M 35 Oscillateurs Auto-Entretenus [PDF]

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OSCILLATEURS INTRODUCTION Un oscillateur désigne dans le sens le plus général du terme un dispositif mécanique, optique, électrique ou électronique étant le siège d'un phénomène physique périodique dans le temps → le sujet et vaste et on ne peut l’aborder complètement. On peut s’intéresser dans ce montage à différents type d’oscillateurs. Parmi les choix possibles, on peut penser à l’étude de l’oscillateur harmonique. Cette étude est classique et se trouve dans de nombreux ouvrages. On peut la présenter en mécanique avec par exemple le pendule pesant. On peut aussi la faire en électricité (circuit R, L, C). L’expérience courante montre que toute perturbation légère appliquée à un système physique en équilibre se traduit généralement par un retour à sa position d’équilibre après une suite d’oscillations quasi sinusoïdales dont l’amplitude finit par s’annuler. Ce comportement de tout système perturbé explique l’importance de l’étude des oscillateurs harmoniques amortis. On a plutôt choisit ici de se limiter à une étude approfondie de quelques oscillateurs électroniques entretenus (système générant à partir d’une source continue un signal périodique de fréquence f). On présente séparément les oscillateurs quasi - sinusoïdaux et les oscillateurs de relaxation afin de dégager leurs caractéristiques propres. Il faut savoir cependant que cette distinction est artificielle car il n'y a pas de frontière stricte entre ces deux types d'oscillateurs. On présente en transition l’oscillateur de Van der Pol car on peut le faire fonctionner dans les deux régimes et il permet de montrer l’influence des non linéarités sur la limitation de l’amplitude des oscillateurs quasi – sinusoïdaux.

I OSCILLATEURS QUASI SINUSOIDAUX Ce sont des systèmes délivrant un signal pratiquement sinusoïdal de fréquence fixée par les composants qui le constitue (système à fréquence propre). Les éléments travaillent pratiquement toujours en régime linéaire mais les phénomènes non-linéaires sont fondamentaux car ce sont eux qui fixent l'amplitude des oscillations. Par contre, leur influence sur la fréquence est négligeable. L'énergie vient du système, il s'auto entretient ⇒ si on coupe l'alimentation, un tel oscillateur aura un transitoire long par rapport à un oscillateur de relaxation. 1.1 Oscillateur à pont de Vien Réf. (1), p. 181 La description des oscillateurs quasi-sinusoïdaux s'effectue en général dans le cas des systèmes bouclés à réaction positive. L'oscillateur à pont de Vien se prête bien à cette description. 1.1.1 Etude de la boucle de rétroaction X

Y R

GBF

C

C

R

R = 10 kΩ C = 10 nF Les résistances et capacités doivent être identiques → les mesurer pour vérifier.

Passe haut

Passe bas 607

Mesures : Mesurez le gain et le déphasage du montage pour f compris entre 200 et 10000 Hz et tracez les courbes correspondantes. Pour mesurer ϕ, utilisez le phasemètre FI 6644A ou l'oscilloscope HP 54603B (Measure : Time → Next menu → Next menu → Phase). Pour mesurer le gain, on peut aussi utiliser les curseurs tensions de l'oscilloscope HP 54603B ou des multimètres (s'assurer qu'ils suivent en fréquence). Il faut ensuite convertir en dB. Une solution plus rapide consiste à utiliser la fonction dB du Keithley 199 : commencez par mesurer VE. Se mettre en dB et faire le zéro. Vérifiez que l'indication se maintient lorsqu'on fait varier la fréquence (à montrer en montage). Sans toucher aux réglages, passez à la mesure de VS. Comme la référence de l'appareil correspond maintenant à la tension VE, on mesure directement le gain du montage. Exploitation : Vérifiez qu’à f 0 = 1 / 2πRC , le circuit ne déphase plus et à un gain maximum égal à 1/3. Le résultat est conforme avec la fonction de transfert du filtre : 1 3 + j(RCω − 1 / RCω ) Conclusion : Pour obtenir des oscillations sinusoïdales, donc vérifier la condition de Barkhausen (cf. réf. (1), p. 180), il faut associer à cette boucle de rétroaction une chaîne directe constituée par un ampli non inverseur de gain égal à 3. 1.1.2 Chaîne directe R2 R1

_

R1 : 10 kΩ R2 : potentiomètre 22 kΩ

∞

VS

+

VE GBF

Vérifiez que l'ampli est non inverseur et que son gain vaut 1 + R 2 / R 1 . Ajustez le potentiomètre pour avoir un gain de 3.

1.1.3 Système bouclé Insérez le filtre passe-bande (attention à son sens de branchement !) dans la boucle de rétroaction positive de la chaîne directe et visualisez la tension de sortie de l'AO : R2 R1

_

En général, on n'observe pas d'oscillations. Retouchez alors le réglage du potentiomètre pour démarrer les oscillations.

∞

+

C

R

C

R

Visualisez ensuite le signal à l'entrée + de l'AO ; vous devez constater que le signal sinusoïdal est plus pur (comparez les spectres des deux signaux avec l'oscillo HP 54603B pour confirmer). Pourquoi à votre avis ?

1.1.4 Amélioration du signal de sortie Cf. réf. (1), p.184 608

1.2 Oscillateur à résistance négative Le principe de cet oscillateur est d'annuler l'amortissement d'un circuit RLC par une résistance négative réalisée à l’aide d’un montage à amplificateur opérationnel (convertisseur d'impédance négative en courant ; cf. réf. (1), p. 169). Ce montage est aussi traité dans le montage sur les Phénomènes non linéaires → s’y reporter pour plus d’explication et d’autres manipulations possibles. 1.2.1 Montage Réf. (1), p. 170 ; réf. (2), p. 334 L : 0,1 H AOIP (r = 32 Ω)

i

C : 0,1 µF AOIP

X R _ +

∞

081

L, r

R : 10 kΩ AOIP

R

R' : résistance variable

C

VS

R’

