Manuale Del Geometra by Luigi Gasparelli [PDF]
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MANUALE DEL GEOMETRA
NUOVO GASPARRELLI
MANUALE del
GEOMETRA Matematica - Informatica - Fisica - Chimica - Scienze naturali Ambiente - Estimo - Progetto, impianti, tecnologia delle costruzioni Costruzioni - Topografia - Diritto - Qualità e sicurezza Programmi per calcolatore
ventitreesima edizione
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
Indice (Ogni Sezione è preceduta dall’indice dettagliato) PREFAZIONE SEZIONE A - MATEMATICA 1 - Tabelle e unità di misura ............................................................... 2 - Geometria ...................................................................................... 3 - Trigonometria ................................................................................ 4 - Aritmetica e algebra....................................................................... 5 - Algebra lineare .............................................................................. 6 - Analisi ........................................................................................... 7 - Geometria analitica........................................................................ 8 - Statistica e teoria degli errori......................................................... 9 - Calcolo numerico e grafico............................................................ SEZIONE B - INFORMATICA 1 - Ambienti ........................................................................................ 2 - Sistemi software ............................................................................ 3 - Applicazioni................................................................................... 4 - Internet........................................................................................... 5 - Reti................................................................................................. 6 - Multimedialità ............................................................................... SEZIONE C - FISICA 1 - Meccanica dei corpi rigidi ............................................................. 2 - Meccanica dei liquidi .................................................................... 3 - Meccanica degli aeriformi ............................................................ 4 - Termologia .................................................................................... 5 - Acustica ........................................................................................ 6 - Ottica ............................................................................................ 7 - Elettrologia - magnetismo - elettronica ......................................... 8 - Ottica ondulatoria ......................................................................... 9 - Fisica atomica e nucleare .............................................................. SEZIONE D - CHIMICA 1 - Chimica generale .......................................................................... 2 - Chimica inorganica........................................................................ 3 - Chimica organica ........................................................................... 4 - Chimica applicata .......................................................................... 5 - Analisi chimica qualitativa ............................................................ 6 - Analisi chimica quantitativa ..........................................................
A » » » » » » » »
7 37 47 55 76 123 154 190 248
B » » » » »
5 10 18 33 38 41
C » » » » » » » »
2 17 18 19 24 26 30 33 34
D » » » » »
4 13 33 47 66 70
SEZIONE E - SCIENZE NATURALI 1 - Mineralogia.................................................................................... E
4
2 - Litologia ......................................................................................... 3 - Geologia ......................................................................................... 4 - Elementi di geotecnica ................................................................... 5 - Elementi di idrogeologia ................................................................ 6 - Classificazione dei viventi .............................................................
» 9 » 17 » 33 » 78 » 101
SEZIONE F - AMBIENTE 1 - Sviluppo sostenibile ....................................................................... 2 - Agronomia generale ....................................................................... 3 - Selvicoltura .................................................................................... 4 - Meccanizzazione ambientale ......................................................... 5 - Acque sotterranee........................................................................... 6 - Elementi di geopedologia............................................................... 7 - Inquinamento dell’acqua................................................................ 8 - Inquinamento dell’aria ................................................................... 9 - Gestione dei rifiuti ......................................................................... 10 - Fonti di energia .............................................................................. 11 - Pianificazione energetica locale..................................................... 12 - Risparmio energetico negli edifici ................................................. 13 - Il problema del radon negli edifici .................................................
F » » » » » » » » » » » »
10 32 104 115 138 146 157 163 169 194 212 227 301
SEZIONE G - ESTIMO 1 - Matematica finanziaria................................................................... 2 - Estimo generale.............................................................................. 3 - Estimo civile .................................................................................. 4 - Estimo rurale .................................................................................. 5 - Estimo legale.................................................................................. 6 - Estimo ambientale.......................................................................... 7 - Estimo catastale.............................................................................. 8 - Entrate tributarie ............................................................................
G » » » » » » »
8 17 26 86 111 139 153 198
SEZIONE H - PROGETTO, IMPIANTI E TECNOLOGIA DELLE COSTRUZIONI 1 - Progettazione, direzione, contabilità e collaudo dei lavori ............ 2 - Fabbricati civili .............................................................................. 3 - Fabbricati rurali.............................................................................. 4 - Fabbricati per l’industria ................................................................ 5 - Strutture di fabbrica ....................................................................... 6 - Materiali da costruzione................................................................. 7 - Impianti di cantiere e macchine edili ............................................. 8 - Recupero edilizio e conservazione degli edifici............................. 9 - Lesioni dei fabbricati ..................................................................... 10 - Contabilità dell’impresa edile ........................................................ 11 - Analisi di prezzi per opere edili ..................................................... 12 - Norme d’igiene edilizia.................................................................. 13 - Norme tecniche per le barriere architettoniche .............................. 14 - Urbanistica .....................................................................................
H » » » » » » » » » » » » »
13 47 142 159 166 206 268 285 301 309 315 327 335 353
15 - Disegno tecnico e CAD ................................................................. » 378 16 - Impianti interni .............................................................................. » 415
SEZIONE I - COSTRUZIONI 1 - Statica dei sistemi elastici.............................................................. 2 - Costruzioni in muratura ................................................................. 3 - Cemento armato............................................................................. 4 - Cemento armato precompresso ..................................................... 5 - Strutture in acciaio......................................................................... 6 - Costruzioni idrauliche.................................................................... 7 - Costruzioni stradali........................................................................ 8 - Costruzioni in zona sismica ........................................................... 9 - Costruzioni in legno....................................................................... 10 - Calcolo agli stati limite delle strutture in c.a. ................................
I » » » » » » » » »
9 76 102 216 230 310 379 463 482 489
SEZIONE L - TOPOGRAFIA 1 - Nozioni introduttive....................................................................... 2 - Il rilevamento topografico del terreno ........................................... 3 - Cenno sui sistemi geodetici nel mondo ......................................... 4 - L’appoggio altimetrico .................................................................. 5 - La misura degli angoli ................................................................... 6 - La misura delle distanze ................................................................ 7 - La misura dei dislivelli .................................................................. 8 - Rilevamento dei particolari (dettaglio).......................................... 9 - Le rappresentazioni altimetriche e le proiezioni quotate............... 10 - Fotogrammetria ............................................................................. 11 - Cartografia ..................................................................................... 12 - Agrimensura e spianamenti ........................................................... 13 - Problemi topografici relativi alle costruzioni stradali ................... 14 - Cartografia tematica ...................................................................... 15 - Catasto numerico ........................................................................... 16 - Applicazioni di topografia ............................................................. 17 - Telerilevamento ............................................................................. 18 - Sistemi informativi territoriali (SIT) .............................................
L » » » » » » » » » » » » » » » » »
9 19 52 55 58 67 76 87 101 115 170 197 219 251 276 287 304 332
SEZIONE M - DIRITTO 1 - Diritto civile................................................................................... M 3 2 - Consulenze ed arbitrati .................................................................. » 71 3 - Regolamenti professionali ............................................................. » 92 SEZIONE N - QUALITÀ E SICUREZZA 1 - Qualità ........................................................................................... 2 - Sicurezza nei cantieri mobili e temporanei.................................... 3 - Sicurezza negli impianti termici .................................................... 4 - Prevenzione incendi nell’edilizia...................................................
N » » »
2 15 39 60
SEZIONE O - PROGRAMMI PER CALCOLATORE 1 - Gli allegati al manuale ................................................................... O
2
Direttore dell’opera ULRICO HOEPLI; curatore ANDREA GUADAGNI
Ing. SALVATORE ALARIO (Sicurezza nei cantieri) Arch. ELISABETTA ALBANESE (Tecnologia delle costruzioni) Dott. STEFANO AMICABILE (Estimo) Arch. ALDO AMORESANO (Tecnologia delle costruzioni, Progetti su CD) Prof. arch. DANILO ANNONI (Telerilevamento, Sistemi informativi territoriali) Ing. DARIO BANDI (Fonti di energia, Sicurezza degli impianti termici) Ing. PAOLO BINDI (Impianti interni) Ing. RICCARDO BORLENGHI (Sviluppo sostenibile) Dott. FAUSTO BREVI (Gestione dei rifiuti) Ing. ANTONIO CIRILLO (Calcolo agli stati limite delle strutture in c.a.) Dott. ANTONELLA CIULLINI (Matematica, Sismica) Ing. FEDERICO DE PEPPO (Costruzioni in acciaio) Dott. MARIA FERRAROTTI (Agronomia generale) Dott. LUCA FREZZINI (Selvicoltura) Ing. STEFANO GALLO (Risparmio energetico negli edifici) Ing. GIULIO GIANNERINI (Gestione dei rifiuti) Dott. DARIA GIANNI (Informatica) Ing. ADRIANO GUADAGNI (Costruzioni idrauliche) Ing. ANDREA GUADAGNI (Matematica, Informatica, Costruzioni) Geom. FRANCO GUAZZONE (Catasto) Dott. ENRICO GUAZZONI (Geotecnica, Inquinamento aria e acqua, Pedologia) Prof. ing. CARLO MONTI (Topografia, Fotogrammetria) Dott. MARIA MORINI (Chimica, Fisica, Scienze) Dott. MARIA MURA (Chimica, Fisica, Scienze) Ing. TIZIANO NEGRI (Costruzioni in c.a.) Dott. RODOLFO PASINETTI (Pianificazione energetica) Prof. dott. CLAUDIO PERI (Qualità) Prof. dott. PIETRO PICCAROLO (Meccanizzazione ambientale) Arch. GRAZIELLA RANZA (Progetto e Tecnologia delle costruzioni) Prof. ing. ATTILIO SELVINI (Topografia, Fotogrammetria) Ing. SILVIA SPERONI (Impianti interni) Ing. CHIARA VANOLI (Impianti interni) Ing. GIUSEPPE VITIELLO (Informatica)
Prefazione Alla ventesima edizione del Manuale dei Geometra si è voluto dare il nome di “Nuovo Gasparrelli”: non si tratta infatti di un aggiornamento, come quelli che si rendono necessari periodicamente per adeguarsi a nuove leggi e procedimenti tecnici, bensì di un completo rinnovamento entro il solco della tradizione iniziata dal Geometra Luigi Gasparrelli negli anni Trenta. Tradizione dunque: non si potevano infatti alterare i fondamenti di un’opera tanto meritoria, sulla quale si sono formate generazioni di valenti professionisti. Ma rinnovamento anche, perché la tecnica, le strutture operative, i metodi e gli strumenti di lavoro si sono profondamente evoluti nel corso degli ultimi anni. Basti pensare all’impiego diffuso dell’elaboratore elettronico, ai cui procedimenti di calcolo si è dato largo spazio nel presente volume. Ma c’è dell’altro. Il «Manuale» tiene in conto che qualsiasi progetto di un certo rilievo coinvolge ormai discipline molteplici, che richiedono lavoro in équipe ed esigono dal Geometra informazioni al di là del suo normale campo professionale. Non c’è poi da dimenticare che un titolo intermedio tra il diploma e la laurea, come si ha di frequente negli stati esteri, rientra nei programmi futuri dell’Ingegneria. Il «Manuale» intende avviarsi su questa strada. C’è infine da considerare l’integrazione internazionale, della quale l’adozione del sistema SI di misura rappresenta il primo passo. Nel rinnovamento del «Manuale» si è tenuto presente il fatto che il Geometra, pur avendo un’attività prevalente nel proprio paese, potrà sempre più spesso essere chiamato a una collaborazione anche all’estero. Pertanto, ovunque lo si è ritenuto opportuno, si sono privilegiati i metodi e i procedimenti accettati non soltanto da noi, ma anche nei paesi stranieri. Ci auguriamo quindi che il «Nuovo Gasparrelli», frutto del rinnovamento nella tradizione, costituisca un valido e moderno strumento di lavoro e di studio per un’affermata professione. Milano, settembre 1988
L’Editore
Nota dell’Editore alla 23a edizione Tutte le sezioni sono state riviste in questa 23a edizione. In particolare è stata completamente rinnovata la sezione di Estimo in modo da renderla più aderente alle attuali competenze dei geometri. Sono stati riscritti il capitolo sulla Prevenzione incendi nell’edilizia e quello sulla Sicurezza negli impianti termici. Sono stati inoltre aggiunti nuovi capitoli che riguardano il Telerilevamento, i Sistemi informativi territoriali e il Calcolo agli stati limite delle strutture in cemento armato. Del tutto nuova è anche la sezione relativa all’Informatica. Al “Manuale” non è più allegato un CD-ROM perché al suo posto è stato creato il sito internet www.manuali-hoepli.it nel quale si può trovare tutto il contenuto del CD-ROM e altro materiale. In questo modo possono essere tempestivamente forniti al lettore anche gli aggiornamenti che si rendessero necessari a causa del continuo cambiamento delle norme tecniche. Il sito contiene programmi di calcolo che consentono la soluzione di problemi in matematica, topografia e calcolo delle strutture. Sono poi presentati progetti architettonici corredati da spiegazioni sugli aspetti più significativi di ciascuno. Il simsi riferisce, quindi, al sito internet. bolo presente nel testo Milano, gennaio 2007
L’Editore
Sezione A Matematica 1
TABELLE E UNITÀ DI MISURA
1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3
1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4
Tabelle fondamentali Alfabeto greco............................................................................................... Costanti matematiche .................................................................................... Logaritmi in base 10 ..................................................................................... Seno (gradi centesimali)................................................................................ Tangente (gradi centesimali)......................................................................... Tabelle di matematica finanziaria Numero di ciascun giorno dell’anno ............................................................. Valori dei coefficienti finanziari ................................................................... Tabelle di statistica Fattoriali e coefficienti binomiali.................................................................. Tavola dei numeri casuali ............................................................................. Ordinate (Y) della curva normale standardizzata in corrispondenza dei valori di z ............................................................................................... Aree sotto la curva normale standardizzata da 0 a z ................................... Valori dei percentili (tp) per la distribuzione della variabile casuale t di Student con v gradi di libertà (area ombreggiata = p).............................. Valori dei percentili per la distribuzione della variabile casuale chiquadrato con v gradi di libertà (area ombreggiata = p) ................................. Unità di misura Unità fondamentali e supplementari del sistema SI ...................................... Unità derivate dei sistema SI aventi nome proprio ....................................... Prefissi delle unità dei sistema SI ................................................................. Vocabolario delle unità di misura .................................................................
2
GEOMETRIA
2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9
Figure piane Triangolo rettangolo...................................................................................... Triangolo....................................................................................................... Rettangolo ..................................................................................................... Rombo........................................................................................................... Parallelogramma ........................................................................................... Trapezio ........................................................................................................ Quadrilatero .................................................................................................. Poligoni regolari ........................................................................................... Poligoni .........................................................................................................
1.3.4 1.3.5 1.3.6
7 7 8 11 13 15 16 18 19 20 22 24 26 28 28 29 29
37 37 37 37 38 38 38 38 38
A-2
MATEMATICA
2.1.10 2.1.11 2.1.12 2.1.13 2.1.14 2.1.15 2.1.16 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 2.2.10 2.2.11 2.2.12 2.2.13 2.2.14 2.2.15 2.2.16 2.2.17 2.2.18 2.2.19 2.2.20 2.2.21 2.2.22 2.2.23 2.2.24 2.2.25
Cerchio.......................................................................................................... Corona circolare............................................................................................ Settore circolare ............................................................................................ Segmento circolare ....................................................................................... Ellisse............................................................................................................ Parabola ........................................................................................................ Figura a contorno curvilineo......................................................................... Solidi Parallelepipedo rettangolare ......................................................................... Prisma con basi parallele retto e obliquo ...................................................... Tronco di prisma triangolare ........................................................................ Cuneo............................................................................................................ Obelisco ........................................................................................................ Tronco di prisma a basi non parallele........................................................... Piramide........................................................................................................ Piramide retta a base regolare....................................................................... Tronco di piramide a basi parallele .............................................................. Prismoide ...................................................................................................... Rampe ........................................................................................................... Cilindro circolare retto e obliquo.................................................................. Tronco di cilindro circolare .......................................................................... Cono circolare retto e obliquo ...................................................................... Tronco di cono circolare a basi parallele ...................................................... Sfera.............................................................................................................. Settore sferico ............................................................................................... Calotta sferica ............................................................................................... Zona sferica (segmento sferico a due basi)................................................... Ellissoide....................................................................................................... Paraboloide circolare .................................................................................... Tino a basi ellittiche...................................................................................... Botte con doghe paraboliche ........................................................................ Regola di Guldino......................................................................................... Anello circolare ............................................................................................
3
TRIGONOMETRIA
3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2 3.2.1 3.2.2
Funzioni trigonometriche Definizione sul triangolo rettangolo ............................................................. Il cerchio trigonometrico .............................................................................. La riduzione al primo quadrante................................................................... Relazioni tra le funzioni dello stesso angolo ................................................ Relazioni tra le funzioni di due angoli.......................................................... Triangolo rettangolo Relazioni tra gli elementi del triangolo rettangolo. ...................................... Risoluzione del triangolo rettangolo.............................................................
39 39 39 39 39 40 40 40 40 41 41 41 41 42 42 42 42 43 43 43 43 44 44 44 44 45 45 45 45 46 46 46
47 47 48 49 50 50 51
MATEMATICA
A-3
3.3 3.3.1 3.3.2
Triangolo Relazioni tra gli elementi di un triangolo...................................................... 52 Risoluzione del triangolo .............................................................................. 53
4
ARITMETICA E ALGEBRA
4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6 4.6.7 4.6.8
Il sistema dei numeri reali Gli insiemi Definizioni principali .................................................................................... Sottoinsiemi .................................................................................................. Operazioni sugli insiemi ............................................................................... Proprietà delle operazioni. ......................................................................... Conteggi sugli insiemi .................................................................................. Logica delle proposizioni Operazioni fondamentali............................................................................... Altre operazioni logiche................................................................................ Proprietà delle operazioni fondamentali ....................................................... Potenze, radici, logaritmi Potenze con esponente intero positivo. ......................................................... Potenze con esponente intero negativo ......................................................... Radici: potenze con esponente razionale ...................................................... Potenze con esponente irrazionale ................................................................ Logaritmi decimali........................................................................................ Logaritmi naturali ......................................................................................... Calcoli con le potenze ................................................................................... Polinomi ed espressioni algebriche Polinomi o somme algebriche....................................................................... Espressioni algebriche................................................................................... Addizione e sottrazione................................................................................. Moltiplicazione ............................................................................................. Divisione ....................................................................................................... Frazioni algebriche........................................................................................ Equazioni e disequazioni Il concetto di equazione ................................................................................ Trasformazioni equivalenti ........................................................................... Equazioni di primo grado.............................................................................. Sistema di due equazioni di primo grado...................................................... Equazioni di secondo grado .......................................................................... Equazioni di terzo grado o cubiche............................................................... Disequazioni di primo grado......................................................................... Disequazioni di secondo grado .....................................................................
5
ALGEBRA LINEARE
5.1 5.1.1
Vettori geometrici Definizione di vettore geometrico................................................................. 76
56 56 57 58 58 60 61 63 63 63 64 64 65 65 65 66 66 66 66 67 68 69 70 70 71 73 73 75 75
A-4
MATEMATICA
5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6 5.3.7 5.3.8 5.3.9 5.3.10 5.3.11
Addizione tra vettori geometrici ................................................................... Moltiplicazione di vettori per scalari ............................................................ Dipendenza lineare ....................................................................................... Componenti in un riferimento cartesiano ..................................................... Prodotto scalare o interno tra vettori ............................................................ Prodotto vettoriale ........................................................................................ Il triplo prodotto scalare tra vettori ............................................................... Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale .................................................................... Assiomi degli spazi vettoriali ....................................................................... Prodotto interno o scalare ............................................................................. Base di uno spazio vettoriale ........................................................................ Applicazioni e trasformazioni lineari ........................................................... Sistemi di equazioni lineari e matrici Rappresentazione di applicazioni lineari mediante matrici .......................... Operazioni con le matrici.............................................................................. Sistemi di equazioni lineari. ......................................................................... Algoritmo di Gauss....................................................................................... Matrice inversa ............................................................................................. Algoritmo di Gauss-Jordan........................................................................... Determinanti ................................................................................................. Regola di Cramer .......................................................................................... Proiezioni ortogonali e minimi quadrati ....................................................... Ortogonalizzazione e Algoritmo di Gram-Schmidt...................................... Sistemi di equazioni non lineari ...................................................................
6
ANALISI
6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8 6.2.9 6.3 6.3.1 6.3.2
Insiemi e corrispondenze Definizioni .................................................................................................... Prodotto cartesiano ....................................................................................... Tipi di corrispondenza – Funzioni ................................................................ Funzioni Generalità e definizioni................................................................................. Aritmetica delle funzioni .............................................................................. Composizione di funzioni............................................................................. Scomposizione di funzioni ........................................................................... Funzioni inverse............................................................................................ Funzioni in forma implicita .......................................................................... Funzioni parametriche .................................................................................. Funzioni polari.............................................................................................. Funzioni di due variabili ............................................................................... Successioni, serie, limiti Successioni ................................................................................................... Convergenza e divergenza ............................................................................
77 78 78 78 80 81 82 83 83 84 84 85 89 92 95 97 101 103 106 106 108 115 119
123 123 124 126 127 127 128 128 130 130 131 131 132 135
MATEMATICA
A-5
6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5
Serie numeriche............................................................................................. 137 Teoremi sui limiti.......................................................................................... 139 Forme indeterminate 0/0 e ∞ / ∞.................................................................... 139 Limiti notevoli .............................................................................................. 140 Derivate e differenziali Derivata e differenziale di una funzione ....................................................... 141 Derivate parziali, differenziale totale di funzioni di due variabili ................ 145 Sviluppi di funzioni in serie di potenze Integrale indefinito e integrale definito Primitive e integrali indefiniti ....................................................................... 148 Metodi d’integrazione ................................................................................... 149 Integrali definiti............................................................................................. 151 Metodi di calcolo degli integrali definiti....................................................... 152 Integrali impropri .......................................................................................... 153
7
GEOMETRIA ANALITICA
7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3
Sistemi di coordinate Sistemi di coordinate nel piano ..................................................................... 154 Sistemi di coordinate nello spazio ................................................................ 157 Coordinate omogenee ................................................................................... 158 Trasformazioni bidimensionali in forma matriciale...................................... 159 Trasformazioni tridimensionali in forma matriciale ..................................... 161 Geometria analitica del piano Punto e retta. ................................................................................................. 161 Circonferenza. ............................................................................................... 164 Ellisse ............................................................................................................ 174 Parabola......................................................................................................... 174 Iperbole ......................................................................................................... 177 Coniche ......................................................................................................... 178 Geometria del piano in coordinate omogenee............................................... 178 Geometria analitica dello spazio Il piano e la retta nello spazio. ...................................................................... 180 La sfera e le quadriche .................................................................................. 185 Geometria dello spazio in coordinate omogenee .......................................... 188
8
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3
Statistica descrittiva I dati e la loro rappresentazione. .................................................................. 190 Indici di posizione......................................................................................... 193 Indici di dispersione. ..................................................................................... 195 Teoria della probabilità Calcolo combinatorio .................................................................................... 198 Spazi campionari ed eventi. .......................................................................... 200 Probabilità condizionata e indipendenza....................................................... 204
A-6
MATEMATICA
8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.4.5
Variabili casuali ............................................................................................ Importanti distribuzioni di probabilità.......................................................... Propagazione della varianza e della covarianza. .......................................... Inferenza statistica Teoria dei campioni ...................................................................................... Teoria statistica della stima. ......................................................................... Teoria delle decisioni: test di ipotesi e di significatività .............................. Teoria degli errori Tipi di misure................................................................................................ Tipi di errore. ................................................................................................ Osservazioni dirette ...................................................................................... Osservazioni indirette ................................................................................... Osservazioni dirette condizionate.................................................................
9
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5 9.1.6 9.1.7 9.1.8 9.1.9 9.2 9.2.1 9.2.2
Calcolo numerico Precisione di calcolo ..................................................................................... Calcolo con elaboratori elettronici............................................................... Zeri di una funzione...................................................................................... Sistemi di equazioni...................................................................................... Derivazione numerica ................................................................................... Sviluppo finito di funzioni............................................................................ Interpolazione lineare e polinomiale ............................................................ Regressione lineare e polinomiale ................................................................ Integrazione numerica .................................................................................. Calcolo grafico Carte logaritmiche e statistiche.................................................................... Nomogrammi di collineazione .....................................................................
209 214 219 222 224 229 237 238 241 242 247
248 249 250 251 255 257 260 261 265 267 267
1
TABELLE E UNITÀ DI MISURA 1.1
1.1.1
1.1.2
TABELLE FONDAMENTALI
Alfabeto greco Lettere minuscole
Lettere maiuscole
Nome delle lettere
Lettere italiane
α β γ δ ε ζ η ϑ, θ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Y Φ X ψ Ω
alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mi ni csi omicron pi ro sigma tau upsilon fi chi psi omega
a (breve o lunga) b g (dura) d e (breve) z e (lunga) th i (breve o lunga)
k i m n x (latina) o (breve) p r s t u (lombarda) ph (latina) ch (aspirata) ps o (lunga)
Costanti matematiche
π = 1/π = π2 = loge π = log10 π = log10 2π =
3,14159 0,31830 9,86960 1,14472 0,49714 0,39908
26535 98861 44010 98858 98726 99341
89793 83790 89358 49400 94133 79057
π 23946 67153 61883 17414 85435 62478
e= 1/e = e2 = M = log10 e = 1/M = loge 10 = log10 M =
2,71828 0,36787 7,38905 0,43429 2,30258 9,63778
18284 94411 60989 44819 50929 43113
59045 71442 30650 03251 94045 00536
23536 32159 22723 82765 68401 78912
26433 77675 44909 34273 12682 25035
83279 26745 99876 51353 88290 91507
50288 02872 15113 05871 89887 69595
41971 40689 53136 16472 36516 02099
69399 19291 99407 94812 78324 34102
37510 48091 24079 91531 38044 92127
02874 55237 04274 11289 79914 29674
71352 70161 60575 18916 54684 98565
66249 43086 00781 60508 36420 –10
77572 74458 31803 22943 76011
47093 11131 15570 97005 01488
6999 0317 5518 8036 6287
log
0
0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922
1
0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933
2
3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944
Logaritmi in base 10
N.
1.1.3
0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955
4 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966
5 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977
6 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988
7 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999
8 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010
9 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 8 8 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2
2 12 11 10 10 9 8 8 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
3 17 15 14 13 12 11 11 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4
21 19 17 16 15 14 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 5
25 23 21 19 18 17 16 15 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7
29 26 24 23 21 20 18 17 16 16 15 14 14 13 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8
Parti proporzionali 4 5 6 7 33 30 28 26 24 22 21 20 19 18 17 16 15 15 14 14 13 13 12 12 11 11 11 10 10 10 10 9 9 9
8 37 34 31 29 27 25 24 22 21 20 19 18 17 17 16 15 15 14 14 13 13 12 12 12 11 11 11 10 10 10
9
A-8 MATEMATICA
0
6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
N.
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395
1
6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401
2 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407
3 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414
4 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420
5
7
8
6085 6096 6107 6191 6201 6212 6294 6304 6314 6395 6405 6415 6493 6503 6513 6590 6599 6609 6684 6693 6702 6776 6785 6794 6866 6875 6884 6955 ’16964 6972 7042 7,050 7059 7126 7135 7143 7210 7218 7226 7292 7300 7308 7372 738,0 7388 7451 7459 7466 7528 7536 7543 7604 7612 7619 7679 7686 7694 7752 7760 7767 7825 7832 7839 7896 7903 7910 7966 7973 7980 8035 8041 8048 8102 8109 8116 8169 8176 8182 8235 8241 8248 8299 8306 8312 8363 8370 8376 8426 8432 8439
6
1.1.3 Segue
6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2
4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3
6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4
9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5
Parti proporzionali 5 6 7 8 10 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
9
TABELLE E UNITÀ DI MISURA
A-9
0
8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
N.
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961
1
8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965
2 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969
3 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974
4 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978
5 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983
6 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987
7 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991
8
1.1.3 Segue
8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
7
Parti proporzionali 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3
8 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
9
A-10 MATEMATICA
TABELLE E UNITÀ DI MISURA
1.1.4
A-11
Seno (gradi centesimali)
c g
0 ,0
10 ,1
20 ,2
30 ,3
40 ,4
50 ,5
60 ,6
70 ,7
80 ,8
90 ,9
100 1,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
0,0000 0157 0314 047.1 0628 0,0785 0941 1097 1253 1409 0,1564 1719 1874 2028 2181 0,2334 2487 2639 2790 2940 0,3090 3239 3387 3535 3681 0,3827 3972 4115 4258 4399 0,4540 4679 4818 4955 5090
0016 0173 0330 0487 0644 0800 0957 1113 1269 1425 1580 1735 1889 2043 2197 2950 2502 2654 2805 2955 3105 3254 3402 3549 3696 3841 3986 4130 4272 4414 4554 4693 4831 4968 5104
0031 0188 0346 0502 0659 0816 0972 1129 1284 1440 1595 1750 1905 2059 2212 2365 2517 2669 2820 2970 3120 3269 3417 3564 3710 3856 4000 4144 4286 4428 4568 4707 4845 4982 5117
0047 0204 0361 0518 0675 0832 0988 1144 1300 1456 1611 1766 1920 2074 2227 2380 2532 2684 2835 2985 3135 3284 3432 3579 3725 3870 4015 4158 4300 4442 4582 4721 4859 4996 5131
0063 0220 0377 0534 0691 0847 1004 1160 1316 1471 1626 1781 1936 2089 2243 2396 2548 2699 2850 3000 3150 3299 3446 3594 3740 3885 4029 4172 4315 4456 4596 4735 4872 5009 5144
0078 0236 0393 0550 0706 0863 1019 1175 1331 1487 1642 1797 1951 2105 2258 2411 2563 2714 2865 3015 3165 3313 3461 3608 3754 3899 4043 4187 4329 4470 4610 4749 4886 5023 5158
0094 0251 0408 0565 0722 0878 1035 1191 1347 1502 1657 1812 1966 2120 2273 2426 2578 2730 2880 3030 3180 3328 3476 3623 3769 3914 4058 4201 4343 4484 4624 4762 4900 5036 5171
0110 0267 0424 0581 0738 0894 1050 1207 1362 1518 1673 1828 1982 2135 2289 2441 2593 2745 2895 3045 3195 3343 3491 3637 3783 3928 4072 4215 4357 4498 4638 4776 4914 5050 5185
0126 0283 0440 0596 0753 0910 1066 1222 1378 1533 1688 1843 1997 2151 2304 2456 2608 2760 2910 3060 3209 3358 3505 3652 3798 3943 4086 4229 4371 4512 4652 4790 4927 5063 5198
0141 0298 0455 0612 0769 0925 1082 1238 1394 1549 1704 1858 2012 2166 2319 2472 2624 2775 2925 3075 3224 3373 3520 3667 3812 3957 4101 4244 4385 4526 4665 4804 4941 5077 5212
0157 0314 0471 0628 0785 0941 1097 1253 1409 1564 1719 1874 2028 2181 2334 2487 2639 2790 2940 3090 3239 3387 3535 3681 3827 3972 4115 4258 4399 4540 4679 4818 4955 5090 5225
99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
0,5225 5358 5490 5621 5750 0,5878 6004 6129 6252 6374
5238 5372 5503 5634 5763 5891 6017 6142 6265 6386
5252 5385 5516 5647 5776 5903 6029 6154 6277 6398
5265 5398 5530 5660 5788 5916 6042 6166 6289 6410
5278 5411 5543 5673 5801 5929 6054 6179 6301 6422
5292 5424 5556 5686 5814 5941 6067 6191 6314 6435
5568 5438 5305 5699 5827 5954 6079 6203 6326 6447
5582 5451 5318 5711 5840 5966 6092 6216 6338 6459
5332 5464 5595 5724 5852 5979 6104 6228 6350 6471
5345 5477 5608 5737 5865 5992 6117 6240 6362 6482
5358 5490 5621 5750 5878 6004 6129 6252 6374 6494
64 63 62 61 60 59 58 57 56 55
45 46 47 48 49
0,6494 6613 6730 6846 6959 1,0 100
6506 6625 6742 6857 6970 ,9 90
6518 6637 6753 6868 6982 ,8 80
6530 6648 6765 6880 6993 ,7 70
6542 6660 6776 6891 7004 ,6 60
6554 6672 6788 6902 7015 ,5 50
6566 6684 6800 6914 7026 ,4 40
6578 6695 6811 6925 7038 ,3 30
6590 6007 6822 6936 7049 ,2 20
6601 6613 6718 6730 6834 6846 6948 6959 7060 7071 ,1 ,0 10 0 Coseno
54 53 52 51 50 g c
MATEMATICA
A-12
Seno (gradi centesimali) Segue c g
0 ,0
10 ,1
20 ,2
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
0,7071 7181 7290 7396 7501 0,7604 7705 7804 7902 7997 0,8090 8182 8271 8358 8443 0,8526 8607 8686 8763 8838 0,8910 8980 9048 9114 9178 0,9239 9298 9354 9409 9461 0,9511 9558 9603 9646 9686 0,9724 9759 9792 9823 9851 0,9877 9900 9921 9940 9956 0,9969 9980 9989 9995 9999 1,0 100
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7093 7203 7311 7417 7522 7624 7725 7824 7921 8016 8109 8200 8288 8375 8460 8543 8623 8702 8778 8852 8924 8994 9062 9127 9190 9251 9309 9366 9419 9471 9520 9567 9612 9654 9694 9731 9766 9799 9829 9856 9882 9905 9925 9943 9958 9972 9982 9990 9996 9999 ,8 80
30 ,3
40 ,4
7104 7115 7214 7225 7322 7333 7428 7438 7532 7542 7635 7645 7735 7745 7834 7843 7930 7940 8025 8034 8118 8127 8208 8218 8297 8306 8384 8392 8468 8477 8551 8559 8631 8639 8710 8717 8786 8793 8860 8867 8931 8938 9001 9008 9068 9075 9133 9140 9196 9202 9257 9263 9315 9321 9371 9379 9425 9430 9476 9481 9525 9530 9572 9576 9616 9620 9658 9662 9697 9701 9735 9738 9769 9773 9802 9805 9832 9834 9859 9862 9884 9886 9907 9909 9927 9929 9945 9946 9960 9961 9973 9974 9983 9984 9991 9992 9996 9997 9999 1,0000 ,7 ,6 70 60
50 ,5
60 ,6
70 ,7
80 ,8
7126 7236 7343 7449 7553 7655 7755 7853 7949 8044 8136 8226 8315 8401 8485 8567 8647 8725 8801 8874 8945 9015 9081 9146 9208 9269 9326 9382 9435 9486 9534 9581 9625 9666 9705 9742 9776 9808 9837 9864 9889 9911 9931 9948 9963 9975 9985 9992 9997 1,0000 ,5 50
7137 7246 7354 7459 7563 7665 7765 7863 7959 8053 8145 8235 8323 8409 8493 8575 8655 8733 8808 8881 8952 9021 9088 9152 9215 9274 9332 9387 9440 9491 9539 9585 9629 9670 9709 9745 9779 9811 9840 9867 9891 9913 9932 9950 9964 9976 9986 9993 9998 1,0000 ,4 40
7148 7257 7364 7470 7573 7675 7775 7873 7868 8062 8154 8244 8332 8418 8502 8583 8663 8740 8816 8889 8959 9028 9094 9159 9221 9280 9338 9393 9446 9496 9544 9590 9633 9674 9713 9749 9783 9814 9843 9869 9894 9915 9934 9951 9965 9977 9987 9994 9998 1,0000 ,3 30
7159 7268 7375 7480 7584 7685 7785 7882 7978 8072 8163 8253 8341 8426 8510 8591 8671 8748 8823 8896 8966 9035 9101 9165 9227 9286 9343 9398 9451 9501 9549 9594 9637 9678 9716 9752 9786 9817 9846 9872 9896 9917 9936 9953 9967 9978 9987 9994 9998 1,0000 ,2 20
90 ,9
100 1,0
7170 7181 7279 7290 7386 7396 7491 7501 7594 7604 7695 7705 7794 7804 7892 7902 7987 7997 8081 8090 8172 8182 8262 8271 8349 8358 8435 8443 8518 8526 8599 8607 8678 8686 8756 8763 8830 8838 8903 8910 8973 8980 9042 9048 9108 9114 9171 9178 9233 9239 9292 9298 9349 9354 9404 9409 9456 9461 9506 9511 9553 9558 9598 9603 9641 9646 9682 9686 9720 9724 9756 9759 9789 9792 9820 9823 9848 9851 9874 9877 9898 9900 9919 9921 9938 9940 9954 9956 9968 9969 9979 9980 9988 9989 9995 9995 9998 9999 1,0000 1,0000 ,1 ,0 10 0 Coseno
49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 g c
TABELLE E UNITÀ DI MISURA
1.1.5 c g 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
A-13
Tangente (gradi centesimali) 0 ,0 0,0000 0157 0314 0472 0629 0,0787 0945 1104 1263 1423 0,1584 1745 1908 2071 2235 0,2401 2568 2736 2905 3076 0,3249 3424 3600 3779 3959 0,4142 4327 4515 4706 4899 0,5095 5295 5498 5704 5914 0,6128 6346 6569 6796 7028 0,7265 7508 7757 8012 8273 0,8541 8816 9099 9391 9691 1,0 100
10 ,1 0016 0173 0330 0487 0645 0803 0961 1120 1279 1439 1600 1762 1924 2087 2252 2417 2584 2753 2922 3094 3267 3441 3618 3797 3978 4161 4346 4534 4725 4918 5115 5315 5518 5725 5935 6150 6368 6591 6819 7052 7290 7533 7782 8037 8299 8568 8844 9128 9420 9721 ,9 90
20 ,2 0031 0188 0346 0503 0661 0819 0977 1136 1295 1455 1616 1778 1940 2104 2268 2434 2601 2770 2939 3111 3284 3459 3636 3815 3996 4179 4365 4553 4744 4938 5135 5335 5538 5746 5956 6171 6390 6614 6842 7075 7314 7558 7807 8063 8326 8595 8872 9157 9450 9752 ,8 80
30 ,3 0047 0204 0361 0519 0676 0834 0993 1152 1311 1471 1632 1794 1956 2120 2285 2451 2618 2786 2956 3128 3301 3476 3654 3833 4014 4198 4383 4572 4763 4858 5155 5355 5559 5766 5978 6193 6412 6636 6865 7099 7338 7582 7832 8089 8352 8623 8900 9186 9480 9782 ,7 70
40 ,4 0063 0220 0377 0535 0692 0850 1009 1168 1327 1487 1648 1810 1973 2136 2301 2467 2635 2803 2974 3145 3319 3494 3671 3851 4032 4216 4402 4591 4783 4977 5175 5375 5580 5788 5999 6215 6435 6659 6888 7122 7362 7607 7858 8115 8379 8650 8928 9215 9510 9813 ,6 60
50 ,5 0078 0236 0393 0550 0708 0866 1025 1184 1343 1503 1664 1826 1989 2153 2318 2484 2652 2820 2991 3163 3336 3512 3689 3869 4050 4234 4421 4610 4802 4997 5195 5396 5600 5808 6020 6237 6457 6682 6911 7146 7386 7632 7883 8141 8406 8678 8957 9244 9540 9844 ,5 50
60 ,6 0094 0251 0409 0566 0724 0882 1040 1200 1359 1520 1681 1843 2006 2169 2334 2501 2668 2837 3008 3180 3354 3529 3707 3887 4069 4253 4440 4629 4821 5016 5214 5416 5621 5830 6042 6258 6479 6704 6935 7170 7410 7657 7909 8167 8433 8705 8985 9273 9570 9875 ,4 40
70 ,7 0110 0267 0424 0582 0740 0898 1056 1215 1375 1536 1697 1859 2022 2186 2351 2517 2685 2854 3025 3197 3371 3547 3725 3905 4087 4272 4459 4648 4841 5036 5234 5436 5642 5851 6063 6280 6502 6727 6958 7194 7435 7682 7934 8194 8460 8733 9014 9302 9600 9906 ,3 30
80 ,8 0126 0283 0440 0596 0755 0914 1072 1231 1391 1552 1713 1875 2038 2202 2368 2534 2702 2871 3042 3214 3389 3565 3743 3923 4105 4290 4477 4667 4860 5056 5255 5457 5662 5872 6085 6302 6524 6750 6981 7218 7459 7707 7960 8220 8487 8760 9042 9332 9630 9937 ,2 20
90 100 ,9 1,0 0141 0157 0298 0314 0456 0472 0613 0629 0771 0787 0929 0945 1088 1104 1247 1263 1407 1423 1568 1584 1729 1745 1891 1908 2054 2071 2219 2235 2384 2401 2551 2568 2719 2736 2888 2905 3059 3076 3232 3249 3406 3424 3582 3600 3761 3779 3941 3959 4124 4142 4309 4327 4496 4515 4686 4706 4880 4899 5076 5095 5275 5295 5477 5498 5683 5704 5893 5914 6106 6128 6324 6346 6546 6569 6773 6796 7005 7028 7242 7265 7484 7508 7732 7757 7986 8012 8246 8273 8514 8541 8788 8816 9071 9099 9361 9391 9660 9691 9969 1,0000 ,1 ,0 10 0 Cotangente
99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 g c
A-14
MATEMATICA
1.1.5
Segue
c g
0 ,0
10 ,1
20 ,2
30 ,3
40 ,4
50 ,5
60 ,6
70 ,7
80 ,8
90 ,9
100 1,0
50 51 52 53 54
1,000 1,032 1,065 1,099 1,134
1,003 1,035 1,068 1,102 1,138
1,006 1,038 1,072 1,106 1,141
1,009 1,042 1,075 1,109 1,145
1,013 1,045 1,078 1,113 1,149
1,016 1,048 1,082 1,116 1,152
1,019 1,052 1,085 1,120 1,156
1,022 1,055 1,089 1,124 1,160
1,025 1,058 1,092 1,127 1,163
1,029 1,062 1,096 1,131 1,167
1,032 1,065 1,099 1,134 1,171
49 48 47 46 45
55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
1,171 1,209 1,248 1,289 1,332 1,376 1,423 1,471 1,522 1,576
1,175 1,213 1,252 1,293 1,336 1,381 1,428 1,476 1,528 1,581
1,178 1,217 1,256 1,298 1,341 1,386 1,432 1,481 1,533 1,587
1,182 1,220 1,260 1,302 1,345 1,390 1,437 1,486 1,538 1,592
1,186 1,224 1,264 1,306 1,349 1,395 1,442 1,492 1,543 1,598
1,190 1,228 1,268 1,310 1,354 1,399 1,447 1,497 1,549 1,603
1,193 1,232 1,273 1,315 1,358 1,404 1,452 1,502 1,554 1,609
1,197 1,236 1,277 1,319 1,363 1,409 1,457 1,507 1,559 1,615
1,201 1,240 1,281 1,323 1,367 1,413 1,462 1,512 1,565 1,620
1,205 1,244 1,285 1,328 1,372 1,418 1,466 1,517 1,570 1,626
1,209 1,248 1,289 1,332 1,376 1,423 1,471 1,522 1,576 1,632
44 43 42 41 40 39 38 37 36 35
65 66 67 68 69
1,632 1,691 1,753 1,819 1,889
1,638 1,697 1,760 1,826 1,896
1,643 1,703 1,766 1,833 1,903
1,649 1,709 1,772 1,839 1,910
1,955 1,715 1,779 1,846 1,918
1,661 1,722 1,786 1,853 1,925
1,667 1,728 1,792 1,860 1,932
1,673 1,734 1,799 1,867 1,940
1,679 1,740 1,806 1,874 1,947
1,685 1,747 1,812 1,882 1,955
1,691 1,753 1,819 1,889 1,963
34 33 32 31 30
70 71 72 73 74
1,963 2,041 2,125 2,215 2,311
1,970 2,049 2,134 2,224 2,321
1,978 2,058 2,142 2,233 2,331
1,986 2,066 2,151 2,243 2,341
1,993 2,074 2,160 2,252 2,351
2,001 2,082 2,169 2,262 2,362
2,009 2,091 2,178 2,272 2,372
2,017 2,099 2,187 2,281 2,382
2,025 2,108 2,196 2,291 2,393
2,033 2,116 2,206 2,301 2,404
2,041 2,125 2,215 2,311 2,414
29 28 27 26 25
75 76 77 78 79
2,414 2,526 2,646 2,778 2,921
2,425 2,537 2,659 2,791 2,936
2,436 2,549 2,672 2,805 2,951
2,447 2,561 2,685 2,819 2,966
2,458 2,573 2,698 2,833 2,982
2,469 2,585 2,711 2,848 2,997
2,480 2,597 2,724 2,862 3,013
2,491 2,609 2,737 2,876 3,029
2,503 2,621 2,750 2,891 3,045
2,514 2,634 2,764 2,906 3,061
2,526 2,646 2,778 2,921 3,078
24 23 22 21 20
80 81 82 83 84
3,078 3,251 3,442 3,655 3,895
3,094 3,269 3,462 3,678 3,920
3,111 3,287 3,483 3,701 3,946
3,128 3,306 3,504 3,724 3,972
3,145 3,325 3,524 3,748 3,999
3,162 3,344 3,546 3.772 4,026
3,179 3,363 3,567 3,796 4,053
3,196 3,382 3,589 3,820 4,080
3,215 3,402 3,611 3,845 4,108
3,232 3,422 3,633 3,870 4,137
3,251 3,442 3,655 3,895 4,165
19 18 17 16 15
85 86 87 88 89
4,165 4,474 4,829 5,242 5,730
4,194 4,507 4,867 5,287 5,783
4,224 4,541 4,906 5,333 5,838
4,254 4,575 4,946 5,380 5,894
4,284 4,610 4,986 5,427 5,950
4,314 4,645 5,027 5,476 6,008
4,345 4,680 5,069 5,525 6,067
4,377 4,717 5,111 5,574 6,127
4,409 4,754 5,154 5,625 6,188
4,441 4,791 5,198 5,677 6,250
4,474 4,829 5,242 5,730 6,314
14 13 12 11 10
90 91 92 93 94
6,314 7,026 7,916 9,058 10,58
6,379 7,106 8,017 9,190 10,76
6,445 7,188 8,121 9,326 10,95
6,512 7,272 8,227 9,467 11,14
6,581 7,358 8,337 9,611 11,34
6,651 7,445 8,449 9,760 11,55
6,723 7,535 8,564 9,914 11,76
6,797 7,627 8,683 10,07 11,98
6,872 6,948 7,026 7,721 7,817 7,916 8,804 8,929, 9,058 10,24 10,40 10,58 12,22 12,46 12,71
9 8 7 6 5
95 96 97 98 99
12,71 15,90 21,20 31,82 63,66
12,97 16,30 21,94 33,50 70,73
13,24 16,73 22,72 35,36 79,57
13,52 17,19 23,56 37,44 90,94
13,82 17,66 24,47 39,78 106,1
14,12 18,17 25,45 42,43 127,3
14,45 18,71 26,51 45,47 159,2
14,78 19,27 27,67 48,96 212,2
15,14 19,88 28,93 53,05 318,3
4 3 2 1 0
15,51 20,52 30,30 57,87 636,6
15,90 21,20 31,82 63,66 ∞
Cotangente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
56 57 58 59 *
51 52 53 54 55
46 47 48 49 50
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Feb.
84 85 86 87 88 89 90
79 80 81 82 83
74 75 76 77 78
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
Mar.
115 116 117 118 119 120
110 111 112 113 114
105 106 107 108 109
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
Apr.
145 146 147 148 149 150 151
140 141 142 143 144
135 136 137 138 139
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134
*Negli anni bisestili, dopo il 28 febbraio, aggiungere 1 al numero della tabella.
Gen.
Mag.
176 177 178 179 180 181
171 172 173 174 175
166 167 168 169 170
152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165
Giu.
206 207 208 209 210 211 212
201 202 203 204 205
196 197 198 199 200
182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195
Lug.
237 238 239 240 241 242 243
232 233 234 235 236
227 228 229 230 231
213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226
Ago.
268 269 270 271 272 273
263 264 265 266 267
258 259 260 261 262
244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257
Sett.
TABELLE DI MATEMATICA FINANZIARIA
Numero di ciascun giorno dell’anno
Giorno del Mese
1.2.1
1.2
298 299 300 301 302 303 304
293 294 295 296 297
288 289 290 291 292
274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287
Ott.
329 330 331 332 333 334
324 325 326 327 328
319 320 321 322 323
305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318
Nov.
359 360 361 362 363 364 365
354 355 356 357 358
349 350 351 352 353
335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348
Dic.
25 26 27 28 29 30 31
20 21 22 23 24
15 16 17 18 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Giorno del Mese
TABELLE DI MATEMATICA FINANZIARIA
A-15
MATEMATICA
A-16
1.2.2 i
Valori dei coefficienti finanziari n
qn (1 + i)n
1 ----nq
q n –1 -----------i
q n –1 ----------i qn
vn
s n⎟ i
an⎟ i
1/an⎟ i
i qn ----------q n –1
1%
1 2 3 4 5 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,01000 1,02010 1,03030 1,04061 1,05101 1,10463 1,16098 1,22020 1,34786 1,48889 1,64446 1,81674 2,00681 2,21678 2,44871 2,70491
0,990099 0,980295 0,970589 0,960979 0,951464 0,905284 0,861345 0,819539 0,741915 0,671643 0,608027 0,550437 0,498302 0,451105 0,408378 0,369698
1,00002 2,01006 3,03020 4,06055 5,10120 10,46260 16,09750 22,01990 34,78630 48,88860 64,46630 81,67370 100,68100 121,67800 144,87100 170,49100
0,990121 1,970450 2,941080 3,902110 4,853610 9,471600 13,865500 18,046100 25,808500 32,835700 39,197300 44,956300 50,169800 54,889500 59,162200 63,030200
1,009980 0,507498 0,340011 0,256272 0,206032 0,105579 0,072124 0,055415 0,038748 0,030455 0,025513 0,022244 0,019933 0,018219 0,016903 0,015866
2%
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,02000 1,04040 1,06121 1,08243 1,10408 1,21900 1,48595 1,81137 2,20805 2,69160 3,28106 3,99959 4,87549 5,94320 7,24474
0,980392 0,961168 0,942322 0,923845 0,905730 0,820347 0,672970 0,552069 0,452888 0,371526 0,304780 0,250025 0,205108 0,168259 0,138031
1,00002 2,02003 3,06044 4,12164 5,20410 10,94980 24,29760 40,56840 60,40250 84,58020 114,05300 149,98000 193,77400 247,16000 312,23700
0,980414 1,941580 2,883910 3,807750 4,713510 8,982640 16,351500 22,396500 27,355600 31,423700 34,761000 37,498700 39,744600 41,587000 43,098400
1,019980 0,515043 0,346751 0,262622 0,212156 0,111326 0,061156 0,044650 0,036560 0,031823 0,028768 0,026668 0,025161 0,024046 0,023203
3%
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,03000 1,06090 1,09273 1,12551 1,15927 1,34391 1,80611 2,42726 3,26203 4,38389 5,89158 7,91779 10,64080 14,30040 19,21850
0,970874 0,942596 0,915142 0,888487 0,862609 0,744095 0,553677 0,411987 0,306558 0,228108 0,169734 0,126298 0,093978 0,069928 0,052033
0,99991 2,02999 3,09089 4,18361 5,30910 11,46380 26,87030 47,57530 75,40100 112,79600 163,05300 230,59300 321,36100 443,34600 607,28400
0,970865 1,913460 2,828600 3,717080 4,579680 8,530180 14,877400 19,600400 23,114700 25,729700 27,675500 29,123400 30,200700 31,002400 31,598900
1,030009 0,522613 0,353531 0,269028 0,218356 0,117231 0,067217 0,051019 0,043262 0,038866 0,036133 0,034337 0,033112 0,032256 0,031647
(segue)
A-17
TABELLE DI MATEMATICA FINANZIARIA
1.2.2 Segue i
n
qn
1 ----nq
(1 + i)n
vn
q n –1 -----------i
s n⎟ i
q n –1 ----------i qn
i qn ----------q n –1
a n⎟ i
1/an⎟ i
5%
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,05000 1,10250 1,15763 1,21551 1,27628 1,62890 2,65330 4,32195 7,04000 11,46740 18,67920 30,42650 49,56160 80,73080 131,50200
0,952381 0,907030 0,863837 0,822702 0,783526 0,613913 0,376889 0,231377 0,142045 0,087204 0,053553 0,032866 0,020177 0,012387 0,007604
1,00000 2,05000 3,15250 4,31013 5,52565 12,57790 33,06600 66,43890 120,80000 209,34900 353,58500 588,53100 971,23300 1594,61000 2610,04000
0,952384 1,859410 2,723250 3,545950 4,329480 7,721740 12,462200 15,372500 17,159100 18,255900 18,929300 19,342700 19,596500 19,752300 19,857900
1,050000 0,537805 0,367208 0,282012 0,230974 0,129504 0,080243 0,065054 0,058278 0,054776 0,052828 0,051699 0,051030 0,050627 0,050383
10%
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,10000 1,21000 1,33100 1,46410 1,61051 2,59375 6,72756 17,44960 45,26010 117,39400 304,49000 789,77200 2048,4800 5313,2400 13781,200
0,909091 0,826446 0,751314 0,683012 0,620920 0,385542 0,148642 0,057308 0,022095 0,008518 0,003284 0,001266 0,000488 0,000188 0,000073
1,00000 2,10001 3,31001 4,64103 6,10514 15,93750 57,27560 164,49600 442,60100 1163,94000 3034,90000 7887,73000 20474,8000 53122,4000 137802,000
0,909094 1,735550 2,486860 3,169880 3,790800 6,144590 8,513580 9,426930 9,779050 9,914820 9,967160 9,987340 9,995120 9,998120 9,999280
1,100000 0,576188 0,402113 0,315469 0,263796 0,162745 0,117459 0,106079 0,102259 0,100859 0,100329 0,100127 0,100049 0,100019 0,100007
15%
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,15000 1,32250 1,52087 1,74900 2,01135 4,04555 16,36650 66,21120 267,86100 1083,6400 4383,9300 17735,400 71749,300 290265,00 1174280,0
0,869565 0,756144 0,657517 0,571754 0,497177 0,247185 0,061101 0,015103 0,003733 0,000923 0,000228 0,000056 0,000014 0,000003 0,000001
0,99991 2,15000 3,47250 4,99337 6,74237 20,30360 102,44300 434,74200 1179,07000 7217,62000 29219,5000 118229,000 478322,000 1935100,00 7828540,00
0,869564 1,625710 2,283220 2,854980 3,352150 5,018770 6,259330 6,565980 6,641780 6,660520 6,665150 6,666300 6,666580 6,666650 6,666670
1,150000 0,615117 0,437977 0,350266 0,298316 0,199252 0,159761 0,152300 0,150562 0,150138 0,150034 0,150008 0,150002 0,150000 0,150000
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n 1
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
n 2
1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 560 680 816 969 1140
n 3
Fattoriali e coefficienti binomiali
n n n Per k con k > 10 si usi la relazione k = . n–k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
1.3.1
1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365 1820 2380 3060 3876 4845
n 4
1.3
1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 4368 6188 8568 11628 15504
n 5
1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008 12376 18564 27132 38760
n 6
n 8
n 9
n 10
1 8 1 36 9 1 120 45 10 1 330 165 55 11 792 495 220 66 1716 1287 715 286 3432 3003 2002 1001 6435 6435 5005 3003 11440 12870 11440 8008 19448 24310 24310 19448 31824 43758 48620 43758 50388 75582 92378 92378 77520 125970 167960 184756
n 7
TABELLE DI STATISTICA
6 121 2432
8 130 2092 35568 40237 64510 90200
n!
3 36 399 4790 62270 71782 76743 27898 74280 37057 04088 81766
1 2 6 24 120 720 5040 40320 62880 28800 16800 01600 20800 91200 68000 88000 96000 28000 32000 40000
A-18 MATEMATICA
74640 23491 60173 02133 79353
03355 64759 56301 91157 17480
25496 40876 64728 73949 21154
34371 65952 67906 04077 90276
64937 15630 09448 21631 91097
50532 07136 27989 85184 54398
65544 08263 39817 62257 53298
09591 85762 48236 79443 62545
95652 79971 10744 36601 97810
95863 51135 57683 77331 29414
42331 83587 52078 75797 81938
Tavola dei numeri casuali
51772 24033 45939 30586 03585
1.3.2
07839 64236 16057 95203 21944
42457 54195 08396 46253 36764
20790 98527 30277 60710 06829
29044 06568 25424 45406 82322
58892 39238 81812 02479 16530
73547 25708 56242 00477 32869
65304 62586 94623 52290 87843
46621 21960 11645 31041 96799
92843 18776 15815 30763 03878
76552 51817 90985 25234 11785
55189 41889 85418 16835 28195
62898 21387 55870 86707 85659
72828 84303 63700 92486 07516
50020 36732 28868 09908 55261
00745 25439 68829 48653 27279
93582 76105 56974 12973 36081
91341 99247 85915 54083 95715
24819 72484 99431 36574 59009
65253 88036 06652 71590 47152
04186 10863 37428 17169 50884
84821 46149 19219 23631 02526
52984 94923 50995 72139 38714
11822 24034 41982 16159 35683
19640 97453 93507 88116 14070
63886 03229 45943 05825 33537
76168 75936 20507 70185 38723
15804 67283 49159 14676 47280
87056 90581 94271 42187 74950
TABELLE DI STATISTICA
A-19
0
0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683
0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661
0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497
0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644
0,2396 0,2155. 0,1919 0,1691 0,1476
0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637
0,3989 0,3965 0,3902 0,3902 0,3668
1
0,1257 0,1074 0,0909 0,0761 0,0632
0,2371 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456
0,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0,2613
0,3989 0,3961 0,3894 0,3790 0,3653
2
0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620
0,2347 0,2107 0,1872 0,1647 0,1435
0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589
0,3988 0,3956 0,3885 0,3778 0,3637
3
0,1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608
0,2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415
0,3448 0,3251 0,3034 0,2803 0,2565
0,3986 0,3951 0,3876 0,3765 0,3621
4
0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596
0,2299 0,2059 0,1826 0,1604 0,1394
0,3429 0,3230 0,3011 0,2780 0,2541
0,3984 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605
5
0,1182 0,1006 0,0848 0,0707 0,0584
0,2275 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374
0,3410 0,3209 0,2989 0,2756 0,2516
0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589
6
Ordinate (Y) della curva normale standardizzata in corrispondenza dei valori di z
z
1.3.3
0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573
0,2251 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354
0,3391 0,3187 0,2966 0,2732 0,2492
0,3980 0,3932 0,3847 0,3725 0,3572
7
0,1145 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562
0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334
0,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468
0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555
8
(segue)
0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0,0551
0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315
0,3352 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444
0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538
9
A-20 MATEMATICA
0
0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224
0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060
0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012
0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
z
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,0043 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012
0,0171 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058
0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219
1
0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0,0042 0,0031 0,0022 0,0016 0,0012
0,0167 0,0129 0,0099 0,0075 0,0056
0,0519 0,0422 0,0339 0,0270 0,0213
2
0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002
0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011
0,0163 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055
0,0508 0,0413 0,0332 0,0264 0,0208
3
4
Segue
0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002
0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011
0,0158 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053
0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0,0203
1.3.3
0,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002
0,0038 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010
0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051
0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,0198
5
0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002
0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010
0,0151 0,0116 0,0088 0,0067 0,0050
0,0478 0,0387 0,0310 0,0246 0,0194
6
0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002
0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010
0,0147 0,0113 0,0086 0,0065 0,0048
0,0468 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189
7
0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001
0,0035 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009
0,0143 0,0110 0,0084 0,0063 0,0047
0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184
8
0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001
0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009
0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046
0,0449 0,0363 0,0290 0,0229 0,0180
9
TABELLE DI STATISTICA
A-21
0
0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554
0,1915 0,2258 0,2580 0,2881 0,3159
0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192
0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713
z
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719
0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207
0,1950 0,2291 0,2612 0,2910 0,3186
0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591
1
0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726
0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222
0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212
0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628
2
0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732
0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236
0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238
0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664
3
Aree sotto la curva normale standardizzata da 0 a z
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
1.3.4 4
0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738
0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251
0,2054 0,2389 0,2704 0,2996 0,3264
0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700
5
0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744
0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265
0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289
0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736
6
0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750
0,3554 0.3770 0,3962 0,4131 0,4279
0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315
0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772
7
0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756
0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292
0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340
0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808
8
0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761
0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306
0,2190 0,2518 0,2823 0,3106 0,3365
0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844
9
0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767
0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319
0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389
0,0359 0,0754 0,1141 0,1517 0,1879
A-22 MATEMATICA
0
0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918
0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981
0,4987 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997
0,4998 4,4998 0,4999 0,4999 0,5000
z
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
0,4998 0,4998 0,4999 0 4999 0,5000
0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997
0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982
0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920
1
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997
0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982
0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922
2
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997
0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983
0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925
3
4
Segue
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997
0,4945 0,4059 0,4969 0,4977 0,4984
0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927
1.3.4
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997
0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984
0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929
5
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997
0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985
0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931
6
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997
0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985
0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932
7
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997
0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986
0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934
8
0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000
0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998
0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986
0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936
9
TABELLE DI STATISTICA
A-23
v
63,66 9,92 5,84 4,60
4,03 3,71 3,50 3,36 3,25
3,17 3,11 3,06 3,01 2,98
2,95 2,92 2,90 2,88 2,86
1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
t0,995
2,60 2,58 2,57 2,55 2,54
2,76 2,72 2,68 2,65 2,62
3,36 3,14 3,00 2,90 2,82
31,82 6,96 4,54 3,75
t0,99
2,13 2,12 2,11 2,10 2,09
2,23 2,20 2,18 2,16 2,14
2.57 2,45 2,36 2,31 2,26
12,71 4,30 3,18 2,78
t0,975
1,75 1,75 1,74 1,73 1,73
1,81 1,80 1,78 1,77 1,76
2,02 1,94 1,90 1,86 1,83
6,31 2,92 2,35 2,13
t0,95
1,34 1,34 1,33 1,33 1.33
1,37 1,36 1,36 1,35 1,34
1,48 1,44 1,42 1,40 1,38
3,08 1,89 1,64 1,53
t0,90
0,866 0,865 0,863 0,862 0,861
0,879 0,876 0,873 0,870 0,868
0,920 0,906 0,896 0,889 0,883
1,376 1,061 0,978 0,941
t0,80
0,691 0,690 0,689 0,688 0,688
0,700 0,697 0,695 0,694 0,692
0,727 0,718 0,711 0,706 0,703
1,000 0,816 0,765 0,741
t0,75
1.3.5 Valori dei percentili (tp) per la distribuzione della variabile casuale t di Student con v gradi di libertà (area ombreggiata = p)
0,536 0,535 0,534 0,534 0,533
0,542 0,540 0,539 0,538 0,537
0,559 0,553 0,549 0,546 0,543
0,727 0,617 0,584 0,569
t0,70
0,258 0,258 0,257 0,257 0,257
0,260 0,260 0,259 0,259 0,258
0,267 0,265 0,263 0,262 0,261
0,325 0,289 0,277 0,271
t0,60
0,128 0,128 0,128 0,127 0,127
0,129 0,129 0,128 0,128 0,128
0,132 0,131 0,130 0,130 0,129
0,158 0,142 0,137 0,134
t0,55
A-24 MATEMATICA
v
2,46 2,42 2,39 2,36 2,33
2,75
2,70 2,66 2,62 2,58
30 40 60 120 ∞
2,48 2,48 2,47 2,47 2,46
2,79 2,78 2,77 2,76 2,76
25 26 27 28 29
2,52 2,51 2,50 2,49
2,83 2,82 2,81 2,80
2,53
2,84
21 22 23 24
t0,99
20
t0,995
2,02 2,00 1,98 1,96
2,04
2,06 2,06 2,05 2,05 2,04
2,08 2,07 2,07 2,06
2,09
t0,975
1,68 1,67 1,66 1,645
1,70
1,71 1,71 1,70 1,70 1,70
1,72 1,72 1,71 1,71
1,72
t0,95
t0,90
Segue
1,30 1,30 1,29 1,28
1,31
1,32 1,32 1,31 1,31 1,31
1,32 1,32 1,32 1,32
1,32
1.3.5
0,851 0,848 0,845 0,842
0,854
0,856 0,856 0,855 0,855 0,854
0,859 0,858 0,858 0,857
0,860
t0,80
0,681 0,679 0,677 0,674
0,683
0,684 0,684 0,684 0,683 0,683
0,686 0,686 0,685 0,685
0,687
t0,75
0,529 0,527 0,526 0,524
0,530
0,531 0,531 0,531 0,530 0,530
0,532 0,532 0,532 0,531
0,533
t0,70
0,255 0,254 0,254 0,253
0,256
0,256 0,256 0,256 0,256 0,256
0,257 0,256 0,256 0,256
0,257
t0,60
0,126 0,126 0,126 0,126
0,127
0,127 0,127 0,127 0,127 0,127
0,127 0,127 0,127 0,127
0,127
t0,55
TABELLE DI STATISTICA
A-25
2 χ 0,995
7,88 10,6 12,8 14,9
16,7 18,5 20,3 22,0 23,6
25,2 26,8 28,3 29,8 31,3
32,8 34,3 35,7 37,2 38,6
v
1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
30,6 32,0 33,4 34,8 36,2
23,2 24,7 26,2 27,7 29,1
15,1 16,8 18,5 20,1 21,7
6,63 9,21 11,3 13,3
2 χ 0,99
27,5 28,8 30,2 31,5 32,9
20,5 21,9 23,3 24,7 26,1
12,8 14,4 16,0 17,5 19,0
5,02 7,38 9,35 11,1
2 χ 0,975
25,0 26,3 27,6 28,9 30,1
18,3 19,7 21,0 22,4 23,7
11,1 12,6 14,1 15,5 16,9
3,84 5,99 7,81 9,49
2 χ 0,95
22,3 23,5 24,8 26,0 27,2
16,0 17,3 18,5 19,8 21,1
9,24 10,6 12,0 13,4 14,7
2,71 4,61 6,25 7,78
2 χ 0,90
18,2 19,4 20,5 21,6 22,7
12,5 13,7 14,8 16,0 17,1
6,63 7,34 9,04 10,2 11,4
1,32 2,77 4,11 5,39
2 χ 0,75
14,3 15,3 16,3 17,3 18,3
9,34 10,3 11,3 12,3 13,3
4,35 5,35 6,35 7,34 8,34
0,455 1,39 2,37 3,36
2 χ 0,50
11,0 11,9 12,8 13,7 14,6
6,74 7,58 8,44 9,30 10,2
2,67 3,45 4,25 5,07 5,90
0,102 0,575 1,21 1,92
2 χ 0,25
8,55 9,31 10,1 10,9 11,7
4,87 5,58 6,30 7,04 7,79
1,61 2,20 2,83 3,49 4,17
0,0158 0,211 0,584 1,06
2 χ 0,10
1.3.6 Valori dei percentili per la distribuzione della variabile casuale chi-quadrato con v gradi di libertà (area ombreggiata = p)
7,26 7,96 8,67 9,39 10,1
3,94 4,57 5,23 5,89 6,57
1,15 1,64 2,17 2,73 3,33
0,0039 0,103 0,352 0,711
2 χ 0,05
6,26 6,91 7,56 8,23 8,91
3,25 3,82 4,40 5,01 5,63
0,831 1,24 1,69 2,18 2,70
0,0010 0,0506 0,216 0,484
2 χ 0,025
5,23 5,81 6,41 7,01 7,63
2,56 3,05 3,57 4,11 4,66
0,554 0,872 1,24 1,65 2,09
0,0002 0,0201 0,115 0,297
2 χ 0,01
4,60 5,14 5,70 6,26 6,84
2,16 2,60 3,07 3,57 4,07
0,412 0,676 0,989 1,34 1,73
0,0000 0,0100 0,072 0,207
2 χ 0,005
A-26 MATEMATICA
2 χ 0,995
40,0 41,4 42,8 44,2 45,6
46,9 48,3 49,6 51,0 52,3
53,7 66,8 79,5 92,0
104,2 166,3 128,3 140,2
v
20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
30 40 50 60
70 80 90 100
100,4 112,3 124,1 135,8
50,9 63,7 76,2 88,4
44,3 45,6 47,0 48,3 49,6
37,6 38,9 40,3 41,6 43,0
2 χ 0,99
95,0 106,6 .118,1 129,6
47,0 59,3 71,4 83,3
40,6 41,9 43,2 44,5 45,7
34,2 35,5 36,8 38,1 39,4
2 χ 0,975
90,5 101,9 113,1 124,3
43,8 55,8 67,5 79,1
37,7 38,9 40,1 41,3 42,6
31,4 32,7 33,9 35,2 36,4
2 χ 0,95
85,5 96,6 107,6 118,5
40,3 51,8 63,2 74,4
34,4 35,6 36,7 37,9 39,1
28,4 29,6 30,8 32,0 33,2
2 χ 0,90
77,6 88,1 98,6 109,1
34,8 45,6 56,3 67,0
29,3 30,4 31,5 32,6 33,7
23,8 24,9 26,0 27,1 28,2
2 χ 0,75
1.3.6
69,3 79,3 89,3 99,3
29,3 39,3 49,3 59,3
24,3 25,3 26,3 27,3 28,3
19,3 20,3 21,3 22,3 23,3
2 χ 0,50
Segue
61,7 71,1 80,6 90,1
24,5 33,7 42,9 52,3
19,9 20,8 21,7 22,7 33,6
15,5 16,3 17,2 18,1 19,0
2 χ 0,25
55,3 64,3 73,3 82,4
20,6 29,1 37,7 46,5
16,5 17,3 18,1 18,9 19,8
12,4 13,2 14,0 14,8 15,7
2 χ 0,10
51,7 60,4 69,1 77,9
18,5 26,5 34,8 43,2
14,6 15,4 16,2 16,9 17,7
10,9 11,6 12,3 13,1 13,8
2 χ 0,05
48,8 57,2 65,6 74,2
16,8 24,4 32,4 40,5
13,1 13,8 14,6 15,3 16,0
9,59 10,3 11,0 11,7 12,4
2 χ 0,025
45,4 53,5 61,8 70,1
15,0 22,2 29,7 37,5
11,5 12,2 12,9 13,6 14,3
8,26 8,90 9,54 10,2 10,9
2 χ 0,01
43,3 51,2 59,2 67,3
13,8 20,7 28,0 35,5
10,5 11,2 11,8 12,5 13,1
7,43 8,03 8,64 9,26 9,89
2 χ 0,005
TABELLE DI STATISTICA
A-27
A-28
MATEMATICA
1.4 1.4.1
UNITÀ DI MISURA
Unità fondamentali e supplementari del sistema SI Grandezza
Unità
Simbolo
fondamentali lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
metro
m
massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kilogrammo
kg
intervallo di tempo (durata) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
secondo
s
intensità di corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ampere
A
temperatura termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kelvin
K
intensità luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
candela
cd
quantità di materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mole
mol
angolo piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
radiante
rad
angolo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
steradiante
sr
supplementari
1.4.2
Unità derivate dei sistema SI aventi nome proprio Grandezza
Unità
Simbolo
frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
hertz
Hz
forza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
newton
N
pressione; tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pascal
Pa
energia; lavoro; quantità di calore . . . . . . . . . . . . . . .
joule
J
potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
watt
W
carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
coulomb
C
tensione elettrica, potenziale elettrico . . . . . . . . . . .
volt
V
capacità elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
farad
F
resistenza elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ohm
Ω
conduttanza elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
siemens
S
induzione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
testa
T
flusso d’induzione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
weber
Wb
campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ampere al metro
A/m
forza magnetomotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ampere
A
induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
henry
H
flusso luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lumen
lm
lux
lx
illuminamento
A-29
UNITÀ DI MISURA
1.4.3
Prefissi delle unità dei sistema SI
Multipli e sottomultipi
Prefissi
Simboli
1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18
tera giga mega kilo etto deca deci centi milli micro nano pico femto atto
T G M k h da d C m µ n p f a
1.4.4 Vocabolario delle unità di misura. Nel presente vocabolario sono elencate in ordine alfabetico le unità del sistema SI usate nel campo della meccanica aventi nome proprio ed altre unità dei sistemi C.G.S., M.K.S. e tecnico (indicate come unità non SI) e del sistema inglese, tuttora in uso. Alle unità segue il simbolo (quando esiste) fra parentesi tonda. Le unità del sistema inglese compaiono con il nome italiano (quando esiste), a cui segue il nome inglese fra parentesi quadra. Accanto alle unità non SI – ad accezione di quelle del sistema inglese – sono fornite le indicazioni sul loro uso, come compaiono nelle norme CNR-UNI 10003-72, ISO R 1000 e nella Direttiva delle Comunità Europee 71/354/CEE. Delle unità fondamentali, supplementari e derivate, dotate di nome proprio, del sistema SI è data anche la definizione. Elenco delle sigle e delle abbreviazioni: CEE ISO UNI ab. am. cs. rs. tt.
Direttiva del Consiglio delle Comunità Europee 71/354/CEE Progetto di Norma ISO R 1000 Norma CNR-UNI 10003-72 (sperimentale) da abbandonare ammessa ammessa in campi speciali da riesaminare transitoriamente tollerata
acro [acre] – unità di superficie – unità del sistema inglese 1 acro = 4047 m2
ampere (A) – unità di intensità di corrente elettrica – unità SI fondamentale Intensità di corrente elettrica che,
A-30
MATEMATICA
mantenuta costante in due conduttori rettilinei, paralleli, di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile e posti alla distanza di 1 m l’un dall’altro nel vuoto produce tra i due conduttori la forza di 2 · 10–7 N su ogni metro di lunghezza amperora (Ah) – unità di carica elettrica – unità non SI (UNI = tt, ISO = am.). 1 Ah = 3,6 ·103 A · s angolo giro v. sub. giro angström (Å) – unità di lunghezza usata per la lunghezza d’onda e le distanze atomiche – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt.) 1 Å = 10–10 m
avoirdupois v. sub libbra avoirdupois bar – unità di pressione – nome speciale di multiplo di unità SI derivata 1 bar = 105 Pa barn (b) – unità di superficie usata in campo nucleare 1 barn = l0–28 m2 barrel – unità di volume – unita del sistema inglese 1 barrel (U.K.) = 0,14547 m3 1 barrel (USA) = 0,159 m3 bes (b) 1 bes = 1 kg
anno tropico – unità di tempo – unità non SI – anno tropico = 365d, 5h, 48min, 46s
British Thermal Unit (B.T.U.) – unità di quantità di calore – unità del sistema inglese 1 B.T.U. = 1055,06 J
ara (a) – unità di superficie usata per l’area delle estensioni agrarie e dei fondi – nome speciale di multiplo di unità SI (CEE = cs., UNI = tt., ISO = cs.) 1 a = 102 m2
caloria (cal) –unità di quantità di calore –unità non SI (CEE = ab., UNI = tt.) 1 cal = 4,1868 J kilocaloria o grande caloria (Cal) 1 Cal = 4,1868 · 103 J
atmosfera normale (atm) – unità di pressione – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt.) 1 atm = 101,325 kPa atmosfera tecnica (at) – unità di pressione – unità non SI (CEE = tt., UNI = tt.)
candela (cd) –unità di intensità luminosa –unità SI fondamentale Intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette radiazione monocromatica di frequenza 540 · 1012 Hz, la cui intensità energetica in tale direzione è di 1/ 683 W/sr.
UNITÀ DI MISURA
carato metrico – unità di massa, usata nel settore dei preziosi – unità non SI (CEE = cs., UNI = tt.) 1 carato metrico = 2 · 10–4 kg cavallo valore (CV) o più brevemente: cavallo) – unità di potenza – unità non SI (CEE = ab., UNI = tt.) 1 CV. = 735,499 W Celsius v. sub. grado Celsius centipoise (cP) v. anche sub poise – unità di viscosità dinamica – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt., ISO = cs.) 1 cP = 1 mPa · s centistokes (cSt) v. anche sub stokes – unità di viscosità cinematica – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt., ISO = cs.) 1 cSt = 10–6 m2 · s ciclo al secondo (c/s) (c.p.s.) – unità di frequenza – unità non SI (UNI = ab.) 1 c.p.s. = c/s = 1 Hz dina (dyn) – unità di forza – unità non SI (CEE = rs.) 1 dyn = 10–5 N erg – unità di lavoro – unità non SI
A-31
(CEE = rs., UNI = tt.) 1 erg = 10–7 J ettaro (ha) – unità di superficie usata per l’area delle estensioni agrarie e dei fondi – nome speciale di multiplo di unità SI (UNI = tt., ISO = cs.) 1 ha = 104 m2 Farenheit v. sub grado Farenheit frigoria (fg) – unità di quantità di calore – unità non SI (CEE = ab.) 1 fg = 4,1868 · 103 J gal (Gal) – unità di accelerazione di gravità usata nella geofisica – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt.) 1 Gal = 10–2 m · s–2 gallone [gallon] (gal) – unità di volume – unità del sistema inglese 1 gal (U.K.) = 4,54608 dm3 1 gal (USA) = 3,78541 dm3 giorno (d) – unità di tempo – unità non SI definita in base ad unità SI, ma non multiplo decimale (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) 1 d = 24 h = 86400 s giro – unità di angolo piano – unità non SI definita in base ad unità SI, ma non multiplo decimale CEE = am., UNI = tt.) 1 giro = 2 π rad
A-32
MATEMATICA
giro al secondo (r/s) giro al minuto (r/min) – unità di velocità angolare – unità non SI (UNI = tt., ISO = cs.) r/s = 2 π rad s–1 2π r/min = ------ s–1 60 gon v. sub grado centesimale grado Celsius (°C) – unità di temperatura – nome speciale di unità SI La temperatura t espressa in gradi Celsius è eguale a t = T–273,15, dove T è eguale alla temperatura espressa in kelvin grado centesimale o gon – unità di angolo piano – unità definitiva in base ad unità SI, ma non multiplo decimale (CEE = am.; UNI = cs., ISO = cs.) π 1 gon = --------- rad 200 grado Farenheit (°F) – unità di temperatura – unità del sistema inglese La temperatura espressa in gradi Farenheit è eguale a TF = 1,8 (TK – 255,38), dove TK è la temperatura espressa in kelvin grado sessagesimale (°) – unità di angolo piano – unità definita in base ad unità SI, ma non sottomultiplo decimale (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) 180 1° = --------- rad π grano [grain] (gr) – unità di forza
– unità del sistema inglese 1 gr = 0,63547 mN hertz (Hz) – unità di frequenza – unità SI derivata con nome proprio Frequenza di un fenomeno periodico il cui periodo è 1 s 1 Hz = 1 s–1 horsepower (HP) – unità di potenza – unità del sistema inglese 1 HP = 745,7 W iarda [yard] (yd) – unità di lunghezza – unità del sistema inglese 1 yd = 0,9144 m joule (J) – unità di lavoro, energia, quantità di calore – unità SI derivata con nome proprio Lavoro compiuto dalla forza di 1 N quando il suo punto di applicazione si sposta di 1 m nella direzione e nel verso della forza stessa 1J=1·Nm kelvin (K) – unità di temperatura termodinamica – unità SI fondamentale Frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua kilocaloria o grande caloria (Cal) v. sub. caloria kilogrammo (kg) – unità di massa – unità SI fondamentale Massa del prototipo internazionale conservato a Sèvres (Pavillon de Bre-
UNITÀ DI MISURA
teuil) presso il Bureau International des Poids et Mesures kilogrammo forza (kgf) o kilopond (kp) – unità di forza – unità non SI (CEE = ab., UNI = ab.) 1 kgf = 9,80665 N kilopond (kp) v. sub kilogrammo forza
A-33
micron (µ) – unità di lunghezza – unità non SI il cui uso è sconsignato poiché si tratta d’impropria denominazione dell’unità di lunghezza micrometro (µm), e poiché il simbolo è il prefisso di sottomultiplo decimale dell’unità SI, corrispondente a 10 –6 1 µ = 1 µm = 10–6 m
libbra [pound] (lbf) – unità di forza – unità del sistema inglese 1 lbf = 4,4482 N
miglio marino – unità di lunghezza, usata nella navigazione marittima – unità non SI (UNI = tt., ISO = cs.) 1 miglio marino = 1852 m
libbra avoirdupois [pound] (lb) – unità di massa – unità del sistema inglese 1 lb = 0,45359 kg
mil – unità di lunghezza – unità del sistema inglese – 1 mil = 25,4 · l0–6 m
litro (l) – unità di volume – nome speciale di sottomultiplo di unità SI (CEE = am., UNI = am., ISO = am.)
millimetro d’acqua (mm H2O) – unità di pressione – unità non SI – (CEE = ab., UNI = tt.) 1 mmH2O = 9,80665 Pa
megapond (Mp) – unità di forza – unità non SI (CEE = ab., UNI = ab.) 1 Mp = 9806,65 N metro (m) – unità di lunghezza – unità SI fondamentale Lunghezza uguale a 1 650 763,73 lunghezze d’onda nel vuoto della radiazione corrispondente alla transizione tra i livelli 2p10 e 5d5 dell’atomo di cripto 86 metro cubo normale o normal metro cubo ( m n3 ) – unità di volume – unità SI usata nella misura dei gas, per indicarne il volume nelle condizioni normali o di riferimento (UNI = am.)
millimetro di mercurio (mm Hg) – unità di tempo – unità definita in basse ad unità SI ma non multiplo decimale (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) 1 mmHg = 133,332 Pa minuto (min) – unità di tempo – unità definita in base ad unità SI ma non multiplo decimale (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) 1 min = 60 s. minuto d’angolo (’) v. anche sub secondo d’angolo – unità di angolo piano – unità definita in base ad unità SI, ma non sottomultiplo decimale
A-34
MATEMATICA
(CEE = am., UNI = am., ISO = am.) π l’ = ------------------- rad 10 800 mole (mol) – unità di quantità di sostanza – unità SI fondamentale Quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kg di carbonio 12. Le entità elementari devono essere specificate e possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni, ecc., ovvero gruppi specificati di tali particelle newton (N) – unità di forza – unità SI derivata con nome proprio Forza che imprime a un corpo con massa di 1 kg l’accelerazione di 1 m · s–2 nodo – unità di velocità, usata nella navigazione marittima – unità non SI (UNI = tt., ISO = cs.) 1 nodo = 1 miglio marino all’ora = (1852/ 3600) m · s–1
pascal (Pa) – unità di pressione – unità SI derivata con nome proprio Pressione esercitata dalla forza di 1 N applicata normalmente ad una superficie con area di 1 m2 1 Pa = l N · m–2 piede [foot] (ft) – unità di lunghezza – unità del sistema inglese – 1 ft = 0,3048 m pinta [pint] (pt) – unità di volume – unità del sistema inglese 1 pt (U.K.) = 0,568245 dm3 1 pt (USA) = 0,473176 dm3 poise (P) – unità di viscosità dinamica – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt., ISO = cs.) 1 P = 0,1 Pa · s pollice [inch] (in) – unità di lunghezza – unità del sistema inglese 1 in = 0,0254 m
oncia [ounce] (oz) – unità di forza – unità del sistema inglese 1 oz = 0,278018 N
quarto [quart] (qt) – unità di volume – unità del sistema inglese – 1 qt (U.K.) = 1,1365 dm3 1 qt (USA) = 0,946353 dm3
ora (h) – unità di tempo – unità definita in base ad unità SI ma non multiplo decimale (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) 1 h = 3 600 s
quintale (q) – unità di massa – nome speciale di multiplo di unità SI (CEE = rs.) 1 q = 102 kg
parsec (pc) – unità di lunghezza, usata in astronomia – unità non SI (ISO = cs.) 1 pc ≅ 30 857 · 1012 m
radiante (rad) – unità di angolo piano – unità SI supplementare Angolo piano al centro che su una circonferenza intercetta un arco di lunghezza uguale a quella del raggio
UNITÀ DI MISURA
secondo (s) – unità di tempo – unità SI fondamentale Intervallo di tempo che contiene 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione fra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di cesio 133 secondo d’angolo (") – unità di angolo piano – unità definita in base ad unità SI, ma non sottomultiplo decimale (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) π 1" = ------------------- rad 648 000 slug – unità di massa – unità del sistema inglese 1 slug = 14,5939 kg steradiante (sr) – unità di angolo solido – unità SI supplementare Angolo solido al centro che su una sfera intercetta una calotta di area uguale a quella del quadrato il cui lato ha la lunghezza del raggio stokes (St) – unità di viscosità cinematica – unità non SI (CEE = rs., UNI = tt., ISO = cs.) 1 St = 10–4 m2 · s–1 stone – unità di massa – unità del sistema inglese 1 stone = 6,350 294 kg termia (th) – unità di quantità di calore –unità non SI (CEE = ab.) 1 th = 4,1868 · 106 J
A-35
tex – unità di massa lineare, usata nel settore delle fibre tessili e dei filati – unità non SI (CEE = cs., UNI = am., ISO = cs.) – 1 tex = l0–6 kg · m–1) ton long ton short ton – unità di massa – unità del sistema inglese 1 long ton = 1016,05 kg 1 short ton = 907,185 kg tonnellata (t) – unità di massa – nome speciale di multiplo di unità SI (CEE = am., UNI = am., ISO = am.) 1 t = 103 kg torr – unità di pressione – unità non SI (CEE = ab., UNI = tt.) 1 torr = 133,322 Pa unità astronomica (a.u.) – unità di lunghezza – unità non SI (UNI = tt., ISO = cs.) 1 a.u. = (1,495 985 ± 0,000005) 1011 m volt (V) – unità di potenziale elettrico, differenza di potenziale elettrico, tensione elettrica, forza elettromotrice – unità SI derivata con nome proprio Differenza di potenziale elettrico che esiste tra due sezioni di un conduttore che, percorso dalla corrente elettrica costante di 1 A e senza essere sede di altri fenomeni energetici oltre a quello joule, dissipa nel tratto compreso fra le due sezioni considerate la potenza di 1 W
A-36
voltampere (VA) – unità di potenza apparente – unità SI voltampere (var) – unità di potenza reattiva – unità SI watt (W) –unità di potenza
MATEMATICA
– unità SI derivata con nome proprio Potenza di un sistema che produce il lavoro di 1 J s–1 wattora (Wh) – unità di energia – unità non SI (UNI = tt., ISO = cs.) 1 Wh = 3,6 · 103 J
2
GEOMETRIA
Per i baricentri e i momenti d’inerzia vedi Statica. Per le aree di figure complesse vedi Agrimensura. Per aree e volumi con coordinate cartesiane dei vertici vedi Geometria Analitica. Per le costruzioni grafiche vedi Disegno Tecnico. 2.1 A = area, 2.1.1
FIGURE PIANE s = semiperimetro.
Triangolo rettangolo A = ch/2 = ab/2 c2 = a2 + b2 (formula di Pitagora) h2 = mn,
a2 = mc, b2 = nc
(v. anche Trigonometria) 2.1.2
Triangolo A ch/2 = √[s(s – a) (s – b) (s – c)] r = A/s, R = abc/(4A), con s = (a + b + c)/2: semiperimetro, r, R: raggio del cerchio inscritto e circoscritto. (v. anche Trigonometria)
2.1.3
Rettangolo
A = ab
2.1.4
Rombo A = ah A = a2 sin ϕ A = ef/2
A-38
2.1.5
MATEMATICA
Parallelogramma A = ah A = ab sin ϕ
2.1.6
Trapezio
A = (a + b) h/2
2.1.7
Quadrilatero
A = (ef sin ϕ)/2 se inscritto in un cerchio: A = √[(s – a ) (s – b) (s – c) (s – d)]
2.1.8
Poligoni regolari r = raggio del cerchio inscritto (apotema) ϕ = π/n, con n = numero lati l = 2 R sin ϕ = 2 r tan ϕ r = R cos ϕ = √ (R2 – l2/4) A = nlr/2 = (nl2 cot ϕ)/4 A = nr2 tan ϕ = [nR2 sin (2ϕ)]/2
2.1.9
Poligoni
con divisione in triangoli, per esempio: A = (d1 h1 + d2 h2 + d2 h3)/2 (v. anche Agrimensura)
GEOMETRIA
2.1.10
Cerchio
r = d/2 A = πr2 = πd2/4 c =2πr = πd = circonferenza
2.1.11
Corona circolare
A = π(R2 – r2) = 2πsrm rm = (R + r)/2 = raggio medio s = spessore della corona
2.1.12
Settore circolare a = r ϕrad ϕrad = π ϕgon/200 = π ϕ0/180 A = ar/2 = r2 ϕrad/2
2.1.13
Segmento circolare h = r / [1 – cos (ϕ/2)] c = 2r sin (ϕ/2) A = r2 (ϕrad – sin ϕ)/2 A = [ar – c (r – h)]/2
2.1.14
Ellisse A = πab p ≅ π [3(a + b)/2 – √(ab)] (v. anche Geometria Analitica)
A-39
A-40
2.1.15
MATEMATICA
Parabola A = 2ch/3 a = 2d + (2e2/h) ln [(h + d)/e] con e = c/4, d= √(h2+e2) (v. anche Geometria Analitica)
2.1.16
Figura a contorno curvilineo La figura viene scomposta in strisce di uguale larghezza. La larghezza deve essere sufficientemente piccola perché ogni tratto di confine compreso fra tre parallele si possa considerare di forma parabolica. Con n (numero di strisce) = pari, vale la seguente formula di Simpson: A = d[z0 + zn + 4 (z1 + z3 + z5 + …) + 2(z2 + z4 + ...)]/3
La formula può essere applicata per calcolare un volume se le misure z0 , z1,... vengono interpretate come aree di sezioni piane, parallele, equidistanti. Con n = dispari, vale la seguente formula dei trapezi (meno precisa della precedente): A = d[z0 + zn + 2 (z1 + z2 + ... + zn–1)]/2 (v. anche Analisi numerica: calcolo degli integrali definiti). 2.2
SOLIDI
V = volume, L = superficie laterale, A = superficie totale. 2.2.1
Parallelepipedo rettangolare d = √(a2 + b2 + c2) V = abc A = 2(ab + bc + ca)
2.2.2
Prisma con basi parallele retto e obliquo B = area basi S = area sezione retta p = perimetro base l = spigolo laterale V = Bh = Sl L = pl
GEOMETRIA
2.2.3
A-41
Tronco di prisma triangolare a, b, c = lunghezza spigoli S = area sezione retta V = S(a + b + c)/3 (se c = a si ottiene il cuneo)
2.2.4
Cuneo
V = bh (2a + c)/6 (se viene troncato si ottiene l’obelisco)
2.2.5
Obelisco V = bh [b (2a + c) + d(2c + a)]/6 (si ottiene come somma di due cunei – vedi tratteggio)
2.2.6
Tronco di prisma a basi non parallele
S = area sezione retta d = distanza baricentri basi V = Sd
A-42
2.2.7
MATEMATICA
Piramide
B = area di base V = Bh/3
2.2.8
Piramide retta a base regolare (v. poligoni regolari) n =numero lati R =raggio circonferenza di base r =apotema di base a =apotema laterale = √(r2 + h2) L =nla/2 V =nlrh/6
2.2.9
Tronco di piramide a basi parallele
B, b =aree basi V = h[B + b + √(Bb)]/3
2.2.10
Prismoide V = h(B + b + 4M)/6 M = area sezione a metà altezza. Per B > b/3 si può utilizzare la seguente formula approssimata (detta delle sezioni ragguagliate): V ≅ h (B + b)/2
A-43
GEOMETRIA
2.2.11
Rampe
V = h2 [3a + 2hn (1 – n/m)] (m – n)/6 se la rampa si appoggia a un muro verticale: V=h2 (3a + 2hn) m/6
2.2.12
Cilindro circolare retto e obliquo (valgono le stesse formule del prisma) V = πr2 h = πd 2 h/4 S = superficie sezione retta: ellisse con semiassi r e rh/l, dunque: S = πr2h /l, V = Sl
c = sezione circolare e = sezione ellittica
2.2.13
Per il cilindro retto: L = 2πrh = πdh
Tronco di cilindro circolare V = πr2hm = πr2 (h + H)/2 In generale, anche per cilindro non circolare: V = Area sezione retta × distanza tra i baricentri delle basi.
2.2.14
Cono circolare retto e obliquo V = πr2 h/3 = πd2 h/12 Per il cono circolare retto: l = √(r2 + h2) L = πrl
A-44
2.2.15
MATEMATICA
Tronco di cono circolare a basi parallele V = πh (R2 + Rr + r2)/3 Per il cono retto: l = √[(R – r)2 + h2] L = 2πrm l = πl (R + r) con rm = (R + r)/2 = raggio medio.
2.2.16
Sfera
V = 4 πr3/3 = πd3/6 A = 4πr2 = πd2
2.2.17
Settore sferico
V = 2πr2 h/3 A = πr(2h + a)
2.2.18
Calotta sferica (o segmento sferico a una base) V = πh2 (r – h/3) = πh(3a2 + h2)/6 L = 2 πrh = π(a2 + h2) = πc2 a2 = h (2r – h) (vedi triangolo rettangolo tratteggiato) Le formule valgono anche per h > r.
GEOMETRIA
2.2.19
Zona sferica (segmento sferico a due basi) r2 = a2 + [(a2 – b2 – h2)/(2h)]2 V = πh (3a2 +3b2 +h2)/6 L = 2πrh Per a = r è V = πh (3r2 – h2)/3, (infatti b2 = r2 – h2).
2.2.20
Ellissoide V = 4πabc/3 (a > b) Per c = b: L = 2πa2 + (πb2/ε) ln [(1 + ε)/(1 – ε)] Per c = a: L = 2πb2 + (2πab/ε) sin–1 ε con ε = √(1 – b2/a2) = eccentricità.
2.2.21
Paraboloide circolare
V = πr2 h/2
2.2.22
Tino a basi ellittiche
V = πh [(b(2a + c) + d(2c + a)]/6
A-45
A-46
2.2.23
MATEMATICA
Botte con doghe paraboliche
V = πh (2D2 + Dd + 3d2/4)/15
2.2.24
Regola di Guldino l = lunghezza di una linea piana ruotante intorno ad un asse complanare che non la interseca. r = distanza del suo baricentro dall’asse. L = 2πrl = area della superficie di rotazione. A = area di una superficie piana ruotante intorno ad un asse complanare che non la attraversa. r = distanza del suo baricentro dall’asse. V = 2 πrA = volume del solido di rotazione. (se la superficie è un cerchio si ottiene un anello circolare).
2.2.25
Anello circolare
L = 4π2 Rr = π2Dd V = 2π2 Rr2 = πDd 2/4
3 3.1
TRIGONOMETRIA
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Le funzioni trigonometriche stabiliscono una corrispondenza tra l’insieme Φ, i cui elementi sono ampiezze di angoli, e l’insieme R dei numeri reali. In questo capitolo gli angoli si considerano misurati in radianti. Per passare da gradi centesimali o sessagesimali a radianti, si usano le seguenti formule: ϕrad = π ϕgon/200 = π ϕ0/180 3.1.1
Definizione sul triangolo rettangolo.
Vedi figura 3.1 per la simbologia.
sin α = a/c = lato opposto/ipotenusa cos α = b/c = lato adiacente/ipotenusa tan α = a/b = lato opposto/lato adiacente cot α = b/a = lato adiacente/lato opposto (α < π/2) 1/sin α indica anche con sec α. Le funzioni inverse vengono indicate nel modo seguente: α = sin–1 (a/c); α = cos–1 (b/c);
α = tan–1 (a/b) α = cot–1 (b/a)
Talvolta viene anche usata la notazione: arcsin, arccos, arctan, arccot. 3.1.2 Il cerchio trigonometrico. Sul cerchio trigonometrico vengono definite le funzioni trigonometriche anche per angoli α > π/2. Le funzioni sin α e cos α sono le proiezioni del raggio OP unitario sugli assi coordinati, tan α e cot α sono le intercette della retta per OP con le parallele agli assi (fig. 3.2). I segni negativi se la proiezione o l’intercetta è dalla parte negativa del proprio asse (tab. 3.1). Le funzioni trigonometriche vengono definite nel modo seguente (nel riferimento sinistrorso): sin α = ordinata/raggio cos α = ascissa/raggio tan α = ordinata/ascissa cot α = ascissa/ordinata
Fig. 3.1 Gli elementi del triangolo rettangolo
A-48
MATEMATICA
Fig. 3.2 Il cerchio trigonometrico: a) riferimento sinistrorso (Matematica, Fisica ... ), con rotazione antioraria; b) riferimento destrorso (Topografia ...), con rotazione oraria.
Tabella 3.1 Funzione sin α cos α tan α cot α
I segni delle funzioni trigonometriche Quadrante
I + + + +
II + – – –
III – – + +
IV – + – –
3.1.3 La riduzione al primo quadrante. È necessaria quando si vuole ricavare il valore della funzione delle tabelle dei valori numerici, dove: 0 ≤ ϕ ≤ π/2 (Cap. 1 – Tabelle). L’angolo π, dato α, con cui ricercare nelle tabelle dei valori numerici è quello indicato in figura 3.3. Per i segni vedi tabella precedente 3.1, o, in figura, il verso dell’asse della rispettiva funzione.
Fig. 3.3 Esempio di riduzione al primo quadrante (funzione seno). a) ϕ = π – α; b) ϕ = α – π; c) ϕ = 2π – α;
sin α = sin ϕ sin α = – sin ϕ sin α = – sin ϕ
A-49
TRIGONOMETRIA
3.1.4
Relazioni tra le funzioni dello stesso angolo
a) Relazioni fondamentali. Sul triangolo rettangolo possono essere verificate le seguenti relazioni, valide in generale per qualsiasi angolo a: (sin α)2 + (cos α)2 = 1 tan α = sin α/cos α cot α = 1/tan α Da queste relazioni si ottengono, per sostituzione, quelle indicate nella tabella 3.2. Tabella 3.2 sin ϕ cos ϕ tan ϕ cot ϕ
Relazioni tra le funzioni trigonometriche nel primo quadrante sin ϕ = a
cos ϕ = a
a √(1 – a2) a/√(1 – a2) √(1 – a2)/a
√(1 – a √/(1 – a2)/a a/√(1 – a2) a 2)
tan ϕ = a a 2)
a/√(1 + 1/√(1 + a2) a 1/a
cot ϕ = a 1/√(1 + a2) a/√(1 + a2) 1/a a
b) Formule di duplicazione: sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2 = 1 – 2 (sin α)2 = 2 (cos α)2 – 1 tan 2α = 2 tan α/[1 – (tan α)2] = 2/(cot α – tan α) cot 2α = [(cot α)2/(2 cot α) = (cot α – tan α)/2 Possono anche essere nella forma: sin α = 2 sin (α/2) cos (α/2) ... c) Formule di triplicazione: sin cos tan cot
3α = 3 sin α – 4(sin α)2 3α = 4(cos α)2 – 3 cos α 3α = [3 tan α – (tan α)3]/[1–3 (tan α)2] 3α = [(cot α)3 – 3 cot a]/[3 (cot α)2 – 1]
d) Formule generali per i multipli di un angolo: sin (nα) = sin [(n – 1) α] cos α + cos [(n – 1) α] sin α cos (nα) = cos [(n – 1) α] cos α – sin [(n – 1) α] sin α e) Formule di bisezione: sin (α/2) = √[(1 – cos α)/2] cos (α/2) = √[(1 + cos α)/2] tan (α/2) = √[(1 – cos α)/(1 + cos α)] cot (α/2) = √[(1 + cos α)/(1 + cos α)]
A-50
MATEMATICA
f) Formule parametriche: t = tan (α/2) sin α = 2 t/( 1 + t 2) cos α = (1 – t 2)/(1 + t 2) tan α = 2t/(1 – t 2) 3.1.5
Relazioni tra le funzioni di due angoli
a) Somma e differenza di angoli sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β tan (α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 tan α tan β) cot (α ± β) = (cot α cot β 1)/(cot β ± cot α) ±
±
±
b) Somma e differenza di funzioni trigonometriche (formule di prostaferesi) sin α ± sin β = 2 sin [(α + β)/2] cos [(α β)/2] cos α + cos β = 2 cos [(α + β)/2] cos [(α – β)/2] cos α – cos β = – 2 sin [(α + β)/2] sin [(α – β)/2] tan α ± tan β = [sin (α ± β)]/[cos α cos β] cot α ± cot β = [sin (β ± α)]/[sin α sin β] cos α ± sin α = √2 sin (π/4 ± α) ±
c) Prodotti di funzioni trigonometriche (formule di Werner) sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)]/2 cos α cos β = [cos (α – β) + cos (α + β)]/2 sin α cos β = [sin (α – β) + sin (α + β)]/2 d) Potenze di funzioni trigonometriche (sin α)2 = [1 – cos (2α)]/2 (cos α)2 = [1 + cos (2α)]/2 (sin α)3 [3 sin α – sin (3α)]/4 (cos α)3 [3 cos α + cos (3α)] /4 3.2
TRIANGOLO RETTANGOLO
3.2.1 Relazioni tra gli elementi del triangolo rettangolo. simbologia. a = c sin α = c cos β = b tan α = b cot β a = √(c2 – b2) = √(mc) h = ab/c = √(mn) c = a/sin α = a/cos β c = √(a2 + b2) = ab/h = a2/m
Vedi figura 3.1 per la
TRIGONOMETRIA
A-51
3.2.2 Risoluzione del triangolo rettangolo. In generale, nella risoluzione dei triangoli, conviene verificare alla fine i risultati, ricalcolando, a partire da questi, uno dei dati iniziali. Perché tutti i risultati vengano controllati, è opportuno fare i calcoli in catena, in modo che venga evidenziata la presenza di eventuali errori anche nei risultati intermedi (fig. 3.4).
Fig. 3.4 Percorsi possibili nella risoluzione dei triangoli rettangoli.
I procedimenti che vengono illustrati sono solo un esempio fra tutti quelli possibili per la risoluzione dello stesso problema. a) Dati ipotenusa e cateto: c, a a = sin–1 (a/c) b = π/2 – α b = c sin β Verifica: b tan α = a ? b) Dati due cateti: a, b α = tan-1 (a/b) β = p/2 – α c = b/sin β Verifica: c sin α = a ? c) Dati ipotenusa e angolo: c, α β = π/2 – α b = c sin β a = b tan α Verifica: sin–1 (a/c) = α ? d) Dati cateto e angolo: a, α β = π/2 – α b = a tan β c = b/sin β Verifica: sin–1 (a/c) = α ?
A-52
MATEMATICA
3.3 3.3.1 gia.
TRIANGOLO
Relazioni tra gli elementi di un triangolo. A = area del triangolo,
Vedi figura 3.5 per la simbolo-
s = semiperimetro.
... alla fine della formula, indica che si può ricavarne altre due per sostituzione ciclica di a, b, c e α, β, γ.
Fig. 3.5 Elementi di un triangolo.
a) Formula dei seni: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R = k (cost.) = 1--- abc/A 2 Serve per determinare un lato (o un angolo), dati l’angolo (o il lato) opposto e la costante del triangolo, pari al diametro del cerchio circoscritto. b) Formula del coseno o di Carnot: c2 = a2 + b2 – 2 ab cos γ … Per γ = π/2 (triangolo rettangolo), si riduce alla formula di Pitagora. Serve per determinare, dati due lati e l’angolo compreso, il lato opposto all’angolo dato. La sua inversa è: γ = cos–1 [(a2 + b2 – c2)/(2 ab)] ... Serve per determinare un angolo, dati i tre lati. c) Formula delle proiezioni: a = b cos γ + c cos β ... d) Formula delle tangenti o di Nepero: (a + b)/(a – b) = tan [(α + β)/2]/tan [(α – β)/2]... Viene utilizzata nella risoluzione di un triangolo, dati due lati e l’angolo compreso, coi logaritmi.
TRIGONOMETRIA
A-53
e) Formule del semiangolo o di Briggs: sin (α/2) = √[(s – b) (s – c)/(bc)] ... cos (α/2) = √[s (s – a)/bc)] ... Vengono utilizzate nella risoluzione di un triangolo, dati i tre lati, coi logaritmi. f) Area di un triangolo: Dati tre lati (formula di Erone): A = √[s(s – a) (s – b) (s – c)] Dati due lati e l’angolo compreso: A = (ab sin γ)/2 ... Dati un lato e i due angoli adiacenti: A = a2/[2 (cot β + cot γ)] … Per il calcolo con i logaritmi si preferisce: A = (a2 sin β sin γ)/[2 sin (β + γ)] ... g) Altezze, mediane, bisettrici: ha = 2 A/a ... ha = a/(cot β + cot γ) ... ha = b sin γ ... ma = √[2 (b2 + c2) – a2] /2 ... ba = 2 √[bcs(s – a)]/(b + c) ... h) Raggi dei cerchi notevoli: r = raggio del cerchio inscritto (incrocio bisettrici); R = raggio del cerchio circoscritto (incrocio assi); Ra , Rb , Rc , = raggi cerchi exinscritti (incrocio bisettrici esterne). r = A/s R = abc/(4 A) R = a/(2 sin α) ... Ra = A/(s – a) ... Ra = s tan (α/2) ... 3.3.2 Risoluzione del triangolo. Valgono le stesse considerazioni fatte per la risoluzione dei triangoli rettangoli a proposito dell’ordine dei calcoli e delle verifiche. Si ricorda che la somma degli angoli è pari a π, utilizzabile nel calcolo. Quando è opportuno si calcola la costante k del triangolo che compare come risultato intermedio nei procedimenti seguenti (fig. 3.6). a) Dati i tre lati: a, b, c (dove c è il lato maggiore) γ = cos–1 [(a2 + b2 – c2)/(2 ab)] k = c/sin γ α = sin–1 (a/k) β = sin–1 (b/k) Verifica: α + β + γ = π ?
A-54
MATEMATICA
Fig. 3.6 Percorsi possibili nella risoluzione dei triangoli.
b) Dati due lati e l’angolo compreso: a, b, γ c = √[a2 + b2 – 2 ab cos γ] α = cos–1 [(b2 + c2 – a2)/(2 bc)] β = cos–1 [(a2 + c2 – b2)/(2 ac)] Verifica: α + β + γ = π ? c) Dati due lati e un angolo opposto: a, b, α. Sono possibili due triangoli, per cui occorre sapere se β è o no < π/2. Per β = π/2 si ha un triangolo rettangolo (soluzioni coincidenti). k = a/sin α β' = sin–1 (b/k) β = β' se < π/2, altrimenti β = π – β' γ=π–α–β c = k sin γ Verifica: √(b2 + c2 –2 bc cos α) = a ? d) Dati un lato e due angoli: a, β, γ. modo da avere un lato e tre angoli:
Si calcola il terzo angolo per differenza da π, in
k = a/sin α b = k sin β c = k sin γ Verifica: √(b2 + c2 – 2 bc cos α) = a ?
4
ARITMETICA E ALGEBRA
4.1
IL SISTEMA DEI NUMERI REALI
Numeri naturali: 0, 1, 2, 3, ..... simbolo: N Numeri interi relativi: ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, .... simbolo: Z Numeri razionali: quozienti nella forma m/n, dove m ed n sono interi ed n è diverso da zero. Vengono rappresentati da numeri decimali limitati o illimitati periodici. Esempio:
1/4 = 0,25; 1/3 = 0,33333... = 0,(3); 1/7 = 0,142857142857... = 0,(142857).
Numeri irrazionali: numeri decimali illimitati non periodici. Esempio:
√2 = 1,4142135623 ... ; π = 3,1415926535....
Fig. 4.1 Il sistema dei numeri reali.
Per motivi pratici i numeri che si usano nei calcoli vengono arrotondati, per esempio con la regola seguente: scartare i decimali oltre l’ultima cifra da considerare, guardare la prima cifra scartata: se questa è minore di sei l’ultima cifra da considerare resta uguale, altrimenti aumenta di uno. Esempio:
Arrotondare a 3 decimali i risultati delle operazioni seguenti 1/3 = 0,333333 ... = 0,333; 1/7 = 0,142857 ... = 0, 143.
Numeri complessi. Il campo dei numeri reali non consente l’estrazione di radice per i numeri negativi. In generale, nel campo reale non è consentito elevare a potenza con esponente reale un numero negativo. Nel campo dei numeri complessi questo è possibile e ci consente di trattare nel modo più ampio possibile la teoria delle Equazioni algebriche (vedi Equazioni). In certi casi la soluzione di una equazione, per esempio una cubica, coinvolge numeri complessi. Noi ci limiteremo però alle soluzioni reali, scartando le altre che non hanno importanza per il genere di problemi trattati dal Manuale. Simbologia. Il campo dei numeri razionali viene indicato con Q, quello dei numeri reali con R e quello dei numeri complessi con C. Inoltre “appartiene a” si indica con ∈ e “per ogni” si indica con ∀.
A-56
MATEMATICA
Data l’importanza sempre maggiore che sta assumendo il trattamento automatico dei dati mediante elaboratore elettronico, si è cercato di seguire nella scrittura delle formule modalità derivate dall’informatica. Per questo si è preferito sostituire a --b
con a/b
a + b con √(a + b) a + b con (a + b)1/3 cos2 x con (cos x)2
3
4.2
GLI INSIEMI
4.2.1 Definizioni principali. Un insieme è una ben definita collezione di elementi. Un insieme è cioè definito da un elenco di tutti gli elementi dell’insieme, oppure da una regola in base alla quale è possibile stabilire se un elemento appartiene o no all’insieme. In generale un insieme si rappresenta con una lettera maiuscola, per es.: A, B, C. L’elenco degli elementi o la regola vengono comprese tra parentesi graffe { }. Gli elementi di un insieme vengono in generale rappresentati con lettere minuscole. Indichiamo l’appartenenza di un elemento ad un insieme come segue: a∈A indica che a è un elemento dell’insieme A. a∉A indica che a non è un elemento dell’insieme A. Un insieme senza alcun elemento si chiama insieme vuoto e si indica con il simbolo φ. Esempi: – Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali dispari. Possiamo indicarlo con l’elenco: N ={1,3,5,7, ...}. o con la regola: N = {n | n è un numero naturale dispari}. Si legge: N è l’insieme degli elementi n “tali che” n è un numero naturale dispari. – Consideriamo l’insieme A dei numeri che al quadrato danno 4 o 9. Possiamo indicarlo con l’elenco: A = {2, – 2, 3, – 3} o con la regola: A = {a | a2 = 4 o a2 = 9}. 4.2.2 Sottoinsiemi. Supponiamo che A e B siano due insiemi. Si dice che B è un sottoinsieme di A, e si indica con B#A, se ogni elemento di B è anche un elemento di
ARITMETICA E ALGEBRA
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A. Cosicché ogni insieme è anche sottoinsieme di se stesso. Si dice che B è un sottoinsieme proprio di A, e si indica con B,A, quando B è un sottoinsieme di A e inoltre A contiene almeno un elemento che non appartiene a B. Due insiemi sono uguali, e si indica con A = B, se hanno esattamente gli stessi elementi. Si può dimostrare che l’insieme vuoto φ è un sottoinsieme di ogni insieme. Dati due insiemi A e B, se A non è un sottoinsieme di B si indica con AµB. Esiste sempre un insieme che comprende tutti gli elementi che si considerano, chiamato universo, e si indica con U. Esempio: Dati gli insiemi A, B, C e D seguenti, indicare alcune delle relazioni che intercorrono tra di essi. A = {1,2,3,4,5,6,7} , C = {2,4,6} ,
B = {1,3,5,7} D = {1,2,4,6,8};
valgono le seguenti relazioni: B , A, C , A, C , D, D µ A. 4.2.3
Operazioni sugli insiemi
1. Unione. L’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A, oppure a B, oppure ad entrambi è detto l’unione di A e B ed è denotato da A 0 valori interni alle radici: x1 < x < x2 x1 ----∆ = 0 mai verificata: nessuna x ∆ < 0 mai verificata: nessuna x.
a>0
x1 < x2
x2 ------
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ALGEBRA LINEARE
Con la diffusione degli elaboratori elettronici l’Algebra Lineare ha acquistato sempre maggiore importanza per la risoluzione di problemi in molti campi, dal calcolo delle strutture all’economia. L’algebra lineare si occupa delle trasformazioni lineari sugli elementi di uno spazio vettoriale. Questi termini verranno definiti nel seguito. Iniziamo col considerare i vettori geometrici la cui algebra ha molti punti in comune con quella delle liste (o semplicemente vettori). 5.1
VETTORI GEOMETRICI
In un primo tempo i vettori saranno trattati senza introdurre un sistema di coordinate. Queste saranno considerate in un secondo tempo per ottenere formule adatte al calcolo. Qui e nel seguito quando si dice «vettore», si sottintende «geometrico». 5.1.1 Definizione di vettore geometrico. Un vettore è rappresentato da una freccia nello spazio. Una freccia possiede lunghezza e direzione. Se è fissato anche il suo punto di applicazione allora si parla di vettore applicato. Il precedente viene anche detto vettore libero. Tutte le frecce parallele che hanno la stessa lunghezza rappresentano lo stesso vettore. Una di queste è un rappresentante del vettore. Nel seguito, quando disegneremo una sola freccia intenderemo che lo stesso può essere fatto per ogni altro rappresentante del vettore dato. In simboli un vettore può essere indicato con una lettera minuscola in carattere marcato, per esempio a. Se un vettore viene dato in termini dei suoi punti estremi, per esempio A e B, si indica con AB, si tratta ovviamente di un vettore applicato (fig. 5.1).
Fig. 5.1 Vettori geometrici: a) libero, b) applicato.
Si può associare l’idea di vettore a quella di spostamento dei punti nello spazio. Si pensi ad esempio allo spostamento delle particelle di un liquido in moto uniforme. E quindi si può definire un vettore come traslazione nello spazio tridimensionale. La lunghezza di un vettore geometrico, indipendente dalla sua direzione, viene detta mo-
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dulo (o norma) del vettore. Dato il vettore a, il suo modulo si indica con 储 a 储 . Oltre alla traslazione i vettori possono rappresentare la velocità di un insieme di particelle o le forze di attrazione in un campo gravitazionale, ecc. 5.1.2 Addizione tra vettori geometrici. Pensiamo ai vettori come a traslazioni. La somma fra due vettori a e b è la traslazione a + b ottenuta eseguendo le traslazioni a e b una dopo l’altra (fig. 5.2). L’addizione è commutativa: a + b = b + a (fig. 5.3).
Fig. 5.2 Somma di due vettori geometrici.
Fig. 5.3 Proprietà commutativa della somma.
Dato che i vettori a, b e a + b formano un triangolo, vale la seguente disuguaglianza triangolare: a + b ≤ 储 a 储 + 储 b 储. Vale la proprietà associativa dell’addizione: (a + b) + c = a + (b + c) (fig. 5.4). Il vettore nullo (o zero). La traslazione che manda un punto A nel punto A stesso e che pertanto lascia fermi i punti dello spazio è il vettore nullo, indicato con o. Vale la proprietà a + o = a. Dato un vettore a si indica con – a il vettore individuato dalla freccia che ha lunghezza uguale ad a ma direzione opposta. Viene detto l’opposto di a. La differenza a – b si intende allora come somma di a con l’opposto di b: a – b = a + (– b) (fig. 5.5).
Fig. 5.4 Proprietà associativa della somma.
Fig. 5.5 Differenza di vettori.
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MATEMATICA
5.1.3 Moltiplicazione di vettori per scalari. Dato un vettore a si chiama multiplo scalare di a un vettore che ha per direzione la stessa direzione e per modulo un multiplo di a: 储 r a 储 = r 储 a 储 , dove r è un numero reale. Vettore unitario è un vettore che ha modulo unitario e la stessa direzione del vettore dato. Dato a si ottiene: u = a/储 a 储 . Vale la proprietà associativa: (r s) a = r (sa) e le due proprietà distributive: r (a + b) = r a + r b (r + s) a = r a + s a 5.1.4 Dipendenza lineare. Consideriamo per semplicità l’insieme dei vettori che giacciono su un piano. Dati due vettori a e b che hanno diversa direzione, è sempre possibile formare un prefissato vettore c con una loro combinazione lineare (con somma e moltiplicazione). È cioè possibile trovare due numeri reali r ed s, tali che: r a + s b = c. In modo analogo, dati a e c , si può formare b , e dati b e c si può formare a. Questo fatto si esprime dicendo che a, b e c sono linearmente dipendenti (fig. 5.6).
Fig. 5.6 Vettori linearmente dipendenti nel piano.
Se a e b sono paralleli, allora b dipende linearmente da a e si ha: p a = b . In questo caso, con a e b, non è più possibile formare un vettore c prefissato, che non sia parallelo ad a e a b. Due vettori a e b non paralleli si dicono linearmente indipendenti. Potendosi con essi formare un qualunque vettore c, si dicono anche vettori base. Se i due vettori base sono ortogonali e di modulo unitario si dice che la base è ortonormale. Quanto detto fin’ora per la dipendenza lineare nel piano si amplia facilmente al caso dello spazio a tre dimensioni. Nello spazio occorreranno tre vettori non paralleli per formare una base. 5.1.5 Componenti in un riferimento cartesiano. Consideriamo i vettori nello spazio a tre dimensioni. Dato un riferimento cartesiano, si sceglie come base ortonormale una terna di vettori disposta secondo gli assi cartesiani. Questi vettori si indicano con i, j, k e si chiamano anche versori. Si può allora rappresentare qualunque vettore geometrico come combinazione lineare della base (fig. 5.7): a = ax i + ay j + az k
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Fig. 5.7 Componenti di un vettore nel riferimento cartesiano.
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Fig. 5.8 Componenti di un vettore e coseni direttori.
Dato un riferimento cartesiano è dunque possibile associare a ogni vettore a una terna di numeri reali (ax , ay , az), detti le componenti del vettore secondo gli assi x, y e z. Indicando con ϑx , ϑy , ϑz , i tre angoli formati dal vettore a con le parallele agli assi, si vede che: ax / 储 a 储 = cos ϑx = lx ay / 储 a 储 = cos ϑy = ly az / 储 a 储 = cos ϑz = lz Dove lx , ly, lz sono i coseni direttori della direzione di a (fig. 5.8). Quindi le componenti del vettore sono i coefficienti direttori della direzione di a (v. Geometria Analitica). Si ha dunque per le componenti: a x2 + a y2 + a z2 = a 2 , e per i coseni direttori: lx + ly + lz = l. Le componenti dei versori i, j, k sono rispettivamente (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dato un punto A di coordinate xA, yA, zA, si chiama vettore posizione di A il vettore applicato OA, di componenti (xA, yA, zA) (fig. 5.9). Dati due punti A e B, il vettore applicato AB avrà componenti (xB – xA, yB – yA, zB – zA) (fig. 5.10). La stessa formula che dà le componenti dei vettore applicato AB si può ottenere osservando che il vettore applicato è differenza dei vettori posizione: AB = OB – OA (fig. 5.11). Un vettore applicato è descritto dalle sue componenti e dalle coordinate del suo punto di applicazione. Un corpo rigido possiede un ulteriore parametro (l’angolo ω in fig. 5.12) che ne caratterizza la posizione (v. Statica – Gradi di libertà). La somma di due vettori a + b = c ha per componenti le somme delle rispettive componenti: (ax + bx, ay, + by, az + bz) (fig. 5.13). La moltiplicazione di un vettore per uno scalare si ottiene moltiplicando le componenti del vettore per lo scalare. Dato a, le componenti del suo multiplo r a sono (rax, ray, raz).
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MATEMATICA
Fig. 5.9 Vettore posizione.
Fig. 5.11 Differenza di vettori.
Fig. 5.10 Componenti di un vettore applicato.
Fig. 5.12 Parametri di posizione del corpo posizione rigido.
5.1.6 Prodotto scalare o interno tra vettori. Il prodotto scalare (o prodotto interno) viene definito come somma dei prodotti delle componenti dei due vettori. Dati a e b, il loro prodotto scalare si indica con a • b (si legge “a scalare b”) ed è a • b = a x b x + a y b y + a z b z. Esprimendolo in funzione dei moduli si ottiene a • b = 储a储 储b储
(lx mx + ly my + lz mz) = 储 a 储 储 b 储 cos ϑ
Dove si è indicato con (lx, ly, lz) i coseni direttori di a, con (mx, my, mz) quelli di b e con ϑ l’angolo formato dai due vettori (fig. 5.14). Se a è una forza e b è uno spostamento, il loro prodotto scalare a • b esprime il lavoro prodotto dalla forza per quello spostamento. Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa: a • b = b • a.
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Fig. 5.13 Componenti del vettore somma.
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Fig. 5.14 Angolo tra due vettori.
E gode della proprietà distributiva: a • (b + c) a • b + a • c Se due vettori sono perpendicolari, cos ϑ = 0, quindi a • b = 0. La formula del prodotto può servire per calcolare l’angolo formato da due vettori cos ϑ = a • b/(储 a 储 储 b 储) e in termini di componenti cos ϑ = (ax bx + ay by + az bz) / [√( a x2 + a y2 + a z2 ) √ b x2 + b y2 + b z2 ] 5.1.7 Prodotto vettoriale. Dati a e b, si dice prodotto vettoriale un vettore che ha direzione perpendicolare al piano dei due vettori e modulo pari al prodotto dei moduli per il seno dell’angolo compreso. Si indica con a × b (o con a∧b) (si legge “a vettore b”), ed è 储 c 储 = 储 a × b 储 = 储 a 储 储 b 储 sin ϑ I tre vettori a, b e c formano una terna destrorsa (v. Sistemi di riferimento). Il modulo di c è rappresentato dall’area del parallelogramma i cui lati sono a e b (fig. 5.15). Esprimendo il prodotto vettoriale con le componenti dei vettori si ha i j k a × b = det a x a y a z b x b y bz
(v. Determinanti)
e cioè a × b = (ay bz – az by) i + (az bx – ax bz) j + (ax by– ay bx) k. Se f è una forza e r è la distanza OP, r × f rappresenta il momento m della forza rispetto al punto O (fig. 5.16). L’annullarsi del prodotto vettoriale, a × b = 0, indica che i due vettori a e b sono paralleli. Dato un triangolo A B C la sua area sarà data da (1/2) 储AB × AC储. Mentre il prodotto scalare o interno ha corrispondenza negli spazi vettoriali astratti (v. Spazi Vettoriali), il prodotto vettoriale non ha una operazione corrispondente.
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MATEMATICA
Fig. 5.15 Prodotto vettoriale.
Fig. 5.16 Momento di una forza come prodotto vettoriale.
5.1.8 Il triplo prodotto scalare tra vettori. Dati tre vettori a, b e c si definisce triplo prodotto scalare la scrittura a • b × c, o più chiaramente, a • (b × c). In componenti a x a y az a • (b × c) = det b x b y b z (Positivo se la terna a b c è destrorsa) c x c y cz e cioè a • (b × c) = ax (by cz – bz cy) + ay (bz cx – bx cz) + az (bx cy – by cx). Poiché uno scambio ciclico delle righe non cambia il valore del determinante, possiamo scambiare i vettori corrispondenti: a • (b × c) = b • (c × a) = c • (a × b) Si ricordi inoltre che il prodotto scalare è commutativo, mentre il prodotto vettoriale cambia di segno scambiando i termini. Se a, b e c sono i lati di un parallelepipedo, il suo volume è dato dal triplo prodotto scalare a (b × c). Infatti Vol = a • (b × c) = (b × c) • a = 储 b × c 储 a 储 cos ϑ = area base · altezza (fig. 5.17) Mentre il volume di un tetraedro è dato da
Vol = (1/3) area base · altezza = (1/3) (1/2) 储 a × c 储 储 a 储 cos ϑ = (1/6) a • (b × c) (fig. 5.18)
Fig. 5.17 Volume del parallelepipedo dal triplo prodotto scalare.
Fig. 5.18 Volume del tetraedro dal triplo prodotto scalare.
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5.2
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SPAZI VETTORIALI
5.2.1 Definizione di spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi, detti vettori, che possono essere addizionati tra loro o moltiplicati per degli scalari e il risultato è ancora un vettore. Gli scalari sono in genere numeri reali o complessi. Di solito i vettori sono indicati con una lettera minuscola in carattere marcato, per esempio a. Nello spazio a tre dimensioni ogni vettore (v. Vettori geometrici) determina una terna di coordinate e, inversamente, ogni terna ( al, a2, a3) determina un unico vettore avente ax = a1, ay = a2, az, = a3. Dunque lo spazio vettoriale V3 può essere identificato con lo spazio R3 delle terne di numeri reali. Si può generalizzare questa corrispondenza considerando vettori con n componenti, associati alle n-uple (al, a2,..., an) di uno spazio Rn (fig. 5.19). La norma di un vettore, o modulo, o lunghezza, è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti 储 a 储 = √( a 12 + a 22 + a 32 + … + a n2 ) Un altro esempio di spazio vettoriale, oltre a Rn, è lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale ad n. Infatti una combinazione lineare (somma e moltiplicazione per scalare) di due polinomi è ancora un polinomio. La somma di due vettori è un vettore che ha per componenti la somma delle rispettive componenti. Le componenti di a + b sono dunque (a1 + b1, a2 + b2,…, an + bn). La moltiplicazione per scalare dà un vettore che ha le componenti originali moltiplicate ognuna per lo stesso scalare. Le componenti di r a sono (ral, ra2, ra3 ,…, ran).
Fig. 5.19 Vettore nello spazio R3.
5.2.2 Assiomi degli spazi vettoriali. Se a, b, c sono elementi di uno spazio vettoriale V, e r e s sono scalari, si richiede che le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare godano delle seguenti proprietà (ovvero soddisfino i seguenti assiomi). – – – –
V è chiuso rispetto all’addizione: a + b è uno e un solo elemento di V. Proprietà associativa dell’addizione: (a + b) + c = a + (b + c). Proprietà commutativa dell’addizione: a + b = b + a. Esistenza dello zero: per ogni a di V a + o = a.
Questi primi quattro assiomi si applicano al solo insieme dei vettori. Ci sono poi una serie di assiomi, che non riportiamo, che si applicano al solo insieme degli scalari
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MATEMATICA
(conosciuto come campo in matematica). Infine riportiamo gli assiomi che descrivono l’interazione tra i due insiemi (vettori e scalari). – – – – – –
V è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: r a è un elemento di V. Esistenza degli opposti: per ogni a di V a + (– a) = o Proprietà associativa della moltiplicazione: r (s a) = (rs) a Proprietà d’identità 1 a = a Prima legge distributiva: r (a + b) = r a + r b Seconda legge distributiva: (r + s) a = r a + s a
5.2.3 Prodotto interno o scalare. Il prodotto interno o scalare viene definito come somma dei prodotti delle componenti di due vettori. Dati a e b il loro prodotto interno si indica con a • b ed ha come componenti (a1 b1, a2 b2, a3 b3,..., an, bn). Naturalmente i due vettori devono appartenere allo stesso spazio vettoriale. Vale la proprietà commutativa a • b = b • a e la proprietà distributiva a • (b + c) = a • b + a • c. Viene definito l’angolo tra due vettori nel seguente modo a•b cos = ϑ = ----------------a b
(fig. 5.20)
Infatti, dalla trigonometria, 储 a – b 储2 = 储 a 储2 + 储 b 储2 – 2 储 a 储 储 b 储 cos ϑ, si dimostra che sviluppando 储 a – b 储2 il primo membro diventa 储 a 储2 + 储 b 储2 – 2 a • b da cui, semplificando entrambi i membri, si ottiene la formula. Se a • b = 0 e 储 a 储, 储 b 储 ≠ 0, i due vettori sono ortogonali.
Fig. 5.20 Angolo tra due vettori.
