

c~

,

., ~

logx

log :r

.ç'r - 1

Le segu enti funz ioni, tra ite do. moddl, 7'{".lI li, con t engono qualche costant" o pllflm-wtro. Trucdarne il grafi= qlmljtatù;o ,

~

(Cnn", laqistica.) . S i t mee; , al wrriare del param et ro k , il g rafico della curva

N (t)

kNoe'

=

Ck-~,'~""""'-'\c,c"c;,

d ove 1\'0 è una costan t e positiva, (Questa fun:z: ione [appresent a., sotL" o p portu n" ipot es i e in o p portune unità di m isura , il numero .) = ehei ",.r

l

(h, c, k cost.an ti pOl!itive; T =tempe:rlLtur a :J.S.'\OluLa , p,,"rlLmetT"Q posit.h..,. À =I un )';h ezza d'oll '" da). Se ne f:Ompleti ora lo studio ...... !colando la dcriVlltll. p rima e ditnnstra lldo che il punto di massim o di I e:wJe (a l I N H o (} ( f) 1'/111I!.olo [oruw\ .. d,,1 fil" ... ", la ,·t>rti c alo; a ll';s t.'l!Jle I, la f"r, ,, :.t::t>file ,ILi t" ' IlIO u (>[) " ,!i p ' 7.ior>fi' """o i> - Il'!I" " O i v . fig li ) !l '"lno cant, o> q Uei' " f",~.1 deve Il)!;''' ..;liaro:, _ pe .. la r rmda lel""':" ,1,'lla d j ..,\ ", il ''I . il pro dot. , .. dell.'l. mM."\I, 1>1 " r a c celrrazi• •,w, pari a II>"}" Si oh ;t',,,, 'l''; nd i l'l"Qu.ll' '01)('

cl,.,

,w-

miti"

- tJlg

~ih

11

8" l','ro '-oSli,,,,,,,

_o, '"l i,'1 '"

~"1,,

I",

p:«" ,'~ ,-,_·.-.i{"Ol 'J f!!

d· .. 1""1 _

1 - cosx ""' "2l X2 , qui n d i l - COSI

+ o(x) ; l 2 + = "2X

R ifle t tiamo sull' u ltima: l' u g u a glianza 1 - COS X = !x:i nella forma:

+

o (I ' )

o (x 2 ) Ri p u ò r iscrivere

COSI =

(7.6)

(que~ to è ovv io: a b b iamo spo stat o dei termi n i d a un lllCmbro a un altro di u na \Ig u a ghanza). Not.i amo, i nvece , che la relazione asintotica l - cosx '" ~X2 n o n d ice la stessa cosa della r ela:z.io n e cos x ~ ] - }::1? 1n fil.tti , p er I ---> O. l 2 4:1: .~ l , perciò la. ~ ti llla co sx,...., ] - ~x ~ cont iene la ste~a Ìnfo rma;.;ione c h e d ire senlpliceUlente "cosx --. l ", cd è all. r ettanto vera che la stima CO!:iX ~ 1--'- 40X 13 ! Quest.a osservazio n e Hlostra u n va n t aggio del sinlbolo d i "o p iccolo" ri~p etto ti q uello di a':ìinto t.ico: un'uguaglianza si può risc rivere i n vari modi, è piil facile d a usa re :senza e rro r i, ris p etto ad una s t ima asintotica . P e r ese rc i zio, i l lett o re ri~cr i va med ian t e il simbo lo d i "o picr..olo" i li m i ti n o te\'oli cÌle ri g u ardan o le funzio n i ,,;1 ..... x, e"' , lo g ( l + 1:) , x"', per x ........ o.

7.3.

Formula di Taylor-Maclaurin con resto secondo Peano

Vogliu rllo ora. gene ra lizzare il proc;edi rnen t.o di "approssi mazione per lincarizzaz io n(:" a q uello d i "approssimazione poli nolnia le ". I n a lt r e parole, ci chiedianlo : d ata un a fu mdonc, de ri vabile t utt.e le voH.p. r:he Sl:irà necessario, csist.e un polil\Qmio c he. nell ·int.o rno d i un pun t o fissato , tLp prossima la funz io ne m e glio della sua r e U.a tan gente?

262

Capiwlo 5. Calcolo differenziale per funziom di una variabue

@88-08-071'47_8

L'esempio (7.6) della funzione coseno si può rileggere in tal senso: la funzione cos x è approssim ata d alla parabola y = l ~ ~X7 m eglio che dalla rett a tangen te y = 1, per x --+ O: infatti, lo scarto tra la funzione e questo polinornio di secondo grado è o (x 7 ), cioè tende a zero p iù rap idamente d i X2 (e non solo più rapidamente

d i x).

, ',5

0,5

-,

- 3

-,

O

3

I

-0,5

-, -1,5 Figu~a 42 La f un zione cosx ~ il ppt'"ossimilta diii polinom;o 11 = I -

!z" m eglio che dali .. rettil 11 = L

vicino ad z = O.

Per semplicità, cominciamo a ragionare n e ll ' int orno del punto Procediamo in 2 passi:

Xo

=

O.

a. Indiv iduiamo un polinomio "candidato" ad approssimare bene la fun zione, cercando un polinomio che abbia t utte le derivate fino all'ordine n uguali a quelle di f (x), nel punto x = O. Affinché q u esto sia sempre p ossib ile, il grado del polinOIn io dev'essere almeno n. (Infatti, la derivata n~esima d i un polinomio di g r ado minore di n è id enticamente nulla., q uindi non pot rebbe essere uguale a I{n) (O), in generale). Facendo i calcoli , si trova. che:

TeOl"ema 7.3 ( P olin omio di MacL a urin ) - D ata una funzione I derivabile n volte in x = O, esiste uno e un sol polinomio di grado < n , chiamiamolo T n , con la proprietà che:

T n (O) ~ t (O) , T;, (O) ~

f' (O) , ...

, T~n) (O) ~ t,n) (O)

e questo polinomio, detto polinomio di MacLaurin di I (x) di gmdo n, è:

T ... (x) = 1(0) _

n

-L;

2 + xj'(O) + .!.x 1"(0) + -; x3/11/(0) + ... + ...!..-x'" 1("')(0) 2 3. n!

l (k)(O) k! X

=

k

k=O

(avendo posto

1(0)

= f).

N otiamo che il p olinomio T" assegnato dal teorema precedente , soli tamente è proprio di grado n, ma p u ò avere grado minore se I(n ) (O) = O.