1.2.2 Etude de la résistance négative On cherche à déterminer l'impédance équivalente du montage à ampli op. On obtient après calculs (cf. montage sur les phénomènes non linéaires) : Zeq = − R ' 1.2.3 Mesures Augmentez R' en partant de 0 jusqu'à observer en VS le démarrage des oscillations. Comparez la valeur obtenue pour R' à celle indiquée sur la self. Il peut être bon de mesurer les résistances des différents éléments si l’on constate un désaccord important. On doit cependant trouver une valeur légèrement supérieure à celle annoncée car la résistance de la bobine augmente avec la fréquence à cause de l'effet de peau or celle indiquée par le constructeur l'est à 50 Hz. Pour s'en convaincre reprendre la mesure avec cette fois ci une capacité de 0,01 µF ; la valeur de R' doit augmenter. Mesurez la fréquence des oscillations et comparez à la valeur théorique f 0 = 1 / 2π LC . Calculs d'incertitude. 1.2.4 Etude du signal généré La résistance globale du montage étant nulle, le circuit RLC doit avoir un facteur de qualité tendant vers l'infini et on devrait par conséquent obtenir une sinusoïde parfaitement pure. Faire la FFT du signal VS avec l'oscilloscope HP 54603B. Le signal étant en général noyé dans le bruit faire une moyenne de l'acquisition (Display → Average). On doit observer la présence d'harmoniques du à l'effet non linéaire de l'AO. En effet, rien ne limite en théorie l'amplitude des oscillations. Elle l'est en pratique dès que le signal de sortie de l'AO atteint la valeur de saturation. Visualisation des tensions VR , VC et VL : VR permet de visualiser le courant, VL permet di 1   d’observer sa dérivée ( VL = L ) et VC son intégrale  VC = ∫ i.dt  . On peut visualiser dt C   609

directement VC. Pour VL, il faut permuter C et L dans le montage proposé (sinon problème de masse !). Quant à VR, utilisez une sonde différentielle pour visualiser la tension X (cf. schéma). Observez les différences dans l'allure de ces signaux et effectuez leur FFT moyennée. On peut augmenter légèrement R' (≈ 40 Ω) pour accentuer les différences. Conclusion : Vous devez constater que VC est le signal le plus pur. Vient ensuite VR. La tension aux bornes de la self est celle qui présente le plus d'harmoniques. Cela provient du fait que l'intensité instantanée contient des harmoniques (du fait de l'AO ; cf. ci-dessus) que la dérivation renforce et que l'intégration atténue par rapport au fondamental. Pour s'en convaincre, intégrez et dérivez un signal de la forme A.sinωt + Bsin2ωt et conclure. On met ainsi en évidence le caractère imparfaitement sinusoïdal des oscillations. Pour avoir le signal le plus pur possible, il faudra donc prendre celui aux bornes du condensateur. Remarque : On pourrait penser qu'il est plus simple, pour visualiser le courant circulant dans le condensateur, de regarder directement le signal VS. Ce serait une erreur car l'AO est un générateur de tension et il distribue le courant de façon indépendante entre les deux branches. 1.2.5 Etablissement des oscillations Réf. (1), p. 172 On reprend le même montage que précédemment mais on change de self pour avoir un amortissement suffisamment rapide des oscillations. Montage :

Y C

L, r

r’

_ +

R ∞

081

R C

T1 : transistor NPN 2N2219 RB : 1 kΩ L, r + r’ : 10 mH 75 Ω (cf. remarque ci-dessous)

R’

B

T1 E

RB GBF

GBF : signal carré d'amplitude 5 V ; f ≈ 300 Hz. Reliez sa masse à celle de l'alim de l'AO ! Visualisez Y via une sonde différentielle. Avant de brancher le transistor, réajustez R' pour obtenir les oscillations. Remarque : On ne dispose pas à Rennes de l'inductance proposée dans la réf. (1) → on la réalise par une boite de self à décades (BDS10) et une résistance en série ; on ajuste sur la boite la valeur de L voulue, on mesure sa résistance avec un multimètre et on ajuste la valeur de la résistance série pour avoir globalement une valeur r + r’ de 75 Ω. On mesure aussi le courant en visualisant directement la tension Y à l'aide d'une sonde différentielle. On se dispense ainsi du convertisseur courant - tension indiqué dans la réf. (1) → le montage est plus simple. 610

Rôle du transistor : Le transistor est utilisé en bloqué - saturé : VCOM > 0 ⇒ iB > 0 ⇒ le transistor est passant. Comme VE est à la masse, on a alors V+ = 0. Cela revient à faire R' = 0 → la résistance négative est hors - service. VCOM < 0 ⇒ iB < 0 ⇒ le transistor est bloqué ⇒ il est équivalent à un circuit ouvert → la résistance négative fonctionne. ⇒ Il permet de "démarrer" et "d'éteindre" l'oscillateur pour observer la croissance et la décroissance des oscillations. Observation : Visualisez la tension X ; utilisez la sortie TTL du GBF pour synchroniser l'oscilloscope. Jouez sur fGBF et sur R' pour observer en même temps sur l'écran la zone de croissance des oscillations, la zone de stabilité par effets non - linéaires et la décroissance des oscillations. Vous devez constater que la décroissance des oscillations est plus rapide que la croissance. Cela provient des équations qui régissent les deux phénomènes. En effet, lors de la croissance, l'AO est en régime linéaire et l'équation différentielle qui régit l'évolution du courant est : d 2i ( r + r ') − R ' di 1 + + i=0 dt 2 L dt LC ⇒ comme R' est supérieure à ( r + r’), le coefficient devant le terme du premier ordre est négatif ; cela entraîne une croissance exponentielle des oscillations dont la constante de temps vaut τ = 2L /  R ' − ( r + r ' )  . Comme ( r + r’) ≈ R', la croissance est lente. Dans le second cas de figure, on annule R' → le coefficient devient positif ⇒ on a une décroissance des oscillations dont la constante de temps vaut cette fois ci 2L/( r + r’) et est par conséquent plus petite. 1.2.6 Diagramme de phase C'est une description classique de l'état d'un oscillateur ou l'on représente son évolution par un point M de coordonnées X = x et Y = dx/dt, x étant un paramètre caractéristique de l'oscillateur. Dans cette représentation appelée espace des phases, on constate que si le mouvement est périodique la courbe est fermée. Si l'évolution est harmonique, la courbe est une ellipse. En présence d'amortissement, la courbe n'est plus fermée et le système tend vers sa position d'équilibre stable (attracteur). La variable caractéristique correspond ici à la charge. On la visualisera aux bornes du condensateur. Sa dérivée sera obtenue aux bornes de R1. Montage :

Y C

L, r

r’

_ +

X

R

∞

E

081

R

B

T2

RB C

I : interrupteur 3 points

R’

B

T1

I

GBF

E

611

Le montage et les valeurs composants sont les mêmes que précédemment. On rajoute juste un nouveau transistor T2 : transistor PNP 2N2905 Analyse du transistor PNP : Son fonctionnement est complémentaire du premier transistor T1 :

VCOM > 0 ⇒ iB > 0 ⇒ le transistor est bloqué ⇒ résistance négative OK VCOM < 0 ⇒ iB < 0 ⇒ le transistor est passant ⇒ résistance négative HS.