5.2.4 Base di uno spazio vettoriale. Se un vettore c si è ottenuto come combinazione lineare di altri due vettori a e b, cioè c = ra + sb, allora si dice che a, b e c sono linearmente dipendenti. In generale tre vettori v1, v2, v3 sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0, con c1, c2, c3 diversi da zero. Altrimenti sono linearmente indipendenti. Lo stesso vale, in generale, per n vettori. Se in uno spazio vettoriale V, si può esprimere ogni vettore v come combinazione lineare di m vettori w1, w2, ..., wm, allora si dice che questi generano lo spazio V. Se questi m vettori sono anche linearmente indipendenti allora si dicono una base dello spazio vettoriale. Se inoltre sono ortogonali formano una base ortogonale. Se
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sono di lunghezza unitaria la base si dice ortonormale. Poiché con una base ortonormale i calcoli si semplificano, si applica un procedimento, detto di Gram-Schmidt, per ottenere dei vettori ortonormali da un insieme di vettori indipendenti (v. Matrici – Proiezioni ortogonali). Per lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale ad n, una base può essere formata, quando n = 2 per esempio, dai vettori w1, w2 e w3 di componenti (1, 0, 0), (0, x, 0), (0, 0, x2). 5.2.5 Applicazioni e trasformazioni lineari. Consideriamo lo spazio R3. Proiettiamo i punti dello spazio secondo una direzione parallela all’asse x3 sul piano x1, x2. Si ottiene su quel piano l’immagine di ogni punto dello spazio per esempio al punto A corrisponde A′ (fig. 5.2 1). Inoltre al vettore somma a + b corrisponde il vettore somma delle rispettive immagini a′ + b′ e al multiplo rb corrisponde rb′. Questo è un esempio di applicazione lineare. In generale possiamo dire che un’applicazione T di uno spazio V in uno spazio V ′ è lineare se valgono le seguenti uguaglianze T(a + b) = T(a) + T(b) e T(ra) = rT(a). Si indica anche con una freccia T : V → V ′ o T : a → T(a). Nell’esempio di figura 5.21 T : (x1, x2, x3) → (x1, x2, 0).
Fig. 5.21 Esempio di applicazione lineare.
Il vettore univocamente determinato T(a) viene detto l’immagine di a ed a stesso immagine inversa di T(a). Può accadere o che un vettore di V ′ abbia una sola immagine inversa o che ne abbia più di una. Questo secondo caso è quello dell’esempio, infatti ad ogni vettore a′ di componenti (a1, a2, 0) corrispondono infiniti vettori a di componenti (a1, a2, x3 qualunque). Nel primo caso si parla di trasformazione lineare. Per esempio la rotazione del piano attorno all’origine 0 è una trasformazione lineare (fig. 5.22).
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MATEMATICA
Fig. 5.22 Esempio di trasformazione lineare.
In questo caso la trasformazione può essere indicata con T : (x1, x2)→ ( x'1, x'2 )
dove
⎧ x'1 = x 1 cos ϑ – x 2 sin ϑ ⎨ ⎩ x'2 = x 1 sin ϑ + x 2 cos ϑ
Si vedrà che le applicazioni e le trasformazioni lineari si possono tradurre con sistemi di equazioni lineari, sono cioè rappresentabili mediante matrici. In generale si può dire che una trasformazione lineare è un’applicazione lineare che trasforma lo spazio V in sè. Come abbiamo visto nel primo esempio, per proiezione si passa dallo spazio R3 allo spazio R2 (il piano x1, x2). Si perde cioè una dimensione. Se indichiamo col termine nucleo di T l’insieme K dei vettori di V che hanno come immagine il vettore nullo di V ′ si dimostra che (dimensioni di V) = (dimensioni di V ′) + (dimensioni di K). Nell’esempio di figura 5.21 al vettore nullo del piano x1, x2 corrispondono tutti i vettori paralleli all’asse di proiezione x3. L’insieme di questi vettori forma il nucleo. Ciascuno di essi ha componenti (0,0, x3), pertanto il nucleo ha dimensione uno, ed una è la dimensione perduta nel passaggio da V a V ′ (fig. 5.23). Se il nucleo ha dimensione. zero, poiché contiene solo il vettore nullo, come nel secondo esempio di figura 5.22, allora la corrispondenza è uno a uno e la trasformazione lineare è un isomorfismo. Conoscere gli elementi che formano il nucleo K può essere utile per il motivo seguente. Indichiamo con k un elemento di K e con v un elemento di V, allora si di-
Fig. 5.23 Nucleo K della trasformazione T(V) = V ′.
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mostra che T(v + k) = T(v) cioè v e v + k hanno la stessa immagine. Si supponga di voler conoscere tutte le immagini inverse di un elemento v′, conoscendone una sola v1, e conoscendo tutti gli elementi di K. Tutte le immagini inverse sono date da v = v1 + k per ogni k ∈ K. Esempio. È data l’applicazione T di R 3 in R2 nel seguente modo T : (x1, x2, x3) → ( x'1, x'2 ) con x'1 = 2x1, + 3x2 – x3 e x'2 = x1 + x2 – x3. È dato un elemento di V ′ : (1, 2). Si vuole trovare l’insieme S di tutti gli elementi di V che lo ammettono come immagine (fig. 5.24). Cioè si vogliono trovare tutte le triple (x1, x2, x3) che soddisfano al sistema ⎧ 2x 1 + 3x 2 – x 3 = 1 ⎨ ⎩ x1 + x2 – x3 = 2 Prima di tutto si determina una soluzione qualunque v1; ponendo per esempio x3 = 0 e, risolvendo il sistema con i noti metodi (v. Sistemi di equazioni lineari), si ottiene x1 = 5; x2 = – 3. Per determinare tutte le soluzioni che corrispondono al vettore nullo di V ′ (0, 0) si risolve il sistema (detto omogeneo associato) ⎧ 2x 1 + 3x 2 – x 3 = 0 ⎨ ⎩ x1 + x2 – x3 = 0 Ponendo x3 = k, e risolvendo, si ottiene x1 = 2k; x2 = – k, che danno un elemento del nucleo K per ogni k ∈ R. Sommando le due soluzioni si ottengono tutte quelle del sistema di partenza, ovvero, in termini di spazi vettoriali, tutte le immagini inverse del vettore v′ di componenti (1, 2). Per cui l’insieme S è dato da {(5 + 2k, – 3 – k, k) per ogni k ∈ R}. Interpretazione geometrica: le due equazioni rappresentano due piani nello spazio che si intersecano nella retta i cui punti sono rappresentati dagli elementi dell’insieme S. La retta passa per il punto (5, – 3, 0) e ha coefficienti direttori (2, – 1, 1) (v. Geometria analitica) (fig. 5.25).
Fig. 5.24 Insieme soluzione S.
Fig. 5.25 Interpretazione geometrica.
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MATEMATICA
Interpretazione vettoriale: indichiamo col termine vettori colonna i vettori a, b, c di componenti a = 2 , b = 3 , b = –1 1 1 –1 Allora il sistema dato equivale a cercare quali combinazioni lineari di questi tre vettori generano il vettore v′ = (1,2) (fig. 5.26.a). Se indichiamo i coefficienti incogniti con x1, x2, x3, possiamo riscrivere il sistema nella forma 2 x + 3 x + –1 x = 1 1 2 3 1 1 –1 2 Possiamo quindi interpretare i tre valori x1, x2, x3 come le componenti dell’immagine inversa di v′ relativa alla applicazione data tramite a, b, c. L’insieme delle immagini inverse è indicato come insieme soluzione S ed è in R3, mentre i vettori immagine sono in R2 (il piano x1, x2,) e formano il cosiddetto spazio delle colonne (fig. 5.26.b). La soluzione particolare (5, – 3, 0), ottenuta ponendo x3 = 0, viene rappresentata con un vettore v1 sul piano x1, x2. Essa genera v′ come si può verificare 2 5 + 3 (– 3) + – 1 0 = 2× 5 + 3× – 3 + – 1× 0 = 10 – 9 + 0 = 1 1× 5 + 1× – 3 + – 1× 0 –1 1 1 5– 3+ 0 2 Dobbiamo però determinare tutti i vettori soluzione, non uno solo. Li otteniamo sommando questa soluzione ai vettori del nucleo K che sono soluzioni del sistema omogeneo associato dovendo generare il vettore immagine nullo di V ′, (0,0). Questi vettori hanno componenti (2 k, – k, k) con k ∈ R. Se per esempio k = 1 le componenti diventano (2, – 1, 1), che generano il vettore nullo 2 2 + 3 (– 1) + – 1 1 = 2× 2 + 3× – 1 + – 1× 1 = 4 – 3 – 1 = 0 2× 2 + 3× – 1 + – 1× 1 –1 1 1 2– 1– 1 0 I vettori dei nucleo di T sono dunque sulla retta per l’origine che ha coefficienti direttori (2, – 1, 1), questa retta è un sottospazio di T e si chiama spazio nullo di T (fig. 5.26.c). Sommando questi vettori alla soluzione particolare si hanno i vettori soluzione (5 + 2k, 3 – k, 0 + k) che generano il vettore immagine (1, 2) per ogni k ∈ R 2 ( 5 + 2k ) + 3 ( – 3 – k ) + – 1 ( 0 + k ) = 1 2 –1 1 1 I vettori soluzione sono i vettori posizione dei punti della retta per (5, – 3, 0) parallela alla retta K (fig. 5.26.d). L’insieme soluzione non è uno spazio vettoriale perché non possiede il vettore nullo (la retta non passa per l’origine).
ARITMETICA E ALGEBRA
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Fig. 5.26 a) Vettori colonna. b) Vettori immagine e soluzione. c) Spazio nullo. d) Insieme soluzione.
5.3
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI
5.3.1 Rappresentazione di applicazioni lineari mediante matrici . Consideriamo un esempio derivato dal calcolo delle strutture. Supponiamo di avere un’asta a sbalzo caricata all’estremità (fig. 5.27), all’aumentare del carico aumenta l’abbassamento dell’estremità. Entro certi limiti l’abbassamento è proporzionale al carico. Se uno raddoppia, raddoppia anche l’altro. Si può dunque scrivere ax = x′, dove abbiamo indicato con x il carico, con x′ l’abbassamento e con a la costante di proporzionalità legata alla rigidezza dell’asta (sezione, lunghezza, materiale) (v. Statica degli elementi elastici). Osserviamo che se x = 1, allora a = x′, dunque la costante è pari all’abbassamento dovuto a un carico unitario. Supponiamo di avere un’asta appoggiata all’estremità, soggetta a un carico che non è a metà dell’asta. Consideriamo ora le rotazioni delle sezioni estreme. Non saranno uguali poiché il carico non è centrale. Le indichiamo con x 1' e x 2' , mentre il carico lo indichiamo con x (fig. 5.28). Se supponiamo che ci sia proporzionalità tra carico e rotazioni, possiamo scrivere due equazioni ⎧ a 1 x = x 1' ⎨ ⎩ a 2 x = x 2'
A-90
MATEMATICA
Fig. 5.27 Asta a sbalzo: carichi e abbassamenti.
Fig. 5.28 Asta appoggiata: carico e rotazioni.
I coefficienti a1 e a2 sono ancora legati alla rigidezza dell’asta, anche se in modo diverso da prima. Tra l’altro dipenderanno anche dalla posizione del carico oltre che dalla rigidezza dell’asta. Come prima si osserva che se x = 1, a1, = x 1' , e a2 = x 2' . Quindi a1 e a2 sono le rotazioni sinistra e destra dovute a un carico unitario. Supponiamo infine di avere un’asta appoggiata con sbalzo laterale, con due carichi, sullo sbalzo e in campata. Scriviamo il legame carico-rotazioni per mezzo di equazioni. Infatti si possono sommare gli effetti dei due carichi se il materiale non è troppo sollecitato, come avviene normalmente (fig. 5.29). Questa possibilità si indica come principio della sovrapposizione degli effetti e si ottiene a 11 x 1 + a 12 x 2 = x'1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = x'2 Se indichiamo con x'i la rotazione nell’i-esimo nodo, con xk il carico sulla k-esimo asta, allora aik è la rotazione nell’i-esimo nodo quando il k-esimo carico è uguale ad 1, e tutti gli altri sono uguali a zero. Notiamo che il sistema di equazioni varia se cambiamo la numerazione dei nodi e delle aste. E i valori numerici dipendono dalle convenzioni di segno e dalle unità di misura (fig. 5.30). In termini vettoriali il sistema varia al variare della base di riferimento. In generale un sistema fisico può far corrispondere a n variabili (i carichi nell’esempio) m altre variabili (le rotazioni nell’esempio). Spesso valgono con buona approssimazione sia la legge di proporzionalità diretta (moltiplicazione per uno scalare) sia la legge di sovrapposizione degli effetti (somma di vettori). Quindi siamo in presenza di una applicazione lineare che fa corrispondere il vettore a n componenti (x1, x2,…, xn) al vettore a m componenti ( x 1' , x 2' , ..., x m' ). L’applicazione si traduce in un sistema di m equazioni in n incognite. La tabella dei coefficienti che caratterizzano l’applicazione viene denominata matrice e si indica con una lettera maiuscola in carattere marcato, per esempio A.
ARITMETICA E ALGEBRA
Fig. 5.29 Asta con sbalzo, carichi e rotazioni.
A-91
Fig. 5.30 Numerazione elementi, convenzioni di segno.
a 11 a 12 … a 1n A=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2
a mn
I vettori x e x′ vengono rappresentati come vettori colonna: x1 . x= .
x' . x′ =
.
.
.
xn
x'm
Il termine aik della matrice è il valore della i-esima componente di x′ quando il vettore x è il k-esimo componente della base nello spazio Rn di x. Il sistema nel suo complesso può essere scritto in forma matriciale Ax = x′ In generale i valori di x′ sono quelli conosciuti e il secondo membro, chiamato termine noto, si indica con b, per cui il sistema scritto in forma matriciale è Ax=b Risolvere il sistema significa allora determinare la n-upla, se esiste, dello spazio Rn,
A-92
MATEMATICA
che abbia come immagine il vettore b nello spazio Rm delle colonne di A (v. Spazi vettoriali). Questo è più evidente se il sistema viene scritto come combinazione lineare delle colonne di A a 11
a 12
a1 n
.
.
.
.
x1 +
x2 + … +
.
.
b1 . xn = .
.
.
.
.
am 1
am 2
a mn
bm
Il sistema può avere o può non avere soluzione. Se c’è soluzione questa può essere unica o può non esserlo. Cioè può esistere tutto un insieme di soluzioni che soddisfano il sistema. In genere si imposta il sistema in modo che la soluzione ci sia e sia unica. Negli altri casi il sistema si dice singolare (vedi Sistemi di equazioni lineari). 5.3.2
Operazioni con le matrici.
a) Definizioni. Una matrice è un gruppo di numeri o simboli disposti in forma di tabella. I seguenti sono esempi di matrici. 150 , 6 4 3
3 , 2
471 ,
ab c d
Ogni matrice ha un preciso numero di righe e di colonne. Se le righe sono m e le colonne sono n, queste sono le dimensioni della matrice, indicate anche con m × n. Gli elementi della matrice A vengono indicati con aik, dove i è l’indice di riga (i = 1, 2, .... m) e k è l’indice di colonna (k = 1, 2, .... n). Se c’è solo una colonna si parla di vettore colonna e lo si indica con una lettera minuscola in carattere marcato, per esempio x. Se invece c’è solo una riga si parla di vettore riga e lo si indica come un vettore colonna. Spesso per chiarezza si distingue tra vettore colonna e vettore riga. Quest’ultimo viene allora indicato col soprassegno T, per esempio xT, che sta per «trasposto», cioè riga al posto di colonna (v. Matrici trasposte). b) Tipi di matrici. Si dice matrice quadrata una matrice in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne. La diagonale principale è formata dagli elementi aik che hanno i = k. Una matrice diagonale è quella in cui sono diversi da zero solo gli elementi della diagonale principale. La matrice identità è una matrice diagonale con gli elementi della diagonale tutti uguali a 1, si indica con I, per esempio 1 0 … 0 0 1 … 0 I= . . … . 0 0 … 0 Una matrice è triangolare superiore se sono uguali a zero tutti gli elementi sotto alla diagonale principale. Se invece sono uguali a zero tutti gli elementi sopra la diago-
ARITMETICA E ALGEBRA
A-93
nale principale, allora si dice triangolare inferiore. Per esempio 589 A= 0 9 0 , 0 0 2
100 B= 3 4 0 , 735
c) Uguaglianza di matrici. Due matrici A e B si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e di colonne (sono delle stesse dimensioni) e hanno tutti gli elementi ordinatamente uguali. Valgono le proprietà – Commutativa: – Transitiva:
se A = B, allora B = A. se A = B e B = C, allora A = C.
d) Somma di matrici. La somma di due matrici A e B, delle stesse dimensioni, è una matrice C che ha le stesse dimensioni e i cui elementi sono la somma dei corrispondenti elementi di A e B. Cioè cik = aik + bik . Valgono le seguenti proprietà – Commutativa: – Associativa:
A + B = B + A. A + (B + C) = (A + B) + C.
e) Moltiplicazione per scalare. La moltiplicazione di A per uno scalare r, dà una matrice B i cui elementi sono r volte gli elementi di A: bik = r aik . Dati due scalari r ed s, valgono le seguenti proprietà r(A + B) = rA + rB (r + s)A = rA + sA r(AB) = (rA)B = A(rB) r(sA) = (rs)A f) Moltiplicazione tra matrici (o prodotto matriciale). Per poter moltiplicare due matrici occorre che il numero di colonne della prima sia uguale al numero di righe della seconda. Date due matrici A (m × l) e B (l × n) il loro prodotto è una matrice C (m × n) i cui elementi cik sono dati dalla somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima di A per quelli della colonna k-esima di B. In simboli cik = ai1b1k + ai2b2k + … + ail blk . Il prodotto non è commutativo (se non in casi particolari), per esempio, date A= 1 1 0 , 201
AB = 1 3 , 34
12 01 , 10
mentre
si ottiene
512 BA = 2 0 1 111
Il prodotto interno (o scalare) tra due vettori a e b, che abbiamo indicato con a • b nella teoria degli spazi vettoriali, può essere indicato in forma matriciale con aT b, per esempio
A-94
MATEMATICA
a • b = aT b = [1
2
5]
1 –4 2
=3
Il prodotto matriciale si distingue dal prodotto tra due scalari perché due matrici entrambe non nulle possono dare, moltiplicandole, la matrice nulla, per esempio 1 1 0 0
2 3 = 0 0 –2 –3 0 0
Valgono inoltre le seguenti proprietà AI = IA = A (I è la matrice identità) – Invarianza: – Associatività: A (BC) = (AB) C = ABC – Distributività: A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC Per matrici di dimensioni oltre 3 × 3 eseguire il prodotto matriciale può essere laborioso. Si riporta pertanto un programma in Basic che lo esegue (fig. 5.31). g) La matrice trasposta. Data una matrice A di dimensioni m × n la sua trasposta è la matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne, si indica con AT ed è di dimensioni n × m. Se B = AT i suoi elementi sono bik = aki . Per esempio A=
3 2 , –1 1
AT =
3 –1 2 1
Valgono le seguenti proprietà (A + B)T = AT + BT (AB)T = BT AT (rA)T = rAT (AT)T = A h) Matrici simmetriche. Una matrice quadrata è simmetrica rispetto alla diagonale principale se è uguale alla sua trasposta, in simboli AT = A. Poiché la trasposizione di una matrice quadrata non cambia gli elementi della diagonale principale, gli elementi sopra la diagonale principale devono essere l’immagine speculare di quelli sotto la diagonale, cioè aik = ak . Per esempio la matrice i
A=
952 571 218
è simmetrica.
Le matrici simmetriche sono frequenti nel calcolo delle strutture perché, per esempio, la rotazione del nodo i dovuta al momento flettente unitario applicato nel nodo k è uguale alla rotazione in k causata da un momento unitario applicato in i (v. Statica dei sistemi elastici). Anche nella compensazione delle misure compaiono sempre matrici simmetriche (v. Teoria degli errori). Infatti compaiono prodotti del tipo ATA oppure AT BA con B simmetrica e il risultato, in entrambi i casi, è una matrice simmetrica. La simmetria può permettere di semplificare i calcoli.
ARITMETICA E ALGEBRA
Fig. 5.31 Programma per eseguire il prodotto matriciale, con esempio. (
A-95
PROMA.BAS)
5.3.3 Sistemi di equazioni lineari. Per analizzare tutti i casi possibili nella risoluzione dei sistemi di equazioni lineari consideriamo esempi nello spazio a n dimensioni Rn. Più incognite che equazioni (n > m), per esempio a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 Si tratta di due piani nello spazio x1, x2, x3 (R3). Se i due piani si intersecano secon-
A-96
MATEMATICA
do una retta si hanno infinite soluzioni, se sono paralleli e distinti siamo in un caso di impossibilità (nessun punto può appartenere contemporaneamente a entrambi), se sono paralleli e coincidenti si hanno infinite soluzioni (fig. 5.32).
Fig. 5.32 Vari casi possibili con più incognite che equazioni.
Tante incognite quante equazioni (n = m), per esempio ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 ⎨ ⎩ a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Si tratta di due rette nel piano x1, x2 (R3), se le due rette si intersecano si ha una soluzione, se sono parallele e distinte siamo in un caso di impossibilità, se sono parallele e coincidenti si hanno infinite soluzioni (fig. 5.33).
Fig. 5.33 Vari casi possibili con tante incognite quante equazioni.
Più equazioni che incognite (m > n), per esempio a1 b1 ⎧ a1 x = b1 o, vettorialmente, x= ⎨ a2 b2 ⎩ a2 x = b2 Ci si chiede, cioè, se esiste un multiplo del vettore a che sia uguale al vettore b (fig. 5.34). Questo è possibile solo se b1 / a1 = b2 / a2 e questo rapporto dà la soluzione
ARITMETICA E ALGEBRA
A-97
Fig. 5.34 Più equazioni che incognite: rappresentazione vettoriale.
x. In generale però b non è multiplo di a. Si considera allora la proiezione p di b su a (sul cosiddetto spazio delle colonne) e si ricava la x dall’equazione ax = p. È un caso che si incontra di frequente nella pratica quando si fanno misure supplementari per valutare la precisione della soluzione e delle misure (v. Teoria degli Errori). Comunque, se non si effettua questa proiezione, il sistema è generalmente impossibile da risolvere. 5.3.4 Algoritmo di Gauss. Per vedere se un sistema è risolubile bisogna provare a risolverlo. Se ci si riesce, allora vuol dire che era risolubile. Questo approccio può sembrare troppo pratico, ma è quello più utile. Per la risoluzione il procedimento migliore è quello cosiddetto di Gauss. Consideriamo innanzitutto il caso più comune di m = n, cioè ugual numero di equazioni e incognite. Sia dato, per esempio, il sistema 2x + x + x = 1 1 2 3 4x1 + x2 + = –2 –2 x + 2 x + x = 7 1 2 3 Il procedimento consiste nell’eliminare la prima incognita dalla seconda riga e dalle sottostanti, poi la seconda incognita dalla terza riga e dalle sottostanti, e così via. Si ottiene in questo modo un sistema triangolare superiore che può essere facilmente risolto con sostituzione all’indietro, cioè dall’ultima riga a venire in su. Per poter programmare un algoritmo su un calcolatore elettronico si segue un procedimento standard. Volendo eliminare la k-esima incognita dall’i-esima riga si sottrae d volte la k-esima riga della i-esima riga, dove d = aik / akk (vedi Algoritmo di Gauss). Nel sistema dell’esempio si opera come segue. Si sottrae 2 volte la riga 1 dalla 2, in simboli R = riga, (R2 – 2 R1) e si ha la nuova R2: – x2 – 2 x3 = – 4. Poi si sottrae (– 1) volta la, riga 1 dalla 3, in simboli ( R3 –(–1)R1) e si ha la nuova R3: 3 x2 + 2 x3 = 8. Il sistema è diventato 2 x1 + x2 + x3 = 1 – x2 – 2 x3 = – 4 3 x2 + 2 x3 = 8 Si sottrae (–3) volte la riga 2 dalla 3 ( R3–(–3)R2) e si ottiene
A-98
MATEMATICA
2 x1 + x2 + x3 = 1 – x2 – 2 x3 = – 4 – 4 x3 = – 4 Da cui, per sostituzione all’indietro: x3 = 1, x2 = 2, x1 = – 1. Se riscriviamo il sistema in forma matriciale, dal sistema 211
x1
1
410
x2
–2
–2 2 1
x3
7
abbiamo ottenuto il sistema equivalente, con matrice triangolare 2 1
1
x1
1
0 –1 –2
x2
–4
0 0 –4
x3
–4
facilmente risolubile con sostituzione all’indietro. I termini della diagonale principale, nel nostro caso 2, –1 e – 4, vengono chiamati pivot. Quando un pivot è nullo sorgono delle difficoltà. Ci sono allora due possibilità: la difficoltà può essere facilmente eliminabile oppure può essere grave. Nel primo caso esiste una delle righe successive che ha nella stessa colonna un coefficiente non nullo. Basta allora scambiare le due righe e procedere oltre. Altre volte invece tutte le righe seguenti hanno il termine corrispondente anch’esso nullo o siamo arrivati all’ultima riga. Cioè la colonna è interamente nulla, dal pivot in giù, allora la matrice è singolare e tale era l’originaria matrice con cui era cominciata l’eliminazione, in questo caso o il sistema ha infinite soluzioni, o non ha alcuna soluzione. Vedremo più avanti come stabilirlo. Esempio di una sequenza che ha avuto successo nella ricerca del pivot (caso non singolare) 132 269 2 8 8
→
132 005 → 0 2 4
1 32 0 24 0 05
Esempio di una sequenza che non ha avuto successo (caso singolare) 132 268 → 398
13 2 00 5 00 2
I passi del procedimento di Gauss possono essere facilmente programmati ottenendo il seguente algoritmo. Eliminazione. Ripetere per ogni k-esima incognita da 1 a n. Ripetere per ogni k-esima riga da (k + 1) a n. Calcolare il quoziente d = aik / akk (akk è il pivot).
A-99
ARITMETICA E ALGEBRA
Ripetere per ogni j-esimo elemento della riga da 1 a (n + 1). Nuovo elemento = Vecchio elemento meno d volte il corrispondente elemento della riga pivot (la k-esima). Altro elemento. Altra riga. Altra incognita. Sostituzione all’indietro. n-esima incognita = n-esimo termine noto / n-esimo pivot. Ripetere per ogni i-esima riga da (n – 1) a 1. Azzerare un registro di somma. Ripetere per ogni j-esimo elemento della riga da ( i + 1) a n. Incrementare la somma col prodotto dell’elemento per la rispettiva incognita (già calcolata). Altro elemento i-esima incognita = (termine noto – somma) / i-esimo pivot. Altra riga, cioè altra incognita. Si riporta un sottoprogramma che traduce in Basic questo algoritmo, assieme al programma che lo utilizza e a un esempio di calcolo (fig. 5.35). Per il caso dello scambio di righe in presenza di pivot nulli vedi Calcolo numerico. Quando la matrice è singolare con ( n = m) e anche nel caso di più incognite che equazioni (n > m), col procedimento di Gauss si ottiene una matrice non più triangolare ma «a scala», del tipo * 0 0 0 0
+ * 0 0 0
+ + 0 0 0
+ + * 0 0
+ + + 0 0
+ + + 0 0
+ + + 0 0
+ + + * 0
con: * = pivot + = el. non nulli, 0 = el. nulli.
Le caratteristiche di questa matrice sono: – Le righe che non sono zero vengono per prime, altrimenti ci sarebbe stato uno scambio di righe, e i pivot sono i primi elementi diversi da zero in quelle righe. – Sotto ciascun pivot c’è una colonna di zeri. – Ciascun pivot sta alla, destra del pivot precedente, questo causa la forma a scala. Per esempio 1 3 32 2 695 –1 –3 3 0
→
(1) 3 3 2 0 0 (3) 1 0 0 0 0
( ) = pivot
In questo caso, se sono r i pivot diversi da zero, le ultime ( m – r) righe sono zero. Le incognite si dividono in due gruppi: quelle col pivot, nell’esempio la prima e la terza, si chiamano variabili fondamentali e quelle senza pivot, la seconda e la quarta nell’esempio, si chiamano variabili libere. Lo spazio nullo, formato dalle soluzioni di Ax = 0 ha (n – r) variabili libere come parametri indipendenti (v. Spazi vettoriali). Si hanno tre casi
A-100
MATEMATICA
Fig. 5.35 Programma per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari col metodo di eliminazione di Gauss. ( SOLSI.BAS)
a) r = n: non ci sono variabili libere, lo spazio nullo contiene solo il vettore x = 0, la matrice è non singolare e l’unica soluzione si ottiene con sostituzione all’indietro. b) r = m: ci sono (n – m) variabili libere, quindi se n > m ci sono infinite soluzioni che si ottengono mediante sostituzione all’indietro. c) r < m: le righe nulle stabiliscono dei vincoli per il vettore b (il termine noto), per cui di solito non c’è nessuna soluzione , si dice che il sistema è incompatibile o impossibile. Se esiste una soluzione particolare, allora ogni altra soluzione differisce da quella per un vettore che appartiene allo spazio nullo di A. Il numero r è chiamato il rango della matrice A.
A-101
ARITMETICA E ALGEBRA
Esempi. a) È dato il sistema
2 1 1
x1
4 1
x2 = –2
0
–2 –2 –1 con l’eliminazione si ottiene
–2 1
1
x3
1
7
0 –1 –2
x1 1 x2 = – 4
0 0 –4
x3
–4
r = n: l’unica soluzione è x3 = 1, x2 = 2, x1 = –1. b) È dato il sistema
con l’eliminazione si ottiene
2 –1 –1 4 1 0
2 1 1 0 –1 –2
x1 x2
=
x3 x1 x2 = x3
r = m: le infinite soluzioni sono x2 = 4 – 2 x3 e di x3 ∈ R. c) È dato il sistema
con l’eliminazione si ottiene
1 –1 –1 1 1 1
1 –1 –1 0 0 0
x1 x2
x1 = (x3 – 3) / 2 per ogni valore
1 0
=
1 –1
x1 x3
1 –4
=
x3
x2
1 –2
r < m: il vincolo b2 – b1 = 0 non è rispettato e il sistema è incompatibile, infatti la seconda equazione diventa 0 = –1. 5.3.5 Matrice inversa. La divisione di matrici non è definita. In effetti può darsi che AB = AC senza che si abbia B = C. Questo implica che l’operazione di «divisione» per A, anche se A ≠ O, non è possibile perché il risultato non è determinabile in modo univoco. Per esempio, si ha A= 2 0 , 4 0
B = 2 –2 , 5 3
C = 2 – 2 → AB = 1 4
4 – 4 = AC . 8 –8
A-102
MATEMATICA
Al posto della divisione si usa il concetto di inversione matriciale, definita in questo modo. L’inversa di una matrice quadrata A, se esiste, è un’unica matrice A–1, con la seguente proprietà AA–1 = A–1 A = I, dove I è la matrice indentità. Così, data la matrice A = 3 1 → A –1 = 1 – 1 , 21 –2 3
infatti
AA –1 = 1 0 = A –1 A 01
L’inversa gode delle seguenti proprietà (AB)–1 (A–1)–1 (AT)–1 (rA)–1
= = = =
B–1 A–1 A (A–1)T (1/r) A–1
Se una matrice quadrata ha l’inversa è chiamata non singolare, se invece non ha inversa è chiamata singolare. Nel prodotto matriciale abbiamo visto che due matrici A e B, entrambe non nulle, possono dare un prodotto nullo. Questo non può accadere se le due matrici sono non singolari. Il calcolo della matrice inversa non è necessario per la risoluzione di un sistema lineare che può essere effettuata col semplice algoritmo di Gauss. Ma ci sono dei casi in cui la matrice inversa è necessaria per avere importanti informazioni sulla natura della soluzione. Si tratta dei sistemi in cui il numero delle equazioni è superiore al numero delle incognite (m > n) (v. Teoria degli errori). In questi casi dalla matrice inversa del cosiddetto «sistema normale» si ricavano i parametri statistici (varianze) che danno la precisione della soluzione del sistema originale col metodo dei minimi quadrati. Per calcolare l’inversa esiste una formula che si basa sulla teoria dei determinanti (vedi Regola di Cramer) ma che non viene in pratica applicata. Praticamente si utilizza un procedimento che deriva dall’eliminazione di Gauss. Confrontiamo le due uguaglianze AA–1 = I Ax = b Si vede che se prendiamo come termine noto b una delle colonne della 1, otteniamo come soluzione x la colonna corrispondente della A–1. Per far questo si potrebbe utilizzare lo stesso procedimento di Gauss, applicandolo a più colonne di termini noti. In genere si preferisce però modificarlo leggermente, evitando così la sostituzione all’indietro. Il procedimento è leggermente più lungo da eseguire ma più semplice da descrivere. Infatti non si fa altro che eliminare, col solito metodo di Gauss, i coefficienti della colonna anche al di sopra del pivot. E alla fine, dividendo ogni riga per i pivot, si ottiene la matrice identità, mentre il termine noto si è trasformato nella soluzione. Se al posto del termine noto abbiamo messo le colonne della matrice identità, queste si saranno trasformate nelle colonne della matrice inversa. Questo procedimento, detto di Gauss-Jordan, è illustrato al paragrafo seguente. Quando è nota l’inversa della matrice dei coefficienti A di un sistema di equazioni lineari, la soluzione si può indicare come prodotto della matrice inversa per il ter-
A-103
ARITMETICA E ALGEBRA
mine noto. Infatti dato Ax = b, moltiplicando per l’inversa entrambi i membri A– Ax = A–1 b e sostituendo Ix = A–1 b, si ottiene
1
x = A–1 b. Di solito questa espressione non viene utilizzata in pratica per il calcolo della soluzione, tuttavia è importante per gli sviluppi teorici. Si tratta comunque di un sistema lineare con numero di equazioni pari al numero di incognite e matrice dei coefficienti non singolare. 5.3.6 Algoritmo di Gauss-Jordan. Con questo procedimento si ottiene la soluzione di un sistema lineare in modo formalmente ancora più semplice che con l’eliminazione di Gauss. Si evita infatti la sostituzione all’indietro. Per contro il calcolo è un po’ più lungo. Si tratta infatti di eliminare i coefficienti della colonna anche al di sopra del pivot. Il metodo di eliminazione è il solito. Vediamolo applicato allo stesso sistema usato per illustrare l’eliminazione di Gauss. È dato il sistema: (2) 4 –1
1 1 2
1 0 1
1 –2 7
2 0 0
1 (– 1) 3
1 –2 2
1 –4 8
2 0 0
0 –1 0
–1 –2 (– 4)
–3 –4 –4
–1/– 4 = 1/4 → R1 – (1/4)R3 → –2/– 4 = 1/2 → R1 – (1/2)R3 →
2 0 0
0 –1 0
0 0 –4
–2 –2 –4
R1/2 → R2/–1 → R3/– 4 →
1 0 0
0 1 0
0 0 1
– 1 = x1 2 = x2 1 = x3
( ) = pivot
Si calcola: 4/2 = 2 → R2 – ( 2) R1 → –2/2 = – 1 → R3 – (–1) R1 → 1/–1 = – 1 → R1 – (– 1)R2 → 3/–1 = – 3 → R3 – (– 3)R2 →
Come si vede si ottiene la soluzione direttamente al posto del termine noto. Se applichiamo ora le stesse trasformazioni alle colonne della matrice identità, otteniamo le colonne dell’inversa 1 0 0
0 1 0
0 → → 0 → R2 – (– 2) R1 → 1 → R3 – (– 1) R1 →
1 –2 1
0 1 0
0 0 1
R1 – (– 1) R2 → →
–1 –2
1 1
0 0
A-104
MATEMATICA
R3 – (– 3) R2 →
–5
R1 – (1/4) R3 → R2 – (1/2) R3 → →
1/4 1/4 – 1/4 1/2 – 1/2 – 1/2 –5 3 1
→ → →
1/8 1/8 – 1/8 – 1/2 1/2 1/2 5/4 – 3/4 – 1/4
R1/2 R2/–1 R3/–4
3
1
Che è la matrice inversa infatti AA –1 =
2 1 1 4 1 0 –2 –2 –1
– 1/8 – 1/8 – 1/8 ( – 1/2 ) – 1/2 – 1/2 ( – 5/4 ) – 3/4 – 1/4
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Tenendo conto delle proprietà delle matrici, si può anche scrivere più semplicemente: 1 1 –1 A –1 = ( 1/8 ) – 4 4 4 10 – 6 – 2 I passi dell’algoritmo di Gauss-Jordan possono essere facilmente programmati nel modo seguente. Ampliamento con le colonne della matrice identità Ripetere per ogni i-esima riga da 1 a n. Ripetere per ogni j-esimo elemento da (n + 1) a 2n. Azzerare l’elemento. Se appartiene alla diagonale principale, porlo = 1. Altro elemento della riga. Altra riga. Eliminazione Ripetere per ogni k-esima incognita da 1 a n. Ripetere per ogni i-esima riga da 1 a n. Se è una riga pivot (i = k), saltarla. Calcolare il quoziente d = aik / akk (akk è il pivot) Ripetere per ogni j-esimo elemento da 1 a 2n. Nuovo elemento = vecchio elemento meno d volte il corrispondente elemento della riga pivot. Altro elemento. Altra riga. Altra incognita. Divisione per i pivot. Ripetere per ogni i-esima riga da 1 a n.
ARITMETICA E ALGEBRA
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Ripetere per ogni j-esimo elemento da (n + 1) a 2n. Nuovo elemento = vecchio elemento diviso per il pivot. Altro elemento. Altra riga. Il sottoprogramma che corrisponde all’algoritmo di Gauss-Jordan è riportato in figura 5.36, assieme al programma che lo utilizza e a un esempio di calcolo.
Fig. 5.36 Programma per il calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss-Jordan. ( INVER.BAS)
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MATEMATICA
5.3.7 Determinanti. Ad ogni matrice quadrata A è associato uno scalare, ed è unico, chiamato il determinante di A. Lo si indica con det A, o con A , si calcola nel modo che vedremo. Il determinante di ordine n, può essere calcolato mediante determinanti di ordine n – 1. Per cominciare si definisce il determinante di una matrice 1 × 1, det A = a 11 = a11. Si definisce poi il minore di un elemento aik , e si indica con mik , come il determinante della matrice ottenuta da quella data dopo aver tolto la riga i-esima e la colonna k-esima. Infine si definisce cofattore cik (o complemento algebrico) il prodotto cik = (– 1)i + k mik . Se dunque la somma i + k è pari, il cofattore è uguale al minore, altrimenti si cambia il segno del minore per ottenere il cofattore. Possiamo così definire il determinante di A nel modo seguente A = a 11 c 11 + a 12 c 12 + … + a 1 n c 1 n Si può comunque utilizzare qualunque riga o colonna, e i corrispondenti cofattori, per definire il determinante di A. In genere, nei calcoli pratici si usa la riga o la colonna con più-coefficienti nulli per semplificare il calcolo. Per esempio
A =
2 1 1 4 –1 –0 4 1 0 =1 –2 2 –2 –2 –1
2 –1 + 1 2 –2 2 4
1 = 1
= 1 [4 × 2 – (– 2) × 1] – 0 + 1 (2 × 1 – 4 × 1) = 8 + 2 + 2 – 4 = 8 Abbiamo utilizzato la terza colonna. Per determinanti di ordine maggiore di tre il calcolo coi minori è laborioso e si preferisce applicare la formula che definisce il determinante come prodotto dei pivot ottenuti nel procedimento di Gauss. In formula A = p1 p2 … pn Nel programma della figura 5.37 il determinante di una matrice n × n è calcolato in questo secondo modo. Se un pivot è nullo la matrice è singolare e il determinante è nullo. 5.3.8 Regola di Cramer. La matrice dei cofattori C di una matrice quadrata A è una matrice quadrata dello stesso ordine di A, in cui è stato sostituito a ciascun elemento aik il rispettivo cofattore cik . Per esempio: A=
1 – 4 10 2 1 1 4 1 0 → C = 1 4 –6 –2 –2 –1 –1 4 –2
La matrice aggiunta di A, indicata con agg A, è la trasposta della matrice dei cofattori. Cioè agg A = CT. Vale la seguente proprietà A (agg A) = A I, per cui A (agg A) / A = I,
quindi
A–1 = agg A / A .
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ARITMETICA E ALGEBRA
Fig. 5.38 Programma per il calcolo del determinante di una matrice col metodo dei pivot. ( DETER.BAS)
Abbiamo cioè una formula che definisce la matrice inversa sulla base della teoria dei determinanti. Nel nostro esempio A = 8, per cui 1 1 –1 A –1 = ( 1 ∕ 8 ) – 4 4 4 10 – 6 – 2 lo stesso risultato ottenuto con Gauss-Jordan. La soluzione di Ax = b si può dunque ottenere con la formula precedente x = A–1 b = (agg A) b/ A , che si traduce nella famosa Regola di Cramer: la k-esima componente di x = A b è a 11 a 12 … b 1 … a 1 n x k = B k ∕ A , dove
Bk =
. . . an1
. . . an2 …
. . . bn
. . . a nn
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MATEMATICA
In Bk, il vettore b sostituisce la k-esima colonna di A. Infatti basta espandere B nei cofattori di questa colonna per avere B k = bi c1k + b2 c2k + ... bn cnk , che è la k-esima componente del vettore (agg A) b. Dividendo per A si ottiene la k-esima componente di x. In pratica si utilizza la regola di Cramer per calcolare la soluzione di un sistema di equazioni lineari solo per 2 o 3 equazioni, altrimenti si preferisce il più rapido metodo di eliminazione di Gauss. 5.3.9 Proiezioni ortogonali e minimi quadrati. Consideriamo un tipico problema ai minimi quadrati: l’interpolazione di una serie di dati sperimentali. Supponiamo di aver misurato certi valori (y), in corrispondenza di altri valori dati ( x) e di aver ottenuto la seguente tabella P
x
y
1 2
3 5
2 6
che si può tradurre graficamente (fig. 5.38.a). Supponiamo di voler trovare la retta per l’origine che interpola questi valori. L’equazione della retta sarà nella forma m x = y (v. Geometria analitica). In generale la retta non potrà passare per entrambi i punti (fig. 5.38.b), indicando con v1 e v2 gli scarti tra retta e punto, si ha: m x1 – y1 = v1 m x2 – y2 = v2 Si vuole determinare il coefficiente angolare m della retta in modo da rendere minima la somma degli scarti al quadrato. In formula v 12 + v 22 = min. Generalizzando per n punti v 12 + v 22 + … + v n2 = min.
Fig. 5.39 a) Valori misurati. b) Retta interpolante.
Interpretazione vettoriale. Indichiamo con a il vettore che ha per componenti le x (3, 5) e con b quello che ha per componenti le y (2, 6). Rappresentiamo graficamente questi due vettori nello spazio bidimensionale R2 (fig. 5.39.a). I due vettori non sono linearmente dipendenti: ax ≠ b, cioè nessun multiplo di a può dare b, ovvero
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non è possibile trovare un x, tale che 3 x= 2 5 6 Lo si vede geometricamente dalla figura e algebricamente dal fatto che il sistema non è risolubile. Si cerca allora la soluzione che renda minima la distanza (b – xa), cioè b – xa = min (fig. 5.39.b). Le componenti della distanza ( b – xa) sono gli scarti vi , e quindi rendere minima la distanza equivale a rendere minima la somma degli scarti al quadrato b – xa = ( v 12 + v 22 ) = min.
Fig. 5.40 a) Vettori colonna. b) Possibili soluzioni. c) Proiezione.
Il vettore xa che rende minima la distanza è evidentemente la proiezione di b su a (fig. 5.39.c). Deve allora essere ( b – xa) perpendicolare ad a e quindi deve essere nullo il loro prodotto interno a • (b – xa) = 0, aT b – xaTa = 0,
ovvero aT (b – xa) = 0, da cui dunque x = (aT b)/(aT a) e p = x a.
(Vedi Sistemi di equazioni lineari con più equazioni che incognite). Questo vale anche per n punti, nello spazio Rn (fig. 5.40). I vettori avranno n componenti: a = (a1, a2, .... an) e b = (b1, b2, … bn), ma la formula risolutiva è la stessa. Esempio. Calcoliamo il coefficiente della retta che interpola i due punti P1 = (3, 2) e P2 = (5, 6). Si avrà a = (3, 5) e b = (2, 6), da cui si ricava aT b = [3 5]
2 = 3 × 2 + 5 × 6 = 36 6
aT a = [3 5]
3 = 3 × 3 + 5 × 5 = 34 5
x = 36/34 = 18/17,
p = (18/17) 3 5
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MATEMATICA
Fig. 5.41 Proiezione sul vettore a, nello spazio Rn.
v = b – p = 2 – 3 × 18/17 = (2/17) – 10 6 – 5 × 18/17 6 Esempio. Oltre a P1 e P2 si è misurato P3 = (1, 2). Si ha aT b = [3 5 1]
x = 38/35;
2 6 2
= 38;
aT a = [3 5 1]
3 p = ( 38/35 ) 5 ; 1
v = (4/35)
3 5 1
= 35
– 11 5 8
Formule generali per la risoluzione di un problema col criterio dei minimi quadrati. Passiamo dalla proiezione su un vettore alla proiezione su un sottospazio a più dimensioni. È il caso che si sarebbe presentato nell’ultimo esempio se avessimo voluto interpolare con una retta generica, non più passante per l’origine (fig. 5.41).
Fig. 5.42 Interpolazione con retta generica.
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L’equazione della retta in questo caso è nella forma mx + q = y. Passando alla notazione vettoriale il sistema, con i dati dell’esempio precedente, diventa 3 m + q = 2 3 1 3 5 m + q = 6 → 5 x1 + 1 x2 = 6 1 1 2 m+ q = 2 Questo tipo di problema si chiama anche di osservazioni indirette poiché si vuole ricavare una serie di parametri tramite misure (il secondo membro del sistema o «termine noto») ed equazioni che esprimono queste misure in funzione dei parametri incogniti. Se indichiamo con 31 A= 5 1 ; 1 1
x=
x1 x2
;
2 b= 6 2
Il sistema può essere scritto nella forma Ax = b, ed è un sistema di m equazioni in n incognite, con m > n. Tutte le possibili combinazioni dei vettori colonna di A formano lo spazio delle soluzioni, il cosiddetto spazio delle colonne. In generale b non è combinazione lineare delle colonne di A, per cui il sistema non è risolubile. Se però si considera il vettore p, proiezione ortogonale di b sulle colonne di A, allora il sistema Ax = p è risolubile (fig. 5.42).
Fig. 5.43 Proiezione ortogonale di b sullo spazio delle colonne.
Ciascun vettore nello spazio delle colonne di A è una combinazione lineare delle colonne con certi coefficienti y1, y2, .... yn . È un vettore nella forma Ay. Ora, per tutte le scelte di y, questi vettori devono essere perpendicolari al vettore Ax – b. Quindi il loro prodotto interno dev’essere nullo (Ay)T (Ax – b) = 0, da cui yT (AT Ax – AT b) = 0,
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MATEMATICA
per la proprietà della trasposta di un prodotto: (A B)T = BTAT. Ma perché questo sia possibile, deve essere AT Ax – AT b = 0, da cui AT Ax = AT b. Queste sono note come equazioni normali. Se le colonne di A sono linearmente indipendenti, allora la matrice AT A è invertibile e la soluzione unica ai minimi quadrati è x = (AT A)–1 AT b, e la proiezione di b è p = A x . Esempio. Si vogliono calcolare i coefficienti della retta che interpola i punti P1 = (3, 2), P2 = (5, 6) e P3 = (1, 2). Dal sistema 3 m + q = 2 5 m + q = 6 1 m + q = 2
si ricava
31 A= 5 1 , 1 1
2 b= 6 2
Per cui: AT A = 3 5 1 1 1 1
3 1 35 9 51 = 93 1 1
| AT A | = 35 × 3 – 9 × 9 = 24; 3 –9 – 9 35
(ATA)–1 AT = (1/24)
x = (1/24) 0 6 – 6 8 – 10 26 31 p = A x = (1/3) 5 1 11 v = b – p = (1/3)
(AT A)–1 = (1/24)
3 –9 – 9 35
3 5 1 = (1/24) 0 6 – 6 111 8 – 10 26
2 24 = (1/3) 3 6 = (1/24) 8 1 2 10 3 = ( 1/3 ) 16 1 4
6 – 10 –4 18 – 16 = ( 1/3 ) 2 2 6– 4
I risultati sono rappresentati nella figura 5.43. È da notare come la retta interpolante rispetta la simmetria dei punti e dei relativi scarti. Spesso infatti le situazioni simmetriche sono situazioni di minimo. Minimi quadrati pesati. Supponiamo di dover ricavare un certo risultato, per esempio una lunghezza, sulla base di due osservazioni x = b1, e x = b2. A meno che le
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ARITMETICA E ALGEBRA
Fig. 5.44 Esempio di interpolazione ai minimi quadrati.
due osservazioni siano identiche, ci troviamo di fronte a un sistema incompatibile di due equazioni in una incognita 1 x = b1 , 1 b2
per esempio
b = 1/2 1
Il problema può essere rappresentato vettorialmente (fig. 5.44.a) e, risolto con le formule usuali, dà la soluzione x = (aT b) / (aT a) = (b1 + b2)/2 = 3/4. Fino ad ora abbiamo considerato le due osservazioni come ugualmente attendibili. Supponiamo invece che le due misure non siano affidabili al medesimo grado, ma che, per esempio, il valore x = b1 possa essere ottenuto in modo più accurato, attraverso un campione più grande o con errore medio minore (v. Statistica). Tuttavia vogliamo tener conto anche della seconda misura. Per far questo si attribuiscono pesi differenti alle due misure. Nella rappresentazione vettoriale ogni misura è indicata con un asse coordinato. Per dare un peso diverso si può ingrandire ciascun asse di un fattore wi . Nel nostro caso il primo asse viene ingrandito rispetto al secondo nel rapporto w1/w2 (fig. 5.44b). Come si vede cambia il vettore proiezione p e quindi la soluzione x. In figura sono stati scelti i pesi w1 = 2 e w2 = 1. Questo differente ingrandimento di ciascun asse si può ottenere algebricamente moltiplicando ciascuna equazione per il peso wi che le compete. In forma matriciale si traduce con la moltiplicazione per una matrice diagonale W che contiene i pesi come elementi diagonali w1 0 0 w2
1 x = w1 0 1 0 w2
b1 b2
Dunque il vettore a viene sostituito con W a e il vettore b con W b. Dall’annullarsi del prodotto interno, per realizzare la perpendicolarità e quindi la minima distanza, si ottiene (W a)T (Wa x – W b) = 0, da cui aW(W a x – W b) = 0 2 2 2 2 x + (a W Wb)/(a W Wa) = ( w 1 b1 + w 2 b2)/( w 1 + w 2 ) = 3/5 < 3/4
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MATEMATICA
Fig. 5.45 a) Osservazioni di uguale precisione. b) Osservazioni di diversa precisione.
Il risultato è dunque una media pesata delle osservazioni, con i pesi pari al quadrato dei pesi iniziali wl e w2. L’effetto è stato quello voluto, ci siamo infatti avvicinati di più alla prima misura x = 1/2. Stirando un asse coordinato rispetto all’altro gli diamo più importanza. Consideriamo ora il caso più generale di m osservazioni b1, b2, ..., bm non ugualmente attendibili. A ciascuna equazione viene associato un peso differente wl e w2, ..., wm. Inoltre le osservazioni possono non essere indipendenti, in questo caso introduciamo un coefficiente w ik che misura la correlazione tra l’osservazione i-esima e la k-esima. Allora Ax = b,
si trasforma in
WAx = Wb, dove
la matrice W contiene i coefficienti w1, w2, .... wm lungo la diagonale principale, per cui saranno indicati con w11, w22, ...wmm , mentre i coefficienti di correlazione wik , se ci sono, sono gli elementi fuori diagonale. Questo nuovo problema è facilmente risolubile a patto di sostituire nelle equazioni normali ad A il prodotto W A, e a b il prodotto Wb. Le equazioni del sistema normale AT Ax = AT b, Se sostituiamo
WT
diventano
AT WT W A x = AT WT W b.
W con H si può scrivere la soluzione nella forma:
x = (AT H A)–1 AT H b La matrice H non è altro che la matrice inversa della matrice di covarianza delle misure (v. Statistica e Teoria degli errori). Esempio. Si vogliono determinare i parametri di una retta che interpola i tre punti P1 = (3, 2), P2 = (5, 6) e P3 = (1, 2), dando alla prima osservazione un peso wl = 2 , e alle altre un peso w2 = 1 e w3 = 1 (fig. 5.45). H = WT W =
200 0 10 0 01
2 00 0 10 0 0 1
2 00 = 0 10 0 01
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AT H A = 3 5 1 1 1 1
2 00 0 10 0 0 1
x = ( A T HA ) –1 A T Hb = 1/8
da cui si ricava x =
1 –3 – 3 11
3 1 11 3 5 1 =4 3 1 1 1 3 51 1 11
200 010 001
2 6 2
1 (retta per l’origine, pendenza 1/1) 0
31 p = Ax = 5 1 11
3 1 = 5 , 0 1
2– 3 –1 v =b– p = 6– 5 = 1 2– 1 1
Fig. 5.46 Esempio di interpolazione ai minimi quadrati pesati.
5.3.10 Ortogonalizzazione e Algoritmo di Gram-Schmidt. I problemi di proiezione ortogonale, o problemi ai minimi quadrati, si semplificano notevolmente se i vettori colonna di A, che indichiamo con al, a2, .... an, sono ortonormali. In questo caso infatti AT A = I, per cui x = AT b, e p vale a 1T b p = A x = A AT b = a 1
an
...... = a 1 a 1T b + … + a n a nT b a nT b
Cioè p è la somma delle n proiezioni separate (fig. 5.46). Talvolta, per migliorare la stabilità numerica di calcolo della soluzione, è conveniente trasformare i vettori colonna di A in vettori ortonormali. Per far questo si può utilizzare il seguente procedimento, detto di Gram-Schmidt. Sono dati i vettori a1, a2, ..., an linearmente indipendenti. Da questi si deduce una serie di vettori v1, v2, ...., vn , a due a due ortogonali, i quali vengono poi facilmente resi di lunghezza unitaria di-
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MATEMATICA
videndoli ciascuno per la sua norma 储 vi 储 e si indicano con qi . Il primo vettore v1 può essere preso uguale a a1. Il secondo vettore v2 viene ricavato da a2 togliendogli la proiezione p1, di a2 su v1 (fig. 5.47.a). Il terzo si ottiene analogamente da a3 togliendogli le proiezioni di a3 su v1 e su v2 (fig. 5.47.b). E così via. In formule v1 = a1 ; q1 = v1 / 储 v1 储 T T v2 = a2 – [( v 1 a2)/( v 1 v1)] v1 ; q2 = v2 / 储 v2 储 T T T T v3 = a3 – [( v 1 a3)/( v 1 v1)]v1 – [( v 2 a3)/( v 2 v2)] v2 ; q3 = v3 / 储 v3 储 ......
Fig. 5.47 Proiezione con vettori ortonormali.
Fig. 5.48 Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Esempio. Dai vettori a1 = (2, 2), a2 = (0, 2) si ricavano due vettori q1 e q2 ortonormali, col procedimento di Gram-Schmidt (fig. 5.48). v1 = 2 ; 2 v1 = 8 ;
v 2 = 0 – 4/8 2 = 0 – 1 = – 1 2 2 1 2– 1 v 2 = 3;
q 1 = 1/ 2 ; 1/ 2
q 2 = – 1/ 2 1/ 2
Possiamo riscrivere le colonne originali tenendo conto dei risultati a1 = v1
;
a1 =
8 q1
a2 = (1/2) v1 + v2 ;
a2 =
2 q1 + √2 q2
In forma matriciale [a1 a2] = [q1 q2]
8
2
0
2
Il risultato ottenuto si può generalizzare dicendo che qualunque matrice A con colonne linearmente indipendenti può essere fattorizzata in un prodotto A = Q R. Le colonne di Q sono ortonormali ed R è triangolare superiore ed invertibile. Se la
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Fig. 5.49 a) Vettori dati. b) Vettori ortonormali.
matrice originale A è quadrata, tali sono anche Q ed R e Q è una matrice ortogonale cioè QT Q = I ovvero QT = Q–1. Nella soluzione del sistema normale si ha x = (AT A)–1 AT b = (RT QT QR)–1 R TQT b = (RT R)–1 RT QT b = R–1QT b. Il calcolo di x richiede solamente la moltiplicazione matrice-vettore QT b, seguita dalla sostituzione all’indietro nel sistema triangolare R x = QT b. I passi del programma che utilizza l’algoritmo di Gram-Schmidt per risolvere un sistema normale possono essere descritti nel modo seguente. Inizializzazione. Azzera la matrice R di dimensioni n × n. Pone come primo elemento di R la 储 v1 储 al quadrato. Primo calcolo di V ed R. Ripete per ogni i-esima colonna dalla 2 alla n. Ripete per ogni k-esima colonna dalla 1 alla (i – 1). Calcola il prodotto interno delle due colonne k e i. Calcola il coefficiente relativo dividendo per 储 vk 储. Altra k-esima colonna. Calcola il vettore vi togliendo le proiezioni sui precedenti vettori yj di ai . Calcola la 储 vi 储 al quadrato e la dispone in R. Altra i-esima colonna. Trasforma R nella matrice finale. Estrae la radice quadrata degli elementi della, diagonale principale. Moltiplica gli altri elementi della riga per questo valore. Trasforma V in Q (vettori di lunghezza unitaria). Divide ogni elemento, colonna per colonna, per la norma del vettore che è il corrispondente elemento della diagonale principale di R. A questo punto il procedimento di ortogonalizzazione è terminato si può calcolare la soluzione del sistema. Prodotto QT b. Viene effettuato un normale prodotto matriciale riga per colonna. Il risultato viene messo in una colonna aggiunta alla matrice R. Sostituzione all’indietro. Si procede allo stesso modo dell’eliminazione di Gauss, utilizzando la matrice R. Il programma di calcolo con un esempio è in figura 5.49.
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MATEMATICA
Fig. 5.50 a) Programma per la risoluzione di un sistema normale: inserimento dati e stampa risultati. b) Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. c) Risoluzione del sistema, NORSI.BAS) esempio di utilizzo. (
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5.3.11 Sistemi di equazioni non lineari. di equazioni e di incognite. Esempio.
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Consideriamo il caso di ugual numero
Supponiamo di dover risolvere il seguente sistema non lineare x 12 – 4x 2 = – 4 2 2 x1 + x2 = 2
Con un metodo grafico (fig. 5.50) si può avere un valore approssimato della soluzione che interessa. Indichiamo questo valore con p, dal grafico si ottiene p1 = – 2,7, p2 = 2,8. Indichiamo con v le variazioni tra il valore effettivo e il valore p approssimato e provvisorio. Sarà x i = p 1 + v 1;
x 2 = p 2 + v 2.
Sostituiamo nelle equazioni di partenza, ottenendo ( p1 + v1 ) 2 – 4 ( p2 + v2 ) = – 4 2 2 ( p1 + v1 ) + ( p2 + v2 ) = 2 Sviluppando p 12 + 2 p 1 v 1 + v 12 – 4 p 2 – 4 v 2 = – 4 2 2 2 p1 + 2 v1 + p2 + 2 p2 v2 + v2 = 2 Supponendo piccole le variazioni vi , si può trascurare il loro quadrato. Togliamo dunque i termini che contengono v i2 e portiamo al secondo membro i termini noti in p. Si ottiene 2 p 1 v 1 – 4 v 2 = – 4 – ( p 12 – 4 p 2 ) 2 – ( 2 p 1 + p 22 ) 2 v1 + 2 p2 v2 = Sostituiamo a p1 e p2 il loro valore, ottenendo – 5,4 v 1 – 4 v 2 = – 0,09 2 v 1 + 5,6 v 2 = – 0,44 È un sistema lineare nelle variazioni vi che risolto dà: v1 = 0,10 e v2 = – 0,12. Volendo si può dunque migliorare il valore di partenza p, dando i nuovi valori corretti p1 = 2,60 e p2 = 2,68. Si ottiene di conseguenza – 5,20 v 1 – 4 v 2 = – 0,04 2 v 1 + 5,36 v 2 = 0,02 Che risolto dà: v1 = 0,007 e v2 = 0,001 per cui p1 = 2,593 e p2 = 2,681. E così via, fino alla precisione richiesta. Dunque un sistema di equazioni non lineari può essere risolto per successive approssimazioni utilizzando un sistema lineare derivato. Si osserva che i coefficienti di
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MATEMATICA
questo sistema derivato non sono altro che le derivate parziali del primo membro rispetto alle incognite xi , calcolate per x = p. In simboli ∂f a ik = --------i ∂x k x = p ∂ ( x 12 – 4 x 2 ) = 2 x 1 , che per x = p dà a11 = 2 p1. Nell’esempio a 11 = ---------------------------∂ x1 La matrice dei coefficienti si chiama Jacobiano del sistema e si indica con
J=
∂f ∂f -------1- ... -------1∂x 1 ∂x 1 . . . ... . . . ∂ fm ∂ fm --------------∂x n ∂x 1
Abbiamo indicato il Jacobiano per una matrice generica m × n. Le derivate parziali possono anche essere sostituite in modo approssimato dal quoziente che indica la pendenza della secante (fig. 5.51) fi ( p + d p k ) – fi ( p ) a ik ≅ ----------------------------------------------d pk
Fig. 5.51 Soluzione grafica di un sistema non lineare.
Fig. 5.52 Approssimazione della tangente con la secante.
Il programma che viene presentato alla figura 5.52 utilizza questo procedimento di sostituzione della tangente (derivata parziale) con la secante (rapporto incrementale). I valori dpi vengono introdotti all’inizio insieme ai valori pi di prima approssimazione. Il programma poi calcola i vi con i quali migliora la soluzione e sostituisce ai dpi precedenti i vi appena calcolati. Le iterazioni vengono continuate fino ad ottenere una precisione prefissata.
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Fig. 5.53 a) Programma per la risoluzione di un sistema di equazioni non lineari. b) Sottoprogramma di soluzione con Gauss, calcolo funzioni, esempio di utilizzo. NONLI.BAS) (
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MATEMATICA
Nel listato in BASIC, occorre disporre alla riga 5000 e seguenti le funzioni che rappresentano il primo membro delle equazioni meno il termine noto indicato con M( ). Per i sistemi non lineari con un numero di equazioni superiore al numero di incognite (m > n) vedere Teoria degli errori.
6 6.1
ANALISI
INSIEMI E CORRISPONDENZE
6.1.1 Definizioni. Un insieme è una collezione di elementi distinti. È dunque assegnato un elenco dei suoi elementi o una regola per distinguerli. Per esempio l’insieme degli studenti di una data classe, dì una data scuola. Questo è un insieme finito, mentre, per esempio, l’insieme dei numeri reali è un insieme infinito (v. Teoria degli Insiemi). Dati due insiemi A e B si può stabilire un criterio, detto corrispondenza, che assegni ad ogni elemento di un insieme uno o più elementi dell’altro, in simboli A → B (si legge: «A è posto in corrispondenza con – o trasformato in – B»). L’insieme A è detto dominio e B codominio. Esempio. È dato l’insieme A dei poligoni e l’insieme B dei numeri interi (spesso indicato con Z). Consideriamo la corrispondenza m che ad ogni poligono a associa il suo numero di lati b, (fig. 6.1.a) in simboli m:a→b
con
a∈A
e
b∈B
Fig. 6.1 a) Esempio di corrispondenza. b) Immagini.
L’elemento b di B che corrisponde all’elemento a di A è detto immagine di a. Se ad un insieme S di elementi di A corrisponde un insieme T di elementi di B si dice che T è l’immagine di S (fig. 6.1.b). Una funzione è una corrispondenza in cui ogni elemento del dominio ha per immagine un solo elemento del codominio. 6.1.2 Prodotto cartesiano. Per specificare una corrispondenza si possono elencare tutte le coppie ordinate che ne fanno parte. Per esempio nella corrispondenza che associa a 2 e 4 i rispettivi sottomultipli: (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 4); oppure nella corrispondenza tra i multipli interi di 2 e il 2 stesso: (0, 2), (2, 2), (4, 2), (6, 2), .... Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B, l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate formate con gli elementi di A e di B, e si indica con A × B. Se A e B sono insiemi numerici si può dare una rappresentazione grafica del loro prodotto cartesiano. Sul cosiddetto piano cartesiano infatti ogni punto del piano rappresenta una coppia dell’insieme R × R. Si parla di coppia « ordinata» per distinguere per esempio
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MATEMATICA
(2, 4) da (4, 2), coppie evidentemente differenti e rappresentate infatti da punti diversi del piano cartesiano. Poiché la corrispondenza A → B coinvolge alcune delle coppie appartenenti ad A × B, si può definire la corrispondenza nel modo seguente. Un sottoinsieme di A × B definisce una corrispondenza da A a B se ogni elemento di A compare come primo termine in almeno una coppia ordinata del sottoinsieme. Un sottoinsieme di A × B definisce una funzione da A a B se ogni elemento di A compare come primo termine di una coppia ordinata una e una sola volta. Per gli esempi di quanto detto vedi figura 6.2.
Fig. 6.2 Grafici: a) Corrispondenza. b) Funzione.
6.1.3 Tipi di corrispondenza – Funzioni. Possono esistere vari tipi di corrispondenze a seconda del numero di elementi che si corrispondono nel dominio e nel codominio. Questi diversi tipi sono stati elencati nello schema seguente e indicati graficamente in figura 6.3. CORRISPONDENZE Funzioni (A ogni elemento del dominio è assegnato un unico elemento del codominio ...) F. uno-uno (... ma nessun elemento del codominio è assegnato a più elementi del dominio). F. molti uno (... e almeno un elemento del codominio è assegnato a più elementi del dominio). Non-Funzioni (Ad almeno un elemento del dominio sono assegnati più elementi del codominio ...)
Fig. 6.3 Tipi di corrispondenze. a) Uno-uno. b) Molti-uno. c) Uno-molti. d) Molti-molti.
ANALISI
A-125
N.F. uno molti (... ma nessun elemento del codominio è assegnato a più elementi del dominio) N.F. molti molti (... e almeno un elemento dei codominio è assegnato a più elementi del dominio). Nelle corrispondenze numeriche si indica di solito con x l’elemento generico del dominio e lo si chiama variabile indipendente, mentre la sua immagine, indicata con y, si chiama variabile dipendente. La funzione f : x → y si indica anche y = f (x). Esempi di funzioni numeriche. (v. grafici in fig. 6.4)
Fig. 6.4 Esempi di corrispondenze tra insiemi numerici.
m n p q
: : : :
x→2x x → x2 x → sin–1 x x → ±√(1 – x2)
(x ∈ R) (x ∈ R) (x ∈ R) (x2 ≤ 1)
Funzione uno uno Funzione molti uno Non Funzione uno molti Non Funzione molti molti
Il simbolismo si può leggere così, per esempio la m: «È data una corrispondenza m tale che x si trasforma in 2 x, con x appartenente all’insieme dei numeri reali». A volte si possono far derivare Funzioni dalle Non-Funzioni limitando opportunamente il dominio. Per esempio (fig. 6.5.a) p : x → sin–1 x con – π/2 ≤ x ≤ π/2. Oppure utilizzando una trasformazione parametrica e una forma di scrittura vettoriale. In questo caso si individuano sul piano cartesiano le componenti dei vettore immagine (fig. 6.5.b) (v. Funzioni parametriche). Per esempio q : t → i cos t + j sin t con t ∈ R.
Fig. 6.5 Esempio di deduzione di Funzioni da Non-Funzioni.
A-126
MATEMATICA
6.2
FUNZIONI
6.2.1 Generalità e definizioni. Le funzioni numeriche vengono indicate con equazioni nelle quali, in genere, x indica la variabile indipendente e y la variabile dipendente. Se l’equazione è nella forma y = f (x), per esempio y = x2 – 1, allora si dice in forma esplicita. Se invece entrambe le variabili sono contenute in uno dei due membri dell’equazione, per esempio x2 – y – 1 = 0, allora si dice in forma implicita. In questo secondo caso non sempre la funzione può essere portata in forma esplicita, e a volte si tratta di una Non-funzione uno-molti (v. Insiemi e Corrispondenze). Se si hanno due equazioni contemporanee nella forma t → x = f (t), t → y = g (t), si genera una corrispondenza tra il codominio di x e il codominio di y. Si parla allora di funzioni in forma parametrica. A volte si tratta però di Non-Funzioni, non essendo rispettata la corrispondenza. Per esempio se x = t 2 e y = t, la corrispondenza x → y non è univoca. Rappresentazione grafica. In genere si usa il piano cartesiano su cui si riportano i valoti delle coppie (x, y) che soddisfano l’equazione. Talvolta per semplificare il grafico si utilizzano scale diverse per i due assi cartesiani, anche scale logaritmiche (v. Calcolo numerico e grafico). Per punti di discontinuità o per asintoti si fa uso del calcolo dei limiti (v. Limiti). Funzioni crescenti, decrescenti e monotone. Una funzione f (x) si dice crescente se, presi comunque, nell’insieme T di definizione, x1 e x2 con x1 < x2, risulta (fig. 6.6.a) f (x1) ≤ f (x2) Se invece, per x1 < x2 si ha f (x1) ≥ f (x2) la funzione si dirà decrescente. Una funzione f (x) che sia simultaneamente crescente o decrescente in T, è ivi costante. Quando poi si verifica f (x1) < f (x2) oppure f (x1) > f (x2) la f (x) è detta rispettivamente strettamente crescente o strettamente decrescente. Una funzione crescente, o decrescente si dice monotona; si dice strettamente monotona se è strettamente crescente, o strettamente decrescente. Funzioni limitate in un certo intervallo si dicono quelle funzioni per cui | f(x)| < v dove v è un valore finito e a < x < b, per esempio y = – sin x è limitata per ogni valore di x ∈ R (fig. 6.6.b). Funzione pari è una funzione per cui f (– x) = f (x), per esempio y = | x |. Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse delle y (fig. 6.6.c). Funzione dispari è una funzione per cui f (– x) = – f (x), per esempio y = 1/x. Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine (fig. 6.6.d). Funzioni periodiche. Una funzione non costante x → y = f (x) si dice periodica se esiste un numero a > 0 tale che f (x) = f (x + a), in generale f (x) = f (x) + na) per ogni n intero finché i valori (x + na) appartengono al dominio di definizione della funzione. Il numero a è chiamato periodo. La rappresentazione grafica di una funzione periodica è un grafico che coincide con se stesso dopo una traslazione in direzione dell’asse delle x di un multiplo intero del periodo. Tra le più note funzioni periodiche vi sono le funzioni trigonometriche.
A-127
ANALISI
Fig. 6.6 Tipi di funzioni. a) Funzione monotona crescente. b) Funzione limitata (e periodica). c) Funzione pari. d) Funzione dispari.
6.2.2 Aritmetica delle funzioni. Siano f e g due funzioni aventi per dominio e codominio R, si può allora definire la somma di f e g, e si scrive f + g : x – f (x) + g(x)
(x ∈ R)
Analogamente si possono definire Differenza Prodotto Quoziente
f – g : x → f (x) – g(x) f · g : x → f (x) · g(x) f / g : x → f (x) / g(x)
In quest’ultimo caso occorre escludere i punti del dominio per i quali g(x) = 0. Si possono volta per volta considerare funzioni il cui dominio e codominio siano diversi da R, per esempio date si ha
f : x → 2x g : x → √x f · g : x → 2x √x
(x ∈ R) (x ∈ R+) (x ∈ R+)
6.2.3 Composizione di funzioni. Supponiamo di avere le due funzioni f e g così definite f : x → 2x (x ∈ R) «moltiplicare per due» (x ∈ R) «elevare al quadrato» g : x → x2 Si può definire la funzione composta h usando prima f e poi g e si indica con h = g ɂ f (che si legge «gi o effe», oppure h = g( f (x)). La funzione composta viene anche chiamata «funzione di funzione». Nel caso dell’esempio h : x → 4x2
(x ∈ R)
La composizione può essere definita solo se l’insieme delle immagini di f è un
A-128
MATEMATICA
Fig. 6.7 Composizione di funzioni: dominio e codominio. Df = dominio di f, Sf = insieme delle immagini di f, Dg = dominio di g, Sg = insieme delle immagini di g.
sottoinsieme del dominio di g (fig. 6.7). Non si possono, per esempio, comporre le funzioni seguenti f : x → – x2 (x ∈ R) g : x → log x (x ∈ R) 6.2.4 Scomposizione di funzioni. Nel calcolo numerico mediante elaboratore elettronico è spesso importante poter scomporre una formula in parti più elementari. Nei casi più complessi si chiariscono i vari passaggi con opportuni diagrammi di trasformazione (fig. 6.8).
Fig. 6.8 Scomposizione di funzioni. (Esempio elementare).
6.2.5 Funzioni inverse. Consideriamo l’inversione di funzioni uno-uno. In questo caso, se f trasforma l’insieme A in B e g è la funzione inversa di f, allora f porta un elemento a di A nella propria immagine b di B e g riporta questa immagine in a e solo in a. Ovvero, con la composizione di funzioni g( f (a)) = a f (g(b)) = b
per ogni per ogni
a ∈ A, e analogamente b ∈ f (A) (fig. 6.9).
Per invertire una funzione, poniamo y = f (x), si opera nel seguente modo: a) Si considera y variabile indipendente e x variabile dipendente. Si riscrive pertanto la funzione sostituendo x con y e viceversa. b) Si ottiene così l’equazione della funzione inversa nella forma x = f (y), che può essere considerata la forma implicita della funzione inversa. c) Infine, se è possibile, si ricava l’equazione in forma esplicita cioè nella forma y = g (x).
A-129
ANALISI
Fig. 6.9 Funzione inversa.
Fig. 6.10 Grafico di funzioni inverse.
Esempio. Data l’equazione y = 2 – 1 1/x, si ottiene, scambiando le variabili x = 2 – 1/y. E, risolvendo rispetto ad y, y = 1/(2 – x). Inoltre, se la funzione aveva dominio x ∈ R+ e codominio y ∈ R e y < 2, l’inversa ha dominio x ∈ R e x < 2 e codominio y ∈ R+. Dato lo scambio delle variabili, il grafico di due funzioni inverse è speculare rispetto alla retta y = x (fig. 6.10, con le funzioni dell’esempio). Composizione di funzioni inverse. Se g è l’inversa della funzione f, allora g 6 f = f 6 g solo se f e g hanno lo stesso dominio. Infatti g 6 f ha il dominio di f, mentre f 6 g ha il dominio di g. Con le funzioni dell’esempio precedente si ha, per esempio g6f f6g
dominio dominio
x ∈ R+ x∈R e x < 2
(fig. 6. 11)
Fig. 6.11 Composizione di funzioni inverse. a) Dominio di g 6 f. b) Dominio di g 6 f.
Inverse di funzioni composte.
Per esempio la funzione f : x → 3x + 2
(x ∈ R)
ha due componenti: «moltiplicare per tre» e «aggiungere due». Se vogliamo invertire questa funzione basta invertirne le componenti e l’ordine di esecuzione (fig. 6.12). L’inversa è «sottrarre due» e «dividere per tre», in formula g : x → (x – 2)/3
(x ∈ R).
A-130
MATEMATICA
In generale, se f1 e f2 sono funzioni con inversa g1, e g2, allora l’inversa di f1 6 f2 è g 1 6 g 2. Molte operazioni tecnologiche, per esempio di montaggio e smontaggio, sono operazioni inverse di funzioni composte e si segue uno schema di questo genere. Nell’invertire il procedimento si ripetono i passaggi al contrario. Per esempio, per smontare una ruota prima si svitano i bulloni, poi si sfila la ruota dal mozzo, mentre, nel rimontarla, prima si infila sul mozzo e poi si avvitano i bulloni.
Fig. 6.12 Inverse di funzioni composte.
6.2.6 Funzioni in forma implicita. Le funzioni nella forma f (x,y) = 0, per esempio x2 + y2 – 1 = 0, si dicono in forma implicita. La rappresentazione in forma implicita ha l’inconveniente che non si può calcolare rapidamente l’ordinata y di un punto, data la sua ascissa x. Ma consente di risolvere in modo semplice vari tipi di problemi, come, per esempio, l’intersezione di tre rette di equazione ⎧ a1 x + b1 y + d 1 = 0 ⎪ ⎨ a2 x + b2 y + d 2 = 0 ⎪ ⎩ a3 x + b3 y + d 3 = 0 (v. Algebra Lineare e anche Geometria Analitica). 6.2.7 Funzioni parametriche. Una funzione parametrica è espressa da due equazioni simultanee, entrambe funzioni dello stesso parametro ausiliario, per es. t, nella forma ⎧ x = f (t) ⎨ ⎩ y = g(t ) Per esempio la circonferenza di equazione x2 + y2 – 1 = 0 può essere espressa in forma parametrica dalle equazioni ⎧ x = cos ( t ) ⎨ ⎩ y = sin ( t ) (0 ≤ t ≤ 2 π ) Un tratto della curva può essere facilmente rappresentato limitando opportunamente il campo di variazione di t. Per esempio un arco di circonferenza si ottiene imponendo
A-131
ANALISI
la condizione a ≤ t ≤ b. Anche una funzione in forma esplicita del tipo y = f (x) può essere considerata un caso particolare di funzione parametrica nella forma ⎧x =t ⎨ ⎩ y = f (t) Alcune funzioni parametriche sono riportate nella Geometria Analitica. Un programma per il disegno delle funzioni parametriche è riportato nel capitolo Programmi di Matematica. 6.2.8 Funzioni polari. Una funzione polare è una corrispondenza nella forma r = f (ϑ), dove r è il raggio e ϑ è l’angolo corrispondente (fig. 6.13.a). Per un certo valore di ϑ si può calcolare dunque r in base alla funzione e poi calcolare le coordinate dei punto della curva rappresentativa con le due equazioni ⎧ x = r cos ϑ ⎨ ⎩ y = r sin ϑ
ovvero
⎧ x = f ( ϑ ) cos ϑ ⎨ ⎩ y = f ( ϑ ) sin ϑ
Le funzioni polari fanno parte dunque delle funzioni parametriche, con parametro ausiliario. Alcune funzioni polari sono riportate nella Geometria Analitica. Come esempio qui si riporta (fig. 6.13.b) la cosiddetta Spirale di Archimede, con equazione r = ϑ.
Fig. 6.13 a) Funzioni polari. b) Spirale di Archimede.
6.2.9 Funzioni di due variabili. La definizione di funzione si può estendere facilmente a due (o più) variabili, considerando corrispondenze del tipo f : (x, y) → z,
con
(x,y) ∈ R × R
e
z ∈ R.
Si indica anche con z = f (x,y). Le funzioni di questo genere possono essere rappresentate, da superfici nello spazio a tre dimensioni x, y, z (fig. 6.14). Anche in questo
A-132
MATEMATICA
Fig. 6.14 Funzioni di due variabili.
caso si possono avere funzioni in varia forma, per esempio – forma esplicita, come – forma implicita, come
z = x2 + y2 x2 + y2 + z2 – 1 = 0
⎧ x = a sin u cos t ⎪ – forma parametrica, come ⎨ x = a sin u sin t ⎪ ⎩ z = b cos u
(paraboloide) (sfera)
(ellissoide di rotazione)
Per la classificazione e l’uso delle funzioni di due variabili vedi Geometria Analitica. 6.3
SUCCESSIONI, SERIE, LIMITI
6.3.1 Successioni. Una successione di valori numerici è finita se i termini della successione sono in numero limitato, altrimenti si parla di successione infinita e si indica con al, a2, ..., an, .... Le successioni finite possono essere assegnate dando un elenco dei termini della successione, per esempio {2,4,2,6,2,8}. Come si può vedere dall’esempio nelle successioni uno stesso elemento può essere ripetuto, a differenza di quanto accadeva negli insiemi. Le successioni infinite invece devono essere assegnate mediante una regola, per esempio «la successione dei numeri primi», oppure mediante una formula, per esempio la successione il cui n-esimo termine vale an = 1/n, cioè {1, 1/2, 1/3, ...}. Può essere una formula ricorsiva cioè ogni termine si ottiene dal precedente (o dai precedenti) mediante una formula. Per esempio la successione aritmetica, dove ogni termine è uguale al precedente più una costante. In simboli { a n}
con
an = an–1 + d,
con
d≠0
e
a dato,
oppure {a1, a2 = a1 + d, ..., an = a1 + (n – 1) d, ...}. Il nome della successione deriva dal fatto che ogni termine è la media aritmetica dei suoi due termini adiacenti. La successione aritmetica viene utilizzata, per esempio, per interpolare linearmente m termini tra altri due a e b noti. In questo caso la
A-133
ANALISI
differenza d’ tra i nuovi termini da introdurre è data da d’ = (b – a)/(m + 1) Esempio. Siano a = 1, b = 3, m = 3. Si ottiene d’ = 2/4 = 0,5, da cui a 0' = 1, a 1' = 1.5, a 2' = 2, a 3' = 2.5, a 4' = 3 (fig. 6.15.a). Questo tipo di successione aritmetica è detta del primo ordine. Nel Calcolo Numerico si usano anche successioni aritmetiche di ordine superiore, per esempio di n-esimo ordine. In tali successioni è costante la successione delle differenze n-esime. Per esempio {2, 9, 28, 65, 126, 217, ...} è aritmetica del terzo ordine, dato che la successione delle differenze terze è costante. Infatti Successione Diff. prime Diff. seconde Diff. terze
2
9 7
28 19
12
65 37
18 6
126 61
24 6
217 91
30 6
... ...
... ...
Un’altra successione molto usata è la successione geometrica in cui ogni termine è uguale al precedente moltiplicato per una costante, chiamata ragione, in simboli { a n}
con
an = an–1 q
con
q≠1
e
a dato,
oppure {a1, a2 = a1 q, .... ,an = al q n–1, ...}. Se q è positivo, tutti i termini hanno lo stesso segno di ai . Se q è negativo, i segni più e meno si alternano e la successione, è detta alternante. Il nome della successione deriva dal fatto che ogni termine è uguale, in valore assoluto, alla media geometrica dei due termini adiacenti. Tra ogni coppia di termini a e b di una successione geometrica di ragione q si possono interpolare m termini in modo che la nuova successione sia ancora geometrica. La nuova ragione sarà q′ = q1/(m + 1) Esempio. Siano a = 1, b = 3, m = 3. Si ottiene q = 3, q′ = 31/4, cioè q′ = 1,316, a 0' = 1, a 1' = 1,316, a 2' = 1,732, a 3' = 2,280, a 4' = 4 (fig. 6.15.b). Nei problemi di normalizzazione talvolta si stabiliscono delle scale di valori che approssimano una serie geometrica e contengono multipli di dieci. Per esempio le serie
Fig. 6.15 Esempi d’interpolazione. a) Successione aritmetica. b) Successione geometrica.
A-134
q = l01/2 q = l01/3 q = l01/4 q = l01/5/5
MATEMATICA
1 1 1 1
3 2 2 1,5
10 30 100 5 10 20 50 100 3 6 10 20 30 60 100 2,5 4 6 10 15 25 40
60
100
Spesso le monete e le banconote hanno valori che seguono la seconda successione, con ragione q = 10/3. Le dimensioni dei formati dei fogli per i disegni tecnici sono in successione geometrica di ragione q = √2 cioè 21 29,7 42 59,4 84 118,8. Ci sono anche successioni in cui il termine n-esimo dipende dai due termini precedenti, si chiamano successioni ricorsive doppie. Importante la successione di Fibo-
Fig. 6.16 a) Programma per le successioni ricorsive doppie. (
SURIC.BAS)
ANALISI
Fig. 6.16.
A-135
b) Programma per le successioni ricorsive doppie. Nel programma Al sta per SURID.BAS) an–1, e A2 sta per an–2 . (
nacci che è definita da al = 0,
a2 = 1,
an = an–1 + an–2,
si ottiene {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...}. Per il calcolo dei termini delle successioni ricorsive può essere utilizzato il programma in BASIC di figura 6.16. 6.3.2 Convergenza e divergenza. Limite di una successione. Consideriamo la successione {an} con an = 1 – 1/n i cui termini sono dunque {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...}, si vede subito (fig. 6.17.a) che al crescere di n il termine an, si avvicina sempre di più all’unità o, come si dice, tende all’unità. Lo stesso succede alla successione alternante con an = 1 + (–1)n/n i cui termini sono 10, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, ... 1 (fig. 6.17.b). Più esattamente si dice che una successione {an} converge al limite a se per ogni
A-136
MATEMATICA
Fig. 6.17 Successioni convergenti. a) Monotona. b). Alternante.
numero arbitrario ⑀, piccolo a piacere, è sempre possibile trovare un termine an della successione tale che | an – a | < ε. In simboli lim a n = a
n→∞
Per esempio, nel caso della prima successione con an = 1 – 1/n, scelto ε = 0,0001, per esempio, si ha |1 – 1/n – 1| < 0,0001, che è verificata per 1/n < 0,0001 e cioè per n > 10000. Le successioni che non convergono sono chiamate divergenti. Per esempio ogni successione aritmetica è divergente, mentre le successioni geometriche sono convergenti se q < 1. Una successione {an} si dice monotona crescente se ogni suo termine è maggiore del precedente. E si dice monotona decrescente se ogni suo termine è minore del precedente. Una successione {an} si dice limitata se esistono due numeri r e s tali che la disuguaglianza r ≤ an ≤ s è verificata per ogni termine an, della successione. Per esempio, nella successione con an = 1 – 1/n, si può assumere r = 0 e s = 1. Valgono i seguenti teoremi sui limiti delle successioni – Le successioni convergenti sono limitate. – Il limite di una successione convergente è unico. – Se le successioni {an} e {bn} hanno limiti a e b rispettivamente, allora le successioni {an + bn} {an – bn}, {an bn}, convergono ai limiti a + b, a – b, ab, rispettivamente e se i termini bn e b sono diversi da zero, allora {an /bn} converge al limite a/b. Valgono inoltre i seguenti criteri di convergenza – Ogni successione monotona e limitata è convergente. – Una successione {an} è convergente se e solo se in corrispondenza di un arbitrario numero positivo ⑀ si può sempre trovare un indice N(ε) tale che | am – an | < ε per tutti gli indici n ed m maggiori di N(ε). Esempio. La successione alternante con an = 1 + (–1)n/n è convergente in base a questo criterio. Infatti dalla condizione | 1 + (–1)n+1/(n + 1) – 1 – (–1)n/n | < ε si ottiene N(ε) > [(2/ε–1) + √2/ε – 1) + 4/ε]/2, che per ε = 0,1 dà N > 19,5. Infatti | a21 – a20 | = | –1/21 – 1/20 | = 0,09 < 0,1.
A-137
ANALISI
6.3.3 Serie numeriche. l’espressione:
Sia data una successione {xn} di numeri reali; si dice serie x1 + x2 + ... + xn + ... +∞
che si indica anche con i simboli ∑ x n oppure ∑ xn ; i numeri x1, x2, ... xn, ... sono detti termini della serie. n=1 La somma di un numero n finito dei primi termini della serie si dice somma parziale e si indica: x1 + x2 + ... + xn = sn Se il limite lim s n esiste ed è finito, esso si dice somma della serie ∑ xn , la quale n→∞
converge e si indica ∑ xn = S; se il limite è sn → + ∞ o sn → – ∞, allora si dice che la serie diverge e si indica ∑ xn = ∞. Proprietà. 1) La soppressione di un numero finito di termini di una serie non influisce sulla sua convergenza. 2) Se ∑ xn = S con S finito, anche la serie ∑ cxn converge: ∑ cxn = cS, con c = costante. 3) Se ∑ xn = S e ∑ yn = S ′ con S e S ′ finiti, allora ∑ (xn + yn) = S + S ′. 4) Se una serie converge, il suo termine generale xn → 0 per n → + ∞ (condizione necessaria di convergenza). 5) Condizione necessaria e sufficiente affinché una serie ∑ xn converga è che ad ogni e > 0 si possa determinare v = v(e) tale che per ogni n ≥ v la somma di p termini (p ≥ 1) consecutivi a quello di posto n sia minore di e: | xn+1 + xn+2 + ... + xn+p | < e 6) Si dice che una serie ∑ xn converge assolutamente quando converge la serie ∑ | xn |. 7) Se una serie è assolutamente convergente, essa converge anche in senso ordinario. Di seguito sono riportate alcune serie numeriche: ∞
Serie di Mengoli:
∑ 1/n ( n + 1 ) = 1 ;
∞
serie armonica:
n=1
∑ 1/n = + ∞ ; n=1
+ ∞ ∞ 1/(1– q ) n serie geometrica ∑ q = +1 e –1 n=1 ∞
per per per per
q≥1 q 1; n→∞
n→∞
senza ulteriori analisi, nulla si può dire se lim x n+1 / xn = 1. n→∞
A-138
MATEMATICA 1/n
3) Criterio della radice: se per la serie ∑ xn , la radice n-esima x n n → ∞, allora la serie converge se lim
n→∞
1/n xn
→ A finito per 1/n
< 1, diverge se lim x n n→∞
> l; senza
1/n
ulteriori analisi, nulla si può dire se lim x n = 1. n→∞
In figura 6.18 è riportato un programma per il calcolo delle somme parziali, progressive di una serie.
Fig. 6.18 Programma per le serie numeriche. Esempio di calcolo della serie con SERIE.BAS) xn = 1/[n (n + 1)]. (
ANALISI
6.3.4 Teoremi sui limiti. g(x) = L, risulta:
A-139
Se, per x → x0 (finito o infinito), si ha lim f (x) = l, lim
lim f (x) ± g(x) = l ± L, lim c f (x) = c l, lim f (x) · g(x) = l L; se L ≠ 0 è anche lim f (x)/g(x) = l/L, lim g(x) f (x) = Ll. Tali teoremi si estendono al caso di limiti infiniti, usando le seguenti regole formali (nelle quali l > 0): (+ ∞) + (+ ∞) = + ∞; (– ∞) + (– ∞) = – ∞ l (± ∞) = ± ∞; – (± ∞) = ∞; ∞ · ∞ = ∞; 0/∞ = l/∞; ∞/0 = l/0 = ∞; ∞l = ∞+ ∞ = ∞; ∞–l = ∞– ∞ = 0; 0 l = 0+ ∞ = 0; 0–l = 0– ∞ = ∞; l + ∞ = + ∞, l – ∞ = 0 se l > 1; l +∞ = 0, l – ∞ + ∞ se 0 < l < 1. Per le forme indeterminate 0/0, ∞ /∞, 0 ⋅ ∞, 00, ∞0, 1∞, ∞ – ∞, che non rientrano nei casi precedenti vedi paragrafo seguente. Se risulta, per x → x0 finito: lim f (x)/(x – x0)n = 1, con l ≠ 0 finito, si dice che f (x) è infinitesima di ordine n, per x → x0, rispetto all’infinitesimo principale x – x0 . Si può allora scrivere f (x) = l · (x – a ( x ) = 0 . Il termine l · (x – x0)n è la parte princix0)n + a (x) – (x – x0)n, con xlim →x ±
0
pale dell’infinitesimo f (x), e si scrive f (x) ~ l · (x – x0)n. Assai utili per determinare le parti principali degli infinitesimi sono gli sviluppi di Taylor; ad esempio, si deduce, per x → 0: sin x ~ x, (1 + x)α –1 ~ ax, ecc. Se risulta anche, per x → x0, g (x) ~ L (x – x0)n, si ha poi f (x) · g (x) ~ IL · (x – x0) n+m, f (x)/g (x) ~ l/L · (x – x0) n– m; perciò lim f (x) / g (x) = l/L se n = m, = 0 se n > m = ∞ se n < m. Ad esempio 1 – cos x 1/2 - = ------- = 3/2 lim -----------------------------2 1/3 1/3 x → x0 1 – ( 1 – x ) in quanto per x → 0 è 1 – cos x ~ x2/2, 1– (1 – x2)1/3 ~ x2/3. Analoghe considerazioni si svolgono supponendo n = – k < 0: in tal caso f (x) è un infinito di ordine k per x → x0 (rispetto all’infinito principale 1/(x – x0)), o per x → ∞ sostituendo x – x0 con 1/x. Ad esempio, 1/x ln (1 + 3/x) ~ 3/x 2 per x → ∞ (infinitesimo del secondo ordine): si è usata per questo la relazione ln (1 + t) ~ t per t → 0, con t = 3/x. 6.3.5 Forme indeterminate 0/0 e ∞ / ∞. Se il rapporto f (x)/g(x) assume per x → x0 (finito o infinito) una delle due forme 0/0 o ∞ / ∞, vale la regola di De l’Hospital: se g′ (x) ≠ 0 in un intorno di x0, ed esiste lim f ' ( x )/g' ( x ) = L (finito o x → x0 infinito), è anche lim f ( x )/g ( x ) = L˙ . x → x0
Se anche f ′(x)/g′ (x) assume una forma indeterminata 0/0 o ∞/∞, risulta analogamente L = lim f ″ (x)/g″ (x), ecc... x → x0
0 · ∞. Si trasforma in 0/0 (o ∞/∞) scrivendo f ( x) f ( x ) ⋅ g ( x ) = ---------------1/g ( x )
g( x) ⎞ ⎛ rispettivamente ---------------⎝ 1/ f ( x )⎠
00, ∞0, 1∞. Si scriva f (x)g (x) = eg (x) ln f (x), ottenendo all’esponente una forma indeterminata rispettivamente dei tipi 0 · ∞, 0 · ∞, ∞ · 0, che si tratta come sopra. Riepilogando, le forme di indecisione sono le seguenti: 0 ∞ ∞ – ∞, 0 · ∞, ------, ---- , 1∞, 00, ∞0; 0 ∞
log0 ∞, log00, log∞0, log∞∞, log11.
A-140
MATEMATICA
∞ – ∞ . Si può scrivere, ad esempio 1/g ) – ( 1/ f ) f ( x ) – g ( x ) = (------------------------------( 1/ fg ) (del tipo 0/0). Se f (x) = F ( x ) , g(x) = F – G = (F – G) ∕ ( F + G) .
G ( x ) , conviene sovente usare l’identità
6.3.6 Limiti notevoli. Elenchiamo alcuni limiti notevoli che possono essere utili nello svolgimento degli esercizi. ∞ a0 + a1 x + … + an an lim -----------------------------------------------= ----x → ∞ b0 + b1 x + … + bm x m bm 0 xn
se n > m se n = m se n < m
a0 + a1 x + … + an x n a0 lim -----------------------------------------------= ----x → 0 b0 + b1 x + … + bm x m b0 sen x lim ------------ = 1 x
x→0
1 – cos x 1 lim --------------------= + -----2 x2
x→0
tg x lim --------- = 1 x
x→0
arcsen x lim -------------------- = 1 x
x→0
arctg x lim ----------------- = 1 x
x→0
1 x lim 1 + ------ = e x x→0 θ x lim 1 + ------ = e θ x x→0
∀θ ∈ R
lim ( 1 + θ ) 1 / x = e θ
∀θ ∈ R
x→0
log a ( 1 + x ) 1 - = log a e = ------------lim ------------------------x log a
x→0
log ( 1 + x ) lim ------------------------ = 1 x
x→0
( a > 0, a ≠ 1 )
ANALISI
ax – 1 lim ------------- = log a x
A-141
(a > 0)
x→0
ex – 1 lim ------------- = 1 x x→0 ( 1 + x )θ – 1 lim -------------------------- = θ x x→0 log x - =0 lim ---------xα
∀θ ∈ R
∀a > 0
x→∞
1 log -----x lim --------------- = 0 1 x→0 -----x xα lim -----x = 0 x → +∞ a
∀ α > 1, a > 0
ax lim ----α- = + ∞ x → +∞ x
∀ α > 1, α > 0
lim x log x = 0
x → 0+
lim x x = 1
x → 0+
6.4
DERIVATE E DIFFERENZIALI
Derivate e differenziali sono concetti fondamentali nell’analisi matematica. Con questi concetti si stabiliscono i metodi di calcolo per lo studio delle variazioni delle funzioni. In particolare, fin dove si può, il differenziale viene usato nella geometria, nella fisica e nella tecnica in luogo delle derivate, poiché rimane libera la scelta della variabile indipendente. 6.4.1 Derivata e differenziale di una funzione a) Derivata. Sia y = f (x) una funzione reale definita nell’intervallo I; si definisce incremento della variabile indipendente x nel passaggio dal punto iniziale x0 ∈ I al punto x = x0 + h (x ∈ I) la differenza ∆x = x – x0 = h. Si definisce incremento della funzione y = f (x), corrispondente al passaggio dal punto iniziale x0 al punto x = x0 + h, la differenza ∆y = f (x0 + h) – f (x0). Si definisce rapporto incrementale di f (x), corrispondente al passaggio dal punto iniziale x0 al punto x = x0 + h, il rapporto ∆y/∆x = [f (x0 + h) – f (x0)]/h. Il rapporto incrementale rappresenta la pendenza media del diagramma della funzione f (x) nell’intervallo x0 , x0 + h ed è rappresentato dalla pendenza della retta passante per i punti [x0 , f (x0)] e [(x0 + h), f (x0 + h)]. Si definisce derivata della funzione y = f (x) nel punto x0, e si denota con f ′ (x0)
A-142
MATEMATICA
oppure df (x0) oppure D [f (x0)], il limite, se esiste, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h: f ( x0 + h ) – f ( x0 ) - = f ' ( x0 ) lim = ---------------------------------------h
h→0
La derivata f ′(x0) fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al diagramma della funzione nel punto P di coordinate P [x0 , f (x0)]. Se nel punto x0 la funzione f (x0) ammette derivata finita, allora f (x) è continua in x0 . Significato geometrico della derivata . Consideriamo (fig. 6.19) la curva rappresentatrice della funzione y = f (x) che supporremo dotata di derivata in ogni punto dell’intervallo di definizione, e il punto P di ascissa x e di ordinata f (x). Sia Q un altro punto della curva di ascissa x + h ed ordinata f (x + h). Con riferimento alla figura 6.19 il segmento PM rappresenta l’incremento h della variabile x e il segmento M Q l’incremento corrispondente della funzione, cioè f (x + h) – f (x).
0 Fig. 6.19 Significato geometrico della derivata.
Se diciamo ϕ l’angolo che la retta PQ forma con il semiasse positivo delle x e quindi anche con PM, dal triangolo rettangolo PMQ si ha MQ f ( x – h ) – f ( x ) tg ϕ = --------- = -----------------------------------PM h e da ciò risulta che il rapporto incrementale della funzione f(x) si identifica col coefficiente angolare della secante PQ che unisce i punti di ascisse x e x + h del grafico della funzione. Se facciamo tendere h a zero, si avrà f ( x + h) – f ( x) lim tg ϕ = lim -----------------------------------h h→0
h→0
Il rapporto incrementale tende alla derivata di f (x), cosicché anche l’angolo ϕ tenderà ad un valore α tale che sia tg α = f ′ (x)
A-143
ANALISI
Ma quando h tende a zero, il punto Q si avvicina indefinitamente al punto P e la retta PQ tenderà ad una retta limite, intersecante la curva nei due punti coincidenti P ≡ Q, che forma l’angolo α con l’asse delle x e che si chiama tangente geometrica alla curva nel punto P. Allora tg α rappresenta il coefficiente angolare della tangente geometrica. Dunque: la derivata di una funzione f (x), in un punto, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto alla curva, avente per equazione y = f (x). Nel caso di derivata infinita la retta tangente formerà un angolo di 90° con l’asse delle x e sarà pertanto parallela all’asse y. Regole di derivazione. punto x. È: D [c] = 0
con
Siano f (x) e g(x) funzioni derivabili con derivate finite nel c = costante
D [f (x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x);
D [cf (x)] = cf ′(x)
D [1/f (x)] = – f ′(x) / f D
= a f (x)
c = costante
D [f (x) · g(x)] = f ′(x)g(x) + f (x) g′(x)
D [{f (x)}n] = nf (x) n–1 f ′(x) [a f (x)]
con
con 2(x)
n intero naturale; con
f ′(x) ln a con a > 0;
f (x) ≠ 0.
D [ln f (x)] = f ′(x)/f (x)
D [{f (x)}g(x)] = [ f (x)]g (x) {g′(x) ln f (x) + f ′(x) g (x)/f (x)} g' ( x ) f ( x ) – f ' ( x ) g ( x ) D [g(x) / f (x)] = -------------------------------------------------------f 2( x) Per le derivate delle funzioni elementari, si veda la tabella 6.1. Tabella 6.1
Derivate di funzioni elementari
Funzione
Derivata
Funzione
Derivata
Funzione
Derivata
xn
nx n–1
sin x
cos x
tan–1 x
1 -------------2 1+ x
x
1 ---------2 x
cos x
– sin x
sin–1 x
1 ----------------1 – x2
ex
ex
ln | sin x |
cot x
cos–1 x
– -----------------
ax
ax ln a
ln | cos x |
– tan x
sh x
ch x
ln x
1/x
tan x
1/cos2 x
ch x
sh x
loga x
1/(x ln a)
cot x
– 1/sin2 x
th x
1/ch2 x
1
1 – x2
Derivata di funzione inversa. Sia f (x) definita e continua in un intervallo I ed ammetta funzione inversa x = ϕ(y); se f (x) è derivabile nel punto x0 , con derivata f ′(x0) finita e diversa da zero, allora anche la funzione inversa ϕ(y) è derivabile nel punto y0 = f (x0) e la derivata è ϕ′ (y0) = 1/f ′ (x0).
A-144
MATEMATICA
Derivata di funzione composta. Sia t = ϕ(x) una funzione definita in un intervallo I ed ammetta derivata ϕ′ (x0) finita in x0 ∈ I. Al variare di x in I, ϕ(x) assume valori t che formano l’intervallo U(t ∈ U), in cui è definita la funzione y = ψ(t). Se la funzione y = ψ(t) ammette derivata finita ψ′(t0) nel punto t0 = ϕ(x0), allora la funzione y = ψ [ϕ(x)] = f (x) è definita in I e ammette derivata finita in x0 : f ′(x0) = ψ′(t0) · ϕ′(x0). b) Differenziale. Per il calcolo dei differenziali si stabilisce che l’incremento arbitrario ∆x = h della variabile indipendente si dice differenziale della variabile indipendente e si indica con dx = ∆x = h. Sia f (x) una funzione reale definita nell’intervallo I e sia x0 un punto intorno a tale intervallo; se f (x) ammette derivata finita in x0 , si dice che f (x) è differenziabile in x0 quando l’incremento della variabile y relativo al passaggio dal punto iniziale x0 al punto x0 + dx si può rappresentare come somma algebrica di due termini: ∆y = f ′(x0) dx + α dove f ′(x0) è indipendente da dx e α → 0 per dx → 0. Il prodotto f ′(x0) dx si dice differenziale della variabile y corrispondente al punto iniziale x0 e all’incremento dx e si denota con dy. Per dx → 0 ∆y ≈ dy e il differenziale risulta essere la parte principale di ∆y; in tal modo, il differenziale rappresenta l’incremento della variabile y attinente al passaggio da x0 a x0 + dx calcolata lungo la tangente al diagramma; in figura 6.20 è rappresentata l’immagine geometrica del differenziale.
Fig. 6.20 Immagine geometrica del differenziale: i vettori sono relativi ai termini della somma ∆y = dy + α con dy = tg θ dx.
ANALISI
A-145
La definizione di differenziale comporta: 1) f ′(x) = dy/dx. 2) Siano x = x(t) e y = y (t) funzioni differenziali della variabile indipendente t, sia x′(t) ≠ 0, e x = x (t) ammetta funzione inversa t = t(x); è allora y = y [t(x)] = f (x) e in base alla regola di derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse si ha: dy dx f ' ( x ) = y' ( t ) ⁄ x' ( t ) = ------ ------ = dy / dx dt dt Ciò comporta che l’espressione dy = f ′ (x) dx è valida sia quando x è variabile indipendente sia quando x è funzione di un’altra variabile indipendente (t). 3) Siano x = ϕ(t) e y = f (x) due funzioni tali che nell’intervallo U della variabile t si abbia la funzione composta y = f [ϕ(t)] = F(t). Se ϕ(t) e f (x) sono differenziabili, anche F(t) è differenziabile e si ha: dx = ϕ′(t) dt dy = f ′(x) · ϕ′(t) dt = f ′ (x) dx 4) Le regole di differenziazione sono analoghe alle regole di derivazione. Si definisce differenziale secondo della funzione f (x), attinente al punto iniziale x0 e all’incremento dx, il differenziale del differenziale dy = f ′ (x) dx, quando f ′ (x) sia differenziale in x0 . Si ha: d 2 y = d(dy) = f ″(x0) dx2 con f ″(x0) finita. In modo analogo si passa al differenziale n-esimo: d n y = f (n) (x0) dxn da cui f (n) (x) = d n y/dx n. 6.4.2 Derivate parziali, differenziale totale di funzioni di due variabili a) Incremento parziale e incremento totale. Si considerino la funzione z = f (x, y) (fig. 6.21) e la linea A′PA definita dall’intersezione della superficie z = f (x, y) con il piano y = y0. Si consideri la linea B′PB (fig. 6.21) definita dall’intersezione della superficie z = f (x, y) con il piano x = x0. Se x subisce un incremento ∆x, l’incremento corrispondente di z, indicato con ∆x z = f (x + ∆x, y), è detto incremento parziale di z rispetto ad x. Se y subisce un incremento ∆y, l’incremento corrispondente di z, indicato con ∆y z = f (x, y + ∆y) – f (x, y), è detto incremento parziale di z rispetto a y. Se si danno contemporaneamente un incremento di ∆x e ∆y, l’incremento corrispondente ∆z di z, che si dice incremento totale di z, è definito da ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) – f (x, y) Con riferimento alla fig. 6.21, l’incremento totale ∆z relativo a x0 e y0 è rappresentato dal segmento CC ' . In generale l’incremento totale di ∆z non è uguale alla somma degli incrementi parziali. Analogamente si definiscono l’incremento totale e l’incremento parziale delle funzioni di più variabili. b) Derivate parziali.
La derivata parziale di z rispetto ad x è data da: ∆xz f ( x + ∆x, y) – f ( x, y) - = lim ----------------------------------------------------lim ------∆x ∆x → 0 ∆ x → 0 ∆x
e si indica con z x' , fx' (x, y), ∂f /∂x.
A-146
MATEMATICA
La derivata parziale rispetto a y di z è data da: ∆yz f ( x, y + ∆y ) – f ( x, y ) - = lim ----------------------------------------------------lim ------∆y ∆y ∆ y → 0
∆x → 0
e si indica con z y' , f y' (x, y), ∂f /∂y. Le regole di calcolo delle derivate parziali sono le stesse di quelle impiegate per il calcolo della derivata delle funzioni di una variabile. Le derivate parziali di una funzione di n > 2 variabili si trovano in modo analogo. Esempio. Derivare la funzione u = x2 + y2 + 3xtz4. Soluzione: ∂u/∂x = 2x + 3/tz4; ∂u/∂y = 2y; ∂u/∂z = 12xtz3; ∂u/∂t = 3xz4. Per l’interpretazione geometrica delle derivate parziali di una funzione di due variabili, si consideri la figura 6.22. In essa ∂z/∂y è uguale alla tangente dell’angolo β, inclinazione della retta tangente alla curva, definita dall’intersezione della superficie z = f (x, y) con il piano x = x0; analogamente ∂z/∂x è uguale alla tangente dell’angolo α, inclinazione della retta tangente all’intersezione della superficie z con il piano y = y0.
Fig. 6.21 Incremento della funzione z = f (x, y)
Fig. 6.22 Interpretazione geometrica delle derivate parziali della funzione z = f (x, y).
c) Differenziale totale. Si supponga che le derivate parziali della funzione f (x, y) esistano e siano continue nel punto ( x0, y0); l’incremento totale ∆z della funzione può allora essere scritto: ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y) ∆z = -------------------- ∆ x + -------------------- ∆ y + α 1 ∆ x + α 2 δ y ∂x ∂y dove α1 e α2 tendono a zero quando ∆x e ∆y tendono a zero. Indicando rispettivamente con dx e dy gli incrementi ∆x e ∆y delle variabili indipendenti, supposto che le derivate parziali di f (x, y) siano continue nel punto considerato, si dice che la funzione z è differenziabile nel punto (x0 , y0) se l’incremento totale ∆z può essere scritto: ∂f ( x, y) ∂f ( x, y) ∆z = -------------------- dx + -------------------- dy + α 1 dx + α 2 dy ∂x ∂y
A-147
ANALISI
Si pone ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y) -------------------- dx + -------------------- dy = dz ∂x ∂y e dz è detto differenziale totale. Per le funzioni di più variabili il differenziale totale è: ∂f ∂f ∂f dz = -------- d x 1 + -------- d x 2 + ... + -------- d x n ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn 6.5
SVILUPPI DI FUNZIONI IN SERIE DI POTENZE
Sia f (x) definita in un intervallo chiuso U [x0 , x0 + h] con h > 0 oppure h 0; se esistono le derivate finite in x0 sino all’ordine n – 1, la formula: h h2 hn – 1 f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + ----- f ' ( x 0 ) + ----- f ″ ( x 0 ) + … + ------------------ f ( n – 1 ) ( x 0 ) + R ( h ) 1! 2! ( n – 1 )! è detta formula di Taylor arrestata all’ordine n. Tabella 6.2 Funzione
Sviluppi in serie di funzioni elementari Sviluppo in serie
Intervallo di convergenza
ex
x2 x x2 1 + ----- + ----- + … + ----- + … n! 1! 2!
–∞ 3 consta di quei punti di S che giacciono al di sotto della linea x – y = 3, e quindi forma l’area ombreggiata del diagramma. Pertanto area di A 2 1 p = P ( A ) = ---------------------- = ------ = -----area di S 6 3 8.2.3 Probabilità condizionata e indipendenza. a) Probabilità condizionata. Sia E un evento arbitrario in uno spazio campionario S con P(E) > 0. La probabilità che l’evento A si verifichi una volta verificatosi l’evento E o, in altri termini, la probabilità condizionata di A dato E, che si scrive P(A | E), è definita nel modo seguente: P( A ∩ E ) P ( A E ) = -----------------------P(E ) Come mostra il diagramma di Venn della figura 8.9.a, in un certo senso misura la probabilità relativa di A rispetto allo spazio ridotto E. In particolare, se S è uno spazio equiprobabile finito e | A | designa il numero degli elementi di un evento A, allora A∩E P ( A ∩ E ) = -------------------- , S
E P( A ∩ E ) A ∩ E P ( E ) = -------- e dunque P ( A E ) = -------------------------- = -------------------S P(E ) E
Ossia: se S è uno spazio equiprobabile finito con gli eventi A ed E, allora numero degli elementi di A ∩ E P ( A ∩ E ) = ----------------------------------------------------------------------------numero degli elementi di E ovvero: numero delle modalità con cui possono presentarsi A ed E P ( A E ) = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------numero delle modalità con cui può presentarsi E Esempio. Si lanci una coppia di dadi. Se la somma è 6, si determini la probabilità che uno dei dadi abbia dato l’esito 2. In altri termini, se e
E = {la somma è 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} A = {un 2 si presenta su almeno un dado}
trovare P (A | E).
Fig. 8.9 a) Diagramma della probabilità condizionata. b) Diagramma ad albero di processo stocastico.
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
A-205
Ora E consta di cinque elementi, due dei quali, (2, 4) e (4, 2), appartengono ad A: A ∩ E = {(2, 4), (4, 2)} 2 Qui P (A | E) = ---- . 5 Mentre, poiché A consta di undici elementi, A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} 11 e S consta di 36 elementi, P(A) = ------ . 36 b) Teorema di moltiplicazione. Se liberiamo dal denominatore l’equazione che definisce la probabilità condizionata e teniamo presente che A ∩ E = E ∩ A, otteniamo la seguente utile formula. P (E ∩ A) = P (E) P (A | E) Questa formula si può estendere per induzione nel modo seguente. Per ogni evento Al, A2, ..., An P (A1 ∩ A2 ∩ ... An) = = P (A1)P (A2 | A1)P (A3 | A1 ∩ A2) ··· P (An | A1∩ A2 ∩ ... ∩ An–1) Il teorema precedente viene appropriatamente definito teorema di moltiplicazione. Esempio. Un lotto contiene 12 elementi di cui 4 difettosi. Tre elementi vengono estratti a caso dal lotto, l’uno dopo l’altro. Determinare la probabilità p che tutti e tre 8 siano non difettosi. La probabilità che il primo elemento sia non difettoso è ------ poi12 ché 8 dei 12 elementi sono non difettosi. Se il primo elemento è non difettoso, allora 7 la probabilità che il prossimo sia non difettoso è ------ poiché soltanto 7 degli 11 ele11 menti restanti sono non difettosi. Se i primi due elementi sono non difettosi, allora la 6 probabilità che l’ultimo elemento sia non difettoso è ------ poiché soltanto 6 dei restan10 ti 10 elementi sono non difettosi. Pertanto, per il teorema di moltiplicazione, 8 7 6 14 p = ------ × ------ × ------ = -----12 11 10 55 c) Processi stocastici e diagrammi ad albero. Una successione (finita) di esperimenti nella quale ogni esperimento ha un numero finito di esiti con date probabilità è detto processo stocastico (finito). Un mezzo conveniente per descrivere un siffatto processo e per calcolare la probabilità di ogni evento è costituito dal diagramma ad albero, dei tipo illustrato in figura 8.9.b); il teorema di moltiplicazione viene applicato per calcolare la probabilità che si verifichi l’esito rappresentato da ogni dato cammino dell’albero. Esempio. Sono date tre scatole, delle quali: la scatola I contiene 10 lampade 4 delle quali sono difettose; la scatola II contiene 6 lampade 1 delle quali è difettosa; la scatola III contiene 8 lampade 3 delle quali sono difettose. Prendiamo una scatola a caso e quindi ne estraiamo una lampada a caso. Qual è la probabilità p che quella lampada sia difettosa? In questo caso diamo luogo ad una successione di due esperimenti: 1)
A-206
MATEMATICA
prendiamo una delle tre scatole; 2) prendiamo una lampada che è o difettosa ( D) o non difettosa (N). Il diagramma ad albero rappresenta questo processo e dà la probabilità di ciascun ramo dell’albero (fig. 8.9.b). La probabilità che si presenti un particolare cammino dell’albero è data, per il teorema di moltiplicazione, dal prodotto delle probabilità di ciascun ramo di quel cammino; ad esempio, la probabilità di prende1 2 2 re la scatola I e poi una lampada difettosa è ----- × ----- = ------ . Ora, poiché vi sono tre 3 5 15 cammini incompatibili che conducono ad una lampada difettosa, la somma delle probabilità di questi cammini è la probabilità cercata: 1 2 1 3 113 1 1 p = ----- × ----- + ----- × ----- + ----- × ----- = ----------3 5 3 8 360 6 3 d) Partizioni. Supponiamo che gli eventi A1, A2, ..., An formino una partizione di uno spazio campionario S; e cioè che gli eventi Ai siano incompatibili e la loro unione sia S (fig. 8.10.a). Ora, sia B un qualsiasi altro evento. Allora B = S ∩ B = (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) ∩ B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ ··· ∪ (An ∩ B) dove gli Ai ∩ B sono incompatibili. Di conseguenza, P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + ··· + P (An ∩ B) Quindi, per il teorema di moltiplicazione, P (B) = P (A1)P (BA1) + P (A2) P (B | A2) +.......+ P (An) P (B | An)
(1)
Fig. 8.10 a) Partizioni. b) Diagramma ad albero del processo stocastico dell’esempio sulle partizioni.
Esempio. Tre macchine, A, B e C producono rispettivamente il 50%, il 30% e il 20% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di pezzi difettosi di queste macchine sono, rispettivamente, il 3%, il 4% e il 5%. Viene estratto un pezzo a caso: determinare la probabilità che esso sia difettoso. Sia X l’evento «un pezzo è difettoso». Allora per la (1) precedente: P (X) = P (A) P (X | A) + P (B) P (X | B) + P (C) P (X | C) P (X) = (0,50)(0,03) + (0,30)(0,04) + (0,20)(0,05) = 0,37 Si noti che si può anche considerare questo problema come un processo stocastico rappresentato dal diagramma ad albero di figura 8.10.b.
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
e) Teorema di Bayes. è definita da
A-207
Per ogni valore di i, la probabilità condizionata di Ai dato B P ( A i ùB ) P ( A i B ) = ---------------------P(B)
Impiegando la (1) per sostituire P (B) e impiegando P (Ai ∩ B) = P (Ai )P (BAi ) per sostituire P (Ai ∩ B), otteniamo da questa equazione il seguente teorema. TEOREMA DI BAYES. Supponiamo che Ai , A2 , ...., An sia una partizione di S e che B sia un evento qualsiasi. Allora per ogni valore di i, P ( A i )P ( B A i ) P ( A i B ) = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------P ( A 1 )P ( B A 1 ) + P ( A 2 )P ( B A 2 ) + … + P ( A n )P ( B A n ) Esempio. Si consideri la fabbrica dell’esempio precedente. Supponiamo che si estragga un pezzo a caso e che esso sia difettoso. Si determini la probabilità che quel pezzo sia stato prodotto dalla macchina A; ossia, si determini P (AX). Per il teorema di Bayes, P( A) P( X A) P ( A X ) = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------P( A)P( X A) + P(B) P( X B) + P(C )P( X C ) (0,50)(0,03) 15 = --------------------------------------------------------------------------------------------------- = -----(0,50)(0,03) + (0,30)(0,04) + (0,20)(0,05) 37 In altri termini, dividiamo la probabilità del cammino in questione per la probabilità dello spazio campionario ridotto, ossia di quei cammini che conducono ad un elemento difettoso. Il teorema di Bayes si può scrivere anche nella forma seguente. Poiché P(A2) P (BA2) + ... + P (An) P (BAn) è uguale a P [(B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)] = P (B ∩ A′1) P ( A′1) P (B A′1), e così per i = 2, ...., si ottiene P ( Ai ) P ( B Ai ) P ( A i B ) = ---------------------------------------------------------------------------P ( A i ) P ( B A i ) + P ( A'i ) P ( B A'i ) ovvero P ( A'i ) P ( B A'i ) P ( A i B ) = 1/ 1 + ----------------------------------- P ( Ai ) P ( B Ai ) dove P(AiB) è la probabilità che si verifichi l’evento Ai dopo che si è verificato l’evento B, P(Ai) è la probabilità che si verifichi Ai indipendentemente da ogni condizione, P A′i è la probabilità che non si verifichi Ai , quindi P A′i = 1 – P(Ai), P(B A′i ) e P(B A′i ) sono le probabilità che si verifichi l’evento B dopo che l’evento Ai si è verificato e dopo che non si è verificato. f) Probabilità a priori e a posteriori. Il teorema di Bayes può servire per risolvere problemi di questo genere. Siano A1, A2, ..., An , delle situazioni diverse tali che almeno una sia sempre verificata: ΣP(Ai) = 1. Sia B un evento che si verifica in alcune di queste situazioni, generalmente con probabilità P(BAi ) diverse ma note. Si sanno anche le probabilità P(B A′i ) del verificarsi di B quando non si è verificata la
A-208
MATEMATICA
Ai . Data la probabilità P (Ai), detta «a priori», del verificarsi comunque di Ai , si può allora dal teorema di Bayes calcolare la probabilità P (AiB), detta «a posteriori», del verificarsi di Ai noto il fatto che si è verificato l’evento B. Esempio. Si consideri la fabbrica dell’esempio precedente. Sia X l’evento «un pezzo è difettoso». P(A) = 0,50; P(A′) = 0,50 in base al numero di pezzi fabbricati dalla macchina A. P (XA) = 0,03 e P (XA′) = 0,04 + 0,05 = 0,09 in base al numero di pezzi difettosi. Si può calcolare allora P(A)P (XA) = 0,015 e P (A′)P (XA′) = 0,045, per cui P (AX) = 0,015/(0,015 + 0,045) = 0,25 ≤ 0,50 = P(A) e analogamente si calcola P (BX) = 0,33 > 0,30 = P(B) P (CX) = 0,41 > 0,20 = P(C) Il fatto dunque che il pezzo sia difettoso fa diminuire la probabilità che appartenga alla macchina A e aumentare la probabilità che appartenga alla macchina C. Questo genere di procedimento viene utilizzato in alcuni dei cosiddetti «Sisterni Esperti» per calcolatori elettronici i quali, attraverso una serie di informazioni su indizi X possono ricavare la probabilità che si sia verificata la situazione A o B o C. g) Indipendenza. Si dice che un evento B è indipendente da un evento A se la probabilità che B si verifichi non è influenzata dal fatto che A si sia verificato oppure no. In altri termini, se la probabilità di B è uguale alla probabilità condizionata di B dato A: P (B) = P (BA). Ora, sostituendo P (BA) con P (B) nel teorema di moltiplicazione P (A ∩ B) = P (A) P (BA), otteniamo P (A ∩ B) = P (A) P (B) L’equazione precedente costituisce la nostra definizione formale di indipendenza. Esempio. Supponiamo che una moneta sia lanciata tre volte; otteniamo lo spazio equiprobabile S = {TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC}. Si considerino gli eventi A = {il primo lancio è testa}, B = {il secondo lancio è testa}, C = {testa si presenta due volte consecutivamente}. Evidentemente A e B sono eventi indipendenti; questo fatto viene verificato qui di seguito. D’altra parte, la relazione intercorrente fra A e C o fra B e C non è ovvia. Asseriamo che A e C sono indipendenti, ma che B e C sono dipendenti. Abbiamo P (A) = P ({TTT, TTC, TCT, TCC}) = 1/2, P (B) = P ({TTT, TTC, CTT, CTC}) = 1/2, P (C) = P({TTC, CTT}) = 1/4. Allora P (A ∩ B) = P ({TTT, TTC}) = 1/4, P (A ∩ C) = P ({TTC}) = 1/8, P (B ∩ C) = P ({TTC, CTT}) = 1/4. Di conseguenza, P (A) P(B) = 1/4 = P(A ∩ B), e quindi A e B sono indipendenti; P (A) P (C) = 1/8 = P (A ∩ C), e quindi A e C sono indipendenti; P (B) P (C) = 1/8 ≠ P (B ∩ C), e quindi B e C sono dipendenti. Tre eventi, A, B e C, sono indipendenti se: P (A ∩ B) = P (A)P(B), P (A ∩ C) = P (A) P(C) e P (B ∩ C) = P (B) P (C) e cioè se gli eventi sono a due a due indipendenti, e P (A ∩ B ∩ C) = P (A) P(B) P(C) La seconda condizione non discende dalla prima condizione; in altri termini, può darsi che tre eventi non siano indipendenti pur essendo a due a due indipendenti.
A-209
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
8.2.4 Variabili casuali. Supponiamo ora che S sia lo spazio campionario di un esperimento. Troviamo spesso opportuno associare uno specifico numero a ciascun esito: ad esempio, la somma dei punti di una coppia di dadi, o il tempo (espresso n numero di ore) durante il quale una lampada può rimanere accesa prima di fulminarsi. Un’associazione siffatta è detta variabile; per la precisione, una variabile casuale X su uno spazio campionario S è una trasformazione da S nell’insieme di numeri reali R tali che l’immagine inversa di ogni intervallo di R sia un evento di S (vedi Applicazioni). a) Distribuzione di una variabile casuale finita. Sia X una variabile casuale su di uno spazio campionario S con un insieme immagine finito; poniamo X (S) = {x1, x2 , ...., xn}. Facciamo di X (S) uno spazio di probabilità definendo la probabilità di xi come P(X = xi), che scriviamo nella forma f (xi). Questa funzione f su X (S), che cioè è definita da f (xi) = P (X = xi), è detta funzione di probabilità (o distribuzione) di X, e viene di solito data nella forma di una tabella: x1 f (x1)
x2
...
xn
f (x2) ... f (xn)
La funzione di probabilità f soddisfa le condizioni f (xi) ≥ 0 e
n
∑ f (xi) = 1.
Ora,
i =1
se X è una variabile casuale con la funzione di probabilità suddetta, allora il valor medio o speranza matematica (o valore atteso o valore sperato) di X, designato con E (X) o µx , o semplicemente con E o µ, è definito da n
E (X) = x1 f (x1) + x2 f (x2) + ...+ xn f (xn) =
∑ xi f (xi) i =1
Ossia, E (X) è la media ponderata dei possibili valori di X, essendo ciascun valore pesato con la sua probabilità. La varianza di X, che designeremo mediante Var (X), è definita da n
Var (X) =
∑ (xi
– µ)2 f (xi) = E ((X – µ)2)
i =1
dove µ è il valor medio di X. Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) di X, designato mediante σx , è la radice quadrata (non negativa) di Var(X): σx = Var ( X ) . Sia X una variabile casuale con valor medio µ e scarto quadratico medio σ > 0. La variabile casuale standardizzata X*, corrispondente ad X, è definita da X* = (X – µ)/σ. Si dimostra che E(X*) = 0 e Var(X*) = 1. Valgono le seguenti proprietà: – Sia X una variabile casuale, e k un numero reale. Allora E (kX) = kE (X) e E (X+ k) = E(X) + k. – Siano X e Y variabili casuali sullo stesso spazio campionario S. Allora E (X + Y) = E (X) + E (Y). – Sia X una variabile casuale, e k un numero reale. Allora Var(X + k) = Var(X) e Var(kX) = k2 Var(X). Quindi σx+k = σx e σkX = kσX .
