Lærebok i matematisk analyse 1 : Funksjoner av én fri variabel [1, 5 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

LÆREBOK

MAT E M AT I S K ANALYSE R. TAMBSLYCHE Fhv. professor i ren matematikk ved Universitetet i Oslo

FØRSTE DEL

FUNKSJONER AV ÉN FRI VARIABEL

FEMTE UTGAVE

OSLO 1964

GYLDENDAL NORSK FORLAG

FR. BAGGES KGL. HOFBOCTRYKKERI. KBHVN.

FORORD TIL FØRSTE UTGAVE Under arbeidet med denne læreboka i Matematisk analyse har jeg i første rekke tatt sikte på eksamensfordringene ved Norges Tekniske Høgskole, og valget av emner er i hovedsaka bestemt av dette. Men jeg har funnet det rimelig a ta med en del stoff som ligger utafor disse fordringene. For en del gjelder det emner av særlig verd for anvendingene, slik at boka skulle være til hjelp for dem som trenger analysen som hjelpemiddel. Men jeg har også gått mer grundig inn på spørsmål av prinsipiell viktighet enn strengt nødvendig for det nevnte eksamensbehovet. På den måten håper jeg at boka også skulle være brukbar som grunnlag for mer inn­ gående studier i matematikk. Det sier seg sjøl at jeg har gjort mit ytterste for å gjøre fram­ stillinga så klar og lett forståelig som råd er. Når det gjelder emner hvor erfaring viser at mistak lett oppstår, har jeg prøvd å rydde slike mistak av veien ved å gå mest mulig utførlig fram. Men ikke en gang den mest fullkomne framstillinga vil gi den studerende det riktige utbytte dersom en ikke hele veien kaster lys over inn­ førte begrep og almene resultat ved detaljerte, gjennomregnete eksempler. Jeg har derfor ikke spart på slike eksempler, enda det måtte føre til at boka svulmet en del opp. Av samme grunn har jeg overalt føydd til rikelig med oppgaver til øving. Jeg har vært så heldig å få utstrakt hjelp av professor Ernst Jacobsthal som har gått gjennom første del i korrektur og har revidert manuskriptet til annen del. Et stort antall rettelser og for­ bedringer er blitt resultatet av dette samarbeidet, og jeg bringer ham med dette min hjerteligste takk for den utmerkede hjelpa. Samtidig takker jeg med glede forlag og trykkeri for den vel­ viljen de har møtt ønsker fra min side med og for utmerket arbeid. Trondheim, juni 1940.

L Tambs Lyche.

FORORD TIL FJERDE UTGAVE Endringene fra forrige utgave er verken mange eller betydelige. Det viktigste har vært å søke utryddet de altfor mange trykkfeil

som hadde sneket seg inn. At det framrakende arbeid trykkeriet har utført her har vært til uvurderlig hjelp, er det unødig å påpeke. I noen grad har jeg i denne utgaven gjort bruk av de enkleste logiske tegn, spesielt for „union“ og „snitt“. Den uheldige typografiske oppstilling i tredje utgave av dette bind er bragt tilbake til den tidligere ordning med ulike skrift­ størrelser. Oslo, desember 1960.

R. T. L.

FORORD TIL FEMTE UTGAVE En viktig endring er foretatt i denne nye utgaven, idet Riemannintegralet, som tidligere bare har vært kort omtalt, her er lagt til grunn for innføringen av integralbegrepet. For det første er dermed større almengyldighet oppnådd, og for det annet kan resultatene herfra da straks brukes i kapitlet om fourierrekker, der Riemannintegralet allerede før er lagt til grunn. Ellers er endringene fra forrige utgave ubetydelige og berører vesentlig enkelte punkter av terminologien (t. d. konsekvent bruk av „supremum“ og „infimum" istedenfor de mindre heldige navn „øvre og nedre grense"). Oslo, januar 1964.

R. T. L.

INNHOLD I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

III. Derivert og differensial.

Grenser.