@

7. Calcolo dilJerennale e approSSimazioni

1111-08-0 7""'7 Il

263

È interessante osservare la coerenza dimensionale della formula che assegna il polinomio di MacLaurin: supponiamo che / abbia le dimensioni di una lunghezza [L1 e x abbia le dimension i di un t.empo [TI. Allora 11'1 = [L ] . [TI-l, [/"] = [LJ· [T] -2, e in generale [/{k}] = [LI· [T}-k. Quest.o significa che ogni adden do

!(~!(O)xk del polinomio T,., (x) ha la struttura (costante adimensionale)·(fattore di dimens. [LI·[Tj-kH fattore di dimens. [T]k) Perciò il polinomio di MacLaurin ha le dimensioni di una lunghezza, esattamente come la funz ione / che si vuole approssimare. b. Proviamo ora che il polinomio t rovato approssima bene / (x), di x = O. Precisamente, vale il:

ID

un intorno

Teorema 7.4 (Formula di MacLaurin all'ordine n , con resto secondo Peano). Sia / : (a, b) _ Hl. derivabile n volte in O E (a , b). A llora

f(x)=Tn(x)+o(x") perX_O La fonnula precedente si dice ''formula di MacLaurin di omine n, con resto secondo Peano ". La formula ha la struttura: funzio ne da approssimare = polinomio approssimante+errore di approssimrudnnp. dove l'errore di approssimazione è il termine o (x n ), detto resto secondo Peano. Per x-O, il resto secondo Peano è tanto più piccolo quanto maggiore è n. Lo spirito della formula è dunque il seguente: conoscendo un numero abbastanza alto di derivate di / nel punto x = O, si può approssimare sempre meglio f, in un intorno di x = O. Dimostrazione. Proviamo per semplicità il teorema nel caso n = 2 , ossia:

+ ~X7 / " (O) + o (l?)

/ (x) = / (O) + xl' (O)

per x

--+

O

Occorre provare che

/(x)- [/(0) +x/'(O)

+ 4X7/" (O)] =0(X7)

pcrx_O

ossia (per definizione di "o piccolo n ) che:

.

hm

/(x)- [/(0) +x/'(O)

",-o

'"

7

+ 4X7/" (O)]

=0.

Questo limite dà una fonna. di indetermillazione [O/ O), che calcoliamo (:on De L ' H06pital:

r

.,~l),

f' (x ) - 1/' (O) + xi" (O)] 2x

dà ancor a una fonna [O/OJ. Applicando una seconda volta De L ' H06pital

.

hm ._0

f" (x)

-

2

f" (O)

=0,

ot~niarno:

" , 'lripot es i c he l " Cr) siI'. ;~; '{\" olare f'II.,i!1ll1·. ma qua bi;,.,.... i r-.lllZi IH'

Ad C5C"JJ1pio,

)Wl".I;

_

0,

x't -::

266

Ca p i tu /o 5 . Ca/co lv dijJ"reTlzirJ.u, pa"

J1.I. ...zio ni di

una variabile

alcune propriet à de lla relazio ne di "o piccolo " che p O&;io ne di Un " pallin a flB! O. L 'approssim a 7.ione cosÌ o t t.enu ta è per CC{~..; imamlo fi i" x

Dimostra.re , sfruttando la dcflui"iolte dei simboli di "o piccolo" e d i ~ asilltOt.iCO", t.utte le propridà e n u n c iate nel paragn..ro ~ P roprietà d el s imbolo ,Ii o p icco lo" (v . pag . 265-6 ) .

e

Nell 'esempio 4. 5 (di ffraz ione della 1m:.:) at t raV€TiKl una fenditu ra ) abbia m o v isto c he la r icuGa dei mas simi dd l ·in tp nsi t.a lumin osa ndl a fig u ra. ,l i interf« r! '''z.a per la l'..'e c he attra vcr"a una fendi tur a porta Il riso lvere l'equazion e t.g t = t . Calcolare co l met odo di Newton u n vBlore appro&Simato della p ri ma ~,l uz ione positiva di t ale eq u l\.Zione, d . e s i t rova «(:o me mostra il BTafico) (>0(:0 p r im a di ~11". (S-ugg'~Tirn"nto : applicare il metodo a lla fnn.,;ione J(t ) = tgt - t s ull ' in t ervallo [~ 1:", ~,, - 0.1], \l5ando come valore in iz ia le a = ~1f - 0.1. Calcolare Ic it e ra.te COn l'a.iuto d i li" compul.ii"

':9

B8-ù6_0T~ 4T_~

Hm z ~ ,

"'-,

Cl)

+ 2x + 3

lim

x'" (VX2

hm

(Vx2+x + f ·-- x)

"' _+00

- :1: - l)

Sv i lu p par(> i n ,.c ~i e di T aylor in \Oicinanza di

•

l

10g( 1 -+- COSx)

r

= O all 'ordino .'5 le seguenti f U!l:i.io n i:

X

l

c o~x

G

Se p O), s i d ice O dcii I' SSSOllO C&'!ere u ti lizzati. P rovare a r ifare g li "" crciz; ,).4 ,56 , 57 , W , 61 , 62, 63 u tili z zanùo opportunamen te g li svilu ppi d i Tay[or.

C

( Dimostrazione d e ll a for mula d i TayJor ) _ L a (7 _7 ) può ('''-' con resto secondo Lagrange: p er ogni intero "Il ed x E lR esis t.e un punto r; , compreso tra O e x , t ale t:he Xk

n

L: ~r

eX =

:r.n

+ -, e C n.

k = O.

F issianlO ora x e faccimno tendere "Il a --+-co. Il p unto c può variar e c o n n ma, essendo senlpre COTllpreso tra O e ;c, si può c o munqHe afferIllarC che

{'"

e" < I n ogn i ca:;o, per x fissat o e n _

l

'

+=,

se x

> O

se x

< O

e" si mantiene limitat o, m entre

xn


ò -

l segueIlti criteri permettono di decid ere se un integrale è convergent e o d ive rgente, senza. calcol arl o :

• Confronto. Se O :$ J (x) ::; g(x)

(a , ti ), Jl.lIora

integrab ile

=

f

illtegra b ile

n o n integrab ile

=

9

non integr abile

9

! f

lfl

I nfatti , p er la p rop rie tà d i monoton ia d ell 'in t egrale , s i ha.:

o < lb - ~

f(x ) dx::::;

"

c

b -

g(:r )dx

a

c, p a.'lsaIHlo a l li mite per IO

---+ O ~,

• C onfronto asinl-otico. Se

f >

II

l

s i prova l a t esi.

