Makalah Keterbagian (Revisi) - Kel.3 [PDF]

Zitiervorschau

KETERBAGIAN DALAM MATA KULIAH : ARITMATIKA

Kelompok 3 : 1. ( 26 ) Anisa Oktarina

06131281924023

2. ( 03 ) Dyah Handayani. K

06131181924001

3. ( 19 ) Esti Yuningtias

06131281924016

4. ( 29 ) Haniyah Rahminisa

06131281924026

5. ( 45 ) Nabilah Rahmah

06131281924074

6. ( 16 ) Rona Thifal Tsabitah

06131181924014

Dosen Pengampuh: Dra. Toybah, M. Pd.

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA INDRALAYA 2019

KATA PENGANTAR

Puji syukur marilah kita panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga kami bisa menyusun dan menyelesaikan tugas makalah ini. Dalam makalah ini kami akan membahas tentang macam-macam sistem numerasi bilangan. Semoga dengan disusunnya makalah ini bisa menambah wawasan para pembaca tentang apa itu keterbagian, yang semoga dapat beranfaat bagi kemajuan kehidupan manusia agar dapat bersaing di masa yang akan datang. Disini kami mengucapkan terimakasih kepada dosen bidang studi yang telah memberikan kesempatan untuk kami. Dengan harapan dapat menambah wawasan serta pengetahuan, sehingga dapat bermanfaat bagi kita. Adapun penyusunan makalah ini, kami menyadari bahwa masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca guna perbaikan dalam penyusunan makalah selanjutnya. Akhirnya kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Indralaya, 21 Oktober 2019

Kelompok 3

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................................................... i DAFTAR ISI ...................................................................................................................... ii BAB I .................................................................................................................................. 1 PENDAHULUAN .............................................................................................................. 1 A.

Latar Belakang...................................................................................................... 1

B.

Rumusan Masalah ................................................................................................ 1

C.

Tujuan Penulisan .................................................................................................. 1

BAB II ................................................................................................................................ 2 PEMBAHASAN ................................................................................................................. 2 A.

DEFINISI KETERBAGIAN ................................................................................ 2

B.

DALIL-DALIL KETERBAGIAN ....................................................................... 2

C.

CIRI HABIS DIBAGI .......................................................................................... 5

BAB III ............................................................................................................................... 9 PENUTUP .......................................................................................................................... 9 A.

Kesimpulan ............................................................................................................ 9

B.

Saran ...................................................................................................................... 9

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 10

ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagian bilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa dan maha[siswi pendidikan matematika harus mempelajari dan memahami keterbagian bilan[gan. Menyikapi hal tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalam bentuk catatan yang Insya Allah akan menambah pengetahuan kita semua sebagai mahasiswa.

B. Rumusan Masalah 1. Apa definisi tentang keterbagian? 2.

Apa saja dalil-dalil keterbagian?

3.

Bagaimana keterbagian yang habis dibagi?

C. Tujuan Penulisan 1. Untuk menjelaskan definisi tentang keterbagian 2.

Untuk menjelaskan dalil-dalil keterbagian

3.

Untuk menjelaskan keterbagian yang habis dibagi

1

BAB II PEMBAHASAN

A. DEFINISI KETERBAGIAN Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat a = 0, jika terdapat satu bilangan bulat q sedemikian sehingga b = qa. Jika hal ini dipenuhi maka a dikatakan membagi b dan dinotasikan dengan a | b, dapat dibaca a membagi b, a adalah pembagi b, a adalah faktor (pembagi) b, b adalah kelipatan a. Jika, a tidak membagi b dinotasikan dengan a + b. Berarti mempunyai sisa selain 0 yang merupakan residu dari pembagian tersebut, dapat dirumuskan seperti berikut. Jika b = qa + r dengan 0 < r < a, maka b disebut bilangan yang dibagi (devidend) a disebut bilangan pembagi (devisor/faktor) q disebut bilangan hasil bagi (quotient) r disebut bilangan sisa (reminder/residu). Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain. Adapun beberapa sifat- sifat dari keterbagian ; 1. 2. 3. 4.

| a untuk setiap a ∈ z, sehingga a = 1.a a | a untuk setiap a ∈ z & a ≠ o, sehingga a = a.1 a | 0 untuk setiap a ∈ z & a ≠ o, sehingga a = a.0 a | b, dengan a ≠ o (maka, kemungkinan hubungan di antara a & b adalah a < b, a > b, atau a = b)