Reelle tall og tallfølger................ Tallmengder og områder............. Fri variabel...................................... Funksjoner....................................... Diagram............................................. Avbildning........................................ Funksjonssymbolet....................... Grenseverd av funksjoner........... To setninger om funksjoners grenseverd....................................... Ensidige grenseverd...................... Kontinuitet...................................... Vesentlig og uvesentlig diskon­ tinuitet............................................. Ensidig kontinuitet....................... Kriterier på kontinuitet.............. Kontinuitet i et område.............. Fire setninger om kontinuitet. . Supremum og infimum ............. Maksimum av en kontinuerlig funksjon i et lukket område... Skjæringssetningen........................ Uniform kontinuitet..................... Omvendte funksjoner..................

1 11 20 21 23 24 25 27

32 33 34 37 38 38 41 42 43 45 47 50 54

II. Elementære funksjoner

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

Potensfunksjon og polynom.... Trigonometriske funksjoner. ... Eksponentialfunksjonen.............. Logaritmen....................................... Den almene potensfunksjonen . Sirkulære funksjoner .................. Elementære funksjoner..............

57 57 60 61 61 62 65

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.

39. *40. 41. 42.

43. 44. 45.

46.

Tangenten til en kurve.............. Funksjonsdifferens og derivert Deriverbarhet................................ Differensialet................................. Den deriverte av en konstant. Den deriverte av en sum.......... Den deriverte av et produkt. . Den deriverte av en brøk......... Kjerneregelen................................ Den deriverte av potensfunksjonen............................................. Den deriverte av de trigono­ metriske funksjonene............... Permanensen av differensialet. Tallet e............................................. Grenseverdet lim(l+ f)1/É......... o Den deriverte av logaritmen . . Naturlige logaritmer.................. Den deriverte av eksponential­ funksjonen.................................... Grenseverdet lima;(lnz)ra...........

69 70 72 78 80 81 82 82 83 86

86 87 88 92 93 94

94 96

x—> 04“

47. Den deriverte av de sirkulære funksjonene.................................. 97 48. Den deriverte av den almene potensfunksjonen ....................... 98 49. Sammenstilling av derivasjonsreglene............................... 99 50. Rolles setning.............................. 101 51. Sekantsetningen......................... 102 IV. Integral.

52. Areal begrenset av krumme linjer............................................. 105

53. Eksempel på beregning av areal............................................. 54. Riemann-integralet.................. 55. Integralregningens fundamentalsetning................................. 56. Det bestemte integralet.......... 57. „Metoden til Arkimedes“ . ... 58. Metoden til Newton-Leibniz. 59. Det ubestemte integralet .... 60. Enkle integrasjonsmetoder. . . 61. Integral av diskontinuerlige funksjoner.................................. 62. Integral mellom „uendelige grenser14...................................... 63. Integralet over et område... 64. Integralet som funksjon av grensene...................................... 65. Mellomverdsetningen ............... 66. Kontinuerlige kurver............... 67. Arealet av en sektor................. 68. Moment og tyngdepunkt av flatestykker............................... 69. Treghetsmomentet av et flatestykke.......................................... 70. Monotone funksjoner og funk­ sjoner med begrenset varia­ sjon............................................... 71. Buelengde.................................... *72. Flatestykker begrenset av kurvermed buelengde. 186 73. Volum...........................................

107 I 10

116 124 128 131 135 138 145

| R(.r, ]/a.r2 + bx + c) il.r.........

213

82. Integral av formen | R(sinx, cos.r)d./'..................

216

83. Integralet Jm,n = j sinmx costlxdx .... 217

149 153

84. Tilnærmet beregning av be­ stemte integral. Trapesmetoden........................................... 222 85. Simpsons formel......................... 225

154 156 158 166

VI. Deriverte av høyere orden.

168 173

175 180

190

V. Integrasjonsmetoder. Tilnærmet beregning av bestemte integral.

74. Fundamentalsetningen for al­ gebraen....................................... 75. Rasjonale funksjoner............... 76. Oppløsning av en ekte brøkfunksjon i en sum av delbrøker................................................ *77. Delbrøkoppløsning i et spe­ sielt tilfelle.................... 203 78. Integrasjon av rasjonale funk­ sjoner.................................

*79. Bestemming av rasjonale null­ punkter i et heltallig polynom 208 80. Algebraiske funksjoner og Abelske integral....................... 210 81. Integral av formen

194 196

197

205

86. Deriverte av høyere orden. . . 87. Geometrisk tyding av den annen-deriverte........................ 88. Glatte kurver.............................. 89. Krumning.................................... 90. Krumningssirkel og krumningssentrum............................. 91. Evolute og evolvent.................. *92. Omhyllingskurver......................