0, 9

> Oc f

integ rabi lc

- - ----;-cc--:-----:------:~

• ;

l

1 -- 6_ C a lOO/Q 1I'Itegmle JU'7 funZ'iorlj. di ""a variabile

ft

~dx = log N _ +ov oe N ----- -:-00, a nche

, t ;; -

+00 se l'l

---+

+00 ,

n= l

che d imostra Iv. divergeJl'l,a d ella serie a rmon ica .

• Convergenza della serie armonica ge nerali,un/.n per a 2 .2 , cap. ::I) c h e la serie

>

l. Abbiamo ,.. isto (pa r .

converge per (l' > l (e d iverge p er (ì : ; 1). L '8ff~ rmaz ione è ~to.La d imostrata Pf!r o; > 2 (confronto con la serie d i Mcngoli ). Siamo or a in grado d i dimost.rarla p er q ualunque a: > l. Il ragionamento è analogo a quello su lla scrie armonica, con le disugu a glia ll:ie in SCIl.";O invenm. Dalla figura 14 si "'t'dc ch e p e r og ni inl ero IV 'vale la d isuguaglianza

< -

i l

N

.'

d.

-

:1: 0

y

Figu ra 14

Poiché per

(~

> l e

}'1i

~

00 l'integn de con verge (per qUl1nt.o già \-is to), anch e

la serie converge (la s uccessione d elle somme parzillli è

Crt'.8CCll t e

e superiormente

lim it.ata). 7 .5 .

Criteri di integrabilìtà all'infinito

Siano 1,9 : la. +00) --IR.. conti n ue. P er dccjd~ re se un illtt'gralc C convergen t.c o meno, valgollo c ri te r i analogh i q uelli per l'integrale d i funzio nì illimitato.

1;1.

es> 1'''-U!>_()7 11 4 T _8

7. Funz;oni i ntr-'lfub i li, lnl"!J1"uil _q r:ncralizzat1

307

• Co n fronf o . S e O S f (x) :'S y(x) in [a , +=) a llora. i n t egrab il e

9

f

=

non int egrabilc

intebrrab ilc

9

non inteh'Tabile

f . . . ., 9

• Confronlo asintotico. Se f > 0 , 9 > O e

II

f

ifltegrabile

+=, allora

per x -

i u t egr a b ilc

9

I

Esempi

7.6.

L ' int tlgnlle

J

+~

.' f; -

d;;;

è convergente_ Infatt i. s i può !Scriv e re

> l si ha

Ossenria.!110 ora cliC per x D 'altra part e

x~

Per co nfronto ~ i dcd nce c he anch e I 1+

> x e quindi e - '"

00

< e. - '; _

e - '" dx è convcrg ente.

7 . 7. h' f (x ) ~ ~ p e r x

----> +00

e Quindi è integrabile «7.6) ,

eOll Cl

= 2 ).

L ' integrale I l è ) >cr!.ant.o ""nvcrgen l-e. 12

:

f (x )

~ ~

pe r x -,

+ .')0 e qu ind i n o n è in t egrabilc « 7_6)

L ' int egrale 12 è pertanto d ivergente a

CUI!

(l

=

1)_

+:x: .

PelOfunz ioni di segno q u a lunq u e s i ha ancora:

.l+"'" If(x) ld:r Se

li : è

convergellte

i ntegrabi ]C in [a , + =

) si

d ice che

= f

1-'-= "

f (x )dx

convergente

è assolutam.ente i ntcgmbilc in [n , +-= ).

Capitolo 6. CalCQlot'ltcgml~ pe r fWlZlon i d" Ulla "aria,'"iI~'_ _ _ _---,0 "

+ h , si

("'+10

I"

Cio è un punto opportuno tra x e x Abb iamo dunque

Se ora h

j(t )dt

e, usando la continuità di j, s i ha: loHm f (clo) _ O

=

f( lolim Cio) = j(x). _ O

Dalla (8.1 ) si conclude che il limite dci primo membro esiste e che

F'(x ) = lim F (x lo_O

che è la tesi.

+ h) -

F (x) = f (x )

h

D

Esempio

e.l.

S ia

F (z) =

,

f~ ~~

'f dI

(S I nOLi " he non si sa lI (' - T)dT

~ ~

L'integrale nella (9 .5) p rende il n o me di cantiolurionE di e c h c s i indica 001 simbolo (c ... h)(t.). D unque :

O f;f;ia : La risposta un sistema ltnl'.arc ad un qual1mqui! in,qresso e(l ) si ottÙ':ne come r.onvoltlzione con la rispul>ta aU '\mpt,[I)o di D ,mc.

"i

In generolc, d ate due fu nzion i f e ,q illtegr abi li in Hl si chiama prodo/.lo Ili convolu.zione, o ::;empliccment-e conuoluzioue di f e 9 la fun:d onc d efinit.a di'lU a fo rmula segu ente

. (f. g)(") ~

j~ _

+ '~

(!J.G)

/ (")9 (" - y)dy

f + [I 6; legge " f /:am ;nlunone 9" . F requentemente J e 9 sono nulle per x < O; in questo ea.

+

",2

a

e si procede al so lit.o m o do. Si not i che

b

)dx

duo! il imm ediato.

10.0.

Il fatt ore (x2 - X

+

I ) è irriducibi le. S i scompon e '

(:I:

+

x' + l)" (x~

x

ex -,- d x+

1)

e si i mposta lIn s istema d i q uatt ro equ"z ioni in quattro in cognite c h e risolto dà la scompos izione in fratti toemp lici . S i trovano CùO'>ì due illtej:';l ali di li pi d ", abbiamo già trattato .

• F unzion i razionali d i e"' . Dovelldo in tegrO'lle u na fUIl~.i one razionale d i e Z , si p o n e e? = t; x = log t ; d,t: = ~ , e ci si r iconduce a una funz ione razio n ale dì t. Occorre, alla fine , to rna re alla Hlxiu.b ile :1: .

Es empio _10.7.

,,0" 0 pari, si possono u sare le forrnu!t: ~ri gonoUlet..- ichc p l:lr l'abbassame n to del grado:

-2, ( 1 ....

CO:5

!

.

10. 9.