⇒ Lorsqu'on utilisera T2, la résistance négative sera mise hors circuit sur un flanc descendant du GBF. Si on utilise T1, la résistance négative sera mise en route sur ce même flanc du GBF. Cette disposition permet de visualiser séparément l'espace des phases correspondant à l'amorçage des oscillations et celui correspondant à la décroissance des oscillations lorsqu'on utilise l'oscilloscope HP 54603B. En effet, lorsqu'on est en mode XY, cet oscilloscope n'active la trace que lorsqu'il a un niveau bas à l'entrée Z (consultez sa notice p. 2-35). Observation : Visualisez VC en X et VR1 en Y. Passez en mode XY et comparez le diagramme des phases en branchant successivement T1 et T2. Vous devez retrouver les figures de la réf. (1), p. 174 (vous pouvez aussi déconnecter la voie Z sur l'oscillo pour comparer). Regardez l'influence de R' sur la spirale croissante. 1.2.7 Passage en mode relaxé Il s'effectue facilement en augmentant la valeur de R’. Le signal VS se déforme et est écrêté par les tensions d'alimentation de l'AO. On obtient un signal carré dont la fréquence dépend de R’ : l'oscillateur relaxe. On illustre ainsi une propriété générale des oscillateurs quasi - sinusoïdaux ; lorsque l'apport d'énergie est trop important, ils évoluent vers la relaxation.

II OSCILLATEUR DE VAN DER POL Réf. (1), p 175 ; BUP n° 744, 785, 787 Il s’agit d’un oscillateur qui est non linéaire par son amortissement. Son intérêt est double : il permet de montrer l’influence fondamentale qu’on les non linéarités sur la limitation de l’amplitude des oscillateurs auto entretenus et il permet de visualiser l’évolution d’un régime quasi sinusoïdal d’oscillations vers un régime relaxatif grâce à la variation d’un seul paramètre.

2.1 Introduction L’introduction à cet oscillateur peut s’effectuer sur la base de l’étude précédente sur l’oscillateur r, L, C à résistance négative. Au démarrage de cet oscillateur, les oscillations de la tension VC aux bornes du condensateur sont solutions de l’équation différentielle : d 2 VC [ r − R '] dVC 1 + + .VC = 0 2 dt L dt LC Soit

d 2 VC dVC + 2λ + ωO2 VC = 0 2 dt dt

Avec λ =

r−R' 1 et ωO2 = 2L LC

La solution d’une telle équation est du type : VC = VO .e−λ t cos ( Ωt ) avec Ω = ωO2 − λ 2 612

Nous obtenons alors trois cas de figure suivant la valeur de la résistance négative R’ : R’ > r ⇒ λ < 0 ⇒ croissance exponentielle des oscillations R’ < r ⇒ λ > 0 ⇒ décroissance exponentielle des oscillations R’ = r ⇒ λ = 0 ⇒ oscillations rigoureusement sinusoïdales Dans le dernier cas, se pose alors le problème de l’indétermination de l’amplitude des oscillations. Dans la pratique, c’est la non linéarité de l’AO (saturation) qui la fixe (cf. § 2.6 et le montage « Phénomènes non linéaires »).

2.2 Oscillateur de VAN DER POL Il est régit par une équation différentielle du type :

 x2  dx d2x + µ + ω02 x = 0  2 − 1 2 dt x dt  O  d2x dx Soit + 2 λ (x) + ω02 x = 0 avec 2 dt dt

 x2  2 λ (x) = µ  2 − 1  xO 

Le comportement de cette équation est fonction du rapport x/x0 : - lorsque x est inférieur à xo, le coefficient λ est négatif. Lorsque x 0 (condition de démarrage de l’oscillateur). - lorsque x = x0, le terme du premier ordre en x disparaît de l’équation et on retrouve l’équation classique d’un système oscillant rigoureusement de façon sinusoïdale à la pulsation ω0. Il faut remarquer que la condition λ = 0 peut aussi être obtenue par l’annulation de µ. - lorsque x est supérieur à xo, le terme non linéaire devient prépondérant et le coefficient λ devient positif → le terme d’amortissement l’emporte globalement et les oscillations décroissent de façon exponentielle. En introduisant une telle non linéarité, on comprend ainsi qu’on obtienne un système auto modérateur qui aboutit à des oscillations périodiques dont l’amplitude se stabilise à une valeur telle qu’on ait juste compensation entre l’énergie dissipée dans le système et l’apport extérieur d’énergie. On pourrait penser d’après ce que l’on vient de voir que l’amplitude se stabilise à x0. En fait il n’en est rien : x0 correspond au seuil à partir duquel le système passe d’un état où l’apport d’énergie est supérieur à l’énergie dissipée à un état ou l’amortissement l’emporte. x est une valeur instantanée et ce n’est pas l’amplitude maximum xm des oscillations que l’on va obtenir → on ne peut donc pas simplement dire que xm = x0. La détermination de l'amplitude dans le cas le plus général n’est pas simple. On indique juste en annexe un calcul valable dans le cas ou les oscillations sont sinusoïdales (dans la pratique, le résultat reste correct même pour des oscillations non linéaires). Dans ce cas, l’amplitude tend vers : x = 2.x 0 A retenir : Le principal intérêt de cet oscillateur est qu’on peut modifier doublement son comportement et ce de façon indépendante : on peut obtenir des oscillations plus ou moins sinusoïdales en jouant sur la valeur de µ. 613

on peut contrôler l’amplitude des oscillations sans influer sur leur caractère plus ou moins sinusoïdal en jouant sur la valeur de xo. 2.3 Réalisation pratique de l’oscillateur Plusieurs montages sont possibles (cf. BUP 785, BUP 787 et réf. (1), p. 175). On présente une version allégée de celui de la réf. (1). On repart du circuit précédent (circuit r, L, C en série avec la résistance négative R’). Le problème revient à former à une constante près le terme U C2 .dU C / dt et le réinjecter dans la boucle r, L, C. On obtient ce terme en utilisant des multiplieurs analogiques de type AD 633. Comme ces multiplieurs affectent la multiplication d’un coefficient atténuateur, on est amené à insérer un amplificateur pour compenser cette atténuation. Schéma de principe : V2 i