228 231 232 234

237 240 240

VII. Taylors formel.

93. Tilnærmet beregning av ver­ det av en funksjon i nærheten av et punkt der en kjenner egenskapene til funksjonen. *94. Newtons tilnærmingsmetode. 95. Taylors formel............................. 96. Beregning av eksponentialfunksjonen.................................. 97. Beregning av de trigonome­ triske funksjonene ................ 98. Beregning av logaritmer .... 99. Beregning av Arctgx.............. 100. Binomialformelen .................... 101. Maclaurins formel for Arcsinæ ......................................

243 244 247

250 250 251 256 258 259

102. *103. 104. 105.

Hyperbelfunksjonene............ Restleddet i Simpsons formel Maksimal- og minimalverd. „Ubestemte uttrykk"............

261 262 265 273

VIII. Rekker. 106. 107. 108. 109. 110.

111. 112.

*113. *114.

Grensetall for tallfølger......... Største og minste grensetall. Konvergente tallfølger.......... Konvergente rekker............... Det almene konvergensprinsippet for rekker.................... Absolutt og betinget konver­ gens............................................ Forholdskriteriet, rotkriteriet og integralkriteriet. ... Multiplikasjon av konver­ gente rekker........................... Konvergente produkt...........

277 278 281 283

286 289

11 5. Rekker der leddene er funk­ sjoner av x................... 303 116. Uniform konvergens............... 117. Kriterier på uniform konver­ gens............................................ 118. Regning med uniformt kon­ vergente rekker...................... 119. Potensrekker............................. 120. Uniform konvergens av po­ tensrekker................................ 121. Trigonometriske rekker......... 122. Taylorrekken............................. *123. Analytisk funksjon................. *124. Tallet n er irrasjonalt...........

304 307

309 313 316 317 318 319 321

Tillegg. Reelle tall.

293

298 299

§ 1. Innledning................................ § 2. Intervallinnsnevringer .......... § 3. Reelle tall................................. Hovedsetning omreelle tall.

323 324 331 333

1. kapitel.

GRENSER 1. Reelle tall og tallfølger. — Grunnlaget for den matematiske analysen er de reelle tallene. Her vil vi gå ut fra at de viktigste egenskapene hos de reelle tallene er kjent, (se tillegget etter kap. 8). Derfor skal vi bare nevne dem som vi får mest bruk for og samtidig gjøre rede for noen nye navn og skrivemåter som det viser seg nyttig å bruke. I. Reelle tall kan vi ordne etter størrelsen: er % og (3 to fritt valgte reelle tall, har vi alltid én bestemt av de tre relasjonene ocefi,

II. Er v og /S to fritt valgte reelle tall, slik at a < /?, kan vi alltid finne et tredje, y, slik at Avbilder vi de reelle tallene på tallinjen, så svarer det et bestemt punkt på tallinjen til hvert valgt reelt tall, og omvendt : det svarer et bestemt reelt tall til hvert valgt punkt på tallinjen. III. Betyr a2, a3, . . ., otn, . . . reelle tall som er valgt ut etter en eller annen forskrift, slik at det svarer et bestemt tall txn til hvert naturlig tall n, så kaller vi en slik rekke tall for en tallfølge. Istedenfor å skrive 1. Setter vi nemlig |/2=l + ån, blir å„>0 og 2 = (1 +hn)n^ 1 +nhn etter Bernoullis ulikhet; altså er hn < 1/n, dvs. n f 12 — ly er en nullfølge.