B. DALIL-DALIL KETERBAGIAN 1. Dalil 1 Jika a,b ∈ Z dan, 𝑎|𝑏, maka 𝑎|𝑏𝑐 untuk setiap c ∈ Z.

2

Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏, maka sesuai dengan definisi 1, ada suatu x ∈ Z sehingga b = ax, maka diperoleh bc = ax.c atau bc = a(cx) untuk setiap c ∈ Z. Ini berarti ada y = cx ∈ Z sehingga bc = ay. Jadi , a|bc 2. Dalil 2 [Jika a,b,c ∈ Z, 𝑎|𝑏, dan 𝑏|𝑐 maka 𝑎|𝑐 Bukti :𝑎|𝑏, maka sesuai dengan definisi 1, ada suatu x ∈ Z sehingga b = ax 𝑏|𝑐, maka sesuai dengan definisi 1, ada suatu y ∈ Z sehingga c = bymc = by dan b = ax, maka c = (ax) y = a (xy) x ∈ Z dan y ∈ Z, maka sesuai dengan sifat ketertutupan operasi perkalian, xy ∈ Z. Dengan demikian terdapat suatu xy ∈ Z sehingga c = a (xy). Jadi 𝑎|𝑐 3. Dalil 3 Jika a,b ∈ Z, 𝑎|𝑏 dan 𝑏|𝑎, maka a = b atau a = -b Bukti :Diketahui 𝑎|𝑏 dan 𝑏|𝑎, maka sesuai dengan definisi 1, ada x,y ∈ Z sehingga b = ax dan a = by, a = by dan b = ax, maka a = (ax)y = a(xy), a = a (xy), maka a - a (xy) = 0 atau a (1 - xy) = 0. a ≠ 0 dan a (1- xy) = 0, maka 1- xy = 0, atau xy = 1 x,y ∈ Z dan xy = 1, maka x = y = 1 atau x = y = -1. Jika x = y = 1, maka a = b ; jika x = y = -1, maka a = -b. Jadi, a = b atau a = -b 4. Dalil 4 Jika a, b ∈ Z, 𝑎|𝑏, 𝑏|𝑎, 𝑎 > 0, dan b > 0, maka a = b Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏 dan 𝑏|𝑎, maka sesuai dengan definisi 1, ada x, y ∈ Z sehingga b = ax, a = by. dan diketahui a, b > 0, maka x > 0 dan y > 0 sesuai dengan dalil 3, xy = 1 ,x = y = 1, a = by, dan b = ax, maka a = b dan b = a. Jadi a = b 5. Dalil 5 Jika a, b ∈ Z, 𝑎|𝑏 dan 𝑎|𝑐, maka 𝑎|𝑏 + 𝑐 dan 𝑎|𝑏 − 𝑐 Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏 dan 𝑎|𝑐, maka sesuai dengan definisi 1, ada x,y ∈ Z sehingga b = ax dan c = ay, b = ax dan c = ay, maka : b + c = ax + ay = a (x+y) 3

b – c = ax + ay = a (x-y) x, y ∈ Z, maka sesuai dengan sifat ketertutupan operasi penjumlahan dan pengurangan di dalam Z, (x + y) ∈ Z dan (x – y) ∈ Z dengan demikian ada (x + y), (x – y) ∈ Z. sehingga b + c = a (x + y) dan b – c = a (x – y). Jadi, 𝑎 | 𝑏 + 𝑐 dan 𝑎 | 𝑏 − 𝑐. 6. Dalil 6 Jika a, b, c ∈ Z, 𝑎|𝑏 dan 𝑎|𝑐, maka 𝑎|𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 untuk semua x, y ∈ Z Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏 dan 𝑎|𝑐, maka menurut dalil 1, 𝑎|𝑏𝑥 dan 𝑎|𝑐𝑦 untuk semua x, y ∈ Z 𝑎|𝑏𝑥 dan 𝑎|𝑐𝑦, menurut dalil 5, 𝑎|𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 untuk semua x, y ∈ Z. Jadi : 𝑎|𝑏𝑥 + cy untuk semua x, y ∈ Z 7. Dalil 7 Jika a, b, c ∈ Z, a > 0, b > 0, dan 𝑎|𝑏, maka a ≤ b Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏, maka menurut Definisi 1, ada x ∈ Z sehingga b = ax dan diketahui a, b > 0, maka x > 0, x ∈ Z dan x > 0, maka kemungkinan nilai-nilai x adalah 1,2,3,…, yaitu x = 1 atau x > 1, x = 1 atau x > 1 dan b = ax, maka b = a atau b > a. Jadi a ≤ b 8. Dalil 8 𝑎|𝑏 jika dan hanya jika 𝑚𝑎|𝑚𝑏 untuk semua m ∈ Z dan m ≠ 0 Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏, maka menurut Definisi 1, ada suatu x ∈ Z sehingga b = ax ⇔ mb = m (ax) = (ma)x untuk suatu x ∈ Z . Jadi : 𝑚𝑎|𝑚𝑏 Diketahui 𝑚𝑎|𝑚𝑏, maka menurut Definisi 1, ada suatu x ∈ Z sehingga mb = (ma)x = m (ax) ⇔ mb – m (ax) = 0, atau m (b – ax) = 0, m ≠ 0 dan m (b-ax) = 0, maka b – ax = 0, atau b = ax untuk suatu x ∈ Z. Jadi = 𝑎|𝑏 9. Dalil 9 Jika a, b, c ∈ Z 𝑎|𝑏 dan 𝑎|𝑏 + 𝑐, maka 𝑎|𝑐 Bukti : Diketahui 𝑎|𝑏, maka menurut Definisi 1, ada suatu x ∈ Z sehingga a. b = ax.