2 :r; )

(s in:l;)2

'

~(1 - cos2 x )

,

(sin x ) (co.'1:r.) dx

Si ver ifich i che d alle form ule preceden ti segue:

J

(sin X) 2 (COS x)" d r =

~

f

( - (eoo 2 r)3 - (cos 2x )2

+ {:(>s 2r +

l )dx

Ora : gli ad d e n d i cos2x + 1 h anu o integ rale immedia.to; (COfI2 x)~ bi ic t et,:nl Cemplice o un buon softw--drc a portata. d i mano.

Esempio

5i n x--Sc.:os:z:d!l.' 3 --L- 5in 3:

10. 11.

/

L ' integra le si scomp one n eUa so mma di duw l

si n :r

~

:1 +

/

~jllx

dx -5/

e ' JHX

J

+ &iDX

dx = l, ~ 5h

Il secondo è immediato, l, = log(3 .... Hi uz ) +c

Il prim o nOli è immedia t.o , lun p uò ''''"'lIti r/:id i" i q uad r ate. si dfett l!;1 U!la >,o>, ti t uzion .. sl?nd fud .r~ ,

Si pone:

L

(1

" in 1_,!.r

=

(l

("o ,.; IdI

:r ....

,ucosl j

( S" ~i sta c akolandu un intq~ral. , ']p fÌ ll ito ... i :-a d .. n , \~aria 7 . •' 'I ll iud i f : pen 'i , ; si può tog lif'r, ' il modulo rnett " l ldo il segno npP"ltnno ) L·iIl I, ' ~ r a l , · '.. q u i nd i ri'-'hN (I) e phN(t) . Perciò, la variazione dci n u mero d i individui in un tempo h sarà:

}'r(t + h ) - N (l )

=

>'hI\'(t ) - !lhl.... ( t )

Dividendo ambo i membri della precedente equazione per h a bbiamo

- N (t) ~ () _ ~) N(t.) (l.3) h Assumiamo valida la (1.3) per ogui int.ervaHo di tem pu h; p rendendu il1.imite d i a llibo i IOewb ri per h _ O abbiamo (ammesso c he la funzion e jV(t) sia derivabile) N (t

+ h)

I N(t) ~

(A -

~)N(t ) I

( 1.4)

La (1.4 ) è un 'equazione differenz·iale l i neare dci primo o rdine; il numero E = À - /.1. si c h iama potenziale biologi co. Sc ri vendo la (1.·1) nella forma ti.r IlV = E , si osserva che il tas.."'lO relativo di crescit.a (o dimi nuz ione) d i }\l è costante. L a (1 ..4 ) non a mmet te u na sol a so luzione, ma infinite; com e v e d remo, esse sono tutte della fOrIna

(1.5) d ove c è una qualsiasi costallt.e reale . Not.ialn o f'_"'lp licitarnente cosa s ign ific a ehe la (1.5) è s o luzione della (1.1) : se n ella (1.4) sosti t.uiamo n.d iV (t ) la sua espressione ce..: I , c a iv (t) la sila f'B jlressione cré t (c a lco lata dalla ( 1.4», ott.elliamo un'identità. Se si cono:;ce i l nUIHero di individui presen l.i i n un dato istante, per esempio, .N(O) = ~\ro ( condizione iniziale) s i può selezion are, tra le soluzioni ( 1..4 ) , quella ( unica) soddisfa.oente a lla condizione data: ris u lta così

[ N(t.) = Noé' I

(1.0 )

La ( 1.6) è una formula es p licita che ci com;ente di conoscere, in ogni ist.ante t 2: O (ma anc h e t < O) , il numero di i ndi"\"idui presenti nella popolazione; ci consent.e a n che di sapere come ::òar à l'evoluzio ne fin ale (t - +=) della p opolazione: essa t.e nderà all 'est i n zione (N(t ) _ O) se E: < O.. mentre cre5Ccrà f'_sponenz ial m ent.e se E> O. ~lORt ri amo come sì arriva a d et.erm inare le soluz ioni ( 1.5 ) dc ll 'equazione (1.4) . Antici p eremo così facendo, in un ca:;u particolare , un ragioll"l.lnent.o che vedremo più in generale in seguito. L 't..'qua.zione i l/l..r = E (e" g"ucnk ri ~\l 1I I di C'sis t "112 'Iziooe si in l f:grl1

Si

,lI (Uj :.... :2

,.... ri w~nd,, :

"",..-r\'i

c h., , ... r og n : ',,'o re , I. r E lH '·~:" t O IL " dllE' MlIH,,;nni Ic .... rTl"' pond,·llti ai dH" segni alla riul ice ) , .l'''i,,; t,, ~" I" pcr x 2: - c. Io I1)1o"~n '

"" ~ l- by

Il -Y by I '"

11 =

l

I = at+r;

= ("u e G

co.' tam." arbitro; la costan t e k s i chiami' capacità dtll'a:mbie .. te. Il lm:io lle d e ll a (2 8 ).

338

DIlp1 t oIQ 7 . Equazlmn d ifferenziali

@

88-6S· 0 1'lW1' · 1I

Abbiamo cosi , la velociti. :si stabiliz zerà r a pidamcnte Su velocit-il lim ite _ Oopo aVl'f ri ccnosci',lt o d i d ", ti po d i etl llHz;o ne si trnt.t.>:L, 1fL. s i r isolva , e s i (kt e rmini Lo. veloci t i~ lim ite _

~ Si .. T ( t ) la temperat u ra d i un co rpo ed 6 _ coota n t e la t emperatum nell 'amb ie n t e e5l" cn o . L a tem peratu ra del COrj>O ",i e v o lver à. 111 ba.;c a ll a legge ;

-1' = k{E - T ) con k > O Coo. t .... llte d i l":ond Llcibilità. R iso]-l.,\)rc t'eq uazione differenzill.le SOlto la n md izione iniziale T (O) _ To. Cosa s u ccede l'n t"rnpi lun ghi?

©

2'. Equazion i del primo ordin«__~343

S8_0 S- 0 T1'l47_8

m

Con~i dBrialIJ o u n IIluddlo di "i..cuito dettri,,,,) "on re»istenza R e indutL auz3 L cost.an t i ( pObiti .... c ) e una forza e lettromoh"iCt' applicat.a. variabile nel tempu secondo l" lp.gge V(t) A. sin ...'l CA,!..' costrl.IJ ti p'",itive) , l'i nten."i tà di corrent" I (t ) sorld isfp.rà allora l'equaz ione: LI '

- RI

=

+ A .. i" wL

R iBolverc l' ''qu.'l.zione e detenninare il l'E'gime p.nITHU",,,t e di ! ( t.) (cioè, I(t ), L'addendo che n OlI tende a "cro per t --;. -i-x- ) .