A-210
MATEMATICA
b) Distribuzione congiunta. Siano X e Y variabili casuali su di uno spazio campionario S: siano i rispettivi insiemi immagine X (S) = {x1, x2, .... xn}
e
Y (S) = {y1y2, ..., ym}
Facciamo dell’insieme prodotto X (S) × Y (S) = {(x1,y2), (x1, y2), .... (xn – ym)} uno spazio di probabilità definendo la probabilità della coppia ordinata (xj, yj ) come P (X = xi , Y = yj ), che scriviamo nella forma h (xi , yj ). Questa funzione h su X(S) × Y (S), che cioè è definita da h (xi , yj) = P (X = xi , Y = yj ), è detta funzione di probabilità congiunta (o distribuzione congiunta) di X e Y, e di solito viene espressa in forma di tabella a doppia entrata: Y
y1
y2
...
ym
Somma
x1 x2 ... xn
h(x1, y1) h(x2, y1) ... h(xn, y1)
h(x1, y2) h(x2, y2) ... h(xn, y2)
... ... ... ...
h(x1, ym) h(x2, ym) ... h(xn, ym)
f (x1) f (x2) ... f (xn)
Somma
g(y1)
g(y2)
...
g(ym)
1
X
Le suddette funzioni f e g sono definite da m
f ( xi ) = ∑ h ( xi , y j )
n
g ( y j ) = ∑ h ( xi , y j )
e
j =1
i =1
e cioè f (xi ) è la somma degli elementi della riga i-esima, e g(yj ) è la somma degli elementi della colonna j-esima; esse sono dette funzioni di probabilità marginali o distribuzioni marginali e sono, in pratica, le rispettive funzioni di probabilità di X e Y. La funzione di probabilità h soddisfa le condizioni h ( xi , y j ) ≥ 0
n
e
m
∑ ∑ h ( xi , y j ) = 1
i =1 j =1
Ora, se X e Y sono variabili casuali con la suddetta funzione di probabilità congiunta (e con valori medi µX e µY , rispettivamente), allora la covarianza di X e Y, che designeremo mediante Cov(X, Y) o σxy , è definita da σ XY = Cov ( X , Y ) = ∑ ( x i – µ X ) ( y j – µ Y ) h ( x i , y j ) = E [ ( X – µ X ) ( Y – µ Y ) ] i, j
o, in termini equivalenti, da σ XY = Cov ( X , Y ) = ∑ x i y j h ( x i , y i ) – µ X µ Y = E ( XY ) – µ X µ Y i, j
La correlazione di X e Y, designata mediante ρ(X, Y), è definita da Cov ( X , Y ) σ XY ρ ( X , Y ) = -------------------------- = -----------σ X σY σ X σY
A-211
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
La correlazione ρ non ha dimensione e gode delle seguenti proprietà: (1) ρ(X, Y) = ρ(Y, X) (2) – 1 ≤ ρ ≤ 1
(3) ρ(X, X) = 1, ρ(X, –X) = – 1 (4) ρ(aX + b, cY + d) = ρ(X, Y), se a, c ≠ 0
Si dimostra nell’esempio che coppie di variabili casuali, le cui rispettive funzioni di probabilità marginali sono identiche, possono avere covarianze e correlazioni distinte. Pertanto Cov(X, Y) e ρ(X, Y) sono misure del modo in cui X e Y sono interrelate. La nozione di funzione di probabilità congiunta h viene estesa a qualsiasi numero finito di variabili casuali X, Y, .... Z in modo ovvio; ossia, h, è una funzione sull’insieme prodotto X(S) × Y(S) × ... × Z(S) definita da h (xi , yj , ..., zk) = P (X = xi , Y =yj , ..... Z = zk) Esempio. Siano X e Y, e X ′ e Y ′, variabili casuali con le seguenti funzioni di probabilità congiunte: Y
4
10
Somma
1 3
1/4 1/4
1/4 1/4
1/2 1/2
Somma
1/2
1/2
1
X
Y′
4
10
Somma
1 3
0 1/2
1/2 0
1/2 1/2
Somma
1/2
1/2
1
X′
Si noti che X e X ′, e Y e Y ′ hanno funzioni di probabilità identiche: xi
1
3
yi
4
10
f (xi)
1/2
1/2
g (yi)
1/2
1/2
Funzione di probabilità di Y e Y ′
Funzione di probabilità di X ′ e X ′
Si dimostra che Cov (X, Y) ≠ Cov (X ′, Y ′) e quindi ρ(X, Y) ≠ ρ(X ′, Y ′). Si calcolano E(XY) e E(X ′, Y ′): E(XY) = 1 × 4 × 1/4 + 1 × 10 × 1/4 + 3 × 4 × 1/4 + 3 × 10 × 1/4 = 14 E(X ′Y ′) = 1 × 4 × 0 + 1 × 10 × 1/2 + 3 × 4 × 1/2 + 3 × 10 × 0 = 11 Poiché µX = µX′ = 2
e
µ Y = µ Y′ = 7
Cov (X, Y) = E(XY) – µX µY = 0
e
Cov (X ′, Y ′) = E(X ′Y ′) – µX′ µY′ = – 3
c) Variabili casuali indipendenti. Un numero finito di variabili casuali X, Y, Z su di uno spazio campionario S sono dette indipendenti se P (X = xi , Y = yj , ··· Z = zk ) = P (X = xi ) P (Y = yj ) ··· P (Z = zk ) per ogni valore xi , yj , ... zk . In particolare, X e Y sono indipendenti se P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ) P (Y = yj ) Ora, se le rispettive funzioni di probabilità di X e Y sono f e g, e la loro funzione di probabilità congiunta è h, allora l’equazione precedente può essere scritta nella forma h(xi , yj ) = f (xi ) g(yj )
A-212
MATEMATICA
In altri termini, X e Y sono indipendenti se ciascun elemento h(xi , yj ) è il prodotto dei suoi elementi marginali. Importanti proprietà delle variabili casuali indipendenti che non valgono in generale sono le seguenti: Siano X e Y variabili casuali indipendenti. Allora: E(XY) = E(X)E(Y) Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) Cov (X, Y) = 0 Siano X1 , X2 , ... Xn variabili casuali indipendenti. Allora Var (X1 + ··· + Xn) = Var (X1) + ··· + Var (Xn) d) Funzioni di una variabile casuale. Siano X e Y variabili casuali sullo stesso spazio campionario S. Allora si dice che Y è una funzione di X se Y può essere rappresentata nella forma Y = Φ(X) per qualche funzione a valori reali Φ di una variabile reale; ossia, se è Y(s) = Φ [X(s)] per ogni s ∈ S. Ad esempio, kX, X2, X + k e (X + k)2 sono tutte funzioni di X con Φ(x) = kx, x2, x + k e (x + k)2 rispettivamente. Si ha il fondamentale teorema. Siano X e Y variabili casuali sullo stesso spazio campionario S con Y = Φ(x). Allora n
E(Y) =
∑
Φ(xi ) f (xi ) dove f è la funzione di probabilità di X.
i =1
Analogamente, si dice che una variabile casuale Z è funzione di X e Y se Z può essere rappresentata nella forma Z = Φ(X, Y) dove Φ è una funzione a valori reali di due variabili reali; ossia, se Z(s) = Φ[X(s), Y (s)] per ogni s ∈ S. Al teorema precedente corrisponde il teorema seguente. Siano X, Y e Z variabili casuali sullo stesso spazio campionario S con Z = Φ(X, Y). Allora E(Z) =
∑ Φ (xi , yj ) h(xi , yj ) i, j
dove h è la funzione di probabilità congiunta di X e Y. e) Variabili casuali discrete in generale. Supponiamo ora che X sia una variabile casuale su S con un insieme immagine infinitamente numerabile; poniamo, X(S) = = (x1 , x2 , ...). Siffatte variabili casuali, insieme a quelle aventi insiemi immagine finiti (considerate in precedenza), sono dette variabili casuali discrete. Come nel caso delle variabili finite, facciamo di X(S) uno spazio di probabilità definendo la probabilità di xi come f (xi ) = P(X = xi ) e designamo con f la funzione di probabilità (o distribuzione) di X: x2 xn ... x1 f (x1)
f (x2)
f (x3) ...
La speranza matematica E(X) e la varianza Var(X) sono definite da ∞
E(X) = x1 f(x1) + x2 f (x2) + ... =
∑ xi f ( xi ) i =1 ∞
Var(X) = (x1 – µ)2 f (x1 ) + (x2 – µ)2 f (x2 ) +... =
∑ (xi – µ)2 f (xi ) i =1
A-213
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
quando le rispettive serie sono assolutamente convergenti. Si può dimostrare che Var( X) esiste se e solo se µ = E(X) e E(X2) esistono entrambi, e che in tal caso la formula Var(X) = E(X2) – µ2 è valida come nel caso di variabili finite. Quando Var(X) esiste, lo scarto quadratico medio σX è definito, come nel caso di variabili finite, da σX =
Var(X )
Le nozioni di funzione di probabilità congiunta, variabile casuale indipendente e funzione di variabile casuale ci conducono direttamente al caso generale. Si può dimostrare che se X e Y sono definite sullo stesso spazio campionario S e se Var(X) e Var(Y) esistono entrambe, allora la serie Cov(X, Y) =
∑ i, j
(xi – µX)(yj – µY) h(xi , yj)
è assolutamente convergente e la relazione Cov (X, Y) =
∑ i, j
xi yj h(xi , yj) – µX µY = E(XY) – µX µY
è valida come nel caso di variabili finite. Esempi di variabili casuali discrete sono la distribuzione binomiale e quella di Poisson (vedi Importanti distribuzioni di probabilità). f) Variabili casuali continue. Supponiamo che X sia una variabile casuale il cui insieme immagine X(S) è un continuo di valori, come quelli compresi in un certo intervallo. Rammentiamo dalla definizione di variabile casuale che l’insieme {a ≤ X ≤ b} è un evento in S e quindi la probabilità P (a ≤ X ≤ b) è ben definita. Supponiamo che vi sia una funzione continua a tratti f : R → R tale che P (a ≤ X ≤ b) sia uguale all’area sottesa dal grafico di f fra x = a e x = b (fig. 8. 11.a). Nel linguaggio del calcolo, P (a ≤ X ≤ b) =
∫a b
f (x) dx
In questo caso, si dice che X è una variabile casuale continua. La funzione f è detta funzione di densità (di probabilità) (o distribuzione) di X; essa soddisfa le condizioni f (x) ≥ 0
e
∫R f (x) dx = 1
Ossia, f è non negativa e l’area totale sottesa dal suo grafico è 1. La speranza matematica E(X) è definita da E(X) =
∫R x f(x) dx,
quando esiste.
Le funzioni di variabili casuali sono definite proprio come nel caso di variabili discrete; e si può dimostrare che se Y = Φ(X), allora E(Y) =
∫R
Φ(x) f (x) dx, quando il membro di destra esiste.
La varianza Var(X) è definita da Var(X) = E((X – µ)2) =
∫R
(x – µ)2 f (x) dx, quando esiste.
Proprio come nel caso di variabili discrete, si può dimostrare che Var(X) esiste se e solo se µ = E(X) e E(X2) esistono entrambi e quindi Var (X) = E(X2) – µ2 =
∫R
x2 f (x) dx – µ2.
A-214
MATEMATICA
Fig. 8.11 a) Distribuzione continua. P (a ≤ X ≤ b) = area tratteggiata. Funzione di ripartizione di variabile discreta (b) e continua (c).
Lo scarto quadratico medio σX è definito da σX = Var ( X ) quando Var(X) esiste. Sia X una variabile casuale (discreta o continua). La funzione di ripartizione F di X è la funzione F : R → R definita da F(a) = P (X ≤ a). Se X è una variabile casuale discreta con funzione di probabilità f, allora F è la funzione «a gradini» (fig. 8.11.b) definita da F(x) =
∑
f ( xi )
xi ≤ x
D’altra parte, se X è una variabile casuale continua con funzione di densità f, allora F (x) =
x
∫ –∞ f (t) dt
(fig. 8.11.c)
In entrambi i casi, la funzione F è monotona crescente, ossia F(a) ≤ F(b) ogniqualvolta sia a ≤ b e il limite sinistro di F è 0, mentre il limite destro è 1: Lim F ( x ) = 0
x → –∞
8.2.5
e
Lim F ( x ) = 1 x→∞
Importanti distribuzioni di probabilità.
a) Distribuzione binomiale. Consideriamo prove ripetute e indipendenti di un esperimento con due esiti; definiamo uno dei due esiti successo, e definiamo l’altro insuccesso. Sia p la probabilità di successo, cosicché q = 1 – p è la probabilità di insuccesso. Se ci interessa il numero dei successi e non anche l’ordine in cui essi si presentano, allora vale il seguente teorema. La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove ripetute viene indicata e calcolata mediante l’espressione b(k, n, p) = ( nk ) pk qn – k dove ( nk ) è il coefficiente binomiale che vale n!/[k! (n – k)!]. Si noti che la probabilità che non si verifichi alcun successo è qn, e quindi la probabilità che si verifichi almeno un successo è 1 – qn. Se consideriamo n e p costanti, allora la suddetta funzione P (k) = b(k, n, p) è una funzione di probabilità discreta: k P(k)
0 qn
( n1 )
1 q n–1 p
( n2 )
2 q n–2 p
... ...
n pn
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
A-215
Essa è detta distribuzione binomiale poiché per k = 0, 1, 2, .... n essa corrisponde ai termini successivi dello sviluppo dei binomio (q + p)n = qn + ( n1 ) q n–1 p + ( n2 ) q n–2 p2 + ... + pn Questa distribuzione è detta anche distribuzione di Bernoulli, e le prove indipendenti con due esiti sono dette prove di Bernoulli. Le proprietà di questa distribuzione sono: Valor medio µ = np Varianza σ2 = npq Scarto quadratico medio σ = npq La distribuzione binomiale è molto usata nel controllo di qualità dove si considera se un pezzo è o no difettoso. Esempio. Se il 20% dei bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso, determinate la probabilità che, su 4 bulloni scelti a caso, al massimo 2 bulloni siano difettosi. La probabilità che un bullone sia difettoso è p = 0,2, mentre la probabilitá che non sia difettoso è q = 1 – p = 0,8. P {1 bullone difettoso su 4} = ( 41 ) (0,2)1, (0, 8)3 = 0, 409. P{neanche un bullone difettoso} = ( 40 ) (0,2)0(0,8)4 = 0,409). P{2 bulloni difettosi} = ( 42 ) (0,2)2(0,8)2 = 0,1536. Quindi P{al massimo 2 bulloni difettosi} = P{neanche un bullone difettoso} + P{1 bullone difettoso} + P{2 bulloni difettosi}= 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728. b) Distribuzione di Poisson. Nella distribuzione binomiale, se n è grande mentre la probabilità p del presentarsi di un evento è vicina allo zero, l’evento stesso viene detto evento raro. In tal caso la distribuzione binomiale è bene approssimata dalla distribuzione di Poisson. Indichiamo con λ (lambda) il valore medio np. La distribuzione di Poisson è caratterizzata nel modo seguente: λ k e –λ p ( k, λ ) = ------------, k = 0, 1, 2, … k! dove λ > 0 è una costante, ed e = 2,71828. Anch’essa è una distribuzione discreta. Proprietà della distribuzione di Poisson: Valor medio µ =λ Varianza σ2 = λ Scarto quadratico medio σ =√λ Esempio. Si supponga che il 2% dei pezzi prodotti da una fabbrica siano difettosi. Si determini la probabilità P che in un campione di 100 pezzi ve ne siano 3 difettosi. Si può applicare la distribuzione binomiale con n = 100 e p = 0,02. Tuttavia, poiché p è piccolo, applichiamo l’approssimazione di Poisson, con λ = np = 2. Pertanto P = 23 e–2/3! = 8(0,135)/6 = 0,180. c) Distribuzione normale (di Gauss). La distribuzione binomiale P (k) = b(k, n, p) viene approssimata dalla distribuzione normale purché n sia grande e né p né q siano molto piccoli (fig. 7.12.a). La distribuzione o curva normale o gaussiana è caratterizzata nel modo seguente: 1 f ( x ) = -------------- e 1/2 x – µ 2 ∕ σ 2 = ( exp [ – 1/2 ( x – µ ) 2 ∕ σ 2 ] ∕ [ ( σ 2 π ) ] ) σ 2π
A-216
MATEMATICA
dove µ e σ > 0 sono costanti arbitrarie (µ = media, σ = scarto quadratico medio). Questa funzione è certamente uno dei più importanti esempi di funzione di densità di probabilità continua. Indichiamo la suddetta distribuzione normale, avente valor medio µ e varianza σ2, con N(µ, σ2). Se nella precedente formula di N (µ, σ2) si effettua la sostituzione t = (x – µ)/σ, si ottiene la distribuzione o curva normale standardizzata 1 φ ( t ) = ---------- e –1/2 t 2 = exp ( – 1/2 t 2 ) / 2 π = N ( 0, 1 ) 2π
(fig. 8.12.b)
che ha valor medio µ = 0 e varianza σ2 = 1. Si noti che per – 1 ≤ t ≤ 1 si ottiene il 68,2% dell’area sottesa dalla curva, e per – 2≤ t ≤ 2 si ottiene il 95,4% dell’area sottesa dalla curva. La tabella all’inizio del manuale dà l’area sottesa dalla curva normale standardiz zata compresa fra t = 0 e ciascun valore positivo di t. La simmetria della curva rispetto a t = 0 consente di ricavare l’area fra ogni coppia di valori di t. Supponiamo ora che X sia una variabile casuale continua con distribuzione normale; si usa dire che X è distribuita normalmente. La probabilità ch X giaccia fra a e b, designata mediante P (a ≤ X ≤ b), viene calcolata nel modo seguente. Trasformiamo dapprima a e b in unità standardizzate a′ = (a – µ)/σ e b′ = (b – µ)/σ rispettivamente. Quindi P (a ≤ X ≤ b) = P (a′≤ X* ≤ b′) = area sottesa dalla curva normale standardizzata fra a′ e b′. Qui X* è la variabile casuale standardizzata corrispondente ad X, e dunque X* ha la distribuzione normale standardizzata N(0, 1).
Fig. 8.12 a) Raffronto fra la distribuzione binomiale e quella normale. b) Distribuzione normale standard N (0, 1).
Esempio. Il diametro medio interno di un campione di 200 rondelle prodotte da una macchina è 0,502 cm, mentre lo scarto quadratico medio è 0,005 cm. La funzione a cui sono destinate queste rondelle permette che i limiti massimi di tolleranza per i diametri interni vadano da 0,496 cm a 0,508 cm. Qualora si esca da tali limiti, le rondelle sono considerate difettose. Determinate la percentuale di rondelle difettose prodotta dalla macchina, assumendo che i diametri siano distribuiti normalmente. Soluzione:
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0,496 in unità standard vale (0,496 – 0,502)/0,005 = – 1,2 0,508 in unità standard vale (0,508 – 0,502)/0,005 = 1,2 Proporzione di rondelle non difettose = (area compresa tra z = – 1, 2 e z = 1, 2) = (doppio dell’area compresa tra z = 0 e z = 1,2) = 2(0,3849) = 0,7698, o 77% Così la percentuale di rondelle difettose è pari al 100% – 77 % = 23 %.Si noti che se pensiamo che l’intervallo 0,496-0,508 cm in realtà rappresenti i diametri compresi nell’intervallo 0,4955-0,5085 cm, i risultati devono essere leggermente modificati. Tuttavia, con due cifre significative, i risultati sono uguali. d) Distribuzione normale doppia (bivariata). Si è già considerata la «distribuzione congiunta» di due variabili casuali (fig. 8.13.a). In vari campi, soprattutto nella Topografia, è utile la distribuzione normale doppia (fig. 8.13.b) rappresentata dalla funzione 1 – ρ2 f ( x, y ) = ------------------------------------- exp 2πσ x σ y 1 – ρ 2
x– µ 2 x– µ y– µ y– µ 2 –1 - -------------x – 2 ρ -------------x -------------y + -------------y --------------------2 σx σx σy σy 2(1 – ρ )
dove µx , µy = medie di X e Y, σx e σy = scarti quadratici medi, ρ = coefficiente di correlazione lineare, exp indica «e elevato a». Le rispettive distribuzioni marginali sono: 1 x– µ 2 1 y– µ 2 1 1 f ( x ) = ---------------- exp – --- -------------x ; f ( y ) = ---------------- exp – --- -------------y σx 2π σy 2π 2 σx 2 σy
Fig. 8.13 a) Istogramma per una popolazione a due variabili. b) Distribuzione normale doppia. c) Ellisse di isoprobabilità.
e) Ellisse di isoprobabilità. Tutti i punti con uguale probabilità si ottengono tagliando la distribuzione normale doppia con un piano orizzontale di altezza K pari alla probabilità scelta. Si ottiene l’equazione di un’ellisse di isoprobabilità (nota anche come «ellisse di errore», quando gli scarti hanno il significato di errori di misura. L’equazione dell’ellisse è: x – µ x x– µ ------------ – 2ρ -------------y σx σx 2
y – µ y y – µ y ------------ + ------------- = ( 1 – ρ 2 ) c 2 σy σy 2
dove c2 = ᐉn [4π2 K 2 σ x2 σ y2 (1 – ρ2)]–1 e ᐉn = logaritmo naturale (in base e).
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MATEMATICA
Fig. 8.14 Vari tipi di ellissi standard.
Se si opera una traslazione degli assi portando l’origine nel punto di coordinate (µx, µy), e si pone c = 1, si ottiene l’equazione dell’ellisse standard: x x 2 y y 2 ---- – 2ρ ----- ----- + ----- = ( 1 – ρ 2 ) σ x σ x σ y σ y la cui forma dipende dai parametri σx , σy e ρ (fig. 8.14). Gli assi principali dell’ellisse σx′ , σy′ e l’angolo (antiorario) ϑ che formano con gli assi σx e σy (fig. 8.14.f) sono dati da 2
2
2
2 2
1/2
2
2
2
2 2
1/2
σx + σy ( σx – σy ) 2 2 - + ----------------------σ x′ = ---------------+ σ xy 2 4 σx + σy ( σx – σy ) 2 2 - – ----------------------σ y ′ = ---------------+ σ xy 2 4 2 σ xy tan 2 θ = ---------------2 2 σx – σy
Il quadrante di θ si ricava al solito modo dal segno del numeratore e del denominatore (vedi Trigonometria). Esempio. L’errore casuale nella posizione di un punto di un rilevamento topografico è espresso dai parametri µx = µy = 0, σx = 0,22 m, σy = 0,14 m e ρ = 0,80. Si ricava σxy = ρ σx σy = 0,0246 m2, σ x′2 = 0,0625 m2, σ y′2 = 0,0055 m2. Da cui σ x′ = 0,25 m e σ y′2 0,074 m, e tan 2θ = 1,711 (numeratore e denominatore sono positivi per cui θ è nel primo quadrante) e θ = 33 gon. Per determinare la probabilità associata a una ellisse di errore è conveniente considerare le variabili casuali non correlate (indipendenti), cioè ruotate dell’angolo θ. In
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STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
questo caso la probabilità che una coppia di valori x, y cada nell’ellisse è funzione della costante c e si può ricavare dalla tabella: c = 1,000 1,177 1,414 2,000 2,146 2,447 3,000 3,035 3,500 P = 0,394 0,500 0,632 0,865 0,900 0,950 0,989 0,990 0,998 Esempio. Con i dati dell’esempio precedente, i semiassi principali dell’ellisse che contiene il 90% dei punti sono: c σx′ = 2,146 × 0,25 = 0,54 m 8.2.6
e
c σy ′ =2,146 × 0,074 = 0,16 m.
Propagazione della varianza e della covarianza.
a) Funzione di più variabili indipendenti. indipendenti X1, X2 ... Xn, allora y= a1X1 + a2X2 + ··· + anXn
e
Se Y è una funzione lineare delle misure
σ y2 = a 12 σ x21 + a 22 σ x22 + ··· + a n2 σ x2n
dove a1, a2, ...., an sono delle costanti; σ x21 , σ x22 ,..., σ x2n sono le varianze di X1, X2 ,...., Xn rispettivamente e σ y2 è la varianza di Y. Se Y è una funzione non lineare, allora ∂Y 2 ∂Y 2 ∂Y 2 σ y2 = --------- + σ x21 + ··· --------- σ x22 + ··· + --------- σ x2n ∂ X 1 ∂ X 2 ∂ X n Se si ritiene che le varianze delle misure contribuiscano ugualmente, nel caso di funzione lineare si ha: σ y2 ------ = a 12 σ x21 = a 22 σ x22 = ··· = a n2 σ x2n n da cui σy σ xi = -------------, i = 1, 2 , … , n ai n dove ai è il valore assoluto dell’i-esimo coefficiente ed n è il numero delle misure. Questa formula ci permette di stabilire l’errore della i-esima misura in modo da non eccedere il valore stabilito σy per la combinazione delle misure. Sempre nel caso di uguale contributo delle diverse varianze, per funzione non lineare, si ha: 2
σy ∂Y 2 2 ∂Y 2 2 ----- = --------- σ x1 = --------- σ x2 = ···= ∂ X 2 n ∂ X 1
∂Y 2 -------- σ ∂ X n xn 2
da cui σy σ xi = --------------------, i = 1, 2 , … , n ∂Y -------- n ∂Xi Anche in questo caso, con queste formule possiamo stabilire la precisione delle misure in modo da ottenere la precisione voluta del risultato. Esempio. Le dimensioni di un bacino rettangolare sono 85 m e 60 m, arrotondando all’unità. L’area dei bacino deve essere misurata con uno scarto quadratico medio di
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MATEMATICA
0,6 m2. Si vogliono determinare le deviazioni standard delle misure dei lati. L’area è data da A = B × H; n = 2; δA/δB = H e δA/δH = B, per cui σA 0,6 - = ------------- = 0,007 m σ B = ----------H 2 60 2 σA 0,6 - = ------------- = 0,005 m σ H = ---------B 2 85 2 Quando le varianze non sono bilanciate, cioè non contribuiscono ugualmente, si opera per tentativi simulando strumenti di diversa precisione, applicando la formula della propagazione della varianza. b) Più funzioni di variabili anche correlate. Consideriamo il caso generale di n variabili casuali X1, X2, ..... Xn legate a m variabili casuali Y1, Y2, ..... Ym da m equazioni. y = f(x) Si conosca la tabella (matrice) delle varianze e covarianze di x (detto «vettore casuale»): 2
σ x1 σ x1 x2 … σ x1 xn 2
Σ x = σ x1 x2 σ x2
σ x2 xn
.. .2
.. .
σ xn x1 σ xn x2
σ xn
Si vuole determinare l’analoga tabella Σy, per y. Se le funzioni sono lineari: y = Ax + b, con a 11 a 12 … a 1 n A=
a 21 a 22 … a 2 n
.. .
.. .
am1 am2 allora
a mn
Σy = A Σx AT
dove AT è la matrice trasposta di A. Se le funzioni non sono lineari, vengono linearizzate introducendo la tabella delle derivate parziali, detta Jacobiano, al posto di A: ∂Y ∂Y ∂Y --------1- --------1- ··· --------1∂X1 ∂X2 ∂Xn ∂Y ∂Y ∂Y --------2- --------2- ··· --------2J = ∂X 1 ∂ X 2 ∂Xn
.. .
.. .
.. .
∂Y m ∂Y m ∂Y ---------- ---------- ··· ---------m∂X1 ∂X2 ∂Xn
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Per cui Σ y = J Σ x J T. Queste formule valgono anche per variabili non correlate linearmente (o indipendenti). Nel caso di variabili indipendenti la matrice Σx è diagonale essendo uguali a zero tutte le covarianze. Esempio di funzioni lineari. Due misure sono indipendenti con scarto quadratico medio σl = 0,20 m e σ2 = 0,15 m. Valutare lo scarto quadratico medio e il coefficiente di correlazione lineare della somma e delIa differenza delle misure. Si ha Y1 = X1 + X2 e Y2 = X1 – X2, in forma matriciale y = Ax + b: Y1 Y2
= 1 1 1 –1
X1 X2
+
0 0
da cui Σy = 1 1 1 –1
0, 20 0 0 0, 15
1 1 = 1 –1
0,25 0,0175 0,0175 0,25
e ρ = 0,0175/(0,25 × 0,25) = 0,28. Esempio di funzioni non lineari. Di un triangolo rettangolo è stata misurata l’ipotenusa a = 416,050 m e il cateto b = 202,118 m. Le misure sono indipendenti con deviazioni standard σa = 0,020 m e σb = 0,012 m. Calcolare gli elementi c e β del triangolo (β è l’angolo opposto a b), le loro deviazioni standard e il coefficiente di correlazione lineare tra c e β. c = ( a 2 – b 2 ) = 363,656 m β = sin –1 ( b ∕ a ) = 29,065 gon Poiché le funzioni sono non lineari si calcola il Jacobiano J, osservando che x= a b
x= c β
Poiché: ∂c ∂ 1 a a ------ = ------ ( a 2 – b 2 ) 1 / 2 = ------ ( a 2 – b 2 ) –1 / 2 ( 2 a ) = ------------------------- = -----∂a ∂ a 2 c ( a2 – b2 )1 / 2 ∂c ∂ 1 –b b ------ = ------ ( a 2 – b 2 ) 1 / 2 = ------ ( a 2 – b 2 ) –1 / 2 ( – 2 b ) = ------------------------- = – -----∂b ∂b 2 c ( a2 – b2 )1 / 2 ∂ b 1 b –a b b ∂β ------ = ------ sin –1 ----- = ----------------------------- – -----2 = ------------------- -----2 = – ----- a 2 2 2 ac ∂a ∂ a a a a –b 1 – (b ∕ a) ∂β ∂ b 1 1 –a 1 1 ------ = ------ sin –1 ------ = ----------------------------- ----- = ------------------- ------ = ----- a ∂b ∂b c a2 – b2 a 1 – ( b ∕ a )2 a
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MATEMATICA
Si ha ∂c -----∂ J= a ∂β -----∂a
∂c a b ----------- – -----– 0, 556 ∂b = c c = 1,144 ∂β b 1 – 1, 336 × 10 –3 2, 750 × 10 –3 -----– ------ -----∂b ac c
Poiché 2 Σ x = ( 0,020 ) 0 0 ( 0,012 ) 2
Si ottiene Σy = J Σx JT =
5,680 × 10 –4 – 8,315 × 10 –7 – 8, 315 × 10 –7 1,803 × 10 –9
Da cui σ c = 5,680 × 10 –4 = 0, 024 m σ β = 1,803 × 10 –9 = 4,246 × 10 –5 rad = 0,0027 gon – 8,315 × 10 –7 - = – 0,816 ρ = ------------------------------------------------------( 0, 024 ) ( 4, 246 × 10 –5 ) Al posto delle derivate parziali si possono usare le differenze finite. Per esempio, indicato con ∆a = 0,001 m; c′ = √[(a + ∆a)2 – b2]; ∆c = c′ – c ∂c ∆c ------ ≅ ------- = 1,144 ∂a ∆a Naturalmente occorre fare i calcoli senza arrotondare i risultati intermedi. Generalmente 10 o 12 cifre significative sono sufficienti. Normalmente le misure effettuate si considerano indipendenti, a meno che provengano da un calcolo. In questo caso si tiene conto della loro correlazione, se c’è. 8.3
INFERENZA STATISTICA
8.3.1 Teoria dei campioni. La teoria dei campioni è lo studio delle relazioni esistenti tra una popolazione ed i campioni estratti dalla popolazione stessa. Tale teoria è di grande importanza in molti casi. Per esempio, è utile nella stima dei valori ignoti dei parametri di una popolazione (come la media, la varianza, ecc.). Tali parametri possono essere stimati quando si conoscano i parametri corrispondenti dei campione (come la media, la varianza, ecc.), spesso detti statistiche campionarie, o, più brevemente, statistiche. La teoria dei campioni è utile anche per determinare se le differenze osservate tra due campioni possano ritenersi causate dal caso o se piuttosto siano veramente significative. Tali questioni sorgono, per esempio, nel provare gli effetti di un nuovo con-
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STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
cime o nel decidere se un processo produttivo sia o no migliore di un altro. Le risposte implicano l’uso dei test di significatività e test di ipotesi, che sono molto importanti nella teoria delle decisioni. In generale, lo studio delle inferenze fatte riguardo ad una popolazione per mezzo di campioni estratti da essa, insieme alle indicazioni sull’accuratezza di tali inferenze ottenute per mezzo della teoria della probabilità, è detto inferenza statistica. a) Campioni casuali, numeri casuali. Per far sì che le conclusioni della teoria dei campioni e dell’inferenza statistica siano valide, i campioni devono essere scelti in modo da essere rappresentativi della popolazione. Lo studio dei metodi del campionamento e dei problemi ad esso collegati è detto piano o disegno degli esperimenti. Un modo in cui si può ottenere un campione rappresentativo è il processo detto campionamento casuale, secondo il quale ciascun membro della popolazione ha un’uguale probabilità di essere incluso nel campione. Una tecnica per ottenere un campione casuale è quella di assegnare un numero a ciascun membro della popolazione, scrivere questi numeri su piccoli pezzi di carta, porli in un’urna e quindi estrarre i numeri dall’urna, stando attenti a mescolare bene prima di ciascuna estrazione. Tale proceffimento può essere sostituito dall’uso delle tavole dei numeri casuali (vedi Tabelle) costruita proprio per questi scopi. Esempio. Data la tabella seguente, estrarre campioni casuali con la tavola dei numeri casuali. Si scelgono numeri campionari a due cifre e si dispongono in rapporto alle frequenze relative (Σf = 100). Massa (kg)
Frequenza
Numero campionario
60-62 63-65 66-68 69-71 72-74
5 18 42 27 8
00-04 05-22 23-64 65-91 92-99
Si estraggono i numeri campionari dalla tavola dei numeri casuali. Nella prima riga si trova la sequenza 51, 77, 27, 46, 40, ecc., che prendiamo come numeri campionari casuali, ciascuno dei quali corrisponde alla massa di un particolare elemento. Così 51 corrisponde ad un elemento di massa compresa tra 66 e 68 kg, cioè di massa pari a 67 kg (valore centrale della classe). Analogamente, 77, 27, 46 corrispondono rispettivamente alle masse 70, 67, 67 kg. Negli elaboratori elettronici di solito è disponibile una funzione per la generazione automatica di numeri casuali. Esempio RND in BASIC. b) Distribuzioni campionarie. Consideriamo tutti i possibili campioni di ampiezza N che possono essere estratti da una data popolazione (con o senza ripetizione). Per ciascun campione, possiamo calcolare un parametro, come la media, lo scarto quadratico medio, ecc., che potrà variare da campione a campione. In tal modo otteniamo una distribuzione del parametro, che è detta distribuzione campionaria del parametro stesso. Se, per esempio, il particolare parametro usato è la media campionaria, la di-
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MATEMATICA
stribuzione è detta distribuzione campionaria della media. Analogamente, potremmo avere la distribuzione campionaria dello scarto quadratico medio, della varianza, della mediana, delle proporzioni, ecc. Per ciascuna distribuzione campionaria possiamo calcolare la media, lo scarto quadratico medio, ecc. Così possiamo parlare della media e dello scarto quadratico medio della distribuzione campionaria della media, ecc. c) Distribuzione campionaria della media. Supponiamo che siano estratti senza ripetizione tutti i campioni di arripiezza N da una popolazione finita di ampiezza Np > N. Se denotiamo la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione campionaria della media con µ x e σ x e la media e lo scarto quadratico medio della popolazione con µ e σ rispettivamente, allora µx = µ
e
σ Np– N σ x = -------- --------------N Np– 1
Se la popolazione è infinita o se il campionamento è con ripetizione (o reintroduzione), i risultati precedenti si riducono a µx = µ
e
σ σ x = -------N
Per grandi valori di N (N ≥ 30) la distribuzione campionaria della media è approssimativamente una distribuzione normale con media µ x e scarto quadratico medio σ x senza riguardo alla popolazione (finché la media e la varianza della popolazione sono finite e l’ampiezza della popolazione è almeno il doppio dell’ampiezza campionaria). Questo risultato, nel caso di una popolazione infinita, è un caso speciale del teorema del limite centrale, che dimostra come la precisione dell’approssimazione migliori al crescere di N. Ciò è talvolta indicato dicendo che la distribuzione campionaria è asintoticamente normale. Nel caso in cui la popolazione sia distribuita normalmente, la distribuzione campionaria della media è distribuita normalmente e anche per piccoli valori di N (cioè N < 30). 8.3.2
Teoria statistica della stima.
a) Stima dei parametri. La teoria dei campioni può essere impiegata per ottenere informazioni intorno a campioni estratti a caso da una popolazione conosciuta. Da un punto di vista pratico, tuttavia, è spesso più importante essere in condizioni di inferire le informazioni volute intorno ad una certa popolazione per mezzo di campioni estratti da essa. Questi sono i problemi di cui si occupa l’inferenza statistica, che fa uso dei principi della teoria dei campioni. Un importante problema dell’inferenza statistica è la stima dei parametri della popolazione, o, in breve, parametri (come la media, la varianza, ecc. della popolazione) per mezzo dei corrispondenti parametri campionari o statistiche campionarie, o, in breve, statistiche (come la media, la varianza, ecc. del campione). Qui prenderemo in considerazione questo problema. b) Stime corrette. Se la media di una distribuzione campionaria di una statistica è uguale al corrispondente parametro della popolazione, la statistica è detta stimatore corretto del parametro, altrimenti detto stimatore distorto. I valori corrispondenti a tali statistiche sono detti rispettivamente stime corrette e distorte.
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
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Esempio. La media della distribuzione campionaria della media è µ x = µ, che è la media della popolazione. Quindi la media campionaria X è una stima corretta della media µ della popolazione. Esempio. Si trova che la media della distribuzione campionaria della varianza è N– 1 µ s 2 = ------------σ 2 , dove σ2 è la varianza della popolazione e N è l’ampiezza campionaria. N Così la varianza campionaria s2 è una stima distorta della varianza della popolazione N σ2. Facendo uso della varianza corretta sˆ 2 = ------------s 2 , si trova che µ sˆ 2 = σ 2 , così che N– 1 sˆ 2 è una stima corretta di σ2. Tuttavia, sˆ è una stima distorta di σ. Nel linguaggio della speranza matematica si può dire che una statistica è corretta se la sua speranza matematica è uguale al corrispondente parametro della popolazione. Così X e sˆ 2 sono corrette, dato che E { X } = µ e E { sˆ 2 } = σ 2 . c) Stime efficienti. Se le distribuzioni campionarie di due statistiche hanno la stessa media, la statistica con varianza minore è detta stimatore efficiente della media, mentre l’altra statistica è detta stimatore inefficiente. I valori corrispondenti a tali statistiche sono detti rispettivamente stime efficienti e inefficienti. Se consideriamo tutte le possibili statistiche le cui distribuzioni campionarie hanno la stessa media, quella con la varianza più piccola è talvolta detta miglior stimatore o stimatore più efficiente di tale media. Esempio. Le distribuzioni campionarie della media e della mediana hanno entrambe la stessa media, che coincide con la media della popolazione. Tuttavia, la varianza della distribuzione campionaria della media è minore di quella della distribuzione campionaria della mediana. Quindi la media campionaria dà una stima efficiente della media della popolazione, mentre la mediana campionaria ne dà una stima inefficiente. Di tutte le statistiche che stimino la media della popolazione, la media campionaria fornisce la stima più efficiente. Nella pratica si usano spesso anche stime inefficienti, a causa della relativa facilità con cui possono essere ottenute. d) Stime puntuali e stime per intervallo. La stima di un parametro di una popolazione data da un solo numero è detta stima puntuale del parametro stesso. Quando la stima di un parametro di una popolazione è data da due numeri che si possono considerare uno maggiore ed uno minore del parametro reale, allora tale stima è detta stima per intervallo. Le stime per intervallo indicano la precisione o l’accuratezza di una stima e sono quindi preferibili alle stime puntuali. Esempio. Se diciamo che la misura di una distanza è di 5,28 m, diamo una stima puntuale. Se invece diciamo che la misura di una distanza è compresa tra gli estremi 5,28 ± 0,03 m, cioè che la misura è compresa tra 5,25 e 5,31 m, allora diamo una stima per intervallo. L’importanza dell’errore o della precisione di una stima è spesso detta affidabilità della stima stessa. e) Intervallo di confidenza per la media. Se un campione casuale di dimensione n viene estratto da una popolazione distribuita normalmente con media µ e varianza
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MATEMATICA
σ2, la media del campione X ha una distribuzione normale con media µ e varianza σ2/n. Allora la quantità X– µ Z = ------------------σ ∕ ( n) ha una distribuzione normale con media zero e varianza unitaria (vedi Variabili casuali standardizzate). Ne segue che X– µ P – z < -------------- < z = 2 φ ( z ) σ∕ n dove φ(z) è il valore che si ricava dalla tabella delle aree sotto la curva normale standard (vedi Tabelle). Riscrivendo la disuguaglianza tra parentesi, si ottiene zσ zσ P X – ------- < µ < X + ------- = 2 φ ( z ) n n che si può interpretare in questo modo: la probabilità che µ sia compresa tra X – ( zσ/ n ) e X + ( zσ/ n ) e 2 φ(z). Quando si è calcolato uno specifico valore x di X , la suddetta probabilità diventa una prescrizione di confidenza. I valori x – ( zσ/ n ) e x + ( zσ/ n ) sono noti come limiti di confidenza, e l’intervallo tra di essi è noto come intervallo di confidenza (o di stima) e 2 φ(z) è il grado (o limite) di confidenza, spesso indicato in percentuale. Il calcolo di un intervallo di confidenza per un particolare parametro statistico, come µ, è detto anche stima per intervalli. Esempio. Sono state effettuate 20 misure indipendenti di una distanza con media campionaria x = 537,615 m. Sapendo che la deviazione standard di ciascuna misura (cioè la deviazione standard della popolazione) è 0,033 m, calcolare l’intervallo al livello di confidenza 0,95 (95%) per la media della popolazione µ. Per 2 φ(z) = 0,95, si ottiene φ(z) = 0,475 . Dalla tabella delle aree sotto la curva normale si ha z = 1,96. Per cui i limiti di confidenza sono: x – ( zσ/ n ) = 537,601 m
e
x + ( zσ/ n ) = 537,629 m
Possiamo allora affermare con la confidenza del 95% che µ si trova nell’intervallo tra 537,601 e 537,629 m. In questo caso la deviazione standard σ della popolazione era nota. Più spesso invece σ è incognita e deve essere stimata, di solito in base alla deviazione standard S del campione. Allora si usa la relazione seguente X– µ T = ------------------S ∕ ( n) dove T ha una distribuzione t con n – 1 «gradi di libertà». Quest’altra distribuzione è riportata nelle tabelle dei percentili della variabile casuale t di Student. Si ha tS tS P X – ------- < µ < X + ------- = 2 F ( t ) – 1 n n Quando si conoscono specifici valori x e s di X e S, allora si ottiene un intervallo di confidenza i cui limiti sono x – ( ts ∕ n ) e x + ( ts ∕ n ) , e il livello di confidenza è 2F(t) – 1.
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STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
Esempio. Con i dati dell’esempio precedente, se il campione di 20 misure ha una deviazione standard pari a 0,035 m, l’intervallo di confidenza al 95% è il seguente. I gradi di libertà sono 20 – 1 = 19. Per 2F(t) – 1 = 0,95, F(t) = 1,95/2 = 0,975, dalla tabella si ha t0,975,19 = 2,09. Per cui x – ( ts ∕ n ) = 537,599 m e x + ( ts ∕ n ) = 537,631 m Si può quindi affermare che µ sta nell’intervallo tra 537,599 m e 537,631 m al livello di confidenza del 95%. Nello stabilire un intervallo di confidenza per la media di una distribuzione si è ipotizzato che il campione fosse estratto da una popolazione distribuita normalmente. Se la popolazione non è normale ma il campione è numeroso (n ≥ 30), X ha una distribuzione quasi normale e si possono applicare le formule relative alla distribuzione normale negli scopi pratici. Lo si può vedere anche raffrontando la distribuzione t e la distribuzione normale sia graficamente (fig. 8.15.a) che analiticamente: Livello di confidenza
0,98
0,90
0,80
0,60
0,40
0,20
Probabilità [z ≤ Z]
0,99
0,95
0,90
0,80
0,70
0,60
Distribuzione normale
2,33
1,64
1,28
0,84
0,53
0,26
Distribuz. t (30 g.l.)
2,46
1,70
1,31
0,85
0,53
0,26
f) Intervallo di confidenza per la varianza. Quando un campione casuale di dimensione n viene estratto da una popolazione normale la quantità n– 1 2 -S Y = ---------σ2
Fig. 8.15 a) Funzione di probabilità t e normale (tratteggiata). Nella tabella della distribuzione di t sono indicate le aree sotto la curva t, al variare di v (grado di libertà = n – 1). b) Funzione di probabilità χ2 al variare di v. Nella tabella della distribuzione χ2 sono indicate le aree sotto la curva.
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MATEMATICA
segue una distribuzione di probabilità detta χ 2 (chi-quadrato) con n – 1 «gradi di libertà». Da questa relazione, nota la distribuzione χ 2 (vedi Tabelle), si può calcolare l’intervallo di confidenza per la varianza della popolazione σ2: ( n – 1 )S 2 - < χ b2, n – 1 = b – a P χ a2, n – 1 < -------------------σ2 dove χ a2, n – 1 e χ b2, n – 1 sono l’a-esimo e il b-esimo percentile (percentuale) della distribuzione chi-quadrato con n – 1 gradi di libertà. Ne segue che (n – 1) S2 (n – 1) S2 - < σ 2 < ---------------------- = b– a P ---------------------χ b2, n – 1 χ a2, n – 1 e quando è noto uno specifico valore s2 di S2, allora si ottiene l’intervallo di confidenza con limiti (n – 1) s2/ χ b2, n – 1 , e (n – 1) s2/ χ a2, n – 1 e grado di confidenza b – a. Nel calcolo di un appropriato intervallo di confidenza per σ2 si usano generalmente due percentili complementari, cioè a + b = 1. Se si vuole calcolare l’intervallo di confidenza della deviazione standard, basta fare la radice quadrata positiva dei limiti di confidenza di σ2. Esempio. Con riferimento all’esempio precedente, calcolare l’intervallo di confidenza al 95% di σ2 e σ. Si ha s2 = 0,00122 m2, b – a = 0,95. Si scelgono a = 0,025 e b = 0,975. I gradi di libertà sono 20 – 1 = 19. Dalla tabella della variabile casuale chi-quadrato si ottiene χ 02, 025, 19 = 8,91 e χ 02, 975, 19 = 32,9 , per cui i limiti di confidenza sono ( n – 1 )s 2 ∕ χ 02, 975, 19 = 0,0070 m 2 e ( n /1 ) s 2 ∕ χ 02, 025, 19 = 0,00258 m 2 Così si può affermare al 95% di confidenza che σ2 è compresa nell’intervallo tra 0,00070 e 0,00258 m2. Il corrispondente intervallo di confidenza al 95% di σ è 0,026 e 0,051 m. g) Metodi grafici. Poiché non sempre è comodo o opportuno effettuare dei calcoli, si può utilizzare un metodo grafico per controllare l’andamento di una variabile casuale. Un primo metodo impiega delle carte standard dette carte probabilistiche, sulle quali la distribuzione normale ha l’andamento di una retta. Le ascisse sono a scala uniforme o logaritmica. In ordinata si riportano le frequenze cumulate dei valori osservati. Più i punti stanno in linea retta, più i valori osservati seguono la distribuzione normale (fig. 8.16.a). Altri grafici possono essere preparati appositamente e prendono il nome di diagrammi di controllo. Il progetto e l’uso di un diagramma di controllo in generale sono illustrati da un diagramma ad un valore (fig. 8.16.b); procedimenti simili valgono per altri tipi di diagrammi. Per il controllo di una caratteristica in un particolare processo di produzione, si scelgono casualmente degli oggetti, completati entro certi intervalli di tempo, e si misura il valore caratteristico in questione. Invece di trascrivere il risultato in un registro, esso è indicato sul diagramma di controllo come un punto che ha per ascissa il tempo e per ordinata il valore caratteristico stesso. Se s’immagina l’insieme dei dati inseriti come una distribuzione di frequenza, in molti casi la distribuzione risultante è normale, almeno approssimativamente. Se si tracciano una retta in corri-
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Fig. 8.16 a) Carta probabilistica standard (x = valori osservati, f (x) = distribuzione di frequenza in %). b) Diagramma di controllo a un valore (t = tempo, v = valore misurato).
spondenza al valore medio x ( RM ) ed altre due rette in corrispondenza dei valori x + 3s, x – 3s assunti come limiti superiore e limite inferiore di controllo rispettivamente (LCS e LCI), allora il 99,73% di tutti i valori misurati deve cadere nella regione delimitata dalle rette di controllo. Se queste tre rette sono state determinate per mezzo di prove preliminari, il processo di produzione può essere controllato con il diagramma preparato in questo modo. Se i valori misurati cadono entro la regione, le deviazioni dalla media possono essere considerate casuali. La deviazione è invece sistematica se un punto cade al di fuori delle linee di controllo (come i punti indicati da una freccia nella figura). In un tal caso bisogna trovare la ragione della perturbazione prima di procedere con la produzione. L’immagine grafica del diagramma di controllo fornisce sempre un migliore quadro generale che non una lista dei numeri. Esso mostra lo sviluppo della caratteristica sotto esame durante il processo di produzione e mette in evidenza i difetti da eliminare e gli aggiustaggi da introdurre nella macchina. Queste proprietà rendono il diagramma di controllo molto efficace nella conduzione di una produzione; esso permette la ricerca delle origini di difetti, indica quelli che si presentano ripetutamente e quindi dà suggerimenti per cambiamenti nella tecnologia. 8.3.3
Teoria delle decisioni: test di ipotesi e di significatività
Decisioni ed ipotesi statistiche. Ipotesi nulla . Molto spesso nella pratica siamo chiamati a prendere decisioni intorno a delle popolazioni sulla base di informazioni campionarie. Tali decisioni sono dette decisioni statistiche. Per esempio, può darsi che siamo interessati a decidere, sulla base di dati campionari, se un nuovo vaccino abbia realmente un effetto positivo, se un procedimento educativo sia migliore o meno di un altro, ecc. Quando si tenta di raggiungere una decisione, è utile porre degli assunti sulle popolazioni implicate nella decisione stessa che sono detti ipotesi statistiche ed in generale sono affermazioni sulle distribuzioni di probabilità delle popolazioni.
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MATEMATICA
In molti casi formuliamo un’ipotesi statistica per il solo scopo di rifiutarla. Per esempio, se vogliamo decidere se un procedimento sia migliore di un altro, formuliamo l’ipotesi che non ci sia differenza tra i procedimenti (quindi ogni differenza osservata sia dovuta unicamente a fattori casuali intervenuti nel campionamento effettuato in una stessa popolazione). Tale ipotesi è spetto detta ipotesi nulla e viene indicata con H0 . Ogni ipotesi che differisce da una data ipotesi è detta ipotesi alternativa. Per esempio, se una ipotesi è p = 0,5, le ipotesi alternative possono essere p = 0,7, p ≠ 0,5, o p > 0,5. L’ipotesi alternativa all’ipotesi nulla viene indicata con H1. Test di significatività e di ipotesi. Errori di I e II tipo. Livello di significatività . Se, basandoci sulla supposizione che una certa ipotesi sia vera, troviamo che il risultato osservato su un campione casuale differisce notevolmente da quello atteso sotto l’ipotesi formulata, dovremmo dire che la differenza osservata è significativa e dovremmo rifiutare l’ipotesi (o almeno non accettarla sulla base dei risultati ottenuti). Per esempio, se in 20 lanci di una moneta viene tesa 16 volte, dovremmo rifiutare l’ipotesi che la moneta sia buona. I procedimenti che ci permettono di decidere se accettare o rifiutare un’ipotesi, o di determinare se i campioni osservati differiscano significativamente dai risultati attesi, sono detti test di ipotesi, test di significatività, o regole di decisione . Se rifiutiamo un’ipotesi quando invece dovrebbe essere accettata, si dice che compiamo un errore di primo tipo. Se al contrario accettiamo un’ipotesi quando invece dovrebbe essere rifiutata, si dice che commettiamo un errore di secondo tipo. In entrambi i casi si prende una decisione errata. Un test deve essere configurato in modo tale da minimizzare gli errori di decisione. Non si tratta di una questione molto semplice, dal momento che, per una data ampiezza del campione, ogni tentativo di diminuire un tipo di errore è in genere accompagnato da un incremento dell’altro tipo di errore. Nella pratica si può raggiungere un compromesso a favore di una certa limitazione dell’errore più grave. Il solo modo per ridurre entrambi i tipi di errore è aumentare l’ampiezza del campione, cosa che può o non può essere possibile. Nel provare una certa ipotesi, la probabilità massima con cui accettiamo di rischiare l’errore del primo tipo è detta livello di significatività del test. Tale probabilità, spesso indicata con α, è generalmente specificata prima che sia estratto il campione, così che i risultati ottenuti non influenzeranno la nostra scelta. Nella pratica, si usano ordinariamente livelli di significatività dello 0,05 o dello 0,01, benché, naturalmente, si possano usare anche altri valori. Se per esempio, per un test delle ipotesi, è stato scelto un livello di significatività dello 0,05 (del 5%), allora ci sono circa 5 probabilità su 100 di rifiutare l’ipotesi quando dovrebbe essere accettata, cioè siamo fiduciosi a circa il 95% di aver preso la giusta decisione. In questo caso diciamo che l’ipotesi è stata rifiutata al livello di significatività dello 0,05: quindi potremmo sbagliare con una probabilità pari a 0,05. Test implicanti la distribuzione normale . Per illustrare i concetti presentati prima, supponiamo che sotto una certa ipotesi la distribuzione di una statistica S sia normale con media e scarto quadratico medio µs e σs . Allora la distribuzione della variabile standardizzata z data da z = (S – µs)/σs , è la distribuzione normale standardizzata (media 0, varianza 1). Come indicato nella figura seguente, possiamo essere fiduciosi al 95% che, se l’ipotesi è vera, il valore z della statistica campionaria S cadrà tra – 1,96 e 1,96 (infatti l’area sotto la curva normale compresa tra questi due valori vale 0,95).
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
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Fig. 8.17 Regioni critiche.
Tuttavia, se nello scegliere un singolo campione a caso, troviamo che il valore z della sua statistica cade al di fuori degli estremi, – 1,96 e 1,96, dovremmo concludere che tale evento può verificarsi con probabilità pari a 0,05 (area ombreggiata in figura), se l’ipotesi data è vera. Dovremmo allora dire che questo valore z differisce significativamente da quello che ci si dovrebbe aspettare sotto l’ipotesi e dovremmo rifiutare l’ipotesi stessa. L’area ombreggiata è il livello di significatività del test e vale 0,05. Rappresenta la probabilità di compiere un errore nel rifiutare l’ipotesi, cioè la probabilità di compiere un errore del primo tipo. Si dice quindi che l’ipotesi è rifiutata al livello di significatività dello 0,05 ovvero che il valore z della statistica campionaria data è significativo al livello di significatività dello 0,05. L’insieme dei valori z al di fuori degli estremi – 1,96 e 1,96 costituisce la cosiddetta regione critica o regione di rifiuto delle ipotesi. L’insieme dei valori z all’interno degli estremi, – 1,96 e 1,96 potrebbe quindi essere chiamato regione di accettazione delle ipotesi. Sulla base della osservazione possiamo formulare la seguente regola di decisione, o test di ipotesi e significatività: a) Rifiutiamo l’ipotesi al livello di significatività dello 0,05 se il valore z della sua statistica S cade al di fuori degli estremi – 1,96 e 1,96 (cioè sia che si presenti z > 1,96 sia che si presenti z < – 1,96, quando la statistica campionaria osservata è significativa al livello dello 0,05). b) Accettiamo l’ipotesi (oppure non prendiamo alcuna decisione) in caso contrario. Poiché il valore z gioca un ruolo così importante nella prova delle ipotesi, è detto anche test statistico. Test a una e a due code (a una e due vie). Nel test precedente, abbiamo posto l’attenzione sui valori esterni della statistica S o del corrispondente valore z per entrambi i lati della media, cioè abbiamo posto l’attenzione su entrambe le “code” della distribuzione. Per tale ragione i test sono detti test a due code, o a due vie. Spesso, tuttavia, possiamo essere interessati ai valori estremi solo da un lato della media, su una sola “coda” della distribuzione. Ciò accade, per esempio, quando vogliamo provare l’ipotesi che un processo sia migliore di un altro. Tali test sono detti test a una coda. In tali casi la regione critica è una regione posta a un solo lato della distribuzione, con area uguale al livello di significatività.
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MATEMATICA
La tabella seguente, che dà i valori critici di z sia per i test a una coda che i test a due code a diversi livelli di significatività, può dimostrarsi utile ai nostri scopi. Si possono trovare valori critici di z per altri livelli di significatività facendo uso delle aree della curva normale. Livello di significatività α
0,10
0,05
0,01
0,005
0,002
Valori critici di z per test a una coda
– 1,28 o 1,28
– 1,645 o 1,645
– 2,33 o 2,33
– 2,58 o 2,58
– 2,88 o 2,88
– 1,645 e 1,645
– 1,96 e 1,96
– 2,58 e 2,58
– 2,81 e 2,81
– 3,08 e 3,08
Valori critici di z per test a due code
Test particolari per grandi campioni. Per grandi campioni, la distribuzione di molte statistiche è normale (o almeno approssimativamente normale) con media e scarto quadratico medio µs e σs . In tali casi possiamo usare i risultati precedenti per formulare regole di decisione o test di ipotesi e significatività. I casi particolari seguenti, sono solo alcune delle statistiche di interesse. a) Medie. Qui S = X (media campionaria); µs = µ X = µ; σs = σ X = σ/ N (dove σ è lo scarto quadratico medio della popolazione e N è l’ampiezza campionaria. Il valore z è dato da X– µ z = -------------σ/ N Quando sia necessario, per stimare σ si può usare lo scarto quadratico medio campionario s o sˆ . b) Proporzioni. Qui S = P (proporzione di “successi”); µs = µP = p (dove p è la proporzione di “successi” della popolazione e N è l’ampiezza campionaria); σs = σP = = pq ∕ N . Il valore z è dato da P– p z = ------------------pq ∕ N Nel caso sia P = X/N, dove X è il numero effettivo di successi del campione, il valore z diventa X – Np z = ---------------Npq cioè µX = µ = Np, σX = σ = Npq , e S = X. Per la comprensione della teoria proponiamo tre esempi significativi. Esempio 1. In un esperimento sulla percezione extrasensoriale, a un soggetto posto in una stanza viene chiesto di dire il colore (rosso o blu) di una carta scelta in un mazzo di 50 carte da un soggetto posto in un’altra stanza. Il primo soggetto non sa quante carte rosse e quante carte blu compongano il mazzo. Se il soggetto indovina il colore di 32 carte, determinare se il risultato sia significativo al livello di significatività a) dello 0,05, b) dello 0,01.
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Se p è la probabilità che il soggetto indovini il colore di una carta, allora dobbiamo decidere fra le due seguenti ipotesi. – H0: p = 0,5 e il soggetto tira ad indovinare, cioè il risultato è dovuto al caso. – H1: p = 0,5 e il soggetto è effettivamente dotato di percezione extrasensoriale. Scegliamo un test a una coda, dato che siamo interessati a trovare la capacità di indovinare un numero estremamente basso di colori, ma piuttosto la capacità di indovinare un numero alto di colori. Se è vera l’ipotesi H0 , la media e lo scarto quadratico medio del numero di carte il cui colore è stato indovinato sono dati da m = Np = 50(0,5) – 25
e
σ=
Npq = 12,5 = 3,54 ;
a) Per un test a una coda il livello di significatività dello 0,05, dobbiamo scegliere z1 in figura 8.18 a, in modo che l’area destra (regione critica) sia pari a 0,05. Quindi l’area compresa fra 0 e z1 vale 0,45 e z1 = 1,645. La nostra regola di decisione o test di significatività è: Se il valore z osservato è maggiore di 1,645, il risultato è significativo al livello dello 0,05, ed il soggetto è dotato di percezione extrasensoriale. Se il valore è minore di 1,645, il risultato è dovuto al caso, e non è significativo al livello dello 0,05.
Fig. 8.18 a) Esempio 1. b) Esempio 2.
Dato che 32 in unità standard vale (32-25)/3,54 = 1,98, che è maggiore di 1,645, si può prendere per buona la prima decisione: possiamo concludere al livello dello 0,05 che il soggetto è dotato di percezione extrasensoriale. b) Per il livello di significatività dello 0,01, allora l’area compresa tra 0 e z1 vale 0,49 e z1 = 2,33. Dato che 32 in unità standard vale 1,98, che è inferiore a 2,33, possiamo concludere che il risultato non è significativo al livello dello 0,01. Esempio 2. Il fabbricante di una certa medicina assicura che è efficace nel 90% dei casi nell’alleviare una certa allergia per un periodo di 8 h. In un campione di 200 individui che soffrono di questa allergia si è dimostrata utile per 160 individui determinate se l’affermazione fatta dal fabbricante è legittima. Sia p la probabilità di vedere alleviata l’allergia per mezzo della medicina. Dobbiamo decidere fra le due seguenti ipotesi. – H0: p = 0,9 e l’affermazione è legittima. – H1: p < 0,9 e l’affermazione falsa. Scegliamo un test a una coda, dato che siamo interessati a determinare se la proporzione di individui, la cui allergia è stata alleviata, è troppo bassa.
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MATEMATICA
Se il livello di significatività è dello 0,01, allora l’area sinistra della figura 8.18.b vale 0,01 e z1 = – 2,33. La nostra regola di decisione è: l’affermazione non è legittima se z è minore di – 2,33 (nel qual caso rifiutiamo H0). Altrimenti, l’affermazione è legittima e i risultati osservati sono dovuti al caso (nel qual caso accettiamo H0). Se H0 è vera, µ = Np = 200(0,9) = 180 e σ = Npq = 4,24. 160 in unità standard vale (160 – 180)/4,24 = – 4,72, che è molto inferiore di – 2,33. Così, per la nostra regola di decisione, concludiamo che l’affermazione non è legittima e che i risultati campionari sono altamente significativi. Esempio 3. Il tempo di vita medio di un campione di 100 lampadine fluorescenti prodotte da una fabbrica è calcolato nella misura di 1570 h, mentre lo scarto quadratico medio è di 120 h. Se µ è il tempo di vita medio di tutte le lampadine prodotte dalla fabbrica, provate l’ipotesi µ = 1600 h contro l’ipotesi alternativa µ ≠ 1600 h, usando un livello di significatività a) dello 0,05, b) dello 0,01. Dobbiamo decidere fra le due seguenti ipotesi. – H0: µ = 1600 h. – H1: µ ≠ 1600. Scegliamo un test a due code, dato che µ ≠ 1600 include valori sia maggiori che minori di 1600. a) Per un test a due code al livello di significatività dello 0,05, abbiamo la seguente regola di decisione. Rifiutiamo H0 se il valore z della media campionaria è al di fuori degli estremi – 1,96 e 1,96. Accettiamo H0 (o non prendiamo nessuna decisione) in caso contrario. La statistica in considerazione è la media campionaria X . La distribuzione campionaria di X ha media µ X = µ e scarto quadratico medio σ X = σ ∕ N , dove µ e σ sono la media e lo scarto quadratico medio della popolazione di tutte le lampadine prodotte nella fabbrica. Sotto l’ipotesi H0 , abbiamo µ = 1600 h e σ X = σ ∕ N = 12 , usando lo scarto quadratico medio campionario come stima di σ. Poiché z =( X – 1600 )/12 = – 2,50 cade al di fuori degli estremi – 1,96 e 1,96, rifiutiamo H0 al livello di significatività dello 0,05. b) Se il livello di significatività è dello 0,01, gli estremi – 1,96 e 1,96 della regola di decisione vengono sostituiti dai valori – 2,58 e 2,58. Quindi, poiché il valore di z – 2,50 è compreso fra questi estremi, accettiamo H0 (o non prendiamo nessuna decisione) al livello di significatività dello 0,01. Test di significatività per piccoli campioni. Per campioni di ampiezza N < 30, detti piccoli campioni, l’approssimazione della distribuzione della statistica alla normale non è buona, e peggiora al decrescere di N, rendendo necessarie appropriate modificazioni. Lo studio delle distribuzioni delle statistiche dei piccoli campioni è detto teoria dei piccoli campioni. Tuttavia, un nome più preciso potrebbe essere teoria campionaria esatta, poiché i risultati ottenuti valgono sia per grandi che per piccoli campioni. Le più importanti distribuzioni, utilizzate sono: la distribuzione t di Student e la chi-quadrato. La distribuzione T di Student.
Questa distribuzione è data da
Yo Yo Y = ---------------------------------------------= ---------------------------------------( 1 + t 2 ∕ ( N – 1 ) ) N ∕ 2 ( 1 + t 2 ∕ υ )(υ + 1) ∕ 2
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
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dove Y0 è una costante dipendente da N, tale che l’area sotto la curva vale 1, e dove la costante υ = (N – 1) è detta numero di gradi di libertà. È detta distribuzione t di Student, da “Student”, pseudonimo sotto il quale il suo scopritore Gosset pubblicò il suo lavoro nei primi anni del ventesimo secolo. Per grandi valori di υ o N (almeno N ≥ 30), la curva è molto bene approssimata dalla curva normale standardizzata 1 2 --- t 1 Y = ---------- e 2 2π
come si può vedere nella figura 8.19.a
Fig. 8.19 a) Distribuzione di Student. b) Distribuzione Chi quadrato.
Come si è fatto per la distribuzione normale, possiamo definire intervalli di confidenza del 95%, del 99% e altri usando la tavola della distribuzione t in Tabella 1.3.5. In tal modo possiamo stimare entro specificati limiti di confidenza la media della popolazione µ. Per esempio, se – t0,975 e t0,975 sono i valori di t per i quali il 2,5% dell’area è compreso in ciascuna “coda” della distribuzione t, allora l’intervallo di confidenza del 95% della t è X– µ – t 0,975 < ------------ N – 1 < t 0,975 s
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MATEMATICA
da cui vediamo che si può stimare che l’intervallo t s X – t 0,975 ---------------- < µ < X + t 0,975 ---------------N– 1 N– 1 contiene µ con probabilità pari allo 0,95. Notare che t0,975 rappresenta il valore del 97,5-esimo percentile, mentre t0,975 = – t0,975 quello del 2,5-esimo. In generale, possiamo rappresentare i limiti di confidenza per la media della popolazione come s X ± t c ---------------N– 1 dove i valori ± tc detti valori critici o coefficienti di confidenza, dipendono dal livello di confidenza desiderato e dall’ampiezza campionaria. Tali valori possono essere letti in Tab. 1.3.5, pag. A-24. I test di ipotesi e significatività, possono essere facilmente estesi a problemi implicanti piccoli campioni. La sola differenza sta nel fatto che il valore z è sostituito da un conveniente valore t. La distribuzione Chi quadrato .
Definiamo la statistica
2 2 Ns 2 ( X 1 – X ) + … + ( X N – X ) χ 2 = -------= -------------------------------------------------------------σ2 σ2
Se consideriamo campioni di ampiezza N estratti da una popolazione normale con scarto quadratico medio σ e se per ciascun campione calcoliamo la χ2 otteniamo la distribuzione campionaria di χ2. Questa distribuzione (vedi figura) detta distribuzione chi-quadrato è data da 1
1
1
Y = Y o ( χ 2 ) --2- ( υ – 2 ) e – --2- χ = Y o χ ( υ – 2 ) e – --2- χ 2
2
dove Y0 è una costante dipendente da N, tale che l’area sotto la curva vale 1, e dove la costante υ = (N – 1) è detta numero di gradi di libertà. Nella figura seguente si possono vedere le distribuzioni chi-quadrato corrispondenti ad alcuni valori di υ. Il massimo valore di Y si ha in corrispondenza di χ2 = υ – 2 per υ > 2. Come si è fatto per le distribuzioni normale e t, possiamo definire intervalli di confidenza del 95%, del 99% e altri usando la tavola della distribuzione χ2 in Tabella 1.3.6. In tal modo possiamo stimare entro specificati limiti di confidenza lo scarto quadratico medio σ della popolazione in termini di scarto quadratico medio campionario s. 2 2 Per esempio, se χ 0,025 e χ 0,975 sono i valori di χ2 per i quali il 2,5% dell’area è compreso in ciascuna “coda” della distribuzione, l’intervallo di confidenza del 95% è Ns 2 2 - < χ 0,975 χ 0,025 < -------σ2 da cui vediamo che si può stimare che σ sia compresa nell’intervallo s N s N ------------ < σ < ----------χ 0,975 χ 0,25
con una confidenza del 95%.
La tavola della Tab. 1.3.6, pag. A-26, dà i valori corrispondenti al numero di gradi di libertà υ. Per grandi valori di υ (υ ≥ 30) possiamo ricorrere al fatto che
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
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( 2χ 2 – 2υ – 1 ) è distribuita normalmente con media 0 e scarto 1, quindi possiamo usare le tavole della distribuzione normale. Così, se χ p2 e zp sono rispettivamente i pesimi percentili della distribuzione chi-quadrato e normale, abbiamo 1 2 χ p2 = --- ( z p + 2υ – 1 ) 2 Gradi di libertà. Al fine di poter calcolare una statistica come quelle viste nei paragrafi precedenti, è necessario usare osservazioni ottenute per mezzo di un campione, come anche alcuni parametri della popolazione. Se questi parametri sono sconosciuti, devono essere stimati per mezzo del campione. Il numero di gradi di libertà di una statistica è generalmente indicato da υ e viene definito come il numero N di osservazioni indipendenti del campione meno il numero k di parametri della popolazione che devono essere stimati per mezzo delle osservazioni campionarie. In simboli, υ = N – k. Nel caso della statistica t di Student, il numero di osservazioni indipendenti del campione è N. Per mezzo del campione, possiamo calcolare X e s. Tuttavia, dato che dobbiamo stimare µ, k = 1 e così υ = N – 1. Nel caso della statistica chi-quadrato, il numero di osservazioni indipendenti del campione è N. Per mezzo del campione, possiamo calcolare s. Tuttavia, dato che dobbiamo stimare σ, k = 1 e così υ = N – 1. Esempio 4. Un campione di 10 misure del diametro di una sfera ha dato una media ed uno scarto quadratico medio rispettivamente di X = 4,38 e s = 0,06. Trovare i limiti di confidenza al 95% per il diametro reale. I limiti di confidenza al 95% sono dati da X ± t0,975 (s/ N – 1 ). Dato che υ = N – 1 = 10 – 1 = 9, troviamo t0,975 = 2,26. Quindi usando il valor medio e lo scarto i limiti di confidenza al 95% sono 4,38 ± 2,26(0,06/ 10 – 1 = 4,23 ± 0,0452 cm. Così possiamo essere confidenti al 95% che la media della popolazione sia compressa tra 4,335 e 4,425 cm. Esempio 5. Lo scarto quadratico medio dei pesi di 16 studenti maschi scelti a caso in una scuola di 1000 studenti è uguale a 2,40 kg. Trovare i limiti di confidenza al 99% per lo scarto quadratico medio di tutti gli studenti della scuola. I limiti di confidenza al 99% sono dati da s N /χ0,975 e s N /χ0,025. Dato che 2 υ = N – 1 = 15, troviamo χ 0,995 = 32,8 e χ 0,995 = 5,7 e χ 0,005 = 4,60 e χ0,005 = 2,14. Quindi i limiti di confidenza al 99% sono 2,40 16 /5,73 e 2,40 16 /2,14, cioè 1,68 e 4,49 kg. Così possiamo essere confidenti al 99% che lo scarto quadratico medio della popolazione sia compreso tra 1,68 e 4,49 kg. 8.4
TEORIA DEGLI ERRORI
Nel seguito faremo riferimento principalmente alle misure topografiche poiché è uno degli ambiti più comuni di applicazione della Teoria degli Errori. 8.4.1
Tipi di misure.
a) Misura diretta di una grandezza. Una grandezza è concettualmente definita in relazione ad una determinata quantità che la materializza: ad esempio un regolo di legno è una quantità a cui concettualmente si associa la grandezza lunghezza del regolo.
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MATEMATICA
La misura diretta di una grandezza materializzata da una certa quantità è definita logicamente e operativamente nella seguente maniera: 1. si materializzano in numero sufficiente delle quantità uguali che posseggono una grandezza omogenea con la grandezza da misurare, ovvero si definiscono delle unità campione; 2. si sommano opportunamente le unità in modo da avere una quantità uguale a quella da misurare; interviene in questa operazione un organo che permette il confronto, sulla base dell’uguaglianza, fra quantità da misurare e quantità costruita; 3. si conta il numero di unità campione contenute nella quantità costruita: tale numero si chiama misura diretta della grandezza. Si può constatare la validità di questo schema pensando alla misura di una lunghezza, di una massa o di un angolo; in pratica l’operazione di somma delle unità è già realizzata nello strumento di misura, che possiede anche il dispositivo che permette di stabilire l’uguaglianza delle due quantità (ad esempio: l’ago di una bilancia, l’asse di collimazione di un teodolite). b) Misura indiretta di una o più grandezze. La misura indiretta di una grandezza è definita da un legame funzionale che lega tale grandezza ad altre grandezze direttamente misurabili: le misure dirette di quest’ultime determinano cioè, attraverso il legame funzionale, la misura indiretta della prima. Ad esempio in un triangolo a b = ----------- sin β le misure dirette di a, α e β introdotte in questa relazione determisin α nano la misura indiretta di b. La misura indiretta simultanea di più grandezze poggia ovviamente sulla definizione di un sistema di equazioni, che lega grandezze misurabili direttamente alle grandezze le cui misure si vogliono ricavare in maniera indiretta. In generale un’equazione che lega grandezze incognite a grandezze misurate direttamente viene chiamata equazione alle misure. c) Misure condizionate. Spesso le misure dirette che si eseguono sono soggette a condizioni geometriche; ad esempio la somma degli angoli interni di un poligono chiuso di n lati deve essere uguale a (n – 2) π, ed a tale condizione si devono conformare gli n angoli misurati. Queste condizioni, che a volte assumono espressioni molto complesse, sono utili per verificare la presenza o meno di errori grossolani, permettono di valutare globalmente la precisione delle misure fatte e possono essere adoperate per compensare le misure fatte; la compensazione delle misure consiste nel correggerle in modo che le condizioni che sussistono siano soddisfatte. 8.4.2
Tipi di errore.
a) Errori grossolani. Nell’eseguire una misura si può commettere un errore grossolano; ad esempio, nel misurare una distanza riportando successivamente un’asta di tre metri (triplometro) può capitare di sbagliare il conteggio delle volte che l’asta è stata riportata, determinando così un errore di tre metri o multiplo di tre metri; si può sbagliare la lettura di un cerchio graduato, ed anche, pur avendo eseguito bene la lettura, la si può trascrivere errata. Poiché nelle operazioni di rilievo sul terreno l’operazione del misurare è la parte più rilevante e le misure che si eseguono in un giorno possono assommare a centinaia, occorre tenere presente che un errore grossolano può verificarsi spesso.
STATISTICA E TEORIA DEGLI ERRORI
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Per questa ragione nella tecnica del rilievo si segue sempre il principio che le misure devono essere controllate, gli schemi operativi sono cioè in genere tali da permettere il controllo delle misure; come esempio si consideri la misura degli angoli di un triangolo: misurandone due si può conoscere il valore del terzo, ma l’operazione di misura non è controllata, misurandoli tutti e tre e verificando che la somma delle misure ottenute sia sufficientemente prossima ad un angolo piatto si ha il controllo delle misure effettuate. Nella tecnica del rilievo occorre sempre seguire schemi operativi che permettono di controllare le misure; nei casi in cui uno schema controllato non può essere adottato si ricorre alla ripetizione indipendente delle misure. b) Errori sistematici. Un errore sistematico tipico è quello che deriva da un’imperfetta taratura dello strumento di misura; ad esempio si supponga che un’asta nominalmente lunga un metro sia in realtà lunga un metro e un millimetro: misurando una lunghezza con tale asta si commette un errore di tanti millimetri quante sono le volte che l’asta è stata riportata; ripetendo la misura il risultato non cambia. Un tipo di errore sistematico è quindi quello che conserva, al ripetere della misura, valore e segno costanti. Lo si può mettere in evidenza, spesso se non sempre, ripetendo la misura con strumenti diversi o in condizioni diverse; ripetendo più volte la misura di una lunghezza con due regoli diversi si può mettere in evidenza uno scarto sistematico fra i risultati forniti dall’uno o dall’altro. Errori di tipo sistematico derivano dalle srettifiche degli strumenti di misura; gli strumenti topografici sono concepiti in modo che le varie parti costituenti soddisfino determinate condizioni geometriche; tali condizioni non possono essere realizzate, con sufficiente precisione, per costruzione; vengono pertanto previsti degli organi che permettono i piccoli aggiustamenti che prendono il nome di rettifica dello strumento; queste rettifiche non sono mai perfette per cui in ogni strumento sono presenti errori residui di srettifica, che danno in genere effetti sistematici sui risultati delle misure. La definizione data non comprende però tutti gli errori sistematici in quanto ve ne sono altri che hanno un comportamento più complesso, hanno cioè una caratteristica di sistematicità, perché al ripetere della misura conservano ad esempio il segno, mentre il valore varia da una misura all’altra senza apparentemente una regola fissa. Si supponga di misurare una lunghezza riportando successivamente un’asta perfettamente tarata; ad ogni riporto l’asta deve essere disposta esattamente nella direzione definita dalla lunghezza da misurare. È inevitabile che nel disporre l’asta si commettano dei piccoli errori di allineamento; ciò fa sì che il risultato della misura sia sistematicamente più alto di quello che si sarebbe ottenuto con aste perfettamente allineate; ad ogni ripetizione della misura gli errori di allineamento saranno diversi e pure diversa sarà l’entità dell’errore, che però conserverà sempre un segno positivo. Per ridurre gli errori sistematici si indicano i metodi seguenti: 1. si possono eseguire le tarature dei campioni di misura o le rettifiche degli strumenti con una precisione superiore a quella delle misure a cui sono destinati; 2. si possono eliminare con opportuni procedimenti operativi; 3. si può cercare, cambiando i campioni di misura o le condizioni operative, di renderli variabili in valore e segno, in modo che, mediando i risultati, se ne compensino parzialmente gli effetti.
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MATEMATICA
Come esempio del primo metodo si consideri la misura di una distanza di un kilometro con un nastro d’acciaio lungo 10 m; questo nastro andrà riportato cento volte per cui se si vuole che l’errore sistematico non superi il decimetro, occorrerà eseguire la taratura dei nastro con una precisione non inferiore al millimetro. Un esempio tipico dell’eliminazione con un opportuno metodo operativo è quello della doppia pesata; per effetto della disuguaglianza dei bracci della bilancia, mettendo i pesi campione su un piatto e l’oggetto sull’altro, si commette un errore sistematico, che ovviamente cambia di segno quando si invertono pesi ed oggetti sui piatti: la media delle due pesate è esente dall’errore sistematico della bilancia (in Topografia un esempio analogo è la cosiddetta regola di Bessel applicata alle letture di angoli azimutali). Per esemplificare il terzo metodo si può considerare la misura di una distanza eseguita con nastri diversi ed aventi pertanto errori di taratura diversi; effettuando la media dei risultati ottenuti con i vari nastri si compensano parzialmente gli effetti degli errori di taratura. In altre parole l’errore che per ogni nastro è sistematico, diventa accidentale se riferito al complesso degli errori derivanti da tutti i nastri. Una fluttuazione accidentale è sempre presente nel risultato di una misura e si sovrappone all’errore sistematico e ciò rende a volte l’individuazione di quest’ultimo difficile, specie nelle misure di altissima precisione. c) Errori accidentali. La ripetizione della misura di una grandezza effettuata nell’ipotesi che gli errori sistematici siano stati eliminati, o siano effettivamente costanti, mostra che: 1. i risultati cambiano ad ogni ripetizione in maniera imprevedibile, non si riescono cioè a mettere in evidenza fenomeni che, per essere avvenuti nell’ambiente e nel tempo della misura, possono spiegare le variazioni che intervengono; 2. gli scarti fra una misura e l’altra sono piccoli con riferimento alla precisione dello strumento e del metodo di misura, mentre lo scarto massimo è in genere inferiore ad un determinato limite, tanto più piccolo quanto più l’operazione di misura è accurata; 3. se le ripetizioni sono sufficientemente numerose in modo da poter organizzare statisticamente i risultati, si può notare che il rapporto fra il numero di volte in cui ogni valore si è presentato ed il numero totale di misure (frequenza relativa) tende a stabilizzarsi. Questa variabilità nelle misure denota la presenza di un ultimo tipo di errori detti accidentali. Occorre notare che i fatti esemplificati si mettono in evidenza solo quando le operazioni di misura sono caratterizzate da un’elevata precisione; al di sotto di una determinata precisione la grossolanità stessa degli strumenti o dei metodi impiegati è tale da mascherare, alle varie ripetizioni delle misure, l’influenza delle fluttuazioni accidentali. Nell’applicare i concetti della Statistica alla Teoria degli Errori si trattano le misure come variabili casuali. Le singole osservazioni si considerano come campioni estratti da una popolazione distribuita normalmente. d) Errori di arrotondamento. In generale poiché le calcolatrici operano comunemente con 10 ÷ 12 cifre significative non si hanno apprezzabili scadimenti di precisione nei calcoli usuali a 6 ÷ 7 cifre significative. In operazioni particolari o calcoli
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piuttosto lunghi (inversione di matrici, ...) anche 10 ÷ 12 cifre possono non essere sufficienti (vedi Calcolo Numerico). e) Precisione, accuratezza, grado di approssimazione. La precisione è il grado di compattezza delle misure le une con le altre, quando si tratta di misure ripetute della stessa quantità. Viene misurata dallo scarto quadratico medio (detto anche errore quadratico medio) s2 del campione di misure ripetute. Più alta è la precisione, minore è lo scarto quadratico medio. Alta precisione è sinonimo di buona strumentazione e cura nell’esecuzione delle misure. L’accuratezza ha un significato più ampio perché indica l’approssimarsi delle misure al «valore vero» e quindi indica l’assenza di errori sistematici. A volte la presenza di errori sistematici viene denunciata dall’asimmetria della distribuzione delle frequenze. Il grado di approssimazione è uguale al livello di confidenza (vedi Intervallo di confidenza). Rappresenta la probabilità che una misura rientri in un campo di variazione prefissato. 8.4.3 Osservazioni dirette. Nel seguito il termine errore medio verrà talvolta usato al posto di deviazione standard σ. a) Osservazioni di uguale precisione. È il caso di misure ripetute di una stessa quantità con le stesse modalità operative (strumento, metodo di lettura, registrazione, ... ). Le osservazioni vengono considerate come un campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con distribuzione normale (vedi Teoria dei campioni e Teoria statistica della stima). La media µ della popolazione viene stimata dalla media campionaria: µ ≅ X = Σx ∕ n . La varianza σ2 della popolazione viene stimata dalla varianza campionaria modificata: σ 2 ≅ sˆ 2 = Σ ( x – X ) 2 ∕ ( n – 1 ) . L’errore medio delle misure è preso uguale a σ. L’errore medio della media è dato da σµ = σ/√n. Sembrerebbe che moltiplicando il numero di misure si possa abbassare a piacimento l’errore medio. Questo fatto è illusorio per la presenza di errori sistematici residui (indistinguibili dagli errori accidentali) che quindi rendono il modello probabilistico teorico affidabile solo con una certa approssimazione. Nei casi comuni (n pari a qualche unità o al massimo qualche decina) la formula è correttamente impiegata. Si indica col termine di tolleranza il massimo scostamento dalla media che è ammissibile per una certa operazione di misura. Di solito si prende la tolleranza pari a 3 volte l’errore medio. Se si tratta di una misura singola la tolleranza è 3σ, per misure ripetute la tolleranza è 3 σµ. b) Osservazioni di precisioni diverse. Di solito non si ripete la stessa misura con metodi che danno precisioni diverse preferendo adottare subito il metodo che dà la massima precisione. Questo caso viene trattato per introdurre il concetto di peso delle misure, utile soprattutto per le osservazioni indirette. Lì infatti si mescolano misure di tipo diverso (per esempio angoli e distanze) e quindi di diversa precisione. Per trattare come provenienti dalla stessa popolazione gruppi di misure con diversa precisione (diverso errore medio) si dà alle misure più precise un «peso» maggiore, come se avessero una frequenza maggiore. Si sceglie quindi il peso di un gruppo di misure omogenee inversamente proporzionale alla varianza (o scarto quadratico medio) σ i2 del gruppo di misure (i indica l’i-esimo gruppo).
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MATEMATICA
Lo stesso se le misure non sono raggruppate, ma si tratta di misure singole e si conosce a priori lo scarto quadratico medio σ i2 di ciascuna. Questa conoscenza a priori è più incerta e proviene da precedenti analisi di misure effettuate in analoghe condizioni operative. Indichiamo con σ 02 la varianza delle misure di peso unitario (detta anche varianza dell’unità di peso). Si ha che il peso dell’i-esimo gruppo (o i-esima misura singola) è σ2 p i = -----0-2 σi Applicando i pesi alle misure si ottengono espressioni analoghe al caso delle osservazioni dirette di uguale precisione. La media di osservazioni di diversa precisione è µ ≅ X = Σ ( px ) ∕ Σp . La varianza della media è σ µ2 = σ 02 ∕ Σp , dove una stima di σ 02 è data da σˆ 02 = Σ p ( x – X ) 2 ∕ ( n – 1 ) . (Nelle for mule si è omesso per semplicità l’indice i al piede di x e p e nel simbolo Σ di sommatoria). Dunque σ 02 rappresenta anche la varianza della popolazione fittizia da cui si pensano estratte le misure di diversa precisione come se fossero osservazioni raggruppate con frequenze pari ai pesi (vedi Media e varianza di dati raggruppati). Sostituendo nell’espressione di σ 02 la definizione dei pesi pi , si ottiene la condizione √(n – 1) ≅ Σ(x – X )/ σ: è vincolata la somma dei rapporti tra scarti a priori ( σ) e scarti a posteriori ( x – X ). Comunque la differenza tra la σ 02 scelta a priori per attribuire i pesi e quella stimata a posteriori non influenza in genere sensibilmente il calcolo di µ e σµ. Esempio. Di una lunghezza sono state effettuate tre misure: 137, 48, 137, 52, 137, 50 m, con scarti quadratici medi di 0,002, 0,001, 0,005 m 2. Si ottengono, scelto σ 02 = 0,002 per semplicità, i pesi 1, 2, 4. La media pesata è µ = 137,5029 m. La varianza della media pesata è σ µ2 = 0,00016 m2 e la varianza dell’unità di peso stimata è σˆ 02 = 0,00057 m2, circa un terzo di quella scelta per i pesi. Anche cambiando σ 02 si riottengono gli stessi valori per µ e σ µ2 . La differenza tra σ 02 e σˆ 02 indica che le misure sono sensibilmente più vicine alla media di quello che i rispettivi scarti quadratici medi lascerebbe supporre. Se per esempio le varianze fossero state 0,0007, 0,0003 e 0,0001 m 2 avremmo ottenuto con σ 02 = 0,0007 un σˆ 02 = 0,00063 m2, molto più vicino. 8.4.4 Osservazioni indirette. Per la risoluzione di un sistema di n equazioni in m incognite vedi anche Algebra lineare. a) Propagazione degli errori. rianza e covarianza.
Si applicano le formule della propagazione della va-
b) Compensazione col criterio dei minimi quadrati (vedi anche Proiezioni ortogonali e minimi quadrati in Algebra lineare). Si supponga di avere un modello fisico o geometrico caratterizzato da un certo numero di variabili X1, X2, ... Xm, α1, α2, ... αr , dove α1, α2, ... αr sono state misurate. Si immagini che tra le varie αi misurate e le variabili Xi per ora incognite sussistano un certo numero n di relazioni del tipo: f 1 ( X 1 …X m , α 1 …α r ) = 0 ..................... f n ( X 1 …X m , α 1 …α r ) = 0
(1)
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Nella maggior parte dei casi si ha un’equazione per ogni quantità misurata, cioè ogni componente fi dipende da una sola αi: spesso inoltre ogni singola fi dipende solo da una parte delle incognite xi . Se il numero n di equazioni è uguale al numero m delle incognite Xi , le (1) permettono di ricavare le Xi in funzione delle αi , in modo tale che le relazioni stesse siano rigorosamente soddisfatte. È questo ad esempio il caso assai noto della risoluzione di un triangolo, noti che ne siano, per essere stati misurati direttamente, tre suoi elementi; oppure quello della determinazione delle coordinate dì un punto per intersezione in avanti, avendo effettuato misure in numero strettamente sufficiente. Se è invece n > m, ciò in generale non è più possibile; infatti scelto un qualsiasi gruppo di m equazioni tra le n del sistema, questo avrà una propria soluzione rigorosa che non è affatto detto che soddisfi le rimanenti n-m equazioni. Occorre pertanto individuare un criterio probabilistico che permetta di assegnare dei valori significativi alle incognite Xi . Il criterio comunemente usato è quello dei minimi quadrati applicato agli scarti v delle equazioni. Secondo tale criterio, la somma dei quadrati di tutte le differenze fra i valori osservati per le singole grandezze misurate ed i valori finali di queste ultime, quelli cioè che si diranno compensati, deve risultare minima. In generale, indicato con: X1 . X = ... Xm
α=
e con
α1
.. ..
αr
i vettori delle incognite e delle quantità misurate, si scrivono le (1) nella forma sintetica: f 1 ( X, α )
.............. = f ( X, α ) = 0 f n ( X, α )
(2)
Se α è il vettore delle quantità misurate, per quanto detto sopra, scelto un qualsiasi vettore X, questo non soddisferà esattamente le (2), ma si avrà: f ( X, α ) =
v1
.. .
=v
vn Al variare del vettore X varia il vettore degli scarti v: occorre quindi cercare quel vettore X , per cui il corrispondente vettore v sia minimo secondo il criterio dei minimi quadrati prima esemplificato. Per minimizzare v occorre in primo luogo determinare il peso di ogni componente v1 ... vn . Il sistema risulta lineare o non lineare a seconda del tipo di operazione topografica eseguita e dei legami fra misure ed incognite. In questo secondo caso occorre linearizzare le equazioni, introducendo valori approssimati delle incognite. Tale procedura si applica di solito anche per i sistemi lineari.
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MATEMATICA
Se le quantità misurate αi non sono eccessivamente disperse, cioè gli errori accidentali sono piccoli, è possibile supporre che le ragionevoli scelte delle incognite Xi non differiscano eccessivamente tra loro. Ha senso perciò fare l’ipotesi di poter disporre di un valore approssimato a priori Xo del vettore incognito X . Si faccia allora il seguente cambiamento di variabili: x1 X = Xo + x
x=
x2
.. .
xm Se ora si sviluppano al 1º ordine le funzioni fi , attorno a Xo, si ottiene: ∂f1 ∂f f 1 ( X o, α ) + -------- x + … + ---------1- x m = v 1 ∂X 1 1 ∂X m ……………………………………… ……………………………………… ∂f ∂fn f n ( X o, α ) + -------- + x 1 … + ---------n- x m = v n ∂X m ∂X 1
I = I(α) =
l1
.. .
ln
(3)
f 1 ( Xo , α ) = ............... f n ( Xo , α )
∂ f 1 ( Xo , α ) ∂ f 1 ( Xo , α ) --------------------------- .............. --------------------------∂X1 ∂Xm A = A(α) =
…………………………………… …………………………………… ∂ f n ( Xo , α ) ∂ f n ( Xo , α ) ---------------------------- .............. --------------------------∂X1 ∂Xm
Si scrivano ora le (3) in forma sintetica: Ax + l = v È possibile pertanto porre il problema dei minimi quadrati, introducendo i pesi, nel modo seguente. Trovare il vettore x delle incognite tale che sia resa minima l’espressione: ΣP i v i2 = minimo (Pi = peso dell’i-esima equazione, indicato anche con Pi e wi in Algebra Lineare) che in forma sintetica, indicata con P la matrice diagonale:
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P1 0 . . . 0 P=
0 P2 . . . 0
.. .. .. .. .. .. . . . . . .
0
. . . . Pn
e con vT il vettore trasposto di v, si scrive: vT P v = minimo La condizione di minimo è soddisfatta quando il differenziale primo della funzione vT P v si annulla, cioè quando si ha: dT P v + vT P d v = 0 Risolvendo il sistema in (m + n) incognite (le xi e le vi): Ax + l = v
(4)
vT P v = min
con la relazione: si perviene al sistema risolvente:
(AT PA)x + AT Pl = 0 da cui il vettore delle incognite xi risulta: x = – (AT PA)–1AT Pl Questo sistema, ridotto ormai ad m equazioni in m incognite, permette di ricavare le correzioni xi da apportare ai valori approssimati Xo . Successivamente, sostituendo i valori delle xi nel sistema (4), si ottengono le n incognite vi . Infine, per una stima delle varianze delle variabili xi così ricavate, si dimostra che esse sono proporzionali agli elementi diagonali corrispondenti hii della matrice: H = (AT PA)–1 Si ha cioè:
σ x2i
=
σ o2
(5)
h ii
dove la costante di proporzionalità σ o2 , che prende il nome di varianza dell’unità di peso, è data dalla formula: vT Pv σ o2 = -----------n– m Inoltre gli elementi non diagonali hik di H forniscono i coefficienti di covarianza di xi , xk attraverso la formula: Cik = M( δ xi , δ xk ) = σ o2 hik Il procedimento qui indicato è assolutamente generale, e prende anche il nome di compensazione per variazioni di coordinate, allorché le incognite siano appunto le coordinate di punti sul terreno. È facile infatti in tal caso ottenere in prima approssimazione, magari anche per via grafica, dei valori vicini a quelli definitivi compensati. Va osservato che il calcolo matriciale, che richiede come si vede dalla (5) l’inversio-
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MATEMATICA
ne della matrice AT PA, (la quale, se i pesi sono tutti uguali, si riduce alla ATA), semplifica di molto il problema. Esempio. Si sono misurati i tre angoli d’un triangolo con ripetute osservazioni che hanno permesso di stabilirne anche i pesi. I valori (gon) sono i seguenti: α1 = 80,0020 α2 = 41,2500 α3 = 78,7450
P1 = 1 P2 = 0,5 P3 = 0,3
Chiamate α°i delle stime attendibili degli angoli αi , ed xi le correzioni relative, si avranno le tre equazioni: α°1 + x 1 – α 1, OS = v 1 α°2 + x 2 – α 2, OS = v 2 α°1 + x 1 + α°2 + x 2 + α 3, OS – 200 = v 3 La terza equazione sarebbe in realtà analoga alle prime due, contenendo x3 . Ma le α°i non sono fra loro indipendenti, bensì legate fra di loro dalla condizione euclidea espresse dalla terza equazione. Indicate con li le α°i – α i, OS e avendo scelto: α°1 = α 1, OS ;
α°2 = α 2, OS
si ottiene: l 1 = α°1 = α 1, OS = 0 l 2 = α°2 = α 2, OS = 0 l 3 = α°1 + α °2 + α 3, OS – 200 = ( – 30 cc ) Ricordato che Ax + 1 = 0, la matrice dei coefficienti sarà 1 0 A= 0 1 1 1
AT = 1 0 1 011
e con la matrice dei pesi: AT P =
1 0 1 0 1 1
A T Pl =
A T PA =
1 0 0 = 1 0 0,3 0 0,5 0 0 0,5 0,3 0 0 0,3
1 0 0,(3) 0 0,5 0,(3)
1 0 0,3 1 0,5 0,3
0 – 10 0 = – 10 –3 1 0 1,3 0,3 0 1 = 0,3 0,83 1 1
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Il determinante della AT PA vale 1; per cui l’inversa sarà: ( A T PA ) –1 = 0, 83 – 0,3 – 0, 3 1,3
(6)
Si ha in definitiva: x = – ( A T PA ) –1 ( A T Pl ) = 0,83 – 0,3 – 0,3 1,3
– 10 = 5 – 10 10
le correzioni dei due angoli saranno perciò: x1 = 5cc x2 = 10cc e le vi valgono: v1 = x1 = 5cc v2 = x2 = 10cc v3 = 30 – x1 – x2 = 15cc La precisione può essere stimata come indicato. Ripresa la (6), i suoi termini diagonali dii sono: 0,83 e 1,3 La varianza dell’unità di peso è: v T P v 150 σ 02 = -------------- = --------- = 150 n– m 1 ed infine si ha: σ x1 = √150 × 0,83 = 11,3 σ x2 = √150 × 1,3 = 14,1 8.4.5 Osservazioni dirette condizionate. Si riconducono a osservazioni indirette (vedi esempio precedente dove la condizione era che la somma degli angoli fosse uguale a 200 gon).
9
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO 9.1
CALCOLO NUMERICO
Il calcolo numerico studia i mezzi per ottenere risultati numerici con precisione prefissata. A partire dalla conoscenza del problema nelle sue linee generali (per esempio, calcolo dell’area di un certo terreno), si scelgono metodi di misura, modelli di calcolo e strumenti di calcolo per ottenere il risultato. Il calcolo numerico si interessa dei modelli di calcolo (formule e procedimenti) e tiene conto della precisione degli strumenti di calcolo. Non entra nel merito dell’acquisizione dei dati (di cui si occupa, in questo caso la Topografia) e non arriva fino all’organizzazione dei calcoli (di cui si occupa, per esempio l’Informatica). 9.1.1 Precisione di calcolo. La precisione del calcolo dipende da due tipi di errori: errori numerici, quelli legati allo strumento di calcolo e quindi al numero di cifre significative (diverse da zero) utilizzabili, e quelli di metodo, cioè legati allo schema adottato per il calcolo. Infatti formule e modelli matematici semplificano inevitabilmente la realtà introducendo una fonte di imprecisione (fig. 9.1).
Fig. 9.1 a) Area da calcolare. b) Area calcolata con suddivisione in rettangoli.
Un metodo pratico per capire come questi errori influenzano il risultato è quello di ripetere i calcoli con strumenti e metodi diversi e confrontare i risultati. Per esempio, nel caso delle misure di un’area si può provare ad aumentare il numero di suddivisioni fino a raggiungere la precisione richiesta (fig. 9.2.a). È intuitivo però pensare che oltre un certo limite l’aumento di precisione così ottenuto è vanificato dagli errori presenti nei dati (nel nostro caso le altezze delle strisce). Se si riportano in grafico i risultati, si ottiene una successione di valori inizialmente asintotica e poi oscillante attorno a un valore centrale (fig. 9.2.b). Per migliorare ancora la precisione, dopo il raffittimento delle suddivisioni, occorrono misure più precise o un modello più aderente alla realtà (per esempio si può passare da rettangoli a parabole – vedi Integrazione numerica –). Nei casi pratici si può avere qualche informazione sulla precisione finale dalle tecniche di simulazione per le funzioni non analitiche, oppure dall’esame dell’errore di troncamento se la funzione analitica è sviluppata in serie di potenze (vedi Sviluppi finiti).
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
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Fig. 9.2 a) Raffittimento delle suddivisioni dell’area da misurare. b) Grafico della successione dei risultati (A = area, n = numero di suddivisioni).
9.1.2 Calcolo con elaboratori elettronici. I numeri vengono registrati nella memoria di una calcolatore con un certo numero di cifre significative, separando mantissa ed esponente. Per esempio 0,023456 diventa 2,3456 E-2, che è la cosiddetta notazione scientifica e sta per 2,3456 × 10–2. L’errore che si commette trascurando le cifre del numero, oltre l’ultima cifra significativa considerata, viene detto errore di troncamento (es.: π = 3,14159... = 3,14, l’errore è 0,05 %). Il numero di cifre per la mantissa varia dal tipo di calcolatore e dal tipo di numero (se intero, o decimale in semplice o doppia precisione). Nei calcolatori più semplici e nelle calcolatrici tascabili i numeri sono di un unico tipo (semplice precisione) con 7-10 cifre significative. Per mettere in evidenza la precisione di un calcolatore soprattutto nel calcolo delle funzioni matematiche si possono alternare operazioni dirette e inverse, come radice e quadrato. Per esempio e = [√ (√ (√3)]8 – 3 = 1–10 oppure e = sin 1 / cos 1 – tan 1 = 1–11 (in rad), Di solito la precisione è maggiore nelle operazioni aritmetiche e inferiore nel calcolo di funzioni. Si deve soprattutto evitare di lavorare con differenze di numeri molto vicini. Se per esempio si calcola la funzione P6(x) = (x – 1)6 = 1 – 6x + 15x2 – 20x3 + 15x4 – 6x5 + x6 nell’intorno della radice multipla x = 1, anche con calcoli a 12 cifre, si ottengono risultati molto poco precisi per l’accumularsi di errori di troncamento (fig. 9.3). Se, per esempio, due numeri da sottrarre sono A = 0,991012312 e B = 0,991009987, risulta: 0,991012312 – 0,991009987 0,000002325 = 0,2325 × 10–5 Se il calcolatore lavora con sei cifre visualizzerà 0,991012 – 0,991010 0,000002 = 0,200 × 10–5 con un errore di 325 su 2325 pari a circa il 14%.
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MATEMATICA
Fig. 9.3 Grafico della funzione P6(x) = (x – 1)6, calcolata in forma espansa: P6(x) = 1 – 6x + 15x2 – 20x3 + 15x4 – 6x5 + x6. (Risultati moltiplicati per 1010).
Nei calcolatori un altro tipo di errori sono gli errori di conversione, dovuti al passaggio dalla base decimale a quella binaria e viceversa. In questa trasformazione accade spesso che un numero razionale con un numero finito di decimali nell’una base dia luogo a un numero infinito di decimali nell’altra base, con conseguente errore di troncamento. Ad esempio: si trasformi in binario il decimale 0,3: si ha:
[0,3]10 = [0,01001100110...]2
Si tronchi il numero binario alla 6 a cifra e si riconverta in decimale: si ha
1 1 1 19 [0,010011]2 = --- + ------ + ------ = ------ = [0,296...] 10 4 32 64 64
Le funzioni matematiche già presenti nel calcolatore si chiamano funzioni intrinseche. Le più usuali sono sin x, cos x, tan x, log x, ln x, xy, assieme alle rispettive funzioni inverse. Se mancano si possono derivare dalle precedenti. Per esempio in BASIC spesso non si ha sin–1 e cos–1 per cui si ricavano con tan–1. sin–1 = tan–1 (x/√(1 – x2)) cos–1 = π/2 – tan–1 (x/√(1 – x2)) 9.1.3
Zeri di una funzione.
a) Metodo di bisezione. Sia data una funzione f; ci si propone di determinare i suoi zeri su un intervallo [xmin, xmax] fissato. Supponiamo che si conosca un intervallo
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
A-251
[a, b] sul quale la funzione cambia di segno, tale cioè che f (a) · f (b) < 0. Se la funzione f è continua, noi sappiamo che questo intervallo contiene allora una radice di f. Andremo pertanto a dimezzare quest’intervallo ponendo: c = (a + b)/2. Sono allora possibili due casi: se f (c) è del segno di f (a), la radice appartiene all’intervallo [c, b]; se f (c) è del segno opposto a f (a), la radice appartiene all’intervallo [a, b]. Abbiamo perciò inquadrato la radice in un intervallo due volte più piccolo. Basta ripetere il processo finché non si raggiunge la precisione richiesta (fig. 9.4.a). ( RADIB.BAS). b) Metodo di Newton. Data l’equazione f (x) = 0, il metodo di Newton (detto anche metodo delle tangenti) consiste nel calcolare una successione di valori (xn) che convergono verso la radice α dell’equazione. Partendo da un punto xo, si calcola successivamente: f ( x0 ) -; x 1 = x 0 – ------------f ' ( x0 )
f ( x1 ) -; ... ; x 2 = x 1 – ------------f ' ( x1 )
f ( xn – 1 ) x n = x n – 1 – ------------------f ' ( xn – 1 )
Il processo si ferma quando la differenza | xn – xn–1 |, diventa inferiore all’errore massimo fissato: xn è allora un valore approssimato di α. Il metodo è applicabile sotto la doppia condizione seguente: la funzione deve essere derivabile e la derivata non deve annullarsi in vicinanza di α. In particolare, il metodo non può essere utilizzato RADIS.BAS). per la determinazione delle radici multiple (fig. 9.4.b). (
Fig. 9.4 a) Metodo di bisezione. b) Metodo di Newton.
9.1.4 Sistemi di equazioni. Nel capitolo di Algebra lineare sono trattati metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni. Viene usato il metodo di Gauss per le equazioni lineari, quello di Gauss-Jordan per il calcolo della matrice inversa e quello di Gram-Schmidt per sistemi di equazioni lineari sovrabbondanti, anche di peso diverso. Lì viene anche presentato un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema di equazioni non lineari. In questo paragrafo si tratta di problemi legati al calcolo numerico. a) Ricerca del massimo pivot. Il metodo di Gauss fallisce se un coefficiente è nullo sulla diagonale principale. In questo caso basta scambiare le righe per ottenere la so-
A-252
MATEMATICA
luzione. Per esempio: ⎧ 0x + 1y = 1 ⎧1x + 0y = 2 ⎧x = 2 →⎨ →⎨ ⎨ ⎩1x + 0y = 2 ⎩0x + 1y = 1 ⎩y = 1 Nei casi in cui ci sono molte righe si sostituisce la riga con l’elemento nullo sulla diagonale principale (elemento «pivot») con quella delle righe seguenti che ha il corrispondente elemento massimo. Il sottoprogramma indicato in figura 9.5 realizza questa funzione. Può essere aggiunto in fondo al programma SOLSI e richiamato alla riga 2022.
Fig. 9.5 Soluzione di un sistema con la ricerca della riga col pivot massimo. a) Modifiche al programma SOLSI (vedi Algebra Lineare). b) Esempio di utilizzo. ( SOLPI.BAS)
b) Fattore di scala. In certi casi il confronto tra i pivot deve essere preceduto dalla divisione degli elementi di una stessa riga per un fattore opportuno. Per esempio, consideriamo il sistema: ( 2 ) 10 13 1 (1)
x1
=
x2
10 13 2
( ) = pivot
Per effetto degli errori di troncamento si ha una soluzione errata se si usa il procedimento usuale (fig. 9.6.a). (La soluzione giusta si ottiene, in questo caso, invertendo le righe, vedi figura 9.6.b). Questi casi si evitano «scalando» le righe: si dividono per il coefficiente maggiore tutti i coefficienti di una stessa riga (fig. 9.7). Poi si ricerca il pivot massimo e si scambiano le righe. Da notare che il calcolatore tronca i valori esatti che sono xi = 1,0000000000002 e x2 = 0,9999999999998, e dà xi = 1 e x2 = 1. Il sistema dato, con le righe ridotte per i fattori di scala, diventa 2 × 10 –13 1 1 1
x1 x2
= 1 2
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
A-253
Fig. 9.6 Risoluzione senza fattore di scala. a) Senza scambio di righe. b) Con scambio.
Fig. 9.7 Risoluzione con fattore di scala. a) Aggiunte al programma. b) Risultati. ( SOLFA.BAS)
c) Sistema tridiagonale. In certi casi si deve risolvere un sistema di equazioni lineari con coefficienti diversi da zero soltanto sulla diagonale principale e sulle sue diagonali adiacenti. Per esempio: d 1 u1 0
0
0
x1
b1
l2 d 2 u2 0
0
x2
b2
0
l3 d 3 u3 0
x3 = b3
0
0
l4 d 4 u4
x4
b4
0
0
0
x5
b5
l5 d 5
In questo caso il metodo di eliminazione di Gauss viene semplificato (fig. 9.8).
A-254
MATEMATICA
Fig. 9.8 Programma per la risoluzione di un sistema tridiagonale. (
TRIDI.BAS)
d) Metodo iterativo di Gass-Seidel. Talvolta è conveniente utilizzare un metodo iterativo piuttosto che un metodo diretto per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari. Uno dei metodi più usati è quello di Gauss-Seidel. Sia dato un sistema di n equazioni Ax = b Se gli elementi diagonali sono tutti diversi da zero, si può risolvere la prima equazione, rispetto a x1, la seconda rispetto a x2, e così via: b 1 – a 12 x 2 – a 13 x 3 – ··· – a 1n x n x 1 = ------------------------------------------------------------------a 11 b 2 – a 21 x 1 – a 23 x 3 – ··· – a 2n x n x 2 = ------------------------------------------------------------------a 22 b 3 – a 31 x 1 – a 33 x 2 – ··· – a 3n x n x 3 = ------------------------------------------------------------------a 33
.. .
.. .
b n – a n1 x 1 – a n2 x 2 – ··· – a n, n – 1 x n – 1 x n = -------------------------------------------------------------------------------a nn Il procedimento iterativo consiste nel partire con un insieme di valori opportuni x(20 ) , ,..., x(n0 ) e calcolare x(11 ) (l’indice tra parentesi è il contatore delle iterazioni). Poi
x (30 )
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
A-255
con x(11 ) , x(30 ) , ..., x(n0 ) , calcolare x(21 ) , e così via. Il metodo converge alla soluzione se gli elementi della diagonale principale aii sono maggiori, in valore assoluto, della somma degli altri elementi | aii | > Σ ⏐ aij ⏐ Spesso è conveniente accelerare i calcoli dando una sovracorrezione nel modo seguente. Sia ∆x = x (k) – x (k–1) la variazione di x (con indice qualunque) tra una iterazione (k) e la precedente (k – 1). Si applica la formula x (k) = x (k–1) + f ∆x dove f è un fattore numerico che varia tra zero e due: 0 ≤ f ≤ 2. Di solito un valore utile di f è circa 1,2. Si può utilizzare come test di convergenza la somma dei valori assoluti | x (k – x (k–1)⏐ < e, dove e è il valore dell’errore ammissibile nel caso considerato. Nella figura 9.9 viene riportato un programma per la soluzione di un sistema col metodo di Gauss-Seidel. Questo programma, modificato in modo opportuno, consente un notevole risparmio nell’occupazione di memoria del calcolatore, in casi particolari (vedi Programmi di Matematica). Anche in questo caso si usa la correzione con un fattore di scala e lo scambio delle righe in base al massimo pivot. 9.1.5
Derivazione numerica
a) Derivata prima Se al posto della tangente in un punto, si utifizza la secante (fig. 9.10.a), si ottiene un valore approssimato per la derivata prima, dal rapporto f ( xb ) – f ( xa ) f ' ( x c ) ≅ ------------------------------xb – xa se i punti sono equidistanti (xe – xa) = (xb – xc) = h, si ottiene f ( x + h) – f ( x – h) f ' ( x ) ≅ --------------------------------------------2h L’ordine di grandezza dell’errore è h2. Questo rapporto viene anche detto rapporto incrementale. Si usa anche la f ′(x) = ( f (x + h) – f (x))/h che è meno precisa (errore di ordine h). b) Derivata seconda. Ripetendo il rapporto incrementale tra due valori della derivata prima si ha una approssimazione (con errore di ordine h2), della derivata seconda, per punti equidistanti (fig. 9.10.b) f ( x + 2 x) – 2 f ( x) + f ( x – 2h) f ″ ( x ) ≅ ----------------------------------------------------------------------4h2 Con formule così elementari non si procede oltre la derivata seconda. Infatti i valori che si ottengono non sono più attendibili a causa degli errori di troncamento (si fanno differenze di valori molto simili). Per maggiori precisioni o per derivate oltre la seconda conviene interpolare con un polinomio e farne la derivata (vedi Interpolazione polinomiale). c) Derivate parziali. Si opera come per le derivate usuali (totali), con l’avvertenza di incrementare una sola variabile indipendente per volta (vedi Jacobiano). Per esem-
A-256
MATEMATICA
Fig. 9.9 Programma Gauss-Seidel con esempio di applicazione. (
SEIDE.BAS)
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
A-257
pio ∂z ( x, y ) z ( x + h, y ) – z ( x – h, y ) -------------------- = -------------------------------------------------------∂z 2h oppure
∂z ( x, y ) z ( x + h, y ) – z ( x, y ) -------------------- = -----------------------------------------------∂x h
più semplice ma meno precisa.
Fig. 9.10 Derivate numeriche. a) Derivata prima. b) Derivata seconda.
9.1.6
Sviluppo finito di funzioni
a) Serie di Taylor e Mac Laurin. Il metodo standard per approssimare complesse funzioni quali le funzioni trascendenti, è lo sviluppo in serie di Taylor. Una serie di Taylor è una serie infinita di termini che rappresentano l’andamento della funzione nell’intorno di un punto. Se la serie converge al valore vero della funzione in quel punto, è detta analitica. Perché una serie di Taylor sia applicabile, la funzione deve essere infinitamente differenziabile, cioè devono esistere tutte le derivate nel punto in questione (eventualmente nulle). La definizione di serie di Taylor di f (x) è: f (x) = f (xo) + (x – x0) f ′ (x0) + (x – x0)2 f ″ (xo)/2! + (x – xo)3 f ″′ (xo)/3! + ··· La serie si usa quando è noto il valore della funzione in un punto xo e si cerca il suo valore in un punto vicino x. Se scriviamo la serie di Taylor nell’intorno del punto xo = 0, otteniamo: f (x) = f (0) + x f ′ (0) + x2 f ″ (0)/2! + ··· + x n f (n) (0)/n! + ··· Questa forma prende il nome di serie di Mac Laurin ed è la versione più comunemente usata della serie di Taylor (tab. 9.1). b) Criterio di convergenza. Naturalmente, siccome ci muoviamo in campo numerico, non possiamo considerare tutti gli infiniti termini della serie. Occorre troncare la serie in modo da non incorrere in un errore troppo grande. L’errore dipende dal numero di termini usati e dalla natura della funzione nell’intorno del punto di valutazione. Quando si tronca una serie, occorre valutare se il numero di termini considerati è sufficiente per ottenere l’accuratezza desiderata. Una buona regola generale per stabilire
A-258
MATEMATICA
la convergenza è: ⏐fn (x) – fn+1(x)⏐< ε. Ciò significa che, quando la differenza tra due termini consecutivi è minore di una costante prefissata ε, siamo in un caso accettabile. Bisogna fare molta attenzione nell’usare questa regola. Quando i termini troncati diventano sempre più piccoli, di un fattore 10 o più, e si alternano in segno, questa è una buona valutazione. Questo non è vero in altre situazioni. Consideriamo la ∞
serie generata da S = ∑ l/i . Questa serie può essere troncata con qualsiasi ε, non imi =1
porta quanto piccolo, infatti i termini decrescono. Tuttavia questa serie è divergente, cioè non ammette limite superiore. Questo caso estremo, insegna che una serie, pur soddisfacendo il criterio di convergenza, può in realtà non convergere. Tabella 9.1 1/(1 ⴞ x) = 1 ⴟ x + x2 ⴟ x3 + ··· =
Principali sviluppi di Mac Laurin ∞
∑
(ⴟ 1)n xn
(– 1 < x < 1)
n =0
x3 x5 sin x = x – ----- + ----- – ··· = 3! 5!
∞
x2n + 1
∑ ( –1 ) n --------------------( 2 n + 1 )!
(R = + ∞)
n =0
∞ x2n x2 x4 cos x = 1 – ----- + ----- – ··· = ∑ ( – 1 ) n ------------( 2 n )! 2! 4! n =0
(R = + ∞)
∞ x2n + 1 x3 x5 x7 tan–1 x = x – ----- + ----- + ----- + ··· = ∑ ( – 1 ) n --------------2 n+ 1 3 5 7 n =0
(–1 ≤ x ≤ 1)
∞ xn x2 x3 x4 ln (1 + x) = x – ----- + ----- – ----- + ··· = ∑ ( – 1 ) n + 1 ----n 2 3 4 n =1
(–1 < x ≤ 1)
∞ xn x2 x3 ex = 1 + x + ----- + ----- + ··· = ∑ ----n ! 2! 3! n =0
(per a x porre a x = e x ln a ) )
a (a – 1) (1 + x)α = 1 + a x + --------------------- x 2 + ··· = 2
(R = + ∞)
∞
∑ ⎛⎝ na ⎞⎠ x n
(–1 < x < 1)
n =0
c) Ordine della somma. Occorre evitare la somma di numeri molto piccoli a numeri elevati, che è una delle principali fonti di errori numerici. Per questo motivo è conveniente valutare la serie di Taylor in modo inverso (dai termini di ordine maggiore a quelli di ordine minore) per evitare gravi errori di troncamento. d) Velocità di convergenza. Anche se la serie di Taylor converge ad un valore corretto, non si può dire nulla della velocità con cui converge. Se la convergenza è lenta è necessario considerare molti più termini, rispetto al caso di convergenza rapida, per ottenere l’accuratezza richiesta. e) Coefficienti ai minimi quadrati. Per migliorare la convergenza un metodo largamente usato è l’interpolazione con polinomiali. Siccome la serie di Ta ylor altro non
A-259
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
Tabella 9.2
Funzione
Prima approssimazione
1/(1 + x)
1–x
1/(1 +
x)2
1/(1 +
x)3
√(1 + x) 3
(1 + x)
1 – 2x 1 – 3x 1 + x/2 1 + x/3
Approssimazioni di uso frequente
Errore ≤ 10–3 10–2 per | x | ≤ 0,031 0,018 0,012 0,087 0,095
0,099 0,055 0,039 0,25 0,27
Seconda approssimazione 1 – x + x2
Errore ≤ 10–3 per | x | ≤
10–2
0,096
0,20
1 – 2x +
3x2
0,063
0,12
1 – 2x +
6x2
0,46
0,095
1 + x/2 –
x2/8
0,25
0,48
1 + x/3 –
x2/9
0,25
0,47
3x2/32
(1 + x)
1 + x/4
0,10
0,29
1 + x/4 –
0,24
0,49
1/√(1 + x)
1 – x/2
0,050
0,15
1 – x/2 + 3x2/8
0,14
0,28
1/ 3 ( 1 + x )
1 – x/3
0,065
0,19
1 – x/3 + 2x2/9
0,17
0,34
(1 + x)/(1 – x)
1 + 2x
0,022
0,068
1 + 2x + 2 x 2
0,077
0,16
[(1 + x)/(1 – x)]2
1 + 4x
0,011
0,034
1 + 4x + 8 x 2
0,043
0,090
0,12
0,25
0,63
1,04
4
√[(1 + x)/(1 – x)] sin x sin2
x
x
cos x cos2
1+x
x
0 1 1
0,043 0,18 0,031 0,044 0,031
0,13
1+x+
0,39
x–
x3/6
0,10
x2
0,14 0,10
x2/2
0,23
0,41
1–
x2/2
0,39
0,70
1–
x2
0,23
0,42
x3/3
tan x
x
0,14
0,30
x+
0,38
0,58
sin–1 x
x
0,18
0,38
x + x3/6
0,42
0,63
cos–1 x
π/2 – x
0,18
0,38
π/2 – x – x3/6
0,42
0,63
tan–1 x
x
0,14
0,31
x – x3/3
0,35
0,57
cot–1 x
π/2 – x
0,14
0,31
π/2 – x + x3/3
0,35
0,57
0,17
0,38
0,14
0,33
0,20
0,45
ex ln (1 + x) lg (1 + x)
1+x x 0,4343x
0,044 0,044 0,069
0,13
1+x+
0,14
x2/2
0,23
x–
x2/2
0,4343 + 0,2171
x2
è che una polinomiale, le tecniche di regressione curvilinea ci forniscono la possibilità di calcolare i coefficienti migliori affinché la polinomiale interpoli con precisione i dati. In questi casi occorrerà interpolare con curve e il problema diventerà quindi quello di ricercare la miglior curva che minimizzi la somma degli scarti al quadrato.
A-260
MATEMATICA
Si riportano i polinomi per il calcolo delle funzioni trigonometriche dove A = angolo in gradi centesimali (gon). cos A = 1 + C2 W 2 + C4 W 4 + C6 W 6 + C8 W 8 + C10 W10 e
C2 = – 4,934745; C10 = – 0,020577
e
C4= 4,058041;
C6= – 1,332369;
con
W = A/200
C8= 0,229650
sin A = cos (100 – A) tan A = sin A / cos A sin–1 A = 100 { 1 – 1 – A [ P 6 ( A ) ] }
dove: con
P6 (A) = 1 + C1 A + C2 A2 + C3 A3 + C4 A4 + C5 A5 + C6 A6, C1= – 0,1366092; C2 = 0,0565036; C3 = – 0,0310686; C4 = 0,0171250 C5= – 0,0070959; C6 = 0,0014617. tan–1 A = 100 [1/2 + C1 W + C3 W 3 + C5 W 5 + C7 W 7 + C9 W 9]
dove:
W = (A – 1)/(A + 1)
con: C1 = 0,63653;
C3 = – 0,21028;
C5 = 0,11468;
C7 = – 0,05420;
C9 = 0,01327
f) Prima approssimazione. In alcuni tipi di calcoli dove non sia richiesta una estrema precisione si è dimostrato vantaggioso usare solo i primi termini di uno sviluppo in serie di potenze. Spesso, per piccoli angoli, al posto di sin x si pone x. La tabella 9.2 riassume le formule più frequentemente usate e il loro campo di validità. 1 valori riportati per ⏐x⏐ non devono essere superati se si vuole che l’errore, nell’usare l’approssimazione, non superi 0,001 o 0,01. Per scopi pratici è spesso sufficiente mantenere l’errore al di sotto del 0,1% o del 1%. In casi come questo è possibile sostituire al posto di sin–1 x semplicemente x in un intervallo che non superi 10 gon. 9.1.7
Interpolazione lineare e polinomiale
a) Interpolazione lineare. Sono dati due punti di coordinate P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) e si vogliono determinare le coordinate di un punto P (x, y) appartenente alla retta per P1 e P2 . Si ha, dato x, y = y1 + (x – x1) a1, con a1 = (y2 – y1)/(x2 – x1). Il coefficiente a1 è simile al rapporto incrementale che si utilizza per il calcolo della derivata prima numerica (fig. 9.11.a). b) Interpolazione quadratica. Sono dati tre punti P1, P2 e P3 e si vogliono determinare le coordinate di un quarto punto P(x, y) appartenente alla parabola passante per i primi tre. Si ha, dato x, y = y1 + (x – x1) a1 + (x – x1) (x – x2) a2 , con a1 uguale a quello dell’interpolazione lineare e a2 dato da a2 = ( y(21 ) – y(11 ) )/(x3 – x1), con y 1( 1 ) = a1 e y 2( 1 ) = (y3 – y2)/(x3 – x2). Si vede che a2 si comporta come una derivata seconda numerica (fig. 9.11.b). c) Interpolazione polinomiale. Se i punti sono n, P1, P2, ..., Pn, si può determinare la posizione di un punto P(x, y) che appartenga al polinomio di ordine n – 1, passante per gli n punti dati. Si ha, dato x, y = y1 + (x – x1) a1 + ... + (x – x1) (x – x2) ... (x – xn–1) an–1
A-261
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
Fig. 9.11 a) Interpolazione lineare. b) Interpolazione quadratica (parabola), c) Interpolazione polinomiale.
dove il coefficiente ak si comporta come la k-esima derivata numerica ed è ricavabile dai termini y(k – 1) di ordine k – 1 (fig. 9.11.c). Raccogliendo i fattori comuni il polinomio si può scrivere nella forma: y = y1 + (x – x1) (a1 + (x – x2) (a2 + ··· + (x – xn–1) an–1))))... Se, a partire dalle coordinate dei punti dati, si calcolano i termini y(k) come rapporti incrementali su intervalli di ampiezza crescente, si ottengono i coefficienti ai del polinomio interpolante. Questo metodo viene anche chiamato metodo di Newton delle differenze divise. Esempio. Determinare il polinomio interpolante i punti P1 (1, 2), P2 (2, 3), P3 (– 1, 18) e P4 (0, 5). Le tre y (1) sono: y 1( 1 ) = (3 – 2)/(2 – 1) = 1, y 2( 1 ) = (18 – 3)/(– 1– 2) = – 5, y 3( 1 ) = (5 – 18)/(0 + 1) = – 13. Le due y(2) sono: y 1( 2 ) = (– 5 – 1)/(– 1 – 1) = 3, y 2( 2 ) = (– 13 + 5)/(0 – 2) = 4 e y 1( 3 ) = (4 – 3)/(0 – 1) = –1. Per cui il polinomio è y = 2 + (x – 1) (1 + (x – 2) (3 – (x + l))). I risultati precedenti possono essere ordinati nella tabella: Punti
x
y
1
(1)
(2)
2
(2)
3
3
(–1)
18
4
0
5
y (1) (1) –5 – 13
y (2) (3) 4
y (3)
(–1)
Tra parentesi sono indicati i valori che compaiono nel polinomio (x1, x2, x3, y1, al, a2, a3). In figura 9.12 è riportato il programma che calcola i coefficienti y(k) del polinomio e l’ordinata di nuovi punti della curva. Su disco viene riportato un programma SPLIN.BAS) che utilizza l’interpolazione cubica. ( 9.1.8 Regressione lineare e polinomiale. I problemi di regressione (detti anche di interpolazione fra i punti) consistono nel determinare i coefficienti di una funzione matematica (retta, piano, polinomio, ecc.) che approssimi un insieme di punti dati quando il numero dei punti è maggiore di quello strettamente necessario (2 per la retta, 3 per il piano, 3 per la parabola, ecc.).
A-262
MATEMATICA
Fig. 9.12 Programma per l’interpolazione lineare. La prima parte calcola i coefficienti del polinomio che interpola i punti dati, la seconda calcola le ordinate di punti nuovi, date le ascisse. ( INPOL.BAS)
Il criterio che si segue è quello dei minimi quadrati. Si scelgono cioè i coefficienti della funzione che rende minima la somma degli scarti, al quadrato, tra punto dato e valore della funzione corrispondente. Il problema si traduce quindi nella risoluzione di un sistema di equazioni lineari con più equazioni che incognite (vedi Algebra lineare). a) Regressione lineare. Dato un insieme di punti P1, P2, ..., Pn, con n ≥ 3, si vogliono determinare i coefficienti della retta di equazione y = ax + b in modo da rendere minima la somma degli scarti tra punti e retta (fig. 9.13.a). Il coefficiente a è dato da n Σ xi yi – Σ xi Σ yi a = -------------------------------------------n Σ x i2 – ( Σ x i ) 2
A-263
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
b = y – ax
mentre:
dove y e x sono le medie delle y e delle x. Esempio
Σ
x
y
x2
xy
5,3 3,5 3,0 1,2 0,48 – 0,26
44 20 24 14 12 3
28,1 12,3 9,0 1,44 0,23 0,07
233 70,0 72,0 16,8 5,8 – 0,8
13,22
117
51,14
396,8
Da cui a = (6 × 396,8 – 13,22 × 117)/(6 × 51,14 – 13,222) = 6,315 e b = 117/6 – 6,315 × 13,22/6 = 5,585 b) Regressione lineare multipla. Consideriamo inizialmente una funzione lineare di due variabili z = a x + b y + c, in seguito si tratta il caso di m variabili. Si vogliono determinare i coefficienti a, b e c, dato un insieme di punti P1, P2, ..., Pn in modo che sia minima la somma degli scarti al quadrato, tra i punti e il piano di equazione z = a x + b y + c (fig. 9.13.b). Per ricavare i coefficienti basta risolvere il sistema n Σx Σy Σ x Σ x 2 Σ yx Σ y Σ yx Σ y 2
c a = b
Σz Σ xz Σ yz
Esempio. Dati i valori della tabella sottostante, calcolare i coefficienti del piano di regressione.
Σ
z
x
y
x2
y2
xy
xz
yz
5 10 9 0 3 27
0 2 2,5 1 4 7
0 1 2 3 6 2
0 4 6,25 1 16 49
0 1 4 9 36 4
0 2 5 3 24 14
0 20 22,5 0 12 189
0 10 18 0 18 55
54
16,5
14
76,25
54
48
243,5
101
si ottiene il sistema 6 16,5 14 16,5 76,25 48 14 48 54
c 54 a = 243,5 101 b
che risolto dà c = 5, a = 4, b = – 3 (per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari vedi Algebra lineare).
A-264
MATEMATICA
Fig. 9.13 a) Regressione lineare. b) Regressione lineare multipla.
Nel caso di m variabili x1, x2, ... xm la regressione lineare multipla può essere espressa nella forma y = a0 + a1x1 + a2x2 + ··· + am xm e il sistema di equazioni diventa n
Σ x 1, i
Σ x 1, i Σ x 12, i
Σ x 2, i
a0
Σ x 2, i x 1, i … Σ x 1, i x m, i
Σ x 2, i Σ x 2, i x 1, i Σ x 22, i
.. .
.. .
… Σ x m, i
.. .
Σ yi
a1
Σ x 1, i y i a 2 = Σ x 2, i y i
… Σ x 2, i x m, i
.. .
.. .
.. .
am
Σ x m, i Σ x m, i x 1, i Σ x m, i x 2, i … Σ x m2 , i
Σ x m, i y i
con n ≥ m. Queste equazioni vengono anche dette normali. c) Regressione polinomiale. In questo caso il procedimento si applica a un polinomio di grado m che possiamo scrivere nella forma y = a0 + a1x + a2 x2 + ... + axm Dati n punti P1, P2, ...., Pn di coordinate note xi , yj , si calcolano i coefficienti a0, a1, ..., am, del polinomio risolvendo il sistema normale n
Σ xi
Σ x i2
… Σ x im
a0
Σ xi
Σ x i2
Σ x i3
… Σ x im + 1
a1
Σ x i2
Σ x i3
Σ x i4
Σ x im + 2
a2
.. .
.. .
.. .
…
.. .
Σ x im Σ x im + 1 Σ x im + 2 … Σ x i2 m
.. .
Σ yi Σ xi yi =
am
Σ x i2 y i
.. .
Σ x im y i
Esempio: Calcolare i coefficienti del polinomio del secondo ordine (parabola) dati i 5 punti x
0
1
2
3
4
5
y
2,1
7,7
13,6
27,2
40,9
61,1
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
A-265
Si ha: m = 2, n = 6, e il sistema risolvente 6a0 + 15a1 + 55a2 = 152,6 15a0 + 55a1 + 225a2 = 585,6 55a0 + 225a1 + 979a2 = 2488,8 da cui a0 = 2,48, al = 2,36, a2 = 1,86. d) Calcolo della precisione. Si calcola la varianza degli scarti tra i valori dati e quelli calcolati S = Σ (y – y0)2. Per ottenere una stima della varianza dell’errore medio si divide per il numero delle misure sovrabbondanti, n – m, meno uno (vedi Stime statistiche). Per cui S σ = -------------------n– m– 1 dove n è il numero dei dati, m il grado del polinomio (o il numero delle variabili indipendenti della regressione lineare multipla, m = 1 per il caso di regressione lineare semplice). Se si indica con Sy = Σ (y – y )2 la varianza rispetto al valore medio, il coefficiente r = √[(Sy – S)/Sy] si chiama coefficiente di correlazione. Quanto più i dati si avvicinano alla funzione ipotizzata, tanto più r si avvicina a uno. r è diverso dal coefficiente di correlazione lineare ρ (vedi Statistica). Esempio.
Nel caso dell’esempio precedente si calcola il valore di S = Σ (y – y0)2 con S = Σ[yi – (2,48 + 2,36 xi + 1,86 x i2 )]2 = 3,75,
calcolato il valore medio y = 25,4, si ha S = Σ(y – y )2 = 2513, da cui σ = √[3,75/ (6 – 3)] = 1, 12 e r = √[(2513 – 3,75)/2513] = 0,999. e) Regressione non lineare in generale. In questo caso ci si riduce ad una applicazione dei metodi di risoluzione di un sistema di n equazioni in m incognite col criterio dei minimi quadrati (vedi Programmi di Matematica). 9.1.9
Integrazione numerica
a) Metodo di Simpson. Per valutare l’integrale di f (x) nell’intervallo a, b, si divide l’intervallo in 2 n parti di ampiezza h in cui si sostituisce la funzione con un arco di parabola. Ci sono dunque (2 n + 1) punti xi , con x0 = a e x2n = b (fig. 9.14). L’area della striscia i-esima è data da: Ai = h [f (x2i) + 4 f (x2i+1) + f (x2i+2)]/3 e l’integrale è approssimato da
∫a b
f ( x ) d x ≅ Σ Ai
con
i = 1, 2 , … , n – 1
Il programma di figura 9.15 calcola l’integrale con questo metodo, n può essere incrementato fino a ottenere la precisione voluta.
