MATEMATICA 5to. [PDF]

Zitiervorschau

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PRESENTACIÓN Ante la coyuntura de salud que vive la humanidad entera; la educación como una actividad dinámica y continua de los recursos humanos no puede quedar en un statu quo, lo que sugiere es plantear alternativas y brindar los medios necesarios que permitan llegar a los educandos para posibilitar la continuidad en su desarrollo armónico de capacidades, valores, aptitudes y el crecimiento personal. La presente edición bibliográfica, elaborada con el concurso y trabajo organizado de todos los docentes del área de Matemática del distrito, en función de encarar un Plan de Contingencia Educativa, tiene la finalidad de llegar a todos los estudiantes de la frontera del municipio de Villazón, de la niña de ojos de estrella, para encaminar una educación acorde a estos tiempos de pandemia, que facilite la continuidad formativa en el área de matemática con un enfoque dinámico y de interacción entre el estudiante y el profesor viabilizados a través de los medios tecnológicos para el desarrollo de una variedad de actividades de aprendizaje y trabajo individual en cada uno de los contenidos propuestos y los momentos metodológicos que conlleva la práctica educativa según el actual modelo educativo. En este sentido, el presente módulo de aprendizaje de la Matemática se constituye para el estudiante un instrumento ordenado que guie de manera secuencial y objetiva cada una de las acciones a desarrollarse durante el abordaje de los contenidos y así mismo sea para el docente un medio didáctico que le permita acompañar de manera sistemática al estudiante. Finalmente, todos los docentes que regentan la especialidad de la Matemática en el Distrito, la Asociación de Profesores y la Comisión Multidisciplinaria del área de Matemática, ante las probables dificultades que se puedan experimentar en el reto de encarar una educación distinta a lo acostumbrado, creemos que la perseverancia y esfuerzo principalmente de nuestros estudiantes se consolidará en logros importantes y la satisfacción de lograr la continuidad formativa de todas las señoritas y jóvenes estudiantes pese a las adversidades que nos asecha el Covid 19.

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EQUIPO DE ELABORACIÓN DEL MÓDULO COMISIÓN DE PROFESORES 1.- Prof(a). Mirian Moya Montaño 2.- Prof(a). Elena G Miranda Ramirez 3.-Prof(a). Arminda Flores Peláez 4.- Prof. Carlos Quispe 5.- Prof. Santos Nelson Calle Vargas 6.- Prof. Gilmar Rodriguez Calani 7.- Prof. Corsino Cayo Zunagua 8.- Prof. Fernando Flores Laura COORDINADOR ASOCIACIÓN DE PROFESORES DEL AREA DE MATEMÁTICA Prof. Ramiro Mayorga Basilio Prof. Moisés Flores Puma Prof. Freddy Ramírez Chuquisea Prof. Franz Gallardo Paredes Prof. Fernando Flores Laura

PRESIDENTE VICEPRESIDENTE STRIO. DE HACIENDA STRIO. DE ACTAS VOCAL

COODINADORES ÁREA DISPERSA Prof. Raul Quispe Meguillanes Profa. Sofía Gómez Tangara Prof. Carlos George Quispe Leandro CORDINADORES DEL AREA DE MATEMATICA EQUIPO MULTIDISCIPLINARIO DISTRITAL Prof. Franz Paz Aly Bello Prof. J. José Bautista Rivas

Villazón, Julio de 2020

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ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO Este documento presenta orientaciones didácticas para intervenir en las aulas de Matemáticas en la etapa de Educación Secundaria Comunitaria Productiva. Las orientaciones tienen la finalidad de guiar a los profesores y estudiantes en la organización del proceso de aprendizaje respetando los principios recogidos en el currículo base de Matemáticas que está vigente en todo el Estado Plurinacional de Bolivia. Por tanto, están dirigidas tanto a la consecución de los objetivos holísticos de la materia como al desarrollo de las diferentes estrategias. Las orientaciones parten de la asunción de los principios del aprendizaje activo que se desarrollan en los diferentes apartados referidos a los cuatro momentos metodológicos (Práctica, Teoría, Valoración y Producción), que forman parte del proceso de enseñanza aprendizaje, que están representados a través de diferentes gráficos denominados íconos.

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ICONOGRAFÍA En el presente documento de trabajo se utilizan los siguientes íconos que facilitarán al estudiante en la identificación de las actividades que deberán desarrollar a lo largo de todo el módulo.

EXPLORANDO NUESTRO CONTEXTO Y EL DIARIO VIVIR

AUTO REFLEXIÓN Y ANÁLISIS DE LOS NUEVOS CONOCIMIENTOS

PRÁCTICA DE LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE

RETROALIMENTACIÓN

EVALUACIÓN

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INDICE LOGARITMOS Y EXPONENTES EN LA REALIDAD COTIDIANA ................................ 1 Definición de logaritmo ........................................................................................................... 2 Propiedades generales de los logaritmos ........................................................................... 3 Expresiones logarítmicas para cambiar de base ............................................................... 4 Ecuaciones logarítmicas ......................................................................................................... 8 Ecuaciones Exponenciales .................................................................................................. 11 Progresiones aritméticas ...................................................................................................... 19 Sucesión ................................................................................................................................. 26 Progresión aritmética ............................................................................................................ 23 Progresión geométrica ......................................................................................................... 34 TRIGONOMETRÍA, TECNOLOGÍA Y PRODUCCIÓN ................................................... 44 Nociones de Trigonometría en el entorno natural y tecnología ..................................... 44 Teorema de Pitágoras en el plano y espacio .................................................................... 49 Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo .................................................... 60 Funciones y gráficas trigonométricas ................................................................................. 66 Resolución de triángulos rectángulos ................................................................................ 72 Resolución de triángulos oblicuángulos............................................................................. 84 Bibliografía y fuentes ............................................................................................................. 93

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LOGARITMOS Y EXPONENTES EN LA REALIDAD COTIDIANA DEFINICIÓN: Logaritmo de un número Y en base b, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número propuesto, siendo b > 0; b  1.



bx = y

Calcular el logaritmo de un número es hallar el exponente de una potencia. Ejemplo: = 81 El exponente debe ser igual a 4 Entonces: = ...4..... Dónde: 81 Es el número 3 La base del logaritmo Y …4... Es el logaritmo de 81 en base 3

El cálculo logarítmico es una operación inversa a la potenciación.

Existen infinitos sistemas de logaritmos, pero los más usuales son 2:

Sistema de logaritmos neperianos cuya base es e = 2.7182......

Sistema de logaritmos decimales Cuya base es 10 y no es necesario escribir. = 2

= 1.609... Porque

= 100

Debo recordar estas propiedades de los exponentes y radicales

1

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Definición de logaritmo.- El logaritmo de un número y en base b (positiva y distinta de 1) es el exponente x al que se tiene que elevar la base b para obtener el número y.

Ecuación logarítmica Ecuación exponencial EXEDFGFDGFDGDFGESADASDEXexponencial

Saberes y conocimientos.EJERCICIOS.- Escribir los siguientes ejercicios logarítmicos en ecuaciones exponenciales E-1.-

log 2 8 = 3

E-2.-

6 2 = 36

porque

1 ) = -4 81

E-3.-

log 3 (

E-4.-

log 1000 = 3

23 = 8

porque

porque porque

EJERCICIOS.- Escribir los siguientes ejercicios exponenciales a ecuaciones logarítmicas. E-1.-

porque

E-2.-

porque

E-3.-

porque

E-4.-

porque EJERCICIOS DE APLICACIÓN.-

I.- Expresa en forma exponencial: 1) log5 25 = 2 2) log3 9 = 2 3) log9 √ = 4) log3 II.- Expresa en forma logarítmica: 1) 2) 3)

4)

= 27

Respuestas I : 1.- = 25 2.3.- = √ 4.II 1.2.3.4.-

2

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Propiedades generales de los logaritmos.1.

(

)

No existe el logaritmo de un número negativo.

2.

No existe el logaritmo de cero.

3. log b b = 1

Cuando la base y el número son iguales, el logaritmo siempre será uno.

4. log b 1 = 0

El logaritmo de uno en cualquier sea la base, siempre será cero.

5. log b N = +…

Sí N > 0 el logaritmo siempre será con signo positivo.

6. log b N = – ...

Si 0 < N < 1 , el logaritmo siempre tendrá signo negativo.

7. Logaritmo de un producto.- Es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores. (

)

8. Logaritmo de un cociente.- ( fracción ).- Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

En el caso de que en el denominador existan varios factores, los mimos se convertirán en una diferencia de logaritmos, porque el signo negativo afecta a todos los factores. 9. Logaritmo de una potencia.- Es igual al exponente por el logaritmo de su base.

10. Logaritmo de una raíz.- Es igual al logaritmo del radical dividido entre el índice de la raíz.

√

3

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Otras propiedades.- Si se elevan la base y el número del logaritmo a un mismo exponente, o se extrae la misma raíz, el resultado es el mismo. 1.-

Ejemplo:

2.-

√

√ = x

Ejemplo:

3.-

Ejemplo:

4.-

Ejemplo:

√

√

= 2

Expresiones logarítmicas para cambiar la base.- Cuando se tiene el logaritmo de un número N en base “b” a veces es necesario anotar el logaritmo de N en una base “a” para facilitar algunas operaciones.

Saberes y conocimientos.I.-

Calculamos los siguientes logaritmos (Justificar su respuesta). C.A

E-1 ...2..



42 = 16 16 = 16

1 = 2

E-2.- Log 2

Log 2

1 = …- 1… 2

1 ) = 16 1 Log 4 ( ) = ...-2… 16



E-3.- Log 4 (

E-4.-

Log 5

4-2 =



4-2 =

5 =

Log 5

√ 5 = .... ...