(!)

neH'j>jione

di

Si consideri il prob lema di Cauchy:

Y' =iYY

{

y (tu) = 1/0

a} In ba.'K' al teorema di .'tiiHenza e un icit.à, si dies per qUi'li ....alor i di ~ ,Yo t.ale problema arnmeU c cert:unen!.c una e lIna Rola Klluzion e. b) S i determi nino tutte le soLuzion i ddl"'''lU b, a < b. 'Ih,,~ci are infin1 tipo [O. H,TI, m E N . S tm liru-e il compo r t m u cn to a.~intot. ; e() di ,,('il I ) p e r TU -- . 00 r ,Iimoot rare che E'6 ist e una c onee" t razione !iII! i te Cc.c .

G>

Si deter minino le Cun e y = !I("' ) tali c h c il .segrrlento di tangente che uniEce il punto di t aag ' )fI7.a T al p,." t,.o r d i int ersezione con l' a.s.se x ug llag lia i l 5e~me!lto cll.i sot. t.o!; p azi, cit ato n e l c a p . 2 , par. 3 .1) . S i indica con Cl (I ) l'in:,;iem e dì tu tte le funzion i d eriva'-'ili in 1 , con d e rh-at a ('.()IIt.i nua (2) in I . Notiamo che Cl (I ) C C (I) (hP. Ima funz ione è dcriwl.bile, allol"a è continu a ); rli p il'l, Cl (I) è u n sot.trnlpazio di C ( I):

se fa, h E Cl ( I) , ogni lor o combinazimlp. linf'..are Àdl + À 2 h è deri va bile; inolu'e (Àl fI + À2 h )' = À d~ + À'.d ' è continu a ( p er ch é comhin azio ne lin eaN,l d i fu nzio ni con t inu e ).

11 moth'o per cu i è 1\a1.lIl"l\le considerare lo spaz io Cl ( l) e non, più !;cmpliccmen te, lo spazio d e lle fu nzio n i d tl riv-abil i in I (~enz a l' ul t.e riore richies ta d i cOliti nui t à d e lla. d er ivata) è il seguen te: se 1 E Cl (J), a llora. J' E C (I). P'Josiam o a llora considera r e l'op er a t o re di d~r i "'aZ ione come trasfo r ma:.do ne d ello s p azio ....et.tol"Ìfi.lt'! C I (I) in C (I ) : D , C ' (1) - C (I)

D: J .......

f'

D i V IU, per la li n earità. dellA de ri va ta (OSf;ia il fatto che (Àdl + À"l. h )' = À1fl + À2f2) ..ro:soiam o d ire che l'o perat o re di derivazione è una t.ra.'lformrudone lineare t ra. gli :;pO -

:J; ::;

O

(~) A Ue n z;on" a u nu €qui' ·or ll.1"e: se I è der; va b il(), I è cet"t O costante di elasticità. L'equazione si può riscrivcre dunque nella forma y " +w~y

=O

con ,,,, = k l tn , e prenrl ... il nome di ..qua.ril>'U" d ..ll 'oscillato ..... n.rtnoniN>. F: " n 'equazione del secondo ordine lineare, omogenea, a coefficient i costanti. Se sul punto agisse una forza esterna (dipendente solo dal tempo) che ne sollecita il moto, l'equazione si scriverebbe: 11"

+ "/11 = Jet)

(dove! rappresenta la forza per unità di massa) cioè non sarebbe più omogenea. Se il moto fosse smorzato da una forza d 'attrito proporzionale aUa velocità, l'equazione sarebbe 1/"

+

hl/'

+ w' y

= O

con h c06tante positiva. Come si vede, tutti questi esempi sono casi particolari dell'equazione (3.1) . Notiamo anche che, in questi esempi, assegnaTe le condizioni (3.2) significa assegnare la posizione e la velocità del punto materiale in un istante iniziale l{). Per questo motivo ci si riferiJ:>Ce spesso alle (3.2) come alle "condizioni iniziali" . Se il coefficiente a2 (t) nella (3.1 ) non si annulla mai, di videndo per questo si può riscrivere l'equazione in forma n onnale:

y" +a(t)y'

+ b(t)y ~ j (t)

(3.3)

Vale il seguente risultato generale s ul p roblem a di Cauchy per le equazioni lineari del BCCond'ordin e in fonna. norma.le: Teorema 3.1 - Se a , b, l ,sono funzioni continue sull 'intervallo [a ,.B], to E [a, e Yo , YI E IR., il problema di Cauchy

y" + a(t )y' y (t o ) = Yo { y' (to) = Yl ha una e una sola soluzione y (t )

E

+ b(t )y

~

.B],

jet )

Cl ({a , P ]).

Come al solito, ta.lc soluzione sarà individuata imponendo le condizioni iniziali nell'espressione che assegna l ' integrale generale dell'equazione (3.3). Il problema è quindi capire come si scrive tale integrale generale.

~48

3.3.

C apitolo 7 . .8quazimà difJennziali

La struttura dell'integrale generale

Abb iamo visto che un ' equ azione di fferenziale lineare del second'ord.ine si può scrivere nella. fonna

Ly

= f

dove L Cf2 (1) --+ CO (I) è un o peratore lineare t.ra i due spazi di funzioni. L 'equazione L y = O !òi dice equa z io n e o m o genea as ..sia nOTI sono u n a. nl u lt,ip lA. d ell'alt.ra (o anche: il quo:. r;"" lt"l o sen,,« """.re i lluu",n (·olnple5---' . " " " "Oluzioo'" :

my =

- ky

cioè

.. ,,-', y = O y+

(3 .17)

a vendo posto u.-' = ..}k /"rn, dove k > O è la costa.nt.e de lla m olla, m la ll18SSI:l d el punto . L 'in t e grale generale della (3 .17) è : (/.) = t :l coswt --;- C2 s i nwt (C l, a rbit rarie ) , che s i p uò anche scrivere nella forma , più signi ficat iva

,,,,,,de,, l

ti)

R ifa .... di e~en-j ? i '"tlntemLl i m'gli , '.~empi :U'-3. 10 u Lili;r.;r.an{!" il u,elo< J" , Ii ,al ·i ,,-;.ionc . kll., Cù"t;lI!ll . a nzid,.; il :TIE'I ,,,I,, di ;,:.n"l:li"'lZa

,' - 3,; {

.- .1"

,,{\I l = l ,/ f ll)

2

"