A-266
MATEMATICA
Fig. 9.14 Integrazione numerica col metodo di Simpson.
Fig. 9.15 Programma per il calcolo numerico di un integrale definito col metodo di Simpson. ( SIMPS.BAS)
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
9.2
A-267
CALCOLO GRAFICO
9.2.1 Carte logaritmiche e statistiche. Per determinare su un grafico il valore di una funzione in un punto si cerca, se possibile, di rappresentare la funzione data con una retta, con l’uso di carte apposite. Le carte disponibili sono di tipo logaritmico, semi-logaritmico e probabilistico (statistico) (fig. 9.16). Per l’uso della carta probabilistica vedi Statistica. Per l’uso della carta logaritmica e semi-logaritmica vedi la tabella 9.3.
Fig. 9.16 a) Carta logaritmica. b) Carta semi-logaritmica. c) Carta statistica o probabilistica.
9.2.2 Nomogrammi di collineazione. Si tratta di grafici su cui ottenere risultati per mezzo di allineamenti. Per esempio per il calcolo della somma x + y = z vedi figura 9.17.a. Con scale logaritmiche si ha per esempio il nomogramma del prodotto (fig. 9.17.b) e così via fino a ottenere soluzioni di relazioni complesse (fig. 9.17.c).
Fig. 9.17 Nomogrammi. a) Somma. b) Prodotto. c) Soluzione dell’equazione di secondo grado
(es.: a = 4, b = – 12, x1 = 2, x2 = – 6).
y
y
y
y = a + bx
(log y) = (log a) + (b log e)x
(log y) = (log a) + b (log x)
1 y = a + b --- x
y = a + bx
y = aebx
y + axb
b y = a + --x
N.
1
2
3
4
y
arit.
log.
log.
arit.
Ascissa
1--- x
x
x
x
Variabile
Tipo di carta
Scala
Ordinata Variabile
Tipo di equazione
Equazione linearizzata
Scelta del modo di linearizzare alcuni tipi di funzioni
Funzione in carta normale (aritmetica)
Tabella 9.3
arit.
log.
arit.
arit.
Scala
A-268 MATEMATICA
1 --- y
b c 1 --- = --- + --- x y a a
x a + bx
y = --------------
a b + cx
y = c + beax
y = c + axb
6
7
8
+ (b – 1) log x
dy log ----- = (log ab) dx
+ (a log e)x
dy log ----- = (log ab) dx
--x y
--x = a + bx y
y = --------------
5
∆y ----- ∆x
∆y ----- ∆x
log.
log.
arit.
arit.
Ascissa
x
x
x
x
Variabile
Tipo di carta
Scala
Ordinata Variabile
N.
Equazione linearizzata
Segue
Tipo di equazione
Funzione in carta normale (aritmetica)
Tabella 9.3
log.
arit.
arit.
arit.
Scala
CALCOLO NUMERICO E GRAFICO
A-269
Sezione B Informatica 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7
AMBIENTI Calcolatori Struttura di un computer ............................................................................... Memorie ........................................................................................................ CPU............................................................................................................... Categorie di computer ................................................................................... Sistemi operativi Struttura del sistema operativo...................................................................... Modalità di funzionamento del sistema operativo ........................................ Il sistema operativo del PC ........................................................................... Sistemi operativi delle workstation............................................................... Sistemi operativi dei mainframe ................................................................... Accessori per personal computer Introduzione .................................................................................................. Schede grafiche e monitor............................................................................. CD-ROM....................................................................................................... Stampanti ...................................................................................................... Plotter ............................................................................................................ Scanner.......................................................................................................... PCMCIA .......................................................................................................
2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.3
SISTEMI SOFTWARE Groupware Introduzione .................................................................................................. Messaggistica ................................................................................................ Gestione dei compiti ..................................................................................... Collaborazione .............................................................................................. Pianificazione................................................................................................ Applicazioni e piattaforme proprietarie ........................................................ Prodotti.......................................................................................................... Internet .......................................................................................................... Interazione uomo-macchina Interfaccia...................................................................................................... Tipi di interfacce ........................................................................................... Interfacce internazionali................................................................................ Globalizzazione............................................................................................. Localizzazione .............................................................................................. Sviluppo del software
5 5 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 9 9
10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12
B-2
INFORMATICA
2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7
Fasi................................................................................................................ Costo degli errori .......................................................................................... Tecniche di costruzione ................................................................................ Qualità del software ...................................................................................... Unified Modeling Language......................................................................... Linguaggi Linguaggi di programmazione...................................................................... La traduzione del programma. ...................................................................... Visual Basic. ................................................................................................. Java ............................................................................................................... HTML ........................................................................................................... XML ............................................................................................................. JavaScript......................................................................................................
3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6
APPLICAZIONI Programmi scientifici Introduzione.................................................................................................. Programmi per la matematica ....................................................................... Programmi per l’ingegneria .......................................................................... Informatica per il Management Introduzione.................................................................................................. Prodotti per l’ottimizzazione della produttività individuale ......................... Prodotti per l’ottimizzazione dei lavori cooperativi. .................................... Settori specialistici di maggiore interesse..................................................... Alcuni produttori pricipali ............................................................................ Basi di conoscenza del manager ................................................................... Specifiche tecniche dei prodotti attuali......................................................... Image Processing Computer graphics........................................................................................ Rappresentazioni delle immagini: vettori e bitmap ...................................... Formati dei file grafici .................................................................................. Formati per animazione e video ................................................................... Compressione dei dati................................................................................... File audio MIDI ............................................................................................................. Creazione di musica al computer.................................................................. Musica digitale.............................................................................................. Formati audio................................................................................................ Desktop Publishing Editoria con il computer ............................................................................... Un sistema per DTP...................................................................................... PDL e PDF.................................................................................................... CorelDRAW ................................................................................................. PageMaker di Adobe .................................................................................... Altri prodotti per DTP ..................................................................................
13 13 13 15 15 15 15 16 16 16 16 17
18 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 22 22 23 23 23 23 24 24 25 25 25 25 26 26
INFORMATICA
3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.6.5 3.6.6 3.6.7 3.6.8 3.6.9 3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4 3.7.5 3.7.6 3.7.7 3.7.8 3.7.9 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.8.4 3.8.5 3.8.6 3.8.7 3.9 3.9.1 3.9.2 3.9.3 3.9.4 3.9.5 3.9.6 3.9.7 3.9.8
Office Automation Introduzione .................................................................................................. Le suite e l’integrazione tra ambienti............................................................ Contenuti....................................................................................................... Videoscrittura................................................................................................ Fogli elettronici ............................................................................................. Presentazione ................................................................................................ Posta elettronica ............................................................................................ Agenda .......................................................................................................... Data base ....................................................................................................... Data Base Introduzione .................................................................................................. Data base relazionali ..................................................................................... Progettazione................................................................................................. Chiavi ............................................................................................................ Integrità referenziale ..................................................................................... Join ................................................................................................................ SQL (Structured Query Language) ............................................................... Link su base di dati esterne ........................................................................... Data base distribuiti ...................................................................................... Fogli elettronici Introduzione .................................................................................................. Caratteristiche principali ............................................................................... Funzioni ........................................................................................................ Formattazioni ................................................................................................ Ordinamenti e filtri........................................................................................ Grafici e istogrammi ..................................................................................... Usi particolari................................................................................................ Programmi per il disegno – CAD Introduzione .................................................................................................. Librerie.......................................................................................................... 2D e 3D ......................................................................................................... Modellizzazione e specializzazioni............................................................... Cartografia territoriale (GIS) ........................................................................ Rendering ...................................................................................................... Formato delle immagini ................................................................................ Plotter e stampanti a colori............................................................................
4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5
INTERNET Servizi Introduzione .................................................................................................. Gli indirizzi IP i siti....................................................................................... Come collegarsi: il caso di un singolo PC .................................................... Come collegarsi: il caso di un’azienda ......................................................... I servizi..........................................................................................................
B-3
26 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32
33 33 33 34 34
B-4
INFORMATICA
4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5
Web Introduzione.................................................................................................. I “browser”.................................................................................................... Motori di ricerca e indici. ............................................................................. Come usare il browser .................................................................................. IRC e newsgroup .......................................................................................... Siti Pubblicazione sul Web ................................................................................. La linea Adobe.............................................................................................. Microsoft FrontPage ..................................................................................... Macromedia .................................................................................................. Microsoft Office ...........................................................................................
5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3
RETI Reti locali – Aspetti hardware Introduzione.................................................................................................. Supporti fisici................................................................................................ Topologie...................................................................................................... Cablaggio strutturato .................................................................................... Reti locali – Aspetti software Client-server ................................................................................................. I sistemi operativi di rete (OS)...................................................................... Pacchetti applicativi...................................................................................... Pacchetti specializzati. .................................................................................. Reti locali lente ............................................................................................. Internetworking Introduzione.................................................................................................. Modello OSI ................................................................................................. Architettura ...................................................................................................
6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8
MULTIMEDIALITÀ Opere multimediali Terminologia................................................................................................. Ricerca in una grande opera multimediale ................................................... I campi delle multimedialità ......................................................................... La creazione di un CD/DVD ........................................................................ E-learning ..................................................................................................... Periferiche e accessori Introduzione.................................................................................................. Schede grafiche e monitor. ........................................................................... CD-ROM. (v. Accessori per personal computer, par. 1.3) ........................ Scanner ......................................................................................................... Videoconferenza ........................................................................................... Modelli tridimensionali. ............................................................................... Joystick ......................................................................................................... Realtà virtuale ...............................................................................................
34 34 34 35 35 35 36 36 37 37
38 38 38 38 39 39 39 39 39 39 40 40
41 41 41 41 41 42 42 43 43 43 43 44 44
1 1.1
AMBIENTI CALCOLATORI
1.1.1 Struttura di un computer. I tipi di computer presenti sul mercato variano enormemente riguardo ai costi e alle prestazioni, ma la struttura generale di ogni computer può essere descritta dallo schema di Von Neumann (fig. 1.1). Nei personal computer il collegamento tra i vari moduli si chiama bus.
Fig. 1.1
Schema del computer di Von Neumann.
1.1.2 Memorie. La memoria centrale contiene una parte di memoria RAM (Random Access Memory) ad accesso diretto, in cui vengono caricati i dati e i programmi quando devono essere eseguiti, e una parte di memoria ROM (Read Only Memory) a sola lettura, che contiene un minimo di programmi necessari ad avviare il computer all’accensione. Per migliorare le prestazioni, appesantite dall’alto numero di accessi alla memoria, si utilizzano le memorie cache, ad accesso velocissimo, in cui viene conservata una piccola zona della memoria centrale vicina all’istruzione in esecuzione, che, in base al principio di località, contiene i dati e le istruzioni più probabilmente elaborate nell’immediato futuro. Le memorie di massa (o ausiliarie) più diffuse sono i dischi: l’hard disk, all’interno del computer, i CD-ROM, i DVD, i floppy disk. Ampia diffusione hanno anche le chiavette USB. Nella tabella B della tabella 1.1 sono riportati gli ordini di grandezza delle capacità dei vari tipi di memoria. 1.1.3 CPU. La CPU (Central Processing Unit, unità centrale di elaborazione o processore centrale) esegue i programmi e supervisiona il funzionamento della macchina. Ha al suo interno una unità aritmetico-logica per l’esecuzione dei calcoli e delle istruzioni logiche e una unità di controllo. I parametri che la caratterizzano sono la Tabella 1.1 RAM CD-ROM DVD Hard Disk Chiavetta USB Floppy
Capacità dei vari tipi di memoria. 512MB 700-900MB 10GB 100GB 500MB-4GB 2MB
B-6
INFORMATICA
Fig. 1.2 Schema di un personal computer.
frequenza e il parallelismo. La frequenza misura il numero di impulsi di clock per secondo, cioè la velocità di esecuzione delle istruzioni. Il parallelismo misura la quantità di bit che la CPU è in grado di elaborare in una singola operazione. 1.1.4 Categorie di computer. I desktop, o personal computer, sono macchine monoutenti dotate di un’ampia gamma di software per le applicazioni più comuni; il loro schema è illustrato dalla figura 1.2. I laptop, o notebook, o semplicemente portatili, sono del tutto simili ai desktop dal punto di vista funzionale, e hanno il vantaggio della trasportabilità. La CPU di un personal computer è costituita da un singolo circuito integrato, il microprocessore. Le workstation hanno configurazioni più potenti dei personal, prestazioni grafiche di alta qualità e sono spesso collegate in reti locali, o anche usate come terminali intelligenti di minicomputer. I mainframe e i supercomputer sono sistemi complessi composti da diverse unità indipendenti a cui si collegano centinaia di terminali (fig. 1.3). Si tratta di macchine che possono eseguire in parallelo più applicazioni diverse o sezioni diverse della stessa applicazione. Hanno un processore centrale e altri processori con compiti specifici. Il
Fig. 1.3 Schema di un mainframe.
AMBIENTI
B-7
front end processor controlla il flusso dei dati tra il processore centrale e le varie periferiche. Il communications processor controlla il flusso dei dati verso i terminali. Inoltre c’è una unità di controllo per il trasferimento dei dati da e verso le memorie ausiliarie. 1.2
SISTEMI OPERATIVI
1.2.1 Struttura del sistema operativo. Il sistema operativo (monitor) consiste di un complesso insieme di programmi, di cui alcuni risiedono nel firmware (o microprogramma), e ha il compito di gestire per l’utilizzatore l’hardware del computer, in particolare processori, memorie, dispositivi di input/output e dati. La parte del sistema operativo che gestisce file e directory si chiama file system. Un tipico sistema operativo viene descritto in genere tramite un modello a livelli (fig. 1.4). 1.2.2 Modalità di funzionamento del sistema operativo. Esistono tre modalità di gestione dei lavori da parte del sistema operativo. In batch la CPU viene assegnata al lavoro corrente e lo esegue fino alla fine. In time-sharing (fig. 1.5) il processo di esecuzione di un programma viene suddiviso in intervalli di tempo di CPU (quantum). La perdita della CPU avviene per esaurimento del quantum o per l’esecuzione di un’operazione di I/O. In real-time la CPU risponde tempestivamente alle richieste dei lavori. 1.2.3 Il sistema operativo del PC. Il sistema operativo più diffuso nell’ambiente dei PC è MS-DOS della Microsoft. Il sistema operativo di Apple Computers si chiama Mac-OS. Si tratta di sistemi operativi single-user in grado di accogliere un solo utente
Fig. 1.4 Schema di un sistema operativo.
Fig. 1.5 Diagramma degli stati dei processi in un sistema time-sharing .
B-8
INFORMATICA
Fig. 1.6 Schema di UNIX e LINUX.
alla volta. Tutti i personal computer forniscono all’utente un’interfaccia amichevole per accedere alle funzioni del sistema operativo. Sui PC che usano MS-DOS l’utente comunica con il sistema operativo tramite Windows, un’evoluta interfaccia uomo-macchina, che trasforma lo schermo in un piano di scrivania su cui si aprono diverse finestre (in inglese windows, da cui il nome del sistema) relative a diverse applicazioni. 1.2.4 Sistemi operativi delle workstation. Le workstation adottano nella maggioranza dei casi il sistema operativo UNIX (fig. 1.6). È anche molto usato Windows NT della Microsoft. La linea AS/400 della IBM, molto diffusa nelle aziende, adotta un sistema operativo di tipo proprietario, chiamato OS/400. UNIX è un sistema molto potente e flessibile, in grado di gestire diversi utenti in time-sharing: le richieste provenienti dall’esterno sono servite in ordine di priorità. Priorità e tempo di servizio sono determinati dal computer attraverso regole destinate a rendere massimo il numero di richieste evase nel tempo (throughput). Esiste una versione di UNIX per PC che si chiama LINUX (disponibile gratuitamente in Internet) che viene molto usata nell’ambiente universitario e scientifico. UNIX viene anche usato sui calcolatori di processo e sistemi real-time capaci di reagire tempestivamente (in tempo reale) a eventi esterni. 1.2.5 Sistemi operativi dei mainframe. Il sistema operativo dei grandi computer è suddiviso in sottosistemi specializzati: un monitor vero e proprio a cui si appoggiano i sottosistemi preposti alla gestione del flusso dei lavori. Uno di questi è il monitor che si incarica di soddisfare le transazioni provenienti dagli utenti ai terminali, un altro gestisce gli accessi ai data base, mentre a priorità bassa (background) viene eseguito in batch un insieme di lavori di routine. Esistono sistemi operativi costruttivamente diversi da quelli appena descritti, che trasformano il computer in un insieme di macchine virtuali che agli occhi dell’utilizzatore funzionano in parallelo. 1.3
ACCESSORI PER PERSONAL COMPUTER
1.3.1 Introduzione. Lo sviluppo tecnologico ha permesso di aumentare le potenzialità dei PC, sia in termini di capacità di elaborazione (CPU veloci e ampia memoria RAM), sia in termini di trattamento dell’informazione (grafica, multimediale, comunicazione verso altri sistemi), sia in termini di sicurezza dei dati (sistemi di back-
AMBIENTI
B-9
up). Lo spettro dell’utilizzo di questi sistemi aumenta e, con esso, la necessità di dotarlo di periferiche dedicate a scopi specifici. L’introduzione delle porte USB, per la loro elevata efficienza, ha imposto a quasi tutte le periferiche questo standard di interfacciamento, per esempio: mouse, stampanti, dischi esterni ecc. 1.3.2
Schede grafiche e monitor.
(v. Periferiche e accessori, par 6.2).
1.3.3 CD-ROM. Si tratta di lettori di dischi ottici, utilizzati nel caso di prodotti multimediali (v. Opere multimediali, par. 6.1) ma soprattutto necessari oggi, a corredo di un PC, perché normalmente il SW viene distribuito su questo tipo di dischi, a causa delle notevoli dimensioni che esso ha acquisito. Sono ancora dispositivi piuttosto lenti e perciò si consiglia di utilizzare quelli di ultima generazione. Normalmente sono dischi già masterizzati (scritti) dal produttore, e non più riscrivibili; ma lo sviluppo della tecnologia è nelle seguenti direzioni: a) CD-RW, dischi ottici riscrivibili, compatibili coi lettori attuali, utili per il salvataggio dei dati del proprio sistema, e non come espansione del disco fisso a causa della lentezza di scrittura; b) DVD, dischi ad alta capacità, fino a 4,7 Gbyte, utili per archivi molto estesi o per applicazioni multimediali, con la possibilità di contenere filmati di lunga durata. 1.3.4 Stampanti. Necessarie per la stampa dei documenti prodotti dai propri applicativi, oggi vengono prodotte in tre tecnologie differenti: a) ad aghi (9 o 24) stampanti tradizionali, ormai piuttosto superate per la notevole rumorosità e la scarsa flessibilità, sono viceversa indispensabili per stampe su moduli continui oppure per stampe a ricalco; b) laser necessarie per la stampa a colori, operano però normalmente solo su fogli A4; quelle di fascia alta possono essere anche molto veloci e con una risoluzione dell’immagine molto buona; c) a getto di inchiostro anch’esse usate per il colore su fogli A4, ma generalmente più economiche di quelle a laser, non possono però competere se viene richiesta una qualità molto elevata. Modem. Questo dispositivo viene usato per collegare il proprio computer a un altro remoto, usando la normale linea telefonica commutata, e può essere di tipo interno (schede inserite nel computer) oppure esterno (da collegare alla porta seriale del computer, consigliato per semplificare le operazioni di manutenzione) a una velocità di 50,6 Kbps e generalmente con la possibilità di emulare un fax, qualora si intenda, per mezzo di un opportuno SW, spedire i documenti creati dal proprio applicativo ( v. Office automation, par. 3.6); si tenga presente però che un modem adatta la propria velocità di trasmissione in funzione inversa della rumorosità della linea telefonica. Per velocità superiori, è necessario ricorrere quindi a linee telefoniche ADSL e dotarsi del relativo modem. 1.3.5 Plotter. Sono dispositivi per il disegno tecnico (civile e industriale), su supporti normalmente di carta o lucidi (a foglio singolo o a rullo) ma talvolta anche di altri film (per esempio: photo glossy); attualmente sono realizzati con la tecnologia a getto di inchiostro. 1.3.6 Scanner. Sono dispositivi, simili a piccole fotocopiatrici, necessari per catturare le immagini elettronicamente ( v. Periferiche e accessori, par 6.2). 1.3.7 PCMCIA. Si indicano con questo acronimo le schede che possono facilmente essere inserite nei computer portatili (note book) e che svolgono funzioni del tipo: modem collegamento di rete collegamento a un disco esterno (anche SCSI) o a un sistema di back-up.
2
SISTEMI SOFTWARE 2.1
GROUPWARE
2.1.1 Introduzione. Il groupware è l’evoluzione della posta elettronica, con l’integrazione di funzionalità di agenda, scheduling, gestione dei compiti e gestione dei documenti. Questa integrazione fornisce all’utente un potente strumento che gli consente non solo di comunicare e collaborare in modo efficace con i colleghi ma anche di organizzare, trovare e utilizzare al meglio le informazioni. La risorsa di partenza è una rete, locale o geografica, in funzione della quale sono realizzati i vari prodotti. 2.1.2 Messaggistica. Si tratta della gestione, in un unica area di lavoro, di una sorta di Casella Postale universale in cui sono reperibili tutte le informazioni scambiate dal lavoro collaborativo. Oltre a tutte le caratteristiche di un sistema avanzato di posta elettronica (trasmissione messaggi e allegati, casella vocale, fax, protocolli di crittografia, regole per l’accesso ai box, creazione di link con documenti diversi, possibilità di controllare il flusso dei messaggi inviati ed eventualmente alterarlo, creare liste di distribuzione sulla base degli argomenti trattati), essa comprende il calendario e l’agenda personale, la lista dei compiti, lo schedario. 2.1.3 Gestione dei compiti. Nel calendario personale si può inserire una lista di compiti che si possono mettere in ordine di priorità, per avere una scaletta dei compiti della giornata. Quelli che non si riescono a completare nella giornata vengono automaticamente inseriti nella giornata successiva. I compiti possono anche essere assegnati ad altri utenti: se questi li accettano, saranno inseriti nel loro calendario personale. La vista sulle agende dei collaboratori permette di controllare lo stato di avanzamento di un processo, di valutarne i costi, di organizzare le riunioni nei modi più idonei. 2.1.4 Collaborazione. Si intende con ciò la gestione pianificata e per tema delle discussioni e la loro moderazione, con ricerche di argomenti specifici sui documenti. Gli utenti hanno a disposizione cartelle condivise, definite da diritti sugli accessi (lettura, scrittura), in modo da realizzare la costruzione di documenti a più mani, opportunamente organizzati. 2.1.5 Pianificazione. Esso consente di vedere la pianificazione per giorno, settimana, mese; per singoli utenti o gruppi, permette di pianificare l’attività per gruppi e risorse, creare collegamenti a gruppi di discussione e alle caselle di posta elettronica. 2.1.6 Applicazioni e piattaforme proprietarie. Le principali applicazioni di groupware forniscono soluzioni proprietarie, anche nella definizione delle piattaforme su cui operano; prevedono la possibilità di sviluppare applicazioni particolari sulle esigenze dell’utenza. Tuttavia la recente scelta dei produttori di adeguarsi agli standard di Internet, renderà in futuro più semplice questo problema.
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SISTEMI SOFTWARE
2.1.7 Prodotti. Il più famoso è Lotus Notes, molto completo e con un efficace ambiente si sviluppo software, ma difficile da amministrare. Novell e Microsoft propongono un loro prodotto, fortemente integrato nei rispettivi sistemi di rete; il primo è semplice da usare, ma poco orientato allo sviluppo, il secondo è un po’ grezzo ma con possibilità di sviluppo per mezzo di Visual Basic (tab. 2.1). Tabella 2.1
Principali prodotti di groupware.
Produttore
Server
Client
Piattaforme
Lotus
Domino
LotusNotes
NT, NetWare, UNIX, AS400
Novell
GroupWise
GroupWise
NetWare
Microsoft
Exchange
Outlook
NT
2.1.8 Internet. Come si è visto, molte delle funzioni di groupware sono ispirate a ciò che già esiste su Internet: questo ha indotto i produttori a creare un ambiente sempre più compatibile con i protocolli tipici di quell’ambiente ( v. Servizi e Web, par 4.1 e 4.2) ma si è ancora lontani da una piena integrazione tra i due ambienti. Viceversa, soluzioni groupware su Internet, con funzionalità ridotte, sono state proposte da Netscape (con SuiteSpot 3) e da AltaVista (AltaVista Forum).
2.2
INTERAZIONE UOMO-MACCHINA
2.2.1 Interfaccia. Il computer è una macchina fortemente interattiva e dunque la costruzione di interfacce-utente di buona qualità è un problema di grande importanza. Sono stati messi a punto alcuni principi generali che regolano la comunicazione tra l’uomo e la macchina. L’interfaccia deve essere intuitiva: per esempio, i word processor, ma soprattutto i programmi per l’impaginazione, si basano sul principio WYSIWYG (What You See Is What You Get ) e mostrano sul video il testo così come sarà sulla carta. Deve obbedire al più semplice buon senso: le opzioni vengono raggruppate in base alle funzioni, i messaggi devono essere brevi, chiari e semplici ecc. Deve essere consistente, avere cioè una sola filosofia applicabile a tutte le operazioni: per esempio, la filosofia di Windows è “seleziona un testo e poi specifica l’operazione da fare”. Deve poter essere personalizzata (fig. 2.1) ma anche potersi adattare all’utente con poca esperienza. 2.2.2 Tipi di interfacce. Le interfacce a linea di comando, tipiche dei sistemi operativi di qualche anno fa (UNIX e MS-DOS), consentono un uso molto flessibile della macchina e la personalizzazione delle operazioni ma richiedono una formazione specialistica. Le interfacce a menu offrono possibilità più limitate ma sono molto più a portata di mano per qualsiasi utente e sono ormai diventate la norma per la maggior parte del software. Le interfacce intelligenti si propongono di aggiungere l’intelligenza alle normali interfacce grafiche a menu, per esempio memorizzando le opzioni
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INFORMATICA
Fig. 2.1 Personalizzazione di barre degli strumenti. menu e comandi.
scelte più di frequente e proponendole automaticamente come opzioni di default. Le ricerche sono attualmente rivolte a produrre interfacce in grado di riconoscere il linguaggio naturale e le immagini. 2.2.3 Interfacce internazionali. La diffusione del personal computer è tale che le case costruttrici di software non possono non porsi l’obiettivo di produrre software utilizzabile in tutto il mondo, ma le interfacce dei prodotti software degli ultimi anni (GUI, Graphical User Interface) sono talmente ricche di simboli e metafore che è quasi impossibile progettarle in modo che siano immediatamente utilizzabili in tutto il mondo. Si chiama globalizzazione il processo di creazione di un progetto software adattabile alle esigenze di Paesi diversi. Si chiama localizzazione il processo con cui si adatta un progetto globalizzato alle esigenze di un particolare Paese. La localizzazione può essere tecnica, nazionale o culturale. 2.2.4 Globalizzazione. Il processo di globalizzazione si articola in quattro fasi: a) identificazione delle culture dei vari Paesi target; b) progetto e sviluppo di un progetto di base comune per tutti i Paesi; c) progetto e sviluppo delle varie interfacce; d) test di usabilità delle versioni localizzate. 2.2.5 Localizzazione. La localizzazione del linguaggio comporta la traduzione del testo, il supporto del completo set di simboli per la punteggiatura e di altri simboli testuali, il supporto del formato della data, dei numeri, della valuta, delle scale e degli indirizzi e una particolare attenzione ai significati “equivoci”. La localizzazione deve affrontare e risolvere alcuni tipici problemi: esistono per esempio linguaggi che utilizzano script (l’insieme dei caratteri usati per la lingua scritta) con migliaia di caratteri e in questo caso non è possibile associare ogni carattere a un unico tasto della tastiera. Inoltre nello stesso Paese possono essere utilizzati diversi script per scrivere la stessa lingua (es. il giapponese), mentre in altri Paesi non esiste una sola lingua nazionale (es. in Belgio o in Canada). Nella figura 2.2 si vede una soluzione che consente
SISTEMI SOFTWARE
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Fig. 2.2 Scelta della lingua per la correzione ortografica in Word.
di cambiare lingua con una scelta in un menu a tendina. Infine linguaggi diversi possono richiedere layout diversi per il testo. 2.3
SVILUPPO DEL SOFTWARE
2.3.1 Fasi. Lo sviluppo di un sistema software di medie o grandi dimensioni è un processo ad alto livello di complessità che si articola in molte fasi (fig. 2.3a). La figura 2.3b mostra le percentuali delle diverse attività di sviluppo in funzione della dimensione di un progetto. La definizione del problema e l’analisi dei requisiti producono un documento – sottoscritto da fornitore e cliente – che descrive con gran precisione ciò che ci si aspetta che il sistema faccia. Nel progetto di alto livello vengono definiti i blocchi principali del sistema, le loro funzioni, gli algoritmi più importanti e l’organizzazione dei dati. È importante decidere quale percentuale del software produrre e quale acquistare per aumentare la produttività del progetto. 2.3.2 Costo degli errori. La figura 2.3c mostra le percentuali di errori commessi nelle diverse fasi. Dalla figura si vede che all’aumentare della dimensione del sistema aumenta la percentuale di errori che si commettono nelle fasi di analisi e progetto. L’importanza che queste fasi siano svolte correttamente si ricava dalla tabella 2.2, in cui è descritto il costo di correzione degli errori in funzione della fase in cui sono commessi e di quella in cui sono rilevati. 2.3.3 Tecniche di costruzione. Le fasi di progetto di dettaglio, codifica, debugging (ricerca degli errori) e test delle componenti costituiscono la vera e propria costruzione del software. In genere questa è la parte più rilevante del progetto e occupa dal 30 all’80% del tempo totale. La costruzione del software prevede le seguenti attività: progetto modulare del sistema; definizione dei tipi e delle variabili; scelta delle
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INFORMATICA
a)
c)
b)
Fig. 2.3 a) Processo di sviluppo del software. b) Attività di sviluppo e dimensione di un progetto. c) Errori nelle fasi di sviluppo.
Tabella 2.2 Rilevazione Analisi e progetto Test di dettaglio Test del sistema
Costo degli errori. Generazione
Analisi e progetto 1 15 25
Costruzione – 1 5
strutture di controllo; scrittura del codice; rilevazione e correzione degli errori; ottimizzazione del codice. 2.3.4 Qualità del software. La qualità del software e, soprattutto, la messa a punto di tecniche che la garantiscano, sono uno degli obiettivi più importanti nell’attività di sviluppo. La qualità del software si misura in base a diversi parametri di cui citiamo i più importanti: la correttezza, cioè l’assenza di errori; l’efficienza nell’uso delle risorse; la facilità d’uso; l’affidabilità, che si misura in base al MTBF (mean time between failures); la facilità di manutenzione; la portabilità. 2.3.5 Unified Modeling Language. UML (Unified Modeling Language , linguaggio di modellazione unificato) è un linguaggio object-oriented di specifica e modella-
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SISTEMI SOFTWARE
zione del software che si caratterizza per un formalismo sintetico e comprensibile a un vasto pubblico. È nato nel 1996 con l'intento di uniformare i formalismi esistenti raccogliendone gli aspetti migliori e definendo uno standard. UML è diventato il linguaggio della progettazione e programmazione del software a oggetti. 2.4
LINGUAGGI
2.4.1 Linguaggi di programmazione. Qualunque attività del computer consiste in una serie ordinata di operazioni detta programma. Un programma deve essere scritto in un linguaggio (chiamato linguaggio di programmazione) destinato alla comunicazione tra uomo e computer. La comprensione del linguaggio da parte del computer deve essere perfetta, perché solo allora il programma è eseguito correttamente. La sintassi del linguaggio deve quindi obbedire a regole universalmente condivise, codificate in apposite convenzioni internazionali. La struttura dei linguaggi è protetta da appositi standard, redatti, aggiornati e conservati da organismi quali l’ANSI (American National Standards Institute). Ad oggi esistono circa 2500 linguaggi di programmazione. Nella tabella 2.3 sono elencati alcuni dei più noti in ordine cronologico della loro definizione, con i nomi dei loro autori. Tabella 2.3 Anno
Autori dei più importanti linguaggi di programmazione.
Linguaggio
Autore
1955
Fortran
John Backus
1960
COBOL
The Codasyl Committee
1964
BASIC
John Kemeney e Thomas Kurtz
1971
Pascal
Niklaus Wirth e Kathleen Jensen
1972
C
Dennis Ritchie
1973
Prolog
Alain Colmeraurer
1983
C++
Bjarne Stroustrup (AT&T)
1991 1995
Visual Basic Java
Microsoft Sun Microsystems
2.4.2 La traduzione del programma. Il computer è in grado di comprendere e eseguire solo poche operazioni elementari e solo se sono scritte nel suo linguaggio, chiamato linguaggio macchina, che consiste in lunghe serie di zeri e uno (istruzioni binarie). L’uomo, da parte sua, preferisce esprimersi in un linguaggio più vicino a quello parlato, cioè in un linguaggio di programmazione evoluto. Il processo di traduzione tra i due linguaggi (compilazione) è affidato al computer stesso, dotato per ciò di opportuni programmi compilatori. In seguito c’è la fase del lincaggio (dall’inglese to link) effettuata da un programma linker, in cui al programma tradotto sono aggiunti sottoprogrammi preesistenti (es. per l’input/output) conservati in apposite librerie (fig. 2.4). Alcuni linguaggi non sono associati a un processo di compilazione ma a un processo di interpretazione, in cui ogni istruzione è tradotta ed eseguita al momento.
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INFORMATICA
Fig. 2.4 Processo di traduzione di un programma.
Ogni computer ha un suo specifico linguaggio macchina che non funziona su un computer di un’altra marca. Il vantaggio dell’uso di un linguaggio di programmazione evoluto, indipendente dalla macchina, consiste nella possibilità di trasferire programmi da una macchina all’altra. Questa proprietà dei programmi si chiama portabilità. 2.4.3 Visual Basic. È un linguaggio a oggetti e a eventi (della Microsoft), basato sul vecchio BASIC, da cui ha ereditato la semplicità. Il suo obiettivo è di fornire ai programmatori un potente strumento di sviluppo di applicazioni per l’ambiente Windows. Si tratta di un ambiente di sviluppo software integrato, in cui si possono realizzare applicazioni monoutente oppure multiutente, e si può disegnare rapidamente l’interfaccia utente (GUI – Graphical User Interface). È stato uno dei linguaggi più utilizzati al mondo; adesso sta venendo lentamente soppiantato da VisualBasic.NET. 2.4.4 Java. È un linguaggio di programmazione orientato agli oggetti, derivato dal linguaggio C, nato dalla Sun Microsystems per consentire a vari apparecchi di tipo domestico (televisioni, videoregistratori, stereo ecc.) di comunicare tra loro. Contiene un nucleo molto limitato di istruzioni C++ comuni a tutti i processori. Con Java si sviluppano applicazioni (applet) di qualsiasi genere (word processing, fogli elettronici, contabilità, gestione di archivi) che vengono conservate su server centralizzati e rilasciate a richiesta sui client. Tali applicazioni girano su qualsiasi piattaforma dotata di una Java Machine. 2.4.5 HTML. L’acronimo HTML (HyperText Markup Language) è un linguaggio pensato per produrre pagine Web da visualizzare con i comuni browser di Internet. Non è un vero e proprio linguaggio di programmazione, ma un linguaggio di markup, che descrive il contenuto, testuale e grafico, di una pagina web. Un documento HTML è un testo contenente diversi codici per l’impaginazione, che indicano stile, grafica, formattazione (fig. 2.5). Alcuni codici indicano parti di testo che rimandano ad altri documenti (hyperlink), con una tecnica di tipo ipertestuale. I file HTML vengono conservati come comuni file di testo ASCII e possono perciò essere scritti con qualsiasi editor in grado di produrre file di testo. 2.4.6 XML. È l'acronimo di eXtensible Markup Language ed è un linguaggio simile all'HTML ma con uno scopo diverso: mentre l'HTML è un linguaggio per la realizzazione della struttura di pagine Web, l'XML è un linguaggio utile allo scambio dei dati.
SISTEMI SOFTWARE
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Fig. 2.5 Esempio di codice HTML.
2.4.7 JavaScript. È un linguaggio di scripting orientato agli oggetti comunemente usato nei siti web. Ha una sintassi vicina a quella del linguaggio Java. Ha avuto un gran successo come linguaggio per arricchire le pagine web, e molti siti web usano la tecnologia JavaScript per creare applicazioni web. Un uso comune di Javascript è la scrittura di piccole funzioni integrate nelle pagine HTML.
3 3.1
APPLICAZIONI
PROGRAMMI SCIENTIFICI
3.1.1 Introduzione. L’uso dei sistemi informatici da parte della comunità scientifica e l’enorme sviluppo tecnologico (velocità e potenza di calcolo), che ha trasformato queste macchine negli ultimi anni, hanno aperto nuovi orizzonti di ricerca e indagine: si pensi allo sviluppo del calcolo numerico applicato alla matematica e alla fisica e alla sostituzione dell’attività sperimentale con la modellizzazione dei fenomeni fisici e delle strutture. Ciò ha reso disponibile commercialmente un numero crescente di prodotti (spesso concepiti in ambito accademico) per il calcolo scientifico e ingegneristico. 3.1.2 Programmi per la matematica. Sono pacchetti orientati alla soluzione dei problemi matematici e fisici. Sono costituiti da un kernel comune e integrabile con moduli (da acquistare separatamente) per temi specifici. Operano con linguaggi di programmazione mutuati dal Pascal o dal Basic, ma fortemente arricchiti di funzioni, di operatori, di attitudini computazionali della disciplina, aventi anche una particolare attenzione ai risultati grafici. I prodotti più diffusi sono: MATLAB 5, abbastanza semplice ed economico; MATHEMATICA, più costoso e per un utilizzo esperto (fig. 3.1), con campi di interesse: a) matematica e calcolo; b) sviluppo di algoritmi; c) modellazione, simulazione e prototipazione; d) analisi dei dati e visualizzazione; e) grafici scientifici e di ingegneria, anche in tre dimensioni e in animazione. Programmi per la statistica. Usati soprattutto dagli analisti economici, spesso vengono associati a prodotti per l’utilizzo intelligente dei data-worheouse; i produttori maggiori per questo ambito sono il SAS Institute (http: www.sas.com) e il SPSS Inc. (http: www.spss.com). 3.1.3 Programmi per l’ingegneria. Gli argomenti affrontati dall’informatica sono così variegati quanto le numerose specializzazioni del lavoro dell’ingegnere. Esistono quindi prodotti per: a) calcolo di strutture in cemento armato e carpenteria me-
Fig. 3.1 Immagine tridimensionale (Mathematica).
APPLICAZIONI
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Fig. 3.2 Programma per la progettazione di carpenteria metallica.
tallica (fig. 3.2), talvolta inseriti in prodotti CAD ( v. Programmi per il disegno CAD, par. 3.9); b) analisi circuitale, per la progettazione elettronica, nel dominio delle frequenze e del tempo; c) calcolo termotecnico, idraulico e degli impianti di condizionamento; d) prodotti (basati su sistemi esperti) per la gestione delle problematiche di manutenzione di strutture industriali complesse. Talvolta questi prodotti vengono proposti da comunità scientifiche e adottati commercialmente, come per esempio SPICE per l’analisi dei circuiti elettrici ed elettronici analogici, basato su uno sviluppo della Berkeley University. Per una ricerca di questi programmi, si consiglia la navigazione su Internet all’interno del newsgroup sci (Scientist), per gli argomenti tecnici e scientifici trattati. 3.1.4 Office. Anche nelle suite di office automation ( v. Office automation, par. 3.6) sono presenti alcune semplici funzionalità per il calcolo matematico e statistico e per le rappresentazioni grafiche delle funzioni matematiche. 3.2
INFORMATICA PER IL MANAGEMENT
3.2.1 Introduzione. Su questo fronte numerose software house hanno sviluppato pacchetti applicativi, con soluzioni spesso associate a moduli di contabilità generale e analitica, ma talvolta anche inseriti in moduli di AutoCAD, dedicati ai compiti del management aziendale ai fini di semplificare le attività ripetitive (es. le obbligazioni di legge e burocratiche), di ottimizzare gli interventi con l’aiuto di una vasta base di dati (es. le attività di preventivazione, di organizzazione e coordinamento dei flussi di lavoro), di permettere il controllo di qualità del ciclo produttivo e di rendere disponibili modelli decisionali efficienti e verificabili (fig. 3.3). 3.2.2 Prodotti per l’ottimizzazione della produttività individuale. Si vedano le risorse messe a disposizione dai prodotti di Office Automation (v. Office automation, par. 3.6). 3.2.3 Prodotti per l’ottimizzazione dei lavori cooperativi. Si intendono quei prodotti di workflow che aumentano l’efficienza dell’attività nello scambio di infor-
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INFORMATICA
Fig. 3.3 Scheda di lavorazione.
mazioni nella cooperazione e nel controllo dell’attività aziendale ( v. Groupware, par. 2.1). 3.2.4 Settori specialistici di maggiore interesse. Qui di seguito sono indicati alcuni settori che presentano svariate soluzioni commerciali sul mercato del SW: a) mercato delle commesse; b) preventivazione a costi e ricavi; c) computo per impiantisti; d) pianificazione lavori e preventivazione dell’opera; e) programmazione lavori; f) acquisizione e movimentazione risorse; g) contabilità lavori e gestione subappalti; h) piano generale di sicurezza e del “Piano di sicurezza e Coordinamento” secondo quanto previsto negli artt. 12 e 13 DL 494/96; i) piani dei controlli di qualità; l) pubblica amministrazione e management (fig. 3.4). 3.2.5 Alcuni produttori pricipali. Si elencano nomi, sito web e prodotti: a) S.T.R, www.str.it, Conduzione lavori, Controllo gestione, Sisifo win, Progetto Village; b) Acca Software, www.acca.it, Primus Progetti, Cantus; c) HC&R, www.hcrassociati.it, Primavera, Project planner, Expedition, Suretrak; d) Digi Corp, www.digicorp.it, Concant, Schede lavorazione, Piani di sicurezza. 3.2.6 Basi di conoscenza del manager. Lo sviluppo di questi prodotti risponde a una serie di esigenze tipiche del management aziendale. – Accedere alla vasta base dati che si realizza nel corso dell’attività aziendale, da parte di tutte le componenti,
APPLICAZIONI
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Fig. 3.4 Gestione pratiche.
con semplicità e immediatezza (costi, procedure e scadenze, esperienze fatte); – far interagire al massimo livello le diverse funzioni aziendali, permettendo l’immediato controllo dell’attività; – disporre di una guida concreta e aggiornata allo sviluppo delle attività fortemente normate: si pensi alle leggi sulla sicurezza nei differenti ambienti di lavoro, alla certificazione di qualità, alle norme sui lavori pubblici ecc., alla presentazione di documenti soggetti a scadenze; – rendere veloce e trasparente la comunicazione aziendale. 3.2.7 Specifiche tecniche dei prodotti attuali. Lo sviluppo tecnologico permette oggi a questi prodotti di soddisfare alle seguenti specifiche. – La base dati non deve più necessariamente essere concentrata, anche se deve essere comunque disponibile da un qualunque punto di collegamento al sistema, anche remoto (con collegamenti in rete geografica): il meccanismo delle repliche garantirà l’integrità e l’attualità dei dati; – i documenti prodotti debbono essere facilmente integrabili con quelli prodotti da ambienti differenti (da Office, da CAD, dalle pagine Web di Internet ecc.); – reti e sistemi aperti debbono costituire le piattaforma di elezione dei pacchetti. 3.3
IMAGE PROCESSING
3.3.1 Computer graphics. Con l’espressione computer graphics ci si riferisce alla creazione di immagini, fisse o in movimento, rappresentate in una forma digitale manipolabile dal computer e rappresentabile su un dispositivo di output (stampante,
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INFORMATICA
a)
b) Fig. 3.5 Immagini: a) rappresentazione vettoriale, b) rappresentazione bitmap.
plotter, video). L’immagine digitalizzata è composta da punti che si chiamano pixel (picture element). Le immagini possono essere registrate sotto forma di file oppure visualizzate; con il termine rendering si intende l’effettiva visualizzazione dell’immagine su un dispositivo di output. Le principali applicazioni di consumo sono: videogiochi, ritocco fotografico, filmati. Nell’ambito professionale ci sono applicazioni nell’industria cinematografica, nella impaginazione di giornali e riviste, nella progettazione grafica ( CAD) e nei sistemi informativi territoriali (SIT o GIS). 3.3.2 Rappresentazioni delle immagini: vettori e bitmap. Esistono due diverse rappresentazioni delle immagini: vettoriale e bitmap. Nella rappresentazione vettoriale (fig. 3.5a) le linee sono descritte in modo analitico, fornendone alcuni punti chiave e le procedure per tracciarle. Nella rappresentazione bitmap (fig. 3.5b) l’immagine è descritta punto per punto tramite una mappa che descrive lo stato (acceso o spento) o il colore di ogni pixel. Il numero dei bit che descrivono il singolo pixel si chiama profondità. Con 24 bit per pixel si visualizzano 16 milioni di colori. I dispositivi in grado di rappresentare simultaneamente più colori di quelli percepibili dall’occhio umano (diverse migliaia) si chiamano truecolor. La struttura di memoria che conserva i valori relativi ai colori si chiama palette. 3.3.3 Formati dei file grafici. Il formato di un file grafico è composto in generale da un’intestazione, (header), un corpo di dati grafici (bitmap o vettoriale) e da informazioni allegate, per esempio la palette (tavolozza) dei colori. Per i dati bitmap l’header è un’intestazione che contiene le coordinate dell’origine sul dispositivo di output, il numero di linee per immagine, il numero di pixel per linea, il tipo di compressione dei dati e l’indirizzo del file in cui cominciano i dati veri e propri. I dati bitmap possono essere descritti per linea, o per strip (gruppo di linee contigue) o per tile (zone rettangolari dell’immagine). I formati vettoriali hanno un header seguito da elementi, ognuno dei quali descrive una forma (cerchio, rettangolo ecc.), una dimensione, un colore, una posizione e tutti gli altri attributi necessari per la visualizzazione dell’immagine.
APPLICAZIONI
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3.3.4 Formati per animazione e video. I formati per le animazioni si basano sul principio dei cartoni animati, il quale consiste nel sovrapporre molto rapidamente immagini leggermente diverse una dall’altra (frame) per produrre l’impressione del movimento. In genere si conservano solo le differenze tra un’immagine e quella successiva, in modo da aggiornare solo i pixel che cambiano. Perché l’effetto sia gradevole bisogna visualizzare una ventina di frame al secondo. Per rappresentare i dati di un video reale, occorre effettuare la conversione dei dati analogici del video. Questo processo avviene in due fasi: il campionamento (sampling) e la traduzione di ogni dato in un numero (quantizing). 3.3.5 Compressione dei dati. I dati grafici richiedono grosse quantità di memoria e quindi sono stati messi a punto diversi efficaci metodi di compressione. Le tecniche di compressione si dividono in due grandi categorie: lossy, che comportano una perdita d'informazione, e lossless, senza perdita d'informazione. Un esempio di tecniche senza perdita d'informazione è il formato GIF per le immagini. Le tecniche con perdita di informazione normalmente sono utilizzate per comprimere i file multimediali. Un esempio sono le immagini in formato JPEG o lo standard MPEG. 3.4
FILE AUDIO
3.4.1 MIDI. Le applicazioni del computer nella musica sono state rese possibili dalla realizzazione di schede per il suono (di cui una delle più famose è la Sound Blaster) e dell’interfaccia MIDI (Musical Instrument Digital Interface) che si colloca tra il computer e gli impianti per la registrazione e la riproduzione della musica. L’interfaccia è in grado di trasmettere dati musicali, codificati in un linguaggio apposito, dal computer all’impianto di riproduzione/registrazione e viceversa. MIDI consiste di: a) un software residente sul PC, chiamato sequencer, in grado di registrare, memorizzare e trasmettere una successione temporizzata di eventi musicali, anche contemporanei, come per esempio l’attacco di una nota; b) l’interfaccia vera e propria tra PC e impianti musicali; c) il così detto MIDI controller, normalmente uno strumento musicale elettronico, spesso una tastiera, su cui si genera la musica da fare registrare al sequencer. La musica si può anche scrivere sul PC e trasformarla automaticamente in una successione di eventi musicali tramite sintetizzatori MIDI che producono il suono. 3.4.2 Creazione di musica al computer. È possibile redigere e memorizzare testi musicali sul computer. Esistono pacchetti capaci di assistere e facilitare la redazione di musica, fornendo automaticamente, per copia e trascinamento con il mouse, la consueta simbologia musicale (pentagramma, chiavi, note di diversa durata, pause di diversa durata, barrette ecc.). La sincronizzazione delle diverse voci viene facilitata dalla suddivisione in battute dei righi contenenti le voci, così come è semplice variare il tempo del pezzo (fig. 3.6). La musica così prodotta può essere stampata, tutta insieme o spezzata nei diversi spartiti da distribuire a ciascun esecutore. Brani di musica (e rumori), registrati digitalmente, possono essere memorizzati e poi estratti dagli archivi del computer. Se ne possono selezionare parti, sovrapporle o accodarle sincronizzandole con la tecnica del “taglia e incolla”, ben nota nei word
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INFORMATICA
Fig. 3.6 Testo musicale prodotto in ambiente Windows.
processor. La musica costruita sul computer può essere sovrapposta a musica dal vivo. Il computer viene anche usato per generare musica elettronica. A questo scopo si generano successioni di frequenze secondo una legge prescelta e si selezionano i pezzi della successione che all’ascolto sull’impianto stereo (che ha ricevuto il brano attraverso l’interfaccia) appaiono particolarmente interessanti. 3.4.3 Musica digitale. I dispositivi digitali registrano l’onda sonora catturandone alcuni valori (campioni) a intervalli di tempo più o meno lunghi che determinano la frequenza di campionamento. Questo metodo prende il nome di PCM (Pulse Code Modulation). La qualità del suono così registrato dipende da due parametri: la risoluzione, che è il numero di bit con cui viene rappresentato il valore catturato, e la frequenza di campionamento. Usando 16 bit per i valori e una frequenza di campionamento di circa 40 campioni al secondo (standard CD-DA) ci vogliono 25 megabyte di memoria per un pezzo di cinque minuti. 3.4.4 Formati audio. Il formato AU, prodotto su computer Sun e Next, è molto usato in Internet. WAVE è il formato nativo di Microsoft; si basa sulla struttura IFF (Interchange File Format), che serve per conservare dati di qualsiasi genere (audio, video, animazioni e testi) a partire dalla quale Microsoft ha creato RIFF. WAVE e AVI (formato video) sono variazioni di RIFF. Ancora su IFF si basano i formati per Apple AIFF. Il formato MIDI, a differenza degli altri formati, non contiene suono digitalizzato ma istruzioni per gli strumenti. Il formato MOD contiene campioni registrati da strumenti reali che vengono utilizzati come base per la riproduzione del suono. MPEG Layer 3 è uno standard affermatosi per l’ottimo algoritmo di compressione.
3.5
DESKTOP PUBLISHING
3.5.1 Editoria con il computer. Con l’espressione Desktop Publishing (DTP), letteralmente editoria da scrivania) si intende l’attività di costruzione di una pubblicazione tramite il computer. Per il DTP è necessario un sistema composto di hardware (periferiche di acquisizione e stampa di documenti) e software (pacchetti per l’elaborazione di documenti composti di testo e immagini). In genere testo e immagini vengono predisposti tramite programmi appositi, prima di essere manipolati dal software DTP. Il prodotto del DTP pronto per la stampa si chiama esecutivo o camera ready copy. La diffusione del DTP ha modificato sostanzialmente l’organizzazione del lavoro editoriale, concentrandolo nelle mani di una sola persona, l’impaginatore, anziché una équipe di persone (fig. 3.7).
Fig. 3.7 Organizzazione del lavoro nel Desktop Publishing.
3.5.2 Un sistema per DTP. La Apple con Macintosh, Aldus (acquisita in seguito da Adobe) con PageMaker, Adobe con PostScript e ancora Apple con la costruzione delle stampanti LaserWriter, hanno determinato l’affermarsi del DTP come tecnica editoriale. I pacchetti per DTP richiedono in genere una potenza di calcolo e una capacità di memoria superiori alla configurazione media di un personal computer. Periferiche fondamentali sono: un monitor di almeno 17 pollici, la stampante, l’unità CDROM e lo scanner (fig. 3.8). Le immagini generate dagli scanner sono di tipo bitmap, ma esistono programmi che le convertono in forma vettoriale (e quindi manipolabile) e convertono i testi in file ASCII manipolabili con un word processor. Quest’ultima tecnica va sotto il nome di OCR (Optical Character Recognition). 3.5.3 PDL e PDF. Il linguaggio con cui si descrive una pagina nella forma esatta nella quale la si desidera stampare si chiama PDL (Page Description Language). Il PDL più usato è PostScript della Adobe, un linguaggio per la descrizione dei documenti da stampare, concepito in modo da ottenere la migliore qualità di stampa su molte piattaforme. PDF (Portable Document Format) è un formato universale, in parte bitmap, in parte vettoriale, che conserva i documenti esattamente con l’aspetto che avranno in stampa. 3.5.4 CorelDRAW. È un pacchetto per Windows costituito da più moduli, di cui si citano i più importanti: Photo-Paint, per l’elaborazione di immagini bitmap; OCRTRACE, converte le immagini bitmap in oggetti grafici modificabili come elementi vettoriali; Multimedia Manager, gestisce raccolte di file di vario tipo; SCAN, acquisisce immagini dallo scanner fornendo strumenti per la correzione; Corel Dream 3D, realizza oggetti e ambientazioni in tre dimensioni.
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INFORMATICA
Fig. 3.8 Scanner: videata per l’acquisizione delle immagini.
3.5.5 PageMaker di Adobe. È uno primi e dei più diffusi pacchetti per DTP, disponibile sia per PC IBM compatibili che per Mac. Ha una logica di gestione della pubblicazione molto semplice e intuitiva, il che lo rende utilizzabile anche da chi non ha una specifica esperienza editoriale. 3.5.6 Altri prodotti per DTP. Microsoft Publisher è adatto a pubblicazioni non particolarmente sofisticate, come brochure o dépliant. Usa il concetto di oggetto, e tratta come oggetti il testo, le immagini importate e i disegni prodotti direttamente con i suoi strumenti. PhotoShop di Adobe è un ottimo programma per la manipolazione delle immagini, usato in ambienti professionali per il ritocco di immagini catturate con lo scanner. Semplifica la creazione di composizioni grafiche. FreeHand di Macromedia offre raffinati strumenti di grafica vettoriale. QuarkXPress è un potente software d’impaginazione, anche se con un’interfaccia non proprio amichevole, adatta a tecnici del settore più che all’utente comune. Tutti i migliori programmi DTP consentono la pubblicazione di contenuti su Internet. LaTeX è diffuso nel mondo accademico, grazie alla semplicità di impaginazione delle formule matematiche e di gestione dei riferimenti bibliografici. 3.6
OFFICE AUTOMATION
3.6.1 Introduzione. Il termine, un po’ generico, è stato introdotto per quei prodotti software tesi all’aumento della produttività personale nei generici compiti d’ufficio. Spesso indica le suite di pacchetti applicativi, proposti da alcune grosse firme del SW statunitense, contenenti generalmente i prodotti per la videoscrittura, il foglio elettronico, la posta elettronica e altri, con possibilità di integrare i diversi ambienti
APPLICAZIONI
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tra loro. Talvolta il termine viene anche usato per applicativi più impegnativi, come i prodotti di workgroup e workflow (v. Groupware, par. 2.1), i quali però si rivolgono più specificamente alla produttività aziendale. 3.6.2 Le suite e l’integrazione tra ambienti. La suite consente, su alcune funzioni utili, di poter integrare i documenti provenienti da applicativi diversi. Si indicano qui di seguito alcune applicazioni tipiche: una lettera circolare, scritta con un programma di videoscrittura, può essere associata ad un foglio elettronico contenente un indirizzario, per inserire automaticamente in tutti i documenti gli indirizzi dei destinatari; un fax può essere scritto con un programma di videoscrittura e spedito con un programma di posta elettronica, senza dover essere convertito in documento cartaceo; ogni documento, concepito in un ambiente, può essere inserito in un altro, nato in ambiente differente. 3.6.3 Contenuti. I prodotti di office automation generalmente hanno i seguenti pacchetti applicativi: a) programma di videoscrittura (word processor); b) foglio elettronico; c) programma di presentazione di una comunicazione complessa; d) posta elettronica, associato a un particolare server di posta elettronica; e) agenda; f) data base. 3.6.4 Videoscrittura. I prodotti di videoscrittura moderni hanno numerose funzionalità, comprese alcune tipiche dei desktop publishing (v. Desktop publishing, par. 3.5); in particolare: a) elaborazioni evolute sia su semplici blocchi di testo, che su paragrafi, sezioni, capitoli ecc.; b) generazione automatica di indici, numerazioni, tabelle, riferimenti; c) stili e modelli, che permettono facilmente di formattare, nelle forme volute, testi di tipo differente (lettere, circolari, fax ecc.); e) controlli tipografici, finestre di testo e inserimento di immagini con testi; f) simboli anche diversi dai tradizionali della macchina da scrivere, come alfabeti, formule matematiche ecc.; g) correzione grammaticale. Normalmente prevedono anche il salvataggio del testo in formato Web (v. Web, par. 4.2). 3.6.5
Fogli elettronici.
(v. Fogli elettronici, par. 3.8).
3.6.6 Presentazione. Sono pacchetti che permettono, attraverso un semplice story-board, di presentare, con videate successive, un prodotto aziendale (una relazione, un prodotto, una campagna commerciale), facendo uso di risorse grafiche, immagini, diagrammi e testi; talvolta vengono usati anche per semplici corsi di autoistruzione (v. Periferiche e accessori, par. 6.2). 3.6.7 Posta elettronica. Questa funzionalità deve essere inserita in un sistema di e-mail presente in rete e compatibile con le funzioni della propria suite. Con questa opzione spesso è anche possibile inviare direttamente fax, mediante un modem adeguato (v. Accessori per personal computer, par. 1.3), a partire dal documento redatto con il programma di videoscrittura. 3.6.8 Agenda. Sono presenti normalmente varie funzioni come il calendario e la gestione delle attività, gli appunti, la rubrica telefonica.
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INFORMATICA
Fig. 3.9 Layout delle relazioni con Access.
3.6.9 Data base. Non sempre viene fornito con la suite perché richiede un utente esperto (v. Data base, par. 3.7). 3.7
DATA BASE
3.7.1 Introduzione. I DBMS (Data Base Management System) sono quei prodotti informatici che gestiscono una base di dati memorizzati su uno o più supporti di memoria di massa. Essi si occupano della loro creazione, manutenzione, manipolazione e affidabilità; infine, per mezzo di opportuni linguaggi di interrogazione, permettono di estrarre una qualunque combinazione di valori richiesti dall’utente. Caratteristiche. I data base rispondono alle principali esigenze implicite in una base di dati: a) riduzione al minimo della ridondanza dei dati; b) eliminazione dell’incongruenza logica e funzionale tra le informazioni; c) gestione dell’integrità dei dati e della loro riservatezza (rispetto agli utenti); d) indipendenza dei dati dalle applicazioni che li usano. 3.7.2 Data base relazionali. Il modello concettuale entità-relazioni è quello fondamentale dei database moderni (fig. 3.9). Esso richiede la definizione astratta delle entità che rappresentano la realtà, dei loro attributi definiti in un dominio di esistenza, delle relazioni che associano entità diverse sulla base dei valori assunti dagli attributi. A partire dalle relazioni base, un data base relazionale permette infinite relazioni virtuali che consentono la vista sui dati nei modi necessari all’utente. 3.7.3 Progettazione. Per questa attività viene richiesta una professionalità specifica (analista). A partire dall’analisi della realtà, il progetto deve definire le relazioni base, scomponendo i dati secondo i criteri delle forme normali; ogni relazione base
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dovrà essere definita da una chiave primaria, che ne permetta l’identificazione univoca. Su questa base, vengono progettate le relazioni fondamentali che garantiscono l’integrità logica e funzionale dell’intero sistema. 3.7.4 Chiavi. Costituiscono il mezzo per accedere alle occorrenze di una relazione. Si dice chiave primaria quell’attributo (o insieme di attributi) che individua in modo univoco ogni occorrenza (o tupla) della relazione; chiavi secondarie invece sono tutte quelle che permettono la visione della relazione nella forma voluta. 3.7.5 Integrità referenziale. Assicura che eventuali errori di manipolazione dei dati non compromettano la struttura logica dei dati. Per esempio, verrà impedito di cancellare da un anagrafico un elemento che compare anche in altre entità. I vincoli che soddisfano l’integrità referenziale sono posti dal progettista in fase di definizione delle relazioni. 3.7.6 Join. Join è l’operatore relazionale più usato, costruisce una nuova relazione a partire dal prodotto cartesiano di relazioni che hanno attributi in comune. 3.7.7 SQL (Structured Query Language). È un linguaggio dichiarativo di interrogazione del data base. è diventato uno standard; per cui spesso lo si incontra incapsulato in linguaggi di programmazione generici (C, Delphi, Visual Basic). 3.7.8 Link su base di dati esterne. I data base moderni permettono di vedere anche una struttura di dati realizzata “all’esterno” (per es. con Excel o anche verso pagine HTLM), con due tipi di metodi: importando nel proprio contesto i dati di cui esse sono fatti, oppure realizzando un semplice link di collegamento, che permette però anche la manipolazione dei dati. 3.7.9 Data base distribuiti. A differenza dei data base prodotti per i PC (Access, Paradox, dBASE IV) (v. Office automation, par. 3.6) si tratta di data base (come Oracle o Informix) la cui base fisica è distribuita su più nodi di una rete informatica, ma che viene “visto” come una unica base di dati. Agiscono in una architettura client/ server fortemente indipendente dalle piattaforme su cui agiscono. 3.8
FOGLI ELETTRONICI
3.8.1 Introduzione. Sono pacchetti informatici che mettono a disposizione dell’utente una tabella di caselle, per mezzo delle quali è possibile compiere calcoli, ordinamenti e ricerche, grafici (fig. 3.10). Generalmente sono integrati nelle suite, insieme a un word processor (v. Office Automation, par. 3.6). In situazioni genericamente ripetitive (es. la stampa di etichette), quando sono richiesti calcoli ripetitivi e a schema fisso (es. l’elaborazione di una fattura, di un computo metrico, di una statistica), per usare con efficacia elenchi molto lunghi per mezzo dell’ordinamento su campi diversi (es. indirizzari, contatti, dizionari), per integrare dati tabellari in ambienti informatici differenti (es. inserimento di tabelle in un programma di videoscrittura, visualizzazione grafica dei dati con diagrammi e istogrammi).
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Fig. 3.10 Interfaccia del foglio elettronico Excel.
3.8.2 Caratteristiche principali. Disponibilità di semplici funzioni per l’editing di base, come nei normali programmi di videoscrittura; disponibilità della correzione ortografica; tipi di dato usati normalmente (numeri, testo, date, ore); presentazione dei dati numerici in una vasta gamma di formati (punti separatori delle migliaia, valuta, percentuale, contabilità, scientifico ecc.); disponibilità di vari formati per la presentazione delle tabelle; stili e modelli; possibilità di eseguire calcoli; disponibilità molto vasta (logiche, matematiche, finanziarie, statistiche, di ricerca, sul testo e sulle date ecc.) di funzioni già definite; ricalcolo immediato dei risultati delle funzioni; creazione automatica di sequenze; creazione di grafici, sulla base dei dati, con formati molto differenziati e possibilità di personalizzare i grafici con inserimenti di testi e disegni; ampia gamma di scelte per la disposizione del risultato per la stampa; integrazione con altre applicazioni Windows; esportazione di tabelle su applicazioni di videoscrittura. 3.8.3 Funzioni. Un foglio elettronico è normalmente dotato di un ampio patrimonio di funzioni matematiche, statistiche, finanziarie, di data e ora, che lo rendono una potente calcolatrice facilmente programmabile. Esistono anche alcune semplice strutture informatiche, come la funzione SE() che permette di compiere scelte “intelligenti”sulla base dei dati introdotti. 3.8.4 Formattazioni. Ampio spazio è data alla formattazione dei risultati, per rendere più facilmente leggibile una tabella, senza aver bisogno di modificare la base dei dati. In particolare, è possibile formattare i dati nelle celle oppure formattare la presentazione di una intera tabella. 3.8.5 Ordinamenti e filtri. È possibile eseguire ordinamenti sulla base dei dati di una colonna (con eventuali altre colonne subordinate), estrarre dati che soddisfino certe condizioni sui valori reali dei campi, cercare un dato su una o più colonne.
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3.8.6 Grafici e istogrammi A partire da una struttura di dati (generalmente numerica, ma non solo), è possibile rappresentarla con gli strumenti grafici più diffusi, anche con la possibilità di interpolazioni statistiche sui medesimi. Il grafico così ottenuto può essere inserito nel medesimo foglio di lavoro oppure in uno appositamente dedicato; ed inoltre permette una successiva manipolazione. 3.8.7 Usi particolari. Per il fatto che il foglio elettronico calcola in tempo reale tutte le funzioni impostate nelle celle, al variare di ogni altro dato, lo rende un potente strumento per l’indagine decisionale e di previsione. Presenta inoltre una buona disposizione anche per il calcolo scientifico, potendo ricorrere a funzioni di tipo informatico, a macroistruzioni e alla possibilità di visualizzare graficamente i risultati. Infine, potendo inserire oggetti OLE (immagini, suoni, link ipertestuali) nelle celle, permette un suo utilizzo anche in settori di tipo multimediale. 3.9
PROGRAMMI PER IL DISEGNO – CAD
3.9.1 Introduzione. Con CAD (Computer Aided Design) si intende quel settore del software che si occupa di disegno di ingegneria assistito dal computer. Spesso viene identificato con AutoCAD, realizzato da Autodesk, perché è stato a lungo il prodotto dominante, che ha stabilito di fatto uno standard. Oggi però sono presenti sul mercato diversi prodotti, anche molto buoni, specializzati in settori particolari del disegno tecnico: meccanica, architettura (fig. 3.11), gestione territoriale, elettronica ecc. 3.9.2 Librerie. La realizzazione di librerie di elementi è stato il primo passaggio da un CAD generico a quello specialistico. Gli elementi in esse presenti possono essere del tipo: 2D e 3D, parametrici e non parametrici (questi ultimi modificabili solo lungo i tre assi), generici e di produzione. Coi prodotti AEC (Architectural Engineering Construction) sono disponibili componenti ricorrenti, quali muri, solai, coperture, scale, porte, finestre ecc., per i quali è possibile definire tipologia, dimensioni, particolari architettonici.
Fig. 3.11 Programmi per il CAD: finestra di lavoro.
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3.9.3 2D e 3D. Il passaggio da 2D (bidimensionale) a 3D (tridimensionale) ha permesso al CAD di fare un salto di qualità: il progetto non è più la somma di tavole bidimensionali ma è la modellizzazione di un volume: i disegni sono solo “viste” del progetto complessivo. 3.9.4 Modellizzazione e specializzazioni. La progettazione 3D permette una piena integrazione tra il disegno e la gestione del modello. In particolare è possibile associare le dimensioni al computo metrico generato su foglio elettronico: ciò automatizza i processi di formazione dei preventivi e dei documenti di gara. Inoltre, alcuni pacchetti forniscono i calcoli per gli adempimenti di legge, come per la progettazione termotecnica e statica. 3.9.5 Cartografia territoriale (GIS). Questi pacchetti si occupano della gestione informativa del territorio dal punto di vista sia grafico (modellazione terreni, catasto elettronico) sia quantitativo; un prodotto affermato è AutoCAD Map prodotto da Autodesk, esso viene integrato nel pacchetto AutoCAD. Alla cartografia viene associato un data base gestito dall’utente: ciò permette svariate modalità di descrizione del territorio, per esempio per la valutazione di impatto ambientale, di monitoraggio ambientale, di gestione urbanistica. 3.9.6 Rendering. Si tratta di un’opzione contenuta in alcuni pacchetti per la resa realistica dei colori: normalmente al colore viene associato il tipo di materiale, le caratteristiche della superficie, l’illuminazione (solare/artificiale) e le ombre. 3.9.7 Formato delle immagini. I documenti CAD sono di tipo vettoriale e ogni prodotto ha un suo formato: è però importante che essi possano essere salvati anche in un formato standard (DXF, più tradizionale ma più povero, oppure DWG). 3.9.8 Plotter e stampanti a colori. Sono generalmente a getto di inchiostro, su supporti tradizionali (carta e lucidi) e non (film in poliestere e altro), con una velocità di realizzazione in bianco e nero di una formato A0 pari a circa 8–10 minuti (v. Accessori per personal computer, par. 1.3).
4
INTERNET 4.1
SERVIZI
4.1.1 Introduzione. Internet è una rete geografica (WAN, Wide Area Network) di computer, nata dallo sviluppo di una sperimentazione del Dipartimento della Difesa americano, iniziata alla fine degli anni ‘60. è una rete pubblica, ad accesso libero ma regolamentato. Fisicamente è costituita da alcune dorsali (backbone) veloci, realizzate su base continentale e collegate tra loro, a cui sono connesse altre reti geografiche e locali: all’interno di queste ultime si trovano i computer (host) che realizzano lo scambio di informazioni su base planetaria. Pur essendo presenti in rete piattaforme differenti (UNIX, Windows ecc.), la correttezza nello scambio delle informazioni è garantita dall’unicità del protocollo di comunicazione: TCP/IP (tab. 4.1). Tabella 4.1 Protocollo TCP/IP HTTP FTP PPP SMTP
Acronimo
Protocolli di uso frequente su Internet. Descrizione
Trasmission Control Protocol/ Protocollo di rete e di trasporto (3˚ e 4˚ Internet Protocol livello), tipico di Internet e dei sistemi UNIX Hyper Text Transfer Protocol Protocollo per la comunicazione con i siti web File Transfer Protocol Protocollo per il trasferimento dei file, usato nei siti FTP Point-to Point Protocol Protocollo usato per il collegamento via modem ad un provider – più attuale e sicuro di SLIP Simple Mail Transfer Protocol Protocollo di posta elettronica
4.1.2 Gli indirizzi IP i siti. Ogni host è individuato da un indirizzo IP univoco, in forma binaria; esso è rappresentato con quattro numeri decimali, compresi tra 0 e 255, come per esempio: 194.20.24.1. Un metodo più pratico per indirizzare gli host è il DNS (Domain Name System), con il quale essi vengono definiti per mezzo di lettere e nomi separati da punti, indicanti (a partire da destra) il dominio e i sottodomini a cui essi appartengono. I siti sono host che mettono a disposizione della rete alcuni servizi. I provider sono società di servizi le quali, disponendo di un certo numero di indirizzi IP, permettono il collegamento a Internet ai clienti che si collegano a loro. Mettono a disposizione un proxy server: esso è il computer che effettua fisicamente i collegamenti richiesti, controlla la correttezza della comunicazione ed esegue una sommaria intercettazione dei virus eventuali, infine fornisce all’utente il servizio richiesto. Occorre scegliere con cura il proprio provider, perché spesso sono sottodimensionati e forniscono servizi molto lenti. 4.1.3 Come collegarsi: il caso di un singolo PC. I componenti hardware sono: una linea telefonica, un modem (veloce) e un PC (dotato di scheda grafica e sistema operativo, per es. Windows). Se i collegamenti dovessero essere frequenti e le prestazioni migliori in termini di velocità, occorre una linea telefonica ADSL con relativo adattatore (modem ADSL). I componenti software sono: un browser, come Netscape o
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Internet Explorer, quest’ultimo fornito insieme a Windows, e il pacchetto di comunicazione, fornito dal proprio provider. Infine occorre fare l’abbonamento con un provider, il cui costo dipende dai servizi richiesti, con un valore annuale indicativo di 60 €. 4.1.4 Come collegarsi: il caso di un’azienda. È necessario che il progetto venga fatto da un system integrator esperto. Esso infatti deve valutare l’architettura della rete locale (LAN) aziendale, i problemi di sicurezza, le specifiche tecniche del collegamento col provider. 4.1.5 I servizi. Potenzialmente sono notevoli, con forti sviluppi anche nel campo della multimedialità. D’altra parte, spesso si rivelano deludenti per due motivi principali: la lentezza e la difficoltà nel trovare i siti con le informazioni cercate. a) Web e WWW: (v. Web, par. 4.2); b) E-mail: posta elettronica, con cui è possibile ricevere e inviare messaggi a ogni utente che possieda una casella di e-mail; della stessa famiglia sono i forum di discussione elettronica, dei quali si ricorda UseNet organizzata in modo gerarchico e suddivisa in argomenti, ciascuno dei quali definisce un newsgroup; c) FTP: sono siti che permettono il trasferimento dei propri file, spesso all’utente generico (anonymous), talvolta dopo aver sottoscritto un abbonamento; sempre più spesso i siti FTP sono contenuti all’interno di siti Web; d) Telnet: per mezzo di un’emulazione di terminale (spesso VT-100), è possibile, dal proprio PC, avviare un processo su un computer remoto (generalmente UNIX) e ottenerne i risultati. 4.2
WEB
4.2.1 Introduzione. Il World Wide Web è il servizio di Internet che sta crescendo più rapidamente (v. Servizi, par. 4.1). è una struttura ipertestuale la quale, a partire dalle home page presenti nei siti Web, definisce collegamenti (link) con altri ipertesti presenti in rete, immagini o eventi multimediali, in un rinvio infinito. Risulta quindi il metodo più semplice e potente per cercare informazioni. 4.2.2 I “browser”. Per il collegamento con i siti Web è necessario un software client sul proprio computer, come Internet Explorer, Netscape o Firefox, che comunichi per mezzo del protocollo HTTP. Esso realizza il collegamento richiesto, tramite la definizione dell’URL, riceve la home page, interpreta il linguaggio HTML con cui sono fatte le pagine Web ed esegue gli eventuali applet Java (v. Linguaggi, par. 2.4) a essa associati. URL (Universal Resource Locators): è il mezzo formale per indicare, nel WWW, la risorsa richiesta; esso contiene l’indirizzo DNS del server ed altre informazioni, come la directory in cui trovare la pagina Web oppure il nome della casella postale (se è un collegamento e-mail). Per esempio: [email protected] indica la casella di e-mail di vitiello sul server di Italia Online. HTML è il linguaggio (interpretato dal browser) con cui si scrivono, su file di testo, le pagine Web. Per scrivere una pagina Web è quindi sufficiente un editor; ma vi sono comodi strumenti di sviluppo visuale, come Hot Metal Pro, Dreamweaver. 4.2.3 Motori di ricerca e indici. Sono siti Web utili alla ricerca d’informazioni presenti in rete. Possono essere utilizzati sia introducendo le parole chiave che con-
INTERNET
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traddistinguono la ricerca, sia percorrendo una struttura gerarchica di argomenti, fino a quello cercato. Essi inviano in rete programmi particolari, chiamati spider, che, consultando i vari siti Web, raccolgono le informazioni necessarie alla costruzione del data base del motore. 4.2.4 Come usare il browser. Innanzitutto è necessario realizzare il collegamento col proprio provider, mediante il software apposito. Quindi si deve lanciare il programma browser e digitare nel campo Location (o Indirizzo) l’indirizzo del sito richiesto. Scorrendo la pagina che appare sullo schermo del computer, talvolta il cursore cambia simbolo e diventa una “mano”: in tal modo segnala che, cliccando in quella posizione si realizza un link con un’altra pagina Web. Si consiglia di costruirsi un proprio Bookmarks con gli indirizzi di uso più frequente. La posta elettronica viene attivata dall’apposita finestra: anche in questo caso è consigliabile costruirsi un utile Address book. Insieme al messaggio di e-mail, è possibile inviare file, selezionando il pulsante Attachment e scegliendo il/i file dal proprio computer: questa procedura sta progressivamente sostituendo il telefono e l’uso dei fax, perché più rapida e più economica. Per spedire i messaggi, prima li si componga e li si depositi nel folder Outbox; infine li si spedisca con l’opzione di menù File Send Messages in Outbox. 4.2.5 IRC e newsgroup. All’interno del WWW, è possibile usufruire anche di questi interessanti servizi: l’Internet Relay Chat permette il dialogo a distanza tra utenti in rete, mentre i newsgroup consentono scambi di informazioni e ricerche tra utenti interessati a un determinato argomento. è necessario collegarsi a un server della rete UseNet (oppure IRC), generalmente messo a disposizione dal proprio provider, selezionare dalle opzioni “Show all newsgroup” e cercare nell’albero degli argomenti quello di interesse (iscrivendosi anche, se si intendesse partecipare). Di particolare interesse è il newsgroup sci (Scientist), per gli argomenti tecnici e scientifici trattati. 4.3
SITI
4.3.1 Pubblicazione sul Web. Un sito su Internet è un insieme di pagine web, ovvero una struttura ipertestuale di documenti accessibili su Internet con un browser. I siti web sono statici quando presentano contenuti di sola lettura; dinamici quando presentano contenuti che cambiano in base all’interazione con il visitatore, ad esempio proponendo moduli da compilare. Sul CD allegato al manuale sono indicati alcuni siti di interesse per i geometri, tra cui quello del Consiglio Nazionale Geometri, www.cng.it (fig. 4.1). Il Web Publishing (pubblicare pagine Web su Internet) è una naturale evoluzione del Desktop Publishing. Le pagine Web hanno peraltro alcune caratteristiche specifiche, diverse da qualsiasi altra forma di pubblicazione: vengono riformattate, spesso con effetti sorprendentemente diversi, dal browser che le visualizza e, almeno in parte, possono essere manipolate dall’utente. Mentre le prime pagine Web erano semplici testi con hyperlink testuali e una limitata formattazione, i nuovi siti si presentano con un layout sofisticato che permette una comunicazione realmente multimediale. Elementi innovativi sono: le mappe immagine, contenenti zone che funzionano come hyperlink grafici; sfondi di vario genere; testo scorrevole, tabelle e riquadri (frame); animazioni.
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Fig. 4.1 Home page del sito del Consiglio Nazionale dei Geometri.
Il linguaggio fondamentale per la creazione di pagine Web è HTML (HyperText Markup Language), mentre per la creazione di siti dinamici si usano PHP, ASP, FLASH, XML, Javascript. Non è però necessario saper programmare in questi linguaggi: si può usare uno dei numerosi ambienti di sviluppo che forniscono allo sviluppatore una interfaccia semplice e potente. Di seguito ne sono descritti alcuni. 4.3.2 La linea Adobe. Adobe ha adattato alcuni dei suoi strumenti DTP alla pubblicazione sul Web e ne ha creati di nuovi raccolti in Creative Suite. Citiamo: Acrobat, che produce documenti PDF (Portable Document Format); Premiere per l’editing di film e video; FrameMaker, per la creazione di documenti di grandi dimensioni; PageMaker, probabilmente il più famoso e diffuso pacchetto per il DTP; Photoshop, altrettanto famoso nel campo dell’editing di immagini. 4.3.3 Microsoft FrontPage. È costituito da due componenti: FrontPage Explorer, che è per le pagine Web quello che “Esplora risorse” di Windows è per i file e le cartelle, e FrontPage Editor, l’ambiente in cui si creano le pagine che possono essere arricchite con suoni e animazioni e interagire con un data base.
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4.3.4 Macromedia. Consente ai professionisti di creare siti complessi con una piattaforma di sviluppo Web integrata: Dreamweaver per la creazione di siti Web e la produzione di pagine HTML, Dreamweaver UltraDev per sviluppare applicazioni Web basate su database, Flash per la creazione di contenuto Internet e applicazioni grafiche, Fireworks per progettare grafica Web da integrare in qualsiasi sito. 4.3.5 Microsoft Office. Sia Word sia PowerPoint sono in grado di produrre pagine Web. Word fornisce alcuni modelli che guidano l’utente automatizzando la procedura di composizione. PowerPoint è nato come strumento per creare presentazioni su lucidi per lavagna luminosa e ha integrato le funzionalità per la pubblicazione delle presentazioni su Web.
5 5.1
RETI
RETI LOCALI – ASPETTI HARDWARE
5.1.1 Introduzione. Le LAN (Local Area Network) sono reti di computer (host) su base locale (di edificio). Sono costituite da un supporto fisico, che permette lo scambio di informazioni, e da SW adeguato alla gestione di questo scambio e alla condivisione delle risorse (dischi, stampanti ecc.). 5.1.2 Supporti fisici. I supporti fisici dei collegamenti devono essere coerenti con le schede di rete e i protocolli usati dai computer collegati. Cavo coassiale: caduto in disuso, talvolta ancora solo per thin Ethernet (cavo RG58). Doppino telefonico: STP (Shielded Twisted Pair) e UTP (Unshielded Twisted Pair) sono i più usati per il cablaggio in rame; il primo esiste soprattutto nei cablaggi Token Ring (è ingombrante e difficile da posare), il secondo è usato soprattutto nei cablaggi Ethernet il più diffuso. Fibre ottiche: di tipo graded index e monomodali, queste ultime con prestazioni migliori, ma più difficili da connettere e giuntare. Wireless: vi sono numerose tecnologie per i collegamenti senza filo: le onde convogliate (lungo i cavi di alimentazione, non interrotti da trasformatori), IR a raggi infrarossi all’interno di un’unica stanza (open space), con radiofrequenze e svariate soluzioni proposte dai costruttori. 5.1.3 Topologie. A stella, ad anello, a bus, a maglia (fig. 5.1). Il cablaggio più comune, sia per Token Ring sia per Ethernet UTP, è a stella; con le fibre ottiche (reti FDDI) spesso è necessario il cablaggio a doppio anello. Fast Ethernet (100Base-T): insieme a 100VG AnyLAN, è una tecnologia per portare la velocità di Ethernet a 100 Mbps, spesso associata con gli hub di tipo switch e per realizzare dorsali (backbone) veloci. Dominio delle collisioni: Ethernet presenta una forte caduta di prestazioni quando il traffico in rete tende a saturare il canale, a causa dell’aumento di collisioni: nel progetto quindi occorre suddividere il sistema in sottoreti (collegate bridge o router), ciascuna delle quali con un carico di lavoro accettabile. Hub: termine generico, usato nel cablaggio strutturato: sono i dispositivi a cui collegare a stella i computer della rete; a loro volta, sono connessi a stella, in una struttura gerarchica. Switch: è una tecnologia innovativa, ancora costosa, realizzata insieme a Fast Ethernet, per il cablaggio. Rispetto agli hub presenta il vantaggio che la matrice dei contatti permette al dispositivo di realizzare più di un collegamento alla volta. 5.1.4 Cablaggio strutturato. Si intendono le norme che definiscono i mezzi trasmissivi, i componenti passivi e attivi (rack), le topologie; tra le più diffuse si ricorda-
Fig. 5.1 Topologie delle reti di computer.
RETI
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no: EIA/TIA 568 e ISO/IEC DIS 1801. Categoria 5: definisce le specifiche tecniche di un cablaggio di alta qualità, ormai diventato indispensabile perché necessario alle reti Fast Ethernet. Testing e diagnostica: è necessario che il cablaggio in categoria 5 venga certificato da adeguati strumenti di misura. 5.2
RETI LOCALI – ASPETTI SOFTWARE
5.2.1 Client-server. Una rete informatica permette l’elaborazione distribuita dei processi, normalmente secondo un’architettura client-server. Si definiscono client quei sistemi (spesso i PC con il SW client) che, per funzionare, chiedono servizi ad altri sistemi in rete; questi ultimi si chiamano server in quanto elaborano i servizi richiesti e forniscono il risultato. I servizi normalmente presenti in rete sono quelli per la gestione del file system, delle stampanti e dei profili della sicurezza della rete (password, diritti, recovery ecc.). Servizi specializzati sono invece: posta elettronica e workgroup, back-up, fax server, proxy server. 5.2.2 I sistemi operativi di rete (OS). Nelle reti locali (LAN) una prima distinzione riguarda i sistemi peer-to-peer per piccole reti (massimo 3–5 PC), in cui ogni PC è, di volta in volta, client e server; e i sistemi con file server dedicato, nella maggioranza di casi (perché la rete è più stabile, affidabile e amministrabile). Per questi ultimi, è utile che il sistema server sia più veloce e affidabile di un semplice PC. 5.2.3 Pacchetti applicativi. Molti pacchetti applicativi sono nati in ambiente monoutente su PC, compreso quelli di office automation. Per questi si consiglia la configurazione autonoma del SW per ogni PC, anche se il produttore suggerisse l’installazione condivisa in rete (per evitare inutili sovraccarichi al canale trasmissivo), mentre è opportuno che i documenti siano condivisi sul file server. Altri invece sono stati sviluppati appositamente per rete, e tali vanno utilizzati (tipici quelli della contabilità). Si ricorda che il numero di licenze da acquistare per ogni applicativo è pari al numero di PC che hanno accesso a quel SW. 5.2.4 Pacchetti specializzati. Vengono proposti qui di seguito i SW specializzati per soluzioni di networking (nelle tabelle a lato sono indicati alcuni prodotti diffusi): antivirus; back-up; posta elettronica; fax server; workgroup e workflow (v. Groupware, par. 2.1). 5.2.5 Reti locali lente. Talvolta le reti locali manifestano insopportabili e incomprensibili fenomeni di lentezza nel caricamento dei dati o nell’azione del SW. Spesso ciò è dovuto a: una scheda di rete guasta o un cablaggio difettoso; tempeste di pacchetti broadcast prodotti da alcuni SW in rete; installazione non equilibrata, con presenza di colli di bottiglia (tipicamente il server o il canale trasmissivo); uso di pesanti data base inadeguati o installati male e infine uso di CAD mal configurato, con pesanti trasferimenti di dati tra client e server. 5.3
INTERNETWORKING
5.3.1 Introduzione. Si parla di internetworking per intendere i sistemi di collegamento tra reti differenti, sia su base locale (LAN Local Area Network), sia su una più
B-40
INFORMATICA
vasta area geografica (WAN Wide Area Network). La progettazione di questi sistemi viene eseguita da un system integrator e la soluzione è generalmente un mix di hardware, software e servizi. 5.3.2 Modello OSI. Proposto dall’ISO, il modello Open System Interconnection definisce la funzionalità di sette livelli (layer) di protocolli di rete, a partire dal livello fisico, ciascuno dei quali esegue un compito ben definito e utilizza i servizi del livello sottostante in modo trasparente (black box). Lo scopo quindi è quello di permettere a piattaforme diverse, ma aperte e conformi al modello, di utilizzare i medesimi canali e di stabilire modalità di scambio delle informazioni. 5.3.3 Architettura. L’architettura di una rete viene definita da (v. Reti locali aspetti HW, par. 5.1): a) topologie, cablaggi e tecnologia; b) sistema operativo di rete (a server dedicato o peer-to-peer); c) protocolli di comunicazione; d) sistemi di internetworking. Questi ultimi sono definiti in base al livello OSI su cui operano, il quale a sua volta determina il servizio da essi fornito (fig. 5.2). BRIDGEL. Operano al livello 2 (Data Link sottolivello MAC), collegando reti LAN differenti; funzionano da filtro, mantenendo isolato il traffico locale di ciascun tronco. è necessario che reti collegate con bridge non formino maglie, per evitare la duplicazione dei pacchetti sullo stesso tronco. ETHERNET SWITCHING. Realizzati mentre veniva introdotta la tecnologia Ethernet a 100 Mbps, sono simili ai bridge, ma col vantaggio di poter immediatamente iniziare la trasmissione tra due porte (se queste sono libere), anche in presenza di altre comunicazioni. Normalmente possono operare con due diverse modalità: cut-through (inoltro immediato, non appena è stato identificato l’indirizzo nel pacchetto) e store-andforward (invio solo dopo aver ricevuto l’intero pacchetto e controllato l’integrità). Infine essi possono configurare reti virtuali, assumendo quindi anche funzioni di routing. ROUTER. Operano al livello 3 (Network), quindi molto collegato alle piattaforme presenti in rete e ai loro protocolli: sono perciò sistemi con un alto livello di specializzazione e famiglie di soluzioni molto diverse tra loro. Un router può essere costituito semplicemente da un SW installato su un server di rete il quale, per mezzo di due o più schede, collega reti diverse; ma più spesso sono macchine dedicate, realizzate da società specializzate, come CISCO 3COM CABLETRON. Sono certamente indispensabili per i collegamenti geografici (via modem analogico, o ISDN, o Frame Relay, o ATM).
Fig. 5.2 Esempio di collegamento tra reti diverse per mezzo di un bridge.
6
MULTIMEDIALITÀ
6.1
OPERE MULTIMEDIALI
6.1.1 Terminologia. Multimediale significa “che usa molti mezzi di comunicazione (media)”. Un’applicazione multimediale unisce diversi elementi: testo, immagini fisse, immagini in movimento e suoni. Ad esempio, un'enciclopedia multimediale, come Wikipedia su Internet, associa ad ogni voce, oltre alla spiegazione, fotografie, disegni, filmati, suoni, commenti audio. Immagini, animate e non, e suoni occupano molta memoria; per questo motivo in genere le opere multimediali vengono registrate su CD-ROM o DVD, che hanno grande capacità di memoria. Una caratteristica tipica delle applicazioni multimediali è l’interattività; l’utente può interagire con l’ambiente semplicemente cliccando su una zona del video che contiene un link, ottenendo risposte diverse a seconda del link. Il termine ipertesto, che spesso si associa alle applicazioni multimediali, sta a indicare la superiorità di un documento ipertestuale, rispetto a un testo stampato, che consiste nella possibilità di consultarlo secondo un ordine stabilito dall’utente, non necessariamente sequenziale. 6.1.2 Ricerca in una grande opera multimediale. Se l’opera multimediale ha dimensioni notevoli, le tecniche di ricerca al suo interno sono molto importanti. Ne esistono diversi tipi: per parole chiave, per argomento e full text. Quest’ultima esamina tutto il testo dell’applicazione. I risultati delle ricerche sono in genere elenchi di articoli o di pagine che contengono le parole cercate, che sono collegamenti ipertestuali al punto corrispondente nell’applicazione. 6.1.3 I campi delle multimedialità. La possibilità di una consultazione non più lineare dell’opera rappresenta una grossa innovazione metodologica, soprattutto per opere di tipo letterario. Giornali e riviste, che sono concettualmente prodotti ad accesso casuale, sono certamente arricchiti dalla possibilità di una presentazione multimediale e ipertestuale. Le applicazioni multimediali hanno trovato una larga diffusione nei giochi e nel software educativo per bambini e per ragazzi, nel settore delle enciclopedie e dei dizionari, nei viaggi simulati, nelle visite ai musei e a luoghi artistici importanti (celebre la visita a una tomba egizia scoperta di recente e non visitabile nella realtà), e naturalmente nelle presentazioni su Internet. 6.1.4 La creazione di un CD/DVD. Le fasi di produzione di un prodotto multimediale sono: progetto, creazione di un prototipo, preparazione dei file sorgenti, integrazione, test e, se necessario, premastering e produzione dei CD o dei DVD su larga scala. In fase di progetto vanno definiti i requisiti hardware e software del prodotto, va prodotta la mappa concettuale, va deciso lo schema ipertestuale (fig. 6.1) e tracciata la storyboard (tavole che illustrano gli elementi e i collegamenti), e naturalmente vanno fissate scadenze e risorse economiche. Il prototipo è di fatto l’interfaccia utente, che va predisposta prima dei contenuti. Il premastering è l’assemblaggio di tutto il materiale che dovrà poi essere trasferito su disco. 6.1.5 E-learning. La multimedialità ha favorito lo sviluppo di attività formative innovative come l’e-learning. Si tratta di un’applicazione dell’informatica che utilizza Internet (web, e-mail, etc) per distribuire corsi multimediali online.
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INFORMATICA
Fig. 6.1 Prodotto multimediale. a) Mappa concettuale. Schemi ipertestuali: a) gerarchico, b) semi-gerarchico, c) ipertestuale puro.
I contenuti dei corsi hanno diversi formati: pagine HTML, animazioni 2D o 3D, audio, video, simulazioni, esercitazioni interattive, test. Si tratta di contenuti realizzati in modalità multimediale attraverso un software specializzato, detto di authoring. La multimedialità, con l’aggiunta di nuovi tipi di dati a quelli tradizionali di testo e numeri, aumenta le possibilità di attenzione, e consente un’elaborazione più approfondita e una più facile memorizzazione. Un aspetto di fondamentale importanza, dovuto all’interattività, è la possibilità di ricevere informazioni di ritorno che comunicano la correttezza o meno dell’attività dello studente. 6.2
PERIFERICHE E ACCESSORI
6.2.1 Introduzione. Si intende con multimedialità il settore dell’IT (Information Technology) che si occupa di elaborare informazione su oggetti non-tradizionali, (grafica, suoni, filmati). Essi però richiedono computer particolari, realizzati con semplici PC, opportunamente dotati di periferiche adeguate, oppure, per applicazioni avanzate, con potenti workstation. 6.2.2 Schede grafiche e monitor. Attualmente sono di serie, per i PC, schede grafiche SVGA e monitor da 14 pollici con risoluzione 800 × 600 punti (pixel), oppure con risoluzione 1024 × 768 punti per monitor da 17 pollici. Per applicazioni multimediali occorrono schede grafiche particolari, dotate di acceleratori grafici e di attitudine all’elaborazione tridimensionale (schede grafiche 3D). La scelta del monitor dovrà seguire un criterio di questo tipo: a) 17 pollici per uso normale d’ufficio, compreso la videoscrittura; b) 21 pollici per utenti avanzati di videoscrittura e fogli elettronici, con numerose finestre aperte sul desktop; c) 24 pollici e con risoluzione 1920 × 1200 punti per il desktop publishing e il CAD. Si noti che schede e monitor devono essere coordinati.
MULTIMEDIALITÀ
6.2.3
CD-ROM.
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(v. Accessori per personal computer, par. 1.3).
6.2.4 Scanner. Sono prodotti per catturare elettronicamente le immagini grafiche e utilizzarle successivamente all’interno dei documenti (di videoscrittura, desktop publishing o altro). Il produttore fornisce il software per la gestione del dispositivo, spesso presente però anche nei pacchetti per il disegno e la grafica. Le soluzioni, anche in termini economici, sono molto diverse, in funzione soprattutto delle caratteristiche ottiche dell’apparecchio e quindi della resa cromatica. Fotografia digitale. Si tratta di macchine fotografiche che catturano l’immagine su supporto elettronico. La risoluzione è ancora assai inferiore di quella delle macchine fotografiche su pellicola chimica (valore tipico: 640 × 480), ma permette un facile trattamento dell’immagine con programmi di fotoritocco (v. Desktop publishing, par. 3.5). 6.2.5 Videoconferenza. Questa tecnologia, ancora nella fase iniziale (con qualità ancora un po’ scadente, se si usa come metro quello della televisione) ma in forte sviluppo, permette la trasmissione di immagini e voce su una rete informatica. Sono necessari PC ben equipaggiati (CPU e dischi veloci, molta RAM, altoparlanti, schede grafiche), una videocamera con la scheda per il PC (o PCMCIA per il portatile) il software di gestione e una rete sufficientemente veloce. 6.2.6 Modelli tridimensionali. Vengono realizzati, per una prototipazione rapida, normalmente a partire da documenti CAD 3D, con una delle seguenti tecnologie: a) stereolitografia (la più diffusa); b) solid ground curing; c) fused deposition modelling; d) laminated object manifacturing; e) selective laser sintering (fig. 6.2).
Fig. 6.2 Schema del funzionamento della stereolitografia.
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INFORMATICA
6.2.7 Joystick. Si tratta di una manopola con pulsantiera, collegata normalmente alla porta seriale del computer, con la quale è possibile inviare comandi ad applicativi che realizzano immagini in movimento. Vengono utilizzati per i giochi, ma anche per alcuni simulatori (es. il fly simulator). 6.2.8 Realtà virtuale. Ancora a uno stadio iniziale di sviluppo, questa tecnologia cerca di estendere la rappresentazione della realtà per mezzo della vista e dei suoni tridimensionali, del tatto e dell’azione a distanza: oggetti commercialmente disponibili sono il casco e il guanto sensibile. Le applicazioni più promettenti finora sono state realizzate in medicina e nell’intrattenimento.
Sezione C Fisica 1
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI .........................................................
1.1 1.2 1.3
Cinematica ................................................................................................... 10 Statica ........................................................................................................... 11 Dinamica ...................................................................................................... 15
2
2
MECCANICA DEI LIQUIDI .................................................................... 17
3
MECCANICA DEGLI AERIFORMI ....................................................... 18
4
TERMOLOGIA .......................................................................................... 19
5
ACUSTICA .................................................................................................. 24
6
OTTICA ....................................................................................................... 26
6.1 6.2 6.2.1 6.3 6.3.1 6.4 6.5
Generalità .................................................................................................... Leggi della riflessione ................................................................................. Specchi .......................................................................................................... Leggi della rifrazione semplice .................................................................. Monorifrazione e birifrazione ....................................................................... Prismi ........................................................................................................... Lenti .............................................................................................................
7
ELETTROLOGIA - MAGNETISMO - ELETTRONICA ..................... 30
8
OTTICA ONDULATORIA ....................................................................... 33
9
FISICA ATOMICA E NUCLEARE ......................................................... 34
26 26 26 27 27 27 28
1
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI Tabella 1.1
Masse volumiche
Materia
Massa volumica kg/m3
Acciaio ..................................................................................... Acciaio duro ............................................................................. Acciaio per costruzioni (carpenterie e cem. armato) ................ Acqua distillata a 4°6C ............................................................ Acqua distillata a 15°6C ........................................................... Acqua marina a 0°6C ............................................................... Acqua a 50 ÷ 6C ....................................................................... Acqua a 60 ÷ 6C ....................................................................... Acqua a 70 ÷ 6C ....................................................................... Acqua a 80 ÷ 6C ....................................................................... Acqua a 90 ÷ 6C ....................................................................... Acqua a 100 ÷ 6C ..................................................................... Alabastro .................................................................................. Alcol assoluto ........................................................................... Alfol (fogli di alluminio con intercapedine 10 mm) ................ Alluminio ................................................................................. Ambra ....................................................................................... Amianto .................................................................................... Ammoniaca .............................................................................. Anidride carbonica .................................................................... Antimonio ............................................................................... Antracite .................................................................................. Ardesia .................................................................................... Argento .................................................................................... Argilla secca ............................................................................ Argilla umida .......................................................................... Aria (secca) ............................................................................. Arsenico .................................................................................. Asfalto ..................................................................................... Avorio ...................................................................................... Azoto ....................................................................................... Basalto ..................................................................................... Benzina .................................................................................... Birra ......................................................................................... Bitume ..................................................................................... Bronzo ..................................................................................... Burro ....................................................................................... Calce idraulica (sciolta) ........................................................... Calce in pezzi (comune o aerea) .............................................. Calce in polvere ....................................................................... Calce comune spenta idrata .....................................................
7600 ÷ 8100 7500 ÷ 7700 7380 1000 999,13 1026 988,070 983,240 977,810 971,83 965,34 958,38 2300 ÷ 2800 794 40 2700 1000 ÷ 1100 2100 ÷ 2800 770 1976 6670 1400 ÷ 1700 2600 ÷ 2700 10492 1900 ÷ 2300 2600 1,292 5720 1100 ÷ 1300 1830 ÷ 1920 1,2505 2700 ÷ 3200 680 ÷ 840 1020 ÷ 1030 1100 ÷ 1500 8790 890 ÷ 940 1000 ÷ 1100 1200 ÷ 1800 900 ÷ 1000 2000
C-3
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
Tabella 1.1
Segue
Materia Calcestruzzo di cemento magro ............................................... Calcestruzzo di cemento grasso ............................................... id. id. armato ......................................................................... id. id. con scorie di alto forno .............................................. id. id. con scorie di carbone ................................................. id. id. con pietra pomice ...................................................... id. id. con frammenti di mattoni .......................................... Calcio ....................................................................................... Caolino ..................................................................................... Carbon fossile ........................................................................... Carbonato di piombo ............................................................... Carbone di legna dolce ............................................................. Carbone di legna forte .............................................................. Carbone (resa 1/4-1/5 del peso del legno): di abete ................................................................................. di acero rosso ....................................................................... di carpino comune ................................................................ di castagno ............................................................................ di faggio ................................................................................ di frassino comune ................................................................ di larice ................................................................................. di olmo nostrale .................................................................... di ontano ............................................................................... di pino domestico .................................................................. di pioppo ............................................................................... di rovere ................................................................................ di salice.................................................................................. Carta ......................................................................................... Catrame .................................................................................... Caucciù ..................................................................................... Cemento ................................................................................... Cera d’api ................................................................................. Cereali ...................................................................................... Coke di gas ............................................................................... Coke metallurgico ..................................................................... Colla ......................................................................................... Cotone secco ............................................................................. Covoni di frumento ................................................................... Cristallo .................................................................................... Cristallo (flint francese) ............................................................ Cristallo (flint inglese) ............................................................. Cristallo di rocca ...................................................................... Crusca ....................................................................................... Cuoio ........................................................................................
Massa volumica kg/m3 2200 2300 2500 2000 1200 1100 1850 1550 2100 ÷ 2300 800 ÷ 1000 700 ÷ 1150 140 ÷ 200 200 ÷ 220 140 250 267 150 240 220 215 200 191 250 182 260 200 350 ÷ 1100 1100 ÷ 1150 900 ÷ 1200 1400 ÷ 1750 940 ÷ 970 600 ÷ 700 300 ÷ 350 400 ÷ 450 1270 1470 ÷ 1500 120 2900 ÷ 3400 3200 3500 2880 190 ÷ 260 860 ÷ 1050
C-4
FISICA
Tabella 1.1
Segue
Materia Diamante .................................................................................. Duralluminio ............................................................................ Erba fresca sciolta ..................................................................... Eternit e simili ........................................................................... Fango liquido ............................................................................ Farina di frumento .................................................................... Fecola ........................................................................................ Feldspato ................................................................................... Ferro fucinato ............................................................................ Ferro magnetico ....................................................................... Fibre tessili cellulosiche ............................................................ Fieno, appena abbicato ............................................................. Fieno, sei mesi dopo l’abbicamento ......................................... Fieno compresso ....................................................................... Fosforo ...................................................................................... Gesso ........................................................................................ Ghiaccio .................................................................................... Ghiaia ....................................................................................... Ghisa bianca ............................................................................. Ghisa grigia .............................................................................. Ghisa liquida ............................................................................ Gomma arabica ........................................................................ Gomma naturale ........................................................................ Grafite ....................................................................................... Gres .......................................................................................... Guttaperca ................................................................................. Latte .......................................................................................... Lava gialla del Vesuvio ............................................................ Legna secca accatastata: Abete rosso ........................................................................... Acero rosso ........................................................................... Carpino comune ................................................................... Castagno ............................................................................... Frassino comune ................................................................... Larice ................................................................................... Olmo nostrale ....................................................................... Ontano .................................................................................. Pino domestico ..................................................................... Platano .................................................................................. Pioppo .................................................................................. Rovere .................................................................................. Salice .................................................................................... Fascine dolci ............................................................................ Legna da fuoco, dolce .............................................................. Legna da fuoco, forte ................................................................
Massa volumica kg/m3 3500 ÷ 3600 2800 250 ÷ 350 1800 ÷ 2200 1500 400 ÷ 600 1500 2530 ÷ 2580 7400 ÷ 7900 5100 1500 40 ÷ 60 60 ÷ 100 180 1820 ÷ 2340 1400 ÷ 230 920 1500 ÷ 1800 7000 ÷ 7800 6700 ÷ 7500 6800 1300 ÷ 1400 910 ÷ 930 1900 ÷ 2300 2700 960 ÷ 990 1025 ÷ 1040 2820 550 620 760 700 750 650 750 650 500 540 385 850 580 120 300 ÷ 400 400 ÷ 500
C-5
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
Tabella 1.1
Segue Massa volumica kg/m3
Materia Legname Abete bianco Abete rosso Acero Albicocco Alloro Arancio Betulla Bosso Carpino Carrubo Castagno Cedro Cerro Ciliegio Cipresso Corniolo Cotogno Ebano Elce Faggio Farnia Fico Frassino Gelso Ginepro Guaiaco Hickory Ippocastano Larice Leccio Ligustro Melo Melograno Mogano Nocciolo Noce Olivo Olmo Ontano Pero Pesco Pino cembro Pino domestico
essiccato all’aria 370 ÷ 750 350 ÷ 740 530 ÷ 800 940 700 790 510 ÷ 770 910 ÷ 1160 620 ÷ 820 870 650 570 830 760 ÷ 840 630 920 1000 1260 1000 680 ÷ 970 730 600 570 ÷ 790 700 650 1170 ÷ 1390 600 ÷ 900 580 440 ÷ 800 710 ÷ 1070 900 660 ÷ 840 920 560 ÷ 1060 650 440 ÷ 680 850 560 ÷ 820 420 ÷ 680 610 ÷ 730 820 470 545
verde 770 ÷ 1230 400 ÷ 1070 830 ÷ 1050
800 ÷ 1090 1200 ÷ 1260 920 ÷ 1250 1000
1050 ÷ 1180
850 ÷ 1120 1150 700 ÷ 1140 850
810
950 ÷ 1260
910 ÷ 920 1100 ÷ 1150 780 ÷ 1180 630 ÷ 1010 970 ÷ 1070 890
C-6
FISICA
Tabella 1.1
Segue
Materia Pino laricio 670 Pino marittimo 650 Pino silvestre 500 Pioppo bianco 470 Pioppo comune 480 Pioppo tremulo 470 Pitch-pine 750 ÷ 850 Platano 620 Robinia 750 Rovere 880 Salice 490 ÷ 590 Sorbo 690 ÷ 890 Susino 680 ÷ 900 Tamarice 680 Tasso 800 Teak 630 Tiglio 320 ÷ 590 Vignolo 650 Vite 550 Legumi .................................................................................... Letame: di bovini, fresco .................................................................... di bovini, fermentato ............................................................ di bovini, molto fermentato .................................................. di suini, con lettiera .............................................................. di suini, senza lettiera ........................................................... Lignite secca ............................................................................ Lino .......................................................................................... Linoleum .................................................................................. Magnesio .................................................................................. Malta di calce e sabbia ............................................................. Malta di calce e pozzolana ....................................................... Malta di cemento ...................................................................... Malta di gesso ........................................................................... Manganese ................................................................................ Metallo bianco .......................................................................... Mattoni ..................................................................................... Mattoni refrattari ...................................................................... Mercurio ................................................................................... Mica .......................................................................................... Minio ........................................................................................ Mosto ........................................................................................ Murature: di cemento armato .................................................................
Massa volumica kg/m3
800
800
900 1010 790 870 ÷ 1130 870 ÷ 1170 1030 580 ÷ 870
720 ÷ 810 400 ÷ 550 700 ÷ 800 850 ÷ 900 400 ÷ 450 700 ÷ 800 1100 ÷ 1400 2400 ÷ 3000 1100 ÷ 1300 1750 1600 ÷ 1800 1300 ÷ 1400 1600 ÷ 1800 1230 7300 7100 1400 ÷ 2000 2000 ÷ 2100 13600 2900 8600 1050 ÷ 1100 2500
C-7
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
Tabella 1.1
Segue
Materia di pietrame ............................................................................ di granito .............................................................................. di basalto .............................................................................. di pietra da taglio .................................................................. di tufo ................................................................................... di mattoni pieni ..................................................................... di mattoni vuoti .................................................................... di mattoni e pietrame ............................................................ Nafta ......................................................................................... Neve bagnata ............................................................................ Neve secca ................................................................................ Nichel ....................................................................................... Olio di lino ............................................................................... Olio d’oliva .............................................................................. Olio di ricino ............................................................................ Oro ........................................................................................... Osso in genere .......................................................................... Ottone fuso ............................................................................... Ottone laminato ........................................................................ Paglia appena abbicata ............................................................. Paglia qualche mese dopo l’abbicamento ................................. Paglia pressata .......................................................................... Paraffina ................................................................................... Pece .......................................................................................... Petrolio ..................................................................................... Pietre: Arenarie ................................................................................ Beola .................................................................................... Calcare compatto .................................................................. Calcare tenero ....................................................................... Calcare tufaceo ..................................................................... Gesso .................................................................................... Gneiss ................................................................................... Granito .................................................................................. Lava vulcanica ...................................................................... Marmo ................................................................................... Pomice .................................................................................. Porfido .................................................................................. Scisti ...................................................................................... Trachiti ................................................................................. Travertino ............................................................................ Tufo calcareo ........................................................................ Tufo vulcanico ......................................................................
Massa volumica kg/m3 2250 ÷ 2450 2300 ÷ 2700 2500 2400 ÷ 2500 1100 ÷ 1450 1550 ÷ 1650 1050 ÷ 1100 1900 ÷ 2000 800 ÷ 850 400 100 8900 ÷ 9200 940 915 970 19250 1700 ÷ 2000 8400 ÷ 8700 8500 ÷ 8600 35 ÷ 45 40 ÷ 70 120 ÷ 180 870 ÷ 910 1070 ÷ 1100 700 ÷ 850 1800 ÷ 2700 2600 ÷ 2700 2400 ÷ 2700 2000 ÷ 2400 1000 ÷ 1200 2300 2500 ÷ 2700 2300 ÷ 2600 1700 ÷ 2600 2700 ÷ 2800 500 ÷ 1100 2400 ÷ 2700 2600 ÷ 3100 2300 2200 ÷ 2500 1200 ÷ 1900 1100 ÷ 1800
C-8
FISICA
Tabella 1.1
Segue
Materia Pietrisco da inghiaiare .......................................................... Pietrame da muratore ............................................................ Piombo ..................................................................................... Platino ...................................................................................... Polistirene espanso ................................................................... Poliuretano ............................................................................... Pomice ...................................................................................... Porcellana ................................................................................. Pozzolana di Bacoli .................................................................. Pozzolana di Roma ................................................................... PVC espanso rigido .................................................................. Pula di frumento ....................................................................... Quarzo ...................................................................................... Rame ........................................................................................ Resine stireniche ...................................................................... Sabbia asciutta .......................................................................... Sabbia umida ............................................................................ Salgemma ................................................................................. Salmarino asciutto .................................................................... Semi di: arachide ................................................................................ avena .................................................................................... barbabietola .......................................................................... canapa ................................................................................... carota .................................................................................... cavolo .................................................................................... cece ....................................................................................... colza ..................................................................................... erba medica .......................................................................... fagiolo .................................................................................. fava grossa ............................................................................ fava piccola .......................................................................... frumento duro ....................................................................... frumento invernale ............................................................... frumento marzuolo ............................................................... granturco .............................................................................. lenticchia .............................................................................. lino ........................................................................................ lupinella con guscio .............................................................. lupinella sgusciata ................................................................ lupino ................................................................................... miglio ................................................................................... orzo ....................................................................................... panico ....................................................................................
Massa volumica kg/m3 0,5 del peso 0,6 della pietra 11200 ÷ 11300 21400 15 ÷ 40 25 ÷ 35 450 ÷ 800 2350 ÷ 2490 950 ÷ 1150 1100 ÷ 1300 30 ÷ 55 70 2500 ÷ 2800 8930 1050 1400 ÷ 1650 1900 ÷ 2000 2200 2150
400 ÷ 420 450 ÷ 500 300 ÷ 350 500 ÷ 550 250 ÷ 300 600 ÷ 650 750 ÷ 800 650 ÷ 700 760 ÷ 780 720 ÷ 780 650 ÷ 700 750 ÷ 800 780 ÷ 800 750 ÷ 800 720 ÷ 760 680 ÷ 720 800 ÷ 850 620 ÷ 680 310 ÷ 330 760 ÷ 800 450 ÷ 520 580 ÷ 720 680 ÷ 720 650 ÷ 700
C-9
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
Tabella 1.1
Segue
Materia patata (tuberi) ....................................................................... pisello ................................................................................... pomodoro ............................................................................. rapa ....................................................................................... ravizzone .............................................................................. ricino .................................................................................... risone .................................................................................... segale..................................................................................... sorgo ..................................................................................... sulla con guscio .................................................................... sulla sgusciata ....................................................................... trifoglio incarnato ................................................................. trifoglio ladino ...................................................................... trifoglio pratense ................................................................... veccia..................................................................................... zucca ..................................................................................... Silicio ........................................................................................ Soda .......................................................................................... Stagno........................................................................................ Sughero .................................................................................... Terra asciutta: vegetale ................................................................................. silicea leggera ....................................................................... sabbiosa ................................................................................ argillosa forte ........................................................................ ghiaiosa.................................................................................. Terra umida: vegetale ................................................................................. silicea leggera ....................................................................... sabbiosa ................................................................................ argillosa forte ........................................................................ Torba compressa ....................................................................... Torba secca ............................................................................... Tormalina .................................................................................. Tripoli ....................................................................................... Vermiculite espansa sciolta ....................................................... Vetro ......................................................................................... Vino a 15°C .............................................................................. Zinco fuso ................................................................................. Zinco martellato ....................................................................... Zolfo ......................................................................................... Zucchero ...................................................................................
Massa volumica kg/m3 600 ÷ 700 780 ÷ 800 300 ÷ 320 670 ÷ 700 700 ÷ 750 500 ÷ 600 450 ÷ 500 720 ÷ 750 600 ÷ 650 120 ÷ 200 730 ÷ 770 710 ÷ 730 920 ÷ 850 780 ÷ 800 780 ÷ 800 400 ÷ 420 2340 2500 7280 240 1400 ÷ 1500 1300 ÷ 1400 1650 ÷ 1750 1700 ÷ 2000 1400 ÷ 1700 1700 ÷ 1800 1500 ÷ 1800 1700 ÷ 1800 1850 ÷ 2100 500 ÷ 600 200 ÷ 250 3300 2200 400 2400 ÷ 2600 920 ÷ 990 6860 7200 1950 ÷ 2050 1610
C-10
FISICA
1.1
CINEMATICA
Si ha movimento quando un sistema cambia posizione nel tempo rispetto a un riferimento. Moto rettilineo uniforme: lo spazio percorso è proporzionale al tempo impiegato a percorrerlo. s s s = vt ; v = ------ ; t = -----t v s = spazio percorso. t = tempo impiegato. v = velocità (m/s). Moto vario: gli spazi percorsi non sono proporzionali ai tempi impiegati a percorrerli. s' – s v m = ---------t' – t vm = velocità media; è la velocità che dovrebbe avere il corpo se si muovesse di moto uniforme percorrendo lo stesso spazio nello stesso tempo. ∆s vi = ------ : velocità istantanea; velocità con la quale il corpo percorre in un certo istante t ∆t una traiettoria così breve che in essa il moto si può ritenere uniforme. Accelerazione: variazione costante della velocità nell’unità di tempo. È una grandezza vettoriale: v2 – v1 a = -------------t2 – t1 Nel moto uniformemente accelerato a è positiva, in quello ritardato è negativa. Unità di misura: m/s2. Moto uniformemente accelerato o ritardato . at 2 s = v o t ± ------2 v o = velocità iniziale. v = v o ± at ;
Se vo = 0 il moto è detto naturalmente accelerato. a t2 s = --------- ; 2
2s t = ------- ; a
v= 2 a s
g = accelerazione di gravità = 9,8 m/s2. Moto circolare uniforme: è il moto di un punto che percorre archi di circonferenza uguali in tempi uguali. τ = periodo: tempo impiegato dal punto per compiere un giro completo. n = frequenza: numero di giri che il punto compie nell’unità di tempo. Unità di misura: herz (Hz); corrisponde a un giro per secondo. Il periodo è l’inverso della frequenza 1 τ = ------ ; n
1 n = -----τ
C-11
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
r = distanza del punto mobile dal centro di rotazione. 2πr v = velocità periferica; v = ------------- = 2 π r n τ ω = velocità angolare: angolo descritto dal raggio vettore nell’unità di tempo. Unità di misura è il radiante al secondo 2π ω = -------- = 2 π n ; τ
2πr moltiplicando per r, ω r = --------- = v τ
v = ωr
Composizione dei moti: la posizione di un punto animato contemporaneamente da diversi moti è, in qualsiasi istante, quella che avrebbe se i moti avvenissero successivamente, ciascuno per il medesimo tempo t. Il moto risultante da due moti rettilinei uniformi è un moto rettilineo uniforme; il moto risultante da un moto rettilineo uniforme e da un moto accelerato è un moto parabolico. 1.2
STATICA
Le forze sono le azioni esercitate da un sistema su un altro sistema; se quest’ultimo è libero di muoversi la forza ne modifica la velocità, altrimenti provoca una deformazione momentanea (elastica) o permanente (plastica). Le forze sono grandezze vettoriali, caratterizzate da punto di applicazione, valore, direzione, verso. Unità di misura: newton (N); kilogrammo forza (kgf). 1 1N = --------- kgf ≈ 0,1 kgf 9, 8 Composizione delle forze: possibilità di sostituire al sistema di forze dato un altro sistema costituito da un numero minore di forze. Risultante: se ad un corpo rigido sono applicate contemporaneamente due o più forze (componenti) comunque dirette, è possibile sostituire ad esse una forza unica (risultante) capace di produrre da sola il medesimo effetto delle forze componenti. La rappresentazione grafica delle forze, la composizione e la decomposizione di esse si attuano con i metodi della statica grafica. Coppia: sistema di forze parallele uguali ed opposte. Braccio ( b) della coppia è la distanza tra le direzioni delle due forze. Momento ( M = Fb) è il prodotto della intensità della forza per il braccio. Baricentro: il risultante di un sistema formato da n sottosistemi di masse m1, m2, m3,... sottoposte solo alla forza gravitazionale, è applicato in un punto preciso che dipende dalle masse mi e dalla loro posizione relativa. Se tutto il sistema viene sottoposto a rotazione, senza cambiare la posizione relativa delle masse, il punto di applicazione del risultante non cambia. Resistenze passive: forze che si oppongono al moto di un corpo. Sono l’attrito e la resistenza del mezzo. L’attrito è la resistenza che i corpi incontrano a muoversi gli uni sugli altri; può essere radente o volvente (tabb. 1.3 e 1.4). Forza di attrito = coefficiente di attrito × forza premente F = fP
C-12
FISICA
Tabella 1.2 Condizioni di equilibrio
Macchine semplici Leva 1º genere: F tra P e R 2º genere: R tra F e P 3º genere: P tra F e R
P = potenza R = resistenza F = fulcro p = braccio della potenza r = braccio della resistenza
P:R = r:p
Carrucola (fig. 1.1)
fissa mobile
P=R 1 P = --- R 2
Asse nella ruota (fig. 1.2)
Argano se ad asse verticale Verricello se ad asse orizzontale
P:R = r:p
Piano inclinato
Potenza parallela al b = base h = altezza piano inclinato 1 = lunghezza (fig. 1.3a) Potenza parallela alla base (fig. 1.3b)
P:R = h:l
h P = R --l P:R = h:b h P = R --b
Cuneo (fig. 1.4)
t = testa f = fianco
P : R = t : 2f R⋅t P = ---------2f
Vite
p = passo r = raggio
P:R = p:2 π r Rp P = ----------2 πr
Unione di più macchine semplici Taglia (fig. 1.5)
R P = --n
Unione di più carrucole mobili mediante n tratti di corda
r – r' P = R ----------2m
Asse differenziale Unione di due assi (fig. 1.6) aventi rispettivamente raggio r e r′ (r > r′) azionati da una manovella di lunghezza m Vite perpetua (fig. 1.7)
r a r′ l
= raggio del verricello ar P = R -----------------= passo della vite 2 π r' l = raggio della vite dentata = lunghezza della manovella
C-13
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
Fig. 1.1
Fig. 1.2
Fig. 1.3
Fig. 1.4
Fig. 1.5
C-14
FISICA
Fig. 1.6
Tabella 1.3
Fig. 1.7
Coefficienti f d’attrito radente durante il moto
Natura dei corpi
Stato Coefficienti d’attrito delle superfici (supposte massimo medio minimo lisce)
Metallo sopra metallo
secche bagnate unte
0,50 0,30 0,13
0,20 0,15 0,07
0,15 0,10 0,19
Legno sopra legno
secche bagnate unte
0,50 – 0,16
0,36 0,25 0,11
0,19 – 0,06
Metallo sopra legno
secche bagnate unte
0,60 – 0,16
0,37 0,21 0,10
0,19 0,10 0,06
Cuoio sopra legno o sopra metallo
secche unte
0,60 0,30
0,40 0,20
0,30 0,15
Corda sopra legno o sopra metallo
secche bagnate
0,50 0,40
0,40 0,35
0,30 0,30
Caucciù su legno o metallo
secche
0,80
0,60
0,50
Metallo su pietra
secche
0,50
0,45
0,30
Legno su pietra
secche
0,60
0,50
0,30
Materiali da muro fra loro
secche
0,78
0,75
0,65
secche bagnate
0,65 –
0,60 0,3
– –
Muro sul terreno di posa
La resistenza del mezzo è la resistenza opposta al movimento dei corpi dal fluido entro cui si muovono.
C-15
MECCANICA DEI CORPI RIGIDI
Tabella 1.4
Attrito (volvente) per autovetture con pneumatici
Tipo di piano stradale
Coeff. di attrito f 0,012 ÷ 0,018 0,014 ÷ 0,018 0,014 ÷ 0,019 0,012 ÷ 0,017 0,014 ÷ 0,018 0,016 ÷ 0,021 0,025 ÷ 0,030 0,016 ÷ 0,021 0,032 ÷ 0,034 0,023 ÷ 0,032
Calcestruzzo di cemento in buone condizioni Conglomerato bituminoso a elementi grossi Malta bituminosa Mattonelle di asfalto Blocchetti di legno non sigillati Macadam all’acqua cilindrato Ghiaia non del tutto consolidata Fondo naturale in terra trattata Fondo naturale in terra soffice Neve ben costipata (5 cm)
1.3
DINAMICA
Principio fondamentale: se una forza F agisce su un corpo, questo subisce una accelerazione a della medesima direzione e verso della forza F e di modulo proporzionale all’intensità della forza. F = ma ;
F m = --a
Unità di misura: newton (N): forza che applicata ad un corpo di massa (m) di 1 kg gli imprime l’accelerazione di 1 m · s–2 m N = kg ----2 s Principio di inerzia: se le forze che agiscono su un corpo hanno risultante nulla (F = 0 e a = 0), il corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Principio di azione e reazione : l’azione di una forza è sempre accompagnata da una reazione di uguale intensità ma di verso contrario. Massa e peso: un corpo nel campo gravitazionale è soggetto alla forza P chiamata peso e, se libero di muoversi, cade con accelerazione g costante. P Quindi P = mg ; g = ---m Unità di misura: N, per il peso (forza) e kg per la massa. Il peso è una grandezza vettoriale, la massa è una grandezza scalare. Densità e peso specifico. Massa volumica ρ di un corpo è il rapporto tra la massa e il volume. m ρ = ---V kg Unità di misura: ------3 m
C-16
FISICA
Densità o densità relativa δ è il rapporto tra la massa di un corpo omogeneo e la massa di un ugual volume di acqua distillata a 4°C. Peso specifico assoluto γ di un corpo è il rapporto tra il peso del corpo e il suo volume. P mg γ = ---- = ------- = ρ ⋅ g ; V V
P = ρ ⋅ g ⋅ V.
N Unità di misura: ------3 . m Peso specifico relativo yr , è il rapporto tra il peso del corpo e il peso di un ugual volume di acqua distillata a 4°C. N.B. I valori in uso del peso specifico relativo che ancora si trovano su alcuni testi possono essere usati per la lettura della densità perché coincidenti. Lavoro: lavoro di una forza costante F applicata a un corpo è la grandezza scalare ottenuta dal prodotto della intensità della forza per lo spostamento s del suo punto di applicazione: W =F ⋅ l Unità di misura è il joule: J=N⋅m lavoro che la forza di un 1N compie quando il suo punto di applicazione si sposta di 1 m nella direzione e nel verso della forza stessa. Potenza: lavoro compiuto da una forza nell’unità di tempo: W P = ----- . t J Unità di misura è il watt (W): W = -----s Energia cinetica: l’energia cinetica di un punto di massa m dotato di velocità v è la grandezza scalare definita da: 1 E c = ------ m v 2 . 2 L’unità di misura è il joule. Energia potenziale gravitazionale : per libera caduta da un’altezza h un corpo acquista la velocità: v = 2 a s = 2 g h cui corrisponde l’energia cinetica: 1 1 E c = ------ mv 2 = ------ m 2 gh = mgh che esprime anche l’energia di posizione o poten2 2 ziale del corpo di massa m prima dell’inizio della caduta, per il cui effetto detta energia si trasforma in cinetica. Pendolo: durata di ogni piccola oscillazione di un pendolo semplice di lunghezza l T = 2π
l ----g
Forza centripeta e reazione centrifuga : loro valore per un corpo di massa m ruotante con una velocità v alla distanza r dal centro di rotazione: v2 F c = ma c = m ⋅ ---- = m ⋅ ω 2 ⋅ r . r
2
MECCANICA DEI LIQUIDI
Principio di Pascal: i liquidi trasmettono ugualmente in tutte le direzioni le pressioni esercitate in un punto qualsiasi della loro superficie, cioè le pressioni sono proporzionali alle superfici alle quali vengono trasmesse. La pressione viene riferita comunemente all’unità di superficie ed è espressa in pascal (Pa): 1 Pa = 1N ⋅ m –2 (In meteorologia si ricorre al millibar; 1 mbar = 102 Pa). Se si considera uno strato qualsiasi di area A, posto alla profondità h dalla superficie libera del liquido, esso subisce il peso del liquido sovrastante. Se V è il volume e ρ la massa volumica, tale peso è dato da: P = mg = V · ρ · g = A · h · ρ · g La pressione su tale strato è: P A⋅h⋅ρ⋅g p = --- -------------------------- = h ⋅ ρ g . A A La pressione si esercita perpendicolarmente alle pareti premute. Principio di Archimede: ogni corpo immerso in un liquido riceve una spinta verticale dal basso in alto uguale al peso del liquido spostato. Il corpo galleggia, sta sospeso o affonda, secondo che il suo peso specifico, e perciò la sua densità, sia minore, uguale o maggiore di quello del liquido spostato.
3
MECCANICA DEGLI AERIFORMI
Pressione atmosferica: la pressione atmosferica, in condizioni normali, equivale alla pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 76 cm. Se la massa volumica ρ del Hg = 13590 kg/m3, il valore di tale pressione è: p = h · ρ · g = 0,76 m × 13590 kg/m3 × 9,8 N/kg = 101000 Pa Il valore ufficiale è convenzionalmente fissato in 101325 Pa = 1013,25 mbar. Legge di Boyle e Mariotte: alla stessa temperatura il prodotto del volume di una massa gassosa per la corrispondente pressione è costante: p · V = K. Principio di Archimede per i gas : un corpo immerso in una massa gassosa riceve una spinta dal basso in alto uguale al peso del gas spostato. Pompe (per il sollevamento dei liquidi): possono essere aspiranti (fig. 3.1), prementi (fig. 3.2) e aspiranti prementi (fig. 3.3).