- k 2 KU C2 R 'i

L,r

C

multiplieur gain = k

UC

k U C2

multiplieur gain = k

- k 2 U C2 R 'i

amplificateur gain = K

- R’i

- R’

Multiplieur n° 1 : Il permet l’élévation au carré de la tension UC. On a en sortie : k.UC2 Multiplieur n° 2 : Il permet l’obtention à une constante près de U C2 .dU C / dt . En effet, on injecte dans le multiplieur la tension – R’.i, i étant le courant circulant dans la boucle r, L, C. Comme UC =

dUC 1 i i.dt , on a = ∫ C dt C

On a donc en sortie : − k 2 R 'C UC2

D’où − R ' i = − R 'C

dUC dt

dUC dt

Amplificateur : On utilise le montage suivant : V −V V On a en effet : + = 2 + R1 R2 

R 

D’où : V2 = 1 + 2  V+ = K V+ R3   V+ correspond à la sortie de X2 d’où : V2 = − k 2 K R 'C UC2

614

∞

+ _

R1

dUC dt

V R2

Association finale : L’amplificateur alimente le circuit r, L, C avec sa résistance négative. La loi des mailles nous donne :

V2 = U L,r + UC + U RN = L di + UC + ( r − R ') i dt Or i = C

dUC dt

V2 = LC

d’où

Avec l’expression de V2 :

d 2 UC 1 + L dt 2

Soit :

d 2 UC dU C + U C + ( r − R ') C =0 2 dt dt

(

)

d 2 UC dU C 1  1 + r − R ' 1 − k 2 K 2 U C2  + UC = 0 2    L dt LC dt

  U2   dU C r + R '  C − 1 + ω2 UC = 0  U2   dt   O  

Avec U O =

1 k K

Identification avec l’équation de Van der Pol : Il est facile de montrer que l’équation obtenue

x  dx d x + µ  2 − 1 + ω2 x = 0 . Il suffit de poser x = UC dans 2 dt  x O  dt l’équation précédente pour retrouver une équation similaire à cette équation type. L’identification entre les deux équations du coefficient du terme du premier ordre permet d’obtenir les expressions de µ et x0. On obtient alors : 2

2

correspond à l’équation

µ=

R' − r L

x0 =

R' − r .U 0 R'

R' − r R'

⇒ U C max = 2.x 0 = 2 U 0

2.4 Montage expérimental

R1

L, r

R AD 633 X

X

C

AD 633

W Y

_

X W

∞

+

Y

C’

R0 : 1 kΩ ; R1 : 1 kΩ ; R2 : 50, 100 ou 200 kΩ R0 _ ∞

L : AOIP 0,1 H 32 Ω C : 0,22 µF ; C’ : 1 à 5 nF

+ R0

Y

R’ : boite variable

AO : prendre des 081 ou des 071

R’

Visualisez la tension Y via une sonde différentielle et inversez la voie X sur l’oscilloscope. 615

Bien que simplifiée, la réalisation pratique est assez lourde et pas forcément très stable (cf. remarque ci après) → faire un montage soigné sous peine de déboires (fils courts …). Pour l’alléger, on conseille de le réaliser entièrement sur des plaques de type P 60 à l’exception de la bobine et de la résistance variable R’. Remarque : La capacité C’ supplémentaire sur le schéma permet d’éviter des oscillations indésirables du montage. Elle ne perturbe pas les performances du dispositif. On conseille aussi de prendre des AO sans réglage intégré d’offset car si celui ci est mal réglé, le montage entre en saturation → étant donné le gain de l’amplificateur, les signaux seront sans doute un peu décalés par rapport au zéro (offset amplifié).

2.5 Observations et mesures 2.5.1 Résistance R’ faible Commencez avec R’ ≈ 60 ou 80 Ω → les signaux obtenus doivent être approximativement des sinusoïdes (la tension aux bornes du condensateur s’en rapprochant le plus ; cf. § 1.2.4). Mesurez la fréquence des oscillations et

(

)

comparez à la valeur → f 0 = 1/ 2π LC .Visualisez les signaux X et Y en Lissajous → on a une ellipse. Testez le montage avec R2 = 50, 100 et 200 kΩ → les signaux restent sinusoïdaux mais leur amplitude varie. Mesurez dans chaque cas l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur (tenez compte du facteur d’atténuation de la sonde !) et comparez à la valeur théorique. Voici à titre indicatif une série de mesures effectuées avecR’ = 80 Ω. R2 = 50 kΩ : U O =

1

R2 = 100 kΩ : U O =

1

R2 = 200 kΩ : U O =

1

=

1

= 1, 4 V → U C max = 2U 0

k K 0,1 51 Mesure expérimentale → UC max = 2,02 V =

1

R '− r = 2, 03 V R'

= 0,995 V → U C max = 2U 0

k K 0,1 101 Mesure expérimentale → UC max = 1,438 V

k K

=

1 0,1 101

= 0, 705 V → U C max = 2U 0

R '− r = 1, 44 V R'

R '− r = 1, 02 V R'

Mesure expérimentale → UC max = 0,975 V

⇒ L’accord est globalement bon. Pour la valeur de la résistance r de la bobine, prendre celle mesurée sur l’oscillateur à résistance négative seul (connectez la sortie V2 de la bobine à la masse et ajustez R’ pour être au seuil des oscillations ; on a alors R’ ≈ r). 2.5.2 Augmentation de la valeur de R’ Prendre R2 = 100 ou 200 kΩ. Faites varier R’ de 100 à 1000 Ω et observez l’évolution des signaux en temporel et en Lissajous → les signaux se déforment progressivement et la figure de Lissajous évolue d’une ellipse à un cycle déformé. Remarquez que l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur tend vers une limite. Voici à titre indicatif le résultat d’une acquisition effectuée 616

sur l’oscilloscope Agilent 54621A ; les courbes obtenues peuvent être comparées avec une simulation sous Excel (demandez le programme au professeur) : Représentation tem porelle