√

4

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II.-

Utilicemos las propiedades de los logaritmos para desarrollar cada expresión. ⨳ Logaritmo del producto. ⨳

E-1: = = 1 E-2:

⨳ Logaritmo de un cociente. ⨳ Empleamos dos propiedades: Logaritmo de una potencia. ⨳

= = = –2⦁1 = –2

E-3:

E-4:

, y

( ) = = = = =

2 2 2 2

√

=

⨳ Logaritmo de una raíz.

=

⨳ Logaritmo de un producto en el numerador.

=

⨳ Logaritmo de la potencia.

(

)

⨳ Logaritmo de un cociente. ⨳ Logaritmo de una potencia y del producto. ⨳

⨳

=

Por definición de logaritmos.

=

⨳ Transformamos en una fracción homogénea.

=

⨳ Simplificamos fracciones.

= II.- Expresemos como un solo logaritmo. E-1:

= =

⨳ Logaritmo de un producto.

E-2:

= =

⨳ Logaritmo de un cociente.

E-3:

= =

⨳ 1ro Logaritmo de la potencia. ⨳ 2do Logaritmo de un producto.

5

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(

E-4: ( )

( (

)

)

⨳ Ordenamos primero los términos positivos luego el negativo. ⨳ Logaritmo del producto. ⨳ Logaritmo del cociente.

)

(

)

⨳ Propiedad distributiva en el numerador.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN I.- Calcular los siguientes logaritmos (Justifica la respuesta). 1)

2)

4)

5)

3) √

6)

II.- Utilizar las propiedades de los logaritmos para desarrollar cada expresión:

𝑎𝑏𝑐𝑑

1)

𝑏

2)

𝑏(

𝑥) 3)

𝑥 )(

𝑎

𝑏

5)

𝑏𝑥 𝑦

6)

𝑥 𝑎 𝑦

7)

𝑏

𝑎𝑏 𝑎 √𝑐𝑑

8)

𝑎(𝑎 𝑏)

9)

𝑎

√ 𝑎

√𝑏

) 𝑙𝑜𝑔𝑎

(𝑏𝑐 )

4)

𝑎𝑏 5

𝑐 √𝑑

III.- Escribe cada expresión como un solo logaritmo. 1) 2) 3) 4) 5)

𝑎 𝑥

𝑏 𝑦

𝑥 𝑎

𝑐 𝑧

𝑦 𝑏

6) 7) 8)

(𝑥 (𝑥 ( 𝑥

9)

𝑥

10)

(𝑥

)

(𝑥 (𝑥 (𝑥

) ) 𝑦 𝑦)

6

) )

(𝑥 ) (𝑥 )

) 𝑧

𝑥

(𝑥

)

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EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

7

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Resolución de ecuaciones logarítmicas. Al resolver ecuaciones se debe tener cuidado que todos los términos de la ecuación tengan logaritmos, si no es así, mediante propiedades incluir el logaritmo a los términos que no tienen.  Se debe transformar cada miembro con un solo logaritmo y mediante el antilogaritmo eliminar el logaritmo de ambos miembros.  En algunas ecuaciones es necesario cambiar de base para resolver las ecuaciones logarítmicas.  Otras ecuaciones son más sencillos de resolver aplicando la definición.

Saberes y conocimientos.I.- En cada caso determinar el valor de la incognita utilizando definición.

E-1:

⨳ Definición de log. ⨳ Potenciación.

Log 5 x = 4

625 = x ⨳ Definición. ⨳ Descomposición en sus factores primos. ⨳ Ley de la potencia.

E-2: Log 7 343 = x

x = 3 ⨳ Definición.

E-3:

⨳ Descomposición en factores primos (49 = ) ⨳ Propiedad de la potenciación (

)

⨳ Ley de la potencia. x = 7 E-4:

(

) (5x + 2) = 5x + 2 = 12 5x = 12 – 2 x=

⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Transposición de términos. ⨳ Reducción de términos semejantes.

x=2

8

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E-5:

√

(

)

⨳ Definición.

2

(x +5x – 2) = ( √ ) ⨳ Anulamos el exponente con el índice de la raíz. x2 + 5x – 2 = 4 ⨳ Transposición de términos. x2 + 5x – 2 – 4 = 0 ⨳ Reducción de términos semejantes. x2 + 5x – 6 = 0 ⨳ Ecuación de segundo grado. ( x + 6)(x – 1) = 0 ⨳ Método de factorización. x+6=0 x–1=0 x = 1

x = -6 E-6:

x=

⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Propiedad de la potencia. ⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Propiedad de la potencia. ⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Potenciación.

x = 8 ⌊

E-7:

( ( ( (

)⌋ ) ) )

x=

⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Propiedad de la potencia. ⨳ Transposición de términos (1- 1 = 0) ⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Propiedad de la potencia. ⨳ Transposición de términos (1- 1 = 0) ⨳ Definición de logaritmos. ⨳ Potenciación.

x=1 II.- En cada caso determinar el valor de la incógnita utilizando propiedades de logaritmos. ⨳ Anulamos logaritmos.

E-1: x=7

𝑏

E-2: (

IMPORTANTE

) 2x = x=

⨳ Propiedad del log del producto. ⨳ Definición de logaritmos.

x = 500

9

𝑥 x = y

𝑏

𝑦

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–

E-3:

⨳ Propiedad del log del cociente. ⨳ Anulamos logaritmos.

x = 15 (

E-4: (

)

( ) ⨳ Transposición de términos. ) ( ) ⨳ Propiedad del log del producto. ( )( ) ⨳ Definición de logaritmos. (x – 5)(x + 4) = 10 ⨳ Multiplicación de Binomios. 2 x – x – 20 – 10 = 0 ⨳ Transposición y reducción de términos. x2 – x – 30 = 0 ⨳ Ecuación de segundo grado. (x – 6)(x + 5) = 0 ⨳ Método de factorización. x–6=0 x+5=0 x = 6 x = -5 ⨳ Logaritmo de una potencia. ⨳ Transposición de términos. ⨳ Reducción de términos semejantes. ⨳ Anulamos logaritmos.

E-5:

x = 2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN I.- Resolver los siguientes ejercicios utilizando definición y propiedades. 1) log8 x = 3 2) log 2 128 = x 3) 4) log2 (x-2)=3 5) log8 (3x+1)=2 ( ) 6) √

10) log5( log3x) = 3 11) log 5 3  2 log 7 8  log 4 x2   1 12) log3(2x-1) – log3(x-4) = 2 13) log220 – log2x = 2 log22 14) log 3 – log (x-5) = 2 15) log2x2-2log2x – 3 = 0

7)

log6(x2+7x-17)=0

16)

2log25x – log25(25-4x) =

8)

log4(x2+5x-8)=2

17)

1 2  1 5  log x 1  log x

10

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ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones que contienen a la incógnita en el exponente de algún número real. Ejemplo 1

Resolver ecuaciones exponenciales igualando bases. Es importante recordar las propiedades de las potencias.

𝑎) 𝟐𝒙

𝟔𝟒

𝑥

Transformando 64 en potencias de base 2

𝑥

Como las bases son iguales .

𝑥

b)

𝟑𝒙

Entonces los exponentes son iguales.

𝟐

𝟐𝟕

𝑥

Transformando 27 en potencias de base 3.

𝑋

Como las bases son iguales.

𝑥

Entonces los exponentes son iguales.

x = 3-2

Despejando la variable x.

x=1

Ejemplo 2

Resolver la siguiente ecuación exponencial igualando bases. 𝟐𝒙

𝑐)

𝑥

𝟖

𝟏𝟐𝟎

𝑥

Trasladamos el 8 al segundo miembro.

𝑥

Sumamos términos independientes.

𝑥

Igualamos bases.

Los exponentes son iguales.

11

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𝒅)

𝒙𝟐

𝟐𝟓

𝑥

𝟏 𝟏𝟔

Transformamos 16 en potencia de base 2.

𝑥

𝑥 𝑥

Invertimos la fracción. Igualamos exponentes. Trasladamos el 5 al segundo miembro .

𝑥

(-1) Sumamos términos independientes. 𝑥

Multiplicado por (-1) tenemos +9

𝑥 Trasformamos 9 en potencia de base 3, como los exponentes son iguales, entonces.

𝑥

Las bases son iguales.

SABER HACER. Resolvemos las siguientes ecuaciones exponenciales igualando bases.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

√

12

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Ejemplo 3 Resolvemos ecuaciones exponenciales en la que no se puede igualar bases (aplicamos propiedades de logaritmos). Es importante recordar las propiedades de los logaritmos.

𝟑𝒙

a)

𝟓 𝑥

Aplicamos logaritmos en base 10.

𝑥

Aplicamos la propiedad de la potencia .

𝑥

Despejamos x.

𝑥 , de calcular.

𝟐(𝟑𝒙

b)

𝟑(𝒙

𝟏) ( 𝑥

( 𝑥

Hallamos el valor de x utilizando la máquina

𝟏)

)

(𝑥

)

)

(𝑥

𝑥

Aplicamos logaritmos en

)

Aplicamos la propiedad del producto.

𝑥

𝑥

Aplicamos la propiedad distributiva.

𝑥

Transposición de

𝑥(

)

𝑥(

)

base 10.

términos.

Factorizamos en el primer miembro. ) Nuevamente se aplica las propiedades

(

de log

. )

𝑥( 𝑥

(

)

( (

(

)

(

)

) Aplicamos potencias.

) Aplicamos propiedades en el primer miembro.

Despejamos la variable x.

x= 0,4134 Hallamos el valor con la máquina de calcular.