Enhver konvergent tallfølge er begrenset. Dersom y, er jo _ yj en nullfølge, altså begrenset; det fins derfor et slikt positivt tall gr at \ocn-y å følger xn + fin^y + å og yd. Det første følger umiddelbart av setning 4 i VII, siden *n< + fin~ (7 + ) og b]. Endelig lar vi —>) bety tallmengden av alle reelle tall. Også disse tallmengdene kal­ ler vi intervaller, (men ikke endelige intervaller). Av grunner som vil bli forklart nedenfor regner vi de tre inter­ vallene (a ->), ( G' begge hadde disse egenskapene. Setter vi da G" — G' = 2e, blir G" — e > G'; i følge 2° skulle det da fins et ^eA, slik at > G" — e; men det ville jo medføre xx > G', i strid med 1°. Det er umiddelbart klart at g og G alltid er randpunkter for A. Tenker vi på de fire typer av endelige intervaller, der i alle tilfelle g er venstre og G høyre endepunkt for intervallet, ser vi at tallene g og G snart vil tilhøre A, snart ikke. Dersom GeA, kaller vi G tallmengdens maksimum: tilsvarende er g tallmengdens minimum dersom gsA. Et lukket område har etter dette alltid et maksimum og et minimum. Eksempel 10. Området U£Li [2n-1 )/2n, 2n/(2n+1)] har minimum har ikke noe maksimum, men supremum 1.

det

Dersom {vn} er en opptil begrenset tallfølge, vil jo den tall­ mengden som består av alle innbyrdes ulike vn, også være opptil

20

1. KAPITEL

2

begrenset. Denne tallmengden har derfor et supremum G som vi også kaller tallfølgens supremum. Etter definisjonen av supre­ mum og setningen foran, følger da at ocn G for alle n; og er e > 0 gitt, finnes det minst ett n, slik at > G - e. Tilsvarende har en nedtil begrenset tallfølge et infimum g med tilsvarende egenskaper. Og vi skriver disse tallene G = sup 0 og ). La y bety det største hele tallet som ikke er større enn x. Tegn diagrammet av y som funksjon av x. Det er vanlig å skrive denne funksjonen med tegnet [a?].

6. Avbildning. — Er y gitt som funksjon av x i et område A, vil de verdene y får for ulike verd av x utgjøre en tadmengde. Disse funksjonsverdene kan sjøl utgjøre et område B, men det vil ikke alltid være slik (t. d. ikke eksemplene 5 og 7 i nr. 4). I hvert fall kan vi tenke oss disse verdene av y avbildet på ?/-aksen som tallinje. Da sier vi at funksjonen avbilder området A på ?/-aksen, og tallmengden B kaller vi bildet av A på ?/-aksen. Eksempel. På fig. 3 er tegnet noe av diagrammet av funksjonen y — x2. Området A er området av alle tall, altså hele rc-aksen. Til hvert punkt på æ-aksen svarer da et bestemt punkt på «/-aksen. Alle de verdene vi kan få, vil her utgjøre et område B, nemlig intervallet [0 —>). Dette området er altså bildet av rr-aksen. Her vil hvert punkt på den positive «/-aksen være bildet av to skilte punkter på æ-aksen. L Ordet „avbildning“ er naturligvis tatt fra det begrepet vi gjør oss når vi i daglig tale snakker om å ta bilde av en gjenstand, t. d. ved å fotografere den. Da sørger vi nettopp for å få en bestemt samsvaring mellom hvert punkt av gjenstanden og et punkt i bildet. Men skal vi kalle det en „avbildning“ i vanlig forstand vil vi jo kreve at bildet skal „likne“ gjenstanden, til en viss grad iallfall. Det forlanger vi ikke av en avbildning i matematikken. Skal bildet „likne“ gjenstanden, må først og fremst to punkter av gjenstanden som ligger tett ved hverandre, komme nær sammen i bildet også. Som vi snart

7

GRENSER

25

skal se, vil vi også i analysen få særlig bruk for avbildninger som har nettopp denne egenskapen, og som altså, til en viss grad iallfall, „likner“ gjenstanden.

Oppgaver. a. Gitt funksjonen y=\ — |x| i området A av alle tall. Når vi avbilder A på y-aksen med denne funksjonen, blir bildet B et område. Hva for et ? 1 b. Når vi avbilder æ-aksen på y-aksen ved funksjonen y =------- - får vi et område. Hva for et blir det ? X

c. Hva blir bildet på y-aksen av området av alle tall, når en bruker funksjonen

i Oppg. 5, f? d. Hva blir bildet av den positive æ-aksen på y-aksen når en bruker funksjonen i Oppg. 5, g?

7. Funksjonssymbolet. — At y er en funksjon av x definert i et område A, skriver vi y

= /(D •

Mere korrekt ville det være å skrive det y = f(%),

xGA

for å framheve at funksjonens definisjonsområde er området A; men vi utelater tilføyelsen æGA når det går klart fram av sammenhengen forøvrig hva definisjonsområdet er, t. d. ved det som ble fastsatt i nr. 4.