Figure de Lissajous 4

4

3

3

Uc

tension

2

2

R'i

1

1

0

2 , 4 0 E- 0 4

0 7 , 4 0 E- 0 4

1, 2 4 E- 0 3

1, 7 4 E- 0 3

2 , 2 4 E- 0 3

-1

0. E +00 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-8. E -02

-6. E -02

-4. E -02

-2. E -02

2. E -02

4. E -02

6. E -02

8. E -02

-4

Uc (V)

tem ps

L’affichage temporel de l’oscilloscope a été enregistré sur disquette au format CSV compatible avec Excel et on a tenu compte du facteur d’atténuation de la sonde pour tracer les courbes. La figure de Lissajous a été obtenue par l’acquisition du signal temporel au démarrage de l’oscillateur. Il suffit pour ce faire de shunter la résistance R’ à l’aide d’un fil, d’effectuer une acquisition en mode single. On peut facilement obtenir directement en XY ce type de courbe sur oscillo avec l’HP 54603B. C’est un peu plus compliqué avec l’Agilent : il faut dans un premier temps enregistrer les signaux en temporel en mode single puis passer en XY. On peut mesurer l’amplitude maximum vers laquelle tend UC. Voici à titre indicatif une série de mesures effectuée avec R = 1000 Ω.

1

1

= 0,995 V → U C max ≈ 2U 0 = 1, 99 V k K 0,1 101 Mesure expérimentale → UC max = 1,97 V

R2 = 100 kΩ : U O =

1

=

1

= 0,705 V → U C max ≈ 2U 0 = 1, 411 V k K 0,1 201 Mesure expérimentale → UC max = 1,412 V

R2 = 200 kΩ : U O =

=

Là encore, les mesures expérimentales recoupent le calcul théorique. C’est d’ailleurs remarquable car ce calcul (cf. annexe) suppose des signaux sinusoïdaux or on en est loin ici ! 2.5.3 Conclusion L’oscillateur de Van Der Pol permet de passer d’un oscillateur sinusoïdal à un oscillateur de relaxation de manière progressive. On peut ajuster l’amplitude des oscillations et le caractère plus ou moins sinusoïdal du signal de façon indépendante : - on passe d’une ellipse à un cycle déformé en agissant sur R’→ R’ influe sur le caractère plus ou moins sinusoïdal des oscillations. - on contrôle (dans une certaine limite) l’amplitude des oscillations en jouant sur l’amplification via R2.

2.6 Retour sur l’oscillateur à résistance négative L’équation de Van der Pol a été introduite pour fournir un modèle d’étude d’oscillateurs non linéaires. Il s’applique entre autre à l’oscillateur à résistance négative seul. Pour ce faire, il suffit de regarder la caractéristique (I, V) de la résistance négative (cf. montage « Phénomènes non linéaires »). Elle peut se modéliser par une équation du type V = − R '.i + k .i3 . Le coefficient k se 617

détermine à l’aide des points d’inflexion de la caractéristique (I, V). Les extremums ont lieu VSAT dV . Cela correspond pour le modèle à =0 (cf. montage indiqué) pour i max = ± R + R' di soit : − R ' + 3k i 2 = 0 ⇒ i = ± R '/ 3k En combinant ce résultat avec le précédent, on obtient : k = R ' ( R + R ') / ( 3VSAT )

⇒ V peut être modélisé par l’équation suivante : V = − R '.i +

R ' ( R + R ') 3VSAT

.i3

La comparaison entre la caractéristique réelle est le modèle est représentée sur le diagramme suivant : modélisation du dipole à résistance négative 4

3

tension

2

1

0 -10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

-1

-2

-3

-4

courant

On peut alors montrer avec un tel modèle que l’oscillateur à résistance négative est régi par une équation du type Van der Pol. Le montage global obéit en effet à l’équation suivante : i L, r

UL, r V

C

di q + ri + + V = 0 dt C di q L + ri + − R '.i + k .i3 = 0 dt C L

résistance négative

UC

D’ou finalement après réarrangement :

Soit, en dérivant par rapport au temps : d 2i di i di L 2 + ( r − R ') + + 3k .i 2 . =0 dt dt C dt

 di d 2i ( R ' − r )  R ' ( R ' + R ) 2 + .i − 1 + ω2 i = 0  2 dt L  ( R ' − r ) VSAT  dt

→ Dans la limite du modèle envisagé pour le dipôle à résistance négative, l’intensité du courant dans l’oscillateur à résistance négative vérifie une équation du type Van der Pol.

III OSCILLATEURS DE RELAXATION Ce sont des systèmes qui évoluent alternativement entre deux états de fonctionnement d’énergies différentes grâce à une source extérieure d'énergie. On les appelle ainsi en raison du retour périodique du système vers un 618

état de plus faible énergie. La période du signal dépend des intensités qui arrivent sur certains éléments. L'énergie s'accumule puis s'évacue d'un unique réservoir (un condensateur par exemple). En plus du réservoir, l'oscillateur nécessite un dispositif déclenchant le "remplissage" et la "vidange" du réservoir. Pour ce faire, on utilise en électronique des dispositifs à seuils. Les composants travaillent pratiquement toujours en régime non linéaire.

3.1 Quelques exemples Des exemples classiques d’oscillateurs de relaxation peuvent être présentés en mécanique pour introduire les principes de base de ces oscillateurs. On trouvera des exemples dans la réf. (3), p. 316 et suivantes (on conseille de lire l’introduction). On peut présenter le vase de tantale ou le pendule relaxateur. Ce dernier est pré-monté à Rennes → prendre celui ci. Pour plus de précision sur le principe de la manip, se reporter au montage sur les transitions de phases. Le clou passe périodiquement de l’état paramagnétique (lorsqu’il est suffisamment chaud) à l’état ferromagnétique (lorsqu’il est suffisamment froid). Lorsqu’il est ferromagnétique, il se colle à l’aimant. Le chauffage élève sa température → il passe paramagnétique → il s’éloigne de l’aimant, se refroidit, repasse ferromagnétique, se recolle et ainsi de suite.

creuset réfractaire clou

Aimant

Bec Mecker

A montrer : La période des oscillations dépend de la puissance du chauffage.