13

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𝒄) 𝟒(𝟑𝒙

( 𝑥

𝟐)

𝟕(𝒙

( 𝑥

)

)

𝟑)

(𝑥

(𝑥

𝑥

)

)

Aplicamos logaritmos. Aplicamos la propiedad de la

𝑥

Aplicamos la propiedad distributiva

𝑥 𝑥 los términos con x

Trasladamos al primer miembro

)

𝑥( miembro 𝑥

𝑥

Factorizamos en el primer

Despejamos la

,

variable x

Hallamos el valor con la máquina de calcular

𝒅) 𝟒𝟐𝒙

𝟏

𝟑

𝑥

( 𝑥

)

𝑥 𝑥 ( × )

𝑥 𝑥

(

)

𝑥 𝑥

potencia

,

14

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SSABER

HACER…

Resolvemos ecuaciones exponenciales aplicando logaritmos. Recordar lo aprendido

1) 2) 3)

(

)

4) 5)

.

PARA SABER MÁS . .

1) Hallar el valor de x aplicando la definición. a)

(

b)

(

) )

2) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. ( ) ( ) a) (

b) c)

(

)

d)

(

)

e)

) ( (

(

)

) )

(

)

15

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3) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. a) b)

√

c)

(

)

d)

(

)

e)

( )

(

(

)

)

4) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales aplicando logaritmos. a) b)

(

)

(

c) d)

(

(

)

)

)

e)

RESPUESTAS

1.- a) x= 3

b)

2.- a) x = 24 3.- a) x= 7

𝑥 𝑥 b)

b) x= 4

4.- a) x = 1,7712

𝑥 𝑥 c) x= 10

c) 𝑥

d) 𝑥

e) x = -4

d) x= 4 e) x = 4

b) x = 7,5388 c) x= 1,2386 d) x = 2,7095 e) x = 0,4190

16

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EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierra en un círculo la respuesta correcta) 1) Hallar el valor de x aplicando la definición de logaritmos. a) a)

x= 5

b) x = 3

c) x = -5

2) Resuelva las ecuaciones logarítmicas y marque la respuesta correcta (

2.1)

)

a) x = 2

b) x = 3

(

2.2)

) c) x = 5

)

a) x= 6

d)

( b) x = 11

(

2.3)

(

x= 1

)

c) x = 9

d) x = -11

)

a)

b)

c)

3) Resuelve las ecuaciones exponenciales y marque la respuesta correcta. 3.1)

(

)

√

a) 3.2)

(

√

b)

)

a) x = 1

b) x = 3

c) x = 0

3.3)

17

c) x = 3

15043971504397

a) x = 0,7968

b) x= 0,3893

c) x= 1,7963

3.4) a) x= 0,4134

b) x= 6,2282

c) 1,4532

3.5) a) x= 5,3219

b) x = 4,3243

c) x= -53245

Si la gente no cree que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicado que es su vida. Jhon Louis Neumann

18

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Sucesiones

Definición: Una progresión o sucesión matemática es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por 𝑎𝑛, siendo 𝑛 la posición del término en la secuencia.

Ejemplos: La progresión de los números impares es una secuencia infinita: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... El primer término es 1y el quinto término es 9. La progresión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de cinco términos). El segundo término es 2 y el cuarto es 4.

19

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Una progresión puede ser: Actividad: Determinar si las siguientes progresiones son finitas o infinitas y si son crecientes, decrecientes, constantes o alternadas: a. 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... b. 3, 1, -1 y -3. c. 1, -5, 10, -15, 20, -25,... Respuestas de una progresión o sucesión: 1. La primera progresión es infinita y creciente. 2. La segunda progresión es finita y decreciente, pero no es alternada 3. La tercera progresión es infinita y alternada, pero no es creciente ni decreciente. Término general.- El término general de una sucesión es la fórmula que permite conocer cada término en función de su posición.

20

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Ejemplos: El término general de la progresión de los números impares (1, 3, 5, 7,...) es:

Utilizamos el término general para calcular algunos sus términos sustituyendo la posición n :

El término general de la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36,... es:

Ejemplo N° 1 Calcular los cuatro primeros términos de las siguientes progresiones a partir de sus términos generales: a)

Término general

Solución:

Respuesta: Es una secesión creciente: 2, 5, 8, 11, … b)

(

)

Término general

Solución:

Respuesta: Es una secesión alterna: -1, 2, -3, 4, …

21

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Ejemplo N° 2 Determinar tres términos más de las siguientes sucesiones: a)

17, 15, 14, 13, 11, 11,…

Actividad: Determinar tres términos más de las siguientes sucesiones: a) 2, 3, 4, 5, 8, 13, … Solución: ………………………………….…………. b) 2, 6, 24, 120, 720, … Solución: ………………………………….…………. c) 11, 14, 10, 13, 9, 12, … Solución: ………………………………….…………. d) 1, 5, 9, 13, 17, … Solución: ………………………………….…………. e) 31, 30, 28, 25, 21, … Solución: ………………………………….…………. f) 8, 9, 9, 12, 10, 15, 11, 18, … Solución: ………………………………….………….

22

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Progresiones aritméticas

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión, en la cual cada término después del primero, se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado diferencia común.

Sea la progresión aritmética:

,

,

,

,

Expresamos los siguientes términos generales

23

,

,

15043971504397

Ejemplo N ° 1 a)

Calcular las diferencias de las siguientes progresiones aritméticas:

11, 14, 17, 20, ...

Solución: La resta del segundo y primer término es: Para calcular la diferencia de la progresión se resta al término que va después La resta del tercero y la del segundo es: el inmediato anterior. d = an - an-1

Respuesta: La diferencia común de la progresión es d = 3 b)

1, 1.5, 2, 2.5, 3,...

Solución:

24

15043971504397

c)

10, 5, 0, -5, -10, ...

Solución:

Actividad:

Encuentra la diferencia común de las siguientes progresiones:

25

15043971504397

Actividad: Encuentra el primer término, tercer término y sexto término de las siguientes progresiones:

Ejemplo N° 3 Hallar el 90° término de la P.A. = 5, 8, 11, … Solución:

26

15043971504397

Ejemplo N° 4 Si el 12° término de una P.A. es 29 y la diferencia 3. ¿Cuáles son los términos de la progresión aritmética?

Respuesta: Los términos de la P.A.= - 4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. Ejemplo N° 5 ¿Cuáles son los primeros términos? De una P.A. conociendo que el 4° término es 3 y el 10° término es 21. Solución: 𝑎

𝑑

𝑎

𝑑

* (-1)

( ) ( ) Remplazamos

𝑑

en (1)

𝑑

Recuerda ( ) 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎

𝑎

𝑑

𝑎

𝑎

𝑑

𝑑

⋮ Respuesta: P.A.=-15, -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21.

27

𝑎

𝑎

𝑑

15043971504397

Actividad: Resolver los siguientes problemas de progresiones aritméticas. Determinar el 22° término de P.A.=4, 7, 10, … Determinar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 23° término es 73 y la diferencia 3. El 25° término de una progresión aritmética es 82 y el primer término es 10. ¿Cuál es el valor de la diferencia común (d=?)? El último término de una progresión aritmética es 94, como primer término 6 y la diferencia 4. ¿Cuántos términos tiene la progresión? El octavo término de una progresión aritmética es 38 y el primer término es 10. ¿Qué número es el término 20? ¿Cuál es la diferencia común de una progresión aritmética de 11 términos?, donde el 1° y el último término son 20 y -20 respectivamente El 6° término de una progresión aritmética es 26 y el 17° términos es 70. Determinar el término 50°. Hallar los primeros términos de una progresión aritmética conociendo que el 5° término es 11/4 y el 12° término es 25/4. El 4° y 7° término de una progresión aritmética suman 85 y el 17° y 21° término suman 220. ¿Cuál es el valor de estos términos? Respuestas de progresiones aritméticas Respuesta:

Respuesta:

Respuesta: d=3

Respuesta: n=23

Respuesta:

Respuesta: d= - 4

Respuesta:

Respuesta:

Respuesta: 4°=35 ; 7°=50 ; 17°=100 y 21°=120.

28

15043971504397

Suma de “n” términos de una progresión aritmética. Un nadador boliviano entreno todos los días durante tres semanas. El primer día nadó 15 minutos, y cada día nadaba 5 minutos más que el día anterior. ¿Cuánto tiempo nadó el último día? ¿Y a lo largo de las tres semanas? Solución En 3 semanas hay 21 días. Formamos una progresión aritmética de los minutos: P.A.=15, 20, 25, …

an= a1+(n-1)d Calculamos el tiempo que nado el último día en la fórmula general: an = 15+(21-1)*5 an = 15+100 an = 115 El último día nadó 115 minutos o 1 hora con 55 minutos. Ahora para saber el tiempo en tres semanas usamos la siguiente fórmula:

29

15043971504397

En las tres semanas nadó 1365 minutos o su equivalente a 22 horas y 45 minutos Respuesta: La Última semana nado 1 hora y 55 minutos, y en las tres semanas nadó 22 horas y 45 minutos. Fórmula de la suma de “n” términos de una progresión aritmética.

Ejemplo N° 1 Determinar la suma de los 30 términos de la siguiente P.A.=5, 9, 13, … Solución:

Respuesta: La suma de los 30 términos es 1890.

30

15043971504397

Ejemplo N° 2 Calcular la suma de los 100 primero números pares positivos.

Ejemplo N° 3 ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética 3, 7, 1, … para que la suma valga 12880?

31

15043971504397

Ejemplo N° 4 Calcular la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética de término general an=3n-1.

EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

Resolver los siguientes problemas de suma de “n” términos de una progresión aritmética. 1.- Calcular la suma de los 30 términos de la P.A. = 6, 10, 14, … 2.- Calcular la suma de 121 primeros números impares positivos. 3.- Hallamos la suma de los 43 primeros números positivos terminados en 9.