Fig. 3.1
Fig. 3.2
Fig. 3.3
4
TERMOLOGIA
Scale termometriche e conversione delle scale. C = temperatura centrigrada o di Celsius; R = temperatura Réaumur od ottantigrada; F = temperatura Fahrenheit (tab. 4.1) Tabella 4.1
Scale termometriche
°C
°R
°F
°C
°R
°F
°C
°R
°F
– 40 – 39 – 38 – 37 – 36 – 35 – 34 – 33 – 32 – 31
– 32,0 – 31,2 – 30,4 – 29,6 – 28,8 – 28,0 – 27,2 – 26,4 – 25,6 – 24,8
– 40,0 – 38,2 – 36,4 – 34,6 – 32,8 – 31,0 – 29,2 – 27,4 – 25,6 – 23,8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
7,2 8,8 8,8 9,6 10,4 11,2 12,0 12,8 13,6 14,4
48,2 50,0 51,8 53,6 55,4 57,2 59,0 60,8 62,6 64,4
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
45,6 46,4 47,2 48,0 48,8 49,6 50,4 51,2 52,0 52,8
134,6 136,4 138,2 140,0 141,8 143,6 145,4 147,2 149,0 150,8
– 30 – 29 – 28 – 27 – 26 – 25 – 24 – 23 – 22 – 21
– 24,0 – 23,2 – 22,4 – 21,6 – 20,8 – 20,0 – 19,2 – 18,4 – 17,6 – 16,8
– 22,0 – 20,2 – 18,4 – 16,6 – 14,8 – 13,0 – 11,2 – 9,4 – 7,6 – 5,8
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
15,2 16,0 16,8 17,6 18,4 19,2 20,0 20,8 21,6 22,4
66,2 68,0 69,8 71,6 73,4 75,2 77,0 78,8 80,6 82,4
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
63,6 54,4 55,2 56,0 56,8 57,6 58,4 59,2 60,0 60,8
152,6 154,4 156,2 158,0 159,8 161,6 163,4 165,2 167,0 168,8
– 20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15 – 14 – 13 – 12 – 11
– 16,0 – 15,2 – 14,4 – 13,6 – 12,8 – 12,0 – 11,2 – 10,4 – 9,6 – 8,8
– 4,0 – 2,2 – 0,4 1,4 3,2 5,0 6,8 8,6 10,4 12,2
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
23,2 24,0 24,8 25,6 26,4 27,2 28,0 28,8 29,6 30,4
84,2 86,0 87,8 89,6 91,4 93,2 95,0 96,8 98,6 100,4
77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
61,6 62,4 63,2 64,0 64,8 65,6 66,4 67,2 68,0 68,8
170,6 172,4 174,2 176,0 177,8 179,6 181,4 183,2 185,0 186,8
– 10 –9 –8 –7 –6
– 8,0 – 7,2 – 6,4 – 5,6 – 4,8
14,0 15,8 17,6 19,4 21,2
39 40 41 42 43
31,2 32,0 32,8 33,6 34,4
102,2 104,0 105,8 107,6 109,4
87 88 89 90 91
69,6 70,4 71,2 72,0 72,8
188,6 190,4 192,2 194,0 195,8
C-20
FISICA
Tab. 4.1 °C
Segue
°R
°F
°C
°R
°F
°C
°R
°F
–5 –4 –3 –2 –1
– 4,0 – 3,2 – 2,4 – 1,6 – 0,8
23,0 24,8 26,6 28,4 30,2
44 45 46 47 48
35,2 36,0 36,8 37,6 38,4
111,2 113,0 114,8 116,6 118,4
92 93 94 95 96
73,6 74,4 75,2 76,0 76,8
197,6 199,4 201,2 203,0 204,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4
32,0 33,8 35,6 37,4 39,2 41,0 42,8 44,6 46,4
49 50 51 52 53 54 55 56
39,2 40,0 40,8 41,6 42,4 43,2 44,0 44,8
120,2 122,0 123,8 125,6 127,4 129,2 131,0 132,8
97 98 99 100 101 102 103 104
77,6 78,4 79,2 80,0 80,8 81,6 82,4 83,2
206,8 208,4 210,2 212,0 213,8 215,6 217,4 219,2
5 C = 1, 25R = ------ ( F – 32 ) 9 F = 32 + 1, 8C = 32 + 2,25R 4 R = 0, 8 C = ------ ( F – 32 ) 9 La temperatura dell’aria aumenta di 3 °C ogni 100 m di profondità, e diminuisce di 0,6 °C ogni 100 m di altezza. Dilatazione termica (tabb. 4.2 e 4.3). Tabella 4.2 Coefficienti di dilatazione lineare in °C–1 (valori medi fra 0°C, e 100°C, salvo diversa indicazione) Acciaio, ferro 0,000012 Alluminio 0,000024 Argento 0,000020 Bronzo, ottone 0,000018 Caucciù a 20°C 0,000077 Cemento in opera 0,000077 ÷ 0,000014 Costantana 0,000015 Ghiaccio a -100ºC 0,000034 Ghiaccio a 0ºC 0,000053 Ghisa 0,000010 Invar 36% Ni, 64% Fe 0,0000009 Legno abete = fibre 0,000004 0,000058 Legno abete ⊥ fibre Magnesio 0,000026
Mattoni comuni 0,000006 Nichel 0,000013 Oro 0,000014 Paraffina a 20°C 0,00020 Piombo 0,000029 Platino 0,000009 0,000004 Porcellana 20 ÷ 80ºC Rame 0,000017 Stagno 0,000026 Vetro 16 III 0,000008 Vetro 59 III 0,0000059 Vetro 1565 III 0,0000035 Vetro di quarzo 0,0000005 Zinco 0,000017 ÷ 0,00004
C-21
TERMOLOGIA
Tabella 4.3 Coefficienti di dilatazione cubica in °C –1 (valori alla temperatura di circa 20°C) Acido solforico Alcol etilico Aria e gas perfetti Benzolo Essenza di trementina
0,00055 0,00110 0,003661 0,00121 0,00100
Etere etilico Glicerina Mercurio Olio d’oliva Petrolio
0,00160 0,00050 0,000181 0,00072 0,0009 ÷ 0,0010
Per l’acqua tra 0°C e 25°C, 0,0000075 (t – 4)2 approssimativamente.
Dilatazione dei solidi: dilatazione lineare: dilatazione cubica:
Lt = Lo (1 + λt) Vt = Vo (1 + αt)
nelle quali: Lt , Vt , = lunghezza e volume del corpo a t°C; λ, α = coefficiente di dilatazione lineare o cubica ( α = 3 λ). Dilatazione dei liquidi: ogni liquido ha un proprio coefficiente di dilatazione cubica, quindi per il calcolo degli aumenti di volume sono valide le formule precedenti. Dilatazione dei gas e legge di Gay-Lussac: il coefficiente di dilatazione dei gas a pressione costante è: 1 --------- = 0, 00367 273 Temperatura assoluta (T): T = t × 273;
t = T – 273
in cui t esprime la temperatura centigrada. La temperatura assoluta si esprime in kelvin (K) Equazione di stato dei gas perfetti : VP=RT V = volume; P = pressione; T = temperatura assoluta; R = costante del gas perfetto. Quantità di calore. La kilocaloria (kcal) è la quantità di calore necessaria ad innalzare da 14,5°C a 15,5°C la temperatura della massa di 1 kg di acqua distillata alla pressione atmosferica normale. 1 kcal = 4186,8 J Calore specifico (capacità termica massica): rapporto tra la quantità di calore fornita o sottratta all’unità di massa di un corpo e la corrispondente variazione di temperatura. Trasmissione del calore: per irraggiamento, per conduzione, per convezione.
C-22
FISICA
Schema dei cambiamenti di stato dei corpi :
Calore di fusione: è la quantità di calore necessaria a far passare 1 kg di un corpo dallo stato solido a quello liquido, a temperatura costante (tab. 4.4). Tabella 4.4
Temperatura e calore di fusione di elementi e composti inorganici
Denominazione
Formula
Temperatura di fusione °C
Calore di fusione* kcal/kg
Acido bromidrico Acido cloridrico Acido iodidrico Acido nitrico Acido solforico Acqua Alluminio Ammoniaca Antimonio Argento Argon Azoto Bismuto Bromo Cadmio Cromo Cloro Cloruro di bario Cloruro di calcio Cloruro di calcio idrato Cobalto Biossido di carbonio Fosforo Gallio Idrogeno Iodio Magnesio Manganese Mercurio Monossido di carbonio Nitrato di litio Nichelio Oro Ossigeno Palladio
HBr HCl HI HNO3 H2SO4 · H2O H 2O Al NH3 Sb Ag A N2 Bi Br2 Cd Cr Cl2 BaCl2 CaCl2 CaCl2 · 6H2O Co CO2 P Ga H2 I2 Mg Mn Hg CO LiNO3 Ni Au O2 Pd
– 86,56 – 114,56 – 53,56 47,56 8,56 0,56 658,56 – 75,56 630,56 961,56 – 190,56 – 210,56 268,56 – 7,32 321,56 1890,56 – 103,56 959,56 774,56 29,56 1495,56 – 56,26 44,26 2,98 – 259,16 113,76 651,56 1070 ÷ 1130 – 39,56 – 206,56 250,56 1435,56 1064,56 – 219,56 1545,56
7,7 13,9 5,68 9,55 39,1 79,71 94 108,1 3,9 26,0 6,7 6,09 10,2 16,2 10,8 75,5 23,0 27,5 54,3 40,7 62,0 45,3 5,03 19,2 14,0 11,7 47,6 24,14 2,82 8,0 88,5 56,1 15,9 3,3 36,3
C-23
TERMOLOGIA
Tabella 4.4 Denominazione
Formula
Platino Potassio Perossido di idrogeno Piombo Rame Rubidio Sodio Stagno Tallio Zolfo
Pt K H2O 2 Pb Cu Rb Na Sn Tl S
Segue Temperatura di fusione °C
Calore di fusione* kcal/kg
1755,56 62,56 – 1,76 327,56 1083,56 38,56 97,56 232,56 302,56 119,56
27,2 15,7 74,1 5,47 49,0 6,2 31,7 13,8 3,7 13,2
*Per trasformare le kcal/kg in kJ/kg moltiplicare per 4,1868.
Termodinamica. – Primo principio: la variazione dell’energia totale di un sistema è uguale alla differenza fra il calore ricevuto e quello perduto, aggiunta alla differenza fra il lavoro ricevuto e quello compiuto. – Secondo principio: non è possibile trasformare completamente in lavoro tutto il ca lore potenzialmente disponibile. – Rendimento di una macchina termica : è il rapporto fra la quantità di calore utilizzabile e quella sottratta alla sorgente: Q1 Q2 η = -------------Q1 η = rendimento; Q1 = quantità di calore sottratto alla sorgente; Q2 = quantità di calore che si riversa al refrigerante (condensatore o ambiente). Tabella 4.5
Punto di ebollizione di alcune sostanze. Valori riferiti alla pressione atmosferica normale di 1013 mbar (76 cmHg)
Sostanza Acetone Acetilene Alcol etilico Alcol metilico Acetato di amile Benzene Canfora Cloroformio Etere etilico Benzina Glicerina Trementina *Variazioni per cm di Hg intorno ai 76 cm.
Temperatura °C
Variazione*
57,7 – 72,2 78,3 64,7 148,7 80,7 205,7 61,2 34,6 70 ÷ 90 891,7 159,7
0,39 – 0,34 0,35 – 0,43 0,56 0,41 0,40 – – –
5
ACUSTICA
Suono e rumore: è ogni impressione che può o potrebbe eccitare il senso dell’udito. Il suono è dovuto ad una successione regolare di oscillazioni e si può apprezzare musicalmente; il rumore è dovuto ad una serie di vibrazioni irregolari e non è apprezzabile musicalmente. La trasmissione dei suoni avviene per mezzo delle vibrazioni sonore che si propagano nel mezzo ambiente con progressive fasi di condensazione e di rarefazione. Caratteri del suono Intensità è il carattere distintivo che fa definire un suono forte o debole; dipende dall’energia trasportata dall’onda e quindi dall’ ampiezza delle vibrazioni e dallo stato del mezzo ambiente nel quale si propagano. Nel sistema internazionale l’intensità si misura in watt al metro quadrato (W · m–2). Altezza è il carattere che fa definire un suono grave o acuto; dipende dalla frequenza della sorgente sonora. Tabella 5.1
Intensità di suoni
Suono Soglia dell’udito Interno di una casa in posizione tranquilla Interno di una casa in città Conversazione normale a 1 m Traffico intenso a 20 m Interno di metropolitana Decollo di aviogetto a 600 m Martello pneumatico a 2 m Decollo di aviogetto a 30 m
Intensità W · m–2 10–12 10–9 10–7 10–6 10–4 10–3 10–1 100 102
Timbro è il carattere che dipende dalla forma delle vibrazioni, ossia dal numero e dall’intensità relativa dei vari suoni. Lunghezza d’onda è lo spazio occupato da una condensazione e da una rarefazione: λ = v/n λ = lunghezza d’onda; v = velocità di propagazione del moto ondulatorio; n = numero di vibrazioni complete. La lunghezza d’onda a parità di velocità è inversamente proporzionale al numero delle vibrazioni. Frequenza è il numero delle vibrazioni compiute nell’unità di tempo (un secondo). Gli ultrasuoni sono vibrazioni acustiche ad alta frequenza, oltre il limite di udibilità umana. Periodo è l’inverso della frequenza, cioè è il tempo impiegato nel compiere un’oscillazione completa. Risonanza consiste nell’entrata in vibrazione di un corpo vicino ad un altro, allorché questo vibra, dando origine a suoni della medesima altezza.
ACUSTICA
C-25
Leggi delle vibrazioni trasversali nelle corde: n = 1 ⁄ 2rl Pg ⁄ πp n = numero delle vibrazioni; 2 r = diametro della corda; l = lunghezza della corda; P = forza di tensione; g = accelerazione di gravità; p = massa volumica. Il numero delle vibrazioni delle corde è direttamente proporzionale alla radice quadrata della forza di tensione ed inversamente proporzionale alla lunghezza, al diametro della corda ed alla radice quadrata della sua massa volumica. Legge di Bernoulli o delle vibrazioni nei tubi : – un tubo rende i suoni di altezza sempre crescente, man mano che si rinforza la corrente d’aria in esso immessa; – i numeri delle vibrazioni corrispondenti al suono fondamentale sono inversamente proporzionali alla lunghezza del tubo. ⎧ suono fondamentale: λ = 2 l ; n = 1 ⎪ Tubi aperti ⎨ 1º suono armonico: λ = l ; n = 2 2 ⎪ ⎩ 2º suono armonico: λ = --3- l ; n = 3 ⎧ suono fondamentale: λ = 4 l ; n = 1 ⎪ 4 ⎪ Tubi chiusi ⎨ 1º suono armonico: λ = --3- l ; n = 3 ⎪ ⎪ 2º suono armonico: λ = 4--- l ; n = 5 3 ⎩ λ = lunghezza d’onda; l = lunghezza del tubo; n = numero delle vibrazioni. Propagazione del suono. Velocità in metri al secondo: aria secca, a 0°C, in condizioni normali, 331; idem a 10°C, 340; acqua a 15°C, 1450; acqua di mare a 15°C, 1437; vapor acqueo saturo a 100°C, 405; gomma, 50; ghisa, 4300; acciaio, alluminio, 5100; ferro, 5000; piombo, 1230; rame, 3560; ottone, 3500; marmo, 3800; granito, 5100; vetro, 5000; legno di olmo, 1013; legno di frassino, 4700; legno di abete (nel senso delle fibre), 6000; benzina, 1166. La velocità del suono in un gas è inversamente proporzionale alla radice quadrata della densità. P v = 1, 41 --d nella quale: v = velocità del suono; P = pressione del gas; d = densità del gas. Le vibrazioni sonore incontrando un ostacolo vengono in parte riflesse, in parte trasmesse al di là dell’ostacolo ed in parte assorbite. Coefficienti di riflessione, di trasmissione e di assorbimento sono i rapporti tra l’energia sonora riflessa, trasmessa o assorbita e l’energia incidente. Eco è la ripetizione del suono causata dal fenomeno di riflessione. Occorre che la distanza dall’ostacolo sia >17 m, altrimenti si ha il rimbombo.
6 6.1
OTTICA GENERALITÀ
Velocità della luce: 299792,458 km/s. Intensità luminosa: è una grandezza caratteristica di una sorgente luminosa. L’unità di misura è la candela (cd): intensità luminosa di una superficie di area 1/600000 m2 del corpo nero alla temperatura di solidificazione del platino (1775°C) emessa nella direzione perpendicolare alla superficie stessa, alla pressione di 101325 N · m2. Le misure di intensità luminosa si fanno con apparecchi detti fotometri. Le intensità di due sorgenti luminose stanno fra di loro come i quadrati delle distanze da un medesimo schermo da esse ugualmente illuminato mediante raggi aventi la stessa obliquità. 6.2
LEGGI DELLA RIFLESSIONE
Un raggio luminoso incidente su una superficie speculare viene riflesso. La riflessione obbedisce alle seguenti leggi. – Il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale condotta alla superficie riflettente nel punto di incidenza giacciono sullo stesso piano. – L’angolo di incidenza e l’angolo di riflessione sono uguali. 6.2.1 Specchi a) Specchi sferici. Elementi (fig. 6.1): centro di figura o centro della calotta sferica (V); centro di curvatura o centro della sfera a cui la calotta appartiene (C); asse principale o congiungente i due centri (C, V); asse secondario un punto generico S con il centro di curvatura (SC); raggio di curvatura o raggio della sfera (r). Fuoco è il punto in cui concorrono le direzioni o i prolungamenti di due o più raggi riflessi corrispondenti a raggi incidenti paralleli all’asse principale. Distanza focale è la distanza f = V F fra il fuoco F ed il centro di figura V.
Fig. 6.1 Specchio concavo sferico.
b) Specchi concavi: p = distanza dell’oggetto dal vertice dello specchio; q = distanza dell’immagine dal vertice dello specchio.
OTTICA
p=∞ p > 2f p = 2f f < p < 2f p=f p 2f q=∞ q 1 quando la luce penetra in un mezzo più denso; n < 1 nel caso contrario; per aria-vetro n = 1,50). Indice assoluto di un mezzo è quello che gli compete quando un raggio luminoso vi penetra dal vuoto. Angolo limite è l’angolo di incidenza a cui corrisponde un angolo di rifrazione retto, quando la luce penetra in un mezzo meno denso; al di là dell’angolo limite si ha riflessione totale (per n = 1,50; λ = 41°48′ 39″). 6.3.1 Monorifrazione e birifrazione. Se un raggio di luce attraversa una lamina di un cristallo monometrico, esso passa attraverso il cristallo senza cambiare le sue caratteristiche, perciò il cristallo è detto monorifrangente. Se un raggio di luce attraversa un cristallo dimetrico o trimetrico, esso si sdoppia in due raggi subendo il fenomeno della doppia rifrazione o birifrazione: il cristallo si dice allora birifrangente (vedere Scienze Naturali). 6.4
PRISMI
Prisma è un mezzo rifrangente limitato da due facce formanti un certo angolo fra di loro. Deviazione è l’angolo formato dalle direzioni del raggio incidente e del raggio emergente dal prisma. Prismi di comune impiego. Prisma triangolare isoscele (detto anche a riflessione totale): usato come indica la fig. 6.2 per una deviazione di 90°. Prisma universale di Iadanza; può dare le seguenti deviazioni: di 45° (fig. 6.3 a); di 90° (fig. 6.3 b); di 180° (fig. 6.3 c). Prisma di Wollaston: la sua sezione retta (fig. 6.4) ha la forma della quarta parte di un ottagono regolare. Dà una deviazione di 90°.
C-28
FISICA
Fig. 6.2 Prisma a riflessione totale.
Fig. 6.3 Prisma di Iadanza.
Fig. 6.4 Prisma a riflessione totale.
Fibre ottiche: fili trasparenti, sottilissimi e flessibili che, sfruttando una differenza dell’indice di rifrazione tra il cuore della fibra e lo strato esterno di essa, sono in grado di costringere la luce a compiere percorsi non rettilinei. Vengono ottenute utilizzando materie prime di estrema purezza e sono usate generalmente riunite in mazzette. 6.5
LENTI
Lente: è un mezzo rifrangente delimitato da due superfici, che comunemente sono sferiche, ovvero da una superficie e da un piano. Nel primo caso si hanno le lenti biconcave, biconvesse, convesse-concave o menischi; nel secondo caso le lenti piano-convesse e piano-concave (fig. 6.5). Elementi di una lente: centri di curvatura o centri delle superfici sferiche esterne ( C1 e C2); raggi di curvatura o raggi di tali superfici sferiche ( r1 e r2); asse principale o congiungente i due centri (C1 C2); nel caso in cui una delle superfici separatrici sia piana,
OTTICA
C-29
Fig. 6.5 Tipi di lenti. Le lenti convergenti sono più grosse al centro che ai bordi: 1. biconvessa; 2. pianoconvessa; 3. menisco-convessa. Le lenti divergenti sono più sottili al centro che ai bordi: 4. biconcava; 5. pianoconcava; 6. menisco-concava
l’asse è la normale a tale piano dal centro dell’altra superficie separatrice; S – S1: asse ottico secondario (fig. 6.6).
Fig. 6.6 Elementi della lente biconvessa.
Fuochi di una lente: sono punti (reali o virtuali) in cui concorrono le direzioni o i prolungamenti di raggi emergenti dalla lente o incidenti in essa, ai quali corrispondono rispettivamente raggi incidenti o emergenti paralleli all’asse principale. Indicando con F1 e F2 i fuochi e con f la distanza focale si ha: F1 F2 = 2 f Il punto O, tale che sia: (F1O = O F2 = f), è detto centro ottico della lente. Lenti convergenti (p e q indicano rispettivamente le distanze dell’oggetto e dell’immagine dalla lente): Lenti divergenti: immagine sempre virtuale diritta più piccola. p=∞ p > 2f p = 2f f < p < 2f p=f p 2f q=∞ q 0,1 mm per le onde hertziane (circuiti oscillanti); λ = 100 µm fino a 0,8 µm per i raggi infrarossi (spettro solare e dei corpi incandescenti); λ = 0,8 µm fino a 0,4 µm per i raggi luminosi (spettro solare e dei corpi incandescenti); λ = 0,4 µm fino a 10 µm per i raggi ultravioletti (spettro solare e dei corpi incandescenti); λ = 10 nm fino a 0,1 nm per i raggi X molli (frenamento di elettroni nella materia); λ = 0,1 nm fino a 5 pm per i raggi X duri (frenamento di elettroni nella materia); λ < 5 pm per i raggi γ (sostanze radioattive).
9
FISICA ATOMICA E NUCLEARE
Tutti i corpi, solidi, liquidi, gassosi, sono costituiti da particelle uguali tra loro dette molecole, le quali, a loro volta, sono formate da atomi. La concezione antica dell’atomo, che non fosse divisibile, è stata superata da successive scoperte e teorie nel campo della fisica. Gli atomi infatti sono formati da particelle dette particelle subatomiche. Le particelle subatomiche principali sono: protoni, neutroni, elettroni. Protoni e neutroni sono anche detti nucleoni in quanto concentrati nel nucleo; gli elettroni si trovano nello spazio intorno a 1 nucleo e la loro distribuzione determina le proprietà chimiche dell’atomo. Proprietà fondamentali delle particelle subatomiche sono le masse e le cariche elettriche. Particella subatomica Elettrone Protone Neutrone
Massa (kg)
Carica elettrica
0,910953 × 10–30 1 672648 × 10–27 1,674954 × 10–27
1 – (–1,60 × 10–19 coulomb) 1 + (+1,60 × 10–19 coulomb) 0
L’unità di massa atomica è 1,6605655 × 10– 27 kg. Il protone si trova nel nucleo, quindi questo è carico positivamente. Il numero atomico è rappresentato dal numero dei protoni dell’elemento; il numero degli elettroni corrisponde al numero atomico. Gli isotopi di un elemento hanno identici numeri atomici, ma numeri di massa diversi; essi cioè differiscono per il numero di neutroni presenti nei nuclei. Ogni isotopo è caratterizzato da due numeri: il numero atomico e il numero di massa; tali numeri si aggiungono a sinistra (in alto e in basso) del simbolo chimico dell’elemento: numero di massa →235U
numero atomico
→92
In questo isotopo (Uranio 235) sono presenti 92 protoni e 143 neutroni. Secondo il modello di Rutheford (nucleo contenente neutroni e protoni, circondato da elettroni) l’atomo poteva essere raffigurato come un piccolissimo sistema planetario nel quale gli elettroni rappresentavano i pianeti e il nucleo il Sole. Successivamente la concezione dell’atomo fu migliorata da Bohr-Sommerfeld, secondo la teoria quantistica di Planck in relazione ai livelli energetici dell’atomo nelle varie orbite descritte dagli elettroni intorno al nucleo. Quando gli atomi si uniscono per formare composti, i nuclei rimangono a notevole distanza; entrano in contatto solo le aree occupate dagli elettroni. Le proprietà chimiche degli elementi dipendono quindi dagli elettroni degli atomi. La struttura elettronica rappresenta la distribuzione degli elettroni intorno al nucleo ed è stata individuata per mezzo di studi sulla luce emessa quando gli atomi sono eccitati o arricchiti di energia. Nel modello di Bohr l’elettrone si muove intorno al nucleo secondo determinate orbite; il modello indica la grandezza delle orbite e l’energia posseduta da un elettrone in una particolare orbita; l’equazione di Bohr comprende alcune costanti fisiche, come la massa dell’elettrone, la sua carica, la costante di Planck ed un numero intero
FISICA ATOMICA E NUCLEARE
C-35
detto numero quantico. Lo stato energetico più basso è chiamato stato base; in questo stato l’elettrone è il più vicino possibile al nucleo. Quando l’atomo assorbe energia, l’elettrone passa a un’orbita più alta; quando l’elettrone va in un’orbita più bassa, l’energia viene emessa sotto forma di luce. La teoria attuale sulla struttura elettronica è basata sulle proprietà delle onde dell’elettrone. La teoria è denominata meccanica ondulatoria o meccanica quantistica, perché prevede livelli di energia quantizzata. Le forme delle onde, dette orbitali, hanno una energia caratteristica. Le onde associate all’elettrone (orbitali) sono caratterizzate da numeri quantici. – n: numero quantico principale; gli orbitali con lo stesso valore di n stanno allo stesso livello. Più alto è il valore di n, più grande è la distanza dell’elettrone dal nucleo. Il numero è in relazione con l’energia dell’orbitale: se n aumenta, anche l’energia dell’orbitale aumenta. – l : numero quantico secondario; divide i livelli elettronici in gruppi più piccoli di orbitali detti sottolivelli. Il numero quantico principale indica l’energia e la grandezza dell’orbitale, il secondario definisce la forma dell’orbitale. – m: numero quantico magnetico; separa i sottolivelli in orbitali individuali; descrive come un orbitale è orientato nello spazio rispetto agli altri orbitali. – ms : numero quantico di spin; è determinato dal fatto che l’elettrone può girare in sensi opposti. Principio di esclusione di Pauli. Nello stesso atomo non esistono due elettroni con uguali valori di tutti e quattro i numeri quantici. La radioattività naturale è un fenomeno nucleare: i nuclei di molti isotopi che si trovano in natura decadono spontaneamente emettendo radiazioni alfa, beta, gamma. La radioattività è dovuta alla non stabilità di certe combinazioni di neutroni e protoni nei nuclei; molti nuclei infatti subiscono modificazioni nel numero di protoni e neutroni, cedono energia e diventano più stabili per emissione di piccole particelle e di radiazione elettromagnetica (decadimento radioattivo). Gli isotopi radioattivi sono chiamati radionuclidi. Nei radionuclidi si osservano i tre tipi di radiazioni: alfa, beta, gamma. La radiazione alfa è costituita da un flusso di nuclei di atomi di elio (particelle alfa). Le particelle alfa, nell’ambito di quelle interessate alla radioattività naturale, hanno massa maggiore e sono poco veloci. Le particelle beta (radiazioni beta) sono formate da flussi di elettroni; hanno massa minore delle alfa. Le radiazioni gamma sono formate da protoni ad alta energia e si originano all’interno di alcuni nuclei. Raggi X: sono radiazioni elettromagnetiche ad alta energia; non vengono emessi da radionuclidi naturali, ma da radionuclidi sintetici. Positroni: particelle con massa di un elettrone e carica positiva emesse da un certo numero di isotopi sintetici. Transmutazione: trasformazione di un isotopo in un altro; può avvenire per decadimento radioattivo. Dalla disintegrazione del nucleo si ha una variazione di massa e quindi una grande variazione di energia, data dalla relazione di Einstein: ∆E = ∆m ∕ c 2 dove c è la velocità della luce nel vuoto (299793 km/s).
Sezione D Chimica 1
CHIMICA GENERALE ............................................................................
4
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.7 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.8.4 2.8.5 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28
CHIMICA INORGANICA ........................................................................ Idrogeno (H) ................................................................................................ Ossigeno (O) ................................................................................................ Aria ............................................................................................................... Acqua (H2O) ................................................................................................ Acqua ossigenata (H2O2) ............................................................................. Alogeni (F - Cl - Br - I) ............................................................................... Fluoro (F) ..................................................................................................... Cloro (Cl) ..................................................................................................... Bromo (Br) .................................................................................................. . Iodio (I) ......................................................................................................... Zolfo (S) ........................................................................................................ Gruppo dell’azoto (N - P - As - Sb - Bi) .................................................... Azoto (N) ...................................................................................................... Fosforo (P) ................................................................................................... Arsenico (As) ................................................................................................ Antimonio (Sb) ............................................................................................. Bismuto (Bi).................................................................................................. Carbonio (C) ................................................................................................ Silicio (Si) ..................................................................................................... Boro (B) ........................................................................................................ Sodio (Na) .................................................................................................... Potassio (K) .................................................................................................. Magnesio (Mg) ............................................................................................. Calcio (Ca) ................................................................................................... Bario (Ba) ..................................................................................................... Alluminio (Al) .............................................................................................. Zinco (Zn) .................................................................................................... Mercurio (Hg).............................................................................................. Stagno (Sn) ................................................................................................... Piombo (Pb) ................................................................................................. Cromo (Cr) .................................................................................................. Manganese (Mn).......................................................................................... Ferro (Fe) ..................................................................................................... Nichelio (Ni) ................................................................................................. Platino (Pt) ................................................................................................... Rame (Cu) .................................................................................................... Argento (Ag) ................................................................................................
13 13 13 13 14 15 15 15 15 16 16 17 18 18 19 19 20 21 21 22 24 25 26 26 26 27 27 28 28 29 29 29 30 30 31 31 31 31
D-2
CHIMICA
2.29 2.30
Oro (Au) ....................................................................................................... 32 Leghe metalliche ......................................................................................... 32
3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.3 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 3.7 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.9 3.10 3.11 3.12 3.12.1 3.12.2 3.12.3 3.12.4 3.12.5 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.17.1 3.17.2 3.18 3.19 3.20 3.21
CHIMICA ORGANICA ............................................................................ Generalità .................................................................................................... Idrocarburi .................................................................................................. Alcani (paraffine).......................................................................................... Alcheni (olefine o etileni) ............................................................................. Alchini (acetilenici) ...................................................................................... Areni: benzene e derivati .............................................................................. Altri idrocarburi ............................................................................................ Petrolio e petrolchimica ............................................................................. Alogenuri organici ...................................................................................... Alcoli e fenoli ............................................................................................... Alcoli ............................................................................................................ Fenoli ............................................................................................................ Eteri .............................................................................................................. Aldeidi e chetoni .......................................................................................... Carboidrati .................................................................................................. I monosaccaridi............................................................................................. I disaccaridi................................................................................................... I polisaccaridi................................................................................................ Acidi organici .............................................................................................. Esteri ............................................................................................................ Composti organici solforati ........................................................................ Composti organici azotati .......................................................................... Nitro-composti.............................................................................................. Ciano-composti............................................................................................. Sali di diazonio ............................................................................................. Ammino-composti ........................................................................................ Ammidi ......................................................................................................... Amminoacidi e proteine ............................................................................. Enzimi .......................................................................................................... Acidi nucleici (DNA, RNA) ........................................................................ Ormoni ......................................................................................................... Vitamine....................................................................................................... Vitamine idrosolubili. ................................................................................... Vitamine liposolubili. ................................................................................... Antibiotici .................................................................................................... Alcaloici ....................................................................................................... Glucosidi ...................................................................................................... Terpeni e canfore ........................................................................................
33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 37 37 37 37 38 38 38 39 40 40 40 41 41 41 41 41 43 43 43 44 44 45 45 45 46 46
4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2
CHIMICA APPLICATA ........................................................................... Acqua ........................................................................................................... Leganti e calcestruzzi ................................................................................. Calci.............................................................................................................. Cementi.........................................................................................................
47 47 47 47 48
CHIMICA
D-3
4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6 4.7 4.7.1 4.8 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4
Calcestruzzi................................................................................................... Gesso ............................................................................................................. Pozzolana ...................................................................................................... Argille e laterizi ........................................................................................... Argilla ........................................................................................................... Laterizi .......................................................................................................... Vetri .............................................................................................................. Prodotti ceramici ......................................................................................... Combustibili ................................................................................................ Combustibili solidi naturali........................................................................... Combustibili solidi artificiali. ....................................................................... Combustibili liquidi naturali e artificiali....................................................... Prodotti naturali affini al petrolio.................................................................. Combustibili gassosi naturali. ....................................................................... Combustibili gassosi artificiali...................................................................... Esplosivi ....................................................................................................... Principali tipi di esplosivi. ............................................................................ Materie plastiche ......................................................................................... Resine termoindurenti. .................................................................................. Resine cellulosiche........................................................................................ Resine termoplastiche. .................................................................................. Materie plastiche cellulari. ............................................................................
49 49 49 49 49 50 52 53 53 54 56 56 57 57 57 57 58 58 58 59 59 59
5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
ANALISI CHIMICA QUALITATIVA ..................................................... Analisi per via secca .................................................................................... Saggi preliminari........................................................................................... Saggi alla fiamma.......................................................................................... Saggi con perle al borace (Na2B4O7 · 10 H2O).............................................. Saggi in tubicino chiuso senza reattivo......................................................... Saggi in tubicino chiuso con reattivi............................................................. Saggi al carbone ............................................................................................ Saggi sul coccio di porcellana con miscele ossidanti ................................... Analisi per via umida .................................................................................. Saggi preliminari........................................................................................... Procedimento sistematico di analisi. ............................................................. Riconoscimento di alcuni cationi. ................................................................. Riconoscimento di alcuni anioni...................................................................
65 65 66 66 66 66 67 67 67 67 67 67 68 68
6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.3 6.4
ANALISI CHIMICA QUANTITATIVA.................................................. Metodi ponderali ......................................................................................... Metodi volumetrici ...................................................................................... Acidimetria e alcalimetria ............................................................................. Ossidimetria .................................................................................................. Iodometria ..................................................................................................... Analisi per precipitazione ............................................................................. Metodi gasometrici. ...................................................................................... Metodi chimico-fisici................................................................................... Analisi dei terreni........................................................................................
70 70 70 70 70 70 71 71 71 71
1
CHIMICA GENERALE
Materia: è tutto ciò che compone il nostro Universo. Ha massa, estensione e se possiede energia è capace di compiere un lavoro. Stati di aggregazione della materia: solido, liquido, aeriforme (gas e vapori). Corpi: porzioni limitate di materia. Sostanze: qualità diverse di materia. Sostanze semplici (dette comunemente elementi): sostanze formate da atomi della medesima specie; non si lasciano scindere in sostanze diverse tra loro. Esistono sostanze semplici a molecola monoatomica, biatomica, ecc. Allotropia: fenomeno per cui una stessa sostanza semplice può presentarsi sotto forme diverse (es. fosforo bianco e fosforo rosso) aventi comportamento fisico diverso. Sostanze composte (composti): sostanze costituite da molecole formate da atomi di specie diverse. Si possono decomporre trasformandosi in sostanze meno complesse. Elemento: è ciò che costituisce sia una sostanza semplice (es.: idrogeno nella molecola dell’idrogeno), sia una sostanza composta (es.: idrogeno ed ossigeno nel composto acqua sono elementi e non sostanze semplici). Specie chimica o individuo chimico: qualsiasi sostanza omogenea avente composizione definita e costante. Le miscele hanno composizione variabile. Possono essere omogenee ed eterogenee. Le omogenee hanno le stesse proprietà fisiche in tutte le parti, le eterogenee sono composte da due o più parti (fasi) con proprietà fisiche diverse. Legge di Lavoisier o della conservazione della massa : nulla si crea, nulla si distrugge ma tutto si trasforma; cioè: la somma delle masse delle sostanze reagenti è uguale alla somma delle masse delle sostanze prodotte dalla reazione. Legge di Proust o delle proporzioni definite : quando due elementi si combinano per dare un composto, le masse di essi che entrano nella reazione stanno tra loro in rapporto definito e costante (nella formazione di H 2O, H ed O entrano sempre nel rapporto 1:8). Legge di Dalton o delle proporzioni multiple : quando due elementi si combinano tra loro per dare più composti, le diverse quantità di un elemento che si combinano con le stesse quantità dell’altro sono in rapporto razionale semplice e multiple di una quantità minore. Legge degli equivalenti: le quantità degli elementi che entrano in combinazione per dare composti chimici, sono uguali o multiple intere dei rispettivi equivalenti. 1a legge di Van’t Hoff: nelle soluzioni, mantenendo costante la temperatura, la pressione osmotica è proporzionale alla concentrazione. 2a legge di Van’t Hoff: nelle soluzioni, mantenendo costante la concentrazione, per l’aumento di 1°C di temperatura la pressione osmotica aumenta di 1/273.
CHIMICA GENERALE
D-5
Legge di Avogadro: in uguali volumi di soluzioni diverse, nelle stesse condizioni di temperatura e di pressione osmotica, è contenuto un ugual numero di molecole. L’abbassamento del punto di congelamento è proporzionale alla concentrazione. L’innalzamento del punto di ebollizione è proporzionale alla concentrazione. Legge di Boyle e Mariotte: a temperatura costante il volume di una massa gassosa è sempre inversamente proporzionale alla pressione; cioè a temperatura costante il prodotto del volume di una massa gassosa per la sua pressione è costante. Legge di Charles e Gay Lussac: un gas ideale mantenuto a pressione costante e riscaldato da 0°C a 1°C si espande di 1/273 del suo volume, e raffreddato da 0°C a – 1°C si contrae di 1/273 del suo volume; questo coefficiente per grado è costante per qualunque intervallo di temperatura; quindi: t V t = V 0 + V 0 --------273 dove: Vt = volume del gas a t°C; V0 = volume del gas a 0°C. Quindi se un gas si contrae di 1/273 per ciascun grado di raffreddamento il suo volume dovrebbe diventare zero alla temperatura di – 273°C. Ma tutti i gas, prima di raggiungere la temperatura di – 273°C diventano liquidi e cambiano di stato. La temperatura di – 273°C si chiama zero assoluto e la temperatura misurata a partire da questo zero si chiama temperatura assoluta T e si esprime in gradi assoluti o kelvin (K). Quindi: 10°C = 283 K e – 10°C = 263 K t t V t = V 0 + V 0 ------------ = V 0 ⎛ 1 + ------------⎞ = ⎝ 273 273 ⎠ 273 + t T = V 0 ---------------- = V 0 --------273 273 Pertanto la legge di Charles e Gay Lussac si enuncia: a pressione costante il volume di un gas varia in proporzione alla temperatura assoluta. 0°C = 273 K è la temperatura di riferimento per misurare i volumi gassosi e si chiama temperatura normale. Legge di Avogadro: volumi uguali di gas, nelle stesse condizioni di pressione e temperatura, contengono lo stesso numero di molecole. Legge di Avogadro: la grammo-molecola dei corpi allo stato gassoso, nelle stesse condizioni di temperatura e pressione, occupa lo stesso volume (22,4 1 a 0°C e 760 mm di Hg). Legge di Doulong e Petit: il calore atomico è una costante ed è uguale a 6,5. Esso è il prodotto del calore specifico per il peso atomico.
D-6
CHIMICA
Tabella periodica degli elementi
Tabella 1.1 Strati elettronici completi
Ia
IIa
±1
IIIb
IVb
Vb
VIb
H
LEGGENDA
+1
11
+2
Numero atomico
Simbolo
55,847 –8–14–2
Peso atomico Configurazione elettronica
12
Na
Mg
22,98977 2–8–1
24,305 2–8–2
19
26 Fe
Be 9,01218 2–2
+2
20
+3
21
+2 +3 +4
22
+2 +3 +4 +5
23
+2 +3 +6
24
+2 +3 +4 +7
25
+2 +3
26
K
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
39,098 –8–8–1
40,08 –8–8–2
44,9559 –8–9–2
47,90 –8–10–2
50,9414 –8–11–2
51,996 –8–13–1
54,9380 –8–13–2
55,847 –8–14–2
37
+2
38
+3
39
+4
40
+3 +5
41
+6
42
+4 +6 +7
43
+3
44
Rb
Sr
Y
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
85,4678 –18–8–1
87,62 –18–8–2
88,9059 –18–9–2
91,22 –18–10–2
92,9064 –18–12–1
95,94 –18–13–1
(97) –18–13–2
101,07 –18–15–1
+1
55
+2
56
Cs
Ba
132,9054 –18–8–1
137,34 –18–8–2
+1
2–8–18–32
4
Li
+1
2–8–18
+2
6,941 2–1
+1
+2 +3
Stato di ossidazione
3
+1
2–8
VIII
1 1,0079 1
2
VIIb
87
+2
57–71 Vedi Lantanidi
88 89–103
Fr
Ra
(223) –18–8–1
226,0254 –18–8–2
Vedi Attinidi
+3
Lantanidi
57
72
+5
73
+6
74
+4 +6 +7
75
+3 +4
76
Hf
Ta
W
Re
Os
178,49 –32–10–2
180,9479 –32–11–2
183,85 –32–12–2
186,207 –32–13–2
190,2 –32–14–2
+4
104
(261) –32–10–2
+3 +4
58
105 (262) –32–11–2
+3
59
106 (263) –32–12–2
+3
60
+3
61
+2 +3
62
La
Ce
Pr
Nd
Pm
Sm
138,9055 –18–9–2
140,12 –20–8–2
140,9077 –21–8–2
144,24 –22–8–2
(145) –23–8–2
150,4 –24–8–2
+3
Attinidi
+4
89
+4
90
+4 +5
91
+3 +4 +5 +6
92
+3 +4 +5 +6
93
+3 +4 +5 +6
94
Ac
Th
Pa
U
Np
Pu
(227) –18–9–2
232,0381 –18–10–2
231,0359 –20–9–2
238,029 –21–9–2
237,0482 –22–9–2
(244) –24–8–2
CHIMICA GENERALE
VIII
Ib
IIb
IIIa
IVa
D-7
Va
VIa
VIIa
0 0
2 He
4,00260 2 +3
5
+2 ±4
B
C
10,81 2–3 +3
13
+2 ±4
Al
27 Co
58,9332 –8–15–2 +3
45 Rh
102,9055 –18–16–144 +3 +4
77 Ir
192,22 –32–15–2
+2 +3
63 Eu
151,96 –25–8–2 +3 +4 +5 +6
95 Am
(243) –25–8–2
+2 +3
28 Ni
58,70 –8–16–2 +2 +4
46 Pd
106,4 –18–18–0 +2 +4
78 Pt
195,09 –32–16–2
+3
64 Gd
157,25 –25–9–2 +3
96 Cm
(247) –25–9–2
+1 +2
29 Cu
63,546 –8–18–1 +1
47 Ag
107,868 –18–18–1 +1 +3
79 Au
196,9665 –32–18–1
+3
65 Tb
158,9254 –27–8–2 +3 +4
97 Bk
(247) –27–8–2
+2
30 Zn
65,38 –8–18–2 +2
48 Cd
112,40 –18–18–2 +1 +2
80 Hg
200,59 –32–18–2
+3
66 Dy
162,50 –28–8–2 +3
98 Cf
(251) –28–8–2
+3
31 Ga
69,72 –8–18–3 +3
49 In
114,82 –18–18–3 +1 +3
81 Tl
204,37 –32–18–3
+3
67 Ho
164,9304 –29–8–2 +3
99 Es
(254) –29–8–2
±1 ±2 ±3 +4 +5
12,011 2–4
14 Si
26,98154 2–8–3 +2 +3
6
28,086 2–8–4 +2 +4
32 Ge
72,59 –8–18–4 +2 +4
50 Sn
118,69 –18–18–4 +2 +4
82 Pb
207,2 –32–18–4
+3
68 Er
167,26 –30–8–2 +3
100 Fm
(257) –30–8–2
7 N
14,0067 2–5 ±3 +5
15
–2
O
15,9994 2–6 +4 +6 –2
P
33 As
74,9216 –8–18–5 ±3 +5
51 Sb
121,75 –18–18–5 +3 +5
83 Bi
208,9804 –32–18–5
+3
69 Tm
168,9342 –31–8–2 +2 +3
101 Md
(258) –31–8–2
16
–1
34
–2
Se
78,96 –8–18–6 +4 +6
52
–2
Te
127,60 –18–18–6 +2 +4
84 Po
(209) –32–18–6
+2 +3
70 Yb
173,04 –32–8–2 +2 +3
102 No
(255) –32–8–2
0
F
±1 +5 +7
17
Ne
0
35
39,948 2–8–8 0
Br
53
83,80 –8–18–8 0
I
85 At
(210) –32–18–7
+3
71 Lu
174,97 –32–9–2 +3
103 Lr
(260) –32–9–2
54 Xe
126,9045 –18–18–7 ±1 +5 +7
36 Kr
79,904 –8–18–7 ±1 +5 +7
18 Ar
35,453 2–8–7 ±1 +5
10 20,179 2–8
Cl
32,06 2–8–6 +4 +6
9
18,99840 2–7
S
30,97376 2–8–5 ±3 +5
8
131,30 –18–18–8 0
86 Rn
(222) –32–18–8
D-8
CHIMICA
Atomo: è la più piccola massa di un elemento capace di entrare in una reazione chimica. È costituito da un nucleo formato da neutroni e da protoni e da una parte periferica formata da elettroni. Particella Elettrone Protone Neutrone
Massa (g)
Carica elettrica 10−28
9,109534 × 1,672649 × 10−24 1,674954 × 10−24
1– 1+ 0
Il numero degli elettroni è uguale a quello dei protoni e quindi l’atomo è elettricamente neutro. Numero atomico = numero dei protoni. Numero di massa = protoni + neutroni. Gli isotopi hanno ugual numero atomico e diverso numero di massa. Peso atomico (massa atomica): massa media degli atomi di un elemento rispetto agli atomi di C–12. Grammo-atomo: è il peso atomico di un elemento, espresso in grammi. Numero di Avogadro: numero di atomi contenuti in un grammo-atomo; esso è 6,0233 × 1023 atomi. Molecola: è la più piccola parte di una sostanza, semplice o composta, che può esistere allo stato libero, e che conserva tutte le proprietà della sostanza considerata. Peso molecolare: somma dei pesi atomici di tutti gli atomi presenti in una molecola. Mole: è il peso molecolare di una sostanza espresso in grammi. Sistema periodico degli elementi: le proprietà fisiche e chimiche degli elementi sono funzione periodica del loro peso atomico. La tavola periodica è una sequenza dei simboli di tutti gli elementi disposti secondo il numero atomico crescente ed è divisa in colonne o gruppi e in righe o periodi (tab. l.1 e tab. 1.2). Simboli, formule, equazioni: il simbolo di un elemento si rappresenta per mezzo delle iniziali dei nomi latini e greci. Il simbolo non seguito da numero indica l’atomo dell’elemento; seguito da numero indica più atomi. Le molecole si rappresentano con formule; le reazioni chimiche sono rappresentate da equazioni. Valenza: attitudine che hanno gli atomi a perdere, ad acquistare, a mettere in comune elettroni quando entrano in combinazione, fino ad assumere la configurazione del gas nobile che li segue o li precede (tab. 1.3). Metallo: elemento buon conduttore di calore e di elettricità, malleabile, duttile, con superficie speculare. Forma ioni positivi. Metalloide: elemento le cui proprietà stanno tra quelle dei metalli e quelle dei nonmetalli. Nonmetallo: elemento non malleabile, cattivo conduttore. Forma più facilmente ioni negativi che positivi.
D-9
CHIMICA GENERALE
Tabella 1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br
Idrogeno Elio Litio Berillio Boro Carbonio Azoto Ossigeno Fluoro Neo Sodio Magnesio Alluminio Silicio Fosforo Zolfo Cloro Argo Potassio Calcio Scandio Titanio Vanadio Cromo Manganese Ferro Cobalto Nichelio Rame Zinco Gallio Germanio Arsenico Selenio Bromo
Metallo + Ossigeno ↓ Ossido metallico, ossido basico od ossido + Acqua ↓ Idrossido o base
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Nomi e simboli dei 103 elementi Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Trn Yb
Cripto Rubinio Stronzio Ittrio Zirconio Niobio Molibdeno Tecnezio Rutenio Rodio Palladio Argento Cadmio Indio Stagno Antimonio Tellurio Iodio Xeno Cesio Bario Lantanio Cerio Praseodimio Neodimio Prometio Samario Europio Gadolinio Terbio Disprosio Olmio Erbio Tulio Itterbio
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Metalloide + Ossigeno ↓ Anidride od ossido acido + Acqua ↓ Acido
Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Lutezio Afinio Tantalio Tungsteno Renio Osmio Iridio Platino Oro Mercurio Tallio Piombo Bismuto Polonio Astato Rado Francio Radio Attinio Torio Protoattinio Uranio Nettunio Plutonio Americio Curio Berchelio Californio Einsteinio Fermio Mendelevio Nobelio Laurenzio
Metalloide + Idrogeno ↓ Idracido
D-10
CHIMICA
Ossidi: composti binari con molecola formata da uno o più atomi di metallo e da uno o più atomi di ossigeno, a seconda della valenza del metallo (-oso se ottenuto con la valenza più bassa; -ico se ottenuto con la valenza più alta). Hanno grado di ossidazione normale. Perossido: ossido con grado di ossidazione superiore. Il rapporto tra atomi del metallo e ossigeno può essere 1:2 o 2:2. Sottossido: ossido con grado di ossidazione inferiore. Il rapporto tra gli atomi del metallo e ossigeno è 2:1. Sesquiossido: gli elementi si combinano nel rapporto 2:3. Anidridi: composti binari con molecola formata da uno o più atomi di metalloide e da uno o più atomi di ossigeno a seconda della valenza del metalloide (-osa se il metalloide figura con valenza minore; -ica se con valenza maggiore; quando il metalloide ha più di due tipi di valenza il nome della prima ha prefisso -ipo e suffisso -osa, della seconda suffisso -osa, della terza suffisso –ica, della quarta prefisso -per e suffisso -ica). Idrati o idrossidi o basi: composti binari la cui molecola è formata da un solo atomo di metallo e da uno o più ossidrili – OH a seconda della valenza del metallo. L’ossidrile è un gruppo monovalente. Acidi: sostanze contenenti nella loro molecola uno o più atomi di idrogeno sostituibili dai metalli. La molecola degli ossiacidi oltre agli atomi di idrogeno e di un metalloide contiene ossigeno. Nella molecola degli idracidi manca l’ossigeno. Tabella 1.3 Elemento – Azoto – Fosforo – Arsenico = Zolfo – Carbonio – Silicio = Potassio = Sodio = Rame = Calcio = Magnesio = Zinco = Mercurio = Alluminio = Piombo = Ferro = Argento = Platino
Valenze più comuni di alcuni elementi rispetto all’ossigeno Valenza 1
2
3
4
5
6
– – – – – –
– – – – – – – – • (ico) • – • – • – • (ico) – • (oso) • (oso) – –
• (osa) • (osa) • (osa) – – – – – – – – – – • – • (ico) – –
– – – • (osa) • • – – – – – – – – • (ico) – – •
• (ica) • (ica) • (ica) – – – – – – – – – – – – – – –
– – – • (ica) – – – – – – – – – – – – – –
• • • (oso) – – – • (oso) – – – • –
= (metallo); – (metalloide).
D-11
CHIMICA GENERALE
Residuo alogenico: è tutto ciò che rimane di un acido quando a questo viene tolto l’idrogeno salificabile. Sali: composti la cui molecola è formata da uno o più atomi di metallo e da uno o più residui alogenici, a seconda delle rispettive valenze (tab. 1.4). Tabella 1.4
Esempi di acidi e sali derivati
Acidi
Sali neutri
Sali acidi
Idracidi: clor-idrico solf-idrico
(HCl) (H2S)
clor-uro solf-uro
(x Cl) (x2 S)
– –
– –
Ossiacidi: nitr-oso nitr-ico carbon-ico solfor-oso solfor-ico
(HNO2) (HNO3) (H2CO3) (H2SO3) (H2SO4)
nitr-ito nitr-ato carbon-ato solf-ito solf-ato
(x NO2) (x NO3) (x2 CO3) (x2 SO3) (x2 SO4)
fosfor-ico
(H3PO4)
fosf-ato
(x3 PO4)
bicarbon-ato (x HCO3) bisolf-ito (x HSO3) bisolf-ato (x HSO4) primario (x H2PO4) secondario (x2 HPO4)
Principali metodi di salificazione: a) Reazione di un acido su di un metallo: Zn + H2SO4 → ZnSO4 + H2 b) Reazione di un acido su di un idrato: Zn (OH)2 + H2SO4 → ZnSO4 + 2 H2O c) Reazione di un acido con un ossido: ZnO + H2SO4 → ZnSO4 + H2O d) Reazione di una anidride con un idrossido: CO2 + Ba(OH)2 → BaCO3 + H2O e) Sintesi diretta degli elementi: Fe + S → FeS f) Reazione di un acido con un sale. g) Doppio scambio fra due sali di acidi e basi diversi: AgNO3 + NaCl → AgCl + NaNO3 Si possono avere tre specie di sali: sale acido; sale basico; sale neutro.
D-12
CHIMICA
Dissociazione elettrolitica o dissociazione ionica: formazione di ioni quando un composto ionico si scioglie o fonde. L’atomo è elettricamente neutro, lo ione ha carica positiva o negativa. Catione = ione positivo. Anione = ione negativo. pH = – log [H+]. I valori del pH vanno da 0 a 14; le soluzioni acide hanno un pH inferiore a 7; le soluzioni basiche, un pH maggiore di 7; quelle neutre, un pH uguale a 7. Elettrolisi: trasformazione chimica provocata dal passaggio della corrente elettrica continua in un conduttore. I conduttori di prima specie (metalli) si riscaldano, ma in essi l’elettricità passa senza trasporto di materia. I conduttori di seconda specie o elettroliti (acidi, basi, sali in soluzione o fusi) si decompongono e l’elettricità circola con trasporto di materia. Gli acidi sono elettroliti che hanno per catione l’idrogeno e per anione il residuo alogenico. Le basi sono elettroliti che hanno per anione l’ossidrile e per catione il metallo. I sali sono elettroliti che hanno per anione il metallo della base e per catione il metalloide dell’acido o residuo acido. 1ª legge di Faraday: la quantità di elettrolita decomposto al passaggio della corrente elettrica è proporzionale alla quantità di elettricità che vi passa. 2ª legge di Faraday: la stessa quantità di elettricità decompone in tutti gli elettroliti quantità chimicamente equivalenti. Per separare un grammo equivalente di ogni sostanza occorrono 96500 coulomb.
2
CHIMICA INORGANICA
2.1 IDROGENO (H) (N.a. 1 - P.at. 1,008 - Mol. H2 - Val.1) Si trova libero nell’aria, nell’atmosfera solare, nelle stelle, nelle emanazioni vulcaniche, ecc.; combinato si trova nell’acqua (11% in peso), in idrocarburi, in tutte le sostanze organiche, negli acidi, nelle basi, in molti sali, ecc. Gas incolore, inodore, insapore, 14,4 volte più leggero dell’aria. Solidifica a – 259°C; liquefà a – 252°C. Combustibile, ma non comburente; è un riducente, soprattutto allo stato nascente e a temperatura elevata. Combinandosi con l’ossigeno brucia dando una fiamma incolore detta fiamma ossidrica che può raggiungere la temperatura di 2500°C. Preparazione: elettrolisi dell’acqua; azione degli acidi diluiti sui metalli; azione dei metalli alcalini ed alcalino-terrosi sull’acqua a temperatura ordinaria; estrazione dal gas d’acqua, ottenuto facendo passare vapor acqueo su carbone rovente; estrazione ad alta temperatura dal metano; sottoprodotto nella fabbricazione della soda caustica; ecc. Idrogeno pesante o deuterio: è l’isotopo di massa 2 dell’idrogeno. Si ottiene per elettrolisi dell’acqua pesante. 2.2 OSSIGENO (O) (N.a. 8 - P.at. 16 - Mol. O2 - Val. 2) Abbondante in natura; è libero nell’aria; in combinazione è nell’acqua e in molti composti organici e inorganici; si trova disciolto in acque potabili ed è presente nei minerali. Gas incolore, insapore, inodore, più pesante dell’aria. Solidifica a – 227°C; liquefà a – 118,8°C. È un ossidante e un comburente. Ha affinità per quasi tutti gli elementi dando origine a combustioni ed ossidazioni. È indispensabile alla vita per la respirazione di animali e piante. Preparazione: elettrolisi dell’acqua; distillazione frazionata dell’aria liquida; riscaldamento e decomposizione di alcuni ossidi, come quello di mercurio, manganese; riscaldamento e decomposizione del clorato di potassio in presenza di un catalizzatore; riscaldamento a 700°C di ossido di bario con ossido di rame. Ozono (O3) (P. mol. 48). È ossigeno triatomico. È libero nell’aria e si forma in prossimità di scariche elettriche. È un gas incolore con odore agliaceo, poco solubile in acqua. Liquefà a – 181°C e bolle a – 106°C. Preparazione: effluvio elettrico ad alta tensione su ossigeno o aria priva di umidità. 2.3
ARIA
Composizione: azoto (78,03% in volume e 75,2% in peso), ossigeno (20,8% in volume e 23% in peso), anidride carbonica (0,03% in volume e 0,04% in peso), vapor
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CHIMICA
acqueo, ozono, ammoniaca, argo, neo, elio, cripto, xeno, emanazione, idrogeno, pulviscolo atmosferico. L’ossigeno è utilizzato dagli esseri viventi per la respirazione; l’anidride carbonica è utilizzata dalle piante per la fotosintesi clorofilliana; l’azoto è utilizzato dalle leguminose per mezzo dei tubercoli radicali nei quali vive in simbiosi un batterio detto Rizobium leguminosarium. Aria liquida: è aria portata ad una temperatura molto bassa (– 191,5°C) per mezzo della macchina di Lynde. Gas nobili: elio (He), neo (Ne), argo (A), cripto (Kr), xeno (Xe), radon (Rn). Hanno molecola monoatomica; sono zerovalenti. Si trovano in bassissima percentuale nell’aria. 2.4 ACQUA (H2O) (P. mol. 18,016) Si trova in natura nei tre stati di aggregazione: solido, liquido, aeriforme. L’acqua chimicamente pura è costituita da idrogeno (11,13% in peso) ed ossigeno (88,87% in peso). È incolore; in grandi masse si presenta leggermente azzurra. Bolle a 100°C, aumentando di volume. A 4°C presenta la massima densità ed il minimo volume. È un solvente naturale di molte sostanze. Durezza delle acque: insieme dei sali alcalino-terrosi (di Ca ed Mg) solubili nell’acqua. Un grado di durezza francese corrisponde a 1 g di CaCO 3 in 100 litri di H2O. Un grado di durezza tedesco corrisponde a 1 g di CaO in 100 litri di H 2O. Un grado di durezza inglese corrisponde a 1 g di CaCO 3 in 70 litri di H2O. Le acque si possono classificare come: a) Acqua potabile: è l’acqua usata per l’alimentazione. Requisiti: incolore, inodora, limpida, ben areata (20 ÷ 30 cm3 di gas per litro), priva di metalli pesanti (eccettuate tracce di ferro), priva di sostanze organiche, di fosfati, ammoniaca, sali ammoniacali, nitriti, nitrati, batteriologicamente pura, dolce (cioè con un contenuto di sali inferiore a 0,5 g per litro), con una temperatura compresa tra 7°C e 15°C secondo le stagioni. Analisi qualitativa: ricerca dei cloruri, dei carbonati, dei nitrati, dei nitriti, dei solfati, dell’ammoniaca, delle sostanze organiche, dell’idrogeno solforato, dei fosfati, dell’acido nitroso, ecc. Analisi quantitativa: ricerca delle sostanze organiche, delle materie fisse, dell’anidride solforica, dell’anidride carbonica, ecc. b) Acque minerali: contengono sali disciolti, tali da dare all’acqua caratteristiche terapeutiche (ferruginose, solfuree, solfate-iodiche, saline-iodurate, salinebromurate, saline-clorurate, arsenicali, carboniche-calcari, carboniche-alcaline, carboniche-acidulate, acide). Si distinguono in: oligominerali, con residuo fisso a 180°C di 0,20%; mediominerali, con residuo fisso a 180°C compreso tra 0,20% e 1%; minerali, con residuo fisso a 180°C superiore a 1%. Possono essere fredde (temperatura inferiore a 20°C), ipotermali (20 ÷ 30°C), termali (30 ÷ 40°C) ipertermali (temperatura superiore a 40°C).
CHIMICA INORGANICA
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c) Acque marine: costituiscono oceani, mari, laghi salati. Vi si trovano disciolti sotto forma di sali i seguenti elementi: Cl, Br, B, F, I, Na, Mg, S, Ca, K, Cu, Ag, Au, ecc.; il sale più abbondante è il cloruro di sodio. d) Acque industriali: devono essere prive di sostanze nocive, secondo i diversi usi cui si adibiscono. 2.5
ACQUA OSSIGENATA (H2O2) (P. mol. 34)
È un perossido di idrogeno che si trova in piccola quantità nell’acqua meteorica. Composizione: idrogeno (65,9%) ed ossigeno (34,1%). Liquido denso, oleoso ed inodore, solubile nell’acqua e nell’etere. Preparazione: reazione tra acido solforico e un perossido. 2.6
ALOGENI (F - Cl - BR - I)
Sono generatori diretti di sali; combinandosi direttamente con i metalli danno gli alogenuri. L’affinità per l’idrogeno diminuisce con il crescere del peso atomico; l’affinità per l’ossigeno aumenta con il crescere del peso atomico. Non si trovano allo stato libero in natura. 2.6.1 Fluoro (F) (N.a. 9 - P.at. 19 - Mol. F2 - Val. 1) Non è libero in natura; si trova in combinazione nella fluorite o spatofluore (v. Ca), nella criolite (v. Na), nelle apatiti (v. Ca); negli organismi viventi è presente nello smalto dei denti, nelle ossa, ecc.. Gas giallo-verde, di odore pungente, velenoso. Solidifica a – 223°C; liquefà a – 118°C. Si combina energicamente con tutti gli elementi. Viene conservato in recipienti di vetro. Preparazione: elettrolisi dell’acido fluoridrico anidro, con l’aggiunta di fluoridrato di potassio. Composti idrogenati: acido fluoridrico, HF. Liquido incolore, capace di attaccare il vetro; si conserva in recipienti paraffinati. Preparazione: reazione tra fluoruro di calcio e acido solforico concentrato. 2.6.2 Cloro (Cl) (N.a. 17 - P.at. 35,46 - Mol. Cl2 - Val. 1,3,5,7). Non si trova libero in natura, salvo che in qualche emanazione vulcanica. Combinato si trova nel salgemma (v. Na), silvina (v. K), carnallite (v. K), kainite (v. K), apatite (v. Ca), nell’acqua del mare. Gas giallo-verde, di odore soffocante. Solidifica a – 103°C; liquefà a – 34°C. Si combina con quasi tutti gli elementi; è ossidante ed ha azione disinfettante e decolorante. Preparazione: elettrolisi del cloruro di sodio in soluzione acquosa; ossidazione dell’acido cloridrico con biossido di manganese; ecc. Composti idrogenati: Acido cloridrico (acido muriatico del commercio), HCl. Si trova libero in natura nelle emanazioni vulcaniche; è presente nel succo gastrico. Gas incolore, di odore
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CHIMICA
pungente. Acido molto forte i cui sali sono i cloruri. Preparazione: sintesi diretta degli elementi; reazione tra cloruro di sodio e acido solforico. Acqua regia: miscuglio capace di intaccare l’oro, formato da tre parti di acido cloridrico e una parte di acido nitrico concentrato. Composti ossigenati: Anidride ipoclorosa, Cl2O. Gas di colore giallo-bruno. Biossido di cloro, Cl O2 . Gas giallo-arancio. Anidride perclorica, C12O7 . Liquido giallo. Acido ipocloroso, HClO. Sali: ipocloriti. Acido cloroso, HClO2 . Sali: cloriti. Acido clorico, HClO3 . Sali: clorati. Acido perclorico, HClO4 . Sali: perclorati. Gli ipocloriti si ottengono per azione del cloro, a freddo, sugli idrati. L’ipoclorito di sodio, NaClO, è detto acqua di Labarraque, l’ipoclorito di potassio, KClO, è detto acqua di Javelle. Sono usati come disinfettanti e decoloranti (candeggianti). Il clorato di potassio, KClO3, si prepara facendo agire a caldo il cloro su idrato di potassio. I perclorati si ottengono riscaldando i clorati. 2.6.3 Bromo (Br) (N.a. 35 - P.at. 79,9 - Mol. Br2 - Val. 1,3,5,7). Non si trova libero in natura, ma è sotto forma di bromuri (di magnesio e di sodio), sia disciolti nelle acque del mare o in sorgenti minerali, che presenti nelle ceneri di alghe marine. Liquido rosso scuro di odore irritante. Solidifica a – 7°C; bolle a 59°C. Preparazione: trattamento di bromuri in soluzione con corrente di cloro. Composti idrogenati: Acido bromidrico, HBr. Gas incolore, soffocante. I sali sono i bromuri. Preparazione: sintesi diretta degli elementi; tribromuro di fosforo ed acqua. Composti ossigenati: Anidride ipobromosa, Br2O; Acido ipobromoso, HBrO; Acido bromico, HBrO3. 2.6.4 Iodio (I) (N.a. 53 - P.at. 126,9 - Mol. I2 - Val. 1,3,5,7). Non si trova libero in natura, ma si trova combinato sotto forma organica in alcune alghe, sotto forma di ioduro nell’acqua del mare e in sorgenti minerali, sotto forma di iodato nel nitro del Cile; la tiroxina, ormone prodotto dalla ghiandola tiroide, lo contiene. Solido in scagliette di color grigio-viola che al riscaldamento sublimano dando vapori violetti. Fonde a 113°C; bolle a 184°C. La soluzione alcolica al 10% costituisce la comune tintura di iodio. È un reattivo dell’amido al quale conferisce colorazione azzurra. Preparazione: ioduri con cloro, acido solforico o biossido di manganese; distillazione delle ceneri di alcune alghe marine. Composti idrogenati: Acido iodidrico, HI. Gas incolore, di odore pungente. Ottimo riducente. I sali sono gli ioduri. Preparazione: triioduro di fosforo con acqua.
CHIMICA INORGANICA
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Composti ossigenati: Tetrossido di iodio, I2O4; anidride iodica, I2O5; acido ipoiodoso, HIO; acido iodico, HIO3; acido periodico, HIO4. 2.7 ZOLFO (S) (N.a. 16 - P.at. 32,06 - Mol. S8 - Val 2,4,6) È libero in natura dove forma giacimenti profondi detti solfare, nei quali si trova allo stato cristallino e normalmente frammisto a rocce calcaree e gessose. Le solfatare sono depositi di origine vulcanica in cui lo zolfo affiora. Nelle emanazioni vulcaniche e nelle acque solfuree è sotto forma di idrogeno solforato e di anidride solforosa. È un componente di molte sostanze proteiche. I minerali sono: Zolfo nativo, S. Rombico; Solfuri: pirite (v. Fe), calcopirite (v. Cu e Fe), galena (v. Pb), blenda (v. Zn), realgar (v. As), orpimento (v. As), stibina (v. Sb), cinabro (v. Hg), calcosina (v. Cu), argentite (v. Ag), ecc; Solfati: gesso (v. Ca), anidrite (v. Ca), baritina (v. Ba), anglesite (v. Pb), ecc. Lo zolfo è un solido di color giallo citrino, insapore, inodore. Fonde a 114°C; bolle a 445°C. I vapori di zolfo si depositano su pareti fredde, e formano una polvere cristallina detta fiore di zolfo. Si combina direttamente con molti metalli formando solfuri. Composti idrogenati: Acido solfidrico o idrogeno solforato, H2S. Abbonda nelle acque solfuree, nelle emanazioni vulcaniche e nelle sostanze organiche in putrefazione. Gas incolore, velenoso, dall’odore di uova marce. Forma due serie di sali: i solfuri e i solfidrati. Preparazione: reazione tra solfuro ferroso e acido cloridrico diluito; sintesi diretta tra idrogeno e zolfo fuso verso i 300°C. Composti ossigenati: Anidride solforosa, SO2 . In natura abbonda in emanazioni vulcaniche e in alcune sorgenti minerali. Gas incolore, soffocante. È un riducente ed ha azione decolorante. Si ottiene dalla combustione diretta dello zolfo nell’aria e nell’ossigeno. Anidride solforica, SO3 . Si presenta in masse fibrose formate da filamenti aghiformi. Preparazione: disidratazione con P 2O5 dell’acido solforico; reazione tra anidride solforosa e ossigeno, in presenza di un catalizzatore. Acido solforoso, H2SO3 . Non si conosce libero. I sali sono i solfiti e i bisolfiti o solfiti acidi. Acido solforico, H2SO4 . Liquido oleoso, incolore i cui sali sono i solfati e i bisolfati. Densità: 1,84. È miscibile in tutte le proporzioni con l’acqua, sviluppando una forte quantità di calore. Preparazione: metodo di contatto (anidride solforosa con ossigeno entro torri in presenza di un catalizzatore come l’amianto platinato o il pentossido di vanadio); metodo delle camere di piombo (decomposizione del solfato acido di nitrosile ottenuto dalla reazione dell’anidride solforosa con vapori nitrosi; l’anidride solforosa si ha per arrostimento delle piriti). Parti dell’impianto: forno, camera della polvere, forno del nitro, torre di Glover, serie di camere di piombo e torre di Gay-Lussac.
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CHIMICA
Acido pirosolforico, H2S2O7 . Si ottiene da anidride solforica e acido solforico. Acido persolforico, H2S2O8 . Piccoli cristalli bianchi igroscopici. Ossidante; è usato per la preparazione dell’acqua ossigenata. Tiosolfati alcalini: si ottengono trattando il solfito con zolfo bollente. Cl S5O Cl
Composti alogenati: Cloruro di tionile, Acido clorosolfonico, Cloruro di solforile,
2.8
Cl SO2 OH
Cl SO2 Cl
GRUPPO DELL’AZOTO (N - P - As - Sb - Bi)
2.8.1 Azoto (N) (N.a. 7 - P.at. 14,008 - Mol. N2 - Val. 1,2,3,4,5). Allo stato libero si trova nell’aria atmosferica (78,03% in volume e 75,2% in peso), nelle emanazioni vulcaniche, disciolto nell’acqua del mare. Allo stato combinato è presente nei sali di ammonio, nei nitriti, nei nitrati, nelle sostanze organiche (proteine). Gas incolore, inodore, insapore. Bolle a –194°C; solidifica a –203°C. Non è combustibile né comburente; non è adatto alla respirazione. Preparazione: distillazione frazionata dell’aria liquida; decomposizione del nitrito di ammonio al calore. Composti idrogenati: Ammoniaca, NH3. È contenuta nell’aria, nelle emanazioni vulcaniche, nei sali ammoniacali; è prodotta da sostanze organiche in putrefazione. Gas incolore, di odore pungente, solubile in acqua. Preparazione: sintesi diretta degli elementi; sali di ammonio e idrossido di calcio; calciocianamide e vapor acqueo. Sali di ammonio: cloruro di ammonio, NH 4Cl; solfato di ammonio (NH4)2SO4; nitrato di ammonio, NH4NO3; carbonato di ammonio, (NH 4)2CO3. Composti ossigenati: Protossido di azoto, N2O. Gas incolore, inodore (gas esilarante). Ossido di azoto, NO. Gas incolore. Ipoazotide o anidride nitroso-nitrica, NO2. Gas rosso bruno. Anidride nitrosa, N2O3. Liquido azzurro. Anidride nitrica, N2O5. Solido incolore. Acido nitroso, HNO2. Si conosce solo in soluzione acquosa. I sali sono i nitriti. Acido nitrico, HNO3. Non si trova libero in natura, ma è combinato nel salnitro (KNO3) e nel nitro del Cile (NaNO3). Liquido incolore che esposto alla luce e al calore si colora in giallo e si decompone mettendo in libertà ipoazotide. È un acido molto forte, che attacca quasi tutti i metalli; i sali sono i nitrati. Preparazione: nitrato di sodio e acido solforico concentrato; ossidazione dell’ammoniaca a 600 ÷ 700°C in presenza di catalizzatori; reazione dell’acqua sull’anidride nitrica o sull’ipoazotide; sintesi dall’azoto atmosferico.
CHIMICA INORGANICA
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2.8.2 Fosforo (P) (N.a. 15 - P.at. 30,98 - Mol. P4 -Val 3,5). Non è libero in natura, ma è presente nei fosfati (fosfato tricalcico nelle ossa, fosfato di calcio e di magnesio nelle piante, ecc.). I minerali che lo contengono sono l’apatite (v. Ca) e la fosforite (v. Ca). Si presenta in tre stati allotropici: bianco (giallo), rosso, nero-violetto. Il fosforo giallo è cristallino, velenoso ed ha l’aspetto di cera a temperatura ordinaria. Il fosforo rosso si ottiene esponendo quello giallo alla luce o riscaldando il fosforo giallo alla temperatura di circa 200°C in assenza di aria. Il fosforo nero si ottiene per riscaldamento del rosso a 360°C, a forte pressione e fuori del contatto dell’aria. Il fosforo fonde a 44°C; bolle a 280,5°C. Preparazione: riscaldamento in forni elettrici delle fosforiti o delle apatiti o delle ceneri di ossa con carbone e sabbia silicea. Composti idrogenati: Idrogeno fosforato liquido, P2H4 Idrogeno fosforato solido, P4H2 Idrogeno fosforato gassoso o fosfina, PH3 . Gas incolore di odore poco gradevole; velenoso. Preparazione: idrolisi dei fosfuri (es. di Ca); fosforo bianco e idrato di potassio. Composti alogenati: Tricloruro di fosforo, PCl3; liquido incolore; Pentacloruro di fosforo, PC15; solido bianco. Composti ossigenati: Anidride fosforosa, P2O3 . Solido bianco, cristallino. Si ottiene per lenta ossidazione del fosforo con poca aria. Anidride fosforica, P2O5 . Polvere bianca fosforescente. Si prepara per combustione del fosforo nell’ossigeno o nell’aria in eccesso. Acido ipofosforoso, H3PO2 . Solido bianco cristallino. I sali sono gli ipofosfiti. Si ottiene per azione dell’acido solforico sull’ipofosfito di bario. Acido fosforoso, H3PO3 . Solido bianco cristallino. I sali sono i fosfiti (monometallici e bimetallici). Si prepara per idrolisi del tricloruro di fosforo. Acido metafosforico, HPO3 . Solido trasparente, igroscopico. I sali sono i metafosfati. Si ottiene sciogliendo l’anidride fosforica in acqua a freddo. Acido ortofosforico o fosforico, H3PO4 . Massa cristallina igroscopica ed inodora. I sali sono i fosfati (monometallici o primari, bimetallici o secondari, trimetalfici o terziari). Preparazione: anidride fosforica ed acqua; fosfato tricalcico e acido solforico. Acido pirofosforico, H4P2O7 . Solido cristallino incolore. I sali sono i pirofosfati neutri e biacidi. Si ottiene dalla disidratazione a 200°C dell’acido fosforico. Concimi: i perfosfati si ottengono attaccando le fosforiti o le ossa con acido solforico; si valutano per unità di anidride fosforica solubile in citrato di ammonio; contengono dal 12% al 20% di anidride fosforica I superfosfati si ottengono facendo agire, sul fosfato tricalcico, acido fosforico. Contengono fino al 40% di anidride fosforica solubile. 2.8.3 Arsenico (As) (N.a. 33 - P.at. 74,91 - Mol. As4 - Val. 3,5). È poco abbondante allo stato nativo. I minerali più importanti sono i seguenti. Arsenolite, As2O3 , anidride arseniosa.
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CHIMICA
Realgar, As S, solfuro di arsenico. Monoclino. Composto di color rosso che a contatto con l’aria diventa giallo trasformandosi in orpimento. Si trova in filoni e nelle emanazioni vulcaniche. Orpimento, As2S3, trisolfuro. Monoclino. Colore giallo oro. Arsenopirite, FeAsS, solfoarseniuro di ferro. Rombico. L’arsenico esiste in diverse modificazioni allotropiche: arsenico grigio o metallico (esagonale), arsenico giallo (monoclino). Brucia con odore agliaceo caratteristico formando anidride arseniosa; con i metalli si combina formando gli arseniuri. Preparazione: sublimazione dell’arsenopirite; riduzione dell’arsenolite con carbone. Composti idrogenati: Idrogeno arsenicale, AsH3. Gas velenoso, incolore, di odore agliaceo. Si ottiene per riduzione con idrogeno nascente di un composto arsenicale. Composti ossigenati: Anidride arseniosa, As2O3. Solido bianco; velenosa. Si ottiene per combustione dell’arsenico. Anidride arsenica, As2O5. Solido bianco. Si ottiene per disidratazione dell’acido arsenico. Acido arsenioso, H3AsO3. Non si conosce libero, ma sono noti i sali. Acido arsenico (ortoarsenico) H3AsO4. Cristalli rombici. I sali sono gli arseniati, mono-, bi-, tri-, metallici. Si ottiene da anidride arseniosa e acido nitrico. Acido metarsenico, HAsO3. Acido piroarsenico, H4As2O7. Composti solforati: Anidride solfoarsenica o trisolfuro di arsenico. Anidride solfoarseniosa. Acido solfoarsenico. I sali sono i solfoarseniati. Acido solfoarsenioso. I sali sono i solfoarseniti. 2.8.4 Antimonio (Sb) (N.a. 51 - P.at. 121,76 - Mol. Sb4 - Val. 3,5). È in piccole quantità allo stato nativo. I minerali sono i seguenti. Stibina, Sb2S3, solfuro. Rombico. Grigio-piombo, con lucentezza metallica, cristallizza in prismi spesso iridescenti rossastri per alterazione superficiale; si trova in filoni misto a ganga quarzosa. Densità 4,5 ÷ 4,6. Durezza 2. Senarmontite, Sb2, O3, triossido. L’antimonio esiste in varie forme allotropiche; quella più stabile è la metallica grigia, cristallina, lucente. Altre modificazioni sono l’antimonio nero e l’antimonio giallo. Fonde a 630°C; bolle a 1440°C. E fragile; è difficilmente attaccabile dagli acidi. Preparazione: arrostimento della stibina e riduzione ulteriore con carbone. Composti idrogenati: Idrogeno antimoniale, SbH3. Gas velenoso. Composti ossigenati: Sesquiossido di antimonio, Sb2O3. Polvere bianca ottenuta per combustione dell’antimonio nell’aria.
CHIMICA INORGANICA
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Anidride antimonica, Sb2O5 . Polvere gialla ottenuta ossidando l’antimonio con acido nitrico concentrato: acido ortoantimonico, H3SbO4; acido piroantimonico, H4Sb2O7 ; acido metantimonico, HSbO3 . Composti alogenati: Tricloruro di antimonio, SbCl3. Pentacloruro di antimonio, SbCl5. Composti solforati: Trisolfuro, Sb2S3 . Scaldato con solfuri alcalini dà solfoantimoniti. Pentasolfuro, Sb2S5 . Scaldato con solfuri alcalini dà solfoantimoniati. 2.8.5 Bismuto (Bi) (N.a. 83 - P.at. 209 - Val. 3). Esiste in natura allo stato nativo e nel minerale: Bismutina, Bi2S3 . Il bismuto è un metallo di color bianco, lucente, con riflessi rosei. Preparazione: arrostimento della bismutina e successiva riduzione con carbone. Composti ossigenati: Triossido, Bi2O3 Pentossido, Bi2O5 Idrossido, Bi(OH)3. Il più importante sale di bismuto è il nitrato, Bi(NO 3)3. 5H2O. Per diluizione dà sali di bismutile chiamati magistero di bismuto e usati in medicina. 2.9 CARBONIO (C) (Na. 6 - P.at. 12,01 - Mol. C12 - Val. 4) È uno degli elementi più diffusi in natura; è il costituente essenziale di tutte le sostanze organiche animali e vegetali. Si trova nell’aria atmosferica combinato con l’ossigeno, sotto forma di anidride carbonica; abbonda sulla crosta terrestre nelle rocce, nei carboni, nei petroli. Si presenta in due forme allotropiche cristalline: diamante e grafite. Diamante, C. Carbonio puro cristallizzato nel sistema cubico, gruppo monometrico; incolore, limpido, con alto indice di rifrazione, birifrangente, fragile, infusibile, cattivo conduttore di calore e di elettricità. Densità 3,5. Durezza 10. Grafite, C. Carbonio cristallizzato nel sistema esagonale; color grigio nerastro, untuosa al tatto, ottimo conduttore di calore e di elettricità. Densità 2. Durezza 0,5 + 1. Il carbonio è un elemento solido, inodore, insapore; è insolubile in acqua e nei comuni solventi; brucia con l’ossigeno dando ossido di carbonio e anidride carbonica. Ottimo riducente. Composti ossigenati: Ossido di carbonio, CO. Gas incolore, inodore, velenoso. Si sviluppa quando il carbone brucia in difetto di aria. Preparazione: riduzione di molti ossidi metallici con carbone, ad alta temperatura; riduzione dell’anidride carbonica su carbone rovente;
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CHIMICA
riscaldando il carbonato di calcio con polvere di zinco; riscaldando acido formico con acido solforico concentrato. Anidride carbonica, CO2 . Gas incolore più pesante dell’aria. Si sviluppa quando il carbone brucia in eccesso di aria. Si prepara calcinando alcuni carbonati, oppure trattando un carbonato con un acido. Acido carbonico, H2CO3 . Non si conosce libero ma solo in soluzione acquosa. Dà due serie di sali: i carbonati e i bicarbonati. Molti di questi composti esistono in natura, e molti si preparano artificialmente. Altri composti. Solfuro, CS2. Liquido incolore volatile. Si prepara facendo passare vapori di zolfo su carbone rovente. Tetracloruro, CCl4 . Liquido ottenuto trattando il solfuro di carbonio con cloro gassoso. Fosgene, COCl2 . Gas soffocante. Cianogeno, (CN)2 . Gas incolore, fortemente tossico. Acido cianidrico, HCN (detto comunemente acido prussico). Liquido incolore, velenoso. Si ottiene facendo reagire l’acido solforico diluito con cianuro alcalino. I sali sono i cianuri. Acido cianico, HCNO. Non si conosce libero, ma sono noti i sali, i cianati. Acido solfocianico, HCNS. I sali sono i solfocianati. Carburi: composti binari che il carbonio dà con molti elementi. Carburo di calcio, CaC2; carburo di silicio, CSi, carborundo, con durezza quasi uguale a quella del diamante. Composti organici: v. Chimica Organica. 2.10 SILICIO (Si) (N.a. 14 - P.at. 28,06 - Val. 4) Non esiste allo stato libero in natura; è l’elemento più abbondante dopo l’ossigeno e costituisce il 27,7% della crosta terrestre. Ha colore grigio e lucentezza metallica. Fonde a 1420°C fuori del contatto dell’aria; bolle a 2400°C. Preparazione: riduzione dell’anidride silicica con alluminio o con sodio. Composti ossigenati. Silice o biossido di silicio o anidride silicica. Prodotto naturale che in laboratorio si prepara trattando un silicato solubile con un acido; si ottiene silice idrata, che per calcinazione si trasforma in silice anidra. Se la disidratazione è parziale si forma il gel di silice. Acido silicico, H4SiO4 . I sali sono i silicati. Vetri e cristalli sono composti da silicati alcalini ed altre basi (calce, magnesia, alluminio, ecc.). Per la preparazione dei silicati si adopera la silice sotto forma di sabbia, quarzo, pietra focaia, ecc. Minerali del silicio: a) Gruppo della silice, SiO2 . Si presenta in diverse forme mineralogiche: cristallina, microcristallina, amorfa.
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Quarzo: cristalli esagonali, trigonale. Densità 2,5 ÷ 2,8. Durezza 7. Puro è incolore, trasparente con lucentezza vitrea, fragile, con frattura concoide. Misto ad ossidi metallici è colorato in nero (quarzo affumicato), in giallo (falso topazio), in violetto (ametista), in azzurro (zaffiro), in roseo (rubino di Boernia). Può presentare inclusioni fibrose di Fe2O3 (occhio di tigre), mica (avventurina), ecc. Calcedonio: microcristallino. Masse concrezionate, stalattitiche o sferoidali, variamente colorate. Varietà: agata, onice, diaspro, selce o pietra focaia, pietra di paragone, corniola, ecc. Opale, SiO2 · nH2O: silice idrata amorfa, diffusa vicino a sorgenti termominerali silicifere e nelle rocce vulcaniche. Varietà: opale nobile. Farina fossile: silice idrata. Polvere formata da gusci di diatomee (alghe unicellulari). Tripoli: polvere formata da gusci di radiolari (protozoi). Sabbie quarzose: sabbie provenienti dal disfacimento di rocce quarzose ad opera di agenti esogeni. b) Silicati. Unità strutturale: tetraedro [SiO4]4 –. – Nesosilicati: tetradri indipendenti. Olivine, (Mg, Fe)2SiO4 . Rombico. Colore verde oliva. Sono contenute in rocce eruttive come gabbri e basalti. Si trasformano in serpentino per azione di agenti esogeni. II Granati, miscele isomorfe di MII3 · MIII 2 (SiO4)3. M = metallo bivalente = Mg, III Ca, Fe, Mn. M = Metallo trivalente = Al, Cr, Fe. Cristallizzano in rombododecaedri, nel gruppo monometrico. Sono presenti in rocce metamorfiche. Hanno durezza elevata (7 ÷ 7,5), lucentezza vitrea. Una varietà pregiata è l’almandino. Zircone, ZrSiO4. Tetragonale. Cristalli incolori o di vario colore molto brillanti. Gemma. Topazio [Al(F,OH)]SiO4, fluosilicato di alluminio. Rombico. Incolore o giallo. Gemma. – Sorosilicati: tetraedri a gruppi. Calamina, Zn4 (Si2O7) · (OH)2 · H2O, metasilicato basico di zinco. Rombico. Colore bianco-azzurro. - Densità 3, 4. Durezza 5. Berillo, Be3Al2Si6O18. Gemma di color verde (smeraldo), o azzurro (acquamarina). Tormaline: composizione chimica varia e complessa, borosilicati di alluminio e di altro metallo (Na, Li, Ca, Mg, Fe, Cr). Rombico. Il colore dipende dalla composizione. – Inosilicati: tetraedri disposti a catena, singola o doppia. Sono costituenti di rocce eruttive e metamorfiche. Struttura fibrosa. Pirosseni, a catena semplice, miscele isomorfe di metasilicati di Ca, Fe, Mg, talvolta Al e Na. Cristallizzano nei sistemi rombico, monoclino, triclino. Varietà: augite, di color verde scuro, nerastro, frequente nelle rocce vulcaniche; diallagio, di colore grigio o grigio-verde con lucentezza madreperlacea; diopside, ecc. Anfiboli, a catena doppia. Silicati di calcio, magnesio e ferro con prevalenza di magnesio; contengono più acqua dei pirosseni. Rombico, monoclino, triclino. Varietà: tremoliti di color bianco, grigio, giallastro o verde chiaro, contenute in rocce calcaree e dolomitiche; orneblenda, color verde bottiglia, costituente di dioriti e gabbri.
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– Fillosilicati: tetraedri disposti a strati. Si possono sfaldare in lamine sottili. Talco, Mg3(OH)2Si4O10: silicato acido di magnesio. Monoclino. Deriva dall’alterazione di pirosseni, anfiboli, olivine. Color bianco o verde chiaro, Untuoso al tatto. Densità 2,6, Durezza 1. Varietà: talco comune, steatite, pietra ollare. Miche: silicati di alluminio e di altri metalli (Mg, Fe, K, Li, ecc.) sfaldabili, incolori, o variamente colorati. Monoclino. Lucentezza madreperlacea. Varietà: muscovite o mica bianca (K), biotite o mica nera (Fe), lepidolite o mica rosa (Li). Sono costituenti di rocce eruttive e metamorfiche, a volte sedimentarie. Cattive conduttrici di calore e di elettricità, sono usate come isolanti. Vermiculite: è una mica senza alcali, con elevato contenuto in acqua; isolante acustico e termico in edilizia. Riscaldata si espande e si slamina aumentando il volume. La «vermiculite espansa» del commercio ha una densità bassa (0,09 ÷ 0,12) per cui un m3 pesa soltanto 90 ÷ 120 kg. Caolinite, Al4[(OH)2Si4P10]: silicato acido idrato di Al. Monoclino. Lucentezza madreperlacea, untuosa al tatto. Materia prima nella fabbricazione di porcellane. Montmorillonite, Al2 [(OH)2Si4O10] · nH2O. Ha la caratteristica di assorbire notevoli quantità di acqua. Caolino, H4Al2Si2O9: silicato idrato di alluminio, cristallino, monoclino, bianco farinaceo, derivante dalla decomposizione di felspati e feldspatoidi. Resistente ad alte temperature; è usato per fabbricare porcellane. Argilla: silicato idrato di alluminio colloide, misto a vari silicati, idrati, ossidi, colorato per lo più in grigio. £ molto diffusa nei terreni sedimentari; ha la proprietà di assorbire acqua e di gonfiarsi diventando plastica. A seconda dei diversi tipi di argilla si fanno maioliche, laterizi, refrattari. Serpentino, Mg6 [(OH)8 Si4O10]: ortosilicato acido idrato di magnesio. Masse a struttura fibrosa o lamellare, costituenti di rocce metamorfiche. Colore giallo-verde. Varietà: serpentino nobile, amianto di serpentino, asbesto. – Tectosilicati: tetraedri a palchi. Quarzo. Feldspato ortose o ortoclasio, KAlSi3O8: silicato di alluminio e potassio. Monoclino. Colore vario. Costituente di rocce intrusive ed effusive acide (graniti, sieniti, trachiti, gneiss). Si trasforma in argilla per azione di agenti esogeni. Varietà: adularia. Plagioclasio: feldspato calcio-sodico. Varietà: albite, silicato di sodio e di alluminio (triclino), anortite, silicato di calcio e di alluminio (triclino). Feldspatoidi: simili ai feldspati ma diversi per forma cristallina e per essere. facilmente attaccabili dagli acidi. Leucite, KAl(SiO 3)2, metasilicato di alluminio e potassio. Monometrico. Densità 2,5. Durezza 5,5 ÷ 6. 2.11 BORO (B) (N. a. 5 - P. at. 10, 81 - Val. 3) Non esiste allo stato libero in natura. I minerali sono i seguenti. Sassolite o acido borico, H3BO3 . Triclino. È presente in emanazioni vulcaniche (soffioni). Borace Na2B4O7 · 10 H2O
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Il boro si prepara trattando l’anidride borica con polvere di magnesio. Si presenta come una polvere bruna. Composti ossigenati. Anidride borica, B2O3. Massa bianca vetrosa, igroscopica. Si ottiene disidratando l’acido borico a una temperatura di 600°C. Acido borico, H3BO3 . Si ottiene dai soffioni boraciferi o dal borace mediante trattamento con acido cloridrico. È un solido bianco che cristallizza in lamelle splendenti. Acido debole. Densità 1,5. Durezza 1. Acido metaborico, HBO2 . Si ottiene scaldando l’acido borico a 107°C. I sali sono i metaborati. Acido tetraborico, H2B4O7 . Si ottiene dalla disidratazione a 1440°C dell’acido borico. I sali sono i tetraborati; il più importante di essi è il borace. Perborato sodico, NaBO3 · 4H2O. Si ottiene trattando il metaborato con acqua ossigenata. 2.12 SODIO (Na) (N.at. 11 - P. at. 22,997 - Val. 1) Non si trova allo stato libero in natura; i minerali più importanti sono i seguenti. Salgemma, NaCl, cloruro. Monometrico. È presente disciolto nell’acqua del mare e in giacimenti minerari. Incolore o variamente colorato con lucentezza vitra, solubile in acqua. Criolite, Na3AlF6, fluoruro doppio. Monoclino. Color bianco neve. Nitro del Cile, NaNO3, nitrato. Romboedrico. Colore bianco. Borace, Na2B4O7 · 10H2O, tetraborato. Monoclino. Carbonati, Na2CO3, natron; Na2CO3 · H2O, termonatrite; Na2CO3 · NaHCO3 · H2O, trona. Metallo alcalino che si prepara per elettrolisi dell’idrato sodico fuso, o per elettrolisi del cloruro di sodio fuso. Metallo bianco argenteo molle; si ossida all’aria e perciò si conserva sotto petrolio. Ottimo riducente. Composti. Ossido di sodio, Na2O. Si ottiene, insieme al perossido, Na 2O2, scaldando il sodio in corrente di aria secca. Idrato sodico (soda caustica), NaOH. Allo stato puro è una massa bianca, solubile in acqua con sviluppo di calore. là una base fortissima. Preparazione: elettrolisi del cloruro di sodio in soluzione acquosa; calce spenta con carbonato sodico. Fonde a 98°C; bolle a 892°C. Carbonato di sodio (soda), Na2CO3. Polvere bianca, solubile in acqua. Preparazione: processo elettrolitico; processo Leblanc; processo Solvay. Bicarbonato, NaHCO3. Polvere bianca. Cloruro di sodio, NaCl. Di tutti i sali del sodio è il più importante, perché da esso si ottengono tutti gli altri sali di questo metallo. Il sale comune che si ottiene dalle saline viene sottoposto a raffinazione per eliminare i sali di magnesio fortemente igroscopici.
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2.13 POTASSIO (K) (N.at. 19 - P.at. 39,096 - Val. 1) Non si trova libero in natura; abbonda invece nei minerali: Silvina, KCl cloruro; monometrico; Carnallite, KCl · MgCl2 · 6H2O, cloruro doppio idrato; Leucite, KAl (SiO3)2, tectosilicato di alluminio e potassio; tetragonale; Kainite, KCl · MgSO4 · 3 H2O, cloruro di potassio e solfato di magnesio idrato; monoclino; Sainitro, KNO3, nitrato. Rombico. Incolore, bianchiccio o grigiastro, in efflorescenze su muri vecchi e umidi. Il potassio è un metallo alcalino leggero, molle, argenteo. Si prepara riducendo il carbonato di potassio con carbone a circa 600°C, o per elettrolisi dell’idrato di potassio. Composti: i nitrati, carbonati, solfati e cloruri, ecc. si ricavano da minerali potassici di Stassfurth. L’idrato di potassio, KOH è la potassa caustica. Fonde a 63,5°C; bolle a 759°C. 2.14 MAGNESIO (Mg) (N.a. 12 - P.at. 24,32 - Val. 2) Elemento abbondante in natura. I minerali sono: Carnallite (v. K); kainite (v. K); silicati (v.); Magnesite, MgCO3, carbonato; trigonale;. Dolomite, MgCO3 · CaCO3, carbonato di calcio e di magnesio. Romboedrico. Incolore oppure bianco o colorato per tracce di ferro e manganese, con lucentezza vitrea o madreperlacea. Si trova anche in masse non cristallizzate. Densità 2,9. Durezza 3,5 ÷ 4. Il magnesio è un metallo alcalino-terroso, bianco, leggero, duttile e malleabile. Fonde a 650°C; bolle a 1220°C. Acceso brucia con luce bianca molto viva (lampo al magnesio). Preparazione: elettrolisi del cloruro di magnesio fuso. Composti. Ossido, MgO, polvere bianca amorfa refrattaria; solfato, MgSO4, sale inglese; cloruro, MgCl2 . 2.15 CALCIO (Ca) (N.a. 20 - P.at. 40,08 - Val. 2) Non esiste libero in natura; i minerali sono i seguenti. Fluorite, CaF2, fluoruro (spatofluore). Monometrico. Lucentezza vitrea, incolore oppure giallo, azzurro, violetto, verde. Densità 3. Durezza 4. Apatite, cloro o fluorofosfato di calcio. Esagonale. Incolore o bianca, verde o rosea, con lucentezza vitrea. Densità 3,17. Durezza 5.
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Fosforite, Ca3(PO4)2 . Roccia organogena, ricca di fosfato calcico, concrezionata, fibrosa o terrosa. Anidrite, CaSO4 , solfato anidro. Rombico. Struttura microcristallina saccaroide, di color bianco, grigio o rossiccio. Densità 3. Durezza 3,5 ÷ 4. Gesso, CaSO4 · 2H2O, solfato idrato. Monoclino. Varietà: alabastro gessoso di Volterra, microcristallino; selenite, grossi cristalli trasparenti; sericolite, a struttura fibroso-sericea. Sono caratteristici i geminati a ferro di lancia. Calcite, CaCO3 , carbonato. Romboedrico. Lucentezza vitrea o grassa, trasparente od opaca, fragile. Pura è incolore o bianca opaca per la presenza di magnesio; può anche essere variamente colorata. Varietà: spato d’Islanda, birifrangente. Densità 2,5. Durezza 3. Aragonite, CaCO3 , carbonato. Rombico. Marmo, CaCO3 , carbonato, a struttura saccaroide. Calcari, CaCO3 , rocce formate da carbonato da calcio con altri componenti. Varietà: travertino, calcari dolomitici, fosfatici, argillosi, arenacei. Alabastro calcareo orientale, CaCO3 , carbonato. Concrezioni fibroso raggiate biancastre o variamente colorate. Il calcio è un metallo alcalino-terroso, di color bianco argenteo. Preparazione: elettrolisi di un miscuglio di cloruro e fluoruro di calcio fusi. Composti. Ossido di calcio o calce viva, CaO; si ottiene per calcinazione del carbonato in forni adatti. Viene conservata in luoghi asciutti perché con l’umidità sfiorisce, trasformandosi in idrato. Idrato di calcio o calce spenta. Fluoruro, CaF2; carbonato, CaCO3; solfato, CaSO4; carburo, CaC2; nitrato, Ca(NO3)2. 2.16 BARIO (Ba) (N.a. 56 - P.at. 137,36 - Val. 2) Non si trova libero in natura; il minerale più importante è la baritina, BaSO 4, solfato; è incolore se puro, più spesso è giallo miele scuro, con lucentezza vitrea, resinosa, fosforescente in polvere. Rombico. Densità 4,5. Durezza 2,5. È un metallo bianco argenteo. 2.17 ALLUMINIO (Al) (N.a. 13 - P.at. 26,97 - Val. 3) È uno degli elementi più abbondanti in natura; i suoi minerali sono i seguenti. Corindone, Al2O3, sesquiossido. Romboedrico. Incolore se puro, colorato se misto a piccole quantità di cromo; lucentezza vitrea, trasparente od opaco. Varietà: zaffiro orientale (azzurro), rubino orientale (roseo o rosso), ametista orientale (violetto), topazio orientale (giallo). Una varietà impura per ossido di ferro costituisce lo smeriglio, abrasivo. Densità 4. Durezza 9.
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Bauxite, Al2O3 · nH2O, idrossido di alluminio amorfo, di color rosso cupo. Alunite, solfato doppio idrato di potassio e alluminio, raramente cristallizzato, più spesso fibroso e compatto, bianco o gialliccio se puro. Con la torrefazione si ottiene l’allume di rocca del commercio. Densità 2,5. Durezza 3,5 ÷ 4. Criolite (v. Na); leucite (v. K); silicati (v.). L’alluminio è un metallo molto leggero di color argenteo, buon conduttore della corrente elettrica. Fonde a 650°C; bolle a 2770°C. È un metallo anfotero. Preparazione: elettrolisi dell’ossido di alluminio puro sciolto in un bagno di criolite fusa. Composti Ossido, Al2O3; idrato Al(OH)3; solfato, Al2(SO4)3; allumi, solfati doppi di un metallo monovalente e di un metallo trivalente cristallizzati con 24 molecole di H 2O. 2.18 ZINCO (Zn) (N.a. 30 - P.at. 65,38 - Val. 2) Non si trova libero in natura; i minerali sono i seguenti. Blenda, ZnS, solfuro di zinco. Cubico, raramente esagonale. Giallastro, trasparente se puro e colorato se impuro, con lucentezza adamantina o grassa. In filoni è misto a solfuri vari (galena, pirite). Densità 4. Durezza 3,5 ÷ 4. Smithsonite, ZnCO3, carbonato. Trigonale. Calamina, ZnSiO3. Zn(OH)2, silicato idrato. Rombico. Densità 3,4. Durezza 5. Lo zinco è un metallo di color bianco azzurrognolo. All’aria umida si altera e si ricopre di uno strato di carbonato basico, che lo protegge da ulteriori alterazioni. Fonde a 419°C; bolle a 918°C. Preparazione: arrostimento o calcinazione della blenda o della smithsonite e successiva riduzione con carbone dell’ossido così ottenuto. Composti. Ossido, ZnO, pigmento bianco; cloruro, ZnCl2; solfuro, ZnS; solfato, ZnSO4 ; ecc. 2.19 MERCURIO (Hg) (N.a. 80 - P.at. 200,61 - Val. 1,2) Si trova in natura allo stato nativo sotto forma di goccioline. Minerale: cinabro: HgS, solfuro. Trigonale. Color rosso vivo oppure bruno. Densità 8 ÷ 8,9. Durezza 2 ÷ 2,5. Il mercurio è un metallo liquido a temperatura ordinaria; ha colore bianco argenteo e scorrevolezza caratteristica. Bolle a 357°C; solidifica a -38,87°C. Preparazione: riscaldamento del minerale ad una temperatura di 500°C in corrente di aria o mescolato con ferro; il mercurio distilla, viene raccolto e in seguito purificato per ridistillazione. Con altri metalli dà leghe dette amalgame. Composti. Cloruro mercurico, HgCl2 o sublimato corrosivo; Cloruro mercuroso, HgCl; o calomelano; Ossido mercurico, HgO.
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2.20 STAGNO (Sn) (N.a. 50 - P.at. 118,70 - Val. 2,4) Raro sulla superficie terrestre; il minerale più noto è la cassiterite, SnO 2, biossido. Tetragonale. Color bruno scuro, con lucentezza metallica. Si trova in filoni misto a quarzo, silicati e solfuri diversi. Densità 6,5. Durezza 6 ÷ 7. Lo stagno è un metallo di color bianco argenteo, malleabile; esiste in due modificazioni: stagno bianco e stagno grigio polvere. Fonde a 232°C; bolle a 2275°C. Ha carattere anfotero. Preparazione: riduzione della cassiterite con carbone. Composti. Stannosi e stannici. 2.21 PIOMBO (Pb) (N.a. 82 - P.at. 207,21 - Val. 2,4) I minerali sono i seguenti. Galena, PbS, solfuro. Monometrico. Color grigio con lucentezza metallica. Si trova in filoni entro rocce, spesso misto a solfuro d’argento. Densità 7,5. Durezza 2,5 ÷ 3. Cerussite, PbCO3 , carbonato. Trigonale. Anglesite, PbSO4 , solfato. Rombica. Crocoite, PbCrO4 , cromato. Il piombo è un metallo di color grigio-bluastro, che si estrae per arrostimento e reazione dalla galena. Fonde a 327°C; bolle a 1740°C. I sali di piombo sono tutti velenosi. Composti. Ossido di piombo, PbO, polvere gialla chiamata massicot, oppure litargirio, polvere rosso-bruna, a seconda della temperatura alla quale si ottiene; Minio, Pb3O4 , ossido salino, polvere rosso viva; è l’antiruggine più anticamente conosciuto. Acetato, (CH3COO)2Pb, detto zucchero di saturno; Carbonato basico di piombo o biacca, 3PbCO3 · Pb(OH)2 ; Biossido di piombo o ossido pulce, PbO2 , sostanza di color bruno; Piombo-tetraetile, (C2H5)4Pb, composto organo-metallico. 2.22 CROMO (Cr) (N.a. 24 - P.at. 52,01 - Val. 2,3,6) Non si trova libero in natura; i minerali sono i seguenti. Cromite, Cr2O3 · FeO, ossido di cromo e ferro; monometrico. Crocoite, PbCrO4, cromato di piombo; monoclino. Il cromo è un metallo grigio chiaro, friabile, che si ottiene per riduzione dell’ossido con l’alluminio. Fonde a 1520°C. Composti. Ossido cromoso; ossido cromico, Cr2O3 ; anidride cromica, CrO3 ; cromati; ecc.
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2.23 MANGANESE (Mn) (N.a. 25 - P.at. 54,94 - Val. 2,3,4,7) Non esiste allo stato libero in natura. I minerali più importanti sono i seguenti Pirolusite, MnO2 , biossido, di color nero con splendore metallico. In filoni tra le rocce eruttive antiche e nei terreni sedimentari. Densità 4,7 ÷ 5. Durezza 2 ÷ 2,5. Braunite, Mn3O4 , ossido. Rodocrosite, MnCO3, carbonato. Trigonale. Il manganese è un metallo bianco grigio ossidabile all’aria. Si ottiene trattando gli ossidi con polvere di alluminio, oppure per via elettrolitica. Fonde a 1230°C; bolle a 220°C. Composti. Biossido, MnO2, ossidante; permanganato di potassio, KMnO4. 2.24 FERRO (Fe) (N.a. 26 - P.at. 55,85 - Val 2,3,6) I minerali più importanti sono i seguenti. Pirite, FeS2, bisolfuro, di color giallo, con lucentezza metallica, spesso trasformato superficialmente in limonite (color bruno). Monometrico. Abbondante in natura in filoni, ammassi o cristalli sparsi; è spesso misto ad oro ed a rame. Densità 5. Durezza 6 ÷ 6,5. Calcopirite, CuFeS2, solfuro doppio di ferro e rame, di color giallo bronzo con lucentezza metallica, fragile. Tetragonale. Densità 4,2. Durezza 3,5 ÷ 4. Ematite, Fe2O3 , sesquiossido. Trigonale. Color rosso; se il colore è grigio ed i cristalli sono grossi si chiama oligisto. Si trova in masse compatte, granulari, laminari, fibrose o terrose. Varietà terrosa: ocra rossa. Densità 5. Durezza 5,5 ÷ 6,5. Limonite, 2 Fe2O3 · 3H2O, sesquiossido idrato, amorfo. Color ruggine in massa, giallo bruno in polvere; fragile, infusibile. Varietà: ocre gialle, terra d’ombra, ecc. Densità 3,5 ÷ 4. Durezza 5 ÷ 5,5. Siderite, FeCO3 , carbonato. Romboedrico. Color bianco, grigio; in filoni o ammassi rocciosi. Densità 3,85. Durezza 3,4 ÷ 4,5. Magnetite, Fe3O4 , ossido salino. Monometrico. Color grigio. Allo stato nativo si trova nelle meteoriti. Densità 7. Durezza 4 ÷ 5. Il ferro è un metallo grigiastro, lucente, molto duttile e malleabile, buon conduttore di elettricità e calore. All’aria umida si trasforma in sesquiossido di ferro idrato, formando la ruggine. È raro trovarlo allo stato nativo oppure cristallizzato nel sistema monometrico. Si ottiene per riduzione degli ossidi negli alti forni. Il primo prodotto è ghisa grezza, la quale per fusione e rapido raffreddamento dà ghisa bianca, mentre per lento raffreddamento dà ghisa grigia. Con la decarburazione della ghisa bianca si ottengono il ferro dolce e l’acciaio. Gli acciai si possono anche ottenere carburando il ferro dolce. Ghisa: fino al 5% di carbonio; ferro dolce: da 0,02% a 0,20%; acciaio: da 0,50% a 2,30%. Il ferro fonde a 1530°C; bolle a 2840°C. Composti. Ossido ferroso; solfato ferroso, FeSO4 ; solfuro ferroso, FeS; ossido ferrico; cloruro ferrico, FeCl3; solfato ferrico, Fe2(SO4)3 ; ossido ferroso ferrico.
CHIMICA INORGANICA
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2.25 NICHELIO (Ni) (N.a. 28 - P.at. 58,69 - Val. 2,3,4) I minerali più importanti sono: nichelina, NiAs, arseniuro; garnierite, silicato idrato di nichelio e magnesio; pirrotina, solfuro di rame, ferro e nichelio. Allo stato nativo si trova nelle meteoriti. Metallo bianco-giallognolo, duro, malleabile. Fonde a 1450°C; bolle a 2340°C. 2.26 PLATINO (Pt) (N.a. 78 - P.at. 195,23 - Val. 2,3,4,6) Metallo nobile, inalterabile, inattaccabile dagli acidi fuorché dall’acqua regia, poco diffuso, malleabile, di color grigiastro. Monometrico. Si trova in pagliuzze o granuli nei terreni alluvionali. Densità 17 ÷ 18. Durezza 4 ÷ 4,5. 2.27 RAME (Cu) (N.a. 29 - P.at. 63,57 - Val. 1,2) Si trova in natura allo stato libero. 1 suoi minerali più diffusi sono i seguenti. Calcopirite (v. Fe). Cuprite, Cu2O, ossidulo. Monometrico. Colore rosso. Calcosina, Cu2S, solfuro rameoso. Rombico. Malachite, CuCO3 . Cu(OH)2 , carbonato basico. Monoclino. Color verde. Densità 4. Durezza 3,5 ÷ 4. Azzurrite, 2CuCO3Cu(OH)2, carbonato basico. Monoclino. Il rame è un metallo di colore rossastro, duttile, malleabile. Monometrico. Fonde a 1080°C; bolle a 2360°C. All’aria umida dà verderame, velenosissimo. Si prepara per riduzione dei sali di rame con carbone. Composti. Rameosi e rameici; solfato di rame, CuSO4, vetriolo azzurro, ecc. 2.28 ARGENTO (Ag) (N.a. 47 - P.at. 107,88 - Val. 1) Si trova in natura allo stato nativo. I minerali sono: Argentite, Ag2S, solfuro; monometrico; Cherargirite, AgCl, cloruro; monometrico; Pirargirite, solfoantimonito; trigonale. L’argento è un metallo di color bianco splendente, trasparente in lamine, opaco in massa, duttile, malleabile. Monometrico. Si trova in filoni spesso con rame e galena. È inattaccabile dagli acidi deboli, solubile a freddo nell’acido nitrico ed a caldo in quello solforico. Fonde a 961°C; bolle a 2150°C. Densità 10 ÷ 11. Durezza 2,5 ÷ 3. Si estrae dall’argentite e dalla galena argentifera (solfuro di piombo con quantità variabili di argento). Composti.
D-32
CHIMICA
Nitrato AgNO3; alogenuri; ecc. 2.29 Oro (Au) (N. a. 79 - P. at. 197,20 - Val. 1, 3) Si trova in natura allo stato nativo sotto forma di granuli, pepite, lamine, ecc. Ha color giallo, splendore metallico; è duttile e malleabile. Monometrico, si trova in filoni con argento, ferro, rame, oppure in terreni alluvionali. Densità 15 ÷ 19,5. Durezza 2,5. È solubile nell’acqua regia. Fonde a 1064°C; bolle a 2610°C. Si prepara dai minerali auriferi per’amalgamazione, oppure dalle sabbie alluvionali per levigazione. 2.30
LEGHE METALLICHE
a) Di ferro: acciaio al nichel (3 ÷ 6% di Ni); acciaio al cromo (1 ÷ 3 % di Cr); acciaio al tungsteno (2 ÷ 3% di W); acciaio al vanadio (3 ÷ 5% di V); acciaio al manganese (6 ÷ 12% di Mn); acciaio al molibdeno (1 ÷ 5 % di Mo); acciaio al silicio; ferro zincato. b) Di rame: bronzo per costruzioni meccaniche (74 ÷ 84% di rame, 10 ÷ 21% di stagno e fino al 2% di zinco); bronzo per statue (78 ÷ 90% di rame, 2 ÷ 4% di stagno, 8 ÷ 12% di zinco); bronzo per campane (75 ÷ 80% di rame, 20 ÷ 25% di stagno); bronzo per monete (90 ÷ 96% di rame, 4 ÷ 10% di stagno e spesso piccole quantità di zinco); bronzo fosforoso; bronzo al nichel, al manganese, al silicio, ecc.; ottone (67 ÷ 72% di rame e 28 ÷ 33% di zinco); metallo delta (50 ÷ 56% di rame, 40 ÷ 42% di zinco, 1% di ferro); similoro (90% di rame e 10% di zinco); ottone bianco (45% di rame e 55% di zinco); bronzo d’alluminio (90 ÷ 95% di rame e 10 ÷ 15% di alluminio); argentana (rame, zinco e nichel). c) Di piombo: piombo indurito (piombo ed antimonio con tracce di rame, stagno e nichel); piombo per caratteri da stampa (50 ÷ 55 % di piombo, 25 ÷ 30% di antimonio e 15 ÷ 25% di stagno); lega per saldatori (50% di piombo e 50% di stagno); metallo bianco (60 ÷ 90% di piombo, antimonio e poco stagno e rame). d) D’alluminio: romaium (98% di alluminio, 1% di nichelio, 1% di volframio); alluminio- nichelio (97 ÷ 99% di Al ed 1 ÷ 3 % di Ni); magnalio (98 ÷ 99% di Al e 1 ÷ 2% di magnesio): ferro-alluminio (98% di Al e 2% di ferro); duralite (93,6% di Al, 3% di rame, 1,5% di ferro, 0,6% di silicio, 0,6% di nichelio, 0,5% di magnesio, 0,2% di titanio); silumin (~ 86,4% di Al, 13% di silicio, ~ 0,6% di ferro); anticorodal (97,45% di Al, 1% di silicio, 0,6% di magnesio, 0,6% di manganese, 0,35% di ferro). e) Fusibili: piombo, stagno, antimonio, bismuto e cadmio. f) Magnetiche. g) Amalgame: mercurio con altri metalli (piombo, antimonio, stagno, zinco, argento, ecc.).
3
CHIMICA ORGANICA 3.1
GENERALITÀ
La chimica organica studia le combinazioni del carbonio, soprattutto quelle con idrogeno, ossigeno, azoto, fosforo, zolfo, alogeni. Grazie al fatto che il carbonio ha la proprietà di formare anelli e catene dotate di grande stabilità, esiste un numero enorme di composti organici. Il termine organico fu usato perché la maggior parte dei composti del carbonio isolati inizialmente proveniva da organismi viventi. Si chiamano isomeri i composti che hanno la stessa formula molecolare, ma differente disposizione degli atomi nella molecola. Esistono due tipi di isomeria: isomeria di struttura: gli atomi sono legati tra loro in sequenze differenti; stereoisomeria: nella molecola gli atomi sono legati nella sequenza, ma con differente disposizione spaziale. Le proprietà delle sostanze organiche vengono chiamate funzioni. Per rappresentare i composti organici, oltre alla formula greggia, occorre quella di struttura o almeno quella razionale. Determinazione dei composti organici: a) riduzione dei composto allo stato di specie chimica; b) analisi qualitativa; c) analisi quantitativa; d) determinazione del peso molecolare e quindi della formula greggia; e) determinazione della formula razionale. 3.2
IDROCARBURI
Composti organici contenenti soltanto carbonio e idrogeno; sono i principali costituenti del petrolio, carbone, gas naturale. Classificazione: alifatici
saturi insaturi
alcani (es. etano, CH32CH3) alcheni (es. etene, CH25CH2) alcheni (es. etino, CH;CH)
aromatici (es. benzene
, e idrocarburi derivati)
saturi (es. cicloesano,
)
aliciclici insaturi (es. cicloesene,
)
3.2.1 Alcani (paraffine). Presentano solo legami singoli. Ciascun alcano fa parte di una serie omologa avente formula generale C n H2n+2 dove n è un numero intero. Radicale alchilico è tutto ciò che resta della molecola togliendo un atomo di idrogeno (metile, etile, propile, ecc.). Le proprietà fisiche dei termini della serie presentano variazioni graduali; i punti di fusione e di ebollizione e la densità aumentano regolarmente con l’aumentare del peso molecolare. I primi quattro termini della serie sono gas a temperatura ambiente, i termini successivi sono liquidi ed il primo prodotto solido a temperatura ambiente ha n = 16.
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CHIMICA
Numero di atomi di carbonio: 1. Metano, CH4. 2. Etano, CH3 CH3. 3. Propano, CH3 CH2 CH3. 4. Butano, CH3 CH2 CH2 CH3. 5, 6, 7, 8, 9, 10, ecc.: pentano, esano, eptano, ottano, nonano, decano, ecc. Sono insolubili in acqua e inerti alla maggior parte dei reattivi più comuni. Principali reazioni: combustione, alogenazione, cracking, nitrazione, ecc. Metodi generali di preparazione: riscaldamento dei sali sodici degli acidi carbossilici con calce sodata; riscaldamento degli alogenuri alchilici e sodio metallico; riduzione degli idrocarburi insaturi con idrogeno; ecc. 3.2.2 Alcheni (olefine o etileni). Idrocarburi contenenti doppi legami carbonio-carbonio. La serie omologa ha formula generale CnH2n (n ≥ 2). Gli alchemi con due doppi legami sono detti dieni, con tre trieni, ecc. I primi quattro termini sono gassosi, dal quinto al quindicesimo sono liquidi, poi diventano solidi. Numero di atomi di carbonio: 2. Etene, CH25CH2 . 3. Propene, CH25CH – CH3 . 4. 1-Butene, CH25CH – CH2 – CH3 . ecc. Metodi di preparazione: disidratazione degli alcoli; deidroalogenazione degli alogenuri alchilici; dealogenazione dei dialogenuri vicinali; ecc. La reattività chimica più importante dipende dal doppio legame carbonio-carbonio; la maggior parte delle reazioni sono di addizione (si forma il prodotto saturo): idrogenazione catalitica; addizione di alogeni; addizione di acidi alogenidrici; idratazione; formazione di glicoli; ozonolisi; polimerizzazione; ecc. 3.2.3 Alchini (acetilenici). La serie omologa è formata da composti con formula generale Cn H2n-2 (n ≥ 2). La molecola presenta due atomi di carbonio vicini legati con un triplo legame. L’etino (acetilene), CH;CH, è il primo termine della serie e si ottiene per azione dell’acqua sul carburo di calcio. Con l’accensione dà una fiamma ad alta temperatura, detta ossiacetilenica. Le reazioni più comuni sono di addizione al triplo legame: addizione di idrogeno, di alogeni, di acidi alogenidrici, di acido acetico, di acido cianidrico; polimerizzazione; carbonilazione; idratazione; ecc. 3.2.4 Areni: benzene e derivati. Gli areni monociclici hanno formula generale C n H2n-6 dove n ≥ 6. L’arene più semplice è il benzene, liquido incolore, volatile, velenoso: C6 H6 ,
. Esso rappresenta l’unità funzionale dei composti aromatici.
Le reazioni più comuni dell’anello benzenico consistono nella sostituzione di un idrogeno dell’anello con un altro gruppo di atomi.
CHIMICA ORGANICA
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Il derivato monometilsostituito dei benzene è il metilbenzene o toluene. Benzene e metilbenzene si ottengono entrambi o dal carbon fossile o dal petrolio. 3.2.5
Altri idrocarburi. Esistono idrocarburi aromatici policiclici (naftalene antracene
na
ecc.) e quelli contenenti eteroatomi (pirodi-
chinolina
ecc.).
3.3
PETROLIO E PETROLCHIMICA
Vedere Chimica applicata. 3.4
ALOGENURI ORGANICI
Gli alogenuri alchilici formano una serie omologa di composti caratterizzati dal legame carbonio-alogeno di formula generale CnH2n+1X, dove X è l’alogeno (es.: clorometano, cloruro di metile, CH3Cl, ecc.). Negli arilici l’atomo di alogeno è legato direttamente ad un anello benzenico (es.: clorobenzene, C6H5Cl, ecc.). Esistono alogenuri insaturi (es.: cloroetene, cloruro di vinile, CH25CHCl, ecc.) e composti polialogenati (es.: triclorometano, cloroformio, CHCl3; tetraclorometano, tetracloruro di carbonio, CCl4, ecc.). 3.5
ALCOLI E FENOLI
Si chiamano alcoli i composti organici che portano un gruppo – OH legato ad un atomo di carbonio saturo. Si chiamano enoli i composti in cui l’– OH è unito ad atomi di carbonio insaturi. alcol primario:
R2CH2OH R
alcol secondario:
CHOH R′ R
alcol terziario:
R′2 C2OH R″
enolo alifatico:
R2 C5C OH
enolo aromatico: R2
2OH
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CHIMICA
Alcoli e fenoli hanno uno scheletro alchilico o benzenico ed un gruppo 2C2O2H . Al contrario dei fenoli sono pochi gli alcoli presenti in natura allo stato libero. Gli alcoli possono essere ottenuti dagli esteri presenti in grandi quantità nei prodotti naturali; molti fenoli sono contenuti nelle piante e nei succhi vegetali. Inoltre si formano fenoli nella decomposizione termica dei vegetali. 3.5.1 Alcoli. Reazioni più comuni: formazione di alcolati metallici per trattamento con metalli alcalini; formazione di esteri per reazione con acidi carbossilici; disidratazione ad alcheni; ossidazione (primari e secondari) ad aldeidi e chetoni; preparazione di cloruri alchilici per trattamento con cloruro di tionile; reazione con lo iodio in soluzione alcalina con formazione di iodoformio; ecc. Metodi generali di preparazione: idratazione degli alcheni; idrolisi di ioduri alchilici; idrolisi degli esteri; riduzione di composti con un gruppo carbonilico 5CO; ecc. Metanolo, alcol metilico, CH3OH. Liquido limpido, mobile, infiammabile, solubile in acqua; viene preparato industrialmente per idrogenazione catalitica del monossido di carbonio. Viene usato per la sintesi della formaldeide, che è poi impiegata nella fabbricazione di resine sintetiche. Etanolo, alcol etilico, CH3CH2OH. Liquido incolore, inodore, solubile in acqua, di sapore bruciante. Si prepara per idratazione dell’etene o per fermentazione dei carboidrati. I processi di fermentazione si sfruttano nell’industria della birra e del vino; le reazioni chimiche avvengono con l’aiuto di enzimi (catalizzatori biologici) presenti nel malto e in certi lieviti che vengono mescolati ai mosti in fermentazione. L’etanolo è usato come solvente e per la preparazione dell’acetaldeide. Composti poliossidrilati. CH22OH 1,2-etandiolo, glicole etilenico, CH 2OH 2
Liquido oleoso incolore, usato come anticongelante. 1,2,3-propantriolo, glicerina,
CH22OH CH2OH.
CH22OH Liquido denso, dolciastro, incolore, inodore, miscibile con acqua. Sotto forma di estere è presente in molti oli e grassi vegetali e animali. Si può ottenere da questi per idrolisi alcalina. I sali di sodio e di potassio degli acidi grassi costituiscono la base dei comuni saponi. La glicerina con acido nitrico e solforico dà nitroglicerina; con farina fossile dà la dinamite. 3.5.2 Fenoli. Hanno carattere acido; reagiscono con alcali; possono essere ridotti anche se con difficoltà. Esistono fenoli mono-, bi-, trivalenti. Fenolo, acido fenico, C6 H5 2OH. Cristallino, incolore se puro, di odore caratteristico. È stato uno dei primi antisettici utilizzati. È usato per la preparazione di materie plastiche, resine, coloranti, insetticidi, ecc. Oggi si prepara industrialmente con il “processo al cumene”.
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CHIMICA ORGANICA
3.6
ETERI
Sono composti con formula generale R⫺O⫺R′ (R,R′⫽ alchile e/o arile). Sono ossidi dialchilici o diarilici o alchil arilici. Esistono anche eteri ciclici nei quali il sistema C⫺O⫺C fa parte di una struttura ad CH2⫺CH2 anello: es. epossietano . O Hanno reattività assai ridotta. Preparazione: disidratazione degli alcoli primari a basso peso molecolare; reazione tra un alogenuro alchilico e un alcolato di sodio; ecc. 3.7
ALDEIDI E CHETONI
Il gruppo carbonilico è formato da un atomo di carbonio legato per mezzo di un doppio legame ad un atomo di ossigeno: O i C
O i ⫺C⫺H
gruppo carbonilico
gruppo aldeidico
O i ⫺C⫺C⫺C gruppo chetonico
I composti con gruppo carbonilico sono assai frequenti in natura. Ad eccezione della formaldeide che è un gas, in condizioni normali di temperatura e pressione, le aldeidi ed i chetoni sono liquidi o solidi. Possono essere composti alifatici e aromatici; la preparazione si ottiene per ossidazione degli alcoli. Nelle reazioni di ossidazione le aldeidi vengono facilmente ossidate, i chetoni no. Metanale, formaldeide, H CHO. Gas incolore, solubile in acqua, di odore irritante, fortemente antisettico. Si prepara facendo passare vapori di metanolo e quantità ridotta di aria su catalizzatore di argento a una temperatura compresa tra i 500°C e i 600°C. È utilizzato nell’industria delle materie plastiche e nella sintesi di numerosi prodotti chimici. Etanale, acetaldeide, CH3CHO. Si ottiene per mezzo dell’ossidazione catalitica dell’etanolo. Benzaldeide, C6H5CHO. Si prepara per ossidazione del metilbenzene (toluene). Propanone, acetone CH3COCH3. Liquido limpido di sapore bruciante, di odore gradevole. Viene preparato per deidrogenazione catalitica (rame) del 2-propanolo alla temperatura di 400°C. È uno dei solventi più importanti poiché è solubile sia in acqua che in solventi organici. 3.8
CARBOIDRATI
Composti poliossidrilati che contengono anche gruppi chetonici o aldeidici. 3.8.1 I monosaccaridi presenti in natura sono poliidrossialdeidi o poliidrossichetoni, che hanno, per molecola, da tre a sei atomi di carbonio.
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CHIMICA
Il glucosio (C6H12O6) è molto diffuso nel regno vegetale, specialmente nell’uva. È un solido bianco, cristallino, di sapore dolce, solubile in acqua, alcool, insolubile in etere, fermentescibile. Si ottiene idrolizzando l’amido in presenza di acidi diluiti o di enzimi. 3.8.2 I disaccaridi sono carboidrati che possono essere idrolizzati e dare due monosaccaridi. Il maltosio dà due molecole di glucosio. È un solido cristallino bianco. Il lattosio, presente nel latte, dà una molecola di glucosio e una di galattosio. Solido cristallino. Il saccarosio, zucchero comune o zucchero di canna o di barbabietola (C 12H22O11) è assai diffuso nel regno vegetale. Cristallizza in grossi cristalli; molto solubile in acqua. Fonde a 160°C; a temperatura più elevata, per decomposizione e disidratazione si trasforma in “caramello”. 3.8.3 I polisaccaridi sono carboidrati le cui molecole per idrolisi danno un grandissimo numero di monosaccaridi. Amido: si trova nei cereali, nei tuberi di patata, ecc., si presenta in granuli rotondeggianti o poligonali. Quello delle patate è detto fecola. Per idrolisi parziale acida o enzimatica, l’amido genera destrine; per idrolisi profonda acida o enzimatica, l’amido genera prima maltosio e poi glucosio. Cellulosa: zucchero molto complesso, costituente in massima parte le membrane delle cellule vegetali, insolubile in acqua, alcol ed etere. Con una miscela di acidi solforico e nitrico concentrati, dà la nitrocellulosa. La cellulosa è la materia base per le industrie della carta e di alcuni tessili artificiali. Glicogeno: polisaccaride presente nel fegato. 3.9
ACIDI ORGANICI
Gli acidi organici sono caratterizzati dalla presenza del gruppo carbossilico, O cioè: 2C . OH Possono essere alifatici, aromatici, saturi, insaturi, mono, di, tri...carbossilici. Gli acidi monocarbossilici alifatici inferiori (es. acido formico, acido acetico) sono liquidi; i termini superiori, i dicarbossilici e gli aromatici sono solidi. Preparazione: ossidazione degli alcoli primari o delle aldeidi; idrolisi dei cianuri; ecc. Derivati degli acidi carbossilici: O R2C O R2C
O R2C
Cl cloruro acilico
NH2 ammide
O
O R2C
R2C O2R′ estere
O anidride
Acido metanoico, acido formico, HCOOH. Si prepara per reazione tra ossido di carbonio e idrossido di sodio a 200°C, sotto pressione. Ha proprietà riducenti.