3.2 Montage à ampli op Réf. (1), p. 166 ; réf. (2), p. 313 Montage : Rvariable Cvariable _ +

∞

+ Vsat

081

+ kVsat

Ve

R1

t

Ve Vs R2

- kVsat VS - Vsat

R1 = R2 = 10 kΩ pour commencer R, C : boîtes variables → 10 kΩ ; 0,1 µF pour mesure 3.2.1 Principe - La borne + de l’AO a son potentiel imposé par le pont R1 R1 .VS = k.VS avec k = R1, R2 : V+ = R1 + R 2 R1 + R 2 619

La réaction étant positive, l’AO fonctionne en commutation : VS = ± U ⇒ V+ = ± kU - VS = ± Vsat ⇒ le condensateur se charge ou se décharge à travers R sous ± U. La sortie basculera dès que V- = VC atteindra la valeur V+ = ± kU. Calcul de T : Cas d’une charge : V- = VC = A + B e-t/RC t=0 t→∞

VC = - kU VC → U

⇒ ⇒

Soit VC = U (1 - (1+k) e-t/RC)

⇒e

T 2RC

=

⇒ B = - (1+k)U

⇒ k = 1 − (1 + k ) e − T / 2 RC

VC = kU

Or à t = T/2 −

A + B = -kU A=+U

1− k 1+ k

1+ k  D’où T = 2RC ln  , soit finalement : 1− k 

 R  T = 2RC ln1 + 2 1  R2  

3.2.2 Manipulation R = 10 k Ω ; C = 0,1 µF. Mesurez T au fréquencemètre, comparez à la théorie. Jouez sur R ou C → montrez qu’on peut modifier T. Connaître les limites du montage : R trop petit → signal déformé (satu en courant de l’AO). Aux fréquences élevées (C = 5 nF, R = 5 kΩ par exemple) → Slew Rate de l'AO. Le basculement n'étant alors plus instantané, cela fausse la valeur de T. On peut par exemple estimer que dès que le temps de passage devient supérieur de 5 % à la période à mesurer, la mesure ne sera plus viable. Partant de ce critère, déterminer la fréquence maximale d’utilisation de l’oscillateur (≈ 50 kHz). Il est important de montrer la possibilité de variation importante de la fréquence (différence fondamentale entre les oscillateurs de relaxation et les oscillateurs quasi sinusoïdaux). Applications : Capacimètre (cf. montage « Condensateurs »). Conditionneur pour capteur capacitif. 3.2.3 Diagramme de phase On peut prendre comme variable caractéristique la tension aux bornes du condensateur. Pour obtenir sa dérivée, on peut prendre la tension de sortie de l'AO en modifiant la valeur de certains composants. On a en effet : VS = VC + Ri dV dV dV 1 Comme VC = ∫ i.dt ⇒ VS = VC + RC C ≈ RC C si RC C >> VC dt dt dt C Cette condition est remplie en prenant les valeurs proposées dans la réf. (1), p. 166. On peut le vérifier par le calcul ou en visualisant VC et VS ; la première est un triangle alors que la deuxième est un carré. Pour visualiser le diagramme de phase, passez en mode XY avec X 620

= VC et Y = VS. On voit des phases très différentes : une phase lente ou VC varie de kU à -kU (remplissage et vidange du réservoir) alors que VS reste constant. Une phase rapide ou VC reste constant pendant que VS est pratiquement discontinue (passage d'une phase de remplissage à une phase de vidange par le dispositif à seuil). 3.2.4 Synchronisation des oscillations On synchronise l'oscillateur précédent en dérivant des signaux rectangulaires. C

Montage :

10 kΩ

Réf. (2), p. 313

_

C = 0.1 µ F

+ 5 nF

10 kΩ

GBF : signal carré L’idée est de provoquer par anticipation le basculement du multivibrateur en abaissant le potentiel de basculement V+ à l’aide des pulses.

∞

081

GBF 10 kΩ

Visualisation de V+ et V- :

Prendre fpulses = 10 fmultivibrateur , amplitude pulse ≈ nulle. On a alors T = T multivib seul. Augmentez progressivement l’amplitude des pulses.

Dès que (1) atteint v-, basculement ⇒ T
Dès que (2) atteint v-, basculement ⇒ T


2

1

V+ t

Et ainsi de suite. ⇒ Le potentiel limite de charge du condensateur suit l’amplitude des pulses.

V-

Visualisation de Vs : Prendre une amplitude de pulses fortes → contrôle sur un grand ∆f. Modifiez fGBF entre 10fmulti et fmulti et mesurez la période du multivibrateur : FGBF Tmulti Conclusion : La période du multivibrateur suit les variations de la fréquence du GBF. On a TGBF = k Tmulti ⇒ synchronisation Application : Synchronisation de l’image sur un oscilloscope. Le signal à observer est mis en forme, les pulses sont envoyés à la base de temps de l’appareil (fournie par un multivibrateur) → elle devient un multiple de la période du signal à observer → l’image est stable. 3.2.5 Obtention d'un oscillateur quasi - sinusoïdal Réf. (1), p. 167-168 621

On peut décrire cet oscillateur comme étant l'association d'un pont diviseur et d'un filtre actif passe bas du premier ordre. On ne peut donc avoir d'oscillations sinusoïdales avec un tel système. Si on tient compte cependant du comportement de l'AO en hautes fréquences (qu'on peut modéliser comme un filtre passe-bas), le filtre s'identifie alors à un système du second ordre et le système bouclé peut éventuellement être le siège d'une oscillation sinusoïdale. Manipulation : Reprendre le montage avec les valeurs du § 2.1.3 et abaissez la valeur de R1 jusqu'à quelques ohms. Vous devez obtenir des oscillations quasi sinusoïdales. Pour l'interprétation, se reporter à la réf. (1), p. 168.

3.3 Réalisation d’un VCO Un VCO (Voltage Control Oscillator) est un dispositif permettant le contrôle de la fréquence d’un signal par l’intermédiaire d’une tension continue. C’est le cœur des GBF actuels. Plusieurs réalisations sont possibles (cf. réf. (2), p. 347, réf. (4), p.178), on propose le plus simple à réaliser : le dispositif reprend le principe du montage précédent mais on s’arrange maintenant pour que la charge et la décharge du condensateur soit une fonction linéaire d’une tension de commande VC. 3.3.1 Montage Réf. (1), p. 192 C R2 R

_

∞

R1 +

V1

+

AO1

AD 633

∞

X

_

V2

AO2

W Y

V3

Vcom Bloc AO1 : Il fonctionne en régime linéaire (rétroaction patte -). C’est un intégrateur à courant constant alors que dans le multivibrateur précédent, la chaîne RC constituait un pseudo intégrateur. On a (cf. montage « Condensateur ») : V2 = − V1.t / RC (1) Ce dispositif fournira en sortie un signal triangulaire si l’on suppose V1 = cte alors que le pseudo intégrateur fournissait des branches d’exponentielles. Bloc AO2 : Il fonctionne en régime non linéaire (rétroaction patte +). C’est un comparateur à hystérésis non inverseur. On indique succinctement son principe de fonctionnement : R2

L’ampli op étant supposé parfait, on a i1 = i2 V2 − V+ V+ − V3 Soit = R1 R2 1 D’ou : V+ = ( R 2 V2 + R1 V3 ) R1 + R 2 622

R1

i1

i2 +

( 2)

V2

_

∞ V3

L’amplificateur opérationnel fonctionnant en saturation positive ou négative, on étudie successivement les deux cas de figure afin de prévoir le fonctionnement de ce comparateur.