32

15043971504397

4.- Calculamos la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a3=1 y a1= -7. 5.- El quinto término de una progresión aritmética vale -7, y la diferencia es -3. Calculamos el primer término y la suma de los 12 primeros términos. 6.- En una progresión aritmética sabemos que a1=1 y a5=7. Hallamos el término 15° y la suma de los 15 primeros términos. 7.- Un estudiante de 4to de secundaria se propone el día 1 de septiembre repasar matemática durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre? ¿Cuántos ejercicios hará en total? 8.- Una persona recorre en bicicleta 50 km el primer día y en cada día posterior 5 ½ km menos de los que recorrió el día anterior. ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días? 9.- Jorge invierte una suma de Bs. 6000 con un interés simple del 12% anual. ¿Cuál será el capital al cabo de 8 años? 10.- Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 4n-1. Respuestas de la suma de “n” términos de una progresión aritmética:

33

15043971504397

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

PARA PENSAR ¿Cuál es la respuesta? 3+3x3+3=? a) 21

b)36

c)15

d) 12

Progresiones Geométricas.- Es una sucesión en el cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que es la razón o cociente común. Notación El signo de la progresión geométrica es ÷÷ y entre término y término se escribe con dos puntos “:” PG ó ÷÷ a1 , a1 r , a1 r2 , a1 r3 , . . . . . .

Dónde: a1 = 1er término. An = Último y término o término general. n = Número de términos. r = Razón geométrica. Sn = Suma de los términos “n” términos. m = Número de términos de los medios geométricos.

34

15043971504397

Progresión geométrica es creciente cuando la razón es, en valor absoluto, mayor a uno (r >1). Es progresión geométrica creciente cuya razón es 4 ÷÷ 1 : 4 : 16 : 64. . . . . Progresión geométrica decreciente cuando la razón es, en valor absoluto menor a uno (r < 1) o sea cuando la razón es una fracción propia ÷÷ 2 : 1 :

:

.......

Progresiones finitas es la que tiene un número limitado de términos. ÷÷ 2 : 4 : 8 : 16. . . . . . . ÷÷ -3 : 6 : -12 : 24. . . . . . . ÷÷ 8 : 4 : 2 : 1. . . . . . . La razón de una progresión geométrica se puede calcular dividiendo cualquier término por el inmediato anterior. Así, en los ejemplos anteriores, la razón en la primera progresión es 2, en la segunda es -2, y en la tercera es

.

Si an es el enésimo término de una progresión geométrica, entonces: Ley de formación Primer término

a1

El segundo término es

a2 = a 1 r

El tercer término es

a 3 = a 2 r = a 1 r2

El cuarto término es

a 4 = a 3 r = a 1 r3

El enésimo término es

an = an-1 r = a1 rn-1

Por tanto: La fórmula general o enésimo término es an = ak rn-k n es el número del término.

r =

35

donde k=1

ó

an = a1 rn-1 en el cual

15043971504397

𝒂𝟐

𝒓

𝒂𝟏

Fórmula de la razón

𝒂

= 𝒂𝟑 = . . . 𝟐

. Fórmula de suma de términos P.G.

𝒂𝟏 (𝟏 𝒓𝒏 ) 𝟏 𝒓

𝑺𝒏

𝑺∞

Fórmula de suma de términos P.G. infinita

𝒂𝟏 𝟏

𝒓

Ejemplos 1.- Hallar el 5° término de ÷÷ 2 : 6 : 18 . . . . . . Datos: a=2 n=5 r=3 Uso fórmula de la razón 6 dividido 2 es 3 entonces la razón es 3 Luego reemplazo los datos en la fórmula general an = a1 rn-1 an = 2 x 35-1

Realizamos operación de potenciación

an = 2 x 34 an = 2 x 81 El quinto término es

a5 = 162

Ejemplos 2.- En la progresión geométrica ÷÷

:

: ....

36

Calcular el duodécimo término

15043971504397

Datos a1 =

n =12

r=?

Primero encontrar la razón

r=

Luego reemplazar en la fórmula general

=

=2

an = a1 rn-1

a12 =

(212- 1)

a12 =

(212)

a12 = (2048) a12 = a12 =192 Suma de una progresiones geométrica.- Si una progresión geométrica a1 es el primer término, an es el enésimo término y r es la razón, entonces la suma de los n primeros términos es: Sn= a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 +. . . . + a1 rn-2 + a1 rn-1 Multiplicamos ambos miembros por r, se obtiene r Sn= a1 r + a1 r2 + a1 r3 + a1 r4. . . . + a1 rn-1 + a1 rn Restando miembro a miembro la segunda ecuación de la primera, resulta Sn – r Sn = a1 - a1 rn O sea

De donde

Sn (1-r) = a1 (1 - rn)

𝑺𝒏

𝒂𝟏 (𝟏 𝒓𝒏 ) 𝟏 𝒓

37

15043971504397

Ejemplos: En la progresión geométrica PG.:1 : 2 : 4….., hallar el noveno término y la suma de los nueve primeros términos SOLUCIÓN: Según el problema se sabe

a1 =1

;

r =2

y

n =9

Sustituyendo en la fórmula del término general se obtiene an = a1 rn-1 a9 = 1 x 29-1 a9 = 1 x 28 a9 = 28 a9 = 256 Luego realizamos la suma de los nueve primeros términos resulta. (

)

S9 =

(

)

= 511

Teorema.- En toda progresión geométrica el producto de los 2 términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los dos términos del extremo.

Ejemplo

P.G :: a1: a2 : a3: a4. . . . . . an-2: an-1: an.

luego; a3 . an-2 = a1 . an Teorema.- Si la progresión geométrica tiene un número impar de términos, el cuadrado del término medio equivalente al producto de los extremos Ejemplo

P.G :: a1: a2 : a3: a4. : a5: a6: a7. : a8: a9

38

Luego (a5)2 = a1 . a9

15043971504397

Interpolar medios geométricos.- Entre dos números dados es posible interpolar cualquier número de términos tales que la sucesión así formada sea una progresión geométrica y los términos así interpolados se llaman medios geométricos. Ejemplos

Interpolar cinco medios geométricos entre 16 y

Como extremos, formen una progresión geométrica. Es decir P.G. :16 :___ :___:___:___:___: Por tanto, es necesario determinar la razón r de dicha progresión. Sabiendo que a1 =16

; n =7

y

a7 =

sustituyendo en la fórmula del término general

se obtiene: an = a1 rn – 1 = 16 .r7 – 1 = 16 .r6 1= (4)16 .(4)r6 256 . r6

1=

= r6 =√

El cuatro del 1er miembro pasa al otro miembro a multiplicar Realizamos operaciones El 256 pasa a dividir al 1er miembro Extraer la raíz sexta ambos miembros Simplificamos y obtenemos

=r

Una vez encontrado la razón se multiplica por primer término, así encontramos el segundo término, luego interpolar el segundo término por la razón, así sucesivamente……

39

15043971504397

16 x

=8

8 x

=4

4 x

=2

2 x

=1

1 x

=

P. G .:: 16 : 8 : 4 : 2 : 1 :

:

La suma de una progresión geométrica infinita.- Una progresión geométrica infinita cuyo , tienen la suma dada por:

primer término es a1 y cuya razón es r, tal que l r l

Sn= a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 + . . . . + a1 rn-1

𝑆∞ = Ejemplo : 4 +

+

𝑎 𝑟

Hallar la suma de la serie geométrica infinita. .....

SOLUCION: En esta serie a1 = 4 y la razón r =

=

=

Sustituyendo en la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita, se obtiene:

∞

=

=

=2

Ejemplo: la suma de una progresión geométrica infinita es 4. Si el primer término es el quinto término.

40

, hallar

15043971504397

SOLUCIÓN: Sustituyendo los valores dados en la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita, se obtiene: ∞

=

4= Luego el quinto término de la progresión será: = ( ) = EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

1.- El tercer término de una progresión geométrica es 16 y el octavo de . Escribir la serie. 2.- En la progresión geométrica primeros 6 términos.

R: 64:32:16. . . : 2: 3,. . . . Calcular el término de lugar siete y la suma de los ,

R:

3.- En la progresión geométrica 9: -6 : 4 . . . . Calcular el séptimo término y la suma de los 7 términos.

R:

,

4.- El cuarto término de la progresión geométrica es 3 y el octavo término es 48. Calcular la suma de los primeros 6 números

R:

41

15043971504397

5.- La suma de los 3 términos de una progresión geométrica es 26 y la suma de los 6 primeros términos es 728. Hallar el quinto término.

R: 162

6.- La suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces de la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón

R: 2

7.- La suma de una progresión geométrica infinito es 81. Si la razón es termino.

Hallar el séptimo

R: 64/27

8.- La suma de una progresión geométrica infinita es 21 . Si el primer término es 16, Hallar quinto término.

R:

9.- En una progresión geométrica infinita el cuarto término es 4 y el octavo término es . Calcular la suma de la correspondiente serie infinita. 10.- Interpolar cinco medios geométricos 3 y 40 .

R: 64 R:

, 8, 12

11.- Determinar la razón de la siguiente progresión geométrica ::4 : 12 : 36 : 108 : 324 R:3 12.- Si los números 2, 6, 18, . . . . . .486 forman una progresión geométrica. Calcula el quinto término de ella.

R: 162

13.- Si la razón (r) de una progresión geométrica es 0,5 y su tercer terminó es 192. Calcula su séptimo término.

R: 12

14.- Si el segundo, quinto y décimo término de una progresión geométrica son respectivamente: 2, 16, y 512. Calcular su séptimo término.

