Makalah Trigonometri [PDF]

Zitiervorschau

TUGAS KELOMPOK Mata kuliah : Teori Organisasi Dosen : Hj. Pudjiati, S.E., M.M.

TRIGONOMETRI

Disusun Oleh

Edwin Christian Wibisono (NPM : 174022338) Afan Sansyarif (NPM : 174022339) Nurul Azintha Abbas (NPM : 174022340)

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS BALIKPAPAN Jurusan : Akuntansi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan karunianya, sehingga kami dapat membuat dan menyelesaikan makalah ini. Makalah yang berjudul Trigonometri ini bertujuan untuk memperdalam materi pembelajaran matematika khususnya tentang trigonometri. Dalam penyusunan makalah ini, kami menyadari pengetahuan dan pengalaman kami masih sangat terbatas. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan adanya kritik dan saran dari berbagai pihak agar makalah ini lebih baik dan bermanfaat. Akhir kata kami berharap semoga makalah tentang Trigonometri ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Jakarta, 21 Juli 2019

Penulis

i

DAFTAR ISI

COVER KATA PENGANTAR ..................................................................................................................... i DAFTAR ISI................................................................................................................................... ii BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1 1.1 Latar Belakang .................................................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ................................................................................................................ 2 1.3 Tujuan .................................................................................................................................. 2 1.4 Manfaat ............................................................................................................................... 2 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA .................................................................................................... 3 2.1 Bentuk Pangkat ................................................................................................................... 3 2.2 Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan ........................................................................................ 3 BAB 3 PEMBAHASAN .............................................................................................................. 17 3.1 Contoh Soal Bentuk Pangkat ............................................................................................ 17 3.2 Pembuktian Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan .................................................................. 17 BAB 4 PENUTUP ....................................................................................................................... 19 3.1 Kesimpulan ........................................................................................................................ 19 3.2 Saran .................................................................................................................................. 19

ii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Matematika (dari bahasa Yunani: mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari aksiomaaksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Terjadi perdebatan tentang apakah objekobjek matematika seperti bilangan dan titik sudah ada di semesta, jadi ditemukan, atau ciptaan manusia. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Matematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang sarat dengan suatu bilangan. Matematika juga merupakan suatu bahasa dimana bahasa pada matematika tidak memiliki makna yang ambigu atau pemaknaan dari bahasa matematika tidak menimbulkan makna ganda yaitu selalu pasti, misalnya : 1 + 1 = 2, hasilnya pasti 2, bukan 10 atau 100. Matematika sebagai suatu disiplin ilmu memiliki berbagai macam cabang, salah satu diantaranya adalah trigonometri. Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan me tro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi Trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, 1

berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi.

1.2 Rumusan Masalah 1. Apakah yang dimaksud dengan trigonometri? 2. Apa fungsi dari trigonometri? 3. Apa saja ruang lingkup trigonometri?

1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan trigonometri. 2. Untuk mengetahui fungsi dari trigonometri. 3. Untuk mengetahui ruang lingkup trigonometri.

1.4 Manfaat Agar pembaca dapat mengetahui dan memahami lebih dalam tentang trigonometri, sehingga dapat menggunakan aplikasi-aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. .

2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Trigonometri Trigonometri (trigonon = tiga sudut) dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang membahas mengenai relasi antara sudut dan sisi pada segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pelajaran ini juga identik dengan beberapa istilah-istilah seperti sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cot). Untuk menguasai pelajaran ini, terlebih dahulu harus menguasai konsep dasar segitiga, terutama segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku memiliki 3 buah sisi, yaitu sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Selain itu, segitiga siku-siku memiliki 3 sudut, yaitu sudut tegak lurus, sudut depan, dan sudut samping, dimana jika dijumlahkan, ketiga sudutnya berjumlah 180°.

2.2 Fungsi dari Trigonometri Pelajaran trigonometri merupakan sebuah konsep yang sangat penting bagi matematika dan kehidupan manusia. Beberapa aspek, seperti astronomi dan geografi, terafiliasi dengan penggunaan rumus trigonometri di dalamnya. Oleh karena itu, penting untuk dipelajari dan dikuasai pelajaran ini. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi.

3

2.3 Ruang Lingkup Trigonometri 1.) Ukuran Sudut Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal. Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif. Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah. Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian 2.) Perbandingan trigonometri

Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut dapat diperoleh: sec merupakan kebalikan dari cos, csc merupakan kebalikan dari sin, dan cot merupakan kebalikan dari tan

4

3.) Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6 4.) Identitas Trigonometri Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu: Identitas Kebalikan

Identitas Perbandingan

Identitas Phytagoras

Cosec A = 1/ sin A

Tan A = Sin A/ Cos A

Cos2 A + Sin2 A = 1

Sec A = 1/cos A

Cot A = Cos A / Sin A

1 + tan2 A = Sec2 A

Cot A = 1/ tan A

1 + Cot2 A = Cosec2 A

5.) Kuadran Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a (k = bilangan bulat > 0)

5

Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip 

Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah: sin ↔ cos tan ↔ cot sec ↔ csc



Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap Sudut dengan nilai negative Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV. Rumus trigonometri Sudut-sudut berelasi Sudut (90 o – a) Sin (90 o – a) = Cos a Cot (90 o – a) = tan a Cos (90 o – a) = Sin a Sec (90 o – a) = cosec a Tan (90 o – a) = Cot a Cosec (90 o – a) = Sec a Sudut (90 o + a) Sin (90 o + a) = cos a Cot (90 o + a) = -tan a Cos (90 o + a) = -sin a Sec (90 o + a) = -cosec a Tan (90 o + a) = -cot a Cosec (90 o + a) = sec a Sudut (180 o – a) Sin (180 o – a) = sin a Cot (180 o – a) = -cot a 6