Si V+ ≥ 0 :

Comme V- = 0, l’ampli op sera en saturation positive → V3 = + VSAT

En réinjectant dans (2) V+ =

1 ( R 2 V2 + R1 VSAT ) R1 + R 2

→ Pour avoir V+ ≥ 0, il faut R 2 V2 + R1 VSAT ≥ 0 soit :

Si V+ ≤ 0 :

V2 ≥ −

R1 VSAT R2

(3)

Comme V- = 0, l’ampli op sera en saturation négative → V3 = - VSAT

En réinjectant dans (2) V+ =

1 ( R 2 V2 − R1 VSAT ) R1 + R 2

→ Pour avoir V+ ≤ 0, il faut R 2 V2 + R1 VSAT ≤ 0 soit :

V2 ≤

R1 VSAT R2

(4)

Le montage présente donc un hystérésis (inversé par rapport au comparateur du montage précédent) : VSAT

- V seuil

V3

V seuil

V2

Vseuil =

R1 VSAT R2

- VSAT

La tension d’entrée étant généralement inférieure à ± VSAT, ce comparateur ne pourra fonctionner comme tel que si R1 < R2. Bloc multiplieur : Ce bloc à pour but de rendre la tension V1 que l’on intègre dépendante d’une tension continue. On a en sortie : V1 = ± k .Vcom .VSAT Avec k = 1/10 pour l’AD 633 Période de l’oscillateur : On suppose que le condensateur est initialement déchargé et que la sortie du bloc AO2 est par exemple en saturation positive → V1 = k .Vcom .VSAT k .Vcom .VSAT En réinjectant dans (1) : V2 = − .t RC La tension V2, initialement nulle, se met à diminuer jusqu’à atteindre la condition (3) ; le bloc AO2 bascule alors et sa sortie passe en saturation négative. Partant de t = 0, le basculement à lieu lorsque : k .Vcom .VSAT R R1 RC Soit t = V2 = − . t = − 1 VSAT R 2 k Vcom RC R2 623

On comprend aisément que ce temps correspond au quart de la période du signal obtenu. On peut s’en convaincre en poursuivant le raisonnement précédent avec : V1 = − k .Vcom .VSAT , V2 = k .Vcom .VSAT .t / RC et en utilisant la condition (4) comme nouvelle condition de basculement. On a trouve alors : fsignal =

k R2 Vcom → La fréquence est une fonction linéaire de Vcom. 4 RC R1

3.3.2 Réalisation pratique Réalisez le montage précédent sur une grande plaque type P 60 avec les composants suivants : R = 10 kΩ ; R1 = 5,1 kΩ ; R2 = 10 kΩ C = 10 nF AO → 081 sans réglages d’offset Multiplieur → AD 633 Tension de commande : Le plus simple pour avoir Vcom consiste à utiliser une alimentation continue réglable. L’inconvénient est que la tension met un certain temps à se stabiliser lorsqu’on la modifie. On peut éliminer ce problème en utilisant une alimentation continue fixe et un potentiomètre → on conseille d’utiliser un dispositif du type suivant : vers multiplieur

Le choix du potentiomètre n’est pas critique ; sa résistance ne doit être ni trop faible, ni trop grande. Un U potentiomètre multitour est préférable (réglage plus fin) → prendre un potentiomètre multitour de 10 kΩ par exemple.

R

V

Observation : Visualisez sur un oscilloscope numérique de type HP, les signaux de sortie des deux amplificateurs opérationnels (V2 et V3) et faites varier la tension de commande ; vous devez voir la fréquence des signaux se modifier. Remarque importante : Il arrive fréquemment que les signaux ne soient pas parfaitement symétriques (on peut le vérifier en mesurant le rapport cyclique du signal). Ce problème vient de la légère dissymétrie des niveaux de saturation haut et bas des amplificateurs opérationnels ; on a souvent une différence de 1 V entre ces deux niveaux. Il peut paraître étonnant que ce problème influe sur le rapport cyclique car la valeur de VSAT n’apparaît pas dans l’expression du temps que l’on a obtenu à la fin du paragraphe précédent. Pour le comprendre, il faut développer le raisonnement qui avait été fait en supposant VSAT + différent de VSAT - : V3

R1

VSAT

R2

VSAT −

−

k .Vcom .VSAT + RC

k . Vcom .VSAT −

- VSAT T1

624

V2

T2

R1 R2

VSAT +

RC

T1

T2

k .Vcom .VSAT −

Lorsque le bloc AO2 est en saturation négative, on a V2 = sur cette pente de V2 = − vaut T1 =

VSAT + + VSAT − VSAT −

RC

t . Le triangle reste

R1 R VSAT + à V2 = 1 VSAT − . La demie période correspondante R2 R2

RC R 1 . k Vcom R 2

Lorsque le bloc AO2 est en saturation positive, on a V2 = −

k .Vcom .VSAT + RC

t . Le triangle

R1 R VSAT − à V2 = − 1 VSAT + . La demie période R2 R2 VSAT + + VSAT − RC R 1 correspondante vaut T2 = . VSAT + k Vcom R 2 reste sur cette pente de V2 =

⇒ si VSAT + est différent de VSAT -, les expressions de T1 et T2 ne sont pas les mêmes. Solution : On peut remédier à ce problème en rajoutant deux diodes zéner tête bêche à la sortie du bloc AO2 comme indiqué sur le schéma ci après. Leur rôle est de limiter la tension V3 à une valeur symétrique = ± VZ ce qui permet d’éliminer le problème.