R: 64

15.- En la progresión: 2: 6: 18: 54: 162: 18 es media geometría entre 6 y 54. 16.- Calcula la suma de los siete términos de la siguiente progresión geométrica: :: 2: 6: 12: 48: 96: 192.

R: 381

17.- El cuarto y séptimo término de una progresión geométrica son respectivamente: 25 y 3125. Calcula el segundo término de ella.

R: 0,5

42

15043971504397

18.- El primer y último término de una progresión geométrica de siete números son respectivamente 3 y 192. Determina dicha progresión. R: La progresión es 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192. O bien 3,- 6,- 12,-24, - 48,- 96, 192. 19.- Interpola cuatro medios geométricos entre 2 y 486. R: :: 2: 6: 18: 54: 162: 486. 20.- La suma de los cinco términos de una progresión geométrica es 155 y su razón s 2. Determinar dicha progresión.

R: P.G. 5: 10:20:40 :80.

21.- El producto de los tres términos de una progresión geométrica es 1000 y la suma del primer y segundo término es 12. Determina dicha progresión.

R: P.G. 2, 10, 50

22.- El producto de los tres términos de una progresión geométrica es 8 y la suma del segundo y tercer términos es 10 determina dicha progresión. R: P.G. 0.5 , 2, 8 Es mejor resolver más ejercicios con los diferentes procesos y llegar a los resultados. Te propongo trabajar con diferentes autores.

¡La práctica hace al hombre!!! Algebra Baldor pagina 499 hasta 506. 1.- Ejercicios 291 página 500 2.- Ejercicios 292 página 501 3.- Ejercicios 293 página 503 4.- Ejercicios 294 página 505 5.- Ejercicios 295 página 506

43

15043971504397

TRIGONOMETRÍA, TECNOLOGÍA Y PRODUCCIÓN Observemos el entorno de nuestra Comunidad señalamos los tipos de triángulos y ángulos que se forman trazando líneas imaginarias: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

Nociones de trigonometría en el entorno natural y tecnológico Introducción.- Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en la agrimensura, la navegación y la ingeniería. Los científicos modernos la utilizan al trabajar en la electricidad, ondas sonoras, ondas de radio, geometría, astronomía y sobre todo en el estudio de otros capítulos de la Matemática y la Física. Definición.- Es la parte de las matemáticas elementales puras que trata de la resolución analítica de los triángulos, relacionados con sus lados y sus ángulos (también sus medianas, bisectrices, mediatrices y alturas). La trigonometría se basa en lagunas relaciones llamadas

funciones

trigonométricas, por otro lado, el estudio de estas funciones proporciona métodos poderosos para resolver cierto tipo de problemas geométricos que no son de fácil resolución por otro medio. Etimología.- Proviene de tres palabras griegas: TRI

=

Tres

GONON

=

Ángulo

METRON

=

Medida

Clasificación.- Se clasifica en: Trigonometría Plana y Trigonometría Esférica: a) Trigonometría Plana.- Es la que trata de la resolución de triángulos planos. En esta obra se estudia la trigonometría plana.

44

15043971504397

Recordemos y escribamos la clasificación de los triángulos y los ángulos

TRIÁNGULOS

ÁNGULOS

…………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… ………..

…………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… ….

b) Trigonometría Esférica.- Es la que trata de la resolución de triángulos esféricos. Triángulo esférico.- Es el espacio limitado por partes de “circunferencias máximas” de una esfera. Circunferencia Máxima; de una esfera es la mayor circunferencia que se puede trazar en una esfera, así por ejemplo el Triángulo ABC.

Circulo trigonométrico.- Se llama así a un circulo trigonométrico en el cual se ha fijado un “origen de arcos” (extremo derecho del diámetro horizontal), un “sentido positivo” (el del movimiento inverso al de las agujas del reloj) y “un radio como unidad”. Además se ha fijado “origen de complementos” (extremo superior del diámetro vertical) y “origen de suplementos” (extremo izquierdo del diámetro horizontal).

45

15043971504397

En un círculo trigonométrico, el diámetro horizontal y vertical dividen al círculo en cuatro cuadrantes iguales, o cuatro ángulos rectos.

Origen de complementos

B Origen de arcos

A´

A

O

Origen de suplementos

B´ Medida de ángulos y arcos.- Para medir un ángulo o un arco se toma como unidad de medida un ángulo o un arco pequeño y se cuenta las veces que esta unidad está contenida en ese ángulo o arco dado. Así por ejemplo el arco “u” está contenido 3,5 veces en el arco AM. Si la unidad es el arco “u” la medida AM será 3,5 u.

AM = 3,5u

Para medir ángulos y arcos se han ideado varios sistemas. Los más importantes son: a) Sistema sexagesimal.- Considera la unidad de medida la 360 ava parte de la circunferencia o círculo, cada parte se llama “grado sexagesimal”, cada grado es dividido en 60 partes llanas “minutos”, y cada minuto dividido en 60 partes llamadas “segundos”. Un ángulo de 20 grados, 25 minutos y 30 segundos, por ejemplo se escribe así: 20° 25´ 30´´

46

15043971504397

b) Sistema Centesimal.- Considera la unidad de medida de 400 ava parte del círculo; cada parte se llama “grado centesimal”, cada grado está dividido en 100 partes y se llaman “minutos”, y cada minuto a su vez está divido en 100 partes que se llaman “segundos”, por ejemplo un ángulo de 32 grados, 40 minutos, 88 segundos, se escribe así: 32g 40m 88s c) Sistema radial.- Considera como unidad de medida un arco de una longitud igual al de su radio y que se llama “radián”. En geometría, la circunferencia se mide así:

r, pero

como en trigonometría el radio es unitario, entonces la circunferencia valdrá: C = radios pero se dice: C =

radianes

Cambio de sistemas.- Representado por S, C y R la medida de un mismo arco en los tres sistemas y relacionándolos con una circunferencia en los tres sistemas, se tiene:

Simplificando:

(A) Ejemplo -1.- Transformar 29° 36´ 18´´ a centesimales. Aislando de la fórmula (A) a las dos primeras razones

Despejando:

Fórmula que permite transformar sexagesimales a centesimales. Para sustituir el valor de S debe hacerse este valor homogéneo con la ayuda de la calculadora científica: S = 29° 36´ 18´´ S = 29,605°

47

15043971504397

Ejemplo – 2.- Transformar 30g 40m 60s radianes De la formula (A) asilando las dos últimas razones

Despejando la incógnita y simplificando:

Para sustituir el valor de C es necesario hacerlo homogéneo, pero como el sistema centesimal va de cien en cien, basta poner el punto decimal después de los grados y borrar las especies de los minutos y segundos así: C= 30g 40m 60s = 30,4060g Sustituyendo: ,

R = 0, 57 rad Actividad Complementaria 1.- Transformar 36° 23´16´´ a C y R

2.- Transformar 2,378 radianes a S y C

3.- Transformar 70g 80m 45s a S y R

4.- Transformar 105° 55´23´´

48

15043971504397

Teorema de Pitágoras en la trigonometría en el plano y el espacio

EXPLORA

Tres estudiantes se encuentran en el polideportivo de la Unidad Educativa, quieren calcular la distancia del punto de pena máxima al tubo horizontal del arco de futsal. ¿Cómo lo harán?

Para ello miden la altura del arco y la distancia del punto de pena máxima a la línea de fondo como se observa en la imagen. En este caso se debe hallar la medida de la diagonal de un rectángulo o lo que es lo mismo el lado más largo de un triángulo rectángulo.

Cuando se conocen las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo, se puede calcular la medida del lado que falta empleando el TEOREMA DE PITÁGORAS.

49

15043971504397

Teorema de Pitágoras: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras observó que para todos los triángulos rectángulos los cuadrados construidos sobre los catetos, al sumar sus áreas, tiene un valor igual al área del cuadrado construido en la hipotenusa.

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ( )

𝑐

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ( )

𝑎 25

∴ 𝑐

a=4

16

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ( )

𝑏

( )

b= 3

𝑎

𝑏

( )

( )

9

Conclusión: Del teorema anterior se desprenden los siguientes corolarios. a) En todo triangulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos √

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, tenemos:

b) En todo triangulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto. Es decir:

Al despejar a se tiene:

Al despejar b se tiene:

𝑎

𝑐

𝑏

𝑏

𝑐

𝑎

√𝑎

√𝑐

𝑏

√𝑏

√𝑐

𝑎

𝑎

√𝑐

𝑏

𝑏

50

√𝑐

𝑎

15043971504397

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras permite obtener la medida de uno de los lados de un triángulo cuando los otros dos son conocidos. Es de gran importancia en la resolución de figuras geométricas, así como para el cálculo de problemas trigonométricos. Ejemplos: 

Determina la medida del lado faltante en los siguientes triángulos rectángulos: a)

c=?

a=4

Datos

Formula

𝑎

𝑐

Sustitución

√𝑎

𝑏

𝑏 𝑐 ?

𝑐

√

𝑐

√

𝑐

√

b=8 Resultado 𝑐

b) Formula

𝑎

𝑎

?

√𝑐

Sustitución 𝑏

𝑏 𝑐

c=9

a=?

Datos

b=3

𝑎

√

𝑎

√

𝑎

√

Resultado 𝑎

c)

c=13 3

a=6

Datos

Formula

𝑎

𝑏

𝑐 𝑏

√𝑐

?

b=?