Cos (180 o – a) = -cos a Sec (180 o – a) = -sec a Tan (180 o – a) = -tan a Cosec (180 o – a) = cosec a Sudut (180 o + a) Sin (180 o + a) = -sin a Cot (180 o + a) = cot a Cos (180 o + a) = -cos a Sec (180 o + a) = -sec a Tan (180 o + a) = tan a Cosec (180 o + a) = -cosec a Sudut (270 o – a) Sin (270 o – a) = -cos a Cot (270 o – a) = tan a Cos (270 o – a) = -sin a Sec (270 o – a) = -cosec a Tan (270 o – a) = cot a Cosec (270 o – a) = -sec a Sudut (270 o + a) Sin (270 o + a) = -cos a Cot (270 o + a) = -tan a Cos (270 o + a) = sin a Sec (270 o + a) = cosec a Tan (270 o + a) = -cot a Cosec (270 o + a) = -sec a Sudut (-a) Sin (-a) = -sin a Cot (-a) = -cot a Cos (-a) = cos a Sec (-a) = sec a Tan (-a) = -tan a Cosec (-a) = -cosec a Sudut (n.360o – a) Sin (n.360 o – a) = Sin (-a) = -sin a Cot (n.360 o – a) = Cot (-a) = -cot a Cos (n.360 o – a) = Cos (-a) = cos a Sec (n.360 o – a) = Sec (-a) = sec a Tan (n.360 o – a) = Tan (-a) = -tan a Cosec (n.360 o – a) = Cosec (-a) = -cosec a Sudut (n.360o + a) Sin (n.360o + a) = sin a Cot (n.360o + a) = cot a 7

Cos (n.360o + a) = cos a Sec (n.360o + a) = sec a Tan (n.360o + a) = tan a Cosec (n.360o + a) = cosec a 6.) Identitas Trigonometri

Sehingga, secara umum, berlaku: sin2a + cos2a = 1 1 + tan2a = sec2a 1 + cot2a = csc2a

7.) Grafik fungsi trigonometri y = sin x

8

y = cos x

y = tan x

y = cot x

9

y = sec x

y = csc x

8.) Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c a. Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k b. Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A| c. Amplitudo = ½ (ymax – ymin) d. Cara menggambar: (1.) Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas (2.) Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya (3.) Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A (4.) Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/k 10

(5.) Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c 9.) Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Aturan Sinus Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga,

secara

umum,

dalam

segitiga

ABC

berlaku

rumus:

Aturan Cosinus Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum:

11

Luas Segitiga Dari segitiga ABC di atas diperoleh:

Sehingga, secara umum:

10.) Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Dari gambar segitiga ABC berikut: AD = b.sin α BD = a.sin β CD = a.cos β = b.cos α

12

Untuk mencari cos (α+β) = sin (90 – (α+β))°

Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

13

Rumus Sudut Rangkap

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

14

Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

15

Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

16

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Contoh Soal Bentuk Pangkat 1. Pangkat Positif Contoh Soal: 2 3

1.) 34

3.) (−1)7

2.) (5)

Jawab: 1.) 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 2 3

2

2

2

8

2.) (5) = 5 x 5 x 5 = 125 3.) (−1)7 = (−1) x (−1) x (−1) x (−1) x (−1) x (−1) x (−1) = −1

2. Pangkat nol Contoh Soal: 1.) 1000 = 1

3. Pangkat negatif Contoh Soal: 1

1.) 𝑝−5 = 𝑝5

3.2 Pembuktian Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan Pembuktian Sifat-sifat bentuk pangkat: a.

am x an = (a x a x a x…x a) x (a x a x a x…x a) sebanyak m faktor

sebanyak n faktor

= a x a x a x a x a ……x a 17

b.

am : an = (a x a x a x…x a) : (a x a x a x…x a) sebanyak m faktor

sebanyak n faktor

= a x a x a x a x a ……x a c.

(ap)q

= (ap × ap × ap × … × ap) sebanyak q faktor

= (a × a × … × a)× (a × a × … × a) ×….× (a × a × … × a) sebanyak p x q faktor

= a x a x a x a x a ……x a d.

(a x b)n = (a x b) x (a x b) x …. x (a x b) sebanyak n faktor

= (a x a x …x a) x (b x b x … x b) sebanyak n faktor

sebanyak n faktor

= an x bn e.

(a / b)n = (a / b) x (a / b) x (a / b) x … x (a / b) sebanyak n faktor sebanyak n faktor

=

ax axax…xa bxbxbx…xb

sebanyak n faktor

= (an / bn)

18

BAB 4 PENUTUP 3.1 Kesimpulan Definisi bilangan pangkat yaitu jika a adalah bilangan real (a € R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n (ditulis an ) adalah perkalian n buah bilangan a. Dapat dituliskan : a x a x a x.....x a Melalui cara cepat matematika ini, dapat dijadikan alternatif cara untuk pengajaran tentang materi Bilangan Pangkat sehingga kita dapat mengerjakan soal tanpa pengerjaan yang rumit namun menjadikannya menyenangkan.

3.2 Saran Sebagai manusia biasa, penulis menyadari akan kekurangan serta kesalahan dalam penulisan makalah ini baik dari segi tata bahasa, maupun materi yang disampaikan. Dari itu penulis mohon maaf dan dengan kelapangan hati penulis mohon saran serta kritik dari para pembaca.

19