R2 C R

_

∞

R1

AO2 +

V1

+

AO1

V2

_

AD 633

∞

X DZ

W

V3 DZ

Y

Vcom

DZ : BZX 6,2 V Visualisez la tension V3 (signal carré) et vérifiez avec les curseurs de l’oscillo que les amplitudes Vmax et Vmin sont symétriques. Il peut être bon de tester plusieurs diodes zéner de la même famille pour y parvenir aux mieux. Mesurez le rapport cyclique du signal et faire varier la tension de commande → la fréquence du signal doit varier et le rapport cyclique doit rester voisin de 50 %. Si malgré cette amélioration, le rapport cyclique varie, cela peut provenir des imperfections des AO, leur offset notamment. C’est le cas si, en visualisant la tension V2 (signal triangulaire), vous vous apercevez que la pente positive du triangle n’est pas la même que la pente négative. C’est le signe que l’offset de l’AO n’est pas négligeable : il s’ajoute à la tension à intégrer sur une des pentes alors qu’il se retranche sur l’autre. Dans ce cas, changer d’amplificateur opérationnel. Si vous n’en avez pas d’autres, une autre solution (à utiliser si c’est vraiment nécessaire !) consiste à compenser l’offset (l’idéal étant d’avoir des AO avec réglage d’offset intégré, sinon se reporter à la réf. (1), p. 82). La procédure de réglage est alors la suivante : visualisez la tension V2 (signal triangulaire) ; jouez sur le réglage de l’offset de l’AO2 jusqu’à avoir un signal symétrique par rapport à la masse. Jouez sur le réglage de l’offset de l’AO1 jusqu’à avoir un signal triangulaire possédant les mêmes pentes croissantes et décroissantes (utilisez les curseurs de l’oscillo). 625

3.3.3 Mesures Mesurez la fréquence du signal V1 ou V3 pour différents valeurs de la tension de commande et tracez la courbe fsignal = f(Vcom). Voici à titre indicatif le résultat d’une série de mesures : FREQUENCE EN FONCTION DE LA TENSION DE COMMANDE 3000

mesures

2500

Linéaire (mesures)

f (Hz)

2000

1500

y = 464,43x R2 = 0,9997

1000

500

0 0

1

2

3

4

5

6

V (V)

On constate un excellent accord avec une loi linéaire. Le dispositif que l’on vient d’étudier permet donc de générer un signal carré et un signal triangulaire dont la fréquence peut être contrôlée de façon linéaire par un potentiomètre. C’est sur ce principe que sont conçus les oscillateurs des GBF actuels (pour le passage à un signal sinusoïdal, se reporter à la réf. (1), p. 193-195).

3.4 Oscillateur de relaxation à quartz C’est une application importante de ce type d’oscillateurs. On s’en sert comme base de temps dans les montres, dans les ordinateurs, etc, etc … Une manipulation possible sur ce sujet est décrite dans le montage sur la mesure des fréquences temporelles → s’y reporter.

Bibliographie : Réf. (1) : Duffait : Expériences d'électronique Réf. (2) : Quaranta : tome III Réf. (3) : Quaranta : tome I Réf. (4) : Datté della Maestra : Ampli Op Tomasino : Physique term. S, enseignement obligatoire, Nathan, p. 288 H Prépa : Mécanique I, 1ère année MPSI, PCSI, PTSI, Hachette, p. 132 BUP n° 744, 785, 787 626

ANNEXE : DETERMINATION DE L’AMPLITUDE POUR L’OSCILLATEUR DE VAN DER POL On part de l’équation de Van der Pol et on la multiplie par x& dt :

 x2  && x + µ  2 − 1 x& + ω2 x = 0  xO 

⇒

 x2  && x .x& dt + ω2 x .x& dt = − µ  2 − 1 x& 2 dt  xO 

On réarrange l’équation obtenue grâce aux relations suivantes. On a en effet : 1 df = f 'dt → d ( x& 2 ) =  x& 2  '.dt = 2 x& . && x .dt D’ou && x .x& dt = d ( x& 2 ) 2 1 De même : d ( x 2 ) =  x 2  'dt = 2 x .x& .dt d’ou x .x& dt = d ( x 2 ) 2 L’équation devient alors :

 x2  1 ω2 d ( x& 2 ) + d ( x 2 ) = − µ  2 − 1 x& 2 dt 2 2  xO 

Intégrons cette équation sur une période. Le membre de gauche de l’équation vaut alors : T 1 ω2 1 2 T ω2 2 T 1 2 ω2 2 2 2 2 &  &     & &   x ( T ) − x 2 ( 0 )  d x + d x = x + x = x T − x 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫       0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 T

T

La périodicité du signal aux bornes du condensateur et aux bornes de la résistance fait qu’on a en régime permanent les conditions suivantes : x 2 ( 0) = x 2 ( T )

x& 2 ( 0 ) = x& 2 ( T )

Dans ces conditions, le résultat de l’intégration du membre de gauche de l’équation donne un résultat nul. Reste maintenant à intégrer le membre de droite sachant que le résultat doit être nul. Pour ce faire, on suppose pour x(t) une solution sinusoïdale : x = x m cos ωt → x& = − ω x m sin ωt

 x2  x2  ⇒ µ ∫  2 − 1 x& 2 dt = µ ω2 x m2  m2 x  0 O  xO T

cos ωt .sin ωt =

1 sin 2ωt 2

1 sin ωt = (1 − cos 2ωt ) 2 2

T

∫ ( cos ωt .sin ωt ) 0

 dt − ∫ sin 2 ωt dt  = 0 0  T

2

⇒ ( cos ωt .sin ωt ) = 2

1 (1 − cos 4ωt ) 8

On a alors :

627

x 2m x O2

T

T

x 2m ∫0 ( cos ωt .sin ωt ) dt − ∫0 sin ωt dt = 0 = 8 x 2O 2

2

T

T

1 ∫0 (1 − cos 4ωt ) dt − 2 ∫0 (1 − cos 2ωt ) dt 2

T T x m2  T  1 T    1  = sin 4ωt   − [ t ]0 +  sin 2ωt  [t] + 4 x O2  0  4ω  0   2ω 0

=

Soit finalement :

x 2m T−T=0 4 x O2

∀ T

x 2m ( T + 0) − T + 0 = 0 4 x 2O →

x 2m = 1 4 x O2 ⇒ xm = 2 x0

628