Vi har altså ikke sagt noe om hva det er for en forskrift som lar verdet av y svare til det valgte verdet av x. Det er nyttig å kunne bruke et slikt symbol som ikke binder oss til en bestemt funksjon, på samme måten som det er nyttig å la en bokstav i algebraen bety et eller annet tall, uten at vi binder oss til å si hva for ett. På den måten blir vi satt i stand til å finne fram til almene resultat, i alge­ braen til almene regneregler for tallene, i analysen til almene resul­ tat om funksjoner, slik at vi kan nytte disse resultatene på alle funksjoner av det slaget det var tale om. Da vi ofte vil få å gjøre med flere ulike funksjoner i løpet av den samme undersøkingen, må vi kunne variere symbolet. Det gjør vi ved å skifte den bokstaven som gir funksjonen navn. Vi kan t. d. kalle én funksjon for f (x), en annen for F(x), en tredje for y(x), osv. Vi kan naturligvis også bruke indekser til dette: f2(x), f3(x), osv. Hver gang må vi naturligvis si hva for et område funksjonen er definert i, dersom det ikke går fram av det som ble sagt i 4. Får vi samtidig å gjøre med funksjoner som er gitt i ulike områder, kan vi bruke forskjellig bokstav som navn på den fri variable også.

26

1. KAPITEL

7

>-------------------------- < Vi vil tenke oss gitt en funksjon y—f(_x) i et ___ * a x , område A. En kunne da tenke seg laget en slags maskin eller automat som var innrettet slik, Fig at om vi velger et tall i området A og stiller det inn på maskinen, kommer det tilsvarende tallet y fram. Vi trenger ikke her å bry oss med hvordan vi rent teknisk måtte innrette en slik maskin i et gitt tilfelle. Vi bruker det bare som en illustrasjon til begrepet funksjon: til hver gitt funksjon svarer en bestemt maskin som vi kan se på som en håndgripelig framstilling av denne funksjonen. „Forskriften“ i funksjonen er det maskineriet inne i automaten som får tallet y til å komme fram når vi „mater“ den med tallet x. Bokstaven / står altså etter denne tolkningen som navn på maskineriet, og likningen f (x) = y kunne vi best lese slik: „lar jeg maskineriet / få tallet x til behand­ ling, så gir det meg igjen tallet ?/“. z ''S *

Er f (x) definert i området A. lar vi/(A) bety den tallmengden som består av alle de verd f (x) får når xeå. Vi kaller /(A) for verdimengden av f (x) i A (eller billedmengden av f (x) i A). Med /(l), /(0), f (a), osv. mener vi naturligvis det verdet av y vi får, om vi velger x lik 1, 0, a, osv. Skriver vi symbolet f(x+l). så er meningen den, at vi skal addere 1 til et valgt tall x. Da går vi ut fra at x er valgt slik at tallet x+ 1 blir et tall i A. Da bbr /(x+ 1) det tallet som funksjonen lar svare til x 4-1.

, (altså A området av alle tall 4=1), og er x—1 x # 0, vil x + I være et tall i A og Er t. d. /(æ) =

1

* + !) = ./(

1 =-• x+1— 1 X

■

Tilsvarende blir /(x2) =

V2 -1

når \x 4= 1. Ålment kan vi la/(u) bety en funksjon av den fri variable u i et område A og g(x) en funksjon av x i et område B. Dersom det fins et slikt delområde Coo l_22 23 2n 2n+2 2n+3 2n+r

Da finner en 1 n 4- 3 f ('*.*,} = —-l-------- . 2 2n+1'

f " '

,

3 n +1 =------------ . 2 2M+1 '

som viser at/(a„) ->|,/(a„) -> For x = skriver vi først

1 r1 1 11 — = lim ~- 4—- 4- ■ ■ ■ 4—— 22n 3 n->oo 22 24 som gir/(1) = |. La så p være et naturlig tall og \h\ < l/22p. Da kan vi skrive ^ + h på formen 1 F 1 1 111 1 F h — Inn---- 1--- F • • • 4"---- 4----- !---- F ■ • • 4--3 n->oo.22 24 22f-2 2D 2b> 2y«_

der yi>2p — 2. Da brøken n/2n avtar med voksende n fra n = 2 av, gir dette på den ene siden , 2 4 2p-2 8 2 1 p— 1 f^ + h) +—----- =-------------------- ------- , 3 22 24 22P“2 9 3 22P2 22p-2 og på den annen side 3

i 2 4 n^oo 122 24

8 9

2 3

2p-2 22p-2

2p-\ 2p 22*1-1 22p

2p + n 22P+n

1 p+3 22p~2+22p~2

Av dette slutter en at lirn/(z) = g].