364

e

Capito la T Equ azioni differenzia li

@

H.ìsolvere il segucnw p ~oblema di Caw :hy :

u" +3u' +;ion('; scr\'i::I.u d o l.:he

= nl 1 . u "" ----+ cc. L'and a m e nlo d ella succe..;.sione {t/ le } può cs~re "'isu alizzi\to ricu rrendo a diag rommi a !f711dini come quelli delle figu re segu enti : sulla h isct t ,·ic:e s i colku.:ano i p u nt.i d i coord in ate (Yk' yA.) Olf: ntrt: snllk r fl l t.a. y = o-x l"Ii co llnco.tlo i punti d i coordi n a t e (Y ,\: , Y/:+l) .

o

1_ Rqunzjvfl-i alk dijJ"renzr; lineari (p.-i.m o ordinej

&. ----. -'-00 mo notOl1Olm ente. b ) Caso

(J




< l : u",

"

y = x

u

/

O monotonOlm ente

.

y = x

.,

!I - - ' " '' u)

Figura 3

~

:» C:>so (t < - l ; "k .. nd .. m " n to osc;lIante .

'l ~ =mento osci ll an t " _ b ) Caso - l




l,

per

n

-->

Se l è pun t.o

fis.~o

di.

+ oc.

Dimos trazione intuiti..... - Poiché

ICi) = t 8""

- i

si p uò scriv ere

! (s,,) - fU')

=

c , p cr il teo re ma de l valor lTIed io , s i ha

I(.s.,) - fCl ) dove

X

n è u n pllnto oPl'or Lu n o tra f. e

S.,.

=

f '( x., )(s" - l)

Capitolo 8 . Equazioni ol I... diJJeT"lm.ze

3 82

@

88_~-OT~""T S

Dunque, approssiman dq t' ( X.,) con i '( t) = À : Sn +l

- l = f ' (X" )(II,, - t ) "" >. (",,, - i )

It c rando la (3 .1 ) >;; pu ò >;cr ivere Il •• -.,- 1 - ( ;0,,)..(.'1 ...

Essendo O


Si b a dunque:

, If'(E) 1
1.

1

> L gl i 1"(>1 10 ('lIr\"(' f' OHi dw { ud n L"" ,I!'!i p ilu wLi , clli:>::;i).

4.

LUNGHEZZA 01 UN ARCO 01 CURVA

l :1I p r o blema ' 11,, 11 0 n a t u r al(' d i calciO ds = Il dO "

i' . iO"

x:-

-l

1'"

R

c.

Y = lR 5.3. ".~...~

R ccll'i B Rtl(j

~

t·

()

R " in O R dO = -2 R ~

G ;;o.lcoliamo il !w'ment.o < l '; m.: r ~ i a d i unII. d r:\SS&. t .: 7. a..

Calcolare la IUtl~he7J--a d e lla clclo ùl e;

R (t - sin t )

t

R(l - cm. t )

'/1 :;.; aC h (bx ) , ~ i ~crh a

.r;

E:

(0 , 2 7: 1

C [O. T !

l'inlq,rulc çhe III: a.~~

ne -

1.

GRAF IC I E INSIEMI DI LIVELLO

llicordiamo che il grafico di una funzione reale di variabile reale, y = f (x ), è l' insieme dei punti del piano ne, di coordinate (x , f {x» . Analogamente, il grafico di una funzio n e reale di più variabili reali

f : lR.n z

~

_

lR

f(x )

(dove ora x indica un elemento di IRn ) è l'insieme dei punti di IRn+l di coor dinate (x, f(x » . Per n = 2 questo grafico "vive" nello spazio tridimensionale, e può essere effettivamente visualizzato. Qualche esempio di grafico di funzioni di due variabili è mostrato nelle figure 2b-5b. C 'è un altro modo di rappresentare graficamente una funzione z = f (x , y) , ed è quello di tracciare le sue lin ee di livello . Si pens i alla superficie grafico di f come la superficie t.errestre in una regione mont uosa. Le linee di livello sono allora quelle che si tracciano nelle carte topografiche. Un grafico a curve di livello è un disegno nel piano in cui si tracciano le linee lungo le quali f ha valore costante, per un ins ieme sufficientemente fitto di valori di f (nel caso delle carte topogra1:iche, il valore di f è la quota s ul livello del mare, e le linee di livello rappresentano ad esempio le quote f = 100 m , f = 150 m , f = 200 m, ecc.) . È chiaro che un grafico a curve di livello (con linee s uffic ientement e fit te) contiene le ist.ruzioni per cost ruire il grafico di f (sia puc in modo approssimato).

(è) "~-, i, ~"Jllpre ~ 0, ha lin ee d i livello .r ~ 1J'~ = c- Ad ese mpi ,~ p e r c ~ l, 2, 3, ___ , le li nee di li.ello sono le "irc ont"r"":t..c cen t-~a t e n e ll'orig ine e raggi o 1 , "1/ 2 , ,;3,_.. (vedi fig . 2a). Da q ueste li n ee d i live ll o le ggiamo ch e; la fUIl;,.ioIlC f h a si m met ria radiale (ossia; la [11"zionO' ba lo "tesso valore uet plJnti che ba.IlllO 1... s t.e&'ili. d istnu ;,.a da1J'OI' i~in,,) " , allon t a nandosi dall 'or i ~i Ilc , e cesce s."npH' p iel v€loc-cmp ntc (l e jinee di live llo di ven ta no p il\ dense). 11 grafico della -fu n z ione sar à ql.indi cl .. } ti po in !ign ra 20 ( p ara bolo ide ). 2

l. Grafici

I.'

insiemi di lircllo

409

i, i

»)

Figura 2

1 .2.

1.a fun7. ione

f (x , y) = v;;.~ + !J~ è de llnh a in hlt to il p iano, è s em p re 2: 0, h a linee d i livello ..jX2 T y "" = c . A ,l esemp io , P ' :T .., = 1 ,2 , 3 ,. le l in ee d i livello 5ODO le e i r conf,;r""ze c e n trate n e ll' origine c raggio 1 , 2, :1,. , (fig. :'a) . Anch e que;ta f unzione dunq ue h a simmetria rad iale; a difft"'. renz a della precedente, tuttavi a , a llontanan do.... ; dall'o rig in e C l~c e a ritmo cOl'l tal!l" ile li",,,,, di livell o sono equispa .... iate ) , {Oioè Iinearmcn!.(' , S e facc iamo una f.€7~i ()uc verticale del grafico d i f (x, y) . intersecandolo col pia n o 'II "--- (J , o tT,cn i,,, .. o b curva z = VX2 = ix ;, che h a un punto ango loso nell 'o ri g in e . L a funz ione z = f ( x, 11) è d Ullque Ull "' 0, i per boli ;

411

J _ G rnfir.i " ITt"i" m i di lim,Ilo

caso n = 2. Si t eng a comunque presente che, n elle applicazioni, le funzioni di molte va riab ili compaiono frcquentcnlente, e non c'è una ragione particolare per stu d iare 5010 Quelle di due variabili. C na (parziale) y j::;ualizzazio ne di una funzione di tre ...".).riabili::;i ha mediant e le superfici di livello, concet t o a n a logo a quello di linee d i livello, in una d imens ione i n p il'l.