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CHIMICA ORGANICA
Acido etanoico, acido acetico, CH3COOH. Liquido di odore penetrante che discioglie gli oli, il glutine, l’albumina, ecc. La preparazione industriale consiste nell’ossidazione con aria della frazione C52C7 degli alcani ottenuti dal petrolio. L’aceto si ottiene per ossidazione batterica di soluzioni di etanolo, quali vini. Gli acidi palmitico (C15H312COOH), stearico (C17H352COOH), oleico (C17H332COOH), sono presenti nei grassi. COOH Acido etandioico, acido ossalico, COOH Sostanza solida bianca, solubile in acqua; tossico. COOH Acido tartarico,
CHOH CHOH
COOH Si ottiene dal tartaro di botte costituito di cremor di tartaro allo stato grezzo, oppure trattando con metodi speciali le fecole e lo zucchero con acido nitrico. COOH Acido citrico,
CH2 OH C COOH CH22COOH
Cristalli voluminosi, incolori, trasparenti. Si ricava dagli agrumi con le seguenti operazioni: sbucciatura del frutto e spremitura della polpa; concentrazione dell’agro crudo; trattamento dell’agro concentrato o cotto con calce o carbonato di calcio per ottenere il citrato di calcio; decomposizione del citrato di calcio con acido solforico per ottenere acido citrico; purificazione del prodotto. Acido benzoico,
COOH
Si prepara per ossidazione catalitica con aria del metilbenzene (toluene). L’utilizzazione più importante è come conservante, sotto forma di sale sodico. Acido 1,2-benzendicarbossilico, acido ftalico
Acido 2-idrossibenzoico, acido salicilico isce l’aspirina (acido acetilsalicilico). 3.10
COOH COOH COOH . La forma acetilata costituOH
ESTERI
Derivati degli acidi, in cui l’idrogeno ionizzabile è sostituito da un gruppo alchilico o arilico: RCOOR′.
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CHIMICA
Possono essere sintetizzati riscaldando gli acidi carbossilici con un alcol; se l’estere viene riscaldato con eccesso di acqua si riformano l’alcol e l’acido (idrolisi). Le cere sono esteri degli acidi grassi superiori e degli alcoli monovalenti superiori. I grassi e gli oli sono mescolanze di vari gliceridi. I gliceridi sono esteri della glicerina con acidi grassi superiori tra i quali sono importanti: tra i saturi l’acido palmitico e quello stearico, tra i non saturi gli acidi oleico, linoleico, linolenico. I gliceridi degli acidi saturi sono solidi a temperatura ordinaria, quelli degli acidi non saturi sono liquidi (oli); alcuni di questi sono siccativi. Le sostanze grasse sono più leggere dell’acqua, nella quale sono insolubili; si sciolgono con facilità in benzina, etere, cloroformio, solfuro di carbonio, tetracloruro di carbonio, trielina. In corrente di vapor acqueo surriscaldato si idrolizzano, cioè si scompongono in glicerina ed acidi grassi; l’idrolisi può anche avvenire per riscaldamento con acidi diluiti e per opera di enzimi lipolitici. Trattati con alcali, danno glicerina e i sali degli acidi grassi (saponi). Per idrogenazione sotto pressione e in presenza di catalizzatori (indurimento) si ottiene la saturazione dei gliceridi contenenti acidi non saturi, che si trasformano in gliceridi contenenti acidi saturi. Nei grassi contenenti acidi grassi liberi, questi possono essere eliminati mediante neutralizzazione con alcali o mediante esterificazione con glicerina. 3.11
COMPOSTI ORGANICI SOLFORATI
Acidi solfonici. Si possono considerare derivati dell’acido solforico per sostituzione di un gruppo 2OH con un radicale alchilico o arilico. Sono acidi forti. Vengono usati come materiali intermedi nella sintesi dei sulfamidici, della saccarina e di alcuni coloranti. I tioli (mercaptani) contengono il gruppo funzionale 2SH unito sia ad un gruppo alchilico che arilico. Trovano impiego in medicina. 3.12
COMPOSTI ORGANICI AZOTATI
3.12.1 Nitro-composti. Il nitrogruppo, 2NO2, può essere legato ad un residuo alifatico o aromatico. Esempio: nitrometano, CH3 NO2; nitrobenzene, C6 H5 NO2; metil-2,4,6-trinitrobenzene (TNT), CH3 NO2 O 2N
NO2 La maggior parte degli alifatici è costituita da liquidi incolori; i termini più bassi aromatici sono liquidi gialli. Gli alifatici sono impiegati come solventi, gli aromatici come fonte di derivati amminici e come esplosivi (TNT).
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CHIMICA ORGANICA
3.12.2 Ciano-composti. Contengono il gruppo CN. Sono i nitrili e gli isonitrili. Sono velenosi. Il propenonitrile è usato per la produzione di varie fibre tessili e gomme sintetiche. 3.12.3 Sali di diazonio. Contengono il gruppo funzionale ione diazonio –N;N. Solidi cristallini incolori solubili in acqua. Sono impiegati come prodotti intermedi nella sintesi di coloranti. 3.12.4 Ammino-composti. Le ammine possono essere considerate derivate dall’ammoniaca per sostituzione di uno, due, tre atomi di idrogeno con gruppi alchilici, arilici o misti R R H R′2N NH | R2NH2 H2N2H R′ R′ ammoniaca
ammina primaria
ammina secondaria
ammina terziaria
La maggior parte delle ammine alifatiche sono o liquidi volatili o gas. I termini inferiori della serie aromatica sono liquidi o solidi. Le alifatiche sono solubili in acqua, le aromatiche poco. Le alifatiche sono usate nella preparazione di coloranti, farmaci, fibre tessili, insetticidi. Dalle aromatiche (anilina, toluidina) si ottengono numerosi coloranti insolubili nell’acqua. Reazioni caratteristiche: sono basi e reagiscono con gli acidi formando sali; per alchilazione delle primarie si formano le secondarie; per acilazione si formano acilderivati; con cloroformio e KOH alcolica danno isonitrili; con acido nitroso le alifatiche formano azoto e alcol, le aromatiche sali di diazonio; con acido solforico le aromatiche subiscono solfonazione; le alifatiche sono resistenti agli agenti ossidanti, le aromatiche danno prodotti colorati; ecc. Si preparano per riduzione di numerosi composti organici azotati; per degradazione delle ammidi; ecc. Fenilammina, anilina
NH2 . Liquido limpido, oleoso, velenosissimo, di odo-
re aromatico, che si ottiene trattando le idrazine con idrogeno nascente. 3.12.5 Ammidi. Se l’idrogeno dell’ammoniaca è sostituito da uno o più radicali acidi si ottengono le ammidi primarie, secondarie, terziarie. Hanno un debole carattere basico. NH2 Urea o carbammide C5O ; è la diammide dell’acido carbonico. NH2 Sostanza cristallina bianca, solubile in acqua. È usata nella sintesi di alcune resine e come fertilizzante. 3.13
AMMINOACIDI E PROTEINE
Gli amminoacidi sono composti contenenti nella molecola sia la funzione acida che quella amminica; hanno il gruppo –NH 2 legato all’atomo di carbonio vicino al carbossile (posizione α). Sono sostanze solide cristalline con punto di fusione elevato; hanno
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CHIMICA
proprietà acide dovute al carbossile e proprietà basiche dovute al gruppo amminico: sono cioè composti anfoteri. Combinandosi in lunghe catene danno i polipeptidi, per condensazione tra il – COOH di una molecola e l’–NH2 di un’altra; il legame è detto legame peptidico. Esistono 20 amminoacidi comuni che formano il gruppo dei monomeri dei polipeptidi. Tabella 3.1 Nome Glicina Alanina Valina Leucina Isoleucina Fenilalanina Triptofano Prolina Serina Treonina
Abbreviazione standard
Nome
Gly Ala Val Leu Ile Phe Try Pro Ser Thr
Tirosina Acido aspartico Acido glutammico Asparagina Glutammina Lisina Arginina Istidina Cisteina Metionina
Abbreviazione standard Tyr Asp Glu Asn Gln Lys Arg His Cys Met
I 20 amminoacidi sono i monomeri interessati alla costituzione delle proteine. Queste sostanze hanno struttura assai complessa; contengono carbonio, idrogeno, ossigeno, azoto, a volte zolfo e fosforo. Fanno parte di organismi vegetali ed animali. Molte sono solubili in acqua o in soluzioni di sali, acidi, basi; quasi tutte sono insolubili in solventi organici. Alcune sono costituite da molecole corrispondenti a un solo polipeptide, altre sono l’insieme di più polipeptidi; possono incorporare anche ioni metallici. Si possono così classificare: Tabella 3.2
Proteine semplici
Proteine coniugate
vegetali animali
albumine globuline gluteline gliadine o prolamine
ambuline globuline scleroproteine (osseina, cheratina, collageni) istoni protamine
fosfoproteine (caseina) glicoproteine cromoproteine (emoglobina) nucleoproteine lipoproteine mucoproteine
CHIMICA ORGANICA
Tabella 3.2
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Segue
da idrolisi parziali: proteani (paracaseina) metaproteine da idrolisi profonde: albumosi peptoni peptidi
Proteine derivate
3.14
ENZIMI
Sono sostanze proteiche altamente specifiche, che agiscono da catalizzatori biologici, provocando reazioni che artificialmente avverrebbero solo in condizioni fisiche e chimiche non compatibili con la vita; sono sostanze termolabili ed infatti a 80°C quasi tutti gli enzimi sono resi inattivi. Hanno carattere anfotero. Ciascuna molecola di enzima è in grado di catalizzare una reazione di un determinato substrato. Le parti del substrato su cui l’enzima agisce si legano a centri attivi dell’enzima, originando una relazione del tipo chiave-serratura. Sono classificati come idrolasi, transferasi, ossidoreduttasi, liasi e sinteasi, isomerasi. 3.15
ACIDI NUCLEICI (DNA, RNA)
Polimeri esistenti nelle cellule viventi capaci di trasportare informazioni genetiche e di orientare la sintesi di proteine. Hanno struttura chimica complessa. Tabella 3.3 Acidi nucleici
Acido deossiribonucleico
Acido ribonucleico
Distribuzione Basi pirimidiniche Basi puriniche Pentoso Enzima idrolizzante Funzione
nel nucleo citosina, timina adenina, guanina deossiribosio deossirobunicleasi informazione genetica
nel citoplasma, nucleo e cromosomi citosina, uracile adenina, guanina ribosi ribonucleasi sintesi di proteine
Il DNA costituisce il fondamento dell’informazione genetica ed inoltre orienta la formazione del RNA durante la trascrizione; questo a sua volta orienta la sequenza degli amminoacidi nel giusto ordine per formare una proteina. 3.16
ORMONI
Gli ormoni sono sostanze chimiche specifiche prodotte da alcuni organi (ghiandole endocrine) e tessuti; immessi nei liquidi circolanti possono raggiungere le varie parti
D-44
CHIMICA
dell’organismo ed influenzare altri organi o sistemi. Per molti la struttura chimica è ben definita. Esempi: Ipofisi anteriore: ormone dell’accrescimento, STH (proteina); corticotropina, ACTH (polipeptide); ormone follicolostimolante (glicoproteina); ormone luteinizzante, LH (proteina); prolattina, LTH (proteina); tireotropina, TSH (proteina). Ipofisi posteriore: ossitocina (polipeptide); vasopressina (polipeptide). Paratiroidi: paratormone (proteina). Cellule α del pancreas: glucagone (polipeptide). Cellule β del pancreas: insulina (polipeptide). Corteccia surrenale: cortisolo (steroide); cortisone (steroide); corticosterone (steroide); aldosterone (steroide); desossicorticosterone (steroide). Testicolo: testosterone (steroide). Ovaio, corteccia surrenale: estradiolo (steroide). Ovaio, placenta: estrone (steroide). Placenta: estriolo (steroide). Ovaio, corteccia surrenale, placenta: progesterone (steroide). Tiroide: tiroxina (fenolo). Midollare delle surrenali: adrenalina (fenolo); nor-adrenalina (fenolo). Mucosa del digerente: secretina, colecistochinina, enterogastrone, gastrina (polipeptidi). 3.17
VITAMINE
Sostanze organiche relativamente semplici, presenti in piccole quantità negli alimenti e indispensabili all’organismo. Generalmente provengono dal regno vegetale. Sono dei biocatalizzatori; alcune di esse fanno parte di coenzimi. 3.17.1 Vitamine idrosolubili. Vitamina C, antiscorbutica o acido ascorbico: è presente nella frutta, nella verdura, negli agrumi ed in piccole quantità anche nel latte e nelle carni. Vitamina P, della permeabilità dei capillari o citrina; è presente negli agrumi. Complesso vitaminico B: Vitamina B1, antineuritica, aneurina o tiamina; la carenza provoca un insieme di disturbi noto nell’uomo col nome. di beri-beri e caratterizzato da polineurite. Vitamina B2, dell’accrescimento o riboflavina; catalizza le reazioni della respirazione. È presente nel tuorlo dell’uovo e nel siero del latte. Vitamina B6, antiacrodinica, adermina o piridoxina; la carenza provoca alterazioni della pelle (acrodinia). Vitamina B12 o cianocobalamina; contiene cobalto. Combatte l’anemia perniciosa. Vitamina H o biotina; la carenza provoca alterazioni cutanee. Vitamina H ′ o acido p-amino-benzoico; favorisce l’accrescimento. Vitamina PP, antipellagrosa o amide dell’acido nicotinico; la carenza provoca la pellagra. Acido pantotenico: è un importante coenzima nelle ossidazioni respiratorie; la carenza provoca alterazioni cutanee e lesioni nervose. Mesoinosite; si trova nei cereali e nelle leguminose allo stato di fitina, cioè esterificata con acido fosforico. La carenza provoca dermatiti ed alopecia.
CHIMICA ORGANICA
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Acido folico; fa parte di coenzimi implicati in numerose reazioni. Colina o fattore lipotropo; è necessaria per il metabolismo dei grassi neutri e del colesterolo. 3.17.2 Vitamine liposolubili. Vitamina A, antixeroftalmica o axeroftolo. Il fegato elabora questa vitamina dai pigmenti carotinoidi delle piante; regola l’accrescimento, difende l’organismo dalle infezioni ed influenza la formazione degli epiteli; abbonda nei grassi vegetali ed animali (olio di fegato di merluzzo, latte, burro); tra i vegetali ne sono ricchi le carote, gli spinaci, la lattuga. Vitamina D, antirachitica o calciferolo; si tratta di vari fattori che derivano dagli steroli; promuovono la fissazione del calcio nei tessuti e la loro carenza provoca il difetto di calcificazione delle ossa nei bambini detto rachitismo; si trova nei grassi animali ed abbonda nell’olio di fegato di pesce. Vitamina E, della riproduzione o tocoferolo; i tocoferoli sono sostanze antiossidanti naturali e proteggono dall’ossidazione i grassi e la vitamina A da questi contenuta; la vitamina E promuove la fecondità e protegge il sistema muscolare e nervoso; abbonda nei grassi vegetali ed animali e specialmente nel germe di grano. Vitamina F, antidermatitica per i ratti (acidi grassi insaturi); sembra che la carenza provochi alterazioni cutanee; i due acidi (linoleico e linolenico) abbondano negli oli vegetali allo stato di gliceridi. Vitamina K, antiemorragica o fillochinone; si tratta di diverse sostanze derivate dall’1,4-naftochinone; regola la coagulazione del sangue ed evita le emorragie; abbonda nelle verdure e viene anche sintetizzata da batteri intestinali. 3.18
ANTIBIOTICI
Sostanze chimicamente definite, prodotte da organismi viventi, le quali sono capaci di inibire o sopprimere la vita di altri microorganismi. Gli antibiotici sono perciò dei prodotti naturali biosintetici; queste sostanze vengono anche elaborate per via industriale chimica. Fra gli antibiotici sono compresi anche i derivati del prodotto naturale che siano stati leggermente modificati in laboratorio. Molti antibiotici per la loro tossicità non hanno trovato impiego; nella terapia pratica sono usati: penicillina, streptomicina, cloramfenicolo, aureomicina, terramicina, acromicina, neomicina, tirotricina, bacitracina, polimixina, eritromicina, ecc. 3.19
ALCALOICI
Sostanze azotate di natura basica, che si trovano nelle piante, raramente negli animali. Alcuni sono liquidi, i più sono solidi e ben cristallizzati; poco solubili in acqua, più solubili in alcol, etere e cloroformio; i sali sono solubili in acqua. Si suddividono in vari gruppi a seconda della loro costituzione: a. alifatici; a. aromatici; a. derivati dal pirrolo; a. derivati dalla piridina; a. con i nuclei della pirrolidina e piperidina condensati; a. con anello chinolinico (o alcaloidi della china); a. con anello isochinolinico (o gruppo della papaverina); a. del gruppo della morfina; a. derivati dalla segale cornuta ed a. a costituzione ignota.
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CHIMICA
3.20
GLUCOSIDI
Sono sostanze diffuse nei vegetali e che per azione di enzimi, di acidi, di alcali, si idrolizzano originando una o più molecole di glucosio e altre varie sostanze. Glucoside noto è l’amigdalina contenuta nei semi di ciliegie, pesche, ma in maggior quantità nelle mandorle amare; per azione di un enzima contenuto nelle stesse mandorle o per ebollizione con acidi diluiti, l’amigdalina si scinde in due molecole di glucosio, acido cianidrico e aldeide benzoica. Altri importanti glucosidi sono la saponina delle radici della Saponaria officinalis, i tannini, gli antociani che danno il colore ai fiori, alle uve, ai frutti. 3.21
TERPENI E CANFORE
I terpeni e le canfore sono i composti fondamentali degli oli essenziali o essenze che si estraggono dalle piante. I terpeni sono idrocarburi a 10 atomi di carbonio, a catena aperta o chiusa; sono liquidi volatili insolubili in acqua, di odore caratteristico gradevole. Esempi: citrene, limonene, pinene, costituenti delle essenze di arancio, limone, pino. Gli alcoli ed i chetoni corrispondenti ai terpeni costituiscono le canfore (es.: canfora del Giappone). Terpene particolare è l’isoprene che è il costituente della gomma naturale (caucciù), che si ottiene dal lattice di alcune piante tropicali (Hevea brasiliensis).
4
CHIMICA APPLICATA 4.1
ACQUA
Requisiti di impiego: le caratteristiche delle acque industriali corrispondono a quelle dell’acqua potabile; le acque devono essere pure, limpide, dolci, prive di cloruri, solfati, nitrati, ecc. e di sostanze organiche ed avere conveniente temperatura. Le acque disponibili in natura generalmente non sono pure: contengono sostanze minerali, organiche e gassose, allo stato di soluzione, sospensione o allo stato colloidale. Durezza delle acque: vedere Chimica Inorganica. Uso dell’acqua nelle costruzioni: spegnitura di calce viva; impasti di malte aeree, idrauliche, cementizie, pozzolaniche, di gesso, di calcestruzzo, ecc.; bagnatura di laterizi; lavatura di sabbia, ghiaia, pietrisco, ecc.; bagnatura di strutture murarie diverse; ecc. Le acque per malte e cementi non debbono contenere un’alta percentuale di solfati e cloruri, né contenere argille o materiale sospeso. 4.2
LEGANTI E CALCESTRUZZI
4.2.1 Calci. Sono costituite da CaO; sono aeree, se danno malte che induriscono all’aria; idrauliche, se danno malte che induriscono nell’acqua. La presa delle malte aeree avviene per la combinazione dell’idrato di calcio con l’anidride carbonica dell’aria, riformandosi carbonato di calcio. Calce comune o aerea: è prodotta dalla cottura di pietra calcarea (CaCO 3 → CaO + CO2). La calce viva o in zolle, o anidra con acqua si riscalda oltre i 150°C, dando la calce spenta o idrata (CaO + H2O → Ca (OH)2). Il grassello, ottenuto spegnendo le zolle di calce viva con eccesso di acqua, si impasta con sabbia per dare malte che fanno presa all’aria. La calce è grassa o magra a seconda del grado di purezza e quindi di plasticità e di potere legante (maggiore nelle grasse). Massa volumica: calce in pezzi, 1250-1800 kg/m3; calce spenta, 2000-2200 kg /m3. Calce spenta: dolce o grassa, se contiene più del 90% di ossido di calcio e meno del 10% di impurità; forte, se proviene da calcari contenenti più del 10% di argilla; magra, se proviene da calcare magnesiaco o dalle dolomie contenenti più del 10% di magnesio. Calci idrauliche: si ottengono con la cottura a non più di 800°C di pietra calcarea contenente dal 10% al 20% di argilla e conseguente spegnimento in fabbrica e polverizzazione. Contengono assieme alla calce anche silice e allumina, proveniente da sostanze argillose, che formano composti stabili all’azione dissolvente dell’acqua e quindi danno malte capaci di indurire in ambiente saturo d’acqua. Sono naturali o artificiali a seconda se sono prodotte per cottura di marne contenenti argilla o da miscele calcareo-argillose. Indice di idraulicità (SiO2 = Al2 O3)/CaO (tab. 4.1). Con il burattamento, dalle calci idrauliche spente si ottiene calce idraulica leggera in polvere finissima e i cementi di grappiers a presa lentissima, con indice di idraulicità da 0,50 a 0,60.
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CHIMICA
Tabella 4.1
Dati caratteristici di calci idrauliche Indice di idraulicità
Tipo di calce
Tempo di presa: giorni
Calci debolmente idrauliche
0,10 ÷ 0,16
15 ÷ 30
Calci medialmente idrauliche
0,16 ÷ 0,31
10 ÷ 15
Calci propriamente idrauliche
0,31 ÷ 0,42
5÷9
Calci essenzialmente idrauliche
0,42 ÷ 0,50
2÷4
Saggi tecnici delle calci idrauliche: presa (ago di Vicat); resistenza alla compressione; resistenza alla trazione; peso; finezza di macinazione. 4.2.2 Cementi. Si ottengono con la cottura di pietra calcarea contenente dal 22% al 40% di argilla e conseguente spegnimento in fabbrica, polverizzazione e stagionatura nei silos. Sono a lenta presa se provengono da calcare con il 22% ÷ 27% di argilla; sono a rapida presa, se provengono da calcare con il 27% ÷ 40% di argilla. Sono naturali se provengono da pietra calcarea argillosa di cava; artificiali se provengono dalla cottura di calcare ed argilla mescolati nei forni. Contengono CaO combinato con silice ed allumina (nelle calci idrauliche queste sostanze sono associate, non combinate) e anche ossido di ferro. I costituenti elementari sono presenti nelle seguenti percentuali: CaO, 60 ÷ 66%; SiO2, 18 ÷ 28%; Al2O3 + Fe2 O3, 5 ÷ 14%. Tali proporzioni possono pero variare e allora variano le caratteristiche del cemento. Oltre all’indice di idraulicità (rapporto tra sostanze argillose e calce) hanno importanza il modulo silicico, o SiO2/(Al2 O3 + Fe2 O3), normalmente compreso tra 2,5 e 3 e a valori elevati del quale corrisponde un cemento ad alta resistenza, e il modulo deifondenti, cioè A12O3 / Fe2O3, normalmente compreso tra 1,5 e 2 (l’alta percentuale di allumina tende ad accelerare la presa). Massa volumica: 1400-1750 kg/m3. Presa dei cementi: combinazione dei silicati ed alluminati di calce con l’acqua (idratazione), con formazione di particelle cristalline dure (tab. 4.2). Tabella 4.2 Tipo
Cementi a presa lenta e rapida Indice di idraulica
Tempo di presa
Cementi a lenta presa
0,5 ÷ 0,65
6 ÷ 12 ore
Cementi a rapida presa
0,65 ÷ 1,20
5 ÷ 15 minuti
Riguardo alle caratteristiche meccaniche i cementi possono essere: cemento idraulico normale (Portland); cemento pozzolanico; cemento d’alto forno; cemento alluminoso (tab. 4.3). Il cemento bianco è una variante del Portland ed è povero di ossido di ferro.
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CHIMICA APPLICATA
Tabella 4.3 Cementi normali Dopo giorni 1 3 7 28
C. ad alta resistenza
C. ad alta resistenza e rapido indurimento e c. alluminosi
a flessione a compress. a flessione a compress. a flessione a compress. N/cm2 N/cm2 N/cm2 N/cm2 N/cm2 N/cm2 – – 400 600
– – 1750 3250
– 400 600 700
– 1750 3250 4250
400 600 – 800
1750 3250 – 5250
4.2.3 Calcestruzzi. Sono impasti di cemento, sabbia, ghiaia o pietrisco e acqua. L’acqua deve essere potabile, di pozzo o di sorgente, limpida, non acida; cloruri e solfati non sono tollerabili oltre certi limiti. La temperatura dell’acqua influisce sulla presa: fredda rallenta la presa, calda l’accelera. 4.2.4 Gesso. Solfato anidro di calcio che si ottiene con la cottura in forni, a non più di 250°C, del solfato idrato di calcio. In polvere si impasta con acqua e fa rapidamente presa. Il gesso poco cotto ha presa rapida e serve per stucchi (scagliola); quello stracotto o da presa serve per murature e intonaci (tab. 4.4). Massa volumica: 1400 kg/m3. Tabella 4.4 Tipo di gesso gesso da forma gesso anidro macinato fine gesso anidro macinato grosso gesso anidro per sottofondi
Tempi di presa del gesso Inizio presa
Termine presa
8 ÷ 10 minuti 4 ÷ 6 minuti 2 ÷ 5 minuti 5 ore
30 minuti 15 ÷ 30 minuti 15 ÷ 30 minuti 15 ÷ 30 minuti
4.2.5 Pozzolana. È un tufo vulcanico incoerente. Contiene silice e allumina (60 ÷ 90%), ossido di ferro e calcio. Può essere basaltica o trachitica. Dà malte idrauliche: indice di idraulicità ⬵ 3. Massa volumica: 1000-1100 kg/m3. 4.3
ARGILLE E LATERIZI
4.3.1 Argilla. Silicato idrato di alluminio allo stato colloidale; è sempre mista a vari silicati idrossidi di Fe, Al, Mn, silice colloidale, ecc. Proviene dall’idrolisi dei feldpsati contenuti nelle rocce. Plasticità dell’argilla è la proprietà di impastarsi con acqua e modellarsi secondo qualsiasi forma. Le argille possono essere: tenaci, forti o plastiche, oppure deboli, dolci o poco plastiche.
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CHIMICA
Caolino: silicato idrato di alluminio, cristallino e puro; ha la stessa origine delle argille. Purificazione dell’argilla: ha lo scopo di depurarla dalle sostanze estranee in essa contenute sotto forma di granelli di dimensioni maggiori dell’argilla stessa. Si fa con la levigazione: questa consiste nello spappolare l’argilla in acqua, in modo che la materia plastica resti in sospensione e le sostanze estranee grossolane si depositino sul fondo. Componenti dell’argilla: silice 40 ÷ 80%; allumina 12 ÷ 45 %; acqua 5 ÷ 20%. Saggi tecnici: le argille vengono sottoposte all’analisi chimica, all’analisi razionale e all’analisi meccanica. L’analisi chimica sommaria ha lo scopo di determinare la composizione dell’argilla; l’analisi razionale, quello di dosare i componenti; l’analisi meccanica, quello di determinare (con la levigazione) la grossezza dei granuli che formano un’argilla. Altre valutazioni utili sono quelle della plasticità, della variazione di volume subita durante la cottura, ecc. 4.3.2 Laterizi. Prodotti provenienti da cottura e modellazione dell’argilla. In edilizia si usano mattoni laterizi (pieni, semipieni, forati), refrattari, elementi per solaio, blocchi speciali per murature, tegole, piastrelle per pavimentazione. Fabbricazione: estrazione e purificazione dell’argilla; impastamento della stessa e modellamento dei laterizi con stampi; essiccamento e cottura. a) Mattoni comuni. Caratteri dimensionali: i rapporti tra le dimensioni devono essere: b = 2s + c; l = 2b + c; s = altezza; b = larghezza (testa); l = lunghezza; c = spessore della commessura di malta prevista tra un mattone e l’altro. Possono essere posti di piatto o di costa. Requisiti: non devono presentare strati sabbiosi, né contenere impurità; avere forma regolare con facce lisce e piane, senza fessure, cavità, screpolature; gli spigoli devono essere rettilinei e le facce presentare una superficie atta alla adesione delle malte. Non devono sfaldare, screpolare o sfiorire per azione di agenti atmosferici, ecc. Alla frattura la massa deve essere compatta, a grana fine non vetrosa; al colpo di martello devono dare suono chiaro; posti in acqua devono imbibirsi e poi asciugare velocemente all’aria. Mattoni pieni: le dimensioni variano a seconda degli usi locali. Possono essere comuni e da paramento (per muri a faccia vista). Mattoni semipieni: simili ai precedenti, ma attraversati da numerosi fori disposti secondo la direzione parallela agli spigoli più corti. Mattoni forati: hanno fori longitudinali di sezione generalmente rettangolare. b) Refrattari: sono laterizi che resistono ad alte temperature. Si ottengono da argille pure contenenti piccole quantità di ferro ed alcali. ( Al 2 O 3 + SiO 2 ) Coefficiente di infusibilità = -----------------------------------basi Al 2 O 3 - . I mattoni refrattari La refrattarietà aumenta proporzionalmente al rapporto -------------SiO 2 ordinari resistono fino a 1500°C.
72,0
72,7 65,8 72,5
58,0 76,2
48,7 81,0 54,5
Contenitori incolori
Contenitori verdi
Contenitori ambra
Articoli di cristallo per tavola
Articoli pressati
Articoli di cristallo pressato
Pyrex
Fibre di vetro
SiO2
Lastre per vetri
Tipi di vetri
14,5
2,5
2,0
3,9
2,0
1,3
Al2O3
15,9
7,7
10,2
10,8
10,4
8,2
CaO
Tabella 4.5
4,4
0,9
3,5
MgO
0,5
4,5
16,1
11,0
14,4
15,2
14,4
14,3
Na2O
38,0
25,0
PbO
13,3
7,0
0,2
0,4
0,3
K 2O
0,6
0,5
BaO
Composizione % in ossidi
10,0
12,0
B 2O 3
0,02
0,3
0,3
SO3
Alcuni esempi di composizione in ossidi di vetri industriali
0,10
2,10
0,06
Mn2O3
1,3
F2
0,3
0,2
0,2
Altri
CHIMICA APPLICATA
D-51
D-52
CHIMICA
4.4
VETRI
Il vetro è un materiale amorfo inorganico; può essere considerato un liquido ad altissima viscosità, tanto da potersi valutare rigido a tutti gli effetti. Lo stato vetroso riunisce proprietà dei solidi e dei liquidi ed è caratterizzato dalla mancanza di reticolo cristallino. I vetri sono miscele di silicati, borati, fosfati di metalli monovalenti (sodio, potassio), bivalenti (calcio, bario, piombo, zinco), trivalenti (ferro, alluminio). Sono cattivi conduttori di calore ed elettricità; le proprietà fisiche e chimiche variano a seconda della composizione (tabb. 4.5 ÷ 4.8). Tabella 4.6
Resistenza chimica dei vetri sodico-calcici
Agente attaccante
Temperatura
Entità attacco
H 2O
ebolliz. 100 ÷ 260°C qualunque 100°C ebolliz. 80°C amb. ebolliz. fino a 150°C 150°C
trascurab. 0,001 mg/cm2 in 6 h molto severo 0,005 mg/cm2 24 h trascurab. 0,3 mg/cm2 6 h tascurab. 0,03 mg/cm2 24 h trascurab. 10 mg/cm2 6 h
HF H3PO4 20% Altri acidi inorganici ed organici NaOH 5% NaCl 5% Sali acidi e neutri Na2CO3 5%
Tabella 4.7
Vetri a vario indice di rifrazione
Tipo di vetro
Ind. di rifraz.
Tipo di vetro
Ind. di rifraz.
Vetro di quarzo Vetro borosilicato per uso farmac. Vetro per lastre Vetro per termometri Vetro per articoli da tavola Crown leggero al bario Cristallo al piombo Crown al fosfato
1,458 1,495 1,517 1,525 1,538 1,541 1,545 1,567
Flint leggero Crown denso al bario Flint denso Crown al bario extra denso Flint al lantanio Flint extra denso Flint al fosfato Vetro al lantanio
1,572 1,617 1,617 1,656 1,676 1,750 1,980 2,036
Tabella 4.8 Vetro Vetro di silice Vetro borosilicato Vetro per contenitori Vetro piano Vetro al Pb
Densità di alcuni tipi di vetro Densità (g/cm3) 2,20 2,23 2,46 2,50 3,20 ÷ 4,80
D-53
CHIMICA APPLICATA
4.5
PRODOTTI CERAMICI
Sono manufatti costituiti da materiali argillosi, cotti a temperatura variabile e modellati in forme determinate. Le materie prime sono: l’argilla (proprietà plastiche), i correttivi (per evitare le screpolature durante la cottura), i fondenti (per rendere la pasta più compatta), gli smalti e le vetrine (per rivestimento). I prodotti ceramici possono essere così classificati: a) Compatti – porcellana (50% di caolino, 25% di feldspato, 25% di quarzo); può essere verniciata e non verniciata; – grès (45% di argilla anche ferruginosa, 43% di quarzo, 12% di feldspato); materiale usato per rivestimento, tubi per condutture, apparecchi sanitari, industrie chimiche, ecc. b) Porosi – maiolica (35 ÷ 38% di allumina ferruginosa, 58% di quarzo o silice, 5 ÷ 7% di carbonato di calcio; – terraglie (come la maiolica ma con materiali non ferrosi); – stoviglie; – mattoni comuni e refrattari. 4.6
COMBUSTIBILI
Sostanze naturali o artificiali che vengono sottoposte a combustione per produzione di calore da utilizzare per scopi domestici industriali (tab. 4.9). Tabella 4.9
Composizione dei combustibili solidi riferita ai componenti fondamentali Valori medi della composizione elementare %
(Cellulosa) Legno Legno in decomposizione Torba (Lignina) Lignite torbosa Lignite picea Carbone magro a lunga fiamma Carbone da gas Carbone da coke Carbone magro a corta fiamma Antracite (Grafite)
C
H
O
44,4 50,0 54,0 60,0 63,0 70,0 76,2 80,0 85,0 90,5 94,0 96,0 100
6,2 6,0 5,8 6,0 5,5 5,5 5,6 5,5 5,3 4,8 3,5 2,0 –
49,4 44,0 40,2 34,0 31,5 24,5 18,2 14,5 10,7 4,7 2,5 2,0 –
D-54
CHIMICA
Potere calorifico: è la base quantitativa per la valutazione e il commercio dei combustibili. Potere calorifico superiore (Pcs): quantità di calore (in MJ) che l’unità di massa (generalmente un kg) o di volume (un m 3) di un combustibile produce bruciando completamente ad anidride carbonica e ad acqua liquida. Potere calorifico inferiore (Pci): calore prodotto quando l’acqua igroscopica e quella di combustione si svolgono, come avviene generalmente, allo stato di vapore. I combustibili possono essere solidi, liquidi, gassosi, e tutti naturali e artificiali. 4.6.1 Combustibili solidi naturali. Legno: di formazione attuale. È costituito da parti della pianta non usate come legno da opera, costruzioni, ebanisteria, ecc. Il potere calorifico dipende dall’umidità; nel legno seccato all’aria il Pcs è di 13,8 ÷ 16,3 MJ/kg (kcal 3300 ÷ 3500). Lascia poche ceneri e contiene pochissimo zolfo. Carboni fossili: derivano da trasformazioni molto lente subite dalla cellulosa dei vegetali, sepolti nel terreno e fuori dal contatto dell’aria, ad opera di batteri (Micrococcus carbo). Sono: torba, lignite, litantrace, antracite. Torba: proviene dalla trasformazione di piante acquatiche; è quindi impregnata di grandi quantità d’acqua (80 ÷ 95%) e il problema della utilizzazione sta quindi nel suo essiccamento. Era di formazione: neozoica. Il tenore in ceneri è basso (>5%). Il Pcs della torba seccata all’aria arriva a 13,4 ÷ 15,9 MJ/kg (3200 ÷ 3800 kcal/kg) Dalla distillazione si ottengono catrame, carbone e gas.Varietà: erbacea, spugnosa, compatta, terrosa, lignitiforme. Ligniti: provengono da piante erbacee palustri e da tronchi e radici legnose. Era di formazione: cenozoica, mesozoica. Varietà: torbose, xiloidi, bituminose, picee. Le torbose hanno un tenore in acqua del 50% e in ceneri intorno al 25 ÷ 30%; Pcs è 12,5 ÷ 20 MJ/kg (3000 ÷ 5000 kcal/ kg). Le xiloidi hanno ceneri dal 3 fino al 15 ÷ 20%, umidità fino al 50%. Talvolta sono ricche di bitume. Le picee contengono ceneri dal 20 ÷ 30%, meno umidità (2,5 ÷ 10%); hanno Pcs da 20 a 30 MJ/kg (5000 ÷ 7500 kcal/kg). Per distillazione delle ligniti si ottengono: coke di lignite, catrame, gas. Litantraci: provengono da crittogame vascolari e da gimnosperme. Era di formazione: paleozoica. Quanto più minuto è il carbone, tanto più alto è il tenore in ceneri (2 ÷ 20%). Il tenore di umidità varia da 4 ÷ 8% nei carboni fossili più giovani e da 1,5 ÷ 0,5% in quelli più vecchi. Il potere calorifico superiore nel prodotto umido varia da 6100 ÷ 7800 kcal/kg. La classificazione più diffusa in Europa si basa sul comportamento alla pirolisi (riscaldamento fuori del contatto dell’aria) (tab. 4.10). Si può valutare la resa in coke e in sostanze volatili. A questa classificazione si tende a sostituire oggi una classificazione fondata sui seguenti parametri: contenuto in sostanze volatili, potere calorifico, potere agglutinante, potere cokificante. Il gas illuminante si ottiene dai litantraci grassi a lunga fiamma; il coke metallurgico da quelli grassi a corta fiamma. Il catrame si ottiene per distillazione secca del litantrace; è fonte di materie prime per molte industrie. È un liquido denso, vischioso, nero, di odore caratteristico. I costituenti sono: carbone, acqua, composti ammoniacali, idrocarburi, composti organici ossigenati, composti azotati, composti solforati.
45 ÷ 40 40 ÷ 32
32 ÷ 26
26 ÷ 18
18 ÷ 10 10 ÷ 8
55 ÷ 60 60 ÷ 68
68 ÷ 74
74 ÷ 82
82 ÷ 90 90 ÷ 92
I. Carboni secchi a lunga fiamma
II. Carboni grassi a lunga fiamma o da gas
III. Carb. grassi propriam. detti o da fucina
IV. Carboni grassi a corta fiamma o da coke
V. Carboni magri a corta fiamma o antracitosi
VI. Antraciti
Sostanze volatili %
Coke %
39 ÷ 95
90 ÷ 93
88 ÷ 91
84 ÷ 89
80 ÷ 85
75 ÷ 80
C
4,0 ÷ 2,0
4,5 ÷ 4,0
5,5 ÷ 4,5
5,0 ÷ 4,5
5,8 ÷ 5,0
5,5 ÷ 4,5
H
O+N
3
5,5 ÷ 3,0
6,5 ÷ 4,5
11,0 ÷ 5,5
14,2 ÷ 10,0
19,5 ÷ 15,5
Composizione %
1 ÷ 0,5
1
1
2÷1
3÷2
4÷3
Indice (O + N) ------------------H Aspetto e qualità del coke
Polverulento
Polverulento o poco cementato
Fuso e compatto
Fuso e molto poroso
Agglomerato e fuso
Polverulento o appena cementato
Classificazione di Régnault-Grüner (1874), aggiornata da Grüner-Bousquet (1911) (Dati riferiti al combustibile secco e privo di ceneri)
Classi
Tabella 4.10
CHIMICA APPLICATA
D-55
D-56
CHIMICA
Per distillazione si ottengono le seguenti frazioni: – 150°C: oli leggeri (benzolo, toluolo, xiloli, fenoli, ecc.). – 150° ÷ 210°C: oli medi (naftaline, fenoli, cresoli, ecc.). – 210° ÷ 260°C: oli pesanti (naftaline, omologhi del fenolo, lubrificanti, ecc.). – 380°C (in corrente di vapore): oli di antracene (antracene, fenantrene, ecc.). – pece di catrame: residuo che resta nella caldaia di distillazione (carbone libero, idrocarburi policiclici, ecc.). Antraciti: provengono da crittogame vascolari. Era di formazione: paleozoica. Potere calorifico superiore: 8200 kcal/kg. 4.6.2 Combustibili solidi artificiali. Derivano tutti da trattamento meccanico o termico dei naturali. Da preparazione meccanica: – polveri di carboni. – agglomerati: residui di carboni impastati con agglomeranti (resine, pece, ecc.) e trasformati in mattonelle, cilindri, sfere, ecc. Da preparazione termica: – carbone artificiale, coke: residui che si ottengono sottoponendo i combustibili solidi a distillazione secca, cioè a riscaldamento violento fuori del contatto dell’aria (carbone di legna, di torba, di lignite, coke da litantrace, ecc.). 4.6.3 Combustibili liquidi naturali e artificiali. Petrolio grezzo: soluzione di idrocarburi gassosi e solidi in idrocarburi liquidi; ha composizione varia (petroli paraffinici, asfaltici, naftenici, olefinici, aromatici). Origine. Teoria minerale: idratazione di carburi metallici. Teoria animale: decomposizione dovuta ad alte temperature e ad alte pressioni di grandi quantità di plancton, in presenza di idrogeno. Teoria vegetale: distillazione ad alta pressione di sostanze organiche vegetali. Il petrolio è un liquido oleoso, di color giallo nero, fluorescente. Insolubile in acqua, solubile in etere, cloroformio, benzolo; solvente di grassi, resine, ecc. Dalla distillazione frazionata del grezzo deacquificato si ottengono le seguenti frazioni: frazione gassosa, oli leggeri: distillano fino a 200°C (etere di petrolio, benzine per aviazione, per motori per automobili e autocarri), oli medi: distillano tra i 200 e i 300°C (keroseni), oli pesanti: distillano oltre i 300°C (per Diesel, ecc.), residuo: nafta. Con opportuni trattamenti i residui danno lubrificanti, vaselline, paraffine, ecc. La petrolchimica è quel settore della chimica che si occupa della preparazione industriale di svariati prodotti a partire dal petrolio grezzo; il notevole sviluppo tecnologico in questi ultimi anni ha permesso infatti di ottenere molti prodotti dalla trasformazione di quelli ottenuti con la lavorazione tradizionale; in tal modo oltre ai tradizionali combustibili, mediante processi di alchilazione, isomerizzazione, polimerizzazione, cracking, ecc., si ottengono adesivi, anticongelanti, antidetonanti, agenti tensioattivi, detersivi, insetticidi, esplosivi, fibre sintetiche, materie plastiche, gomme sintetiche, vernici, solventi, cosmetici, ecc.
CHIMICA APPLICATA
D-57
4.6.4 Prodotti naturali affini al petrolio. Bitume naturale (o giudaico): proviene da giacimenti di petrolio, dopo evaporazione e in seguito a reazioni di ossidazione e di polimerizzazione. Ha color nero e lucentezza grassa e resinosa; è un solido molle, vischioso. È usato per pavimentazioni stradali, per preparare vernici, ecc. Asfalti: sono costituiti da calcari o arenarie contenenti il 5 ÷ 20% di bitume. I calcarei sono direttamente usati nella pavimentazione stradale, gli arenacei per l’estrazione del bitume. Negli scisti bituminosi il supporto minerale è uno scisto siliceo-alluminoso. Ozocerite (cera fossile): ha origine e composizione simile al petrolio; senza impurezze minerali ha color bruno-verdastro; raffinata ha l’aspetto di paraffina. È impiegata come isolante, impermeabilizzante, ecc. Ambra: idrocarburo solido o resina fossile di color giallo più o meno intenso, trasparente se puro. È contenuta in rocce del terziario; è usata per oggetti ornamentali. 4.6.5 Combustibili gassosi naturali. Per combustibili gassosi naturali si intendono tutti i gas combustibili di origine naturale (gas fossili e gas prodotti in epoca attuale); tuttavia sotto il termine di gas naturali si intendono i gas fossili che hanno la stessa origine del petrolio, del quale spesso accompagnano le manifestazioni spontanee o provocate da trivellazioni. La composizione varia: sono miscele di idrocarburi saturi gassosi e altre sostanze (anidride carbonica, ossido di carbonio, azoto, idrogeno solforato, ecc.). Il metano è il principale costituente; è un gas incoloro, insaporo, con blando odore agliaceo. Con l’aria dà un miscuglio esplosivo (grisou). 4.6.6 Combustibili gassosi artificiali. Acetilene, CH⬅CH: si può preparare dal metano o per azione dell’acqua sul carburo di calcio. Gas incolore, inodore, se puro. Gas d’acqua: contiene CO (40%), H2 (48%) e piccole quantità di CO 2 ed N2. Si ottiene facendo passare vapor acqueo su coke rovente. Incolore, inodore, velenosissimo. Gas d’aria: miscela di CO (25%), N2 (65%) e piccole quantità di CO2 ed H2. Si ottiene facendo passare aria in difetto su carbone rovente. Gas misto: miscela di CO (30%), H2 (10%), N2 (55%), CO2 (5%). Si ottiene facendo passare aria e vapor acqueo su carbone rovente. Gas incolore, inodore, velenosissimo. 4.7
ESPLOSIVI
Sostanze o miscugli (liquidi o solidi) che per adatto innesco possono subire una trasformazione fortemente esotermica, con grande sviluppo di gas, molto rapida (esplosione). Deflagrazione: esplosione che si propaga con velocità non molto elevata nell’esplosivo. Detonazione: esplosione che si propaga con velocità elevata.
D-58
CHIMICA
La deflagrazione è definibile come una veloce combustione ed è avviata da uno stimolo termico. La detonazione è avviata da uno stimolo termico o meccanico negli esplosivi detonanti primari (esplosivi da innesco) e da uno stimolo termico-meccanico negli esplosivi detonanti secondari. La reazione di esplosione può essere definita come la combustione di un ingrediente del miscuglio esplosivo a spese dell’ossigeno fornito da altro ingrediente o legato ad altra parte della molecola. 4.7.1 Principali tipi di esplosivi. Deflagranti o progressivi: la classica polvere nera o pirica (75% di nitrato di potassio e/o sodio, la restante parte carbone e zolfo), usata per preparare le micce ordinarie e per lavori di mina. Esplosivi da lancio, a base di nitrocellulose, per le armi da fuoco. Detonanti primari o da innesco (es. fulminato di mercurio). Detonanti secondari: esplosivi semplici (nitroglicerina, tritolo, acido picrico, ecc.); miscele di esplosivi o combustibili con ossidanti o di esplosivi tra loro (es. dinamiti, nella cui composizione ha rilevante importanza la nitroglicerina, ecc.). 4.8
MATERIE PLASTICHE
Le materie plastiche sono prodotti artificiali (resine) polimerici ad elevato peso molecolare, che, con determinati processi di lavorazione, possono assumere forme prestabilite. Le plastiche commerciali oltre al polimero possono contenere pigmenti e altre sostanze che hanno la capacità di migliorare alcune proprietà del materiale. Rispetto al comportamento al riscaldamento, le materie plastiche si distinguono in termoplastiche e termoindurenti; le termoplastiche acquistano la plasticità tutte le volte che sono riscaldate, sono fusibili e solubili nei solventi; le termoindurenti, una volta scaldate e fuse in uno stampo, induriscono e non riacquistano più la plasticità; sono infusibili e insolubili. Sono sostanze leggere e resistenti, spesso trasparenti, e possono sostituire nei loro usi il legno, i metalli, i vetri, le vernici, ecc. 4.8.1 Resine termoindurenti. Resine fenoliche: si ottengono per condensazione del fenolo e omologhi con un’aldeide (in genere aldeide formica) in presenza di catalizzatori acidi o basici. Es.: bachelite, resina fenolo-formaldeide (isolamento elettrico, adesivi, fabbricazione di articoli casalinghi, ecc.). Resine ureiche: si ottengono per condensazione dell’urea con formaldeide. Es.: resina UF, urea-formaldeide (isolamento elettrico, adesivi, isolamento nei muri, produzione di polveri da stampaggio, laminati, ecc.). Resine melamminiche: si ottengono per condensazione della melammina con formaldeide. Es.: melammina-formaldeide (preparazione di laminati, Formica, ecc.). Resine poliestere: si ottengono per processo di policondensazione tra alcoli polivalenti e acidi polibasici. Comprendono le resine alchidiche (smalti, lacche, ecc.) e le resine a fibra di vetro (accessori per automobili, imbarcazioni, ecc.). Resine epossidiche: si ottengono per reazione tra bisfenolo A ed epicloridrina. Il
CHIMICA APPLICATA
D-59
materiale risultante viene polimerizzato con aggiunta di un catalizzatore, indurente (adesivi, rivestimenti per pavimenti, ecc.). 4.8.2 Resine cellulosiche. Acetato di cellulosa: si ottiene per reazione tra cellulosa e anidride acetica (lacche, pezzi stampati, ecc.). Aceto butirrato di cellulosa: si ottiene per reazione tra cellulosa e anidridi acetiche e butirriche (modelli, volanti per automobili, tubi, ecc.). Eticellulosa: si ottiene per reazione tra cloruro di etile e sodiocellulosa (vernici, adesivi, ecc.). 4.8.3 Resine termoplastiche. Polietilenglicoletereftalato: poliestere ottenuto da glicoli e acidi basici saturi (fibre pregiate, Terital, Dacron, Terilene, laminati in fogli, ecc.). Polietene: si ottiene per polimerizzazione dell’etene; il politene ad alta pressione (LDPE) e a bassa densità è prodotto a temperatura di 100 ÷ 300°C e a pressione superiore a 2000 bar; il politene a bassa pressione (HDPE) e ad alta densità è preparato a pressione atmosferica e a temperatura sotto i 100°C in presenza di catalizzatori (tubazioni, isolamento elettrico, contenitori, ecc.). Polipropene: si ottiene polimerizzando il propene in modo analogo all’HDPE (imballaggi, funi, ecc.). Polistirene: si ottiene per polimerizzazione del feniletene (imballaggi, modelli di aerei, isolamento elettrico e termico, ecc.). SAN e ABS: copolimeri del feniletene con propenoniffile o con una miscela di butadiene e propenonitrile (componenti di carrozzerie per auto, apparecchi telefonici, ece.). Plexiglas o Perspex: il monomero è il polimetil-2-metilpropenoato; il materiale ottenuto è trasparente (vetri, lenti, ecc.). Poliammidi: prodotti di condensazione di acidi bicarbossilici con diammine e successiva policondensazione; hanno particolare importanza nel settore delle fibre tessili. Poliammide 6,6 (Nylon); poliammide 6,10 (rivestimenti di conduttori); poliammide 6 (fibre tessili). PVC, polivinilcloruro: il monomero (CH2 = CHCl) si ottiene industrialmente per reazione tra acetilene ed acido cloridrico. Si effettuano poi la polimerizzazione e la stabilizzazione mediante sali di acidi organici (imballaggi, tessuti, isolanti per cavi, tubazioni, laminati, ecc.). PVA, polivinilacetato: si ottiene polimerizzando a caldo, in presenza di perossido di benzoile, l’acetato di vinile (collanti, vernici, ecc.). PTFE, politetrafluoroetene: il monomero è il tetrafluoroetene (rivestimenti superficiali, ingegneria leggera, ecc.). Poliacetali: polimeri derivati dalla formaldeide (ingegneria leggera, ecc.). Policarbonati: polimeri derivati dal bisfenolo A (ingegneria leggera, ecc.). 4.8.4 Materie plastiche cellulari. Schiume ed espansi: materiali costituiti da tante piccole celle chiuse o aperte, accostate le une alle altre. Le schiume sono ottenute da materiali liquidi e sono a celle aperte, gli espansi da materiali solidi e sono a celle chiuse.
D-60
CHIMICA
Tabella 4.11
Formulario di chimica
Elemento o composto Acqua ......................................................................... Acqua ossigenata ....................................................... Acqua di calce ........................................................... Acetilene ................................................................... Acetone ..................................................................... Acido acetico ............................................................. Acido antranilinico o amminobenzoico ..................... Acido benzoico .......................................................... Acido borico .............................................................. Acido bromidrico ...................................................... Acido cianidrico o prussico ....................................... Acido clorico ............................................................. Acido cloridrico (muriatico) ...................................... Acido cromico ........................................................... Acido disolforico (oleum) o pirosolforico ................. Acido fluoridrico ....................................................... Acido formico ........................................................... Acido fosforico .......................................................... Acido fosforoso ......................................................... Acido gallico ............................................................. Acido ipocloroso ....................................................... Acido ipofosforoso .................................................... Acido lattico .............................................................. Acido malico ............................................................. Acido manganico ....................................................... Acido metaborico ...................................................... Acido metafosforico .................................................. Acido metasilicico ..................................................... Acido nitrico ............................................................. Acido nitroso ............................................................. Acido ortofosforico ................................................... Acido ortosilicico ...................................................... Acido ossalico ........................................................... Acido palmitico ......................................................... Acido perclorico ........................................................ Acido permanganico ................................................. Acido picrico o trinitrofenolo .................................... Acido pirofosforico ................................................... Acido salicilico .......................................................... Acido solforico .......................................................... Acido solforoso ......................................................... Acido stearico ............................................................ Acido tartarico ...........................................................
Formula H2O H2O2 Ca (OH)2 C2H2 CH3 – CO – CH3 CH3 – COOH C6H4 – NH2 – COOH C6H5 – COOH H3 BO3 HBr HCN HClO3 HCl H2CrO4 H2S2O7 HF H – COOH H3PO4 H3PO3 C6H2(OH)3 – COOH HClO H3PO2 CH3 – CHOH – COOH COOH – CH3 – CHOH – COOH H2MnO4 HBO2 HPO3 H2SiO3 HNO3 HNO2 H3 PO4 H4SiO4 COOH – COOH CH3 – (CH2)14 – COOH HClO4 HMnO4 C6 H2(NO2)3 OH H4P2O7 C6H4OH – COOH H2SO4 H2SO3 CH3 – (CH2)16 – COOH COOH – (CHOH)2 – COOH
D-61
CHIMICA APPLICATA
Tabella 4.11
Segue
Elemento o composto
Formula
Acido tetraborico ....................................................... Acido tiosolforico ...................................................... Alanina ...................................................................... Alcol amilico ............................................................. Alcol benzilico .......................................................... Alcol butilico ............................................................. Alcol cinnamico ........................................................ Alcol etilico ............................................................... Alcol metilico ............................................................ Aldeide acetica .......................................................... Aldeide benzoica ....................................................... Aldeide cinnamica ..................................................... Aldeide formica ......................................................... Allume di rocca ......................................................... Ammoniaca ............................................................... Ammonio ................................................................... Anidride arseniosa ..................................................... Anidride borica .......................................................... Anidride carbonica .................................................... Anidride cromica ....................................................... Anidride fosforica ..................................................... Anidride fosforosa ..................................................... Anidride nitrica ......................................................... Anidride nitrosa ......................................................... Anidride nitroso-nitrica o ipoazotide ......................... Anidride silicica ........................................................ Anidride solforica ...................................................... Anidride solforosa ..................................................... Anilina ....................................................................... Antracene .................................................................. Argentite .................................................................... Arseniuro di nichelio ................................................. Azoturo di alluminio .................................................
H2B4O7 H2S2O3 CH3 – CHNH2 – COOH C5H11OH C6H5–CH2OH C4H9OH C6H5CH=CH–CH2OH C2H5OH CH3OH CH3 – CHO C6H5 – CHO C6H5 – CH = CH – CHO H – CHO Al2(SO4)3 · K2SO4 · 24H2O NH3 NH4 As2O3 B2O3 CO2 CrO3 P2O5 P2O3 N2O5 N2O3 NO2 SiO2 SO3 SO2 C6 H5 – NH2 C14H10 Ag2S3 NiAs AlN
Bauxite ...................................................................... Benzene ..................................................................... Bicarbonato di sodio .................................................. Bicromato di potassio ................................................ Biossido di manganese .............................................. Bismutina .................................................................. Bisolfato di sodio ...................................................... Bisolfito di sodio ....................................................... Borace cristallizzato ..................................................
Al2O3 · n H2O C6H6 NaHCO3 K2Cr2O7 MnO2 Bi2S3 NaHSO4 NaHSO3 Na2B4O7 · 10 H2O
D-62
CHIMICA
Tabella 4.11
Segue
Elemento o composto
Formula
Bromuro di argento ................................................... Bromuro di magnesio ................................................ Bromuro di potassio .................................................. Bromuro di sodio ....................................................... Butano ........................................................................ Butene .......................................................................
AgBr MgBr2 KBr NaBr C4H10 C4H8
Calciocianammide ..................................................... Calcopirite ................................................................. Calomelano o cloruro mercuroso .............................. Carbonato d’ammonio ............................................... Carbonato di calcio ................................................... Carbonato di piombo ................................................. Carbonato di potassio ................................................ Carburo di calcio ....................................................... Carnallite ................................................................... Cassiterite .................................................................. Cianogeno ................................................................. Cianuro di potassio .................................................... Cianuro di sodio ........................................................ Clorato di potassio ..................................................... Cloroformio ............................................................... Cloruro di ammonio .................................................. Cloruro di argento ..................................................... Cloruro di calcio ........................................................ Cloruro ferrico ........................................................... Cloruro ferroso .......................................................... Cloruro di magnesio .................................................. Cloruro di metile ....................................................... Cloruro di oro ............................................................ Cloruro di platino ...................................................... Cloruro di potassio .................................................... Cloruro di sodio ......................................................... Cloruro stannico ........................................................ Cloruro stannoso ....................................................... Cloruro di zinco ......................................................... Cresolo o metilfenolo ................................................ Cromato di piombo .................................................... Cobaltina ...................................................................
CaCN2 CuFeS2 Hg2 Cl2 (NH4)2CO3 CaCO3 PbCO3 K2CO3 CaC2 KCl · MgCl2 · 6 H2O SnO2 (CN)2 KCN NaCN KClO3 CHCl3 NH4Cl AgCl CaCl2 FeCl3 FeCl2 MgCl2 CH3Cl AuCl3 · 2 H2O PtCl4 · 2 H2O KCl NaCl SnCl4 SnCl2 ZnCl2 CH3 – C6H4 – OH PbCrO4 CoAsS
Dimetilammina .......................................................... (CH3)2 – NH Dolomite .................................................................... CaCO3·MgCO3 Eptano ....................................................................... C7H16
D-63
CHIMICA APPLICATA
Tabella 4.11
Segue
Elemento o composto Esano ......................................................................... Etano ......................................................................... Etere etilico ............................................................... Etene .......................................................................... Fenolo o acido fenico ................................................ Fluorite o fluoruro di calcio ....................................... acido ....................................
Fosfato d’ammonio
neutro ...................................
Fosfato bisodico ........................................................ Fosfato monosodico .................................................. Fosfato trisodico ........................................................ Fosfato tricalcico ....................................................... Fosfina gassosa .......................................................... Fosfina liquida ........................................................... Fosforite .................................................................... Fosgene .....................................................................
Formula C6 H14 C2H6 (C2H5)2O C2 H4 C6H5OH CaF2 NH4 · H2PO4 (NH4)2 · HPO3
(NH4)3 PO4 Na2 HPO4 NaH2PO4 Na3 PO4 Ca3 (PO4)2 PH3 P2 H4 Ca3 (PO4)2 COCl2
Glucosio .................................................................... C6 H12O6 Idrato di alluminio ..................................................... Idrato di ammonio ..................................................... Idrato di calcio ........................................................... Idrato di potassio ....................................................... Idrato di rame ............................................................ Idrogeno arsenicale .................................................... Idrogeno solforato ..................................................... Iodoformio ................................................................. Ioduro d’argento ........................................................ Ioduro di potassio ...................................................... Ioduro di sodio .......................................................... Ipoclorito di sodio .....................................................
Al(OH)3 NH4OH Ca(OH)2 KOH Cu(OH)2 AsH3 H2S CHI3 AgI KI NaI NaClO
Lattosio ...................................................................... C12H22O11 Leucite ....................................................................... KAl(SiO3)2 Magnesite .................................................................. Magnetite ................................................................... Metaldeide ................................................................. Metano ....................................................................... Metilammina .............................................................
MgCO3 Fe3 O4 (CH3 – CHO)n CH4 CH3 – NH2
Naftalene ................................................................... Nichel tetracarbonile ................................................. Nitrato d’ammonio .................................................... Nitrato d’argento ....................................................... Nitrato di mercurio ....................................................
C10H8 Ni(CO)4 NH4NO3 AgNO3 HgNO3
D-64
CHIMICA
Tabella 4.11
Segue
Elemento o composto
Formula
Nitrato potassico ........................................................ Nitrato di rame .......................................................... Nitrato di sodio .......................................................... Nitrito d’ammonio ..................................................... Nitrito d’argento ........................................................ Nitrito di potassio ...................................................... Nitrito di sodio .......................................................... Nitrobenzene ............................................................. Nitroglicerina ............................................................
KNO3 CuNO3 NaNO3 NH4NO2 AgNO2 KNO2 NaNO2 C6H5NO2 C3 H5(NO3)3
Oligisto ...................................................................... Ortoclasio .................................................................. Ossido di allumina ..................................................... Ossido di antimonio .................................................. Ossido di azoto .......................................................... Ossido di calcio ......................................................... Ossido di carbonio ..................................................... Ossido di magnesio ................................................... Ossido di piombo ...................................................... Ossido salino di piombo ............................................ Ossido rameico .......................................................... Ossido rameoso ......................................................... Ossido di sodio .......................................................... Ossido di zinco .......................................................... Ottano ........................................................................
Fe3 O3 KAlSi3O8 Al2 O3 Sb2O3 NO CaO CO MgO PbO Pb3O4 CuO Cu2O Na2 O ZnO C8H18
Pentano ...................................................................... Perclorato potassico .................................................. Permanganato di potassio .......................................... Perossido di sodio ..................................................... Pirite .......................................................................... Platicianuro di bario .................................................. Propano ..................................................................... Propene ......................................................................
C5 H12 KClO4 KMnO4 Na2O2 FeS2 BaPt(CN)4 · 4H2O C3H8 C3H6
Saccarosio ................................................................. Siderite ...................................................................... Silicato di potassio .................................................... Silicato di sodio ......................................................... Soda caustica ............................................................. Solfato di alluminio ................................................... Solfato di ammonio ................................................... Soffato di calcio ........................................................ Solfato ferrico ........................................................... Solfato ferroso ...........................................................
C12H22O11 FeCO3 K4 SiO4 Na4 SiO4 NaOH Al2(SO4)3 (NH4)2 SO4 CaSO4 Fe2 (SO4)3 FeSO4
D-65
CHIMICA APPLICATA
Tabella 4.11
Segue
Elemento o composto
Formula
Solfato di magnesio ................................................... Solfato di mercurio .................................................... Solfato di nichelio ..................................................... Solfato di piombo ...................................................... Solfato di rame .......................................................... Solfato di sodio anidro .............................................. Solfato di sodio cristallizzato con H2O ...................... Solfato di sodio acido ................................................ Solfato di zinco .......................................................... Solfito di sodio .......................................................... Solfuro di ammonio ................................................... Solfuro di antimonio .................................................. Solfuro di arsenico .................................................... Solfuro di bismuto ..................................................... Solfuro di cadmio ...................................................... Solfuro di carbonio .................................................... Solfuro di cobalto ...................................................... Solfuro di ferro .......................................................... Solfuro di manganese ................................................ Solfuro di mercurio ................................................... Solfuro di nichel ........................................................ Solfuro di piombo ...................................................... Solfuro rameico ......................................................... Solfuro rameoso ........................................................ Solfuro di stagno ....................................................... Solfuro di zinco ......................................................... Stibina ....................................................................... Sublimato corrosivo (cloruro mercurico) ..................
MgSO4 HgSO4 NiSO4 · 7H2O PbSO4 CuSO4 Na2 SO4 Na2SO4 · 10 H2O NaHSO4 ZnSO4 Na2SO3 (NH4)2S Sb2S3 As3S3 Bi2S3 CdS CS2 CoS FeS MnS HgS NiS PbS CuS Cu2S SnS2 ZnS Sb2 S3 HgCl2
Tetracloruro di carbonio ............................................ Tetracloruro di silicio ................................................ Tetrafluoruro di silicio ............................................... Tiosolfato .................................................................. Toluolo o metilbenzene ............................................. Trimetilammina .........................................................
CCl4 SiCl4 SiF4 Na2S2O3 C6H5 – CH3 (CH3)3 N
Urea ........................................................................... CO(NH2)2 Xilolo o dimetilbenzene ............................................ C6H4(CH3)2
5
ANALISI CHIMICA QUALITATIVA 5.1
ANALISI PER VIA SECCA
5.1.1 Saggi preliminari. Proprietà organolettiche (colore, stato di aggregazione, odore, eventuale fosforescenza, ecc.). 5.1.2 Saggi alla fiamma. Alcuni elementi, specialmente sotto forma di cloruri, fondono, volatilizzano e danno alla fiamma ossidante del becco Bunsen un colore caratteristico. Giallo: sodio. Violetto: potassio. Verde giallo: bario. Verde azzurro: rame. Verde azzurro tenue: zinco. Azzurro livido: arsenico; antimonio; bismuto. Rosso arancio: calcio. Rosso scarlatto: stronzio. Rosso carminio: litio. 5.1.3 Saggi con perle al borace (Na2B4O7 · 10 H2O). Il colore che assume la perla va osservato a caldo e a freddo, con fiamma ossidante e riducente. Esempi: Tabella 5.1
Perle al borace
Fiamma ossidante
Fiamma riducente
Elemento
5.1.4
A caldo
A freddo
A caldo
A freddo
Bi
giallo
incolore
grigio
grigio
Co
bleu
bleu
bleu
bleu
Cr
verdastro
verde
verdastro
verde
Cu
verde
bleu
verdastro
rosso
Fe
giallo-rosso
giallo
verdastro
verdastro
Mn
violetto
violetto
incolore
incolore
Saggi in tubicino chiuso senza reattivo.
cambiamento di colore sviluppo di gas o vapori formazione di sublimati
Al riscaldamento si osservano:
per disidratazione senza decomposizione con decomposizione
ANALISI CHIMICA QUALITATIVA
D-67
5.1.5 Saggi in tubicino chiuso con reattivi (es. con ossido di calcio; tiosolfato sodico; bisolfato di potassio; biossido di manganese; ecc.). 5.1.6 Saggi al carbone. Si può avere formazione di: globulo metallico (oro, argento, ecc.); globulo metallico e aureola (piombo, bismuto, stagno, antimonio, ecc.); aureola (arsenico, zinco, cadmio, ecc.); masse infusibili bianche, grigie, verdi, scorie rosse (ferro, manganese, nichel, cobalto, rame, cromo, ecc.). 5.1.7
Saggi sul coccio di porcellana con miscele ossidanti. 5.2
5.2.1
ANALISI PER VIA UMIDA
Saggi preliminari.
a) Prove di solubilità. b) Ricerca di sostanze che possono ostacolare lo svolgimento dell’analisi. c) Riconoscimento dei residui insolubili.
sostanze organiche cianogeno e complessi
5.2.2 Procedimento sistematico di analisi. a) Ricerca dei cationi 1º Gruppo Reattivo generale di gruppo: HCl diluito. Precipitano i cloruri di: Pb2Ag2Hg. 2º Gruppo Reattivo generale di gruppo: H 2S in ambiente acido. Precipitano i solfuri di: Hg2Pb2Bi2Cu2Cd insolubili in solfuro ammonico (sottogruppo A). As2Sb2Sn2Pt2Au2Mo solubili in solfuro ammonico (sottogruppo B). 3º Gruppo Reattivo generale di gruppo: NH 4OH in presenza di NH4Cl. Al2Fe2Cr (Mn) idrati Precipitano Ba2Sr2Ca2Mg fosfati e ossalati Al2Ca2Mg fluoruri 4º Gruppo Reattivo generale di gruppo: (NH 4)2S in ambiente basico per NH 4OH ed Precipitano i solfuri di: Zn2Mn2Ni2Co. 5º Gruppo Reattivo generale di gruppo: (NH 4)2CO3 in ambiente basico per NH4OH ed in presenza di NH4Cl. Precipitano i carbonati di: Ba2Sr2Ca. 6º Gruppo Non esiste un reattivo di gruppo. Vi appartengono e si ricercano i cationi rimanenti: Mg2K2Na2Li. b) Ricerca degli anioni 1º Gruppo Con Ca(NO3)2 0,5 M e Ba(NO3)2 0,5 M si precipitano i sali di Ca e Ba de gli acidi fluoridrico, ossalico, cromico, silicico, arsenioso, arsenico, fosforico, tartarico, solforoso, solforico, ferrocianidrico. 2º Gruppo Con Zn(NO3)2 1 M si precipitano i sali di Zn degli acidi cianidrico, ferro cianidrico e ferricianidrico.
D-68
CHIMICA
3º Gruppo Con AgNO3 0,1 M si precipitano i sali di argento degli acidi tiosolforico, solfocianidrico, cloridrico, bromidrico, iodidrico. 4º Gruppo Si identificano gli acidi carbonico, solforoso, solforico, acetico, nitroso, nitrico. 5.2.3 Riconoscimento di alcuni cationi. a) Piombo: i sali solubili di piombo (nitrato, acetato, ferricianuro) con idrato di sodio o di potassio danno un precipitato bianco gelatinoso; con acido cloridrico danno un precipitato bianco fioccoso solubile in acqua bollente. b) Argento: i sali solubili (nitrato) con acido cloridrico formano un precipitato bianco caseoso di cloruro d’argento; con idrato di sodio o di potassio danno un precipitato bianco che subito diventa di colore scuro; con acido bromidrico e bromuri formano bromuro d’argento, giallo chiaro; con acido iodidrico e ioduri formano ioduro d’argento, giallo. c) Mercurio: i sali solubili mercurosi (nitrato) formano con idrati alcalini un precipitato di ossido mercuroso, nero; con acido cloridrico danno un precipitato bianco di cloruro mercuroso. I sali solubili mercurici (cloruro, bromuro, cianuro) con idrato di sodio o di potassio formano un precipitato rosso bruno, che per aggiunta ulteriore di alcali diventa giallo; con ioduro di potassio formano un precipitato rosso solubile in eccesso di reattivo. d) Rame: una soluzione di solfato di rame forma con idrato di sodio un precipitato azzurro gelatinoso, che annerisce se riscaldato. e) Stagno: soluzioni di sali di stagno formano con idrati alcalini un precipitato di color bianco gelatinoso. f) Alluminio: i sali solubili (cloruro, solfato, nitrato, acetato, ecc.) formano con idrato di sodio o potassio o ammonio un precipitato bianco gelatinoso. g) Ferro: i sali in soluzione danno con idrato di sodio o di potassio o di ammonio un precipitato bruno; con ferricianuro di potassio i sali ferrosi formano un precipitato blu scuro; con ferrocianuro di potassio i sali ferrici formano un precipitato azzurro. h) Manganese: i sali solubili (cloruro, solfato, nitrato) formano con idrato di sodio o di potassio un precipitato bianco che imbrunisce all’aria; con solfuro ammonico danno un precipitato rosa; con idrato ammonico danno un precipitato incompleto bianco (idrato di manganese). i) Zinco: i sali solubili (cloruro, solfato, nitrato) formano con idrato di sodio o di potassio un precipitato bianco gelatinoso; con solfuri alcalini danno solfuro di zinco di color bianco. l) Nichelio: i sali solubili (cloruro, nitrato, solfato) formano con idrato di sodio o potassio un precipitato verde; con solfuri alcalini un precipitato nero. m)Calcio: i sali solubili (cloruro, nitrato, solfito, iposolfito) formano un precipitato bianco con ossalato di ammonio. n) Magnesio: i sali solubili (cloruro, nitrato) danno con idrato di sodio o di bario un precipitato bianco; con carbonati alcalini formano carbonato basico di magnesio, bianco, solubile in sali ammoniacali. 5.2.4 Riconoscimento di alcuni anioni. a) Solfati: con cloruro di bario o nitrato danno solfato di bario, bianco, insolubile in acidi minerali.
ANALISI CHIMICA QUALITATIVA
D-69
b) Solfiti: con bario danno solfito di bario, bianco, solubile in acido cloridrico e nitrico; con piombo danno solfito di piombo, bianco, solubile in acido nitrico c) Arseniti: con bario danno arsenito di bario, bianco, solubile in acidi energici, con piombo danno arsenito di piombo, bianco, solubile in acido acetico. d) Arseniati: con bario danno arseniato di bario, bianco, solubile in acido acetico; con argento danno un precipitato rosso mattone, solubile in ammoniaca. e) Carbonati: le soluzioni di carbonato di sodio con bario o piombo danno carbonati bianchi; con argento danno un carbonato giallo; sono solubili con effervescenza in acido acetico. f) Nitrati: una soluzione di nitrato potassico mista a soluzione satura di solfato ferroso con acido solforico dà un anello di colore nero.
6
ANALISI CHIMICA QUANTITATIVA
L’analisi quantitativa si propone di determinare la percentuale dei componenti presenti in un dato composto o in una data miscela. Esistono metodi ponderali, metodi volumetrici, metodi chimico-fisici. 6.1
METODI PONDERALI
Hanno il fine di isolare mediante reazioni adatte l’elemento o il gruppo che si vuole determinare, sotto forma di composto insolubile, che si possa pesare. Si risale poi alla percentuale. Di norma si eseguono le seguenti operazioni: precipitazione, filtrazione, lavaggio, essiccamento, pesata. 6.2
METODI VOLUMETRICI
Nell’analisi volumetrica i componenti di una data sostanza vengono determinati mediante impiego di reattivi a concentrazione (titolo) nota, detti soluzioni titolate (normali, decinormali, ecc.). Dalla misura del volume di queste soluzioni e conoscendo l’equazione stechiometrica della reazione si risale alla quantità dell’elemento o gruppo che deve essere dosato. Normalità (N) è il numero di equivalenti di soluto per litro di soluzione. Peso equivalente è la massa in grammi di un equivalente. Il punto in cui si è aggiunta una quantità di reattivo equivalente al reagente si dice punto di equivalenza. Tale punto è rivelato da una brusca variazione di qualche proprietà fisica o chimicofisica dei reagente o del reattivo (es. variazione di colore, ecc.), ma il più delle volte si usano sostanze estranee dette indicatori. I più comuni indicatori sono: la tintura di tornasole che è rossa in soluzione acida e azzurra in soluzione basica; la fenolftaleina che è incolore con gli acidi e rossa con le basi; il metilarancio che è rosso con gli acidi e giallo con le basi. I metodi volumetrici sono i seguenti: 6.2.1 Acidimetria e alcalimetria. L’acidimetria si serve di soluzioni normali o sottonormali di alcali (idrati e carbonati alcalini) per determinare volumetricamente gli acidi minerali ed organici. L’alcalimetria si serve di soluzioni titolate degli acidi per determinare le basi. 6.2.2 Ossidimetria. I metodi si basano sulla ossidazione o riduzione del prodotto da analizzare mediante una soluzione titolata di una sostanza ossidante (permanganato di potassio, bicromato di potassio, ecc.) o riducente (acido ossalico, tiosolfato sodico). 6.2.3 Iodometria. Metodi basati sulla determinazione di quantità specifiche di iodio. Viene misurato il volume di una soluzione titolata di iodio necessaria per com-
ANALISI CHIMICA QUANTITATIVA
D-71
piere una data reazione (ossidazione); oppure con adatte soluzioni titolate viene determinato volumetricamente lo iodio liberatosi in altra reazione (riduzione). 6.2.4 Analisi per precipitazione. Dalla quantità di soluzione titolata occorrente per produrre la completa precipitazione dell’elemento o gruppo ricercato sotto forma di composto insolubile, si risale alla quantità dell’elemento o gruppo presente nella soluzione in esame. 6.2.5 Metodi gasometrici. a) Determinazione di un gas in una miscela gassosa per assorbimento di uno o più componenti da parte di un reagente adatto e misura della diminuzione di volume. b) Determinazione di una sostanza attraverso la misura del volume di un gas che essa è capace di svolgere in una certa reazione chimica. 6.3
METODI CHIMICO-FISICI
Metodi densimetrici, rifrattometrici, polarimetrici, fotometrici, cromatografici, spettro fotometrici, gascromatografici, potenziometrici, ecc. 6.4
ANALISI DEI TERRENI
Meccanica. Per la separazione delle particelle di diversa grandezza (prelevamento e preparazione del campione; essiccamento, sminuzzamento e vagliatura attraverso setacci con fori da 3 a 10 mm; peso dello scheletro e determinazione, per differenza, del peso della terra fina). Fisico-chimica. Per determinare i componenti immediati (prelevamento e preparazione del campione; determinazione dell’acqua igroscopica mediante essiccamento riscaldando a 100°C fino a peso costante; determinazione delle sostanze organiche mediante calcinazione; determinazione del calcare mediante trattamento con acido cloridrico (con i calcimetri); determinazione della sabbia mediante levigazione; determinazione dell’argilla per differenza). Chimica. Per determinare il dosaggio dei singoli elementi e principalmente di quelli esercitanti funzione nutritiva sulle piante (prelevamento e preparazione del campione; determinazione dell’azoto, dell’anidride fosforica, della potassa, della calce). Nei moderni laboratori agrochimici sono stati introdotti sistemi computerizzati che permettono di ottenere in breve tempo e a un costo non elevato dati analitici affidabili.
Sezione E Scienze naturali 1
MINERALOGIA
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Cristallografia.............................................................................................. Saggi chimici sui minerali ........................................................................ Proprietà fisiche dei minerali .................................................................... Classificazione dei minerali ....................................................................... Mineralogia descrittiva ..............................................................................
2
LITOLOGIA
2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3
Classificazione in base all’origine Eruttive.......................................................................................................... Sedimentarie.................................................................................................. Metamorfiche ................................................................................................ Rocce nell’edilizia Prove tecniche delle rocce............................................................................. Proprietà fisiche ............................................................................................ Proprietà meccaniche ................................................................................... Proprietà diverse .......................................................................................... Aspetti normativi ed ambientali .................................................................... Impieghi delle rocce nell’edilizia.................................................................. Principali pietre da costruzione italiane Rocce eruttive .............................................................................................. Rocce sedimentarie ...................................................................................... Rocce metamorfiche ....................................................................................
3
GEOLOGIA
3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6
Dimensioni della terra ............................................................................... Tettonica e stratigrafia .............................................................................. Teoria della tettonica a zolle crostali ........................................................... Distribuzione geografica di vulcani e terremoti............................................ Cronologia e storia della terra .................................................................. Geodinamica Endodinamica .............................................................................................. Difesa dai terremoti....................................................................................... Riduzione del rischio sismico ....................................................................... Elenco dei Comuni sismici ........................................................................... Geologia ambientale ..................................................................................... Esodinamica ..................................................................................................
4 6 7 8 8
9 9 10 11 11 12 12 13 13 15 15 16
17 18 19 20 20 25 27 28 28 28 30
E-2
SCIENZE NATURALI
4
ELEMENTI DI GEOTECNICA
4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7 4.5.8 4.5.9
Analisi e classificazione delle terre Principi generali ........................................................................................... Principali tipi di terre ................................................................................... Proprietà indici ............................................................................................. Sistemi di classificazione ............................................................................. Sforzi e deformazioni L’acqua nel terreno ...................................................................................... Sforzi e deformazioni ................................................................................... Costipazione e resistenza Costipamento in laboratorio ......................................................................... Resistenza al taglio ...................................................................................... Campionamenti e prove in posto Le indagini in sito ........................................................................................ Prove penetrometriche ................................................................................. «Vane test» o scissometro ............................................................................ Pressiometro ................................................................................................. Prove di carico con piastre............................................................................ Prove di permeabilità .................................................................................... Elaborazione elettronica dei dati .................................................................. Geotecnica applicata Le fondazioni ............................................................................................... Cedimenti ..................................................................................................... Pressione di contatto .................................................................................... Filtrazioni e sifonamenti .............................................................................. Stabilità dei versanti .................................................................................... Opere in terra ............................................................................................... La normativa geotecnica .............................................................................. La relazione geotecnica ............................................................................... La relazione geologica .................................................................................
5
ELEMENTI DI IDROGEOLOGIA
5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
L’acqua nel terreno L’idrogeologia come scienza ........................................................................ Proprietà idrauliche generali ........................................................................ Fattori di penetrazione delle acque nel sottosuolo........................................ Elementi di idrodinamica sotterranea .......................................................... Metodi di studio in laboratorio e sul terreno ................................................ Geochimica delle acque sotterranee Caratteri generali .......................................................................................... Parametri chimici e fisici delle acque vadose ............................................... Acque connate .............................................................................................. Sorgenti minerali e termali ...........................................................................
33 33 35 40 44 47 49 52 54 56 59 59 60 61 62 62 65 65 66 67 70 70 77 77
78 78 82 83 84 84 85 86 87
SCIENZE NATURALI
E-3
5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.4.7 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.5.6
Ciclo dell’acqua e bilancio idrologico Ciclo globale dell’acqua sulla Terra ............................................................. 88 I sistemi idrologici ........................................................................................ 89 Bilancio d’acqua in un sistema idrologico ................................................... 90 Circolazione delle acque nei terreni Strutture geologiche permeabili .................................................................... 90 Le falde acquifere.......................................................................................... 91 Morfologia della superficie freatica .............................................................. 91 Regime delle falde ........................................................................................ 92 Sorgenti ......................................................................................................... 93 Classificazione generale delle sorgenti ......................................................... 94 Carsismo e circolazione delle acque per fessurazione .................................. 95 Ricerche d’acqua Metodi di studio preliminare......................................................................... 96 Stima delle risorse disponibili....................................................................... 97 Opere di presa di sorgenti ............................................................................. 98 Sfruttamento delle falde mediante pozzi....................................................... 99 Costruzione e funzionamento dei pozzi drenanti ......................................... 99 Prove di emungimento .................................................................................. 100
6
CLASSIFICAZIONE DEI VIVENTI
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.6.1
Virus e rickettsie.......................................................................................... 101 Monere ........................................................................................................ 101 Protisti .......................................................................................................... 101 Funghi ........................................................................................................ 101 Licheni .......................................................................................................... 101 Piante Alghe: Rodofite o alghe rosse (Porphiria), Feofite o alghe brune (Laminaria, Fucus), Clorofite o alghe verdi (Ulva, Spirogyra) .................... 102 Briofite: Epatiche (Marchantia), Muschi (Sphagnum, Polytricum).............. 102 Tracheofite ................................................................................................... 102 Animali ........................................................................................................ 103
6.6.2 6.6.3 6.7
1
MINERALOGIA
Minerali: sostanze naturali inorganiche, omogenee, con composizione chimica rappresentabile con una formula. Rocce: sostanze naturali inorganiche, eterogenee, di composizione variabile. La mineralogia studia i minerali, la litologia studia le rocce. Origine dei minerali: magmatica, sedimentaria, metamorfica. Giacimento: luogo in cui i minerali si presentano in quantità tale da poter essere estratti. Può essere: – primario, se il minerale si trova dove si è costituito; – secondario, se il minerale è trasportato lontano e concentrato in altro luogo; – singenetico, se il minerale si forma contemporaneamente alla roccia che lo racchiude; – epigenetico, se la formazione del minerale è posteriore. Ganga: insieme di rocce che accompagnano il minerale; parte non utile. Alterazione dei minerali: – fisica (alternanza di elevate e basse temperature, azione dell’acqua, ghiaccio, vento, ecc.); – chimica (azione dell’ossigeno, dell’acqua, dell’acido carbonico, di organismi vegetali, ecc.). 1.1
CRISTALLOGRAFIA
I minerali possono presentarsi sotto forma di cristalli o di sostanze amorfe. I cristalli hanno forma poliedrica esterna, regolare disposizione interna di molecole, atomi, ioni, secondo reticoli cristallini e sono anisotropi almeno per una proprietà fisica. Le sostanze amorfe sono isotrope e in esse manca l’ordine interno di molecole, atomi, ioni (tab. 1.1). Elementi reali di un cristallo: facce (F), spigoli (S), vertici (V). Regola di Eulero: F + V = S + 2. Angolo diedro: angolo solido che le facce formano tra loro e la cui misura si determina con goniometri (di applicazione e a riflessione). Legge di Stenone o della costanza dell’angolo diedro : nei cristalli di una determinata specie minerale gli angoli diedri omologhi sono uguali e costanti, purché misurati nelle stesse condizioni di temperatura. Elementi di simmetria dei cristalli: assi (A), piani (P), centro (V). Asse: retta ideale che, considerata come asse di rotazione del cristallo, permette al cristallo di assumere posizioni di ricoprimento per 2,3,4,6 volte ogni 360° (A2 , A3 , A4 , A6). Piano: piano ideale che divide il cristallo in due parti specularmente uguali, simmetriche.
Sistema
3 3
Monoclino
Triclino
4
Romboedrico o trigonale* 3
4
Esagonale*
Rombico
3
Tetragonale
3
Assi c.
a≠b≠c
a≠b≠c a≠b≠c
α = β = γ = 90°
α = γ = 90° β > 90° α ≠ b ≠ γ ≠ 90°
Coppie di pinacoidi, ecc.
2
C
Prismi obliqui, ecc.
3
A2 P C
Cristalli birifrangenti uniassici
Cristalli monorifrangenti
Comportamento ottico
Bipiramidi, prismi rombici, Cristalli ecc. birifrangenti biassici
Romboedro Scalenoedro Trapezoedro, ecc.
3
7
α = β = γ = 120° a = b = c ≠ d A3 3 A2 3 P C δ = 90°
Bipiramidi, prismi esagonali e diesagonali, ecc.
Bipiramidi, prismi tetragonali e ditetragronali, ecc.
Ottaedro Cubo o esaedro Rombododecraedo Tetracisesaedro Triacisottaedro Esacisottaedro Tetraedo Pentagonododecaedro, ecc
Forme semplici oloedriche meroedriche
3 A2 3 P C
5
α = β = γ = 120° a = b = c ≠ d A6 6 A2 7 P C δ = 90°
a=b≠c
α = β = γ = 90° 7
a=b=c
α = β = γ = 90°
A4 4 A2 5 P C
Grado di sistema N. della classe classi oloedrica 5
Paramentri
3 A4 4 A3 6 A2 9 PC
Angoli della croce assiale
Classificazione dei cristalli
Forme oloedriche: forme appartenenti alla classe a grado di simmetria più elevato. Forme meroedriche: forme appartenenti alla classe a grado di simmetria minore. *Crose assiale con tre assi orizzontali (120°) e uno verticale. α−β−γ−δ: angoli tra gli assi cristallografici x, y, z, w.
Trimentrico
Dimetrico
Monometrico Cubico
Gruppo
Tab. 1.1
MINERALOGIA
E-5
E-6
SCIENZE NATURALI
Centro: punto ideale interno al cristallo, equidistante da elementi opposti ed equivalenti. Grado di simmetria: insieme di tutti gli elementi di simmetria. Assi cristallografici (croce assiale): sistemi di tre o quattro rette perpendicolari o no tra loro che si intersecano in un punto del cristallo detto origine, usati come riferimento per fissare la posizione di una faccia del cristallo. Sono indicati con x, y, z, w. Parametri: porzioni di assi cristallografici comprese tra l’origine e il punto di incontro con la faccia. Indici: rapporti tra i parametri di una faccia di un cristallo (fondamentale) e i parametri della faccia del cristallo in esame (purché il cristallo sia dello stesso gruppo). Legge di Hauy o della razionalità degli indici : gli indici delle facce di un cristallo sono numeri piccoli e razionali. Aggruppamenti di cristalli: irregolari (geodi, druse); regolari (unioni parallele di cristalli isoorientati, geminati di contatto e di compenetrazione). Aggregati cristallini: strutture fibrose, saccaroidi, lamellari, dendritiche, oolitiche, pisolitiche, coralloidi, mammellonari, ecc. Troncatura: si ha quando ad un vertice o ad uno spigolo si sostituisce una faccia. Smussatura: si ha quando ad un angolo diedro se ne sostituisce un altro di maggiore valore. Spuntatura: si ha quando si sostituisce ad un angolo solido un altro di maggiore valore. Pseudomorfismo: fenomeno per cui un cristallo si presenta in forme appartenenti ad un sistema diverso da quello di cristallizzazione abituale. Polimorfismo: fenomeno per cui una specie chimica cristallizza in sistemi diversi (C monometrico: diamante; C esagonale: grafite). Isomorfismo: fenomeno per cui sostanze chimiche diverse possono cristallizzare nello stesso sistema con formazione di cristalli misti (fayalite e forsterite: olivine). Isodimorfismo: polimorfismo associato ad isomorfismo. 1.2
SAGGI CHIMICI SUI MINERALI
Qualitativi: – per via secca (filo e lamina di platino, tubicini di vetro aperti e chiusi, carbone e cannello ferruminatorio, perle al borace e ai sali di fosforo, fiamma, ecc); – per via umida (reagenti in soluzione con formazione di colorazioni e di precipitati vari). Quantitativi: metodi della chimica analitica. Saggi microchimici: osservazioni per mezzo del microscopio di cristalli tipici in seguito a particolari reazioni chimiche.
E-7
MINERALOGIA
1.3
PROPRIETÀ FISICHE DEI MINERALI
a) Densità: rapporto tra la massa del minerale e la massa di un uguale volume di acqua distillata a 4°C. Determinazione: metodo del picnometro. M densità = --------------------------------( M + P) – P′ M = massa del minerale (in frammenti) P = massa del picnometro con acqua distillata P′ = massa del picnometro con l’acqua distillata ed il minerale. b) Proprietà dipendenti dalla coesione: Durezza: resistenza che oppongono i minerali alla scalfittura Determinazione: – scala di Mohs 1 2 3 4 5
Talco ⎫ ⎬ teneri Gesso ⎭ Calcite ⎫ Fluorite ⎬ semiduri Apatite ⎭
6 7 8 9 10
Ortose ⎫ ⎪ Quarzo ⎪ Topazio ⎬ ⎪ Corindone ⎪ Diamante ⎭
duri
– sclerometri, con punta scalfente in acciaio, diamante, ecc. – microsclerometri, per superfici limitate: il solco si osserva al microscopio. – ammaccatura o impronta per metalli, con sferette di acciaio. Duttilità: capacità del minerale di lasciarsi ridurre in fili sottili (oro, argento, rame, platino). Malleabilità: capacità del minerale di lasciarsi ridurre in lamine (oro). Settilità: capacità del minerale di lasciarsi tagliare (argento). Sfaldatura: proprietà di rompersi secondo determinati piani. Nella frattura la superficie è irregolare (concoide, scagliosa, fibrosa, ecc.). Fragilità: è presente nei minerali scarsamente resistenti alle forze di pressione e di trazione (quarzo, diamante). Tenacità: è presente nei minerali che oppongono elevata resistenza alla trazione (ferro). c) Proprietà ottiche: Colore: alcuni minerali hanno colore caratteristico proprio, altri presentano colori diversi a seconda delle impurezze. Trasparenza e opacità: capacità del minerale di essere attraversato o no dalla luce. Riflessione, rifrazione (semplice e doppia), indice di rifrazione (vedere Sezione Fisica). Riguardo alla rifrazione della luce i minerali possono essere monorifrangenti e birifrangenti. Asse ottico: direzioni di monorifrangenza in cristalli birifrangenti. I cristal-
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SCIENZE NATURALI
li possono essere uniassici e biassici. Il fenomeno della rifrazione è sfruttato per l’esame ottico dei cristalli con il microscopio mineralogico; i minerali non trasparenti sono osservati con il microscopio a luce riflessa o metallografico. Lucentezza, opalescenza, iridescenza, fluorescenza, labradorescenza, gatteggiamento, luminescenza, pleocroismo, ecc.: sono altre proprietà ottiche. d) Caratteri organolettici: sapore, odore, suono, colore, sensazioni cutanee. 1.4 l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
CLASSIFICAZIONE DEI MINERALI
È basata su criteri cristallochimici e strutturali. Elementi nativi. Solfuri, arseniuri, antimoniuri, ecc. Aloidi. Ossidi e idrossidi. Carbonati, nitrati, borati, ecc. Solfati, cromati, ecc. Fosfati, arseniati, ecc. Silicati. Composti organici. 1.5 (vedere Chimica).
MINERALOGIA DESCRITTIVA
2
LITOLOGIA
Rocce: masse, generalmente allo stato solido, originate dall’aggregazione di una o più specie mineralogiche; costituiscono la litosfera. Possono essere: – semplici se formate da un solo minerale (calcite, salgemma); – composte se formate da più minerali (granito). L’insieme dei minerali non è esprimibile con una formula chimica.
2.1
CLASSIFICAZIONE IN BASE ALL’ORIGINE
Eruttive o ignee o magmatiche: di origine interna (endogene). Sedimentarie: di origine esterna (esogene). Metamorfiche: derivate da trasformazioni delle precedenti in conseguenza di azioni fisico-chimiche. 2.1.1 Eruttive. Rappresentano il 95% delle masse litoidi. Derivano dal consolidamento del magma, che è una complessa soluzione di silicati, ricca di gas (vapor acqueo, anidride solforosa, biossido di carbonio, ecc.). Si distinguono, in base alla profondità alla quale avviene la solidificazione, in: a) effusive: i magmi arrivano in superficie e fuoriescono; il rapido raffreddamento determina la formazione di microcristalli (struttura microgranulare), di corpi vetrosi (struttura amorfa), o di una pasta cristallina o amorfa con visibili cristalli di maggiori dimensioni (struttura porfirica); b) intrusive: i magmi rimangono in profondità; il raffreddamento è graduale e i cristalli sono ben sviluppati e visibili (struttura granulare). Composizione chimica: sialici (quarzo, feldspati, feldspatoidi) minerali essenziali femici (miche, anfiboli, pirosseni, olivina). minerali accessori: cromite, magnetite, ilmenite, apatite, zircone, pirite. La classificazione in famiglie viene fatta in base alla presenza o meno di quarzo e in base al rapporto fra minerali sialici e femici (i primi conferiscono alle rocce una colorazione chiara, i secondi scura) (tab. 2.1). 2.1.2 Sedimentarie. Derivate dall’accumulo in bacini, marini o continentali, di frammenti di rocce preesistenti, dalla precipitazione di sali minerali sciolti in acqua, dall’attività di esseri viventi. Prevale in queste rocce la struttura stratificata. In base all’origine si classificano nel seguente modo. a) Clastiche: derivano da rocce eruttive, sedimentarie e metamorfiche in seguito a processi di: degradazione meteorica dovuta ad agenti esterni; trasporto; deposito; diagenesi. I detriti possono rimanere disgiunti (rocce incoerenti) o cementati (rocce coerenti). In base alle dimensioni dei frammenti (clasti) si dividono in: (tab. 2.2): b) Piroclastiche: derivano da materiali vulcanici cementati o no. Sono i tufi vulcanici come il peperino laziale formato da sabbia vulcanica cementata, le pozzolane, che sono sabbie vulcaniche incoerenti.
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SCIENZE NATURALI
Tab. 2.1 Intrusive
SiO2 %
Componenti principali
graniti
65 ÷ 75
quarzo, ortoclasio, plagioclasi, miche, minerali accessori
porfidi, rioliti, ossidiane
sieniti
65 ÷ 70
feldspati alcalini, plagioclasi, miche, anfiboli
trachiti
dioriti
45 ÷ 55
plagioclasi calcici, pirosseni, e anfibioli, poco quarzo
andesiti, porfiriti
gabbri
40 ÷ 45
minerali femici abbondanti, plagioclasi calcici, pirosseni, anfiboli, olivina
basalti, diabasi
2 mm
ghiaie ciottoli
brecce (frammenti a spigoli vivi) puddinghe (frammenti a spigoli arrotondati)
0, 1 ÷ 2 mm
sabbie
arenarie (derivano dalla disgregazione di rocce cristalline)
< 0,1 mm
argille
argilliti marne (argille calcaree) ardesie
c) Di origine chimica: derivano dal deposito per precipitazione di sostanze sciolte in acque marine o continentali, per evaporazione o modificazioni fisico-chimiche dell’acqua stessa. Esempi: salgemma, calcari (travertino, alabastro orientale, stalattiti e stalagmiti); dolomie; gesso e anidrite. d) Di origine organica: derivano da resti di animali (scheletri, conchiglie) e di vegetali, più o meno trasformati. Possono essere: silicee (tripoli, farina fossile, selce, diaspro calcaree (calcari fossiliferi e di scogliere, dolomie) bituminose (petroli, bitumi) carboni fossili (torba, lignite, litantrace, antracite). 2.1.3 Metamorfiche. Derivano da rocce eruttive o sedimentarie, in seguito a profonde trasformazioni avvenute a grandi profondità nella crosta terrestre e dovute all’alta temperatura e alle forti pressioni di strati sovrapposti. Ne seguono processi di ricristallizzazione, di formazione di nuovi minerali e frequente disposizione di questi in lamine parallele (scistosità). Esempi:
LITOLOGIA
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gneiss, derivati dalla metamorfosi del granito, scistosità poco definita (beole); micascisti, molto scistosi, derivano da rocce argilloso-arenacee, ricchi di mica; filladi, simili ai micascisti ma meno cristallini; scisti bituminosi, serpentinosi; lavagne e ardesie, dal metamorfismo di sedimenti fini, di argille, molto scistose; calcari cristallini e marmi, calcari ricristallizzati con struttura granulare o compatta (marmo saccaroide). 2.2
ROCCE NELL’EDILIZIA
Da secoli ed in varia misura le rocce sono state impiegate nell’edilizia come materiali naturali da costruzione ed oggi trovano impiego particolarmente per rivestimenti di interni ed esterni o per pavimentazioni. Esse devono quindi presentare doti di gradevolezza estetica, di solidità e resistenza nel tempo, nonché di economicità e di lavorabilità. La conoscenza delle caratteristiche tecniche delle pietre da mettere in opera è quindi indispensabile per il suo corretto impiego, essendo queste sottoposte ad azioni di tipo meccanico (carichi, attriti, dilatazioni termiche), fisico (insolazione, gelività, compressione), chimico (ossidazioni, idratazioni, salinità, reazioni chimico-fisiche da inquinanti o piogge acide) o biologico (azione di microrganismi, licheni, piante), che ne possono alterare le caratteristiche. Nei capitolati d’appalto per la messa in opera di pavimenti lapidei, vengono definite tutte le proprietà tecniche che devono avere i materiali impiegati, in funzione dell’importanza e del tipo di fornitura. Non di poco conto economicamente è anche la distanza tra il luogo di cavazione e quello d’impiego o la disponibilità nel tempo. 2.2.1 Prove tecniche delle rocce. Le rocce devono rispondere a determinati requisiti tecnici, siano essi di tipo chimico, fisico o meccanico, presenti sia in maniera temporanea che permanente. Le misure vanno eseguite su “provini” di rocca fresca, ossia non alterata, o in cava o in laboratori ufficialmente riconosciuti. 2.2.2
Proprietà fisiche.
Massa specifica: rapporto tra massa senza vuoti (ridotta in polvere ed essicata) e il peso di un egual volume d’acqua distillata a 4°C. Massa di volume: massa dell’unità di volume della roccia completamente essicata. Divide le rocce in categoria che vanno da molto leggere e molto pesanti, parametro da valutare nel carico complessivo dell’opera. Porosità: viene misurata dal coefficiente di porosità, ossia il rapporto espresso in centesimi tra il volume dei pori ed il volume totale; ha grande peso nella valutazione della resistenza all’alterazione operata dagli agenti biologici e chimici. Capacità di imbibizione: è l’attitudine ad assorbire acqua; di particolare importanza per la valutazione della qualità della roccia come rivestimento per esterni. Coefficiente di dilatabilità: allungamento differenziale della roccia in seguito a variazioni di temperatura. Utile per valutare la possibilità o meno del formarsi di interstizi nei quali può entrare dell’acqua e rompere la roccia per gelività.
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Conducibilità termica: misura la capacità di una roccia nel trasmettere il calore; esprime la capacità isolante del materiale, che è in genere molto alta. Resistenza al fuoco: varia da roccia a roccia bruscamente ed è importante per misurare la resistenza, nel corso di eventuali incendi, a sgretolarsi, a calcinarsi o addirittura a fondersi. 2.2.3
Proprietà meccaniche.
Resistenza alla compressione: è la resistenza opposta dalla roccia alle forze che tendono a romperla per schiacciamento. Si chiama carico di rottura il carico minimo che determina la rottura del provino. Di particolare utilità nella valutazione di una roccia come elemento portante in edilizia (es. colonne). Modulo elastico: è il rapporto tra i valori relativi di una compressione applicata ad un corpo roccioso e alle relative riduzioni o contrazioni che esso subisce. È un parametro che permette di verificare eventuali alterazioni in posto di una roccia, anche se non appaiono alterazione esterne visibili. Resistenza all’urto: viene misurata dall’altezza da cui deve cadere una palla di ghisa standard per determinare la rottura di una lastra; serve soprattutto per i materiali usati per la pavimentazione stradale. Resistenza alla trazione: misurata la resistenza opposta da un provino alla trazione; varia a seconda delle direzioni secondo le quali viene applicata ed esprime la coesione della roccia. Resistenza alla flessione: va misurata solo per opere sottoposte a flessioni particolari (es. balconi, architravi, ecc.) e varia profondamente in funzione della disposizione interna degli strati (stratificazione) o della disposizione preferenziali dei minerali (scistosità). 2.2.4
Proprietà diverse.
Durezza: proprietà litologica difficilmente valutabile se non attraverso le sue peculiari manifestazioni, come la resistenza alla scalfittura, all’abrasione o alla deformazione permanente. Esprime la possibilità di tagliare e lavorare la roccia. Lavorabilità: è l’attitudine della roccia a lasciarsi lavorare in forme e dimensioni volute; ciò dipende da proprietà specifiche, spesso connesse alla disposizione spaziale dei minerali costituenti nella roccia, quali: la spaccabilità, la segabilità, la scolpibilità e la lucidabilità. Divisibilità: è l’attitudine a lasciarsi dividere secondo direzioni predeterminate. In quanto proprietà a volte palese, a volte latente essa non si identifica necessariamente con la fessurazione, ma dipende dalla stratificazione della roccia, dalla sua scistosità, fessurazione o fratturazione. Colore: proprietà di fondamentale valore nella scelta dei materiali; dipende da pigmenti o minerali diffusi nella roccia e può essere monocromatica, se si ha una sola colorazione prevalente o policroma in caso contrario. Il bianco è dovuto a presenza di calcite, dolomite e selenite; il nero a magnetite od orneblenda, il verde a serpentino
LITOLOGIA
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od olivina; il giallo da limonite. A seconda poi della diffusione del colore, si possono avere particolari distribuzioni policrome, come l’arabescato, il listato, il mandorlato, il punteggiato, il reticolato, lo stellato, il variopinto, il venato e lo zebrato. Il colore va osservato su una superficie lucidata di fresco, in quanto il tempo, l’attività microbiologico o lo smog possono modificare i colori con una patina di alterazione. Durevolezza: si intende la resistenza della roccia all’alterazione meteorologica. Essa dipende sia dalle proprietà intrinseche della roccia (composizione, struttura, tessitura, ecc.) sia dalle caratteristiche climatiche dell’area d’impiego o dall’inquinamento atmosferico, oggi causa prevalente di degrado delle rocce usate in esterni. 2.2.5 Aspetti normativi ed ambientali. La legge italiana distingue tra cave e miniere a seconda del tipo di materiale costituente il giacimento: secondo il R.D. del 29 luglio 1927 n.1443, sono miniere quelle in esercizio per la coltivazione di minerali metalliferi o non metalliferi di rilevante importanza industriale, pietre preziose, materiali radioattivi.Tali sostanze costituiscono i materiali di 1 a categoria; sono beni demaniali e vengono sottratti alla disponibilità del proprietario, come bene patrimoniale dello Stato (art.826 C.C.). Sono invece dette cave le coltivazioni di torba, materiali per costruzioni edilizie, stradali, idrauliche o comunque non compresi nelle miniere. Costituiscono i materiali di 2a categoria, sono lasciati in disponibilità del proprietario fondiario (art.45 del R.D.1443 sopra citato), che può avvalersene nel rispetto delle normative regionali vigenti, che regolamentano la pianificazione territoriale, l’escavazione, le norme di tutela della sicurezza sul lavoro e il ripristino ambientale. A partire dal 1975, le Regioni hanno cominciato a dotarsi di Piani Cave, ora per lo più operanti a livello provinciale, per razionalizzare l’intero settore. Nei piani cave vanno periodicamente definiti i fabbisogni, le localizzazioni, i progetti di recupero ambientale. Poiché questi materiali hanno localizzazioni talora raccolte in un territorio limitato, che ovviamente non può essere modificato, si ha spesso in brevi spazi una concentrazione di cave e relativi impianti di trasformazione, che creano notevoli problemi ambientali e paesaggistici e conseguenti tensioni sociali, che possono, se ignorate, portare a limitazioni o al blocco definitivo dell’attività estrattiva. La tutela del territorio sarà quindi una delle priorità maggiori per il settore, soprattutto se si ricorda che l’Italia, insieme alla Cina, è il maggior produttore mondiale di materia grezza, con una produzione globale superiore ai sette milioni di tonnellate/anno. 2.2.6 Impieghi delle rocce nell’edilizia. Globalmente si può dire che il loro uso e commercio viene definito ed accertato dalle locali Camere di Commercio, che ne fissano anche i costi, particolarmente per le pietre ornamentali. Il loro parere viene considerato ufficiale, in quanto in Italia non esiste una specifica normativa di legge, oltre ai R.D. 16 novembre 1939, n. 2232 e n. 2234 “Norme per l’accettazione delle pietre da costruzione” e “Norme per l’accettazione dei materiali per pavimentazione”, nonché la Norma UNI 8458 sulla terminologia e la classificazione dei prodotti lapidei. Ciò determina però usi e consuetudini molto differenti da posto a posto, sia per la fornitura, l’imballaggio, che per la messa in opera. Ciò vale anche per la misura (che ovviamente varia anche in funzione degli impieghi), la fatturazione, i collaudi, le tolleranze ed il pagamento; tutte voci che vanno comprese negli specifici capitolati.
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Rocce d’impiego industriale. Sono materiali di base per le industrie connesse all’e-dilizia e vengono sottoposti a trattamento industriale di trasformazione, fino ad acquisire le caratteristiche richieste: a) Pietre da calce e cementi. menti, calci e malte.
Una volta cotte sono alla base della produzione di ce-
b) Rocce per leganti idraulici. Servono per produrre cementi e calci, che dopo la cottura, induriscono sott’acqua. c) Gesso. Minerale cotto e disidratato, da cui si derivano vari tipologie di prodotti atti a vari impieghi. d) Argille da laterizi. Famiglia di silicati che una volta cotti costituiscono i laterizi. A seconda degli impieghi richiesti si considera anche la loro plasticità, porosità fusibilità, il loro colore, indurimento e ritiro. e) Isolanti termici ed acustici. Tutte le rocce godono di queste proprietà; tra di esse in particolare alcune, dopo essere state oggetto di trattamento industriale, vengono impiegate per scopi particolari. Ricordiamo qui le POMICI, rocce leggerissime usate come isolante termoacustico in intercapedini; la PERLITE, particolare tipo di ossidiana in sferule, che una volta cotte industrialmente risultano affini alla pomice. VERMICULITE: argilla scagliosa, riscaldata e impiegata come isolante, da sola o mista a cementi. DIATOMITE, farina fossile silicea, impiegata come refrattario per forni. LANA MINERALE: dolomie e calcari impuri con silicati, che riscaldati ad alta temperatura danno un materiale fibroso isolante. Rocce come elemento di costruzione. Sono rocce che da milleni vengono impiegate nell’edilizia, o tali quali o lavorate meccanicamente, a seconda delle loro qualità specifiche. a) Murature ordinarie. Vengono impiegate a secco o con leganti, sia informi (pietra grezza), sia lavorate (conci). Utilizzate sia per muri che per fondi stradali (ciottolati). Il loro impiego è legato alle disponibilità locali ed è per lo più condizionato dalle caratteristiche di resistenza meccanica. b) Rivestimenti. Lastre di roccia, non necessariamente lucidate o scolpite, usate per scalini, pavimenti, paramenti o zoccoli. Hanno funzione sia protettiva che decorativa; sono legate, anche se in misura minore delle precedenti, alle disponibilità in sede locale o a specifiche richieste di colore o di durevolezza. Di norma vanno distinti i rivestimenti esterni, che sono soggetti a sollecitazioni termiche e chimiche di varia natura, da quelli interni con necessità estetiche e tecniche più definite. c) Coperture. Servono per la copertura di edifici, in sostituzione delle tegole; devono possedere doti di divisibilità, leggerezza, impermeabilità e durevolezza: tipiche le “ardesie”. d) Elementi ornamentali. Rocce di particolare pregio impiegate, in esterni o in interni, per le loro caratteristiche, a fini ornamentali in edifici, monumenti o altro. Vengono scelte per le loro specifiche doti di colore, lucidabilità, durevolezza, che fanno
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passare in second’ordine il loro costo, spesso notevole. Tipici i “marmi”, impiegati anche nella scultura. e) Materiali per fini speciali. Rocce di varia pezzatura, destinate perle loro caratteristiche meccaniche per rivestimenti stradali o ferroviari o per la costruzione di moli e di scogliere. 2.3
PRINCIPALI PIETRE DA COSTRUZIONE ITALIANE
2.3.1 Rocce eruttive. Rocce molto dure, con ottima resistenza al logoramento e agli agenti meteorici, adatte alla lastricatura stradale e alla pavimentazione di pubblici edifici. a) Intrusive. Granito di Alzo (Vercelli), bianco; Granito di Baveno (Novara), rosa; Granito di Montorfano (Novara), bianco; Granito di S. Fedelino (Sondrio), bianco; Granito del Monte Capanne (Elba), bianco; Granito di Gavorrano (Grosseto), grigio chiaro; Granito della Sila (Catanzaro, Cosenza), bianco grigio; Granito di Tempio Pausania (Sassari), rosa; Granito di Lanusei (Nuoro), bianco; Granito di Teulada (Cagliari), bianco; Sienite della Balma (Biella), violacea; Tonalite dell’Adamello, diorite grigia; Serizzo ghiandone della Val Masino (Sondrio), grigio scuro con cristalli bianchi; Granito nero di Anzola (Novara), gabbro scuro con punteggiature bianche. b) Effusive. Porfido di Bolzano, grigio rosso; Trachiti dei Colli Euganei, grigio cenere. 2.3.2 Rocce sedimentarie. Comprendono sia rocce dure (calcari compatti), che rocce incoerenti (sabbie, argille). Sono meno dure delle eruttive e quindi più facilmente lavorabili. a) Brecce e conglomerati. Verde antico di Varallo (Vercelli), breccia con ciottoli verdi cementati da calcare bianco; Verde Polcevera (Genova), ciottoli verdi; Rosso di Levanto (La Spezia), ciottoli rossi cementati da calcare rosato; Portoro di Portovenere (La Spezia), calcare brecciato nero con venature giallo oro; Ceppo di Trezzo d’Adda (Milano), conglomerato. b) Arenaria. Arenaria di Sarnico (Bergamo), grigia; Pietra Simona (Brescia), arenaria rosso scuro; Pietra forte di Galluzzo (Firenze), arenaria grigia a grana fine; Pietra serena, arenaria azzurrognola. c) Rocce piroclastiche. Tufo, usato in blocchi per costruzione o lastre per pavimentazione; Piperino (Viterbo), grigio verdastro; Piperno (Pozzuoli, Napoli), grigio. d) Rocce di precipitazione chimica. Alabastri calcarei per effetti decorativi: Onice, zone di colore diverso; Alabastro di Lovere (Bergamo), zone di colore diverso; Alabastro di Latronico (Potenza), bianco grigio; Alabastro di Alberobello (Bari), giallo bruno. Travertino: Travertino di Tivoli (Roma), di Siena, di Grosseto, di Perugia, ecc.; Volpinite di Bergamo, gesso anidro grigio con venature parallele. e) Calcari organogeni. Nero di Varenna (Como), nero a volte con venature bianche; Calcare di Botticino (Brescia), bianco a grana fine; Bianchi di Verona; Rossi di Verona, giallo, rosso intenso, a volte con ammoniti fossili; Marmo di Folgaria e Mori
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(Trento), rosso, giallo, verde; Pietra di Finale (Savona), grigio, rosso; Giallo di Siena; Scaglia rossa (Pesaro); Rosso di Assisi (Perugia); Pietra Bellona (Capua), Napoli, bianco grigio; Pietra di Trani (Bari), bianco giallo; Rosso di Alcamo (Trapani), rosso scuro. 2.3.3
Rocce metamorfiche.
a) Marmi. Marmo di Candoglia (Novara), rosato; Bianco di Musso (Como), bianco; Cipollino di Valdieri (Cuneo), giallo con venature viola o verdi, a grana fine; Marmo di Carrara, bianco, statuario, bardiglio, brecciato, zonato, ecc.; Marmo di Teulada (Cagliari). b) Gneiss. nere.
Gneiss di Benza e di Villadossola (Novara), grigio, con punteggiature
c) Ardesie.
Scisti argillosi neri, sfaldabili. Lavagne.
d) Quarziti.
Riducibili in lastre. Quarzite di Barge (Como), giallognola.
e) Serpentine. Grana fine, color verdastro, adatte per interni. Serpentine della Val Malenco (Sondrio); Serpentine della Val di Susa (Torino); Verde di Issogne (Aosta).
3
GEOLOGIA
3.1 DIMENSIONI DELLA TERRA (secondo l’ellissoide internazionale di Hayford) Raggio equatoriale Raggio polare Schiacciamento Circonferenza dell’equatore Circonferenza del meridiano Superficie totale Superficie delle terre emerse Superficie degli oceani Densità media Distanza media Sole-Terra Distanza media Luna-Terra
6 378 388 6 356 912 1/297 40 076 594 40 009 152 510 100 000 149 400 000 360 700 000 5,52 149 509 000 384 365
m m m m km2 km2 km2 g/cm2 km km
Interno della Terra. È stato definito in base a studi sul comportamento delle onde sismiche; la Terra è suddivisa in involucri composti da materiali differenti, separati fra loro da superfici di discontinuità nelle quali variano bruscamente le caratteristiche fisico-chimiche dei materiali attraversati dalle onde (tab. 3.1). Tab. 3.1 Profondità km
5 ÷ 70
Superfici di discontinuità
Classificazione dei cristalli Involucri
Composizone
Stato
Densità
crosta
granito basalto
solido
2,7 ÷ 3
mantello sup. o asteneosfera
silicati ricchi di Mg e Fe con prevalenza di olivina e pirosseni
parzialmente fuso
3÷7
nucleo esterno
nichelio-ferro
liquido
7 ÷ 10
nucleo interno
nichelio-ferro
solido
10 ÷ 16
Mohorovicic
mantello inf. 2900
5000 ÷ 52000
6371
solido
Gutenberg
JeffreysCaloi (Lehman)
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SCIENZE NATURALI
Calore terrestre. Fenomeni vari rivelano l’esistenza di un calore interno della Terra: vulcani, sorgenti termali, ecc. Grado geotermico: numero di metri misurati dall’alto in basso sulla verticale, oltre ai 40 m dal suolo; corrisponde all’aumento di 1°C di temperatura. Al centro della Terra la temperatura si aggira sui 3000° ÷ 4000°C. Magnetismo terrestre. La Terra può essere considerata una calamita i cui poli magnetici non coincidono con quelli geografici. Angolo di declinazione magnetica: angolo variabile formato dalla direzione dell’ago calamitato della bussola con il meridiano geografico. Isogone: linee che congiungono i punti aventi un eguale valore dell’angolo di declinazione magnetica. Il campo magnetico sarebbe prodotto da correnti elettriche dovute a moti del nucleo ferroso fluido. 3.2
TETTONICA E STRATIGRAFIA
a) Tettonica. Studia le deformazioni, le fratture, gli spostamenti (dislocazioni) delle masse rocciose che raramente conservano la posizione originaria. Le modificazioni sono più evidenti nelle rocce sedimentarie che molto spesso si presentano a strati. b) Stratigrafia. Studia la giacitura delle rocce sedimentarie e la loro successione cronologica. – Strato: massa rocciosa litologicamente omogenea, di piccolo spessore (da 1 cm a 1 m) e di grande estensione, limitata da superfici generalmente parallele (facce). – Banco: strato di notevole spessore. – Elementi dello strato, (fig. 3.1). tetto: superficie superiore; letto: superficie inferiore; potenza: spessore (p); direzione: posizione rispetto ai punti cardinali (d): immersione: perpendicolare alla direzione (i); inclinazione: angolo dello strato con il piano dell’orizzonte (I). c) Principali tipi di dislocazione delle rocce per forze agenti verticalmente o lateralmente. – Fratture o litoclasi: rotture dello strato senza spostamento delle due parti. – Faglie: fratture con spostamento.
Fig. 3.1
GEOLOGIA
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– Fossa tettonica: doppio sistema speculare di faglie che determinano abbassamenti di porzioni di crosta (fossa) e innalzamenti laterali (pilastri). – Pieghe: si formano quando rocce sottoposte a notevoli carichi per lungo tempo si comportano come corpi relativamente plastici; sono dette anticlinali se convesse verso l’alto, sinclinali se concave verso l’alto. – Falde di ricoprimento: pieghe rovesciate o coricate sopre strutture sottostanti con scorrimento di notevoli masse rocciose. 3.2.1 Teoria della tettonica a zolle crostali (fig. 3.2). Inquadra in una visione unitaria e spiega la maggior parte dei fenomeni endogeni (vulcani, terremoti, espansione dei fondali oceanici, formazione di catene montuose) e la loro distribuzione. L’involucro solido esterno della Terra è suddiviso in un certo numero di zolle maggiori (sei) e numerose minori. Ogni zolla è costituita dalla crosta e dalla parte superiore del mantello; è rigida ma mobile. Le zolle si muovono l’una rispetto all’altra, spinte da forze provenienti dall’interno della Terra; ciascuna può accrescersi in una certa zona ed essere distrutta in un’altra. Il contatto fra due zolle può avvenire in vari modi.
Fig. 3.2 Direzione e verso di spostamento delle zolle.
a) Zona di divergenza o di accrescimento simmetrico; è rappresentata dalle dorsali medio-oceaniche, catene montuose presenti in tutti gli oceani, costituite da due creste parallele divise da una valle parallela al loro asse e attraversate da faglie trasversali dette trasformi. In queste zone risale magma basaltico proveniente dal mantello; esso solidifica dando origine a nuova crosta che spinge a lato le due zolle che si allontanano e si accrescono (fenomeno dell’espansione dei fondali oceanici). Si verificano fenomeni sismici ed i terremoti hanno ipocentro poco profondo. b) Zona di convergenza: è l’area di contatto fra due zolle che si avvicinano in corrispondenza delle fosse oceaniche; uno dei margini si immerge penetrando nell’astenosfera (zona di subduzione): sulla zolla non subdotta, sovrastante, si susseguono eventi che portano alla formazione di catene montuose. In questa zona si verificano terremoti superficiali, medi, profondi ed attività vulcanica.
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c) Zona di scorrimento laterale: le due zolle scorrono lateralmente in corrispondenza di grandi fratture o faglie; si verificano terremoti a ipocentro poco profondo e fenomeni vulcanici. 3.2.2 Distribuzione geografica di vulcani e terremoti (figg. 3.3, 3.4, 3.5). Cintura circumpacifica. Comprende il più lungo e continuo allineamento di vulcani che circonda l’Oceano Pacifico; è sede di attività sismica che sprigiona circa l’85% dell’energia sismica mondiale.
Fig. 3.3 Distribuzione schematica degli epicentri dei terremoti con magnitudo superiore a 4,5 nel periodo 1963 ÷ 73.
Cintura circummediterranea e transasiatica: comprende la lunga serie dei vulcani che dal Mar Mediterraneo arriva al Mar Cinese Meridionale; la maggiore densità dei vulcani si registra nell’area mediterranea (Italia, penisola anatolica, Caucaso). I fenomeni sismici di questa cintura, dovuti alla compressione delle zolle africane e indiane con la zolla eurasiatica, sprigionano il 10% dell’energia sismica mondiale. Sistema delle dorsali oceaniche: comprende i vulcani allineati lungo le dorsali, in particolare quella medioatlantica, sedi anche di sismicità da collegarsi alle faglie trasversali. In questo sistema si sprigiona il 5% dell’energia sismica mondiale. 3.3
CRONOLOGIA E STORIA DELLA TERRA
Cronologia assoluta. Mediante tecniche che utilizzano elementi radioattivi è possibile determinare l’età precisa delle rocce e degli eventi geologici. Elementi usati: uranio (U-238) ed altri, per avvenimenti verificatisi in tempi remoti; carbonio (C- 14), per materiale biologico di età inferiore a 40.000 ÷ 50.000 anni. Cronologia relativa. Stabilisce solo la successione degli eventi; segue i seguenti criteri. – Criterio litologico: l’esame chimico-fisico della roccia consente di risalire alle condizioni in cui si è formata. – Criterio stratigrafico: si basa sulle modalità di sedimentazione per cui gli strati inferiori sono più antichi dei superiori (non valido se le zone hanno subito dislocazioni e rovesciamenti).
GEOLOGIA
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Fig. 3.4 Classificazione sismica del territorio italiano.
– Criterio paleontologico; si basa sulla ricerca e localizzazione nel tempo e nei terreni di fossili animali e vegetali; segue il principio per cui rocce che contengono gli stessi fossili si sono formate contemporaneamente. Fossili guida: sono fossili particolarmente utili perché di esseri viventi presenti sulla Terra per un periodo di tempo limitato.
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SCIENZE NATURALI
Fig. 3.5 Epicentri dei principali terremoti italiani dall’anno 0.
Età della Terra. Mediante prove derivate da diversi settori di ricerca si ritiene di 4.500 milioni di anni, in rapporto alla formazione del sistema solare (5 miliardi di anni). Rocce più antiche: 3.900 milioni di anni. Ere geologiche (Tab. 3.2)
400 345
280
Devonino
Carbonico
Permico
225
440
Siluriano
Triassico
500
Ordoviciano
Mesozoica
600
Cambriano
Paleozoica
Anni in milioni 4500
Periodi
Archeozoica
Ere Flora
Fauna
Eventi biologici
Ere geologiche
Primi vertebrati marini.
Valtellina, Dolomiti, Prealpi Lombardo-Venete, Apuane, Sicilia.
Calcari conchigliferi, dolomie, porfidi.
Regressione Felci e Primi mammiferi Conifere. primitivi (aplacentati) Rettili.
Alpi Centrali e Orientali, Monte Pisano, Dolomiti, Apuane, Calabria, Sicilia, Sardegna.
Scisti, arenarie, gneiss, quarziti, calcaria.
Attività vulcanica in Dominio Conifere e Primi rettili terrestri. Nord America, Brasi- Felci. le, Europa. Scissione Pangea.
La Thuile, Val Clusone, Alpi Centrali e Orientali, Monte Pisano, Volterra, Elba, Sardegna, Sicilia.
Scisti grafitici e carboniosi; porfidi.
Orogenesei ercinica Formazione di car- Insetti, altri artro(Apalacchi, Media bone fossile. Coni- podi. Primi rettili marini. Europea, Urali, Altai, fere. Sud Africa).
Sardegna, Alpi Centrali, Carnia, Apuane
Sardegna (Iglesiente, Sulcis).
Alpi Occidentali, Calabrie, Sicilia, (Peloritani), Sardegna.
Località
Carnia, Calabria.
Arenarie, calcari, scisti, porfidi, graniti.
Arenarie.
Scisti calcarei (infiltrati Pb, Ag).
Gueiss, graniti, cristallino antico.
Principali tipi di rocce
Italia
Arenarie, puddinghe.
Gimnosperme (Co- Primi anfibi. nifere).
Orogenesi: caledonia- Prime piante terre- Pesci corazzati. (Crittograme Primi invertebrati na (Nord Europa, Si- stri terrestri. beria, Nord America). vascolari: Felci).
Scissione iniziale Pangea (Laurasia a Nord, Gondwana a Sud).
Unica massa conti- Alghe marine. nentale (Pangea).
Consolidamento pri- Primi organismi fo- Primi invertebrati marini. me zolle crostali. Scu- tosintetici di: baltico, siberiano, (Alghe). canadese. Primi mari.
Eventi geologici
Tab. 3.2
GEOLOGIA
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Neozoica
Cenozoica
26
7
Miocene
Pliocene
Olocene
Molti invertebrati.
Variazioni climatiche; Evoluzione verso glaciazioni, con fasi forme attuali. intervallate da periodi interglaciali (Donau, Gunz, Mindel, Riss, Wurm) Oscillazioni del livello del mare.
Intrusioni nella zolla Diffusione piante alpina, Carpazi. erbacee.
Corrugamento alpino, Diffusione. himalayano e andi- Angiosperme. no. Attività vulcanica Dicotiledoni.
Sollevamento Alpi, Apennini.
Sollevamento Monta- Dominio gne Rocciose. Angiosperme.
Inizio orogenesi alpi- Comparsa na; inizio orogenesi Fanerogame Montagne Rocciose. Angiosperme.
Fratture con formazione oceani Atlantico e Indiano.
10000 Formazione di grandi Forme attuali. anni depositi alluvionali.
2,3
40
Oligocene
Pleistocene
65
130
Cretaceo
Eocene
190
Giurassico
Calcari, arenarie, selci, Alpi Occidentali, Prealpi argille, diaspri, tufi. Lombardo-Venete, Toscana, Umbria, Calabria, Puglie.
Forme attuali Homo sapiens.
Evoluzione verso forme attuali di invertebrati. Mammiferi giganteschi. Grandi migrazioni marine e continentali.
Primi primati.
Detriti alluvionali.
Sabbie, argille, arenarie (anfiteatri morenici e depositi alluvionali), tufi, pozzolane trachiti.
Pianura Padano-Veneta, pianure minori (Adriatico e Tirreno); Tavoliere Puglie, Piana di Sibari, Catania, Campidano (Sardegna)
Anfiteatri morenici, Ivrea e Garda, Colli Euganei, Monti Berici, Colli Albani, Campi Flegrei, Etna, Monte Ferru (Sardegna).
Marne, rocce vulcani- Piemonte, Liguria, Apennino, che, sabbie. Toscana, Puglie, Lucania, Calabria, Sicilia.
Mammiferi simili Arenarie, marne, grani- Monferrato, Appennino, agli attuali. ti. Adriatico, Sicilia, Sardegna.
Arenarie, marne, gessi, Sicilia, Sardegna, Monferraconglomerati, salgem- to, Apennino. ma.
Mammiferi in tut- Calcari nummulitici, Vicentino, Liguria, Piemonte, ti gli ambienti. calcari marnosi, arena- Toscana (macigno), Colli Eurie, gessi. ganei, Monte Baldo.
Mammiferi pla- Calcari: scaglia marno- Veneto, Toscana, Umbria, Alcentati. Scomparsa sa, biancone, argille. pi Orientali. dinosauri.
Uccelli.
E-24 SCIENZE NATURALI
GEOLOGIA
3.4
E-25
GEODINAMICA
Modificazioni continue vengono apportate alla Terra da agenti endogeni o interni (endodinamica) ed esogeni o esterni (esodinamica). 3.4.1 Endodinamica. Agenti endogeni modificatori della superficie terrestre: vulcani, terremoti, bradisismi. a) Vulcani. Aperture della crosta terrestre dalle quali vengono emessi, ad elevata temperatura, materiali solidi, liquidi ed aeriformi provenienti dall’interno della Terra. Possono essere attivi o quiescenti, subaerei o sottomarini. – Distribuzione geografica dei vulcani: (par. 3.2.2); – Tipi di vulcani: di esplosione (formati da accumulo di materiale detritico); lavici (formati da lava solidificata); misti (formati da materiale detritico e lavico). – Parti di un vulcano: cono o monte vulcanico; camino vulcanico principale con cratere principale; camini vulcanici secondari con crateri secondari o avventizi; recinto vulcanico. – Fasi di attività. Fenomeni premonitori: leggere scosse sismiche, boati, prosciugamento di sorgenti, ecc. Fase esplosiva o iniziale o pliniana: spaccature violente della crosta terrestre con emissione di colonne di gas e vapori (ossido di carbonio, anidride carbonica, anidride solforosa, azoto, metano, vapore acqueo, ecc.) e di materiali piroclastici (pomici, bombe, lapilli, sabbie, ceneri). Fase effusiva o di deiezione o stromboliana: emissione di lava, cioè di magma privo di gas e vapori. Lave: alto contenuto in silice: acide, trachitiche, liparitiche; dense; medio contenuto in silice: andesiti; densità intermedia; basso contenuto in silice: basiche, basalti; fluide. Fase di emanazione o di solfatara o fumarolica: emissione di gas e vapori a temperatura elevata (fumarole, mofete, putizze). – Tipi di eruzione. Tipo peleano: lava acida poco fluida; possibile formazione di guglie laviche e nubi ardenti costituite da prodotti piroclastici avvolti da vapore acqueo e striscianti sul terreno. Tipo stromboliano e vulcaniano: lava a densità intermedia; formazione di coni stratificati per avvicendarsi di fasi effusive ed esplosive; presenza del pino vulcanico (vapori e gas misti a ceneri per qualche km di altezza) e di caldere (depressioni circolari dovute alla distruzione della parte apicale del vulcano). Tipo hawaiano: lava basica molto fluida, basaltica; può mancare la fase esplosiva; formazione di vulcani a scudo. Tipo islandese: lava fluida che si espande lungo profonde fratture; formazione di vulcani a fessura e di piattaforme vulcaniche. Tipo sottomarino: magma molto fluido, basaltico, che solidifica lungo le dorsali oceaniche. – Fenomeni vulcanici secondari. Manca l’emissione di lava.