Resultado 𝑏

51

Sustitución 𝑎

𝑏

√

𝑏

√

𝑏

√

15043971504397

a) un padre de familia desea comprar alambre para sostener el poste de su antena de televisión, el cual tiene 6m de altura; su propósito es fijar un extremo del alambre a la parte superior del poste, y el otro a un punto que se encuentra a nivel del piso y a 4m de la base. ¿Cuál es la cantidad mínima de alambres que debe comprar? Hemos realizado un diagrama para ilustrar las condiciones enunciadas en el problema. Observa que el resultado es un triángulo rectángulo. Nuestro propósito es determinar la longitud mínima de alambre que se requiere para fijar la antena, para lo cual utilizaremos el teorema de Pitágoras: consideramos que el lado desconocido es el cable (c), y que los catetos son el poste (b) y el segmento de piso que va entre el punto en que se fijará el alambre y el poste (a).

c=?

b=6 a=4

𝑐 𝑐

𝑎 𝑏 𝑐

?

Ahora sustituimos los valores en la expresión del teorema de Pitágoras, y despejamos la ecuación que se forma.

𝑎

𝑐

√

𝑐

√

𝑐 𝑐

√

𝑏

Concluimos que el padre de familia requiere alambre para fijar su antena.

𝑚 De

Desarrolla tus destrezas Aplicando el Teorema de Pitágoras determina el lado faltante en los siguientes triángulos rectángulos

52

15043971504397

53

15043971504397

54

15043971504397

El Teorema de Pitágoras en el espacio

Si observas el gráfico te puedas dar cuenta que la diagonal “D” es la “hipotenusa” de un triángulo rectángulo en la geometría plana. El triángulo de color verde tiene como catetos “a” y “b” y como hipotenusa “d”, por lo tanto: El triángulo de color amarillo tiene como hipotenusa “D” y como catetos “c” y “d” se tiene Reemplazando la ecuación (1) en la ecuación (2) se tiene:

Ejemplo 1

Dibujar un ortoedro cuyas dimensiones sean 6m, 3 m y 4 m; dibujar una diagonal. Calcular la longitud de dicha diagonal. Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio se tiene

55

15043971504397

Ejemplo 2

Las dimensiones de una caja son 10cm, 5 cm y 6 cm. Calcular si un lápiz de 12,5 cm cabe en su interior. Tenemos que ver si la diagonal es mayor o menor que 12,5 cm para ello utilizaremos el Teorema de Pitágoras en el espacio

Ejemplos

1) Un acuario con forma de ortoedro tiene las siguientes dimensiones: 1,2 m de largo, 0,5m de ancho y 0,6m de alto. ¿Se podrá introducir en su interior un administrador de oxígeno en forma de varilla de 1,4 m de largo?

D

0,5 m 1,2 m

2) Calcula la altura y el volumen del cono

3) ¿Qué área mide la rampa inclinada?

56

0,6 m

15043971504397

EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

Marque la opción de la respuesta correcta. a) El teorema de Pitágoras se usa única y exclusivamente cuando se tiene un triángulo rectángulo.

V

o

F

b) Los números 16, 30 y 34 corresponden a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

V

o

F

c) Los lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo se llaman. Hipotenusa

catetos

vértice

ángulos

d) Nombre que recibe el lado más grande de un triángulo rectángulo Cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusa

ángulo

e) Si una escalera está apoyada sobre una pared ¿Cuál es la hipotenusa? El suelo

la escalera

la pared

1. Calcular el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos.

57

ninguno

15043971504397

2. ¡Puedes hacerlo! Aplicando el teorema de Pitágoras resuelve los siguientes problemas. a) La altura de una portería de futbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto penalti hasta la línea de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del travesaño?

b) La cara frontal de una tienda de campaña es un triángulo isósceles cuya base mide 1,6 m. y cada uno de los lados iguales mide 170 cm. Calcula la altura en centímetros de esa tienda de campaña.

58

15043971504397

c) Queremos subir un escalon de 1m de altura para pasar con la carretilla. Disponemos de un tablon de 2,6 m. ¿a que distancia del escalon empieza la rampa?

d) Álvaro ha tomado estas medidas para hallar la altura a de la pared de su buhardilla.

Calcular d y luego a.

e) Halla la medida de los lados desconocidos x e y.

59

15043971504397

Funciones o razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

En el enmallado del campo deportivo de la institución se observa una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo. Los estudiantes quieren calcular la longitud del tubo más largo y los ángulos agudos respecto al tubo horizontal y vertical.

Para resolver este problema primeramente miden la longitud del tubo horizontal y vertical que en este caso serían los catetos, luego con las medidas obtenidas calculan el valor del tubo más largo que sería la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras.

Como verán, para resolver este tipo de problemas se aplica el teorema de Pitágoras y las funciones Trigonométricas. Por tanto es conveniente asimilarlas muy bien porque son muy importantes y se aplican en otras unidades. ¿Qué son las funciones o razones trigonométricas?

60

Finalmente aplican la función tangente para calcular el valor del ángulo 𝛽 y la función seno para calcular el valor del ángulo 𝛼. También podían aplicar Tag para calcular 𝛼

15043971504397

Se llama así a ciertas relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Por definición, en trigonometría, las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son: Seno: (Sen) Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno (Cos): Razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente (Tan): Razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente (Cot): Razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante (Sec): Razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante (Csc): Razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. Sea el triángulo rectángulo

donde: B

Son ángulos agudos

𝛽

c = Hipotenusa a = Cateto opuesto a

y adyacente a

b = Cateto opuesto a

adyacente a

c

a

𝛼 C

A

b

Las razones trigonométricas del ángulo 𝛼 se define como:

t

𝑎 𝑐

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼

𝑐 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

s𝛼

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑏 𝑐

se 𝛼

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼

𝑐 𝑏

𝛼

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼

𝑎 𝑏

t𝛼

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼

𝑏 𝑎

𝑐𝑠𝑐 𝛼

Ahora veremos las funciones trigonométricas para 𝛽:

t

𝑏 𝑐

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

𝑐 𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

s𝛽

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑎 𝑐

se 𝛽

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽

𝑐 𝑎

𝛽

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽

𝑏 𝑎

t𝛽

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

𝑎 𝑏

𝑐𝑠𝑐 𝛽

61

15043971504397

Actividades resueltas 1. Del grafico mostrado en la figura, obtener toda las razones trigonométricas de 𝛽

2. Se tiene un triángulo rectángulo indicado en la figura, obtener toda las razones trigonométricas de 𝜃

5 cm

𝜃

17

3 cm

15

𝛽 8 𝑠𝑒𝑛 𝛽

4 cm

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑠𝑒𝑐 𝛽

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑐 𝜃

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑜𝑡 𝛽

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑡𝑎𝑛 𝜃

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑜𝑡 𝜃

𝑐𝑚 𝑐𝑚

Aplicación 1.

En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = senA secC + cosC cscA Solución:

C

Del gráfico:

b

A

Si:  es un ángulo agudo tal que

a b a b x  x b a b a

a

E

B

E=1+1  E=2

c

2.

cos  

1 3

. Calcular tg.

Solución: cos  

Del dato:

1 3

Cateto Hipotenusa adyacente

 debe estar dentro de un triángulo rectángulo. C

Por Pitágoras:

2

3

A

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑐𝑚 𝑐𝑚

𝑐𝑠𝑐 𝜃

𝑐𝑠𝑐 𝛽

𝑐𝑚 𝑐𝑚



2

32  12  BC

BC  2 2

B 1

Piden:

tg 

2 2 1

62

 2 2

15043971504397

Desarrolla tus destrezas Representar las funciones trigonométricas del ángulo indicado en los siguientes triángulos:

B

𝛼

y

4

A

C

B

8

𝛾

4

6

A

C

z

3

A

C

𝜔 x y

B x

C

A

5 z

𝜃 B

63

15043971504397

Dado el siguiente triángulo rectángulo, hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo cuyos datos son: Por teorema de Pitágoras

𝑐

c=?

a=3

𝛼 b=5

𝑎

𝑐

√

𝑐

√

𝑐

√

Datos: a = 3

𝑏

b=5 c=?

Las razones trigonométricas son: √ √

√

√

√ √

√

√

√

√

√

√

En la práctica teniendo las tres razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) automáticamente tenemos las otras tres (cotangente, secante y cosecante), por ser inversos de las tres primeras. Resuelve los siguientes problemas. a) Calcula el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos agudos del triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm. b) Calculemos el valor de las tres funciones trigonométricas para los ángulos agudos del triángulo rectángulo si uno de los catetos mide 5 cm y la hipotenusa 9 cm. c) Los catetos de un triángulo miden 9 cm y 16 cm. Determinar el valor de la hipotenusa, los valores de los ángulos agudos y las funciones trigonométricas para el ángulo menor.

64

15043971504397

d) En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . ctgA – c . senB a) 0 b) 1/3 c) a d) b e) 1/2 e) En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)ctgA - cosC a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) -1 f) En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC Calcular: E  2senA  3tgC a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

g) Del gráfico calcular “x”. Si:

c) 3

tgB 

3 2

B a) 1 b) 2

4x + 2

c) 3 d) 4 e) 5

A

7x + 1

C

EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

1.-

65

15043971504397

2. Halla las 6 razones trigonométricas de los ángulos

del triángulo ABC sabiendo que es

rectángulo.

3. Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( Aˆ  90º ). Calcular: E = b tgC + ctgB - c a) a

b) b

c) c

d) 2a

e) 2c

Funciones y graficas trigonométricas Definicion.- Las funciones trigonométricas, en Matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en Astronomía, Cartografía, Náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos

66

15043971504397

Periódicos, y otras muchas aplicaciones. Todas

las

funciones

trigonométricas

de

un

ángulo

θ

pueden

ser construidas

geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O. Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo, entre otras. Grafica de la función Seno.- El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del circulo unitario al sistema rectangular de coordenadas. La función seno utiliza la (y) de los arcos del circulo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria. La fórmula general que cumple la función seno es: (

)

Donde A es la amplitud de la función (máximo valor o máxima altura); B= frecuencia (ciclos por ) y F= Fase (ángulo de inicio). , donde P es el periodo de la función;

67

15043971504397

Ejemplos 1 (

)

Ejemplo 2

Grafica de la función coseno.- Se denomina función coseno, y se denota f(x) = cos (x), a la aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada generalmente en radianes. La fórmula general que cumple la función coseno es: (

)

Donde A es la amplitud de la función (máximo valor o máxima altura); B= frecuencia (ciclos por ) y F= Fase (ángulo de inicio).

