M1 MMC CC1 2022 - 2023 Enonce [PDF]

Zitiervorschau

Année universitaire 2022-2023 U.E. : Mécanique des Milieux Continus X1PM030 Contrôle continu du : 23 octobre 2022 Durée : 2h00 Documents autorisés : oui Calculatrice autorisée : oui Les deux problèmes sont indépendants.

Problème 1— Déformations Soit un milieu soumis à un tenseur de déformation E dont la matrice dans la base cartésienne (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ) est :   3 2 4 . E = 2 3 4 4 4 1 (⃗e ,⃗e ,⃗e ) 1

2

3

1 – Calculer les premier et troisièmes invariants fondamentaux du tenseur E définis par : I1 = Tr E et I3 = det E. 2 – Calculer la matrice du tenseur E 2 , et en déduire le deuxième invariant fondamental du tenseur (( ) )2 défini par I2 = 12 Tr E − Tr (E 2 ) . Les valeurs propres λ d’un tenseur du second ordre A sont déterminées par la résolution de l’équation caractéristique P (λ) = det(A − λI) = 0. Le polynôme caractéristique peut s’exprimer P (λ) = I3 − λI2 + λ2 I1 − λ3 où I1 , I2 et I3 sont les invariants fondamentaux de A. 3 – En déduire sans calcul le polynôme caractéristique de E. 4 – Exprimer det(E − λI) sous la forme suivante : det(E − λI) = −(λ − E1 )(λ − E2 )(λ − E3 ). En déduire les valeurs des déformations principales et la forme de la matrice E dans sa base principale. 5 – Ordonner les déformations principales (de la plus grande à la plus petite), puis calculer les coordonnées du vecteur propre ⃗u2 correspondant à la déformation principale intermédiaire E2 .

1

Problème 2— Tenseur des contraintes de Cauchy Soit un milieu continu dont l’état de contrainte est homogène et stationnaire (le tenseur de Cauchy est constant dans l’espace et le temps). On considère au sein de ce milieu un domaine matériel Ω en forme de tétraèdre tel que représenté dans la figure ci-contre dans un repère cartésien (O, ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ). Les arêtes parallèles aux axes de la base sont de longueur c. Un expérimentateur réalise quelques mesures, et constate que : — la composante normale de la résultante de force exercée sur la face arrière (correspondant au plan x1 = 0) est égale à F1 (en Newton), — la composante normale de la résultante de force exercée sur la face gauche (correspondant au plan x2 = 0) est égale à F2 (en Newton), — la composante normale de la résultante de force exercée sur la face inférieure (correspondant au plan x3 = 0) est égale à F3 (en Newton), — la résultante de force exercée sur la face inclinée du té⃗ = G1⃗e1 +G2⃗e2 +G3⃗e3 (en Newton). traèdre est égale à G

Figure 1 – Domaine Ω.

1 – Déterminer les composantes de la matrice du tenseur des contraintes de Cauchy σ dans la base (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ).

2