Esempio 1.5. S ia u ( x ,y,z) [I.t''1 -> IR i l potenziale ele ttrostat ico generato n ello spazio ,la u n certo sistema d i c.ar i d ,,~ dett riehe. ( I n cOJ!d i7.ion i di equili brio elettrost ati co, il potenziale n on dipende dal tempo, p erciò è u na f unzio n e de l1,. sol .. tre variabili spaziali). II hJOgo de i punti d" lIo s p a7.io in cui u(x, 1/, z ) =cost lUlt e è u na. su pe rficie, che s i d ice su.perficie equ ipotenziale . Ad esem pio . n e l Ca.l;O d el p ot"n .,.ial" genen,to da una sola carica pu ntiforme post a nell 'origi ne si b a

dove k € un.." cost ante che d ipende d alle u nit à di m isura s celte ; le ""uperfici equ ip o tt,n.,i a li son o rappresentate da.

cioè

e

S0l10

q u ind i 5upç rfici "f"rich e cent rate n ell' o rigine.

G ener a lizzando l'u ltimo esempio, d iciamo che le supe rfici di livello di una funzio ne sono d efinite da un 'equazione òel tipo f (x , y, z ) =eostante. Analogam e nte, per una funzione J IR n --+ IR (con n qualunque) ~i chiamano insiemi d i livello gli in siemi del t ipo {x E IRn: J (x ) = c}, a l VaritlTe della oostante c .

J (;1;", y , z)

Esempi Le sup e rfici di li vello d i / (x , y , z ) = x'l.+ 1/ +z sono r1dÌ-ni t c d all 'eQua.z.ione x'l. + y2 + z = -;o r:; x ~ - I/ . Q ueste s uperfici sono dunq lle p arabolo idi, 6'TatÌci de lle funzioni g ( x, y) = c _ x2 _ y 2. l .fi .

OO&t, che si p ui> r isli reali di p iù >-'aMa bili

8

!!..5_(}/\_()'''41 _B

o

O e llf' h':'gllemi funz ioni rea li d i d ue ...."'ri abBi , hl pro vi a ca ptre e o m'è fat to il g rafico, s tud iando le lin ce d i live l lo ed event ual rrnmte alnmc ~ez i on i "on pi ani opport uni . Si c on trolli po i Co. Per quanto y ist o nel cap it.o lo 9 p aragr tlfo 2 , questo significa , per definizion e , che \x,,= - xol _ O per k -..... oco. Diremo allora ehe lim

f (x )

= L

x~x o

::;e, per ogni successione {Xk } d i pu nt i d i IR," t a le cbe Xk f= Xo Vk), s i htl che

X i< ---...

X o per

k

--t

CXl (con

li m J (Xk ) = L

k ~ "",

Geomet r icamente, la defi n izio ne s ign i fica chc il valor c d i f (x ) si a vvici na tant.o quanto voglianlO a l valore L , purché la d ist anza d el punto x dal punto X o s i O, esist e u n J > O t.ale che 0< !x - xol < J imp lica Il (x ) - L I < E . Si r i Bctta subit o sa u n 'import.ante d iffe ren za ehe esisle, a quest o riguar do, t r a fu nzioni f m. ----;. IRT>l e funzioni f : IRa - .. IR.. Abbi amo v isto che a&:;egTIur e u na funz ione f : lR --+ lRm. è equiva le n t e a d a.o,;.::;e~;nar e 1 11 fu n zioni li : lEt --+ IR.: que.sto fat t o sta alla base della possib il it à d i calco lare i limit i d elle fun zio n i a valori .... e ttoriali "col n p onente per cowponente". h l'\'ece , lilla generica fu nzione f : IR" - - t IR non è "sco mpoll ibile " i n alcu n modo in n funzion i real i d i v tlriab il e reale; d i conseguenza. anche il c alc o l o de i l im it.i per fu n zioni di più variabili n o n s i riduce in modo n a t ura le a l calcolo unidirncnsionalc_ ::'\el pro.ssimo §2.2 ,,-ed remo più da vicino il t i.p o d i diffico l t a e s itua:t.io ni nuove che s i p osson o creare. Dal pUlito d i vista forma le , eomU IHiue , la defin izi one d i lim i t.e per fu n zion i d i più variab ili è s im ile a quell a d ata per fl1Hz.io ni real i d i variabile reale. In partko lare , m o lt e definiz ioni e p ropriet à ri).\ u 3rdan ti i l imiti d i funzioni d i p iù ( l ) QU(~~ t." d"filltz ion, ' vak per L E If e

58.-08..o '7!!>4'7-i
O, e per il teore m a d i pennan euza d e l segno, csifòte u n ir,torno d i (xo , Ilo ) in c ui i > 0 , ~ ia Cl< i"t" 1m intor llo di ( xo, IlO) che è conte n u t o in F.:. O

Come risu lt a in particolar e d all'u ltimo punto d e lla d i mostr~ io nc. nel la d efinizio n e d i illlliemc a.perto (o chiuso) è essenziale che la fu mdoue f che defin isce !'insieme sia continua. Senza la r ich iesta di continuità di f . in fatti, tpUlbias i in.sie me s i può rapp r esentare nella fonna U > O}. Esempio L'insieme di definizi o ne di

3, 2.