68

15043971504397

, donde P es el periodo de la función; Su representación gráfica es:

Características: 

Es una función periódica, es decir, se repite un ciclo. Llamamos Periodo al tamaño de un ciclo, en este caso es de 2π



Es una función acotada, es decir, posee un valor máximo y un valor mínimo, en este caso 1 y -1 respectivamente. Llamamos amplitud a la altura que tiene la gráfica a partir de su eje central, en este caso su altura es 1



Es continua, por lo tanto su dominio siempre será el conjunto de todos los números reales. Dom f= lR

Ejemplo 1:

s(

)

69

15043971504397

Ejemplo 2 s(

)

Grafica de la función tangente Dominio: todos los reales, excepto los múltiplos impares de . Rango: todos los reales. Continua (por ejemplo, continua en su dominio). Crece en cada intervalo de su dominio. Simétrica con respecto al origen (impar). Sin cota superior ni inferior. Sin mínimos ni máximos locales. Sin asíntotas horizontales. Asíntotas verticales en

para todos

los impares La grafica de la función tangente se muestra a continuación. Como sucede en los casos de las gráficas de seno y coseno, esta grafica nos indica muchas propiedades de la función, tales como las siguientes: 

La función tangente tiene asíntotas justo en donde la función coseno es cero.



La función tangente tiene asíntotas verticales en:

en donde k es un numero entero, con

esto se puede decir que se tendrá asíntota vertical en los puntos: 

La función tangente tiene corteen el eje x en

, ,

donde k es un numero entreo, con esto se

puede decir que se tendrá corte en los siguiente puntos:

70

,

, , ,

15043971504397

“La única forma de aprender matemáticas es hacer matemáticas” Paul Halmos

71

15043971504397

RESOLUCION DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver trigonométricamente un triángulo rectángulo es encontrar los elementos que no se conocen. Un triángulo puede resolverse si se conocen 6 de sus elementos 3 lados y 3 ángulos, de los cuales uno por lo menos tiene que ser un lado. Un triángulo cualesquiera presenta 3 lados y 3 ángulos interiores cuya suma es Triangulo rectángulo.- Uno de sus ángulos internos es recto ( ) ( ) Sus 2 lados que forman con el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, son los ángulos agudos.

Se resuelven mediante el teorema de Pitágoras, funciones trigonométricas y la suma de sus ángulos agudos que es igual a ( )

TEOREMA DE PÍTAGORAS √ hipotenusa √ cateto) √ cateto)

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA se

(para la

s

(para un

SUMA DE ÁNGULOS AGUDOS

ℎ ℎ

t ( para un

Área de un triángulo rectángulo.- El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura. ×ℎ

72

15043971504397

En un triángulo rectángulo se puede tomar por base y altura los dos catetos. Relación entre lados y ángulos del triángulo rectángulo

se

se s

s

t

t

s

se s

t

s t

Casos de resolución de triángulos rectángulos.- En un triángulo rectángulo siempre se conoce un ángulo, es el ángulo recto por lo tanto un triángulo puede resolverse si se conocen.

Para la resolución de triángulos rectángulos se distinguen 4 casos

a) b) c) d)

73

Dos lados Un lado y un ángulo Dado un lado y la hipotenusa Dado la hipotenusa y el ángulo

15043971504397

En todo triángulo rectángulo la suma de sus ángulos agudos es 90 grados Caso 1- dado 2 lados Resolver los siguientes triángulos rectángulos ℎ

Ejemplos.

ℎ

Nota.- para resolver se coloca los datos al triangulo y buscamos los elementos que falta Y

z 7cm

X

9cm

Z

Cálculo de “z” √( ) √ √ ,

Cálculo de “X” (

)

t

Cálculo de “Y”

̂

̂

Área ×

t

( )

̂

×

, ,

Recuerda.- Para trabajar con la calculadora ̂

t

( )

ℎ

t

( )

,,

Actividades 1.- En los triángulos colocar los datos para resolver ) ) a)

b)

, ,

,

ℎ

,

ℎ

Cálculo de “b”

Cálculo de “A”

Cálculo de “B”

Área

Cálculo de “p”

Cálculo de “N”

Cálculo de “M”

Área

74

15043971504397

Caso 2.- dado un lado y un ángulo ,ℎ

60m

C

b

Cálculo de “Y” ̂ ̂ ̂

Cálculo de “X” t ̂

Cálculo de “z” √( )

(

√

̂

×

Área ×

,

√

,

)

,

,

, ,

B

A

t

Nota.ACTIVIDAD 2 )

e t

,

)

e t

,

a)

b)

̂ ,

s

ê

s s

e s

e

Cálculo de “B”

Cálculo de “c”

Cálculo de “d”

Área

Cálculo de “X”

Cálculo de “y”

Cálculo de “z”

Área

75

×

15043971504397

Caso 3.- dado un lado y la hipotenusa Ejemplos.Cálculo de “P” ŝ

P

25 m

30m 3030

̂ ̂

M

s(

) ,

Cálculo de “p” √( ) √ √ ,

(

)

Cálculo de “N” ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ,

N

Área ×ℎ ,

×

,

ACTIVIDAD 3.Resolver los siguientes triángulos rectángulos a) M

6,3

Cálculo de “m”

Cálculo de “ ̂ ”

Cálculo de “ ̂ ” Área

Cálculo de “a”

Cálculo de “C”

Cálculo de “A” Área

P

8,4

Q

b) A 24 cm

B

C

76

19cm 15043971504397

Caso 4.es

dado la hipotenusa y un ángulo

e

S r

ss R

25m

e tes t Cálculo de “R” ̂ ̂ T ̂ ̂ ̂

s

s e t

s

Cálculo de “P” se ̂ s ,

Cálculo de “s” √( √

)

Área (

,

×ℎ

)

,

,

√ ,

,

T

,

ACTIVIDAD 4.- Resolver los siguientes triángulos a) A

Cálculo de “ ̂ ”

Cálculo de “c”

Cálculo de “b”

Área

Cálculo de “ ̂ ”

Cálculo de “r”

Cálculo de “q”

Área

B 6,3

C

b)

Q

13,4

×

R

M

S

77

,

15043971504397

Resolver los siguientes triángulos hallando todos los elementos B ∅

y

12cm

h

mm

35°

4cm D

←

←

x

±±

∅

𝑑 d

ℎ ℎ ℎ ℎ

s

∅

×s

∅

,

√( √

)

√

,

( , ,

√( √ √ , ,

×ℎ

)

,

,

× ,

, ,

,

Recuerda.

-Para resolver se puede comenzar por los ángulos y luego los lados

PRACTICA 5.- Resolver el siguiente triángulo A ∅ b

𝑑

x D

a

←

y B

200m

C

78

)

( , ,

)

15043971504397

Cálculo de

Cálculo de ∅

Cálculo de “y”

Cálculo de “a”

Calculo de “x”

Cálculo de “b”

Cálculo de “d”

Área

Ángulos de elevación y de depresión.-Son aquellos formados por la horizontal considerada al ojo del observador y la línea de mira según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última, con respecto al observador los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos

Ejemplos.- Resolver los siguientes problemas 1.-Una escalera de mano está apoyada contra la pared, la altura de la pared es de 4,33m. ¿Á que distancia del pie de la escalera al extremo de la pared se encuentra y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de con el suelo? Nota.Para resolver problemas primero leer, interpretar y resolver (solo se resuelve lo que se busca) y tiene que tener una solución.

79

15043971504397

,

t t

,

s ,

s

,

, ,

,

,

st

e

e e

es

e

e t e

es e ,

,

t

e

es

e

es

2.- Cuándo se observa la punta de un árbol desde un punto situado a 40 m de su base, el ángulo de elevación es de .Determinar la altura del árbol.

3.- Se debe colocar una rampa de 2,8 m de largo para facilitar el acceso a un edificio cuya entradase encuentra a 1,2 m de altura. ¿Qué ángulo forma con el suelo? PRÁCTICA Resuelve los siguientes triángulos rectángulos dados. )

e t

,

)

e t

,

̂

,

s

e

,

80

s

e

e

s

s

s

15043971504397

)

M

N

35 m

P

d)

e) )

e e ,

e est t t

)

e e

t

e

se

,

e s

se

ee

e

s

ete es e e

s

e s e

t

es e

e , ,

81

e t

est se e

s

e e t

s e ete?

15043971504397

EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

Instrucciones: Desarrolla los ítems propuestos, para ello no te apresures, lee bien reflexiona tus respuestas. Recuerda que es individual, son tus conocimientos los que están siendo evaluados. 1.- Determina las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F, según corresponda a)……...En todo triángulo rectángulo de menor longitud es la hipotenusa b)………Si en un triángulo se cumple que

, entonces

c)………En el triángulo rectángulo tiene un ángulo mayor a 90° 2.-Resolver el siguiente triángulo rectángulo. Hallar el área y perímetro )

e t

̂

,

s

R

b) 7cm

Q

P

82

s

e

15043971504397

3.- Resolver los siguientes problemas aplicando triángulos rectángulos a) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 75m. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 25m se observa la azotea del otro con un ángulo de elevación de 65°. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?

b) Una torre de telecomunicaciones de 85m de altura proyecta una sombra de 130m de longitud encontrar el ángulo de elevación del sol.