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SCIENZE NATURALI
Geysers: getti intermittenti di acqua bollente ricca di silice e di carbonato di calcio; presenza di cono e cratere. Soffioni boraciferi: emissione di vapore acqueo contenente acido borico, ammoniaca, anidride carbonica, idrocarburi, ecc., manca il cratere. Sorgenti termominerali: acque provenienti da zone profonde che sgorgano ad alte temperature. Fumarole: emissioni di vapore acqueo. Solfatare: emissioni di anidride solforosa e acido solfidrico. Mofete: emissioni di anidride carbonica. Putizze: emissioni di gas con prevalenza di acido solfidrico. Stufe: emissioni di vapore acqueo quasi puro. Fontane ardenti: emissioni di idrocarburi che si incendiano facilmente; sono in rapporto a zone petrolifere. Salse: emissioni di gas (acido solfidrico, anidride carbonica, ecc.), di idrocarburi, di fanghi ricchi di cloruro di sodio, di petrolio, ecc. Vulcani di fango: emissioni di gas e acqua da zone argillose che danno origine ad un cono dalla cui sommità fuoriescono colate di fango. b) Terremoti o sismi. Movimenti della crosta terrestre improvvisi, intensi, di breve durata, dovuti al rilascio di energia accumulata in rocce profonde e alla conseguente propagazione di onde sismiche. – Distribuzione geografica dei terremoti (par. 3.2.2). – Origine: movimenti di zolle della litosfera in zone di alta instabilità; crolli; attività vulcanica. – Ipocentro (I): punto all’interno della Terra dal quale origina il movimento sismico. – Epicentro (E): punto sulla superficie della Terra, posto sulla verticale dell’ipocentro. – Onde sismiche: movimenti del terreno osservabili su un sismogramma. Primarie o di compressione e rarefazione o longitudinali (P): originano dall’ipocentro e attraversano solidi, liquidi, gas; prime ad essere registrate; velocità tra 5,5 e 13,6 km/s. Secondarie o trasversali (S): originano dall’ipocentro e attraversano i solidi; registrate in un secondo tempo; velocità tra 3,5 e 7,3 km/s. Superficiali o lunghe o massimali (L): di ampiezza superiore alle altre; si sviluppano dall’epicentro e si propagano in superficie, concentriche, lente, ultime ad essere registrate; velocità tra 4 e 5 km/s. – Scosse sismiche. Sussultorie (P-S): il suolo si muove in senso verticale. Ondulatorie (L): il suolo si muove in senso orizzontale. I tre tipi di onde sono comunque sempre presenti. – Sismografi: strumenti atti a studiare le caratteristiche delle onde sismiche e la loro propagazione. Sismogramma: diagramma delle oscillazioni registrate dal sismografo. – Isosisme: linee che congiungono i punti in cui il terremoto si è verificato con la stessa intensità; l’intensità massima corrisponde all’epicentro.
GEOLOGIA
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– Intensità: violenza del terremoto misurata in base agli effetti; viene determinata con la scala Mercalli che rappresenta una classificazione empirica dei terremoti. – Magnitudo: quantità di energia liberata dal terremoto nell’epicentrò; viene determinata con la scala Richter, logaritmica. – Discontinuità sismiche: variazioni di velocità di propagazione delle onde sismiche in rapporto ai materiali attraversati nell’interno della Terra. – Maremoti: movimenti del mare dovuti a terremoti con epicentro in zone oceaniche. c) Bradisismi. Lenti abbassamenti e sollevamenti locali della crosta terrestre. Negativi: innalzamento con regressione marina. Positivi: abbassamento con trasgressione marina. d) Epirogenesi. Movimenti di masse continentali. e) Orogenesi. Formazione delle catene montuose. 3.4.2 Difesa dai terremoti. Considerando il terremoto un fenomeno naturale, la cui origine può essere ricondotta alla dinamica delle zolle crostali, l’opera di difesa dai suoi effetti catastrofici per l’uomo può essere affrontata attraverso due modelli di approccio. a) Metodo predittivo. Consiste nell’individuare il luogo ed il momento preciso (giorno ed ora) in cui si manifesta un evento sismico di rilevante intensità, per permettere alle popolazioni interessate un’evacuazione adeguata. Progetti di studi sono in atto in Russia, Cina, Giappone e soprattutto in USA. Si basano sul controllo continuato, per via telematica, di parametri ritenuti significativi, come la presenza di gas nobili nei pozzi profondi, la modificazione improvvisa delle caratteristiche geofisiche e sismiche delle rocce, il monitoraggio via satellite di capisaldi geodetici o geoelettrici, l’osservazione di movimenti anche micrometrici della crosta, eventualmente appoggiandosi su distribuzioni statistiche delle frequenze sismiche sul pianeta. Tali metodologie, allo stato attuale delle ricerche, non permettono però delle interpretazioni univoche dei dati raccolti, tali da poter determinare in tempi rapidi (pochi giorni o addirittura poche ore) l’evacuazione di vaste zone a rischio, che in ogni caso sono comunque soggette a distruzione. b) Metodo preventivo. Si basa sulla valutazione, stimata su base storica e su modelli sismo-tettonici, di una possibile esposizione a rischio sismico di determinate aree entro le quali vengono prese delle precauzioni, di maggiore o minore impegno a seconda della pericolosità potenziale, atte a ridurre gli effetti di un possibile sisma sul territorio e sulle strutture antropiche. È l’approccio prevalente oggi in Italia ed è definito dalla legislazione attualmente in vigore, il D. Min. LL.PP. 24.1.1986 e successivi, che divide il territorio nazionale in varie aree a seconda del grado di sismicità: il 3% del territorio nazionale è compreso nella prima categoria, ad alto rischio sismico: il 31,4% nella seconda, a medio rischio ed il 4,9% nella terza categoria a basso rischio. Attualmente all’attuazione delle norme tecniche relative alle costruzioni sismiche è preposto il Servizio Sismico d’Italia, che provvede anche all’aggiornamento del catalogo dei comuni a rischio.
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SCIENZE NATURALI
Il Progetto Finalizzato Geodinamica del CNR ha provveduto alla compilazione di un catalogo dei terremoti avvenuti a partire dall’anno 1000; mentre la rilevazione dei sismi attuali è affidata all’Istituto Nazionale di Geofisica, che dispone di una rete sismometrica composta da 60 stazioni e lavora con ENEA ed ENEL che, a loro volta, gestiscono una rete di circa 300 stazioni accelerometriche. 3.4.3 Riduzione del rischio sismico. L’insieme dei fenomeni geologici ed in particolare quelli sismici e vulcanici considerati nei loro effetti antropici locali si possono definire come la PERICOLOSITÀ GEOLOGICA di quella area, mentre la POTENZIALE VULNERABILITÀ ANTROPICA di quel territorio ai fenomeni geologici è determinata dalle attività e dalle opere dell’uomo presenti. Il RISCHIO GEOLOGICO è la combinazione della pericolosità geologica e della potenziale vulnerabilità antropica di un territorio espressa in termini di rapporto tra i prevedibili eventi di pericolosità geologica, la loro intensità e frequenza ed i relativi effetti antropici. Come esempi di pericolosità geologica citiamo: terremoti, eruzioni vulcaniche, alluvioni, frane, maremoti, erosione, subsisdenza, bradisismi, ecc. La potenziale vulnerabilità antropica comprende l’intensità ed il tipo di urbanizzazione, l’uso del territorio, le infrastrutture, ecc.. Se definiamo il rischio come: RISCHIO = PERICOLOSITÀ × VULNERABILITÀ intervenire sul rischio geologico significa individuare tutti gli elementi geologici e le cause antropiche che si combinano a costituire il pericolo ed i possibili interventi atti a ridurre la vulnerabilità, attraverso la programmazione, la pianificazione e la gestione del territorio. Gli interventi possono così agire o sulla pericolosità (es.: bonifica di un’area franosa) o sulla vulnerabilità (es.: eliminare gli effetti delle sollecitazioni sismiche sui manufatti). Le due azioni ovviamente vanno portate avanti insieme e ciò è particolarmente valido per la mitigazione degli effetti dei sismi, che tra le cosiddette “catastrofi naturali” sono tra le più disastrose. Una volta che un’area è stata dichiarata sismica (macrozonazione), per ragioni storiche e/o tettoniche, nasce il problema dello studio in dettaglio del posto per localizzare in modo preciso le zone di maggior pericolo, in funzione della geologia, della morfologia o altro. Oggetto di ciò è la microzonazione sismica, che parte dallo studio di un terremoto storico, dalle carte geologiche generali e della scuotibilità per arrivare allo studio della risposta sismica locale, combinata con lo studio del terreno e della sua geologia. Il risultato sarà uno studio di dettaglio, che combina caratteri geologici e petrografici, elementi geotecnici, morfologici e sismici, che contribuiscono a definire i locali vincoli urbanistici e costruttivi atti a ridurre la vulnerabilità entro limiti economicamente e umanamente accettabili. 3.4.4 Elenco dei Comuni sismici. L’elenco dei comuni, con indicato il grado di SISMICA\ELENsismicità di ognuno, è stato inserito nel CD allegato al manuale ( CO.XLS). L’elenco è stato gentilmente fornito dal Servizio Sismico Nazionale. Il motivo di questa scelta è che, su disco, l’elenco può essere aggiornato molto più frequentemente che su carta. 3.4.5 Geologia ambientale. Con questo termine si intende, a partire dall’inizio degli anni ’70, quella particolare branca delle scienze ambientali che considera l’uomo come agente geologico, ossia uno degli elementi di modificazione della superficie del pianeta. Essa tratta dei problemi che la tecnologia umana incontra nell’utilizzo
GEOLOGIA
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Scala di intensità Mercalli modificata (MM) (secondo la versione di H.O. Wood e F. Neumann) I II
Non percepito dalle persone. Percepito da persone in riposo, e in piani superiori delle case o in posizione favorevole.
III
Percepito nelle case. Oscillazione di oggetti sospesi. Vibrazioni come al passaggio di autocarri leggeri. Stime della durata.
IV
Oscillazione di oggetti sospesi. Vibrazioni come al passaggio di autocarri pesanti o come se una pesante palla colpisse le pareti. Oscillazioni di automezzi fermi. Movimento di porte e finestre. Tintinnio di vetri. Vibrazioni di vasellame. Nello stadio superiore del IV, scricchiolio di pareti e di strutture in legname.
V
Risentito all’esterno; stima della direzione. Sveglia di persone dormienti. Movimento della superficie dei liquidi, versamento di taluni recipienti. Spostamento o rovesciamento di piccoli oggetti instabili. Oscillazione di porte che si aprono o si chiudono. Movimento di imposte e quadri. Arresto, messa in moto, cambio del passo di orologi a pendolo.
VI
Sentito da tutti. Spavento e fuga all’esterno. Barcollare di persone in moto. Rottura di vetri, piatti, vetrerie. Caduta dagli scaffali di ninnoli, libri, ecc. e di quadri dalle pareti. Spostamento o rotazione di mobili. Screpolatura di intonachi deboli e di muraglie tipo D*. Suono di campanelli (di chiese, di scuole). Stormire di alberi e di cespugli.
VII
Difficile stare in piedi. Risentito dai guidatori di automezzi. Tremolio di oggetti sospesi. Rottura di mobili. Danni alle murature tipo D*, incluse fenditure. Rotture di comignoli deboli situati sul colmo dei tetti. Caduta di intonachi, mattoni, pietre, cornicioni (anche di parapetti isolati e ornamenti architettonici). Qualche lesione a muratura tipo C*. Formazioni di onde sugli specchi d’acqua; intorbidamento di acque. Piccoli smottamenti e scavernamenti in depositi di sabbia e ghiaia. Danni ai canali d’irrigazione rivestiti.
VIII
Risentito nella guida di automezzi. Danni a muratura tipo C*, crolli parziali. Alcuni danni a murature tipo B*, non tipo A*. Caduta di stucchi e di alcuni pareti in muratura. Rotazione e caduta di camini, monumenti, torri, serbatoi elevati. Costruzioni con strutture in legname smosse dalle fondazioni se non imbullonate; pannelli delle pareti lanciati fuori. Rottura di palizzate deteriorate. Rottura di rami di alberi. Variazioni di portata o di temperatura di sorgenti e pozzi. Crepacci nel terreno e sui pendii ripidi.
IX
Panico generale. Distruzione di muratura tipo D*, gravi danni a murature tipo C* talvolta con crollo completo; seri danni a murature tipo B* (danni generali alle fondazioni). Gravi danni ai serbatoi. Rottura di tubazioni sotterranee. Rilevanti crepacci nel terreno. Nelle aree alluvionali, espulsioni di sabbie e fango, formazione di crateri di sabbia.
X
Distruzione di gran parte delle murature e delle strutture in legname, con le loro fondazioni. Distruzione di alcune robuste strutture in legname e di ponti. Gravi danni a dighe, briglie, argini. Grandi frane. Disalveamento delle acque di canali, fiumi, laghi, ecc.. Translazione orizzontale di sabbie e argille sulle spiagge e su regioni piane. Rotaie debolmente deviate.
XI XII
Rotaie fortemente deviate. Tubazioni sotterranee completamente fuori servizio. Distruzione pressoché totale. Spostamento di grandi masse rocciose. Linee di riferimento deformate. Oggetti lanciati in aria.
A* Buon manufatto con malta, costruito su progetto; rinforzato specialmente ai lati e legato insieme con ferri, calcestruzzo, ecc. progettato per resistere a forze laterali. B* Buon manufatto con malta; rinforzato, ma non destinato in particolare a resistere a forze laterali. C* Manufatto ordinario con malta; non eccessivamente debole (mancanza di tiranti agli angoli), ma né rinforzato né destinato a resistere a forze orizzontali. D* Manufatto di bassa qualità, fatto con materiali deboli, come mattoni cotti al sole; malte povere; debole orizzontalmente.
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SCIENZE NATURALI
della Terra e delle sue risorse e nello studio delle reazioni che tale uso determina. Essa utilizza le tradizionali branche della Scienza della Terra, con particolare riferimento alla geotecnica, alla geologia economica, la geologia applicata e quella urbana. Rispetto alla visione tradizionale delle Scienze della Terra, l’oggetto di questa Scienza è lo studio dell’impatto dell’uomo sull’ambiente, in particolare quello determinato da: a) Costruzioni stradali. L’apertura di strade modifica il paesaggio, livella il territorio, può innescare frane, provoca l’apertura di cave di prestito, aumenta la pressione umana in aree precedentemente immuni. b) Città. La costruzione delle città o il loro ampliamento, modifica profondamente le caratteristiche geotecniche del territorio, aumenta lo sfruttamento delle falde, modifica il clima, altera il ciclo delle acque superficiali e sotterranee, determina la necessità di cave di ghiaia e sabbia o di calcare per cemento per l’edilizia. c) Rifiuti. La produzione di rifiuti urbani ed industriali determina la necessità del loro corretto smaltimento in discariche possibilmente controllate, con gravi effetti sulle falde o sull’utilizzo del territorio, soprattutto in zone già fittamente antropizzate. Di maggior impatto poi i problemi posti dai rifiuti radioattivi. d) Cave e miniere. Lo sfruttamento delle risorse minerarie o di cava modifica grandemente l’assetto territoriale; si pensi alle grandi miniere di carbone a cielo aperto o alle cave di calcare per cementi. Problema analoghi sono posti anche dal loro recupero ambientale. e) Risorse idriche. Essa riguarda sia il prelievo che lo sfruttamento delle risorse superficiali e sotterranee, nonché la modifica dei corsi d’acqua, la loro canalizzazione, il loro inquinamento, la costruzione di invasi a scopo irriguo o idroelettrico, gli impianti di desalazione delle acque marine. f) Agricoltura. La messa a coltura di aree sempre più vaste di territorio determina la scomparsa degli ecosistemi precedenti e la loro sostituzione con ambienti artificiali a sempre più forte impatto ambientale (fertilizzanti, pesticidi, modifiche pedologiche, erosione genetica, ecc.) e dipendenza antropica. g) Modificazioni climatiche. Riguardano sia le alterazioni microclimatiche indotte dall’assetto urbano, sia le grandi modificazioni a livello planetario: le isole di calore, il possibile effetto serra, il buco nella fascia d’ozono, la desertificazione progressiva dovuta ad errori agronomici, la distruzione delle foreste equatoriali. 3.4.6 Esodinamica. Studia le modificazioni della superficie terrestre dovute ad agenti esterni (esogeni): – azione geomorfologica dell’atmosfera; – azione geomorfologica delle acque continentali (selvagge, corsi d’acqua); – azione geomorfologica dei ghiacciai; – azione geomorfologica del mare. a) Atmosfera – Azione termica: dipende da variazioni di temperatura e dal fenomeno del gelo e disgelo. Determina la formazione di: fratture, desquamazioni (distacchi di scaglie superficiali), disgregazioni (rotture di blocchi rocciosi), detriti di falda (accumulo di
GEOLOGIA
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detriti, a forma di cono, posti ai piedi delle pareti della montagna), frane (caduta di detriti in grande quantità, facilitata dalla presenza di strati di ghiaccio), crioclastismo (allargamento di fessure nelle rocce, dovute a formazione di ghiaccio). – Azione dinamica: è dovuta al vento. Si verificano fenomeni vari: deflazione (rimozione e trasporto di detriti fini, talora a grandi distanze), corrosione (erosione delle rocce da parte della sabbia trasportata dal vento), deiezione (deposito del materiale trasportato e formazione di dune, barkanejoess). I deserti, sabbioso (erg), ciottoloso (serir), roccioso (hammada), si formano per l’azione termica e dinamica dell’atmosfera. – Azione chimica: è dovuta all’acqua, all’ossigeno, all’acido carbonico, che agiscono sui componenti delle rocce (silicati al 90%). Si possono verificare formazione di argilla e caolino da sificati di alluminio, formazione di idrossido ferrico (limonite), alterazione di terreni rocciosi in clima caldo (laterite), dissoluzione dei calcari (fenomeno carsico), alterazione di terreni calcareo-silicei contenenti molto ferro (ferretto). b) Acque continentali – Acque selvagge (cadenti e dilavanti). Azione meccanica (erosione): consiste nell’asportazione di materiale superficiale; è intensa nelle zone prive di vegetazione, in forte pendenza e in terreni poco compatti. Determina la formazione di: calanchi (solchi paralleli o a ventaglio su ripidi pendii argillosi o marnosi, separati da creste affilate – Appennino Tosco-Emiliano), piramidi di terra (strutture piramidali di materiale argilloso-sabbioso sormontate da massi, in sedimenti glaciali), frane (distacco da pendii più o meno ripidi di blocchi rocciosi che cadono o scivolano verso il basso). Le frane possono essere: di crollo, in alta montagna, lungo corsi d’acqua o coste di mari; di scivolamento, per slittamento di materiale su un piano di scorrimento, come uno strato argilloso imbevuto d’acqua; di scoscendimento, nel caso di blocchi di terreno che sprofondano su superfici curve; di colamento, per scorrimento di terreni prevalentemente argillosi inzuppati d’acqua che non penetra in profondità, ma è trattenuta negli strati superficiali di suoli impermeabili; di smottamento, per caduta di materiali sciolti o divenuti tali perché imbevuti d’acqua. – Corsi d’acqua Erosione o fase distruttiva: rimozione dall’alveo del fiume di detriti di dimensioni diverse; si verifica nel corso superiore del fiume e dipende dalla natura delle rocce incontrate, dalla portata d’acqua e dalla pendenza del terreno; si forma una valle con profilo a V. Trasporto: il materiale eroso viene trasportato in soluzione, in sospensione, per trascinamento, in rapporto alle dimensioni dei frammenti. Deposito: sedimentazione del materiale per diminuzione della pendenza del terreno e velocità dell’acqua; prima si depositano i detriti più grossolani, in seguito i più fini (depositi alluvionali). Se i depositi colmano il letto il fiume straripa. – Ghiacciai. Esarazione: distacco di frammenti di varie dimensioni dal fondo e dalle pareti del ghiacciaio; le pareti rocciose si presentano striate, levigate, montonate. La valle glaciale ha un profilo ad U.
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SCIENZE NATURALI
Trasporto: i detriti (morene) di varie dimensioni vengono trasportati sui fianchi, presso il fondo, in superficie. I blocchi possono essere di dimensioni maggiori di quelli trasportati dal fiume. Sedimentazione: deposito dei detriti al termine della lingua glaciale (morena terminale), ai margini di essa (morene laterali), sul fondo del ghiacciaio (morena di fondo). Anfiteatro morenico: serie concentrica di cordoni morenici dovuta al susseguirsi di fasi stazionarie e ritiri veloci; si trovano allo sbocco in pianura delle valli glaciali. Sedimenti morenici: miscugli di argille, sabbie, ghiaie e massi rocciosi, senza tracce di stratificazione. I ciottoli presentano spigoli smussati e sfaccettature. – Mare. L’azione modificatrice è dovuta al moto ondoso, alle maree, alle correnti; varia secondo il tipo di costa (alta, bassa). Erosione o abrasione: è prevalente sulla costa alta. È dovuta al moto ondoso che provoca lo sgretolamento delle rocce; il materiale eroso aumenta l’azione delle onde. Dipende da vari fattori: natura delle rocce (quelle eruttive, compatte, come porfidi, graniti, basalti, sono più resistenti delle sedimentarie), disposizione degli strati (quelli verticali sono più resistenti di quelli orizzontali nei quali l’acqua può penetrare e affrettarne lo sgretolamento), presenza o meno di fratture. Solco di battigia: si forma in corrispondenza del livello di maggior azione del mare. Grotte di abrasione: si formano per l’approfondimento del solco di battigia. Tipi di coste alte: a rias (costa articolata per profonde insenature dovute a valli fluviali ed estauri sommersi dal mare); a fiordi (profonde insenature lunghe e strette, derivate da valli di origine glaciale invase dal mare); a valloni (coste articolate frontegiate da isole separate fra loro e dalla costa da canali corrispondenti ad antiche valli sommerse dal mare); a falaise (coste diritte con pareti a strapiombo sul mare per decine o centinaia di metri). Trasporto: azione dovuta alle onde, alle maree, alle correnti, che distribuiscono il materiale formato da minuti frammenti (sabbia), o proveniente dall’erosione delle coste, o di origine alluvionale. Deposito: è prevalente sulla costa bassa; i materiali provengono dall’abrasione o da alluvioni fluviali; i frammenti si sminuzzano ed assumono una forma ovulare per il rotolamento e si appiattiscono. All’accumulo della sabbia concorrono vari fattori: la forza del moto ondoso, l’ampiezza della marea, la velocità delle correnti, la morfologia del fondale, la forma della costa. Cordoni litoranei: affioramento di depositi di materiale minuto, paralleli alla costa; possono determinare la formazione di lagune. Tomboli: cordoni litoranei che congiungono un’isola alla terra ferma.
4 4.1
ELEMENTI DI GEOTECNICA
ANALISI E CLASSIFICAZIONE DELLE TERRE
4.1.1 Principi generali. La geotecnica è una branca delle scienze a cavallo tra l’Ingegneria e le Scienze della Terra, che si occupa della meccanica del terreno, ossia delle proprietà delle rocce sciolte o disgregate (ghiaia, sabbia, limo, argilla), in contrapposizione alla roccia lapidea o solida, della quale si occupa invece la meccanica delle rocce. Le teorie della geotecnica derivano dalla Fisica, dalla Chimica e dalla Geologia e trattano l’equilibrio dei corpi in roccia sciolta (d’ora innanzi detti terreni o terre) ed in particolare quelli investiti da carichi, quali fondazioni od opere industriali. Lo studio delle leggi costitutive del terreno, con o senza fluidi, si avvale sia della Meccanica, sia della Scienza delle Costruzioni, come della Idraulica. Le loro interazioni in laboratorio costituiscono i principi della geotecnica, mentre lo studio del terreno in loco forma la teoria della geotecnica. Per legge i settori di applicazione della geotecnica in Italia sono ancora ristretti, ma già ora si occupano di costruzioni civili ed industriali, di opere di sostegno, della stabilità di scavi e di pendii o delle alterazioni antropiche della morfologia, come ponti, strade, gallerie, ecc. 4.1.2 Principali tipi di terre. La geotecnica considera con chiara distinzione i comportamenti delle terre e della roccia. Terra (o terreno o roccia sciolta). È un aggregato naturale di granuli minerali, con o senza costituenti organiche, che possono essere separati mediante leggere azioni meccaniche; ha valori di resistenza meccanica (compressione, trazione, ecc.) bassi o nulli. Roccia (o roccia solida o lapidea). È un aggregato naturale di minerali, legato da forze di coesione importanti e permanenti, che non vengono perse al contatto coll’acqua; manifesta elevati valori di resistenza meccanica e si presenta in massa o in frammenti di grosse proporzioni. In natura troviamo fasi di passaggio tra i due gruppi (come i tufi o certe marne). Inoltre la componente organica, eventualmente presente in misura più o meno rilevante, può essere parzialmente o totalmente decomposta, modificando di conseguenza anche notevolmente la proprietà della terra stessa. Le terre si possono poi suddividere in coerenti o incoerenti se, asciutte, conservano una resistenza alla trazione. Dal punto di vista della grana dei minerali costituenti, si possono distinguere terre a grana grossa, fine e finissima. Nelle prime i frammenti sono grossolani, costituiti da uno o più minerali: abbiamo così i ciottoli, seguiti dalle ghiaie che hanno granuli, dai bordi più o meno arrotondati e con diametro maggiori di 20 mm, mentre al livello inferiore si collocano le sabbie. I limiti tra ciascuna classe sono convenzionali e variano a seconda dei sistemi di riferimento assunti (fig. 4.1). Tra i terreni a grana fine abbiamo i limi che possiedono poca o nulla plasticità e coesione: essi sono compresi in genere tra il limite delle sabbie e i 2 µm. Al di sotto si pongono convenzionalmente le argille, mineralogicamente costituite da sedimenti silico-alluminosi, di varia origine. Dal punto di vista geotecnico, sono ca-
Fig. 4.1 Principali sistemi di classificazione delle terre in funzione della granulometria.
E-34 SCIENZE NATURALI
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-35
ratterizzate dalla loro attività superficiale, in quanto le molecole costituenti non sono elettricamente neutre ed in tal modo ne condizionano il comportamento sia per quanto riguarda la coesione, sia per il rigonfiamento, la plasticità e la flocculazione. La frazione organica di una terra ne condiziona alquanto le proprietà, rendendo il materiale molto più comprensibile; la sua presenza è denunciata dal colore marrone ed eventualmente dall’odore caratteristico del materiale in decomposizione. Per studiare le terre è necessario eseguire delle prove di classificazione atte a determinare le proprietà indici, sia dei granuli che degli aggregati. Per i primi il campione può essere anche rimaneggiato, in quanto le analisi vengono compiute sui singoli granuli; per lo studio degli aggregati deve essere indisturbato, in quanto va esaminata la disposizione delle singole particelle di terra, per definirne il comportamento. 4.1.3 Proprietà indici. La più immediata delle proprietà che definiscono una terra è lo studio della sua granulometria, ossia l’analisi della distribuzione percentuale dei grani. Serve per definire la distribuzione in peso delle particelle di materiale, secondo le loro dimensioni ed il comportamento di una terra nei confronti degli agenti esterni, sia naturali, che antropici. Essa viene compiuta in due fasi: una, per il materiale a grana grossa, attraverso setacciatura meccanica, manuale o con vibro-setacci, di tipo AFNOR a maglie sempre più fini e una con l’uso di densimetri per la frazione fine, convenzionalmente posta in coincidenza del vaglio 200 della serie A.S.T.M. (American Society for Testing Material), fino al limite inferiore di 0,08 µm. Per ogni classe si pesano i diversi trattenuti e li si accumula, rapportando i pesi al valore iniziale e rappresentando le percentuali così ottenute sulla curva granulometrica. Le percentuali vanno in scala naturale sull’asse delle ordinate, mentre i diametri vanno sulle ascisse in scala logaritmica (fig. 4.2). Dalla forma della curva ottenuta si traggono indicazioni sul tipo di terra: le terre uniformi hanno rappresentazioni quasi verticali, rientrando in un’unica classe granulometrica; mentre le terre ben graduate occupano più cicli della scala logaritmica. Per lo studio della frazione più fine si ricorre all’analisi a raggi X o all’analisi termica differenziale. Accanto all’analisi granulometrica si può affiancare l’analisi qualitativa, che consiste nell’identificazione delle rocce e dei minerali costituenti la terra e nello studio della disposizione dei grani. Quest’ultimo costituisce la struttura primaria di un terreno e si forma durante i processi sedimentologici. Ad essa si sovrappone una struttura secondaria, che è costituita dalle fessurazioni, dai giunti e dalle concrezioni che si sono posteriormente sviluppate nel terreno. La struttura primaria viene indicata come: – Granulare: ogni granulo tocca i granuli adiacenti, in maniera da costituire una struttura stabile anche senza l’intervento di forze di coesione. – Cellulare: i granuli si toccano solo in alcuni punti e la terra sarebbe instabile, senza l’intervento delle forze di adesione. – Flocculenta: grani di materiale con struttura cellulare formano a loro volta delle celle di dimensione maggiore, grazie alla coesione tra le particelle. Nella definizione della struttura primaria grande importanza ha la densità per lo studio della quale è necessario esaminare il campione nelle tre fasi fisiche, che lo compongono (solida, liquida e gassosa) ed i reciproci rapporti. A tale scopo vanno introdotti una serie di parametri, tra di loro correlati:
Fig. 4.2 Esempio di curva granulometrica.
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ELEMENTI DI GEOTECNICA
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Volume (V). Va distinto il volume del solido (Vs), quello dell’acqua presente (Va) e quello dei gas (Vg). Questi ultimi vengono anche normalmente accomunati col termine di volume dei vuoti (Vv ). Porosità (n).
Viene definita come il rapporto tra il volume ed il volume dei vuoti: n = Vv /V
Indice dei vuoti (e). È il rapporto percentuale tra il volume dei vuoti e quello del solido: e = Vv /Vs Contenuto in acqua (w). Ha particolare importanza nei terreni a grana fine ed esprime il rapporto tra il peso dell’acqua Pa , ed il peso del materiale essiccato a 105°C o peso secco Ps : w = Pa / Ps Grado di saturazione (Sr %). Di particolare importanza in idrogeologia in quanto indica i terreni saturi in connessione colla falda freatica; considera i terreni sommersi con piccole quantità di gas o di acqua: Sr % = Va /Vn Peso unitario (γ). Rappresenta il peso per unità di volume come rapporto tra il peso totale P (compresa l’acqua) ed il volume V totale. γ = P/V Si può distinguere tra un peso unitario di un terreno saturo (γsat) ed una densità secca (γd ). Per i materiali a grana grossa si fa riferimento alla densità relativa, che permette di definire il grado di costipamento raggiunto in sito: e max – e D = ----------------------------e max – e min dove emax è l’indice dei pori allo stato più sciolto e emin quello allo stato più denso; di conseguenza D = 1 indica un materiale molto denso e D = 0 uno sciolto. Ritiro (R). È il rapporto tra la riduzione di volume durante l’essiccamento (Vrit) ed il volume iniziale (Vi ): R = (Vi — Vrit)/Vi · 100% Esso serve per avere indicazioni sulla compressibilità del terreno e quindi la sua consistenza nel tempo. Limiti di plasticità (o limiti di Attenberg) Ip . Riguardano le terre argilloso-limose e misurano il passaggio dallo stato liquido o fluido a quello plastico (limite di liquidità, wL); da questo allo stato semisolido (limite di plasticità, wp) ed infine allo stato solido (limite di ritiro ws), al progressivo diminuire del contenuto in acqua (v. tabella 4.1). Poiché tali limiti appaiono fortemente condizionati dal contenuto in argilla della terra, è possibile definire un ulteriore parametro detto: coefficiente di attività delle argille = Ip / % < 2 µ
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SCIENZE NATURALI
Tab. 4.1
Valori medi dei limiti di Attenberg per alcune comuni terre Limite di liquidità
Limite di plasticità
Indice di plasticità
Variazioni dell’indice di plasticità
20 25 40 80 250
20 20 25 30 150
0 5 15 50 100
0 2 ÷ 10 10 ÷ 25 25 ÷ 75 –
Sabbia Limo, loess Argilla magra Argilla grassa Sostanze organiche
Esso è compreso tra 0,75 e 1,25 per argille normali, è superiore a 1,25 per quelle attive ed arriva a 2 per quelle montmorillonitiche. Il limite di liquidità si determina in laboratorio attraverso l’apparecchio di Casagrande, che consiste in un cucchiaio riempito di una miscela di acqua e argilla. Si spiana la superficie e al centro viene tracciato un solco a V di 2 mm di larghezza per 8 mm di altezza. Attraverso una manovella il cucchiaio viene fatto ripetutamente battere ad intervalli uguali dall’altezza di 1 cm. Il contenuto in acqua per il quale il solco, dopo 25 colpi, si richiude definisce il limite ricercato (fig. 4.3). La determinazione in laboratorio del limite di plasticità si ricava impastando la terra in esame, formando dei cilindretti di 3 cm di diametro. Essi vengono poi fatti rotolare su una lastra porosa, dove perdono acqua, fino a screpolarsi ed a definire quindi il limite cercato. L’intervallo tra il limite di plasticità e quello di liquidità definisce la plasticità di un terreno e può così essere riassunto: Ip – wL – wp
0–4
5 – 14
15 – 39
> 40
grado di plasticità
non plastico
poco plastico
plastico
molto plastico
I limiti di plasticità possono anche essere definiti come segue: Vi – V f w s = w – 100 --------------------γs dove ws è il limite di ritiro, w il contenuto d’acqua iniziale, Vi e Vf i volumi iniziali e finali e γs il peso a secco. O anche: Indice di plasticità
Ip = wL – wp
Indice di liquidità
w – wp I L = -------------------Ip
Indice di consistenza
wL – w I c = -------------------Ip
quest’ultimo esprime il grado di consistenza sulla base della resistenza alla compressione qu con espansione laterale libera. Ha particolare importanza pratica in quanto indica eventuali pericoli di rifluimento della terra, in funzione del contenuto in acqua (v. tabella 4.2).
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ELEMENTI DI GEOTECNICA
Fig. 4.3 Schema dell’apparecchio di Casagrande, per la determinazione del limite di liquidità, secondo Attenbberg.
Tab. 4.2
Valori di resistenza alla compressione semplice in funzione della consistenza relativa per terreni argilloso-limosi
Consistenza
Resistenza alla compressione semplice qu in kg/cm2
1) molto molle 2) molle 3) media 4) compatta 5) molto compatta 6) compattissima
< 0,25 0,25 ÷ 0,50 0,5 ÷ 1 1÷2 2÷4 >4
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SCIENZE NATURALI
Grado di sensibilità (St = qu /qur). Indica gli effetti del rimescolamento sulla consistenza delle argille e varia al variare delle argille stesse o al loro contenuto in acqua. È espresso dal rapporto tra la resistenza alla compressione semplice qu e la resistenza qur dello stesso campione in cui sia stato rimosso il contenuto in acqua. La maggior parte delle argille si colloca intorno a valori compresi tra 2 e 4; le argille sensibili hanno valori fino a 8, mentre le argille fessurate hanno valori inferiori ad 1. Pericolose le argille con valori superiori ad 8 in quanto si possono trasformare in un liquido viscoso. 4.1.4 Sistemi di classificazione. Come già riportato nella figura 4.1, i criteri di classificazione dei terreni sono estremamente variabili, sia da paese a paese, sia in funzione dei parametri adottati. Per i terreni limoso-argillosi, ad esempio Casagrande propone un suo diagramma di plasticità, basato sui limiti di Attenberg, che divide queste terre in sei gruppi (fig. 4.4). Un sistema molto usato nelle costruzioni stradali è quello adottato dall’amministrazione delle strade pubbliche americane, rivisto nel 1945. In esso i terreni vengono suddivisi in 7 gruppi da A-1 a A-7, ognuno dei quali viene suddiviso in sottogruppi. A questa classificazione si ispira la classificazione italiana C.N.R. UNI 10008 i materiali stradali, che però introduce una successiva classe A-8 per le torbe e le terre palustri (v. tabella 4.3). Un criterio affine a questo viene contenuto nella «Raccomandazione per i lavori stradali» fascicolo 2 – lavori generali n. 79-37 del 14 marzo 197 9, nota come «Classificazione dei terreni R.T.R.».
Fig. 4.4 Diagramma di plasticità di Casagrande.
– ≤ 50 ≤ 25
A 1-b
0
– N.P.
– > 50 ≤ 10
A3
Ghiaia o breccia, ghiaia o breccia sabbiosa, sabbia Sabbia fine grossa, pomice, scorie vulcaniche, pozzolone
0
Indice di gruppo
Tipi usuali dei materiali caratteristici costituenti il gruppo
– ≤6
≤ 50 ≤ 30 ≤15
A 1-a
A1
0
> 40 ≤ 10 max
– – ≤ 35
≤ 40 > 10
– – ≤ 35
≤4
> 40 > 10
– – ≤ 35
Ghiaia e sabbia limosa o argillosa
≤ 40 ≤ 10
– – ≤ 35
A 2-4 A 2-5 A 2-6 A 2-7
A2
Rocce ghiaiose-sabbiose Frazione passante allo staccio 0,075 ≤ 35%
≤ 12
≤ 10
– – > 35
A5
≤ 16
> 10
– – > 35
A6
> 10
– – > 35
A 7-5
> 10
– – > 35
A 7-6
Argille fortemente compressib. fortemente plastiche
≤ 20
A7
Argille Argille Limi Limi fortemente poco fortem. poco compressib. compres- compressi- compresmediamente sibili bili sibili plastiche
≤8
≤ 10
– – > 35
A4
Rocce-argillose Frazione passante allo staccio 0,075>35%
Classificazione funzionale AASHO o UNI 10008, per roccie sciolte allo stato indisturbato
Limite liquido Indice di plasticità
Caratteristiche della frazione passante allo staccio 0,4 UNI 2332
2 UNI 23332 % 0,4 UNI 2332 % 0,075 UNI 2332 %
Analisi granulometrica Frazione passante allo staccio
Sottogruppo
Gruppo
Classificazione generale
Tab. 4.3
Torbe di recente o remota formazione, detriti organici di origine palustre
A8
Torbe e rocce organiche palustri
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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La maggior parte dei granuli sono individuabili ad occhio nudo - Aspri al tatto - Una tenacità media o elevata allo stato asciutto indica la presenza di argilla
Media scarsa
Nullo o lieve
Media
Elevato
Elevata
Molto elevato
Media
Non reagiscono alla prova di scuotimento* - Tenaci allo stato asciutto - Facilmente modellabile in bastoncini sottili allo stato umido
Scarsa o molto scarsa
Elevato
Media
Reagiscono alla prova di scuotimento* - Polverulenti o poco tenaci allo stato asciutto - Non facilmente modellabile allo stato umido
Lieve o medio
Molto elevate
Da mediocre a scadente
Rocce-argillose Frazione passante allo staccio 0,075>35%
Segue
Fibrosi di color bruno o nero Facilmente individuabili a vista
Da scartare come sottofondo
Torbe e rocce organiche palustri
* Prova di cantiere che può servire a distinguere i limiti dalle argille. Si esegue scuotendo nel palmo della mano un campione di roccia bagnata e comprimendolo successivamente fra le dita. Laroccia sciolta reagisce alla prova se, dopo lo scuotimento, apparirà sulla superficie un velo lucido di acqua libera, che scomparirà comprimendo il campione fra le dita.
Aspri al tatto. Incoerenti allo stato asciutto.
Elevata
Permeabilità
Facilmente individuabile a vista
Nullo
Ritiro o rigonfiamento
Identificazione dei terreni in sito
Nessuna o lieve
Da eccellente a buono
Qualità portanti, quale terreno di sottofondo, in assenza di gelo
Azione del gelo sulle qualità portanti del terreno di sottofondo
Roccie ghiaiose-sabbiose Frazione passante allo staccio 0,075 ≤ 35%
Classificazione generale
Tabella 4.3
E-42 SCIENZE NATURALI
Fig. 4.5 Schema di identificazione, in laboratorio per terreni di fondazione, secondo il Corps of Engineers-Waterways Experiments Station.
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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SCIENZE NATURALI
Infine, riprendendo una classificazione del Corps of Engineers dell’esercito americano, ancora Casagrande ripropone una classificazione delle terre in funzione della classazione e della compressibilità. Per ogni terra viene associata una caratteristica e si dividono in tal modo per gruppi i terreni fondazione. La prima lettera indica la terra (dalla terminologia inglese) e la seconda una suddivisione in base alle caratteristiche fisiche. Tipi di rocce: ghiaia sabbia limo argilla limo o argilla organica torba
G S M C O P
Suddivisioni (per rocce a grana grossa): ben graduate, con scarso fino ben graduata, con buon legante argilloso di graduazione uniforme, con scarso fino male graduata, con scarso fino bene graduata, con eccesso di fino
W C U P F
(per le rocce a grana fine): bassa compressibilità media compressibilità alta compressibilità
L I H
In tal modo si costruiscono le combinazioni, finalizzate soprattutto ai terreni per fondazioni: Ottimi: GW - GC - GP - SW - SC Buoni: GF - SP - SF - CL Discreti: CL - ML Scadenti: OL - CI - GP Pessimi: MH-CH-OH-P (v. figura 4.5) 4.2
SFORZI E DEFORMAZIONI
4.2.1 L’acqua nel terreno. Nei nostri territori l’acqua è un composto sempre presente nei terreni, in quantità più o meno elevata e poiché essa ne influenza notevolmente le caratteristiche di resistenza e di compressibilità è opportuno studiare le proprietà idrauliche e meccaniche dell’acqua nel terreno, tenendo comunque presente che una trattazione sistematica del soggetto costituisce quel settore delle Scienze della Terra che è l’idrogeologia e costituirà l’oggetto del prossimo capitolo di questo manuale. Un mezzo è permeabile se contiene un sistema continuo di vuoti, attraverso il quale filtra l’acqua. Il diametro dei vuoti, la loro densità, la presenza di materiale fine, de-
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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terminano una certa resistenza al passaggio. Di ciò si tiene conto nel calcolo della velocità di flusso, che viene definita in base alla legge di Darcy: v = ki dove v è la velocità di flusso, k è un coefficiente empirico di permeabilità e i il gradiente idraulico. Il parametro più importante è pertanto k che ha le dimensioni di una velocità e dipende dal mezzo poroso e dal fluido (v. tabella 4.4). Esso può essere determinato in laboratorio attraverso: a) il permeametro a carico costante, dove si misura il volume d’acqua che attraversa un campione di terra in un tempo t, sotto l’azione di un carico costante. Serve per valori di permeabilità elevati (k > 10–3). b) il permeametro a carico variabile; si usa per valori di permeabilità media (k tra 10–3 e 10–6). In entrambi i casi va fatta molta attenzione nel non alterare le condizioni geotecniche originali del campione in esame, per non invalidare i risultati. Sul terreno le prove di permeabilità vengono svolte o attraverso prove empiriche speditive (molto approssimate) o attraverso prove di pompaggio in pozzi, applicando la relazione derivante dalla legge di Darcy: Q = Aki dove Q rappresenta la quantità d’acqua prodotta nell’unità di tempo e A è la sezione del pozzo. Su di una massa di terra satura agiscono due tipi di forze: quelle che sono trasmesse direttamente da granulo a granulo (pressione intergranulare o effettiva) e quelle che agiscono attraverso il fluido che riempie i vuoti (pressioni neutrali); solo però le pressioni intergranulari possono determinare variazioni delle proprietà della terra. In particolare quando il gradiente idraulico determina una pressione effettiva nulla (gradiente idraulico critico) si viene a creare una situazione per la quale le sabbie vengono come a galleggiare e vengono trascinate dall’acqua; quando tale equilibrio viene superato si ha il fenomeno di sifonamento, particolarmente pericoloso quando interessa opere di fondazione sotto la falda, perché può determinare cedimenti di dighe, argini, ecc.; per evitare tali problemi è opportuno intervenire con adeguati sistemi di filtro, che modificano la pressione effettiva del sistema. Il livello dell’acqua in un pozzo identifica una superficie libera detta freatica, o anche falda freatica: qui il livello della pressione neutrale è uguale a quello della pressione atmosferica. Al disotto della falda il terreno è quasi completamente saturo, mentre al di sopra vi sono passaggi d’acqua legati alle percolazioni dalla superficie del piano di campagna e al fenomeno della capillarità, quando cioè la tensione tra granuli di piccole dimensioni determina una risalita dell’acqua, tra granulo e granulo. A volte la presenza dell’acqua nei terreni di fondazione può determinare dei problemi ed essa va eliminata, attraverso la rapida dissipazione delle sovrappressioni interstiziali. Ciò avviene in pratica attraverso i drenaggi, che facilitano l’incremento delle tensioni efficaci a scapito di quelle interstiziali e accrescono la resistenza delle rocce incoerenti, accelerando il decorso nel tempo delle deformazioni.
Determinazione indiretta di k
10
10–1
10–2
10–5
Ridotto
10–4
Determinazione della curva granulometrica, applicazione soltanto a sabbie e ghiaie pulite in natura
Prova a carico variabile di facile esecuzione; significativa
Prova ad altezza di carico costante. Prova di facile esecuzione
10–6
10–9
10–10
Praticamento nullo
10–7
Sabbie molto fini, limo organi- Roccia «impermeabile» argille co ed inorganico, misti di sab- omogenee al di sotto della coltre bie, limi e argille ecc. d’alternazione atmosferica.
10–3
Roccia «impermeabile» argille con modificazioni strutturali generate da vegetazione ed alternazione in sito
Sabbie pulite, misto di ghiaie e sabbie pulite
Buono
1,0
Determinazione basata sui risultati della prova di consolidazione, prova di delicata esecuzione; significativa
Prova a carico variabile di deli- Prova a carico variabile, molto cata esecuzione; scarsamente si- scarsamente siglificativa, di degnificativa licata esecuzione
Prova diretta nella posizione originale - prova di pompaggio. Prova di delicata esecuzione; significativa
Ghiaia pulita
102
Campo di variabilità della permeabilità in rocce sciolte, con riferimenti ai sistemi di determinazione del parametro k
Determinazione diretta di k
Tipo di roccia
Drenaggio
k (cm/sec)
Tab. 4.4 E-46 SCIENZE NATURALI
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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Il drenaggio ha caratteristiche diverse a seconda dei tipi di terreni con cui ci si trova ad operare: la roccia è granulare è opportuno un drenaggio per filtrazione con invasione d’aria: se è fine e coerente un drenaggio per consolidazione. Per le rocce sciolte incoerenti si possono avere drenaggi per gravità, per pompaggio, per essicamento e per congelamento, per elettroosmosi nelle rocce sciolte coerenti. 4.2.2 Sforzi e deformazioni. Normalmente una terra può essere sottoposta a sollecitazioni più o meno elevate, in funzione delle quali si hanno deformazioni, che si riflettono sulle opere ivi costruite. Pertanto è necessario conoscere il comportamento di una roccia prima della rottura e l’entità delle tensioni a cui può essere sottoposta senza che avvenga rottura. Si parte dal principio per cui ad ogni sollecitazione consegue una deformazione o distorsione. Se ciò non avviene il corpo è detto rigido. Il corpo è detto solido se, mentre, si mantiene lo stato di tensione, si ha una deformazione finita. Se tale deformazione è viceversa continua il corpo è detto fluido. Se cessata la deformazione il corpo riassume l’assetto precedente si ha un materiale elastico; se al di sopra di un certo valore la deformazione è invece permanente, il corpo è plastico. Sono detti vibroelastici quei corpi che si deformano sotto tensione e recuperano lentamente la forma originaria, una volta che essa sia cessata. Ciò partendo dalla considerazione che il corpo sia isotropo, ossia che lo sforzo si manifesti in ogni punto in maniera omogenea; vicever-
Fig. 4.6 Rapporti sforzo/deformazione in funzione dei principali tipi di compressioni e alle condizioni di carico.
E-48
SCIENZE NATURALI
sa in natura talora si ha a che fare con corpi anisotropi, che reagiscono in maniera non omogenea. Ogni tipo di terra ha una sua risposta alle varie sollecitazioni: le ghiaie e le sabbie hanno un comportamento elastico e non lineare alle sollecitazioni idrostatiche, ma non elastico alle sollecitazioni tangenziali. Le argille non hanno comportamento nè elastico, nè lineare di fronte a tutte le sollecitazioni (v. figura 4.6). Per studiare il comportamento delle terre in funzione delle sollecitazioni si ricorre a vari esami di laboratorio: si ha così la prova endometrica o di compressione per terre con espansione laterale impedita e la prova triassiale, con espansione laterale parzialmente impedita. La prova edometrica va sempre condotta su campioni indisturbati, essi non debbono avere deformazioni laterali e gli elementi costituenti il campione non debbono contenere elementi di dimensioni maggiori ai 5 mm o il 20% degli elementi superiore ai 2 mm; ovviamente la prova sarà tanto più significativa, quanto maggiore sarà la rappresentatività del campione. Esso viene collocato in un anello metallico cilindrico, posto tra due pietre porose e sottoposto a sforzo di compressione uniassiale, raddoppiata ogni 24 ore (v. figura 4.7).
Fig. 4.7 Schema dell’apparecchio per la prova edometrica.
Poiché l’espansione laterale è impedita, la deformazione assiale è uguale a quella volumetrica, a cui si sommano anche deformazioni di taglio all’interno del provino, mentre ininfluente è in genere la velocità della compressione. La prova ha lo scopo di determinare i parametri di consolidamento dei terreni nelle condizioni in cui si trovano i terreni di fondazione. I risultati vanno trascritti in diagrammi con all’ordinata l’indice dei pori e in ascissa, in scala logaritmica, le pressioni crescenti, ottenendo così delle curve «deformazione-tempo» a carico costante.
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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Poiché in una prova edometrica standard si ha una progressiva riduzione del volume del terreno in seguito all’aumento della tensione di compressione e la progressiva espulsione del fluido contenuto nel campione, si può in questo modo calcolare anche la consolidazione della terra in esame. Infatti alla compressione iniziale, cioè alla riduzione di volume che segue l’applicazione del carico, fa seguito una consolidazione primaria, con l’eliminazione progressiva dell’acqua contenuta nei pori del terreno. Si ha infine una consolidazione secondaria col raggiungimento della struttura interna del terreno dopo che la maggior parte del carico gli è stato trasmesso. Nella teoria della consolidazione, il coefficiente di consolidazione è dato da: k C c = ----------------mv γ w dove mv è il coefficiente di compressibilità volumetrico, ricavabile sperimentalmente, e γw il peso di volume dell’acqua. Basandosi sui dati della prova endometrica, si può anche ricavare il coefficiente di permeabilità k del campione sotto carico, risolvendo in funzione di k l’equazione di cui sopra: k = C c γw mv 4.3
COSTIPAZIONE E RESISTENZA
4.3.1 Costipamento in laboratorio. I lavori di sbancamento o in genere la rimozione dalla sede naturale, senza particolari cure, determina profonde modificazioni delle proprietà geotecniche delle terre ed in genere la resistenza interna ne viene grandemente ridotta. Per contro, è necessario talora avere a che fare con terreni dalle caratteristiche note, per esempio per sedi stradali o fondazioni e quindi si deve procedere a modificazioni di alcuni parametri geotecnici, come in particolare l’aumento artificiale della densità della terra, ricorrendo a vari mezzi di compattazione, quali rulli compattatori o masse battenti. Inoltre in questa opera di addensamento meccanico del terreno, si può variare il contenuto in acqua o altri parametri, che vanno perciò conosciuti in anticipo. Per questo è necessario determinare, sia in laboratorio, sia in posto, il costipamento normalizzato con una prestabilita intensità, sia per contenuto in acqua che per densità. Tra le prove di laboratorio più usate per la geotecnica stradale o il controllo sulla messa in opera dei materiali in rilevato, vi è la prova Proctor, dal nome dell’ingegnere americano che nel 1933 ha esaminato l’influenza del contenuto in acqua e dell’energia di costipamento di una terra. Dopo di lui altri hanno sviluppato sistemi sperimentali di misura, ma il loro uso non è generalizzato o non sono stati accettati. Oggetto della prova è la determinazione del contenuto in acqua ottimale per un costipamento normalizzato di prestabilita intensità e la relativa densità secca massima. Si parte dalla costatazione per cui quando si costipano, nella stessa misura, dei campioni di uno stesso terreno, con differenti contenuti in acqua, si ottengono varie densità secche (γd) e un massimo viene raggiunto in concomitanza con un contenuto in acqua ottimale (Wott). Tale prova può essere effettuata solo su campioni che contengono elementi con diametro inferiore ai 20 mm; in caso contrario si provvede a sminuzzare il materiale fino
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a raggiungere la pezzatura desiderata e ciò a patto che il materiale superiore ai 20 mm non superi il 25% del totale, in quanto in caso contrario la prova perde di significato. Il materiale (circa 15 kg per 6 prove) viene posto a strati in un recipiente cilindrico di dimensioni note e lo si compatta con un pestello a caduta libera, secondo un procedimento normalizzato. Fatti 5 o 6 provini si misura il contenuto in acqua e la relativa densità secca. Variando il contenuto in acqua e mantenendo uguale l’energia di costipamento, si può costruire un diagramma con una curva a campana, che mette in relazione la variazione della densità secca col contenuto in acqua. Il punto di massimo della curva definisce un valore di contenuto in acqua, che viene detto optimum Proctor (fig. 4.8).
Fig. 4.8 Diagramma della variazione della densità secca in funzione del contenuto in acqua, quale si ottiene dalla prova Proctor.
La forma della curva varia al variare del tipo di terra. Queste prove possono essere eseguite sia in laboratorio, sia in cantiere, anche se va osservato che in laboratorio conducono a determinazioni dell’optimum in acqua leggermente minori che in cantiere. Accanto alla prova Proctor, ove il compattamento è ottenuto per azione di un pestello a caduta libera, vi sono altre prove simili, come quella Kneading, dove il materiale è compattato in strati da un pistone, che comprime il terreno con pressione nota, in un dato tempo. Oppure le prove statiche per cui la terra viene compattata da un pistone con area uguale a quella del recipiente o quelle vibranti, dove si impiegano tavole vibranti. Le più comuni comunque di queste prove sono quelle Proctor (Proctor normale o AASHO standard e Proctor modificato o AASHO modificato) (v. tabella 4.5). Un controllo diretto del costipamento è rappresentato da una prova molto usata negli Stati Uniti, dove è stata ideata: si tratta della Prova di portanza californiana (nota anche come CBR-California Bearing Ratio). Essa serve a determinare la portanza di un terreno, soprattutto nell’esecuzione di sedi stradali. Il principio della prova consiste nell’affondamento di un punzone in un terreno campione, sistemato in una fustella di dimensioni note. Come nella prova Proctor, il materiale deve avere pezzatura inferiore ai 20 mm: dopo aver immerso la
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ELEMENTI DI GEOTECNICA
Tab. 4.5
Tipo di prova
Confronto tra i risultati della Prova proctor Standard e quella modificata Dimensioni del cilindro
Dimensioni del pestello
Altezza Numero Numero caduta degli colpi per pestello Peso strati strato cm kg
Energia di costipamento kgcm/cm3
φ cm
H cm
V cm3
φ mm
Standard AASHO
10,16
11,7
945
50,8
2,5
3
25
30,5
6,05
Modified AASHO
10,16
11,7
945
50,8
4,54
5
25
45,7
27,5
Fig. 4.9 Schema della prova CBR e relativo diagramma-tipo.
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fustella per 4 giorni in acqua, vi si affonda un pistone di 4,96 cm con velocità costante (V = 127 mm/minuto) fino alla profondità di 1,27 cm. Si confrontano i valori ottenuti in corrispondenza ad un affondamento di 2,5 e 5,0 mm con quelli standard e si assume come risultato il maggiore valore tra i due, espresso in percentuale. Dato che la dispersione dei risultati è notevole, se l’andamento della curva non si presenta simile a quello in diagramma (fig. 4.9) si rende necessario procedere a correzioni. L’intera normativa è contenuta nelle Norme ASTM, D1883-73 (1978) Test for Bearing Ratio for Laboratory Compacted Soil. 4.3.2 Resistenza al taglio. Nello studio di fondazioni, strutture di sostegno o rilevati è opportuno conoscere i valori massimi di carico o di tensione che si può imporre al terreno, specie se incoerente, prima della rottura. Tale valore viene definito resistenza al taglio ed è collegato alle azioni reciproche tra le particelle che lo compongono, nonché dello scorrimento tra esse o dal loro reciproco incastrarsi. La resistenza al taglio è quindi proporzionale all’attrito, il quale si esprime o attraverso il coefficiente d’attrito f o attraverso l’angolo d’attrito φµ . Le leggi da ricordare in merito sono: l. La resistenza al taglio tra due corpi è proporzionale alla forza normale tra i corpi. 2. La resistenza al taglio è indipendente dalle dimensioni. Se noi concepiamo il terreno come un insieme di particelle solide con dei vuoti, che possono essere pieni d’acqua nei terreni saturi o d’acqua e d’aria in quelli non saturi, la pressione effettiva quindi esercitata può essere espressa sia in relazione alle variazioni di volume, sia in relazione alla resistenza al taglio. In particolare si osserva che la variazione di volume di un elemento di terra non dipende dalle variazioni della sollecitazione normale totale effettuata, bensì dalla variazione della pressione effettiva. Inoltre la resistenza al taglio massima su ogni piano è funzione non della sollecitudine normale totale, ma della differenza tra la pressione normale totale e la pressione dei pori. Per quanto riguarda la pressione dei pori essa può variare o in concomitanza della falda freatica o in funzione della rete di filtrazione. Talora però essa può dipendere dall’entità delle pressioni che possono stabilire l’instabilità, come nel caso di costruzioni molto rapide o di scavi in terreni a bassa permeabilità. Le prove per misurare la resistenza al taglio possono dividersi in due grandi gruppi: a) prova di taglio nella quale il provino si rompe lungo un piano prestabilito. Per realizzarla si usa l’«Apparecchio di Casagrande », costituito da due telai dei quali uno scorrevole rispetto all’altro; il campione viene messo entro di loro attraverso il telaio superiore e si applica uno sforzo di compressione normale ed uno orizzontale. La prova viene ripetuta con velocità di deformazione controllata da un dinamometro in modo da far crescere il valore dello sforzo laterale al crescere della deformazione. Ripetendo più volte l’esperimento con diversi campioni si possono ricavare i corrispondenti valori di rottura. La prova ha alcuni vantaggi pratici, ma anche alcuni difetti quali la ineguale distribuzione delle tensioni e l’impossibilità di controllare il drenaggio: va quindi usata per terre incoerenti o con provini di grandi dimensioni. b) La seconda classe di prove è costituita dalle prove triassiali e le si usa per determinare la resistenza al taglio, combinata con il controllo sia della misura sia della pressione dei pori, sia anche delle variazioni di volume del campione.
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Fig. 4.10 Schema dell’apparecchio per la prova triassiale.
Nella prova triassiale si possono seguire i più svariati decorsi di tensione e riprodurre le deformazioni reali della roccia sciolta in sito e correlare le deformazioni del provino alle tensioni fino alla rottura misurandone anche la resistenza. L’apparecchio per la prova triassiale è costituito da una cella all’interno della quale si colloca il provino in roccia sciolta (fig. 4.10), coperto in una membrana elastica, per isolarlo dal fluido contenuto nella cella, che serve invece per fornire la pressione intorno al campione; un’altra pressione è impressa al provino da un pistone coassiale. Sul campione quindi insistono pressioni lungo tutto il suo volume. Dei collegamenti all’estremità del campione permettono il drenaggio dell’aria o dell’acqua dei pori o la misura della pressione neutrale. Il diametro del campione è solitamente di 3,5 cm con valori fino a 10 cm, con il principio empirico per cui il campione deve essere almeno 5 volte maggiore della dimensione del granulo più grosso presente. Il rapporto tra altezza del campione e diametro è circa tra le due e le tre volte. Si possono distinguere prove in condizioni drenate, quando le estremità del provino sono dotate di pietre porose ed il liquido che da queste fuoriesce, viene raccolto e misurato in una buretta esterna, per stimare le variazioni di volume. Si parla di condizioni non drenate quando le estremità del provino sono chiuse e collegate ad un dispositivo piezometrico, che misura le sovrappressioni interstiziali. Vi sono tre tipi di prove triassiali standard: 1. Prova UU (Undreined, Unconsolidated = non drenato, non consolidato). La prova si effettua su terreni coerenti saturi o non saturi, permette di fare dei calcoli di stabilità a tempi brevi. La fase di consolidazione non esiste prima della prova; la pressione assiale viene applicata rapidamente fino alla rottura, il drenaggio resta chiuso durante la prova, la pressione interstiziale non viene misurata. Il tempo di realizzazione della prova è piuttosto rapido.
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2. Prova CU (Consolidated, Undreined = consolidata, non drenata). Si effettua su terreni coerenti saturi, permette calcoli di stabilità a tempi brevi o lunghi, a seconda che si misuri o meno la pressione interstiziale. La fase di consolidazione prima della prova si esegue a drenaggio aperto, applicando una pressione idrostatica stabilita e si tracciano le curve di consolidazione, misurando la variazione del volume nel tempo. La pressione assiale viene applicata a drenaggio chiuso. La pressione interstiziale viene misurata. La durata della prova è relativamente breve. 3. Prova CD (Consolidated, Dreined = consolidata, drenata). Si effettua su terreni coerenti e non, saturi o meno e permette di fare calcoli di stabilità a lungo tempo. Il drenaggio resta aperto per tutta la durata della prova; le fasi di consolidamento avvengono come nella prova CU; la pressione assiale viene applicata con velocità funzionale al tempo di consolidazione primario; il tempo di realizzazione è piuttosto lungo. I principali vantaggi delle prove triassiali su provini cilindrici risiedono nella possibilità di controllare le condizioni di drenaggio e di misurare la pressione dei pori con operazioni semplici. E se vi sono delle limitazioni nella misura delle pressioni, va osservato che esiste una buona correlazione tra misure ottenute in laboratorio e le osservazioni in posto. 4.4
CAMPIONAMENTI E PROVE IN POSTO
4.4.1 Le indagini in sito. Spesso risulta utile svolgere preliminarmente ai lavori delle indagini in sito, per una migliore conoscenza del territorio oggetto di lavori. Queste indagini possono essere l’analisi diretta di alcune caratteristiche geotecniche del terreno o la raccolta di campioni per ricerche in laboratorio. Il loro programma deve essere flessibile e comprendere accertamenti meccanici o geofisici del terreno, la raccolta di campioni, fino alle prove dirette di prototipi delle opere, quali travi, pali o rilevati sperimentali. Il metodo più diretto è il sondaggio meccanico, inteso come possibilità di ottenere campioni di terreno e di eseguire eventualmente prove in posto. La raccolta di campioni in particolare deve tener presente la necessità di non disturbare le caratteristiche geotecniche, che come si è visto sono particolarmente delicate, specie per successive analisi in laboratorio. In Italia la normativa in merito è trattata dal D.M. 11 marzo 1988 e dalle norme A.G.I. (1977) «Raccomandazioni nella programmazione ed esecuzione delle indagini geotecniche ». Circa l’ampiezza della zona da esaminare ed il numero di campioni da prelevare non esiste un criterio unico e ciò è frutto della sensibilità e dell’esperienza del tecnico, dell’importanza economica dell’opera, della complessità del territorio. In generale si può dire che il sondaggio va esteso alla profondità di terreno significativo, maggiore quindi di quella direttamente interessata dall’opera. I metodi di prelievo possono essere: 1. Metodi a percussione. Si usa la «curetta», sorta di benna con un cilindro con valvola inferiore aperta, tale da trattenere il materiale; viene infilato nel terreno o a caduta o con un maglio a percussione: ottimale per le sabbie e le ghiaie. Campioni continui ma non indisturbati si possono avere con il carotiere battuto, ossia un tubo dalle pareti grosse.
Quota sotto la superf. del terreno o M.M da m a m
2
1
4
Natura (facies) 5
Colore
Ciottoli Il colore va sem(oltre 70 mm) pre riferito allo Ghiaia grossa stato di umidità (da 20 a 70 mm) che ha il terreno Ghiaia media al momento del (da 6 a 20 mm) prelievo. Ghiaia minuta (Tra le note si in(da 2 a 5 mm) dicano gli evenSabbia grossa ti susseguenti (da 0,6 a 2 mm) cambiamenti di Sabbia media colore: Bianco, (da 0,2 a 0,6 mm) grigio, cenere, Sabbia fina azzurro, blu, (da 0,05 a 0,2 mm giallo, rosso, granelli appena verde, marrone, distinguibili) nero, ecc.; gialFarina di sabbia lo-grigio, rossoo limo (0,005 a 0,05 marrone, verdemm granelli non più dichiaro, blu-scustinguibili) ro, striato di rugArgilla lacustre, gine, macchiato fluviale, glaciale, maridi verde, ecc.) na, creta, marna, melma, fango, limo, torba, terreno paludoso, terreno vegetale, lignite, carbone fossile, pietra arenaria. Pietra calcarea, gesso, pozzolana, basalto porfido, ed altri.
3
Spessore dello stato m
Puro, humus, sabbioso, limoso, argilloso, ecc. Sabbia fina, ghiaia rossa, ecc. Fortemente argilloso, poco argilloso, ecc. Con molta sabbia media. Con poco ghiaia grossa. Con grossi ciottoli ecc. Con tracce di torbola. Con resti di piante. Con conchiglie, ecc.
6
Natura degli elementi secondari
Di riporto antico recente Fluido Molle Giacimento stratificato Giacimento compatto Untuoso Malleabile Plastico Compatto Duro Tenace Sciolto Fratturabile Poroso Magro, grasso Con spigoli arrotondati, ecc.
7
Qualità
Luogo di prelievo.................. Giorno.................. Sondaggio n. .................. Pozzo – Perforazone – Trivellazione: n. ..................
Asciutto Umido Saturo Immerso nell’acqua (I valori vanno ovviamente riferiti allo stato naturale).
8
Contenuto in acqua 9
Note
Livello dell’acqua sotterranea, acque freatiche. Sorgenti e cedimentidei tubi. Difficoltà nella perforazione; tempo di perforazione, interruzine del lavoro. Condizioni atmosferiche. Eventuali dubbi sull’integrità dei campioni.
Schema tipo di cartellino con i dati da allegare ai campioni prelevati per prove in laboratorio
Campione N.
Tab. 4.6
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2. Metodi a rotazione. L’utensile a rotazione esercita un’azione di taglio nel terreno mentre viene mosso in senso rotatorio. Vi possono essere metodi di avanzamento manuali, mossi da una leva, meccanici ed idraulici. Il più usato in Italia è il carotiere rotativo, anche se la scelta dell’apparecchio dipende da tipo di terreno considerato e dalle sue proprietà fisiche. Qualora poi il prelievo di campioni possa essere effettuato direttamente o da pareti di pozzi e gallerie, il campione di roccia coerente, prelevato senza speciali utensili, deve avere una dimensione minima di almeno 15 cm, in quanto inevitabilmente esso subisce delle alterazioni superficiali e deve esservi uno strato di roccia da eliminare nella pulizia. Più complessa è l’opera di prelievo in profondità, che richiede operazioni più complesse e deve effettuarsi attraverso pozzi, perforazioni o anche solo trivellazioni. Qualora i campionamenti non siano solo esplorativi, vanno usati appositi carotieri, tali da lasciare il più possibile indisturbati o non rimaneggiati i materiali prelevati; in caso contrario il campione non sarà utilizzabile per analisi di laboratorio. Disturbi del campione possono essere dovuti all’azione dinamica del carotiere, ma anche a rigonfiamento del fondo del foro, a risalita del materiale lungo il foro per rigonfiamento della terra; può essere un effetto di strappo del materiale o di suo sfilamento dal campionatore. I campioni poi, una volta estratti vanno mantenuti protetti ed indisturbati, opportunamente sigillati, in appositi contenitori, soprattutto per non alterare il contenuto in acqua o le caratteristiche di porosità. Un contrassegno sull’involucro deve recare i dati relativi al sistema di prelievo usato, al luogo di prelievo, alla profondità e tutti i dati fisici ritenuti utili (v. tabella 4.6). 4.4.2 Prove penetrometriche. Talora le difficoltà per un corretto campionamento, la ricerca di un dato di immediato utilizzo o anche semplici considerazioni economiche possono spingere a sviluppare delle prove geotecniche non in laboratorio, bensì direttamente sul terreno. Il principale ostacolo è rappresentato dalla difficoltà di montaggio degli apparecchi di misura e dalla necessità di compiere poche operazioni, in condizioni talora disagevoli, con apparecchiature che debbono essere semplici e robuste, per resistere alle sollecitazioni ambientali. La diffusione di queste pratiche però ha prodotto un nuovo mercato ed i materiali a disposizione vanno rapidamente migliorando, sia per maneggevolezza, sia per affidabilità. Tra le prove in sito più utilizzate vanno annoverate quelle penetrometriche: esse permettono di ricavare, con misura continua, la resistenza del terreno. Essa consente di analizzare l’omogeneità del suolo fornendo in maniera rapida una stratigrafia degli strati attraversati, con l’unica limitazione rappresentata dalla eventuale presenza di massi sepolti, che non si possono attraversare facilmente e possono determinare anche l’arresto del sondaggio. Anticamente la prova consisteva nell’infiggere nel terreno manualmente una barra appuntita (detta barramina). Sulla base di queste esperienze sono costruiti gli attuali penetrometri statici, come quelli del tipo CPT, ottimali per terre a grana fine e per sabbie. Qui un’asta colla punta conica, con un eventuale manicotto protettivo, viene infissa nel terreno, su di un’area di non più di 10 cm, per valutare l’omogeneità verticale ed orizzontale di una terra, del livello di substrato o della portanza di fondazioni. La punta e alternativamente il rivestimento vengono spinti nel terreno a mezzo di
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martinetti con velocità costante (2 cm/sec); ogni 20 cm si misura, con lettura manometrica, la resistenza all’affondamento e si costruisce un diagramma che mette in relazione la profondità colla resistenza unitaria del manicotto o lo sforzo totale di attrito laterale. Se il terreno è duro, è necessario contrastare la resistenza alla penetrazione ancorando in vario modo l’impianto; in ogni caso la lunghezza dei sondaggi di solito non supera i 40 m. Le prove di penetrazione dinamica invece misurano la resistenza dinamica di un terreno in posto e servono a valutare l’omogeneità verticale ed orizzontale di una successione di strati di terreno. Qui l’infissione viene ottenuta battendo sull’asta con un maglio a caduta libera e registrando il numero dei battiti, per un affondamento variabile tra i 10 ed i 25 cm. Attraverso opportuni calcoli è possibile dedurre la forza di penetrazione della punta e costruire quindi un diagramma resistenza di punta/profondità (fig. 4.11). La più antica e forse più usata tra queste prove è quella definita S.P.T. (Standard Penetratio Test), che usa un maglio di 140 libbre (⬵ 63,5 kg) ed una volta di circa 30
Fig. 4.11 Diagramma della variazione della densità secca in funzione del contenuto in acqua, quale si ottiene dalla prova Proctor.
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pollici (⬵ 76 cm), con una penetrazione fino a 45 cm del carotiere ed una lettura ogni 15 cm ed in ogni caso la prova si ferma una volta raggiunti i 50 colpi, in quanto è stabilita una relazione empirica tra compattezza di una terra ed il numero dei colpi, come segue: Numero di colpi compattezza 50 molto compatta Vi sono poi altri modelli di penetrometri, come quello detto W.S.T. (Weight Sounding Test) o penetrometro a pesi o quelli che utilizzano radioisotopi, basandosi sulla mutua reazione tra radiazione e densità. In questo modo si può misurare il peso
Fig. 4.12 Schema dell’apparecchio per il Vane Test e forma tipo della curva ottenuta con tale scissometro.
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dell’unità di volume attraverso l’effetto Compton dei raggi γ ed il contenuto in acqua, per mezzo di emittenti di neutroni che interagiscono coll’idrogeno dell’acqua stessa. Il metodo è alquanto delicato, ma consente misurazioni rapide e precise. 4.4.3 «Vane test» o scissometro. Serve alla determinazione in sito della coesione non drenata di un terreno; si applica nello studio di pendii o di rilevati su terreni compressibili. La prova consiste nell’infiggere nel terreno un’asta con all’estremità quattro alette a croce e nel farla ruotare, tagliando in tal modo un cilindro di terreno. Dalla resistenza al taglio si misura la coppia di torsione. Questa prova in qualche maniera è riconducibile alla prova triassiale non drenata o alla prova di compressione con espansione libera. Lo scissometro viene posto in loco per battitura e viene applicata una coppia torsionale con velocità costante (0,1 al secondo). Il diagramma ottenuto mette in relazione la rotazione dell’asta in gradi con il momento della coppia rotante. L’apparecchio è di uso facile e non è ingombrante; lo si può utilizzare in un sondaggio, per esempio in terreni coesivi ed in argille molli. L’intera prova è regolamentata dalle norme A.S.T.M. D 2573-72 (1978), Field Vane Test in Cohesive Soil (v. figura 4.12). 4.4.4 Pressiometro. Serve alla determinazione delle caratteristiche di resistenza e di compressibilità di un terreno e permette di valutare la capacità portante o i cedimenti delle fondazioni. La prova si basa sull’espansione di una sonda cilindrica cava di gomma, collegata attraverso un tubo ad un controllore di pressione. Una volta posta la sonda in un foro o in sondaggio, si fanno delle prove di carico, variando, per ogni metro di profondità, la pressione e si costruiscono delle curve volume/pressione in modo da determinare le differenti pressioni a cui corrispondono i diversi comportamenti elastici e plastici, necessari per i calcoli di stabilità (figg. 4.13, 4.7).
Fig. 4.13 Schema della prova pressiometrica.
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Tab. 4.7
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Relazioni tra densità relativa, resistenza alla penetrazione statica a dinamica ed angolo d’attrito per sabbia ed argille
Sabbia
Densità relativa
Penetrometro standard n. colpi per piede
Penetrometro statico kg/cm2 Rp
Angolo d’attrito φ
molto sciolta sciolta compatta densa molto densa
< 0,2 0,2 ÷ 0,4 0,4 ÷ 0,6 0,6 ÷ 0,8 > 0,8
50
< 20 20 ÷ 40 40 ÷ 120 120 ÷ 200 > 200
< 30° 30º ÷ 35° 35º ÷ 40° 40º ÷ 45° > 45°
Argilla
qu kg/cm2
Penetrometro standard n. colpi per piede
molto molle molle mediamente compatta consistente molto consistente dura
< 0,25 0,25 ÷ 0,5 0,5 ÷ 1 1÷2 2÷4 >4
30
4.4.5 Prove di carico con piastre. Con questo termine si intendono le prove di carico eseguite con una piastra appoggiata direttamente sul terreno: tale prova può dare indicazioni per un’analisi diretta e locale delle caratteristiche del terreno e va integrata con altre per la misura delle deformazioni, in quanto un sovraccarico su di una piccola area, a causa della disomogeneità stratigrafica, non può dare se non indicazioni di massima, non estendibili a vaste zone; queste prove infatti sono indicate per sovraccarichi su piccola area come pavimcntazioni stradali o piste di volo. Tra le prove di piastra possiamo considerarne due tipi principalmente: 1. Prova di piastra tipo LPCP. Serve per determinare i moduli di deformazione in superficie di rilevati o strati di pavimentazione stradale in terreni ghiaiosi insensibili all’acqua; la prova dà risultati attendibili solo per la parte di terreno direttamente sotto piastra, fino ad un diametro a mezzo. La piastra di carico ha forma circolare con diametro di 60 cm, un dispositivo di contrasto ad un sistema di misura. La piastra viene affondata rapidamente (velocità di affondamento inferiore a 0,02 mm/min) secondo due cicli di carico prestabiliti e si misura l’affondamento corrispondente. Si traccia il diagramma tensione/ affondamento e si calcolano i moduli di deformazione, in modo da poter valutare la qualità del costipamento, secondo i canoni del Laboratorio Centrale di Ponti e Strade di Parigi (1973) - Metodo operativo CT 2. 2. Prova di piastra tipo Westgaard. Serve per la determinazione del coefficiente di reazione del terreno in prove di pavimentazioni rigide, come strade in calcestruzzo o lastricati su terrapieni; non deve essere utilizzata per la valutazione delle deformazioni. Anche qui si ha una piastra rigida, del diametro questa volta di 75 cm, un sistema di
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Fig. 4.14 Schema della prova di carico tipo Westergaard.
contrasto ed un apparato di misura. Il carico va applicato rapidamente (10 s) e si misura l’affondamento corrispondente dopo la stabilizzazione, secondo i canoni dell’Annual Box of A. S. T.M. Standard Part 19 Soil and Rock; Building Stones (fig. 4.14). 4.4.6 Prove di permeabilità. Rappresentano globalmente dei sistemi speditivi per misurare, con una certa precisazione, la permeabilità in posto ed altri parametri; hanno il vantaggio di essere tutti di facile realizzazione e poco costosi; i dati raccolti però riguardano solo il pezzo di terreno oggetto dell’indagine non sono estendibili lateralmente. A seconda del terreno a disposizione si hanno vari tipi di prove; per tutte la normativa tecnica è contenuta nel Bollettino de Liaison des Laboratoires Routiers-Special N-Aprile 1970-Idraulica dei terreni. 1. Prova Lefranc. Studia le portate e la velocità di scorrimento dell’acqua in terreni da, permeabili a poco permeabili (k > 10– 4 m/s). La prova avviene attraverso il pompaggio di acqua in una cavità di forma nota. Si pompa o s’inietta l’acqua a portata costante nella cavità fino alla stabilizzazione del livello d’acqua nel foro, annotandone poi l’altezza in funzione della portata dopo la stabilizzazione. Si costruisce a questo punto un diagramma altezza dell’acqua/portata e si applica la legge di Darcy in funzione della permeabilità; i risultati del diagramma sono considerati attendibili quando i punti risultano allineati; in caso contrario la Legge di Darcy non è applicabile. Particolare cura va prestata nell’esecuzione della cavità e del foro in quanto ciò ha grossa influenza sui risultati. 2. Prova Lugeon. Serve per la determinazione della permeabilità e del grado di fessurazione di un terreno e permette la valutazione delle portate e delle velocità dello scorrimento dell’acqua, attraverso l’iniezione sotto pressione di acqua in un foro. La prova avviene iniettando dell’acqua in un foro delimitato da uno o due otturatori, fino alla pressione di 1 MPa, annotando la pressione dell’acqua in funzione della pressione, partendo dal principio che la pressione varia col cubo dell’apertura di una fessura; si può in tal modo misurare lo stato di fessurazione di una roccia. La prova permette di tracciare la curva portata-pressione in «Unità Lugeon» (U.L.) che corrispondono ad 1 litro d’acqua alla pressione di 1 MPa in 1 minuto in un foro di 1 metro; in termini di permeabilità 1 U.L. corrisponde a k = 10–7 m/s; se il terreno ha una permeabilità inferiore la prova non può avere luogo.
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SCIENZE NATURALI
3. Prova di pompaggio. Serve per determinare la permeabilità di un terreno in sito, per la valutazione di portate, altezze e distanze di abbattimento. Anche qui la prova avviene mediante pompaggio di acqua in un pozzo di grande diametro, che raggiunge il substrato e la misura dei corrispondenti livelli d’acqua e di portata, compiuti attraverso dei piezometri, posti in pozzi laterali appositamente scavati. La pompa è immersa in un pozzo di profondità compresa tra i 20 ed i 40 diametri. Si annotano le portate di pompaggio ed i livelli piezometrici dopo la stabilizzazione del regime permanente. In tal modo si può determinare sia il coefficiente di permeabilità, che il raggio di influenza del pompaggio. 4.4.7 Elaborazione elettronica dei dati. In questi anni, con lo sviluppo e la diffusione dei personal computer, si è sviluppato un grosso numero di programmi gestionali che sono in grado di raccogliere ed elaborare i dati raccolti in campagna o in laboratorio. Il principio consiste nel raccogliere le misure di una grandezza fisica attraverso tecniche elettroniche, convertendole in dati assimilabili dagli elaboratori, attraverso un trasduttore del segnale elettrico. L'operazione può consistere nella progressiva immissione di dati isolati da rielaborare o, più spesso, nell'acquisizione diretta dei dati stessi da macchinari predisposti. Ovviamente la cosa ha indotto la creazione di un settore specifico (la geoelettronica) che permette, attraverso l'impiego di macchinari appositamente costruiti, di ottenere direttamente i grafici o i tabulati cercati, partendo dalle rilevazioni dirette, attraverso un software specializzato. Tutte le prove geotecniche classiche sono state quindi ripensate in chiave elettronica e dai dati analogici si è poi passati a quelli digitalizzati, in grado di essere interpretati dal computer. A partire perciò dalla seconda metà degli anni ottanta si è diffuso l'impiego un software specialistico, dedicato alle Scienze della Terra, operante per lo più in ambiente Windows. I computer possono elaborare carte tematiche specifiche, interpretazioni geologiche, geotecniche o geognostiche, restituzioni grafiche in forme e dimensioni desiderate, omogenee alle direttive italiane o europee. Possono altresì studiare situazioni limite o sperimentare simulazioni. Si tratta di un settore molto specialistico, ma in grossa espansione e quindi il suo utilizzo sarà sempre più diffuso. 4.5
GEOTECNICA APPLICATA
4.5.1 Le fondazioni. I principi sinora visti in merito alla Meccanica delle Terre, vengono applicati in molteplici campi: fondamentale tra questi per il geometra è quello inerente alle fondazioni, ossia allo studio di come una struttura trasferisce il proprio peso al terreno. Le fondazioni vengono dette superficiali (o semi interrate) quando il carico viene trasmesso per pressione diretta verticale sul terreno, senza intervento di forze laterali; sono invece profonde quando il carico viene trasmesso sia attraverso il piano d’appoggio diretto, sia per attrito lungo il fusto. Considerando un rapporto tra la profondità P e la dimensione maggiore dell’area di carico diretto A, si possono anche avere: fondazioni dirette (su plinto, platea o trave continua) per P/A > 4; fondazioni profonde (pali) per P/A > 10 e semi profonde (pile e cassoni) per i valori intermedi (fig. 4.15). Nella progettazione delle fondazioni dirette va calcolata la verifica del rapporto di stabilità del complesso terreno fondazione, ossia la determinazione del carico di rottura o capacità portante, cioè il carico massimo per cui la terra entra in fase plastica ed
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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Fig. 4.15 Esempi di fondazione dirette e profonde.
il cedimento è accompagnato da una rottura per taglio. Tale carico è funzione di varie caratteristiche meccaniche e fisiche della fondazione; la rottura avviene in tre fasi progressive: a) fase pseudoclastica: la sollecitazione aumenta dando luogo a minimi cedimenti, b) fase plastica: il cedimento è accompagnato da rotture del terreno per taglio e rigonfiamento ai lati della fondazione. c) fase clastica: la rottura finale avviene per rovesciamento (fig. 4.16). I calcoli per la profondità delle fondazioni dirette devono tenere presenti, oltre alle esigenze specifiche della costruzione, anche di altri fattori come le variazioni di volume legate a cause metereologiche, il livello della falda freatica, la vicinanza di altri edifici o di specifiche anomalie del terreno. Si procede pertanto a determinare localmente il carico di rottura del terreno e quindi a cercare i conseguenti coefficienti di sicurezza in rapporto al carico reale. I carichi poi vanno distinti in «permanenti» (o pesi propri) e «sovraccarichi». I primi sono calcolabili direttamente in fase di progetto, mentre tra i secondi si può distinguere tra quelli «normali», che hanno una certa frequenza e quelli «eccezionali». Per lo studio delle fondazioni si ricorre in posto a prove di carico con piastra, prove di compressione con espansione libera o a prove penetrometriche. Il calcolo della pressione massima ammissibile viene infine fatto oltre che con prove dirette, anche con una stima del suolo ed una valutazione empirica. In generale le pressioni ammis-
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SCIENZE NATURALI
Fig. 4.16 Esempi di problemi inerenti ai rapporti tra fondazioni e terreni di fondazione: a) e b) cedimenti in terreni sedimentari; c) movimenti del sottofondo roccioso; d) ed e) effetti di sovraccarico sottostanti a carichi rilevanti; f) problemi connessi ad errori di interpretazione geologica (massi sepolti scambiati per la roccia in posto); g) crescita verso l’alto di cavità non rilevate precedentemente e rimesse in attività dall’azione di carico soprastante; h) azione di un livello lubrificante su di un pendio a franappoggio.
sibili per i terreni sono: – da 0,5 a 10 kg/cm per sabbie ghiaie, – da 0 a 6 kg/cm per le argille. Nella norma DIN 1054 vengono riportate le tabelle relative a fondazioni continue di varia lunghezza e poste a varia profondità, sia per terre coerenti, che incoerenti. Le fondazioni profonde, oltre che dalla base di appoggio, trasmettono una parte della loro sollecitazione per attrito lungo il fusto: esso pertanto deve essere oggetto di studio e di valutazione nei suoi effetti. Il termine «attrito» in realtà sarebbe improprio e da sostituire come «taglio», ma la letteratura e la pratica di cantiere ne hanno legittimato l’uso. Le fondazioni profonde possono avere la dimensione trasversale di modeste dimensioni rispetto all’altezza ed in tal caso sono dette pali e pozzi; se viceversa il rapporto è minore di 1: 10 abbiamo le pile. Tra i pali ricordiamo i prefabbricati, gli infissi costruiti in opera senza asportazione di terreno e i pali trivellati. I pali prefabbricati ed infissi possono essere in legno (ormai raramente usati, ma un tempo di largo impiego), metallici (molto costosi) e in cemento armato. Anche le dimensioni possono variare molto: da qualche decina di centimetri (micropali) alla decina di metri. Per determinare la capacità portante di un palo isolato si può ricorrere a prove di carico sullo stesso o a formule statiche e dinamiche, utilizzando dati penetrometrici già noti. Le prove di carico possono distinguersi in due gruppi: 1. le prove di progetto, che hanno la funzione di determinare la capacità portante. 2. le prove di controllo, verificate o su tutti i pali in opera o su una loro parte a seconda dell’importanza dell’opera. Molta attenzione va portata al drenaggio, in particolare per le argille ed i limiti, ossia quei terreni che drenano con difficoltà, in quanto in essi la pressione dei pori causata in eccesso da un carico su una fondazione profonda, può o non può dissiparsi in relazione alla situazione che si viene a verificare; diminuendo di fatto la capacità por-
ELEMENTI DI GEOTECNICA
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tante dei terreni. Per quanto riguarda i pali va osservato che inconvenienti si possono avere per cedimento del terreno sotto il peso dell’opera o per azione di variazioni del livello della falda freatica; ma anche per influenza di un sovraccarico esterno applicato direttamente sul terreno, come edifici o altre strutture pesanti. Per quanto riguarda la pratica del calcolo della capacità portante si può distinguere in: – prove spinte fino alla rottura. Ovviamente si usano allo scopo pali di prova, non incorporati nella struttura definitiva, – prove di controllo eseguite su pali già realizzati, della cui qualità si ha ragione di dubitare; in ogni caso si deve evitare di provocare delle gravi deformazioni. La normativa in merito è contenuta prevalentemente nella norma DIN 1054, edizione del 1966, dove vengono indicati i carichi limite e le curve carichi-cedi menti e nel D.M. 11/3/1988 e successive istruzioni integrative. 4.5.2 Cedimenti. Col termine cedimento si intende l’abbassamento del piano di posa di una struttura a causa delle deformazioni avvenute nel terreno sottostante. Normalmente piccoli cedimenti vanno ipotizzati, a patto che interessino l’intera opera in maniera uniforme e siano di modesta entità. Qualora ciò non avvenga o se il cedimento avviene in maniera differenziata da punto a punto, creando seri pericoli per la stabilità della struttura, si devono ricercare localmente le cause specifiche e rimuoverle. In termini pratici la determinazione della pressione di contatto può essere ipotizzata come distribuita uniformemente sulla struttura di fondazione (il che è verosimile per opere di piccole e medie dimensioni); nel caso di argille i risultati possono essere difformi e si dovrà rimediare attraverso opportuni coefficienti di sicurezza. Una valutazione quantitativa va fatta calcolando le pressioni verticali esistenti prima e dopo l’applicazione del carico e ricavando i cedimenti sulla base di opportune prove edometriche, compiute su campioni di terreno. Poiché difficilmente il terreno è perfettamente omogeneo, tali prove vanno eseguite in più punti, anche in rapporto alla stratigrafia sottostante e soprattutto alla presenza di lenti di argilla o di disomogeneità litologiche particolarmente evidenti. Il calcolo può essere fatto sia ipotizzando un’espansione laterale, sia non facendolo. In ogni caso si può pensare il cedimento costituito da due parti, singolarmente calcolabili: l’una detta cedimento iniziale, che avviene rapidamente a volume costante in terreni saturi e dovuta a distorsione del terreno per taglio. Una seconda parte, più lenta, invece dovuta a fenomeni di consolidazione nel tempo. In ogni caso si cerca di contenere i cedimenti assoluti per gli edifici più comuni nell’ordine di qualche centimetro, specie se sono presenti ossature in cemento armato o metalliche, che sopportano meglio tali sollecitazioni. Per strutture industriali, serbatoi o cassoni rigidi, si accettano anche cedimenti molto superiori, purché non diano luogo ad inconvenienti, magari solo estetici. 4.5.3 Pressione di contatto. Col termine pressione di contatto si intende la pressione unitaria che si instaura in ciascun punto di appoggio su di un terreno ad opera di un carico. Per carichi lontani da valori limite, tale pressione va considerata uniforme. Le situazioni ipotizzabili sono molteplici: noi qui ci limiteremo a considerare il caso di fondazioni su superficie indefinitamente piana ed escludendo pertanto altri casi più complessi come le fondazioni su pendio o prossima a pendii.
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SCIENZE NATURALI
Fig. 4.17 Schema delle reazioni del terreno e dei cedimenti di corpi di carico in relazione alla loro deformabilità ed alla natura del terreno.
Si possono considerare tre tipi di fondazioni: 1) perfettamente rigide; 2) elastiche (ed è il caso più comune); 3) deformabili. Si possono combinare a questo punto i tipi di fondazioni con le classi di terreni: si ottiene uno schema come quello riportato nella figura 4.17, che riassume le reazioni del terreno e dei cedimenti di corpi di carico in relazione alla loro deformabilità e alla natura del terreno. Con fondazioni profonde il rifluimento laterale viene impedito anche nelle rocce incoerenti e si può pertanto adottare un modello di tipo rettangolare; per fondazioni deformabili si può adottare il modello rettangolare per le rocce coerenti o pseudocoerenti con acqua, purché con grandi superfici; se le superfici di contatto sono ridotte si adotta il modello parabolico. 4.5.4 Filtrazioni e sifonamenti. I problemi del passaggio dell’acqua nel terreno sono associati alla quantità di liquido che passa o alla pressione che in alcuni punti si può venire a determinare, magari in maniera differenziale, da punto a punto. Il problema è quindi legato allo studio della situazione idrogeologica locale ed ai conseguenti sistemi di drenaggio da adottare per limitare o impedire perdite d’acqua, per esempio da invasi, argini o canali. La filtrazione poi può essere di carattere permanente (se la pressione osservata si mantiene costante) oppure no. Supposto il terreno localmente isotropo, sia applicata la legge di Darcy e si determina l’intensità e la distribuzione della pressione dell’acqua nei pori della terra, ricostruendo così le linee di flusso del fluido, permettendo così la determinazione degli interventi possibili per un’eliminazione del fenomeno o un suo controllo. Più complesso il fenomeno del si-
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-67
fonamento, che, affiancandosi alla filtrazione, determina una rottura per scalzamento al piede di un’opera, ad opera della pressione del fluido. Questa può avvenire in due modi: – per erosione del terreno sotto la superficie e progressiva formazione di una rete di canali, che accelerano la rottura, – per sollevamento istantaneo di una larga parte del terreno al piede di un’opera. Sappiamo che l’eccesso di pressione d’acqua riduce la pressione effettiva di una terra e quindi un’apertura di canalicoli determina un aumento della permeabilità, con conseguente aumento della filtrazione del materiale, fin tanto che la pressione del miscuglio acqua-terra che si viene a formare non supera dei valori limite e non rompe gli equilibri esistenti. Le possibilità di intervento e di eliminazione del fenomeno risiedono, più che nella consolidazione delle terre, nell’eliminazione a monte del carico d’acqua o in un suo convogliamento altrove. 4.5.5 Stabilità dei versanti. Un problema di rilevante interesse applicativo è rappresentato dalle condizioni di stabilità dei versanti, sia naturali che costruiti dall’uomo. Tali condizioni sono legate a tre fattori principali: 1) inclinazione del pendio e conseguente azione della gravità, 2) coesione (o attrito interno) del materiale, 3) attrito vero e proprio, che contrasta coll’azione della gravità. Le rocce incoerenti hanno una coesione praticamente nulla e pertanto la pendenza di sicurezza coincide colla pendenza naturale. Esistono vari valori di attrito interno a seconda delle rocce in oggetto (fig. 4.18); esso poi varia a seconda che si abbia a che fare con una terra sciolta o compatta, più o meno satura d’acqua. Se consideriamo uno strato omogeneo, a reggipoggio, di potenza h, con γ peso di volume della roccia, α l’angolo di inclinazione dello stesso rispetto ad un piano orizzontale, ρ il coefficiente di attrito e c la coesione per unità di area, possiamo definire la condizione al limite dell’equilibrio come segue: c γh sin α = ρα h cos α + ------------cos α Se il primo membro è maggiore del secondo la struttura è in equilibrio; se il secondo supera il primo si ha il franamento. Ora, posto che alcuni parametri (pendenza, potenza dello strato, ecc.) non variano, le principali cause di una frana risultano essere un aumento del contenuto in acqua, un sovraccarico dello strato in oggetto, magari perché scelto come sede di edifici, da parte di chi non ne ha riconosciuto l’equilibrio instabile o un incauto scalzamento al piede. Il termine frana indica una discesa improvvisa e rapida di materia più o meno coerente ad opera della gravità; la nomenclatura delle parti di una frana-tipo viene indicata nella figura 4.19, mentre ci asteniamo dal trattare le varie classificazioni dei tipi di frane, in quanto argomento molto complesso, oggetto di pareri non concorsi ed inutile ai nostri fini. Dal punto di vista della franosità le rocce possono essere classificate: – franose: rocce incoerenti formate da elementi liberi, appoggiati gli uni sugli altri ad opera del solo attrito (ghiaie, detriti, sabbie),
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SCIENZE NATURALI
Fig. 4.18 Schema delle condizioni di stabilità delle falde di detrito in funzione dell’angolo di natural declivio.
Incerte
A, B,
Pericolose
C, D,
Falda compatta a picco con stratificazione a reggipoggio: possibili stacchi di massi. Falda compatta a picco a stratificazione a franappoggio: probabili stacchi di massi, scoscendimenti. In generale massi accatastati per antichi scoscendimenti: equilibrio instabile, falde pericolose. Detriti o morene, massi, ciottoli commisti a materiale minuto: grande probabilità di frane.
Incerte
E,
Detriti o morene con maggior prevalenza di materiale minuto: frane poco probabili senza speciali cause artificiali.
Sicure
F,
Detriti o morene con prevalenza ancor maggiore di materiale minuto: frane improbabili. Falda detritica o alluvionale: falde sicure.
G,
Fig. 4.19 Nomenclatura di una frana-tipo.
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-69
– mediamente franose: rocce semicoerenti con leganti cementizi deboli o scarsi o moderatamente fessurate (molasse, tufi, ecc.), – franose in climi umidi: rocce pseudocoerenti, la cui coerenza dipende dal contenuto in acqua del momento (argille, limiti e rocce in genere a cemento argilloso), – non franose: rocce coerenti, sia asciutte che imbevute d’acqua (rocce lapidee). Se intendiamo per franosità l’attitudine di una roccia a franare, possiamo considerare dei parametri della franosità accertabili con indagini in posto. Essi possono essere così riassunti: a) costituzione geologica (composizione litologica, struttura e giacitura delle rocce, stratificazione, scistosità, ecc.). b) configurazione topografica (pendenza, configurazione e reggipoggio o a franappoggio, ecc.), c) condizioni climatiche (precipitazioni meteoriche, fattori termici, ecc.), d) copertura vegetale (sua presenza o assenza, intensità e tipo). Tra le cause di una frana possiamo annoverare l’aumento del peso della falda rocciosa o l’aumento della sua inclinazione; la diminuzione della coesione interna o dell’attrito tra roccia e substrato. Queste cause possono essere preparatorie (se cioè non contribuiscono direttamente all’evento) o determinanti (se ne sono la causa diretta); a sua volta la causa può essere naturale o artificiale. Le forme di difesa dalle frane possono essere di tipo preventivo, ossia atte a prevenire le cause del crollo, sia attraverso il consolidamento di versanti instabili, sia soprattutto eliminando le cause più dirette, prime tra tutte l’azione devastante delle acque selvaggie, che svolgono un’azione sia di erosione al piede, sia di appesantimento della struttura. I rimedi possono essere anche di tipo successivo, quando cioè la frana o è in movimento o è già caduta: si cura allora il drenaggio per alleggerire il materiale, si costruiscono opere di contenimento al piede, si può in taluni casi consolidare il terreno con opportune tecniche (congelamento, drenaggio, iniezioni di resine epossidiche, ecc.), si cerca di alleggerire la falda e quando la massa è sufficientemente consolidata si fa opera di inerbimento e di rimboschimento. La geotecnica in particolare può qui intervenire attraverso la valutazione della spinta delle terre e la progettazione di strutture di sostegno, quali mura di sostegno a gravità, in cemento armato o di tipo speciale, paratie ed armature degli scavi. I muri di sostegno sono delle strutture, in genere con carattere definitivo, costruite ai piedi di una scarpata o su di un piano; i muri possono resistere alle spinte in virtù del proprio peso (muri a gravità) oppure la resistenza può essere legata al peso del terreno di riempimento che insiste sulla base del muro, che è di norma a mensola con o senza contrafforti. I muri di tipo speciale sono quelli di pietrame, le gabbionate di pietrame (tipo Maccaferri) o ad elementi prefabbricati atti a formare una gabbia. Le paratie sono formate da una struttura verticale, piuttosto sottile, infissa nel terreno in maniera tale da ottenere una sufficiente controspinta verso acqua, sovraccarichi o spinte delle terre. Possono avere carattere transitorio o definitivo e possono altresì essere ancorate o meno. Col termine armatura degli scavi si intendono poi tutte quelle opere atte a mantenere le pareti verticali, durante l’esecuzione di scavi. Esse hanno in genere carattere provvisorio e sono costituite da strutture in legno, palancole e paratie. Interventi par-
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SCIENZE NATURALI
ticolari possono poi essere la ricopertura dei versamenti franosi con reti. metalliche o con getti di cementi particolari; tali opere però si limitano a contenere la caduta di massi e non possono prevenire maggiori danni. 4.5.6 Opere in terra. Le terre in quanto tali sono oggetto di molte opere curate dal geometra: tra queste ricordiamo i rilevati e la pavimentazione stradale o di aeroporti, le opere di bonifica o di difesa idraulica in genere e le dighe in terra. Se il loro uso è antichissimo, la geotecnica permette di misurare in maniera ottimale i materiali da impiegare, definendone le caratteritiche tecniche o modificandole in funzione delle esigenze. La stessa difesa dei versanti, specie se interessati da strade si collega a questo settore. La classificazione delle terre può essere qui ripresa in funzione delle opere di destinazione, siano esse fondazioni e rilevati (v. tabella 4.8) o strade ed aeroporti (v. tabella 4.9). Tralasciando le dighe in terra o le opere di bonifica e rimandando a quanto si è detto per la difesa dei versanti; consideriamo in particolarte i corpi stradali qui intesi come terreni di fondazione. Per quanto attiene alla geotecnica, i rilevati vanno distinti in rilevato o in trincea, in considerazione del comportamento delle terre che costituiscono l’appoggio delle strutture. L’intera normativa in merito e la nomenclatura delle varie parti viene contenuta nella norma CNR-UNI 10006 «Costruzione e manutenzione delle strade – Tecnica di impiego delle terre» I problemi possono essere riassunti nello studio delle modalità di costipamento delle terre e nel controllo dello stesso. A tale scopo, come nella tabella più sopra citata, si fa riferimento alla classificazione del «Corp of Engineers – U.S. Army» (fig. 4.5) ed UNI 10008 (v. tabella 4.3). Nell’operare il costipamento i problemi più importanti sono legati alla natura della terra a disposizione (litologia, contenuto in acqua, coefficienti di coesione, ecc.) e alla percentuale presente di materiale grossolano. Tale costipamento può essere fatto con mazzapicchi o macchinari detti «rane» dal peso variabile trai 50 e 1000 kgf che compattano attraverso una pressione dinamica piccole quantità di terra, quando le opere non sono di notevoli dimensioni o sono prossime ad abitazioni o ad altre strutture. Se non vi sono tali limitazioni si usano invece i rulli compressori o i vibratori, costituiti da una massa vibrante che si sposta sul terreno. Il costipamento viene ripetuto finché non si raggiunge un valore pari all’80% della densità massima AASHO modificato. Il successivo controllo viene operato attraverso la prova di portanza californiana o CBR. 4.5.7 La normativa geotecnica. L’Italia è particolarmente arretrata in questo campo e soltanto negli ultimi decenni si è provveduto ad emettere normative in campo geo. La prima è la L. 25/11/1962 n. 1684 “Provvedimenti tecnico. Vedi anche il sito per l’edilizia, con particolari prescrizioni per le zone sismiche”, ancora generica e priva di riferimenti tecnici specifici. Più importante è il D.P.R. 15 gennaio 1972, n. 8 “Trasferimento alle Regioni a statuto ordinario delle funzioni amministrative statali in materia di urbanistica, viabilità e lavori pubblici di interesse regionale e dei relativi personali ed uffici”. Essa trasferisce le competenze della tutela del territorio alle Regioni, cui d’ora in poi spetta il controllo del territorio, la gestione del Genio Civile, degli Uffici Geologici e similari. Di maggiore dettaglio è la L. 2 febbrario 1974, n. 64 “Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche “che riprende ed
Terre a grana grossa
Sabbia e terre sabbiose
Ghiaia e terre ghiaiose
1,85–2,10
1,75–2,01
1,75–2,00
1,70-2,00
ghiaie argillose, discreta, può essere usato da 10–6 medie, ruote gommate, rulghiaia mista e sab- stabilità a 10–8 lo a piede di pecora per nucleo impermeabile bia e argilla 10–2
10–3
sabbie ben gradua- molto stabile, sezioni permeabili, te o sabbie ghiaio- è necessaria la protezione del se a grana piccola pendio e grossa sabbie poco graduate o sabbie ghiaiose a grana piccola o grossa
stabilità discreta, non particolarbuone, con accurato consabbie limose, sab- mente adatto a rivestimenti, ma da 10–3 trollo, ruote gommate, rulbia mista a limo può essere usato per nuclei im- a 10–6 lo a piede di pecora permeabili e argini uso per nucleo sabbie argillose, stabilità discreta, 10–6 medie, rullo a piede di penella struttura di da a 10–8 cora, ruote gommate sabbia mista a limo impermeabile controllo delle piene
GC
SW
SP
SM
SC
stabilità accettabile, può essere usato in sezioni di argini con scarpate dolci
1,90–2,15
acettabile, non particoghiaie, limose, stabilità adatto con accurato controla rivestimenti ma da 10–2 buone ghiaia mista a sab- larmente lo, ruote gommate, rullo a –6 può essere usato per nuclei ima 10 bia e limo piede di pecora permeabili e tappeti
buone, con ruspe
buone, con ruspe
1,60–1,90
1,85–2,00
GM
buone, con ruspe, rulli a ruote gommate e lisci
10–1
2,0–2,15
(8)
Densità secca AASHO Std in t/m2
GP
buone, con ruspe, rulli a ruote gommate e lisci
(7)
Caratteristiche di compattazione
Ghiaie poco graduate o miscela stabilità accettabile, rivestimenti sabbia-ghiaia a permeabili di argini e dighe grana piccola o grossa
(6)
Permeabilità k cm/sec
10–2
(5)
Giudizio per l’impiego quale materiale per rilevato
GW
(4)
Denominazione
Caratteristica dei terreni pertinenti a rilevati e fondazioni
Ghiaie ben graduate o sabbia mista a molto stabile, rivestimenti permeghiaia, a grana picabili di argini e dighe cola o grossa
(3)
(1)
(2)
Simboli lettera
Principali suddivisioni
Tab. 4.8
nessuno
trincea al piede o niente
diaframmi o simboli
diaframmi o simboli
(10)
Provvedimenti per il controllo della filtrazione
capacità portante da buona a scarsa
nessuno
capacità portante da tappeto a monte e buona a scarsa in drenante al relazione alla densi-trincea piede o pozzi tà
capacità portante da tappeto a monte e buona a scarsa in drenante al relazione alla densi-trincea piede o pozzi tà
tappeto a monte e capacità portante trincea drenante al buona piede o pozzi
capacità portante buona
capacità portante buona
capacità portante buona
capacità portante buona
(9)
Giudizio come terreno di fondazione
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-71
Limi e argille wL > 50
Limi e argille wL > 50
torbe e altri terreni fortemente organici
da non usare
compattazione non eseguita
1,05-1,60
da 10–6 da scarse a molto scarse, a 10–8 rullo a piede di pecora
argille organi- non adatto per rilevati che con plasticità da media a alta, limi organici
OH
Pt
1,20-1,70
da 10–6 da medie a scarse, rullo a a 10–8 piede di pecora
argille inorgani- stabilità discreta, con pendenche di alta plasti- ze dolci nuclei sottili, tappeti e cità, argille grasse sezioni di argini
1,10-1,50
da 10–4 da scarse a molto scarse, a 10–6 rullo a piede di pecora
CH
stabilità scarsa, nucleo di dighe costruite idraulicamente, poco acettabile nella costruzione di rilevati compattati
1,30-1,60
da 10–4 da medie a scarse, rullo a a 10–6 piede di porco
limi organici e non adatto per rilevati argille limose organiche di basa plasticità
OL
limi inorganici, sabbie fini micacee, o terreni limosi, limi elastici
1,50-1,90
da 10–6 da medie a buone, rullo a a 10–8 piede di pecora, ruote gommate
argille inorgani- stabile, nuclei impermeabili e che con plastici- tappeti impermeabili tà da bassa a media, argille ghiaiose, argille sabbiose, argille limose, limi magri
CL
MH
1,50-1,90
Densità secca AASHO Std in t/m2
da 10–3 da buone a scarse, necesa 10–6 sario un accurato controllo; rullo a ruote gommate, rullo a piede di pecora.
Caratteristiche di compattazione
Limi inorganici stabilità scarsa può essere usato e sabbie molto per rilevati con controllo apfini, farina fossi- propriato le, sabbie fini limose o argillose o limi argillosi di bassa plasticità
Giudizio per l’impiego quale Permeamateriale bilità k per rilevato cm/sec
ML
Simboli Denominazione lettera
Segue Provvedimenti per il controllo della filtrazione
rimuovere dalle fondazioni
capacità portante nessuno molto scarsa
capacità portante nessuno da media a scarsa
capacità portante nessuno scarsa
capacità portante nessuno da media a scarsa, può avere cedimenti eccessivi
capacità portante nessuno da buona a scarsa
molto scarsa su- trincea drenante scettibile di li- al piede o niente quefazione
Giudizio come terreno di fondazione
* I giudizi riportati nelle colonne 5 e 9 sono solo indicativi. Il progetto dovrebbe essere basato sui risultati delle prove. ** Nella colonna 7, l’equipaggiamento indicato produrrà generalmente la densità richiesta, con un numero ragionevole di passaggi se le condizioni di umidità e lo spessore dello strato sono controllati accuratamente. *** Nella colonna 8, le densità secche sono per terre compattate all’optimum del contenuto di acqua con energia di costipamento AASHO Standard (Proctor Standard).
Terre fortemente organiche
Terre a grana fine
Principali suddivisioni
Tabella 4.8 E-72 SCIENZE NATURALI
Terre a grana grossa
(1)
Ghiaie e terre ghiaiose
(2)
Principali suddivisioni
Ghiaie argillose, miscele di ghiaia, sabbia e argilla Sabbie ben graduate, o sabbie ghiaiose con poco o nessun filo
GC
SW
u
GM
Ghiaie limose, miscele di ghiaia, sabbia e limo
Ghiaie poco granulate o miscele di ghiaia e sabbia, con poco o nessun filo
GP
d
Ghiaie ben graduate o miscele di ghiaia e sabbia, con poco o nessun filo
GW
(3)
Simboli lettera
buono
buono
da discreta a buona
discreta
discreta
buona
da buono a eccellente
buono
buona
eccellente
da buono a eccellente
eccellente
(8) da nessuna a molto lieve
scarsa
da scarsa a non adatta
da scarsa a non adatta
da discreta a buona
da nessuna a molto lieve
da lieve a media
da lieve a media
da lieve a media
da discre- da nessuna ta a buona a molto lieve
buona
Possibile azione del gelo
quasi nessuna
lieve
lieve
molto lieve
quasi nessuna
quasi nessuna
(9)
Compressibilità e rigonfiamento (12)
Densità secca t/m2
ruspa, rullo a 1,76-2,24 30-60 ruote gommate, rullo liscio
eccellente
da scarso a preticamente impermeab.
da scarso a preticamente impermeab.
ruspa, rullo a 1,76-2,08 20-40 ruote gommate
rullo a ruote 2,08-2,32 20-40 gommate, rullo a piede di pecora.
rullo a ruote 1,84-2,16 20-30 gommate, rullo a piede di pecora.
5,5-8,3
2,8-8,3
2,8-5,5
5,5-8,3
5,5-8,3
5,5-8,3
moduli sottoC.B.R. difondo kg/cm3 (13) (14)
ruspa, rullo a 2,00-2,24 40-80 ruote gommate, rullo liscio
(11)
Attrezzatura per la compattazione
Valori tipici di progetto
da discreto rullo a ruote 2,00-2,32 40-60 a scarso gommate, rullo a piede di pecora, controllo accurato dell’umidità
eccellente
eccellente
(10)
Caratteristiche di drenaggio
Caratteristica dei terreni pertinenti a strade ed aereoporti
Giudizio Giudizio Giudizio come come sottocome sottofon- fondazione fondazione Denominazione do se non se non se non soggetto soggetta soggetta all’ azione all’azione all’azione del gelo del gelo del gelo (4) (5) (6) (7)
Tab. 4.9
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-73
(1)
Sabbie e terre sabbiose
(2)
Principali suddivisioni
sabbie argillose, miscele di sabbia e argilla
limi inorganici e sabbie molto fini, farina fossile, sabbie fini limose o argillose o limi argillosi leggermente plastici
ML
sabbie limose, miscele di sabbia e limo
Sabbie poco graduate o sabbie ghiaiose con poco o nessun filo
SC
u
SM
d
SP
(3)
Simboli lettera
da scarso a discreto
da scarso a discreto
scarsa
da scarsa a non adatta
non adatta
scarsa
da lieve ad alta
da lieve ad alta
da lieve ad alta
da nessuna a molto lieve
(8)
Possibile azione del gelo
Segue
non adatta da media a molto alta
non adatta
da scarsa a non adatta discreta
da discreta a buona
da discreto a buono
discreto
discreta
da discreto a buono
Giudizio Giudizio Giudizio come come sottocome sottofon- fondazione fondazione Denominazione do se non se non se non soggetto soggetta soggetta all’ azione all’azione all’azione del gelo del gelo del gelo (4) (5) (6) (7)
Tabella 4.9
da lieve a media
da lieve a media
da lieve a media
molto lieve
(9)
Compressibilità e rigonfiamento (11)
Attrezzatura per la compattazione
rullo a ruote gommate, rullo a piede di pecora.
rullo a ruote gommate, rullo a piede di pecora.
da discreto rullo a ruote a scarso gommate, rullo a piede di pecora, controllo accurato dell’umidità
da mediocre a praticamente impermeabile
da mediocre a praticamente impermeabile
da discreto rullo a ruote a scarso gommate, rullo a piede di pecora, controllo accurato dell’umidità
(10)
Caratteristiche di drenaggio
1,44-2,08
1,60-2,16
2,7-8,3
2,7-5,5
15 2,7-5,5 o meno
5-20
1,60-2,08 10-20
5,5-8,3
moduli sottoC.B.R. difondo kg/cm3 (13) (14)
1,92-2,16 15-40
(12)
Densità secca t/m2
Valori tipici di progetto
E-74 SCIENZE NATURALI
Limi e argille wL < 50
torba ed altre terre altamente organiche
non adatto
non adatta
non adatta
non adatta
non adatta
non adatta
non adatta
da media ad alta
da media ad alta
(8)
Possibile azione del gelo
non adatta
non adatta
non adatta
lieve
media
media
non adatta da media a molto alta
non adatta
non adatta
Giudizio come fondazione se non soggetta all’azione del gelo (7)
Segue
molto alta
alta
alta
alta
da media ad alta
media
(9)
Compressibilità e rigonfiamento (11)
Attrezzatura per la compattazione
rullo a ruote gommate, rullo a piede di pecora
da discre- compattazione to a scarso non eseguibile
pratica- rullo a ruote mente im- gommate, rulpermeabile lo a piede di pecora.
pratica- rullo a ruote mente im- gommate, rulpermeabile lo a piede di pecora.
da discre- rullo a ruote to a me- gommate, ruldiocre lo a piede di pecora.
scarso
pratica- rullo a ruote mente im- gommate, rulpermeabile lo a piede di pecora
(10)
Caratteristiche di drenaggio
–
1,44-1,76
1,44-1,84
1,28-1,68
1,44-1,68
1,44-2,08
(12)
Densità secca t/m2
–
–
5 0,7-2,7 o meno
15 1,4-5,5 o meno
10 1,4-2,7 o meno
15 1,4-2,7 o meno
15 1,4-5,5 o meno
moduli sottoC.B.R. difondo kg/cm3 (13) (14)
Valori tipici di progetto
* La suddivisione dei gruppi GM e SM nella colonna 3 con le lettere d e u fa riferimento con la lettera d alle terre con limite di liquidità WL ≥ 25 e indice di plasticità ≤ 5 con la lettera u alle altre ** Nella colonna 12 la densità secca è riferita a terra compattata con contenuto in acqua optimum della prova AASHO modificata.
Pt
argille organiche da scarso a di media o alta pessimo plasticità, limi organici
OH
scarso
scarso
argille inorgani- da scarso a che di alta plastidiscreto cità, argille grasse
limiti organici, terreni limosi o finemente sabbiosi, micacei o diatomacei, limi
limiti organici e argille limose organiche a bassa plasticità
argille inorgani- da scarso a discreto che con plasticità da bassa a media, argille ghiaiose, argille sabbiose, argille limose, argille magre
(4)
Denominazione
CH
MH
OL
(3)
CL
(2)
Simboli lettera
Limi e argille wL < 50
Terre fortemente organiche
Terra a grana fine
(1)
Principali suddivisioni
Giudizio Giudizio come come sottosottofondo fondazione se non sogse non getto soggetta all’ azione all’azione del gelo del gelo (5) (6)
Tab. 4.10
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-75
E-76
SCIENZE NATURALI
aggiorna la n. 1634 del 1962, in chiave di decentramento; mentre organismi statali e non emanano regolamenti e prescrizioni nel campo geotecnico si arriva alla costruzione di una legge-quadro. La normativa oggi in vigore è stata emanata dal Ministero dei Lavori Pubblici, sentito il parere del Consiglio Nazionale delle Ricerche, con il D.M. 11 marzo 1988, pubblicato sulla Gazzetta Ufficiale n. 127 del 1 giugno 1988 “Norme tecniche riguardanti le indagini sul terreno e sulle rocce, la stabilità dei pendii naturali e delle scarpate; i criteri generali e le prescrizioni per la progettazione, l’esecuzione ed il collaudo delle opere di sostegno delle terre e delle opere di fondazione”. Esso abbraccia l’intero campo delle opere geotecniche e la sua applicazione riguarda qualsiasi intervento che coinvolga il terreno o comporti la realizzazione di manufatti in materiali sciolti (terre o rocce). La materia è articolata nelle seguenti sezioni: a) disposizioni generali; b) indagini geotecniche: c) opere di fondazioni; d) opere di sostegno; e) manufatti di materiali sciolti; f) gallerie e manufatti sotterranei; g) stabilità dei pendii e dei fronti di cava; h) fattibilità geotecnica di opere su grandi aree; i) discariche e colmate; l) emungimenti da falde idriche; m) consolidamento dei terreni; n) drenaggi e filtri; o) ancoraggi. In data 24 settembre 1988 il Servizio tecnico centrale del Ministero dei Lavori Pubblici emetteva la circolare n. 30483 con le istruzioni applicative. Con si è detto esistono comunque organismi ed enti ufficialmente riconosciuti che formulano delle parallele raccomandazioni su alcune tematiche specifiche, come l’Associazione Geotecnica Italiana (A.G.I.) o l’Associazione Italiana del Cemento Armato Precompresso (AICAP). Talora anche degli enti pubblici, come l’A.NA.S. o le Ferrovie Statali emettono proprie norme, circolari o capitolati in merito alla progettazione geologica e geotecnica attinente alle proprie opere. Per quanto riguarda le prove in situ ed in laboratorio in Italia si ricordano in particolare le “Raccomandazioni sulle prove geotecniche di laboratorio” emesse nel 1995 dall'AGI e le istruzioni riguardanti prove ed indagini stradali del CNR e del CNRUNI. Sempre utilizzate come riferimento sono le norme americane dell'ASTM (American Society for Testing and Material) o tra quelle europee le norme tedesche DIN, quelle inglesi BSI e le francesi AFNOR. In questi ultimi anni come risultato di una sempre più serrata unificazione delle normative tecniche in ambito europeo, sono utilizzati nell'Unione Europea norme unificate delle opere di progettazione civile dette Eurocodici. Questi sono stati a suo tempo definiti dalla direttiva CEE 71/305 relativa alla concorrenza nell'ambito dei lavori pubblici e hanno oggi assunto il compito di strumento di verifica, con criteri comuni, di conformità delle caratteristiche degli edifici e delle opere di ingegneria civile, a sua volta impostati dalla Direttiva CEE 89/106. Gli Eurucodici riguardano per ora solo la progettazione, l'esecuzione ed il controllo dei prodotti utilizzati. Dal 1990 il CEN (Comitato Europeo di Normazione) sta emanando ed aggiornando documenti relativi anche alla progettazione strutturale e geotecnica. In particolare il settore geotecnico è definito dall'Eurocodice EC7, emanato nel 1988 e poi via via aggiornato. L'EC7 si è rivelato innovativo nel fissare le esigenze minime per il grado di approfondimento dell'indagine geotecnica, per i calcoli di progetto e per i controlli durante le varie fasi della costruzione. In ogni caso il D.M. 11/3/88 e la relativa circolare applicativa contengono in dettaglio le istruzioni riguardanti tutte le operazioni relative alle indagini, alle tecniche da impiegare, allo svolgimento dei lavori sia in sito che in laboratorio, l’esame delle condizioni generali e specificamente per quanto riguarda le fondazioni, le prove di pro-
ELEMENTI DI GEOTECNICA
E-77
getto e di collaudo ed infine le modalità dello studio geologico globale, anche attraverso l’inquadramento delle singole voci che concorrono alla realizzazione dell’opera. Di particolare nota sono infine le relazioni che coronano e riassumono gli studi. 4.5.8 La relazione geotecnica. In base al detto D.M. essa deve contenere: l’illustrazione del programma di indagini con motivato giudizio sull’affidabilità dei risultati ottenuti; caratterizzazione geotecnica del sottosuolo in relazione alle finalità da raggiungere con il progetto effettuato sulla base dei dati raccolti con le indagini eseguite. La relazione deve essere corredata da una planimetria con le ubicazioni delle indagini, sia quelle appositamente effettuate, che quelle di carattere storico e di esperienza locale, dalla documentazione sulle indagini in sito ed in laboratorio, dal profilo litologico e stratigrafico del sottosuolo, con la localizzazione delle falde idriche. Essa conterrà inoltre la scelta e il dimensionamento del manufatto o dell’intervento; i risultati dei calcoli, le conclusioni tecniche, i procedimenti costruttivi ed i controlli. La relazione deve essere completata da tutti gli elaborati grafici ed analitici necessari, per la precisa comprensione del progetto. 4.5.9 La relazione geologica. Essa definirà, con preciso riferimento al progetto, i lineamenti geomorfologici della zona nonché gli eventuali processi morfogenici ed i dissesti in atto o potenziali e la loro tendenza evolutiva, la successione litostratigrafica locale con definizione della genesi e distribuzione spaziale dei litotipi, dei loro strato di alterazione e fessurazione e della loro degradabilità; preciserà inoltre i caratteri geostrutturali generali, la geometria e le caratteristiche delle superfici di discontinuità in genere e degli ammassi rocciosi in particolare e fornirà lo schema della circolazione idrica superficiale e sotterranea. La relazione sarà corredata dagli elaborati grafici, carte e sezioni geologiche, ecc. e dalla documentazione delle indagini in sito ed il laboratorio, sia quelle appositamente effettuate, che quelle di carattere storico o di esperienza locale. La caratterizzazione geotecnica del sottosuolo e la ricostruzione geologica debbono essere reciprocamente coerenti. A tale riguardo la relazione geotecnica deve fare esplicito riferimento alla relazione geologica e viceversa. In ogni caso tra i dati necessari per il progetto dell’opera saranno in particolare necessario prendere in considerazione la stratigrafia, le caratteristiche delle falde idriche, le proprietà geotecniche dei terreni e tutti gli altri elementi significativi del sottosuolo, nonché le proprietà dei materiali da impiegare per la costruzione dei manufatti di materiali sciolti. Le indagini saranno sviluppate secondo gradi di approfondimento e di ampiezza commisurati alle varie fasi, dal progetto alla costruzione, attraverso le quali si giunge alla realizzazione dell’opera. Nel caso di opere di notevole mole e di importanza dal punto di vista della sicurezza si consiglia di effettuare il controllo del comportamento dell’opera anche dopo l’avvenuta costruzione.
5
ELEMENTI DI IDROGEOLOGIA 5.1
L’ACQUA NEL TERRENO
5.1.1 L’idrogeologia come scienza. Questo capitolo è dedicato alla idrogeologia sperimentale; questa disciplina fa parte delle Scienze della Terra ed ha come obbiettivo lo studio delle acque sotterranee, delle loro caratteristiche fisiche e chimiche, del loro flusso entro corpi geologici e del loro sfruttamento antropico. L’idrogeologia è una scienza multidisciplinare che attinge alla geofisica per la prospezione e le tecniche di perforazione, alla geochimica per le caratteristiche delle acque e dei serbatoi, all’idraulica per lo studio del moto dei fluidi e alla geologia generale per lo studio del bacino idrogeologico nelle sue componenti tettoniche e litostratigrafiche. Per lo studio di ampi territori e la pianificazione delle risorse, l’idrogeologo fa ricorso alla statistica e alla modellistica, ricostruisce cioè su base matematica e quantitativa dei modelli generali di strutture, che permettono, grazie ai computer, di valutare le variazioni dei singoli parametri e di stimare le riserve a disposizione nel tempo. 5.1.2 Proprietà idrauliche generali. Un serbatoio idrogeologico difficilmente è perfettamente impermeabile; più normalmente all’interno di una roccia sciolta o lapidea esistono degli spazi non occupati da materiale solido, che vengono chiamati meati, interstizi o vuoti. Tali spazi hanno una grande varietà di forme, dimensioni e disposizioni spaziali; la loro origine è estremamente varia e connessa alla storia geologica e alla natura della roccia. Il comportamento idraulico di un serbatoio viene definito attraverso varie proprietà idrologiche che sono le seguenti. a) Permeabilità. È la proprietà delle rocce di lasciarsi attraversare dall’acqua, sotto l’effetto di un gradiente idraulico. Essa esprime la resistenza del mezzo al deflusso di un fluido che lo attraversa ed è misurata da due parametri: il coefficiente di permeabilità e la permeabilità intrinseca. Il primo, indicato con K, indica il volume di acqua in m3 che attraversa nell’unità di tempo (un secondo), sotto l’effetto di un’unità di gradiente idraulico, un’unità di sezione in m 3 ortogonale alla direzione di flusso, alla temperatura di 20°C. Ha le dimensioni di una velocità e si esprime in m/s. La permeabilità intrinseca, indicata con K, è il volume di liquidi in m3 di unità di viscosità cinematica (un centipoise, dove un poise = 1 dina · s - cm2 o 0,1 Pa · s) che attraversa nell’unità di tempo, sotto l’effetto di un’unità di gradiente idraulico, un’unità di sezione ortogonale alla direzione di deflusso. Essa si esprime in m/s o in darcy; a volte è detta anche permeabilità geometrica. Il darcy è la permeabilità di un mezzo che sposta 1 cm3/s attraverso la superficie di 1 cm 2 sotto un gradiente idraulico, normale a questa superficie, di 1 atm/cm. Si dicono permeabili le rocce entro cui l’acqua può passare o attraverso i meati esistenti tra i granuli componenti la roccia, o attraverso le fessure che ne interrompono la compagine. Si dicono impermeabili le rocce nelle quali non ha luogo alcun percettibile movimento d’acqua. Sia la permeabilità che l’impermeabilità di una roccia sono proprietà acquisite o congenite. Dal punto di vista idrogeologico le rocce si dividono in: a) permeabili per porosità; b) permeabili per fessurazione; c) permeabili per carsismo.
ELEMENTI DI IDROGEOLOGIA
E-79
Mentre la prima è una proprietà congenita, la seconda è in genere acquisita ed è dovuta alla presenza di un sistema di fessure continue all’interno di una roccia altrimenti impermeabile. Sono rocce permeabili per porosità: le alluvioni, le morene, le dune, i detriti, i tufi vulcanici. Sono rocce permeabili per fessurazione le rocce ignee e quelle metamorfiche. Il limite tra rocce scarsamente permeabili e rocce impermeabili è fissato in corrispondenza di un valore di K = 10–7 m/s. b) Porosità. È la proprietà delle rocce di contenere spazi vuoti (pori), di qualsiasi forma, frequenza o dimensione, tra gli elementi che costituiscono la roccia stessa. Si misura come percentuale del volume dei pori rispetto al volume totale. In pratica interessa però la porosità efficace, che rappresenta la percentuale d’acqua contenuta nella roccia, che si muove per gravità. Tale valore si calcola sottraendo da quello della porosità totale il valore della capacità di ritenuta (vedi punto e). Può essere utile collegare la porosità efficace alle caratteristiche fisiche dei serbatoi. Queste costituiscono la trama della distribuzione spaziale dei dati puntuali e dipendono da quattro fattori principali: i diametri relativi dei grani, la loro disposizione, la loro superficie specifica ed infine la cementazione intergranulare. Va osservato che la porosità non è sinonimo di permeabilità, in quanto perché ciò avvenga è necessario che vi sia una continuità del mezzo poroso: una roccia ricca di pori, privi di interconnessioni, è impermeabile (v. tab. 5.1). La porosità può non essere congenita alla roccia ed in tal caso viene detta secondaria: essa può essere causata da eventi tettonici o da fenomeni chimico- dissolutivi. Si tratta di un dato particolarmente rilevante nello studio di rocce lapidee, stratificate o massicce, che altrimenti risulterebbero del tutto impermeabili. Si possono distinguere tra gli eventi di origine tettonica i giunti di stratificazione, le superfici di scistosità e le fratturazioni di varia natura e di differenti dimensioni (dette diaclasi se grandi e leptoclasi se piccole). L’altro fattore che determina un’alta porosità secondaria è la dissoluzione chimica, che agisce in particolare sulle rocce solubili in acqua debolmente acida, quali sono le pioggie; tale azione avvia quella rete di strutture sotterranee, note col nome di carsismo. Collegato alla porosità, nello studio della funzione capacitativa di un serbatoio, è il coefficiente di immagazzinamento, che esprime il rapporto del volume d’acqua liberato o immagazzinato, per unità di superficie dell’acquifero e la variazione del carico idraulico corrispondente. Esso viene calcolato sul terreno, attraverso prove di pompaggio. Come si vedrà più avanti, in una falda libera esso è praticamente uguale alla porosità efficace, mentre in una falda imprigionata esso è da 100 a 1000 volte più piccolo. c) Capacità di assorbimento. È l’attitudine delle rocce di assorbire acqua quando siano prive di acque vadose. Essa varia a seconda dello stato fisico della roccia e dell’ambiente circostante; affine è il concetto di capacità di imbibizione, che esprime la capacità di una roccia seccata a 110°C, messa a contatto con l’acqua. Questo concetto a sua volta introduce quello di capacità di saturazione, ossia l’attitudine a saturarsi d’acqua, fino a riempire tutti i vuoti esistenti. Questi concetti sono utili in quanto in genere non è possibile estrarre da una roccia tutti i fluidi presenti, per drenaggio o per pompaggio. Una parte rimane legata ai granuli o alle pareti dei meati, vuoi per assorbimento, per adesione o per capillarità; tale volume d’acqua, rispetto alla porosità totale è detto capacità di ritenzione specifica.