c. La ci, C2, C3, . . . være en voksende følge av naturlige tall. Sett ci c2-2 c3-4 2ci+ 2C2 + 2C3

cw-2(n-l) 2C«

Vis at tallfølgen {an} konvergerer mot et tall ^0. [Rettl.: de to tallfølgene {(^n} og {yn} en får om en setter (fra n = 3 av) c2 —2 c3 —3 cn — n ----- 1 1 -F • • • 4 2ci 9C2------- 2C3---------------- 2Cn

ci

15

41

GRENSER

7n

1

2

2C3

2C4

n—2 2cn

er monotone, og en ser lett at de er begrenset (jfr. Oppg. 1, k og 1). Dessuten finner en at

1 7r -

ri

2

3

2

22

23

n— 2 2«-2

og derfor må yn konvergere mot et tall som er 00 L" " jfr. oppg. 14. c. Vis at f (x) er kontinuerlig i området A. [Rettl.: vis først at om

1 1 1 x — ci 4---- 1-- * d- • • • d--- - , 2ci 2C2 2^-

blir

ci

co — 2

c* — 2(k— 1)

C3 —4 + ■ • ■+

’

Da ser en lett at de tallfølgene ci, 02, C3, . . . som svarer til x og til x + h vil falle sammen så langt en vil, når |Æ| er liten nok, og derfor vil en kunne gjøre \f(x + h) — f(x)\ så liten en vil].

42

16

1. KAPITEL

16. Fire setninger om kontinuitet. — For å spare arbeidet med å undersøke hver enkelt funksjon vi får å gjøre med m. h. t. kontinuiteten, kan en vise riktigheten av fire enkle setninger som i en mengde tilfelle vil sette oss i stand til uten videre å hevde at en funksjon er kontinuerlig, sjøl om den analytisk er bygd opp på en nokså komplisert måte. 1°. Summen av to kontinuerlige funksjoner er sjøl en kontinuerlig funksjon. Setningen er noe kort formulert. Meningen er denne: er f (x) og g(x) begge kontinuerlige i et område B, så er F(x) =/(z) + g(x) også kontinuerlig i B. Siden f (x) og g(x) begge er kontinuerlige i punktet aeB, har vi °g derfor F(æ)*/(a)+ ø(a) = F(a) etter nr. 9. 2°. Produktet av to kontinuerlige funksjoner er sjøl en kontinuerlig funksjon. Setter vi F(a?) =f(x)-g(x), får vi F(a?) -> f(a)-g(a) etter nr. 9, altså F(x) -> F(a). 3°. Er f (x) kontinuerlig i området B og ikke lik null for noe x i B, sa er l/f(x) også kontinuerlig i B. Setter vi F(z) = l//(x), får vi F(æ) l//(a) = F(a) etter den andre setningen i 9. 4°. En kontinuerlig funksjon av en kontinuerlig funksjon er sjøl en kontinuerlig funksjon. Nærmere presisert mener vi dette: er f (x) en kontinuerlig funk­ sjon av a; i et område A og oo 2 2yi 2y2 Av dette får vi [12 3 n+1 < f(x) < lim I —I—-4—o 4- ... 4---- 2ra+1 n—>oo |_2 22 23

der likhetstegnet gjelder for x=l. Da/(|) = | er/(x)>| for alle xE[£, 1]; ved å velge yi stor nok, kan vi åpenbart finne etx>| der f (x) ; [1 ->>; .

18

45

GRENSER

b. Samme oppgave for funksjonen /(x) = l/(x —2). c. Gitt funksjonen f(x)= l/(x2 + 1). Finn supremum, infimum og ossilasjon i området —>). Har funksjonen maksimum i dette området? Enn minimum? *d. La p og n være to slike naturlige tall at p/2”