ÉXITO EN LA VIDA NO SE MIDE POR LO QUE LOGRAS, SINO POR LOS OBSTÁCULOS QUE SUPERAS”

83

15043971504397

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Si damos un vistazo a nuestro entorno gran parte de nuestras construcciones en nuestra ciudad de Villazón geométricas

encontramos figuras

y para nuestro estudio los

triángulos oblicuángulos el cual las puedes encontrar en estructuras de casas, en la plazuelita de nuestra ciudad, muebles, en la naturaleza y en varios lugares. Definición.- Un triángulo es oblicuángulo cuando no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas: Triángulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triángulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible resolverlo si aplicamos las funciones trigonométricas.

Triángulo acutángulo ̂, ̂

Triángulo obtusángulo

̂

̂

Se denominan triángulos acutángulos a aquellos triángulos que tienen todos sus ángulos agudos, es decir que son menores a 𝟗𝟎𝟎

Se denominan triángulos obtusángulos a aquellos triángulos que tienen un ángulo mayor a 𝟗𝟎𝟎

84

15043971504397

Ley de senos.- “En todo triángulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”

̂

̂

̂

Ley de cosenos.- “En todo triángulo cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo comprendidos entre ellos” ̂ ŝ ̂

Suma de ángulos interiores.- “En todo triángulo la suma de ángulos interiores de un triángulo es igual a

”

̂

Área de un triángulo oblicuángulo.- “El área de un

̂

̂

triángulo oblicuángulo es igual al

semiproducto de dos de sus lados cualesquiera por el seno del ángulo comprendido entre ellos”.

̂

85

15043971504397

CASOS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁGULOS CASO 1 DADOS DOS ÁNGULOS Y UN LADO

Calculo de 𝐶̂ 𝐴̂

𝐵̂ 𝑜

𝐶̂

𝑜

𝑜

𝐶̂

𝑜

𝑜

𝐶̂

𝑜

𝐶̂

𝑜

𝐶̂

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶̂

𝑏

𝑚 𝑜

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴̂

Cálculo del área

𝐴 𝑏 𝑠𝑒𝑛

𝑜

Cálculo de a

Cálculo de b

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵̂

𝑠𝑒𝑛 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑜

𝑜

𝐴

,

𝑠𝑒𝑛

𝑜

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎

𝑜

𝑨

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶̂

𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂

𝟑𝟑𝟒𝟎, 𝟒𝟐 𝒎𝟐 𝒂

𝒂

𝑜

𝟗𝟕, 𝟗𝟔 𝒎

86

𝑚 𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑜

𝟕𝟐, 𝟓𝟖 𝒎

𝑜 𝑜

15043971504397

CASO 2 DADOS DOS LADOS Y UN ANGULO Cálculo de a

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴̂

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶̂

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐶̂ = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂

𝑠𝑒𝑛𝐶̂

º

𝑎

𝐶̂

s

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ ( ) 𝑎

𝐶̂

s

(

𝐶̂

s

(

̂ 𝑪

𝟓𝟕𝒐 𝟑𝟑𝒐 𝟕, 𝟔𝟐𝒐

Cálculo de a

𝑎

𝑏

𝑎

√𝑏

𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴̂

𝑐

𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ ) 𝑎 𝑠𝑒𝑛 ,

𝑂

)

Cálculo del área

º

𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴̂

𝑐

𝑎

√

𝑎

√

𝑎

√

𝒂

𝟐𝟑, 𝟑𝟒

𝑐𝑜𝑠

𝑜

,

𝐴 𝐴

,

𝑨

Cálculo de 𝐵̂ 𝐵̂

𝑜 𝑜

𝐵̂ ̂ 𝑩

𝑜

𝑜

, 𝑜

𝑜

𝑜

,

𝐵̂ 𝑜

𝑜

𝑂

𝑜 𝑜

,

𝑜

𝟒𝟐𝒐 𝟐𝟔𝒐 𝟓𝟐, 𝟑𝟖𝒐

87

𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ 𝑚

𝑚

𝟏𝟓𝟕, 𝟓𝟕 𝒎𝟐

𝑠𝑒𝑛

𝑜

15043971504397

CASO 3 DADOS LOS TRES LADOS Cálculo de a

𝑎

𝑏

𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴̂

𝑐

𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴̂

𝑏

𝑏

𝑐𝑜𝑠𝐴̂

𝑐

𝑎

𝑐 𝑎 𝑏𝑐

𝑏

𝑐 𝑎 ) 𝑏𝑐

𝐴̂

s

(

Cálculo de 𝐵̂

𝐴̂

s

(

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴̂

𝐴̂

s

(

)

𝐴̂

s

(

)

𝐴̂

s

(

𝐴̂

s

(

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵̂

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐵̂ = 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ 𝑎

𝑠𝑒𝑛𝐵̂ 𝐵̂

𝐵̂

s

s

(

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ ) 𝑎

(

𝑠𝑒𝑛

𝐴̂ 𝑜

𝟑𝟔𝒐 𝟐𝟎𝒐𝟗, 𝟖𝟏𝒐 Cálculo de 𝐶̂ 𝑜 𝑜 𝑜 , 𝑜 𝑜 𝑜 𝑜 , 𝐶̂

𝑜

,

)

)

)

𝟏𝟏𝟕𝒐 𝟏𝟔𝒐 𝟒𝟔, 𝟔𝟏𝒐

𝑜

)

̂ 𝑩

𝐶̂

𝑜

𝑜

𝑜

𝐶̂

𝑜

𝑜

𝑜

̂ 𝑪

Cálculo del área 𝑜

𝑜

,

𝐶̂

𝑜

𝑜

,

𝑜

,

𝑜

𝐴

𝐴

𝟐𝟔𝒐 𝟐𝟑𝒐 𝟑, 𝟓𝟖𝒐

𝑨

88

𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐴̂

𝑚

𝑚

𝟏𝟓𝟕, 𝟓𝟕 𝒎𝟐

𝑠𝑒𝑛

𝑜

15043971504397

REFORZAMOS NUESTROS CONOCIMIENTOS Un avión vuela 250 Km de la ciudad

A a la ciudad C; luego

cambia de rumbo 62 grados y se dirige a la ciudad B. La distancia de B a C es de 165 Km. ¿Cuál es la distancia de la ciudad A a la ciudad B?.

Calculo de “c” 𝑐

𝑎

𝑏

𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 Ø

𝑐

√𝑎

𝑏

𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 Ø

Calculo de Ø

𝑐

√

(

)(

)𝑐𝑜𝑠

𝑜

𝑜

𝑐

√

(

)(

)𝑐𝑜𝑠

𝑜

𝑐

√

𝑐

√

𝑐

√

𝒄

𝟑𝟓𝟖, 𝟒𝟏

Ø

𝛼 𝑜

Ø Ø Ø

𝑜 𝑜

𝑜

𝑜

(

,

)

,

,

Calcular la altura del edificio

Por gráfica en el triángulo rectángulo CNB Por gráfica en el triángulo ACB

Por gráfica 𝜆

𝑜

𝜃 𝑜

𝜆

𝑜 𝑜

𝜆 𝜆

𝑎 𝑠𝑒𝑛

𝑜 𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑜

𝑎 𝒂

𝑜

𝑜 𝑜

𝟔𝟖, 𝟒𝟎 𝒎

89

ℎ

,

ℎ , 𝑚 𝑠𝑒𝑛

𝑜

𝒉

𝟔𝟖, 𝟒𝟎 𝒎 𝒔𝒆𝒏𝟓𝟎𝒐

𝒉

𝟔𝟖, 𝟒𝟎 𝒎 𝒔𝒆𝒏𝟓𝟎𝒐

𝒉

𝟓𝟐, 𝟒𝟎 𝒎

15043971504397

Dos estudiantes en el día de campo a la localidad de Mojo están separados en 2900 m uno del otro, observan volar un globo. Sus ángulos de elevación respecto al globo son de respectivamente. Determinamos la altura del globo.

D D

En el triángulo oblicuángulo ABC:

Por suma de ángulos interiores: 𝐵̂

𝑜

𝑜

𝑜

𝐵̂

𝑜

𝑜

𝐵̂

𝑜

𝑜

̂ 𝑩

𝟒𝟓

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ 𝑎

𝒐

𝑎

En el triángulo rectángulo BDC: 𝑠𝑒𝑛

𝒂

,

ℎ

𝒉

ℎ

𝑜

,

𝑠𝑒𝑛

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵̂

𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ 𝑠𝑒𝑛𝐵̂ 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛

𝟑𝟓𝟓𝟐, 𝟕𝟔º

𝑜

3446,25

RESOLVEMOS

LOS

SIGUIENTES

TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

90

𝑜

𝑜

15043971504397

º

a) Dos personas se encuentran separadas en línea recta 1200. Ambas observan un avión con ángulos de elevación de

y respectivamente. Calcular la altura a la que se

encuentra el avión. b) ¿Cuál es el costo en Bs. Del terreno triangular de la figura, si el

es $us 21?

EVALUACIÓN DE SABERES Y CONOCIMIENTOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

CURSO

FECHA

COLEGIO

1. Resolver un triángulo oblicuángulo implica determinar sus elementos básicos, es decir sus tres lados y sus tres ángulos, relacionándolos mediante leyes trigonométricas. V

F

91

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2. ¿Cómo se resuelve un triángulo oblicuángulo?

3. ¿Cuál es la diferencia entre los triángulos oblicuángulos y rectángulos?

4. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos.

5.

Un avión viaja entre dos ciudades A y B con ángulos de elevación de

,

respectivamente. La distancia entre las ciudades es de 1500 Km. Halla la distancia del avión a cada una de las ciudades.

“La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas sino hacer las cosas complicadas simples”

92

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93