Argille azzurre del Piacenziano Alluvioni fluvio-palustri (Piane costiere tirreniche) Sabbie gialle dell’Astiano
Esempio
Tufo caotico, lapideo Tufo giallo napoletano Ignimbrite, trachifonolitica, lapidea Tufo grigio campano (Casertano) Piroclastite stratificata, pseudocoerente Serie delle pozzolane del Napoletano Cinerite con lapilli e pomici
Sedimentario
Piroclastiche
Hauptdolomit triassica Formaz. gessoso-solfifera (Sicilia merid.) Scisti silicei (Basilicata meridionale) Tufi plio-quaternari del Leccese Depositi costieri (Calabria, Sicilia)
Serie carbonatica di piattaforma (Lias medio-Miocene basale)
Trubi mio-plicenici (Calabria ionica) Molasse delle serie terrigene minoceniche Brecce di versante (Quaternario antico) Alluvioni fluvio-lacustri pleistoceniche
Sabbia fine, più o meno argillosa Sabbia fine a granulom, uniforme Sabbia a grana var. da media a grossa Alluvioni recenti e attuali dei maggiori Ghiaia mista a sabbia corsi d’acqua. Riempimenti delle Ghiaia a granulometria uniforme pianure e delle conche alluvioni inConglomerato a cemento argilloso terne Breccia sciolta a granul. eterogenea Conoidi a falde di detrito recente
Argilla compatta, più o meno sabb. Limo
Roccia
• • • •
• •
B
•
•
• • •
M
• •
•
• •
•
• • • • • •
•
•
A
Primaria
• •
•
•
•
B
•
•
• • • •
•
M
Second.
Porosità
• • •
•
A
• •
•
• •
• • •
• • • • • • •
• •
P
• •
• • •
• • • • • • • • •
F
Tipo
Tipi litologici e relative caratteristiche di permeabilità e porosità
Marna Arenaria più o meno cementata Breccia a cemento calcitico Puddinga a cemento calc. o calcarenit. Calcare compatto, stratificato Calcare detritico a cem. spatico stratif. Calcare oolitico, stratificato Calcare dolomitico, stratificato Dolomia Gesso Diaspri, radiolariti stratificate Tufo calcareo Panchina
Sedimenti sciolti
Gruppo
Tab. 5.1
• • • • • • • •
C
Evol.
• •
•
• •
• •
•
• •
•
•
•
•
•
• •·
• •
• •
•
• • • • •
•
•
•
•
•
• • • • •
•
•
•
IM SP MP AP CR DR
Grado
Permeabilità
E-80 SCIENZE NATURALI
• • •
•
M
A
Evoluzione della permeabilità nel tempo:
• •
B
rocce praticamente impermeabili, per k < 10–4 cm/s (IM) rocce scarsamente permeabili, per k compreso tra 10–4 e 10–7 cm/s (SP) rocce mediamente permeabili, per k compreso tra 10 e 10–4 cm/s (MP) rocce altamente permeabili, per k > 10 cm/s (AP)
A
Grado di permeabilità:
• • •
•
M
Tipo do permeabilità:
Serie metamorfiche dell’Aspromonte (Calabria)
• • •
•
B
Second.
Porosità Primaria
Alto (A) per n > 15% Medio (M) per n = 5 + 15% Basso (B) per n < 5%
Metamorf.
Formaz. vulcan. Sardegna nord-occid. Vulcano di Roccamonfina, Vesuvio Etna, plateaux della Sard. nord-occid.
Monti della Sila (Calabria)
Esempio
Segue
Grado di porosità primaria:
Fillade, fessurata e alterata Micascisti, fessurati e alterati Gneiss, kinzigiti, fessurati e alterati
Ignee
Roccia
Granito, fessurato Granito, molto alter. (sabbione granit.) Trachite, fessurata e alterata Leucotefrite, fessurata e alterata Basalto, fessurato e alterato
Gruppo
Tab. 5.2
•
P
C
Evol.
• •
• •
•
•
permeabilità crescente (CR) permeabilità decrescente (DR)
• •
•
•
• •
IM SP MP AP CR DR
Grado
Permeabilità
per porosità (P) per fessurazione (F) per carsismo (C)
• • •
• • •
•
F
Tipo
ELEMENTI DI IDROGEOLOGIA
E-81
E-82
SCIENZE NATURALI
d) Igroscopicità. È l’attitudine della roccia asciutta di assorbire e trattenere, per condensazione lungo le pareti della cavità, l’acqua contenuta nell’aria allo stato di vapore. Poiché tale valore varia al variare della temperatura dell’ambiente si parla anche di coefficiente igroscopico per indicare il rapporto tra il peso dell’acqua che ad una data temperatura viene assorbita da una roccia completamente secca ed il peso della roccia stessa. e) Capacità di ritenuta. È l’attitudine della roccia di trattenere acqua per fenomeni di capillarità e di adesione e che pertanto viene sottratta all’azione della gravità. Poiché attorno ad ogni granulo o ad ogni interstizio si genera dell’acqua pellicolare, essa è tanto maggiore quanto più essi sono di minori dimensioni. A tale scopo si ricorda che il contenuto in acqua di una roccia è il rapporto tra il peso d’acqua contenuta allo stato naturale nei pori ed il peso della parte solida della roccia stessa, espresso in percentuale. Viceversa il coefficiente di ritenuta, o potere specifico di ritenuta, è il quoziente tra il volume di tale acqua ed il volume della roccia misurato in percentuale del primo rispetto al secondo. Il grado di saturazione di una roccia è espresso in percentuale mediante il coefficiente di saturazione, cioè il rapporto tra la somma volumetrica dell’acqua di ritenzione quantitativamente fissa e l’acqua gravifica variabile ed il volume totale dei vuoti. Tale coefficiente varia tra lo 0% (roccia secca) ed il 100% (roccia satura); in quest’ultimo caso il volume d’acqua contenuta nella roccia è pari alla porosità totale. f) Capacità di percolazione. È l’attitudine della roccia satura d’acqua di cederne per azione della sola gravità; essa è direttamente legata alla dimensione degli interstizi. Si definisce coefficiente di percolazione la differenza tra la quantità d’acqua contenuta nell’unità di volume di una roccia satura e la quantità realmente contenuta per capacità di ritenuta. Sulla base di queste proprietà si può operare una zonazione del primo acquifero, dall’alto verso il basso. ZONA NON SATURA O DI AERAZIONE. In essa l’acqua di ritenzione comprende l’acqua capillare sospesa; l’acqua gravifica è in transito. Essa può a sua volta sottodividersi in tre sottozone: zona di evapotraspirazione, condizionata dall’infiltrazione e dall’evapotraspirazione e caratterizzata da rilevanti variazioni del tenore d’acqua; zona di transizione, dove il tenore d’acqua è vicino alla capacità di ritenzione e zona o frangia capillare, alimentata dall’acqua della zona satura che risale per ascensione capillare. ZONA SATURA. Caratterizzata dal complesso serbatoio/acqua di ritenzione/acqua gravifica. Si tratta del dominio della falda idrica sotterranea.
5.1.3 Fattori di penetrazione delle acque nel sottosuolo. L’acqua meteorica può penetrare nel sottosuolo solo se esso è permeabile, altrimenti o ristagna o scorre in superficie. Necessita inoltre che il suolo non sia saturo, ossia che i suoi vuoti non siano già saturi in acqua. Le condizioni di penetrazione per azione gravitativa dipendono da vari fattori, raggruppabili in quattro categorie. a) Fattori meteorologici. Considerano la quantità d’acqua meteorica precipitata, la durata e la qualità della precipitazione, la temperatura dell’aria e del suolo, lo stato igrometrico dell’aria.
E-83
ELEMENTI DI IDROGEOLOGIA
b) Fattori morfologici. grafica del territorio.
Sono legati all’inclinazione del suolo e alla struttura topo-
c) Fattori geologici. Sono legati alle caratteristiche di permeabilità delle rocce, all’alterazione in posto delle stesse, alla loro costituzione chimica più o meno resistente all’azione di acque acidule, alle azioni tettoniche che possono provocare fessurazioni. d) Fattori biologici. Si riferiscono all’azione di copertura operata dalla vegetazione del suolo e del mantello boschivo, all’opera di animali, soprattutto nei primi livelli del terreno e agli interventi dell’uomo sul territorio naturale. 5.1.4 Elementi di idrodinamica sotterranea. L’immagazzinamento dell’acqua sotterranea nei vuoti è condizionata dal coefficiente di immagazzinamento, la sua circolazione dalla permeabilità. La funzione del serbatoio assicura il trasporto delle acque o flusso sotterraneo delle acque gravifiche. Tale circuito può essere distinto in: – deflusso sotterraneo o portata media degli acquiferi; – deflusso idrico sotterraneo; – portata di una falda attraverso una data sezione. Questa è calcolata dalla legge sperimentale di Darcy. Essa asserisce che la portata d’acqua Q in m3/s, filtrato dall’alto verso il basso entro una colonna di materiale noto di lunghezza l in m, attraverso la sezione totale, perpendicolare alla direzione verticale di deflusso A in m2, è funzione di un coefficiente di proporzionalità (o di permeabilità) K in m/s, variabile al variare del mezzo filtrante e da un gradiente idraulico i adimensionale, ossia: Q=K·A·i Si definisce portata unitaria q la portata in m3/s che attraversa l’unità di sezione perpendicolare alla direzione di flusso in un mezzo saturo, in un secondo (v. tab. 5.2). Come corollario della legge di Darcy, vengono definiti i seguenti termini: livello piezometrico, è la misura di una quota di piano d’acqua riferita in genere al piano di campagna; carico idraulico, è il peso della colonna d’acqua al di sopra del livello di riferimento o energia per unità di peso; potenziale idraulico, è l’energia richiesta per Tab. 5.3 K (m/s)
Rapporti tra litologia, grado di permeabilità e valori del coefficiente di permeabilità di Darcy 101 1 10–1 10–2 10–3 Omogenea
Granulometrica
Varia
10–4 10–5 10–6
Ghiaia Ghiaia grossa e media
Sabbia Ghiaia e sabbia
10–7 10–8 10–9 10–10 10–11
Sabbia molto fine
Silt
Argilla
Sabbia e argilla Limi
Gradi di permeabilità
Elevata
Bassa
Nulla
Tipi di formazione
Permeabili
Semi-permeabili
Imper.
limiti convenzionali
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SCIENZE NATURALI
portare l’unità di massa al di sopra del livello di riferimento. Va osservato che sul terreno è possibile solo la misura del livello piezometrico e quindi per convenzione questi tre parametri vengono identificati nel solo livello piezometrico. 5.1.5 Metodi di studio in laboratorio e sul terreno. La determinazione dei vari parametri idrogeologici su esposti può essere svolta o in laboratorio o sul terreno a seconda delle circostanze in cui si deve operare o del livello di precisione richiesto. In laboratorio si compiranno analisi su campioni, prelevati per mezzo di tecniche appropriate, vertenti sulle caratteristiche geotecniche ed idrauliche: granulometria, analisi strutturale, misure di permeabilità e porosità, ecc. Gli studi sul terreno dipendono dalla prospezione geologica, eventualmente integrata da osservazioni geomorfologiche o dalla teleosservazione, dalla prospezione geofisica o dai sondaggi meccanici, con raccolta di campioni per il laboratorio (v. tab. 5.3). Tab. 5.4
Caratteristiche granulometriche ed idrogeologiche in sedimenti sciolti (U.S. Geological Survey)
Tipi di sedimenti Ghiaia media Sabbia grossa Sabbia media Sabbia fine Sabbia molto fine Sabbia siltosa Silt Silt argilloso Argilla
d10 mm
n %
ne %
K m/s
2,5 0,250 0,125 0,09 0,045 0,005 0,003 0,001 0,0002
45 38 40 40 40 32 36 38 47
40 34 30 28 24 5 3 – –
3 · 10–1 2 · 10–3 6 · 10–4 7 · 10–4 2 · 10–5 1 · 10–9 3 · 10–3 *1 · 10–9 *5 · 10–10
*Valori calcolati. d10 = diametro efficace; n = porosità in %; ne = porosità efficace in %; K = coefficente di permeabilità.
5.2
GEOCHIMICA DELLE ACQUE SOTTERRANEE
5.2.1 Caratteri generali. Per acque sotterranee si intendono le acque che circolano nel sottosuolo; esse derivano principalmente da acque meteoriche penetrate nel sottosuolo (acque vadose) impregnandolo fino ad un livello detto superficie freatica, al di sotto della quale vi è la zona di saturazione. Le acque sotterranee contengono, oltre ai composti originari delle acque meteoriche (polveri, inquinanti, CO2, ecc.), anche composti raccolti nel mezzo attraversato che spesso finiscono col caratterizzarne la qualità. La composizione chimica dei composti disciolti è molto varia e gli ioni più abbondanti sono: CO –3 – , HCO –3 – , SO –3 – , Cl– , Na+, K+, Ca++, Mg++. Queste caratteristiche sono soggette a mutare nel tempo in quanto intervengono scambi di basi, reazioni chimiche varie ed in particolare ossidoriduzioni, idrolisi e mescolanze con altre acque (v. tab. 5.4).
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ELEMENTI DI IDROGEOLOGIA
Tab. 5.5
Rapporti tra resistività elettrica, litologia e mineralizzazione delle acque sotterranee
Resistività elettrica (∆ cm a 20°C) < 1.000 1.000 ÷ 1.500 1.500 ÷ 3.000 3.000 ÷ 5.000 10.000 ÷ 10.000 > 10.000
Acquiferi probabili
Mineralizzazione eccessiva importante media leggera bassa molto bassa
evaporiti calcari alluvioni molasse arenarie graniti, gneiss, basalti, ecc.
5.2.2 Parametri chimici e fisici delle acque vadose. La composizione chimica e fisica delle acque dipende da molti fattori e soprattutto dal carattere solvente dell’acqua e dalla durata ed estensione del contatto con rocce. I caratteri di maggior interesse pratico sono i seguenti: a) Residuo fisso o salinità. È il peso delle sostanze contenute in un litro d’acqua filtrata che rimangono dopo che l’acqua sia stata fatta evaporare ed il residuo secco sia stato per quattro ore calcinato al rosso. b) Durezza. Dipende dalla presenza di sali di calcio e di magnesio disciolti; essa si misura in gradi idrotimetrici. In Europa vengono usate varie unità di misura: il grado idrotimetrico francese (grado °F) corrisponde ad un tenore di 10,3 mg di CaCO 3 oppure a 8,7 mg di MgCO3 o a 14 mg di CaSO4 , oppure a 12,4 mg di MgSO4 , per litro. I rapporti con i gradi inglesi (grado °E) ed i gradi tedeschi (grado °D) sono così definiti: 1 grado °F = 0,7 grado °E = 0,54 grado °D 1 grado °E = 1,43 grado °F = 0,9 grado °D 1 grado °D = 1,25 grado °E = 1,79 grado °F Si usa distinguere la durezza totale, che rappresenta la quantità di sali alcalinoterrosi contenuti in condizioni standard, dalla durezza permanente, che rappresenta la quantità di sali rimasti in soluzione dopo l’ebollizione. La differenza tra le due prende il nome di durezza temporanea. In base alla durezza, le acque possono essere classificate come segue: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
dolci dolci dolci mediocremente dure abbastanza dure dure molto dure
0÷7 7 ÷ 14 14 ÷ 22 22 ÷ 32 32 ÷ 54 oltre 54
°F °F °F °F °F °F
L’acqua distillata deve avere durezza 0, le acque selenitose hanno durezze superiori a 200°F. c) Acidità. Risulta in genere legata agli acidi disciolti nell’acqua, nelle rocce o nel terreno; in particolare acido carbonico, solforico, solforoso ed altri di origine biologi-
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SCIENZE NATURALI
ca. La misura viene espressa in funzione del cologaritmo della concentrazione di ioni H+ (pH), come segue: pH < 7 acque acide pH = 7 acque neutre pH > 7 acque alcaline Risultano particolarmente pericolose le acque acide (dette anche aggressive) in quanto attaccano i metalli, le acque fortemente alcaline in quanto incrostanti e le acque selenitose, ricche in ioni solfato, perché attaccano il cemento: il limite di accettabilità in questo caso è di 70 mg/l di SO 2 . d) Conducibilità elettrica. La resistività è in funzione della concentrazione e della natura dei sali disciolti, per lo più dovuti alle rocce con cui l’acqua è venuta a contatto; vi è infatti un legame diretto tra conducibilità e sostanze disciolte, anche se essa varia nel tempo ed in funzione della temperatura. e) Temperatura. Essa rispecchia solo superficialmente le variazioni termiche diurne o annue; al di sotto di 15 ÷ 20 m (zona di eterotermia) la temperatura si mantiene di fatto costante; essa si misura nelle sorgenti con termometri a fionda o nei pozzi con sonde termoelettriche. Qualora la temperatura dell’acqua dovesse risultare maggiore della media esterna (acque normali) esse vengono chiamate acque termali (vedi par. 5.2.4). f) Contaminazione organica. L’analisi batteriologica o la presenza di elevato tenore in cloruri, nitrati, nitriti ed ammoniaca possono indicare una contaminazione biologica. g) Torbidità. È legata alla presenza di sostanze colloidi in sospensione; a volte può essere dovuta a idrossidi di ferro che conferiscono un’opalescenza caratteristica. h) Colore. Di norma dovrebbe essere incolore, vi possono essere variazioni dall’azzurro al verde in funzione della composizione chimica. i) Sapore. Dipende dalle sostanze disciolte ed è percettibile già un contenuto in sali di 0,5 g/l (pochi mg se si tratta di ferro o rame). Vi si possono distinguere acque dolci, salate, salmastre, acide ed amare. l) Odore. È legato ai gas disciolti, in particolare all’acido solfidrico, che può essere di origine biologica o di origine interna (acque fossili). m) Radioattività. La presenza naturale di radioelementi nelle rocce o nei terreni può determinare una certa radioattività dell’acqua, maggiore nelle acque di provenienza molto profonda (come le acque connate dei giacimenti petroliferi). Nelle acque minerali e termali la radioattività è dovuta principalmente al radon e all’uranio. Si considera radioattiva un’acqua con un’attività superiore a 1,27 becquerel/litro. 5.2.3 Acque connate. Si dicono acque connate o fossili le acque che sono rimaste racchiuse nei sedimenti sin dal tempo della loro deposizione; esse sono presenti spesso nei giacimenti di idrocarburi o nei sedimenti marini. Le loro caratteristiche organolettiche, chimiche e fisiche variano grandemente ed i vari parametri aumentano colla profondità, per via delle reazioni colle rocce incassanti. Le acque di origine marina poi mantengono o aumentano la loro salinità fino a valori di concentrazione del 25 %,
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con particolare riguardo per carbonati, solfati, aloidi e idrogeno solforato. Le acque connesse invece a giacimenti di idrocarburi sono in genere ricche di bromo e di iodio, fino a 100 ppm, di probabile origine algale. 5.2.4 Sorgenti minerali e termali. Non esiste una definizione unica per distinguere le acque sorgive da quelle minerali. Alcuni autori le legano ad attività terapeutiche, altri le considerano tali quando superano costantemente una salinità dell’un per mille o se contengono in soluzione sostanze rare; in generale si può considerare un’acqua termominerale se differisce in composizione, temperatura o concentrazione dalle comuni acque sorgive locali (v. tab. 5.5). Per le acque minerali l’analisi della salinità viene espressa considerando il valore del residuo a 180°C espresso in g/litro e considerandovi gli ioni più rappresentativi. Vengono dette termali quelle, particolari acque la cui temperatura alla sorgente è coTab. 5.6
Classificazione delle acque minerali, secondo Marotta e Sica
I. Acqua oligominerali Es. Anticolana Fiuggi Es. San Bernardo
Residuo a 180° ≤ 0,2 g/l res. 180° 0,051 g/l res. 180° 0,051 g/l
II. Acque medio-minerali Residuo a 180° compreso fra 0,2 g/l e 1,0 g/l Es. Acqua di Nepi, Acqua Claudia, Acqua S. Pellegrino III. Acque minerali
A. Salse (Na+, Cl+)
Residuo a 180° > 1,00 g/l 1. Salse 2. Salse solfato-alcaline Es. Montecatini (Rinfresco) 3. Salse solfato-alcalino-terrose 4. Salso-bromo-iodiche Es. Salsomaggiore* 5. Salso-iodiche solfato-alcaline Es. Montecatini (Tettuccio, Regina, Torretta, Tamerici) 6. Salso-iodiche alcalino-terrose
B. Sulfuree (S++, HS+)
1. Sulfuree 2. Sulfuree salse 3. Sulfuree salso-bromo-iodiche 4. Sulfuree salso-solfato-iodiche 5. Sulfuree solfato-alcaline
C. Arsenicali
1. Arsenicali 2. Arsenicali-ferruginose
D. Bicarbonate
1. Bicarbonato-alcaline 2. Bicarbonato-alcaline-bromo-iodiche 3. Bicarbonato-alcalino-terrose Es. Sangemini 4. Bicarbonato-solfato-alcaline 5. Bicarbonato-solfato-alcalino-terrose Es. Chianciano
E. Solfate
1. Solfato-alcaline 2. Solfato-alcalino-terrose
*Il residuo a 180° di quest’acqua raggiunge il 178,9 g/l
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munque naturalmente superiore alla temperatura media ambientale o, secondo altri, alla temperatura fissa di 20°C. In base alla temperatura della sorgente esse possono essere classificate come segue: a) sorgenti minerali fredde temperatura < 20°C b) sorgenti termali (s.s.) temperatura tra i 20 e i 50°C c) sorgenti acrotermali temperatura > 5°C d) sorgenti di vapore (fumarole, soffioni, ecc.) Tali valori possono essere costanti nel tempo (sorgenti omeotermali) o variare (sorgenti eterotermali). Tra le sostanze chimiche più frequentemente associate alle acque termominerali distinguiamo degli anioni (come il bromo, lo iodio, il fluoro e gli ioni solfato e carbonato), dei cationi (come il sodio, il potassio, il litio, il magnesio ed il calcio), o dei metalli (come il ferro, l’alluminio, il manganese, il rame e lo zinco). Tra le sostanze non elettrolitiche vanno ricordati l’acido meta-borico e meta-silicico. Tra i gas principalmente l’anidride carbonica e l’acido solfidrico. Molto discussa è l’origine delle acque termominerali e non esiste un’unica causa ma più ragioni interdipendenti tra di loro. Esse possono essere dovute all’azione meteorica, quando si hanno acque che si infiltrano nel terreno ed acquistano calore in funzione del gradiente geotermico e sostanze in soluzione dalle rocce attraversate. L’origine è detta endogena se si tratta di acque juvanili, ossia prodotte dal raffreddamento di un magma in profondità. Queste ultime presentano, al contrario delle precedenti, una notevole costanza di composizione e temperatura. Anche le sostanze disciolte non possono dare delle indicazioni univoche, ma solo suggerire delle origini preferenziali, al posto di altre. 5.3
CICLO DELL’ACQUA E BILANCIO IDROLOGICO
5.3.1 Ciclo globale dell’acqua sulla Terra. La Terra è molto probabilmente l’unico pianeta del sistema solare con abbondante acqua allo stato liquido. Essa è prevalentemente concentrata in quella fascia definita idrosfera all’interno della quale si sviluppa la circolazione delle acque sulla superficie, o ciclo globale dell’acqua, che assicura gli scambi tra la quantità di acqua immagazzinata sotto i tre stati in cinque grandi serbatoi. Si può dire che l’idrosfera coincide colla biosfera, in quanto l’acqua è indispensabile per la vita e senza di essa la vita non è possibile, almeno nelle forme a noi note. La valutazione precisa della capienza dei grandi serbatoi idrici sulla superficie del pianeta è alquanto complessa e varia a seconda degli autori. Globalmente si stima lo stock d’acqua terrestre in 1.390.000.000 km 3 , ripartito in cinque serbatoi, all’interno dei quali si svolgono complessi ruoli regolatori: fisico, idrodinamico, chimico e biologico. Il principale serbatoio idrico del nostro pianeta è rappresentato dagli oceani, con 1.340.000.000 km3 stimati di volume; in esso il moto del pianeta assicura la circolazione delle acque e l’omogenizzazione delle temperature del globo; attraverso l’evaporazione rappresenta la principale riserva d’acqua. I ghiacci delle calotte polari e dei ghiacciai rappresentano il 60% delle riserve terrestri, mentre le acque sotterranee raggiungono quasi il 40% del totale. Molto marginali
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sul piano planetario, anche se di rilevante interesse per i fini antropici, sono le acque dolci di superficie dei fiumi e dei laghi, con una percentuale dello 0,22% dell’intero volume idrico. Se dunque la quasi totalità delle acque è accumulata negli oceani, essa è purtuttavia indispensabile sulle terre emerse e a portarvela provvede il ciclo delle acque. Lo spostamento avviene essenzialmente sotto due stati: gassoso e liquido. Ogni anno in media 577.000 km3 d’acqua oceanica passano allo stato di vapore sotto l’azione dei raggi solari; essi poi riscendono, come precipitazioni (pioggia, neve, grandine, ecc), sia in mare che sulla terraferma. Vi può essere un apporto da parte delle acque juvenili, provenienti cioè dagli strati profondi della crosta (comprendenti anche le acque termali), ma questo è stimato globalmente di scarso valore e quantizzato in pochi km 3 all’anno. In effetti solo una piccola parte del vapore totale (circa 47.000 km 3) raggiunge i continenti; il resto ricade sugli oceani e costituisce il ciclo oceanico. Il ciclo continentale è alimentato dall’evapotraspirazione stimata in 72.000 km 3/anno, a cui si aggiungono i 47.000 km 3 dagli oceani, che precipitano sulla terraferma e nella misura di 45.000 km3 ritornano a questi attraverso i corsi d’acqua o i deflussi sotterranei occulti. Tutto il ciclo riceve energia dal sole nella quantità di circa 400.000 terawatt (1 terawatt = 1012 watt), che rappresenta un quinto dell’energia solare che raggiunge il nostro pianeta. 5.3.2 I sistemi idrologici. Un sistema idrologico è un sistema dinamico, nello spazio e nel tempo, che definisce una porzione finita del ciclo dell’acqua. La sua identificazione si poggia su quattro parametri di valutazione: – uno spazio fisico, definito da tre dimensioni, che costituisce al suo interno un mezzo idrodinamico continuo; – una serie di processi idrodinamici, chimici e biologici; – un circuito di entrata ed uno di uscita delle acque; – la variabilità dei dati nello spazio e nel tempo. All’interno di un sistema si possono distinguere tre domini interdipendenti, gli uni dentro gli altri; questi in ordine decrescente sono: – il bacino idrologico; – il bacino idrogeologico o delle acque sotterranee; – l’acquifero colla sua falda sotterranea. A ciascun sistema idrologico corrispondono una frazione del ciclo globale delle acque, un tipo di bilancio ed una categoria di risorse. Fisicamente un bacino idrologico è definito dalle linee di spartiacque che seguono le sommità dei rilievi e delimitano il bacino di un corso d’acqua; esso corrisponde in superficie al bacino idrografico di un fiume e può avere dimensioni estremamente variabili a seconda del corso idrico considerato, passando da pochi km 2 a centinaia di km2. Il bacino idrogeologico, in senso stretto, è la frazione del bacino idrologico che si trova sotto la superficie e corrisponde al dominio delle acque sotterranee; i suoi limiti sono definiti dalle strutture geologiche locali. In esso possiamo avere uno o più acquiferi. A sua volta un acquifero viene definito come una formazione idrogeologica permeabile, detta substrato, che permette il deflusso significativo di una falda idrica sotterranea e la captazione di quantità apprezzabili d’acqua con mezzi economici.
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Per costruire un modello matematico di un bacino idrologico è però necessario conoscerne le variazioni di portata e di deflusso nel tempo. 5.3.3 Bilancio d’acqua in un sistema idrologico. Il bilancio delle acque in entrata ed uscita da un bacino idrologico deve essere a pareggio contabile, con eventuale accantonamento delle differenze, che vengono considerate come riserva. Le dimensioni sia di spazio che di tempo vengono definite ogni volta a seconda dell’ambito di applicazione, anche se in genere per avere dati significativi si richiedono parecchi anni di osservazioni. Le tabelle debbono indicare gli apporti ed i deflussi, il risultato è detto espressione dell’equilibrio idrologico: portate afflussi = portate deflussi + / – differenza riserve Tali dati hanno la funzione di permettere stime delle riserve e pianificazione degli usi. Per far ciò è necessario analizzare in dettaglio ogni voce, raccolta dopo un sufficiente tempo di misura, variabile a seconda della precisione richiesta, di volta in volta. Per quanto riguarda gli apporti bisogna considerare innanzi tutto le precipitazioni efficaci, cioè le precipitazioni globali meno quella parte che viene usata dalle piante o evapora e prende il nome di evapotraspirazione, misurabile localmente attraverso stazioni evaporimetriche. A sua volta la precipitazione efficace è divisibile in: ruscellamento (o deflusso superficiale) ed infiltrazione (ossia la parte che attraversa la superficie del suolo). La determinazione del comportamento del sottosuolo implica una classificazione idrogeologica delle formazioni litologiche e sarà oggetto del par. 5.4. Per contro l’uscita del bacino è misurata dalla portata del deflusso naturale, sia esso superficiale o sotterraneo, che avviene sotto forma di sorgente, superficie di acqua libera, depressione chiusa o sbocco marino. 5.4
CIRCOLAZIONE DELLE ACQUE NEI TERRENI
5.4.1 Strutture geologiche permeabili. Un acquifero viene identificato da tre criteri: geologico, idrodinamico ed idrochimico. Esso consiste in uno spazio sotterraneo, finito e continuo, detto serbatoio: questo può essere descritto attraverso le sue dimensioni e la natura dei suoi limiti geologici, con una quota, una profondità ed una struttura determinata dalla litologia. La litologia infatti, al pari della geologia, impone al serbatoio una configurazione e una struttura. Alla base dell’identificazione di un acquifero troviamo perciò delle formazioni litostratigrafiche, ossia dei corpi rocciosi omogenei, od omogeneamenti variabili, ascrivibili ad una determinata età geologica. Essi di norma vengono definiti attraverso la loro litologia e il nome della località tipo dove la formazione è stata istituita: es. Calcare di Zu, Arenaria di Sarnico, ecc.. La rappresentazione grafica delle formazioni che definiscono un acquifero, incontrate attraverso un sondaggio meccanico o ricostruite attraverso interpretazioni geologiche, corredata da informazioni circa la loro permeabilità e profondità, costituisce la colonna stratigrafica idrogeologica. Un tale documento deve sempre accompagnare qualsiasi relazione o studio idrogeologico. In una serie idrogeologica i membri a permeabilità diversa sono separati da un elemento geometrico definito, detto limite di permeabilità, che può coincidere con il passaggio da una formazione all’altra, ma può
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anche essere una fascia definita all’interno di una formazione non omogenea. Vengono definiti permeabili quei corpi geologici che hanno la proprietà di lasciarsi attraversare dall’acqua con velocità apprezzabili, sotto l’impulso di differenze di altezza o pendenza della falda (dette gradienti); se viceversa la velocità di deflusso è molto bassa (qualche millimetro all’anno), la formazione è detta impermeabile; vengono dette semipermeabili quelle formazioni (come le sabbie molto fini o le sabbie argillose) che permettono, in certe condizioni favorevoli, degli scambi verticali (o di pressione), detti fughe. L’estensione geografica delle formazioni litostratigrafiche e la loro geologia definiscono l’estensione degli acquiferi. 5.4.2 Le falde acquifere. La struttura idrogeologica più semplice è rappresentata da uno strato permeabile per porosità poggiante su di un substrato impermeabile. In esso l’acqua riempie i meati dell’acquifero fino ad un certo livello, detto superficie piezometrica. Lo spazio compreso tra tale superficie ed il substrato impermeabile è detto falda libera o freatica; se la permeabilità avviene entro una roccia compatta, permeabile per fessurazione, si parla di rete acquifera libera. Nei grandi bacini alluvionali spesso può accadere che si trovino più falde, tra di loro sovrapposte e non necessariamente tra di loro comunicanti; in tal caso localmente esse vengono dette 2 a, 3a, 4a ... falda. Se lo strato permeabile è invece racchiuso tra due strutture impermeabili ed in ogni punto la pressione idrostatica è maggiore della pressione atmosferica, si parla di falda acquifera in pressione (o di rete acquifera in pressione, nel caso di rocce fratturate). Se la superficie piezometrica è superiore a quella del piano di campagna, si parla di falda (o rete) artesiana. Quando attraverso un sufficiente numero di misure del pelo libero d’acqua, in pozzi o in sondaggi, si determina la profondità della falda, riferita al piano di campagna, si può ricostruire su una carta topografica l’andamento della superficie freatica. Attraverso interpolazioni si possono tracciare delle curve che uniscono tra loro i punti di ugual profondità; tali curve vengono dette isofreatiche o (anche se impropriamente) isopiezometriche. Tali valori sono variabili nel tempo e quindi può essere necessario ripetere più volte le osservazioni, a distanza di vari mesi l’una dall’altra. Dall’analisi delle isofreatiche è possibile localizzare le aree più favorevoli per ricerche idriche o sondaggi di pozzi per captazione; attraverso lo studio delle pendenze è possibile definire il gradiente idraulico (o cadente piezometrico). Le linee perpendicolari alle isofreatiche, che indicano la direzione preferenziale delle acque sotterranee, sono dette linee di flusso; la sezione verticale lungo una linea di flusso dà il profilo piezometrico della falda. Lo studio della carta a isofreatiche permette di identificare la falda e le sue strutture geologiche profonde, nonché le zone di alimentazione della stessa; cosa quest’ultima molto importante quando si tratta di fare delle previsioni per disponibilità di quantitativi d’acqua o di identificare fonti di inquinamento. 5.4.3 Morfologia della superficie freatica. La forma delle strutture idrogeologiche profonde dipende essenzialmente dalla tettonica e dalla litologia del serbatoio. Questo può avere dimensioni estremamente variabili che possono comprendere bacini sedimentari subsidenti di estensione regionale, fino a piccole strutture tettoniche locali, tra le quali la più classica è la sinclinale, in aree con uno stile tettonico a pieghe, o a horst e graben se lo stile tettonico è rigido.
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Più complessa è la situazione delle reti libere, soprattutto nelle aree delimitate da rocce ignee o metamorfiche, dove la circolazione avviene entro fratture comunicanti. I serbatoi più ricchi sono però di solito costituiti dalle pianure alluvionali, dove i depositi clastici hanno colmato depressioni preesistenti: qui più facilmente possiamo trovare variazioni di permeabilità sia verticali che orizzontali con formazioni di lenti sospese o sistemi multifalda, con venuta a giorno delle acque della falda superficiale in corrispondenza di brusche variazioni di litologia (area della risorgive nella Pianura Padana). In una pianura l’acqua penetra nel sottosuolo verticalmente, supponendo il mezzo filtrante isotropo, con una sua velocità di filtrazione; raggiunta la superficie idrostatica il moto diviene orizzontale (o debolmente inclinato se si tratta di superfici piezometriche): la sua velocità è detta ora di percolazione, che sta alla precedente secondo funzioni complesse, tutte legate alla legge di Darcy, deducibili per via teorica o meglio sperimentalmente. In questa fase il moto delle acque è determinato, oltre che dalla permeabilità del serbatoio, dalla superficie freatica e dalle sue variazioni morfologiche; in taluni casi particolari, quando l’acqua scorre in un fondovalle con forti pendenze, si può creare una corrente freatica, che può ricordare il flusso di un fiume entro il suo alveo. Particolarmente interessanti sono i rapporti tra superficie freatica e corsi d’acqua superficiali. Se non vi sono rapporti tra corso d’acqua, falda e le isofreatiche, al di sotto di esso, continuano a fluire lateralmente senza modificazioni (situazione di equilibrio). Se la falda si deprime e le isofreatiche deviano verso monte prima di raggiungere il fiume, ciò significa che la falda defluisce verso il corso d’acqua ed esso esercita un’azione di drenaggio. Se al contrario la superficie freatica si innalza vicino al fiume e le isofreatiche deviano verso valle, è il fiume che alimenta la falda: ciò è possibile soprattutto in zone piuttosto aride o con alvei pensili. Un caso a se è invece quello rappresentato dal contatto tra falde ed acque marine, tipico delle zone costiere. Qui le due superfici, a causa della diversa costituzione chimica, non tendono a mescolarsi naturalmente, bensì l’acqua dolce tende a galleggiare su quella salmastra e l’interfaccia acqua dolce/acqua salata è legata alla differenza di carico tra il livello piezometrico ed il livello del mare. Tale interfaccia è in equilibrio naturale, ma instabile. Particolare cura quindi va prestata all’emungimento per evitare che la differenza di pressione alteri questo equilibrio, di per sé instabile, e porti ad una mescolanza dei due fluidi. 5.4.4 Regime delle falde. Lo studio del regime di una falda consiste nell’analisi delle sue variazioni di portata. Ciò dipende da vari fattori, alcuni naturali, altri antropici. Per quanto riguarda le falde libere essi determinano un’oscillazione del livello freatico; i più comuni sono i seguenti. a) Precipitazioni palesi od occulte. Ovviamente uno dei fattori di maggior variazione delle portate di una falda è rappresentato dalle precipitazioni meteoriche e vi è un rapporto diretto tra l’innalzamento di una falda e le piogge, anche se esso è sfasato nel tempo e raramente proporzionale all’entità delle precipitazioni, specie se esse sono frequenti. Un apporto molto più modesto è rappresentato dalla condensazione del vapore d’acqua presente nell’atmosfera. b) Temperatura ed evaporazione. Il calore dell’aria e nel suolo determina una evaporazione delle acque sotterranee, soprattutto nell’aerato.
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c) Pressione atmosferica. Anche variazioni di pressione nell’aria determinano variazioni del livello della falda, con innalzamento dello stesso all’abbassarsi della prima. d) Fiumi. Come si è visto più sopra vi è un diretto rapporto tra corsi d’acqua e falde. Si può osservare in generale che la reciproca influenza è quanto maggiore quanto minore è il dislivello tra falda e fiume e tanto maggiore è la permeabilità dei terreni. e) Irrigazioni. L’irrigazione dei campi, specie se essi sono molto permeabili, esercita un’influenza notevole sulle falde, anche se i reciproci rapporti sono alquanto complessi e variano a seconda delle regioni climatiche. f) Drenaggi. Il drenaggio determina un richiamo d’acqua verso i punti di raccolta e conseguentemente una depressione della falda, tanto più intensa ed estesa quanto maggiore è la quantità di acque emunte, con conseguente richiamo d’acqua dalle zone circostanti, che possono arrivare ad interessare l’intera falda. g) Ravvenamento delle falde. Quando, per cause antropiche o più raramente naturali, una falda si è troppo depressa, con conseguenze pericolose per gli insediamenti umani, si può determinare localmente un incremento di portata con un impinguamento artificiale. Ciò può essere fatto o attraverso uno sbarramento a valle della falda, che viene a costituire una sorta di diga sotterranea, oppure immettendo direttamente, attraverso vasche permeabili apposite, dell’acqua proveniente da laghi o corsi d’acqua ivi deviati allo scopo. Nel caso di falde artesiane il rapporto tra precipitazioni e portata è molto meno diretto; si può inoltre dire che non vi è rapporto costante tra artesianismo e profondità della falda. In genere sono la struttura tettonica e le eventuali variazioni di permeabilità che determinano la portata della falda ed i rapporti altimetrici tra area di alimentazione ed orifizio dei pozzi, mentre estremamente limitate sono in genere le influenze dei fattori ambientali esterni. Ancora più complesso è il regime delle falde profonde molto più costante nel tempo e poco influenzato dagli eventi di superficie, anche a causa della distanza tra la falda e la sua zona di alimentazione. Nelle falde più profonde (alcune centinaia di metri) comincia a farsi sentire l’influenza del gradiente geotermico, che riscaldando le acque ne determina una evaporazione verso gli strati superiori. 5.4.5 Sorgenti. Si intende per sorgente un punto o una zona ristretta in corrispondenza della quale viene a giorno naturalmente dell’acqua sotterranea. Si possono distinguere le sorgenti comuni da quelle termominerali, dotate di particolari caratteri termali o di contenuto chimico. A seconda della portata le sorgenti possono anche essere divise in perenni, semiperenni e temporanee. Chimicamente le sorgenti rispecchiano ancor maggiormente delle acque nel sottosuolo i caratteri geochimici degli strati attraversati, anche se tale rapporto è piuttosto variabile nel tempo, per la contaminazione più facile colle acque meteoriche, le influenze chimiche degli strati superficiali o il percolato dei terreni. Dal punto di vista fisico valgono per le sorgenti le osservazioni fatte per le acque sotterranee: di particolare interesse è la temperatura, che riflette entro certi limiti quella esterna, ma in misura tanto minore, quanto maggiore è il percorso profondo delle sue acque. L’eventuale torbidità indica invece una scarsa capacità filtrante degli strati superficiali del terreno e ciò è tanto più facile quanto maggiore è l’apporto di acque circolanti per fessurazione nelle rocce.
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Analogamente il sapore, l’odore e il colore dell’acqua dipendono dalla contaminazione con gli strati superficiali. Importante per la classificazione ed i riflessi antropici è anche la portata di una sorgente; si intende con ciò la misura dei litri o dei metri cubi erogati nell’unità di tempo considerata (secondo, minuto, ora, ecc.); essa varia nel tempo e quindi si deve parlare di portata media o di valori annui, stagionali, giornalieri o altro. 1 fattori che determinano tali variazioni sono molteplici e per essi valgono le considerazioni già fatte per i regimi delle falde. 5.4.6 Classificazione generale delle sorgenti. I criteri di classificazione delle sorgenti sono numerosi e variano a seconda dei settori applicativi considerati. Globalmente si possono dividere in quantitativi ed idrogeologici. I primi si basano sulle portate. Tra questi particolarmente importante è quello di Meinzer, che distingue otto classi di grandezze in funzione della portata di magra: Classe 1 2 3 4 5 6 7 8
Portata minima annua (in l/s) > 10.000 da 1000 a 10.000 da 100 a 1.000 da 10 a 100 da 1 a 10 da 0,1 a 1 da 0,01 a 0,1 < 0,01
Ricordando però che tale portata può variare nel tempo, Meinzer propone anche un indice di variabilità (Rv) espresso per ciascuna sorgente dal rapporto percentuale tra la differenza tra portata minima (Qmin) e portata massima (Qmax) e la portata media annua (Qm): Q max – Q min - × 100 R v = -------------------------------Qm Tale rapporto divide le sorgenti in: costanti subvariabili variabili
Rv < 25% 25% < Rv < 100% Rv > 100%
Per quanto riguarda i criteri idrogeologici, non vi sono classificazioni univoche ed alcuni autori (Civita, 1975) le suddividono in tre classi, a loro volta divise ciascuna in due gruppi, a seconda del prevalere di uno dei principali fattori di controllo della genesi di ciascuna sorgente, che sono il grado di permeabilità delle formazioni interessate, la struttura idrogeologica e la topografia. Si hanno così: Classe 1) Classe 2) Classe 3)
Sorgenti per limite di permeabilità Sorgenti per soglia di permeabilità Sorgenti per affioramento della superficie piezometrica
Caratteristica quindi delle sorgenti della prima classe è la venuta a giorno delle acque sotterranee in corrispondenza di un elemento di separazione più o meno definito
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tra due parti di una struttura idrogeologica a diverso grado di permeabilità. Nelle sorgenti della seconda classe si ha un serbatoio di acque sotterranee che trabocca in corrispondenza del punto della soglia di permeabilità che lo limita. Nella terza classe il fattore dominante è la topografia e la venuta a giorno delle acque sotterranee si ha quando la superficie topografica, per azione dell’erosione, si è abbassata sino ad intersecare la superficie piezometrica. Per altri autori (Desio, 1973) l’elemento determinante è da ricercare delle strutture geologiche e si possono avere i seguenti tipi ’caratteristici. a) Sorgenti d’emergenza. Sono sorgenti determinate dall’emergere della falda freatica o dell’acqua di fondo alla superficie del suolo. Sono le più soggette a variazioni o addirittura a scomparsa in funzione del variare del livello della falda. b) Sorgenti di trabocco. Si formano quando l’acqua di una raccolta sotterranea si versa all’esterno per innalzamento eccessivo della falda, dovuto per esempio ad un ostacolo sotterraneo impermeabile. Anch’esse sono variabili nel tempo. c) Sorgenti di contatto. Sgorgano per naturale deflusso della falda che è venuta a contatto, tettonico o stratigrafico, con una formazione sottostante impermeabile. Sono le più continue. d) Sorgenti di sbarramento. Sono provocate dal rigurgito dell’acqua sotterranea in conseguenza di ostacoli che raggiungono la superficie topografica e si oppongono al fluire della falda. e) Sorgenti di fessura. Sono quelle che sgorgano da una frattura della roccia, quale ne sia l’origine (faglie, fratture beanti, diaclasi, ecc.). Alcune di esse possono essere un ramo ascendente di un sistema a sifone. f) Sorgenti subacquee. Sono sorgenti appartenenti ai tipi precedentemente descritti, ma con sbocco sul fondo di una raccolta d’acque (fiume, lago o mare). g) Risorgenti. Sono la ricomparsa di corsi d’acqua superficiali, dopo un percorso sotterraneo, di solito connesso a fenomeni carsici. h) Fontanili. Si tratta di sorgenti di origine antropica e sono formati nelle alte pianure quando la falda libera raggiunge la superficie (spontaneamente o no) e sgorga entro depressioni naturali o cavità artificiali. Constano di una «testa» o svaso naturale entro cui le sottostanti polle riversano l’acqua di falda e di una «asta» che rappresenta la roggia che porta le acque ai campi. Va osservato che raramente le sorgenti si presentano isolate più spesso si trovano in raggruppamenti o allineamenti lungo le superfici di discontinuità eventualmente presenti. Ai fini pratici di utilizzo, una sorgente viene identificata attraverso i seguenti parametri, già in precedenza definiti: – localizzazione topografica; – delimitazione del bacino idrogeologico alimentante; – caratteri organolettici, chimici, fisici e biologici; – regime idrologico e termico; – caratteri della falda di alimentazione. 5.4.7 Carsismo e circolazione delle acque per fessurazione. Quando le acque non circolano nel sottosuolo per porosità del mezzo ma attraverso fessure comuni-
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canti, condotti irregolari o per vie prestabilite, si parla di permeabilità per fessurazione. In questo caso la permeabilità è misurabile attraverso le dimensioni delle fessure, la loro frequenza, la loro orientazione e il fatto che siano tra di loro comunicanti. Tali fenomeni si possono instaurare entro rocce solubili in acque (come calcari, dolomie, gessi o salgemma) o insolubili. Nel primo caso la permeabilità tende a crescere, nel secondo a decrescere, in quanto le fessure finiscono coll’ostruirsi a causa del materiale trasportato dall’acqua stessa. La permeabilità per porosità non è comunque in contraddizione con quella per fessurazione e i due fenomeni possono verificarsi insieme, con prevalenza dell’uno o dell’altro a seconda dello sviluppo e del grado di porosità delle rocce coerenti in questione. Per riconoscere se l’acqua di una sorgente è trasportata per fessurazione si può ricorrere a metodi fisico-chimici diretti come il confronto tra i vari parametri idrici delle acque superficiali e quelle sotterranee; oppure a metodi indiretti tramite l’uso di traccianti o coloranti (tipo fluoresceina, uranina, cloruri e traccianti radioattivi). Comunque i più rilevanti fenomeni di permeabilità per fessurazione sono connessi al carsismo, ove con tale termine si comprendano tutti quegli eventi per cui ad una rete di drenaggio superficiale se ne sostituisce una ipogea. Il meccanismo specifico di distribuzione delle acque nelle regioni carsiche è oggetto di molte discussioni tra gli autori. Possiamo comunque riassumere i principali concetti dicendo che il fenomeno interessa rocce solubili in acqua e particolarmente i calcari (in misura minore le dolomie e i gessi). Nelle regioni carsiche (la cui estensione può essere molto variabile, da qualche km 2 a migliaia di km2) l’acqua scende attraverso inghiottitoi o doline fino a raggiungere una superficie di saturazione, dove il moto da verticale passa ad orizzontale, allargandosi via via il passaggio, con una lenta azione di dissoluzione chimica. Considerando che la circolazione è molto attiva e che la capacità di erosione e dissoluzione è alta, la fessurazione tende ad ampliarsi, dando origine nel tempo a grotte e cunicoli che finiscono talora coll’assumere il carattere di veri fiumi sotterranei, con propri alvei dall’andamento più o meno complesso.
5.5
RICERCHE D’ACQUA
5.5.1 Metodi di studio preliminare. L’acqua dolce è essenziale per qualsiasi attività umana e se non immediatamente disponibile, sotto forma di laghi o fiumi, va ricercata nel sottosuolo. Da qui essa può scaturire naturalmente, come sorgente, ma più spesso va ricercata, vuoi nella quantità, vuoi nella qualità desiderate, in condizioni economicamente compatibili colle strutture per la quale viene richiesta. La prassi di tale ricerca varia notevolmente da luogo a luogo, sia che si operi in aree povere d’acqua, sia che ci si trovi in aree ricche, sia in montagna, sia in pianure alluvionali, zone rocciose o carsiche. La base di qualsiasi analisi idrogeologica è data da una conoscenza, la più ricca possibile, della situazione geologica locale, in base a tutti i dati e gli studi precedenti, sia a livello di stratigrafie, sia di affioramenti litologici o idrologici. Utile può essere la documentazione aerofotografica, quando la si sappia usare: dalle foto aeree si pos-
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sono ricostruire le strutture geologiche principali e mappare le sorgenti note. Molti materiali non sono pubblicati e quindi una ricerca in posto è d’obbligo, così come una ricerca nelle strutture pubbliche preposte alla gestione delle acque, come Genio Civile, consorzi locali, Servizio Geologico regionale o nazionale, uffici tecnici dei comuni interessati, ecc.. Dall’osservazione dei dati geomorfologici di superficie si individuano le aree più interessanti ed in generale si può ricostruire, magari per approssimazione, la storia recente del territorio. Quando si è completata la raccolta dei dati già noti e si è esaminata la situazione idrogeologica globale della regione, si può passare alla investigazione profonda diretta, attraverso trincee, pozzi, sondaggi meccanici ed indagini geofisiche. Cominciando da queste ultime, diciamo che si possono utilizzare in una normale ricerca d’acqua (che riguardi cioè un’area non eccessivamente estesa) solo la prospezione elettrica e quella sismica a rifrazione, da sole o combinate. Tale ricerca serve però solo a condizione di disporre di una solida base geologica a cui correlarla, in quanto i soli dati geofisici hanno notevoli margini di incertezza nella loro interpretazione. I metodi elettrici si basano sullo studio della circolazione di una corrente elettrica, artificialmente immessa, nel suolo: poiché tale circolazione è in funzione di precisi parametri litologici e geologici si ha una possibile stratigrafia indiretta delle prime decine di metri di profondità. I metodi sismici si basano sullo studio della propagazione nel sottosuolo di onde elastiche, create artificialmente con varie apparecchiature (mazza battente o esplosivi), e sulla loro raccolta dopo rifrazione o riflessione, tramite geofoni appositamente dislocati. La sismica di rifrazione permette indagini a qualsiasi profondità, dagli strati più profondi a quelli più superficiali, ma ha in genere costi molto maggiori; la sismica a riflessione ha costi più bassi, ma è più indicata per indagini a bassa profondità. Non servono per ricerche idrologiche i sistemi geofisici basati sulla misura delle anomalie magnetiche e gravitative, se non per la ricostruzione generale di ampie regioni geologiche. Per quanto non abbia validità scientifica val la pena qui di far cenno all’uso della radioestesia o rabdomanzia, in quanto tale pratica incredibilmente trova ancora parecchio credito presso molti enti locali, che di fronte alle spese prospettate dall’idrogeologo preferiscono vie apparentemente meno costose. Tale pratica si basa sull’ipotesi che ogni oggetto, e quindi anche l’acqua sotterranea, emetta particolari vibrazioni che un sensitivo con una bacchetta forcuta o un pendolino può ricevere. Inutile dire che i vantati successi, si hanno quasi esclusivamente in zone di pianura alluvionale, dove la falda è diffusa e superficiale e perciò comunque facile da trovare. 5.5.2 Stima delle risorse disponibili. Una volta raccolte tutte le notizie disponibili, riuniti i dati idrogeologici noti e le ricostruzioni geologiche e geofisiche, si procede alla stima delle risorse disponibili, tenendo presente che della massima disponibilità idrica valutabile si potrà utilizzare solo una parte con criteri di convenienza economici. Pertanto i parametri da valutare saranno principalmente: – la gestione delle captazioni, che dipende dai parametri idrogeologici del territorio, dalla resa degli impianti e dalla distribuzione delle acque nel terreno;
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– i ritmi di estrazione, definiti in funzione delle risorse e adattati ad un utilizzo medio delle stesse, curando particolarmente di non intasare i filtri dei pozzi o di creare scompensi nella falda; – la politica di sfruttamento nel lungo periodo; vanno valutate le necessità attuali e quelle future, adattando le prime alle seconde e cercando, se non in momenti eccezionali, di non intaccare le falde più profonde, per permettere un ricaricamento naturale delle falde, in modo da mantenere costante il livello del serbatoio idrico. L’effetto più banale dello sfruttamento di una falda è rappresentato dall’abbassamento permanente, più o meno accentuato, della superficie piezometrica; ciò provoca l’impoverimento della produzione nei pozzi vicini in un raggio più o meno ampio e la diminuzione di certi apporti secondari della falda stessa. Questi fatti rendono ogni previsione molto difficile, anche perché i bisogni stessi d’acqua cambiano nel tempo. Ecco perché si ricorre spesso a modelli analogici della falda, che permettono di rappresentare il variare dei parametri che condizionano il comportamento della falda e il suo sfruttamento, consentendo quindi di stabilire delle strategie d’azione. Noi non trattiamo qui tale tema, in quanto esula dai nostri fini e ci limitiamo a considerare le opere di captazione in sé. Queste possono essere divise in due grandi gruppi: le opere di presa che interessano sorgenti e lo sfruttamento delle falde mediante pozzi. 5.5.3 Opere di presa di sorgenti. La ricerca e lo sfruttamento delle sorgenti presuppongono l’identificazione delle manifestazioni superficiali, la distinzione tra l’emergenza vera e quella naturale (cioè mascherata dai detriti superficiali) e l’interpretazione della loro origine, con una stima delle possibili portate. Una volta definiti i dati idrologici e geologici della struttura, si sceglie la sorgente più accessibile per localizzazione topografica o con portata migliore, sia per quantità che per qualità. Le relative opere di presa variano notevolmente caso per caso e le relative opere di captazione vanno ogni volta ridefinite, sia pur seguendo uno schema generale. Innanzitutto le opere vanno distinte in dirette ed in falda: nel primo caso ci si limita a mettere a giorno le varie polle in presenza di piccole sorgenti ben definite; nel secondo caso si interviene sulla falda idrica interessata, indipendentemente dalla posizione dell’emergenza idrica, con il fine di migliorare la portata o di regolarizzarla. Nel primo caso l’opera di presa deve raggiungere la sorgente geologica, ossia il punto effettivo dal quale sgorga l’acqua, eliminando le eventuali coperture detritiche. Tale lavoro va fatto con molta attenzione per evitare di inquinare i condotti sorgivi. Le opere di captazione vere e proprie invece constano comunemente di bottini dipresa, che si incassano nella roccia, e di una struttura coperta impermeabile, contenente una vasca di carico, eventualmente preceduta da una vasca di sedimentazione. Da queste vasche si dipartono le opere di derivazione, che saranno tali da escludere forme inquinanti esterne. Altra forma di presa diretta è il drenaggio, consistente in una serie di scavi nella roccia, che a loro volta convogliano le acque in una o più canalette di raccolta, con funzioni di collettori verso la vasca di raccolta. Per quanto riguarda invece le opere in falda esse vanno divise in: orizzontali, verticali e miste. Tra le prime ricordiamo le gallerie e le trincee drenanti ed i pozzi orizzontali.
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Le gallerie drenanti sono scavi in sotterraneo di forma allungata che vanno ad impegnare in tutto o in parte la zona di saturazione di un acquifero alimentante una sorgente. Le trincee vengono usate specialmente quando l’area sorgiva è ampia e comprende numerose polle più o meno localizzate scaturienti dalla copertura, mentre la superficie piezometrica si mantiene a piccola profondità. In entrambi i casi a fondo dei lavori si sistema una canaletta o una tubazione forata, eventualmente protetta e coperta, che porta verso la vasca di sedimentazione. I pozzi orizzontali sono opere di presa orizzontali, fatte per sostituire con perforazioni di piccola entità gallerie drenanti, altrimenti costose (vedi Costruzioni idrauliche). 5.5.4 Sfruttamento delle falde mediante pozzi. Il sistema più antico e diffuso di sfruttamento di una falda è rappresentato dai pozzi; questi possono essere forati a mano (e tali spesso sono quelli di uso domestico in campagna), oppure scavati meccanicamente. A seconda della falda cui attingono vengono anche distinti in normali (o freatici) e artesiani (o modenesi). La quantità d’acqua che può essere estratta con continuità nell’unità di tempo viene detta portata del pozzo. Viene detto imbuto o cono di depressione l’abbassamento della falda intorno al pozzo, quando esso è in funzione. Tale cono è in funzione della portata del pozzo e delle caratteristiche idrogeologiche del serbatoio o della mobilità della falda. Di norma esso deve cessare qualche ora dopo l’interruzione dell’emungimento. La localizzazione dei pozzi deve tener conto dell’area di influenza di ciascuna opera, per non deprimere eccessivamente la falda. I pozzi possono essere anche classificati in funzione delle caratteristiche costruttive e suddivisi come segue. – Pozzi a ripiano (o qanats): molto antichi e tipici delle aree desertiche. I lavori di scavo raggiungono la falda con una serie di pozzi allineati e congiunti tra di loro da un condotto orizzontale sotterraneo, eventualmente emergente, ma tale da permettere ai singoli pozzi di alimentarsi a vicenda. In Italia sono noti solo in Sicilia. – Pozzi a raggiera: sono costituiti da un pozzo centrale di grande diametro, ma di profondità limitata, dal quale si diparte una serie di tubazioni orizzontali, disposte appunto a raggiera e dotate ciascuna di bocchettone per il controllo delle immissioni. – Pozzi Nordenskjoeld: vengono usati in rocce cristalline, permeabili per fessurazione; raccolgono prevalentemente l’umidità atmosferica e le acque di percolazione. – Pozzi drenanti: sono i più diffusi nelle nostre regioni e sono costituiti da una colonna con una o più parti filtranti, dette appunto dreni. Sono anche quelli che garantiscono le migliori condizioni di sfruttamento della falda per lunghi periodi. Per queste ragioni ci occuperemo più in dettaglio della loro costruzione e del loro funzionamento. 5.5.5 Costruzione e funzionamento dei pozzi drenanti. La costruzione di un pozzo drenante comprende tre fasi: lo scavo del pozzo, il posizionamento dei filtri e l’installazione delle apparecchiature di sollevamento. Per quanto riguarda lo scavo del pozzo le attrezzature in uso sono quelle a percussione (a cavo o ad aste) e quelle a rotazione. I macchinari possono essere montati su automezzi, per piccole profondità, o su strutture fisse con tavola rotary. Durante le
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operazioni per il recupero dei detriti di perforazione vengono usati fanghi, opportunamente miscelati. Durante questa fase dei lavori vengono impiegati dei tubi di rivestimento provvisori, anche al fine di impedire la mescolanza tra livelli acquiferi inferiori e superiori ed il conseguente inquinamento degli acquiferi. Una volta raggiunto il livello prescelto si posizionano i tubi-filtro definitivi. Si tratta di tubazioni di diametro finalizzato all’opera e tali da consentire la successiva messa in opera di strumentazioni di prelievo e di misura. I tubi-filtro portano delle aperture con forme e dimensioni differenti a seconda dei vari modelli e delle diverse finalità operative. La loro fenestratura viene comunque calcolata in funzione della granulometria del pozzo. Una volta immesso il tubo, si immette intorno ad esso della ghiaia tale da costituire una guaina di protezione. Compiuta tale operazione ed estratte le tubazioni di rivestimento, si cementa il pozzo e si collocano le opere di presa, avendo cura di lasciar spurgare il pozzo in maniera da eliminare i residui di perforazione. 5.5.6 Prove di emungimento. Di solito per ogni nuovo pozzo di adeguata profondità si provvede alle prove di emungimento per stabilire le condizioni ottimali di sfruttamento della falda in quella zona: esse consistono in una prova di pompaggio controllato e di analisi della depressione del livello piezometrico indotta. Supposta una falda immobile, in un serbatoio omogeneo, il pompaggio di acque sotterranee induce un deflusso centripeto radiale, la cui forma dipende dai parametri idrogeologici del mezzo filtrante e dalla falda stessa. I principali parametri considerati sono il coefficiente di permeabilità K , il gradiente idraulico i, cioè la pendenza della superficie piezometrica, la trasmittività T ed il coefficiente di immagazzinamento S . In funzione di tali parametri si può dedurre sperimentalmente l’esistenza di un regime di deflusso permanente in equilibrio tra la portata e le caratteristiche del conoide prodotto. Tale studio permette di valutare l’opportunità di installare altri pozzi nella stessa zona e le eventuali reciproche influenze. Per questo ultimo scopo in particolare si procederà a prove di emungimento non solo su di un singolo pozzo, ma anche su un sistema di pozzi, posti a distanze diverse dal pozzo campione. A conclusione delle analisi si riportano e si costruiscono le curve di emungimento caratteristiche del pozzo in modo da definire sperimentalmente o analiticamente la portata ottimale di esercizio dell’opera, che dopo di allora potrà cominciare la sua definitiva entrata in funzione.
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CLASSIFICAZIONE DEI VIVENTI 6.1
VIRUS E RICKETTSIE
Poxvirus (vaiolo), Herpesvirus (varicella, erpes), Adenovirus, Papillomavirus, Poliovirus, Retrovirus, Rickettsia prowareki. 6.2
MONERE
a) Schizomiceti (batteri): Vibrio cholerae, Neisseria meningitidis, Salmonella aureus, Brucella melitensis, Staphilococcus aureus, Bacillus anthracis, Clostridium tetani, Streptococcus pyogenes, Treponema pallidum, Mycobacterium tuberculosis, Bacillus subtilis, B. proteus, B. mycoides, Nitrosomonas, Nitrosococcus, Nitrobacter, Azotobacter, Rhizobium leguminosarum. b) Cianofite (alghe azzurre): Nostoc, Oscillatoria. 6.3
PROTISTI
a) Protozoi. Flagellati: Euglena, Criptomonas, Cerathium, Giardia, Trypanosoma, Tricomonas, Leishmania. Ciliati: Paramecium, Stentor, Vorticella. Sarcodici: Amebe (proteus, coli), Foraminiferi, Eliozoi, Radiolari. Sporozoi: Gregarine, Coccidi, Emosporidi (Plasmodium falciparum, P. vivax, Babesidi, Cnidosporidi, Actinosporidi). b) Crisofite: alghe dorate e diatomee. c) Mixomiceti (muffe mucillaginose): Plasmodiophora brassicae. 6.4
FUNGHI
Ficomiceti: Rhizopus, Mucor mucedo, Plasmopara viticola (peronospera), Phytophtora infestans. Ascomiceti: Saccaromyces (ellypsoideus, cerevisiae), Penicillum, Aspergillus, Uncinula necator (oidio della vite), Tuber (tartufo); Morchella, Claviceps purpurea. Basidiomiceti: Ustilago carbo, Tilletia tritici, Puccinia, Boletus, Agaricus, Amanita, Psalliota, Lactarius. Deuteromiceti: Actinomyces bovis, Trychophyton. 6.5
LICHENI
Funghi in simbiosi con alghe: Usnea barbata, Cladonia pyxidata, Cetraria islandica.
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6.6
PIANTE
6.6.1 Alghe: Rodofite o alghe rosse (Porphiria), Feofite o alghe brune (Laminaria, Fucus), Clorofite o alghe verdi (Ulva, Spirogyra). 6.6.2
Briofite:
Epatiche (Marchantia), Muschi (Sphagnum, Polytricum).
6.6.3 Tracheofite. a) Licopodi (Licopodium clavatum). b) Equiseti (Equisetum arvense). c) Felci (Polypodium, Asplenium). d) Gimnosperme: Ginkgoine (Ginkgo biloba); Cicadine; Conifere (pino silvestre, pino mugo, pino marittimo, cedro del Libano, abete rosso e bianco, larice, araucaria). e) Angiosperme: – Monocotiledoni Liliacee (tulipano, giglio, aglio), Amarillidacee (narciso), Iridacee, Bromeliacee, Juncacee, Ciperacee, Graminacee (mais, miglio, palma, gramigna, avena, orzo, fieno, festuca, grano, segale, loglio, riso, canna da zucchero, banano), Musacee, Cannacee, Orchidacee, Aracee, Palmacee.
– Dicotiledoni: Famiglie: Betulacee (betulla, ontano, nocciuolo, carpino); Fagacee (quercia, castagno, faggio, rovere, farnia); Juglandacee (noce); Salicaee (salice, pioppo); Olmacee (olmo); Moracee (gelso, fico, Ficus elastica); Cannabacee (canapa, luppolo); Orticacee (ortica, parietaria); Lorantacee (vischio); Poligonacee (grano saraceno, acetosa, rabarbaro); Chenopodiacee (barbabietola, spinacio, bistorta, farinaccio); Amarantacee (biedone); Cactacee (fico d’India, cereus, cactus); Portulacee (porcellana); Cariofillacee (garofano selvatico, saponaria); Euforbiacee (euforbia, erba cipressina, ricino, Hevea brasiliensis, bosso, manioca); Platanacee (platano); Magnoliacee (magnolia); Aristolochiacee (aristolochia); Lauracee (alloro, canfora); Ranuncolacee (anemone, ranuncolo, peonia); Miristicacee (noce moscata); Ninfeacee (ninfea); Papaveracee (rosolaccio o papavero, celidonia); Crocifere (colza, rapa, senape, cavolo, ravizzone, erba storna, crescione, rucola); Capparidacee (cappero); Tarnaricacee (tamarisco); Droseracee (drosera); Violacee (viola mammola, viola del pensiero); Teacee (thè); Sassifragacee (ribes, ortensia, uva spina); Rosacee (mandorlo, pesco, albicocco, ciliegio, durone, susino o pruno, erba piperina, potentilla, fragola, lampone, rovo, rosa canina, rosa comune, pero, melo, lauroceraso, nespolo); Leguminose (carrubo, albero di Giuda, balsamo del Perù, ginestra, maggiociondolo, lupino, erba medica, lupinella o trifoglio di Bokhara, fieno greco, trifoglio comune, erba lepre, trifoglio bianco, rosso, trifoglietto, robinia, fagiuolo, soja, fava, veccia, pisello, erba galletta, coronilla, sulla, meliloto, liquirizia, galega, dolico, arachide, lenticchia, cece, tamarindo, balsamo del Perù, mimosa); Mirtacee (mirto, eucalipto); Punicacee (melograno); Malvacee (malva cotone, ibisco); Tiliacee (tiglio); Sterculiacee (cacao, cola); Linacee (lino, coca); Oxalidacee (acetosella); Geraniacee (geranietto, cicutaria, pelargoni); Auranziacee (arancio dolce, cedro, mandarino, limone, pompelmo, bergamotto, chinotto); Rutacee (ruta); Anacardiacee (lentischio, pistacchio); Aceracee (acero); Ippocastanacee (ippocastano); Aquifoliacee (agrifoglio); Vitacee (vite); Cornacee (corniolo); Araliacee (edera); Ombrellifere (cicuta, carota, cumino, prezzemolo, finocchi, pastinaca, sedano, anice verde, angelica); Primulacee (primula, ciclamino); Ericacee (corbezzolo, mirtillo, brentolo, scopino, rododendro, uva ursina, azelee); Ebenacee (caki, ebano); Convolvulacee (vilucchio, cuscuta, batata, gialappa); Borraginee (myosotis, borragine, polmonaria); Solanacee (patata, pomodoro, melanzana, morella, dulcamara, peperone, stramonio, belladonna, giusquiamo,
CLASSIFICAZIONE DEI VIVENTI
E-103
tabacco, petunia); Scrofulariacee (veronica, bocca di leone, digitale, fiamma, verbasco, barabasco, linaria); Orobancacee (orobanche o succiamele, sesamo); Acantacee (acanto); Verbanacee (verbena, limoncina); Labiate (serpillo, timo, origano, maggiorana, salvia, erba moscatella, rosmarino, menta, lavanda, melissa, basilico); Genzianiacee (genziana); Apocinacee (oleandro, pervinca, strofanto); Oleacee (olivo, ligustro, frassino, frassino da manna, gelsomino, lillà, orniello); Rubiacee (caffè, gaglio, robbia, china o chinchona, ipecacuana); Caprifogliacee (caprifoglio, sambuco, viburno o lantana); Valerianacee (valeriana, valerianella); Cucurbitacee (zucchetta, zucca, melone o popone, cetriolo, brionia, cocomero o anguria); Campanulacee (campanula, specchio di Venere); Composite (millefoglio, farfaraccio, margheritina, saeppola, camomilla, tanaceto, assenzio, dragoncello, calendula, topinambour, fiordaliso, cardo rosso, carciofo, indivia, scorzonera, tarassaco o soffione, lattuga, scariola o radicchio, girasole, camomilla, crisantemo, dalia, zinnia, piretro, stella alpina, arnica, assenzio); Attinidiacee (attinidia: kiwi).
6.7
ANIMALI
Poriferi o spugne: calcispongie, silicospongie, dernospongie. Celenterati: Idrozoi (Hydra, Phisalia caravella); Scifozoi (meduse: Pelagia, Aurelia); Antozoi (coralli, attinie, gorgonie, pennatule, tubipore, madreporari, fungie, meandra). Ctenofori (cintura di Venere, Beroe). Platelminti: Turbellari (planaria); Trematodi (Fasciola hepatica, Schistosoma); Cestodi (tenie, echinococco).
Nemertini o Rincoceli. Aschelminti: Rotiferi, Gastrotrichi, Chinorinchi, Nematodi (Trichinella, Ancylostoma, filarie, Dracunculus, ascaridi, ossiuri, Anguillula aceti, strongili, Rabditis), Nematomorfi.
Acantocefali, Endoprotti,Toronidei, Briozoi, Brachiopodi (Lingula). Anellidi: Policheti (Eunice, Spirographis, Arenicola, Nereis); Oligocheti (lombrico, Tubifex); Irudinei (Acantobdella, Hirudo o sanguisuga). Molluschi: Anfineuri (Neopilina, Chiton); Gasteropodi (Patella, Trochus, Limnea, Buccina, Littorina, Ciprea, Helix (elice), murici); Scafopoidi (Dentalium); Lamellibranchi (Mytilus, Cardium, Citerea, Pecten, Tridacna, Venus, Teredo, ostriche, mitili, pettini, datteri, cuori, pinne); Cefalopodi (Sepia, Nautilus, polpi, Argonauta, calamaro, moscardino).
Echiuridi. Oncopodi (Onicofori, Tardigradi, Pentastomidi). Artropodi. a) Aracnidi (scorpioni, tarantole, pseudoscorpioni, opilionidi, ragni, acari, acaro della scabbia, zecche); b) Miriapodi (chilopodi, centopiedi; diplopodi); c) Crostacei (pulce d’acqua, copepodi, gambero di fiume e di mare, aragosta, scampi, granchi, paguri); d) Insetti: Ortotteri (cavallette, grilli, locuste, mante, blatte); Dermatteri (forbicina); Plecotteri; Isotteri (termiti); Embiotteri; Odonati (libellula); Efemerotteri; Mallofagi (pidocchi, pollini); Anopluri (pidocchio); Psocotteri; Zoratteri; Emitteri (cimici, idrometra); Omotteri (cicale, cocciniglie, sputacchine); Tisanotteri; Mecotteri; Neurotteri; Tricotteri; Lepidotteri (farfalle, tignole); Ditteri (mosche, zanzare, drosofile, tafani, pappataci); Afanitteri (pulci); Coleotteri (ditisco, cervo volante, scarabeo, coccinella, lucciola, carabi, maggiolino, dorifora); Strepsitteri; Imenotteri (api, vespe, formiche). e) Meristomi: limulus. Chetognati (sagitta). Emicordati (Balanoglossus).
E-104
SCIENZE NATURALI
Echinodermi: Crinoidi (comatula, giglio di mare); Oloturoidi (oloturia); Asteroidi (stelle di mare); Ofiuroidi (ofiure, Astrospartus); Echinoidi (ricci di mare). Cordati: Urocordati o Tunicati (Ascidia, Talia, Appendicularia); Cefalocordati (Amphioxus lanceolatum). Vertebrati: a) Pesci Agnati: Ciclostomi (lamprede); Condroitti: Selaci (squali, spinarolo, palombo, pesce martello, manta, torpedine, razza); Olocefali (chimere); Osteitti: Crossopterigi (Latimeria); Dipnoi (Protopterus); Condrostei (storioni); Teleostei (sardine, aringhe, salmoni, trote, lucci, carpe, pesci rossi, anguille, murene, aguglie, cavallucci marini, merluzzi, naselli, sogliole, remore, pesci palla, rane pescatrici).
b) Anfibi Apodi (Cecilia); Urodeli (protei, tritoni, salamandre, axoloti); Anuri (rospi, rane, alite ostetrica, discoglosso, raganella).
c) Rettili Cheloni (tartarughe, testuggini); Rincocefali (Sfenodon o atteria); Squamati: Sauri (lucertole, tarantola, geco, camaleonte, iguane, varani); Ofidi (serpente boa, pitone, colubri, naie, vipere, crotali); Coccodrilli (alligatori, coccodrilli, caimani, gaviali).
d) Uccelli Corridori o Ratiti (struzzi, casuari, kivi, ree, emù, nandù). Volatori o neognati: Sfenisciformi (pinguini); Procellariformi (procellarie, albatros); Gaviformi (strolaghe); Pelecaniformi (cormorani, pellicani); Ciconiformi (trampolieri, aironi, cicogne, ibis); Anseriformi (cigni, anitre, oche, fenicotteri); Falconiformi (avvoltoi, grifoni, astori, aquile, falchi, nibbi); Galliformi (pavone, tacchino, fagiano, starna, pernice, quaglia, gallo cedrone, polli); Gruiformi (gru, folaghe); Caradriformi (gabbiano, beccacce, pivieri); Colombiformi (colombi, tortore); Cuculiformi (cuculi); Psitacciformi (pappagalli); Strigiformi (rapaci notturni, gufi, barbagianni, civette); Apodiformi (colibrì, rondoni); Coraciformi (martin pescatore, upupe); Piciformi (picchi, tucani); Passeriformi (corvi, allodole, ghiandaie, gazze, rondini, canarini, usignoli, pettirossi, tordi, merli, storni, fringuelli).
e) Mammiferi Monotremi (ornitorinco, echidna); Marsupiali (opossum, sarighe, tilacini, koala, canguri); Insettivori (talpe, ricci, toporagni); Dermotteri (cinocefali); Chirotteri (pipistrelli, orecchione, vampiri); Sdentati (bradipi, formichieri, armadilli); Folidoti (pangolino); Primati: Lemuridi (lemuri o maki), Tarsioidei (tarsi), Antropoidei: Cebidi (scimmia urlatrice, capuccina), Cercopitecidi (babbuini, mandrilli, macachi, bertucce), Ominoidei (Pongidi o scimmie antropomorfe: scimpanzè, gorilla, orang-utan), Ominidi, (uomo); Lagomorfi (lepre, coniglio); Roditori (topi, ratti, castori, cavie, marmotte, criceti, istrici, scoiattoli, ghiri); Cetacei (balena, delfini, capodogli, narvali, orche); Carnivori: Fissipedi (cani, lupi, sciacalli, volpi, panda, orsi, ghiottoni, visoni, donnole, furetti, lontre, moffete, tassi, iene, linci, gatto, leone, tigre, giaguaro, gattopardo, leopardo, puma, ghepardo); Pinnipedi (trichechi, foche, otarie); Tubulidentati (Orycteropus); Proboscidati (elefanti); Sirenii (larnantini, dugonghi); Perissodattili (cavalli, asini, zebre tapiri, rinoceronti); Artiodattili: Bunodonti o non ruminanti (cinghiali, maiali, facoceri, pecari, ippopotami); Ruminanti (cammelli, dromedari, alpaca, lama, renna, caribù, cervi, alci, giraffe, okapi, buoi, yak, gazzelle, impala, antilopi, bisonti, bue muschiato, capre, pecore).
Sezione F Ambiente 1
SVILUPPO SOSTENIBILE ...................................................................... 10
1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 1.3.8 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3
Introduzione ................................................................................................ Necessità del progetto ................................................................................... Sviluppo e conservazione dell’ambiente....................................................... Energie rinnovabili........................................................................................ Riduzione delle emissioni ............................................................................. Aspetti socio-culturali ................................................................................... Libero mercato e regolamentazione .............................................................. Nuovi modelli ............................................................................................... Problema demografico .................................................................................. Nuove strategie ............................................................................................. Qualità e sostenibilità ................................................................................. Qualità in edilizia .......................................................................................... Caratteristiche ............................................................................................... Certificazione e qualità ................................................................................. Gestione del processo edilizio....................................................................... Fasi del processo edilizio .............................................................................. Qualità procedurale e prestazionale .............................................................. Norme sugli aspetti prestazionali .................................................................. Norme sugli aspetti procedurali .................................................................... Qualificazione degli operatori....................................................................... Qualità ed ecologia ...................................................................................... Qualità ecologica........................................................................................... Qualità dei componenti edilizi ...................................................................... Importanza del progetto ................................................................................ Progettazione integrata.................................................................................. Completezza e verificabilità del progetto ..................................................... Produzione di materiali, componenti e sistemi costruttivi ............................ Cantiere ......................................................................................................... Sistema di gestione ambientale ..................................................................... Sostenibilità nel settore delle costruzioni ................................................. Importanza del settore ................................................................................... Costruzione “sostenibile”.............................................................................. Progettazione “sostenibile” ........................................................................... Valutazione d’impatto ambientale ............................................................ Obiettivi ........................................................................................................ Elementi integrativi....................................................................................... Modello organizzativo ..................................................................................
10 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 19 19 19 21 21 21 21 22
F-2
AMBIENTE
1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8 1.5.9 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7 1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.8 1.8.1 1.8.2
Criteri............................................................................................................ Livelli di analisi ............................................................................................ Metodologia.................................................................................................. Elementi della VIA ....................................................................................... Metodi per la stima della qualità ambientale ................................................ Gestione dei dati ........................................................................................... Valutazione tecnica del progetto ............................................................... Elementi........................................................................................................ Progettazione sostenibile del sito.................................................................. Progettazione sostenibile esecutiva .............................................................. Acqua............................................................................................................ Energia.......................................................................................................... Rifiuti da demolizione .................................................................................. Aria interna degli edifici ............................................................................... Valutazioni delle presentazioni ambientali dei prodotti ......................... Requisiti........................................................................................................ Valutazioni qualitative.................................................................................. Valutazioni quantitative................................................................................ Valutazioni delle presentazioni ambientali degli edifici .......................... Definizione ................................................................................................... Metodi ..........................................................................................................
22 23 23 23 25 25 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 30 30 31
2
AGRONOMIA GENERALE ..................................................................... 32
2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4
Meteorologia e climatologia ....................................................................... Meteorologia................................................................................................. Climatologia ................................................................................................. Clima............................................................................................................. Elementi del clima ........................................................................................ Carte meteorologiche.................................................................................... Osservatorio meteorologico.......................................................................... Il terreno agrario ........................................................................................ Definizione e funzione.................................................................................. Origine del terreno agrario............................................................................ Terreni in posto e terreni di trasporto ........................................................... Stratigrafia del terreno .................................................................................. Componenti del terreno ................................................................................ Proprietà fisiche del terreno.......................................................................... Proprietà chimiche del terreno...................................................................... Proprietà microbiologiche del terreno .......................................................... Sistemazioni idraulico-agrarie ................................................................... Terminologia................................................................................................. Difesa dal ristagno d’acqua .......................................................................... Sistemazioni di pianura................................................................................. Sistemazioni di collina.................................................................................. Irrigazione ...................................................................................................
32 32 32 32 32 33 33 39 39 39 40 40 41 42 43 44 45 45 45 52 54 59
AMBIENTE
F-3
2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.5.6 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1 2.9.2 2.9.3 2.9.4 2.9.5 2.9.6 2.9.7 2.10 2.10.1 2.10.2 2.11 2.11.1 2.11.2 2.11.3 2.11.4 2.11.5
Generalità ...................................................................................................... 59 Caratteristiche delle acque irrigue................................................................. 60 Elementi dell’irrigazione............................................................................... 63 Sistemi irrigui................................................................................................ 67 Fertilizzazione.............................................................................................. 77 Correzione..................................................................................................... 77 Ammendamento ............................................................................................ 77 Concimazione - Elementi nutritivi................................................................ 78 Leggi e tecniche di concimazione ................................................................. 79 Concimi organici........................................................................................... 79 Concimi minerali .......................................................................................... 81 Lavorazioni .................................................................................................. 85 Generalità ...................................................................................................... 85 Classificazione .............................................................................................. 86 Tecniche speciali di lavorazione ................................................................... 88 Aridocoltura .................................................................................................. 89 Avvicendamento e rotazione ...................................................................... 89 Generalità ...................................................................................................... 89 Avvicendamenti praticati in Italia................................................................. 89 Impianto della rotazione: .............................................................................. 90 Consociazione .............................................................................................. 90 Generalità ...................................................................................................... 90 Vantaggi ........................................................................................................ 91 Propagazione delle piante ........................................................................... 91 Propagazione sessuale o gamica o riproduzione ........................................... 91 Semente......................................................................................................... 91 Preparazione della semente ........................................................................... 93 Certificazione ................................................................................................ 93 Propagazione asessuale o agamica o vegetativa o moltiplicazione .............. 94 Organi speciali di moltiplicazione ................................................................ 94 Metodi di moltiplicazione ............................................................................. 94 Miglioramento delle piante ........................................................................ 96 Selezione ....................................................................................................... 96 Ibridazione .................................................................................................... 99 Impianto dell’arboreto ............................................................................... 99 Clima e terreno.............................................................................................. 99 Scelta della specie e della cultivar ................................................................ 99 Impianto e messa a dimora............................................................................ 99 Potatura. ........................................................................................................ 101 Tipi di potatura.............................................................................................. 101
3
SELVICOLTURA ....................................................................................... 104
3.1 3.2
Le funzioni del bosco .................................................................................. 104 Zone fitoclimatiche ...................................................................................... 104
F-4
AMBIENTE
109 109 109 109 110 110 111 112
3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.4 3.5
Parametri dei boschi................................................................................... Composizione ............................................................................................... Densità .......................................................................................................... Struttura ........................................................................................................ Forma di governo.......................................................................................... Trattamento................................................................................................... Vantaggi e svantaggi della fustaia e del ceduo ......................................... Migliorie forestali........................................................................................
4
MECCANIZZAZIONE AMBIENTALE ................................................ 115
4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.4.8 4.4.9 4.4.10 4.4.11
Meccanizzazione agricola........................................................................... Trattrice......................................................................................................... Agricoltura di precisione .............................................................................. Tracciabilità e sistemi di identificazione ...................................................... Meccanizzazione forestale.......................................................................... Trattore forestale........................................................................................... Motosega....................................................................................................... Gru idraulica ................................................................................................. Sramatrice ..................................................................................................... Scortecciatrice ............................................................................................. Verricello ...................................................................................................... Teleferica ...................................................................................................... Macchine per movimento di terra............................................................. Apripista cingolato........................................................................................ Escavatore..................................................................................................... Livellatrice e motolivellatrice ...................................................................... Palacaricatrice e caricatore frontale.............................................................. Ruspa e motoruspa........................................................................................ Terna ............................................................................................................. Macchine per il verde ................................................................................. Macchine per il drenaggio del terreno .......................................................... Macchine interrasassi.................................................................................... Macchine per la semina del tappeto erboso ............................................. Macchine per il trapianto delle zolle ............................................................ Macchine rasaerba ........................................................................................ Macchine per l’aerazione del terreno ........................................................... Macchine per il top-dressing, la rullatura e la pulizia del tappeto ................ Macchine per il trapianto e la messa a dimora degli alberi .......................... Macchine per la potatura degli alberi ........................................................... Attrezzature per valutare la stabilità degli alberi .......................................... Macchine per il trattamento dei residui di potatura ......................................
115 115 119 120 122 122 122 123 123 123 124 124 124 124 125 125 126 126 127 127 127 128 128 130 130 132 134 135 136 136 136
5
ACQUE SOTTERRANEE......................................................................... 138
5.1
Risorse in acqua sotterranea...................................................................... 138
AMBIENTE
F-5
5.2 5.3 5.4 5.5
Inquinamento delle acque sotterranee ...................................................... 138 Inquinamento delle falde ............................................................................ 140 Inquinamento del terreno........................................................................... 142 Elementi di legislazione in campo idrogeologico ...................................... 144
6
ELEMENTI DI GEOPEDOLOGIA ......................................................... 146
6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.6 6.6.1 6.7 6.7.1 6.7.2
Introduzione ................................................................................................ 146 Definizioni .................................................................................................... 146 Descrizione di un pedon................................................................................ 146 Principali orizzonti genetici .......................................................................... 146 Caratteri diagnostici ...................................................................................... 147 Profilo del terreno agrario ............................................................................. 148 Classificazione geografica dei suoli.............................................................. 148 Elementi di pedogenesi ............................................................................... 148 Fattori pedogenetici....................................................................................... 148 Processi pedogenetici .................................................................................... 149 Caratteri chimici e fisici dei suoli .............................................................. 150 Caratteri fisici................................................................................................ 151 Caratteri chimici............................................................................................ 152 Produttività di un suolo .............................................................................. 152 Classificazione dei suoli .............................................................................. 153 Sistema francese............................................................................................ 153 Sistema americano. ....................................................................................... 153 Sistema FAO-UNESCO................................................................................ 154 Carte pedologiche........................................................................................ 154 Stesura della carta ......................................................................................... 154 Valutazione del suolo .................................................................................. 155 Carta della capacità d’uso dei suoli............................................................... 155 Carta dell’attitudine dei suoli ........................................................................ 156
7
INQUINAMENTO DELL’ACQUA .......................................................... 157
7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 7.3 7.3.1 7.3.2
Introduzione ................................................................................................ 157 Indicatori di inquinamento idrico ............................................................. 157 Agenti patogeni ............................................................................................. 157 Rifiuti che consumano ossigeno ................................................................... 158 Eutrofizzazione ............................................................................................. 158 Composti organici sintetici ........................................................................... 158 Prodotti chimici inorganici............................................................................ 159 Sedimenti ...................................................................................................... 159 Calore ............................................................................................................ 159 Contaminazioni radioattive ........................................................................... 159 Metodi di analisi .......................................................................................... 160 Valutazione biologica dell’inquinamento ..................................................... 160 Valutazione chimico-fisica dell’inquinamento ............................................. 160
F-6
AMBIENTE
161 161 161 162 162
7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.5
Risanamento delle acque inquinate........................................................... Processo di trattamento primario .................................................................. Processo di trattamento secondario .............................................................. Processo di trattamento terziario .................................................................. Legislazione .................................................................................................
8
INQUINAMENTO DELL’ARIA .............................................................. 163
8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.4
Introduzione ................................................................................................ Principali inquinanti atmosferici............................................................... Monossido di carbonio (CO) ........................................................................ Ossidi di azoto .............................................................................................. Idrocarburi ed ossidanti fotochimici ............................................................. Ozono............................................................................................................ Ossidi di zolfo............................................................................................... Particolati...................................................................................................... Fenomeni ambientali e inquinamento atmosferico.................................. Inversione termica ........................................................................................ Buco nello strato d’ozono ............................................................................. Effetto serra .................................................................................................. Piogge acide.................................................................................................. Legislazione .................................................................................................
9
GESTIONE DEI RIFIUTI......................................................................... 169
9.1 9.1.1 9.1.2 9.2 9.3 9.4 9.4.1 9.4.2 9.4.3 9.4.4 9.4.5 9.4.6 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5 9.5.6 9.5.7 9.5.8
Introduzione ................................................................................................ Inquadramento normativo............................................................................. Classificazione dei rifiuti .............................................................................. Produzione di rifiuti ................................................................................... Prevenzione della produzione dei rifiuti................................................... Sistemi di raccolta....................................................................................... Generalità...................................................................................................... La raccolta dei Rifiuti Urbani indifferenziati ............................................... La raccolta della frazione organica e del verde ............................................ La raccolta della carta e del cartone ............................................................. La raccolta del vetro ..................................................................................... La raccolta della plastica .............................................................................. Sistemi di trattamento e smaltimento ....................................................... Generalità...................................................................................................... La discarica controllata................................................................................. Il trattamento termico ................................................................................... L’impiego di CDR come combustibile alternativo....................................... I trattamenti meccanico-biologici ................................................................. Il compostaggio ............................................................................................ La digestione anaerobica .............................................................................. I trattamenti a supporto della raccolta differenziata .....................................
163 164 164 164 165 165 166 166 167 167 167 167 167 168
169 169 169 170 172 173 173 175 175 176 178 178 182 182 183 184 185 185 186 186 187
AMBIENTE
9.6 9.7 9.7.1 9.7.2 9.7.3 9.7.4
F-7
Impatti ambientali della gestione rifiuti.................................................... 189 Competenze dei comuni.............................................................................. 189 Introduzione .................................................................................................. 189 Il regolamento comunale............................................................................... 189 Il sistema tariffario ........................................................................................ 190 La bonifica dei siti inquinati ......................................................................... 192
10
FONTI DI ENERGIA ................................................................................. 194
10.1 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.4 10.5 10.5.1 10.5.2 10.5.3 10.5.4 10.5.5 10.5.6 10.5.7 10.6 10.6.1 10.6.2 10.6.3 10.6.4 10.7 10.7.1 10.7.2 10.7.3 10.7.4 10.7.5
Introduzione ................................................................................................ 194 Fonti di energia di origine fossile............................................................... 195 Definizioni .................................................................................................... 195 Classificazione .............................................................................................. 195 Potere calorifico ............................................................................................ 196 Caratteristiche dei combustibili................................................................. 197 Combustibili solidi........................................................................................ 197 Combustibili liquidi ...................................................................................... 199 Combustibili gassosi ..................................................................................... 201 Normativa ..................................................................................................... 202 Fonti di energia nucleare ............................................................................ 203 Fonti di energia rinnovabile ....................................................................... 204 Introduzione .................................................................................................. 204 Energia idraulica ........................................................................................... 204 Energia solare................................................................................................ 204 Energia eolica................................................................................................ 205 Energia da biomasse...................................................................................... 205 Energia dalle maree....................................................................................... 206 Energia geotermica ....................................................................................... 206 Cogenerazione ............................................................................................. 206 Introduzione .................................................................................................. 206 Tipi di impianti ............................................................................................. 206 Analisi tecnica e criteri di scelta di un impianto di cogenerazione............... 208 Analisi economica di un impianto di cogenerazione .................................... 208 Teleriscaldamento ....................................................................................... 209 Definizione.................................................................................................... 209 Centrale termica ............................................................................................ 210 Fluido termovettore....................................................................................... 210 Configurazione della rete .............................................................................. 210 Sottocentrali .................................................................................................. 211
11
PIANIFICAZIONE ENERGETICA LOCALE ....................................... 212
11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3
Introduzione ................................................................................................ 212 Domanda di energia ...................................................................................... 212 Tecnologia e vettore energetico .................................................................... 212 Politiche energetiche ..................................................................................... 212
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11.1.4 11.1.5 11.1.6 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.3 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.4 11.3.5 11.4 11.4.1 11.4.2 11.4.3
Problemi ambientali...................................................................................... Sostenibilità a livello locale.......................................................................... Pianificazione energetica locale ................................................................... Il bilancio energetico................................................................................... Introduzione. ................................................................................................. Analisi delle compravendite di energia. ....................................................... Analisi della domanda di energia ................................................................. Analisi dell’offerta di energia ....................................................................... Avvertenze per la stesura del bilancio energetico ........................................ Il piano energetico....................................................................................... Introduzione.................................................................................................. Azioni sul lato della domanda di energia ..................................................... Azioni sul lato dell’offerta di energia ........................................................... Strumenti per la diffusione delle tecnologie di uso efficiente dell’energia .. Fattibilità del piano d’azione ........................................................................ Riferimenti normativi................................................................................. Introduzione.................................................................................................. Riferimenti nazionali .................................................................................... Riferimenti europei .......................................................................................
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RISPARMIO ENERGETICO NEGLI EDIFICI .................................... 227
12.1 Introduzione ................................................................................................ 12.1.1 Norme vigenti ............................................................................................... 12.1.2 Scopo delle verifich ...................................................................................... 12.1.3 Glossario ....................................................................................................... 12.1.4 Orientamenti normativi................................................................................. 12.2 Procedura .................................................................................................... 12.2.1 Progetto e relazione tecnica .......................................................................... 12.2.2 Nuove costruzioni o ristrutturazioni ............................................................. 12.2.3 Modifiche del solo impianto termico............................................................ 12.2.4 Sostituzione di generatori di calore .............................................................. 12.2.5 Deposito della documentazione .................................................................... 12.3 Verifiche....................................................................................................... 12.3.1 Coefficiente volumico di dispersione ........................................................... 12.3.2 Dispersioni P1 attraverso le pareti verso l’esterno ....................................... 12.3.3 Dispersioni P2 attraverso le pareti verso locali non riscaldati...................... 12.3.4 Dispersioni P3 attraverso il pavimento verso il terreno................................ 12.3.5 Dispersioni P4 attraverso le superfici finestrate verso l’esterno .................. 12.3.6 Dispersioni P5 attraverso i ponti termici ...................................................... 12.3.7 Somma delle dispersioni............................................................................... 12.3.8 Coefficiente volumico limite ........................................................................ 12.3.9 Fabbisogno energetico normalizzato (FEN) ................................................. 12.3.10Fabbisogno energetico normalizzato limite (FENlim) .................................
212 213 213 213 213 214 216 217 217 218 218 218 220 222 223 224 224 225 225
227 227 228 229 230 230 230 231 233 233 234 234 234 239 248 249 256 258 258 259 260 265
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12.3.11 Rendimento globale medio stagionale ( ηg) e confronto con il valore limite (ηg,lim) ............................................................................. 266 12.4 Ulteriori provvedimenti di risparmio energetico ..................................... 268 12.4.1 Isolamento della rete di distribuzione ........................................................... 268 12.4.2 Obbligo del recuperatore di calore................................................................ 269 12.5 Esercizio e manutenzione ........................................................................... 269 12.6 Esempio di calcolo ....................................................................................... 271 13
IL PROBLEMA DEL RADON NEGLI EDIFICI ................................... 301
13.1 13.1.1 13.1.2 13.1.3 13.1.4 13.2 13.2.1 13.2.2
Perché il radon è un problema ................................................................... 301 Cos’è il radon ................................................................................................ 301 Effetti del radon sull’organismo umano........................................................ 302 Come il radon entra negli edifici................................................................... 302 Quando effettuare la misura della concentrazione del radon nell’aria.......... 305 Legislazione italiana ed europea ................................................................ 305 Principali riferimenti ..................................................................................... 305 Dove è richiesto il controllo e il contenimento della concentrazione di radon nell’aria ........................................................................................... 306 Quali sono i limiti di concentrazione del radon nell’aria nei luoghi di lavoro ....................................................................................... 306 Cosa bisogna fare quando i valori misurati di concentrazione del radon sono prossimi o superiori a quello “di azione” ............................. 306 Cosa bisogna fare riguardo alle abitazioni residenziali ................................ 306 Azioni di rimedio e di bonifica ................................................................... 307 Sigillatura delle vie di ingresso ..................................................................... 307 Pressurizzazione dell’edificio ....................................................................... 308 Ventilazione degli ambienti .......................................................................... 309 Ventilazione del vespaio ............................................................................... 309 Pressurizzazione del suolo ............................................................................ 310 Depressurizzazione del suolo........................................................................ 310 Azioni di prevenzione per le nuove costruzioni ........................................ 313
13.2.3 13.2.4 13.2.5 13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.3.4 13.3.5 13.3.6 13.4
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SVILUPPO SOSTENIBILE 1.1
INTRODUZIONE
1.1.1 Necessità del progetto. L’esplosione della questione ambientale nella seconda metà del secolo ha posto in evidenza l’esigenza della conservazione delle risorse vitali per l’uomo. Tale conservazione non deve avere un carattere difensivo, ma deve caricarsi di una forte tensione progettuale per rimuovere le cause strutturali di degrado e perseguire nuovi equilibri tra società e ambiente, in modo che non vi sia più contrapposizione tra sviluppo e conservazione, bensì una ricerca più articolata e complessa, riassunta dal concetto di sviluppo sostenibile. La domanda della società per la difesa e la riqualificazione dell’ambiente in cui viviamo si traduce in una domanda di progetto e di pianificazione, in cui la ricerca di forme innovative d’interazione tra ambiente e società dovranno portare alla coabitazione tra sistema economico e sistema ambientale. La prima apparizione dello “sviluppo sostenibile” risale al 1987 nella relazione della Commissione Ambiente e Sviluppo delle Nazioni Unite. Tale relazione, ormai conosciuta come “Rapporto Bruntland” dal nome del presidente della commissione definiva lo sviluppo sostenibile come lo sviluppo capace di soddisfare i bisogni del presente senza compromettere il soddisfacimento dei bisogni delle future generazioni , cioè senza distruggere irrevocabilmente le risorse di cui l’uomo dispone. 1.1.2 Sviluppo e conservazione dell’ambiente. Lo sviluppo è stato il cardine della società industriale: doveva portare benessere e consentire di realizzare le aspettative della società, portando a una realtà migliore. Al contrario è responsabile del degrado ambientale, con grave alterazione dell’equilibrio ecologico e conseguenze sul paesaggio e sulla salute. Non vi può essere sviluppo senza cambiamento e trasformazione. La sostenibilità indica che occorre conservare le condizioni esistenti, senza produrre degrado: ogni cambiamento deve essere quindi all’insegna del miglioramento sia economico, sia ambientale e sociale. L’aspetto ambientale della sostenibilità implica la garanzia delle condizioni vitali, controllando gli effetti delle attività umane sul capitale ecologico (aria, acqua, suolo, biodiversità) in modo da non alterare la capacità di rigenerazione del sistema. 1.1.3 Energie rinnovabili. Un sistema produttivo in grado di operare senza impoverire il capitale naturale deve necessariamente minimizzare l’utilizzo delle risorse ambientali e quindi basarsi su risorse rinnovabili senza accumulo di rifiuti. Evidentemente tale sistema dovrà avere un’eco-efficienza molto superiore a quella odierna: si ipotizzano condizioni di sostenibilità ambientale per sistemi che impiegano il 90% in meno di risorse ambientali, per unità di servizio reso, rispetto a quelle impiegate nei processi produttivi attuali. Il problema più importante e urgente riguarda senza alcun dubbio la domanda energetica e il suo rapporto con l’inquinamento atmosferico e quindi con i cambiamenti climatici. Le fonti di energia rinnovabile soddisfano solo l’8% della domanda. Il fabbisogno rimanente è coperto per circa il 4% dall’energia nucleare e per circa il 78% dai combustibili fossili, che sono i maggiori responsabili dell’emissione di gas a effetto serra.
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1.1.4 Riduzione delle emissioni. Il rapporto dell’IPCC del ‘90 sulle emissioni risultanti dalle attività umane, ha messo in luce che se non verranno drasticamente ridotte le emissioni di gas serra nell’atmosfera l’umanità dovrà affrontarne gli enormi effetti, provocati dai mutamenti climatici sugli ecosistemi e sulle specie, sull’uomo, sul territorio e anche sull’economia. Nel corso della Conferenza di Rio i paesi partecipanti si erano impegnati nei confronti della protezione del clima ed era stata attivata l’Agenda 21, ovvero l’individuazione delle politiche che devono essere applicate per tradurre in fatti i buoni propositi per lo sviluppo sostenibile. Nonostante le molte difficoltà, nel corso della Conferenza sul Clima di Kioto (dicembre ‘97) sono stati fissati per la prima volta obiettivi e date per l’abbattimento significativo delle emissioni atmosferiche. Anche se tale accordo sta incontrando inevitabilmente notevoli ostacoli nella sua fase attuativa, riveste tuttavia una grande importanza: infatti, per la prima volta, è stato individuato un programma di sviluppo economico rispettoso dell’ambiente e non basato sulle prescrizioni amministrative. 1.1.5 Aspetti socio-culturali. La dimensione socio-culturale dello sviluppo sostenibile è altrettanto importante: tutti parlano dell’importanza di garantire la diversità biologica, dimenticandosi di quella culturale. Il pluralismo fa incontrare culture diverse e genera in modo dialettico la loro vicendevole evoluzione. L’appiattimento culturale determina invece l’assenza di diversità, che si riflette anche sull’uso delle risorse generando squilibri tra domanda e offerta (concentrazioni della domanda) e porta a una società individualistica e consumistica incentrata sulla soddisfazione degli interessi immediati dei singoli. 1.1.6 Libero mercato e regolamentazione. Lo sviluppo sostenibile non può scaturire dalla sovranità del mercato: è invece lo sviluppo progettato per correggere le distorsioni del mercato, in favore della centralità dell’uomo e della natura. Può essere sviluppato a partire dal riconoscimento di valori comuni che portano a ridurre il divario tra scelte personali e della comunità, in nome della collaborazione e della solidarietà piuttosto che della competizione e del potere. Dal punto di vista economico è importante riflettere sull’esigenza di poter valutare anche le altre forme “non economiche” di capitale. Che valore ha la natura come bene non strumentale ma di mercato? Che valore ha il risparmio di una risorsa? 1.1.7 Nuovi modelli. Per una corretta valutazione non si può prescindere dalla sistematicità del concetto di sviluppo sostenibile: la produzione di nuova ricchezza non può impoverire il capitale complessivo della comunità, inteso come capitale economico, naturale e sociale. È evidente che ci troviamo di fronte a un modello di società talmente diverso da quello attuale da sembrare utopico. È però altrettanto vero che tale modello è l’unica via d’uscita rispetto a una situazione esplosiva, connotata da un attuale modello caotico e caratterizzato da un’entropia irreversibilmente crescente fino alla totale impossibilità di controllo. Lo sviluppo sostenibile non ha alternative: continuando a produrre e a consumare con grande rapidità, ci troveremmo presto o tardi ad aver esaurito tutte le risorse disponibili e ad aver colmato il nostro pianeta di rifiuti di ogni tipo, che non sapremo più materialmente come smaltire.
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1.1.8 Problema demografico. Ma oltre ai problemi rappresentati dal deterioramento dell’ambiente, dal cambiamento climatico e dal consumo di risorse non rinnovabili, bisogna tenere ben presente quelli dell’incremento della popolazione e del grave squilibrio esistente tra le diverse parti del pianeta. Infatti, secondo i dati dello “State of the world” del 1994, meno del 20% della popolazione, che vive nei paesi del nord della terra, consuma più dell’80% delle risorse. Il nuovo modello deve avere un approccio culturale diverso, che integri la riduzione dei consumi dei paesi occidentali con la pianificazione del controllo delle nascite nei paesi dotati di risorse scarse. 1.1.9 Nuove strategie. Da un lato gli Stati dovranno concretizzare in leggi, norme e politiche ambientali la volontà di cambiamento sancita dalla Conferenza Mondiale dell’Ambiente di Rio. Dall’altro le aziende dovranno capire la grande opportunità che nasce dal cambiamento del mercato e della domanda sociale: dovranno agire da catalizzatori di questo cambiamento proponendo nuove soluzioni e nuove opportunità, coscienti del fatto che la prospettiva della sostenibilità richiede di sviluppare forti capacità progettuali. La gestione verso uno sviluppo sostenibile consiste nell’introduzione dei temi ambientali nella gestione economica corrente, in modo che la strategia aziendale soddisfi l’esigenza della crescita economica nel rispetto del patrimonio ambientale complessivo. 1.2
QUALITÀ E SOSTENIBILITÀ
1.2.1 Qualità in edilizia. La norma UNI ISO 8402/94 definisce la qualità di un prodotto o di un servizio come “ l’insieme delle proprietà e delle caratteristiche che conferiscono la capacità di soddisfare le esigenze espresse e implicite ” riguardo a quel prodotto o servizio. La qualità viene quindi definita come rispondenza del comportamento di un bene o di un servizio, rispetto ai requisiti che ne hanno motivato la concezione, la progettazione, la costruzione e che continuano a motivarne l’esistenza. Una delle novità più significative nel settore dell’edilizia e delle costruzioni è l’affacciarsi di una crescente richiesta di qualità: anche in questo settore produttivo si va infatti affermando un orientamento verso la qualità per una maggiore soddisfazione del cliente e per un migliore funzionamento aziendale come presupposto per recuperare redditività. 1.2.2 Caratteristiche. Dalla definizione si ricava che la qualità è un valore relativo e non assoluto, in quanto dipende dalle esigenze dell’utente. In funzione di tali esigenze, che mutano da utente a utente, e in considerazione del contesto ambientale e socio-culturale, si otterranno diverse risposte di qualità. La più adeguata, anche in termini economici, sarà quella che risponde meglio alle aspettative degli utilizzatori. Pertanto la condizione essenziale per valutare la qualità di una qualsiasi entità è quella di conoscere le esigenze degli utenti , che dovranno essere indagate e quindi tradotte in requisiti e in specificazioni di prestazione, cioè in parametri di riferimento per le attività del processo edilizio. Il termine qualità non viene utilizzato per esprimere un livello di merito. Se cioè si valuta la qualità di un prodotto o di un servizio, il giudizio che ne deriva sarà di accettabilità più o meno elevata in rispondenza a una determinata serie di requisiti, ov-
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vero a una serie di caratteristiche che connotano determinate esigenze. Inoltre il termine qualità non viene quindi utilizzato per esprimere un giudizio quantitativo per valutazioni tecniche. Per fare ciò si potrà invece ricorrere alla valutazione di conformità a specifiche norme, qualora queste siano in grado di rappresentare compiutamente le esigenze degli utilizzatori. Infatti per un prodotto avere determinate caratteristiche, provate e verificate secondo norme specifiche e risultate conformi a norme e/ o direttive, non implica direttamente avere una buona qualità. 1.2.3 Certificazione e qualità. Il vantaggio della certificazione è quello di esplicitare le caratteristiche dei prodotti e quindi il loro comportamento in determinate condizioni di uso e sollecitazione. Ciò facilita il lavoro del progettista e di tutti gli operatori del processo edilizio, che hanno così la possibilità di conoscere i comportamenti essenziali di un determinato prodotto e quindi di poter operare le proprie scelte in modo più consapevole. In altre parole il controllo del prodotto è una condizione necessaria ma non sufficiente: se infatti è vero che non si può realizzare una buona qualità dell’opera finale impiegando prodotti scadenti, è altrettanto vero che pur utilizzando prodotti ottimi si possono progettare e realizzare opere di basso livello qualitativo. 1.2.4 Gestione del processo edilizio. Per produrre una qualità adeguata alle richieste del cliente bisogna essere in grado di gestire il processo edilizio in modo efficace e preciso, per poterne prevedere i risultati. La qualità non scaturisce in modo spontaneo o casuale, ma è il risultato di una volontà precisa, cui deve seguire il controllo del processo edilizio in tutte le sue fasi. Nel caso in cui si rilevano delle nonconformità, rispetto agli obiettivi iniziali, occorre allora correggere il processo per eliminare tali inconvenienti. Il controllo deve interessare l’intero processo edilizio: esso è infatti troppo complesso e articolato in fasi decisionali, troppo ricco di operatori e di competenze diverse perché si possa pensare di metterne a regime i risultati agendo, per esempio, solo sul controllo dei prodotti. La qualità globale di un’opera e il suo permanere nel tempo sono il frutto di un approccio integrato che investe tutti i momenti decisionali, organizzativi, operativi e di controllo del processo stesso. Se in un certa fase il fine della qualità viene disatteso, tale lacuna si ripercuoterà sull’opera finita in termini di minore qualità effettiva o di incapacità di garantire il raggiungimento della qualità desiderata. 1.2.5 Fasi del processo edilizio. A ciascuna fase del processo edilizio possono essere associate le relative attività operative e le relative attività di controllo che possono essere esercitate al fine di accertare la coerenza tra i vari momenti decisionali, la compatibilità tra le soluzioni adottate e le esigenze dell’utenza, la rispondenza del progetto alla normativa, il rispetto dei termini contrattuali tra richiesta e offerta di qualità, il controllo in corso d’opera e di collaudo, la verifica in fase di esercizio. E’ necessario individuare e distinguere una serie di livelli di definizione della qualità in funzione delle diverse fasi del processo edilizio: – la qualità del progetto, intesa come qualità che avrà l’opera così come concepita e rappresentata nel progetto; – la qualità del processo di costruzione, intesa come conformità al progetto; – la qualità del prodotto, intesa come qualità delle parti componenti, partendo dai materiali.
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1.2.6 Qualità procedurale e prestazionale. Al di là degli aspetti legati alle fasi del processo edilizio, la qualità può essere analizzata secondo due aspetti complementari e correlati tra loro: la qualità procedurale e la qualità prestazionale. Per qualità procedurale s’intende la corretta sequenza di rapporti tra gli operatori del processo edilizio, in modo da assicurare la corrispondenza tra le prestazioni e le esigenze dell’utenza, espresse dal requisito dell’impiego ottimale delle risorse. Per qualità prestazionale s’intende la rispondenza delle prestazioni fornite dall’organismo edilizio alle esigenze dell’utenza, espresse dai seguenti requisiti di qualità: – Qualità funzionale-spaziale: abitabilità, sicurezza d’uso e circolazione, fruibilità, flessibilità. – Qualità fisico-ambientale: benessere (igrotermico, acustico, illuminotecnico), igiene e salute. – Qualità tecnologica: tecnologici-funzionali, affidabilità, durabilità, manutenibilità, sicurezza (meccanica, elettrica, al fuoco e allo scoppio). L’accelerazione tecnologica ha prodotto frequenti innovazioni dei prodotti e dei sistemi costruttivi, impedendo di fatto il riferimento all’esperienza e alle regole dell’arte, che hanno rappresentato in passato lo strumento più importante per garantire la qualità, l’affidabilità e la durabilità di una soluzione tecnica. Risulta quindi indispensabile dotarsi di metodologie di analisi che supportino le decisioni progettuali in assenza di regole d’arte sedimentate. In questo senso l’approccio prestazionale è di notevole aiuto al fine di valutare l’attitudine di un prodotto a essere integrato in una specifica soluzione tecnica e per individuare nuovi prodotti qualificati. 1.2.7 Norme sugli aspetti prestazionali. La normativa riguardante la gestione della qualità nell’aspetto prestazionale è rappresentata dalla Direttiva CEE 89/106 “Prodotti di costruzione”. La direttiva individua i sei seguenti requisiti essenziali che ogni opera deve assicurare, costituendo così una base esigenziale per i futuri controlli di conformità: 1) Resistenza meccanica e stabilità. L’opera deve essere concepita e costruita in modo che le azioni cui può essere sottoposta durante la costruzione e l’utilizzo non provochino: crollo dell’intera opera o di una sua parte; deformazioni rilevanti inammissibili; danni ad altre parti dell’opera o ad attrezzature in seguito a deformazioni rilevanti; danni accidentali sproporzionati alla causa che li ha provocati. 2) Sicurezza in caso di incendio. L’opera deve essere concepita e costruita in modo che, in caso di incendio deve essere: garantita la stabilità dell’edificio per un tempo determinato; limitata la produzione e la propagazione del fuoco e dei fumi; limitata la propagazione del fuoco a opere vicine; garantita l’evacuazione degli occupanti; garantita la sicurezza delle squadre di soccorso. 3) Igiene, salute e ambiente. L’opera deve essere concepita e costruita in modo che sia possibile: evitare o eliminare lo sviluppo di gas tossici; eliminare la presenza di particelle o gas pericolosi; evitare o eliminare l’emissione di radiazioni pericolose; evitare o eliminare l’inquinamento delle acque e del suolo; eliminare difetti nello scarico di acque, fumi e rifiuti; eliminare la formazione di umidità. 4) Sicurezza di impiego. L’opera deve essere concepita e costruita in modo che sia possibile: eliminare i rischi di incidenti di natura meccanica; eliminare i rischi di incidenti di natura termica; eliminare i rischi di incidenti da esplosione.
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5) Protezione contro il rumore. L’opera deve essere concepita e costruita in modo che sia possibile: controllare e mantenere l’intensità del rumore entro livelli accettabili; consentire condizioni acustiche soddisfacenti per le attività. 6) Risparmio energetico. L’opera deve essere concepita e costruita in modo che sia possibile: contenere il consumo di energia; garantire il benessere termico degli occupanti. La direttiva definisce i criteri per il progetto e il controllo della qualità e stabilisce l’obbligatorietà della certificazione di conformità per la libera circolazione dei prodotti. Stabilisce inoltre che ogni requisito deve essere inteso come richiesta di comportamento per un periodo di tempo economicamente adeguato e che il controllo del rispetto dei requisiti essenziali sia di tipo prestazionale, in quanto il controllo delle prestazioni è l’unico modo di valutare l’idoneità all’uso ai fini della qualità. Questa direttiva è di grande importanza in quanto: – fornisce un quadro chiaro di riferimento per la programmazione della qualità; – collega ad essa tutte le fasi del processo edilizio; – mette in moto meccanismi di strumentazione della qualità a tutti i livelli attraverso le norme che genera a opera di enti normatori nazionali e internazionali; – collega logicamente lo strumento della certificazione alla strategia della qualità. 1.2.8 Norme sugli aspetti procedurali. La pratica di sviluppare sistemi qualità per tali operatori è ancora poco diffusa in Italia, sebbene sia indispensabile procedere nel prossimo futuro a una qualificazione di tutte le figure del comparto, sia professionali che imprenditoriali, come condizione necessaria per una politica della qualità. 1.2.9 Qualificazione degli operatori. Questi due canali per la strategia della qualità sono sicuramente interagenti tra loro e devono essere visti come momenti complementari non autosufficienti. Infatti non è pensabile demandare la garanzia della qualità, in termini di soddisfacimento delle prestazioni, al solo controllo delle capacità tecnico organizzative degli operatori: sarà sempre necessario intervenire e controllare i livelli qualitativi del prodotto, sia esso un componente o un’opera finita o un progetto. D’altra parte è difficile garantire a priori una possibile buona riuscita qualitativa da parte di operatori che non possono dimostrare una capacità tecnica e organizzativa adeguata e sufficiente. In sintesi, si può affermare che la qualificazione delle opere prodotte passa attraverso la riqualificazione degli operatori del processo. A questa condizione, necessaria ma non sufficiente, si deve accompagnare sistematicamente la condizione di controllo della qualità dei prodotti e dei progetti, quando possibile e utile anche in forma di certificazione. 1.3
QUALITÀ ED ECOLOGIA
1.3.1 Qualità ecologica. La qualità esprime il grado di soddisfazione dell’utente rispetto alle proprie esigenze: è quindi evidente che se per l’utente la sostenibilità diventa un requisito importante, anche il concetto di qualità dovrà adeguarsi di conseguenza.
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Si definisce quindi qualità ecologica la componente della qualità atta a soddisfare le esigenze di sostenibilità. Le prestazioni saranno pertanto adeguate solo se, oltre a rispondere ai consueti requisiti strumentali e tecnologici, non comporteranno conseguenze dannose sull’ambiente. Il concetto di qualità tradizionale, relativa cioè alle caratteristiche ambientali e tecnologiche della costruzione, si completa con la qualità misurata sulla base della rispondenza a parametri ecologici, relativi all’ambiente interno ed esterno alle costruzioni stesse. Volendo affrontare il problema da un altro punto di vista, potremmo dire che la qualità è una esigenza irrinunciabile della sostenibiltà: l’adeguatezza della costruzione è essenziale: se gli spazi non sono soddisfacenti per i loro occupanti, finiranno per cadere in disuso e in cattivo stato contribuendo quindi all’esatta antitesi di ciò che la sostenibilità si sforza di proporre. 1.3.2 Qualità dei componenti edilizi. La qualità ecologica, così come la qualità in generale, può essere vista nelle sue componenti di qualità ecologica del progetto, qualità ecologica del processo e qualità ecologica del prodotto, con riferimento al modello di processo edilizio introdotto in precedenza. Al fine del raggiungimento di una effettiva qualità ecologica delle opere finite deve infatti essere garantita la qualità di tutte le componenti legate alle diverse fasi e alle diverse funzioni del processo edilizio. La qualità ecologica dei prodotti è estremamente significativa, sia per quanto riguarda i problemi dell’inquinamento interno che per quelli relativi alla reperibilità delle risorse e ai possibili danni sull’ambiente. La normativa comunitaria sui prodotti da costruzione (CEE 89/106), è in questo senso un riferimento preciso e definito, laddove definisce tra i requisiti essenziali degli edifici quello relativo a “igiene, salute e ambiente”. Tale qualità ecologica deve essere valutata non solo in termini di conformità del prodotto al tipo, e quindi dal riscontro delle caratteristiche di qualità intrinseche del singolo prodotto, ma anche della garanzia che tali caratteristiche, permanenti e costanti, scaturiscono da un processo produttivo sostenibile e non comportano problemi di dismissione. 1.3.3 Importanza del progetto. Il controllo del prodotto è una condizione necessaria ma non sufficiente: se è vero che non si può ottenere sostenibilità utilizzando prodotti inquinanti, è altrettanto vero che, utilizzando prodotti ottimi, si possono progettare e realizzare opere di basso profilo ambientale finale. Evidentemente la responsabilità del settore delle costruzioni in relazione al consumo del territorio e delle risorse energetiche e all’inquinamento di aria, suolo e acqua non può prescindere da considerazioni inerenti anche i progettisti e gli operatori del processo. Il progetto è purtroppo un anello debole della catena della qualità in edilizia per molteplici motivazioni. Innanzitutto per l’inadeguatezza del complesso normativo, sia urbanistico che tecnico, che obbliga a iter burocratici dai tempi lunghi, aleatori e assoggettati a criteri di lettura soggettivi da parte degli organi di controllo. La necessità di normative prestazionali e di norme procedurali chiare e snelle è alla base dei futuri sviluppi in senso qualitativo. Inoltre la committenza, sempre tesa al massimo risparmio per quanto riguarda la fase progettuale, non ha saputo comprendere l’importanza di investire in progetti esecutivi capaci di governare l’intero processo decisionale e quindi di assicurare di fatto ri-
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sultati reddituali migliori, perché rapportati al costo generalizzato del complesso edilizio. Anche le note vicende interne hanno premiato in passato i progetti di area politica e non di qualità, e hanno determinato una scarsa definizione dei progetti guida nell’ambito degli appalti pubblici per innescare le varianti in corso d’opera. Ma al di là delle cause che hanno determinato nel passato una sostanziale e costante povertà progettuale, è essenziale essere consapevoli della necessità di un cambiamento radicale. Visto che la qualità è un presupposto irrinunciabile per la sostenibilità, il progetto dovrà necessariamente recuperare il suo ruolo originario e centrale di guida del processo edilizio, perché se è vero che la qualità non può essere raggiunta casualmente, a maggior ragione la qualità ecologica dovrà essere è frutto di un’attenta pianificazione e di una elevata cultura progettuale. 1.3.4 Progettazione integrata. Una prima necessità è quella di una progettazione integrata. Infatti in ogni fase del processo edilizio si susseguono continue decisioni, cioè progetti. Tutte queste decisioni vengono spesso assunte da soggetti diversi, ciascuno con le proprie competenze e specialità e devono essere pertanto prese in condizione di coerenza e integrazione reciproca. Qualsiasi progetto deve cioè essere compatibile con quelli precedenti e, condizionando tutti quelli successivi, farà si che questi debbano essere coerenti con i precedenti. Tutti i momenti progettuali devono quindi attuarsi nella condizione di flusso continuo di informazioni tra i vari attori del processo, in modo da garantire una continua verifica retroattiva delle esigenze che regolano il processo edilizio. Ogni decisione dovrà essere effettuata secondo la logica della sostenibilità e quindi nell’ottica valutativa. Vista l’ampiezza delle tematiche inerenti le valutazioni per lo sviluppo sostenibile, sarà necessario appoggiarsi a specialisti e consulenti, che dovranno consentire ai progettisti di evitare errori con possibili ricadute ecologiche. È però evidente che i progettisti dovranno assumere una cultura sufficiente per la loro attività, lasciando ai consulenti ambientali solo argomenti specialistici. 1.3.5 Completezza e verificabilità del progetto. Il progetto deve arricchirsi in termini di contenuti e di completezza. Per quanto riguarda il contenuto, oltre alla necessità di identificare le tavole e le relazioni tecniche sintetiche per soddisfare alle esigenze di chiarezza e esaustività, è indispensabile prevedere di allegare le dimostrazioni di funzionamento e di resa prestazionale , in modo tale da rendere controllabili i risultati dovuti. Si deve entrare nell’ottica secondo la quale il proprio atto decisionale influenza in modo drammatico e definitivo il risultato finale dell’opera e quindi deve non solo essere ispirato alla qualità, ma deve garantire la certezza di poterla raggiungere. Questo vale anche per la qualità ecologica. In particolare, la completezza è indispensabile per evitare che ciò che non è stato sufficientemente programmato e deciso, venga successivamente eseguito disattendendo i requisiti di sostenibilità. È solo grazie al controllo e alla certificazione diretta del progetto che si può cercare di valutare la qualità ecologica finale dell’opera edilizia. Il problema rimane però quello di predisporre condizioni tecniche che rendono possibile valutare le decisioni relative alla sostenibilità dell’opera già nella fase di progetto. 1.3.6 Produzione di materiali, componenti e sistemi costruttivi. Il comparto dei produttori di materiali, componenti e sistemi costruttivi, possiede logiche organiz-
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zative più simili al settore manifatturiero rispetto alle imprese edili, in quanto la produzione si contraddistingue per una certa regolarità dei prodotti, cosicché in questo ambito la garanzia di qualità ecologica è duplice: per il prodotto e per il processo. Il prodotto deve derivare da una produzione controllata, in modo da attribuire effettivamente al prodotto finale le prestazioni verdi richieste. Il processo deve essere controllato mediante l’attuazione di procedure e istruzioni scritte per un miglioramento continuo delle performance ambientali, ottenuto grazie a un programma di politica ambientale da estendere ai clienti e ai fornitori, a strategie per l’uso di tecnologie pulite, a verifiche delle performance rispetto ai programmi e anche a programmi di formazione delle risorse umane sulle questioni ambientali. 1.3.7 Cantiere. Decisamente diversa è la situazione del cantiere, in cui vi sono margini molto stretti per l’’ottimizzazione di attività produttive connotate da ripetitività. La peculiarità dell’edilizia consiste nel proprio processo di lavorazione dove la materia prima è spesso il prodotto finito di un altro processo produttivo definito e completo, e dove le prestazioni del prodotto industriale vengono trasformate radicalmente all’interno dell’opera finita. Questa è una delle principali cause della complessità tipica del settore delle costruzioni, ulteriormente aggravata dal frequente utilizzo di personale dalla formazione scarsa, dal costante ricorso al subappalto e soprattutto dalla mancanza di una struttura aziendale adeguata al controllo dei precedenti fenomeni. In questo contesto, infatti, la qualità ecologica richiede un approccio complessivo e radicale da parte dell’organizzazione dell’impresa, con particolare attenzione alla gestione delle risorse umane e alla loro formazione e aggiornamento. 1.3.8 Sistema di gestione ambientale. La certificazione dell’impegno dell’impresa per l’ambiente non deve essere una garanzia formale ma sostanziale: non può essere un attestato, ma deve essere il sistema di gestione ambientale stesso che si misura quotidianamente con le attese contrattuali del committente. L’impresa deve sviluppare un sistema di gestione ambientale , in accordo alle norme ISO 14000, in modo tale che il proprio processo produttivo abbia le seguenti caratteristiche fondamentali: – sia verificato secondo una precisa politica di impegno per la sostenibilità; – sia verificato secondo una pianificazione e programmazione dei lavori; – abbia compiti e le responsabilità siano definiti e documentati; – sia caratterizzato da una costante e definita azione di ispezione e controllo delle performance ambientali; – veda attuate le azioni correttive nei confronti delle non conformità ambientali; – utilizzi materiali e componenti a qualità ecologica garantita e certificata. Il presupposto per la certificazione del Sistema di gestione ambientale è che l’impresa abbia una certificazione del sistema di qualità o comunque che l’impresa operi in regime di qualità, poiché è indispensabile la crescita dell’organizzazione aziendale stessa, con particolare riferimento ai processi di programmazione e controllo della produzione e di pianificazione e controllo della gestione. Operare in regime di qualità significa quindi aver introdotto quelle innovazioni organizzative strutturali indispensabili per garantire il raggiungimento degli obiettivi di qualità fissati dal cliente per un determinato progetto.
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SOSTENIBILITÀ NEL SETTORE DELLE COSTRUZIONI
1.4.1 Importanza del settore. Lo sviluppo sostenibile è caratterizzato dalla produzione di beni e di servizi in modo tale da conservare l’ambiente, utilizzando al meglio l’energia necessaria e garantendo la smaltibilità dei rifiuti prodotti. È quindi evidente che anche il settore delle costruzioni è intensamente interessato da questa necessità di cambiamento, per una serie di motivi. Dal punto di vista economico è uno dei settori produttivi più importanti come fatturato, come fonte di impiego, come patrimonio prodotto e come fatturato indotto su altri settori produttivi. Dal punto di vista socio-culturale è altrettanto rilevante, basti pensare al peso/valore che rivestono problematiche come quelle dell’abitare, dei luoghi di lavoro, dei luoghi per il tempo libero e il turismo e di tutte le costruzioni che possiamo definire infrastrutturali. Dal punto di vista ecologico è fin troppo evidente come l’ambiente costruito sia da sempre in antagonismo con la salvaguardia ambientale. L’impatto del costruito sulla qualità della vita è immediato: pensiamo a grandi infrastrutture come strade, ferrovie e aeroporti, a insediamenti industriali, commerciali e residenziali. Si rifletta inoltre sugli effetti negativi e positivi che l’impatto di una costruzione, anche la più semplice, ha sull’ambiente inteso non solo come insieme delle risorse naturali ma anche come patrimonio socio-culturale che contiene i simboli espressivi della memoria e dell’identità collettiva locale. 1.4.2 Costruzione “sostenibile”. La definizione di costruzione sostenibile si deve a Charles Kibert (Direttore del Center for Construction and Enviroment della University of Florida), che per primo ha introdotto tale termine riferito ai principi e agli obiettivi principali della realizzazione di costruzioni sostenibili, nel caso della prima Conferenza Internazionale dell’International Council for Building Research Studies and Documentation (CIB) sul tema delle Sustainable Contruction, Tampa-Florida, 1994. I sei principi caratteristici del costruire sostenibile sono : – conservazione: consumo minimo delle risorse; – riuso: massimo riutilizzo delle risorse; – riciclo: utilizzo di risorse rinnovabili o riciclabili; – salvaguardia della natura: protezione dell’ambiente naturale; –