1

,q (x,y) = log(x T Y) è F = {(.%, 1/) : O < ;,: -t- Il =F l }, J'll':rciò è a p erto ( interse-doDc di d ue aperti) . L 'insie m e di definizione di

h {z,y )= V X2 - Y+V1

z~

y".l

{(x , ti) ; x·~ - y 2: O e l - x~ - y~ 2: O}, pt'_rciò è c hiuso (in t erscz;()ne d i dut' chiusi) . L'in" ie m e E ddl " ,*, mpio :1.1 no n è né apcrt.o n é clliu.." ''' L'na c u rva. in fo rma cartesiana, cioè definit.a da f (x, y) = CI è un insie m e chiu so ( ~ i è cou t in u lI.T). Ad t'~mp io una circo n fe re nza o un a parab ola so n" in!5icm i chiusi . è G

=

(2)D~~; rl~~ -r~';I~i~~i f" h definit e su uno s tesso ins ienle A C IFe , il simbolo m a>< (h h) indica la. funzio ne che ad ogni (x, y) e A a.

f d ifferenziabile in A

(L'implicazione inversa nUil va le ). Il t.corellla pJV(~edente de tta i l metodo comu nemente seguito p er s tab i li re la d iffe renziabili tà d i una funz_io n~, senza calcola.re limiti .

428

Capito lo IV. Ca lcolo difJerenzial" P'T frmzioni reali d i p iù l'uri"" ili

@ ~"_""'''TI>4 T-S

Esempio 4.5.

R ipu'nd imno la funzi onc dell'esempio 4.4: z =

al

=

DJ

2x

o';

l'J.J.'

X2

=

+ l":: .

Abb i"mo calcolato :

2y

queste f un zioni SOIlO evidentement e contin ue in t, nto il p iano , qu indi f E C 1 (IR? ), in particolare è d iff",,:nziabi le in t utt o il piano , C iò significa , ad esempio, che il piallo et", a b h iam o calcolato n e ll'e:o.em pi o 4 .:1 è cff..,ttivament e il piano tang... nt_e a ll a funziOI'" nd punto assegnato.

Dimostrazione del teorema 4.3 . Il rag ioIla mcnLo sional'-l. Per valutare

f(x o

+

dl(~

facc iamo è so,.;tan z iahn'-lnt,'-l lln idim'-ln-

h,1/{, +k ) - I(xo.y< , )

TIluoviwnoci dal punto ( XD,YO ) al pun t o ( x" + h , Y{l + le ) incre mentando le var iabili una alla volta, ossia prima su l segmento orizzontale d", U"L"O: : ( xu , W ) a (xo -! h , /147_8

E s empio 4.6.

P.~~ la fum:ìo n e z = x ,,"" , c alcoliam o O" j(O ,U ) p e r v = (cos O, s inO ) generico.

g( t ) = t cos Oet~ =.11 .,,,0'1

g' (t)

J)vj(O,O) Ad esem pio, !jC

(J =

,.- / 4 s ì ha v =

(*, *)

=

=

co."! Oe' " un O . ;" 1/ (1 -i-

g' (O)

g (t )

=

CQsO

e

D.j( O, O)

Per la funz ione f(x ,y) =

=

2e cos O si n 6')

~

l

v'2

~ , calcoliamo Dvf (O, O) con v = (c 05 6 , 5in O) . l (cOSO)Z/ 3(s in O) J/ 'J D"j(O,O)

=

g'(t )

=

(cosO}2i3(sin8 )'j3

9 '(0 ) = (COSB } ~/3 ("ìnO)1 ! '1

Perciò la funzion e he. t utt e le deri v ate direzionali in (O, O) . In partico laz-e, s i Iloti che 1., (0. O) = j,, (O, O) = O. T uttavia, q\lt~ ta funzione n on;' di fferenziabile ncl1 ' ori~ne. (Questo fatto seguir à f-zi o ne d i differenzi a bili t.à :

f ex o

+

t

C OB

O, !lo -:--- t ~i n 8 ) - [ ( x " , yo )

t Per t _

O s i ha la tesi.

=

-F { lr ( Xo ,yo) tcos O + fll ( XO,Yo }tsiI1 0 --'--- o et)} =

=

l. (xo, Ya ) c= 6'

+

j ,Ax o, -Y" ) ",in (!

+

0 ( 1) D

La fUl!zio ne f (x , y ) = ijx2y considera ta nell'esempi o 4.6 , ne ll 'o r igi ne non t;oddisfa la fornn lia del gra die nte: i nfatti le s ue derivate parzial i sono nulle, rnentrc le deriva te d irezional i non sono tutte nu lle Ce quinòi non possouo esser e { ; 1 ha p iano t angente) f

ha derivate di re7.ion8li e vale la formula del gradient.e

I nvcce:

1

continua, derivabile, dotata d i de rivat.e d irezi onali

f

d eriV'dbi le , dotata d i derivat.e direzionali

=f!? -cf}

1 1

d ifferenziabi le continua

• D irezioni di mas8ima e min ima cre.çr:iln. L a formula precedente perm ette u na impor tan te osservazione: fi ssat.o un punto in cui f è d ifferenziabile con gradiente non n ullo. qual è l a d ire--.don e in cui il t.asso d i accresciment.o di f è massimo o m inimo? Un prodotto scalare è ma5Simo , in valore assolu t.o, quando i due vettori SODO paralleli, cd e massimo (o minimo) se i vettori sono concordi (o discordi, rispe tti \'anlente). Perciò: il m=imo accrescim ento si ha ndla direzione (e verso) dci gradiente; il m inimo acCl"e5Cimenlo si ha Ilei verso opposto. Questo chiarisce il s ignificat.o geometrico dci gradiente: indica punto per punto, la direzione di massimo accre.çcimento della funzione . Consideriamo ora la lin ea d i livello J(x, y) = c pas:;tLllle per (xo, Yo ), c calcoliamo la derivata d irezionale di f nella direzione di tale cur va (cioè: della sua retta tangent.e) . È intuit-ivo ehe nella d irezione della curva lungo la qua le 1 è COl::ìtante, la deriV'd. t a direzionale sia nulla. Dunque per tale direzione v si ha V f (xo ,!jo ) . v

:\la l'annullarsi d i q uesto proòot to

~cal are

=

O

significa che v è ortogonale a l gra-

diente _ Abbiamo qu ind i messo in luce un' altra proprietà differemr.iale che ha un s ignilìeato geometrico: il grudi(;nte è or·toi può di m o:st.ral·e eh ... u soddIs fa p ruprio la ( 4. 10). Questa eq uaz io ne !li p u ò risolver e, (»;~e n-"l.\ndo ch" il p rimo rn ~'mb ro la der".,~ta d ire· " ' onale di u( :!; ,l) nella di re?;i(lJlTTcIlt e). 4 . 10. La t e ro pem t u r a (s!.azionaria) in "na. certa. regione d d pi alla

.u(x, y) l~ll

e "'-""(!gua t a

da

= ",-"''''''1