4

Diketahui 𝑎|𝑏 + c, maka menurut definisi 1, ada suatu y ∈ Z sehingga b + c = ay, berarti c = ay – b, c = ay – b dan b = ax, maka c = ay – ax = a ( y x ). x ∈ Z dan y ∈ Z, maka menurut sifat ketertutupan operasi pengurangan bilangan bulat, (y – x) ∈ Z. Ternyata ada suatu ( y – x ) ∈ Z sehingga c = a ( y – x ). Jadi : 𝑎|𝑐

C. CIRI HABIS DIBAGI 1. Habis di Bagi 2. Bagaimana anda tahu dengan cepat, hanya dengan melihat angkanya, bahwa sebuah bilangan habis dibagi 2? Setiap bilangan yang digit terakhirnya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 pasti habis dibagi 2. Contoh : 10, 22, 34, 46, 58, … 2. Habis di Bagi 3. Bagaimana dengan bilangan yang habis dibagi 3? Kita bisa menjumlahkan setiap digit dari angkanya. Jika hasilnya habis dibagi 3, maka angka yang tadi juga habis di bagi 3. Contoh, apakah 25341 habis di bagi 3 jumlahkan digit-digitnya : 2+5+3+4+1 = 15. Sudah terlihat bahwa 15 habis di bagi 3. Maka 25341 juga pasti habis di bagi 3. (kita juga boleh menambahkan digit-digit di angka 15: 1+5 = 6. Enam juga habis di bagi 3). 3. Habis di Bagi 4. Ciri bilangan yang habis di bagi 4 adalah dua digit terakhir pada bilangan tersebut habis di bagi dengan 4. Jadi, 3875920394754924 pasti habis di bagi 4, sedangkan 48923742637807 pasti tidak habis di bagi 4. 4. Habis di Bagi 5.

5

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0 atau 5, maka bilangan tersebut pasti habis di bagi 5. Contoh: 10, 15, 20, 55, … 5. Habis di Bagi 6. Bagaimana dengan 6? Kita lihat! Enam memiliki 2 dan 3 sebagai faktornya. Maka bisa kita pastikan bahwa bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan yanag habis di bagi 2 dan juga habis di bagi 3, yakni bilangan genap yang jika digitdigitnya dijumlahkan maka hasilnya habis di bagi 3. Contoh: 25341 tidak habis dibagi 6, tetapi 25314 habis dibagi 6. 6. Habis di Bagi 7. Bagaimana dengan bilangan yang habis dibagi 7? Apa ciri-ciri nya? Ambil digit terakhir dari bilangan tersebut, lalu kalikan dengan 2. Hasilnya kita kurangkan dari digit-digit yang tersisa pada bilangan asal, jika hasilnya bisa di bagi 7, maka bilangan tadi juga pasti bisa dibagi 7. Contoh 1: Apakah 17192 habis dibagi 7? Ambil digit terakhir dan kalikan 2: 2×2=4. Kurangkan dari digit yang tersisa: 1719 – 4 = 1715. Apakah 1715 habis dibagi 7? Kita ulangi lagi prosedur yang sama: 171-(5×2)=161. Uji lagi: 16 – (1×2) = 14. Ya, karena 14 habis dibagi 7 maka sudah pasti 17192 pun habis dibagi 7. Kalau bilangan yang akan diuji terdiri dari 3 atau 4 digit, ada cara yang lebih mudah. Ambil dua digit terakhir, dan kalikan digit yang tersisa dengan 2. Tambahkan hasilnya dengan dua digit yang tadi anda ambil. Jika hasilnya habis dibagi 7, maka bilangan tadi pun habis dibagi 7. Contoh 2:

6

Apakah 1841 habis dibagi 7? Mari kita uji. Ambil 41, kalikan 18 dengan 2, hasilnya 36. Tambahkan 36 dengan 41, hasilnya 77. Jumlah 77 jelas habis dibagi 7, sehingga 1841 juga habis dibagi 7. 7. Habis di Bagi 8. Kalau ciri bilangan yang habis dibagi 8 bagaimana? Lihat saja 3 digit terakhir, jika habis dibagi 8 maka keseluruhan bilangan pun habis dibagi 8. contoh : 22104 (habis dibagi 8) 8. Habis di Bagi 9. Sebuah bilangan akan habis dibagi 9 jika jumlah digit-digitnya juga habis dibagi 9. Jadi, 4078935 habis dibagi 9 karena 4+0+7+8+9+3+5=36 habis dibagi 9. 9. Habis di Bagi 10. Ciri sebuah bilangan yang habis dibagi 10 dapat diterka dengan mudah. Ya, semua bilangan yang digit terakhirnya adalah 0, habis dibagi 10. 10. Habis di Bagi 11. Untuk menguji apakah sebuah bilangan habis dibagi 11, agak sedikit unik. Pertama, jumlahkan digit-digit pada posisi ganjil (dimulai dari kanan), lalu jumlahkan juga digit-digit pada posisi genap. Jika selisihnya bisa dibagi 11, maka bilangan tersebut pun habis dibagi 11. Contoh: Apakah 35820708 habis dibagi 11? Kita uji. Jumlah digit pada posisi ganjil (ingat, posisi dimulai dari arah kanan) adalah 8+7+2+5=22. Jumlah digit pada posisi genap adalah 0+0+8+3= 11. Selisihnya adalah 22-11=11. Maka 35820708 pun pasti habis dibagi 11. 11. Habis di Bagi 12.

7

Bagaimana menguji sebuah bilangan habis dibagi 12? Karena 12 memiliki faktor 3 dan 4, maka bilangan yang habis dibagi 12 adalah bilangan yang habis dibagi 3 dan juga habis dibagi 4. Silahkan anda susun sendiri rumusnya. Contoh: 1200 (jika dibagi 3 = 400) 1200 (jika dibagi 4 = 300) 1200 (jika dibagi 12 = 100) Maka keseluruhan bilagan 1200 habis dibagi 12. 12. Habis di Bagi 13 Untuk menguji sebuah bilangan habis dibagi 13 hampir sama dengan cara menguji bilangan yang habis dibagi 7. Ambil digit terakhir, dan kalikan dengan 9. Kemudian kurangkan hasilnya dengan digit yang tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 13, maka keseluruhan bilangan pun habis dibagi 13. Contoh: Apakah 211042 habis dibagi 13? Ambil digit terakhir, dan kalikan 9: 2×9=18. Kurangkan hasilnya dengan digit yang tersisa: 21104-18=21086. Apakah 21086 habis dibagi 13? Kita uji lagi: 2108-(6×9)=2054. Uji lagi: 205-(4×9)=169. Dan 169 habis dibagi 13. Maka 211042 pun habis dibagi 13.

8

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven, 1999:4). Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur Aljabar (Muhsetyo, 1994:18) Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x. B. Saran Saran sehubungan dengan materi yang dibahas yakni keterbagian, menurut kelompok kami hendaknya sebagai calon pendidik, dalam mengajarkan materi mengenai keterbagian kepada siswa-siswi MI/SD kelak kita hendaknya mengaitkan materi yang kita ajarkan kedalam kehidupan sehari-hari agar siswasiswi bisa lebih mudah mengerti. Dan saran sehubungan dengan makalah ini, karena makalah ini tak luput dari kekurangan. Oleh sebab itu, kami mengharapkan kritik dari berbagai pihak demi lebih baiknya makalah ini.

9

DAFTAR PUSTAKA

Hawa, Siti. dkk. 2017. Aritmatika. Palembang : Noerfikri Offset. http://lutfi-nurul-aulia.blogspot.com/2012/05/makalah-teori-bilanganketerbagian.html https://asepkotabakti.blogspot.com/2017/06/makalah-keterbagian-dan-fpb.html

10